Didactica Matematicii Pentru Invatamantul Primar

DIDACTICA MATEMATICII PENTRU ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

Introducere

Bazele pregătirii metodice a viitorului profesor pentru învățământul primar, privind predarea-învățarea-evaluarea la matematică, se însușesc în procesul studierii cursului Didactica predării matematicii în învățământul primar.

Obiectul de studiu al didacticii predării matematicii este învățământul matematic. Obiectivul major al disciplinei constă în pregătirea aprofundată și multilaterală a viitorilor profesori pentru învățământul primar pentru desfășurarea învățământului matematic în ciclul primar.

Implementarea noului curriculum la matematică pentru învățământul primar necesită introducerea unui mecanism de realizare a curriculum-ului, având caracteristici integrative, de corelare a diferitelor elemente ale domeniului didacticii într-o unitate funcțională.

„Dacă psihologia studiază și analizează conduitele și concepțiile subiacente lor, didactica, la rândul ei, caută mijloacele prin care să facă să evolueze aceste concepte și competențele care le sunt asociate. Didactica se sprijină deci, în mod necesar, pe psihologie. Dar ea nu se reduce la aceasta și pune la rândul ei probleme noi psihologiei.

Prima problemă pe care o ridică didactica este aceea a luării în considerație, pentru analiza cognitivă, a dezvoltării cunoștințelor.

A doua problemă se referă la raportul între dezvoltare și învățare.

E dificil să se argumenteze afirmația că între componentele observate de psiholog și experiența școlară a copiilor nu există nici o legătură. De altfel, nu este de dorit nici să afirmăm că aceste experiențe provoacă ele singure comportamentele observate. Realitatea este mult mai complexă pentru că subiectul nu reține din activitățile de învățare la care participă decât o parte din achizițiile vizate și că aceste achiziții sunt organizate prin raportare la situații, prin jocuri de analogie și de diferență, prin rupturi de complexitate și prin alunecări de sens care nu au nici o legătură cu logica cunoașterii constituite ci cu cea a unei cunoașteri pe cale de a fi însușită, pentru care interpretarea cognitivistă nu permite să-i descriem etapele și procesele cele mai importante.”

Învățarea care se reduce la achiziții într-un domeniu limitat, nu prezintă interes pentru progresul cunoașterii.

”Singură, perspectiva epigenetică, altfel spus, interacțională, punând accentul pe mecanismele de construcție, poate prezenta această evoluție, esențial dinamică, spre descoperire, dincolo de conflictele și contradicțiile resimțite la prima abordare a subiectului, și fără întrerupere de continuitate, spre noutăți descoperite în timpul echilibrărilor importante.”

Numeroase referințe la lucrările lui Piaget și ale echipei sale în didactica matematicii sunt de asemenea martori ai acestei continuități.

În revanșă, didactica nu se reduce în nici un caz la aplicarea psihologiei.

Cercetătorii Brun și Conne au insistat puternic în această direcție, precizând că proiectul de predare – specific didacticii – este acela care „transformă în elev și în profesor subiecte asupra cărora psihologia-genetică, socială, cognitivă, clinică, etc. ne furnizează rezultate importante. Desigur că uneori am dori să rămânem la aceste rezultate și la problematica lor pentru a deduce intervențiile eficiente sau pentru a le evita pe cele greșite.”

Clarificarea contribuției specifice a didacticilor disciplinelor din perspectiva formării în învățământ ridică întrebări. De câțiva ani, sunt prezente două tipuri de cercetare în didactică: a) cercetările de didactică și b) cercetările asupra didacticilor.

Primele, cercetările de didactică, permit prin răspunsuri, într-o modalitate sau alta, optimizarea procesului de predare și învățare. În acest caz, didacticianul cercetează răspunsurile la întrebările de predare și învățare referitoare la cunoștințele codificate. Cercetările asupra didacticilor au o abordare asemănătoare cu un meta-discurs asupra didacticilor. Ele dezvoltă o reflecție epistemologică sau istorică asupra didacticilor înseși și asupra conceptelor pe care ele le utilizează.

”În mod tradițional, lucrările didactice sunt clasificate după trei orientări:

a) o orientare epistemologică, dacă reflecția se referă în mod esențial la obiectele de predare și învățare;

b) o orientare praxiologică, dacă reflecția se referă în mod esențial la intervenția didactică în clasă;

c) o orientare psihologică, dacă reflecția se referă în mod esențial la subiectul ce se învață.

În lucrările științifice actuale și-au făcut loc trei puncte de vedere referitoare la didactici:

didactica practiciană, aceea a cadrelor didactice în exercițiu, care stabilesc un raport cu cunoștințele în chiar exercițiul transpoziției didactice și a contactului cu elevii;

didactica normativă, aceea a programelor de predare și a directivelor și a regulilor prescrise de Ministerul Educației;

didactica critică și prospectivă, aceea a cercetătorilor universitari, prin care se constituie în mod progresiv un câmp științific de dezvoltare a cunoștințelor.

Viitorul cadru didactic va face experiența practicii în predare într-un grup-clasă în momentul stagiilor sale de practică. El va trebui, în mod necesar, să îmbine aceste puncte de vedere referitoare la didactică sau didactici: punctul de vedere critic, al cursurilor universitare de didactică, cel practic, dobândit de cadrul didactic în clasa sa și cel normativ, al programelor școlare, plecând de la care va trebui să-și pregătească activitățile.”

CAPITOLUL 1: Finalitățile disciplinei Didactica matematicii pentru învățământul primar

Pentru a pune în evidență unele finalități ale acestei discipline, trecem în revistă câteva definiții date de diferiți autori pentru didactica matematicii. Precizăm că în școala românească, s-a încetățenit mai degrabă termenul de metodica matematicii, care are conotații similare, dar nu identice, în viziunea noastră, cu cel de didactica matematicii.

„Metodica predării-învățării matematicii analizează în spiritul logicii științelor moderne obiectivele, conținuturile, strategiile didactice, mijloacele de învățământ folosite, formele de activitate și de organizare a elevilor, modalitățile de evaluare a randamentului și progresului școlar, bazele cultivării unor repertorii motivaționale favorabile învățării matematicii. Ea își propune, totodată, să ofere alternative teoretico-metodologice, norme și modele posibile de lucru care să asigure optimizarea învățământului matematic în ciclul primar”

„Didactica matematicii studiază procesul de transmitere și de asimilare a acestei științe, cu precădere în școală. Ea își propune să descrie și să explice fenomenele referitoare la raporturile existente între predarea și învățarea matematicii. Mai exact, ea își propune să amelioreze metodele și conținuturile învățământului matematic, asigurând însușirea de către elevi a unor cunoștințe vii (susceptibile de evoluție) și funcționale (care permit rezolvarea de probleme și punerea unor întrebări pertinente).”

Putem afirma că didactica matematicii:

”- furnizează instrumente profesionale de lucru profesorului, fără a-i restrânge libertatea de acțiune pedagogică;

– permite identificare unor fapte, analiza unor fenomene care țin de învățământ;

– permite analiza produselor studenților, interpretarea erorilor;

– vizează construcția unor situații de învățare și îl înarmează pe profesor cu unelte care să îl ajute să le realizeze.”

Încercând să pună în evidență cadrul teoretic al didacticii matematicii și să răspundă la întrebarea ”Ce este didactica matematicii?”, Jean Portugais, prezintă o caracterizare făcută de Guy Brousseau:

”Știința care studiază producerea și comunicarea de cunoștințe matematice și ceea ce le este specific.

Didactica matematicii studiază modul în care cunoștințele sunt create, comunicate și utilizate pentru satisfacerea nevoilor oamenilor și mai ales:

– pe de o parte, operațiile esențiale ale transmiterii cunoștințelor (teoria situațiilor didactice), condițiile impuse de existența și transmiterea lor (ecologia cunoștințelor) și transformările pe care această transmitere le produce, atât asupra cunoștințelor (transpoziția didactică) cât și asupra utilizatorilor lor (învățare, raportare la cunoștințe),

– pe de altă parte, instituțiile și activitățile având ca obiect facilitarea acestor operații.”

Această definiție completează una mai veche dată de R. Donady (1984): „didactica matematicii este studiul procesului de transmitere și însușire a diferitelor conținuturi ale acestei științe și care își propune să descrie și să explice fenomenele relative la raportul între predarea și învățarea sa. Ea nu se reduce la a căuta o tehnică bună de predare a unei anumite noțiuni date.”

Finalitățile principale ale disciplinei Didactica matematicii pentru învățământul primar, pe care le-am urmărit, sunt:

Selectarea conceptelor, rezultatelor si ideilor fundamentale care vor fi predate studenților.

Principii de selecție:

stadiul de dezvoltare a matematicii si perspectivele ei;

comenzile sociale pe termen mediu și lung;

legile și principiile învățării specifice teoriilor învățării care stau la baza construcției curriculare din învățământul primar.

Selectarea cunoștințelor ce urmează a fi transmise studenților. Organizarea lor pe anumite grade de rigoare si complexitate.

Identificarea principalelor trăsături, strategii, instrumente și aplicațiile lor caracteristice matematicii din învățământul primar.

Identificarea modurilor/tiparelor de gândire matematică accesibile studenților, respectiv elevilor din învățământul primar.

Folosirea conținutului si metodelor matematicii elementare ca instrumente eficiente în dezvoltarea capacității de abstractizare și generalizare, în dezvoltarea creativității, perseverenței și voinței studenților/elevilor.

Corelarea matematicii cu celelalte discipline – investigarea modului in care cunoștințele matematice devin utile altor discipline (ex. ajutându-i să înțeleagă mai ușor mediul înconjurător, judecându-l după modele matematice).

Detalierea metodologică a fiecărei teme de studiu, indicând căile potrivite pentru învățarea ei cât mai accesibilă.

Stabilirea metodelor și instrumentelor specifice de evaluare a activității matematice și a progresului elevilor în învățare.

Organizarea, desfășurarea și evaluarea studiului individual – folosirea manualelor, a revistelor de matematica, a culegerilor și a altor publicații.

Organizarea activităților din afara clasei – cercuri de matematică, olimpiade etc.

În afara dimensiunii sistemice care este o caracteristică a didacticii matematicii, este foarte important să reținem că sistemul pe care îl studiază didactica este totdeauna specific unor cunoștințe, în speță, matematica.

Așa cum au arătat mai mulți autori, cunoștințele erau de multe ori, în mod curios, elementul uitat și eliminat din triada profesor – elevi – cunoștințe. Aceste cunoștințe sunt, în tradiția diverselor pedagogii ale matematicii, decupate într-o serie de noțiuni considerate mai mult sau mai puțin independente. Didactica va studia mai degrabă complexe organizate de cunoștințe numite câmpuri conceptuale.

Didactica va căuta să cunoască un obiect: sistemul didactic. Ea va realiza acest proiect descriind în mod experimental funcționarea sistemului didactic, identificând fenomenele proprii acestuia, observând regularitățile acestui sistem, dar mai ales se va ocupa de constrângerile și de deschiderile care operează.

Studiul constrângerilor va coincide adesea cu studiul relațiilor existente în triada profesor-elev-cunoștințe, numită adesea relație didactică.

De asemenea, trebuie luat în considerare faptul că orice sistem didactic este scufundat într-un sistem de învățământ, iar acesta, la rândul său, este supus constrângerilor noosferei (noțiune introdusă de Y. Chevallard și care desemnează ansamblul componentelor sistemului de învățământ).

Analiza didactică va trebui să meargă până la luarea în considerare a constrângerilor instituționale, de exemplu, cu ajutorul conceptelor de instituționalizare și de raportare la cunoștințe. (cf. Chevallard)

Putem sintetiza cele spuse anterior punând în evidență următoarele finalități ale didacticii matematicii pentru învățământul primar:

Formarea, la viitorii profesori pentru învățământul primar, unor competențe care să ducă la:

Dezvoltarea gândirii elevilor și cultivarea posibilităților lor de abstractizare;

Dezvoltarea limbajului matematic utilizat de elevi – matematica are un limbaj specific și reguli specifice de utilizare a acestuia;

A face copilul capabil să rezolve situații curente – adică situații de un tip familiar, cu o structură cunoscută. Pentru atingerea acestui scop, profesorul va trebui:

Să facă referință la viața cotidiană în activitatea de învățare

Să manifeste exactitate și precizie în enunțuri/conținuturi

Să pună accent pe și să favorizeze manipularea obiectelor

Să se asigure că elevul înțelege bine tot ceea ce face

Să dezvolte la elevi simțul realității.

A face copilul să fie capabil să abordeze o situație matematică nouă. O situație nouă reprezintă o situație nemaiîntâlnită, care îl surprinde, care îl pune în situație de dezadaptare și pentru care trebuie să inventeze o cale de rezolvare. În astfel de situații componentele matematice intervin printre alte componente.

Altă finalitate vizează dezvoltarea autonomiei studenților. Pentru realizarea acesteia, iată câteva finalități vizate:

A învăța să-și pună întrebări

A învăța să se informeze

A învăța să caute el însuși și să-și focalizeze reflexia în funcție de un obiectiv precis

A învăța să estimeze rezultatul unor acțiuni întreprinse.

Finalitățile urmărite se concretizează și în următoarele competențe pe care dorim să le formăm la studenții noștri:

Înțelegerea problemelor fundamentale ale didacticii predării matematicii, a premiselor filozofice și psiho-pedagogice ale învățământului matematic;

Cunoașterea și aplicarea în procesul de proiectare, predare-învățare și evaluare a principiilor didactice ale învățământului matematic;

Cunoașterea strategiilor specifice privind stimularea capacităților intelectuale și creative ale copiilor;

Cunoașterea și aplicarea strategiilor specifice privind diferențierea și individualizarea procesului de învățare a matematicii;

Cunoașterea și utilizarea unor strategii specifice motivării copiilor pentru a participa cu interes și activ la activitățile matematice;

Cunoașterea, și utilizarea în procesul instructiv-educativ a strategiilor, metodelor, procedeelor, formelor și mijloacelor de învățământ specifice matematicii;

De asemenea, didactica matematicii pentru învățământul primar, alături de toate celelalte discipline din planul de învățământ, concură la formarea la studenți a competențelor profesionale și transversale ale profesorilor pentru învățământul primar și preșcolar enunțate în Registrul Național al Calificărilor din Învățământul Superior (RNCIS) :

”Competențe profesionale:

Proiectarea unor programe de instruire sau educaționale adaptate pentru diverse niveluri de vârstă/pregătire și diverse grupuri țintă

Realizarea activităților specifice procesului instructiv-educativ din învățământul primar și preșcolar

Evaluarea proceselor de învățare, a rezultatelor și a progresului înregistrat de preșcolari/ școlarii mici.

Abordarea managerială a grupului de preșcolari/școlari mici, a procesului de învățământ și a activităților de învățare/integrare socială specifice vârstei grupului țintă

Consilierea, orientarea și asistarea psiho-pedagogică a diverselor categorii de persoane/grupuri educaționale (preșcolari/ școlari mici/elevi, familii, profesori, angajați etc.)

Autoevaluarea și ameliorarea continuă a practicilor profesionale și a evoluției în carieră

Competențe transversale:

Aplicarea principiilor și a normelor de deontologie profesională, fundamentate pe opțiuni valorice explicite, specifice specialistului în științele educației

Cooperarea eficientă în echipe de lucru profesionale, interdisciplinare, specifice desfășurării proiectelor și programelor din domeniul științelor educației

Utilizarea metodelor și tehnicilor eficiente de învățare pe tot parcursul vieții, în vedere formării și dezvoltării profesionale continue”

CAPITOLUL 2: Premisele psihopedagogice ale învățării matematicii

2.1. Aspecte ale dezvoltării psihice și intelectuale a școlarului mic

Antrenată continuu în activitatea școlară, activitatea intelectuală se intensifică și suferă modificări, după 6 ani, la majoritatea copiilor. Primul aspect al modificărilor mai semnificative pe planul acesteia se exprimă în schimbări ale caracterului investigativ și comprehensiv al percepției și observației ca instrumente ale cogniției.

Percepția este procesul prin care se extrage informația utilă și cu sens din lumea înconjurătoare. Antrenate și exercitate, capacitățile senzorial-perceptive și interpretative (sau comprehensive) ale percepției devin mai acute și eficiente. Sensibilitatea discriminativă și percepția se dezvoltă.

Importante aspecte discriminative se dezvoltă la copii în legătură cu spațiul mic. Orientarea spațială pe foaia de hârtie, percepția spațiului, decodificarea prin diferențiere a grafemelor, antrenează o extrem de fină activitate perceptivă.

Orientarea dreapta-stânga, sus-jos, în rândurile orizontale ale scrierii, constituie punctul de plecare pentru a o activitate intelectuală complicată și multilaterală – activitate legată de alfabetizare. Această activitate cuprinde antrenarea memoriei, a inteligenței, a atenției, a reprezentărilor, pornind de la percepția care se constituie la rândul său pe suportul simbolurilor scrise pe foaia de hârtie. Lectura cifrelor solicită și însușirea unui sistem de decodificare a sistemului zecimal reprezentat prin cifre. Tot pe planul perceptiv se conturează evaluări din ce în ce mai fine legate de mărime și perceperea structurii materialelor cu diferențele ce le caracterizează.

Raporturile spațiale deja intuite – legate de ceea ce se înțelege prin aproape, pe, lângă, deasupra, sub etc. includ și noțiunea de distanță. Totuși, evaluarea mărimii unor obiecte sau distanțe, este încă deficitară (copiii de 8-9 ani supraestimează mărimile și distanțele).

Și în privința timpului și a duratei evenimentelor au loc modificări evidente. Timpul subiectiv are tendința să se relaționeze și să se raporteze la timpul cronometrabil, care începe să capete consistență. Ceasul și citirea lui devine instrument al autonomiei psihice. Există și o organizare a schemei timpului – determinarea și plasarea evenimentelor în timp devine calendaristică. Anul începe să fie considerat de 365 de zile cu 4 anotimpuri, 12 luni, 52 de săptămâni. Evenimentele încep să se raporteze le aceste repere. Ele fac legătura cu timpul istoric – a cărui înțelegere se referă la situațiile nelegate în nici un fel direct de evenimentele biografiei personale. Schema timpului ca și imagini ale cronologiei imediate a activităților programate prin ceas și orar constituie elemente coordonatoare imediate. Totuși sistemul de referințe temporale este încă plin de erori la școlarul mic.

De fapt, prin procesul învățării, copilul trebuie să manipuleze o cantitate enormă de informații asimilate, sau care se cer asimilate. Acest fapt nu este posibil fără transformarea cunoștințelor în reprezentări. Acestea din urmă se consideră a fi activități cognitive de două feluri: scheme și imagini. Schemele sunt imagini integrate ale percepției. Schemele și imaginile spațiale, sub multiple ipostaze evocate, contribuie la modificarea opticii existențiale, la anularea egocentrismului infantil.

Printre unitățile cognitive se mai enumeră (alături de scheme și imagini) marea categorie a simbolurilor și a conceptelor. Cele patru unități de cunoaștere se modifică ontogenetic în ceea ce privește proporțiile. Ca fenomen mai expresiv se semnalează creșterea volumului simbolurilor și apoi a conceptelor în perioada școlară mică.

Ca și imaginile și schemele, simbolurile sunt căi de exprimare a evenimentelor concrete și evidențiază caracteristicile obiectelor și ale acțiunilor. Cele mai des folosite simboluri în această etapă sunt literele, cuvintele și numerele. Există însă și alte simboluri. Ele sunt foarte numeroase în activitatea socială. În procesul învățării școlare, înțelegerea a numeroase probleme de geometrie, geografie etc. implică masiv scheme, imagini, simboluri.

Pe planul instrumentar al inteligenței se conturează și conținutul conceptelor care constituie a patra unitate a activității cognitive.

Conceptele reprezintă setul comun de atribute ce se pot acorda unui grup de scheme, imagini sau simboluri. Deosebirea principală dintre concepte și simboluri constă în faptul că în timp ce simbolurile se referă la evenimente specifice, singulare, conceptul reprezintă ceea ce este comun în mai multe evenimente.

Există trei atribute ale conceptelor, care se modifică odată cu vârsta. Aceste atribute sunt: validitatea, statutul și accesibilitatea (ele sunt strâns intercorelate).

Validitatea conceptelor se referă la gradul în care înțelesul care este acordat unui concept de către copil este acceptat ca adevărat. Spre sfârșitul perioadei mici a copilăriei, copilul dispune de aproximativ 300 de concepte relativ valide.

Statutul conceptelor este unul din atributele cele mai importante ale acestora și se referă la claritatea, exactitatea și stabilitatea de folosire a conceptului în planul gândirii. Conceptul de număr capătă statut de folosire conceptuală doar la școlarul mic, la fel conceptul de mulțime, ca și conceptele de corp și substanță ca forme conceptuale, integratoare. Prin statut transpare aspectul de integrare în rețea de sistem a conceptelor. Perioada școlară mică este prima în care se constituie rețele de concepte empirice prin care se constituie și se organizează cunoștințele.

Accesibilitatea conceptelor se referă la disponibilitatea satisfacerii nevoii de informație a gândirii pentru a înțelege ansamblul atributelor conceptului, conform statutului lor real (atributele centrale critice sunt adesea greu de desprins din cauza relațiilor dintre aparență și esență). Accesibilitatea se referă deci la capacitățile de înțelegere și comunicare a conceptelor. Prin modul în care copilul operează cu un concept, se pun în evidență obstacole și dificultăți în înțelegerea și folosirea efectivă a conceptelor.

În procesul învățării și în mentalitatea comună, conceptele sunt considerate ca absolute. Este necesar ca școlarul mic să sesizeze faptul că unul și același concept utilizează unele din însușirile sale definitorii (centrale) în cazul unei anumite relații și alte însușiri definitorii în cazul relațiilor evocate.

În perioada școlară mică se dezvoltă cunoașterea directă, ordonată, conștientizată, prin lecții, dar crește și învățarea indirectă, dedusă, suplimentară, latent implicată în cunoașterea școlară de ansamblu. Are loc trecerea spre o concepție realist-naturalistă. În gândire începe să se manifeste independență (8 ani), suplețe (9-10 ani) și devine mai evident spiritul critic întemeiat logic. Gândirea operează cu cunoștințe (scheme, imagini, simboluri, concepte), dar și cu operații și reguli de operare. Există o interrelație operațională între reguli, deoarece elementele de bază ale regulilor sunt operațiile.

Operațiile sunt instrumentele de bază ale relaționării efectuate de gândire și inteligență cu conceptele sau cu informațiile. Regulile exprimă valorificarea conceptelor efectuată de inteligență, ordinea pe care inteligența și gândirea o realizează prin intermediul informației. Accesibilitatea regulilor este dependentă de nivelul de dezvoltare al gândirii și inteligenței, inclusiv a informațiilor de care dispune și pe care le poate manipula elevul.

La fiecare nivel al dezvoltării psihice a copilului există o vastă tipologie a gândirii și o plasare de nivel operativ foarte diversă. Se poate vorbi deci de o dezvoltare a inteligenței și o tipologie a gândirii care este evidentă la nivelul de dezvoltare dintre 6-10 ani. În acest sens, există variante de gândire concret-intuitivă, variante de gândire teoretică, variante de gândire socială.

Dezvoltarea psihică se diferențiază de la individ la individ prin: ritm (accelerat, sau lent); viteză (mare, sau mică); conținut (bogat, simplu, diversificat, sau sărăcăcios și limitat); consum energetic (mare/mic, rațional, echilibrat/dezechilibrat); rezonanță (puternică/slabă); sens (ascendent/sincopat); durată (normală/întârziată); efecte (pozitive/negative).

Această caracteristică a dezvoltării psihice va conduce spre necesitatea tratării diferențiate a copiilor în procesul instructiv-educativ, diferențiere ce poate merge până la individualizarea ei.

Momentul intrării copilului în școală este amplu pregătit încă din perioada preșcolară în planul intereselor sale, al preocupărilor, al întregii dezvoltării psihice, ca și pe planul unor forme de deprinderi elementare de muncă și de activitate organizată.

Ursula Șchiopu observă că la această vârstă, copilul dispune de mijloace de investigație remarcabile, de o curiozitate organizată. Îl interesează părțile componente ale obiectelor, cât și rolul acestora, interesele cognitive manifestându-se și prin interesul pentru cărți, pentru litera tipărită.

Foarte mulți copii de 6 ani învață cu plăcere și interes, pe apucate, treptat, să citească și să scrie. Așadar, micul școlar are larg dezvoltate interesele de cunoaștere, el este profund interesat în a ști să scrie, să socotească, să citească, așa cum fac toți cei din jurul său.

Pe planul dezvoltării proceselor de cunoaștere, copilul de 7 ani este capabil să înțeleagă un sistem mai amplu de cunoștințe. Gândirea sa se exprimă deja sub forma raționamentului deductiv sau sub forma judecății inductive.

Gândirea sa s-a angajat în dezvoltarea pe linia unui sistem de prelucrare activă, analitică a datelor realității nemijlocite. Copilul de 7 ani simte plăcerea conversației, planul său mintal e relativ bogat – gândirea este activă, iscoditoare. El dispune de cunoștințe numeroase ce au început să i se dezvolte. Gândirea sa dispune de procese largi de generalizare, analiză și sinteză. El posedă unele noțiuni concrete. Gândirea, în această etapă, are un caracter concret, intuitiv, care surprinde feluritele relații dintre fenomene, succesiunea lor cauzală, relații cantitative, calitative.

Datorită dezvoltării mari a proceselor de cunoaștere, a contactului bogat și multilateral cu mediul social, preșcolarul mare, în ajunul intrării în școală, are dezvoltată o relativ bogată experiență, el are larg dezvoltate numeroase reprezentări, o imaginație vie, o memorie complexă, dar și capacități active de a le folosi; ca atare, el este capabil să țină minte, să recunoască, să reproducă relativ cu mare ușurință ceea ce i s-a prezentat ori povestit.

Memoria și imaginația afectivă sunt de asemenea deosebit de dezvoltate. Școlarul mic, din clasa pregătitoare, reține, recunoaște și reproduce melodii, jocuri cu reguli, desene, creează jocuri, desene. El este capabil să stea încordat, atent, vreme relativ îndelungată, fără a obosi prea mult. El este capabil de autodisciplinare, de acomodare la măsuri generale de disciplină, ceea ce este o premisă pentru disciplinarea gândirii sale, a emoțiilor.

În perioada școlară mică, operativitatea gândirii avansează de la planurile figural, simbolic semantic și acțional la nivelul unităților claselor, relațiilor și sistemelor și ceva mai lent la nivelul transformărilor și implicațiilor. Curiozitatea iradiază mai profund în lumea interrelațiilor și a relațiilor dintre esență și aparență.

Operativitatea specifică a gândirii se organizează cu grupări sau structuri de operații (reguli) învățate, destul de flexibile pentru a fi aplicate la situații foarte diverse și destul de unitare spre a constitui grupări sau structuri de operații distincte.

Aceste reguli operative sunt adevărați algoritmi ai activității intelectuale și se pot grupa în trei categorii:

algoritmi de lucru sau de aplicare-rezolvare;

algoritmi de identificare sau de recunoaștere a unor structuri, relații, tip de fenomene;

algoritmi de control care implică grupări de reversibilități.

Orice algoritm al activității intelectuale este compus din pași și strategii. Pașii, în număr finit, totdeauna, expresii ale celor mai elementare componente ale gândirii, reguli de operare – pot fi puțini (algoritmi simpli), numeroși, variați sau de același tip, ca în adunările sau scăderile cu numere mari. Algoritmii complecși conțin pași numeroși și variați. În funcție de strategiile implicate în algoritmi, acestea pot fi lineare (ca în adunare și scădere) sau ciclice (ca în înmulțirea și împărțirea cu numere mari).

Algoritmi de lucru, cum ar fi cei de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ai regulii de trei simplă și regulii de trei compusă, ai aflării ariei suprafeței dreptunghiului, triunghiului, sunt implicați în rezolvările de probleme și exerciții aritmetice, sau geometrice. Algoritmii de recunoaștere sunt specifici pentru situațiile de identificare a datelor cunoscute ale unei probleme aritmetice, ale unor figuri, sau corpuri geometrice etc.

Algoritmii de control se utilizează în calculele aritmetice, în activități intelectuale, care se supun unor reguli implicite (ce trebuie respectate de fiecare dată) și ale căror rezultate duc la relații controlabile.

Algoritmii activităților specifice (pentru domeniul aritmeticii, geografiei, științelor naturii) se însușesc prin învățare și exercițiu și condensează cunoștințele și operațiile valide pentru un domeniu, ceea ce înseamnă că odată însușiți, algoritmii permit rezolvarea prin efort intelectual a forte numeroase situații-problemă. Învățarea algoritmilor permite aplicarea lor cu ușurință în rezolvarea de probleme pe care aceștia o generează prin utilizare.

Algoritmii sunt supuși erodării prin uitare în caz de neutilizare sau de neconsolidare satisfăcătoare prin exercițiu. Prin intermediul algoritmilor activității intelectuale, se realizează o permanentă analiză și o continuă reașezare a structurii cunoștințelor și se dezvoltă competențele specifice domeniului (aritmetic, geografic etc.).

Unii copii posedă algoritmi de lucru foarte bine consolidați, dar algoritmii de identificare sunt încă slab dezvoltați. Acești copii dau rezultate foarte bune la efectuarea de exerciții (deoarece exercițiile indică prin semnele corespunzătoare operațiile cerute), dar nu reușesc să se descurce în cazul problemelor, deoarece nu identifică ușor structurile operative solicitate. La copiii care posedă algoritmi de identificare dezvoltați și algoritmi de lucru încă slab dezvoltați, se remarcă determinarea corectă a modului de rezolvare a problemei și greșeli de calcul pe parcurs, greșeli care alterează rezultatele și care sunt adeseori trecute pe seama neatenției. Se poate combina tipologia de mai sus și cu starea operativă a algoritmilor de control.

Pe parcurs, între 6 și 10/11 ani, operativitatea specifică devine tot mai complicată, conținutul problemelor fiind din ce în ce mai complex, fapt ce creează dificultăți relativ mari în rezolvarea lor. Aceste dificultăți se manifestă, pe de o parte, prin creșterea conținutului de mijlociri operative ale rezultatului final, ceea ce presupune operarea cu necunoscute de gradul I, II și chiar III, pe de altă parte, dificultatea crește datorită prezenței de numere mari și mici, întregi și fracții ordinare și zecimale, procente etc., care se cer transformate, evaluate, dar și datorită faptului că unii algoritmi nu au trecut de fazele critice de constituire.

Spre 9-10 ani, operativitatea specifică a gândirii cu structurile disponibile de algoritmi, creează un mare grad de libertate gândirii nespecifice a copilului în situații-problemă, fapt ce intensifică activismul clasificărilor de operații, întâi sub formă de colecții figurale elementare, cu grad ridicat de asimilare, apoi se intensifică organizarea de subcolecții figurale și nonfigurale – pentru ca în continuare să aibă loc clasificări ierarhice de combinări mobile de procedee de incluziune, descendente sau ascendente.

Dar operativitatea nespecifică se dezvoltă nu numai pe seama operativității algoritmice specifice, ci și în alte situații. Există probleme care nu pot fi rezolvate la un moment dat prin mijloacele cunoscute (algoritmii disponibili la nivelul de școlarizare primar). Sesizarea acestora creează un fel de interes și o stare de incertitudine intelectuală specifică care face ca aceste situații problematice să stimuleze puternic dezvoltarea intelectuală.

Zeigarnik a studiat un alt aspect interesant. A dat spre rezolvare diferite tipuri de probleme la două loturi de copii. Copiii din unul din loturi au fost întrerupți înainte de a termina lucrarea. Al doilea lot a dus la bun sfârșit tema (fără întrerupere). La interval de o săptămână s-a cerut copiilor din cele două loturi să-și amintească problemele efectuate. La elevii cărora li s-a întrerupt activitatea de rezolvare, acestea au fost mai bine redate.

Fenomenul Zeigarnik este dependent de gradul de interes, oboseală, intervalul de timp care se scurge între întreruperea activității și evocarea ei. Fenomenul ca atare pune în evidență tensiunea legată de activitatea intelectuală, antrenarea sa în rezolvarea de probleme. Zeigarnik l-a considerat ca un fel de cvasitrebuință.

Un aspect similar se manifestă în legătură cu situațiile în care sunt contrariate cele cunoscute. Astfel de situații se numesc de disonanță cognitivă. Termenii consonanță și disonanță se referă la relațiile care există între perechi de elemente (cunoștințe) din punct de vedere al așteptării persoanei. La nivelul copilului de 9-10 ani disonanța cognitivă devine o situație de problematizare.

Dezvoltarea intelectuală nu se realizează numai prin rigorile lecțiilor școlare. În contextul vieții de fiecare zi există o creștere a aptitudinilor intelectuale în genere și o creștere a tensiunii cunoștințelor acumulate , ceea ce solicită cerințe de coeziune între ele. Mai mult decât atât, ca și în cazul limbajului și în cel al planului mintal se manifestă racordări care dau structuri matriceale complexe (de concepte, imagini, simboluri, scheme, algoritmi, reguli) care exprimă funcții generative.

În timp ce școlarul din clasele preparatoare, I, a II-a, se izbește și este dominat de rigorile regulilor și cerința de operare cu concepte în moduri specifice, a căror încălcare este sancționată prin blam și calificative – aspectele implicate în fantezie, ca și în investigația liberă se interiorizează discret în aceste noi condiționări.

Școlarul din primele clase manifestă fantezii mai reduse în execuții de desene, modelaje, colaje. Manifestă și un spirit critic ridicat față de propriile produse pentru că le evaluează mai sever din punctul de vedere (realist) al recognoscibilității ca formă. Se formează treptat, după 8-9 ani, capacitatea de a compune, crește capacitatea de a povesti și de a crea povestiri, se creează în povestiri intriga de acțiune, culoarea locală, abilitatea de a folosi elemente descriptive literare.

Spre 9-10 ani desenul devine mai încărcat de atmosferă. Serbările școlare, cercurile de creație de diferite tipuri devin preocupări de actualitate. Formele de gândire divergentă se antrenează, de altfel fiind favorizate de lecții în care se creează atmosfera de emulație, joc. Ghicitorile, jocurile de istețime, compunerile de probleme etc. constituie terenul pe care se dezvoltă și creativitatea. Un alt teren de dezvoltare a acesteia este dictat de activitățile practice, de activitățile din cercuri etc. Jocul devine încărcat de atributele revoluției tehnico-industriale și de cerința crescândă de explorare de terenuri noi.

Toate acestea creează o complexă antrenare a capacităților psihice multilaterale, dar și condiții diverse de antrenare a numeroase abilități, ale inventivității, ale antrenării de strategii și tehnici creative și de inteligență care suplimentează activ dezvoltarea psihică.

2.2. Formarea reprezentărilor și conceptelor matematice

Concept și noțiune

În sensul general al termenului, un concept este ceva abstract, o invenție a spiritului, care răspunde necesității de a comunica, de a transmite fapte, idei, sentimente, proprietăți, etc. și prin aceasta servește la numirea unor realități diferite care au puncte comune. Găsim concepte și în filosofie (libertate, valori, adult, durere, etc), în fizică (culoare, forță, etc.), în gramatică (frază, subiect, atribut, etc.).

În învățămîntul primar este foarte important să diversificălm cît mai mult modalitățile de introducere a unui concept matematic. Aceste modalități vor conduce elevul spre construirea unei noțiuni.

Noțiunea este rezultatul confruntării între concept și reprezentarea particulară a acestuia de către fiecare copil în parte: putem spune că noțiunea este reprezentarea conceptului, mai mult sau mai puțin exactă, pe care o are copilul.

Noțiunea face deci, trimitere la reprezentarea mentală a conceptului, proprie fircărui copil, în timp ce termenul concept face trimitere la o definiție.

Dacă, de-a lungul timpului, trebuie să reducem continuu distanța între reprezentarea pe care o are copilul despre concept (noțiunea) și conceptul însuși, este absolut normal și chiar de dorit ca la începutul învățăturii, la primele contacte cu conceptul, această diferență să existe.

Într-adevăr, această distanță asigură faptul că elevul a asimilat conceptul – o distanță inexistentă de la început va fi, cel mai posibil, semnul unei asimilări superficiale a conceptului, fără ca elevul să-l fi integrat cu adevărat.

O distanță minimă este deci de dorit. În schimb, o distanță foarte mare la început, poate semnala faptul că elevul a pornit pe un drum greșit.

Convențiile de scriere

Dincolo de limba utilizată pentru a exprima concepte, matematica posedă un limbaj propriu care nu este altceva decît un ansamblu de convenții de scriere care desemnează concepte sau operații.

Acest limbaj este arbitrar în mare măsură. Este indispensabil să-i facem pe copii să utilizeze corect aceste simboluri convenționale. După Xavier Roegiers, trebuie totuși să fim atenți la cîteva aspecte particulare:

a) Copiii învață foarte devreme să recunoască și să scrie simboluri matematice. Aceste simboluri au pentru ei un oarecare sens. Scrierea lor este pentru copii un bun suport pentru a înțelege mai bine o noțiune.

De exemplu, a scrie 7 + 2 = 9 și 7 – 2 = 5 poate ajuta elevul să înțeleagă ce este scăderea.

Pe parcursul utilizării acestor simboluri în situații cît mai diverse, ei vor comite acele greșeli revelatoare pentru profesor, care va avea astfel posibilitatea să intevină încet, încet, pentru a rectifica reprezentările inițiale.

Trebuie să remarcăm că acest proces este individual și trebuie deci tratat la nivelul fiecărui elev.

Trebuie să avem grijă cînd și de ce le cerem copiilor să utilizeze simboluri. A scrie și a utiliza simboluri trebuie să corespundă totdeauna unei nevoi reale: aceea de a transmite o informație.

Scriem pentru a transmite un mesaj, o informație. Dacă această informație nu reprezintă nimic pentru copil, el nu are nevoie să o scrie. Nu putem să credem că dacă un copil este capabil să scrie un rînd cu cifra 4, a înțeles semnificația numărului 4. Trebuie mult mai mult pentru aceasta.

Există pericolul să credem că, pentru că elevul utilizează un simbol, el a asimilat și conceptul.

b) Odată ce a asimilat o noțiune matematică și simte nevoia să o reprezinte printr-un simbol, copilul are uneori tendința să inventeze el un simbol. Este o atitudine pe care este bine să o încurajăm, chiar să o provocăm, pentru că ea este semnul unei bune asimilări a conceptului de către elev. Vom introduce simbolul convențional abia în faza următoare și îl vom convinge pe copil că utilizarea lui îl va face înțeles de către toți.

În teoria situațiilor (G. Broussean, 1986) este vorba de o situație de instituționalizare.

c) Se poate întîmpla ca mai multe simboluri diferite să desemneze același concept.

De exemplu, pentru înmulțire utilizăm la început semnul x, pentru a-l înlocui mai tîrziu cu un punct sau chiar cu nimic, în cazul expresiilor literale. Acest lucru este indicat să se producă după clasa a patra, în gimnaziu, deoarece noțiunea de produs ia locul celei de înmulțire, care trebuie să conducă la un rezultat.

Există, din nefericire, diferențe între regiuni, școli și chiar între clasele aceleiași școli. Din acest punct de vedere este bine să precizăm că există un cod internațional de simboluri și că trebuie să-l respectăm.

Ceea ce este absolut greșit și trebuie evitat cu orice preț, este faptul de a reprezenta cu același simbol mai multe obiecte distincte.”

Formarea reprezentărilor

Rolul activității matematice în grădiniță și în ciclul primar este de a iniția copilul în procesul de matematizare, pentru a asigura înțelegerea unor modele uzuale ale realității, având ca ipoteză de lucru specificul formării reprezentărilor matematice pe nivele de vârstă.

Procesul de matematizare trebuie conceput ca o succesiune de activități – observare, deducere, concretizare, abstractizare – fiecare conducând la un anumit rezultat.

La vârsta de 4-5 ani reprezentările despre mulțimi se dezvoltă și copilul percepe mulțimea ca pe o totalitate spațial-structurată. Acțiunea manuală însoțită de cuvânt și de percepție vizuală conduce la înțelegerea mulțimii și copilul face abstracție de determinările concrete ale elementelor sale. Reprezentările copiilor rămân subordonate însă condițiilor spațiale concrete în care percepe mulțimea.

Prezența cuvântului în arsenalul lingvistic al copilului nu indică și dobândirea noțiunii desemnate prin cuvânt (de exemplu, conceptul de clasă sau mulțime se consideră dobândit dacă este înțeles, în plan psihologic, ca reacție identică a subiectului față de obiectele pe care el le consideră într-o clasă și, în plan logic, ca echivalență calitativă a tuturor elementelor clasei).

De la acțiunea însoțită de cuvânt până la concept, procesul (J. Piaget, L.S. Vîgotski) se desfășoară în etape care se pot schematiza astfel:

• etapa contactului copil-obiecte: curiozitatea copilului declanșată de noutăți îl face să întârzie perceptiv asupra lor, să le observe;

• etapa de explorare acțională: copilul descoperă diverse atribute ale clasei de obiecte, iar cunoașterea analitică îl conduce la obținerea unei sistematizări a calităților perceptive ale mulțimii;

• etapa explicativă: copilul intuiește și numește relații între obiecte, clasifică, ordonează, seriază și observă echivalențe cantitative;

• etapa de dobândire a conceptului desemnat prin cuvânt: cuvântul constituie o esențializare a tuturor datelor senzoriale și a reprezentărilor și are valoare de concentrat informațional cu privire la clasa de obiecte pe care o denumește (procesul se încheie după vârsta de 11-12 ani).

În cazul noțiunii de mulțime, în primele trei etape se formează abilitățile de identificare, triere, sortare, clasificare, seriere, apreciere globală, ce conduc spre dobândirea conceptului.

Numărul și numerația reprezintă abstracțiuni care se formează pe baza analizei proprietăților spațiale ale obiectelor și a clasificărilor. Noțiunea de mulțime joacă un rol unificator al conceptelor matematice, iar numărul apare ca proprietate numerică a mulțimii.

Fundamentale în formarea numerelor sunt, după J. Piaget și B. Inhelder, operațiile de:

• clasificare: în grupe omogene și neomogene, compararea grupelor de obiecte, stabilirea asemănărilor și deosebirilor;

• seriere în spațiu și în timp.

Cunoașterea și înțelegerea procesului de formare, pe etape, a reprezentărilor și conceptelor matematice generează cerințe de ordin psihopedagogic care se cer respectate în conceperea actului didactic:

• orice achiziție matematică să fie dobândită de copil prin acțiune însoțită de cuvânt;

• copilul să beneficieze de o experiență concretă variată și ordonată, în sensul implicațiilor matematice;

• situațiile de învățare trebuie să favorizeze operațiile mentale, copilul amplificându-și experiența cognitivă;

• dobândirea unei anume structuri matematice să fie rezultatul unor acțiuni concrete cu obiecte, imagini sau simboluri, pentru același conținut matematic;

• dobândirea reprezentărilor conceptuale să decurgă din acțiunea copilului asupra obiectelor, spre a favoriza reversibilitatea și interiorizarea operației;

• învățarea să respecte caracterul integrativ al structurilor, urmărindu-se transferul vertical între nivelele de vârstă și logica formării conceptelor;

• acțiunile de manipulare și cele ludice să conducă treptat spre simbolizare.

Teoria stadială a lui J. Piaget impune ca organizarea învățării să se realizeze în funcție de stadiul dezvoltării copilului, de succesiunea structurilor de cunoaștere și a operațiilor specifice. Obiectivele matematice surprind succesiunea treptelor de învățare în domeniul cognitiv, iar organizarea învățării matematicii trebuie să se realizeze ținând cont de implicațiile pe care Piaget le atribuie dezvoltării stadiale:

”- ordinea achizițiilor matematice să fie constantă – achiziția conceptului de număr este ulterioară achiziției mulțimii, iar în succesiunea temelor ce pregătesc numărul există o ordine logică (grupare, clasificare, ordonare, seriere, punere în perechi, conservare, număr);

– fiecare stadiu se caracterizează printr-o structură – cunoașterea condițiilor specifice fiecărui nivel intermediar ce influențează dezvoltarea joacă un rol important în metodologia obiectului;

– caracterul integrator al structurilor – structurile specifice unui substadiu devin parte integrantă în structurile vârstei următoare și determină implicații matematice în achiziția conceptului. Achizițiile matematice dintr-un anumit stadiu sunt preluate și valorificate în condiții noi la nivelul următor; de exemplu, achiziția conceptului de conservare a masei trebuie valorificată la conservarea numerică pentru a fi înțeleasă descompunerea numărului.”

Z. P. Diènes valorifică implicațiile matematice ale teoriei lui Piaget în elaborarea unui sistem de învățare a conceptelor matematice cu accent pe învățarea prin acțiune și experiență proprie a copilului și folosirea materialelor structurate (piese logice, riglete). În acest sistem, structurile matematice sunt dobândite sub forma acțiunii, imaginii sau simbolului, materialele structurate constituind mijloace de construcție prin acțiune a structurilor.

Valoarea materialului structurat crește în măsura în care el reușește să evidențieze atributele esențiale ale noțiunii iar jocul capătă o poziție privilegiată, în sensul că, prin joc și îndeosebi prin jocul logic, se înlesnește dobândirea noțiunii de mulțime, de relație și a elementelor de logică.

Z. P. Diènes formulează patru principii de bază de care trebuie să se țină cont în conceperea oricărui model de instruire centrat pe formarea unui concept matematic:

Principiul constructivității orientează învățarea conceptelor într-o succesiune logică, de la nestructurat la structurat. Astfel, este indicat să se treacă de la jocul manipulativ (nestructurat) la jocul de construcții (structurat), în scopul clasificării noțiunilor.

Principiul dinamic este reflectat în drumul parcurs de copil în instruire prin activități ludice. Astfel, învățarea progresează de la un stadiu nestructurat de joc la un stadiu mai structurat de construcție, în care se asigură înțelegerea unui fapt matematic și care apoi se integrează într-o structură matematică.

Principiul variabilității matematice asigură formarea gândirii matematice care are la bază procesele de abstractizare și generalizare. Se impune, deci, ca familiarizarea cu noțiunile matematice să se facă în situații matematice variate, prin experiențe.

Principiul variabilității perceptuale exprimă faptul că formarea unei structuri matematice se realizează sub forme perceptuale variate. Respectarea acestui principiu conduce la apariția operației de abstractizare, ce va sprijini formarea gândirii matematice.

Integrarea în practica educațională a acestor principii conduce la dobândirea unor reprezentări matematice. Conceptele sunt prezente sub forma concretizărilor pe materiale structurate în scopul transferului aceleiași structuri matematice prin acțiune dirijată, imagine, simbol verbal, sau nonverbal.

Aceasta se justifică prin faptul că diversele însușiri ale obiectului nu apar în aceleași condiții în percepție și în reprezentare. Astfel, cercetările au dovedit că în reprezentările preșcolarilor și școlarilor mici, au prioritate însușirile funcționale, componente prin care se acționează, chiar dacă acestea nu sunt dominante. Reprezentarea se formează deci ca o construcție ce apare în condiții speciale. Jean Piaget consideră că reprezentarea rezultă din imitația conduitei umane, exercițiile de imitare organizate vor sprijini reproducerea prin imagine a obiectului dacă sunt integrate într-un context operațional perceptiv, reprezentativ pentru copil. Astfel, funcția de simbolizare pe care o îndeplinește reprezentarea este determinată de contextul activității.

Începutul perioadei școlare este caracterizat printr-o învățare care face apel la experiența copilului, iar literatura psihologică de specialitate demonstrează că accelerarea dezvoltării psihice a școlarului mic se poate obține prin introducerea de orientări intuitive și verbale adecvate.

Orientarea verbală este, în perioada preșcolară și școlară de început, superioară celei intuitive, dar cuvântul devine eficient numai asociat cu intuitivul (reprezentările). În formarea gândirii, orientarea verbală are un rol activizator, iar în activitățile matematice este utilă valorificarea posibilităților sale funcționale – cuvintele pot îndeplini funcții de planificare în acțiune numai dacă semnificația lor reflectă o anumită experiență legată de obiectele cu care copilul acționează.

La vârsta de 5-6 ani acțiunile verbale nu mai sunt subordonate situațiilor sincretice, ci se supun logicii obiectelor, în măsura în care sunt dirijate de reguli.

Vîgotski introduce în procesul învățării cuvântul și limbajul ca instrumente de instruire în completarea percepției și observației prin acțiuni.

Formarea noțiunilor matematice necesită relevarea, compararea și reunirea mai multor caracteristici precum: numărul obiectelor într-o mulțime, relațiile cantitative între mulțimi pentru a determina procesele activității perceptive obiectuale și a celei mentale, necesare pentru formarea noțiunilor corespunzătoare.

Deci, pentru a-și forma reprezentări conceptuale corecte, copilul trebuie să-și însușească procedee de activitate mentală cu ajutorul cărora se realizează sinteza caracteristicilor unei anumite clase de obiecte, căci operațiile mentale corespunzătoare și structurile cognitive (reprezentările și conceptele) rezultă din acțiunile practice, se fixează în cuvinte și în operațiile cu cuvinte și sunt orientate prin scopul și condițiile activității practice.

Formarea limbajului matematic

Matematica este un limbaj care are ca primă funcție să reprezinte cît mai bine realitatea, să o modeleze. În acest sens, ea constituie un instument de explorare a realului.

După Xavier Roegiers, ”obiectivele pe care le poate viza o modelare pot fi:

a comunica informații;

a rezolva o problemă;

a ajuta la luarea unei decizii;

a anticipa realitatea;

a explica o situație, un fenomen, cum funcționează ceva, etc.”

Pentru a traduce realitatea fizică într-un model convenabil, este necesar să trecem prin filtrul limbajului matematic, despre care putem spune că este constituit din obiecte matematice (concepte) și de reguli care stabilesc relații între acestea.

Roegier consideră că aceste obiecte sunt alese astfel încît să reprezinte realitatea cît mai fidel posibil și sunt în număr de trei:

a) Numerele: 0;5;100;0;333…

b) Mărimile: 2m; 10 kg; 6,75 lei; 15 dl, etc.

c) Formele: dreaptă, segment, pătrat, cub, etc. Atunci cînd un singur astfel de obiect nu ajunge pentru a descrie realitatea, se pot asocia mai multe.”

Observații:

Aceste obiecte nu sunt independente unele față de altele:

pătratul este definit ca avînd 4 laturi congruente;

o mărime se exprimă cu ajutorul unui număr;

anumite mărimi (lunigme, arie, volum) au sens numai în legătură cu anumite forme determinate;

anumite numere au fost descoperite ca rezultat al măsurării, etc.

2. Există și alte obiecte matematice, cum ar fi propozițiile logice, care fac obiectul de studiu al logicii formale, dar nu intră în cadrul celor studiate în școala primară.

A modela realitatea înseamnă să facem mai multe lucruri cu aceste obiecte:

1. Să definim clar aceste obiecte, într-o formă neechivocă, pentru ca utilizarea lor să fie universală. Aceasta este problema conceptualizării.

Această conceptualizare merge dincolo de realitate.

a) Conceptualizarea idealizează realitatea

– metrul nu există decît în mintea noastră. Nimeni nu va putea construi o lungime de exact 1m în realitate.

– un dreptunghi, ca și segmentul de dreaptă, nu există în realitate, etc.

b) Conceptualizarea prelungește realitatea

– au fost create figuri nemărginite și nesfîrșite (dreaptă, plan etc.);

– paralelismul perfect nu există (nu poate fi verificat niciodată) etc.

În același timp, conceptul generealizează realitatea, permițînd regruparea într-o vocabulă unică a mai multor realități diferite și o denaturează. El se situează, deci, pe un alt plan decît cel al realității. Este domeniul abstractizării.

Să numim, să reprezentăm aceste obiecte printr-un simbol.

Aceasta este problema simbolisticii.

Exemplu:

reprezentarea unui număr natural cu ajutorul cifrelor și a regulilor numerației zecimale,

reprezentarea unui număr printr-o schemă, ca un punct pe axa numerelor.

simbolurile convenționale pentru unități de măsură.

reprezentarea unui punct, a unui segment, a unei drepte, prin litere.

Să variem scrierea aceluiași obiect în funcție de necesități, să-l exprimăm în funcție de necesități, să-l exprimăm în forma cea mai adecvată.

Aceasta este problema egalității.

Exemplu:

= 0,5; VI = 6; 9 = 7 + 2; 2m = 200cm; 0,5l = 5 dl; [AB] = [BA]; d1 = d2.

Să punem obiecte particulare în relație unele cu altele.

Exemplu: 17 > 12; 0,333< < 0,334; 1 kg = 1000g; 35a = 3500m2; d1 d2; d1 // d2; …este la dreapta lui…; …este în interiorul lui…

Să transformăm un obiect în altul.

Exemplu: 5— +2 → 7; 1mm—x1000→1m; simetria, rotația, translația

6. Să combinăm obiectele între ele sau, dimpotrivă, să le descompunem.

Este tot ce se referă la operații (în ambele sensuri, compunere și descompunere)

Exemplu: 30 x 4 = 120; 18 = 6 x 3 = 9 x 2; 12kg + 8kg = 20kg; compunerea sau descompunerea unei figuri sau a unui corp pentru a calcula arii sau volume.

7. Să organizăm mulțimi de obiecte particulare.

Exemplu: să construim șirul tuturor multiplilor lui 5; să ordonăm lungimi în sens crescător; să constituirm un tablou de proporționalitate; să clasificăm corpuri după numărul lor de fețe plane.

Scrierea în cadrul activității matematice

Toate activitățile matematice trec la un moment dat printr-o etapă de scriere sau de lectură a unei scrieri. Competențele utilizate sunt complexe și trebuie formate și consolidate la nivelul tuturor disciplinelor.

De mai multă vreme, cercetătorii afirmă că activitățile de lectură și cele de producere a unui text scris sunt complementare. În prelungirea acestui punct de vedere putem afirma că elevii vor învăța să citească diferite enunțuri matematice scriindu-le.

Trecerea de la limbajul natural la cel matematic este una din dificultățile importante ridicate de învățarea matematicii.

Putem clasifica enunțurile matematice scrise după funcțiile lor:

enunțul unei probleme sau al regulilor de joc;

formularea de sarcini sau întrebări;

elaborarea unei strategii;

producerea de mesaje;

comunicarea unor metode sau rezultate;

explicarea unor cunoștințe nou învățate sau reactualizate.

Aceste tipuri de scriere nu se ghidează după aceleași reguli și nu fac apel la aceleași competențe pentru a fi scrise sau citite. Ele întră toate în situații de comunicare particulare unde cei doi interlocutori nu sunt în mod necesar prezenți. Pentru fiecare dintre ele, este important să înțelegem regulile de organizare a discursului și limbajul utilizat.

Limbaj natural și limbaj matematic

Scrierea matematică face apel la două tipuri de limbaj: cel natural și cel matematic.

Vom ilustra această afrimație prin două exemple de probleme:

1. Un fermier dispune pentru construcția unui țarc de 84m de plasă de sîrmă. El ezită între două posibilități:

– să construiască un țarc dreptunghiular cu lungimea cît dublul lățimii.

– să construiască un țarc pătrat.

Calculează, în fiecare caz, măsura în metri a dimensiunilor țarcului. El decide să-l construiască pe cel cu aria mai mare. Ce soluție va alege?

2. Iată un mesaj pe care l-am primit prin telefon. Desenează figura descrisă:

a) Pe o foaie de matematică trasează un pătrat cu latura de 6 pătrățele.

b) Luînd drept centru fiecare vîrf, trasează cele patru părți de cercuri care au raza de trei pătrățele și se găsesc în interiorul pătratului.

c) Colorează în albastru porțiunile de disc pe care le-ai desenat.

Aceste texte utilizează cuvinte din limbajul curent cum ar fi fermier, țarc, albastru, porțiuni, etc. și cuvinte din vocabularul geometric: dreptunghiular, lungime, lățime, pătrat, vîrfuri, rază, centru, disc, etc., termeni care există în limbajul natural, dar sunt utilizați aici în accepția lor matematică.

O scriere matematică este constituită din două coduri în interacțiune:limbajul natural și limbajul matematic. Acesta din urmă împrumută cuvinte din limba naturală, dar le dă o semnificație proprie.

De exemplu, cuvîntul unghi pe care îl găsim în expresii ca „sub un anumit unghi”, „unghiul acoperișului”, trimite în geometrie la un obiect particular. De asemenea, expresia „în funcție de”, care transmite o dependență „în funcție de cum va fi timpul după-amiază, mai mergem sau nu la plajă”, va caracteriza în matematică o anume dependență între două mulțimi.

Termeni matematici ca dreaptă, cerc, disc, număr, cifră etc. contrar termenilor din limba naturală, apar în general ca univoci. Ei trimit la definiții precise care se integrează într-o teorie.

După Roegier, diferitele registre ale limbii care intervine în scrierea matematică sunt complexe și necesită competențe multiple:

competențe pur lingvistice necesare pentru a înțelege orice mesaj scris (stăpînirea codului, cunoașterea lexicului, a sintaxei, etc.);

o cunoaștere specifică a vocabularului (figură, număr, produs, arie etc.) și a simbolurilor (+, =, < etc.) strict matematice;

un abandon progresiv al logicii naturale în favoarea logicii formale;

capacitatea de a repera, selecționa, tria, informațiile matematice necesare pentru atingerea unui scop precis sau pentru a răspunde la o întrebare (pentru a rezolva problema).

Înțelegem de unde vine dificultatea pentru un elev, de a aborda un text matematic. Aceste competențe sunt totdeauna implicite și nu fac obiectul unor activități de învățare specifice. Totuși, înțelegerea matematicii se construiește pe aceste fundamente. Mai mult, aceste competențe vor trebui utilizate pe parcursul întregii școlarități în funcție de noile discipline matematice care vor fi abordate.

Învățarea limbajului matematic reprezintă o parte deloc neglijabilă a învățării matematicii. Ea presupune activități de lectură și activități de producere a unor enunțuri scrise. Ea nu poate fi detașată de conținuturile matematice. Profesorul trebuie să permită fiecărui elev să treacă progresiv de la limbajul natural la cel matematic.

Enunțul unei probleme

Enunțul unei probleme este un tip de text particular, pentru care competența în lectura unui text narativ sau documentar nu se transferă cu ușurință. Înțelegerea sensului de către elevi necesită o dublă competență: înțelegerea situației propuse și a contextului matematic pentru a face alegerea strategiilor și a instrumentelor adaptate. Lectura enunțurilor de probleme este o activitate specifică și necesită o muncă didactică particulară. Lucrul asupra lecturii, trierea informațiilor, reorganizarea datelor, nu se pot face decît dacă sunt ghidate de o idee de strategie de rezolvare. Tratarea numerică poate să difere (alegerea operațiilor, efectuarea calculelor, controlul rezultatelor, etc.), dar punerea la punct a unei strategii evoluează într-o manieră dialectică împreună cu construcția sensului. Un enunț de problemă se prezintă ca un text în același timp informativ (conține date) și interogativ (cere răspunsul la anumite întrebări sau efectuarea unor sarcini). Problemele de școală primară utilizează în general un ambalaj, o poveste sau un context documentar, pentru a face concrete noțiunile matematice prezentate. Stăpânirea limbajului natural este indispensabilă pentru a înțelege sensul lecturii. De obicei, elevii știu să citească texte narative, pentru că învață să citească pe astfel de texte. Ori, priceperile construite pe astfel de texte nu sunt transferabile. Ceea ce se transferă este tehnica, doar dacă ea permite și înțelegerea lui. A ști să citești înseamnă a ști să-ți adaptezi strategia la tipul de text pe care îl ai în față.

Temă

1. Enumerați cel putin 5 dintre principalele caracteristici ale dezvoltarii cognitive specifice vârstei școlare mici.

2. Care sunt, în opinia dumneavoastră primele 3 repere orientative, ca importanță, în predarea-învățarea conceptelor matematice în clasele primare?

CAPITOLUL 3. Curriculum național la disciplina matematică pentru învățământul primar

3.1. Finalitățile învățării matematicii în învățământul obligatoriu

Ciclurile curriculare reprezintă periodizări ale școlarității care grupează mai mulți ani de studiu, care aparțin uneori de niveluri școlare diferite, dar au în comun obiective specifice. Aceste periodizări ale școlarității se suprapun peste structura formală a sistemului de învățământ, cu scopul de a focaliza obiectivul major al fiecărei etape școlare și de a regla procesul de învățământ prin intervenții de natură curriculară.

Introducerea ciclurilor curriculare se exprimă la nivel de obiective, sau, mai nou, competențe, care particularizează finalitățile grădiniței, ale învățământului primar și ale învățământului secundar și de metodologie didactică specifică.

Ciclurile curriculare din învățământul obligatoriu sunt prezentate în schema de mai jos:

Facem observația că în acest tabel, în locul clasei pregătitoare, inițial era trecută grupa pregătitoare din grădiniță.

Fiecare ciclu curricular oferă un set coerent de obiective/competențe de învățare care consemnează ceea ce ar trebui să realizeze elevii la capătul unei anumite etape a parcursului lor școlar. Prin aceste obiective, ciclurile curriculare conferă diferitelor etape ale școlarității o serie de dominante care se reflectă în programele școlare.

Introducerea ciclurilor curriculare vizează următoarele efecte:

– crearea continuității la trecerea de la o treaptă de școlaritate la alta (grădiniță-învățământ primar, primar-gimnaziu, gimnaziu-liceu) prin:

– transferul de metode

– stabilirea de conexiuni explicite la nivelul curriculumului;

– crearea premiselor necesare pentru extinderea școlarității către vârstele de 6 și 15 ani și construirea unei structuri a sistemului de învățământ mai bine corelate cu vârsta psihologică.

Întrucât activitatea la clasă ar trebui orientată către atingerea obiectivelor ciclurilor curriculare, le reamintim în cele ce urmează:

Ciclul achizițiilor fundamentale (clasa pregătitoare urmată de clasele I și a II-a) are ca obiective majore acomodarea la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițială. Acest ciclu curricular vizează:

asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenționale (scris, citit, calcul aritmetic);

stimularea copilului în vederea perceperii, cunoașterii și stăpânirii mediului apropiat;

stimularea potențialului creativ al copilului, a intuiției și a imaginației acestuia;

formarea motivării pentru învățare, înțeleasă ca o activitate socială.

Ciclul de dezvoltare (clasele a III-a, …, a VI-a) are ca obiectiv major formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor. Ciclul de dezvoltare vizează:

dezvoltarea achizițiilor lingvistice și încurajarea folosirii limbii române, a limbii materne și a limbilor străine pentru exprimarea în situații variate de comunicare;

dezvoltarea unei gândiri structurate și a compe-tenței de a aplica în practică rezolvarea de probleme;

familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoașterii;

constituirea unui set de valori consonante cu o societate democratică și pluralistă;

încurajarea talentului, a experienței și a expresiei în diferite forme de artă;

formarea responsabilității pentru propria dezvoltare și sănătate;

formarea unei atitudini responsabile față de mediu.

Ciclul de observare și orientare (clasele a VII-a, …, a IX-a) are ca obiectiv major orientarea în vederea optimizării opțiunii școlare și profesionale ulterioare.

Planul-cadru reprezintă documentul reglator esențial care jalonează resursele de timp ale procesului de predare-învățare.

3.2. Structura programei școlare

Programa școlară descrie oferta educațională a unei anumite discipline pentru un parcurs școlar determinat.

Structura programei școlare pentru clasele pregătitoare, I și a II-a este următoarea: o notă de prezentare, competențe generale (în număr de șase), competențe specifice și exemple de activități de învățare asociate, conținuturi ale învățării și sugestii metodologice.

”Programa disciplinei Matematică și explorarea mediului este elaborată potrivit unui nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe. Construcția programei este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al elevului din ciclul primar. Din perspectiva disciplinei de studiu, orientarea demersului didactic pornind de la competențe permite accentuarea scopului pentru care se învață și a dimensiunii acționale în formarea personalității elevului.

Structura programei școlare include următoarele elemente:

– Notă de prezentare

– Competențe generale

– Competențe specifice și exemple de activități de învățare

– Conținuturi

– Sugestii metodologice

Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe, abilități și atitudini dezvoltate prin învățare, care permit rezolvarea unor probleme specifice unui domeniu sau a unor probleme generale, în contexte particulare diverse.

Competențele generale vizate la nivelul disciplinei Matematică și explorarea mediului jalonează achizițiile de cunoaștere și de comportament ale elevului pentru întregul ciclu primar.

Competențele specifice sunt derivate din competențele generale, reprezintă etape în dobândirea acestora și se formează pe durata unui an școlar. Pentru realizarea competențelor specifice, în programă sunt propuse exemple de activități de învățare care valorifică experiența concretă a elevului și care integrează strategii didactice adecvate unor contexte de învățare variate.

Conținuturile învățării se constituie din inventarul achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea cu elemente de bază ale celor două domenii integrate. Astfel, ele sunt grupate pe următoarele domenii:

– Numere

– Figuri și corpuri geometrice

– Măsurări

– Date

– Științele vieții

– Științele Pământului

– Științe fizice

Sugestiile metodologice includ strategii didactice, proiectarea activității didactice, precum și elemente de evaluare continuă.”

Pentru clasele III, IV, programele încă aflate în vigoare au următoarea structură: nota de prezentare, obiective-cadru (în număr de patru), obiective de referință și exemple de activități de învățare asociate, conținuturi ale învățării și standarde curriculare de performanță (la finalul programei pentru clasa a IV-a).

”Nota de prezentare descrie parcursul disciplinei de studiu, argumentează structura didactică adoptată, sintetizează o serie de recomandări considerate semnificative de către autorii programei.

Obiectivele cadru sunt enunțuri cu un grad ridicat de generalitate și complexitate. Ele se referă la formarea unor cunoștințe, capacități și atitudini specifice disciplinei și sunt urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu.

Obiectivele de referință indică rezultatele așteptate ale învățării și urmăresc progresia în achiziția de competențe și de cunoștințe de la un an de studiu la altul.

Acest mod de a concepe finalitățile conținute în programă are următoarele avantaje:

– oferă o imagine sintetică asupra domeniului de cunoaștere modelat prin intermediul didacticii obiectului de învățământ avut în vedere;

– asigură evidențierea unei dezvoltări progresive în achiziția de competențe și capacități de la un an de studiu la altul;

– reprezintă un instrument conceptual care, utilizat corect la nivelul evaluării, oferă o hartă clară a evoluției capacităților/competențelor copilului și posibilitatea stimulării formative a acelor competențe insuficient formate și dezvoltate în cazul fiecărui elev în parte.

– creează premisele pentru centrarea actului didactic pe aspectele formative ale predării-învățării și nu pe transmiterea de informații.

Exemplele de activități de învățare propun modalități de organizare a activității în clasă. Pentru realizarea obiectivelor/competențelor propuse pot fi organizate diferite tipuri de activități de învățare. Programa oferă cel puțin un exemplu de astfel de activități pentru fiecare obiectiv de referință în parte. Exemplele de activități de învățare sunt construite astfel încât să pornească de la experiența concretă a elevului și să se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de învățare.

Conținuturile sunt mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cadru și de referință propuse. Unitățile de conținut sunt organizate fie tematic, fie în conformitate cu domeniile constitutive ale diverselor obiecte de studiu.

Standardele curriculare de performanță sunt standarde naționale, absolut necesare în condițiile introducerii unei oferte educaționale diversificate, concretizate în existența unor planuri-cadru de învățământ, a unor noi programe școlare și a manualelor alternative. Ele reprezintă, pentru toți elevii, un sistem de referință comun și echivalent, vizând sfârșitul unei trepte de școlaritate.”

Standardele curriculare de performanță sunt criterii de evaluare a calității procesului de învățare. În termeni concreți, standardele constituie specificări de performanță vizând cunoștințele, competențele și comportamentele stabilite prin curriculum. Standardele permit evidențierea progresului realizat de elevi la de la o treaptă de școlaritate la alta. Ele sunt exprimate simplu, sintetic și inteligibil pentru toți agenții educaționali și reprezintă baza de plecare pentru elaborarea descriptorilor de performanță, respectiv a criteriilor de notare.

Standardele sunt centrate pe elev și relevante din punctul de vedere al motivării acestuia pentru învățare, fiind orientate spre profilul de formare al elevu-lui la finalizarea parcursului școlar și la intrarea în viața socială. Ele ar trebui să motiveze elevul pentru învățarea continuă și să conducă la structurarea capacităților proprii învățării active.

Existența unor programe centrate pe achizițiile elevilor determină un anumit sens al schimbării în didactica fiecărei discipline.

Tabelul de mai jos prezintă în antiteză caracteristici ale procesului de predare-învățare din didactica tradițională și didactica actuală. Aceste caracteristici sunt exprimate la un nivel teoretic general; ele evidențiază anumite accente și nu definesc activitatea concretă la clasă a profesori-lor/profesorilor, care în mod obișnuit combină trăsături din ambele tipuri de didactică.

Caracteristici ale procesului de predare-învățare din didactica tradițională și didactica actuală

Manualele alternative sunt un semn al normalizării școlii în direcția democratizării învățării. Manualele ar trebui să reflecte programa școlară care prevede ceea ce este comun pentru toți elevii, asigurându-se astfel egalitatea șanselor.

3.3. Tipuri de curriculum la matematică: nucleu, aprofundat, extins, elaborat în școală

Curriculum nucleu reprezintă programa școlară obligatorie a unei anumite discipline pentru populația școlară dint-un an de studiu.

Aprofundarea reprezintă acea formă de CDS (curriculum la decizia școlii) care primește alocare de timp din plaja orară și care reprezintă parcurgerea programei școlare în mai multe ore decât acelea prevăzute prin planul cadru. Conform Ordinului ministrului nr. 3638/ 11 aprilie 2001, aprofundarea se aplică numai în cazuri de recuperare pentru acei elevi care nu reușesc să atingă standardele minimale prevăzute de programă în anii anteriori.

Extinderea reprezintă acea formă de CDS care primește alocare de timp din plaja orară și care presupune parcurgerea programei în întregime (inclusiv elementele marcate cu asterisc).

Discipline opționale:

1. Opționalul la nivelul disciplinei constă fie din activități, module, proiecte, care nu sunt incluse în programa școlară avansată de autoritatea centrală, fie dintr-o disciplină care nu este prevăzută în planul-cadru deloc sau pentru o anume clasă/ciclu curricular (un exemplu de acest gen îl constituie limba modernă în clasa. I).

2. Opționalul la nivelul ariei curriculare presupune alegerea unei teme care implică cel puțin două discipline dintr-o arie. In acest caz, pornind de la obiectivele-cadru ale disciplinelor, vor fi formulate obiective de referință din perspectiva temei pentru care s-a optat.

3. Opționalul la nivelul mai multor arii curriculare implică cel puțin două discipline aparținând unor arii curriculare diferite. Ca și în cazul opționalului integrat la nivel de arie, informațiile cu care elevii vor opera au un caracter complex și, ca atare, permit dobândirea de achiziții cognitive de ordin înalt (de tipul generalizării, transferului).

Curriculum-ul la decizia scolii în învățământul obligatoriu

Temă

1. Precizați competențele specifice pentru matematică la clasa pregătitoare.

2. Precizați obiectivele cadru al învățării matematicii în clasele a III-a și a IV-a.

3. Care dintre conținuturile următoare sunt prevăzute în curriculum-ul nucleu pentru clasa a III-a:

a) numere naturale de la 0 la 100;

b) fracții;

c) adunarea si scaderea numerelor naturale în concentrul 0-30, fara trecere peste ordin;

d) înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0-100;

e) figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, patrat, cerc.

CAPITOLUL 4. Relația între curriculum și proiectarea didactică

4.1. Proiectarea didactică, demers coerent de transpunere a paradigmei curriculare în activitatea didactică

Elementul central în realizarea proiectării didactice este programa școlară. Ea reprezintă un document reglator, în sensul că stabilește obiective/competențe, adică țintele ce urmează a fi atinse, prin intermediul actului didactic. Programa școlară nu este tabla de materii a manualului și nici un element de îngrădire pentru profesor.

Programa școlară reprezintă un document de tip reglator cu rol de instrument de lucru al profesorului și cu valoare normativă. Procesul de proiectare a demersului didactic realizează o anticipare a activității didactice viitoare din clasă și presupune parcurgerea de către profesor a următorilor pași:

lectura programei școlare;

identificarea unităților de învățare care stau la baza realizării planificării calendaristice anuale;

elaborarea planificării calendaristice anuale și semestriale;

proiectarea unităților de învățare.

Lectura integrală a programei școlare și înțelegerea logicii interne a acesteia reprezintă condiții obligatorii în vederea proiectării eficiente a activității didactice.

Proiectarea parcurge mai multe etape, care corespund abordării procesului didactic într-o succesiune logică. Aceste etape sunt prezentate în schema următoare:

Etapele procesului de proiectare didactică

Pentru a desfășura demersul didactic la disciplina matematică, propus prin curriculum nucleu, este necesară realizarea unei proiectări pe termen lung concretizată în planificarea calendaristică și o proiectare secvențială, pe termen mediu, prin proiectarea unităților de învățare. Fiecărui obiectiv cadru/competență generală îi sunt asociate mai multe obiective de referință/competențe specifice. Atingerea obiectivelor de referință/competențelor specifice se realizează cu ajutorul temelor descrise la rubrica Conținuturi din curriculum. Pentru a fi formate la elevi deprinderile, priceperile, abilitățile, sau capacitățile descrise prin obiectivele de referință/competențele specifice din programă, cadrul didactic trebuie să selecteze din lista de conținuturi acele teme care asigură atingerea obiectivelor de referință/competențelor specifice și poate opta pentru folosirea unora dintre activitățile de învățare recomandate prin programă sau poate construi activități proprii (exemplele din programă au caracter orientativ și nu implică obligativitatea utilizării numai a acestora în activitatea didactică).

Planificarea calendaristică este un document administrativ ce cuprinde succesiunea unităților de învățare și asociază, într-un mod personalizat, elemente ale programei (obiective de referință/ competențe specifice și conținuturi) cu alocarea de timp considerată optimă de către cadrul didactic pe parcursul unui semestru, respectiv an școlar.

Pentru realizarea planificărilor calendaristice (semestriale și anuale) este necesară selectarea obiectivelor de referință/competențelor specifice pe care urmează să le realizeze și să aleagă din programă acele conținuturi care permit atingerea obiectivelor propuse. Modalitatea de asociere este la latitudinea cadrului didactic dar trebuie avut în vedere faptul că, pentru ca un obiectiv/competență să fie dobândit trebuie să se ofere elevului cât mai multe contexte noționale de exersare.

Modul diferit în care obiectivele de referințe/competențele specifice pot fi asociate cu conținuturile în diferite unități de învățare, cu durată diferită și cu activități de învățate diferite se traduce prin lectura personalizată a programei școlare. Acest proces este determinant/influențat de cel puțin două elemente:

sintalitatea colectivului de elevi și nevoile particulare de învățare ale acestora;

personalitatea profesională diferită a fiecărui cadru didactic.

Datorită acestei libertăți pe care profesorul/profesorul o are în procesul de asociere a obiectivelor de referințe/competențelor specifice – conținuturi, demersul de proiectare se focalizează pe beneficiarul acțiunii educaționale, adică elevul și dobândește unicitate și amprenta personală a fiecărui cadru didactic.

4.2. Etapele proiectării demersului didactic

Construcția curriculară avută în vedere pentru realizarea noilor programe necesită o anumită structurare a demersului de proiectare. Centrarea pe formarea unor deprinderi și capacități solicită organizarea unei învățări preponderent de tip inductiv, ceea ce presupune parcurgerea în învățare a următoarelor etape:

1. Familiarizarea

Această etapă vizează introducerea unui nou conținut noțional prin intermediul unor situații problemă. Rezolvarea situațiilor – problemă solicită utilizarea unor concepte, tehnici de lucru și deprinderi anterior formate, dar sarcinile de lucru deplasează accentul spre descoperirea unor noi noțiuni și procedee de lucru. În acest mod, elevul descoperă elementele noi de conținut ca răspuns la sarcinile propuse, se familiarizează cu procedurile specifice de calcul, cu modalitatea de verbalizare a răspunsului. Acest tip de demers didactic dezvoltă la elevi, pe de o parte, o atitudine activă, de căutare și colectare de informații în situații concrete, elevul fiind pus în situația să acționeze pentru rezolvarea sarcinilor de lucru, iar pe de altă parte, o atitudine reflexivă și pragmatică. Cum pot face asta? și De ce să fac așa? sunt întrebări pe care activitățile de învățare propuse trebuie să și le genereze și răspunsul să poată fi găsit prin efort propriu de observare, analiză, comparare și căutare a unor noi modalități de rezolvare.

În această etapă, rolul profesorului este de a dirija învățarea, de a preciza într-un limbaj simplu etapele de parcurs pentru rezolvarea sarcinilor date, de a provoca și menține interesul elevilor pe tot parcursul activității pentru ca aceștia să găsească soluțiile prin efort propriu dirijat.

Învățarea se realizează printr-o succesiune de sarcini de lucru, concepute gradat, prin intermediul cărora elevul descoperă și se familiarizează cu noul conținut. Învățarea activă devine efectivă, elevul descoperă noul conținut ca răspuns la sarcinile date și nu printr-un demers expozitiv realizat de către profesor.

Forme de organizare: de preferat, activitate individuală sau de grup dirijată/semidirijată de către profesor, joc de rol, manipulare obiectuală.

2. Structurarea noțională

Elevii analizează rezultatele activității desfășurate în etapa anterioară și tehnicile folosite precum și noțiunile noi apărute. Ei își sistematizează progresiv propriile proceduri de acțiune, își consolidează competențele operatorii, identifică legături între noțiuni prin conversație euristică. Acest proces de sinteză se poate desfășura, – în funcție de nivelul clasei și de vârstă – dirijat la ciclul primar, semidirijat sau independent la ciclul gimnazial.

În această etapă, rezolvarea de probleme are ca finalitate utilizarea unor concepte în situații cât mai variate, rafinarea unor tehnici operatorii sau algoritmizarea unor procedee de lucru. Elevii sunt antrenați în activități care solicită precizarea modului în care au obținut informații relevante, și modul în care pot fi relaționate acestea. Comunicarea modului în care elevii au judecat o problemă, formularea de judecăți deductive pe enunțuri prezentate în forme variate: imagini, diagrame, tabele, text sunt sarcini semnificative pentru realizarea sistematizării și structurării noționale.

Forme de organizare: de preferat, activitate individuală sau de grup dirijată/semidirijată.

3. Aplicarea și exersarea direcționată

Exersarea direcționată oferă oportunități de antrenament, consolidare și dezvoltare a capacităților de rezolvare de probleme. Intervenția pedagogică este centrată pe întărirea unor tehnici, proceduri și metode de lucru, pune accent pe dezvoltarea capacitatății de a reflecta asupra unui demers, favorizează formarea automatismelor de calcul.

Exerciții complementare favorizează individualizarea învățării (adică adaptarea demersului didactic prin organizarea de activități de recuperare și de dezvoltare).

Evaluarea formativă permite formularea de judecăți în legătură cu nivelul achizițiilor elevilor, dar și a autonomiei personale, a capacității de autoevaluare.

Formă de organizare: de preferat, activitate individuală independentă diferențiată.

Necesitatea proiectării activităților didactice pe unități de învățare este o consecință a modelului prezentat anterior. Acest model este centrat pe formarea unor capacități cognitive/operatorii și pe structurarea unor noțiuni.

În aceste condiții, este esențială existența unei viziuni educaționale unitare pe o perioadă mai mare de timp decât ora tradițională. Din acest motiv, proiectarea activităților didactice trebuie realizată într-o structură care este coerentă din punctul de vedere al obiectivelor de referință/competențelor specifice, este unitară din punct de vedere tematic și permite feed-back prin evaluare eficientă a achizițiilor comportamentale/operatorii exersate pe o perioadă determinată de timp în contextul specific acestei structuri.

Pentru a identifica unitățile de învățare, trebuie să avem în vedere principalele caracteristici ale acestora, și anume:

unitate (de conținuturi);

coerență (a obiectivelor);

continuitate (în timp);

finalizare (prin evaluare).

Practic, alegerea unităților de învățare se poate realiza urmărind unul dintre algoritmii descriși mai jos.

Algoritmul 1

Identificăm conținuturi unitare din punct de vedere tematic

Asociem obiective de referință/competențe specifice care pot fi atinse prin aceste conținuturi

Adăugăm conținuturi sau/și renunțăm la unele conținuturi alese, după criteriul relevanței în raport cu obiectivul/competența identificată

Corelăm conținuturile selectate și cu alte obiective de referințăcompetențe specifice (asociate diverselor obiective cadru)

În cazul în care adoptăm acest algoritm, putem preciza în rubrica “Conținuturi” din planificare, pe cele selectate din programă.

Algoritmul 2

Acest algoritm utilizează matricea de asociere dintre obiectivele de referință și conținuturile programei; matricea evidențiază legăturile explicite (evidente, directe, cauzale) marcate cu „X” și legăturile implicite (mai puțin evidente, indirecte, deduse) marcate cu „O”. Matricea se poate completa în urma citirii atente și a interpretării personale a programei, deoarece evidențierea unora dintre legături se poate face doar prin imaginarea activităților care urmează a fi desfășurate la clasă. În acest sens este utilă lecturarea exemplelor de activități de învățare din programă.

În tabelul următor este exemplificată o porțiune din matricea de asociere pentru clasa a III-a:

Comentariu: Obiectivul de referință 2.8 care se referă strict la utilizarea instrumentelor de măsură și la cunoașterea unităților de măsură standard și nonstandard poate fi realizat doar prin parcurgerea conținuturilor selectate.

Există posibilitatea grupării acestor conținuturi în șase unități distincte care urmează succesiunea conținuturilor din programă. Acest mod de organizare are avantajul că presupune un demers didactic tradițional cunoscut și exersat ce conduce la învățare în pași mici. Pe de altă parte, organizarea acestor conținuturi în unități distincte are dezavantajele că separă noțiuni similare și repetă un tip de demers cu consum mare de timp și conduce la lipsa posibilităților de a observa asemănări între multiplii și submultiplii unităților standard. De aceea, sugerăm gruparea conținuturilor în două unități de învățare care presupune abordarea concomitentă a măsurării și unităților de măsură pentru lungime, masă, capacitate și evidențierea asemănărilor între tehnicile de calcul și denumirile multiplilor și submultiplilor.

Se are în vedere parcurgerea conținuturilor în succesiunea dată în programă.

În a doua variantă unitățile de măsură pentru capacitate, masă, lungime, sunt asociate în mod natural cu identificarea și descrierea unor proprietăți simple ale figurilor și corpurilor geometrice. În acest fel, unitățile de măsură sunt exersate în contexte practice de măsurare a unor figuri și corpuri geometrice.

Pentru a contura mai bine unitatea de învățare, este indicat ca, după parcurgerea pașilor din algoritmul precedent, să răspundem la următoarele întrebări:

asigură conținuturile alese unitate tematică?

este respectată logica internă a obiectului?

se pot parcurge conținuturile într-un optim de 6-8 ore la clasă?

sunt avute în vedere obiective de referință corespunzătoare tuturor obiectivelor cadru?

obiectivele pot fi atinse prin parcurgerea conținuturilor?

este edificatoare evaluarea făcută în urma parcurgerii acestor conținuturi?

sunt și alte conținuturi care ar putea fi incluse în această unitate de învățare respectând condițiile anterioare?

sunt avute în vedere obiective de referință corespunzătoare tuturor obiectivelor cadru?

Exemple de proiecare anuală a activităților

Prezentăm în continuare exemple de planificări calendaristice și proiecte didactice pentru lecții și pentru unități de învățare.

Precizăm că structura prezentată este cea utilizată în documentele oficiale (vezi MEC și CNC, 2002, Ghid practic metodologic pentru aplicarea programelor de Matematică primar-gimnaziu, Ed. Aramis, București) și de asemenea, cea folosită în elaborarea documentelor la seminariile de didactica matematicii și în activitățile de practică pedagogică desfășurate în școlile de aplicație ale Facultății de Psihologie și Științe ale Educației a Universității Al. I. Cuza din Iași.

Clasa pregătitoare

Planificare calendaristică

An școlar 2013-2014

Propunător:

Școala:

Notă: CLR- Comunicare în limba română; MEM- Matematică și explorarea mediului; AV- Arte vizuale și abilități practice; MM- Muzică și mișcare; DP- Dezvoltare personală,

Clasa a II – a

Planificare anuală

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii Profesor : …

Disciplina: Matematică

Curriculum: nucleu

Nr de ore pe săptămână: 3

Nr. ore pe sem.: 51; pe an: 102

Planificare calendaristică orientativă

Clasa a III – a

Planificarea calendaristică

Aria curriculară: Matematică și Șiințe ale Naturii

Disciplina: Matematică

Curriculum extins

Număr ore pe săptămână: 4

Clasa: a IV-a

Planificare calendaristică

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina de învățământ: Matematică

Varianta: Curriculum extins

Nr. ore: 4 ore/săptămână

Profesor :

4.3. Proiectarea unei unități de învățare

Unitatea de învățare reprezintă o structură didactică deschisă și flexibilă formată din obiective de referință/competențe specifice, conținuturi, activități de învățare și resurse educaționale care are următoarele caracteristici:

determină formarea unui comportament specific prin integrarea unor obiective de referință/competențe specifice;

este unitară din punct de vedere tematic;

se desfășoară în mod continuu pe o perioadă de timp;

se finalizează prin evaluare.

Ca sistem de lecții, unitatea de învățare a fost concepută de B.S. Bloom (1970) pentru a putea compensa diferențele de ritm de învățare dintre elevi și diferențele de timp necesar învățării pentru fiecare elev. Varietatea experiențelor de învățare pe care școala trebuie le ofere elevilor are rolul să accelereze învățarea în funcție de particularitățile fiecărui elev, estompând diferențele de ritm de învățare dintre elevi. Fenomenul de accelerare a învățării este asociat cu un feedback prin care elevii raportează propriul demers cognitiv la sarcinile și evenimentele instruirii.

Realizarea unei unități de învățare la disciplina matematică impune un demers didactic personalizat, în sensul celor afirmate anterior și proiectat de fiecare cadrul didactic în acord cu structura colectivului de elevi pe care îl conduce. Metodologia de proiectare a unei unități de învățare este centrată pe un proces de asociere a obiectivelor de referință/competențelor specifice cu conținuturile și alegerea resurselor adecvate în vederea atingerii setului de obiective/competențe. Etapele proiectării sunt aceleași oricare ar fi unitatea de învățare vizată și presupune structurarea proiectării în modul următor:

Conținuturile sunt cele prevăzute de programă (și doar acelea!).

Activitățile de învățare pot fi cele din programă, sau pot fi adaptări, dezvoltări, prelucrări, completări, adăugări etc. ale acestora.

Demersul instructiv educativ va preciza strategiile didactice utilizate în procesul instructiv-educativ pentru atingerea obiectivelor stabilite, evidențiind cu precădere metodele de lucru folosite.

Resursele cuprind resurse materiale – manuale, texte auxiliare (culegeri, antologii, enciclopedii, tabele matematice, hărți etc.), mijloace audio-video etc. precum și timpul, spațiul în care se desfășoară ora de curs, resursele umane (elevul cu personalitatea sa, profesorul cu experiența sa, influențele comunității etc.).

Proiectarea demersului didactic presupune:

– lectura programei

– elaborarea planificării calendaristice

– proiectarea secvențială (a unităților de învățare sau a lecțiilor).

Programa se citește pe orizontală, în succesiunea de mai jos:

Fiecărui obiectiv cadru/competențe generale îi sunt asociate unul, sau mai multe obiective de referință/competențe specifice. Atingerea obiectivelor de referință/competențelor specifice, se realizează cu ajutorul unităților de conținut, care se regăsesc în lista de conținuturi. Profesorul va selecta din lista de conținuturi acele unități de conținut care mijlocesc atingerea obiectivelor. Profesorul poate opta pentru folosirea unora dintre activitățile recomandate prin programă sau poate construi activități proprii (exemplele din programă au caracter orientativ, de sugestii și nu implică obligativitatea utilizării numai a acestora în activitatea didactică).

În elaborarea planificărilor, recomandăm parcurgerea următoarelor etape:

1. Realizarea asocierilor dintre obiectivele de referință și conținuturi;

2. Împărțirea pe unități de învățare;

3. Stabilirea succesiunii de parcurgere a unităților de învățare;

4. Alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare conținut, în concordanță cu obiectivele de referință vizate.

Întregul cuprins al planificării are valoare orientativă, eventualele modificări determinate de aplicarea efectivă la clasă putând fi consemnate în rubrica Observații.

Planificările anuale pot fi întocmite pornind de la următoarea rubricație:

Profesorul va alătura fiecărui obiectiv sau grup de obiective, acele resurse pe care le consideră necesare pentru conceperea strategiei și realizarea demersului didactic.

Deși denumirea și alocarea de timp pentru unitățile de învățare se stabilește prin planificare, este recomandabil ca proiectele complete ale unităților de învățare să se realizeze ritmic pe parcursul anului școlar.

În tabelul care sintetizează proiectarea unității de învățare, prin linii orizontale (punctate) se poate reprezenta spațiul de delimitare al unei ore de curs: el poate cuprinde conținutul lecției, obiectivele de referință la care se raportează, demersul didactic specific, precum și resursele necesare desfășurării în bune condiții a lecției. Uneori, în cuprinsul spațiului delimitat pentru o oră, pot apărea și specificații de evaluare.

Totodată, la finalul unității de învățare este prevăzută o oră de evaluare. Rubrica de evaluare va cuprinde tipul de instrumente aplicate la clasă.

Toate programele de matematică au prevăzute conținuturi și obiective de referință marcate cu * (asterisc) și cu literă italică.

Pentru toate disciplinele din planul de învățământ semnificația conținuturilor/ obiectivelor marcate în programe trebuie înțeleasă în legătură cu plaja orară. În urma deciziei asupra tipului de curriculum ales se va completa schema orară.

Planul cadru de învățământ pentru clasele II-IV prevede pentru matematică 3-4 ore de curs pe săptămână.

Dacă s-a optat pentru alegerea a 3 ore de matematică, se va parcurge doar curriculumul nucleu.

În cazul în care s-a optat pentru alegerea a 4 ore de matematică, opțiune posibilă conform planului cadru, profesorul poate parcurge doar curriculumul nucleu (dacă opțiunea este pentru aprofundare) sau curriculum extins (dacă opțiunea este pentru extindere), care cuprinde și conținuturile/obiectivele marcate în programă cu asterisc, respectiv cu caractere italice.

Devine astfel evidentă utilitatea și necesitatea consultării orientative a programei clasei anterioare și a programei clasei următoare, pentru a proiecta activități de învățare adecvate programei clasei respective.

Din practica școlară se evidențiază situații care solicită o anumită decizie educațională. Evidențiem câteva astfel de situații și modalități de rezolvare:

Conținuturi care se parcurgeau în mod tradițional într-un anumit an de studiu și care sunt prevăzute în actuala programă, în mod explicit, la un alt an de studiu.

Acest tip de situații poate genera încărcarea artificială a conținuturilor.

Deplasările de conținuturi pe verticală în sus au fost determinate de necesitatea de a acorda prioritate înțelegerii noțiunilor și relațiilor între acestea, față de operarea cu algoritmi aplicați acestor noțiuni. În esență, este mai importantă calitatea achizițiilor elevului decât logica internă a obiectului și tradiția studierii unor conținuturi în anumiți ani de studiu.

Conținuturi noi introduse în programele școlare

Unele conținuturi, ca de exemplu: estimări, organizarea datelor, sunt elemente noi ale programelor, prin raportare la vechile programe. Aceste noțiuni apar mai întâi implicit, doar în formularea obiectivelor de referință, deoarece cuprinderea la lista de conținuturi a unei clase ulterioare necesită pregătirea prin activități de învățare desfășurate în clasele anterioare. Conținuturile de acest tip sunt pregătite prin formarea unor capacități explorativ-investigative semnificative și specificate prin obiectivele de referință subordonate obiectivului cadru 2. Ulterior, aceste conținuturi apar explicit și vizează obiective de referință care țin de formarea conceptelor.

Toate aceste demersuri au ca efect mărirea decalajului dintre nivelul de achiziții al unor elevi și nivelul de achiziții minimale cerut prin programele școlare.

În aceste situații, diferențierea nivelului de dificultate și de complexitate pe fiecare clasă trebuie să se facă prin compararea obiectivelor de referință și a exemplelor de activități de învățare specificate în programă.

Evoluția de la o clasă la alta a conceptelor referitoare la figuri și corpuri geometrice nu va însemna, deci, o adăugare de conținuturi, ci o adâncire a nivelului de analiză a proprietăților figurilor și corpurilor respective, realizată de către elev prin lucrul direct cu materialul didactic. Devine astfel evidentă utilitatea și necesitatea consultării orientative a programei clasei anterioare și a programei clasei următoare, pentru a proiecta activități de învățare adecvate programei clasei respective.

Facem observația că în condițiile noului curriculum, lectura manualului nu mai este în mod obligatoriu liniară. Programa trebuie parcursă în mod necesar de către toți, manualul însă se pliază unei citiri personale și adaptate (vezi schema următoare).

Exemple de proiectare a unor unități de învățare

Proiectarea unității de învățare ”Numerele naturale 0-100”

Clasa I

Unitatea de învățare : Numerele naturale 0-100

Nr. de ore: 12 ore

Clasa a II a

Proiectarea unității de învățare ”Numerele naturale de la 0 la 1000”

Unitatea de învățare: Numerele naturale de la 0 la 1000

Număr de ore alocat: 9 Perioada: …

Matrice de evaluare

4.4. Proiectarea lecției

Proiectarea lecției reprezintă o verigă importantă în ansamblul proiectării întregului demers didactic. Lecția reprezintă forma fundamentală de organizare a procesului de instruire, fiind de fapt o înlănțuire de evenimente, momente, menite să realizeze succesiunea clară și precisă a actului educațional. Proiectarea unei lecții este operația de identificare a secvențelor instrucționale care se derulează în cadrul unui timp determinat, de obicei, o oră școlară. Proiectarea unei lecții implică următoarele demersuri de bază:

formularea obiectivelor operaționale;

selectarea și analiza conținuturilor;

identificarea resurselor;

stabilirea strategiilor didactice;

elaborarea instrumentelor de evaluare.

Prima etapă constă în formularea obiectivelor activității didactice (lecției)

Deoarece obiectivele prevăzute de programa școlară (obiectivele de referință) nu se pot realiza, de obicei, într-o singură lecție, este necesară formularea unor finalități concrete care să indice rezultatele care se pot atinge pe parcursul și la sfârșitul unei lecții. Acestea reprezintă obiectivele operaționale ale lecției.

A operaționaliza un obiectiv înseamnă a formula în termeni comportamentali, ceea ce trebuie să facă sau să realizeze elevul la sfârșitul unei secvențe de instruire.

Operaționalizarea presupune formularea obiectivelor educaționale în termeni de comportamente observabile și posibil măsurabile. La orice activitate de proiectare didactică (lecție), obiectivele operaționale indică nu numai ceea ce trebuie să știe elevii ci și ceea ce vor fi capabili să definească, să descrie, să rezolve, să aplice, să elaboreze, să reproducă, să analizeze să proiecteze, să realizeze practic etc. Pentru obținerea de rezultate educaționale pozitive, cadrul didactic trebuie să enunțe cât mai precis, la nivelul fiecărei activități didactice, ce rezultate dorește să obțină de la elevi.

Obiectivele operaționale sunt rezultate anticipate ale activității de învățare care prezintă următoarele caracteristici: exprimă în termeni de comportamente observabile și pe cât posibil măsurabile, modificările apărute la elev, în plan cognitiv, afectiv și psihomotor, la sfârșitul unei situații de învățare; reprezintă puncte de referință pentru organizarea, reglarea și evaluarea activității de predare-învățare.

Pe baza criteriului comportamental, s-au elaborat tehnici de operaționalizare, cele mai cunoscute fiind tehnicile lui D’Hainaut, R. Mager, De Landsheere.

În formularea obiectivelor operaționale ale activității didactice sunt luați în considerare următorii parametri (procedura lui Mager): comportamentul final al elevului, exprimat printr-un verb de acțiune (a identifica, a explica, a demonstra, a analiza, a trasa, a executa etc.); condițiile de manifestare a comportamentului (în prezența sau absența unor resurse materiale etc.); criteriul de reușită, exprimat de obicei în termenii performanței minime admise. Criteriul de reușită anunță la ce nivel trebuie să se situeze cunoștințele sau deprinderile elevilor, ca nivel de performanță acceptabilă. Acest parametru este important în elaborarea instrumentelor de evaluare.

Precizări cu privire la criteriile operaționalizării:

În cadrul procesului didactic subiectul este întotdeauna elevul, nu profesorul, de aceea obiectivele pedagogice trebuie exprimate în funcție de comportamentul elevului și nu de cel al profesorului. Atragem atenția asupra necesității ca obiectivul să fie atins de toți elevii, pentru a putea determina eficacitatea generală a actului educațional.

Un obiectiv corect operaționalizat impune o cerință expresă în utilizarea obligatorie a unui verb de acțiune care să definească un comportament observabil. Dacă un comportament este observabil atunci el va putea fi o condiție suficientă pentru a putea evalua precis, fără echivoc, rezultatele instruirii. Așadar, verbele de acțiune trebuie alese astfel încât să desemneze doar acțiuni, acte, operații observabile nu procese psihice interne care nu pot fi observate direct și implicit, nu pot fi evaluate.

Specificarea condițiilor de învățare presupune indicarea facilităților/restricțiilor specifice realizării comportamentului și relevării atingerii obiectivului. Aceste condiții se referă la materialul didactic, mijloace tehnice (instrumente, aparate, planșe) etc.

Este important să se specifice condițiile de manifestare a comportamentului cognitiv, psihomotor, astfel încât elevii să poată fi puși în situații egale de acțiune, exersare și verificare.

Criteriul de reușită /de evaluare vizează nivelul performanței, atât din punct de vedere cantitativ cât și calitativ indicând cât de eficient trebuie să fie comportamentul, la ce nivel trebuie să se situeze cunoștințele, deprinderile etc.

Verbe care definesc comportamente observabile și măsurabile

Există multe verbe pe care le folosim în viața de zi cu zi pentru o comunicare interumană eficientă, însă pentru obiectivele operaționale (comportamentale) aceste verbe sunt adesea generale și vagi. Verbe precum „a ști”, „a înțelege”, „a cunoaște”, „a fi conștient de”, „a se familiariza cu”, „a aprecia”, pot avea mai multe înțelesuri și sunt verbe imprecise pentru a putea fi utilizate la formularea obiectivelor operaționale.

Dacă vom lua în considerare taxonomia lui Bloom, am putea da ca exemple următoarele formulări pentru obiectivele operaționale:

cunoaștere – să definească, să scrie, să identifice, să numească, să
selecteze, să reproducă, să enumere;

înțelegere – să transforme, să exemplifice, să diferențieze, să parafrazeze, să estimeze, să rescrie, să explice, să rezume, să generalizeze, să argumenteze;

aplicare – să aplice, să calculeze, să descopere, să înlocuiasca, să schimbe, să modifice, să separe, să producă, să indice, să rezolve, să utilizeze;

analiză – să descrimineze, să descompună în părți componente, să diferențieze, să selecteze, să separe, să ilustreze, să arate legăturile;

sinteză – să clarifice, să combine, să compună, să creeze, să elaboreze, să organizeze, să planifice, să reconstruiască;

evaluare – să justifice, să argumenteze, să interpreteze, să aprecieze, să compare, să concluzioneze, să critice.

Greșeli de formulare a obiectivelor operaționale:

prin raportare la activitatea profesorului: pentru că ele nu indică schimbări în comportamentul elevilor (ex.: să explic elevilor modul de aplicare a teoremei impărțirii cu rest );

cu ajutorul unor verbe generale (a cunoaște, a ști, a înțelege): pentru că ele nu denumesc comportamente observabile (ex.: elevul să cunoască definiția paralelogramului);

cu referire la mai multe operații: pentru că ar fi dificil de evaluat (ex.: elevul să recunoască și să clasifice triunghiurile).

în număr prea mare: pentru că nu ar putea fi atinse într-o singură lecție.

Pe lângă obiectivele operaționale, lecția are și scopul lecției. Acesta exprimă intenția cadrului didactic de a obține modificări în comportamentul elevilor; indică acele capacități/competențe care vor fi învățate/formate/exersate/consolidate/sistematizate/ verificate/evaluate etc. în lecție (însușirea unui concept, formarea unei deprinderi etc.). Scopul lecției constituie criteriul de bază pentru stabilirea tipului de lecție.

Următoarea etapă constă în identificarea resurselor activității didactice (lecției)

În acest scop sunt luate în considerare:

resursele umane:

particularitățile elevilor: nivel de pregătire, ritm de învățare, stil de învățare, interese, înclinații, trebuințe;

competențele cadrului didactic: pregătire științifică, stil de predare etc.;

resursele materiale:

conținutul: selectarea și analiza riguroasă a informației, alegerea exemplelor, aplicațiilor, temelor etc;

mijloacele de învățământ: stabilirea complexului multimedia pentru lecții, confecționarea de noi mijloace etc.;

locul desfășurării lecției: clasă, cabinet, laborator, atelier;

timpul alocat lecției.

Urmează stabilirea strategiilor didactice

Alegerea strategiilor se face în funcție de: obiective, natura conținutului, particularitățile elevilor, competențele cadrului didactic, condiții de dotare, timpul disponibil.

Într-o activitate de învățare se organizează o serie de evenimente care acționează asupra elevilor ajutându-i să atingă obiectivul propus.

Evenimentele instruirii nu se succed întotdeauna în aceeași ordine. Ele pot să nu fie prezente în totalitatea lor pe parcursul unei singure lecții. ( de ex.: lecțiile de verificare sau de recapitulare nu conțin toate evenimentele).

Următoarea etapă este alegerea/elaborarea instrumentelor de evaluare. Se realizează pornind de la obiectivele activității didactice. Ele pot îmbrăca forme variate și pot fi utilizate în diferite momente ale activității didactice.

Proiectarea unei lecții se finalizează cu elaborarea proiectului de lecție.

În literatura de specialitate sunt prezentate diferite modele de proiecte de lecții, toate vizând aceleași aspecte de bază.

Cadrul didactic va opta pentru acel model pe care-l consideră mai util și eficient.

Propunem, în continuare, un model orientativ de proiect de lecție.

Proiect didactic

Date generale

Data:

Clasa:

Obiectul de învățământ:

Subiectul lecției:

Tipul lecției:

Analiza conținutului lecției:

Obiective operaționale:

Metode de învățământ:

Mijloace de învățământ/materiale didactice:

Locul desfășurării:

Timp:

Bibliografie:

Desfășurarea lecției (scenariul didactic)

Pentru a fi eficient, un proiect de lecție trebuie să îndeplinească următoarele cerințe:

adecvarea la situațiile didactice concrete;

operaționalitate, putând fi ușor de descompus în operațiuni distincte, pentru a fi aplicat în practică;

flexibilitate și adaptabilitate la situații noi, care cer modificări din mers, pe parcursul desfășurării lecției;

economicitate, astfel încât, într-un cadru strategic simplu, să se poată realiza cât mai mult din punct de vedere practic.

Proiectul de lecție este un instrument al activității cadrului didactic. Un proiect didactic bine construit este o condiție necesară, dar nu și suficientă, pentru realizarea unei lecții reușite. El este menit a așeza pe baze științifice demersul didactic, fără însă a șabloniza activitatea instructiv-educativă și a încorseta creativitatea cadrului didactic.

Exemple de proiectare a unor lecții

PROIECT DIDACTIC

Profesor:

Data:

Școala:

Clasa: a II-a

Disciplina: matematică

Subiectul: figuri și corpuri geometrice

Tipul lecției: de fixare și sistematizare a cunoștințelor

Scopul: consolidarea și aprofundarea cunoștințelor cu privire la figurile și corpurile geometrice

Obiective operaționale:

Pe parcursul lecției elevii vor fi capabili:

O1- să denumească obiecte care au forma figurilor și corpurilor geometrice învățate;

O2- să continue șirul de figuri geometrice respectând regula găsită;

O3- să scrie cifra corespunzătoare numărului total de figuri geometrice de același fel din imaginile date;

O4- să stabilească valoarea de adevăr a enunțurilor date scriind în dreptul lor adevărat(A) sau fals (F);

O5- să afle suma numerelor din interiorul triunghiului și al cercului;

O6- să rezolve problema dată.

Strategia didactică:

a) Metode și procedee didactice: conversația, exercițiul, ciorchinele, observația

problematizarea, , învățarea pe bază de probleme

b) Mijloace de învățământ: pix verde, fișe de lucru, creion, carioci, marker, jetoane

cu figurile și corpurile geometrice, bolduri, polistiren, creta colorată

c) Moduri de organizare a activității: frontală, individuală, pe grupe

Resurse: umane : … elevi

temporale: 45’

bibliografice:

Constanța Cristea, I. Cristea, G. Farcaș, L. Dima, Proiecte didactice, Ed. Sf. Mina, Iași, 2007 ;

Pedagogia învățământului primar și preșcolar, manual anul II, sem. I, Editura Universității,, Alexandru Ioan Cuza”,Iași, 2009;

Pedagogia învățământului primar și preșcolar, manual anul III, sem. I, Editura Universității,, Alexandru Ioan Cuza”,Iași, 2010;

A. Maior, N. Ploscariu , Matematică, manual pentru clasa a II-a, editura Aramis, București, 2003;

Ș, Pacearcă, A. Răducan, M. Mogoș, Matematică, manual pentru clasa a II-a, editura Teora.

Proiect didactic

Clasa: a III – a

Propunător:

Aria curriculară: Matematică și Științe ale Naturii

Disciplina: Matematica

Unitatea de învățare:

Subiectul: Aplicații – Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 – 10 000, cu trecere peste ordin;

Tipul lecției: consolidarea cunoștințelor

Scopul lecției: consolidarea deprinderilor de calcul cu numere naturale în concentrul 0 – 10 000 cu trecere peste ordin, în diferite situații,

Obiective operaționale:

O1: să efectueze adunări și scăderi cu trecere peste ordin, cu așezarea termenilor în diferite poziții;

O2: să utilizeze corect noțiunile de limbaj specific matematic ;

O3: să afle termenul necunoscut dintr-un exercițiu dat;

O4: să rezolve probleme aplicând algoritmul învățat;

O5: să lucreze frontal, individual, în echipă pentru realizarea sarcinilor primite;

O6: să gândească rapid, flexibil,creativ în soluționarea sarcinilor;

Strategii didactice:

Metode și procede: conversația, explicația și demonstrația, problematizarea, activitatea independentă

Mijloace didactice: fișe, jetoane cu numere și semne ale operațiilor învățate;

Resurse – umane: elevii clasei, învățătoarea, membrii Comisiei metodica a învățătorilor;

– spațiale: sala de clasă;

– temporale: 45 min.;

– bibliografice:

Curriculum Național – programe școlare pentru învățământul primar;

Isar, Emilia; Ailiesei, Adriana; Condrea, Gabriela – Culegere – caiet de exerciții și probleme – partea I , clasa a III –a, Ed. Tehnopress, Iași, 2008;

Neacșu, Ioan Metodica predării matematicii la clasele I – IV,EDP, București, 2006

Petrovici, Co. Neagu, M.; Metodica predării matematicii în ciclul primar, PIM, Iași, 2006

Proiect de lecție pentru clase simultane

4.5. Proiectarea activităților integrate la clasa pregătitoare

Conceptul de curriculum integrat, așa cum este definit de unii autori (V. Chiș, C. Crețu, S. Cristea) sugerează în primul rând corelarea conținuturilor, însă acest demers necesită o abordare curriculară în care punctul de pornire este cel mai adesea finalitatea urmărită, în funcție de care sunt alese toate celelalte componente ale procesului instructiv- educativ.

Integrarea este văzută ca fiind o manieră de organizare a activității oarecum similară cu interdisciplinaritatea, în sensul că obiectivele învățării au ca referință nu o categorie de activitate ci o tematică unitară, comună mai multor categorii. Nu trebuie însă să se confunde cele două concepte: interdisciplinaritatea o identificăm ca fiind o componentă a mediului pentru organizarea cunoașterii; integrarea – ca pe o idee sau un principiu integrator care rupe hotarele diferitelor categorii de activități și grupează cunoașterea în funcție de tema propusă de profesor, ori de copii, aceasta desfășurându-se după un scenariu unitar, în scopul investigării unei teme

Integrarea, ca sintagmă, este explicată ca reunirea în același loc, în aceeași activitate, a mai multor activități de tip succesiv, care conduc la atingerea finalităților propuse, la însușirea conținuturilor, la realizarea în practică a proiectului didactic propus. Prin activitățile integrate, abordarea realității se efectuează printr-un demers global, făcând să dispară granițele dintre categoriile și tipurile de activități didactice. Acestea se contopesc într-un scenariu unitar în care tema se lasă investigată cu mijloacele diferitelor științe: conținuturile au subiect comun care urmează a fi elucidat în urma parcurgerii acestora și atingerii competențelor vizate.

Iată o variantă de schemă de planificare a activităților integrate pentru clasa pregătitoare (D = disciplina, UÎ = unitate de învățare, UT = unitate tematică):

Semestrul I

Unități de învățare pe discipline școlare

Varianta 1

UT1 UT4

UT3 UT5

UT2

ACTIVITATE DISCIPLINARĂ

Exemple de proiectare a activităților integrate

Proiect integrat: ” Prieteni îndrăgiți”

Propunător:

Tema proiectului: Prieteni îndrăgiți

Grup țintă: clasa pregătitoare

Perioada de desfășurare / durata: 2 săptămână – luna mai 2013

Elemente cheie / experiențe de învățare

Justificarea proiectului

Prin literatură, realitatea este recreată în toată complexitatea ei și oferă elevului un întreg univers de cunoaștere, gânduri și sentimente.

Dezvoltarea gustului pentru frumos trebuie să constituie un obiectiv în sine pe parcursul primilor ani de studiu. Literatura trebuie să formeze elevul astfel încât el să devină un umanist, capabil să înțeleagă și să aprecieze frumosul din natură, literatură, pictură și muzică.

Contactul cu poveștile conduce la dezvoltarea gustului pentru frumos, la îmbogățirea vocabularului, la creativitate.

De aceea, acest PROIECT își propune în primul rând să cultive pasiunea pentru lectură, stimularea gândirii și a imaginației, plăcerea de a interpreta diferite opere literare, trăirea acestora, dar și dorința de a crea a fiecărui elev.

Într-o lume dominată de mass-media, literatura pierde din ce în ce mai mult teren, fiind aproape uitată, în favoarea computerului, a revistelor, a filmelor, a internetului și a facebook-ului.

Am ales acest proiect deoarece cunoștințele copiilor, evaluate la început de an școlar erau limitate în raport cu vârsta, privind acest aspect al cunoașterii.

Copiii sunt fascinați de lumea poveștilor, iar tema propusă vine să le satisfacă o serie de curiozități legate de evenimentele care se petrec într-o poveste. Prin sarcinile și regulile jocului didactic, copiii fac o sinteză a cunoștințelor dobândite anterior, care le dezvoltă spriritul competitiv, le trezește dorința de autocunoaștere.

Cu părere de rău, am realizat că elevii de azi citesc foarte puțin, atâta timp cât mulți dintre elevii mici alocă cea mai mare parte a timpului liber jocurilor pe calculator etc. Fără a afirma că aceste preocupări sunt inutile, consider că pot deveni dăunătoare atunci când ele se substituie total actului și plăcerii de a citi.

De regulă, o mare parte dintre elevi citesc din obligație. Astfel, de multe ori lectura se transformă în cunoștințe și sensuri noi, fără ca cititorii să fie cu adevărat afectați de lectură.

Prin urmare, este absolut necesar să-i învățăm pe elevi cum să citească de plăcere, cum să se relaționeze cu textul și cum să acționeze ca răspuns la ceea ce au citit, cum să treacă de la reproducerea naivă la analiza complexă a textului.

Ne dorim să-l transformăm pe elev într-un adevărat consumator de lectură, conștient de valoarea și importanța cărții în desăvârșirea personalității lui, de rolul pe care-l ocupă cartea în relaționarea cu lumea din jur, cu restul universului.

Lectura în perioada școlarității mici contribuie la formarea progresivă a unor indivizi comunicativi, având cunoștințe literare de bază, capabili să înțeleagă lumea din jurul său, să comunice și să interacționeze cu semenii, exprimându-și gânduri, stări, sentimente, opinii.

Pornind de la titlul proiectului am gândit o serie întreagă de activități care să-i apropie pe copii mai devreme de lecturǎ, deoarece lectura rǎmâne una din cele mai intense, mai educative și mai rǎspândite activitǎți, care va avea efecte durabile în domeniul limbajului, al comunicǎrii precum și al comportamentului și al socializǎrii.

Întrebările cheie

– Ce învățăm din povești?

– Ce lucruri putem învăța de la personajele din povești?

– De ce unele personaje din povești sunt rele?

– De ce binele învinge răul?

– Există în viața de zi cu zi balauri, zmei?

EVALUAREA

Expoziții cu lucrările copiilor realizate pe parcursul acestui proiect, dipome, fișe de lucru, cărte de povești, CD-uri, albume, creații plastice ale elevilor

Planificarea unității tematice ”Din lumea celor care nu cuvântă”

Perioada: 4 săptămâni; 1 săptămână: 16 ore TC + 2 ore CDȘ (1 oră opțional limba străină + 1 oră opțional TIC)

Săptămâna I: În ograda bunicilor

Temă

1. Elaborați un proiect, la alegere, al unei unități de învățare pentru clasa a IV-a.

2. Elaborați un proiect de lecție la alegere, din unitatea de învățare aleasă.

CAPITOLUL 5: Strategii didactice utilizate la matematică

5.1 Strategie didactică, metodologie, metodă, procedeu, mijloace de învățământ

Proiectarea și realizarea optimă a activității instructiv-educative depinde de felul cum se desfășoară, dimensionează și articulează componentele materiale, procedurale și organizatorice, care imprimă un anumit sens și o anumită eficiență pragmatică formării elevilor. Concretizarea idealurilor educaționale în comportamente și mentalități nu este posibilă dacă activitatea de predare și învățare nu dispune de un sistem coerent de căi și mijloace de înfăptuire, de o instrumentalizare procedurală și tehnică a pașilor ce urmează a fi făcuți pentru atingerea scopului propus.

Strategiile didactice constituie modul în care profesorul, în funcție de capacitățile sale novatoare, reușește să aleagă, combine și organizeze ansamblul de metode și procedee, materiale și mijloace, în vederea atingerii anumitor obiective instructiv-educative generate de idealul educațional.

Strategia didactică constituie instrumentul de realizare a obiectivelor pedagogice și a conținutului.

Strategiile didactice sunt “modalități mai complexe de organizare și conducere a procesului de predare-învățare-evaluare pe baza combinării eficiente a metodelor și mijloacelor de învățământ și a formelor de grupare a elevilor în funcție de conținutul și cunoștințele anterioare ale elevilor, vizând obținerea de performanțe maxime”.

Strategiile didactice au o contribuție deosebită la optimizarea procesului de instruire și formare a personalității, întrucât, cu ajutorul lor, cadrul didactic, stăpânește acțiunea instructivă, o dirijează, o controlează și o reglează continuu, în direcția impusă de finalitățile actului de învățământ.

“Strategia didactică oferă o bază de trecere de la concepție la acțiune, de la modul în care este concepută o lecție, la programarea desfășurării ei practice. Ea poate să ne arate cum să abordăm soluționarea unei situații problematice în timpul unei lecții, fără a da totuși o soluționare precisă”.

O strategie poate să ne sugereze cum să punem elevul în contact cu materialul nou de studiat, adică pe ce traiectorie urmează să-i conducem efortul lui de învățare. A adopta o strategie înseamnă a adopta o linie directoare, un anumit mod general de organizare a învățării, posibil de aplicat la o întreagă categorie de lecții, de probleme ce rezultă din confruntarea subiecților (elevi și profesori) cu anumite sarcini concrete de învățare. Dar strategia mai poate să însemne și un mod deliberat de programare a operațiilor de învățare, a unui întreg set de activități de învățare-predare în condiții de maximă eficiență. Astfel, în funcție de strategia aleasă, profesorul identifică și asociază acele operații pe care elevii urmează să le efectueze în plan obiectual și mental ca să ajungă la achizițiile dorite (cunoștințe, comportamente, atitudini).

Strategia are în vedere organizarea și raționalizarea operațiilor în cadrul fiecărei etape din lecție, adică programarea în detaliu și în ansamblu a desfășurării lecției, unității de învățare, sau a altor activități. Ea propune o parcurgere organizată a etapelor învățării care se succed în cursul lecției. Altfel spus, ”adoptarea unei strategii echivalează cu adoptarea unui program al instruirii la nivelul lecției, a unei structuri metodice propriu-zise, fundamentată de fiecare dată pe o analiză atentă a situației de învățare date și constituită după schema:

Învățarea

În felul acesta, strategia oferă soluții de ordin structural-procesual, dar și metodic, determinând o anumită ordine de combinare a diferitelor metode, procedee, mijloace și forme de grupare a elevilor”.

Strategia arată ce face profesorul și ce face elevul, ea pune în evidență capacitatea cadrului didactic de a acționa eficient și de a face și pe alții să acționeze în virtutea aceluiași țel, de a adopta structuri realiste și eficace in același timp.

Strategia se distinge prin suplețe și dinamism, prin caracterul ei reglabil în funcție de situațiile concrete care se ivesc in cursul lecției.

O strategie se referă la o suită de secvențe sau evenimente condiționate între ele. Strategia nu introduce rigiditate în felul de a concepe desfășurarea lecției, ci oferă posibilitatea ca acțiunile să fie modificate din mers. Ea lasă loc spontaneității, intervenției creative a celui care ține lecția.

Strategiile au un caracter dinamic, fiind în permanentă înnoire în scopul realizării unui învățământ formativ-educativ, cerut de tendința de informatizare a societății contemporane.

Ele se pot alege în funcție de:

concepția pedagogică generală a epocii și concepția pedagogică personală a profesorului;

obiectivele instructiv-educative, specifice unor situații de instruire;

natura conținutului;

tipul de experiență, de învățare propusă elevilor;

principii, norme, reguli didactice;

dotarea didactică-materială a școlii;

timpul școlar disponibil.

Deci, pentru a adopta o strategie trebuie să se emită o ipoteză de lucru, să se adopte o linie directoare de acțiune ce va pune în valoare întregul potențial pedagogic ce-l ascund în ele diferitele metode, materiale și mijloace avute la îndemână, în raport cu ceea ce ne propunem să realizăm.

Numai o examinare atentă a variabilelor celor mai importante, ce constituie o situație de instruire, poate legitima alegeri adecvate de metode, materiale și mijloace și integrarea lor într-o formă sintetică într-o strategie de acțiune.

Un profesor eficient, nu poate să se bazeze în activitatea lui didactică doar pe câteva strategii, dimpotrivă, el trebuie să stăpânească moduri variate de abordare a învățării.

Abordarea sistematica a procesului didactic ușurează înțelegerea structurii unei situații instrucționale eficiente, a locului și rolului fiecărei verigi în sistemul respectiv.

Didactica actuală prin funcțiile sale teoretice și practice, evidențiază locul principiilor învățământului și implicit caracterul dinamic al metodelor și strategiilor didactice precum și a formelor de lucru.

Așadar strategia, poate fi înțeleasă, ca un mod de abordare și rezolvare a unei sarcini de instruire, rezolvare care impune alegerea anumitor metode, mijloace didactice și forme de organizare și combinarea și organizarea acestora în scopul atingerii unor rezultate maxime.

Formele și mijloacele strategice, de înfăptuire a sarcinilor didactice pot fi circumscrise terminologic prin intermediul sintagmelor de: tehnologie didactică, metodologie didactică, metodă, procedeu, mijloc de învățământ.

Tehnologia didactică

Tehnologia didactică desemnează sistemul de metode de predare-învățare, tehnicile moderne de lucru, formele de organizare a activităților didactice, tipurile de relații dintre cadrul didactic și elevi, structurate în raport cu obiectivele instructiv-educative.

“Tehnologia didactică vizează nu numai resursele activate, unele aspecte ale mass-mediei, aparatura tehnică avută în vedere, ci toate acestea împreună, raportate la conținuturi, strategii didactice, aspecte relaționale, procedee evaluative sau autoevaluative” .

Prin tehnologia didactică se realizează apropierea necesară între conținut, metodă, forme de organizare. Metodologia vizează ansamblul metodelor și procedeelor didactice utilizate în procesul de învățământ. În calitate de teorie stricto-sensu, metodologia instruirii precizează natura, funcțiile și clasificările posibile ale diferitelor metode de învățământ, după cum precizează Constantin Cucoș. În măsura în care metodologia didactică este o întruchipare sistemică a unor cunoștințe științifice, despre acțiunea instructiv-educativă, ea devine o parte integrantă a tehnologiei educaționale.

Metoda didactică

Termenul de metodă derivă etimologic din două cuvinte grecești: odos-cale, metha–spre (către), ceea ce înseamnă cale de urmărit în vederea atingerii unui scop. În didactică, metoda se definește drept o cale de urmat în vederea atingerii unor obiective instructiv-educative dinainte stabilite.

Metoda este o cale eficientă de organizare și de dirijare a predării-învățării, un mod comun de a proceda al profesorului cu elevii săi.

Utilizarea metodelor nu vizează numai asimilarea cunoștințelor care-i permit educatorului să se manifeste ca purtător competent al conținuturilor învățământului și ca organizator al proceselor de predare-învățare, în cursul desfășurării acestora, el poate juca rolul de animator, ghid, evaluator, predarea fiind un aspect al învățării.

“Alături de subiecții care acționează, de obiectivele în numele cărora se duce acțiunea și mijloacele care concură la atingerea lor, metodele constituie un element esențial al oricărei activități educaționale”.

Opțiunea profesorului pentru o anumită metodă de învățământ constituie o decizie de mare complexitate. Alegerea unei metode se face ținând cont de finalitațile educației, de conținutul procesului instructiv, de particularitățile de vârstă și cele individuale ale elevilor, de psihosociologia grupului școlar, de natura mijloacelor de învățământ, de experiența și competența didactică a profesorului.

Orice metodă pedagogică, scrie Gaston Mialaret,“rezultă din intâlnirea mai multor factori și din acest punct de vedere, educația va rămâne mereu o artă: arta de a adapta, la o situație precisă, indicațiile generale date de cărțile de metodologie”.

Procedeul didactic

Metoda didactică include în desfășurarea ei, o suită echivalentă de procedee. Ea se aplică printr-o mulțime de operații concrete, numite procedee.

“Procedeul didactic reprezintă o secvență a metodei, un simplu detaliu, o tehnică mai limitată de acțiune, o componentă sau chiar o particularizare a metodei”. O metodă apare ca un ansamblu corelat de procedee considerate a fi cele mai oportune pentru o situație dată de învățare. Valoarea și eficiența unei metode sunt condiționate de calitatea, adecvarea și congruența procedeelor care o compun. Acestea sunt ordonate, ierarhizate și integrate într-un anume mod de execuție subordonat metodei respective. Ele asigură variație și echilibru, mobilitate și suplețe activității din cursul lecțiilor, previn apariția monotoniei, oboselii, întrețin o stare de bună dispoziție.

A descrie o metodă înseamnă a prezenta o serie de procedee integrate într-un flux unic de acțiune. În cadrul unei metode, procedeele pot varia ca număr și poziție, își pot schimba locul, fără a afecta atingerea scopului urmărit. Între metodă și procedeu relațiile sunt dinamice; metoda poate deveni ea însăși procedeu, iar procedeul poate fi ridicat la rang de metodă, la un moment dat.

Mijloacele de învățământ sunt investite cu un anumit potențial pedagogic, sunt purtătoare de informații și intervin direct în procesul de instruire, sprijinind și amplificând eforturile de predare ale profesorului și cele de învățare ale elevilor.

Instrumentalizarea acțiunilor ce prezidează activitatea didactică vine în întâmpinarea optimizării procesului de învățământ, a redimensionării raportului dintre latura verbalistică și cea acționar-productivă a practicii didactice.

Mijloacele de învățământ facilitează punerea în contact a elevilor cu obiecte și fenomene mai greu accesibile priceperii directe, cu procese intime, cu aspecte ale realității rare sau greu sesizabile. Acestea au nu numai funcție informativă, de facilitare a transmiterii unor cunoștințe, dar dețin și virtuți formative, familiarizându-i pe elevi cu mânuirea, selectarea și semnificarea unor instrumente indispensabile pentru descrierea și înțelegerea a noi aspecte sau dimensiuni ale realității.

5. 2 Tipuri de strategii didactice

Matematica, ca disciplină de bază în dezvoltarea gândirii logico-creatoare a elevilor, impune utilizarea unor strategii didactice care să le formeze deprinderi și capacități necesare în activitatea matematică ulterioară, să-i obișnuiască cu precizia și îndeplinirea sarcinilor ce le revin, cu controlul concluziilor și judecăților.

Invățătorii știu că datorită condițiilor specifice, procesul predării-învățării poate fi rezolvat prin mai multe modalități, rezultând variante strategice, după care se ia decizia realizării uneia. Se pune însă problema ca profesorul să-și perfecționeze continuu pregătirea, să se afirme în domeniul creativității, să fie responsabil de faptele sale, să se autoperfecționeze.

“Strategiile didactice se pot clasifica după criterii diferite:

natura obiectivelor:

strategii cognitive;

strategii afectiv-atitudinale;

strategii acționale;

gradul de dirijare al învățării:

algoritmice;

semialgoritmice;

nealgoritmice ;

logica gândirii:

inductive;

deductive;

transductive;

mixte ;

gradul de generalitate:

generale;

specifice

În adoptarea unei decizii strategice ultimul cuvânt îl are tipul de învățare propus elevilor. În consecință se pot distinge:

1)Strategii de învățare prin receptare:

imitativ;

expozitiv – reproductive (după modele);

explicativ-intuitiv;

algoritmice;

de exersare (exerciții);

de execuție

2) Strategii euristice cu accent pe stimularea eforturilor:

muncă independentă;

de descoperire;

de dirijare;

creative (bazate pe exerciții sau activități creative)

3) Strategii intermediare sau mixte (semidirijate de tipul celor euristice-algoritmice) ‘‘.

Specific predării-învățării matematicii la clasele I–IV sunt:

strategia inductivă;

strategia analogică

Ca tip special de abordare a realității matematice în manieră inductivă profesorii și elevii întreprind experimente asupra situației date, efectuând acțiuni reale cu obiecte fizice sau cu obiecte create de gândire. Pe baza observațiilor făcute, elevii sunt conduși progresiv la conceptualizări (ex: in rezolvarea de probleme care folosesc abordările inductive elevul gândește analitic prin probe și treptat ajunge la o concluzie; acest tip de activitate reprezintă o premiză a raționamentului deductiv de mai târziu).

Strategia analogică are ca temei o primă și esențială caracteristică a gândirii matematice, aceea de a merge intr-o manieră logic-analogică.

Se întâlnesc analogii între noțiuni, între idei, între teoreme, între demonstrații. Punctul de plecare îl constituie faptul că analogia reprezintă forma principală sub care se manifestă procesele de abstracție.

Aplicarea acestor strategii diferențiate și corelate trebuie să constituie obiectivul unor preocupări statornice în activitatea oricărui cadru didactic, invocându-se de fiecare dată o argumentare științifică, motivații de valoare, de calitate și eficiență și nu o construcție a acestora din simple intuiții și improvizații. Decizia strategică îi aparține profesorului ca factor de conducere a procesului de învățământ. El răspunde de calitatea instruirii, a strategiilor puse în acțiune.

Analizate din punct de vedere al caracterului lor, strategiile aplicate în activitatea didactică și educativă cotidiană se încadrează în mai multe categorii, dezvăluind atitudini tot atât de deosebite.

Există profesori care, nu de puține ori acționând în virtutea inerției, utilizează strategii de rutină, bazate pe automatisme rapide, rezultat al unor îndelungate repetiții și stereotipizări care au șablonat pe nesimțite munca lor la catedră. Aceștia au tendința să mențină mereu în actualitate aceleași practici relativ învechite să trateze invariabil, în aceleași maniere, problemele didactice curente, să folosească aceleași combinații de metode, procedee, mijloace, adeseori inadecvate unor situații noi.

Alte cadre didactice beneficiind de o experiență la catedră, își bazează cu ingeniozitate alegerea strategiilor pe complexe de deprinderi ca moduri mai generale și mai simple de abordare a predării. Asemenea strategii devin ușor aplicabile în situații de învățare noi, au un caracter generalizat, răspund unor categorii largi și mereu perfecționate.

Se pot distinge și strategii novatoare, creative, elaborate cu măiestrie de însăși cei care predau, cei pentru care strategiile cunoscute nu dau nici o soluție precisă. Fundamentul strategiei novatoare rezidă în înlăturarea a ceea ce este vechi, depășit, în crearea unui nou tip de activitate.

Un bun profesor, trebuie să dea frâu gândirii și imaginației sale creatoare, adoptând strategii novatoare, în sensul dezvoltării unor moduri noi de abordare a predării, sau găsirea unor modalități noi de organizare și combinarea resurselor și metodologiilor de instruire, dacă nu chiar de experimentare a unor noi metode și procedee.

Procesul instructiv – modelat după strategiile problematizării formează la elevi mai multe tipuri de explorare și cunoaștere corespunzătoare și contribuie la dezvoltarea inteligenței și creativității.

In activitatea de rezolvare a problemelor elevii învață anumite strategii sau moduri de a gândi. Aceasta poate fi concepută ca o activitate în cadrul căreia prin transformarea strategiilor generale în strategii speciale, are loc o căutare secvențială, o prelucrare și o confruntare a informațiilor din spațiul problematic. Examinând o problemă oarecare, noi o reformulăm și reformulând-o, noi o rezolvăm; astfel procedeul rezolvării problemelor ne apare ca un șir de reformulări până la găsirea soluției.

“Când cercetăm strategiile reale pe baza cărora omul construiește rezolvări, constatăm că ele nu sunt nici pur standardizate, nici pur euristice. De obicei aceste metode se împletesc între ele se înlănțuie astfel încât numai în cazul unui anumit fel de probleme, putem vorbi de o căutare cu precădere standardizată sau euristică”.

A rezolva o problemă înseamnă a găsi o secvență de operații care transformă situația – scop. În acest sens se aplică descoperirea problemelor complexe în subprobleme și abordarea spre rezolvare a subproblemelor cu cel mai mic număr de necunoscute.

Cele mai eficiente rezultate în însușirea cunoștințelor de matematică se pot obține într-un cadru problematic, într-o atmosferă menită să activeze gândirea și celelalte funcții de cunoaștere, să susțină interesul și curiozitatea în studiu a elevilor și să le dezvolte spiritul critic.

O contribuție deosebită în îmbunătățirea strategiilor de învățare și-o aduc profesorii prin folosirea în cadrul orelor de curs a celor mai eficiente metode si procedee, dar și prin activizarea elevilor pentru a le spori interesul și motivația. Ei trebuie să fie receptivi la ceea ce le place elevilor, la ceea ce pot și vor realiza, valorificând prin activitate posibilitățile și dorințele lor, satisfăcându-le interesele.

Prin depunere de eforturi, prin perseverarea și angajarea într-o activitate susținută elevul își va mobiliza toate forțele și va da tot ce poate, dar pentru aceasta trebuie să-l ajutăm, să-l dirijăm, să-i provocăm succesul, să știe să-și aprecieze rezultatele sale. Realizarea acestor deziderate depinde de strategia acțiunii didactice, de metodele și formele organizării procesului de învățământ, de tactul pedagogic al profesorului.

5.3. Strategii didactice utilizate în învățarea matematicii

Majoritatea specialiștilor în didactica matematicii consideră că strategiile didactice utile învățării matematicii sunt acelea care vizează dominant sprijinirea înțelegerii, a identificării semnificațiilor, dezvoltarea capacităților rezolutive, stimularea capacităților creative, formarea și dezvoltarea capacităților de conceptualizare prin învățare spontană, dar mai ales dirijată. Didactica matematicii tradițională agumentează ideea că sarcinile instruirii matematice a elevilor din învățământul preuniversitar, indiferent de nivel, coincid în mare măsură cu sarcinile educației intelectuale. Conform teoriei stiințelor psihopedagogice, educația intelectuală necesită dezvoltarea:

capacităților de înțelegere

capacităților de conceptualizare

capacităților rezolutive și creative

La acestea, actualele orientări pedagogice adaugă:

dezvoltarea intereselor pentru cunoaștere

inițierea elevilor în tehnicile de cercetare/muncă intelectuală

formarea unei concepții realiste despre lume și viață

Priceperile și deprinderile de muncă intelectuală presupun formarea și dezoltarea acelor competențe pe care trebuie să le dobândească elevii pentru a fi capabili să înțeleagă singuri noțiunile, conceptele, fenomenele, sau experiențele pe care le învață, studiază, sau cercetează. Cunoștințele au valoare numai când sunt utile și înțelese conceptual, iar succesul integrării sociale este al celor care analizează critic informația și își construiesc propriile realități.

Concluziile studiilor în domeniu dovedesc faptul că activitățile instructive cu cea mai bună rată de memorare și asimilare sunt cele în care elevii:

aplică în mod activ ceea ce au învățat

sunt solicitați să își formeze construcții mentale

sunt implicați în sarcini de lucru de ordin înalt (conform taxonomiei lui Bloom)

sunt antrenați să proceseze informația cu ambele zone ale creierului și să exerseze mai multe stiluri de învățare

Pentru diagnoza și analiza eficienței celor mai utilizate strategii în învățarea matematicii trebuie avute în vedere sarcinile care facilitează atingerea obiectivelor de referință/competențelor specifice ale instrurii matematice pentru fiecare ciclu de învățamânt preuniversitar:

dezvoltarea capacității de a gestiona informații matematice (definiții, enunțuri, noțiuni și concepte care au o largă aplicabilitate în învățare și constituie elementele de bază ale structurii cognitive a elevului)

dobândirea deprinderii de utilizare a conceptelor și regulilor (care în procesul învățării constituie însușirea strategiilor rezolutive simple)

dezvoltarea deprinderii de argumentare logică și demonstare, de analiză și sinteză a datelor (care constituie interconexiunea între strategiile cognitive și cele rezolutive, adică metodica specifică rezolvării problemelor)

cultivarea unei atitudini pozitive față de propriul progres în învățarea matematicii

Plecând de la criterii metodice, sarcini ale instruirii și obiective generale ale disciplinei, R. M. Gagné a argumentat că indiferent de nivelul de sudiu al învățamântului preuniversitar, cele mai folosite tipuri de strategii specifice activităților de învățare a matematicii sunt:

strategii euristice de predare-învățare

strategii pentru dezvoltarea capacităților rezolutive

strategii de ințiere a elevilor în operații specifice procesului rezolutiv

strategii de formare a unor deprinderi de lucru utile în rezolvarea de probleme

strategii de progres a contribuției presonale a elevilor în rezolvarea problemelor

strategii de antrenare progresivă a elevilor în rezolvarea problemelor dificile

strategii de stimulare a creativității elevilor

Strategiile euristice de predare-învățare au ca efect asupra elevilor stimularea operațiilor gândirii, judecăților, raționamentelor logice, conexiunilor mentale de explorare și conduc la descoperirea informației prin învățare activă, conștientă. Utilizarea constantă de către profesor a strategiilor euristice în proiectarea procesului didactic asigură în mod natural transferul de la învățământul tradițional, centrat pe activitatea cadrului didactic și transmiterea informației, la învățământul modern, centrat pe implicarea activă a elevului în demersul de predare-învățare.

În didactica actuală, utilizarea eficientă a strategiilor euristice de predare-învățare presupune mai mult decât cunoașterea simplei metode a conversației euristice. Aplicarea în sala de clasă a strategiilor euristice de predare-învățare necesită dezvoltarea abilităților de abordare în colaborarea cu elevii, a unei serii bogate de metode cu ajutorul cărora care să se realizeze atât simbioza intercondiționării celor două componente: strategii de predare și strategii de învățare, cât și contextul optim în care elevii să dobândească cunoașterea, informația.

Strategiile de predare gândite și alese de profesor pentru derularea demersului didactic trebuie să genereze în sala de clasă condițiile, starea, atmosfera în care toți elevii să beneficieze de strategiile de învățare, sau, mai mult, să reușească să își construiască propriile strategii de cunoaștere.

Pentru ca strategiile de predare să conducă cu certitudine la realizarea situațiilor optime în care elevii să ajungă la cunoaștere și să își dezvolte competențele este esențial să fie alese cele mai potrivite metode și procedee euristice. Ideal este ca proiectarea instruirii să vizeze realizarea acelor situații de învățare în care: dirijat, elevul învață; semidirijat, își formează strategii de învățare a noului material; independent, își elaborează strategii rezolutive sau chiar strategii de autodirijare și control a propriei gândiri.

Metoda euristică este definită în literatura de specialitate ca fiind calea specifică de rezolvare a unei probleme cu caracter general. Structura metodei euristice include mai multe procedee care practic sunt detalieri ale metodei, cu aplicabilitate restrânsă la diversele secvențe de învățare.

Procedeele euristice sunt mecanisme ale gândirii care sugerează și stimulează generarea de conexiuni între cunoștinte însușite și experiențe trăite, conexiuni necesare rezolvării și care permit identificarea căii optime de rezolvare a problemei.

În procesul de învățare a matematicii centrat pe elev, strategiile didactice interactive oferă soluții structural-procesuale, dar și metodologice, prin modul particular de combinare a diferitelor metode, procedee, mijloace didactice și forme de organizare specifice.

Strategiile inductive sunt bazate pe un proces de abordare a conceptelor matematice de la particular la general. Prin observare dirijată și acțiune, elevii dobândesc treptat capacitatea de a generaliza. Acest tip de învățare constituie premisa pentru raționamentele de tip deductiv de mai târziu. Îmbinarea învățării inductive cu cea deductivă realizează fundamentul logic al instrucției, întrucât ambele forme de raționament sunt prezente în activitatea cognitivă a elevului, în toate situațiile de învățare. În procesul de învățare a matematicii, învățarea deductivă și cea inductivă se sprijină pe metodele verbale și intuitive. Învățarea inductivă facilitează organizarea percepțiilor și creează premise pentru descoperirea de către elev a elementelor invariante cu care operează. Prin comparații și clasificări, elevii învață să identifice caracteristici ale unor clase de concepte, să parcurgă drumul de la concret la abstract, să utilizeze reprezentări simbolice și să utilizeze limbajul matematic.

Strategiile analogice se sprijină pe calitatea gândirii de a crea analogii, ca formă de manifestare a procesului de abstractizare în învățarea matematicii. Odată stabilite obiectivele de referință/competențe specifice și conținutul învățării din cadrul unei unități de învățare, cadrul didactic alege activitățile de învățare adecvate pentru realizarea obiectivelor de referință, identifică strategiile și modalitățile de evaluare a învățării.

În învățarea matematicii, strategia didactică trebuie să încorporeze o suită de metode, procedee și tehnici ordonate logic și selectate pe criteriul eficienței pedagogice. Eficiența unei metode este dată de calitatea acesteia de a declanșa un act de învățare și de gândire prin acțiune, de măsura în care metoda determină și favorizează reprezentări specifice etapelor de formare a conceptelor matematice într-un demers didactic adaptat elevilor. Din acest motiv, învățarea matematicii impune reconsiderarea metodelor și folosirea strategiilor care pun accentul pe formarea de deprinderi și dobândirea de abilități prin acțiune.

Proiectarea unei situații de învățare pe criterii de calitate și eficiență necesită identificarea oportunităților adecvate printre elementele specifice prefigurării strategiei didactice la matematică:

Pentru aprofundare:

Plecând de la experiența personală dați câte un exemplu de strategii care:

facilitează transferarea priceperilor și cunoștințelor dobândite de elevi în afara școlii la contexte formale de învățare a matematicii

asigură valorificarea priceperilor, cunoștințelor sau competențelor dobândite de elevi în orele de matematică în situații practice de viață din afara școlii

Exercițiu de reflecție:

Pentru vinderea unui produs, negustorii adoptă diverse strategii: campanii publicitare, prezentări ale produselor etc.

Stabiliți care sunt strategiile pe care le adoptați dvs. pentru motivarea elevilor.

5.4. Metode de învățare utilizate la matematică

Eficiența unei metode depinde de modul în care declanșează la copil actele de învățare și de gândire prin acțiune, de măsura în care determină și favorizează reprezentările specifice unei anumite etape de formare a noțiunii.

Metodele au calități ce exersează și elaborează funcțiile psihice și fizice ale copilului și conduc la formarea unor noi deprinderi intelectuale, aptitudini, atitudini, capacități și comportamente.

Literatura pedagogică oferă variante de clasificare a metodelor de învățământ dar, luând în considerare specificul activităților matematice în învățământul primar, considerăm utilă următoarea clasificare având drept criterii:

1. Scopul didactic urmărit.

Metodele de învățământ se clasifică în:

• metode de dobândire a cunoștințelor;

• metode de formare și consolidare de priceperi și deprinderi;

• metode de sistematizare și verificare.

Această formă de clasificare stă la baza alegerii sistemului de metode în funcție de tipul de activitate matematică.

2.Dezvoltarea bazei senzoriale de cunoaștere și de familiarizare cu forme de gândire matematică și logică, bazate pe activitatea concretă a copilului.

Ținând cont că acțiunea cu obiectele declanșează actul intelectual, metodele se pot clasifica în:

• metode intuitive (concret senzoriale)

Copilul observă obiectele, recepționează și acumulează percepții și reprezentări, realizând o cunoaștere intuitivă;

• metode active

Elevul acționează cu obiectele, însușindu-și treptat și nuanțat reprezentări;

• metode verbale

Elevul ajunge la cunoaștere prin intermediul cuvântului.

Din considerațiile anterioare apare evident că metodele verbale devin procedee eficiente de realizare a metodelor intuitive și active, iar cele intuitive devin procedee pentru metodele active. Uneori, metodele active devin ele însele procedee pentru alte metode active (elementul de joc susține și realizează exercițiul).

În cele ce urmează, prezentăm pe scurt unele metode utlizate mai des în activitățile de învățare a matematicii în învățământulk primar.

Explicația – metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferind un model descriptiv la nivelul relațiilor.

Pentru a fi eficientă, explicația, ca metodă de învățământ specifică în cadrul activităților matematice trebuie să aibă următoarele caracteristici:

• să favorizeze înțelegerea unui aspect din realitate;

• să justifice o idee pe bază de argumente, adresându-se direct rațiunii, antrenând operațiile gândirii (analiza, clasificarea, discriminarea);

• să înlesnească dobândirea de cunoștințe, a unor tehnici de acțiune;

• să respecte rigurozitatea logică a cunoștințelor adaptate pe nivel de vârstă;

• să aibă un rol concluziv, dar și anticipativ;

• să influențeze pozitiv resursele afectiv-emoționale ale copiilor.

În utilizarea eficientă a acestei metode se cer respectate următoarele cerințe:

• să fie precisă, concentrând atenția copiilor asupra unui anume aspect;

• să fie corectă din punct de vedere matematic;

• să fie accesibilă, adică adaptată nivelului experienței lingvistice și cognitive a copiilor;

• să fie concisă.

Dacă explicația, ca metodă, este corect aplicată, ea își pune în valoare caracteristicile, iar copiii găsesc în explicație un model de raționament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situații-problemă, și astfel ei înțeleg mai bine ideile ce li se comunică.

La nivelul activităților matematice, explicația este folosită atât de profesor, cât și de copii:

Profesorul:

• explică procedeul de lucru;

• explică termenii matematici prin care se verbalizează acțiunea;

• explică modul de utilizare a mijloacelor didactice;

• explică reguli de joc și sarcini de lucru.

Elevul:

• explică modul în care a acționat (motivează);

• explică soluțiile găsite în rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic.

Explicația însoțește întotdeauna demonstrația și o susține. În cursul explicației se pot face întreruperi, cu scopul de a formula și adresa întrebări copiilor, prin care să se testeze gradul de receptare și înțelegere a celor explicate, dar întreruperile trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu rupe firul logic al demersului susținut.

Metoda explicației se regăsește în secvențele didactice ale diverselor tipuri de activități.

Demonstrația – este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării.

Demonstrația este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică noutatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Ca metodă intuitivă, ea este dominantă în activitățile de dobândire de cunoștințe și valorifică caracterul activ, concret senzorial al percepției copilului. O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și explicate de profesor. Nivelul de cunoștințe al copiilor și vârsta acestora determină raportul optim dintre demonstrație și explicație. Eficiența demonstrației, ca metodă, este sporită dacă sunt respectate anumite cerințe de ordin psihopedagogic:

• demonstrația trebuie să se sprijine pe diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realității, în măsură să reprezinte o susținere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a copilului, noțiunile fiind prezentate în mod intuitiv prin experiențe concret-senzoriale;

• demonstrația trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învățare a unei noțiuni sau acțiuni;

• demonstrația trebuie să păstreze proporția corectă în raport cu explicația, funcție de scopul urmărit;

• demonstrația trebuie să favorizeze învățarea prin crearea motivației specifice (trezirea interesului).

Demonstrația, ca metodă specifică învățării matematicii la vârsta preșcolară, valorifică funcțiile pedagogice ale materialului didactic. Astfel, demonstrația se poate face cu:

Material concret intuitiv (obiecte) – specific pentru clasa pregătitoare și pentru începutul clasei I, folosindu-se în activitățile de dobândire de cunoștințe, dar și în activități de consolidare și verificare. La acest nivel de vârstă, demonstrația cu acest tip de material didactic contribuie la formarea reprezentărilor corecte despre mulțimi, submulțimi, corespondență, număr.

Material didactic structurat. Materialul confecționat va fi demonstrativ (al profesorului) și distributiv (al elevilor), favorizând transferul de la acțiunea obiectuală la reflectarea în plan mental a reprezentării.

Contactul senzorial cu materialul didactic structurat favorizează atât latura formativă, cât și pe cea informativă a învățării perceptive. Acest material didactic trebuie să respecte cerințe pedagogice ca:

adaptare la scop și obiective;

să asigure perceperea prin cât mai mulți analizatori:

formă stilizată;

culoare corectă (conform realității);

dimensiune adaptată necesităților cerute de demonstrație;

funcționalitate (ușor de manipulat).

Reprezentări iconice. Integrarea reprezentărilor iconice în demonstrație realizează saltul din planul acțiunii obiectuale (fază concretă, semiabstractă) în planul simbolic. Obiectul, ca element al mulțimii, va fi prezentat pentru început prin imaginea sa desenată, figurativ, pentru ca ulterior să fie reprezentat iconic (simbolic).

Există și o formă aparte a demonstrației, care își datorează separarea de celelalte sprijinirii ei pe mijloace tehnice. Motivarea folosirii mijloacelor tehnice este susținută de argumentele următoare:

– redau realitatea cu mare fidelitate, atât în plan sonor, cât și în plan vizual;

– pot surprinde aspecte care pe altă cale ar fi imposibil sau cel puțin foarte greu de redat;

– ele permit reluarea rapidă, ori de câte ori este nevoie;

– datorită ineditului pe care îl conțin și chiar aspectului estetic pe care îl implică, ele sunt mai atractive pentru elevi și mai productive.

Cerințele pe care le implică sunt: organizarea specială a spațiului de desfășurare – alegerea judicioasă a momentului utilizării lor pentru a nu bruia activitatea elevului – pregătirea pentru utilizarea și întreținerea în stare funcțională a dispozitivelor, materialelor, aparaturii cuprinse în acest demers.

Conversația – metodă de instruire cu ajutorul întrebărilor și răspunsurilor în scopul realizării unor sarcini și situații de învățare.

În raport cu obiectivele urmărite și cu tipul de activitate în care este integrată, conversația, ca metodă, are următoarele funcții:

• euristică, de valorificare a cunoștințelor anterioare ale copiilor pe o nouă treaptă de cunoaștere (conversație de tip euristic);

• de clarificare, de aprofundare a cunoștințelor (conversația de aprofundare);

• de consolidare și sistematizare (conversația de consolidare);

• de verificare sau control (conversația de verificare).

Mecanismul conversației constă într-o succesiune logică de întrebări. Întrebările trebuie să păstreze o proporție corectă între cele de tip reproductiv-cognitiv (care este, ce este, cine, când) și productiv-cognitive (în ce scop, cât, din ce cauză).

Ca metodă verbală, conversația contribuie operațional la realizarea obiectivelor urmărite, iar întrebările constituie instrumentul metodei ce trebuie să satisfacă următoarele cerințe:

• să respecte succesiunea logică a sarcinilor de învățare;

• să stimuleze gândirea copilului orientând atenția spre elementele importante, dar neglijate, ale unei situații-problemă;

• să ajute copiii în a-și valorifica și reorganiza propriile cunoștințe, pentru a ajunge la noi structuri cognitive prin întrebări ajutătoare, necesare rezolvării unor situații problematice;

• să fie clare, corecte, precise;

• să nu sugereze răspunsurile;

• să nu supraestimeze capacitatea de explorare a copiilor, respectând principiul pașilor mici.

Răspunsurile copiilor trebuie să fie:

• complete, să satisfacă cerințele cuprinse în întrebare;

• să dovedească înțelegerea cunoștințelor matematice, să fie motivate;

• să fie formulate independent.

Profesorul trebuie să creeze cât mai multe situații generatoare de întrebări și căutări, să dea posibilitatea copilului de a face o selecție a posibilităților de lucru, să recurgă la întrebări-problemă, să-i încurajeze pentru a formula ei înșiși întrebări, să pună probleme. Întrebările de tipul: Ce ai aici?, Ce ai făcut?, De ce? pun copiii în situația de a motiva acțiunea și astfel limbajul relevă conținutul matematic al acțiunii obiectuale și se realizează schimbul de idei.

În cazul conversației de consolidare, răspunsul vizează adaptarea la o situație problematică și presupune o elaborare mentală sau practică. Profesorul trebuie să acorde timpul necesar pentru formularea răspunsului sau pentru acțiune, acceptând chiar anumite greșeli, ce vor fi corectate după formularea răspunsurilor. În cazul răspunsurilor incorecte se va recurge la activitatea diferențiată.

O atenție deosebită se va acorda întăririi pozitive a răspunsului, nefiind recomandate metodele de dezaprobare totală care au efect descurajator.

Conversația euristică este concepută astfel încât să conducă la descoperirea a ceva nou pentru elev. Un alt nume al acestei metode este conversația socratică.

Aceasta metodă constă în serii legate de întrebări și răspunsuri, la finele cărora să rezulte, ca o concluzie, adevărul sau noutatea pentru elevul antrenat în procesul învățării. Ea este condiționată de experiența elevului care să-i permită să dea răspunsuri la întrebările ce i se pun.

Conversația (dialogul) profesor-elevi este considerată ca una dintre cele mai active și mai eficiente modalități de instrucție și educație.

Pedagogii contemporani caută să îmbunătățească această metodă prin perfecționarea întrebărilor. Tipuri diferite de întrebări, sub raportul conținutului și al formulării lor, orientează diferențiat și solicită la diferite nivele activitățile mintale. Întrebărilor cu funcție reproductivă sau reproductiv-cognitive trebuie să le ia locul întrebărilor productiv-cognitive de tipul: de ce?, cum?.

Didactica actuală preconizează o mai frecventă utilizare a problemelor (întrebărilor) convergente (care îndeamnă la analize, comparații), divergente (care exersează gândirea pe căi originale), precum și a întrebărilor de evaluare (care solicită elevilor judecăți proprii).

Metoda observării (observația) – constă din urmărirea sistematică de către elev a obiectelor și fenomenelor ce constituie conținutul învățării, în scopul surprinderii însușirilor semnificative ale acestora.

Funcția metodei nu este în primul rând una informativă, ci mai accentuată apare cea formativă, adică de introducere a elevului în cercetarea științifică pe o cale simplă.

Dacă întâi elevul doar recunoaște, descrie, analizează, progresiv, el trebuie învățat să explice cauzele, să interpreteze datele observate, să reprezinte grafic rezultatele, să arate dacă corespund sau nu cu unele idei, să le aplice și în alte situații, create prin analogie. Elevul trebuie să-și noteze, să-și formuleze întrebări, deci să aibă un caiet de observație, putând face ușor transferul la caietul de studiu.

Observația științifică însoțită de experiment atinge cote maxime în învățarea matematicii.

Observația este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar.

Formularea unui scop în observație impune sarcina de a dirija atenția copilului spre sesizarea unor elemente esențiale, astfel încât, treptat, reprezentările să se structureze, să se clarifice și să se fixeze. Prin scop este concentrată atenția copilului spre observarea unor anumite elemente și sunt activizate mecanisme discriminative.

Observația, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoașterii, asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte și însușirile caracteristice ale acestora. Îmbogățirea bazei senzoriale a copilului se realizează în mare măsură prin observație dirijată, copilul învață prin explorare perceptivă, ce depinde în mare măsură de calitatea observației.

Calitatea observației poate fi sporită prin respectarea următoarelor condiții:

• organizarea unor condiții materiale propice observației;

• acordarea timpului necesar pentru observație;

• dirijarea prin cuvânt (explicație, conversație);

• acordarea libertății de a pune întrebări în timpul observației;

• valorificarea cunoștințelor obținute prin observație;

• reluarea observării însoțite de explicații, de câte ori se impune.

Observația, ca metodă, apare însoțită de explicație, ultima fiind elementul de dirijare a observației spre scopul propus.

Explicația, ca procedeu, are un rol deosebit în cadrul observației, datorită faptului că prin intermediul cuvântului:

• se stabilește scopul observației;

• sunt actualizate cunoștințe și integrate în cadrul observativ;

• se explorează câmpul perceptiv, scoțându-se în evidență elementele semnificative;

• se fixează și se valorifică rezultatele observației în activitatea (acțiunea) ce asigură integrarea percepției;

• se introduc simbolurile verbale specifice limbajului matematic, cu asigurarea unui raport corect între rigoare științifică și accesibilitate.

Aceste aspecte ale limbajului constituie și elemente de continuitate între ciclurile de învățământ preșcolar și primar și conduc la înțelegerea corectă a unor noțiuni. Din aceste considerente, este necesar să se țină cont de importanța utilizării unui limbaj corect în cadrul explicației ce însoțește observația.

Funcție de nivelul de vârstă și de tipul de activitate, observația dirijată se regăsește în diferite secvențe ale demersului didactic.

Exercițiul – este o metodă ce are la bază acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, al automatizării și interiorizării unor modalități de lucru de natură motrice sau mentală.

Prin acțiune exersată repetat, conștient și sistematic, copilul dobândește o îndemânare, o deprindere, iar folosirea ei în condiții variate transformă deprinderea în pricepere. Ansamblul deprinderilor și priceperilor, dobândite și exersate prin exerciții în cadrul activităților matematice, conduce la automatizarea și interiorizarea lor, transformându-le treptat în abilități.

La nivelul activităților matematice din grădiniță, abilitățile se dobândesc prin acțiunea directă cu obiecte și exersează potențialul senzorial și perceptiv al copilului.

O acțiune poate fi considerată exercițiu numai în condițiile în care păstrează un caracter algoritmic. Ea se finalizează cu formarea unor componente automatizate, a unor abilități deci, ce vor putea fi aplicate în rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de complexitate.

Pentru ca un ansamblu de exerciții să conducă la formarea unor abilități, acesta trebuie să asigure copilului parcurgerea următoarelor etape:

• familiarizarea cu acțiunea în ansamblul ei, prin demonstrație și aplicații inițiale;

• familiarizarea cu elementele componente ale deprinderii (prin descompunerea și efectuarea pe părți a acțiunii);

• unificarea acestor elemente într-un tot, asigurând organizarea sistemului;

• reglarea și autocontrolul efectuării operațiilor;

• automatizarea și perfectarea acțiunii, dobândirea abilității.

Cunoașterea și respectarea acestor etape de către profesor favorizează:

• consolidarea cunoștințelor și deprinderilor anterioare;

• amplificarea capacităților operatorii ale achizițiilor prin aplicarea în situații noi;

• realizarea obiectivelor asociate.

Pentru a asigura formarea de abilități matematice, ca finalități ale disciplinei, exercițiul trebuie să fie integrat într-un sistem, atât la nivelul unei abilități, dar și la nivel de unitate didactică.

Conceperea, organizarea și proiectarea unui sistem de exerciții în scopul dobândirii unei abilități trebuie să asigure valorificarea funcțiilor exercițiului:

• formarea deprinderilor prin acțiuni corect elaborate și consolidate;

• adâncirea înțelegerii noțiunilor prin exersare în situații noi;

• dezvoltarea operațiilor mentale și constituirea lor în structuri operaționale;

• sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor și transformarea lor în abilități (operaționalizarea achizițiilor).

În cadrul activităților matematice, sistemul de exerciții vizează, pentru început, capacitatea de reproducere a achizițiilor. Odată dobândite, abilitățile asigură prin exersare caracterele reversibil și asociativ ale operației, iar exercițiul devine astfel operațional.

În conceperea unui sistem eficient de exerciții, profesorul trebuie să țină cont de următoarele condiții psiho-pedagogice, subordonate etapelor de formare a abilităților:

• asigurarea succesiunii sistemice a exercițiilor, respectând etapele de formare a unei noțiuni;

• succesiunea progresivă prin eșalonarea lor după gradul de dificultate;

• aplicarea diferențiată a exercițiilor, funcție de particularitățile capacităților de învățare;

• varietatea exercițiilor prin schimbarea formei, a modului de execuție sau a materialului didactic;

• creșterea treptată a gradului de independență a copiilor în executarea exercițiilor (de la exercițiul de imitație dirijat, la exercițiul de exemplificare semidirijat și independent);

• repartizarea în timp a exercițiilor, în scopul sporirii eficienței învățării;

• asigurarea unei alternanțe raționale între exercițiile motrice și cele mentale, funcție de nivelul de vârstă și scopul urmărit.

Sistemul de exerciții nu-și poate atinge scopul formativ fără a acorda atenția cuvenită desfășurării exercițiilor ce formează ansamblul. Din acest motiv, este util pentru cadrul didactic să rețină câteva aspecte pentru organizarea situațiilor și sarcinilor de învățare.

El trebuie

• să cunoască bine structura, valoarea și limitele exercițiului de executat;

• să motiveze corect efectuarea repetată a unor exerciții, precum și performanțele de atins;

• să explice și să demonstreze modelul acțiunii;

• să creeze situații cât mai variate de exersare;

• să aibă în vedere o ordonare a exercițiilor, după complexitate și grad de dificultate;

• să îmbine procedeul execuției globale cu cel al fragmentării;

• să impună (precizeze) un ritm optim de acțiune, cu unele verificări imediate, ca și crearea unor posibilități de autocontrol.

După funcțiile pe care le îndeplinesc în formarea deprinderilor, exercițiile sunt imitative (domină funcția normativă și cea operațională) și de exemplificare (funcțiile cognitivă și formativă).

Exercițiile de imitare. Orice exercițiu nou din cadrul unui sistem de exerciții este, pentru început, de tip imitativ. Copiii imită, luând ca model exercițiul profesorului, sunt îndrumați și corectați spre a evita greșelile și procedeele incorecte. Profesorul urmărește modul de îndeplinire a sarcinilor, insistă asupra fazelor și a succesiunii etapelor exercițiului, urmărind modul cum copiii aplică îndrumările date.

Exercițiile de exemplificare (de bază) asigură consolidarea unei deprinderi (priceperi, abilități matematice) și se regăsesc sub forma repetărilor succesive pe care le realizează copiii, căutând să se apropie de model.

Exercițiul se poate folosi în scopul de a consolida cunoștințele însușite anterior, de a forma priceperi și deprinderi, cât și pentru a dezvolta capacitățile creatoare.

Exercițiile pot fi de trei feluri: de antrenament; de bază; paralele.

De exemplu, pentru însușirea adunării cu trecere peste ordin a numerelor formate din zeci și unități, după ce am demonstrat cu material intuitiv, după ce am făcut exercițiile de calcul oral, vom trece la exercițiile de calcul scris. Vom propune spre rezolvare exerciții cu adunări, vom realiza evaluarea, observând în acest mod elevii care au greșit: acestea sunt exerciții de antrenament sau introductive. După ce suntem convinși că toți elevii au înțeles procedeul, vom da elevilor exerciții numeroase pentru formarea deprinderilor de calcul.

Pentru menținerea acestor deprinderi, atunci când se trece mai departe la scăderea numerelor naturale formate din zeci și unități se vor da, pe lângă exerciții de scădere, și exerciții de adunare, sau exerciții de efectuare a probei prin operația inversă. Acestea sunt modele de exerciții paralele.

Treptat, prin intermediul metodei exercițiului, elevii trebuie să treacă de la o activitate imitativă spre o activitate creatoare.

Lucrul cu manualul – este o metodă didactică în cadrul căreia învățarea are ca sursă esențială și ca instrument de formare a elevului cartea școlară sau alte surse similare. Finalitatea ei este dublă:

– dobândirea de către elevi a fondului perceptiv necesar înțelegerii;

– capacitatea deprinderii de a utiliza cartea;

Lucrările de didactică o prezintă ca pe o metodă de bază de învățare în clasele mici. Totuși apariția manualelor alternative a dus la diminuarea lucrului cu manualul și utilizarea mai frecventă a surselor similare.

Lucrul cu cartea capătă valențe active mai ales în etapa dobândirii cunoștințelor, în inițierea în studiu independent, în documentație, ca punct de plecare în viitoarea cercetare. La matematică lucrul cu cartea dă rezultate bune în aprofundarea, repetarea și sistematizarea cunoștințelor.

Problematizarea reprezintă una dintre cele mai utile metode, prin potențialul ei euristic și activizator. Se face o distincție foarte clară între conceptul de „problemă” și de conceptul de „situație – problemă” implicat în metoda problematizării. Primul vizează problema și rezolvarea acesteia din punctul de vedere al aplicării, verificării unor reguli învățate, al unor algoritmi ce pot fi utilizați în rezolvare.

O situație-problemă desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități: experiența anterioară, cognitiv-emoțională și elementul de noutate, necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Acest conflict incită la căutare și descoperire, la intuirea unor soluții noi, a unor relații aparent inexistente între ceea ce este cunoscut și ceea ce este nou pentru subiect. O întrebare devine situație-problemă atunci când se declanșează curiozitatea, tendința de căutare, de depășire a obstacolelor. În problematizare, cea mai importantă este crearea situațiilor problematice și mai puțin punerea unor întrebări.

Problematizarea trebuie înțeleasă ca fiind o modalitate instructivă prin care se recurge la cunoașterea realității, constituind forma pedagogică prin care stimulăm elevul să participe conștient și intensiv la autodezvoltarea sa pe baza unei probleme propuse și o nouă experiență care tinde să restructureze vechea sa experiență.

O problemă trebuie să dezvolte o atitudine creatoare. Creativitatea ca găsire a unei soluții noi, originale, implică o situație problematizantă și se cultivă pe terenul conflictual al acesteia asigurând flexibilitatea gândirii. Lipsa de încurajare, de apreciere a efortului, pot curma o gândire creatoare.

O problemă sau o situație problemă nu trebuie confundată cu conversația euristică, unde elevul este pus în situația de a da un răspuns, cu un efort relativ ușor, la o întrebare care-i direcționează procesele de cunoaștere. Scopul întrebării de tip euristic în problematizare este de a deschide calea pentru rezolvarea altor probleme mai simple, ca trepte în soluționarea problemei centrale.

În orice situație problematică, în general, se disting două elemente principale: primul – o scurtă informație care-l pune pe elev în temă și al doilea –întrebarea care provoacă dificultatea de rezolvare, antrenând capacitatea de reflexie.

Etape posibile în abordarea unei situații-problemă:

definirea punctului de plecare și a scopului urmărit;

punerea problemei prin cunoașterea profundă a situației de plecare și selectarea informației;

organizarea informației;

transformarea informației pe calea raționamentului, inducției și deducției, a intuiției și analogiei, inclusiv a utilizării și a altor procedee para-logice în vederea identificării soluțiilor posibile;

luarea deciziilor – opțiunea pentru soluția optimă;

verificarea soluției alese și a rezultatelor.

Problematizarea are o deosebită valoare formativă:

se consolidează structuri cognitive;

se stimulează spiritul de explorare;

se formează un stil activ de muncă;

se cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii.

Utilizarea acestei metode presupune o antrenare plenară a personalității elevilor, a componentelor intelectuale, afective și voliționale.

Problematizarea este atributul activ al învățământului și constă în a transforma actul instructiv dintr-un act de receptare relativ pasiv a cunoștințelor, într-un act de permanentă căutare, prin cunoștințe și cunoaștere a unui răspuns la o întrebare. Prin aplicarea acestei metode elevul participă conștient și activ la autodezvoltarea sa pe bază de cunoaștere dobândită și o nouă experiență care tinde să restructureze și să-i dezvolte capacitatea cognitivă.

Dezvoltarea potențialului de gândire și creativitate se realizează prin activități care solicită independență, originalitate. De aceea, trebuie să fim receptivi la ceea ce interesează și place copiilor, la ceea ce vor și pot realiza, valorificând în activitate toate capacitățile lor, satisfăcându-le interesele.

Învățarea pe bază de probleme presupune ca profesorul să le relateze și să le folosească, în clasă, fie ca punct de plecare în trezirea interesului pentru dobândirea cunoștințelor, fie ca punct de punere în valoare a informației elevilor prin noi combinări sau restructurări, în vederea elaborării de noi concepte.

Exemplu: Elevii vor fi puși în situația de a găsi mai multe variante de compunere/ descompunere a unui număr, având ca sarcină de distribuit 9 elemente în două mulțimi.

? + ? = 9

2 7

9

Se pot folosi, de asemenea, probleme care-i obligă pe elevi să construiască ipoteze și să încerce soluții pe baza ipotezelor.

Exemplu: Costel are 8 mere și 7 pere. Dintre acestea el îi dă fratelui său 3 fructe.

Câte mere și câte pere îi rămân lui Costel de fiecare dată?

Elevii pot găsi soluții variate folosindu-se de următorul tabel:

Predarea problematizată presupune un ansamblu de activități desfășurate pentru formularea de probleme propuse spre rezolvare elevilor, cu acordarea unui ajutor minim și coordonarea procesului de găsire a soluției, de fixare, sistematizare și aplicare a noilor achiziții inclusiv în rezolvarea altor probleme. Metoda poate fi utilizată în predarea unor tehnici de rezolvare a problemelor la clasa a IV-a.

Învățarea prin descoperire (redescoperire) poate fi de tip descoperire dirijată și descoperire independentă. Prin această metodă se pun în evidență în primul rând căile prin care se ajunge la achiziționarea informațiilor, prilejuindu-se elevilor cunoașterea științei ca proces.

Parcurgând drumul redescoperirii, elevul reface anumite etape ale cunoașterii științifice și își însușește astfel elemente ale metodologiei cercetării științifice.

Această metodă are o deosebită valoare formativă dezvoltând atât capacitățile de cunoaștere ale elevilor (interesul, pasiunea) cât și importante trăsături ale personalității (tenacitate, spiritul de ordine, disciplina, originalitatea).

Modalitățile de învățare prin redescoperire corespund în general formelor de raționament pe care se întemeiază.

Astfel se disting:

– descoperirea pe cale inductivă;

– descoperirea pe cale deductivă;

– descoperirea prin analogie.

Descoperirea pe cale inductivă urmărește în final formarea schemelor operatorii.

În rezolvarea exercițiilor de tipul: 17 + 2 și 17 – 2 se produc trei acțiuni: descompunerea, gruparea, operația.

Exemplu:

1) (10 + 7) + 2; 2) 10 + (7 + 2); 3) 10 + 9

(10 + 7) – 2; 10 + (7 – 2); 10 + 5

Descoperirea pe cale deductivă este aceea în care elevul are un moment de căutare care implică încadrarea unui sistem mai larg, apoi sfera se restrânge până la recunoașterea particularităților.

Exemplu:

27 + 13 și 27 + 14

27 + 13 = (20 + 7) + (10 + 3) = (20 + 10) + (7 + 3) = 30 + 10 = 40;

27 + 14 = (20 + 7) + (10 + 4) = (20 + 10) + (7 + 3) + 1 = (30 + 10) + 1 = 41

În rezolvarea celui de al doilea exemplu este angajată gândirea analitică.

Descoperirea prin analogie constă în aplicarea unui procedeu cunoscut la un alt caz cu care are asemănări.

7 + 2 = 9 – 2 = 5 + 3 = 6 – 2 =

70 + 20 = 90 – 20 = 50 + 30 = 60 – 20 =

700 + 200 = 900 – 200 = 500 + 300 = 600 – 200 =

Predarea înmulțirii și a împărțirii, după ce elevii și-au însușit adunarea și scăderea, este tipică învățării prin descoperire. Elevii, cunoscând adunarea, vor rezolva exerciții de înmulțire pe baza adunării repetate și exerciții de împărțire pe baza scăderii repetate.

Descoperirea unui adevăr prin eforturi proprii angajează structurile intelectuale însăși și determină o participare activă și productivă la lecție a elevilor.

Se desprinde faptul că elevul trebuie pus în situația de a descoperi independent lucruri cunoscute, dar care au aspect nou pentru el. Apropiată mai mult de învățarea prin cercetare, prin adaptare la ciclul primar, această învățare inițiază elevul în specificul căutării, fără a considera că rezultatul este nou pentru domeniu, ci doar pentru el.

Învățarea prin descoperire și învățarea prin problematizare constituie modalități de lucru eficiente pentru activizarea elevilor. Între cele două tipuri de învățare există o deosebire esențială: în cadrul problematizării accentul cade pe crearea unor situații conflictuale care declanșează procesul de învățare, iar în cadrul descoperii accentul cade pe aflarea soluției pornindu-se de la elemente deja cunoscute. Utilizând învățarea prin descoperire elevii își dezvoltă spiritul de observație, memoria, gândirea, își formează deprinderi de muncă independentă.

Descoperirea în învățare este dirijată. Educatorul trebuie să îndrume elevul în aflarea noutăților. Didactica generală subliniază că este importantă respectarea etapelor cunoscute:

– formularea sarcinii, problemei;

– efectuarea de reactualizări;

– formularea ipotezei de rezolvare;

– stabilirea planului, mijloacelor;

– verificarea;

– formularea unor generalizări;

– evaluarea;

– valorificarea.

Rezolvarea de probleme diverse de matematică implică învățarea prin descoperire în sensul că elevilor nu li se pune la dispoziție nici un procedeu sau mod de rezolvare. Elevii trebuie să descopere acest mod de rezolvare. Deoarece rezolvarea de probleme generează o nouă învățare, ea reprezintă un tip de învățare. Intelectul elevului este supus la un efort susținut în etapa emiterii ipotezelor și a descoperirii soluției. Prin activitatea depusă, elevul nu numai că a rezolvat problema, dar învață și ceva nou. De aceea condiția de bază a rezolvării problemelor este experiența anterioară, actualizarea regulilor învățate anterior.

Există un grăunte de descoperire în soluția oricărei probleme. Putem avea în față o problemă modestă, dar ea stârnește curiozitatea și, dacă se rezolvă prin mijloace proprii, se poate simți încordarea dinaintea descoperii apoi ne putem bucura de triumful rezolvării ei. Astfel de experiențe la vârsta elevilor de ciclu primar, de mare receptivitate, pot crea gustul pentru munca intelectuală. Acestea își pun pentru toată viața amprenta asupra minții și asupra caracterului elevului. Elevului trebuie să-i lăsăm impresia propriei inițiative, să-i sădim încrederea în propriile puteri. Important este să sesizăm, în fiecare caz, caracteristicile unei probleme matematice, procesul de gândire, grăuntele de descoperire, justificarea soluției și comentarea ei, verificarea rezultatelor obținute.

Modelarea se bazează pe valorificarea caracterului euristic al analogiei, care permite ca pe baza asemănării unor elemente a două sisteme să se presupună asemănarea probabilă a acestor sisteme.

Utilizarea acestei metode în învățământul primar, pe lângă faptul că-i obișnuiește pe elevi cu un procedeu de investigație științifică, are și o mare valoare formativă.

Totodată, exersarea elevilor în trecerea de la un model la altul, pentru a exprima același conținut informativ, dezvoltă mobilitatea și flexibilitatea gândirii.

Caracterul reflectiv al modelelor, valoarea lor cognitivă, atribuie acestora însemnate virtuți operaționale, în sensul că ele oferă examinării elevilor un material mai maleabil, elemente incluse în structura unui model se pot manevra cu ușurință și sunt supuse controlului.

Un model îndeplinește o funcție euristică (explorativ-explicită) întrucât incită elevii la un efort de căutare și investigare. Pentru elevii ciclului primar sunt accesibile modelele materiale.

Algoritmul este un sistem de raționamente și operații care se desfășoară într-o anumită succesiune finită care, fiind respectată riguros, conduce în mod sigur la recunoașterea și rezolvarea problemelor de același tip. Algoritmizarea este metoda care utilizează algoritmi în învățare.

Algoritmii oferă elevilor cheia sistemului de operații mintale pe care trebuie să le efectueze pentru a recunoaște într-un context nou, noțiunea sau teorema învățată anterior și a putea opera cu ea.

În plan didactic aceste operații mintale se exteriorizează prin rezolvarea unor exerciții și probleme de același tip. Pentru ca algoritmii să devină instrumente ale gândirii elevilor, este necesar să nu fie dați ci să-i punem pe elevi în situația de a parcurge toate etapele elaborării lor, pentru a putea conștientiza fiecare element. Folosirea metodei algoritmizării ne ajută să înzestrăm elevii cu modalități economice de gândire și acțiune.

Vom exemplifica printr-un exercițiu în care elevii vor folosi cunoștințele dobândite anterior în rezolvarea unui exercițiu descompunându-l în operații intermediare.

Exemplu:

{[(14a – 60) : 4 + 38] · 12 – 200} : 250 = 4 Care este valoarea lui a?

[(14a – 60) : 4 + 38] · 12 – 200 = 1000 (250 · 4)

[(14a – 60) : 4 + 38] · 12 = 1200 (1000 +200)

(14a – 60) : 4 + 38 = 100 (1200 : 12)

(14a – 60) : 4 = 62 (100 – 38)

14a – 60 = 248 (62 · 4)

14a = 308 (248 + 60)

a = 22 (308 : 14)

În rezolvarea acestor exerciții elevii vor parcurge un număr de operații. În această succesiune de operații vor obține rezultate intermediare pe care le vor folosi mai departe într-o anumită ordine. Această succesiune a operațiilor într-o anumită ordine este denumită rezolvare algoritmică a exercițiului dat.

În cazul rezolvării unui anumit tip de probleme, elevul își însușește o suită de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip. Încă din clasa I vom obișnui elevii să rezolve și să alcătuiască probleme după formule numerice sau literale.

Jocul de rol ca metodă se bazează pe ideea că se poate învăța nu numai din experiența directă, ci și din cea simulată. A simula este similar cu a mima, a te preface, a imita, a reproduce în mod fictiv situații, acțiuni, fapte.

Scopul jocului este de a-i pune pe participanți în ipostaze care nu le sunt familiare tocmai pentru a-i ajuta să înțeleagă situațiile respective și pe alte persoane care au puncte de vedere, responsabilități, interese, preocupări și motivații diferite. Este știut faptul că de cele mai multe ori avem tendința de a subaprecia, de a blama sau, dimpotrivă, de a supraaprecia „rolurile” pe care diferite persoane cu care intrăm în contact trebuie să le îndeplinească. De asemenea, de multe ori „încremenirea în propriul proiect” ne împiedică să vedem posibile variații și alternative ale propriilor „roluri”. Din această perspectivă, prin jocul de rol elevii pot învăța despre ei înșiși, despre persoanele și lumea din jur într-o manieră plăcută și atrăgătoare.

Există mai multe variante, dintre care menționăm:

Jocul cu rol prescris, dat prin scenariu – participanții primesc cazul și descrierea rolurilor pe care le interpretează ca atare.

Jocul de rol improvizat, creat de cel care interpretează – se pornește de la o situație dată și fiecare participant trebuie să-și dezvolte rolul.

Etapele metodei:

Stabiliți obiectivele pe care le urmăriți, teme/problema pe care jocul de rol trebuie să le ilustreze și personajele de interpretat.

Pregătiți fișele cu descrierile de rol.

Decideți împreună cu elevii câți dintre ei vor juca roluri, câți vor fi observatori, dacă se interpretează simultan, în grupuri mici sau cu toată clasa.

Stabiliți modul în care se va desfășura jocul de rol:

ca o povestire în care naratorul povestește desfășurarea acțiunii și diferite personaje care o interpretează;

ca o scenetă în care personajele interacționează, inventând dialogul odată cu derularea acțiunii;

ca un proces care respectă în mare măsură o procedură.

Acordați elevilor câteva minute pentru a analiza situația și pentru a-și pregăti rolurile/ reprezentația. Dacă este nevoie, aranjați mobilierul pentru a avea suficient spațiu.

Elevii interpretează jocul de rol.

În timpul reprezentării, uneori este util să întrerupeți într-un anumit punct pentru a le cere elevilor să reflecteze la ceea ce se întâmplă (dacă se ajunge la un moment exploziv în interpretarea unui conflict este chiar necesar să le cereți să-l rezolve într-un mod neviolent).

În final, este important ca elevii să reflecteze la activitatea desfășurată ca la o experiență de învățare. Evaluați activitatea cu „actorii” și „spectatorii”. Întrebați-i:

Ce sentimente aveți în legătură cu rolurile/situațiile interpretate?

A fost o interpretare conformă cu realitatea?

A fost rezolvată problema conținută de situație? Dacă da, cum? Dacă nu, de ce?

Ce ar fi putut fi diferit în interpretare? Ce alt final ar fi fost posibil?

Ce ați învățat din această experiență?

La clasă se poate aplica jocul de rol pe tema „La cumpărături”. Având la dispoziție o anumită sumă de bani și obiecte care au prețuri prestabilite, elevii au ca sarcină „efectuarea de cumpărături”, cu condiția să se încadreze exact în suma de bani pe care o au la dispoziție.

Deoarece jocul de rol simulează situațiile reale, se pot ivi întrebări care nu au un răspuns simplu, de exemplu despre comportamentul corect sau incorect al unui personaj. În aceste situații, este indicat să sugerați că nu există un singur răspuns și nu trebuie să vă impuneți un punct de vedere asupra unor probleme controversate. Este foarte important ca elevii să accepte punctele în care se pare că s-a ajuns la o înțelegere și se pot lăsa deschise anumite aspecte care sunt discutabile.

Cubul este o metodă folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații etc. din mai multe perspective. Se oferă astfel elevilor posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unei abordări complexe și integratoare.

Etapele metodei:

1. Se confecționează un cub pe ale cărui fețe s-au notat cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.

2. Se anunță tema/subiectul pus în discuție (Figuri și corpuri geometrice)

3. Se împarte grupul în 6 subgrupuri, fiecare subgrup urmând să examineze tema aleasă din perspectiva cerinței de pe una din „fețele” cubului, astfel:

Descrie: culorile, formele, mărimile etc. (sunt descrise principalele figuri și corpuri geometrice.)

Compară: ce este asemănător și ce este diferit? (sunt comparate două dintre figuri: pătratul și dreptunghiul.)

Asociază: la ce te îndeamnă să te gândești? (elevii fac legătura cu obiectele din mediul înconjurător, stabilind asemănări ale formei.)

Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune etc? (stabilesc numărul de laturi, unghiuri ale figurilor geometrice, fețele corpurilor etc.)

Aplică: ce poți face cu el? Cum poate fi el folosit? (folosesc corpurile geometrice la construirea unei case.)

Argumentează pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale. (sunt implicați în studiul unei probleme, de exemplu forma paralelipipedică a acoperișului unei case.)

Prin brainstorming, participanții pot identifica idei novatoare pe care le pot include apoi într-un paragraf sau două referitoare la tema respectivă.

4. Forma finală a scrierii este împărtășită întregului grup.

5. Lucrarea în forma finală poate fi desfășurată pe tablă sau pe pereții clasei.

Brainstorming. Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele „brain” =creier și „storm” = furtună, plus „-ing” specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă „furtună în creier” – efervescență, aflux de idei, o stare de intensă activitate imaginativă, un asalt de idei.

Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită capacitatea de a trăi anumite situații, de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea personalității.

Etapele metodei:

Se alege tema și se anunță sarcina de lucru; grupuri de minimum 10 persoane.

Se solicită exprimarea într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, a tuturor

ideilor – chiar trăsnite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în minte legate de rezolvarea unei situații-problemă conturate. Se pot face asociații în legătură cu afirmațiile celorlalți, se pot prelua, completa sau transforma ideile din grup, dar atenție, fără referiri critice. Se suspendă orice gen de criticism, nimeni nu are voie să facă observații negative. În acest caz funcționează principiul „cantitatea generează calitatea”.

Totul se înregistrează în scris, pe tablă, flipchart, video, reportofon, etc.

Se lasă o pauză (de 15 minute, uneori chiar și o zi) pentru „așezarea” ideilor emise și recepționate.

Se reiau pe rând ideile emise, iar grupul găsește criterii de grupare a lor pe categorii-simboluri, cuvinte-cheie, imagini care reprezintă posibile criterii.

Grupul se împarte în subgrupuri, în funcție de categoriile de idei listate, pentru dezbatere. Dezbaterea se poate desfășura însă și în grupul mare. În această etapă are loc analiza critică, evaluarea, argumentarea și contraargumentarea ideilor emise anterior. Se selectează ideile originale sau cele mai aproape de soluții fezabile pentru problema pusă în discuție. Se discută liber, spontan, riscurile și contradicțiile care apar.

Se afișează ideile rezultate de la fiecare subgrup, în forma cât mai variate și originale: cuvintele, propoziții, colaje, imagini, desene, cântece, joc de rol, pentru a fi cunoscute de ceilalți.

Profesorul trebuie să fie un autentic catalizator al activității, care să încurajeze exprimarea ideilor, să nu permită intervenții inhibante și să stimuleze explozia de idei.

Știu/Vreau să știu/Am învățat. Cercetările în domeniu au arătat că învățarea este optimizată atunci când se bazează pe o cunoaștere și experiențe anterioare ale elevilor care le permit acestora să lege ceea ce știu de noile informații care trebuie învățate.

Prin metoda „Știu/vreau să știu/am învățat” se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în lecție.

Etapele metodei:

Cereți la început elevilor să formeze perechi și să facă o listă cu tot ceea ce știu despre tema abordată. În timp ce elevii realizează lista, profesorul construiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu; Vreau să știu; Am învățat.

Cereți perechilor să spună ce au scris și notați în coloana din stânga informațiile cu care tot grupul este de acord.

Folosind această metodă elevii vor elabora o listă de întrebări.

Elevii vor identifica întrebările pe care ei le au despre subiectul abordat, iar profesorul le va lista în a doua coloană a tabelului. Aceste întrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legătură cu tema abordată.

Elevii citesc un text individual sau cu un coleg sau profesorul îl citește elevilor.

După lectura textului, reveniți asupra întrebărilor formulate în prima coloană, constatați la care s-au găsit răspunsurile în text și treceți-le la coloana „Am învățat”.

Elevii vor face comparație între ceea ce ei știau deja despre tema abordată, tipul și conținutul întrebărilor pe care le-au formulat și ceea ce ei au învățat prin lecturarea textelor.

Elevii compară ceea ce cunoșteau înainte de lecturare (informațiile din prima coloană a tabelului ) cu ceea ce ei au învățat (a treia coloană a tabelului). Discutați cu elevii unde ar putea căuta respectivele informații. Unele din întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații personale.

Informația cuprinsă în coloana a treia „Am învățat” poate fi organizată în diferite categorii.

Această metodă poate fi aplicată la clasă în cadrul lecțiilor de matematică referitoare la metode de rezolvare a problemelor.

Mozaicul este o metodă de învățare prin colaborare și are la bază împărțirea grupului mare de elevi în mai multe grupe de lucru, coordonate de profesor.

Etapele metodei:

Etapa 1

Se împarte clasa de elevi în grupe pe cât posibil eterogene a câte 4 elevi, apoi elevii fiecărei grupe numără până la 4, astfel încât fiecare membru al grupei să aibă un număr de la 1 la 4.

Se dă apoi fiecărui membru al grupei o fișă de învățare care cuprinde o unitate de cunoaștere. Se atrage atenția că sunt patru cerințe. Toți cei care au numărul 1 vor primi prima parte, cei care au numărul 2 vor primi a doua parte, ș.a.m.d.

Etapa 2:

Toți elevii care aveau numărul 1 se aduna într-un grup, cei cu numărul 2 în alt grup etc. Se explică faptul că grupurile formate din cei cu numerele 1, 2, 3 și 4 se vor numi de acum grupuri de „experți”. Sarcina lor este să rezolve corect cerința prezentată în secțiunea fișă care le revine. Trebuie s-o citească și s-o discute între ei pentru a o înțelege bine. Apoi vor hotărî împreună modul în care o pot preda, pentru că urmează să se întoarcă la grupul lor originar pentru a preda această parte celorlalți.

Se atrage atenția că este foarte important ca fiecare membru al grupului de experți să înțeleagă că el este responsabil de predarea acelei porțiuni a problemei celorlalți membri ai grupului inițial, acordându-le destul timp pentru a parcurge cerința lor din problemă, pentru a discuta și elabora strategiile de predare.

Etapa 3:

După ce grupele de experți și-au încheiat lucrul, fiecare elev se întoarce la grupul său inițial și predă celorlalți conținutul pregătit. Se atrage din nou atenția că este foarte important ca fiecare elev din grup să stăpânească întregul conținutul.

Elevii notează orice întrebări sau nelămuriri au în legătură cu rezolvarea problemei și cer apoi profesorului clarificări pe acea secțiune. Unii elevi care rămân în continuare nelămuriți, vor adresa întrebarea întregului grup de experți în acea secțiune.

În final, profesorul reamintește tema și unitățile de conținut, apoi cere elevilor să prezinte oral, în ordinea inițială, fiecare cerință, așa cum au asimilat-o în cadrul grupului de „experți”. Astfel se trece în revistă tema în unitatea ei logică.

Pentru feed-back-ul activității, profesorul aplică un test, adresează întrebări pentru a verifica gradul de înțelegere a noului conținut, capacitatea de analiză, sinteză, de argumentare a afirmațiilor făcute.

În timpul învățării prin colaborare, profesorul monitorizează predarea, pentru a fi sigur că informația se transmite corect și că poate servi ca punct de plecare pentru diverse întrebări, stimulează cooperarea, asigură implicarea, participarea tuturor membrilor.

Această metodă prezintă avantaje deoarece are un caracter formativ, stimulează încrederea în sine a elevilor, dezvoltă abilități de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului, dezvoltă gândirea logică, critică și independentă, dezvoltă răspunderea individuală și de grup.

Organizatorul grafic (O.G.), ca metodă de învățare activă ușurează esențializarea unui material informativ care urmează să fie exprimat sau scris, schematizând ideea/ideile. Pe de altă parte, se poate afirma că „organizatorul grafic” este pentru profesor și/sau pentru elevi o grilă de sistematizare a noțiunilor, o gândire vizualizată prin reprezentarea grafică a unui material.

Această metodă ajută elevii să poată face o corelare între ceea ce știu și ceea ce urmează să învețe sau la ceea ce vor trebui să răspundă, iar pe profesor îl ajută să stabilească obiectivele lecției, să conștientizeze mai bine ceea ce vrea să predea și ceea ce vrea să evalueze, să descopere punctele tari și slabe ale elevilor pentru a le oferi sprijin.

Organizatorul grafic oferă posibilitatea eliminării redundanței din informație. Reprezentarea vizuală a unor noțiuni, fenomene, concepte, în ajută pe elev să recurgă la informația anterioară deținută, să analizeze, să sintetizeze, să evalueze și să decidă (poate în urma unui asalt de idei) ce va lua în considerare și ce va omite din tot ceea ce știe pentru a rezolva o problemă/situație problemă.

Organizatorul grafic se poate utiliza pentru prezentarea structurată a informației în cinci moduri:

Organizatorul grafic pentru monitorizarea structurilor de tip comparativ.

Prin această metodă vor fi solicitați elevii să găsească asemănările și deosebirile sau diferențele dintre pătrat și dreptunghi, între cub și paralelipiped, între adunare și înmulțire etc. și apoi să completeze un O.G. (după ce au studiat cu atenție materialele).

Se cer elevilor explicații asupra asemănărilor și deosebirilor găsite și înscrise în O.G., prin compararea celor două sau mai multe noțiuni, concepte, lucruri.

De exemplu:

Organizatorul grafic pentru structuri de tip descriere.

De exemplu, se va cere elevilor să noteze/să descrie caracteristicile, proprietățile, utilizările, componentele figurilor și corpurilor geometrice, după analiza și studierea acestora.

Exemplu schematic:

Organizator grafic pentru structuri de tip secvențial.

În acest caz elevii sunt solicitați să listeze concepte, evenimente, itemi, operații etc, în ordine cronologică, numerică, deci etapizat, secvențial.

Exemplu schematic:

De exemplu : Scrieți numele râurilor din tabelul dat în ordinea crescătoare a lungimii lor.

Sau: Comparați suprafața României cu a celorlalte țări. Pe a doua linie realizați un clasament.

Completați în grafic cu ajutorul datelor din tabelul anterior numele țărilor:

Un alt exemplu poate fi următoarea problemă pentru clasa a IV-a:

Asiști la un concurs de parașutism. Enumeră toate evenimentele posibile atunci când un concurent sare cu parașuta și estimează șansele de realizare a fiecărui eveniment în parte.

Ordonează apoi aceste evenimente de la „imposibil” la „ sigur”.

4. Organizator grafic pentru structuri de tip cauză-efect.

Elevii sunt antrenați, prin această metodă, să facă legătura dintre cauza și efectul rezultat al unei acțiuni, fenomen etc.

De exemplu, într-o problemă de tipul: Lungimea unui teren în formă de dreptunghi este de 24 metri. Dacă se mărește lungimea cu 9 metri, câți metri de sârmă vor fi necesari pentru împrejmuirea terenului cu 3 rânduri de sârmă?

Exemplu schematic:

5. Organizator grafic pentru structuri de tip problemă-soluție.

În această situație elevilor li se cere să detecteze problema /situația – problemă și sunt puși în situația de a o rezolva, de a găsi soluția. Elevii care vor completa un O.G. vor enunța problema și vor lista una sau mai multe soluții la problema enunțată.

De exemplu: În 12 cutii cu bomboane, fiecare bomboană ar trebui să aibă 10 grame. Din greșeală, într-o cutie fiecare bomboană este cu un gram mai ușoară.

Cum putem descoperi cutia respectivă făcând o singură cântărire?

Se enunță problema și se listează una sau mai multe soluții. O altă variantă este de a se formula o întrebare, iar apoi se abordează răspunsul la aceasta.

Studiul de caz este o metodă care se bazează pe cercetare și stimulează gândirea critică prin analiza, înțelegerea, diagnosticarea și rezolvarea unui caz. Ea constă în confruntarea elevului cu o situație reală de viață, prin a cărei observare, înțelegere, interpretare, urmează să realizeze un proces de cunoaștere.

Pentru ca o situație să devină caz trebuie să întrunească următoarele caracteristici:

să fie autentică;

să suscite interesul;

să fie legată de interesele grupului, pentru ca participanții să dețină informațiile necesare și să găsească soluții de rezolvare;

să fie complet prezentată;

să conțină toate datele necesare pentru a fi soluționată.

După I. Cerghit, s-ar identifica următoarele etape ale studiului de caz:

alegerea cazului și conturarea principalelor elemente semnificative;

lansarea cazului ca o situație problematică;

procurarea informației în legătură cu cazul (prin observare, anchetă, experiment);

sistematizarea materialului;

dezbatere asupra informației culese;

stabilire concluziilor și valorificarea proprie.

Toate aceste elemente ne îndreptățesc să o considerăm o metodă complexă care concentrează în sine o suită întreagă de alte metode fără de care nu poate exista. Această metodă este greu utilizabilă în orele de matematică, dar poate fi folosită cu succes în cercurile matematice de elevi.

Jocul ca metodă la clasele mici, accentuează rolul formativ al activităților matematice prin:

exersarea operațiilor gândirii (analiză, sinteză, comparație, clasificarea, ordonarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea);

dezvoltă spiritul de inițiativă, de independență, dar și de echipă;

formarea unor deprinderi de lucru corect și rapid;

însușirea conștientă, temeinică, într-o formă accesibilă, plăcută și rapidă, a cunoștințelor matematice;

Ca formă de activitate, jocul didactic matematic este specific pentru vârstele mici.

Structura jocului didactic matematic se referă la:

Scopul didactic;

Sarcina didactică;

Elemente de joc;

Conținutul matematic;

Materialul didactic;

Regulile jocului;

Desfășurarea jocului didactic matematic cuprinde următoarele etape:

introducerea în joc;

prezentarea materialului;

anunțarea titlului jocului și prezentarea acestuia;

explicarea și demonstrarea regulilor jocului;

fixarea regulilor; executarea jocului explicativ (cu o parte din elevi);

executarea jocului de probă (cu toată clasa);

executarea jocului de către copii;

complicarea jocului, introducerea de noi variante;

încheierea jocului, evaluarea conduitei de grup sau individuale.

O activitate matematică bazată pe exercițiu poate fi rigidă și monotonă mai ales pentru copiii de 7-8 ani. Profesorul trebuie, în acest caz, să întrețină și să stimuleze interesul pentru activitate, introducând elemente cu caracter ludic. În acest mod exercițiul devine dinamic, precis, corect, atractiv și stimulează participarea la lecție a elevilor.

Chiar dacă pornește de la o sarcină euristică, profesorul poate transforma intenția de joc în acțiune propriu-zisă de învățare și motivează participarea activă a elevilor prin elementele sale specifice: competiția, manipularea, surpriza, așteptarea.

Orice exercițiu sau problemă matematică poate deveni joc didactic dacă: realizează un scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic; folosește elementele de joc în vederea realizării sarcinii; folosește un conținut matematic accesibil și atractiv, utilizează reguli de joc cunoscute anticipat și respectate de elevi.

Investigația reprezintă o activitate care poate fi descrisă astfel: elevul primește o sarcină prin instrucțiuni precise, sarcină pe care trebuie să o înțeleagă; elevul trebuie să rezolve sarcina, demonstrând și exersând totodată o gamă largă de cunoștințe și capacități în contexte variate. Prin investigații, profesorul poate urmări procesul de învățare, realizarea unui produs sau/și atitudinea elevului.

Sarcinile de lucru adresate elevilor de către profesori în realizarea unei investigații, pot varia ca nivel de complexitate a cunoștințelor și competențelor implicate, după cum urmează:

– simpla descriere a caracteristicilor unui obiect, lucruri deprinse din realitatea imediată sau fenomene observate direct de către elev și comunicarea în diferite moduri a observațiilor înregistrate prin intermediul desenelor, graficelor, tabelelor;

– utilizarea unor echipamente simple pentru a face observații, teste referitoare la fenomenele supuse atenției elevilor. Aceste fenomene constituie baza pentru realizarea unor comparații adecvate între fenomenele respective sau între ceea ce au înregistrat direct și ceea ce au presupus că se va întâmpla (confirmarea sau nu a predicțiilor făcute).

Pe baza înregistrării sistematice a observațiilor se emit concluzii prezentate într-o formă științifică și argumentată logic pentru confirmarea predicțiilor formulate.

Selectarea materialelor adecvate realizării sarcinii, înregistrarea observațiilor specifice, prezentarea acestora sub formă de concluzii, utilizând desene, tabele și grafice, sunt tot atâtea operații care antrenează elevii într-o formă de activitate teoretico-practică cu puternice valențe formative.

Proiectul reprezintă o modalitate de învățare mult mai amplă decât investigația.

Proiectul se structurează în timp astfel:

– începe în clasă, prin definirea și înțelegerea sarcinii de lucru eventual și prin începerea rezolvării acesteia;

– se continuă acasă pe parcursul a zile sau săptămâni, timp în care elevul are permanente consultări cu profesorul;

– se încheie tot în clasă, prin prezentarea în fața colegilor a unui raport asupra rezultatelor obținute și, dacă este cazul, a produsului realizat;

Etapele proiectului presupun direcționarea eforturilor elevilor în două direcții la fel de importante din punct de vedere metodologic și practic: colectarea datelor; realizarea produsului.

Proiectul poate lua forma unei sarcini de lucru individuale sau de grup, ținând cont și de faptul că o bună parte a activităților presupuse de acesta poate fi realizat și în afara orelor de curs.

Alegerea temei pentru proiect poate fi făcută de către profesor sau poate aparține elevilor.

În demersul de realizare a unui proiect următorii pași sunt foarte important de urmărit:

stabilirea domeniului de interes;

stabilirea premiselor inițiale, cadrul conceptual, metodologic, datele generale ale investigației/anchetei;

identificarea și selectarea resurselor materiale;

precizarea elementelor de conținut ale proiectului.

Elementele de conținut ale proiectului se pot organiza după următoarea structură:

Pagina de titlu pe care, de obicei, se consemnează tema proiectului, numele autorului, școala, perioada în care s-a elaborat proiectul.

Cuprinsul proiectului care prezintă titlurile capitolelor și subcapitolelor pe care se structurează lucrarea.

Introducerea care include prezentarea cadrului conceptual și metodologic căruia i se circumscrie studiul temei propuse.

Dezvoltarea elementelor de conținut, a capitolelor și subcapitolelor care oferă substanță și fundament analizei inițiale.

Concluzii care sintetizează elementele de referință deprinse în urma studiului temei respective, sugestii/propuneri de ameliorare a aspectelor vulnerabile semnalate.

Bibliografia

Anexa care include toate materialele importante rezultate în urma aplicării unor instrumente de investigație (grafice, tabele, chestionare, fișe de observație etc.) și care susțin demersul inițiat.

În practica instruirii, proiectul poate fi utilizat în diferite forme și cu școlarii mici prin:

– efectuarea de investigații privind noțiunile matematice studiate;

– proiectarea și confecționare unor modele matematice.

Strategia de evaluare a proiectului trebuie să fie clar definită prin criterii negociate sau nu cu elevii, astfel încât să valorizeze efortul exclusiv al elevului în realizarea proiectului.

5.5. Forme de organizare a activității elevilor

Având în vedere că învățământul se desfășoară în clasă, pe clase, organizarea lui se referă, în primul rând, la activitatea desfășurată de colectiv, încât fiecare elev să fie angajat intens, să realizeze sarcinile învățării, încă din timpul lecției. Teoria didactică înregistrează mai multe forme de organizare a activităților elevilor, distincte sau combinate.

Profesorul ”poate face apel la următoarele forme, după condițiile determinate de celelalte elemente ale sistemului instruirii:

1(a) Activitate frontală caracterizată prin:

– sarcină frontală unică;

– elevii – rezolvă în colectiv;

– răspund în colectiv;

– profesorul sintetizează răspunsul colectiv.

1(b) Activitate frontală caracterizată prin:

– sarcină frontală unică;

– elevii – rezolvă independent;

– formulează răspunsuri individuale;

– profesorul sintetizează răspunsul final.

2(a) Activitate independentă în grupuri eterogene caracterizată prin:

– sarcină unică, frontală, nediferențiată;

– grup eterogen – elevii rezolvă independent, individual în cadrul

grupului;

– elevii răspund prin cooperare pe grupe;

– profesorul sintetizează răspunsurile primite de la grupurile de elevi.

2(b) Activitate independentă în grupuri eterogene caracterizată prin:

– sarcină frontală, diferențiată, echivalentă;

– elevii rezolvă individual în cadrul grupului;

– elevii dau răspunsuri independente,

– profesorul sintetizează răspunsurile primite de la grupurile de elevi.

3 Activitate independentă pe grupe omogene se caracterizează prin:

– sarcini diferențiate ca obiective, conținut și mod de realizare;

– elevii rezolvă independent;

– formulează răspunsuri individuale;

– profesorul îndrumă și apreciază răspunsurile finale..

4 Activitate independentă individualizată se caracterizează prin:

– sarcini individualizate ca obiective, conținut, realizare;

– elevii rezolvă, independent, individual;

– răspund individual

– profesorul distribuie sarcinile, urmărește modul de realizare, îndrumă activitatea elevilor.”

Aceste forme de organizare trebuie îmbinate (2-3) pe parcursul unei lecții.

Se observă că majoritatea variantelor au o strategie euristică, că rolul profesorului este fundamental în stabilirea obiectivelor, a sarcinilor de lucru, în cunoașterea nivelului de dezvoltare al elevilor, în îndrumare și finalizare, deci un rol de dirijare, nu de simplu transmițător, realizând mai multe aspecte formative, educative.

În ceea ce privește activitatea în grup, profesorii trebuie să fie atenți ca sarcinile date să corespundă grupurilor de elevi. Grupurile eterogene primesc sarcini echivalente, iar grupurile de nivel presupun o tratare diferențiată. Organizarea pe grupe de nivel se impune pentru o învățare deplină, pentru prevenirea rămânerii în urmă la învățătură, pentru stimularea elevilor capabili de performanță.

Munca în grup trebuie proiectată, organizată, condusă și evaluată de cadrul didactic. Ea presupune:

– analiza temei și a sarcinilor de instruire sau autoinstruire;

– împărțirea sarcinilor pe membri grupului;

– documentarea asupra temelor prin cercetarea diferitelor surse;

– emiterea unor ipoteze și opinii asupra rezultatelor probabile;

– efectuarea de investigații practic-aplicative sau teoretice;

– consemnare rezultatelor obținute;

– interpretarea rezultatelor obținute;

– întocmirea referatului final;

– aprecierea și evaluare rezultatelor.

Este important ca forma competitivă de lucru să fie îmbinată cu cea cooperativă, de ajutor reciproc, astfel încât să se dezvolte și să se exerseze la elevi simțul responsabilității, atât pentru munca proprie, cât și cea a colegilor din grupa de lucru.

5.6. Activitatea diferențiată

Activitatea diferențiată în cadrul lecțiilor este una din căile menite să realizeze o tratare adecvată a elevilor.

Strategia diferențierii conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității pentru a îmbina cele trei forme de activitate (frontală, de grup și individuală).

Indiferent de formele de activitate matematică pe care le desfășoară elevii (la tablă, pe caiete, în grup, pe fișe individuale), profesorul trebuie să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat. Sunt situații când în diferite forme de activitate se dau exerciții care presupun toate gradele de dificultate lăsând elevilor posibilitatea de a rezolva numai pe acelea pe care reușesc. La fel se poate proceda și în rezolvarea problemelor, unde se pot formula sarcini multiple: de analiză, apoi de a rezolva prin alt procedeu, de a pune în exercițiu, de a compune o problemă asemănătoare.

Tratarea diferențiată a elevilor folosind fișele de muncă independentă este de un real folos, asigurând caracterul individual și independent al învățării, ritmul propriu de lucru al elevului, conform capacităților și nivelului său de cunoștințe, priceperi și deprinderi.

În activitatea la clasă, vom realiza întocmirea fișelor de muncă independentă folosind un conținut diferențiat, în funcție de tematica propusă. Ele ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor pe căi cât mai accesibile, specifice diferitelor grupe de elevi, dezvoltării intelectuale a acestora, stării lor de disciplină.

Tipuri de fișe:

– fișe care conțin exemple prin care se verifică o definiție dată;

– fișe de predare-învățare de cunoștințe noi;

– fișe de consolidare;

– fișe de recuperare;

– fișe de dezvoltare;

– fișe pentru autocorectare;

Folosirea fișelor demonstrează că:

– dispare pasivitatea elevului, fiecare lucrează în ritm propriu și profită de maximum de lucrul efectuat;

– elevii învață să gândească și să acționeze autonom, se creează un sentiment de răspundere proprie de învățare;

– stimulează creativitatea elevilor, dând posibilitatea de manifestare spontană a caracteristicilor individuale;

– fixează tot atât de bine concepte cât și tehnici;

– permite profesorului să evalueze zilnic progresele realizate de școlarii săi;

Fișele se folosesc în diferite momente ale lecției potrivit cu necesitatea desfășurării ei în atingerea obiectivului urmărit. În final se face o corectare frontală, o prezentare a soluțiilor de către profesor. Dacă profesorul efectuează și o activitate de sintetizare a rezultatelor, clasându-le și trecându-le în tabele nominale, va putea urmări munca fiecărui elev, nivelul atins de acesta.

Fișele de muncă independentă pot avea diferite scopuri. Astfel există fișe de dezvoltare și consolidarea cunoștințelor, fișe de recuperare, dar și fișe de elaborare (creativitate).

I. Fișele de dezvoltare conțin exerciții care să pună probleme în fața elevilor foarte buni, să le solicite un efort, iar cu restul clasei vom lucra individual pe caiete de muncă independentă și la tablă.

II. Fișele de consolidare și fixare a cunoștințelor au ca scop corectarea greșelilor colective și individuale pe care le fac elevii în operații de adunare și scădere.

III. Fișe de elaborare (creativitate): au ca scop dezvoltarea capacităților creative ale elevilor.

CAPITOLUL 6: Jocul didactic matematic

6.1. Tipuri de jocuri didactice matematice

Exercițiile-joc sau jocurile didactice pot avea multiple variante. Acestea servesc de obicei efectuării în diferite forme a exercițiilor atât de necesare consolidării unor cunoștințe (pe plan cognitiv) sau al formării unor deprinderi, ori dezvoltarea unor laturi ale personalității (pe plan formativ).Variantele pot cuprinde sarcini asemănătoare dar prezente în formă diferită sau mărind gradul de dificultate în funcție de vârstă sau nivel de cunoștințe.

Trecerea prin grade diferite de dificultate se face și pe cale metodică prin modul de prezentare a sarcinii didactice și de desfășurare a jocului:

– cu explicații și exemplificare;

– cu explicații, dar fără exemplificare;

– fără explicații, cu simpla enunțare a sarcinii.

Jocurile didactice, prin marea lor diversitate, prin variantele pe care le poate avea fiecare dintre ele, precum și prin faptul că pot fi jucate de o clasă întreagă sau de grupe de copii sau chiar individual constituie un instrument maleabil.

Jocurile pot fi clasificate:

• în funcție de scopul și sarcina didactică

• în funcție de aportul lor formativ

În funcție de scopul și sarcina didactică ele pot fi împărțite:

a) După momentul în care se folosesc în cadrul lecției:

– jocuri didactice matematice ca lecții de sine stătătoare

– jocuri didactice matematice ca momente propriu-zise ale lecției

– jocuri didactice matematice în completarea lecției, intercalate pe parcursul lecției sau în final.

b) După conținutul capitolelor de însușit în cadrul obiectului de învățământ:

– jocuri matematice pentru aprofundarea însușirii cunoștințelor specifice unui

– capitol sau grup de lecții;

– jocuri didactice specifice unei vârste sau grupe.

În funcție de aportul lor formativ, jocurile pot fi clasificate ținând cont de acea operație sau însușire a gândirii căreia sarcina jocului i se adresează în mai mare măsură:

a) Jocuri didactice pentru dezvoltare a capacității de analiză;

b) Jocuri didactice pentru dezvoltare a capacității de sinteză;

c) Jocuri didactice pentru dezvoltare a capacității de a efectua comparații;

d) Jocuri didactice pentru dezvoltare a capacității copiilor de a face abstractizări și generalizări;

e) Jocuri didactice pentru dezvoltarea perspicacității;

Clasificarea jocurilor se poate face și în funcție de materialul didactic folosit:

a ) Jocuri didactice cu material didactic:

– standard (confecționat)

– natural (din natură)

b ) Jocuri didactice fără material didactic (orale: ghicitori, cântece, povestiri, scenete).

La rândul lor jocurile didactice care se referă la conținutul capitolelor pot fi:

– de pregătire a actului învățării;

– de îmbogățire a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor;

– de fixare:

*de evaluare

*de dezvoltare a atenției, memoriei, inteligenței

*de dezvoltare a gândirii logice

*de dezvoltare a creativității

– de revenire a organismului:

*de revenire a atenției și modului de concentrare

*de formare a trăsăturilor moral-civice și de comportament

În funcție de conținutul noțional prevăzut pentru activitățile matematice în grădiniță și în clasa I organizate sub formă de joc, considerăm următoarea clasificare a jocurilor didactice:

• jocuri didactice de formare de mulțimi;

• jocuri logico matematice (de exersare a operațiilor cu mulțimi);

• jocuri didactice de numerație.

Clasificarea are ca punct de plecare observațiile lui Piaget asupra structurilor genetice în funcție de care evoluează jocul: exercițiul, simbolul și regula, adaptate etapelor de formare a reprezentărilor matematice.

Jocurile didactice matematice de formare de mulțimi au aceeași structură generală, dar sarcina de învățare implică exerciții de: imitare, grupare, separare și triere, clasificare și care vor conduce la dobândirea abilităților de identificare, triere, selectare și formare de mulțimi.

Jocurile didactice matematice de numerație contribuie la consolidarea și exersarea deprinderilor de așezare în perechi, comparare, numărare conștientă, de exersare a cardinalului și ordinalului, de familiarizare cu operațiile aritmetice și de formare a raționamentelor de tip ipotetico deductiv.

Jocurile logico matematice sunt jocuri didactice matematice care introduc, în verbalizare, conectorii și operațiile logice și urmăresc formarea abilităților pentru elaborarea judecăților de valoare și de exprimare a unităților logice.

Organizarea activităților matematice sub forma jocului didactic realizează modificări semnificative atât în conținutul, dar și în calitatea proceselor cognitive.

Prin joc, activitatea matematică devine mijloc de formare intelectuală.

• jocul face trecerea în etape de la acțiunea practică spre acțiunea mintală;

• favorizează dezvoltarea aptitudinilor imaginative (imaginația reproductivă și creatoare);

• realizează trecerea de la reproducerea imitativă la combinarea reprezentărilor în imagini;

Organizarea activităților matematice sub forma jocului didactic oferă multiple avan¬taje de ordin metodologic:

• același conținut matematic se consolidează, se poate repeta și totuși jocul pare nou, prin modificarea situațiilor de învățare și a sarcinilor de lucru;

• aceeași sarcină (obiectiv) se exersează pe conținuturi și materiale diferite, cu reguli noi de joc, în alte situații de instruire;

• regulile și elementele de joc modifică succesiunea acțiunilor, ritmul de lucru al copiilor;

• stimulează și exersează limbajul în direcția urmărită prin obiectivul operațional, dar și aspecte comportamentale prin regulile de joc;

• în cadrul aceluiași joc, repetarea răspunsurilor, în scopul obținerii performanțelor și reproducerea unui model de limbaj adaptat conținutului pot fi reguli de joc.

Ca formă de activitate, jocul didactic este specific, pentru vârstele mici, iar forma dominantă de organizare a instruirii pentru vârstele mai mari o constituie activitățile pe bază de exercițiu cu material individual ce include elemente de joc.

6.2. Componentele jocului didactic matematic

a) Scopul didactic se formulează în concordanță cu cerințele programei școlare pentru clasa respectivă, convertite în finalități funcționale de joc. Formularea trebuie să fie clară și să oglindească problemele specifice de realizare a jocului. O bună formulare corespunzătoare jocului determină o bună orientare, organizare și desfășurare a activității respective.

b) Sarcina didactică constituie elementul de bază prin care se transpune la nivelul copilului scopul urmărit într-o activitate matematică. Sarcina didactică este legată de conținutul jocului, structura lui, referindu-se la ceea ce trebuie să facă în mod concret copiii în cursul jocului pentru a realiza scopul propus.

Sarcina didactică reprezintă esența activității respective antrenând intens operațiile gândirii – analiza, sinteza, comparația, abstractizarea, generalizarea – dar și al imaginației.

Jocul matematic cuprinde și rezolvă cu succes o singură sarcină didactică. Spre exemplu, în jocul didactic Caută vecinii, scopul didactic este consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere, iar sarcina didactică: să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decât numărul dat.

În jocul Cine urcă scara mai repede? scopul didactic este “Consolidarea deprinderilor de calcul cu cele patru operații”, iar sarcina didactică “Efectuarea unor exerciții de adunare, scădere, înmulțire și împărțire”. La jocul didactic Găsește locul potrivit scopul didactic este “Formarea deprinderilor de a efectua operații cu mulțimi” iar sarcina didactică este “Să formeze mulțimi după unul sau două criterii”.

Când copiii nu reușesc să rezolve jocul propus, se verifică dacă nu s-a structurat vreo greșeală, dacă ei au noțiunile necesare pentru rezolvarea lui, dacă gradul de dificultate nu este prea ridicat.

c) Elementul de joc se stabilește de regulă în raport cu cerințele și sarcinile didactice ale jocului. Ele pot fi cât se poate de variate. Într-un joc se pot folosi mai multe elemente, dar nu pot lipsi cu desăvârșire, deoarece sarcina didactică rezolvată fără asemenea element nu mai este joc.

Elementele de joc pot apărea sub formă de:

1- întrecere – individual sau pe grupe

2 – cooperare – spiritul de colectivitate

3 – recompensare – recompensele să fie de ordin moral, astfel să nu diminueze interesul pentru joc și să se rezume doar la obținerea recompensei.

4 – penalizare – să nu se accepte abaterile de la regulile jocului.

Alte elemente de joc pot fi aplauzele și cuvintele stimulatorii.

Elementele de joc se împletesc strâns cu sarcina didactică și mijlocesc realizarea ei în cele mai bune condiții. Se pot organiza jocuri în care întrecerea, recompensa sau penalizarea să nu fie evidente.

De exemplu în Jocul cifrei 1, obiectivul urmărit este acela de consolidare a noțiunilor referitoare la cifra 1. Aici elementul de joc este acela de întrecere între elevii clasei și urmărește în plus și formarea deprinderii de mânuire a bețișoarelor. Sarcina didactică este aceea ca fiecare elev să formeze pe bancă din cele 10 bețișoare cifra 1. Cel care termină primul este câștigătorul jocului și este recompensat cântându-i o strofă dintr-un cântec, iar ultimul primește o “pedeapsă” din partea clasei să spună o ghicitoare, să cânte, să recite.

d) Conținutul matematic al jocului este subordonat particularităților de vârstă și sarcinii didactice. Trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv. Prin forma în care se desfășoară, prin mijloacele de învățământ utilizate, prin volumul de cunoștințe la care apelează.

Conținutul didactic se referă la următoarele conținuturi matematice:

– mulțimi

– operații cu mulțimi

– elemente de logică

– relații de ordine

– relații de echivalență

– numere naturale

– operații cu numere naturale

– unități de măsură

– elemente de geometrie spațială

e) Materialul didactic să fie ales din timp, să fie corespunzător, să contribuie la reușita jocului, să fie variat. Jocurile didactice pot folosi drept material ajutător obiecte (creioane, cărți, baloane, jucării) sau materiale luate din natură (flori, pietricele, ghinde. castane), dar mai frecvent folosim:

– jetoane cu desene, cu numere, cu operații;

– figuri geometrice (trusa “Logi I sau II”);

– planșe;

– riglete, alte materiale confecționate.

Materialul didactic trebuie să fie mobil, putând fi ușor de mânuit de către copii și să conțină o problemă didactică de rezolvat.

f) Regulile jocului – Fiecare joc didactic are cel puțin două reguli, numite generic regula I și regula II:

• prima regulă traduce sarcina didactică într o acțiune concretă, atractivă și astfel exercițiul este transpus în joc;

• a doua regulă a jocului didactic are rol organizatoric și precizează cine conduce jocul, momentul când trebuie să înceapă sau să se termine o anumită acțiune a jocului, ordinea în care trebuie să se intre în joc, modul de organizare a colectivului de elevi și a spațiului de învățare etc.

Regulile trebuie să fie formulate clar, corect, să fie înțelese de elevi și în funcție de reguli se stabilesc și rezultatele jocului – punctajul. Acceptarea și respectarea regulilor jocului îl determină pe copil să participe la efortul comun al grupului din care face parte. Subordonarea intereselor personale celor ale colectivului, lupta pentru învingerea dificultăților, respectarea exemplară a regulilor de joc și în general succesul vor pregăti treptat pe omul de mâine.

Școlarul mic este la vârsta curiozității, este la vârsta când trece da la o gândire intuitivă la o gândire operatorie, de la o memorie mecanică la una logică. Atenția este încă instabilă. Elevul obosește foarte repede. De aceea este nevoie să introducem în lecții jocul didactic. Lecțiile interesante, bogate în materiale intuitive și presărate cu jocuri didactice ajută elevii în aprofundarea cunoștințelor matematice, menținându-le mai mult timp concentrată atenția.

Strategiile jocului sunt strategii euristice în care școlarii mici își manifestă istețimea, inițiativa, răbdarea, îndrăzneala.

6.3. Organizarea și desfășurarea jocului didactic matematic

A) Pregătirea profesorului în vederea organizării și desfășurării jocului didactic matematic

Procesul de instrucție și educație – ca activitate conștientă, organizată și întreprinsă sistematic, orientată în direcția atingerii unor finalități – presupune o temeinică organizare a activităților și proceselor prin care se realizează. Complexitatea deosebită, multitudinea și varietatea proceselor și acțiunilor pe care le cuprinde, ca și realizarea treptată a scopurilor sale, fac necesară programarea și pregătirea minuțioasă a acesteia.

Educatorul trebuie să dețină o temeinică pregătire generală și o foarte atentă pregătire pentru lecție. Să aibă o bună pregătire psiho-pedagogică științifică și metodică, pentru a-l ajuta, în alegerea metodelor adecvate, necesare eficientizării lecției.

O activitate matematică în care se folosește jocul didactic devine ca o situație problemă, iar rezolvarea ei se află în pregătirea minuțioasă a acestei activități: în alegerea jocului matematic potrivit, în alegerea materialului corespunzător, în potrivirea momentului când trebuie folosit și felul cum se vor fructifica rezultatele.

B) Proiectarea, organizarea și desfășurarea metodică a jocului didactic matematic

Pentru buna desfășurare a jocului se au în vedere următoarele cerințe:

• pregătirea jocului didactic

• organizarea judicioasă a acestuia

• respectarea momentelor (evenimentelor) jocului didactic

• respectarea ritmului jocului, alegerea unei strategii de conducere potrivită

• stimularea elevilor în vederea participării la joc

• asigurarea unei atmosfere prielnice pentru joc

• varietatea elementelor de joc (complicarea jocului, introducerea altor variante de joc)

Pregătirea jocului didactic presupune în general următoarele:

– studierea atentă a conținutului acestuia, a structurii sale;

– pregătirea materialului didactic (confecționarea sau procurarea lui);

– elaborarea proiectului (planului) jocului didactic.

Organizarea jocului didactic matematic necesită o serie de măsuri. Astfel trebuie să se asigure o împărțire a elevilor în funcție de acțiunea jocului și uneori chiar o reașezare a mobilierului pentru reușita lui în sensul rezolvării pozitive a sarcinii didactice.

O altă problemă organizatorică este aceea a distribuirii materialului necesar desfășurării jocului. În general materialul se distribuie la începutul activității de joc și aceasta pentru următoarele motive:

– cunoscând (intuind) în prealabil materialele didactice necesare jocului respectiv copiii vor înțelege mult mai ușor explicația profesorului referitoare la desfășurarea jocului;

– există și jocuri didactice matematice în care materialul poate fi împărțit elevilor după explicarea jocului.

Organizarea judicioasă a jocului didactic are o influență favorabilă asupra ritmului de desfășurare a acestuia, asupra realizării cu succes a scopului propus.

Respectarea momentelor (evenimentelor) jocului didactic constituie o altă cerință pentru buna desfășurare a jocului.

Desfășurarea jocului didactic cuprinde, de regulă următoarele momente (etape):

a) introducerea în joc (discuții pregătitoare);

b) anunțarea titlului jocului și a scopului său;

c) prezentarea materialului didactic;

d) explicarea și demonstrarea regulilor de joc (executarea jocului demonstrativ);

e) fixarea regulilor (executarea jocului de probă);

f) executarea jocului de către elevi;

g) complicarea jocului (introducerea unui nou material didactic, introducerea unei/unor noi reguli, sau eliminarea unei/unor reguli, etc.);

h) introducerea de noi variante (schimbarea unor reguli, a materialului etc.);

i) încheierea jocului și evaluarea conduitei de grup sau individuale.

a) Introducerea în joc, ca etapă, îmbracă forme variate în funcție de tema jocului. Uneori, atunci când este necesar să familiarizăm copii cu conținutul jocului, activitatea poate să înceapă printr-o scurtă discuție cu efect motivant. Alteori introducerea în joc se poate face printr-o scurtă expunere sau descriere care să stârnească interesul și atenția elevilor. În alte jocuri introducerea se poate face prin prezentarea materialului sau anunțând direct titlul jocului.

b) Anunțarea jocului trebuie făcută sintetic, în termeni preciși, spre a nu lungi inutil începutul acestei activități.

c) Prezentarea materialului didactic trebuie făcută explicit axându-se pe obiectivele urmărite. Explicațiile trebuie date atât pentru materialul model cât și pentru cel individual, iar în timpul prezentării putem aplica și câteva exerciții de mânuire și folosire a materialului.

d) Explicarea jocului

Un moment hotărâtor pentru succesul jocului didactic este explicarea și demonstrarea acestuia. Profesorului îi revin următoarele sarcini:

– să facă pe elevi să înțeleagă sarcinile ce le revin;

– să precizeze regulile jocului asigurând însușirea lor rapidă și corectă;

– să prezinte conținutul jocului și principalele etape în funcție de regulile jocului;

– să dea explicații cu privire la modul de folosire a materialului didactic;

– să scoată în evidență sarcinile conducătorului și cerințele pentru a deveni câștigător.

Răspunsurile la întrebările jocului pot fi date prin acțiune sau prin explicații verbale.

În cazul când jocul se repetă, se renunță la explicații și se trece la desfășurarea jocului.

e) Fixarea regulilor.

Uneori, în timpul explicației, sau după explicație, se vor fixa regulile jocului. Acest lucru se recomandă, de regulă, când jocul are o acțiune mai complicată, impunându-se astfel o subliniere specială a acestor reguli. De multe ori fixarea regulilor nu se justifică, deoarece se împlinește formal, elevii reproducându-le în mod mecanic.

Profesorul trebuie să acorde o atenție deosebită copiilor care au o capacitate mai redusă de înțelegere sau acelora care au o exprimare mai greoaie.

f) Executarea jocului.

Jocul începe la semnalul conducătorului jocului. La început acesta intervine mai des în joc reamintind regulile jocului, dând unele indicații organizatorice. Pe măsură ce înaintează în joc sau copiii capătă experiența jocurilor matematice, propunătorul acordă independență copiilor, lăsându-i să se acomodeze liber.

Se deprind, în general, două moduri de a conduce jocul elevilor:

– Conducerea directă (propunătorul având rol de coordonator)

– Conducerea indirectă (propunătorul ia parte activă la joc fără să interpreteze rolul de conducător)

Pe parcursul desfășurării jocului, propunătorul poate trece de la conducerea directă la cea indirectă sau le poate alterna.

Totuși, chiar dacă propunătorul nu participă direct la joc, sarcinile ce-i revin sunt deosebite.

Astfel, în ambele cazuri propunătorul trebuie:

– să imprime un anumit ritm jocului (timpul este limitat);

– să mențină atmosfera de joc;

– să urmărească evoluția jocului evitând momentele de monotonie, de stagnare;

– să stimuleze inițiativa și inventivitatea copiilor, să-i lase să-și confrunte părerile, să caute singuri soluții, să învețe din propriile greșeli. Dădăceala nu are ce căuta în astfel de activități, ea fiind profund dăunătoare;

– să controleze modul în care elevii rezolvă sarcina didactică respectându-se

regulile stabilite;

– să creeze condiții necesare pentru ca fiecare elev să rezolve în mod independent sau în cooperare sarcinile;

– să urmărească comportarea elevilor, relațiile dintre ei, propunătorul neimpunând un anumit sistem de lucru. Expresii ca “Fă așa”, “așază piesa aici”, “nu e bine cum faci” nu sunt indicate a fi folosite de propunător. Nu toate procedeele indicate de adulți sunt accesibile copilului. De multe ori copilul înțelege mai bine când îi explică un alt copil.

– propunătorul nu are rol de “a preda” cunoștințele sau de a prezenta de-a gata soluțiile unor probleme, el provoacă doar anumite probleme, anumite situații în fața cărora sunt puși copii. Calea de rezolvare trebuie descoperită de copil, ea fiind doar (în caz de necesitate) sugerată în mod discret.

– să activeze toți copiii la joc, găsind mijloace potrivite pentru a-i antrena și pe cei timizi;

– să urmărească felul în care se respectă regulile jocului.

Sunt situații când pe parcursul jocului pot interveni elemente noi:

Autoconducerea jocului (copiii devin conducătorii jocului, îl organizează în mod independent);

Schimbarea materialului didactic între elevi (pentru a le da posibilitate să rezolve probleme cât mai diferite în cadrul aceluiași joc);

– Complicarea sarcinilor jocului;

– Introducerea unor elemente noi;

– Introducerea unor materiale noi.

Rolul nu se reduce la contemplarea situației în care a fost pus. Copilul reflectă asupra acestei situații, își imaginează singur diferite variante posibile de rezolvare, își confruntă propriile păreri cu cele ale colegilor săi, rectifică eventualele erori. Copilul studiază diverse variante care duc la rezolvare, alegând-o pe cea mai avantajoasă, mai simplă și creează pe baza ei unele noi alternative de rezolvare, pe care să le formeze corect și coerent. Copilul are deplina libertate în alegerea variantelor de rezolvare, el trebuie totuși să motiveze alegerea sa, arătând, în fața colegilor, avantajele pe care le prezintă ea;

În timpul jocului s-ar putea face și unele greșeli. Copilul învață multe lucruri corectându-și propriile greșeli; dacă nu poate el îl vor ajuta colegii. Profesorul nu poate interveni decât cu sugestii;

În desfășurarea jocului este esențială activizarea conștientă de continuă căutare, de descoperire a soluțiilor, verbalizarea acțiunilor, exprimarea rezultatelor obținute, deși sunt importante, nu se situează pe același plan cu activitatea însăși, putându-se folosi vocabularul comun.

i) Încheierea jocului

În final, propunătorul formulează concluzii și aprecieri asupra felului în care s-a desfășurat jocul, asupra modului în care s-au respectat regulile de joc și s-au executat sarcinile primite, asupra comportamentului elevilor, făcând unele recomandări și evaluări cu caracter individual și general.

Jocul didactic matematic poate fi organizat cu succes la orice tip de lecție și în orice clasă a ciclului primar, dar mai ales la clasa I.

Temă

1. Enumerați cel putin 3 dintre caracteristicile unui joc.

2. Definiți, folosind cuvinte proprii, jocul didactic.

3. Prezentați caracteristicile unui joc didactic matematic.

4. Enumerați cel putin 3 aspecte formative induse de jocul didactic matematic.

5. Prezentați locul și rolul jocului didactic în lecția de matematică.

6. Găsiți sau inventați un joc didactic matematic având ca scop consolidarea numerației într-un concentru dat.

CAPITOLUL 7 Materiale și mijloace didactice specifice activităților matematice

7.1. Mijloacele didactice utilizate la matematică

Mijloacele didactice sunt elemente materiale adaptate sau selectate în scopul îndeplinirii sarcinilor instructiv-educative, încărcate cu un potențial pedagogic și cu funcții specifice.

Pornind de la faptul că mijloacele de învățământ sunt instrumente în procesul de învățare, ele se pot clasifica în două mari categorii:

Mijloace de învățământ care includ mesaj sau informație didactică;

Mijloace de învățământ care facilitează transmiterea mesajelor sau a informațiilor;

Din prima categorie fac parte acele mijloace care redau sau reproduc informațiile pentru activitatea de învățare, atât pentru formarea unor reprezentări sau imagini, cât și prin exersarea unor acțiuni necesare în vederea formării operațiilor intelectuale.

În ultimii ani, învățământul primar utilizează manuale de matematică care au păstrat tematica anterioară, clasică, prezentată în alternative diferite, pe de o parte, iar pe de altă parte și-au lărgit tematica cu subiecte noi, specifice perioadei de dezvoltare a societății și a copiilor. Pe lângă manual sunt propuse și diverse caiete pentru elevi, ca material auxiliar, cu menirea de a-i ajuta în învățare. Au apărut și diferite publicații cu teste, fișe, care au menirea de a-l ajuta pe elev să-și verifice cunoștințele, priceperile și deprinderile, să-și cunoască propriile performanțe sau lacune. Culegerile de exerciții și probleme ajută elevul în fixarea deprinderilor și priceperilor deja însușite. Ele conduc la obținerea de performanțe în învățarea activă a matematicii.

Dacă aceste mijloace sunt folosite de elev sub directa îndrumare a profesorului, eficiența învățării matematicii atinge cote maxime.

Prin prezentarea publicațiilor de teste, fișe și a culegerilor de exerciții și probleme, am intrat de fapt și în sfera mijloacelor care facilitează transmiterea mesajelor și informațiilor.

Alte mijloace de învățământ sunt:

– materiale grafice și figurative – scheme, grafice, diagrame, fotografii, planșe, benzi desenate (vezi Organizatorii grafici)

– modele substanțiale, funcționale și acționale (blocurile logice, riglete, numere în culori, tabla magnetică cu modelele aferente, jetoane ștampilate);

Tabla rămâne și ea un mijloc didactic foarte folosit în procesul instructiv-educativ.

Mijloacele tehnice de instruire sunt considerate ansambluri de procedee mecanice, optice, electrice și electronice, de înregistrare, păstrare și transmitere a informației.

Mijloacele tehnice de instruire se pot clasifica după analizatorul solicitat astfel: vizuale; auditive; audiovizuale.

După caracterul static sau dinamic al imaginii ele pot fi: statice (epidiascopul, retroproiectorul); dinamice (filmul, televiziunea, calculatoarele electronice);

Mijloace tehnice vizuale sunt:

– aparate – epiproiectorul, epidiascopul, diascopul, aspectomatul, aspectarul, retroproiectorul, videoproiectorul, camera de luat vederi și instalația video;

– materiale – pentru proiecția cu aparate video, documente tipărite, documente rare (manuscrise, pergamente), diapozitive, diafilme, microfilme, folii pentru proiecție, casete video etc.

Mijloacele tehnice audio frecvent utilizate în școală sunt: radioul, pick-up-ul, magnetofonul, casetofonul, reportofonul, playerul CD, MP3 etc.

Mijloacele tehnice audio-vizuale sunt: televizorul, videocasetofonul în conexiune cu un monitor TV sau videoproiector.

Diferitele funcții pedagogice ale mijloacelor didactice determină o nouă clasificare a acestora în:

• mijloace informativ-demonstrative care servesc la exemplificarea, ilustrarea și concretizarea noțiunilor matematice și care sunt constituite din:

– materiale intuitive ce ajută la cunoașterea unor proprietăți ale obiectelor, specifice fazei concrete a învățării;

– reprezentări spațiale și figurative, corpuri și figuri geometrice, desene (specifice rezolvării problemelor după imagini);

– reprezentări simbolice, reprezentări grafice introduse de profesor în faza semiabstractă de formare a unor noțiuni (simbolizările elementelor unor mulțimi, conturul mulțimii, cifrele și simbolurile aritmetice).

• mijloace de exersare și formare de deprinderi – din această categorie fac parte jocurile de construcții, rigletele Cuisenaire.

• mijloace de raționalizare a timpului – constituite din șabloane, jetoane, ștampile, folosite de copii în activitățile matematice. Acestea se folosesc atât în activitățile frontale, cât și în cele individuale.

Școlarul mic are o gândire preponderent intuitivă, operează la nivel concret cu mulțimi obiectuale și în acest mod pătrunde sensul conceptului fundamental de mulțime și își însușește logica acestuia. De aceea, atât mijloacele, cât și materialele didactice trebuie să fie cât mai variate și mai reprezentative.

Pe lângă materialul didactic confecționat cu mijloace proprii, profesorul are posibilitatea să aleagă, funcție de obiectivul urmărit și tipul de activitate, o gamă variată de mijloace didactice.

Considerăm utilă enumerarea câtorva dintre aceste instrumente de lucru ce favorizează și sprijină însușirea și formarea noțiunilor matematice în școală:

Rigletele Cuisenaire – conțin riglete în 10 culori și lungimi de la 1 cm la 10 cm, simbolizând numerele naturale de la 1 la 10. Fiecare număr este reprezentat printr-o rigletă de o anumită lungime și culoare:

Numărul 1 – rigletă de culoare albă – un cub cu latura de 1 cm, iar numărul acestora este mai mare de 10 (12-50).

Numărul 2 – rigletă de culoare roșie – lungime 2 cm, formată din două unități, cuburi cu latura de 1 cm.

Numărul 10 – rigletă de culoare portocalie – lungime 10 cm, formată din 10 unități, cuburi cu latura de 1 cm, 10 bucăți.

Folosirea rigletelor oferă mai multe avantaje:

• fundamentează noțiunile de număr și măsură; asocierea dintre culoare-lungime-unitate ușurează însușirea proprietăților cardinale și ordinale ale numărului;

• oferă posibilitatea copilului de a acționa în ritm propriu, potrivit capacităților sale, descoperind independent combinații de riglete, ce îl conduc spre înțelegerea compunerii, descompunerii numărului, dar și a operațiilor aritmetice.

• asigură înțelegerea relațiilor de egalitate și inegalitate în mulțimea numerelor naturale, a operațiilor aritmetice; copilul poate să afle lungimea părții neacoperite când se suprapun două riglete de lungimi diferite.

• asigură controlul și autocontrolul în rezolvarea fiecărei sarcini prin caracterul structural al materialului;

• oferă copilului posibilitatea de a acționa, a aplica, a valorifica, a înțelege, asigurându-se astfel formarea mecanismelor operatorii.

În mod tradițional, rigletele sunt folosite în lecțiile de matematică în clasa I. Datorită multiplelor avantaje de ordin pedagogic și ușurinței în folosire, utilizarea acestora la grupa mare și la cea pregătitoare favorizează sistematizări la număr și numerație și determină transformări calitative în achiziția acestui concept.

Jetoanele – este vorba de jetoane colorate (cel puțin patru culori). Acest material are avantajul că este ieftin și la îndemână. De asemenea, el este foarte ușor de mânuit. Jetoanele vor fi folosite pentru exerciții de schimb (pentru constituirea noțiunii de bază) și apoi pentru reprezentarea (urmată sau precedată de scriere) a diferitelor numere.

Abacul

Abac (sau abàc din lat. abacus, gr. άβαξ-ακoς "tăbliță" ) este o tăbliță dreptunghiulară, folosită de oameni în antichitate pentru efectuarea calculelor.

Cuvântul provine de la semiticul abq, care înseamnă pulbere (praf) sau, mai exact, nisip; după altă etimologie de la grecescul abaks-abakion, care înseamnă tablă sau tăbliță; în latină abacus.

Abacul roman avea două serii de opt baghete pe care culisau jetoane sau bile găurite (abaculi), care arătau progresiv, de la dreapta la stânga, unciile (subunitățile), unitățile, zecile, sutele până la milioane. În imaginea alăturată este reconstituit un abac din epoca romană realizat de muzeul Römisch-Germanisches Zentralmuseum în 1977. Originalul în bronz este păstrat la Bibliothèque nationale de France, la Paris.

Abacul chinezesc (suàn pán) este compus din două serii a câte 13 baghete pe care culisau biluțe găurite, 2 deasupra împărțirii (cu valoare de 5) și 5 dedesubt (cu valoare de 1). Prima baghetă de la dreapta reprezenta unitatea, apoi, la stânga, zecile și tot așa mai departe conform sistemului zecimal. Abacul era în China deja din sec. al XIII-lea, răspândindu-se în uzul comun abia după sec. al XIV-lea. Cheng Dawei a scris un manual de folosire a abacului în secolul al XVI-lea.

Abacul japonez (soroban), este compus din 25 de fire verticale a câte 5 bobițe împărțite în patru grupe, în plus mai are o tijă orizontală. Bobițele de sub tijă au valoare de 1, cele de deasupra au valoare de 5. Mutând bobițele cu valoare (report) semidecimală, pot fi efectuate toate operațiunile aritmetice și multe din operațiunile algebrice.

Abacul japonez este cel mai rapid dintre toate abacele. Unul din scopurile finale este calculul mintal (fără un soroban în față) – ceea ce japonezii denumesc anzan, iar un utilizator antrenat face operațiuni complexe, în minte, extrem de rapid. Campionul Japoniei poate aduna mintal 10 numere de câte 5 cifre fiecare, în numai 3 secunde.

Un soroban japonez: cele 10 coloane din imagine afișează numărul 1 234 567 890

Abacul supraviețuiește încă în Japonia, China și Rusia, folosit ca instrument auxiliar pentru contabili, negustori ș.a.

Abacul rus (pe ultimele trei tije sunt reprezentate zecimi, sutimi și miimi).

Numărătoarea

În alte țări abacul este folosit numai ca instrument didactic pentru copiii de la grădiniță și din primii ani de școală. Folosirea abacului în școală este, din punct de vedere pedagogic, recomandată și foarte potrivită, întrucât îi ajută pe copii să acceadă la conceptul abstract de număr plecând de la obiecte concrete.

Numărătoarea de poziționare (abacul cu tije verticale – pentru predarea numerației și a operațiilor de adunare și scădere)

Acesta are un număr de 10 tije verticale care conțin, fiecare, câte 10 jetoane colorate (culorile sunt aceleași pentru o clasă de numerație). Fiecare tijă corespunde unui ordin de numerație (prima tijă din dreapta corespunde unităților, a doua, zecilor etc.). Cu ajutorul său se pot reprezenta numere date, sau, invers, se poate cere numirea, sau scrierea, unor numere reprezentate pe abac cu ajutorul jetoanelor. Se poate folosi și pentru introducerea adunării și scăderii fără și cu trecere peste ordin.

Minicalculator (Papy)

Acest material, se compune din plăci pătrate împărțite în patru regiuni: una albă, una roșie, una roz și una maro. Numerele de la 0 la 9 sunt reprezentate în baza 2.

Două jetoane în regiunea albă echivalentă cu un jeton în regiunea roșie; două jetoane în regiunea roșie corespund la un jeton în regiunea roz; două jetoane în regiunea roz se înlocuiesc cu un jeton în regiunea maro.

Iată reprezentarea numerelor de la 0 la 9.

Pentru a reprezenta numerele în baza 10, se adaugă o a doua regulă: de fiecare dată când un jeton se află în regiunea maro și un altul în cea roșie, ele vor fi înlocuite cu un singur jeton în regiunea albă al unei a doua plăci (placa zecilor) pe care o plasăm la stânga primei plăci. Minicalculatorul permite efectuarea operațiilor.

Placa zecilor Placa unităților

7.2. Materialul didactic utilizat la matematică

Materialul didactic are un rol prioritar în cadrul strategiei didactice. Elasticitatea strategiei este dată nu numai de bogăția și mobilitatea metodelor, ci și de folosirea flexibilă a materialului didactic solicitat de particularitățile metodice ale fiecărei situații de învățare sau secvență a lecției.

Termenul material didactic desemnează atât obiectele naturale, originale, cât și pe cele concepute și realizate special pentru a substitui obiecte și fenomene reale.

Ceea ce oferă eficiență materialului didactic este posibilitatea de a realiza o legătură permanentă între activitatea motrice, percepție, gândire și limbaj în etapele de realizare a sarcinilor didactice.

Manipularea obiectelor este impusă de particularitățile copiilor, care sunt tributari situațiilor concrete, și conduce mai rapid și mai eficient la formarea percepțiilor. Manipularea cu obiecte este un punct de plecare (și nu de sosire) și totodată un mijloc de revenire atunci când apar nesiguranțe, dificultăți de înțelegere, de aplicare și de a putea trece apoi la manipularea imaginilor și numai după aceea se continuă cu simboluri (aceasta fiind calea pentru accesul copiilor spre noțiuni abstracte).

Din punct de vedere psihologic, materialul didactic, corelat cu calitatea acțiunii în momentul perceperii, ajută la perfecționarea capacității perceptive. Astfel, descrierea imaginii se realizează la un nivel superior atunci când copilul nu se rezumă să o observe, ci indică și ceea ce vede. Astfel, descrierile copiilor devin mai organizate, abaterile de la sarcină sunt mai puțin frecvente. Ca efect al exersării pe un material didactic adecvat, are loc perfecționarea actului perceptiv. În caz contrar, inerția activității cognitive se explică printr-o lipsă de perfecționare a percepției în procesul contactului repetat cu un obiect.

În folosirea materialului concret ca sprijin pentru formarea noțiunilor, este necesar să se țină seama de faptul că posibilitățile de generalizare și abstractizare ale copilului sunt limitate. Din această cauză, trebuie eliminate orice elemente de prisos din materialul intuitiv și din acțiunile efectuate, care ar putea orienta gândirea spre elemente întâmplătoare, neesențiale. Selecționarea strictă a materialului intuitiv, utilizarea lui într-un sistem economic și logic organizat sunt mai importante decât folosirea unui material didactic abundent.

La școlarul mic apar dificultăți de diferențiere, de separare a obiectului de fond – el nu sesizează că anumite obiecte se situează în prim plan, la un moment dat, în raport cu celelalte. Acum el își concentrează atenția asupra stimulilor relevanți și, din punct de vedere perceptiv, forma prezintă variabilitate mai puțin consistentă decât culoarea, care este însă mai dinamică, mai sugestivă și se impune mai direct în câmpul perceptiv.

Raportul de dominanță formă-culoare depinde și de modul în care culoarea este distribuită pe suprafața obiectului. Dacă obiectul este colorat într-o singură tonalitate, uniform distribuită, se produce un efect de adaptare la culoare, care trece culoarea pe planul doi în percepție, iar forma devine dominanta perceptivă. Profesorul însoțește acțiunea cu materialul didactic cu explicații, iar activitatea este dirijată. Gândirea fiind concret-intuitivă, imaginea constituie suportul ei.

De multe ori, în activitățile matematice trebuie izolată una dintre proprietățile obiectului. Pentru aceasta se pregătesc obiecte identice în toate privințele, cu excepția unei singure calități, care variază. De exemplu, pentru aprecierea dimensiunilor, materialul didactic trebuie să aibă aceeași formă, culoare și să varieze numai elementul ce scoate în evidență dimensiunea. Acest procedeu izbutește să dea o mare claritate în actul de apreciere a dimensiunilor.

Materialul didactic bogat, variat, este un mijloc foarte eficient de comunicare între profesor și copil, căci dezvoltă capacitatea copilului de a observa și de a înțelege realitatea, de a acționa în mod adecvat. Se asigură conștientizarea, înțelegerea celor învățate, precum și motivarea învățării. În lecție, antrenează capacitățile cognitive și motrice și, în același timp, declanșează o atitudine afectiv-emoțională, favorabilă realizării obiectivelor propuse.

În realizarea unui obiectiv pedagogic apare astfel mai evident rolul metodelor și al materialului didactic comparativ cu alți factori ai procesului de învățământ. Astfel, materialul didactic:

• sprijină procesul de formare a noțiunilor, contribuie la formarea capacităților de analiză, sinteză, generalizare și constituie un mijloc de maturizare mentală;

• oferă un suport pentru rezolvarea unor situații-problemă ale căror soluții urmează să fie analizate și valorificate în lecție;

• determină și dezvoltă motivația învățării și, în același timp, declanșează o atitudine emoțională pozitivă;

• contribuie la evaluarea unor rezultate ale învățării.

Un anumit material didactic este cu atât mai eficient cu cât înglobează o valoare cognitivă și formativă mai mare, iar contextul pedagogic și metoda folosită determină eficiența materialului didactic prin valorificarea funcțiilor sale pedagogice.

1. Funcția de comunicare (informare). Copilul dobândește cunoștințe prin efort personal, sub directa îndrumare a cadrului didactic, pe baza unui material didactic cu rol de familiarizare a copilului în noul conținut.

2. Funcția ilustrativ-demonstrativă. Demonstrarea cu ajutorul materialului natural contribuie la formarea unor reprezentări și noțiuni clare, cu un conținut bogat și precis, favorizând trecerea la operarea cu material iconic.

3. Funcția formativ-educativă exersează capacitatea operațională a proceselor gândirii, contribuind astfel la realizarea unui învățământ formativ. Observarea devine explorare sistematică, iar analiza, sinteza, comparația sunt favorizate prin acțiunea directă a copilului pe material didactic. Atenția este activizată și percepția este stimulată prin activități senzoriale, ca bază a perceperii corecte a proprietăților obiectelor și, totodată, condiție primordială a dezvoltării proceselor psihice de cunoaștere.

4. Funcția stimulativă. Materialul didactic trezește interesul și curiozitatea pentru ceea ce urmează să fie cunoscut de către copii. Ei devin activi și interesați când trec la folosirea obiectelor și participă cu mai multă ușurință la discuții, căci materialul didactic suscită interes, trezește necesități noi de cunoaștere și acțiune, concentrează atenția și mobilizează efortul de învățare în timpul lecției.

5. Funcția ergonomică decurge din calitățile unor materiale didactice de a contribui la raționalizarea efortului copiilor în timpul desfășurării procesului de învățământ la limita valorilor fiziologice corespunzătoare dezvoltării somatice și psihice și le asigură ritmuri de învățare în concordanță cu particularitățile de vârstă ale copiilor.

6. Funcția de evaluare a randamentului învățării constă în posibilitatea oferită de materialul didactic de a pune în evidență rezultatele obținute de copii și de a ușura diagnosticarea și aprecierea progresele înregistrate de aceștia. Se pot obține astfel o serie de informații referitoare la rezultatele procesului didactic (cunoștințe stocate, capacități și deprinderi formate etc.). Se pot confecționa și utiliza materiale multifuncționale pentru crearea de situații-problemă, menite să testeze posibilitățile copiilor de a opera cu datele învățate. Aceștia vor trebui să identifice, să compare, să interpreteze situațiile nou-create, profesorul având astfel posibilitatea de a verifica răspunsurile primite.

Deci, pentru a-i imprima o finalitate pedagogică, materialul didactic trebuie conceput și realizat în așa fel încât să contribuie la antrenarea preșcolarilor în activitatea de învățare, să stimuleze participarea lor nemijlocită în dobândirea deprinderilor de aplicare a cunoștințelor în practică.

Pentru atingerea scopului formativ al mijloacelor de învățământ, trebuie îndeplinite o serie de condiții psihopedagogice.

Nivelul de satisfacere a obiectivelor cărora le este destinat mijlocul de instruire. Un element important în definirea calității pedagogice a unui material didactic îl reprezintă calitatea sa de a contribui la optimizarea corelației dintre factorii de ordin științific, metodic și psihologic implicați în conținutul materialului și în realizarea actului didactic. Integrat în actul de instruire, materialul didactic trebuie să ajute la parcurgerea fără obstacole a fiecăruia dintre nivelele de conceptualizare pentru orice achiziție matematică, deoarece are un rol determinant în dobândirea nivelului concret, identificator și clasificator, în formarea reprezentărilor și conceptelor matematice. Aceasta presupune că profesorul trebuie să aleagă materialul didactic, mijloacele de învățământ utile în realizarea unui anume obiectiv, în funcție de etapele în care se formează orice reprezentare matematică. În etapa concretă, copilul manipulează obiecte concrete în scopul formării unor reprezentări matematice concrete și clare. În etapa semiconcretă, profesorul va introduce materiale structurate (truse Diènes, riglete, figuri geometrice, piese magnetice), iar în etapa simbolică, obiectivul urmărit se atinge prin folosirea diagramelor și desenelor.

Calitatea estetică a mijloacelor de învățământ contribuie la realizarea unor obiective de ordin afectiv, la stimularea motivației de învățare, dar calitatea estetică trebuie să constituie un factor de întărire și nu de distragere a atenției copilului.

Dimensionarea în raport cu vârsta copilului: materialele didactice folosite de profesor trebuie să aibă și indici de vizibilitate adaptați spațiului și vârstei. Același material folosit demonstrativ va fi suficient de mare pentru a favoriza intuirea elementelor esențiale, conform scopului în care este utilizat, iar dacă este distributiv, atunci trebuie să aibă dimensiuni optime. Dacă va fi prea mare, va ocupa prea mult loc și va fi greu de folosit, iar dacă va fi prea mic, va crea dificultăți în manipulare, datorită faptului că musculatura mâinilor copilului nu este maturizată funcțional (îl va lua cu greutate, îl va scăpa jos, nu-l va putea plasa ușor în poziția solicitată în cadrul rezolvării unei situații de învățare).

Folosirea unor tehnici de instruire care satisfac aceste criterii favorizează participarea copiilor la activitatea de instruire, asigură calitatea instructiv-educativă a mesajului transmis și dau valoare formativă comportamentului prin care copilul probează că și-a însușit cunoștințele transmise.

Materialul didactic nu trebuie folosit excesiv, ci trebuie treptat diversificat, pe măsura formării reprezentărilor matematice. Materialul intuitiv va fi folosit cu precădere în dobândirea cunoștințelor și diversificat în lecțiile de consolidare a cunoștințelor.

Varietatea materialelor didactice într-o activitate nu trebuie să fie prea mare, deoarece în acest caz se încarcă inutil lecția, se distrage atenția copiilor de la ceea ce este esențial și generalizările se realizează cu dificultate. Numărul optim de materiale didactice, ce pot fi folosite într-o activitate de dobândire de cunoștințe și priceperi este de minimum 2 și de maximum 4, cu necesară alternare demonstrativ/distributiv.

În acest sens, trebuie să se țină seama și de posibilitățile de mânuire a materialului, de anumite greutăți întâmpinate de copii în trecerea de la mânuirea unui material didactic la altul. De aceea, se impune ca materialul didactic individual să nu fie prea abundent, pentru a nu se pierde timpul cu mânuirea lui, trebuie să asigure perceperea clară și să fie ales în funcție de scopul propus.

Făcând parte din strategia didactică, mijloacele și materialele didactice intră în relație directă cu metodele.

Temă

2. Enumerați, folosind cuvinte proprii, principiile de bază în folosirea mijloacelor de învățământ.

3. Prezentați factorii determinanți în activitatea de confecționare a materialului didactic.

4. Concepeți diferite alternative metodologice pentru predarea-învățarea diferitelor conținuturi din manualele alternative de matematică și analizați mijloacele de învățământ care pot fi utilizate pentru atingerea obiectivelor propuse.

CAPITOLUL 8: Evaluarea progresului școlar la matematică

8.1. Forme de evaluare

În procesul educației se disting trei componente: predarea, învățarea și evaluarea. Acest proces depinde în mare măsură de modul în care este proiectată evaluarea.

În funcție de criteriul folosit pentru clasificare (timp, sau scop), putem vorbi despre următoarele trei modalități de realizare a evaluării:

evaluarea inițială, diagnostică, sau predictivă;

evaluarea continuă, sau formativă;

evaluarea finală, cumulativă, sau sumativă.

Evaluarea inițială (diagnostică, sau/și predictivă) se aplică de obicei la început de ciclu școlar, la începutul fiecărui an școlar, sau la începutul unei unități de învățare, pentru a depista nivelul cunoștințelor, al deprinderilor și priceperilor elevilor în momentul respectiv.

Evaluarea continuă sau formativă îmbracă diferite forme, determinate fie de vârsta elevilor, fie de volumul de cunoștințe, priceperi și deprinderi cu care operează aceștia, disciplina de învățământ, programa școlară și manualul folosit. Ea are loc pe tot parcursul desfășurării procesului de învățământ și are caracter permanent.

În cadrul orelor de matematică se folosesc diferite metode și procedee de evaluare formativă, dintre care menționăm:

a) Observarea și aprecierea verbală. Se face zilnic, în orice moment al lecției, pentru stimularea elevilor prin calificative orale de tipul foarte bine, bine, ai făcut progrese, etc.

b) Chestionarea orală, o formă de conversație prin care se estimează cantitatea și calitatea cunoștințelor, a priceperilor și deprinderilor elevilor și a capacităților de a opera cu ele.

c) Probe scrise care permit verificarea cunoștințelor unui număr mare de elevi într-un timp scurt. În evaluările de scurtă durată (5 – 10 minute) se dau elevilor spre rezolvare exerciții, probleme pregătite anterior, privind aspectele esențiale ale lecției. Elevii vor completa răspunsurile pe foile multiplicate în prealabil sau copiate de la tablă, apoi, uneori, vor schimba între ei foile, caietele, corectând răspunsurile și notându-le conform baremului anunțat.

d) Verificarea prin lucrări practice se realizează, în special, la conținiturile Unități de măsură și Elemente de geometrie.

Evaluarea finală, cumulativă, sau sumativă se face la intervale mai mari de timp.

Noile alternative de evaluare aduc inovații, sub aspectul principiilor și normelor unitare de aplicare în activitatea de evaluare a progresului școlar. Principala caracteristică a evaluării este posibilitatea utilizării tuturor metodelor și tehnicilor de evaluare, pe care profesorul le are la dispoziție. Fie că este vorba de metodele tradiționale de apreciere a progresului școlar (probe orale, scrise, practice, teme pentru acasă) sau de metode alternative (investigația, observarea sistematică a comportamentului școlar, proiectul, portofoliul, autoevaluarea), profesorul este cel care le va alege pe cele mai potrivite obiectivelor instruirii, disciplinei de învățământ, tipului de conținut și particularităților de vârstă.

Învățarea și dezvoltarea sunt în mod constant în schimbare. În consecință, cadrele didactice trebuie să aibă în vedere o evaluare permanentă. Evaluarea continuă care se desfășoară în contextul activităților la clasă poate oferi o imagine exactă, corectă și reprezentativă a capacităților și progresului copiilor.

Evaluarea reală, autentică, spre deosebire de evaluarea performanțelor, este o formă de evaluare care are loc continuu în contextul unui mediu de învățare semnificativ, în dezvoltare. Aceasta reflectă experiențele reale și demne de reținut in procesul învățării, care pot fi documentate prin observații, întâmplări consemnate, jurnale, caiete de observație, mostre de lucru propriu-zise, ședințe, fișe ale elevilor, rezultatele în îndeplinirea unor sarcini, și alte metode. Evaluarea autentică este folositoare elevilor și se desfășoară în paralel cu procesul învățării, fiind o condiție primordială a dezvoltării elevului.

Reflecțiile recente privind evaluarea subliniază importanța descoperirii a ceea ce copii știu și pot face și se concentrează mai puțin asupra a ceea ce copii nu știu și nu pot face. Dacă dorim cu adevărat să știm de ce sunt capabili elevii noștri, trebuie să-i observăm cum își îndeplinesc ei sarcinile în situații obișnuite, unde au numeroase ocazii de a-și demonstra cunoștințele și aptitudinile, mai degrabă decât să se bazeze numai pe teste scrise. Perspectivele asupra evaluării trebuie corelate cu gradul de dezvoltare a copilului, pentru a furniza o imagine mai cuprinzătoare asupra capacităților și realizărilor sale; rezultatele testelor nu sunt elocvente în acest sens.

Principalul scop al evaluării este să urmărească progresul copilului și să stabilească exact la ce nivel de dezvoltare se află fiecare elev în parte, astfel încât parcurgerea programei să vină în întâmpinarea nevoilor copiilor, priviți individual, și să asigure succesul experiențelor tuturor.

Identificarea copiilor cu nevoi speciale și care ar putea necesita sprijin ori intervenții suplimentare, reprezintă un alt obiectiv al evaluării.

Evaluarea trebuie să asigure o interdependență activă între ceea ce se predă și ceea ce se învață în cursul procesului de instruire.

Evaluarea autentică trebuie:

Să valorifice punctele forte ale fiecărui elev, în loc să-i detecteze erorile;

Să furnizeze procesului de instruire indicații asupra a ceea ce trebuie predat și asupra modului în care să se facă predarea;

Să reprezinte o componentă permanentă a procesului de instruire;

Să fie multidimensională, axată atât asupra dezvoltării sociale și afective a copilului, cât și asupra celei cognitive;

Să includă rezultatele colaborării active dintre părinți și profesori, precum și dintre profesori și copii;

Să accentueze importanța învățării;

Să promoveze un învățământ optimal, care să asigure succesul pentru toți elevii;

Să fie corect înțeleasă de elevi și de părinții lor.

8.2. Metode alternative de evaluare

Practicile de evaluare elaborate în conformitate cu gradul de dezvoltare a copilului mic trebuie să ofere multe informații despre dezvoltarea fizică, socială, afectivă și intelectuală a copiilor. Metodele informale de evaluare, ca de exemplu observația directă, consemnarea unor întâmplări, seturile cu mostre din lucrările copiilor, ajută la aprecierea a ceea ce știe și trebuie să facă un copil. Folosirea acestor metode de evaluare este crucială, ca garanție a faptului că predarea și evaluarea sunt complementare și că sunt folosite procedee potrivite gradului de dezvoltare a copilului.

Observarea sistematică a elevilor – poate fi făcută pentru a evalua performanțele elevilor, dar mai ales pentru a evalua comportamente afectiv-atitudinale.

Caracteristicile care pot fi evaluate sunt:

concepte și capacități

organizarea și interpretarea datelor

selectarea și organizarea corespunzătoare a instrumentelor de lucru

descrierea și generalizarea unor procedee, tehnici, relații

utilizarea materialelor auxiliare pentru a demonstra ceva

identificarea relațiilor

utilizarea calculatorului în situații corespunzătoare

atitudinea elevilor față de sarcina dată

concentrarea asupra sarcinii de rezolvat

implicarea activă în rezolvarea sarcinii

punerea unor întrebări pertinente profesorului

completarea/ îndeplinirea sarcinii

revizuirea metodelor utilizate și a rezultatelor

comunicarea: discutarea sarcinii cu profesorul în vederea înțelegerii acesteia

Această formă de evaluare este eficientă în a determina ce și cât pot învăța școlarii mici. Profesorul adună multe informații valide și credibile, în timpul activităților zilnice de la clasă, observându-i pe copii obiectiv și documentându-și observațiile. Această informație alimentează judecățile făcute asupra copiilor și a metodelor de instruire potrivite.

Toți profesorii practică observarea continuă. Din necesități de evaluare, observațiile sunt uneori informale și nu includ documentarea; alteori, ele se fac cu un scop precis, ca de exemplu pentru a ne documenta dacă elevul a căpătat o anumită deprindere sau a înțeles corect ceva. Observațiile formale și informale, cumulate, dau profesorilor o imagine clară asupra deprinderilor și capacităților fiecărui copil.

Exemple de metode de înregistrare a observațiilor:

Consemnarea unor evenimente;

Liste de verificare;

Fotografii;

Înregistrări audio;

Registre de inventar.

Pentru a evalua copii în mod corect, profesorul trebuie să efectueze observarea cu un scop specific. Pentru a fi eficiente, observațiile trebuie să fie înregistrate sistematic, obiectiv, selectiv, exhaustiv și atent.

Cu ajutorul observării și a documentării, profesorii obțin informații legate de nivelul de cunoștințe însușite și menținute de elevi. Evaluarea corectă, care este permanentă în context și folosește o varietate de tehnici, susține procesul de instruire și îmbogățește planificarea din programă.

Linii directoare care ajută profesorul să realizeze observații sistematice:

Să observe ce face copilul;

Să consemneze observațiile cât mai repede posibil;

Să observe copiii în locuri diferite, în momente diferite ale timpului petrecut la școală;

Să fie realiști în programarea informațiilor;

Să se concentreze asupra unui singur copil, o dată;

Să evite să se distingă în efectuarea observațiilor;

Să protejeze confidențialitatea;

Să aleagă un sistem practic de înregistrare a informațiilor.

Investigația reprezintă o situație complicată care nu are rezolvare simplă deși sarcina poate fi scurtă, timpul de lucru este relativ lung începe, se desfășoară și se termină în clasă poate fi individuală sau de grup

Presupune obiective care urmăresc:

înțelegerea și clarificarea sarcinilor

aflarea procedeelor pentru găsirea de informații

colectarea și organizarea datelor sau informațiilor necesare

formularea și testarea ipotezelor de lucru

schimbarea planului de lucru sau colectarea altor date dacă este necesar

scrierea unui scurt raport privind rezultatele investigației

caracteristici personale ale elevilor care pot fi urmărite:

creativitate și inițiativă

participarea în cadrul grupului

cooperare și preluarea conducerii/inițiativei în cadrul grupului

persistență

flexibilitate și deschidere către idei noi

dorința de generalizare

Prin investigație, profesorul poate urmări procesul, realizarea unui produs sau/și atitudinea elevului. Sarcinile de lucru adresate elevilor de către profesor în realizarea unei investigații, pot varia ca nivel de complexitate a cunoștințelor și competențelor implicate, după cum urmează:

Simpla descriere a caracteristicilor unor obiecte, lucruri desprinse din realitatea imediată sau fenomene observate direct de către elev și comunicarea în diferite moduri a observațiilor înregistrate, prin intermediul: desenelor, graficelor, tabelelor, hărților.

Utilizarea unor echipamente simple pentru a face observații, teste referitoare la fenomenele supuse atenției elevilor. Aceste observații constituie baza unor comparații adecvate între fenomenele respective sau între ceea ce au înregistrat direct și ceea ce au presupus că se va întâmpla (confirmarea sau nu a predicțiilor făcute).

Identificarea factorilor implicați în contextul supus observației, prin intermediul aparaturii specifice. Elevii pot repeta observațiile și măsurătorile pentru a oferi explicații pertinente diferențelor sesizate în derularea activității.

Pe baza înregistrării sistematice a observațiilor și rezultatelor măsurătorilor se emit concluzii prezentate într-o formă științifică și argumentată logic pentru confirmarea predicțiilor formulate.

Selectarea echipamentului adecvat realizării sarcinii, efectuarea unor serii de măsurători, înregistrarea observațiilor specifice, prezentarea acestora sub formă de concluzii, utilizând tabele, grafice și hărți sunt tot atâta operații care antrenează elevii într-o formă de activitate teoretico-practică cu puternice valențe formative.

Proiectul este o activitate mai amplă decât investigația care începe în clasă prin definirea și înțelegerea sarcinii (eventual și prin începerea rezolvării acesteia), se continuă acasă pe parcursul a câtorva zile sau săptămâni (timp în care elevul are permanente consultări cu profesorul/profesorul ) și se încheie tot în clasă, prin prezentarea în fața colegilor a unui raport asupra rezultatelor obținute și dacă este cazul, a produsului realizat. Proiectul poate fi individual sau de grup. Titlul/subiectul va fi ales de către profesor/profesor sau elevi.

Criterii de alegere a proiectului.

Elevii trebuie:

să aibă un anumit interes pentru subiectul respectiv;

să cunoască dinainte unde își pot găsi resursele materiale ;

să fie nerăbdători în a crea un produs de care să fie mândri;

să nu aleagă subiectul din cărți vechi sau să urmeze rutina din clasă ;

Capacitățile/competențele care se evaluează în timpul realizării proiectului:

metodele de lucru ;

utilizarea corespunzătoare a bibliografiei ;

utilizarea corespunzătoare a materialelor și a echipamentului ;

corectitudinea/acuratețea tehnică ;

generalizarea problemei ;

organizarea ideilor și materialelor într-un raport ;

calitatea prezentării ;

acuratețea schițelor/desenelor, etc.

Proiectul ca instrument de evaluare poate lua forma unei sarcini de lucru individuale sau de grup, ținând cont și de faptul că o bună parte a activității presupuse de acesta poate fi realizat și în afara orelor de curs.

Alegerea temei pentru proiect poate fi făcută de către profesor sau poate aparține elevului însuși.

În demersul de realizare a unui proiect următorii pași sunt foarte important de urmărit:

– Stabilirea domeniului de interes;

– Stabilirea premiselor inițiale – cadru conceptul, metodologic, datele generale ale investigației/anchetei;

– Identificarea și selectarea resurselor materiale;

– Precizarea elementelor de conținut ale proiectului.

Elementele de conținut ale proiectului se pot organiza după următoarea structură:

pagina de titlu

cuprinsul

introducerea

dezvoltarea elementelor de conținut

Pentru realizarea unei evaluări cât mai obiective a proiectului trebuie avute în vedere câteva criterii generale de evaluare, criterii care țin de aprecierea calității proiectului (sau de calitatea produsului), pe de o parte, și altele care țin de calitatea activității elevului (sau de calitatea procesului), pe de altă parte. Fiecare dintre cele două categorii de criterii obiectivează aspecte concrete care vizează modul de realizare și prezentare a unui proiect.

O modalitate de structurare a criteriilor de evaluare a unui proiect poate fi funcție de:

I. Stabilirea scopului/obiectivelor proiectului și structurarea conținutului;

II. Activitatea individuală realizată de către elev (investigație, experiment, anchetă );

III. Rezultate, concluzii, observații. Aprecierea succesului proiectului în termeni de eficiență, validitate, aplicabilitate etc.

IV. Prezentarea proiectului (calitatea comunicării, claritate, coerență, capacitate de sinteză etc.);

V. Relevanța proiectului (utilitate, conexiuni interdisciplinare).

Opțiunea pentru modul de definire a criteriilor de evaluare a unui proiect aparține în ultimă instanță profesorului, în funcție de nivelul de generalitate la care acesta dorește să-și plaseze demersul evaluativ.

Strategia de evaluare a proiectului, care este una de tip holistic, trebuie, la rândul ei, să fie clar definită prin criterii negociate sau nu cu elevii, astfel încât să valorizeze efortul exclusiv al elevului în realizarea proiectului.

Prezentăm în rândurile următoare un model de proiect care poate fi realizat la clasa I în semestrul al II-lea, având ca unitate tematică de studiu Pâinea. Pornind de la tema dată, se stabilesc sarcini de lucru pe discipline, grupele de elevi fiind împărțite pe criteriul abilităților pe care aceștia le posedă, conform teoriei inteligențelor multiple. Sarcinile au fost împărțite astfel:

Dezvoltarea vorbirii Lecturi de poezii sau cărți despre pâine;

Se redactează povestiri despre pâine;

Se compun scenete cu același subiect care urmează să fie jucate în clasă;

Se scriu rețete de pâine;

Se participă la studiul privind pâinea în întreaga școală;

Se scrie o carte informativă despre facerea pâinii;

Se discută despre ce știm și ce vrem să învățăm despre pâine (știu/vreau să știu/am învățat);

Se fac cărți despre pâine.

Artă

Se lucrează cu plastilina;

Se face un colaj cu boabe;

Se întocmesc meniuri de pâine pentru centrul dramatic;

Se confecționează bonete de brutar;

Se realizează un panou și o vizită la brutărie;

Se realizează decoruri pentru piesă.

Matematică

Se estimează numărul de felii dintr-o franzelă tăiată;

Se compun probleme având pâinea ca obiect;

Se înregistrează și se reprezintă grafic rezultatele studiului;

Se fac exerciții practice cu bani de diferite valori;

Se compară și se clasifică sortimente de pâine și prețurile lor;

Se estimează și apoi se cântăresc diferite sortimente de pâine; se discută rezultatele;

Se numără și se compară câte lopățele de făină intră în diferite cutii

Studii sociale

Se discută despre valori speciale ale pâinii (serbări, religie, tradiții de familie etc).

Se vizitează o brutărie sau o fabrică de pâine;

Se degustă și se discută despre pâine în diferite culturi: pâinea irlandeză, pita, matzal etc;

Se vizitează o moară sau o fabrică – se discută despre tehnologie și schimbare în producerea pâinii;

Se studiază istoria pâinii: interviuri cu bunicii; se efectuează vizite la diferite persoane implicate în fabricarea pâinii;

Pâinea ca aliment de bază la toate popoarele; despre nutriție.

Muzică și mișcare

Se reprezintă dospirea;

Se reprezintă momentul boabelor;

Pantomimă cu subiect – frământatul pâinii;

Se compune un dans al pâinii;

Se reprezintă o poveste despre pâine și se interpretează sceneta clasei despre pâine.

Științe

Se examinează și se observă grăunțele de grâu, germenii și tărâțele;

Se macină grăunțe de grâu ;

Se plantează semințe și se observă creșterea grâului;

Se realizează experiențe cu drojdia;

Experiențe cu aluat;

Se fac modele de grăunțe de grâu;

Se compară reacțiile prafului de copt și ale bicarbonatului cu apa;

Aspecte nutriționale ale pâinii.

Proiectul se poate desfășura pe toată perioada unui semestru.

Portofoliul – reprezintă o colecție exhaustivă de informații despre progresul școlar al unui elev, obținut printr-o varietate de metode și tehnici de evaluare

Utilitatea portofoliilor este dată de faptul că:

elevii devin parte a sistemului de evaluare și pot să-și urmărească, pas cu pas, propriul progres

elevii și profesorii/profesorii pot comunica (oral sau în scris) calitățile, defectele și ariile de îmbunătățire a activităților

elevii, profesorii/profesorii și părinții pot avea un dialog concret despre ceea ce elevii pot realiza, atitudinea față de o disciplină și despre progresul care poate fi făcut la acea disciplină în viitor

factorii de decizie, având la dispoziție portofoliile elevilor, vor avea o imagine mai bună asupra a ceea ce se petrece în clasă

Ce conține un portofoliu?

Selecții din însemnări care exemplifică reflecții, originalitate, culoare, pătrundere

Produse elaborate, variate tipuri

Produse care arată procesul de dezvoltare: început, planificare, revizuiri

Produse care indică interesele, stilul elevului și folosirea unei varietăți de inteligențe

Criteriile pe baza cărora munca va fi evaluată

Portofoliul de evaluare este o colecție a muncii unui elev, cuprinzând mostre ce ilustrează eforturile, progresele și realizările sale în timp. Atât elevul, cât și profesorul sunt implicați în selectarea mostrelor.

Evaluarea trebuie să se bazeze pe următoarele premise:

Trebuie să stimuleze acumularea de cunoștințe, înțelegerea și încrederea copilului în sine.

Să se axeze pe obiective importante și să implice multiple surse de informații.

Să se sprijine și să informeze asupra practicilor de instruire în conformitate cu gradul de dezvoltare a copilului.

Părinții și elevii sunt parteneri de bază în procesul de evaluare. Un proces de evaluare bine gândit trebuie să servească anumitor scopuri și are ca rezultat faptul că:

Elevii reflectează mai mult asupra lor înșiși și își controlează învățarea.

Profesorii se concentrează mai bine asupra procesului de instruire;

Profesorii hotărăsc care copii au nevoie de mai mult ajutor;

Părinții percep mai corect progresele copiilor, priviți ca persoane implicate în procesul învățării;

Conducătorii instituțiilor de învățământ înțeleg cum progresează în învățare grupurile de elevi;

Cadrele didactice cunosc exact nivelul elevilor evaluați prin acest model.

Portofoliile sunt stabilite printr-un proces care este oarecum subiectiv. Atunci când ajută la alegerea unor exemple ale realizărilor unui elev, profesorul își poate dori să reflecteze asupra următoarelor întrebări:

– Ce este bine pentru acest elev?

– Sunt calitățile dovedite în acest exemplu care demonstrează și progresul din cadrul studiului efectuat de copil?

– Ce legătură are acest exemplu de lucru cu alte exemple în portofoliul copilului?

Folosirea portofoliilor pentru reflectare și evaluare constituie o bogată sursă de informare privind creșterea și dezvoltarea copilului. Un portofoliu de evaluare este de valoare în primele clase pentru că oferă o înregistrare a procesului de studiu parcurs de copil.

În realizarea unui portofoliu se parcurg următorii pași:

1. Se stabilește tema și proiectul unui program de execuție și de evaluare (adică ce va cuprinde portofoliul).Acest pas se realizează împreună cu elevii, stabilindu-se exact ce va cuprinde. Exemplu: lucrări și exerciții realizate acasă într-un anumit interval de timp – un obiect, desen, colaj; rapoarte de observație, interviuri, recenzii etc.

2. Sub ce formă se realizează portofoliul (tip de dosar sau plic, casetă, cutie etc).

3. Cine face selecția (elevul sau grupul de elevi împreună cu profesorul).

4. Cine păstrează și unde se păstrează portofoliul.

Deosebit de important este să se stabilească liste de criterii în măsură să reflecte achizițiile școlare, reale și măsurabile, la nivelul vârstei și posibilităților copilului.

La matematică, la clasa a patra, se poate realiza împreună cu elevii un portofoliu care să conțină:

– rezultate obținute de elevi în urma aplicării unor evaluări (teste, probe practice etc.);

– investigații individuale sau de grup;

– biografii matematice;

– recenzia unei cărți;

– soluții la probleme deosebite;

– probleme compuse de elevi.

Autoevaluarea este scopul final al evaluării. Ea permită elevilor să se autoevalueze. Elevul este pregătit, din punct de vedere al dezvoltării, pentru a reflecta asupra propriei evoluții într-un anumit domeniu. Această reflecție poate fi îndrumată de profesor, care poate sprijini procesele de gândire cu întrebări și încurajări.

Autoevaluarea produselor realizate de elevi constituie o modalitate psihopedagogică cu largi valențe formative. Implicarea elevilor în aprecierea propriilor eforturi și rezultate are efecte benefice pe mai multe planuri. Astfel, după I.T. RADU consecințele pozitive sunt:

cadrele didactice dobândesc confirmarea aprecierilor lor în opinia elevilor, cu privire la rezultatele constatate;

elevul exercită rolul de subiect al acțiunii pedagogice, de participant la propria sa formare;

stimulează motivația intrinsecă față de învățătură și atitudinea responsabilă față de propria sa activitate;

îi ajută pe elevi să aprecieze rezultatele obținute și să înțeleagă eforturile necesare pentru atingerea obiectivelor stabilite.

Punctul central al evaluării este de a permite celui care învață să devină liber și independent. Reflecția elevului supra lui însuși este o parte integrantă a evaluării autentice.

Autoevaluarea poate să meargă de la autoaprecierea verbală și până la autonotarea mai mult sau mai puțin supravegheată de către profesor.

Calitatea autoevaluării realizată de profesor se repercutează direct asupra capacității de autoevaluare a elevului. Interiorizarea repetată a grilelor de evaluare cu care operează profesorul constituie o premisă a posibilității și validității autoaprecierii elevului. Pe lângă această modalitate implicită a capacității de autoevaluare, se pot utiliza căi explicite de formare și educare a spiritului de evaluare obiectivă. Următoarele posibilități pot fi folosite cu succes în cadrul lecției de matematică:

Autocorectarea sau corectarea reciprocă

Autonotarea controlată.

Notarea reciprocă.

Evaluarea efectuată de elev reprezintă un aspect important al procesului general al evaluării. Ea permite elevului să-și aprecieze propriul progres, să devină conștient de procesul și produsul învățării și să își asume responsabilitatea lui.

Caietele de observație, jurnalele, listele de verificare, inventariile, opiniile scrise ale elevului pe marginea muncii sale, toate indică progresul său. Copiii devin mai implicați în procesul învățării când profesorul îi ajută să-și stabilească obiective personale sau să-și evalueze propriul progres. Copiii doresc să știe ce așteaptă de la ei profesorii și părinții, cum sunt evaluați și cum se percepe progresul lor. Când sunt încurajați să-și stabilească propriile obiective, copiii își orientează ei înșiși procesul învățării.

Pentru a stimula tendința spre autoevaluare, elevilor li se pun următoarele întrebări, ale căror răspunsuri sunt consemnate ulterior, într-un jurnal:

Care din aptitudinile mele s-au îmbunătățit anul trecut?

La ce mă pricep mai bine?

Ce aptitudini îmi pot perfecționa?

Asupra cărui lucru mă voi axa anul acesta?

Ce sper să învăț anul acesta?

Atunci când profesorii le dau ocazia elevilor să se gândească la ceea ce au învățat, elevii devin conștienți de ceea ce au realizat sau ei știu ceva ce înainte nu știau. În procesul de reflecție, copii pot observa că au încercat ceva pentru prima dată. Atunci când ei analizează exemple ale muncii lor efectuate pe o perioadă de timp și recunosc progresul pe care l-au făcut, ei au dovada concretă a competenței lor

Întrebări pe care elevii ar trebui să și le pună:

– Există și un alt mod (metodă) de a rezolva această sarcină?

– Am rezolvat sarcina suficient de bine?

– Ce ar trebui să fac în pasul următor?

– Ce produs, care mă reprezintă, ar trebui sa-l pun în portofoliu?

Condiții necesare pentru formarea deprinderilor autoevaluative la elevi:

– prezentarea obiectivelor pe care elevii trebuie să le atingă

– încurajarea elevilor în a-și pune întrebările de mai sus și a da răspunsul în scris

– încurajarea evaluării în cadrul grupului

– completarea la sfârșitul unei sarcini importante a unor propoziții de genul:

– Am învățat…

– Am fost surprins de faptul că…

– Am descoperit că…

– Am folosit metoda… deoarece…

– In realizarea acestei sarcini am întâmpinat următoarele dificultăți…

8.3. Probe de evaluare elaborate de profesor

Prin probă, vom înțelege orice instrument de evaluare proiectat, administrat și corectat de către profesor.

Prin item, vom înțelege un element component al unei probe. De fapt, este vorba despre o sarcină de lucru, însoțită de răspunsul așteptat/anticipat.

Pentru elaborarea probelor, profesorul va avea în vedere următoarele întrebări:

– Ce tip de itemi trebuie construiți?

– Ce grad de dificultate trebuie sa aibă aceștia?

– Cum trebuie sa arate itemii din punct de vedere tehnic?

– Cum se va face asamblarea itemilor (relevanță, concizie)?

– Cum vor fi formulate instrucțiunile probei?

– Va măsura proba astfel construită un eșantion semnificativ de rezultate ale învățării?

Pentru probele scrise se folosesc următoarele tipuri de itemi:

Itemii obiectivi testează un număr și o varietate mare de elemente de conținut, dar, de cele mai multe ori, capacități cognitive de nivel inferior. Acest tip de itemi au următoarele caracteristici:

Fidelitate și validitate ridicate (sunt folosiți în teste standardizate);

Obiectivitate și aplicabilitate ridicate;

Scheme de notare foarte simple;

Timp scurt de răspuns și de corectare;

Posibilitatea utilizării unui număr mare de astfel de itemi într-un test

Dezavantaje:

elaborarea de distractori plauzibili și paraleli este dificilă

raționamentul prin care elevul ajunge la răspuns nu poate fi evidențiat (urmărit)

posibilitatea ghicirii răspunsurilor

familiarizarea elevilor cu această tehnică și deci obișnuirea cu un anumit tip de învățare

necesitatea explicațiilor la început

După structură, itemii obiectivi sunt clasificați astfel:

Itemi cu alegere duală – solicită răspunsuri de tip DA/NU, adevărat/fals, acord/dezacord,

Itemi de tip pereche – solicită stabilirea de corespondențe/asociații între elemente așezate pe 2 coloane. Criteriul sau criteriile pe baza cărora se stabilește răspunsul corect sunt enunțate explicit în instrucțiunile care preced coloanele de premise și răspunsuri

Itemi cu alegere multiplă – solicită alegerea unui singur răspuns corect/alternativă optimă, dintr-o listă de soluții/alternative;

Itemii semiobiectivi au următoarele caracteristici:

Răspuns limitat ca spațiu, formă, conținut prin structura enunțului/întrebării;

Sarcină foarte bine structurată; utilizează materiale auxiliare;

Elevii trebuie sa producă efectiv răspunsul;

Libertate restrânsă de a reorganiza informația și de a formula răspunsul în forma dorită;

Elevii trebuie să demonstreze, pe lângă cunoștințe, și abilitatea de a structura cel mai corect și mai scurt răspuns;

Ușurință și obiectivitate în notare;

Dezavantaje:

Nu verifică realizarea unor capacități și competențe cu caracter foarte complex.

După structură, temii semiobiectivi sunt clasificați astfel:

Itemi cu răspuns scurt – întrebare directă care solicită un răspuns scurt (expresie, cuvânt, număr, simbol etc.)

Recomandări:

– răspunsul să fie scurt

– să nu existe dubii (ambiguități în formularea propozițiilor)

– tipul de răspuns trebuie precizat în cazul unităților numerice

Itemi de completare – enunț incomplet care solicită completarea de spații libere cu unul, două cuvinte care să se încadreze în contextul dat

Recomandări:

– spațiul liber nu va fi pus la începutul propoziției

– dacă într-o frază există mai multe răspunsuri de completare ce trebuie găsit, acestea

trebuie să aibă aceeași lungime

Întrebări structurate – mai multe subîntrebări (de tip obiectiv, semiobiectiv sau mini-eseu) legate printr-un element comun.

Modul de prezentare include:

– un material/stimul (texte, date, diagrame, grafice, etc.);

– date suplimentare;

– alte subîntrebări.

Răspunsul la fiecare subîntrebare nu trebuie să fie dependent de răspunsul corect la subîntrebarea precedentă!

Întrebările structurate au următoarele caracteristici:

Răspuns limitat ca spațiu, formă, conținut prin structura enunțului/ întrebării;

Sarcină foarte bine structurată; utilizează materiale auxiliare;

Elevii trebuie sa producă efectiv răspunsul;

Libertate restrânsă de a reorganiza informația și de a formula răspunsul în forma dorită;

Elevii trebuie să demonstreze, pe lângă cunoștințe, și abilitatea de a structura cel mai corect și mai scurt răspuns;

Ușurință și obiectivitate în notare;

Dezavantaje:

Nu verifică realizarea unor capacități și competențe cu caracter foarte complex.

Itemii cu răspuns deschis au următoarele caracteristici:

Forma tradițională de evaluare în România;

Ușor de construit;

Solicita răspunsuri deschise;

Evaluează procese cognitive de nivel înalt;

Verifică obiective care vizează creativitatea, originalitatea;

Dezavantaje:

Fidelitate și validitate scăzută ;

Necesită scheme de notare complexe și greu de alcătuit;

Corectarea durează mult.

Acești itemi se pot structura în forme variate:

Rezolvarea de probleme (situații problemă) – activitate nouă, diferită de activitățile de învățare curente, menită să rezolve o situație problemă; se evaluează elemente de gândire convergentă și divergentă, operații mentale complexe (analiză, sinteză, evaluare, transfer, etc.)

Itemi de tip eseu – solicită elevilor să construiască/producă un răspuns liber (text) în conformitate cu un set de cerințe date. Acești itemi pot fi:

– Eseu structurat/semistructurat – răspunsul așteptat este dirijat, orientat și ordonat cu ajutorul unor cerințe, indicii, sugestii; de exemplu: Compunere/eseu după un plan de idei

– Eseu liber (nestructurat) – valorifică gândirea creativă, originalitatea, creativitatea, nu impune cerințe de structură.

Probele scrise, alături de celelalte tipuri de itemi, sunt o parte integrantă a evaluării. Când practicile curente de evaluare subliniază importanța folosirii mai multor metode de evaluare, probele scrise nu trebuie să fie cu desăvârșire discreditate. Totuși, profesorii trebuie să fie conștienți de limitările unor astfel de probe. Profesorii trebuie să fie încurajați să-și adapteze probele la condițiile concrete ale activității elevului. Întrebările cu răspuns deschis permit o varietate de răspunsuri și reflectă adecvat cunoștințele copiilor.

E corect ca rezultatele probelor să fie folosite pentru a evalua progresul fiecărui copil, nu pentru a compara copii între ei. Un standard fix permite evaluarea elevului în raport cu un anumit nivel de performanță, nu prin compararea lui cu un alt copil.

8.4. Matrice de evaluare

Un singur instrument de evaluare nu poate măsura totul. De aceea este necesar să se proiecteze evaluarea avându-se în vedere varietatea instrumentelor de evaluare ce pot fi utilizate, astfel încât prin evaluarea realizată pe întreg parcursul anului (formativă + sumativă) să se acopere toate (cât mai multe) obiectivele din programă. Proiectarea eficientă a evaluării pe obiective/competențe se poate realiza prin întocmirea unei matrice de evaluare centrată pe capacități/competențe. În mod similar, pentru disciplinele la care însușirea/cunoașterea unor elemente de conținut este esențială, se pot construi matrice de evaluare pe conținuturi și domenii de conținut.

Pornind de la matricele realizate se pot construi apoi instrumentele cele mai potrivite pentru evaluarea capacităților sau conținuturilor prevăzute de programe.

Unitatea de învățare : ……………………………………………………………………

Testarea tradițională poate eșua în îndeplinirea scopului adiacent evaluării, care este instruirea optimă. Evaluarea autentică dorește să meargă dincolo de formularele scrise convenționale, pentru a crea o gamă mai largă de modele, care să evalueze mai corect capacitățile intelectuale ale copilului și să permită mai multe demonstrații ale competenței. La clasă folosim multe tipuri de evaluare autentică. Prin folosirea a mai multor moduri de evaluare, profesorul va putea avea o imagine reprezentativă a tuturor laturilor personalității copilului.

Temă

1. Construiți o probă de evaluare predictivă pentru o unitate de învățare la alegere, pentru clasa a IV-a.

2. Construiți o probă de evaluare formativă pentru o lecție la alegere din unitatea aleasă anterior.

3. Pentru unitatea aleasă construiți o probă de evaluare sumativă.

CAPITOLUL 9: Etape metodologice ale formării conceptului de număr natural la școlarul mic

9.1. Probleme metodice specifice învățării în perioada prenumerică

Aprecierea globală și punerea în perechi, deprinderi care pregătesc formarea conceptului de număr, se sprijină pe capacitățile de grupare a obiectelor și pe înțelegerea noțiunii de relație.

Noțiunea de pereche conduce la descoperirea interdependenței care există între numărul de elemente al celor două mulțimi.

Aceste activități solicită abilități de identificare, grupare, separare, triere, clasificare, comparare, ordonare, seriere și formulare de judecăți logice în următoarea succesiune:

• trierea și aprecierea apartenenței obiectului la o mulțime: se depășește în acest fel faza identificării obiectului, apartenența devenind criteriu de grupare;

• grupare în două mulțimi disjuncte (nu au elemente comune), și aceasta presupune alegerea convenabilă a unor criterii;

• aprecierea cantității prin punere în perechi, indispensabilă ca operație pentru achiziția numărului, prin diverse procedee: suprapunere, alăturare, trasarea unor săgeți, linii, benzi de unire, numărare.

În acest fel, capacitatea de comparare prin apreciere globală a mulțimilor se dobândește întâi în plan perceptiv și apoi în plan reprezentativ.

Pentru a asigura realizarea obiectivelor operaționale ale acestei unități de învățare, profesorul trebuie să ia în considerare faptul că în stabilirea corespondențelor numerice între mulțimi, așezarea spațială a elementelor joacă un rol hotărâtor, putând frâna desprinderea și conștientizarea însușirilor numerice ale mulțimilor.

Această caracteristică a stadiului perceptiv trebuie valorificată în sensul că se oferă copiilor procedee de apreciere cantitativă (suprapunerea, alăturarea și punerea în perechi) care nu solicită numărare. Prin aceste procedee, se substituie componentei numerice, componenta spațială, care este mai puternică.

La 5-7 ani, cunoașterea raporturilor numerice între grupele de obiecte este mai profundă și acest tip de sarcină de lucru se rezolvă și prin numărare, fără dificultate. Acum, compararea globală a mulțimilor se realizează în planul reprezentărilor, copilul nu mai este tentat să reproducă poziția obiectelor mulțimii. Dacă numărul obiectelor este mare, el folosește anumite repere vizuale, grupând obiectele câte 2-3, sarcina se realizează corect, fără numărare, prin stabilirea unei legături între reprezentările numerice și cele spațiale (copiii rețin locul obiectelor, configurația spațială având rol de reper).

Această tendință a copiilor, de a-și reprezenta în scheme numerice spațializate cantități mai mici de obiecte, constituie un suport intuitiv în operarea cu mulțimi. În acest mod, operația de descompunere a numărului apare ca rezultat al transferului deprinderilor operării cu mulțimile de obiecte din planul concret-acțional în planul reprezentărilor.

Elementul spațial joacă un rol perturbator în conservarea numerică la copiii sub 7 ani.

Ei țin cont de spațiul efectiv ocupat de obiecte și de spațiul dintre ele.

Dacă un număr de obiecte mici este înlocuit cu același număr de obiecte mari, copilul declară că s-a mărit numărul acestora. Schimbarea mărimii este apreciată de copil ca o modificare numerică și aceasta dovedește legătura care există între reflectarea raporturilor de mărime și a celor de număr, mărimea dimensiunilor fiind, inițial, direct proporțională cu mărimea numerică. În acest stadiu, numărul este dependent de atributele spațiale ale obiectului și ale grupului, dar modificările de dimensiune, numai la o parte din obiecte, sunt observate de copil cu ușurință prin contrast și atunci nu mai confundă mărimea cu numărul.

Dobândirea abilității de apreciere globală susține conservarea cantității, care parcurge diferite stadii de înțelegere:

• la 4-5 ani, copilul ia în considerare criteriul de lungime a șirului (elementul spațial) și ignoră numărarea;

• stabilirea corespondenței vizuale termen cu termen. Când această aranjare spațială este modificată, copilul nu mai admite egalitatea numerică, chiar dacă numără elementele, în aprecierea globală predominând același criteriu (de lungime a șirului);

• modificarea criteriului de densitate cu cel de lungime se coordonează (la 6-7 ani). Copilul se detașează de configurația spațială a elementelor și de corespondența vizuală și realizează corespondența numerică, prin conservarea echivalenței (egalității) obținute independent de configurațiile perceptive și acum aprecierea sa nu mai este sub influența elementului spațial.

Aceste observații, ce au ca bază cercetări psihopedagogice sunt determinante în conceperea situațiilor de învățare și în formularea sarcinilor de lucru de la clasa pregătitoare, în perioada de prenumerație.

Dăm în continuare, câteva exemple de sarcini de învățare pentru formarea competențelor legate de operarea cu mulțimi.

Tema: Constituirea de mulțimi cu tot atâtea elemente

Sarcini de învățare și etapele de rezolvare

1) • Se reactualizează cunoștințele privind formarea de mulțimi cu tot atâtea elemente pe material demonstrativ, prin antrenarea a 3-4 copii;

• Pe rând, se cere verbalizarea acțiunilor individuale și comunicarea în limbaj matematic a rezultatului acțiunii;

2) • Se solicită copiilor să așeze în plan vertical mulțimea florilor (4) și alături mulțimea frunzelor (se lucrează individual);

• Se solicită verbalizarea (2-3 copii), pentru a stabili că sunt tot atâtea;

3) • Se cere copiilor să mărească distanța între elementele unei mulțimi, iar pentru cealaltă mulțime să micșoreze distanțele;

• Se solicită copiilor să precizeze dacă modificarea spațială influențează proprietatea numerică, iar profesorul subliniază că sunt tot atâtea frunze cât și flori (invarianța cantității);

4) • Profesorul așază acum elementele mulțimii de pe panou în diferite locuri pe masă;

• Se întreabă copiii dacă acum sunt tot atâtea elemente în ambele mulțimi.

Observații

• profesorul poate introduce exerciții de comparare numerică între mulțimile obiectelor aflate în clasă sau așezate intenționat în diferite locuri;

• se pot constitui mulțimi reprezentate prin desen la tablă, cerându-se copiilor să facă comparații și aprecieri, indiferent de poziția elementelor în desen.

Tema: Mulțimi echivalente și invarianța cantității

Constituirea de mulțimi cu tot atâtea elemente (indiferent de dimensiune).

Sarcini de învățare și etapele de rezolvare

• Profesorul demonstrează, pe masa de lucru, procedeul de constituire a mulțimilor după criteriul dimensiunii; concomitent cu acțiunea, profesorul oferă modelul de verbalizare specific acestei situații;

• Profesorul explică și demonstrează copiilor procedeele prin care se pot determina mulțimi cu tot atâtea elemente (prin suprapunere, alăturare sau prin punere în perechi).

Rezolvare

• Copiii rezolvă aceeași sarcină, pe material individual, după criteriile precizate de profesor: gros-subțire, mare-mic;

• Profesorul solicită 2-3 copii să verbalizeze acțiunea efectuată și să exprime rezultatul acțiunii: sunt tot atâtea buline câte bețișoare și câte panglici;

• Se cere copiilor să aprecieze cantitativ și apoi să opereze la fel cu celelalte două mulțimi, cea cu obiecte mari și cea cu obiecte groase, folosind, la alegere, unul din procedeele prezentate;

• Profesorul va antrena 3-4 copii pentru verbalizarea rezultatului acțiunii efectuate;

• Se vor compara cantitativ mulțimile; se urmărește realizarea sarcinii de verbalizare pentru a stabili că sunt tot atâtea elemente, indiferent de dimensiuni;

• Pentru complicare, se poate introduce un exercițiu care să implice sarcini asemănătoare, dar cu grad sporit de dificultate (în cazul a trei mulțimi noi), iar una din mulțimi conține un element mai mult decât celelalte două. Copiii au sarcina de a egaliza numărul de elemente și se lasă libertate în alegerea procedeului de rezolvare (se adaugă la celelalte două câte un element sau se ia elementul în plus).

Tema: Formează perechi între elementele din aceste mulțimi: spune dacă sunt tot atâtea, sau unde sunt mai multe/mai puține și de ce

Organizarea situației de învățare

1. Se va cere formarea mulțimilor după o anumită proprietate caracteristică;

2. Se va solicita copiilor să spună unde cred ei că sunt mai multe sau mai puține elemente („sunt mai multe flori, sau mai mulți fluturi?”). Se va lăsa câtva timp de gândire pentru ca singuri să descopere (redescopere) procedeul, adică relația dintre cele două mulțimi supuse comparației;

3. În continuare, se va cere copiilor să spună ce au descoperit și cum au descoperit, care mulțime are mai multe (mai puține) elemente. Un copil va demonstra pe material demonstrativ formarea perechilor, sub atenta îndrumare a profesorului;

4. Profesorul va demonstra modul de lucru; deoarece se vor întâlni situații în care întâi este formată o mulțime și apoi va fi formată o alta și aranjată în perechi cu alta deja existentă, se va arăta modul de lucru.

Formăm mai întâi mulțimea de flori (de exemplu) și apoi, alături, mulțimea de fluturi. Acum vom forma perechile. Mâna stângă se va așeza pe o floare, indicând-o, iar cealaltă va așeza fluturele (un singur fluture) în dreptul florii, la dreapta. Controlăm dacă lângă fiecare floare este un singur fluture, stabilind relația: un fluture – o floare, până se verifică toate perechile. Copiii vor forma mulțimile din elementele primite în coșuleț, așezându-le pe masă, apoi le vor pune în corespondență, verbalizând în final.

Profesorul va crea și alte exerciții cu materialul demonstrativ:

• așază mulțimi pe tabla magnetică, făcând intenționat greșeli, copiii trebuind să descopere greșeala și să motiveze de ce nu este corect;

• desenează pe tablă două mulțimi și va arăta copiilor cum vor proceda ca să deseneze două mulțimi cu tot atâtea elemente; în spațiul din stânga desenează un pătrat, iar în dreapta un triunghi și stabilește grafic corespondența ș.a.m.d.;

• cere copiilor să execute aceeași acțiune pe fișa de lucru.

Activitățile de compunere de mulțimi și punere în corespondență se pot desfășura după două obiective:

stabilirea echivalenței a două mulțimi de obiecte prin realizarea corespondenței element cu element;

construirea unei mulțimi echivalentă cu o mulțime dată;

Perioada de prenumerație din clasa I, la fel ca și perioada preoperatorie din grădiniță este caracterizată de :

utilizarea exercițiului cu material individual și a jocului didactic ca metodă sau ca formă de organizare a lecției;

învățarea prin acțiune și verbalizarea acțiunilor;

utilizarea materialelor didactice individuale și a unor tehnici de comunicare specifice grădiniței;

Una dintre premisele psihopedagogice esențiale în formarea numărului este apariția la vârsta de 6-7 ani a reprezentărilor despre conservare numerică și invarianța numărului (cardinalul unei mulțimi nu depinde de forma elementelor, poziția spațială, mărimea elementelor, culoare și distanța între elemente).

Pentru a ajunge la formarea conceptului de număr este necesară o perioadă pregătitoare în care copilul desfășoară activități de:

compunere a numerelor;

punere în corespondență a elementelor a două sau mai multe mulțimi;

comparare a numărului de elemente a două sau mai multe mulțimi;

formare de mulțimi după două sau mai multe criterii;

numărare și numire a numărului de elemente a unor mulțimi date;

asociere a numărului la cantitate;

asocierea cantității la număr;

utilizarea simbolurilor pentru caracterizarea numerică a unor mulțimi.

Aceste activități sunt prevăzute în curriculumul clasei pregătitoare atât prin competențele specifice, cât și prin activitățile de învățare propuse ca exemple. Acestea prevăd în mod explicit necesitatea activităților obiectuale, în care copiii lucrează cu material didactic pentru a dezvolta și accentua latura intuitivă a învățării. Elevii construiesc mulțimi care au tot atâtea elemente, mulțimi echivalente cu o mulțime dată, stabilesc corespondențe element cu element, rolul acestor activități fiind acela de a dezvolta la copiii înțelegerea noțiunii de număr ca o clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată.

Caracterul stadial al dezvoltării intelectuale (după Piaget) relaționat cu specificul învățării la această vârstă – acțional, iconic și simbolic (după Bruner) conduc la formarea reprezentărilor despre număr și permit trecerea de la gândirea operatorie concretă la cea abstractă, chir dacă nu se poate încă renunța la reprezentări materializate, obiectuale. Din aceste considerente, însușirea conștientă a noțiunii de număr se fundamentează pe:

înțelegerea numărului ca proprietate cardinală a mulțimilor finite echivalente (a mulțimilor finite cu tot atâtea elemente);

înțelegerea proprietății cardinale, a poziției numărului în șirul numeric;

înțelegerea proprietății ordinale a numărului;

cunoașterea și utilizarea în scris și verbal a simbolurilor grafice specifice – cifrele.

9.2. Conservarea numerică si formarea noțiunii de număr la vârsta de 6-7 ani

Numărul este expresia unei caracteristici obiective a lucrurilor și este o însușire de grup. Această caracteristică nu rezultă spontan din percepția lucrurilor, dar analiza prin percepție constituie punctul de plecare.

În procesul de formare a conceptului (noțiunii) de număr, copilul traversează trei etape:

• senzorial-motrice (operare cu grupe de obiecte);

• de operare cu relații cantitative pe planul reprezentărilor (operare cu numere concrete);

• de înțelegere a raportului cantitativ care caracterizează mulțimea (operare cu numere abstracte).

Numărul, ca abstracțiune, ca însușire de grup, apare într-un proces de îndepărtare a tuturor celorlalte însușiri ale mulțimii și ale elementelor ei; copilul reține numai componenta numerică și generalizează însușiri numerice desemnate verbal.

Aprecierea cantității la grupe mici de obiecte (3-5) se face, de obicei, prin numerație, la 5-7 ani. Numărul doi se însușește ca denumire de grup, dar pentru 3-5 obiecte, la denumirea cardinalului mulțimii se ajunge cu ajutorul numărării.

Numărul și numărarea sunt rezultatul analizei și sintezei efectuate pe diverse nivele asupra obiectelor. Numerația necesită o perfecționare a mecanismelor analitico-sintetice implicate în percepție, reprezentare și conceptualizare. Numai după ce percepția global-sincretică a realității este depășită și se ajunge la o percepere diferențiată, apare posibilitatea constituirii treptate a operației numerice și a generalizării numerice la nivelul formal de conceptualizare a numărului natural.

La vârsta de 3-4 ani, numerația are un caracter concret și analitic – numărul este socotit ca o simplă însușire a obiectelor pe care le desemnează în procesul numărării, preșcolarii confundând numărul cu însuși procesul numărării. În acest caz numărul numește locul în șirul numeric, este înțeles ca însușire a obiectului, procesul de formare în plan cognitiv a conceptului de număr nu este încheiat și relevă dificultățile de sinteză în gândirea copilului, datorate caracterului ei preponderent concret. Esența noțiunii de număr o constituie tocmai aspectul cantitativ care caracterizează mulțimile. Copilul nu are formată capacitatea de a sesiza acest aspect cantitativ al mulțimii și reduce formal șirul numerelor cardinale la șirul ordinal. La această vârstă, numărul nu este înțeles sub aspectul său cardinal, ci ca număr ordinal, termen al unei serii ordonate de la mic la mare, ca reper într-o succesiune cantitativă.

Atunci când copilul ajunge să sesizeze raportul dintre mulțime și unitate, numărul dobândește caracter sintetic și desemnează o proprietate de grup, ceea ce semnifică dobândirea capacității de sinteză. În formarea unui număr sunt implicate atât analiza, în activitatea practică cu obiecte din procesul numărării, cât și sinteza, în reprezentarea mulțimii ce înglobează obiectele numărate.

Reprezentarea numerică are caracter spațial, componenta numerică fiind legată de spațialitate, în reprezentare, dar și în percepție. Componenta spațială sprijină reprezentarea numerică și o limitează datorită faptului că reprezentările, ca și percepțiile, cuprind un spațiu limitat.

Numărul cardinal este o clasă, o structură alcătuită din elemente neintuitive. Apare deci necesitatea realizării unei noi sarcini de învățare; serierea se face în ambele sensuri, dar și prin dispunerea aleatorie a elementelor, indiferent de forma lor concretă, elementele fiind concepute ca unități, pentru ca ordinația să fie absorbită în numărul cardinal prin clasificare, sinteză operatorie și includerea seriei în clase dispuse gradat.

Constituirea percepției obiectuale și categoriale (clasificare, ordonare) creează dificultăți în formarea unui alt mod de caracterizare a mulțimilor, care solicită ignorarea însușirilor variate ale obiectelor și reține numai proprietatea numerică. Aici apare rolul esențial al învățării dirijate în scopul de a-l orienta și angaja pe copil la o analiză și sinteză numerică.

Conceptul de număr se consideră format dacă se dezvoltă raporturi reversibile de asociere număr la cantitate și invers, cantitate la număr, și se realizează sinteza șirului numeric. Copilul interiorizează operația de numărare spre 6-7 ani, când numără numai cu privirea obiectele care alcătuiesc o anumită grupare. Are loc un proces de transpunere a operației externe în operație internă, adică o interiorizare a acțiunii externe, și se dobândește numărul la nivel formal. Este pregătit acum contactul perceptiv al copilului cu o nouă noțiune, cea de operație aritmetică.

Noțiunea de număr este influențată de componenta spațială, topologică, până în momentul dezvoltării depline a structurilor logico-matematice ale claselor și relațiilor, din a căror sinteză se constituie numărul, adică până la dobândirea invarianței numerice, a conservării cantitative.

Noțiunea de invarianță a cantității stă la baza conservării numerice (aspectul continuu al numărului) și a constantei numerice.

Piaget susține că între 3-7 ani copilul trebuie să-și dezvolte capacitatea de cunoaștere în direcția înțelegerii invarianței cantității.

Înțelegând invarianța, deci ceea ce este constant și identic în lucruri, copilul, va putea înțelege și faptul că numărul reprezintă o anumită cantitate care, indiferent de însușirile fizice ale obiectelor care o compun, sau de însușirea lor în spațiu, este aceeași.

Noțiunea de număr, ca și orice altă noțiune, reflectă realitatea obiectivă. Deprinderea relațiilor cantitative necesită însă o activitate de abstractizare și generalizare complexă, care se formează la copil treptat, în procesul unor activități adecvate.

La 4-5 ani, copilul observă că numele numărului nu este eticheta unui obiect, ci desemnează poziția lui într-o succesiune de obiecte. În această fază domină proprietatea ordinală a numărului, iar sensul acestei reprezentări constă în imaginea reprezentativă pe care și-o formează copilul despre un anume element al succesiunii.

În următoarea etapă, la 5-6 ani, ca rezultat al experienței cognitive, copilul abstrage ca atribut distinctiv al acestor clase calitatea numerică sau numărul cardinal – clasele pot fi acum puse în corespondență biunivocă.

Proprietatea cardinală a numărului nu mai este acum perturbată de componenta spațială. Când conceptul de număr ajunge în stadiul formal,

corespondența unu la unu se păstrează chiar și atunci când

componența spațială intervine ca factor perturbator

(schimbarea poziției), iar baza perceptuală a corespon-

denței dispare.

Această capacitate se formează ca efect al învățării

dirijate, la 6-7 ani. În acest stadiu, copilul este capabil să

vizualizeze deplasarea inversă a mulțimii de pătrate, așa

încât să poată realiza perceptiv corespondența biunivocă

a celor două clase.

Pentru formarea conduitei conservative la copiii de 6-7 ani trebuie avut în vedere și formarea deprinderilor de triere, comparare, clasificare a elementelor unei mulțimi, aprecierea globală și prin punere în perechi a elementelor a 2-3 mulțimi, compararea mulțimilor cu tot atâtea, mai multe/puține elemente, determinarea diferențelor de un element precum și măsurarea, cu etaloane nestandardizate, a lungimii și lățimii, invariația masei și volumului.

Însușirea principiului conservării reprezintă din punctul de vedere al lui Jean Piaget, o etapă importantă a dezvoltării intelectuale a copilului și servește drept criteriu psihologic al apariției calității logice fundamentale a gândirii, reversibilitatea, dovada trecerii copilului la o gândire nouă, operațional-concretă.

Pentru ca invarianța cantității să devină convingere deplină a copilului, el trebuie învățat:

I – să diferențieze parametrii obiectului: lungime, adâncime, înălțime, greutate, volum;

II – să stabilească, prin experiență, invarianța mărimii după fiecare parametru.

Dar pentru aceasta este necesară o unealtă, un instrument, iar o astfel de unealtă este măsura. Ca unitate de măsură poate fi folosit orice obiect sau o parte a sa.

Măsura nu este un simplu mijloc tehnic de apreciere cantitativă, ci reprezintă indiciul și rezultatul trecerii de la compararea directă și globală a obiectelor, așa cum apar ele în percepție, la aprecierea lor după rezultatele măsurării prealabile. Cu ajutorul ei se stabilește invarianța unei anumite mărimi, atunci când se modifică numai configurația ei externă.

Unitatea de măsură este cea care permite transformarea mărimilor concrete în mulțimi matematice și mai departe compararea lor pe calea raportării biunivoce.

Folosirea unor unități de măsură diferite permite desprinderea unor însușiri diferite ale obiectului și datorită acestui fapt, se produce depășirea caracterului global al aprecierii directe.

Posibilitatea folosirii diferitelor unități de măsură pune problema respectării stricte a regulii comparării numai pentru mărimi care au fost măsurate cu aceeași unitate de măsură. Acțiunea de măsurare este îndeplinită cu ușurință de copii și aceasta poate fi folosită pentru a asigura logica apariției numărului și a primelor noțiuni matematice.

Constantele perceptive și conservările operatorii constau în conservarea unei anumite proprietăți a obiectului atunci când:

mărimea sa reală sau forma sa aparentă sunt modificate;

cantitatea de materie (masa) ori greutatea obiectului rămâne neschimbată (în cazul conservării operatorii) când se toarnă un lichid dintr-un recipient într-altul sau se modifică,de pildă, forma unei bucăți de plastilina.

Introducerea măsurii presupune parcurgerea în plan psihologic a următoarelor etape:

separarea cu ajutorul ei a diferitelor însușiri (parametri) ale lucrurilor;

transformarea unor mărimi concrete în mulțimi matematice propriu-zise;

raportarea biunivocă, compararea mărimilor și numai după aceea, pe această bază, introducerea numerelor și acțiunilor cu ele.

În formarea noțiunilor de conservare a cantităților se disting trei etape succesive:

a) prima etapă se caracterizează printr-un ansamblu de conduite preconservatoare;

b) a doua etapă este caracterizată prin conduite intermediare;

c) a treia etapă este de ordin conservator.

a) Conduitele primului stadiu dovedesc o nonconservare netă a cantității și au ca particularitate comuna o centrare pe:

acțiune: a vărsa, a turti, a rula;

configurația statică, aceasta constituind rezultatul unei alterări a formei, care rezultă din acțiunea prin care a fost modificată forma bilei sau nivelul lichidului, copiii însă neglijează acest fapt.

b) Conduitele intermediare se caracterizează în general prin oscilațiile de nonconservare și conservare a cantităților.

c) La al treilea nivel, copilul afirmă conservarea cantităților justificând-o prin argumente. În acest stadiu el este pregătit, din punct de vedere psihologic, pentru dobândirea conceptului de număr natural.

Numărarea

Copiii care recită corect o numărătoare sau o suită dată de numere nu știu neapărat să numere. Nu este de ajuns să cunoască lanțul numeric pentru a fi capabili să spună câte obiecte se află pe o masă. Nu este rar cazul când copii care știu să recite numărătoarea până la 20 sau 30 sunt incapabili să spună câte obiecte există dacă li se prezintă o colecție de 8 sau 9 elemente. De ce un asemenea decalaj? Copiii trebuie să învețe să asocieze numărătoarea cu obiecte. Pentru a face acest lucru, ei trebuie nu numai să cunoască numele numerelor, dar să le și spună, asociind cu cuvânt-număr la un element o dată și numai o dată. Autorii Gelman și Gallistel au extras cinci principii ce ghidează numărarea:

1. Corespondența fiecărui obiect numărat cu un număr și numai unul. Copiii trebuie să asocieze cuvintele din suita numerelor (din numărătoare) cu obiectele care trebuie numărate.

2. Ordinea stabilă a cuvintelor ce trebuie spuse. Copiii trebuie să stăpânească o parte din numărătoare ca să o recite în ordinea bună.

3. Cardinalitatea colecției. Copiii asociază cantitatea totală de obiecte dintr-o colecție cu ultimul cuvânt recitat din numărătoare.

4. Abstracția. Natura variată a obiectelor de numărat care formează o colecție nu împiedică reușita copiilor. Astfel, cinci rămâne cinci, fie că este vorba de cinci degete de la mână, cinci puncte pe un zar sau cinci obiecte diverse.

5. Ordinea numărării. Copiii pot să înceapă să numere obiectele din stânga, din dreapta sau din centru, fără ca acest lucru să aibă vreun impact asupra rezultatului global.

Acești autori au arătat de asemenea că, de la vârsta de trei ani, copiii par să aibă o cunoștință implicită a celor cinci principii. În anii care urmează, nu se vor dobândi noi principii de numărare, ci o mai bună coordonare a acestora.

Pentru a fi ajutați să-și dezvolte aceste abilități, copiii trebuie puși frecvent în situații care fac apel la numărare. Pentru a face acest lucru, se va avea grijă să se rămână în interiorul domeniului numeric care le este familiar. Astfel, unui copil care a știut să recite corect numărătoarea până la 15, i se vor prezenta vreo zece obiecte de numărat. De aceea, în timpul unor asemenea activități se vor observa elementele următoare:

Coordonarea: copilul coordonează recitarea numărătorii cu obiectele numărate? Cu alte cuvinte, face el un gest de fiecare dată când numără un obiect (îl arată cu degetul, îl ia în mâini, îl pune deoparte etc.) în același ritm cu numărătoarea?

Organizarea: Copilul ajunge să se organizeze ca să numere toate obiectele din colecție o dată și numai o dată?

Trecerea la obiecte desenate: Ca să numere corect obiecte reale, copiii dezvoltă strategii (de exemplu, punerea deoparte a obiectelor numărate sau alinierea obiectelor). Aceste strategii nu mai sunt adecvate atunci când se ajunge la numărarea obiectelor desenate. Astfel, copiii care luau obiectele în mâini pentru a le număra va trebui să facă apel la alte strategii. Anumiți copii vor proceda prin explorare vizuală (adică vor repera vizual obiectele de numărat). Riscul de greșeală este atunci ridicat: într-adevăr ei pot să uite obiecte sau să numere unele dintre ele mai mult decât o dată. Alți copii vor trage o linie pe obiecte, pe măsură ce acestea sunt numărate; alții vor lega printr-o linie obiectele numărate. Trecerea la obiecte desenate nu este ușoară; anumiți copii vor avea dificultăți și vor trebuie să se reorganizeze.

La întrebarea „Câte obiecte sunt pe masă?”, atunci când cantitatea de obiecte este mică, anumiți copii vor face apel la numărare, în timp ce alții vor recurge la recunoașterea globală. În acest ultim caz, copiii nu vor izola obiectele; ei vor recunoaște mai degrabă cantitatea de obiecte global. Se poate observa această strategie atunci când, jucându-se cu zarurile, copiii spun spontan numărul obținut, recunoscând dispoziția punctelor pe zaruri. Recunoașterea globală ajută copiii să priceapă că un număr poate fi reprezentat în diverse maniere.

Aspectul ordinal al numărului

Diversele activități prezentate până în prezent făceau apel la aspectul cardinal al numărului. Numărul poate să exprime de asemenea un ordin, un rang. Recitarea numărătorii face copiii să conștientizeze ordinea numerelor, din moment ce numerele nu sunt spuse în orice ordine: după 4 este 5. Ca să se verifice cunoștințele lor despre ordinea numerelor, se poate adăuga un element la o colecție pe care tocmai au numărat-o. Observând modul lor de a proceda, se va vedea până la ce punct cunosc ordinea numerelor. Anumiți copii va trebui să renumere toată colecția după adăugarea unui element; ei arată astfel că nu au dobândit încă noțiunea de ordine a numerelor. Alți copii vor rezolva cu ușurință sarcina: dacă se adaugă un jeton la o mulțime care avea 8, ei vor spune spontan că acum are 9, căci după 8 vine 9. Acești copii se sprijină pe cunoașterea numărătorii pentru a determina numărul care urmează. Totuși, dacă se înlătură un jeton, aceiași copii vor avea probabil dificultăți în a spune câte jetoane sunt acum; ei vor trebui să numere noua colecție. Pentru a ajuta copiii, se poate recita numărătoarea invers.

Modurile de reprezentare și contextele numerice

Numărul rămâne un concept abstract care trebuie reprezentat într-o manieră sau alta. Există patru modalități de reprezentare a numărului: reprezentarea concretă, prima accesibilă copiilor (obiectele reale), reprezentarea iconică (desenele), reprezentarea verbală (cuvântul-număr spus sau scris, de exemplu „patru”) și reprezentarea simbolică (cu cifre). Ultimele două forme de reprezentare sunt guvernate de reguli și de simboluri dezvoltate de-a lungul secolelor:

Karen Fuson prezintă șapte contexte de folosire a numerelor:

Trei contexte matematice

Un context cardinal în care cuvântul-număr exprimă cantitatea obiectelor într-o colecție, de exemplu: „Am 8 mere.”

Un context ordinal în care cuvântul-număr exprimă ordinea sau rangul unui element într-o colecție: „Am ajuns al șaselea în clasă.”

Un context de măsură în care cuvântul-număr exprimă o mărime, o măsură, de exemplu: „Rigla mea are o lungime de 40 cm.”

Două contexte secvențiale

Un context de secvență în care fiecare cuvânt-număr este un element al lanțului numeric, al numărătorii, fără să facă referire a un obiect real. Este cazul recitării mecanice a numărătorii atunci când se joacă un joc ca v-ați-ascunselea, de exemplu.

Un context de numărare în care cuvintele-numere sunt recitate, organizate și coordonate cu elementele unei mulțimi, de exemplu atunci când se urcă o scară cu un copil mic și se numără treptele pe măsură ce se urcă.

Două contexte în care se folosesc cuvintele-numere pentru a recita numărătoarea

Un context simbolic în care cuvintele-numere servesc la decodificarea unui scris cifrat fără alt context. Este vorba de citirea numerelor (123 este o sută douăzeci și trei).

Un context ne-numeric în care cuvintele-numere desemnează coduri, așa cum sunt numerele de autobuz, de autostrăzi, de telefon etc. Sunt numere-etichete sau coduri.

Elevii vor învăța să folosească numerele în toate aceste contexte.

A da sens numerelor

Pentru a ajuta copii să dea un sens numerelor, trebuie să li se prezinte diverse contexte de folosire a numerelor încă din preșcolaritate. Trebuie puși să răspundă la întrebarea următoare: „La ce servesc numerele?” Cum s-a văzut, numerele servesc la exprimarea și notarea cantităților, ca și la efectuarea de operații cu cantități. Dacă elevii cunosc numărul de elemente conținute într-o mulțime, ei nu vor mai avea nevoie de obiecte reale pentru a compara colecția cu o alta sau pentru a anticipa rezultatul unei operații pe această colecție. Există totuși un paradox: pentru a da un sens numerelor elevii trebuie să învețe să lucreze cu obiecte pe care nu le pot manipula.

Absența obiectelor, a cantităților concrete, este cea care îi va face să vadă necesitatea numerelor. Într-adevăr, mânuirea obiectelor nu antrenează în mod necesar recurgerea la numere; din contră, o asemenea mânuire permite trecerea peste numere. De exemplu, atunci când se cere elevilor să compare două colecții, dacă au recurs la corespondența element cu element, vor putea să spună care din cele două colecții conține cele mai multe obiecte fără ca numerele să intervină cu adevărat. În schimb, trebuie utilizat material pentru concretizarea conceptelor și determinarea elevilor să dezvolte imagini mentale cu numere și cantități. Numai după ce s-a înțeles situația și elevii s-au arătat capabili să și-o reprezinte, ei vor putea rezolva probleme care folosesc numerele. Lucrul cu obiecte reale (numărare, construirea unei colecții, adăugare sau extragere de elemente din această colecție) sau recunoașterea globală, prin intermediul configurațiilor, determină elevii să-și reprezinte numerele pentru a ajunge, prin raționament, să rezolve situații-problemă și să dea un sens numerelor.

9.3. Metodologia formării noțiunii de număr natural la școlarul mic

Considerațiile metodice ale învățării numerației decurg din aspectele de ordin teoretic și psihopedagogic. Numărul natural este proprietatea numerică a mulțimii și constituie cardinalul unei clase de echivalență de mulțimi finite de aceeași putere (echipotente). Orice mulțime dintr-o clasă de echivalență de mulțimi finite de același cardinal poate fi luată ca reprezentant al numărului natural considerat. Așadar, o mulțime finită are un număr de elemente egal cu un număr dat, dacă mulțimea considerată este un reprezentant al acelui număr natural.

Numărul este deci un concept asociat celui de mulțime, deoarece mulțimii i se asociază cardinalul care caracterizează numeric mulțimea; noțiunea de mulțime este deci determinantă pentru înțelegerea numărului. Deosebirea dintre numărul cardinal și numărul ordinal este cunoscută ca deosebire între număr și numerație.

Numărul cardinal are la bază corespondența biunivocă (element cu element) între mulțimi.

Numărul ordinal introduce numerația. Acțiunea de numărare implică formarea unui sistem de numere în care se dispune o colecție de obiecte, obiectele fiind caracterizate prin dimensiunea cantitativă a colecției.

Numărul, sub aspectul său ordinal, exprimă rezultatul acțiunii copilului cu obiectele concrete; relația de ordine apare deci ca un rezultat natural al acțiunii.

Noțiunea de număr este influențată de componenta spațială, topologică, până în momentul dezvoltării depline a structurilor logico-matematice ale claselor și relațiilor, din a căror sinteză se constituie numărul, adică până la dobândirea invarianței numerice, a conservării cantitative. Proprietatea cardinală a numărului nu mai este acum perturbată de componenta spațială.

Când conceptul de număr ajunge în stadiul formal, corespondența unu la unu se păstrează chiar și atunci când componenta spațială intervine ca factor perturbator (schimbarea poziției), iar baza perceptuală a corespondenței dispare.

Ansamblul activităților intelectuale (capacitatea de discriminare perceptivă a asemănărilor și deosebirilor dintre obiecte, clasificarea, serierea, conservarea, verbalizarea) sunt formate în contextul activităților de învățare cu conținut matematic, iar strategiile, situațiile de învățare, orientează sistemul de acțiuni în direcția dobândirii noțiunii de număr, de asimilare a limbajului specific, matematic.

Stăpânirea numerației în limitele 0-10 și operarea în același concentru, sprijină analiza relațiilor dintre mulțimi, a echivalenței numerice, dar și a fenomenului de conservare a cantității – considerat decisiv pentru dobândirea noțiunii de număr și în generalizarea caracteristicilor cantitative ale mulțimilor.

În procesul didactic, copiii trebuie conduși să perceapă proprietatea numerică a mulțimilor, astfel încât să perceapă atât elementele izolate care alcătuiesc mulțimea, cât și mulțimea ca întreg; altfel spus, desprinderea lui unu față de multe.

În formarea noțiunii de număr, profesorul trebuie să aibă concomitent în atenție aspectele cardinal și ordinal, să realizeze sinteza acestora.

Serierea numerică, drept ordonare crescătoare după diferite dimensiuni ale unor obiecte (mărime, lungime, grosime, lățime), solicită o coordonare în ordonare (păstrarea constantă a criteriului cantitativ), iar exersarea practică a acțiunii de seriere realizează sinteza pe plan mental a aspectelor cardinal și ordinal ale numărului. Acțiunea de numărare pe diferite grupări omogene trebuie organizată astfel încât copilul să înțeleagă că fiecare număr reprezintă o cantitate diferită de obiecte (elemente).

În acest scop, se vor concepe situații cu sarcini de numărare a elementelor unor mulțimi al căror număr de elemente crește cu o unitate, fixându-se locul fiecărui număr în șirul numeric, prin efectuarea unor operații de comparare a diferitelor numere, în direcția exprimării raportului dintre două numere (cum este 7 față de 6 și față de 8?).

Compunerea și descompunerea numărului cu o unitate va sprijini achiziția abilității de adunare și scădere cu o unitate.

Metoda formării noțiunii de numărprin măsurare se fundamentează pe următoarele aspecte, care pot constitui scopuri în organizarea situațiilor de învățare:

• numărul ca raport parte/întreg;

• unitatea de măsură apare ca mijloc de modelare a caracteristicilor cantitative ale obiectului;

• analiza dimensiunilor obiectului după criteriul unității de măsură favorizează înțelegerea operațiilor.

Această metodă de formare a numărului folosește ca material didactic rigletele (Gategno-Cisenaire).

Procesul construcției șirului numerelor până la 10 se face progresiv. Din clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 2-3 mulțimi model, ca reprezentante ale clasei. Esențial este să se înțeleagă faptul că există un număr infinit de mulțimi echivalente cu mulțimea model, precum și distincția dintre număr și semnul său grafic – cifra, sau un grup de cifre.

Faptul că un copil reproduce denumirea unui număr sau știe să numere mecanic, nu înseamnă însușirea conceptului de număr natural, căci însușirea conștientă a noțiunii de număr se fundamentează pe:

• înțelegerea de către copii a numărului, ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

• înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numărului);

• înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);

• cunoașterea cifrelor corespunzătoare numerelor din concentrul 0-9.

Copiii trebuie să înțeleagă că relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale nu este dată de denumirea lor, care de multe ori se învață mecanic, ci de relațiile mai mic sau mai mare care se stabilesc între numere și care corespund relațiilor mai puțin sau mai mult între numerele de elemente ale mulțimilor.

În formarea conceptului de număr natural, acțiunea va preceda intuiția, iar modelul didactic asigură parcurgerea acelorași etape ca pentru orice alt concept:

• acțiuni cu mulțimi de obiecte;

• schematizarea acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor;

• traducerea simbolică a acțiunilor.

9.4. Etapele de predare-învățare a unui număr în concentrul 0-10

În general, predarea numerelor naturale pornește de la numărul 1. Cercetările au arătat că diferențierea între mulțimile cu un element și cele cu mai multe elemente este făcută de către copii încă de la vârste fragede, mai ales atunci când multe înseamna trei, sau mai multe elemente. Primele elemente metodice privind predarea-învățarea numerației, vor consta, deci, în identificarea mulțimilor cu un singul element, apoi în construirea unor astfel de mulțimi și asocierea lor cu numărul și, respectiv, cifra 1.

Pentru predarea-învățarea numerelor din intervalul 2-9 se va proceda astfel:

Introducerea noului număr și a cifrei corespunzătoare

Se construiește – profesorul, eventual un elev, cu ajutorul materialului demonstrativ, la flanelograf, sau la tabla magnetică – elevii, cu material individual, concret intuitiv, pe bănci, o mulțime care reprezintă numărul anterior învățat și se verifică prin numărare conștientă, prin încercuire.

Se formează, în dreapta mulțimii deja construite, prin punere în corespondență element cu element, pornind de pe aceeași linie orizontală, așezând elementele de jos în sus, o mulțime cu un element mai mult.

Se numără conștient, prin încercuire, elementele din noua mulțime, numindu-se numărul care îi corespunde (noul număr predat).

Se prezintă simbolul grafic al noului număr (cifra corespunzătoare) și se atașează mulțimii (se face corespondența mulțime-etichetă).

Se scrie cifra respectând etapele de scriere: se intuiește forma cifrei, se recunoaște cifra în diverse contexte, se familiarizează elevii cu forma cifrei prin scriere în aer, se modelează din sârmă, plastilină, se scrie pe bancă, pe caiet fără liniatură, se scriu după model 3-4 cifre, se corectează, se scriu 1-2 rânduri, se corectează.

Construirea clasei de echivalență a noului număr

Se fac exerciții de recunoaștere (identificare) în spațiul înconjurător a mulțimilor care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondență și numărare.

Se formează mulțimi care reprezintă noul număr; se verifică prin punere în corespondență și numărare.

Prezentarea caracterului ordinal al noului număr.

Se introduce noul număr în șirul numeric: se numără crescător și descrescător până (de la) numărul nou, se compară noul număr cu precedentele, subliniindu-se faptul că acesta este cu o unitate mai mare decât precedentul, se numesc vecinii și se fac exerciții de completare a vecinilor. Se fac exerciții de ordonare a unor mulțimi de numere care conțin noul număr.

Compunerea și descompunerea noului număr

Se compune noul număr din precedentul și încă o unitate; se compune apoi și din alte numere.

Se descompune noul număr în diferite forme.

Se lucrează cu material concret, obiectual, apoi cu substitute tridimensionale ale acestui material, apoi cu jetoane, cu riglete (mai ales la compararea numerelor) și cu alte materiale, precum și cu reprezentări iconice (imagini). Copii vor lucra cu material individual, iar profesorul, la flanelograf, sau tabla magnetică, cu material expozitiv. Este de preferat ca unele etape din predarea noului număr să fie realizate cu ajutorul unor elevi care vor lucra cu materialul expozitiv.

Învățarea trebuie să conducă la o legătură reversibilă între noțiunea numerică – exprimare verbală – scriere simbolică.

Pentru fixarea fiecărui număr nou însușit se fac exerciții variate, care solicită antrenarea mai multor analizatori. Aceste exerciții au ca sarcini:

• raportarea numărului la cantitate (se dă o mulțime de elemente și se cere să se afle câte elemente sunt în mulțime), atașându-se cardinalul corespunzător;

• raportarea cantității la număr (se indică numărul de elemente și copiii construiesc mulțimi cu numărul dat de elemente);

• raportarea numărului la cifră și a cifrei la număr și mulțime;

• stabilirea locului unui număr în șirul numerelor naturale învățate;

• formarea scării numerice (ordonarea crescătoare sau descrescătoare a unor mulțimi după numărul lor de elemente);

• introducerea numărului ordinal – numirea locului ocupat de un obiect într-o succesiune și poziționarea unui obiect într-o succesiune.

Prima etapă a activităților de predare a unui număr nou este rezervată verificării prin exerciții de consolidare și exemplificare a numerelor învățate anterior.

Astfel, la activitățile pe bază de exerciții cu material individual, având ca obiectiv învățarea numărului 9, comparativ cu mulțimea cu 8 elemente, se pot efectua exerciții cu sarcini de tipul:

• numărare până la 8, raportare a cantității la număr și invers pe bază de material concret (la solicitarea profesorului, copiii așază pe masă un anumit număr de flori; ei trebuie să rețină numărul respectiv și să așeze pe masă o mulțime echivalentă);

• comparare a două numere (se solicită așezarea pe masă a 6 flori în șir vertical, apoi lângă ele 7 frunze; se cere copiilor să precizeze care mulțime are mai multe elemente și cu cât, care număr este mai mare și care este mai mic);

• raportare a cantității la număr (se solicită copiilor să arate cifra corespunzătoare numărului de elemente).

După efectuarea acestor exerciții (timp de 5-6 minute), se trece la predarea numărului nou.

Pentru început, se verifică cunoașterea algoritmului de formare a numerelor precedente (1-8). Se formulează o sarcină-problemă de tipul: Cum am putea forma un număr nou, dacă știm cum se formează celelalte numere învățate?

Folosind algoritmul deja cunoscut, copiii vor număra mulțimea de fluturi (8) și o vor pune în corespondență cu mulțimea florilor (dată de profesor). Constată că această mulțime are un element mai mult față de cea a fluturilor, numără (9) și atașează cifra corespunzătoare numărului ei de elemente.

În mod firesc, se pot formula acum sarcini ce vor avea ca obiectiv formarea clasei de echivalență, dar și compararea numerelor și completarea șirului numeric.

În consolidarea raportării numărului la cantitate, indiferent de amplasare, este favorabilă rezolvarea unor situații-problemă de tipul obstacolului.

Se distribuie copiilor cartonașe cu desene corespunzătoare numărului și cu cifra corespunzătoare și se solicită: așază pe masă cartonașul cu 7 ciuperci. Cel cu 6 ciuperci unde trebuie așezat? De ce? Acum așezați cartonașul cu numărul mai mare cu o unitate decât 7. Așezați acum cartonașul cu 9 ciuperci la locul potrivit.

Pentru înțelegerea scării numerice, se pornește de la formularea unei sarcini-problemă de tipul alternativelor.

Se pune copiilor la dispoziție un material variat (flori, frunze, ghinde, fluturi etc.), câte 10, și se solicită formarea scării numerice începând cu numărul 4, în șir vertical, urmând să sesizeze lipsa numerelor mai mici.

Pentru a împiedica formarea mecanică a scării numerice, se evită folosirea fișelor având ca sarcină formarea scării numerice în limitele 1-9. Este bine de evitat și folosirea termenului de scară numerică, folosindu-l pe acela de așezare în șir numeric sau în ordine crescătoare și se solicită formarea șirului numeric în limitele 5-8, 7-9, 3-6 etc.

Pentru înțelegerea locului unui număr în șirul numeric, se pot efectua exerciții de comparare a numerelor. Astfel, se compară numărul 3 cu numerele 2 și 4 și se cere elevilor să arate că numărul 4 este cu o unitate mai mare decât 3, iar numărul 2 este mai mic cu o unitate decât 3. Se compară apoi numărul 5 cu numerele 4 și 6, precizând astfel poziția numărului 6 față de 5.

În concluzie, toate situațiile de învățare vor fi concepute astfel încât să se întărească ideea că fiecare număr este mai mare cu o unitate decât numărul precedent și mai mic cu o unitate decât succesorul său.

Înțelegerea proceselor de compunere și descompunere a unui număr se sprijină pe dobândirea conservării numerice și se pot organiza sarcini în următoarea succesiune:

• se așază pe primul raft al unui dulap 5 obiecte și se solicită elevilor să spună câte obiecte sunt;

• se observă că obiectele pot fi așezate și altfel decât pe un singur raft;

• se ia de pe primul raft un obiect și se așază pe al doilea raft; se numără obiectele;

• se solicită copiilor să precizeze câte obiecte sunt acum în total și cum sunt ele așezate.

În felul acesta, copiii sunt puși în situația de a număra obiectele, indiferent de așezarea lor spațială, iar pe de altă parte, vor înțelege că cele 5 obiecte pot fi așezate diferit în două grupuri: 4 și 1, 3 și 2, 2 și 3, 1 și 4.

Compunerea și descompunerea unui număr sunt realizate prin intermediul exercițiilor cu material concret și se consolidează prin rezolvarea fișelor de lucru individual, dar și a sarcinilor de joc.

De exemplu, după introducerea numărului 6, se pot face exerciții cu material individual prin care copiii să descompună o mulțime cu 6 elemente în două submulțimi, precizând câte elemente sunt în fiecare dintre acestea. Profesorul va fixa, concluzionând, experiențele individuale ale copiilor, anume faptul că 6 poate fi format din 1 și 5, 2 și 4, 3 și 3, 4 și 2, 5 și 1.

Numerele 0 și 10

O etapă importantă o reprezintă predarea numărului 0 (zero). Aceasta se poate face pornind direct de la prezentarea unor mulțimi fără nici un element (un acvariu cu apă, dar fără pești, un coș de fructe din care au fost împărțite toate fructele, o vază din care au fost luate florile etc.), sau pornind de la numărul de elemente din intersecția a două mulțimi disjuncte. Una din dificultățile care apar, este legată de limbaj – dacă în cazul celorlalte numere se prezintă mulțimea nou construită și apoi se precizează: în această mulțime sunt 2, 3, …9, elemnte, acum spunem: în această mulțime nu este nici un element (mulțimea nu are nici un element), deci, sunt zero elemente (mulțimea are zero elemente)! Trecerea de la negație la afirmație nu e ușoară și nici la îndemâna tuturor elevilor.

Celalte etape de predare sunt identice cu cele parcurse în cazul predării numărului și cifrei 1.

Predarea lui zece pune elevii, pentru prima dată, în situația de a reprezenta un număr cu ajutorul a mai mult de o cifră. Se face astfel pregătirea pentru introducerea reprezentării numerelor naturale în sistemul zecimal, pozițional, aditiv, pe care-l folosim de obicei.

Numărul zece se va introduce la fel cu toate celelalte numere, urmând algoritmul pe care elevii îl cunosc deja. Noutatea este reprezentată de scrierea acestui număr – lucru pe care îl vom sublinia în fața elevilor.

Pentru a pregăti scrierea lui zece, o etapă importantă este intuirea zecii ca o entitate, deci ca o nouă unitate numerică. Pentru aceasta se pot folosi materiale diverse. Pentru început, vom porni cu un mănunchi de zece bețișoare legate strâns pe care, înainte de a le lega, le vom număra cu ajutorul elevilor. Vom începe să manipulăm acest mănunchi de bețișoare – îl ridicăm, îl lăsăm să cadă pe catedră, scoțând în evidență faptul că avem de-a face, practic, cu un singur obiect – o zece. De aici tragem concluzia că pentru reprezentare vom folosi din nou cifra 1, dar nu o putem folosi numai pe aceasta, pentru că, în realitate, sunt zece bețișoare – adică zece unități. Este momentul sa introducem scrierea pozițională – 10 și să vorbim despre locul ocupat de fiecare cifră în această scriere – zero este pe locul unităților, iar unu pe locul zecilor, deoarece avem o zece și nici o unitate!

În următoarele etape putem folosi numărătoarea pozițională și figurilor geometrice de poziționare, pentru a-i familiariza pe elevi cu ele și pentru a pregăti etapa următoare de învățare.

Predarea-învățarea numerelor naturale de la 10 la 100

Activitățile vor fi proiectate și realizate după următoarea succesiune a activităților de învățare:

Exerciții de numărare cu sprijin pe obiecte

Exerciții de poziționare la numărătoarea de poziționare

Se prezintă numărătoarea de poziționare și se lucrează câteva exerciții de reprezentare a numerelor pe numărătoare.

Z U S Z U

Exemplu : Numărul 32 se reprezintă astfel : Inițial, punem toate cele 32 de bile pe tija unităților. Scoatem o mulțime de 10 bile de pe tija unităților si o înlocuim cu o singură bilă pe care o așezăm pe tija zecilor. Avem acum numărul format dintr-o zece și 22 de unități: 10, 11, 12,…, 31, 32. Continuăm procedeul: mai înlocuim 10 bile de pe tija unităților cu o bilă pe tija zecilor. Acum avem numărul format din două zeci și 12 unități: 20, 21, …, 32. Este momentul în care le cerem elevilor să continue singuri și să finalizeze reprezentarea numărului. Se poate continua cu următoarea conversație: am mai putea proceda și altfel? Da! Punem 3 bile pe tija zecilor si 2 bile pe tija unităților. Ce semnificație au cele 3 bile de pe tija zecilor ? Reprezintă numărul de grupe de câte 10 unități. Dar 2? Reprezintă numărul de unități care au rămas după ce am format 3 grupe de câte 10 unități.

Dacă elevii nu descoperă singuri acest mod de reprezentare, profesorul va forma numărul la numărătoare și va solicita elevilor să explice semnificația acestui mod de grupare.

Se discută cu elevii avantajele uneia sau alteia dintre metode și se decide că al doilea mod de lucru este mai avantajos. În acest fel se reprezintă numărul folosind mai puține bile și numărul se poate citi cu ușurință dacă se respectă semnificația bilelor de pe fiecare tijă.

Acest mod de reprezentare îl vom folosi în continuare! Apoi putem discuta despre scrierea unor astfel de numere.

Fiecare copil va lucra individual, urmând să reprezinte numerele pe care le va propune profesorul. Se verifică ce s-a lucrat si se corectează cu numărătoarea de pe catedră.

În cazul în care nu există numărătoare de poziționare, se poate lucra cu discuri sau buline diferit colorate : discuri/buline roșii pentru a număra zecile și discuri/buline albastre pentru unități. În această situație se pot folosi jetoane pentru a scrie numărul, poziționând în dreptul discurilor roșii cifra corespunzătoare numărului de zeci și în dreptul discurilor albastre jetonul cu cifra corespunzătoare numărului de unități.

Exerciții de scriere, citire și reprezentare a numerelor cu respectarea regulilor de poziționare

Numerația orală

Pentru numerele mai mici, sau egale cu 10, lucrurile par simple – fiacărui număr îi corespunde un semn, o cifră, deci, și un cuvânt. Semnele, cifrele, indică cantitatea fiecărei grupări și dispunerea lor în șir, indicând valoarea. Dar cum se poate spune „2345”? Dacă numerația orală ar fi doar o copie a numerației simbolice, s-ar spune: „doi – trei – patru – cinci”. Nu ar fi foarte practic, deoarece trebuie așteptat sfârșitul enumerării pentru a cunoaște ordinul de mărime al numărului. S-a găsit o soluție la această problemă: se folosesc cuvinte specifice pentru fiecare poziție: unități, zeci, sute, mii, milioane etc. De fapt, cu puține cuvinte, se pot desemna toate numerele. Iată o listă a cuvintelor necesare pentru a numi numerele:

cuvintele care desemnează unitățile: unu, doi, trei, patru, cinci, șase, șapte, opt, nouă;

cuvântul care desemnează absența: zero;

cuvintele care desemnează prima zece: unsprezece, doisprezece, treisprezece, patrusprezece, cincisprezece, șasesprezece, șaptesprezece, optsprezece, nouăsprezece – observăm că deja avem o regulă de numire: numărul de unități și sprezece;

cuvintele care desemnează zecile: zece, douăzeci, treizeci, patruzeci, cincizeci, șaizeci, șaptezeci, optzeci, nouăzeci;

cuvintele ce desemnează grupările mai mari: sută, mie, milion, miliard, bilion, trilion etc. reprezentând de fapt fiecare ordin și fiecare clasă de numerație

Când ne gândim, sunt puține cuvinte pentru a desemna numerele!

Fiecare limbă are specificul ei. Astfel, este necesar mai mult de un cuvânt pentru a desemna puterile lui 10. În plus, chiar de la primele cuvinte, se cunoaște ordinul de mărime al numărului despre care este vorba și nu e nevoie de folosirea lui zero ca în numerația cifrată: 102 se spune „o sută doi”. Absența unei grupări este marcată de absența cuvântului asociat.

Pentru început, vom scrie pentru orice număr format din două cifre, două liniuțe (sau două pătrățele), ca să nu-i greșim scrierea : prima liniuță (pătrățică) va marca locul zecilor, a doua, pe cel al unităților. Iată, am desenat pe tablă doua liniuțe: _ _. În acest fel vom marca faptul că numărul care trebuie reprezentat are două cifre, deci se compune din zeci și unități.

Copii vor reprezenta numărul pe numărătoarea de poziționare și apoi vor scrie cu cifre, insistând pe semnificația fiecărei cifre și poziția pe care se află în scriere și reprezentare.

Dacă numărul nu mai are nici o unitate, se va scrie pe liniuța pentru unități cifra 0 care ne arată că numărul este format numai din zeci.

Reprezentăm cu întreaga clasă numărul 60 pe numărătoarea de poziționare. Se vor formula întrebări de tipul :

Ce înseamnă șase zero? Înseamnă 6 zeci si nici o unitate (0 unități). Cum se citește numărul în acest caz? Șasezeci (șaizeci). De ce? Pentru că cifra 6 se află acum pe locul zecilor, iar pe locul unităților este 0. Spuneți altă cifră pentru zeci (3). Cum se va numi numărul obținut? Treizeci. Să-l scriem și apoi să-l reprezentăm pe numărătoare: 3 0. Ce arată cifra zero? Lipsa unităților. Dar 3? Numărul zecilor. Ce înseamnă 30? Trei zeci si nici o unitate, zecile sunt singure, sunt zeci întregi.

În mod asemănător se procedează și la scrierea altor numere, formate din zeci și unități. Dacă mai adăugăm la 30 încă două unități, cum se va numi numărul obținut? Treizeci și doi. Să-l scriem și apoi să-l reprezentăm pe numărătoare: 3 2. Ce arată cifra doi? Faptul că sunt două unități. Dar 3? Numărul zecilor. Ce înseamnă 32? Trei zeci si două unități.

Același sarcini se pot rezolva înlocuind numărătoarea pozițională cu figuri geometrice de poziționare, sau cu numărătoarea pozițională confecționată din carton, sau material plastic!

2 3 3 4

Dificultățile numerației scrise

Acum câțiva ani, Nadine Bednarz și Bernadette Janvier au făcut un studiu despre predarea numerației și dificultățile pe care unele practici le ridică elevilor. Iată câteva dintre observațiile lor:

Elevii trebuie să învețe să lucreze cu simboluri lipsite de sens. Numerația este adesea legată de capacitatea de a scrie și a citi numerele și abilitatea de a indica valorile de poziție într-un număr dat. Multe exerciții propuse în manualele școlare tradiționale consistă din scrierea unui număr în litere și cifre, recunoașterea unui număr dându-se cifra care reprezintă zecile, sutele… (găsirea poziției) și indicarea numărului de zeci sau sute dintr-un număr.

Studiul, la care au participat 200 elevi din școala primară, arată că în ciuda importanței acordate cuvintelor „unitate”, „zece”, „sută” etc. în predarea matematicii, puțini elevi stabilesc o legătură cu grupările. Acest simbolism rămâne pentru elevi o convenție care trebuie învățată, memorizată; este un vocabular care nu duce deloc la imaginea unei grupări. De exemplu, când s-a cerut elevilor să spună care număr era reprezentat de etichetele următoare (prezentate în această ordine): 4 zeci, 3 unități, 2 sute, mai mulți au spus 432, luând cifrele în ordinea dată în prezentare.

Orice reprezentare a unui număr apare după o aliniere reluând ordinea scrierii convenționale a numărului. Când se prezintă elevilor ilustrațiile materialului de folosit, trebuie atrasă atenția asupra ordinii prezentării diverselor grupări. Dacă fiecare imagine din materialul la care se face referință pentru a ajuta elevii să înțeleagă numerația, este întotdeauna bine ordonată, de la marile grupări la unități, elevii nu vor face greșeli în lucrul cu grupările. Ne gândim, de exemplu, la materialul figuri geometrice de poziționare (blocuri în baza zece), la care ordinea și poziția diverselor elemente nu au nici o importanță în desemnarea numerelor, deoarece fiecare element este în mod clar asociat unei grupări (o plăcuță valorează 100 și nu contează poziția sa pe masă).

Observațiile celor două cercetătoare le-au dus la concluzia că impunând în mod prematur elevilor o prezentare ordonată, aceștia ajung să interpreteze scrisul ca un decupaj (unitate, zece, sută etc.), un ordin, o poziție și îndepărtează orice semnificație exactă legată de grupări.

Materialul (sau imaginile legate de acest material) este folosit în mod esențial pentru a face trecerea la scris. Atunci când se predă numerația trebuie evitată folosirea materialului real sau desenat pentru codificarea directă și trecerea la scrisul simbolic fără a lucra operațiile.

În studiul lor, cercetătoarele au prezentat unor elevi din clasa a III-a și a IV-a un abac cu jetoane de aceeași culoare pe tije. Prima întrebare pusă a fost: „Poți să reprezinți asta pe abac?” (Era scris 3152 pe o foaie.) A doua întrebare era: „Poți să înlături 128 folosind abacul? Explică.”

Rezultatele arată că aproape toți copiii interogați (93%) au știut să reprezinte fără ezitare numărul cerut pe abac, dar pentru a înlătura 128 cu abacul, lucrurile s-au complicat. Astfel, mulți elevi nu au văzut în acest material decât jetoane care au toate aceeași valoare. Elevii au început să scadă 128 ridicând un jeton din poziția sutelor, apoi două jetoane din poziția zecilor. Văzând că nu pot scoate opt jetoane din două jetoane, unii și-au spus: „Aceasta nu se poate face, nu există destule jetoane.” Alții nu au făcut decât să scoată cele două jetoane și s-au oprit spunând că au terminat. Alții au încercat să scoată opt jetoane, orice ar fi; le-au scos de pe alte tije, fără a acorda importanță valorii poziționale. Unii elevi au încercat să folosească regulile algoritmului de scădere: „Trebuie adăugate 10.” sau „Trebuie ajuns la 12.” Elevii au adus arunci 10 jetoane pe tija unităților, fără a înlătura nimic pe tija zecilor; cu alte cuvinte, nu au realizat schimbul. Alții au folosit schimburi „unu la unu”, adică au adăugat un jeton la unități și au scos unul de la zeci pentru a spune ca era totuși imposibil. Unii elevi buni la calcul au calculat mental și nu au folosit abacul decât pentru a scrie rezultatul. În sfârșit, foarte puțini elevi au știu să îndeplinească sarcina, arătând că acordau jetoanelor o valoare de grupare.

Concluzia trasă a fost că în ansamblu, predarea numerației bazată pe trecerea la scris fără legătură cu operațiile antrenează anumite dificultăți la elevii între 8 și 10 ani:

dificultatea de a vedea grupările și rolul lor în scrierea convențională, în ciuda locului preponderent pe care această scriere o are în predare;

dificultatea de a vedea pertinența acestor grupări, chiar dacă exercițiile i-au făcut pe elevi să facă grupări;

dificultatea de a interpreta procedurile de calcul legate de operații (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) în legătură cu grupările, ceea ce duce la greșeli clasice de algoritm.

Pentru a da un sens adevărat grupărilor, trebuie să se utilizeze materiale alese în funcție de aspectele ce se doresc studiate împreună cu elevii.

9.5. Compararea și ordonarea numerelor naturale de la 0 la 100

Profesorul va forma, cu ajutorul elevilor, la numărătoarea pozițională, sau cu figuri geometrice de poziționare, la tablă, sau pe o tablă magnetică, demonstrativ, un număr. Exemplu: 24.

Va întreba mai întâi câte zeci indică cifra zecilor. (2 zeci). Va lua 2 bare formate din câte 10 pătrate și le va așeza pe tablă (sau pe tabla magnetică). Apoi va întreba câte unități indică cifra unităților (4 unități). Va așeza la dreapta zecilor, 4 pătrate reprezentând unitățile.

Alături de numărul 24 format din pătrate, va forma, prin același procedeu, un alt număr, mai mare: 34.

Se va cere și elevilor să formeze cele două numere, pe bănci.

Exerciții de comparare a numerelor

a) Se compară numerele formate, începând cu zecile:

Câte zeci are numărul 24? (2 zeci). Câte zeci are numărul 34? (3 zeci). Cu câte zeci are mai puține numărul 24 față de numărul 34? (Cu o zece). Se scrie relația: 20 < 30. Ce se observă privitor la unități? Au celași număr de unități. Deci numărul 24 este mai mic decât numărul 34. (24 < 34). Se explică semnificația semnului < (mai mic).

b) Se compară două numere egale, reprezentate în același mod. (Exemplu 23, 23). Se constată că cele două numere au, fiecare, același număr de zeci: 20 = 20. Se compară apoi unitățile: 3 = 3. Concluzie: 23 = 23.

c) Se compară două numere cu același număr de zeci, dar cu cifrele unităților diferite. (Exemplu 23, 24). Se compară mai întâi zecile: 20 = 20, apoi unitățile: 3 < 4. Se trage concluzia că: 23 < 24.

d) Se pot rezolva și alte exerciții de comparare, după manual, la tablă și pe caiete.

Înțelegerea construcției șirului de numere naturale

a) Pe tablă se desenează o axă a numerelor. Se scrie primul număr (exemplu: 50). Se cere elevilor să dicteze numărul următor (51) ș. a. m. d. Se întreabă: cu cât este mai mare 51 decât 50? Dar numărul 52 față de precedentul său? Se explică elevilor că mai multe numere dintre care fiecare număr este mai mare cu o unitate decât numărul precedent (predecesor), sau mai mic cu o unitate decât cel următor (succesor), se numesc numere consecutive.

Se completează toate numerele consecutive, până la ultima diviziune desenată a axei și se scrie semnul relației de ordine (<) între numere.

50<51< 52<53< 54<55< 56<57<58<59< 60<61<62< 63…

b) Înțelegerea numerelor consecutive se poate realiza și prin joc: sunt scoși în fața clasei grupe de 12-14 elevi, care au atârnate pe piept cartoane cu numere, de la 50 la 62 (64) sau de la 40 la 52 (54) sau orice alt segment din șir. Ei trebuie să se așeze astfel, încât să formeze un șir de numere consecutive.

Profesorul, apoi elevii, le vor da sarcini de joc de felul: să facă un pas înainte:

a) trei numere consecutive cuprinse între 54 și 58!

b) numărul precedent (predecesorul) lui 54!

c) numărul precedent (predecesorul) și numărul succesor ale lui 56!

d) patru numere consecutive mai mari decât 50 și mai mici decât 55!

e) trei numere consecutive – cele mai apropiate de 50!

Grupele se pot schimba. Se vor urmări răspunsurile corecte și scorul fiecărei echipe.

Formarea noțiunilor de ordin și clasă de numerație

În etapa urmatoare, predarea-învățarea numerelor naturale mai mari decât 100 se caracterizează prin introducerea noțiunilor de ordin si clasă de numerație.

Pâna acum, elevii au cunoscut 3 unități de calcul: unitatea (simplă), zecea și suta. Pentru a ordona și sistematiza secvențele numerice următoare, fiecărei unități de calcul îi va fi atașat un ordin, care reprezintă numărul de ordine în scrierea numărului: unitățile (simple) vor fi numite unități de ordinul întâi; zecile, unități de ordinul doi; sutele, unități de ordinul trei. În acest fel, unitățile de mii vor fi unități de ordinul patru, zecile de mii – unități de ordinul cinci, sutele de mii – unități de ordinul șase ș.a.m.d. Pe masură ce cunosc ordinele, elevii constată că grupuri de trei ordine consecutive, începând cu primul, cel al unităților, conțin unități care se numesc la fel: unități, unități de mii, unități de milioane ș.a.m.d. Data fiind aceasta periodicitate, este firesc ca un grup de trei ordine consecutive să formeze o nouă structură, numită clasă (de numerație). Ordinele 1, 2, 3 formează clasa unităților; ordinele 4, 5, 6 formează clasa miilor; ordinele 7, 8, 9 – clasa milioanelor ș.a.m.d. Se poate sugera astfel că procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfârșit și că, implicit, există numere naturale oricât de mari. În scrierea unor astfel de numere, evidențierea claselor se realizează prin plasarea unui spațiu liber între ele. Exemplu: 257 409 312.

Predarea numerelor naturale de mai multe cifre

O atenție deosebită în scrierea unui numar trebuie sa fie acordată cifrei 0 (zero), care semnifică absența unităților de un anumit ordin. La citirea unui număr în scrierea căruia apar zerouri, acestea nu se rostesc. De altfel, edificatoare în evaluarea deprinderii elevilor de a scrie/citi corect un număr natural, oricât de mare, sunt probele de evaluare orale și scrise care solicită citirea/scrierea unor numere, reprezentate la numărătoarea pozițională, sau cu figuri geometrice de poziționare și în care lipsesc unitățile de diverse ordine.

Urmatoarele extensii secvențiale (numere naturale mai mari decât 100) realizate în clasele II-IV, urmăresc, în plus, conștientizarea caracteristicilor sistemului de numerație: zecimal (zece unități de un anumit ordin formeaza o unitate de ordinul imediat urmator), pozițional (o cifră poate reprezenta diferite valori, în funcție de poziția pe care o ocupă în reprezentarea/scrierea unui număr) și aditiv (valoarea exprimată de număr se află adunând valorile exprimate de fiecare cifră în parte).

Metodologia formarii conceptului de numar natural se bazeaza pe faptul că elevii de vârstă școlară mică se află în stadiul operațiilor concrete, învățând îndeosebi prin intuire și manipulare directă a obiectelor. Pe măsură ce avansăm către clasa a IV-a, are loc ridicarea treptată către general și abstract, în direcția esențializării realității.

Temă

Explicați ce se întelege prin: aspectul cardinal și aspectul ordinal al unui număr natural.

Prezentați etapele necesare predării-învățării numerelor naturale. Exemplificați.

Explicați pe ce se fundamentează însușirea conștientă a noțiunii de număr natural.

Prezentați metodologia predării-învățării numerelor naturale în concentrul 10-100.

Precizați aspectele specifice predării-învățării numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre.

Explicați ce rol joacă principiul sistemului de numerație zecimal în predarea-învățarea numerației?

Alegeți, dintre elementele pregătitoare pentru înțelegerea conceptului de număr natural, două priceperi/deprinderi necesare și exemplificați-le cu posibile tipuri de sarcini didactice și situații de învățare în care ar putea fi antrenați elevii.

Stabiliți un algoritm prin care se introduce, la clasa I, numărul 7.

Construiți o listă cu numere de mai multe cifre, care să se constituie în obiect al activității independente a elevilor (citire, scriere). Motivați introducerea fiecarui număr în listă.

CAPITOLUL 10: Metodologia predării-învățării operațiilor cu numere naturale

10.1. Formarea reprezentărilor despre operații și înțelegerea sensului operațiilor

O operație aritmetică decurge din situațiile matematice din viață și este expresia unei operații mentale care corespunde unei acțiuni reale, caracterizată prin realizarea transformării matematice, deci simbolice, a acțiunilor.

Orice operație aritmetică pornește de la o situație matematică, întâmplătoare sau provocată, care prin observație, descoperire, acțiune, declanșează un act rațional, de gândire. Intervenția prin acțiune provoacă o schimbare, situația matematică suferă în acest mod o transformare. Această intervenție prin acțiune este tocmai operația. Sensul transformării (adăugare, luare, mărire, micșorare etc.) conduce la precizarea sensului operației (adunare, scădere etc.).

Învățarea sensului operațiilor parcurge trei etape:

• operația se traduce prin acțiune efectivă, intervenție directă (ia, adaugă, pune la un loc);

• se renunță la manipulare directă și operația presupune o căutare (ce trebuie adăugat?), sau se efectuează operația inversă;

• abstractizare și operare simbolică, asocierea simbolului operației cu operația.

Capacitatea de efectuare a operației aritmetice care corespunde unei acțiuni reale presupune, după J. Piaget, dobândirea conservării cantității, indiferent de natură, formă și poziție spațială, și a reversibilității.

Reversibilitatea operației se dobândește după vârsta de 6 ani și necesită:

• inversare – reversibilitatea prin inversare – în cazul experimentelor de conservare a lichidelor: turnăm lichidul din vasul A în vasul B, dar putem turna lichidul din vasul B în vasul A și ne regăsim în situația inițială, cantitatea de apă nu s-a modificat, indiferent de forma vaselor A și B;

• reciprocitate – reversibilitate prin compensare – în cazul conservării lichidelor: vasul B este mai înalt, dar mai îngust decât vasul A, deci conține tot atâta lichid cât se găsea în vasul A (creșterea în înălțime este compensată de micșorarea diametrului vasului).

Fără reversibilitate nu se pot învăța operațiile directe (adunarea) și inverse (scăderea). Dacă acest proces nu are loc, nu se poate înțelege cât trebuie adăugat la 4 pentru a obține 6 fiindcă trebuie să se efectueze o scădere, și anume 6 – 4 = 2, și nu o adunare, 4 + 2 = 6 (adunarea este totuși acceptată).

Operațiile de adunare și scădere efectuate cu obiecte sunt accesibile copiilor de 5-6 ani, dar corectitudinea rezolvării lor este condiționată de numărul de obiecte folosit. Operațiile în care termenii depășesc 3-4 obiecte reale sunt numai în aparență concrete, copilul nu poate să-și reprezinte grupe numerice (de exemplu un grup de 4 mere la care se adaugă încă 5 mere). În aceste cazuri, el renunță la operarea cu reprezentări și revine la operarea prin numărare, deoarece preferă să folosească procedee cu care este familiarizat și apelează la scheme operatorii deja automatizate.

Cercetările au arătat că operația se rezolvă cu ușurință în cazul când se execută practic cu obiecte, copilul utilizând frecvent numărarea obiectelor. O mică parte dintre copii adaugă unul câte unul obiectele celui de-al doilea termen la primul, luat global, dovedind astfel interiorizarea acțiunii externe.

Efectuarea operațiilor de adunare și scădere se face, pe etape, astfel:

• acțiune cu obiecte concrete;

• acțiune cu obiecte reprezentate grafic sau prin reprezentări simbolice;

• operare cu numere abstracte.

În formarea reprezentărilor despre o operație aritmetică, punctul de plecare îl constituie acțiunea externă, materială, cu obiecte. În acest proces se produc transformări semnificative sub raport cognitiv. Astfel, în cazul operației de adunare, procesul se desfășoară după următorul traseu:

• în planul acțiunii materiale – sub forma acțiunii efective, prin deplasare sau adăugare reală a unui grup de obiecte la altul, copilul considerându-le apoi împreună;

• în planul limbajului extern – procesul își pierde treptat caracterul concret, adunarea se face fără sprijin pe obiecte;

• în planul limbajului intern – operația se realizează ca act de gândire verbală, procesul se transpune în plan mental. În această etapă, procesul are loc prin reproducerea structurii generale a acțiunii externe.

Procesul de formare, pe etape, a noțiunii de operație (adunarea) se poate reprezenta astfel:

• planul acțiunii externe materiale – copilul formează mulțimi; pune lângă primele trei obiecte încă un obiect, le consideră împreună și le numără cu glas tare; stabilește că sunt la un loc patru obiecte.

• planul limbajului extern – copilul adaugă unitatea celui de-al doilea termen, dar fără a folosi acțiunea, numărând doar cu privirea.

Au loc:

• interiorizarea acțiunii externe – copilul adaugă direct unitatea termenului secund, numărând în continuare trei-patru fără sprijin pe obiecte;

• planul limbajului intern – copilul adaugă la primul termen al doilea termen, luat în totalitate: 3 și cu 1 fac 4, acest stadiu marcând conceptualizarea operației; copilul face abstracție de natura obiectelor, de poziția lor spațială, generalizează operația; se produce automatizarea ei, transformându-se în stereotip dinamic. Copilul înțelege sensul termenilor operaționali ai aritmeticii (adunare, scădere) printr-un proces similar celui de însușire a sensului unor cuvinte ce desemnează acțiuni. Simbolul verbal și cu este folosit de profesor când copilul desfășoară o acțiune de adăugare a unor elemente la o clasă. Prin acțiune repetată, simbolul verbal capătă sens semnificativ printr-o reprezentare a procesului de adunare, prin generalizarea unor operații concrete, executate cu mulțimi de obiecte.

În formarea și dobândirea abilității de calcul este necesar ca adunarea și scăderea cu o unitate să se realizeze în formă explicită și verbalizată – pornind de la cadrul acțional în plan material. Copiii vor fi solicitați să realizeze practic acțiuni de mărire și micșorare cu 1-2 unități, accentul punându-se pe verbalizarea simultană a operațiilor (acțiunilor) realizate practic; se utilizează forma: Am mai pus…, am luat…, acum sunt/au rămas.

Achiziția structurii raționamentului aritmetic va determina generalizarea operațiilor de adunare, respectiv scădere și stabilirea egalității: … și cu/fără …, … fac.

În cazul acesta, la grădiniță și în clasa pregătitoare, se poate propune următoarea succesiune a sarcinilor de învățare:

1. Se solicită copiilor să numere liber;

2. Se solicită numărarea elementelor unei mulțimi date (apropiat de extensia numerației libere);

3. Se solicită formarea unei mulțimi cu un număr dat de elemente;

4. Se solicită să se formeze o mulțime cu tot atâtea elemente;

5. Se cere copiilor compararea numărului de elemente ale mulțimilor și exprimarea rezultatului;

6. Se solicită formarea unei mulțimi cu un element mai mult/puțin;

7. Se propune copiilor să găsească soluția de a forma mulțimi cu tot atâtea elemente (prin adăugarea sau luarea unui element);

8. Se solicită ca operația realizată practic să fie exprimată verbal și ulterior se pot introduce și simbolurile aritmetice corespunzătoare operației efectuate: „+”, „–”.

O etapă importantă în formarea și în consolidarea competențelor legate de efectuarea operațiilor este rezolvarea de probleme simple prin operația respectivă.

Rezolvarea de probleme simple trebuie să decurgă ca o necesitate firească solicitată de situații concrete de viață. În cursul rezolvării problemelor, se elaborează algoritmi de cunoaștere și algoritmi de lucru.

Primele probleme introduse au caracter de problemă-acțiune și lor li se asociază un bogat material ilustrativ, demonstrativ. Noțiunea de problemă și rezolvarea ei se dobândesc de școlarii mici (6-7 ani) odată cu rezolvarea primelor probleme simple. Acestea se prezintă într-o formă cât mai firească prin punerea în scenă a acțiunii problemei și prin ilustrarea acțiunii cu ajutorul copiilor și/sau a materialului didactic.

De asemenea, în alegerea modelului acțiunii, profesorul trebuie să țină cont ca problema să nu cuprindă acțiuni secundare, iar relația esențială dintre datele problemei să aibă corespondent în modelul propus.

10.2. Adunarea și scăderea numerelor naturale până la 30 fără trecere peste ordin

Prezentăm procedeul de calcul la adunare și la scădere, prin numărare, pe axa numerelor.

Adunarea

Se pornește de la numărul care reprezintă primul termen (10) și se numără crescător atâtea diviziuni, cât indică cel de al 2-lea termen (3). Numărul la care se ajunge, este suma obținută.

Exemplu: 10 + 3 = ?; 15 + 4 = ?

+ 3 + 4

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Scăderea

Se pornește de la numărul care reprezintă descăzutul (15) și se numără descrescător atâtea diviziuni de pe axă, cât indică scăzătorul (7). Numărul la care se ajunge este diferența (restul).

Exemplu: 15 – 4 = ?; 19 – 3 = ?

– 4 – 3

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Se efectuează adunări și scăderi pe axă, la tablă și pe caietele de clasă. Exercițiile de adunare și de scădere se pot desprinde și din mici probleme, asemănătoare celor din manual, pentru ca elevii să deprindă ideea de adunare și de scădere, din limbajul specific, într-o exprimare cât mai variată.

Cu ajutorul pătratelor și cu numărătoarea de poziționare, se demonstrează legătura dintre adunare și scădere:

; 5 + 4 = 9

; 4 + 5 = 9

; 9 – 4 = 5

; 9 – 5 = 4

Acest lucru se poate face și cu ajutorul balanței, reprezentând unitățile prin vile de plastic, de exemplu.

Se reiau cele 4 relații cu alte numere, demonstrațiile fiind efectuate de elevi. Exemplu: 6 + 2; 5 + 3. (Se aleg numere mici, pentru ca așezarea materialului să nu necesite prea mult timp).

Se explică necesitatea cunoașterii acestor relații dintre adunare și scădere, pentru:

a) a verifica rezultatele obținute la exerciții de adunare sau de scădere, prin probă:

Exemplu: 16 + 4 = 12 proba prin scădere: 16 – 12 = 4, sau prin adunare 12 + 4 = 16

b) a afla un termen necunoscut al adunării, descăzutul sau scăzătorul:

Exemple: 13 + ? = 19; 19 – 13 = 6; deci 13 + 6 = 19

17 – ? = 12; 12 + ? = 17; 17 – 12 = 5; deci 17 – 5 = 12

? – 7 = 11; 11 + 7 = 18; deci 18 – 11 = 7

Se rezolvă la tablă și pe caiete mai multe adunări și scăderi la care se efectuează proba prin operația inversă.

Se efectuează frontal exerciții de găsire a unui termen necunoscut.

La fiecare exercițiu este important să se facă verificarea calculului efectuat.

10.3. Adunarea și scăderea numerelor formate din zeci întregi

Învățarea de tehnici de calcul poate începe de la probleme acțiune, de la problemele din manual, sau de la altele asemănătoare, reprezentate prin desene pe tablă, sau pe planșe.

Un procedeu agreat de elevi este acela al jocului de rol, elevii înșiși fiind personajele din povestea problemei. Deci, se scot în fața clasei 2 elevi. Unul are 3 legături de câte 10 bețișoare, iar celălalt – 6 legături de câte 10 bețișoare.

Elevii sunt solicitați să formuleze enunțul cu datele problemei, apoi întrebarea problemei, știind că, problema este de tipul a + b = x, sau a – b = y.

Pentru rezolvarea problemei de adunare, se adună grupurile de câte 10 obiecte (bile sau bețișoare), așa cum se adună unitățile:

3 zeci + 6 zeci = 9 zeci.

Se reia calculul după desenul din manual (sau de pe tablă), completând cifra 0 la unități:

Se vor efectua adunările pe axa numerelor. În acest scop, anterior începerii lecției, profesorul va trasa pe tablă 3 — 4 segmente de axă a numerelor, reprezentând pe ele numerele 0 — 100, din 10 în 10:

Se va explica procedeul de calcul al sumei, prin adunare.

+ 60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Se poate organiza activitatea pe grupe, elevii calculând diferențiat: unii elevi lucrează cu obiecte (grupuri de bețișoare), alții cu bare de câte 10 pătrate, alții vor calcula pe axa numerelor. Se vor confrunta rezultatele obținute, pentru a se observa corectitudinea calculului după cele trei procedee. Elevii scriu pe caiete fiecare exercițiu de adunare, sub forma: 30 + 50 = 80

30 +

50

80

Învățarea procedeelor de calcul pentru operația de scădere se realizează asemănător celei de la adunare, utilizând desenul sau manipularea barelor de câte 10 pătrățele (în bănci sau la tablă) și axa numerelor:

–20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Se reamintesc relațiile prin care se pun în evidență legătura dintre adunare și scădere, pornind de la un exercițiu de adunare a două numere formate din zeci întregi.

Profesorul scrie pe tablă:

40 + 20 = 60

Apoi se reactualizează relațiile dintre termeni și putem afla foarte ușor un termen necunoscut al adunării sau putem efectua proba adunării sau a scăderii prin operația inversă.

Se vor propune spre rezolvare și probleme de adunare, de scădere, sau de adunare și scădere. Se va cere elevilor să compună probleme după exercițiile (sau formulele) problemelor rezolvate.

Problemele pot fi :

a) de grupare: În curtea școlii sunt 30 de băieți.

Mai vin 20 băieți și20 de fete.

Câți elevi sunt acum în curte?

b) de separare: 90 de elevi pleacă în tabără în grupe de câte 20. Câte grupe vor pleca la mare?

c) de comparare și grupare:

Ana are 10 mere iar sora ei cu 10 mai multe. Câte mere au împreună?

d) de egalizare și grupare:

Într-o cutie sunt 30 de bile albe și negre. Dacă ar fi cu 10 mai multe bile albe decât negre, atunci numărul bilelor de fiecare fel ar fi același. Câte bile de fiecare fel sunt?

10.4. Adunarea numerelor formate din zeci și unități fără trecere peste 10

1) Adunarea unui număr format din zeci și unități, cu un număr format numai din unități.

Operarea cu obiecte va precede calculul desfășurat și în scris. Se scrie calculul pe tablă, elevii urmărind cu atenție atât scrierea cât și explicarea orală a fiecărei etape de calcul:

Se descompune numărul 23 în două zeci și trei unități. Se coboară, pentru adunare, cele 6 unități (al doilea termen al adunării).

Se adună numerele formate numai din unități:

3 + 6 = 9 și se coboară zecile întregi (20).

Se adună zecile întregi cu totalul unităților

20 + 9 = 29

Deci: 23 + 6 = 29.

Elevii vor fi îndrumați să scrie și ei pe pagina caietului calculul sumei, în arbore, ca pe tablă, explicându-le modul de scriere. Se va sublinia tehnica folosită: descompunerea numărului format din zeci și unități cu scopul de a se transforma adunarea în cazuri de adunări învățate anterior.

2) Adunarea numerelor formate din zeci și unități

În același mod se procedează pentru învățarea tehnicii de calcul în cazul când ambele numere care se adună sunt formate din zeci și unități.

Elevii vor fi antrenați să redescopere singuri procedeul de calcul, pe baza cazului de adunare învățat anterior, observând deosebirea: se descompun în zeci și unități ambele numere care se adună.

Exemplu: 43 + 25 = ?

Elevii efectuează operația mai întâi prin manipularea de obiecte: bara de 10 pătrate pentru zeci și pătrate pentru unități.

Se adună laolaltă benzile de câte 10 pătrate, deci zecile: 4 zeci + 2 zeci = 6 zeci.

Se adună unitățile: 3 + 5 = 8

Se adună, apoi, laolaltă totalul zecilor (60) cu totalul unităților (8) și se obține suma: 60 + 8 = 68.

Urmează demonstrarea calculului scris. Profesorul poate explica atât așezarea calculului pe verticală sub formă de arbore (formă care redă mai concret gândirea calculului) cât și scrierea calculului (pe linie orizontală) prin utilizarea parantezelor pentru gruparea termenilor, formă mai sintetică și mai ușor de scris pe caiete. Se vor exersa ambele forme sau numai una dintre ele, în funcție de resursele colectivului de elevi.

La explicarea concretă a modului de calcul, se va proceda astfel:

42 + 36 = ?

Explicație orală:

Se descompun cele două numere în zeci și unități.

Se adună unitățile cu unitățile și zecile cu zecile.

Se adună totalul zecilor cu totalul unităților. Suma este 78.

42 + 36 = 40 + 2 + 30 + 6= (40 + 30) + (2 + 6) = 70 + 8 = 78

Scrierea calculului sub formă de arbore pe tablă este bine să se realizeze pe rețea de pătrățele asemănătoare caietelor elevilor, pentru ca aceștia să aibă modelul derulării etapelor de calcul și amplasarea lor în spațiul rețelei de linii.

Altfel elevii vor trasa săgețile în dezordine, consumând inutil spațiul pe foaia de scris și nepunând în evidență pe rânduri orizontale, cele trei etaje ce marchează etapele de calcul: descompunerea numerelor; adunarea separată a zecilor și a unităților; aflarea sumei prin adunarea totalului zecilor cu totalul unităților.

Fiind prima lecție de redactare a calculului desfășurat, profesorul va controla atent scrierea ordonată a calculului desfășurat.

După efectuarea a 3 – 4 exerciții prin activitate frontală (la tablă și pe caiete), se poate verifica, prin activitate independentă, gradul de însușire a tehnicilor de calcul învățate.

Demonstrarea calculului adunării prin calcul scris:

a) Etapa concret – intuitivă va urmări fixarea scrierii poziționale a unităților și a zecilor, precum și începerea adunării cu unitățile.

Se efectuează adunarea figurativ, ca în desenul de mai sus : 43 + 24 = ?

b) Apoi se demonstrează calculul scris, însoțit de explicații orale:

Se scriu numerele unul sub celălalt, așezând unitățile sub unități și zecile sub zeci.

Se adună întâi unitățile: 3 + 4 = 7. Scriem cifra 7 la rezultat, pe poziția unităților.

Se adună apoi zecile: 4 zeci + 2 zeci = 6 zeci. Se scrie cifra 6 la rezultat, pe poziția zecilor.

Se efectuează la tablă și pe caiete exerciții pentru fixarea procedeului de calcul.

În timp ce lucrează la tablă, elevii vor verbaliza întreaga activitate, conform explicației date de profesor.

În cadrul acestei activități frontale, se pot introduce și adunări cu 3 – 4 termeni, având grijă ca suma unităților să nu depășească o zece. Elevii le vor efectua singuri (eventual cu sprijin din partea profesorului) observând că aplică această tehnică de calcul privind așezarea pozițională a numerelor unul sub celălalt și începerea adunării de la unități.

3) Adunarea cu trei termeni

Se va realiza învățarea în trei etape:

a) Prin reprezentarea pe numărătoarea de poziționare, a sumei celor trei termeni. (În cazul în care nu există o astfel de numărătoare în dotare, ea se desenează pe tablă (elevii pe caiete), sau se apelează la reprezentarea numerelor prin figuri geometrice de poziționare.

Exemplu:

32 + 13 + 51 = ?

Se formează pe numărătoare fiecare dintre cele trei numere care se adună – trecând unitățile pe poziția unităților și zecilor pe poziția zecilor. Se numără apoi totalul bilelor care reprezintă zeci și bilele care reprezintă unități.

b) Prin calculul desfășurat, la tablă și pe caiete, explicându-le elevilor procedeul de calcul: se adună mai întâi doi dintre termeni, după modelul învățat anterior, apoi rezultatul obținut se adună cu al treilea termen: 32 + 13 + 51 = (32 + 13) + 51 = 45 + 51 = 96

c) Prin calcul scris la tablă și pe caiete. Se cere elevilor să exemplifice și alte posibilități de grupare a celor doi termeni, pentru ca efectuarea să se realizeze mai ușor: 32 + (13 + 51); 12 + (33 + 51) etc.

Se desfășoară calculul, de fiecare dată, semnalând în aceste cazuri, efectuarea mai întâi a operației dintre paranteze.

10.5. Adunarea numerelor naturale cu trecere peste 10

În prima parte a lecției este important să se efectueze activități de :

descompunere a numerelor în zeci și unități ;

descompunere în perechi de numere formate numai din unități și găsirea a cât mai multe posibilități, în fiecare caz.

Elevii pot realiza descompunerile prin manipulare de materiale (bețișoare, figuri geometrice, numărătoare pozițională sau orice alt material aflat la îndemâna profesorului).

compunere de numere cu ajutorul bețișoarelor

scriere pe caiete a tuturor perechilor de numere găsite;

15 15 15 15 15

10 5 9 6 8 7 6 9 7 8

formularea de probleme pornind de la o situație concretă din viața cotidiană a copilului;

Explicarea tehnicii de calcul prin utilizarea axei numerelor: 9 + 8 =

Se desenează pe tablă un segment din axa numerelor, cuprinzând numere de la 0 la 20 și se reprezintă pe ea, prin numărare, numărul 9:

+8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 141516171819 20

– Se numără în continuare de la 9, al doilea termen, 8: 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17.

În acest mod se ajunge la suma numerelor 9 și 8.

– Se completează pe tablă și pe caiete: 9 + 8 = 17.

– După explicarea procedeului de calcul la tablă, se cere elevilor să deseneze singuri, pe caiete, o axă a numerelor de la 0 la 20.

– Li se cere să calculeze, pe axă, prin numărare, diferite sume, ca:

3 + 8; 6 + 7; 8 + 6; 9 + 5.

Deducerea operației de adunare din expresia „cu a mai muți (multe) decât b“;

Explicarea procedeului de calcul mintal rapid al adunării cu trecere peste ordin:

Un alt model, deosebit de util pentru efectuarea adunării, este cel în care se utilizează cuburi suprapuse (figuri geometrice de poziționare). De exemplu:

8 + 7 = 8 + (2 + 5) = 10 + 5 = 15

8 + 7 = 8 + (2 + 5)

8 + 2 + 5 = (8 + 2) + 5

1 0 + 5 = 1 0 + 5

1 5 = 1 5

În cazul în care se desfășoară calculul în arbore – procedeu de calcul foarte sugestiv, se explică elevilor în ce spațiu se încadrează cu săgețile, pentru ca arborele să nu ocupe un spațiu prea mare pe caiet.

Comutativitatea adunării (fără terminologia specifică), este recomandabil să constituie conținutul de predare – învățare al unei alte ore. Antrenamentul mental pentru înțelegerea ideii de comutativitate se poate realiza prin exersarea, în continuare, a unor operații de adunare, cu trecere peste ordin, în care unul dintre termeni se descompune în două numere mai mici, astfel încât se ajunge la suma de 3 termeni.

Exemplu: 6 + 9 =

Descompunerea numărului 6 se poate face în 1 și 5; 2 și 4; 3 și 3; 4 și 2; 5 și 1. Pentru efectuarea adunării, se aleg perechile de numere care permit cel mai ușor completarea celuilalt număr (9) până la 10. Aceste perechi sunt: 1 și 5; 5 și 1 sau 1 + 5 și 5 + 1.

Se constată că ambele perechi dau suma 6, indiferent de ordinea celor doi termeni.

Pentru rezolvarea exercițiului, se alege perechea de numere care permite cel mai bine completarea zecii: Exemplu: 5 + 1 + 9 = 5 + 10 = 15.

Se poate demonstra că și prin utilizarea perechii de numere 1 + 5, rezultatul este același: Exemplu: 1 + 5 + 9 = 1 + 9 + 5 = 10 + 5 = 15.

Se mai efectuează circa 2 – 3 exerciții de adunare cu trecere peste ordin.

Demonstrarea comutativității prin manipularea de obiecte se va realiza mai întâi demonstrativ, la tablă, și apoi individual, de către elevi.

Demonstrarea la tablă:

Se înșiră la tablă (eventual pe tabla magnetică) un număr de 12 pătrate, dintre care 5 galbene și în continuare, 7 albastre. În cazul în care nu există nici acest material, pătratele pot fi desenate pe tablă.

Se cere elevilor să numere pătratele galbene, apoi pe cele albastre.

Se cere să se formuleze exercițiul prin care se află suma tuturor pătratelor 5 + 7 = 12.

Se inversează apoi locul pătratelor galbene cu al celor albastre (sau se desenează pe tablă șirul de 12 pătrate, schimbând locul pătratelor galbene cu al celor albastre. Se constată că suma obținută este aceeași.

Exemplul I

g g g g g a a a a a a a 5 + 7 = 2 + 3 + 7

= 2 + 10 =

= 12

Exemplul II

a a a a a g g g g g g g 7 + 5 = 7 + 3 + 2

= 10 + 2

= 12

Exercițiul se repetă prin activitate independentă, în bănci:

Se cere elevilor:

Așezați pe bancă 9 bețișoare albe și apoi, în continuarea acestora, 4 bețișoare colorate.

Spuneți exercițiul prin care se află suma sau totalul celor două grupe de bețișoare! (9 + 4 = 13).

Reprezentați pe caiete, prin desen, bețișoarele adunate și scrieți în dreptul lor, operația de adunare corespunzătoare.

9 + 4 = 13.

Așezați acum pe bănci cele 4 bețișoare colorate!

Așezați, în continuarea acestora, cele 9 bețișoare albe!

Spuneți exercițiul prin care se află suma bețișoarelor!

Reprezentați prin desen bețișoarele adunate și scrieți în dreptul lor, operația de adunare corespunzătoare!

4 + 9 = 13

Se strâng bețișoarele și se cere elevilor:

Comparați cele două exerciții scrise pe caiete și spuneți:

a) prin ce se aseamănă?

b) prin ce se deosebesc?

c) ce s-a întâmplat cu suma obținută, dacă am schimbat ordinea termenilor adunării?

Legătura cu manualul: se lucrează pe pagina corespunzătoare din manualul alternativ ales la clasă.

Se explică și se demonstrează, prin aplicații practice necesitatea cunoașterii acestei proprietăți, pentru ușurarea calculului.

În acest scop se pot efectua exerciții de adunare cu trei termeni în care se pot opera schimbări ale pozițiilor unor termeni, în scopul ușurării calculului sumei.

Exemple: 2 + 7 + 8 = 7 + 2 + 8 = 7 + 10 = 17 sau: 2 + 7 + 8 = 2 + 8 + 7 = 10 + 7

Se mai pot efectua independent exerciții de tipul: 3 + 5 + 7, unde se pot opera modificări în poziția termenilor, fără ca rezultatul să se schimbe.

Se propun și se rezolvă probleme de adunare, operându-se cu un limbaj cât mai divers.

Se pot efectua oral sau în scris și câteva exerciții de tipul:

Priviți sumele: 6 + 9; 3 + 9; 7 + 6; 8 + 9; 9 + 3; 9 + 6; 6 + 7; 9 + 8. Spuneți sumele între care puteți stabili relația de egalitate! Sumele egale se pot scrie pe caiete: Exemplu: 6 + 9 = 9 + 6

Lecția se poate încheia prin câteva exerciții orale de estimare, care stimulează gândirea și creativitatea elevilor:

Adunați 2 numere care să dea un rezultat mai mare decât 15.

Adunați 2 numere care să dea un rezultat mai mic decât 15.

Se scriu pe tablă exerciții de adunare și se cere elevilor să precizeze la care din aceste exerciții, rezultatul este mai apropiat de 10 decât de 20. Răspunsul se dă oral, fără a scrie pe tablă rezultatul adunării. Se fac efectiv calculele numai dacă apar nelămuriri și întrebări din partea clasei.

10.6. Adunarea cu trecere peste ordin

Explorarea metodelor de calcul folosind obiecte

Luați 35 de bețișoare (3 zeci legate) și apoi alte 8 bețișoare. Adăugând bețișoarele nelegate mai puteți forma o grupă de 10? Formați-o! Câte bețișoare au rămas în afara grupei? (3). Numărați câte bețișoare aveți în total.

Luați 16 bețișoare (o zece legată) și apoi alte 36 de bețișoare (3 zeci legate). Puneți-le laolaltă și numărați câte bețișoare aveți în total. (Formați mai întâi o nouă grupă de 10).

Folosind numărătoarea de poziționare, calculați 53 + 38. Cum procedați?

Așezăm 5 bile pe tija zecilor și 3 pe tija unităților. Deci am poziționat numărul 53. Apoi așezăm 3 bile pe tija zecilor și 8 pe tija unităților. În acest fel am poziționat numărul 38. Observăm că pe tija unităților avem acum mai mult de 10 bile. Înlocuim zece dintre ele cu o bilă pe care o așezăm pe tija zecilor. Acum să calculăm numărul format: nouă zeci și unu.

Copii vor efectua folosind obiecte, numărătoarea, sau calculul mintal. Calculul scris va fi ca în exemplul de mai sus.

Exerciții de calcul scris

Calcularea sumei prin completarea unui termen până la cel mai apropiat număr format numai din zeci.

36 + 27 = ?

Profesorul formează pe tablă (sau pe tabla magnetică) din bare de 10 pătrate și pătrate decupate numărul 36, apoi numărul 27. El cere și elevilor să formeze aceste numere, pe bănci și întreabă în continuare: Care este numărul format din zeci întregi, cel mai apropiat de 36? (40). Câte unități ar trebui să mai adăugăm la 36, pentru a forma numărul 40? (4 unități: 36 + 4 = 40). Luați 4 pătrate de la numărul 27 și adăugați-le la 36. Ce numere avem de adunat acum? (40 + 23).

Având unul dintre numere format din zeci întregi, adunarea s-a simplificat: 40 + 20 + 3 = 63.

Alt mod de rezolvare:

Completăm până la zeci întregi celălalt număr: 27. Luăm 3 unități de la 36 și le completăm la 27, pentru a obține 30. Acum avem de adunat numerele: 33 + 30 = 63.)

Să arătăm cum vom exprima aceste calcule în scris. Profesorul scrie pe tablă și elevii lucrează pe caiete

36 + 27 = ?

Coborâm numărul 36 și descompunem numărul 27 în numerele 4 și 23.

Adunăm numărul 36 cu 4 pentru a forma 4 zeci întregi și coborâm numărul 23.

Adunăm numărul 40 cu 23.

Suma este 63.

Se reia calculul, rotunjind celălalt număr (27) la 3 zeci întregi și se realizează cu clasa, la tablă și pe caiete o schemă asemănătoare dar în care este descompus primul termen al adunării. Numărul 36 se va descompune în 33 și 3 pentru că lui 27 îi mai trebuie 3 unități pentru a completa 3 zeci.

Descompunem numărul 36 în 33 și 3 unități, de care avem nevoie să le adăugăm la 27 pentru a forma 3 zeci întregi și coborâm numărul 27.

Coborâm numărul 33 și adunăm numerele 3 și 27.

Adunăm numărul 33 cu numărul 30. Suma este tot 63.

Exerciții de calcul desfășurat

Demonstrarea scrierii calculului desfășurat prin utilizarea parantezelor:

36 + 27 = 36 + (4 + 23)= 36 + 27 = (33 + 3) + 27 =

= (36 + 4) + 23 = = 33 + (3 + 27) =

= 40 + 23 = = 33 + 30 =

= 63 = 63

Se exersează calculul prin alte 2 – 3 exerciții, care se scriu pe tablă și pe caiete: Exemplu: 58 + 24 = 82

a) 58 + 24 b) 58 + 24 = 58 + (2 + 22) =

= (58 + 2) + 22 =

58 + 2 + 22 = 60 + 22 =

= 82

60 + 22

82

Calcularea sumei prin descompunerea ambelor numere în zeci și unități

Se calculează cu ajutorul obiectelor:

Se adună întâi bețișoarele simple (unitățile).

Se observă că numărul bețișoarelor simple depășește o zece. Se iau 10 bețișoare și se leagă în mănunchi, iar mănunchiul obținut se adaugă la celelalte 5. Se constată că se formează 6 zeci și 2 bețișoare, sau 62.

Explicație orală

Se descompun ambele numere în zeci și unități

Se demonstrează scrierea calculului în arbore și desfășurat cu utilizarea parantezelor: zeci și unități.

Se adună zecile cu zecile și unitățile cu unitățile.

Se adună totalul zecilor cu totalul unităților.

Suma este 62.

b) 38 + 24 = (30 + 8) + (20 + 4) =

Descompunem numerele în zeci și unități.

= (30 + 20) + (8 + 4) =

Adunăm zeci cu zeci și unități cu unități.

= 50 + 12 =

Adunăm totalul zecilor cu totalul unităților.

= 62

Suma este 62.

Se lucrează încă 1 – 2 exerciții, elevii verbalizând etapele de calcul.

10.7. Scăderea numerelor naturale formate din zeci si unități

Explorarea metodelor de calcul, prin manipularea obiectelor 

Așezați pe banca 58 de bețișoare (cinci grupe de câte 10 si încă 8). Dați colegului 32 de bețișoare! Câte bețișoare v-au mai rămas? Cum ați procedat pentru a calcula cât mai rapid?

Din cele 5 grupe de câte 10 am luat 3 zeci si au rămas 2 zeci. Din cele 8 bețișoare nelegate, am luat 2 bețișoare si au rămas 6. Deci, după ce am dat cele 32 de bețișoare, au rămas 26.

Se scrie pe tabla si pe caiete: 58 – 32 = 26.

Se poate continua cu încă 2 sau 3 scăderi, accentuându-se ideea ca se scad zecile din zeci si unitățile din unități. Grupele de zece bețișoare fiind legate, elevii vor ajunge la concluzia dorită prin explicarea modului în care au lucrat.

Folosiți numărătoarea de poziționare pentru a efectua scăderea: 58 – 26.

În timp ce se lucrează, 1, 2 elevi sunt solicitați să explice cum procedează:

– Poziționăm numărul 58 (descăzutul) pe numărătoare. Pentru aceasta, așezăm 5 bile pe tija zecilor si 8 bile pe tija unităților. (58).

– Efectuăm scăderea: Luăm 2 bile de pe tija zecilor și 6 bile de pe tija unităților. Au mai rămas 3 bile pe tija zecilor și 2 bile pe tija unităților, deci restul este 32.

58 – 26 = 32

Se mai efectuează individual, pe numărătoare, 1 – 2 exerciții, elevii fiind solicitați să verbalizeze activitatea. Se va accentua concluzia: zecile scăzătorului se scad din zecile descăzutului, iar unitățile, din unități.

Demonstrarea calculului scris desfășurat, al scăderii:

Se citește enunțul unei probleme din manual.

În urma analizei datelor se stabilește operația prin care se află răspunsul problemei; se scrie pe tablă și pe caiete: 45 – 26 = ?

Sunt solicitați elevii să explice cum se procedează pentru efectuarea scăderii : Se scad zecile din zeci și unitățile din unități.

Profesorul demonstrează și explică oral, desfășurarea calculului efectuat cu obiecte, în scris: 58 – 26 = (50 + 8) – (20 + 6) =

Se descompun cele două numere în zeci și unități: = (50 – 20) + (8 – 6) =

Se scad zecile din zeci și unitățile din unități: = 30 + 2 =

Se adună zecile și unitățile rămase: = 32

Diferența este 32.

Se scrie pe tablă și pe caiete răspunsul exercițiului.

Se efectuează în același mod alte 2 – 3 scăderi, elevii verbalizând tehnica de calcul, împreună cu profesorul.

Se verifică, prin activitate independentă, dacă toți elevii și-au însușit tehnica de calcul.

Exerciții de calcul scris

a) Pe tablă se reproduce desenul de pe ecranul calculatorului, care figurează efectuarea unei scăderi. Exemplu: 54 – 23. În același timp, elevii vor lucra pe bănci, cu materialul ajutător (bare de 10 pătrate și cele 10 pătrate decupate).

Profesorul întreabă:

Pentru a efectua scăderea, cu ajutorul obiectelor, care este operația pe care trebuie să o facem la început?

Se poziționează numărul din care se scade, adică descăzutul, la tablă, (și elevii – pe bănci), numărul 54 din care se iau unitățile scăzătorului și apoi zecile.

Într-un tabel de poziționare liniat alăturat, pe tablă, se scrie numărul 54.

Dialogul cu clasa urmărește succesiunea acțiunilor făcute de copii.

Se efectuează, pentru fixare, alte 3 – 4 exerciții de scădere, la tablă și pe caiete, elevii care lucrează la tablă verbalizând etapele de calcul, ca și profesorul.

Calculul scris

Așezăm numerele unul sub altul, unități sub unități și zeci sub zeci.

2) Scădem mai întâi unitățile: 8 – 3 = 5 si scriem rezultatul pe poziția unităților.

68 –

23

=5

3) Scădem zecile: 6 – 2 = 4 si scriem rezultatul pe poziția zecilor.

4) Diferența este 45.

Pentru verificarea gradului de înțelegere a tehnicii de calcul, elevii vor lucra câteva exerciții de scădere din manual, independent, apoi, prin probă, se verifică rezultatele obținute și se utilizează alternativ, proba prin adunare si proba prin scădere.

10.8. Scăderea cu trecere peste ordin (cu împrumut la ordinul zecilor)

Numere naturale din concentrul 0-20

Utilizarea axei numerelor în scopul efectuării scăderii prin numărare în ordine descrescătoare. Exemplu: 12 – 5 (se poate porni de la o problemă: Din cei 12 copii care fac gimnastică, cinci pleacă pe terenul de fotbal. Câți copii au rămas în sala de gimnastică?)

Se desenează pe tablă (elevii pe caiete) un segment din axa numerelor, cuprinzând numerele 0 – 20.

Se numără mai întâi crescător, de la 0 la 12, pentru a se afla descăzutul (numărul total de copii).

Pornind de la 12, se numără descrescător, cei 5 copii care pleacă de la gimnastică.

Numărul la care se ajunge este diferența dintre 12 și 5.

Exemplu:

–5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Procedeul de calcul al scăderii prin descompunerea descăzutului sau a scăzătorului

Descompunerile condiționate au rolul de a pregăti înțelegerea acestui procedeu de calcul.

Copiii au pe bancă o grupă de 10 bețișoare legate cu elastic și alte 10 bețișoare libere. Se pot formula următoarele sarcini:

Numărați 15 bețișoare. Luați din mulțimea de 15 bețișoare, 8 bețișoare. Socotiți câte rămân. Cum procedați? (Dăm 5 bețișoare deoparte, apoi desfacem zecea și luăm încă 3. Sau: desfacem zecea, luăm 8 bețișoare și adăugăm pe cele 5 la cele 2 rămase). Rămân 7 bețișoare.

Legați 10 bețișoare. Numărați 17 bețișoare și luați 9 din ele. Câte rămân? Explicați cum ați procedat.

Câțiva copii explică pe rând cum se procedează și lucrează în același timp cu bețișoare. Este important ca procedura să fie repetată verbal și faptic!

Pentru a efectua mai ușor un exercițiu de scădere cu trecere peste ordin, putem să-l transformăm într-un exercițiu care cuprinde numai operații cu numere cuprinse între 0 și 10 prin descompunerea numărului ce reprezintă descăzutul sau a numărului ce reprezintă scăzătorul în perechi de numere convenabile.

a) Calculul scăderii prin descompunerea numărului ce reprezintă descăzutul în unități și zeci:

Exemplu: 15 – 7 = ?

Descompunem numărul 15 în 10 și 5.

Reluăm scrierea exercițiului, înlocuind numărul 15 cu cele două numere în care l-am descompus. Vom schimba ordinea celor 2 numere (deoarece rezultatul nu se schimbă, astfel: 5 + 10 – 7.

Efectuăm scăderea numărului 7 din 10, (scăderea din 10 fiind foarte ușoară!): 5 + 10 – 7 = 5 + 3.

Efectuăm adunarea rămasă: 5 + 3 = 8.

Calculul se poate desfășura în două moduri:

15 – 7 = 5 + 10 – 7 = 5 + 3 = 8 15 – 7 = 5 + 3 +7 – 7 =

= 5 + 3 =

= 8

Pentru fixarea procedeului de calcul, se mai pot efectua similar alte 3 – 4 exerciții de scădere.

Numere naturale din concentrul 0-100

Exerciții de calcul cu sprijin pe obiecte

Copiii sunt solicitați să rezolve o problemă în care poate interveni calculul prin scădere cu împrumut la ordinul zecilor a unei sume de bani.

Copiii vor efectua calculul pe bancă folosind bancnote de carton de mărimi distincte pentru zeci și unități.

Se cere efectuarea calculului : 84 – 65 =

S-a luat o bancnotă de 10 lei (din cei 80 lei) și s-a transformat în 10 bancnote de câte un leu. S-au obținut 14 bancnote de 1 leu, sau 14 unități. Acum putem efectua scăderea unităților: 14 – 5 = 14 – 4 – 1 = 10 – 1 = 9. Câte zeci au rămas la descăzut, după ce s-a luat o zece și s-a transformat în unități? (7 zeci). Scădeți acum zecile scăzătorului din zecile descăzutului: 7 – 6 = 1. Vom poziționa restul obținut: 1 zece și 9 unități sau 19.

În scris, calculul îl putem așeza astfel: 84 –

65

19

Se scriu: calculul și răspunsul problemei pe tablă și pe caiete.

Operarea cu obiecte pentru efectuarea calculului: 53 – 26

Poziționăm descăzutul (5 zeci și 3 unități).

Poziționăm, sub el, scăzătorul (2 zeci și 6 unități).

Începem scăderea unităților: 3 – 6 nu se poate efectua pentru că descăzutul, 3, este mai mic decât scăzătorul, 6.

Ne împrumutăm la zeci. Luăm o zece din 5 și rămân 4 zeci. Transformăm zecea luată în 10 unități, la care adunăm cele trei unități care au fost la descăzut: 10 + 3 = 13 (unități).

Scădem acum unitățile: 13 – 6 = 7. Scriem cifra 7 la rezultat, pe poziția unităților.

Din cele 4 zeci rămase la descăzut, scădem cele 2 zeci ale scăzătorului: 4 zeci – 2 zeci = 2 zeci. Scriem cifra 2 la rezultat, pe poziția zecilor: 53 –

26

27

Se rezolvă alte 3 – 4 exerciții de scădere, pentru fixarea tehnicii de calcul, utilizându-se și numărătoarea de poziționare :

Se scoate o bilă de pe tija zecilor și se transformă în 10 bile care se așază pe tija unităților. Pe tija zecilor sunt acum 6 bile, iar pe tija unităților, 13 bile.

Se scad cele 5 bile de pe tija unităților: 13 – 5 = 8 bile. (Se scrie 8 pe poziția unităților).

Se scad zecile: 6 zeci – 4 zeci = 2 zeci (Se scrie cifra 2 pe poziția zecilor).

Diferența este 28.

Se rezolvă numai prin calcul scris alte 2 – 3 scăderi, elevii realizând numai mental împrumutul de la zeci fără a mai scrie deasupra zecile rămase și numărul unităților format prin împrumut. În timp ce efectuează scăderea, fiecare elev verbalizează procedeul de calcul, conform explicațiilor date de profesor.

Exerciții de calcul desfășurat prin descompunere

Se propune scăderea: 73 – 45 = ?

Calculul se desfășoară concomitent prin manipulare de către elev a bețișoarelor, individual, pe bănci și prin scriere – la tablă și pe caiete a operațiilor executate cu obiecte.

Se formează, din bețișoare și se poziționează numărul 73. Se scrie pe tablă numărul 73.

Scăzătorul este 45, deci trebuie să luăm 5 bețișoare. Luăm o zece din cele 7 zeci și o transformăm în 10 unități, care, împreună cu cele 3, formează 13 bețișoare, deci 13 unități.

Aceasta înseamnă că am descompus numărul 73 în 6 zeci și 13 unități:

Se scrie pe tablă: 73 – 45

Se descompune și scăzătorul în zeci și unități și se continuă calculul, explicându-se:

Descompunem numărul 73 în zeci și unități, astfel încât să putem efectua scăderea unităților (60 + 13).

Descompunem și numărul 45 (scăzătorul) în zeci și unități (40 + 5).

Efectuăm scăderea zecilor: 60 – 40 = 20.

Efectuăm scăderea unităților: 13 – 5 = 8.

Adunăm restul zecilor cu restul unităților: 20 + 8 = 28.

Pentru fixare, se mai rezolvă 3 – 4 scăderi, la tablă și pe caiete

Calculul scăderii prin descompunerea convenabilă a unui singur număr. (Demonstrație la tablă și scrierea calculului pe caiete.)

Coborâm numărul 54 (descăzutul).

Descompunem numărul 36 (scăzătorul) într-un număr format din zeci și tot atâtea unități ca și descăzutul, și un număr format din restul unităților.

Efectuăm scăderea 54 – 34 = 20 și coborâm numărul 2.

Efectuăm scăderea unităților rămase: 20 – 2 = 18.

b) În același mod putem descompune și numai descăzutul, astfel încât unul dintre numere să fie egal cu scăzătorul. Exemplu:

Activitatea se poate desfășura individual, pe bănci, cu ajutorul bețișoarelor, insistându-se asupra faptului că, pentru a se completa unitățile până la 6, trebuie să se desfacă o zece – o legătură de 10 bețișoare).

Aflarea unui termen necunoscut

Sarcinile au ca scop realizarea unui antrenament mental în scopul exersării relațiilor de egalitate și de inegalitate prin:

Exerciții de numărare pe segmente din axa numerelor, desenate pe tablă și de comparare a numerelor.

Exerciții de utilizare a balanței pentru compararea unor mărimi.

Prin conversația euristică, care însoțește exemplificarea, copiii sunt familiarizați cu folosirea balanței pentru cântărirea obiectelor și sunt conduși spre înțelegerea semnificației poziției de echilibru și de dezechilibru.

Exemplu :

Așezăm pe un taler al balanței 5 cuburi identice, iar pe celălalt 16 cuburi identice cu primele. Ce se întâmplă cu balanța? Balanța se înclină, talerul cu mai multe cuburi lăsându-se în jos. Cum putem proceda, așa încât cele două talere să fie pe aceeași linie, adică să aducem balanța în echilibru ? Adăugăm 11 cuburi pe talerul cu mai puține cuburi. De ce trebuie să adăugăm acest număr de cuburi? (sau ce semnificație are acest fapt?) Pentru că 5 + 11 = 16. Copiii rezolvă încă două – trei exerciții practice de acest tip.

Punem 10 cuburi pe un taler al balanței și 10 pe celălalt taler. Balanța stă în echilibru. De ce? Sunt tot atâtea cuburi pe fiecare taler al balanței. Câte cuburi sunt pe fiecare taler? 10 cuburi.

Adăugăm câte 3 cuburi pe fiecare taler al balanței. Ce observăm? După ce am adăugat 3 cuburi pe unul din talere, balanța se dezechilibrează, apoi după ce am adăugat 3 cuburi și pe celălalt taler, balanța revine în echilibru. De ce ? Pe fiecare taler al balanței sunt tot atâtea cuburi. Câte cuburi sunt pe fiecare taler? 10 + 3 = 13 (cuburi).

Acum dăm la o parte cele 3 cuburi de pe fiecare taler. Să adăugăm câte 5 cuburi pe fiecare taler. Ce se va întâmpla cu balanța? Va ajunge din nou în echilibru pentru că pe fiecare taler al balanței sunt tot atâtea cuburi. Câte cuburi sunt pe fiecare taler? 10 + 5 = 15 (cuburi).

Să luăm 7 cuburi de pe un taler. Ce se întâmplă cu balanța? Se dezechilibrează, înclinându-se înspre talerul unde au rămas mai multe cuburi. Luați acum tot atâtea cuburi de pe celălalt taler. Ce se întâmplă cu balanța ? Balanța ajunge din nou în echilibru pentru că de pe ambele talere s-au luat tot atâtea cuburi, adică 7, iar pe fiecare taler erau inițial tot atâtea cuburi.

Cu cât cântărește mai mult o jucărie, decât cealaltă ? Iepurașul cântărește cu 3 cuburi mai mult decât veverița pentru că balanța s-a echilibrat dacă am adăugat 3 cuburi lîngă veveriță.

Răspunsul poate fi formulat astfel :

– Iepurașul cântărește cât veverița și încă 3 cuburi.

– Veverița și încă 3 cuburi au aceeași greutate ca iepurașul.

– Iepurașul este cu 3 cuburi mai greu decât veverița.

Rolul profesorului : Dirijarea învățării trebuie să aibă drept consecință ușurința elevilor de a formula concluziile pentru toate experimentele făcute :

balanța este în echilibru dacă pe cele două talere sunt numere egale de cuburi (tot atâtea cuburi, cu aceeași greutate) ;

balanța se dezechilibrează dacă se iau sau se adaugă un număr de cuburi numai pe unul dintre talere;

balanța rămâne în echilibru dacă se adaugă sau se iau tot atâtea cuburi(toate cuburile au aceeași greutate).

Observarea și analiza poziției de dezechilibru a balanței.

Se justifică cauza pentru care balanța nu este în echilibru (Pe unul dintre talere sunt mai multe cuburi decât pe celălalt).

Elevii sunt solicitați să răspundă la următoarele întrebări:

Câte cuburi sunt pe fiecare taler?

Câte cuburi trebuie să se mai așeze pe talerul din stânga, pentru a echilibra balanța?

Se scriu pe tablă și pe caiete relațiile exprimate de cele trei balanțe aflate în dezechilibru:

30 50 25 46 37 60

30 < 50 25 < 46 37 < 60.

Se scrie, pe tablă și pe caiete transformarea fiecărei inegalități în relație de egalitate:

30 + = 50 25 + = 46 37 + = 60

30 + 20 = 50 25 + 21 = 46 37 + 23 = 60

50 = 50 46 = 46 60 = 60

Deci, dacă mai așezăm pe fiecare balanță: respectiv 20, 21, 23 cuburi, balanțele se echilibrează, aceasta însemnând că numărul de cuburi de pe primul taler este egal cu numărul de cuburi de pe al doilea taler.

Este semnificativ de observat că aflarea termenului necunoscut se face în acest caz prin compunere – ce număr trebuie adăugat la 30 pentru a obține 50 ?

Activitatea frontală de lucru pe secvențe din manual, va fi completată cu momente de activitate independentă, pentru a se verifica înțelegerea pozițiilor balanței, de dezechilibru sau echilibru, și a relațiilor de egalitate – inegalitate.

Rolul profesorului : în această secvență a demersului didactic accentul este pus pe verificarea înțelegerii pozițiilor balanței de dezechilibru sau echilibru și a relațiilor de egalitate – inegalitate prin :

scrierea inegalităților și transformarea lor în egalități;

scrierea egalităților și găsirea termenului necunoscut prin compunerea numărului din membrul 2 din termenul 1 și numărul lipsă;

observarea faptului că echilibrarea balanței se poate face atât prin adăugarea unei anumite cantități pe talerul care este mai ridicat, sau prin luarea unei anumita cantități de pe talerul care este mai greu.

Accentuarea echivalenței dintre echilibrare-egalitate, dezechilibrare-inegalitate.

Activitatea se poate organiza cu ajutorul manualului și cu lucru individual pe fișe. Elevii verbalizează acțiunile, iar relațiile care se desprind, se scriu pe tablă și pe caiete.

Exemplu : Se pun pe cele două talere ale balanței trei săculeți albi cu câte 10 bile și un săculeț colorat în care nu știm câte bile sunt. Dar pe talerul din dreapta? 4 săculeți albi cu câte 10 bile fiecare.

În ce poziție se află balanța? În poziție de echilibru. Ce înseamnă aceasta? Cantitățile de pe cele 2 talere sunt egale.

Să notăm numărul de bile din săculețul colorat cu litera a și Scrieți fiecare pe caiet relația pe care o exprimă balanța aflată în echilibru: a + 30 = 40.

Să răspundem acum la întrebarea problemei: Câte bile ar trebui luate pentru ca, pe talerul stâng să rămână numai bilele din săculețul colorat, iar balanța să rămână în echilibru?

Luăm cei trei săculeți de pe talerul stâng. Ce se întâmplă cu balanța? Se dezechilibrează. De ce? Pentru că în săculețul colorat sunt mai puține bile (este mai ușor) decât bilele din cei 4 săculeți de pe talerul drept. În scris, această situație se prezintă astfel:

a + 30 – 30 40

a 40

a < 40

Luăm și de pe talerul din dreapta aceeași cantitate de bile: 3 săculeți cu câte 10 bile, adică 30 de bile. Balanța este din nou în echilibru. Aceasta înseamnă că săculețul colorat este la fel de greu ca și săculețul rămas pe talerul din dreapta.

În scris, aceasta se prezintă astfel:

a = 40 – 30

a = 10

Deci, săculețul colorat (a) cântărește 10 bile.

Se iau cei 3 săculeți (30 de bile) și cele 3 bile de pe talerul cu săculețul colorat și se constată că balanța se dezechilibrează. Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că egalitatea se transformă în inegalitate.

b + 33 – 33 45

b + 0 < 45

b < 45 .

Pentru a se reechilibra balanța, se ia aceeași cantitate (33 de bile) și de pe talerul din dreapta și se constată că balanța este din nou în echilibru;

Între cantitatea de pe talerul stâng și cea de pe talerul din dreapta este o relație de egalitate: b = 45 – 33, b = 12. Verificare : 12 + 33 = 45

Săculețul b cântărește 12 bile.

Rolul profesorului : activitățile trebuie conduse astfel încât să conducă elevii spre a formula cu ușurință concluziile:

dacă se ia de pe ambele talere ale balanței aceeași cantitate, balanța rămâne în echilibru, pentru că pe talere rămân cantități egale;

dacă se ia numai de pe un singur taler o anumită cantitate, balanța se dezechilibrează, deoarece cantitățile de pe cele două talere nu mai sunt egale.

Scrierea literală a unei situații matematice.

Prin observarea individuală a acțiunii descrise în manual, sau pe baza unei ilustrații mărite, pe tablă. Toți elevii sunt solicitați să compună o problemă pornind de la această situație practică.

Compunere de exerciții cu necunoscute, după desene de balanțe date ;

Reprezentarea prin desen (balanță corespunzătoare) a unui exercițiu cu o necunoscută.

Este necesar să fie exersate ambele tipuri, deoarece ele conduc la rezolvarea conștientă a ecuațiilor și se evită astfel memorarea mecanică a unor reguli algebrice. Mai mult, aceste asocieri repetate ale rezolvărilor scrise cu desenele corespunzătoare, constituie baza gândirii și înțelegerii conștiente a algoritmilor de calcul de mai târziu, care se vor învăța prin studiul algebrei.

Școlarul mic, poate înțelege transformarea expresiei a + 30 = 40 în forma a = 40 – 30, numai prin asocierea cu desenul care exprimă acțiunea luării de lângă cantitatea a a cantității cunoscute și acțiunea reechilibrării balanței prin luarea aceleiași cantități de pe celălalt taler al balanței:

Pentru micul școlar, regula algebrică a trecerii unui termen cu semn schimbat în celălalt membru al ecuației, nu exprimă nici o bază logică pentru calcul.

Litera a rămasă singură în membrul stâng al egalității exprimă acțiunea din desen: tăierea, deci luarea celor 30 de bile și rămânerea numai a punguței notate cu a. Relația 40 – 30 reprezintă acțiunea vizibilă pe talerul al 2-lea al balanței: tăierea, deci luarea celor 30 de bile și de pe talerul drept.

Deci etapele de rezolvare a ecuației au o bază logică de înțelegere:

1) a + 30 = 40

2) a = 40 – 30

3) a = 10

4) verificare 10+30=40

În alte situații, balanțele schimbă locul necunoscutei de pe talerul din stânga în partea dreaptă, talerul din stânga având numai cantități cunoscute. Scrierea exercițiului începe, deci, cu cantitatea cunoscută: 43 = 31 + c. Aflarea necunoscutei c se bazează pe același principiu: eliminarea unor cantități egale de cuburi (sau bile) de pe ambele talere. În scris aceasta se exprimă astfel:

43 – 31 = c, 12 = c sau c = 12

După fiecare secvență de învățare prezentată în succesiunea indicată în manual și care s-a explicitat prin activitate frontală, se poate da elevilor activitate independentă distribuită pe parcursul lecției, din caietele auxiliare.

10.9. Înmulțirea numerelor naturale

Sensurile înmulțirii

Există patru sensuri diferite ale înmulțirii care pot fi prezentate la noi, în școala primară. La fel ca pentru adunare și scădere, se va avea grijă să se lucreze cu elevii diversele sensuri ale înmulțirii fără a face totuși o predare sistematică în care elevii să trebuiască, de exemplu, să citească enunțuri de probleme și să numească sensul adiacent. Iată o prezentare a fiecăruia dintre aceste sensuri.

Adunarea repetată

Adunarea repetată este sensul folosit în mod tradițional pentru introducerea înmulțirii. Există două tipuri de adunare repetată: acțiunea repetată („Eu mănânc două mere pe zi. Câte mere voi fi mâncat într-o săptămână?”) și reuniunea repetată („Mama a pregătit 4 prăjituri. Ea vrea să pună câte 4 bomboane pe fiecare prăjitură. De câte bomboane are nevoie?”).

Pentru a rezolva problemele de adunare repetată, tinerii elevi pot simula o situație cu ajutorul obiectelor. Le poate fi totuși dificil să degajeze structura multiplicativă a acestor situații și mai mulți dintre ei pot rămâne „agățați” de adunare. Alte sensuri vor trebui atunci lucrate.

Produsul cartezian sau combinarea

În acest tip de probleme trebuie găsit numărul de asociații diferite care se pot face. Se pot uni unul câte unul toate elementele unei mulțimi cu toate elementele unei alte mulțimi, pentru a putea găsi numărul total de perechi posibile.

„Maria își pregătește valiza. Pune în ea 4 pulovere și 3 fuste. Câte combinații diferite poate purta?” Elevii pot rezolva această problemă în diverse maniere. Unii vor putea să o rezolve prin manipulare, într-un mod mai mult sau mai puțin organizat. Unii vor proceda prin încercări și greșeli, în timp ce alții vor alege sistematic un element și vor face toate combinațiile posibile cu acest element înainte de a trece la altul. Se pot produce două cazuri: elevul are suficiente obiecte pentru a face toate combinațiile posibile și nu are decât să le numere, sau nu are destule obiecte și va trebui să desfacă combinațiile pe măsură ce înaintează.

Va trebui atunci să păstreze evidența combinațiilor efectuate. Alți elevi se vor folosi de un desen, într-un mod mai mult sau mai puțin organizat. Alții vor recurge la un tabel cu dublă intrare…

Compararea multiplicativă

Acest sens este legat de problemele de înmulțire care folosesc expresii ca „de n ori mai mult” sau „de n ori mai puțin”. „Maria are 6 bile. Fratele ei are de 3 ori mai multe. Câte bile are fratele ei?” Acest tip de probleme poate fi formulat un pic diferit în unele manuale: „Maria are 5 mere. Fratele ei Paul are de 3 ori pe atât. Câte mere are Paul?” O asemenea formulare are o legătură cu expresiile cotidiene folosite de către elevi.

Dispunerea dreptunghiulară

Acest sens este apropiat de adunarea repetată, folosind o dispunere geometrică a obiectelor. „În clasă sunt 3 rânduri conținând fiecare 6 bănci. Câte bănci sunt în total în clasă?”, ” Într-o cutie de bomboane sunt 4 rânduri a câte 5 bomboane. Câte bomboane sunt în total?”. Acest tip de situație permite un prim lucru cu factorii și tablele înmulțirii.

În școală, înmulțirea se introduce prin adunare repetată de termeni egali

A înmulți a cu b înseamnă a efectua o adunare cu b termeni egali cu a, sau o adunare cu a termeni egali cu b.

a • b = a + a + a +…+ a = b + b + b +…+ b

b termeni a termeni

Observații:

dacă b = 1, a • 1 = a, a N și se citește a luat o singură dată;

dacă b = 0, a • 0 = 0 + 0 + …+ 0 = 0.

a termeni

Se concluzionează că dacă într-o înmulțire unul din factori este zero, atunci produsul este zero.

dacă a = 0, 0 • b = b • 0 = 0 + 0 + 0 +…+ 0 = 0

b termeni

Numerele naturale care se înmulțesc se numesc factori. Rezultatul înmulțirii se numește produs. Înmulțirea numerelor naturale este o operație totdeauna posibilă în mulțimea numerelor naturale. Regula de operație este dată de adunarea repetată a aceluiași număr natural.

Activități de învățare care pot fi propuse pentru introducerea operației:

exerciții de grupare de elemente și partajare de grupe după reguli date pentru intuirea înmulțirii;

exerciții de numărare cu pas dat, cu sprijin în obiecte și desene pentru intuirea înmulțirii;

exerciții de găsire a cât mai multor modalități de scriere a unui număr sub formă de sumă de termeni egali sau de produs;

descompunerea unui număr sub formă de sumă de termeni egali.

Dirijați de profesor, elevii vor descrie ceea ce văd în desenele adecvate din manualele alternative. Ei vor preciza numărul de obiecte de fiecare fel. Modalități de aflare a numărului de obiecte de fiecare fel:

– se numără cu pasul 1;

– se numără cu pas egal cu numărul de obiecte din fiecare grupă;

– se numără grupele și numărul de obiecte din fiecare grupă.

Rolul profesorului:

– dirijează conversația pentru ca elevii să evidențieze avantajele ultimei modalități de numărare

– precizează modul de formulare a răspunsului – elevii vor răspunde folosind expresia “sunt de… câte….”. Precizarea numărului de obiecte apare ca rezultat al unui calcul – adunare cu termeni egali – și nu prin numărare.

Alte întrebări pot cere precizarea numărului de obiecte de fiecare fel care sunt în desen.

Elevii pot fi solicitați să dea și alte exemple ca urmare a acțiunii directe cu materialul didactic individual (bețișoare)

In continuare, accentul se pune pe acțiuni care permit înțelegerea operației de înmulțire ca o adunare cu termeni egali prin precizarea numărului de termeni și valoarea unui termen și modul de calcul.

Rolul profesorului:

– să construiască contexte în care expresia “sunt de… câte….” numește numărul de obiecte dintr-o colecție;

– să se asigure că toți elevii au înțeles modul de citire al sumei în relație cu dispunerea grupelor de obiecte;

– să verifice calitatea învățării prin sarcini care solicită reprezentarea prin desen a unui număr de obiecte, număr care se scrie ca o sumă cu termeni egali. Sarcinile de învățare urmăresc ca elevii să-și formeze deprinderi de:

Scriere simbolică sub formă de adunare cu termeni egali a unei situații reprezentate figural sau prin expresia “de… câte….”

Transpunere prin desen sau acțiune a unor operații de adunare cu termeni egali.

Rolul profesorului: integrare și exersare a acestui procedeu de numărare si adunare pentru consolidarea deprinderilor de operare cu numere mai mici decât 100.

Antrenamentul mental va avea atât rol pregătitor și atunci va fi plasat la începutul activității sub forma unor exerciții orale de numărare cât si în momentele în care profesorul vrea să sublinieze faptul că rezultatul adunării cu termeni egali poate fi găsit prin numărare cu pas egal cu valoarea termenilor egali.

Greșeli posibile: elevii pot confunda numărul de termeni cu numărul de grupe, atât în scriere cât și în grupare.

Pentru a preveni astfel de greșeli este util să se organizeze activități în care se solicită compunerea de probleme după exerciții de tipul: “de 3 ori câte 4“ și “de 4 ori câte 3“. Analiza enunțului problemelor și a exercițiului va evidenția diferențele existente între situațiile matematice pe care le ilustrează deși rezultatul calculului este același.

În predarea – învățarea operației de înmulțire, intuiția nu mai are un rol predominant (ca la adunare), întrucât elevii au dobândit cunoștințe și și-au format priceperi și deprinderi în legătură cu operația de adunare. Este evident că în predarea noii operații, profesorul trebuie să se bazeze pe toate acestea. Deși rolul mijloacelor intuitive în introducerea înmulțirii nu mai este preponderent, pentru ca elevii să înțeleagă înmulțirea ca adunare repetată, profesorul nu trebuie să renunțe complet la ele. Materialul concret intuitiv se va folosi mai puțin, însă reprezentările simbolice joacă un rol hotărâtor.

La început, profesorul va pune un accent deosebit pe reactualizarea cunoștințelor despre adunare, insistându-se pe adunări repetate de termeni egali care se vor transforma în produse.

De exemplu: 3 + 3 + 3 + 3 se citește în două feluri: termenul 3 se repetă de 4 ori sau de 4 ori 3; 4 + 4 + 4 se citește 4 luat de 3 ori sau de 3 ori 4 etc. Invers, să scriem ca sumă de termeni egali 6 luat de 5 ori, ceea ce înseamnă 6 + 6 + 6 + 6 + 6. Profesorul trebuie să insiste pe astfel de cerințe.

Se explică elevilor că pentru sumele de termeni egali se utilizează o nouă scriere:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 (care se citește de 4 ori câte 3, de 4 ori 3 sau 4 ori 3);

4 + 4 + 4 = 3 x 4 (adică de 3 ori câte 4, de 3 ori 4 sau 3 ori 4)

4 x 3 = 3 x 4

Prin efectuarea unor astfel de exerciții se face trecerea de la adunarea repetată la înmulțire, trecere care constituie momentul cel mai important în predarea înmulțirii. În acest moment elevii identifică operația de adunare repetată cu operația de înmulțire și substituie o operație cu alta. Se spune elevilor că am scris sumele de termeni egali sub formă de înmulțire cu ajutorul simbolului operației de înmulțire care este “x” sau “” și care se citește “ori”. Simbolul operației de înmulțire se introduce o dată cu scrierea primei operații de înmulțire.

În concluzie, trecerea de la adunarea repetată la înmulțire se poate realiza astfel:

se stabilește rezultatul adunării repetate;

se solicită elevilor să exprime prin cuvinte și altfel această operație de adunare repetată;

scrierea sub cele două forme a operației de înmulțire:

De exemplu:

• Câte creioane sunt în 5 grupe de câte 2 creioane?

• Cum ați calculat? (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10);

• Cum putem spune altfel? (de 5 ori câte 2 creioane fac 10);

• Cum scriem? (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2, sau 2 x 5).

În această etapă profesorul trebuie să insiste atât pe scrierea unei sume de termeni egali sub formă de înmulțire, cât și invers, scrierea unei înmulțiri sub formă de sumă de termeni egali. După efectuarea unui număr suficient de exerciții, elevii vor înțelege semnificația operației de înmulțire și se poate introduce terminologia specifică acestei operații:

cele două numere care se înmulțesc se numesc factori : primul factor arată de câte ori se repetă al doilea factor (în adunarea repetată), iar al doilea factor este numărul care se repetă sau invers;

rezultatul înmulțirii se numește produs (P);

simbolul operației de înmulțire este “x” sau “∙” și se citește “ori”.

Formula înmulțirii este F1 x F2 = P

Un alt aspect asupra căruia trebuie insistat în această etapă este proprietatea de comutativitate a înmulțirii.

De exemplu: vom cere elevilor să calculeze prin adunare repetată următoarele înmulțiri: 3 x 5 și 5 x 3.Conform convenției de mai sus avem:

3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15 și 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15

Se observă împreună cu elevii, că se obține același rezultat (15). Se face precizarea că dacă într-o înmulțire schimbăm ordinea factorilor, rezultatul (produsul) rămâne același, deci nu se schimbă. Se spune elevilor că aceasta este proprietatea de comutativitate a înmulțirii, dar noțiunea se dă numai ca titlu informativ.

Se ia ca exemplu o înmulțire în care unul din factori este 0 (zero).

De exemplu, 0 x 4 ne spune că în suma cu termeni egali, numărul 4 trebuie considerat de 0 ori. Acest lucru nu le spune prea mult elevilor, însă, prin comutarea factorilor obținem: 0 x 4 = 4 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Se concluzionează că: dacă într-o înmulțire unul dintre factori este 0, atunci produsul este 0.

După această etapă introductivă în predarea-învățarea operației de înmulțire urmează predarea sistematică a tablei înmulțirii cu fiecare număr în parte: 0, 1, 2, 3, …, 10. În fiecare lecție, obținerea rezultatelor înmulțirii trebuie să se bazeze pe o participare activă a elevilor. O lecție în care se predă înmulțirea când avem pe unul din factori un număr dat, trebuie să parcurgă mai multe etape.

Vom exemplifica etapele parcurse la predarea-învățarea înmulțirii când unul din factori este 2.

Cu ajutorul elevilor se scriu șiruri de adunări repetate care dau înmulțirea cu 2.

1 x 2 = 2

2 x 2 = 2 + 2 = 4

3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6

4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

………………………………………………..

10 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20

În această etapă se parcurg următoarele sub etape:

se scriu înmulțirile care se transformă în adunări repetate sau se scriu adunările repetate care se transformă în înmulțiri;

pe baza adunării repetate se calculează rezultatul;

se șterg sumele și rămâne pe tablă numai tabla înmulțirii cu 2.

Se introduce și se întărește terminologia specifică : factor, produs, “de 2 ori mai mare”, dublul;

Se fac exerciții-joc de aflare a produsului când se dau cei doi factori în scopul memorării tablei înmulțirii cu 2, pentru transformarea în automatism.

Se scoate în evidență proprietatea de comutativitate a înmulțirii, pornindu-se de la baza intuitivă:

I. II.

2 4

● ● ● ● ● ●

4 ● ● 2 ● ● ● ●

● ●

● ●

2 de 4 ori 4 de 2 ori deci: 4 x 2 = 2 x 4

4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 2 x 4 = 4 + 4 = 8

Comutativitatea se va folosi mai ales după înmulțirea cu 5 când o parte din produse se vor afla pe baza rezultatelor înmulțirilor predate.

Aflarea factorului necunoscut – la început factorul necunoscut se va afla folosind modelul balanței, încercările, iar după ce se învață și tabla împărțirii, factorului necunoscut se poate afla făcând proba prin împărțire.

Proba înmulțirii – la început proba se va face prin înmulțire, iar mai târziu prin împărțire.

Se rezolvă probleme simple pentru a se face legătura cu limbajul specific care duce la efectuarea operației de înmulțire și se vor folosi expresii ca:

• mărit de 2 ori • de 2 ori mai rapid;

• crește de 2 ori • de 2 ori mai înalt ;

• de 2 ori mai mare • dublul numărului “X”

• produsul numărului 2 și “X” (x 10)

De exemplu : X: _____

2 • X: __________ (dublul lui X)

După predarea tablei înmulțirii până la 10 se intervine cu alte sarcini care au drept scop exersarea algoritmului de cunoaștere, fixare, aplicare a tablei înmulțirii de către toți copiii:

înmulțirea unui număr cu o sumă sau cu o diferență evidențiindu-se proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare sau scădere (fără a folosi terminologia)

ordinea efectuării operațiilor;

rezolvarea de probleme compuse insistându-se mult pe cunoașterea și utilizarea corectă a limbajului specific și diferențierea înmulțire – adunare;

de atâtea ori mai mare

cu atât mai mare

Se va pune accent deosebit pe rezolvarea de probleme compuse în care se pune în evidență diferența dintre adunare și înmulțire.

În predarea – învățarea înmulțirii în celelalte concentre se va face apel la:

înmulțirea unui număr cu 10, 100, 1000;

proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare;

descompunerea unui factor într-o sumă folosindu-se scrierea sistemică;

descompunerea unui factor într-un produs de factori.

De exemplu, în predarea – învățarea înmulțirii unui număr de o cifră cu un număr întreg de zeci, sute, mii, se apelează la cunoștințele anterioare ale elevilor și se procedează astfel:

7 x 300

↓ Λ

7 x 3 x 100 » calcul oral scris

V

21 x 100

V

2100

se descompune factorul al doilea într-un produs;

se asociază factorii formați dintr-o cifră și se calculează produsul lor;

produsul obținut se înmulțește cu 100.

Scrierea calculului oral scris sub formă de arbore pe tablă este bine să se realizeze pe rețea de pătrățele asemănătoare caietelor elevilor, pentru ca aceștia să aibă modelul derulării etapelor de calcul și amplasarea lor în spațiul rețelei de linii. Altfel elevii vor trasa săgețile în dezordine, consumând inutil spațiul pe foaia de scris și nepunând în evidență pe rânduri orizontale, cele trei etaje ce marchează etapele de calcul.

În predarea-învățarea înmulțirii unui număr de o cifră cu un număr de două sau trei cifre se procedează astfel (pentru calculul oral scris) :

se descompune factorul format din două / trei cifre într-o sumă folosindu-se scrierea sistemică;

se aplică distributivitatea înmulțirii față de adunare (se înmulțește factorul format dintr-o cifră cu fiecare termen al sumei);

se efectuează produsele;

se adună produsele

De exemplu:

3 x 275 = 3 x (200 + 70 + 5)

= 3 x 200 + 3 x 70 + 3 x 5

= 600 + 210 + 15

= 825

La fel se procedează și în predarea-învățarea înmulțirii unui număr de două cifre cu un număr de cel puțin trei cifre.

I. II.

27 x 358 = (20 + 7) x 358 27 x 357= (20 + 7) x (300 + 50 + 7)

= 20 x 358 + 7 x 358

= 2 x 10 x 358 + 7 x 358 (se înmulțesc două paranteze)

= 7160+ 2506

= 9666

Paralel cu calculul oral scris se va face și demonstrarea calculului înmulțirii prin calcul scris.

Demonstrarea calculului scris va fi însoțită de explicații orale și va parcurge următorii pași:

se așază convenabil factorii unul sub altul avându-se în vedere următoarele aspecte:

• când cel puțin unul din factori se termină în zero;

• se scrie pe locul al doilea factorul cu mai puține cifre căci numărul produselor parțiale este egal cu numărul cifrelor celui de-al doilea factor (dacă acesta nu conține cifra 0 ).

275 x 475 x 980 x 750 x 2105 x

3 30 56 80 17

¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯

se înmulțesc, pe rând, numerele ce reprezintă fiecare ordin din factorul al doilea, considerate ca unități simple, cu primul factor;

se adună produsele parțiale obținute.

De exemplu: Primul mod Al doilea mod

25 x 25 x

34 34

100 → produsul parțial 4×25=100 100 +

750 → produsul parțial 30×25=750 75

850 850

Se așază produsele parțiale unul sub altul, unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute și apoi se adună. Se observă că cifra 0 de la produsul parțial 750 nu aduce nici o contribuție la adunare. În această situație, acest 0 se poate suprima și calculul în scris se organizează ca în al doilea mod. Aceasta este forma de calcul în scris care s-a transformat în algoritmul înmulțirii. După aceeași metodologie se efectuează și alte tipuri de înmulțire.

Cazuri aparte le reprezintă înmulțirile cu 10, 100, 1000 etc. La înmulțirea unui număr cu 10, 100, 1000 se aplică același algoritm al calculului scris și se constată că primul, al doilea și, respectiv, al treilea produs parțial este zero și deci adunarea lor la produsul parțial obținut prin înmulțirea numărului cu 1, ele nu influențează rezultatul. Așadar, pentru a înmulți un număr cu 10, 100, 1000, se adaugă la sfârșitul numărului care se înmulțește unul, două și, respectiv, trei zerouri (reprezentând cifrele unităților, zecilor și, respectiv, al sutelor), cifrele deînmulțitului reprezentând ordine superioare pentru rezultat cu atâtea ordine câte zerouri are înmulțitorul.

Din aceste considerente, în cazul în care factorul al doilea are o cifră de un anumit ordin zero, la calculul în scris, rezultatul parțial al înmulțirii acestuia cu primul factor nu se mai trece pe linia respectivă, dar trebuie să se aibă grijă ca cifra unităților din produsul parțial următor să fie scrisă sub cifra corespunzătoare ordinului pe care îl reprezintă.

O atenție deosebită se acordă efectuării înmulțirilor cu mai mulți factori sugerându-li-se elevilor să grupeze convenabil factorii aplicând comutativitatea și asociativitatea înmulțirii.

20 x 7 x 5 = (20 x 5) x 7 5 x 9 x 4 x 2 x 25 = (5 x 2) x (4 x 25) x 9

= 100 x 7 = 10 x 100 x 9

= 700 = 1000 x 9

10.10. Împărțirea numerelor naturale

Curriculumul actual cere introducerea operației de împărțire la clasa a III-a și aceasta se face prin două procedee:

• prin scădere repetată;

• pe baza tablei înmulțirii

La început este bine ca profesorul să folosească material concret-intuitiv bogat, variat și apropiat experienței de viață a copiilor (creioane, bile, bețișoare, nuci, mere, caiete, cărți, castane, timbre etc.).

După conținutul problemelor de împărțire, desprinse din situațiile practice de viață, împărțirea numerelor naturale se efectuează prin două procedee:

împărțirea în părți egale;

împărțirea prin cuprindere.

Împărțirea în părți egale

Acest procedeu de împărțire este mai accesibil înțelegerii copiilor, exprimarea întrebuințată este în concordanță cu procesul de gândire care are loc, iar justificarea operațiilor se face fără dificultate. Această împărțire are la bază separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte două câte două, fiecare având același număr de elemente (echivalente). Se știe câte submulțimi se formează (numărul lor este egal cu împărțitorul), iar prin împărțire se află câte elemente are fiecare submulțime (câtul).

De exemplu: Dorim să împărțim în mod egal 12 creioane la 4 elevi. Pentru aceasta se iau 4 creioane și se repartizează fiecărui elev câte un creion și mai rămân 8 creioane (12 – 4 = 8). Mai luăm patru, repartizăm câte un creion fiecărui elev și mai rămân 4 creioane (8 – 4 = 4). Continuăm procedeul de repartizare a creioanelor rămase, acest fapt reflectându-se în scăderea 4 – 4 = 0. Se constată că am repartizat de trei ori câte un creion fiecărui elev, deci fiecare din cei patru elevi a primit câte trei creioane. Formulăm acest fapt astfel: 12 creioane împărțite în mod egal la 4 elevi dă 3 creioane de fiecare. Acest lucru se scrie astfel:

12 – 4 = 8

8 – 4 = 4 sau 12: 4 = 3

4 – 4 = 0

Deci s-au format 4 submulțimi și s-au repartizat elementele astfel încât submulțimile să aibă tot atâtea elemente. Pentru aflarea rezultatului (câtului) numărăm elementele fiecărei submulțimi. Reprezentarea simbolică a acestei împărțiri este următoarea:

Este momentul introducerii terminologiei specifice: simbolul operației de împărțire este ,, : ” care se citește ,,împărțit”. Numărul care se împarte (12) se numește deîmpărțit (D), iar cel la care se împarte (4) se numește împărțitor (Î). Rezultatul împărțirii (3) se numește cât (C). În acest tip de împărțire, câtul este egal cu numărul de scăderi ale lui 4 din 12.

Scăderea repetată se folosește numai la început, când se introduce operația de împărțire, când se pune în evidență cu ajutorul materialului intuitiv, semnificația acestei operații. Pe măsură ce se formează noțiunea de împărțire ca scădere repetată, se va folosi legătura ei cu înmulțirea, scoțându-se în evidență faptul că rezultatele ei se găsesc rapid folosind tabla înmulțirii.

De exemplu: spunem elevilor că 12 : 4 = 3, deoarece 4 x 3 = 12. Aceasta înseamnă că efectuăm operația de împărțire pe baza operației de înmulțire.

Împărțirea prin cuprindere

Acest procedeu se bazează pe separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte două câte două, cu același număr de elemente, egal cu împărțitorul. Cunoscându-se câte elemente are fiecare submulțime, prin operația de împărțire se află câte submulțimi se formează. Acest mod de împărțire prezintă un grad mai mare de dificultate, întrucât nu se poate ilustra în mod concret și atât de ușor ca la împărțirea în părți egale.

De exemplu: Dorim să împărțim 12 creioane, dând câte 4, unor elevi. Câți elevi vor primi creioane?

În rezolvarea acestei probleme se parcurg următorii pași:

● se stabilește numărul de obiecte care trebuie împărțit și numărul de obiecte primit de fiecare elev;

● se iau 4 creioane și se repartizează primului copil, se mai iau 4 creioane și se repartizează celui de-al doilea copil ș.a.m.d. până ce nu mai rămâne nici un creion nerepartizat;

● se numără câți copii au primit creioane (numărul de submulțimi formate);

● se observă că, de fapt, se numără câte scăderi s-au efectuat, ele reprezentând câtul împărțirii adică numărul de elevi care au primit câte 4 creioane.

Se efectuează 3 scăderi (12 – 4 = 8; 8 – 4 = 4; 4 – 4 = 0), înseamnă că 3 elevi pot primi câte 4 creioane. Se scrie 12 : 4 = 3

Reprezentarea simbolică a împărțirii prin cuprindere e următoarea:

12 4 4 4

12 – 4 – 4 – 4 = 0

12: 4 = 3

Deci s-au format submulțimi cu câte 4 elemente (împărțitorul) și se numără submulțimile formate pentru aflarea câtului.

Atât la împărțirea în părți egale, cât și la împărțirea prin cuprindere, pentru efectuarea împărțirii se fac scăderi repetate.

Observație: La împărțirea în părți egale cunoaștem numărul părților egale, dar nu cunoaștem câte elemente sunt în fiecare parte. La împărțirea prin cuprindere cunoaștem câte elemente are o parte, dar nu cunoaștem câte părți egale se formează. Cadrul didactic trebuie să dea exemple clare de situații problemă care conduc fie la împărțirea în părți egale, fie la împărțirea prin cuprindere.

Pentru a sesiza ce este esențial la fiecare procedeu de împărțire se recomandă rezolvarea unor probleme simple în care operația de împărțire este aceeași, dar conținutul problemei conduce la procedee diferite pentru efectuarea împărțirii.

Pentru împărțirea 27: 3 se rezolvă problemele următoare:

Elevii clasei a IV-a B au răsădit 27 panseluțe pe 3 rânduri, în mod egal.

Câte panseluțe sunt pe fiecare rând? (împărțire în părți egale)

Elevii clasei a IV- B au răsădit 27 panseluțe, câte 3 pe un rând.

Câte rânduri sunt? (împărțire prin cuprindere)

După ce elevii și-au însușit conștient procedeele de împărțire în părți egale și prin cuprindere (denumirea nu trebuie reținută de către elevi), se trece la alcătuirea tablei împărțirii, folosind, în special, legătura dintre înmulțire și împărțire. În această situație, stabilirea rezultatelor împărțirii se bazează pe tabla înmulțirii. Împărțirea devine astfel operația inversă înmulțirii.

De exemplu, din tabla înmulțirii cu 2 se deduce tabla împărțirii la 2.

0 x 2 = 0, rezultă că 0 : 2 = 0

1 x 2 = 2, rezultă că 2 : 2 = 1

2 x 2 = 4, rezultă că 4 : 2 = 2

…….. ………

10 x 2 =20, rezultă că 20 : 2 = 10

Etapele metodologice parcurse în continuare în predarea-învățarea împărțirii la clasa a III-a sunt:

Se scrie tabla împărțirii făcându-se legătura cu înmulțirea;

Se introduce și se întărește terminologia specifică : deîmpărțit, împărțitor, cât,“de atâtea ori mai puțin” etc.

Se fac exerciții-joc de aflare a câtului când se cunosc cei doi termeni ai împărțirii, în scopul memorării tablei împărțirii.

Se fac exerciții pentru însușirea procedeelor de realizare a probei împărțirii: prin înmulțirea câtului cu împărțitorul se va obține deîmpărțitul sau prin împărțirea deîmpărțitului la cât pentru a obține împărțitorul.

Se fac exerciții de aflare a termenului necunoscut de tipul :

a) Completați: _ : 2 = 6 14 : _ = 7

b) Completați tabelul :

‏

Se rezolvă probleme simple pentru a se face legătura cu limbajul specific care duce la efectuarea operației de împărțire :

• micșorat de 2 ori;

• de două ori mai mic/mai puțin;

• scade de două ori;

• jumătatea, doimea, treimea, pătrimea, sfertul numărului “X”;

• câtul numerelor a și b este….

După predarea-învățarea tablei împărțirii până la 10 se intervine cu alte sarcini care au drept scop cunoașterea, fixarea și aplicarea tablei înmulțirii și împărțiri:

● rezolvarea de exerciții care să scoată în evidență proprietatea de distributivitate a operației de împărțire (dar și de înmulțire) față de adunare și scădere (fiecare termen al sumei/diferenței trebuie să se împartă exact la împărțitor);

●rezolvarea de exerciții mai complexe în care să intervină cele patru operații aritmetice;

●rezolvarea și compunerea de probleme compuse în care se pune în evidență diferența dintre împărțire și scădere :

de atâtea ori mai mic;

cu atât mai mic.

Un caz aparte în predarea-învățarea operației de împărțire îl constituie împărțirea cu rest (deîmpărțitul nu se împarte exact la împărțitor).

Odată cu introducerea împărțirii cu rest, își face loc, în explicație, o imprecizie. Este vorba de criteriul de demarcație între așa-zisa împărțire care se face exact și împărțirea care nu se face exact și anume prezența sau absența restului. Se pare că mai bine este să vorbim nu de împărțiri care se fac exact sau inexact (împărțirea se face exact, adică fără eroare), ci de împărțiri care se fac complet sau incomplet, în funcție de faptul dacă, în cursul împărțirii, deîmpărțitul poate fi sau nu divizat până la capăt. Un rest există întotdeauna, el fiind zero sau mai mult. Elementul care pare a fi nou aici și către care trebuie orientată sarcina de învățare nu este atât noțunea de rest care vine să completeze terminologia împărțirii, cât efectul de resemnificare a câtului (până acum elevii învățaseră că el semnifică de câte ori deîmpărțitul este mai mare decât împărțitorul, de câte ori împărțitorul este mai mic decât deîmpărțitul, de câte ori împărțitorul se cuprinde în deîmpărțit) în condițiile împărțirii cu rest, în sensul că uneori câtul este, alteori nu este un măsurător complet al relației cantitative dintre deîmpărțit și împărțitor, în funcție de faptul dacă : r = 0 sau r >0.

Primele exerciții de împărțire cu rest trebuie să se bazeze pe probleme-acțiune, pe acțiuni care sunt întreprinse de elevi, sau se petrec în fața elevilor și care le sunt familiare. Aceste prime exerciții de efectuare a împărțirilor cu rest trebuie să se bazeze pe probleme cu date concret-intuitive.

În predarea-învățarea împărțirii cu rest se va folosi atât procedeul de împărțire în părți egale, cât și prin cuprindere și se va observa că rezultatul este același. De fapt, folosirea celor două procedee se rezumă la efectuarea de scăderi repetate. Câtul împărțirii este dat de numărul de scăderi repetate efectuate, iar restul împărțirii este restul ultimei scăderi posibile. Acest fapt justifică încă o dată și întărește denumirea de rest.

De exemplu: Dorim să împărțim în mod egal 14 creioane la 3 copii. Vom recurge la șirul de scăderi repetate cu scăzătorul 3:

14 – 3 = 11; 11 – 3 = 8; 8 – 3 = 5; 5 – 3 = 2

Rămân 2 creioane rest, deoarece scăderea 2 – 3 nu este posibilă. Deoarece am efectuat patru scăderi repetate, înseamnă că am dat fiecărui copil câte 4 creioane. Spunem că această împărțire are câtul 4 și restul 2 și scriem 14 : 3 = 4 (rest 2). Reprezentarea simbolică a acestei împărțiri este următoarea:

Pentru verificarea corectitudinii acestei împărțiri putem efectua operația : 3 x 4 + 2 = 14 Produsul 3 x 4 reprezintă numărul de creioane care a fost distribuit copiilor. La acest produs am adăugat numărul de creioane care nu a fost distribuit. După efectuarea calculului am obținut rezultatul 14 (numărul inițial de creioane) și spunem că împărțirea a fost efectuată corect. Scrierea 14 : 3 = 4 (rest 2) este echivalentă cu scrierea14 = 3 x 4 + 2

Numărul 14 se numește deîmpărțit, numărul 3 se numește împărțitor, numărul 4 se numește cât, iar 2 se numește rest. Se observă că restul este mai mic decât împărțitorul (2 3). Se discută cu elevii acest aspect și se întărește ideea că restul este totdeauna mai mic decât împărțitorul.

La împărțirea cu rest, elevii trebuie să înțeleagă faptul că, dacă se dau două numere naturale D și Î, cu Î 0, există, și sunt unice, două numere naturale C și R, R Î, astfel încât D = Î x C + R și R < Î.

De fapt, dacă împărțirea directă este D: Î = C (rest R), proba ei înseamnă verificarea relațiilor: D = Î x C + R cu R Î

Observație: Când efectuăm proba, trebuie să verificăm ambele relații.

De exemplu: 78: 4 = (40 + 38) : 4

= 40: 4 + 38: 4

= 10 + 9 (rest 2)

= 19 (rest 2)

Proba: 19 x 4 + 2 = 78, 2 4

În mod asemănător se efectuează împărțirea când deîmpărțitul este format din sute, zeci și unități. Pentru înțelegerea și consolidarea operațiilor studiate, cadrul didactic are sarcina să le prezinte elevilor cât mai multe situații practice în care aceștia să identifice astfel de operații, să îmbine armonios în cadrul activității de predare-învățare metodele tradiționale cu cele alternative.

La însușirea algoritmilor de efectuare a împărțirii numerelor de două sau mai multe cifre la un număr de o cifră se va face apel permanent la cunoștințele anterioare ale elevilor.

De exemplu, împărțirea unui număr mai mic decât 100 la un număr de o cifră (52: 4) se va efectua prin:

– scădere repetată 52 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 = 0

– calcul desfășurat care cuprinde următoarele etape:

a) se descompune convenabil deîmpărțitul într-o sumă formată din termeni care să se împartă exact la împărțitor;

b) se împarte fiecare termen al sumei la numărul dat;

c) se adună câturile obținute

52: 4 = (40 + 12): 4

= 40: 4 + 12: 4

= 10 + 3

=13

– calculul scris care se organizează astfel:

se împart zecile deîmpărțitului la împărțitor;

restul obținut se transformă în unități și se adună cu unitățile pe care le-a avut deîmpărțitul;

c) această sumă de unități se împart la împărțitor.

Spunem: 4 se cuprinde în 5 o dată. Verificăm (înmulțire, scădere, compararea restului cu împărțitorul); 1 este prima cifră a câtului, pe locul zecilor. Transformăm 1 zece (restul) în unități; apoi 10 + 2 = 12 (unități); 4 se cuprinde în 12 de 3 ori. Verificăm. 3 este a doua cifră a câtului, pe locul unităților. În însușirea tehnicilor de calcul se va pune accent deosebit pe verbalizarea calculelor de către elevi.

La împărțirile mai dificile (cu numere mai mari) se va folosi preponderent doar calculul în scris.

De exemplu: 896 : 7

Această împărțire va începe ca și celelalte cazuri de împărțire învățate, de la ordinul mai mare. Se aplică tehnica de calcul cunoscută parcurgându-se următorii pași:

Pasul I: Spunem: 7 se cuprinde în 8 o dată. Verificăm prin înmulțire, scădere și compararea restului cu împărțitorul :

1 x 7 = 7

8 – 7 = 1

1 7

Pasul II. Transformăm restul de 1 sute în zeci; 10 + 9 = 19 (zeci); 7 se cuprinde în 19 de 2 ori. Verificăm.

Pasul III. Transformăm noul rest de 5 zeci în unități; 50 + 6 = 56 (unități); 7 se cuprinde în 56 de 8 ori. Verificăm. Câtul este 128, restul 0.

Exercițiul se va încheia cu efectuarea probei împărțirii prin înmulțire :

128 x 7 = 896

Se va proceda analog în cazul împărțirilor cu rest.

Folosirea parantezelor

Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor operații de ordinul I și apoi a altora, de ordinul II. Ar apărea astfel o contradicție cu regula privind ordinea efectuării operațiilor. De aceea, într-o asemenea situație, acordarea priorităților de calcul este impusă de paranteze: mici (rotunde), mari (drepte), acolade. Acestea se folosesc doar în perechi și conțin, între ele, secvența de exercițiu căreia i se acordă prioritate. Introducerea parantezelor se face tot prin intermediul unor probleme. De exemplu: Bogdan și Cristian au cules cireșe: 23 kg și 17 kg. Cireșele culese au fost puse în lădițe de câte 5 kg fiecare. Câte lădițe s-au umplut? Analizând rezolvarea și expresia numerică a acesteia, se constată că, în acest caz, se efectueaza mai întâi adunarea și apoi împărțirea. Pentru a marca prioritatea (adunarea), se folosesc parantezele mici, astfel încât scrierea rezolvării problemei este (23 + 17) : 5.

În mod asemănător se pot introduce parantezele mari și acoladele, ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exercițiu cu paranteze se efectuează mai întâi operațiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari și, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel la un exercițiu fără paranteze, în care acționează regula stabilită anterior privind ordinea efectuării operațiilor. Într-o posibilă lecție de recapitulare, la clasa a IV-a, poate fi evidențiat un algoritm de efectuare a oricărui exercițiu numeric, care sintetizeaza toate regulile cunoscute. Decisive sunt două întrebari:

a) Exercitiul conține paranteze?

Dacă da, se efectuează operațiile din parantezele rotunde, apoi cele din cele mari (dacă există) și apoi din acolade (dacă există). Daca nu, se trece la întrebarea a doua.

b) Exercițiul conține operații de ordine diferite?

Dacă da, se efectuează întâi operațiile de ordinul II, în ordinea în care sunt date, apoi cele de ordinul I, în ordinea în care sunt date.

Dacă nu, se efectueaza operațiile în ordinea în care sunt date în exercițiu.

Temă

Prezentați un demers didactic pentru predarea la clasă a adunării a doua numere naturale formate fiecare din zeci și unități, fără trecere peste ordin.

Prezentați un demers didactic pentru predarea la clasă a tablei înmulțirii cu 5.

Precizați pașii algoritmului și evidențiați etapele calculului în scris pentru împărțirea unui număr de două cifre la un număr de o cifră, în cazul când unitățile de fiecare ordin ale deîmparțitului se împart exact la împărțitor.

Formulați o problemă care să ilustreze ordinea efectuării operațiilor într-un exercițiu de tipul: a -b x c.

Prezentați un demers didactic pentru predarea la clasă a scăderii în cazul descăzutului cuprins între 10 și 20 și scăzătorului de o cifră, mai mare decât unitățile descăzutului.

Prezentați un demers didactic pentru predarea la clasă a înmulțirii a două numere naturale de două cifre.

Compuneți o problemă care să ilustreze necesitatea introducerii parantezelor rotunde.

Explicați importanța calculului mintal în cadrul lecției de matematică a școlarului mic.

Prezentați un demers didactic pentru abordarea la clasă a scăderii în cazul descăzutului cuprins între 10 și 20 și scăzătorului, mai mic decât 10, mai mare decât unitățile descăzutului.

Prezentați un demers didactic pentru introducerea tablei înmulțirii cu 7 (clasa a IIIa).

Enumerați modalitățile de introducere a împarțirii cu rest 0 (fara rest).

Formulți o problemă care să ilustreze ordinea efectuarii operatțiilor într-un exercițiu de tipul a + b x c.

CAPITOLUL 11: Metodologia predării-învățării unităților de măsură

11.1. Noțiunile de mărime și de măsură a unei mărimi

În ciclul primar, pe baza observațiilor și a reprezentărilor intuitive, elevii fac cunoștință cu unele noțiuni de bază despre mărimi și cu unitățile de măsură corespunzătoare, cel mai des întrebuințate.

Operațiile cu unitățile de măsură și transformările lor duc simultan și la dezvoltarea gândirii active și operaționale.

Noțiunea de mărime este socotită, ca și cea de mulțime, o noțiune primară, înțelegerea ei făcându-se pe bază de exemple cât mai multe, în situații cât mai variate.

Mărimile abordate, începând cu clasa I, sunt: lungimea, masa, volumul (capacitatea vaselor), timpul și valoarea.

A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compara această mărime cu o alta, de aceeași natură, luată ca unitate de măsură. Prin operația de măsurare se stabilește un raport numeric între mărimea de măsurat și unitatea de măsură considerată. Deci, rezultatul măsurării, adică măsura unei mărimi, este totdeauna un număr (real, pozitiv). De exemplu a măsura masa unui obiect, înseamnă a o compara cu masa unui alt obiect, pe care o vom considera drept unitate de măsură (acel obiect are masa 1).

Elevii trebuie să fie conduși să simtă necesitatea comparării mărimilor și introducerii unităților de măsură. Astfel, pentru a putea executa măsurările, elevii va trebui să înțeleagă noțiunea de unitate de măsură și cum să folosească instrumentele de măsură.

Măsura nu este un simplu mijloc tehnic de apreciere cantitativă, ci reprezintă indiciul și rezultatul trecerii de la compararea directă și globală a obiectelor, așa cum sunt ele percepute, la aprecierea lor după rezultatele măsurării prealabile. Cu ajutorul ei se stabilește invarianța unei anumite mărimi, atunci când se modifică numai configurația ei externă.

Folosirea unor unități de măsură diferite permite desprinderea unor însușiri diferite ale obiectului și, datorită acestui fapt, se produce depășirea caracterului global al aprecierii directe.

Posibilitatea folosirii diferitelor unități de măsură pune problema respectării stricte a regulii comparării numai pentru mărimi de același fel, care au fost măsurate cu aceeași unitate de măsură. Acțiunea de măsurare este îndeplinită cu ușurință de copii și aceasta poate fi folosită pentru a asigura logica apariției numărului și a primelor noțiuni matematice.

Constantele perceptive și conservările operatorii constau în conservarea unei anumite proprietăți a obiectului atunci când:

• mărimea sa reală sau forma sa aparentă sunt modificate;

• cantitatea de materie ori greutatea obiectului rămâne neschimbată (în cazul conservării operatorii), când se toarnă un lichid dintr-un recipient într-altul sau se modifică, de pildă, forma unei bucăți de plastilină.

Folosirea acțiunii de delimitare a mărimilor egale cu unitatea de măsură nu încetează odată cu introducerea numerelor. Importanța acestei acțiuni, nu numai în perioada prenumerică, ci și în cea a lucrului cu numere, constă în faptul că ea dă posibilitatea copilului să cunoască intuitiv structura numărului, sensul acțiunilor cu numere, componența și relațiile dintre numere.

Priceperea de a desprinde în obiect diferitele sale însușiri și a le măsura pe fiecare în parte reprezintă condiția necesară pentru însușirea principiului conservării. Copiii se angajează cu plăcere în sarcina de a determina ce se potrivește după mărime și ce nu, ce este mai mare, mai mic sau „la fel” etc.

• se precizează copiilor că unitatea de măsură nu se poate folosi la întâmplare, că unul și același lucru poate fi măsurat în diferite moduri: după lungime, după suprafață, după volum, după greutate, dar și cu diferite unități de măsură.

Trebuie făcută o deosebire între unitatea de măsură ca instrument pentru diferențierea parametrilor unui obiect (cu descoperirea invarianței în privința unuia dintre ei) și numărul cu ajutorul căruia se marchează și se fixează ceea ce s-a măsurat și care este purtător de informații. Cu ajutorul lor, copiii pot face comparări prenumerice ale unor mărimi.

Organizând astfel de sarcini de învățare, copiii decodifică diferitele însușiri ale obiectelor, diferențiază treptat, în obiecte, parametri diferiți și învață să aprecieze mărimea unor obiecte nu global, ci relaționat cu unele însușiri.

Se poate trece apoi la determinarea, prin experiențe, a masei sau greutății, lungimii, distanței, volumului, ariei unei suprafețe.

Pentru început, copiii trebuie să măsoare parametrii atât înainte de schimbarea configurației obiectului, cât și după schimbarea ei. Corect și într-o formă prescurtată, după regula „Nimic n-am adăugat, nimic n-am luat”, copilul rezolvă probleme referitoare la conservarea lungimii, greutății, volumului, suprafeței. Separarea parametrilor și măsurarea fiecăruia la începutul experienței reprezintă fundamentul noțiunii de „conservare a cantității”.

Formarea deprinderii de lucru presupune:

• introducerea măsurii (cu diferențiere calitativă și cantitativă);

• separarea cu ajutorul ei a diferiților parametri;

• transformarea unor mărimi;

• raportarea lor biunivocă;

• compararea și apoi introducerea numerelor și a operațiilor cu numere.

Înțelegerea măsurării și a unităților de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediată a unităților standard (din sistemul internațional de unități de măsură). Profesorul trebuie să utilizeze unitățile nestandard (sau nonstandard), de exemplu: palma, creion, picior, pas, pentru lungime, diferite obiecte, pentru masă, pahar, cană, pentru volum, bătăile inimii (pulsul), pentru timp etc. După ce se exersează măsurarea unei mărimi cu o unitate nestandard, este important să se prezinte câteva date istorice legate de istoria măsurării acelei mărimi, la noi și în alte țări, din care să reiasă că în procesul intensificării schimburilor economice și științifice a rezultat ca o necesitate unificarea unităților de măsură pentru diferite mărimi.

O problemă importantă în vederea succesului interacționării copilului cu mediul este aceea a estimării dimensiunilor unui obiect sau fenomen, cum ar fi estimarea lungimii unui obiect sau a unui drum, a capacității unui vas, a masei unui corp, a duratei desfășurării unui eveniment, a valorii unui produs etc. Este necesar ca estimările făcute de elevi sa fie verificate prin măsurare directă, pentru ca eroarea de apreciere să scadă. În acest scop, trebuie făcute trimiteri concrete la realitatea înconjurătoare, sarcinile trebuind sa vizeze mărimi și dimensiuni ale unor obiecte și fenomene pe care elevii le întâlnesc frecvent în viața de zi cu zi.

O etapă importantă în formarea noțiunii de măsură o constituie activitățile referitoare la conservarea măsurii unei mărimi în diferite situații.

Sugestii în organizarea și realizarea unor situații de învățare pentru înțelegerea conservării măsurii unei mărimi.

1. Se inițiază acțiuni practice de împărțire a unei mulțimi de obiecte în două părți egale, respectiv în 4 părți egale, fără a utiliza numerația.

• se urmărește sesizarea echivalenței;

• materialele cu care se lucrează să fie cunoscute, familiare copiilor, să solicite interes.

2. Profesorul propune efectuarea unor exerciții de măsurare a unei cantități de lichid cu ajutorul a trei sticle (de un litru, jumătate de litru, un sfert de litru).

3. Cu ajutorul a două cantități egale de plastilină, se inițiază exerciții de transformare a formei, pe rând, a fiecărei cantități și, concomitent, se utilizează pentru cântărire o balanță.

4. Se continuă cu un exercițiu de împărțire a unui disc în jumătăți și apoi în sferturi; prin suprapunere, se măsoară și se determină corectitudinea împărțirii, se reconstituie întregul din părțile sale.

5. Se solicită copiilor să găsească „mijlocul unei sfori”.

• se lasă libertatea de acțiune copiilor prin încercare-eroare-reglare;

• exercițiul se desfășoară semidirijat sau liber, funcție de nivelul clasei.

6. în două sticle identice se pune lichid ușor colorat, la același nivel. Se schimbă, pe rând, poziția lor, iar prin întrebări – „Unde este mai multă apă?”, „Dar acum?” – se urmărește argumentarea aprecierilor.

7. Se inițiază exerciții practice de măsurare a capacității unor lichide din 3 vase, dintre care două sunt de aceeași formă.

• în primul exercițiu se familiarizează copiii cu tehnica de măsurare, luând ca unitate de măsură un alt vas (ceșcuță), în care se toarnă aceeași cantitate de lichid;

• în al doilea exercițiu, se urmărește gradul de înțelegere și asimilare a conservării volumului prin turnarea unui lichid dintr-un vas în altul (unul dintre ele este diferit).

8. Se prezintă copiilor 4 vase, 3 dintre ele sunt la fel. în primele două sunt cantități egale de boabe (fasole, porumb etc.). Cantitatea de boabe din primul se toarnă în al treilea, iar cantitatea din al doilea în al patrulea. Copiii sunt întrebați în care vas sunt mai multe boabe; afirmațiile copiilor sunt verificate (cu ajutorul lor) folosindu-se de vasul „unitate de măsură”.

9. Se inițiază experiențe, prin exerciții de cântărire a unor obiecte din același material și de aceeași formă cu obiectele „unitate de măsură”, de dimensiuni diferite.

• Se poate cântări un cui mare cu ajutorul mai multor cuie mai mici:

– se observă că diferența de dimensiune determină diferența de greutate;

se stabilește de câte ori obiectul „de cântărit” este mai greu decât obiectul „unitate de măsură”.

• Se pot introduce, ca unitate de măsură, și alte obiecte din alt material (cretă, nasturi):

se observă că greutatea nu depinde numai de volum, ci și de substanța din care este format obiectul;

se solicită comparații între numărul de obiecte „unitate de măsură” folosite pentru două cântăriri succesive (cuie mici, cretă).

• Se realizează exerciții de cântărire în vederea înțelegerii de către copii a faptului că schimbarea greutății nu este posibilă decât prin modificarea cantității (similare cu cele din viața cotidiană: cântărirea de legume, fructe).

10. Exercițiu de cântărire a unui obiect ce-și poate schimba forma (pânză, hârtie, plastilină etc.) – forma nu influențează masa;

11. Pentru conservarea numerică se pot utiliza, de exemplu, 10 triunghiuri roșii și 10 pătrate albastre:

• se așază triunghiurile în șir, iar copiilor li se solicită să așeze „tot atâtea” pătrate

câte triunghiuri sunt în șir;

• se apropie triunghiurile, unul lângă altul, pătratele rămânând în aceeași poziție;

• se îndepărtează triunghiurile mai mult decât în primul caz.

Realizând aceste experiențe prin exerciții cu obiecte reale, delimitând pentru acestea parametrii mărimilor, preșcolarii vor învăța să compare aceste obiecte după o mărime fizică sau alta, determinând egalitatea sau inegalitatea lor.

Surprinderea invarianței, a ceea ce este constant și identic în situații diferite, se bazează pe capacitatea de coordonare a operațiilor gândirii, care sprijină înțelegerea reversibilității – capacitatea de efectuare în sens invers a drumului de la o operație la alta.

Tema

Compararea dimensiunilor obiectelor date, prin măsurare.

Orientarea în sarcina de învățare și rezolvarea acesteia

Sarcina 1

• Profesorul măsoară lungimea drumului de la fereastră până la masă cu ajutorul pașilor.

• Un copil, la tablă, va trasa tot atâtea linii câți pași de-ai profesori a numărat; concomitent vor trasa individual, pe fișe, toți copiii.

• După același procedeu, cu ajutorul unui copil, se măsoară distanța de la fereastră la ușă.

• Copiii vor trasa pe fișă, sub primul rând de linii, tot atâtea linii câți pași de-ai copilului au numărat.

• Se solicită compararea celor două șiruri de liniuțe, prin formare de perechi, constatând că, „de la fereastră la ușă”, s-au făcut mai mulți/puțini pași; deși distanța este aceeași, numărul de pași obținuți este influențat de mărimea pasului.

• se numără liniuțele și se motivează rezultatul acțiunii.

Sarcina 2

Aceeași distanță se măsoară cu o sfoară; se suprapun cele două sfori și se observă care este mai lungă/scurtă.

• Copiii vor măsura independent diferite lungimi, folosind același etalon;

• copiii vor măsura aceeași lungime cu etaloane diferite.

11.2. Etape metodologice în predarea unităților de măsură

Lungimea

– măsurarea lungimii, lățimii, înălțimii cu unități nestandard: mâna, cotul, creionul, piciorul, pasul, guma, creta etc.;

– apariția noțiunilor antagonice: mare-mic, înalt-scund, lung-lat, gros-subțire, stabilite prin comparare;

– sublinierea necesității apariției și folosirii unității de măsură standard – metrul, cu multiplii și submultiplii săi și notațiile folosite;

– conștientizarea necesității introducerii multiplilor si submultiplilor metrului pentru exprimarea mai comodă a lungimilor mai mari/mai mici;

– utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea lungimii: rigla, metrul de croitorie, metrul liniar, metrul tâmplarului, ruleta;

– exersarea capacității de măsurare pornind de la obiectele din clasă, apoi afară, în curtea școlii (în practică, profesorul va alege acele lungimi ale căror măsuri pot fi exprimate în numere naturale);

– asocierea multiplilor cu mărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori și a submultiplilor cu

micșorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scării” de transformare);

formarea deprinderilor de efectuare rapidă și precisă a măsurătorilor utilizând și multipli și submultipli ai metrului;

– transformări dintr-o unitate de măsura în altă unitate de măsură;

– rezolvări de probleme specifice.

Capacitatea

– compararea și ordonarea vaselor după volum prin măsurare directă;

– compararea vaselor de aceeași capacitate și de formă diferita;

– măsurarea capacității unui vas cu unități nestandard;

– sublinierea necesității introducerii unității standard pentru capacitatea vaselor – litrul, notația folosita;

conștientizarea necesității introducerii multiplilor și submultiplilor litrului pentru exprimarea mai comodă a capacității vaselor mai mari/mai mici, notații folosite;

asocierea multiplilor cu mărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori și a submultiplilor cu

micșorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scării” de transformare);

utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea capacității, întâlnite în

practică;

formarea deprinderilor de efectuare rapidă și precisă a măsurătorilor, utilizând multipli și submultipli ai litrului;

– transformări dintr-o unitate de măsură în altă unitate de măsură;

– rezolvări de probleme.

Masa

– compararea prin mânuire directă, apariția noțiunilor: mai ușor – mai greu, tot atât de greu;

– folosirea balanței cu brațe egale în stabilirea relației dintre masele obiectelor;

– compararea, sortarea și gruparea obiectelor cu aceeași masă;

– conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus în părți;

– utilizarea unităților de măsură nestandard în măsurarea masei unor corpuri;

– sublinierea necesității introducerii unității standard pentru masă – kilogramul, notația folosită;

utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea masei: cântarul de bucătărie, de baie, de la piață, balanța, cântarul electronic, cântarul cu resort, etc.;

– exerciții practice de măsurare;

– conștientizarea necesității introducerii multiplilor și submultiplilor kilogramului pentru exprimarea mai comodă a maselor mai mari/mai mici, notații folosite;

asocierea multiplilor cu mărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori și a submultiplilor cu

micșorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scării” de transformare);

formarea deprinderilor de efectuare rapidă și precisă a măsurătorilor utilizând multipli și

submultipli ai kilogramului;

– transformări dintr-o unitate de măsură în altă unitate de măsură;

– rezolvări de probleme.

Timpul

– predarea-învățarea mărimii timp și a unităților de măsură se face în strânsa legătură cu

acțiunile, fenomenele și evenimentele periodice cunoscute de elevi;

se începe cu măsurarea duratei unor acțiuni, sau fenomene familiare elevilor cu instrumente nestandard (pulsul, ritmul respirației)

se continuă cu unitățile cele mai cunoscute și mai des folosite de elev: ora, ziua, săptămâna, luna, anul măsurate cu ceasul și calendarul;

se insistă asupra faptului că durata unei acțiuni/a unui fenomen, se măsoară fixând momentul de început și de sfârșit al acesteia/acestuia, deci că o durată poate fi asimilată cu ”distanța” dintre două momente;

anumite fenomene sunt ciclice și acest lucru se înțelege studiind programul de activități zilnice ale elevului, momentul (ora) la care face acea acțiune;

– săptămâna se conștientizează prin activitățile școlare și de acasă;

– luna ca unitate mai mare decât ziua și săptămâna, se prezintă printr-un proces comparativ, de apreciere a activităților desfășurate într-o săptămână și într-o lună;

denumirea fiecărei luni (și anotimp) se asociază cu ordinea în an;

– noțiunea de an – ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre un anotimp și repetarea acestuia;

– deceniul, secolul, mileniul;

– unitatea de măsură standard – secunda, notația folosita;

– multipli și submultipli, notații folosite;

– utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea timpului: calendarul, ceasul de mână, de perete, pendula, orologiul, cronometrul, ceasul electronic, clepsidra, etc.;

– transformări dintr-o unitate de măsură în altă unitate de măsură;

– rezolvări de probleme.

Referitor la concretizarea și aplicarea practică a cunoștințelor despre timp se vor efectua

unele acțiuni sau observații ce pot fi întreprinse de către elevi:

– confecționarea unui cadran de ceas;

– întocmirea calendarului pe o săptămână care să cuprindă denumirile zilelor și datele

respective, sau pe o lună, ori pe mai multe luni;

– întocmirea calendarului pe un an, sub formă de bandă a timpului;

– notarea cu consecvență a datei pe tablă și pe foile caietelor de clasă și de teme;

– cunoașterea, notarea de către elev a datei sale de naștere, precum și a datelor de naștere ale membrilor familiei sale și ale prietenilor săi;

exprimarea vârstei lor și a prietenilor, a părinților, bunicilor etc.;

măsurarea și exprimarea în unități corespunzătoare a timpului necesar pentru a parcurge

anumite distanțe: de acasă la școală, de acasă până la cel mai apropiat magazin alimentar etc.;

– cunoașterea vârstei pe care o pot atinge unele animale sălbatice, sau domestice;

– durata vieții unor plante, a copacilor și pomilor fructiferi etc.;

– ținerea evidenței, în unități de timp, a activității pe care o desfășoară elevul într-o anumită perioadă: ora deșteptării, ora plecării la scoală, timpul petrecut la scoală etc.;

stabilirea unui regim rațional de muncă și odihnă, cu precizarea în unități de timp a activităților programate;

realizarea interdisciplinarității matematică-comunicare (notarea în unități de timp a datelor biografice ale unor scriitori etc.);

– realizarea interdisciplinarității matematică-istorie;

– evidențierea unor evenimente petrecute în viața colectivului de elevi;

– formularea și rezolvarea unor probleme aplicative legate de începutul, durata sau sfârșitul unui eveniment în cadrul unei ore etc.

Temă

1. Dați exemple de unități de masură nonstandard, care se pot utiliza în măsurarea mărimilor, la clasa I.

2. Enumerați cel puțin patru obiective ale predării învățării mărimilor și unităților de măsură ale acestora, în ordinea importanței lor.

3. Precizați conținuturile predării-învățării mărimilor și unităților de măsură pentru acestea la clasele a III-a si a IV-a.

CAPITOLUL 12: Metodologia predării-învățării elementelor de geometrie

12.1. Învățarea geometriei în ciclul primar

Cuvântul geometrie provine din grecescul yεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură. Geometria era așadar concepută ca știința măsurii pământului.

Originea geometriei pare să fie legată în mode direct de exigențele vieții practice: calculul ariilor de câmp, construcțiilor de locuit, monumentelor etc. S-au găsit tabele babiloniene și papirusuri egiptene care atestă acest lucru. Școlile lui Thales (640-546 î.Hr.) și Pitagora (prima jumătate a secolului al VI-lea î.Hr.), amândoi greci, au fost primele care s-au ocupat mai serios de geometrie. În Academia platoniciană au apărut primele elemente de geometrie. Platonicienii distingeau clar obiectele geometrice abstracte și perfecte de obiectele lumii reale. Figura geometrică perfectă aparține domeniului ideilor. Reprezentarea sa, pe nisip sau în altă parte, este obligatoriu imperfectă. În sfârșit, în secolul al III-lea î.Hr., Euclid a redactat 15 cărți, Elementele, dintre care primele patru sunt consacrate geometriei plane. Ele studiază proprietățile fundamentale ale figurilor rectilinii și cercurilor. Nu abordează decât probleme a căror rezolvare este dată cu ajutorul riglei și compasului.

În secolul al IX-lea, matematicienii arabi au tradus tratatele grecești, le-au comentat și le-au îmbogățit. Ei au dezvoltat metode de calcul a ariei și volumului și geometria sferei pentru nevoile astronomiei. Au simplificat de asemenea metodele de construcție. Abu-I-Wafa a tratat construcțiile fundamentale (perpendiculare, paralele, împărțirea segmentelor) cu ajutorul unei rigle și a unui compas cu deschidere constantă.

Între anul 800 și mijlocul secolului al XIII-lea, matematicienii arabi și-au însușit cunoștințele geometrice grecești și le-au îmbunătățit, spre deosebire de lumea occidentală a epocii, care a ignorat complet geometria grecească până la Renaștere. În secolul al XVI-lea Occidentul a descoperit cu entuziasm moștenirea grecească și adaosul adus de arabi.

În prezent nu mai există o geometrie, ci geometrii. O geometrie este constituită dintr-o mulțime și dintr-un grup de transformări care se produc în acea mulțime. Pentru aceeași mulțime se pot defini mai multe grupuri diferite de transformări. Fiecare geometrie este determinată de elementele care rămân neschimbate și de transformările definite pe mulțime.

Din punct de vedere instructiv, studiul geometriei în clasele primare urmărește înarmarea elevilor cu un sistem de cunoștințe coerent și bine structurat despre formele obiectelor lumii reale, mărimea și proprietățile acestora, despre efectuarea măsurătorilor, stabilirea unor lungimi și distanțe, formarea și dezvoltarea reprezentărilor spațiale.

În ciclul primar, prin predarea geometriei se urmărește ca elevii să-și formeze deprinderi de observație și descriere a corpurilor și figurilor geometrice.

Activitatea de observare și de cercetare experimentală a realității, desfășurate de profesor cu elevii în vederea descoperirii (redescoperirii) propozițiilor geometriei, determină la aceștia formarea de reprezentări active, de suporturi imaginative în plan spațial, foarte necesare în însușirea ulterioară a cunoștințelor de geometrie și în aplicarea acestora. În plus, prin însuși specificul lor, lecțiile de geometrie angajează elevii într-o activitate intensă prin care li se cere să observe, să descrie, să construiască, să facă măsurători, să facă și calcule, să rezolve probleme.

Aceasta impune ca studiul geometriei să înceapă prin procese intuitive, pe cale inductivă, cercetarea directă prin văz, pipăit, manipularea mai multor obiecte din realitatea înconjurătoare, în diverse poziții, în vederea descoperirii caracteristicilor comune care conturează imaginea geometrică. Aceste imagini se concretizează apoi prin modele geometrice și prin desen.

Noțiunile primare de geometrie predate în ciclul primar nu pot fi însușite de elevi ca abstracții depline. Elevii vor ajunge treptat la stadiul înțelegerii noțiunilor geometrice, după ce vor observa, vor decupa, vor măsura și vor compara anumite figuri/corpuri geometrice.

Procesul de formare a noțiunilor geometrice parcurge mai multe faze:

Intuirea obiectelor din mediul înconjurător care evidențiază materializat noțiunea (dreptunghi, pătrat, disc, etc.) cu dirijarea atenției elevilor spre ceea ce interesează a fi observat.

Analizare prin/și comparare a proprietăților intuite anterior, pe un material didactic (model obiectual în formă de dreptunghi, pătrat, disc, etc.).

Reprezentarea prin desen (nivel iconic) a noțiunii intuite și materializate didactic indicând elementele componente observate, notând, evidențiind, proprietăți caracteristice.

Enunțarea unei definiții (dacă e posibil prin analiza genului proxim – patrulater cu laturi opuse paralele (pentru dreptunghi) și a diferenței specifice – având unghiuri drepte) sau stabilirea proprietăților caracteristice conținutului noțiunii (poligon – o linie frântă închisă; care “nu se taie pe ea însăși” și nu conține trei vârfuri pe aceeași dreaptă).

Identificarea noțiunii (figurii) și în alte situații corespunzătoare din mediul înconjurător, decât cele semnalate la A.

Construirea materializată a noțiunii (figurii) folosind carton, hârtii, etc. și instrumente geometrice (prin operații de pliere se pot pune în evidență axele de simetrie ale unei figuri; prin tăiere și suprapunere a părților astfel obținute se pot deduce proprietăți ale paralelogramului – exerciții de manifestare a capacității de deducție în geometrie.

Efectuarea unor operații de clasificare prin suprapunere după formă, după proprietăți, etc.

Rezolvarea unor exerciții și probleme cu conținut geometric în combinație cu alte metode: figurativă, reducere la unitate; cu probleme de măsurare și utilizare a unităților de măsură pentru lungime; de realizare a transferului de strategie rezolutivă la probleme mai puțin cunoscute, în situații geometrice noi.

În ciclul primar se realizează primele două faze.

Materialul didactic este folosit pentru observarea proprietăților și justificarea lor. În utilizarea materialului didactic trebuie respectate câteva condiții legate atât de materialul confecționat cât și de modul în care este folosit de profesor și de elevi.

Materialul didactic confecționat trebuie :

să aibă dimensiunile suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate, din orice punct al clasei

să aibă o formă estetică atractivă,

să fie expresia fidelă a ceea ce vrea să reprezinte;

să contribuie la ușurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale și a relațiilor ce există între ele;

să se adreseze elevilor respectând particularitățile lor de vârstă.

O insuficientă valorificare a materialului didactic duce la însușirea formală a cunoștințelor, influențând negativ procesul formării reprezentărilor spațiale. De un real folos sunt figurile geometrice confecționate din lemn, carton, plastic, metal, pe care le poate mânui fiecare elev în parte și instrumentele necesare care sunt rigla și echerul. Obiectele din realitatea înconjurătoare care au fețe sub formă de pătrat, triunghi sunt observate cu mult interes de elevi și reprezintă un material didactic specific momentului în care sunt folosite.

În predarea și învățarea elementelor de geometrie din ciclul primar, metodele care contribuie la dezvoltarea spiritului de investigare, a imaginației și creativității elevilor sunt: problematizarea și învățarea prin descoperire, prin care elevii sunt conduși ca prin eforturi proprii să ajungă la descoperirea unor adevăruri. La clasele primare, în predarea elementelor de geometrie, este mai accesibilă elevilor descoperirea inductivă.

Cea mai eficientă modalitate de înțelegere a unui fapt geometric, a unei proprietăți este deci prin descoperirea acestora. Dacă elevul descoperă prin observarea figurilor o proprietate, o va înțelege și reține mai ușor.

Proprietățile diagonalelor pătratului de a avea lungimi egale și de a se înjumătăți sunt astfel înțelese dacă elevii observă mai întâi concret pe o figură din hârtie – un pătrat cu diagonalele trasate, diferit colorate – elevii pliază hârtia după axele de simetrie formate de diagonale, vor observa că jumătățile fiecărei diagonale coincid prin suprapunere. Deci, elevii descoperă că cele două diagonale au lungimi egale și se înjumătățesc.

Metoda învățării prin descoperire poate fi folosită cu succes și în rezolvarea problemelor. Descoperirea are un rol formativ, pentru că dezvoltă: percepția, memoria, gândirea, limbajul.

Dintre metodele intuitive, bazate pe observarea directă, concret senzorială, a obiectelor și fenomenelor realității sau a substitutelor acestora sunt observația și demonstrația.

Observația, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoașterii, permite formarea de reprezentări clare despre obiecte și însușirile caracteristice ale acestora. Această metodă apare însoțită de explicație, ultima fiind elementul de dirijare a observației spre scopul propus.

În cadrul lecțiilor cu conținut geometric vom încerca să-i facem pe elevi să observe anumite obiecte cu forme de cub, sferă, cilindru, con, cuboid, piramidă, să observe și să descrie proprietățile simple ale unor figuri geometrice.

Exemplu: Predarea – învățarea liniei frânte.

Se prezintă elevilor metrul de tâmplărie perfect întins, sugerând imaginea unei drepte. Se “frânge” în dreptul articulațiilor mobile, se sprijină pe tablă și se desenează conturul lui. După înlăturarea metrului copiii observă desenul:

Se prezintă elevilor o bucată de ață subțire bine întinsă, asemănată cu o linie dreaptă. Se construiește cu această ață o linie frântă urmărind un traseu din cuișoare bătute în placaj. Observați și spuneți ce s-a întâmplat cu bucata de ață ? Acestea sunt linii drepte ? (Nu, sunt “linii frânte”).

Demonstrația este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării.

O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și explicate de profesor. Eficiența demonstrației ca metodă este sporită dacă sunt respectate anumite cerințe de ordin psihopedagogic.

Demonstrația trebuie să se sprijine pe diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realității, în măsură să reprezinte o susținere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a elevului. Trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învățare a unei noțiuni sau acțiuni, trebuie să respecte/păstreze proporția corectă în raport cu explicația, în funcție de scopul urmărit. Demonstrația este utilizată fie pentru confirmarea unor idei, fie pentru însușirea corectă a unor tehnici de lucru, de rezolvare, prin intuire a modelului oferit și uneori pentru verificare.

12.2. Rolul intuiției în predarea elementelor de geometrie

Cunoașterea senzorială, care reprezintă reflectarea nemijlocită a obiectelor și fenomenelor care acționează asupra analizatorilor, constituie izvorul cunoștințelor noastre.

Pe baza datelor perceptive și prin mijlocirea limbajului, se formează noțiunile, judecățile, raționamentele. Dacă unele cuvinte pierd contactul cu realitatea, cu obiectele și fenomenele pe care le desemnează, ele încetează de a mai fi semnale ale realității, își pierd valoarea lor cognitivă.

Intuiția în procesul de învățământ are un rol mai mare în etapele micii școlarități, fondul de imagini fiind mai redus la aceste vârste. Materialul, intuitiv este necesar, pe de o parte, pentru a-l ajuta pe elev să cunoască acele fenomene și obiecte ale lumii reale care nu sunt accesibile perceperii și observării sale în realitatea vie înconjurătoare, iar, pe de altă parte, pentru a supune obiectele și fenomenele unei observații și studierii sistematice de către elevi sub îndrumarea cadrului didactic, în vederea desprinderii însușirilor și raporturilor esențiale dintre obiecte și fenomene, și de a forma la elevi noțiuni științifice.

Cunoștințele elevului despre obiecte și fenomene studiate vor fi cu atât mai adânci, mai precise și mai operaționale, cu cât se vor baza pe un număr mai mare de reprezentări vii, dobândite printr-o experiență perceptivă directă.

Cunoașterea intuitivă se poate realiza fie pe calea perceperii directe a obiectelor și fenomenelor, fie pe calea perceperii imaginilor care redau aceste obiecte și fenomene, fie, în sfârșit, pe calea evocării de către profesor, prin utilizarea unui limbaj plastic și expresiv a reprezentărilor concrete existente la elevi și a îmbinării acestor reprezentări în conformitate cu obiectivul urmărit în lecție.

Când vorbim de material intuitiv, în mod obișnuit avem în vedere numai aspectul vizual al acestui material, perceperea vizuală a obiectelor. Fără îndoială acest aspect al perceperii are un mare rol, cu atât mai mult cu cât, foarte frecvent, în școală, obiectele și fenomenele lumii reale sunt prezentate sub formă de imagini, ilustrații, diagrame. Această împrejurare nu trebuie să ne facă să uităm și celelalte aspecte ale obiectelor și fenomenelor care se adresează celorlalți analizatori. Un mare rol în perceperea obiectelor și însușirea cu succes a cunoștințelor îl are operarea cu obiectele, organizarea unei activități practice cu ele.

Un mijloc important de perfecționare a analizei și sintezei în procesul de învățământ îl constituie și desenarea de către elevi a obiectului studiat.

In procesul desenării, copilul observă multe aspecte ale obiectului pe care înainte nu le-a observat.

Sarcina de a reda în desen cele observate duce la precizarea observației, la control și verificare.

Perceperea are totdeauna un caracter selectiv. Acest caracter selectiv se datorește fie unor cauze obiective, de exemplu, intensitatea stimulului, contrastul de stimuli etc., fie unor cauze subiective, cum ar fi semnificația stimulului pentru cel care percepe, relația cu experiența lui anterioară, cu interesele sale, cu starea psihică prezentă etc.

Întrucât cu prilejul perceperii materialului concret se poate întâmpla ca tocmai însușirile esențiale ale obiectului să nu fie observate de către elevi, este necesar să cunoaștem mijloacele și căile prin care se poate asigura perceperea corectă a materialului.

Principalul mijloc prin care se poate asigura orientarea percepției elevilor în direcția necesară este instrucția verbală a profesorului. Nu este suficient să-i punem pe elevi în fața anumitor obiecte, să efectuăm în fața lor anumite experimente, să-i scoatem în mijlocul naturii etc. pentru ca ei să vadă și să observe în conformitate cu obiectivele lecției. Fără o dirijare adecvată a percepției prin cuvânt, percepția elevilor poate fi atrasă de alte aspecte ale materialului concret, nesemnificativ din punctul de vedere al sarcinii date.

Orientarea percepției prin cuvânt în direcția necesară este foarte mult ajutată dacă, odată cu explicația verbală, se indică (cu un creion, arătător etc.) elementul despre care este vorba.

Un mijloc important de adâncire a cunoașterii perceptive este comparația, stabilirea asemănărilor și deosebirilor dintre obiecte. Sarcina de a descoperi asemănările la obiecte foarte diferite și deosebirile la obiecte foarte asemănătoare se poate realiza numai printr-o fină activitate de analiză și sinteză.

Întrucât deosebirile sunt sesizate mai ușor decât asemănările, este recomandabil ca, atunci când se face comparația, să se înceapă cu găsirea deosebirilor și apoi să se treacă la găsirea asemănărilor.

Desenarea de către profesor pe tablă a obiectului despre care vorbește, constituie un ajutor prețios pentru perceperea și înțelegerea de către copii a materialului utilizat la lecție.

Studiul elementelor de geometrie trebuie început cu cercetarea directă (văz, pipăit și manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diverse poziții în spațiul înconjurător în vederea descoperirii și altor caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată. Binevenite sunt modelele mobile care permit elevilor să înțeleagă și să rețină proprietățile figurilor.

Elevii nu trebuie să învețe definițiile pe de rost. Definițiile și proprietățile figurilor geometrice se vor deduce după ce au fost analizate modelele.

Observațiile și concluziile vor avea la bază intuiția și experiența elevilor, raționamentul de tip analogic de tip intuitiv, elemente de deducție necesare dezvoltării gândirii elevilor.

Se va urmări prin lecțiile de geometrie ca un număr cât mai mare din cunoștințele învățate să poată fi folosite în activitatea următoare a elevilor la această disciplină dar și în alte discipline școlare.

Ținând seama de aspectul elementar al noțiunilor de geometrie ce se studiază la clasele

I –IV și de particularitățile de vârstă ale elevilor, se pot stabili câteva idei călăuzitoare :

predarea geometriei să aibă mereu în vedere respectarea principiului intuiției în predarea și asimilarea noilor cunoștințe ;

formularea noțiunilor geometrice trebuie pusă în legătură cu obiectele lumii reale, nu numai în forma exterioară, ci și în ce privește apartenența elementelor geometrice.

Elevii trebuie astfel îndrumați ca să ajungă la convingerea că figurile geometrice nu sunt relații artificiale ale lumii omenești, că ele sunt părți inseparabile ale obiectelor lumii reale.

Trebuie să se țină seama de faptul că stadiul în care se află studiul geometriei la clasele

I-IV este cel al imaginilor, stadiul contemplării directe.

noțiunile pe care și le formează elevii și cunoștințele pe care le dobândesc trebuie să corespundă rigurozității științifice, deși la clasele primare elementele de geometrie se predau pe bază intuitivă.

Trebuie avut mereu în atenție că predarea noțiunilor va fi reluată, dezvoltată și completată în clasele următoare, că acestea vor fi integrate în ansamblul cunoștințelor care formează cursul de geometrie.

In privința definirii unor noțiuni, este de menționat faptul că definițiile se introduc în clasele a III-a și a IV-a. Ele trebuie să fie formulate corect, în așa fel încât să conțină cele două elemente : genul proxim și diferența specifică, iar în cazul când acest lucru nu este posibil, se consideră suficientă enunțarea proprietăților respective.

Atunci când se formulează o definiție și se însușește conținutul ei, se poate proceda în două moduri :

inductiv – prin cercetarea și stabilirea proprietăților pe care se bazează definiția respectivă, folosind figuri în poziții și de mărimi diferite, pornind de la fapte, de la date intuitive, pentru a se ajunge prin analiză, sinteză și generalizare la formularea definiției ;

deductiv – prin enunțarea definiției și apoi ilustrarea ei cu ajutorul materialului intuitiv și exemplificarea pe diferite cazuri.

Pentru clasele primare se recomandă metoda inductivă, dar este bine ca, treptat, să se folosească și metoda deductivă.

Precizăm că este de preferat lipsa unei definiții, decât prezentarea uneia incomplete sau greșite.

Fazele pe care trebuie să le aibă în vedere profesorul în formarea unei anumite noțiuni se pot formula astfel :

intuirea unor obiecte ale lumii reale, care reprezintă figura ce urmează a fi studiată ;

prezentarea figurilor geometrice sub formă de material didactic, în diferite poziții și mărimi;

reprezentarea prin desen a figurii și, eventual, dacă programa o cere, notarea figurii, a elementelor ei;

stabilirea proprietăților care intră în conținutul definiției și apoi formularea acesteia;

stabilirea celorlalte proprietăți ale figurilor;

identificarea figurii în mediul înconjurător, exemplificarea variată a acesteia ;

studierea altor elemente ale figurii, construirea acestora și notarea lor ;

clasificare figurilor care fac parte din aceeași categorie (spre exemplu clasificarea unghiurilor sau a triunghiurilor);

construirea figurilor geometrice ținând cont de anumite condiții date: poziție și dimensiuni;

utilizarea în exerciții și probleme aplicative a noțiunilor formate

Temă

1. Precizați conținuturile învățării elementelor de geometrie la clasa a IV-a.

2. Optați pentru intuitiv sau logic în predarea elementelor de geometrie, motivând opțiunea aleasa.

3. Enumerați cerințele metodice care trebuie respectate în procesul predării-învățării elementelor de geometrie în ciclul primar.

4. Evidențiați rolul materialului didactic și al desenului într-o lecție de geometrie.

5. Enumerați și exemplificați etapele parcurse pentru formarea unei noțiuni geometrice.

CAPITOLUL 13: Strategii didactice utilizate în formarea noțiunii de fracție

13.1. Locul intuiției în predarea noțiunilor despre fracții

Intuiția nu constituie un scop în sine, ci reprezintă un mijloc pentru realizarea adevăratului scop care este însușirea temeinică a cunoștințelor matematice și dezvoltarea gândirii logice a copilului. Ea trebuie aplicată numai când e necesară și trebuie să renunțăm la ea de îndată ce am constatat că elevii și-au însușit temeinic noile cunoștințe.

Procesul formării noțiunii de fracție se sprijină în primul rând pe experiența de viață a copilului. Care dintre copii n-a fost trimis de părinți să cumpere pâine? Dacă au luat jumătate de pâine au văzut cum vânzătoarea a tăiat pâinea în două părți la fel de mari, dându-le o singură parte. Dacă au fost trimiși să ia un sfert de pachet de drojdie, de asemenea, au văzut cum pachetul a fost împărțit în două, apoi jumătatea de pachet iar în două părți la fel de mari.

Dacă ne referim la jumătate de pâine, ea apare cât se poate de clar în mintea copilului pentru că o vede egală cu cealaltă jumătate rămasă la vânzător. În ce privește jumătatea de ulei sau de zahăr, ea nu se referă la forma obiectelor, ci numai la mărimea exprimată prin unitatea de măsură pentru capacitate sau pentru masă. Uleiul poate fi pus într-o sticlă de jumătate de litru sau într-o sticlă cu o formă mai aparte și, în acest din urmă caz, copilul va avea o imagine vagă despre noțiunea de jumătate.

Cât privește jumătatea de zahăr e și mai greu de înțeles pentru copil. Ea se referă la unitatea de măsură pentru masa corpurilor, care, de mute ori, chiar și pentru unii copii de vârstă școlară mare, apare greu de înțeles, întrucât ei confundă noțiunea de masă cu cea de greutate, pentru a căror înțelegere sunt necesare și noțiuni de fizică.

Materialul didactic utilizat în formarea conceptului de număr fracționar trebuie bine ales. Selecționarea strictă a materialului intuitiv, folosirea lui într-un sistem economic și logic organizat sunt mai importante decât utilizarea unui material didactic abundent.

Profesorul însoțește acțiunea cu materialul didactic cu explicații, iar activitatea este dirijată. Gândirea fiind concret – intuitivă, imaginea constituie suportul ei.

În formarea conceptului de număr fracționar se va folosi mai întâi material intuitiv concret, care să reprezinte obiecte ușor de mânuit de către copii. Treptat, materialul didactic va deveni tot mai schematic, pentru a contribui la formarea și exersarea capacităților de abstractizare.

Vor fi alese obiecte concrete (mere, pâini, bețișoare, riglete) a căror lungime să poată fi împărțită în jumătăți, sferturi, optimi etc.

Materialul didactic prezentat în scopul realizării unei generalizări trebuie să reliefeze constant elementul esențial pentru scopul propus.

Profesorul ia un fruct și-l taie în jumătate. Se pot adresa apoi întrebări de tipul:

Câte părți egale am obținut?

Dacă alăturăm cele două părți ce obținem?

Pentru a putea forma, spre exemplu, dintr-o mulțime de bețișoare, submulțimi care să aibă același număr de bețișoare, numărul de elemente ale mulțimilor alese trebuie să se împartă exact la 2 (dacă vrem să obținem două submulțimi) la 3 (dacă vrem să obținem trei submulțimi) la 4 (dacă vrem să obținem patru submulțimi) cu același număr de bețișoare.

Materialul didactic trebuie treptat diversificat. El poate fi utilizat în două moduri: frontal (demonstrativ) pentru întreaga clasă și individual (distributiv). Materialul demonstrativ trebuie să fie suficient de mare pentru a fi ușor văzut de copii, iar cel distributiv să fie ușor de mânuit.

Pentru stimularea interesului față de conținutul activității, este important ca elevii să fie atrași în activitatea de confecționare a materialelor didactice. Capitolul fracții oferă posibilitatea elevilor de a realiza destule materiale didactice din hârtie, carton, planșe. Acest material poate fi confecționat în orele de abilități practice și, din experiență, pot spune că elevii participă cu interes și cu plăcere la aceste activități.

Produsele activității elevilor pot fi folosite ca material distributiv în diferite situații de învățare a conceptului de număr fracționar, și nu numai, accentuând caracterul intuitiv și practic – aplicativ al învățării.

Prin materialul utilizat în însușirea conceptului de fracție, elevul trebuie învățat să vadă exact, ordonat, realizându-se în acest mod dezvoltarea raționamentului matematic.

13.2. Metodologia predării – învățării noțiunii de fracție

Introducerea noțiunii de fracție

Studierea numerelor fracționare creează elevilor posibilitatea cunoașterii realității obiective și îi înarmează cu deprinderi și obișnuințe de calcul necesare acestui scop.

Spre deosebire de numerele naturale, numerele fracționare prezintă o serie de particularități. În primul rând, ele sunt mai complexe decât numerele întregi, fiind reprezentate de o pereche de numere naturale – din numărător și numitor, sau din partea întreagă și partea fracționară, a căror înțelegere necesită un nivel mai complex în gândirea copilului. Din această cauză, abia în clasa a IV- a se formează elevilor conceptul de număr fracționar și se predau noțiuni elementare despre fracții și operații cu acestea.

Caracteristic studiului fracțiilor este faptul că procesul de abstractizare și generalizare decurge mai lent decât în cazul numerelor naturale.

Pentru început, elevilor li se formează noțiunea de unitate fracționară.

Formarea acestei noțiuni parcurge mai multe etape:

Fracționarea obiectelor concrete, adică tăierea în mod efectiv a unor obiecte în două, patru, cinci sau în mai multe părți egale, sau la fel de mari, atât de către profesor, în mod demonstrativ, cât și de către elevi, insistându-se ca părțile obținute să fie egale, mai bine zis, formându-le elevilor preocuparea de a obține părți egale, chiar dacă în mod practic nu reușesc pe deplin acest lucru.

Împreună cu profesorul, elevii vor lua un măr pe care îl vor tăia în două părți la fel de mari, apoi fiecare parte obținută iar în două părți la fel de mari.

De asemenea, se poate tăia o pâine în două părți la fel de mari, apoi fiecare parte în alte două părți egale, obținându-se patru părți la fel de mari.

Folosindu-ne de experiența cotidiană a elevilor, putem afla de la aceștia că o parte din mărul sau pâinea care au fost tăiate în două părți egale se numește jumătate de măr sau jumătate de pâine, iar o parte din mărul sau pâinea care au fost tăiate în patru părți la fel de mari se numește un sfert de măr sau un sfert de pâine.

Trebuie să-i atenționăm pe elevi că mărul, pâinea au două jumătăți sau patru sferturi și acestea sunt egale. Dacă vom alătura cele două jumătăți sau cele patru sferturi vom obține mărul, respectiv pâinea întreagă.

Fracționarea figurilor geometrice decupate, adică fracționarea prin îndoire a cercului (discului), dreptunghiului sau a pătratului în două, trei, sau în mai multe părți la fel de mari.

Fracționarea unui obiect pentru a obține două jumătăți se mai poate face prin îndoirea și dezdoirea unor figuri geometrice plane care admit cel puțin o axă de simetrie (dreptunghiul, pătratul, cercul). Îndoirea se face în așa fel încât cele două părți să coincidă prin suprapunere.

Li se poate cere elevilor să ia trei foi de hârtie de formă dreptunghiulară și să le împartă prin pliere, de fiecare dată în alt mod, astfel încât să obțină, din foaie, două părți la fel de mari.

Spunem elevilor că prin îndoire dreptunghiul a fost împărțit în jumătăți.

Introducerea noțiunii de sfert se face în paralel cu învățarea împărțirii prin 4. Astfel, pentru a obține un sfert dintr-un măr îl împărțim (prin tăiere) în patru părți de aceeași mărime.

Îndoind și dezdoind suprafața dreptunghiulară așa cum arată cele două linii punctate, obținem sferturile dreptunghiului.

Fiecare sfert reprezintă tot atât din suprafața dreptunghiulară. Prin această fracționare suprafața dreptunghiului a fost împărțită în patru părți egale.

La fel ca la obținerea jumătății, o altă etapă de fracționare o obiectelor pentru a obține sferturi se poate face prin trasarea a două axe de simetrie într-o suprafață pătratică.

Suprafața pătratică se pliază mai întâi de-a lungul unei axe, apoi de-a lungul celeilalte axe și se demonstrează elevilor, prin suprapunere, că cele patru părți sunt egale și sunt sferturi ale suprafeței pătratice.

Faza abstractă de fracționare în sferturi este aceea de împărțire exactă a numerelor prin 4. Să împărțim, în mod egal, 40 de nuci la 4 elevi. Efectuând împărțirea 40 : 4 obținem câtul 10. Spunem că fiecare elev a primit un sfert din cele 40 de nuci, adică 10 nuci.

Propunem apoi elevilor să afle sferturile numerelor 100, 120, 200.

După înțelegerea noțiunii de sfert li se poate propune o problemă simplă care să conțină termenul sfert.

Exemplu:

În livada bunicului sunt 120 de pomi. Un sfert din numărul lor sunt meri. Câți meri are bunicul în grădină?

În analiza acestei probleme, se stabilește mai întâi cuvântul cheie (cuvântul sfert).

Care este numărul din care trebuie să luăm un sfert? (numărul este 120). Prin ce operație aflăm un sfert dintr-un număr? (de împărțire la 4). După analiza amănunțită a problemei, se trece la rezolvarea ei, scriind:

120 : 4 = 30 (meri)

De asemenea, li se poate cere să împartă prin îndoire mai multe foi în câte patru părți egale, de fiecare dată alt fel și să coloreze dungile formate pe hârtie, prin îndoire.

Operația de îndoire poate fi executată și pe alte figuri geometrice, de exemplu pe un disc.

De fiecare dată, se atrage atenția elevilor că părțile obținute sunt la fel de mari.

Trasând o axă de simetrie într-un pătrat sau într-un cerc, se obțin jumătăți ale acestor figuri geometrice. Elevului trebuie să i se demonstreze că cele două părți coincid prin suprapunere. Elevii trebuie să conștientizeze că am obținut jumătăți ale pătratului.

Din trusa de figuri geometrice, confecționată la abilități practice, elevii pot lua trei cercuri pe care să le împartă în patru părți la fel de mari, apoi să decupeze o parte din primul cerc, două părți din al doilea și trei părți din al treilea.

Prin suprapunere, se demonstrează că părțile obținute sunt la fel de mari.

Fracționarea prin desen, adică fracționarea imaginilor unor obiecte sau a figurilor geometrice desenate.

Spre exemplu, desenarea și fracționarea unui segment de dreaptă, a unui cerc, pătrat sau a unui dreptunghi de către profesor pe tablă, și de către elevi pe caiete.

Se poate cere ca elevii să deseneze un cerc, să-l împartă în două părți la fel de mari și să coloreze o parte.

De asemenea, elevii pot desena două dreptunghiuri și să-l împartă pe primul în trei părți egale, iar pe al doilea în șase părți, apoi să coloreze în primul dreptunghi o parte, iar în al doilea trei părți.

Se poate lua un segment de dreaptă pe care să-l împartă în două părți la fel de mari.

A C B

Segmentul AB a fost împărțit în două părți la fel de mari. AC = CB (se poate face verificarea prin suprapunere).

Fracționarea numerelor concrete, adică a numerelor care reprezintă unități de măsură sau anumite obiecte reale: jumătate din 10 lei, un sfert din 20 de lei, o cincime din 10 m, jumătate din 6 nuci, un sfert din 8 mere etc.

Se pot formula probleme simple în care să intre noțiunea de jumătate.

Exemplu: Elena are 10 mere. Jumătate din numărul lor le oferă prietenei sale, Mioara. Câte mere primește Mioara?

Cuvântul jumătate reprezintă cheia rezolvării acestei probleme. Jumătatea trebuie dată din numărul 10. cum jumătate dintr-un număr se află prin operația de împărțire prin 2, poate fi scris planul și rezolvarea problemei.

Plan și rezolvare

Câte mere primește Mioara?

10 : 2 = 5 (mere)

Răspuns: Mioara primește 5 mere.

Fracționarea numerelor abstracte, această operație efectuându-se pe baza regulilor stabilite la fracționarea numerelor concrete, concluziile formulându-se astfel ca să se asigure trecerea de la concret la abstract și în același timp generalizarea procesului respectiv:

pentru a afla o cincime din 20 de lei se împart cei 20 de lei în cinci părți egale;

pentru a afla o cincime din numărul 20 se împarte acest număr în cinci părți egale;

pentru a afla o cincime dintr-un număr, se împarte acel număr în cinci părți egale.

La fiecare din fazele specificate mai sus, este necesar să se stabilească concluzia corespunzătoare, pentru a scoate în evidență și a accentua caracterul științific al noțiunilor. Astfel, în cazul fracționării figurilor geometrice, spre exemplu în cazul fracționării dreptunghiului în trei părți egale, se formulează concluzia: pentru a obține o treime din acest dreptunghi, l-am împărțit în trei părți egale. Urmează apoi formularea în care apare tendința de generalizare: pentru a afla o treime dintr-un întreg acesta se împarte în trei părți egale. În felul acesta, datele experienței sunt utilizate în formarea noțiunilor abstracte, gândirea elevului dezvoltându-se treptat de la formele cele mai simple spre formele superioare ale acesteia.

După ce elevii au lucrat cu obiecte concrete, cu figuri decupate și desenate, cu segmente de dreaptă, pot rezolva cu ușurință alte sarcini cum ar fi:

Precizați în fiecare caz, numărul de părți luat în considerare, prin colorare, din numărul total de părți la fel de mari, în care a fost împărțit întregul:

Elevii trebuie să facă precizări de tipul:

Din cele două părți la fel de mari, obținute prin împărțirea întregului, s-a luat în considerare o parte.

Din cele șase părți la fel de mari, obținute prin împărțirea întregului, s-au luat în considerare 6 părți.

În secvențele de mai sus, fiecare întreg a fost împărțit în părți la fel de mari. S-a luat în considerare un număr de părți: o parte, zero părți, mai multe părți, sau numărul total de părți din întreg. S-au obținut astfel mai multe fracții.

Elevii trebuie conduși să sesizeze că numai când întregul considerat este la fel de mare, atunci și partea corespunzătoare aceleiași fracții luate din întreg este la fel de mare.

Un sfert de pâine este mai mare decât un sfert dintr-un măr.

În acest sens, li se poate cere elevilor să deseneze un dreptunghi și un cerc (fără a li se da dimensiunile) și să coloreze din dreptunghi și din cerc.

După efectuarea acestei operații, colegii de bancă pot schimbat caietele între ei, observând mărimea părților colorate.

Concluzia desprinsă: părțile colorate nu sunt la fel de mari, întrucât figurile desenate de elevi nu au avut aceeași mărime.

13.3. Numirea, scrierea și citirea fracțiilor

Reluăm faza concretă de tăiere a mărului și comunicăm elevilor că prin împărțirea acestuia în două părți la fel de mari am obținut două jumătăți de măr sau două doimi.

O parte luată dintr-un măr tăiat în două părți la fel de mari se numește jumătate sau o doime de măr.

Un măr este format din două doimi (jumătăți) de măr.

Tăind cu un cuțit o pâine în două părți la fel de mari, obținem două jumătăți (doimi) de pâine.

O jumătate (o doime) se notează . Două jumătăți (două doimi) se notează .

Tăind un măr în patru părți la fel de mari, obținem patru sferturi (pătrimi) de măr. Tăind o pâine în patru părți la fel de mari, obținem patru sferturi (pătrimi) de pâine.

Un sfert (o pătrime) se notează . Patru sferturi (patru pătrimi) se notează .

Fiecare parte a unui cerc, spre exemplu, împărțit în patru părți la fel de mari se numește un sfert sau o pătrime de cerc. Un cerc este format din patru pătrimi (sferturi) de cerc.

Li se poate cere elevilor să deseneze un cerc și să-l împartă în opt părți la fel de mari, apoi să coloreze o parte și să numească fracția corespunzătoare, apoi două părți, cinci părți și să numească fracțiile corespunzătoare.

De asemenea, se poate cere elevilor să analizeze fracțiile reprezentate în tabelul de mai jos:

Formulările vor fi de tipul:

Din nouă părți la fel de mari s-au luat în considerare o parte, respectiv trei părți. Fracțiile obținute sunt o noime, respectiv trei noimi. Au rămas necolorate cinci noimi. Orice întreg are nouă noimi.

Pentru exprimarea oricărei fracții, se folosesc două numere naturale separate de o linie orizontală. Ele au următoarele denumiri:

numărător

linie de fracție

numitor

Numitorul arată în câte părți, la fel de mari, a fost împărțit întregul (în exemplul luat, întregul a fost împărțit în șase părți la fel de mari).

Numărătorul arată numărul părților luate în considerare dintr-un întreg împărțit în părți egale (în cazul de mai sus trei părți).

Scrierea se numește fracție.

Fracția se poate citi: două treimi; două părți din trei; doi supra trei; doi pe trei.

Într-un tabel asemănător celui de mai jos, elevii pot preciza semnificația numărătorului și a numitorului, apoi pot citi fracțiile.

Dacă ne referim la fracția din tabel, elevii pot emite următoarele:

În fracția , numărătorul 2 arată că s-au luat în considerare două părți, iar numitorul 4 arată că întregul a fost împărțit în patru părți la fel de mari.

Citim două pătrimi, sau două părți din patru, doi supra patru, doi pe patru.

Pentru numirea, citirea, scrierea și folosirea terminologiei: numitor, numărător, profesorul trebuie să folosească o gamă bogată de exerciții. Vom aminti doar câteva:

Pentru fiecare desen, scrie fracția reprezentată de partea hașurată:

Scrie toate fracțiile cu numărătorul 2 și numitorul mai mic decât 6.

Ce fracție din numărul figurilor geometrice este reprezentată de numărul triunghiurilor?

O bucată de ciocolată este ruptă în 12 bucăți egale. Exprimă sub formă de fracție: 1 bucată, 3 bucăți, 6 bucăți, 10 bucăți.

Completează tabelul:

Urmăriți desenele, apoi completați căsuțele libere:

Scrieți fracțiile care au:

numitorul 5, iar numărătorul cel mult egal cu numitorul

numitorul mai mic decât șase, iar numărătorul cu unu mai mic decât numitorul.

Fracțiile egale

Pentru a obține fracții egale, se pot lua trei foi de hârtie, de formă dreptunghiulară, la fel de mari. Se cere elevilor să taie din prima coală o jumătate, din a doua două pătrimi și din a treia, patru optimi. Se compară rezultatele și se scriu pe caiet fracțiile corespunzătoare: , , . Se observă că toate cele trei fracții reprezintă aceeași parte din întreg (foaie).

Se ia o suprafață pătratică și se trasează o axa de simetrie.

Hașurăm din suprafața pătratului.

Unim și celelalte două vârfuri opuse și observăm, împreună cu elevii, că porțiunea hașurată conține două sferturi ( sau două pătrimi) și scriem .

Elevii conștientizează că și reprezintă tot atât din suprafața pătratului. Din acest motiv, spunem că cele două fracții sunt egale și scriem: = .

Pornind de la desenele:

se observă că același întreg a fost împărțit, pe rând, în părți egale. Deoarece suprafețele hașurate sunt de aceeași mărime, fracțiile corespunzătoare sunt egale.

Căutând fracțiile care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg, elevii găsesc, de fapt, fracții egale.

Scriind fracțiile egale, se poate pune în evidență amplificarea și simplificarea fracțiilor, fără a li se da denumirea respectivă.

Principiul simplificării și amplificării poate fi descoperit cu ușurință pe baza desenelor.

Desenând trei segmente de dreaptă la fel de mari și împărțind primul segment în două părți egale, pe al doilea în patru părți, iar pe al treilea în opt părți și ducând o linie în dreptul fracțiilor , , , se poate observa că aceste fracții reprezintă aceeași parte dintr-un întreg, deci sunt egale.

Scriem = = .

Fracțiile care reprezintă părți la fel de mari din același întreg sau din întregi diferiți, dar de aceeași mărime, sunt fracții egale.

Lucrând și cu treimi se descoperă că:

= = ,

ceea ce poate fi reprezentat astfel:

Pentru a descoperi fracțiile egale, întrebările pot fi și sub formă de probleme.

Exemplu:

„Un tort a fost împărțit în mai multe părți egale. Ionel a mâncat câteva din ele și a constatat că a mâncat jumătate din tort”.

Cerând să găsească căile prin care acest lucru a fost posibil, elevii pot da răspunsuri de tipul:

● Tortul a fost împărțit în patru părți la fel de mari, iar Ionel a mâncat două bucăți ().

● Tortul a fost împărțit în șase părți egale, iar Ionel a mâncat 3 bucăți ().

● Tortul a fost împărțit în zece părți egale și Ionel a mâncat 5 bucăți () etc.

Se poate trage concluzia că fracțiile pot fi exprimate în mai multe feluri.

Analizând fracțiile obținute (,,), fracții care reprezintă jumătate din același întreg, se observă că la numărător poate fi scris orice număr, iar la numitor dublul numărătorului.

Astfel dă toate posibilitățile de scriere a unei jumătăți.

Pentru x = 2, avem: = = .

Pentru x = 4, avem: = = .

Pentru x = 10, avem: = = .

Fracțiile obținute: , , sunt egale între ele, reprezentând jumătatea întregului respectiv.

Fără a da noțiunile de amplificare și simplificare, vom sugera elevilor că, dacă, spre exemplu, la fracția înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu 2, obținem fracția , fracție egală cu . Dacă la fracția împărțim atât numitorul cât și numărătorul prin 2, obținem fracția care știm că este egală cu fracția .

Cerem elevilor să formeze în același mod două fracții egale cu fracția . (De exemplu: = și = de unde = = .

Pe baza exercițiului, elevii își consolidează cunoștințele despre fracțiile egale. Pot primi spre rezolvare sarcini ca:

Completează egalitățile, folosind desenul de mai jos:

= ; = ; = ;

= ; = ; = .

Împărțiți, pe rând, fiecare din întregi în același număr de părți egale. Notați după fiecare nouă împărțire fracția corespunzătoare părții hașurate. Scrieți șirul de fracții egale obținute astfel.

Exemplu:

= =

1) 2)

3)

Observați cum se modifică numărătorul și numitorul fiecărei fracții, din șirurile scrise la exercițiul precedent, apoi completați șirurile din fracțiile egale de mai jos:

= = = .

Observați că atât numărătorul cât și numitorul fracției se înmulțesc cu același număr, adică:

= = = =

1) = = =

2) = = =

3) = =

4) = = = .

Alegeți dintre fracțiile scrise mai jos perechile de fracții egale:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Mama a făcut două torturi, la fel de mari, pentru ziua ei. Cel pentru copii a fost împărțit în 5 părți egale, iar cel pentru adulți a fost împărțit în 10 părți egale. S-a mâncat din primul tort și aceeași cantitate din al doilea.

Ce fracție din al doilea tort a rămas?

Completează tabelul cu fracțiile următoare:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Din exemplele de mai sus, se observă că două fracții sunt egale dacă produsul dintre numărătorul și numitorul primei fracții și numitorul celei de-a doua este egal cu produsul dintre numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții (teorema fundamentală a proporțiilor).

Exemplu:

= deoarece 2 · 8 = 4 · 4

= deoarece 1 · 12 = 6 · 2

= dacă a · d = b · c.

Pornind de la exemplul de mai jos, putem scrie mai multe fracții egale:

Desenați un cerc pe care-l împărțiți în două părți egale.

Scrieți fracția corespunzătoare unei părți ().

Împărțiți același cerc în patru părți egale și scrieți din ce este compusă (; ).

Se observă că = .

Se procedează la fel cu pătrimile și cu optimile ajungându-se la fracții egale:

= = =

Compararea fracțiilor cu întregul

Luăm un măr pe care-l împărțim în două părți egale. Stabilim din ce este format acest măr (două doimi). Ce formează cele două doimi (un întreg)? Cum putem scrie?

= 1

Deci, alipind două jumătăți ale unui măr obținem mărul întreg.

Dacă alipim patru sferturi ale unui măr sau ale unei pâini, vom obține mărul sau pâinea întreagă.

Acest lucru se poate scrie = 1, unde numărul 1 înseamnă un întreg. Prin analogie putem scrie:

= = = 1 și citim cinci cincimi sau șase șesimi sau șapte șeptimi formează un întreg.

Se trage concluzia: pentru ca o fracție să fie egală cu întregul, numitorul trebuie să fie egal cu numărătorul (numărul părților în care a fost împărțit întregul să fie egal cu numărul părților luate din întreg). Acest lucru poate fi reprezentat și cu ajutorul segmentelor:

Fracțiile care au numărătorul egal cu numitorul sunt fracții echiunitare.

Fracțiile , , , sunt fracții echiunitare.

1= 1 =

1 =

1 =

Pentru fixarea noțiunii de fracție echiunitară se pot face diverse exerciții:

● Scrie toate fracțiile echiunitare cu numerele de la 5 la 10.

● Scrie fracțiile corespunzătoare părții colorate de mai jos, apoi încercuiește fracțiile echiunitare.

Completează, astfel încât fracțiile obținute să fie echiunitare:

,, , , .

Identificați valoarea lui x astfel încât fracțiile date să fie echiunitare:

, , , .

Se ia din nou un măr și se împarte în două părți egale. Se insistă pe faptul că un întreg sau două doimi e același lucru.

Se ia jumătate din măr și se compară cu mărul întreg (). Se scrie: < . Se procedează la fel și cu alte fracții (treimi, pătrimi, cincimi, șeptimi etc.).

Se consideră următoarea situație practică: Mama cumpără de la magazin o jumătatea de pachet de drojdie. O jumătate de pachet înseamnă mai puțin decât pachetul întreg, care reprezintă întregul. Scriem < 1.

Dacă întregul a fost împărțit în 6 părți egale și se consideră 2, părți înseamnă că < 1.

Se desenează apoi un cerc și se împarte în opt părți egale. Se compară cu întregul () atât părțile colorate, cât și celelalte părți necolorate în cercul respectiv.

< ; < ; < ; < ;

< ; < ;

< ; < .

Fracțiile comparate cu întregul (,,,,,,,) au numărătorul mai mic decât numitorul. Toate fracțiile care au numărătorul mai mic decât numitorul se numesc fracții subunitare.

O fracție reprezintă mai puțin de un întreg dacă numărătorul este mai mic decât numitorul. Deci < 1, atunci când a < b.

Scriind fracțiile corespunzătoare segmentelor de dreaptă de mai jos și comparându-le se ajunge la:

(segmentele sunt părți din același

întreg împărțit în patru părți la fel

de mari)

> sau < .

Pentru o mai bună înțelegere a noțiunii de fracție subunitară, se pot folosi exerciții de tipul:

Completează, astfel încât fracțiile obținute să fie subunitare:

, , , , , .

Scrie toate fracțiile subunitare cu numitorul 7.

Înlocuiește-l pe a cu numere naturale astfel încât să respecți relațiile:

< 1; < 1; < 1; < 1.

Alege dintre fracțiile de mai jos fracțiile subunitare:

, , , , , , .

Scrieți fracțiile corespunzătoare părților colorate din desenele de mai jos. Încercuiți apoi fracțiile subunitare.

Scrieți, apoi reprezentați prin desene

trei fracții subunitare cu numitorul 5;

patru fracții subunitare cu numărătorul 2.

Dacă elevul se duce la magazin și cumpără o pâine și jumătate, înseamnă că a cumpărat mai mult de o pâine. Într-o pâine și jumătate avem trei jumătăți și scriem . Deoarece trei jumătăți de pâine, , reprezintă mai mult decât o pâine, 1, scriem > 1. Dacă împărțim două mere în sferturi și consumăm 7 sferturi, înseamnă că am consumat mai mult de un măr și putem scrie > 1.

Pornind de la desenele de mai jos, și comparând fracțiile corespunzătoare părților colorate, cu întregul, se observă că numărătorul acestora este mai mare decât numitorul. Pentru a lua numărul părților indicate de numărător, avem nevoie de mai mult de un întreg.

În primul caz (), 4 arată că întregul a fost împărțit în patru părți la fel de mari, fiecare numindu-se pătrime. Dintr-un întreg putem lua doar patru pătrimi. Cealaltă pătrime o luăm din alt întreg. Deci: >; >1.

Fracțiile care au numărătorul mai mare decât numitorul se numesc fracții supraunitare.

O fracție reprezintă mai mult de un întreg dacă numărătorul este mai mare ca numitorul. Deci, > 1 atunci când a > b.

Pentru înțelegerea noțiunii de fracție supraunitară, eficiente sunt exercițiile de tipul:

Scrie toate fracțiile supraunitare cu numărătorul 7.

Folosind numerele 4, 7, 12, 1, scrie toate fracțiile supraunitare.

Completează, astfel încât fracțiile obținute să fie supraunitare:

;; ;;; ;; .

Scrie fracțiile supraunitare cu numărătorul mai mic sau egal cu 18 și numitorul 12.

Scrie fracțiile cu numitorii mai mari ca 5 și mai mici decât 8 și care sunt supraunitare.

Cunoștințele despre compararea fracției cu întregul pot fi sintetizate în tabelul:

Se poate da ca sarcină să completeze cu semnele de relație potrivite: <; =; >:

1; 1; 1; 1;

1; 1; 1; 1.

Treceți în tabelul de mai jos fracțiile: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Situând pe segmentul gradat fracțiile , , , , , se poate vedea clar care sunt fracțiile subunitare, echiunitare sau supraunitare:

0 1 2

Stabilind de câți întregi este nevoie pentru reprezentarea fracțiilor de mai jos, de asemenea, se fixează noțiunile de fracții supraunitare, subunitare și echiunitare:

; ; ; ; ; .

13.4. Compararea fracțiilor

Aceasta se realizează în doua sensuri:

I) compararea unei fracții cu întregul;

II) compararea a doua sau mai multe fracții (daca au același numitor sau același numărător) între ele.

Compararea fracțiilor care au același numitor:

Luăm un măr pe care-l împărțim în patru părți la fel de mari. Luăm o parte din măr în mâna stângă și două părți din măr în mâna dreaptă. Se compară. Se trage concluzia (o pătrime este mai mică decât două pătrimi).

Scriem: < sau > .

Luăm un cerc (din trusa de figuri geometrice) și-l împărțim (prin pliere) în optimi. Decupăm din cerc două optimi () și cinci optimi (). Suprapunem părțile decupate. Tragem concluzia: Două optimi sunt mai mici decât cinci optimi. Scriem:

< sau > .

Desenăm un cerc pe care-l împărțim în opt părți la fel de mari. Colorăm trei părți din ele și scriem fracția corespunzătoare (). Scriem și fracția corespunzătoare părților necolorate (). Fiecare din cele opt părți în care a fost împărțit întregul, având aceeași mărime și fiind mai multe părți necolorate vom exprima aceasta spunând că fracția este mai mare decât fracția .

Scriem: < dar și > .

Acest lucru poate fi reprezentat și cu ajutorul segmentelor:

Segmentul care reprezintă este mai mare decât cel care reprezintă .

Dintre două fracții care au același numitor, mai mare este cea cu numărătorul mai mare.

În vederea comparării fracțiilor care au același numitor se pot da sarcini ca:

Comparați fracțiile reprezentate în desenele următoare:

Ordonează crescător fracțiile:

; ; ; ; ; ; .

; ; ; ; ; ; .

Completează fracțiile pentru a respecta relațiile date:

> ; < ; = .

Stabiliți dacă relațiile de mai jos sunt adevărate:

> ; < ; > ; > ; = .

Compararea fracțiilor care au același numărător

Luăm două mere. Primul îl împărțim în două părți egale, pe al doilea în patru părți. Luăm din primul o parte () și din al doilea tot o parte (). Comparăm bucățile. Se trage concluzia: o doime este mai mare decât o pătrime. Se scrie > sau < .

Luăm apoi două coli de hârtie de formă dreptunghiulară, la fel de mari. Împărțim prima coală, prin pliere, în treimi (obținem trei treimi). Împărțim a două coală, tot prin pliere, în șesimi (obținem șase șesimi).

Decupăm din fiecare dreptunghi câte două părți (din primul două treimi, din al doilea două șesimi). Comparăm părțile decupate și tragem concluzia: două treimi sunt mai mari decât două șesimi. Scriem acest lucru:

> sau < .

Desenăm apoi două cercuri la fel de mari. Primul îl împărțim în patru părți la fel de mari. Pe al doilea îl împărțim în opt părți la fel de mari. Colorăm în fiecare cerc trei părți. Scriem fracțiile corespunzătoare părților colorate. Comparăm părțile colorate, apoi scriem:

> sau < .

Se trage concluzia: Dintre două fracții cu numărătorii egali, este mai mare fracția cu numitorul mai mic.

Exercițiile privind compararea funcțiilor care au același numărător sunt diverse:

Pune semnul corespunzător:

; ; ; ; .

Ordonează descrescător fracțiile:

; ; ; ; ; ; .

Stabiliți dacă relațiile de mai jos sunt adevărate:

< ; < ; > ; > ; < .

Reprezentați pe un segment, apoi spuneți cât a mai rămas dintr-o ciocolată dacă Ana ia din ea, Mihai și Sorin din ciocolată. Cine a luat mai mult?

Total

Ana

Mihai

Sorin

Rest

> > .

Compararea fracțiilor oarecare

Un caz aparte îl reprezintă compararea fracțiilor oarecare. Pentru a putea compara două fracții oarecare, recurgem la procedeul aducerii fracțiilor la același numitor sau facem ca fracțiile ce urmează a fi comparate să aibă același numărător.

Exemplu: Pentru a putea compara fracțiile și procedăm astfel:

Amplificăm fracția cu 2 și obținem fracția , fracție care are același numărător cu .

Se știe că dintre două fracții care au același numărător, mai mare este cea cu numitorul mai mic. Putem scrie: < , deci < .

Prin amplificarea fracției cu 3 și a fracției cu 2, se obțin fracțiile și , fracții care au același numitor.

Dintre aceste două fracții care au același numitor, mai mare este cea cu numărătorul mai mare.

< , deci <

Pentru a rezolva problema de mai jos, elevii trebuie să compare două fracții oarecare.

Doi bicicliști au plecat, în același timp, pe același drum, și după un timp de la plecarea lor, unul parcursese , iar altul din distanță. Care a parcurs mai mult?

Urmând exemplul de mai sus, se poate proceda astfel:

Se transformă fracțiile în așa fel încât să aibă același numitor. Se amplifică fracția cu 8 și cu 3 și se obțin fracțiile și ; > , deci mai mult a parcurs cel care a străbătut din drum.

Se transformă fracțiile, astfel încât să aibă același numărător. Pentru aceasta, amplificăm prima fracție cu 7 și pe a doua cu 2, obținându-se fracțiile și , fracții cu același numărător.

> , deci > .

13.5. Operații cu fracții

Adunarea fracțiilor care au același numitor

Pentru clasa a IV-a, sunt prevăzute numai operații simple cu fracții, și anume, adunarea și scăderea fracțiilor care au același numitor, adică adunarea și scăderea părților de același fel.

Întrucât în această fază se lucrează numai cu fracții care au același numitor, deci cu părți de același fel, trebuie să se insiste cu deosebire asupra numărului părților și mai puțin asupra felului lor, făcându-i pe elevi să înțeleagă că în operațiile de adunare și scădere a fracțiilor, numitorii nu intervin în calcul, rămânând neschimbați, adunându-se sau scăzându-se numai numărătorii, fiindcă ei arată numărul părților respective.

Luăm un măr și-l împărțim în patru părți. Numărăm părțile. Câte am obținut?

Din numărul părților obținute prin împărțirea mărului la patru, luăm în mâna stângă o bucată și în mâna dreaptă două bucăți.

Ce fracție din măr reprezintă numărul bucăților luate?

Din cele patru pătrimi în care a fost împărțit mărul, partea luată reprezintă trei pătrimi, deoarece o pătrime + două pătrimi = trei pătrimi, adică:

+ = =

Luăm o foaie dreptunghiulară. O împărțim, prin pliere, în șase părți. Colorăm două părți cu o culoare și alte trei părți cu o altă culoare.

Ce fracție din suprafața foii reprezintă partea colorată?

Din cele șase părți în care a fost împărțită foaia dreptunghiulară, partea colorată reprezintă cinci șesimi, deoarece 2 șesimi + 3 șesimi = 5 șesimi, adică:

+ = = .

Se ia un cerc și se împarte în 8 părți egale.

Hașurăm întâi trei părți, apoi încă patru părți. În total, am hașurat 3 părți + 4 părți = 7 părți. Scriind fracția avem:

+ = = .

Concluzionăm: Pentru a aduna două fracții care au același numitor este suficient să adunăm numărătorii și să transcriem numitorul.

Deci + = .

Trebuie să se facă analogie între adunarea numerelor naturale și adunarea fracțiilor care au același numitor.

Astfel, prin suma + + înțelegem ( + ) + sau + ( + ).

Într-o adunare de fracții, la fel ca la adunarea numerelor naturale, putem schimba termenii între ei, adică:

+ = + .

Se pot propune exerciții de tipul:

Completează pentru a obține 1:

+ = 1 + = 1

1 = + 1= + +

1 = + 1 = + +

Efectuați:

+ ; + ; + ; + + ;

+ ; + ; + ; + + ;

Aflați fracții mai mari:

cu decât: , , , .

cu decât: , , , .

cu decât: , , , .

Scrie următoarele fracții ca sume de fracții care au același numitor:

, , , .

Scăderea fracțiilor care au același numitor

Luăm un măr și-l împărțim în patru părți egale. Dăm din cele patru părți obținute o parte unui copil. Câte părți rămân? Prin numărare, se constată că au rămas trei părți. Putem scrie 4 părți – 1 parte = 3 părți, adică:

– = sau – = =

Se împarte apoi un dreptunghi în 6 părți egale. O parte se hașurează, iar patru părți se colorează.

Cu câte părți sunt mai mult colorate decât hașurate?

Prin numărare, se constată că sunt mai multe cu trei părți. Dacă înlăturăm o parte din cele 4 părți mai rămân 3 părți colorate.

Putem scrie: – = sau – = = .

Concluzionăm: Pentru a scădea două fracții care au același numitor, se scade din numărătorul descăzutului cel al scăzătorului, obținându-se numărătorul rest, iar ca numitor se păstrează numitorul comun al celor două fracții.

Pentru a putea efectua scăderea a două fracții care au același numitor, numărătorul primei fracții (a descăzutului), fracția din care scădem, trebuie să fie mai mare sau egal cu numărătorul fracției pe care o scădem (scăzătorul).

Deci: – = , unde a ≥ c.

După însușirea operației de scădere a fracțiilor cu același numitor, putem da elevilor sarcini ca:

Efectuați:

– ; – ; – ;

– ; – ; – .

Scrie fracțiile , , , , ca o diferență de fracții care au același numitor.

Aflați fracțiile mai mici:

cu decât: ; ; .

cu decât: ; ; .

cu decât: ; ; .

În locul pătratelor libere, completează cu numere pentru a obține egalități adevărate :

= – ; = – ;

= – ; = – .

Aflați numărul necunoscut din:

+ a = ; + x = ;

a + = ; 1 + x =

După ce elevii și-au însușit modelul de efectuare a operațiilor de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor, se propun exerciții în care să apară ambele operații.

De exemplu:

Efectuați:

+ – ; – + ;

– + ; + – .

Pentru reprezentările de mai jos, scrie adunările și scăderile corespunzătoare:

Completează pătratele libere:

= + – ; = – – ;

= – + ; = + – .

Află n din egalitatea:

n – ( + – ) + = ;

– + – n = .

Determinați numărul x din:

+ x = ; x – = ;

x + = ; – x = .

Cu din suma de bani pe care o are, Elena cumpără un costumaș, pe care a dat cu mai puțin, iar cu din suma inițială a cumpărat un fular.

Ce parte din suma inițială a cheltuit Elena?

Un traseu turistic montan este compus dintr-o parte care urcă, o parte de drum pe creastă și o parte care coboară. Partea care urcă reprezintă din traseu, iar cea care coboară reprezintă din acesta.

Ce fracție din traseu reprezintă drumul pe creastă?

Temă

1. Precizați etapele învățării noțiunii de unitate fracționara.

2. Enumerați modalități de obținere a unei fractii.

3. Scrieți un demers didactic vizând compararea unei fracții cu întregul.

4. Scrieți un demers didactic vizând compararea a doua sau mai multe fracții cu același

numărător.

5. Prezentați metodologia aflării unei fracții dintr-un întreg.

6. Argumentați prin intermediul compunerii și rezolvarii de probleme, necesitatea introducerii fracțiilor.

CAPITOLUL 14: Noțiunea de problemă. Rezolvarea problemelor

14.1. Clasificarea problemelor

De obicei, spunem că avem o problemă când se cunoaște un număr de informații și când se propune să se afle alte informații care sunt cerute clar în enunțul problemei.

Se poate spune că orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare se numește problemă. Așadar problema reprezintă un proces de gândire declanșat de un sistem de întrebări asupra unei (unor) necunoscute, o aplicare creatoare a cunoștințelor dobândite anterior.

Pentru noi, o problemă poate reprezenta:

• o situație a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și calcul;

• ”transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute; se cere determinarea acestor valori necunoscute”.

Rezolvarea problemelor necesită descoperirea necunoscutei, aflarea relațiilor necunoscute în raport cu datele cunoscute, apelarea la raționament. Rezolvarea de probleme presupune formularea de ipoteze, care se verifică pe rând, reorganizarea datelor, reformularea problemei, care să ducă spre soluționare. Așadar problemele de matematică sunt răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări și acțiuni bazate pe date numerice.

Problemele de matematică din ciclul primar se pot grupa astfel:

După finalitate și după sfera de aplicabilitate, le structurăm în probleme teoretice și aplicații practice ale noțiunilor învățate;

După conținutul lor, problemele de matematică pot fi geometrice, de mișcare, de aflare a densității unui amestec sau aliaj etc.;

După numărul operațiilor, vom identifica probleme simple și probleme compuse. Problemele simple sunt cele care, de regulă, se rezolvă printr-o singură operație aritmetică și pe care le întâlnim cu precădere în clasa întâi și a doua. Problemele compuse sunt acelea care, în șirul de raționamente și operații de rezolvare includ, într-o dependență logică, mai multe probleme simple;

După gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare, avem probleme generale (în rezolvarea cărora vom folosi fie metoda analitică, fie metoda sintetică) și probleme tipice (particulare) rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparației, a mersului invers;

O categorie de probleme cu multiple valențe formative este cea a problemelor recreative, rebusistice, de perspicacitate și ingeniozitate (numite și nonstandard). Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional-afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

14.2. Metode de rezolvare a problemelor

Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală. In același timp, activitățile matematice de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală a elevilor prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.

Problemele de matematică, fiind strâns legate, cel mai adesea prin însuși conținutul lor, de viață, de practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul soluției problemei. Ion Neacșu propune o anumită succesiune de etape.

Aceste etape sunt:

cunoașterea enunțului problemei;

înțelegerea conținutului problemei;

analiza problemei și întocmirea planului logic;

alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

anunțarea rezultatului.

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea problemei sub formă de exercițiu;

găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

generalizare;

compunere de probleme după o schemă asemănătoare.

Considerăm că verificarea rezultatului nu este o activitate suplimentară, ci una care întregește rezolvarea problemei. Nu putem să spunem că am rezolvat o problemă până ce nu am verificat rezultatul!

Cunoașterea enunțului problemei se realizează prin citire de către profesor, sau de către elevi, sau prin enunțare orală. Se repetă problema de mai multe ori până la însușirea ei de către toți elevii. Faptul că elevii au înțeles enunțul este pus în evidență de formularea enunțului cu cuvinte proprii, într-o ordine reașezată, eventual, a prezentării informațiilor. Se scot în evidență anumite date și legături dintre ele, precum și întrebarea problemei. Scriem pe tablă și pe caiete datele problemei (folosind scrierea pe orizontală sau pe verticală).

Enunțul problemei conține un număr necesar de informații. Acest minim de informație este recepționat de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini, scheme, sau chiar cu acțiuni.

De exemplu:

In clasa a III-a B sunt 32 de elevi, în clasa a III-a C sunt cu doi elevi mai mult decât în clasa a III-a B.

Câți elevi sunt în ambele clase ?

Prin discuții cu elevii aceștia trebuie să rețină elementele matematice importante : datele problemei, relațiile dintre date, întrebarea problemei. Unii elevi schimbă sensul unor date (în loc de mai mult cu doi elevi în clasa a III-a C, rețin că au fost doi elevi ), și aceasta datorită nerecepționării corecte a enunțului problemei.

Faza în care se construiește raționamentul prin care se rezolvă problema este etapa analizei problemei și întocmirii planului logic. Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge să ne raportăm la situațiile concrete pe care le prezintă problema (a parcurs… kilometri ; a cumpărat… kilograme; a… lei kilogramul, ș.a.) la nivelul abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg, viteză, distanță și timp etc. Transformând problema într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă, scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloană ș.a., evidențiem esența matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei.

Etapa alegerii și efectuării operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic, este etapa care constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și a rezultatului final. Urmează verificarea rezultatului și enunțarea răspunsului.

Activitățile suplimentare după rezolvarea problemei constau în găsirea și a altor metode de rezolvare și alegere a celei mai bune. În esență etapa se realizează prin autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, a raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

După rezolvarea unei probleme se scoate în evidență categoria din care face parte problema, se fixează algoritmul ei de rezolvare, se trece la scrierea datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme cu aceleași date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după același exercițiu, se descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Toate acestea duc la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.

Pentru formarea deprinderii de a rezolva probleme, pornind de la cele simple, la cele compuse, este necesară înțelegerea noțiunilor matematice începând cu cele mai simple: luăm, adăugăm, mărim, micșorăm, reunim, separăm, mai mult cu, mai puțin cu, mai mare/mic de ,,n” ori. Înțelegerea corectă a acestor noțiuni îi ajută pe elevi să stabilească raționamente logice pe baza cărora să poată rezolva problema. Baza dezvoltării matematice cu ajutorul rezolvării și compunerii de probleme de către elevi o formăm începând din clasa I, odată cu predarea operațiilor aritmetice în cadrul numerației până la 10. În această perioadă deprindem elevii cu rezolvarea și compunerea de probleme pe bază intuitivă cu ajutorul figurilor sau planșelor, îi deprindem să înțeleagă îmbinările de cuvinte și legătura cu mulțimile de obiecte.

Probleme formulate cu ajutorul materialului didactic propriu fiecărui elev ca: riglete, jetoane, figuri geometrice, mere, pere, steluțe, ciupercuțe etc., contribuie la înțelegerea conținutului problemei și la dirijarea atenției spre ceea ce este cunoscut și necunoscut.

În ceea ce privește problemele cu text, acestea pun în fața elevilor dificultăți sporite determinate de lipsa obiectelor concrete sau semiconcrete cu care se operează în situațiile precedente. Singurul suport în înțelegerea conținutului și a întrebării a rămas textul problemei.

În scopul familiarizării elevilor cu cele două părți ale problemei (enunțul și întrebarea), se așază datele problemei în coloană, deoarece acest mod de scriere permite ca în dreptul datelor numerice să se noteze prin cuvinte semnificația lor. Întrebarea problemei se separă printr-o linie. Mai jos se scrie rezolvarea și răspunsul.

De exemplu:

Pe un raft sunt 32 de cărți. Pe alt raft sunt cu 6 mai mult. Câte cărți sunt pe al doilea raft?

32 de cărți pe primul raft;

cu 6 mai mult pe al doilea raft

–––––––––––––

Câte cărți sunt pe al doilea raft?

Rezolvare: 32 + 6 = 38 cărți pe al doilea raft.

Răspuns : 38 cărți.

Trecerea de la probleme simple la probleme compuse se va face în momentul în care programa specifică faptul că se pot rezolva probleme cu două operații.

Un element nou în rezolvarea problemelor compuse este planul rezolvării, necesitatea de a fixa ordinea și succesiunea operațiilor înainte de a începe rezolvarea propriu-zisă.

Pentru a-i face pe elevi să înțeleagă necesitatea planului, faptul că unele probleme nu se pot rezolva printr-o singură operație, se pot rezolva la început probleme compuse formulate în așa fel încât cele două etape de rezolvare să fie subliniate în conținutul problemei. Pentru o rezolvare conștientă se pornește de la rezolvarea problemelor-acțiuni.

Exemplu :

Ionel are 12 timbre. Primește de la tatăl său încă 6 timbre. Din ele dăruiește 7 fratelui său. Câte timbre i-au rămas lui Ionel?

Se cheamă în fața clasei un elev (Ionel) care ține în mână 12 timbre; apoi se cheamă alt băiat (tatăl) care are 6 timbre și i le dă lui Ionel. Ionel numără câte timbre are în total, apoi din totalul de timbre dă unui alt copil (fratele lui) 7 timbre. Numără câte timbre i-au rămas.

Se adresează clasei următoarele întrebări :

Cum a fost rezolvată problema? Ce a aflat Ionel la început? (câte timbre are în total). Ce a aflat apoi Ionel? (câte timbre i-au rămas). Problema a fost rezolvată printr-o singură operație? Nu, prin două operații: adunare și scădere.

Se scriu datele și rezolvarea ei :

are 12 timbre …… primește 6 timbre ….. dă 7 timbre ……. ? timbre

Câte timbre are Ionel în total ?

12 timbre + 6 timbre = 18 timbre

Câte timbre i-au rămas lui Ionel?

18 timbre – 7 timbre = 11 timbre

Răspuns : 11 timbre.

Rezolvarea problemelor compuse necesită descompunerea în probleme simple. Pentru a veni în sprijinul elevului sunt necesare următoarele etape:

– Citirea conștientă și însușirea enunțului;

– Analiza (judecata) problemei și întocmirea schemei de rezolvare;

– Realizarea planului de rezolvare după schemă ;

– Rezolvarea propriu-zisă ( descoperirea soluției ).

Aceste etape alcătuiesc un tot fiind într-o strânsă legătură și alcătuiesc raționamentul problemei. Cercetarea problemei se face pe cale analitică sau sintetică. Odată cu analiza problemei se alcătuiește și schema de rezolvare. Raționamentul se concretizează prin scrierea planului de rezolvare (poate fi și oral). În clasa I planul de rezolvare îl alcătuim oral iar rezolvarea se efectuează în scris. Începând cu clasa a-II-a alcătuirea planului de rezolvare se face scriind întrebările și imediat răspunsul lor.

Exemplu:

Bunicul avea în curte 100 de găini. A dus la piață în prima zi 36, iar a doua zi cu 9 mai mult. Cu câte găini a rămas bunicul în curte?

Notarea conținutului logic al problemei:

A avut găini A vândut în prima zi A vândut în a doua zi

100 36 36 + 9

Raționamentul problemei se prezintă în formula:

100-(36+36+9) =19 găini

Treptat, după ce am rezolvat mai multe probleme care se încadrează în acest algoritm, îl vom exprima într-o formulă generală : a-(b+b+c)=?

Este vorba despre drumul pe care-l face elevul ridicându-se de la înțelegerea conținutului concret al problemei, prin reformularea treptată a ei, în scopul desprinderii relațiilor logice și a ajungerii la o soluție.

O atenție deosebită se va acorda problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Și aceasta pentru că rezolvarea lor cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, formează simțul estetic al școlarilor (prin eleganța, simplitatea, economicitatea și organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor.

Exemplu :

Într-o livadă sunt 634 pomi. Din aceștia163 sunt meri, 87 sunt peri, 110 cireși și 18 nuci. Restul sunt gutui. Câți gutui sunt în livadă?

Unii elevi vor rezolva problema efectuând operațiile necesare în ordinea acțiunilor cuprinse în enunț (din variate motive: neputința de a cuprinde și de a prelucra întregul enunț, insuficiența deprinderilor de rezolvare formate până la acest moment, dorința de a merge progresiv și de a vedea câți gutui sunt).

Alți elevi, analizând mai bine problema, renunță la ordinea acțiunilor cuprinse în enunț și caută valorile între care pot stabili o relație utilă, mai economicoasă și mai simplă pentru rezolvarea problemei:

634 pomi …163 meri …. 87peri … 110 cireși … 18 nuci … ? gutui

Iată și modul de rezolvare cu schemele respective :

634 – 163 = 471 163 + 87 + 110 + 18 = 378

471 – 87 = 384 sau

384 – 110 = 274 634 – 378 = 256

274 – 18 = 256

Se mai pot găsi și alte variante de rezolvare de genul :

a – (b+c) – (d+e), sau a – (b+c+d) – e, sau a – b – (c + d + e), față de a – b – c – d – e și

a – ( b+c+d+e).

Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o dată și folosirea schemelor, desenelor, graficelor etc., iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formule numerice sau literale. Transcrierea rezolvării problemei într-un singur exercițiu cu valori numerice sau literale contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor prin găsirea unor soluții noi, uneori personale de așezare în exercițiu.

Crearea de situații noi în care să fie formulate relațiile din problemă angajează gândirea creatoare a elevilor.

Exemplu :

Într-o livadă s-au sădit 845 meri și cu 316 mai mulți peri.

1.Să se formuleze întrebarea astfel ca problema să se rezolve printr-o singură operație.

2.Să se formuleze întrebarea astfel ca problema să se rezolve prin două operații.

3.Să se modifice relațiile dintre datele problemei astfel încât să se rezolve printr-un singur fel de operații.

4.Să se alcătuiască schema problemei.

5.Să se transpună rezolvarea într-un singur exercițiu cu valori numerice.

6.Să se transforme rezolvarea într-un singur exercițiu cu valori literale.

7.Să se alcătuiască o altă problemă după formula literală obținută.

Modificarea datelor problemei încât aceasta să se rezolve prin mai multe operații (recompunerea problemei) cere o mare capacitate de redefinire.

Exemplu :

S-au cumpărat 5 kg de struguri și 7 kg de mere. Câte kg de fructe s-au cumpărat în total?

Recompunerea problemei :

S-au cumpărat 5 kg de struguri și 7 kg de mere. Știind că un kg de struguri costă 8 lei și un kg de mere costă 4 lei, aflați câți lei s-au plătit în total.

S-au cumpărat 5 kg de struguri și 7 kg de mere. Știind că în total s-au plătit 68 lei, iar pe struguri s-au dat 40 lei, aflați câți lei costă un kg de mere.

S-au cumpărat 12 kg de fructe (struguri și mere). Știind că în total s-au plătit 68 lei, iar diferența de preț dintre un kg de mere și unul de struguri este de 4 lei, aflați câte kg s-au cumpărat de fiecare fel.

Aceasta este o formă mult mai elevată și cere o mai mare capacitate de redefinire care se exprimă în judecata problemei. Operarea cu reprezentări este primul pas către apariția flexibilității adaptative și a fluenței asociative, primul pas de desprindere de concret.

Rezolvarea problemelor tipice,

Un rol deosebit de important în dezvoltarea capacităților creatoare îl are rezolvarea problemelor tipice, care sunt de obicei problemele care se rezolvă prin algoritmi speciali. În rezolvarea problemelor tipice sunt introduse condiții noi, se fac presupuneri și se trag concluziile din aceste presupuneri.

În rezolvarea problemelor tipice se va ține cont de unele cerințe generale:

Primele probleme în rezolvarea unui anumit tip de probleme trebuie să cuprindă numai numere mici, să aibă un conținut simplu și să se poată rezolva oral.

Elevii trebuie antrenați direct în căutarea procedeului de rezolvare.

Unele probleme se rezolvă pe cale analitică (probleme de mișcare, probleme de împărțire în părți proporționale).

Analiza prezintă un anumit tip de raționament ce constituie mijlocul principal pentru căutarea procedeului rezolvării, elevul descoperind legătura și dependența dintre mărimile date în problemă.

În momentul rezolvării unui nou tip de problemă sunt necesare rezolvarea mai multor probleme de acest tip pentru a forma deprinderi de rezolvare. Este necesar să se modifice formularea problemei, să se introducă date suplimentare în problemele de tipul rezolvat.

În rezolvarea problemelor tipice se va reveni periodic la tipurile învățate, ca să se compare problemele de tip diferit ce conțin în enunț unele elemente asemănătoare.

După rezolvarea unui anumit număr de probleme de un anumit tip este necesar să se tragă concluziile, să se facă generalizări din care să rezulte care a fost elementul comun în rezolvare și care sunt deosebirile. Se vor compune cu elevii probleme asemănătoare pentru a aprofunda structura problemei, a conținutului și a dependenței dintre mărimile date în problemă.

Probleme care se rezolvă prin metoda grafică, sau figurativă

Aflarea a două numere cunoscând suma și diferența lor

Un grup special de probleme din ciclul primar îl formează problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, acestea rezolvându-se prin metoda figurativă. La acest tip de probleme elevii trebuie să învingă dificultățile legate de raționamentul problemei, dificultăți ce pot fi eliminate prin clarificarea noțiunii de parte (care constituie necunoscuta în problemele care se rezolvă în gimnaziu cu ajutorul ecuațiilor de gradul I).

Exemplu :

Să se împartă în mod egal 16 flori în 2 vaze.

Câte flori sunt într-o vază?

Rezolvare I : 16 flori : 2 = 8 flori.

Deci o vază are 8 flori și cealaltă are tot 8 flori.

După ce elevii au înțeles acest procedeu, prin rezolvarea mai multor probleme de acest gen, se complică problema:

Împărțiți 16 flori în două vaze în așa fel încât în prima vază să fie cu două flori mai mult decât în a doua vază.

Cum vom împărți florile?

După ce vom lăsa elevii să încerce de mai multe ori, se ajunge la următoarea expresie: (S – D) : 2 = n

La început dăm la o parte două flori (ce trebuie puse în prima vază în plus) :

16 – 2 = 14 (flori)

Apoi restul se împarte în două părți egale :

14 : 2 = 7 (flori)

La cea de-a doua parte (7 flori ) se adaugă cele două flori date la o parte:

7 + 2 = 9 (flori existente în prima vază)

Se trece la reprezentarea grafică.

Se desenează două segmente de dreaptă, primul mai mare (reprezentând florile din prima vază), al doilea mai mic (reprezentând florile din a doua vază). Împreună formează 16 flori.

Se observă că primul segment este mai mare și dacă înlăturăm o parte (care reprezintă cele două flori în plus) se obține un segment egal cu al doilea.

Facem ca cele două cantități să se poată repartiza în mod egal în cele două vase.

Se scrie pe tablă, planul de rezolvare.

Separăm cele două flori care sunt în plus

16 – 2 = 14 (flori)

Câte flori se așază în a doua vază?

14 : 2 = 7 (flori)

Câte flori sunt în prima vază?

7 + 2 = 9 (flori)

R: 7 flori ; 9 flori.

Pentru verificare se face proba:

7 + 9 = 16 flori.

Rezolvarea a II-a :

(S + D) : 2 = N

Putem afla întâi partea mai mare. Elevii își vor imagina că adăugăm la partea mai mică (a doua vază) încă două flori.

Obținem în ambele vaze un număr egal de flori.

2 16 + 2

Vazele conțin împreună 16 + 2 = 18 flori.

Deci putem afla o parte (partea cea mai mare):

18 : 2 = 9 (flori) deci :

În prima vază sunt 9 flori, iar în a doua vază sunt cu două mai puține, adică:

9 – 2 = 7 (flori)

R: 9 (flori) ; 7 (flori).

Aflarea a două numere când se cunoaște diferența și raportul lor

„Un metru de dantelă costă cu 48 de lei mai mult decât un metru de elastic și este de 7 ori mai scump. Cât costă un metru de dantelă și cât costă un metru de elastic?”

Această problemă se poate rezolva prin două metode : metoda grafică și metoda presupunerii.

Rezolvarea I :

Reprezentăm costul unui metru de elastic printr-un segment AB, costul unui metru de dantelă va fi reprezentat printr-un segment CD de 7 ori mai mare.

A B

48 lei

Segmentul ED, care arată cu cât CD este mai mare decât AB, este format din 7 – 1 = 6 părți egale și reprezintă 48 lei.

48 : 6 = 8 (lei) (o parte, costul unui metru de elastic)

8 x 7 = 56 (lei) (costul unui metru de dantelă).

Rezolvarea a II- a :

Presupunem că un metru de elastic costă 1leu, atunci un metru de dantelă va costa 1 x 7 = 7 lei, deci cu 7 – 1 = 6 lei mai mult. De fapt un metru de dantelă costă cu 48 lei mai mult.

48 : 6 = 8.

Deci un metru de elastic costă 1 x 8 = 8 lei, iar un metru de dantelă costă 7 x 8 = 56 lei.

În rezolvarea problemelor de aritmetică, reprezentarea grafică poate avea două funcții de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare. Această ultimă funcție îi ajută pe elevi să-și reprezinte intuitiv un număr, dar nu numai condițiile inițiale ci și soluția problemei, înlesnind de asemenea, și stabilirea legăturilor dintre noțiunile aritmetice și cele geometrice și contribuind la dezvoltarea gândirii funcționale a copiilor.

Exemplul 1 :

58

Ana

Ina 24

Elevii pot compune următorul enunț :

„Ana are 58 alune. Ina are cu 24 mai puține. Câte alune au cele două fetițe împreună?”

Exemplul 2 :

„Ana are 58 alune. Dacă Ina ar mai avea 24 alune, ar avea cât Ana. Câte alune au cele două fetițe împreună?”

La nivelul clasei a III – a se pot da spre alcătuire probleme după graficele următoare:

50

1.

15

2. 18

25

Iată câte o propunere de enunț:

1. Aurel avea 50 timbre. Bogdan avea de trei ori mai multe timbre decât Aurel. Constantin avea cât Bogdan și încă 15 timbre. Câte timbre aveau cei trei frațiîmpreună?”

2. Două bucăți de pânză aveau aceeași lungime. După ce s-au vândut 18 metri din prima bucată și 25 de metri din cealaltă bucată, în prima a rămas de două ori mai multă pânză decât în a doua. Câți metri de pânză au fost în fiecare bucată ?”

Elevii vor trebui să sesizeze că diferența dintre numărul metrilor vânduți din a doua bucată și numărul metrilor vânduți din prima bucată reprezintă tocmai ceea ce rămâne din a doua bucată după vânzare.

Ne vom imagina lungimile celor două bucăți de pânză ca fiind niște segmente.

Problema precizează că ele au aceeași lungime și le figurăm prin segmente de aceeași lungime așezate unul sub celălalt.

I.

II.

Ce înseamnă că vindem din prima bucată 18 metri? Înseamnă că tăiem și luăm din ea 18 metri. Analog pentru a doua bucată.

În prima bucată rămâne de două ori mai multă pânză decât în a doua. Deci segmentul care reprezintă pânza rămasă din prima bucată este de două ori mai mare decât segmentul care reprezintă pânza rămasă în a doua bucată.

Pentru a răspunde la întrebarea problemei urmărim graficul și observăm că el reprezintă diferențele dintre lungimile de pânză vândute din fiecare bucată. Lungimea pânzei rămase în a doua bucată este de 25 – 18 = 7 metri, iar câți metri de pânză au fost în fiecare bucată se obțin însumând cât a rămas (de exemplu, în a doua bucată) cu cât s-a vândut din ea, adică 7 + 25 = 32 metri.

Răspuns : în fiecare bucată de pânză au fost câte 32 metri.

Probleme de eliminare a uneia dintre mărimi. Metoda aducerii la același termen de comparație

Problemele rezolvate prin procedeul eliminării uneia dintre mărimi constituie o dezvoltare ulterioară a problemelor de aflare a unei mărimi necunoscute când cunoaștem diferența a două numere.

Și aici cheia pentru descoperirea procedeului de rezolvare este stabilirea legăturilor cauzale dintre mărimile variabile prin eliminarea provizorie a uneia dintre mărimi care nu influențează schimbarea celeilalte mărimi.

Exemplu: Într-un camion sunt 17 saci cu grâu și 26 saci cu porumb cântărind împreună 2 764 kg. În alt camion sunt 35 saci cu porumb și 17 saci cu grâu cântărind împreună 3 250 kg. Cât cântărește un sac cu grâu și cât cântărește un sac cu porumb?

Analiza problemei:

Din enunțul problemei aflăm că în al doilea camion sunt mai multe kg. De ce? Pentru că sunt mai mulți saci cu porumb. Sacii cu grâu nu-și schimbă greutatea pentru că în ambele camioane avem același număr de saci cu grâu. Dacă aflăm cu câte kg de porumb sunt mai mult în al doilea camion și cu câți saci de porumb sunt mai mult în al doilea camion, vom putea afla câte kg cântărește un sac de porumb.

Rezolvare:

17 saci grâu și 26 saci porumb ……………2 764 kg

17 saci grâu și 35 saci porumb ……………3 250 kg

Comparând mărimile scrise în cele două rânduri observăm că numărul sacilor de porumb a crescut cu 9 (35 – 26 ), iar numărul kilogramelor cu 486 (3 250 – 2 764 ). Deci 9 saci cu porumb cântăresc 486 kg.

1. Cu câte kg sunt mai mult în al doilea camion decât în primul?

3 250 kg – 2 764 kg = 486 kg

2. Cu câți saci de porumb sunt mai mult în al doilea camion decât în primul?

35 saci – 26 saci = 9 saci

3. Câte kg cântărește un sac de porumb?

486 : 9 = 54 (kg)

4.Câte kg cântăresc 26 saci cu porumb?

26 x 54 kg= 1 404 kg

5.Cât cântărește grâul?

2 764 kg – 1 404 kg = 1 360 kg

6.Câte kg cântărește un sac cu grâu?

1 360 kg : 17 = 80 kg

Răspuns: 54 kg ; 80 kg.

După rezolvarea mai multor probleme de acest tip elevii își dau seama că în problema analizată diferența dintre cantități este dată de diferența dintre numărul obiectelor (saci, rochii, cărți, etc.).

Probleme care se rezolvă prin metoda ipotezelor (metoda falsei ipoteze)

Metoda ipotezelor are la bază o presupunere, o ipoteză. Ea solicită introducerea unor date ipotetice și confruntarea situației obținute astfel cu situația reală. Întâmplător ele pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările.

Problemele care se rezolvă prin această metodă se pot clasifica astfel:

Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

Probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Exemplu: Un grup de elevi aflați în excursie, dorind să traverseze un râu cu barca, au constatat că, dacă rămâneau 4 elevi pe mal, se puteau îmbarca câte 6 în fiecare barcă, iar dacă se îmbarcau câte 8, rămânea o barcă liberă. Câte bărci și câți copii erau?

Rezolvare:

Ipoteza I

Presupunem că ar fi două bărci.

Atunci numărul de elevi în cele două situații ar fi:

când sunt câte 6, ar fi 16, adică 2 x 6 + 4 = 16;

când sunt câte 8, ar fi 8, adică 1 x 8 = 8, o barcă e liberă.

Ipoteza este falsă pentru că numărul de elevi este diferit în cele două situații, o dată 16, a doua oară 8, diferența fiind 8, adică 16 – 8 = 8.

Ipoteza a II-a

Presupunem că sunt 3 bărci. Atunci numărul de elevi în cele două situații, ar fi:

când sunt câte 6, ar fi 22 elevi, căci 3 x 6 + 4 =22;

când sunt câte 8, ar fi 16 elevi, căci 2 x 8 = 16, o barcă este liberă.

Și această ipoteză este falsă, numărul elevilor este diferit în cele două situații, diferența fiind 6,adică 22 – 16 = 6.

Constatăm însă următoarele: atunci când am mărit numărul bărcilor cu 1, (în prima ipoteză am presupus că sunt 2 bărci, în a doua 3), diferența dintre cele două numere, reprezentând diferența între numerele de elevi, a scăzut cu 2, (întâi diferența era 8, apoi 6); față de prima ipoteză, când diferența era 8, trebuie să mărim numărul bărcilor cu 4, adică cu numărul care arată de câte ori 2 se cuprinde în 8. Atunci, 8 : 2 = 4, iar 2 + 4 = 6. Deci, erau 6 bărci și 40 de elevi.

Probleme care se rezolvă prin metoda retrogradă (a mersului invers)

Metoda mersului invers se aplică în unele probleme în care relațiile dintre mărimi depind una de cealaltă într-o ordine succesivă. Urmărind enunțul de la sfârșit la început, trebuie să se determine penultimul rest pe baza relației sale cu ultimul rest, apoi antepenultimul rest, până când se ajunge la numărul inițial (întregul). Înțelegerea metodei se bazează pe exercițiile de aflare a unui număr considerat necunoscut, dar asupra căruia s-au efectuat anumite operații al căror rezultat este dat.

Exemplul I:

Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adăugat 42, suma obținută am împărțit-o la 7 și din cât am scăzut 11, obținând 200. Ce număr am ales?

(n x 5 + 42 ) : 7 – 11 = 200.

Care este ultima operație făcută? (din cât am scăzut 11, obținând 200). Aceasta constituie o problemă simplă (în care se dă scăzătorul 11 și restul 200). Numărul din care scădem este 200 + 11 = 211.

Problema dată devine mai scurtă, având însă același început:

Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adăugat 42, suma obținută am împărțit-o la 7 și am obținut 211.

Această nouă problemă o urmărim tot de la sfârșit: suma obținută am împărțit-o la 7 și am obținut 211.

Ce număr prin împărțirea la 7 dă 211? Acesta este 211 x 7 = 1477. Problema devine și mai scurtă: Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adăugat 42 și am obținut 1477.

Ce număr adunat cu 42 ne dă 1477? 1477 – 42 = 1435.

Problema devine: Numărul înmulțit cu 5 dă 1435.

Deci numărul căutat este 1435 : 5 = 287.

Proba se face făcând asupra numărului găsit operațiile indicate în problemă.

Analizând operațiile făcute în problemă și cele făcute de noi în rezolvarea problemei, constatăm că-n fiecare etapă facem operația inversă celei făcute în problemă.

Exemplul II:

La un chioșc alimentar s-au vândut succesiv următoarele lăzi cu portocale: în prima zi s-au vândut jumătate din numărul lăzilor și încă 4, a doua zi jumătate din numărul lăzilor rămase și încă 2, a treia zi jumătate din numărul lăzilor rămase și încă o ladă, iar în a patra zi restul de 7 lăzi. Câte lăzi de portocale au fost la început?

Rezolvare:

1. Cât reprezintă jumătate din a treia zi?

7 + 1 = 8

2. Cât s-a vândut a treia zi?

8 x 2 = 16 lăzi

3. Cât reprezintă jumătate din a doua zi?

16 + 8 = 24 lăzi

4. Cât s-a vândut a doua zi?

18 x 2 = 36 lăzi

5. Cât reprezintă jumătate din prima zi?

36 + 4 = 40 lăzi.

6. Câte lăzi au fost inițial?

40 x 2 = 80 lăzi.

Răspuns: 80 lăzi

Există mai multe metode de rezolvare a problemelor. Pe parcursul avansării în tainele disciplinei, se pot propune probleme a căror ordine de rezolvare nu coincide cu ordinea datelor din enunț. Gândirea creatoare poate fi stimulată prin provocări. Copiii trebuie provocați să compună și ei probleme după anumite formule numerice și literale, să găsească cât mai multe soluții, să rezolve problemele într-un timp cât mai scurt.

Se urmărește formarea deprinderii de a lucra cu simboluri, de a folosi raționamentul deductiv, de a găsi căi originale de rezolvare, de a alcătui alte probleme.

Probleme de mișcare

În această categorie intră acele probleme în care trebuie să se afle una din mărimile: spațiu (distanță), viteză sau timp, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații dintre acestea. În general, în problemele de mișcare se pune în discuție mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale, mobilul parcurge distanțe (spații) legate prin expresia:

s = v × t iar din aceasta deducem că: v = s/t și t = s/v

La rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale, cât și cele algebrice.

Din motive metodologice, la nivelul claselor I-IV. problemele de mișcare le clasificăm în două categorii și anume:

a) probleme de mișcare în același sens (de urmărire);

b) probleme de mișcare în sens opus (de întâlnire).

a) Probleme de mișcare în același sens

Pentru a exemplifica rezolvarea problemelor de acest fel, am pornit de la o problemă generală și anume:

Problemă:

Două mobile pleacă în același timp și în același sens din punctele A și B situate la distanța "d" unul de celălalt. Cel plecat din B se deplasează cu viteza V2, iar cel plecat din A se deplasează cu viteza V1.

După cât timp cel plecat din A ajunge pe cel plecat din B?

Rezolvare:

Se reprezintă grafic traiectoria rectilinie pe care se mișcă cele două mobile indicând printr-o săgeată și sensul.

De aici se observă că V1 > V2 ; pentru că numai așa mobilul plecat din A îl poate ajunge pe cel plecat din B.

A d B

V1 V2

Mobilul plecat din A îl urmărește pe cel plecat din B de care îl desparte distanța "d". Pentru a afla după cât timp îl ajunge, sau după cât timp recuperează decalajul de distanță "d", ar trebui să aflăm mai întâi cu cât se apropie într-o unitate de timp. Presupunând că vitezele sunt exprimate în km/oră (prin viteză înțelegem distanța parcursă de un mobil într-o unitate de timp) și distanța "d" în km, formulăm întrebarea: "Cu cât se apropie mobilul plecat din A de mobilul plecat din B într-o oră?

Cu V1 km –V2 km

Dacă într-o oră mobilul plecat din A recuperează din distanța "d" (V1 –V2) km, atunci întreaga distanță va fi recuperată într-un număr de ore egal cu de câte ori "V1-V2" se cuprinde în distanța "d".

Concentrând cele două secvențe într-o singură expresie, găsim că timpul necesar mobilului plecat din A pentru a-l ajunge pe cel plecat din B este

d

t =

V1 – V2

În continuare vom exemplifica rezolvarea problemelor de acest gen:

Problemă 1:

Un grup de excursioniști care se deplasează cu viteaza de 5 km/oră iese din oraș la ora 7 dimineața. La ora 14, în aceeași zi, se trimite după acest grup un biciclist care se deplasează cu 12 km/oră.

După cât timp și la ce distanță de oraș biciclistul va ajunge grupul de excursioniști?

Rezolvare:

Trebuie să stabilim în ce moment începe urmărirea și la ce distanță de oraș se află grupul de excursioniști în momentul plecării biciclistului.

Planul logic al problemei și operațiile corespunzătoare vor fi:

1) Cât timp merge grupul de excursioniști singur, până la plecarea biciclistului?

14 ore – 7 ore = 7 ore.

2) Ce distanță parcurge grupul în 7 ore?

d = v x t =5 km/oră x 7 ore = 35 km

Din acest moment, lucrurile se prezintă astfel:

A 12km/oră B 5km/oră

35km

Cu cât se apropie biciclistul de grup într-o oră ?

V1-V2 = 12 km – 5 km = 7 km

3) După câte ore biciclistul recuperează cei 35 km?

35 km : 7 km/ora = 5 ore

4) La ce distanță de oraș ajunge biciclistul grupul?

v x t = d = 12km/ora x 5ore = 60km

sau 5 ore x (7 km + 5 km) = 60 km

sau (5 ore + 7 ore) x 5 km/oră = 60 km

Problemă 2:

Un călăreț având viteza de 24 km/oră pleacă din satul A spre satul B. După 3 ore, pleacă tot din A în aceeași direcție un motociclist având o viteză de 42 km/oră.

În cât timp îl va ajunge motociclistul pe călăreț și la ce distanță de satul A?

Rezolvare:

Din enunț reiese că până la plecarea motociclistului, călărețul avea un avans de 3 ore, deci parcursese o distanță de 24 km/oră x 3 ore = 72 km. Motociclistul câștigă la fiecare oră 42 km – 24 km = 18 km. Pentru a recupera cei 72 km motociclistul merge un timp de 72 : 18 = 4 (ore), deci atunci când îl ajunge, ei parcurseseră o distanță de 42 km x 4 = 168 km sau (4 ore + 3 ore) x 24 km/oră = 168 km.

Planul logic al problemei și operațiile corespunzătoare sunt:

1) Ce distanța parcurge călărețul până la plecarea motociclistului?

24 km x 3 ore = 72 km.

2) Ce distanță recuperează motociclistul într-o oră?

42 km – 24 km = 18 km.

3) Cât timp îi trebuie motociclistului pentru a recupera cei 72 km?

72 km: 18 = 4 (ore)

4) La ce distanță de satul A îl ajunge?

42 km/oră x 4 ore = 168 km.

Răspuns: 4 ore (timp)

168 km (distanță)

b) Probleme de mișcare în sensuri opuse

Pentru a exemplifica rezolvarea problemelor de acest gen pornim de la o problemă generală și anume:

Problemă:

Două mobile pleacă unul din A și unul din B, unul spre celălalt. Distanța dintre A și B este de d km. Cel care pleacă din A se deplasează cu V1 km/oră, iar celălalt cu V2 km/oră.

După cât timp se întâlnesc?

Rezolvare:

Conținutul problemei va fi ilustrat cu un segment de dreaptă (distanța dintre A și B).

d

V1 V2

Nu este important, pentru acest caz general, să specificăm care dintre viteze este mai mare.

Pentru a răspunde la întrebarea problemei, este important să aflăm cu cât se apropie cele două mobile într-o unitate de timp (l oră). Ele se vor apropia cu suma vitezelor. Deci, ele recuperează din distanța d, care le separă (V1 + V2) km într-o oră. De aici rezultă că distanța d va fi recuperată după atâtea ore, de câte ori (V1 + V2) se cuprinde în distanța d.

Planul logic al problemei și operațiile exprimate simbolic vor fi:

1) Cu cât se apropie cele două mobile într-o oră?

V1 + V2

2)După cât timp se întâlnesc cele două mobile?

d

V1 + V2

Astfel, se prezintă elevilor formula după care se calculează timpul de întâlnire într-o problemă de mișcare în sensuri opuse.

Problemă:

Un pieton care parcurge 5 km/oră, pleacă din orașul A spre orașul B. În același timp, un biciclist pleacă din orașul B spre orașul A, cu 22 km/oră. Între orașe este o distanță de 81 km.

a) după cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul?

b) la ce distanță de orașul B se întâlnesc?

Rezolvare:

Ilustrăm cu ajutorul unui segment de dreaptă, a cărui lungime reprezintă distanța dintre cele două orașe, conținutul problemei.

A B

5km/h 22km/h

Din această reprezentare rezultă că la fiecare oră distanța dintre pieton și biciclist se micșorează cu 5 km + 22 km = 27 km. Distanța totală de 81 km va fi străbătută în atâtea ore de câte ori 27 se cuprinde în 81. Deci, 81 km : 27 = 3 (ore ), acestea reprezentând timpul după care se întâlnesc.

Deci, se întâlnesc la distanța de 22 km x 3 = 66 km de orașul B.

Planul de rezolvare este următorul:

l) Cu cât se micșorează distanța dintre pieton și biciclist într-o oră?

5km + 22 km = 27 km

2) În cât timp va fi parcursă distanța totală?

d 81

V1 + V2 27

81 km : 27 km = 3 (ore)

3) La ce distanță de orașul B se întâlnesc?

22 km x 3 = 66 km

Verificare: 5 km x 3 + 22 km x 3 = 81 km

Problemă:

Două vase fluviale au plecat în același timp din două porturi, unul spre celălalt Știind că distanța dintre porturi este de 375 km și că primul vas face pe oră 29 km, iar celălalt 18 km, să se afle distanța dintre cele două vase după 6 ore de mers.

Rezolvare:

Pentru ca rezolvarea să fie cât mai sugestivă se pot desena cele două vase iar porturile se pot reprezenta prin dreptunghiuri.

29km/h 18km/h

Procedând sintetic, adică pornind de la întrebarea problemei, se pot stabili următoarele:

a) pentru a afla distanța dintre cele două vase după 6 ore de mers, cunoscând
distanța totală, trebuie să se cunoască distanța parcursă de cele două vase împreună,

b) pentru a afla distanța, parcursă de cele două vase împreună, după 6 ore de
mers, trebuie să se cunoască distanța parcursă de fiecare vas sau distanța parcursă de ambele vase într-o oră apoi în 6 ore.

c) pentru a afla distanța parcursă de cele două vase separat timp de 6 ore aplicăm formula:

s = V1 x t; s =V2 x t sau s = (V1 + V2) x t

Planul de rezolvare este următorul:

1) Ce distanță a parcurs primul vas în 6 ore?

29 km/h x 6 ore = 174 km

2) Ce distanță a parcurs al doilea vas în 6 ore?

18 km/h x 6 ore = 108 km

3) Ce distanță au parcurs cele 2 vase în 6 ore?

174 km + 108 km = 282 km

4) Ce distanță a rămas între cele două vase după 6 ore?

375 km-282 km = 93 km

Răspuns: 93 km

În problemele de mișcare, metoda figurativă își dovedește cu prisosință eficiența, deoarece în procesul examinării și rezolvării problemei, gândirea elevului se mișcă în cadrul asociațiilor indicate de figură sau de schemă, ceea ce determină o alternanță continuă între percepție și gândire, o variație a raționamentului în funcție de câmpul perceptiv reprezentat sugestiv în acea figură.

14.3. Cultivarea creativității elevilor prin activitatea de rezolvare si compunere de probleme

În ideea pregătirii elevilor pentru a întâmpina cerințele unei lumi în perpetuă schimbare, este necesar ca aceștia să raționeze clar și să comunice eficient. Deprinderile de bază și înțelegerea aplicațiilor matematice au menirea să-i ajute pe cei în cauză la utilizarea cunoștințelor în situații noi. Deprinderile corecte în rezolvarea problemelor vor deveni din ce în ce mai importante. Prin munca propriu-zisă în acest domeniu, copiii vor descoperi noi căi de gândire și raționare, ceea ce le va putea ridica nivelul matematic și le va putea clădi încrederea în sine. Deprinderile aritmetice se vor dezvolta în paralel cu alte deprinderi matematice esențiale, cum ar fi: rezolvarea problemelor, culegerea de date, stabilirea de date, unități de măsură și geometrie. Pe măsură ce ne concentrăm asupra necesităților copiilor, matematica funcțională devine un element important. Elevii acordă numerelor un loc deosebit în microcosmosul lor și prezintă un interes deosebit pentru descoperirile făcute cu privire la modele și noi procedee. Acești elevi își rafinează deprinderile și își dezvoltă noi capacități. Rolul profesorului devine crucial în asigurarea în sala de clasă a unui mediu care să încurajeze asumarea riscului, discutarea ideilor matematice și testarea de soluții. Cu cât matematica este legată mai mult de cotidian, cu atât mai mult elevii vor conștientiza necesitatea matematicii în lumea lor.

Mirela, Eugen și Răzvan, trei copii din clasa I, au rezolvat această problemă : ,,Andrei avea patru baloane. Cu ocazia zilei de naștere, prietenii i-au mai dat încă șapte baloane. Câte baloane are acum Andrei ?”

Deși cei trei copii au ajuns la concluzia că Andrei are acum 11 baloane, fiecare dintre ei a rezolvat problema în mod diferit. Mirela a folosit baloane pe care le-a numărat. A alcătuit un set de 4 baloane și un set de 7 baloane. Le-a alăturat și le-a numărat : « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 », indicând fiecare balon în timp ce număra.

Eugen și-a folosit degetele și a numărat în continuare de la unul din numerele date în problemă. El a spus « 4 », a făcut o pauză și a continuat « 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 », întinzând câte un deget la fiecare număr.

Răzvan a folosit o adunare și o relație între numere, pentru a da un răspuns. El a judecat : « 4 și cu 6 fac 10 și cu 1 fac 11 ».

Această întâmplare ilustrează anumite convingeri fundamentale privind modul în care copiii de clasa I își edifică deprinderile și gândirea matematică. Aceste convingeri se referă la natura cunoașterii și a tipologiei copiilor. Generalizările privind predarea matematicii la clasă izvorăsc din aceste convingeri. 

Obiectele concrete din preajma elevilor sunt materia primă asupra căreia copiii acționează pentru a-și construi propriile realități. Înțelegerea pe care ei o creează este un produs secundar al acțiunii lor legate de obiecte concrete. La început înțelegerea copiilor este legată de acțiunea lor asupra obiectelor; înțelegerea lor în curs de formare, pur și simplu nu există în afara unor asemenea acțiuni. De exemplu, Mirela a folosit baloane (obiecte) pentru rezolvarea problemei date, pentru că înțelegerea numerelor era legată de acțiunile ei asupra acestor obiecte concrete. Dacă nu ar fi avut la îndemână baloane, numărătoarea ar fi fost imposibilă. Aceste legături ce leagă înțelegerea de lumea fizică devin mai laxe pentru prima oară atunci când copiii își construiesc imagini picturale mentale ale acțiunii lor asupra obiectelor. Imaginea este un exemplu pentru copiii a căror gândire a evoluat până în acest punct. El a produs imagini mentale ale obiectelor numărabile și le-a urmărit prin ridicarea câte unui deget.

Ulterior copiii vor reflecta asupra imaginilor lor mentale. Relația abstractă pe care o întruchipează aceste rețele încetează să se bazeze pe obiecte concrete sau picturi mentale. Raționamentul lui Răzvan dovedește o gândire care a evoluat până la acest nivel abstract.

Cei mici învață matematica prin explorare, ghicitori, observație, testare. Accentul trebuie pus pe gândire și înțelegere conceptuală, și nu exclusiv pe acuratețea calcului și a vitezei. Rezolvarea problemelor de matematică reprezintă, în esență, găsirea unor soluții asemănătoare problemelor reale pe care le putem întâlni în practică. Activitatea de rezolvare a unei probleme se desfășoară prin parcurgerea mai multor etape, care solicită un efort intelectual complex, cuprinzând inducții și deducții logice, analogii, analize, generalizări. Stimularea creativității se realizează mai ales prin compunere de probleme. Modul delicat în care se intervine în rezolvarea de probleme simple compuse de elevi face să le sporească interesul pentru creație proprie.

Activitatea de rezolvare și compunere de probleme oferă modul cel mai eficient din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității. Diferența dintre a învăța „rezolvarea unei probleme” și „a ști” (a fi capabil) să rezolvi o problemă nouă reprezintă, în esență, creativitate, dar de niveluri diferite.

Rezolvarea unei probleme „studiate” oferă mai puțin teren pentru creativitate decât rezolvarea unei probleme noi, care, la rândul ei, este depășită descompunerea unei probleme noi. Acest lucru nu presupune că în rezolvarea problemelor se lucrează numai pe aspecte creative, renunțând total la cele reproductive. Opoziția dintre algoritm și euristic, dintre deprindere și abilitatea de raționament este numai aparentă. Creativitatea gândirii, mișcarea ei liberă, nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate și eficient transferate.

Baza dezvoltării gândirii matematice cu ajutorul compunerii de probleme de către elevi se formează începând cu clasa I, în timpul predării operațiilor pe cale orală. În această perioadă de inițiere, elevii deprind compunerea de probleme pe bază intuitivă. Capacitatea compunerii independente de probleme constituie piatra de temelie a nivelului de dezvoltare a gândirii independente și personale. În activitatea de compunere de probleme se va ține cont de posibilitățile intelectuale ale elevilor prin sarcini gradate, trecând treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerințe, din ce în ce mai restrictive.

Începând cu clasa I și în anii următori se pune accent pe compunerea și rezolvarea problemelor, cerând elevilor să creeze probleme sub următoarele forme, respectând o succesiune graduală:

probleme acțiune sau cu punere în scenă;

Exemplu: În clasa noastră sunt 12 băieți și 14 fete. Câți elevi sunt în clasă ?

crearea de probleme după tablouri sau imagini;

Exemplu: Se prezintă elevilor o planșă cu un copac în care se află aplicate păsărele și frunze. În funcție de numărul elementelor, elevii vor alcătui diverse probleme, folosind operații de adunare și scădere.

compuneri de probleme după probleme rezolvate anterior;

Exemplu: După ce la clasă s-au rezolvat probleme de tipul: Un rinocer indian are greutatea de aproximativ 2000 kg. O morsă cântărește aproximativ 1500 kg. 7 ființe de acest fel au fost transportate cu un camion care scârțâia sub cele 125 q pe care le ducea. Câte morse transporta camionul? Dar rinoceri?

Elevii pot compune și ei probleme de acest fel, cum ar fi: Nisetrul cântărește aproximativ 25 kg, iar păstruga aproximativ 9000g. Pescarul a prins 11 pești de acest fel, aducând 147kg de pește. Câte exemplare de fiecare fel a pescuit?

crearea de probleme cu indicarea operațiilor ce trebuie efectuate;

Exemplu: Compuneți o problemă care să se rezolve prin:

două înmulțiri și o adunare;

o adunare și o înmulțire.

compuneri de probleme după un plan stabilit;

Exemplu: Elevilor li se pune la dispoziție planul de rezolvare al unei probleme. Sarcina dată elevilor este de a reconstitui enunțul problemei pe baza planului.

compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile;

Exemplu: Un tren de persoane se compune din 8 vagoane. El poate transporta 1424 călători așezați și 2640 de călători în total.

a) Câte locuri are un vagon?

b) Câți călători încap într-un vagon?

compuneri de probleme cu început dat;

Exemplu: La grădina zoologică din București sunt 6840 iepuri, de 6 ori mai puțini urși, iar lupi cât iepuri și urși la un loc.

Puneți întrebarea și rezolvați problema.

compuneri de probleme cu întrebare probabilistică;

Exemplu: Într-o cutie sunt 4 bile albe, 8 bile roșii și 9 bile albastre. Care este numărul minim de bile ce trebuie scoase, fără a vedea culoarea lor, astfel încât să fim siguri că am scos cel puțin 5 bile de aceeași culoare?

compuneri de probleme cu sprijin de limbaj;

Exemplu: Completați enunțurile următoare cu numerele alese de voi. Respectați ordinele de mărime.

Bunicul are…ani, iar bunica …ani. Ei s-au căsătorit acum…ani. Ce vârstă avea fiecare din ei când s-au căsătorit?

Sau : Într-o parcare de …locuri sunt …mașini. Câte locuri libere mai sunt în parcare?

compuneri de probleme cu mărimi/valori numerice date;

Exemplu: În problema următoare lipsesc cuvinte. Completați cu cuvinte potrivite și rezolvați: Cu 120000 lei, eu…o… de 45000 lei și 6…. Care este prețul unei ….?

compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus;

Exemplu: Alcătuiți o problemă după exercițiul: (1849m:10)4=?m

compuneri de probleme după un model simbolic;

Exemplu: Compuneți o problemă după desenul:

a

b 6 447

c

sau: Aflați valorile a, b, c, folosind metoda figurativă, dacă au loc simultan relațiile.

a + b = c

a – b = b

b + c = 16

Compuneți apoi o problemă utilizând desenul făcut.

compuneri de probleme cu modificarea conținutului problemei, cu trei variabile:

a) același conținut și date noi;

Exemplu: Rescrie o nouă variantă a problemei, schimbând părțile subliniate:

Domnul Ionescu face în fiecare zi câte 28 km pentru a merge și a se întoarce de la serviciu. El lucrează 5 zile pe săptămână. Calculați ce distanță parcurge într-o săptămână.

b) conținut schimbat cu menținerea datelor;

Exemplu: Schimbă conținutul problemei anterioare, păstrând datele subliniate din problemă.

c) conținut și date schimbate (creare liberă de probleme).

Exemplu: Scrieți toate enunțurile de probleme pe care le puteți compune cu ajutorul celor 6 fraze de mai jos:

Compunerea problemelor este una dintre modalitățile principale de a dezvolta gândirea independentă și originală a copiilor, de cultivare și educare a creativității gândirii lor.

Însușirea și aprofundarea metodelor aritmetice de rezolvare și compunere a problemelor în ciclul primar facilitează introducerea unor noțiuni teoretice mai complexe în clasele superioare.

Temă

1. Enumerați valențele formative ale activităților de rezolvare și compunere a problemelor de matematică.

2. Descrieți etapele rezolvării unei probleme de matematică.

3. Explicați în ce constă metoda analitică de rezolvare a unei probleme. Exemplificați

întocmind și o schemă.

4. Compuneți câte o problemă din fiecare tip prezentat în teorie.

5. Prezentați un demers didactic complet vizând rezolvarea următoarei probleme:

Câtul a doua numere naturale este 6, iar restul 13. Care sunt numerele daca diferenta lor este 463.

6. Definiți metoda sintetică de rezolvare a unei probleme de matematică. Prezentați avantajele și dezavantajele care apar în folosirea acestei metode.

7. Compuneți doua probleme simple, una de înmulțire și alta de împărțire.

8. Alegeți una dintre etapele rezolvării unei probleme compuse și precizați activitățile care se desfășoară în această etapă.

9. Prezentați un demers didactic complet vizând rezolvarea urmatoarei probleme:

Daca pe fiecare banca dintr-un parc se aseaza câte 5 persoane, atunci 10 persoane nu au loc, dar daca se aseaza câte 6 persoane pe fiecare banca, atunci ramân 5 banci libere. Câte banci si câte persoane sunt în parc?

10. Considerați că însușirea algoritmilor de rezolvare a problemelor tipice conduce la șabloane, la rețete în detrimentul gândirii, sau o ajută, o elibereazaă, îi da frâu liber?

Motivați.

Bibliografie

Briand Joël, Chevalier Marie-Claude, 1995, Les enjeux dans l’enseignement des mathematiques, Ed. Hatier, Paris

Brouseau G., 1995, Glossaire de didactique. Inedit transmis à la 6e école d’étè de didactiques mathématiques, citat în Portugais Jean, 1995, Didactique des mathématiques et formation des enseignants, Ed. Peter Lang, (Berna, Berlin, Frankfurt/M., N.Y., Paris, Viena)

Bulboacă, M., Alecu, M., 1996, Metodica activităților matematice în grădiniță și clasa I, Editura Sigma, București

Cerghit, I., 2006, Metode de învățământ, Polirom, Iași

Chevallard Y., 1991, La transportation didactique. Du savoir savant au savoir enseigné, La pensee Sauvage, 2e edition, Grenoble

CNC, 200, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică (primar-gimnaziu), Aramis Print, București

Culea, Laurenția, „Aplicarea noului curriculum pentru educație timpurie-o provocare?, Editura Diana, 2008

Diènes, Z. P., Golding, W.E., 1970, Les premiers pas en mathématique. Logique et jeux logiques, vol. I, Ed. O.C.D.L., Paris

Fuson Karen , 1988, Children's Counting and Concepts of Number, Springer Publisher, New York

Gelman, R. & Gallistel, C., 1978 , The Child's Understanding of Number, Cambridge, MA. Harvard University Press.

Lupu, C., Săvulescu, D., 2000, Metodica predării matematicii ( manual pentru cl. a XII-a, licee pedagogice), Editura Paralela 45, Pitești

Neacșu, I. (coord.), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București

Neagu M. et al., 2006, Metodica predării matematicii/activităților matematice, manual pentru Clasa a XI-a, Licee pedagogice, Ed. Nedion, București

Neagu M., Mocanu M., 2007, Metodica predării matematicii in ciclul primar, Polirom, Iași

Neagu, M., Beraru, G., 1996, Activități matematice în grădiniță, Editura Polirom

Petrovici, C., Neagu, M., 1997, Aritmetica prin exerciții și probleme, vol. I-IV, cl. I-IV, Ed. Polirom, Iași

Petrovici C.(coord.), 2006, Tratarea diferențiată a elevilor din învățământul primar la matematică, Editura PIM, Iași

Petrovici C., Neagu M., 2002, Elemente de didactica matematicii în grădiniță și învățământul primar, PIM, Iași

Petrovici C., Neagu M., 2006, Elemente de didactica matematicii în grădiniță și învățământul primar, (Ed. A II-a), Editura PIM, Iași

Petrovici C., Neagu M., Purțuc M., 2000, Evaluarea în învățământul primar, Sedcom Libris, Iași

Piaget, J., 1976, Construirea realului la copil (trad.), E.D.P., București

Piaget, J., Inhelder, B., 1970, Psihologia copilului (trad.), E.D.P., București

Piaget, J., 1965, Psihologia inteligenței, Editura Științifică, București

Polya, G., 1965, Cum rezolvăm o problemă?, Editura Științifică, București

Stoica, A., 1983, Creativitatea elevilor, Editura Didactică și Pedagogică, București

Șchiopu, U., Verza, E., 1981, Psihologia vârstelor, E.D.P., București

Vergnaud G., 1987, Les Fonctions de l’action et de la symbolisation dans la formation des connaissances chez l’enfant, Psychologie, Encyclopédie de la Pléiade (p.820-843) Paris, Gallimard

*** Programele de matematică pentru clasele CP-IV; Manuale alternative cl. I-IV; Ghiduri metodologice; Caietele elevului cl. I-IV

Bibliografie

Briand Joël, Chevalier Marie-Claude, 1995, Les enjeux dans l’enseignement des mathematiques, Ed. Hatier, Paris

Brouseau G., 1995, Glossaire de didactique. Inedit transmis à la 6e école d’étè de didactiques mathématiques, citat în Portugais Jean, 1995, Didactique des mathématiques et formation des enseignants, Ed. Peter Lang, (Berna, Berlin, Frankfurt/M., N.Y., Paris, Viena)

Bulboacă, M., Alecu, M., 1996, Metodica activităților matematice în grădiniță și clasa I, Editura Sigma, București

Cerghit, I., 2006, Metode de învățământ, Polirom, Iași

Chevallard Y., 1991, La transportation didactique. Du savoir savant au savoir enseigné, La pensee Sauvage, 2e edition, Grenoble

CNC, 200, Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică (primar-gimnaziu), Aramis Print, București

Culea, Laurenția, „Aplicarea noului curriculum pentru educație timpurie-o provocare?, Editura Diana, 2008

Diènes, Z. P., Golding, W.E., 1970, Les premiers pas en mathématique. Logique et jeux logiques, vol. I, Ed. O.C.D.L., Paris

Fuson Karen , 1988, Children's Counting and Concepts of Number, Springer Publisher, New York

Gelman, R. & Gallistel, C., 1978 , The Child's Understanding of Number, Cambridge, MA. Harvard University Press.

Lupu, C., Săvulescu, D., 2000, Metodica predării matematicii ( manual pentru cl. a XII-a, licee pedagogice), Editura Paralela 45, Pitești

Neacșu, I. (coord.), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București

Neagu M. et al., 2006, Metodica predării matematicii/activităților matematice, manual pentru Clasa a XI-a, Licee pedagogice, Ed. Nedion, București

Neagu M., Mocanu M., 2007, Metodica predării matematicii in ciclul primar, Polirom, Iași

Neagu, M., Beraru, G., 1996, Activități matematice în grădiniță, Editura Polirom

Petrovici, C., Neagu, M., 1997, Aritmetica prin exerciții și probleme, vol. I-IV, cl. I-IV, Ed. Polirom, Iași

Petrovici C.(coord.), 2006, Tratarea diferențiată a elevilor din învățământul primar la matematică, Editura PIM, Iași

Petrovici C., Neagu M., 2002, Elemente de didactica matematicii în grădiniță și învățământul primar, PIM, Iași

Petrovici C., Neagu M., 2006, Elemente de didactica matematicii în grădiniță și învățământul primar, (Ed. A II-a), Editura PIM, Iași

Petrovici C., Neagu M., Purțuc M., 2000, Evaluarea în învățământul primar, Sedcom Libris, Iași

Piaget, J., 1976, Construirea realului la copil (trad.), E.D.P., București

Piaget, J., Inhelder, B., 1970, Psihologia copilului (trad.), E.D.P., București

Piaget, J., 1965, Psihologia inteligenței, Editura Științifică, București

Polya, G., 1965, Cum rezolvăm o problemă?, Editura Științifică, București

Stoica, A., 1983, Creativitatea elevilor, Editura Didactică și Pedagogică, București

Șchiopu, U., Verza, E., 1981, Psihologia vârstelor, E.D.P., București

Vergnaud G., 1987, Les Fonctions de l’action et de la symbolisation dans la formation des connaissances chez l’enfant, Psychologie, Encyclopédie de la Pléiade (p.820-843) Paris, Gallimard

*** Programele de matematică pentru clasele CP-IV; Manuale alternative cl. I-IV; Ghiduri metodologice; Caietele elevului cl. I-IV