Metode de Rezolvare a Problemelor de Aritmetica la Clasele I Iv

METODE DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ

LA CLASELE I-IV

C U P R I N S

ARGUMENT

PARTEA I. : ELEMENTE TEORETICE

CAP. I . : NOTIUNI GENERALE DESPRE PROBLEMĂ

1.1 Problemă și exercițiu

1.2 Etapele rezolvării problemelor

PARTEA A II-A: ELEMENTE METODICE

CAP. II. : METODE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR

2.1Metode algebrice

2.2 Metode aritmetice

2.2.1Metoda analitică

2.2.2 Metoda sintetică

2.3Metode speciale

2.3.1Metoda figurativă

2.3.2Metoda comparației

2.3.3Metoda ipotezelor

2.3.4 Metoda mersului invers

CAP. III. : REZOLVAREA PROBLEMELOR

3.1 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența, suma și

raportul, diferența și raportul

3.1.1 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența

3.1.2Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și raportul

3.1.3Probleme de aflare a două numere cunoscând diferența și raportul

3.2 Probleme de mișcare

3.2.1Probleme care duc direct la aflarea spațiului, vitezei și timpului

3.2.2 Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în sensuri

opuse

3.2.3 Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același

sens

PARTEA A III-A : ELEMENTE DE CERCETARE PEDAGOGICĂ

CAP. IV :MICROCERCETAREA

1.Motivația cercetării

2. obiectivele cercetării

3. Ipoteza cercetări

4.Metodologia cercetării

5.Eșantionul și perioada cercetării

6. Etapele cercetării

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ARGUMENT

Am ales această temă deoarece matematica reprezintă una dintre cele mai importante discipline din învățământul național și, totodată, mi s-a părut o temă foarte interesantă.

După părerea mea, profesorul de matematică trebuie să fie ingenios, pentru că, în general vorbind, profesorul este factorul determinat al succesului unei lecții, și nu structura în sine a acesteia;

Profesorul trebuie să fie un model pentru elevii săi, să le fie în primul rând prieten și apoi profesor. Rezolvarea de probleme pune la îıncercare în cel mai înalt grad capacitățile

intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care programa de matematică acordă o importanță majoră formării capacității de explorare-investigare si rezolvării de probleme.

Consider importantă această temă întrucât activitatea de rezolvare de probleme are cele mai bogate valențe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoștințele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia.

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.

PARTEA I

ELEMENTE TEORETICE

CAPITOLUL I

NOȚIUNI GENERALE DESPRE PROBLEMĂ

PROBLEMĂ ȘI EXERCIȚIU

În general, între un exercițiu și o problemă distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute.

Exercițiul oferă elevului datele (numerele cu care se operează și semnele operațiilor respective) sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscută) și întrebarea probleme, care se referă la valoarea necunoscută.

Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei.

Deci, matematic vorbind distincția dintre exercițiu și problemă nu trebuie făcută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și a altora în probleme nu se poate face, însă, în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un copil de clasa I, un exercițiu pentru cel de clasa a V-a și doar ceva cunoscut pentru un matematician.

Pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constiiau pentru el probleme devin simple exerciții.

Având în vedere analiza criterială, clasificatoare, problemele de matematică în ciclul primar s-ar putea grupa astfel :

după finalitate și după sfera de specialitate, le structurăm în probleme teoretice și aplicații practice ale noțiunilor învățate ;

după conținutul lor, problemele matematice pot fi geometrice, de mișcare, de aflarea densității unui amestec sau aliaj etc;

după numărul operațiilor, vom identifica probleme simple și probleme compuse. Probleme simple sunt cele care, de regulă, se rezolvă printr-o singură operație aritmetică și care se întâlnesc cu precădere la clasa I. Problemele compuse sunt acelea care în șirul de raționamente și operații de rezolvare includ, într-o dependență logică, mai multe probleme simple;

d. după gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare, avem probleme generale (în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică, fie metoda sintetică) și probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metoda specifică : grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparației, etc.

e. o categorie aparte de probleme, de multeori neglijate în învățământul primar dar cu multiple valențe formative, considerăm că sunt cele recreative, rebusistice și de perspicacitate și ingeniozitate (numite și nonstandard).

Dintre procesele cognite cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin oprațiile logice de analiză, sinteză comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a anliza situația dată de problemă, de a intui și a descopericalea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ- imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea problemelor de aritmetică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. În același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul cărora se subliniază o proprietate, o definiție sau o regulă ce urmează a fi învățate.

Prin rezolvarea problemelor de aritmetică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ își cultivă și educă calitățile moral-volitive. În același timp, activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, normă de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen, etc.

Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însăși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de arezolva și alte probleme practice pecare viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, depinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva , in mod independent probleme, de a compune ei însiși probleme.

Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și educarea patriotismului la elevi, la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului colectivist, a prieteniei, a disciplinei conștiente , dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor educative și autoeducative, al conduitei rezolutive.

1.2. ETAPELE REZOLVĂRII PROBLEMELOR

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înainteaza în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutiva se îmbogățește.

Astfel, odată cu învățarea prlor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, normă de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen, etc.

Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea prin însăși enunțul lor de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de arezolva și alte probleme practice pecare viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, depinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva , in mod independent probleme, de a compune ei însiși probleme.

Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și educarea patriotismului la elevi, la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului colectivist, a prieteniei, a disciplinei conștiente , dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor educative și autoeducative, al conduitei rezolutive.

1.2. ETAPELE REZOLVĂRII PROBLEMELOR

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înainteaza în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutiva se îmbogățește.

Astfel, odată cu învățarea primelor operații aritmetice( de adunare și scădere) se începe rezolvarea pe cale orală și pe bază de intuiție, a primelor probleme simple. Treptat, elevii ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse. Varietatea și complexitatea problemelor pe care le rezolvă elvii sporește efortul mintal și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor.

Putem delimita două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor.

Cănd elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă –tip (care se rezolvă prin aceeași metodă, comună tuturor problemelor de tipul respectiv). În acest caz elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie , având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare al problemei, schema mintala de rezolvare.

În cazul in care elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare , deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare. Elevul trebuie ca pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În felul acesta el realizeaza un act de creație , care constă in restructurarea datelor propriei dale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilității gândirii sale, de capacitatea sa combinatorică și anticipativă. În rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei. Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape, datele problemei apar în combinații noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducând către soluția problemei. Este vorba de un permanent proces de analiză și sinteză, de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație în care sunt plasate(sinteza).

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Dar formularea ipotezelor nu este rezultatul unei simple inspirații, ci presupune atât un fond de cunoștințe pe care elevul le aplică în rezolvarea problemelor, cât și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare în procesul rezolvării problemelor. Diferitele ipoteze nu ne apar la întâmplare. Ele iau naștere pe baza cunoștințelor asimilate anterior și pe baza asociațiilor. De aceea, în orice domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe este condiționată de o solidă pregătire de specialitate, dar și de cultura generala.

De o mare importanta în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurei problemei și a logicii rezolvării ei.

Elevul trebuie să cuprinda în sfera gândirii sale intregul „film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze în întreaga categorie de probleme.

Când rezolvă o problema compusă , aparent elevul rezolvă pe rând mai multe probleme simple. În esență nu este vorba de probleme simple care se rezolvă izolat, deoarece acestea fac parte din structuta problemei compuse, rezolvarea fiecărei dintre ele făcându-se în direcția aflării necunoscutei, fiecare problemă simplă rezolvată reprezentând un pas înainte, o verigă pe calea raționamentului problemei compuse, de natură să reducă treptat numarul datelor necunoscute.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei.

Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

Activități suplimentare:

– verificarea rezltatului;

– scrierea sub forma de exercițiu;

– găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

– generalizare;

– compunere de probleme dupa o schemă asemănătoare.

Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare dar mai ales corelează elemente a căror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței. Abilitățile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu carcter general, adică intră în acțiune la rezolvarea oricărei probleme(cum ar fi-orientarea asupra datelor , punerea în legătură a acestora, diferențierea cunoscutelor de necunoscute), fie specifice și se aplică la probleme tipice ori la detaliile acțiunilor(procedee de calcul) și care în acest caz, au statut de deprinderi.

Sarcina principală a învățătorului câand pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiză profunda a datelor, analiză care să le permita o serie de reformulări, care să-i apropie de soluție. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare in clasele mici cu cât știm că elevul întâmpină greutăți în această direcție , în special datorită faptului că lipsesc vederile de ansamblu asupra problemei și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia. Tendințta elevului de a lega datele problemei în oridinea succesiva pe care i-o oferă enunțul conduce la rezultate greșite, indeosebi când ordinea rezolvării nu coincide cu ordinea datelor din enunț.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l conducă pe elev la desprinderea de concret, la transpunerea situației concrete pe care o prezinta problema in relații matematice. Renunțarea la elementele concrete și înlocuirea acestora cu expresii potrivite fac posibilă schematizarea problemei –deci pasul necesar spre generalizare.

O altă sarcină a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relații dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic și îmbină după o logică riguroasă fragmentele.

O problemă este cu atât mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu căt situația nouă cere o restructurare mai profundă a experienței anterioare. Dat fiind faptul că posibilitățile școlarului mic de folosire a cunoștințelor și de raportare a relațiilor vechi la cele noi sunt incă insuficient dezvoltate, acțiunile principale ale învățătorului trebuie să urmărească înțelegerea de catre elevi a specificului care, deși par diferite, au în

esență aceeași structură.

PARTEA A II-A

ELEMENTE METODICE

CAPITOLUL II

METODE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR

METODE ALGEBRICE

Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor,tehnica specifică,calculului algebric, adică bazată pe ecuații și sisteme de ecuații. De aceea, pentru a rezolva algebric o problema se parcurg următoarele etape:

– stabilirea necunoscutelor și notare literală;

– punerea problemei în ecuație;

– interpretarea soluțiilor obținute și verificarea lor în problema.

Metodele algebrice se caracterizează în mod deosebit prin simplitate și conciziune, astfel încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmpină adeseori în utilizarea unora dintre metodele aritmetice în a căror alegere nu se pot stabilii criterii precise. Îmbinarea armonioasă a celor două categorii de metode crează avantajul evitării eforturilor inutile. Suna insă împrejurări în care metodele algebrice se împletesc atât de strâns cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita. Așa se întâmplă în unele probleme tipice, cu deosebire în cele care se rezolvă prin metoda mersului invers, precum și cele de amestec, concentrații și aliaj. Procedeele de natură algebrică se întâlnesc apoi în problemele de aflare a două numere , cunoscând suma și diferența lor, sau în cele care se rezolvă prin metoda comparației.

METODE ARITMETICE

Metodele aritmetice se clasifică în două categorii: metode fundamentale sau generale și metode speciale sau particulare.

Metodele aritmetice generale se aplică într-o masură mai mare sau mai mică în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se

bazează, cu precădere pe operațiile de analiză și sinteză ale gândirii,motive pentru care se numesc metoda analitică și metoda sintetică.

Metoda analitica

A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi problema în ansamblu,apoi,pornind de la întrebarea ei, a o descompune în probleme simple din care e alcătuită și a o orândui în aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.

Exemplu : În secția de strungărie a unei întreprinderi metalurgice lucrează 2 echipe de strungari: prima cu 6 strungari care strunjesc 18 piese pe zi, iar a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. Să se stabilească valoarea pieselor executate într-o zi de cele 2 echipe știind că o piesă este evaluată în medie la 480 lei.

Rezolvare:

Schematic , examinarea problemei prin metoda analitică se înfățișează astfel:

Detaliile stabilite analitic se sintetizează sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enunțarea problemelor simple în care s-a descompus problema dată și indică succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor.

1. Se calculează numărul pieselor stunjite de echipa I.

18 piese x 6 = 108 piese

2. Se calculează numărul pieselor strunjite de echipa a Iia.

16 piese x 7 =112 piese

3. Se află numărul total de piese strunjite de cele 2 echipe.

108 piese + 112 piese=220 piese

4. Se calculează valoarea pieselor executate.

480lei x 220= 105 600 lei

Metoda sintetica

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, astfel încât să se formuleze cu acestea toate problemele simple posibile și a așeza aceste probleme simple într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se incheie cu acea problema simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.

Exemplu: Problema enunțată și studiată anterior se examinează prin metoda sintetică astfel:
1. Cunoscând numărul strungarilor din prima echipă și numărul pieselor strunjite de fiecare se află numărul pieselor executate de întreaga echipă.

2.Analog pentru echipa a doua.

3. Dacă se află câte piese au fost strunjite de prima echipa și câte de a doua echipa, atunci se poate afla numărul total de piese strunjite de cele două echipe.

4. Cunoscând numărul total de piese și valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea lor totală.

Shema examinării problemei prin metoda sintetică este următoarea:

În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme se menționează faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce separat de cel sintetic,întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia dintre aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele operații ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însă în anumite momente sau situații una din ele devine dominantă.

Astfel descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcătuită constituie, în esență, un proces de analiză iar formularea planului de rezolvare cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză.

Din aceste motive, cele două metode apar adeseori sub o denumire unică: metodă analitico-sintetică.

De altfel, legătura strânsă dintre analitic și sintetic este pusă în evidență chiar de felul de desfășurare și stabilire a concluziilor în examinarea problemei cu ajutorul căreia s-au exemplificat cele două metode. Astfel planul de rezolvare stabilit in urma examinării problemei respective prin metoda analitică este identic cu cel stabilit prin metoda sintetică, problemele simple și succesiunea lor fiinf aceleași. Doar in cazul metodei sintetice planul de rezolvare redă sub o formă mai concisă desfășurarea procesului de examinare a problemei.

2.3.METODE ARITMETICE SPECIALE

Metodele aritmetice speciale sunt mai variate și diferă de la o categorie de probleme la alta, adaptându-se specificului acestora. Cele mai importante și mai frecvente sunt următoarele: metoda figurativă sau grafică, metoda comparației, metoda ipotezelor și metoda mersului invers sau metoda retrogradă.

2.3.1. Metoda figurativă sau grafică

Metoda care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele, utilizează elemente grafice sau desenate și scheme , se numește metodă figurativă. În apilicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora:

desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente;

figuri geometrice diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul.,dreptunghiul, pătratul, cercul;

figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;

felurite semne convenționale, unele obișnuite, iar altele stabilite de comun acord cu elevii;

litere și combinații de litere;

elemente grafice simple:puncte, linii, ovale, cerculețe

Avantajele pe care le reprezintă metoda figurativă o situează pe primul plan în ceea ce privește utilizarea ei:
– are caracter general, aplicându-se la orice categorii de probleme în care se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității;
– are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia în plan mintal;
– prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se crează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.

EXEMPLE:

Figurarea prin desen

Problemă: De 8 martie două fetite au oferit mamei lor flori, Fetița mai mare i-a oferit 5 garoafe, iar cea mică 3 garoafe. Câte garoafe avea acum mama, dacă se știe ca mai primeste 7 garoafe de la soțul ei?

Calculul:

3+5= 8 (garoafe)

8+7= 15(garoafe)

Problemă:

Într-o damigeană de 40 l se pun 10 l și apoi 20 l de vin. Câți litri de vin mai trebuie puși ca să umple damigeana?

Rezolvare:

Câți litri de vin se pun în damigeană?
20 l+10 l =30 l

Câți litri de vin mai trebuie pentru a se umple damigeana?

40 l – 30 l = 10 l

Utilizarea figurilor geometrice plane

Problemă: Trei grădini au suprafața totală de 1925 m² .Grădina a doua este cu 140 m mai mare decât prima, iar a treia este cu 205 m mai mare decât a doua. Să se afle suprafața fiecărei grădini.

Calculele:

1. 1925 m- [ 140+( 140+205)] m = 1440 m

2. 1440 m : 3 = 480 m (aria primei gradini )

3. 480 m +140 m = 620 m (aria celei de a doua grădini)

4. 620 m + 205 m = 825 m (aria celei de a treia grădini )

Figurarea prin segmente de dreaptă

Problemă: Un balot de stofăde 34m se repartizează la două ateliere de croitorie astfel încât atelierul al doilea să primească cu 5m mai puțin decât dublul lungimii pe care o primește primul atelier. Câți metri de stofă primește fiecare atelier?

A B

5m

C D E

Rezolvare: Dacă la atelierul al doilea s-ar mai repartiza încă 5m dintr-un balot, atunci numărul total de metri ar fi: 34m + 5m = 39m, iar atelierul al II-lea ar primi un număr de metri dublu față de primul atelier. În acest caz, se poate considera că primul atelier primește o parte, iar al II-lea două părți, în total 3 părți, adică:

39m : 3 = 13m ( o parte pentru primul atelier)

13m x 2 – 5m = 21m ( pentru al II-lea atelier)

Problemă: Într-o pepinieră sunt 15 000 de puieți de brad și de pin. De brad sunt cu 3 000 mai mulți decât cei de pin. Câți puieți sunt din fiecare fel?

Rezolvare :

B _______________3000__

P _____________ 15000 puieți

a. Presupunem că ar fi tot atâția brazi câți pini sunt:

B _______________3000__

P _____________ 15000 puieți

Aflu numărul presupus al puieților:

15 000 – 3 000 = 12 000 (brazi și pini în mod egal)

Aflu câți pini sunt:

12 000 : 2 = 6 000 (pini)

Aflu câți brazi sunt:

6 000 + 3 000 = 9 000 (brazi)

b. Presupunem că ar fi tot atâția pini câți brazi sunt:

B __________________________

+ 3000

P _________________………………

Aflu numărul presupus al puieților de brad și pin:

15 000 + 3 000 = 18 000

Aflu câți brazi sunt:

18 000 : 2 = 9 000 (brazi)

Aflu câți pini sunt:

9 000 – 3 000 = 6 000 (pini)

d. Figurarea schematică

Problemă: Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde oi și gâște, în total 2 201 capete și 8 110 picioare. Câte oi și gâște sunt ?

Rezolvare: se figurează oile și gâștele prin ovale:

Întrucât, fiecare vietate are câte cel puțin 2 picioare, se figurează la fiecare oval câte 2 linioare oblice, reprezentând cele două picioare.

S-au repartizat 4 402 picioare și au rămas 3 708 picioare care pot figura la 1 854 ovale ( 3 708 : 2 = 1 854 ) acestea reprezentând animale cu câte 4 picioare, adică oi:

^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Rezultă că 1 854 vietăți au câte 4 picioare, deci sunt oi, iar restul de 347 au câte 2 picioare, deci sunt gâște.

Verificare: 1 854 oi………….7 416 picioare

347 gâște………..694 picioare

––––––––––––––––

Total: 2 201 vietăți 8 110 picioare

Problemă: Dacă se așează câte un elev într-o bancă rămân 14 în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă rămân 3 bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt?

Rezolvare: Se figurează următorul desen:

Am așezat câte un elev în bancă, rămânând 14 în picioare. Nu ne convine așezarea în bănci și completăm cu cei 14 rămași în picioare pentru a fi câte 2 în bancă.

1 2 3 14 1 2 3 14

Deci avem 14 bănci cu cate doi elevi completate de cei 14 elevi ce erau în picioare și încă 3 bănci cu 2 elevi completate astfel prin ridicarea din 3 bănci care trebuie să rămână libere și în fine, rămân 3 bănci libere.

14+3+3=20 ( bănci)

Se află numărul de elevi din prima parte a enunțului.

20+14=34 ( elevi )

Răspuns: 20 de bănci și 34 de elevi.

e. Figurare prin semne convenționale

Problemă: La culesul cartofilor, într-o oră s-au format 5 grămezi de câte 25 kg, 4 grămezi de câte 30 kg și 3 grămezi de câte 50 kg. Câte kg de cartofi s-au cules în 4 ore de lucru dacă se lucrează la fel_

Rezolvare: Convenim să figurăm datele problemei prin semiovale, întrucât acestea dau cel mai bine impresia de grămezi.

25 25 25 25 25

Calcule :

30 30 30 30

1. 30 kg x 4= 120 kg

50 50 50 2.50 kg x 3= 150 kg

3. 145 kg+120 kg+150 kg=395 kg

4. 395 x 4= 1 850 kg ( cartofi culeși în

4 ore)

Utilizarea literelor și a combinațiilor de litere

Problemă: Un grup format din elevi practicieni de la școlile agricole și muncitori a fost repartizat la culesul ardeilor. Inițial , numărul elevilor era de 3 ori mai mare decât al muncitorilor, dar după ce 4 muncitori și 4 elevi au fost repartizați la transporturi , numărul elevilor a devenit de 4 ori mai mare decăt al muncitorilor. Câți muncitori și câți elevi erau în grup?

Rezolvare: Pentru a reprezenta prin elemente grafice datele problemei și relațiile dintre ele, vom utiliza majusculele E și M pentru a desemna un elev, respectiv un muncitor. Atunci, în situația inișială, fiecărui muncitor îi corespunde câte 3 elevi.

–––

După repartizarea în altă parte a 4 elevi și 4 muncitori, situația este reprezentată în figura următoare, adică primul grup s-a desființat, din al II-lea rămân 2 elevi, iar grupurile III și IV rămân fără muncitori. Cei 8 elevi rămași singuri de repartizează câte unul la fiecare grup rămas intact, astfel încât fiecărui muncitor îi vor corespunde câte 4 elevi.

––

–––––––

Cu cei 8 elevi se pot completa 8 grupuri de câte 1 muncitor și 4 elevi, în total 32 de elevi și 8 muncitori. Adăugând la aceștia pe cei plecați, înseamnă că inițial au fost 12 muncitori și 36 de elevi.

2.3.2 Metoda comparației

Comparația ca operație a gândirii logice, intervine în multe momente și situații ale activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași. Algebric, aceste relații se traduc sub forma unui sistem de ecuații de gradul I, cu două necunoscute. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme, duce la eliminarea uneia dintre mărimi , prin reducere, adică, prin adunare sau scădere, fiind analog cu cel algebric. Dacă valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin scăderea relațiilor respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație.

Problemele care se rezolvă prin reducere se pot clasifica după numărul mărimilor sau necunoscutelor care apar in text și anume două, trei sau mai multe necunoscute, numărul relațiilor fiind în mod necesar egal cu numărul mărimilor respective.

Problemele de eliminare a unei mărimi prin reducere și aducere la acelați termen de comparație.

Problemă:

La un atelier de croitorie s-au trimis 64 m satin și 24 m stofă, in valoare totală de 572 800 lei, iar la alt atelier 78 m satin șo 24 m stofă , în valoare totală de 603 600 lei. Să se afle costul unui metru de satin și a unui metru de stofă.

Rezolvare:

Se observă că în această problemă numărul metrilor de stofă este același în ambele relații, astfel că reducerea se poate face imediat.

Așezarea datelor se face cu respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația între valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct,așezând valorile de același fel unele sub altele:

64 m (s)………….24m(st)………….572 800 lei

78 m (s)………….24m (st)…………603 600 lei

Scăzând din a doua relație pe prima, se elimină a doua mărime și obținem:

14 m(s)…………….30 800 lei

1 m(s)…………….30 800 lei : 14 = 2 200 lei

Cunoscând costul unui metru de satin se află costul unui metru de stofă, utilizând una din primele două relații:

24 m (st)…………572 800 lei- 2 200 lei x 64 = 572 800 lei – 140 800 lei =

432 000 lei

1 m (st)………….432 000 lei : 24 = 18 000 lei

Probleme de eliminare prin înlocuire

După cum rezultă din denumirea lor, problemele care se încadrează în acest tip se rezolvă înlocuind o mărime prin alta, pe baza relațiilor cantitative dintre ele.

Problemele de eliminare prin înlocuire se pot clasifica în două categorii:

I. – Probleme a căror formulare utilizează expresiile comparative: mai mare sau mai mic, mai mult sau mai puțin, mai scump sau mai ieftin cu o anumită mărime, cantitate sau valoare, expresii cărora le corespund operațiile de adunare sau scădere;

II. – probleme a căror formulare utilizează expresiile mai mare sau mai mic, mai mult sau mai puțin, mai scump sau mai ieftin, de un număr de ori, expresii cărora le corespund operațiile de înmulțire sau împărțire.

Fiecare categorie de probleme conține două , trei sau chiar mai multe mărimi.

Problemă: S-au plătit pentru 6 m de pănză, 7 m de stambă și 3 m de mătase, în valoare de 25 800 lei. Cât costă un metru de fiecare material, știind că stamba este cu 4 000 lei mai scumpă decât pânza , iar mătasea cu 30 000 lei mai scumpă decât stamba?

Rezolvare:

Pânză (m) Stambă (m) Mătase (m) Lei

6 7 3 258 000

Înlocuind stamba prin mătase , va trebui să adăugăm la suma totală căte 30 000 lei pentru fiecare metru de stambă, adică 13 x 30 000 lei= 390 000 lei, fiindcă mătasea este cu 30 000 lei/m mai scumpă decăt stamba.

Atunci vom avea:

– – 13+3 = 16 282 000 lei+ 390 000 lei = 672 000 lei

– – 1 672 000 lei : 16 = 42 000 lei

Deci 1 m de mătase costă 42 000 lei,

iar 1 m de stambă costă: 42 000 lei- 30 000 lei= 12 000 lei

și 1 m de pânză costă : 12 000 lei- 4 000 lei= 8 000 lei

Observație: Înlocuirile se pot face și invers și anume, mărfurile mai scumpe prin cele mai ieftine . În acest caz, din suma totală se scad diferențele corespunzătoare de prețuri.

Problemă : O librărie a vândut patru categorii de cărți după prețurile lor și anume: 13, 17 , 6 și 23 cărți. Suma totală încasată este de 81 000 lei. Să se găsească valoarea unei cărți din fiecare categorie știind că față de o carte din categoria I , o carte din categoria a II-a este de 1 1/4 ori mai scumpă, una din categoria a III-a este de 2 2/3 mai scumpă, iar una din categoria a IV-a este de 1 1/3 mai ieftină.

Rezolvare:
Întrucât comparația este stabilită față de cărțile din categoria I, este indicat să se înlocuiască toate cărțile din categoria a II-a , a III-a și a IV-a prin cărți de categoria I, astfel:

– în loc de 17 cărți din categoria a II-a se pot cumpăra 1 1/4 ori mai multe cărți de categoria I, acestea fiind mai ieftine de 1 1/4 ori, adică :

17 x 1 1/4 = 17 x 5/4 = 85/4=2 1 1/4

– în loc de 6 cărți de categoria a III-a se pot cumpăra de 2 2/3 ori mai multe cărți de categoria I , acestea fiinf mai ieftine de 2 2/3 ori, adică:

6 x 2 2/3= 6 x 8/3=16

– în loc de 23 de cărți de categoria a IV-a se pot cumpăra de 1 1/3 ori mai puține cărți din categoria I, acestea fiind mai scumpe de 1 1/3 ori, adică:

23: 1 1/3= 23 x ¾= 69/4=17 ¼

Deci, in total sunt 13+21 ¼ + 16+17 ¼ = 67 ½

(cărți de categoria I) care costă 81 000 lei, de unde rezultă că o parte din categoria I costă:

81 000 : 67 1/2= 81 000 x 2/135=1 200 lei

Atunci:

o carte de categoria a II-a costă 1 200 x 5/4= 1 500 lei

o carte de categoria a III-a costă 1 200 x 8/3= 3 200 lei

o carte de categoria a IV-a costa 1 200:4/3= 900 lei

2.3.3. Metoda ipotezelor

Metoda ipotezelor este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei ipoteze sau a mai multora, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea bazelor ipotetice. Întrucât ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei, metoda se numește și a falsei ipoteze.

Problemele ale căror rezolvări se bazează pe această metodă se pot clasifica în două categorii:

Probleme de categoria I pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

Probleme de categoria a II-a pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Problemă: S-a plătit suma de 2 300 lei cu 11 monede de 500 lei și de 100 lei. Câte monede de fiecare fel s-au plătit?

Rezolvare:

Presupunem că s-ar fi plătit numai monede de 500 lei, atunci s-ar fi plătit 500 x 11 = 5 500 lei. Dar în realitate nu s-a plătit 5 500 lei, ci 2300 lei, adică 5500 lei – 2300 lei= 3200 lei mai puțin. Această diferență provine din faptul că s-au plătit și monede de 100 lei. Pentru fiecare monedă de 100 lei, care înlocuieșteo monedă de 500 lei, este o diferență de 500 lei – 100 lei=400 lei, deci în realitate sunt atâtea monede de 100 lei de câte ori se cuprinde 400 lei în diferența de 3 200 lei, adică 3200 lei : 400 lei =8 (monede de câte 100 lei). S-au plătit deci 8 monede de 100 lei și 11- 8 =3 monede de 500 lei.

Verificare: 100 lei x 8 + 3 x 500 lei = 800 lei+ 1500 lei = 2300 lei, ceea ce reprezintă suma plătită.

Observații:

Pentru rezolvarea acestei probleme se putea face și presupunerea că s-au plătit monede de 100 lei, ceea ce ar însemna că s-a plătit suma de 1100 lei (100×11) dar în realitate s-a plătit suma de 2300lei, deci cu 2300- 1100 = 1200 lei mai mult, diferența pornind din faptul că s-au plătit și monede de 500 lei. Pentru fiecare monedă de 500 lei, care înlocuiește o monedă de 100 lei, este o diferență de 500 lei-100 lei=400 lei, deci în realitate sunt atâtea monede de 500 leide câte ori se cuprinde 100 lei în diferența de 1200 lei, adică 1200 lei:400 lei=3 ( monede de câte 500 lei). Numărul monedelor de 100 lei este 11-3=8

Problema poate fi rezolvată și algebric cu ajutorul unui sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute:

x+ y = 11

100 x + 500 y = 2300 unde x = numărul monedelor de 100 lei

unde y = numărul monedelor de 100 lei

b. Problemă: Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se așează căte 4 pe o bancă, rămân 18 persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așează căte 5 pe o bancă rămân 4 bănci libere. Câte bănci sunt în sală și câți spectatori?

Rezolvare :

Ipoteza I : 30 bănci. Dacă în sală ar fi 30 bănci, atunci cu câte 4 spectatori pe o bancă ar fi 120 de spectatori + cei 18 spectatori devenind în total 138 spectatori. Cu 5 spectatori în 26 bănci (fiindcă în această situație 4 bănci rămân libere) ar fi 130 spectatori Deoarece numărul spectatorilor este diferit în ambele situații, diferența fiind de 8 spectatori, rezultă că ipoteza este falsă.

Ipoteza a II-a: 31 bănci. În această ipoteză avem : câte 4 spectatori pe o bancă ar fi 125 spectatori, plus cei 18 spectatori în picioare, fac în total 142 spectatori, iar cu 5 spectatori pe o bancă, în 27 bănci ar fi 135 spectatori. Și acestă ipoteză este falsă însă se constată că acum diferența este de 7 spectatori (142- 135 =7), adică numărul băncilor s-a mărit cu 1, diferența s-a micșorat cu o unitate, de unde urmează că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 față de prima ipoteză pentru ca diferența de 8 spectatori să se anuleze.

Într-adevăr, dacă numărul băncilor este de 38 avem:

în 38 bănci câte 4 spectatori………………152 spectatori

în picioare…………………………………………18 spectatori

total: 170 spectatori

sau în 24 bănci câte 5 spectatori………………170 spectatori

prin urmare, în sală sunt 38 de bănci și 170 spectatori.

Observații:

În ipoteza a II+a numărul băncilor poate fi presupus mai mare sau mai mic cu 1 sau mai multe unități decât numărul băncilor presupus în prima ipoteză, raționamentul decurgând corespunzător situației considerate.

Problema poate fi rezolvată și algebric cu ajutorul unui sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute.

4y = x-18

5(y – 4) = x unde x=numărul persoanelor

Y=numărul băncilor

2.3.4. Metoda mersului invers ( metoda retrogradă)

A rezolva un exercițiu sau o problemă prin metoda mersului invers, înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la elementul de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema. Se numește a mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în tipul respectiv.

Exercițiul rezolvat prin metoda mersului invers:

Se consideră un număr notat cu x la care se adaugă 7, rezultatul se înmulțește cu 6, din produsul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adună 5 obținându-se 25. Care este numărul x?

Exercițiul se scrie astfel:

[ ( x + 7) x 6 -10 ] :4 +5 = 25

Pentru a găsi numărul x se pornește de la ultima operație care ar urma să se efectueze în sens direct, adică la adunarea numărului 5 și pe baza relațiilor dintre termenii (factorii) unei operații și rezultatul ei, se judecă astfel:

Expresia reprezintă o adunare în care primul termen este necunoscut (conține numărul necunoscut x ) ; un termen al adunării este egal cu suma minus celălalt termen, adică:

[ ( x + 7) x 6 -10] : 4= 25-5

[ ( x + 7) x 6 -10 ] : 4= 20

Acum, exercițiul reprezintă o împărțire în care deîmpărțitul este necunoscut, este egal cu produsul dintre împărțitor și cât, adică :

(x + 7) x 6 – 10 = 4 x 20

(x + 7) x 6 – 10 = 80

După aceste operații, exercițiul reprezintă o diferență în care descăzutul este necunoscut; el este egal cu scăyătorul plus restul , adică :

(x + 7) x 6 = 80 +10

(x + 7) x 6 = 90

Exercițiul reprezintă acum un produs în care primul factor este necunoscut; el este egalcu produsul împărțit la celălalt factor, adică :
x + 7 = 90 : 6

x + 7 = 15

În sfârșit, expresia reprezintă o sumă în care primul termen este necunoscut; el este egal cu suma minus celălalt termen, adică:

x = 15-7

x = 8

Verificarea se face prin efectuarea calculelor în sens direct : 8+7=15;

15 x 6 = 90

90 – 10 = 80; 80 : 4 = 20 ; 20 + 5 = 25.

Algebric, exercițiul se rezolvă considerând că egalitatea reprezintă o ecuație de gradul I cu o necunoscută, care mai întâi se aduce la forma generală, apoi se rezolvă:

[(x + 7) x 6 -10 ] + 5= 25

4

(x + 7) x 6 -10 + 20 = 100

6 x + 42 – 10 + 20 = 100

6 x = 48 => x = 8

Problemă rezolvată prin metoda mersului invers.

Problemă: O sumă de lei dintr-un plic trebuie să se împartă în mod egal între 3 jucători. Primul jucător ia 1/3 din suma care se află în plic și pleacă. Al doilea jucător, crezând că el este primul, ia 1/3 din suma ce o găsește în plic și pleacă. Apoi vine al treilea jucător și crezând că este și el primul ia 1/3 din suma rămasă în plic. După plecarea lui se constată că în plic au mai rămas 920 lei. Cum vor împărții jucătorii între ei această sumă în mod echitabil?

Rezolvare: Așezarea datelor problemei.

1/3 S rest R1

1/3 R1 rest R2

1/3 R2 rest R3 = 920 lei

Efectuarea calculelor:

III. Al treilea jucător luând 1/3 din R2, unde R2 reprezintă suma pe care a găsit-o el în plic, înseamnă că suma rămasă, adică R3 = 920 lei reprezintă 2/3 din R2 deci acum :

2 R2 = 920 => R2 = 920×3 = 1 380 lei

3 2

II. Al doilea jucător a luat 1/3 din R1, unde R1 reprezintă suma găsită de acesta în plic, după care au mai rămas în plic 1 380 lei (R2). Înseamnă că:

2 R1= 2 070 => R1 = 1 380 x 3 = 2 070 lei

3 2

Primul jucător a luat 1/3 din S , unde S reprezintă suma întreagă.,rămânând în plic 2070 lei, ceea ce înseamnă că:

2 S = 2070 => S = 2070 x 3 = 3105 lei

3 2

Suma de 3105 lei trebuie să se împartă între cei 3 jucători în părți egale, astfel că fiecare are dreptul să primească:

105 lei : 3 = 1 035 lei

Primul jucător a luat 1/3 din 3 105 lei= 1 035 lei, astfel că și-a luat partea sa în întregime.

Al doilea jucător a luat 1/3 din rest, adică :

1 ( 3 105 – 1 035) -1 x 2 070 = 690 lei

3 3

Și deci mai are de primit până la 1 035 lei, 345 lei.

Al treilea jucător a luat 1/3 din rest, adică:

1 (2070 – 690 )= 1 x 1 380 = 460 lei

3 3

Astfel că mai are de primit 1 035 lei – 460 lei =575 lei

Pentru rezolvarea algebrică a problemei se pot scrie în mod succesiv relațiile ce rezultă din enunț, ultimul rest egalându-se cu 920, astfel:

I. 1 S R1 =2 S

3 3

II. 1 R1 = 1 x 2 S = 2 S R2 = 2 S – 2 S = 4 S

3 3 3 9 3 9 9

III. 1 R2 = 1 x 4 S = 4 S R3 = 4 S – 4 S = 8 S

3 3 9 27 9 27 27

Se mai poate utiliza și procedeul scrierii sub formă de ecuație a expresie care reprezintă ansamblul operațiilor:

S- 1 S – 1 ( S – 1 S ) – 1 x 2 (S – 1 ) = 920

3 3 3 3 3 3

S- 1 S – 1 S + 1 S – 2 S + 2 S = 920

3 3 9 9 27

27 S – 9 S – 9S + 3S – 6S + 2S = 920 x 27

8 S = 920 x 27 => S = 920 x 27 = 3 105

8

CAPITOLUL III

REZOLVAREA PROBLEMELOR TIPICE

3.1. Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența, suma și raportul, diferența raportul lor.

3.1.1 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor.

Exemplul 1. Se consideră două numere a și b, a > b, a căror sumă și diferență se cunosc, adică:

a + b = S

a – b = D

Adunând cele două egalități, se obține :

2a = S + D, de unde a = S+D

2

Săzând cele două egalități se obține :

2b = S – D , de unde b = S- D

2

Exemplu numeric : a+b= 1634

a- b= 884

2a= 1 634- 884 => a= 1634 + 884 =2 518 = 1 259

2 2

2b= 1 634 – 884 => b= 1 634 – 884 = 750 =375

2 2

În mod intuitiv, rezolvarea tipului de problemă în care se cere aflarea a două numere când se cunosc suma și diferența lor, se poate face prin metoda grafică sau figurativă. Utilizând această metodă se consideră un segment de dreaptă AB care reprezintă numărul mai mare „a” și un alt segment de dreaptă CD care reprezintă numărul mai mic „b”.

a

A b E B

C D F

Se observă că dacă din segmentul AB se înlătură porțiunea EB care reprezintă diferența celor două segmente, se obține segmentul AE egal cu CD, adică, dacă din suma celor două segmente AB și CD se scade diferența lor EB, se obține dublul segmentului mai mic CD.

Iar dacă la segmentul mai mic CD se adaugă porțiunea DF astfel ca segmentul CF obținut să fie egal cu segmentul AB , atunci segmentele AB și CF , luate împreună reprezintă suma numerelor date adunată cu diferența lor care este evident egală cu dublul segmentului mai mare AB.

Exemplul 2: La începutul anului școlare, o librărie a distribuit celor 3 licee din oraș, în total 13 848 manuale. Al doilea liceu a primit cu 1 794 manuale mai puțin decât primul, iar al treilea liceu cu 282 manuale mai mult decât al doilea. Câte manuale a primit fiecare liceu?

Rezolvare prin sumă și diferență :

a+b+c = 13 848

a-b = 1 798

c-b = 282 => c= 282 + b

atunci : a+b+c+282 = 13 848 sau a + 2b = 13 848 – 282

a+ 2b = 13 566

Utilizând relațiile: a + 2b = 13 566

a – b = 1 794

și scăzându-le obținem: 3b = 11 772 => b= 3 924

c = b + 282 = 4 206

a = 13 848 – (b+c)

=>13 848 – ( 3924 + 4206) = 5 718

Rezolvare prin metoda figurativă:

Dacă numărul „a” reprezintă manualele primite de primul liceu se micșorează cu 794, „a” devine egal cu „b” ( numărul de manuale distribuite la al doilea liceu).

1 794 = b

Dacă din „c” ( numărul manualelor distribuite liceului al treilea) se scad cele 282 manuale, cu cât „c” este mai mare decât „b”, atunci c- 282 (a – 1 794 )+b+ ( c- 282) = 13 848 – 1 794 – 282

B+b+b = 11 772

3b = 11 772 = > b 11 772 / 3 = 3 924

Apoi a = b + 1 794

a = 3 924 + 1 794 = 5 718

c= b + 282 = 3 924 + 282 = 4 206

În mod analog se pot completa cantitățile „b” și „c” cu diferențele respective astfel ca să devină egale cu „a”.

Rezolvare prin sumă și diferență :

a+b+c = 13 848

a-b= 1 794

c-b= 282 => c= 282 + b ,

atunci : a+b+c+ 282 = 13 848 sau a+ 2b = 13 848 – 282 = 13 566

Utilizând relațiile: a + 2b = 13 566

a – b = 1 794

și scăzându-le obținem:

3b= 11 772=> b= 3 924

c= b+ 282 = 4206

a= 13 848 – (b+c)= 13 848 – ( 3 924 + 4 206 ) = 5 718

3.1.2 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și raportul lor.

Exemplu: Doi inovatori au fost preamiați cu suma de 587500 lei. Știind că sumele ce li se cuvin sunt în raportul 2/3, să se afle ce sumă a primit fiecare.

Rezolvare:

a= suma cuvenită primului inovator

b= suma cuvenită celui de-al doilea inovator

atunci:

a+b= 587 500 deci, a -> 2 părți

a/b=2/3 b -> 3 părți

a+b= 2+3= 5 părți

O singură parte este egală cu 587 500 : 5 = 117 500,

de unde : 2 părți fac: 117 500 x 2 = 235 000

3 părți fac : 117 500 x 3 = 352 000

a = 235 000 lei

b = 352 000 lei

3.1.3. Probleme de aflare a două numere cunoscând diferența și raportul lor.

Exemplu:

Două echipe de muncitori au cules roșii. Prima echipă a cules cu 2 359, 2 kg mai puțin decât a doua, iar cantitățile strânse de cele două echipe sunt în raportul 9/13. Ce cantități de roșii au cules cele două echipe împreună ?

Rezolvare :

a = cantitatea de roșii culeasă de prima echipă

b = cantitatea de roșii culeasă de a doua echipă

a < b

deci,

b-a = 2 359, 2 a= 9 părți

a/b = 9/3 => b= 13 părți => b-a= 4 părți

Diferența de 2 359,2 reprezintă 4 părți, de unde o singură parte este egală cu

2359,2 : 4 = 589,8

Dar: 9 părți fac 589,8 x 9 = 5 308,2 deci a = 5 308, 2 kg

13 părți fac 589,8 x 13 = 7 667, 4 deci b = 7 667, 4 kg

Exemplul 2 :

Într-o magazie era de 5 ori mai multă făină decât în alta. Dacă din prima magazie se scoate cantitatea de 1 000 kg făină, iar în cea de-a doua se depozitează încă 448 kg făină, atunci cantitățile de făină din cele două magazii devin egale. Ce cantități de făină erau la început în cele două magazii?

Rezolvare :

a = cantitatea de făină aflată inițial în prima magazie

b = cantitatea de făină aflată inițial în a doua magazie

Din textul problemei rezultă că raportul cantităților de făină este egal cu 5, adică :

a/b= 5/1 sau b/a= 1/5

Urmează să stabilim diferența cantităților și în acest scop utilizăm metoda grafică.

a E 1 000 kg B

A __________________________…………………………..

448 kg

C ___________________……………

Comparând segmentele AB și CD, care reprezintă cantitățile a și b, se observă că diferența AB – CD este egală cu 1 000 + 448, deci a –b = a 448 kg.

Prin urmare, cunoaștem diferența și raportul a două numere astfel că rezolvarea problemei este următoarea:

Numărului “a” îi corespund 5 părți

Numpărului “b” îi corespunde 1 parte

Diferenței a-b îi corespunde 5-1= 4 părți

Adică numărul 1 448 este format din 4 părți, 1 parte fiind egală cu 1 448 :

4= 362, de unde

a= 362 x 5 = 1 810

b= 362 x 1 = 362

Deci, în prima magazie au fost 1 810 kg făină, iar în a doua magazie au fost 362 kg făină.

Verificare:

1 810 kg – 1 000 kg = 810 kg

362 kg + 448 kg = 810 kg

3.2. Probleme de mișcare

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una din mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Spațiul – (S) este lungimea drumului parcurs de un mobil ( tren, autoturism, om) exprimat în unități de lungime (metru, multiplii sau submultiplii lui);

Viteza – (V) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp exprimată prin unități de lungime pe unitatea de timp (m/s, km/h) ;

Timpul – (T) este numărul de unități de timp( secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spațiu.

În general, în problemele de mișcare se va vorbi despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervalle de timp egale, mobilul parcurge distanțe egale. În acest caz,cele trei mărimi S, V, T , sunt legate prin relația:

S= V x T

Din aceasta calculăm un factor ( v, respectiv t) din faptul că se cunoaște produsul (s) și celălalt factor ( t, respectiv v)

V= s și t= s

t t

În rezolvarea problemelor de mișcarese pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale, cât și cele algebrice. Acestea ne-ar permite să facem o clasificare a problemelor de mișcare după metoda aritmetică și rezolvarea lor.

3.2.1Probleme ce conduc direct la aflarea spațiului, vitezei sau timpului

Exemplu:

Doi turiști parcurg distanța de la A la B. Primul turist a sosit în B cu două ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului turist este de 4 km/h , iar a celui de-al doilea de 6 km/h. Să se determine distanța de la A la B.

Rezolvarea I. (aritmetică)

În fiecare oră, primul rămâne în urma celui de-al doilea cu 2 km. Până ce al doilea turist a ajuns în B, primul a rămas în urmă cu o distanță pe care a făcut-o în două ore, adică

s = 4 km/h x 2 h = 8 km. Această rămânere în urmă s-a realizat într-un timp

t = 8 km : 2 km/h = 4 h. Deci al doilea turist a mers o distanță :

s = 6 km/h x 4 h = 24 km (distanța AB ).

Rezolvarea a II- a ( algebrică )

Primul turist parcurge distanța AB = s, într-un timp t1 = s/4, iar al doilea în timpul t2 = s/6.

Dar diferența dintre acești timpi este de 2ore, deci avem ecuația:

s _ s_ = 2 3s – 2s = 24 => s = 24 , deci AB = 24 km.

4 6

3.2.2 Probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse

Exemplu:

Un pieton, care parcurge 5km/h pleacă din orașul A spre orașul B. În același moment un biciclist pleacă din orașul B spre orașul A cu viteza de 22 km/h. Între orașe este o distanță de 81km. După cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul? La ce distanță față de orașul B se întâlnesc?

Rezolvarea I ( aritmetică )

În fiecare oră, distanța dintre pieton și biciclist se micșorează cu

5 km + 22 km = 27 km

81 km

––––––––––

________________________

A > < B

5 km/h 22 km/h

Pentru ca ei să se întâlnească trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind 27 în 81, adică 81 km : 27 km/h = 3 h

Se întâlnesc la distanța BI = 22 km/h x 3 h = 66 km față de orașul B.

Observatie:

Când distanța dintre punctele de plecare este s, iar mobilele pleacă în același moment și merg unul către celălalt cu vitezele v1 și v2, atunci timpul după care se întâlnesc este dat de formula:

t= s : (v1 + v2 )

Rezolvarea a II-a (aritmetică)

Fie „I” punctul d e întâlnire. Pietonul parcurge drumul AI, iar biciclistul BI. Aceste drumuri sunt proporționale cu vitezele, deci avem : AI/5=BI/22 => BI= (22 x 81)/27= 66 km

AI= 81 km – 66 km = 15 km

Pietonul și biciclistul se întâlnesc după 66 km : 22 km/h = 3 h sau 15 km : 5 km/h = 3 h

Rezolvarea a III-a (algebrică)

Notăm cu t numărul de ore scurse până la întâlnire, atunci avem ecuația:

5t + 22 t = 81 27 t = 81 => t=3

Deci întâlnirea are loc dupa 3 h la 22 km/h = 66 km de orașul B.

Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens.

Exemplu:

Un biciclist, având viteza de 24 km/h pleacă din orașul A. După 3 ore pleacă tot din A , în aceeași direcție, un motociclist, având viteza de 42 km/h. În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distanță față de oraș?

Rezolvarea I(aritmetică)

Avansul biciclistului ( distanța parcursă în 3 ore) este AB = 24 km x 3= 72 km

Motociclistul câștigă la fiecare oră 42 km-24 km = 18 km

Pentru a câștiga cei 72 de km, motociclistul merge un timp de 72 km : 18 km/h = 3 h, aceasta fiind timpul după care l-a ajuns pe biciclist, iar distanța de la orașul A este la întalnirea

AI = 42 km x 4 = 168 km

Observație: Când distanța dintre punctele de plecare este s, iar mobilele pornesc în același timp și merg în același sens cu vitezele v1 și v2 , timpul necesar primului ca să-l ajungă pe al doilea este dat de formula:

t= s : ( v1- v2) ; v1 > v 2

Rezolvarea a II-a ( aritmetică)

Fie „I” punctul în care motociclistul îl ajunge pe biciclist. În timp ce motociclistul face drumul AI, biciclistul face drumul BI. Aceste drumuri sunt proporționale cu vitezele, deci avem :

AI/42 = BI/24 sau schimbând locul mezilor AI /BI=42/24 , iar AI – BI = 24 x 3 = 72, deci problema s-a redus la una tipică : de aflare a două numere când cunoaștem diferența lor și raportul lor.

Derivând o nouă proporție avem:

AI-BI/BI= 42 – 24 /24; 72/BI = 18/24 => BI = (72x 24 ) / 18 = 96 km

AI = 72 km + 96 km = 168 km

Biciclistul și motociclistul se întâlnesc după 96 km : 24 km/h = 4 h sau 168 km : 42 km/h = 4 h.

Rezolvarea a III-a ( algebrică)

Notăm cu t numărul de ore până la întâlnire și atunci avem ecuația :

42 t – 24 t = 24 x 3 18 t = 72 => t = 4 h

Motociclistul l-a ajuns pe biciclist la distanța de 42 km x 4 = 168 km de orașul A.

PARTEA a III-a

ELEMENTE DE CERCETARE PEDAGOGICĂ

Capitolul IV

MICROCERCETAREA

1.Motivația cercetării:

Importanța pe care noua programă o acordă rezolvării de probleme este evidențată de faptul că unul dintre cele patru obiective –cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate.Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situații noi de învățare , la care să răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare și investigare.

Problemele din manualul de matematică au ca scop , în mare parte , aplicarea și consolidarea noilor reguli și procedee de calcul. La clasele I-II cele mai multe probleme sunt astfel alcătuite , încât raționamentul este dat de enunțul problemei. La clasele III-IV sunt cuprinse în manual și probleme care se pot grupa pe tipuri de probleme, dar mai ales probleme diverse ( aici fiind incluse și problemele de perspicacitate).

În procesul de gândire ce se desfășoară în anumite situații problematice operațiile de gândire nu se desfășoară separat , ci ele se împletesc strâns însemnând în același timp ridicarea continuă pe treptele superioare a gândirii persoanei.

2.Obiectivele cercetării:

Aplicarea testelor inițiale ce vizează dezvoltarea intelecutală și capacitatea de comunicare a elevilor(a priceperilor și deprinderilor de a rezolva și compune probleme.

Aplicarea măsurilor de ameliorare, respectiv dezvoltare pe baza probelor

sumative aplicate și a unui program de intervenție personalizat;

Aplicarea testelor finale și înregistrarea progresului elevilor.

3.Ipoteza cercetării :

Cercetarea realizată s-a focalizat pe verificarea ipotezei generale, conform căreia, elevii se confruntă în învățarea matematicii cu o serie de obstacole, mai mult sau mai puțin

conștientizate atât de către profesor, cât și de către elev; cunoașterea și depășirea acestor obstacole, precum și tratarea corespunzătoare a erorilor specifice determinate de acestea vor ameliora activitatea de instruire-învățare la matematică.

4.Metodologia cercetării:

Teste inițiale ce vizează dezvoltarea intelectuală(acestea vor urmări constatarea încadrării în zona de normalitate și dezvoltare intelectuală a elevilor) Teste sumative însoțite de fișe de ameliorare și dezvoltare și plan de intervenție personalizat

Teste finale ale ciclului achizițiilor fundamentale,sistematizarea și consemnarea obsevațiilor

Sistematizarea si consemnarea observațiilor vor fi făcute în distribuirea ordonată,în rubricile unei fișe de observație pentru fiecare elev.

Fișa de observație a capacității de comunicare a elevului va cuprinde:

-notițele făcute la testarea inițială

-observații notate de-a lungul educării comunicării elevului

-constatărileîn urma testării și evaluării finale

Grila de observații

5.Eșantionul si perioada cercetării:

Eșantionul cercetării a fost reprezentat de 17 subiecți,elevi ai Școlii Gimnaziale Adânca ,clasă cu un colectiv omogen.

Perioada cercetării:

Ciclul de dezvoltare desfășurat în anii școlari 2012-2013; 2013-2014,respectiv clasa a III și clasa a IV-a

6.Etapele cercetării:

1.Aplicarea probelor cu caracter constatativ și predictiv și interpretarea,analiza și prelucrarea datelor;

2.Aplicarea probelor sumative,intervenția prin probe de ameliorare și dezvoltare ;

3.Aplicarea testelor finale și înregistrarea și interpretarea datelor furnizate ;

4.Concluzii.

1.Aplicarea probelor cu caracter constatativ și predictiv și interpretarea,analiza și prelucrarea datelor

Ca metode de lucru am folosit observarea pedagogică , ancheta, experimentul, testul, analiza portofoliului elevilor ( inclusiv culegerea clasei), chestionarul.

Folosind metoda observației pedagogice am constatat în cursul lecțiilor la clasă că elevii întâmpină greutăți atunci când sunt puși în situația de a rezolva sau mai ales a compune probleme. În acest sens am aplicat o serie de teste care să ajute la diagnosticarea situației inițiale: rezolvarea problemelor fără a le înțelege, alegând la întâmplare operațiile de efectuat, neapelând la reflecție și gândire logică. Intervenția a fost realizată asupra clasei a III-a și clasei a IVa – prin predarea/ receptarea pe parcursul celor două semestre a diverselor tipuri de probleme prevăzute în programa școlară pentru clasele III- IV-a, intervenție urmată de compararea și constatarea diferențelor, a evoluției elevilor și analiza confirmării ipotezei.

Pentru diagnosticarea situației inițiale s-au folosit:

1. Ancheta cu principala sa tehnică de colectare a datelor chestionarul, în acest caz alegând întrebări cu răspuns închis ( a se vedea chestionarul din anexe ). Am ales probleme care redau situații derutante, punându-i astfel pe elevi să aleagă între operația corectă și cea cu care ar putea fi confundată sau să aleagă operația care convine dintre alte operații compatibile cu numerele date ( de preferință tri operații propuse ). Din totalul de 65 de răspunsuri posibile, copiii au răspuns corect în 28 de cazuri, iar în 37 de cazuri au răspuns eronat

( tabelul nr. 1 )

2. Pentru verificarea exactității răspunsurilor corecte am aplicat teste copiilor care au răspuns corect ( a se vedea testul nr. 1 din anexe ) și s-a constatat că deși elevii au încercuit răspunsul corect, în multe dintre cazuri nu au înțeles problema, au încercuit la întâmplare răspunsul.

A urmat apoi intervenția asupra clasei prin predarea/ receptarea pe parcursul celor două semestre a diverselor tipuri de probleme prevăzute în programa școlară pentru clasa a IV-a, intervenție desfășurată pe parcursul a două semestre. Tipurile de probleme au fost variate: probleme care se rezolvă prin cel mult trei operații de ordine diferite; probleme care se rezolvă prin mai mult de trei operații de ordine diferite; probleme care se rezolvă prin metoda figurativă; probleme care se rezolvă prin încercări; probleme de estimare, de logică și probabilități, de organizare a datelor în tabele.

La sfârșitul clasei a IV-a au fost reaplicate chestionarul și testul , constatându-se un real progres, după cum reiese din tabelele nr.3 și nr.4.

Evaluările formative/sumative au fost urmate de măsuri ameliorative, organizate în multiple forme de organizare a colectivului de elevi: frontal, individual, pe grupe, în perechi.

O grijă deosebită trebuie acordată elevilor care și-au însușit noile cunoștințe, deoarece trebuie evitate situațiile în care aceștia ar putea fi nevoiți să rezolve sarcini (probleme) prea ușoare pentru ei, după cum în cazul opus trebuie să nu dm sarcini (probleme) prea dificile care fac învățarea greoaie. De fiecare dată această etapă de ameliorare/dezvoltare trebuie să fie urmată de noi evaluări pentru a constata nivelul și măsura însușirii cunoștințelor.

ANEXE

Încercuiți rezolvarea corectă !

a)La un magazin s-au vândut 170 cămăși, iar după-amiază 115 cămăși.

Câte cămăși s-au vândut?

sau

b) Mihai are 54 de ani, cu 5 ani mai puțin decât sora sa, Luiza. Ce vârstă va avea fiecare peste 10 ani ?

sau

Din cele 557 baloane de la un spectacol s-au mai spart și au mai rămas 389. Care baloane erau mai multe, cele sparte ori cele rămase și cu cât?

sau

d) Colierul Monicăi are 46 de mărgele, de două ori mai multe decât cel al Teodorei. Câte mărgele are colierul Teodorei ?

sau sau

e) Cărțile de joc din pachet au fost împărțite câte 16 la fiecare dintre cei doi jucători.

Câte cărți erau în 5 pachete de același fel ?

sau sau

Rezultatelechestionarului Tabelul nr. 1

Testul nr. 1

1. Modifică întrebarea problemei de mai jos astfel încât aceasta să se rezolve printr-o operație de scădere.

La un magazin s-au vândut 170 cămăși, iar după-amiază 115 cămăși.

Câte cămăși s-au vândut?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Rezolvă problema de mai jos în două moduri.

Cărțile de joc din pachet au fost împărțite câte 16 la fiecare dintre cei doi jucători.

Câte cărți erau în 5 pachete de același fel?

Rezolvare (1)

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Rezolvare (2)

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Compune o problemă care să se rezolve prin trei operații de adunare.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Rezultatele testului nr. 1

Tabelul nr. 2

Rezultatele comparative pentru aplicarea chestionarului

Tabelul nr.3

Rezultate comparative privind aplicarea testului

Tabelul nr. 4

PROBLEME ILUSTRATE

1. Mussette are 2 pisoi. Stăpâna îi mai aduce 3.

Câți pisoi are acum Mussette ?

____________________________________

R ______

2. Pinocchio a spus ieri 8 minciuni. Astăzi a spus cu 3

mai puține.

Câte minciuni a spus azi Pinocchio ?

____________________________________

R ______

3. Mica Prințesă are 9 jucării. Ea dăruiește 2 unor

copii săraci.

Câte jucării mai are acum mica Prințesa ?

____________________________________

R :________

4. Pluto are 3 oase. El mai primește de la stăpânul

său încă 4 oase.

Câte oase are acum Pluto ?

____________________________________

R ______

5. Albă-ca-Zăpada pierde în pădure 3 pitici.

Cu câți pitici se întoarce la căsuță Albă-ca-Zăpada ?

_________________________________

R ______

6. Micuțul dalmațian se joacă singur. Dacă ar mai veni

5 frățiori, câți dalmațieni s-ar juca ?

____________________________________

R ______

7. Pe masă erau 5 . Bugs Bunny a mâncat 3.

Câți morcovi au rămas pe masă ?

___________________________________

R _____

Mickey Mouse a „cumpărat” de la bucătărie 3

bucăți de brânză. Dacă mai avea 4, câte bucăți de

brânză are acum ?

___________________________________

R ____

În casă sunt 5 Jerry. Tom prinde 1.

Câți Jerry mai sunt în casă ?

____________________________________

R _____

10. Câți prieteni sunt în imagine ?

+ + =

PROBLEME ILUSTRATE

2.Aplicarea probelor sumative,intervenția prin probe de ameliorare și dezvoltare și elaborarea de PIP

Deoarece colectivul clasei este unul omogen,pe parcursul clasei a IV-a nu s-au înregistrat deficiențe majore,observate în urma aplicării și înregistrării testelor sumative.

Pentru a susține cele menționate prezentăm un modul de evaluare sumativă însoțit de probele de ameliorare și dezvoltare.

FIȘA

de înregistrare a rezultatelor obținute la probele de evaluare sumative,

la nivel de clasă

ȘCOALA:Gimnazială Adanca

DISCIPLINA :Matematică

CLASA:a IV-a

NUMĂR DE ELEVI EVALUAȚI:15

MATRICEA DE SPECIFICAȚII:

REZULTATE OBȚINUTE:

CALIFICATIVE OBȚINUTE LA PROBA DE EVALUARE:

PROBLEME IDENTIFICATE:

MĂSURI AMELIORATIVE (se vor anexa fișele de ameliorare):

exerciții cu ordinea efectuării operațiilor;

rezolvarea de probleme cu mai multe operații;

compunerea de probleme după scheme date.

REZULTATELE REGLĂRII:

Numele……………………………………………………….. Data………………………………

Clasa a IV-a

Probă de evaluare

Matematică

1.Calculează ,apoi efectuează proba: 345+459= 670-345= 7X9= 40:10= ……………….. …………………. ……………….. ………………….

2. Află numărul necunoscut. X+127=300 7Xb=70 y-389=611 81:c=9 ……………….. ……………… ……………….. …………………… ……………….. ……………….. ………………… …………………… ……………….. ………………… …………………. ……………………

3 .Micșorează suma numerelor 450și340 cu dublul lui 8 ………………………………………

Mărește diferența numerelor 500 și 499 cu triplul lui 5 ……………………………………..

4. Calculați, respectând ordinea efectuării operațiilor:

15 x 4 : 2 – 15: 5 x10 = b) [( 328 + 97 – 100) : 5 + (70 + 168 x 5 : 8 )] =

= __________________ = _________________________________________

= __________________ = _________________________________________

= __________________ = _________________________________________ = ___________________ = _________________________________________

5. La o florărie s-au vândut într-o săptămână 430 flori: 232 garoafe, de 2 ori mai putini trandafiri , iar restul lalele.Câte lalele s-au vândut la florărie?

Rezolvare:

6.Suma a trei numere este 717. Al doilea număr este de 3 ori mai mare decât primul și cu 17 mai mic decât al treilea. Aflați care sunt cele trei numere.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Compune o problemă după următoarea schemă:

Fișă de ameliorare

1. Calculați, respectând ordinea efectuării operațiilor:

a) 5 x 4 – 15: 5 = b) [( 112 + 97 ) + (70 + 16 x 5 )] =

= __________________ = _________________________________________

= __________________ = _________________________________________

= __________________ = _________________________________________ = ___________________ = _________________________________________

2. La o florărie s-au vândut într-o săptămână 232 garoafe, și de 2 ori mai putini trandafiri

Câte flori s-au vândut în total la florărie?

Rezolvare:

3.Compuneți o problemă după desenul:

a

b 250

Fișă de dezvoltare

1.Aflati necunoscuta din egalitățile:

[(x-6)-20]:8=5

1001-(15:3-5:a):9=1001

2. Efectuati:

a) 101×15-101×10-101×4=

b)77+7:7-77:7×7+1=

c)425-[375:( 55×5-55:5-50×5)-11]=

3. Un număr se împarte la 4. La câtul obținut se adaugă 19, obținând numărul 56. Aflați numărul.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. Suma a 3 numere este 173. Dacă din primul se scade 25, din al doilea 17, iar din al treilea 26, se obține, de fiecare dată același număr.

Află cele trei numere.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. Un elev trebuie sa rezolve 96 de probleme. În prima zi rezolvă o optime, în a doua zi două sesimi din rest, în a treia zi patru șeptimi din noul rest, iar în a patra zi restul.

Cate probleme a rezolvat a patra zi?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6.Un număr este cu 143 mai mic decât altul. Împărțind pe cel mai mare la cel mai mic se obține câtul 2 și restul 56.

Care sunt numerele?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………

7.Trei copii au 563 timbre. Primul copil are cu 17 timbre mai puțin decât al doilea, iar al treilea cu 10 mai multe decât al doilea.

Aflați câte timbre are fiecare copil.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Conform înregistrărilor din fișa de ameliorare constatăm că elevi au resușit

să-și amelioreze lacunele.

1. EVALUARE INIȚIALĂ – clasa a II- a

Subiecte :

1.

23 + 12 + = 99 35 + 43 + = 24

98 – 24 – = 12 21 + + 25 = 89

– 13 – 36 = 30 – 75 + 34 = 57

2.

a + ( 58 – 26 ) = 75 a – ( 98 – 67 ) = 46

( 89 – 22 ) – a = 24 ( 95 – 74 ) + a = 68

3.

72 + 16 = 35 + 96 – > 13 + 31

– 32 = 87 – 64 23 + < 78 – 13

4.

a) 87 23 64 b) 42 26 15 53

87 23 64 42 26 15 53

5.La diferența numerelor 98 și 67 adaugă suma numerelor 12 și 54.

6.Trei prieteni au împreună 99 de timbre. Primii doi au 68 de timbre, iar ultimii doi 75 de timbre. Câte timbre are fiecare ?

7.Într-o livadă sunt 23 de nuci, cu 12 mai mulți sunt pruni iar restul până la 98 sunt meri. Câți meri sunt în livadă ?

La o cantină s-au adus 57 kg de cartofi, cu 15 kg mai puțină ceapă. S-au consumat 25kg de cartofi și 21kg de ceapă. Câte kg de ceapă și cartofi au mai rămas neconsumate ?

9. Compune câte o problemă după :

a)

15 ?

30

b)

14

100

c)

30 50 ?

2. EVALUARE CURENTĂ ( de progres ) clasa I

Capacitatea : Înțelegerea și efectuarea operațiilor cu numere.

Subcapacitatea : Adunarea și scăderrea numerelor naturale în concentrul 0 – 10

Curriculum: nucleu

Itemii

1. Calculați

4 + 5 = 6 – 4 = 10 – 7 =

9 + 1 = 2 + 6 = 2 + 5 =

7 – 5 = 10 – 4 = 9 – 4 =

2 + 8 = 9 – 6 = 5 + 3 =

2. Scrie numărul necunoscut

….. + 4 = 8 ….. – 3 = 6 …… – 3 = 7

7 + …. = 10 9 – ….. = 5 …… – 2 = 4

3.Găsește numere potrivite pentru a obține rezultatele date:

…… – …… = 7 …… + ….. = 10 …… – …… = 5

…… – …… = 6 …… + ….. = 8 …… + ….. = 9

4. Scrie semnele potrivite pentru a obține rezultatele date:

3 5 1 = 7

7 3 4 = 8

10 9 7 = 8

7 3 4 = 6

5. Calculează și compară:

8 – 6 + 5 7 9 + 1 – 7 4

6. Calculează și fă proba

4 + 6 = 8 – 6 =

_____________ _____________

_____________ _____________

_____________ _____________

7.Compune o problemă după imaginea dată :

______________________________ R =

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

B. Curriculum extins

Itemii

1. a – 3 = 6 9 – a = 5 4 + a = 10

a = a = a =

a = a = a =

___________ ____________ ____________

2.

2 + 1 + ….. = 9 …… – 2 – 3 = 5

…. + 3 + 3 = 10 7 + 3 – ….. = 8

…. – 3 – 2 = 1 6 – …. + 4 = 4

3.

+ = 8 + = 10 + = 10

+ = 8 + = 10 + = 10

4.

8 5 + 4 5 4 + 3 5 + 5 10

3 1 + 2 7 0 + 7 3 + 7 6

5.

a) 3 + > 6 4 + = 4 + 2

b) – 5 = 6 – 3 4 + = 10 – 5

7 – = 3 + 2 6 – 2 = – 4

6.

10 4 3 = 9 6 2 4 = 10

9 1 5 = 5 5 2 2 = 9

7.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

3. EVALUARE SUMATIVĂ – clasa a II- a

Capacitatea : Înțelegerea și efectuarea operațiilor cu numere naturale.

Subcapacitatea : Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 -100 cu trecere peste ordin.

Obiective de referință :

să adune și să scadă cu ușurință numere naturale după cerințe date;

să afle un termen necunoscut al adunării ( scăderii );

să rezolve probleme cu două operații, cu plan de rezolvare,

să compună probleme cu două operații, pornind de la expresii simbolice;

I1 Calculați:

32 + 8 = 56 + 17 = 44 + 9 + 27 = 43 + 17 – 18 =

90 – 6 = 37 – 18 = 56 – 8 – 39 = 80 – 27 + 19 =

I2 Află termenul necunoscut:

a) Suma a două numere este 37, iar al doilea termen este 19.

Care este primul termen ?

b) Descăzutul este 90, iar restul este 79.

Care este scăzătorul ?

I3 Într-o clasă sunt 12 fete și cu 9 mai mulți băieți.

Câți copii sunt în acea clasă ?

I4 Alcătuiți o problemă asemănătoare cu cea rezolvată.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

EVALUARE SUMATIVĂ – clasa a III-a

Capacitatea : Înțelegerea și efectuarea operațiilor cu numere

Subcapacitatea : Înmulțirea numerelor naturale formate din două sau trei cifre cu un număr de o singură cifră ( până la 1000 ) și împărțirea numerelor până la 100.

Itemi :

1.Efectuează :

13 x 7 =

234 x 3 =

158 x 6 =

b) ( 14 + 49 ) x 9 =

( 25 – 19 ) x ( 9 x 17 ) =

72 : 9 x ( 15 x 7 )=

2. Efectuaează și fă corect proba :

7 x 8 =

63 : 9 =

3. Găsește pentru fiecare înmulțire sau împărțire valoarea numerică a literelor :
a x a x a = 27

b x b x b x b = 16

4 . Află pe „a” din egalitățile:
a x 6 = 48

a : 9 x 8 = 72

7 x 109 – a + 54 : 9 = 394

5. Se dau numerele :

a= 91 – 3 x 3 x 4 : 6 + 17

b= 413 + 148 x 0 – ( 39 + 3 x 97 ) – 32 :8

Compară : a b

a + b a – b

a x 4 b x 6

6. Șapte lădițe cu căpșuni cântăresc 63 kg.

Câte kg vor cântări 106 lădițe asemănătoare ?

7. În două cutii sunt 72 de ursuleți și pisicuțe. Ursuleții sunt de 7 ori mai puțini decât pisicuțe. Câte jucării de fiecare sunt ?

8. Compune o problemă după graficul :

?

45

?

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

3.Aplicarea testelor finale și înregistrarea și interpretarea datelor furnizate ;

COMPETENȚE:

Adunarea și scăderea numerelor mai mici sau egale cu 1 000 000;

Înmulțirea și împărțirea numerelor mai mici sau egale cu 1 000;

Ordinea efectuării operațiilor;

Folosirea parantezelor;

Rezolvare de probleme;

TEST

Încercuiți răspunsul corect:

1 ) Suma numerelor 57 032 și 9 878 este:

a ) 65 920 b ) 66 810 c ) 66 910 d ) 64 810

2 ) Diferența numerelor 60 503 și 798 este:

a ) 59 159 b ) 59 714 c ) 79 705 d ) 59 704

3 ) Produsul numerelor 389 și 7 este:

a ) 2 723 b ) 2 685 c ) 4 723 d ) 3 603

4 ) Produsul numerelor 587 și 39 este:

a ) 42 187 b ) 22 893 c ) 22 993 d ) 32 993

5 ) Câtul numerelor 276 și 3 este:

a ) 82 b ) 78 c ) 89 d ) 92

6 ) Câtul numerelor 846 și 2 este :

a ) 423 b ) 424 c ) 425 d ) 426

Rezultatul rezolvării exercițiului este:

A ) 314 – 2 x [( 16 + 5 ) – ( 83 – 79 )] =

a ) 290 b ) 280 c ) 300 d ) 275

B ) 680 + 120 : 6 – 170 x 4 =

a ) 30 b )20 c ) 40 d) 50

C ) 608 : 2 + 50 : 2 x 3 – 75 x 4 =

a ) 69 b ) 59 c ) 49 d ) 79

III . La un magazin de jucării s-au adus 87 mașinuțe mari și 63 mașinuțe mici. O mașinuță mică costă 15 lei, iar o mașinuță mare de doua ori mai mult decât o mașinuță mică. Câți bani s-au încasat dacă s-au vândut toate mașinuțele ?

Rezolvați problema în două moduri.

IV . Suma a patru numere pare consecutive este 808. Aflați cele patru numere.

V. Trei copii au avut 731 de timbre. Primul și al doilea au avut 417 timbre, al doilea și al treilea au avut 564 timbre. Câte timbre a avut fiecare copil?

VI. Să se determine patru numere impare consecutive, știind că suma dintre primul și ultimul număr este 124.

4.Concluzii

De-a lungul demersului didactic de formare și de dezvoltare a elevilor învățătorul va avea în vedere nu numai realizarea cerințelor programei,dar și îndrumarea fiecărui elev în parte,în funcție de dificultățile de comunicare pe care trebuie să le corecteze și apoi să conducă elevul spre progres, să conducă activitatea prin indicații clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și imaginația copiilor spre asociații din ce în ce mai putin întâmplătoare. De asemenea se poate urmări eficient o “colaborare” cu celelalte obiecte de învățământ , învățătorul cerând crearea și rezolvarea de probleme cu expresii noi, îmbogățind vocabularul copiilor , să urmărească exprimarea corectă a acestora, să sugereze folosirea de date geografice , istorice sau din alte domenii

CAPITOLUL V

CONCLUZII

Rezolvarea problemelor de matematică la clasele I-IV reprezintă, în esență , rezolvarea unor situații problematice reale, pe care le putem întâlni în practică, în viață.

În esență, rezolvarea unei probleme necesită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susținute cu cât valoarea necunoscută se găsește în relații mai îndepărtate, mai ascunse față de datele cunoscute ale problemei.

Deoarece , activitatea gândirii se manifestă cu precădere în rezolvarea de probleme, este necesară o studiere în amănunt a modalităților concentrate de rezolvare a problemelor, deoarece acestea dau elevilor din clasele I-IV posibilitatea să-și antreneze permanent, în mod gradat, gândirea, să sporească mobilitatea ei. Acest fapt m-a determinat să aleg ca temă „Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasele I-IV „.

Privite în sine, informațiile cuprinse în programele școlare constituie doar premise latente din punct de vedere al formării personalității umane, ele capătă, însă, valențe educative ca urmare a prelucrării și transmiterii lor de către cadrul didactic.

Rolul conducător al cadrului didactic în activitatea didactică rămâne una din coordonatele de bază ale misiunii sale.

Cadrul didactic, ca expert al actului de predare-învățare-evaluare poate lua decizii privitoare la tot ceea ce se întâmplă în procesul de învățământ. Cadrul didactic, ca agent motivator : declanșează și întreține interesul elevilor, curiozitatea și dorința lor pentru activitatea de învățare.

Analizele întreprinse în această lucrare au fost destinate noțiunilor de problemă, etapelor de rezolvare a unei probleme, demersurilor matematice și metodologiei activității de rezolvare a variatelor tipuri de probleme.

Lucrarea de față este structurată în patru capitole.

În capitolul I am dezbătut noțiuni generale despre problemă. Într-un sens mai larg, am prezentat distincția între exercițiu și problemă, această distincție nefăcându-se după forma exterioară a enunțului ( întâlnim adesea exerciții scrise sub formă de enunț ), ci după natura rezolvării:

Dacă este indicat în mod clar, de la început , ce anume procedeu trebuie folosit , avem de-a face cu un exercițiu ;

Dacă este vorba de un enunț în care nu se arată în mod explicit ce procedeu e potrivit să se aplice, dacă, deci se pune o problemă de gândire privind alegerea modului de rezolvare sau îmbinare a mai multor cunoștințe și procedee cunoscute, într-un mod care trebuie descoperit, avem de a face cu o problemă;

O clasificare strictă a enunțurilor în exerciții și probleme nu este posibilă. Un enunț poate fi o problemă pentru cineva, un exercițiu pentru altcineva și nimic – nici problemă nici exercițiu, ci ceva perfect, clar și cunoscut pentru un al treilea.

Tot în acest prim capitol am delimitat cele două situații în rezolvarea problemelor: când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior ( o problemă tip ) și cazul în care elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa fiind solicitată în găsirea căii de rezolvare.

De asemenea au fost menționate etapele ce trebuie parcurse în rezolvarea unei probleme ( cunoașterea enunțului problemei, înțelegerea enunțului problemei, analiza problemei și întocmirea planului logic, alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic și activitățile suplimentare – verificarea rezultatului;scrierea sub formă de exercițiu; găsirea altei căi sau metode de rezolvare; generalizare; compunere de probleme după o schemă asemănătoare )și sarcinile ce-i revin învățătorului când pune în fața alevilor o problemă, sarcina de a-i conduce pe aceștia la desprinderea de concret pentru a face pasul necesar spre generalizare și aceea de a-i ajuta să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei.

În capitolul al II-lea am analizat tipurile de metode pentru rezolvarea problemelor : metoda figurativă, metoda comparației , metoda ipotezelor și metoda mersului invers.

Metodele algebrice, datorită simplității și conciziunii care le caracterizează , pot fi îmbinate armonios cu metodele aritmetice, dar se întâlnesc și în probleme de aflare a două numere , cunoscând suma și diferența lor sau în cele care se rezolvă prin metoda comparației.

În continuare au fost analizate metodele aritmetice structurate în cele două categorii – metode generale ( metoda analitică și metoda sintetică ) și metode speciale.

Fiecare tip de metodă a fost aplicat și argumentată cu câte un exmplu, deducându-se următoarele:

Metodele aritmetice generale au un grad de aplicabilitate mai mare sau mai mic în rezolvarea tuturor problemelor ;

Procesul analitic nu apare și nu se produce separat de cel sintetic, aceste două operații ale gândirii condiționându-se reciproc, deoarece descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care e alcătuită, constiuie un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare , constituie un proces de analiză , iar formularea planului de rezolvare , constituie un proces de sinteză;

Metoda figurativă sau grafică , prin avantajele pe care le prezintă se situează pe primul plan în ceea ce privește utilizarea ei, putându-se face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora, atunci când este aplicată;

În cazul metodei comparației , întâlnim două situații : situația în care valorile aceleiași mărimi sunt egale prin enunțul problemei și reducerea se face prin scăderea relațiilor respective; și situația când din enunțul problemei nu rezultă valori egale ,apărând astfel necesitatea aducerii la același termen de comparație;

Probleme ale căror rezolvări se bazează pe metoda ipotezelor pot fi clasificate în două categorii : probleme de categoria I pentru rezolvarea cărora e suficientă o singură ipoteză și probleme de categoria a II-a pentru care rezolvarea cărora sutn necesare două sau mai multe ipoteze succesive;

Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor , refăcând calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la elementul de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema.

În capitolul al III –lea a fost studiată rezolvarea problemelor tipice, rezultând următoarele:

Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența , suma și raportul, diferența și raportul lor implică în rezolvare folosirea metodei grafice;

Problemele de mișcare conțin una din mărimile : spațiu ( distanță ) , viteză sau timp când se cunosc două din ele sau relații între acestea , iar în rezolvarea lor se pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale, cât și cele algebrice, ceea ce ne permite să facem o clasificare a problemelor de mișscare în : probleme ce conduc direct la aflarea spațiului, vitezei sau timpului ; probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în sensuri opuse; probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens.

Capitolul IV cuprinde etapele și metodele cercetării pedagogice, am prezentat cercetarea pornită de la ipoteza că elevii gândesc aleatoriu și nu logic atunci când rezolvă probleme. Am încercat să îi provoc pe elevii mei, prin problemele propuse spre rezolvare, să gândească matematic, punându-i frecvent în situația de a „problematiza matematic” aspecte reale în viață.

De asemenea am oferit elevilor spre rezolvare și probleme care redau situații deruntante, punându-i astfel pe aceșia să aleagă între operația corectă și cea cu care ar putea fi confundată sau să aleagă operația care convine dintre alte operații compatibile cu numere date ( de preferință trei operații propuse), reușind să creez astfel un bun prilej de reflecție.

Ipoteza de lucru a fost deci următoarea : elevilor li se formează în ciclul primar deprinderile specifice matematicii pentru rezolvarea de probleme.

Obiectivul fundamental al cercetării a fost de a demonstra că elevii atenți și bine îndrumați pot rezolva probleme apelând la o gândire clară și logică, înțelegând semnificația valorilor numerice, datele problemei, relația ascunsă dintre datele problemei și necunoscută ( orice raționament fiind îndrumat pe calea întâmpinării necunoscutei ) și cuprinzând în raza gândirii nu doar unele fragmente succesive pe care să le pună cap la cap, ci întregul raționament de rezolvare a problemei.

Ca metode de lucru, am folosit observarea pedagogică , ancheta, experimentul , testul, analiza portofoliului elevilor (inclusiv culegerea clasei ) chestionarul.

Experiența pe care am căpătat-o cu prilejul elaborării acestei lucrării, mă îndeamnă să continui cercetarea acestei interesante și frumoase teme, și la elaborarea lucrării de gradul I, cu un studiu experimental în care să folosesc anumite categorii de metode în rezolvarea problemelor de matematică la clasele I-IV și să urmăresc efectele formative ale acestora.

BIBLIOGRAFIE

1. NEAGU, Mihaela ; MOCANU, Mioara .Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași, 2007

2. DUMITRU, Fanache . Manual de informatică pentru clasa a XI-a, filiera teoretică, profil matematică-informatică, aprobat prin ordin MEC nr. 3883/11.06.2002 (varianta C++ ), Editura Gimnasium, Târgoviște , 2002, ISBN 973 – 85920-0-3

3. DUMITRU, Fanache. Manual de informatică pentru clasa a XI-a, filiera teoretică, profil matematică-informatică, aprobat prin ordin MEC n r. 4055/26 iunie 2000 (varianta Pascal), Editura Gimnasium Târgoviște, 2000, ISBN 973 – 99478-5-9

4. BERNESCU, V. Goergescu .Cercetări cu privire la rezolvarea problemelor de aritmetică de către școlarul mic, E.D.P. , București, 2000

5. CERKEZ, Matei , SINGER, Mihaela , PĂDUREANU Victoria. Competențe și calificative, Editura Sigma, București , 1999

6. MANOLESCU ,Marin. CONSTANTINESCU, Maria . GORCINSKI , Gabriela Proiectare și evaluare didactică in învățământul Primar, Editura Steaua Procion București 1997

7. DUMITRU ,Alexandrina. MANOLESCU ,M. Proiectarea în invățământul primar, Editura Procion, Iași, 1997

8. HERESCU , Gheorghe .Matematica pentru învățători , E.D.P. , București, 1996

9. ARON , Ioan Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV E.D.P. București , 1988

10. OPRESCU, Nicolae . Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar , E.D.P. București , 1974

11. POLYA , George. Cum rezolvăm o problemă ? ( traducere din Limba engleză ), Editura științifică, București, 1965

12. Ministerul Educației Naționale . Serviciul național de evaluare și examinare Evaluarea în învățământul primar, Editura Humanitas Educațional , București , 1998

13. Consiliul Național pentru Curriculum. Ministerul Educației Naționale

Curriculum național, București, 2004

BIBLIOGRAFIE

1. NEAGU, Mihaela ; MOCANU, Mioara .Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași, 2007

2. DUMITRU, Fanache . Manual de informatică pentru clasa a XI-a, filiera teoretică, profil matematică-informatică, aprobat prin ordin MEC nr. 3883/11.06.2002 (varianta C++ ), Editura Gimnasium, Târgoviște , 2002, ISBN 973 – 85920-0-3

3. DUMITRU, Fanache. Manual de informatică pentru clasa a XI-a, filiera teoretică, profil matematică-informatică, aprobat prin ordin MEC n r. 4055/26 iunie 2000 (varianta Pascal), Editura Gimnasium Târgoviște, 2000, ISBN 973 – 99478-5-9

4. BERNESCU, V. Goergescu .Cercetări cu privire la rezolvarea problemelor de aritmetică de către școlarul mic, E.D.P. , București, 2000

5. CERKEZ, Matei , SINGER, Mihaela , PĂDUREANU Victoria. Competențe și calificative, Editura Sigma, București , 1999

6. MANOLESCU ,Marin. CONSTANTINESCU, Maria . GORCINSKI , Gabriela Proiectare și evaluare didactică in învățământul Primar, Editura Steaua Procion București 1997

7. DUMITRU ,Alexandrina. MANOLESCU ,M. Proiectarea în invățământul primar, Editura Procion, Iași, 1997

8. HERESCU , Gheorghe .Matematica pentru învățători , E.D.P. , București, 1996

9. ARON , Ioan Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV E.D.P. București , 1988

10. OPRESCU, Nicolae . Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar , E.D.P. București , 1974

11. POLYA , George. Cum rezolvăm o problemă ? ( traducere din Limba engleză ), Editura științifică, București, 1965

12. Ministerul Educației Naționale . Serviciul național de evaluare și examinare Evaluarea în învățământul primar, Editura Humanitas Educațional , București , 1998

13. Consiliul Național pentru Curriculum. Ministerul Educației Naționale

Curriculum național, București, 2004