Metodologia Predarii Invatarii Numerelor Naturale In Clasele I Iv

ARGUMENT

Predarea matematicii în învățământul primar prezintă dificultăți de ordin pedagogic, care ne îndeamnă să prețuim talentele învățătorului cu recunoștință și admirație. Este o adevărată artă să deschizi mințile copiilor în efectuarea de calcule, precum și în probleme – dintre care unele pot fi grele și pentru oameni maturi și, chiar pentru profesori.

Însă, în cazul în care nu se va deschide dezbaterea reformei și nu ne dăm semne clare ale reformei efective, vechile abordări și structuri ne vor cotropi.

Aceasta, pentru că învățământul este mai mult decât o prioritate națională – o problemă a celor mai mulți dintre cetățeni, elevi, studenți, profesori, părinți, beneficiari și o problemă de a cărei rezolvare depinde reforma cuprinzătoare a societății românești.

La toate nivelele – școli, gimnazii, licee, facultăți – se acuză, pe drept, supraîncărcarea planurilor de învățământ și a programelor analitice.

Noul curriculum trebuie să facă loc efectiv opțiunilor studenților între cursuri și seminarii, să permită o reală bispecializare și, în general, interdisciplinaritatea efectivă. Un nou curriculum trebuie să permită repunerea în termeni adecvați timpului problemei educației. Dezlegarea ei nu mai este posibilă astăzi fără a concepe cunoașterea pe care o transmit școlile și universitățile nu ca o simplă predare a ceea ce este, ci ca și „creative problemme solving”, și fără a regândi problemele liceale și universitare pe direcția formării celor patru capacități de bază ale specialistului de astăzi: capacitatea de a gândi sistematic o problemă, capacitatea de a testa soluțiile, capacitatea de a comunica în limbile moderne și cea de a folosi tehnicile internaționale.

Așteptat deopotrivă de segmentele interesate ale societății civile și de agenții educaționali direct implicați (elevi, profesori, învățători și părinți), își propune, pe de o parte, să răspundă la necesitățile educaționale actuale și de perspectivă ale societății românești, iar, pe de altă parte, să participe la compatibilizarea de ansamblu a acesteia cu structurile europene.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază, vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri.

În ansamblul său, concepția în care a fost construită noua programă de matematică vizează următoarele:

– schimbări în abordarea conținuturilor:

trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate de contexte

problematice, care generează aritmetica;

– schimbări în ceea ce se așteaptă de la elev:

trecerea de la aplicarea unor algoritmi la folosirea de strategii în rezolvarea de probleme;

– schimbări în învățare:

trecerea de la memorare și repetare la explorare – investigare;

– schimbări în predare:

trecerea de la ipostaza de transmițător de informații a

învățătorului la cea de organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;

-schimbări în evaluare:

trecerea de la subiectivismul și rigiditatea notei la

transformarea evaluării într-un mijloc de auto-apreciere și stimulare a copilului.

Curriculum-ul Național propune următoarele obiective cadru pentru matematică:

Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme;

Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic;

Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul matematicii în contexte variate.

Strategia întreprinsă în vederea surprinderii unor relații inedite între componentele acțiunii educaționale și a desprinderii unor soluții și variante optime în desfășurarea sa ulterioară se numește cercetare pedagogică.

Obiectul unei cercetări pedagogice îl constituie o problemă sau un fapt pedagogic pe care cercetătorul o depistează și delimitează din ansamblul structural din care face parte cu intenția de a-i da o explicație plauzibilă și de a dobândi, în cele din urmă, certitudini asupra funcționalității sale. Specificul unei cercetări pedagogice rezultă din particularitățile acțiunii educaționale.

Cercetarea pedagogică este astfel, o strategie care urmărește surprinderea relațiilor dintre cât mai multe variabile pe care le incumbă procesul real de educație. Dintre acestea, cele ce țin de personalitatea agentului acțiunii și a personalității elevului sunt indispensabile în orice cercetare pedagogică.

Gilbert D. Landshere caracteriza cercetarea pedagogică ca o necesitate de a descrie în mod obiectiv derularea procesului de instruire, precum și analiza procedeelor de realizare a acesteia. Ca orice proces social, și educația impune investigație științifică.

Dumitru Muster în „Metodologia cercetării în educație și învățământ” întocmește o clasificare a cercetărilor pedagogice pe care le-ar putea utiliza cercetătorul. Am ales cercetarea constatativ – ameliorativă deoarece acest tip de cercetare urmărește în mod deosebit descrierea științifică, amănunțită a unei situații educaționale în scopul găsirii unor soluții ameliorative, prin acțiunea cărora să poată fi mărit randamentul într-o activitate educațională.

Cercetarea constatativă urmărește doar cunoașterea și descrierea amănunțită a unei anumite situații, a unui anume proces instructiv – educativ, a factorilor și implicațiilor acestora când operează in proces.

Cercetarea ameliorativă își propune să verifice eficiența unor inovații („ipoteza” cercetării) presupuse utile perfecționării (ameliorării) randamentului activității instructiv-educative.

Ipoteza în cercetarea pedagogică trebuie să asigure un echilibru între finalitatea acțiunii educaționale, desfășurarea ei și randamentul obținut. Pe parcursul desfășurării unei cercetări pedagogice se confruntă două ipoteze, ipoteza specifică sau ipoteza cercetării, și ipoteza nulă. Prima pleacă de la presupunerea că toate modificările ce se produc, cât și diferențele la sfârșit s-ar datora factorului experimental (variabila x) controlat de cercetător, cea de-a doua admite că modificările și diferențele constatate s-ar datora unor factori întâmplători, aleatori, necontrolați de către cercetător. Ipoteza nulă este o ipoteză statistică urmărind ca pe baza de calcul să fie admisă sau respinsă, stiindu-se că admitera ipotezei nule înseamnă respingerea ipotezei specifice și invers.

Ipotezele, ca explicații anticipate, sunt utile și necesare în cercetările cu caracter explicativ Există însă și cercetări descriptive în care ipoteza nu este necesară și mai ales nu necesită o formulare explicită.

Tematica unei cercetări este corelată și cu modul de compunere a colectivelor experimentale. Bineînțeles, așa cum se știe, pentru ca o cercetare să conducă la concluzii temeinice, obiective, colectivul de experimentare trebuie să fie suficient de numeros și întâmplător adunat (să nu fie selecționați subiecți capabili de anume performanțe deosebite, să existe și subiecți buni și mijlocii și slabi). Dar la numărul de circa 100 de subiecți se poate ajunge cal mai adesea doar într-o cercetare colectivă, când probele se aplică simultan pe grupe mari, cum sunt clasele de elevi.

Dar se mai poate ajunge la colectivul utilizat în cercetare, prin aplicare de probe individual, când e vorba de „studiul de caz”, la probe de pronunțare în învățarea limbilor străine, la jocuri în grădinița de copii și la altele.

Puternic ancorată în realitățile contemporane și cu implicații în toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu încredere și interes celelalte ramuri ale științei. Semnificația și importanța teoretică și practică a matemeticii a crescut mereu, făcând din ea principalul obiect de instruire, materia cu necontestate valențe formative.

Astăzi, matematica, prin tehnicile, metodele și modelele matematice migrează în totalitatea sferelor și domeniilor de cercetare a universului, dacă sistemul său conceptual contribuie la perfecționarea sistemului general al stiiței.

Modelele matematice pe viitor nu vor mai fi apanajul oamenilor de stiință, al inginerilor și al tehnicienilor. Matematica zilelor noastre joacă un rol important în revoluția stiințifico-tehnică, punându-se în serviciul dezvoltării economice, sociale și culturale a fiecărui popor.

Întrucât stiința constituie factorul primordial al progresului social actual, gândirea științifică nu mai este o trăsătură proprie în exclusivitate a omului de știință, ci devine o condiție din ce în ce mai necesară în toate domeniile de activitate umană. Tânărul care stăpânește cunoștințele stiințifice temeinice în domeniul matematicii, devine apt să desfășoare activități sociale de înaltă calificare.

Sunt o serie de noțiuni matematice elementare indispensabile individului pentru ca el să se descurce în viața curentă. Altele sunt necesare la locul de muncă, gradul lor de importanță și de utilizare depinzând de meseria executată.

Matematica constituie fundamentul culturii moderne, având în veder că, omul modern trebuie să posede o pregătire matematică pentru a putea soluționa multiplele și variatele probleme de viață. Pentru unele profesiuni este necesar un bagaj mai simplu de cunoștințe, pentru altele, dimpotrivă, se cer cunoștințe foarte aprofundate. În contextul larg și complex al vieții sociale, economice șși politice este foarte greu ca, omul să formuleze un raționament inteligent, dacă nu posedă cunoștințe matematice corespunzătoare.

Matematica își aduce contribuția și la formarea unor anumite trăsături ale personalității umane, cu un larg orizont științific de a gândi și cu un mare spirit creator, care îi vor permite să se integreze activ în condițiile societății contemporane și viitoare.

Prin problematica diversă și complexă care-i formează obiectul, prin solicitările la care obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea și stimularea tuturor forțelor intelectuale, psihice și fizice ale elevului, matematica contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii.

Creșterea aportului științet la dezvoltarea și modernizarea forțrlor de producție demonstrează faptul că racordarea tot mai puternică a școlii de toate gradele, nevoile social-economice ale dezvoltării țării noasre și desfășurarea activității de învățământ sub semnul unei cât mai înalte eficiențe este o necesitate. Iată de ce se pune problema renovării învățământului matematic.

Renovarea și modernizarea învățământului matematic implică activizarea elevului, situarea lui în prim plan și antrenarea gândirii lui printr-un învățămâmt matematic eliberat de orice urmă a învățământului formal.

Renovarea învățământului matematic să însemne, așadar, introducerea spiritului nou al matematicii moderne pe toată întinderea învățământului matematic până la rădăcinile lui, cultivarea modalităților gândirii creatoare cu care se cere a fi înarmat omul societății contemporane și aceasta realizată cu cadre didactice înnoite, cu pregătire, concepție, tehnologie curățite de zgura rutinei și a formalismului.

În cercetarea pe care am realizat-o am ales ca temă de studiu particularitățile predării-învățării numerelor naturale, deoarece cred că ocupă un loc însemnat în matematică.

Este interesant de urmărit „procesul” de formare a numărului natural și cum începe să se contureze acesta în mintea elevului.

Începând cu vârsta de 6-7 ani, copiii pot să organizeze în mod concret spațiul fizic.

Ei înțeleg și pot să explice anumite proprietăți ale figurilor geometrice, să noteze grafic deplasările unui corp, să construiască mulțimi de obiecte după anumite proprietăți ale elementelor sale. Apar primele semne ale noțiunii de măsură. Elevii sesizează acum poziția unui obiect față de alt obiect și distanța dintre ele. Copiii sunt conduși, apoi, la cunoașterea și denumirea figurilor geometrice.

Cercetările psihologice arată că la începutul vârstendividului pentru ca el să se descurce în viața curentă. Altele sunt necesare la locul de muncă, gradul lor de importanță și de utilizare depinzând de meseria executată.

Matematica constituie fundamentul culturii moderne, având în veder că, omul modern trebuie să posede o pregătire matematică pentru a putea soluționa multiplele și variatele probleme de viață. Pentru unele profesiuni este necesar un bagaj mai simplu de cunoștințe, pentru altele, dimpotrivă, se cer cunoștințe foarte aprofundate. În contextul larg și complex al vieții sociale, economice șși politice este foarte greu ca, omul să formuleze un raționament inteligent, dacă nu posedă cunoștințe matematice corespunzătoare.

Matematica își aduce contribuția și la formarea unor anumite trăsături ale personalității umane, cu un larg orizont științific de a gândi și cu un mare spirit creator, care îi vor permite să se integreze activ în condițiile societății contemporane și viitoare.

Prin problematica diversă și complexă care-i formează obiectul, prin solicitările la care obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea și stimularea tuturor forțelor intelectuale, psihice și fizice ale elevului, matematica contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii.

Creșterea aportului științet la dezvoltarea și modernizarea forțrlor de producție demonstrează faptul că racordarea tot mai puternică a școlii de toate gradele, nevoile social-economice ale dezvoltării țării noasre și desfășurarea activității de învățământ sub semnul unei cât mai înalte eficiențe este o necesitate. Iată de ce se pune problema renovării învățământului matematic.

Renovarea și modernizarea învățământului matematic implică activizarea elevului, situarea lui în prim plan și antrenarea gândirii lui printr-un învățămâmt matematic eliberat de orice urmă a învățământului formal.

Renovarea învățământului matematic să însemne, așadar, introducerea spiritului nou al matematicii moderne pe toată întinderea învățământului matematic până la rădăcinile lui, cultivarea modalităților gândirii creatoare cu care se cere a fi înarmat omul societății contemporane și aceasta realizată cu cadre didactice înnoite, cu pregătire, concepție, tehnologie curățite de zgura rutinei și a formalismului.

În cercetarea pe care am realizat-o am ales ca temă de studiu particularitățile predării-învățării numerelor naturale, deoarece cred că ocupă un loc însemnat în matematică.

Este interesant de urmărit „procesul” de formare a numărului natural și cum începe să se contureze acesta în mintea elevului.

Începând cu vârsta de 6-7 ani, copiii pot să organizeze în mod concret spațiul fizic.

Ei înțeleg și pot să explice anumite proprietăți ale figurilor geometrice, să noteze grafic deplasările unui corp, să construiască mulțimi de obiecte după anumite proprietăți ale elementelor sale. Apar primele semne ale noțiunii de măsură. Elevii sesizează acum poziția unui obiect față de alt obiect și distanța dintre ele. Copiii sunt conduși, apoi, la cunoașterea și denumirea figurilor geometrice.

Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația.

Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor lor cultivă și dezvoltă la elevi capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime, cu ajutorul elementelor de relație.

Una din premisele psihopedagogice esențiale ale formării conceptului de număr natural, la copil, este apariția primelor reprezentări asupra invariantei cantități.

Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, elevii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența a două mulțimi. Introducerea conceptului de număr natural, impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea elevilor cu noțiunea de relație echivalentă a mulțimilor, de clasa de echivalență de funcție bijectivă.

Procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale, are la bază operațiile cu mulțimi de obiecte.

Introducerea operațiilor cu numere naturale se face cu ajutorul legăturilor dintre operații și cunoștințele însușite anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a acestora.

Conceptul de „număr natural și operații cu aceste numere” ocupă primul loc în obiectivele învățământului matematic în școala primară.

Ceea ce trebuie să se realizeze în reforma învățământului matematic este schimbarea reală a accentului de pe predarea și însușirea de informații, pe formarea și dezvoltarea gândirii matematice a micilor școlari, pe dezvoltarea capacității acestora de a opera cu această gândire în viața socială cotidiană.

CAPITOLUL I

CONSIDERAȚII PSIHOPEDAGOGICE PRIVIND

ÎNVĂȚAREA NUMERELOR NATURALE ÎN CLASELE I – IV

PARTICULARITĂȚI PSIHOINTELECTUALE ALE ELEVULUI DE 8 – 11 ANI

Psihologia copilului studiază creșterea mintală, dezvoltarea conduitelor ( adică a comportamentelor, inclusiv conștiința ) până la acea fază de trecere pe care o constituie adolescența și care marchează inserția individului în societatea adultă. Pentru a înțelege creșterea mintală, nu este suficient să ne întoarcem numai până la nașterea copilului, deoarece există o embiologie a reflexelor.

Cum, după naștere, influența mediului influența mediului capătă o importanță din ce în ce mai mare, atât din punct de vedere organic cât și mintal, psihologia copilului nu se ve limita, deci, să studieze factorii de materializare biologică, deoarece factorii pe care trebuie sa-i considere depind în egală măsură atât de exercițiu sau de experiența câștigată, cât și de viața socială, în general.

Psihologia copilului are ca obiect de studiu copilul, în dezvoltarea sa mintală. În această privință trebuie să o deosebim de „psihologia genetică„ cu toate că ea constituie elementul esențial al acesteia. Dacă psihologia copilului studiază copilul pentru el însuși, astăzi se tinde, dimpotrivă, să se dea denumirea de „psihologie genetică„, psihologiei generale ( studiul inteligenței, al percepțiilor ), dar numai în măsura în care ea caută să explice funcțiile mintale prin modul lor de formare, deci, prin dezvoltarea lor la copil: de pildă, după ce au fost studiate raționamentele, operațiile și structurile logice, la adult, deci, într-o stare încheiată și statică, ceea ce a condus pe unii autori să vadă în gândire o „oglindă a logicii”, s-a pus întrebarea dacă logica este înnăscută sau rezultă dintr-o construcție progresivă, etc. Pentru a rezolva asemenea probleme se recurge la copil și, în felul acesta, psihologia copilului este promovată la rangul de psihologie genetică, adică devine un instrument esențial de analiză explicativă pentru rezolvarea problemelor generale.

La marele interes pe care îl prezintă copilul ca atare, se adaugă faptul că, adultul este explicat de copil, în aceeași măsură în care adultul îl explică pe copil sau, adesea, într-o măsură mai mare, deoarece adultul îl educă pe copil, folosind ca mijloace multiple transmiteri sociale, orice adult, chiar cel creator a început totuși prin a fi copil și aceasta a avut loc atât în timpuri preistorice, cât și astăzi.

Deși maturizarea organelor de simț de termină relativ de timpuriu, în dezvoltarea ontogenetică ( către 2, 2.5 ani ), dezvoltarea senzațiilor este un proces în continuă desfășurare. La vârsta de 6 – 7 ani, se constată o lărgire a câmpului vizual, atât a celui central, cât și a celui periferic, precum și o creștere a preciziei în diferențierea nuanțelor cromatice. Senzațiile copilului se subordonează noului tip de activitate, învățarea. Cum aceasta se desfășoară sub forma unor acțiuni distincte de aritmetică, de scris, citit, de muncă, etc., senzațiile școlarului mic se vor modela, tocmai în funcție de solicitările specifice acestor acțiuni.

Pe parcursul micii școlarități, percepția câștigă noi dimensiuni, evoluează. Dacă sincretismul – perceperea întregului – este o caracteristică ce se menține de-a lungul întregii școlarități, fenomenul începe să se diminueze la școlarul mic. Aceasta se datorește atât creșterii aciutății perceptive, cât și schemelor logice, interpretative care intervin în analiza spațiului și timpului perceput.

Progresele perceptive, înregistrate de-a lungul micii școlaritați, se exprimă nu numai în sporurile de precizie, volum, inteligibilitate, cât, mai ales, în restructurări ale însăși procedeelor de efectuare a activității perceptive. Acum, percepția se afirmă ea însăși ca activitate, ca proces orientat și dirijat spre scop. Pentru a ajunge la acest stadiu, este necesar ca educatorul să indice cu regularitate copiilor procedeele de examinare (vizuală, tactilă, auditivă) a ceea ce percep, ordinea de relevare a însușirilor mijloacelor de înregistrare a lor (desen, sheme, cuvinte). Pe această bază, elevul va putea trece la o planificare independentă a activității de percepere, efectuând-o în raport cu planul propus, stabilind o ierarhie a caracteristicilor percepute în funcție de anumite criterii, de pildă, acela al gradului de generalitate. În structura unui asfel de model perceptiv complex, pe care îl putem numi observație, apar nu numai componente perceptive, ci și aspecte ale altor fenomene psihice, cum ar fi: gândirea, atenția, memoria.

În ansamblul dezvoltării, vârsta școlară apare ca o etapă cu relativă stabilitate și cu posibilități de adaptare mai ușor de realizat. Progresele obținute sunt mai constante și se manifestă în toate compartimentele dezvoltării psihice și fizice.

Transformările treptate ce se produc în gândirea școlarului pun în evidență o nouă structură mintală. Gândirea se desprinde de datele percepției globale intuitive și începe să se manifeste o tendință de decentrare. Relația cognitivă este, în fond, o interacțiune dintre subiect și obiect. Decentrarea intervine atunci când copilul, depășindu-și egocentrismul, realizează o reflectare adecvată, prin acțiuni tot mai eficiente asupra obiectului, are loc perceperea relațiilor care prilejuiesc înțelegera cauzalității și folosirea mai corectă a legăturilor logice. Cu toate acestea gândirea rămâne predominant concretă.

Gândirea realizează cu ajutorul unor operații logice concrete, obiectuale. Trăsătura definitorie a unei operații logice este reversibilitatea care oferă posibilitatea folosirii concomitente a sensului direct și invers, anticipării mintale a rezultatului, efectuării unor operații și aproximări, toate realizându-se în plan mintal.

Operațiile mintale care apar pe baza intuiției sunt încă concrete, ele se desfășoară în plan mintal, dar continuă să fie legate de acțiunea cu obiectele și de datele pe care le oferă percepția. Această acțiune capătă însă, o structură operatorie, putându-se compune în forma tranzitivă și reversibilă. Datele și relațiile sunt grupate în ansambluri și tranformate în operații, relevându-se posibilitatea asimilării unor cunoștințe care depășesc sfera manipulării practice sau a concretului nemijlocit cu obiectele și fenomenele realității. Astfel, din intuitivă, gândirea devine operațională.

Dacă din primii ani ai școlarității, noțiunile școlarului mic au un caracter concret și empiric, trăsăturile esențiale și neesențiale nefiind încă suficient diferențiate, nu se pot organiza încă în sisteme naționale. În jurul vârstei de zece ani se atinge stadiul gândirii noționale. Sub efectul dezvoltării psihice și al influențelor educative, gândirea tinde să se organizeze în jurul câtorva noțiuni fundamentale, care unifică datele concrete: noțiunea de timp, de spațiu, de număr, de cauză, de mișcare, etc.

Capacitatea de cunoaștere sporește și datorită memoriei, ale căror posibilități cresc rapid. Începând cu vârsta de nouă ani, școlarul poate învăța orice; învață pe dinafară, din joacă, așa cum învață să meargă, să vorbească. Se controlează de pe acum diferite tipuri de memorie: vizuală, auditivă, kinestezică. Tot la această vârstă se manifestă primele aptitudini cu caracter general, ce potentează succesul la toate obiectele de învățământ. Treptat, acestea se diferențiază în funcție de specificul activității în care se exersează cu predilecție elevul. Progresele cunoașterii sunt legate la școlar de dorința generală de a învăța. În cursul acestei etape, elevul bun se bucură de un anumit prestigiu printre școlari.

Concomitent se produc și alte schimbări, se formează atitudinea față de muncă, ce se relevă prin capacitatea de a duce la bun sfârșit o sarcină începută și de a obține un rezultat. Școlarului îi place acțiunea. Activitatea desfășurată este foarte variată, apar interesele practice, cum sunt cele pentru tehnică, lucrări manuale, etc. Precizia și îndemânarea gesturilor ce se constituie pun în evidență dorința de a obține un rezultat: școlarul dorește să aibă succes.

Viața socială a școlarului este și ea intensă. Acum aste „ vârsta prieteniei ”, a „ camaraderiei ”. Se face simțită nevoia elevului de a trăi în colectiv, de a participa la activități comune. El devine capabil de sentimentul colectiv, ține la colectivul clasei, care reprezintă „ un grup social viu ”.

Specific vârstei școlare mici este creșterea considerabilă a volumului memoriei. În fondul memoriei pătrunde un mare volum de informații. Comparativ cu clasa I, în clasa a IV-a se memorează de două-trei ori mai multe cuvinte.

Axarea memoriei pe sensuri logice face să crească de opt până la zece ori volumul ei ( față de vârsta preșcolară ), prelungește timpul de reținere, sporește trăinicia și productivitatea legăturilor memorice. Crește precizia și plenitudinea proceselor de reproduce amnezică în raport cu procesele de recunoaștere. Dacă, la șapte-opt ani, copii recunosc 24 din 30 de cuvinte percepute și reprodoc aroximativ 5, în jurul vârstei de 11 ani recunosc 28 și reproduc 11.

O altă direcție de modificare a memoriei la vârsta școlară mică o constituie accentuarea caracterului voluntar, conștient al proceselor ei. Îndeosebi, în partea a doua a micii școlarități (clasele a III-a și a IV-a ), copilul este capabil să-și fixeze sarcina de a memora, să-și planifice în timp memorarea unui material oarecare, să se autocontroleze cu consecvență în procesul reproducerii celor memorate.

Cercetările arată că din memorie dispar cel mai repede ( se uită ) datele întipărite mecanic. Cu timpul nu mai rămân din ele decât elemente dezordonate disparate.

Complexitatea dezvoltării psihice în cursul acestei etape conferă școlii un rol special. Fără a subestima importanța mediului familial, care rămâne considerabilă, rolul activității școlare este hotărâtor la acestă vârstă. Școala contribuie atât la formarea și educarea inteligenței, cât și a caracterului. Totuși, acțiunea celor doi factori – familie și școală – se cere să fie mereu coordonată, solidară. Școala și familia vor acționa pentru stimularea dezvoltării biopsihosociale prin mijloacele specifice de care dispune fiecare.

Activitatea care declanșează dezvoltarea psihică ese procesul de învățămâmt. Organizarea și metodica acestuia va ține seama de caracteristicile fizice, psihice și sociale ale devenirii umane. Între aceste caracteristici, învățarea prin acțiune constituie elementul principal. Necesitatea extinderii numărului de exerciții individuale, diferențiate în activitatea de asimilare a conținutului programei școlare, derivă din caracteristica potrivit căreia școlarul mic învață acționând.

Sfârșitul vârstei școlare mici, pune în evidență o nouă etapă a dezvoltării psihice, și anume, preadolescența.

2. INVĂȚAREA LA ELEVUL DE 8 – 11 ANI

Învățarea, în înțelesul cel mai larg al cuvântului, constituie „procesul dobândirii experientei de comportare”, deci nu e vorba numai de formarea priceperilor și însușirilor unor cunoștințe, ci se cuprinde și formarea motivației, atitudinilor, sentimentelor, ca și a voinței. Tot ceea ce nu este înnăscut, este învățat, se formează în experiență, prin contactul cu mediul social și natural. În felul acesa se înțelege că în procesul de învățare, este antrenat întreg psihicul, toate funcțiile, deși nu întotdeauna în aceeași măsură.

Învățarea la vârsta școlară mică restructurează gândirea infantilă în numeroase puncte și-i modifică aspectul, lărgind sistemul sructurilor ei cognitive. Cunoștințele și priceperile deja însușite se adâncesc, devin mai sistematice, se consolidează structurile noționale și schemele logice, creându-se premisa dobândirii a noi abilități, priceperii și capacității, care depășesc limitele a ceea ce oferă nemijlocit situațiile de învățare momentană. Se produce o generalizare crescândă a activității de gândire, căpătând un puternic impuls, înclinația elevului către abordarea reflexivă a propriei activități mintale. Învățarea pune în mișcare traseele interne ale dezvoltării, o propulsează spre noi stadii, introduce în ea mutații, făcând să crească nivelul vârstei mentale a copilului și, o dată cu aceasta, și probabilitatea lui de a realiza noi acumulări în ordinea îsușirii cunoștințelor care i se predau.

Clasele a II-a – a IV-a deschid în fața copilului un nou câmp de situații de învățare. Se produce un proces de îmbogățire și diversificare a învățării, sub impactul unor discipline de învățământ mai numeroase decât cele din clasa întâi și cu un indice de distinctivitate sporit. Ceea ce în clasa întâi era, la un moment dat, doar proiect, prefigurare, posibilitate, devine în clasa a doua, Prin „migrarea” unor funcții și capacități din sfera posibilității în cea a realității, nivel al dezvoltării actuale apărut ca rezultat al sprijinului acordat copilului de către adult și al efortului propriu al elevului de a rezolva sarcinile ce i se propun.

Dacă, în clasa întâi copiii au trecut de la parte la întreg, învățând să opereze, pur și simplu, cu sunete și litere, cu propoziții, cuvinte și texte, fără preocuparea unei explicitări cu conștientizări desfășurate, în clasa a doua este încurajată tendința de a reveni asupra lor cu explicații și aplicații menite să impună în mod special atenției elevului anumite caracteristici ale fenomenelor de limbă, printr-un demers de abstractizare și conștientizare analitică, mergând de la întreg la parte.

Pentru procesul instructiv-educativ, problema care se pune, este aceea a criteriilor de determinare a complexității psihologice reale a unei sarcini, a potențialului ei stimulativ pentru dezvoltare, a relevanței ei pentru ceea ce pot elevii, de așa manieră încât, cu fiecare nouă acumulare pe care o fac, să devină independenți, cu autonomie și creativitate.

Numeroase dezvoltări și un caracter inedit prezintă tabloul învățării matematicii de-a lungul micii școlarități.

În clasa a doua, se lărgește repertoriul adunării și scăderii până la o sută și pătrund în fluxul operațiilor matematice, înmulțirea și împărțirea. Restructurarea relațiilor dintre ponderile acordate transpunerii informației în coduri intuitive, verbale, acționale, induce anumite raporturi între empiric și științific, între exemplul concret și modelul abstract, între rezolutivitate și reflecție, ca momente ale însușirii cunoștințelor de matematică. Dacă modelul de învățare a matematicii din clasa întâi rămâne unul cu precădere intuitiv, empirico-învățare pe văzute (la nivel de imagine), pe arătate (prin demonstrații) și pe încercate (prin exerciții și antrenament), matematica din clasa a doua reduce simțitor intuitivul, îl simplifică și, către sfârșit, chiar îl elimină.

Matematica din clasa a doua, prin noul tip de explicație pe care îl propune din loc în loc, înseamnă, cum am mai spus, un pas înainte, însă, din păcate, preocuparea pentru metodă ca principal factor al crearii accesului elevului la gândirea matematicii, este doar un început, pentru că, și acum, ceea ce predomină nu este oferta de explicații, generalizări, reflecții, ci tot exercițiul, aplicația, ceea ce va duce la un efect de consolidare a depinderii de calcul, înaintea judecății matematice.

Sub presiunea amplificării volumului informațional, procesul multiplicării disciplinelor școlare din clasa a III-a, fac necesar, cum se întâmplă în cazul limbii române, deschiderea de noi „ șantiere ” de lucru, de exemplu, cel al gramaticii, al compunerii, ca discipline noi, prevăzute cu manuale distincte.

Încă din clasa a III-a, se poate organiza convegența contribuției a două sau mai multe discipline de învățământ (de exemplu a matematicii, geografiei) la formarea suportului unora și acelorași capacități, de exemplu a structurilor cognitive implicate în achiziționarea cunoștințelor spre spațiu.

Extinderea câmpului îmvățării, prin creșterea numărului disciplinelor de învățământ distincte, face ca elevul să fie solicitat pe mai multe direcții, ceea ce poate să anteneze o creștere a probabilității dispersiei atenției, a interesului și a efortului elevului și o descreștere a posibilității de a face față la fel de bine tuturor solicitărilor. Ca urmare, câștigă în importanță modul de a învăța, abilitatea de a ordona și a coordona informațiile, capacitatea de a opera cu esențialul în contexte epistemice diferite, strategiile suple, flexibile, raționale, bazate pe găsirea unor formule economicoase de lucru și de utilizarea inteligentă a știutului pentru aflarea neștiutului.

Învățarea se ditanțază tot mai mult pe punctul unic de plecare, caracteristic pentru clasa întâi, pentru a evidenția, mai ales, deosebirile dintre conținuturi.

Unul din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a treia îl constituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor. Ea le furnizeză „algebra” numirii, scrierii și citirii numărului, dezvăluindu-le principal constituirii numărului și al sistemului numeric. Operațiile matematice fundamentale, însușite în clasa a doua, sunt acum solicitate să lucreze în noi condiții, cele ale compartimentării ordinale ale numărului.

Incursiunile în psihogeneza inteligenței au arătat că sesizarea diversității parametrilor sub care se poate înfățișa latura cantitativă a lucrurilor este posibilă, în anumite condiții de organizare a experimentului de percepere și estimare a mărimilor, la vârste destul de timpurii, chiar la preșcolarul mic.

Dincolo de mulțimea obiectivelor instructiv-formative imediate, explicite, legate de parcurgerea fiecărui capitol și subcapitol, a fiecărei teme și sarcini din matematica de clasa a treia, se conturează zona unui obiectiv fundamental, către care trebuie canalizată în permanență învățerea matematică, nu numai pe parcursul clasei a treia, ci în general, de-a lungul întregii școlarități.

Matematica, domaniu al reversibilității, devine astfel un instrumant de testare și, mai ales, de cultivare a inteligenței elevului.

Etapa terminală a ciclului primar, clasa a patra ocupă o poziție importantă în evoluția proceselor educaționale și, implicit, în devenirea personalității școlarului. Transmiterea conținuturilor în învățare, continuă să formeze obiectul activițății de predare-învățare de către cadrul didactic unic, învățătorul, care contează ca lider al proceselor instrucțional-educaționale de-a lungul întregului ciclu primar.

Ceea ce complică și mai mult lucrurile în planul proceselor de instruire și învățare, este nu numai creșterea numărului disciplinelor și al volumului informațional la fiecare disciplină în parte, ci și a faptului că, sub raportul organizării, cunoștințelor din clasa a patra tind să apară, în mai mare măsură, ca modele întrepătrunse prefigurând interdisciplinaritate ce reclamă o restructurare și amplificare pe măsură, a competenței didactice.

La matematică, temele care îi introduc pe elevi în învățarea noțiunilor de fracție ordinară și zecimală – ca moduri de redare a relației parte-întreg, ca și problemei de aflare a distanței, vitezei și timpului sau cele ce implică, în rezolvare așa numita metoda retrogradă, a mersului invers, oferă foarte bune ocazii de educare a gândirii matematice.

Ilustrările, explicațiile și generalizările care se aduc în procesele redării pot să se constituie ca metode susceptibile, să-i conducă pe elevi la surprinderea esenței matematice.

Una din notele specifice ale învățării o poate constitui însăși această călăuzire a elevului către reflexivitatea matematică, bazată pe implementarea noului în unitate cu reconsiderarea „știutului”, nu doar pe adăugarea cantitativă de secvențe de exersare repetată a unor operații deja cunocute, în contextul unor situații problematice care rămân, de fiecare dată, ca grad de complexitate, sub nivelul posibilităților elevilor din clasa a patra.

3. STRATEGII DIDACTICE

Acțiunile de predare-învățare în cadrul disciplinai matematice la clasele I-IV, au determinări concrete, în sensul că se defășoară într-un câmp pedagogic definit de o multitudine de variabile a căror independență este logică.

Didactica modernă a matematicii acordă un loc prioritar parametrilor metodologici ai acțiunii educaționale, în speța complexului de metode, tehnice și procedee didactice.

Specifice predării-învățării matematicii la clasele I-IV sunt strategia inductivă și strategia analogică. Ca tip special de abordare a realității matematice, în maniera inductivă, învățătorul și elevii întreprind experimente asupra situației date, sau în cadrul ei, efectuând acțiuni reale cu obiecte create de gândire (concepte).

Stategia analogică are ca temei o primă și esențială caracteristică a gândirii matematice, anume relevanța ei logic-analogică.

Analiza sistematică a procesului de învățământ scate în evidență trăsătura logică ce există între componențele sale: obiective, conținut, metode, mijloace, forme de organizare a activității, relații educator-educat, toate în lumina conexiunilor necesare, proiectate și evaluate la parametrii de eficiență ridicată.

Modernizarea pedagogiei învățământului matematic, în special din perspectiva apropierii formării gândirii logice a elevilor încă din primele clase de logica științei propriu-zisă, impune organizarea și desfășurarea acesteia într-o manieră nouă : conștietizarea complexității actualului de predare-învățare, metode active și participative etc; prin toate acestea urmărindu-se sporirea eficienței formative a învățământului.

În practica școlară, metoda se definește drept o cale de urmat în vederea atingerii unor obiective instructiv-educative dinainte stabilite, ca cele de transmitere și însușiri a unor cunoștințe, de formare a unor priceperi și depinderi etc.

Ansamblul metodelor de predare și învățare utilizate constituie ceea ce se numește metodologia procesului de învățământ.

Deoarece nu am putut efectua o cercetare pedagogică mai amplă, cercetarea pe care am întreprins-o, s-a desfășurat doar în cadrul orelor de practică pedagogică. În cercetarea efectuată am utilizat două matode.

O primă metodă este cea a observării pedagogice, adică observarea în general, aplicată în condițiile defășurării fenomenului pedagogic, a procesului instructiv-educativ. Metoda observației constă în urmărirea faptelor așa cum se desfășoară ele în condiții obișnuite. Avantajul observației constă în aceea că permite observatorului să surprindă diferite aspecte în desfășurarea naturală a fenomenului. Sursele observației pedagogice sunt practic nelimitate. Atunci când se referă la activitatea elevilor, important este ca aceștia să nu-și dea seama că sunt observați.

Ca metodă de cercetare se deosebește de observația spontană prin aceea că presupune elaborarea prealabilă a unui plan de observație cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, a cadrului în care se desfășoară și a eventualelor instrumente ce vor putea fi folosite pentru înregistrarea celor observate.

Se folosește în toate etapele cercetării și însoțește, de obicei, toate celelalte metode, oferind date suplimentare în legătură cu diverse aspecte ale fenomenelor investigate.

Orice cercetare pedagogică nu se clădește pe gol, oricât de originală ar fi ideea care o pune în mișcare. O bogată cultură pedagogică întreține viu focul cercetării îi deschide pespective, dar și o ajută să ocolească drumuri bătute și să le recunoască, chiar să afle date utile. De aceea, ca o a doua metodă pe care am folosit-o în cercetarea întreprinsă este cea a documentării pedagogice.

În aceste condiții, în care cecetătorii nu au o perspectivă relativ-cuprinzătoare asupra documentării temelor în studiu, e firesc ca lucrările lor să fie sub riscul unor erori științifice posibile.

La o corectă, completă și obiectivă documentare pedagogică nu va putea apela cercetătorul problemelor teoretice și practice, decât după ce o instituție specializată va întocmi bibliografia integrală a publicațiilor pedagogice – utilizând nu numai cărțile, dar și articole din toate publicațiile periodice, de profil pedagogic și înrudit (psihologie, sociologie etc.), precum și din cele cu profil cultural. Este o operă complexă, de durată care a mai fost proiectată în trecut, dar nu s-a realizat.

Prin mijloace de învățământ înțelegem un ansamblu de resurse sau instrumante materiale și tehnici produse, adaptate ori selectate în vederea îndeplinirii sarcinilor instructiv-educative ale școlii. Ele sunt investite de la început cu un anumit potențial pedagogic, cu funcții specifice, ceea ce le deosebește de celelalte dotări materiale ale școlii.

În calitate de instrumente de acțiune sau purtătoare de informație, aceste mijloace intervin direct în procesul de instruire, sprijinând și amplificând eforturile de predare ale învățătorului și cele de învățare ale elevului.

Din punct de vedere psihologic, mijloacele didactice facilitează perfecționarea capacității de percepție, antrenează gândirea în direcția dezvoltării capacității sale de mărire a câmpului perceptiv.

Diferite metode, materiale didactice și mijloace de învățământ pot fi utilizate singure sau în combinație. Folosirea lor izolată sau excesivă este mai puțin eficientă decât în asociație. Chiar și cele mai sofisticate metode sau tehnici audio-vizuale, prin ele însele, izolate, nu constituie o garanție a eficienței lor, a unei învățări reușite. Complexitatea unei situații de instruire este de așa natură încât solicită folosirea unor variante, metode și mijloace, clasice sau moderne, nu ca entități distincte, ci ca resurse interdependente ce acționează după principiul complementarității funcțiilor, al compensației și susținerii reciproce.

Modul în care învățătorul reușește să aleagă, să combine și să organizeze – într-o ordine cronologică – ansamblul de metode, materiale și mijloace în vederea atingerii anumitor obiective, definește ceea ce se cheamă strategia didactică.

Adeseori, unui mod de combinare a resurselor amintite i se asociază un mod de abordare a învățării și predării. Există moduri de abordare diferite. De exemplu, analitic sau sintetic, intuitiv sau deductiv, clasic sau modern, frontal sau individual etc.

Alteori, un mod de abordare poate fi orientat spre „învățarea prin receptare”, sau „învățarea prin acțiune practică”, „învățarea prin joc”, etc.

Astfel , o stategie poate fi înțeleasă în cele din urmă, ca un mod de abordare și rezolvare a unei sarcini de instruire (învățare), rezolvare care presupune algebra anumitor metode și mijloace, combinarea și organizarea optimă a acestora în scopul atingerii unor rezultate maxime.

O strategie didactică are semnificația unei tatonări, a găsirii prin ipoteze anticipate a răspunsului sau a soluției cea mai bună pentru problema dată.

CAPITOLUL II

MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE

NOȚIUNEA DE NUMĂR NATURAL

Noțiunea fundamentală cu care operează copiii încă din primele zile ale școlarității o constituie noțiunea de număr natural. Introducerea acesteia se bazează pe conceptual de mulțimi echivalente.

Două mulțimi care pot fi puse în corespondență biunivocă se numesc mulțimi echivalente. Relația de echivalență grupează mulțimile în clase de echivalență, fiecare clasă cuprinzând mulțimile care au același număr de elemente, indiferent de natura lor. Prin urmare, o clasă de echivalență este caracterizată printr-o proprietate comună tuturor mulțimilor ce-I aparțin, anume proprietatea de a conține același număr de elemente. Această proprietate se numește puterea clasei de echivalență și este reprezentată printr-un număr numit număr natural. Deci, numărul natural este simbolul care caracterizează, cu un grad înalt de generalitate, mulțimile echivalente.

Astfel, proprietatea caracteristică mulțimii vide este reprezentată prin numărul zero, de unde rezultă că zero este un număr natural întrucât caracterizează clasa de echivalență a mulțimilor care nu conțin nici un element. Proprietatea caracteristică mulțimilor cu un singur element este reprezentată prin numărul 1, cea a mulțimilor cu un element și încă unul este reprezentată prin numărul 2, ș.a.m.d. Prin urmare, numerele: 0, 1, 2, 3, …, n, caracterizează mulțimile echivalente formate, respectiv, din 0, 1, 2, 3, …, n, și se numesc numere naturale.

Întrucât clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime A se numește cardinalul mulțimi A, notat card. (A), rezultă că numărul natural corespunde cardinalului mulțimilor finite de aceeași putere.

Pentru mulțimile finite, identificăm clasa mulțimilor de câte n elemente, deci cardinalul finit n, cu numărul natural n. Spre exemplu, mulțimii elevilor unei clase, mulțimii literelor din alfabetul latin etc., le corespunde câte un cardinal pe care îl identificăm cu numărul elementelor mulțimii respective, deci cu un număr natural.

Dacă ne referim la mulțimile infinite, o clasă de mulțimi infinite echivalente se numește cardinal transfinit.

2. CONSTRUCȚIA MULȚIMII NUMERELOR NATURALE

Dezvoltarea în secolul trecut a teoriei mulțimilor a creat condiții favorabile definirii riguroase a numărului natural. Lucrări ale unor matematicieni celebri ca G. CANTOR sau W. R. DEDEKIND, conțin diverse variante ale definiției numărului natural în maniera constructivistă. Aceștia au pornit de la ideea comparării grupelor finite de obiecte, utilizând corespondența bijectivă. Astfel, două colecții finite, între care se poate stabili o corespondență bijectivă au, prin definiție, tot atâtea elemente. Pornind de la această defniniție, numărul apare ca o idee abstractă comună, asociată tuturor colecțiilor finite de obiecte distinctecare se pot pune, între ele două câte două, în corespondența bijectivă. În virtutea acestei definiții, numărul natural 2 se asociază tuturor perechilor de obiecte distincte; numărul natural 3 se obține prin adăugarea unui obiect la o pereche de obiecte distincte (triplete), etc. Această definiție este foarte apropiată de ideea intuitivă despre numerele naturale, dar prezintă dezavantaje din punct de vedere logic și matematic, ce pot genera paradoxal.

Ținând cont că în teoria mulțimilor nu dispunem decât de clase și mulțimi, putem lua ca mulțime “standard” pentru definirea numerelor naturale, mulțimea vidă. Prin clasă se înțelege o colecție de obiecte oarecare, nelegată de alte condiții. Termenul de mulțime generează acele clase care aparțin ca element unei clase prealabil definite. Deci o clasă X este mulțime dacă există o clasă Y care să o conțină ca element. Vom nota cu U universul mulțimilor, conținând toate mulțimile, reuniunea, intersecția sau produsul cartezian al oricăror mulțimi.

Oricare ar fi numerele naturale a, b, c, …, ele au următoarele proprietăți :

1. Reflexivitatea: Orice număr natural este egal cu el însuși, adică a=a, ∀

a ∈ ℕ.

2. Simetria: Dacă un număr natural a este egal cu un număr natural b,

atunci și b=a; ∀a∈ℕ, b∈ℕ, a=b⇔b=a.

3. Tranzitivitatea: Dacă un număr natural a=b, și dacă b=c, atunci și a=c;

∀ a∈ℕ, b∈ℕ, c∈ℕ, dacă a=b și b=c ⇒ a=c.

În continuare, vom prezenta două axiome de bază ale teoriei mulțimilor, care sunt necesare în definirea conceptului de număr natural, respectiv, în construirea mulțimii numerelor naturale.

Fie U clasa tuturor mulțimilor.

AXIOMA INFINITULUI. Există cel puțin o mulțime A∈U care satisface condițiile:

Ø∈A;

(∀) mulțimea X∈A⇒X’∈A.

AXIOMA DE REGULARITATE. Oricare ar fi o mulțime X, avem X∉X (nici o mulțime nu se include ca element).

În definirea numărului natural, vom considera clasa mulțimilor care satisfac următoarele proprietăți:

Conțin mulțimea vidă ∀ Ø;

Dacă conțin o mulțime ca element, atunci conțin și succesorul acelei mulțimi.

Axioma infinitului asigură existența unor astfel de mulțimi, pe care le numim mulțimi autosuccesoare.

Să notăm cu N clasa mulțimilor, construită după cum urmează: Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}}}…

Cardinalul unei mulțimi X din N se numește număr natural.

Prin urmare, |Ø| = 0 este numărul natural 0;

|{Ø}| = 1 este numărul natural 1;

|{Ø, {Ø}}| = 2 este numărul natural 2, etc.

Mulțimea cardinalelor elementelor mulțimii N o numim mulțimea numerelor naturale.

Fie n un număr natural. Conform definiției, există o mulțime A∈N astfel că n=|A|, iar A și {A} sunt disjunctive. Prin urmare: |A’|=|A∪{A}| = |A|+|{A}| = n+1.

Notăm cu n’=n+1 și spunem că n’ este succesorul numărului natural n.

Menționăm 3 proprietăți fundamentale ale mulțimii N, strict necesare pentru înțelegerea conceptului de număr natural.

Mulțimea N are următoarele proprietăți:

{Ø}∪{X’/X∈ℕ} = N

Oricare ar fi {A} și {B} din N, dacă există o aplicație: f:A→B injectivă, atunci A⊆B;

Pentru orice două mulțimi A, B∈N, avem A∼B⇒A=B.

Vom nota cu ℕ={0, 1, 2, 3, …, n, …}, mulțimea numerelor naturale. Este evident că aplicația care asociază fiecărei mulțimi X∈N, numărul |X|∈ℕ este bijectivă, conform propoziției precedente și, prin urmare, N∼ℕ. În baza acestor considerente au loc următoarele proprietăți:

(P1): Pentru orice n∈ℕ avem 0≠n’ (numărul natural 0 nu este succesorul

nici unui număr natural). Dacă n’=0, conform proprietății 2, rezultă

că Ø=X’, unde n=|X|, X∈N; acest lucru este fals deoarce avem

X∈X’.

(P2): Dacă m’=n, atunci m=n (două numere naturale care au același

succesor sunt egale.

(P3): Fie M⊆ℕ care satisface condițiile: 0∈M și n∈M⇒n’∈M, atunci

M=N

Proprietățile (P1), (P2) și (P3) se numesc AXIOMELE LUI PEANO.

Prezentarea conceptului de număr natural permite definirea mulțimilor finite, respectiv, infinite. Se numește mulțime finită, o mulțime al cărei cardinal este un număr natural. Mulțimile al căror număr cardinal nu este un număr natural se numesc mulțimi infinite.

Mulțimea numerelor naturale include submulțimi infinite, al căror cardinal este N₀.

Această proprietate este un caz particular al unei teoreme celebre (DEDEKIND), care afirmă că o mulțime este infinită dacă este cardinal echivalentă cu o submulțime proprie a sa.

În concluzie, mulțimea numerelor naturale este definită prin următoarele condiții:

Zero este un număr natural (0∈ℕ)

Dacă n∈ℕ, atunci n+1∈ℕ (spunem că mulțimea numerelor naturale este închisă la adunarea cu 1)

ℕ este „cea mai mică” mulțime de numere care verifică I și II, adică mulțimea numerelor naturale este intersecția tuturor mulțimilor de numere care satisfac cele două condiții.

Dezvoltarea teoriilor axiomatice a permis construcția mulțimii numerelor naturale pornind de la noțiunile primare zero, notat cu 0 și număr natural, notat cu m, n, p, etc. Ca relație primară se consideră cea de succesor; succesorul unui număr natural ce se notează cu a’.

Giuseppe Peano, influențat de lucrări ale matematicienilor, Grassman și Dedekind, afirmă, la finele secolului trecut că, întreaga teorie a numerelor naturale are la bază cele 3 concepte primare și 5 axiome, în concordanță cu raționamentele logicii.

Axiomele sunt:

A1. Zero este număr natural.

A2. Orice număr natural admite un succesor unic, care este tot număr

natural. (∀x∈ℕ⇒X’=X+1∈ℕ)

A3. Zero nu este succesorul nici unui număr natural.

A4. Dacă două numere naturale au același succesor, atunci ele coincid.

A5. Dacă o mulțime de numere naturale îl conține pe 0, și pentru fiecare

număr din această mulțime, succesorul său aparține mulțimii, atunci

mulțimea considerată coincide cu mulțimea numerelor naturale.

SISTEME DE NUMERAȚIE

Numerația a parcurs de-a lungu istoriei omenirii un lung șir de transformări până s-a ajuns la forma acceptată în zilele noastre pentru scrierea și citirea numerelor naturale.

În urmă cu 4 milenii, popoarele cele mai evoluate (egiptenii, caldeenii, etc.) știau să folosească numerele și să le scrie. Odată cu apariția literelor au apărut și cifrele, ca simbolurile speciale care să faciliteze operarea în scris cu numere. În esență, din considerente practice, a fost necesar să se definească o mulțime finită de simboluri distincte cu ajutorul cărora să se poată scrie orice număr.

Astfel este cunoscut sistemul de numerație roman, care utiliza 7 semne grafice și reguli complicate de scrie a numerelor mai mari de 4000. Fără a insista asupra acestei scrieri amintim cifrele romane (corespondentele lor în paranteze): I(1); II(2); III(3); IV(4); V(5); X(10); L(50); C(100); D(500); M(1000).

Numerotația pozițională zecimală cunoscută în india cu peste 1500 de ani în urmă, s-a rărpândit în Europa începând cu secolul VII d.Hr., adusă de arabii care au cucerit teritoriile Spaniei. Numita scriere arabă, scrierea care utilizează mulțimea de simboluri {0, 1, 2, 3 ,4 ,5 ,6, 7, 8 ,9} are un caracter practic ce permite operarea cu numere de orice tip. Faptul că omul dispune de o mașină de calcul naturală – cele zece degete de la mâini – permite că de la vârsta cea mai fragedă să efectueze calcule simple, iar, odată cu însușirea conștientă a scrisului să opereze la nivel conceptual.

Numim sistem de numerație ansamblul regulilor de grupare a elementelor unei mulțimi în scopul numărării lor și de reprezentare simbolică a numărului obținut.

Simbolurile grafice cu ajutorul cărora reprezentăm unitățile de ordin diferit ale unui număr se numesc cifre.

Numărul care arată câte unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior se numește baza sistemului de numerație.

Orice număr natural n≥2, poate fi considerat baza unui sistem de numerație. Astfel, sistemul de numerație cu baza 2 sau binar utilizează în scrierea numerelor naturale cifrele 0 și 1; sistemul de numerație cu baza 10 sau zecimal, utilizează cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Deci, notând cu B baza sistemului de numerație, numărul de simboluri utilizat în scrierea numerelor este egal cu B.

Un sistem de numerație este pozițional, dacă simbolurile grafice se caracterizează atât prin valoarea cifrică, cât și prin valoarea pozițională.

Valoarea cifrică este dată de cardinalul mulțimii considerate și este egală cu numărul indicat de simbolul respectiv. Valoarea pozițională este dată de locul pe care simbolul îl ocupă în scrierea numărului.

Scrierea numerelor în baza 10.

În sistemul de numerație zecimal, scrierea numerelor naturale se face, utilizând cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, care indică unitățile simple sau unitățile de ordinul I. Unitățile de ordinul II sau zecile, se formează și se numără astfel:

0x10; 5×10;

1×10; 6×10;

2×10; 7×10;

3×10; 8×10;

4×10; 9×10;

Pentru sute sau unități de ordinul III avem :

0x10² 5×10²

1×10² 6×10²

2×10² 7×10²

3×10² 8×10²

4×10² 9×10²

În general, pentru unități de ordinul n, avem :

0x10ⁿ־¹ 5×10ⁿ־¹

1×10ⁿ־¹ 6×10ⁿ־¹

2×10ⁿ־¹ 7×10ⁿ־¹

3×10ⁿ־¹ 8×10ⁿ־¹

4×10ⁿ־¹ 9×10ⁿ־¹.

Trei ordine consecutive formează o clasă. Pentru citirea numerelor naturale, grupăm cifrele fiecărei clase, menționând la sfârșitul fiecărui grup de 3 cifre clasa corespunzătoare. Astfel, numărul 34598 se va citi 34 de mii, 598. Precizarea unei poziții libere se face cu cifre 0. Scrierea numerelor naturale prin punerea în evidență a unităților de diferite ordine o numim scriere sistematică.

Din clasele primare este bine cunoscută scrierea sistematică în baza 10 a numerelor de mai multe cifre, ca de exemplu:

679=6×100+7×10+9

În general, notând cu a₀; a₁; a₂; a₃; a₄; …;an cifrele numărului an an₁ an-₂ an-₃ an-₄…a₁a₀ cu a∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a≠0 scriem:

anan₋₁an₋₂…a₁a₀=anx10ⁿ+an₋₁x10ⁿ⁻¹+…a₁x10+a₀.

Sisteme de numerație poziționale cu baza oarecare

Într-un sistem de numerație pozițional cu baza numărul natural K≥2, unitățile de diferite ordine se formează astfel:

Unități de ordinul I: 0, 1, 2, …, K-2, K-1.

Unități de ordinul II: 0xK, 1xK, 2xK, …, (K-2)xK, (K-1)xK.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Unități de ordinul n : 0xKⁿ⁻¹, 1xKⁿ⁻¹, 2xKⁿ⁻¹, …, (K-2)xKⁿ⁻¹,

(K-1)xKⁿ⁻¹.

Orice număr natural a se scrie în mod unic, în funcție de baza K, în modul următor:

a=bnxKⁿ+ bn₋₁xKⁿ⁻¹+…+b₁+K+b₀, unde: b₀, b₁, b₂, …, bn și K≥2 sunt numere naturale satisfăcând condiția K≥ai≥0, pentru i∈{0,1,2,…,n}.

Transformări ale unui număr natural din baza 10 într-o bază oarecare

În unele domenii de aplicabilitate ale matematicii, informaticii, electronicii, teoria codurilor, se utilizează din rațiuni practice scrierea numerelor în baze diferite de baza 10.

Să considerăm numărul 379 scris în baza 10 și ne propunem să-l scriem în baza 2. Cifrele în baza 2 sunt 0, 1.

379=189×2+1 r0 = 1 unitate de ordinul I

189= 99×2+1 r1 = 1 unitate de ordinul II

99= 49×2+1 r2 = 1 unitate de ordinul III

49= 24×2+1 r3 = 1 unitate de ordinul IV

24= 12×2+0 r4 = 0 unitate de ordinul V

12= 6×2+0 r5 = 0 unitate de ordinul VI

6= 3×2+0 r6 = 0 unitate de ordinul VII

3= 1×2+1 r7 = 1 unitate de ordinul VIII

1= 0x2+1 r8 = 1 unitate de ordinul IX

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Deci 379(10) = 11000111(2)

Scrierea se efectuează în ordinea descrescătoare a ordinului unităților.

În general, transformarea unui număr natural A scris în baza 10, în baza B urmează următorul algoritm:

A=q1xB+r0, r0 = a0<B cu a0 – unități de ordinul I

q1=q2xB+r1, r1 = a1<B cu a1 – unități de ordinul n

La penultimul pas qn<B și vom avea:

qn=0xB+rn, rn = an<B cu an – unități de ordinul n+1

Prin urmare A(10)=anan-1an-2…a1a0(B).

Transformarea din baza B în baza 10

4×8=32 unități de ordinul III

(32+3)x8=280 unități de ordinul II

(280+7)=287 unități de ordinul I

sau (4x8x3)x8+7=4×8+3×8+7=287

În general: anan-1an-2…a1a0(B) = (((anxB+an-1)xB+an-2)xB+…+a1)xB+a0 = anxB+an-1xB+…+a1xB+a0.

Deci transformarea din baza B în baza 10 se obține prin scrierea sistematică a numărului în baza dată și efectuarea calculelor.

Transformarea unui număr natural din baza B în baza B’ se efectuează prin intermediul bazei 10.

Astfel, avem: X(10)=Y(10)=X’(B’)

23(10)=11(10)=15(6).

INTRODUCEREA SISTEMULUI ADITIV DE NUMERAȚIE

În clasa a IV-a se introduce sistemul de numerație aditiv (roman), care este cel mai cunoscut sistem de numerație. Acesta folosește numai 7 simboluri (numite cifre romane) care corespund anumitor numere după cum urmează:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Toate celelalte numere se scriu alăturând semnele de mai sus începând cu cel mai mare.

Ex.: 738 = DCCXXXVIII = 500+100+100+10+10+10+5+1+1+1

În cadrul unui număr scris în sistemul roman nu pot să apară mai mult de 3 semne consecutive de același fel.

Pentru acest motiv următoarele numere se scriu cu două semne, primul reprezentând un număr care se scade din al doilea:

IV IX XL XC CD CM

4 9 40 90 400 900.

Astfel, numărul 3496 se va scrie în sistem roman: MMMCDXCVI.

Pentru numere foarte mari s-a făcut convenția ca grupul de cifre ce reprezintă clasa miilor să se scri cu 2 bare deasupra ș.a.m.d.

════ ═════ ════

De exemplu: 579486341 = DLXXIX CDLXXXVI CCCXLI

O cifră în cadrul unui număr scris în sistem roman are aceeași valoare, indiferent de poziția pe care o ocupă în cadrul numărului. Se spune că sistemul roman de numerație este nepozițional.

CAPITOLUL III

METODOLOGIA PREDĂRII – ÎNVĂȚĂRII NUMERELOR NATURALE ÎN CLASELE I – IV

FORMAREA NUMERELOR NATURALE ÎN SECVENȚA 0 –10

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă, ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului și, de aceea, trebuie să i se acorde o atenție deosebită. Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, este perioada când aceștia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor și a cifrelor, pentru scrierea lor.

La conceptul de număr natural elevul ajunge progresiv și după o anumită perioadă pregătitoare. În această perioadă este inițiat în activitate de compunere și punere în corespondență a mulțimilor pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau milțimi care au același număr de elemente.

Înregistrarea in scris a numărului, introducerea simbolului sau a semnului grafic al numărului reprezintă o perioadă superioară a procesului de abstractizare.

Activitățile de stabilire a corespondenței, element cu element a mulțimilor urmăresc să dezvolte la copii înțelegerea conținului esențial al noțiunii de număr ca o clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată.

Elevii construiesc mulțimi echivalente cu o mulțime dată și, în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietățile numerice ale mulțimilor care au același număr de elemente. Folosind denumirea de mulțimi cu „tot atâtea elemente” se declanșează progresiv, noțiunea de număr ca o clasă de echivalență.

Clasa tuturor mulțimilor finite echivalente cu mulțimea cu un singur element este numărul natural 1. Clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime cu două elemente este numărul natural 2, ș.a.m.d.

Procesul construcției șirului numerelor până la 10 se face progresiv. Din clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 2 – 3 mulțimi model, ca reprezentanți ai clasei. Esențial este ca elevii să înțeleagă faptul că există un n umăr nesfârșit de mulțimi echivalente cu mulțimea model, precum și disticția dintre număr și semnul său grafic.

Însușirea conștientă a noțiunii de număr se fundamentează pe:

Înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

Înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 – 10 (aspectul ordinal al numărului);

Înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale, a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);

Cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;

Citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

Elevii trebuie să înțeleagă că relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale nu este dată de denumirea lo, care de multe ori se învață mecanic, ci de relațiile „mai mic” sau „mai mare” care se stabilesc între numere și care corespund relațiilor „mai puțin” sau „mai mult” între mulțimile ce reprezintă numerele date.

SUGESTII METODICE

Construcția mulțimilor prin echivalențe cu mulțimea – model alcătuită de învățător la tablă, presupune angajarea activă a gândirii copilului în realizarea progresivă a esențialului și generalului matematic, parcurgând și câteva etape importante.

Se conturează astfel un model metodologic de predare – învățare a numărului 5. Aceste etape sunt:

Se construiește o mulțime care are tot atâtea elemente câte indică numărul anterior învățat și o mulțime cu un singu element. Dacă se predă numărul 5, se construiesc din bile (bețișoare, figuri geometrice, jetoane) o mulțime cu patru bile și una cu o singură bilă;

Se reunesc cele două mulțimi. Mulțimea formată prin reuniune se deosebește de cea cu patru elemente prin faptul că are un element în plus. Învățătorul denumește mulțimea nou formată, explicând elevilor că s-a obținut o mulțime care are patru elemente și încă un element și despre o astfel de mulțime spunem că are 5 elemente;

Se construiesc, apoi, mulțimi care au tot atâtea elemente câte are mulțimea nou formată, folosind corespondența element cu element a mulțimilor, sau formarea perechilor de elemente; Învățătorul subliniază faptul că numărul arată câte elemente are fiecare din mulțimile construite;

Se arată semnul grafic, sau cifra corespunzătoare numărului. Se scrie de către învățător pe tablă și de elev pe caiete;

Se construiește, cu ajutorul rigletelor, o mulțime care are tot cinci unități așezate în linie și se cere elevilor să găsească o rigletă care are aceeași lungime ca și lungimea rigletei obținute prin așezarea în linie, una după alta, a celor 5 riglete unități. Aceasta este rigleta corespunzătoare numărului nou 5.

Scrierea numerelor ridică, de cele mai multe ori, dificultăți de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decât greutățile pe care el le întâmpină când învață primele litere ale alfabetului. Cifra reprezintă semnul numărului, așa cum litera reprezintă semnul sunetului. Dificultățile sporesc fiindcă el trebuie să realizeze o legătură strânsă și reversibilă între trei elemente: conceptul numeri, exprimarea sa verbală și semnul grafic. Atunci când i se arată elevului cifra patru, acesta trebuie să știe să o exprime, verbal, prin cuvântul „patru” și să știe să construiască sau să indice o mulțime cu patru elemente. Atunci când i se arată o mulțime cu patru elemente, elevul trebuie să indice cardinalul sau să exprime cuvântul „patru” verbal și să scrie simbolul său, adică cifra 4.

Scrierea de mână a cifrei se face odată cu predarea corespunzătoare a numărului pentru a se realiza o strânsă legătură între număr, exprimarea sa verbală și simbolul său grafic, care este cifra.

O atenție specială trebuie acordată procesului de înțelegere a semnificației cifrei 0, deoarece aceasta reprezintă, pentru copil, o dublă abstracție: cifra zero nu mai exprimă ceva concret, ea este simbolul clasei de mulțimi care nu au nici un element, adică a mulțimilor vide.

Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în același timp cu introducerea numărului nou, să se predea și relația de ordine a acestuia: numărul și numerele predate anterior.

2. FORMAREA NUMERELOR NATURALE ÎN SECVENȚA 0 – 100

Înțelegerea procesului de formare a numerelor mai mari decât 10 și mai mici decâd 20 este esențială pentru extinderea procesuluide formare a numerelor mai mici decât 100.

Dacă vom reuni o mulțime formată din 20 de elemente cu o mulțime formată din 5 elemente se va obțin o mulțime formată din 25 de elemente.

Activitățile de reuniune a mulțimilor formate dintr-un număr de submulțimi de câte zece elemente cu o mulțime formată dintr-un număr de elemente mai mic decât 10, ne conduce în mod progresiv la construcția mulțimii numerelor naturale mai mici decât 100. Deci vom avea:

20+3=23 30+6=36 70+5=75 90+ 1 = 91

20+8=28 40+9=49 80+3=83 90+10 =100

Trecerea de la concentrul primelo 10 numere naturale mai mici decât 100 prin depășirea primei zeci constituie esența înțelegerii de către copil a structurii zecimale a sistemului de numerație și o bază necesară pentru extinderea treptată a concentrelor numerice.

Pentru a ilustra formarea succesivă a șirului numerelor naturale se poate folosi un material didactic bogat și variat existent (numărătoarea cu bile, abac, trusa de riglete, tabla magnetică).

În ultimul timp, cele mai se folosite sunt trusa magnetică, abacul din plastic și trusa de riglete, cu ajutorul lor se indică nu numai numărul unităților și zecilor, ci și poziția cifrelor cu care se scrie numărul.

3. FORMAREA NUMERELOR NATURALE ÎN SECVENȚA 100 – 1000

Este foarte importantă formarea noțiunii de ordinul sutelor zeci zeci formează o sută iar zece sute formează o mie.

Astfel se va conștientiza formarea numerelor în sistemul de numerație zecimal, noua programă prevăzând, chiar, analogii cu formarea numerelor naturale și în alte sisteme de numerație cu bazele 2, 3, 5, …

O mulțime formată din zece elemente o vom asocia unei riglete pe care este marcat un triunghi (deci, acesta este semnul distinctiv al zecilor), în timp ce pe rigletă, unitatea este marcată ca un disc.

Formarea numerelor naturale mai mari decât 100 impune ca reprezentare un anumit material didactic pentru realizarea structurilor numerice și anume, se utilizează următoarele simboluri:

Unități – U – discuri negre

Zeci – Z – triunghiuri albastre

Sute – S – romburi roșii

Mii – M – trapez verde

În studiul numerelor până la 1000, elevii învață următoarele unități de calcul: unitatea simplă, zecea, suta, mia.

De asemenea, ei cunoeâsc baza zecimală a acestor unități, adică zece unități simple formează o zece, zece zeci formează o sută, zece sute formează o mie. Deci, se va spune că, în general, zece unități oarecare formează o unitate de ordin imediat superior.

Pentru formarea, scrierea și citirea oricărui număr până la 1000, elevii folosesc diferite materiale, cum sunt: mănunchiuri de bețișoare, riglete, abacuri cu orificii și fise, ș.a.m.d.

În vederea însușirii numerației cu numere de orice mărime, cel mai adecvat material didactic este numărătoarea cu discuri care înlocuiește cu succes tradiționala numărătoare cu bile. Avantajul primeia constă în faptul ca sîrmele sunt dispuse vertical, de la dreapte la stânga, fiecare sîrma, sugerând, după poziția pe care o ocupă, diverse ordine zecimale.

NUMERE NATURALE MAI MARI DECÂT 1000

Predarea – învățarea numerelor naturale mai mari decât 1000 prezintă următoarele caracteristici:

se extinde considerabil sistemul zecimal de numerație cu noi unități de calcul, asigurându-se, astfel, sistematizarea și aprofundarea studiul numerelor naturale;

se introduc noțiunile de ordin și clasă;

se completează și se consolidează înțelegerea conceptului de sistem pozițional de numerație, având la dispoziție, incomparabil mai multe exemple de până acum;

se studiază sistematic operațiile în scris, proprietățile acestora, ordinea operațiilor, folosirea parantezelor;

se îmbogățește considerabil limbajul matematic;

se diminuează, acolo unde este posibil, apelul la intuiție, trecându-se progresiv, dar hotărât, la abstractizări, procesul gândirii și operativitatea ei specifică având acum un rol preponderent, aceasta nu înseamnă renunțarea la principiul unității dintre concret (intuitiv) și abstract în formarea noțiunilor matematice.

Formarea numerelor mai mari decât 1000 implică o sistematizare a noțiunilor învățate, reactualizându-se unitățile de numerație însușite, precizându-se locul ocupat de fiecare, felul de formare și raportul unitar dintre două ordine consecutive. Apare astfel, următorul tabel:

10 unități simple = 1 zece

10 zeci = 1 sută

10 sute = 1 mie

10 mii = 1 zece de mii

10 zeci de mii = 1 sută de mii

10 sute de mii = 1 milion

10 milioane = 1 zece de milioane

10 zeci de milioane = 1 sută de milioane

10 sute de milioane = 1 miliard (1 bilion)

10 miliarde = 1 zece de miliarde

10 zeci de miliarde = 1 sută de miliarde

În continuare se trece la numerotarea unităților de calcul în succesiunea învățării lor, consolidându-se, astfel noțiunea de ordin, după cum urmează:

unități simple : unitate de ordinul 1;

zeci : unitate de ordinul 2;

sute : unitate de ordinul 3;

……………………………………………………..

Pentru însușirea noțiunii de clasă se arată că primul grup de 3 ordine este format din unități simple, și el se numește clasa unităților, următorul grup de 3 ordine este format din mii și se numește clasa miilor, al treilea grup de 3 ordine format din milioane se numește clasa miloanelor, al patrulea grup de ordine este format din miliarde și se numește clasa miliardelor.

Deci, se numește clasă un grup de 3 ordine consecutive, începând cu primul ordin.

Pentru prepararea – învățarea numerelor mai mari decât 1000 foarte eficiente, ca mijloace didactice sunt calculatoarele cu bile, dar se poate utiliza și abacul.

CAPITOLUL 4

METODOLOGIA PREDĂRII – ÎNVĂȚĂRII OPERAȚIILOR ÎN MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE

1. FORMAREA NOȚIUNII DE OPERAȚIE

La clasele I – IV nu se face un studiu teoretic al problemei, în sensul definirii operațiilor. Mai departe, considerăm, însă, că învățătorul trebuie să cunoască cu claritate definiția fiecărei operații cu numerele naturale și proprietățile acestora. Aceste cunoștințe facilitează formarea noțiunii de operație – adunare, scădere, înmulțire și împărțire – la nivelul posibilităților de înțelegere ale elevilor. Astfel, se urmărește conștientizarea de către elevi a procesului de cunoaștere, a semnificației operațiilor, cât și a principiilor ce stau la baza aplicării lor în calcul. Pentru elevii cu înclinații spre matematică, cunoștințele teoretice ale învățătorului devin condiție necesară pentru educarea acestor înclinații, chiar de la clasele mai mici. În acest context, considerăm că este necesară tratarea unor aspecte teoretice privind definirea operațiilor și, apoi, a celor practice, demonstrative, vizând formarea noțiunii de operație la clasele I – IV.

2. OPERAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE

Procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale are la bază operațiile cu mulțimi de obiecte. Aceasta constituie baza intuitiv – concretă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale, cât și pentru sesizarea principiilor de bază după care se efectuează calculul.

Introducerea operațiilor cu numere naturale nu se face izolat, ci cu ajutorul legăturii dintre operații și cunoștințele însușite anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a acestora. Astfel, scăderea se introduce ca o operație de aflare a unui termen, al unei adunări atunci când se cunoaște suma și unul din termenii adunării, înmulțirea ca o adunare repetată, împărțirea ca o scădere repetată sau ca operație de aflare a unui factor al unei înmulțiri când se cunosc produsul și unul din factorii înmulțirii etc.

Adunarea numerelor naturale este operația internă prin care se asociază la numerele naturale a și b un număr natural notat cu a+b, care se numește suma numerelor naturale a și b. Numerele a și b se numesc termenii adunării.

Legea de asociere, de obținere a sumei a+b, este dată cu ajutorul regulii de operație, folosind mulțimi. Dacă A și B sunt 2 mulțimi disjuncte cu a elemente și, respectiv, cu b elemente, atunci, numărul elementelor mulțimii ce se obține prin reuniunea celor 2 mulțimi este a + b (suma numerelor a și b)

Adunarea numerelor naturale este o operație totdeauna posibilă pe ℕ, deci o lege de compoziție internă, pe ℕ peste tot definită.

Dintre proprietățile ce se pot stabili pentru o operație internă de tip aditiv, adunarea numerelor naturale se bucură de următoarele proprietăți:

asociativitatea – oricare sunt numerele naturale a, b și c, avem: (a+b)+c = a+(b+c);

comutativitatea – oricare ar fi numerele naturale a și b avem: a+b = b+a;

existnța elementului neutru – există numărul natural 0 (zero), astfel încât a+0 = 0+a = a, oricare ar fi a∈ℕ.

Scăderea numerelor naturale este operația prin care, cunoscând suma a două numere naturale și unul din termeni, se află cel de-al doilea termen. Deci, a scădea dintr-un număr a, numit descăzut, un alt număr b, numit scăzător, cu a≥b, înseamnă a găsi un alt număr natural, c, numit rest sau diferență, care adunat cu scăzătorul să dea descăzutul. Adică:

a-b=c, dacă a=b+c

Scăderea numerelor naturale se poate introduce cu ajutorul mulțimilor astfel: se ia o mulțime A cu a elemente și o submulțime a sa B cu b elemente. Mulțimea diferență dintre A și B sau complementara lui B față de A are a-b elemente.

Înmulțirea numerelor naturale. A înmulți a cu b, înseamnă a aduna numărul natural a cu el însuși de b ori. Deci:

a+a+a+a+…+a=bxa

de b ori

Numerele care se înmulțesc se numesc factori. Înmulțirea numerelor naturale este o operație întotdeauna posibilă în ℕ. Regula de operație este dată de adunarea repetată a aceluiași număr natural.

Înmulțirea poate fi introdusă și folosind produsul cartezian. În acest caz, înmulțirea numerelor a și b se introduce astfel: se iau două mulțimi A și B, cu a și, respectiv, b elemente, se formează mulțimea AxB, iar numărul elementelor acestei mulțimi este tocmai axb.

Dintre proprietățile ce se stabilesc pentru o lege de tip multiplicativ, înmulțirea numerelor naturale se bucură de următoarele proprietăți:

asociativitatea – oricare ar fi numerele a și b și c, avem (axb)xc=ax(bxc);

comutativitatea – oricare ar fi numerele naturale a, b, avem; axb =bxa;

existența elementului neutru – există numărul natural 1, astfel încât ax1 = 1xa = a, oricare ar fi a∈ℕ.

Cele două operații interne definite pe ℕxℕ (adunarea și înmulțirea numerelor naturale) se leagă între ele și printr-o proprietate comună – aceea de:

distributivitatea înmulțirii față de adunare – oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem: ax(b+c) = axb + axc.

Împărțirea numerelor naturale se introduce ca operația de determinare a unui număr natural atunci când se cunosc produsul a 2 numere naturale și unul din factorii produsului, acest factor fiind diferit de zero.

În general, prin împărțirea numărului natural a la numărul natural b, se înțelege găsirea unui număr natural c, astfel încât a=bxc. Numărul natural b, trebuie să fie diferit de zero și se numește împărțitor, numărul natural a se numeșe deîmpărțit, iar rezultatul împărțirii se numește cât. În plus, pentru ca împărțirea în ℕ să fie posibilă, trebuie ca deîmpărțitul să fie divizibil cu împărțitorul.

Dacă deîmpărțitul nu este divizibil cu împărțitorul, se spune că împărțirea nu se face exact, că restul ei nu este zero și o numim împărțire cu rest, pe care o definim astfel:

Oricare ar fi numerele naturale a și b, cu b≠0, există două numere naturale, c și r, cu r <b, astfel că a=bxc+r (teorema împărțirii cu rest).

Comparând cele două cazuri, se constată că primul caz constituie un caz particular al celui de-al doilea (al împărțirii cu rest), și anume, atunci când restul este nul. În ambele situații, regula de operație a împărțirii este dată cu ajutorul înmulțirii:

Ex.: 72:9=8 pentru că 8×9=72;

75:9=8(rest 3) pentru că 8×9+3=75.

Numărul zero și operația de împărțire

Dacă a=b=0, împărțirea la 0 nu are sens.

Dacă a≠0 și b=0, nu are sens întrucât egalitatea a x x o nu este satisfacută pentru că nu există nici un număr natural x astfel încât acesta înmultit cu zero să ne dea numărul natural a.

Cu ajutorul mulțimilor, împărțirea cu rest a numerelor naturale se bazează pe separarea mulțimii A cu a elemente în submulțimi disjuncte două câte două, fiecare având câte b elemente. Numărul mulțimilor de câte b elemente ce pot fi formate este câtul împărțirii, iar numărul elementelor rămase nedistribuite în submulțimi este restul împărțirii. Acest model sugerează posibilitatea efectuării împărțirii prin scăderi repetate ale aceluiași număr, deci determinarea câtului și restului prin calcul. Regula de operatie a împărțirii poate fi dată și cu ajutorul scăderii repetate.

De exemplu: 24 8 3, pentru că 8 se poate scădea de trei ori din 24, deci câtul este 3 și restul o, sau 37 9 4 și rest 1, pentru că 9 se poate scădea repetat din 37 de 4 ori iar restul este 1.

Dacă numerele naturale au fost construite cu axiomatica lui Peano, se introduc în mulțimea N două legi de compoziție interne notate „+” și respectiv x, prin următoarele axiome:

1. a + 1 = a’, a

2. a + b + 1 = (a + b)’, a,b

3. a

Aceste axiome nu ne spun precis ce este suma și produsul a două numere naturale, ele ne dau însă posibilitatea de a găsi pentru oricare două numere naturale suma și produsul lor, unic determinate.

Se poate demonstra, prin inducție completă, că cele două legi de compoziție astfel introduse au proprietățile cunoscute ale adunării și înmulțirii (asociativitate, comutativitate, distributivitate a înmulțirii față de adunare).

PROBLEME SPECIFICE PREDĂRII ÎNVAȚARII ADUNĂRII ȘI SCADERII NUMERELORNATURALE MAI MARI DECÂT 100, CU ȘI FĂRĂ TRECERE PESTE ORDIN

Predarea-învațarea adunării și scaderii cu numere mai mari decât 100, fără și cu trecere peste ordin, se face în mai multe etape: la clasa a II-a se predă adunarea numerelor mai mari decât 100și mai mici decât 1000, fără trecere peste ordin, iar în clasa a III-a

Se predă adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 și mai mici decât 1000, cu trecere peste ordin, apoi adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 1000.

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE FĂRĂ TRECERE PESTE ORDIN

Aceasta categorie de operații poate fi divizată în:

Adunarea a două numere formate numai din sute: această adunare se bazează pe faptul că sutele reprezintă unitățide ordinul al treilea și că adunarea lor se realizează ca și adunarea unităților sau a zecilor;

Adunarea a două numere formate unul numai din sute, iar celălalt din unități sau zeci;

Adunarea la un număr format din sute și zeci a unui număr format numai din unități sau numai din zeci sau numai din sute;

Adunarea la un număr format din sute, zeci și unități a unui număr format din unități sau numai din zeci sau numai din sute;

Adunarea la un număr format din sute, seci și unități a unui număr format numai din unități și zeci, sau a unui număr format numai din sute și zeci sau a unui număr format numai din sute și unități;

Adunarea la un număr format din sute, zeci și unități a unui număr format tot din sute, zeci și unități.

Procedeele aplicabile la aceste cazuri de adunări se bazează pe regulile procedeului general de adunare între ele a numerelor de unități de același ordin și constituirea numărului rezultat din adunarea între ele a sutelor cu sutele, a zecilor cu zecile și a unităților cu unitățile.

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE CU TRECERE PESTE ORDIN

Și această categorie se învață trecând prin mai multe etape. Toate procedeele se bazează pe formarea și scrierea zecimală a numerelor naturale și, daci pe faptul că zece unități de ordinul I formează o unitate de ordinul al II-lea, zece unități de ordinul al II-lea formează o unitate de ordinul al III-lea și așa mai departe pentru numerele mei mari decât o mie.

Deoarece procedeele analoage cu cele folosite la adunarea numerelor formate din zeci și unități, nu vom mai insista asupra lor. La aceste exerciții se recomandă, în paralel cu calculul oral, să se efectueze și calculul în scris.

Recomandăm, de asemenea, ca aceste adunări să se facă treptat și în ordine:

Adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format numai din zeci, suma zecilor celor două numere trecând de 100:

64 + 70=64 + 4 + 70=

=60 + 70 + 4=

=60 + 40 + 30 + 4=

=100 + 34=

=134

În analiza acestui caz, trebuie să se insiste pe formarea sutei din zecile primului număr și o parte din zecile celui de-al doilea număr;

adunarea a două numere foemate fiecare din zeci și sute, dar prin adunarea cifrelor de același ordin numai o sumă să depășească ordinul respectiv:

53 + 84=50 + 3 + 80 + 4=

=50 + 50 + 30 + 3 + 4=

=100 + 37=

=137.

64 + 27=60 + 20 + 4 + 7=

=80 + 10 + 1=

=90 + 1=

=91.

adunarea a două numere formate din zeci și unități astfel încât prin adunarea atât a unităților cât și a zecilor să se depășească ordinul respectiv;

76 + 85=70 + 6 + 80 + 5=

=70 + 80 + 6 + 5=

=150 + 11=

=161;

adunarea a două numere formate unul din sute, zeci și unități, iar celălalt numai din unități sau numai din unități și zeci:

463 + 8=460 + 3 + 8=

=460 + 11=

=471.

546 + 87=540 + 6 + 80 + 7=

=540 + 80 + 6 + 7=

=620 + 13=

=633.

adunarea a două numere formate fiecare din unități, zeci și sute:

86 + 548=300 + 80 + 6 + 500 + 40 + 8=

=300 + 500 + 80 + 40 + 6 + 8=

=800 + 120 + 14=

=920 + 14=

=934.

La fiecare situație se insistă pe faptul că se adună între ele unitățile de același ordin, că din 10 unități de un anumit ordin se formează o unitate de ordin imediat superior care se adună la numărul unităților de acest ordin rezultat prin efectuarea operației de adunare între ele. La calculul în scris, pentru forma verticală, trebuie să se insiste pe scrierea atât a numerelor care se adună, cât și acelui rezultat din adunare, a unităților de un anumit ordin sub unități de același ordin.

SCĂDEREA NUMERELOR MAI MARI DECÂT 100

Operația de scădere este mai dificilă decât cea de adunare. Dificultatea constă în faptul că scăderea presupune un efort de gândire mai mare din partea elevilor. Aceasta se datorește faptului că în cazul când numărul de unități de un anumit ordin al dezcăzutului este mai mic decât numărul de unități de același ordin al scăzătorului trebuie să se transforme o unitate de acest ordin în zece unități de ordinul imediat inferior, să se scadă această unitate din cele de același fel existente. Deci, se fac simultan mai multe descompuneri și compuneri de numere de ordin diferite.

Este evident că învățătorul va trebui, să reamintească elevilor compararea realizată prin diferență și să facă mai multe exerciții cu scăderi în concentrul 0 – 100.

În acest sens recomandăm să se parcurgă următoarele etape:

scăderea unui număr format numai din zeci și unități din 100;

scăderea unui număr format din zeci și unități din 100;

scăderea unui număr format din unități dintr-un număr format din unități și sute;

scăderea dintr-un număr format din unități, zeci și sute a unui număr format numai din zeci ;

scăderea dintr-un număr format din unități, zeci și sute a unui număr format din unități și zeci;

scăderea dintr-un număr format din unități, zeci și sute a unui număr format tot din unități, zeci și sute.

Pentru fiecare etapă în parte, va începe cu scăderi în care să nu se facă trecere peste ordin și după ce acestea vor fi foarte bine însușite de elevi se av continua cu cele în care sa face trecerea peste ordin.

În continuare, iată câteva exemple de scăderi:

100 – 80=20 + 80 – 80=20;

100 – 40=90 + 10 – 40 – 3=

=90 – 40 + 10 – 3=

=50 + 7=57;

475 – 4=470 + 5 – 4=

=470 + (5 – 4)=

=470 + 1=471;

386 – 9=370 + 10 + 6 – 9=

=370 + 16 – 9=

=370 + 7=377

856 – 40=810 + 40 + 6 – 40=

=810 + 6 + 40 – 40=

=810 + 6=816;

723 – 82=600 + 100 + 20 + 3 – 80 – 2=

=600 + 120 – 80 + 3 – 2=

=600 + 40 + 1=

=641;

546 – 78=400 + 100 + 40 + 6 – 70 – 8=

=400 + 130 + 10 + 6 – 70 – 8=

=400 + 60 + 8=

=468;

456 – 245=400 – 200 + 50 – 40 + 6 – 5=

=200 + 10 + 1=

=211;

587 – 369=500 – 300 + 70 – 60 + 17 – 9=

=200 + 10 + 8=

=218;

843 – 361=700 – 300 + 140 – 60 + 3 – 1=

=400 + 80 + 2=

=482;

523 – 148=300 + 210+ 13 – 140 – 8=

=300 + 210 – 140 + 13 – 8=

=300 + 70 + 5=

=375;

437 – 259=100 + 320 + 17 – 250 + 17 – 9=

=100 + 320 – 250 + 17 – 9 =

=100 + 70 + 8=

=178.

Este evident că, în funcție de nivelul de pregătire al elevilor, de posibilitățile lor intelectuale, de experiența învățătorului și a elevului se poate trece peste o etapă sau alta, se pot aplica aceste procedee sau altele.

Se recomandă ca la scrierea pe verticală și în cazul în care numărul unităților de un anumit ordin al dezcăzutului este mai mic decât numărul de unități de același ordin al scăzătorului, să se specifice prin scriere deasupra cifrei ordinului respectivla dezcăzut numărul de unități obținute prin adăugarea celor zece obținute prin tranformarea unei unități de ordin superior iar deasupra cifrei ordinul care s-a micșorat, cifra care a rămas. De exemplu, pentru scăderea 432 – 125 se va proceda astfel:

400 – 100=300

32 – 25=7

300 + 7=307

O situație aparte o reprezintă scăderile în care cifrele de un anumit ordin, fie ale dezcăzutului, fie ale scăzătorului, sunt zero. Înțelegerea și însușirea de către elev a acestui tip de scădere se va face prin multe exerciții și cu exemple cât mai variate (abordându-se toate cazurile posibile de astfel de acăderi).

La scăderile în care la dezcăzut atât cifra unităților cât și cea a zecilor sunt zero, elevii sesizează mai greu că se ia o sută de la sutele dezcăzutului și se transformă în zeci și că din acestea se ia o zece și se tranformă în unități. La început, la calculul în scris pe verticală este bine să se evidențieze și să se consemneze aceste lucruri. De exemplu, pentru scăderea 400 – 185, în scris va apărea:

400 –

185

215

PROBLEME SPECIFICE PREDĂRII – ÎNVĂȚĂRII ADUNĂRII ȘI SCĂDERII NUMERELOR NATURALE MAI MARI DECÂT 1000.

Operațiile de adunare și de scădere a numerelor naturale mai mari decât 1000 se efectuează oral și în scris , în etape similare și prin procedee analoage cu cele învățate la adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici decât 1000.

Pentru adunarea în scris, ca și scăderea numerelor naturale mai mari decât 1000 este necesar să fie cunoscute temeinic de către elevi clasele și ordinele, scrierea zecimală a acestor numere, ordinea claselor și ordinea claselor în fiecare clasă, scrierea și citirea corectă a numerelor de orice mărime, operațiile de adunare și de scădere însușite anterior (cu numere naturale mai mici decât 1000), să fie formată deprinderea de scriere a claselor sub aceleași clase și a ordinelor din fiecare clasă, cu subordinele corespunzătoare ale claselor corespunzătoare. Prin exerciții repetate, trecându-se prin etape similare cu cele prin care s-a trecut la efectuarea acestor operații cu numere mai mici, comparația se va ajunge la concluzia că tehnica de calcul este aceeași.

Scăderea cu trecere peste ordin prezintă, de asemenea, dificultăți ca și concentrul 0 – 1000, care vor putea fi eliminate prin modalități similare cu cele folosite în acel concentru.

CAPITOLUL 5

MODALITĂȚI DE ÎNMULȚIRE ȘI ÎMPĂRȚIRE A NUMERELOR NATURALE

INTRODUCEREA OPERAȚIILOR DE ÎNMULȚIRE ȘI ÎMPĂRȚIRE LA CLASA A II-A

Operațiile de înmulțire și de împărțire se introduc la clasele a II-a, după ce elevii au dobândid cunoștințe, și-au format priceperi și deprinderi de calcul privitoare la operațiile de adunare și scădere a numerelor naturale.

Predarea înmulțirii și împărțirii se poate face separat sau în palalel.

Conform programei școlare în vigoare, aceste operații se predau separat.

Această modalitate a predării separate a acestor operații este mai indicată, întrucât elevii învață pentru prima dată, iar esențiale pentru ei sunt legăturile dintre adunare și înmulțire, dintre împărțire și scăderea repetată și nu legătura dintre înmulțire și împărțire.

Învățând separat înmulțirea, respectiv împărțirea numerelor naturale, elevii au posibilitatea să se concentreze numai asupra operației, pătrund mai adânc în esența ei prin sesizarea legăturii dintre înmulțire și adunare, dintre împărțire și scădere. După de a fost introdusă operația de împărțire (în părți egale și prin cuprindere), în stabilirea tablie împărțirii, este indicat să se folosească tabla înmulțirii, legătura ce există între împărțire și înmulțire.

5.2 ÎNMULȚIREA NUMERELOR NATURALE DE LA 0 LA 10

În predarea și învățarea operației de înmulțire, intuiția nu mai are un rol predominant (ca la adunare), întrucât elevii au dobândid cunoștințe și și-au format priceperi și deprinderi în legătură cu operația de adunare. Este evident că învățătorul, în predarea noii operații, trebuie să se bazeze pe toate acestea.

La început, se vor reactualiza cunoștințele despre adunare, insistându-se pe adunarea repetată, adunarea mai multor termeni egali, pe proprietățile de comutaticitate și asociativitate ale adunării, pe modul de formare, scriere și citire a numerelor naturale. Ex.: 2+2+2, se citește doi, luat de 3 ori sau de 3 ori 2; 3+3+3+3 se citește luat de 4 ori sau de 4 ori 3 etc.

Se explică și indică elevilor că, pentru adunările repetate se mai folosește și o altă scriere: 2+2+2=2×3 (care se citește 2 ori 3 sau de 3 ori 2) și, respectiv, 3+3+3+3=3×4 (adică de 4 ori 3 sau 4 ori 3).

Prin efectuarea unor astfel de exerciții se face trecerea de la adunarea repetată la înmulțire, trecere care constituie momentul cel mai important în predarea înmulțirii. În acest moment, elevii identifică operația de adunare repetetă cu operația de înmulțire și substituie o operație prin alta. Scrierea unei adunări repetate sub o formă simplificată, ca înmulțire, se face cu ajutorul simbolului operației de înmulțire, care este „X” sau „·”. Simbolul operației de înmulțire se introduce odată cu scrierea primei operații de înmulțire.

Trecerea de la adunarea repetată la înmulțire se poate realiza astfel: se stabilește rezultatul adunării repetate, se solicită elevilor să exprime prin cuvinte această operație de adunare repetată, urmată de scrierea sub cele 2 forme a operației de înmulțire:

Ex.: – Câte creioane sunt în cinci grupe de căte 2 creioane ?

Cum ați calculat ?

2+2+2+2+2=10

Cum putem spune altfel ?

(2 luat de 5 ori fac 10)

Cum scriem ?

2+2+2+2+2=5×2

Deși rolul mijloacelor intuitive în introducerea înmulțirii nu mai este preponderent, pentru ca elevii să înțeleagă înmulțirea ca adunare repetată, învățătorul trebuie să renunțe complet la ele.

După efectuarea unui număr suficient de exerciții, elevii vor sesiza semnificația operației de înmulțire, legătura dintre adunare și înmulțire.

Prin înmulțirea a două numere naturale, a și b se obține un alt număr natural, axb, numit produs. Produsul axb se obține adunând numărul a de b ori.

Numerele care se înmulțesc se numesc factori. Primul factor arată de câte ori se repetă al doilea factor (în adunarea repetată), iar al doilea factor este numărul care se repetă.

De la primele lecții de predare a înmulțirii numerelor naturale se urmărește scoaterea în evidență a proprietății de comutativitate a înmulțirii numerelor naturale. Proprietatea este folosită în stabilirea rezultatelor înmulțirii, când se trece la alcătuirea tablei înmulțirii.

Din punct de vedere metodic, comutativitatea înmulțirii poate fi justificată în felul următor:

așezăm unitățile lui a pe un rând și formăm acest rând de b ori.

Unitățile tabloului obținut reprezintă produsul bxa. Să numărăm aceste unități cu ajutorul coloanelor. Pe o coloană sunt b unități: în tablou sunt a coloane; deci, tabloul conține axb unități. Deci, axb și bxa reprezintă același număr: numărul unităților din tabloul format.

5.3 TABLA ÎNMULȚIRII

Determinarea produsului a două numere cu ajutorul adunării repetate devine greoaie dacă numerele sunt mari. De aceea se urmărește aflarea acestor rezultate prin anumite procedee ca: gruparea factorilor și folosirea comutativității înmulțirii. După ce elevii au înțeles semnificația înmulțirii se trece la învățarea conștientă a înmulțirii cu fiecare număr în parte: 0, 1, 2, 3, ș.a.m.d. Obținerea rezultatelor înmulțirii trebuie să se bazeze pe o participare activă a elevilor. O lecție în care se predă înmulțirea cu un anumit număr trebuie să parcurgă mai multe etape:

repetarea tablei înmulțirii cu numărul precedent sau cu numerele precedente (calculul oral precede însușirea noilor cunoștințe);

stabilirea înmulțirilor cunoscute care au ca facto numărul respectiv (prin folosirea proprietăților de comutativitate a înmulțirii);

obținerea rezultatelor celorlalte înmulțiri cu acest număr prin folosirea rezultatelor înmulțirilor cunoscute;

scrierea tablei complete a înmulțirii cu acel număr;

folosind procedee cât mai variate, învățătorul trebuie să-i facă pe toți elevii să învețe tabla înmulțirii cu acel număr;

rezolvarea de exerciții și probleme în care se aplică înmulțirile învățate.

De exemplu, când avem factor pe 5 se repetă tabla înmulțirii cu 1, 2, 3 sau 4. Prin aplicarea comutativității la aceste înmulțiri cunoscute se scrie:

0x5= 0 5×0= 0

1×5= 5 5×1= 5

2×5=10 5×2=10

3×5=15 5×3=15

4×5=20 5×4=20.

Pentru obținerea celorlalte rezultate ale înmulțirii cu 5, se folosesc procedee variate (adunarea repetată, gruparea termenilor, proprietatea de comutativitate a înmulțirii), care se bazează și pe înmulțirile învățate anterior de către elevi; de exemplu: 5×5=4×5+5=20+5=25, s-a descompus 5 în 4 +1 și s-a folosit înmulțirea cunoscută. Pentru 6×5 se poate proceda în felul următor: 6×5=5×5+5=25+5=30, pentru 7×5 asemănător: 7×5=6×5+5=30+5=35 etc.

Toate aceste exerciții de înmulțire se gupează și se alcătuiește tabla înmulțirii cu 5.

Învățătorul trebuie să acorde o atenție deosebită exersării algoritmilui de cunoaștere, fixare și aplicarea tablei înmulțirii de către toți elevii. Pentru aceasta se folosesc procedee asemănătoare cu cele folosite și la însușirea tablei adunării și scăderii.

5.4 ÎMPĂRȚIREA NUMERELOR NATURALE

După conțimutul problemelor de împărțire, desprinse din situațiile practice de față, împărțirea numerelor naturale se efectuează prin două procedee:

împărțirea în părți egale

împărțirea prin cuprindere.

Împărțirea în părți egale este mai accesibilă înțelegerii copilului, exprimare întrebuințată este în concordanță cu procesul de gândire care are loc, iar justificarea operațiilor se face fără dificultăți. Această împărțire are la bază separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte, două câte două, fiecare având același număr de elemente echivalente. Se știe câte submulțimi se formează, iar prin împărțire se află câte elemente are fiecare submulțime. Metoda principală de împărțire în părți egale este următoarea:

Se stabilește numărul de obiecte ce trabuie împărțit și numărul părților. De exemplu: 12 creioane la 3 elevi;

Se repartizează fiecărei părți (elev) câte un obiect (creion); deci, se iau 3 obiecte (creioane) au mai rămas 9, apoi se repartizează încă 3 creioane, mai rămân 6, care, de asemenea, se repartizează până nu mai rămâne nici un obiect nerepartizat (creion);

Se stabilește numărul obiectelor (creioanele) repartizate fiecărei părți (elev);

Se repetă, se scoate în evidență raționamentul, se formulează concluzia. În exemplul luat: 12 creioane împărțite în mod egal la 3 elevi fac 4 creioane. Acest lucru se scrie: 12:3=4. Simbolul operației de împărțire este „:”, care se citește „împărțit la”. Numărul care se împarte se numește „deîmpărțit”, iar cel la care se împarte „împărțitor”.

La început, este bine ca învățătorul să folosească material didactic variat și apropiat experienței lor de viață (creioane, bile, bețișoare, nuci, mere, caiete, cărți, etc.).

Analizând modul în care se face împărțirea, vedem că se efectuează scăderea părților egale, prin scăderi repetate din numărul inițial, apoi, din primul rest, în continuare din al doilea rest, ș.a.m.d. De exemplu, pentru a împărți pe 12 la 3, efectuăm 4 scăderi: 12-3=9, 9-3=6, 6-3=3, 3-3=0. Numărul de scăderi efectuate este câtul împărțirii. Scăderea repetată se folosește numai la început, când se introduce operația de împărțire, când se pune în evidență, cu ajutorul materialului intuitiv, semnificația acestei operații. Pe măsură ce se formează noțiunea de împărțire ca scădere repetată, se va folosi legătura ei cu înmulțirea, scoțându-se în evidrnță faptul că rezultatele ei se găsesc rapid folosind tabla înmulțirii. De exemplu: 15:3=5, pentru că 3×5=15.

Împărțirea prin cuprindere se bazează pe separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte, două câte două, cu același număr de elemente (echivalente). Cunoscându-se câte elemente are fiecare submulțime, prin operația de împărțire se află câte submulțimi se formează. Acest mod de împărțire prezintă un grad mai mare de dificultate, întrucât nu se poate ilustra in mod concret și atât de ușor ca la împărțirea în părți egale. La împărțirea prin cuprindere și scrierea este mai dificilă.

La problemele la care se impune folosirea procedeului de împărțire prin cuprindere se stabilește numărul de obiecte ce trebuie împărțit. De exemplu: 12 creioane, câte 3 la fiecare elev, câți elevi primesc creioane ? Se scad 3 creioane, apoi altele 3, până nu mai rămâne nici un creion. Se numără câte scăderi s-au efectuat: 12-3=9, 9-3=6, 6-3=3, 3-3=0. Numărul scăderilor efectuate este câtul împărțirii lui 12 prin 3. Deci, 12:3=4, adică 4 elevi primesc creioane.

Atât la împărțirea în părți egale, cât și la împărțirea prin cuprindere, pentru efectuarea împărțirii se fac scăderi repetate.

Pentru a sesiza ce este esențial la fiecare procedeu de împărțire, se recomandă rezolvarea unor probleme simple, în care operația de împărțire este aceeași, dar conținutul problemei conduce la procedee diferite pentru efectuarea împărțirii. Spre exemplu, problema: „Mai mulți copii au răsădit 27 panseluțe pe 3 ronduri de flori, în mod egal. Câte panseluțe sunt pe fiecare rând ?” conduce la împărțirea în părți egale:

27 panseluțe : 3 = 9 panseluțe.

Acest procedeu se aplică în cazul în care se cunoaște numărul total de elemente și numărul submulțimilor (părților) care se formează și nu se cunoaște numărul elementelor din fiecare submulțime. De aceea, câtul împărțirii va avea elemente de același fel cu deîmpărțitul.

Problema: „Mai mulțim copii au răsădit 27 panseluțe în grădina școlii, câte 3 pe un rând. Câte rânduri sunt ?” conduce la împărțirea prin cuprindere:

27 panseluțe : 3 panseluțe = 9.

In acest caz, se cunoaște numărul total de elemente și numărul de elemente dintr-o submulțime și nu se cunoaște numărul submulțimilor. De aceea deîmpărțitul și împărțitorul au elemente de același fel.

De fiecare dată, in exemplele care se dau, este bine să se insiste pe faptul că submulțimile (grupele) formate au un număr egal de elemente (obiective).

După ce elevii și-au însușit conștient noțiunile de împărțire în părți egale și prin cuprindere, se trece la alcătuirea tablei împărțirii, folosind, în special, legătura dintre înmulțire și împărțire. În această situație, stabilirea rezultatelor împărțirii se bazează pe tabla înmulțirii. Practica școlară a dovedit că tabla înmulțirii și a împărțirii numerelor naturale până la 10 trebuie învățate pe de rost, fiind foarte incomod și cu mare pierdere de timp a se cere elevilor ca de fiecare dată când se cere produsul sau câtul a două numere să le deducă.

Pentru cunoașterea, fixarea și aplicarea tablelor înmulțirii și împărțirii, trebuie efectuat un număr mare de exerciții și probleme, a căror rezolvare se face aplicând aceste table în diverse situații. În felul acesta, elevii vor reuși să recunoască situațiile matematice și practice în care se impune efectuarea înmulțirilor și împărțirilor. Dăm în continuare câteva sugestii pentru însușirea și consolidarea împărțirii numerelor naturale:

Care este câtul împărțirii lui 32 la 4?

De câte ori este mai mic numărul 7 decât 56?

La cât trebuie să-l împărțim pe 45 pentru a da câtul 9?

Înmulțind un număr cu 8 obținem rezultatul 32; care este numărul pe care trebuie să-l înmulțim cu 8?

De câte ori este mai mare 36 decât 9?

Exerciții de genul să se rezolve, să se efectueze, să se calculeze, de stabilire a puterii de adevăr a unor relații;

Să se scrie în pătrățele numerele, semnele de operație, simbolurile releției de ordine sau de egalitate care lipsesc, astfel încât, anumite relații să fie adevărate;

Să se pună în locul literelor numerele care satisfac o anumită relație de egalitate sau inegalitate;

Să se taie rezultatele greșite și să se înlocuiască cu cele bune;

Exerciții cu numere concrete, cu unități de măsură întâlnite de elevi în experiența lor de viață;

Rezolvări și compuneri de probleme care să se rezolve prin operații de împărțire sau prin scăderi repetate de același termen;

Folosirea unor jocuri didactice specifice și adecvate pentru operația de împărțire;

Efectuarea unor exerciții mai complexe în care să intervină cele patru operații aritmetice însușite până acum în care să se scoată în evidență proprietatea de distributivitate a operațiilor de înmulțire și împărțire față de cele de adunare și scădere.

Prin exerciții și rezolvări de probleme se vor scoate în evidență și se vor însuși procedeele de realizare a probei împărțirii: pri înmulțirea câtului cu împărțitorul se va obține deîmpărțitul sau prin împărțirea deîmpărțitului la cât pentru a se obține împărțitorul.

5.5 ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR. JUSTIFICARE

Ordinea efectuării operațiilor se predă la clasa a III-a. Exercițiile ce se rezolvă în clasele I și a II-a sunt, astfel, alcătuite încât să se efectueze corect, în ordinea în care sunt scrise. Prin astfel de exerciții, elevii se deprind cu efectuarea succesivă a operațiilor fără să-și pună problema existenței unor reguli referitoare la ordinea efectuării lor. De aceea, învățătorul, prin exerciții de forma 7x5x3 (schimbarea ordinii efectuării operațiilor conduce la rezultate diferite), va urmări ca elevii să deducă necesitatea stabilirii unor reguli după care se efectuează operațiile într-un exercițiu.

Cunoașterea temeinică a acestor reguli o socotim esențială în însușirea operațiilor aritmetice și în formarea deprinderilor de calcul corect. Ordinea efectuării operațiilor poate fi mai ușor înțeleasă de către elevi prin intermediul unor probleme judicios alese, din rezolvarea cărora elevul să poată desprinde singur prioritatea efectuării unor operații aritmetice față de altele. Exemplul următor este edificator:

„Un elev cunmpără 3 creioane a 2 lei bucata, 5 caiete a 3 lei bucata și 2 cărți a 8 lei fiecare. Câți lei costă toate cumpărăturile?”

Trei creioane…2 lei…5 caiete…3 lei…2 cărți…8 lei…? lei

Ce ne întreabă problema ? Ce sumă se plătește. Pentru a afla suma plătită ce operație trebuie să facem? Adunarea. Putem afla dintr-o dată ce sumă se plătește? Nu. De ce? Pentru că nu știm cât costă fiecare cumpărătură în parte și anume – cât costă toate creioanele, toate caietele și toate cărțile. Deci, ce trebuie să aflăm mai întâi? Cât costă creioalele, cât costă caietele și cât costă cărțile. Prin ce operație aflăm costurile acestora? Printr-o operație de înmulțire, după cum urmează:

– Cât costă creioanele?

3×2 = 6 (lei)

– Cât costă caietele?

5×3 = 15 (lei)

– Cât costă cătțile?

2×8 = 16 (lei)

– Cât costă toate cumpărăturile?

6+15+16= 37 (lei)

Deci, pentru a rezolva problema, efectuăm mai întâi înmulțirile, apoi adunăm rezultatele.

OBSERVAȚIE: Examinarea problemei s-a făcut prin metoda analitică, iar comentariul urmărește prioritatea operației de înmulțire față de adunare.

Să punem rezolvarea aceatei probleme sub formă de exercițiu:

3×2+5×3+2×8=37

În acest exercițiu apar operații de înmulțire și de adunare și el se rezolvă efectuând mai întâi înmulțirile și apoi adunările.

Exemple similare vor conduce la constatarea că inmulțirile și împărțirile dintr-un exercițiu se efectuează cu prioritate față de adunări și scăderi, indiferent de ordinea în care apar ele.

CONCLUZIE: Într-un exercițiu în care apar cele patru operații aritmetice se efectuează mai întâi înmulțirile și împărțirile (care se numesc operații de ordinul al doilea) și apoi adunările și scăderile (care se numesc operații de ordinul întâi).

Dacă într-un exercițiu apar numai operații de același ordin, ele se efectuează în ordinea indicată în exercițiu, iar dacă avem numai adunărisau numai înmulțiri, pentru efectuarea lor se pot aplica proprietățile de comutativitate și asociativitate specifice acestor operații.

OBSERVAȚIE: Se poate spune, cu titlu informativ, că există și operații de ordinul al treilea, anume ridicarea la putere și extragerea rădăcinii de un anumit ordin, care se vor studia în clasele gimnaziale și liceale și care au prioritate față de operațiile de ordinul al doilea.

Pentru deprinderea ordinii operațiilor, semnificative sunt execițiile cu numere mici, care mențin atenția copiilor asupra acestui aspect și nu a operației în sine.

Exemple:

2+2:2-3×1=0

6+8:2×3:6-1=7

5x6x3:9:10+5×5:25-8:8=1

5.6 INTRODUCEREA PARANTEZELOR

Uneori practica impune rezolvarea mai întâi a operațiilor de ordinul I, adunarea și scăderea, și apoi a celor de ordinul al II-lea, înmulțirea și împărțirea. Se produce astfel o modificare în ordinea stabilităanterior. În această situație, acordarea priorității în calcul este marcată de paranteze, anume de paranteze mici ( ), mari [ ] și acolade { }.

Acestea închid între ele secvența de exercițiu, căreia i se acordă întâietate.

Introducerea parantezelor mici se face cu ajutorul problemelor, a căror rezolvare impune, mai întâi, efectuarea unor operații de ordinul I și apoi a celor de ordinul al II-lea. Exemplu: „La o adunare școlară, elevii claselor I, II, III și IV cu efective de 31, 27, 33 și 29 de pionieri trebuie să alcătuiască un careu în care, pe fiecare latură să fie un număr egal de elevi. Căți elevi se vor situa pe fiecare latură a careului?

31 elevi…27 elevi…33 elevi…29 elevi…4 laturi…?

Putem afla dintr-o dată câți elevi se află pe fiecare latură a careului? NU. De ce? Pentru că nu știm câți elevi sunt în total. Dar numărul de elevi îl putem afla dintr-o dată? DA. De ce? Pentru că știm câți elevi are fiecare detașament. Cum? Printr-o operație de adunare.

Câți elevi sunt în cele 4 clase?

31+27+33+29=120 (elevi)

Câți elevi se dispun pe fiecare latură?

120:4=30 (elevi).

Deci, în rezolvarea problemei trebuie să facem mai întâi o adunare și, apoi, o împărțire. Rezolvarea sub formă de exercițiu arată astfel:

(31+27+33+29):4=30.

Parantezele mici, care închid termenii adunării, obligă rezolvarea exercițiului în ordinea: mai întâi operațiile din paranteze (adunări, în cazul nostru), și, apoi, împărțirea (la 4, în cazul de față).

Exemple similare conduc la introducerea parantezelor mari și a acoladelor, ordinea efectuării operațiilor cuprinse în ele fiind următoarea: se efectuează mai întâi operațiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari și, la urmă, cele cuprinse între acolade.

În cadrul parantezelor de același fel, ordinea efectuării operațiilor ce o compun este cea stabilită: operațiile de ordinul III, apoi cele de ordinul al II-lea și, la urmă, cele de ordinul I.

Efectuarea operațiilor dintre perentezele mici conduce la transformarea eventualelor paranteze mari și acolade în paranteze mici, respectiv, mari.

Eventuale dificultăți și sugestii în legătură cu ordinea operațiilor

Chiar dacă se cunoaște, teoretic, ordinea operațiilor, elevii sunt tentați să rezolve exercițiul efectuând operațiile nu în ordinea priorității, ci în ordinea în care apar acestea în exercițiu. Exemple:

2 + 2 : 2 = 4 : 2 = 2 (incorect)

2 + 2 : 2 = 2 +1 = 3 (corect)

10 – 4 x 2 = 6 x 2 = 12 (incorect)

10 – 4 x 2 = 10 – 8 = 2 (corect)

Observație: această greșeală, apare în exercițiile în care ordinea operațiilor permite continuarea efectuării calculelor în succesiunea apariției lor. Sugerăm utilizarea unor exerciții de forma:

puneți semne de operații și paranteze, astfel încât să obțineți rezultatul 1: 1 2 3 4 5 6 = 1

câteva soluții posibile:

1+2+3-4+5-6 = 1

1x2x3-4+5-6 = 1

(1+2×3+4-5):6 = 1

dacă într-un exercițiu apare produsul mai multor paranteze, iar rezultatul efectuării operațiilor din una din ele este 0, nu se mai operează și în celelalte, rezultatul fiind 0.

Exemplu: (561993 x 9875 – 555888 – 999999)x(3+2:2-4) = 0

Pentru a micșora numărul de repetări al unor părți din exercițiu se recomandă efectuarea în aceeași etapă a mai multor operații din paranteze diverse sau din afara lor;

Pentru o însușire temeinică a ordinii operațiilor și a relațiilor dintre termeni (factori) și rezultat, se recomandă rezolvarea de exerciții în care să se determine o necunoscută (ecuații).

Exemplu:

M-am gândit la un număr. Îl înmulțesc cu 5. La produsul obținut adaug 8. Rezultatul îl împart la 6 și obțin 3. La ce număr m-am gândit ?

Rezolvare:

Notăm cu X numărul la care ne-am găndit.

(Xx5 + 8):6 = 3

Xx5 + 8 = 3 x 6

Xx5 + 8 = 18

Xx5 = 18 – 8

Xx5 = 10

X = 10:5

X = 2

6 SUGESTII PRIVIND FORMULAREA OBIECTIVELOR TERMINALE PENTRU CAPITOLUL „OPERAȚII CU NUMERE NATURALE”

Școlarii mici trebuie:

să cunoască semnificația simbolurilor operatorii (+, -, x, :, =) și să le folosească corect în citire, scriere, calcul;

să-și însușească tabla adunării și scăderii în concentrul 0 – 10 și cu trecere peste ordin în concentrul 0 – 20, baza adunării și scăderii cu numere de orice mărime;

să-și însușească tabla înmulțirii și împărțirii în concentrul 0 – 100, baza operantă în toate concentrele numerice;

să calculeze direct rezultatul unor exerciții bazate pe o singură operație cu numere mici;

să calculeze rezultatul unor exerciții bazate pe mai multe operații aritmetice, identice sau diferite, ținând minte rezultatele intermediare sau consenmnând, în scris, fiecare nouă rezolvare, în cazul numerelor mari cu respectarea ordinii operațiilor;

să rezolve exerciții plurioperaționale într-o manieră continuă;

să precizeze semnele de operație între numerele componente dintr-un exercițiu rezolvat;

să schimbe numere sau semne de operații false, astfel încât operația să devină adevărată, propunând mai multe soluții;

să afle un termen (factor) al unei operații cunoscând celălalt termen (factor) și rezultatul operației;

să efectueze proba adunării prin adunare, comutând termenii (oral) sau adunând în alt sens (în scris);

să efectueze proba adunării prin scădere după formulele: T1 = S-T2 sau T2 = S-T1;

să efectueze proba scăderii prin adunare, după formula D=S+R;

să efectueze proba scăderii prin scădere: S=D-R;

să considere suma drept cardinal al reuniunii a două mulțimi disjuncte și să afle acest cardinal;

să transforme o scădere succesivă de scăzători egali într-o împărțire;

să efectueze proba înmulțirii comutând factorii;

să efectueze proba înmulțirii prin împărțire, după formulele: F1=P:F2 sau F2=P:F1;

să-și însușească și să aplice procedee rapide de calcul mental;

să rezolve ecuații de gradul I, de forma y+a=b, axy=b;

să scrie, sub formă de sumă un număr natural descompus în structura numerică zecimală, folosind puteri ale lui 10;

să folosească operația adecvată pentru aflarea sumei, restului, produsului, câtului;

să aplice în calcul, înțelegând semnificația lor, relațiile matematice „cu atât mai mare decât”, „cu atât mai mic decât”, „de atâtea ori mai mare decât”, „de atâtea ori mai mic decât”;

să scrie rezolvarea unei probleme (sau părți ale ei) sub forma unui exercițiu cu mai multe operații;

să alcătuiască probleme după exerciții date, etc.

7. ÎNREGISTRAREA, PRELUCRAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR

Prin diverse metode de colectare a datelor, unele curente în cercetarea pedagogică, altele specifice unor anume cercetări, imaginate pentru o anume cercetare proiectată, cercetătorul obține un material necesar cercetării ce întreprinde.

A folosi materialul adunat în forma brută oferit de răspunsurile la anchetă, de cataloagele claselor cu notele sau punctajele obținute, de date culese din fișe sau documente școlare de informații despre un număr de cazuri studiate etc., adică a cita materialul în această formă nu înseamnă a se situa pe linia unei adevărate cercetări științifice.

Știința adevărată începe cu măsurarea, cu cuantificarea datelor colectate. Cuantificarea datelor culese și prelucrarea lor matematică, statistică, sunt absolut necesare în cercetarea pedagogică, precum sunt indispensabile în orice știință a materiei anorganice și organice, a vieții psihice și a societății.

Dar, pentru științele în care se observă și se măsoară trăsături psihice, măsurarea prezintă unele particularități:

Trăsăturile psihice nu se oferă observatorului într-un mod nemijlocit, ca să fie sesizate direct,ele se prezintă prin intermediul comportamentului individului, prin manifestările sale exterioare, singurele care pot fi măsurate

Trăsăturile psihice nu se manifestă în orice moment și la orice solicitare, într-o formă completă, întreagă, la un nivel maximal. O întreagă serie de factori fundamentali și întâmplători contribuie la o prezentare diferită a trăsăturii, în perspective și momente diverse ale evaluării.

O altă modalitate de măsurare a datelor colectate într-o cercetare pedagogică, și aceasta bine cunoscută în școală, este clasificarea.

În clasificare se cere ordonarea tuturor datelor colectate, adică așezarea lor într-o ordine, într-un șir, în care datele (ca elemente ale șirului= se succed după o ierarhie a mărimii (valori, aprecieri) lor. Se subordonează cele mai mici altora mai mari una față de alta.

8. PREZENTAREA DATELOR CERCETĂRII

După ce au fost colectate și măsurate datele cercetării, potrivit metodelor utilizate, sunt prezentate de cercetător, într-o formă adecvată etapei și necesităților cercetării.

Cea mai simplă formă a datelor unei cercetări pedagogice este aceea a unui tabel de rezultat. Aceasta se constituie imediat după aplicarea unor probe, după măsurarea performanțelor obținute de subiecți, ca o listă în genul cataloagelor alfabetice de clasă (cele cu însemnările profesorilor): numele elevilor, în ordine alfabetică în dreptul fiecărei note.

Forme organizate de prezentare a datelor unei cercetări le constituie reprezentările grafice, rezultate dintr-o anume așezare a datelor, într-un sistem de referință cel mai obișnuit, axele perpendiculare, abscisa – pe care se așează de obicei mărimile, în ordine crescătoare, de la stânga spre dreapta, și ordonata pe care se însemnează frecvența măsurilor, de jos în sus, de la zero spre cea ami mare frecvență.

9. CONCLUZII

În cadrul învățării matematicii, studiul numerelor naturale prezintă o importanță deosebită, fiind obiectul central al multor cercetări de pedagogia matematicii.

Astfel, J. Piaget consideră că numărul natural este o sinteză care presupune conservarea mulțimilor și punerea elementelor în ordine. În formarea conceptului de număr Piaget consideră fundamentale operațiile de clasificare și scriere. Clasificarea obiectelor în grupe omogene și neomogene, compararea grupelor de obiecte, stabilirea corespondențelor și a deosebirilor permit ajungerea la conceptul de număr, conform structurilor, relațiilor și a proprietăților pe care le relevă teoria mulțimilor. Înscrierea obiectelor de același fel în ordinea de la mic la mare, după dimensiunile lor, creează posibilitatea desprinderii numărului ca rezultat al unei măsurători.

Pe acest temei psihopedagogic și în aceste două direcții s-au orientat majoritatea cercetătorilor: introducerea numărului natural pe baza mulțimilor sau pe baza măsurării.

Pe cea de-a doua direcție pledează școala sovietică care, pornind de la teza că numărul nu este altceva decât raportul dintre parte și întreg, au experimentat formarea conceptului de număr prin măsurare.

Autorii experimentelor din țara noastră au optat pentru îmbinarea celor două căi de formare a conceptului de număr, atât pe baza mulțimilor, cât și pe baza măsurării, având prioritate operări cu mulțimi de obiecte, mai ușor de efectuat decât analiza și sinteza dimensiunilor unui obiect.

Cercetări experimentale care s-au bazat pe o fundamentare teoretică și care au căpătat cea mai largă aplicare în practica educațională sunt cele ale lui Cuisenaire și Gattegno, precum și ale lui Z.P. Dienes în colaborare cu J. Bruner.

Câteva din problemele acestor contribuții au pătruns și în practica predării – învățării matematicii în clasele I – IV din țara noastră.

Metoda Cuisenaire – Gattegno sau metoda „ numerelor în culori”, constituie un si8stem de învățare activă a matematicii cu ajutorul unui material didactic special. Se lucrează cu 241 „bețișoare” paralelipipedice confecționate din lemn.

Bețișoarele colorate se folosesc atât la învățarea numerelor și a operațiilor cu numere, cât și la studiul puterilor și operațiilor cu puteri, al produselor, suprafețelor, volumelor și capacităților, precum și al formulelor algebrice.

Jocurile logice ale lui Z:P: Dienes reprezintă un sistem de introducere a elementelor de logică sub formă de joc. Relațiile logice pe care trebuie să le înțeleagă elevii sunt evidențiate cu ajutorul unui material denumit „blocurile logice multibazale”; de fapt piese (confecționate din carton, lemn, material plastic).

Sunt în total 48 de piese cu care se poate organiza o diversitate de jocuri pentru cunoașterea și înțelegerea unor noțiuni de logică (conjuncția, disjuncția, negația, implicația, echivalența) precum și a unor noțiuni despre mulțimi și operații cu mulțimi.

Z.P. Dienes a dovedit că, prin activitatea concretă, cu materiale anume construite, copiii la vârsta de 9-10 ani pot descoperi și înțelege, sub îndrumarea învățătorului, noțiuni și operații matematice abstracte, anticipând vârsta operațiilor formale, care se presupune a fi după 12 ani.

Experiențele făcute în țara noastră de o serie de cercetători au dus la conturarea unui sistem de predare-învățare modernă a matematicii, cât și de particularitățile psihologice privind actul învățării la vârsta școlară mică.

PROIECT DE LECȚIE

CLASA: a III-a

OBIECTUL: Matematica

SUBIECTUL: Compararea numerelor naturale

SCOPUL: Însușirea noțiunilor matamatice privind compararea

numerelor naturale

OBIECTIVE:

– să înțeleagă noțiunile matematice: crescător, descrescător, precedentul și succesorul unui număr natural, numere consecutive;

să compare numere naturale formate din sute, zeci și unități;

să ordoneze numere naturale formate din sute, zeci și unități;

să stabilescă relația de ordine între numerele naturale date sau dintr-un interval dat;

să ordoneze în șiruri crescătoare și dezcrescătoare numerele naturale date;

să precizeze locul unui număr natural pe axa numerelor;

să-și formeze depinderi de calcul mintal, oral și în scris;

să-și formeze un limbaj matematic, să-l folosească, conștient, corect;

să recunoască numărul natural mai mic sau mai mare dintre mai multe numere date,

METODE ȘI PROCEDEE:

conversația,calculul scris, calculul oral, munca independentă.

MATERIAL DIDACTIC:

manual, fișa de muncă independentă.

BIBLIOGRAFIE:

Eugen Rusu – „Aritmetica” – Manual pentru liceele pedagogice, E. D. P. București, 1977;

Ioana Aron – „Metodica predării aritmeticii”, E. D. P. București, 1978;

Ion Petrică, V. Ștefănescu – „Probleme de aritmetică pentru clasele I – IV”, Editura Petrion, București, 1990.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Moment organizator: – Elevii își pregătesc cele necesare pentru desfășurarea orei;

Verificarea temei: – Se face controlul cantitativ și calitativ al temei scrise;

Reactualizarea cunoștințelor: – Se adresează câteva întrebări orale:

Ce semne folosim pentru compararea numerelor naturale ? (<,>,≤,≥,=)

Cum comparăm două numere naturale formate din U, Z, S ?

Cum așezăm numerele în ordine crescătoare ? Dar în ordine dezcrescătoare ?

Ce înțelegem prin precedentul unui număr ? Dar prin succesorul său ?

Ce înțelegem prin numere consecutive ?

FIXAREA ȘI CONSOLIDAREA CUNOȘTINȚELOR

Se vor rezolva câteva exerciții și probleme, precum și cele din fișa de muncă independentă;

Numărați crescător de la 298 la 311;

Numărați dezcrescător de la 505 la 487;

Care este cel mai mare număr format din U, Z, S, scris cu cifre diferite ? dar cel mai mic număr ? (987, 123);

Care este cel mai mare număr format din U, Z, S, folosind o singură dată cifra 9 ? Dar cel mai mic ? (988, 129);

Va ieși pe rând câte un copil și se vor rezolva exercițiile scrise pe tablă:

Comparați numerele:

400

892

105

634

697

545

422

535

Completează șirul cu numere și semnele corespunzătoare:

□ _ < 362 □ _ □ 364 < 365 < 366 □ _< 368 □ _ □ 370;

Se vor rezolva în continuare, la tablă, exercițiile:

Scrieți în ordine crescătoare numerele:

725, 103, 750, 652, 901, 500, 105, 108, 190, 140, 137, 195, 178.

Scrieți în ordine dezcrecătoare numerele:

659, 241, 480, 488, 750, 597, 670, 200, 450, 702, 666, 311, 900, 890.

Se vor da spre rezolvare, ca muncă independentă punctul „c” de la exercițiul 248 / 25 din culegere.

Se rezolvă la tablă exercițiile:

Găsiți cifrele care puse în locul literelor, fac adevărate propozițiile:

282 < 2a2 (a = …)

694 > n51 (n = …)

854 > 8m5 (m = …)

212 < 21r (r = …)

890 ≥ a90 (a = …)

Ca muncă independentă se dau spre rezolvare exercițiile:

Scrieți toate numerele naturale care au cifra zecilor 5 și cifra unităților 3, iar cifra sutelor este mai mică decât 7. Așezați-le în ordine crescătoare.

Se rezolvă pe tablă exercițiul:

Scrieți toate numerele naturale care puse în locul lui x fac adevărate scrierile:

< X < 200 (X = …)

482 < X < 503 (X = …)

490 < X < 901 (X = …)

895 < X < 910 (X = …)

191 ≤ X ≤ 202 (X = …)

Se dă muncă independentă, pe rânduri, exercițiul:

2, 3 și 6

2, 4 și 8

Așezați-le de fiecare dată în ordine dezcrescătoare.

Se rezolvă pe tablă exercițiul:

Comparați numerele:

232, 604, 278, 107, 667, 682, 708, 839, cu răsturnatele lor.

Se dă spre rezolvare fișa de muncă independentă.

Se dă tema pentru acasă.

BIBLIOGRAFIE

1. Andrieș Vradiu M., Exerciții și probleme pentru clasa a III-a Matematica, Editura Teora, București, 1998;

2. Asaftei P., Chirilă C., Elemente de aritmetica și teoria numerelor, Editura Polirom, Iași, 1998;

3. Cerghit I., Radu I.T., Popescu E., Vlăsceanu L., Didactică-manual pentru clasa a X-a școli normale, E.D.P., București, 1992;

4. Golu P., Zlate M., Verza E., Psihologia copilului-manual pentru clasa a XI-a școli normale, E.D.P., București, 1991;

5. Neacșu I., coordonator, Metodica predării matematice la clasele I–IV,manual pentru licee pedagogice clasele IX-XII, E.D.P., București, 1998;

6. Neacșu I., Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura Militară, București, 1998;

7. Nicola I., Farcaș, D. Pedagogie generală, manual pentru clasa a IX-a școli normale, E.D.P., București, 1992;

8. Marga, A., Reforma învățământului acum, Editura “Școala românească”, București, 1998;

9. Muster, D., Metodologia cercetării în educație și învățământ, Editura Litera;

10. Piaget, J., Inhelder, B., Psihologia copilului, Editura, București, 1970;

11. Curriculum Național – Programe școlare pentru învățământul primar, București, 1998.