Formarea Algoritmilor DE Recunoastere Si Rezolvare A Problemelor Tipice LA Matematica In Ciclul Primar

PLANUL LUCRĂRII

Considerații introductive ……………………………………………………………….

Deprinderi intelectuale în lecțiile de matematică din ciclul primar ………………………………………………………………………………….

Motivarea alegerii temei; scopul, obiectivele și ipoteza cercetării…………….

Aspecte ale formării algoritmilor de recunoaștere și rezolvare a problemelor tipice în ciclul primar……………………………………………………………………………

Conceptul de problemă tipică …………………………………………………

Sprijinirea elevilor în elaborarea conștientă a algoritmului de rezolvare a problemelor și generalizarea lor pentru categoria respectivă de probleme ………………………………………………………………………………………….

Activitatea experimentală – mijloc de stimulare a elevilor în vederea îmbunătățirii performanțelor elevilor………………………………………………

Experimentul – modalitate de investigație directă ……………………………

Modalitatea de realizare a investigației……………………………………………….

3.3. Analiza și interpretarea rezultatelor obținute……………………………………….

Tipuri de probleme propuse și rezolvate cu elevii …………………………………………

Concluzii………………………………………………………………………………….

26 pagini

=== REZOLVARE MATEMATICĂ ===

PLANUL LUCRĂRII

Considerații introductive ……………………………………………………………….4

Deprinderi intelectuale în lecțiile de matematică din ciclul primar …………………………………………………………………………………. 4

Motivarea alegerii temei; scopul, obiectivele și ipoteza cercetării…………….6

Aspecte ale formării algoritmilor de recunoaștere și rezolvare a problemelor tipice în ciclul primar……………………………………………………………………………8

Conceptul de problemă tipică ………………………………………………… 8

Sprijinirea elevilor în elaborarea conștientă a algoritmului de rezolvare a problemelor și generalizarea lor pentru categoria respectivă de probleme ………………………………………………………………………………………….10

Activitatea experimentală – mijloc de stimulare a elevilor în vederea îmbunătățirii performanțelor elevilor………………………………………………17

Experimentul – modalitate de investigație directă ……………………………17

Modalitatea de realizare a investigației……………………………………………….19

3.3. Analiza și interpretarea rezultatelor obținute……………………………………….

Tipuri de probleme propuse și rezolvate cu elevii …………………………………………

Concluzii………………………………………………………………………………….

6. Bibliografie ……………………………………………………………………………..

CAPITOLUL I

CONSIDERAȚII INTRODUCTIVE

1.1. DEPRINDERI INTELECTUALE ÎN LECȚIILE DE MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR

În cadrul activităților de învățare intervin numeroase acțiuni care repetându-se se consolidează, se automatizează devenind deprinderi. Deprinderile ușurează desfășurarea activităților intelectuale și de altă natură.

Deprinderile sunt „moduri de acțiune care au devenit prin exercițiu componente automatizate ale activității”. (Al. Roșca, 1975). Fiind inițial o acțiune conștientă, prin exercițiu deprinderile se automatizează datorită repetării și învățării, ele ocupând aproximativ 50% din activitățile umane (U. Șchiopu, 1997).

În formarea deprinderilor intelectuale care au la început caracter senzorial și motric, este necesară parcurgerea următoarelor etape:

Orientarea și familiarizarea cu acțiunea prin explicație verbală însoțită de demonstrație;

Învățarea analitică dată de exercițiu, care nu înseamnă o simplă repetare a unei operații și contribuie la perfecționarea acțiunii;

Organizarea și sistematizarea elementelor acțiunii care favorizează sesizarea greșelilor prin control și autocontrol;

Sintetizarea și integrarea operațiilor într-o acțiune unitară prin dirijarea atenției asupra ansamblului și nu asupra elementelor de detaliu;

Perfecționarea deprinderilor prin actualizări selective ale unor operații și încercarea de îmbinare a acestora în configurații noi:

Munca intelectuală presupune anumite tehnici indispensabile desfășurării ei cu un randament ridicat. Familiarizarea elevilor cu asemenea tehnici înseamnă din punct de vedere pedagogic a-i învăța cum să învețe. Tehnica muncii intelectuale „reprezintă un ansamblu de prescripții privind igiena, organizarea și metodologia muncii intelectuale, elaborat în scopul reducerii efortului și al măririi randamentului acestei munci” (S. Lăzărescu).

Predarea–învățarea metodelor și tehnicilor muncii intelectuale nu se poate face independent și în paralel cu predarea-învățarea cunoștințelor. Formarea lor presupune prelucrarea informațiilor de către cel care învăța. Oricât ne-am strădui să-i învățăm pe elevi o tehnică de lucru nu vom reuși decât numai aplicând tehnica respectivă la însușirea unui conținut informațional. Predarea-învățarea acestor tehnici nu se poate realiza prin memorarea cunoștințelor, exersarea este indispensabilă.

Matematica este preponderent compusă din deprinderi intelectuale și din foarte puțină informație verbală. Există noțiuni care trebuie memorate sau stocate, dar restul este format dintr-un set de deprinderi intelectuale, începând cu noțiunile simple, cum ar fi numerele naturale mici, și extinzându-se în complexitate la regulile de ordine ierarhie superior folosite în rezolvarea problemelor.

Matematica este plină de reguli care se bazează una pe cealaltă într-o manieră cumulativă. Regulile pot fi învățate și prin folosirea metodei descoperirii, în rezolvarea de probleme.

Formarea deprinderilor de calcul presupune nu numai cunoașterea tehnicilor de calcul și explicarea principiilor care stau la baza lor, ci și formarea algoritmilor și a secvențelor algoritmice astfel încât să constituie instrumente de lucru pentru elevi în învățarea matematicii.

Calculul mintal are rol predominant în predarea-învățarea matematicii în ciclul primar. Formarea deprinderilor de calcul mintal are o importanță deosebită deoarece formează la elevi deprinderile necesare trecerii la calculul scris. Calculul mintal dezvoltă facultățile cognitive, în special memorarea, atenția, judecata și rapiditatea gândirii. De asemenea, practica vieții sociale nu poate fi concepută fără utilizarea calculului matematic și mai ales, a calculului mintal.

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea-învățarea matematicii, în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate complexă cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină înțelegerea cu aplicarea algoritmilor, cu inventivitatea și creativitatea pe fondul stăpânirii de cunoștințe matematice precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Pentru a dobândi deprinderi intelectuale, elevii trebuie să participe conștient, prin muncă independentă, la „descoperirea” adevărurilor matematice necesare din punct de vedere teoretic pentru a rezolva exerciții sau probleme. Acțiunile mentale automatizate ale elevului, implicate în rezolvarea exercițiilor și a problemelor trebuie să aibă suficientă mobilitate pentru a se restructura în raport cu cerințele noii situații, să intre sub control conștient.

Îmbogățirea și sistematizarea cunoștințelor este o condiție a dezvoltării flexibilității gândirii. Analiza atentă a datelor problemei, în funcție de întrebarea pusă, duce la evitarea situațiilor în care elevul pierde din vedere întrebarea și încearcă rezolvarea numai pe baza datelor din enunț. Creativitatea se realizează prin educarea gândirii, dar un rol important revine factorilor motivaționali. Calificativul primit pentru un răspuns și satisfacția elevului de a fi rezolvat singur un exercițiu sau o problemă sunt componente ale creativității care trebuie luate în considerare în practică didactică.

În clasele I-IV se formează noțiunile matematice elementare cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățării matematice. Evoluția gândirii copilului, caracterul cunoștințelor dobândite și felul în care el concepe activitatea matematică, sunt considerabil influențate de activitățile cu caracter matematic.

1.2. MOTIVAREA ALEGERII TEMEI; SCOPUL, OBIECTIVELE ȘI IPOTEZA CERCETĂRII

Dacă primii doi ani de școală, clasele I și a II-a, fac parte din ciclul achizițiilor fundamentale, clasele a III-a și a IV-a sunt acoperite de ciclul curricular de dezvoltare, care are ca obiectiv major formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor.

Ciclul de dezvoltare vizează, la matematică, dezvoltarea unei gândiri structurate și a competenței de a aplica în practică rezolvarea de probleme.

Spre deosebire de etapa anterioară, centrată pe explorare, intuire, verificarea rezultatelor și a calculelor cu ajutorul obiectelor, în ciclul de dezvoltare se urmărește ca învățătorul să-i ajute pe elevi să înțeleagă procedeul de calcul și mecanismul din spatele ei, mergând până la a-i permite elevului să folosească propriile metode de calcul ce conduc la obținerea rezultatului corect. Pe măsură ce copilul exersează, ajunge să interiorizeze procedeul de calcul optim, care este cel algoritmizat.

Noua programă acordă o importanță deosebită rezolvării de probleme, lucru evidențiat de faptul că unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate („Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme”).

Nu este vorba despre a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea copilului situații noi de învățare, la care să răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare și investigare. Așa cum remarca G. Polya (1971), „A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.” Acest sens larg și practic-concret al rezolvării de probleme presupune cunoașterea de către învățător a comportamentului celui care rezolvă problemele. El poate organiza gândirea elevului, stimulându-l să-și orienteze căutările în rezolvarea unei probleme către scopuri precise și să-și construiască un plan de acțiune pe care să-l ducă la bun sfârșit.

Scopul realizării acestei lucrări este: aprofundarea cunoștințelor în vederea sporirii gradului de eficiență în activitatea de rezolvare a problemelor tipice cu elevii din ciclul primar.

Pe baza scopului propus am stabilit următoarele obiective:

– găsirea unor modalități eficiente de stimulare a interesului elevilor pentru rezolvarea de probleme;

– folosirea unor metode active care să determine o flexibilitate a gândirii menită să ușureze însușirea algoritmilor de rezolvare a problemelor;

– utilizarea unor metode de evaluare care să evidențieze progresul elevilor în activitatea de rezolvare a exercițiilor și problemelor de matematică.

Nu este suficient ca învățătorul să-l învețe pe elev să rezolve problema. Este foarte important ca elevul să poată comunica rezolvarea problemei. Nereușita multor copii nu provine din incapacitatea de a rezolva o problemă, ci din aceea că nu pot transpune rezolvarea intuită într-un limbaj adecvat. Așa se explică și faptul că, de multe ori, la concursuri, elevii de vârstă școlară mică scriu doar rezultatele, nu și etapele de rezolvare, care se derulează numai în plan interior. A comunica rezolvarea unei probleme înseamnă a prezenta un șir de raționamente sau operații acceptate, explicitând astfel maniera de a ajunge la rezultat. Ca urmare, a-i învăța pe elevi să rezolve probleme și a-i învăța să comunice rezolvarea sunt două lucruri diferite și ele trebuie conștientizate și antrenate în cadrul activităților de rezolvare de probleme.

Formarea algoritmilor de recunoaștere și rezolvare a problemelor tipice a fost și este o preocupare constantă în activitatea mea didactică. La toate nivelurile, activitatea matematică a elevilor trebuie stimulată și susținută de către învățător.

Astfel, am pornit de la ipoteza că: dacă preocupările activității la clasă se vor îndrepta spre elaborarea conștientă a algoritmilor de recunoaștere și rezolvare a problemelor atunci elevii vor reuși să recunoască cu mult mai multă ușurință tipul de problemă și să o rezolve aplicând algoritmul corespunzător, față de elevii cu care nu se lucrează în acest fel.

Reușitele elevilor reflectă în mod egal munca învățătorului și a elevului și creează satisfacții deosebite de ambele părți. Reintroducerea olimpiadelor școlare la clasa a IV-a, precum și rezultatele obținute anterior cu seriile de elevi, sunt motive în plus care mă determină să aprofundez studiul legat de rezolvarea problemelor tipice în această lucrare și, implicit, obținerea performanțelor dorite cu elevii.

CAPITOLUL II

ASPECTE ALE FORMĂRII ALGORITMILOR DE RECUNOAȘTERE ȘI REZOLVARE A PROBLEMELOR TIPICE ÎN CICLUL PRIMAR

2.1. CONCEPTUL DE PROBLEMĂ TIPICĂ

Gândirea intervine atunci când apar dificultăți în activitate, când apar probleme. În general, gândirea presupune sesizarea și rezolvarea problemelor. Ceea ce incită gândirea este perceperea unei situații care contrazice modul obișnuit de a se acționa și tendința de a depăși acel moment. Nevoia de a gândi e provocată de o situație dificilă care trebuie depășită. Problema e aceea care ne provoacă să învățăm, să împingem mai departe cunoașterea noastră.

Limitându-ne la matematică, admitem că prin problemă se înțelege orice chestiune a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și calcul. Astfel, problemele de matematică reprezintă răspunsuri la anumite întrebări referitoare la acțiuni bazate pe date numerice. Ele au ca trăsături comune structura lor, prin care se stabilesc relații de dependență între anumite valori, cantități sau mărimi exprimate prin numere și felul de soluționare, modalitatea stabilirii răspunsului, care se obține cu ajutorul unor operații matematice în care intervin valorile numerice respective.

Problemele tipice sunt construcții matematice a căror rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip de problemă. Astfel de probleme se consideră teoretic rezolvate când i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

În rezolvarea problemelor tipice se utilizează metode speciale, care se caracterizează atât prin felul de așezare a datelor și de efectuare a operațiilor, cât și prin utilizarea selectivă a operațiilor gândirii.

Rezolvarea fiecărui tip de problemă se bazează pe fixarea relativă a unei scheme de lucru, cu o rază limitată de aplicare, prin utilizarea căreia se ajunge la o anumită orientare a gândirii.

În ceea ce privește metodele generale de analizare a unei probleme (metoda analitică și sintetică), acestea nu sunt excluse la problemele tipice, dar nu devin predominante în nici unul din momentele care intervin în analizarea acestor probleme.

Dintre metodele speciale se întrebuințează mai ales metoda figurativă.

Rezolvarea problemelor tipice nu se face numai pe bază de calcul. Nepotrivirile sau contradicțiile de la care pleacă uneori problema trebuie să fie explicate, deci rezolvarea presupune realizarea unui plus de cunoaștere și corelarea unor idei pentru a se ajunge la acele explicații cerute de cazul concret discutat.

În funcție de algoritmul de rezolvare există mai multe tipuri de probleme tipice. Nu toate tipurile de probleme se pretează ciclului primar.

În urma „aerisirii” programelor școlare, în clasa a IV-a se studiază problemele care se rezolvă prin metoda figurativă.

Manualele școlare conțin și probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate, metoda mersului invers, metoda comparației, metoda eliminării unei necunoscute sau metoda falsei ipoteze. Este adevărat că manualul este doar un instrument de lucru, doar parcurgerea programei fiind obligatorie. Ce se întâmplă dacă unul sau mai mulți elevi își exprimă dorința de a ști cum se rezolvă acele probleme? Învățătorul trebuie să fie pregătit pentru asemenea „provocări”. Cu elevii care posedă aptitudini matematice, cu cei dornici să participe la concursurile și olimpiadele școlare se pot organiza ore de pregătire specială în care problemele tipice mai sus menționate pot fi rezolvate. În acest sens pot fi utilizate diverse culegeri de probleme precum și gazete și reviste matematice.

În consecință, învățătorul trebuie să stăpânească toate metodele de rezolvare a problemelor tipice, nu numai pe cele prevăzute de programa școlară.

Rezolvarea problemelor de matematică la clasele I-IV reprezintă, în esență, rezolvarea unor situații problematice reale pe care le putem întâlni în practică, în viață. Rezolvarea problemei implică o succesiune de operații logice, care conduc la soluții. Această succesiune logică nu este altceva decât schema de rezolvare a problemei, șirul de judecăți, ordonate logic, care alcătuiesc raționamentul problemei.

În rezolvarea unei probleme este necesar să înțelegem conținutul problemei și să delimităm, de la început, ceea ce știm și ceea ce nu știm pe baza textului problemei, precum și direcția în care trebuie să se desfășoare gândirea pentru a ajunge să răspundă la întrebarea (întrebările) problemei.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă intelectuală independentă.

2.2. SPRIJINIREA ELEVILOR ÎN ELABORAREA CONȘTIENTĂ A ALGORITMULUI DE REZOLVARE A PROBLEMELOR ȘI GENERALIZAREA LOR PENTRU CATEGORIA RESPECTIVĂ

DE PROBLEME

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Formularea ipotezelor presupune un bagaj de cunoștințe pe care elevul le aplică în rezolvarea problemelor și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare în procesul de rezolvare. Ipotezele legate de rezolvarea problemelor iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor asimilate anterior. Cu cât cunoștințele sunt mai vaste și mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele elaborate în mintea elevului să îl conducă mai repede la o soluție.

Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, în mintea elevilor se conturează schema de rezolvare, care se fixează ca un algoritm de lucru. Acest algoritm se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea procedeului de rezolvare a unei probleme este ușurată dacă elevul este capabil să încadreze problema într-o categorie deja cunoscută. Această încadrare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei.

Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate

Metoda reducerii la unitate, cunoscută în ciclul gimnazial cu numele de regula de trei simplă și trei compusă, este metoda de rezolvare a unor probleme în care datele depind unele de altele succesiv. Se recurge în acest sens, la așezarea datelor într-o schemă, care să ușureze procesul de gândire în examinarea și rezolvarea problemei.

În rezolvarea acestui tip de probleme este foarte importantă stabilirea proporțiilor. Datele problemelor pot constitui mărimi direct sau invers proporționale. Ele au, în general, un caracter practic-aplicativ, întrucât ilustrează prin elemente matematice o serie de situații reale, întâlnite în viața de toate zilele.

Problema 1: 5 kg de făină costă 45 000 lei. Câte kilograme de făină se pot cumpăra cu 63 000 lei?

Rezolvare:

5 kg ………… 45 000 lei

? kg ………… 63 000 lei

1 kg ………… ? lei

1. Cât costă un kilogram de făină?

45 000 : 5 = 9 000 (lei)

2. Câte kg de făină se pot cumpăra cu 63 000 lei?

63 000 : 9 000 = 7 (kg)

Răspuns: 7 kg

Problema 2: În 9 buchete sunt 27 de garoafe. Câte garoafe sunt în 3 buchete?

Rezolvare:

9 buchete …………… 27 garoafe

3 buchete …………… ? garoafe

1 buchet …………… ? garoafe

1. Câte garoafe sunt într-un buchet?

27 : 9 = 3 (garoafe)

2. Câte garoafe sunt în 3 buchete?

3 x 3 = 9 (garoafe)

Răspuns: 9 garoafe

Problema 3: Pentru amenajarea terenului de s port din curtea școlii trebuie să lucreze 35 de elevi, timp de 9 zile.

Câți elevi sunt necesari pentru a efectua lucrarea în 3 zile?

Rezolvare:

35 elevi …………… 9 zile

? elevi ……………… 3 zile

? elevi ……………… 1 zi

Câți elevi ar fi necesari pentru a efectua lucrarea într-o zi? (Mai puțini sau mai mulți? Mai mulți. De câte ori mai mulți?)

9 x 35 elevi = 315 elevi

Câți elevi sunt necesari pentru a efectua lucrarea în 3 zile? (Mai puțini sau mai mulți? Mai puțini. De câte ori mai puțini?)

315 elevi : 3 = 105 elevi

Răspuns: 105 elevi

Problema 4: Pentru golire, o cisternă în care se găsesc 8 000 litri apă este prevăzută cu 5 robinete identice. Dacă se deschid 2 robinete, cisterna se golește în 40 de minute.

În câte minute se va goli cisterna dacă se deschid toate cele 5 robinete?

Rezolvare:

2 robinete ………… 8 000 l ………… 40 minute

1 robinet ..………… 8 000 l………… 2 x 40 minute =80 minute

5 robinete ………… 8 000 l ………… 80 minute : 5 = 16 minute

Răspuns: 16 minute

Problema 5: În 7 ore un biciclist parcurge 105 km, iar un automobilist parcurge în 3 ore 195 km.

Cu câți kilometri parcurge mai mult automobilul în 4 ore decât biciclistul în 9 ore? (Viteza de deplasare nu se schimbă.)

Rezolvare:

Biciclistul: Automobilistul

7 ore ………… 105 km 3 ore ………… 195 km

9 ore ………… ? km 4 ore ………… ? km

1. Câți km parcurge biciclistul într-o oră?

105 : 7 = 15 (km)

2. Câți km parcurge biciclistul în 9 ore?

9 x 15 = 135 (km)

3. Câți km parcurge automobilistul într-o oră?

195 : 3 = 65 (km)

4. Câți km parcurge automobilistul în 4 ore?

4 x 65 = 260 (km)

5. Cu câți km parcurge mai mult automobilistul în 4 ore decât biciclistul în 9 ore?

260 – 135 = 125 (km)

Răspuns: cu 125 km

Probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers

Metoda mersului invers constă în faptul că enunțul unei probleme trebuie urmărit de la sfârșit spre început. Analizând operațiile făcute în problemă și cele pe care le facem noi în rezolvarea problemei, constatăm că în fiecare etapă facem operația inversă celei făcute în problemă.

Deci, nu numai mersul este invers, ci și operațiile pe care le facem pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă. Proba se face făcând asupra numărului găsit operațiile indicate în enunțul problemei.

În multe dintre aceste probleme, un rol important îl are reprezentarea grafică.

Aceste tipuri de probleme constituie punctul de plecare în rezolvarea ecuațiilor în ciclul gimnazial.

Problema 1: Am ales un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am împărțit-o la 7, iar din cât am scăzut 11, obținând 200.

Ce număr am ales?

Rezolvare:

Din ce număr am scăzut 11 ca să obțin 200?

200 + 11 = 211

Ce număr împărțit la 7 dă câtul 211?

211 x 7 = 1 477

Ce număr adunat cu 42 dă suma 1 477?

1 477 – 42 = 1 435

Ce număr înmulțit cu 5 ne dă 1 435?

1 435 : 5 = 287

Răspuns: 287

Verificare: (287 x 5 + 42) : 7 – 11 =

(1 435 + 42) : 7 – 11 =

1 477 : 7 – 11 =

211 – 11 =

= 200

Rezolvare algebrică:

[(x x 5 + 42) : 7] – 11 = 200

(x x 5 + 42) : 7 = 200 + 11

(x x 5 + 42) : 7 = 211

x x 5 + 42 = 211 x 7

x x 5 + 42 = 1 477

x x 5 = 1 477 – 42

x x 5 = 1 435

x = 1 435 : 5

x = 287

Răspuns: 287

Problema 2: Un elev l-a întrebat pe profesorul lui de matematică ce vârstă are. Profesorul i-a răspuns: „Dacă vor trece încă un sfert din anii pe care i-am trăit și încă 5 ani, atunci voi avea 50 de ani”.

Câți ani are profesorul?

Rezolvare:

vârsta prof.

Cât reprezintă vârsta profesorului și încă un sfert din ea?

50 – 5 = 45 (ani)

Cât reprezintă un sfert din vârsta profesorului?

45 : 5 = 9 (ani)

Câți ani are profesorul?

9 x 4 = 36 (ani)

Răspuns: 36 ani

Rezolvare algebrică:

5 p + 5 = 50 4 p = 4 x 9 = 36 (ani)

5 p = 50 – 5

5 p = 45

1 p = 45 : 5

1 p = 9

Răspuns: 36 ani

Problema 3: O mașină a parcurs în mai multe etape, astfel: în prima etapă a străbătut din drum, a doua oară din restul drumului; iar a treia etapă din ceea ce a mai rămas după a doua etapă și constată că au mai rămas de parcurs 60 km.

Câți kilometri a avut drumul parcurs?

Rezolvarea 1:

I II III

Din grafic reiese că în etapa a III-a mașina a parcurs 60 km.

În etapa a II-a mașina a parcurs cât în a III-a și ultima etapă:

60 km + 60 km = 120 km

În prima etapă mașina a parcurs cât în celelalte etape:

120 km + 60 km + 60 km = 240 km

Lungimea totală a drumului:

240 km x 2 = 480 km

Răspuns: 480 km

Rezolvarea 2:

I

R1 II

R2 III

R3

D = 60 km D = 60 km x 8 = 480 km

sau se poate reface drumul în sens invers:

Etapa III → 2 x 60 km = 120 km

Etapa II → 2 x 120 km = 240 km

Lungimea drumului → 2 x 240 km = 480 km

Răspuns: 480 km

Problema 4: Înainte de a muri, un țăran a lăsat cu limbă de moarte celor 4 fii ai săi să-și împartă oile după cum urmează:

Primul fiu să ia jumătate din numărul oilor plus una, al doilea jumătate din restul oilor plus una, al treilea fiu să ia jumătate din ceea ce a rămas plus o oaie, iar ultimul fiu să primească o singură oaie.

Puteți să spuneți câte oi a lăsat țăranul moștenire și câte a luat fiecare fiu?

Rezolvare:

nr. oi

I

Urmărind graficul invers, se observă că:

al IV-lea fiu are o oaie;

al III-lea fiu are 2 oi + 1 oaie = 3 oi;

al II-lea fiu are 5 oi + 1 oaie = 6 oi;

primul fiu are 11 oi + 1 oaie = 12 oi

Țăranul a lăsat moștenire:

1 + 3 + 6 + 12 = 22 (oi)

Răspuns: 22 oi

I = 12 oi, II = 6 oi, III = 3 oi, IV = 1 oaie

Rezolvare algebrică:

F1 = (n : 2 + 1); rest 1 = (n : 2 – 1)

F2 = (n : 2 – 1) : 2 + 1; rest 2 = (n : 2 – 1) : 2 – 1

F3 = [(n : 2 – 1) : 2 – 1] : 2 + 1; rest 3 = [(n : 2 – 1) : 2 – 1] : 2 –1=1 [(n : 2 – 1) : 2 – 1] : 2 – 1 = 1 + 1

[(n : 2 – 1) : 2 – 1] : 2 = 2

(n : 2 – 1) : 2 – 1 = 2 x 2

(n : 2 – 1) : 2 – 1 = 4

(n : 2 – 1) : 2 = 4 + 1

(n : 2 – 1) : 2 = 5

n : 2 – 1 = 5 x 2

n : 2 – 1 = 10

n : 2 = 10 + 1

n : 2 = 11

n = 11 x 2

n = 22 F1 = 22 : 2 + 1 = 11 + 1 = 12

F2 = (22 : 2 – 1) : 2 + 1 = (11 – 1) : 2 + 1 =

= 10 : 2 + 1

= 5 + 1

= 6

F3 =[(22 : 2 – 1) : 2 – 1] : 2 + 1=[(11 – 1) : 2 –1] : 2+1

= (10 : 2 – 1) : 2 + 1

= (5 – 1) : 2 + 1

= 4 : 2 + 1

= 2 + 1

= 3

Răspuns: I = 12 oi

II = 6 oi

III = 3 oi

IV = 1 oaie

Probleme care se rezolvă prin metoda aducerii la același termen de comparație

Problemele care se rezolvă folosind metoda aducerii la același termen de comparație se caracterizează prin faptul că se dau două mărimi și legătura existentă între ele.

Această metodă este asemănătoare cu metoda reducerii la unitate, iar în gimnaziu este întâlnită la rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două necunoscute.

Cele două mărimi care trebuie să fie comparate sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. Metoda constă în a face ca una din cele două mărimi să fie adusă la aceeași valoare și în acest fel problema devenind mai simplă, cu o singură necunoscută.

Așezarea datelor problemei se face cu respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile de aceleași fel unele sub altele.

Rezolvarea problemei se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o relație cu o singură necunoscută.

Problema 1: O ladă cu mere și o ladă cu pere cântăresc împreună 58 kg, iar 10 lăzi cu mere și 15 lăzi cu pere cântăresc împreună 730 kg.

Cât cântărește o ladă cu mere și cât cântărește o ladă cu pere?

Rezolvare:

1 ladă cu mere ……… 1 ladă cu pere ……… 58 kg/ 10

10 lăzi cu mere …….. 15 lăzi cu pere ……… 730 kg

Dacă mărim de 10 ori datele de la primul șir, problema va deveni astfel:

10 lăzi cu mere ……… 10 lăzi cu pere ……… 580 kg

10 lăzi cu mere ……… 15 lăzi cu pere ……… 730 kg

1. Câte lăzi cu pere sunt în plus (în a doua relație)?

15 – 10 = 5 (lăzi cu pere)

2. Cât cântăresc cele 5 lăzi cu pere?

730 kg – 580 kg = 150 kg

3. Cât cântărește o ladă cu pere?

150 kg : 5 = 30 kg

4. Cât cântărește o ladă cu mere?

58 kg – 30 kg = 28 kg

Răspuns: 28 kg/lada cu mere

30 kg/lada cu pere

Problema 2: Mergând 3 ore pe jos și 5 ore pe bicicletă, un tânăr parcurge 72 km. Mergând 4 ore pe jos și 5 ore pe bicicletă, el parcurge 76 km.

Care este viteza cu bicicleta, dacă ea este aceeași în ambele situații și care pe jos, dacă este aceeași în ambele situații?

Rezolvare:

3 ore pe jos ……… 5 ore pe bicicletă ……… 72 km

4 ore pe jos ……… 5 ore pe bicicletă ……… 76 km

Câte ore merge, mai mult pe jos, a doua oară?

4 ore – 3 ore = 1 oră

Câți kilometri parcurge pe jos într-o oră?

76 km – 72 km = 4 km

Câți kilometri parcurge pe jos în 4 ore?

4 x 4 km = 16 km

Câți kilometri parcurge pe bicicletă în 5 ore?

76 km – 16 km = 60 km

Câți kilometri parcurge pe bicicletă într-o oră?

60 km : 5 = 12 km

Răspuns: 12 km/h cu bicicleta

4 km/h pe jos

Din aceeași categorie de probleme fac parte și problemele de eliminare a unor necunoscute prin înlocuirea lor (pe baza relațiilor din problemă) în funcție de celelalte mărimi necunoscute.

Problema 3: Un elev cumpără 5 pixuri și 3 creioane și plătește 72 000 lei.

Cât costă un pix și cât costă un creion dacă pixul este de 3 ori mai scump decât creionul?

Rezolvare:

5 pixuri ……… 3 creioane ……… 72 000 lei

Dacă un pix costă de 3 ori mai mult decât un creion, înseamnă că un pix va costa cât 3 creioane, iar problema se poate scrie astfel:

5 pixuri + 1 pix = 6 pixuri ……… 72 000 lei

Cât costă un pix?

72 000 lei : 6 = 12 000 lei

Cât costă 5 pixuri?

5 x 12 000 lei = 60 000 lei

Cât costă 3 creioane?

72 000 lei – 60 000 lei = 12 000 lei

Cât costă un creion?

12 000 lei : 3 = 4 000 lei

Răspuns: Un pix costă 12 000 lei. Un creion costă 4000 lei.

Rezolvare algebrică:

5 p + 3 c = 72 000

p = 3 c

15 c + 3 c = 72 000

18 c = 72 000

c = 72 000 : 18

c = 4 000

p = 3 x 4 000

p = 12 000

Răspuns: Un pix costă 12 000 lei

Un creion costă 4 000 lei.

Problema 4: Un ogar urmărește un iepure care are 12 sărituri înaintea ogarului. Câte sărituri va face ogarul până să-l ajungă pe iepure, dacă el face 7 sărituri în timp ce iepurele face 8 și că în 5 sărituri ogarul parcurge aceeași distanță pe care o parcurge iepurele în 6 sărituri?

Rezolvare:

Ogarul Iepurele

7 sărituri în timpul a 8 sărituri / x 5

5 sărituri fac cât 6 sărituri / x 7

Aducând la același termen de comparație (înmulțind primul șir de date cu 5 și pe la doilea cu 7) problema se poate scrie astfel:

Ogarul Iepurele

35 sărituri în timpul a 40 sărituri

35 sărituri fac cât 42 sărituri

În timp ce ogarul face 35 de sărituri, iepurele face 40 de sărituri, dar cu 35 de sărituri ogarul parcurge o distanță egală cu distanța parcursă de iepure în 42 de sărituri. Deci, la fiecare 35 de sărituri ale ogarului el face în plus o distanță parcursă de iepure în 2 sărituri. Cum iepurele făcuse înaintea ogarului 12 sărituri, acesta va trebui să recupereze această distanță pentru a ajunge iepurele făcând de 6 ori (12 : 2 = 6) câte 35 sărituri, adică:

35 x 6 = 210 (sărituri)

Răspuns: După 210 sărituri ale ogarului acesta va ajunge iepurele.

Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze

Metoda falsei ipoteze constă în a emite o ipoteză oarecare, nu în ideea de a găsi răspunsul, ci pentru a sesiza nepotrivirea cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei. Deci, metoda se numește a „falsei ipoteze” pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă cu adevărul.

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda falsei ipoteze se pot clasifica în două categorii în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor.

Astfel, se pot evidenția două categorii de probleme:

probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Problema 1: 18 caiete cu 48 file și respectiv 200 file, au împreună 2 080 file.

Câte caiete sunt de fiecare fel?

Rezolvarea I:

Pornim de la ipoteza că toate cele 18 caiete au 48 de file, deci numărul total de file ar fi:

18 caiete x 48 file = 864 file

Diferența dintre numărul real de file și cel obținut este dat de faptul că printre caiete sunt și caiete cu 200 file.

Această diferență este:

2 080 file – 864 file = 1 216 file

Dacă înlocuim un caiet de 48 file cu un caiet de 200 file, diferența de 1 216 file se diminuează cu

200 – 48 = 152 file.

De câte ori face această înlocuire?

1 216 : 152 = 8 (caiete cu 200 file)

Numărul caietelor cu 48 file este:

18 – 8 = 10 (caiete cu 48 file)

Răspuns: 10 caiete cu 48 file; 8 caiete cu 200 file

Rezolvarea II:

Dacă pornim de la ipoteza că toate cele 18 caiete au 200 file, numărul total de file ar fi:

18 caiete x 200 file = 3 600 file

Diferența dintre numărul de file este:

3 600 file – 2 080 file = 1 520 file

Diferența dintre numărul de file al acelor două tipuri de caiete este:

200 file – 48 file = 152 file

Numărul caietelor cu 48 file este:

1 520 : 152 = 10 (caiete)

Numărul caietelor cu 200 file este:

18 – 10 = 8 (caiete)

Răspuns: 10 caiete cu 48 file; 8 caiete cu 200 file

Problema 2: Într-o sală de clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se așază câte 2 elevi, 7 dintre ei nu vor avea loc. Dacă în fiecare bancă se așază câte 3 elevi, rămân 2 bănci neocupate.

Câți elevi și câte bănci sunt?

Rezolvare I:

I. Presupunem că sunt 10 bănci.

Dacă elevii se așază câte 2 în bancă, numărul lor va fi:

2 x 10 + 7 = 27 (elevi)

Dacă elevii se așază câte 3 în bancă, numărul lor va fi:

(10 – 2) x 3 = 24 (elevi)

Diferența este:

27 – 24 = 3 (elevi)

II. Presupunem că sunt 11 bănci:

Numărul elevilor, dacă se așază câte 2 va fi:

2 x 11 + 7 = 29 (elevi)

Numărul elevilor, dacă se așază câte 3 va fi:

(11 – 2) x 3 = 27 (elevi)

Diferența este:

29 – 27 = 2 (elevi)

Se constată că mărind numărul băncilor cu 1, diferența între numărul de elevi se micșorează cu 1. Această diferență trebuie să fie zero. Pentru că numărul de elevi este același înseamnă că trebuie să mărim numărul de bănci cât am propus inițial cu 3 (prima diferență). Numărul de bănci va fi:

10 + 3 = 13 (bănci)

Numărul elevilor va fi:

13 x 2 + 7 = 33 (elevi)

Răspuns: 13 bănci; 33 elevi

Verificare: 33 : 3 = 11 (bănci)

11 + 2 = 13 (bănci)

Rezolvare II:

… …

7 elevi rămași în picioare+4 elevi de la băncile ce rămân goale = 11 elevi

Rezultă că sunt 11 bănci cu 3 elevi și 2 goale.

Numărul băncilor este 13.

Numărul elevilor este 3 x 11 = 33.

Verificare: 2 x 13 = 26

33 – 26 = 7

Răspuns: 13 bănci; 33 elevi

Alegerea problemelor ce urmează a fi rezolvate trebuie să îmbrace un caracter ascendent, de achiziționare necontenită a noi cunoștințe, priceperi, deprinderi, atât pentru fiecare elev, cât și pentru clasă în ansamblu.

Datorită caracterului participativ, evident, rezolvarea de probleme trebuie și poate fi folosită cu deplin succes în trezirea pasiunii pentru matematică, afirmarea și dezvoltarea calităților gândirii elevului.

Raționamentul specific matematicii precum și pasiunea pentru această fascinantă disciplină fundamentală, se formează de pe băncile ciclului primar – tot ceea ce urmează după aceea reprezintă o acumulare metodică de cunoștințe și tehnici de lucru.

CAPITOLUL V

CONCLUZII

Matematica, alături de celelalte obiecte de învățământ, are rolul de a contribui la pregătirea elevilor în vederea integrării lor active și eficiente în societate, reprezentând metoda și instrumentul de lucru pentru majoritatea domeniilor științei și tehnicii.

În ultimii ani, informatica a devenit cel mai căutat domeniu de activitate și învățare. Dar, ce este informatica fără matematică?

Datorită caracterului practic-aplicativ și al valențelor sale formative, matematica solicită și pune în acțiune întregul potențial intelectual al elevului. Ea contribuie la dezvoltarea personalității umane, pe toate planurile, cu efecte directe asupra formării unor trăsături de caracter ca: exactitatea, perseverența, seriozitatea.

Pedagogia modernă reliefează faptul că fiecare elev învață în modul și în ritmul său specific și reține mai ușor și temeinic cunoștințele însușite prin efort propriu de căutare și de descoperire. Satisfacția reușitei devine un resort al activității voliționale, o motivare a ambiției de a reuși mai mult și mai bine.

Rezolvarea cu elevii mei a problemelor menționate în această lucrare și a altora întâlnite în culegerile de probleme pentru concursuri, precum și desfășurarea la clasă a activității cu caracter experimental mă îndreptățesc să formulez următoarele concluzii:

elevii, în marea lor majoritate și-au însușit algoritmii de rezolvare a problemelor tipice, reușind să obțină rezultate foarte bune la testele de evaluare și la concursurile la care au participat;

varietatea de probleme a stârnit elevilor curiozitate, stimulându-le ambiția și perseverența;

elevii au putut constata unde se situează performanțele lor individuale în raport cu cele colective;

elevii au avut posibilitatea să înțeleagă mai bine valoarea unui calificativ și a pretențiilor care se ridică pentru obținerea calificativului respectiv;

au câștigat încredere în forțele proprii și independență în muncă;

ponderea o dețin elevii care și-au atins sau și-au depășit nivelul performanței scontate, dar mai există elevi care n-au reușit acest lucru;

elevii s-au arătat încântați de modalitatea de testare diferențiată și au cerut repetarea ei;

deși presupune un efort suplimentar din partea învățătorului, dovedindu-și eficacitatea, acest tip de evaluare merită să fie folosit.

Rezolvând cu elevii un rebus matematic, am găsit pentru noțiunea de problemă următoarea definiție: „chestiune care se rezolvă prin gândire și calcul”. Evident, definiția este dată în cel mai simplu mod posibil, dar concluzia este clară: pentru rezolvarea unei probleme este nevoie în primul rând de gândire. Gândirea presupune analiză și sinteză, generalizare și abstractizare, concretizare și comparare. Rolul învățătorului este acela de a dezvolta fiecare dintre aceste operații ale gândirii pentru ca ea să evolueze de la stadiul noțiunilor la cel al judecăților și în final la cel al raționamentului.

Astfel, trebuie menținut permanent interesul elevilor pentru muncă, făcându-l să conștientizeze, atât cât îi permite vârsta, utilitatea imediată și viitoare a efortului său, pentru a avea conștiința lucrului bine făcut.

Cel mai important lucru în aceste sens pare să fie climatul instaurat de învățător pentru ca elevii să-și poată manifesta în voie curiozitatea, spontaneitatea, ideile originale.

Învățarea devine creativă și eficientă când elevii participă activ la lecție, când au inițiative, când pot pune întrebări, pot discuta și propune soluții personale.

Întocmirea acestei lucrări, precum și experimentul realizat a însemnat pentru mine, ca învățătoare, un pas în față în perfecționarea și diversificarea metodelor și tehnicilor de învățare aplicate la clasă. Preocuparea de a găsi și a propune elevilor cât mai multe probleme de un anumit tip pentru a le forma algoritmii de recunoaștere și rezolvare mi-a oferit ocazia aprofundării cunoștințelor din domeniul matematicii și în același timp o mai bună cunoaștere a potențialului și nevoilor copilului.

În loc de alte concluzii, închei cu un îndemn al lui R. Descartes, îndemn care merită să fie urmat atât de elevi cât și de cei care încearcă să-i învețe matematica: „Să nu accepți niciodată cu adevărat un lucru, dacă nu l-ai cunoscut în mod evident, adică să nu existe un prilej ca să te îndoiești de el. Să împarți dificultățile în mai multe părți, atâtea câte sunt necesare ca ele să poată fi rezolvate. Să-ți conduci gândurile în ordine, începând de la cele mai simple către cele complexe. Să faci enumerări cât mai complete și recapitulări generale ca să nu uiți nimic”.

VI. BIBLIOGRAFIE

Baciu, Ciprian; Bocoș, Mușata; Chiș, Vasile; Ionescu, Miron; Lăscuș, Voicu; Stan, Cristian – Pedagogie- suporturi pentru formarea profesorilor, Ed. Presa Universitară Clujeană, 2001

Berechet, Daniela; Berechet, Florian – Aritmetică – clasa a IV-a, Ed. Paralela 45, 2000

Bocoș, Mușata –Cercetarea pedagogică- suporturi teoretice și metodologice, Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca, 2003

Bonchiș, Elena; S. Popa; D. Breban; R. Bonchiș; M. Secui; C. Berce – Învățarea școlară, Ed. Universității Emanuel, Oradea, 2002

Cherata, Victoria; Voicilă, Jeana; Mândruleanu, Liviu – Metode și tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, Ed. Sibila, Craiova, 1994

Dumitru, Viorel-George; Dumitru, Alexandrina; Fătu, Viorica – Matematică pentru ciclul primar, Ed. All, 1997

Gagné, M. Robert . Condițiile învățării, EDP, București, 1975

Găvenea, Alex. – Cunoașterea prin descoperire în învățământ, EDP, București, 1975

Gherman, Angelica – Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV, Ed. Elis, București, 2002

Herescu, Gheorghe; Dumitru, A.; Aron, I. – Matematica pentru învățători, EDP, București, 1996

Neacșu, Ioan – Metodica predării matematicii la clasele I-IV, EDP, București, 1988

Nicola, Ioan – Pedagogie, EDP, București, 1994

Oprescu, Nicolae – Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, EDP, București, 1974

Radu, Ion; Ionescu, Miron – Inițiere în cercetarea psiho-pedagogică – Buletin de informare și documentare, Casa Personalului Didactic, Oradea, 1980

Roșca, Alex. – Psihologie generală, EDP, București, 1976

Roșu, Mihail – Stimuli motivaționali în lecțiile de matematică la clasele I-IV în Învățământul primar, 6-7/1994

Singer, Mihaela – Învățarea matematicii în școala primară – perspectiva noilor programe în Învățământul primar, 4/1998

Trană; Dan Mircea – Un exemplu de utilizare a problematizării în predarea aritmeticii la ciclul primar în Învățământul primar 1/2001

Lucuș(Iancu) Viorica-Ileana

Forming the algorithms of recognizing and solving typical problems

of mathematics with primary school

(resume)

Chapter 1, „Introductory consideration” – includes the presentation of the intellectual skills recquired by learning maths and the role of these skills for assuming conciously the necessary algorithms (in solving typical problems). I also present here my reasons for choosing this topic, the aim of this paper, the objectives and the hypothesis.

Chapter 2 is divided into two section. The first one, „The notion of typical problem”, brings up the definition and a list of categories. The second part- „Supporting pupils in their conscious elaboration of the algorithms for solving problems and their generalisation over a certain category of problems” – presents some of the dificulies which pupils generally come accross with, while acquiring the algorithms and specific ways of teaching the pupils how to identify the type of problem and how to solve it, as well.

Chapter 3 is a presentation of the experment as a method of direct investigation, followed by the display of on experimental activity carried on with my class. I used investigation as a method of assessment, aiming the improvement of the didactic activity, the revealing of pupils’ difficulties in problem solving and pointing out the problems demanding suplimentary explanations. I proposed a method of assessment meant to make the pupil value his capacity, aspiring to a mark which can be reached by applying the test which has been designed in agreement with his own abbilities. I registered the results into tables reflecting the pupils’ progress. I also expressed the conclusions at the end of each testing activity. I processed the results and put them into graphs reflecting the progress recorded and I also motivated the effectiveness of this evaluation method.

Chapter 4, „Types of problems proposed and solved with the pupils”- presents the main methods of solving problems, each of them being illustrated by means of the specific problems having a varied degree of difficulty.

Chapter 5 incloses the conclusions to elaboration of this paper, of the experiment which was performed on this occasion, mentioning that this complex activity provided me with the opportunity of deepening my knowledge of Mathematics and, in addition to this, a higher awareness of the child’s potential and needs.