Aspecte Privind Rezolvarea In Ciclul Primar a Problemelor Prin Metoda Grafica

CUPRINS

CAP. I. PRECIZAREA TEMEI ȘI MOTIVAREA ALEGERII EI…………………4

I.1.Motivare generală……………………………………………………………….4

I.2.Motivare personală………………………………………………………………6

CAP. II. FUNDAMENTAREA TEORETICĂ A TEMEI………………………7

II:1.Fundamentarea matematică privind metoda grafică………………………….

II.2. Considerații psihopedagogice privind predarea-învățarea-evaluarea metodei grafice.

II.3. Considerații didactice privind predarea-învățarea-evaluarea metodei grafice

CAP.III PRECIZAREA IPOTEZEI GENERALE ȘI A IPOTEZELOR PARTICULARE. METODOLOGIA ȘI OBIECTIVELE CERCETĂRII

III.1. Ipoteza de lucru………………………………………………………………39

III.2. Obiectivele cercetării………………………………………………………. .. 40

III.3. Organizarea și metodologia cercetării…………………………………………40

CAP. IV. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR………..42

IV.1. Evaluarea stadiului inițial de pregătire a elevilor……………44

IV.2.enunțarea ipotezelor parțiale. Contribuții personale aduse temei………………50

IV.3. Prezentarea și interpretarea datelor evaluării stadiului final de pregătire a elevilor………………57

CAP.V CONCLUZII.PROPUNERI. PROBLEME DESCHISE………………………68

ANEXE…………………………………………………………………………………70

BIBLIOGRAFIE…………………………………………………………………………82

Cap.I. PRECIZAREA TEMEI ȘI MOTIVAREA

ALEGERII EI

I.1.MOTIVARE GENERALĂ

Matematica dezvoltă gândirea combinatorie, gândirea analogică, dezvoltă capacitatea de a descoperi o structură comună în fenomene aparent diferite.

În clasele I-IV se însușesc noțiunile de bază, “instrumentele” cu care elevul va “opera” pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic.

Dacă sunt predate în mod sistematic, ținându-se seama de particularitățile de vârstăale elevilor, dacă sunt însușite în mod conștient și temeinic, cunoștinele de matematică aduc o contribuție deosebită la dezvoltarea gândirii logice și creatoare, la dezvoltarea spiritului de receptivitate a elevilor încă din ciclul primar.

Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: de a gândi personal și activ, de a folosi analogii, de a analiza o problemăși a o descompune în probleme simple etc. De asemenea se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers, plurivalența gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat. Cu ”echipamentul” pe care-l dau aceste patru clase, elevul face întreaga “călătorie” în domeniul acestei științe.

Mulți copii întâmpină dificultăți în învățarea matematicii pentru că nu-și însușesc la timp aceste noțiuni. Important este ca învățătorul să respecte valoarea “formativă” a matematicii și să prezinte elevilor aceste noțiuni la nivelul particularităților psihice de înțelegere.

Utilizarea și apoi transferul noțiunilor matematice nu se realizează prin simpla transmitere a acestora de la învățător la elev, ci prin îndelungate și dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi. De aici, caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii, mai ales prin efort propriu al elevului. Activitățile matematice necesită astfel o bună mobilizare a tuturor comportamentelor psihicului uman, cu precădere a inteligenței și a gândirii. Odată cu însușirea noțiunilor matematice prin efort intelectual elevul învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter tot mai general. Modalitățile didactice prin care elevul este pus în situația de a căuta și descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior, sunt denumite metode euristice. În cadrul lor întâlnim de multe ori încadrate orientările didactice moderne: modelarea, problematizarea, învățarea prin descoperire. În categoria acestor strategii se înscriu metodele de predare –învățare –evaluare care privesc atât activitatea elevului cât și a învățătorului și care își sporesc eficiența formativă cu cât îl implică mai mult pe elev, adică sunt mai activizante, mai participative.

Se poate afirma că matematica modernă, prin caracterul său riguros, științific și generativ al sistemului ei noțional și operativ pe care îl cuprinde, este investită în bogate valențe educativ – formative, nu numai în direcția formării intelectuale, ci și în ceea ce privește contribuția ei la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate. În același timp matematica se adresează și laturii afective: câte bucurii, câte nemulțumiri acompaniate uneori de lacrimi , nu trăiesc copiii în procesul activităților matematice. În primele clase se naște la copil atractivitatea, dragostea sau repulsia pentru matematică. Dacă elevul simte că pătrunde în miezul noțiunilor matematice, dacă gândirea lui este stimulată sistematic, făcând un efort gradat, dacă el trăiește bucuria fiecărui succes mare sau mic, atunci se cultivă interesul și dragostea pentru studiul matematicii.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri.

În ciuda faptului că matematica este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate, majoritatea copiilor îndrăgesc matematica și așteaptă cu plăcere aceste ore. Nu este mai puțin adevărat că dascălul are rolul, locul și menirea sa de a-i motiva pe elevi să o studieze cu plăcere și de a o face accesibilă și puternic ancorată în realitate, de a le explica utilitatea și aplicabilitatea ei în viața de zi cu zi.

În viața de toate zilele, matematica are importanța sa deosebită, recunoscută în întreaga lume. Conexiunile matematicii cu viața de zi cu zi și, mai târziu , în clasele mai mari, chiar și cu alte domenii ale cunoașterii și vieții, le formează elevilor o gândire logică și flexibilă, le sporește motivația pentru studiul matematicii și îi conduc la înțelegerea unitară a lumii înconjurătoare, putând fi, de altfel, și un instrument eficace în vederea petrecerii timpului liber în mod plăcut și constructiv.

Matematica este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe legături cu viața. Ea se învață pentru a fi utilă. Nu există vreun domeniu al vieții în care matematica să nu-și găsească aplicabilitatea. Tocmai de aceea, modernizarea învățământului matematic apare ca o necesitate.

I.2.MOTIVARE PERSONALĂ

Mi-am ales această temă pentru că, încă din clasele primare, matematica a fost materia mea preferată. Rezolvarea problemelor de aritmetică și apoi, mai târziu, a tuturor celorlalte probleme întâlnite de-a lungul gimnaziului și liceului a reprezentat o provocare la care am răspuns de fiecare dată cu mare plăcere.Acest lucru s-a răsfrâns și asupra activității mele ulterioare cu elevii și am încercat în permanență să le transmit și să le insuflu această dragoste pentru matematică precum și placerea de a rezolva probleme și exerciții.

Avînd în vedere receptivitatea maximǎ a vârstei școlare mici, care obligǎ la preocupări pentru un proces formativ timpuriu, cred că, în cadrul procesului educativ din școala primară, stimularea creativității ar trebui sǎ dețină un loc deosebit. Copilul de azi trebuie modelat pentru a deveni omul creator de mâine, pentru a participa creativ la modelarea acestui „tot dinamic” care este viața. Totodată creativitatea îl ajută să se dezvolte, să se realizeze și să transforme activ mediul înconjurător, determinând astfel schimbările viitoare.

Consider că rezolvarea problemelor prin metoda grafică este principala forma de manifestare a gandirii, iar gandirea presupune un caracter creator, astfel putem să afirmăm sinonimia (chiar daca nu perfecta) între rezolvarea curentă de probleme și actul de creatie căci, așa cum afirma D. P. Ausubel, rezolvarea de probleme și creativitatea sunt ,,culmi ale performanței cognitive”.

Pentru acest lucru am încercat să folosesc cît mai multe tipuri de probleme care se rezolva prin metoda grafică ajutându-i pe elevi să înțeleagă mai bine anumite conținuturi matematice. Am observat, astfel, că elevii iubesc foarte mult această metodă, iar acesta a fost unul dintre motivele care m-au determinat să îmi aleg ca temă pentru lucrarea de gradul I, rezolvarea problemelor prin metoda grafică.

Am considerat că sunt capabilă să duc la bun sfârșit o astfel de activitate ce presupune o temeinică documentare științifică precum și o elaborată cercetare pedagogică.

Cred și sper că această lucrare să fie utilă atât activității mele ulterioare și, de ce nu, colegilor și cunoștințelor mele interesate de acestă temă extrem de interesantă.

Documentându-mă și făcând cercetări referitoare la această temă voi aduce la clasă materiale interesante de care elevii mei vor beneficia, acest lucru fiind în avantajul lor. Deasemenea, cunoștințele dobândite în urma realizării acestei lucrări cred că mă vor ajuta pe viitor în cadrul cercurilor pedagogice la care voi participa, în cadrul concursurilor ulterioare, precum și în elaborarea unor eventuale lucrări de specialitate.

CAP.II. FUNDAMENTAREA TEORETICĂ A TEMEI

II.1. FUNDAMENTAREA MATEMATICĂ PRIVIND METODA GRAFICĂ

Noțiunea de problemă are un conținut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări și acțiuni din diferite planuri de activitate. În sens psihologic ,,o problemă’’ este o situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat. Dificultatea se prezintă subiectului ca o lacună cognitivă, constând dintr-o necunoscută.

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică ce reclamă o rezolvare, o soluționare, poartă numele de problemă. Cu alte cuvinte ținând seama de faptul că orice proces de gândire este declanșat de o întrebare pe care și-o pune sau care i se pune omului, se admite că formularea unui răspuns clar și precis la o astfel de întrebare constituie o problemă. Limitându-ne la matematică, admitem că prin problemă se înțelege orice chestiune a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și calcul. Astfel problemele de aritmetică constituie răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări și acțiuni de bazate pe date numerice. Ele au ca note comune:

structura lor prin care se stabilesc relații de dependență între anumite valori, cantități sau mărimi exprimate prin numere

felul de soluționare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obține cu ajutorul unor operații aritmetice în care intervin valorile numerice respective

”Termenul de problemă nu este suficient delimitat și precizat, având un conținut larg și cuprinzând o gamă  largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite. Etimologic, în germană pro-ballein înseamnă  înaintea unei bariere, obstacol care stă în cale, ceea ce ar mai putea fi interpretat ca o dificultate teoretică sau practică a cărei rezolvare nu se poate face prin aplicarea directă a unor cunoștințe și metode cunoscute, ci este nevoie de investigare, tatonare căutare. Etimologia greacă a cuvântului problemă arată că ea reprezintă o provocare la căutare, la descoperirea soluției.”

O problemă de gândire apare atunci când în fața omului apare un obstacol. Când situația se poate rezolva pe baza experienței de care dispune individual, a deprinderilor anterior formate, atunci gândirea nu mai este confruntată cu o problemă.

ETAPELE REZOLVĂRII PROBLEMELOR

Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape metodice. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orintare a rezolvatorului pe drumul și în direcția soluției problemei.

Aceste etape sunt:

Cunoașterea enuntului problemei

Înțelegerea enunțului problemei

Analiza problemei și întocmirea unei schițe logice de rezolvare

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din schița logică

Activități suplimentare

A.Cunoașterea enunțurilor problemelor

Elevul trebuie să afle care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este cerința problemei, elementul necunoscut al acesteia. Se va citi problema de către învățător sau de către elevi, se va repeta problema de mai multe ori, până la însușiirea ei de către toți elevii clasei. Textul problemei va fi citit expresiv, evidențiind anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei.

B. Înțelegerea enunțului problemei

În măsura în care elevul elevul cunoaște termenii în care se pune problema, el va fi capabil să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei.

Învățătorul are marele rol de a-i ghida pe elevii săi în delimitarea datelor unei probleme, a relațiilor dintre ele și mai ales în depistarea întrebării sau întrebărilor problemei. Prin discuții cu elevii, învățătorul va urmări să-i determine pe aceștia, să desprindă foarte clar cele mai importante elemente ale unei probleme, să deosebească ipoteza de concluzie, prin citirea și recitirea textului problemei, prin ilustrarea lui cu imagini sugestive și dacă este cazul chiar prin acțiuni concrete.

C. Analiza problemei și întocmirea schiței logice

În această etapă se elimină elementele nesemnificative din punct de vedere al cerinței matematice și se trece la elaborarea planului logic de rezolvare, adică se construiește drumul de legătură dintre datele problemei și necunoscuta problemei.

Elevii transpun problema în relații matematice prin exerciții de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele descoperind practic soluția problemei.

D. Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din schița logică – În această etapă elevii aleg și efectuează calculele din schița logică, conștientizează semnificația rezultatelor fiecărui calcul, realizează conexiunile necesare și ajung la rezultatul final.

E. Activități suplimentare – constituie ultima etapă a procesului rezolvării. Se pot efectua următoarele activități suplimentare :

– verificarea rezultatului;

– scrierea sub formă de exercițiu;

– găsirea altor căi sau metode de rezolvare;

– generalizare;

– compunerea de probleme dupa modelul celei rezolvate.

O mare semnificație în formarea priceprilor și deprinderilor de a rezolva probleme, o are etapa de verificare a soluției problemei care deși este o etapă facultativă, realizează autocontrolul asupra felului în care s-a efectuat raționamentul matematic, asupra corectitudinii lui și a demersului logic de rezolvare

Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai ales corelează elementele ale caror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței.

Sarcina principală a învățătorului, când pune în fața elevilor o problemă, este să-i conducă pe aceștia la o analiză profundă a datelor, analiza care să le permită o serie de reformulări. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare în clasele mici cu cât știm că elevul întâmpină dificultăți în această direcție, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu asupra problemei și constientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia.

O altă sarcina a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. O problemă este cu atât mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior.

Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematică cea mai bogată în valențe formative, în ea concentrându-se întreaga experiență dobândită de elev atât în studierea și cunoașterea numerelor, cât și al calculului, acestea devenind elemente auxiliare în rezolvarea problemelor.

Din unghiul educării creativității, W. Reitman clasifică problemele în cinci categorii:

A. Reproductive – necreative – sunt proble,me de aplicare a algoritmului de lucru, de consolidare și înțelegere matematică, care necesită doar o gândire reproductivă, rezolvarea lor implicând folosirea strategiilor algoritmice.

B. Demonstrativ – aplicative – sunt probleme ce includ aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența lor. În astfel de probleme rezolvarea finală este bine specificată, drumul spre rezolvare găsindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare.

C. Euristic – creative – sunt problemele ce presupun specificarea noțiunii soluțiilor și cerintele pe care trebuie să le satisfacă.

D. Inventiv – creative – sunt problemele în care ipoteza este bine specificată, mentționând elementele prin care se presupune atingerea stării finale obținute. Aici se încadrează problemele cu variabile, compuse de elevi.

E. Probleme de optimizare – sunt probleme rar întalnite în ciclul primar. Acestea au un grad de dificultate sporit care solicită mai ales procesul de transfer al cunosțintelor.

Problemele se mai pot clasifica și după alte criterii:

A După finalitate și după sfera de aplicabilitate:

1) Probleme teoretice – ( probleme referitoare la numere, operații și proprietățile operațiilor)

2) Probleme practice * probleme referitoare la mărimi )

B.După conținut problemele pot fi clasificate astfel:

1) Probleme de geometrie

2) Probleme de aritmetică

3) Probleme tipice ( de mișcare)

C.     După numărul operațiilor problemele pot fi clasificate astfel:

1.      Probleme simple:

2. Probleme compuse

D. După gradul de generalitate al metodei folosite:

1. Probleme generale în care se folosește metoda analitică și sintetică

2. Probleme tipice care se rezolvă printr-o metodă specifică: metoda grafică, metoda mersului invers, metoda comparației, metoda reducerii la unitate, etc.;

3. Probleme recreative, rebusistice, de perspicacitate și ingeniozitate.

II.2. CONSIDERAȚII PSIHOPEDAGOGICE PIRVIND PREDAREA-ÎNVĂȚATREA –EVALUAREA METODEI GRAFICE

Unul dintre obiectivele esențiale ale predării matematicii la nivel elementar, este aritmetia, însă tendința este de a-i elimina caracterul plicticos, dogmatic, pe care o avea altă dată. Studiul aritmeticii are două obiective importante, unul instructiv-educativ și altul de natură practică. Primul, obiectivul instructiv- educativ constă în următoarele :

Dezvoltarea raționamentului în mod treptat urmărindu-se permanent să se ajunga la obișnuirea rezolvitorului cu gândirea abstract, și în acest fel se netezește calea către înțelegerea problemei

Însușirea tehnicii calculului scris și mintal astfel încât elevul îndemînarea de a calcula correct și repede

Studiul aritmeticii trebuie să dezvolte în egală măsură înteligența, memoria, atenția și imaginația

Obiectivul practice constă în priceperea de a aplica atât raționamentul, cât și calculul în problemele care se ivesc la fiecare pas in viața de toate zilele

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide ( noțiuni, definiții, regului, tehnici de calcul) precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Fiecare disciplină care se studiază în școală are menirea de a ,,construi’’ și ,,reconstrui’’ logic și progresiv în structurile mentale ale elevului un sistem de cunoștințe științifice care să se apropie de logica științei respective.

Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, la niveluri succesive, unde relația între concret și logic se modifică în direcția esențializării realității. Pe măsură ce elevul avansează în interpretarea corectă a noțiunilor matematice se introduce și limbajul riguros științific.

A rezolva o problemă înseamnă a pune la încercare capacitățile intelectuale ale elevilor, a le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar programa de matematică acordă o atenție deosebită problemelor.

Această activitate este domeniul matematicii optim pentru dezvoltarea găndirii logice, principalul proces psihic datorită căruia omul poate realiza cunoașterea realității.

Valoarea ei nu constă în numărul de probleme rezolvate, cât în efortul mintal solicitat printr-un antrenament continuu și sistematic.

Privitor la problemele propuse spre rezolvare elevilor, este necesar ca acestea să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enunțul clar și concis formulat, ținând seama de nivelul intelectual al elevilor și mai ales de gradul său de pregătire.

În aritmetică nu există o metodă unitară de rezolvare, gândirea noastră trebuie să fiemereu activă și atentă la condițiile problemei, la modul cum aceste condiții se transformă pe parcursul raționamentului. Trebuie deci, să găsim tinând seama de condițiile concrete ale problemei date, calea sau metoda de rezolvare.

Varietatea mare de probleme face imposibilă gasirea unei singure căi de rezolvare, a unei singure metode, de aceea și metodele de rezolvare a problemelor sunt multiple și variate.

Psihologia cognitivă consideră rezolvarea de probleme o activitate care cere multă muncă, constând în elaborarea ipotezelor, stabilirea strategiilor de căutare și elaborarea informațiilor. Rezolvarea de probleme este concepută de cognitiviști ca un proces de prelucrare a informațiilor.

Din cercetările de psihologia gândirii s-a constatat că procesul rezolvării de probleme depinde, în mare măsură, de modalitățile prin care prelucrăm și decodificăm informațiile din situații, mesaje, enunțuri, probleme, care pot fi bine structurate, slab definite sau contradictorii. Studiile efectuate au demonstrat că rezolvarea problemelor bine structurate implică, în general, modele algoritmice de gândire și secvențe de operații logice, iar soluționarea situațiilor slab definite presupun strategii euristice, seturi de operații probabilistice. (apud Dumitriu, Gh., 2004, p. 84)

Strategiile algoritmice sunt „procedee sau secvențe operaționale sistematice și riguroase cuprinzând raționamente, scheme intelectuale standardizate, fixate prin reguli precise, care asigurăobținerea sigură a rezultatului unei sarcini”. În general, problemele algorimice sunt structurate logic, au un singur răspuns corect sau un număr foarte mic de soluții, și „se rezolvă cu ajutorul gândirii convergente, a analizei verticale desfășurată într-un singur plan cognitiv”.

Spre deosebire de strategiile algorimice, cele euristice sunt „sisteme operaționale

nestandardizate, flexibile și divergente, ce uzează de raționamente neformalizate, scheme deschise, fluente, probabilistice, menite să caute și să descopere rezultatul unei probleme”. Problemele euristice sunt structurate creativ, dispun de mai multe soluții ce se pot rezolva prin imaginație, prin „explorare laterală a diverse planuri și perspective, prin gândire divergentă”. (apud Dumitriu, Gh.,2004, p. 83-86)

Procesualitatea rezolvării problemelor–„în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc următoarele noțiuni: problemă, situație problematică, spațiu problematic și

conduită rezolutivă”(Lupu, C., 2006, P. 168).

Problema se asociază cel mai frecvent cu bariera, obstacolul, semnul de întrebare , dificultatea teoretică sau practică, lacuna cognitivă, care se cer a fi înlăturate, depășite, rezolvate.

„Problema apare deci ca un obstacol cognitiv în relațiile dintre subiect și lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depăși obstacolul, ca și demersurile cognitive și tehnice întreprinse în acest scop conturează domeniul rezolvării problemelor. (P. P. Neveanu)”(apud Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).

Situația problematică este sau devine ceea ce apare ca fiind atipic, netransparent,

nedeterminat, ambiguu, ceea ce generează tensiuni, conflicte. „Rezolvitorul trăiește simultan două realități: una de ordin cognitiv, referitor la experiența pe care și-o reactualizează, și alta de ordin motivațional, ce rezultă pe baza elementului –surpriză, de

noutate și necunoscut, cu care se confruntă acesta. (I. Radu)”(apud Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).

„O situație problematică generează probleme (N. Chomsky), tensiune psihică (N. Mager) deoarece subiectul, implicat voluntar, conștientizează faptul că posibilitățile, resursele cognitive și operaționale de care dispune sunt insuficiente sau inadecvate în raport cu cerințele situației.”(apud Dumitriu, Gh., 2004, p. 85)

Spațiul problematic presupune prezența a trei categorii de stări:

stări inițiale (ceea ce se dă);

stări finale (ceea ce se cere);

stări intermediare (ansamblul transformărilor succesive ale stărilor inițiale în stări finale).

Conduita rezolutivă reprezintă trecerea de la o stare la alta.

Operațiile implicate în rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya în schema :

izolare

recunoaștere regrupare

mobilizare previziune organizare

reamintire suplimentare

combinare

Astfel, rezolvarea începe cu mobilizarea în vederea găsirii soluției. Ea este însoțită de recunoașterea unor aspecte cunoscute și de reamintirea unor definiții, teoreme. Are loc

izolarea unui detaliu, precum și combinareadetaliilor disparate. Urmează regruparea

datelor și suplimentarea viziunii asupra problemei. În centrul acestor operații se află

previziunea, întrucât toate operațiile menționate urmăresc să ne conducă spre soluție. În final se realizează organizarea, adică corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei.

II.3. CONSIDERAȚII DIDACTICE PRIVIND

PREDAREA-ÎNVĂȚAREA- EVALUAREA METODEI GRAFICE

Apărută din nevoia de a vizualiza datele problemei, precum și relațiile dintre acestea, printr-un desen, o figură, un model, metoda grafică facilitează astfel înțelegerea și rezolvarea problemelor. Este utilizată pentru înțelegerea conținutul problemei și a relațiilor dintre datele ei: grafice, figuri decupate, planșe cu figuri simple sau mobile, tablă magnetică, scheme și figuri schematice, figuri geometrice, litere și combinații de litere, diverse semne convenționale. Pentru a exprima sub o formă intuitivă și cât mai accesibilă datele problemei și relațiile cantitative dintre ele, se folosește figurarea conținutului problemei.

La începutul însușirii acestei metode, învățătorul trebuie să-i învețe pe elevi să realizeze un desen cât mai detaliat, iar pe măsură ce aceștia își formează unele deprinderi și priceperi, figura poate să devină cât mai abstractă, cât mai schematică, cuprinzând numai aspectele esențiale.

Cunoscută și sub denumirile de „metoda desenului” și „metoda figurativă”, metoda grafică este folosită cel mai des în rezolvarea problemelor de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și a celor de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.

Rezolvarea problemelor tipice de aritmetică, este de multe ori îngreunată și de faptul că unele date sunt mai ascunse sau dependența mărimilor nu este așa de evidentă.În acest caz se aplică metoda grafică care contă în reprezentarea datelor sau mărimilor din problemă folosin desene, figuri geometrice, convențional alese, cărora li se fac modificările impuse de enunțul problemei. Astfel se poate urmări intuitiv dependența mărimilor și, în acelașii timp, se fixează raționamentul care conduce la rezultatul solicitat de problemă.

În ceea ce privește aplicarea acestei metode, ne sprijinim pe raționament, folosind intelesul concret al operațiilor, deoarece nu se pot da reguli generale, problemele fiind diferite de la una la alta.

Figura corespunzătoare problemei trebuie să reprezinte o schematizare a enunțului pentru a păstra în atenție relațiile matematice și nu toate aspectele concrete ca într-o fotografie.

Această metodă prezintă o serie de avantaje prin prisma utilității ei:

–         având caracter general, se folosește în orice tip de probleme în care se pretează figurarea

–         are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre date făcându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directă, mișcarea, transpunerea acesteia pe plan mintal.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi împărțite în două categorii:

Cu date sau mărimi ”discrete”, înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate una câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii; în acest caz mărimile sunt figurate prin simboluri

Cu date sau mărimi ”continui”, caz în care le figurăm prin segmente de dreaptă

În aplicarea metodei figurative se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvate naturii datelor problemei și accesibile sau mai ales utile celui ce rezolvă.

Figurile geometrice reprezentative care se folosesc în rezolvarea problemelor de aritmetică nu sunt altceva decât literele ce țin locul necunoscutelor în ecuație sau sistemul de ecuații. Cum însă valoarea intuitivă a figurilor geometrice este mult mai mare decât a literelor în algebră, este evident că această metodă este însușită cu mai mare ușurință de cei care încep studiul aritmeticii și deci des folosită în rezolvarea problemelor de aritmetică.

Astfel, se pot folosi:

-desenele ( pentru clasele mici);

– figuri geometrice diferite : segmenete , triunghi, cerc, pătrat;

– figurarea schematică a relațiilor matematice între datele problemei;

– anumite semne convenționale;

– litere și combinații de litere.

Metoda figurativă este una dintre metodele cele mai la îndemâna cadrelor didactice și elevilor pentru rezolvarea unor probleme care cer gândire abstractă peste puterea copiilor.

După studiile dezvoltării intelectuale desprinse din sarcinile pe care trebuie să le aibă învățătorul, psihologul elvețian Jean Piaget susține caracterul permanent al operațiilor concret -logice, pentru copilul care frecventează cursurile învățământului primar.

Gândirea concretă a copiilor la această vârstă se manifestă prin operații logice elementare. Modurile de învățare, specifice diferitelor stadii, contribuie la dezvoltarea capacităților copilului în stadiile următoare. Pentru realizarea acestui deziderat, sunt foarte importante acțiunile implicate, metodele folosite.

La matematică, rezolvarea unei probleme, adică determinarea necunoscutei, care satisface enunțul, poate fi numerică sau grafică. Încadrarea rezolvării într-unul din modurile de rezolvare este deosebit de importantă. În cazul rezolvării grafice, mărimile căutate sunt reprezentate prin intermediul unor imagini geometrice (segmente de dreaptă, dreptunghiuri, pătrate etc). Această reprezentare poate avea doua funcții de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare.

Metoda grafică contribuie astfel la dezvoltarea gândirii funcționale a copiilor.

De o însemnătate covârșitoare pentru aflarea soluției și mai ales pentru dezvoltarea gândirii elevilor, este organizarea demersului analitico – sintetic, pentru raționamentul problemei; citirea (ascultarea, repetarea) enunțului problemei, scrierea pe scurt a datelor, determinarea semnificației fiecărei mărimi, înțelegerea sensului enunțului și al întrebării, precizarea elementelor necunoscute și a celor cunoscute, stabilirea relațiilor dintre datele problemei, alcătuirea planului de rezolvare prin propoziții scurte, clar formulate, efectuarea calculelor, precizarea răspunsului, verificarea corectitudinii rezolvării.

Foarte utile pentru stabilirea relațiilor dintre mărimile unei probleme sunt exercițiile pregătitoare de precizare a limbajului matematic, a termenilor: sumă, diferență, produs, cât, a relațiilor: „cu atât mai mare (mai mult)", „cu atât mai mic (mai puțin)". Acestea se pot efectua chiar zilnic în secvența de calcul oral a fiecărei lecții de matematică sau prin calcul scris, gradate de la simplu la complex.

Utilizarea reprezentării grafice pentru rezolvarea problemelor, se poate face de la cele mai simple la cele mai complexe situații.

Pornind de la faptul că metoda grafică indică reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute și fixarea în desen a relațiilor dintre ele și mărimile date în problemă, ajunge să formăm schema problemei, să ținem în atenție toate condițiile problemei și să ne concentrăm asupra lor.

S-a încercat să se extindă aria de aplicare, utilizand-o în rezolvarea problemelor cu elevii din clasa I.

a) Probleme simple

„Maria are 6 mere. Sora ei are cu trei mere mai mult. Câte mere are sora ei?"

Rezolvare:

Se reprezintă printr-un segment numărul de mere pe care îl are Maria (el reprezintă valoric 6).

Expresia matematică „cu atât mai mult" conduce la următorul raționament: în prelungirea segmentului ce reprezintă numărul de mere al Mariei, se desenează arbitrar, punctat, un alt segment, care indică surplusul de mere (+3). Graficul va arăta astfel:

6

6 +3

………

Deci sora ei are 6 + 3 = 9 (mere).

În mod asemănător se rezolvă probleme utilizând expresia matematică „cu atât mai puțin” .

”Într-o curte sunt 9 găini și cu 3 mai puține curci. Câte curci sunt în curte?"

9

-3

Deci numărul curcilor este 9-3 = 6 (curci)

Prin pași mici se trece la rezolvarea problemelor compuse,

b) Probleme compuse

„Un țăran crește 6 porci și cu 4 mai puțini iepuri. Câte animale crește țăranul?"

6

4

numărul iepurilor: 6-4 = 2 (iepuri)

numărul animalelor: 6 + 2 = 8 (animale)

b1. Aflarea unui număr pe baza cunoașterii sumei (S) sau a diferenței (D) dintre acesta și a unuia dintre numere.

Exemplu:

„Doi frați au împreună 17 ani. Radu are 9 ani. Câți ani are Mircea?"

17

9ani

17-9 = 8 (ani)

sau

17

9 ani

9 + ?= 17 (ani)

( Uitlizând proba adunării)

b2. Aflarea a două numere cunoscând:

– suma (S) și diferența (D)

– suma (S) și produsul (P)

-diferența (D) și catul (C) dintre ele.

Mai pot fi întâlnite și probleme care duc la operații de tipul (axb)+c; (a+b):c sau probleme de determinare a sumei și a diferenței a două produse sau de determinare a câtului a două produse etc.

De un real sprijin pentru dezvoltarea flexibilității gândirii elevilor sunt figurile grafice care pot ilustra rezolvarea unor probleme sau pot constitui bază pentru construirea acestora (sau a altora) în care să se ceară alte elemente.

De exemplu: (a x b) + c =

„La un centru de desfacere a legumelor și fructelor s-a livrat marfă cu 3 camioane a 10 t fiecare și un alt camion cu 18 t cartofi. Câte tone de marfă s-au adus în total?"

I. m= 10 x3+18

m = 48 (tone)

10

10

10

18

II. m= 10×4+8 m = 48 (tone)

10

10

10

10 8

Pe baza schemei obținute, se poate alcătui și rezolva o problemă de tipul: a – b x c =

„ La un centru de desfacere a legumelor și fructelor s-a adus în două zile 48 tone de cartofi. În prima zi s-au adus 3 camioane a câte 10 t fiecare.

Câte tone de cartofi s-au adus a doua zi?"

(a – b) : c =

„În două zile s-au livrat 48 t de cartofi unui centru de desfacere a legumelor. In prima zi au sosit mai multe camioane a 10 t fiecare. A doua zi s-au adus 18 t.

Câte camioane s-au adus în prima zi?"

b3. Aflarea sumei (S) și diferenței (D) a două produse

„Elevii clasei a II-a au plantat în fiecare din cele 3 rânduri ale unei grădini câte 6 flori, iar elevii clasei a III-a, în fiecare din cele 2 rânduri repartizate au plantat câte 10 flori.

Câte flori au plantat în total!"

analiza datelor problemei este însoțită de reprezentarea grafică:

Deci:(6×3) + (10×2) = 38(flori)

Calculul numărului de flori se poate face, urmărind ordinea celor două întrebări sau numărând.

Reprezentarea grafică concretizează relațiile dintre mărimile problemei și soluționează procesul de rezolvare. Problemele „mai grele", care se rezolvă prin metoda grafică, se pot rezolva cu elevi dotați din clasa a IV-a, în vederea pregătirii concursurilor pe discipline

Ca exemplu se poate lua problema:

„Trei echipe de elevi aveau de cules 267 kg de mere.

Câte kg de mere a cules fiecare echipă, știind că primul a cules cu 35 kg mai mult decât al doilea, iar al doilea, jumătate din cât a cules primul și al treilea împreună?"

+35

-35

267:3 = 89 (kg all-a echipă)

89+35 = 124 (kg I echipă)

89 -35 = 54 (kgalll-a echipă)

Exemplele pot fi numeroase și pot fi solicitați și elevii să creeze enunțuri de probleme, pe baza unor scheme și relații date.

Din acțiunile de control și îndrumare efectuate în rândul elevilor, cu prilejul lucrărilor scrise, sau a jocurilor organizate, potrivit creativității fiecărui învățător, s-a constatat rolul important al participării efective a elevilor care își vor consolida cunoștințele în domeniul operațiilor aritmetice fundamentale.

b4. Probleme de aflare a numerelor, cunoscând suma și diferența lor

O problemă de acest gen are următorul enunț:

„Într-o florărie s-au vândut într-o zi 824 de garoafe albe și roșii, știind că garoafele albe s-au vândut cu 248 mai multe decât cele roșii, să se afle câte garoafe din fiecare s-au vândut".

Rezolvarea I: Se iau două segmente de lungimi diferite, unul de lungime mai mică care reprezintă numărul garoafelor roșii și un alt segment de lungime mai mare decât cel anterior cu 248, care reprezintă numărul garoafelor albe.

garoafe roșii

garoafe albe 248

Aflăm numărul garoafelor roșii: (824 – 248):2= 288

Aflăm numărul garoafelor albe: 824 – 288 = 536

R: 288 garoafe roșii

536 garoafe albe.

Rezolvarea II: Se poate face același desen ca la rezolvarea I doar că se adaugă desenului o prelungire a primului segment în așa fel încât cele două segmente vor fi de lungimi egale.

garoafe roșii

garoafe albe 248

Aflăm numărul garoafelor albe: (824 + 248):2= 536

Aflăm numărul garoafelor roșii: 824 – 536 = 288

R: 288 garoaferoșii

536 garoafe albe.

Rezolvând astfel problemele, observăm că atunci când ni se dă suma și diferența, obținem de două ori numărul mare, dacă adunăm suma cu diferența. Dacă însă scădem din sumă diferența, obținem de două ori numărul mic.

Deci: S+D=2N (N fiind numărul mai mare)

S-D = 2n (n fiind numărul mai mic)

b5. Probleme de aflare a două numere, cunoscând suma sau diferența si raportul lor

În înțelegerea acestui tip de probleme, pornim de la ideea că raportul a două numere este câtul lor.

Cum aflăm cele două numere cunoscând raportul lor?

Pornim de la următoarea problemă:

„La un magazin s-au adus 1842 de uniforme școlare, pentru băieți și pentru fete. Numărul uniformelor pentru fete a fost de 5 ori mai mare decât cel al uniformelor pentru băieți.

Câte uniforme pentru băieți și câte uniforme pentru fete s-au adus la acel magazin? "

Rezolvare: Reprezentăm printr-un segment numărul uniformelor pentru băieți și prin 5 segmente identice cu primul numărul uniformelor pentru fete. în total sunt 6 segmente.

uniforme băieți

uniforme fete

Aflăm numărul uniformelor pentru băieți: 1842:6=307

Aflăm numărul uniformelor pentru fete: 307×5=1535

R: 307 uniforme băieți

1535 uniforme fete

Cum aflăm două numere cunoscând diferența și raportul lor?

Pornim de la următorul enunț:

„Într-o gospodărie sunt găini și rațe.

Câte găini și câte rațe sunt dacă numărul rațelor este de 6 ori mai mare decât numărul găinilor și cu 75 mai multe decât găinile?"

Rezolvare: Reprezentăm printr-un segment numărul găinilor și prin 6 segmente identice cu primul numărul rațelor.

6-1=5 părți; 5 segmente reprezintă diferența dintre găini și rațe (adică 75)

găini

rațe

Numărul găinilor îl aflăm prin împărțirea la 5: 75:5=15 (găini)

Numărul rațelor este de 6 ori mai mare: 15×6=90 (rațe) sau

15+75=90 (rațe)

R: 15 găini

Având în vedere importanța realizării unei reprezentări grafice clare și corecte, care să ducă la rezolvarea problemei și să-l ghideze pe elev către această rezolvare, de-a lungul activității am procedat astfel:

-am avut ca punct de plecare faptul că , în clasa a treia elevul stăpânește limbajul matematic și face diferența între expresiile ”cu…..mai mult” și ”de….ori mai mult”, precum și împărțirea în părți egale.

În realizarea desenului:

-am notat cu segmente egale părțile egale și cu linie punctată ceea ce este mai mult

Așa elevul va observa mai ușor partea care este în plus și care trebuie eliminată pentru a obține suma părților egale, pentru ca apoi, împărțind suma la numărul părților egale, să obțină partea cea mai mică și, în funcție de ea, pe celelalte.

Mai târziu, dacă această parte (cea mai mică) va fi notată cu ”X” și în funcție de ea se vor nota celelalte se ajunge foarte ușor la rezolvarea algebrică a problemei.

Revenind la metoda grafică, voi exemplifica cele susținute anterior prin rezolvarea a două probleme, foarte asemănătoare, ca și enunț, dar atât de diferite ca și reprezentare grafică.

Problema 1

Suma a două numere este 20. Primul număr este cu 4 mai mare decât al doilea.
Care sunt numerele?

a+b=20 a-b=4

b

a ……4…..

-partea punctată se va desena mai mare sau mai mică decât părțile egale

Rezolvare:

20-4=16 este suma părților egală

16:2=8 este numărul al doilea

8+4=12 este primul număr

R: a=12

B=8

Verificare 12+8=20

Problema 2

Suma a două numere este 20. Primul număr este de 4 ori mai mare decât al doilea.

Care sunt numerele?

a+b=20

a:b=4

b 20

a

5 părți egale =20

20:5=4 este numărul al doilea

4×4=16 este primul număr

R: a=16

b=4

Verificare: 16+4=20

Așa se va evita o mare confuzie. Pentru că, dacă un elev ar desena partea care este în plus cu un segment egal cu segmentele ce reprezintă părți egale, ar fi tentat să nu mai facă diferența și ar considera, probabil acea parte tot parte egală.

Am observat, insistând pe acest aspect, o mai bună înțelegere a metodei grafice și a realizării reprezentării grafice, ceea ce duce la o rezolvare corectă a problemelor de acest tip.

METODA GRAFICĂ ÎN JOCURILE MATEMATICE

I. "Cutia comorilor". Fiecare elev primește câte o hartă cu traseul care trebuie parcurs pentru găsirea comorii și jetoane cu indicii. Se precizează copiilor că indiciile pentru deschiderea cutiei sunt legate de probleme de matematică ce se rezolvă prin metoda grafică și că răspunsurile corecte îi vor apropia de comoară.

A.Prima sarcină de lucru: trebuie să răspundă la două întrebări scrise pe bilețele.

1. Ce presupune rezolvarea problemelor prin metoda grafică?

2. Ce se poate folosi pentru reprezentare?

Răspusurile corecte:

1. Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă presupune realizarea unor simboluri a mărimilor necunoscute și a relațiilor dintre ele.

2.Pentru reprezentare se pot folosi segmente de dreaptă, figuri geometrice sau scheme ale obiectelor.

Răspunzând corect la aceste întrebări, se stârnește din ce în ce mai mult interesul copiilor dornici să descopere comoara.

B. A doua sarcină de lucru constă în reprezentarea grafică a următoarelor relații:

1. a este dublul lui b;

2. a este cu 5 mai mare decât b.

C. A treia sarcină de lucru: compunerea unei probleme după o schemă dată.

La finalul jocului-concurs elevii câștigători primesc recompense constând în bulinuțe sau alte obiecte.

II. Elevii se împart în trei grupe.

Grupa iepurașilor

a+b=500

a-b=100

a=? b=?

Grupa furnicilor

x+y=500

x:y=4

x=? y=?

Grupa florilor

m-n=500

m:n=6

m=? n=?

Fiecare grupă rezolvă sarcina de lucru, iar rezultatele sunt evaluate.

III. Se împarte clasa în 4 echipe (galbenă, roșie, albastră și verde). Fiecare echipă primește o foaie de parcurs și un set de exerciții. Echipele trebuie să treacă prin patru locații pentru a rezolva cerințele:

1) CALCULEAZĂ!

2) CE ESTE GREṢIT?

3) CARE ESTE REPREZENTAREA GRAFICĂ POTRIVITĂ?

4) GÂNDEȘTE ṢI REZOLVĂ!

Odată cu rezolvarea exercițiilor fiecărei locații elevii grupei respective vor primi câteva litere pe care le vor folosi pentru obținerea unui cuvânt la finalul jocului.

1) Elevii calculează următoarele expresii matematice: a) sfertul lui 16;

b) jumătatea nr. 100;

c) cu 29 mai mic decât 124.

2) Elevii trebuie să identifice eroarea din problema următoare:

Mama și fiica au împreună 45 de ani. Să se afle câți ani are fiecare știind că fiica este mai mare cu 25 de ani decât mama.

3) Copiii aleg reprezentarea grafică corectă pentru problema de la punctul 2.

A) |–––| B) fiica |–––| }45

|–––|–4-| mama|–––|-25–|

4) Elevii rezolvă problema corectată la punctul 2.

Copiii care au rezolvat corect exercițiile de la locațiile 1) și 4) au format cu ajutorul literelor primite cuvântul „FELICITĂRI”.

Metode generale de rezolvare a problemelor

Dintre metodele generale pe care le folosește aritmetica, atât cea elementară, cât și cea cu nivel mai ridicat, sunt de precizat în primul rând metoda sintezei (sintetică), metoda analizei (analitică), metoda analitico-sintetică, metoda reducerii la absurd și metoda inducției matematice.

a ) Metoda sintetică

A rezolva o problemă prin sinteză înseamnă a o rezolva pornind de la datele problemei spre ceea ce se cere.

Examinarea unei probleme prin metoda sintetică înseamnă a orienta atenția elevilor asupra datelor problemei, astfel încât să le grupeze după relațiile dintre ele și să formuleze aceste probleme într-o succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei.

Metoda sintetică este mai accesibilă dar nu solicită prea mult gândirea elevilor; se pornește de la cunoscut spre necunoscut.

Exemplu:

" La un magazin s-au adus 10 saci cu zahăr a câte 87 Kg fiecare sac și 10 saci cu orez a câte 65 kg fiecare sac. Câte kg cântăresc în total toți sacii cu zahăr și orez?"

În judecarea problemei pe cale sintetică se pornește de la aflarea cantității de zahăr din cei 10 saci cunoscând că un singur sac cântărește 87 kg, apoi aflarea cantității de orez din cei 10 saci cunoscând că un sac cântărește 65 kg., după care se ajunge la ultima întrebare care coincide cu întrebarea problemei.

Pentru a ilustra mai bine procesele prin care au loc rezolvarea unei probleme pe cale sintetică , voi prezenta sub formă de schemă problema prezentată mai sus.

Planul de rezolvare:

1. Câte kg cântăresc 10 saci cu zahăr?

10 X 87 kg = 870 kg

2. Câte kg cântăresc 10 saci cu orez?

10 X 65 kg = 650 kg

3. Câte kg cântăresc în total sacii cu zahăr și orez?

870 kg + 650 kg = 1520 kg

Verificarea și punerea în exercițiu:

10 X 87 kg + 10 X 65 kg = 870 kg + 650 kg = 1520 kg

R: 1520 kg

b) Metoda analitică

A examina o problemă prin metoda analitică înseamna a o privi în ansamblu, pornind de la întrebarea problemei. Se caută să se afle ce date sunt necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei. Se alcătuiește o problemă simplă. Dacă aceasta problemă nu are toate datele necesare rezolvării ei se ajunge la datele problemei. Acest plan este construit din întrebările problemelor simple, așezate în ordinea lor logică. Metoda analitică este mai complexă, poate fi mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și folosind-o, îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.

Ea este mai grea fiindcă presupune un proces de gândire continuă și de profunzime, fapt pentru care există tendința de a fi în general ocolită. Dar întrebuințarea acestei metode contribuie într-o mai mare măsura la dezvoltarea gândirii logice și numai cunoașterea și întrebuințarea ei creează posibilitatea rezolvării de către elevi a problemelor în mod independent. De aceea este necesar ca pe masură ce elevii dobândesc priceperea de a examina problemele prin metoda sintetică, să se treacă treptat la utilizarea metodei analitice, mai ales în clasele a III – a și a IV – a.

Pentru a ilustra mai bine procesele prin care au loc rezolvarea unei probleme pe cale analitică , voi prezenta sub forma de schemă problema propusă mai sus.

Planul de rezolvare:

1. Câte kg cântăresc 10 saci cu zahar?

10 X 87 kg = 870 kg

2. Câte kg cântăresc 10 saci cu orez?

10 X 65 kg = 650 kg

3. Câte kg cântăresc în total sacii cu zahăr și orez?

870 kg + 650 kg = 1520 kg

Verificarea și punerea în exercitiu:

10 X 87 kg + 10 X 65 kg = 870 kg + 650 kg = 1520 kg

R: 1520 kg

Metoda sintetică este mai usoară, mai accesibilă elevilor datorită faptului că nu necesită un proces de gândire prea complex. Metoda analitică este mai dificilă fiindcă presupune un proces de gândire amplu și din acest motiv este uneori ocolită.

Rezolvând probleme prin metoda sintetică, elevii își dezvoltă gândirea reproductivă, iar rezolvarea problemelor prin metoda analitică le dezvoltă gândirea productivă, creativă.

Procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic întrucât cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este alcatuită constituie în esență un proces de analiză , iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un process de sinteză. Din aceste motive, cele două metode apar deseori sub o denumire unică : metoda analitico – sintetică.

Legatura stransă dintre analitic și sintetic este pusă în evidență chiar de felul de desfașurare și stabilire a concluziilor în examinarea problemelor cu ajutorul căreia s-au exemplificat cele două metode. Astfel, planul de rezolvare stabilit în urma examinării problemei respective prin metoda analitică este identic cu cel stabilit prin metoda sintetică, problemele simple și succesiunea lor fiind aceeași. Doar în cazul metodei sintetice planul de rezolvare redă sub o forma mai concisă desfășurarea procesului de examinare a problemei.

Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le propune elevul zilnic în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt illustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-l face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

Problemele simple sunt probleme a căror rezolvare se realizează prin efectuarea unei singure operații. Ele se întâlnesc cu precădere la clasa I, în scopul asimilării noțiunii de problemă. Pentru elaborarea oricărei noțiuni matematice există trei etape:

Etapa realistă ( experimental – instructivă);

Etapa intuitivă;

Etapa formal conceptuală.

Prima etapă are un caracter pur concret, elevii manipulând obiecte ce li se oferă într-o multitudine de posibilități.

A doua etapă corespunde materialului semiconcret ( adică a imaginilor), prezentat sub forma unor scheme grafice, urmate de introducerea simbolurilor matematice.

Exemplu :

1. În prima etapă folosim ca material didactic fructe:

" Într-un coș sunt 4 mere și 3 pere. Câte fructe sunt în coș?"

În continuare am luat merele și le-am cerut elevilor să formuleze o problemă care să se rezolve, folosind operația de scădere. Copiii au formulat problema:

"Într-un coș sunt 7 fructe, mere și pere. Cele 4 mere au fost luate. Cate pere au rămas în coș?"

2. În a doua etapă se formează probleme folosind materiale intuitive. Treptat se trece de la situația concretă în care se operează cu obiecte ( mere, pere), la situații desprinse de concret, la imagini și mai tarziu spre abstract.

Desenele contribuie la înțelegerea continutului problemei și la orientarea atenției copiilor către ceea ce se cere în problemă.

3. După parcurgerea celor două etape se trece la probleme în care se folosesc expresiile "cu atât mai mult" sau "cu atât mai puțin" . Prin ilustrarea situațiilor se pot înțelege mai ușor aceste formulări matematice.

În rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații. Deoarece activitatea de rezolvare a problemelor simple se introduce chiar din clasa I, rezolvându-se la început probleme de adunare și scădere în concentrul 0 – 10, apoi în concentrul 0 – 20, stabilirea operației corespunzătoare constituie un process de gândire dificil, în desfășurarea căruia elevii trebuie inițiati și conduși cu mult tact și deosebită răbdare.

Pentru stabilirea operației corespunzătoare fiecărei probleme simple este necesar ca în primul rând învățătorul și apoi elevii să cunoască toate cazurile în care procesele de gândire duc la operația de adunare, toate cazurile care duc la operația de scădere, astfel încât alegerea unei operații să poată fi justificată în mod rațional.

În general, pentru alegerea operației pe care o comportă rezolvarea unei probleme simple, se pornește de la întrebarea problemei și cu ajutorul unui proces de gândire se stabilește corespondența dintre această întrebare și unul dintre cazurile care cer această operație.

Pentru ca elevii să conștientizeze elementele componente ale problemei ca și noțiunile de "problemă" , rezolvarea problemei , "răspunsul la întrebarea problemei" , am prezentat elevilor probleme – acțiune, fragmente autentice din viață. Școlarii mici trebuie mai întâi să trăiască problema, ca să învețe să o rezolve.

Problema 1

" Dau unui elev două caiete și altuia trei caiete. Cer primului copil ( Andrei) să pună caietele pe masa." Dialoghez cu clasa.

        Ce a făcut Andrei? ( A pus pe masă două caiete).

        Cer celui de-al doilea copil ( Narcis) să pună pe masă caietele sale.

        Câte caiete a pus Andrei și câte caiete a pus Narcis pe masă? ( Andrei a pus 2 caiete și Narcis a pus 3 caiete).

        Câte caiete sunt pe masă? ( Pe masă sunt 5 caiete. Elevii pot raspunde ușor deoarece le văd.).

        Cum ați aflat? ( lângă cele 2 caiete pe care le-a pus Andrei, a mai pus Narcis 3 caiete și s-au facut în total 5 caiete. Deci, 3 caiete și încă 2 caiete fac 5 caiete. Pentru a afla numarul total de caiete facem operația de adunare, 3 + 2 = 5 ).

        Cer unui elev sa exprime acțiunea facută de colegii săi și să formuleze întrebarea.

Cu acest prilej îi familiarizez pe elevi cu noțiunile de "problemă" și de "rezolvarea problemei" punctând totodată și părțile componente ale problemei. Nu este inutil ca din această etapă să se strecoare și ideea verificării rezultatului ( vizul, prin numărare) ca o întărire imediată a corectitudinii soluției.

Daca în problema anterioară rezultatul era vizibil, nu același lucru se întâmplă și în problema următoare.

Problema 2

Cer elevilor să fie atenți la Diana. Cer elevei să arate elevilor 4 caiete și apoi să le pună într-un ghiozdan gol, aflat pe catedră, apoi îi cer să mai arate 3 și să le așeze tot în acel ghiozdan.

Dialoghez cu clasa.

        Vedeți câte caiete sunt în ghiozdan? ( Nu.)

        Atunci ce nu știm noi, sau ce trebuie să aflăm? ( Câte caiete sunt acum în ghiozdan.)

Se formulează enunțul problemei.

" Diana a pus într-un ghiozdan 4 caiete și apoi a mai adăugat încă 3 caiete. Câte caiete sunt acum în ghiozdan?"

Pornind de la această problemă, le pot spune elevilor că este formată din două părți: o parte care ne arată ce cunoaștem sau ce știm din problemă ( că Diana a pus în ghiozdan 4 caiete și apoi a mai pus încă 3 caiete) și o parte care ne arată ce nu cunoaște sau ce trebuie să aflăm. Aceasta se numeste "întrebarea problemei".

        Ce nu cunoaștem în problemă? ( Câte caiete a pus Diana în ghiozdan?)

        Deci, care este întrebarea problemei? ( Câte caiete a pus Diana în ghiozdan?)

Să rezolvăm acum problema! Cum vom gândi ? ( La 4 caiete pe care le-a pus mai întâi Diana în ghiozdan, a mai adăugat încă 3 și s-au obținut un număr de 7 caiete. Deci, 4 caiete + 3 caiete = 7 caiete.)

        Ce am aflat? ( Că Diana a pus în total 7 caiete în ghiozdan.)

Pentru a se convinge de corectitudinea rezolvării problemei, Diana scoate caietele din ghiozdan și le numară ca să vadă întreaga clasă.

Condiția necesară pentru rezolvarea unei probleme simple, cunoașterea elementelor sale de structură nu trebuie să se realizeze numai cu prilejul rezolvării primelor probleme, ci este necesară o permanentă consolidare. Pentru aceasta se pot folosi diferite procedee:

        Prezentarea unor "probleme" cu date incomplete pe care elevii le completează și apoi le rezolvă ( Maria are 5 baloane roșii și 4 baloane albastre. Câte baloane are în total?)

        Prezentarea "datelor problemei" la care elevii pun întrebarea ( Ioana culege 10 fragi și îi daruiește fratelui ei 3 fragi.)

        Prezentarea întrebării problemei la care elevii completează cu datele problemei ( Cât i-au mai rămas?)

La clasa I am avut grijă să prezint elevilor probleme treptat trecând prin următoarele etape:

        Probleme după imagini;

        Probleme cu imagini și text;

        Probleme cu text.

Introducerea problemelor cu text a fost condiționată de învățarea de către elevi a citirii scrierii literelor și cuvintelor.

Manualul de clasa I sugerează modalitatea de redactare a rezolvării unei probleme urmărind ca în absența unui text scris învățătorul sa-i obișnuiască pe elevi să scrie doar datele și întrebarea problemei.

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea problemelor compuse nu înseamna numai rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Dificultatea constă în legatura dintre verigi și constituirea raționamentului.

Problema compusă fiind alcătuită din mai multe probleme simple, cuprinde relații în care se cere să se determine o valoare numerică necunoscută pe baza unor valori numerice date, care se găsesc într-o anumită dependență unele față de altele și toate de marimea căutată.

La rezolvarea problemelor compuse se trece după rezolvarea unui număr suficient de mare de probleme simple. Inițial am ajutat elevii în rezolvarea problemelor, apoi am deplasat activitatea spre elev determinandu-l astfel să-și formeze priceperea de a lucra independent. Pentru a trece treptat de la probleme simple la probleme compuse am procedat la contopirea în același enunț a două probleme simple.

Exemple:

1. De ziua lui, Dan a primit de la părinții săi 3 carți cu povești și 2 cărți de colorat.

Câte cărți a primit Dan de la părinții săi?

2.      De ziua lui ,Dan a primit de la prietenii săi 2 cărți cu povești și 1 carte de colorat.

Câte cărți a primit Dan de la prietenii săi?

Din contopirea celor două probleme se obține problema:

De ziua lui, Dan a primit de la părinții săi 3 cărți cu povești și 2 cărți de colorat, iar de la prietenii sai a primit 2 cărți cu povești și 1 carte de colorat,

Câte cărți a primit Dan în total?

Rezolvarea problemelor compuse solicită într-o măsură mai mare gândirea logică decât în cazul rezolvării problemelor simple, datorită faptului că, pe lângă examinarea separată a fiecărei probleme simple ce intră în componența problemei compuse respective, cu stabilirea operațiilor corespunzătoare, este necesară punerea în corespondență a problemelor simple, sesizarea legaturilor organice dintre ele, a dependenței lor reciproce astfel încât să se poată stabili succesiunea acestor probleme în vederea găsirii rezultatului final.

Pentru a asigura desfășurarea procesului de gândire prin care se caracterizează examinarea unei probleme compuse, este necesar să se clarifice în prealabil textul problemei, să se ajungă la înțelegerea de către elevi a împrejurărilor care au generat acea problemă, să se arate pas cu pas care sunt judecățile care intervin în analiza problemei, cum se inșiruiesc ele, cum depind una de alta și cum se condiționează reciproc, să se recompună apoi diferitele părți ale problemei într-un tot unitar, să se facă apoi abstractizări și generalizări.

Unii elevi întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor compuse deoarece au o singură întrebare, aceasta fiind întrebarea ultimei probleme simple componente, restul întrebărilor care reprezintă celelalte probleme simple urmează să fie descoperite și formulate de aceștia.

Exemple de probleme compuse a căror rezolvare corespunde următoarelor formule:

1) a + ( a + b ) = c

La un concurs sportiv au participat trei băieți și un număr de fete. Câți copii au participat la acel concurs dacă numărul fetelor a fost mai mare cu 2 decât cel al băieților?

2) a + ( a – b ) = c

Într-un coș erau 7 mere și un număr de pere. Numărul perelor era cu 3 mai mic decât cel al merelor. Câte fructe erau în coș?

3) ( a + b ) – c = d

Ion avea într-o cutie 7 creioane. A mai cumpărat 3 creioane. A dat colegei sale 2 creioane. Câte creioane mai are Ion?

4) ( a – c ) + b = d sau ( a + b ) – c = d

Andrei avea 10 timbre, dar a pierdut 4 timbre. Bogdan are 3 timbre. Câte timbre au cei doi copii împreună?

Rezolvarea problemelor tip

Problemele care se rezolvă prin metode speciale sunt probleme tipice. Acestea diferă de la un tip de problemă la altul. Rezolvarea fiecărui tip de probleme se bazează pe fixarea relativă a unei scheme de lucru cu o sferă limitată de aplicare, prin utilizarea căreia se ajunge la o anumită linie de mișcare a gândirii, la un anumit fel tipic de orientare a raționamentului.

Pentru însușirea de către elevi a metodei de rezolvare a fiecărui tip de problemă, trebuie să aibă în vedere respectarea următoarelor condiții:

–         în explicarea fiecărui tip de problemă să se aleagă probleme cu conținut simplu și cu numere mici pentru ca elevii să poată urmări metoda de rezolvare, nu calcule cu numere;

–         pentru a ajunge la metoda de rezolvare mai sigur, mai ușor, judecata elevilor trebuie să se sprijine pe reprezentarea intuitivă a enunțului problemei. În felul acesta elevii recunosc ușor legăturile și raporturile dintre mărimile date în problemă;

–         pentru fiecare tip să se rezolve cât mai multe probleme, iar periodic să se revină la cele învățate pentru a se putea repeta cu elevii;

–         la fiecare tip, elevii să fie ajutați și îndemnați să compună probleme asemănătoare;

–         după studierea unui grup de probleme ce se încadrează într-un anumit tip să se faca deducții și generalizări, pe înțelesul și cu ajutorul elevilor, stabilindu-se astfel ce s-a găsit comun la toate problemele, deosebirile dintre una și alta, care este metoda prin care se rezolvă aceste probleme.

Dupa metodele care se folosesc în rezolvarea problemelor de matematică în ciclul primar, aceste probleme sunt cunoscute sub numele de:

        Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă;

        Probleme care se rezolvă prin metoda comparației;

        Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze;

        Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers;

        Problme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate;

        Probleme de mișcare

        Probleme nonstandard

Probleme care se rezolvă prin metoda comparației

Această metodă ar putea fi privită și ca echivalenta ”metodei educerii” de la sistemele de ecuații, deoarece utilizează eliminarea uneia dintre mărimi prin scădere iar, apoi, se elimină una dintre necunoscute prin înlocuirea ei.

În enunțul unei astfel de probleme, cele două mărimi care intervin (cele două necunoscute) sunt prezentate în două situații distincte. Pentru sintetizarea datelor problemei, acestea se scriu pe două rânduri, așezate unele sub altele, astfel încât mărimile de același fel să se corespundă. Se încearcă apoi să se egaleze datele privitoare la una dintre mărimi în ambele șiruri, prin multiplicarea datelor din cele două șiruri (prin calculul celui mai mic multiplu comun).

Ca operație a gândirii logice, comparația intervine în multe momente și situații ale actrivității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași.

Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze

Foarte multe probleme pot fi rezolvate prin această metodă. Mai mult, toate problemele ale căror necunoscute sunt mărimi proporționale, se pot rezolva și prin metoda ”falsei ipoteze” Abordarea problemei se face printr-o presupunere arbitrară asupra mărimii pe care o căutăm (o presupunere falsă).

Se reface problema pe baza presupunerii false pe care am făcut-o și datorită faptului că mărimile sunt proporționale, rezultatele obținute pe baza propunerii se ”translatează” în plus sau în minus, adică reprezintă o contradicție cu datele problemei. Astfel devine evident că presupunerea făcută este falsă și refăcând problema, ajungem prin compararea rezultatelorfolse cu cele reale, să aflăm de ”câte” ori am greșit când am făcut presupunerea.

Urmează ”corectarea” presupunerii, în sensul că o mărim sau o micșorăm de acest număr de ori.

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze pot fi clasificate în două categorii :

        probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză ;

        probleme pentru rezoolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Aceasta metodă constă în a emite o ipoteză oarecare ( deși de obicei se pleacă de la ipoteza " toate de același fel"), nu în ideea de a găsi răspunsul, ci pentru a sesiza nepotrivirea cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei.

Deci, metoda se numește a falsei ipoteze pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă cu adevărul.

Dacă am aplica o serie de încercări succesive, până la găsirea soluției, ar fi o rezolvare empirică. Comun cu astfel de rezolvare este numai faptul că facem o încercare arbitrară ce o continuăm printr-un raționament.

Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers

Problemele care se rezolvă prin această metodă sunt în așa fel alcătuite încât relațiile dintre date ( mărimi) sunt prezentate într-o ordine succesivă și, dacă s-ar aplica ordinea naturală a calculelor, raționamentele ar fi greoaie. Se aplică atunci metoda mersului invers, care, așa cum se vede în denumirea ei, constă în folosirea datelor problemei în ordine inversă.

Ea constă în faptul că enunțul unei probleme trebuie urmărit de la sfarșit spre început. Analizând operațiile făcute în problemă și cele pe care le facem noi în rezolvarea problemei, constatăm că în fiecare etapă facem operația inversă celei facute în problemă.

Deci, nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le facem pentru rezolvare sunt invers celor din problemă. Proba se face făcând asupra numărului găsit operațiile indicate în enunțul problemei.

Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate

Prin această metodă se recurge la așezarea datelor problemei într-o schemă care ușurează procesul de gândire în examinarea și rezolvarea situațiilor întâlnite.

Problemele de regula de trei simplă și de trei compusă se rezolvă , de obicei, prin procedeul proporțiilor și prin procedeul reducerii la unitate.

Prin regula de trei simplă, se rezolvă acele probleme în care se dau două mărimi direct sau invers proporționale, A și B și în care se cunosc două valori a1 și a2 ale marimii A și valoarea b1 a mărimii B corespunzătoare valorii a1 și trebuie să se găsească valoarea b2 a mărimii B corespunzătoare valorii a2.

Regula de trei simplă se numește astfel, deoarece în fiecare problemă care se rezolvă prin această regulă , sunt date trei numere și se caută al patrulea, proporțional cu numerele date.

Este necesar ca fiecare învățător să îi obișnuiască pe elevi cu modul de așezare schematică a datelor în desfășurarea procesului de gândire.

Probleme de mișcare

În structura problemelor de circulație intervin cele trei mărimi care caracterizează mișcarea rectilinie : spațiul ( distanța ) , viteza și timpul. Pentru înțelegerea acestui tip de probleme este necesar ca elevii să-și formeze în primul rând noțiuni clare în legătură cu cele trei mărimi : să cunoască relațiile de interdependență dintre ele și anume, cum se află una dintre acestea, când se cunosc celelalte două.

În problemele de mișcare se va vorbi despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică, în intervale de timp egale mobilul va parcurge distanțe egale dupa relatia S = v x t. Din această relație se pot deduce : v = S : t si t = S : v

Noțiunile respective se pot însuși ușor de către elevi prin analiza unor aspecte cât mai apropiate de preocupările lor. În rezolvarea lor am pornit de la fapte cunoscute de elevi și folosind metoda figurativă, am făcut elevii să înțeleagă repede aceste relații.

Putem clasifica problemele de mișcare în mai multe grupe :

a) probleme ce conduc direct la rezolvări simple de aflare a distanței, vitezei și timpului ;

b) probleme de întâlnire ( când mobilele se deplasează în sens contrar) ;

c) probleme de întâlnire ( când mobilele se deplasează în același sens ) ;

d) probleme de compunere a vitezelor ;

e) probleme combinate.

Pentru înțelegerea problemelor de mișcare am insistat mult ca elevii să înțeleagă unii termeni precum: deplasarea în același sens, deplasarea în sens invers, plecare simultană, succesivă, etc. Aceste noțiuni au fost însușite de elevi pornindu-se de la rezolvarea unor probleme simple, legate de mediul înconjurător și folosind metoda figurativă, iar uneori demonstrând mișcarea obiectelor pe tabla.

Metoda rezolvării problemelor nonstandard

Acest gen de probleme nu se supune exigențelor sau regulilor vreunui criteriu de clasificare prezentat până acum, nu permite aplicarea unei metode standard, de aceea ele sunt cunoscute sub numele de probleme nonstandard.

Rezolvitorul unei astfel de probleme își pune gândirea și imaginația la contribuție, devenind practic un adevărat creator, iar găsirea soluției îi aduce o mare satisfacție.

Valențele formative ale acestui gen de probleme vizează în mod deosebit cultivarea creativității elevilor, îndrăzneala, istețimea, spiritul novator, flexibilitatea gândirii lor, motivația, spiritul de căutare.

Metode folosite în predarea problemelor care se rezolvă prin metoda grafică

În desfășurarea activității la clasă, metodele de învățământ sunt, de fapt, instrumentul cu ajutorul căruia învățătorul transmite cunoștințe, formează priceperi și deprinderi. Am ales cele mai adecvate metode didactice în predarea metodei grafice, acestea fiind în strânsă legătură cu obiectivele educative – operaționale și specifice. Stabilirea obiectivelor operaționale oferă posibilitatea de a selecta conținutul învățării, de a elabora unele strategii de asimilare a informațiilor, de a evalua continuu și formativ rezultatele învățării.

După precizarea obiectivelor și după analiza resurselor, mi-am elaborat strategia didactică, alegându-mi metodele de învățământ și mijloacele didactice în așa fel încât să ating obiectivele propuse. Fr. Bacon spunea undeva că „stăpânirea metodelor poate, într-o anumită măsură, să compenseze talentul”.

„Metodele de învățământ nu sunt numai modalități de lucru ale învățătorului – modalități de predare, de transmitere a cunoștințelor, de organizare a asimilării acestora de către elevi – și nici numai modalități de lucru ale elevilor, ci ele se referă la procesul de învățământ în toată complexitatea lui (instruire, învățare, aplicare în practică, formarea priceperilor și deprinderilor, evaluarea rezultatelor școlare).”

De asemenea, metodele de învățământ ca modalități practice de desfășurare a activității comune în spiritul de cooperare a învățătorului cu elevii, nu se limitează numai la procesul instruirii elevilor, ci servesc la realizarea obiectivelor educației școlare, vizând dezvoltarea capacităților intelectuale a motivației învățării, educarea sentimentelor sociale, formarea trăsăturilor de personalitate.

De-a lungul timpului, metodele au cunoscut îmbunătățiri și reevaluări, progrese și diversificări, permanent raportându-se atât la cadrele didactice, cât și la elevi.

Procedeele didactice au secondat metodele, permițând trecerea rapidă de la o activitate la alta, stimulând afirmarea și dezvoltarea inițiativei și a inovației, înviorând și făcând mai atractivă munca la clasă.

Realizarea unei lecții eficiente presupune o metodologie bogată, în care să se îmbine elementul tradițional cu acela modern. În funcție de tipul de lecție, de obiectivele stabilite, învățătorul optează pentru acele metode moderne și tradiționale prin care se stimulează facultățile intelectuale ale elevilor, activizând diverse operații și procedee de gândire și se asigură înțelegerea, asimilarea noțiunilor abstracte de limbă și transferarea lor în practica exprimării.

Metodele principale pe care le-am folosit în predarea metodei grafice au fost: explicația, conversația euristică, demonstrația, problematizarea, metoda descoperirii, metoda comparativă, exercițiul, metoda activității cu fișele.

În afara acestor metode tradiționale, am folosit și o serie de metode moderne precum: brainstormingul, tabelul S.V.I.( Știu- Vreau sa știu – Am Învățat), ciorchinele, cadranele, cubul, copacul vorbitor, diagrama Venn, satelitul și jocurile didactice.

Metode tradiționale

Explicația este metoda prin care se urmărește lămurirea și clasificarea unor noțiuni matematice, prin relevarea notelor esențiale, solicitând într-un grad mare operațiile gândirii: analiza, sinteza, comparația, generalizarea, abstractizarea.

Fiind limitată în timp și din nevoia de a se asigura o explicație eficientă, este necesar să se evite exagerările privind detaliile și argumentările nesemnificative, deoarece acestea pot diminua posibilitatea evidențierii esențialului și, ca atare, pot duce la scăderea nivelului cunoașterii, al pregătirii temeinice. Astfel, explicația oferită elevilor trebuie să fie clară, coerentă și suficient subliniată pentru ca aceștia să o poată reține.

Metoda explicației poate fi folosită cu succes la orele de matematică în lecțiile de predare a metodei grafice. Este recomandabil să alegem probleme simple pentru început, acestea contribuind la realizarea obiectivelor operaționale propuse:

-să explice modul de aplicare a metodei grafice în rezolvarea problemelor

-să reprezinte grafic expresii matematice specifice metodei de rezolvare

– să rezolve corect probleme matematice a căror rezolvare presupune aplicarea metodei grafice

– să compună o problemă pornind de la reprezntarea grafică propusă

În lecțiile de predare a problemelor care se rezolvă prin metoda grafică metoda explicației are rol primordial și, îmbinată cu metoda conversației, cu metoda exercițiului și cu problematizarea, duce la realizarea obiectivelor propuse.

Conversația euristică sau socratica (dialogul euristic) presupune înlănțuirea de întrebări și răspunsuri prin care se urmărește, într-o lecție de dobândire de cunoștințe, trecerea de la concret la abstract, de la exemplu la definiții, reguli, concepte matematice.

Dialogul permanent între învățător și elev este o metodă de bază în învățământul primar. Cu ajutorul întrebărilor, învățătorul conduce elevii de la cunoscut la necunoscut, de la simplu la complex, de la intuiție la inducție, mergând puțin câte puțin, din treaptă în treaptă, către cunoștințe din ce în ce mai complexe.

Eficiența metodei conversației depinde de structurarea și de formularea întrebărilor, motiv pentru care se impun respectate următoarele condiții:

întrebările să fie clare, corecte din punct de vedere științific, concise, fără ambiguități

întrebările să fie complete, cuprinzătoare, complexe, fără a deveni duble sau triple, mai ales în cazul chestionării orale, și să nu ducă la răspunsuri monosilabice, de tipul da/nu, adică să nu sugereze răspunsul în formularea lor;

întrebările să se adreseze inițial întregului colectiv de elevi și apoi să se fixeze elevul care să dea răspunsul;

în cazul în care elevii nu au înțeles întrebarea sau au răspuns parțial ori eronat, învățătorul va recurge la întrebări ajutătoare, fără să îi demoralizeze sau să le rănească personalitatea;

să nu se formuleze întrebări viclene, de tip „capcană”, voit greșite, care pot induce în eroare elevii, de tipul: Câte operații are problema?.

Și răspunsurile, la timpul lor, trebuie să îndeplinească o serie de condiții:

să fie clar exprimate, pentru a fi înțelese de toți elevii, complete;

să fie date individual și nu „în cor”, pentru a putea fi evaluate corespunzător;

să fie conștiente și însoțite de explicații, de argumentări, pentru a se pune în evidență nivelul și calitatea cunoștințelor dobândite;

să fie urmărite și apreciate obiectiv de restul elevilor și de învățător; învățătorul, în așteptarea răspunsului la întrebarea sa, trebuie să dovedească o mimică și o pantomimică adecvate, spre a nu deruta sau tensiona elevul, să îi lase acestuia un timp rațional de gândire și de formulare a răspunsului și să nu îl întrerupă, iar, în cazul unui răspuns incorect sau aflat în afara întrebării, să îl ajute pe elev să înțeleagă unde a greșit.

Un alt tip de conversație este conversația de verificare, care are rolul de evaluare a nivelului de pregătire a elevului. În cadrul conversației de verificare, vom solicita memoria elevului, dar vom căuta să antrenăm și alte procese psihice, în primul rând gândirea, cerându-i elevului să facă anumite comparații, analize, clasificări sau să aplice creator informația pe care o stăpânește. Învățătorul își dă, în acest fel, seama nu doar de ceea ce știe elevul, ci și de cum gândește el, cum se exprimă, cum face față unor situații problematice.

În cadrul lecțiilor de predare-învățare a noțiunilor privind metoda grafică conversația se îmbină cu demonstrația, explicația, problematizarea .

Înainte de exemplele de conversații din activitatea mea la clasă, trebuie evidențiată interferența între explicație și dialog (conversație). Dialogul învățător-elev devine un instrument prin care explicația capătă forma accesibilă, își atinge ținta, anume aceea de a satisface elevul informațional în legătură cu o sarcină didactică. Pe de altă parte, dialogul ca atare este întreținut de explicație, realizându-se astfel comunicarea pedagogică.

EXEMPLIFICĂRI

Problematizarea, folosită frecvent la lecțiile de matematică, „constă într-o suită de procedee prin care se urmărește crearea unor noi situații – problemă care antrenează și oferă elevilor posibilitatea să surprindă diferite relații între obiectele și fenomenele realității, între cunoștințele anterioare și noile cunoștințe prin soluții pe care ei înșiși, sub îndrumarea profesorului le elaborează.” Nu se recomandă a se folosi exclusiv, ci îmbinată cu alte metode, precum conversația, descoperirea, activitatea pe grupe de elevi etc. Prin activitatea de rezolvare de probleme, învățătorul conduce gândirea elevului spre descoperire.

Am folosit ca metodă de lucru, problematizarea, într-o lecție de formare de priceperi si deprinderi, la clasa a IV-a, cu conținutul: „ Rezolvarea problemelor prin metoda grafică”.

Aceasta metodă a fost pusă în aplicare pentru următorul obiectiv operațional: să se identifice tipurile de probleme care se rezolvă prin metoda grafică.

Învățarea prin descoperire angajează elevii la refacerea pe scurt a drumului elaborării conceptelor și noțiunilor, pe baza raționamentului inductiv, deductiv sau analogic.

Învățarea prin descoperire este o învățare cu ajutorul gândirii.

Etapele învățării prin descoperire-redescoperire sunt:

înțelegerea temei de cercetat;

formularea ipotezelor de lucru;

stabilirea condițiilor și a materialului necesar;

efectuarea lucrării propriu-zise;

verificarea soluțiilor găsite.

Pe baza raționamentului inductiv, elevii realizează descoperirea pornind de la concret la abstract, de la particular la general, de la analiză la sinteză, de la informație la concept.

Care este rolul acestei metode? În ziua de astăzi, elevul are alte preocupări, nu mai este interesat să învețe la anumite discipline care i se par inutile și atunci , învățătorul recurge la astfel de metode care îl ajută să-l transforme pe elev din spectator, la propriul proces de formare, în actor conștient și activ.

Subiectul lecției: probleme care se rezolvă prin metoda grafică

Material de cercetat:

Se realizează următoarea schemă grafică:

x y x+b=70

15 z y b+z=85

x+z=75

15 z x

X

Se dirijează gândirea copiilor punându-i să observe primele două operații.

Sarcina 1- Explicați de  ce segmentul al II – lea, care reprezintă operația y + z = 85, este mai mare ca segmentul I, care reprezintă operația x + y = 70,  dacă segmentul „y” este comun celor două operații ?

(  Deoarece numărul „z” este mai mare cu 15 decât numărul „x”.)

85 – 70 = 15

Sarcina 2- Spuneți ce se întâmplă dacă din segmentul al III – lea, care reprezintă operația

x + z = 75, se scade 15, cu cât este „z” este mai mare ca „x” ? Cu cât este egal numărul „x” ?

( Rămâne numărul „x” de 2 ori.)

75 – 15 = 60

x  +  x  = 60

x = 60 : 2

a = 30

În continuare copiii observă că se pot afla cu ușurință și celelalte numere:

y = 70 – 30                    z = 75 – 30

y = 40                            z = 45

Elevii au astfel senzația că descoperă, recreează cunoștințe despre rezolvarea acestor tipuri de probleme.

Exercițiul ca metodă de învățământ reprezintă calea prin care, pe baza repetării sistematice a unei activități intelectuale, se dobândesc deprinderi.

„În sensul etimologic al cuvântului, a efectua un exercițiu (lat.exercitium) înseamnă aexecuta o acțiune în mod repetat și conștient, a face de mai multe ori, în vederea dobândirii unei îndemânări, a unei deprinderi.”

Deși este o metodă tradițională, exercițiul face posibilă realizarea dezideratelor unui învățământ modern. Tratarea diferențiată a elevilor este posibilă prin intermediul unui sistem de exerciții, nuanțate în funcție de capacitățile și de înclinațiile fiecărui elev. Rezolvarea unor exerciții cu grad diferit de dificultate, exerciții efectuate de elevi în ritm propriu, face posibilă tratarea diferențiată a elevilor, dar în concordanță cu activitatea unitară la nivelul întregii clase.

Scopul general al exercițiilor este formarea deprinderilor de muncă independentă la elevi.

În orele de matematică am apelat la o diversitate de exerciții, dar am ținut seama ca acestea să fie în concordanță cu specificul materiei, cu noțiunile învățate anterior, dar și cu tipurile de exerciții rezolvate de elevi până atunci.

Exercițiile matematice pot fi de mai multe tipuri:

-exerciții de recunoaștere a unor noțiuni matematice

Exemplu: Care dintre următoarele probleme se rezolvă prin metoda grafică?

-exerciții de calcul mental

Aceste tipuri de exerciții constau în dezvoltarea rapidității gândirii

-exerciții grafice

Exemplu:Realizează figura grafică pentru problemele date

-exerciții complexe

Acestea pot fi exercițiile recapitulative, care combină cunoștințele însușite într-un capitol întreg

„Metoda activității cu fișele este considerată drept prima formă de organizare programată a învățării. Utilizarea fișelor individualizează învățarea, întrucât subiectele formulate pe diferite tipuri de fișe au destinație precisă.”

Fișele de cunoștințe (noțiuni) sunt fișele ce conțin definiții ale noțiunilor importante; fișe-citat cu extrase din dicționare, lecturi suplimentare etc.; fișe cu algoritmi de calcul, etape de lucru; fișe cu formule. Aceste fișe, dacă sunt realizate de elevii înșiși, pot deveni fișe de autoinstruire.

Fișele de exerciții pot avea un grad progresiv de dificultate, prin care se urmăresc consolidarea și aplicarea noțiunilor, a formulelor, a simbolurilor asimilate. Exercițiile pot fi rezolvate individual, în perechi sau pe grupe.

FIȘĂ DE LUCRU

Rezolvați următoarele probleme reprezentându-le grafic.

2.Într-o florărie erau expuse cu 29 mai mulți trandafiri decât crini. Dacă împărțim numărul trandafirilor la numărul crinilor obținem câtul 4 și restul 2.

Câți trandafiri și câți crini erau?

3.Se dau numerele a,b,c. Suma lor este 708. Știind că b=a și c este cu 15 mai mare decât b, află numerele.

Fișele de recuperare, după cum arată și numele, sunt destinate corectării și sunt utilizate pentru elevii care au înregistrat eșecuri la fișele de control.

FISĂ DE RECUPERARE

Rezolvă :

1. La o școală s-au adus 691 manuale. Manualele de limba română sunt cu 18 mai puține decât manualele de matematică, iar manualele de istorie cu 3 mai multe decât cele de limba română. Câte manuale de fiecare fel s-au adus?

Fișele de dezvoltare sunt destinate elevilor care nu au avut greșeli majore la fișele de control (au atins performanța minimă acceptabilă).

B. METODE MODERNE

Ciorchinele

Este o metodă antrenantă care dă posibilitatea fiecărui elev să participe individual, în perechi sau în grup. Solicită gândirea copiilor, deoarece ei trebuie să treacă în revistă toate cunoștințele lor în legătură cu un termen –nucleu, reprezentativ pentru lecție, în jurul căruia se leagă toate cunoștințele lor. Se scrie un cuvânt/tema în mijlocul tablei; Se cere elevilor să noteze toate ideile/sintagmele care le vin în minte legate de cuvânt/tema și se trasează linii între acestea și cuvântul/tema inițială;

Avantaje:

-nu se critică ideile propuse;

-poate fi utilizată ca metodă liberă sau cu indicare prealabilă a categoriilor de informații așteptate de la elevi.

Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară, care se poate aplica în etapa de evocare sau reflecție, în realizarea sensului și evaluare.

Turul galeriei

-Se comunică sarcina de lucru;

-Se formează grupurile;

-Elevii lucrează în grup, pe o foaie de format mare (afiș)-produsul poate fi un desen/o caricatură/o schemă;

-Elevii prezintă în fața clasei afișul, explicând semnificația și răspund întrebărilor puse de colegi;

-Se expun afișele pe pereți, acolo unde dorește fiecare echipă; -Lângă fiecare afiș se lipește câte o foaie goală;

– Se cere grupurilor să facă un tur, cu oprire în fața fiecărui afiș și să noteze pe foaia albă anexată comentariile, sugestiile, întrebările lor;

-Fiecare grup va citi comentariile făcute de celelalte grupe și va răspunde la întrebările scrise de acestea pe foile albe.

Avantaje: -elevii oferă și primesc feed-back referitor la munca lor; -șansa de a compara produsul muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod organizat și productiv.

Prin metoda CIORCHINELE, elevii și-au fixat cunoștințele cu privire la metoda grafică. Într-un cerc, în mijlocul unei foi am scris METODA GRAFICĂ, am trasat câteva ramuri , iar elevii și-au notat individual informațiile, sintagmele însușite anterior. SCHIMBUL DE IDEI- împreună cu colegul de bancă elevul a discutat despre metoda grafică, după care și-a completat în continuare ciorchinele.

La final s-a folosit metoda TURUL GALERIEI pentru prezentarea produselor activității, autoevaluarea și evaluarea făcându-se după criterii stabilite și cunoscute dinainte de elevi.

Metoda cadranelor

-Împărțirea tablei în 4 părți egale; -Se propune câte un criteriu pentru fiecare cadran obținut; -Se citește textul; -Se formulează răspunsuri scurte pentru fiecare cadran; -Se evaluează rezultatele. Este o modalitate de rezumare și sintetizare a unui conținut informațional solicitând participarea și implicarea elevilor în înțelegerea acestuia.

Avantaje: stimulează atenția și gândirea; scoate în evidență modul propriu de înțelegere; conduce la sintetizare/esențializare elevii își stabilesc sarcini trans și croscurriculare, diversificate și de complexitate crescută.

Metoda CADRANELOR am folosit-o frontal și individual, în rezolvarea problemelor prin metoda figurativă. Fișa de lucru este împărțită în patru cadrane destinate textului problemei, reprezentării grafice, rezolvării și, respectiv, răspunsului problemei.

Am considerat această metodă eficientă deoarece a delimitat clar în mintea copilului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a obține rezultatul problemei.

Apoi acoperind celelalte cadrane și descoperind doar pe cele cu nr. II, III sau IV am cerut elevilor să creeze probleme asemănătoare (asemănătoare reprezentării grafice, sau planului de rezolvare sau al cărui răspuns să fie identic cu cel obținut în problemă).

CAP.III. PRECIZAREA IPOTEZEI GENERALE ȘI A IPOTEZELOR PARTICULARE. METODOLOGIA ȘI OBIECTIVELE CERCETĂRII

Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite, etc.

Programele școlare și manualele conțin cunoștințele, stabilite în funcție de particularitățile de vârstă, pe care fiecare elev trebuie să le dobândească. Sarcina lucrării este să cerceteze metodologia aplicată de învățător pentru a preda, învăța, evalua la ciclul primar rezolvarea problemelor prin metoda grafică. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și de aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Pentru a completa imaginea referitoare la metoda grafică, pentru a sublinia, dacă mai era nevoie, necesitatea utilizării metodei grafice, am inițiat un experiment având ca ipoteză a cercetării : dacă în rezolvarea problemelor prin metoda grafică se îmbină folosirea metodelor tradiționale cu cele moderne, atunci eficiența în dobândirea noțiunilor privind această metodă are o eficiență sporită.

Ipoteze particulare:

-dacă în demersul didactic, învățătorul selectează și aplică acele metode și procedee adaptate nivelului de înțelegere al elevului, atunci feed-back-ul este mult mai rapid

– dacă elevii participă la activități organizate în manieră interactivă atunci se vor intensifica în mod vizibil a relațiile interpersonale, contribuind la creșterea coeziunii grupului în care aceștia își desfășoară activitatea

În conformitate cu ipoteza enunțată, am intervenit experimental cu următoarele variabile independente:

☺am introdus în cadrul orelor de matematică, în perioada dedicată rezolvării problemelor prin metoda grafică, diferite tipuri de probleme, folosind metode de activizare, menite să îi determine pe elevi să fie mult mai activi, mai motivați, mai atenți și să-și însușească într-un mod adecvat această metodă;

☺am anunțat elevii că rolul acestor probleme constă în formarea unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșisi probleme .

☺i-am încurajat în permanență pe elevi să se implice în rezolvarea acestor probleme urmărind astfel optimizarea deprinderilor de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor.

OBIECTIVELE CERCETĂRII

Am urmărit, prin acest experiment, atingerea următoarelor obiective:

Creșterea eficienței formative a învățării matematicii (metodei grafice) la clasele primare și stimularea interesului elevilor pentru acest obiect prin aplicarea metodelor active, împletite cu cele tradiționale;

Evidențierea modului cum și-au însușit elevii materialul teoretic;

Rezolvarea unor probleme și alcătuirea unor teme gradate din punct de vedere al dificultății în raport cu vârsta și cu nivelul însușirii cunoștințelor anterioare.

Dezvoltarea capacităților intelectuale, afective și comportamentale prin dobândirea unor cunoștințe de mare operaționalitate;

Toate acestea converg către un obiectiv general urmărit la catedră: prevenirea insuccesului școlar și asigurarea integrării rapide a tuturor subiecților în raport cu exigențele muncii școlare.

Pentru îndeplinirea obiectivele propuse în această lucrare am căutat să folosesc metode și procedee adecvate în scopul însușirii conștiente a noțiunilor matematice ce sunt prevăzute în programa pentru clasele primare, cât și al respectării principiilor didactice, în special principiul caracterului activ și conștient al învățării.

ORGANIZAREA ȘI METODOLOGIA CERCETĂRII

În zilele noastre, aspirația de a face din procesul instructiv-educativ „o știință aplicată” cucerește tot mai mult gândirea și acțiunea cadrelor didactice, deoarece aceasta reprezintă o cerință cu totul modernă. La elaborarea unei asemenea științe sunt chemate să-și aducă contribuția cadrele didactice care, prin munca lor la catedră, validează ipoteze și teorii pedagogice, ridică probleme inedite, găsesc rezolvări practice pentru preocupări curente.

Cercetarea pedagogică are ca scop îmbunătățirea procesului de învățământ, a formelor de organizare, a strategiilor, perfecționarea mijloacelor de educație, de formare a profilului moral al cetățeanului de azi.

Principalele etape ale cercetării pedagogice sunt:

formularea problemei și conturarea ipotezei;

cercetarea propriu-zisă, etapa fundamentală, care presupune trei momente principale:

1. adunarea și selectarea materialului faptic;

2. prelucrarea materialului selectat;

3. interpretarea rezultatelor obținute prin prelucrare;

concluzii (retrospective condensate ale conținutului lucrării).

Metodele de cercetare (în pedagogie) sunt metode folosite pentru obținerea unor rezultate valabile în problemele ridicate de cercetarea pedagogică în sprijinul dezvoltării și perfecționării științei și practicii educative.

Metodele de cercetare pot fi grupate în:

”metode pentru sesizarea problemei, clarificarea bazei teoretice și astadiului cercetării ei, formularea ipotezi și a obiectivelor: thnicile de documentare și studiul independent , metodele logice de analiză și interpretare , tehnici de creativitate individual și ăn grup, metoda comparativă, metode istorică;

metode pentru acumularea empirică și științifică a datelor, în dferite faze ale cercetării: obsevația, analiza produselor activității elevilor, analiza documentelor școlare, tehnicile sociometrice ( ancheta, convorbirea, chestionarul, interviul, testul sociometric, metode aprecierii obiective), metoda panel, metoda biografică, studiul de caz, tehnici de înregistrare audio-video;

metode pentru introducerea, aplicarea măsurilor ameliorative, de intervenție educativă, verificarea ipotezei: experimental pedagogic ( constatativ, ameliorative, de verificare, de dezvoltare) cercetarea-acțiune ( panel)

metode pentru interpretarea parțială sau finală, a rezultatelor: metodele de interpretare cantitativă, măsurare ( metode, tehnici statistice), metodele de interpretare calitativă, de apreciere ( metode diferențelor, a concordanțelor, a variațiilor concomitente, a comparației criteriale, a rămășițelor, metodele deductive, de interpretare teoretică);

metode pentru finalizarea cercetării, valorificarea rezultatelor: tehnicile specifice de redactare, de comunicare, de generalizare, prin intermediul formelor de formare continuă a cadrelor didactice.”

În acest experiment, consider că am folosit cele mai eficiente metode de cercetare pedagogică, acestea fiind: observația pedagogică, experimentul pedagogic, convorbirea, prelucrarea datelor.

Observația pedagogică

„Metoda observării este o metodă de cercetare care utilizează observația în investigație și constă în intuirea sistematică și organizată a unui obiect, fenomen, proces (așa cum se desfășoară normal sau cum a fost produs experimental), în vederea realizării cunoașterii științifice cu ajutorul căreia subiectul obține în mod nemijlocit informația despre obiectul supus reflectării.”

Observațiile sunt de două feluri:

observații pasive, observație spontană care se face întâmplător, fără să fim conduși de vreo idee preconcepută;

observații provocate, folosite cu scopul de a verifica exactitatea unei presupuneri.

Folosind observația, am urmărit la elevi cum participă la activitatea din timpul orelor, cum urmăresc și cum apreciază și completează răspunsurile colegilor examinați, cum își iau notițe, cum își efectuează temele.

Am făcut observații atât individual, cât și în colectiv, respectând următoarele cerințe:

fixarea unui scop clar;

alegerea mijloacelor și fixarea timpului de observat;

observarea faptelor în condițiile naturale fără a fi influențate de alți factori;

notarea imediată a datelor observației, fără a fi sesizabile de cei studiați (observați);

prelucrarea datelor obținute.

Pentru ca datele obținute să fie cât mai exacte, observația a fost efectuată sistematic, urmărind ca aceeași observație să fie repetată, în situații diferite. Datele obținute am încercat să le verific prin mai multe procedee. De asemenea, am reținut datele semnificative, nu și detaliile nerelevante.

Experimentul pedagogic

Este metoda experimentală în pedagogie pentru aflarea de soluții (legi științifice) la problemele care se impun școlii și pedagogiei. Experimentul este o metodă integrală de cercetare care folosește toate celelalte metode (de cercetare) și care funcționează conform unui „raționament” experimental cu schema:

observare (pentru cunoașterea fenomenului);

ipoteza (privitor la fenomen);

verificarea ipotezei (prin date produse de experimente realizate de cercetător, deci „provocate” sau „invocate” de acesta din cercetări diferite);

lege (formulată conform raționamentului experimental în cazul și în condițiile în care a fost verificată ipoteza).

Această metodă experimentală constă în observarea obiectelor și fenomenelor într-o situație creată de observator. În cadrul acestei metode cercetătorul poate provoca fenomenul studiat, poate să schimbe condițiile de producere a fenomenului, în funcție de scopul urmărit.

Uneori, rezultatele obținute nu sunt concludente, alteori se înregistrează o reușită parțială. Intervine astfel un „test” de comparație, datele finale obținute fiind raportate la anumite date, de referință, de comparație.

Experimentul poate fi: – experiment natural;

– experiment formativ;

– experiment de laborator.

Experimentarea pedagogică se desfășoară de regulă în trei faze:

prima fază cu rol de constatare (pre-test);

a doua fază, fundamentală, experimentul propriu-zis;

etapa finală – de control (post-test).

Experimentul pedagogic se poate organiza fie numai cu clasele experimentale, fie cu clase experimentale și cu clase de control în același timp.

Convorbirea

În cercetarea pedagogică, „convorbirea se poate utilize clasic sau ca variantă a interviului, anchetei, pentru cercetarea distribuției opiniilor, aprofundarea unor date obținute prin alte metode, pentru sugerarea de noi ipoteze sau verifiarea unor constatări).”

Metoda convorbirii constă într-un dialog între cercetător și subiecții supuși investigației, în vederea acumulării unor date, opinii, în legătură cu anumite fenomene. Când se desfășoară în scris, pe baza unui chestionar, îmbracă forma anchetei.

Convorbirea se desfășoară pe baza unui plan și a unor întrebări dinainte elaborate. Când se folosește chestionarul, o atenție deosebită trebuie acordată întocmirii acestuia.

Întrebările trebuie să fie clar formulate, să se refere la un anumit aspect concret, să fie adecvate situației.

Datele convorbirii și chestionarului trebuie verificate atât prin observarea directă, cât și prin alte mijloace, deoarece s-ar putea ca unele cazuri să reflecte unilateral și subiectiv situația respectivă. Această metodă se folosește după ce, pe baza altor metode, am acumulat un material informativ despre elevul cu care urmează să stăm de vorbă, ceea ce ușurează organizarea convorbirii.

Înaintea demarării experimentului psihopedagogic, am purtat mai multe discuții cu câțiva colegi, dar și cu elevi de vârste diferite urmărind să descopăr atitudinea acestora față de metoda grafică. Am aflat că elevii sunt extrem de încântați de utilizarea acestei metode, ei manifestând apriga dorință de a descoperi ceea ce este necunoscut, cercetând, tatonând și chiar inventând. Pasul imediat următor a fost stabilirea celor două grupuri:

☺grupul martor, format din elevii clasei a IV-a B, la care rezolvarea problemelor prin metoda grafică s-a desfășurat folosind doar metode tradiționale.

☺grupul experimental, reprezentat de elevii clasei a IV-a A, în cadrul căruia am intervenit cu variabilele independente enunțate anterior.(îmbinarea metodelor tradiționale cu cele moderne)

Situația la care se referă experimentul a fost testată și înainte și după derularea acestuia pe ambele grupuri, apoi am interpretat rezultatele printr-o serie de comparații între grupuri în etape diferite ale experimentului.

Pe ambele tipuri de grupuri am studiat anterior derulării experimentului nivelul față de obiectivele stabilite, constatând că nu există diferențe semnificative. Cele două clase au fost alese astfel încât elevii să aibă aceeași vârstă, pentru a nu influența corectitudinea concluziilor.

Am interpretat rezultatele prin numeroase comparații între cele două grupuri.

Experimentul s-a desfășurat în trei etape, în anul școlar 2014-2015, la Școala Gimnazială, Nr.5, Băilești, Dolj, pe un eșantion de 34 de elevi din clasele a IV-a A și a IV- B, vizând disciplina matematică, după cum urmează:

Etapa inițială sau pre-experimentală în care:

☺am selectat cele două grupuri (experimental și de control), pe criteriul omogenității de nivel și compoziție;

☺am aplicat o testare inițială și am înregistrat situația calificativelor înainte de perioada experimentală.

Etapa experimentală, în care am intervenit cu variabilele independente la grupul experimental, iar la grupul de control lecțiile de matematică s-au desfășurat fără folosirea metodelor de activizare a elevilor. Perioada experimentului a fost de două luni și jumătate.

Etapa finală sau post-experimentală în cadrul căreia am aplicat iarăși o probă de evaluare și am înregistrat calificativele obținute de elevi după derularea experimentului.

CAP.4. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Prin evaluare ne exprimăm în mod direct interesul pentru calitatea „producției” școlare, pentru gradul de pregătire a elevului pe o perioadă determinată.

Evaluarea ne furnizează informațiile necesare reglării și ameliorării activității de la o etapă la alta prin adoptarea măsurilor corespunzătoare pentru creșterea eficienței activității. Verificarea și aprecierea sistematică a rezultatelor obținute constituie un important factor motivațional, stimulând activitatea de învățare a acestora, exercită influența asupra dezvoltării psihice, a laturii voliționale și afective, îi ajută în cunoașterea și dezvoltarea aptitudinilor.

În ceea ce privește rolul cadrului didactic în activitatea de la clasă, cunoașterea nivelului atins de elevi în dezvoltarea lor generală și a rezultatelor obținute este necesară în fiecare moment al desfășurării procesului didactic: la începutul activității cu noii elevi pentru a le cunoaște nivelul de pregătire în vederea adoptării unei pedagogii adecvate; pe parcursul procesului de instruire pentru a-și adapta activitatea la posibilitățile elevilor și la sfîrșitul procesului pentru a aprecia rezultatele obținute în lumina obiectivelor urmărite și pentru prefigurarea activității viitoare.

Se poate spune că actul de evaluare implică două operații corelate, alcătuind un tot unitar, măsurarea și aprecierea. Prima constă în aplicarea unor tehnici, probe, pentru a cunoaște efectele acțiunii intructiv – educative și a obține date în perspectiva unui scop determinat. Exactitatea măsurării este condiționată de calitatea instrumentelor de măsură folosite și de modul cum sunt aplicate acestea.

Aprecierea definește procesul de judecare a rezultatelor constatate, prin compararea acestora cu scopurile urmărite. Se presupune deci formularea unor judecăți de valoare asupra unui rezultat.

Rostul evaluării rezultatelor nu se limitează la cunoașterea acestora și la clasificarea elevilor în funcție de performanțele obținute, ci constă mai ales în a ști care sunt elementele izbutite ale procesului care au asigurat succesul și care sunt aspectele date, punctele critice ce urmează să fie remediate. Diagnosticarea oferă, prin datele și informațiile referitoare la starea procesului, sugestii pentru deciziile ce urmează a fi adoptate cu privire la desfășurarea activității în etapele următoare, prefigurând rezultatele posibile.

Actul de evaluare își realizează funcțiile numai în condițiile integrării lui efectiv în procesul didactic, ca element constitutiv al acestuia menit să furnizeze informațiile trebuitoare oricărei acțiuni de perfecționare a procesului. Există trei modalități de integrare a evaluării în activitatea didactică: evaluarea inițială, de pornire, evaluarea cumulativă (sumativă), evaluarea continuă (formativă).

Evaluarea inițială este menită să stabilească nivelul de pregătire al elevilor la începutul unei perioade de lucru, condițiile în care aceștia se pot integra în programul pregătit. Ea constituie și temeiul reconsiderării activității, în ceea ce privește ritmul de parcurgere a materiei, gradul de aprofundare, metodele folosite pentru a-l face adecvat situației constatate, dobândind o importanță deosebită la începutul anului școlar sau semestrului.

Evaularea cumulativă (sumativă) este realizată periodic, pe perioade mai lungi, în general corespunzătoare semestrelor școlare sau anului școlar, deși sunt luate în considerare și măsurile operate de parcurs. În aplicarea acestui model se poate realiza, în parte, compararea rezultatelor obținute atât cu obiectivele urmărite, cât și cu nivelul de la începutul activității; neajunsurile principale constau în caracterul de sondaj pe care-l prezintă și prin faptul că actele evaluării nu însoțesc procesul didactic și nu permit ameliorarea lui decât pentru viitor.

Modelul evaluării continue (formative) , înlăturând neajunsurile amintite, presupune verificarea rezultatelor pe parcursul procesului didactic, operând în general pe secvențe mai mici. În acest fel, trecerea la secvența următoare a procesului se face numai după ce se cunoaște modul de desfășurare ameliorativ privind atât desfășurarea procesului, cât și performanțele unor elevi.

Realizarea funcțiilor esențiale ale actului evaluativ în procesul didactic presupune folosirea atât a formelor de evaluare inițială cât și a celor operate pe parcursul și la sfârșitul activității oferind date necesare pentru îmbunătățirea sistematică a actiunii. O autentică acțiune de evaluare trebuie să fie în mod necesar continuă și completă.

Recunoașterea legăturilor dintre diferitele modalități de evaluare a activității didactice conduce la singura atitudine justificată și eficientă fată de folosirea

acestora si anume aceea nu de optiune in favoarea uneia sau alteia , ci de imbinare a acestora , de realizare a unui proces de evaluare în forme și cu funcții multiple, perfect integrat acțiunii didactice.

4.1. EVALUAREA STADIULUI INIȚIAL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR

La vârsta școlară mică, elevii învață unele tehnici elementare ale activității intelectuale. Interesul pentru studiu se găsește într-o fază incipientă. Pentru a-i determina pe micii școlari să se angajeze la o activitate de învățare, în special a matematicii, trebuie stimulate o serie de mobiluri interne și externe care să declanșeze dorința, atracția și interesul pentru învățare, însoțite de satisfacția efortului tensional, de bucuria succesului. În acest sens ar trebui să căutăm cele mai accesibile căi și metode, cele mai incitante acțiuni spre curiozitate, cunoaștere, pentru a-i face pe elevi să învețe cu interes și plăcere matematica. Una dintre acestea ar fi folosirea nivelului de aspirație specific elevilor, definit ca fiind nivelul de performanță ca mijloc de stimulare a activității de învățare și prin acesta de ridicare a randamentului școlar.

În acest sens am organizat un experiment. Așa cum am precizat și în capitolul anterior, în această primă etapă a experientului, numită și etapă pre-experimentală, am ales cele două grupuri de elevi, grupul experimental și grupul de control. Cele două grupuri au fost alese ținându-se cont de criteriul omogenității.

Primele teste aplicate au fost cele de evaluare inițială , pentru că, așa cum spunea și D. Ausubel: "Dacă aș vrea să reduc toată psihologia la un singur principiu, eu spun: ceea ce contează cel mai mult în învățare sunt consecințele pe care le posedă elevul la plecare. Asigurați-vă de ceea ce știe și instruiți-l în consecință."

Am aplicat aceste probe de evaluare inițială pentru a stabili punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental. Am conceput acest test pentru capitolul "Rezolvarea problemelor prin metoda grafică" , ținând cont de programa școlară de la clasa a IV-a și de obiectivele urmărite la sfârșitul acestui capitol.

Proba de evaluare inițială a avut un caracter constatativ reflectând volumul și calitatea cunoștiințelor, deprinderilor și priceperile de rezolvare a problemelor de către elevi.

Proba de evaluare a fost aplicată celor două grupuri, grupul experimental și grupul de control după predarea-învățarea problemelor care se rezolvă prin metoda grafică.

Conținutul testului a fost următorul:

1) Să se împartă numărul … în două părți, astfel încât o parte să fie cu …mai mică decât cealaltă.

(Puneți în locul punctelor numere potrivite și rezolvați problema)

2) Compuneți o problemă după modelul de mai sus, punând în locul punctelor numere potrivite, astfel încât o parte să fie de atâtea …ori, mai mică decât cealaltă.

3) Trei loturi de pământ , în total … ha, au fost semănate cu grâu. Lotul al doilea are suprafața de … ori mai mare decât primul, iar al treilea de … ori mai mare decât primul. Aflați suprafața fiecărui lot.

( În locul punctelor puneți numere potrivite și rezolvați problema).

4) Doi pescari au prins 649 kg pește.După ce primul pescar a vândut 135 kg pește și al doilea 190 kg, primul a rămas cu o cantitate de 5 ori mai mare decât al doilea. Câte kg de pește a prins fiecare pescar?

5) La o ruletă trei persoane au câștigat 7920 RON. A doua persoană a câștigat de trei ori cât prima și încă 80 RON , a treia persoană a câștigat de patru ori cât primele două la un loc. Ce sumă a primit fiecare din ele?

6) Diferența a două numere este 5023. Dacă le împărțim obținem câtul 9 și restul 7. Determină cele două numere.

Obiective :

să cunoască și să aplice demersurile metodice și tehnice de rezolvare a problemelor prin metoda grafică;

să aplice operațiile studiate în rezolvări și compuneri de probleme;

să realizeze proba operațiilor prin estimare și calcul.

Acordarea calificativelor:

FB- pentru rezolvarea corectă a problemelor;

B- pentru cel mult două greșeli;

S- pentru rezolvarea a cel puțin 3 probleme;

I-pentru rezolvarea unei singure probleme.

În urma aplicării probei de evaluare inițială la gupul experimental am obținut următoarele rezultate, așa cum rezultă din tabelul următor:

În tabelul de mai jos am înregistrat procentual calificativele obținute la grupul experimental în urma probei inițiale de evaluare :

În baza acestui tabel am întocmit următoarele grafice, pentru grupul experimental, după cum urmează:

Din analiza rezultatelor obținute am constatat:

– 78% din elevi stapânesc tehnicile de rezolvare a problemelor prin metoda grafică

-22% dintre elevi întâmpină greutăți la realizarea sarcinilor de la itemii 3, 4 ,6.

– 4 elevi ( cu rezultate foarte slabe) întâmpină dificultăți la rezolvarea problemelor,

-3 elevi nu reușesc să aplice demersurile didactice de rezolvare aproblemelor;

-în ceea ce privește rezolvarea și compunerea de probleme , elevii folosesc în general operațiile gândirii, doar 14 din ei ajungând la rezultatul corect.

De asemenea, testarea inițială a fost aplicată și grupului de control, iar tabelul următor prezintă rezultatele acestei evaluări:

Tabelul următor evidențiază, procentual, rezultatele probei de evaluare inițială pe grupul de control.

În baza acestui tabel am întocmit următoarele grafice, pentru grupul de control, după cum urmează:

Analizând rezultatele graficelor de mai sus s-au constatat următoarele:

– 81% din numărul elevilor stăpânesc tehnicile de rezolvare a problemelor

-19% dintre elevi întâmpină dificultăți la realizarea sarcinilor de la itemii 3 și 6;

– un număr de 3 elevi nu reușesc să găsească soluțiile corecte ale problemelor;

Din analiza comparativă a rezultatelor obținute de cele două grupuri la evaluarea inițială s-a constatat:

-rezultatele pe clase sunt apropiate (78% grupul experimental și 81 % grupul de control);

– din punctul de vedere al rezultatelor pe calificative grupul experimental a obținut un procentaj mai mare la "Foarte bine" (4 elevi), decât grupul de control (3 elevi),

-la calificativul "Bine" grupul de control a obținut un procentaj mai mic decât grupul experimental;

– la calificativul "Suficient" grupul de control a obținut un procentaj mai bun. Acestea fiind constatările după aplicarea și analiza evaluărilor inițiale, un prim pas în reorganizarea instruirii l-a constituit introducerea unor tipuri de probleme cu un grad mai mare de complexitate, aplicarea unor metode active, efectuarea unui număr sporit de exerciții și probleme care să asigure înțelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute și posibilitatea rezolvării cu ușurință a acestora.

4.2. ENUNȚAREA IPOTEZELOR PARȚIALE

CONTRIBUȚII PERSONALE ADUSE TEMEI

Această etapă a avut un pronunțat caracter formativ, aceasta fiind etapa în care am intervenit în cadrul grupului experimental prin rezolvarea de probleme folosind metode de activizare a elevilor- metode moderne.

Ipoteze parțiale:

–

–

–

–

Matematica este o disciplină creativă și pasionantă. Ea poate produce momente de plăcere și încântare când elevul rezolvă o problemă pentru prima dată, descoperă o rezolvare mai elegant a problemei sau vede pe neașteptate conexiuni ascunse. Cu toate acestea, pentru un număr însemnat de elevi, matematica rămâne o mare necunoscută fără prea multe soluții pentru ei, dacă nu este legată de viața lor de zi cu zi și nu este aplicată în practică.

Accentul cade pe utilizarea unor metode activ- participative. Caracteristic pentru aceste metode este participarea, implicarea activă, angajarea deplină, cu toate resursele posibile, a subiectului în actul învățării. Activizarea învățării presupune folosirea unor metode, tehnici și procedee care să-l implice activ pe elev în procesul de învățare, urmărindu-se dezvoltarea gândirii, stimularea creativității, dezvoltarea motivației pentru învățare. Elevul este ajutat să înțeleagă lumea în care trăiește și să aplice în diferite situații de viață ceea ce învață.

„Metodele activ- participative sunt cele care caută să transforme contactul subiectului cu noul material într-o experiență activă, trăită de el.”(Ausubel D.B. , RobinsonF.G.)

În ierarhia metodelor activ-participative din învățământul primar, jocul didactic își găsește locul cu maximă eficiență. La vârsta școlară, jocul este de fapt un mijloc de învățare. Datorită conținutului și modului de organizare, jocurile didactice sunt mijloace eficiente de activizare a

întregii clase, contribuind la formarea și dezvoltarea deprinderilor practice elementare. Scopul jocului este acela de a-l înarma pe elev cu un aparat de gândire logică, suplă, polivalentă, care să-i permit să se orienteze în problemele realității înconjurătoare, să exprime judecăți și raționamente variate într-un limbaj simplu. Această formă de activitate oferă un cadru prielnic pentru învățarea activă, participativă, stimulând inițiativa și creativitatea elevilor. Cu cât jocul este mai bine structurat, elevul acordă o implicare mai mare în desfășurarea lui.

Nevoia omului de a se adapta în continuu la situații, la procese și probleme de muncă mereu noi, impun ca școala, o dată cu funcția ei informativă, să dezvolte și atitudinile intelectuale ale elevilor, independența și creativitatea gândirii. Particularitățile de vârstă și cele individuale ale elevilor impun un anumit specific predării. În clasele primare, copilul își formează deprinderi de citire și scriere corectă, face cunoștință cu primele noțiuni matematice, începe studiul mediului înconjurător, al geografiei și istoriei. Pentru a mări eficiența formativă a învățământului în clasele I-IV, se cere asigurarea în primul rând a calității cunoștințelor pe care și le însușesc copiii. Metodele și mijloacele de învățare trebuie să pună accentul pe copil. Ele trebuie să insiste pe motivație și de aceea se axează pe activitățile ludice și pe acelea care corespund intereselor elevilor. În scopul realizării acestui deziderat, trebuie găsite procedee care să solicite activitatea elevilor. Copilul trebuie îndrumat în permanență ca tot ceea ce scrie să treaca prin filtrul gândirii. Mijloacele de învățământ rămân cel mai adesea manualele care se cer mereu îmbunătățite, însă nu este obligatorie folosirea lor, important este respectarea programei, consider că este necesar a fi folosite mai mult fișele de lucru și alte materiale didactice adecvate. Prin modelare, joc didactic , problematizare, învățarea prin descoperire elevul este pus în situația de a căuta , a descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior. Acestea privesc atât activitatea elevului cât și pe cea a învățătorului .

Dintre metodele didactice specifice învățării active, nou apărute în sistemul de predare-învățare, brainstorming-ul, ciorchinele, diagrama Wenn, jurnalul cu dublă intrare, metoda cadranelor și cubul am încercat să le aplic și în lecțiile de matematică.

Metodele moderne, activ-participative, fac lecțiile mai interesante, mai atractive, ajută elevii să realizeze judecăți de substanță și fundamentate, sprijină elevii în înțelegerea conținuturilor pe care să fie capabili să le aplice în viața reală, iar în orele de matematică să reușească să rezolve exerciții și probleme cu caracter nestereotip.

 În activitatea la catedră am căutat să creez situații favorabile învățării fiecărui elev în parte. Modalitatea de organizare a conținuturilor în manieră diferențiată și personalizată vizează adaptarea procesului instructiv – educativ la posibilitățile aptitudinale, la nivelul intereselor cognitive, la ritmul și la stilul de învățare al elevului. În termeni ai politicii educaționale, strategia diferențierii curriculare se exprimă prin trecerea de la o școala pentru toți la o școală pentru fiecare. (C. Crețu, 1998, pag. 246).

Cadrul cel mai direct al cercetării în vederea realizării lucrării a fost munca nemijlocită în clasă. Aici am verificat modalitățile de lucru abordate, am evaluat și comparat rezultatele obținute urmărind permanent obiectivele specifice predării matematicii în ciclul primar care derivă din câteva principii generale:

Dobândirea unor capacități de gândire critică și divergentă în măsură să-i ajute pe elevi să utilizeze cunoștințele și competențele în diferite situații;

   Dezvoltarea motivației și a disponibilității de a reacționa pozitiv la schimbare, ca premisă a dezvoltării personale;

Formarea unor capacități, aptitudini și valori personalizate, necesare adaptării mediului social în permanentă schimbare.

          Am avut în vedere și valențele formativ -educative ale  utilizării metodelor interactive ca practici de succes atât în învățare cât și în evaluare, și care sunt multiple:

        – stimulează implicarea elevilor în mod activ la rezolvarea sarcinilor și îi fac mai conștienți de responsabilitatea ce o au;

       – oferă posibilitatea aplicării în practică a cunoștințelor, a exersării priceperilor și deprinderilor în diferite contexte – asigură o mai bună înțelegere a cunoștințelor noi și oferă posibilitatea integrării lor în bagajul de cunoștințe deja existent, făcându-le astfel operaționale;

         – dau posibilitatea formării unei imagini de ansamblu asupra activității elevului, pe o perioadă mai mare de timp și privit sub mai multe aspecte;

        – evaluarea se integrează în mod organic în procesul de predare-învățare, toate trei componentele căpătând un aspect interactiv;

      –  valorifică și stimulează potențialul creativ și originalitatea elevului deoarece sarcinile merg până la individualizare;

-elevul nu mai este tentat de a învăța doar pentru notă;

-reduc stresul, monotonia, stimulează elevul, oferă posibilitatea îmbunătățirii activității.

Un rol deosebit în rezolvarea problemelor l-au avut desenele, schemele, care ilustrează conținutul problemei și care o fac accesibilă, clasificând logica relației dintre date și dirijând elevul într-un raționament matematic sistematic și complex. Să emită ipoteze, să întreprindă diverse căutări, presupuneri, să stabilească diferite relații, să găsească drumul spre descoperirea necunoscutei care pe măsură ce se pătrunde tot mai adânc în miezul problemei, se lasă descoperită.

După rezolvarea problemei am obișnuit elevii să verifice corectitudinea raționamentului și nu numai rezultatul obținut și să încerce și alte căi de rezolvare, solicitându-le astfel efortul gândirii la un nivel înalt și cultivându-le ingeniozitatea și capacitatea de a alege calea cea mai rapidă și economicoasă de rezolvare.

Ceea ce m-a determinat să scriu despre influența problemelor care se rezolvă prin metoda grafică, asupra dezvoltării creativității, gândirii logice a copiilor au fost următoarele considerente:

contribuția deosebită a acestor probleme în dezvoltarea proceselor psihice la elevi: memorie, judecată logică, atenție, capacitatea de analiză, sinteză și flexibilitatea gândirii;

rezultatele bune obținute la clasă, materializate în procentul sporit de elevi care au asimilat tehnicile de rezolvare a acestor probleme

Voi prezenta în cele ce urmează anumite probleme pe care le-am folosit pentru a face elevilor plăcută și accesibilă matematica, dar și un demers didactic:

1. Însumând perioada de domnie a lui Mircea cel Bătrân și Ștefan cel Mare, obținem un număr de 79 de ani. Știind că Ștefan cel Mare a domnit cu 15 ani mai mult decât Mircea cel Bătrân, aflați câți ani a domnit fiecare. Reprezentați grafic în casetă.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Demers didactic pentru rezolvarea unei probleme prin metoda grafica

Notă: Demersul didactic este pentru o lecție de predare –învățare la clasa a IV a (Unitatea de învățare –Metode de rezolvare a problemelor)

Activitate pregătitoare;

a.Calcul oral: * EXERCIȚII DE AFLARE A CÂTULUI : Aflați câtul nr. 54 și 9;63 și7; 72 și8 etc.

* EXERCIȚII TIP PROBLEMĂ: M-am gândit la un nr.Îl împart la9 și obțin 5. La ce număr m-am gândit? etc.

b.Calcul scris: EXERCIȚII DE AFLARE A NUMĂRULUI NECUNOSCUT; a : 5 = 9 rest 6 etc.

Aceste exerciții vor fi utile în descoperirea legăturii și dependenței dintre mărimile date în problemă.

2.) Anunțarea temei noi:Rezolvare de probleme

3.) Dirijarea învățării :

* Elevii vor primi o foaie A4 împărțită în 4 cadrane : cadranul 1 va avea textul problemei „Câtul a două numere naturale este 6, iar restul 13. Care sunt numerele, dacă diferența lor este 463?”

Cadranul al doilea va fi pentru datele problemei , date ce vor fi scrise pe verticală.

Cadranul al treilea va fi pentru reprezentarea grafică a problemei.

Cadranul nr. 4 va fi pentru rezolvarea problemei.

Aceleași cadrane vor fi și pe tablă.

* Se vor urmări apoi toate etapele rezolvării unei probleme:

Etapa I Se va citi textul problemei de 2,3 elevi pentru cunoașterea conținutului problemei.

Etapa a II a. Prin discuții se vor stabili datele problemei . Se vor scrie apoi datele problemei pe verticală în cadranul corespunzător dovedind astfel înțelegerea conținutului .

a – unul din numere ( deîmpărțitul)

b – al doilea număr (împărțitorul)

a : b = 6 rest 13

diferența nr. = 463

Etapa a III a : Se vor analiza cu atenție datele problemei. Elevii vor fi dirijați ,prin conversație,să descopere că problema nu oferă date exacte despre nici unul din cele două numere . Se ajunge astfel la concluzia că pentru a rezolva problema trebuie reprezentată grafic..( Elevii au mai rezolvat probleme prin metoda grafică,de exemplu: Suma a două numere este 71. Un număr este mai mare decât celălalt cu 9. Să se afle numerele.)

Făcând analogie cu exercițiile rezolvate în activitatea pregătitoare se va stabili că numărul „a” ( deîmpărțitul ) se află dacă înmulțim câtul cu împărțitorul și adunăm restul. Se completează la datele problemei relația „ a = 6 ori b+ 13”. Pe baza acestei relații și a diferenței dintre cele două numere se va face reprezentarea grafică corespunzătoare în cadranul nr. 3.

Etapa a IV a : Desenul îi va ajuta pe elevi să aleagă și să efectueze operațiile corespunzătoare : scădere, împărțire, înmulțire și adunare. Rezolvarea se va scrie în cadranul nr. 4.

Etapa a V a .Se anunță rezultatul problemei,respectiv, numărul a este 553, iar numărul b este 90.

Etapa a VI a .Se verifică rezultatul urmărind conținutul problemei,adică rezolvând exercițiul 553 : 90 = sau făcând diferența numerelor 553 și 90.

În final foaia elevilor va arăta astfel:

Se stabilește apoi că s-a rezolvat o problemă tipică folosind metoda grafică când se cunoaște câtul și diferența.

Analiza produselor activității

Pentru a realiza o comparație între produsele activității aceluiași elev, în vederea stabilirii progresului sau regresului școlar și a înregistrării trăsăturilor sale de personalitate, am realizat o serie de portofolii împreunǎ cu elevii.

Portofoliul include rezultatele relevante obținute prin diverse metode și tehnici de evaluare (probe orale, scrise, practice, observarea sistematică a comportamentului elevului, proiectul, autoevaluarea), precum și sarcini specifice fiecărei discipline. Portofoliul reprezintă „cartea de vizită” a elevului, urmărindu-i progresul de la un semestru la altul, de la un an școlar la altul și chiar de la un ciclu de învățământ la altul.

Testul

Metoda testelor este prezentată în literatura de specialitate ca metodă de sine stătătoare a cercetării.

IV.3. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR EVALUĂRII STADIULUI FINAL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR

Această etapă constă în aplicarea unor probe de evaluare finală pentru a compara rezultatele obținute după intervenția în cadrul grupului experimental prin introducerea dierselor tipuri de probleme folosind metode de activizare.

În lecțiile ce au precedat testul final am acordat o atenție deosebită pentru eliminarea lacunelor existente în pregatirea elevilor la orele de matematică prin :

– grupul experimental – am continuat să rezolv o varietate de probleme cât mai atractive, încercând să creez un suport afectiv și motivațional necesar participării active la lecții; am stimulat în permanență elevii, apreciindu-i în caz de reușită și încurajându-i în cazul în care nu au rezolvat corect problema; i-am implicat pe elevi în jocuri diverse , în concursuri pe echipe cu sarcini extrem de antrenante;

– grupul de control (martor)- în cadrul acestui grup s-au repetat cu elevii noțiunile matematice pe care le rețin mai greu, acestea fiind folosite mai des în exerciții și probleme la clasă și acasă în condiții școlare obișnuite.

Prin aplicarea probei de evaluare finală mi-am propus obiective asemănătoare celor propuse la proba de evaluare inițială, evaluarea finală cuprinzând însă itemi de o mai mare dificultate.

Conținut :" METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR (METODA FIGURATIVĂ)”

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

Această probă de evaluare a fost aplicată ambelor grupuri de elevi. În cazul grupului experimental, în care s-a intervenit prin introducerea metodelor moderne au fost obținute următoarele rezultate, conform tabelului următor:

Tabel analitic cu rezultatele probei de evaluare finală aplicată grupului experimental:

Analizând rezultatele înregistrate mai sus este ușor de observat că numărul elevilor care au obținut rezultate bune(50%) și foarte bune(33,33%) a crescut semnificativ,(9 și respectiv 6 elevi) față de testarea inițială. De asemenea absența calificativelor de insuficient demonstreză că elevii și-au însușit bine cunoștințele de la acest capitol.

Datorită intervenției în cadrul grupului prin introducerea metodelor de activizare , acum elevii:

– conștientizează conținutul semantic al textului problemei;

– utilizează reprezentarea grafică pentru ușurarea vizualizării datelor;

– aplică algoritmul de rezolvare;

-compară și identifică deosebirile dintre tipuri de probleme;

-verifică soluțiile problemei;

Cei 9 elevi care au obținut calificativul "Bine" dovedesc același lucru, ei negreșind la tehnica de lucru , ci la unele calcule efectuate în grabă.

Anumite lacune le prezintă cei 3 elevi care au obținut calificativul "Suficient". Ei dovedesc nesiguranță la rezolvarea problemelor și nu stăpânesc bine limbajul matematic.

La fel ca la grupul experimental , am aplicat proba de evaluare și la grupul de control. În urma aplicării probei s-au înregistrat următoarele rezultate, așa cum rezultă din tabelul de mai jos:

Tabelul analitic cu rezultatele probei de evaluare finală pentru grupul de control este următorul:

În urma realizării graficelor și în urma analizei rezultatelor am constatat:

– 87% din numărul total al elevilor au obținut calificative de trecere a testului, după cum urmează:

-25% dintre elevi au obținut calificativul F.B. (4 elevi);

-44% dintre cei evaluați au obținut calificativul Bine (7 elevi);

-18% din elevii grupului de control au primit calificativul Suficient

(3 elevi);

– restul elevilor, reprezentând 12% dintre elevi (2 elevi) întâmpină încă dificultăți în rezolvarea problemelor; nu stăpânesc limbajul matematic și de aceea stabilirea schemei generale de rezolvare a categoriei de probleme este o greutate pentru ei.

Astfel , promovabilitatea primului grup, grupul experimental, este de 100%, iar promovabilitatea grupului de control este de 87%.

Pentru a putea interpreta mai bine datele obtinute la testul final, voi reprezenta grafic, în paralel, rezultatele obținute de cele două eșantioane.

Grupul experimental

Grupul de control

Observând graficele ce reprezintă rezultatele obținute de grupul experimental și de grupul de control, după proba de evaluare finală, se constată că rezultatele obținute de primul grup de elevi sunt deasupra celor obținute de cel de-al doilea grup . Conștientizarea conținutului semantic al problemei, reprezentarea grafică a mărimilor, înțelegerea cerinței, reprezentarea grafică a mărimilor cu folosirea segmentelor au fost bine însușite acolo unde tehnica de învățare a fost sprijinită de folosirea metodelor moderne.

Comparând și rezultatele obținute de cele două eșantioane , la proba de evaluare inițială și la proba de evaluare finală, situația se prezintă astfel :

Rezultatele obținute la proba de evaluare inițială și finală de grupul experimental:

Rezultatele obținute la proba de evaluare inițială și finală de grupul de control:

Grupul experimental și-a îmbunătățitit rezultatele "Bune" (de la 39% la 50%) și rezultatele "Forte bune"(de la 22% la 32%), iar ceea ce este foarte important este absența calificativului "Insuficient" la proba de evaluare finală.

Grupul de control și-a îmbunătățit cu puțin rezultatele , fără salturi majore la un anume calificativ. În cazul rezultatelor "Foarte bune" creșterea a fost de la 18% la 25%, pentru cele "Bune" de la 39% la 44%, iar în cazul rezultatelor de "Insuficient" am observat o scădere de la 18% la 13 %.

Comparând rezultatele obținute la cele 2 teste aplicate , s-a constatat că progresul este semnificativ la grupul experimental.

Prezentarea comparativă a rezultatelor obținute la cele două probe de evaluare evidențiază evoluția elevilor. Se observă că dintre cei 4 elevi care au obținut calificativul "Insuficient" la testul inițial, niciunul nu a ramas la acest calificativ la testul final: 3 elevi au obținut "Suficient" , iar unul "Bine". Creșterea numărului de elevi care au obținut calificativul "Foarte bine" este deasemenea semnificativ. Dacă la primul test doar 4 elevi primiseră calificativul "Foarte bine", la ultimul test numărul acestora s-a ridicat la 6 (o creștere de 10 %) Procentajul calificativelor "Foarte bine" de la 22% la 33% indică faptul că metodele moderne aplicate în lectiile de predare, de învățare și de evaluare au avut o mare eficiență.

CAP V. CONCLUZII. PROPUNERI. PROBLEME DESCHISE

„Educația autentică trebuie să plece întotdeauna în opera de modelare a naturii umane de la cunoașterea diversității caracteristicilor și forțelor pe care le posedă fiecare copil, elev sau individualitate în parte. Cunoașterea structurii și dinamicii caracteristicilor personalității, a nivelului de dezvoltare intelectuală, emoțională, atitudinală constituie, de fapt, piatra unghiulară a oricărui proces educațional care își propune formarea dirijată a omului, influențarea modului său de comportare, adaptare și integrare în viața socială.” (Dumitriu, Gh., 2004, p.6

Datele experimentale rezultate în urma cercetării întreprinse mi-au permis formularea unor observații si concluzii.

Noile tendințe ale didacticii moderne își concentrează atenția pe subiectul educației, pe elevul care învață, nu pe învățătorul care predă, deoarece predarea nu constituie un scop în sine, ci vizează modificările de natură formativă în personalitatea copiilor. Iată-ne pe noi, dascălii, puși în fața unui fapt care nu ne micșorează atribuțiile, ci, dimpotrivă, ni le sporește și ne pune în fața unor situații dificile. În activitatea mea didactică am încercat să creez conflicte ce trebuie soluționate prin problematizare, să selectez rațional mijloacele și strategiile didactice pentru a promova o învățare motivată, ritmică, sistematică, fără eforturi inutile, declanșatoare de satisfacții și, nu în ultimul rând, să-mi autoevaluez activitatea.

Metodele active contribuie la crearea, dezvoltarea și cultivarea motivației învățării. Formarea și dezvoltarea motivației presupune participarea conștientă și activă a subiectului la procesul de însușire a cunoștințelor. Sensibilizarea față de noile cunoștințe se produce în urma descoperirii personale, prin experiență, a fenomenului de limbă dacă acesta a fost întâlnit într-un mod care l-a interesat, care l-a privit personal, care l-a implicat emoțional pe copil.

În cadrul lecțiilor, am pus accent pe descoperirile experimentale, punând pe primul plan participarea personală și activă a elevului și incitând interesul copiilor pentru crearea de situații-problemă care au exercitat presiuni atât asupra individului, cât și a întregii clase.

Metodele clasice au devenit active in momentul când elevii, in cadrul grupului sau al lucrului in perechi au utilizat metodele, explicând, demonstrând, exersând sau conversând cu partenerul sau partenerii de grup. In cadrul activității frontale si de grup am sesizat cum s-a realizat atingerea nu numai a obiectivelor cognitive, dar si a celor afective. In activitatea pe echipe s-au format priceperi si deprinderi de învățare, s-au format si dezvoltat capacitatea de exprimare orala sau scrisa, de formulare a unor opinii personale, dispărând astfel teama, rușinea de a-si exprima ideile față de colectiv.

Colectivul de elevi a devenit mai unit, mai îndrăzneț în a lua decizii, în a se exprima, dorința de reușita a crescut, bucuria produsa de realizarea produsului finit nu a fost una egoista, ci o bucurie a grupului, altruista.

S-a dovedit că ansamblul metodelor activ-participative este mai eficient decât metodologia tradițională. Metodele active contribuie nu numai la sporirea randamentului școlar, ci și la o mai bună folosire a timpului în școală, precum și la o stimulare generală a elevilor în activitatea instructiv-educativă, stimulând în ei mereu dorința de competiție, de reușita. În măsura în care elevul se obișnuiește cu un mod de lucru independent care îi stimulează capacitatea de gândire, creativitatea, responsabilitatea pentru propria pregătire, această metodologie este utilă pentru toți elevii din ciclul primar.

Realizarea acestor obiective s-a dovedit posibilă în condițiile în care am reușit să cunosc elevii cu care am lucrat sub aspectul dezvoltării fizice și psihice, pentru a putea lucra diferențiat cu aceștia.

Metodele și procedeele prezentate în această lucrare, ipotezele de lucru confirmate în practică vor folosi în activitatea de zi cu zi la catedră. Conducând cu pricepere și tact pedagogic procesul de învățământ, acest proces atât de complicat și sensibil al formării umane, învățătorul – „vioara întâi a acestui proces” – se consacră cu toate resursele lui, cu întreaga lui personalitate formării deprinderilor de citire și scriere corectă ale copiilor.

Consider ca aceste lecții experiment și-au atins scopul: de-a determina elevii să-și însușească corect noțiunile despre verb, de-a dezvolta capacitatea creatoare, de-a forma un colectiv unit, care să știe să coopereze, să se coordoneze, să învingă situațiile problema impuse de dificultatea unor exerciții

Am constatat în primul rând plăcerea și interesul cu care elevii au primit acest tip de activități, cum se ajută încurajându-se, explică și celorlalți ce știu, își exprimă gândurile fără rețineri și cei mai timizi capătă curaj având sprijinul grupului.

Utilizarea metodelor active a determinat o mai bună colaborare între copii, au devenit mai toleranți, doresc să se ajute între ei, iar ceea ce este mai important este faptul că s-au împrietenit, nemaiținând cont de rezultatele obținute la învățătură, formându-se totodată un spirit de echipă; au învățat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alții.

Rezultatele obținute la evaluări și aprecierile pozitive i-au motivat pe elevi, iar această motivație a avut un rol dinamizator, de stimulare a efortului de învățare și de concentrare a lui întimpul lecției.

Efortul pe care l-a făcut fiecare elev în rezolvarea conștientă a unei probleme a presupus o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional –afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.

Rezultatele obținute de elevi confirmă ipoteza lucrării. Astfel, am constatat că prin utilizarea metodelor activ –participative în activitatea de rezolvare a problemelor prin metoda grafică, am contribuit la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la stimularea potențialului intelectual și creativ al elevilor, la obținerea performanțelor fiecăruia în funcție de particularitățile de vârstă și individuale.

ANEXE

PROIECT DIDACTIC

ARIA CURRICULARĂ MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII

OBIECTUL MATEMATICĂ

SUBIECTUL PROBLEME CARE SE REZOLVĂ PRIN METODA GRAFICĂ

TIPUL LECȚIEI consolidare

CLASA a IV -a

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O – să transpună datele problemei în limbaj matematic prin înlocuirea numerelor necunoscute cu simboluri;

O- să reprezinte datele problemelor grafic prin segmente de dimensiuni egale;

O- să rezolve probleme când se cunosc suma și câtul numerelor;

O- să rezolve probleme când se cunosc diferența și câtul numerelor;

O- să rezolve probleme când se cunosc suma și diferența numerelor;

MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT

METODE ȘI PROCEDEE conversația, explicația, demonstrația, exercițiul, munca independentă.

FORME DE ORGANIZARE frontal – dirijat, frontal – independent

BIBLIOGRAFIE:

Programa școlară pentru clasa a IV-a, Matematică, Aprobată prin ordin al ministrului nr. 3919 / 20. 04. 2005

Maria Oprescu, Culegere de matematică pentru clasele a III a și a IV a, Ed. Hieropolis, Timișoara, 2005

Metodica predării matematicii la clasele I – IV, manual pentru Liceele pedagogice, Ed. Didactică și pedagogică, București, 1988

Matematică, manual pentru clasa a IV a, Aurel Maior, Angelica Călugărița, Elena Maior, Ed. Aramis, 2006

BIBLIOGRAFIE:

Cherata,Victoria, Voicila, Jeana, ,,Metode de rezolvare a problemelor de aritmetica’’, Editura Sibila, Craiova, 1993

Jurca, Maria –Georgeta, „Cum rezolvăm probleme de aritmetică”, Editura Trans-Pres, Sibiu, 1994

Lupu, Costică, „Metodica predării matematicii’’, Editura Paralela 45, Pitești, 1999