. Stimularea Creativitatii Prin Compunerea DE Exercitii Si Probleme In Predarea Invatarea Matemati

CUPRINS :

Capitolul 1 .

INTRODUCERE

1 . 1 . Motivarea alegerii temei …………………………………………….pag. 4

1 . 2 . Rezolvarea de probleme……………………………………………..pag. 5

1 . 3 . Obiectivele lucrării…………………………………………………..pag.16

Capitolul 2

METODOLOGIA REZOLVĂRII

PROBLEMELOR ÎN CICLUL PRIMAR

2 . 1 . Noțiunea de ,,problemă”……………………………………………pag. 18

2 . 2 . Etapele rezolvării unei probleme …………………………………..pag. 22

2 . 3 . Clasificarea problemelor……………………………………………pag. 28

Capitolul 3

METODELE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

3 . 1 . Metode generale …………………………………………………….pag. 39

3 . 2 . Metode particulare ……………………………………………….…pag. 40

Capitolul 4

ACTIVITATE METODICĂ ȘI DE CERCETARE

4 . 1 . Proiect de cercetare ……………………………………………….,.. pag. 52

4 . 2 . Proiecte de lecție …………………………………………………….pag. 87

Capitolul 5

CONCLUZII ……………………………………………………….pag. 101

BIBLIOGRAFIE……………………………………………………pag. 103

Capitolul 1

INTRODUCERE

1 . 1 . MOTIVAȚIA ALEGERII TEMEI

Expunere de motive :

Am ales această temă deoarece poate fi abordată din diverse unghiuri. Sintagma ,, rezolvare de probleme” se referă separat și / sau unitar la :

capacități sociale ;

gândirea ca proces de rezolvare de probleme ;

tip superior de învățare ;

nivel de performanță ;

metodă ;

algoritm ;

strategie ;

unitate de învățare distinctă sau subordonată;

tratare interdisciplinară , intradisciplinară .

Cu alte cuvinte , în lucrare am dorit să dovedesc că rezolvarea de probleme este un scop pentru sine și niciodată ales ca mijloc pentru altceva , scop în funcție de care ne dorim și alte lucruri . ( Aristotel)

Un alt motiv pentru care am ales tema este natura omului – singura ființă

înzestrată cu rațiune , judecată , gândire , limbaj . Acestea pot și trebuie dezvoltate prin cunoașterea adevărului , adică prin matematică .

,,Cunoașterea începe cu probleme și sfârșește ( în măsura în care ea se sfârșește vreodată) cu probleme” K .R . Popper

1 . Pentru a enunța propoziția : ,,Acest măr este roșu”era necesară o cunoaștere prin simțuri a lucrului din realitatea exterioară .

2 . Pentru a enunța propoziția : ,,Toate numerele pare se divid cu 2” era necesară o cunoaștere a unor adevăruri matematice .

Prima formă de cunoaștere se numește cunoașterea lucrurilor sau cunoaștere a posteriori , adică derivată din experiență ( cunoaștere intuitivă) . Sursa ei este experiența, iar propozițiile sau judecățile prin care o exprimăm nu sunt necesare.

A doua formă de cunoaștere se numește cunoașterea adevărului sau cunoaștere a priori , adică nederivată din experiență . Sursa ei o constituie rațiunea și judecățile, iar propozițiile prin care o exprimăm sunt necesare ( adevăruri intrinsec evidente ) . E un adevăr matematic care nu are nicio legătură cu experiența ; mai mult , proprietatea afirmată despre numerele pare este necesară , întrucât numerele pare nu pot fi decât divizibile cu 2 .

1 . 2 . REZOLVAREA DE PROBLEME

–obiectiv major al învățământului primar

Un imperativ !

Încă din primii ani , copilul încearcă să-și rezolve singur situațiile ,,de viață” cu care se întâlnește . El descoperă , (își) pune întrebări , creează ,,probleme” și încearcă să-și rezolve ,,problemele” .

A acționa , a greși , a ezita , a clasifica , a alege , a evalua efectele , a căuta modalități atunci când intră în impas , iată situațiile în care este ( și trebuie pus ) un copil spre a-l pregăti pentru viață .

Ajuns la școală copilul trebuie să intuiască , să descopere , să cunoască situațiile în care cunoștințele lui dobândite la ora de matematică se pot aplica și el trebuie să se convingă treptat că posibilitățile de a rezolva o problemă de viață sunt mult mai mari dacă gândește problema în termeni matematici .

Pentru micul elev situațiile de viață prind sens matematic , iar lecțiile de matematică capătă sens în activitățile de cunoaștere a lumii .

Tocmai de aceea noile concepții pedagogice privind studiul matematicii în școala primară sunt axate pe o optică constructivistă :

A face matematică înseamnă a rezolva probleme !

Și , nu întâmplător , dintre cele 12 standarde curriculare de performanță vizate la sfârșitul ciclului primar , nu mai puțin de cinci se referă la rezolvarea problemelor și la modalități de rezolvare a lor .

Dar ce înseamnă ,,a rezolva o problemă” ? Înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate , a găsi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil .

A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței , iar inteligența este apanajul speciei umane , se poate spune că , dintre toate îndeletnicirile omenești , cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică .

Spre deosebire de exercițiu în care majoritatea elevilor aplică un set de reguli de rutină , pentru a ajunge la un răspuns , pentru a rezolva o problemă , faci pauză și … reflectezi pentru găsirea versiunii matematice a problemei .

De o importanță deosebită devine acum transformarea (punerea) în exercițiu a versiunii matematice ca rezultat al conștientizării operațiilor matematice necesare . Înțelegerea ( sesizarea , intuirea , relevarea , … ) situațiilor aditive , situațiilor subatractive , situațiilor multiplicative , situațiilor de împărțire devine esențială pentru reușita acestei transformări . Iar după transformare , cunoscând cele patru operații și proprietățile lor , nu mai este o problemă atât la propriu cât la figurat ca să obținem soluția .

Așa cum relevăm în schema de rezolvare a unei probleme , obstacolul cognitiv , dificultatea sau situația contradictorie ce apare din punct de vedere teoretic sau practic în situația inițială poate fi depășit(ă) numai printr-o atribuire de sens (matematic).

Rămâne astfel de maximă actualitate îndemnul de acum mai bine 2000 de ani , făcut de Plutarh : ,,Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli , ci o făclie pe care s-o aprinzi , astfel încât , mai târziu să lumineze cu lumină proprie .”

cunoaștere înțelegere aplicare

Recunoaște în același Îl recunoaște sub o formă Folosește în alt

contest diferită context

,,Acolo unde unii doar privesc , eu văd . Acolo unde unii doar văd , eu înțeleg” ar trebui să fie dictonul cu care să se mândrească fiecare dintre elevii noștri .

Să vrea , să vadă (operația necesară ) , să poată să o vadă și în sfârșit să știe să o vadă sunt etape în conștientizarea matematicii ciclului primar .

Trebuie să-i dăm ocazia copilului ,,să matematizeze” înainte de ,,a aritmetiza”. Matematizarea implică un model al realului , aritmetica presupune formalizarea .

Care poate fi sensul învățării matematicii pentru elevi , care au memorat perfect tabla adunării , tabla înmulțirii , și ei nu sesizează , pentru versiunea matematică a unei probleme , dacă , și / sau când este nevoie de o anumită operație ?

Ce-ar trebui să citim în ochii unei învățătoare ai cărei elevi răspund în cor ,,18 minute” la întrebarea din problema: ,,Pentru a fierbe un ou apa trebuie să clocotească 3 minute . Câte minute trebuie să clocotească apa pentru a fierbe 6 ouă ?”

Satisfacția că toți elevii cunosc ,,pe dinafară”– atenție la sensul ghilimelelor – tabla înmulțirii sau jena că niciunul dintre ei nu a înțeles sensul operației de înmulțire ?

Testarea nivelului de conștientizare a situațiilor de adunare ( aditive ) se va face periodic prin rezolvarea în clasă a următoarelor probleme :

Ana are 15 creioane colorate , 2 stilouri și 6 creioane negre .Câte creioane are Ana ?

Casa familiei Ionescu are 8 metri înălțime . Chiar în vârful ei , domnul Ionescu a montat o antenă de 3 metri înălțime . Ce înălțime are acum casa?

Andrei se află pe a 38-a treaptă a unei scări . El coboară 7 trepte , apoi mai coboară 15. Câte trepte a coborât Andrei ?

Gigel măsoară 120 centimetri , iar Victor are cu 10 kilograme mai mult decât Gigel . a) Cine-i mai greu ? b) Cine-i mai înalt?

5. Ești șoferul unui autobuz . Pleci de la capăt cu 5 călători . La prima stație mai urcă 4 călători , la a doua stație mai urcă 5 , la a treia stație mai urcă 4 . Ce vârstă are șoferul?

Voi prezenta câteva probleme din ,,folclorul matematic” ce pot fi utilizate ca elemente de verificare a nivelului de conștientizare a situațiilor multiplicative :

1. Într-o pungă sunt 15 nuci , de 5 ori mai puține decât în a doua pungă . Câte nuci sunt în a doua pungă?

Trei frați gemeni au împlinit astăzi 8 ani . Câți ani au trecut de când s-au născut cei trei frați ?

Un turist parcurge 4 kilometri într-o oră . În cât timp 3 turiști mergând cu aceeași viteză parcurg 24 kilometri ?

Pentru plata a 17 timbre cu 3200 lei bucata , din greșeală , vânzătoarea îi solicită lui Virgil 18x 3200 =57600 lei . Virgil plătește , dar vânzătoarea își dă seama că a greșit , calculează 17×3200=54400 lei , face diferența 57600 – 54400 și îi restituie lui Virgil banii încasați din greșeală . Există o cale mult mai simplă de calcul a sumei de bani ce trebuie restituită lui Virgil ?

Răspunsurile elevilor la probleme de tipul următor alcătuiesc un bun indicator al nivelului de înțelegere al situațiilor de scădere :

1. Mihaela a cumpărat 9 banane . Ea i-a dat 4 banane surorii sale . Câte banane i-au rămas?

În clasa a doua sunt 8 băieți , toți joacă fotbal . Câți băieți lipsesc pentru a forma o echipă de fotbal ( de 11 jucători ) ?

Înaintea ultimei încercări , Costel avea 58 de puncte . Acum are 49 . Câte puncte a pierdut la ultima încercare ?

Anul trecut , Corina avea 27 kilograme , iar anul acesta are 30 . Câte kilograme a câștigat în greutate în ultimul an Corina ?

Costel are înălțimea de 121 centimetri , iar David 147 centimetri . Care este diferența de înălțime dintre cei doi copii ?

Tentația elevilor de a face o împărțire atunci când numerele sunt compatibile va fi temperată de învățătoare cu probleme,,capcană”de tipul :

1. De acasă și până la școala în care învață Sandu sunt 270 metri . Dacă aleargă ,Sandu ajunge de 3 ori mai repede decât dacă merge normal . Ce distanță parcurge Sandu , atunci când se duce la școală ?

Într-o pungă sunt 20 de caise , de 4 ori mai multe decât în prima pungă . Câte caise sunt în prima pungă ?

Dacă 3 litri de apă au temperatura d 60 grade Celsius , ce temperatură are un singur litru de apă ?

Calculați a șaptea parte din produsele : 3×7 ; 8×7 ; 7×7 ; 1×7 ; 0x7 .

,,Aritmetica – avertiza acum două sute de ani Gheorghe Asachi – trebuie să se învețe ca un mijloc de deprindere a inteligenței , iar nu în chip mecanic sau ca un lucru numai de ținut minte .”

Analiza problemelor

Cineva spunea cu multă poezie :

,,Intrarea în cetatea cunoașterii se face pe podul matematicii.”

Prin acest pod – o altă metaforă care apropie matematica de comunicare – se înțelege o limbă și ea construită pentru înțelegere .

Dar ce facem când vrem să stăpânim o limbă străină ? Învățăm cuvintele , dar și gramatică , echivalentul regulilor în matematică și apoi ne perfecționăm citind lectură , ceea ce în matematică înseamnă rezolvarea de probleme .

Rezolvarea de probleme trebuie privită ca o poetică a matematicii .

Dar până la urmă , ce este o problemă ?

Un răspuns satisfăcător ar fi cel dat de Paul Fraisse : ,, Orice situație în care răspunsul nu poate fi dat imediat constituie o problemă.”

Altfel spus , o problemă este o situație nouă , necunoscută , în fața căreia mă aflu și pe care trebuie să o rezolv , să iau o decizie , să găsesc o soluție .

,, A rezolva o problemă – spune George Polya – înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate a găsi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil .”

,,A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței ,pod – o altă metaforă care apropie matematica de comunicare – se înțelege o limbă și ea construită pentru înțelegere .

Dar ce facem când vrem să stăpânim o limbă străină ? Învățăm cuvintele , dar și gramatică , echivalentul regulilor în matematică și apoi ne perfecționăm citind lectură , ceea ce în matematică înseamnă rezolvarea de probleme .

Rezolvarea de probleme trebuie privită ca o poetică a matematicii .

Dar până la urmă , ce este o problemă ?

Un răspuns satisfăcător ar fi cel dat de Paul Fraisse : ,, Orice situație în care răspunsul nu poate fi dat imediat constituie o problemă.”

Altfel spus , o problemă este o situație nouă , necunoscută , în fața căreia mă aflu și pe care trebuie să o rezolv , să iau o decizie , să găsesc o soluție .

,, A rezolva o problemă – spune George Polya – înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate a găsi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil .”

,,A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței , iar inteligența este apanajul specific speciei umane” completează J.James .

Dar oare pentru a rezolva o problemă este suficientă doar inteligența ?

– Pentru a rezolva un exercițiu, unii aplică un set de reguli de rutină spre a ajunge la răspuns.

– Pentru a rezolva o problemă , reflectezi , îți aduci aminte o problemă similară , pășești pe ,,urma” lăsată în minte sau inventezi pași pe care nu i-ai mai făcut până la abordarea acestei probleme .

Avertizează însă George Poya : ,, A rezolva o problemă imitând metoda folosită în rezolvarea unei probleme poate fi o treabă ușoară , dacă problemele sunt asemănătoare, mai grea sau imposibilă , dacă asemănarea nu este prea mare .”

Nevoia , din partea rezolvitorului , de a crea metode este ceea ce deosebește un exercițiu de o problemă. Pe măsură ce își însușește modalități de rezolvare generale și unitare , pentru rezolvitor unele probleme devin simple exerciții .

Pentru un elev din ciclul primar , ,,Cum putem împărți 96 de creioane la 24 de copii” poate fi o problemă , dar pentru un elev de gimnaziu este un exercițiu de rutină : ,,Cât este 96:24?” exersarea este un ajutor prețios în învățarea matematicii . Exercițiile ne ajută să reținem concepte , proprietăți , procedee care se pot aplica în rezolvarea problemelor .

Rezolvarea de probleme este o acțiune continuă în ciclul primar și nu numai . Ea începe încă din primele ore de matematică și se finalizează în clasa a IV-a prin rezolvarea de probleme utilizând metoda figurativă , cu probleme care necesită mai mult de trei operații .

Învățătorul care vrea să imprime elevilor săi o atitudine corectă în abordarea problemelor trebuie să-și fi însușit el însuși o astfel de atitudine .

Ce spune problema ? Ce este dat și ce trebuie aflat ? Ai determinat datele cunoscute? Sunt suficiente , sunt redundante ? Se poate găsi vreo legătură între problema noastră și o problemă care se rezolvă mai simplu ? Sau care se rezolvă direct ? Acestea sunt întrebările care trebuie puse mai întâi de învățătoare , apoi de elev sieși .

De câte ori elevul se oprește din rezolvarea problemei recomandă același George Polya:

,,Este o prostie să răspundem la o întrebare pe care nu o înțelegem . Este neplăcut să lucrăm în vederea unui scop pe care nu ni-l dorim . Astfel de lucruri prostești se întâmplă adesea în școală și în afara ei , dar învățătorul trebuie să se străduiască pentru a preîntâmpina producerea lor în clasă.”

Învățătorul are în față o sarcină dublă cu laturi în parte contradictorii . El trebuie să pună pe elev deopotrivă în situațiile :

de a învăța matematică ,

de a face matematică .

De aceea prima și cea mai importantă îndatorire a învățătorului în predarea matematicii este de acorda atenția cuvenită metodologiei de rezolvare a problemelor , mai clar să asigure experiența de gândire în toate genurile de ,,matematică” .

Direcția principală pe care o urmărește orice bun învățător este aceea prin care transformă rezolvarea anumitor (tipuri de ) probleme în cele din urmă în simple exerciții , asigurând în final elevilor o cunoaștere perfectă și sigură a unor procedee de lucru .

Învățătorul trebuie să rezolve el însuși foarte multe probleme . Dar acest lucru nu se poate face numai din obligație profesională . Adevăratul dascăl are el însuși plăcerea de a rezolva problema , de a se entuziasma pentru cele ,,frumoase” , de a le păstra în atenție și semnala altora .

Continuă G. Polya : ,,A ști să rezolvi problema este o îndemânare practică – o deprindere – cum este înotul , schiul sau cântatul la pian ; care se poate învăța numai prin imitare și exercițiu . Dacă vreți să-i învățați pe copii înotul , trebuie să-i băgați în apă , iar dacă vreți să-i învățată să rezolve probleme , trebuie să-i puneți să rezolve probleme.”

De asemenea învățătorul poate înlocui recomandarea ,, rezolvă cât mai multe probleme” cu recomandarea ,,învață cât mai mult din rezolvarea fiecărei probleme” !

În fapt , bunul învățător nu-i ,,învață” matematică pe elevii săi , ci îi provoacă prin probleme propuse spre rezolvare să gândească matematic , punându-i frecvent în situația de a ,,matematiza” aspecte reale din viață .

Pentru atingerea obiectivului – cadru ,, Dezvoltarea capacității de explorare / învățare și rezolvare de probleme” , prevăzut în programa școlară pentru finele clasei a IV-a trebuie dezvoltate la copil următoarele capacități :

capacitatea de a înțelege semnificația valorii numerice , datele problemei și a relațiilor ce se dau între elemente cunoscute ;

capacitatea de a înțelege condiția problemei , relația ascunsă dintre datele problemei și necunoscută (orice raționament va fi îndrumat pe calea întâmpinării necunoscutei) ;

capacitatea cuprinderii în raza gândirii nu doar a unor fragmente succesive pe care să le pună cap la cap , ci a întregului raționament de rezolvare a problemei.

Analiza problemelor este un capitol util pentru învățătorul care vrea să facă schimbări în predare , și anume în trecerea de la ipostaza de transmițător de informații la cea de organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii , în funcție de nivelul și ritmul propriu de învățare al fiecăruia .

Bazele psihopedagogice și metodologice ale rezolvării problemelor

Gândirea ca proces de rezolvare a problemelor

A gândi înseamnă a răspunde la diferite întrebări , a opera cu noțiunile , principiile și legile , dar mai ales a rezolva probleme . Problema este domeniul predilect al al probării și afirmării gândirii . În sens general , problema se definește ca obstacol de ordin informațional – cognitiv pe care gândirea îl întâlnește pe traiectoria sa de la o situație inițială (A) către situația finală (B).

În plan subiectiv , acest obstacol se conștientizează și se trăiește în forma unei tensiuni , a unei disonanțe , cu atât mai puternice cu cât disponibilitățile imediate de rezolvare sunt mai reduse . În definirea și evaluarea unei probleme , trebuie să ținem seama atât de latura obiectivă ( cum este formulată și structurată sarcina ) , cât și de cea subiectivă ( gradul de pregătire internă anterioară a subiectului în raport cu tipul dat de sarcini ) . Pentru ca o situație , considerată problemă în plan obiectiv , să devină o problemă și din punct de vedere psihologic , este necesar ca subiectul să nu dispună imediat de soluție , ci să fie nevoit să desfășoare o activitate intelectuală specială , prin încercări și erori , pentru aflarea rezultatului . O problemă poate fi considerată cu atât mai dificilă și mai complexă , cu cât subiectul trebuie să efectueze un număr mai mare de explorări de încercări și de operații pentru găsirea rezultatului , și invers .

După gradul de structurare a modalității de abordare – rezolvare , problemele au fost împărțite în două mari clase :

probleme bine definite ;

probleme slab definite .

Bine definite sunt considerate problemele a căror rezolvare poate fi fixată într-o schemă operațională de tip algoritmic ( probleme de matematică ). Slab definite sunt problemele a căror rezolvare nu se pretează la algoritmizare ( ex. Jocul de șah , elaborarea unei invenții , crearea unei opere literare ) .

Rezolvarea oricărei probleme autentice are un caracter procesual , etapizat. Orientativ , desprindem următoarele etape sau faze mai importante :

perceperea problemei , care poate fi corectă sau alterată , completă sau lacunară , aceasta condiționând orientarea procesului rezolutiv într-o direcție corectă sau într-una greșită ;

formarea reprezentării sau modelului intern , care devine premisă pentru organizarea și desfășurarea operațiilor rezolutive ;

reformularea problemei , pentru aducerea ei într-o formă mai inteligibilă și mai coerentă ; aceasta permite identificarea tipologică și facilitează alegerea metodei de rezolvare ;

alegerea și aplicarea metodei ,metodă care poate fi algoritmică sau euristică ; problema este supusă efectiv transformărilor în vederea găsirii soluției ;

verificarea rezultatului : dacă este corect , procesul se stopează , dacă se dovedește eronat , se trece la descoperirea erorilor sau la alegerea altei metode de rezolvare .

PROGRAMA DE MATEMATICĂ:

OBIECTIVE CADRU

2.Dezvoltarea capacităților de explorare /investigare și rezolvare de probleme

3.Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic

A. Obiective de referință și exemple de activități de învățare

Clasa I :

2.6. să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate

– exerciții de analiză a părților componente ale unei probleme ;

– exerciții de adăugare sau extragere de elemente dintr-o mulțime de obiecte și exprimarea operației verbal și în scris ; verificarea prin numărare ;

– rezolvarea de probleme cu obiecte sau desene și verificarea prin numărare ;

– rezolvarea de probleme de tipul a+b=x , a – b =x, în care a,b sunt numere date;

2.7. să formuleze oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 30

– exerciții de transformare a problemelor păstrând numerele neschimbate ;

– schimbarea numerelor într-o problemă dată , cu păstrarea tematicii ;

– exerciții de schimbare a componentelor unei probleme fără ca tipul de problemă să se schimbe ;

– formularea de probleme cu sprijin concret în obiecte sau desene ;

– formularea de probleme pornind de la o temă dată ;

– formularea de probleme pornind de la numere date ;

3.1. să verbalizeze modalitățile de calcul folosite în rezolvarea unor probleme practice și de calcul

– exprimarea în cuvinte proprii a modului de lucru folosit în rezolvarea unor sarcini care solicită operarea cu obiecte , desene sau numere ;

– exerciții de utilizare adecvată a limbajului matematic în situații cotidiene ;

– exerciții de descriere a procedeelor utilizate pentru măsurarea și compararea obiectelor .

Conținuturile învățării :

Probleme care se rezolvă cu operațiile cunoscute (o operație sau mai mult de o operație *).

Clasa a II-a :

2.6. să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate

– rezolvarea de probleme cu obiecte sau cu desene simple:puncte , cerculețe , linii etc.;

– rezolvarea de probleme cu date numerice ;

– recunoașterea situațiilor concrete sau a expresiilor care cer efectuarea unor adunări sau scăderi (,,au fost și au mai venit” , ,,s-au pierdut”);

– corelarea expresiilor folosite în situații concrete cu operațiile aritmetice învățate ;

* să rezolve probleme care presupun cel puțin două operații de adunare sau scădere

2.7. să formuleze , oral și în scris , exerciții și probleme cu numere , care se rezolvă printr-o singură operație

– formularea de probleme utilizând tehnici variate :cu sprijin concret în obiecte ; pornind de la o temă dată ; pornind de la numere date ; fără sprijin;

– exerciții de formulare a întrebărilor posibile pentru enunțuri date în forme variate ;

3.1. să exprime oral , în cuvinte proprii , etape ale rezolvării unor probleme

– citirea enunțului unei probleme , redarea liberă , cu voce tare , a enunțului ;

– utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare ai unei probleme ;

Conținuturile învățării

Probleme care se rezolvă printr-o operație *Probleme care se rezolvă prin cel puțin două operații .

Clasa a III-a

2.4. să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme

rezolvarea de exerciții variate care solicită aflarea unui număr

necunoscut notat în diverse moduri ;

rezolvarea ecuațiilor : în plan mental : rezolvarea unei probleme de tipul:

,,M-am gândit la un număr , l-am adunat cu 3 și am obținut 5.La ce număr m-am gândit?” ; în plan simbolic : descrierea unei secvențe de tipul : 3+? =5 ;

codificarea unei întrebări de tipul : ,,3 plus cât este egal cu 5 ?” Aflarea numărului necunoscut se face prin încercare , înlocuire și verificare .Treptat , se recurge tot mai frecvent la modelul balanței ;

2.5. să rezolve și să compună probleme de tipul : a+ b=x ; a+b+c=x ; a x b=x ; a:b=x,b nu este egal cu 0 unde a,b,c, sunt numere naturale date mai mici decât 1000, iar x este necunoscută

– recunoașterea situațiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor operații de adunare , scădere , înmulțire , împărțire (,,cu atât mai mult” , ,,cu atât mai puțin” , ,,de atâtea ori mai mult” , ,, de atâtea ori mai puțin” , ,,sunt n obiecte , câte p pe fiecare rând” , ,, se distribuie în mod egal n obiecte la p persoane”) ;

– crearea de probleme utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte pornind de la numere date ; fără sprijin ;

– crearea de probleme pornind de la exerciții și invers ; transformarea problemelor în exerciții ;

– crearea de probleme de către elevi pentru colegii lor ;

– crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b=x ; a-b=x ) ;

– analiza părților componente ale unei probleme ;

– schimbarea componentelor unei probleme fără ca tipul de problemă să se schimbe ;

– transformarea problemelor de adunare în probleme de scădere și invers , a celor de scădere în probleme de adunare ;

– schimbarea numerelor dintr-o problemă dată,cu păstrarea tematicii ;

– transformarea problemelor păstrând numerele neschimbate ;

– analiza cuvintelor care sugerează operații aritmetice , inclusiv a celor derutante ;

– stimularea creșterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competiții între elevi și probe date într-un interval de timp precizat inițial ;

3.1. să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme

– exerciții de transpunere a unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers .

Conținuturile învățării :

Probleme care se rezolvă prin cel mult două operații ;

-*probleme care se rezolvă prin mai mult de două operații .

Clasa a IV-a

2.5. să rezolve și să compună probleme cu text

– recunoașterea situațiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor

operații de adunare, scădere, înmulțire , împărțire ;

transpunerea unei situații problemă, în limbaj matematic , înlocuind numere necunoscute cu simboluri ;

analiza unor probleme de tipul menționat: identificarea datelor și a necunoscutelor, identificarea operațiilor prin care se ajunge la rezolvare, identificarea tipului problemei ( a formulei) ;

alcătuire de probleme ;

formularea de generalizări ale unor enunțuri date; crearea și rezolvarea unor probleme cu text, pe baza unor scheme, modele, reguli date ;

crearea de probleme utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte pornind de la numere date ; fără sprijin ,

crearea de probleme pornind de la exerciții și invers ; transformarea problemelor în exerciții ;

crearea de probleme de către elevi pentru colegii lor ;

crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b= x; a – b = x ) ;

analiza părților componente ale unei probleme ;

schimbarea componentelor unei probleme fără ca tipul de problemă să se schimbe;

transformarea problemelor de adunare în probleme de scădere și invers, a celor de scădere în probleme de adunare ;

schimbarea numerelor într-o problemă dată, cu păstrarea tematicii ;

transformarea problemelor păstrând numerele neschimbate ;

analiza cuvintelor care sugerează operații aritmetice , inclusiv a celor derutante ,

stimularea creșterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competiții între elevi și prin probe date într-un interval de timp precizat inițial ;

3.1. să exprime pe baza unui plan simplu de idei , oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

– utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare a unei probleme

Conținuturile învățării :

Probleme care se rezolvă prin cel mult trei operații .

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

Probleme de estimare ; probleme care se rezolvă prin încercări .

Probleme de organizare a datelor în tabele .

*Probleme care se rezolvă prin mai mult de trei operații .

*Probleme de logică și probabilități .

Standarde de performanță

O.C.2

S7. Formularea și rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operații

S8. Rezolvarea de probleme din alte discipline utilizând limbajul matematic adecvat

S9. Folosirea corectă a unor modalități simple de organizare și clasificare a datelor

S10. Realizarea de estimări pornind de la situații practice

O.C.3

S12. Exprimarea orală și scrisă într-o manieră concisă și clară a modului de calcul și a rezultatelor unor exerciții și probleme

1 . 3 . OBIECTIVELE LUCRĂRII

Mi – am propus prin această lucrare :

să demonstrez că , indiferent de domeniu , rezolvarea creativă de probleme trebuie să fie atributul ce caracterizează omul în orice ipostază s-ar afla : școală , familie , mediu , societate ;

să argumentez și să dovedesc că matematica este câmpul deschis al cunoașterii științifice unde brainstorming – ul (sintagma traducerii directe ,,furtuna în creier” sau ,,asaltul de idei”) se poate duela cu algoritmizarea spre a ieși învingători elevii ;

să ofer un studiu de caz și un experiment pedagogic pentru o problemă controversată : modul de instruire și transferul învățării orizontal , pe grupe valorice de nivel – materii ( omogene , în funcție de aptitudinea specială matematică ) ;

să verific ( empiric ) o ipoteză întemeiată pe studii teoretice privind Introducerea organizatorului cognitiv , ca metodă optimă folosită pentru a maximaliza performanțele elevului la acest test și la acest obiect – matematică ( pe termen lung );

să promovez ideea că prin matematică se dezvoltă gândirea și operațiile ei, creativitatea , tăria de caracter , sentimentele și atitudinile pozitive , spiritul de competiție intelectuală .

Capitolul 2 – METODOLOGIA REZOLVĂRII PROBLEMELOR ÎN

CICLUL PRIMAR

2 . 1 . NOȚIUNEA DE ,, PROBLEMĂ”

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite .

În sens psihologic , ,,o problemă”este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat .

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare , o rezolvare, poartă numele de problemă .

Noțiunea de problemă nu este întâlnită numai în matematică. După cum afirmă G. Polya ,,a avea ( sau a-ți pune ) o problemă înseamnă în mod conștient o acțiune adecvată pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat accesibil. A rezolva o problemă înseamnă a găsi o asemenea acțiune”.

Referindu-ne la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin procese de gândire și calcul .

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

În activitatea teoretică și practică omul întâlnește atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândită sau între mijloacele deja învățate . Când situația poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă . În cazul situațiilor – problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției .

Rezolvarea problemelor se face fie prin metode euristice, fie prin metode algoritmice .

Metodele cu ajutorul cărora se descoperă noi mijloace de rezolvare, se construiesc planuri și programe nestereotipice, sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipice (aplicarea aceleiași metode de rezolvare în situații identice, cum este cazul la problemele tipice ), cât mai ales în aceea a rezolvării euristice.

Rezolvarea problemelor cu ajutorul algoritmilor ușurează mult munca rezolvatorului, aceasta reducându-se la recunoașterea tipului de problemă și la aplicarea algoritmului corespunzător .

În felul acesta , gândirea și activitatea rezolvitorului se pot concentra asupra altor aspecte, care solicită creativitatea în mai mare măsură. Abordarea algoritmică a problemelor are avantajul că ne permite accesul la calculatorul electronic. Pentru a rezolva o problemă cu un sistem de prelucrare automată a datelor trebuie parcurse următoarele etape :

formularea problemei ;

precizarea datelor de intrare / ieșire ;

elaborarea schemei logice ;

elaborarea programului în conformitate cu schema logică .

Odată introduse datele și programul în calculator, acesta va opera asupra informațiilor și va comunica omului rezultatul. Evident că o astfel de cale pentru rezolvarea problemelor este ușoară, comodă, dar ea nu se poate aplica decât unui număr infim de probleme, pentru care se poate elabora un algoritm de rezolvare . Dintre acestea, unele probleme tip de aritmetică.

Din cele arătate mai sus rezultă că majoritatea problemelor trebuie rezolvate pe cale euristică. Rezolvitorul trebuie ca, ținând seama de ceea ce cunoaște, să afle soluția problemei . Procesul gândirii în activitatea de rezolvare a problemelor este deosebit de complex și cu greu se pot obține date despre desfășurarea lui.

O primă etapă este aceea de clarificare a enunțului, o trecere a acestuia prin prisma experienței anterioare a rezolvitorului .

Urmează o a doua etapă, în care rezolvitorul, folosindu-se de experiența anterioară, caută mijloacele de rezolvare a problemei.

În starea de tensiune care se crează, apare ideea nouă care conduce la rezolvare.

Această etapă este urmată de o alta și ultima, în care ideea este concretizată, detailată și verificată .

Viziunea asupra problemei evoluează în timp. În acest sens, G . Polya reprezintă evoluția viziunii asupra problemei: maturizarea subconștientă a problemei; din punctul C începe activitatea conștientă de rezolvare a problemei, urmează un punct de stagnare momentană, S . Punctul I care este un punct de inflexiune al curbei și în care panta are un maxim, corespunde apariției ideii decisive, momentul de inspirație .

În cursul rezolvării problemei, în funcție de experiența anterioară și de aptitudinile rezolvitorului, acesta poate aprecia stadiul în care se află rezolvarea, modul în care ea evoluează .

Operațiile implicate în rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya într-o schemă :

Izolare

recunoaștere regrupare

mobilizare previziune organizare

reamintire suplimentare

combinare

Rezolvarea începe cu mobilizarea în vederea găsirii soluției. Ea este însoțită de recunoașterea unor aspecte cunoscute și de reamintirea unor definiții, teoreme. Are loc izolarea unui detaliu, precum și combinarea detaliilor disparate. Urmează regruparea datelor și suplimentarea viziunii asupra problemei. În centrul acestor operații se află previziunea, întrucât toate operațiile menționate urmăresc să ne conducă spre soluție. În final se realizează organizarea, adică corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei.

Problemă și exercițiu

În general, între un exercițiu și o problemă distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute.

Exercițiul oferă elevului datele (numerele cu care operează și semnele operațiilor respective ), sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscute) și întrebarea problemei, care se referă la valoarea necunoscută .

Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției .

Deci, matematic vorbind, distincția între exercițiu și problemă nu trebuie făcută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și a altora în probleme nu se poate face, însă, în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un copil din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a IV-a și doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician .

Pe măsură ce elevul își însușește modalități de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciții .

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și, firesc, motivațional – afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ – imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea de probleme de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. În același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul cărora se subliniază o proprietate, o definiție sau o regulă ce urmează a fi învățate .

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitatea de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formeze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare atenție .

Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ. În același timp, activitățile matematice de rezolvare și compunere de probleme contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevului prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștințe pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, normă de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.

Problemele de aritmetică, fiind strâns legate prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și de rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și educarea unei noi atitudini față de muncă , a spiritului de disciplină conștientă, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative, al conduitei rezolutive .

2.2. ETAPELE REZOLVARII UNEI PROBLEME

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Astfel, odată cu învățarea primelor operații aritmetice (de adunare și scădere ) se începe rezolvarea pe cale orală și pe bază de intuiție, a primelor probleme simple. Treptat , elevii ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse. Varietatea problemelor pe care le rezolvă elevii sporește efortul mintal și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor. Trebuie să delimităm însă două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor :

a ) – Când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă-tip ( care se rezolvă prin aceeași metodă , comună tuturor problemelor de tipul respectiv ). În acest caz elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare. în cazul problemelor tipice, această schemă se fixează ca un algoritm de calcul, algoritmul de rezolvare a problemei .

b ) – În cazul când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare, deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare. Elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În felul acesta realizează un act de creație, care constă în restructurarea datelor propriei sale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilității gândirii sale, de capacitatea sa combinatorică și anticipativă. În rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei.

Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape. În fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar în combinații noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducând către soluția problemei. Este vorba de un permanent proces de analiză și sinteză (prin care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul care conduce la soluția problemei ), de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu noi aspecte ( analiza ) în funcție de combinațiile în care sunt plasate ( sinteza ) .

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspirații, ci presupune atât un fond de cunoștințe pe care elevul le aplică în rezolvarea problemelor, cât și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare în procesul rezolvării problemelor . Diferitele ipoteze (enunțuri ipotetice care ne vin în minte în legătură cu problema pusă ) nu apar la întâmplare. Ele iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor asimilate anterior . Cu cât cunoștințele sunt mai profunde, cu atât șansele ca ipotezele care se nasc în mintea rezolvitorului îl conduc mai repede la o soluție, cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat cu atât soluția este mai bună. De aceea, în orice domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe este condiționată de o solidă pregătire de specialitate, dar și de cultura generală.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt necesare unele deprinderi și abilități cu caracter mai general cum sunt: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).

Cu toată varietatea lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, deci același raționament, în mintea copiilor se conturează schema de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau un semialgoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este mult mai ușurată în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute. Dar această subsumare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în orice condiții concrete s-ar prezenta problema (domeniul la care se referă, mărimea și natura datelor etc.).

De o mare importanță în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei.

Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul ,,film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun al unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și de a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei .

Când se rezolvă o problemă compusă, aparent elevul rezolvă pe rând mai multe probleme simple. În esență, nu este vorba de probleme simple care se rezolvă izolat. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecăreia dintre ele făcându-se în direcția aflării necunoscutei, fiecare problemă simplă rezolvată reprezentând un pas înainte, o verigă pe calea raționamentului problemei compuse, de natură să reducă treptat numărul datelor necunoscute .

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei .

Aceste etape sunt :

– Cunoașterea enunțului problemei

– Înțelegerea enunțului problemei

– Analiza problemei și întocmirea planului logic

– Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din plan logic

– Activități suplimentare :

verificarea rezultatului

scrierea sub formă de exercițiu

găsirea altei căi sau metode de rezolvare

generalizare

compunere de probleme după o schemă asemănătoare

A. Cunoașterea enunțului problemei

,,O problemă bine înțeleasă este pe jumătate rezolvată” Eugen Rusu

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Cunoașterea enunțului probleme se realizează prin citire de către învățător sau de elevi sau prin enunțare orală. Se va repeta problema de mai multe ori, până la însușirea de către toți elevii. Se vor scoate în evidență anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei ( folosindu-se scrierea pe orizontală sau pe verticală ) .

B. Înțelegerea enunțului problemei

Nu este posibil ca elevul să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei decât în măsura în care cunoaște termenii în care se pune problema. Enunțul problemei conține un minim necesar de informații. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Acest minimum de informații trebuie recepționat în mod optimal de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acțiuni când este cazul.

C. Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei .

Aceasta este etapa în care se ,, construiește” raționamentul prin care se rezolvă problema, adică drumul de legătură dintre datele problemei și necunoscută. Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge să ne ridicăm de la situațiile concrete pe care le prezintă problema la nivelul abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg .

Transpunând problema într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă evidențiem esența matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei. În momentul în care elevii au transpus problema în relații matematice, soluția este ca și descoperită .

D. Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și, evident, a rezultatului final .

E. Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs .

După rezolvarea unei probleme se recomandă – pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea ) datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau schimbate dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerință care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci, din contră, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.

Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai ales corelează elemente a căror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței . Abilitățile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general , adică intră în acțiune la rezolvarea oricărei probleme, fie specifice și se aplică la probleme tipice, ori la detaliile acțiunilor (procedee de calcul ) și, în acest caz, au statut de deprinderi .

Sarcina principală a învățătorului când pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o serie de reformulări care să-i apropie de soluție. E necesară analiza datelor în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu ( a perspectivei ) asupra problemei și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia.

O problemă este cu atât mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situația nouă cere o restructurare mai profundă a experienței anterioare .

Retorica etapelor rezolvării unei probleme :

1.Înțelegerea problemei

a) Înțelegerea enunțului problemei în ansamblul său, fără a avea în vedere detaliile .

b) Separarea părților principale ale problemei și reprezentarea lor (dacă este posibil) printr-un desen convențional .

După G . Polya , părțile principale ale unei ,,probleme de aflat” sunt: datele, necunoscuta și condiția; ale unei ,,probleme de demonstrat” sunt: ipoteza (ceea ce se dă ) și concluzia (ceea ce trebuie demonstrat).

c)Examinarea fiecărei date, fiecărei componente a necunoscutei, fiecărei clauze a condiției.

Avansarea unor ipoteze asupra soluției:

Poate fi satisfăcută condiția ?

Este condiția suficientă pentru a determina necunoscuta ?

Sau este insuficientă ?

Sau redundantă ?

Sau contradictorie ?

Puneți-vă aceste întrebări pentru problemele :

1 . ,,Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină, dacă 2 kg de orez și 3 kg de făină costă 1840 lei, iar 3 kg de orez și 2 kg de făină costă 1835 le ?”

2 . ,,2 kg de orez și 3 kg de făină costă 1840 lei . S-a cumpărat orez și făină în valoare de 1835 lei . Cât costă 1 kg din fiecare produs ?”

3 . ,, Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină dacă 2 kg de orez și 3 kg de făină costă 1840 lei, iar 4 kg de orez și 6 kg de făină costă 2940 lei ?”

4 . ,, Prețul unui kg de orez este cu 5 lei mai mic decât al unui kg de făină. Pentru 2 kg de orez și 3 kg de făină s-au plătit 1840 lei. Cât costă 1 kg din fiecare produs, dacă altă dată pentru 3 kg de orez și 2 kg de făină s-au plătit 1835 lei ?”

În prima problemă condiția este suficientă pentru determinarea soluției; în a doua problemă condiția este insuficientă pentru determinarea soluției (problema are o infinitate de soluții, este nedeterminată); în a treia problemă condiția este contradictorie, iar în a patra, condiția este redundantă (conține date de prisos) .

2. Întocmirea unui plan

– Problema se încadrează într-unul din tipurile studiate ?

Dacă da, trebuie să ne amintim metoda prin care se rezolvă problemele de tipul respectiv.

Dacă nu, recurgem la metodele generale de raționament: analiza și sinteza.

a)Metoda analizei constă în a face raționamentul problemei pornind de la necunoscută la date .

– Să cercetăm necunoscuta !

– Din ce mărimi rezultă ea?

– Cum pot fi deduse aceste mărimi? ( Și așa mai departe până ajungem la datele problemei).

b) Metoda sintezei constă în a face raționamentul problemei pornind de la date spre necunoscută .

– Am putea deduce ceva util din datele problemei?

– putem folosi rezultatul obținut pentru a afla noi mărimi utile în rezolvarea problemei?

( și așa mai departe până ajungem la necunoscută).

Indiferent prin ce metodă facem raționamentul problemei, planul rezolvării se face de la date spre necunoscută !

Planul rezolvării unei probleme de aritmetică trebuie să constituie o înlănțuire de probleme simple, astfel încât soluția ultimei dintre ele să fie soluția problemei date !

3 . Realizarea planului

Se efectuează succesiv operațiile care conduc la soluțiile problemelor simple cuprinse în planul de rezolvare.

– Au fost utilizate toate datele ?

4 . Privire retrospectivă

a) Apreciere generală asupra rezultatului .

– Poate constitui aceasta soluția problemei ?

b) Verificarea rezultatului: Se înlocuiește soluția în problemă și se verifică enunțul.

c) Căutarea altor căi de rezolvare a problemei :

– Se putea rezolva problema pe altă cale ?

– Există o cale mai directă de rezolvare ?

d) Concluzii :

– Ce am învățat rezolvând problema ?

– Ce-mi poate fi de folos în rezolvarea altor probleme ?

– Pot face generalizări ?

– Sunt particularizări ?

2.3. CLASIFICAREA PROBLEMELOR

Adoptăm , după G.Polya o primă clasificare a problemelor în probleme ,,de aflat” și probleme ,,de demonstrat”. Această clasificare este inspirată dintr-o tradiție care durează încă de la Euclid , termenul de problemă ,, de aflat” corespunzând celui de problemă , iar cel de problemă ,,de demonstrat” corespunzând termenul de theorema.

Scopul unei probleme ,,de aflat” este de a găsi necunoscuta problemei . Scopul unei probleme ,,de demonstrat” este de a arăta că o anumită aserțiune este adevărată sau falsă. Uneori, cele două operații – de aflare și de demonstrare – se pot întâlni în aceeași problemă . În matematicile elementare predomină ,problemele de aflat” .

După numărul operațiilor necesare aflării soluției , problemele de aritmetică se clasifică în două mari grupe : probleme simple și probleme compuse . Se numesc simple problemele în care soluția se obține printr-o singură operație aritmetică , iar compuse – problemele a căror rezolvare se face cu două sau mai multe operații aritmetice .

După scopul imediat pe care îl urmăresc ( aplicarea unei reguli sau teoreme , dezvoltarea judecății , formarea deprinderilor de calcul ) problemele se clasifică în :

1 . Exerciții ;

2 . Probleme teoretice ;

3 . Probleme practice ;

4 . Probleme artificiale ;

5 . Probleme recreative .

Exercițiile sunt probleme ușoare , formulate de obicei cu date mici , care servesc pentru aplicarea unei reguli , a unei teoreme demonstrate la ora de curs , sau pentru a pune în evidență unele proprietăți ale numerelor și operațiilor”. De fapt , dacă ținem seama că rezolvarea unei probleme implică o dificultate , exercițiile n-ar trebui să fie încadrate printre probleme .

Probleme teoretice . ,,Problemele care sunt mai grele decât exercițiile și care urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată , asimilarea temeinică a cunoștințelor teoretice din aritmetică , aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicilor , se numesc probleme teoretice” .

Probleme practice . ,,Problemele care conțin date luate din lumea înconjurătoare legate de procesul de producție , așa cum se desfășoară el în realitate în uzine , pe ogoare , în laboratoare , aplicații tehnice , din calcule financiare , din comerț etc…., se numesc probleme practice”.

Probleme artificiale . Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metodă , să folosească anumite reguli sau procedee de calcul . Autorul unei asemenea probleme se străduiește ca datele și problema însăși să fie cât mai aproape de realitate .

Citez din lucrarea lui Gh.A.Chiței o problemă artificială : ,,O vulpe urmărită de un ogar are un avans de 49 sărituri înaintea lui . După câte sărituri ogarul va ajunge vulpea , știind că el face șase sărituri în timp ce vulpea face șapte sărituri , iar trei sărituri ale ogarului fac cât patru ale vulpii ?”

De ce este artificială această problemă ? Pentru că o persoană nu poate număra în același timp numărul săriturilor făcute de vulpe și ogar , iar pe de altă parte acestea nu au o mărime constantă . Totuși , problema este instructivă , prin raționamentul care conduce la rezolvare .

Probleme recreative . ,,Problemele care conțin chestiuni distractive, cu toate că în rezolvare a lor cer raționamente riguroase din punct de vedere matematic , se numesc probleme recreative”.

CRITERII :

a) după numărul de operații – simple

– compuse

b) după gradul de generalitate – generale

– tipice

– recreative

c) după sfera de aplicabilitate – teoretice

– practice

d) după conținut – de mișcare

– amestec și aliaj

– geometrie

– algebră

e) după modul de implicare al creativității – demonstrativ-aplicative

– reproductiv creative

– euristic creative

– de optimizare

f) după rolul de implicare în procesul didactic – formativ

– informativ

PROBLEME SIMPLE . PROBLEME COMPUSE

Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic în școală , în familie , în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui .Pentru a-i face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări . În această perioadă de început , activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă . De aceea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub formă de joc și au caracter de probleme-acțiune și cărora li se asociază un bogat și variat material didactic intuitiv . Rezolvarea lor se realizează la un nivel concret , ca acțiuni de viață ( au mai venit …,s-au spart …. , au plecat …., i-a dat…, au mâncat ….) . Activitatea de rezolvare se află aproape de aceea de calcul, dificultatea principală pe care o întâmpină elevii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice . Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de ,,problemă” , ,,întrebarea problemei” , ,,rezolvarea problemei”, ,,rezultatul problemei”.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații . Învățătorul se folosește de ,,probleme acțiune”care după ce au fost puse în scenă vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare , învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o operație aritmetică .

Care sunt , în esență , aceste tipuri ?

Probleme simple bazate pe adunare pot fi :

de aflare a sumei a doi termeni ;

de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

probleme de genul ,,cu atât mai mult” .

Probleme simple bazate pe scădere pot fi :

de aflare a diferenței , a restului ,

de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat ;

de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei ;

probleme de genul ,,cu atât mai puțin” ;

probleme de aflare ,,cu cât este mai mare / mai mic” un număr decât altul .

Probleme simple bazate pe înmulțire sunt , în general:

de repetare de un număr de ori a unui număr dat ;

de aflare a produsului ,

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat .

Probleme simple bazate pe împărțire pot fi :

de împărțire a unui număr dat în părți egale ;

de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul ;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat ;

de aflare a unei părți dintr-un întreg ;

de aflare a raportului a două numere ;

de câte ori este mai mare / mai mic un număr fată de altul .

În general dificultatea frecventă constă în confundarea operației ce trebuie efectuate .Se recomandă abordarea unei mari varietăți de enunțuri .

Prin procedeele folosite se urmărește nu o învățare a problemelor , ci formarea capacităților de a domina varietatea lor . Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere ,să facă operații de compunere și descompunere , să folosească strategii și modele mintale anticipative .

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea acestor probleme nu înseamnă rezolvarea succesivă a unor probleme simple . Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi , construirea raționamentului .

Examinarea unei probleme compuse se face , de regulă , prin metoda analitică sau sintetică . Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta , caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției . Atât o metodă cât și cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care , prin rezolvare succesivă , duc la găsirea soluției finale . Deosebirea dintre ele costă , practic , în punctul de plecare al raționamentului . prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției ei , iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice între ele .

În practică s-a stabilit că metoda sintezei este mai accesibilă , dar nu solicită prea mult gândirea elevilor . Mai mult , se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei . Metoda analitică pare mai dificilă , dar solicită mai mult gândirea elevilor și , folosind-o , îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei , să aibă mereu în atenție întrebarea ei .

Odată cu analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare . Planul trebuie scris de învățător pe tablă și de elevi pe caiete , mai ales la rezolvarea primelor probleme . În clasa I , planul problemei se întocmește la început oral , treptat se scrie . Forma în care se scrie planul este variată .

O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare , deoarece se cultivă mobilitatea gândirii , creativitatea , se formează simțul estetic al elevilor . Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții , educându-se astfel atenția , spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor . De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare . Sarcina învățătorului este aceea ca prin măiestria sa pedagogică,prin analiza întreprinsă cu clasa , prin întrebări ajutătoare ,să-i determine pe elevi să gândească și alte modalități de rezolvare .

Alt procedeu are la bază ca modalitate de rezolvare folosirea modelului logico-matematic obținut prin etape succesive :

,,Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme , sesizând organizarea internă a conținutului ei . Elaborarea modelului în forme și modalități dintre cele mai variate – cu cerculețe ,cu pătrate , cu litere, cu cuvinte , cu prescurtări ,este un instrument ajutător în rezolvarea problemei . prin alcătuirea modelului , elevul parcurge o etapă de gândire , pătrunde în procesul de rezolvare , probează că a înțeles structura logică a conținutului problemei , își exersează gândirea divergentă , creatoare , precum și abilitățile de compunere de probleme .”

O categorie de probleme căreia învățătorul trebuie să-i acorde o atenție deosebită este aceea în care datele sunt în relații de ,,cu atât mai mare /mai mic” sau ,,de atâtea ori mai mare / mai mic” . Pentru elevii din clasa a II-a în special , aceste noțiuni au caracter abstract și dacă nu face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute . Dificultatea constă mai ales în faptul că o mărime se ia de mai multe ori : a+(a+b) ; a – (a – b); a+a x b ; a – a:b ; a+(a+b)+(a+c) și dacă elevul nu și-a însușit noțiunile respective le va neglija , deci nu le va mai lua în calcul a doua sau , după caz , a n-a oară , sau , elevul în aceste situații nu știe cum să procedeze .

În aceste cazuri se recomandă descompunerea problemei compuse în probleme simple și apoi recompunerea din acestea a problemei inițiale .

În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete așa cum sunt ele prezentate , explicându-se copiilor că acestea pot fi altele într-o altă problemă sau situație-problemă.

Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită de multe ori folosirea schemelor , desenelor , graficelor , iar pentru formarea unei gândiri sintetice , formule numerice sau literale . Dacă atunci când se predau operațiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor și factorilor , dacă operațiile aritmetice sunt scrise la modul general și se cere elevilor să rezolve și să compună probleme simple de aflare a unui termen , a unui factor , a sumei , diferenței , produsului , câtului , să mărească , să micșoreze o cantitate de atâtea ori – folosind formule literale , elevii nu vor mai întâmpina greutăți mari în acțiunile de schematizare și generalizare a unei probleme compuse printr-un exercițiu numeric sau formulă literală .

Rezolvarea problemelor tip ( standard )

O încercare de a pune ,,ordine” în multitudinea problemelor de aritmetică, o posibilă clasificare a problemelor de aritmetică :

I – Probleme cu operațiile relativ evidente .

Sunt problemele cel mai des întâlnite în manualele din clasele I-IV . Acestea sunt :

A. Probleme simple .

B. Probleme compuse .

Ca metode de rezolvare sunt , în principal , două :

– metoda analitică și metoda sintetică .

II – Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

III – Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la același termen al comparației )

IV – Probleme de presupunere ( metoda falsei ipoteze )

V – Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers )

VI – Probleme de amestec și aliaje cu două variante :

De categoria I

De categoria aIIa

VII – Probleme de mișcare ( bazate pe relația d=vxt ) , cu două variante :

În același sens

În sensuri contrare

VIII – Probleme cu mărimi proporționale , cu două variante :

Împărțirea unui număr în părți direct proporționale

Împărțirea unui număr în părți invers proporționale

Împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date

IX – Probleme care , depinzând de alcătuirea întrebării și de date , rezolvate și încadrate la categoriile specificate mai sus , dar cu conținut specific :

A. Probleme cu conținut geometric

B. Probleme cu conținut de fizică

C. Probleme asupra acțiunii și muncii în comun

X. Probleme nonstandard ( recreative , rebusistice , de perspicacitate , probleme – joc etc.)

Prin problemă – tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip . O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare .

Voi prezenta în continuare o clasificare a problemelor tipice și pentru fiecare tip o metodă de rezolvare . Pentru identificarea metodei ( algoritmului ) voi rezolva ,, model” unele dintre cele mai semnificative probleme aparținând unui anumit tip .

Problemele pentru fiecare tip urmăresc în primul rând consolidarea metodei (algoritmului), iar la alte probleme care sunt mai complexe și pot conține în enunțul lor două sau mai multe tipuri diferite de probleme, rezolvitorul trebuie să stabilească ce tipuri anume apar în enunț și apoi să le rezolve corespunzător .

Nu suntem adepții unor șabloane , pentru că rezolvitorii s-ar putea transforma în niște roboți , posesori ai unor cartele pe care sunt imprimați algoritmii și sarcina lor ar fi doar să stabilească tipul , să ,,tragă” cartele corespunzătoare și să le adapteze datelor problemei . Însă un rezolvitor de probleme trebuie să fie , pe lângă un bun specialist al matematicii , și un tip creator , novator , întreprinzător – calități disjuncte ale ,,robotului” , în sensul clasic al cuvântului .

Rezolvarea problemelor tip pe cale aritmetică presupune cunoașterea metodei specifice aplicabilă tipului respectiv .

Să trecem în revistă principalele probleme tip :

a)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor

Aceste probleme sunt de forma :

Suma a două numere a și b ( a >b ) , este s, iar diferența lor este d . Să se afle cele două numere .

Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentându-se prin segmente cele două numere și punându-se în evidență suma și diferența lor .

d

a |––––––-|–––|

} s

b |––––––-|

Se ajunge la concluzia că numărul mai mare este egal cu semisuma dintre s și d , iar numărul mai mic este egal cu semidiferența lor :

a=s+d , b= s – d

2 2

Aceste formule nu trebuie să se aplice mecanic , ci să se facă apel la imaginea intuitivă a relației dintre cele două numere .

Probleme de sumă și diferență sunt și problemele de forma : Suma a două numere este S , dacă din primul se scade a’ și din al doilea b’ , se obțin numere egale . Care sunt cele două numere ?

a’

a |–––––|–––––––|

} s

b |–––––|––|

b’

În cazul acesta diferența celor două numere este egală cu a’ – b’ . Pentru problemele de sumă și diferență se poate face și următoarea generalizare :

Suma a n numere este s , diferența dintre al doilea și primul este d 1 , diferența dintre al treilea și primul este d 2 , diferența dintre ultimul număr și primul este d n -1 . Care sunt numerele ?

Folosind metoda figurativă ,

Obținem a 1 = ( d1 + d2 + …. + dn-1 )

n

a1 |–––––|

d1

a2 |–––––|––|

d2

a3 |–––––|–––––|

…………………………………………………..

dn-1

an |–––––|–––––––––|

b)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și raportul lor

Aceste probleme sunt de forma : suma a două numere a și b este s , iar raportul lor este r . Să se afle aceste două numere .

Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentând prin segmente cele două numere și punând în evidență relațiile dintre ele .

a |––|

} s

b |––|––|––|––|––|

Se obține : b = s , a = s . r

r+1 r+1

c)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște diferența și raportul lor

Enunțul problemelor de acest tip este de forma :

Diferența a două numere a și b ( a > b ) este d , iar raportul dintre ele este r . Care sunt cele două numere ?

Rezolvăm problema făcând apel la metoda figurativă .

b |––|

a |––|––|––|––|

|___________|

d

observăm : b = d , a = d . r pentru r # 1

r-1 r-1

pentru r=1 considerăm cazurile :

1) d= 0, atunci numerele sunt egale

avem nedeterminare

2) d# 0 , imposibilitate

d)Probleme de eliminare a necunoscutei prin sumă sau diferență

Rezolvarea acestor probleme revine la rezolvarea unui sistem de forma :

(1) x + y = a x-y = a

{ sau { a,b,m,n εR*

mx+ny=b mx-ny=b

Ne vom referi în continuare la unul din aceste sisteme , de exemplu la (1) .

Pentru rezolvarea acestui sistem recurgem la un artificiu de calcul .

Dacă m < n , a doua ecuație o scriem sub forma

m(x+y)+(n-m)y=b , ținând seama de prima ecuație obținem

ma+(n-m)y=b , relație ce reprezintă suma a doi termeni .

Unul dintre termeni este diferența dintre sumă și celălalt termen :

(n-m)y=b-ma

Acum trebuie să aflăm unul din cei doi factori ai unui produs . Avem :

Y= b-ma , n#m

n-m

pentru m=n obținem nedeterminare dacă a=b și imposibilitate dacă b # a .

m m

Metoda nu este pur aritmetică , dar ea oferă prilejul justificării , pe baza proprietăților operațiilor , a unor proprietăți ale ecuațiilor (trecerea dintr-un membru într-un altul) .

Această metodă poate fi evitată prin folosirea metodei figurative .

e)Probleme de eliminare a unei necunoscute prin înlocuirea ei

Dacă într-o problemă figurează două necunoscute și se cunoaște o relație între ele , atunci problema poate fi redusă la una cu o singură necunoscută . Dificultatea constă în a observa cum se poate face această operație . Înlocuirea se poate face printr-un raționament , ajutat uneori de un desen adecvat .

CAPITOLUL 3 – METODELE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

3. 1 . Metode generale

După înțelegerea problemei urmează trecerea la rezolvarea propriu-zisă . O primă întrebare pe care ne-o punem este dacă problema este o problemă tip sau nu . În cazul în care este vorba despre o problemă tip , aplicăm metoda cu care se rezolvă problemele de tipul respectiv . Dacă problema pe care o rezolvăm nu este o problemă tip , planificarea rezolvării ei urmărește ca , printr-un șir de raționamente , să legăm necunoscuta de date . Această legătură se poate realiza în două moduri : pornind de la necunoscută spre date sau invers , de la date spre necunoscută . În primul caz este vorba de metoda analizei , în al doilea caz este vorba despre metoda sintezei .

Prin analiză , geometrii greci înțelegeau ,, rezolvarea mergând înapoi” .

G . Polya numește analiza planificare regresivă sau procedeu descendent . După același autor , ,,schema procedeului descendent…” este o schemă de elaborare a planului de rezolvare , de planificare a rezolvării ; elaborarea (planificarea) rezolvării pornește de la obiectivul urmărit (obiectivul , necunoscuta,concluzia ) și înaintează descendent spre obiective care ne stau în putință ( obiectele pe care le avem , datele , ipoteza ) .

Succint , raționamentul în planificarea regresivă poate fi redat astfel :

A dacă B , B dacă C , C dacă D , D dacă E . Pe E îl avem .

Dacă în elaborarea planului de rezolvare a problemei prin procedeul descendent mersul raționamentului este de la necunoscută spre date , în realizarea planului mersul este ascendent , de la date spre necunoscută .

Strategia didactică folosită la rezolvarea unei probleme prin metoda analizei este deductivă .

,,Activitatea complementară de executare ( realizare ) a planului care pornește de la obiectivele pe care le avem spre obiectivul de urmărit ( în cazul nostru de la E spre A ) se numește , prin opoziție , activitate ,, progresivă sau procedeu ascendent sau sinteză – ceea ce înseamnă a pune laolaltă” . După cum arată Gh. A. Chiței ,, în rezolvarea problemelor , sinteza se aplică astfel : Se consideră două din datele problemei și cu ele se compune o problemă simplă , apoi cu alte două date , sau cu rezultatul de la prima problemă simplă și cu a doua dată a problemei se compune o nouă problemă simplă și așa mai departe până dăm peste o problemă simplă a cărei soluție este chiar rezultatul cerut de problemă .”

Ambele metode , analiza și sinteza , prezintă avantaje și dezavantaje .

Astfel , folosind analiza nu scăpăm din vedere necunoscuta , dar s-ar putea să ajungem la rezolvarea unei probleme auxiliare pe care să nu o putem rezolva cu ajutorul datelor problemei . Folosirea sintezei este mai accesibilă și prezintă avantajul că atât elaborarea planului , cât și realizarea lui evoluează în același sens : de la date spre necunoscută . De aceea , sinteza este indicată mai ales rezolvitorilor începători . Inconvenientul metodei sintezei constă în aceea că, pornind de la date , s-ar putea ,,să ne pierdem timpul” cu rezolvări de probleme auxiliare suplimentare , care nu ne sunt utile în aflarea necunoscutei .

Din cele arătate în legătură cu metoda analizei și sintezei , s-ar părea că cele două metode nu pot fi folosite în rezolvarea aceleiași probleme . Cu toate acestea , de multe ori putem începe raționamentul printr-o metodă și să-l continuăm prin cealaltă . Sau , chiar atunci când folosim numai una dintre metode , în mod spontan folosim și cealaltă metodă . Astfel , planificând rezolvarea prin metoda sintezei putem să nu rezolvăm probleme neutile , deoarece am avut în vedere necunoscuta , făcând apel deci la analiză .Din motivele arătate mai sus , de multe ori se vorbește nu de metoda analizei și de metoda sintezei , ci despre metoda analitico-sintetică . Obișnuirea elevilor cu planificarea progresivă ( metoda sintezei ) sau cea regresivă ( metoda analizei ) este deosebit de importantă pentru euristică .

3 . 2 . Metode particulare

Metoda figurativă

metodă particulară sau specifică ;

cu un pronunțat caracter intuitiv ;

permite vizualizarea relațiilor dintre datele problemei și presupune utilizarea unor semne grafice ;

are caracter general și se poate folosi în toate categoriile de probleme ;

nu există un algoritm de rezolvare aplicabil tuturor problemelor de acest fel , de aceea problemele care se rezolvă prin metoda figurativă nu le putem include strict în categoria problemelor tip .

După datele folosite , problemele care se rezolvă prin această metodă se împart în două categorii :

1 ) cu date sau mărimi ,,discrete” – mărimile pot fi numărate câte una și se pot pune în corespondență după anumite criterii ; în acest caz mărimile le ,,figurăm” prin simboluri ;

2 ) cu date sau mărimi ,,continui” , caz în care , le figurăm prin segmente .

Cele mai frecvente probleme care se rezolvă cu ușurință prin această metodă considerăm a fi cele :

de sumă și diferență ;

de sumă și raport ;

de diferență și raport ;

de aflare a unor numere consecutive ;

aflarea unui număr când se cunoaște o fracție din el ;

aflarea unei fracții dintr-un număr când se cunoaște numărul ;

aflarea dimensiunilor unei figuri geometrice ( dreptunghi ) când se cunosc relațiile de sumă , diferență sau raport între laturile figurii

Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă se poate aborda din al doilea semestru al clasei I , urmărind ca în clasele a II-a , a III-a și a IV-a să se aplice prin aprofundare și extindere și la alte tipuri de probleme .

La compunerea de probleme după un model grafic , această activitate intelectuală să se facă mai întâi oral , apoi în scris .

PROBLEMĂ

Suma a două numere este 265 . Primul număr este cu 17 mai mare decât al doilea . Află cele două numere .

Rezolvare ( propunere )

Scrierea pe scurt a datelor problemei :

a)Notăm cu S suma , iar cu a și b numerele necunoscute ;

S 2=265 ( a+b ) , a este cu 17 mai mare decât b .

b) Reprezentarea grafică a datelor problemei :

17

a |–––-|––|

} 265

b |–––-|

I . Rezolvarea explicativă inițială

a ) Primul mod : prin eliminarea părții neegale din suma dată

1p+1p=2părți egale

265 – 17= 248 ( reprezintă mărimea a două părți egale )

248 : 2 = 124( mărimea unei părți )

124 x 1 = 124 ( mărimea lui b )

124 x 1 + 17 = 141 ( a )

b ) Rezolvarea tipică ( propunere )

265 – 17 = 248 ( 2p egale )

248 : 2 = 124 ( 1p)

b = 124 x 1

b= 124

a= 124 x 1 + 17

a = 141

Verificare

a + b = 141 + 124 = 265 ( suma )

a – b = 141 – 124 = 17 ( diferența )

II . Al doilea mod : prin completarea numărului mic cu mărimea diferenței , suma mărindu-se cu această diferență

a ) Rezolvarea explicativă inițială :

a |–––––-|

} 265

b |–––-|…….|

17

265 + 17 = 282 ( reprezintă mărimea a două părți egale )

282 : 2 = 141 ( mărimea unei părți )

141 x1= 141 ( a )

141 – 17 = 124 ( b )

După formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor prin metoda figurativă de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor , se poate aplica formula de aflare

Astfel :

Numărul mare = ( S + D ) : 2

Numărul mic = ( S – D ) : 2

PROBLEMĂ

Dacă se așază câte doi elevi într-o bancă rămân 14 elevi în picioare . Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă rămân 3 bănci libere . Câți elevi și câte bănci sunt ?

datele sunt mărimi discrete ( bănci și elevi ) , care se pot pune în corespondență după criterii desprinse din analiza textului ; figurăm fie cu desen ( dreptunghiuri și cerculețe ) , fie cu litere ( banca cu B, elevul cu e ) :Obținem grupe de forma :

situația de la început

e e e e e e e e

B B B B B B B B 14 elevi

e

Dacă îi așezăm câte doi într-o bancă , deci alcătuind grupe de forma B e

Vom realiza :

e e e e e e e

B B B B B……………………….B B

e e e e e e 14 elevi

Avem deci :

e e e e e e e

B B B B………………B B…….B

e e e e e e e

|__________________________| |_____|

14 nu știm câte

e e e e e e e

B B B……………………….B B B B B B B

e e e e e e e

|__________________________| |__________| |___________|

14 B 3B 3B

TOTAL 14 B +3B+3B=20 B

1X20 +14 =34 ELEVI

PROBLEMĂ

Într-un vas de fructe sunt de trei ori mai multe prune decât mere . La masă sunt patru persoane . Fiecare din ele își ia câte un măr și câte o pară . Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere . Câte prune și câte mere au fost la început?

Figurăm mărul cu M și pruna cu p . Situația de la început ar arăta astfel :

p p p p p p p

Mp Mp Mp Mp Mp………….. Mp Mp

p p p p p p p

Cele patru persoane își iau câte un măr și o prună .

Figurăm ce a rămas :

p p p p p p p

Mp…………….Mp Mp

P p p p p p p

Deci au rămas 8 prune ,,izolate”și grupe de câte un măr cu câte 3 prune fiecare .

În partea a doua a problemei , enunțul ne indică faptul că rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere , deci suntem obligați să realizăm grupe de forma

P

P M P

P

Cum obținem acest lucru ? ,,Obligând” câte o prună să treacă la o grupă de câte un măr și cu câte 3 prune pentru a completa până la 4 prune fiecare grupă : Observăm că cele 8 prune vor completa 8 grupe PPMPP , adică 8 mere , deoarece în fiecare grupă se află câte un măr .

Așadar în vas rămân 8 mere după ce cele patru persoane au servit câte un măr . La început au fost 8+4=12 mere și de trei ori mai multe prune decât mere , deci 12×3= 36 prune .

Rezolvarea și compunerea de probleme de aflare a unor numere consecutive necesită cunoașterea unor noțiuni și aplicarea lor . Spre exemplu elevii trebuie să știe să scrie forma generală :

a numerelor consecutive ;

a numerelor consecutive pare sau impare ;

Această metodă figurativă devine ,,o ghicitoare foarte atractivă” pentru elevii claselor primare atunci când li se cere să compună probleme . Prin joc ei respectă relațiile și condițiile observate pe desen , utilizând în același timp teoria și limbajul matematic corespunzător (două numere consecutive pare sau impare , a trei numere consecutive pare sau impare ) .

Metoda dublului raport

Problema dublului raport are la bază matoda figurativă și se desfășoară ăe trei etape :

etapa inițială ;

etapa transformărilor ;

etapa finală ( a celui de – al doilea raport )

Rezultă că există un raport inițial , apoi un alt raport final .

Cerințe metodice :

I . se vor face câteva exerciții de împărțire în grupe pe valori cunoscute ;

II. pentru vizualizarea corectă a relațiilor dintre date este bine ca etapa inițială să conțină un număr de grupe pe partea finală încât să asigure vizualizarea după etapa de transformare ;

III. simbolurile pentru elementele din grupe să conțină de obicei literele cu care încep , evităm aceeași literă

PROBLEMĂ

Într-un vas sunt de trei ori mai multe prune decât mere . Dacă se iau 4 mere și 4 prune , în vas ar rămâne de 4 ori mai multe prune decât mere . Câte prune și câte mere sunt ?

Notăm p – prune și m – mere

Raport inițial

p

P |––|––|––| grupe 1 măr și trei prune m p

m|––| p

Aflarea numărului de grupe e dat de numărul de mere

I . m ppp ……………..mppp mppp mppp mppp mppp

II . m ppp ……………….mppp ppp ppp pp __

III. ppmpp ……………..ppmpp

Schema de rezolvare :

să vadă că în raportul final al doilea raport e 1 la 4

grupele și-au menținut prunele

grupa finală a apărut prin completarea grupelor cu câte 1 prună

câte prune sunt pentru completarea grupelor ? 3+3+2=8prune

câte grupe vor completa 8 prune ? 8 grupe

care e numărul total de grupe ? 8+4=12

1×12=12mere 3×12=36prune

PROBLEMĂ

Un elev are de 5 ori mai mulți porumbei decât iepuri . Dacă ar cumpăra 4 iepuri și 8 porumbei el ar avea de 4 ori mai mulți porumbei decât iepuri .

Raportul inițial – mai mare

Raportul final – mai mic

I . ippppp……………….ippppp

* * *

II. ippppp……………….ippppp ippppp ippp i i

|__________9 grupe __________________|

III. ppipp ………………..ppipp ppipp ppipp ppipp ppipp

|_______________________________|

completăm

1) câți porumbei ne trebuie pentru completarea grupelor ?

1+4+4=9 raportul 1 la 4

2) câte grupe sunt cele care se vor completa cu cei 9 porumbei ?

9:1 = 9 grupe

3) câte grupe sunt inițial ?

9-1=8

nr. Iepuri 1×8=8 nr . porumbei 5×8=40

Experimente întreprinse în scopul studierii eficienței metodelor folosite în rezolvarea problemelor

Experimentele întreprinse în scopul studierii eficienței metodelor folosite în rezolvarea problemelor se referă la :

1 . Utilizarea fișelor ;

2 . Recunoașterea tipului căruia îi aparține o problemă ;

3 . Alcătuirea unei probleme de un anume tip ,

4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode .

1 . Utilizarea fișelor

Un prim rezultat pe care l-am obținut în utilizarea fișelor este cel al unei participări active a elevilor la descoperirea și însușirea metodei speciale de rezolvare a unui tip de probleme . Acest lucru a stat la baza trăiniciei cunoștințelor elevilor .

În general fișele folosite pentru studiul unui tip de probleme conțin trei părți : o problemă , indicații asupra rezolvării și rezolvarea . Elevul trece la partea următoare numai după ce o rezolvă pe precedenta . Pentru aceasta cele trei părți ale unei fișe ( problema , indicații , rezolvarea ) pot fi prezentate separat . Nu toate fișele conțin soluții , ci doar întrebări care-i conduc pe elevi la aflarea soluției .

FIȘĂ

Problemă

O gospodină a făcut dulceață de prune și de gutui . Cantitatea de dulceață de prune este cu 8 kg mai mare decât cea de gutui , iar cea de gutui este de 9 ori mai mică decât cea de prune .

Câte kg de dulceață a făcut din fiecare ?

1. Rezolvă problema

2. Indicație : De câte ori se cuprinde cantitatea de dulceață de gutui în diferența dintre cantitatea de dulceață de prune și cea de gutui ?

3. Soluție : Reprezentăm cantitățile de dulceață de prune și de gutui prin prin două segmente care să respecte relațiile din problemă .

8 kg cantitatea de dulceață de gutui se cuprinde

pr. |–|–|–|–|–|–|–|–|–| de 8 ori în diferența

g. |–| celor două cantități de dulceață

Rezolvare

Proba

4. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5. Alcătuiește o problemă de același tip cu problema dată .

FIȘĂ

Problemă

Într-un depozit erau 963 kg de zahăr și de orez . Cantitatea de orez era de 8 ori mai mare decât cea de zahăr . Câte kg de zahăr și câte kg de orez erau în depozit?

1 . Rezolvă problema .

2 . indicație : De câte ori cantitatea de zahăr se cuprinde în cantitatea totală de zahăr și orez ?

3 . Soluție : Reprezentăm cantitățile de zahăr și de orez prin două segmente (unul de opt ori mai mic decât celălalt) .

z. |–|

} 963

o. |–|–|–|–|–|–|–|–|

Cantitatea de zahăr se cuprinde în cea totală de zahăr și orez de 9 ori

4 . Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5 . Alcătuiește o problemă de același tip cu problema dată .

FIȘĂ

Problemă

Un camion a parcurs în două zile 453 km . În prima zi a mers cu 211 km mai puțin decât în a doua zi . Cât a mers în fiecare zi?

1 . Rezolvă problema

2 . Indicație : Folosind metoda figurativă , reprezintă spațiul parcurs de camion în cele două zile prin două segmente .

I |–––-|

} 453 km

II |–––-|––|

211

Observăm că , dacă scoatem din spațiul total parcurs în cele două zile spațiul parcurs în plus a doua zi față de prima , obținem de două ori spațiul parcurs în prima zi . Deci :

1) I =453 – 211 2) II =453 – 211

2 2

Explică rezolvarea .

3. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

4 . Alcătuiește o problemă de același tip cu problema dată .

2. Recunoașterea tipului căruia îi aparține o problemă sau a metodei aplicabile constituie o condiție necesară a folosirii algoritmului de rezolvare a problemelor tip . Dau , mai jos , două teste folosite în acest scop .

TESTUL A

Indicați de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

1 . Un camion a parcurs în 560 km . Să se afle cât a parcurs în fiecare zi , dacă în prima zi a parcurs cu 160 km mai mult decât în a doua zi ?

2 . Într-o școală sunt 396 elevi . Numărul elevilor dintr-o clasă este de 10 ori mai mic decât numărul total al elevilor din celelalte clase . Câți elevi sunt în clasa respectivă ?

3 . Un elev cumpără 3 cărți și 2 caiete și plătește 962 lei . Altădată , prețul rămânând același , pentru 8 cărți și 10 caiete plătește 3410 lei . Care este prețul unei cărți și al unui caiet ?

4 . Trei copii au cules o cantitate de nuci . Unul din ei a împărțit nucile prin numărare în trei părți egale și și – a luat o parte . La fel a procedat fiecare copil cu nucile rămase după operația făcută de predecesorul său și au rămas la urmă 48 nuci . Câte nuci au fost la început ?

5 . Într-un vas sunt de 5 ori mai multe prune decât mere . Dacă se mai adaugă în vas două mere și se scot 14 prune , în vas rămân de 3 ori mai multe prune decât mere . Câte prune și câte mere au fost ?

6 . Un tată este cu 39 ani mai mare decât fiul său , iar peste 7 ani va avea de 4 ori vârsta fiului său . Câți ani are fiecare ?

TESTUL B

Indicați de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

1 . Trei obiecte , notate cu A , B , C , costă împreună 14 880 lei . Știind că B costă cu 4950 lei mai puțin decât A și cu 3720 lei mai mult decât C , să se afle cât costă fiecare .

2 . Într-o livadă sunt 28 de pomi , meri și pruni . Numărul prunilor este de trei ori mai mare decât al merilor . Câți pomi sunt de fiecare fel ?

3 . O carte are cu 225 pagini mai mult decât o broșură , iar numărul paginilor broșurii este de 10 ori mai mic decât cel al cărții . Câte pagini are cartea și câte are broșura ?

4 . Mama și fiica au împreună 109 ani . Să se afle câți ani are fiecare , știind că mama este cu 31 ani mai în vârstă decât fiica .

5 . Pentru 2 kg de zahăr și 5 kg de orez s-au plătit 3615 lei . Altă dată , prețurile , rămânând aceleași , pentru 2 kg de zahăr și 3 kg de orez s-au plătit 2885 lei . Cât a costat 1 kg de zahăr și cât a costat 1 kg de orez ?

6 . Am o sumă de bani . Dublez această sumă și iau după aceea din ea 20 lei . Suma obținută astfel o dublez iarăși și iau din ea din nou 20 lei . A treia oară, dublez suma rămasă , iau din ea 20 lei și nu mai rămâne nimic . Cât a fost suma de la început ?

3. Alcătuirea de probleme de un tip dat

Prin alcătuirea de către elevi a unui număr de probleme de un tip dat am urmărit două scopuri : însușirea caracteristicilor problemelor de tipul studiat și a metodei de rezolvare ; însușirea tehnicii de alcătuire a unei probleme , a părților principale pe care orice problemă trebuie să le cuprindă ( date , necunoscută , condiție ) . Elevilor li s-a dat ca temă alcătuirea de probleme tip , în general după o lecție în care s-a întreprins studiul tipului respectiv de probleme . De asemenea am întreprins și acțiunea de durată mai îndelungată a împărțirii elevilor unei clase pe colective care să redacteze probleme de un anume tip , în scopul alcătuirii unei culegeri de probleme .

Problemele alcătuite de elevi demonstrează , în general , că ei știu să formuleze o problemă de un tip dat . Cel mai ușor formulează probleme care se rezolvă prin metoda figurativă , iar dintre acestea problemele numerice ( datele sunt numere naturale ) sunt la îndemâna elevilor de clasa a patra .

4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode constituie un prilej de dezvoltare a creativității gândirii elevilor . Iată două probleme care se pot rezolva prin mai multe metode :

1 . Un centru de legume și fructe a vândut struguri cu 220 lei kg și cu 240 lei kg . Câte kg de struguri de fiecare fel a vândut acest magazin dacă a încasat suma de 13680 lei pe cantitatea totală de 60 kg ?

2. La un magazin alimentar sunt două calități de mere . Prima calitate se vinde cu 140 lei kg , iar a doua cu 118 lei kg . Câte kg trebuie să se ia din fiecare calitate pentru a se forma un amestec de 110 kg care să se vândă cu 133 lei kg ?

Elevii au rezolvat aceste probleme prin metodele : falsa ipoteză , figurativă , algebrică sau încadrându-le în categoria problemelor de eliminare a unei necunoscute prin sumă .

Concluzii

Pornind de la analiza aspectelor psihologice ale activității de rezolvare a problemelor , am scos în evidență necesitatea promovării unui învățământ activ în însușirea de către elevi a metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică . În acest scop , punctul de plecare în studiul unei metode l-a constituit munca independentă pe bază de fișe . Urmată de discuții și concluzii deduse sub îndrumarea învățătorului această activitate constituie baza unei însușiri temeinice a cunoștințelor de către elevi . Conținutul fișelor de muncă independentă în rezolvarea problemelor este redat în ,,Caietul de inițiere în rezolvarea problemelor de aritmetică” anexat lucrării . Experimentele întreprinse precum și observațiile zilnice asupra rezultatelor muncii elevilor în rezolvarea problemelor de aritmetică scot în evidență superioritatea metodelor folosite față de metodele clasice .

Capitolul 4 – ACTIVITATE METODICĂ ȘI DE CERCETARE

4 . 1 . PROIECT DE CERCETARE

1 . TIPUL CERCETĂRII

Cercetare :

De didactică (în funcție de cele două domenii principale ale pedagogiei);

Experimentală (în funcție de metodologia adoptată );

Teoretico – fundamentală și practic – aplicativă (în funcție de scopul și complexitatea problemei);

De sinteză (în funcție de componentele structurale ale acțiunii educative) .

2 . OPERAȚIONALIZAREA

INDICATORILOR OBSERVABILI

Indicatorul 1:

Institutul de Științe ale Educației și Ministerul Educației și Cercetării elaborează și experimentează la nivel național noul plan de învățământ, noile programe analitice și a manualelor alternative pentru învățământul primar .

Acțiunea 1: Pilotaj , titlul proiectului ,, Experimentarea noilor programe și manuale de matematică” .

Instrumente de lucru:

– programa de conținut de tip curricular de matematică;

– planificarea de inovație ;

– modalități proprii de abordare și aplicare creatoare a conținutului manualului și a altor materiale auxiliare ;

– strategii de învățare în vederea maximalizării performanțelor și competențelor elevilor .

Indicatorul 2:

Aplicarea creatoare a programei analitice și manualului pentru clasa a IV-a din viziunea ,,clasa a patra – chintesența învățământului primar” .

Introduc ca obiectiv specific – recapitularea și sistematizarea : scop , mijloc și tehnică de evaluare în același timp .

Acțiunea 2:

Studiu de caz :Verificarea experimentală a introducerii organizatorului cognitiv (rezolvarea de probleme – metode )în predarea – învățarea , consolidarea , recapitularea și sistematizarea , evaluarea la matematică , clasa a IV-a .

Experimentul s – a desfășurat .

Instrumente de lucru:

– planificarea calendaristică la disciplina matematică ;

– analiza structurii logice a conținutului manualului;

– proiecte de lecții în variante;

– fișe de dezvoltare cu sarcini diferențiate ca obiective , conținut , realizare pe grupe de nivel (omogene) .

3 . ,,PAȘI”

ÎN CONCEPEREA, ELABORAREA, PERFECȚIONAREA ȘI EVALUAREA CERCETĂRII PEDAGOGICE, ȘTIINȚIFICO-METODICE

Formularea ipotezei inițiale (intuitiv) :

1. atragerea colaboratorilor care exprimă ,,teoria”,dar și ,,practica educațională” , ,,inovația procesului de învățământ” , ,,arta predării – învățării – evaluării” , dar și ,, știința” proiectării pedagogice .

2. inițierea în metode de explorare organizată a realității și anume

metoda experimentală dublă – element nou !

experiment cu caracter de cercetare (descoperire);

experiment aplicativ (pedagogic).

3. cunoașterea noilor intrări și ieșiri în/din sistem ;mutații spre învățământul formativ presupune inversarea raporturilor , trecerea de la concepția potrivit căreia o programă de învățământ să arate ,,ce” trebuie învățat , la una care pune accentul pe ,,cum” trebuie învățat ; ,,ce” să fie subordonat lui ,,cum” (cunoștințele predate – formării de capacități ale intelectului) .

4. elaborarea programelor de conținut de tip curricular .

Reforma programelor ridică întrebarea – problemă ,,în ce fel să se întocmească programe după care învățători obișnuiți să predea unor elevi obișnuiți și care , în același timp , să reflecte principiile de bază sau fundamentale ale diferitelor domenii ale cercetării ? Problema e dublă : mai întâi , cum să fie revizuit materialul de predat în așa fel încât ideile forță și atitudinile legate de ele să capete un rol central ; în al doilea rând , cum să echilibreze materia de învățământ cu capacitatea elevilor care dispun de aptitudini diferite și frecventează grade de învățământ diferite” (Bruner ) .

,,Ideile forță” sunt acelea care constituie ,,structura disciplinei” . După Bruner ,,structura optimă se referă la un ansamblu de propoziții din care poate genera un corp mai întins de cunoștințe, caracteristic fiind faptul că configurarea unei asemenea structuri depinde de progresul realizat într –un anumit domeniu al cunoașterii . Deoarece perfecțiunea structurii depinde de puterea ei de simplificare a informației , de generare de propoziții noi și de amplificare a corpului de cunoștințe , structura trebuie să fie raportată întotdeauna la situația de înzestrare a elevului . Privită din această prismă , structura optimă a unui corp de cunoștințe nu este absolută , ci relativă.” (Bruner).

5. formarea formatorilor care să țină pasul cu aceste modernizări preconizate de reformă , prin

a)efort de proiectare și de ,,execuție”- aplicarea creatoare a programelor existente ;

b)elaborarea planificărilor de inovare care includ trei tipuri de studiu: diagnoză-previziune-prospectivă.

6. acceptarea unei mai întinse colaborări cu alte cadre didactice și schimbarea structurii relațiilor dintre ei privind activitatea de cercetare – experimentare , care asigură o bază mult mai bună pentru concluzii documentate asupra tehnologiei predării , decât pura speculație nesprijinită pe vreo comparație obiectivă ca urmare a asistenței la unele ,,lecții demonstrative”

7. diversificarea funcțiilor învățătorului în raport cu organizarea conținutului disciplinelor de învățământ necesită o abordare responsabilă , critică , originală , în funcție de stilul caracteristic sau de variabilele specifice personalității sale , realizând sisteme de lecții cu un maximum de utilizare a tehnologiei didactice moderne care – l conduc pe elev să învețe cum să învețe și să – și făurească propria personalitate în funcție de idealul său educațional .

8. individualizarea învățării în așa fel încât să cunoaștem cum progresează elevii atât în ceea ce privește propriile lor potențiale (conștientizarea realistă a statutului nostru intelectual relativ , este un fapt de viață la care noi toți trebuie în cele din urmă să ne adaptăm ).

9. dobândirea unor reguli superioare de operare eficientă într – un ansamblu de idei dat (stilul) , fie printr – un mod de predare , fie prin efort propriu .

Proiectele actuale care încearcă să analizeze și să predea stilul în mod explicit , oricât de dezirabil ar fi acest lucru , nu trebuie să neglijeze și să nege fantasticul potențial creator al elevului .

Examinare (preliminară) a criteriilor

operaționalizarea obiectivelor (performanțe , competențe) ;

identificarea unor puncte slabe (adică a neputinței de a produce rezultate satisfăcătoare în legătură cu unele țeluri de atins în comportamentul elevilor ) ;

Exemplu : Culegerile de probleme .

Auxiliarele didactice .

Forme de muncă intelectuală independentă .

Calculatorul . Limbajul instruirii programate .

Informatizarea școlilor .

Programul AEL – lecții pe computer .

determinarea ordinii de prioritate pentru îmbunătățirile care ar putea fi

încercate :

introducerea noțiunilor de problemă și rezolvare a problemelor prin metode aritmetice ;

alegerea strategiilor de predare–învățare–evaluare ;

realizarea manualelor alternative diferențiate în funcție de aptitudinea matematică (specială);

Examinarea (preliminară) a variabilelor independente

Fie dat un anumit conținut din programa și manualul de matematică pentru clasa a patra , am decis că noțiunile uzuale ale acestei discipline ar trebui examinate prin prisma aplicabilității lor la problema găsirii metodei ,,optime” .

Formularea ipotezei inițiale

Stabilirea testului criterial general prin care eu am pus problema specifică: ,, Ce metodă s – ar putea folosi spre a maximaliza performanțele elevului la acest test și la acest obiect (pe termen lung) ?”

Identificarea interacțiunilor presupuse :

Între :

metoda organizatorului cognitiv și metodele A ;B ; C ;

cele trei variante de lecție și stilul de muncă intelectuală al elevului;

strategii didactice colective și strategii didactice cu sarcini diferențiate: pe grupe , individual ;

cele trei variante de lecție și evaluarea (personalitatea);

stilul (bazat pe activitatea personală a elevilor și cel dialogat) și mijloace de învățământ ;

coeficientul de inteligență și învățarea creatoare ;

coeficientul de inteligență și grupele valorice de nivel – materii , diferențiate prin modul de instruire ;

elevi – elevi (care aparțin unor colective diferite de care se separă pentru a se grupa într – un colectiv nou , cu obiectiv comun de învățare) .

Definirea variabilelor criteriale

1 nivel de aptitudine matematică specială ;

3 ( 4 ) niveluri de performanță : înțelegere , aplicare , rezolvare de probleme , ( creativitate ) ;

1 nivel de personalitate ( extravertiți – introvertiți cu rezultate bune );

Am redus numărul variabilelor criteriale la exemplul cel mai simplu de realizat 1 x 3 x 1 = 3 grupuri experimentale .

Definirea tratamentelor

Inspecția cauzală a vastului cortegiu de variabile cu care s – ar putea opera demonstrează că numărul de tratamente distincte este limitat de capacitatea noastră inventivă .

Deci , drept rezultat al documentării și reflecției preliminare , sunt selectate ca posibile căi de acțiune următoarele tratamente :

Introducerea organizatorului cognitiv , ca metodă

( ilustrează principiul diferențierii progresive și servește această funcție în raport cu orice temă sau subtemă față de care este utilizat )

ORGANIZATORUL COGNITIV al acestui experiment este reprezentat de întrebarea pe care ne – o punem aici ce metodă folosim într – o :

lecție de predare în care am introdus un organizator cognitiv expozitiv;

lecție de consolidare în care am introdus un organizator cognitiv comparativ;

Răspunsul îl vom primi în urma experimentului aplicat .

Studiu de caz :

Verificarea experimentală a introducerii metodei organizatorului cognitiv la trei metode :

Metoda A – care pune accentul pe exersarea gândirii și a exprimării logice ,

matematice (adică armonizare integrativă);

Metoda B – care pune accentul pe (metoda) exploratorie

(adică pe reguli de interferență);

Metoda C – care pune accentul pe predarea strategiilor de rezolvare a

problemelor .

Imaginea proiectului experimental :

Plan de determinare a influențelor variabilelor independente asupra rezultatelor la testul criterial

Organizarea experimentului

3. Variante de lecție :

Metoda A – LECȚIE MIXTĂ

grupa experimentală nr . 1 – LIMBAJ MATEMATIC

Metoda B – LECȚIE MIXTĂ

grupa experimentală nr . 2 – METODA FIGURATIVĂ

Metoda C – LECȚIE MIXTĂ

grupa experimentală nr . 3 – JOC DIDACTIC

3 Tipuri de sarcini didactice :

– colectiv ;

– în grup ;

– individual .

Tip de învățare :

învățare prin descoperire bazat pe activitatea personală a elevilor .

Învățare inovatoare

Înțelegerea – organizator cognitiv cu sarcină didactică colectivă ;

Aplicația – organizator cognitiv cu sarcină didactică individuală ;

Rezolvarea de probleme – organizator cognitiv cu sarcină didactică diferențiată pe grupe .

Transferul învățării

În acest tip de experiment , organizatorul cognitiv este diferențiat pe grupe după modul de instruire .

Deci , transferul învățării este orizontal , deoarece avem subiecți cu aceleași aptitudini .

Verticalitatea implică diferențierea subiecților în funcție de aptitudinea intelectuală generală (inteligenți , mediocri , slabi) , modul de instruire fiind același pentru toți , iar diferențierea are loc la evaluarea produselor . Ne – am obișnuit să le spunem acestora grupe diferențiate, matricea lor arătând astfel :

a n b n c n

. . .

. . .

a” b” c”

, , ,

a b c

a b c Figura matricei ,, verticale”

Ori acest fapt nu îl punem în discuție atâta timp cât el se află în prezent în acțiune : manuale pentru cultură generală în trunchi comun .

Pe noi tocmai modelul orizontal ne interesează .

Orizontalitatea implică diferențierea subiecților în funcție de aptitudinea intelectuală specifică (exemplu : verbală) , grupele de nivel – materii , matricea lor arătând astfel :

,

a . . . . . a . . . . . a” . . . . . a n

,

b . . . . . b . . . . .b” . . . . . b n

,

c . . . . . c . . . . .c” . . . . . c n

Figura matricei ,,orizontale”

Acest tip de inteligență necesită un mod de instruire special și conform aptitudinilor , evident că de aici rezultă necesitatea unei măsurători adecvate și un program .

Pentru acești elevi experimentăm programe și manuale alternative , pentru acești elevi trebuie să ridicăm barierele anilor școlari și ale claselor tradiționale și să le deschidem drumul pe care singuri au știut să și – l aleagă !

Identificarea populației țintă

test standard de determinare a aptitudinilor mintale generale (colectiv);

test standard de determinare a aptitudinilor mintale specifice (colectiv sau individual);

selectarea eșantionului reprezentativ .

Selectarea populației țintă eșantion :

criteriul nr. 1 : rezultatele la testarea aptitudinilor matematice ;

criteriul nr. 2 : opțiunea ;

criteriul nr. 3 : personalitatea (extravertiți – introvertiți cu rezultate bune) ;

criteriul nr. 4 : (care poate coincide sau nu cu criteriul nr.1) olimpicii cu rezultate validate .

Rezultă că, oricare ar fi vârsta cronologică a subiectului, el va fi încadrat în Grupa de nivel – materii (aptitudine specială matematică) după vârsta mintală .

În consecință, un copil va aparține la tot atâtea clase de apartenență la câte se înscrie , dar numai la una singură de aptitudine specială .

Etape în evaluarea experimentului . Analiza datelor .

Etapa I:Jocul ,,Bingo” – test de criterii generale – concurs (oral)

să descifreze mesajul (dintre litere nesemnificative să separe literele care conțin ,,cheia” mesajului );

să fie capabil să înțeleagă enunțul problemei ;

să reprezinte grafic părțile principale ale unei probleme;

să avanseze ipoteze asupra soluției ;

să încadreze problema în tipurile studiate ;

să cunoască și / sau să selecteze și să aplice algoritmul ;

să gândească divergent ;

să aprecieze , să emită judecăți critice ;

să rezolve și să compună probleme ;

să soluționeze unele probleme matematice , stabilind metoda de rezolvare;

Etapa a II-a – Tema pentru creație

alegerea ei (opțiunea , conflictul de idei , motivația );

păstrarea sau schimbarea opțiunii spontane , în timpul dat;

dependența păstrării sau schimbării opțiunii de mai mulți factori (test psihologic );

selectarea , căutarea , întocmirea fișelor selective din materialul auxiliar ;

preconceperea (planul);

redactarea (în clasă).

Etapa a III-a – Analiza lucrărilor și stabilirea criteriilor

însușirea etapelor principale în rezolvarea sau compunerea problemelor , pe de o parte prin utilizarea principiilor organizării cognitive-transfer orizontal, iar pe de altă parte prin unificarea principiilor temei ( transfer vertical ) ;

analiza lucrării fiecărui elev ;

verificarea și aprecierea obiectivă a conținutului științific , comportamentului și performanței la care a ajuns elevul ;

compararea concluziilor desprinse din analiza lucrărilor cu ipoteza cercetării ;

stabilirea coeficientului de randament .

Etapa a IV-a – Mediile tratamentelor ipotetice

4 . PROIECTAREA DIDACTICĂ A EXPERIMENTULUI

SCHEMA GENERALĂ A METODELOR

STUDIU DE CAZ

METODA ORGANIZATORULUI COGNITIV

Metodele : Metodele :

– dezbaterea – comparația

– algoritmizarea – instruirea programată

– demonstrația – analiza și sinteza

– lectura problematizată – lectura selectivă

– învățarea prin descoperire – problematizarea

– exercițiul creator – exemplul (modelul grafic)

|____________________________________|

METODA REZOLVĂRII DE PROBLEME .

MUNCII INTELECTUALE INDEPENDENTE

METODA A METODA B METODA C

– brainstorming – comparația – rezolvare de probleme

– rezolvare de probleme – algoritmizarea – exercițiul

– instruirea programată – descoperirea – demonstrația

– problematizarea – analiza și sinteza – problematizarea

– explicația – rezolvare de probleme – modelarea

__________________ _______________ _______________

strategie strategie strategie

euristică algoritmică analogică

inductivă ; deductivă

__________________ _________________ _______________

METODA EXERCIȚIULUI ȘI A DEMONSTRAȚIEI

METODA JOCULUI DIDACTIC

C R E A Ț I E

SCHEMA GENERALĂ A EXPERIMENTULUI

Clasa a IV-a A , a IV-a C , a IV-a D

Obiectul : matematică

Subiectul : Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

Tipul lecției : mixtă (consolidare – evaluare )

Sistemul de lecții :

2 ore predare – învățare

2 ore consolidare – evaluare formativă

1 – 2 ore evaluare sumativă

Scopul sistemului de lecții :

consolidarea noțiunii de problemă și problemă tip și metode aritmetice de rezolvate a problemelor , prin reactualizarea, recapitularea , completarea și sistematizarea cunoștințelor din clasele I – IV ;

verificarea nivelului cunoștințelor , priceperilor și deprinderilor , a capacității de exprimare orală și scrisă a elevilor prin terminologia matematică ;

dezvoltarea și consolidarea capacităților cognitive , competențele de rezolvare de probleme , precum și a metodelor și tehnicilor de muncă individuală , creatoare ;

abordarea interdisciplinară și intradisciplinară a temei ;

dezvoltarea interesului pentru rezolvarea și compunerea de probleme

1.Reactualizarea cunoștințelor :

– Sarcină didactică colectivă

– analiza planșei cu problema 1

– citirea enunțului problemei în întregime

2.Verificarea cunoștințelor :

– sarcină didactică diferențiată pe grupe ;aplicație individuală :

Problema 1

Rodica , Ioana și Andreea au cules împreună 108 flori . Rodica a cules de 3 ori mai multe decât Ioana , iar amândouă au cules dublul numărului de flori culese de Andreea .

Câte flori a cules fiecare fetiță ?

Autodictare selectivă :

Grupa experimentală nr . 1 :

Completați spațiile cu cuvintele care lipsesc :

,,Pentru primul buchețel Rodica culege …….flori , Ioana aduce ……floare , Andreea culege ……flori . Deci numărul total de flori ,108 se pot face buchețele de …….flori [3flori +1floare+2flori ]”

Grupa experimentală nr . 2 :

Completați spațiile corect cu cuvintele care lipsesc :

,, Ioana a cules …………………………………………….decât Rodica”.

,, Andeea a cules ……………………………. .decât Rodica și Ioana împreună”

,, ……..flori reprezintă numărul total de flori culese de cele trei fete , dar …….în în mod egal”.

Grupa experimentală nr . 3 :

Gândiți – vă și scrieți cele trei nume ale fetițelor în ordinea crescătoare , apoi descrescătoare , în funcție de indicațiile despre numărul obiectelor fiecăreia :

1……………………………. 3………………………..

2……………………………. 2………………………..

3……………………………. 1………………………..

3. Consolidarea noțiunii de problemă :

– sarcină didactică colectivă

– dezbatere , problematizare , exerciții creatoare , demonstrația ;

Planșa : Problema 1

text scris + reprezentare grafică

1 . Indică metoda prin care se rezolvă această problemă !

2 . Argumentați !

3 . De ce nu se poate rezolva prin plan ca ,,problemele de aflat”?

4 . Delimitați pe planșă : enunțul , datele , necunoscutele , condițiile !

5 . Ce fel de mărimi are această problemă tip ?

6 . Precizați în ce categorie se încadrează ?

7 . Ce sarcină de lucru aveți de îndeplinit ?

8 . Cum sunt prezentate condițiile ?

9 . Stabiliți ordinea corectă , logică ! ( după mărimea cea mai mică)

Planșa : Problema 1 – text ordonat logic

9 . Comparați folosind < > seria R A I sau I A R !

10 . Verificați respectarea condițiilor pe desen !

11 . Ce termeni cuprinde problema ? La ce se referă aici ,,dublul ”?

12 . Ce desprindem , ce învățăm din această problemă ?

13 . Ce categorie de probleme reprezintă această problemă ?

( probleme în care cunoaștem suma a două sau mai multe numere și raportul dintre ele )

14 . Explicați rezolvarea ! Faceți proba !

Probleme pentru elevi de performanță – clasa a IV-a

Suma a trei numere este 134.

Dacă din fiecare se scade același număr se obțin numerele 30, 35 și respectiv 51;

Dacă la fiecare se adaugă același număr, se obțin numerele 48, 53 și respectiv 69.

Aflați numerele date.

2. Aflați trei numere, știind că suma primelor două este 72, suma ultimelor două este 93, iar suma dintre primul și al treilea este 127.

3. În două coșuri sunt 99 mere. Dacă s-ar lua 17 mere din primul coș și s-ar pune în al doilea, în primul coș ar rămâne cu 25 mere mai multe ca în al doilea.

Câte mere sunt în fiecare coș?

Continuă tu șirul cu încă trei numere:

11, 12, 21, 111, 112, ……, …….., ……..

Un băiat are atâția frați câte surori are, dar sora lui are de două ori mai mulți frați decât surori. Câți frați și câte surori sunt?

Dacă trei litri de apă au temperatura de 60 grade Celsius, ce temperatură are un singur litru de apă?

Este vineri, 22 martie. În ce lună va fi următorul vineri 22?

Aflați suma a patru numere știind că:

Suma primelor două dintre acestea este 42;

Numărul al treilea este mai mare decât numărul al patrulea cu 32;

Al patrulea număr, dacă ar fi mai mare cu 37 ar egala suma primelor două numere.

Într-un teanc sunt cu 11 caiete mai multe decât în al doilea. Câte caiete trebuie transferate în al doilea teanc pentru ca în acesta să fie cu trei caiete mai mult decât în celălalt?

Care sunt cele trei numere consecutive pare, din a căror sumă, dacă scădem suma numerelor consecutive impare ce se află între ele, obținem 16 ?

Calculați:

3a + 5b + 2c dacă: a + b = 54 b + c = 56

4a + 8b + c dacă: 3a + 8b = 70 a + c = 30

Pentru elevi de performanță

Să se afle cel mai mic nr. natural a care împărțit la un număr natural b dă câtul 18 și restul 7.

Dacă a + b = 24 ; b + c = 32, calculați a + 3b +2c = ?

90 + { 14 : 7 x [ 20 – 5 x ( 21 : 3 – 54 : 9 ) x a ]} = 100

Un liliac a mâncat în patru nopți 1050 muște. În fiecare noapte a mâncat cu 25 muște mai multe decât în noaptea precedentă. Câte muște a mâncat în a patra noapte?

Suma a patru nr. naturale este 1206. Să se afle fiecare număr, știind că al doilea este cu 6 mai mare decât primul luat de patru ori, al treilea este egal cu suma primelor două numere plus 6, iar al patrulea nr. este egal cu diferența dintre al treilea și al doilea , micșorată cu 6.

Se dau nr. a, b, c, d, e astfel încât:

-a este de trei ori mai mare ca b;

-c este cu 6 mai mare decât b;

-d este de 3 ori mai mare decât c;

-e este de 2 ori mai mic decât d.

Să se afle numerele, știind că c + d = 208.

Avem 30 grinzi de 3 și 4 metri lungime, a căror sumă a lungimilor este 100 m. Cu câte tăieturi se pot realiza din aceste grinzi butuci cu lungimea de un metru?

Dintr-o carte a căzut o parte din ea. Prima pagină a acestei părți avea numărul 387, iar numărul ultimei pagini era format din aceleași cifre, dar în altă ordine. Câte pagini are partea care a căzu

Analiza și sinteza , compararea, alegerea și justificarea, recunoașterea și distingerea (discriminarea)

Dintre două probleme, pe cea care se rezolvă prin metoda figurativă :

1 . Problema 2 :

Într-o livadă sunt 300 meri și cu 200 mai mulți pruni decât meri. Află numărul total al pomilor din livadă .

Sau

Într-o livadă sunt 800 de pomi . 300 pomi sunt meri , iar pruni sunt cu 200 mai mult decât meri .

Află numărul prunilor.

Problema 3 :

Într-o livadă sunt 1000 pomi , meri și pruni .

Află câți meri și câți pruni sunt, dacă numărul prunilor este cu 200 mai mare decât numărul merilor .

2 . Ce condiții trebuie să îndeplinească o problemă pentru a fi tip ?

3 . Sunt alcătuite din aceleași condiții problemele ?

4 . Deci , prin ce se deosebește problema 2 de problema 3 ?

5 . Spre care dintre ele înclinăm s – o considerăm problemă de aflat ? Spre care dintre ele înclinăm s-o considerăm problemă prin metoda figurativă ?

6 . Recitiți problema 2 !Comparați-o cu problema 3 !

7 . Care problemă are nevoie de reprezentare grafică pentru rezolvarea ei ?

8 . Spre care dintre ele înclinăm s – o considerăm prin metoda figurativă după necunoscutele ei ?

9 . Spune rezolvarea fiecărei probleme printr-o singură expresie !

10 . Care este întrebarea la fiecare problema ? Se deosebesc ?

12 . Comparați algoritmul de rezolvare a celor două probleme !

4 . Anunțarea lecției :

anunțarea sarcinilor diferențiate ale fiecărei grupe ;

anunțarea obiectivelor urmărite ;

Rezolvarea sarcinilor didactice din fișe

Grupa experimentală nr . 1 :

FIȘA DE EXERCIȚII

Grupa experimentală nr . 2 :

FIȘA DE REZOLVARE DE PROBLEME

Grupa experimentală nr . 3 :

FIȘA DE DEZVOLTARE

sarcină didactică diferențiată pe grupe

aplicare individuală

verificare orală , prin aprecieri calitative

FIȘA 1

1 . Calculează :

a) 10 – { 4 + [ 875 : 5 + ( 552 x 4 : 24 + 5 180 : 35 ) : 8 ] : 5 } : 9 =

b)1 – {4 300 : 25 – [ 3 042 : 26 + (4 284 : 36 – 3 648 : 96) x 189 : 27 ]: 4} =

2. Rezolvă exercițiile , apoi valorile necunoscutelor regăsește-le printre datele importante din literatura română :

a) ) 48 843 : 81 – 3 + y ) : 7 = 145 + 205

b) { [ ( b – 18 ) : 10 – 20 ] : 4 – 15 } x 4 = 100

c) 90 + ( 3 045 + m ) : 44 + 9 999 – 10 000 = 200

3. Găsește numerele notate cu F , R , U , M , O , S , știind că :

R + U + M = 48 S = 4 x M U + M = 13 M = 24 : 8

M + O = 180 : U

F + R + U + M + O + S = 94

4. Suma a patru numere naturale este 74 . Știind că fiecare dintre ele este cu 5 mai mare decât cel dinaintea lui , să se afle numerele .

5. Suma a trei numere naturale este 514 . Al doilea număr este dublul primului și cu 14 mai mic decât al treilea . Află numerele .

6. Perimetrul unui teren dreptunghiular este de 600 m . Lungimea întrece dublul lățimii cu 60 m .

Care sunt dimensiunile terenului ?

7. Cele 90 de apartamente ale unui bloc sunt cu 2 și cu 3 camere . Dacă numărul camerelor este 210 , care este numărul apartamentelor cu 3 camere ?

8. Valoarea lui a din egalitatea a + 24 + a + 39 + a = a + a + a + a este :

A) 63 ; B) 36 ; C) 9 .

9. În grădina bunicului sunt 4 gutui . Crengile copacilor sunt reprezentate prin numere consecutive . Pe fiecare creangă atârnă câte 10 fructe . Bunicul a cules în total 260 de gutui .

Câte crengi are fiecare gutui ?

10. Determină pe m din egalitățile :

a) m : m + m x 0 + m – m : m = 10

b) m x 1 x 2 x 3 + m x 2 x 2 = 100

FIȘA 2

Metoda figurativă

1. La o florărie s-au adus 430 fire de trandafiri și garoafe . Dacă trandafiri erau cu 76 mai puțini decât garoafe , câte fire s-au adus din fiecare fel de floare ?

2. În două depozite sunt 168 400 kg de lemne . În primul depozit se află o cantitate de 7 ori mai mică decât în al doilea . Ce cantitate de lemne se află în fiecare depozit ?

3. Suma a patru numere naturale consecutive impare este 448 . Care sunt numerele ?

4. Diferența a două numere este 135 . Dacă le împarți , obții câtul 4 și restul 12 .

Care sunt numerele

5. Într-o livadă sunt 620 de pomi . Meri sunt de 2 ori mai mulți decât caiși și cu 15 mai puțini decât peri . Câți pomi sunt de fiecare fel în livadă ?

6. Compune probleme , folosind următoarele reprezentări :

I. a

b 288

30

c

II. m

40

n

280

FIȘA 3

1. Calculează :

a) 30 + { 32 : 8 + 5 x [ 8 x ( 20 : 2 – 70 : 10 ) ] } : 2 = ( 92 )

b) 10 x { 900 – 10 x [ 362 – 10 x ( 27 + 27 : 27 ) ] } : 5 = ( 160 )

2. Află valoarea numărului necunoscut din egalitățile :

a) 682 – 9 x 8 + 8 x 7 – 63 : 7 – m = 329 – 9 x 6 – 6 x 6 – 81 : 9 ( 427 )

b) y x 5 + 36 x 4 + 36 x 3 + 36 x 2 = 504 ( 36 )

3. Suma a trei numere este 986 . Să se afle numerele , știind că al doilea este cu 2 mai mare decât primul și de 2 ori mai mic decât al treilea . ( 245 ; 247 ; 494 )

4. Într-o ladă se găsesc 305 portocale și lămâi . După ce s-au vândut 26 de portocale și 14 lămâi , au rămas în ladă de 4 ori mai puține portocale decât lămâi .

Câte portocale și câte lămâi au fost la început în ladă ? ( 79 ; 226 )

5. Dimensiunile unui dreptunghi sunt exprimate prin numere impare consecutive . Perimetrul său este de 320 m . Află dimensiunile dreptunghiului . ( 79 ; 81 )

6. Calculează dimensiunile unui dreptunghi , știind că are perimetrul de 570 cm , iar lățimea este jumătate din lungimea sa . ( 95 ; 190 )

7. Suma a trei numere este 80. Dacă împărțim primul număr la al doilea , obținem câtul 1 și restul egal cu al treilea număr . Află numerele , știind că al treilea număr este cu 20 mai mic decât al doilea număr . ( 10 ; 30 ; 40 )

8. La ora de educație fizică , elevii unei clase sunt așezați în rând câte unul .Un elev constată că cei 5 elevi din spatele său reprezintă un sfert din numărul elevilor din fața sa .

Câți elevi participă la ora de educație fizică ?

5 . Evaluare formativă

Elevul…………………

Clasa…………………

TEST-GRILA

Matematica

1) Cangurul calculeaza: 4+0+4×0+4:4+4×4=

Rezultatul este:

A)0 B)4 C)20 D)21 E)1

2) Carmen rupe 10 betisoare in doua.Jumatate sunt rupte din nou in doua. Cate betisoare a obtinut?

A)20 B)30 C)60 D)40 E)25

3) 4 carti diferite pot fi asezate in cate moduri?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

4) Ceasul meu o ia inainte cu 3 minute pe ora. Dupa cat timp a inaintat cu jumatate de ora?

A)20ore B)o zi C)30ore D)6 ore E)600minute

5)La fiecare 6 ore, iau o pastila. Cat timp voi lua 10 pastile?

A)3 zile B)2 zile C)2 zile si 10 ore D)24ore E)2zile si 6 ore

6) In curtea scolii sunt 15 baieti si 18 fete. De cati copii mai este nevoie pentru a se imparti in grupe de cate 10?

A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

7) Dan este cu 5 ani mai mare decat sora lui.Peste cati ani va avea dublul varstei surorii sale?

A)2 B)3 C)4 D)5 E)10

8) Scrie numarul cincisprezece milioane cincisprezece mii cincisprezece:

A015 115 115 B0150 150 150 C)15 15 15 D)15 015 015

E)15 015 015 015

9) Pisicile dorm 2/3 din zi. Cate ore dorm pe saptamana?

A)112 B)16 C)56 D)49 E)114

10) Este ora 8:53.Peste doua ore si 30 minute va fi;

A)10:53 B)10:30 C)11:30 D)11:23 E)11:33

11) Operatia al carei rezultat nu este 15 este:

A) 6x(3-1)+3 B)6+9 C)6-2×3+3 D)15-15:15+1 E)15×1

12) Cifra inlocuita cu o litera este: 5a7+299=886

A)7 B)8 C)9 D)6 E)5

13) Care din numerele urmatoare are cifra unitatilor mai mica decat toate celelate cifre ale sale?

A)413 B)203 C)97 D)244 E)5 015

14) Azi e miercuri 2 aprilie.Tot miercuri va fi pe:

A) 10aprilie B)16 aprilie C)9 aprilie D)22 aprilie E) 31 aprilie

15) Cat este jumatatea jumatatii lui 20?

A)10 B)5 C)40 D)4 E)2

16) Dana imparte prietenelor sale cate 2 acadele. Ii raman 5 acadele. Daca le-ar da cate 3, un copil ar ramane fara acadele. Cate prietene are Dana?

A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

17) Perimetrul unui dreptunghi este de 48 cm. Lungimea este dublul latimii. Cat este lungimea?

A)16cm B)8cm C)160cm D)4cm E)12cm

18) Cate cifre se folosesc pentru scrierea unei carti cu 155 pagini?

A)357 B)389 C)155 D) 305 E)105

19) Dintr-un cub cu latura de 8cm, se scot jumatate din cubuletele cu latura de 1cm, adica:

A)64 B)8 C)16 D)32 E)80

20) Dan are acelasi numar de timbre pe care il au Alin si Doru impreuna. Alin are cu 20 timbre mai multe decat Doru. In total au 80 timbre. Doru are….

A)40 B)20 C)60 D)80 E)Alt raspuns

6 . Tema de creație ( la alegere ) :

– rezolvare de probleme date prin metoda figurativă ( categorii )

– compunere de probleme după model grafic

– compunere de probleme după relații date

Matematica, clasa a IV-a

ITEMI SUBIECTIVI

ITEMI REZOLVARE TIP PROBLEMA

I. STANDARD DE PERFORMANTA: S12

Exprimarea orala si scrisa intr-o maniera concisa si clara a modului de calcul si a rezultatelor unor exerciții si probleme.

II.OBIECTIV DE EVALUAT :

Sa exprime pe baza unui plan simplu de idei in scris demersul parcurs in rezolvarea unei probleme.

Citește cu atenție apoi rezolva prin metoda grafica următoarea problemă:

 Suma a doua numere este 130, iar diferența dintre ele este 30. Care sunt numerele?

III.DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

1.   Reprezintă schematic în desen numerele, suma și diferența lor.

2. Rezolvă problema prin metoda grafică:

a) o operație

b) două operații

c) trei operații

Barem de corectare:

S1,2(a)

B1,2(a,b)

F.B.(a,b,c)

Matematica, clasa a IV-a

ITEMI SUBIECTIVI

ESEU STRUCTURAT 

I.                 STANDARD DE PERFORMANTA :S7

Formularea si rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operații.

II.             OBIECTIV DE EVALUAT :

2.5.      Să compună exerciții si probleme cu numere naturale .

Compune și rezolvă o problema folosind următoarele informații:

50; de 3 ori mai mult ; cu 20 mai puțin;

III. DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

1)Compune probleme corect:

a)enunțul problemei cu datele menționate

b)înlănțuirea logică a ideilor

c)pune întrebarea corect;

2)Rezolvă problema corect

a)1 operație corectă

b)2 sau mai multe operații

Barem:

S:1(a) 2(a)

B:1(a,b,c) 2(a)

Fb:1(a,b,c) 2(a,b)

5.REZULTATELE

(PRELUCRAREA , MĂSURAREA , INTERPRETAREA ȘI

VERIFICAREA CU IPOTEZA )

TABELUL 1

Examinarea mediilor ne dezvăluie că :

METODA ORGANIZATORULUI COGNITIV a dat rezultate superioare celorlalte metode și s – a dovedit avantajoasă la nivelul aplicației cunoștințelor .

Despre celelalte metode , consider după limitele maxime pe care le – au atins în diferite poziții : grupul de control în înțelegere , grupul care a lucrat prin strategii în aplicare și rezolvare de probleme , că au fost eficiente la un anumit nivel de performanță , dar nu totalizează un punctaj mai mare decât în cazul utilizării organizatorului .

De asemenea ușor de observat și constatat corelația dintre tipul experimentului – consolidare , aplicare – și metoda organizatorului cognitiv comparativ utilizat .

Singura maximă care întrunește și cel mai mare punctaj total este 18,2 la nivelul aplicației în grupul căruia i – a fost aplicat tratamentul organizator .

TABELUL 2

Dacă în condiții – de aptitudini egale ( aproximativ )

– de instruire deosebite

– de mediu diferit doar pentru unul dintre grupuri

atunci rezultă că diferențele rezultatelor sunt atribuite , în toate cazurile , modului de instruire și numai într – un singur caz diferențelor de mediu .

O analiză a efectelor interacțiunii dintre cele trei tratamente pentru fiecare grup și coeficientul de inteligență (QI) , arată că diferența de performanță dintre grupuri se datorează metodei organizatorului cognitiv .

Prezentarea grafică a interacțiunii tratament – coeficient de inteligență :

Rezultatul la testarea :

Rezolvare de probleme

Aplicație

Înțelegere

Înțelegere aplicație rezolvare

de

probleme

control organizator strategii

6 . REDACTAREA RAPORTULUI FINAL AL LUCRĂRII

Este sau nu este acest studiu de caz o inovație ?

Elaborarea și experimentarea manualelor alternative de matematică pentru clasa a IV a , ar satisface :

Condiția științifică prin :

INTRODUCEREA ORGANIZATORULUI COGNITIV

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR –

în predare – învățare , consolidare , recapitulare și sistematizare , verificare și evaluare ;

Condiția complementară , dacă :

manualul de matematică ar oferi permanent o completare cu probleme propuse spre rezolvare , aprofundare , extindere ;

Condiția pedagogică prin :

modificarea accentului de pe anumite funcții ale învățământului în raport cu organizarea conținutului unei discipline – pe realizarea unor sisteme de lecții cu un maximum de utilizare a tehnologiei didactice ( strategii de lecție , strategii de învățare ) ;

Condiția psihopedagogică dacă :

în activitatea de învățare pe grupe omogene în funcție de aptitudinea matematica specială s – ar utiliza manualul alternativ destinat unui astfel de coeficient de inteligență , atunci , la testarea matematică , învățătorii vor formula criterii ( itemi ) echivalenți pentru stabilirea nivelului performanței maxime a elevilor .

Dar la rândul lor solicită :

individualizarea învățării ;

reguli superioare de operare eficientă ;

cabinete de informatică .

Analiza lucrărilor

I . Alegerea temei

– Număr total elevi implicați în experiment = 4 8 ( 100 % )

– Procent elevi stabili în alegerea temei = 4 7 ( 97,9% )

– Procent elevi stabili în alegerea temei ,

dar care se autodepășesc = 1 ( 2,1% )

Tema 1 : Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă

Fie după algoritm , fie singuri , fie aplicând regula

24 elevi

Tema 2 : Compoziții de probleme după model grafic

18 elevi –

Tema 3 : compunere de probleme după relații

6 elevi

II . Redactarea temei

EXCEPȚIA este în alegerea și redactarea temei 2 :

Compoziții de probleme ( după model grafic sau relații date ) .

Cota cea mai înaltă de performanță – CREATIVITATEA – este atinsă de grupul căruia i – a fost aplicat tratamentul cu organizatorul cognitiv : metode de rezolvare a problemelor .

Rezultă că elevii își însușesc și utilizează principiile organizării cognitive ale problemei .

Deci , în același timp , îndeplinesc cerințele unei compoziții și care este problemă .

Și se constată , în plus , că elevii au fost exersați înaintea experimentului în creații libere de diferite tipuri , deoarece compozițiile lor se remarcă printr – un mod de concepere și stil de exprimare încărcat de simboluri .

Modul de redactare a temei în celelalte grupuri se deosebește :

Grupul care lucrează în aplicație prin strategii de descifrare a enunțului problemei , cunoaște principiile organizării cognitive și compune oral , probleme , dar preferă să aleagă , în scris , rezolvare de probleme după algoritm dat . Rezultă că și – a spus cuvântul modul de instruire anterior experimentului ( axat pe explicarea limbajului matematic ; creații libere pornind de la relații) și se impune sporirea acțiunilor de încadrare a problemelor într-un tip .

Grupul care lucrează în aplicație pe limbaj matematic , stăpânește noțiunea de problemă . Rezultă că grupul întâmpină greutăți la unificarea principiilor de alcătuire a unei compoziții , deoarece preferă să rezolve .

Acest obiectiv poate fi reînvățat prin analiză și delimitare pe texte a părților principale , prin exerciții de ordonare , exerciții de dezvoltare a unor părți din problemă . Se constată că grupul are elevi introvertiți , predispuși gândirii divergente, meditației profunde , care au o putere mare de concentrare pe probleme care ridică probleme , ca și mediul lor familial. Caută sprijinul și siguranța unui text pe care îl abordează foarte atent și critic .

7 . MĂSURI ȘI PROPUNERI . CONCLUZII

După ce a pilotat o întreagă lucrare ea revine și la final și anume pentru ce fel de reformă optăm în învățământul românesc actual ?

Reforma profundă , parțială și discretă ;

Reforma învățământului românesc a schimbat viziunea asupra proiectării activității didactice ;

Proiectarea activității didactice va ridica la superlativ absolut activitatea de învățare a elevului .

Din activitatea de instrucție și educație trebuie eliminat definitiv termenul, uniform=același =la fel = general valabil ”

Câteva măsuri au fost deja percepute . Spre exemplu :

Libertatea de acțiune pe care o oferă noile programe , pentru un cadru didactic implicat ;

Organizarea concursurilor pentru elaborarea manualelor alternative , cu consultarea cadrelor didactice cu experiență ;

Sintagma ,, manual alternativ” să devină o certitudine practic – aplicativă și nu numai una formală , iar alternanța să concretizeze relația de echivalență între conținutul disciplinei / tratarea individuală în conformitate cu aptitudinile speciale ;

PROPUNERILE concrete,originale considerate de mine ca fiind imperative :

Modificarea structurii învățământului primar la 5 (cinci) ani de studiu accentuând prima și ultima treaptă : I + II , III , IV ,V ;

Modul de instruire și transferul învățării să fie orizontal , pe grupe valorice de nivel – materii ( omogene , diferențierea subiecților în funcție de aptitudinea intelectuală specială);

Manualul de matematică( în acest caz) să fie unic pe durata celor cinci ani școlari și să aparțină aceluiași elev ;

Manualul alternativ să introducă metode de rezolvare a problemelor pe înțelesul elevilor ;

Organizarea activității didactice a învățătorilor să fie similară cu cea a elevilor , adică să lucreze și dascălii în echipă , având unitate de vedere și de acțiune , dar mai ales capacități de organizatori cognitivi ai conținutului învățării ;

4.2 PROIECTE DE LECȚII

PROIECT DE LECȚIE

Clasa: a IV-a

Obiectul: Matematică

Subiectul: Probleme ce se rezolvă prin cel puțin trei operații

Tipul lecției: consolidare de priceperi și deprinderi

Obiective de referință:

Consolidarea algoritmului de calcul oral și scris a celor patru operații matematice, prin respectarea ordinii operațiilor;

Dezvoltarea capacității de a rezolva probleme;

Deducerea unor consecințe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze;

Dezvoltarea gândirii matematice;

Obiective operaționale:

Să aplice în probleme operațiile studiate pe baza cunoștințelor acumulate anterior;

Să rezolve corect o problemă, având la dispoziție textul acesteia;

Să rezole probleme diverse, utilizând metoda figurativă;

Să recunoască expresii care presupun efectuarea unor operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire;

Să utilizeze unele scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare a unei probleme;

Să transpună o situație problemă, în limbaj matematic, înlocuind numere necunoscute cu simboluri;

Metode și procedee: algoritmul, exercițiul, conversația, explicația, demonstrația, problematizarea, jocul didactic, munca diferențiată, munca în echipă, munca independentă.

Suport și resurse:

set de planșe legate tip carte ce conțin probleme ce urmează a fi rezolvate de către elevi;

fișe de muncă individuală ce cuprind enunțuri tip grilă;

Resurse informaționale:

Daradici, Mihaela, Daradici, Ladislau, Matematica Zoo, Ed. Niculescu, 2001;

Gheba, Grigore, Gheba, Lucreția, Jocuri didactice și probleme de perspicacitate. Clasele I-IV, Ed. Universal Pan, București, 1999;

Maior, Aurel, Popa, Dorina, Matematica distractivă. Clasa a IV-a, Ed. Aramis, 1999;

Strategia didactică

Avanpremieră

Elevii primesc din partea unui personaj literar o carte însoțită de o scrisoare. Conținutul scrisorii este următorul:

Concentrare și revizuire

Fiecare elev va primi câte un test grilă ce cuprinde enunțuri incomplete care, o dată descifrate, duc la descoperirea personajului surpriză. Această sarcină se va lucra individual pe parcursul a 5 minute. Sarcina este următoarea:

1.Mănușa este pentru mână, ceea ce este ciorapul pentru …

P) picior C) cizmă G) pantof I) umbrelă

2.Casa este pentru om, ceea ce vizuina este pentru …

H) cocoș Ă) vulpe R) pădure T) tufiș

3.Laptele este pentru brânză, ceea ce făina este pentru …

A) mâncare J) foame D) hambar C) pâine

4.Iarba este pentru oi, ceea ce pâinea este pentru …

O) fân F) cuptor A) om S) cal

5.Sunetul este pentru ureche, ceea ce mirosul este pentru …

L) nas Y) parfum R) floare V) spate

6.Pușca este pentru vânător, ceea ce este acul pentru …

E) țânțar Ă) albină M) porc J) femeie

Dirijarea învățării

După ce elevii au aflat cine îi va însoți pe parcursul orei de matematică, ei vor deschide cartea la prima pagină unde Păcală își prezintă familia . Sarcina acestui joc didactic este de a recunoaște expresiile matematice și de a efectua operațiile potrivite în ordinea impusă de cerințe. Vârstele unor membri ai familiei lui Păcală nu sunt cunoscute. Rezolvarea acestei probleme se va face sub formă de exerciții. Ele se vor lucra frontal cu toată clasa. Timpul de lucru este de 7-8 minute.

După fiecare exercițiu rezolvat corect, Păcală le transmite câte un mesaj copiilor pentru ca ei să poată trece la următoarea sarcină .

Pe pagina a doua a cărții se găsește o problemă a cărei rezolvare se face prin punerea în ecuație a enunțului și soluționarea ei prin metoda mersului invers.

Problema impusă de Păcală este următoarea:

Tatăl meu, Păcăloi, a fost cioban de când se știe. El își purta oile pe dealurile pline de iarbă grasă.Timpul a trecut, el a îmbătrânit și nu a mai putut avea grijă de ele. Așa că ne-a llăsat un număr de oi albe și 27 de oi negre.Eu și cei trei frați ai mei le-am împărțit în mod egal, după care am vândut 8 și mi-au rămas …

Câte oi albe ne-a dat tatăl?

Această cerință se lucrează sub formă de întrecere între fete și băieți. Sarcinile sunt comune și constau în completarea enunțului problemei cu un număr mai mic decât 10 și rezolvarea exercițiului matematic stabilit de fiecare grupă de elevi. Exercițiul va fi rezolvat frontal, la tablă ieșind, pe rând, câte un elev pentru a parcurge câte o etapă a algoritmului metodei mersului invers. Durata: 10 minute.

Tranziția spre noua cerință se face printr-un mesaj incomplet spus de Păcală aflat tot pe pagina a doua a cărții: Acum am să vă povestesc ce mi s-a întâmplat după ce am vândut cele 8 oi. Eram în târg și …

Se întoarce pagina cărții unde se află continuarea mesajului și, implicit, noua cerință: …am vrut să cumpăr grăunțe pentru galițele mele. Eu știu doar că:

6 rațe…………………..54 de străchini de boabe………………….3 zile

8 rațe…………………………..?…………………………………………..10 zile

4 găini…………………40 de străchini de boabe………………….5 zile

7 găini……………………….?……………………………………………..10 zile

5 gâște………………..100 de străchini de boabe………………….4 zile

6 gâște…………………….?………………………………………………..10 zile

3 curci…………………42 de străchini de boabe…………………7 zile

5 curci…………………………………?…………………………………..10 zile

2 bibilici……………………12 străchini de boabe…………………6 zile

4 bibilici……………………………..?……………………………………10 zile

Elevii sunt împărțiți în cinci grupe și fiecare grupă trebuie să rezolve câte o problemă impusă de Păcală. În interiorul grupei se va face analiza și se va soluționa problema. Răspunsurile finale vor fi contabilizate pentru a se face suma finală. Durata acestei activități pe grupe va fi de 10 minute.

Pentru că elevii au ajuns la bun sfârșit, Păcală îi mai pune la o încercare:

M-ați ajutat să ies dintr-o mare pacoste. Dar iaca, sunt vornic de o săptămână și am văzut că livada satului este plină de mărăcini. Așa că am hotărât ca cei 244 de pomi să fie curățați de trei oameni din sat astfel: Traianu lu’ Dănilă are de curățat cu 20 de pomi mai mult decât Grigorașu Anichii și de 2 ori mai puțin decât Dumitru a Petrei.

Câți pomi au de curățat fiecare dintre ei?

Analiza problemei va respecta algoritmul metodei figurative:

citirea cu atenție;

extragerea datelor;

reprezentarea grafică;

rezolvarea și stabilirea răspunsurilor finale;

Primele trei momente se vor realiza frontal pentru ca ultimul să se realizeze individual. Timpul de lucru: 10 minute. Se solicită elevilor să prezinte argumentat rezultatele obținute.

Încheierea activității

Se va face aprecierea finală asupra gradului de participare a elevilor în toate momentele lecției, asupra rezultatelor activității și asupra prezentărilor elevilor, evidențiindu-i pe cei mai activi.

PROIECT DE LECȚIE

Clasa: a IV-a

Arie curriculară: „Matematică și științe”

Disciplina: Matematică

Tema: „ Probleme diverse”

Tipul lecției:Verificare și sistematizare a cunoștințelor

Obiectiv general: Consolidarea deprinderii de rezolvare a problemelor aplicând metodele învățate; Educarea atenției și dezvoltarea operațiilor gândirii ( analiză, sinteză, comparație, algoritmizare)

Obiective operaționale:

O1: să exprime pe baza unui plan simplu, oral sau în scris demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

O2: să utilizeze corect algoritmii de calcul pentru expresiile numerice conținând cele patru operații și paranteze;

O3: Să găsească rapid „cheia” rezolvării unor probleme;

O4: să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode aritmetice;

O5. să depășească blocaje în rezolvarea de probleme încercând noi căi de rezolvare.

Strategie didactică:

metode și procedee: exercițiul, explicația, observația, jocul didactic, problematizarea;

forme de organizare a activității:frontal, pe echipe, individual;

material didactic: fișe de muncă independentă și pe echipe, planșe;

material bibliografic:

Nicolae Alina, „Matematică distractivă”, clasa a IV-a , editura Aramis, București, 2002;

Lung Ana, „777 de probleme de aritmetică pentru clasele I-IV” vol. I. II,Editura Promedia Plus, Cluj Napoca

ANEXA 1

PLANȘA PRETEXT PENTRU DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII SUB FORMĂ DE JOC DIDACTIC

ANEXA 2

EXERCIȚIILE SCRISE DE ZMEU PE FIECARE UȘĂ:

Ușa 1: ( 1987 + 5 : 5 – 1986) : 1 + 80 : 10 =

Ușa 2 : 1 + ( 4 x 5 – 3 – 18 : 2) : 2 + 24 : 6 =

Ușa 3: 16 – 8 x ( 2 + 8 : 2) : 6 =

Ușa 4: ( 56 : 8 + 9 x 5 + 33 : 3) : 9 =

Ușa 5 : [12 x 5 + ( 12 – 121 : 11) + 5]: 11 =

Ușa 6: 3 + [( 4 : 2 + 4 x 2) : 5 ] =

Ușa 7: [ 28 + 2 x ( 3 : 3 + 9 : 3)] : 9 =

Ușa 8: [16 + ( 10 + 3 : 3 + 9 : 3)] : 10 =

Ușa 9: 1 + {2 + 3 x [ 5 + 2 x ( 3 + 1)]}: 41 =

Ușa 10: [( 2 x 3 + 45 : 15) : 9 + 1 ] : 2 =

TABELUL FOLOSIT ÎN ACTIVITATEA DE EVALUARE

REALIZÂND CORESPONDENȚA DINTRE LITERELE ȘI NUMERELE SCRISE PE FIECARE UȘĂ, ELEVII VOR DESCOPERI CALIFICATIVUL PRIMIT DE EI.

ANEXA 3

PROBLEMELE DATE SPRE REZOLVARE:

– Problema 1: Suma a 5 numere consecutive este 95. Să se afle numerele.

– Problema 2: Două loturi de pământ au împreună 42 ha. După ce din primul lot se seamănă 18 ha, iar din al doilea 6 ha, suprafețele nesemănate ale celor două loturi sunt egale. Câte hectare are fiecare lot?

– Problema 3: Trei elevi au împreună 170 000 lei. Primul are cu 15 000 lei mai mult decât al doilea și cu 5 000 lei mai puțin decât al treilea. Câți lei are fiecare?

– Problema 4.Cabana „ Trei ursuleți” este situată la poalele unui munte, iar cabana „Alpinistul” este în vârful acestuia. Distanța dintre cabane este de 12 km. Un grup de excursioniști, pleacă de la cabana „ Trei ursuleți” și urcă muntele cu viteza de 2 km/h. Timp de două ore admiră peisajul de la cabana „Alpinistul”, se odihnesc și iau masa. Coboară cu viteza de 6 km/h. Știind că au plecat de la cabana „ Trei ursuleți” la ora 7:00 , calculează la ce oră s-au înapoiat.

– Problema 5: Distanța dintre localitățile A și B este de 720 km. Din localitatea A pornește către localitatea B un camion care are viteza de 40 km/h, iar din B către A un autoturism cu viteza de 50 km/h.

Dacă ambele vehicule pornesc la ora 7 dimineața, să se afle la ce oră se vor întâlni și la ce distanță de localitatea B.

– Problema 6: Suma a trei numere este 340. Suma primelor două este mai mare decât suma ultimelor două cu 80, iar al doilea număr este cu 50 mai mare decât al treilea. Să se afle cele trei numere.

– Problema 7: Suma dintre un număr și triplul său este 158 000 . Care sunt numerele?

– Problema 8: Un lăstun negru zboară cu viteza medie de 110 km/h. În cât timp străbate distanța de 440 km?

– Problema 9: distanța dintre două orașe A și B este de 90 km. Un biciclist pleacă din A la ora 8 și sosește în B la ora 11. Află câți km a parcurs biciclistul într-o oră.

– Problema 10: Un dreptunghi are perimetrul de 400 cm. Lungimea este cu 50 cm mai mare decât lățimea. Află aria dreptunghiului.

Notă : Fiecare echipă alege doar 3 bilețele conținând enunțul problemelor propuse spre rezolvare , problema rămasă fiind rezolvată la final prin colaborarea între echipe.

ANEXA 4

SFATURILE SCRISE DE FĂT – FRUMOS PE FIECARE CHEIE:

(CORESPUNZĂTOARE NUMĂRULUI PROBLEMEI ALESE)

1.Atenție la reprezentarea grafică!

2.Folosește corect parantezele!

3. Folosește metoda grafică!

4. Folosește formula de aflare a timpului când se cunosc viteza și spațiul!

5.În fiecare oră distanța dintre vehicule se micșorează cu suma dintre vitezele lor !

6.Atenție la reprezentarea primului număr în raport cu al treilea!

7.Folosește împărțirea la 4!

8.Aplică formula potrivită!

9.Atenție la timp!

10.Aplică metoda grafică, apoi formula potrivită!

CONCLUZII :

Teoretic , cercetarea atinge punctele de slăbiciune ale învățământului românesc .

Pedagogic, acest curriculum național , centralizat, prestabilit , este , după părerea mea , depășit , închistat în vechile tipare .

Cauzele care stau la baza necesității schimbării sunt multiple :

în învățământul preuniversitar de stat modalitățile de organizare sunt pe verticală : clase paralele A,B,C,D,….și raportate la vârsta cronologică . În concluzie , elevii unei școli aparțin unei clase , unui cadru didactic , unei serii (I , a II-a, a III-a, a IV-a, … , a XII-a), unei școli , unei comenzi sociale prestabilite de alții pentru și în numele lor , dar nu își aparțin lor înșiși / înseși !

Învățământul propus de mine vizează o tratare individuală în conformitate cu aptitudinile speciale , trebuințele , dorințele , opțiunile , aspirațiile , înclinațiile =zestrea nativă = talentul fiecărui subiect școlar .

Idealul educațional să fie centrat pe individ , să satisfacă împlinirea lui spirituală ca om , în domeniul în care are aptitudini și nu să fie o comandă socială care nu ajunge să îndeplinească până la urmă nici comanda societății , nici idealul propriu al unei personalități umane .

Schimbarea mentalității : școala este la dispoziția individului uman și nu invers . Societatea , ca macrosistem social , prosperă cu cât totalitatea indivizilor din care este alcătuită sunt mai pregătiți , mai educați , civilizați și progresează ajungând la un anumit nivel de bunăstare materială și spirituală .

Relațiile dintre educat – educator trec în sfera cooperării , comunicării deschise , constructive . Reciprocitatea , libertatea de acțiune , de a lua decizii în ce privește formarea personalității , sunt atribute ce definesc noul model de relații .

Mod de instruire special și conform aptitudinilor cerut de acest tip de inteligență , evident că de aici rezultă necesitatea unei măsurători adecvate și a unui program . Facilitatea specială a programului se regăsește în trecerea de la o etapă la alta atunci când subiectul singur se simte pregătit și hotărăște momentul . Decizia nu este îngrădită de bariera anilor școlari, ci de nivelul propriu de pregătire .

Managementul este categoric descentrat și axat în principal pe o ofertă bogată de opționale propuse de elevi și / sau părinți . Aparent simplu ca organizare ( grupe omogene de nivel , cu număr aproximativ redus de subiecți ) , managementul este complex din punctul de vedere al programului de instruire , al organizării cognitive al conținutului .

Bibliografie

Ausubel ,G.U.și Robinson ,F. 1982 , Învățarea în școală . O introducere în psihogia pedagogică , Editura Didactică și Pedagogică , București .

Bunescu , V., Proiectarea – rigoare , creativitate și spontaneitate în condițiile unui proces didactic formativ ,în ,,Revista de pedagogie” nr.12 / 1988 .

Cristea , S . , 1991, Planurile de învățământ în ,,Învățământul în antecamera reformei” , Editura Porto-Franco , Galați .

Cristea , S. , 1996 , pedagogie generală ,Editura Didactică și Pedagogică , București .

Crișan , Al.,Programele școlare în contextul reformei , în ,,Tribuna învățământului”,nr.1-2/ 1993 și nr.11/1994 .

Dăncilă ,Eduard ; Dăncilă , Ioan – Matematică pentru bunul învățător , ERCPres , București , 2002

Dinuță , Neculae – Metodica predării matematice la clasele I-IV, Edit . Universității din Pitești , 2003

Joița , E ., 1994 ,Didactica aplicată, partea I ,învățământul primar Editura Gheorghe Alexandru , Craiova .

Jurca , Maria Georgeta – Cum rezolvăm probleme de aritmetică Editura Transpres , 1994 .

M.E.N., Planuri – cadru de învățământ pentru învățământul preuniversitar coord.D.Georgescu ,M.Cerchez , M.Singer , L.Preoteasa Editura Corint , București .

M.E.N. , Consiliul Național pentru Curriculum . Programe școlare .

M.E.N. , Programul de formare al profesorilor .Curriculum . Evaluare .

Muster , D., 1985 , Metodologia cercetării în educație și învățământ Editura Litera , București .

Neacșu , Ioan –Metodica predării matematicii la clasele I-IV, E.D.P. București 1988.

Pârâială ,Dumitru ; Pârâială,Viorica –Aritmetică . Probleme tipice rezolvate prin mai multe metode și procedee, Institutul European , Iași , 1993.

Polya , George

–Cum rezolvăm o problemă ? Un nou aspect al metodei matematice ,

Descoperirea în matematică . Euristica rezolvării problemelor,

Editura științifică , București , 1971 .

Radu , I.T., Învățământul diferențiat . Concepții și strategii.Editura Didactică și Pedagogică , București .

Stoica , A ., Necesitate , atribuții , activitate SNEE , MEN. Buletinul informativ , București , 1999.

Stoica , D .și Stoica , M ., 1982 , Psihopedagogie școlară, Editura Scrisul Românesc , Craiova .

Stoica , M. , 1997 , Pedagogie pentru definitivat , gradul al II lea , gradul I și studenți ,Editura Gheorghe Alexandru , Craiova .

Vlăsceanu , L . , 1979 , Decizie și inovație în învățământ , Editura Didactică și Pedagogică , București .