Metode de Rezolvare a Problemelor de Geometrie Plana
MOTTO:
„GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ȘI MAI SIMPLĂ DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ DEA INFLEXIBILITATE JUDECĂȚII ȘI RAȚIUNII”
D. DIDEROT
CUPRINS
Introducere……………………………………………………………………………………………………………..6
Capitolul I –Noțiuni introductive…………………………………………………………………………….10
Fundamente teoretice………………………………………………………………………………………..10
1.2 Axiomele de incidență…………………………………………………………………………………….. 12
1.3. Axiomele de ordonare…………………………………………………………………………………….. 13
1.4. Axiomele de congruență……………………………………………………………………….. ………. 14
1.5.Axiomele de continuitate……………………………………………………………………….. ………..15
1.6.Axioma paralelelor …………………………………………………………………………………………. 15
Capitolul II- Tipuri de probleme……………………………………………………………………………. 17
2.1. Probleme de demonstrație……………………………………………………………………… ………. 17
2.1.1. Segmente congruente, unghiuri congruente…………………………………………………..18
2.1.2. Inegalități geometrice……………………………………………………………………………….. 20
2.1.3. Coliniaritate- metode de rezolvare a problemelor de concurență……………………..24
2.1.4. Concurența-metode de rezolvare a problemelor de concurență …………………….. 27
2.1.5 Paralelism-metode de rezolvare a problemelor de paralelism…………………………..33
2.1.6 Perpendicularitate-metode de rezolvare a problemelor de perpendicularitate…….38
2.1.7.Patrulatere inscriptibile. Puncte conciclice…………………………………………………….45
2. 2 . Maxime și minime geometrice ………………………………………………………………………… 49
2.3. Metode de rezolvare a problemelor de loc geometric ………………………………………… 51
Capitolul III- Considerații de ordin metodic………………………………………………………….. 55
3.1. Importanța rezolvării problemelor de geometrie în școală…………………………………….55
3.2. Profesorul de matematică și familia elevului………………………………………………………56
3.3. Competențe generale și specifice urmărite la matematică…………………………………….58
3.4. Aspecte ale psihologiei învățării……………………………………………………………………….62
3.5. Cum ne alegem problemele?…………………………………………………………………………….65
3.6. Resurse educaționale……………………………………………………………………………………… 66
3.6.1. Plan de lecție-clasa a VI-a………………………………………………………………………….66
3.6.2. Fișă de lucru- Recapitulare pentru lucrarea scrisă geometrie -clasa a VI-a…….. 77
3.6.3. Plan de lecție- clasa a VII-a………………………………………………………………………..80
3.6.4. Fișă de lucru -Recapitulare pentru lucrarea scrisa-clasa a VII-a……………………. 92
3.6.5. Test de evaluare clasa a VI-a………………………………………………………………………93
Notații utilizate in lucrare…………………………………………………………………………………….96
Bibliografie………………………………………………………………………………………………………… 97
INTRODUCERE
Dezvoltarea economică și culturală la care a ajuns țara noastră a impus o pregătire științifică și tehnică a tinerei generații, care este de neconceput fară o gândire mobilă, originală și creatoare formată de învățământul matematic.
Matematica este în general definită ca știința care studiază modelele de structură, schimbare și spațiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.
Structurile anume investigate de matematică își au deseori rădăcinile în științele naturale, cel mai adesea in fizică. Matematica definește și investighează structuri și teorii proprii, în special pentru a sintetiza și unifica multiple câmpuri matematice sub o teorie unică, o metodă ce facilitează în general metode generice de calcul. Ocazional, matematicienii studiază unele domenii ale matematicii strict pentru înțelesul abstract exercitat de acestea, ceea ce le transformă într-o abordare mai degrabă legată de artă decât de știință.
Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri și de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale. Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendințele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendințe specifice: studiul structurii, spațiului și al schimbărilor.
Carl Friedrich Gauss, el însuși cunoscut ca „prinț al matematicii”, numea matematica „regină a științelor”. În latină – Regina Scientiarum, în germană – Königin der Wissenschaften. Ambele expresii sunt legate de cuvântul „știință” care înseamnă (domeniu de) cunoștințe. Într-adevăr, în acest sens, nu există îndoieli că matematica este o știință. Restrângerea sensului de știință doar la domenii specializate care studiază natura, nu mai este de actualitate. Dacă ar fi considerate științe doar acele domenii ale cunoașterii care se ocupă strict de lumea fizică, atunci matematica, sau cel puțin matematica pură, ar trebui să nu fie considerată o știință. Albert Einstein spunea că „atunci când legile matematicii se referă la realitate, ele nu sunt sigure iar când sunt sigure, ele nu se referă la realitate”.
În ansamblul științelor matematice, geometria are un rol special; într-adevăr geometria este forma cea mai simplă și cea mai accesibilă raționamentului. Importanța metodelor ei și fecunditatea lor sunt mai ușor vizibile decât în teoriile relativ-abstracte din aritmetică sau din algebră. Prin aceasta geometria exercită asupra activității spiritului o influență de netăgăduit.
Geometria rămâne un obiect fundamental, fiindcă a știut să-și asimileze descoperiri și să le folosească pentru a-și da amploare și profunzime.
Raționamentul geometric presupune analiza amănunțită a tuturor concluziilor ce derivă din anumite date, a cadrului de validitate a diferitelor rezultate. El nu permite nici o neglijență în gândire, nici o concluzie pripită, superficială, insuficient fundamentată logic.
De aceea studiul geometriei este încă de pe băncile școlii și până la cercetarea științifică de specialitate, o admirabilă gimnastică a consecvenței în gândire, a spiritului critic și a stimulării creativității.
Aplicarea metodelor geometriei reclamă o ingeniozitate deosebită, care se obține numai prin studii și exerciții îndelungate.
Una din metodele care contribuie în foarte mare măsură la dezvoltarea imaginației, a spiritului de investigare, în general a creativității, este metoda rezolvării de probleme. Problemele de geometrie constituie antrenamentul necesar însușirii disciplinii în gândire, a spiritului de rigoare, necesar astăzi pe o scară din ce în ce mai largă în viața noastră de toate zilele.
A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al speciei umane; se poate spune că, dintre toate îndeletnicirile omenești, cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică.
Rezolvarea problemelor de geometrie, pornește în general de la studiul unor figuri concrete (ce exprimă trăsături esențiale ale realității obiective), continuă cu elaborarea unor propoziții abstracte și apoi cu aplicarea lor în demonstrarea concluziilor lor.
Rezolvarea problemelor de geometrie împletește gândirea concretă cu cea abstractă și în consecință, are un rol primordial în formarea și dezvoltarea capacității deductive.
Numarul de ore de matematică au scăzut atât în gimnaziu cât și în liceu, iar cantitatea de materie nu, din acest motiv a scăzut calitatea predării și interesul elevului. Numărul mare de ore pe care elevul îl petrece în școală îi scurtează timpul liber precum și timpul pe care ar trebui să-l aloce pentru pregătirea lui la disciplina matematică. Caracterul de problemă prezintă doar acele sarcini didactice ce conțin o anumită dificultate cognitivă și a căror rezolvare necesită o activitate de cercetare. Pentru elevi problema reprezintă o dificultate cognitivă, care necesită un efort de gândire pentru a putea fi depășită. Situația le stârnește interesul, le provoacă o anumită încordare intelectuală și le declanșează o trebuință de cunoaștere, care mobilizează la efort. Există lacune în sistemul de cunoștințe al elevului, golul urmând să fie umplut prin rezolvarea problemei. Activitatea elevului este orientată căre înlăturarea zonei de incertitudine(necunoscutul), prin descoperirea de cunoștiințe noi și procedee de acțiune. Soluționarea problemei se bazează pe experiențele și cunoștințele dobândite anterior de către elevi.
Problemele de geometrie sunt probleme propriu-zise, adică probleme la care descoperirea soluției este problematică.
Deși cunoști tot ce trebuie pentru stabilirea soluției (constați aceasta când ți se dă soluția) nu e sigur că o poți găsi, ea necesitând o anumită „inspirație", o idee salvatoare, în fond un efort de creație.
Cu cât această idee este mai ascunsă, cu atât satisfacția de a o descoperi- când reușești- este mai mare.
Este acel sentiment superior specific uman, care constituie mobilul principal al tuturor actelor de creație.
Dar și dacă nu reușești, esti curios să afli cum ar trebui gândit; când ți se spune și înțelegi, ai de asemenea o satisfacție, însă, acum, umbrită de regretul că nu ai descoperit singur, regret care te ajută să descoperi, să creezi la rându-ți alte soluții sau alte probleme.
În geometrie, ca și în alte ramuri ale matematicii, nu există „chei universale", motiv pentru care prin metode de rezolvare a problemelor, nu se înțelege prezentarea unui rețetar absolut, care să asigure soluționarea tuturor problemelor pe baza unor formule cunoscute sau algoritmi prestabiliți.
Însușirea noțiunilor de bază ale geometriei elementare și folosirea acestora în mod selectiv în rezolvarea problemelor, constituie esența procesului învățării dirijate și conștiente a acestei discipline. Este esențial ca rezolvitorul, dezvoltând operațiile mentale fundamentale- analiza, sinteza, comparația, abstractizarea, generalizarea- să îmbine diferitele ipoteze și prin raționamente logice să descopere soluția.
În felul aceasta are loc și realizarea unei unități între formativ și informativ.
La geometrie este nevoie într-adevăr de o mare flexibilitate a gândirii creatoare, de aceea se numește „minte organizată".
În geometrie, o problemă rezolvată, fie și complet satisfăcător, nu este punct terminus; în timp ce servește scopului propus în mod conștient, ea devine și o sursă pentru noi implicații, sugestii, probleme adiacente.
În abordarea problemelor de geometrie, este absolut obligatorie stăpânirea metodelor generale și particulare.
Dintre metodele generale amintim: analiza, sinteza și metoda analitico-sintetică. Există însă și metode particulare care folosesc geometria vectorială, geometria analitică și altele, care depășesc nivelul gimnaziului și nu fac obiectul de studiu al prezentei lucrări.
Lucrarea de față își propune să prezinte cele mai utilizate metode de rezolvare a problemelor de geometrie plană din gimnaziu. Aceasta, deoarece cunoașterea mai multor metode adecvate de rezolvare de problemelor îi ferește pe cei ce studiază geometria de încercări făcute la întâmplare, iar pe de altă parte le dezvoltă capacitatea de a generaliza, fapt ce le dă posibilitatea să lege între ele probleme ce se rezolvă după o anumită schemă de raționament- care se poate reține ușor și, apoi, poate fi aplicată fără greutate.
În prima ei parte, lucrarea cuprinde un scurt itinerar de cunoștințe din geometria plană(definiții, axiome, teoreme), ceea ce permite ca metodele expuse, la fiecare tip de problemă considerat, să fie cât mai ușor de înțeles.
Al doilea capitol prezintă cele mai întâlnite tipuri de probleme de geometrie plană din gimnaziu și metode de rezolvare a lor, iar al treilea capitol conține noțiuni de ordin metodic.
A ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică – o deprindere – cum este înotul, schiatul sau cântatul la pian, care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu. Lucrarea de față nu poate oferi o cheie magică care deschide toate ușile și rezolvă toate problemele, în schimb ea pune la dispoziție o serie de exemple pe care le putem imita cu folos și creează numeroase prilejuri de a exersa: dacă vrem să învățăm înotul trebuie să intrăm în apă, iar dacă vrem să știm să rezolvăm probleme trebuie să rezolvăm probleme.
CAPITOLUL I
NOȚIUNI INTRODUCTIVE
1.1 FUNDAMENTE TEORETICE
Geometria este o ramură a matematicii, a cărei etimologie provine din cele două cuvinte grecești: „geos”=pământ și „metros”=măsurătoare.
În jurul anului 300 î.Hr. matematicianul grec Euclid a strâns în cele 13 cărți a operei „Elemente” cele mai comune concepte din timpul său, punând bazele geometriei euclidiene, clasificând cunoștințele geometrice în definiții, axiome, teoreme.
Evoluția stiinței a generat necesitatea realizării unui sistem logic deductiv și astfel în anul 1899, David Hillbert a publicat lucrarea „Bazele geometriei”.
Noțiunile geometrice primare, cele care nu se definesc, considerate de Hilbert sunt:
punctul, drepta, planul.
Câteva dintre noțiunile geometrice derivate, cele care se definesc cu ajutorul noțiunilor primare sunt : segmentul, semidreapta, semiplanul, unghiul, triunghiul.
Relațiile primare considerate de Hilbert sunt:
-incidența sau apartenența punctelor la drepte
-apartenența punctelor la plane
-a fi între pentru 3 puncte
-congruența segmentelor
-congruența unghiurilor
Studiul geometriei trebuie să aibă la bază cunoașterea în esență a conceptelor fundamentale și a raporturilor dintre ele care le unifică într-un sistem. Aceasta se realizează prin acceptarea axiomaticii așa cum a fost formulată de David Hilbert.
Noțiunile primare sunt accesibile intuiției, iar conexiunile dintre acestea își au izvorul chiar în experiența individuală.
Sistemul axiomatic ca atare acceptat devine un instrument minimal cu ajutorul căruia raționamentul produce, practic, o infinitate de „fapte geometrice" noi.
Edificarea geometriei pune la bază un sistem de cinci grupe de axiome, prin care se legitimează raporturile între conceptele de bază, punct, dreaptă, plan.
Grupa I conține opt axiome – axiomele de incidență.
Grupa a Il-a conține patru axiome – axiomele de ordonare.
Grupa a IlI-a conține cinci axiome – axiomele de congruență.
Grupa a IV-a conține două axiome – axiomele de continuitate.
Grupa a V-a conține o axiomă – axioma paralelelor.
Cunoștințele de geometrie acumulate în gimnaziu se pot încadra într-un sistem logic de propoziții matematice: definiții, axiome, leme, teoreme, consecințe etc.
Definiția este o propoziție sau un grup de propoziții prin care se explică o noțiune nouă.
Axiomele sunt propoziții cu caracter de ipoteză( nu se demonstrează) care descriu legătura dintre noțiunile primare și relațiile primare. Ele reprezintă proprietăți fundamentale ale obiectelor de bază și sunt considerate a fi adevărate. Axiomele, din sistemul ales, trebuie să nu se contrazică, să fie suficient de numeroase, astefl încât pornind de la ele să se poată studia și explica toate situațiile posibile.
Lema este o propoziție matematică al cărei adevăr se demonstrează și se aplică apoi la demonstrarea unor propoziții,teoreme etc.
Teorema este o propoziție care descrie proprietăți ale noțiunilor primare sau derivate și se demonstrează cu ajutorul definițiilor, axiomelor, lemelor sau teoremelor deja știute sau demonstrate.
1.2 AXIOMELE DE INCIDENȚĂ
Axiomele acestei grupe definesc proprietăți de amplasare a punctelor, dreptelor și planelor. Cele opt axiome de incidență sunt:
I1. Oricare ar fi punctele A, B există cel puțin o dreaptă incidentă fiecăruia din punctele A și B.
I2. Oricare ar fi două puncte diferite, există cel mult o dreaptă incidentă lor.
I3. Orice dreaptă este incidentă cu cel puțin două puncte diferite. Există (cel puțin) trei puncte necoliniare (adică nu toate pe aceeași dreaptă).
I4. Pentru orice puncte A, B, C există (cel puțin) un plan incident fiecăruia dintre punctele A, B, C. Orice plan este incident cel puțin unui punct.
I5. Oricare ar fi punctele A, B, C necoliniare, există cel mult un plan incident fiecăruia dintre acestea.
I6. Dacă două puncte distincte A, B sunt incidente dreptei a și planului 𝛼, atunci dreapta a este conținută în planul 𝛼
I7. Dacă două plane 𝛼 și 𝛽 sunt incidente unui punct A, atunci există încă (cel puțin) un punct B, diferit de A, incident fiecăruia din planele 𝛼 și 𝛽.
I8. Există (cel puțin) patru puncte nesituate în același plan.
Axiomele de incidență prezentate de Birkhoff sunt:
B1. Pentru orice două puncte distincte există o dreaptă și numai una care le este incidentă (care le conține).
B2. Pentru orice trei puncte coliniare există un plan și numai unul care le este incident.
B3. Dacă două puncte distincte ale unei drepte a sunt conținute în planul 𝛼 , atunci dreapta a este inclusă în planul 𝛼 .
B4. Dacă intersecția a două plane distincte este nevidă atunci această intersecție este o dreaptă.
B5. Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte. Orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare. Există cel puțin patru puncte nesituate în același plan (necoplanare).
Din axiomele de incidență rezultă afirmații importante. In acest sens formulăm două exemple:
Propoziția 1. Fiind date o dreaptă a și un punct A neincidente, atunci există un unic plan care le conține. Fiind date două drepte care au un singur punct comun, există un unic plan care le conține.
Propoziția 2. Orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare.
1.3 AXIOMELE DE ORDONARE
În formularea axiomele de ordine intervine o relație primară care atestă că un punct al unei drepte stă în raporturi date cu alte puncte ale aceleiași drepte; această relație se exprimă prin „a fi între”. Funcționalitatea relației „a fi între” derivă din proprietățile ce i le conferă axiomele de ordonare.
Scrierea A- B- C se citește: B se află între A și C.
3.1. Dacă A- B- C , atunci punctele A, B, C sunt distincte și situate pe aceeași dreaptă (coliniare) și are loc C- B- A
3.2. Pentru orice două puncte diferite A și B există (cel puțin) un punct C astfel încât A- B- C.
3.3. Dintre trei puncte A, B, C distincte coliniare există cel mult un punct situat între celelalte două. Sintetic exprimat: dintre situațiile A- B- C, B- A- C, A- C- B poate avea loc cel mult una.
Din considerarea relației „a fi între” derivă noțiunea de segment: fiind date punctele distincte M și N, atunci mulțimea punctelor X pentru care N- X- M se numește segment deschis de extremități M și N și se notează (MN).
Mulțimea (MN) U {M,N} se numește segment închis de extremități M și N și se notează [MN].
Fiind date trei puncte necoliniare A, B, C dispunem de segmentele (AB), (BC), (CA).
3.4. Fie A, B, C trei puncte necoliniare și d o dreaptă în planul (ABC), care nu conține nici unul din punctele A, B, C. Dacă dreapta d este incidentă unui punct al unuia dintre segmentele (AB), (BC), (CA) atunci ea este incidentă unui punct situat pe unul din celelalte segmente (axioma lui Pasch).
Utilizând axiomele de incidență și de ordonare se pot demonstra fapte geometrice remarcabile, utile cu deosebire în construcții geometrice. Subliniem câteva exemple:
Propoziția 3. Pentru orice două puncte diferite A și C, există cel puțin un punct B situat între A și C (adică A- B- C ).
Propoziția 4. Dintre oricare trei puncte diferite A, B, C ale unei drepte există unul situat între celelalte două; în consecință, aplicând 3.3. exact unul este situat între celelalte două.
Propoziția 5. Orice plan împarte punctele spațiului nesituate în planul în două submulțimi ' și '' disjuncte unice nevide astfel încât:
i)dacă A' ' și A" '' atunci este incident unui punct al segmentului (A' A") (se mai spune că taie segmentul (A' A")).
ii)dacă punctele M și N sunt ambele în ' sau ambele în '', atunci segmentul (MN) nu conține nici un punct al planului .
Mulțimile puse în evidență în propoziția 5 se numesc semispațiile delimitate de planul . Conceptele analoage sunt, pe dreaptă, semidreptele dreptei determinate de un punct și respectiv, în plan, semiplanele determinate într-un plan de o dreaptă conținută în acesta.
1.4. AXIOMELE DE CONGRUENȚĂ
Prin axiomele de congruență se conferă legitimitate procesului intuitiv care exprimă faptul că segmentele trebuie să se afle în anumite raporturi „de mărime”; în esență, deci, aceste axiome generează un „sistem unitar de măsurare” a segmentelor.
Se admite, așadar, existența unei relații numită „congruență" și notată în mulțimea segmentelor astfel încât:
4.1. Dacă A și B sunt două puncte situate pe dreapta a și A' este un punct situat pe dreapta a' (diferită sau nu de a), atunci există pe fiecare semidreaptă determinată pe a' de punctul A' un unic punct B' astfel încât (AB) (A'B'). Pentru orice segment (AB), (AB) (BA);
4.2. Dacă (AB) (CD) și (A'B') (CD), atunci (AB) (A'B');
4.3. Dacă A- B- C, A'- B'- C', (AB) (A'B'), (BC) (B'C') atunci
(AC) (A'C');
4.4. Pentru orice unghi propriu ∢(h,k) orice semiplan (a,A) și orice
semidreaptă h' inclusă în a, există o unică semidreaptă în semiplanul (a,A), k'
astfel încât ∢ (h,k) ∢ (h',k').
Orice unghi este congruent cu el însuși.
4.5. Fie A, B, C trei puncte necoliniare și A', B', C' alte trei puncte necoliniare.
Dacă (AB) (A'B'), (AC) (A'C') și ∢ BAC ∢ B'A'C' atunci
∢ ABC ∢ A' B'C'.
Între consecințele deosebit de importante ale grupelor de incidență, ordonare și
congruență enumerăm: criteriile de congruență ale triunghiurilor, congruența unghiurilor este o relație de echivalență, congruența unghiurilor drepte, existența mijlocului unui segment, existența bisectoarei unui unghi, existența perpendicularei dintr-un punct exterior pe o dreaptă (pe un plan), teorema unghiului exterior, etc.
1.5. AXIOMELE DE CONTINUITATE
Axiomele din grupele anterioare nu sunt suficiente pentru a produce un procedeu de măsurare a tuturor segmentelor, al cărui rezultat, relația dintre orice segment și unul ales ca unitate, să se exprime printr-un număr. Fundamentarea măsurării segmentelor este dată prin axioma da mai jos, numită axioma lui Arhimede.
5.l. Fie (AB) și (CD) două segmente oarecare. Atunci pe dreapta AB există un
număr finit de puncte A1, A2,… An așezate astfel încât A1 să se găsească între A și A2, A2 să se găsească între A1 și A3 etc. iar segmentele (AA1), (A1A2),… (An-1An) să fie congruente cu segmentul (CD) și punctul B să se găsească între A și An.
Pentru a dispune de posibilitatea de a afirma existența unui segment a cărui măsură să fie un număr pozitiv este necesară axioma lui Cantor:
5.2. Fie, pe o dreaptă a oarecare, un șir de segmente (A1B1), (A2B2),… (AnBn),… cu proprietățile:
i) (AiBi) ⊃ (Ai+1Bi+1) pentru orice i = 1,2,…
ii) nu există nici un segment inclus în toate segmentele șirului considerat.
Atunci nu există un unic punct A pe dreapta a astfel încât A∈(AiBi)
pentru orice i = 1,2,…
1.6 AXIOMA PARALELELOR
În geometria absolută se definește paralelismul dreptelor prin două drepte situate în același plan care nu au puncte comune și se demonstrează teorema.
Prin orice punct nesituat pe o dreaptă dată trece o dreaptă paralelă cu dreapta dată.
Postulatul lui Euclid sau axioma paralelelor: fie a o dreaptă oarecare și A un punct nesituat pe a. Atunci există cel mult o dreaptă în planul (a, A) și care conține punctul A paralelă cu a.
În consecință, în geometria euclidiană a spațiului, printr-un punct nesituat pe o dreaptă există o singură paralelă la acea dreaptă.
Propoziția 6. Dreapta a este paralelă cu planul dacă și numai dacă există în planul o dreaptă b paralelă cu a.
Cel mai adesea, paralelismul a două plane se justifică folosind unul din criteriile de mai jos:
Propoziția 7. Fie și două plane diferite. Ele sunt paralele dacă și numai dacă în planul există două drepte distincte, concurente, fiecare paralelă cu planul .
Propoziția 8. Planele distincte și sunt paralele dacă și numai dacă există în planul dreptele concurente distincte a și a', și în planul dreptele concurente distincte b și b' astfel încât a este paralelă cu a' și b este paralelă cu b'.
CAPITOLUL II
TIPURI DE PROBLEME
METODE ȘI TEHNICI DE REZOLVARE
2.1. PROBLEME DE DEMONSTRAȚIE
Problemele de demonstrație sunt acele probleme prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unor relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor geometrice date sau, în general, se cere să se justifice dacă o afirmație care a fost formulată mai înainte referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu. Acestea nu sunt în fapt, decât teoreme, adică propoziții ce trebuie demonstrate.
În acest gen de probleme trebuie să ne inspirăm din metoda care domină toată învățarea geometriei, adică să mergem constant de la cunoscut la necunoscut, combinând între ele teoremele care au fost deja demonstrate și au o oarecare legătură cu problema care trebuie rezolvată.
Într-o problemă de demonstrație se consideră o figură geometrică F, despre care se afirmă că are proprietățile , și se cere să se demonstreze că, în acest caz, ea mai posedă și proprietățile .
Propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile , notată cu I, poartă numele de ipoteză, iar propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile , notată cu C, poartă numele de concluzie. Prin urmare, într-o problemă de demonstrație se cere să se arate că dacă pentru figura F este adevărată propoziția I (ipoteza), atunci este adevărată și propoziția C (concluzia).
Printre problemele de demonstrație se disting mai multe categorii: sunt probleme care se demonstrează direct pe baza unor teoreme, sunt altele care se întemeiază pe probleme cunoscute anterior și sunt probleme care cer o întreagă sumă de cunoștințe geometrice.
Rezolvarea problemelor de demonstrație ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, conducând în același timp, spre o activitate creatoare în acest domeniu. Așa cum se știe, o problemă poate fi privită din diferite puncte de vedere și, prin urmare, poate fi soluționată pe mai multe căi (metode), unele mai greoaie, altele mai scurte și mai elegante.
Cunoscută fiind marea varietate a problemelor de geometrie, în continuare în acest capitol sunt prezentate cele mai întâlnite tipuri de demonstrație.
Pentru fiecare tip fiind prezentate unele metode particulare, specifice, de soluționare a acestora, iar acestea sunt urmate de aplicații ilustrative.
2.1.1. SEGMENTE CONGRUENTE, UNGHIURI CONGRUENTE
Ideea intuitivă de congruență pentru două figuri geometrice este mereu aceeași: două figuri F și G sunt congruente dacă prin suprapunere coincid. Sunt numeroase probleme de geometrie în care se cere să se arate că:
două segmente sunt congruente;
două unghiuri sunt congruente;
un anume triunghi este isoscel sau echilateral;
un anume patrulater convex este paralelogram;
un anume patrulater convex este trapez isoscel;
o anume semidreaptă este bisectoare a unui unghi.
Toate acestea fac parte din același grup de probleme, pentru care mai jos vom prezenta unele metode de rezolvare, însoțite de aplicații reprezentative.
Pentru a arăta că două segmente sunt congruente, se pot utiliza următoarele metode:
Ml. Se încadrează ca laturi omoloage în două triunghiuri oarecare congruente.
M2.Se încadrează ca laturi omoloage în două triunghiuri dreptunghice congruente.
M3. Se arată că cele două segmente au aceeași lungime, aceasta prin calcul direct, folosind eventual și relații metrice.
M4. Se încadrează ca laturi opuse într-un paralelogram.
M5. Se arată că sunt laturile neparalele într-un trapez isoscel.
M6. Se arată că sunt diagonale într-un trapez isoscel.
M7. Se folosește de mai multe ori, eventual, asemănarea unor triunghiuri, în final obținându-se o proporție în care segmentele de la numărător sau numitor sunt congruente.
M8. Se arată că sunt diagonale într-un dreptunghi.
M9. Se arată că sunt două laturi ale unui triunghi isoscel sau echilateral.
M10. Se arată că sunt înălțimi, mediane sau bisectoare corespunzătoare în două triunghiuri congruente.
M11. Se identifică ca înălțimi corespunzătoare a două laturi care au aceeași lungime în două triunghiuri cu ariile egale.
M12. Se folosește, eventual de mal multe ori, puterea unui punct față de un arc.
Pentru a arăta că două unghiuri sunt congruente se pot utiliza metodele:
M13. Se încadrează ca unghiuri omoloage în două triunghiuri oarecare
congruente.
M14. Se încadrează ca unghiuri omoloage în două triunghiuri dreptunghice congruente.
M15. Se încadrează ca unghiuri opuse în paralelogram.
Ml6. Se arată că sunt unghiuri de la baza unul triunghi isoscel sau echilateral.
Ml7. Se arată că cele două unghiuri au același complement sau același suplement.
M18. Se arată că cele două unghiuri au aceeași măsură aceasta fie prin calcul direct (numeric), fie folosind unele teoreme ca de exemplu cele referitoare la unghiul înscris într-un cerc, la unghiul cu vârful în interiorul cercului sau în exteriorul cercului.
M19. Se folosește reciproca teoremei bisectoarei: dreapta care unește un vârf al unui triunghi cu punctul care împarte latura opusă în segmente proporționale cu celelalte două laturi este bisectoarea unghiului format de cele două laturi.
M20. Se încadrează ca unghiuri alăturate bazei unui trapez isoscel.
Problemele pe care le prezentăm în continuare ilustrează, prin rezolvare, una sau mai multe metode din cele expuse mai sus.
Problema 1. Dintr-un punct M situat pe bisectoarea unghiului XOY se duc perpendicularele MA și MB pe [OX, respectiv pe [OY. Aceste perpendiculare, prelungite, intersectează pe [OY și [OX în A' respectiv B'. Să se arate că [MA'] [MB'].
Soluție. Deoarece [OM este bisectoarea unghiului XOY și MA [OX, MB [OY, rezultă conform proprietății punctelor de pe bisectoarea unui unghi că [MA] [MB].
Fie ∆MAB' și ∆MBA' dreptunghice. Deoarece [MA] [MB] și ∢ AMB' ∢ BMA'(ca unghiuri opuse la vârf) folosind cazul de congruență de la triunghiuri dreptunghice C.U.(catetă-unghi) rezultă că [MB'] [MA'].
Problema 2. Să se demonstreze că mediana [AD] a unui triunghi ABC se găsește la aceeași distanță de vârfurile B și C .
Soluție. Fie B' și C' picioarele perpendicularelor duse din B respectiv din C pe [AD].
Fie ∆BDB' și ∆CDC' dreptunghice. Deoarece [BD] [CD] și ∢ B'DB≡ ∢C'DC conform cazul de congruență I.U.( ipotenuză -unghi) rezultă că ∆BDB' ≡ ∆CDC' prin urmare [BB'] [CC'].
Problema 3. Fie ABCD un trapez dreptunghic cu unghiurile drepte în A și B, iar O intersecția diagonalelor. Paralela dusă prin O la baze se intersectează cu latura AB în E. Să se arate că [EO este bisectoarea unghiului ∢DEC .
Soluție. Cum BC∥ AD rezultă ∆AOD~ ∆COB ceea ce implică (1). În ∆ABC cum EO∥ BC din teorema lui Thales, rezultă că (2).
Din relațiile (1) și (2) obținem că (3).
În ∆ADE și ∆BCE folosind relația (3) și informația că unghiurile A și B sunt unghiuri congruente, având fiecare 900 rezultă folosind cazul de asemănare L.U.L. că ∆ADE~ ∆BCE ⟹∢AED≡∢BEC. Cum EO∥ AD∥ BC⟹∢AEO≡∢BEO⟹∢CEO ∢ DEO (având același complement).
2.1.2. INEGALITĂȚI GEOMETRICE
Problemele de geometrie plană care cer stabilirea unor inegalități geometrice prezintă, pentru rezolvitorul începător, un ridicat grad de dificultate. Este bine să fie cunoscute cât mai multe metode (procedee) de rezolvare a acestora.
Vom enumera câteva situații care duc la astfel de probleme în care se cere stabilirea unor inegalități între:
segmente;
sume sau diferențe de lungimi de segmente;
sumă de rapoarte de lungimi de segmente mai mare sau mai mică decât un număr dat;
sumă de puteri de lungimi de segmente mai mare sau mai mică decât un număr cunoscut;
produs de rapoarte de lungimi de segmente mai mare sau mai mic decât un număr dat;
unghiuri;
sume de puteri de unghiuri mai mari sau mai mici decât un număr dat;
arii.
Toate acestea fac parte dintr-un grup de probleme pentru a căror rezolvare pot fi folosite, în primul rând, acele metode care decurg din următoarele rezultate (teoreme):
l°. Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare dintre unghiurile interioare triunghiului, nealăturate cu el.
2°. Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturilor necongruente li se opun unghiuri necongruente și anume: laturii cu lungimea cea mai mare se opune unghiul cu măsura cea mai mare.
3°. Într-un triunghi cu două unghiuri necongruente, unghiului cu măsura mai mare i se opune latura cu lungimea mai mare.
4°. Într-un triunghi lungimea unei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi și mai mare decât diferența lor.
5°. Dacă dintr-un punct luat din afara unei drepte, ducem pe aceasta o perpendiculară și o oblică, atunci lungimea perpendicularei este mai scurtă decât lungimea oblicei; dintre două oblice duse la aceeși dreptă, este mai lungă aceea al cărei picior este mai îndepărtat de piciorul perpendicularei dusă din punct pe dreaptă.
6°. Dintre două coarde ale unui cerc, cea mai lungă este coarda mai apropiată de centru.
7°. Unghiul ACB înscris într-un cerc are măsura mai mare decât orice unghi ∢AC'B cu vârful în exteriorul cercului și mai mică decât orice unghi ∢AC''B cu vârful în interiorul cercului.
8°. Într-un patrulater convex ABCD, cu laturile de lungimi a, b, c, d și diagonalele d1, d2, are loc relația: d1∙d2≤ a∙c + b∙d
Egalitatea are loc numai când patrulaterul este inscriptibil. (Teorema lui Ptolemeu)
9°. În orice triunghi dreptunghic ABC, cu unghiul A drept are loc relația:
AB + AC ≤∙ BC .
10°. Dacă triunghiurile ABC și A'B'C' dreptunghice în A respectiv A' au ipotenuzele congruente, atunci dacă AB > A'B' rezultă m(∢C)> m(∢C'). Altfel spus, dacă ipotenuzele sunt congruente, atunci catetei mai mari i se opune unghiul cu măsura mai mare.
11°. Dacă mutăm un vârf al unui triunghi în interiorul acestuia atunci noul triunghi are perimetrul mai mic decât triunghiul inițial și unghiul din acel vârf va avea măsura mai mare decât unghiul triunghiului inițial din vârful mutat.
Pe lângă aceste rezultate, în rezolvarea acestui tip de probleme mai pot fi utilizate, ca metode și următoarele:
12°. Puterea punctului față de cerc, relația medianei și unele inegalități algebrice.
13°. Se face apel la construcții ajutătoare.
14°. Se scrie în mai multe moduri aria unui triunghi, apoi se ține seama de unele inegalități între laturi.
Vom prezenta câteva probleme de acest tip:
Problema 1. Să se demonstreze că, lungimea unei mediane a unui triunghi este mai mică decât semisuma lungimilor laturilor alăturate ei.
Soluție. Fie ∆ABC și mediana [AA']; prelungim această mediană cu un segment [A'A"] [AA']. Se demonstrează ușor congruența triunghiurilor BA'A și CA'A'' (L.U.L.) de unde rezultă [AB] [CA"]. În triunghiul ACA" avem [A'A"] [AA'], adică AA' =, dar <AC+ CA" și cum CA"=AB, putem spune că AA'<
Problema 2. Fie ∆ABC un triunghi dreptunghic în A. Să se arate că AD > AB +AC – BC, unde D este piciorul înălțimii dusă din A .
Soluție. Inegalitatea din enunț mai poate fi scrisă AD + BC > AB + AC sau (AD + BC)2 >(AB + AC)2.
Ridicând la putere în ultima inegalitate obținem AD2 + 2AD∙BC+ BC2> AB2 + 2 AB∙AC +AC2 (1)
Cum AB2 + AC2 = BC2(din teorema lui Pitagora) și AB∙AC=AD∙BC (scriind aria ∆ABC în două moduri), înlocuind în relația (1), obține:
AD2 + 2 AD∙BC +BC2 > BC2 + 2AD∙BC , de unde rezultă AD2>0, ceea ce este evident.
Problema 3. În patrulaterul convex ABCD, diagonala [AC] este congruentă cu latura [AD]. Să se arate că BC <BD .
Soluție. Cum ABCD este patrulater avem: m(∢BCD) > m(∢ACD) (1) și m(∢ADC) > m(∢BDC) (2)
Deoarece AC= AD, rezultă că triunghiul ADC este isoscel și deci m(∢ACD)= m(∢ADC) (3).
Din relațiile (1), (2) și (3) obține că m(∢BCD) > m(∢ADC) >m(∢BDC) și deci în triunghiul BDC, rezultă BC < BD.
Problema 4. Se ia un punct M în interiorul unui triunghi ABC. Să se demonstreze că m(∢BMC) este mai mare decât m(∢ BAC) .
Soluție. Dreapta BM intersectează latura [AC] în punctul N.
∢BMC este exterior triunghiului MNC și deci m(∢ BMC)> m(∢MNC) (1).
Analog ∢MNC fiind exterior ∆ABN , rezultă că m(∢BNC)> m(∢ BAN) (2).
Prin urmare, din relațiile (1) și (2) obținem m(∢BMC)> m(∢BAC) .
Problema 5. Fiind dat triunghiul ABC, alegem un punct oarecare pe una din laturile sale și ducem prin el paralele la celelalte laturi ale triunghiului. Notând cu S1 și S2 ariile triunghiurilor ce se formează prin construirea acestor paralele și cu S aria triunghiului inițial, să se arate că este adevărată inegalitatea:
Soluție. Cum MM1∥ BC și MM2∥ AB, conform teoremei fundamentale a asemănării, triunghiurile formate sunt asemenea cu triunghiul dat și vom obține relațiile:
Fie punctul P mijlocul [AC]. Notând AC =2a și MP = x, obținem AM=a-x, iar CP=a+x .
Putem spune că (a – x)2+ (a + x)2 ≥ 2a2. Folosind această inegalitate, putem scrie de unde urmează că 2∙(S1+S2)≥S
2.1.3. COLINIARITATE
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE COLINIARITATE
Problemele de coliniaritate a unor puncte reprezintă un tip deosebit de probleme de geometrie, ele fiind probleme de demonstrație prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date, justificarea unei afirmații formulate. Ele reprezintă, în general, adevăruri ușor de intuit, dar a căror demonstrație riguroasă necesită raționamente precise și o gamă variată de tehnici specifice, solicitând din partea rezolvitorului multă inventivitate, cultură matematică și perspicacitate.
Având în vedere existența unui număr mare de propoziții matematice foarte elegante ce concluzionează proprietăți de coliniaritate (puncte aparținând aceleiași drepte), în continuare, sunt prezentate unele dintre cele mai utilizate metode de rezolvare a acestui tip de probleme folosite în gimnaziu. Metodele expuse sunt însoțite de exemple (probleme).
M1. Demonstrarea coliniarității folosind postulatul lui Euclid.
Dacă dreptele AB și BC sunt paralele cu o dreaptă d, atunci în baza postulatului lui Euclid, punctele A, B, C sunt coliniare.
P1. Fie B' și C' mijloacele laturilor AB, respectiv AC ale unui triunghi ABC. Să se demonstreze că mijloacele înălțimii, bisectoarei și medianei corespunzătoare vârfului A se află pe dreapta B'C'.
Soluție. Fie M, N și P mijloacele înălțimii, bisectoarei și respectiv medianei corespunzătoare vârfului A.
B'C' fiind linie mijlocie în ∆ABC rezultă că B'C' ∥ BC .
În ∆ABD, B'M fiind linie mijlocie rezultă că B'M ∥ BD și cum D∈BC implică faptul că M aparține dreptei B'C'. În ∆ABE, B'N este linie mijlocie și folosind același raționament rezultă că N aparține dreptei B'C'. Analog se arată că P aparține dreptei B'C'. Prin urmare, punctele B', M, N, P, C' sunt coliniare.
P2. Pe laturile [AB] și [AC] ale triunghiului ABC se iau punctele D respectiv E astfel încât . Se prelungesc segmentele [BE] și [CD] cu EE' = k∙BE
respectiv DD' = k∙CD. Să se arate că punctele D', A, E' sunt coliniare.
Soluție. Cum din ipoteză , conform reciprocei teoremei lui Thales rezultă DE ∥ BC. Din relația EE' = k∙BE obținem , dar k= (din ipoteză), deci , ceea ce implică, conform reciprocei teoremei lui Thales că DE ∥ AE'. Din DE ∥ BC și DE ∥ AE', rezultă AE' ∥ BC (1).
Analog, se arată că AD' ∥ DE și implicit AD'∥ BC (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că punctele D', A, E' sunt coliniare.
P3. În trapezul isoscel ABCD (BC∥ AD) circumscris unui cerc, fie E, F, G și H punctele de contact ale acestui cerc cu laturile [AB], [BC], [CD] și respectiv [AD] iar O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului. Să se arate că punctele E, O, G sunt coliniare.
Soluție. EB = BF respectiv EA = AH ca tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc, iar AD=2AH și BC=2BF.
Atunci, putem scrie relația (1)
Triunghiurile AOD și COB sunt asemenea și deci, avem că:
Din și rezultă și prin urmare, EO ∥ AD (1) .
Analog, se arată că OG || AD (2) și atunci din relațiile (1) și (2) punctele E, O și G sunt coliniare.
M2. Demonstrarea coliniarității cu ajutorul unghiului alungit (unghiuri adiacente suplementare)
Dacă A și C sunt situate de o parte și de alta a dreptei BD și
m(∢ ABD) + m(∢ CBD) = 180°, atunci punctele A, B și C sunt coliniare.
P1. Fie triunghiul ABC (m(∢A) = 90°), înălțimea [AD], iar E și F simetricele punctului D față de catetele [AB] și respectiv [AC]. Să se arate că punctele E, A, F sunt coliniare.
Soluție. E fiind simetricul punctului D față de cateta [AB], rezultă că ∢EAB ∢ DAB . F fiind simetricul punctului D față de cateta [AC], rezultă că ∢FAC ∢ DAC.
Dar m(∢BAD) + m(∢DAC) = 90° și atunci avem:
m(∢FAC) + m(∢CAD) + m(∢BAD) + m(∢EAB) = 180°. Prin urmare, punctele E, A, F sunt coliniare.
P2. Pe laturile consecutive [AB], [BC] ale pătratului ABCD se construiesc triunghiurile echilaterale ABE și BCF, primul interior și al doilea exterior pătratului. Să se arate că punctele D, E, F sunt coliniare.
Soluție. În triunghiul isoscel ADE (AD = AE), avem m(∢DAE) = m(∢DAB)- m(∢EAB)=30° iar m(∢DEA) = (180°-30°):2=75°.
Triunghiurile AEB și CBF fiind triunghiuri echilaterale cu AB=BC implică BE=BF.
m(∢EBF) = m(∢EBC)+ m(∢CBF)=30°+60°=90°.
Deci triunghiul BEF este triunghi dreptunghic isoscel și avem m(∢BEF) = 45°.
Prin urmare, m(∢DEA) + m(∢AEB) + m(∢BEF) = 180° , de unde rezultă coliniaritatea punctelor D, E și F .
M2. Demonstrarea coliniarității cu ajutorul unghiurilor opuse la vârf.
P1. Arătați că în orice triunghi ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris acestuia sunt trei puncte coliniare.
Soluție. Fie A' și B' mijloacele laturilor [BC] respectiv [AC] ale ∆ABC, ceea ce implică [A'B'] linie mijlocie în ∆ABC ⟹A'B' || AB (1)
Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC ⟹OA' ⊥ BC (2) și O B' ⊥AC (3).
Fie AA1 înălțime în ∆ABC ⟹AA1 ⊥ BC (4) .
Fie BB1 înălțime în ∆ABC ⟹ BB1⊥ AC (5) și AA1 ∩ BB1 ={H} (6)
Din (4), (5) și (6) ⟹ H este ortocentrul triunghiului ABC (7)
Din (2) și (4) ⟹ OA' ||AH (8)
Din (3) și (5) ⟹OB' || BH (9)
Din (1), (8) și (9) conform cazului de asemănare U.U.⟹ ∆OA' B' și ∆HAB sunt asemenea ⟹ (10)
Cum A'B' este linie mijlocie⟹AB=2A'B' (11)
Din (10) și (11) înlocuind ⟹ (12)
Fie G centrul de greutate al ∆ABC (13). Cum A' este mijlocul laturii [BC]⟹[AA'] mediană în ∆ABC (14)
Din (13) și (14) ⟹G ∈ AA' astfel încât (15)
Din (12) și (15) ⟹ (16)
Din (8) ⟹ ∢OA'G ≡ ∢HAG (alterne interne) (17)
Din (16) și (17) ⟹ ∆HGA ~ ∆OGA' ⟹ ∢OGA'≡∢ HGA (18)
Din (18) și faptul că punctele A, G, A' sunt coliniare, iar punctele H și O sunt de o parte și de cealaltă a dreptei AA', conform reciprocei teoremei unghiurilor opuse la vârf ⟹ punctele H, G, O sunt coliniare, adică se află pe aceeași dreaptă numită dreapta lui Euler.
2.1.4. CONCURENȚA
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE CONCURENȚĂ
Problemele privind concurența unor drepte, ca și problemele de coliniaritate a unor
puncte, prezintă adevăruri care sunt, în general, ușor de intuit, însă a căror demonstrație
riguroasă cere raționamente precise și o gamă variată de tehnici specifice.
În acest gen de probleme avem de stabilit pe baza unor judecăți logice, dacă două drepte a și b au un punct comun X și dreapta c care conține punctele Y și Z trece prin punctul X atunci dreptele a,b, c sunt concurente dacă X, Y, Z sunt coliniare.
Astfel de drepte le întâlnim în triunghiuri ca drepte suport pentru mediane, mediatoare, înălțimi sau bisectoare; de asemenea în paralelograme sau trapeze ca diagonale, precum și în probleme combinate.
Rezolvarea lor se bazează, în prima fază, pe găsirea punctului de intersecție X, a două drepte a și b, apoi în raport cu datele problemei se va demonstra că o a treia dreaptă c trece prin același punct. Punctul respectiv găsit va fi punctul de concurență ale dreptelor date.
În continuare, vom prezenta unele metode utilizate mai frecvent în gimnaziu privitor la rezolvarea acestui tip de probleme de geometrie.
M1. Demonstrarea concurenței folosind unicitatea unui segment.
Pe dreapta d1 se găsesc punctele A și B iar pe dreapta d2 se găsesc punctele C și D, astfel încât segmentele [AB] și [CD] să aibă același mijloc. De reținut că această metodă funcționează și în situația în care trebuie demonstrată concurența mai multor drepte.
P1. Fie rombul ABCD cu [AC] diagonală mare, punctele A1 și A2 proiecțiile punctului A pe [DC] respectiv pe [BC], iar C1 și C2 proiecțiile punctului C pe [AB] respectiv pe [AD]. Să se demonstreze că dreptele A1C1, A2C2, AC și BD sunt concurente.
Soluție. Cum AC1∥ A1C, AA1∥ CC1 (ca două drepte perpendiculare pe două drepte paralele) și m(∢A1) = 90° rezultă că patrulaterul AA1CC1 este dreptunghi. Cum O este mijlocul lui [AC], și A1C1 este diagonală obținem A1C1 ⋂ AC={O} (1).
Analog se arată că patrulaterul AA2CC2 este dreptunghi și atunci [A2C2] trece și ea prin mijlocul lui [AC], deci A2C2 ⋂ AC={O} (2).
Cum [BD] și [AC] sunt diagonale ale rombului ABCD atunci BD⋂ AC={O} (3).
Din (1), (2), (3) obținem că dreptele A1C1, A2C2, AC și BD sunt concurente.
P2. Fie triunghiul ABC înscris în cercul de centru O, iar D punctul diametral opus lui A. Paralele prin D la AB și AC intersectează cercul circumscris triunghiului ABC în punctele E și respectiv F , iar laturile [AC] și [AB] le intersesctează în M , respectiv N . Să se arate că dreptele AD, CF, BE și MN sunt concurente.
Soluție. Deoarece [AD] este diametru atunci ∆ABD și ∆ADE sunt dreptunghice în B, respectiv E, fiind înscrise într-un semicerc. (1)
AB ∥ DE, AD=secantă ⟹∢BAD≡∢EDC (alterne interne) (2)
Din relațiile (1), (2) și având [AD] latură comună, putem spune folosind cazul de congruență al triunghiurilor dreptunghice I.U. că ∆BAD ≡ ∆EDA⟹[AB]≡ [DE] (3)
Cum AB ∥ DE, [AB]≡ [DE] și m(∢AED)= 90° ⟹ AEDB =dreptunghi (4)
Analog se arată că patrulaterul ACDF este dreptunghi. (5)
Din (4) și (5) rezultă că BE și CF sunt diametre în cerc. (6)
Patrulaterul AMDN este paralelogram, deoarece are laturile opuse paralele deci MN trece prin mijlocul lui AD, adică prin O. (7)
Prin urmare, din (6) și (7), dreptele AD, CF, BE și MN sunt concurente.
M2. Demonstrația concurenței folosind proprietățile liniilor importante în triunghi.
În unele probleme de geometrie plană, demonstrarea concurenței unor drepte se reduce la a găsi un triunghi în care acele drepte sunt înălțimi, mediane, mediatoare sau bisectoare.
P1. Pe catetele [AC] și [AB] ale unui triunghi dreptunghic ABC se construiesc în exterior pătratele ACDE și respectiv ABFG. Să se arate că dreptele BD și CF se intersectează pe înălțimea AH a triunghiului ABC.
Soluție. Notăm cu I intersecția dreptelor ED și FG.
Cum [AB]≡[AG], ∢BAC≡∢AGI (90°), [AC]≡[GI], folosind cazul de congruență C.C. ⟹∆ABC≡∆GAI. (1)
Din relația (1) ⟹ ∢CBA≡ ∢GAI (2)
Dacă notăm m(∢ABC)=x, atunci în ∆ABC, m(∢ACB)=90°- x (3).
În ∆ACH dreptunghic folosind relația (3), obținem m(∢CAH)=90°-(90°- x)=x, adică ∢CAH≡∢ABC (4).
Din relațiile (2) și (4) obținem ∢CAH≡∢GAI, dar cum punctele C, A, G sunt coliniare, folosind teorema reciprocă a unghiurilor opuse la vârf, obținem că și punctele I, A, H sunt coliniare.(5)
În triunghiurile ABI și BFC găsim următoarele elemente congruente: [AB]≡[BF], ∢IAB≡∢CBF( au măsurile egale cu 90°+ x) și [AI]≡[BC](din relația (1))⟹ folosind cazul de congruență L.U.L. că ∆ABI ≡∆BFC⟹∢ABI≡∢BFC (6)
Dar cum ∢ABN și ∢NBF sunt complementare, folosind relația (6) putem spune că ∢NBF și ∢BFN sunt complementare⟹ m(∢BNF)=90°⟹ CF⊥ BI . (7)
Analog se demnonstrează că BD ⊥ CI.(8)
Prin urmare din relațiile (5), (7), (8)⟹ [CF], [IH] și [BD] sunt înălțimile triunghiului BIC, altfel spus, dreptele BD și CF se intersectează pe înălțimea [AH] a triunghiului ABC.
P2. Fie I punctul de intersecție al diagonalelor trapezului isoscel ABCD, E și F mijloacele bazelor [AB] respectiv [CD] ale trapezului, iar G și H mijloacele diagonalelor [AC] respectiv [BD]. Se iau punctele I' și I" simetricele punctului I în raport cu G și respectiv H.
Să se arate că dreptele EF, HI', GI" sunt concurente, iar 2GK = KI", unde K este punctul de intersecție al dreptelor GI" și HI'.
Soluție. Cum I' este simetricul lui I față de G iar I" este simetricul lui I față de H urmează IG = GI', IH = HI". Prin urmare [GI"] și [HI'] sunt mediane în ∆I I' I", ceea ce implică [IP] este a treia mediană a triunghiului I I' I" și deci EF, HI' și GI" sunt concurente iar 2GK = KI".
M3. Demonstrarea concurenței utilizând reciproca teoremei lui Ceva.
Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și punctele , , . Dacă dreptele , și sunt concurente atunci:
Demonstrație. Fie .
Aplicăm teorema lui Menelaus pentru triunghiul și punctele coliniare . Rezultă: .
Aplicăm apoi teorema lui Menelaus pentru triunghiul și punctele coliniare . Rezultă: .
Înmulțind ultimele două relații se obține .
Reciproca teoremei lui Ceva. Fie A', B', C' trei puncte situate pe laturile [BC], [AC], [AB] ale triunghiului ABC. Să se demonstreze că dacă este verificată relația , atunci dreptele AA', BB', CC' sunt concurente.
Demonstrație. Deoarece A' și C' aparțin segmentelor [BC] respectiv [AB], și cum BC și AB nu sunt paralele urmează ca dreptele AA', și CC' sunt concurente într-un punct M
Presupunem că M nu ar aparține lui BB' și fie atunci BB" dreapta care trece
prin M cu B" aparținând laturii [AC]. Aplicăm teorema directă a lui Ceva în triunghiul ABC și pentru dreptele AA', BB" și CC' concurente în M vom obține:
care înmulțite cu relația din ipoteză dă , de unde
avem că B' = B" și prin urmare dreptele AA', BB' și CC' sunt concurente.
P1. Se dă triunghiul dreptunghic ABC. Pe cateta [AC] se duce în C perpendiculara CC' cu CC' = AC, iar pe cateta [AB] se duce perpendiculara BB' cu BB' = AB . Să se arate că dreptele BC' și CB' se întâlnesc pe înălțimea [AA'] a triunghiului ABC .
Soluție. Notăm cu D și E punctele de intersecție ale dreptelor AB cu B'C și respectiv AC cu C'B.
Din triunghiul dreptunghic ABC, conform teoremei catetei, avem relația: AB2 = BC • BA' și
AC2 =BC•CA', de unde rezultă că .
Din triunghiurile asemenea AEB și CEC' rezultă . Cum CC' = AC, putem rescrie proporția anterioară astfel
Din triunghiurile asemenea DBB' și DAC, rezultă: . Cum
BB'= AB putem rescrie proporția anterioară astfel . Înmulțind membru cu membru, relațiile , și
avem că și prin urmare, dreptele BC', CB' și AA' sunt concurente.
P2. Se dă trapezul ABCD, cu [AB] baza mică și cercul de centru O tangent laturilor [BC], [AD] și [AB] în punctele E, F și respectiv H. Dacă I este punctul de intersecție al dreptelor AD și BC, să se demonstreze că dreptele AE, BF și IH sunt concurente.
Soluție. Din ipoteză rezultă că
AH = AF, BE = BH, EI = FI ca tangente duse dintr-un punct exterior unui cerc la cerc.
Înmulțind între ele cele trei egalități obținem: AH∙BE∙EI = AF∙ BH∙ FI și împărțind prin membrul drept obținem:
și deci AE, BF și IH sunt concurente conform teoremei lui Ceva.
M4. Demonstrarea concurenței prin coliniaritate.
Între problemele de coliniaritate și problemele de concurență există o strânsă legătură; o problemă de concurență poate fi transformată într-o problemă de coliniaritate.
P1. Fie ABCD și A'B'C'D' două pătrate, având laturi de aceeași lungime. Să se demonstreze că dreptele BB', CC' și DD' sunt concurente.
Soluție. Fie P punctul de intersecție al dreptelor BB' și CC'.
Notând m(∢BAD')=x, se constată că m(∢DAD')=m(∢BAB')=90°+x.
Deoarece [AD]≡[AB], ∢DAD'≡∢BAB' și [AD']≡[AB'], conform cazului de congruență L.U.L. obținem ∆ABB' ∆ADD' ⟹ ∢ABB' ∢ADD' .
Notând m(∢ABB')=y⟹ m(∢CBP)=90°+y iar m(∢CDP)=90°-y, deci putem observa că ∢CBP și ∢CDP sunt suplementare ⟹ patrulaterul BCDP este inscriptibil.
Din informația că patrulaterul BCDP este inscriptibil ⟹ m(∢CPB) = m(∢CDB) = 45° = m(∢CBD) = m(∢CPD).
Analog se demonstrează m(∢C'PD') = 45°. Prin urmare, ∢CPD∢C'PD' și cum punctele B, P, B' sunt coliniare atunci și punctele D, P, D' sunt coliniare. Deci, dreapta DD' trece prin P care este punctul de intersecție al dreptelor BB' și CC'.
2.1.5. PARALELISM
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE PARALELISM
Pentru rezolvarea cu succes a problemelor de acest tip, rezolvitorul trebuie să fie familiarizat cu noțiunea de paralelism, cu axioma paralelelor. Trebuie să-i fie clar că existența paralelei este asigurată de teorema „pentru orice dreaptă d1 și orice punct P∉d1" există o dreaptă d2, care conține punctul P, astfel încât d1 || d2”. Dar unicitatea paralelei este asigurată de axioma paralelelor (postulatul lui Euclid). De asemenea, trebuie să aibă bune deprinderi de a utiliza, adecvat cerințelor problemei respective, cunoștințele referitoare la:
unghiurile cu laturile paralele;
teorema lui Thales;
linia mijlocie a triunghiului și a trapezului;
definiția și proprietățile paralelogramului și paralelogramelor particulare.
În continuare vom prezenta unele metode de rezolvare, dintre cele mai des utilizate în gimnaziu pentru acest tip de probleme, fiind însoțite de aplicații.
M1. Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind teorema „dacă două drepte tăiate de o secantă formează perechi de unghiuri alterne interne, alterne externe, sau corespondente congruente, sau perechi de unghiuri interne de aceeași parte a secantei, sau externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci cele două drepte sunt paralele.
P1. Fie triunghiul ABC și B' piciorul perpendicularei dusă din B pe bisectoarea unghiului ∢BAC. Să se arate că B' se află pe dreapta care unește mijloacele laturilor [AB] și [BC].
Soluție. Fie [AE bisectoarea ∢BAC, atunci
∢A1∢A2. Fie BB' ⊥ AE și C' mijlocul lui [AB] .
În triunghiul dreptunghic AB'B, [B'C'] este mediana corespunzătoare ipotenuzei, adică B'C' = = AC' și atunci ∆AC'B' este isoscel ⟹ ∢B'1∢A2 ∢A1 și prin urmare B'C' ∥ AC (1) (conform teoremei unghiurilor alterne interne). Cum C' este mijlocul lui [AB] și A' este mijlocul lui [BC] atunci C'A' este linie mijlocie în ∆ ABC, deci A'C' ∥ AC (2).
Din (1) și (2) obținem că dreptele B'C' și A'C' coincid, adică B' se află pe linia mijlocie [A'C'] a triunghiului ABC .
P2. Se dă triunghiul ABC înscris în cercul de centru O. Din vârfurile B și C se duc înălțimile [BM] și respectiv [CN]. Să se demonstreze că tangenta în A la cerc este paralelă cu MN.
Soluție. Fie AT tangenta în punctul A la cercul de centru O circumscris triunghiului ABC și fie MN dreapta care unește picioarele perpendicularelor duse din vârfurile B și C pe laturile opuse.
Patrulaterul BCMN inscriptibil pentru că ∢BMC≡ ∢BNC (au măsurile de 90°).
Cum ∢BCM și ∢ANM au ca suplement ∢BNM, rezultă că ∢BCM ∢ANM (1).
Din m(∢BAT)= și m(∢ACB)= ⟹ ∢BAT ≡∢ACB(2)
Din (1) și (2) vom avea ∢BAT≡∢ANM și folosind teorema unghiurilor alterne interne ⟹ AT || MN.
M2. Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind reciproca teoremei lui Thales.
P1. În triunghiul oarecare ABC, bisectoarele unghiurilor formate de mediana [AM] (M∈[BC])cu latura [BC], intersectează pe [AB] în P și pe [AC] în Q. Să se arate că PQ ∥ BC .
Soluție. Fie M mijlocul laturii [BC], deci BM = CM . Din teorema bisectoarei aplicată în triunghiurile AMB și ACM (pentru [MP și [MQ bisectoare), rezultă:
și respectiv (1)
Dar cum BM = CM , înlocuind în relația (1) se obține ⟹ conform teoremei reciproce a lui Thales aplicată în triunghiul ABC că PQ∥ BC.
P2. Dacă paralela la AB prin intersecția diagonalelor patrulaterului convex ABCD taie pe [AD] în E, iar pe [BC] în F , astfel încât EO = FO , atunci AB || CD .
Soluție. În ∆ABD, EO∥AB rezultă folosind teorema fundamentală a asemănării că (1)
În ∆ABC, OF∥AB și deci (2)
Din (1) și (2) cum EO = FO , avem (3). Din relația (3) și din ∢COD∢AOB( ca unghiuri opuse la vârf) putem spune conform cazului L.U.L. de asemănare că ∆COD~∆AOB, ceea ce implică ∢CDO≡∢ABO rezultând în final din teorema unghiurilor alterne interne că CD || AB .
M3. Demonstrația paralelismului a două drepte folosind teorema privitoare la linia mijlocie a unui triunghi și, respectiv, linia mijlocie a unui trapez.
P1. Prin vârful B al unui triunghi ABC se duce o dreaptă care întâlnește în M mediana [AA']. Paralela prin M la AB taie pe [BC] în P, iar [AP] se intersectează cu [BM] în N. Să se arate că A'N este paralelă cu AC.
Soluție. Dreptele A'N și AB se intersectează în N'. Dreapta A'N' unește punctul de intersecție al diagonalelor trapezului AMPB( AB∥ MP și AM ∦ BP) cu punctul de intersecție al laturilor neparalele, deci ea trece prin mijloacele bazelor [AB] și [MP]. Prin urmare N' este mijlocul laturii [AB] și rezultă că A'N' este linie mijlocie în ∆ABC ,deci A'N || AC .
P2. În patrulaterul convex ABCD se consideră punctele M, N, P și Q mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD] respectiv [AD]. Să se arate că patrulaterul MNPQ este paralelogram.
Soluție. Din ∆ABC, cu [MN] linie mijlocie, rezultă MN ∥ AC (1)
Din ∆ACD, cu [PQ] linie mijlocie, rezultă PQ ∥ AC (2)
Din (1) și (2) rezultă MN ∥ PQ.Analog se arată că PN ∥ MQ.
Din MN ∥ PQ și PN ∥ MQ rezultă patrulaterul MNPQ paralelogram.
M4. Demonstrarea paralelismului a două drepte, folosind una dintre teoremele:
un patrulater convex este paralelogram dacă laturile opuse sunt congruente;
un patrulater convex este paralelogram dacă două laturi opuse sunt paralele și congruente;
un patrulater convex este paralelogram dacă diagonalele sale se înjumătățesc;
dacă într-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.
P1. Într-un paralelogram ABCD, bisectoarea unghiului A taie latura [CD] în punctul M iar bisectoarea unghiului C taie latura [AB] în punctul N. Să se arate că patrulaterele AMCN și BMDN sunt paralelograme.
Soluție. ∢MAN ∢MCN ( jumătăți de unghiuri congruente). (1)
Deoarece ∢ADM≡∢NBC, [AD]≡[BC] și ∢DAM≡∢BNC (ca jumătăți de unghiuri congruente) putem spune că ∆ADM ≡∆CBN, deci rezultă ∢AMD ∢CNB .
Prin urmare ∢AMC ∢ANC, ca având același suplement. (2)
Din (1) și (2) rezultă că patrulaterul AMCN este paralelogram.
Analog se arată că patrulaterul BMDN este paralelogram.
P2. Medianele [BE] și [CF] ale triunghiului ABC se intersectează în punctul G. Dacă M și N sunt mijlocele segmentelor [BG] respectiv [CG], să se arate că patrulaterul FMNE este paralelogram.
Soluție. Cum se știe, punctul de concurență al medianelor este situat pe mediană la față de bază și față de vârful triunghiului.
Prin urmare, conform ipotezei rezultă GF = GN și GM = GE. Deci patrulaterul FMNE este paralelogram deoarece diagonalele lui se înjumătățesc.
M5. Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind rezultatul: „dacă două drepte sunt perpendiculare pe o aceeași dreaptă atunci sunt paralele între ele”.
P1. În triunghiul ABC, cu unghiul drept în vârful A, se duce înălțimea [AD] și se consideră un punct F pe segmentul [AD]. Perpendiculara în F pe FC intersectează pe AB în G . Paralela prin A la FG intersectează pe [BC] în H. Să se arate că patrulaterul AGFH este paralelogram.
Soluție. Din ipoteză, CF ⊥ GF rezultă CF ⊥ AH. În triunghiul ACH, cum AD ⊥ CH și CF ⊥ AH rezultă că HF ⊥ AC.
Cum HF ⊥ AC și GA ⊥ AC, urmează că HF ∥ AG. Din HF ∥ AG și AH ∥ GF, rezultă că patrulaterul AGFH este paralelogram.
M6. Demonstrarea paralelismului a două drepte folosind rezultatul: „dacă două puncte sunt egal depărtate de două drepte paralele, atunci dreapta determinată de cele două puncte este paralelă cu dreptele date”.
P1. Se dă trapezul ABCD, [AB] fiind baza mică. Bisectoarele unghiurilor A și D se intersectează în I1, iar bisectoarele unghiurilor B și C se intersectează în I2. Să se arate că I1I2 este paralelă cu bazele trapezului.
Soluție. Punctul I1 situându-se pe bisectoarea ∢BAD, conform proprietății punctelor de pe bisectoarea unui unghi, este egal depărtat de laturile unghiului, adică de [AB și [AD (1).
Cum punctul I1 este un punct și de pe bisectoarea ∢ADC, atunci el este egal depărtat și de laturile acestui unghi, adică de [DC și [DA (2).
Din (1) și (2) obținem că I1 este egal depărtat de cele două baze ale trapezului și de latura [AD]. (3)
Analog se arată că punctul I2 este egal depărtat de cele două baze ale trapezului și de latura [AD]. (4)
Din (3) și (4) și din AB ∥ CD rezultă I1 I2∥ AB ∥ CD.
2.1.6. PERPENDICULARITATE
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE PERPENDICULARITATE
În geometria plană sunt destul de des întâlnite probleme în care se cere să se arate că două drepte sunt perpendiculare sau echivalent cu aceasta, să se arate că un anume unghi este unghi drept, că un anume triunghi este dreptunghic, că anume paralelogram sau romb este dreptunghi sau respectiv pătrat.
Pentru soluționarea cu succes a problemelor de acest tip, rezolvitorul trebuie să aibă cunoștințe temeinice privind în mod deosebit: noțiunile de drepte perpendiculare și distanța de la un punct la o dreaptă, mijlocul unui segment și mediatoarea segmentului, bisectoarea unui unghi și proprietățile acestora, rezultate privind suma unghiurilor unui triunghi sau suma unghiurilor în jurul unui punct, precum și unele relații metrice în triunghi, în patrulater sau în cerc.
Pentru a fi realizat acest obiectiv (de a rezolva corect și rapid probleme de acest tip), în continuare, vom expune mai multe metode și tehnici de rezolvare, fiecare metodă fiind urmată de aplicații.
M1. Demonstrarea perpendicularității a două drepte folosind rezultatele privind suma unghiurilor unui triunghi sau suma unghiurilor formate în jurul unul punct.
P1. Într-un pătrat ABCD, se notează cu M și N mijloacele laturilor [BC] și respectiv [CD]. Să se demonstreze că dreptele AM și BN sunt perpendiculare.
Soluție. Fie P intersecția dreptelor AM și BN.
Cum M este mijlocul laturii [BC], iar N este mijlocul laturii [CD] și cum [BC]≡ [CD], rezultă [BM]≡ [CN] (1) .
În triunghiurile ABM și BCN dreptunghice având [AB]≡ [CD](din ipoteză) și [BM]≡ [CN](din relația (1)), rezultă că ∆ABM ≡ ∆BCN, ceea ce implică ∢MAB ∢CBN și ∢AMB ∢ BNC .
În triunghiul ABM dreptunghic m(∢BAM)+ m(∢AMB)= 90° și înlocuind în sumă ∢BAM cu ∢CBN, obținem m(∢MBP) + m(∢BMP)=90° (2)
Din m(∢BPM)+ m(∢BMP)+ m(∢MBP) = 180° urmează, folosind relația (2) că m(∢BPM ) = 90°, deci AM ⊥ BN.
P2. Să se arate că dacă un unghi al unui triunghi are 45°, atunci dreptele care unesc picioarele înălțimilor triunghiului duse pe laturile acestui unghi cu mijlocul laturii opuse formează un unghi drept.
Soluție. În triunghiul ABC cu m(∢BAC)=45°, fie CD ⊥ AB, BE ⊥ AC și M mijlocul laturii [BC]. Se observă în triunghiurile dreptunghice BDC și CEB, cum M este mijlocul laturii [BC], că [DM] și respectiv [EM] sunt mediane, deci putem spune că DM=. (1)
Din relația (1) rezultă că triunghiurile BMD și CME sunt triunghiuri isoscele de bază [BD] și respectiv [CE] și putem obține relațiile
m(∢EMC)=180°−2 m(∢ C) (2)
și m(∢DMB)=180° −2 m(∢ B) (3)
Calculând din triunghiul ABC, m(∢C) + m(∢B)=180°−45°=135° (4)
Adunând relațiile (2) și (3) și folosind și relația (4), obținem m(∢ EMC) + m(∢ DMB) = 360° −2[m(∢C) + m(∢B)]= 360° − 2∙135° = 90°, adică m(∢DME) = 90°.
M2. Demonstrarea perpendicularității a două drepte folosind reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic.
P1. În triunghiul dreptunghic ABC (m(∢ A)= 90°) se duce înălțimea [AD] (D∈[BC]).Se unește D cu mijloacele E și F ale laturilor [AB] și respectiv [AC]. Să se arate m(∢EDF) = 90°.
Soluție. Notăm BC = a, AC = b,
AB= c
Din triunghiul dreptunghic ADB cu [DE] mediană, avem DE = . Analog, se obține DF = . Pe de altă parte, [EF] fiind linie mijlocie în ∆ABC rezultă EF =.
Verificând dacă EF2 = DE2 +DF2 obținem , adică =+, relație adevărată din triunghiul ABC( conform teoremei lui Pitagora), deci rezultă folosind reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiu DEF, că m(∢EDF) = 90°.
P2. Se consideră un trapez dreptunghic ABCD (m(∢A) =m(∢D) = 90°) în care cele două baze au lungimile AB = a, CD = b, iar latura neparalelă BC = a + b. Dacă E este mijlocul laturii [AD], să se arate că ∆BEC este dreptunghic.
Soluție. Ducând CC' ⊥ AB obținem ADCC' dreptunghi, deci CA'=CD=b, ceea ce implică BC'=a−b.
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul BCC' se obține CC'= 2, adică AD=
2, dar cum E este mijlocul [AD], atunci DE=.
Aplicând din nou teorema lui Pitagora în triunghiurile CED și ABE se obține CE= și respectiv BE=. Prin calcul în triunghiul BCE se obține că: , de unde rezultă folosind reciproca teoremei lui Pitagora că triunghiul BEC este dreptunghic.
Remarcă. Problema poate fi rezolvată și mai simplu folosind rezultatul că dacă mediana unui triunghi este jumătate din latura pe care cade, atunci triunghiul este dreptunghic.
M3. Demonstrarea perpendicularități a două drepte folosind rezultatul: „dacă într-un triunghi oarecare se pun în evidență două înălțimi, atunci dreapta care unește cel de-al treilea vârf al triunghiului cu ortocentrul este perpendiculară pe latura a treia (este a treia înălțime în triunghi)”.
P1. Unghiurile opuse A și C ale patrulaterului convex ABCD sunt drepte. Dacă E și F sunt punctele de intersecție ale dreptelor AD cu BC și respectiv AB cu CD, să se demonstreze că BD este perpendiculară pe EF .
Soluție. În triunghiul BEF avem AE⊥ BF și CF ⊥ BE iar D este punctul de intersecție al înălțimilor [EA] și [FC]. Prin urmare, BD este cea de-a treia înălțime a triunghiului BEF, adică BD ⊥EF.
P2. O dreaptă d, perpendiculară pe ipotenuza [BC] a unui triunghi dreptunghic ABC, intersectează cateta [AB] și prelungirea lui [AC] în punctele D și respectiv E. Să se arate că
CD ⊥ BE.
Soluție. Fie F intersecția dreptei d cu ipotenuza [BC]. In triunghiul BCE, avem EF ⊥ BC și AB ⊥ CE, iar D este punctul de intersecție al înălțimilor [EF] și [AB]. Rezultă că [CM ] va fi cea de-a treia înălțime a triunghiului BCE, deci CD⊥BE.
M4. Demonstrarea perpendicularității a două drepte folosind rezultatul: „dacă două drepte sunt paralele, atunci orice dreaptă perpendiculară pe una dintre ele este perpendiculară și pe cealaltă”.
P1. În triunghiul isoscel ABC (AB = AC), fie D piciorul înălțimii duse din A pe latura [BC]. Să se demonstreze că perpendiculara dusă din D pe [AC] este tangentă cercului circumscris triunghiului ABD.
Soluție. Fie E piciorul perpendicularei dusă din D pe AC și fie F centrul cercului circumscris triunghiului ABD.
Cum m(∢ADB)=90°, înseamnă că triunghiul ADB este înscris într-un semicerc, adică ipotenuza acestuia este diametru în cercul circumscris triunghiului ADB, rezultând că mijlocul laturii [AB] este chiar centrul cercului circumscris triunghiului ADB, punctul F. Din FA = FB și BD = DC rezultă [FD] este linie mijlocie în triunghiul ABC, adică FD∥ AC. Cum din ipoteză, DE ⊥ AC, rezultă DE ⊥ DF și deci DE este tangentă la cercul de centru F .
M5. Demonstrarea perpendicularității a două drepte folosind rezultatul: „dacă într-un triunghi ABC, M este mijlocul laturii [BC] și AM = BC, atunci triunghiul ABC este dreptunghic cu m(∢BAC)=90° ”.
P1. Se dau dreptele OX, OY concurente în punctul O. Pe OX se ia un punct oarecare A și pe OY un punct B cu OB = OA. Dacă se construiește B', simetricul punctului B în raport cu O pe OY, să se arate că AB ⊥ AB'.
Soluție. În triunghiul ABB', avem , OB = OB'. Rezultă că m(∢B'AB)=90°, de unde urmează că
AB ⊥ AB'.
P2. Se dă triunghiul isoscel ABC (AB = AC) și se prelungește latura [AB] cu lungimea AD = AB. Să se arate că ∢DCB este un unghi drept.
Soluție. În triunghiul BCD avem AC=AB=AD= . Rezultă că triunghiul BCD este dreptunghic în C, adica m(∢DCB)=90°.
M6. Demonstrarea perpendicularității a două drepte folosind rezultatul: „dacă două unghiuri sunt congruente sau suplementare și au o pereche de laturi perpendiculare, atunci și celelalte două laturi sunt perpendiculare”.
P1. Trapezul isoscel ABCD, cu baza mare [AB], are diagonalele perpendiculare, E fiind punctul lor de intersecție, iar F este simetricul lui A față de E. Să se arate că dreptele BC și DF sunt perpendiculare.
Soluție. Cum [DE] în triunghiul ADF este și înălțime și mediană, putem spune că triunghiul ADF este isoscel deci avem ∢DAF ∢DFE . (1)
Dar cum ABCD este trapez isoscel înseamnă că ∢DAF ∢DBC. (2)
Din (1) și (2) obținem ∢DBC ∢DFE , și cum DB ⊥ FE rezultă că și BC ⊥ DF.
P2. Într-un triunghi ABC, având toate unghiurile ascuțite iar înălțimea [AD] egală cu baza [BC], se construiește pe [CD], ca latură, pătratul CDEF și pe [BD] ca latură, pătratul BDGH, ambele pătrate fiind situate de aceeași parte a dreptei BC, ca și vârful A. Să se arate că drepta BF este perpendiculară pe AC iar CH este perpendiculară pe AB.
Soluție. Triunghiurile dreptunghice ACD și BFC sunt congruente, pentru că [AD]≡[BC] (din ipoteză) și [CD]≡[CF] (construcție), deci urmează că ∢DAC ∢CBF. Din ∢DAC ∢CBF și AD ⊥ BC rezultă că BF ⊥ AC.
Analog, din congruența triunghiurilor ABD și CHB rezultă că ∢BAD ∢HCB și cum AD ⊥ BC, urmează că AB⊥ CH.
M7. Demonstrarea perpendicularității a două drepte folosind congruența (sau asemănarea) a două triunghiuri dintre care se știe că unul este dreptunghic.
P1. Se dă dreptunghiul ABCD și fie E piciorul perpendicularei dusă din A pe diagonala [BD]. Se prelungește [AE] cu segmentul EF = AE. Să se arate că BF ⊥ DF.
Soluție. Triunghiurile ADF și ABF sunt isoscele deoarece [DE] și respectiv [BE] sunt înălțimi și mediane în același timp.
Triunghiurile ABD și FBD sunt congruente pentru că au [AB] ≡ [BF], [AD] ≡ [DF] și [BD] latură comună. Rezultă că ∢DAB∢DFB și cum m(∢DAB)=90° rezultă m(∢BFD)=90°, adică BF ⊥ DF.
M8. Demonstrarea perpendicularității a două drepte utilizând definițiile: „paralelogramul, respectiv rombul, cu un unghi drept este dreptunghi, respectiv pătrat ".
P1. Două cercuri, de centre O1 și O2, sunt tangente exterioare în punctul T. Fie T1 și respectiv T2 punctele de contact ale unei tangente comune exterioare celor două cercuri, iar A1 și A2 punctele diametral opuse lui T în cercurile date. Să se demonstreze că, dreptele A1T1 și A2T2 sunt perpendiculare, iar punctul lor M de intersecție se află pe tangenta comună celor două cercuri dusă în punctul T.
Soluție. Din triunghiurile isoscele O1T1T și O2T2T se obține:
m(∢TO1T1)=180°−m(∢O1TT1) (1),
m(∢T2O2T)= 180°−m(∢O2T T2) (2).
Cum ∢TO1T1 și ∢ T2O2T sunt suplementare, ca unghiuri interne de aceeași parte a secantei determinate de două drepte paralele, și adunand relatiile (1) și (2) urmează că ∢O1TT1 și ∢O2TT2 sunt complementare. Deci m(∢ T1T T2)= 90°. (1)
Dar, m(∢ A1T1T )= 90° și folosind relația (1), obținem MT1 ∥ TT2. (2)
Analog se arată că MT2 ∥ TT1.(3)
Din relațiile (2) și (3) obținem că MT1TT2 este paralelogram, iar având unghiul T1TT2 de 90° este un dreptunghi, deci A1M ⊥ A2M , M fiind situat pe tangenta comună în punctul T.
M9. Demonstrarea perpendicularității a două drepte, folosind una dintre teoremele:
un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă două unghiuri opuse sunt suplementare;
un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă unghiul format de o latură cu o diagonală este congruent cu unghiul format de latura opusă și cealaltă diagonală.
P1. Fie [AA', [BB' și [CC' bisectoarele unghiurilor unui triunghi ABC. Perpendiculara în B pe [BB'] intersectează dreapta AA' în M . Să se demonstreze că MC⊥ CC'.
Soluție. Fie I punctul de intersecție al bisectoarelor [BB' și [CC'. Arătăm mai întâi că patrulaterul BICM este inscriptibil.
Într-adevăr, m(∢ AMB)= 180°− [m(∢ ABM)+ m(∢ BAM)]=
, deci putem spune că patrulaterul BICM este inscriptibil.
Cum m(∢ IBM)= 90° rezultă că m(∢ ICM)= 90° și deci MC⊥ CC'.
2.1.7. PATRULATERE INSCRIPTIBILE. PUNCTE CONCICLICE
Se cunoaște că patrulaterul care are toate vârfurile sale pe cerc se numește patrulater înscris în acel cerc. Dacă însă se dă un patrulater oarecare, nu există totdeauna un cerc care să treacă prin toate vârfurile sale. Prin trei puncte se poate duce întotdeauna un cerc și numai unul. Dacă ducem prin trei vârfuri ale patrulaterului un cerc, al patrulea vârf se poate găsi pe cerc sau nu. Dacă însă și al patrulea vârf se găsește pe cercul dus prin celelalte trei vârfuri, spunem că patrulaterul este inscriptibil.
Pătratul, dreptunghiul și trapezul isoscel sunt patrulatere inscriptibile. Pentru a dovedi că patru puncte sunt situate pe un cerc (sunt conclice), se formează cu ele un patrulater și apoi se caută condițiile ce trebuie să le îndeplinească pentru a fi inscriptibil.
În continuare vom expune, unele din cele mai utilizate metode de demonstrare din gimnaziu a faptului că, un anume patrulater este inscriptibil.
M1. Pentru a demonstra că patru puncte sunt conciclice, se folosește teorema: „dacă într-un patrulater convex suma măsurilor a două unghiuri opuse este de 180°, atunci patrulaterul este inscriptibil".
P1. Se consideră două cercuri de centre O1 și O2, tangente exterioare în punctul T. Fie MN o tangentă exterioară (M și N fiind punctele de tangență) și A și B punctele în care dreapta O1O2 întâlnește cele două cercuri. Să se demonstreze că patrulaterul AMNB este inscriptibil.
Soluție. Notăm m(∢O1AM) = m(∢O1MA) = α.
Având m(∢O2O1M)=2α (ca unghi exterior triunghiului AMO1), atunci în patrulaterul MNBO1 avem m(∢O2BN)= m(∢O2NB)= .
Cum m(∢AMN)+ m(∢NBA)= +=180 spunem că patrulaterul AMNB este inscriptibil.
M2. Pentru a demonstra că patru puncte sunt conciclice, se folosește teorema care afirmă că: „dacă într-un patrulater convex unghiul format de o diagonală cu o latură este congruent cu unghiul format de cealaltă diagonală cu latura opusă, atunci patrulaterul este inscriptibil".
P1. Fie un triunghi echilateral ABC de latură a și punctele M și N astfel încât C∈(AM), N∈(BC), și AM∙BN=a2. Fie {P}=AN∩BM. Să se arate că patrulaterul ABPC este inscriptibil.
Soluție. Egalitatea din ipoteză se poate scrie și cum ∢MAB≡∢ABN, rezultă că ∆MAB ~∆ABN. (1)
∆MAB~∆APB deoarece ∢AMB≡∢PAB (din relația (1) ) și ∢ABM este unghi comun ⟹ ∢MAB≡∢APB și deci ∢APB≡∢ACB, ceea ce implică patrulaterul ABCP inscriptibil.
M3. Dacă un unghi al unul patrulater convex este congruent cu unghiul exterior adiacent unghiului opus lui, atunci patrulaterul este inscriptibil.
P1. Se dă pătratul ABCD. Fie M și N mijloacele laturilor [AB] și respectiv [AD] iar P punctul de intersecție al dreptelor BN și CM. Să se demonstreze că patrulaterul DCPN este inscriptibil.
Soluție. Triunghiurile dreptunghice ABN și BCM au [AB]≡[BC] și [AN]≡[BM] deci confom cazului de congruență C.C. vom avea ∆ABN ≡∆BCM deci ∢ABN∢BCM și ∢ANB∢BMC .
Dacă notăm m(∢ANB)=a, atunci și m(∢BMC)=a, iar m(∢MCB)=90°−a, ceea ce implică m(∢MCD)=90°−(90°−a)=a.
Urmează că ∢ANB∢DCP (au același măsură a)⟹patrulaterul DCPN este inscriptibil.
M4. Pentru a demonstra că patru puncte sunt conciclice, se arată că ele sunt vârfurile unui trapez isoscel (dreptunghi sau pătrat).
P1. Fie A', B', C' mijloacele laturilor unui triunghi oarecare ABC, iar D piciorul înălțimii dusă din A. Să se arate că punctele A', B', C' și D sunt conciclice.
Soluție. Arătăm mai întâi că A'B'C'D este un trapez isoscel. Cum [B'C'] este linie mijlocie în triunghiul ABC, rezultă că B'C' ∥ BC (1).
[A'B'] este linie mijlocie, rezultă că A'B'= (2).
În triunghiul ADB, m(∢ADB)= 90°, [DC'] este mediană, deci rezultă că DC'= (3).
Din (2) și (3) obținem A'B'=DC' (4)
Din (1), (4) și din DC'∩ A'B'≠∅ ⟹ patrulaterul A'B'C'D un trapez isoscel. Rezultă că A', B', C' și D sunt conciclice.
M5. Pentru a demonstra că trei sau mai multe puncte sunt conciclice, se arată că ele sunt egal depărtate de un punct fix.
P1. În triunghiul ABC se notează cu A', B', C' mijloacele laturilor [BC], [AC], respectiv [AB]. Bisectoarea [AD taie dreptele A'B' și A'C' în E și respectiv în F. Se notează cu H proiecția lui A pe BC. Să se demonstreze că:
a) punctele A, C, E, H sunt conciclice;
b) punctele A, B, H, F sunt conciclice;
Soluție. a) [HB'] este mediană în triunghiul AHC, m(∢ AHC)= 90° ⟹HB'= AB'= B'C. (1)
Prin urmare B' este centrul cercului circumscris triunghiului AHC. (2)
Cum B', A', E coliniare și B'E ∥ AB (deoarece [A'B'] este linie mijlocie)⟹ ∢AEB'∢BAD. (3)
Dar ∢BAD∢DAC din ipoteză, deci ∢AEB'∢DAC și triunghiul AB'E este isoscel cu AB'= B'E (4).
Din (1), (2) și (4) rezultă HB'= AB'= B'C= B'E ceea ce înseamnă că punctele A, H, E, C sunt conciclice, centrul cercului pe care ele se află fiind în B'.
În triunghiul AHB dreptunghic, [ HC '] mediană rezultă că AC'= C'B= C'H (5)
Cum A'C'∥ AC și C', F, A' sunt coliniare rezultă ∢FAC∢AFC' (alterne interne), dar ∢FAC∢FAC' și atunci prin tranzitivitatea relației de congruență obținem ∢FAC' ∢AFC'. (6)
Din relația (6) triunghiul AFC' este isoscel deci se obține AC'= C'F (7)
Din (5) și (7) rezultă BC'= AC'= HC'= FC' și deci punctele A, B, H, F sunt conciclice iar C' este centrul cercului.
2 . 2. MAXIME ȘI MINIME GEOMETRICE ÎN PLAN
Pentru rezolvarea problemelor de maxim și minim se folosesc deseori proprietăți geometrice elementare, care stabilesc inegalități între elementele figurilor geometrice.
Vom reaminti câteva din enunțurile acestor teoreme.
T1. Lungimea unei laturi oarecare a unui triunghi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două.
T2. Măsura unui unghi exterior unul triunghi este mai mare decât fiecare dintre măsurile unghiurilor triunghiului neadiacente cu acel unghi.
T3. Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul cu măsura mai mare.
T4. Într-un triunghi cu două unghiuri necongruente, unghiului cu măsura mai mare i se opune latura cu lungimea mai mare.
T5. Distanțele maxime și minime de la un punct al unui cerc la un punct al altui cerc sunt pe dreapta care unește centrele celor două cecuri, dacă cercurile nu sunt secante.
Pentru rezolvarea acestor probleme se pot utiliza metodele:
M1. Metoda simetriei
Această metodă constă în a lua simetricul unuia din punctele date față de un anumit punct sau de o anumită dreaptă. Cu ajutorul noului punct problema inițială se înlocuiește prin alta, în general mai simplă. Se rezolvă această problemă și se revine apoi la datele inițiale, dacă nu am obținut chiar rezolvarea problemei.
P1. Dacă A1 și A2 sunt simetricele lui A față de B și respectiv față de C în triunghiul ABC, să se determine pe latura [BC] un punct M , astfel încât suma MA1 + MA2 să fie minimă.
Soluție. Fie M∈[BC] astfel încât
MA1 + MA2 să fie minimă.
Dacă A'1 este simetricul lui A1 față de BC, atunci MA1= MA'1 oricare ar fi M∈[BC] și deci, MA1 + MA2 = MA'1 + MA2.
Cum punctele A'1 și A2 sunt de o parte și de alta a dreptei BC, rezultă că suma este minimă când punctele A'1, M, A2 sunt coliniare, unde M = A'1A2 ∩ BC.
M2. Metoda perpendicularelor și oblicelor
Pentru rezolvarea problemelor de extrem, de multe ori se încearcă a se reduce problema la căutarea distanței de la un punct la o dreaptă sau la căutarea oblicei celei mai mici. În acest scop ne folosim de următoarele teoreme:
T1. Perpendiculara dintr-un punct exterior unei drepte este mai scurtă decât orice oblică din același punct pe aceeași dreaptă.
Consecința 1 Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este mai mare decât fiecare dintre catete.
Consecința 2 Dintre două oblice lungimea mai mare o are aceea al cărei picior este mai îndepărtat de piciorul perpendicularei.
T2. Distanța cea mai scurtă între două puncte luate pe două drepte paralele, este lungimea perpendicularei între ele.
T3. Dacă avem două drepte necoplanare atunci există o dreaptă perpendiculară pe ambele drepte.
T4. Dacă ABC și A' B'C' sunt două triunghiuri în care AB = A'B' , AC = A'C' și
m(∢ A) > m(∢A'), atunci BC > B'C'.
P1. Să se arate că în orice triunghi lungimea bisectoarei dintr-un vârf este mai mică sau egală decât lungimea medianei dusă din același vârf.
Soluție. Fără a restrânge generalitatea putem presupune AC > AB (dacă AC = AB atunci triunghiul ABC este isoscel și în acest caz bisectoarea și mediana din vârful A coincid).
Fie H, D, M astfel încât AH ⊥ BC, m(∢ BAD) = m(∢DAC), BM = MC . Vom deosebi două cazuri:
Unghiul B este ascuțit. Din faptul
că AC > AB rezultă că m(∢ B) > m(∢C) deci m(∢ BAH)= 90°− m(∢ B)<
90°−m(∢ C), de unde rezultă că H∈[BD]. Conform teoremei bisectoarei avem dar AC>AB rezultă DC > BD, deci D∈[BM].
Din triunghiul AHD conform teoremei lui Pitagora avem AD2=AH2+HD2<AH2+HM2=AM2 ceea ce este echivalent cu pătratul bisectoarei este mai mic decât pătratul medianei deci rezultă lungimea bisectoarei este mai mică decât lungimea medianei.
Unghiul B este obtuz sau drept. În acest caz B∈[HD] sau respectiv B coincide cu piciorul înălțimii, adică cu H.
Se demonstrează ca și în cazul precedent că D∈[BM] și deci AD2=AH2+HD2<AH2+HM2=AM2 rezultă lungimea bisectoarei este mai mică decât lungimea medianei.
În concluzie, în orice triunghi lungimea bisectoarei dintr-un vârf este mai mică sau egală cu lungimea medianei dusă din același vârf.
2.3. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE LOC GEOMETRIC
Prin loc geometric se înțelege figura formată din mulțimea L a tuturor punctelor care au o aceeași proprietate P și numai pe aceea. Prin prezentarea proprietății și determinarea tuturor punctelor care o satisfac rezultă, implicit, noțiunea de problemă de loc geometric.
După modul în care este formulată problema de loc geometric distingem:
1) probleme în care este precizat din enunț locul geometric;
2) probleme în care se cere și stabilirea locului geometric în enunț.
După modul în care este definit locul geometric avem:
1) probleme în care punctul mobil este legat printr-o relație sau mai multe relații de distanță, de unul sau mai multe puncte fixe;
2) probleme în care punctul mobil este legat printr-o relație sau mai multe relații de distanță, de una sau mai multe drepte fixe sau, combinat, când relațiile de distanță se referă la puncte și drepte fixe;
3) probleme în care punctul mobil se află la intersecția a două curbe variabile, supuse anumitor condiții.
În rezolvarea problemelor de loc geometric trebuie parcurse următoarele etape:
1) Construirea unor puncte, eventual particulare, care au proprietatea locului geometric (cerut sau intuit), arătând felul acesta că mulțimea punctelor care-l formează nu este o mulțime vidă;
2) Observarea elementelor geometrice de poziție fixă sau de măsură constantă, precum și legătura acestora cu cele variabile folosind proprietățile corespunzătoare cunoscute;
3) Pe baza celor stabilite la punctul 2) și folosind, eventual, locuri geometrice fundamentale, se „ghicește" cărei mulțimi de puncte îi aparțin punctele locului geometric;
4) Se demonstrează că:
a) orice punct care are proprietatea locului geometric cerut aparține mulțimii stabilite;
b) orice punct care aparține mulțimii stabilite are proprietatea locului geometric.
În geometria plană se remarcă următoarele locuri geometrice elementare:
Locul geometric al punctelor din plan situate la o distanță dată față de un punct fix este un cerc.
Locul geometric al punctelor din plan interioare unui unghi egal depărtate de laturile unghiului este bisectoarea unghiului.
Locul geometric al punctelor egal depărtate de extremitățile unui segment este mediatoarea acelui segment.
Locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de două drepte concurente este bisectoarea unghiului format de cele două drepte.
Locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de trei puncte distincte, necoliniare, este centrul cercului circumscris triunghiului determinat de cele trei puncte.
Locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de două drepte paralele date este o dreapta paralelă cu dreptele date, care se află la jumătatea distanței dintre ele.
Locul geometric al punctelor din plan pentru care diferența pătratelor distanțelor la două puncte fixe este constantă, este o dreaptă perpendiculară pe dreapta determinată de cele două puncte fixe.
Locul geometric al punctelor din plan pentru care suma pătratelor distanțelor la două puncte date este constantă, este un cerc cu centrul în mijlocul segmentului determinat de cele două puncte.
Locul geometric al punctelor din plan din care un segment se vede sub un unghi dat este cercul care are ca diametru segmentul respectiv.
Locul geometric al punctelor care au aceeasi putere față de două cercuri neconcentrice este o dreaptă perpendiculară pe linia centrelor, numită axa radicală a celor două cercuri.
Locul geometric al punctelor ale căror distanțe la două puncte fixe sunt într-un raport constant, diferit de 1, este un cerc (cercul lui Apollonius).
Prezentăm în continuare câteva probleme de loc geometric:
P1. Un dreptunghi variabil MNPQ are vârfurile sale situate pe laturile unui triunghi ABC. Să se afle locul geometric al punctelor de intersecție ale diagonalelor dreptunghiului MNPQ.
Soluție. Cazul 1: Presupunem că triunghiul ABC este ascuțit unghic.
Presupunem ca vârfurile M și N sunt situate pe latura [BC], vârful P este situat pe latura [AC], iar Q pe latura [AB]. Fie E intersecția medianei [AA’] cu latura [PQ] a dreptunghiului. Dacă F este proiecția lui E pe BC, atunci mijlocul O al segmentului [EF] este punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului.
Fie [AD], înălțimea triunghiului ABC dusă din A unde D∈ BC.
A’O∩AD={L}, unde L este mijlocul segmentului [AD].
Rezultă că O, punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului, aparține segmentului [A’L], A’ fiind mijlocul lui [BC].
Reciproc: daca O este un punct al segmentului [A’L], se construiește un dreptunghi înscris în triunghiul ABC, cu intersecția diagonalelor lui O.
Cazul 2: Presupunem că triunghiul ABC este obtuzunghic, m(∢A)>90°. Atunci dreptunghiurile înscrise pot avea laturile așezate pe [BC], însă nu putem avea dreptunghiurile cu două vârfuri pe laturile [AC] sau [AB]. Deci, în acest caz, locul geometric este un segment.
P2. Se dă triunghiul ABC. Să se găsească locul geometric al punctului O, mijlocul segmentului [MN], știind că M și N aparțin laturilor AB, respectiv AC și
.
Soluție. Ducem MP∥AC, NQ∥AB cu P și Q situate pe BC.
Avem și cum (din ipoteză), rezultă că și deci P=Q.
Prin urmare, patrulaterul AMPN este paralelogram și O este mijlocul lui AP, adică O se află pe linia mijlocie [EF], unde E și F sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [AC].
Reciproc: Fie O∈ EF și AO∩BC={P}
Ducem prin P dreptele PM∥AC și PN∥AB, cu M∈AB și N∈AC.
Deoarece AMPN este paralelogram și AO=OP, rezultă că O este mijlocul segmentului [MN]. Din MP∥AC și NP∥AB, urmează .
Deci, locul geometric al punctului O este linia mijlocie [EF].
P3. Fie AB un diametru fix al unui cerc, C(O,r), iar M un punct mobil pe cerc. Dreapta AM intersectează cercul de diametru AO în N. Să se determine locul geometric al punctului P, de intersecție al dreptelor OM și BN.
Soluție. Cum m(∢ANO)=90°, rezultă că ON⊥ AM.
∆AOM este triunghi isoscel, și cum [ON] este înălțime, putem spune că este și mediană, deci N este mijlocul lui [AM], dar O este mijlocul [AB], asadar P este centrul de greutate al ∆AMB.
Cum P este centrul de greutate al ∆AMB, implică adică și cum O este fix , urmează că locul geometric este C(O, ).
CAPITOLUL III
CONSIDERAȚII DE ORDIN METODIC
3.1. IMPORTANȚA REZOLVĂRII PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN ȘCOALĂ
Modernizarea învățământului trebuie raportată între altele și la necesitatea unei integrări optime a absolventului în viața socială. În mod firesc, informațiile fundamentale, cele cu valențe formative mai bogate, trebuie integrate într-un minim nucleu funcțional, care să îngăduie dezvoltarea și autodezvoltarea ulterioară, contribuind la cristalizarea unui mod de gândire creativ și independent. Este astfel subînțeles și caracterul actual al participării elevilor la activitatea desfășurată, astfel încât să deprindă relațiile logice dintre fenomene, sa încorporeze noile date în experiența proprie și să învețe să valorifice cunoștințele dobândite în activitatea practică. Participarea lor, conștientă și activă la dobândirea noilor cunoștințe și deprinderi, contribuie la asigurarea unei însușiri temeinice, la dezvoltarea spiritului de independență, de investigație.
Un loc important îl capătă astăzi în învățământul românesc studiul acelor discipline ce stimulează la elevi capacitatea de creație, constituit în ceea ce numim „învățarea prin descoperire". Lucrările efectuate de elevi în cadrul lecțiilor organizate prin descoperire sunt în bună măsură acte de creație, chiar dacă ele se desfășoară pe baza unor recomandări de lucru elaborate de profesori. Ele conduc la o dezvoltare accentuată a spontaneității și libertății de gândire a elevilor, la instalarea unor anumite îndemânări de lucru cu instrumentele și trusele geometrice, la siguranță în formularea soluțiilor și la dezvoltarea capacității de analiză.
Toate acestea activității sunt premise minime pentru orice viitor act de creație sau comportament creativ. Dacă pentru toate disciplinele inițiativa acceptată elevilor în a gândi independent este premisă a învățării creative, pentru geometrie ea este în plus și un mod de existență. Conceptele geometrice nu sunt abstracțiuni. în ele nu reținem imaginea concretă a obiectului așa cum am perceput-o senzorial ci ideea, care rămâne prin abstractizarea extragerii proprietăților comune, generale și esențiale, îmbinate într-o unitate în plan mintal.
Conceptele geometrice sunt astfel reflectări idealizate ale unor proprietăți de spațialitate ale obiectelor și fenomenelor lumii reale. Ele formează sisteme ierarhice, nu entități izolate. Dar pentru a-și apropia proprietățile intrinseci ale figurilor și corpurilor geometrice, ca și cele generate prin compuneri, elevul trebuie să dovedească stăruință, pasiune și generozitate la nivel individual. Oricum el trebuie să înceapă prin cunoașterea cât mai completă a obiectelor în fiecare din cele două mulțimi: a figurilor și a corpurilor geometrice. Fiecare figură sau corp geometric are proprietăți specifice, dar devine tulburătoare marea asemănare a acestor proprietăți.
3.2. PROFESORUL DE MATEMATICĂ ȘI FAMILIA ELEVULUI
Educația este în mod obișnuit privită ca organizarea zilnică a unor lecții și a
prevederilor pentru experiențele de învățare. Dar munca de educație trece dincolo de granițele fiecărei clase către niște comunități mai largi de învățare. Profesorul are anumite îndatoriri și sarcini dincolo de instruirea curentă a elevilor, ceea ce contribuie în mod important la calitatea școlii și a educației elevilor.
Sunt două zone largi de responsabilitate: una implicã participarea la eforturile
colaborative de a îmbunătăți eficiența școlii, cea de-a doua implică angajarea părinților și a altor persoane din comunitate în formarea tinerei generații.
Activitatea profesorului de matematică nu se reduce la asimilarea de cunoștințe sau formarea de capacități cognitive la elevi, ci presupune și dezvoltarea unui stil de muncă intelectuală. Profesorul de matematică trebuie să pună în evidență multiplele avantaje care se obțin prin studierea matematicii:
* cunoștințele matematice au o mare importanță pentru viață în general, fiind o piatră de temelie în sistemul de cunoștințe generale al fiecărui om și totodată constituie o cerință de bază pentru finalizarea studiilor gimnaziale;
* matematica creează o disciplină a muncii, dezvoltă logica și flexibilitatea în gândire, îndrumă elevul să aibă așteptări realiste de la viață.
Profesorul de matematică trebuie să plece de la ideea că toți elevii pot învăța, dar nu întotdeauna învățarea este un lucru ușor sau pe care elevul îl face cu plăcere. Rolul profesorului este acela de a construi punți între ceea ce știu elevii și ceea ce pot face.
În ceea ce privește legătura profesorului de matematică cu familia elevului și comunitatea:
– profesorul trebuie să fie conștient de importanța familiei în susținerea și încurajarea elevului pentru învățarea matematicii. El trebuie să încearce să-și facă din familia elevului un partener cu care să colaboreze pentru a-l face pe elev să îndrăgească și să învețe matematica. În acest scop ar trebui să țină o legătură strânsă cu familia elevului, căutând să afle cât mai multe despre mediul social din care provine, situația familială, particularitățile de comportament, interesele, obiceiurile și alți factori care ar putea influența randamentul școlar al copilului. În cazul în care sesizează un slab interes din partea elevului sau a familiei acestuia față de matematică, profesorul intervine încercând să-i lămurească pe aceștia de beneficiile pe termen lung ale învățării matematicii cum ar fi: ordonarea gândirii, dezvoltarea raționamentului, a imaginației, a capacităților de analiză și sinteză, a perspicacității, a curajului de a lua decizii etc. Pune în evidență rolul matematicii ca instrument și fundament pentru alte discipline și importanța ei în viața de zi cu zi. Dacă această lipsă de interes este urmată de insucces școlar, profesorul sfătuiește părinții în legătură cu măsurile care se impun pentru remedierea situației elevului;
– profesorul descoperă elevii cu aptitudini deosebite pentru matematică și implică familia elevului în încurajarea lor pentru a participa la diferite activități (cercuri, consultații, meditații, olimpiade) astfel încât aceste calități ale elevului să fie dezvoltate și valorificate;
– profesorul informează familia despre rezultatele elevului, evoluția lui și atitudinea
sa față de matematică. El atrage atenția familiei în cazul în care elevul absentează
nemotivat, nu știe să învețe sau nu își face temele și îi evidențiază pe aceia care se
remarcă prin rezultate deosebite;
– profesorul informează comunitatea locală despre rezultatele elevilor la concursurile școlare, participări la sesiuni de comunicări și solicită sprijinul acesteia în organizarea unor activități;
– profesorul rămâne în permanentă legătură cu interesele, nevoile și idealurile
comunității în care trăiește.
Profesorii și părinții sunt parteneri care se sprijină reciproc în educarea tinerilor. Dar trei circumstanțe complică acest parteneriat. Mai întâi, interesele părinților și ale elevilor sunt uneori divergente, solicitând profesorilor să analizeze cum să își îndeplinească obligațiile atât față de elevi cât și față de părinții acestora.
În al doilea rând, elevii sunt diferiți prin gradul și tipul de sprijin pe care îl primesc
acasă pentru activitatea lor școlară. Efectele culturii, limbajului și educației părinților, venitul și aspirațiile influențându-l de multe pe fiecare elev. Profesorii urmăresc cu atenție aceste efecte și își croiesc practica didactică adecvat pentru a crește progresul elevilor. Totuși, când se confruntă cu un conflict de neevitat, profesorul trebuie să aibă în vedere cu precădere interesul elevului și scopurile școlii.
În al treilea rând, comportamentul și gândirea familiilor pot fi opuse școlii. Unii părinți nu au încredere în valorile școlii, iar școlile uneori subminează potențialul familiei de a contribui la dezvoltarea intelectuală a copiilor. Elevii sunt prinși la mijloc, afecțiunea și devotamentul pentru fiecare dintre părți fiind contrazise de cealaltă. Profesorii trebuie să dezvolte abilități și modalități de înțelegere pentru a evita aceste capcane tipice și depun o activitate pentru a genera relații de colaborare între școalã și familie.
Profesorii împreună cu părinții participă la educarea tinerilor. Schimbarea de structură a familiei în societatea noastră creează noi provocări pentru că acum sunt din ce în ce mai mulți tineri cu un singur părinte, cu părinți care lucrează amândoi și cu părinți cu venituri insuficiente. Astfel, în multe comunități, crearea unui parteneriat familie –școală a devenit din ce în ce mai dificilă pentru profesori și părinți. În încercarea de a lucra energic și creativ cu familiile, în interesul dezvoltării elevilor, profesorii capabili dobândesc o cunoaștere și o înțelegere a vieții fiecãrui elev dincolo de școală. Responsabilitatea principală a unui profesor este față de dezvoltarea intelectuală a tinerilor noștri, dar el trebuie să aibă în vedere o paletă largă de nevoi ale elevilor, incluzând și nevoia de a fi îndrumați de o persoană adulte plină de grijă și înțelegere.
Profesorul trebuie să-și însușească următoarele principii de bază:
1) să fie devotat elevilor și învățării acestora fără nici un fel de discriminare;
2) să stăpânească materia pe care o predau și modalitatea de a o face cât mai accesibilă la comunicare;
3) să fie buni observatori și îndrumători a ceea ce învață elevii (monitorizarea învățării);
4) să nu considere niciodată că el , ca profesor, știe deja totul și să autoevalueze cu rigoare propria experiență în învățământ;
5) să nu uite niciodată că sunt membrii comunităților în care profesează.
3.3. COMPETENȚE GENERALE ȘI SPECIFICE URMĂRITE LA MATEMATICĂ
Competențele generale reprezintă un ansamblu structurat de deprinderi și cunoștințe pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlarizare.
Competențele specifice se formează pe parcursul unui an de studiu, sunt derivate din competențele generale, reprezentând etape în formarea acestora.
În învățământul gimnazial, studiul matematicii își propune să asigure pentru toți elevii formarea unor competențe legate de folosirea calculelor, algoritmilor sau a raționamentelor matematice.
Competențele cheie sunt ansambluri de deprinderi, cunoștințe, și atitudini care trebuiedobândite, respectiv formate elevilor în cadrul proces educativ și de care fiecare elev are nevoie pentru dezvoltarea și împlinirea personală. Structurarea acestor competențe-cheie vizează atât unele domenii științifice, precum și aspecte inter și transdisciplinare, realizabile prin efortul mai multor arii curriculare.
După cum sunt structurate în programa școlară la disciplina matematică, la geometria plană, competențele sunt clasificate astfel:
CG1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
CS1. Identificarea unor elemente de geometrie și a unor unități de măsură în diferite contexte
CS2. Recunoașterea și descrierea unor figuri geometrice plane în configurații date
CS3. Identificarea triunghiurilor în configurații geometrice date
CS4. Recunoașterea și descrierea unor elemente de geometrie plană în configurații geometrice date
CS5. Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale triunghiurilor în configurații geometrice date
CS6. Recunoașterea și descrierea patrulaterelor în configurații geometrice date
CS7. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configurații geometrice date
CS8. Recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată
CS9. Recunoașterea și descrierea elementelor unui cerc, într-o configurație geometrică dată
CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
CS1. Caracterizarea prin descriere și desen a unei configurații geometrice date
CS2. Stabilirea coliniarității unor puncte și verificarea faptului că două unghiuri sunt adiacente, complementare sau suplementare
CS3. Stabilirea congruenței triunghiurilor oarecare
CS4. Utilizarea instrumentelor geometrice (riglă, echer, raportor, compas) pentru a desena figuri geometrice plane descrise în contexte matematice date
CS5. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietăți precizate
CS6. Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite
CS7. Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia
CS8. Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate în configurații care conțin un cerc
CG3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
CS1. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) și a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) și exprimarea acestora în unități de măsură corespunzătoare
CS2. Utilizarea proprietăților referitoare la drepte și unghiuri pentru calcularea unor lungimi de segmente și a măsurilor unor unghiuri
CS3. Clasificarea triunghiurilor după anumite criterii date sau alese
CS4. Determinarea și aplicarea criteriilor de congruență ale triunghiurilor dreptunghice
CS5. Utilizarea unor concepte matematice în triunghiul isoscel, triunghiul echilateral sau în triunghiul dreptunghic
CS6. Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor probleme
CS7. Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date
CS8. Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic
CS9. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale cercului
CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
CS1. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de drepte și unghiuri
CS2. Exprimarea proprietăților figurilor geometrice în limbaj matematic
CS3. Exprimarea poziției dreptelor în plan(paralelism, perpendicularitate) prin definiții, notații, desen
CS4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi prin definiții, notații și desen
CS5. Caracterizarea și descrierea unor elemente geometrice într-un sistem de axe ortogonale
CS6. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de patrulatere
CS7. Exprimarea proprietăților figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, trapeze) în limbaj matematic
CS8. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularității a două drepte prin relații metrice
CS9. Exprimarea proprietăților elementelor unui cerc în limbaj matematic
CG5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă
CS1. Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referitoare la perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură
CS2. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și de măsuri de unghiuri
CS3. Interpretarea cazurilor de congruență a triunghiurilor în corelație cu cazurile de construcție a triunghiurilor
CS4. Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și cu distanța dintre două puncte
CS5. Deducerea unor proprietăți ale triunghiurilor folosind noțiunile studiate
CS6. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente, de măsuri de unghiuri și de arii
CS7. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelație cu proprietăți calitative și/ sau metrice
CS8. Interpretarea perpendicularității în relație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic
CS9. Deducerea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice și noțiuni studiate
CG6 Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
CS1. Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice cu referire la figurile geometrice și la unitățile de măsură studiate
CS2. Interpretarea unei configurații geometrice în sensul recunoașterii elementelor ei și a relaționării cu unitățile de măsură studiate
CS3. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri
CS4. Aplicarea metodei triunghiurilor congruente în rezolvarea unor probleme matematice sau practice
CS5. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpreterea rezultatului
CS6. Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietăți ale triunghiurilor
CS7. Interpretarea informațiilor deduse din reprezentări geometrice în corelație cu anumite situații practice
CS8. Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice
CS9. Transpunerea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situații-probleme date
CS10. Interpretarea informațiilor conținute în probleme practice legate de cerc și de poligoane regulate
3.4. ASPECTE ALE PSIHOLOGIEI ÎNVĂȚĂRII
Învățarea este o activitate care, la fel ca oricare altă activitate umană complexă, trebuie ea însăși învățată. Procesul de învățare include o anumită tehnică, presupune anumite strategii, anumite deprinderi de organizare, asimilare și control care se formează prin imitație, îndrumări, exercițiu, asemenea componentelor oricărei activități. Se poate vorbi astfel de deprinderi speciale de învățare adaptate domeniului matematicii și care, pe măsură ce ne familiarizăm cu matematica, facilitează achizițiile corespunzătoare. Nu a memora, ci a face probleme, a gândi nu receptiv, ci creator, este esențial. Orice contact cu matematica înseamnă probleme. Le putem clasifica în linii mari astfel:
1) exerciții de fixare a formulelor și teoremelor, de aplicare a lor în condiții date.
2) probleme propriu-zise care necesită din partea rezolvitorului perspicacitate, inițiativă proprie, gândire inventivă ( calități necesare și în construirea unor astfel de probleme).
Desigur, cel care rezolvă pune în lucru și o anumită experiență anterioară: materialul teoretic învățat, metode folosite în alte probleme rezolvate; metode care se caută a se imita și transpune sau a se adapta cu unele variante la problema nouă.
Deci, învățarea matematicii, ca și a oricărei discipline științifice, are rădăcini în experiența de viață și în cunoștințele anterioare ale copiilor. Ca urmare, profesorul este dator: să faciliteze conexiunile între ceea ce elevii știu, înțeleg, cred și simt deja și ceea ce învață; să-i facă pe elevi să își examineze cunoștințele anterioare în timp ce învață lucruri noi, cunoștințele greșite și ascunse îi vor conduce la o învățare incompletă sau distorsionată.
Predarea matematicii trebuie să stimuleze o atitudine științifică la elevi,
caracterizată de:
* curiozitate (dorința de a ști) și activitate (dorința de a acționa pentru a descoperi);
* scepticism (dorința de a examina cu atenție ideile general acceptate, pentru a le verifica valabilitatea);
* rațiune (capacitatea de a folosi logica și regulile demonstrației în procesul cunoașterii);
* informație (o bază de informații cu ajutorul căreia să-și poată dezvolta gândirea);
* strategii ( procedee de investigație și dorința de a la folosi);
* dăruire (capacitatea de a-și pune la bătaie ideile și convingerile, astfel încât, ca rezultat al lucrurilor nou învățate, să se restructureze modul de înțelegere a unor concepte).
Existența unor programe centrate pe achizițiile elevului determină un anumit sens al schimbării în didactica matematicii. În didactica actuală procesul de învățare prezintă următoarele caracteristici:
a) rolul elevului este: de a exprima puncte de vedere proprii, de a realiza un schimb de idei cu ceilalți, de a argumenta, de a pune și a-și pune întrebări cu scopul de a înțelege și de a realiza sensul unor idei, de a coopera în rezolvarea problemelor și a sarcinilor de lucru;
b) rolul profesorului este: de a facilita și intermedia învățarea, de a – i ajuta pe elevi să înțeleagă și să explice punctele de vedere proprii, de a fi partener în învățare;
c) modul de realizare a învățării: învățarea are loc predominant prin formare de competențe și deprinderi practice, învățarea se realizează prin cooperare;
d) evaluarea: vizează măsurarea și aprecierea competențelor (cu ceea ce știe elevul ce poate să facă), pune accent pe elementele de ordin calitativ (valori, atitudini), vizează progresul în învățare la fiecare elev.
Cel ce studiază în mod serios matematica și vrea să facă din ea preocuparea vieții sale, trebuie să învețe raționamentul deductiv.
Din trăsăturile de caracter ale fiecarui elev care sunt dezvoltate la ora de matematică amintim: răbdarea, logica, memoria, atenția, gândirea, perspicacitatea, creativitatea, capacitatea de abstractizare, funcțiile gândirii.
În cele ce urmează vom defini termenii menționati mai sus pentru a întelege cât de importantă este matematica:
Rabdarea: faptul de a răbda; capacitate firească de a suporta greutăți și neplăceri fizice sau morale; putere de a aștepta în liniște desfășurarea anumitor evenimente. Expresia a(-și) pierde răbdarea sau a-și ieși din răbdare (ori din răbdări) = a-și pierde calmul, stăpânirea de sine. A scoate (pe cineva) din răbdare (sau din răbdări) = a supăra, a enerva, a indispune (pe cineva) peste măsură.
Logica: știință a demonstrației, al cârei obiect este stabilirea condițiilor corectitudinii gândirii, a formelor și a legilor generale ale raționării corecte. Logica generală = logica clasică, de tradiție aristotelică, care studiază formele logice fundamentale (noțiunea, judecata, raționamentul), precum și principiile gândirii. Logica matematică (sau simbolică) = ramura a logicii care cercetează operatorii logici și care are ca obiect aplicarea metodelor matematice în domeniul logicii formale, în electronică, cibernetică, lingvistică, logistică. Logica dialectică = concepție filozofică a logicii de pe pozițiile materialismului dialectic, care studiază dialectica formelor logice, raportul lor cu conținutul.
Atenția: însușire care constă în orientarea și în concentrarea activității psihice într-o anumită direcție.
Memoria: proces psihic care constă în întipărirea, recunoașterea și reproducerea senzațiilor, sentimentelor, mișcărilor, cunoștintțelor etc. din trecut. Mintea -considerată ca sediu al procesului de memorare.
Gîndirea: facultate superioară a creierului omenesc, care reflectă în mod generalizat realitatea obiectivă prin noțiuni, judecăți, teorii etc.
Perspicacitate: calitatea de a fi perspicace; agerime, ascutime (de minte), istețime, patrundere. – din franceză perspicacité.
Creativitate: însușirea de a fi creatorș putere creatoare .
Capacitatea de abstractizare: operație a gândirii prin care se desprind și se rețin unele dintre caracteristicile si relațiile esențiale ale obiectului cercetării.
Funcțiile gândirii: gândirea are o funcție cognitivă, având rolul esențial în cunoașterea abstractă, formală a realității. În baza acestei funcții, gândirea realizează trecerea dincolo de aparență la esentă, dincolo de formă la conținut.
3.5 CUM NE ALEGEM PROBLEMELE?
În vederea selectării problemelor ce vor fi rezolvate de către elevi, în cadrul lecției, este util să urmărim următoarele aspecte: gradul de dificultate să crească treptat de la simplu la complex, să fie accesibile fiecărui elev, să aibă un caracter aplicativ (chiar legate de experiența de zi cu zi a elevilor, dacă este posibil), să posede un grad cât mai mare de atractivitate.
Spre deosebire de exercițiu, care constă în aplicarea directă a noțiunilor teoretice învățate, rezolvarea unei probleme necesită gândirea creatoare, imaginația matematică și ingeniozitatea elevilor. În vederea rezolvării unei probleme, trebuie să ținem cont de următoarele:
1. Înțelegerea problemei. Primul pas îl reprezintă familiarizarea cu problema adică, citirea textului matematic (a unei probleme)- este un proces care necesită participare foarte activă a elevului prin acțiuni proprii. Se începe deci, cu enunțul problemei care trebuie înțeles, stimulându-se astfel memoria. Al doilea pas îl reprezintă înțelegerea enunțului – să fie clar și bine imprimat în minte- se separă ipoteza de concluzie. La matematică, fiecare cuvânt își are un rol precis la care trebuie să se oprească elevul. Iată întrebările care trebuie să ni le formulăm în această primă etapă: Care este necunoscuta? Care sunt datele? Care este condiția? Este suficientă condiția pentru a determina cerința? Trebuie să facem un desen? Care sunt noutățile corespunzătoare? Care sunt diversele părți ale condiției? Ideile condiției se pot scrie în limbaj matematic?
2. Întocmire planului (construirea modelului matematic). Acum se caută ideile utile, se face legătura cu ceea ce știu elevii dinainte. Am învățat vreo teoremă care ar putea fi aplicată aici? Cunoaștem vreo problemă înrudită având aceeași necunoscută, sau căreia am putea să-i folosim metoda de rezolvare? Nu am putea să introducem un element auxiliar pentru a o face utilizabilă? Am putea-o reformula? Ne putem imagina o problemă mai generală? Dar una particulară? Au fost utilizate toate datele problemei? Enunțăm relațiile dintre date și necunoscute. Aceste relații pot fi egalități, inegalități sau de altă formă și ele vor forma așa-numitul model matematic al problemei.
3. Rezolvarea modelului matematic. Urmează redactarea planului – se efectuează amănunțit operațiile geometrice utile în rezolvarea problemei. Transformăm elementele care ni se dau și cele necunoscute. Încercăm să introducem elemente noi, mai apropiate de datele problemei. Generalizăm. Examinăm cazurile particulare. Aplicăm analogii.
4. Verificarea soluției găsite. Se interpretează datele obținute. Se aleg soluțiile practice. Nu există oare o altă cale mai directă care să ne ducă la același rezultat? Se consemnează soluțiile găsite și în acest fel, schema rezolvării unei probleme a luat sfârșit.
3.6. RESURSE EDUCAȚIONALE
3.6.1. PROIECT DE LECȚIE
Clasa: a VI-a
Obiectul: Matematică – Geometrie
Unitatea de învățare: Proprietățile triunghiurilor
Subiectul lecției: Proprietățile triunghiului isoscel
Tipul lecției: Comunicare și însușire de noi cunoștințe
Durata: 50 minute
Competențe generale:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
Competențe specifice:
CS1 Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale triunghiurilor în configurații geometrice date
CS2 Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate
CS3 Utilizarea unor concepte matematice în triunghiul isoscel, în triunghiul echilateral sau în triunghiul dreptunghic
CS4 Deducerea unor proprietăți ale triunghiurilor folosind noțiunile studiate
CS5 Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietăți ale triunghiurilor
Obiective operaționale: La sfârșitul orei elevul va fi capabil :
O1: Să enunțe definițiile: triunghiului isoscel, medianei, mediatoarei, bisectoarei și înălțimii unui triunghi.
O2: Să enunțe proprietățile triunghiului isoscel.
O3: Să aplice aceste proprietăți în rezolvarea unor probleme.
Strategii didactice:
Metode și procedee: conversația euristică, demonstrația, învățarea prin descoperire, explicația, exercițiul, lucrul cu manualul.
Mijloace de realizare: marker, trusa de geometrie, Culegere „mate 2000+”consolidare si standard, tablă, caiete, catalog, rebus, fișe de lucru.
Forme de realizare: individuală, frontală.
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Fișă de lucru – clasa a VI-a
1. Să se construiască un triunghi isoscel ABC, cu baza BC, știind că:
AB=3,5cm și m(A)=30°; b) AB=40mm și m(A)=135°; c) AC=4,5cm și m(B)=45°.
2.Să se construiască un triunghi isoscel MNP, cu baza MN, știind că:
MN=5cm și PM=6cm; b) PN=45mm și MN=60mm; c) MN=7cm și PN=65mm.
3. În triunghiul isoscel ABC, se știe că m(BAC)=120°. Calculați măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului.
4. Fie [AD] înălțimea în triunghiul isoscel ABC, AB=AC. Dacă perimetrul triunghiului ABC este de 32cm, iar perimetrul
triunghiului ADC este de 20 cm, să se afle lungimea înălțimii [AD].
Triunghiul și linii importante în triunghi
A.
B.
Orizontal:
1. triunghi oarecare.
2. triunghi cu două laturi congruente
3. segment determinat de vârful unui triunghi și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe latura opusă.
4. triunghi cu un unghi drept.
5. suprafața unui triunghi.
6. suma lungimilor laturilor unui triunghi.
7. segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
8. triunghi cu toate unghiurile ascuțite
9. semidreapta cu originea în vârful unghiului , situată în interiorul acestuia care formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente.
10. dreapta perpendiculară pe un segment care conține mijlocul acestuia.
Vertical …………………………….
3.6.2. FIȘĂ DE LUCRU
Recapitulare pentru lucrarea scrisa geometrie-clasa a VI-a
Subiectul I. (scrieți doar răspunsurile)
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de………..o.
Triunghiul dreptunghic isoscel are unghiurile ascuțite de ………..o.
Măsura unui unghi al unui triunghi echilateral este de ………..o.
În , și . .
Desenați triunghiul ABC cu BC = 6 cm, AC = 5 cm, .Fie MBC, cu C.
Fieși astfel încât
a) Dreptele și sunt … ;
b) Semidreapta este … unghiului .
Completați spațiile libere.
8.Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor (A – adevărat; F – fals).
9. Alegeți rezultatul corect. Numai una din cele 4 variante de răspuns este corectă.
10. Asociați fiecare literă din coloana A cu cifra din coloana B astfel încât asocierile făcute să exprime propoziții matematice adevărate.
SUBIECTUL II(Rezolvări complete)
Aflați măsurile unghiurilor unui triunghi știind că aceste măsuri sunt direct proporționale cu 4, 6 și 8.
Determinați natura unui triunghi știind că măsura unui unghi este egală cu suma măsurilor celorlalte două unghiuri
Măsura unui unghi al unui triunghi este 65o, iar diferența măsurilor celorlalte două unghiuri este egală cu 50o. Determinați măsurile unghiurilor triunghiului.
Aflați măsurile unghiurilor unui triunghi isoscel știind că măsura unui unghi exterior este de 1000.
În ∆ ABC isoscel cu, AC=AB= 34 cm și P este mijlocul segmentului [BC], iar BP=12 cm.
Calculați perimetrul triunghiului ABC și . b) Demonstrați că și .
16. Se consideră cu și . Ducem bisectoarele [si [care se întalnesc in .a) Aflati masurile unghiurilor b) Aratati ca este isoscel c) Daca astfel încât , arătați că este isoscel.
3.6.3. PROIECT DIDACTIC
Clasa: a VII-a
Disciplina : Matematică ( Geometrie)
Unitatea de învățare: Relatii metrice în triunghiul dreptunghic
Subiectul : Reciproca teoremei lui Pitagora
Tipul lecției : Lectie de transmitere/dobandire de noi cunoștințe
Locul de desfășurare : Sala de clasă
Competențe generale:
Cunoașterea și înțelegerea conceptelor, a terminologiei și a procedurilor de calcul specifice matematicii;
Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme;
Dezvoltarea capacității de a comunica, utilizând limbajul matematic;
Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate
Competențe specifice:
Recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată
Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia
Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic
Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularității a două drepte prin relații metrice
Interpretarea perpendicularității în relație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic
Transpunerea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situații-problemă date
Obiectivele operaționale ale lecției:
La sfârșitul orei elevii vor fi capabili:
Să enunțe reciproca teoremei lui Pitagora;
Să deseneze corect o figură geometrică conform unei ipoteze date;
Să utilizeze în probleme reciproca teoremei lui Pitagora, pentru a afla dacă un triunghi este dreptunghic sau dacă două
drepte sunt perpendiculare;
Să aplice și să reproducă enunțurile definițiilor, proprietăților și teoremelor învățate anterior în probleme a
căror rezolvare necesită analiza mai multor situații.
Mijloace și strategii didactice
Materiale suport: tabla, caiete, fișe de lucru, culegerea, instrumente geometrice, marker.
Metode de învățământ: conversația, învățarea prin descoperire, exercițiul, demonstratia, observația, metoda ciochinelui
Forme de evaluare: conversația orală
Forme de organizare a activității: frontal, individual
Bibliografie:
Culegere de probleme de matematică clasa a VII- a – Maria Negrila, Anton Negrila
Culegere de probleme de matematică pentru clasa a VII-a –Marius Perianu, Ioan Balica, Dumitru Săvulescu
Manual pentru clasa a VII-a, George Turatu, Ionica Rezea, Niculae Chiciu, etc., Editura: Radical
Manual pentru clasa a VII-a, alternativ: Ion Chesca, Gina Caba Editura: Teora
www.mateinfo.ro, www.mate30.lx.ro, www.didactic.ro
Etapele lecției
Moment organizatoric
Captarea atenției
Reactualizarea cunoștințelor
Anunțarea temei și a obiectivelor
Prezentarea conținutului și dirijarea învățării
Obținerea performanței si asigurarea feed – back-ului
Încheierea lecției
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Anexă
O barcă cu pânze arată ca în desen. Care este înălțimea catargului?
Reamintim! Teorema lui Pitagora. Ip. ∆ ABC, m(C.
Fișă de lucru
Se consideră triunghiul ABC, în care AB=12cm, BC=15cm și AC=9cm. Aflați m(
Se consideră triunghiul DEF, în care DE=12 cm, EF=5cm și FD=13 cm.a) Aratați că DE.b)Aflați aria triunghiului DEF.
Aflați măsurile unghiurilor unui triunghi cu lungimile laturilor 3cm, 3 cm, respectiv 6 cm.
Se consideră triunghiul ABC cu AB=24 cm, BC=30 cm și AC=18 cm. Determinați lungimea inălțimii din A a triunghiului.
Fie ABC, iar D mijlocul laturii [BC]. Știind că AB=20cm, AD=10 cm și BC=20cm, care este natura triunghiului ABC?
În triunghiul ABC se cunosc AB=4cm, AC=2 cm și BC=2 cm.
a) Precuzați natura triunghiului ABC b) Dacă ADBC, D calculați AD, BD și DC.
În triunghiul MNP se cunosc MN=3 cm, MP=3 și NP=3 cm.
Precizați natura triunghiului MNP. b) Dacă NQ⊥MP, Q, calculați NQ, MQ și QC.
Stabiliți în care dintre următoarele cazuri, triunghiul ABC este dreptunghi(indicați unghiul drept).
AB=8cm, BC=15 cm, AC=17 cm. b) AB=5
c)AB=9cm, BC=6cm, AC=3 d) AB=5, BC=3, AC=3
Care este natura triunghiului cu laturile de 6, 8 și 10 cm?
Se consideră triunghiul DEF, DE=6cm, EF=2 și FD=8 cm. Arătați că triunghiul DEF este dreptunghic
3.6.4. FIȘĂ DE LUCRU-RECAPITULARE PENTRU LUCRAREA SCRISĂ
Clasa a VII-a ,semestrul al II-lea
GEOMETRIE
1 Dacă un triunghi ABC are AB = cm BC = cm și AC = cm, atunci măsura unghiului B este de …o.
2. Un triunghi dreptunghic are cateta AB = 4 cm și ipotenuza BC = 5 cm. Lungimea laturii AC este de ……..cm.
3 Rezultatul calculului sin 30o⋅ cos 60o – sin 60o ⋅cos 30o este …………
4) Un triunghi isoscel ABC are baza BC = 36 cm, un unghi alăturat acesteia de 30o, iar
AD ⊥BC cu D∈(BC).
a) AD = …….cm. b) AB = …..cm c) Perimetrul triunghiului ABC este egal cu …. .cm
5. Trapezul isoscel ABCD, cu AB baza mică, are înălțimea de 24 cm, latura neparalelă de
30 cm și diagonala perpendiculară pe latura neparalelă.
a) Aflați lungimea bazei mari. b) Calculați aria trapezului ABCD.
6) În ΔABC cu m(∢A) = 90o, AB = 6 cm și AC = 8 cm, atunci:
a) sin(∢B) = …… b) tg(∢C) = ………. c) cos( ∢B)= ……….
7) a) sin 30o = …… b) Calculând (sin 60o – cos 30o )(cos 45o + sin 60o) se obține………..
8) În ΔABC cu m(∢A) = 90o AD┴BC, AB = 6 cm și BC = 10 cm, atunci:
a) BD = ……….cm b) AC = ………..cm c) AD = ……….cm
9) a) Triunghiul dreptunghic cu catetele de 5 cm și 12 cm are perimetrul de ………… cm.
b) Perimetrul unui dreptunghi cu diagonala de 25 cm și lungimea de 20 cm este de….cm.
c) Paralelogramul cu laturile de 12 cm și cm și unul din unghiuri cu măsura de 60o
are aria de ………… cm2.
10. Fie dreptunghiul ABCD cu AB = 50 cm și BC = 24 cm. Punctul M∈(AB) astfel încât AM = 18 cm. Arătați că DM⊥MC.
11. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 50 cm, iar măsura unghiului format de înălțimea și mediana corespunzătoare ipotenuzei este de 30o. Să se afle:
a) Lungimile catetelor b) Lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei;
c) Aria triunghiului.
12. Fie trapezul ABCD, AB ׀׀ CD , m(∢A) = 90o și m(∢C) = 45o, BC = 12 cm și AB = cm.Aflați: a) Perimetrul trapezului. b) Aria trapezului ABCD.
13. În ABC m(∢A) = 105o, m(∢B) = 45o și AB = cm. Calculați:
a) Măsura unghiului C. b) Perimetrul triunghiului ABC. c) Lungimile înălțimilor triunghiului ABC.
3.6.5. TEST DE EVALUARE
Clasa a VI-a
PROPRIETĂȚI ALE TRIUNGHIURILOR
● Toate subiectele sunt obligatorii.
● Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute.
● Se acordă 10 puncte din oficiu.
1.(10 p) Dacă în triunghiul ABC, [AD] este mediană cu AD=12cm , iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci AG=………………….cm
2.(10p) Numim triunghi isoscel triunghiul……………………………………………
3.(10p) Încercuiți rãspunsul corect. Dacă într-un triunghi ABC m(∢A)= 400, m(∢B)=600, atunci m(∢C) este egală cu a) 100 b) 300 c) 800 d) 1500
4.(10p) Încercuiți rãspunsul corect. Într-un triunghi MNP cu m(∢M)=900 si m(∢N)= 300, daca NP=20 cm, atunci MP are lungimea egală cu a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 40cm
5.(20p) Fie triunghiul echilateral ABC si M[AB], P[BC], Q[CA] astfel încât
[AM][BP] [CQ]. Demonstrați că triunghiul MPQ este echilateral.
6.(30 p) Se consideră unghiul AOB cu masura de 600 si [OM bisectoarea acestuia.
a)Dacă OM= 10 cm, calculați distanța de la M la laturile unghiului
b)Dacă MNOB și P este mijlocul segmentului [OM], stabiliți natura triunghiului MNP
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE
SUBIECTELE 1, 2, 3 si 4 Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim,dacă răspunsul este corect, fie 0 puncte, dacă răspunsul este greșit. Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTELE 5 si 6 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de ceea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acordă punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
5.Desen corect ……………………………………………………………..5p
∆AMQ≡∆BPM≡∆CQP ……………………………………………………………..2p
……………………………………………………………..2p
Diferențe de segmente congruente ………………………………………………………………1p
∢A≡∢B≡∢C ……………………………………………………………..2p
Ipoteză ……………………………………………………………..1p
……………………………………………………………..2p
Ipoteză ……………………………………………………………..1p
cazul LUL ……………………………………………………………..2p
Finalizare ……………………………………………………………..2p
6.Desen corect ……………………………………………………………..6p
d(M, OA)=5 cm ……………………………………………………………..3p
T 30-60-90 ……………………………………………………………..2p
d(M, OB)=5 cm ……………………………………………………………..3p
T 30-60-90 ……………………………………………………………..1p
b) MN=5cm ……………………………………………………………..4p
T 30-60-90 ………………………………………….. ….. …………..1p
NP=5cm ……………………………………………………………..4p
Teorema medianei ……………………………………………………………..1p
m(∢NMP)=600 ……………………………………………………………..3p
Finalizare ……………………………………………………………..2p
Total 100 puncte din care 10 puncte sunt din oficiu. Nota finală se calculează prin împartirea punctajului obținut la 10.
MATRICEA DE SPECIFICAȚII ASOCIATĂ TESTULUI
COMPETENȚE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI
C1 Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale triunghiurilor în
configurații geometrice date
C2 Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate
C3 Utilizarea unor concepte matematice în triunghiul isoscel, în triunghiul echilateral sau în triunghiul dreptunghic
C4 Exprimarea unor caracteristici matematice ale triunghiurilor si ale liniilor importante în triunghi prin definiții, notații și desen
C5 Deducerea unor proprietăți ale triunghiurilor folosind noțiunile studiate
C6 Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietăți ale
triunghiurilor
REZULTATELE TESTULUI:
Din analiza testelor, s-au desprins următoarele concluzii:
Ultimul subiect (6 b)) a fost rezolvat numai de câțiva elevi, iar la subiectul 5 s-au făcut foarte multe greșeli, neinterpretând corect datele problemei elevii au ales puncte particulare și anume mijloacele segmentelor, prin urmare desenul a fost realizat greșit și atunci implicit și rezolvarea problemei a fost greșită.
Rezultate foarte bune au fost la subiectele 1,2,3 și 4,aproapte toți elevii răspunzând corect. Pentru îmbunătățirea rezultatelor, se vor rezolva mai multe probleme în cadrul recapitulării finale, atât în clasă cât și la temă.
Cele mai multe note au fost între 7 și 8, deci clasa este de nivel mediu.
Cum pregătim elevii pentru evaluare prin probe scrise?
În condițiile clasei a VIII-a , activitatea de evaluare a elevului vizează în egală măsură progresul școlar și pregătirea pentru examen. Pentru aceasta este necesar ca profesorul să aibă în vedere:
proiectarea unor teste de tipul celor propuse la examen;
proiectarea unor teste conținând tipuri variate de itemi;
pregătirea cognitivă și afectivă a elevilor pentru susținerea unui examen;
aplicarea sistematică pe parcursul anului școlar a tipurilor de teste menționate anterior;
analiza sistematică a rezultatelor obținute;
folosirea unor teste de autoevaluare ca modalitate de conștientizare a elevului asupra progreselor școlare.
Deși apar frecvent în procesul didactic, o serie de situații conflictuale legate de evaluare nu sunt abordate explicit de către profesor în activitatea la clasă. Voi prezenta în continuare câteva sugestii menite să orienteze activitatea profesorului, astfel încât acesta să-i ajute pe elevi să rezolve cu succes diferite tipuri de teste aplicate în evaluarea curentă sau în condiții de examen.
NOTAȚII UTILIZATE ÎN LUCRARE
A,B,C.-puncte; a,b,c-drepte, α,β,γ-plane
AB – dreapta determinata de punctele A si B sau
lungimea segmentului de capete A si B,
înțelegându-se din context
(AB)-segmentul deschis de capete A și B
[AB]- segmentul închis de capete A și B.
(AB- semidreapta deschisă cu originea în A și care conține punctul B.
[AB-semidreapta inchisa cu originea in A si care conține puntul B.
(ABC) planul determinat de punctele necoliniare A, B si C.
9. ∢AOB- unghiul avind ca laturi semidreptele [OA si (OB.
10.m(∡AOB)- măsura unghiurilor AOB.
11..∆ABC- triunghiul cu vârfurile A,B,C.
12.d(A,b)- distanța de la punctul A la dreapta b.
13.d(A, 𝛼)- distanța de la punctul A la planul 𝛼.
14. C(O,r)- cercul de centru O și rază r.
15."= „ – relația de egalitate.
16.”≡„- relația de congruență.
17." II " relația de paralelism.
18."⊥ „- relația de perpendicularitate.
19."~ „- relația de asemănare.
20"∈„ – relația de apartenența.
BIBLIOGRAFIE
1.Brânzei D.,Onofraș E., Anița S., Bazele raționamentului geometric, Ed.Academiei, București 1983.
2.Brânzei D., Anita S., Cocea C, Planul si spațiul euclidian, Ed.Academiei, București 1986.
3.Hadamard J., Lecții de geometrie elementara, vol.I, II, Ed.Tehnica, București 1960.
4.Miron R., Geometrie elementara, E.D.P. București 1968
5.Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie Ed.Tehnica București 1968.
6.Neagu Gh. Metode de rezolvare a problemelor de matematica școlara evidențiate prin exemple, Ed.Plumb, Bacău 1997.
7.Popescu O., Radu V.-Metodica prederii geometriei in gimnaziu, E.D.P.Bucuresti 1983
8.Radu C, Dragusin C, Dragusin L., Aplicații de algebra, geometrie si matematicii speciale, E.D.P.Bucuresti 1991.
9.Titeica G., Culegere de probleme de geometrie Ed.Tehnica, București
1965.
lO.Rizescu Gh., Rizescu E., Teme pentru cercurile de matematica din licee, E.D.P.Bucuresti 1980.
ll.Vîrtopeanu L, Vîrtopeanu O., Geometrie plana- Tipuri de probleme, metode si tehnici de rezolvare, Ed.Sibila Craiova 1994.
12.Vîrtopeanu L, Leonte Alexandru, -Geometrie in spațiu -Tipuri de probleme, metode si tehnici de rezolvare, Ed.Sibila Craiova 1994.
13.Simionescu Gh.-Probleme de sinteza de geometrie plana si in spațiu, Ed.Tehnica București 1978.
14.site-uri www.didactic.ro, www.math.ro, www.edu.ro
15.Manuale de geometrie-diferite ediții.
16.Colecția „Gazeta Matematica".
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metode de Rezolvare a Problemelor de Geometrie Plana (ID: 159879)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.