Importanta Studierii Matematicii In Invatamantul Liceal

CUPRINS

Argument

Capitolul I Importanța studierii matematicii în învățămȃntul liceal

I.1 Competențe și capacități în ciclul liceal

I.2 Rolul matematicii în studiul altor discipline

Capitolul II Utilizarea calculatorului în studiul matematicii

II.1 Utilizarea calculatorului în algebră

II.2 Utilizarea calculatorului în geometrie

II.3 Utilizarea calculatorului în analiză matematică

Capitolul III Coordonatele metodologice ale cercetării aplicative

III.1 Ipoteza de lucru și obiectivele

III.2 Metode de cercetare

III.3 Eșantionul de lucru

III.4 Organizarea și desfășurarea cercetării

Capitolul IV Colectarea, prelucrarea și analiza rezultatelor cercetării

IV.1 Prezentarea rezultatelor obținute la evaluarea inițială

IV.2 Prezentarea rezultatelor obținute la evaluarea finală

Concluzii

Anexe

Bibliografie

ARGUMENT

Motto:

„Universul nu poate fi citit până nu îi învățăm limbajul și ne acomodăm cu literele în care este scris. Este scris în limbaj matematic, iar literele sunt triunghiuri, cercuri și alte figuri geometrice, mijloace fără de care îi este imposibil omului să înțeleagă un singur cuvânt. Fără acestea, omul pribegește într-un labirint întunecat.”

(Galileo Galilei, 1564-1642, om de știință și filosof italian)

În mediul procesului de învățămȃnt, este foarte des întȃlnită utilizarea calculatorului.

Calculatorul a devenit absolut necesar în educația modernă, fiind utilizat de către cadrele didactice în procesul de predare-învățare-evaluare..

Prin utilizarea tehnologiei informaționale computerizate modul de predare–învățare a matematicii ar trebui să se schimbe într-un mod substanțial.

Prin valențele sale, calculatorul reprezintă un adevărat mijloc de învățămȃnt, lui i se asociaza, în mod obligatoriu, un soft, un set de obiective ce trebuie realizate, o anumită armonizare de metode si procedee, ceea ce transformă folosința sa într-o strategie didactică.

Acest lucru este evident daca ne gȃndim la relația: calculator (mijloc) – instruirea asistată de calculator (metodă) – munca individuală (formă de organizare).

Fiind un mijloc modern de educație, întrebuințarea sistemelor informatice a căpătat teren datorită virtuților foarte atrăgătoare pentru elevi, accesibilității pentru aceștia și facilitării prezentării informațiilor.

Întrebuințarea calculatorului în mediul procesului de învățămȃnt are deosebitul avantaj de a ușura tranziția de la înmagazinarea pasivă de informații de către elevi la învățarea prin descoperire, elevii învață să învețe, dezvoltȃndu-și în acest fel ingeniozitatea și strategiile cognitive pe care le vor folosi și adapta în diferite circumstanțe.

Acesta urmărește promovarea instruirii individualizate și stimularea învățării prin cooperare.

Se acordă astfel elevilor sprijinul în dezvoltarea deprinderilor legate de comunicarea informației, pentru a obține, prezenta și transmite informații în forme variate grafic, tabele, etc.

Instruirea elevilor trebuie să se realizeze într-o manieră profesională iar calculatorul să ofere sugestii alternative pentru organizarea procesului de predare-invățare în abordarea unor teme din programele de matematică încurajȃnd gȃndirea creativa și critică, evoluȃnd abilitățile elevilor în ceea ce privește prezentarea informației și, nu în cele din urmă dezvoltarea unor îndemȃnări de procesare complexă a informațiilor cu ajutorul aplicațiilor puse la dispoziție de calculator.

Utilizarea calculatorului permite realizarea unor serii de activități și de dezvoltări care sunt realmente unice.

Acestea sunt software-ul de simulare, foi de calcul, sisteme de calcul, modelările și vizualizările pe calculator, instrumente de programare sau software-ul de învățare cu accent pe teme specifice dar mai ales așa numitul experiment pe calculator, care reprezintă a terța cale de descoperire stiințifică dupa cea experimentală și prima ca importanță cea logico-matematică.

Dezvoltarea matematicii depinde din ce în ce mai mult de calculator.

Îmbunătățirea experimentelor cu ajutorul calculatorului conduce la depășirea dificultăților de ordin matematic dar și la înțelegerea profundă a unor legi pe care nu le-am fi bănuit fără această nouă fața a folosirii calculatorului.

Folosirea calculatorului cu tehnica lui de animație este de mare efect pedagogic.

Conversația dintre profesor și elevi este cu atȃt mai placută cu cȃt programele didactice sunt mai atractive, cu pauze, tonalități și culori menite să-i creeze elevului o lume proprie în care să doreasca să învețe știința respectivă.

Instruirea asistată de calculator asigură realizarea unui feed-back complet, în sensul că programul nu se limitează la un simplu stimul de întărire prin confirmarea corectitudinii sau incorectitudinii răspunsului, el oferă și posibilitatea corectării erorii, a modului eronat de receptare a informației, prin teste ajutătoare, programul oferind de asemenea o interfață prietenoasă cu elevul.

De asemenea, folosirea calculatorului în predare le permite elevilor să înainteze în ritmul lor. După atingerea unui nivel de cunoștințe, pot trece la altul, lucru care nu este întotdeauna posibil în predarea tradițională (Vernadakis, Avgerinos, Tsitskari și Zachopoulou, 2005).

Matematica este una din disciplinele care are marele avantaj că poate fi predată cu eficiență folosind calculatorul.

Programele de matematică conțin atȃt lecții de algebră, analiză, geometrie.

Programele computerizate urmăresc respectarea programelor școlare aprobate de M.E.C. astfel încat profesorul să poată să folosească computerul în toate tipurile de lecții, la toate clasele, în orice moment al lecției.

Imaginația elevilor este stimulată datorită numărului bogat și variat de programe special inventate, elevii devin mai rapizi în luarea deciziilor iar gȃndirea lor devine o gȃndire logico-formală.

Instruirea asistată de calculator presupune diverse avantaje: individualizarea instruirii elevilor prin adaptarea nivelului de pregătire, caracterul activ al învățării, existența feedback-ului permanent fața de activitatea elevului, existența unor resurse de nivel ridicat de eficiență în instruire (animație, grafica, culoare, sunet).

Folosirea calculatorului în procesul didactic prezinta și unele dezavantaje: crearea unei relative izolări a elevului și diminuarea capacității de comunicare, generează o anumită artificialitate a imaginii pe care elevii o dobȃndesc despre o serie de realități (text, imagini statice și video, culoare, sunet, desfășurarea proceselor) ca urmare a șanselor pe care calculatorul le are de a modela, simula sau apela la joc.

Cu avantaje și dezavantaje, instruirea asistată pe calculator aduce o mare flexibilitate în învățare și la stimularea elevilor de a se implica în procesul educațional și de a deveni parteneri ai profesorului în cadrul clasei.

De ce încă un studiu despre tehnologie și atitudinea față de școală?

Pentru că tehnologia este prezentă peste tot, pe când o atitudine pozitivă față de educație se pare că este tot mai puțin întâlnită în rândurile elevilor; pentru că tehnologia este folosită cu plăcere de elevi (și de mulți profesori), însă nu în mod înțelept, ocupându-le mult timp pe care ar putea să-l folosească mai bine.

Această lucrare își propune să determine rolul folosirii tehnologiei de către profesor în predarea matematicii și atitudinea elevilor față de această disciplină.

Ipoteza de la care se pleacă este că există o diferență semnificativă în atitudinea față de matematică, observată înainte și după folosirea tehnologiei în predare.

Obiectivul principal al acestei lucrări este determinarea relației dintre folosirea tehnologiei în predare și atitudinea elevilor față de matematică.

În același timp, doresc să le prezint elevilor și alte modalități de a folosi calculatorul, în afară de cele pe care ei le cunosc și le folosesc doar pentru a-și umple timpul liber

Pentru atingerea acestor obiective, cercetarea întreprinsă are doua coordonate o cercetare bibliografica și una de tip empiric.

Primul capitol cuprinde, după o introducere sintetică în cȃmpul problematic al didacticii, o prezentare a unora din conceptele cheie cu care operează didactica științelor.

Selecția acestor concepte a avut la bază criteriul conexiunii lor cu tema centrală a cercetării.

În cel de-al II-lea capitol, mi-am propus o analiză teoretică generală a utilizării calculatorului în algebră, geometrie, analiză matematică.

Scopul este acela de a evidenția un alt mod de abordare a rolului calculatorului în procesul de învățare, valorificarea lor ca strategie didactică pentru eficientizarea acestui proces.

Capitolul III este dedicat prezentării elementelor de metodologie ce au structurat, orientat și susținut cercetarea pedagogică realizată.

În capitolul IV sunt prezentate și interpretate rezultatele obținute în urma demersului subordonat cercetării problematicii rolul calculatorului în învățarea matematicii la nivelul liceal.

Consider că procesul de instruire la disciplina matematică în perioada liceului trebuie privit cu mai multă responsabilitate din partea tuturor factorilor implicați, în mod direct sau indirect, în desfășurarea acestuia deoarece la acest nivel se diversifică domeniile matematice (algebră, geometrie, analiză), se introduc în studiu majoritatea conceptelor ce reprezintă o componentă de baza a culturii matematice a fiecărui elev, el își formează și își dezvoltă gȃndirea abstractă (logico-formală) prin operațiile specifice acesteia și se dobȃndesc cunoștințe utile în practică.

Conceperea și finalizarea acestei lucrări într-o perioada de tranziție a sistemului educațional către normele europene vor oferi o imagine a realității din spațiul școlar, o realitate care pune în evidență cunoștințele teoretice la nivel intelectual către aspectele practice și de profunzime ce țin de valori, atitudini și comportamente.

CAPITOLUL 1

IMPORTANȚA STUDIERII MATEMATICII ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL LICEAL

I.1 Competențe și capacități în ciclul liceal

Printre disciplinele școlare, matematica ocupă un loc important datorită posibilității de construire a modelelor matematice cantitative, de cercetare a structurilor subordonate unor legi formale, dar si prin rolul unic al matematicii în formarea și dezvoltarea personalității elevului.

Dezvoltarea gȃndirii este de neconceput fără prezența unei culturi logice.

Studierea matematicii îl învață pe elev să realizee o analiză logică a unei situații, să tragă concluzii din anumite fapte, utilizȃnd raționamente logice, să analizeze definițiile existente să formuleze definiții noi, să distingă cunoscutul de necunoscut, să clasifice elementele de natură diferită, să formuleze ipoteze, să le verifice și să le accepte sau să le respingă.

Învățarea matematicii contribuie nu numai la dezvoltarea generală a personalității elevului, dar și la formarea caracterului, a trăsăturilor morale.

Matematica își aduce aportul la formarea integrității intelectuale, obiectivității, perseverenței, capacității de muncă a elevului. Matematica conține o componentă practică importantă.

Pentru a se orienta și a trăi în lumea contemporană fiecare individ trebuie să dispună de un set de cunoștințe și capacități matematice precum deprinderi de calcul, elemente de geometrie practică – măsurarea dimensiunilor, identificarea și reprezentarea figurilor geometrice, operarea cu funcții și grafice, alcătuirea și rezolvarea proporțiilor, estimarea probabilității producerii unui eveniment, etc.

Din perspectiva științelor educației, conținuturile învățământului pot fi definite ca “mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cadru și de referință stabilite.” (Dumitriu G. 2007).

Domeniul conținutului învățământului se vede clar atunci când suntem în situația de a întreba “ce este mai valoros pentru a fi însușit în școală?” și “cât?” se comunică prin procesul de învățământ.

Studiul matematicii la nivelul liceal urmărește să contribuie la formarea și dtemporană fiecare individ trebuie să dispună de un set de cunoștințe și capacități matematice precum deprinderi de calcul, elemente de geometrie practică – măsurarea dimensiunilor, identificarea și reprezentarea figurilor geometrice, operarea cu funcții și grafice, alcătuirea și rezolvarea proporțiilor, estimarea probabilității producerii unui eveniment, etc.

Din perspectiva științelor educației, conținuturile învățământului pot fi definite ca “mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cadru și de referință stabilite.” (Dumitriu G. 2007).

Domeniul conținutului învățământului se vede clar atunci când suntem în situația de a întreba “ce este mai valoros pentru a fi însușit în școală?” și “cât?” se comunică prin procesul de învățământ.

Studiul matematicii la nivelul liceal urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, și oferă elevului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra acesteia, în funcție de propriile nevoi și dorințe de a formula și a rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe, valori și atitudini menite să contribuie la formarea unei culturi comune pentru toți elevii și determinȃnd, pe de alta parte, trasee individuale de invățare.

Scopul studierii matematicii în liceu este înțelegerea mai profundă a conceptelor, a procedurilor de calcul, a terminologiei.

În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacitățile de explorare-investigare, interesul și motivația pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate, menite să asigure o integrare profesională optimă.

Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacități, cunoștințe, procedee, iar pe de altă parte ca disciplină dinamică, strȃns legată de viața cotidiană, de rolul ei în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale.

Pentru realizarea scopului studierii matematicii în școală, curriculum-ul conține competențe generale ale predării-învățării matematicii.

Ele derivă din obiectivele pe arie curriculară „matematica și științe“, servesc drept finalități ale învățăturii la sfȃrșitul ciclului școlar și au grad foarte înalt de generalitate și de complexitate

Putem deduce deasemenea, evidențierea celor doua funcții principale ale matematicii una- generatoare de intelect și alta-instrumentală.

Noul curriculum de matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare.

În conformitate cu noul curriculum de matematică obiectivul central al studiului matematicii în învățămȃntul liceal este dezvoltarea competențelor elementare de dezvoltare a gȃndirii logice, formarea la elevi a competențelor de bază prin rezolvarea de probleme implicȃnd calculul algebric și raționamentul geometric.

Curriculumul modernizat își propune sa formeze la elevi competențe, adică un sistem integrat de cunoștințe, deprinderi, capacități, valori și atitudini, prin demersuri didactice care să indice explicit apropierea conținuturilor învățării de practica învățării eficiente.

De asemenea, se urmărește structurarea la elevi a unui ansamblu de atitudini și de motivații, care vor încuraja și sprijini ulterior studiul matematicii.

Actuala programă școlară la disciplina matematică urmărește asigurarea unui echilibru între formarea competențelor generale de cunoaștere și nevoia de a opera cu concepte matematice specifice specializării în scopul orientării învățării către finalitățile liceului.

De altfel, învățarea matematicii contribuie la dezvoltarea percepției estetice a lumii.

O idee neașteptată, un rezultat sau un raționament elegant poate influența sfera emotivă a elevului, completȃnd formele clasice ale valorificării estetice a realității.

Manualele școlare au fost revizuite și s-au operat, eliminări, înlocuiri, restructurări.

Pe baza noilor programe au fost eleborate manualele alternative (două, trei, uneori patru pentru fiecare disciplină obligatorie) utilizate în prezent în clasă.

Elaborarea și implementarea componentelor curriculum-ului va acoperi o perioadă mai lungă de timp, cu atȃt mai mult cu cȃt este pentru prima dată cȃnd procesul curricular din Romȃnia intră sub incidența unor schimbări de amploare.

De aceea, se preconizeaza ca procesul de implementare să fie permanent însoțit de dezbaterea rezultatelor, dar și de corectări progresive care se impun în timp.

Formarea inițială și cea permanentă a profesorului va trebui să fie intensificată în așa fel încȃt ea nu doar să însoțească și, sa premeargă dinamica aparte a procesului curricular.

Volumul de cunoștințe este repartizat pe clase după principiul concentric împletit cu cel liniar, sfera noțiunilor lărgindu-se și adȃncindu-se pe măsură ce elevii se dezvoltă intelectual și puterea lor de asimilare crește.

În fiecare clasă materialul nou se sprijină pe cunoștințele însușite de elevi în clasele anterioare în legătură cu tema respectivă.

Ca urmare, treptat, în procesul învățării, pe de o parte se consolidează și se sistematizează prin exerciții, cunoștințe incluse în programele claselor anterioare, iar pe de altă parte se lărgește continuu, de la o clasă la alta sfera cunoștințelor.

În viziunea unitara a învățămantului obligatoriu, ciclul de observație și orientare (clasele VII, VIII, IX) și aprofundare (clasele X, XI) ocupă un loc bine conturat, cu funcții și sarcini precise.

Activitatea instructiv-educativă desfășurată în clasele de nivel liceal se integrează organic în sistemul unitar de instruire și educare a tineretului școlar și vizează în perspectivă, formarea personalității elevului, înarmarea lui cu unele elemente de bază ale culturii matematice.

A-l instrui pe elev cum să studieze înseamnă a-l învăța tehnici pe care le va aplica în mod autonom și datorită cărora își va mări șansele de a reține ceea ce a văzut și auzit.

Învățarea calculului matematic ca principal instrument al activității de învățare și de formare al elevilor constituie un obiectiv de prim ordin al școlii.

Se poate spune că întreaga evoluție a elevilor, atȃt în școală cȃt și în viață, depinde de măsura în care ei și-au însușit instrumentele muncii intelectuale, în primul rȃnd calculul matematic, pȃnă la nivelul la care acestea vor constitui modalități de autoinstruire.

Pentru învățămantul liceal obligatoriu, esențial este dezvoltarea armonioasa a personalității fiecărui elev, deci să ofere elevilor o educație referitoare la mediul natural, cultural, social, dar și să înarmeze acești elevi cu elemente de bază ale matematicii și poate chiar prelucrării informației.

I.2 Rolul matematicii în studiul altor discipline

Dezvoltarea extensivă a științei actuale, s-a realizat printr-o permanentă interferență și colaborare a tuturor domeniilor stiințifice, de la cele ale științelor exacte și tehnice până la cele economice, sociologice și chiar umaniste.

În cadrul acestor interferențe matematica sub diferite forme apare, poate, cel mai frecvent.

Este de netăgăduit necesitatea unei educații matematice solide și adecvate pentru toate ciclurile de învățămȃnt din școli.

Matematica școlară constituie întotdeauna nu numai o bază pentru studiile de mai tȃrziu în mai toate specializările universitare, dar si un indispensabil instrument pedagogic pentru formarea unei gȃndiri structurate, a unor deprinderi de muncă ordonată, a capacității de adaptare la situații noi și a utilizării unui limbaj logic și clar în comunicarea socială.

Progresul societății este strȃns legat de acumularea și perfecționarea cunoștințelor oamenilor, sistematizate în domeniile de știință.

Dezvoltarea a tot mai multe domenii de știință este decisiv determinată de procesul de matematizare a cunoașterii.

Procesul de matematizarea cunoașterii, este prezent fără îndoială în domeniile: informatică, fizică, chimie, inginerie, biologie, geologie, geografie, economie, sociologie, psihologie, filosofie, iar discipline ca logica matematică, statistică, biomatematică, matematici economice, fizică matematică, lingvistică, teorie literară, antropologie, care utilizează aparatul matematic în mod tradițional sau nu, fac parte astăzi din majoritatea domeniilor enumerate.

Problema interdisciplinarității a preocupat filisofii și pedagogii încă din cele mai vechi timpuri: sofiștii greci, Plinius, Comenius și Leibnitz, iar la noi Spiru Haret, Iosif Gabrea, G. Găvănescu și, dintre numeroșii pedagogici ai perioadei contemporane amintim pe G. Văideanu.

În opinia acestuia, interdisciplinaritatea „implică un anumit grad de integrare între diferitele domenii ale cunoașterii și între diferite abordări, ca și utilizarea unui limbaj comun permițând schimburi de ordin conceptual și metodologic”.

“Interdisciplinaritatea este o formă a cooperării între discipline diferite cu privire la o problematică a cărei complexitate nu poate fi surprinsă decât printr-o convergență și o combinare prudentă a mai multor puncte de vedere” (C.Cucoș, 1996).

Avantajele interdisciplinarității sunt multiple:

clarifică mai bine o temă făcând apel la mai multe discipline;

permite transferul și rezolvarea de noi probleme;

permite aplicare cunoștințelor în diferite domenii;

decompartimentează și reduce tentația dogmatismului

constituie o abordare economică din punct de vedere al raportului dintre cunoștințe și volumul de învățare prin caracterul larg de aplicabilitate al principiilor/conceptelor generale.

Vom menționa doar cȃteva din cele mai noi domenii în care progresul și dezvoltarea reclamă stringent utilizarea instrumentelor matematice.

Evităm în aceste menționări în mod deliberat domeniile tehnice și a științelor exacte, în care impactul matematicii este binecunoscut.

Biomatematica, bioinformatica și biologia

Primele două sunt discipline sistematic elaborate și consolidate, prezente în zeci de tratate și lucrări publicate de toate marile edituri internaționale din întreaga lume.

Tehnicile de studiu, se bazează în principal, pe teoria ecuațiilor diferențiale și pe statistică matematică.

Biologia este un domeniu larg de cunoaștere al fenomenelor, a ceea ce influențează și determină apariția și funcționarea sistemelor vii.

Deși este perceput ca abordȃnd mai degraba aspecte fundamentale, descriptive ale vietii, sub toate formele ei, biologia are de fapt o puternică valență experimentală.

Practic, nivelul actual de înțelegere în acest domeniu a fost atins ca urmare a aplicării principiilor care stau la baza raționamentelor logice.

Astfel, nu este de mirare că în prezent explicarea dar și prezicerea fenomenelor vii este argumentată logic, ca rezultat al unor ipoteze verificate experimental.

De exemplu: În anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematică în Pisa. Problema propusă concurenților a fost celebra “Problema iepurașilor” lui Fibonacci.

Plecând de la o singura pereche de iepuri și știind că fiecare pereche de iepuri produce în fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine “productivă” la vârsta de 1 luna, calculați câte perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (de asemenea se consideră că iepurii nu mor în decursul respectivei perioade de n luni).

Să notăm Fn numărul de perechi de iepuri dupa n luni. Numărul de perechi de iepuri după n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-născuți.

Dar iepurașii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel puțin o lună, deci vor fi Fn-1 perechi de iepuri nou-născuți.

Obținem astfel o relație de recurență: (reprezentată prin diagrama de mai jos )

Fn+1 = Fn + Fn-1;

F1=1;

F0=0.

Aceasta relație de recurență reprezintă regula care generează termenii șirului lui Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…..

Șirul lui Fibonacci este un șir de numere în care fiecare, începand cu al treilea, este suma celor doua dinaintea sa.

Exemple din lumea animalelor:

:

Toate elementele faciale esențiale ale tigrului sunt amplasate la întretaierea grilei divizate dupa PHI!

Ochii, gâtul, aripioara și alte puncte marcante ale fizionomiei pinguinului sunt amplasate proporțional, după rigla divizată în raporturi constante PHI!

Secțiunile corporale ale furnicii sunt definite la punctele de divizare ale riglei gradate în raporturi de PHI!

Corpul omenesc și numerele lui Fibonacci: Mâna umană are 5 degete, fiecare deget având 3 falange, separate prin 2 încheieturi. Media lungimilor falangelor este de 2, 3 și respectiv 5 cm.

În continuarea lor este un os al palmei care are în medie 8 cm.

Câtul dintre lungimea parîții de jos a corpului omenesc, masurată de la ombilic pâna la tălpi, și partea de sus, măsurată din creștet până la ombilic este numărul de aur.

Ritmul ciclic al bătăilor inimii apare în electrocardiograma unui om sănătos ca o linie curbă, cu suișuri și coborâsuri. Reprezentarea grafică a "șirului lui Fibonacci" seamană izbitor cu cea de-a doua parte a amintitei EKG.

Cu alte cuvinte, biologia modernă face uz de gȃndirea matematica abstractă, pentru a exprima logic desfășurarea proceselor biologice, de la nivel subcelular și pȃnă la nivel de ecosisteme și biosferă.

Disciplinele din domeniul biologie în care matematizarea are pondere cea mai ridicată sunt biologia celulară, și moleculară, biochimia, biofizica, genetica, microbiologia, biotehnologia, fiziologia animală, și vegetală, ecologia generală, fitosociologia și ecologia populațiilor.

Matematica și Economia

Sunt domenii importante ale științelor economice care se bazează și utilizează într-o măsură largă metodele matematice.

Un exemplu este Econometria, domeniu al științelor economice structurat bazat pe suportul Teoriei Probabilităților și al Statisticii Matematice.

În prezent este clar că studiile economice sunt matematizate și informatizate.

Este greu să ne imaginăm funcționarea economiei fără utilizarea computerelor.

Acestea pot administra, proteja, transmite și prelucra mari cantități de informație într-un timp scurt.

Utilizarea calculatoarelor în economie devine posibilă numai după ce procesele economice sunt transpuse, dintr-un limbaj obișnuit, în limbajul simbolurilor și conceptelor matematice.

Economia expusă în limbajul matematic, beneficiază de un potențial enorm de metode de soluționare a celor mai complexe metode.

De exemplu: O persona depune la bancă suma de 4000 u.m. la data de 1 martie și suma de 6000 u.m. la data de 16 aprilie.Considerând că procentul anual utilizat este de 8%, să se determine suma revenită deponentului la data de 11 octombrie a aceluiași an.

Soluție: Sf = S1 ˑ (1+ iˑ t1) +S2 ˑ (1+iˑ t2) =

= 4000ˑ +6000 ˑ =10428,89 u.m.

Un alt exemplu: Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 1500 u.m. pe durata de 10 luni, în regim de dobândă simplă, pentru a obține suma finală de 1600 u.m?

Soluție: Sf = S0 ˑ

1600= 1500 ˑ → i =0,08 → p=8%

În această ordine de idei putem afirma cu certitudine că deciziile luate fără utilizarea metodelor matematice, sunt departe de a fi stiințific argumentate.

O economie fără matematică și informatică nu poate fi constructivă.

Matematica și Fizica

Este foarte important să știm să punem cunoștințele de fizică în strânsă legătură cu matematica, în viața de zi cu zi, să privim evoluția acestora prin prisma aplicațiilor lor și a vieții oamenilor.

Între fizică și matematică există o legătură remarcabilă, deși matematica nu este o știință a naturii, deoarece testul direct al validității sale nu este experiența. Fizica furnizează concepte și relații, iar matematica oferă un limbaj optim de exprimare a acestora, acționând adesea ca un factor raționalizator al acestor concepte și relații, ordonându-le logic.

Kant, în principala sa activitate de cercetare filosofică, a căutat dezlegarea unei întrebări care i se impunea ca fundamentală: „Cum este metafizica posibilă ca știință?”.

Științele de referință fiind matematica (aritmetica și geometria euclidiană) și fizica (galileo – newtoniană), în vremea lui Kant, legătura strânsă dintre fizică și matematică era deja consacrată din punct de vedere științific.

Una dintre cele mai cunoscute inegalități în matematică este inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrica a două sau mai multe numere reale pozitive, și anume

(1)

Demonstrația inegalității (1) pentru două numere a, bR+ se face imediat pornind de la inegalitatea evidentă:

de unde , deci (2)

Din (2) rezultă:

, ceea ce înseamnă că (3)

Din (1) și (3) .

Exemplu: Două mobile parcurg același drum, primul cu viteză constantă v, cel de-al doilea parcurgând 2 porțiuni egale cu vitezele v1, v2, a căror medie aritmetică este v.

Care mobil parcurge drumul mai repede?

Notăm distanța cu D=2·d, iar timpii de parcurgere cu t1-pentru primul mobil și t2 -pentru al doilea mobil.

Aplicăm inegalitatea dintre și pentru v1 și v2.

În concluzie, mobilul care merge cu viteză constantă ajunge la destinație în cel mai scurt timp.

Cu toate deosebirile de metode și obiecte ale cunoașterii, fizica nu se poate dispensa de limbajul și aparatul matematic.

Informatica teoretică, Lingvistică matematică și poetică matematică

În acest context sunt amintiți doi matematicieni romȃni de marcă Grigore Moisil și Solomon Marcus.

Primul plecȃnd de la instrumentul logicii și al algebrei a adus contribuții remarcabile în matematici aplicate, fiind considerat fondatorul informaticii romȃnești, în timp ce al doilea, prin elaborarea teoriei automatelor finite și prin dezvoltarea teoriei limbajelor formale este privit ca fondatorul de necontestat al informaticii teoretice din Romȃnia.

Aplicațiile acestor descoperiri nu au întȃrziat să apară: lingvistica computațională concretizată în gramatici și automate finite, gramaticile contextuale, studiul geonomului, modelarea lingvistică, modelarea unor procese de la economie la poetică, de la teoria acțiunii la semiotică, de la chimie la jocuri sportive, calculul cu membrane, teoria P-sistemelor, etc.

Preocuparea serioasa de relația matematicii cu lingvistica și literatura, trecȃnd peste frontierele ce despart știința de arta și căutand noi parcursuri transdisciplinare determină atingerea iminentă a culturii totale, cea a gobalizării postmoderne.

Termenul informatică provine din alăturarea cuvintelor informație și matematică.

În cazul limbajelor mai complicate și caracteristic infinte, se definește limbajul cu ajutorul așa-numitelor gramatici generative.

Cuvântul generativ se referă la faptul că definim un sistem formal, cu ajutorul căruia putem genera exact cuvintele limbajului dat, pe când gramatica înseamnă că acest sistem cadru va descrie gramatica limbajului.

De exemplu: Se dă gramatica G= .

Să se arate că: L(G)={anbn

Soluție:Conform definiției limbajului generat avem L(G)={p| pG0 p} deci sunt toate cuvintele din care se obțin din x0 prin derivări în G.

Pentru a demonstra egalitatea din enunț, trebuie să demonstrăm dubla incluziune.

{an bn | n≥1} L(G)

Pentru n=1 avem: x0 ab , deci ab L(G)

Pentru n=2 avem: x0 ax0b aabb, deci a2b2 L(G)

Pentru n≥3 avem: x0 ax0b … an-1x0bn-1 anbn, deci anbnL(G)

Să demonstrăm că L(G){anbn

Fie p. Din definiția lui L(G) rezultă că există derivarea x0p și p

Dacă la primul pas al derivării se aplică regula x0→ab, atunci avem x0ab și ab{anbn. Altă posibilitate este să aplicăm la început regula de l ori și apoi regula ca să eliminăm neterminalul x0 atunci avem:

x…alx0bl și al+1 bl+1G{ anbn.

Acestea fiind regulile posibilităților avem: L(G){anbn

Este importantă, surprinzătoare si fascinantă trecerea dincolo de barierele matematicii la studierea cu seriozitate a zonelor unde ea interferează cu alte științe sau chiar cu arta și literatura.

Solomon Marcus a dovedit în numeroasele sale volume dedicate lingvisticii, poeziei sau dramei, domenii opuse ca matematica și literatura că se atrag și se suprapun într-un joc al combinațiilor metaforice complexe.

Demonstrațiile sale convingătoare i-au permis să depromoveze globalizarea cognitivă și să construiască punți de legătură între știință și artă, între matematică și poezie, între paradoxurile lumii stiințifice și cele ale literaturii.

Atȃt Lingvistica matematică cȃt și Poetica matematică sunt lucrări de pionerat în direcția cercetării limbilor și a poeziei cu ajutorul matematicii.

Astfel au fost posibile remarcabile realizări ca descrierea semanticii poetice, s-au introdus diverși parametri pentru aprecierea gradului puterii de figurare a limbajului poetic, s-au conceput metode speciale pentru analiza matematică a textelor poetice, s-au stabilit procedee pentru aprecierea fidelității traducerilor, s-au imaginat o matrice binară pentru analiza textului dramatic.

Geografia și Matematica

Dezvoltarea matematicii a dus la o continua înnoire a astronomiei și geografiei.

Pe baza cunoașterii valorii gradului, Eratostene calculează circumferința Pământului.

Cu ajutorul curbelor geometrice, măsura unghiurilor și a aparatelor de măsurat, astronomii au putut măsura timpul, au perfecșionat calendarul, au putut măsura distanșa dintre aștri, au calculat traiectoria corpurilor cerești.

Un sistem de coordonate geografice definește orice locații de pe Pământ prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul.

Pornind de la teoriile vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au asigurat 360°.

Latitudinea este una dintre cele două coordonate geografice care descriu poziția unui punct de pe suprafața Pământului.

Latitudinea unui punct este unghiul dintre direcția de la centrul Pământului spre acel punct și planul ecuatorului.

Longitudinea descrie poziția unui punct de pe suprafața Pământului.

Longitudinea unui punct este unghiul dintre proiecțiile pe planul ecuatorului ale direcțiilor de la centrul Pământului către punctul dat și, respectiv, către un punct de pe Pământ ales convențional ca origine a longitudinii.

Echivalent, longitudinea unui punct este unghiul diedru dintre semiplanele sprijinite pe axa Pământului și conținând punctul dat și, respectiv, punctul ales ca origine a longitudinii

În concluzie, așa cum spunea profesorul Solomon Marcus: „Universalitatea matematicii este complet echilibrată de aservirea ei față de celelalte discipline. Este greu de răspuns dacă matematica restituie surorilor ei mai mult decât acestea i-au împrumutat.

Dar nici nu este important acest lucru; ceea ce este important este faptul că matematica pune la dispoziția celorlalte discipline un produs prelucrat, esențial diferit de cel pe care l-a împrumutat de la acestea".

Capitolul II

UTILIZAREA CALCULATORULUI ÎN STUDIUL MATEMATICII

Acum ceva timp în urmă, cu greu ne-am fi putut imagina marile schimbări pe care societatea informațională de astăzi ne-a adus-o.

Aceste schimbări influențează diverse domenii ale vieții noastre și ele de asemenea, influențează în mod semnificativ sistemul de învățământ.

Viitoarele cadre didactice trebuie, în timpul studiilor universitare, să obțină noi competențe, care să reflecte cerințele societății, care sunt orientate spre utilizarea tehnologiilor de informare.

Una dintre aceste competențe este abilitatea de a crea medii educaționale moderne, atât pentru elevii de școală primară cȃt și pentru elevii de liceu.

În conformitate cu punctul de vedere constructivist profesorul nu poate pune cunoștințele direct în cap cursanților. Mediul de învățare este legătura esențială între profesor și elev.

Această noțiune include cȃteva componente: sarcinile de lucru a elevului cu conținutul, dispunerea de softuri educaționale și a metodelor de predare-învățare, precum și legătura dintre profesor și elevi ca parteneri de învățare.

Ea face parte din responsabilitatea profesorului, pentru a proiecta mediul de învățare. Deci, el oferă o bază pentru munca elevului.

Activitatea celor care învață individual utilizând un soft educațional poate fi monitorizată și evaluată de la distanță și poate fi susținută de către un tutor/cadru didactic aflat într-o altă locație.

Însă cel mai mare câștig îl constituie posibilitatea de a învăța împreună cu alții, comunicând în mediul educațional virtual sau interacționând de la distanță în cadrul simulărilor construite ca situații de învățare. Acest tip de învățare este cunoscut sub denumirea de e-learning.

E-Learning reprezintă procesul de învățare asincronă sau sincronă, condus prin intermediul internetului, intranetului, extranetului sau a altor tehnologii bazate pe internet și care include diferite metodologii bazate pe conținut personalizat, clase virtuale, simulări, forumuri, discuții focalizate etc.

Acest model se bazează pe exinderea conceptelor didactice de "medii substanțiale de învățare" de Wittmann (1995, 2001) sau "medii de învățare puternice" de Dubs (1995).

Se face clar că un mediu de învățare cuprinde mult mai mult decât doar mass-media.

Unii specialiști susțin că utilizarea tehnologiei îmbunătățește în mod automat educația matematică. Cu toate acestea, celelalte componente ale mediului de învățare sunt la fel de importante. Este esențial modul în care elevii lucrează cu mass-media.

Tehnologia în școală ar trebui să fie luată în considerare într-o gamă mai largă de resurse pentru predare și învățare.

Chiar dacă elevii exploră matematică cu mass-media, cărțile caietele de notițe nu își pierd relevanța. Elevii ar trebui să ia în mod regulat notițe în caietele lor de exerciții – numite "jurnale de studiu". Scrisul ajută la înțelegerea de noi probleme.

Prin urmare, atunci când elevii lucrează cu mass-media ar trebui să obținem în mod regulat sarcinile:

-să schițeze în jurnalul lor de studiu, pentru a descrie observațiile;

-să noteze ipoteze pentru a scrie dovezi sau chiar să-și exprime impresiile individuale și comentarii.

Aceste note individuale în revistă asigură că ideile și rezultatele sunt încă disponibile, atunci când computerul este oprit. Ele sunt o bază pentru prezentări ulterioare, discuții și rezumate din clasă. .

O întrebare foarte importantă este: Ce rol joacă în prezent aceste mass-media în educația matematică de zi cu zi?

Dacă ne gândim la ofertele de mass-media pentru educația matematică din Europa, putem fi destul de multumiți – cel puțin într-o anumită măsură.

Între timp, marea majoritate a școlilor sunt echipate cu laboratoare de informatică, care oferă resurse tehnice pentru integrarea TIC în educație matematică.

Există o ofertă largă de produse software pentru învățarea matematicii de exemplu, software pentru matematica dinamică, foi de calcul, software-ul de simulare, instrumente de programare sau software-ul de învățare cu accent pe teme curriculare specifice.

Unele dintre aceste produse au fost dezvoltate special pentru utilizarea în școală.

Dar sunt ele cu adevărat disponibile pentru cadrele didactice care își pregătesc lecțiile lor pentru a doua zi? Cât de ușor este pentru un profesor pentru a găsi resurse care i se potrivesc lui?

Aici situația actuală nu este foarte satisfăcătoare.

Desigur, există exemple pozitive și încercările de a schimba situația: de exemplu, proiectul european "Scientix" încearcă să ofere acces la materiale de predare și învățare pentru matematică la nivel european.

În special pentru matematica dinamică platforma "Intergeo" oferă acces la o baza de date cu mii de resurse.

Dar cu toate acestea, pentru un profesor de obicei nu este ușor de a avea toate aceste oferte de schimbare în minte și de a găsi resurse care se potrivesc exact nevoilor sale personale din clasă. Prin urmare, scopul de a îmbunătăți educația matematică cu mass-media este departe de a fi atins.

Desigur, au existat mai multe proiecte de succes și încercările de a dezvolta educația matematică prin utilizarea TIC în ultimele două decenii, dar în sistemul educațional impactul lor a fost destul de limitat.

Încă de la început, tehnologiile digitale au fost considerate ca un instrument de schimbare de învățământ. Din păcate, rezultatele sunt departe de a fi cele așteptate.

Aceste analize sunt destul de dezamăgitoare dar ele descriu situația în educația matematică din Europa.

Problema pare a fi una de nivel structural, care este legată de profesori și elevi, atitudinea față de matematică și de convingerile lor de educație matematică.

În cazul în care un profesor încearcă să lucreze cu clasa lui într-un laborator de informatică, elevul trebuie să lucreze neapărat auto-organizat, cel puțin într-o anumită măsură, deoarece metodele tradiționale de școlarizare nu funcționează atunci când elevii stau la ecrane și ar trebui să învețe cu ajutorul calculatorului.

Astfel, educația matematică într-un laborator de informatică necesită "abilități și atitudini pentru a organiza activitățile de predare într-un mod bazat pe cercetare și necesită elevilor, profesorilor abilități și atitudini de a lucra individual și în cooperare.

Nu se poate aștepta ca elevii să exploreze matematică auto-organizat, în unele lecții cu TIC în cazul în care educația matematică în toate celelalte lecții este cu totul diferită.

Un pic metaforic, speranța că TIC poate servi ca un "catalizator" pentru inovații în educația matematică.

Dar potențialul TIC pare a fi insuficient de puternic pentru a schimba sistemul în mare, stabil și complex "educație matematică".

II.1 Utilizarea calculatorului în algebră

Apariția ideii în rezolvarea exercițiilor în algebră este în esență un act de descoperire cu toate implicațiile lui psihice.

Observăm la mulți elevi un interes slab față de matematică, o demotivare totală datorată faptului că o bună parte din ei nu-și mai propun să fie activi, să ințeleagă și să asimileze cunoștințe datorită dificultăților pe care le întâmpină în studiul algebrei.

Nu întotdeauna efortul făcut pentru a rezolva o problemă este încununat de succes.

Se întâmplă de multe ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu poată răspunde la întrebarea problemei; elevii trebuie educați în sensul de a nu ceda până nu ajung să rezolve problema.

Reluarea muncii și ducerea ei până la capăt constituie un bun exercițiu pentru educarea voinței, a dârzeniei, a perseverenței.

Tehnica rezolvării problemelor de aritmetică nu se poate obține decât printr-o muncă susținută, bine organizată.

Pentru a lucra cu funcții raționale într-un mod activ, elevii dintr-o clasa liceală ar trebui să creeze imagini cu Geogebra pe cont propriu.

Geogebra este o aplicație special adaptată matematicii.

Este un instrument ideal pentru învățare și predare; este util, atractiv, ușor de folosit, și se adresează atât cadrelor didactice, cât și elevilor. Este util și în orele de algebră (grafice de funcții, inegalități), și în orele de geometrie (puncte, unghiuri, figuri geometrice regulate sau neregulate).

Fiind o aplicație interactivă, atenția elevilor este stimulată permanent; în consecință cunoștințele se vor fixa ușor și va crește randamentul școlar.

Softul Geogebra oferă:

posibilitatea vizualizării simultane a unei expresii în fereastra algebrică și a corespondentului său din fereastra geometrică (grafică).

posibilitatea vizualizării simultane a formei algebrice (analitice) a unei funcții cât și formei sale grafice.

posibilitatea introducerii directe a ecuațiilor unor curbe.

obținerea soluțiilor unor ecuații sau a unor sisteme de ecuații.

Explorare asistată de calculator îi ajută pe elevi să extindă cunoștințele lor din punctul lor de vedere personal.

Scopul acestei unități de predare, care a fost făcut în anul 2008, a fost de a pune în contact elevii cu funcții întregi-raționale și graficele lor.

Elevii unui liceu au trebuit să se familiarizeze cu funcții întregi-raționale ca instrumente pentru a genera imagini cu ajutorul Geogebra.

Datorită faptului că aceștia au fost elevi dintr-o clasă de design, elevii s-au bucurat de experimente cu grafice și cu formarea unei imagini.

Pentru această unitate au avut un termen de trei săptămâni de școală (cu patru ore de predare pe săptămână). În primul rând ei au trebuit să-și dea seama cum se găsește ecuația unei funcții. Găsirea ecuației unei funcții a fost, de asemenea, parte din următorul test. GeoGebra a fost necunoscut pentru clasă până atunci.

A fost ales pentru că timpul de instruire a fost destul de scurt în comparație cu ceea ce a fost necesar pentru sarcina.

În plus, acest software este accesibil tuturor elevilor, de asemenea, la domiciliu gratuit.

Elevii pot verifica cu un click dacă funcțiile date au graficul dorit în caz contrar pot corecta prin schimbarea graficelor, ei vor fi capabili de a vedea unele greșeli direct la PC, să obțină un acces mai larg la subiectul "Funcții". Scopul a fost de a se familiariza elevii cu funcții parametrice ca instrumente de modelare.

O unitate de învățământ, în care elevii lucrează în ancheta de funcții întregi-raționale, în special de gradul trei și patru cu ajutorul unui expert puzzel, a fost dat înainte.

În plus, ecuațiile de funcții sunt date și caracteristicile grafice sunt căutate.

Tinerii au învățat substituția de calcul cu zero sau cu ajutorul diviziunii polinoamelor, în plus, există investigarea comportamentului simetric și comportamentul de x→∞ și x→ – ∞.

Formularul de predare "puzzle Expert":

– Materialul didactic este împărțit (de exemplu, în patru subunități).

– Elevii lucrează pe una dintre aceste subiecte în grupuri. După aceea ei sunt experți în acest domeniu.

Grupurile sunt amestecate din nou (în acest caz, în grupuri de câte 4 persoane), astfel încât fiecare elev învață mereu alți trei ceea ce el a învățat și apoi este recunoscut ca fiind un expert.

Proprietăți ale graficelor sunt date și ecuația de însoțire a funcției ar trebui să fie determinată. Mai presus de toate, cu toate acestea, chiar daca are o imagine vagă a graficului funcției în minte el poate fi trasat exact. În funcție de circumstanțe, se poate întâmpla ca graficul calculat să arate diferit de cel dorit, cel puțin într-o anumită măsură.

Întrebări importante care îi preocupă pe elevi în acest context sunt:

– Ce sens au coeficienții care apar în ecuațiile de funcții?

– Cum nu afectează graficul în cazul în care unul este schimbat?

– Cum nu-l afectează, în cazul în care puterea lui x devine ridicat sau degradat?

Clasa nu știa Geogebra până atunci. Ca să se familiarizeze cu software-ul, li s-a dat prima dată câteva sfaturi de manipulare în sala de clasă (pe laptop cu proiector).

Instrumentele importante ale Geogebra care joacă un rol în producerea de imagini:

Scrieți ecuația unei funcții în cȃmpul "Input";

Restricționarea unui grafic pe un anumit interval [a, b];

Afișează și ascunde grafice și / sau numele ei;

Afișeaza și ascunde sistemul de coordonate;

Arată protocolul de construcție.

Imagine este compusă din opt grafice de funcții.

În scopul de a da o idee de sarcina, este recomandabil să se explice sarcina dată elevilor, cu ajutorul unui exemplu. Am ales o mașină ca exemplu.

Pe bord am explicat elevilor cum am găsit ecuațiile funcțiilor pentru mașină.

În acest fel ei ar putea obține o introspecție în modul în care se poate lucra.

La început am vrut ca elevii să folosească numai funcții întregi raționale și nu de a utiliza cercuri sau semicercuri. Prin urmare, nu ar trebui să arate roata ca un semicerc.

Ideea următoare a fost să ia o parabolă. Pentru roata din stânga: trebuie să fie pe podea în

(-2; -1). Așa că au început cu n(x)= a (x+2)2 – 1

Având în vedere că funcția trebuie să aibă un zero la -1, vom obține a=1.

Dacă o atrage parabola în intervalul [-3; -1] se vede că ea nu este de ajuns pentru o roată. Ideea următoare: poate fi o funcție de gradul al 4-a.

În cazul în care o atrage y= (x+2)4 – 1, veți vedea roata că este prea plată, deci, ar trebui să încercați să luați gradul al 3-lea y= (x+2)3 – 1 se potrivește pentru xɛ [-2; -1]. Calculele analoage se poate face pentru a doua roată.

Se poate vedea la acest exemplu cât de mult afectează schimbarea puterii "planeitatea" din graficul y= xn în origine, și cum se poate deplasa graficul în sistemul de coordonate.

Pentru funcția h1 s-a planificat, că graficul ar trebui să înceapă cu punct de cotitură

(-4,5; 0). Prin urmare, se poate încerca forma: h(x)=a (x+4,5)3 +b(x+4,5).

Parametrii a și b sunt aleși într-un mod în care funcția are un punct de inflexiune la x=-2 și are o înălțime adecvată.

Deoarece clasa nu a învățat calculul diferențial nu se poate determina a și b, ci numai prin încercare. Cu x= – 2 o funcție de gradul al treilea este conectată:y= a(x+2)3 +b astfel încât, cu

x= 0 înălțimea de 2,5 este atinsă.

Pentru aceasta, elevii au luat în considerare ambele ecuații pentru a și b și le-au rezolvat.

Deoarece acoperișul mașinii ar trebui să devină foarte plat, o funcție de gradul al 4 lea

y=a (x-1,5)4 +b a fost folosită.

Aici o ecuație poate fi dată pentru a și b, astfel încât compoziția este continuă la x= 0.

Apoi a și b s-au variat de către profesor, până când imaginea a corespuns la imaginile sale. Cu cȃt se alege a mai mic, cu atȃt mai plat devine acoperișul.

În final, rezultatele au fost, în orice caz, copleșitoare.

Aceasta se referă în particular la partea de creație, dar unii elevi s-au descurcat foarte bine la calcul.

Chiar și una din cele mai slabe eleve care nu a avut cunoștințe în utilizarea calculatorului, tot a avut o imagine vagă a relației dintre o funcție și graficul corespunzător funcției.

Ea a realizat o imagine și ar putea învăța chiar mai mult despre funcții doar încercȃnd.

Traducerea lucrarii:

Poza sa, un "Heartagramm" rezultat de la cinci linii drepte și două semicercuri.

Am creat imaginea în principal prin încercări.

În primul rând, am vrut să produc semicercurile cu o funcție, după o lungă perioadă de timp încercȃnd de asemenea, am găsit una tot care a trecut prin toate cele trei puncte necesare, dar tot era prea plat. Așa că m-am decis să înlocuiesc cu semicercuri.

Funcția a fost f(x)=-0,04 x4 +5 și am aflat că eu pot măsura exact punctul de mijloc cu +5. Mai tȃrziu, am descoperit că cu -0,001×4+5 parabola a devenit mai largă.

La început a fost dificil de a găsi gradientul potrivit pentru liniile drepte.

Am încercat mai întâi cu f(x)= 1x +4, până când am găsit f(x)= 1,25 x+5 ceea ce atunci corespondea imaginii.

Protocoalele și calculele furnizate indică faptul că mulți studenți au lucrat și încercat sistematic. Cu toate acestea, unii dintre ei a scris observații.

Toate arată ca și-au extins util înțelegerea lor de functii algebrice, cel puțin un pic (a se vedea exemplul de mai sus).

Mulți elevi s-au limitat doar la a trasa linii drepte și parabole (de exemplu, umbrela).

Totuși unii elevi a pus în mod conștient o funcție de gradul al 3-lea sau gradul al 4-lea, în centru și au format imaginea în jur (de exemplu: liliacul).

Elevii buni au lucrat în ecuațiile funcțiilor. Bucata cu bucata au calculat parametrii într-un mod care a compus funcția (de exemplu: telefon).

Doi elevi au format împreună o imagine mult mai complicată, ceilalți au lucrat singuri.

Un alt exemplu: “Barca”.

De exemplu, o elevă a vrut să genereze un val și a încercat să găsească ecuația folosind zerouri date (funcția de sine nu este un subiect în clasa de design). Cu toate acestea, valul generat nu arata ca în imaginea dorita, o parte din "val" a mers prea în jos, o altă parte a fost prea plat.

Dȃnd valori paramentrului a în f(x)=a (x-x1)2 (x-x2)2 (x-x3)2 (x-x4)2 (x-x5)2 valul arăta într-o manieră în care eleva era mulțumită.

Prin mișcarea navei valul nu poate merge la fel de adânc pretutindeni (de exemplu: barca).

În plus, în calcul elevul a făcut o greșeală în rezolvarea ecuației.

În timp ce încearca valoarea a observat că rezultatul nu ar putea fi corect. Atunci când ea a testat valoarea reciprocă, imaginea se potrivea perfect..

Toți elevii au câștigat în cadrul acestui proiect, el poate fi continuat în alte cursuri de predare. Când graficele funcțiilor sunt discutate împreună este posibil să se discute un alt capitol: continuitate și derivabilitate util mai târziu.

II.2 Utilizarea calculatorului în geometrie

În continuare, sunt prezentate cȃteva noțiuni de geometrie elementară care beneficiază de utilizarea dinamică a software-ului GEONExT.

Software-ul dinamic de matematică GEONExT deschide oportunitãți înspre noi modalitãți de predare și învãțare a matematicii.

Oferã posibilități de vizualizare a unor construcții geometrice și nu numai, care nu pot fi realizate pe hârtie sau pe tablă cu ajutorul mijloacelor tradiționale de construcție.

Softul GEONExT permite:

permite o învățare autonomă cât și una colectivă a matematicii în sala de clasă

 încurajează o abordare activ-participativă, prin descoperire, a raționamentului matematic.

posibilitatea folosirii la școală și la domiciliu pentru că este gratuit..

creearea construcțiilor geometrice utilizând un număr variat de instrumente de construcție. Ỉn comparație cu construcțiile pe hârtie, construcțiile GEONExT pot fi modificate și variate dinamic și în viitor.

Vom observa utilitatea calculatorului în doua direcții.

În prima parte avem de a face cu funcția cosinus care este ilustrată de GEONExT în așa fel încat poate fi observată atȃt ideea cȃt și dovada teoremei lui Pitagora.

În partea a doua elevii vor utiliza un fișier GEONExT pentru a reconstitui cele noua puncte ale cercului lui Feuerbach și a enunța teorema.

De aceea, ei vor construi drepta lui Euler. Sunt unele aspecte interesante de urmărit la cercul lui Feuerbach .

Trigonometria poate fi considerată ca completȃnd lecțiile de matematică de la nivelul liceal. Principiul integrării didactice înseamnă legătura dintre domeniile matematice: algebră, analiză și, desigur geometrie.

Un alt aspect al integrării principiilor didactice poate fi văzut în combinația de metode standard de predare, cum ar fi reprezentarea imaginilor statice cu creta pe tablă și noile media, cum ar fi software-ul dinamic de geometrie ceea ce sugerează și numele –aspectele dinamice ale construcțiilor geometrice.

Acest lucru înseamnă că construcția conectează noul conținut al unei teoreme (cum ar fi legea cosinus), la cunoștințele deja bine însușite de la o altă teoremă (cum ar fi teorema lui Pitagora).

Privim la un exemplu elocvent al trigonometriei: legea cosinus.

Fig.1: Triunghiul general

Legea spune:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

La momentul discuției în clasă cu elevii, ei deja aveau însușite informațiile referitoare la teorema lui Pitagora.

c2 = a2 + b2

Dar acest lucru este pentru triunghiuri dreptunghice. Deci, acesta este un caz special, cazul în care cosinusul dispare pentru γ = 90 °.

Sarcina de profesor – sau elev talentat – este de a construi o figură, în forma unui triunghi general care:

ilustrează legea cosinus și geometric.

al doilea duce la teorema lui Pitagora, prin desenarea unui unghi corect.

Mai mult, un aspect important de urmărit cȃnd vine vorba de demonstrarea legii este cel care subliniaza aspectul de variație. Doar gândindu-ne la teoremei lui Pitagora Loomis (1972) enumeră circa 370 de probe diferite (demonstrații).

Desenăm un unghi ascuțit și trasăm în cealalta parte dreapta (la fel cum se face atunci când se ilustrează teorema lui Pitagora).

Apoi vom adăuga altitudini triunghiului și le extindem, astfel încât pătratele de pe laturile triunghiului în fiecare caz sunt tăiate în două dreptunghiuri (Fig. 2).

Fig.2

Uitȃndu-se la Fig.2 un lucru evident probabil le va veni în minte elevilor.

Fiecare două dreptunghiuri care vin împreună la un colț (de exemplu, ALRF și AVWM, BFRN și BJTS, CSTO și CHWV în figura 2.) ale triunghiului acoperă aceeași zonă.

Teorema 1: Întindereea extinsă a unui triunghi general împarte cele trei pătrate de lȃngă el în dreptunghiuri, astfel încât fiecare două dreptunghiuri care vin împreună la un colț al triunghiului au aceeași zonă.

Unde este legătura cu legea cosinus? Ei bine, aceasta este doar ascunsă în spatele cuvintelor din teorema de mai sus.

Privind la Fig. 2, care în primul rând este ilustrarea teoremei, se poate vedea legea cosinus, de asemenea: de exemplu, scade cele doua dreptunghiuri superioare care vin împreună la C (de exemplu, CSTO și CHWV) de la cele două pătrate laterale (de exemplu, CBJO și CHMA); apoi dacă teorema 1 este adevărată restul (de exemplu, dreptunghiurile mai mici BJTS și AVWM) oferă zona celui mai mic pătrat (de exemplu, ALNB):

ABJTS = ACBJO – ACSTO = BC2 – CS ˑ BC = a2 – (b cos γ) a

AAVWM = ACHMA – A CHWV = AC2 – CV ˑ AC = b2 – (a cos γ) c

Și conform teremei 1 vom obține:

c2 = AALNB = AALRF + ABFRN = AAVWM + ABJTS =

= a2 − ab cos γ + b2 − ab cos γ = a2 + b2 − 2ab cos γ

Deci, scopul este de a demonstra teorema1 ceea ce implică și legea cosinus.

Cum poate fi realizat acest lucru? Pentru aceasta, ne îndreptăm privirea asupra dreptunghiurilor care se întȃlnesc în punctul C (de exemplu, OTSC și CHWV în Fig. 2).

Această cale este dată de Haag (2003, p. 34.), care utilizează aspectul dinamic al construcției. Ne uităm la dreptunghiurile OTSC și CHWV din Fig.2 care sunt paralelograme congruente.

În acest scop, luați punctele S și V și mutați-le de-a lungul altitudinii în punctele A și B. Astfel lungimile laturilor [ST] și [VW] vor rămâne stabile ca punctele T și W, util este să mutăm pe distanță fixă (vezi Fig. 3).

Fig. 3: forfecare a dreptunghiurilor în paralelograme cu suprafață constantă

Forfecarea ține zona figurilor constantă și congruența paralelogramelor CATO și CHWB rezultă din:

a= CO=CB,

b= CH=CA,

unghiul dintre a și b

Construcția în software-ul dinamic de geometrie a fost realizat în așa fel încȃt faptele nu sunt limitate la triunghiul inițial ci pentru oricare triunghi (chiar și pentru unghi obtuz).

Acesta este marele avantaj al acestei metode, comparativ cu cea tradițională (la tablă) prin tragerea la orice colț al triunghiului. Acum, există un mod special de a trece punctul C, acesta e pentru cazul γ = 90 °

Apoi, în construcția dinamică se poate vedea cum cele două dreptunghiuri de sus dispar și figura rămasă ilustrează un mod similar cu modul în care Euclid a utilizat elemente pentru a dovedi teorema lui Pitagora: în Fig.4, vom vedea proiecția ortografică de la punctul C pe ipotenuza c a triunghiului acum dreptunghic, ABC prin tragere (și extindere) hc.

Fig. 4: caz special γ = 90 °

Cercul lui Feuerbach și dreapta lui Euler nu sunt de obicei parte a curriculum-ului, dar deschide un domeniu bogat de cercetare matematică folosind doar teoreme fundamentale care fac parte din curriculum de geometrie.

Cu ajutorul mediului de învățare descris mai jos, elevii fac descoperiri fascinante și trag conexiuni la teoreme familiare.

Deschizȃnd fișierul GEONExT "Feuerbach.gxt" (vezi Fig. 5), cele nouă puncte date Ha, Hb, Hc, Ma, Mb, Mc, X, Y și Z (de exemplu, cele trei puncte de pe mijlocul fiecărei părți a triunghiului Ma, Mb și Mc, picioarele înălțimilor Ha , Hb și Hc și cele trei puncte de centru ale segmentului de linie de la fiecare vârf al triunghiului la ortocentrul unde cele trei altitudini se întȃlnesc X, Y și Z) atrage atenția elevilor în ipoteza că punctele se află pe un cerc.

Prin construirea cercului cu punctul de mijloc F ipoteza pare a fi confirmată.

Fig. 5: Imagine de la Feuerbach.gxt care prezintă un triunghi cu nouă puncte importante

Ha, Hb, Hc, Ma, Mb, Mc, X, Y și Z

Pentru aceasta nu este explicat modul în care au fost construite cele nouă puncte de pe cerc. O sarcină ar putea fi de a reconstrui punctele – așa cum este sugerat în Piechatzek (2008) -cu ajutorul GEONExT.

În timp ce construirea punctelor Ma, Mb, Mc, X, Y și Z nu ar trebui să fie o problemă profesorul ar putea da unele sugestii pentru reconstrucția punctelor rămase Ha, Hb și Hc, deoarece acestea nu fac parte din grupul familiar de puncte în triunghiuri.

Prin mutarea punctelor A, B și C, elevii pot observa cercul care crește sau scade, dar încă trece prin cele nouă puncte construite Ha, Hb, Hc, Ma, Mb, Mc, X, Y și Z.

Aceste prime descoperiri duc la teorema (cercul lui Feuerbach) care zice că: Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmenteleor care unesc fiecare vȃrf cu ortocentrul triunghiului se găsesc pe același cerc (cercul celor nouă puncte).

Încă există întrebarea cum sa construit centrul cercului F?

Profesorul poate permite elevilor să încerce să construiască acest punct, folosind teorema lui Thales ", sau orice altă metodă familiară. O altă metodă interesantă folosește dreapta lui Euler care deschide un nou domeniu de cercetare pentru elevi.

Profesorul ar putea da următoarele sarcini elevilor:

(1) Adaugă la applet-ul "Feuerbach.gxt" următoarele puncte: H ortocentrul, centrul cercului circumscris M și centrul de greutate S. Scrie observațiile în caiet.

(2) Punctele F, H, M și S par să se întindă pe aceeași linie dreaptă. Construiește cea mai apropiată dreaptă și schimba triunghiul trăgând punctele A, B și C pentru a confirma presupunerea dumneavoastră.

(3)cu ajutorul funcției GEONExT "Distance Measure", încearcă să găsești cȃt mai multe coerențe între punctele F, H, M și S posibil (Fig. 6).

Următoarele rezultate pot fi găsite: Raza cercului Feuerbach este jumătate atȃta timp cȃt

raza cercului circumscris este:

(1) 2ˑFX=MA

(2) Este 2ˑSM=HS

(3) Punct F intersectează segmentul de linie [MH]: MF = FH

Fig. 6: Găsirea legăturii între punctele F, H, M și S

Aceste explorări poate duce la dreapta lui Euler.

Pentru orice triunghi cu excepția triunghiului echilateral ortocentrul H, centrul cercului circumscris M, centrul de greutate S și punctul de mijloc al lui Feuerbach se află pe o dreaptă numita dreapta Euler.

Fig. 7 construcții pentru dovada folosirii dilatarii-centrare

O oportunitate de a investiga unele cazuri speciale, ar putea fi următoarele:

privește cu mai mare atenție la construcția ta dinamică. Observați ce se întâmplă cu cercul lui Feuerbach și dreapta lui Euler în următoarele cazuri:

Triunghiul ABC fiind ….

a) dreptunghic.

b) isoscel.

c) echilateral.

Notați observațiile dumneavoastră în caietele de notițe.

Următoarele rezultate pot fi găsite:

(1) cercul lui Feuerbach și dreapta lui Euler trec prin colțul triunghiului în care se află unghiul potrivit.

(2) Dreapta Euler este identică cu axa de simetrie a triunghiului. Cercul lui Feuerbach este tangent la baza triunghiului.

(3) Pentru că punctele H, F, M și S sunt puncte armonice nu există o dreaptă Euler în acest caz. Cercul lui Feuerbach este identic cu triunghiul încris cercului.

În mai multe țări din întreaga lume, există o atenție pentru introducerea TIC în educația matematică. În cele mai multe țări există o varietate de argumente în favoarea sau împotriva introducerii a mai multe instrumente TIC.

Pentru multe țări, este o chestiune de costuri, atât pentru sistemul școlar cȃt și a persoanelor fizice.

II.3 Utilizarea calculatorului în analiză matematică

În urma examinării studiilor efectuate putem menționa că există mai multe sisteme software matematice care ar putea fi utilizate în procesul de predare-învățare din învățământul preuniversitar: MATHEMATICA, MATLAB, MATHCAD, DERIVE, REDUCE, MAPLE, SISTEM EXPERT, etc.

Este necesar de menționat faptul că cel din urmă se utilizează cu succes, în prezent, în sistemele educaționale din mai multe țări.

Tehnologia sistemelor inteligente de tip sisteme expert este cea mai veche și cea

mai bine pusă la punct (sisteme expert bazate pe reguli).

Există foarte multe sisteme expert, pentru o gamă foarte largă de aplicații.

Toate folosesc o cunoaștere numită expertiză, provenită de la experții umani, iar procesul de colectare a acesteia se numește achiziția cunoașterii.

Este nevoie de mai multe interviuri cu expertul sau de alte metode adecvate până este pusă la punct baza de cunoștințe, o componentă importanță a acestui sistem.

Pe lângă baza de cunoștințe adevărata putere stă în motoarele de inferențe (componenta de raționament) și în sistemele de explicații de care dispun.

Pentru noțiunea de sistem expert, cercetătorii ne oferă în principal definiții fundamentale, pragmatice.

De pildă Edward Feigenbaum de la de la Stanford University arată că “sistemele expert sunt programe concepute pentru a raționa în scopul rezolvării problemelor pentru care în mod obișnuit se cere o expertiză umană considerabilă”.

Însă, în același timp, putem constata faptul că există o serie de probleme care frânează procesul de implementare a sistemelor software matematice în procesul de predare-învățare a matematicii, treapta liceală.

Softul educational vine in sprijinul elevilor de liceu în studierea funcțiilor elementare și conceptelor din analiză matematică prezentate în clasele a XI-a și a XII-a. Softul încearca să desenez orice funcție elementară. Permite trasarea funcțiilor doar cu un singur parameteru.

Softul permite calcularea derivatelor funcțiilor introduse cȃt și plotarea derivatei în același grafic permițȃnd în același timp vizualizarea punctelor de extreme, maximelor, minimelor și soluțiile.

Elevul poate întelege foarte ușor noțiunea de derivate în asociere cu graficul funcției. Elementul de baza al softului este plotterul, care nu tratează doar exemple concepute de programatori ci clase întregi de funcții care pot fi plotate indiferent de instanțele acestora.

Plotterul implementat pentru desenarea funcțiilor:

Exemplu introducere funcție:

cos(x)/x și cos(x)

graficul funcției trasat de software puncte selectate

funcțiile actuale

funcții elementare

Softul cuprinde atȃt plotterul pentru desenarea funcțiilor cȃt și vizualizarea conceptelor de analiză matematică din clasele a XI-a și a XII-a, cȃt și ca o parte educațională, anumite lecții de introducere și teste din domeniul analizei matematice.

Interfața este simplă sugestivă, și adaptată la nivelul elevilor de liceu.

Butoanele sunt mari și clare în limba romȃnă. Grupul țintă fiind elevii înainte de examenul de bacalaureat.

Partea teoretica este preluata din diverse manuale cȃt și după internet.

Pentru modelul de teste, softul generează funcții aleatoare și elevul trebuie să:

deseneze funcția;

scrie simbolic ecuația derivatei funcției respective;

sa scrie ecuația integralei;

punctele de minim, maxim, soluții;

integrala definită într-un interval.

În testul din urmatoarea imagine, elevul trebuie să desenze manual graficul funcției cu ajutorul mouse-ului. Elevul trebuie să traseze cȃt mai apropiat față de ce consideră el că este funcția respectivă.

Softul calculează distanța metrică între graficul original și ceea ce a desenat elevul.

Dacă eroarea este sub un anumit prag, răspunsul este considerat corect. Daca graficul este foarte departe de forma dorită răspunsul este incorect.

Acest concept este nou și absolut original, nefiind aplicat în alte softuri educaționale, cu toate că poate fi implementat în mod elementar.

Sistemele Expert, sunt un element cheie în așa numita a 5-a generație de calculatoare.

Aceste mașini, nu îți vor spune doar ceea ce vrei să știi, ci și cum să găsești ceva, fără ca să fie nevoie să cunoști un limbaj de programare.

Cu toate că argumente pro și contra există în ceea ce privește capacitatea calculatoarelor de a acționa inteligent, ele totuși se “închină” în fața a ceea ce matematicienii numesc “dovadă existentă “.

Cât de mult poate tehnologia informațională să fie aplicată în domenii ca matematica este doar o întrebare care își găsește răspunsul din ce în ce mai mult în viața reală.

Capitolul III

COORDONATELE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII APLICATIVE

III.1 Ipoteza de lucru și obiectivele

Cercetarea de față este de tip experimental, deoarece asupra subiecților s-a intervenit pe o perioadă de timp, folosind calculatorul în predare la orele de matematică. Înainte și după experiment elevii au completat un chestionar.

Orice cadru didactic, în activitatea sa de cercetare, caută să formuleze ipoteza de cercetare, operația ce echivalează cu emiterea unor supoziții a problemei.

Ipoteza servește drept ghid în organizarea cercetării.

Ea are semnificația unei idei directoare (provizorii), întrucat dirijeaza procesul de, culegere, ordonare, sistematizare și integrare a datelolor observabile în progresul a ceea ce se construiește teoretic situația dată,

Astăzi, după cum stim, un rol deosebit în introducerea cu succes a tehnologiei în predare și în învățare îi revine școlii.

În toate etapele procesului de învățămant, cadrele didactice au datoria de a găsi cele mai adecvate metode și procedee spre a facilita însușirea de cunosștințe matematice de către generațiile tinere.

Rezultatele evaluărilor realizate până acum în educația asistată de calculator relevă faptul că procesul de învățământ realizat cu ajutorul noilor tehnologii este la fel de eficient ca formele tradiționale de educație, cu condiția unei proiectări corespunzătoare.

Tehnologia informației și comunicării (TIC) are un mare potențial pentru ameliorarea rezultatelor instruirii și pentru eficientizarea învățării, însă valorificarea maximă în educație ține de implicarea cadrului didactic, de iscusința acestuia să le integreze, de capacitatea lui, de modul în care este sprijinit precum și de resursele tehnologice disponibile din școala cum ar fi: accesul la laboratorul de informatică, existența softului educațional în școală, conectivitatea la serviciul internet.

Prin cercetarea pe care am realizat-o am urmărit sa atrag elevii către studiul matematicii, să îi stimulez și să îi motivez în învățarea matematicii.

Consider că acest lucru este posibil prin folosirea mijoacelor tehnologice în cadrul orei, în special a softurilor educaționale.

Ipoteza pe care mi-am propus să o verific este următoarea: dacă în cadrul orelor de matematică voi proiecta și realiza sistematic activități de predare cu ajutorul calculatorului, respectând ritmul de lucru individual al fiecărui elev, voi contribui la creșterea randamentului școlar.

Finalitatea unei cercetări cu caracter pedagogic nu poate fi alta decat găsirea unor modalități originale de inovare a practicilor instructiv-educative, prin aplicarea unor metode și procedee adecvate.

În acest sens mi-am stabilit următoarele obiective:

Să stabilesc nivelului de cunoștințe al elevilor prin evaluare inițială.

Să proiectez și desfășor predarea prin utilizarea mijloacelor IT.

Să formez la elevi competențele specifice nivelului de învățământ menționate în programa școlară.

Să evidențiez valorile formativ-educative ale mijloacelor IT.

Să identific rolul pe care îl are folosirea mijloacelor IT în îmbunătățirea performanțelor școlare.

Pentru realizarea acestor obiective am urmărit:

– evaluarea inițială a nivelului de cunostințe, deprinderi, capacități ale elevilor la matematică la începutul semestrului I

– selectarea unor metode și procede active de predare-învățare în concordanță cu specificul obiectului de învățămȃnt, cu profilul psihologic de vȃrstă al elevilor și cerințele programei.

– aplicarea în lecțiile de matematică, a metodelor și procedeelor active, în strȃnsă legatură cu mijloacele de învățămȃnt și forma de grupare a elevilor.

– evaluarea finală a nivelului de cunoștințe, deprinderi, capacități ale elevilor la finalul experimentului psihopedagogic realizat.

Realizarea obiectivelor de cercetare a antrenat:

Metode teoretice: documentarea științifică, descrierea, analiza, comparația, sinteza, generalizarea.

Metode experimentale: proiectarea, observația, experimentul psihopedagogic, convorbirea, lucrul individual, chestionarul de opinie.

Metode de analiză: prelucrarea statistică a datelor obținute în urma efectuării

experimentului, analiza cantitativă și calitativă a rezultatelor.

Scopul cercetării constă în eficientizarea predării – învățării prin folosirea calculatorului în cadrul orelor de matematică.

III.2 Metode de cercetare

Tipul cercetării: Cercetarea a fost una experimentală și s-a desfășurat la clasa a IX-a E din Colegiul Național Pedagogic “Ștefan Cel Mare” Bacău.

Metode și tehnici de cercetare:

În efectuarea cercetărilor pedagogice se utilizează un număr însemnat de metode precum: metoda observării, metoda experimentării, metoda anchetelor biografice, metoda statistică, metoda corelației, metoda grupelor echivalente, metoda aprecierii.

Metoda (sens general) =„ansamblul operațiilor ce se constituie ca instrument al acțiunii umane în general, prin intermediul căruia subiectul cunoscător abordează dezvăluirea lumii obiective.

Se constituie ca :

1. modalitate generală de abordare a realității;

2. strategie tehnică a investiției într-un anumit domeniu al realității;

Sunt obișnuite distincțiile între metodă – care este calea generală de deosebire a adevărului și procedeu – care este detaliul de metode”. (Dicționar de pedagogie, Ed.Didactică și Pedagogică, București,1979, p.270).

Metodele de cercetare, în pedagogie, sunt metode folosite pentru obținerea unor rezultate valabile la problemele ridicate de cercetarea pedagogică în sprijinul dezvoltării și perfecționării științei pedagogice și practicii educative.

Metodele de cercetare pot fi grupate în:

Metode de cercetare a datelor : observarea, experimentul, ancheta de chestionar, ancheta biografică, convorbirea, testele, fișele pedagogice. Acestei grupe îi sunt asociate și “metodele de cuantificare”, de măsurare a datelor cercetării, fiindcă fără măsurare, datele colectate nu sunt utile unei cercetări în sens științific.

Metode privind organizarea colectivelor de experimentare (de cercetare), pentru ca datele adunate și rezultatele cercetării să exprime cât mai corespunzător generalitatea întreagă (mărirea eșantionului, pe echivalente, rotația grupelor).

Metode prin prelucrarea matematică (statistică) a datelor procurate prin metodele de la punctul 1, în condițiile de valabilitate, stabilitate la punctul 2 și pentru exprimarea științifică a legilor aflate, în final ca o metodă integrală de cercetare, este metoda experimentală, deosebită de experiment.

„De fapt, metoda reprezintă un anumit model de a proceda, care tinde să plaseze elevul într-o situație de învățare mai mult sau mai puțin divizată, mergându-se la una similară aceleia de cercetare științifică, de urmărire și descoperire a adevărului și raportarea lui la aspecte practice ale vieții.”(Cerghit,Metode de învățământ, E.D.P. ,București, 1976).

În acest experiment, consider că am folosit cele mai eficiente metode de cercetare pedagogică: observația pedagogică, experimentul pedagogic, convorbirea, metoda analizei produselor, metoda testelor.

Metoda observației constă în urmărirea sistematică a faptelor educaționale, așa cum se desfășoară ele în condiții obișnuite.

Spre deosebire de experiment, care presupune intervenție din partea cercetătorului, observația constă în înregistrarea datelor și constatărilor, așa cum se prezintă, cercetătorul așteptând ca ele să se producă pentru a putea să le surprindă.

Folosirea observației presupune respectarea unor cerințe cum ar fi:

elaborarea prealabilă a unui plan de observație cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, a cadrului în care se desfășoară, a instrumentelor necesare pentru înregistrarea datelor;

datele observației să fie consemnate imediat, fără ca cei observați să-și dea seama de acest lucru. În acest sens, se folosesc fișa sau foaia de observație pe baza căror se întocmește protocolul observației; aparate tehnice pentru înregistrarea unor date și manifestări;

crearea condițiilor pentru a nu altera desfășurarea naturală a fenomenelor observate, efectuarea acelorași observații în împrejurări variate de către un singur observator sau de către mai mulți observatori oferă posibilitatea confruntării datelor actuale.

„Observația presupune constatarea lucrurilor și fenomenelor așa cum le oferă natura în chip obișnuit.

Profesorul trebuie să-l observe pe elev în timpul când acesta își trăiește viața de copil și de școlar, ori în afară de ea, între patru ochi sau în cercul colegilor, dar nelăsându-i niciodată bănuiala că este supus observației exprese destinate să-l califice.”(Muster,D., Metodologia cercetării în educație și învățământ, București, 1985, p.50)

Metoda convorbirii este formată dintr-un dialog între un cercetător și subiecții supuși investigației în vederea acumulării unor date, opinii, în legătură cu anumite fenomene și manifestări.

Convorbirea se desfășoară pe baza unui plan și a unor întrebări elaborate, ceea ce înseamnă că, pe parcursul ei, cercetătorul nu se poate abate de la întrebările fixate în funcție de situațiile neprevăzute ce pot apărea.

Dialogul trebuie să fie cât mai natural, cercetătorul să manifeste multă elasticitate, evitându-se întrebările care angajează în mod nemijlocit personalitatea interlocutorului, dar apelând la întrebări colaterale, menite a-l stimula pe acesta pentru a-și expune gândurile și opiniile.

Întrebările trebuie să fie clare și adecvate situației, să se refere la un aspect concret. Referitor la felurile întrebărilor putem deosebi întrebări închise, întrebări deschise și întrebări cu răspunsuri formulate dinainte.

Întrebările închise sunt acelea care oferă două-trei posibilități de răspuns: da, nu, nu știu. Întrebările deschise sunt acelea care oferă libertate deplină subiectului, pentru a formula răspunsul conform gândurilor și opiniilor sale.

În cazul celei de-a treia categorii de întrebări, subiectul urmează să aleagă răspunsul din mai multe răspunsuri date. Prin această metodă se realizează o multitudine de sarcini ale procesului de învățământ datorită multiplelor sale calități informative.

Convorbirea am realizat-o individual și colectiv. Am folosit această metodă pentru a identifica nivelul de cunoștințe dobândite și cum folosesc aceste cunoștințe în situații noi. Prin dialog permanent cu copiii am reușit să-i fac pe aceștia să gândească, să analizeze, să compare, să clasifice, să tragă concluzii, să se ridice la generalizare.

Punând mereu în fața copiilor probleme spre rezolvare, am constatat că ei se străduiesc să găsească răspunsul.

În acest mod, am contribuit la dezvoltarea unitară a gândirii și limbajului, la creșterea capacității lor de cunoaștere, la lărgirea sferei de cunoaștere, la dezvoltarea vocabularului, la mărirea posibilităților de exprimare corectă.

Prin această metodă am căutat ca discuția să se desfășoare într-o atmosferă de încredere, evitând situații artificiale care inhibă copiii.

Am constatat, verificând rezultatele obținute prin convorbire, că o parte din subiecți își schimbă comportamentul în cadrul activității desfășurate.

Am descoperit copii timizi, liniștiți, greu integrabili în colectiv și zburdalnici, chiar

colerici acasă. Din acest motiv și pentru a verifica datele obținute, am stat de vorbă cu familia, organizând ancheta pedagogică cu elemente ameliorative propuse de mine.

Metoda testelor

În literatura de specialitate întâlnim numeroase definiții date testelor, însă sintetizând, putem considera ca fiind un instrument constituit dintr-o probă sau o serie de probe elaborate în vederea elaborării prezenței sau absenței unui fenomen psihic, a unui comportament natural sau un stimul dat.

Pentru ca aceste probe să răspundă cerințelor unui test trebuie standardizate sau etalonate. Prin standardizare înțelegem precizarea unor reguli și cerințe privitoare la administrarea testelor, înregistrarea și evaluarea rezultatelor lui, cum ar fi instructajul necesar înainte de administrare, stabilirea modalităților de răspuns și a felului de a face evaluarea rezultatelor.

Etalonarea constă în elaborarea unei scări considerată ca etalon la care se face măsurarea și evaluarea acestora. Testul trebuie să îndeplinească anumite condiții cum ar fi: fidelitatea, validitatea și sensibilitatea.

Testele oferă date despre persoana umană, unele dintre ele neputând fi obținute pe alte căi. Consecințele unei aprecieri pripite și inexacte asupra personalității copilului, pornind de la datele unui test, pot fi uneori grave.

Răspunderea morală a cercetătorului este implicată nemijlocit în asemenea aprecieri. În practica pedagogică folosirea testului se numește testare și se comportă precum niște răspunsuri verbale, motorii, grafice, precum și ca o apreciere după criterii stabilite anterior.

În vederea cunoașterii și tratării diferențiate a elevilor în procesul instructiv-educativ, am aplicat probe de lucru cu sarcini diferite: probă de analiză și sinteză, de comparare, de generalizare și de clasificare.

Pe baza rezultatelor individuale obținute de fiecare copil la probele date, am putut să mă orientez mai bine în tratarea individuală și în stimularea adecvată a copiilor în raport cu particularitățile psiho-fizice ale acestora.

Am ținut seama ca problemele cuprinse în testele de cunoștințe să răspundă următoarelor cerințe:

– să fie accesibile tuturor copiilor;

– să fie formulate clar și precis;

– să cuprindă o singură problemă.

Experimentul pedagogic presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale, cu scopul verificării ipotezei care a declanșat aceste inovații.

El trece prin trei faze: faza prealabilă intervenției factorului experimental când se selecționează eșantioanele, se testează situația și trăsăturile; faza administrării factorului experimental și faza înregistrării rezultatelor.

Cercetarea experimentală constă în declanșarea unor acțiuni educaționale originale în vederea descoperirii unor relații cauzale și a unor legități după care se desfășoară procesul educațional.

Rezultatele sunt înregistrate și prelucrate pentru a demonstra eficiența lor educativă.

În lucrare am ales să verific experimental dacă predarea și învățarea matematicii cu ajutorul calculatorului este eficientă și conduce la creșterea randamentului școlar

Metoda analizei produselor

Această metodă presupune analiza diferitelor produse ale activităților copiilor și a documentelor școlare cu scopul relevării unor trăsături ale personalității acestora, prin prisma obiectivării în produsele muncii: desene, obiecte confecționate, fișe de lectură.

Metoda oferă indirect cercetătorului diferite date privitoare la acțiunea educațională, îndeosebi asupra rezultatelor ei.

Produsele activității ne permit să facem previziuni în legătură cu dezvoltarea personalității copiilor și să depistăm cauzele unor manifestări comportamentale ale lor.

Prin această metodă am obținut date referitoare la priceperile și deprinderile copiilor, la reprezentările pe care le au, la atitudinea față de muncă, față de produsele muncii lor.

Am aplicat diverse tipuri de fișe de recuperare, de dezvoltare, de creativitate și de evaluare.

Instrumentul de lucru folosit în cadrul acestei metode a fost îndrumarea permanentă a colectivului de copii, observațiile zilnice și periodice cu privire la evoluția copiilor.

Pentru culegerea datelor am utilizat:

evaluarea produselor activității elevilor, care au avut relevanță pentru atingerea obiectivelor de la activitățile matematice.

pentru a diagnostica nivelul de cunoștințe matematice, precum și eventualele obstacole, am aplicat teste: inițiale, sumative și finale.

pentru prelucrarea și interpretarea datelor cercetării am utilizat metode precum:

realizarea unor tabele în care am trecut informațiile obținute în urma aplicării unor teste de evaluare, sau în urma observărilor efectuate la grupă;

reprezentarea grafică a datelor din tabele prin diagrame radiale, poligoane de frecvență și histograme;

III.3 Eșantionul de lucru

Pentru verificarea ipotezei de lucru și atingerea obiectivelor, mi-am orientat atenția asupra unui eșantion experimental reprezentând elevii clasei a IX-a E din Colegiul Național Pedagogic “Ștefan Cel Mare” Bacău.și un eșantion martor reprezentând elevii din clasa a IX-a F din aceeași unitate școlară.

Caracteristic pentru eșantionul experimental este că asupra lui s-a acționat cu un factor experimental în conformitate cu cele propuse în ipoteza cercetării în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale.

În acest caz la clasa a IX-a E s-au desfașurat mai multe activități în care s-au folosit mijloace informatice.

Clasa experiment este format din 22 de elevi, dintre care 13 fete și 9 băieți.

Cel de-al doilea eșantion de control, clasa a IX-a F, format din 19 copii la începutul anului școlar a rămas la finalul anului cu 18 elevi.

Clasa martor este folosită pentru compararea rezultatelor la finalul experimentului.

III.4. Desfășurarea cercetării

Cele trei etape ale desfășurării cercetării au fost:

etapa preexperimentală, când s-au aplicat teste inițiale pentru a constata nivelul de la care începe cercetarea (perioada septembrie 2012);

etapa experimentală, când elevii de la clasa experimental au desfășurat mai multe activități folosind mijloace IT;

etapa finală, cand s-au aplicat teste finale (perioada iunie 2013).

În prima etapă la cele două clase s-a aplicat testul de evaluare inițială.

În elaborarea testului am ținut cont de precizările metodologice și de competențele urmărite pe parcursul ciclului liceal.

Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare inițială pentru clasa a IX-a este următoarea :

Matricea de specificații- Test de evaluare inițială clasa a IX-a (4 ore)

Competențele de evaluat asociate testului inițial sunt:

C1. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule.

C2. Aplicarea unor reguli de calcul cu numere reale pentru rezolvarea unor ecuații sau inecuații; aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia.

C3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporții, dependențe funcționale, ecuații sau configurații geometrice

C4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale numerelor reale, funcțiilor sau ale figurilor geometrice plane.

C5. Studierea unor situații-problemă ale mulțimii numerelor reale.

C6. Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme sau situații-problemă.

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

MATEMATICĂ clasa a IX a

Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru 50 minute

Se acorda 10 puncte din oficiu

Subiectul I (40 puncte) – Pe foaia de test scrieți direct rezultatele

5p 1.Rezultatul calculului + este…………..

5p. 2. Soluția ecuației: x + x + x = -x + 8 este……………………..

5p 3.Se consideră funcția f:R→R, f(x)=.Valoarea funcției pentru x = este egală cu…………………..

5p 4.Calculȃnd 20% din 120 se obține numărul……………………

5p. 5. Se consideră funcția f:R→R, f(x)=.Intersecția reprezentării grafice a funcției f cu axa Oy este punctual………………………….

5p 6. Se consideră funcția f:R→R, f(x)=2x-1.Soluția ecuației f(x)= 7 este egală cu…… …………

5p 7.Valoare necunoscutei x din proporția este……………

5p 8. Soluția inecuației 4(x+3) < 3x+7 este………

Subiectul II (50 puncte ) Pe foaia de lucru scrieți rezolvările complete.

10p 9. Calculați : 75 – 3 [ 8 6 – 26 : (111 – 110 ) + 14 : 7 ] =

10p 10.Se consideră expresia E(x) =

Rezolvați ecuația E(x)=14

11. Pe laturile [AB] și [BC] ale pătratului ABCD se construiesc în exterior tringhiurile ABM, dreptunghic în B și respectivBCN, dreptunghic în B. Se știe că: BM=BN>BD.

15p a) Arătați că ∆MBN~∆ABC

5p b) Arătați că [AM]≡[CN]

10p 12. Trei drumeți iau masa împreună. Primul are în traistă 3 pâini, al doilea are în traistă 2 pâini, iar a l treilea niciuna. La despărțire, al treilea drumeț le dă celorlalți doi 1000 lei. Cum trebuie să-și împartă cei doi drumeți banii, știind că toți trei au consumat în mod egal cele 5 pâini?

Barem de evaluare

Subiectul I

Se punctează astfel : – pentru fiecare răspuns corect se acordă 5p.

– pentru fiecare raspuns incorect se acordă 0p.

Subiectul II

Pentru fiecare solutie corectă , chiar daca este diferită de cea din barem se acordă punctajul maxim.

Se acorda 10 puncte din oficiu

Total :100 puncte

Tot în prima etapă elevii clasei experiment au răspuns la întrebările unui chestionar cu privire la utilizarea calculatorului (Anexa A).

În etapa a doua a cercetării elevii din clasa experiment au desfășurat mai multe activități în care s-a folosit predominant calculatorul.

Matematica este pentru unii o disciplină de coșmar, iar pentru alții, o materie pe care o studiază cu plăcere.

O atitudine pozitivă și rezultate foarte bune la matematică au fost asociate cu elevii ai căror părinți sau alte persoane apropiate au standarde înalte, care cred că drumul către succes necesită efort, atitudini pozitive cu privire la realizări, studiu sârguincios și o cât mai slabă interferență a școlii cu factorii perturbatori (Chen și Stevenson, 1995; Roch, Thierry și Normand, 2007).

Tehnologia joacă un rol tot mai mare în procesul educativ, indiferent de tipul școlilor.

Chiar dacă unora le place și altora, nu, tehnologia devine indispensabilă, în cel mai larg sens al cuvântului.

Instituțiile și cei implicați în activitățile lor au fost împărțiti în tehnofili și tehnofobi, în funcție de modul în care se raportează la tehnologiile care se înnoiesc din ce în ce mai rapid (Castro, 2007).

Multe instituții tehnofobe au fost motivate și abilitate să folosească tehnologia (Williams, Tanner și Jessop, 2007).

Tehnologiile educative, cum ar trebui să fie numite, de fapt, cuprind nu doar calculatorul, ci și alte instrumente, aparate și aplicații construite special în scopuri educative.

Slujba de profesor, complexă și solicitantă, nu mai poate fi îndeplinită cu succes fără ajutorul tehnologiei (O'Neal, 2004).

Profesorii care au luat parte la un proiect de cercetare legat de folosirea tehnologiei în educație, mai ales în domeniul științelor, susțin că tehnologia este importantă, mai ales pentru a înțelege teoria și pentru a stimula interesul elevilor (Ottander și Grelsson, 2006).

Introducerea tehnologiei la orele de matematică înseamnă mai mult decât instrumente noi de predare. Este o ocazie de a redefini ceea ce înseamnă predarea și învățarea matematicii.

Totuși, nu este ușor a decide momentul în care o anumită formă de tehnologie poate fi potrivită pentru un subiect matematic specific, acest lucru influențând nu doar înțelegerea procedurală și conceptulă a matematicii din partea elevilor, dar și modul în care ei se raportează la această disciplină (Hodges și Conner, 2011).

În cadrul utilizării calculatorului pentru orele de matematică s-a descoperit că software- ul personalizat pentru fiecare elev are un efect favorabil asupra performanțelor și a atitudinii elevilor, în comparație cu folosirea unor programe nepersonalizate (Chen și Liu, 2007).

Un alt studiu recent nu a obținut, însă, o relație semnificativă între folosirea tehnologiei și rezultatele elevilor la matematică (Wang și O'Dwyer, 2011).

O atitudine pozitivă față de matematică și față de instrumentele software ulitizate în procesul de predare-învățare augmentează comportamentele de învățare manifestate

Folosirea internetului se face tot mai prezentă în clase, lucru care a mutat mediul de învățare dincolo de testele contra-timp și folosirea locală a calculatoarelor.

Crearea unui curriculum bazat pe Web are potențialul de a oferi elevilor accesul la rețeaua globală de informație multimedia, în timp ce sunt implicați în activități de învățare auto-dirijate (Scheidet, 2003).

Orice absolvent de liceu trebuie, astăzi, să fie familiarizat cu tehnologia.

Profesorii ar trebui să folosească avantajele tehnologiei, pentru că astfel pot motiva elevii și îi pot ajuta să vizualizeze problemele matematice.

Tehnologia îi poate ajuta pe elevi să abordeze chestiuni mai complexe decât matematica de zi cu zi.

Ea le permite elevilor să crească de la simpla reproducere a unor teoreme la explorare și descoperire. Elevii sunt capabili să pătrundă mai adânc în diferite aspecte matematice.

Învățarea devine distractivă pentru ei.

Totuși, pentru a avea parte de toate avantajele pe care le oferă tehnologia, implementarea ei în clasă trebuie făcută într-un mod bine gândit și planificat (Soucie, Radovic și Svedrec, 2010).

Descrierea intervenției

În contextul actual se remarcă o necesitate a schimbării în didactica tuturor disciplinelor, inclusiv în didactica matematicii, accentul punându-se pe strategiile și metodele de predare învățare folosite.

Potrivit orientării tradiționale, rolul elevului constă în a urmări prelegerea sau explicațiile profesorului, de a reține și a reproduce ideile auzite, de a accepta în mod pasiv ideile transmise și de a lucra izolat.

La polul opus, orientarea modernă atribuie alte roluri elevului. Acesta trebuie să-si exprime puncte de vedere proprii, să realizeze schimburi de idei cu ceilalți, să argumenteze, să-și pună și să pună întrebări cu scopul de a înțelege, să coopereze cu alți elevi în vederea rezolvării problemelor și a sarcinii de lucru.

Cheia unei ore reușite constă în colaborarea și înțelegerea profesorului cu elevii, în participarea efectivă a acestora, strategia și metodele folosite de profesor fiind esențiale.

Astfel, se recomandă o “împletire” a metodelor tradiționale de predare-învățre cu cele noi și nu o respingere totală a acestora, cât și o adaptare a metodelor tradiționale la ontextul actual.

O lecție se desfășoară, în general, în felul următor: profesorul intră în clasă, face prezența, verifică temele, apoi se trece la lucrul la tablă pentru introducerea unor noțiuni noi sau pentru exersarea celor vechi. În timpul anului școlar, am realizat un echilibru clasic-modern utilizând în cadrul lecțiilor calculatorul

Predarea cu ajutorul calculatorului este un proces interactiv și, în consecință, are un efect pozitiv asupra învățării. Copiii învață mai bine într-un mediu de învățare funcțional interactiv. și acesta este un avantaj major și un argument în plus pentru folosirea calculatorului în procesul de predare-învățare, în comparația cu predarea tradițională.

Fraser (1999) face o deosebire distinctă între accesul la informație prin intermediul calculatorului sau pe calea tradițională. El sugerează că trebuie să mergem dincolo de prezentarea unor informații, către modele interactive.

De asemenea, folosirea calculatorului în predare le permite elevilor să înainteze în ritmul lor. După atingerea unui nivel de cunoștințe, pot trece la altul, lucru care nu este întotdeauna posibil în predarea tradițională (Vernadakis, Avgerinos, Tsitskari și Zachopoulou,2005).

Deoarece noua abordare a fost foarte bine primită de către elevi, până la sfârșitul anului școlar toate lecțiile de matematică, cu câteva excepții, au fost susținute în felul acesta.

Am utilizat mai multe programe pentru redactarea lecțiilor. Am ales aceste programe din mai multe motive: sunt gratuite; includ un modul de scriere a ecuațiilor; include un modul de desenare foarte ușor de folosit.

Imaginea 1. Suma a doi vectori – desen realizat cu ajutorul programului Inkscape

Am utilizat, în plus, programul WinGeom (vezi Imaginea 2) care oferă posibilitatea construirii unor configurații spațiale complexe și vizualizarea acestora în modul 3600, adică rotirea desenului pentru observarea detaliilor din interiorul anumitor corpuri geometrice, sau de pe anumite fețe ale acestora.

Imaginea 2. Studierea corpurilor geometrice cu ajutorul programului WinGeom.

Pe lângă programele deja amintite folosite, am utilizat și programul Xcalc pentru telefonul mobil, care ne-a ajutat să verificăm graficele unor funcții matematice de grad superior.

Tot pentru aceste clase am realizat câteva prezentări PowerPoint ale lecțiilor.

Voi descrie acum mai pe larg cum au decurs lecțiile, pe parcursul anului școlar.

În experiment am ales predominant 3 activități:

Meditații online utilizând site-ul web de tip rețea de socializare Facebook.

Fixarea cunoștințelor prin folosirea testelor generate www.experior.ro .

Formarea clasei virtuale pe www.wikispaces.com.

Cu ajutorul rețelei de socializare Facebook, s-a putut menține o strâsă legătură cu elevii.

Atunci când elevii au solicitat explicații suplimentare, au beneficiat de sprijinul profesorului prin acest site de socializare.

Astfel elevii și-au fixat cunoștințele mult mai ușor. În urma desfășurării acestor întâlniri online, am putut constata că nivelul pregătirii elevilor a crescut.

Un alt avantaj a fost de ordin psihosocial, elevii devenind mai apropiați de profesor, depășind barierele emoționale.

La clasa a IX-a, unitatea de învățare prins în experiment a fost despre “Vectori în plan”.

Cele opt ore alocate au fost împărțite în cinci ore de teorie și trei ore de aprofundare.

Pentru această clasă, am pregătit prezentări PowerPoint, deoarece a fost nevoie de animația vectorilor pentru o mai bună înțelegere a noțiunilor teoretice introduse.

Orele de exerciții s-au desfășurat în felul următor, profesorul a afișat enunțurile și ipotezele problemelor și a realizat desenele, apoi s-a trecut la rezolvare, care s-a realizat oral, prin discuții și problematizări.

Profesorul a scris pe ecran enunțurile, iar elevii au notat în caietele lor, după care unul dintrei ei a rezolvat la tablă cerințele exercițiului sau problemei.

Rezolvarea a fost notată de către profesor și în calculator, redactând astfel un document cu lecția nouă și exercițiile și probleme rezolvate în clasă.

La sfârșitul orei, profesorul a adăugat în document și a afișat pe ecran tema pentru acasă, iar documentul redactat în timpul orei a fost trimis fiecărui elev, prin e-mail.

Elevii aveau de efectuat ca temă acasă pe lângă exercițiile din culegeri, care erau rezolvate pe caiete, și câte un scurt test generat de www.experior.ro.

Prin intermediul unor astfel de teste profesorul a urmarit să consolideze și să verifice temeinicia cunoștințelor elevilor.

Faptul că aveau un feed-back imediat a condus la remedierea greșelilor și la însușirea corectă mult mai rapid a regulilor de calcul cu fracții zecimale finite.

Utilizarea unui astfel de mijloc a avut și efect în plan motivațional, elevii dovedind entuziasm în a-l folosi, acest mijloc imprimând învățării un caracter mai atrăgător.

Testele propuse au fost concepute în așa fel încât și elevii cu rezultate mai slabe la matematică să le poată rezolva, pentru că fără succes e greu de admis că elevul poate fi convins și determinat să depună eforturi, să persevereze.

Așa cum am mai precizat, la clasele a IX-a elevii au folosit un software pentru telefonul mobil, numit Xcalc, care permite realizarea unor grafice de funcții de grad superior sau de mai multe variabile care interveneau în diverse rezolvări.

Totuși, software-ul a fost folosit doar pentru verificarea anumitor rezultate, și nu pentru rezolvarea efectivă.

Calculatorul a fost folosit în predarea la clasă, fiind utilizat doar de către profesor.

Utilizarea site-ului http://www.wikispaces.com / a oferit numeroase avantaje.

Elevii au dovedit entuziasm în utilizare. Am deschis clasă virtuală și fiecare elev și-a facut cont pe site.

Am lucrat în acest mod la unitatea de învățare „Funcția de gradul II”.

Unitățile de învățare bazate pe proiecte includ strategii instrucționale variate care să îi implice pe elevi indiferent de stilul lor de învățare.

Tehnologia a fost utilizată pentru a sprijini învățarea. Pe întreg parcursul realizării proiectului, au fost incluse multiple tipuri de evaluare pentru a asigura calitatea în procesul de învățare. 

În această unitate, elevii învață despre:

Reprezentarea grafica a funcției f: R→R, f(x)=ax2+bx+c, unde a, b, c numere reale cu a nenul, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x)=0, simetria față de dreptele de forma x = m, unde m este număr real;

Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor simetrice.

Elevii au participat la rezolvarea de aplicații individuale și de grup, cu grad de dificultate progresiv și diferențiat în funcție de stilurile de învățare și de nivelul de înțelegere orientate pe:

Diferențierea variației liniare/pătratice prin exemple;

Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului;

Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative);

Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice;

Utilizarea relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor și rezolvarea unor sisteme;

Utilizarea funcțiilor în rezolvarea unor probleme și modelarea unor procese.

Prin activitățile desfășurate pe parcursul unității de învățare elevii au folosit facilitățile TIC pentru a-și dezvolta competențele prevăzute în programa școlară la nivel liceal.

Profesorul a făcut o scurtă prezentare a unității ce urmează a fi parcursă și enumeră care sunt așteptările după parcurgerea unității.

Elevii au fost împărțiți pe trei grupe: elevii cu aptitudini la matematică – grupa I, cei mediocri – grupa a II-a și cei nu au aptitudini/ interes pentru matematică – grupa a III-a. Adaptare pentru diferențierea instruirii.

Pentru elevii cu dificultăți de învățare sarcinile de lucru vor fi adaptate ținând cont de tipurile de inteligență ale membrilor grupului (raportându-ne, astfel, la Teoria Inteligențelor Multiple), cu posibilitatea de a primi indicații, exemple, șabloane de ghidare.

Din fișele de lucru folosite aceștia vor avea sarcini speciale având în vedere nivelul mai scăzut de înțelegere.

Derularea orelor și introducerea noilor noțiuni se va face conform planificării.

La sfȃrșitul fiecărei ore elevii vor primi temă pentru acasă care va fi încărcată pe wiki.

Prin vizualizarea produselor elevilor profesorul intervine în ameliorarea lacunelor, dacă este cazul.

Elevii din grupa I au realizat prezentări PowerPoint cu sinteza noțiunilor studiate pe parcursul unității de învățare pe care le-au încărcat pe pagina site-ului wiki.

Profesorul a ghidat și monitorizat activitatea fiecărei grupe prin întrebări ajutătoare și discuții încurajatoare, dar și cu explicații tehnice atunci când a fost nevoie.

Elevii din grupa III au realizat teme în alte medii de lucru accesibile lor și aceste teme fiind încărcate pe wiki. Tot aici au fost puse la dispoziție de către profesor și alte materiale de conținut al învățării.

Evaluarea s-a facut atât prin aprecierea temelor pentru acasă, prin scurte fișe de evaluare în fiecare oră care au ca rol oferirea de feed-back către profesor, pentru ca acesta să depisteze și apoi să completeze eventualele lacune ale elevilor, prin analiza răspunsurilor elevilor date la conversații în clasă, test de evaluare sumativă.

Un avantaj este că prin publicarea și prezentarea propriilor aplicații, vizualizarea aplicațiilor colegilor, oferirea de feed-back către aceștia, elevii își dezvoltă competențele de documentare, comunicare, responsabilitate, investigare.

Elevii s-au aflat permanent în centrul procesului de învățare, respectându-se astfel principiul învățării conștiente și active.

Concluzia este că utilizarea tehnologiei în procesul de predare-învățare are un oarecare efect benefic asupra atitudinii elevilor față de matematică.

În etapa finală a cercetării la cele două clase s-a aplicat testul de evaluare finală.

Testul a fost dat la sfârșitul anului școlar. În elaborarea lui am ținut cont de competențele menționate în programa școlară.

Matricea de specificații asociată testului este:

Competențele de evaluat asociate testului sunt:

C1.Identificarea unor funcții sau a unor elemente de geometrie vectorială în diverse contexte matematice.

C2. Descrierea unor proprietăți ale funcțiilor de gradul I și gradul al II-lea, caracterizarea sintetică și/sau vectorială a unei configurații geometrice date.

C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului algebric/trigonometric/vectorial în rezolvarea de probleme.

C4. Utilizarea unor metode algebrice și/sau grafice pentru rezolvarea ecuațiilor/inecuațiilor, folosirea relatiilor lui Viẻte pentru caracterizarea soluțiilor unei ecuații de gradul al II-lea.

C5. Studierea unnor situații problemă din punct de vedere cantitativ și/sau/calitativ utilizȃnd proprietățile algebrice și/ sau de ordine ale mulțimii numerelor reale.

C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate.

TEST DE EVALUARE FINALĂ

An școlar 2012-2013

Clasa a IX-a

Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru 50 minute

Se acorda 10 puncte din oficiu

PARTEA I Completați spațiile punctate astfel încȃt să obțineți propoziții adevărate (45p)

5p 1. Partea întreagă a numărului real 1- + este………….

5p 2 Se consideră o progresie aritmetică de rație 5, care are primul termen egal cu 3. Al șaselea termen al progresiei este egal cu…………………….

5p 3. Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației x2+3x+1=0, atunci q=x12 + x22 este egal cu………….

5p 4. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației 2×2 -5x+3≤ 0 este…………….

5p 5.Se consideră punctele A(0,2) și B(-2,0). Lungimea vectorului AB este egală cu…..

5p 6. Numărul sin este egal cu……………………..

5p 7. Aria triunghiului ABC știind că AC = 2, m(∢ BAC) = 30° și AB = 4 este…..

5p 8. Rezultatul calculului sin2 1300 +cos2 500 este……………………

5p 9. Perimetrul triunghiului ABC cu AB = 2, BC = 4 și m(∢ B)=600 este………

PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete.(45p)

9p 10. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4, AC = și BC = . Să se calculeze măsura unghiului B.

9p 11. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , știind că:

AB = 3 și m(∢ C) =300

9p 12. Se consideră triunghiul ABC, având aria egală cu 15. Să se calculeze sinA știind că AB=6 și AC = 10.

9p 13. Se consideră funcția: f:R→R, f(x)=(a+1)x2 +(2a+3)x +a+1, unde aɛR\{-1}. Pentru a=1, rezolvați ecuația f(x)=0.

9p 14. Se consideră numerele realea,bɛ astfel încat sin a= și sin b=. Calculați sin(a+b).

Barem de evaluare și notare

PARTEA I (45p)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

PARTEA a II-a ( 45p)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.

Capitolul IV

COLECTAREA, PRELUCRAREA ȘI ANALIZA REZULTATELOR CERCETĂRII

IV.1 Prezentarea rezultatelor obținute la evaluarea inițială

Clasa a IX-a E (clasa experiment)

Colegiul Național Pedagogic “Ștefan Cel Mare” Bacău.

Număr de elevi: 22 prezenți: 22

Notele obținute de elevi:

Media clasei

ma= (3 ˑ 2 + 4 ˑ 0 + 5 ˑ 3 + 6 ˑ 3 + 7 ˑ 4 + 8 ˑ5 + 9 ˑ 5 ) : 22 = 6,90

Interpretarea rezultatelor

După studierea rezultatelor s-a constatat:

-itemul 1 a fost rezolvat de toți elevi, itemii 3,4 au fot rezolvați de majoritatea elevilor ceea ce dovedește că elevii știu operațiile cu numere reale, dar și terminologia specifică;

-itemul 2 a fost rezolvat de 20 de elevi, deci majoritatea elevilor știu să aplice reguli de calcul cu numere reale pentru rezolvarea unor ecuații;

-la itemul 5 au rezolvat corect funcția 18 elevi;

-itemul 6 a fost rezolvat de 14 elevi; greșeala frecventă a fost că nu au știut să egaleze funcția cu valoarea 7 pentru determinarea necunoscutei;

-la itemul 7 au răspuns corect 17 elevi; ceilalți au greșit rezultatul împărțirii;

-itemul 8 a fost rezolvat de toți elevii dovedind că știu să aplice reguli de calcul cu numere reale pentru rezolvarea unor inecuații;

-la itemul 9 elevii aveau de rezolvat un exercițiu în care trebuia să se respecte ordinea efectuării operațiilor; a fost rezolvat corect de 20 dintre elevii clasei a IX-a E; un elev nu a respectat ordinea efectuării operațiilor;

-la itemul 10 elevii aveau de rezolvat o expresie matematică; a fost rezolvat de 6 elevi, ceea ce arată că elevii nu rezolvă corect si nu respectă etapele corespunzătoare rezolvării;

-itemul 11 este o problemă de geometrie; am urmărit astfel dacă elevii pot reprezenta prin figuri datele unei probleme și dacă pot să rezolve; a fost rezolvat de jumătate din elevi; ceilalți elevi nu au făcut figurile corect;

-itemul 12 este o problemă cu un grad mai ridicat de dificultate pentru a găsi elevi capabili de performanță; a fost rezolvat parțial de 4 elevi.

Concluzii și recomandări:

-în ceea ce privește operațiile cu numere reale s-a dovedit ca elevii știu sa rezolve respectând ordinea efectuării operațiilor;

-elevii întâmpină dificultăți în rezolvare de probleme, dovedind că este necesar să exerseze pentru a-și forma deprinderea de rezolvare respectând un algoritm de lucru;

-elevii nu au rezolvat expresia matematică, de aceea se recomanda o atenție mai deosebită la această lecție, precum și exerciții de aflarea necunoscutei oricând e posibil;

-se recomandă lucru diferențiat și individual pentru a îmbunătăți rezultatele copiilor, dar și pentru remedierea rezultatelor celor cu note sub 5.

Clasa a IX-a F (clasa martor)

Colegiul Național Pedagogic “Ștefan Cel Mare” Bacău

Număr de elevi: 19 prezenți :19

Notele obținute de elevi:

Media clasei

ma = (4 x3 +5×1+6×1+7×5+8×1+9×8):19=7,26

Interpretarea rezultatelor

După studierea rezultatelor s-a constatat:

-itemul 1, 3 și 4 au fost rezolvați corect de toți elevii ceea ce dovedește că elevii știu operațiile cu numere reale, dar și terminologia specifică;

-itemul 2 a fost rezolvat de 18 de elevi;

-la itemul 5 au rezolvat corect funcția 12 elevi;

-itemul 6 a fost rezolvat de 17 elevi;

-la itemul 7 au răspuns corect 15 elevi;

-itemul 8 a fost rezolvat de toți elevii dovedind că știu să aplice reguli de calcul cu numere reale pentru rezolvarea unor inecuații;

-la itemul 9 elevii aveau de rezolvat un exercițiu în care trebuia să se respecte ordinea efectuării operațiilor; a fost rezolvat corect de 16 dintre elevii clasei a IX-a F; ceilalți 3 elevi au greșit la calcule;

-la itemul 10 elevii aveau de rezolvat o expresie matematică; a fost rezolvat de 7 elevi în totalitate; alți 2 elevi au primit câte 8 puncte , iar doi elevi au primit câte 5 puncte din 10 ceea ce arată că sunt elevi care întâmpină dificultăți în a rezolva o ecuație;

-itemul 11 este o problemă de geometrie; am urmărit astfel dacă elevii pot reprezenta prin figuri geometrice datele unei probleme și dacă pot să rezolve; a fost rezolvat de jumătate din elevi; ceilalți elevi nu au făcut reprezentarea corect;

-itemul 12 este o problemă cu un grad mai ridicat de dificultate pentru a găsi elevi capabili de performanță, nu a fost rezolvat de nici un elev.

Concluzii și recomandări:

-în ceea ce privește operațiile cu numere naturale s-a dovedit ca elevii calculează corect, respectând ordinea efectuării operațiilor;

-elevii întâmpină dificultăți în rezolvare de probleme, dovedind că este necesar să exerseze pentru a-si forma deprinderea de rezolvare respectând un algoritm de lucru;

-8 dintre elevii clasei a IX-a F nu au rezolvat ecuația, de aceea se recomandă, exerciții de aflarea necunoscutei oricând e posibil;

-se recomandă lucru diferențiat și individual pentru evitarea rămânerii în urmă a elevilor care au obținut note mai mici de 5, dar și pentru îmbunătațirea rezultatelor celor care au obținut nota 9;

Clasa experiment

Avem 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9.

Locul medianei N1 : 2=11, atunci mediana este 7.

Amplitudinea împrăștierii A= Xmax – Xmin= 9 – 3= 6.

Abaterea medie A.M.==1,48

Dispersia

Abaterea standard :

Clasa martor

Avem notele: 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9.

Locul medianei (N+1):2=10, atunci mediana este 7.

Amplitudinea împrăștierii A=Xmax-Xmin= 9 – 4=5.

Abaterea medie A.M.==1,54

Dispersia

Abaterea standard :

.

Datele înregistrate sunt :

m1=6,90 N1=22

m2=7.26 N2=19

verificăm pe baza criteriului t:

unde

În cazul nostru și =

În tabelul distribuțiilor căutăm în coloana n pe 22+19-2=39.

Mergând pe rândul respectiv și citind valorile lui observăm că valoarea este mai mică decât pragul 0,01.

Considerăm deci diferența dintre medii drept nesemnificativă.

S-a demonstrat astfel că grupul experimental și grupul martor sunt omogene sub aspectul performanțelor școlare și al capacităților de învățare.

Analog vom proceda pentru a afla la sfȃrșit dacă diferențele dintre cele două clase sunt sau nu semnificative.

IV.2 Prezentarea rezultatelor obținute la evaluarea finală

Clasa a IX-a E (clasa experiment)

Colegiul Național Pedagogic “Ștefan Cel Mare” Bacău

Număr de elevi: 22 prezenți :22

Notele obținute de elevi:

Media clasei: ma= (6ˑ2+7ˑ7+8ˑ5+9ˑ4+10ˑ4):22=8,04

Interpretarea rezultatelor:

După studierea rezultatelor s-a constatat:

-itemul 1 a fost rezolvat de toți elevii ceea ce dovedește ca și-au însușit noțiunea de parte întreagă a unui număr real;

-itemul 2 a fost rezolvat de toți elevii, deci sunt capabili să calculeze orice termen dintr-o progresie aritmetică, cȃnd se cunoaște rația.

-prin itemul 3 se dorea verificarea însușirii relatiilor lui Viẻte, precum și a capacității de operare cu ecuația de gradul al II-lea; au răspuns corect 21 elevi;

-itemul 4, unde se verifica capacitatea de rezolvare a unei inecuații a fost rezolvat de 20 elevi;

-itemul 5 a urmărit aplicarea corectă a calculului vectorial în rezolvarea de probleme, în acest sens 18 elevi au efectuat calculul corect.

-itemul 6 și 7 a verificat aplicarea unor algoritmi specifici calculului trigonometric și algebric unde un număr de 14 respectiv 18 elevi au îndeplinit sarcina corespunzător;

-itemii 8 și 9 au fost rezolvați de toți elevii, dovedind că știu să aplice algoritmi specifici calculului trigonometric/vectorial/algebric în rezolvarea de probleme;

-la itemul 10 unde s-a urmărit optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate, au obținut punctaj total 7 elevi și parțial 12; greșeala frecventă a fost la operațiile cu numere reale de forma a;

-item 11, 12 au fost rezolvați de 16 elevi total respectiv 14 elevi elevii întâmpinând dificultăți în rezolvarea de probleme de geometrie.

-itemii 13 și 14 au fost rezolvați de 13 elevi respectiv 9 elevi.

Concluzii și recomandări:

– se recomandă teme individuale cu grade sporite de dificultate;

– elevii știu cum se calculeze partea întreagă;

-elevii au dovedit că nu toți reușesc să rezolve o problemă cu algoritmi specifici calculului trigonometric, de aceea se recomandă o atenție deosebită asupra acestui aspect.

Clasa a IX-a F (clasa martor)

Colegiul Național Pedagogic “Ștefan Cel Mare” Bacău

Număr de elevi: 18 prezenți :17

Notele obținute de elevi:

Media clasei

ma= (4ˑ1 +5ˑ2+6ˑ1+7ˑ5+8ˑ1+9ˑ6+10ˑ1):17=7,47

Interpretarea rezultatelor

După studierea rezultatelor s-a constatat:

-itemii 1, 2, 3, 4, 8 și 9 au fost rezolvați corect de toți elevii;

-itemul 5 urmărit aplicarea corectă a calculului vectorial în rezolvarea de probleme, în acest sens 11 elevi au efectuat calculul corect restul de 6 elev întȃminȃnd dificultăți la operațiile cu vectori.

-itemul 6 și 7 a verificat aplicarea unor algoritmi specifici calculului trigonometric și algebric unde un număr egal de 12 elevi au îndeplinit sarcina corespunzător;

– la itemul 10 unde s-a urmărit optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate, au obținut punctaj total 11 elevi și parțial 6; greșeala frecventă a fost la operațiile cu numere reale de forma a;

-itemul 11 și 12 au fost rezolvați de 12 respectiv 9 elevi, aceștia întâmpinând dificultăți în rezolvarea de probleme de geometrie.

-itemul 13 a fost rezolvat de un singur elev total și de un elev parțial

-itemul 14 au fost rezolvați de 5 elevi.

Concluzii și recomandări:

– se recomandă teme individuale cu grade sporite de dificultate;

– elevii știu cum se calculeze partea întreagă;

-elevii au dovedit că nu toți reușesc să rezolve o problemă cu algoritmi specifici calculului trigonometric, de aceea se recomandă o atenție deosebită asupra acestui aspect.

Clasa experiment

Avem 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8,8, 9, 9, 9,9, 10, 10, 10,10.

Locul medianei N1 :2=11, atunci mediana este 8.

Amplitudinea împrăștierii A= X max- Xmin=10-6=4.

Abaterea medie A.M.==1,07

Dispersia

Abaterea standard :

Clasa martor

Avem notele: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7 ,7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10.

Locul medianei (N+1):2=9, atunci mediana este 7.

Amplitudinea împrăștierii A=Xmax-Xmin= 10-4 = 6.

Abaterea medie A.M.==1,17

Dispersia

Abaterea standard :

m1=8,04 N1=22

m2=7,47 N2=17

verificăm pe baza criteriului t:

unde .

În cazul nostru și =

În etapa de evaluare finală, rezultatele au indicat o creștere la clasa experimentală.

Din prelucrarea rezultatelor obținute la testul de evaluare final se evidențiază un progres de 1,16 puncte pentru eșantionul experimental.

Se constată că performanțele elevilor clasei experimentale sunt superioare celor ale elevilor clasei martor, care inițial aveau același nivel de pregătire în ceea ce privește cunoștințele matematice.

Nu doar aceste teste mi-au oferit informații despre progresul elevilor, ci și observarea sistematică în timpul activităților organizate și analiza produselor activității.

Toate aceste modalități de evaluare mi-au confirmat, în final faptul că teoria didactică pe care am ales-o a dat rezultatele aștepate.

Aplicând un demers metodic bazat pe folosirea în mod creator a calculatorului, a unui complex de metode active-participative moderne, a unui set de teste formative, se vor obține progrese reale în ceea ce privește capacitatea elevilor de a recepta eficient și corect informațiile transmise.

Atitudinea elevilor față de o disciplină școlară se găsește în strânsă legătură cu

motivația pe care ei o au pentru studiul acelei discipline.

Relația dintre utilizarea tehnologiei în predare și atitudinea elevilor față de învățare, în general, este recunoscută în literatura de specialitate.

Există multe studii care indică relații pozitive semnificative între utilizarea tehnologiei și atitudinea elevilor față de matematică (Alkhateeb, 2002).

Atitudinea față de învățare, în general, și față de o anumită disciplină, în special, este influențată atât de trecutul elevului (mediul din care provine, educația anterioară, etc.), cât și de planurile sale de viitor (Wood și Solomonides, 2008).

Deoarece există o relație pozitivă foarte strânsă între atitudinea față de matematică și succesul unui student în studiul matematicii, atitudinea față de matematică este acceptată drept un determinant puternic pentru succesul sau eșecul în studiul matematicii (Elderveld, 1983; Otunuku și Brown, 2007; Rives, 1992).

De aceea, trebuie găsite căi prin care să poată fi îmbunătățită atitudinea elevilor față de matematică, mai ales că nu este niciodată prea târziu pentru a o schimba (Di Martino și Zan, 2010).

Trebuie avut, însă, în vedere că procesul de shimbare al atitudinii este unul de durată (Gresalfi, 2009; Wilkins și Ma, 2003). Eforturile depuse în ultimii ani de către profesori și cercetători în educație produc deja rezultate optimiste (Mills, 2004).

Conform studiilor efectuate, cele mai eficiente strategii de îmbunătățire a atitudinii elevilor față de matematică sunt cele de auto-învățare și de cooperare (Ifamuyiwa și Akinsola, 2008; Townsend și Wilton, 2003).

De asemenea, percepțiile elevilor asupra Internetului pot modela atitudinile acestora.

S-a arătat că elevii din unitățile de învățământ evidențiază atitudini pozitive și o auto-eficacitate adecvată legată de Internet și că acești studenți sunt mai înclinați să considere Internetul drept o unealtă funcțională – tehnologie funcțională.

Alajaaski (2006) a descoperit, însă, că elevii care stăpânesc bine fundamentele pentru studiul unui anumit conținut matematic (statistica, în speță), sunt atrași într-o măsură foarte mică de studiul bazat pe web al subiectului respectiv.

Elevii cu un istoric matematic mai slab s-au dezvoltat mult mai bine în comparație cu cei care aveau antecedente bune atunci când profesorul a folosit în studiul matematicii aplicații web.

Integrarea tehnologiei le permite elevilor să devină mai activi în procesul de învățare.

Atunci când elevul se simte implicat practic în acest proces, retenția materialului tinde să crească semnificativ.

Instrumente cum ar fi table interactive, calculatoare personale și videoproiectoare pot ajuta la creșterea interesului elevilor prin variațiunile pe care le aduc în predare.

Tehnologia va fi tot mai importantă pentru generațiile viitoare de elevi.

Dacă îi expun la provocări interesante care includ tehnologia, educatorii îi vor încuraja pe elevi să lupte pentru a atinge așteptări înalte din lumea reală.

Totuși, pentru a avea parte de toate avantajele pe care le oferă tehnologia, implementarea ei în clasă trebuie făcută într-un mod bine gândit și planificat (Soucie, Radovic și Svedrec, 2010).

CONCLUZII

Prin fundamentarea teoretică și modelele propuse, cercetarea a evidențiat rolul calculatorului în predarea-învățarea-evaluarea calitativă a matematicii și a condus la următoarele:

atunci când tehnologia este folosită bine în cadrul orelor de matematică la clasele liceale, are un efect pozitiv asupra atitudinilor elevilor în ceea ce privește învățarea, asupra încrederii elevilor în capacitățile lor de a face matematică, și asupra modelelor de implicare, incluzând motivația și timpul petrecut cu o anumită sarcină.

Mai mult decât atât, folosirea tehnologiei are un impact pozitiv asupra învățării propriu-zise a elevilor, cu câștiguri semnificative în realizările matematice și înțelegerea conceptuală (Guerrero, Walker și Dugdale, 2004).

rezultatele obținute de liceenii care au utilizat mijloace informatice sunt în creștere

la colectivul clasei de elevi la care s-a folosit calculatorul în predarea matematicii s-a constatat:

Utilizarea TIC a favorizat învățarea activă, interactivă, participativă.

Învățarea s-a putut face diferențiat.

Folosirea softurilor a favorizat efectuarea unor simulări și formarea la elevi a unor reprezentări corecte.

Activitățile propuse i-au antrenat pe elevii cu rezultate scăzute.

Depistarea unor carențe în însușiri teoretice și remedierea lor într-un mod mai atractiv.

Deoarece există o relație pozitivă foarte strânsă între atitudinea față de matematică și succesul unui elev în studiul matematicii, atitudinea față de matematică este acceptată drept un determinant puternic pentru succesul sau eșecul în studiul matematicii (Elderveld, 1983; Otunuku și Brown, 2007; Rives, 1992).

Reușitele unui elev la matematică influențează pozitiv într-o foarte mare măsură atitudinea acestuia față de matematică.

Implementarea cunoștințelor pe care elevii le posedă deja în diverse activități;

Problematizarea poate avea ca efect reducerea temerilor și anxietății față de matematică, și ajută la îmbunătățirea atitudinii față de această disciplină (Hannula, 2002; Hayri și Nihat, 2010; Lou, Shih, Diez și Tseng, 2011).

Dintre elevi, 52% au exprimat simțăminte pozitive în legătură cu utilizarea tehnologiei în procesul instructiv-educativ și chiar făceau acest lucru într-o mică măsură.

Un procent egal cu 28% aveau o atitudine pozitivă, însă au enumerat mai multe piedici în calea integrării tehnologiei.

Un grup ce reprezenta 13% dintre participanți, folosea tehnologia.

Restul de 7% nu foloseau deloc tehnologia.. Printre obstacolele cele mai întâlnite în calea integrării tehnologiei se numărau cunoștințele/abilitățile de utilizare, încrederea, accesul și timpul.

Au fost identificate bariere care se interpun, din punctul de vedere al profesorilor, în procesul de integrare a tehnologiei în predare.

Aceste bariere au fost grupate în două categorii: externe și interne.

Barierele externe indicate de către profesori sunt:

accesibilitatea tehnologiei (lipsa calculatoarelor și a aplicațiilor software, costurile ridicate pentru licențele aplicațiilor);

funcționarea defectuoasă sau nefuncționalitatea calculatoarelor din dotare;

lipsa suportului tehnic.

Barierele interne reclamate sunt:

lipsa timpului;

lipsa cunoștințelor;

anxietatea și lipsa de încredere în sine (Wachira și Keengwe, 2011)

Folosirea noilor echipamente și instrumente pedagogice (laboratoare ultra-moderne, pachete software inovative) ca suport pentru procesul de predare facilitează și încurajează practica independentă printre elevii care, în medii convenționale, au prezentat niveluri foarte scăzute ale motivației.

Îmbunătățirile evidențiate la examenele finale subliniază eficiența acestor noi tipuri de abordare a învățării (Gorm Hansem și Shlesinger,2007).

Introducerea tehnologiei la orele de matematică înseamnă mai mult decât instrumente noi de predare. Este o ocazie de a redefini ceea ce înseamnă predarea și învățarea matematicii. (Hodges și Conner, 2011).

În cadrul utilizării calculatorului pentru orele de matematică s-a descoperit că software- ul personalizat pentru fiecare elev are un efect favorabil asupra performanțelor și a atitudinii elevilor, în comparație cu folosirea unor programe nepersonalizate (Chen și Liu, 2007).

Un alt studiu recent nu a obținut, însă, o relație semnificativă între folosirea tehnologiei și rezultatele elevilor la matematică (Wang și O'Dwyer, 2011).

O atitudine pozitivă față de matematică și față de instrumentele software utitizate în procesul de predare-învățare augmentează comportamentele de învățare manifestate.

Mai mult decât atât, atitudinea pozitivă față de instrumentele folosite împreună cu comportamentele de învățare manifestate îl ajută pe elev să utilizeze mai eficient instrumentul software (Reed, Drijvers și Kirschner, 2010).

Folosirea internetului se face tot mai prezentă în clase, lucru care a mutat mediul de învățare dincolo de testele contra-timp și folosirea locală a calculatoarelor.

Crearea unui curriculum bazat pe Web are potențialul de a oferi elevilor accesul la rețeaua globală de informație multimedia, în timp ce sunt implicați în activități de învățare auto-dirijate (Scheidet, 2003).

Atunci când dezvoltarea tehnologiilor se face în colaborare cu profesorii implicați direct în procesul educativ, rezultatele nu se lasă așteptate

Atitudinile și auto-eficacitatea elevilor în ceea ce privește internetul au fost identificate ca factori importanți ce afectează motivația elevilor, interesele și performanțele în mediile de învățare bazate pe internet.

De asemenea, percepțiile studenților asupra internetului pot modela atitudinile acestora.

S-a arătat că elevii din unitățile de învățământ evidențiază atitudini pozitive și o auto-eficacitate adecvată legată de internet și că acești elevi sunt mai înclinați să considere internetul drept o unealtă funcțională – o tehnologie funcțională.

Tehnologiile de exersare și evaluare bazate pe web îi ajută pe elevi într-o măsură substanțială la clădirea motivației și lărgește însemnătatea învățării și a faptului de „a face” matematică cu ajutorul tehnologiilor bazate pe internet (Nguyen, Hsieh și Allen, 2006).

Orice absolvent de liceu trebuie, astăzi, să fie familiarizat cu tehnologia.

Profesorii ar trebui să folosească avantajele tehnologiei, pentru că astfel pot motiva elevii și îi pot ajuta să vizualizeze problemele matematice.

Tehnologia îi poate ajuta pe elevi să abordeze chestiuni mai complexe decât matematica de zi cu zi. Ea le permite elevilor să crească de la simpla reproducere a unor teoreme la explorare și descoperire.

Elevii sunt capabili să pătrundă mai adânc în diferite aspecte matematice. Învățarea devine distractivă pentru ei.

Totuși, pentru a avea parte de toate avantajele pe care le oferă tehnologia, implementarea ei în clasă trebuie făcută într-un mod bine gândit și planificat (Soucie, Radovic și Svedrec, 2010).

TIC ca și tehnologiile didactice trebuie să încadreze în structura lor toate componentele procesului de predare-învățare: obiective, conținut, metode și forme de activitate caracteristice profesorului și elevilor.

Este necesar să se țină cont că calculatoarele și tehnologiile informației sunt doar instrumente de dirijare a procesului de predare-învățare pentru elevi.

ANEXE

ANEXA A

CHESTIONAR DESPRE PĂRERILE LEGATE DE MATEMATICA

Numele

Profesorul

Școala

Instrucțiuni: Acest chestionar cuprinde declarații despre părerea ta în legătură cu matematica. Nu există răspunsuri corecte sau incorecte. Citește fiecare declarație cu atenție. Gândește-te la ceea ce crezi despre fiecare din aceste declarații. Scrie litera care corespunde cel mai aproape cu ceea ce gândești în legătură cu declarația respectivă. Completează răspunsul tău pentru toate declarațiile.

A – Dezacord total

B – Dezacord

C – Neutru

D – De acord

E – În acord total

Chestionar

1. Aveți calculator personal?

a. Da b. Nu

2. Știți să utilizați calculatorul?

a. Foarte bine b. Bine c. Puțin d. Deloc

3. Unde ați învățat să utilizați calculatorul

a. La școală b. Acasă, rude, prieteni c. Alte cursuri

4. La ce este bun calculatorul?

a. Pentru a învăța ceva nou, pentru a vă documenta

b. Pentru divertisment

5. Utilizați serviciile Internet?

a. Da b. Nu

6. Cât de des folosiți calculatorul ?

a. În fiecare zi b. Săptămânal c. De câteva ori pe lună d. De câteva ori pe an

7. Credeți că este util calculatorul în procesul instructiv-educativ?

a. Da b. Nu

8. Enumerați cel puțin trei motive pentru care considerați că este utilă folosirea calculatorului la clasă.

………………………

………………………

………………………

9. Enumerați cel puțin trei motive pentru care considerați că nu este utilă folosirea calculatorului la clasă.

………………………

………………………

……………………..

10. Credeți că utilizând calculatorul veți înregistra un progres la învățătură, o stagnare sau un regres?

a. Un progres b. O stagnare c. Un regres

11. La ce arie curriculară este utilă folosirea calculatorului?

a. Limbă și comunicare

b. Matematică și științe ale naturii

c. Om si societate

d. Arte

e. Educație fizică și sport

f. Tehnologii

g. Consiliere și orientare

ANEXA B

ANEXA C

ANALIZĂ MATEMATICĂ CU PROGRAME TABELARE

Softurile tabelare, construite în principal pentru analiza și gestionarea datelor din situațiile vieții cotidiene pot fi utilizate în matematică, pentru exemplificarea unor fenomene ce descriu serii numerice sau în modele matematice ce se pot aproxima prin astfel de serii de date.

În plus este o modalitate la îndemana oricărui profesor de matematică, ca, fără programe speciale pentru calculator, să atragă elevii spre frumusețea matematicii asistată de calculator.

În exemplul ce urmează, vom deduce din datele numerice gestionate în Excel, comportamentul asimptotic al unui șir definit recurent, oferind astfel o bază experimentală pentru o demonstrație teoretică a rezultatului bănuit.

În esență, acesta este rolul simulării cu mijloacele informaticii moderne: a oferi informații asupra unui posibil rezultat teoretic general.

Un program tabelar modern dispune de suficiente facilități pentru a face astfel de studii numerice și grafice.

Exemplu: ne propunem să studiem comportamentul la limită al șirului definit prin:

x1=a, xn+1= a0 ≈ 0,10

pentru n = 1, 2, 3, …, și eventual să determinăm dependența acestui comportament față de „data inițială” a > 0.

Vom folosi coloanele tabelului, de exemplu până la linia 31 (acest număr poate varia în funcție de problemă și limita de calcul a softului ales). Pe coloana A vom genera numerele naturale 1, 2, 3, …, 31, de exemplu punând A1=1, A2=A1+1, și apoi copiind formula până la linia 31.

Vom începe studiul cu A1=1, xn șirul fiind generat pe coloana B.

Așezăm data inițială a = 1 (pentru început) în B1 și în B2 formula pentru:

x2 =

Copiem apoi formula pe toata coloana B și pe încă câteva coloane în care vom schimba pe rând data inițiala din C1, D1, …

Cu „Insert Charts” putem vedea si grafic rezultatele

Pentru a = 1 șirul numeric susține ideea că subșirul termenilor impari converge rapid la1, iar cel al termenilor pari puternic crescător la infinit.

Pentru a = 2, comportamentul este schimbat, în sensul că șirul termenilor pari tinde la

1 și cel al termenilor impari la infinit:

Pentru a = 0,1 se produce o schimbare: șirul termenilor impari converge la 1 și al celor pari la infinit:

Pentru a = 0,2 se remarcă același comportament ca cel pentru a = 1, iar prin încercări successive (coloane noi, formula copiată și date inițiale schimbate), rezultă că probabila tranziție de fază, adica schimbarea bruscă a comportamentului șirului se produce pentru o valoare a care cu două zecimale exacte este a = 0,10.

Urmează faza demonstrației teoretice a rezultatelor justificate de calcule numerice ce va aparține matematicianului, și anume:

Teoremă: Pentru șirul definit prin: x1=a, xn+1= exist[ un număr real a0 ≈ 0,10 cu următoarea proprietate:

pentru a (0,a0) șirul x2n tinde la infinit iar șirul x2n+1 converge la 1;

pentru a (a0, 1) șirul x2n converge la 1 iar șirul x2n+1 tinde la .

Acest fapt a fost demonstrat de fapt, într-o lucrare publicată în 1990 de matematicianul român Ciprian Foias. Punctul a0 din enunț se numește punct critic și corespunde noțiunii de „tranziție de fază” din fizică.

Lăsăm pe seama cititorului ca exercițiu să observe că pe intervalul (1, 2) mai apare un punct critic, așa cum se vede din cele câteva calcule din tabel. Calculați-l cu două zecimale exacte.

Invit cititorii să foloseasca acest mod de analiză pentru studiul altor șiruri, mai mult sau mai puțin elementare.

În situațiile în care răspunsul teoretic nu poate fi intuit, se vor putea obține suficiente informații numerice pentru a ajuta tratarea teoretică.

Profesorii de matematică au mai sus un model prin care îi pot atrage pe elevii pasionați de informatică spre studiul analizei matematice fără a avea resurse speciale informatice.

ANEXA D

Imagine generată cu ajutorul softului Geogebra

Imagine generată cu ajutorul softului GeoNExT

ANEXA E

Discuții

În cazul studiului de față, reacțiile elevilor au fost, în general, favorabile utilizării tehnologiei. Iată câteva exemple.

Andrei: “De-abia aștept să facem iarăși matematică!”

Daniel: “Doama profesor, să nu uitați să ne trimiteți lecția pe e-mail!”

Denisa: “Oh, nu! Iarăși o prezentare cu videoproiectorul… Înțeleg mai bine când ne explicați la tablă…”

Adriana: “Cu animația aceasta am înțeles mai clar adunarea vectorilor.”

Maria: “Arătați-ne și astăzi ceva cu calculatorul!”

Irina: “Acum chiar am reușit să înțeleg!”

Oana: “De ce nu facem toate lecțiile așa, cu calculatorul?”

Teodora: “Mă cam obosește videoproiectorul…”

Ioan: “Am putut, în sfârșit, să văd și eu un corp geometric în spațiu…”

BIBLIOGRAFIE

Cojocariu, V., M. (2001) -Introducere în pedagogie. Teoria și metodologia curriculum-ului, curs, Universitatea din Bacău 

Cojocariu,V., M. (2003) -Educație pentru schimbare și creativitate, București: E.D.P

Dumitriu C. (2004)- Introducere în cerecetarea pedagogică, București, E.D.P.

Dumitriu G., Dumitriu C. (2004) -Psihopedagogie. Curriculum-suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ, București E.D.P.

Făt S., Labăr A. (2009) –Eficiența utilizării noilor tehnologii în educație. eduTIC 2009. Raport de cerecetare evaluativă, București: Centrul pentru Inovare în Educație

Ion D. I., Niță C. (1978) -Elemente de aritmetică, București, Ed. Tehnică

Istrate O. (2000) –Educația la distanță. Proiectarea materialelor, Botoșani, Ed. Agata

Miron R., Brânzei D.(1983) -Fundamentele aritmeticii și geometriei, București, Editura Academiei

Irinel Dafincescu și elev. Budisteanu Ionut Alexandru(2010) – “Clase de funcții – teste de analiză matematică pe calculator"

Tamara Bianco,Volker Ulm (Ed.) (2010) -Mathematics Education with Technology-Experiences in Europe:University of Augsburg

Chen, C. J. și Liu, P. L. (2007). Personalized computer-assisted mathematics problem-solving program and its impact on taiwanese students. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 26(2), 105-121.

Utsumi, M. și Mendes, C. (2000). Researching the attitudes towards mathematics in basic education. Educational Psychology, 20(2), 237-243. doi:10.1080/713663712

Wang, Y. și O'Dwyer, L. (2011). Teacher-directed student use of technology and mathematics achievement: Examining trends in international patterns. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 30(1), 79-135.

Moise, Edwin E. (1980) -Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, București E.D.P.

Neveanu, P., P. (coord.) (1995). Psihologie, Manual pentru clasa a X-a, școli normale și licee, București:E.D.P.;

Nicola, I. (1996). Tratat de pedagogie școlară, București: E.D.P

Noveanu E., (coord.) (2004)– Impactul formativ al utilizării Ael în educație, București, Centrul pentru inovare în educație

Osterrieth P, (1976) -Introducere în psihologia copilului, București, E.D.P.

Potolea D., Noveanu E. (coord) (2008) –Informatizarea sistemului de învățământ: Progeamul S.E.I. Raport de cercetare evaluativă, București: Univ. București, Facultatea de Psihologie și Știintele Educației

Radovici-Mărculescu, P. -Probleme de teoria elementară a numerelor, București, Ed. Tehnică

Rusu E. (1964)- Geometrie elementară, București, E.D.P.

Șchiopu U., Piscoi V. (1980) -Psihologia generală a copilului, București, EDP

Țârcovnicu, V. (1975) -Pedagogie generală, Timișoara: Ed.Facla;

Ioana Căciula (2009)-Utilizarea calculatorului în educație (revistă electronică),București

Cristian Prostire (2011)-Efectele folosirii tehnologiei în predare asupra atitudinii elevilor față de matematică

Vlada M. (2009) –Utilizarea Tehnologiilor eLearing: cele mai importante 10 inițiative proiecte din România, București: Centrul pentru Inovare în Educație

Wills, S. și Alexander, S. (2000). Managing Technological Change and University Teaching. În Evans, T. și Nation, D. (eds) Changing University Teaching: reflections on creating educational technologies

***- Colecția “Gazeta Matematică”

***-(2009) –Programa Școlara Matematică, clasele a IX-a, aX-a, a XI-a, a XII-a

***-http://www.cabri.com/

***-Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus

***-Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2

****-(2011) Geogebra, Didactica Matematica nr 2, p48

***-(2014) Considerații privind editarea computerizată a textelor matematice cu grafică. Pledoarie pentru aplicația GEOGebra, Didactica Matematică nr 1, p23

BIBLIOGRAFIE

Cojocariu, V., M. (2001) -Introducere în pedagogie. Teoria și metodologia curriculum-ului, curs, Universitatea din Bacău 

Cojocariu,V., M. (2003) -Educație pentru schimbare și creativitate, București: E.D.P

Dumitriu C. (2004)- Introducere în cerecetarea pedagogică, București, E.D.P.

Dumitriu G., Dumitriu C. (2004) -Psihopedagogie. Curriculum-suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ, București E.D.P.

Făt S., Labăr A. (2009) –Eficiența utilizării noilor tehnologii în educație. eduTIC 2009. Raport de cerecetare evaluativă, București: Centrul pentru Inovare în Educație

Ion D. I., Niță C. (1978) -Elemente de aritmetică, București, Ed. Tehnică

Istrate O. (2000) –Educația la distanță. Proiectarea materialelor, Botoșani, Ed. Agata

Miron R., Brânzei D.(1983) -Fundamentele aritmeticii și geometriei, București, Editura Academiei

Irinel Dafincescu și elev. Budisteanu Ionut Alexandru(2010) – “Clase de funcții – teste de analiză matematică pe calculator"

Tamara Bianco,Volker Ulm (Ed.) (2010) -Mathematics Education with Technology-Experiences in Europe:University of Augsburg

Chen, C. J. și Liu, P. L. (2007). Personalized computer-assisted mathematics problem-solving program and its impact on taiwanese students. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 26(2), 105-121.

Utsumi, M. și Mendes, C. (2000). Researching the attitudes towards mathematics in basic education. Educational Psychology, 20(2), 237-243. doi:10.1080/713663712

Wang, Y. și O'Dwyer, L. (2011). Teacher-directed student use of technology and mathematics achievement: Examining trends in international patterns. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 30(1), 79-135.

Moise, Edwin E. (1980) -Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, București E.D.P.

Neveanu, P., P. (coord.) (1995). Psihologie, Manual pentru clasa a X-a, școli normale și licee, București:E.D.P.;

Nicola, I. (1996). Tratat de pedagogie școlară, București: E.D.P

Noveanu E., (coord.) (2004)– Impactul formativ al utilizării Ael în educație, București, Centrul pentru inovare în educație

Osterrieth P, (1976) -Introducere în psihologia copilului, București, E.D.P.

Potolea D., Noveanu E. (coord) (2008) –Informatizarea sistemului de învățământ: Progeamul S.E.I. Raport de cercetare evaluativă, București: Univ. București, Facultatea de Psihologie și Știintele Educației

Radovici-Mărculescu, P. -Probleme de teoria elementară a numerelor, București, Ed. Tehnică

Rusu E. (1964)- Geometrie elementară, București, E.D.P.

Șchiopu U., Piscoi V. (1980) -Psihologia generală a copilului, București, EDP

Țârcovnicu, V. (1975) -Pedagogie generală, Timișoara: Ed.Facla;

Ioana Căciula (2009)-Utilizarea calculatorului în educație (revistă electronică),București

Cristian Prostire (2011)-Efectele folosirii tehnologiei în predare asupra atitudinii elevilor față de matematică

Vlada M. (2009) –Utilizarea Tehnologiilor eLearing: cele mai importante 10 inițiative proiecte din România, București: Centrul pentru Inovare în Educație

Wills, S. și Alexander, S. (2000). Managing Technological Change and University Teaching. În Evans, T. și Nation, D. (eds) Changing University Teaching: reflections on creating educational technologies

***- Colecția “Gazeta Matematică”

***-(2009) –Programa Școlara Matematică, clasele a IX-a, aX-a, a XI-a, a XII-a

***-http://www.cabri.com/

***-Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus

***-Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2

****-(2011) Geogebra, Didactica Matematica nr 2, p48

***-(2014) Considerații privind editarea computerizată a textelor matematice cu grafică. Pledoarie pentru aplicația GEOGebra, Didactica Matematică nr 1, p23