Clase de Latici
CAPITOLUL 1
NOȚIUNI PRELIMINARII
§ 1.1 RELAȚII BINARE PE O MULȚIME. RELAȚII DE ECHIVALENȚĂ
Definiția 1.1.1: Dacă este o mulțime, numim relație binară pe orice submulțime a produsului cartezian . Dacă și putem spune că elementul este în relația cu .
Atunci, scriem pentru a desemna faptul că Pentru mulțimea notăm prin mulțimea de relații binare de pe , (evident , )).
Relatia ={(a,a)aA} poartă numele de diagonala produsului cartezian AA. Pentru p se definește = {(a,b)AA⃒(a,b)}.
Evident ( -1)-1 = iar dacă mai avem astfel încât
⁻¹ ⊆′⁻¹.
Definiția 1.1.2: Pentru p,p′Rel(A) compunerea lor pp′ se definește prin p ⃘p′= ={(a,b)AA⃒ există cA astfel încât (a,c)p′ și (c,b)p}.
Propoziția 1.1.3: Fie ,′,″ . Atunci:
⃘= ⃘ =
( ⃘′) ⃘″=p ⃘(′ ⃘″)
′⇒ p ⃘p″ ′ ⃘″ și ″ ⃘ ⊆ ″ ⃘ ′.
( ⃘)-1=′-1, mai general dacă () iI este o familie de relații binare pe A,
atunci avem: ()-1=-1.
Pentru nℕ și p se definește: =.
Dacă atunci avem: ∘=.
Definiția 1.1.4: Putem spune despre o relație că este:
reflexivă dacă
simetrică dacă ⊆
antisimetrică dacă ⊆
tranzitivă dacă ⊆.
Propoziție 1.1.5: O relație Rel(A) este reflexivă (simetrică, antisimetrică, tranzitivă) dacă și numai dacă este reflexivă (simetrică, antisimetrică, tranzitivă).
Definiția 1.1.6: Putem spune despre o relație că este o echivalență pe A dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă.
Notăm : − mulțimea relațiilor de echivalență de pe A.
Propoziție 1.1.7: Dacă , atunci = și .
Demonstrație:
∙ Cum este simetrică avem ⊆. Dacă , atunci ⊆⇒ ⇒ , adică ⊆ deci =.
∙ Cum este tranzitivă avem . Fie , din și ⇒ =, adică ⊆, deci =.
Propoziție 1.1.8: Fie , . Atunci ∘ dacă și numai dacă ∘=∘. În acest caz avem ∘= .
Demonstrație:
Dacă,atunci ∘ conform Propoziției 1.1.7. Însă conform Propoziției 1.1.3 avem că =∘ =∘ astfel că ∘=∘
Invers se presupune că ∘=∘. Cum ⊆,∘⊆, adică ∘ este reflexivă.
Cum =∘=∘=∘, deducem că ∘ este și tranzitivă, adică este o relație de echivalență pe A. Se presupune că ∘ =∘ și fie astfel încât ,⊆.
Atunci ∘ =∘=, adică ∘ ⊆ 0.
Cum și ,⊆⇒ 0 ⊆ adică
0 =
Pentru se definește relația de echivalență de pe A generată de ca fiind relația de echivalență:
=
În mod evident, relația de echivalență este caracterizată de condițiile iar dacă astfel încât ⇒ ,( este cea mai mică relație de echivalență ce include pe ).
Lema 1.1.9: Fie și =⋃. Atunci relația are următoarele proprietăți:
este reflexivă și simetrică
Dacă este o relație binară de pe A reflexivă și simetrică astfel încât atunci .
Demonstrație:
este evidentă
Din deducem că este reflexivă iar din = (⋃)⁻¹ = =⋃= deducem ca este și simetrică .
Dacă este și reflexivă și simetrică astfel încât , atunci ⊆′⁻¹ = și cum deducem că =⋃.
Lema 1.1.10: Fie reflexivă și simetrică iar =.
Atunci are următoarele proprietăți:
este echivalență pe A
astfel încât , atunci ⊆
Demonstrație:
este evidentă
in deducem că , adică este reflexivă . Deoarece este
simetrică și pentru orice ℕ* avem ) =, deducem că:
)-1 =)-1 =, adică este și simetrică.
Fie acum ; atunci există astfel încât , adică
există ℕ* astfel încăt și .
Vom deduce că ⊆, adică ² ⊆ , deci este tranzitivă adică .
Fie acum astfel încât . Cum ⊆ pentru orice ℕ* deducem că ==.
Teorema 1.1.11: Dacă , atunci:
= .
Propoziția 1.1.12: Fie . Atunci :
=(
atunci dacă și numai dacă
,⊆.
Demonstrație:
dacă și numai dacă există
astfel încât și (
⟺
,,⟹” Vom avea că
Atunci relația (i) devine = deci ⊆ și
.
,,⟸” Avem =
Deci este tranzitivă. Cum adică este
reflexivă.
Dacă
este simetrică, deci este o echivalență pe A.
Propoziția 1.1.13: Fie A o mulțime și având următoarele proprietăți:
• Pentru orice , astfel încât .
•
Demonstrație:
Avem că = {}.
Pentru a demonstra că ar trebui ca pentru orice , adică să existe astfel încât , pentru orice , astfel încât . Deducem că este reflexivă.
Dacă ⇒ astfel încât și dacă și numai dacă există astfel încât și adică este simetrică.
Cum ()∘)==. Deducem că este tranzitivă, deci este o relație de echivalență.
Definiție 1.1.14: Dacă și prin clasa de echivalență a lui reflexivă la înțelegem mulțimea:
cum este în particular reflexivă deducem, că , adică ∅ pentru orice .
Mulțimea ={∣} poartă denumirea de mulțime factor sau cât a lui A prin relația p.
Propoziția 1.1.15: Dacă atunci:
Dacă atunci ⇔
Dacă atunci sau =∅.
Definiția 1.1.16: Numim partiție a unei mulțimi M o familie de submulțimi ale lui M ce verifică condițiile:
• Pentru
•
Observație:
Din cele de mai sus deducem că dacă este o relație de echivalență pe mulțimea A, atunci mulțimea claselor de echivalență ale lui pe A determină o partiție a lui A.
§ 1.2. MULTIMI ORDONATE
Definiția 1.2.1: Printr-o mulțime ordonată înțelegem un dublet (A, ≤) format dintr-o mulțime nevidă A și o relație binară pe A notată tradițional prin "≤" care este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. Vom spune că "≤" este o ordine pe A.
Pentru x, y A vom scrie x < y dacă x ≤ y , x ≠ y. Dacă relația "≤" este doar reflexivă și tranzitivă, vom spune despre ea că este o ordine parțială sau că (A, ≤) este o mulțime parțial ordonată.
Dacă pentru x, y A definim x ≥ y dacă și numai dacă y ≤ x obținem o nouă relație de ordine pe A. Dubletul (A, ≥) îl vom nota prin A° și spunem că mulțimea ordonată A° este duala mulțimii A.
Fie A,o mulțime parțial ordonată iar ρ o relație de echivalență pe A. Vom spune despre ρ că este compatibilă cu preordinea de pe A dacă pentru oricare elemente x , y , z, t din A avem implicația x, y ρ , z,t ρ și x z y t.
Dacă ρ este o relație de echivalență pe A compatibilă cu preordinea , atunci pe mulțimea cât A/ρ se poate defini o ordine parțială astfel : [x] ρ[ y] ρ ⇔ există z [x] ρ și t [y] ρ a.î.
z t ; vom numi această ordine parțială preordinea cât.
În cele ce urmează prin (A,≤) vom desemna o mulțime ordonată.
Când nu este pericol de confuzie prin mulțime ordonată vom specifica numai mulțimea subiacentă A (fără a mai pune în evidență relația ≤, aceasta subânțelegându-se ).
Definiția 1.2.2. Fie m, M A și S A, S ≠ .
Vom spune că:
m este minorant pentru S dacă pentru orice s S, m ≤ s ( în caz că există, prin
inf (S) vom desemna cel mai mare minorant al lui S)
ii) este majorant pentru S dacă M este minorant pentru S în A°, adică pentru orice sS, s ≤ M (în caz că există, prin sup (S) vom desemna cel mai mic majorant al lui S).
Dacă S={s1, s2 , …, sn} ⊆ A atunci vom nota inf (S)= s1⋀s2 ⋀…⋀sn iar sup (S)= s1⋁s2 ⋁..⋁sn (evident, în cazul în care acestea există).
Ordinea "" de pe A se zice totală dacă pentru orice a, b A, a b sau b a; o submulțime total ordonată a lui A poartă numele de lanț.
Pentru a, b A vom spune că b urmează pe a (sau că a este urmat de b) dacă a < b iar pentru a c b avem a = c sau c = b; vom utiliza în acest caz notația a b.
Pentru a, b A vom nota:
(a, b) = {x ∈ A∣a < x < b}
[a, b] = {x ∈ A∣a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ A∣a < x≤ b}
[a, b) = {x ∈ A∣a ≤ x < b}
și vom numi astfel de submulțimi ale lui A intervale (respectiv deschise, închise, închise la dreapta și deschise la stînga, închise la stînga și deschise la dreapta).
Mulțimile ordonate finite A pot fi reprezentate prin așa zisele diagrame Hasse.
În acest sens, vom reprezenta fiecare element al lui A printr-un cerculeț "".
Dacă a <b vom desena cerculețul corespunzător lui b deasupra celui ce-l reprezintă pe a, unind cele două cerculețe printr-un segment (de remarcat faptul că intersecția a două astfel de segmente poate să nu reprezinte un element al lui A).
Dintr-o astfel de diagramă putem să reconstituim relația "" ținând cont de observația că
a <b dacă și numai dacă pentru un șir finit de elemente c1, c2, … , cn ale lui A avem a = c1 <c2 <…< cn-1 <cn= b.
Iată câteva exemple de diagrame Hasse:
Din păcate, astfel de diagrame sunt greu de utilizat în cazul mulțimilor ordonate infinite (cum ar fi de exemplu ℚ sau ℝ cu ordonarea obișnuită).
Fie (I, ) un lanț iar (Ai)i∈I o familie de mulțimi ordonate (mutual disjuncte). Vom nota prin Ai mulțimea ordonată ce are drept mulțime subiacentă i iar relația de ordonare este definită pentru x, y Ai prin x y dacă și numai dacă xAi , yAj și i< j sau x, y Ak iar x y în Ak. Mulțimea ordonată Ai definită mai sus poartă numele de suma ordinală a familiei (Ai) Ai∈I.
Dacă I=1, 2,…, nconvenim să notăm Ai = A1A2…An.
Dacă (Pi , )1≤i≤n este o familie finită de mulțimi ordonate, atunci P= Pi devine în mod canonic mulțime ordonată, definind pentru x=(xi)1≤i≤n ,y=(yi)1≤i≤n ∈ P, x y < ≝ există 1 ≤ s ≤ n a.î. x1 = y1, …, xs-1 = ys-1 și xs<ys ( această ordonare se numește ordonarea lexicografică).
CAPITOLUL 2
CLASE DE LATICI
§ 2.1. SEMILATICI. LATICI
Definiția 1.2.3. Vom spune despre A că este:
i) inf – semilatice, dacă pentru oricare două elemente a,b A există a⋀b = inf{a, b}
ii) sup – semilatice, dacă pentru oricare două elemente a,b A există a⋁b = sup{a, b}
iii) latice, dacă este simultan inf și sup-semilatice (adică pentru oricare două elemente a, b A există a⋀b și a⋁b)
iv) inf – completă, dacă pentru orice submulțime S A există inf (S)
v) sup – completă, dacă pentru orice submulțime S A există sup (S)
vi) completă dacă este simultan inf și sup-completă (evident în acest caz se poate utiliza denumirea de latice completă)
vii) inf – mărginită dacă există un element notat tradițional prin 0 A a.î. pentru orice a A, 0 ≤ a
viii) sup – mărginită dacă există un element notat tradițional prin 1 A a.î. pentru orice a A, a ≤ 1
ix) mărginită dacă este simultan inf și sup – mărginită (adică 0 ≤ a ≤ 1 pentru orice a A); în acest caz 0 se zice element inițial (sau prim) al lui A iar 1 element final (sau ultim) al lui A
x) condițional completă dacă pentru orice submulțime nevidă și mărginită S a sa există inf (S) și sup (S).
Observația 1.2.4.
1.Orice mulțime ordonată A care este inf-completă este latice completă.
Într-adevăr, fie M A, M mulțimea majoranților lui M iar m = inf (M). Cum pentru x M și y M avem x ≤ y deducem că x ≤ m, adică m M, astfel m = sup (M).
2. Dacă A este o latice completă, atunci inf () = 1 iar sup () = 0.
3. Pentru ca o latice L să fie condițional completă, este suficient ca pentru orice submulțime nevidă și mărginită S a sa, să existe doar inf (S) (sau sup (S)).
Definiția 1.2.5. Un element m A se zice:
i) minimal dacă având a A a.î. a ≤ m deducem că m = a
ii) maximal dacă având a A a.î. m ≤ a deducem că m = a
Dacă A are 0, un element a A se zice atom dacă a ≠ 0 și având x A a.î. x ≤ a, atunci x = =0 sau x = a (deci 0 a).
Definiția 1.2.6. Dacă A este inf-semilatice (respectiv supsemilatice) vom spune despre o submulțime A⊆A că este inf-subsemilatice (respectiv sup-sub-semilatice), dacă pentru oricare două elemente a, b ∈ A avem a⋀b ∈ A (respectiv a⋁b ∈ A).
Dacă A este latice, A⊆A se va zice sublatice, dacă pentru oricare două elemente a, b∈A avem a⋀b, a⋁b ∈ A .
Exemple.
1. Fie ℕ mulțimea numerelor naturale iar "" relația de divizibilitate pe ℕ. Atunci "" este o relație de ordine pe ℕ. Față de această ordine ℕ devine latice în care pentru m, n ∈ ℕ, m ⋀ n = cel mai mare divizor comun al lui m și n iar m ⋁ n = cel mai mic multiplu comun al lui m și n.
Evident, pentru relația de divizibilitate, elementul 1 ∈ ℕ este element inițial iar 0 ∈ ℕ este element final. Această ordonare nu este totală deoarece dacă avem două numere naturale m, n prime între ele (cum ar fi de exemplu 2 și 3) nu avem mn și nici nm.
2. Dacă K este una din mulțimile de numere ℕ, ℤ, ℚ sau ℝ, atunci K cu ordonarea naturală este o latice, iar ordonarea naturală este totală.
3. Fie M o mulțime iar P(M) mulțimea submulțimilor lui M. Atunci (P (M),) este o latice completă cu prim și ultim element (respectiv și M).
Fie acum A, A două mulțimi ordonate (când nu este pericol de confuzie convenim să notăm prin "≤" ambele relații de ordine de pe A și A ) și f:A→A o funcție.
Definiția 1.2.7. Vom spune despre f că este morfism de mulțimi ordonate (sau aplicație izotonă) dacă pentru orice a, b ∈ A cu a ≤ b avem f (a) ≤ f (b) (în anumite lucrări f se zice monoton crescătoare).
Dacă A, A sunt inf (sup) – semilatici vom spune despre f că este morfism de inf (sup) – semilatici dacă pentru oricare două elemente a, b ∈ A, f (a ⋀ b) = f (a) ⋀f (b)(respectiv f (a ⋁ b) =f (a) ⋁ f (b)).
Dacă A, A sunt latici, vom spune că f este morfism de latici dacă f este simultan morfism de inf și sup-semilatici (adică pentru oricare două elemente a, b∈ A avem f (a⋀ b) =f (a)⋀f (b) și f (a⋁ b) = f (a) ⋁ f (b)).
În mod evident, morfismele de inf (sup) – semilatici sunt aplicații izotone iar dacă compunem două morfisme de același tip obținem tot un morfism de același tip.
Dacă A, A sunt mulțimi ordonate iar f:A→A ׳ este morfism de mulțimi ordonate, atunci f se zice izomorfism de mulțimi ordonate dacă există g:A→A morfism de mulțimi ordonate a.î. f∘g = 1A și g∘f = 1A. Acest lucru revine la a spune de fapt că f este o bijecție. În acest caz vom scrie A ≈ A .
Analog se definește noțiunea de izomorfism de inf (sup) -semilatici ca și cea de izomorfism de latici.
În continuare vom stabili felul în care mulțimile preordonate induc mulțimi ordonate, iar pentru aceasta fie (A, ≤ ) o mulțime parțial ordonată.
Se verifică imediat că relația ρ definită pe A prin: (x, y) ∈ ρ. x ≤ y și y ≤ x este o echivalență pe A compatibilă cu preordinea ≤. Vom considera = A/ ρ împreună cu preordinea cât (definită la începutul paragrafului) și să arătăm că acestă preordine este de fapt o ordine pe A (adică ρ este și simetrică).
Într-adevăr, fie [x]ρ , [y]ρ ∈ A a.î. [x]ρ ≤ [y]ρ și [y]ρ ≤ [x]ρ și să demonstrăm că [x]ρ = [y]ρ Atunci există x, x ∈ [x]ρ , y, y ∈ [y]ρ a.î. x ≤ y și y ≤ x.
Avem (x, x), (x, x), (y, y), (y, y) ∈ ρ adică x ≤ x, x ≤ x, x ≤ x, x ≤ x, y ≤ y, y ≤ y, y ≤ y și y ≤ y .
Din x ≤ x, x ≤ y și y ≤ y deducem că x ≤ y iar din y ≤ y, y ≤ x și x ≤ x deducem că y ≤x adică (x, y) ∈ ρ , astfel că [x]ρ =[p]ρ.
Astfel, surjecția canonică pA : A A este funcție izotonă.
Ținând cont de Propoziția 1.2.8. se verifică imediat faptul că mulțimea ordonată cât (,≤) împreună cu surjecția canonică pA : A A verifică următoarea proprietate de universalitate:
Pentru orice mulțime ordonată (B, ≤) și funcție izotonă f : A B există o unică aplicație izotonă : B a.î. o pA = f .
Propoziția 1.2.8. Fie M și N două mulțimi pe care s-au definit relațiile de echivalență ρ, respectiv ρʹ și f : M→N o funcție având proprietatea: (x, y)∈ρ ⇒ ( f(x), f(y))∈ρʹ, ∀ x, y∈M.
Atunci există o singură funcție f : M/ρ→N/ρ a. î. diagrama:
este comutativă (adică pN, ρʹ∘f= f ∘pM, ρ , unde pM, ρ , pN, ρ, sunt surjecțiile canonice).
Demonstrație: Pentru x ∈ M, vom nota prin [x]ρ clasa de echivalență a lui x modulo relația ρ.
Pentru x∈M, definim: ([x]ρ)=[f(x)]ρ´.
Dacă x, y ∈ M a.î. [x]ρ = [y]ρ ⇔ (x, y) ∈ρ ⇒ [f (x), f (y)] ∈ρʹ (din enunț) ⇒ [f (x)]ρʹ =
= [f (y)]ρʹ , adică este corect definită.
Dacă x ∈ M, atunci ( ∘pM, ρ)(x) = (pM, ρ (x)) = ([x]ρ) = [f[x]]ρʹ = pN, ρʹ (f (x)) = (pN, ρʹ∘f) (x), adică pN, ρʹ∘ = f ∘pM, ρ.
Pentru a demonstra unicitatea lui , să presupunem că ar mai exista o funcție ʹ: M /ρ→N / ρ´ a.î. pN, ρʹ∘f = ʹ∘pM, ρ, și fie x ∈ M.
Atunci ʹ([x]ρ) = ʹ(pM, ρ(x)) = ( ʹ∘ pM, ρ)(x) = (pN, ρʹ ∘f)(x) = pN, ρʹ (f(x)) = [f (x)]ρʹ = ʹ ([x]ρ) , de unde deducem că ʹ.
Definiția 1.2.9. Fie A o inf-semilatice și F ⊆A o submulțime nevidă a sa. Vom spune că F este filtru al lui A dacă F este o inf sub-semi- latice și pentru a, b ∈ A , dacă a ≤ b și a ∈ F atunci b ∈ F.
Vom nota prin F (A) mulțimea filtrelor lui A.
Noțiunea duală celei de filtru este aceea de ideal pentru o sup-semilatice.Mai precis avem:
Definiția 1.2.10. Fie A o sup-semilatice iar I ⊆ A o submulțime nevidă a sa.Vom spune că I este un ideal al lui A dacă I este sup-sub-semilatice a lui A și pentru orice a,b ∈ A cu a ≤ b, dacă b ∈ I atunci și a ∈ I.
Vom nota prin I (A) mulțimea idealelor lui A.
Observația 1.2.11. Dacă A este latice, atunci noțiunile de filtru și ideal au definiții precise în A (ținând cont de definițiile de mai sus, căci A este simultan inf și sup-semilatice); evident în acest caz A F (A) I (A).
Cum intersecția oricărei familii de filtre (ideale) este de asemenea filtru (ideal), putem vorbi de filtrul (idealul) generat de o mulțime nevidă.
Dacă A este o inf(sup)-semilatice, pentru S A vom nota prin [S) ( (S]) filtrul(idealul) generat de S (adică intersecția tuturor filtrelor (idealelor) lui A ce conțin pe S).
Propoziția 1.2.12. Dacă A este o inf-semilatice și S ⊆ A o submulțime nevidă a sa, atunci:
[S)={a ∈ A∣există s1, s2 ,.., sn∈S a.î. s1⋀s2 ⋀..⋀sn ≤ a}.
Demonstrație: Fie FS = {a ∈ A ∣ există s1, s2 ,.., sn ∈ S a.î. s1⋀s2 ⋀..⋀sn ≤ a}. Se probează imediat că FS F (A) și S FS, deci [S) FS .
Dacă F׳ ∈ F(A) a.î. S F׳ atunci FS ⊆ F׳ deci FS ⊆ ∩F׳=[S),de unde [S)=FS.
Dual se demonstrează:
Propoziția 1.2.13. Dacă A este o sup-semilatice și S A este o submulțime nevidă a sa, atunci:
(S]={a ∈ A ∣ există s1, s2 ,.., sn ∈ S a.î. a s1⋁s2 ⋁..⋁ sn}.
Astfel, (F(A),⊆) și (I(A),⊆) sunt latici în care pentru F1, F2 ∈ F(A) (respectiv I1 , I2 ∈ I(A)) avem F1⋀F2 = F1⋂F2 iar F1⋁F2 = [F1⋃F2) (respectiv I1⋀I2 = I1⋂I2 iar I1⋁I2 = (I1⋃I2] ).
Dacă A este o inf (sup)-semilatice și a A, vom nota prin [a) ( (a]) filtrul (idealul) generat de {a}.
Conform celor de mai sus avem că: [a) ={x ∈ A∣a ≤ x} și (a] = {x ∈ A∣x ≤ a} ([a), (a] poartă numele de filtrul (idealul) principal generat de a).
Teorema 1.2.14. Fie (A, ≤) o mulțime ordonată. Atunci A este izomorfă cu o mulțime de submulțimi ale lui A (ordonată cu incluziunea).
Demonstrație: Pentru fiecare a A considerăm Ma = {x ∈ A∣x ≤ a}⊆A. Deoarece pentru a, b A, a b avem Ma Mb deducem că asocierea a Ma pentru a A descrie izomorfismul de mulțimi ordonate dorit.
Definiția 1.2.15.
i) O mulțime ordonată în care orice submulțime nevidă a sa are un element inițial se zice bine ordonată (evident o mulțime bine ordonată este inf-completă și total ordonată)
ii) O mulțime ordonată în care orice submulțime total ordonată a sa are un majorant (minorant) se zice inductiv (coinductiv) ordonată.
După cum vom vedea în (ℕ, ) este un exemplu de mulțime bine ordonată.
În cele ce urmează, acceptăm că pentru orice mulțime M este verificată axioma alegerii:
Există o funcție s : P(M) M a.î. s(S) S pentru orice submulțime nevidă S a lui M.
În continuare, reamintim un rezultat datorat lui Bourbaki și câteva corolare importante ale acestuia.
Lema 1.2.16. (Bourbaki). Dacă (A, ≤) este o mulțime nevidă, inductiv ordonată și f : A→ A este o aplicație a.î. f (a) ≤ a pentru orice a A, atunci există u A a.î. f (u) = u.
Corolar 1 (Principiul lui Hansdorf de maximalitate). Orice mulțime ordonată conține o submulțime total ordonată maximală.
Corolar 2 (Lema lui Zorn). Orice mulțime nevidă inductiv (coinductiv) ordonată are cel puțin un element maximal (minimal).
Corolar 3 (Principiul elementului maximal (minimal)). Fie(A, ≤) o mulțime inductiv (coinductiv) ordonată și aA. Există un element maximal (minimal) ma A a.î. a ≤ ma (ma ≤ a).
Corolar 4 (Lema lui Kuratowski). Orice submulțime total ordonată a unei mulțimi ordonate este cuprinsă într-o submulțime total ordonată maximală.
Corolar 5 (Teorema lui Zermelo). Pe orice mulțime nevidă A se poate introduce o ordine față de care A este bine ordonată.
Corolar 6 (Principiul inducției transfinite). Fie (A, ≤) o mulțime bine ordonată infinită și P o proprietate dată. Pentru a demonstra că toate elementele mulțimii A au proprietatea P este suficient să demonstrăm că:
(i) Elementul inițial 0 al lui A are proprietatea P
(ii) Dacă pentru a A, toate elementele x A a.î. x < a au proprietatea P, atunci și elementul a are proprietatea P.
Definiția 1.2.17. Vom spune despre o latice (L,≤) că este:
i) modulară dacă pentru oricare x, y, z L cu z ≤ x avem x ⋀ (y ⋁ z) = (x ⋀ y) ⋁ z
ii) distributivă dacă verifică una din următoarele două condiții echivalente:
1) x ⋀ (y ⋁ z) = (x ⋀ y) ⋁ (x ⋀ z)
2) x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) pentru orice x, y, z L.
Să notăm că există latici ce nu sunt modulare.
Într-adevăr, dacă vom considera laticea notată tradițional prin N5 :;
observăm că a c, pe când a (b c) = a 0 = a iar (a b) c = 1 c a, astfel că c (b a) (c b) a, deci N5 nu este modulară.
Teorema 1.2.18. (Dedekind). Pentru o latice L următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) L este modulară
(ii) Pentru orice a, b, c L, dacă c ≤ a, atunci a (b c) ≤ (a b) c
(iii) Pentru orice a, b, c L avem ((a c) b) c = (a c) (b c)
(iv) Pentru orice a, b, c L, dacă a ≤ c, atunci din a b = c b și a b = c b deducem că a = c
(v) L nu are sublatici izomorfe cu N5.
Demonstrație:
Cum în orice latice, dacă c a, atunci (a b) c a (b c), echivalența (i) (ii) este imediată.
(i) (iii). Rezultă din aceea că a c c.
(iii) (i). Fie a, b, c L a.î. a c. Atunci a = a c, deci (a b) c = ((a c) b) c = (a c) (b c) = a (b c).
(i) (iv). Avem a = a (a b) = a (c b) = a (b c) = (a b) c = (c b) c = c.
(iv) (v) Evident (ținând cont de observația de mai înainte).
(v) (i) Să presupunem că L nu este modulară. Există atunci a, b, c în L a.î. a c, iar a (b c) (a b) c. Să observăm că b c < a (b c) < (a b) c < ab, b c < b < a b, a (b c)b și b (a b) c.
Obținem în felul acesta diagrama Hasse a unei sublatici a lui L izomorfă cu N5:
(observând și că (a (bc)) b = a((bc) b) = ab și ((ab) c)b = ((a b) b) c= = b c, ceea ce este absurd.
§ 2.2. LATICI DISTRIBUTIVE.
Evident, orice latice distributivă este modulară. În cele ce urmează, prin Ld vom nota clasa laticilor distributive iar prin Ld (0, 1) clasa laticilor distributive mărginite.
Exemple.
Dacă L este un lanț, atunci L Ld (0, 1).
(ℕ, (P (M), ) Ld (0, 1).
Observația 1.3.1. Raționând inductiv după n ℕ*, deducem că dacă S1, S2, …, Sn sunt submulțimi nevide ale unei latici distributive L, atunci:
}
Teorema 1.3.2. Pentru L L următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) L Ld
(ii) a (b c) ≤ (a b) (a c) pentru orice a, b, c L
(iii) (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) pentru orice a, b, c L
(iv) Pentru orice a, b, c L, dacă a c = b c și a c = b c, atunci a = b
(v) L nu are sublatici izomorfe cu N5 sau M3, unde M3 are următoarea diagramă Hasse:
Demonstrație:
(i) (ii). Rezultă din aceea că pentru oricare elemente a, b, c L, (a b) (a c) a (b c).
(i) (iii). Să presupunem că L Ld și fie a, b, c L. Atunci (a b) (b c) (c a)
= (((a b) b) ((a b) c)) (c a) =(b ((a c) (b c))) (c a) = (b (a c)) (c a) = (b (c a)) ((a c) (c a)) = ((b c) (b a)) (a c) = (a b) (b c) (c a).
(iii) (i).Deducem imediat că L este modulară, deoarece dacă a, b,c L și a c, (a b) c = (a b) ((b c) c) = (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) a = ((a b) a) (b c) = a (b c). Cu această observație, distributivitatea lui L se deduce astfel:
a (b c) = (a (a b)) (b c) = ((a (c a)) (a b) (b c) = a (a b) (b c) (c a) = a ((a b) (b c) (c a)) = (a ((a b) (b c))) (c a) = (datorită modularității) = a (b c)) (a b) (c a) = (datorită modularității) = (a b) (a c).
(i) (iv). Dacă a c = b c și a c = b c, atunci a = a (a c) = a (b c) = (a b) (a c) = (a b) (b c) = b (a c) = b (b c) = b.
(iv) (v). Să admitem prin absurd că atât N5 cât și M3 sunt sublatici ale lui L. În cazul lui N5 observăm că b c = b a = 0, b c = b a = 1 și totuși a c iar în cazul lui M3, b a = b c = 0, b a = b c = 1 și totuși a c – absurd!
(v) (i). Conform Teoremei 1.1, dacă L nu are sublatici izomorfe cu N5 atunci ea este modulară. Cum pentru oricare a, b, c L avem: (a b) (b c) (c a) (a b) (b c) (c a), să presupunem prin absurd că există a, b, c L a.î. (a b) (b c) (c a) <
< (a b) (b c) (c a). Notăm d = (a b) (b c) (c a), u = (a b) (b c) (c a), a= (d a) u, b= (d b) u și c= (d c) u.
Diagrama Hasse a mulțimii d, a, b, c, ueste:
Cum d, a, b, c, uL este sublatice, dacă vom verifica faptul că elementele d, a, b, c, u sunt distincte, atunci sublaticea d, a, b, c, uva fi izomorfă cu M3 ceea ce va fi contradictoriu cu ipoteza pe care o acceptăm.
Deoarece d < u, vom verifica egalitățile ab= bc= ca= u, ab= bc= = ca= d și atunci va rezulta și că cele 5 elemente d, a, b, c, u sunt distincte.
Datorită modularității lui L avem: a= d (a u), b= d (b u), c= d (c u) iar datorită simetriei este suficient să demonstrăm doar că ac= d.
Într-adevăr, ac= ((d a) u) ((d c) u) = (d a) (d c) u = ((a b) (b c) (c a) a) (d c) u = ((b c) a) (d c) u = ((b c) a) ((a b) c)
(a b) (b c) (c a) = ((b c) a) ((a b) c) = (b c) (a ((a b) c)) = (datorită modularității) = (b c) (((a b) c) a)= (b c) ((a b) (c a)) = (datorită
modularității) = d.
Corolar 1.3.3. O latice L este distributivă dacă și numai dacă pentru oricare două ideale I, J I (L), I J = {i j | i I și j J}.
Demonstrație: Să presupun că L este distributivă. Ținând cont de Propoziția 1.33., pentru tI J există i I, j J a.î. t i j, astfel că t = (t i) (t j) = ijcu i= t i I iar j= t j J.
Pentru a proba afirmația reciprocă, să presupun prin absurd că L nu este distributivă și să arătăm că există I, J I (L) ce nu verifică ipoteza.
Conform Teoremei 1.3.2., L conține elementele a, b, c care împreună cu 0 și 1 formează laticile N5 sau M3.
Fie I = (b, J = (cCum a b c deducem că a I J. Dacă am avea a = i j cu i I și j J, atunci j c, deci j a c < b, adică j J și astfel a = i j I – absurd!
Corolar 1.3.4. Fie L Ld iar I, J I(L). Dacă I J și I J sunt ideale principale, atunci I și J sunt ideale principale.
Demonstrație: Fie I J = (xși I J = (y. Conform Corolarului 1.3.3., y = i j cu i I și j J. Dacă c = x i și b = x j, atunci c I și b J. Să probăm că I = (cși J = (b.
Dacă prin absurd J (b, atunci există a I, a > b iar x, a, b, c, yeste izomorfă cu N5 – absurd!
Analog, dacă I (c, găsim o sublatice a lui L izomorfă cu M3 ceea ce este din nou absurd!
Corolar 1.3.5. Fie L o latice oarecare și x, y ∈ L. Atunci (x] (y] = (x y] iar (x y] ⊆ (x] (y]; dacă L ∈ Ld, atunci (x] (y] = (x y].
Demonstrație: Egalitatea (x(y= (x yse probează imediat prin dublă incluziune iar incluziunea (x y⊆ (x(yrezultă din Propoziția 1.33. Dacă L ∈ Ld , atunci conform Corolarului 1.3.3., (x(y= i j i (xși j (y= i j i x și j y, de unde rezultă imediat că (x(y(x ydeci (x y= (x(y.
§ 2.3. COMPLEMENT ȘI PSEUDOCOMPLEMENT ÎNTR-O
LATICE. ALGEBRE BOOLE.
Definiția 1.4.1. Fie L o latice mărginită. Vom spune că elementul a ∈ L are un complement în L dacă există a ∈ L a.î. a a = 0 și a a = 1 (a se va numi complementul lui a).
Vom spune despre laticea L că este complementată dacă orice element al său are un complement.
Dacă L este o latice oarecare și a, b ∈ L, a ≤ b, prin complementul relativ al unui element x∈ [a, b] din intervalul [a, b], înțelegem acel element x ∈ [a, b] (dacă există!) pentru care x x = a și x x = b.
Vom spune despre o latice L că este relativ complementată dacă orice element al său admite un complement relativ în orice interval din L ce-l conține.
Lema 1.4.2. Dacă L ∈ L(0, 1), atunci un element al lui L poate avea cel mult un complement.
Demonstrație: Fie a L iar a, adoi complemenți ai lui a. Atunci a a= a a= 0 și a a= a a= 1, de unde a= a (conform Teoremei 1.3.2, (iv)).
Lema 1.4.3. Orice latice L modulară și complementată este relativ complementată.
Demonstrație: Fie b, c L, b c, a b, cși aL complementul lui a în L. Dacă vom considera a= (ab) c b, c, atunci a a= a (ab) c= (a a)(a b)c = (a b) c = b c = b iar a a= a (ab) c= (a ab) (a c) = 1 c = c, adică a ׳׳ este complementul relativ al lui a în [b, c].
Lema 1.4.4. (De Morgan) Fie L Ld(0, 1), a, b L având complemenții a, b L. Atunci a b, a b au complemenți în L și anume (a b) = a b iar (a b) = a b.
Demonstrație: Conform Lemei 1.4.2 și principiului dualizării, este suficient să probăm că (a b) (ab) = 0 iar (a b) (ab) = 1.
Într-adevăr, (a b) (ab) = (a b a) (a b b) = 0 0 = 0 iar (a b) (ab) = (a ab) (b ab) = 1 1 = 1.
Observația 1.4.5. Dacă L Ld (0, 1) și a L are un complement aL, atunci aeste cel mai mare element al lui L cu proprietatea că a a0 (adică a= sup (x L a x = 0).
Această observație ne conduce la:
Definiția 1.4.6. Fie L o inf-semilatice cu 0 și a L. Un element a* L se zice pseudocomplementul lui a dacă a* = sup ({x L | a x = 0}).
Dacă orice element al lui L are pseudocomplement, vom spune că inf – semilaticea L este pseudocomplementată.
O latice L se zice pseudocomplementată, dacă privită ca inf-semilatice este pseudocomplementată.
Lema 1.4.7. Dacă L este o latice modulară mărginită, atunci orice element ce are un complement a îl va avea pe a și ca pseudocomplement.
Demonstrație: Într-adevăr, fie aL, aun complement al lui a și bL a.î. ab și b a = 0.
Atunci b = b 1 = b (aa) = a(b a) = a0 = a.
Teorema 1.4.8. Fie L Ld (0) pseudocomplementată, R (L) = {a* | a L} iar D (L) = {a L | a* = 0}.
Atunci, pentru a, b L avem:
1) a a* = 0 iar a b = 0 a b*
2) a b a* b*
3) a ≤ a**
4) a* = a***
5) (a b)* = a* b*
6) (a b)** = a** b**
7) a b = 0 a** b** = 0
8) a (a b)* = a b*
9) 0* = 1, 1* = 0
10) a R (L) a = a**
11) a, b R (L) a b R (L)
12) sup R(L) {a, b} = (a b)** = (a* b*)*
13) 0, 1 R (L), 1 D (L) și R (L) D (L) = {1}
14) a, b D (L) a b D (L)
15) a D (L) și a ≤ b b D (L)
16) a a* D (L).
Demonstrație:
1) Rezultă din definiția lui a*. Echivalența rezultă din definiția lui b*.
2) Deoarece b b* = 0, atunci pentru a b, deducem că a b*= 0, adică b* a*.
3) Din a a* = 0 deducem că a* a = 0, adică a (a*)* = a**.
4) Din a a** și 2) deducem că a*** a* și cum din 3) deducem că a* (a*)** = a*** rezultă că a* = a***.
5) Avem (a b) (a* b*) = (a a* b*) (b a* b*) = 0 0 = 0. Fie acum x L a.î. (a b) x = 0. Deducem că (a x)(b x) = 0, adică a x = b x = 0, de unde x a*, x b*, adică x a* b*. Restul afirmațiilor se probează analog.
Observația 1.4.9.
1. Elementele lui R (L) se zic regulate iar cele ale lui D (L) dense.
2. Ținând cont de 4) și 10) deducem că R (L) = a L / a** = a.
3. Din 14) și 15) deducem că D (L) F (L).
Teorema 1.4.10. Fie L Ld și a L.
Atunci fa : L → (a] [a), fa (x) = (x a, x a) pentru x L este un morfism injectiv în Ld. În cazul în care L Ld (0, 1), atunci fa este izomorfism în Ld (0, 1) dacă și numai dacă a are un complement.
Demonstrație: Faptul că fa este morfism de latici este imediat.
Fie acum x, y L a.î. fa (x) = fa (y) adică x a = y a și x a = y a. Cum L Ld, atunci x = y , deci fa este ca funcție o injecție, adică fa este morfism injectiv în Ld.
Să presupunem acum că L Ld (0, 1). Dacă fa este izomorfism în Ld (0, 1), atunci pentru (0, 1) (aa) va exista x L a.î. f (x) = (0, 1), adică a x = 0 și a x = 1, de unde x = a.
Reciproc, dacă aL este complementul lui a, pentru (u, v) (aa) alegând x = (ua) v deducem imediat că fa (x) = (u, v), adică fa este și surjecție, deci izomorfism în Ld (0, 1).
Definiția 1.4.11. Numim latice Boole orice latice complementată din Ld (0, 1).
Exemple.
Lanțul trivial 1 = ca și 2 = 0, 1(în care 0= 1 și 1= 0). De fapt 1 și 2 sunt singurele lanțuri ce sunt latici Boole.
Pentru orice mulțime M, (P(M), ) este o latice Boole în care pentru orice X M, X = M \ X = CM (X).
Fie n ℕ, n 2 iar Dn mulțimea divizorilor naturali ai lui n.
Mulțimea ordonată (Dn, ∣ ) este latice Boole n este liber de pătrate (în care
caz pentru p, q Dn, p q = (p, q), p q = p, q, 0 = 1, 1 = n iar p= n / p).
Fie M o mulțime iar 2M f : M 2. Definim pe 2M relația de ordine f g
f (x) g (x) pentru orice xM. Astfel (2M, ) devine latice Boole (în care caz pentru f 2M, f= 1 – f).
Definiția 1.4.12. Din punctul de vedere al Algebrei Universale, prin algebră Boole înțelegem o algebră (B, , , , 0, 1) de tipul (2, 2, 1, 0, 0) (cu și operații binare, o operație unară iar 0, 1 B operații nule) a.î.
B1: (B, , ) Ld
B2: Sunt verificate identitățile x 0 = 0, x 1 = 1.
x x = 0, x x = 1.
În cele ce urmează prin B vom desemna clasa algebrelor Boole.
Dacă B1, B2 B, f : B1 B2 va fi morfism de algebre Boole dacă f este morfism în Ld (0, 1) și în plus f (x) = (f (x))pentru orice x B1.
Morfismele bijective din B se vor numi izomorfisme.
Propoziția 1.4.13. (Glivenko) Fie (L,,*,0) o inf-semilatice pseudocomplementată iar R (L) = {a* | a L}. Atunci, cu ordinea indusă de pe L, R (L) devine algebră Boole.
Demonstrație: Ținând cont de Teorema 1.4.8. deducem că L este mărginită (1 = 0*) iar pentru a, b R (L), a b R (L) iar sup R (L) a, b= (a* b*)* astfel că R (L) este latice mărginită și sub-inf-semilatice a lui L.
Deoarece pentru aR (L), a a* = (a* a**)* = 0* = 1 și a a* = 0 deducem că a* este complementul lui a în R (L). Mai rămâne de probat faptul că R (L) este distributivă.
Pentru x, y, z R (L), x z x (y z) și y z x (y z), deci x z x (y z)* = 0 și (y z) x (y z)* = 0 astfel că z x (y z)* x*, y*, adică z x (y z)* x* y* și z x (y z)* (x* y*)* = 0 ceea ce implică z (x* y*) x (y z)**. Cum partea stângă a acestei ultime inegalități este z (x y) iar partea dreaptă este x (y z) (în R (L)), deducem că z (x y) x (y z), adică R (L) este și distributivă.
Lema 1.4.14. Fie B B și a, b B a.î. a b = 0 și a b = 1. Atunci b = a.
Demonstrație: Rezultă imediat din Lema 1.4.2..
Lema 1.4.15. Dacă B B și a, b B, atunci (a) = a, (a b) = a b iar (a b) = a b.
Demonstrație: Rezultă imediat din Lema 1.4.4..
Propoziția 1.4.16. Dacă M este o mulțime oarecare, atunci algebrele Boole 2M și P(M) sunt izomorfe.
Demonstrație: Fie X P(M) și a X :M2,
Se verifică imediat că asocierea X X definește un izomorfism de algebre Boole : P(M) 2M.
Pentru B B și a B, vom nota I (a) = 0, a.
Propoziția 1.4.17. Pentru orice a B:
(i) (I (a),, , *, 0, a) B, unde pentru x I(a), x* = x a
(ii) a : B → I (a), a (x) = a x pentru x B este un morfism surjectiv din B
(iii) B I (a) I (a).
Demonstrație:
(i). I (a) Ld (0, 1) (ca sublatice a lui B). Pentru x I (a), x x* = x (xa) =(x x) a = 0 a = 0 iar x x= x (xa) = (x x) (x a) = 1 (x a) = x a = a.
(ii). Dacă x, y B, atunci a (x y) = a (x y) = (a x) (a y)= a (x) a (y), a (x y) = a (x y) = (a x) (a y) = a (x) a (y), a (x) = a x= (a a) (a x) = a (ax) = a (a x)= (a (x))*, a 00 iar a (1) = a, adică a este morfism surjectiv în B.
(iii). Se verifică ușor că : B I (a) I (a), (x) = (a x, ax) pentru x B este morfism în B.
Pentru (y, z) I (a) I (a), cum (y z) = (a (y z), a(y z)) = ((a y) (a z), (ay)(az)) = (y 0, 0 z) = (y, z) deducem că este surjecție. Fie acum x1, x2 B a.î. (x1) = (x2).
Atunci a x 1 = a x2 și ax1 = ax2, deci (a x1)(ax1) =(a x2) (ax2) (a a) x1 = (a a) x2 1 x1 = 1 x2 x1 = x2, de unde concluzia că este izomorfism în B.
CAPITOLUL 3
APLICATII
A1. Să se arate că dacă L este o latice, atunci pentru orice trei elemente a,b,c L avem:
(i) a b a c b c și a c b c;
(ii) (a b) (a c) a (b c);
(iii) a (b c) (a b) (a c);
(iv) (a b) (b c) (a c) (a b) (b c) (a c);
(v) (a b) (a c) a (b (a c)).
Soluție:
(i). Din a b rezultă că a c bc, ac bc.
(ii). Din b, c b c deducem că a b, a c a(bc), de unde (a b) (a c) a (b c).
(iii). Din b c b, c deducem că a (b c) a b, a c, deci a (b c) (a b) (
a c).
(iv). Avem (a b) (b c) b (a c) ( conform cu (ii)), de unde (a b) (b c) (c a) (b (a c)) (c a) ((c a) b) ((c a) (a c)) ( conform cu (ii))
= ((c a) b) ( a c) (c b) (a b) ( a c) ( conform cu (ii)).
(v). Avem a b a iar a c b (a c), de unde (a b) (a c) a (b (a c)).
A2. (Dedekind). Să se arate că pentru o latice L următoareleafirmații sunt echivalente:
(i) Pentru orice a, b, c L, c a, avem a (b c) = (a b)c;
(ii) Pentru orice a, b, c L, dacă c a, atunci a (b c) (a b) c;
(iii) Pentru orice a, b, c L avem ((a c) b) c =(a c) (b c);
(iv) Pentru orice a, b, c L, dacă a c, atunci din a b = c b și a b = c b deducem că a = c;
(v) L nu are sublatici izomorfe cu N5, unde N5 are următoarea diagramă Hasse:
Observație. O latice în care se verifică una din echivalențele de mai sus se zice modulară.
Soluție:
Cum în orice latice, dacă c a, atunci (a b) c a (b c), echivalența (i) (ii) este imediată.
(i) (iii). Rezultă din aceea că a c c.
(iii) (i). Fie a, b, c L a.î. a c. Atunci a = a c, deci (a b) c = ((a c)b) c = (a c) (b c) = a (b c).
(i) (iv). Avem a = a (a b) = a (c b) = a (b c) = (a b) c = (c b) c = c.
(iv) (v). Evident.
(v) (i). Să presupunem că L nu satisface (i). Există atunci a, b, c în L a.î. a c, iar a (b c) (a b) c. Să observăm că b c <a (b c) < (a b) c < a b, b c < b < a b, a (b c) ≰ b și b ≰ (a b) c.
Obținem în felul acesta diagrama Hasse a unei sublatici a lui L izomorfă cu N5 :
(observând și că (a (bc)) b = a ((bc) b) = a b și ((a b) c) b = ((a b) b) c = b c), ceea ce este absurd.
A3. Să se arate că pentru o latice L următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) a (b c) = (a b) (a c) pentru orice a, b, c L;
(ii) a (b c) = (a b) (a c) pentru orice a, b, c L;
(iii) a (b c) (a b) (a c) pentru orice a, b, c L;
(iv) (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) pentru orice a, b, c L;
(v) Pentru orice a, b, c L, dacă a c = b c și a c = b c, atunci a = b;
(vi) L nu are sublatici izomorfe cu N5 sau M5, unde M5 are următoarea diagramă Hasse:
Observație. O latice în care se verifică una din echivalențele de mai sus se zice distributivă.
Soluție:
(i) (ii). Din (i), (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c) = a (c (a b)) = (cu (i)) = a ((c a) (c b)) = a (c a) (c b) = a (c b) = a (b c).
(ii) (i). Analog.
(i) (iii). Rezultă din aceea că pentru oricare elemente a, b, c L, (a b) (a c) a (b c).
(i) (iv). Considerăm că L satisface (i) și fie a, b, c L.
Atunci :
(a b) (b c) (c a) = (((a b) b) ((a b) c)) (c a) = (b ((a c) (b c))) (c a) = (b (a c)) (c a) = (b (c a)) ((a c) (c a)) = ((b c) (b a))
(a c) = (a b) (b c) (c a).
(iv) (i). Deducem imediat că L este modulară, deoarece
dacă a, b, c L i a c, (a b) c = (a b) ((b c) c) = (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) a = ((a b) a) (b c) = a (b c). Cu
această observație, distributivitatea lui L se deduce astfel:
a (b c) = (a (a b)) (b c) = ((a (c a)) (a b) (b c) = a (a b) (b c) (c a)=a ((a b) (b c)(c a)) = (a ((a b) (b c))) (c a) = (datorită modularității) = (a (b c)) (a b) (c a) = (datorită modularității) = (a b) (a c).
(i) (v). Dacă a c = b c și a c = b c, atunci a = a (a c) =a (b c) = (a b) (a c) = (a b) (b c) = b (a c) = b (b c) = b.
(v) (vi). Să admitem prin absurd că atât N5 cât și M5 sunt sublatici ale lui L. În cazul lui N5 observăm că b c = b a = 0, b c = b a = 1 și totuși a c iar în cazul lui M5, b a = b c = 0, b a = b c = 1 și totuși a c – absurd!
(vi) (i). Conform problemei 2.2., dacă L nu are sublatici
izomorfe cu N5 atunci ea este modulară. Cum pentru oricare a, b, c L avem: (a b) (b c) (c a)(a b) (b c) (c a), să presupunem prin absurd că există a, b, c L a.î. (a b) (b c) (c a) < (a b) (b c) (c a). Notăm d = (a b) (b c) (c a), u = (a b) (b c) (c a), a= (d a) u, b= (d b) u i c= (d c) u. Diagrama Hasse a mulțimii d, a, b, c, ueste
Cum d, a, b, c, uL este sublatice, dacă vom verifica faptul că elementele d, a, b, c, u sunt distincte, atunci sublaticea d, a, b, c, uva fi izomorfă cu M5 ceea ce va fi contradictoriu cu ipoteza pe care o acceptăm.
Deoarece d < u, vom verifica egalitățile ab= bc= ca= u, ab= bc= ca= d și atunci va rezulta și că cele 5 elemente d, a, b, c, u sunt distincte.
Datorită modularității lui L avem: a= d (a u), b= d (b u), c= d (c u) iar datorită simetriei este suficient să demonstrăm doar că ac= d.
Într-adevăr, ac= ((d a) u) ((d c) u) = (d a)(d c) u=((a b)(b c)(c a)a) (d c) u = ((b c) a) (d c) u = ((b c) a) ((a b) c) (a b) (b c) (c a) = ((b c) a) ((a b) c) = (b c) (a ((a b) c) (datorită modularității) = (b c) (((a b) c) a) = (b c) ((a b) (c a)) (datorită modularității) = d.
A4. Să se arate că orice mulțime total ordonată este o latice distributivă.
Consecință: (ℝ, ) este o latice distributivă.
Soluție:
Fie (L, ) o mulțime total ordonată și x,y,z L. Atunci între x,y,z există o anumită relație de ordonare, spre exemplu: x y z. Atunci x ( y z ) = ( x y ) ( x z) x z = x x x = x, ceea ce este adevărat. Analog și pentru celelalte cazuri.
A5. Să se arate că ( ℕ, | ) este o latice distributivă cu 0 și 1.
Soluție:
Conform problemei 3.1. din paragraful anterior, relația de divizibilitate este o relație de ordine de pe ℕ. Elementul 0 în acest caz este 1ℕ deoarece 1| n, oricare ar fi n ℕ, iar elementul 1 este 0 ℕ, deoarece n | 0, oricare ar fi n ℕ.
Arătăm că inf{m,n} = (m,n) ( c.m.m.d.c. al elementelor m și n) iar sup{m,n} = [m,n] (c.m.m.m.c. al elementelor m și n).
Fie (m,n) = d. Evident d | m și d | n iar dacă d| m și d| n , conform definiției c.m.m.d.c., d | d. Deci m n = (m,n).
Analog pentru supremum.
Pentru distributivitate trebuie să arătăm, spre exemplu, că: ( m, [n, p] ) = [(m, n), (m, p)], oricare ar fi m, n, pℕ.
Folosim descompunerea în factori primi a numerelor m ,n, p:
cu i, i, i ℕ, i = 1,..,t (p1,…,pt fiind numerele prime ce apar în descompunerea lui m, n, p, atunci când nu apar completându-se cu exponenți nuli). Relația de demonstrat se reduce la: min (i, max ( i,i ) ) = max ( min (i,i), min ( i,i) ), oricare ar fi i = 1,…,t, ceea ce este adevărat ținând cont de problema 2.4.
A6. Dacă M este o mulțime, atunci ( P(M), ) este o latice distributivă cu 0 și 1.
Soluție:
Relația de incluziune este o relație de ordine.
Dacă A, B P(M), atunci inf{A,B} = A B, iar sup{A,B} = AB, deci (P(M), ) este o latice. Cel mai mic element al acestei latici este iar cel mai mare element este M.
Prin dublă incluziune se verifică imediat că A(BC) = (AB)(AC), oricare ar fi A, B, C P(M), deci laticea (P(M), ) este distributivă.
A7. Să se arate că laticea N5 nu este modulară.
Soluție:
Reamintim că N5 are diagrama Hasse:
Observăm că a < c, pe când a (b c) = a 0 = a iar (a b) c = 1 c = c, astfel că a (b c) (a b) c.
A8. Să se demonstreze că orice latice distributivă este modulară, reciproca nefiind adevărată.
Soluție:
Fie L o latice distributivă. Atunci a (b c) = (a b) (a c), () a,b,c L.
Dacă luăm c a atunci relația de mai sus devine a (b c) = (a b) c, adică L este o latice modulară.
Considerăm laticea M5 ce are diagrama Hasse:
Aceasta este modulară (se verifică direct prin calcul) dar nu este distributivă ( de exemplu, a (b c) = a 1 = a iar (a b) (a c) = 0 0 = 0).
A9. Fie L o mulțime și , : L L L două operații binare asociative, comutative, idempotente și cu proprietatea de absorbție ( adică pentru orice x,y L avem x ( x y) = x și x ( x y) = x).
Să se arate că:
(i) Pentru orice x,y L, x y = x x y = y;
(ii) Definind pentru x,y L:
x y x y = x x y = y,
atunci (L, ) devine o latice în care și joacă rolul infimumului și respectiv supremumului.
Soluție:
(i). Dacă x y = x cum y (x y) = y y x = yx y = y. Dual, dacă x y = y x y = x.
(ii). Cum x x = x x x.
Dacă x y și y x x y = x și y x = y x = y.
Dacă x y și y z x y = x și y z = y. Atunci xz = (x y) z = x ( y z) = x y = x , adică x z.
Deci (L, ) este o mulțime ordonată.
Să arătăm că pentru x,yL, inf{x,y}= x y iar sup{x,y} = x y.
Cum x (x y) = x x y x. Analog x y y. Dacă mai avem t L a.î. t x și t yt x = t, t y = t iar t (x y) = (t x) y = t y = t t x y.
Analog se arată că sup{x,y} = x y.
A10. (Scholander). Fie L o mulțime și , : L LL două operații binare. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) (L, , ) este o latice distributivă;
(ii) În L sunt adevărate următoarele identități:
1) x (x y) = x;
2) x (y z) = (z x) (y x).
Soluție:
(i) (ii). Evident;
(ii) (i). Din 1) și 2) rezultă că:
x = x (x x) = (x x) (x x) ;
x x = (x x )((x x) (x x)) = (x x) x;
x x = x ((x x)(x x)) = ((x x) x)((x x) x) = (x x) (x x) = x ;
x x = (x x) (x x) = x, astfel rezultă idempotența lui și .
Pentru comutativitate și absorbția duală:
x y = x (y y) = (y x) (y x) = y x;
(x y) x = (y x) (x x) = x (x y) = x;
x (y x) = (x x)(y x) = x (x y) = x ((x y)((x y)x))=(x x) ((x y) x)=x ((x y) x)=x x= x;
x y = (x (y x))(y(y x)) = (y x)(y x) =y x.
Asociativitatea:
x ((x y) z) = (x (x y))(x z) = x (x z) = x;
x (y z) = (x ((x y) z)) (y ((y x) z)) (z ((x y) z)) = ( x ((x y) z))[((x y) z) (y z)] = ((x y) z) (x (y z));
(x y)z = z (yx) = ((z y) x) (z(yx)) = ((x y) z) (x (yz)) = x (y z).
Astfel, conform problemei 2.9., (L, , ) este latice iar din 2) deducem că ea este distributivă.
A11. (Ferentinou-Nicolacopoulou). Fie L o mulțime, 0 L și , : L L L două operații binare. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) (L, , ) este o latice distributivă cu 0;
(ii) În L sunt adevărate următoarele identități:
1) x (x y) = x;
2) x (y z) = (z (x 0)) (y (x 0)).
Soluție:
(i) (ii). Evident.
(ii) (i). Demonstrăm că x 0 = x și totul va rezulta din problema anterioară.
Dar, x x = (x (x 0)) (x (x 0)) = x (x x) = x;
x x = x (x x) = x;
x y = x (y y) = (y(x 0))(y (x 0)) = y(x 0);
x 0 = (x 0) (x 0) = x (x 0) = x.
A12. Fie L o latice mărginită și distributivă, (ai)iI L iar cL un element ce are complement.
Să se arate că:
(i) Dacă există ai în L, atunci c ( ai) = (c ai);
(ii) Dacă există ai în L, atunci c (ai)= (c ai).
Soluție:
(i). Presupunem că a =ai există. Atunci a ai și deci c a c ai, oricare ar fi iI. Fie acum b c ai, oricare ar fi i I; atunci cb c(c ai) = (cc) (cai) = 1 (cai ) = cai ai, oricare ar fi i I, deci cb a.
Atunci c (cb) c a (c c) (c b) c a 0 (c b) c a c b c a b c a, astfel căc a =(c ai).
(ii). Din (i) prin dualizare.
A13. Fie (G,·) un grup iar L(G,·) ( sau L(G) dacă nu este pericol de confuzie în ceea ce privește operația algebrică de pe G) mulțimea subgrupurilor lui G.
Să se arate că (L(G,·), ) este o latice completă.
Soluție:
Pentru M G vom nota prin Msubgrupul lui G generat de M. Dacă {Hi}iI este o familie de subgrupuri ale lui G, atunci Hi = i iar = i.
A14. Să se arate că în laticea (L(ℤ,+), ) pentru H = mℤ și K = nℤ ( cu m,n ℕ) avem:
(i) H K n | m;
(ii) H K = [m,n]ℤ;
(iii) H K = (m,n)ℤ;
(iv) Să se deducă faptul că laticea (L(ℤ,+), ) este distributivă.
Soluție:
(i). Evidentă.
(ii). Dacă notăm d = [m,n], atunci cum m | d, n | d, din (i) deducem că dℤmℤ și dℤnℤ. Fie acum L = pℤ L(ℤ,+) (cu pℕ) a.î. L H și L K. Din (i) deducem că m | p și n | p. Atunci d | p, adică L dℤ, de unde concluzia că H K = HK = [m,n]ℤ.
(iii). Analog cu (ii).
(iv). Dacă H, K, L L(ℤ,+), H = mℤ, K = nℤ și L = pℤ (cu m, n, p ℕ) atunci ținând cont de (ii) și (iii) avem:
H (K L) = [m, (n, p)]ℤ iar (H K) (H L) = ([m, n], [m, p])ℤ și cum [m, (n, p)] = ([m, n],[m, p]) (conform problemei 2.5.), deducem că H (K L) = (H K) (H L), adică (L(ℤ,+), ) este distributivă.
A15. Să se dea exemple de grupuri G pentru care laticea (L(G), ) nu este distributivă.
Soluție:
Contraexemplul ne este oferit de G = (ℤ,+) (ℤ,+) .
A16. Fie G un grup iar L0(G,·) mulțimea subgrupurilor normale ale lui G.
Să se arate că L0(G) este sublatice modulară a lui L(G).
Soluție:
Este evident că {1} și G fac parte din L0(G). Fie acum H, K L0(G), x G și h H∩K. Atunci xhx-1 H, K deci xhx-1 H∩K, adică H∩K L0(G).
Să arătăm acum că H K = HK = KH (unde HK= {hk|h H, k K}). Avem HK = = = KH.
În mod evident H, K HK iar dacă alegem S ≤ G a.î. H, K S atunci HK S, adică HK = KH = HK. Pentru a arăta că HK ⊴ G, fie x G, h H și k K.
Scriind x(hk)x-1 = (xhx-1)(xkx-1), cum xhx-1 H și xkx-1 K, deducem că x(hk)x-1 HK, adică HK ⊴ G, deci și HK L0(G). Am demonstrat deci că L0(G) este sublatice (mărginită) a lui L(G). Pentru a proba că L0(G) este modulară (conform problemei 2.2.) fie H, K, L L0(G) a.î. H K și să arătăm că K(HL) = H(KL). Este suficient să probăm incluziunea K∩(HL) H(K∩L) (cealaltă fiind evidentă) iar pentru aceasta fie x K∩(HL). Atunci x K și x HL ceea ce implică x = yz cu y H și z L. Avem z = y-1x K și cum z L deducem că z K∩L. Cum y H rezultă x = yz H(K∩L), adică avem K∩(LH) H(K∩L).
A17. Dacă M este un A-modul, atunci notând prin LA(M) mulțimea submodulelor lui M, să se arate că (LA(M), ) este o latice completă, modulară.
Soluție:
Trebuie să arătăm (conform problemei 2.2.) că dacă P, Q, R ∈ LA(M) și R ⊆ P, atunci P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨R P∩(Q+R) = (P∩Q)+R (căci QR = Q + R = {x+yx Q și y R}).
Cum incluziunea (P∩Q)+R ⊆ P∩(Q+R) este evidentă, fie x ∈ P∩(Q+R).Atunci x ∈ P și x = y+z cu y ∈ Q și z ∈ R. Cum R ⊆ P deducem că y = x-z ∈ P și cum y ∈ Q avem că y ∈ P∩Q, adică x ∈ (P∩Q)+R, deci este adevărată și incluziunea P∩(Q+R) (P∩Q)+R, de unde egalitatea P∩(Q+R) = (P∩Q)+R.
Observație. 1. În general, laticea (LA(M), ⊆) poate să nu fie distributivă. Contraexemplul ne este oferit de ℤ-modulul M = ℤ×ℤ .
2. Laticea submodulelor ℤ-modulului ℤ (adică laticea idealelor inelului (ℤ, +, ⋅)) este distributivă. Într-adevăr, dacă avem trei ideale I, J, K ale inelului ℤ atunci I = mℤ, J = n, K = pℤ cu m, n, p ∈ ℕ. Se verifică imediat că I∩J=[m, n]ℤ iar IJ = (m, n)ℤ, astfel că egalitatea I∩(J∨K) = (I∩J)∨(I∩K) este echivalentă cu [m, (n, p)] = ([m, n], [m, p]) iar ultima egalitate este adevărată ( vezi și problema 2.14.).
A18. Fie L o latice completă cu 0 și f : LL o aplicație izotonă. Să se demonstreze că există a L a.î. f(a) = a.
Soluție:
Fie A = { x L | x f(x) } căci (0 A). Cum A L și L este completă rezultă că există a L, a = sup A. Atunci x a, oricare ar fi x A, deci x f(x) f(a), oricare ar fi x A. Rezultă că a f(a), deci f(a) f(f(a)), adică f(a) A. Cum a = supA, rezultă că f(a) a, de unde deducem egalitatea a = f(a).
A19. Fie L o latice. Presupunând că pentru orice a, b L există:
a b = sup {x L | a x b},
să se arate că L este o latice distributivă .
Observație. a b se numește de pseudocomplementul lui a relativ la b.
Soluție:
Conform problemei 2.3. trebuie să demonstrăm, spre exemplu, că x (y z) = ( x y ) ( x z ), oricare ar fi x, y, z L. Cum inegalitatea ( x y ) ( x z ) x ( y z ) este adevărată în orice latice (vezi problema 2.1. (ii)), trebuie să demonstrăm doar inegalitatea x ( y z ) ( x y ) ( x z).
Fie ( x y ) ( x z) = t, atunci x y t și x z t. Din definiția pseudocomplementului rezultă că y x t și z x t, deci y z x t, adică x (y z t, ceea ce trebuia demonstrat.
A20. Să se arate că dacă mulțimea (P, ) este o latice iar A o mulțime oarecare, atunci și Hom(A, P) este o latice.
Soluție:
Conform problemei 2.13. , este o relație de ordine pe Hom (A, P).
Pentru f, g Hom (A, P), definind h,t : A P astfel: h(x) = f(x) g(x) și t(x) = f(x) g(x), oricare ar fi x A (lucru posibil deoarece P este latice), deducem imediat că h = f g și t = f g, adică Hom (A,P) este latice.
A21. Fie C[0,1] = { f : [0,1] ℝ | f este continuă}.
Pentru f, g C[0,1] definim f g f(x) g(x), oricare ar fi x [0,1]. Să se demonstreze că (C[0,1], ) este o latice.
Soluție:
Faptul că (C[0,1],) este mulțime ordonată rezultă din problema anterioară pentru A = [0,1] și P = ℝ, ambele mulțimi fiind ordonate (chiar latici).
Dacă f, gC[0,1], cum funcția modul este continuă avem:
f g =max (f,g) = C[0,1] și f g = C[0,1], astfel că (C[0,1], ) este o latice.
A22. Fie L o latice și X ,Y două submulțimi finite ale lui L. Să se arate că:
inf ( X ) inf (Y ) = inf ( X Y ).
Soluție:
Deoarece X, Y sunt submulțimi finite ale laticei L, atunci există inf X, inf Y și inf (X Y). Fie a = inf X și b = inf Y și z = a b. Deci a x, oricare ar fi x X, b y, oricare ar fi y Y și z a, z b. Atunci z x, z y, oricare ar fi x X și oricare ar fi y Y. Deci z t, oricare ar fi t X Y. Fie s L a.î. s t, oricare ar fi t X Y, deci s x, oricare ar fi x X și s y, oricare ar fi y Y. Cum a = inf X și b = inf Y rezultă că s a și s b, și deoarece z = a b, avem că s z, deci z = inf (X Y).
A23. Dacă o latice conține un element maximal (minimal) atunci acesta este unic.
Soluție:
Presupunem că x și y sunt ambele elemente maximale ale lui L. Cum x x y și y x y și deoarece x și y sunt maximale, rezultă că x = x y = y, adică x = y. Pentru cazul elementului minimal procedăm prin dualizare.
A24. Dacă (L, ) este o sup – semilatice și S L este o submulțime nevidă a sa, atunci idealul (S] generat de S este caracterizat de:
(S] = { a L | există s1, …, sn S a.î. a s1 …sn}.
Observație. În particular, idealul principal generat de un element s L este caracterizat de:
(s]= { a L | a s}.
Soluție:
Fie = { a L | există s1, …, sn S a.î. a s1 … sn}. Se verifică imediat că este ideal al lui L ce conține pe S, de unde incluziunea (S] .
Fie I un ideal al lui L ce conține pe S și a . Atunci există s1, …, sn S I a.î. a s1 …sn. Deducem imediat că a I, deci {I | I I(L) și S I } = (S].
Din (S] și (S] deducem că (S] = .
A25. Dacă (L, ) este o inf – semilatice și S L este o submulțime nevidă a sa, atunci filtrul [S) generat de S este caracterizat de:
[S) = { a L | există s1, …, sn S a.î. s1 …sn a}.
Observație. În particular, filtrul principal generat de un element s L este caracterizat de:
[s)= { a L | s a}.
Soluție:
Totul rezultă din dualizarea soluției de la problema 2.24.
A26. Pentru o latice L notăm prin I(L) ( respectiv F(L)) mulțimea idealelor (filtrelor) lui L. Să se demonstreze că (I(L), ) și (F(L), ) sunt latici complete.
Soluție:
Dacă (Ik)kK este o familie de ideale ale lui L, atunci Ik = k iar Ik = (k]
Dacă L are 0, atunci 0 (în I(L)) = {0} iar 1 = L.
Pentru filtre raționăm prin dualizare. Dacă L are 1 atunci 0 ( în F(L)) = {1} iar 1= L.
A27. Pentru o latice L și o submulțime F L următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) F este filtru prim ( adică este o mulțime nevidă proprie a.î. pentru orice x, y L, x y F x F sau y F);
(ii) F este filtru propriu și pentru orice x, y L, x y F x F sau y F;
(iii) I = L \ F este ideal prim (adică o mulțime nevidă proprie a.î. pentru orice x, y L, x y I x I sau y I);
(iv) Există un morfism surjectiv de latici h : L{0,1} a.î. F = h-1({1}).
Soluție:
(i) (ii). Evident, deoarece pentru orice filtru F și x, y F x y F ( căci x, y x y).
(ii) (iii). Dacă x, y I atunci x,y F, deci x y F x y L\F = I. Alegând x, y L cu x y și y I = L\F y F.
Atunci x F (căci în caz contrar am deduce că y F), deci x L\F = I, adică I este un ideal.
Fie acum x, y L a.î. x y I. Dacă prin absurd x I și y I, atunci x, y F x y F x y I – absurd!.
(iii) (ii). Prin dualizarea implicației precedente.
(ii) (iv). Fie h : L {0,1}, h(x) = 1 dacă x F și h(x) = 0 dacă x L \ F. Atunci h este surjecție deoarece F L. Dacă x, y L atunci h(x y) = 1 x y F x, y F
(x y x, y și F filtru) h(x) = h(y) = 1 h(x) h(y) = 1, deci h(x y) = h(x) h(y), oricare ar fi x, y L. Analog se arată că h(x y) = h(x) h(y) oricare ar fi x, y L. Deci h este un morfism surjectiv de latici și F = h-1({1}).
(iv) (ii). Deoarece h este surjecție avem că F L.
Atunci x y F h(x) h(y) = h(x y) = 1 h(x) = h(y) x F și y F, deci F este un filtru propriu.
A28. (Teorema filtrului (idealului) prim). Fie L o latice distributivă, F un filtru și I un ideal al lui L. Dacă FI = atunci există un filtru prim P a.î. F P, PI = și un ideal prim J a.î. I J, JF = .
Soluție:
Fie G = { F| Ffiltru a.î. FFși FI = }. Astfel G este inductiv ordonată și din lema lui Zorn rezultă că G are un element maximal P. Deoarece PG, rămâne să arătăm că P este prim. P este filtru propriu deoarece PI = . Presupunem că P nu este prim, atunci există a, bL a.î. a b P, a P și b P (conform problemei 3.2.27.). Fie X = P{a}. Atunci [X)I , căci altfel [X) G și P[X) ceea ce contrazice maximalitatea lui P. Fie x [X)I, deci există p P a.î. p a x și deoarece x I rezultă că p a I. Analog există q P a.î. q b I. Deci (p a) (q b) I. Dar (p a) (q b) = (p q) (p b) (q a) (a b) P, deci IP , ceea ce este o contradicție. Deci P este un filtru prim.
Rezultatul pentru ideale se obține prin dualizare.
A29. Fie L o latice distributivă. Dacă I este un ideal (filtru) al lui L și a L \ I, atunci există un filtru (ideal) prim P al lui L a.î. a P și PI = .
Soluție:
Aplicăm problema 2.28. pentru F = [a) (respectiv I = (a]) (avem că IF , căci dacă am avea x F I atunci x a, deci a I – absurd).
A30. Fie L o latice distributivă. Dacă F este un filtru (ideal) al lui L și b L \ F, atunci există un filtru (ideal) prim P al lui L a.î. FP și b P.
Soluție:
Aplicăm problema 2.28. pentru I = (b] (respectiv F = [b)).
A31. Fie L o latice distributivă. Dacă a, b L a.î. a ≰ b, atunci există un filtru (ideal) prim P al lui L a.î. a P și b P.
Soluție:
Aplicăm problema 2.29. pentru I = (b] și F = [a).
A32. Să se demonstreze că într-o latice distributivă orice filtru propriu este inclus într-un filtru prim și este o intersecție de filtre prime.
Soluție:
Fie F un filtru propriu. Fie ℱ={P | P filtru prim a.î. FP}. Conform problemei 2.30. ℱ nu este mulțimea vidă. Fie F= ∩{P | P ℱ} și arătăm că F = F. Presupunem că există a F\ F, deci conform problemei 2.30. există un filtru prim P ℱ a.î. a P, ceea ce contrazice faptul că a F.
A33. Să se demonstreze că într-o latice distributivă orice filtru maximal este prim.
Soluție:
Fie F un filtru maximal. Atunci F este inclus într-un filtru prim P (vezi problema 2.28.), deci F = P din maximalitatea lui F.
A34. Fie L o latice modulară și a, b L. Atunci: [a b, a] [b, a b] (izomorfism de latici).
Observație. Acest rezultat este cunoscut sub numele de principiul de transpunere al lui Dedekind.
Soluție:
Se probează imediat că f : [a b, a] [b, a b], f(x) = x b pentru orice a b x a este izomorfismul căutat ( inversul lui f fiind g : [b, a b][a b, a], g(x) = x a, pentru orice b x a b).
A35. Să se demonstreze că o latice L cu 0 și 1 este distributivă dacă și numai dacă pentru oricare două ideale I și J ale lui L, I J = { i j | i I și j J}.
Soluție:
Să presupunem că L este distributivă. Ținând cont de problema 2.24. pentru t I J există I I și j J a.î. t i j, astfel că t = t (i j) = (t i) (t j) = ijcu i= i t I și j= j t J.
Pentru a proba afirmația reciprocă, să presupunem prin absurd că L nu este distributivă și să arătăm că există idealele I, J I(L) ce nu verifică ipoteza. Conform problemei 2.3., există elementele a,b,c L care împreună cu 0 și 1 formează una din laticile:
Fie I = (b], J = (c]. Cum a b c deducem că a I J . Dacă am avea a = i j cu I I și j J, atunci j c, deci j a c< b, adică j I și astfel a = i j I, deci a b, ceea ce este absurd!.
A36. Fie L o latice oarecare și x, y L.
Să se demonstreze că:
(i) (x] (y] = (x y] iar (x] (y] (x y];
(ii) Dacă L este distributivă cu 0 și 1, atunci: (x] (y] = (x y].
Soluție:
(i). Din echivalența t x y t x și t y deducem imediat egalitatea: (x] (y] = (x y].
Pentru cealălaltă incluziune, din x,y x y deducem că x,y (x y], deci (x], (y] (x y] și de aici (x] (y] (x y].
(ii). Să presupunem acum că L este distributivă cu 0 și 1 și să arătăm cealaltă incluziune: (x y] (x] (y]. Conform problemei 2.35., (x] (y] = {i j | i (x] și j (y]} = {i j | i x și j y}. Fie t x y; atunci t = t (x y) = ( t x) (t y) (x] (y] (deoarece tx (x], ty (y]), adică (x y] (x] (y].
A37. Fie L o latice distributivă cu 0 și 1 iar I, J I(L).
Să se demonstreze că dacă I J și I J sunt ideale principale, atunci I și J sunt ideale principale.
Soluție:
Să presupunem că I J = (x] și I J = (y]. Conform problemei 2.35., y = i j cu i I și j J. Dacă c = x i și b = x j, atunci c I, b J și să demonstrăm că I = (c] și J = (b].
Dacă prin absurd J (b], atunci există aJ \ (b], a > b. Se probează imediat că {x, a, b, c, y} este o sublatice izomorfă cu N5 – absurd (deoarece L este presupusă distributivă). Dacă I (c] se găsește analog o sublatice a lui L izomorfă cu N5 – absurd.
A38. Să se demonstreze că într-o latice distributivă L cu 0 și 1 un element nu poate avea decât cel mult un complement.
Soluție:
Fie a L și a, adoi complemenți ai lui a.
Din a a= 0 = a ași a a= 1 = a adeducem că a= a( L fiind distributivă).
A39. Fie L o latice distributivă cu 0 pseudocomplementată (adică pentru orice a L există a* = sup { x ∈ L | a x = 0} numit pseudocomplementul lui a).
Să se arate că L are 1 și pentru orice a, b ∈ L avem:
(i) a a* = 0;
(ii) a b = 0 a b*;
(iii) a b b* a*;
(iv) a a**;
(v) a*** = a*;
(vi) a b = 0 a** b = 0;
(vii) (a b)* = (a** b)* = (a** b**)*;
(viii) (a b)* = a* b*;
(ix) (a b)** = a** b**;
(x) (a b)** = a** b**.
Soluție:
În mod evident 1 = 0* iar (i) și (ii) rezultă din definiția pseudocomplementului.
(iii). Dacă a b a b* b b* = 0 a b* = 0 b* a*.
(iv). Dacă a* a = 0 a (a*)* = a**.
(v). Din a a** și (iii) deducem că a*** a* și cum a* (a*)** = a*** deducem că a*** = a*.
(vi). Dacă a b = 0 b a* a** b a** a* = 0 a** b = 0.
Dacă a** b = 0 cum a a** a b a** b = 0 a b = 0.
(vii). Din a a** a b a** b ( a** b)* (a b)*.
Vom demonstra că (a b)*a** b = 0 de unde vom deduce că (a b)* ( a** b)* ( adică egalitatea cerută). Ținând cont de (vi) avem: ((a b)* b)a** = 0 ((a b)*b)a = 0 (a b)*(a b) = 0 ( ceea ce este evident).
(viii). Cum L este distributivă avem (a b)(a* b*) = (a a* b*)(b a* b*) = 0 0 = 0. Fie acum x L a.î. (a b) x = 0. Deducem că ( a x) ( b x) = 0 adică a x = b x = 0 , de unde x a* și x b*, deci x a* b*.
(ix). Avem (a b)** a** , b**, deci (a b)** a** b**. Pentru inegalitatea inversă, din (a b) (a b)* = 0b [a(a b)*] = 0 b** [a(a b)*] = 0 a [b**(a b)*] = 0 a**[b**(a b)*] = 0 (a** b**)(a b)* = 0 a**b** ( (a b)*)* = (a b)**, de undeegalitatea din enunț.
(x). Din (viii) avem: (a** b**)** = (a*** b***)* = (a* b*) * = ((a b)*)* = (a b)**.
A40. Fie L o latice distributivă cu 0 și 1, a ∈ L iar acomplementul lui a în L.
Să se demonstreze că a(definit la problema 2.39.)coincide cu a 0 ( definit la problema 2.19).
Soluție:
Avem aa= 0 iar dacă mai avem x L a.î. a x = 0 atunci x = x 1= x ( aa) = ( x a) ( x a) = x aa, adică a= sup { xL ax = 0] = a* și cum a 0 = sup{x La x 0 }= sup{x La x = 0} deducem că a= a 0 = a*.
A41. (De Morgan). Fie L o latice distributivă cu 0 și 1.
Dacă a, b L iar aeste complementul lui a și beste complementul lui b, atunci a, a b și a b au complemenți și anume:
(a) = a, (a b)= abși (a b)= ab.
Soluție:
Faptul că (a)= a este imediat. Ținând cont de problemele 2.39., 2.40. și de principiul dualizării, este suficient să demonstrăm că (a b) ( ab) = 0 iar (a b) ( ab) = 1.
Într-adevăr, (a b)( ab)=(a b a) ( a b b)= 0 0 = 0 iar (a b) ( ab) = (a ab) ( b ab) =1 1 = 1.
A42. (Glivenko).Pentru o latice L distributivă cu 0 și pseudocomplementată notăm R(L) = {a* | a L}, D(L) = {a L | a* = 0} și considerăm L : L R(L), L(a) = a**, a L.
Să se arate că:
(i) R(L) = {a L | a = a**} și este sublatice mărginită a lui L;
(ii) D(L) este filtru al lui L iar D(L) R(L) = {1};
(iii) Pentru orice aL, a* a D(L);
(iv) L este morfism de latici pseudocomplementate (adică este morfism de latici cu 0 și 1 și în plus, L(a*) = (L(a))* pentru orice aL) iar L / D(L) R(L) ( izomorfism de latici cu 0 și 1).
Soluție:
(i). Ținând cont de problema 2.39. (v), egalitatea R(L) = { a L | a** = a} este imediată. Dacă a,b R(L), atunci a** = a, b** = b și din problema 2.39. (ix) deducem că (a b)** = a** b** = a b, de unde concluzia că a b R(L). De asemenea, tot conform problemei 2.39. (x), deducem că (a b)** = a** b** = a b, adică a b R(L). În mod evident, dacă a R(L) atunci și a* R(L) ( conform problemei 2.39. (v)),
Cum 1* = 0 și 0* = 1 avem că 0, 1R(L).
(ii). Dacă a L, b D(L) și b a atunci a* b* = 0, deci a* = 0, adică a D(L). Dacă a,b D(L), atunci a* = b* = 0 și cum (a b)* = (a** b**)* ( conform problemei 3.2.39. (vii)) deducem că (a b)* = (0* 0*)* = (1 1)* = 1* = 0, adică a b D(L), de unde concluzia că D(L) este filtru al lui L. Dacă a D(L) R(L), atunci a* = 0 și a = a**, de unde a = 0* = 1.
(iii). Conform problemei 2.39. (viii), avem (a a*)* = a* a** = 0, adică a a* D(L).
atunci L(a) = 1 a** = 1 a*** = 1* a* = 0 a D(L).
Astfel L / D(L) R(L).
(iv). Din problema 2.39. (v), (ix) și (x) rezultă că L este un morfism de latici pseudocomplementate. Conform primei teoreme de izomorfism a algebrei universale, L / Ker (L) Im L. Este evident că L este un morfism surjectiv, deci Im L = R(L).
Demonstrăm că Ker (L) este D(L). Dacă a D(L) atunci a* = 0, deci L(a) = a** = 0* = 1, deci a Ker (L). Dacă a Ker (L) atunci L(a) = 1 a** = 1 a*** = 1* a* = 0 a D(L).
Astfel L / D(L) R(L).
A43. Fie (Li)iI o familie de latici iar L = .
Să se arate că:
(i) L este latice iar pentru orice i I proiecția pi : LLi este morfism de latici;
(ii) Dubletul (L,(pi)iI) verifică următoarea proprietate de universalitate:
Pentru oricare alt dublet (L, (pi)iI) format dintr-o latice L și o familie de morfisme de latici pi¢ : L → Li există un unic morfism de latici u : L → L a.î. pi o u = pi, pentru orice iI.
Observație. Dubletul (L, (pi)iI) poartă numele de produsul direct al familiei de latici (Li)iI.
Soluție:
(i). Dacă x = (xi)iI și y = (yi)iI sunt două elemente ale lui L, atunci x y= (xi yi)iI iar x y = (xi yi)iI.
(ii). Se procedează ca în cazul produsului direct de mulțimi ordonate cu precizarea că mai trebuie verificat faptul că u este morfism de latici (ceea ce este aproape evident).
A44. Fie (Li)iI o familie de latici complete. Să se arate că și este o latice completă.
Soluție:
Fie F = (xj)jJ i( cu xj = ()iI pentru orice j J) o familie de elemente din i. Atunci sup (F) = (si)iI și inf (F) = (ti)iI unde pentru orice i I, si = sup {}jJ iar ti = inf {}jJ, adică i este completă.
A45. Să se arate că dacă (Li)i I este o familie de latici distributive cu 0 și 1, atunci este de asemenea o latice distributivă cu 0 și 1.
Soluție:
Dacă x = (xi)i I, y = (yi)i I și z = (zi)i I sunt trei elemente dini atunci: x (y z) = (xi (yi zi))i I = ((xi yi) (xi zi))i I = (x y) (x z).
A46. Fie L și Ldouă latici și f: L Lo funcție. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) f este morfism de latici;
(ii) pentru orice x, y L avem:
(1) x y f(x) f(y);
(2) f(x y) f(x) f(y);
(3) f(x) f(y) f(x y).
Soluție:
(i) (ii). Evident.
(ii) (i). Din x,y x y f(x), f(y) f(x y) f(x) f(y) f(x y) și cu ajutorul lui (2) deducem că f(x)f(y) = f(x y).
Dual, din x y x, y f(x y) f(x), f(y) f(x y) f(x) f(y) și cu ajutorul lui (3) deducem că f(x y) = f(x) f(y),adică f este morfism de latici.
A47. Fie L și Ldouă latici și f: L Lo funcție. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente:
(i) f este morfism bijectiv de latici (adică f este izomorfism de latici);
(ii) f este morfism bijectiv de mulțimi ordonate ( adică f este izomorfism de mulțimi ordonate).
Soluție:
(i) (ii). Dacă x,y L și x y x y = x f(x y) = f(x) f(x) f(y), adică f este morfism de mulțimiordonate ( deci izomorfism de mulțimi ordonate).
(ii) (i). Să arătăm că f este morfism de latici, iar pentru aceasta arătăm că mai sunt îndeplinite condițiile (2) și (3) de la problema 2.46..
Cum f este presupus izomorfism de mulțimi ordonate avem că x, yL, x y f(x) f(y). Astfel, f(x y) f(x) f(y) x y f -1(f(x) f(y)) ceea ce este evident deoarece din f(x) f(x)f(y) x f -1(f(x)f(y)) și analog y f -1(f(x)f(y)), de unde deducem că x y f -1(f(x)f(y)), adică este îndeplinită condiția (2). Analog deducem că este îndeplinită și condiția (3).
A48. Fie H o algebră Heyting (adică o latice cu 0 cu proprietatea că pentru orice a, b H există a b definit în cadrul problemei 2.19. ).
Să se demonstreze că H are 1 și că pentru orice x, y, z H avem:
(i) x (x y) y;
(ii) x y z y x z;
(iii) x y x y = 1;
(iv) y x y;
(v) x y z x z y și y z x z;
(vi) x (y z) = (x y) z;
(vii) x (y z) = x [(x y) (x z)];
(viii) x (x y) = x y;
(ix) (x y) z = (x z) (y z);
(x) x (y z) = (x y) ( x z);
(xi) (x y)* = x** y*.
Soluție:
Avem că 1 = a a pentru un a H deoarece pentru orice x H, cum a x a avem că x a a.
(i). Rezultă din definirea lui x y.
(ii). . Din definirea lui x y.
. Avem x y x (x z) z.
(iii). Avem x y = 1 1 x y x 1y x y.
(iv). Avem x y y y x y.
(v). Avem z (z x) x y deci z x z y iar x (y z) y (y z) z deci y z x z.
(vi). Avem x y [x (y z)] = y [x (x (y z))] y (y z) z deci x (y z) (x y) z.
Invers, x y [(x y) z] z deci x [(x y) z] y z și astfel (x y) z x (y z).
(vii). Avem x (x y) x și (x y) x (y z) x z, deci x (y z) (x y) (x z), de unde deducemcă x (y z) x [ (x y) (x z)].
Invers, x [ (x y) (x z)] x și y x [ (x y) (x z)] x z z, deci x [ (x y) (x z)] y z, deunde deducem că x [ (x y) (x z)] x (y z).
(viii). Clar x (x y) x, y. De asemenea x y x, x y, de unde egalitatea x (x y) = x y.
(ix). Din x, y x y (x y) z x z, y z. Invers, (x y) ( x z) (y z) [x ( x y)] [y (y z)] z z = z, deci ( x z) (y z)(x y) z.
(x). y z y, z x (y z) x y, x z.
De asemenea x ( x y) (x z) x y (x z) y z deci ( x y) (x z) x (y z).
(xi). Avem: y x y (x y)* y* și x* = x 0 x y (x y)* x** deci (x y)* x** y*.
Invers, x** y*(x y) = x** y* [(x y*) (y y*)] = x** y* [(x y*)0] = x** y* [(x y*) (0 y*)] = x** y* (x 0)= x** y*x* = 0, deci x** y* (xy)*, adică egalitatea cerută.
A49. Fie (L, ) un lanț cu 0 și 1. Să se demonstreze că L devine algebră Heyting, unde pentru a, bL,
Soluție:
În mod evident (L, ) devine latice. Să demonstrăm că a x b x ab.
Dacă a b avem de demonstrat că a x b x 1.
Într-adevăr, implicația este evidentă, iar pentru ținem cont că a x a b.
Să presupunem acum că b < a. Avem de demonstrat echivalența a x b x a b = b.
. Dacă a x a = a x b – absurd. Deci x < a și atunci x = a x b.
. Dacă x b atunci a x x b.
A50. Fie (X,) un spațiu topologic. Să se arate că dacă pentru D1,D2 definim D1D2= int[(X \ D1) D2], atunci (, , ) este o algebră Heyting.
Soluție:
În mod evident (, ,,) este o latice cu 0.
Fie D, D1, D2. Avem D1int [(X \ D1) D2] D1[(X \ D1) D2]=D1 D2.
Dacă D D1 D2 D (X \ D1) D2 D int[(X \ D1) D2 ]= D1 D2.
A51. Fie L o latice distributivă cu 0 și 1 iar aL un element ce are complementul a.
Să se demonstreze că:
L (a] (a] (a] [a) (izomorfism de latici cu 0 și 1 ).
Soluție:
Fie f : L (a] (a], f(x) = (x a, x a). Avem f(0) = (0,0) = 0 și f(1) = (a,a) = 1. Dacă x y atunci x a y a și x ay aadică f(x) f(y).
Dacă f(x) f(y) x a y a și x ay a(x a) (x a) (y a) (y a) x (a a) y (a a)x 1 y 1 x y.
Deducem în particular că f este injecție.
Pentru a proba că f este surjecție (deci bijecție) fie (u,v)(a] (a] ( adică u a și v a). Atunci f(u v) = ((u v) a, (u v) a) = ((u a) (v a), (u a) (v a)) = (u, v) deoarece u a = u, v a= v iar v a = u a= 0.
Deci f este izomorfism de mulțimi ordonate și din problema 2.47. deducem că f este izomorfism de latici.
Pentru celălalt izomorfism procedăm analog considerând g : L (a] [a), g(x) = (a x, a x).
Bibliografie
[1]. R. Balbes, Ph. Dwinger: Distributive Lattices, University of Missouri Press, 1974.
[2]. D. Bușneag, D. Piciu: Lecții de algebră, Ed. Universitaria, Craiova, 2002.
[3]. D. Bușneag, D.Piciu, F.Chirteș : Probleme de algebră, Editura Universitaria
Craiova, 2003.
[4]. S. Rudeanu: Axiomele laticilor și ale algebrelor booleene, Ed. Academiei, 1963.
Bibliografie
[1]. R. Balbes, Ph. Dwinger: Distributive Lattices, University of Missouri Press, 1974.
[2]. D. Bușneag, D. Piciu: Lecții de algebră, Ed. Universitaria, Craiova, 2002.
[3]. D. Bușneag, D.Piciu, F.Chirteș : Probleme de algebră, Editura Universitaria
Craiova, 2003.
[4]. S. Rudeanu: Axiomele laticilor și ale algebrelor booleene, Ed. Academiei, 1963.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Clase de Latici (ID: 158889)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.