Cercul de Matematica – Cadrul Optim de Afirmare Si Dezvoltare a Capacitatii Creatoare a Elevilor

CAPITOLUL II

Metode și procedee folosite în rezolvarea și compunerea

de probleme pentru stimularea gândirii creatoare a elevilor

II.1. Noțiunea de problemă și procesul de rezolvare al acesteia.

Importanța pe care programa școlară o acordă rezolvării de probleme este evidențiată de faptul că unul dintre cele patru obiective-cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate.Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare,ci despre a-i creea elevului situații noi de învățare, la care să răspundă cât mai adecvat ,în urma unui demers de explorare și investigare.Așa cum remarca G.Polya, a rezolvat o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate,înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.Acest sens larg și practic, concret al rezolvării de probleme, presupune cunoașterea de către învățători a comportamentului și baga- jului de cunoștințe a celui care rezolvă problema.

Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme care sporește odată cu participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate, este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția ,să formuleze ipoteze și apoi să le verifice ,să facă asociații de idei și corelații inedite etc.

În sens psihologic , ,,o problemă” este orice situație, dificultate, obstacol, întâmpinat în gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat. În general orice chestiune de natură practică sau teoretică ce reclamă o soluționare, o rezolvare poartă numele de problemă.

Prin noțiunea de ,,problemă de matematică” se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin procese de gândire și calcul. Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

Efortul pe care elevul îl face în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și normal, motivațional-afective.

Problemele îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni,definiții, reguli, tehnici de calcul) precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin operații logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme se formează la elevi priceperi și deprinderi de a analiză situația dată de problemă, de a intui și a descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii. De asemenea, contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la matematică, la formarea deprinderilor eficiente de muncă intelectuală, la cultivarea și educarea calităților moral-volitive.

O alta etapă o constituie compunerea de probleme care, pe lângă atingerea obiectivelor prezentate în rezolvarea problemelor, contribuie și la îmbogățirea orizontului de cultură generală a elevilor, prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care le studiază la alte discipline de învățământ, sau din viața de toate zilele.

În activitatea teoretică și practică elevii întâlnesc atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândită.

Când problema poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor saudeprinderilor anterior formate, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune elevul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii necunoscutei.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Elementele principale ale problemei sunt:

-datele problemei sau valorile numerice,

-condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscut),

-întrebarea problemei (care se referă la valoarea necunoscută).

Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la aflarea necunoscutei.

În procesul rezolvării problemelor gândirea elevului e confruntată cu o necunoscută exprimată prin întrebarea finală a problemei. Pentru descoperirea ei, trebuie să emită ipoteze, să întreprindă diverse căutări, să stabilească diferite relații,să facă combinații pentru a găsi drumul spre descoperirea necunoscutei. Pe masură ce elevul pătrunde tot mai mult în miezul problemei, necunoscuta se lasă descoperită.

De o mare importanță în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei și a logicii ei de rezolvare. Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul filtru al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape.În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei.Aceste etape sunt:

a)Cunoașterea esențialului problemei este etapa în care elevul ia cunoștință cu datele problemei, care sunt relațiile dintre ele și care este cerința problemei. Este esential ca învățătorul să insiste și să aibă rabdare cu elevii care au o gândire mai lentă asupra acestui aspect.Cunoașterea datelor problemei se face prin citirea acesteia de către învățător sau elevi și scrierea lor pe tablă și caiete sau numai pe caiete când elevii rezolvă singuri.

b) Înțelegerea conținutului problemei este esențială în vederea construirii raționamentului rezolvării.Enunțul problemei conține un minim necesar de informații.Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a ge-neralizărilor ce se fac treptat pe măsura ce se înaintează spre soluție. Prin discuțiile pe care le organizează cu elevii, învățătorul trebuie să-i conducă spre întrebarea problemei care indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor.Acest minim de informații trebuie recepționat în mod obligatoriu de către elevi prin ci-tirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau obiecte sau chiar cu acțiuni când este cazul.Deci nu se trece la rezolvarea problemei până când nu sunt reținute elementele matematice importante -datele problemei, relațiile dintre ele, întrebarea problemei.

c) Analiza problemei și întocmirea planului logic de rezolvare – este etapa în care sunt eliminate elementele ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei,construindu-se raționamentul prin care se rezolvă problema, adică drumul de legătură dintre datele problemei și necunoscută.În momentul în care elevii au transpus problema în relații matematice, soluția este ca și descoperită.

d) În rezolvarea propriu-zisă se alege și se efectuează calculele din planul logic prin conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și, evident, a rezultatului final. Fiecare operație este conexată unui raționament din planul de rezolvare, insistându-se la problemele complexe asupra legăturii dintre raționamentele parțiale și cel final.

e) Activități suplimentare și în completare după rezolvarea problemei. Această etapă are o importanță majoră în formarea abilităților matematice, a principiilor și deprinderilor de a rezolva probleme. Ea constă în verificarea soluției problemei prin reluarea problemei și introducerea necunoscutei, prin găsirea altei metode de rezolvare și compararea cu cea precedentă, stabilindu-se în mod justificat, calea cea mai bună.

După rezolvarea mai multor probleme este recomandat, acolo unde este cazul, pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte problema, fixarea algoritmului ei de rezolvare (problemele tipice). Prin rezolvarea de probleme asemanătoare, prin compunerea de probleme cu același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Acest demers nu trebuie să ducă la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotrivă, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului elevului.

Tendința elevului de a lega datele problemei în ordinea succesivă pe care i-o oferă enunțul conduce la rezultate greșite, îndeosebi când ordinea rezolvării nu coincide cu succesiunea datelor din enunț. Sarcina principală a învățătorului este să-i conducă pe elevi la o analiză profundă a datelor, care să le permită o serie de reformulări și interpretări și să-i apropie de soluție. Elevul trebuie să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei, să treacă de la fragmente la totalitatea problemei, de la relații între perechi de date la întregul film al re-zolvării,care să fie dinamic și să îmbine o logică riguroasă. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra modului în care s-a însușit esențialul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

II.2.Rezolvarea problemelor simple

În rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acesteia. Această activitate se introduce încă din clasa I, rezolvându-se mai întâi probleme de adunare și scădere în concentrul 1-10 , apoi până la 20. Stabilirea operației corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, în desfășurarea căruia elevii trebuie inițiați și conduși cu mult tact și deosebită răbdare. În acest sens, este nece-sară precizarea cazurilor care determină o anumită operație, precizare care se face sub forma unei concluzii ce se stabilește în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare.

Ținând seama de faptul că gândirea copilului este concretă, legată de imaginea lucrurilor, primele probleme care se rezolvă trebuie să fie probleme formulate pe baza acțiunilor ce se petrec în mod real în fața elevilor, a căror autenticitate nu este pusă la îndoială în gândirea acestora, trecâdu-se treptat la acțiuni bazate pe reprezentări, pe care elevii doar și le imaginează pe baza unor procese anterioare de percepție.

Voi descrie în continuare, cum am procedat la introducerea noțiunii de problemă și rezolvarea ei.

Problema prezentată a fost sub formă de joc:,,de-a biblioteca”.

Un elev a fost numit bibliotecar, iar două fetițe vin să împrute cărți de la bibliotecă.

Pe catedră se aflau cărti. O elevă a venit la ,, bibliotecar” și-l roagă să-i împrumute doua cărți. Bibliotecarul îi dă cele două cărți, fetița multumește și pleacă. Vine și cealaltă fetiță și cere patru cărți, primește și ea cărțile, mulțumește și pleacă. Apoi am întrebat: −Ce a făcut bibliotecarul? −Răspunsul: a împrumutat cărți.

−Câte cărți a împrumutat Bianca?

−Bianca a împrumutat 2 cărți.

−Câte cărți a împrumutat Crina?

−Crina a împrumutat 4 cărți.

Rog cele două fetițe să pună cărțile pe catedră.

−Copii, bibliotecarul(Adelin) vă roagă să-i spuneți câte cărți a împrumutat celor două fetițe!

−Răspuns: bibliotecarul a împrumutat 6 cărți.

−Cum ați aflat?

−Am adunat cărțile Biancăi(2) cu ale Crinei(4).

−Deci dacă am pus cărțile la un loc am obținut din două mulțimi mici cu 2 și 4 elemente o mulțime mai mare, cu 6 elemente.

Am mai rezolvat câteva astfel de probleme având în vedere ca fiecare elev să fie implicat direct în actul învățării. De asemenea, am urmărit utilizarea frecventă a materialului individual tridimensional (mărgele, conuri de brad, nuci, jucării, etc.) cu care elevii să acționeze direct, astfel încât aceștia să nu asiste doar la demonstrarea de către învățător a faptului matematic.

Pentru stabilirea operației corespunzătoare fiecărei probleme simple, este necesar ca învățătorul și apoi elevii să cunoască toate cazurile în care procesele gândirii duc la operația de adunare, respectiv scădere, înmulțire, împărțire, astfel încât alegerea unei operații să fie justificată în mod original. Deși rezolvarea acestor probleme pare simplă, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.

1.Pentru adunare:

a)probleme de aflarea sumei (în care se adună 2 termeni).

Exemplul clasic: Sanda a citit într-o zi 3 poezii și a doua zi 5 poezii. Câte poezii a citit Sanda în cele două zile? Creativ:Câte poezii a citit Sanda în două zile, dacă într-o zi a citit 3 poezii iar a doua zi 5 poezii?

b)probleme în care se cunoaște scăzătorul și restul și trebuie să afle descăzutul.

Exemplul clasic: Pe o creangă erau mai multe vrăbiuțe. După ce au zburat 2 vrăbiuțe au mai rămas 3 vrăbiuțe.Câte vrăbiuțe au fost pe creangă?

Creativ:Câte vrăbiuțe erau pe o creangă, dacă au zburat 2 și au mai rămas 3?

c)probleme de mărire a unui număr cu câteva unități.

Exemplul clasic: Mihai are 4 timbre. Fratele lui mai mare are cu 2 timbre mai mult. Câte timbre are fratele lui?

Creativ:Câte timbre are fratele lui Mihai dacă are mai mult cu 2 decât Mihai care are 4 timbre ? 2.Pentru scădere: a) probleme de aflare a restului:

Exemplul clasic: Loredana are 10 portocale. Ea dă surioarei sale 4portocale.Câte portocale îi rămân ?

Creativ:Câte portocale i-au rămas Loredanei dacă a avut 10 și i-a dat Cristinei 4 ? b) probleme de micșorare a unui număr cu câteva unități (cu atât mai puțin): Exemplul clasic: Alexandru are 7 porumbei iar Mihai cu 2 mai puțin. Câți porumbei are Mihai ?

Creativ:Câți porumbei are Mihai dacă are mai puțin cu 2 decât Alexandru, știind că acesta are 7 porumbei ?

c) probleme de aflarea unui termen când se cunosc suma și un termen : Exemplul clasic: Florentina a avut 20 de surprize. După ce i-a dat Crinei câteva i-au rămas 16 surprize. Câte surprize i-a dat Crinei ?

Creativ: Câte surprize i-a dat Florentina Crinei dacă a avut 20 și mai are 16 ? d) probleme de comparare a două numere:

Exemplul clasic: Mădălin are 10 ani, iar fratele lui are 6 ani. Cu câți ani e mai mare Mădălin decât fratele lui ? Cu câți ani e mai mic fratele lui Mădălin decât Mădălin ?

Creativ: Ce diferență de vârstă este între Mădălin și fratele lui,știind că Mădălin are 10 ani, iar fratele lui are 6 ani ?

3. Pentru înmulțire am rezolvat următoarele tipuri de probleme: a) probleme în care un număr se repetă de câteva ori : Exemplul clasic: Tatăl lui Matei a plantat pomi pe 4 rânduri, câte 10 pomi pe un rând. Câți pomi a plantat ?

b) probleme de mărire a unui număr de câteva ori:

Exemplul clasic: Sanda are 10 nuci, iar Maria de 3 ori mai multe. Câte nuci are Maria ? Creativ :Câte nuci are Maria dacă are de 3 ori mai multe decât Sanda, știind că Sanda are 10 nuci ?

c) de aflarea deâmpărțitului, cunoscând împărțitorul și câtul.

La un concurs au participat elevi din clasele I-II . Ei s-au împărțit în 4 grupe, în fiecare grupă fiind 8 elevi.Câți elevi au participat la concurs ? 4.Pentru împărțire am rezolvat următoarele tipuri de probleme : a) un număr dat se împarte în părți egale. Exemplul clasic: Mama a cumpărat 12 banane. Ea le împarte în mod egal celor 2 copii ai săi. Câte banane primește fiecare copil?

Creativ:Câte banane primește fiecare din cei 2 copii, dacă mama le împarte în mod egal 12 banane ?

b) probleme în care trebuie să se afle de câte ori se cuprindeun număr în altul. Exemplul clasic:Dan are 21 de bomboane.El oferă câte 3 bomboane fiecărei colege. Câte colege primesc bomboane ?

Creativ: La câte colege poate oferi Dan bomboane,dacă are 21 de bomboane și vrea să dea la fiecare câte 3 bomboane ?

c) de aflarea unui număr mai mic de x ori.

Exemplul clasic: Amalia a cumpărat 15 gume, iar fratele ei de 3 ori mai puține. Câte gume a cumpărat fratele ei ?

Creativ:Câte gume a cumpărat fratele Amaliei, dacă a cumpărat de 3 ori mai puține decât Amalia, iar aceasta a cumpărat 15?

d) probleme de aflare a unei părți dintr-un întreg.

Exemplu: Alexandru are 18 porumbei. Iulian are jumătate din numărul porumbeilor lui Alexandru. Câți porumbei are Iulian ?

e) probleme de aflare a raportului dintre două numere (de câte ori este mai mare, respectiv mic, un număr decât altul).

Problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi. Totuși sunt și unele dificultăți, cum ar fi:

1.Confundarea operației ce trebuie efectuată între înmulțire și adunare, când în problemă se dă relația ,,de atatea ori mai mult” sau ,,cu atât mai mult”. Pentru a nu confunda aceste noțiuni am rezolvat problemele concomitent, făcând de fiecare dată un desen.

Exemplu: La o florărie erau 10 vaze cu lalele și de două ori mai multe vaze cu frezii. Cîte vaze cu frezii erau ?

2 x 10 = 20 vaze

Vaze cu lalele

Vaze cu frezii

La aceeași florarie erau 10 vaze cu lalele, iar cu frezii cu 2 vaze mai mult. Câte vaze cu frezii erau?

Rezolvând ambele probleme am analizat și am stabilit prin ce operație s-a rezolvat fiecare problemă.

2. Confundarea operației între împărțire și scădere

Pentru depășirea acestor dificultăți am rezolvat concomitent următoarele probleme: La un concurs participă 15 băieți, iar fete de 3 ori mai puține. Câte fete participă la concurs ?

15 : 3=5 (fete)

fete

băieți

La un concurs participă 15 băieți, iar fete cu 3 mai mai puține.

Câte fete au participat? 15 – 3=12 (fete)

fete

băieți Pentru a depăși astfel de dificultăți în rezolvarea acestor probleme am folosit o serie de procedee:

-am făcut o analiză temeinică a problemelor;

-am abordat o mare varietate de enunțuri;

-am prezentat probleme cu date incomplete pe care să le completeze copiii și apoi să le rezolve;

-am prezentat enunțuri fără întrebare și invers;

-am insistat asupra exprimării în mai multe feluri a întrebării problemei;

-am redat problema prin desen, schemă;

-am compus probleme după imagini, scheme, formule numerice;

-am alcătuit probleme în mod liber, fără să fie limitați de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație. De fapt prin aceste procedee am urmărit propriu-zis nu o învățare a problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor.

După rezolvarea problemelor simple am încercat să le dezvolt creativitatea, antrenând gândirea logică pentru rezolvarea și compunerea de probleme pentru toate operațiile învățate. 1.Adunarea Pe lângă tipul clasic a + b = ? , am rezolvat încă trei tipuri:

? = a + b ; ? – a = b ; b = ? – a ;

Exemplu:

Alexandru a împrumutat de la un coleg într-o zi 3 cărți și în altă zi 2 cărți. Câte cărți a împrumutat Alexandru ?

Creativ:

a) Câte cărți a împrumutat Alexandru de la colegul său dacă într-o zi a împrumutat 3 cărți și în altă zi două cărți ?

b) Câte cărți a avut Alexandru de la colegul său dacă după ce i-a înapoiat 2 cărți i-au rămas de dat încă 3 cărți ?

c) Alexandru mai are să-i înapoieze unui coleg 3 cărți. Câte cărți împrumutase dacă i-a înapoiat până acum 2 cărți ?

2.Scăderea Clasic: a – b = ? Exemplu: Mihai are 10 timbre. El oferă colegilor 3 timbre. Câte timbre îi rămân?

Creativ: ? = a – b

Exemplu:

1.Câte timbre mai are Mihai dacă din cele 10 pe care le avea a oferit colegilor 3 ? 2. a – ? = b

Mihai avea 10 timbre. Câte timbre a oferit colegilor dacă i-au rămas 7 ? 3. b = a – ? Dacă Mihai are acum 7 timbre din cele 10 pe care le avea, câte timbre a oferit colegilor ? 3.Înmulțirea Clasic : a x b = ? Lorena are 2 ursuleți și de 5 ori mai multe păpuși. Câte păpuși are Lorena ?

Creativ: ? = a x b

1. Câte păpuși are Lorena dacă are 2 ursuleți și păpuși de 5 ori mai multe ? 2. ? : a = b Câte păpuși are Lorena dacă are de 5 ori mai multe decât ursuleți, știind că are 2 ursuleți ? 3. b = ? : a Lorena are 2 ursuleți. Câte păpuși are dacă ursuleți are de 5 ori mai puțin decât păpuși ? 4.Împărțirea Clasic : a : b = ? Exemplu: Bunica are 12 caise. Ea le împarte în mod egal celor 3 nepoți. Câte caise primește fiecare nepot ?

Creativ: 1. ? = a : b Câte caise primește fiecare din cei 3 nepoți dacă bunica le împarte în mod egal 12 caise ? 2. a : ? = b Bunica are 12 caise pe care le împarte în mod egal nepoților săi. Câți nepoți are bunica dacă fiecare primește câte 4 caise ?

3. b x ? = a Bunica are 3 nepoți și dă la fiecare caise în mod egal. Câte caise primește fiecare nepot, dacă bunica are 12 caise ?

Rezolvarea problemelor simple este unul dintre primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii.

Prin rezolvarea acestor tipuri de probleme, elevii ajungsă opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere și se pregătesc pentru rezolvarea problemelor compuse.

II.3 Rezolvarea problemelor compuse Problemele compuse sunt probleme care necesită mai multe operații și cer din partea elevilor un efort de gândiresuperior problemelor simple.Ele se pot descompune în probleme simple, dar dificultatea constă în legătura dintre verigi, construirea raționamentului, succesiunea operațiilor.

Pentru introducerea primelor probleme compuse sunt două posibilități:

1.Rezolvarea unei probleme care să cuprindă două faze distincte ale acțiunii; 2. Rezolvarea a două probleme simple succesive,rezultatul primei probleme să fie element pentru a doua problemă.

Ca și la problemele simple, primele probleme compuse sunt probleme acțiuni. Exemplu: Ana-Maria are 10 flori. Mama îi mai dă 5 flori. Câte flori îi rămân Anei, dacă dă fratelui său 3 flori?

Am scos în fața clasei pe Ana cu cele 10 flori.Mama(altă fetiță) îi oferă cele 5 flori. Acum Ana dă fratelui ei 3 flori.

Frontal, am adresat întrebări:

−Câte flori a avut Ana-Maria?

−Câte flori i-a oferit mama?

−Câte flori are acum Ana-Maria?

−Câte flori i-a dat fratelui său?

−Cu câte flori a rămas?

În timpul discuției se scrie rezolvarea problemei la tablă și pe caiete. Am trecut la alcătuirea schemei pe cale sintetică pentru a evidenția acțiunile făcute de Ana-Maria.

10 flori………………5flori +

15flori––––––-3flori

Prima acțiune

_

12 flori

A doua acțiune

Am trecut la rezolvarea succesivă a două probleme simple, rezultatul primei probleme să fie element pentru a doua problemă.

1.Pe un raft sunt 50 de cărți, iar pe alt raft 30 de cărți.

Câte cărți sunt pe cele două rafturi? 50 + 30=80(cărți)

2.Pe două rafturi ale unei biblioteci sunt 80 de cărți pentru copii, iar restul pentru adulți. Câte cărți sunt pentru adulți? 80 – 20=60(cărți)

Unind aceste probleme simple am alcătuit urmatoarea problemă compusă:

Pe un raft sunt 50 de cărți, iar pe altul 30 de cărți. Din aceste cărți 20 sunt pentru copii, iar restul pentru adulți.

Câte cărți pentru adulți sunt?

Am analizat problema și am rezolvat-o astfel:

−Câte cărți sunt pe un raft? (R: 50 cărți)

−Câte cărți sunt pe celalalt raft? (R:30 cărți)

−Câte cărți sunt pe cele două rafturi? (R:50+30=80cărți)

−Câte cărți sunt pentru copii?(R : 20 cărți)

−Care este întrebarea problemei?

−Câte cărți pentru adulți sunt?

−Putem afla câte cărți pentru adulți sunt?( R: da)

−Prin ce operație?(R: 80 – 20= 60cărți)

Planul de rezolvare:

1.Câte cărți sunt pe cele două rafturi? 50 + 30 = 80(cărți)

2.Câte cărți sunt pentru adulți? 80 – 20 =60(cărți) R: 60(cărți)

Am alcătuit schema pentru conștientizarea celor spuse anterior.

50cărți–––––30cărți + 80cărți––––––-20cărți prima acțiune – 60cărți (a doua acțiune)

După mai multe lecții în care am rezolvat probleme am cerut copiilor să alcătuiască probleme după scheme.

Exemplu: 20 + 50

? – 30 ?

Am obținut următoarele probleme:

Anca are 20 de lei.Mama îi mai dă 50lei. Ea cheltuie 30 lei.

Câți lei îi rămân?

O veveriță adună într-o zi 20 de alune, iar a doua zi 50 de alune. Mănâncă 30 din ele. Câte alune îi rămân?

În rezolvarea problemelor, mulți elevi se concentrază asupra calculului. De aceea, pentru înlăturarea efectelor negative ale acestui aspect am insistat asupra analizei profunde a datelor și arelațiilor dintre ele; asupra raționamentului propriu-zis. Premisele unei bune rezolvări a problemelor sunt:

-înțelegerea legăturilor și dependenței dintre valorile numerice din enunțul problemei;

-înțelegerea condiției problemei;

-stabilirea operațiilor aritmetice cu aceste valori;

-calcularea corectă a operațiilor;

-formarea încă de la început a întregului raționament de rezolvare. Am pus problemele sub formă de exercițiu după ce au fost rezolvate și am stabilit formulele generale după care elevii au compus probleme asemănătoare (formule numerice sau formule literare).

Exemplu:

(a + b) – c ; a + (a + b) ; a + (a – b)

Probleme compuse de copii:

Ovidiu primește de la bunica 3 ciocolate cu cremă de capșuni și 5 ciocolate cu cremă de caise. El mănâncă 2 ciocolate.

Câte ciocolate îi rămân?

(3 + 5) – 2

Viorica are 2 caiete de matematică și cu 3 mai multe caiete de română. Câte caiete are în total?

2 + ( 2 + 3)

Mama a cumpărat 8kg de cireșe și cu 6 kg mai puține vișine. Câte kg de fructe a cumpărat mama?

8 + (8 – 6 ) Am insistat asupra noțiunilor ,,cu atât mai mare’’ , ,,cu atât mai mic’’ , ,,total’’ , ,,rest’’. Pentru dezvoltarea gândirii elevilor am rezolvat o serie de probleme a căror întrebare trebuia să o pună ei, sau probleme în care lipseau datele. Pentru rezolvarea problemelor scrise în manual, i-am obișnuit pe micii școlari să citească în gând problema. În felul acesta ei au învățat să se folosească de manual și au căpătat deprinderi de muncă independentă. După citirea în gând a problemei și apoi cu voce tare se analizează problema întrebând ce reprezintă fiecare mărime dată, ce relații există între aceste mărimi și ce întrebare are problema. Nu poate fi vorba de rezolvare dacă elevii nu înțeleg conținutul problemei. De multe ori, în timpul muncii independente, ei greșesc tocmai datorită acestui lucru. Așa mi-am explicat de ce o parte din elevi la tablă sunt capabili să rezolve probleme, dar când sunt puși în situația de a rezolva în mod independent greșesc.

Analiza problemei constituie activitatea cea mai importantă în rezolvarea ei, deoarece în această etapă prin efortul gândirii ajung la descoperirea căii de rezolvare a problemei. În descoperirea căii de rezolvare a problemei efortul gândirii constă în alcătuirea unui șir de raționamente orientate către înțelegerea problemei, în care se lămuresc legăturile și raporturile dintre mărimile date și mărimea căutată, precum și descoperirea pe bază relațiilor date în textul problemei a problemelor simple a căror soluționare succesivă duce la rezolvarea problemei. Examinarea unei probleme compuse se face prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode pot fi folosite simultan, sau poate predomina una dintre ele, aceasta impunându-și specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției finale.

După analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învățător pe tablă iar elevii pe caiete, în mod deosebit la rezolvarea primelor probleme, urmărindu-se formarea deprinderii elevilor de a formula întrebări în funcție de conținut și cerință.

Metoda sintetică – este accesibilă dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimicare nu sunt necesare în găsirea soluției problemei.

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta atenția elevilor asupra a două din datele problemei și a formula cu acestea o problemă simplă, al cărei rezultat poate con-stitui un element al unei noi probleme simple. În aplicarea acestei metode trebuie să se aibă în vedere să se formuleze numai acele probleme simple care converg spre întrebarea finală. Exemplu: 1.La un magazin s-au adus 464 perechi de bascheți și 375 perechi de teniși.Din aceștia s-au vândut 283 perechi de bascheți și 285 perechi de teniși. Câte perechi de încălțăminte au rămas în magazin? Se analizează problema sintetic, se rezolvă oral, apoi în scris. Elevii observă problemele simple din textul problemei și stabilesc succesiunea lor.

a) Cunoscând câte perechi de bascheți și câte perechi de teniși s-au adus aflăm câte perechi de încălțăminte s-au adus.

b)Cunoscând câte perechi de bascheți și câte perechi de tenișis-au vândut aflăm câte perechi de încălțăminte s-au vândut.

c)Știind câte perechi de încălțăminte s-au adus și câte perechi de încălțăminte s-au vândut putem să răspundem la întrebarea problemei: câte perechi de bascheți și teniși au rămas în magazin.

464 375 283 285 + + 893 – 568 271

Planul de rezolvare:

1.Câte perechi de bascheți și teniși s-au adus? 464 + 375 = 839(perechi de încălțăminte)

2.Câte perechi de bascheți și teniși s-au vândut? 283 + 285 = 568(perechi de încălțăminte)

3.Câte perechi de bascheți și teniși au rămas în magazin? 839 – 568 = 271(perechi de încălțăminte) R: 271 perechi de încălțăminte

Rezolvarea s-a pus și sub formă de exercitiu:

(464 + 375) – (283 + 285)=

Pentru dezvoltarea flexibilității gândirii le-am cerut să gă- sească alt mod de rezolvare. Al doilea mod a)Cunoscând câte perechi de bascheți s-au adus și câte s-au vândut putem afla câte perechi de bascheți au rămas.

b)Cunoscând câte perechi de teniși s-au adus și câte perechi s-au vândut aflăm câte perechi de teniși au rămas.

c)Cunoscând câte perechi de bascheți au rămas în magazin și câte perechi de teniși au rămas, aflăm câte perechi de bascheți și teniși au rămas în magazin în total.(Răspunsul la întrebarea problemei). (464 – 283 ) + (375 – 285 )=

464 375 283 285 – – 181 90 + 271

Planul de rezolvare:

1.Câte perechi de bascheți au rămas în magazin? 464 – 283 = 181(perechi de bascheți)

2.Câte perechi de teniși au rămas? 375 – 285 = 90(perechi de teniși)

3.Câte perechi de bascheți și teniși au rămas? 181 + 90 =271(perechi de încălțăminte)

Folosind simbolurile am stabilit formula literală:

464 375 283 285

a b c d

l. ( a + b ) – ( c + d )=

ll. ( a – c ) + ( b – d )=

Metoda analitică, deși pare mai dificilă, solicită mai mult gândirea elevilor și îi ajută să privească problema în totalitatea ei.

A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a porni de la întrebarea problemei, a stabili datele, în general necunoscute, cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă, a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul cărora să se formuleze alte probleme simple, ale căror rezultate să constituie elementele problemei simple precedente s.a.m.d., până se ajunge la prima problemă simplă care se poate formula pe baza datelor problemei compuse respective.

Voi prezenta rezolvarea problemei (de la metoda precedentă) analitic, pornind de la întrebarea problemei:

−Care este întrebarea problemei?(Câte perechi de încălțăminteau ramas în magazin?)

−Putem afla? (Nu )

−De ce? (Nu știm câte perechi de încălțăminte s-au adus în total și câte perechi de încălțăminte s-au vândut)

−Putem afla câte perechi de bascheți și teniși s-au adus? (Da).

În acest moment examinarea analitică ia sfârșit. Problema se rezolvă sintetic după același plan de idei de mai înainte.

Exemplu

La o cantină s-au adus mere așezate astfel: 5 lăzi a câte 30 kg fiecare și 5 lăzi a câte 20 kg fiecare. Câte kg de mere s-au adus?

Observăm problemele simple din conținutul problemei și gândim după cum urmează:

a)Cunoscând câte lăzi mari cu mere s-au adus la cantină și ce cantitate de mere conține

fiecare, aflăm cantitatea de mere din cele 5 lăzi mari.

b)Cunoscând că s-au mai adus 5 lăzi mai mici a câte 20 kg fiecare, aflăm cantitatea de mere din aceste lăzi.

c)Se poate afla cantitatea de mere din toate lăzile știind câte kg de mere sunt în lăzile mari și câte kg sunt în lăzile mici.

5lăzi––––-30kg––––-5lăzi–––––20kg

5 x 30 5 x 20

Cantitatea de mere ? ? Cantitatea de mere

din lăzile mari din lăzile mici

? Cantitatea de mere totală

Rezolvarea făcându-se sintetic, planul poate fi sub formă de întrebări sau sub formă de titluri.

1.Câte kg de mere sunt în lăzile mari?

5 x 30 =150 kg (cantitatea de mere din lăzile mari)

2.Câte kg de mere sunt în lăzile mici?

5 x 20 =100 kg (cantitatea de mere din lăzile mici)

3.Câte kg de mere sunt în toate lăzile

150 + 100=250 kg (cantitatea de mere din toate lăzile)

R. 250kg

Cunoscând ordinea operațiilor le-am cerut să scrie rezolvarea problemei sub formă de exercitiu: 5 x 30 + 5 x 20=

Pentru a generaliza rezolvarea acestui tip de probleme am folosit simbolurile, înlocuindnumerele ce constituie datele problemeicu litere.

5lăzi–––-30kg–––––5lăzi––––-20kg

a b c d

Înlocuind în formula numerică am obținut următoarea formulă literală: a x b + c x d = Pentru dezvoltarea gândirii le-am cerut să găsească o altă cale de rezolvare a problemei făcându-le următorul desen:

Cunoscând câte kg de mere sunt separat într-o ladă mare și una mică află câte kg de mere sunt într-o ladă mare și una mică.

30 + 20 = 50kg

b)Din desen observă că această grupare se repetă de 5 ori, deci află câte kg de mere sunt în toate lăzile. (5 x 50 = 250kg)

Am realizat următorul plan:

1.Câte kg de mere sunt într-o ladă mare și una mică? 30 + 20= 50kg

2.Câte kg de mere sunt în total ? 5 x 50 = 250kg R: 250kg

Pusă sub formă de exercițiu, am realizat: 5 x (30 + 20)

Folosind simbolurile am obținut următoarea formulă literală:

a x (b + d)=

Schema problemei rezolvată prin metoda sintetică:

Cantitatea totală de mere

Schema problemei rezolvată prin metoda analitică:

Cantitatea totală din

lăzile mari

3)Pentru a-i obișnui pe elevi cu gândirea analitică le-am cerut să-și pună mereu întrebări pornind de la întrebarea problemei; în acest fel ei nu se pot abate de la finalul logic al rezolvării ei, cel multse opresc într-un anumit pas, neștiind să răspundă la ,,De ce-ul’’care apare în mod repetat, dar perfect logic după fiecare răspuns negativ, corespun-zator fiecărui pas de analiză.Este foarte util ca să se întocmească o schemă în timpul comentariului propus.

Exemplu:

O asociație familială a recoltat de pe o tarla 52 000 kg de cartofi, iar de pe alta cu 16000kg mai mult decât de pe prima tarla. Din cantitatea obținută s-au vândut cartofi cu 2 lei kg, obținându-se un venit de11 200 lei. Jumatate din cantitatea de cartofi rămasă s-a distribuit celor100 de familii, în mod egal.

Ce cantitate de cartofi revine fiecarei familii?

Se scriu datele problemei pe tablă și pe caiete.Pornind de la întrebarea problemei, prin conversație frontală am realizat următoarea analiză:

−Putem afla ce cantitate de cartofi revine fiecarei familii? (Nu)

−De ce? (Nu știm ce cantitate a fost distribuită familiilor în total)

−Putem afla cantitatea de cartofi care a fost împărțită oamenilor? (Nu )

−De ce ? (Pentru că nu știm cantitatea de cartofi rămasă).

−Aceasta o putem afla? ( Nu)

−De ce ? (Nu știm ce cantitate s-a recoltat de pe cele două tarlale și nici cantitatea de cartofi vândută ).

−Putem afla cantitatea de cartofi vândută ? (Da )

−Cum? ( 11 200 : 2 )

−Cantitatea recoltată de pe cele două tarlale o putem afla? (Nu)

−De ce ? (Nu știm câte kg de cartofi s-au recoltat de pe a doua tarla ).

−Putem afla câte kg s-au recoltat de pe a doua tarla ? ( Da )

−Cum? (știind că s-au recoltat cu 16 000 mai mult decât de pe prima tarla)

În acest moment examinarea analitică este încheiată.

În timpul anealizei se alcătuiește și schema. ? – cantitatea de cartofi care o primește o

familie

? -cantitatea de cartofi care se distribuie

membrilor asociației

? -cantitatea de cartofi care a rămas

cantitatea totală ? ? –cantitatea de cartofi care s-a vândut de cartofi

cantitatea de pe a doua tarla ?

Rezolvarea problemei se face sintetic urmărind întrebările de jos în sus. Prezint schema problemei folosind metoda sintetică.

Cantitatea de cartofi ?

din a doua tarla

cantitatea de cartofi

de pe cele două parcele ? ? cantitatea de cartofi vândută

? cantitatea de cartofi rămasă

? cantitatea distribuită oamenilor

? cantitatea primită de fiecare familie din asociație

Foarte multe probleme le-am analizat prin ambele metode, obișnuindu-i pe copii să facă schema problemei înainte de a o rezolva.

Iată planul de rezolvare al problemei anterioare:

1.Ce cantitate de cartofi s-a recoltat de pe a doua tarla ?

52 000 + 16 000= 68 000kg

2.Ce cantitate s-a recoltat în total ?

52 000 + 68 000= 120 000kg

3.Ce cantitate de cartofi a fost vândută ?

11 200 : 2 = 5 600kg

4.Ce cantitate de cartofi a rămas ?

120 000 – 5 600 =114 400kg

5.Ce cantitate de cartofi s-a distribuit oamenilor ?

114 400 : 2 = 57 200kg

6.Ce cantitate de cartofi revine fiecărei familii ?

57 200 : 100 = 572kg R : 572kg

Schema o folosesc ca instrument de lucru pentru toți elevii, iar pentru consolidare le-am cerut să compună probleme asemănătoare după scheme cu alte numere.

Am obișnuit ca elevilor mai slabi în rezolvarea problemelor să le dau schema cu indicația operațiilor și elementele de programare.

În procesul de analiză și sinteză există o strânsă interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă.

În analiza unei probleme intervin ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, dar în anumite momente una din ele este dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este formată este un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare este un proces de sinteză. Deci așa cum am mai amintit între aceste două metode este o strânsă interdependență.

Dacă facem totuși o distincție între analiza și sinteză și le privim ca metode separate, aceasta o facem subaspectulfuncției de plecare și al direcției de lucru. În primul caz și pe primul plan apare sinteza care joacă rolul conducător, iar în al doilea caz analiza care indică direcția gândirii orientându-se după mărimile date în problemă.

II.4 Rezolvarea problemelor tipice

Cu toată varietatea lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumita categorie. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, deci același raționament, în mintea copiilor se conturează schema de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este mult ușurată în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute. Această subsumare se face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în orice condiții concrete s-ar prezenta problema.

Prin problema tipică înțelegem construcția matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-au stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

II.4.a.Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

Această categorie nu poate fi inclusă strict în categoria celor tipice deoarece nu găsim un algoritm strict de rezolvare aplicabil tuturor problemelor de acest tip. Prin realizarea unui desen, unui modul, unei figuri rezolvitorul își ,,apropie’’ datele problemei și relațiile dintre acestea. Desenul îl va ajuta la ordonarea relațiilor și stabilirea operațiilor aritmetice corespunzătoare.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă le putem împărți astfel:

a)Cu date sau mărimi numărabile câte una care se pot pune în corespondentă după anumite criterii. În acest caz mărimile le figurăm prin simboluri.

Exemplu:

Dacă așezăm câte un elev într-o bancă rămân 6 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă rămân 2 bănci libere.

Câți elevi și câte bănci sunt?

6 elevi în picioare

…..

Două bănci libere

Distribuim pe cei 6 elevi rămași în picioare până completăm 6 bănci, iar ultimii elevi rămași câte unul în bancă îi vom așeza câte 2.

Rămânând 2 bănci libere, cei doi elevi care le-au ocupat au mai completat 2 bănci.

Câte bănci erau în clasă ?

6 (completate inițial )+2(completate prin redistribuire)+2(goale)=10 bănci

Câți elevi erau în clasă ?

10(câte unul în bancă)+6(în picioare)=16 (elevi )

b)Cu date sau mărimi ,,continui’’ ,caz în care le figurăm prin segmente.

*Probleme de aflare a două mărimi când se cunosc suma și diferența lor

Metoda rezolvării acestor probleme începe cu probleme acțiuni ce se petrec în fața copiilor.

Exemplu:

Să se împartă 13 nuci între 2 elevi astfel încât unul să ia cu 3 nuci mai mult decât celălalt.Câte nuci are fiecare?

Am dat 13 nuci la 2 copii și am cerut să le împartă astfel încâtunul din ei să ia cu 3 nuci mai multe.

După mai multe încercări am pus de o parte cele 3 nuci care le ia în plus unul din ei (s-a stabilit care să ia mai multe).

13 – 3 = 10 nuci

Restul nucilor (10 ) le-am împărțit în mod egal.

10 : 2 = 5 nuci are cel care are nuci mai puține

Apoi am aflat câte nuci are celălalt:

5 + 3 = 8 nuci

Se reconstituie acțiunea și am scris la tablă ceea ce s-a făcut practic.

−Ce sarcină au primit cei doi copii ? (Mihai și Alexandru)

−Să împartă 13 nuci, astfel încât Alexandru să primească cu 3 nuci mai mult decat Mihai.

Am dat lui Alexandru cele 3 nuci.

−Câte nuci au rămas? (10 nuci )

−Ce facem cu ele ? (Le împărțim în mod egal ).

10 : 2 = 5 nuci

−Câte nuci are Mihai ? (5 nuci )

−Câte nuci are Alexandru ? (8 nuci )

5 + 3= 8 nuci

Am realizat urmatoarea figură:

Mihai 13 nuci

Alexandru

Activitate în perechi : am cerut să se alcătuiască din 16 bețișoare două submulțimi disjuncte, una să aibă cu două elemente mai mult decât cealaltă. Având ca model problema rezolvată anterior elevii rezolvă independent. 16 – 2 = 14 14 : 2 = 7 7 + 2 = 9

Am cerut copiilor sa gaseasca o alta cale de rezolvare si ca sa-i scot din impas le-am sugerat urmatoarea idee la aceasta problema:

Oana și Simona au cules împreună 14 kg de mure. Cât a cules fiecare dacă Simona a cules cu 4 kg mai puțin decât Oana?

Presupunem că Simona a cules cât Oana. Elevii cu aptitudini matematice au descoperit și a doua cale de rezolvare, realizând următorul desen:

Simona

Oana

1.Câte kg de mure au cules împreună cele două fete în mod egal ?

14 + 4= 18 kg

2.Câte kg de mure a cules Oana ?

18 : 2 = 9 kg

3.Câte kg de mure a cules Simona ? 9 – 4 = 5kg

Metoda de bază prin care se rezolvă aceste probleme este metoda figurativă care constă în reprezentarea mărimilor și a relațiilor dintre ele prin diferite elemente grafice, având un caracter intuitiv.

Revenind la problema anterioară am stabilit:

kg culese de Oana + kg culese de Simona = 14

kg culese de Oana – kg culese de Simona= 4

Dacă notăm cu ,,a’’ cantitatea de mure culeasă de Oana și cu ,,b’’cantitatea de mure culeasă de Simona putem scrie:

a + b = 14 (suma)

a – b = 4 (diferența)

*Probleme de aflare a două mărimi dacă se cunosc suma (diferența) lor și raportul lor.

Nu le vom vorbi copiilor despre raport ci de câte ori un număr este mai mare decât celălalt .

Pentru a ușura înțelegerea problemelor de acest tip am folosit la început probleme cu părți: ,,Pentru prepararea unei prăjituri mama a folosit o parte zahar (o cană) și trei părti faină (3 căni ), în total 800g .

Câte g s-au folosit din fiecare ?

Am ilustrat enunțul figurativ:

Zahăr

Făină

Câte părți de material s-au folosit ? (4părți)

Cât cântăresc cele 4 părți ? (800 g)

Dacă cele 4 părți cântăresc 800 g putem să aflăm cât cântărește o parte. (care reprezintă zahărul )

800 : 4 = 200 g

Cât reprezintă 3 părți ? (cât cântărește făina ? )

3 x 200 = 600 g

Prin raportul a două numere în ipoteza că ele se împart exact înțelegem câtul lor. Deci câtul ne arată de câte ori un număr e mai mare decât celălalt. Exemplu: Suma a două numere este12. Să se afle cele două numere știind că unul e de trei ori mai mare decât celălalt.

Numărul cel mic se reprezintă printr-un segment, iar cel mare printr-un segment de 3 ori mai mare decât primul. Deci în total cele două numere sunt reprezentate prin două segmente care însumează 4 părți egale, după cum urmează:

Se află numărul părților (1p+3p=4p). Suma reprezentând în acest caz de 4 ori numărul mic,urmează să se afle:

-numărul mic 12 : 4= 3

-numărul mare 3×3=9

Verificare 3 + 9=12

Folosind simbolurile problema se poate scrie astfel:

a + b = 12(suma)

a : b = 3(câtul)

În clasa a IV-a există lecții speciale cu acest tip de probleme.

Vârsta tatălui este de patru ori mai mare decât a fiului.Știind că cei doi au 40 de ani, să se afle vârsta fiecăruia.

Reprezentăm vârsta fiului printr-un segment de dreaptă, iar a tatălui printr-un segment de dreaptă de 4 ori mai mare.

Vârsta fiului

Vârsta tatălui

a + b = 40 a = 4 x b Planul de rezolvare: 1.Câte părți sunt ? 4p + 1p = 5p 2.Câți ani are fiul ? 40 : 5= 8 ani

3.Câți ani are tatăl ? 4 x 8 = 32 ani R: 8 ani 32 ani

II.4.b.Probleme care se rezolvă prin regula de trei simplă (directă sau inversă)

Acest tip de problemă se rezolvă prin metoda reducerii la unitate, totul depinzând de așezarea datelor, așezare ce contribuie la desfășurarea procesului de gândire necesar în parcurgerea rezolvării problemelor respective. În aceste probleme ni se dau trei cunoscute și o necunoscută, în total patru elemente, grupate câtedouă de același fel. Cu ajutorul celor trei cunoscute se află necunoscuta.

Exemplu:

a)Pentru trei costume se folosesc 9 m de stofă. Câți metri de stofă se folosesc pentru șase costume ?

Analizând problema se ajunge la concluzia că pentru a afla câți metri de stofă sunt necesari pentru 6 costume trebuie să știm câți metri intră la un costum.

Știind că pentru 3 costume se folosesc 9m aflăm câți metri de stofă se folosesc la un costum (mai puțin de 3 ori )

Știind câți metri de stofă se folosesc pentru un costum putem afla câți metri de stofă se folosesc pentru 6 costume de același fel ( de 6 ori mai mult ).

Datele problemei se scriu pe tablă in felul urmator :

3 costume––––––––9 m

6 costume––––––––x m –––––––––––––––––

3 costume––––––––9 m

1 costum––––––––9 : 3 = 3 m

6 costume––––––––9 : 3 x 6 = 3 x 6 = 18 m R: 18 metri de stofă

În folosirea metodei reducerii la unitate se face apel la gândirea elevilor pentru a stabili relațiile matematice corespunzatoare punând întrebări (mai mult, mai puțin), deoarece de răspunsul corect al acestor întrebări se stabilește operația corespunzatoare.

Nu toate problemele se rezolvă la fel, comun însă au reducerea la unitate.

Procesul de gândire care determină alegerea operațiilor are la bază relațiile de dependență dintre datele problemei și nu o aplicare mecanică a regulei de trei simplă.

Nu întotdeauna sistemul de operații este identic.

Pentru 2 rochii se folosesc 8 m mătase.Câte rochii se pot confecționa din 24 de metri de mătase ?

2 rochii–––––––-8 m

x rochii–––––––24 m –––––––––––––––

2 rochii–––––––-8 m

1 rochie–––––––8 : 2 = 4m

x rochii–––––––24 m

x = 24 : (8 : 2 ) = 24 : 4 = 6 rochii R : 6 rochii

În clasa a IV –a aceste probleme necesită un efort de gândire mai mare, nefiind vorba de o simplă aplicare a unor algoritmi de calcul. Fiecare problemă are ceva care trebuie descoperit.

Regula de trei simplă (inversă)

b)Exemplu

O echipă de 7 muncitori termină o lucrare în 18 zile.

În câte zile termină lucrarea o echipă formată din 14 muncitori?

În acest caz am apelat mai mult la gândirea elevului, punând în evidență dependența dintre mărimi cu ajutorul întrebărilor.

Dacă 7 muncitori termină lucrarea în 18 zile, echipa formată din 14 muncitori termină lucrarea în mai multe sau mai puține zile ? (în mai puține zile ).

Dacă 7 muncitori termină lucrarea în 18 zile, un muncitor ar termina lucrarea în mai multe sau mai puține zile ? (în mai multe zile pentru că lucrează singur ). Numărul de zile în care el va termina lucrarea va fi de 7 ori mai mare.

Se scrie enunțul problemei astfel :

7 muncitori–––––––––18 zile

14 muncitori––––––––- x zile

–––––––––––––––––––

7 muncitori–––––––––18 zile

1 muncitor–––––––––18 x 7 = 126 zile

14 muncitori–––––––––18 x 7 : 14 = 9 zile R : 9 zile

Cei mai buni elevi au sesizat că numărul muncitorilor din a doua echipă , este de 2 ori mai mare decât cel din prima echipă, deci numărul de zile va fi de 2 ori mai mic. 18 : 2 = 9 zile

Procesul gândirii ce acționează în alegerea operațiilor corespunză-toare are ca punct de plecare relațiile de dependeță dintre datele problemei și în nici un caz aplicarea mecanică a schemei stabilite.

II.4 .c.Probleme care se rezolvă prin metoda comparației

Acest tip de probleme se recunoaște relativ ușor din modul cum este redactat enunțul care este alcătuit din două situații dinstincte.

După recunoașterea tipului este recomandată scrierea datelor în mod corespunzător unele sub altele conform celor două situații din enunț.

*Problema de egalare a datelor :

Într-o săptămână 12 băieți și 7 fete au cules 630kg de cireșe.În altă săptămână 12 băieți și 3 fete au cules 510 kg cireșe.

Câte kg de cireșe a cules o fata și cate kg a cules un băiat ?

Așezarea datelor unele sub altele este obligatorie .

12băieți––––––7 fete––––––-630 kg

II 12băieți––––––3 fete––––––-510 kg

–––––––––––––––––––––– –

4 fete–––630 – 510 =120 kg

În prima săptămână s-au cules mai multe kg ( cu 120), pentru că au fost fete mai multe(4). Deci cele 4 fete au cules 120 kg cireșe.

−Câte kg culege o fată ?

120 : 4 = 30 kg

−Câte kg au cules 3 fete ?

3 x 30= 90 kg

Dacă 12 băieți și 3 fete au cules 510 kg, iar fetele(3) au cules 90 kg putem afla: −Câte kg au cules 12 băieți ? 510 – 90 = 420 kg

−Câte kg a cules un băiat ?

420 : 12 = 35 kg

În cazul în care datele nu sunt egale le egalăm noi prin înmulțire. *Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei. Pentru 3 creioane și 2 caiete s-au plătit 7 lei. Știind că un caiet costă de două ori mai mult decât un creion, să se afle prețul fiecăruia.

3 creioane–––––2 caiete–––––––-7 lei

1 caiet costă cât 2 creioane

În locul celor 2 caiete se pot cumpăra 4 creioane.

3 creioane–––––4 creioane––––––7 lei

3 + 4=7creioane––––––- 7 lei

1 creion–––––––––– 7 : 7 = 1 leu

1 caiet––––––––––- 2 x 1= 2 lei

Verificare: 3 x 1 + 2 x 2= 3 + 4 = 7 lei

II.4.d.Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze sau metoda presupunerii

Foarte multe probleme pot fi rezolvate prin aceasta metodă. Mai mult, toate problemele ale căror necunoscute sunt mărimi proporționale, se pot rezolva și prin metoda ,,falsei ipoteze’’. Abordarea problemei se face printr-o presupunere arbitrară asupra mărimii pe care o căutăm (o presupunere falsă ).

Se reface problema pe baza presupunerii false pe care am făcut-o și datorită faptului că mărimile sunt proporționale, rezultatele obținute pe baza propunerii se ,,translatează’’ în plus sau în minus, adică reprezintă o contradicție cu datele problemei. Astfel, devine evident că presupunerea făcută este falsă și refăcând problema, ajungem prin compararea rezultatelor false cu cele reale, să aflăm de ,,câte’’ ori am greșit când am făcut presupunerea.

Urmează ,,corectarea’’ presupunerii, în sensul că o mărime sau o micșoram de acest număr de ori.

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii:

a)probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză; b)probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive. Exemplu: Într-un bloc sunt apartamente cu 2 camere și cu 4 camere, în total 58 camere. Știind că în bloc sunt 18 apartamente, să se afle câte aparta-mente sunt cu 2 camere și cate sunt cu 3 camere. Presupunem că toate apartamentele au 4 camere ( sau 2 camere).

Planul de rezolvare:

1.Câte camere ar fi în bloc ?

18 x 4 = 72 (camere)

2.Aflăm câte camere sunt în plus pe baza presupunerii.

72 – 58 =14(camere)

3.De unde provine plusul de camere ? Din presupunerea că toate apartamentele au câte 4 camere. Deci au existat și apartamente cu 2 camere.

Cu cât am presupus mai mult la un apartament de 2 camere?

4 – 2 = 2(camere)

4.Câte apartamente de două camere sunt?

14 : 2 = 7(apartamente)

5.Câte apartamente de 4 camere sunt? 18 – 7 = 11(apartamente) R: 7 apartamente cu 2 camere

11apartamente cu 4 camere

II.4.e.Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers sau metoda retrogradă În rezolvarea acestor probleme este mai usor ca judecata să pornească de la sfârșitul enunțului, să se afle unele date intermediare, cu ajutorul cărora se ajunge la aflarea necunoscutelor. Elementul necunoscut apare la începutul șirului de relații dat în enunț. Analizând operaiițle date în enunț și cele efectuate în rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă se efectuează operația inversă celei din enunș. Deci nu numai ,,mersul’’ este invers, ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă. Aceasta metodă se folosește și în rezolvarea exercițiilor de tipul următor. (3 x a + 2) : 13 + 5=7

(3 x a + 2) : 13=7 – 5 = 2

3 x a + 2 = 13 x 2 = 26

3 x a = 26 – 2 = 24

a = 24 : 3 = 8

Acest exercițiu se rezolvă prin raționament aritmetic, având la bază cunoștințele despre aflarea termenilor operațiilor studiate.

Colectivul clasei a IV-a a făcut o excursie călătorind cu trenul, cu autocarul, cu bicicleta și pe jos. Cu trenul a parcurs jumatate din întreaga distanță, cu autocarul jumătate din distanța rămasă, cu bicicleta jumatate din ceea ce a rămas. Restul distanței, adică 20 km, i-a parcurs pe jos.

Câți km a măsurat întregul parcurs ?

cu trenul

cu autocarul

cu bicicleta 20 km pe

jos

Desenul ne sugerează că cu bicicleta a parcurs 20km.

20 + 20 =40 km reprezintă jumatatea primului rest (drumul parcurs cu autocarul ). Astfel că primul rest este 2 x 40 = 80 km

Dacă jumatate din întreaga distanță este parcursă cu autocarul, cu bicicleta și pe jos, adică 80 km, înseamnă că întregul parcurs măsoară

2 x 80 =160 km

Aceste probleme sunt interesante, plăcute deși dificile, gândirea fiind mai mult solicitată.

II.5. Probleme atipice sau nonstandard O categorie aparte de probleme care nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și nu permite aplicarea vreunei metode (învățate)este cunoscută sub numele de probleme nonstandard. Rezolvitorul unei astfel de probleme își pune gândirea și imaginația la contribuție, devenind practic un adevarat creator, iar găsirea soluției îi aduce o mare satisfacție. Valențele formative ale acestui gen de probleme vizează în mod deosebit : cultivarea creativității elevilor, a îndrăznelii, istețimii, spiritului novator, iscoditor, flexibilitatea gândirii, nonconformismului tiparelor, interesul pentru matematică, apariția satisfacțiilor imediate și pe termen lung , educarea unor trăsături volitiv-pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate, concentrare, voință, dorință de autodepășire)

Datorită marii varietați a acestui gen de probleme și a gradului înalt de particularitate a fiecăruia, este greu să se facă analogii, să se opereze transferurile de metodă. În rezolvarea acestor probleme gândirea și imaginația lucrează febril, elevul devenind, în cazul în care reusește un creator.

Exemplu:

În câte moduri pot sta Valeria, Martin și Tina pe o bancă de 3 locuri?

În total, cei 3 se pot așeza în 6 moduri.

II.6. Compunerea de probleme

Activitatea de compunere a problemelor reprezintă o adevarată gimnastică a minii care oferă terenul cel mai fertil din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității. Creativitatea gândirii, mișcarea ei liberă, nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formate , stabilizate și eficient transferate.Imediat după ce au înțeles conceptul de problemă, elevii pot exersa crearea de probleme, pornind de la modele deja studiate, respectând cerințele specifice fiecărui tip de problemă.

Criteriile care determină complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleați ca la rezolvarea de probleme:

– stăpânirea tehnicilor și regulilor de calcul ;

– deprinderea de a efectua raționamente logice ;

– utilizarea unui vocabular bogat și a unui limbaj matematic speci-fic ;

– capacitatea de a restructura cunoștințele dobândite pentru a elabora textele cu conținut legat de viața practică, de zi cu zi.

În perioada de început, se va porni de la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor pe cale intuitivă, astfel încât elevii să înțeleagă în mod conștient îmbinările de cuvinte și numere, folosind mai multe nuanțe de exprimare.

Primele probleme create de elevi sunt asemănătoare cu cele formulate de învățătorul lor, probleme rezolvate de ei în clasă.

Se pot compune și crea probleme în următoarea succesiune graduală:

* probleme referitoare la o acțiune concretă ;

* compuneri de probleme după tablouri și imagini ;

*compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior ;

*probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate ;

* compuneri de probleme după un plan stabilit ;

* compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile ;

* compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date precum și relații între date ale conținutului ;

*compuneri de probleme cu întrebare probabilistică ;

* compuneri de probleme cu început dat, cu sprijin de limbaj ;

* compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date ;

* compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus;

* compuneri de probleme după un model simbolic ;

* compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor ;

* crearea liberă de probleme (pot fi chiar de perspicacitate, rebusis-tice, etc.).

În elaborarea textului unei probleme este necesar să utilizăm date și expresii reale, acele mijloace și procedee de natură să ofere elevilor împre-jurări din viața de zi cu zi.

În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se țină seama de posibilitățile intelectuale și de particularitățile de vârstă ale elevilor, prin trasarea unor sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerințe din ce în ce mai restrictive. Se recomandă că atât compunerea de probleme cât și rezolvarea lor să se facă și în situații de joc didactic.

Învățătorul are sarcina să conducă aceasta activitate prin indicații clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și imaginația copiilor spre asociații din ce în ce mai puțin întâmplătoare. De asemenea, se poate urmări eficient o ,,colaborare’’ cu celelalte obiecte de învățământ, învățătorul cerând crearea de probleme cu expre

sii noi, îmbogățind vocabularul copiilor, să urmarească exprimarea corectă a acestora, să sugereze folosirea de date geografice sau istorice, sau din alte domenii.

Pentru dezvoltarea creativității elevilor în activitățile de compunere a problemelor de aritmetică, învățătorul va utiliza acele metode didactice cu valente formative și înalt activizatoare, cum ar fi: problematizarea, descoperirea, modelarea, conversația euristică, jocul didactic.

Aceste metode îl implică direct pe elev, favorizează descoperirea personală, facilitează transferul, formează capacități cognitiv-operatorii, intelectuale, formează acele aptitudini și motivații pozitive pentru învățătură și mai ales, stimulează creativitatea.

Voi prezenta în continuare câteva exemple de probleme compuse la clasă, în mai multe forme și într-o succesiune gradată (de la simplu la complex, de la concret la abstract ):

1.În clasa I pentru ca problemele să devină mai atragatoare am folosit cu succes tablourile cu figuri mobile care au stimulat gândirea și imaginația elevilor.

Astfel am desenat un lac pe care puteau fi puse gâște, rațe decupate din carton; un pom pe care pot fi așezate frunze, păsări, etc .

Cu ajutorul acestor figuri mobile au fost create probleme.

Exemplu:

*pentru adunare :

Pe un lac erau 5 rațe. De pe mal mai vin 3 rațe. Câte rațe vor fi pe lac ?

*pentru scădere :

Într-un pom sunt 7 rândunele. Își iau zborul 2 din ele.Câte rândunele au rămas?

Probleme de combinări și recombinări:

Pe un lac sunt 7 rațe și 6 gaște. Din acestea 5 păsări au ieșit pe mal. Câte rațe și cate gâște pot fi printre cele care au ieșit pe mal ?

Rațe Gâște

5 0

4 1

3 2

2 3

1 4

0 5

Pentru a-i încuraja și stimula, activitatea s-a desfășurat sub formă de concurs, pentru fiecare soluție bună am acordat câte un punct.

2. Treptat am trecut la alcătuirea problemelor după imagini. Elevii intuiesc imaginea, o corelează cu datele numerice și formulează enunțul.

Exemplu:

Pe baza desenului au formulat probleme în mai multe variante.

Exemplu:

Într-o fructieră sunt 4 mere si 3 pere. Câte fructe sunt în total?

Alți copii au pus urmatoarea întrebare: câte mere și pere sunt sunt în fructieră ?

În procesul cultivării gândirii creatoare la elevi i-am învățat să compună probleme urmărind independența de a gândi.Procesul creator a fost stimulat de întrebări încât satisfacția invingerii greutăților se putea citi în ochii lor.

3.O etapă superioară în procesul de compunere a problemelor a fost prezentarea unor probleme cu date incomplete.

Ana a avut 25 de cărți. Ea a împrumutat Silviei ….cărți și Lorenei…. cărți. Câte cărți mai are ?

Întrebându-i dacă ar fi putut împrumuta Silviei 20 de cărți și Lorenei 10 cărți, ei au răspuns :,,Nu, pentru că nu avea decât 25 de cărți.’’

4.Probleme din care lipsea întrebarea :

Cu tact și răbare elevii pot fi introduși în cea mai dificilă taină a creației: formularea întrebărilor.

Exemplu:

Petre are 23 de timbre, iar Amalia are 46 de timbre.

Întrebările posibile găsite au fost :

1.Câte timbre au cei doi copii ?

2.Cine are mai multe timbre și cu cât ?

În compunerea problemelor am introdus expresiile ,,cu atât mai mult’’ și ,,cu atât mai puțin’’, ,,de atâtea ori mai mult’’ , ,,de atâtea ori mai puțin’’ .

Exemplu:

Alexandru a rezolvat 12 probleme iar Amalia cu 2 probleme mai puțin.

Întrebările posibile găsite au fost:

1.Câte probleme a rezolvat Amalia ?

2.Câte probleme au rezolvat împreună ?

Mihai are 100 de nuci.Îi dă Anei un număr de nuci egal cu triplul numărului 10, iar lui Alexandru un număr care reprezintă jumatatea lui 20.

Elevii sunt tentați să formuleze următoarele întrebări:

1.Câte nuci are Ana ?

2.Câte nuci are Alexandru ?

Îndrumați să citească cu mai multă atenție au formulat corect alte întrebări ca:

1.Cu câte nuci are mai mult Mihai decât Alexandru ? Dar decât Ana?

2.Câte nuci îi rămăn lui Mihai ?

Pentru a sintetiza problema se stabilește fomula numerică de rezolvare a acesteia:

100 – ( 3 x 10 + 20 : 2 )

Alt exemplu de problemă fără întrebare care duce la dezvoltarea creativității a fost următorul:

Georgiana are lalele. Ea dă Loredanei jumătate din ele, iar lui Ovidiu jumătate din sfertul numărului total de lalele. Știind că Georgiana a ramas cu 21 de lalele, să se afle….

Elevii au reușit să înțeleagă textul problemei, au realizat următorul desen și apoi au pus întrebările corect.

Georgiana

Loredana

Ovidiu

Planul de rezolvare:

21 : 3 = 7 lalele are Ovidiu

4 x 7= 28 lalele are Loredana

2 x28=56 lalele a avut Georgiana

Realizând desenul elevii și-au dat seama că problema se rezolvă prin metoda mersului invers.

După rezolvarea problemei am cerut să formuleze și alte întrebări:

,,Cu câte lalele are mai mult Georgiana decât Loredana și Ovidiu ?

Privind desenul răspund fără a mai calcula: 21 lalele .

În compunerea acestor probleme elevii au dovedit fluiditate și flexi-bilitate în gândire.

5. Probleme compuse asemănătoare cu cele rezolvate în clasă

Rezolvând o anumită problemă le-am cerut să compună probleme asemănătoare folosind același enunț cu alte numere sau aceleași numere cu alt enunț.

6.Compuneri de probleme după exerciții și formule numerice .

Exemple:

După exercițiul: 20 – ( 5 + 4 ) am obținut mai multe enunțuri din partea elevilor .

Sanda a avut 20 de timbre. Ea a dat Anei 5 și Silviei 4. Câte timbre i-au rămas ?

După exercitiul 3 + ( 3 + 2) au compus următoarele probleme :

Maria are 3 garoafe .Fratele ei are cu 3 mai mult. Câte garoafe au împreună ?

Învățând înmulțirea și împărțirea în clasa a III a, elevii compun probleme după următoarele exerciții:

20 + ( 3 x 20 ) ; 20 + ( 20 : 2 )

*Ioana are 20 de lei, iar sora ei de trei ori mai mult.

Câți lei au împreună ?

*Roxana are 20 de cărți iar sora ei de două ori mai puține.

Câte cărți au împreună ?

3 x 20 – 20

*Ioana are 20 de timbre iar fratele ei de trei ori mai multe.

Cu câte timbre are mai mult fratele ei ?

3 x 15 + 2 x 15

*Într-o livadă sunt 3 rânduri cu câte 15 pruni pe fiecare rând și 2 rânduri cu câte 15 meri.

Câți pomi sunt în livadă ?

6.În compunerea problemelor am înlocuit numerele cu litere și am creat probleme după formule literale și scheme:

a––-+–––-b–––+–––c––––––-?

*Ioana a citit într-o zi 3 pagini dintr-o carte, a doua zi 2 pagini și a treia zi 4 pagini. Câte pagini a citit în total ?

În activitatea de compunere a problemelor am căutat să canalizez gândirea și imginația copiilor spre asociații din ce în ce mai puțin întâm-plătoare.În același timp i-am determinat pe elevi să aibă încredere în ei, le-am stimulat eforturile intelectuale și le-am format și dezvoltat interesul pentru matematică.

Învățătorul trebuie să fie receptiv la ceea ce place elevilor, la ceea ce vor și pot ei să realizeze, valorificând în activitate posibilitățile și dorințele lor, satisfacându-le interesele.

Creativitatea poate fi considerată ca o expresie a personalității uma-ne, dar aceasta nu exclude, ci dimpotrivă, presupune eforturi deosebite și activități îndelungate.

Așa cum spunea G.Polya că un meseriaș își dobândește meseria după o practică îndelungat tot așa o dobândește și elevul în rezolvarea și compunerea preoblemelor. Pentru această măiestrie nu există reguli stricte, rigide dar există un fond de experiență personală de succese și eșecuri.

Compunerea de probleme în ciclul primar poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creație, inovație și cu certitudine, o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic, într-o corelație naturală cu celelalte discipline de învățământ.

CAPITOLUL III

Cercetare asupra capacității și abilității elevilor de clasa a IV-a privind rezolvarea și compunerea de probleme de matematică

Tema cercetării

Tema cercetarii are în vedere verificarea capacității și abilității elevilor de clasa a IV-a privind rezolvarea și compunerea de probleme în direcția cultivării creativității la elevi.

Motivația alegerii temei

Printre preocupările fundamentale ale învățământului nostru actual se numară la loc de frunte grija ca înarmându-i pe elevi cu cunoștințe știin-țifice, să le formeze în același timp capacitatea de a stabili relații între aceste cunoștințe, de a ajunge prin judecăți independente la observații și concluzii personale, de a gândi creator.

Dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor își află motivarea în faptul bine cunoscut că în orice domeniu de activitate socială nu este suficient un bagaj de cunoștințe memorate, ci este absolut necesara capacitatea indivi-dului de a găsi în mod independent soluții problemelor.

Prin această cercetare mi-am dorit să evidențiez caracterul formativ pe care îl are activitatea de compunere și rezolvare de probleme în direcția dezvoltării creativității la școlarul mic.

Rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide ( notiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul ), precum șideprinderi de aplicare a acestora.

Ipoteza de lucru

În realizarea acestei cercetări am pornit de la următoarele ipoteze:

-cunoașterea psihopedagogică a copilului, a etapelor de dezvoltare fizică și psihică a acestuia care îmi permit alegerea celor mai potrivite metode și procedee pedagogice în activitățile desfașurate cu ei;

-folosirea celor mai eficiente strategii didactice ;

-utilizarea unei evaluări cu caracter stimulativ, utilizând metode tradiționale dar și alternative (observarea comportamentului elevilor, autoevaluarea, interevaluarea, etc. )

-stabilirea la timp a măsurilor de ameliorare sau dezvoltare ;

-abordarea unei învățări integratoare (abordare transdisciplinară, tematică, crosscuriculară )

-participarea activă a elevului la dezvoltarea sa intelectuală ținând seama de aspiratiile lui

-utilizarea antrenamentului creativ în rezolvarea și compunerea de probleme, care contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare.

Obiectiv general

Evidențierea valențelor formative ale activității de rezolvare și compunere a problemelor în direcția cultivării creativității la elevi.

Obiective specifice:

-stăpânirea tehnicilor și regulilor de calcul;

-formarea deprinderilor de a efectua raționamente logice;

-utilizarea unui vocabular bogat și a unui limbaj matematic specific;

-formarea capacității de a restructura cunoștințele dobândite pentru a elabora texte cu conținut legat de viața practică, de zi cu zi;

-formarea priceperilor și deprinderilor de a compune probleme utilizând tehnici diferite.

Metode de cercetare

Prima etapă întreprinsă pentru ca cercetarea de față să aibă un suport științific a fost documentarea. În acest sens am studiat programa școlară, manuale și culegeri de probleme, metodica predării aritmeticii, precum și reviste de specialitate.

Informațiile dobândite le-am îmbinat cu experiența mea în legatură cu rezolvarea și compunerea de probleme.

Printre metodele care și-au dovedit eficiența a fost observarea sistematică. Aceasta reprezintă o fază inițială a cercetării. Am încercat să creez situații specifice învățării creatoare. Observându-i pe elevi nu numai la clasă ci și în diverse situații (jocuri, excursii) am constatat că de la această vârstă există multiple posibilități de dezvoltare a potențialului creativ.

Alte metode care și-au dovedit eficienta au fost: experimentul psiho-pedagogic, probe de evaluare, fișe de muncă independentă, analiza produselor activității, metoda statistică pentru prelucrarea și interpretarea datelor obținute cu ajutorul celorlalte metode și interpretarea grafică a rezultatelor.

Colectivitatea cercetată

Colectivitatea cercetată este formată din 20 copii, elevi în clasa a IV-a la Școala cu clasele I – VIII ,,Grigore Alexandrescu,,din Târgoviște.

Nivelul de pregătire al colectivului a fost eterogen din punct de vedere al posibilităților intelectuale și al particularităților mediului familial deapartenență, elevii provenind și din familii care nu au posibilitatea de a le ofericondițiile necesare unei bune desfășurarii a actului învățării.

Organizarea cercetării

Cercetarea s-a desfăsurat pe parcursul unității de învățare ,,Metode de rezolvare a problemelor’’ Activitatea de cercetare debutează cu un test inițial, prin care urmăresc să constat nivelul cunoștințelor elevilor în acel moment (noțiuni ce îmi vor fi de folos mai departe în rezolvarea și compunerea de probleme). În urma măsurării și aprecierii nivelului inițial de pregătire al elevilor se stabilesc măsurile ameliorative de maximă operativitate și oportunitate pedagogică și, ulterior, activitățile de învățare, strategiile didactice care le voi folosi în aceasta secvență de instruire pentru a asigura obținerea unor rezultate finale positive.

Cercetarea se încheie cu prelucrarea și interpretarea datelor obținute în urma aplicarii unei evaluări sumative în vederea cunoașterii capacităților elevilor în ceea ce privește rezolvarea și compunerea de probleme.

Test predictiv cls. a IV-a

1.Efectuează respectând ordinea operațiilor:

43 x 10 – 750 : 10 =

800 – (56 : 2 + 9 x4) : 8 + 35 x 90 =

[(147 : 7 – 5 ) + 2 x 6] : 4 – 7 x 0 =

2.a)Câtul numerelor 896 și 7 mariți-l de 10 ori, apoi micșorați rezultatul cu produsul numerelor 46 si 27.

b)Adunați la câtul numerelor 972 și 9 produsul lor micșorat cu 8 000.

c)Micșorați de 100 de ori suma dintre câtul numerelor 180 și 9, și produsul numerelor 55 și 16.

3.Calculează valoarea necunoscutei:

a) x + 240 – 435 = 117

b)2 550 : 5 – 4 x a = 110

c)( m : 5 – 4) : 3 – 260 : 2 = 1

4.La un depozit s-au adus 1 300 kg de roșii, castraveți de 5 ori mai puțin, iar vinete cu 135 kg mai puțin decât castraveți. Cantitatea de legume a fost împărțită în mod egal la 5 magazine.

Câte kg de legume s-a distribuit fiecărui magazin ?

5.Compuneți o problema după urmatoarea expresie:

a : 5 + 105 = 300

FIȘA

privind rezultatele obținute la proba de evaluare predictivă

SCOALA: cu cls. I – VIII Grigore Alexandrescu

OBIECTUL: Matematică

CLASA: a IV-a

DATA: 10.01 .2015

NUMAR DE ELEVI EVALUATI: 20

OBIECTIVELE DE EVALUARE:

O.1.-să efectueze exerciții respectând ordinea operațiilor;

O.2.-să recunoască expresiile care presupun efectuarea unor operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire;

O.3.-să calculeze valoarea necunoscutei în exerciții date;

O.4.-să rezolve probleme;

O.5.-să compună probleme după o expresie numerică;

NIVELUL DE REALIZARE AL OBIECTIVELOR:

CALIFICATIVE OBTINUTE LA PROBA DE EVALUARE:

PROBLEME IDENTIFICATE

-greșeli de calcul;

-nerespectarea ordinii operațiilor;

-rezolvarea parțială a problemei;

-greutăți în alcătuirea de probleme.

MĂSURI AMELIORATIVE:

-îmi propun să lucrez suplimentar cu elevii care întâmpină încă greutăți în efectuarea calculelor sau respectarea ordinii operațiilor;

-la clasa voi lucra mai mult diferențiat;

-voi acorda o mare atenție elevilor care întâmpină dificultăți în rezolvarea și compunerea de probleme.

În capitolul anterior am prezentat secvențe din modul în care a decurs activitatea de predare-învățare a problemelor tipice la clasa a IV-a. La finele unității de învățare am evaluat gradul de realizare al obiectivelor, fiind preocupată nu numai de corectarea greșelilor pe care le fac elevii, ci și de identificarea cauzelor care determină aceste situații, de stabilirea unor măsuri cu caracter ameliorativ.

Evaluarea formativă s-a realizat permanent pe tot parcursul acestei secvențe de instruire, având ca scop stabilirea permanentă a măsurilor reglatoare.

E bine să nu descurajăm copiii, chiar dacă greșesc, să apreciem orice încercare de a rezolva o problemă. În munca mea la catedră am căutat să mă conduc după anumite cerințe specifice învățării creative:

-am încercat să insuflu elevilor o atitudine și un stil de gândire creator, liber, independent;

-am stimulat și orientat gândirea elevilor spre nou și spre necunoscut;

-am asigurat în clasă o atmosferă optimă de manifestare liberă, spontană, fără frica de a greși, de a fi sancționat, crearea unei atmosfere de explorare independentă, încrezatoare;

-am direcționat potențialul creativ al elevilor spre zonele în care au șansele cele mai mari de manifestare eficientă și de realizare efectivă;

-le-am asigurat încrederea în puterile lor, încurajându-le efortul creativ

-am avut în vedere ca investigația colectivă să aibă caracterul unei ședințe de asalt, de idei în primă fază, de emitere liberă de idei și ipoteze. Cerând elevilor să enunte toate părerile sau soluțiile ce se nasc în mintea lor, în legatură cu o tema dată, antrenându-i în căutarea tuturor explicațiilor și variantelor unor probleme, deprindem elevii să valorifice toate forțele gândirii în căutarea dezlegărilor cât mai variate și mai originale.

Proba de evaluare sumativă cls. a IV-a

1.Completează propozițiile cu termenii potriviți:

*În timpul liber desenez….citesc povești.

*…. 4 este un număr par, ….5 este un număr impar.

*Dacă învăț bine, ….voi primi bilete la teatru….la circ. Părinții mei îmi planifică un spectacol la sfârșit de săptămână….o vizită la muzeu.

2.Completează problema cu întrebările potrivite și rezolvă:

Elevii au confecționat la ora de abilități practice 75 de drapele tricolor și ale Uniunii Europene. Drapele tricolor au fost cu 11 mai multe.

3.La un spectacol de teatru au fost 432 de spectatori: copii, tineri și vârstnici. Tinerii au fost cu 12 mai mulți decât copiii, iar vârstnicii de două ori mai mulți decât copiii.

Câți spectatori au fost din fiecare categorie ?

4.Patru bilete de teatru costă 188 lei. Câte bilete de 45 de lei și câte de 53 de lei s-au cumpărat cu această sumă ?

5.Compune o problemă după urmatoarea expresie:

a + 2 x a + 4 x a = 924

FISA

privind rezultatele obținute la proba de evaluare sumativă

ȘCOALA: cu cls.I – VIII Grigore Alexanrescu

OBIECTUL: Matematică

CLASA: a IV-a

DATA: 29.01.2015

NUMĂR DE ELEVI EVALUATI: 20

OBIECTIVELE DE EVALUARE:

O.1.-să completeze propoziții cu termeni potriviți(dacă, atunci, și, sau);

O.2.-să completeze probleme cu întrebările potrivite;

O.3.-să rezolve probleme folosind metoda figurativă;

O.4.-să rezolve probleme folosind metoda încercărilor;

O.5.-să compună probleme după o expresie dată;

NIVELUL DE REALIZARE AL OBIECTIVELOR:

CALIFICATIVE OBȚINUTE LA PROBA DE EVALUARE:

PROBLEME IDENTIFICATE:

-dificultăți în realizarea reprezentării grafice ;

-abateri de la algoritmul de rezolvare al problemei ;

-rezolvarea parțială a problemelor ;

-dificultăți în compunerea problemelor .

MĂSURI AMELIORATIVE:

Îmi propun să lucrez diferențiat, aplicând măsuri de reglare elevilor care au întâmpinat dificultăți și măsuri de dezvoltare celor pentru care proba de evaluare nu a prezentat nici un fel de dificultate. De asemenea, mi s-a părut necesar să individualizez actul învățării în funcție de nevoile fiecărui copil. CONCLUZII: Confruntând cele două probe de evaluare se constată că rezultatele finale sunt mai bune decât cele inițiale, fapt care demonstrează progresul elevilor și, implicit, eficiența strategiilor didactice folosite.

CAPITOLUL IV

Cercul de matematică – cadrul optim de afirmare și dezvoltare a capacității creatoare a elevilor Ținând seama de faptul că numărul orelor de matematică la clasele I-IV nu poate fi considerat suficient față de volumul cunoștințelor și varietatea aplicațiilor se simte nevoia unor activități extrașcolare, în special pentru acei elevi care manifestă interes deosebit pentru matematică.

Printre activitățile în afara clasei, sunt cercurile de matematică, întrecerile și concursurile școlare. Cercul de matematică este o formă de organizare a activităților extradidactice constituită pe baza opțională care răspunde preferințelor, intereselor și înclinațiilor elevilor pentru domeniul matematicii.

Activitățile în cercuri contribuie la:

-descoperirea și stimularea talentelor, intereselor, aptitudinilor elevilor pentru anumite activități cu caracter aplicativ;

-educă elevii pentru valorificarea atentă a timpului liber;

-dezvoltă inițiativa și independența în acțiune;

-satisface nevoile de activitate și tendințele în autoformare și autoperfecționare;

-stabilește relații mai apropiate între învățător și elev;

-oferă posibilități pentru manifestarea inițiativei;

-dezvoltă flexibilitatea gândirii ;

-oferă terenul cel mai fertil pentru dezvoltarea creativității.

-problematica atipică prezentă în acest gen de activitate favorizează studiul aritmeticii la clasă, aducând servicii sub mai multe aspecte: gândire logică, memorare, spirit de observație, procese de analiză și sinteză, atenție voluntară, perspicacitate;

-problemele culese din practica de zi cu zi captează prin frumusețea conținutului atractia elevilor spre un domeniu aparent rigid;

-în acest mod se creează atașamentul și dorința de a studia și aprofunda un sector fundamental al vieții, al devenirii ca personalitate autentică.

Conținutul activităților în cerc este în mare măsur determinat de inventivitatea învățătorului și nu în ultimul rând de preferințele și opțiunile elevilor, aceștia demonstrând o implicație activă și afectivă către situațiile de logică impuse.

Prin activitățile cercului de matemetică am urmărit aspecte cu privire la:

-formarea deprinderilor de muncă independentă ;

-încurajarea elevilor pentru a le stimula încrederea în forțele proprii;

-consolidarea în condiții mai bune a cunoștințelor dobândite la clasă;

-formarea copiilor ca rezolvitori de probleme stimulând munca de creație prin rezolvări și compuneri de probleme;

-descoperirea aptitudinilor matematice ale elevilor;

-pregătirea lor pentru participarea la diferite concursuri în acest profil, deoarece este necesar să fie îndrumați suplimentar în direcții ce nu sunt incluse în curriculum școlar recomandat a se parcurge la obiectul de studiu matematică.

-folosind jocul în timpul acestor activități, determin elevii să muncească cu plăcere, să aibă o comportare mult mai activă decât la celelalte arii, să accepte competiția cu sine și cu ceilalți parteneri de joc, să devină interesat de activitatea ce se desfasoară.

Conținutul cercurilor de matematică la clasa a IV- a cuprinde:

-întrebări , probleme, glume, ghicitori;

-numere și calcule cu acestea;

-șiruri logice;

-operații cu litere sau simboluri;

-pătrate magice;

-rebusuri;

-metode de rezolvare a problemelor;

-exercitii-grilă, tip ,,Cangurul’’ ;

-probleme logico-matematice;

-aplicații cu desene, scheme, tabele.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ ȘI EXEMPLE DE ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE CLASA A IV-A

Voi prezenta probleme și exerciții ce se pot rezolva în cadrul cercului de matematică:

1.Spune repede, copile,

De știi împărțirea bine:

Există vreun număr care

Împărțit la al lui sfert

Să dea 4, frațioare?

2.Buna dă struguri la nepoți:

Câte 4? N-ar lua toți.

(Ar ramâne unul fără).

Împărțindu-i câte 3,

I-ar rămâne 2 și ei!

Câți struguri? Dar nepoței?

3.Fiind întrebată despre numărul de ordine al casei sale, Nadia răspunde:

a) e un număr de 4 cifre;

b) ultima cifră e încincitul primei cifre;

c) suma cifrelor identice din mijloc este 16.

Află numărul casei.

4.Se dă expresia: 3… 1… 1… 1… 4 = … . Adăugând doar ,,plus’’ și ,,ori’’, se ajunge la minim… și maxim… .

5.Înțelege regula de compunere a șirului dat și alcătuiește altul care să înceapă cu 4.

I. 3, 6, 5, 10, 9, 18, 17, 34, 33;

II. 4, _ , _ , _ , _ , _ , _ , _ , _ .

6.Adunări….simple ?

CAP+ TRICA+ A+

P P A RICA ELA

AAC ICA STELA

P C P 5 3 1 3 7 8 6 7LA

7.Să se afle toate numerele naturale, de forma abc , care îndeplinesc simultan condițiile:

a) 500 < abc < 900;

b) a = b + 1; a > 5 ;

c) b este un număr par;

d) c = 2 x d, unde d poate lua valorile 0, 1, 2 ;

e) a, b, c sunt diferite.

8.Dintr-o privire descoperi pe ,,n’’:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 89 = 6 x n x 20 x 42.

9.Se dă expresia a : a + a – a : a = 344.

Determinându-l pe ,,a’’ vei afla o pătrime din numărul ,,b’’.

Calculează diferența dintre jumatatea lui ,,b’’ și dublul lui ,,a’’.

10.Prețul unui ceas de perete este 574 de lei. La cumpărarea a doua ceasuri se acordă o reducere de 20 lei la fiecare ceas. Pentru Hotelul Pestera situat în munții Bucegi s-au cumpărat 10 ceasuri. Câți lei s-au cheltuit ?

11. Într-o clasă a IV – a numărul fetelor este cu 6 mai mare decât al băieților. Formând grupe de câte două fete și un băiat, rămân în afara grupelor 3 băieți. Câți elevi sunt în acea clasă?

12.Copiii unei școli udă florile din gradină cu stropitori albe și galbene. Se știe că 8 stropitori albe și 6 galbene au împreună 304 litri de apă, iar 4 stropitori galbene și 8 albe au împreună 216 litri de apă.

Câți litri de apă are o stropitoare albă? Dar una galbenă?

13.Într-un desen sunt 25 de figuri geometrice. Figurile care nu sunt roșii sunt galbene, iar cele care nu sunt triunghiuri sunt pătrate.

Triunghiurile galbene sunt numai două. Dacă numărul figurilor geometrice care nu sunt roșii este 12, iar 16 figuri nu sunt triunghiuri, atunci câte triunghiuri roșii sunt?

14.Un teren în formă de dreptunghi are lățimea cu 25 de metri mai mică decțt lungimea. Dacă am prelungi lungimea cu un sfert din dimensiunea sa, lățimea rămânând aceeași, atunci perimetrul terenului s-ar mării cu 38 metri. Află lățimea terenului.

15.Radu avea de efectuat un anumit număr de probleme. El și-a propus să le rezolve în mod egal, timp de 10 zile. Rezolvând în fiecare zi cu 3 probleme mai mult față de ceea ce și-a propus, a reușit să finalizeze rezolvarea problemelor cu două zile mai devreme. Câte probleme a rezolvat în total ?

16.La o școală s-au cumpărat mai multe cutii cu corpuri geometrice,în fiecare cutie fiind câte 2 cuburi verzi și 8 cuburi galbene. Pentru un joc de construcții, învățătoarea a distribuit fiecărui copil câte 2 cuburi verzi și 3 cuburi galbene, desfăcând atâtea cutii câți copii au participat la joc. Știind că au rămas neutilizate 2 cuburi verzi și 33 de cuburi galbene află câti copii au participat la jocul de construcții și câte cuburi din fiecare culoare s-au folosit.

17.Victoraș vrea să realizeze la ora de Educație tehnologică un colaj din scobitori.El are la dispoziție 525 de scobitori din care vrea să construiască o casă, un gard și caâțiva copăcei. Știind că numărul scobitorilor pentru casă este de patru ori mai mare decat pentru copăcei, iar pentru gard folosește de două ori mai puține scobitori decât pentruconstruirea casei, să se afle câte scobitori foloseste Victoras pentru casă, pentru copacei și pentru gard.

18.Ana și Dana au împreună 228 de fotografii puse în câte un album, fiecare. Pe fiecare filă a albumului Anei se află 6 fotografii, iar pe fiecare filă a albumului Danei, câte 8 fotografii. Numărul filelor din albumul Anei este cu 3 mai mare decât numărul filelor din albumul Danei.Câte fotografii are fiecare?

19.Într-o pungă sunt 15 eșarfe roșii, 7 verzi și 8 albe. Câte trebuie scoase, minimum, pentru a fi siguri că sunt două de fiecare culoare?

A)6 B)30 C)25 D) 8

20.Extraterestrul Truli-Luli are 3 ochi.Dacă mănâncă o bomboană verde îi mai cresc 4 ochi, iar dacă mănâncă o bomboană roșie îi dispar doi ochi.El a mâncat două bomboane roșii și două verzi. Câți ochi are acum ?

A)15 B)7 C)4 D)3

Pe lângă latura informativă cercul de matematică are și o latură formativă educând voința, perseverența, conștiinciozitatea, memoria, gândirea creatoare, flexibilitatea gândirii și spiritul de competiție.

Majoritatea cercetărilor moderne arată că valorificarea potențialului creativ are loc numai în măsura în care și societatea, și familia asigură tipul adecvat de mediu de dezvoltare: mulți copii supradotați se vor pierde dacă mediul le inhibă dezvoltarea intelectuală optimă tocmai în anii hotărâtori pentru formarea lor. Tot astfel dacă un copil manifestă de timpuriu aptitudini deosebite și dacă trăiește într-un mediu cultural care acordă importanță respectivei aptitudini, dezvoltarea ulterioară a acestuia este favorizată. Așadar, familia are un rol foarte important pentru formarea copilului, fiind necesar ca aceste activități extrașcolare să aibă o con tinuitate și acasă.

Succesul activității în cercuri este determinat în primul rând de buna pregătire a elevilor la orele de clasă.Învățătorul lucrând diferențiat asigură formarea de colective foarte puternice.

Pentru dezvoltarea aptitudinilor matematice ale elevului este necesar ca ele să fie antrenate într-o muncă independentă și sistematică în clasă și continuată acasă.

CONCLUZII

Școala epocii contemporane are sarcina de a trece către o nouă formă de învățământ menită să asigure dezvoltarea capacității creatoare, calitate ce este cerută de necesitățile vieții și civilizației moderne.

Creativitatea poate fi concepută sub forma unor influențe psihopedagogice care încep de timpuriu și se exercită în timp, sistematic și multilateral, modelând copiii prin întregul conținut și prin metodele de predare.

Studiul matematicii are o deosebită valoare instructiv-educativă, contribuind la realizarea laturii formative și informative a învățământului românesc. În clasele I – IV copilul își însușește noțiunile matematicii elementare, de bază, cu care va opera în continuare. Acum dobândește ,,instrumentele mintale de bază’’(deprinderi de calcul, de rezolvare de probleme), și-și formează unele aptitudini și abilități ale gândirii.

Rezolvarea și compunerea problemelor presupune:

-însușirea conștientă a cunoștințelor teoretice, capacitatea de a le aplica în mod independent și creator;

-înțelegerea enunțului problemei, a relației dintre necunoscută și datele problemei, formarea priceperii de a verifica soluția găsită și de a descoperi alte căi de rezolvare;

-redarea soluției problemei printr-o formulă numerică sau literală, crează în primul rând posibilitatea de a vedea judecata problemei integral, iar în al doilea rând îi pregătește pentru mai târziu și le ușurează înțelegerea noțiunilor algebrice.

Munca independentă organizată, analiza greșelilor comise,dețin un rol important în formarea deprinderii și a priceperii de a rezolva și compune probleme, stimulează interesul pentru matematică, mobilizează forțele intelectuale, dezvoltându-le gândirea creatoare.

Compunerea de probleme constituie cel mai eficace mijloc de dezvoltare a gândirii creatoare și independente, a spiritului de inventivitate.

În atenția dascălului trebuie să stea folosirea și îmbinarea celor mai variate forme de activitate pentru stimularea atenției și gândirii, forme care trebuie să fie bine gândite, bine dozate, care să evite oboseala și să stimuleze interesul. ,,Cel mai frumos la un pedagog este să stimuleze la elevi gândirea independentă, curiozitatea științifică, voluptatea studiului, redescoperirea lumii sau febra invenției’’(O. Stănăsilă – Pedagogia creativității, Revista de pedagogie nr.3/1988) Învățătorul este primul chemat să contribuie în școală la formarea creativității elevilor prin corelarea solicitărilor cu factorii motivaționali, aptitudinali și caracteriali implicați. El trebuie să înlăture obstacolele din calea creativității și anume: timiditatea, lipsa de perseverență.

Succesul realizării sarcinilor propuse depind în mare măsură de tactul pedagogic al învățătorului, de felul cum știe să stârneascăcuriozi tatea și interesul copiilor.

Dacă la învățător există creativitate și spirit creator, atunci cu siguranță va exista și la copii.

BIBLIOGRAFIE

Ana D., Ana M., Stroescu-Logel E.- „ Metodica predării matematicii la clasele I- IV”, Editura Carminis, 2003;

Aron I., Herescu Gh. – „Aritmetica pentru învățători”, Editura Didactică și pedagogică, București 1977;

Berechet D., Berechet F., Șerbănescu M. – ”Matematica distractivă pentru minți iscusite”- clasa a IV-a, Editura Patru Anotimpuri, 2010;

Cerghit I., Radu I., Vlăsceanu L. – ”Didactica-Manual pentru clasa a X-a”, Editura Didactică și Pedagogică București 1994;

Dragu A., Cristea S.- ”Psihologie și pedagogie școlară”, Editura Ovidius University Press, Constanța;

Gardin F., Olteanu D., Gardin M., Oncioiu M., Georgescu I., Grigore A.-”Matematica în concursurile școlare” clasa a IV-a, Editura Delta Cart Eucațional, 2005;

M. Gârboveanu și alți autori- ”Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981;

Golu P., Zlate M., Verza E.,-”Psihologia copilului”- manual pentru clasa a XI-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1994;

Manolescu M.,- ”Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar”, 1997;

Neacșu I., Gălățeanu M., Predoi P.- ”Didactica matematicii în învățământul primar- Ghid practic”, Editura AIUS, 2001;

Nicola I.- ”Pedagogie”, Editura Didactică și pedagogică, R.A.- București, 1992;

Oprescu N.- ”Cultivarea flexibilității gândirii elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor”- revista de pedagogie nr.2, 1988;

Polia G.- ”Cum rezolvăm o problemă?”, Editura Științifică, București, 1965;

Rusu E.-”Problematizarea și probleme în matematica școlară”, Editura Didactică și Pedagogică, București 1978;

Stoica A.- ”Creativitatea elevilor”, Editura Didactică și Pedagogică,1983;

Programa școlară, clasele I și a II-a, editat ”Didactica Press”- București 2004;

Programe școlare pentru clasele a III-a și a IV-a;

Colecția ”Revista de Pedagogie”;

Colecția”Gazeta Matematică”.