Istoria Matematicii. Studiul Individual al Elevilor din Invatamantul Primar

ISTORIA MATEMATICII,

STUDIUL INDIVIDUAL AL ELEVILOR DIN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

MOTIVAREA ALEGERII TEMEI

Îmi doream ca pentru motivarea alegerii temei să folosesc cuvinte „mari”, crezând că astfel voi accentua importanța temei alese și anume :,,Istoria matematicii, studiul individual al elevilor din învățământul primar”, dar nimic din ceea ce așterneam pe hârtie nu mă mulțumea și nu mi se părea destul de convingător, însă căutând materiale pentru lucrarea de licență ochii mi s-au oprit asupra următorului text :

,,Orice profesor de matematici, din orice colț al țării și de la orice școală, trebuie să fie apostol al specialității sale. Din felul cald și luminos cum își face lecțiile, din drumul drept și demn pe care îl urmează în viață, trebuie să apară limpede că judecata matematică precisă și sigură, curată ca cristalul, are o înaltă și admirabilă valoare educativă pe viață.

Adevărul curat, adevărul drept, adevărul luminos, să fie îndreptarul vieții noastre. Aceasta să fie contribuția specialității noastre la îndrumarea neamului românesc, pe calea care-i stă deschisă” (Gheorghe Țiteica)

Aceste cuvinte scrise de marele nostru geometru Gheorghe Țiteica, mi s-au părut a fi cele mai mărețe și prețioase cuvinte pe care le-aș fi putut folosi pentru a începe motivarea temei alese.

În perioada actuală,când dezvoltarea științei a luat o mare amploare,iar progresul tehnic se cere introdus în toate domeniile de activitate,se poate spune,pe drept cuvânt,că nu se mai poate fără matematică.Viața modernă cere omului să se cultive necontenit datorită faptului că toate profesiunile se „intelectualizează”.Se urmărește din acest punct de vedere să se cultive mai mult gândirea divergentă a elevilor,căutarea de soluții originale,rezolvarea problemelor prin mai multe metode,sporind în acest fel și randamentul învățământului.

În școală elevii învață multe, dar adevărata învățătură este aceea pe care și-o câștigă singuri. Școala dă doar o orientare generală în anumite probleme dar pentru trebuințele activității practice este nevoie de o specializare, de cunoștințe de amănunt, care numai prin muncă personală se pot câștiga.

Noi dascălii, avem marea responsabilitate de a îndruma copilul pe cărarea cea mai optimă

care va duce cu siguranță la cunoaștere, suntem cei care la răscruce de drumuri trebuie să facem alegerea cea mai bună pentru copil, aceea de a folosi metodele didactice eficient.

Pentru a dezvolta gândirea creativă a elevului trebuie să îi lăsăm libertatea de a tria informațiile pe care le descopera,sa îl încurajăm în căutarea sa.În acest fel îi putem dezvolta dragostea pentru științele matematice ,gândirea logică și astfel îi stimulam efortul si studiul individual.

Iar, dacă în statele avansate cu ajutorul calculatoarelor performante se determină alte exemple de tipuri de numere create în matematică, de-a lungul vremii regăsim necesitatea studiului actual din partea elevilor deoarece trebuie să recunoaștem două puncte :

– știința este deschisă, în particular matematica;

– trebuie să-i obișnuim pe elevi că prin studiul personal vor avea șansa de a descoperi noi adevăruri și de a face noi conexiuni.

CLARIFICĂRI CONCEPTUALE

Învățământul primar continuă activitatea de formare și educare a copiilor începută în etapa educației timpurii. Este parte integrantă a învățământului obligatoriu și aduce o contribuție însemnată și specifică în procesul de însușire a instrumentelor fundamentale ale activității intelectuale care le va permite elevilor să facă față cu succes pregătirii școlare următoare. (Molan, 2010)

Învățământ primar este forma de învățământ cu caracter obligatoriu, în care se predau elementele de bază ale celor mai importante discipline și care constituie primele 5(cinci) clase ale școlii generale. ( DEX – Dicționarul explicativ al limbii române. Ediția a II-a)

Studiul individual funcționează ca o disciplină intelectuală, acoperind necesități variate:

– formează obiceiul de a studia;

– oferă timp suplimentar pentru aprofundarea materiei, care nu poate fi acoperită în orele de clasă;

– completează și consolidează lucrările efectuate în clasă;

-stimulează inițiativa elevilor, independența și responsabilitatea și reduce diferențele între activitatea de acasă și școală;

– îmbogățirea și adâncirea informației;

– cultivarea interesului pentru diferite ramuri ale științei și tehnicii;

– lărgirea orizontului cultural-științific;

– îi obișnuiește să caute contactul cu informația de calitate și cultură în viața de zi cu zi;

– folosirea timpului liber într-un mod plăcut (romedic)

Studiul individual este deosebit de important în fixarea și stocarea cunoștințelor. Acesta este cu atât mai eficient cu cât subiecții educaționali au inițiativa în căutarea informațiilor, în identificarea surselor de informație, în selectarea cunoștințelor necesare, în organizarea lor în sisteme de cunoștințe.În acest fel cunoștințele sunt mai bine înțelese, interiorizate, putând fi redate într-o manieră personalizată. (tuiasi. ro-curs de pedagogie II)

Într-o lucrare, centrată pe evaluarea competențelor elevilor se consideră că în învățământul general obligatoriu trebuie identificate și stabilite competențele pe care școala trebuie să le formeze elevilor, competențe din care face parte matematica și lectura, cititul și documentarea individului.

În ceea ce privește studiul individual, elevul trebuie să beneficieze de mai mulți factori pentru ca acest studiu să fie unul cu rezultate bune :

– Elevul trebuie să aibă :

– sănătate;

– structură și operativitate cognitivă;

– inteligență generală;

– inteligență socio-emoțională;

– voință și motivație;

– timp alocat studiului, etc.

Alți factori al reușitei elevului sunt: familia (calitatea climatului familial), profesorul (competența profesională), școala (climat școlar responsabil), grupul de elevi, grupul de profesori, societatea civilă, tehnologii educaționale, context/mediu, relații educaționale.

În ceea ce privește lectura, a interpreta elementele scrise și a reflecta asupra conținutului și calității textelor, constituie aptitudini fundamentale.

În matematică, a fi capabil de a raționa în termeni cantitativi și de a identifica relații de dependență sau de corespondență este mai important decât de a încerca să răspunzi la întrebări care figurează de regulă în cărți.

Cultura matematică este definită ca o capacitate a unui individ de a înțelege rolul matematicii și de a utiliza această disciplină urmărind căi adaptate nevoilor sale.

CAPITOLUL I

MATEMATICA ÎN PREISTORIE

Istoria matematicii nu are un început clar definit, însă apariția matematicii este strâns legată de evoluția omului. Dezvoltarea matematicii în primele ere ale civilizațiilor este legată de necesitățile oamenilor de atunci : comerțul, gestiunea recoltelor, măsurarea suprafețelor, predicția evenimentelor astronomice, ritualurile religioase

Scrierea cea mai veche din lume este scrierea pictografică sumeriană.

În anul 35.000 I.Hr s-a descoperit în Munții Lebombo din Africa de Sud cel mai vechi obiect matematic, Osul Lebombo. Acest os este un os de babuin, care are pe el 29 de incizii și tot în Africa ș Franța au fost descoperite alte izvoare istorice care arată încercarea de a măsura timpul. Aceste izvoare istorice datează din perioada 35.000-20.000 î.Hr.O altă descoperire legată de istoria matematicii este Osul Ishango. Acesta a fost descoperit în nord-estul statului Congo, în apropiere de izvoarele Nilului de arheologul belgian Jean de Heinzelin de Brancourt și are o vechime de aproximativ 20.000 de ani.Pe acest os se găsesc o serie de incizii dispuse pe trei coloane de a lungul osului.Aceste șiruri de incizii au fost interpretate ca șiruri de numere prime sau calendarul de șase luni iar în mileniul al V –lea î.Hr, apar primele picturi geometrice.(Purcaru,1996)

CAPITOLUL II

MATEMATICA ÎN ANTICHITATE

Începând cu anul 1850 au fost descoperite aproximativ 400 de tăblițe din argilă. Ele au fost scrise cuneiform atunci când argila era încă moale apoi arse în cuptoare sau la soare. Din aceste tăblițe vin cunoștințele noastre privind matematica babiloniană. După o perioadă, Mesopotamia dar mai ales Bagdadul, a devenit un punct important de studiu pentru matematicienii islamici.În jurul anilor 2500 î.Hr, sumerienii au scris tabele de multiplicare pe argilă pe care făceau exerciții geometrice și probleme de divizibilitate și tot de atunci au început să existe și primele documente ale numerelor sumeriene.(wikipedia)

Tăblițele de argilă descoperite în perioada 1800-1600 î.Hr, tratează exerciții care conțin fracții, ecuații pătratice și cubice cât și calculul unor numere remarcabile. Tot aceste tăblițe conțineau și tabele de înmulțire și metode de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice. Matematicienii babilonieni foloseau sistemul numeric cu baza 60. Din acest sistem numeric provine și împărțirea cercului în 360 de părți și a orei în 60 de minute, unde secundele și minutele unui grad arată fracțiile acelui grad.( coolschool)

Egiptenii au avut o scriere proprie, scrierea hieroglifică. Materialul pe care scriau este un fel de hârtie confecționată din tulpini de papirus presate și uscate.Se obțineau astfel fășii de lungimi impresionante care se rulau sub formă de suluri. Cartea morților era un papirus lung de 27 de m iar cel mai bun calendar din antichitate, este un calendar egiptean, creat în mileniul al IV-lea I.Hr și este unul solar. Acesta a fost preluat de către Iulius Cesar în calendarul iulian.Egiptenii foloseau acest calendar format din 365 de zile (12 luni, a câte 30 de zile fiecare, iar la sfârșit adăugau o perioadă de 5 zile). Ei rezolvau probleme practice de geometrie și foloseau sistemul zecimal.(Oane,2012)

Prima dată egiptenii au scris textele matematice în egipteană iar mai apoi în greacă.

Cel mai vechi și mai important text egiptean este Rhind papyrus. El se mai numește și Ahmes Papyrus. Acest nume îi revine după autorul său. Rhind papyrus datează din anii 1650-1700 î.Hr și pare a fi un manual pentru studenții în aritmetică și geometrie.În el găsim metode pentru înmulțiri, împărțirii, calcul cu fracții, formule pentru arii, informații despre numerele prime și compuse, media aritmetică, geometrică, armonică, Ciurul lui Eratostene, teoria numerelor perfecte și cum se rezolvă ecuațiile de gradul întâi.Conține 85 de probleme de matematică. Poartă numele egiptologului Alexander Henry Rhind, care l-a achiziționat în anul 1858 din Luxor.Este lung de aproape 20 m și lat de 32 cm și se păstrează la British Museum din 1865.Papirusul a fost scris de scribul Ahmes prin anul 1650 î.Hr și poartă titlul : ,,Instrucțiuni pentru a cunoaște toate lucrurile secrete”. Ahmes spune că acest papirus copiază un alt document ce data de 200 de ani. Problemele sunt grupate în trei categorii : probleme de aritmetică, de arii și volume, diferite probleme cu caracter economico-aplicativ.

(wikipedia)

Moscova Papyrus –a fost numit după primul său proprietar Vladimir Golenishchev. Acesta a cumpărat papirusul în 1892 sau 1893 din Teba. Acest papirus are aproximativ 18 m lungime și între 3,8 și 7,6 cm lățime. El conține 25 de probleme la care au fost adăugate soluții de către Vasili Vasilievici Struve. Este mai mic decât Papyrus Rhind dar mai vechi decât acesta.

Alte texte matematice din Egiptul Antic includ :

-Berlin Papyrus, de asemenea, cunoscut sub numele de Berlin Papyrus 6619. Berlin Papirusul conține două probleme;

-Matematică de tip rolă de piele egiptean;

-Lahun matematică Papirusul.

Egiptenii cunoșteau Steaua dimineții (planeta Venus), Astrul strălucitor (Jupiter) și Horus cel roșu (Marte) și tot ei împărțeau cupola cerului în 36 de sectoare, fiecare dominat de un astru sau o constelație.(Ștefănescu,2008)

În Egipt existau 7 hieroglife ce reprezentau numere.

2.1 Matematica în Grecia antică

În Grecia, matematica a început odată cu Thales din Milet, aproximativ cu anul 600 î.Hr, și Pitagora din Samos. Matematicienii greci scriau în limba greacă. Ei foloseau raționamentul deductiv (logica pentru a trage concluzii din definiții și axiome). El a prezis eclipsa de soare din 28 mai 585 utilizând tabele de observații babiloniene.(Albu,2009)

2.1.1 Thales din Milet

S-a născut în aproximativ anul 635 î.Hr.și a decedat în circa.543 î.Hr. A rămas în matematică prin mai multe teoreme :- Un unghi înscris într-un semicerc este drept;- Un cerc este împărțit în două de un diametru;- Unghiurile opuse la vârf sunt egale;- Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale;- Suma unghiurilor unui triunghi este două unghiuri drepte;

– Două unghiuri sunt congruente dacă au o latură și unghiurile alăturate ei respectiv egale.

Thales a murit la o vârsta înaintată, în timpul unor manifestări sportive, din cauza unor călduri excesive.Pe mormântul său este o inscripție care spune :” Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuși renumita sa înțelepciune a ajuns la ceruri”. ( Crăciun, 2012)

Problemă :

Fie ABC un triunghi și MN || BC cu M, N pe laturile AB și AC ale triunghiului. Aflați AN și AC dacă AM=2 cm, AB=4 cm, NC=4 cm.(Crăciun,2012)

Rezolvare :

AN, AC=?

„În orice triunghi, o paralelă la o latură, împarte celelalte două laturi în segmente proporționale”.

Thales : => = =>AN= = = >AN=4 cm

AC=AN+NC=>AC= 4cm +4 cm =8 cm

2.1.2 Pitagora (Pythagoras)

A fost una dintre figurile cele mai influente și mai misterioase ale matematicii. El s-a născut pe insula Samos pe la 569 I.Hr și i-a avut ca profesori pe Pherekydes, Thales și Anaximandru. A creat o școală în Samos, numită „semicercul” lui Pitagora (după Iamblicos) iar în anul î.Hr a creat o altă școală în Crotona care avea motto-ul „Totul este număr”. Această sectă numită Frăția lui Pitagora era alcătuită din 600 de discipoli care îi îmbunătățeau învățăturile cu noi idei și demonstrații. Era o frăție care avea principii egalitariste și includea și câteva surori. Pitagora avea și o elevă favorită, pe Theano, fiica lui Milan-cel mai bogat locuitor din Crotona. Între Pitagora și Theano era o diferență mare de vârstă dar în ciuda acestui fapt ei s-au căsătorit.

Pythagoreii au încercat să influențeze politica dar au întâmpinat rezistență. Pitagora se exilează și moare, se spune, la Metapont, în 475 î.Hr.Tot el a folosit primul numele „mathematica” (ceea ce se învață) pentru toate cunoștințele de matematică.În timpul călătoriilor sale prin lumea antică Pitagora, și-a însușit multe tehnici matematice de la egipteni și babilonieni. El a fost invitat la curtea lui Polycrat, dar aceasta era o tactică de al reduce la tăcere pe Pitagora. Pitagora, dându-și seama de ceea ce avea să facă Polycrat, s-a mutat într-o peșteră unde putea să mediteze fără teamă. După un timp, pentru că nu îi plăcea izolarea, Pitagora a mituit un băiețel pentru a deveni primul său elev. Acesta plătea băiețelul cu 3 oboli pentru fiecare lecție pe care i-o preda iar pentru a-l testa pe copil, Pitagora, i-a spus acestuia că nu mai are cu ce să îl plătească și că renunță la lecții. Băiatul în loc să renunțe la instruire i-a oferit el bani lui Pitagora pentru a continua lecțiile.

Pentru Pitagora, cea mai frumoasă figură solidă este sfera, iar dintre cele plane, cercul. Dintre numere, zece este numărul perfect :

1+2+3+4=10,

care scris cu puncte se obține un triunghi.

Conform lui Pitagora, perfecțiunea numerelor depinde de divizorii acestora.

Exemplu :

Divizorii lui 12 exceptând numarul însuși sunt 1,2,3,4 și 6. Un număr a cărui sumă de divizori este mai mare decât numărul însuși, se numește număr ,,excesiv” (suma divizorilor lui este 16). Dacă suma divizorilor este mai mică decât numărul însuși atunci numărul este,,defectiv” (numărul 10 este un număr defectiv –suma divizorilor săi este 8).

Cele mai rare și cele mai semnificative sunt numerele perfecte. Acestea sunt cele care au suma divizorilor cu excepția numarului însuși egală cu numărul însuși (6 are ca divizori pe 1,2 și 3 iar suma lor este 6 deci, este un număr perfect).Pe lângă semnificația matematică specială atribuită de secta lui Pitagora, perfecțiunea numerelor 6 și 28 a fost remarcată și de alte civilizații. S-a observat că Luna face o rotație completă în jurul Pământului la fiecare 28 de zile și că Dumnezeu a creat lumea în 6 zile. Sfântul Augustin spune că, deși Dumnezeu ar fi putut crea lumea într-o singură clipă, El s-a decis să zăbovească 6 zile la această lucrare. Sfântul Augustin a remarcat că numărul 6 nu era perfect pentru că îl alesese Dumnezeu ci mai degrabă perfecțiunea era inerentă naturii sale ,,6 este numărul perfect prin sine însuși și nu pentru că Dumnezeu a creat lumea în 6 zile; contrariul este mai degrabă adevărat; Dumnezeu a creat lumea în șase zile pentru că acest număr întruchipează perfecțiunea și lucrurile ar sta la fel chiar dacă opera celor șase zile nu ar fi existat”.

Primul număr perfect este 6, al doilea 28, al treilea 496, al patrulea 8 128, al cincilea 33 550 336 iar al șaselea 8 589 869 056. Pitagora a observat că toate numerele perfecte reprezintă mereu suma unor serii de numere naturale consecutive :

6=1+2+3,

28=1+2+3+4+5+6+7,

496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+… +30+31,

8128=1+2+3+4+5+6+7+8+9+… +126+127.

Pitagora, fiind amuzat de numerele perfecte și-a propus să le descopere semnificația ascunsă :

Una dintre intuițiile sale de geniu a fost că perfecțiunea se înrudește îndeaproape cu principiu,, diadei”. Numerele 4(2×2), 8(2x2x2), 16(2x2x2x2) etc. sunt cunoscute ca puteri ale lui 2, și pot fi scrise ca 2n, unde n reprezintă numărul de cifre 2 care se înmulțesc. Toate puterile lui 2 își ratează șansă la perfecțiune, pentru că suma divizorilor lor e întotdeauna mai mică decât numărul însuși. Asta face ca ele să nu fie decât ușor defective :

22=2×2 =4 divizori :1,2 iar suma divizorilor 3

23=2x2x2 =8 divizori :1,2,4 iar suma divizorilor 7.

Pitagora a înțeles că numerele se ascund peste tot, de la armoniile muzicale la orbitele planetelor, iar aceasta l-a facut să proclame că „Totul e Număr”.( (Singh,2000,p.21-34)

Scrierile lui Pitagora nu s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de înmulțire, care îi poartă numele.

Lui Pitagora i se atribuie descoperiri ca :

– Numerele pătrate (n2) și triunghiulare (n (n+1)/2) și reprezentarea acestora;

– Proporțiile de bază : media aritmetică, media geometrică, media armonică și relațiile dintre ele:

-Seria naturală a armonicelor (exprimarea sunetelor cu numere :
)

– Teorema lui Pitagora (Proclus spune că Pitagora a jertfit un bou, când a descoperit-o. ,,Într-un tringhi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor”.

Problemă :

Fie triunghiul ABC dreptunghic în A.Să se afle perimetrul triunghiului dacă se cunosc :

AB=3 cm și AC=4 cm

Rezolvare :

P ABC=AB+AC+BC

BC2=AB2+AC2=>BC2=32+42=9+16=>BC2=25=>BC=5cm

P ABC=3+4+5=12 cm

– Construcția pentagonului și decagonului regulat înscrise în cerc.

Mai mult în școala pitagoreică s-au studiat tipurile de proporții ce vor fi listate în ,,Elementele”lui Euclid.

Alți matematicieni eleni ce-l preced pe Euclid sunt : Hippias din Elis (425 i.Hr), Antiphon (425 î.Hr), Hippocrates din Chios (425 î.Hr), Theaetetus (369 î.Hr), Eudoxus (408-355 î.Hr-a dezvoltat metoda exhaustivă, ce constituie un precursor al noțiunii de integrală) și Menaechmus (350 î.Hr). (Ștefănescu, 2008,p.41- 46)

2.1.3 Euclid (cca.300 i.Hr)

Este primul care utilizează un format folosit în matematică și astăzi, și anume definiție, axiomă, teoremă și demonstrație. Tot el a studiat și conicele. Cartea sa,” Elemente” era cunoscută pe scară largă în Vest până la mijlocul secolului al XX-lea și a fost împărțită în 13 cărți. Această lucrare reprezenta o sinteză a cunoștințelor matematice acumulate în școala lui Pitagora. Datorită nivelului științific ridicat al lucrării cât și talentului pedagogic, această celebră lucrare a fost utilizat aproximativ 22 de secole, fiind după Biblie și Coran cartea cea mai răspândită în lume ca număr de ediții. Ea a fost tradusă și în limba română. (Albu,2010)

Se presupune că primul exemplar din această carte ar fi fost scris pe un papirus de 10 metri lungime.Pe lângă teoreme de geometrie, Elementele includ demonstrația faptului că rădăcina pătrată a lui 2 este irațională și faptul că există o infinitate de numere iraționale. (math. Uaic.)

Avea să îmbunătățească relația intuită de Pitagora între dualitate și perfecțiune. Tot el a descoperit că numerele perfecte sunt întotdeauna multiplii a două numere dintre care unul este o putere a lui doi, iar celălalt putere a lui 2 minus 1. Astfel :

6=21x (22-1),

28=22x (23-1),

496=24x (25-1), etc.

Calculatoarele de astăzi au continuat să caute numere perfecte și au găsit exemple uimitoare ca 2216 090x (2216091-1), un număr cu peste 130 000 de cifre care respectă regula lui Euclid.(Singh,2000)

Un interes edificator este propoziția : „o latură a unui triunghi este mai mică decât suma celorlalte 2 laturi”. Euclid încearcă să elucideze întrebarea dacă această propoziție trebuie înscrisă printre axiome sau printre teoreme. Acest exemplu este edificator pentru rigoarea cu care Euclid studiază elementele geometriei. În cele 13 cărți ale „Elementelor”, autorul pune bazele geometriei și a raționamentului deductiv.(Savu,2011)

2.1.4 Eratostene (276 i. Hr-196 i.Hr)- În matematică, ciurul lui Eratostene este un algoritm simplu și vechi de descoperire a tuturor numerelor prime până la un întreg specificat.

Exemplu : Să se afle numerele prime cuprinse între 2 și 26.

Numere prime : 2,3,5,7,11,13,19,23

Pentru a afla numere prime din tabelul alăturat procedăm astfel : Păstrăm numărul 2 și marcăm toate numerele multiplu de 2. După marcarea multiplilor lui 2, următorul număr nemarcat este 3. El este prim deoarece nu este divizibil cu 2. Lăsăm nemarcat numărul 3 și marcăm toți multiplii săi. Următorul număr nemarcat este 5(este prim deoarece nu se divide cu 2 sau cu 3) pe care îl lăsăm dar marcăm multiplii săi. Continuăm acest procedeu până când terminăm toate numerele din tabel, aici până la numărul 26. Numerele rămase nemarcate sunt numere prime.Metoda lui Eratostene de a determina numerele prime este foarte interesantă și este utilizată și astăzi. Această metodă a fost mult mai târziu generalizată de V.Brun și Silberg în 1966.La vârsta de 40 de ani, Eratostene, a fost invitat la curtea regelui Ptolomeu al III-lea al Egiptului ca profesor pentru fiul său și moștenitorul tronului și astfel ajunge în fruntea bibliotecii din Alexandria. A fost astronom al curții regale și membru al Academiei din Alexandria și tot el este considerat fondatorul geografiei matematice.A calculat lungimea meridianului pământesc. (Nicastro,2008)

2.1.5 Arhimede (cca.287-212 i.Hr) din Siracuza. Arhimede se ocupă de cercetări geometrice legate de mecanică, fizică, tehnică, reușind să rezolve probleme de calcul ariilor și volumelor care prefigurează apariția calculului integral.

În cea mai cunoscută lucrare a sa „Măsurarea cercului”, el a rezolvat problema aflării lungimii cercului, fiind primul care a aplicat o metodă de aproximare succesivă (metoda poligoanelor regulate înscrise și circumscrise unui cerc, ale căror perimetre tind spre circumferința cercului pe măsură ce numărul de laturi crește) cu ajutorul căreia a determinat raportul dintre lungimea cercului și diametrul acestuia (numărul transcendental), găsind că valoarea lui este cuprinsă între numerele 3 și 3 pentru poligoanele regulate cu 96 de laturi. Această metodă, cunoscută și sub numele de metoda exhaustivă a lui Eudoxus, nu este echivalentă cu operația de trecere la limită. Deci, nu se poate spune că Arhimede a cunoscut operația de trecere la limita specifică calculului infinitezimal, deși s-a apropiat foarte mult de aceasta.(wikipedia)

De asemenea, el a calculat aria segmentului de parabolă cu ajutorul a două sume care se apropiau foarte mult de o valoare comună care . Într-o alte lucrare a sa, el a propus o metodă originală pentru scrierea numerelor foarte mari. Această metodă, asemănătoare funcției exponențiale, i-a permis să exprime numărul firelor de nisip care ar umple întregul univers considerat ca fiind o sferă având ca diametru aproximativ un an lumină. Alte rezultate obținute de Arhimede în matematică sunt : calcularea lungimilor arcelor unor curbe, a ariei unui sector de spirală (spirala lui Arhimede), aria și volumul sferei, cilindrului și a corpurilor, generate prin rotația unor curbe.(referat.ro)El a mai studiat și spirala care îi poartă numele, formule pentru volumul suprafețelor de revoluție, cât și un sistem ingenios de exprimare a numerelor foarte mari. Arhimede a formulat teoria pârghiilor și a scripeților, a centrelor de greutate și a echilibrului corpurilor rigide, punând astfel bazele staticii (ramură a mecanicii), cât și legilor hidrostaticii. El a afirmat că :” dacă ar avea un punct fix în spațiu ar putea mișca Pământul”.

Arhimede își desena figurile pe nisipul plajei, pe pământ bătut sau în cenușă pusă pe o pardoseală ori pe propriul să corp, uns în prealabil cu untdelemn; pe corp trasa figurile cu ajutorul unghiei. Când generalul roman Marcellus a cucerit în anul 212 î.e.n. Siracusa din Sicilia, orașul lui Arhimede, un soldat roman a dat peste acest geniu contemplându-și cercurile pe care le desenase pe nisip. „Nolite turbare circulos meos !” (nu-mi strica cercurile) i-a strigat Arhimede soldatului; dar romanul, iritat, l-a înjunghiat cu spada, omorându-l.(referat.ro)

Este considerat cel mai mare matematician din antichitate.

2.1.6 Hypatia din Alexandria

În anul 370 e.n. s-a născut cea mai mare minte feminină a antichității și totodată prima matematiciană din istorie : Hypatia. Hypatia era fiica lui Theon, unul dintre cei mai educați bărbați din întreaga Alexandria. Acesta era astronom și matematician, profesor la Universitatea din Alexandria și un gânditor renumit în întreaga regiune, astfel că Hypatia a crescut într-un mediu propice dezvoltării intelectuale. Theon a învățat-o pe Hypatia să aibă mereu mintea deschisă, neîngrădită de vreun sistem religios care să nu-i mai permită să descopere adevăruri științifice. „Rezervă-ți dreptul de a gândi, căci chiar și a gândi greși e mai bine decât a nu gândi deloc”, i-ar fi spus Theon fiicei sale. Hypatia a moștenit pasiunea tatălui ei pentru matematică. Hypatia era renumită în toate colțurile lumii civilizate. Exemple ale prestigiului de care se bucura există în scrisorile care s-au păstrat până astăzi : mințile luminate care-i scriau Hypatiei menționau ca destinatar doar „muza din Alexandria” sau „filozoafa din Alexandria”, nefiind nevoie să adauge alte detalii pentru ca scrisorile să-i parvină. (descoperă.ro)

2.2 Matematica în China antică

În China, matematica pare să fi început undeva între 1200 î.Hr și 100 î.Hr cu textul matematic chinezesc The Chou Pei Suan Ching.

Așa-numitul Rod numerals era un sistem numeric zecimal folosit de matematicienii chinezi.În acest sistem ei foloseau simboluri distincte pentru numerele între 1 și 9 și alte simboluri pentru primele patru puteri ale lui 10(suan-zi). Din seria acestor simboluri lipsește cifra 0 pentru că nu o foloseau încă. Cifrele erau reprezentate prin bețișoare. El se realizează prin combinații simple de bețișoare, atât pe orizontală, cât și pe verticală. (fig.2.4)Cu ajutorul acestui sistem numeric, matematicienii chinezi puteau reprezenta numerele foarte mari și chiar le puteau calcula. Această numărătoare a fost menționată în anul 190 d.Hr, în cartea Supplementary Notes on the Art of Figures scrisă de către Xu Yue (160 -227 d.Hr China-matematician și astronom chinez).(Ștefănescu,2008)

În perioada 202 î.Hr-220 d.Hr în timpul dinastiei Han, au apărut mai multe lucrări de matematică printre care și Cele nouă capitole despre Arta Matematică, apărută în 179 d.Hr. Aceasta pare să fie cea mai importantă lucrare despre matematică din acea perioadă. Această lucrare conține probleme din diverse domenii : agricultură, afaceri, inginerie, etc. Tot în această carte se dă o demonstrație matematică a teoremei lui Pitagora și o formulă pentru metoda eliminării lui Gauss.(prezi.com)

O carte cu soluțiile problemelor matematice din ,,Cele nouă capitole despre Arta Matematică”, apare în secolul al III-lea, scrisă și editată de Liu Hui (220-280 d.Hr China). Liu Hui, a fost un matematician care a cochetat în domeniul cartografiei și matematicii în același timp, și a reușit să aducă descoperiri matematice și idei în acest timp istoric vechi. El a descoperit că o pană, care are o bază de trapez și ambele părți înclinate ar putea fi transformate în două pene tetraedrice, repartizate pe o piramidă. (famous-mathematicians.com)

2.3 Matematica în India antică

Cele mai vechi dovezi matematice din India sunt Shatapatha Brahmana-sec al –IX-î.Hr.În Sulba Sutras (cca.800 i. Hr-200 d.Hr) sunt menționate pătratele, dreptunghiurile, sunt prezentate metode pentru construirea unui cerc cu aproximativ aceeași arie ca cea a unui partrat dat, se calculează rădăcina pătrată a lui 2 cu câteva zecimale și un enunț al teoremei lui Pitagora. ( .math.uaic.ro)

Pingala (sec al-V-lea i.Hr)-a folosit într-un tratat al său un sistem corespunzător sistemului binar și tot în acest tratat prezintă idei de bază legate de numerele lui Fibonacci.În aproximativ anul 400 d.Hr, în Surya Siddhanta sunt introduse funcțiile trigonometrice sinus și cosinus și funcția inversă sinusului. (math. Uaic.ro)

În antichitate, matematica era în plină dezvoltare și apar două ramuri ale matematicii : geometria și aritmetica.

Nu pot trece la următorul capitol și anume Matematica în evul mediu, fără a aminti și de alți mari matematicieni ai lumii antice :

Anaximene (585 î.Hr. – d. 525 î.Hr.), a dat o explicație pentru circuitul apei pe baza aerului ca element primordial;Apoloniu din Perga (Perga, cca.262 î.Hr.  — Alexandria, cca.190 î.Hr.), a fost un geometru și astronom grec, ce aparținea Școlii Alexandrine, celebru mai ales prin scrierile sale privind secțiunile conice;Aristarh din Samos (n. 310 î.Hr. – d. 230 î.Hr.) a fost un astronom și matematician grec, primul care a susținut că Pământul se rotește în jurul Soarelui iar în anul 288 î.Hr dezvoltă teoria heliocentrică;Autolycos din Pitana (cca.360 î.Hr. – cca.290 î.Hr.) a fost un matematician din Grecia antică. În lucrarea ,,Asupra sferei în mișcare”, a elaborat geometria suprafeței sferice înaintea lui Euclid;Dinostratos (n. c. 390 î.Hr. – d. c. 320 î.Hr.) Este unul dintre primii matematicieni care a utilizat metoda de demonstrație prin reducere la absurd;Diofant (n. între 200 și 214 d.Hr. la Alexandria – d. între 284 și 298). Este întemeietorul algebrei. La Diofant apare pentru prima dată noțiunea de număr negativ, deși nu a lucrat cu astfel de numere și expune metodele utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și al II-lea;Heron din Alexandria (cca.10 – 70 d.Hr.) A stabilit formula pentru aria rombului (ca semiprodusul diagonalelor); a determinat volumele corpurilor; a tratat problema duplicării cubului; a redat metoda de determinare aproximativă a rădăcinii cubice, a definit termeni tehnici din geometrie. I se atribuie formula lui Heron de calcul al ariei unui triunghi cunoscând lungimile laturilor. (www.scoala.seitin.ro)

Menelau din Alexandria (cca. 70 – 140 d.Hr.) I se atribuie teorema care îi poartă numele (teoremă lui Menelaus), precum și descrierea conceptului de geodezică (generalizare a noțiunii de linie dreaptă într-un spațiu curbiliniu) .( scoala.seitin.ro)

Dacă punctele D, E și F se conțin, respectiv, în dreptele BC, CA și AC ale triunghiului ABC, rezultă că ele sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația :

(ro.math.wikia.com)

Ptolemeu (n. cca. 87 d.Hr., probabil în Ptolemais Hermii — d.cca. 165 d.Hr., Alexandria). Ptolemeu a contribuit la dezvoltarea trigonometriei. (wikipedia.org)

CAPITOLUL III

MATEMATICA ÎN EVUL MEDIU

3.1 Leonardo Fibonacci (1175-1240)

A fost unul dintrei cei mai mari matematicieni ai evului mediu. Datorită tatălui său care era ofițer vamal în Africa de Nord și pe care îl însoțea, Fibonacci a desprins știința matematică a arabilor și indienilor precum și scrierea cifrelor arabe.

Dintre lucrările sale s-au păstrat 5:

– În anul 1202, în Italia, publică un tratat de aritmetică și algebră numit, Incipit Liber Abacci” care a fost revizuită în 1228 și care este considerată timp de două secole cea mai competentă sursă de cunoștințe în teoria numerelor.În ea sunt prezentate criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9. Acest tratat introduce pentru prima dată în Europa sistemul de numerație arab pe care îl folosim și astăzi :0,1,2,…, 9; (mateinfo.ro)

– Practica geometriae (1225);

– O carte intitulată „Flos”;

– O scrisoare către filosoful Theodorus;

– Liber Quadratorum (1225).

Șirul lui Fibonacci este o secvență de numere în care fiecare număr se obține din suma precedentelor două din șir. Astfel, primele 10 numere ale șirului lui Fibonacci sunt :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…

(primele 2 numere sunt predefinite, iar restul se obțin în mod recursiv, din suma precedentelor două : 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2,…).

Secvența numerelor lui Fibonacci a fașcinat de-a lungul istoriei pe foarte mulți oameni de știință, matematicieni, fizicieni, biologi, și, continuă să o facă chiar și în prezent

Prezentat împăratului în anul 1225, Fibonacci rezolvă problemele care i-au fost propuse de către împărat.

Una dintre aceste probleme este :

„Să se determine un număr x pentru care x2+5 și x2-5 sunt pătrate perfecte” (Albu,2010)

.

El găsește soluția :

x=

CAPITOLUL IV

MATEMATICA ÎN EPOCA RENAȘTERII

4.1 Pierre Fermat (1601-1665)

Este considerat cel mai mare matematician francez din secolul al XVII-lea. Fermat a ajuns la cercetările sale din domeniul teoriei numerelor, care, prin importanța lor, s-au situat cu mult deasupra timpului său, studiindu-l pe Diofant.

După cum spunea Barry Mazur, matematician la Universitatea Harvard, Fermat a dat un anumit elan acelor domenii ale matematicii legate de primele tentative de demonstrare. Fermat a fost părintele teoriei moderne a numerelor, iar din vremea lui matematica a evoluat, a progresat și s-a diversificat în multe direcții, unde noi tehnici au scos la iveală noi domenii ale matematicii și au devenit scopuri în sine. (Singh, 2000, p.8-9)

În anul 1636 d. Hr. Pierre descoperă o a doua pereche de numere prietene după cele cunoscute de lumea antică (220 și 284). Perechea descoperită este (17296 și 18416).

În anul 1640 d. Hr. Fermat formulează „mica teoremă” a numerelor :

„Dacă p este un număr prim, atunci orice număr întreg pozitiv a numărul a p– a se divide cu p”.

În primul rând Fermat s-a ocupat de problema divizibilității numerelor și a dat un procedeu pentru aflarea sistematică a tuturor divizorilor unui număr. Până în prezent se cunosc ca fiind prime doar numerele Fermat :

F0 = 3; F1 = 5; F2 = 17; F3 = 257; F4= 65537; Fn=2(2)n+1 ; ∀ n ≥0

Fără a putea preciza dacă există o infinitate de numere prime Fermat.

Unele teoreme importante ale lui Fermat au fost descoperite abia după moartea sa, notate pe marginile exemplarului lui Diofant pentru că, lucrau împreună. Pe aceste margini Fermat afirma că :,

Pentru toți întregii n mai mari decât 2, nu putem găsi trei întregi nenule x, y, z astfel încât xn + yn = zn”.

Continua Fermat :

„Am descoperit o demonstrație remarcabilă a acestei propoziții, dar nu-mi ajunge o singură pagină”.

Astfel s-a născut cojectură care avea să frământe cele mai strălucite minții ale matematicii, timp de mai multe secole.

Importanța numerelor prime Fermat a fost descoperită mai târziu, de către Gauss.Numerele prime reprezintă, ,,cărămizile” din care sunt create numerele naturale. Explicația acestei afirmații se realizează prin, ,,Teorema fundamentală a aritmeticii”.,

,,Orice număr natural n ≥ 2 se descompune în factori primi în mod unic.” (mateinfo.ro)

4.2 Albrecht Dürer (1471- 1528)

A fost un pictor german, creator de gravuri, teoretician al artei dar s-a ocupat și de matematică, literatură și mecanică.

Într-o gravură a sa din anul 1514 numită, Melancolia I” este interesant de observat în dreapta-sus, un pătrat care la rândul său este împărțit în alte 16 pătrate mai mici.

Acest pătrat este numit pătrat magic.De ce ? Magia acestui pătrat este numărul 34. Suma oricărui rând este 34, suma oricărei coloane este tot 34, la fel și suma oricărei diagonale principale este tot 34. Suma paralelelor fiecărei diagonale este 34, suma celor patru colțuri tot 34 iar dacă deplasăm căutarea cu un pătrat în sensul acelor ceasului, observăm pătrate în săritura calului de șah iar suma acestor numere continuă să fie 34. Dacă continuăm deplasarea cu încă un pătrat în același sens, găsim alte pătrate tot în săritura calului de șah, a căror sumă este aceeași, 34. Suma numerelor centrale este 34, suma numerelor din pătratele centrale de sus și de jos este tot 34 ! Dacă luăm pătratele centrale din stânga și din dreapta avem un rezultat de-a dreptul uimitor, 34 ! După cum am spus mai sus, Durer a realizat această gravură în anul 1514, iar dacă ne uităm la pătratul său pe ultimul rând, în mijloc avem numerele 15 și 14. Dacă le alăturăm avem chiar anul realizării acestei gravuri. (istoriesinumismatica.wordpress.com)

4.3 Bachet de Méziriac (1581-1638)

Este cunoscut pentru traducerea în 1621 a lucrări, Aritmetica” a lui Diofant, carte pe baza căreia Fermat își scria propriile teoreme. Bachet este mare colecționar de pătrate magice pe care le-a publicat în lucrarea :,, Problèmes plaisans et délectables qui font par les nombres” (1612).

În această lucrare a apărut și următoarea problemă.

Problemă :

,,Avem la dispoziție o balanță. Să se determine numărul minim de greutăți de măsuri numere naturale cu care putem cântări obiecte care au greutățile cuprinse între numerele 1 și 40 inclusiv”.

Rezolvare :

Suntem tentați să spunem 6, deoarece orice număr se scrie, în mod unic, ca sumă de puteri de 2. Astfel am alege greutățile :1,2,4,8,16,32, care sunt în număr de 6.

Bachet a găsit mai puține, și anume 4: 1,3,9,27.

Iată o problemă care poate dezvolta imaginația copiilor, spiritul de căutare a soluției cât și utilizarea balanței.(Albu,2010)

4.4 Blaise Pascal (1623-1662)

Matematician, fizician și filosof francez, a avut contribuții numeroase în construcția unor calculatoare mecanice, studiul fluidelor. La vârsta de șaisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construiește prima mașinã aritmeticã, un calculator rudimentar, pe care o va îmbunătății peste opt ani. Scrisorile lui cãtre Fermat aratã cã aproximativ în aceastã perioadã se concentra asupra geometriei analitice și fizicii.(Albu,2010)

Pascal și-a îmbunãtãțit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu existã nici o consemnare a metodei lui pânã în 1665. Triunghiul este o figurã simplã (ca cele douã și se poate continua la infinit). Fiecare linie este formatã din numere egale cu suma numerelor din stânga poziției de pe linia precedentã. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacã așezãm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai ușor sã vedem cã un numãr este egal cu suma celor douã numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numãrul din stânga și cel de deasupra în prima figurã. Vârful triunghiului fiind 1. Cele douã reguli sunt echivalente.

Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei ș.a.m.d. Triunghiul se obține, în cazul primei figuri, trasând o diagonalã în jos din colțul dreapta sus. Numãrul pe fiecare diagonalã dau coeficienții binomiali al unei dezvoltãri, sunt coeficienții binomiali ai binomului lui Newton. Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondența lui cu Fermat din 1657 în care a stabilit principiile probabilitãții.(Marian,1972)

Totul a pornit de la o problemã propusã lui Pascal un cavaler pasionat de jocurile de noroc, numit Chavalier de Méré (Cavalerul Mării). La rândul sãu acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era urmãtoarea : Doi jucãtori de valori egale vreau sã plece de la masã înainte de a termina o partidă. Dacã se cunoaște scorul (în puncte) și numărul de punctelor pânã la care vroiau sã joace (adicã numãrul turelor dacã o turã câștigată înseamnã un punct) se cere sã se afle în ce proporție trebuie sã împartã miza. Fermat și Pascal au dat același rãspuns dar demonstrați diferite.Pascal a dat următorul răspuns :, Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecãrui jucãtor când, de exemplu, doi jucãtori joacă pe trei ture și fiecare au pus 32 de galbeni.

Sã zicem cã primul jucãtor a câștigat douã puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie sã joace ultima turã pentru un punct. Dacã primul jucãtor ar câștiga ar lua toatã miza adicã 64 de galbeni, în timp ce dacã al doilea ar câștiga fiecare ar avea douã puncte și ar trebui împărțită miza, adicã 32 de galbeni la fiecare. Așadar dacã primul jucãtor ar câștiga 64 de galbeni i-ar aparține, dacã nu ar lua 32 de galbeni. Atunci dacã cei doi jucãtori doresc sã se oprească aici primul ar zice : „Am asigurat un câștig de 32 de galbeni chiar dacã pierd tura urmãtoare, cât despre ceilalți 32 poate îi voi câștiga eu poate tu, șansele sunt egale. Haide sã împãrțim cei 32 de galbeni rãmași egal iar eu voi lua și pe cei 32 care îmi sunt asigurați.” Primul jucãtor va avea 48 de galbeni iar al doilea 16.Mai departe sã zicem cã primul jucãtor a obținut douã puncte iar al doilea nici unul și sunt pe cale șa mai joace o turã pentru un punct. Dacã primul jucãtor câștigă acest punct va câștiga și jocul și va lua 64 de galbeni, iar dacã al doilea câștigã atunci jucãtorii vor fi în situația analizatã anterior. Dar, dacã nu mai doresc sã joace, primul jucãtor ar zice : „Dacã mai obțin un punct câștig 64 de galbeni, dacã pierd tot primesc 48 (ca înainte). Dã-mi 48 de galbeni pe care îi am sigur și restul de 16 îi împãrțim în douã egal cum șansele sunt egale.” Așadar primul jucãtor ia 56 de galbeni iar al doilea 8.Și în sfârșit primul jucãtor are un punct și al doilea nici unul. Dacã mai joacã pentru un punct și primul jucãtor ar câștiga s-ar afla în situația anterioarã în care el are dreptul la 56 de galbeni, iar dacã al doilea ar câștiga fiecare ar avea un punct și câștigul ar fi împãrțit. Dar dacã nu ar mai dori sã continue primul ar zice : „Dă-mi 32 de galbeni pe care îi iau sigur, și împarte restul din 56 respectiv 24 (deoarece am deja 32) în douã.” Atunci primul va avea 32+12=44 de galbeni și în consecințã, al doilea va avea 20 de galbeni.Pascal continuã rezolvând probleme asemãnãtoare când jocul este câștigat de cine obține m+n puncte. Rãspunsul este dat de triunghiul său aritmetic. Soluția problemei generalizate în care valoarea jucãtorilor este diferitã poate fi gãsitã în majoritatea cãrților de algebrã și este în concordanțã cu răspunsul lui Pascal, deși notațiile pot fi diferite.( matemb10.wikispaces.com)

Pascal a introdus noțiunea de combinare pe care a utilizat-o în fondarea calculului probabilităților (împreună cu Fermat). Pentru contribuțiile sale în știință, un limbaj de programare și unitatea de măsură a presiunii au primit numele de Pascal.

În anul 1665 d. Hr Apare lucrarea lui Blaise Pascal „Tratat despre triunghiul aritmetic” urmare a căreia triunghiul cu proprietățile cunoscute de mulți înaintași va purta numele lui Pascal.(Albu,2009)

4.5 René Descartes (1596-1650)

Arthur Schopenhauer l-a considerat, părinte al filosofiei moderne”.

Dintre operele sale, cea mai însemnată este ,,Discours de la Méthode” (1637), în care și-a propus să găsească o metodă care să folosească avantajele logicii, geometriei și algebrei.Una dintre ideile care a deschis calea unor progrese infinite în cunoașterea naturii a fost joncțiunea (legătura) dintre matematică și fizică. Descartes dezvoltă și geometria analitică. Geometria analitică este cea care permite reprezentarea grafică a orbitelor într-un sistem de coordonate carteziene.Trebuie să amintim că, termenul de ,,cartezian” provine din Cartesius, prin latinizarea lui Descartes.În anul 1635 d. Hr. René Descartes descoperă relația ce a fost apoi demonstrată și utilizată de Euler conform căreia între numărul vârfurilor, muchiilor și fețelor unui poliedru convex trebuie să existe relația :

V – M + F = 2,

Unde V = numărul vârfurilor

M = numărul muchiilor

F = numărul fețelor

CAPITOLUL V

MATEMATICA ÎN EPOCA MODERNĂ

5.1 Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716)

Prin studiile matematicianului german despre logica simbolistică ca limbaj științific universal, s-a dat un mare impuls creației în domeniul matematicii. Calculul infinitezimal a fost descoperit tot de Leibniz iar multe dintre notațiile sale sunt folosite și astăzi. Talentul său de matematician s-a manifestat totuși foarte devreme în cercetările sale de analiză combinatorie expuse în lucrarea „Dissertatio de arte combinatoria” (1666) în carea studiat permutările, a introdus termenul de „permutare ciclică”, a calculat suma seriilor aritmetice finite, a stabilit triunghiul armonis cu ajutorul căruia a calculat sumele câtorva serii armonice infinite și a stabilit criteriul de convergență a seriilor alternate numit astăzi „criteriul lui Leibniz”

5.2 Carl Freidrich Gauss (1777-1855)

A fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor. A avut contribuții numeroase în știință, iar în matematica pură a revoluționat studiul funcțiilor de variabilă complexă. Gauss a avut și multe rezultate remarcabile în geometrie și convergența seriilor. Tot el a demonstrat și teorema fundamentală a algebrei.

Celebra sa lucrare, Cercetări aritmetice” a fost publicată în 1801. Această lucrare a stat la baza dezvoltării ulterioare a matematicii.

Într-o zi, făcând o boacănă, a fost pedepsit să stea în genunchi la vestitul colț cu grăunțe, până când va aduna mintal toate numerele de la 1 la 100 inclusiv. Înainte de a ajunge la colțul cu pricina pentru a-și executa pedeapsa, copilul i-a dat rezultatul : 5050. Surprins, învățătorul l-a întrebat cum a făcut calculul. El a răspus că, lăsând la o parte ultimul număr, 100, numerele rămase se pot grupa astfel : 1+99=100; 2+98=100;…; 49+51=100, deci în total de 49 de ori 100, la care se adaugă numărul 100 lăsat inițial deoparte și 50 termenul rămas izolat, fac în total 5050.

Uimit de inteligența copilului, învățătorul l-a absolvit de pedeapsă.

Exemplu :

Să se calculeze S=1+2+3+… +15.

S=1+2+3+… +15. Apoi scrie termenii sumei descrescător :

S=15+14+13+… +1. Adunând termenii situați unii sub alții determinăm : 2S= (1+15)+(2+14)+… (15+1) sau 2S=1615=>2S=240, S=240 : 2=>S=120

Gauss conturează încă din 1799 interpretarea geometrică a numerelor complexe, iar în 1828 publică o teorie completă a numerelor complexe în care folosește diagrama Argand care este denumită și „interpretarea lui Gauss”. În anul 1796 d. Hr. După ce studiază numerele prime, Gauss enunță legea reciprocității resturilor pătratice. Tot Gauss construiește cu rigla și compasul un poligon regulat cu 17 laturi. În anul 1800 d. Hr. Gauss rezolvă problema găsirii poligoanelor regulate construibile cu rigla și compasul, demonstrând că aceste poligoane trebuie să aibă :

2k P1 P2… Pj ; K∈ ℕ,

P1,P2,…,Pj –numere prime ale lui Fermat diferite 2 câte 2.

În anul 1801 d. Hr. Marele Gauss demonstrează că fiecare număr natural este egal cu suma a cel mult trei numere triunghiulare și tot Gauss introduce noțiunea de congruență modulo p.

Gauss reprezintă numerele imaginare prin punctele unui plan în raport cu un reper ertonormat, folosește simbolul și adoptă denumirea de număr complex

5.3 Leonard Euler (1707-1783)

Discipol al lui Newton și Leibniz, Descartes și Bernoulli, el a fost și creator în matematici pure și aplicate, astronomie și fizică, în teoria muzicii, inginerie mecanică și geodezie. Euler a fost numit de către Laplace” învățător al nostru, al tuturor”. A avut o bogată corespondență iar printre cei 272 de corespondenți ai săi se numără și mari personalități : frații Bernoulli, Kant, A.Cantemir, etc.

Euler a fost cel care a introdus noțiunea de funcție și primul care a notat f (x) pentru aplicarea funcției f asupra elementului x. Tot el aintrodus notația modernă pentru funcțiile trigonometrice, dar și alte notații matematica cum ar fi semnul pentru sumă și i, pentru unitatea imaginară.

În anul 1760 d. Hr. Leonhard Euler utilizează funcția φ, introdusă de el pentru a demonstra că dacă două numere sunt prime unul față de celălalt, atunci unul dintre ele, oricare ar fi acesta, divide diferența obținut prin scăderea unui din celălalt ridicat la funcția φ a primului. Recent, această teoremă a devenit fundamentală pentru codurile moderne „open – key”.

A avut contribuții de la studiul teoriei grafurilor cu problema celor șapte poduri din Königsberg până la standardizarea mai multor termeni și notații matematice moderne.

Teorema lui Euler care a fost descoperită de Descartes are relația :

V – M + F = 2,

Unde V = numărul vârfurilor

M = numărul muchiilor

F = numărul fețelor

Această relație leagă proprietățile unui corp de o relație numerică.

În anul 1770 d. Hr. Euler demonstrează că teorema lui Fermat este adevărată pentru n =3.

5.4 Isaac Newton

Luând în considerare lucrările predecesorilor săi, Newton a descoperit legile fizicii explicând legile lui Kepler și a unit conceptele pe care astăzi noi le cunoaștem sub numele de calcul infinitezimal iar în 1665 descoperă teorema generală a dezvoltării binomului :

a, b є R, n є N, n≥ 1

5.5 George Boole (1815-1864), Augustus De Morgan (1806-1871), Charles Sandres Pierce (1839-1902), Evariste Galois

Tot în această perioadă trebuie să-i amintim și pe matematicienii englezi George Boole (1815-1864) și Augustus De Morgan (1806-1871) care au aplicat metoda algebrei simbolistice care a evoluat curând iar acum se numește algebra booleană.În această algebră singurele numere sunt 0 și 1, iar 1+1=1. Algebra booleană este punctul de plecare al logicii matematice și are aplicații importante în informatică.

Filosoful american Charles Sandres Pierce (1839-1902) a introdus conceptul de cuantificator în logica simbolistică iar Evariste Galois (1811-1832) a determinat condiția necesară și suficientă că ecuațiile polinomiale de grad mai mare decât 4 să poată fi rezolvabilă prin radicali. Studiile lui Galois au pus bazele pentru dezvoltările ulterioare ale teoriei grupurilor și domeniilor conexe ale algebrei abstracte.

CAPITOLUL VI

MATEMATICA ÎN EPOCA CONTEMPORANĂ

6.1 David Hilbert (1862-1943)

A fost matematicianul care a creat primul sistem axiomatic al geometriei, perfect din punct de vedere logic. Pentru a fi perfect, acest sistem axiomatic trebuia să indepilneasca 3 condiții. El trebuie să fie :

– Necontradictoriu, adică din axiome să nu rezulte propozițiile p și ¬ p

– Independent, adică nu putem deduce o axiomă din celelalte axiome;

– Complet, adică să putem demonstra pe baza axiomelor toate teoremele deja cunoscute.

Înainte ca D.Hilbert să creeze acest sistem perfect, a fost utilizat timp de peste 22 de secole sistemul lui Euclid, care îndeplinea doar una din condițiile de mai sus și anume : el trebuia să fie necontradictoriu.(Volf,2005)

În anul 1900, într-un discurs la Congresul Internațional al Matematicienilor, David Hilbert a stabilit o listă de 23 de probleme nerezolvate de matematică. Aceste probleme au constituit un real interes pentru matematicienii acestui secol mai ales că acoperă multe ramuri ale matematicii.

Iată o frumoasă problemă creată de către matematicianul Richard Courant în anul 1919 (asistentul lui David Hilbert). Această problemă ajută copiii să înțeleagă mult mai ușor proprietățile mulțimilor numărabile.,

Povestea hotelului infinit”

Să ne imaginăm undeva, în spațiu, un hotel intergalactic având o infinitate de camere numerotate cu 1,2,3,…, n,… (cu toate numerele naturale nenule). Condiția de cazare este ca o persoană să ocupe o singură cameră neavând posibilitatea de a sta două persoane în aceasi cameră. Presupunem că toate camerele sunt ocupate.Ne punem întrebarea : o nouă persoană venită în hotel poate fi cazată ?

Răspunsul este afirmativ. Noul venit îl așezăm în camera 1, pe cel deja cazat anterior la numărul 1 îl mutăm în camera numărul 2, pe cel de la 2 la 3,… pe cel de la camera n în camera n+1,… și astfel noul venit a fost cazat și nici o altă persoană nu este omisă.Ne imaginăm ușor, că, la aceeași concluzie ajungem și în cazul în care vrem să cazăm un număr finit m de persoane.

Această concluzie este dată de : O reuniune dintre o mulțime finită A și o mulțime numărabila B este o mulțime numărabila iar demonstrația este următoarea :

Fie A finită având |A|=m, deci A= {a1, a…2,, am} și fie B= {b1, b2,…, bn,…}. Atunci reuniunea

A ∪ B = {a1, a2,…, am, b1, b2,…, bn,…}

Fiind scrisă sub formă unui șir este mulțime numărabila.

6.2 Giuseppe Peano

Pentru că nu există o axiomatizare a mulțimii ℕ a numerelor naturale, pe baza căreia să se construiască celelalte mulțimi de numere, matematicianul italian a creat-o în anul 1891. Iată axiomele lui Peano :

– Zero este un număr natural

– Orice număr natural n are un succesor, pe care îl notăm n +.

– Zero nu este succesorul nici unui număr natural.

– Două numere naturale care au același succesor sunt egale.

– Dacă A este o submulțime a lui N (A⊂ N), care conține pe zero (0∈ A) și care dacă

Conține pe n va conține și pe succesorul n+, atunci A=N.

Între elementele mulțimii N se pot stabili legi de compoziție internă (sau operații

Interne). Astfel, fiecărei perechi ordonate (a, b) aparținând mulțimii produs N ×N îi putem face

Să corespundă un element c, aparținând lui N, cu ajutorul unei legi de compoziție internă,

Numită adunare.

6.3 Andrew Wils (1953)

În anul 1994, reușește, după 7 ani consecutivi de efort intelectual, să rezolve Marea Teoremă a lui Fermat.În acești 7 ani el și-a concentrat atenția doar asupra acestei Teoreme care era nerezolvată de peste 300 de ani.

CAPITOLUL VII

MATEMATICA ÎN ROMÂNIA

Matematica româneacă este un capitol original al matematicii mondiale, având o contribuție la creația matematicii universale. Pe bună dreptate, profesorul Gino Gloria, de

La Universitatea din Genova, a declarat la cel de-al doilea Congres al matematicienilor

Români : „Când se va scrie istoria matematicii în secolul XX, va trebui să se țină seama de

Minunata mișcare matematică românească” (Mathematica, 1935, nr. 9, p. 24)

Învățământul matematic s-a dezvoltat în pas cu cerințele vremii și cu nivelul pe care l-a atins știința matematicii. Țara noastră a intrat mai târziu în circuitul țărilor de cultură europeană, în ceea ce privește matematica. Până în secolul al XIX-lea au avut loc manifestări izolate. În dezvoltarea școlii matematice românești putem vorbi de trei etape : prima se referă la perioada anterioară primului război mondial; perioada după primul război mondial și etapa actuală care se bazează pe o numeroasă echipă de tineri matematicieni. Receptiv la tot ce este nou, învățământul matematic a fost continuu perfecționat.Au fost create condiții pentru menținerea și dezvoltarea unei pepiniere de matematicieni.

Putem aminti pe ctitorii învățământului modern în limba română, Gheorghe Lazăr și Gheorghe Asachi, care au deschis primele cursuri de inginerie.

Gheorghe Lazăr a elaborat primele manuale de matematică pentru nevoile învățământului superior românesc, iar Gheorghe Asachi a tipărit cu curs original de matematici elementare în trei volume.

Prima carte de matematică tipărită în limba română apare în anul1795 la Iași. Ea este tipărită de Amfilohie Hotiniul, cărturar român, episcop de Hotin care a militat pentru înlocuirea în învățământ a limbii grecești cu limba română.

După ce Legea lui Cuza din 1864 introduce învățământul de patru ani (primar) obligatoriu și pe cel secundar de șapte ani iar Spiru Haret împarte în 1898 învățământul pe trei cicluri de câte patru ani, primar, liceal și gimnazial încep să se remarce personalități entuziaste pentru progresul învățării matematicii în școala românească.

La 15 septembrie 1895 apare, Gazeta Matematică”. Aceasta apare din necesitatea stimulării și dezvoltării științei și tehnicii în pragul celui de-al XX –lea secol, prin conținutul său științific și pedagogic, gazeta matematică a contribuit intens la evoluția Școlii matematice românești și la integrarea acesteia în rândul marilor școli matematice din lume. Gazeta matematică păstrează în actul său de naștere, la loc de cinste, numele unor mari matematicieni și ingineri matematicieni ai țării din acea vreme : Gheorghe Țițeica, Ion Ionescu, Andrei Ioachimescu și Vasile Cristescu.

Pentru a da un mai mare impuls creșterii activității matematice a elevilor, începând cu octombrie 1934 și până în 1949, Gazeta matematică a fost însoțită de, Suplimentul cu exerciții al Gazetei matematice”.

Disciplina intelectuală și dragostea de adevăr sunt transmise tinerilor cititorii ai Gazetei Matematice. Tot ea transmite elevilor gustul de a se instrui mai departe, permanent, de-a lungul întregii vieți și nu credința că în școală ei au învățat totul și că după terminarea școlii nu au nevoie să mai deschidă vreo carte.

Gazeta matematică a constituit baza informativă pentru alcătuirea unui număr mare de culegeri de specialitate care se adresează diverselor etape școlare menite să servească drept ajutor atât elevului cât și profesorului prin tematica abordată. Ea vine în ajutorul profesorului prin publicarea diverselor articole de informare științifică, de pregătire a examenelor de definitivat și grade, probleme comentate, analize și articole de istoria matematicii.

Spiru Haret aprecia că acesta revistă a contribuit mai mult decât orice altă instituție pentru dezvoltarea și întărirea învățământului matematic în România.

7.1 Spiru C. Haret (1851-1912)

După ce își termină școala primară pe care a început-o în casa părintească și pe care a continuat-o la o școală din Dorohoi, Spiru Haret intră în anul 1862 la liceul Sf. Sava din București. Studiază la Universitatea București, Facultatea de Științe, secția fizico-matematică.

În 1874, pleacă la Paris pentru a studia matematica. Acest lucru se întâmplă în urma unui concurs pe care îl câștigase. Teza de doctorat o susține în 1878, lucrarea sa intitulându-se „Sur l’invariabilité de grands axes des orbites planétaires” (asupra invariabilității axelor mari ale orbitelor planetare). Spiru Haret, a fost numit” Omul Școlii”.

7.2 Gheorghe Lazăr (1779-1823)

A pus bazele învățământului matematic în Moldova. Gheorghe Lazăr a fost primul inginer român din Tara Românească, primul profesor care a predat în românește matematici superioare la București.

În august 1818 se înființează o școală în limba română, în niște odăi ce sunt altarul bisericii Sf. Sava, în locul vechei scoale elinești” care este închisă în martie 1821.În acest lăcaș de cultură, Lazăr avea rolul profesorului universitar. A scris două manuscrise :

– Aritmetică matematicească;

– Trigonometria cea dreaptă

7.3Dimitrie Pompeiu (1873-1954)

A obținut diploma de institutor și a făcut studiile universitare la Sorbona, unde și-a dat și doctoratul. A fost profesor la Universitatea din Iași și la Universitatea din București, director al Institutului Român pentru relații culturale cu străinătatea și coautor al unor manuale școlare.

Alături de Gheorghe Țițeica și Traian Lalescu reprezintă marii matematicieni care s-au preocupat de geometrie, aplicând elemente de teorie a numerelor complexe.

Problema „dacă este un triunghi echilateral și un punct arbitrar în planul său, lungimile, sunt laturile unui triunghi eventual degenerat” poartă numele lui Dimitrie Pompeiu. Acesta se demonstrează atât sintetic, cât și utilizând operații cu numere complexe, realizând încă o dată legătura între geometrie și algebră.

7.4 Gheorghe Țițeica (1873-1939)

A făcut studiile superioare la Universitatea București, apoi la Paris, luându-și doctoratul la Sorbona. A publicat peste 300 de lucrări de matematică sau de popularizare a științei. Este considerat unul din stâlpii Gazetei matematice dar în aceeași măsură, el este unul din inițiatorii școlii matematice românești din prima jumătate a secolului al XX-lea.

În anii 1926,1930 și 1937 a ținut lecții la Facultatea de științe din Paris, la Sorbona.De asemenea a ținut cursuri și la universitățile din Bruxelles (1926) și Roma (1937).

Opera științifică a lui Gheorghe Țițeica cuprinde 96 memorii științifice majoritatea lor fiind din domeniul geometriei diferențiale. Este cunoscută și importanța cărții, Culegere de probleme de geometrie” a lui Țițeica pentru pregătirea elevilor din gimnaziu și liceu.De asemenea este bine știut și faptul că el a desfășurat o activitate laborioasă la revista, Natura” unde a publicat nulte articole de popularizare a științei și tehnicii, precum și unele de cultură generală.

7.5 Traian Lalescu (1882-1929)

A făcut studiile superioare la București și la Paris, unde a obținut și diploma de inginer electrician. A fost profesor la, Școala de drumuri și poduri” din București și la Universitatea din București. A fost profesor 3 ani în învățământul liceal iar la inițiativa lui, s-a înființat Politehnica din Timișoara, unde a fost și rector.

7.6 Grigore C Moisil (1906-1973)

Și-a început activitatea didactică la Universitatea din București. I s-a decernat titlul de, Doctor honoris causa” de către Universitatea din Bratislava, a fost ambasador al României la Ankara și, timp de peste 20 de ani, a fost președinte al, Societății de studii matematice” din România.

A reprezentat școala românească cu dinamism, varietate și tendință spre universalitate. A abordat cu succes diverse capitole, ale matematicii cum sunt : analiza funcțională, geometria diferențială, analiza matematică, mecanică, algebră, calculul probabilităților, statistică, logică matematică, teoria algebrică a mecanismelor automate, informatică, cibernetică și traducerea automată și chiar a fost fondatorul unora dintre ele în România (teoria algebrică a mecanismelor automate, informatică, cibernetică și traducerea automată).

Din primăvara anului 1949 până în primăvara anului 1954, Moisil a făcut o largă propagandă teoriei circuitelor de comutație și a contribuit esențial la dotarea Centrului de calcul al Universității din București cu un calculator IBM 360/30 pe care a reușit să-l instaleze cu ocazia școlii internaționale de informatică din vara anului 1968.

Activitatea sa științifică s-a concentrat în manuale, tratate și lucrări în număr de peste 350.

7.7 Dan Barbilian (1895-1961)

A fost atras în domeniul matematicii de activitatea sa la Gazeta matematică care a început în anul 1910 când era elev în clasa a V a reală (echivalentă cu actuala clasă a IX a).

În perioada 1920-1930 a publicat poezii sub pseudonimul Ion Barbu.

Principalele rezultate ale lui Dan Barbilian sunt în domeniul geometriei și algebrei. Cercetările sale privind aplicațiile algebrei în geometrie, au fost recunoscute pe plan internațional prin asocierea numelui sau domeniului de cercetare matematică, geometria inelului” în clasificarea domeniilor de cercetare în matematică, stabilită de Societatea americană de matematică.

În domeniul algebrei, menționăm în mod deosebit, contribuția sa la rezolavarea exhaustivă a unei probleme din teoria lui Galois privind extinderile de corpuri comutative cu proprietatea că orice corp intermediar este sub corpul invariat de sub grupul lui Galois asociat lui.

Dan Barbilian caută mereu generalizări, condiții cât mai generale de existență a unor teoreme, disecarea și extinderea noțiunilor și a fost primul profesor român care a predat algebra după concepții moderne, axiomatice.

A rămas fidel revistei Gazeta matematică, publicând numeroase note matematice asupra unor probleme de matematici elementare.

CAPITOLUL VIII

EXERCIȚII ȘI PROBLEME CLASICE, REZOLVATE LA NIVELUL CLASEI A –IV-A

1.În căte moduri putem permuta literele cuvântului PIX ?

Soluție: 3!=>1 2 3 = 6 moduri

2.În câte feluri putem așeza 5 cărți diferite pe raftul unei biblioteci?

Soluție: Pn=n! => P5=5!=>1 2 3 4 5 = 120 feluri

3. Andrei,Corina,mama și ursulețul stau pe bancă.Mama stă lângă Andrei dar nu lângă ursuleț.Ursulețul nu stă lângă Corina.

Cine stă lângă Corina?

Soluție:Ursulețul nu stă lângă mama,nici lângă Corina.Deci ursulețul stă lângă Andrei.Așadar pe bancă sunt așezați în următoarea ordine:

Lângă Corina stă mama.

4.O cameră are 5 uși.În câte moduri este posibil să intre în cameră pe o ușă și să iasă din cameră pe altă ușă?

Soluție: Dacă intrăm pe o ușă ,rămân 4 uși pentru ieșit. Deci avem: 5 4 =20 moduri

5.Un trenuleț de jucărie are 7 vagoane și este tras de o locomotivă.Ne propunem să calculăm în câte moduri putem alcătui garnitura?

Soluție:P7=7!

7!=1 2 3 4 5 6 7=840 moduri

6.Trei doamne,fiecare acompaniată de cele două fiice ale sale intră într-o cofetărie unde nu mai erau decât șapte scaune,exact atâtea de câte aveau nevoie.Cum este posibil?

Soluție:În acest grup este o bunică,două fiice ale sale și patru nepoate.

Aveți alături un arbore genealogic care vă va lămuri mai bine:

Maria

Ana Daniela

Monica Alina Cristina Andreea

7.Am adunat 13 numere naturale distincte și am obținut suma 92.Care sunt numerele pe care le-am adunat?

Soluție:Dacă adunăm primele 13 numere naturale obținem:1+2+3+…+12+13=91.

Evident pentru că numerele căutate sunt diferite,iar suma lor este 92,acestea sunt 1,2,3,…11,12 și 14. Oricare altă variantă de numere diferite conține numere mai mari decât cele din suma calculată,deci vor totaliza o sumă mai mare decât 92.

8.Mihai scrie în ordine crescătoare numerele naturale de la 1 la 20 inclusiv,iar între ele pune câte un semn ,, +” ,apoi observă că dacă în locul unui semn ,,+ ” pune semnul ,,= ” ,stabilește o egalitate.

Între care numere a pus Mihai semnul,,=” ?(Dăncilă,2000)

Soluție: Suma numerelor de la 1 la 20 este 210.Înseamnă ca semnul egal se va pune după ce suma 1+2+3+4+… devine 105,adică jumatate din 210.Acest lucru se întâmplă atunci când ultimul termen al sumei este 14.Așadar: 1+2+3+…+14 = 15+16+…+20

9.Să se calculeze suma numerelor: 1+2+3+…+20+21+22

Soluție: S= ==253

10.Calculați suma numerelor:100+101+…+199+200.

Soluție:

2S= 300 101

2S=30300

S=30300 : 2

S=15150

11. Tatăl lui Andrei este singurul fiu al tatălui meu. Cine este Andrei ?

Soluție: fiul meu

12.Dintre cei 101 dalmațieni 47 au o pată neagră pe urechea stângă ,34 au o pată neagră pe urechea dreaptă,iar 29 au urechile albe.

Câți dintre ei au pete pe ambele urechi?

Soluție:Adunând numărul de dalmațieni care au o pată neagră pe urechea stângă cu numărul de dalmațieni care au o pată pe urechea dreaptă și cu numărul acelora care nu au pete pe urechi obținem:47+34+29=110,un număr mai mare decât totalul câinilor.De aiunde provine diferența 110-101=9? Când am numărat de două ori 9 câini?Când s-a întâmplat aceasta?Atunci când am numărat câinii care au ambele urechi cu pete.(I-am numărat pentru pete pe urchea stângă și apoi pentru pete pe urechea dreaptă.)Așadar ,9 dalmațieni au pete pe ambele urechi.

13.Câți străbunici și străbunice au avut în total toți străbunicii și toate străbunicele tale?

Soluție: Tu ai (sau ai avut) 4 bunici care, la rândul lor au avut fiecare câte doi părinți;deci,tu ai avut 8 străbunici.Fiecare străbunic al tău a avut si el (ca si tine)câte 8 străbunici,deci toți străbunicii și toate străbunicele tale au avut 8 8 =64 străbunici și străbunice

14. Plecând din vârful de sus și mergând în jos, în câte moduri putem forma cuvântul MAMA ?

M

A A

M M M

A A A A

Soluție:

Vor fi 1234= 24 de moduri

15.Plecând din vârful de sus și mergând în jos, în câte moduri putem forma cuvântul ?

Soluție:

Vor fi 12345=120 de moduri

Explicație:

Care este prima literă pe primul rând? În câte feluri putem așeza prima litera? Într-un singur fel.

Pe rândul al doilea avem două litere. În câte feluri putem așeza cele două litere de pe rândul al doilea și litera de pe primul rând? În două feluri.

Pe rândul al treilea avem trei litere. În câte feluri putem așeza cele trei litere de pe rândul al treilea ? În trei feluri.

Pe rândul al patrulea avem patru litere. În câte feluri putem așeza cele patru litere de pe rândul al patrulea ? În patru feluri.

Pe rândul al cincilea avem cinci litere. În câte feluri putem așeza cele cinci litere de pe rândul al cincilea? În cinci feluri.

Înmulțind modalitățile de combinare a literelor de pe cele cinci rânduri rezultă:

1x2x3x4x5=120 moduri

16.Un pătrat magic este un tablou format din același număr de linii și coloane în care suma numerelor situate pe fiecare linie, pe fiecare coloană și pe fiecare din cele două diagonale este 34. Să se completeze pătratul alăturat pentru ca el să devină magic.

Soluție:

Vom complecta cu litere, apoi vom impune condițiile:

și rezultă :

.

17.Într-o urnă sunt 81 de bile: 9 albe,18 negre, 25 galbene și 29 verzi.Dacă se extrage din urnă la întâmplare câte o bilă, aflați numărul de extrageri necesare pentru a fi siguri că s-au din urna cel puțin 5 bile albe.

Soluție:Trebuie extrase 77 de bile pentru a fi siguri că s-au extras cel puțin 5 bile albe.

18.Dacă, într-o sală de clasă,se așază câte 3 elevi intr-o bancă rămân 4 bănci libere,iar dacă se așază câte 2 ,rămân doi elevi în picioare.Câte bănci și câți elevi sunt în clasă?

Soluție:Pe fiecare bancă, notată cu B, figurăm câte 2 elevi notați cu E,iar 2 elevi nu au loc.

,…….. ;

Eliberăm 4 bănci și, astfel 8 elevi se alătură celor 2 care stau în picioare.

(4 bănci 2 elevi)+ 2 elevi care stau în picioare=10 elevi în picioare

Cei 10 elevi trebuie să se așeze în bancile în care deja se află câte 2 elevi.În final avem 10 bănci cu câte 3 elevi.

10 bănci 3 elevi=30 elevi

10 bănci + 4 bănci libere = 14 bănci

19. Un melc urcă un copac înalt de metri în modul următor : ziua urcă m și noaptea coboară m . În a câta zi melcul ajunge în vârful copacului ?

Soluție: După zile se află la m. În a a zi se află în vârf.

20.Să se afle 15% din 40 Kg.

Soluție: (15 ): 100=600:100=6 Kg

B.Partea practica

Introducere

Chestionar

Chestionarul urmărește identificarea opiniilor dumneavoastră referitoare la înființarea cercului de istorie a matematicii în școală. Răspunsurile dumneavoastră sunt confidențiale și vor fi folosite exclusiv în scopul prelucrării lor statistice.

.

Vă mulțumim pentru colaborare !

OBIECTIVE GENERALE :

– Însușirea de noi cunoștințe

– Formarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu relevant pentru viața personală și profesională;

Manifestarea inițiativei și disponibilității de a aborda sarcini variate;

– Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații diverse;

– Dezvoltarea independenței în acțiune și gândire;

Perfecționarea actului de predare-învățare pentru creșterea eficienței școlare, acest lucru realizându-se prin dezvoltarea unor noi strategii, metode și stiluri de predare (interdisciplinaritatea, învățarea prin descoperire, lucrul în echipă);

Stimularea elevilor prin activitatea de performanță;

Activitatea diferențiată cu elevii și asigurarea evaluării progresului școlar;

Vă rugăm să completați următoarele date :

Data :…

Vârsta… Profesia și ocupația… Studii…

Vă rugăm să răspundeți la toate întrebările din chestionar.

1. Sunteți informat asupra ofertei educaționale a școlii ?

Dă

Rar

De cele mai multe ori

Nu

2. Care aspect referitor la procesul de învățământ desfășurat în școala noastră vă satisface cel mai mult ?

Baza tehnico- materială

Gradul de profesionalism al cadrelor didactice

Modalitățile de evaluare aplicate elevilor

Orarul școlii

Regulamentul școlar

Relația profesor – elev

Altă opțiune

3. Mențineți legătura cu școala (dirigintele, cadrele didactice)?

Da

Rar

De cele mai multe ori

Nu

4. Reprezintă un mediu sigur școala în care copilul dvs își desfășoară activitatea ?

Da

Nu

În mică măsură

5. Copilul dumneavoastră are acces către toate spațiile de educație din școală ?

Da

Nu

Nu știu

6. Copilul are acasă o ambianță adecvată studiului ?

Da

Rar

De cele mai multe ori

Nu

7.Vă sprijiniți copilul la realizarea activităților de învățare pentru acasă ?

Da

Rar

De cele mai multe ori

Nu

8. Cum sprijiniți buna desfășurare a activităților școlare ?

Sponsorizări

Prin activități de voluntariat

Răspund la solicitarea dirigintelui

9. Ați fost solicitat de către cadrele didactice pentru participarea la activități educative ?

Da

Rar

De cele mai multe ori

Nu

10. Participați la activitățile extracurriculare (ședințe, mese rotunde, excursii, etc.) organizate de școală ?

Da

Rar

Nu

De cele mai multe ori

11. Sunteți de acord cu introducerea unei noi materii optionale?

Da

Nu

Nu stiu

12.Sunteți de acord cu introducerea “istoriei matematicii “ ca materie opțională pentru studiu individual al elevilor?

Da

Nu

Nu stiu

Concluzie Partea B

Exista astazi un impuls din ce in ce mai mare spre accesul online nerestrictionat la articole din jurnalele stiintifice.S-au remarcat si multe alte trenduri in matematica actuala,care a luat o amploare mai mare ca niciodata, computerele sunt din ce in ce mai importante si mai performante iar numarul lucrarilor stiintifice este intr-o reala extindere.

Bibilografie:

Costel Chites,Daniela Chites,Daniela Heuberger,Nicolae Musuroia(2012),”Matematica-teme suplimentare pentru clasa a V a”,Editura Corint,Bucuresti,p.79

Gheorghe Craciun,Gheorghe Achim,(2012),”Geometrie si algebra pentru clasa a VII a,Editura Premier,Ploiesti,p.45.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Categorie:Matematicieni_ai_Greciei_antice

Hypatia din Alexandria – întâia mare matematiciană a lumii antice

http://www.math.uaic.ro/~leoreanu/depozit/Istoria%20matematicii-1.pdf accesat la data de 19.11.2013

Meghea,Constantin,Bazele analizei matematicei , Editura Stiintifica si enciclopedica,Bucuresti, 1977

Mihăileanu,N.,Istoria Matematicii.Secolul al 18-lea.Prima jumătate a secolului al 19-lea.Dezvoltarea ulterioară a matematicii.vol.2,Editura Științifică și Enciclopedică,București, 1981

Mirela Stefanescu,( 2008)”15 lectii de istoria matematicii „,Editura Matrixrom,Bucuresti,p.44-46

Simon Singh,(2000),”Marea teorema a lui Fermat”,Editura Humanitas,Bucuresti,p.27

Vasile Molan (2010),Didactica disciplinei,,Limba si literatura romana”in invatamantul primar,Editura Miniped,Bucuresti,p.9

www.dex-online.ro ,accesat la data de 08.04.2014

www.famous-mathematicians.com/liu-hui ,accesat la data de 29.04.2014

www.romedic.ro , accesat la data de 02.04.2014

www.tuiasi.ro-curs de pedagogie II ,accesat la data de 02.04.2014

www.wikipedia.org ,accesat la data de 08.04.2014

Ion Purcaru, Octavian Bâscă, Oameni, idei și fapte din istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri și pâna la sfârșitul secolului al XIX – lea. Editura Economica, 1996

Mihu Cerchez, Pitagora, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1986

Figura 1.1 Osul Ishango

Sistemul de numeratie chinez

Bibilografie:

Costel Chites,Daniela Chites,Daniela Heuberger,Nicolae Musuroia(2012),”Matematica-teme suplimentare pentru clasa a V a”,Editura Corint,Bucuresti,p.79

Gheorghe Craciun,Gheorghe Achim,(2012),”Geometrie si algebra pentru clasa a VII a,Editura Premier,Ploiesti,p.45.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Categorie:Matematicieni_ai_Greciei_antice

Hypatia din Alexandria – întâia mare matematiciană a lumii antice

http://www.math.uaic.ro/~leoreanu/depozit/Istoria%20matematicii-1.pdf accesat la data de 19.11.2013

Meghea,Constantin,Bazele analizei matematicei , Editura Stiintifica si enciclopedica,Bucuresti, 1977

Mihăileanu,N.,Istoria Matematicii.Secolul al 18-lea.Prima jumătate a secolului al 19-lea.Dezvoltarea ulterioară a matematicii.vol.2,Editura Științifică și Enciclopedică,București, 1981

Mirela Stefanescu,( 2008)”15 lectii de istoria matematicii „,Editura Matrixrom,Bucuresti,p.44-46

Simon Singh,(2000),”Marea teorema a lui Fermat”,Editura Humanitas,Bucuresti,p.27

Vasile Molan (2010),Didactica disciplinei,,Limba si literatura romana”in invatamantul primar,Editura Miniped,Bucuresti,p.9

www.dex-online.ro ,accesat la data de 08.04.2014

www.famous-mathematicians.com/liu-hui ,accesat la data de 29.04.2014

www.romedic.ro , accesat la data de 02.04.2014

www.tuiasi.ro-curs de pedagogie II ,accesat la data de 02.04.2014

www.wikipedia.org ,accesat la data de 08.04.2014

Ion Purcaru, Octavian Bâscă, Oameni, idei și fapte din istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri și pâna la sfârșitul secolului al XIX – lea. Editura Economica, 1996

Mihu Cerchez, Pitagora, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1986

Figura 1.1 Osul Ishango

Sistemul de numeratie chinez