Aspecte Psihopedagogice ale Activitatii de Rezolvare a Problemelor

INTRODUCERE ………………………………………………………………………………….. 5

CAPITOLUL I

Aspecte psihopedagogice ale activitatii de rezolvare a problemelor

1.1 Gândirea ca proces psihic .Trăsăturile specifice gândirii copiilor de vârstă școlară mică. ………………………………………………………………………………………………………………………………… 7

1.2 Procese psihice implicate în rezolvarea problemelor. ……………………………………………. 8

CAPITOLUL II

METODOLOGIA ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

2.1 Noțiunea de problemă și clasificarea problemelor …………………………………………… 18

2.2 Activitatea de rezolvare a problemelor ,obiectiv prioritar în predarea –învățarea matematicii în ciclul primar ……………………………………………………………………………… 25

2.3 Rezolvarea problemelor simple …………………………………………………………………… 27

2.4 Probleme compus …………………………………………………………………………………………. 31

2.5 Probleme în care lipsesc unele date ………………………………………………………………. . 34

2.6 Probleme care se rezolvă prin mai multe procedee …………………………………………. 34

CAPITOLUL III

PROBLEME TIP

3.1 Algoritmi ,aplicații la matematica școlară de ciclul primar

3.2 Rezovarea problemelor tip:

a)Probleme care pot fi rezolvate prin metoda figurativă

b)Probleme care pot fi rezolvate prin aducerea la același termen de comparație

c) Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers

d) Probleme care se rezolvă prin metoda ipotezelor

e) Probleme de mișcare

3.3 Probleme cu conținut practic sau interdisciplinar

CAPITOLUL IV

ASPECTE DIN EXPERIENȚA PERSONALĂ. VALORIFICAREA EXPERIMENTALĂ.

4.1 Ipoteza cercetării

4.2 Obiectivele cercetării

4.3 Eșantioanele și caracteristicile lor

4.4 Metodele folosite în cercetare

4.5 Organizarea și desfășurarea cercetării

a) Evaluarea inițială

b)Evaluarea sumativă

c) Evaluarea finală

d) Exemple de activități matematice interdisciplinare aplicate în etapa de formare

e) Rezultatele cercetării

4.6 Concluzii finale

ANEXE

BIBLIOGRAFIE

DECLARAȚIE PE PROPRIE RĂSPUNDERE

INTRODUCERE

,, Aportul la cultura generală a fiecărei discipline exprimă nu prin ce este specific, ci prin ceea ce are comun, generalizator , transferabil de la un domeniu la altu.”

LOUIS CROFT

Dezvoltarea uimitoare pe care a atins-o matematica în epoca contemporană, pătrunderea ei în aproape toate domeniile de cercetare și contribuția pe care o aduce în dezvoltarea tuturor științelor, ca și contribuția adusă la studierea și dirijarea științifică a procesului de învățământ (în teoria învățării) și chiar a întregului sistem de influențe implicate în procesul formării omului, constituie un argument incontestabil privind necesitatea asimilării ei la nivel superior.

Matematica este disciplina care, prin însăși esența ei de știință a structurilor, poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropiere de cunoștințele noi și, în general, o apropiere de necunoscut, printr-un adevărat stil de cercetare.

Despre importanța studiului și învățării matematicii în școală se discută nu numai în cercurile specialiștilor, ci aproape de toată lumea, indiferent de nivelul de instruire. De marea atracție pe care o reprezintă aceasta, de puterea de iradiere a raționamentului matematic în structurile intime și în străfundurile adânci ale alcătuirii lumii, nu se mai îndoiește nimeni, cu atât structurile mai mult cu cât această iradiere a raționamentului, a tehnicilor, metodelor, modelelor matematice a fost omniprezentă în ceea ce a înfăptuit omul și istoria de-a lungul timpului.

Dacă astăzi matematica își dovedește virtuți praxiologice nebănuite, dacă tehnicile și metodele matematice migrează în totalitatea sferelor și domeniilor de cercetare a universului, dacă sistemul său conceptual contribuie la perfecționarea sistemului conceptual general al științei, acesta este rezultatul firesc al unui îndelungat proces de dezvoltare socială, în care s-au produs transformări și perfecționări ale structurilor social-economice, ale cunoașterii umane, ale puterii de acțiune și intervenție a omului asupra lumii. Este rezultatul perfecționării matematicii însăși, al trecerii ei de la stadiul relațiilor cantitative la acela al aspectelor calitative.

Matematica, prin înaltul său grad de abstractizare și generalizare, prin capacitatea de sinteză, de contragere a esențelor și de exprimare a lor cu ajutorul simbolurilor, dobândește tot mai mult atributele pluridisciplinarității.

Prin problematica diversă și complexă, care-i formează obiectul, prin solicitările la care îl obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea și stimularea tuturor forțelor intelectuale și psihice ale elevului, matematica contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii, de investigare a Universului, precum și la diversificarea căilor de acțiune a omului în societate. Fără îndoială, este obiectul de învățământ care acționează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale gândirii moderne: practică, probabilistică globală, modelatoare, operatoare, pluridisciplinară și prospectivă. De aceea are un rol hotărâtor în dezvoltarea intelectuală a omului.

Am ales această temă datorită importanței pe care o reprezintă rezolvarea problemelor în dezvoltarea intelectuală a școlarului mic. M-a preocupat din primii ani ai activității la catedră, găsirea celor mai potrivite căi de a face accesibile elevilor problemele, de a le deschide gustul pentru rezolvarea și crearea lor.

Am pornit de la convingerea că cea mai mare parte dintre elevi sunt deosebit de receptivi și că, pornind treptat, cu răbdare și perseverență, de la elementele simple se poate ajunge la clasa a IV-a la rezolvarea unor probleme cu grad mare de dificultate, depășind sfera manualului.

Copiii dispun de o maximă plasticitate la vârsta școlară mică. Unele structuri operaționale se constituie optim la 6-11 ani. Mai târziu, formarea lor va fi mult mai dificilă, dacă nu imposibilă. Acum se formează capacitatea de a opera pe plan mental, de a calcula, de a compune. Vârsta școlară mică poate fi considerată, din acest punct de vedere, decisivă. Modul în care s-a lucrat și s-a reușit sau nu în formarea școlarului mic are urmări asupra dezvoltării ulterioare.

Antrenând permanent curiozitatea elevilor, încurajându-le căutările, susținându-legândirea și imaginația, mă străduiesc să-i fac să depășească stadiul gândirii reproductive, să avanseze spre forme noi, creatoare.

In vederea elaborării lucrării am avut în vedere extragerea si prelucrarea informațiilor din următoarea bibliografie cu pondere mai mare:

-Neacșu I. ,Gălăteanu M. ,Predoi P., -Didactica matematicii în învățământul primar. Ghid practic.-Editura Aius,Craiova, 2001

-Neacșu I. și colectivul de colaboratori – Metodica predării matematicii la clasele I-IV,manual pentru liceele pedagogice,-Editura Didactică și Pedagogică ,București 1988

-Oprescu N.-Modernizarea învațământului matematic în ciclul primar, Editura Didactica și Pedagogica, București,1974.

Am structurat lucrarea în patru capitole astfel:

Capitolul I –”Aspecte psihopedagogice ale activității de rezolvare a problemelor” cuprinde două subcapitole care prezintă caracteristicile psihice ale școlarului mic si influența acestora asupra activitații matematice, fiind știut faptul că pentru asigurarea succesului școlar ,învățătorul trebuie să cunoască fiecare copil în parte,pentu a-i trata diferențiat în procesul instructiv- educativ,pentru a putea găsi și utiliza acele metode și procedee care să-l facă pe elev să depășească momentul de criză sau de rămânere în urmă.

Capitolul II – ”Metodologia activității de rezolvare a problemelor” face o scurtă prezentare a organizării activității de rezolvare a problemelor.Ea se fundamentează pe principalele etape și momente de efort mintal pe care le parcurg elevii: cunoașterea, înțelegerea enunțului problemei,analiza și schematizarea problemei, rezolvarea propriu-zisă,precum și verificarea rezolvării.

Am abordat în acest capitol procesul rezolvării problemelor aplicat principalelor categorii de probleme: probleme simple ,probleme compuse,probleme din care lipsesc unele date, probleme care se rezolvă prin mai multe procedee,probleme cu conținut interdisciplinar.

Capitolul III –”Probleme tip” –am descris pe larg modalitățile de rezolvare a problemelor, prezentând caracteristicile fiecărui tip de problemă și exemplificând cu probleme rezolvate.

Capitolul IV –„Aspecte din experiența personală.Valorificarea experimentală‘‘ cuprinde cercetarea pedagogică la clasa pregătitoare, având ca etape: obiectivele, metodologia, subiecții cercetării,măsurarea, strategiile utilizate, analiza și interpretarea datelor,concluziile.

Alegerea acestei teme de strictă utilitate pentru activitatea la clasă ,o consider ca fiind încă un mijloc de autoperfecționare, de aprofundare a cunoștințelor,o modestă încercare de prezentare a câtorva din metodele și procedeele folosite în rezolvarea problemelor la clasă.

„Niciodată nu vom putea spune că am făcut totul, că am epuizat toate metodele și toate procedeele, matematica se învață nu pentru a se ști, ci pentru a se folosi,pentru a se aplica în practică .Se poate spune că este știința cea mai operativă,care are cele mai multe și mai complexe legături cu viața.”

( Nicolae Oprescu )

CAPITOLUL I

ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE ACTIVITĂȚII

DE REZOLVARE APROBLEMELOR

1.1 Gândirea ca proces psihic. Trăsăturile specifice ale gândirii copiilor de vârstă școlară mică.

Gândirea reprezintă nivelul cel mai înalt de prelucrare și integrare a informației despre lumea externă – Univers, natură, societate și despre noi înșine. Prin ea se realizează saltul calitativ al activității de cunoaștere, de la particular, accidental, întâmplător, la general, esențial general, de la simpla constatare a existenței obiectului la interpretarea și explicarea lui logic-cauzală.

Psihologia definește gândirea ca proces psihic central și este definitorie pentru om ca subiect al cunoașterii logice, raționale.

„Gândirea se definește ca procesul cognitiv de însemnătate centrală în reflectarea realului care, prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în acțiuni mentale, extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative, în forma conceptelor, judecăților și raționamentelor.”

Caracterul mijlocit al gândirii constă în aceea că ea nu operează direct asupra obiectului, ci asupra informației furnizată de percepții și reprezentări. Cunoașterea prin gândire este mijlocită și de limbaj, care devine instrumentul prin care gândirea se exteriorizează.

Caracterul general-abstract al gândirii rezidă în aceea că ea se desfășoară permanent în direcția evidențierii însușirilor generale și esențiale ale obiectelor și fenomenelor și a subordonării diversității cazurilor particulare unor metode ideale generale – noțiuni, principii, legi. Parcurgând o întragă succesiune de transformări ale informației inițiale, gândirea ajunge la elaborarea unor asemenea modele ideale abstracte, care nu pot fi traduse prin reprezentări intuitive și care nu-și au un corespondent obiectual concret, dar care au un mare rol în înțelegerea teoretică, științifică a realității, o înțelegere superioară a legilor de mișcare și dezvoltare. Dar activitatea intelectuală nu se referă numai la real, ci și la posibil, despre care se formulează ipoteze, uneori combinații de idei și imagini, ducând și la ficțiuni și utopii.

Intelectul presupune o anumită manipulare și îndemânare acelor trei dimensiuni ale timpului: trecut, prezent, viitor. Din stocul memoriei sunt actualizate selectiv imagini, idei, cunoștințe, în raport cu preocupările de moment ale subiectului și totodată este reversibil și anticipativ, spre deosebire de timpul fizic ce se scurge ireversibil.

Toate acestea se desfășoară pe plan mental, într-un for subiectiv („în minți”) personal și este subordonat câmpului senzorial, spațio-temporal.

1.2Procese psihice implicate în rezolvarea problemelor

Rezolvarea de probleme constituie activitatea matematică cea mai eficientă pentru dezvoltarea proceselor cognitive, pentru flexibilizarea gândirii. O problemă este un ansamblu de date și condiții ale căror legături logice sunt fie mascate, fie în parte omise, din care se cere ca, printr-o serie de transformări să se obțină un rezultat, un răspuns.

„A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.”

Participarea conștientă și activă a elevilor în procesul rezolvării problemelor trebuie obținut pe toate treptele de învățământ și în toate etapele muncii de rezolvare a problemelor.

Efortul propriu pe care îl fac elevii în rezolvarea problemei este deosebit. Pentru a găsi calea rezolutivă este necesar ca problema să fie bine formulată, căci o problemă bine formulată este pe jumătate rezolvată.

În rezolvarea problemei activitatea mentală parcurge mai multe faze. Se desprind astfel câteva stadii mai importante:

analiza prealabilă și formarea unei reprezentări interne a ei;

analiza și orientarea de ansamblu în problemă;

identificarea tipului problemei și raportarea ei la o anumită categorie (clasă);

alegerea metodei și a procedeului de rezolvare în funcție de rezultatul etapei;

aplicarea desfășurată a metodei și efectuarea operațiilor necesare în vederea obținerii soluției;

verificarea soluției în vederea validării sau infirmării ei.

În cele ce urmează voi prezenta aspectele psihologice cele mai importante ale activității de rezolvare a problemelor.

EMITEREA IPOTEZELOR ȘI VERIFICAREA LOR

Pornind de la datele problemei, în căutarea soluțiilor se emit diferite ipoteze care trebuie verificate, controlate pentru a stabili care este cea adevărată.

„Ipotezele, soluțiile posibile pe care le elaborează subiectul în rezolvarea unei probleme, nu apar la întâmplare, ci ele iau naștere pe baza asociațiilor, a cunoștințelor asimilate anterior. Cu cât aceste cunoștințe sunt mai largi, mai profunde, mai temeinice, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în mintea celui care rezolvă, să ducă mai repede și mai precis la soluții.”

În activitatea de rezolvare a problemelor, gândirea este confruntată cu o necunoscută pentru a cărei descoperire trebuie să întreprindă căutări, presupuneri de soluții, combinații noi în legături, să adopte strategii care să conducă la soluția problemei.

Practic, în rezolvarea problemei intervine raționamentul matematic, care va fi cu atât mai complex și mai riguros cu cât necunoscuta se găsește în relații mai îndepărtate.

ASOCIAȚIILE au un rol important în nașterea ipotezelor. În minte se deșteaptă prin asociații, deci prin reactualizarea legăturilor temporare formate anterior, diverse fapte, care pot servi la rezolvarea ei.

Rezolvarea problemei trece prin mai multe etape, în cadrul fiecărei etape datele apar în combinații noi, în legături noi, care duc la găsirea soluției, deci în cursul rezolvării problemei are loc un proces de reorganizare a datelor, reorganizări și reformulări care îl apropie de soluție.

Toate aceste etape formează, însă, o activitate unitară, una dintre cele mai complexe activități intelectuale, care cuprinde: inducții și deducții logice, analogii, raționamente ipotetice, analize șigeneralizări, iar în ultimă instanță, creație.

Capacitatea de a rezolva probleme presupune deci, o pregătire solidă, materializată în fondul de cunoștințe și în sistemul de deprinderi intelectuale – fără de care progresul gândirii nu este posibil.

Spre exemplificare, am ales o problemă din manualul de matematică pentru clasa a III-a:

„Perimetrul unui dreptunghi este de 100 m. Una dintre laturi are lungimea de 20 m.

Care sunt lungimile celorlalte laturi?”

Rezolvarea acestei probleme nu este posibilă dacă elevii nu cunosc noțiunile de perimetru, dreptunghi, laturile acestuia și dacă nu cunosc operațiile aritmetice cerute de rezolvarea problemei.

Separăm întrebarea problemei de enunț, deci izolăm ceea ce știm de ceea ce nu știm. Noțiunea de perimetru (suma lungimilor tuturor laturilor) generează (pe bază de deprinderi) formula:

P dreptunghi= L+L+l+l

sau

P dreptunghi= 2xL + 2xl

Din analiza datelor problemei, observăm că nu cunoaștem decât lungimea unei laturi, de 20 m (lățimea), dar din relația perimetrului dreptunghiului putem deduce lungimea laturii necunoscute astfel:

A L B

l l

D L C

P = 2 xL +2 xl

100 = 2 xL + 2 x 20

2 x L = 100 – 40

2 x L = 60

L= 60 : 2

L = 30 m

Prinscăderea din perimetruldreptunghiului a lungimiiilaturilorcunoscute, obținemlungimealaturilornecunoscute.

Fiind o problemă de geometrie, explicațiilevor fi făcute cu ajutoruldesenului geometric.

Înrezolvareaacesteiprobleme au fost implicate diferitedeprinderi:

unele deprinderi cu caracter general care intră în procesul rezolutiv: capacitatea de a înțelege semnificația valorilor numerice, a datelor problemei și, în primul rând, orientarea activității mentale asupra datelor, punerea în legătură a datelor, posibilitatea de a separa ceea ce este cunoscut, de ceea ce este necunoscut, atragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvare;

alte deprinderi, care se prezintă ca procedee și tipuri de rezolvare(procedeul reprezentării grafice, al reducerii la unitate), care sunt aplicate în problemă;

deprinderi care se referă la detaliile acțiunilor (operațiile aritmetice care se fixează, se automatizează și devin deprinderi).

De aici, concluzia că activitatea gândirii în rezolvarea problemelor nu se reduce la momente „de inspirație”, ci reprezintă un proces continuu de actualizare, aprofundare, sistematizare și resistematizare a informațiilor și deprinderilor intelectuale și aplicarea lor în situații noi.

Nimic nu poate fi așezat pe un teren gol, totul trebuie pus în concordanță cu ceea ce s-a cimentat anterior. Aceasta se realizează printr-o activitate bine gândită și inteligent organizată.

„Un cap este bine construit dacă a fost umplut și nu poate fi bine construit dacă n-am știut cum să-l umplem.”

Un proces de gândire extrem de complex, implicat adânc în rezolvarea problemelor, este înțelegerea; ca să rezolvi problema, trebuie mai întâi s-o înțelegi, iar ca să înțelegi modul de gândire al unei probleme, trebuie să rezolvi cât mai multe probleme. De exemplu, pentru rezolvarea problemelor de mișcare, elevii trebuie să înțeleagă ce relații există între distanță, viteză și timp, și, ca să înțeleagă aceste relații, trebuie să rezolve probleme care să cuprindă aceste mărimi.

În procesul de rezolvare a unei probleme, înțelegerea se bazează pe operațiile logice ale gândirii, așadar rezolvarea obligă la convergența analitică pe elemente. Astfel, descompunerea unei probleme complexe în probleme simple din care este formată este, prin esență, un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple este un proces de sinteză.

Examinarea sau judecataproblemei se face pe două căi: analitică și sintetică.

Rezolvarea problemelor pe cale sintetică obligă la convergența analitică pe elemente puse în raport cu întregul, iar rezolvarea problemelor pe cale analitică este cuprinderea sintetică a întregului prin considerarea elementelor subordonate.

Examinarea pe cale sintetică duce la elaborarea unui raționament inductiv pe baza unor sinteze succesive.

Metoda sintetică orientează gândirea copilului asupra datelor problemei, spre gruparea acestor date în funcție de relațiile dintre ele, astfel încât să formuleze cu acestea probleme simple, să așeze aceste probleme într-o succesiune logică, în așa fel încât să se încheie, cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.

Gândirea școlarului este stimulată prin intermediul întrebărilor care se pun în vederea legăturii perechilor de valori care duce la rezolvarea problemei.

Exemplific prin problema de mai jos:

„Întro livadă trebuie să se sădească 5800 de pomi: caiși, meri și peri. Din acest număr, 1160 sunt peri, meri cu 380 mai mult decât peri, iar restul caiși.

Care este numărul caișilor ce urmează să se planteze?”

Rezolvarea acestei probleme presupune următoarele etape:

însușirea enunțului problemei;

înțelegerea conținutului problemei;

examinarea logică a problemei prin metoda sintetică, precizând problemele simple care o alcătuiesc și succesiunea acestora:

aflăm numărul merilor (prima problemă simplă, care se rezolvă aplicând algoritmul adunării, al găsirii unui număr cu câteva unități mai mare decât un alt număr a + b = c).

1160 (peri) + 380 (meri) = 1540 (meri)

aflăm numărul total al perilor și merilor (a doua problemă simplă, care se rezolvă prin algoritmul adunării a +b = c).

1160 (peri) + 1540 (meri) = 2700 (pomi)

aflăm numărul caișilor (a treia problemă simplă, problema prin care se răspunde la întrebarea problemei și care se rezolvă prin algoritmul scăderii a – b = c).

5800 (pomi) – 2700 (pomi) = 3100 (caiși)

R = 3100 caiși

Pentru a conștientiza actul cunoașterii și al învățării, am procedat apoi la verificarea soluției obținute, pentru care elevii au folosit următorul raționament:

nr. merilor + nr. perilor + nr. caișilor = nr. pomilorce se vorplantapentrumărirealivezii,

algoritmul de calculfiind

a + b + c = d.

1160 (peri) + 1540 (meri) + 3100 (caiși) = 5800 (pomi)

Rezolvarea problemei pe cale analitică se realizează pe baza unui raționament deductiv, bazat pe o serie de analize succesive. Acum se pornește de la întrebarea problemei, se stabilesc datele cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea problemei, apoi seă formuleze alte probleme simple precedente și așa mai departe, până se ajunge la prima problemă simplă ale cărei date sunt cunoscute.

Acest mod de judecată este mai greu și, în același timp, profund. Elevul este obligat să cuprindă cu gândirea întreaga problemă din care să separe treptat problemele simple.

În cazul examinării problemei pe cale analitică se realizează abstractizări și generalizări de nivel mai înalt, deoarece elevul nu mai operează cu valori numerice, ci cu date necalculate.

Iată cum au examinat, prin metoda analitică, elevii clasei a III-a, problema de mai jos:

„Din cantitatea de 30025 kg de grâu s-au măcinat dimineața 8070 kg, după-amiaza cu 4090 kg mai mult, iar restul a doua zi.

Ce cantitate de grâu a rămas de măcinat pentru a doua zi?”

Pentru a afla ce cantitate de grâu a rămas de măcinat pentru a doua zi, ar trebui să cunoaștem cantitatea măcinată în prima zi (prima problemă simplă);

Pentru a afla cantitatea de grâu măcinată în prima zi ar trebui să știm cantitatea de grâu macinată după-amiaza (a doua problemă simplă);

Pentru a afla cantitatea de grâu măcinată după-amiaza gândim astfel: dacă după-amiaza s-a măcinat mai mult cu 4090 kg decât dimineața, atunci mărim cantitatea de grâu măcinată dimineața cu 4090 kg.

Pe baza acestei judecăți logice, elevii au stabilit planul de rezolvare:

Ce cantitate de grâu s-a măcinat după-amiaza?

8070 kg + 4090 kg = 12160 kg

Ce cantitate de grâu s-a măcinat în prima zi?

8070 kg + 12160 kg = 20230 kg

Ce cantitate de grâu a rămas de măcinat pentru a doua zi?

30025 kg – 20230 kg = 9795 kg

R = 9795 kg

Examinarea analitică înlătură fragmentarea problemei complexe, deoarece desprinderea problemelor simple nu duce decât în ultimul moment la datele problemei, presupune un proces de gândire continuă și de profunzime care contribuie, într-o măsură mai mare, la dezvoltarea gândirii logice.

Examinarea problemelor pe cale sintetică sau analitică se face într-o îmbinare armonioasă, procesul analitic nu apare și nu se produce izolat de cel sintetic, deoarece cele două operații ale gândirii se găsesc într-o strânsă conexiune și interdependență, ele condiționându-se reciproc și realizându-se într-o unitate inseparabilă.

Rezolvarea problemelor este o activitate psihică foarte complexă; ea dezvăluie, în desfășurarea ei, etapele dezvoltării intelectuale. În procesul de rezolvare a problemelor elevii sunt obișnuiți să formuleze, pe baza întrebărilor, probleme simple care se înlănțuie logic pentru a ajunge la găsirea soluției corecte, să stabilească relațiile logice între datele cunoscute și întrebarea problemei, ceea ce-l conduce la formarea unor judecăți și raționamente logice, concrete.

Succesiunea logică a pașilor de rezolvare a problemelor contribuie la dezvoltarea capacităților intelectuale implicate în creativitate, mai ales a gândirii divergente și a calităților acesteia: suplețea, fluiditatea, originalitatea.

Acestea se realizează în activitatea de rezolvare a problemelor noi, unde nu se poate aplica o schemă mintală cunoscută decât adecvând-o în mod creator la condițiile noi ale problemei și care solicită gândirea într-o măsură mai mare pentru descoperirea căii de rezolvare. Uneori, în procesul rezolvării problemelor necunoscute, activitatea intelectuală se extinde dincolo de dispozitivele ei automatizate în sensul operării transformative, de modificare a mersului gândirii, când situația o cere, de realizare a tranferului, elevul fiind nevoit să elaboreze noi răspunsuri – soluții pentru rezolvarea corectă a situației întâlnite.

Rezolvarea inteligentă a unei probleme dificile sau necunoscute este rezultatul unui antrenament intelectual susținut, bine dozat și gradat, în activitatea de rezolvare a problemelor inteligența fiind unul dintre factorii intelectuali implicați în actul creator.

În esență, activitatea de rezolvare necesită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, iar pentru obținerea rezultatelor dorite este necesară exersarea continuă a elevilor în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor, astfel încât aceasta să devină o îndemânare practică.

Antrenamentul intelectual, în mod sistematic, al capacității creatoare, este tot atât de productiv ca și antrenamentul sportiv de performanță.

Referindu-se la activitatea de rezolvare a problemelor, G. Polya afirma: „a ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică, o deprindere cum este înotul, schiul sau cântatul la pian care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu… dacă vreți să învățați înotul trebuie să intrați în apă, iar dacă vreți să învățați să rezolvați probleme, trebuie să rezolvați probleme…”

Dezvoltarea gândirii matematice a elevilor este determiată și de structura logică a exercițiilor și problemelor propuse spre rezolvare, precum și de organizarea sistematică, după criterii logice, a activității matematice, solicitând o linie ascendentă a efortului.

Fiecare problemă trebuie să conțină informații pentru problemele următoare, întrucât acest mod de a preda contribuie la creșterea treptată a gradului de independență a alevilor în rezolvare.

Matematica din ciclul primar, prin varietatea problemelor – de la cele simple până la cele mai complexe, de la problemele sub formă de jocuri didactice, până la probleme tipice -, precum și prin metodele și procedeele multiple folosite, constituie un prim pas în dezvolatarea flexibilității și creativității gândirii.

CAPITOLUL II

METODOLOGIA ACTIVITĂȚII

DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor, se face în etape succesive, prin îmbogățirea experienței în domeniul aplicării cunoștințelor de matematică, al tehnicii de calcul, în cunoașterea strategiilor de lucru necesare în rezolvarea problemelor și, ca un corolar al tuturor acestora, în formarea capacității de a analiza o problemă, de a formula raționamentul matematic adecvat, de a rezolva.

În cadrul acestor etape, am urmărit îmbinarea experienței dobândite cu elemente noi, necunoscute, lăsând loc întotdeauna „problematicului”, efortului pentru descoperirea unui domeniu necunoscut, ale cărui dimensiuni au crescut treptat. Am căutat să evit „standardizarea” rezolvării problemelor, fapt care înlătura gândirea fără efort. Chiar și atunci când era vorba de probleme asemănătoare cu cele rezolvate într-o etapă precedentă, unde elevii puteau utiliza algoritmul învățat, am introdus unele elemente noi, nesemnificative, pentru a da impresia că este vorba de o altă problemă și, în felul acesta, pentru a-i determina să judece, să supună gândirea unui efort continuu.

„Mai interesant este să înveți să rezolvi probleme, rezolvând puține, dar analizând și metoda de rezolvare, și mersul gândirii în căutarea ei. Aceasta este cel mai important azi, când în toate domeniile se pune problema vastității noțiunilor ce trebuie înțelese și asimilate într-un timp dat, ce nu poate fi prelungit în mod proporțional”.

Organizarea activității de rezolvare a problemelor se fundamentează pe cele 5 principale etape și momente de efort mental pe care le parcurg elevii:

cunoașterea enunțului problemei;

înțelegerea enunțului problemei;

analiza și schematizarea problemei;

verificarea rezolvării și punerea ei sub formă de exercițiu sau fragmente de exercițiu.

formularea de alte probleme ce se rezolvă după același algoritm.

Activitatea de rezolvare a problemelor în ansamblu și fiecare etapă în parte se desfășoară în manieră specifică, în funcție și de dificultățile pe care le ridică rezolvarea problemei, de posibilitățile pe care le oferă vârsta școlară, de experiența elevilor în legătură cu rezolvarea problemelor și, nu în ultimă instanță, de calitățile profesionale ale celui care îndrumă activitatea.

În cele ce urmează mi-am propus să abordez complexul proces al rezolvării problemelor, nu în general, ci aplicat principalelor categorii de probleme ce se întâlnesc în clasele I-IV.

Noțiunea de problemă și clasificarea problemelor

În situațiile în care elevii trebuie să clasifice diferite probleme după caracteristicile lor esențiale (ca tipuri), se manifestă în mod pregnant particularitățile generale ale formării raționamentului matematic.

În toate exercițiile și problemele aritmetice, gândirea este solicitată să opereze pe un teren logic, fie ca reguli-teoreme, fie ca scheme mentale.

Elevului i se solicită calități logice, efectuarea de judecăți, raționamente.

Un rol deosebit de important îl au acele condiții care presupun trecerea de la judecăți simple, singulare (probleme-model), la judecăți particulare, cu caracter tip.

Deosebirea dintre „reguli” și „tip de problemă” se referă și la faptul că în „regulă” se exprimă o judecată universală, pe când în tipul de problemă este vorba de o judecată particulară, cu caracter tipic.

Multitudinea situațiilor problematice presupune o dezvoltare corespunzătoare a judecății și a raționamentului matematic.

În clasificarea de probleme de tipuri diferite, elevii formulează numeroase judecăți de relație (relații atributive, de identitate, de deosebire, afirmative, negative, de analogie, etc.).

Se pot constata cu acest prilej, relații care prezintă proprietăți de simetrie și asimetrie, proprietăți de tranzitivitate, etc.

În construirea schemei mentale a unui tip de problemă a apărut ca specifică folosirea raționamentelor cu influențe deductive și inductive. În cazul recunoașterii tipului de problemă, se emit judecăți de tip conjunctiv, judecăți disjunctive, distinctive.

Aspecte metodologice privind rezolvarea de probleme

În fața unei probleme – în special acelor din școală – ne întâlnim cu două categorii de date precise: „ce ni se dă, contextul problemei și ceea ce ni se cere. Între ele există un gol pe care trebuie să-l umplem”cu ajutorul cunoștințelor și metodelor cunoscute. Uneori, puntea dintre ele se realizează prin intermediul unei construcții (conform tezei lui Goblot), care creează o situație nouă, ducând imediat la soluția căutată. Propriu-zis, nu întotdeauna este cazul unei „construcții”, ci doar a unor transformări, modificări aduse datelor.

Adeseori, este vorba de aplicarea unor cunoștințe dobândite anterior, în alte condiții, la transfer. Transferul se explică (după S. L. Rubinstein) printr-o analiză, prin sinteză. Pornind de la datele problemei, caut în bagajul de informații anterioare, una având o relație cu datele ce le posed, în ce măsură poate fi utilizată în situația dată. Dacă nu este necesară, încerc cu alta, până când una mă face să descopăr aspectul utilizabil în noua situație (aici intervine analiza).

Prin efectuarea transferului, uneori se pleacă de la datele existente: „planificare înainte”, alteori se studiază cerințele problemei: „planificare înapoi”. Sunt situații când datele datele existente sunt insuficiente și atunci ele trebuie completate cu alte informații obținute prin noi observații.

Elevii întâmpină serioase greutăți în soluționarea de probleme. În această activitate se va acorda atenție „însușirii temeinice ale ideilor-ancoră”, care au importanță centrală. Atunci când mai mulți elevi se află în impas în judecarea unei probleme, se recomandă intervenirea cu câte o sugestie, fie în legătură cu datele la care ar trebui să ajungă, fie privind operațiile la care ar trebui să recurgă.

Este important ca elevul să reușească să soluționeze unele probleme, pentru a nu-l descuraja. Pentru aceasta, trebuie să se aibă grijă și de gradarea dificultăților propuse spre rezolvare.

Cel mai important lucru este asigurarea variației tipurilor de probleme, fără a-i aglomera cu probleme de același fel. Acestea pot duce la creșterea rigidității algoritmilor.

Mai trebuie adăugat și faptul că nu este bine să solicităm un elev să rezolve o problemă dificilă, este o supraîncărcareemoțională defavorabilă efortului de gândire. Problemele pot fi soluționate în clasă, fie individual, fie lucrând pe grupe mici, în condiții care favorizează libertatea gândirii, procesul imaginativ.

Domeniul performanțial de lucru al gândirii este procesul de rezolvare al problemelor.

Problema apare, deci, ca un „obstacol cognitiv” în relațiile dintre subiect și lumea sa, o „barieră”, o „dificultate teoretică sau practică”. Problema reprezintă un sistem de întrebări asupra necunoscutei, pentru că dificultatea se prezintă ca o lacună a cunoașterii. Asumarea sarcinii de a depăși obstacolul, ca și demersurile cognitive și tehnice întreprinse în acest scop, conturează domeniul rezolvării problemelor.

CATEGORII DE PROBLEME

Luând drept criterii măsura specificării atelor inițiale din situația problematică, măsura specificării scopului, V. Reitman propune o tipologie a problemelor:

Probleme reproductiv-recreative – cele care nu necesită un demers cognitiv creator, ci doar o gândire reproductivă;

Probleme demonstrativ-explicative – probleme care cer demonstrarea, explicitarea, găsirea cauzalității;

Probleme euristic-creative – probleme în care atât începutul, cât și sfârșitul sunt slab delimitate, care au un grad mare de ambiguitate și care solicită un grad înalt al capacităților cognitive;

Probleme inventiv-creative – probleme asemănătoare celor euristic-creative, dar cu starea inițială mai bine specificată.

Probleme de optimizare – de reproiectare creativă, cu starea inițială bine delimitată, dar cea finală necunoscută.

Elevilor le sunt accesibile problemele în ordinea dată, în funcție de nivelul de vârstă, cele bine conturate fiind cele mai accesibile.

FAZELE PROCESULUI REZOLUTIV

PARADIGMA REZOLVĂRII DE PROBLEME

I.

II.

III.

Spre a reduce golul

ManipulateGhidate

prin: de:

IV.

Procesul rezolutiv începe cu punerea problemei, adică cu o reformulare a ei, ce implică o presupunere ce realizează legătura între cunoscut și necunoscut. De felul cum este pusă problema depinde și succesul în găsirea soluției. Această etapă este analitică, deoarece presupune înțelegerea datelor.

În cea de a doua etapă se formulează ipoteze, atât asupra soluției ce se va obține, cât și asupra procedeelor de rezolvare.

În cazul mai multor variante rezolutive ipotetice se procedează la testarea lor în vederea alegerii variantei optime.

În a treia etapă, la bază stând sinteza, se constituie modelul rezolutiv și se trece la ultima etapă, cea executivă, a soluționării efective a problemei.

STRATEGII DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Strategia este o orientare generală a activității rezolutive.

C. Zorgo enumera trei categorii de strategii necesare oricărei rezolvări:

1. anticipativ-exploratorii

2. anticipativ-rezolutive

3. executive

Este important să fie găsită strategia optimă încă de la punerea problemei.

Activitatea de rezolvare a problemelor nu numai că duce la o acumulare de experiență specifică, dar are și efecte formative dintre cele mai importante, deoarece exersează toate operațiile corespunzătoare gândirii. Intervin generalizări și transformări, ce se înscriu în constituirea de capacități rezolutive și de aceea este corectă aprecierea rezolvării de probleme ca un „proces de invățare”.

Etapele rezolvării problemelor

Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape. În fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar în combinații noi,reorganizarea lor la diferite niveluri ducând către soluție. Este vorba de un proces permanent de analiză și sinteză, prin care elevul separă și reconstituie, deprinde și construiește raționamentul care conduce la soluție, de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu noi aspecte în funcție de combinațiile în care sunt plasate.

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Atunci când elevul formulează ipoteze, el aplică o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale. În această activitate intervin și tehnici, procedee, moduri de acțiune, abilități de muncă intelectuală independentă de genul:

orientarea activității mentale aspura datelor problemei;

punerea în legătură logică a datelor;

capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut;

extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei, precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (deprinderile de calcul).

Deși în manualele școlare ele apar într-o mare varietate, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. La cele care aparțin aceleiași categorii, având același mod de organizare a judecății, deci a raționamentului, în mintea elevilor se conturează schema mentală de rezolvare, se fixează ca un algoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Elevul va rezolva cu ușurință o astfel de problemă, pe care o poate subsuma unei categorii, dar numai în cazul în care a înțeles particularitățile tipice ale catoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în condiții concrete.

De o mare importanță în rezolvarea este înțelegerii structurii acesteia și a logicii rezolvării ei.

Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul „film” al desfășurării raționamentului, să aibă formate capacitățile de a analiza și de a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția ei și de a orienta logic șirul judecății către întrebarea problemei.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. Acestea sunt:

CUNOAȘTEREA ENUNȚULUI

este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Elevul trebuie să afle care sunt datele problemei, cum se leagă ele între ele, care este necunoscuta;

acest moment se realizează prin citire de către învățător sau elevi ori prin enunțare orală;

se va repeta de mai multe ori, până la însușirea problemei de către toți elevii;

se va avea în vedere citirea expresivă a textului, scoțându-se în evidență anumite date și legături dintre ele și întrebare;

tot la această etapă se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei, folosindu-se scrierea pe orizontală sau pe verticală.

ÎNȚELEGEREA ENUNȚULUI

enunțul conține un minim necesar de informații;

datele și condiția problemei reprezintă termeni de orientare a ideilor, a analizei și a sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat, pe măsură ce se înaintează spre soluție;

întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor.

ANALIZA PROBLEMEI ȘI ÎNTOCMIREA PLANULUI LOGIC

în această etapă se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei;

este faza în care se „construiește” raționamentul, drumul de legătură între datele problemei și necunoscută;

prin exercițiul de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celorlalte date și a necunoscutelor se ajunge la situații concrete;

transpunând problema într-un desen, într-o schiță, scriind datele și necunoscutele cu relațiile dintre ele într-o coloană, evidențiem esența matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei.

ALEGEREA ȘI EFECTUAREA OPERAȚIILOR CORESPUNZĂTOARE SUCCESIUNII DIN PLANUL LOGIC

această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective, și evident, a rezultatului final.

ACTIVITĂȚI SUPLIMENTARE DUPĂ REZOLVARE

etapa constă în verificarea soluției problemei și în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune;

în acest moment se realizează autocontrolul asupra felului în care și-au însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului parcurs;

se recomandă, pentru a scoate în evidență categoria din care face parte problema, fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea datelor problemei și a relațiilor dintre ele printr-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu.

2.2. Activitatea de rezolvare a problemelor, obiectiv prioritar în predarea-învățarea matematicii în ciclul primar

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime. Aceasta constituie unul dintre capitolele importante ale psihologiei.

Este și o activitate ce îmbină eforturile mentale de înțelegere a celor învățate și aplicarea algoritmilor cu structurile condiției creative, pe baza stăpânirii unui volum de cunoștințe matematice solide.

Activitatea de rezolvare a problemelor are valoare formativă, pentru că mobilizează participarea intelectuală a elevilor. Ei sunt puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei.

Rezolvarea problemelor le solicită în special gândirea și inteligența, motive pentru care în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare atenție. Sunt solicitate procesele psihice și cognitive superioare, din operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare; sunt cultivate capacitățile creatoare ale gândirii, flexibilitatea ei, capacitățile anticipativ-imaginative; această activitate educă inițiativa, perspicacitatea, dezvoltă încrederea în forțele proprii ale elevului. Prin utilizarea în conținuturi a unor probleme din viața și practică, activitatea de rezolvare a problemelor contribuie și la îmbogățirea orizontului de cultură generală.

Pe lângă rolul formativ, această activitate are și valențe informative. Este modul cel mai eficient de însușire și concretizare a noțiunilor matematice, de consolidare a deprinderilor de calcul.

Ipoteza cercetării pedagogice este că acesta este cadrul optim de formare a raționamentului matematic.

Se știe că rezolvarea problemelor presupune un efort mai mare al gândirii decât efectuarea exercițiilor. În problemă, elevul trebuie să descopere relațiile dintre datele necunoscute de cele cunoscute. Această sarcină revine elevului, însă educatorului îi revine sarcina de a-i călăuzi activitatea celui ce învață, astfel încât să simtă farmecul și atracția specifică matematicii. G. Polya afirma: „O mare descoperire rezolvă o problemă mare; chiar dacă problema poate fi modestă, dacă o rezolvi cu mijloace proprii, atunci poți încerca tensiunea și bucuria triumfului descoperirii”.

Capacitățile de a rezolva probleme se dezvoltă în activități concrete, pe măsură ce elevul dobândește experiență de cunoaștere. În cadrul acestei discipline, activităților matematice le revin, fără îndoială, un rol deosebit.

Studiul rezolvării problemelor de matematică de către școlarul mic, prezintă atât o importanță teoretică, cât și una practică. Teoria psihologică și pedagogică dezvăuie numeroase trăsături ale dezvoltării gândirii copilului în procesul complex al rezolvării problemelor.

Pentru practica pedagogică, această activitate constituie mijlocul principal de dezvoltare a operativității specifică matematicii, a raționamentului matematic, dar, în același timp, și a operativității gândirii în geberal.

În rezolvarea unei probleme matematice, indiferent de nivel, intervin doi factori:

aplicarea unor metode, tipuri de raționament anterior experimentate de către rezolvitor;

o activitate creatoare, care constă în alegerea din tot materialul de metode cunoscute și în îmbinarea potrivită a acestui material în raționamente care conduc la soluții.

Această activitate nu este complet determinată de datele situației: natura problemei și experiența elevului. Ea are și o latură aleatoare, care face ca găsirea soluției să nu fie sigură, este deci problematică.

În orele de matematică de la ciclul primar, învățarea asigură momente ce experimentează gândirea pentru matematica euristică, logică și cea aplicată. În primul rând, elevul este pus în situația de a simți atracția pentru problematic. Este bucuros și satisfăcut, când reușește să descifreze prin gândire „ascunzișurile” problemei, când află lucruri noi. La sfârșitul acestei acțiuni de rezolvare, elevul își dă seama, tot prin proprie experiență, ce înseamnă un raționament logic.

Este important din punct de vedere pedagogic faptul că micul școlar nu face matematică aplicată, ci o învață așa că, până învață, toate noțiunile matematice aplicate sunt probleme de cercetare, probleme euristice.

Elevul, în comparație cu un specialist în domeniu, care aplică niște formule și face calcule, oarecum automat, stabilește acele formule și, până ce transformă niște activități în deprinderi, nu lucrează automat – el își însușește un instrument de lucru, dar această acțiune de a-și însuși este o activitate euristică, este o rezolvare de probleme care contribuie la formarea lui intelectuală.

Iată de ce este necesar să asigurăm elevului din ciclul primar un bagaj solid de cunoștințe, căci pe baza acestuia, el folosește aceste informații, realizează conexiuni între date și le folosește în rezolvarea de probleme, acest lucru neînsemnând o aplicare simplă și este chiar esența perspicacității. Nu trebuie, deci, să negăm rolul cunoștințelor. Trebuie să avem în vedere că ele constituie un instrument și după ce au fost dobândite și că un aspect foarte important este utilizarea lor în cadrul activității de rezolvare a problemelor.

Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt cele pe care și le pune elevul zilnic la școală, în familie, în timpul jocului. Pentru a-i face să înțeleagă pe școlarii de clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca ei să realizeze faptul că în viața de toate zilele sunt nenumărate situații când ei trebuie să găsească un răspuns la diferite întrebări.

La început, activitatea de a rezolva și de a compune probleme se face pe cale intuitivă. De aceea problemele trebuie să fie introduse sub formă de joc în lecție și să li se alăture un bogat și variat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea problemelor la clasa I se realizează la un nivel concret, ca acțiuni de viață (au mai fost aduse …. jucării, au plecat …. vaporașe, s-au spart …. baloane), ilustrate prin imagini. În acestă fază, această activitate se află într-o etapă premergătoare celei de calcul. Unii elevi întâmpină însă greutăți în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice.

Tot în această perioadă, elevii sunt familiarizați cu termenii de „problemă”, „întrebarea problemei”, „rezolvarea problemei”, „rezultatul problemei”.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații.

În etapa de familiarizare a elevilor cu rezolvarea problemelor simple, se formează și algoritmi de „traducere” din „limbaj-problemă” în „limbaj de operații”, permițându-le să realizeze corespondențe utile între cuvinte sau expresii întâlnite în enunțul problemei și operațiile matematice.

Astfel, verbe sau expresii de tipul: „sunt în total”, „au fost împreună”, „punem lângă”, sugerează operația de adunare, în timp ce „au zburat”, „au plecat”, „s-au spart”, sugerează operația de scădere; „de … ori mai mare”, „de … ori mai mult”, „de … ori mai în vârstă”, sugerează operația de înmulțire, iar „de … ori mai mic”, „de … ori mai puțin”, „a distribuit în mod egal”, indică operația de împărțire.

Gama problemelor este variată. O clasificare a acestor probleme se face având în vedere specificul operației.

PROBLEME SIMPLE BAZATE PE ADUNARE

de aflare a sumei a doi termeni;

de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

probleme de genul „cu atât mai mult”.

PROBLEME SIMPLE BAZATE PE SCĂDERE

de aflare a restului;

de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;

de aflare a unui termen, atunci când se cunosc suma și un termen al sumei;

probleme de genul „cu atât mai puțin”.

PROBLEME SIMPLE BAZATE PE ÎNMULȚIRE

de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

de aflare a produsului;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.

PROBLEME SIMPLE BAZATE PE ÎMPĂRȚIRE

de împărțire a unui număr dat în părți egale;

de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

de aflare a unei părți dintr-un întreg;

de aflare a rapotului dintre două numere.

Majoritatea problemelor simple ce se bazează pe schema elementară:

a ¤ b = ,

unde simbolul ¤ poate fi „+”, „ – ”, „x” sau „ : ”,

nu aduc noutăți deosebite din prisma unui rezolvitor experimentat, dar nu același lucru se poate spune și despre un rezolvitor-începător, pus în fața unor asemnea sarcini.

De exemplu, la adunare, în afara tipului clasic a + b = , pot fi propuse spre rezolvare încă alte trei tipuri de probleme, ilustrate de schemele:

= a + b (reflectând proprietatea de simetrie a relației de egalitate)

– a = b (exemplificând aflarea descăzutului când se cunosc scăzătorul și restul)

b = – a (simetria relației precedente)

Voi exemplifica această schemă:

„Alin a împrumutat ieri de la biblioteca unei școli două cărți și astăzi una.

Câte cărți a împrumutat Alin de la biblioteca școlii?”

Această problemă poate fi pusă sub o altă schemă, modificând enunțul astfel:

„Câte cărți a împrumutat Alin de la bibliotecă, știind că ieri a luat două și azi una?”

„Câte cărți a avut Alin de la biblioteca școlii dacă, după ce a înapoiat 2cărți, i-a mai rămas una?”

„Alin mai are o carte de la biblioteca unei școli. Câte cărți împrumutase el dacă a înapoiat două cărți?”

Aceleași scheme pot fi create pentru fiecare tip de probleme simple (la operațiile de scădere, înmulțire sau împărțire).

Pentru fiecare dintre variantele problemei simple raționamnetul este același, însă scopul utilizării și acestui procedeu nu este o învățare propriu-zisă a problemelor, cât mai ales formarea capacităților de a domina varietatea lor, care practic este infinită.

Rezolvarea problemelor simple este unul dintre primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvare, elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mentale anticipative.

În clasa I, activitatea de rezolvare a problemelor simple se face la început pe cale orală, cu date din mediul înconjurător, care solicită răspunsuri la unele acțiuni concrete – probleme-acțiuni – care se petrec în mod real în viața lor.

Exemplu:

Iancu are 30 lei. Marin îi mai dă 20 lei.

Câți lei are Iancu în total?

Pe catedră sunt 5 caiete. Rodica mai pune 4 caiete.

Câte caiete sunt pe catedră în total?

La tablă scriu 3 elevi. Unul a termiat și a trecut în bancă.

Câți elevi au rămas la tablă?

De la problemele-acțiuni, în care soluția este găsită prin operarea cu obiecte concrete, am trecut, treptat, la probleme-acțiuni bazate pe reprezentările pe care elevii și le imaginează pe baza unor procese anterioare de percepție.

Modul în care sunt formulate enunțurile problemelor așa-zis narative contribuie substanțial la dezvoltarea limbajului matematic.

Exemplu:

Într-un cuib erau 5 vrăbiuțe. Două au zburat.

Câte vrăbiuțe au rămas în cuib?

Pentru rezolvare, la început este necesară folosirea anumitor desene care să accentueze caracterul concret al datelor problemei. Dezvoltarea limbajului matematic se poate realiza prin antrenarea elevilor la anumite părți ale problemei, discutarea elementelor-cheie ale acestora.

Rezolvarea problemelor sporește în atractivitate, dar și în densitate instructivă, atunci când conținutul acestora vizează cunoștințe, fapte, fenomene ale altor discipline.

Exemplu:

Laleaua are 3 petale, mixandra 4 petale, mușcata 5 petale, iar trandafirul 3 petale.

Cu câte petale are mai mult mușcata decât laleaua?

În curtea școlii jucau volei 5 fete, iar acestora li s-au mai adăugat 3 fete.

Câte fete joacă volei?

Analiza amănunțită a problemei, interpretarea datelor cunoscute, stabilirea relațiilor între cele două componente (enunț și întrebare), contribuie la dezvoltarea proceselor intelectuale, ale gândirii în special.

Un rol deosebit de important în procesul rezolutiv îi revine textului problemei.

Problemele compuse

După ce elevii s-au familiarizat cu rezolvarea problemelor simple, se poate trece la rezolvarea problemelor compuse, care solicită într-o măsură mai mare gândirea logică, datorită faptului că, pe lângă examinarea separată a fiecărei probleme simple, este necesară punerea în corespondență a problemelor simple, sesizarea legăturilor dintre ele, a dependenței lor reciproce pentru găsirea rezultatului final.

Deci, trebuie să se țină seama de o serie de condiții: elaborarea, alegerea, verificarea și corectarea unor ipoteze care să ducă la rezolvarea corectă, la descoperirea soluției.

Etapa de trecere de la problemele simple la problemele compuse constă în:

1. Punerea în scenă – regizarea să cuprindă două faze distincte, problema să fie formulată astfel încât să cuprindă cele două faze ale acțiunii și apoi rezolvarea;

2. Rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul primei probleme să constituie un element al celei de-a doua.

Problema:

Daniel are 10 lei. Mama îi mai dă 5 lei. Cu acești bani el cumpără un caiet pe care plătește 12 lei.

Câți lei îi mai rămân?

Elevii delimitează cele două probleme simple ale căror rezolvări necesită efectuarea operațiilor:

10 lei + 5 lei = 15 lei

15 lei – 12 lei = 3 lei

Gândind apoi problema reversibil, copiii au obținut problema compusă din cele două probleme simple. Dacă desprinderea de concret se face cu grijă și treptat, copiii ajung să opereze în mod real cu numere abstracte și să facă combinații de compunere și descompunere, folosind acțiuni mentale anticipative.

Pe măsură ce elevii și-au însușit algoritmii de calcul ai operațiilor aritmetice, i-am solicitat într-un efort intelectual cu densitate de rezolvare și valoare formativă mai mare, folosind procedee diferite de rezolvare.

În cele ce urmează, voi prezenta câteva dintre modalitățile folosite în acest scop.

Completarea de către elevi a întrebării problemei

Completarea întrebării unei probleme, apoi rezolvarea ei, îi pun în situația luării unei decizii legate de practica vieții, precum și în realizarea unei concordanțe între cele două părți ale problemei. La început, elevii au fost solicitați pentru probleme simple, pentru ca apoi să completeze întrebarea unei probleme compuse, ceea ce implică stimularea efortului propriu în vederea dezvoltării gândirii și imaginației creatoare.

Astfel:

Exemplul I:

„La o cantină s-au adus o dată 30 l ulei, iar altă dată 28 l. S-au consumat 17 l pentru gătit.

Puneți întrebarea și rezolvați.”

Analizând enunțul, elevii își dau seama că, dacă s-au consumat 17 l pentru gătit, cantitatea de ulei adusă s-a micșorat. Constatarea aceasta îi duce la stabilirea întrebării

„Ce cantitate a rămas?”,

precum și la stabirea schemei relațiilor dintre datele cunoscute ale problemei:

30 l ………………………. 28 l ………………………. 17 l ………………………. ? l

după care a urmat rezolvarea aritmetică:

30 l + 28 l = 58 l

58 l – 17 l = 41 l

R = 41 l

Calea de rezolvare a problemei poate fi scrisă într-un singur exercițiu:

30 + 28 – 17 = 41

(a + b – c = R) – exercițiu literal

Exemplul II:

„La un magazin s-au adus într-o zi 65 kg de lămâi, iar a doua zi cu 30 kg mai puțin.

Puneți întrebarea și rezolvați.”

Formularea întrebării problemei a constituit sarcina de muncă independentă a elevilor.

După citirea și repetarea problemei în gând, prin stabilirea relațiilor cantitative între valorile numerice date, elevii au formulat prima întrebare și au rezolvat prima problemă simplă:

„Câte kilograme de lămâi s-au adus a doua zi?”

65 kg – 30 kg = 35 kg

Apoi am orientat atenția elevilor spre o altă direcție, cerând să gândească ce altă întrebare se poate formula, cunoscând cantitatea de lămâi adusă în prima zi și pe cea adusă a doua zi.

Răspunsul a venit promt:

„Câte kilograme de lămâi s-au adus în total?”

„Ce cantitate de lămâi s-au adus în cele două zile?”

Se poate observa că, în această situație, gândirea devine mai profundă, elevii dând dovadă de un spirit de imaginație dezvoltat.

Rezolvarea a fost:

65 kg – 30 kg = 35 kg

65 kg + 35 kg = 100 kg

sau 65 kg – 30 kg + 35 kg = 100 kg

Activitatea de sintetizare într-un singur exercițiu a căii de rezolvare și formularea altor variante de întrebări, antrenează gândirea la un efort mai mare, contribuie la educarea profunzimii și a mobilității gândirii.

Probleme în care lipsesc unele date

„Completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr-o problemă cu condiția ca problema să se poată rezolva conduce la educarea flexibilității gândirii în procesul continuu de autocontrol.”

Manualul de matematică de clasa I conține astfel de probleme care necesită un efort mental sporit, realizându-se astfel educarea flexibilității gândirii în acest proces continuu de autocontrol, de căutare a soluțiilor posibile și, eventual, optime.

Exemplu:

„Elevii din clasa I au sădit în grădina școlii 40 de fire de flori, … lalele, … panseluțe, iar restul garoafe.

Câte garoafe au sădit?”

Gândirea elevilor se va orienta în stabilirea concordanței dintre datele problemei cunoscute în enunț și cele ce trebuie completate. Ca să le completeze corect, elevul trebuie să țină seama că suma celor trei feluri de flori este 40 și că numărul lalelelor, panseluțelor, trebuie să fie mai mic decât numărul total de flori (40).

Elevii au completat datele necunoscute ale problemei în mai multe variante, rezolvând problema după fiecare variantă.

Acest tip de problemă s-a aplicat elevilor de clasa I după ce au dobândit o oarecare experiență în activitatea de rezolvare a problemelor.

Probleme care se rezolvă prin mai multe procedee

Pentru a conștientiza activitatea de rezolvare a problemelor am rezervat un spațiu larg rezolvării acestora prin mai multe procedee.

Formarea deprinderii de a găsi noi procedee de rezolvare sau de calcul, orientarea gândirii elevului spre alte direcții, constituie o adevărată gimnastică a minții, solicită atenția, spiritul de investigație, perspicacitatea, flexibilitatea gândirii.

În acest scop am folosit atât probleme din manualele de matematică din ciclul primar cât și alte probleme create în cadrul anumitor capitole, în funcție de posibilitățile intelectuale ale clasei.

Din propria experiență, consider că toate problemele care exprimă condiția rezolvării prin mai multe procedee, trebuie să ocupe un loc bine stabilit în activitatea matematică din ciclul primar, lărgind sfera lor cu probleme compuse de elevi, dată fiind funcția lor formativă.

„Într-o librărie erau dimineața, pe un raft, 53 de caiete, iar pe altul 34 de caiete, până seara s-au vândut 20 de caiete.

Câte caiete au rămas în librărie?”

Reprezentăm numărul caietelor prin dreptunghiuri și rezolvăm:

Vânzătorul a luat caiete numai de pe primul raft:

53

+34 = 67 (caiete)

53 – 20 = 33

33 + 34 = 67 (caiete)

Vânzătorul a luat caiete de pe al doilea raft:

34

53 +

34 – 20 = 14

53 + 14 = 67 (caiete)

Le-a pus pe toate la un loc și apoi a vândut:

53 + 34 = 87

87 – 20 = 67 caiete

R = 67 caiete

„La un magazin de legume și fructe s-au adus 465 kg mere și 375 kg prune. Din această cantitate adusă s-au vândut 283 kg mere și 285 kg prune. Ce cantitate de fructe a rămas în magazin?”

465 kg …………….. 375 kg …………..283 kg …………285 kg …………..? kg

+ +

–

Folosirea schemei grafice ușurează înțelegerea conținutului problemei.

Etapele de rezolvare prin primul procedeu:

Cantitatea totală de fructe adusă la magazin:

465 + 375 = 840

Cantitatea totală de fructe vândută:

283 + 285 = 568

Cantitatea de fructe rămasă în magazin:

840 – 586 = 272

Sintetizată sub formă de exercițiu:

(465 + 375) – (283 + 285) = 272

Etapele de rezolvare prin al doilea procedeu folosind schema grafică:

465 kg ………… 375 kg ………. 283 kg …………. 285 kg ………….. ? kg

– –

+

Cantitatea de mere rămasă:

465 – 283 = 182

Cantitatea de prune rămasă:

375 – 285 = 90

Cantitatea de fructe rămasă:

(465 – 283) + (375 – 285) = 272

De fiecare dată când s-au ivit asemenea probleme, am insistat asupra rezolvării lor prin două sau mai multe procedee, în vederea solicitării gândirii în paralel cu sintetizarea în exercițiu.

Aceasta trebuie să fie o sarcină nu numai a rezolvării în cadrul activității frontale ci, mai ales, o sarcină a activității independente care măsoară adevăratele puteri ale elevilor, când mintea stă trează și face un efort continuu de căutare.

Problema dată ca muncă independentă:

„La un centru de pâine s-au adus 980 pâini. Dintre acestea 376 sunt franzele, cu 97 mai multe pâini negre și restul intermediare.

Câte pâini intermediare s-au adus?”

S-au obținut următoarele rezolvări:

1. Câte pâini negre s-au adus?

+ 97 = 473

2. Câte pâini negre și franzele s-au adus?

+ 376 = 849

3. Câte pâini intermediare s-au adus?

980 – 849 = 131

R = 131 pâini intermediare

1. 980 – 376 = 604 (pâini negre și intermediare)

2. 376 + 97 = 473 (pâini negre)

3. 604 – 473 = 131 (pâini intermediare)

R = 131 pâini intermediare

1. 376 + 97 = 473 (pâini negre)

2. 980 – 376 – 473 = 131 (pâini intermediare)

R = 131 pâini intermediare

Rezolvarea a III-a este interesantă deoarece o surprinde sub formă de exercițiu și demonstrează capacitatea de sinteză a relațiilor numerice existente.

Sintetizarea în formule numerice este:

I: 980 – (376 + 376 + 97) = 131

II: 980 – 376 – (376 + 97) = 131

Transpunerea rezolvării unei probleme sub formă de exercițiu este o muncă de creație, de gândire și de stabilire a unor legături logice între valorile numerice date și aflate.

Se întâlnesc probleme care se pot rezolva numai parțial prin mai multe procedee, adică se merge pe firul judecății logice până la un anumit punct, fiind nevoit să-l abandoneze pe primul și să găsească altă cale de ieșire, în conformitate cu cerințele situației respective. Aceste probleme solicită mai mult capacitățile intelectuale, apelează la perspicacitatea și profunzimea gândirii.

Exemplu:

„Trei saci cu cartofi cântăresc 207 kg. Primul sac împreună cu al doilea cântăresc 145 kg, iar al doilea cu al treilea 133 kg.

Cât cântărește fiecare sac?”

Se scriu relațiile dintre datele problemei:

I + II +III = 207 kg

I +II = 145 kg

II + III = 133 kg

Acest mod de prezentare a datelor ușurează rezolvarea problemei, relațiile dintre date fiind evidente:

207 kg – 145 kg = 62 kg al III-lea sac

207 kg – 133 kg = 74 kg primul sac

Cantitatea din cel de-al doilea sac s-a aflat prin mai multe procedee:

133 kg – 62 kg = 71 kg sau

145 kg – 74 kg = 71 kg sau

207 kg – (62 kg + 74 kg) = 71 kg

Deoarece această problemă nu poate fi sintetizată printr-o expresie numerică, am pus elevii să încadreze datele aflateîn enunțul problemei pentru a verifica condiționarea lor, astfel încât să obțină datele inițiale:

74 kg + 71 kg + 62 kg = 207 kg

74 kg + 71 kg = 145 kg

71 kg + 62 kg = 133 kg

Proba (verificarea) soluției problemei este foarte importantă pentru realizarea scopului formativ al acestei activități.

Activitatea de rezolvare a problemelor cu schemă grafică, prin mai multe procedee, cu formule numerice sau folosind modelul logico-matematic, contribuie la formarea unor temeinice deprinderi intelectuale necesare în rezolvarea problemelor în direcția dezvoltării flexibilității gândirii, în extinderea capacităților de abordare creativă a problemelor.

Exersarea din cadrul activității frontale trebuie împletită cu munca independentă, unde gândirea fiecăruia este pusă la efort continuu de căutări, deoarece el nu creeează din „nimic” („din nimic nu poate fi creat nimic” – Lucrețiu, De rerum natura, I, 155), ci realizează restructurarea datelor propriei experiențe dobândite anterior.

Problema prezentată mai sus, rezolvată în clasa a IV-a, valorifică și ridică pe plan superior activitatea de rezolvare din clasele anterioare a problemelor care exprimă relația dintre întreg și părți:

T = a + b + c

Pentru educarea caracterului reversibil al operației de gândire am rezolvat și probleme de genul:

T = I + II + III

Exemplu:

„Un balot de stofă de 87 metri a fost vândut în trei zile. În prima zi s-au vândut 23 metri, a doua zi 36 metri.

Câți metri s-au vândut în a treia zi?”

MODELUL FIGURATIV:

Printr-o astfel de așezare, problema devine un exercițiu de aflare a unui termen necunoscut, când se cunosc suma și ceilalți termeni.

Pornind de la relația:

T = I + II + III

și având schema în față, elevii au desprins ușor că:

III = T – (I + II)

Înlocuindcu dateleproblemei,

III = 87 – (23 + 36)

III = 28 m

Am reformulat problema, considerând necunoscuta lungimea stofei vândută în prima zi:

I = T – (II + III)

I = 87 – (36 – 28)

I = 23 m

sau considerând necunoscuta lungimea stofei vândută a doua zi:

II = T – (I + III)

II = 87 – (23 + 28)

II = 36 m

Elevii au rezolvat folosind aceleși date „o familie” de probleme, înțelegând relațiile:

T = I + II + III

I = T – (II + III)

II = T – (I + III)

III = T – (I + II)

Am continuat rezolvarea problemelor de acest gen prin alte exemple, folosind ca formă de prezentare modelul grafic:

„Trei echipe de muncitori au lucrat la repararea căii ferate pe o distanță de 36 km. Prima echipă a lucrat 17 km, a doua 13 km, iar cea de-a treia, restul.

Câți kilometri a lucrat a treia echipă?

Datele problemei:

36 km I = 17 km

II = 13 km

III = ?

17 km 13 km ? km

T = I + II + III

III = T – (I – II)

Rezolvarea aritmetică a fost ușoară:

III = 36 – (17 + 13)

III = 6 km

Sporind gradul de dificultate, am dat problemei datele care nu sunt certe, ci se deduc din condițiile problemei, ca în exemplul:

„Pentru a contribui la înfrumusețarea grădinii școlii, un grup de elevi a sădit 295 flori, un altul a sădit cu 87 flori mai puțin decât primul, iar al treilea grup cu 79 flori mai puțin decât al doilea.

Câte flori au plantat cele trei grupuri?

În prima etapă de rezolvare a problemei, s-a stabilit ce reprezintă fiecare valoare numerică din conținutul acesteia, scriind relațiile:

I = 295 flori

II = I – 87 flori

III = II– 79 flori

Le-am cerut să reia algoritmul cu valorile numerice ale problemei, ținând seama de relațiile dintre ele, fără să efectueze calculele:

I II III

T = 295 + (295 – 87) + (295 – 87 – 79)

Asemenea forme de rezolvare obligă elevul să elaboreze întregul raționament, să-și formeze o gândire concentrată, cu o mai mare posibilitate de sinteză. Rezolvând mai multe probleme de acest fel, copiii se obișnuiesc cu redarea raționamentului sub diferite forme, din ce în ce mai concentrate.

În rezolvarea problemelor de aritmetică din clasele pregatitoare, I-IV, care se pretează la folosirea analizei și sintezei ca metode de rezolvare, am folosit cu eficiență o modalitate nouă a schematizării grafice a problemelor, procedeu care înleșnește însușirea conținutului, apoi decantarea relațiilor matematice, jalonarea raționamentului și succesiunea operațiilor pe schema grafică. Pe baza acestei scheme pe care o voi prezenta în continuare, se face „judecata” problemei, pornind de la întrebarea finală spre datele problemei (folosind calculul).

Ilustrez procedeul în continuare, propunând spre rezolvare următoarea problemă:

„Un cetățean a depus o sumă de bani la bancă, în trei luni consecutiv: în prima lună a depus 400 lei, în a doua lună a depus 350 lei, iar în a treia lună a depus 450 lei. Din banii economisiți el și-a cumpărat o cămașă de 70 lei și un tricou de 21 lei.

Câți bani i-au rămas la bancă?”

Antrenând elevii într-o discuție colectivă, am rezumat problema într-o schemă grafică. Pe baza ei se face „judecata” problemei, pornind de la întrebarea finală spre datele problemei (folosind analiza) și se jalonează astfel planul de rezolvare (folosind sinteza), după care se efectuează calculele.

SUMA DEPUSĂ

I lună ………………………………….. a II-a lună ………………………………….. a III-a lună

400 lei 350 lei 450 lei

? (suma totală) = întreaga sumă

a cumpărat suma rămasă

cămașă tricou

? lei

O asemenea modalitate de schematizare grafică a enunțului și a rezolvării problemelor asigură indici superiori de reușită în rezolvarea acestora, favorizați de:

cunoașterea precisă a datelor din start;

cadrul de comparație;

controlul precis al factorilor implicați în reușită.

La acest stadiu am ajuns prin instruirea sistematică a elevilor din clasa a II-a și a III-a.

În analiza problemelor, am încercat să nu folosesc întotdeauna datele concrete așa cum sunt ele prezentate, explicându-le copiilor că acestea pot fi altele într-o altă problemă sau situație-problemă.

Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o dată și folosirea schemelor, desenelor (așa cum am arătat anterior), iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formulări numerice sau literale.

Atunci când am predat operațiile aritmetice, am insistat asupra notării cu litere a termenilor saua factorilor; dacă operațiile aritmetice erau scrise la modul general, am insistat ca elevii să rezolve și să compună probleme de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, a diferenței, a produsului, a câtului, să afle o cantitate cu atât > sau <, o cantitate de atâtea ori > sau <, folosind formule literale, astfel încât elevii au ajuns să nu mai întâmpine greutăți în acțiunile lor de schematizare și generalizare a unei probleme compuse prin exercițiu numeric sau formulă literală

La întrebarea „Câte probleme de matematică să se rezolve într-o lecție?”, răspunsul teoreticienilor și al practicienilor este simplu. Într-o oră de matematică este preferabil să se rezolve doar 2-3 probleme, la care să se insiste asupra raționamentului, asupra diferitelor căi posibile de rezolvare, asupra schemei, a punerii în formulă numerică și literală, decât să se rezolve în mod superficial mai multe probleme, fără respectarea cerințelor sus amintite.

CAPITOLUL III

PROBLEME TIP

3.1. Algoritmi, aplicații la matematica școlară din ciclul primar

În cartea sa, „Matematica pentru perfecționarea învățătorilor”, Ana Platon face referire la introducerea algoritmilor în clasele primare. Astfel, considera că „prima perioadă în care are loc o constituire și o dezvoltare intensă a unor algoritmi grafici ai activității intelectuale este aceea a micii școlarități. Algoritmii posedă posibilitatea de corelare, integrare și transfer”. De aceea se consideră că au un rol chiar în dezvoltarea gândirii creatoare. Concret, modalitatea de operare este atunci când elevul se află în situația de a aplica o regulă spre a o rezolva rapid o problemă și trebuie să apeleze la un anumit procedeu (metoda de rezolvare). Însușirea unor asemenea procedee cu valabilitate mare, prezintă un interes deosebit, deoarece ajută la rezolvarea rapidă și corectă numeroaselor situații problematice.

Între categoriile de operații mintale, ce se organizează ca primele mijloace de lucru curente ale gîndirii, se înscriu și acelea care în practica școlară se numesc „operații conform unor regului” sau „unor scheme”.

Algoritmii activității intelectuale sunt modele funcționale lae unor modalități de a rezolva situații problematice, după un „sistem” sau „program”.

Algoritmul – procedeu de calcul matematic – permite, pornind de la anumite date, găsirea în mod mecanic a unor rezultate prin intermediul unui șir de operații.

Modul de operare intelectuală prin algoritmi este foarte frecvent. Când elevul se află în situația de a aplica o regulă pentru a rezolva rapid o problemă, trebuie să apeleze la un anumit procedeu. Fără să cunoască regula, procedeul, soluționarea problemei este grea. Însușirea unor asemenea procedee prezintă un interes deosebit, deoarece ajută la rezolvarea rapidă și corectă a problemelor.

Orice regulă are un fundament, o justificare. Regula, odata asimilată, devine algoritm. Pe baza însușirii anumitor algoritmi, are loc un progres al gândirii elevilor, se asigură o mai bună asimilare a cunoștințelor.

În ceea ce privește dezvoltarea capacității de folosire a algoritmilor la clasele I-IV, se remarcă faptul că în perioada micii școlarități se formează o serie de algoritmi (pe baza însușirii unor reguli), care dobândesc caracter de automatisme. O parte dintre ei devin elemente componente ale algoritmilor generali ai gândirii, sub formă de „pricepere”.

După funcția pe care o îndeplinesc, se disting algoritmi de:

clasificare

explorare

diviziune

asamblare, etc.

În ceea ce privește structura, algoritmii sunt:

simpli (liniari) – în care se succed operatori de același fel, fără condiții suplimentare;

complecși – cu o serie de condiții logice; mai multe operații se efectuează ciclic.

În activitatea directă, la clasă, se disting diferite tipuri de algoritmi.

Revenind la tema cercetării propuse voi accentua:

algoritm de identificare, de recunoaștere a modului de rezolvare apelând la experiența anterioară; se precizează tipul de problemă;

algoritm de rezolvare sau de lucru – se aplică reguli simple ale operațiilor matematice;

algoritm de redactare – impune respectarea etapelor necesare pentru scrierea soluției problemei;

algoritm de lucru – verificarea corectitudinii unor operații de calcul, a unor soluții, în problemele date.

În rezolvarea problemelor, în special în cazul problemelor – tip, gândirea operează cu scheme – tip.

3.2. Rezolvarea problemelor – tip

Prin problema tipică înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată, în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

Pentru identificarea metodei (algoritmului) voi prezenta „modele de rezolvare” a celor mai semnificative probleme, aparținând unor anumite tipuri.

O clasificare a tipologiei problemelor ar oferi numeroase șabloane și rezolvitorul s-ar transforma într-un robot, posesor al unor cartele pe care sunt imprimați algoritmii, ele având sarcina doar de a stabili tipul problemei și de a adapta datele acesteia. Însă scopul acestei activități este de a forma rezolvitorul ca un bun specialist în domeniu, un tip creator, novator, întreprinzător.

Se impune totuși o „ordine” în multitudinea probelemelor de aritmetică. O posibilă clasificare este următoarea:

Probleme cu operații evidente – sunt problemele cel mai des întâlnite în manualele din clasele I-IV.

Probleme care se rezolvă prin probleme figurative – sunt incluse în această categorie și problemele de aflare a două numere, cunoscând suma și diferența sau raportul.

Probleme de egalare a datelor – metoda aducerii la același termen de comparație.

Probleme de presupunere – metoda falsei ipoteze.

Probleme gen „rest din rest” – metoda mersului invers.

Probleme de amestec și aliaje

Probleme de mișcare cu două variante:

în același sens;

în sens contar.

Probleme cu mărimi proporționale cu două variante:

împărțirea unui număr în părți direct proporționale;

împărțirea unui număr în părți invers proporționale.

Probleme care pot fi rezolvate și încadrate ca mai sus, dar cu conținut specific

probleme cu conținut geometric;

probleme asupra acțiunii și muncii în comun.

Probleme non – standard:

recreative, rebusistice, de perspicacitate, joc;

probleme de organizare și interpretare a datelor;

probleme ce utilizează un raționament probabilistic.

Probleme care pot fi rezolvate prin metoda figurativă (grafică)

METODA FIGURATIVĂ sau GRAFICĂ constă în reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele, prin diferite elemente grafice: desene, figuri geometrice plane, segmente de dreaptă, puncte, ovale, litere sau combinații de litere, alte simboluri și semne convenționale.

Ea ajută la formarea schemei problemei, la ținerea în atenție a tuturor condițiilor problemei și la concentrarea asupra lor.

În rezolvarea unei probleme care face apel la această metodă, ne sprijinim pe raționament, folosind interesul concret al operațiilor. Se pune totuși problema în ce fel trebuie făcută figura. Aceasta depinde și de nivelul rezolvitorului.

Figura schematică a problemei trebuie să însemne a schematizare a enunțului, pentru a păstra în atenție relațiile matematice și nu toate aspectele concrete ca-ntr-o fotografie.

Metoda figurativă (grafică) este aplicată în orice problemă în care se poate apela la figurare și, prin caracterul său intuitiv, este indispensabilă în rezolvarea de către elevii claselor primare a multora dintre problemele de aritmetică.

Încă de la clasa I am încercat rezolvarea unor probleme în care mărimile se pot reprezenta unidimensional, fără alte convenții (de exemplu: două bucăți de sfoară, sârmă, etc., adică mărimi „continue”) pentru ca-n mintea elevului un număr de pagini, o sumă de bani, o cantitate, un număr abstract, nu pot fi reprezentate printr-un segment de dreaptă.

Datele unei probleme ce apar sub formă cantitativă, pot fi reprezentate prin grămezi, pătrate, dreptunghiuri, linii curbe închise, pe baza diagramelor mulțimilor.

Într-o altă fază, se stabilesc convenții, astfel: încercăm să numărăm elementele (banii, kilogramele, litrii, etc.) și, pentru fiecare mărime, unim punctele printr-un segment de dreaptă; mărimea mai mare va fi reprezentată printr-un segment tot atât de lung cât este și celălalt și încă un segment ce va reprezenta diferența.

Exemplu:

„Doi frați au împreună 200 de timbre.

Câte timbre are fiecare, dacă unul are cu 16 timbre mai mult decât celălalt?”

Modul I de rezolvare:

Vom reprezenta cele două mărimi care intervin în problemă, adică numărul timbrelor pe care îl are fiecare dintre copii, prin două segmente de dreaptă, ținând cont de faptul că unul dintre ei are cu 16 timbre mai mult.

Timbrele primului copil

16

Timbrele celui de-al II copil

Diferența de mărime dintre cele două segmente reprezintă exact diferența dintre numărul de timbre al celor doi frați.

Se observă segmentul de dreaptă care reprezintă numărul de timbre, care reprezintă cele 16 timbre în plus față de numărul de timbre ale celuilat frate.

Atunci, pentru a determina numărul care reprezintă unul dintre segmentele egale, procedăm astfel:

(200 – 16) : 2 = 92 (timbre)

care reprezintă numărul de timbre ale copilului care avea mai puține. Numărul de timbre ale celuilalt frate va fi:

92 + 16 = 108(timbre)

92 + 108 = 200 (timbre)

108 – 92 = 16 (timbre)

Modul II de rezolvare:

Vom reprezenta printr-un segment de dreaptă numărul copilului care are mai multe timbre.

Reprezentăm printr-un segment de dreaptă numărul de timbre ale celuilalt:

Timbrele primului copil

200 timbre

16

Timbrele celui de-al II copil

Aflăm numărul de timbre ale celor doi copii, presupunând că și fratele cu mai puține timbre ar avea la fel de multe ca celălalt. Atunci:

p 16

p 16

200 + 16 = 216 (timbre)

Aflăm numărul de timbre ale fratelui care are un număr mai mare de timbre:

216 : 2 = 108(timbre)

În 216 sunt: 1 parte + 1 parte = 2 părți (2 segmente egale care reprezintă numărul de timbre ale celui care are mai puține).

Aflăm numărul de timbre ale celuilalt frate:

216 – 108 sau 108 – 16,

adică 92 (timbre).

VERIFICARE:

108 + 92 = 200(timbre)

108 – 92 = 16 (timbre)

Este bine să încercăm rezolvarea acestui gen de probleme prin ambele moduri de rezolvare, în scopul formării unor deprinderi de lucru și de raționament matematic.

Modul III de rezolvare: (generalizare)

Acest mod de rezolvare, prin folosirea literelor – simbol, este accesibil claselor a III-a și a IV-a.

Notând cu S numărul total de timbre, cu d diferența dintre cele două numere ce reprezintă numărul de timbre ale fratelui cu mai multe timbre, acestea din urmă fiind notate cu x și y, se pot scrie:

x + y = S

x – y = d

2x = S +d

adică x = (S + d ): 2

Numărul mai mare este egal cu jumătate din rezultatul adunării sumei cu diferența.

Particularizare:

x = (S + d) : 2

rezultă

x = (200 + 16) : 2 = 108

sau

x + y = S

rezultă

x = S – y

Înlocuind pe x în a doua relație, se obține:

S – y – y = d

rezultă

2y = S – d

rezultă

y = (S – d) : 2

rezultă

y = (200 – 16) : 2

y = 92

Numărul mai mic este egal cu jumătate din rezultatul scăderii dintre sumă și diferență:

y = (S – d) : 2

Avantajul metodei grafice folosită în rezolvarea unor probleme este cu mult mai clar când intervin mai multe mărimi sau transferuri între acestea.

Propun spre analiză o problemă la clasa a II-a.

„Dintr-o ladă se iau 6 mere și se pun în alta. Fiecare ladă are acum o cantitate egală, respectiv câte 10 mere.

Câte mere au fost la început în fiecare ladă?”

Grafic, problema s-ar rezolva astfel:

I ladă 6

a II-a ladă

I ladă 10

a II-a ladă …….6……..

Prin transferul merelor din prima ladă în cea de-a doua, cantitățile din cele două lăzi sunt egale. Ca să aflăm câte mere au fost la început în prima ladă, trebuie să punem la loc pe cele 6 pe care le-am luat.

10 + 6 = 16 (mere prima ladă)

Din a doua ladă trebuie să luăm cele 6 mere pe care le-am adăugat din prima ladă:

10 – 6 = 4 (mere a doua ladă)

Datorită ritmului lent de scriere al elevilor din clasa a II-a, cât și a necesității de a le forma o scriere lizibilă și frumoasă, în redarea pe scurt a problemelor am folosit simboluri pe bază de convenții orale; de aceea, în multe dintre schemele grafice am convenit ca mărimile: vârsta, cantitatea, lungimea, suma de bani, etc., să fie notate prin cifre romane I, II, III sau prin litere.

Există probleme incluse în categoria celor tip, care nu au un algoritm de rezolvare aplicabil tuturor problelor de acest fel. Pentru a rezolva o astfel de problemă, cel ce o rezolvă „simte” nevoia să-și apropie datele problemei, precum și relațiile dintre acestea din textul enunțului. Pentru aceasta realizează un desen, figură detaliată la început, iar pe măsură ce-și formează unele priceperi și deprinderi, figura devine mai abstractă, schematică, ea cuprinzând numai esențialul.

În vederea participării la concursul de matematică kangourou, am selectat și unele probleme care se rezolvă prin metoda figurativă, din culegerea „Exerciții și probleme pentru clasale I-IV” de Angela Călugărița, gen de probleme care nu se găsesc în manualul de matematică de clasa a III-a, probleme cu grad sporit de dificultate.

Având în vedere că subiectele acestui concurs sunt dintre cele mai variate, am rezolvat împreunăcu cei 10 elevi selecționați și probleme folosind drept modele (desene) ale mărimilor din enunț, simboluri mai simplificate.

Exemplific următoarea problemă:

„Într-un vas de fructe sunt de 3 ori mai multe prune decât mere. La masă sunt 4 persoane. Fiecare dintre ele ia de pe farfurie câte un măr și o prună. Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere.

Câte prune și câte mere erau la început?”

Pentru rezolvare am apelat la simboluri-litere: fiecărui măr din vas îi corespund 3 prune și dacă figurăm mărul cu „M” și pruna cu „p”, desenul se prezintă astfel:

p p p p p p p

Mp Mp Mp Mp Mp…………………………Mp Mp

p p p p p p p

Cele 4 persoane își iau câte un măr și o prună.

Am sugerat această situație prin tăierea din desen a 4 mere și 4 prune.

p p p p p p p

Mp Mp Mp Mp Mp…………………………Mp Mp

p p p p p p p

Figurăm acum ce a mai rămas:

p p p p p p p

Mp…………………………Mp Mp

p p p p p p p

Deci au rămas 8 prune „izolate” și grupe de câte un măr cu câte 3 prune fiecare.

În partea a doua a problemei, enunțul ne indică faptul că rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere, deci suntem obligați să realizăm grupe de forma:

p

pMp

p

Acest lucru se va obține punând o prună să treacă la o grupă de câte un măr cu câte 3 prune, pentru a completa până la 4 prune fiecare grupă.

Această mișcare se prezintă în desen astfel:

1 3 6

p p p 8 grupe

p p p

4 7 pMp pMp……………..pMp

p p p p p

2 5 8

p p p

p

Se observă ușor că cele 8 prune izolate au completat 8 grupe de forma pMp

p

adică 8 mere, pentru că în fiecare se află câte un măr.

Deci, în vasul cu fructe rămân 8 mere, după ce fiecare dintre cele 4 persoane au servit câte un măr. Aceasta înseamnă că la început au fost

8 + 4 = 12 (mere)

și de 3 ori mai multe prune

12 x 3 = 36 (prune)

Răspuns: în vas au fost 12 mere și 36 prune.

b) Probleme care pot fi rezolvate prin metoda aducerii la același termen de comparație

Problemele care se rezolvă folosind această metodă se caracterizează prin faptul că se dau două mărimi, care sunt comparate în același mod, cât și legătura care există între ele.

De aceea, această metodă se mai numește aducerea la același termen de comparație. Cele două mărimi care trebuie comparate sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. Metoda constă în a face ca una dintre cele două mărimi să aibă aceeași valoare și, în acest fel, problema devine mai simplă, cu o singură necunoscută.

Așezarea datelor într-o astfel de problemă se face cu respectarea relațiilor stabilite între mărimi, astfel încât comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile aceleiași mărimi, unele sub altele.

Rezolvarea problemei se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o relație cu o singură necunoscută.

Voi exemplifica această metodă prin rezolvarea problemei:

„5 caiete și 7 creioane costă 29 lei, iar 2 caiete și 3 creioane costă 12 lei.

Cât costă un creion? Dar un caiet?”

Pentru o ușoară înțelegere a raționamentului așezăm datele respectând relațiile dintre mărimi:

5 caiete ………. 7 creioane ………… 29 lei Ix2

2 caiete ………. 3 creioane ………… 12 lei Ix5

Pentru a face ca una dintre cele două mărimi să aibă aceeași valoare, înmulțim fiecare relație cu 2, respectiv 5. Așezarea datelor devine astfel:

10 caiete …….14 creioane ……. 58 lei

10 caiete …… 15 creioane ……. 60 lei

Din noua schemă rezultă că 15-14=1 creion costă 60 (lei) – 58 (lei)= 2(lei). Deci costul unui creion este 2 lei.

2 x 3 = 6 (lei costă 3 creioane)

12 – 6 = 6 (lei costă 2 caiete)

6 : 2 = 3 (lei costă 1 caiet)

Tot prin metoda comparației, dar prin eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei, se rezolvă și următoarea problemă:

“O pungă de bomboaneși 14 pungi de biscuiți costă 855 lei. O pungă de bomboane este de 5 ori mai scumpă decât o pungă de biscuiți.

Cât costă o pungă de bomboane și o pungă de biscuiți?”

În enunțul problemei se spune că o pungă de bomboane valorează de 5 ori mai multdecât o pungă de biscuiți. Deci, înloc de o pungă de bomboane se pot cumpăra 5 pungi de biscuiți. În total s-ar cumpăra 19 pungi de biscuiți (14 + 5 = 19) cu 855 lei.

O pungă de biscuiți costă:

855 : 19 = 45 (lei)

O pungă de bomboane costă:

45 x 5 = 225 (lei)

Răspuns: 45 lei și 225 lei

Metoda aducerii la același termen de comparație implică elemente din metoda reducerii la unitate, care se poate sintetiza prin regula: pentru a ști valoarea mai multor unități, trebuie să determinăm valoarea unei singure unități (părți) și invers. Fie că sunt mărimi direct proporționale sau invers proporționale, enunțul cuprinde trei elemente cunoscute și unul necunoscut, două câte două de același fel. Aceasta se numește regula de trei simplă (sau compusă). Iată un exemplu de mărimi invers proporționale:

“Încât timp vor termina o lucrare 180 de muncitori, dacă 3 muncitori termină aceeași lucrare într-o oră?”

3 muncitori ………………….. 1 oră (60 min.)

180 muncitori ……………….. x

3 muncitori ……………………1 oră

1 muncitor ……………………. 1 x 3 = 3 ore 3 x 60 = 180 min.

180 muncitori ….. 3 ore : 180 = 180 min : 180 = 1 min.

Sunt probleme care conțin atât mărimi direct proporționale cât și invers proporționale concomitent. Pentru rezolvare se poate disocia problema în mai multe probleme, în fiecare aplicându-se regula de trei simplă, care în această situație poartă numele de “regula de trei compusă”.

Exemplu:

„O lucrare poate fi executată în 20 de zile de către 15 muncitori. Deoarece, după 8 zile de lucru unii dintre acești muncitori pleacă spre alt șantier, lucrarea se termină după alte 30 de zile.

Câți muncitori au plecat pe alt șantier?”

Într-o examinare analitică, enunțul poate fi divizat în mai multe probleme simple:

Ce parte din lucrare execută cei 15 muncitori în 8 zile?

15 muncitori ……… 20 zile ……1 L

15 muncitori ……… 1 zi ………..1/20 L

15 muncitori ………. 8 zile ……..8/20 L

Ce parte din lucrare mai rămâne pentru următoarele 30 de zile?

1 L- 8/20 L = 12/20 L

Câți muncitori execută această parte din lucrare?

pentru 8/20 L este nevoie de 8 zile, lucrând 15 muncitori

1/20 L ………………. 1zi ………………..15 muncitori

12/20 L …………….. 30 zile ……………15 x 12 : 30 = 6

Câți muncitori au plecat pe alt șantier?

15 – 6 = 9 muncitori

R = 9 muncitori

c) Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers

Prin această metodă se rezolvă unele probleme în care datele depind unele de altele succesiv.

Ea constă în faptul că enunțul unei probleme trebuie urmărit de la sfârșit spre început.

Analizând operațiile făcute în problemă și pe cele pe care le facem noi în rezolvarea problemei, constatăm că, în fiecare etapă, facem operația inversă celei făcută în problemă.

În raționament trebuie ținut cont de faptul că nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le facem pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă.

Proba se face făcând asupra numărului găsit operațiile indicate în problemă.

Propun spre rezolvare următoarea problemă:

„Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 12, suma obținută am împărțit-o la 7, iar din cât am scăzut 11, obținând 200.

Ce număr am ales?”

Judecata:

Care este ultima operație făcută?

Citim din enunț: „din cât am scăzut 11, obținând 200”. Deci numărul din care, dacă scădem 11, este 200, este:

200 + 11 = 211

Problema dată devine:

„Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 12, suma obținută am împărțit-o la 7 și am obținut 211”.

Ce număr împărțit la 7 dă 211? Acesta este:

211 x 7 = 1477

și atunci problema apare astfel:

„Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 12, și am obținut 1477”.

Ce număr adunat cu 12 ne dă 1477?

1477 – 12 = 1465

Problema devine: numărul înmulțit cu 5 ne dă 1465, deci numărul căutat este:

1465 : 5 = 293

R = 293

Acest tip de probleme, ce se rezolvă prin raționament aritmetic, constituie un bun prilej de consolidare a celor patru operații.

O astfel de problemă se poate rezolva și prin metoda figurativă.

Exemplu:

„Irina a avut o sumă de bani. În prima zi a cheltuit ½ din ea, a doua zi 1/3 din rest, a treia zi ½ din noul rest, iar în a patra zi 1/3 din suma rămasă. La final a rămas cu 24 de lei.

Ce sumă a avut la început?”

Raționamentul matematic urmărește următoarea figură:

Se reprezintă printr-un segment suma totală:

______________________________________________________

Scoatem din el suma cheltuită în prima zi, adică ½, împărțindu-l în 2 părți egale și luând una dintre părți:

______________________________________________________

___________________________

Figurăm și primul rest R1 ___________________________

Dacă împărțim R1 în 3 părți egale și luăm o parte, figurăm suma cheltuită a doua zi:

a II-a zi ___________________________

_________

noul rest va fi R2 __________________

Împărțim noul rest în 2 părți egale și figurăm suma cheltuită a treia zi:

R2 __________________

a III-a zi _________

R3_________

Împărțim noul rest în 3 părți egale și reprezentăm suma cheltuită a patra zi:

R3 _________

a IV-a zi ___

noul rest R4 va fi: ______ , care reprezintă 24 lei.

Pe graficul astfel reprezentat aplicăm raționamentul:

Suma totală

______________________________________________________

I-a zi R1

a II-a zi ___________________________

R2

a III-a zi _________________

R3

a IV-a zi _________

24 lei

Ce obeservăm pe grafic? Că 24 lei reprezintă de două ori mai mult suma cheltuită a IV-a zi deci, în a patra zi s-au cheltuit:

24 : 2 = 12 (lei)

Am făcut un pas. Cunoscând cât a cheltuit a IV-a zi, putem afla R3:

12 x 3 = 36 (lei)

Deci a III-a zi Irina a cheltuit 36 lei. R2 reprezintă suma dublă față de cea cheltuită a III-a zi, deci:

36 x 2 = 72 (lei)

A doua zi s-a cheltuit o treime din R1. 72 lei reprezintă două treimi din R1, deci o treime va fi:

72 : 2 = 36 (lei)

R1 reprezintă o sumă de 3 ori mai mare dacât cea cheltuită a II-a zi, deci:

36 x 3 = 108 (lei)

În prima zi, Irina a cheltuit 108 lei. Suma totală este de 2 ori mai mare decât cea cheltuită în prima zi:

108 x 2 = 216 (lei)

Pe măsură ce înaintăm în calcul cu raționamentul, este bine să notăm pe grafic calculele intermediare obținute.

d) Probleme care pot fi rezolvate prin metoda ipotezelor (falsei presupuneri)

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor.

Astfel, sunt:

Probleme din prima categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

Probleme din a doua categorie, din care fac parte probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare (deși se pleacă de obicei de la ipoteza „toate la fel”), nu în ideea de a „nimeri” răspunsul, ci pentru a vedea nepotrivirea cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei.

Deci metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă adevărului.

O serie de încercări succesive până la găsirea soluției, reprezintă o rezolvare empirică. Comun cu o astfel de rezolvare este numai faptul că facem o încercare arbitrară, pe care o continuăm printr-un raționament.

Exemplific această metodă, rezolvând următoarea problemă:

„18 caiete de 48 file și respectiv 200 file au împreună 208 file.

Câte caite sunt de fiecare fel?”

Rezolvare:

Încercăm o ipoteză oarecare și anume aceea că toate caietele sunt de 48 file. Atunci obținem:

18 (caiete) x 48 (file) = 864 (file)

Comparăm acest rezultat cu unul real, din problemă:

2080 – 864 = 1216 (file)

Diferența de 1216 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele de 200 file, adică au cu 200 – 48 = 152 (file) mai mult.

Atunci numărul caietelor care au 200 file se obține astfel:

1216 : 52 = 8

iar numărul caietelor de 48 de file va fi

18 – 8 = 10

R = 8 caiete cu 200 file

10 caiete cu 48 file

În categoria acestor probleme se încadrează și cele al căror enunț este cu „animale” + „păsări”, „capete”, „picioare”, etc., atât de mult îndrăgite de copii.

Problemă chineză veche

Într-o cușcă se află iepuri de casă și fazani. În total sunt 100 de picioare și 36 de capete.

Câți fazani și câți iepuri sunt în cușcă?

Rezolvare:

Presupunem că ar fi numai fazani. În acest caz ar fi:

36 x 2 = 72 (picioare)

Diferența de:

100 – 72 = 28 (picioare), rezultă din faptul că în cușcă există și iepuri. Un iepure are cu 4 – 2 = 2 picioare mai mult ca un fazan.

Aflăm numărul iepurilor împărțind diferența de 28 de picioare la 2:

28 : 2 = 14 (iepuri)

Sunt deci 14 iepuri și

36 – 14 = 22 (fazani)

R = 14 iepuri

22 fazani

Comentând enunțul, la prima vedere s-ar părea că acesta este incomplet, deoarece nu se explicitează câte picioare are un fazan și câte picioare are un iepure. Dar, în mod normal, aceste date se subînțeleg, deoarece toată lumea știe că un fazan are 2 picioare și un iepure are 4 picioare.

Putem rezolva această problemă ajutându-ne și de desene-simbol.

Am putea figura cele 36 de vietăți prin niște ovale:

a)

……………….

Se desenează apoi picioarele. Dar unde așezăm 2 picioare și unde 4? Observăm că, oricum, 2 picioare are fiecare vietate și le desenăm. Figura devine astfel:

b)

…………….

Am folosit 36 x 2 = 72 (picioare) și ne-au mai rămas 100 – 72 = 28 (picioare). Cum le așezăm? Evident, câte 4 – 2 = 2, la fiecare vietate care are deja 2 picioare. Formăm astfel „iepurii”.

Găsim astfel numărul de iepuri:

…………. ……..

14 22

Deci numărul de iepuri este:

28 : 2 = 14 (iepuri)

Restul de vietăți rămase cu 2 picioare sunt fazani:

36 – 14 = 22 (fazani)

Se va face proba:

14 x 4 + 22 x 2 = 56 + 44 = 100 (picioare)

14 + 22 = 36 (capete)

PROBLEME ÎN CARE SE COMBINĂ MAI MULTE METODE

Acest gen de probleme se rezolvă prin două sau mai multe metode prezentate anterior.

Alegerea metodei sau îmbinarea metodelor nu este un stereotip; este necesară inițiativa, gândirea creatoare. Calea care trebuie urmată este descoperită prin gândire proprie.

Există două tipuri de astfel de probleme:

combinate artificial, pentru a cere rezolvitorului să descompună problema dată într-o succesiune de probleme;

probleme unde este vorba de îmbinare de fond a problemelor.

Propun spre rezolvare următoarea problemă:

„O grindă de brad cântărește 24 kg, una de fag 26 kg, una de stejar 30 kg. 200 de grinzi diferite în care cele de fag sunt de 2 ori mai multe decât cele de brad cântăresc 5132 kg.

Câte grinzi sunt din fiecare?”

Rezolvarea acestei probleme îmbină atât metoda figurativă, cât și pe cea a falsei ipoteze. Deci, figurăm că sunt de 2 ori mai multe grinzi de fag.

Dacă ar fi numai grinzi de stejar, acestea ar cântări:

200 x 30 = 6000 (kg) (metoda falsei ipoteze)

Diferența de 6000 – 5132 = 868 (kg) provine din faptul că grinzile stejar sunt mai grele.

Dacă scoatem 3 grinzi de stejar și punem 2 de fag și una de brad, greutatea scade cu:

3 x 30 – 2 x 26 – 24 = 14 (kg)

Putem face atâtea înlocuiri de câte ori 14 se cuprinde în 868, adică:

868 : 14 = 62

Deci sunt 62 de grupe, adică 62 de grinzi de brad, 124 de fag și restul de 14 de stejar.

O problemă care combină metoda falsei ipoteze și cea de aducere la același termen de compara’ie este următoarea:

„George a cumpărat găini și purcei; erau 55 de capete și 152 de picioare și a plătit 11160 lei. Altă dată a cumpărat tot găini și purcei, 54 de capete, iar numărul găinilor era cu 26 mai mare decât al purceilor; a plătit 10560 lei.

Cât a costat o găină și cât un purcel?”

Rezolvare:

Aflăm mai întâi câte găini și câți purcei a cumpărat prima dată, cu ajutorul metodei falsei ipoteze. Presupunem că ar fi fost numai găini. Atunci am avea

55 x 2 = 110 (picioare)

Diferența

152 – 110 = 42

Provine din faptul că sunt 55 de capete de purcei care au cu 4 – 2 = 2 (picioare) mai mult.

Deci: 42 : 2 = 21 (purcei) și

55 – 21 = 34 (găini)

Aflăm numărul găinilor și purceilor cumpărați a doua oară cu ajutorul metodei grafice:

nr. purcei

nr. găini 26

26

Deci numărul de purcei este (54 – 26) : 2 = 14, deci avem 14 + 26 = 40 (găini).

Acum, în ultima etapă, prin aducerea la același termen de comparație, aflăm prețul unei găini și al unui purcel:

34 găini ……………….. 21 purcei …………………….11160 lei

40 găini ……………….. 14 purcei …………………… 10560 lei

Deci:

68 găini ………………… 42 purcei …………………… 22320 lei

120 găini ………………. 42 purcei …………………… 31680 lei

120 – 68 = 52 (găini) costă

31680 – 22320 = 9360 (lei)

o găină costă 9360 : 52 = 180 (lei)

un purcel costă (1160 – 34 x 180) : 21 = 240 lei

R = o găină costă 180 lei

un purcel costă 240 lei

e) Probleme de mișcare

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una dintre mărimile: distanța (spațiul), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Spațiul (S) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc.) exprimat în unități de lungime (metri, multipli sau submultipli ai metrului).

Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp (m/s, km/h, etc.).

Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spațiu.

În general, în problemele de mișcare se va vorbi despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale, mobilul parcurge distanțe (spații) legat eprin expresia:

S = v x t

iar din aceasta deducem un factor:

V = S/T și t = S/v

Putem clasifica problemele de mișcare în mai multe grupe:

probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spațiului, vitezei sau a timpului;

probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse;

probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în același sens.

Pentru a elucida cele arătate mai sus, voi exemplifica practic cu câteva exemple:

Problema I:

„Doi turiști parcurg distanța de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului turist este de 4 km/h, iar a celui de-al doilea este de 6 km/h.

Să se determine distanța de la A la B.”

Rezolvare:

În fiecare oră, primul turist rămâne în urma celui de-al doilea cu 6 – 4 = 2 km. Până când al doilea turist a ajuns în B, primul a arămas în urmă cu distanța pe care a făcut-o în două ore, adică:

S = 4 (km/h) x 2 (ore)

S = 8 km

Această rămânere în urmă s-a realizat într-un timp:

t = 8 (km/h) : 2 = 4 (h)

Deci, al doilea turist a mers o distanță:

S = 6 (km/h) x 4 (h)

AB = 24 km

Problema a II-a

„Un pieton care parcurge 5 km/h, pleacă din orașul A spre orașul B. În același timp, un biciclist pleacă din B spre A cu viteza de 22 km/h. Între orașe este o distanță de 81 km.

După cât timp se întâlneac pietonul cu biciclistul?

La ce distanță de orașul B se întâlnesc?”

Rezolvare:

81 km

A B

5 km/h 22 km/h

În fiecare oră distanța dintre pieton și bicilist se micșorează cu:

5 km + 22 km = 27 km

Distanța totală de 81 km va fi străbătută în timpul:

81 : 27 = 3 (ore)

acesta fiind și timpul după care se întâlnesc.

Se întâlnesc la distanța de:

22 km : 3 = 66 km (de orașul B)

Problema a III-a

„Un biciclist, având viteza de 24 km/h, pleacă din orașul A. După 3 ore, pleacă din A, în aceeași direcție, un motocilist, având viteza de 42 km/h.

În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distanță de oraș?”

Rezolvare:

A B I

24 km/h

0 h

42 km/h

3 h

Avansul bicilistului (distanța parcursă în trei ore) este:

AB = 24 (km/h) x 3

AB = 72 km

Motociclistul câștigă în fiecare oră:

42 km – 24 km = 18 km

Pentru a câștiga cei 72 km, motociclistul merge un timp de:

72 : 18 = 4 h

la întâlnire,

A = 42 x 4 = 168 km

Algoritm de calcul:

Când distanța dintre punctele de plecare este „S”, iar mobilele pornesc în același sens cu vitezele v1 și v2, atunci timpul necesar primului ca să-l ajungă pe al doilea este dat de formula:

T = S x (v1 – v2),

unde v1> v2

PROBLEME CU CONȚINUT PRACTIC SI INTERDISCIPLINAR

Problemele cu conținut practic sunt acele probleme ce se referă la utilizarea matematicii în situații cotidiene, în tehnică, în fizică, economie, biologie, medicină.În cadrul procesului de învățământ aceste probleme cu conținut practic presupun imbinarea matematicii cu celelalte discipline, interdiciplinaritatea materiilor, știintelor.

Interdisciplinaritatea este o formă de cooperare între discipline științifice diferite, care se realizează în principal respectând logica științelor respective ,adaptate particularităților legii didactice și-l ajută pe elev în formarea unei imagini unitare a realității, îi dezvoltă o gândire inte-gratoare.

Interdisciplinaritatea se referă și la transferul metodelor dintr-o disciplină în alta ,transfer cu grade diferite de implicare ,finalizare. Acestea reprezintă o modalitate de organizare a conți-nutului învățării, cu implicații asupra întregii strategii de proiectare a curriculum-ului, care oferă o imagine unitară asupra fenomenelor și proceselor studiate în cadrul diferitelor discipline de în-vățământ și care facilitează contextualizarea și aplicarea cunoștințelor dobândite.

Corelarea cunoștințelor de la diferite categorii de activitate contribuie substanțial la realiza-rea educației copiilor, la formarea și dezvoltarea flexibilității gândirii, a capacității acestora de a aplica cunoștințele în practică- o disciplină o ajută pe cealaltă să fie mai bine însușită.Aceste corelații interdisciplinare motivează și condiționează caracterul sistemic al activităților instructiv- educative din școala.

Posibilitățile de corelare a cunoștințelor din diferite categorii de activitate sunt nelimitate, important este ca profesorul să pregătească temeinic activitățile și să apeleze la capacitățile lui creatoare.

În activitățile cu caracter interdisciplinar, copiii își completează, își adâncesc sau aplică cunoștințele dobândite, numară, grupează, așază, socotesc, colorează, desenează, recită, cântă, povestesc, în funcție de legăturile logice dintre conținuturi.

În cele ce urmează prezint câteva corelații ale activităților cu conținut matematic cu celelalte categorii de activități.

În cadrul ariei curriculare „ Matematică și explorarea mediului” legătura dintre cele două materii este foarte strânsă ,deoarece orice activitate de observare a plantelor, animalelor, poate constitui un prilej de consolidare, verificare, ba chiar de anticipare a cunoștințelor matematice. Astfel, copiii sunt puși să stabilească forma părților componente, să compare pentru a stabili dimensiunile, să precizeze culorile, să numere (ochii, urechile, picioarele animalelor).În activitatea de observare „Iepurașul” copiii consolidează cunoștințele dobândite despre dimensiuni, observând că iepurașul are urechile lungi și coada scurtă, de asemenea numără și picioarele iepurașului.

În activitațile de observare „Fructe„ , „Legume”se pot strecura noțiuni de întreg, jumătate, sfert, rotund, oval, pe care aceștia le vor discuta, pe larg, în cadrul lecțiilor de matematică când li se vor preda fracțiile și figurile geometrice.După ce s-a desfășurat activitatea de observare se poate organiza jocul logico-matematic „Ciorba”, unde învățătoarea având rolul de bucătăreasă cere elevilor să-i aducă : cepe mici galbene, roșii rotunde mici, morcovi groși, cartofi mari și galbeni.. Prin acest joc, într-un climat de bună dispoziție, se fixează noțiunile din categoria cunoștințelor despre natură în corelare cu cele matematice.

Prin jocul didactic „Ziua și noaptea” ,desfășurat la clasa pregătitoare, se reactualizează cu-noștințele referitoare la selectarea și clasificarea obiectelor, la numerație, operații de calcul, identificarea și denumirea elementelor din mediul înconjurător, sesizarea legăturilor cauzale dintre obiecte, ființe și realitatea înconjurătoare corelate cu activitățile matematice.

Lecțiile de comunicare în limba româna conțin elemente de corelare cu matematica.Astfel, după desfășurarea jocurilor didactice: „Jocul cuvintelor” și „Jocul silabelor” se pot folosi fișe în care elevii trebuie să deseneze tot atâtea cerculețe câte obiecte sunt în imagine, să traseze tot atâtea liniuțe câte silabe are cuvântul reprezentat prin desen (floare, morcov, televizor), totodată se poate cere copiilor să găsească cuvinte cu un număr dat de silabe, după care să bată din palme de atâtea ori câte silabe are cuvântul respectiv sau să alcătuiască propoziții și să aducă un număr de bețișoare egal cu numărul cuvintelor din care este formată fiecare propoziție.

Elevii pot învăța poezii numărătoare sau poezii care pot fi folosite la lecțiile de matematică la familiarizarea cu cifrele, la aspectul ordinal al numerelor, la operații de calcul aritmetic.Din multitudinea de astfel de poezii voi reda câteva:

Numărând până la zece

de Radu Felican

1 seamănă c-un cui 6 seamănă c-un lacăt

Pe hârtie poți să-l pui Potrivit pe-o ușă-n treacăt,

2 cu gâtul de gânsac 7 pare-o coasă veche

Țanțoș înotând în lac, Tintuita-ntr-o ureche,

3 pare o barză-n zbor 8 două zale de lanț

Nu când stă intr-un picior Ce nu fac ciocnite „cranț”

4 e-ntorsul scăunel 9 e un poloboc

De nu poți sta pe el. Dar ca notă nu e mic,

5 e ca secera lunii 10 să-l descriu încerc,

Și-l mai iau și notă unii. E unu urmat de cerc.

Livada

de Ion Creangă

Un copil sădește-n zori Opt piersici cruzi,

Doi meri mici, cât doi bujori Nouă mici și drepți aguzi.

Trei caiși cu rădăcini, Cât să numeri pân' la zece

Patru trandafiri cu spini, Îi udăm cu apă rece

Cinci gutui cu flori rotate, Mari să crească, să se vadă

Șase nuci cum sunt prin sate, Cea mai tânără livadă.

Șapte peri,

Lecțiile de muzică și mișcare contribuie cu succes, având în vedere că muzica este îndră-gită de copii, la consolidarea, fixarea cunoștințelor, deprinderilor dobândite de elevi în cadrul lecțiilor de matematică. Prin cântece, jocuri muzicale, copiii exersează număratul, unele operații de calcul. Cântecul „Numărătoarea” ajută la consolidarea numărării în limitele 0-10 crescător și descrescător, iar cântecul „Șade rața pe butoi” fixează număratul din doi în doi.

Cântecele adunării și scăderii cu 1-2 unități, compuse de Sofica Matei în lucrarea „Aritme-tica muzicală”, ajută atât la fixarea număratului în șir crescător și descrescător în limitele 1-10, cât și la exersarea operațiilor de adunare și scădere cu 1-2 unități în limitele 1-10.Cântecele se învață ușor, linia melodică fiind simplă, iar fiecare cântec are o strofă care se repetă cu mici variații de cuvinte (se schimbă de obicei numerele). În majoritatea cântecelor predomină cântarea dialogată, astfel ele devin simple probleme de calcul oral.

1. „Un rățoi e pe cărare 2. „Trei gâscuțe în grădină

Unul vine-n fuga mare. Ciugulesc dintr-o sulfină,

-Câți rățoi sunt pe cărare? Două din ele au plecat

-Unul și cu unu -Doi Ga, ga, ga fuga pe lac

Srigă vesel un pisoi.” Trei fară două- una fac”

A răspuns rățușca -Mac.”

În cadrul lecțiilor dea arte vizuale și abilități practice se consolidează cunoștințele copiilor referitoare la formele geometrice, prin asemănarea lor cu obiecte din mediul înconjurător, ajutându-i să realizeze desene decorative, după model sau din imaginația proprie ,versurile poeziei „Geometria” de Monica Lenos exemplificând acest lucru:

Cu creioane colorate patru linii ușurel

Poți să desenezi de toate: cerc, dreptunghi-un băiețel,

doar o linie- e vântul iar pe cap cu o fundiță!

ca o minge- pământul Tot așa e o fetiță!

tot un cerc- soarele Mulți băieți și multe fete

romburi mici- petalele, Cercuri, puncte, linii, cete.

un pătrat- e o căsuță , Dacă se adună roată

un dreptunghi- o săniuță, E copilăria toată.

În activitățile de modelaj, elevii pot reda obiectele în diferite mărimi, de exemplu: „Mărul mare, mijlociu, mic”, „Morcovi pentru iepurași groși, subțiri”, „Panglicuțe late și înguste”.

Deprinderile formate în acest fel permit copiilor să lucreze cu ușurință fișele matematice.

Din pătratul „Tangram”, prin exersarea tehnicii de decupare, îmbinare și lipire a hârtiei, precum și plasarea în pagină, se reactualizează cunoștințele matematice referitoare la figurile geometrice, mărimile acestora și numerație, realizând teme ca: „Iepurașul”, „Gâsca”, „Broscuța”, „Cocoșul”, „Litere și cifre”, recitându-se chiar și versuri:

„Șapte figuri colorate „Din pătratul colorat

Din pătrat tăiate-s toate Iute noi am așezat

Cu atenție le-așezăm Forme diferite, iată!

Și-un brăduț realzăm.” Pentru gâsca colorată.”

Activitățile de „Educație fizică” permit exersarea număratului, folosit pentru păstrarea ritmului în timpul mersului sau al exercițiilor de gimnastică.Raportarea cantității la număr se poate realiza prin jocul de mișcare „Buchețele”, în care copiii se grupează câte 2,3 sau 4, în funcție de numărul rostit de către învățătoare. Verificarea cunoașterii culorilor și constituirea de mulțimi după acest criteriu se realizează prin jocuri de mișcare cum este „Caută-ți stegulețul”, în care copiii trebuie să se grupeze pe culori, în dreptul stegulețului respectiv.

În concluzie, se poate afirma că, elaborarea interdiciplinară dintre lecțiile de matematică și celelalte materii prevăzute de programă, este benefică și înlesnește o cunoaștere sistematică și

rapidă a conceptului de: mulțime, număr, formă geometrică, operații de adunare și scădere, măsurarea mărimilor.

Interdiciplinaritatea reprezintă noul în activități, activează copiii, le stimulează creativitatea și contribuie la unitatea procesului instructiv-educativ, creează un mediu propice pentru exprimarea liberă, lucrul în echipă, clarificarea unor probleme, punerea în aplicare a cunoștințelor dobândite din diferte domenii.

CAPITOLUL IV

ASPECTE DIN EXPERIENȚA PERSONALA. VALORIFICAREA EXPERIMENTALA

4.1 Ipoteza cercetării

Cercetarea pedagogică este definită ca fiind „ o strategie proiectată și realizată în scopul de a surprinde relații și fapte noi între componentele acțiunii educaționale și de a elabora, pe această bază, soluții optime pentru problemele procesului educațional. Este un demers rațional, organizat în vederea surprinderii relațiilor funcționale și cauzale dintre variabilele acțiunii educaționale practice.” ( Dumitriu, C., 2004, p. 6).

Cercetarea a pornit de la urmatoarea ipoteză: dacă se utilizează activitațile interdisciplinare matematice, atunci se contribuie la influențarea pozitivă a interesului elevilor fața de matematică, optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la creșterea randamentului școlar al elevilor la matematică.

În vederea testării ipotezei formulate mi-am propus mai multe direcții de acțiune care pot fi considerate totodată etape în derularea cercetării:

– elaborarea obiectivelor cercetării;

– stabilirea eșantionului experimental;

– administrarea factorului experimental;

– înregistrarea, prelucrarea, analiza și interpretarea datelor;

– stabilirea diferențelor între cele două faze în cadrul eșantionului.

4.2 Obiectivele cercetării

Obiectivele propuse în realizarea acestei lucrări sunt de fundamentare psihopedagogică, științifică și metodologică.

-evaluarea inițială a nivelului dezvoltării psihice și a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor matematice ;

– aplicarea unor modalități de antrenare a elevilor la matematică prin intermediul lecțiilor interdisciplinare;

– selectarea în vederea experimentării, a unor tehnici în concordanță cu specificul disciplinei, cu cerințele programei școlare și cu profilul psihologic al elevilor;

– evidențierea efectelor produse după utilizarea activităților matematice interdisciplinare în școală.

Unul dintre reperele noului curriculum este acela de a socoti copiii subiecți ai propriei formări, de ai implica direct în procesul instructiv- educativ, de a le crea condiții variate de învățare, de a le dezvolta o personalitate deschisă, creatoare, capabili să rezolve o problemă prin identificarea și combinarea unor puncte de vedere diferite.Activitățile intredisciplinare reprezintă o formă de organizare a lecțiilor pe care educația se concentrează tot mai mult, în ultimul timp, deoarece acestea răspund acestui deziderat. Ele recurg de cele mai multe ori la metode activ- participative, îmbină armonios conținuturi și metode din domenii diverse, ceea ce duce la activizarea elevilor și la progresul lor pe plan intelectual, dezvoltându-le gândirea, memoria, imaginația, limbajul, iar in plan comportamental îi ajută să se formeze ca și persoane deschise spre nou, le dezvoltă spiritul de cooperare, ambiția, creativitatea, le demonstrează aplicabilitatea unor cunoștințe în domenii diferite de viată.

Scopul cercetării de față este acela de a demonstra că, prin corelațiile pe care învățătoarea le poate stabili între matematică și celelalte discipline, precum explorarea mediului, arte vizuale și abilități practice, muzică și mișcare, etc. și utilizând metode moderne de educație, va fi trezit și menținut interesul elevilor față de lecțiile matematice, ceea ce va conduce la îmbunătățirea rezultatelor acestora.

4.3 Eșantioanele și caracteristicile lor

Eșantionul experimental este alcătuit din 15 elevi ai clasei pregătitoare de la Școala Primara Sudiți, Poșta Cîlnău, din care 8 fete și 7 băieți, cu vârsta cuprinsă între 6-7 ani, cei mai mulți împlinind vârsta de 7 ani în decursul anului 2015.Toți copiii provin din familii organizate, cu ambii părinți în viață.

Conform chestionarului de culegere a datelor, completat de către părinții elevilor la începutul anului școlar 2014-2015, am cules urmatoarele date:

-din 30 de părinți, 27 au studii medii, 2 părinți au doar 8 clase,iar un părinte 2 clase;

– 17 lucrează în diverse meserii, 1 lucrează în străinătate și 12 sunt casnici;

– doar 2 copii sunt singuri la părinți, 10 mai au un frate, iar 3 mai au doi frați.

Colectivul clasei este relativ omogen, majoritatea copiilor fiind normal dezvoltați atât fizic, cât și intelectual (trei copiii întâmpină probleme în pronunția cuvintelor, motiv pentru care doi dintre ei urmeză ședințe de logopedie). Elevii sunt disciplinați, nu creează probleme în timpul orelor, sunt comunicativi și sociabili.În decursul primului semestru eleva Sandu Georgiana a fost transferată la o altă școală, motivul fiind schimbarea domiciliului, iar la începutul semestrului al II –lea a venit în colectivul nostru eleva Gheorghe Miruna, de la Școala Primară Fundeni.

4.4 Metode și tehnici folosite în cercetare

Metoda de cercetare științifică este„ un ansamblu de operții intelectuale prin care o disciplină sau o ramură a cunoașterii caută să ajungă la adevăruri pe care să le demonstreze, să le verifice. Ele sunt ghidate de concepția generală a cercetatorului, de principiile teoretico- științifice de la care pornește, respectiv, de metodologia cercetarii.’’(Dumitriu, C., 2004, p.53)

Tehnica de cercetare e subordonată metodei și este definită, în general, ca „un ansamblu de prescripții metodologice (reguli, procedee) pentru o acțiune eficientă”. Procedeul este „maniera de acțiune, de utilizare a instrumentelor de investigare”, iar instrumentele sunt „uneltele materiale”de care se folosește cercetatorul în cunoașterea științifică a fenomenului cercetat. (Dumitriu, C., 2004 p.53)

Într-o cercetare psihopedagogică sunt utilizate mai multe metode pentru a strânge informații complementare, limitele unei metode fiind completate de către altă metodă .În această cercetare am folosit următoarele metode:

1.Metoda observației – este frecvent utilizată în școală deoarece, atât observația spontană (pasivă), cât și cea științifică (provocată), oferă date legate de comportamentul elevilor la lecții, în recreații, în cadrul activităților extracurriculare și în familie. Aceasta metodă,care a fost cea mai folosită, a furnizat date referitoare la unele particularități psihice implicate în activitatea de învățare școlară, capacitatea de percepere, spiritul de observație, rapiditatea în reactualizarea cunoștințelor, reacția elevului la întrebarile adresate, gradul de concentrare a atenției, rapiditatea și spontaneitatea răspunsurilor, caracteristici ale limbajului, nivelul formării unor deprinderi, prezența sau absența unor înclinații, aptitudini, atitudinea în fața diverselor strategii cu caracter interdisciplinar, reacții fată de succes sau insucces.Observația s-a derulat în situații cât mai variate, datele obținute fiind consemnate fară a atrage atenția elevilor și fiind corelate cu datele furnizate de celelalte metode.

2.Metoda covorbirii – a fost folosită atât pentru obținerea unor informații de la elevi, cât și de la părinții acestora.Așadar, am aflat care sunt aspirațiile și interesele copiilor, condițiile materiale și climatul familial, programul zilnic al elevului, starea de sănătate, preferințele/ repulsia față de unele activități. În cadrul sedințelor cu părinții, am discutat cu aceștia despre diversele activități de învățare efectuate la clasă, despre obiectivele urmărite la unitățile pracurse, dar și despre cele ce se vor parcurge în viitor, despre modalitățile de îndeplinire ale acestora.

Confruntând materialul obținut cu datele furnizate de celelalte metode, convorbirea contribuie la întregirea portretului psihologic al personalității elevului, ajută la adoptarea unor măsuri eficiente de înlăturare sau prevenire a unui eșec, favorizând obținerea performanțelor școlare.

3.Metoda analizei produselor activității- această metodă mi-a furnizat informații despre procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale elevilor prin prisma regăsirii lor în produsele activității: fișe, desene, portofoliu, caiete speciale, lucrări practice.Aceste produse ale activității școlare ale elevilor poartă amprenta, pe de o parte a cerințelor disciplinelor de învățământ, iar pe de altă parte, a caracteristicilor lor individuale.Utilizarea acestei metode mi-a permis depistarea copiilor cu potențial creativ, implicați pentru a duce o sarcină la bun sfârșit.

Din corectarea caietelor speciale de matematică si explorarea mediului, a fișelor de lucru, am remarcat nivelul de corectitudine al rezolvării sarcinilor, aspectul estetic, progresul/regresul înregistrat de la o etapă la alta, capacitatea de punere în practică a cunoștințelor teoretice, capacitatea de reprezentare, bogația vocabularului și precizia lui, nivelul și calitatea cunoștințelor și deprinderilor.

4.Metoda biografică- ne oferă o serie de date privind evoluția psihologică a elevului, în interdependența cu influența factorilor externi ai dezvoltării.Această metodă “se bazează pe cercetarea vieții și activității individului în vederea cunoașterii istoriei personale necesare în stabilirea profilului personalității sale, precum și pentru explicarea comportamentului actual al persoanei.” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 87)

Datele au fost adunate în urma discuțiilor cu părinții, mulți dintre părinții elevilor care au frecventat regulat grădinița, au precizat ca aceștia au făcut progrese mai ales în ceea ce privește trăsăturile temperamentale, de la un temperament interiorizat, evoluând spre unul exteriorizat.

5.Experimentul psihopedagogic-se consideră că este “cea mai importantă metodă de cercetare, deoarece furnizează date precise și obiective.”( Dumitriu,Gh., Dumitriu,C., 2004, p.74)

Acesta poate fi constatativ, vizând măsurarea și consemnarea unei situații, și formativ presupunând intervenția în grupul școlar a unor „factori de progres” în vederea apariției unor schimbări.Astfel, în cadrul experimentului psihopedagogic de tip formativ, am verificat influența pe care au avut-o activitățile matematice cu caracter interdisciplinar asupra copiilor, asupra rezultatelor școlare ale acestora. Etapele parcurse au fost:

– testarea inițială a grupului experimental în vederea evaluării cunoștințelor la matematică, la începutul anului școlar 2014-2015;

– introducerea „factorului de progres”, și anume lecțiile de matematică să aibă caracter interdisciplinar, folosind ca instrumente fișe de lucru, prezentări Power Point, imagini.

– testarea finală -pentru evidențierea „factorului de progres” în stimularea randamentului școlar.

Experimentul a furnizat date de ordin calitativ și cantitativ, cu un mai mare grad de precizie,acestea fiind prelucrate și interpretate cu ajutorul metodelor și tehnicilor statistico-matematice.

Toate datele, obținute în urma folosirii acestor metode și tehnici de cercetare au fost prelucrate și interpretate, rezultatele au fost trecute în tabele, iar reprezentarea grafică a datelor din tabel s-a făcut prin diagrame radiale, poligoane de frecvență și histograme.

4.5 Organizarea și desfășurarea cercetării

Cercetarea a cuprins trei etape:

1. Etapa constatativă s-a desfășurat în primele două săptămâni din anul școlar 2014-2015,în perioada evaluării inițiale 15-30 septembrie 2014.Această etapă a avut ca scop cunoașterea particularităților copiilor, a capacităților de învățare , a nivelului de pregătire de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare asimilării conținutului etapei care urmează.Aceste date au fost obținute în urma aplicării elevilor a unor teste inițiale la matematică.

Subliniind rolul și însemnătatea acestui tip de evaluare pentru integrarea elevilor în activitatea ce urmează a fi străbatută, R. Ausubel afirma „Dacă aș vrea să reduc toată psihopedagogia la un singur principiu, eu spun: ceea ce influențează cel mai mult învățătura sunt cunoștințele pe care elevul le posedă la plecare.Asigurați-vă de ceea ce el știe și instruiți-l în consecință.” ( Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L., 1991, p. 111)

Analiza și prelucrarea datelor mi-au oferit posibilitatea formulării concluziilor cu privire la colectivul de elevi, la fiecare elev în parte, precum și adoptarea unor măsuri de sprijin și recuperare a unor elevi.

2.Etapa experimentală sau formativ-ameliorativă s-a desfășurat în perioada 01.10.2014-31.05.2015, a cuprins proiectarea, organizarea, și desfășurarea demersului didactic la disciplina matematică, introducerea factorului de progres (activitățile matematice cu caracter interdisciplinar ), urmărindu-se antrenarea tuturor elevilor în procesul propriei formări. Pe baza rezultatelor obținute am adoptat decizii adecvate de organizare a unor activități diferențiate, atât cu elevii ce dovedesc un randament crescut la învățătură, cât și cu elevii ce manifestă goluri în cunoștințe. În această perioadă s-au măsurat cunoștințele elevilor prin teste monodisciplinare și interdisciplinare, prin observari efectuate în timpul orelor de matematică asupra comportamentelor acestora, asupra rezultatelor și asupra produselor activităților.

3.Etapa finală- s-a desfașurat în perioada 01.06.2015- 18.06.2015, în cadrul acesteia aplicându-se elevilor teste de evaluare pentru a se stabili nivelul de pregătire și modul în care au evoluat de la testele inițiale.Apoi s-au centralizat datele furnizate de aceste etape ale cercetării în tabele centralizatoare analitice și sintetice, care au facilitat sesizarea eventualelor lacune, a eficienței mai mari sau mai reduse a strategiilor alese, inițierea unor programe de compensare sau dezvoltare specifice, prin valorificarea valențelor activ-participative ale metodei didactice ce a fost aleasă ca factor de progres.

Evaluarea inițială

Evaluarea inițială realizată la începutul anului școlar a urmărit verificarea cunoștințelor elevilor precum:

cunoașterea conceptelor prematematice (culori, mărimi, forme, lungimi, grosimi);

– identificarea, denumirea, operații cu concepte matematice (operații de comparație,clasificare) ;

– numerația în limetele 0-10 ( capacitatea de a număra crescător, de a recunoaște cifrele, de a identifica vecinii, de a compara 2 mulțimi);

– recunoașterea, denumirea, compararea(identificarea asemănărilor și deosebirilor, prin raportare la mărime, formă, culoare, grosime) formelor geometrice (pătrat, cerc, triunghi, dreptunghi);

Toate aceste informații au fost obținute prin intermediul utilizării fișelor și a jocurilor didactice desfășurate la clasă.Am ales aceste metode simple de testare a elevilor deoarece fiind clasa pregătitoare, trecerea de la grădiniță la școală să nu fie bruscă, menținând jocul didactic ca principală modalitate de desfășurare a activităților.

1.Proba de evaluare a operațiilor prematematice (culori, mărimi, lungimi, grosimi, poziții spațiale)

Categoria de activitate: matematică

Clasa: pregătitoare

Tema: joc didactic – La cumpărături

fișe didactice – anexa A

Forma de realizare: frontală, individuală

Scop: – verificarea pozițiilor spațiale sus, jos, stânga, dreapta, în față, în spate, pe masă,

sub masă, lângă masă;

– evaluarea capacității de recunoaștere și comparare a culorilor, formelor, a mărimilor, a lungimilor.

Obiective operaționale:

O1- să identifice pozițiile spațiale sus, jos, stânga, dreapta, sub, în spate, în fată;

O2- să descrie o jucărie, precizând culoarea, mărimea,forma, lungimea, grosimea;

O3-să prezinte asemănările și deosebirile între două jucării (formă, mărime …etc.)

O4- să ordoneze jucăriile pe raft, respectând indicațiile învățătoarei (sus, jos, în stânga, sub, lângă).

Regulile jocului:

Copiii aleg o jucărie, pe care o descriu, spunând culoarea, dacă e groasă sau subțire, mică sau mare, lungă sau scurtă.Îndrumați de învățătoare așază jucăria precizând locul: pe masă, sub masă, lângă masă, etc.

Elemente de joc: vânzător, magazin de jucării, clopoțel.

Strategii didactice: metode și procedee –explicația, conversația, demonstrația, jocul.

material didactic – fișe individuale, culori, jucării, rafturi.

Desfășurarea jocului :

Lecția s-a desfășurat sub forma unui joc cu tema „ La cumpărături”. Vânzătoarea era de fiecare dată învățătoarea care avea în magazinul său, o mulțime de jucării variate. Jucăriile sunt de toate mărimile, au toate culorile, lungimi diferite, iar numărul lor este așa de mare încât nici vânzătorul nu-l mai știe.

La prima oră a dimineții magazinul se deschide, iar cumpărătorii încep să sosească. La semnalul clopoțelului un elev vine la magazin și cumpără o jucărie, explicând ce jucărie dorește, precizând mărimea, culoarea, forma, lungimea, grosimea. Exemplu: „ Aș dori să cumpăr păpușa mare, cu rochiță verde, cu părul lung, de pe raftul de sus.”

Deoarece numărul jucăriilor este foarte mare, vânzătoarea nu găsește de fiecare dată jucăria solicitată, cerând explicații suplimentare (pentru realizarea de comparații). Exemplu: „Cum este jucăria aleasă de tine față de cea aleasă de colegul tău? Este mai mare, mai mică, mai lungă, are aceeeași culoare…”

La sfârșit toate jucăriile rămase nevândute vor fi așezate pe rafturi, de către copii, respectând indicațiile vânzătoarei.

2. Proba de evaluare a numerației în limitele 0-10

Categoria de activitate: matematică

Clasa: pregătitoare

Tema: „Cel mai bun matematician”

Forme de realizare: joc didactic

fișe individuale –anexa B

Forma de organizare: frontală, individuală

Scopul: evaluarea capacității de a recunoaște cifrele în limitele 0-10, de a forma șirul

numeric crescător și descrescător între aceleași limite, de a compara două

mulțimi prin raport de1 la 1, indentificarea și scrierea vecinului unui număr.

Obiective operaționale:

O1- să denumească cifrele alese la întâmplare din coșuleț;

O2- să identifice vecinii unui număr;

O3- să formeze mulțimi de elemente, raportând cifra la mulțimea formată;

O4- să compare două mulțimi prin raport de 1 la 1, precizând care are mai

multe sau mai puține elemente.

Regulile jocului:

Evaluarea s-a realizat sub forma unui concurs. Copiii alegeau dintr-un coșuleț cifra, pe care o denumeau, formau o mulțime de jucării corespunzătoare numărului găsit, apoi îi precizau vecinii și îl comnparau cu un alt număr, spunând care este mai mare sau mai mic.

Elemente de joc: aplauzele, întrecerea

Strategii didactice: metode și procedee –explicația, demonstrația, jocul didactic.

material didactic- coșuleț, cifrele 0-10, jucării, fișe individuale.

Desfășurarea jocului:

Învățătoarea le spune elevilor că dimineța, când a venit la școală, a găsit în fața ușii un coșuleț. Nerăbdătoare l-a deschis și a descoperit în el mai multe jucării, un set de cifre și un bilețel de la „Zâna Cifrelor”, aceasta vrând să afle dacă știu cifrele, vecinii acestora. Zâna le propune un concurs cu numele „Cel mai bun matematician”. Copiii vor fi numiți de învățătoare cu ajutorul unei baghete, să participe la rezolvarea sarcinilor și anume: vor alege o cifră din coșuleț, îi vor preciza numele, vor spune vecinii, vor forma mulțimi, vor compara elementele a două mulțimi.Copiii care răspund corect vor căștiga câte o bulină pentru ficare răspuns corect și vor câștiga cei ce au adunat cele mai multe buline.

În această etapă de evaluare inițială s-au făcut atât o evaluare orală, prin intermediul jocurilor didactice, cât și scrisă prin utilizarea celor 2 fișe de lucru (anexele A și B). În prima fișă s-au evaluat noțiunile legate despre pozițiile spațiale, mărimi, grosimi, iar în cea dea doua s-a verificat numerația de 0 la 10. Nivelul de pregătire al elevilor la matematică , la începutul clasei pregătitoare, s-a stabilit prin coroborarea rezultatelor obținute în urma celor două forme de evaluare orală și scrisă, motiv pentru care fiecare fișă conține descriptori de performanță.

Rezultatele evaluării inițiale au fost trecute într-un tabel centralizator, în care a fost stabilit nivelul de performanță a fiecărui elev în funcție de descriptorii de performanță din cele două fișe de lucru. Pe baza acestui tabel s-au întocmit: histrograma nr. 1, diagrama de structură nr.1 și poligonul de frecvență nr.1.

După înregistrarea datelor s-a constatat că: 6 elevi au obținut calificativul F.B procent, 5 elevi calificativul B procent și 4 elevi calificativul S.

TABEL CU REZULTATE NR. 1

Evaluarea sumativă

Evaluarea sumativă- s-a desfășurat pentru a se stabili progresul elevilor și eficiența activităților interdisciplinare desfășurate până în acest moment, precum și pentru a identifica eventualele obstacole pe care elevii le-ar putea întâmpina , referitor la atingerea obiectivelor propuse la matematică.

Probă de evaluare

Categoria de activitate: matematică

Clasa: pregătitoare

Tema: „ Căsuța din pădure”

Forma de realizare: fișă de lucru- anexa C

Forma de organizare: individuală

Scop: evaluarea formelor geometrice, a numerației 0-31, a capacității de a efectua

adunări și scăderi, fără trecere peste ordin, în limitele 0-10, evaluarea terme-

nilor +,-,<,>.

Obiective operaționale:

O1- să deseneze o căsuță utilizând formele geometrice cunoscute;

O2-să asocieze fiecărei mulțimi cifra potrivită;

O3- să nu utilizeze aceeași culoare pentru două forme geometrice;

O4- să deseneze copaci cu trunchiuri groase si scurte ,copaci cu trunchiuri sub-

țiri și înalte;

O5- să asocieze cifra cu numărul copacilor scunzi;

O6- să identifice numărul copacilor înalți prin operație de scădere;

O7- să deseneze în stânga căsuței 11 ciuperci, în dreapta căsuței 13 ghiocei,

deasupra casei 5 fluturași.

Strategii didactice: metode didactice –convorbirea, explicația, exercițiul, desenul,

povestirea;

materiale didactice- foi de desen, culori.

Desfășurarea activității:

„ Într-o căsuță, la marginea unei păduri trăiau doi copii: un băiat și o fetiță. În fiecare zi fetița merge să culeagă fructe, să adune crengi uscate, iar băiatul să vâneze. Să vedem cum își petreceau ziua cei doi copii.”

Învățătoarea a explicat, pe rând, cerințele care au vizat obiectivele propuse, iar copiii vor rezolva sarcinile propuse, realizând un piesaj.

În urma înregistrării datelor în tabelul centralizator și întocmirea histogramei nr.2, a poligonului de frecvență nr.2 și a diagramei nr.2, s-a constatat că 8 elevi au obținut calificativul FB, 4 elevi calificativul B, iar 3 calificativul S. Așadar s-au înregistrat progrese 2 copii trecând de la calificativul B la calificativul FB, iar un copil a trecut de la calificativul S la calificativul B. Trei copii au rămas încă la calificativul S, deoarece din motive de sănătate au absentat destul de mult , motiv pentru care conținuturile predate nu au fost asimilate în întregime.

În vederea ameliorării rezultatelor copiilor, se vor desfășura activități recuperatorii, care vor consta în lecții matematice monodisciplinare cât și lecții matematice cu caracter interdisciplinar, de exemplu:

– poezii, cântece, povestiri, ghicitori, despre cifre și forme geometrice (în vederea consolidării numerației, recunoașterea și denumirea cifrelor, a formelor geometrice);

– jocuri didactice matematice cu caracter interdisciplinar;

– jocuri muzicale și jocuri fizice.

TABEL CU REZULTATE NR. 2

Evaluarea finală

Evaluarea finală- a avut loc la sfârșitul cercetării, în ultimele două săptămâni de școală, și în urma activităților ameliorative. Așadar, elevii au primit un test de evaluare cu 11 sarcini didactice, corespunzătoare obiectivelor matematice stabilite pentru clasa pregătitoare. Sarcinile propuse în test au îmbinat cunoștințe di mai multe domenii: matematică, comunicare în limba română, explorarea mediului, arte vizuale.

Probă de evaluare

Categoria de activitate: matematică

Clasa: pregătitoare

Tema: „Căsuța matematicii”

Forma de realizare: fișă de evaluare- anexa D

Forma de organizare: individuală

Scop: evaluarea operațiilor prematematice, a formelor geometrice, a numerației în limi-

tele 0-31, a capacității de a efectua adunări și scăderi fără trecere peste ordin , a

capacității de compunere și rezolvare a problemelor, evaluarea termenilor +,-,<,>.

Obiective operaționale:

O1-să numeroteze etajele casei, inclusiv acoperișul;

O2- să formeze mulțime de 3 elemente specifice primăverii, 2 elemente specifice

verii, 4 specifice toamnei și 5 iernii.

O3- să socieze numerelor cifrele corespunzătoare;

O4- să deseneze la primul nivel: un stilou subțire- unul gros, o minge mare- una

mică, o panglică lungă- una scurtă, un copac înalt- unul scund;

O5- să deseneze la al doilea nivel forme geometrice cunoscute astfel încât pătratul

să fie mai mare decât cercul, dreptunghiul mai mic decât triunghiul, iar cu-

lorile lor să fie diferite;

O6- să rezolve exercițiile de adunare și scădere din fișă;

O7- să compare 2 numere, punând semnele: <,>,=;

O8- să deseneze tot atâtea nuci câți pitici sunt în povestea „ Albă- ca- Zăpada”;

O9- să descompună numărul 9 ;

O10- să compună prin desen o problemă, rezolvându-o printr-o operație de scă-

dere sau adunare.

Stategii didactice: metode didactice –conversația, explicația, exrcițiul, desenul.

material didactic – foi de desen, culori.

Desfășurarea activității:

„ Astăzi vom deveni matematicieni. Pentru a obține acest titlu trebuie să trecem câteva probe.Așadar, va trebui să intrăm intr-o căsuță cu mai multe nivele. La fiecare nivel se află câte un matematician care ne va supune la diferita probe.Unii ne vor întreba formele geometrice, alții ne vor cere să deacompunem numere, să numărăm, să facem adunări și scăderi, să compunem probleme.Cine reușește să treacă de toate nivelele și să ajungă pe acoperiș este declarat matematician.”

În urma evaluării finale rezultatele au fost: 10 copii au obținut calificativul FB, 4 calificativul B și un elev calificativul S, așadar s-au înregistrat progrese, în raport cu evaluarea formativă, 2 copii trecând de la calificativul B la FB, iar alții 2 de la calificativul S la B, rămânând doar un singur copil la calificativul S, principala problemă a acestuia fiind absenteismul.S-a constat și o creștere semnificativă a interesului pentru matematică.

Comparativ cu evaluarea inițială s-a constat că 4 elevi au trecut de la calificativul B la FB, iar

3 copii de la calificativul S la B, un singur elev stagnând ca progres.

TABEL CU REZULTATE NR. 3

Exemple de activități matematice interdisciplinare în etapa de formare

După aplicarea probelor inițiale, prin care am stabilit nivelul de cunoștințe la matematică, la care se aflau elevii, a urmat o perioadă de formare, care a constat în jocuri didactice și activități matematice cu caracter interdiciplinar.Observând nivelul la care se situează elevii la începutul anului școlar mi-am propus ameliorarea rezultatelor prin desfășurarea unor activități antrenante, care să stimuleze atenția și interesul acestora pentru matematică. Aceasta s-a realizat prin intermediul unor activități și fișe didactice cu caracter interdisciplinar, în cadrul cărora am utilizat o multitudine de metode activ-participative precum: metoda cadranelor, metoda bulgărelui de zăpadă, cubul, brainstormingul, explozia stelară, diamantul, dar și metode specifice altor discipline memorizarea, jocul muzical, colajul, desenul, povestirea etc.

Aceste activități au făcut ca elevii să atingă în mod conștient și activ, câteva dintre obiectivele matematice propuse de programa clasei pregătitoare.

Dintre activitățile matematice cu caracter interdisciplinar desfășurate în anul școlar 2014- 2015, în perioada de formare amintim:

Categoria de activitate: activitate interdiciplinară ( matematică, explorarea mediului, muzică și mișcare, comunicare în limba română)

Clasa: pregătitoare

Tema: „ Bogățiile toamnei”

Mijloc de realizare: activitate interdisciplinară

Forme de organizare: frontal, pe grupuri, individual

Scop: consolidarea și evaluarea noțiunilor prematematice, a limbajului matematic specific

acestui nivel de vârstă, dezvoltarea atitudinii pozitive față de matenatică, implica-

rea activă a elevilor în activitate.

Obiective operaționale:

O1- să prezinte ghicitori, cântece, poezii despre un fruct, o legumă de toamnă;

O2- să ghicească fructul sau leguma descrisă de un coleg;

O3- să compare două fructe, două legume sau un fruct cu o legumă, ținând cont de

cele 5 caracteristici (culoare, mărime, formă, gust, miro

O4- să formeze prin pictură, desen și colaj, mulțimi de obiecte după mărime, cul-

loare, formă;

O5- să realizeze exerciții fizice repetitive.

Strategii didactice: metode și procedee –metoda cubului, conversația, ghicitoarea, jocul

didactic, demonstrația, exercițiul, turul galerie;

material didactic- jetoane cu fructe și legume, cartoane mari,foarfeci,

fructe și legume naturalr, imagini, lipici.

Desfășurarea activității:

Învățătoarea împreună cu copiii intuiesc cerințele aflate pe cub, și anume:

pe prima față se află un măr desenat doar pe jumătate, iar elevii trebuie să ghicească ce fruct sau legumă este;

pe a doua față se află o pară, elevii trebuie să o recunoască și să spună tot ce știu despre ea;

pe a treia față se află un ursuleț cu o prună în mână, elevul gustă și trebuie să spună ce a gustat;

pe a patra față se află un ursuleț cu o carte în mână, elevul trebuie să spună un cântec sau o poezie despre fructe sau legume;

pe a cincea față se află un ursuleț cu un borcan, elevul trebuie să pregătească un preparat din fructe sau din legume;

pe a șasea față se află o gutuie și o roșie, elevul trebuie să le compare , spunând asemănările și deosebirile.

Elevul ales aruncă acel cub și rezolvă sarcina nimerită. Dacă rezolvă corect sarcina va primi în piept o legumă sau un fruct. Pe parcursul jocului învățătoarea îi va solicita pe elevi să se grupeze în mulțimi după culoare, formă, mărime și să efectueze diferite exerciții repetitive: sărituri, rotiri, bătăi din palme, răsuciri, alergări. Exemplu: „ Toate fructele mari să sară de 9 ori într-un picior” sau „ Legumele mici să sară de 10 ori ca o minge.”

Obținerea performanței:

Învățătoarea le mulțumește pentru participare și cât de bine s-au descurcat și îi roagă să o ajute să prepare salată de fructe, salată de legume, murături și compot. Li se explică elevilor că toate aceste conserve și salate se vor pregăti după anumite reguli:

primul grup, fructele mici, va lipi în coșulețul roșu fructele galbene, maro și verzi;

al doilea grup, fructele mari, va lipi pe borcan legume mari;

al treilea grup, legumele mici, va lipi în coșulețul verde fructe roșii, portocalii și mov;

al patrulea grup, legumele mari, va lipi în coșulețul portocaliu legume mici.

Evaluarea lucrărilor se va face cu ajutorul metodei turul galeriei.

Concluzii:

lecția s-a dovedit a fi pe gustul elevilor, aceștia menținându-și atenția pe tot parcursul orei, fiind dornici să răspundă întrebărilor adresate;

la proba practică unde s-au format echipe s-a văzut că spiritul de echipă a fost la înălțime;

2. Categoria de activitate: activitate interdisciplinară (matematică- muzică și mișcare)

Clasa: pregătitoare

Tema: „ În pădurea cu alune ”

Forma de realizare: fișă individuală( anexa D)

Forma de organizare: frontal, pe grupe

Scop: verificarea numerelor în concentrul 0-31, evaluarea capacității de a efectua co-

rect operații de adunare și scădere, recunoașterea semnelor +,-, dezvoltarea de a

stabili relații între muzică și matematică.

Obiective operaționale:

O1- să intuiască materialul căntecului „În pădurea cu alune”;

O2- să interpreteze câte o strofă din cântec pentru a identifica personajele;

O3- să deseneze în fiecare cadran personajele din strofa corespunzătoare;

O4- să efectueze operația din fiecare cadran;

O5- să identifice în ultimul cadran numărul de personaje, în condițiile în care mai

vin 4 personaje care nu fac parte din cântec.

Strategii didactice: -metode și procedee: metoda cadranelor, jocul didactic interdis-

ciplinar, demonstrația, explicația, observația, desenul, turul ga-

leriei, conversația.

– material didactic : C.D cu cântece, coșuleț cu cifrele de la0 l-31,

coli de hârtie împărțite în patru cadrane, culori.

Desfășurarea activității:

Învățătoarea solicită copiii să interpreteze câte o strofă din cântec, apoi identifică câte personaje sunt în căsuță la fiecare strofă, căte sosesc și câte sunt la sfârșitul strofei, iar elevii desenează în fiecare cadran câte personaje apar în strofă, efectuând operația de adunare ( de ex. În prima strofă sunt 2 pitici + 1 pupăză = 3 personaje.)În ultimul cadran elevii desenează din imaginație 4 personaje care nu fac parte din cântec, rezolvând operația de adunare.

La sfârșitul activității se interpretează cântecul și se evaluează fișele.

3.Categoria de activitate- activitate interdisciplinară ( matematică- comunicare în lim-

ba română)

Clasa: pregătitoare

Tema: „ Cifre magice”

Forma de organizare: frontal, individual și pe grupe

Forma de realizare: joc interdisciplinar

Scopul: identificarea numerelor în poveștile cunoscute de elevi, evaluarea numerației

0-31, verificarea poveștilor prin intermediul jocului interdisciplinar.

Obiective operaționale:

O1- să enumere povești care conțin în titlu numere;

O2- să numere personajele poveștilor după diferite criterii ( personaje bune,

personaje rele, personaje feminine, personaje masculine);

O3- să numere personajele dintr-o poveste cunoscută;

O4- să efectueze operații de adunare și scădere pentru identificarea diferen-

țelor dintre numărul de personaje a două povești.

Reguli de joc:

-răspunde cel arătat cu bagheta magică;

-personajele se vor așeza doar la tabloul din care fac parte;

Elemente dejoc: bătăi dinh palme, numirea cu bagheta;

Strategii didactice: metode și procedee: jocul didactic, observația, explicația,de-

monstrația, povestirea, problematizarea;

material didactic: imagini cu povești, personaje din povești car-

tonate, cifre, tablă, cretă.

Desfășurarea activității:

Activitatea începe cu cântecul caprei din povestea „Capra cu trei iezi”. Apoi copiii și învățătoarea povestesc fragmente din povești, cele care conțin cifre, de exemplu: ,,Albă-ca-Zăpada și cei 7 pitici” , „Cei 3 purceluși”, „Iedul cu trei capre”, „7 dintr-o lovitură”.

Când este amintită o poveste, un copil așază pe tablă personajele, formând mulțimi, apoi asociază fiecărei mulțimi cifra corespunzătoare și le compară. La complicarea jocului elevii vor identifica diferențe sau asemănări între personaje și le vor cuantifica. Vor găsi, apoi, și numărul total de personaje din fiecare poveste cu ajutorul operațiilor de adunare și scădere, și prin comparație vor identifica povestea cu cele mai multe personaje, precum și pe cea cu cele mai puține.

Rezultatele cercetării

În urma desfășurării cercetării la clasa pregătitoare de la Școala Primară Sudiți s-au constat următoarele:

activitățile interdisciplinare au oferi învățătoarei posibilități diversificate de organizare a lecțiilor, în vederea atingerii obiectivelor matematice;

elevii au descoperit interdisciplinaritatea matematicii, legătura ei cu alte domenii ale vieții;

prin diversitatea formelor de organizare, activitățile interdisciplinare au răspuns nevoii de mișcare a copiilor, de acțiune, de manipulare;

Pentru stabilirea gradului de evoluție a elevilor la matematică s-au întocmit: tabel cu rezultatele inițiale, sumative și finale, histograma nr.4 care stabilește evoluția de la evaluarea inițială la cea sumativă și histograma nr.5 care prezintă progresul făcut de elevi de la începutul aplicării cercetării până la evaluarea finală. Comparate rezultatele obținute la testul inițial și cel final, au demonstrat că pe tot parcursul anului, prin folosirea activităților interdisciplinare și a metodelor activ-participative, progresul înregistrat de elevi a fost unul atât calitativ cât și cantitativ. Acest aspect a fost constatat din ușurința și plăcerea cu care elevii și-au însușit un volum mare de cunoștințe,prin efort propriu, cu care au operat în rezolvarea problemelor, a exercițiilor și în alte situații.

Sintetizând rezultatele obținute la cele două teste de evaluare cu rezultatele obținute la testele formative am constat că elevii clasei pregătitoare au înregistrat progrese vizibile, privind cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii, capacitatea de a rezolva probleme cu o singură operație (adunare sau scădere), capacitatea de a comunica utilizând limbajul matematic.

Orice nouă achiziție matematică a avut la bază achizițiile precedente, trecerea de la un stadiu la altul, superior, făcându-se printr-o reconstrucție sistemului de noțiuni. Așadar, a avut loc „ o restructurare a achizițiilor noi pe fondul celor deja asimilate, actele de învățare prin reproducere având și rol de fixare, de consolidare, fiind completate cu cele de învățare productivă, de creație.”( Neacșu, I., 1988, p. 30)

Elevii cu o capacitate mai redusă de învățare, datorită faptului că au fost cuprinși în activități frontale, dar tratați individual, au reușit să obțină calificative mai bune la evaluările sumative decât la cele inițiale, devenind astfel mai motivati, mai ambițioși, mai încrezători în forțele proprii.

În procesul aplicării cunoștințelor, învățate pe parcursul anului, în practică s-a îmbogățit experiența de cunoaștere și de viață a elevilor, au reușit să-și formeze și să-și consolideze deprinderi de muncă independentă, deprinderi practice. Cunoștințele au fost accesibile, corespunzătoare nivelului lor de înțelegere. Raportând rezultatele obținute de către fiecare elev la posibilitățile sale intelectuale, la capacitatea de ănvățare, am ajuns la concluzia că nivelul cunoștințelor, a priceperilor, deprinderilor, dezvoltarea psihointelectuală, le vor permite să parcurgă cu bine clasa întâi.

TABEL CU REZULTATELE OBȚINUTE DE ELEVI LA TESTUL

INIȚIAL , SUMATIV, FINAL

4.6 Concluzii finale

În experiența acumulată în activitatea la clasă, activitate în care m-am procupat de deyvoltarea gândirii creatoare a elevilor, m-am convins că izvorul creației există într-o mai mare sau mai mică măsură, în fiecare copil. Am constatat că elevii așteaptă cu interes activitățile cu caracter creator, uneori chiar le solicită.

Învățătorul trebuie să fie receptiv la ceea ce le este pe plac elevilor, la ceea ce vor și pot realiza, valorificând în activitate posibilitîțile și dorințele lor.

Matematica are o contribuție însemnată, studiul acestei discipline realizând obiective operaționale și neoperaționale, în dezvoltarea operațiilor gîndirii, a capacității de creare și rezolvare de probleme, de formare a unei personalități creative, imaginative, deschise spre nou, spre cooperare, de stimulare a interesului cunoaștere. Un rol important în dobândirea celor precizate mai sus o au activitățile matematice interdisciplinare. Termenul de interdiciplinaritate își are rădăcinile în timpul sofiștilor greci, în țară fiind adus de Spiru Haret, la nivelul procesului didactic reprezintă o formă de organizare care transcede planul monodisciplinar, stabilind legături între diferite discipline. Axându-se pe dezvoltarea globală, holistică a personalității,pe stabilirea unor punți de legătură între domenii aparent opuse, interdisciplinaritatea depășește limitele monodisciplinarității, stabilind la nivelul metodelor și conținuturilor , legături complexe, care conduc subiectul învățării, elevul, spre o nouă etapă. Aceste activități reușesc să formeze elevii ca și persoane active , capabile să stabilească corelații, să sesizeze legături, puncte comune între discipline. În ceea ce privește activitățile matematice, abordarea interdisciplinară ajută cadrul didactic să obțină o serie de avantaje:

ajută elevii să sesizeze relația matematicii cu alte discipline;

elevii coștientizează faptul că matematica face parte din viața de zi cu zi;

copiii identifică metode de abordare comune unor discipline aparent opuse;

oferă un arsenal mult mai bogat de abordare a conținuturilor matematice decât activitățile monodisciplinare;

se concentrează pe implicarea directă în activitate, pe stimularea memoriei, gândirii critice și divergente, a imaginației, limbajului, pe dezvoltarea colaborării, a spiritului critic;

încurajeză elevii să caute și să descopere soluții diverse la probleme;

activitățile interdisciplinare oferă învățătoarei un arsenal mult mai bogat de activizare, de stimulare a elevilor.

Avantajele activităților interdisciplinare sunt multiple, valențele lor formative au fost recunoscute de educația școlară actuală, dar, ca orice formă de realizare, și activitățile interdisciplinare au câteva limite:

pericolul de generalizare prea mare a conținuturilor, uneori insuficienta atenție acordată unui obiectiv matematic;

pericolul de activizare exagerată a elevilor, poate duce la oboseală și la scăderea atenției- remedierea acestui lucru depinzând de capacitatea învățătoarei de a sesiza câns se instalează neatenția, și de a se stabili acele strategii de remediere: să alterneze metodele active cu cele tradiționale, formele de organizare, materialul didactic.

Cu toate că dezavantaje există, acestea nu pot umbri seria mult mai mare de avantaje. Fără a urmări eliminarea monodisciplinarității din actul de predare- învățare a matematicii, prezenta lucrare nu dorește decât să promoveze cât mai mult această modalitate de realizare a lecțiilor, fiind un exemplu pentru cadrele didactice ce vor să-l adopte.Alături de lecțiile matematice monodisciplinare, cele interdisciplinare se pot desfășura sub forma unor jocuri didactice, mai ales la clasele pregătitoare și întâi, fie sub forma unor experimente, favorizând integrarea elevului într-o nouă etapă a școlarității.

ANEXA A

FIȘĂ DE EVALUARE INIȚIALĂ

POZIȚII ALE OBIECTELOR ÎN SPAȚIU

(STÂNGA-DREAPTA; SUS-JOS, PE-SUB; ÎNTRE)

1. Încercuiește fluturașii din dreapta:

2. Colorează cuburile:

cu albastru pe cele care se află jos

cu portocaliu pe cele care se află sus

3. Colorează pisicile care se află sub scaun:

4. Desenează o minge între cei doi copii.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ANEXA B

FIȘĂ DE EVALUARE INIȚIALĂ

1.Incercuiește cifra care corespunde numărului de obiecte din interior:

5 7 6 3 7 10 8 6

2.Desenează pe fiecare sârmă atâtea mărgele cate îți indică cifra :

3.Scrie vecinii numerelor:

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ANEXA C

FIȘĂ DE EVALUARE SUMATIVĂ

Desenează căsuța din forme geometrice, numără de câte ori ai desenat o formă și scrie cifra corespunzătoare numărului găsit. Nu colora 2 forme cu aceeași culoare.

Desenează pomi scunzi, cu trunchiuri groase și coroane rotunde și copaci înalți, cu trunchiuri subțiri și coroane ovale.

Numără copacii înalți, scrie câți copaci scunzi sunt prin operație de scădere.

Desenează în stânga căsuței 11 ciuperci, în dreapta 14 ghiocei, deasupra căsuței 5 fluturași și în fața căsuței cu trei iepurași mai mulți decât fluturași.

Află prin adunare câți iepurași sunt.

Adună ghioceii și dăruiește-i celor doi copii. Câți ghiocei primește fiecare copil?

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ANEXA D

FIȘĂ DE EVALUARE FINALĂ

Numerotează fiecare nivel al casei, de jos în sus, inclusiv acoperișul și rezolvă sarcinile, astfel încât să realizezi un peisaj.

Desenează deasupra casei 3 elemente specifice verii, 2 elemente specifice verii, 4 specifice toamnei și 5 iernii.

Compune o problemă, scrie-o și rezolv-o.

Desenează atâtea nuci câți pitici sunt în povestea “ Albă-ca-Zăpada”.

Compară numerele: 5 și 14, 23 și 16, 10 și 12, 23 și 13.

Efectuează operațiile: 2+4 -3= , 6+3-2=, 10-4+4=, 2+2+6=.

Scrie vecinii numerelor: 13, 7, 24, 28, 30.

Desenează un triunghi, un pătrat, un cerc și un dreptunghi. Nu trebuie să aibă două forme aceeași culoare, pătratul să fie mai mare decât triunghiul, iar dreptunghiul mai mic decât cercul.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

BIBLIOGRAFIE

Antonovici Ș, Nicu G.- Jocuri interdisciplinare, Editura Aramis, București 2008.

Badea C., Berechet D., ș.a. – Matematică. Culegere de exerciții și probleme, Editura Paralela 45, București, 2004.

Berar I. – Aptitudinea matematică la școlari, Editura Academiei Române, București, 1991.

Cerghit I. – Metode de învățământ, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1976.

Cerghit I., Radu I., Popescu E. – Didactica. Manual pentru clasa a X-a, școli normale, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1998.

Cerghit I., Radu I., Popescu E., Vlăsceanu L.,-Didactica, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991.

Cristea S. – Dicționar de pedagogie, Grup Editorial Litera Internațional, Chișinău, București, 2000.

Dumitriu C.,- Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2004.

Dumitriu C., Dumitriu Gh.- Psihopedagogie, Editura Didactica și Pedagogică, București, 2004.

Drăgan I., Nicola I., – Cercetarea psihopedagogică. Ghid pentru elaborarea lucrărilor metodico-științifice în vederea obținerii gradului didactic I, Editura Tipomur, 1995.

Herescu G., Dumitru A. – Matematica. Îndrumător pentru învățători și institutori, Editura Corint, București, 2001.

Neacșu I. – Metode și tehnici de învățare eficientă – Editura Militară, București, 1990.

Neacșu I., Dascălu G., Radu H. – Metodica predării matematicii la clasle I-IV. Manual pentru licee pedagogice, clasele IX-X, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988.

Neacșu I., Gălățeanu M., Predoi P. – Didactica matematicii în învățământul primar. Ghid practic, Editura Aius, Craiova, 2008.

Neagu M., Mocanu M. – Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași, 2007.

Oprescu N. – Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974.

Păduraru V., Platon A. – Matematica pentru perfecționarea învățătorilor, Editura Spiru Haret, Iași, 1996.

Polya G. – Cum rezolvăm o problemă, Editura Științifică, București, 1979.

Ștefănescu V., Peti A., Rădulescu M., ș.a. – Matematica în ciclul primar. Contribuții metodice, Pitești, 1979.