Integrarea Asimptotica a Ecuatiilor Diferentiale cu Dihitomii

Introducere

Integrarea asimptotică a ecuațiilor diferențiale ordinare este în zilele noastre o parte fundamentală a matematicii aplicate. Lucrări de matematică precum [1], [5], [8] ori mecanică cerească [4], [9] sunt relevante în ceea ce privește utilitatea și eficiența metodelor de integrare asimptotică a ecuațiilor și sistemelor de ecuații diferențiale ordinare care modelează probleme importante ale științelor naturii.

Problema dichotomiilor în integrarea asimptotică a fost investigată de numeroși autori iar metodele de lucru apelează la discipline diverse. Cităm articolele [10] – [14]. Rezultate generale de integrare asimptotică, înglobând cazul ecuațiilor diferențiale cu dichotomii, pot fi citite în [6], [7], [15] (teoria Hartman-Wintner), [16] (teoria Massera-Schäffer), [5] (teoria Levinson-Weyl și dezvoltări ale sale, cu accent pe problematica defectologiei), [8] (metode Kiguradze-Kvinikadze privind ecuațiile Emden-Fowler, proprietăți S, etc).

Lucrarea de față se referă la teoriile dezvoltate în [6], [15] precum și la o anumită continuare a lor în [1], [2]. Ea este împărțită în două capitole, dedicate abordării lui Aurel Wintner [15] a integrării asimptotice în cazul “hiperbolic” (Capitolul 1), respectiv teoriei lui Philip Hartman [6] (Capitolul 2).

Integrarea asimptotică a oscilatorului adiabatic în domeniul hiperbolic

1.1. Rezultate auxiliare

Fie f=f(t) o funcție continuă cu valori reale definită pe semiaxa reală nenegativă astfel încât f(∞) să existe (ca limită finită). Suntem interesați de integrarea asimptotică a ecuatiei diferentiale liniare

x’’+ f(t)x = 0

în cazul “hiperbolic”, f(∞) < 0 ; făcând, eventual, o schimbare de variabilă, putem considera că f(∞) = -1. Astfel, ecuația (1) poate fi scrisă sub forma

(2) x’’ – (1+Φ)x = 0,

unde

(3) Φ(t) → 0 (t → +∞).

Lema 1. Dacă p(t), q(t), unde , sunt două funcții continue ce satisfac ipotezele

(4) p(t) are semn constant nenul

și

(5) ,

unde

(6) q(t) ≠ 0,

atunci există o limită finită, y(∞), pentru fiecare solutie y=y(t) a ecuației diferețiale liniare

(7) (p(t)y’)’ + q(t)y = 0 ,

mărimea y(∞) fiind nenulă pentru cel puțin o solutie y = y(t) a ecuației (7).

Demontrație. Mai întâi, dacă y(t), unde 0 t <+ ∞, este o soluție a lui (7), atunci pentru orice T >0 există constantele C1 și C2 astfel ca

(8)

și

(9)

Mai precis,

C1 = y’(T)p(T), C2 = y(T).

Invers, se observă din (4) că orice T și oricare pereche de constante C1, C2

introduse în integrala (9) determină o solutie de y=y(t) a lui (7) care satisface (8) si (9).

Pentru o soluție y(t) a lui (7), fie Mt =Mt(T) și m=m(T) definite ca

(10) Mt = | y(u) |

și respectiv

(11) m=|C1|,

convergența integralei din (11) rezultând din (5), (6) dacă se ține seama de continuitatea lui q(t). Fie t >T. Atunci conform (8), (10) și (11),

Deci, conform (10), avem

(12) Mt < KMt + m,

unde K =K(T) este integrala

(13) K =.

Din (5) rezultă că integrala (13) este convergentă și valoarea sa tinde către 0 dacă T→ +∞ . Fie T așa de mare încât K<1. Se observă apoi din (12) și (10) că

(14) | y(t) | m / (1-K ) (t >T).

Mai exact, y(t) este mărginit pe [T,+ ∞).

Este clar din (8), date fiind convergența integralei (11) și mărginirea funcției y(t), că

(15)

Aceasta înseamnă că y(t) are o variație limitată pe semidreapta 0 t <+∞, adică există o limită finită y(∞).

Pentru a încheia demonstrația lemei rămâne să se arate că (7) are soluții y= y(t) pentru care y(∞) ≠ 0. În acest scop, facem t→ ∞ în (9). Atunci, se observă din (8), (15) și din convergența integralei de la (11), că

y(∞)=

Pe de altă parte , dacă integrala (13) tinde către 0 când T→ ∞, este posibil să se aleagă T așa de mare încât 2K < 1. Atunci (14) implică

| y(t) | 2m (t >T).

Dupa cum s-a mentionat în continuarea relației (9), constantele C1 , C2 pot fi atribuite arbitrar (cu referire la orice T). Se aleg C1 =0 și C2 =1. Atunci (11) arată că m=1, deci ultima parte a formulei se simplifică, obținându-se

y(∞) =

și

| y(t) | 2 (t >T).

Prin urmare, din (13),

| y(∞) | > -2K +1.

Dacă 2K a fost ales mai mic decât 1, aceasta implică y(∞) ≠ 0.

Se încheie demonstrația lemei.

Observăm că (5) și (6) implică

(16)

fără însă ca

(17)

Pe de altă parte, (16) și (17) implică (5). Se poate arăta că, dacă (5) este înlocuită cu (16) și (17), atunci concluziile lemei 1 pot fi reformulate:

Lema 2. Fie p(t) și q(t), unde , două funcții continue ce îndeplinesc (4), (16) și (17). Atunci fiecare soluție y=y(t) a lui (7) determină doua constante ci astfel încât

(18) y(t) → c1 , p(t)y’(t) → c2 (t→ ∞).

Invers, tuturor perechilor de constante ci le corespunde o soluție y(t) a lui (7) care satisface (18). În final, corespondența (18) între soluțiile y(t) și perechile de constante ci ale integralei, este bijectivă.

Demonstrație. În primul rând, ipotezele lemei 2 le implică pe cele ale lemei 1. Deci, dacă y(t) este o soluție a lui (7), rezultă din lema 1 că există o constantă c1 care o îndeplinește pe prima din relațiile de la (18). Existența unei constante c2 care să o îndeplinească pe cea de-a doua din relațiile de la (18) rezultă din prima relație (18) cu condiția să se ia în calcul (8) și (17).

Pentru a demonstra afirmațiile rămase, se ia y*(t)=p(t)y’(t), unde y(t) este una din soluțiile lui (7). Apoi, dacă y1(t), y2(t) sunt soluții ale lui (7), wronskianul lor este:

y1*(t)y2(t) – y2*(t)y1(t) = const.,

unde const. = 0 dacă și numai dacă y1(t), y2(t) sunt liniar; vezi (4). Pe de altă parte, (18) și ultima relație sugerează că

unde ci îl caracterizează pe y1(t) și di îl caracterizează pe y2 (t). Daca p(0) ≠ 0, cum cele patru constante ale integralei : y1(0), y’1(0), y2(0), y’2(0) pot fi alese arbitrar, este evident că există o corespondență bijectivă între perechile de valori inițiale y(0), y*(0) și perechile de valori asimptotice y(∞), y*(∞). Demonstrația lemei s-a încheiat.

Lema 3. Fie p(t) și q(t), unde , două funcții continue ( posibil cu valori complexe) ce îndeplinesc (4), (5), (6). Să presupunem că, atunci cand t→ ∞,

(19)

și

(20)

Atunci, dacă y= y(t) este o soluție a lui (7),

(21) y’(t) → 0 (t→ ∞),

y(∞) există ca limită finită și y(∞) ≠ 0 pentru anumite soluții. Mai mult, există o soluție (unică), y= y0 (t), care îndeplinește

(22) y0 (t) → 0, p(t) → 1 când t→ ∞.

Demonstrație. Mai întâi, (5) și (6) implică convergența integralei din (20), în timp ce (6) și (19) implică

(23) 1/ p(t) → 0 (t→ ∞).

Ipotezele lemei 1 sunt îndeplinite, deci afirmațiile ce urmează formulei (20), acelea referitoare la y(∞), provin din lema 1. Pe de altă parte, (23) și (8) arată că (21) este valabilă pentru orice soluție dacă

Dar ultima relație rezultă din (19), din moment ce existența lui y(∞) implică mărginirea lui y(t).

Rămâne de demonstrat doar afirmația referitoare la soluția y0 (t). Dar ceea ce s-a demonstrat deja implică existența unei soluții y= y1(t) care îndeplinește

(24) y1(t)→ 1, → 0

când t→ ∞. Pe de altă parte, dacă y0 (t) este o soluție liniar independentă de y1(t), atunci Wronskianul soluțiilor y0(t), y1(t) este produsul dintre o constantă nenulă și 1/ p(t). Această relație reprezintă o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi în y0 (t) și care are soluția generală

unde c ≠ 0 reprezintă constanta Wronskianului și C este constanta cuadraturii (integrării). Convergența ultimei integrale este asigurată de (20) și de prima din relațiile (24).

Fixăm C = 0 și c = 1. Atunci formula precedentă devine

Cum y1(t) = O(1), aceasta implică prima din afirmațiile (22). Mai mult, derivarea ultimei relatii dă

Astfel, din (20) și din prima relație de la (24),

p(t) = 1+ o(1) –O(1),

astfel că, deoarece (21) este valabilă pentru toate soluțiile,

p(t) = 1+ o(1).

Concluzia se obține din (23). Demonstrația lemei 3 s-a încheiat.

1.2. Integrarea asimptotică a oscilatorului adiabatic

Următoarea teoremă se bazează pe lema 3.

Teorema 1. Fie f=f(t) o funcție continuă (posibil cu valori complexe) cu variație totală finită pe semidreapta 0 t < ∞ ,

și limita f(∞) pozitivă. Atunci, ecuația diferețială

(25) x’’ – f(t)x = 0

are o soluție cu forma asimptotică

(26) x(t) ~ exp() (t )

și o soluție (liniar independentă de prima) cu forma asimptotică

(27) x(t) ~ exp(-) (t ).

Mai mult, relațiile asimptotice (26), (27) pot fi derivate, adică

x’(t) ~ (f(t)) x(t), x’(t) ~ – (f(t)) x(t).

Este necesar un comentariu privitor la rădăcina pătrată apărută în (26) și (27). În ambele cazuri se consideră, pentru determinarea (selecția) acesteia,

(28) Re(f(u)) → (f(∞)) > 0 (u→ ∞).

Când u este mare, aceasta determinare este posibilă, unică și continuă, din moment ce f(∞) >0. Pe de altă parte, când u se găsește într-un interval mărginit, selecția ramurii are doar efectul unui factor constant nenul în (26), (27) și derivatele lor.

Demonstrația teoremei 1 se va desfășura în ipoteza că f(t) are derivata continuă f’(t). Pentru a trece la cazul general se realizează aproximări pe intervalele consecutive n t n+1, unde n = 0, 1, 2,… .

Demonstrație. Cum f(t) se află în clasa , putem aplica metoda variației constantelor, dupa cum urmeaza :

Căutăm o funcție y= y(t) astfel încât

(29) x = y exp

să fie o soluție a ecuației (25). Cum (29) implică

(30) x’= (y’+ yf ) exp,

care, dată fiind presupunerea că f(t) se află în clasa , ne conduce la

x’’=(y’’+2y’f+f’f y+fy) exp,

se observă că înlocuirea lui (29) în (25) implică

y’’+2y’f+f’f y=0.

Această ecuație diferențială în y poate fi scrisă sub forma (7) punând

(31) p(t) = exp 2

și

(32) q(t)=(f(t) )’p(t).

Se observă din (32) că (6) este îndeplinită, exceptând cazul când f(t) este constantă. Acest caz poate fi exclus, concluziile teoremei fiind triviale pentru f(t)≡ f(∞).

Dacă f(t) nu este constantă, toate ipotezele lemei 3 sunt satisfăcute. În fapt, (4) este evident din (31). Astfel, doar (20), (5) și (19) rămân de verificat.

Demonstrația lui (20)

Conform (31),

(33) |p(t)| = exp 2

Având în vedere relația (28), aceasta implică faptul că integrala din (20) este convergentă și că (23) este îndeplinită. Dar (23) împreună cu o aplicare a regulii lui L’Hospital arată ca expresia din stânga lui (20) tinde către o limită finită, când t → ∞, care este și limita expresiei

cu conditia ca ultima fracție să aibă o limită. Însă această fracție este chiar |p(t) | / | p(t) |’ , deci este egală, în conformitate cu (33), cu și tinde, avand în vedere (28), către o limită finită. Aceasta demonstrează (20).

Demonstrația lui (5)

Din moment ce f(t) se presupune a fi de variație mărginită pe semidreapta 0 t < ∞ și face parte din clasa C1 avem

respectiv

căci f(∞) ≠ 0. Prin urmare, din (32),

Deci, din (20),

Schimbând ordinea de integrare, se obține relația (5).

Demonstrația lui (19)

Conform (33) și (28), functia | p(t) | crește începând cu anume t, să zicem pe semidreapta T < t < ∞. Prin urmare,

| p(u) / p(t) | < 1 (T < u < t).

Cum (32) implică

rezultă că

(t > T).

Deci, este evident din (23) că, pentru a demonstra (19), este suficient să se stabilească următoarea relație

.

Dar valoarea de adevăr a acesteia a fost verificată în demonstrația lui (5).

Cele discutate până acum dovedesc că, dacă p(t), q(t) sunt definite de (31), respectiv (32), ipotezele teoremei le implică pe acelea ale lemei 3. Conform acesteia, (7) are o soluție, notată y=y(t), care satisface

y(t) → 1, y’(t) → 0 (t → ∞).

Ținând seama de (29), aceasta înseamnă că ecuația (25) are o soluție ca satisface (26) și a cărei derivată se obține prin derivarea relației asimptotice monstra (19), este suficient să se stabilească următoarea relație

.

Dar valoarea de adevăr a acesteia a fost verificată în demonstrația lui (5).

Cele discutate până acum dovedesc că, dacă p(t), q(t) sunt definite de (31), respectiv (32), ipotezele teoremei le implică pe acelea ale lemei 3. Conform acesteia, (7) are o soluție, notată y=y(t), care satisface

y(t) → 1, y’(t) → 0 (t → ∞).

Ținând seama de (29), aceasta înseamnă că ecuația (25) are o soluție ca satisface (26) și a cărei derivată se obține prin derivarea relației asimptotice (26). Afirmațiile teoremei privind soluția cu forma asimptotică (26) au fost stabilite. Pentru a dovedi afirmatiile teoremei referitoare la soluția de forma (27) este suficient să se considere o soluție ce îndeplineste relația asimptotică (26) și derivata sa și să se repete argumentul cu Wronskianul celor două soluții care, în încheierea demonstrației la lema 3, a condus de la y1 (t) la y0 (t).

Demonstrația teoremei s-a încheiat.

Teorema 2. Fie Φ(t) o funcție continuă (posibil cu valori complexe) ce îndeplinește

(34)

și

(35)

Atunci ecuația diferentială

(36) x’’ – (1+ Φ(t)) x = 0

are o soluție x= x(t) de următoarea formă asimptotică

(37) x(t) ~ exp (t + ) (t → ∞),

și o soluție ( liniar independentă de prima) de forma asimptotică

(38) x(t) ~ exp (- t – ) (t → ∞).

În plus, ambele relatii asimptotice (37), (38) pot fi diferențiate.

Demonstrație. Dacă f(t) este definită de

(39) f(t) = 1 + Φ(t),

atunci (36) apare sub forma lui (25). Condiția (34) implică faptul că Φ(∞) există (ca limită finită). Așadar, Φ(∞) = 0 din (35), deci f(∞) = 1 > 0, conform (39). Acest fapt și (34) arată că (39) satisface cerințele teoremei 1. Deci, teorema 2 rezultă din teorema 1 dacă se stabilește ca, în baza ipotezei suplimentare (35) și a definiției (39), cele doua funcții

(40)

sunt proporționale asimptotic cu funcțiile corespunzătoare

(41)

când t → ∞. Factorii proporționalității asimptotice sunt constante nenule, (fapt neesențial deoarece (34) este liniară și omogenă). Aceasta proporționalitate poate fi realizată astfel:

Cum Φ(∞) = 0, se observă din (39) și din

(1+z)= 1 + z + O(|z|2) (z 0),

că

(u ).

Prin urmare, rezultă din (35) că diferența

tinde la o limită finită când t→ ∞. Din moment ce aceasta implică echivalența asimptotică a lui (40) cu (41), demonstrația teoremei este încheiata.

Teorema care urmează va prezenta condiții în care este posibil de stabilit o corespondență asimptotică biunivocă între soluțiile ecuației (36) și acelea ale aproximației sale obisnuite, și anume

(36 bis) x’’ – x = 0.

Teorema 3. Fie Φ(t) o funcție continuă ce îndeplinește

(42)

În plus, se presupune că integrala improprie

(43)

este convergentă (posibil doar condițional). Atunci (36) are o soluție de forma

(44) x(t) = et + o(et), x’(t) = et + o(et)

și o soluție (liniar independentă de prima) de forma

(45) x(t) = e-t + o(e-t), x’(t) = -e-t + o(e-t),

când t → ∞.

Demonstrație. Justificările pot fi reduse la acelea de la teorema 2. De fapt, ipotezele teoremei implică (35). Pentru a vedea acest lucru, fie Φ(t) dat de conjugarea complexă a integralei adică

Φ(t)=

Atunci, (43) arată că Φ(∞) există ca limită finită, deci Φ(t) = O(1). Pe de altă parte, (42) implică (t) = O(1). Integrând prin părți, avem

și din (42) va rezulta că

când t → ∞, ceea ce înseamnă ca (35) este îndeplinită.

În mod evident, cele două functii (41) sunt proporționale asimptotic cu dacă (43) are loc. După cum tocmai s-a demonstrat, ipotezele teoremei le implică pe acelea ale teoremei 2, deci relațiile (37) și (38) implică existența a doua soluții ce îndeplinesc

x(t) ~ et, respectiv x(t) ~ e-t.

În concluzie, (44) și (45) rezultă din concluzia teoremei 2. Demonstrația s-a încheiat.

Teorema 4. Concluziile teoremei 3 sunt adevărate dacă ipotezele (42), (43) sunt înlocuite cu

(46)

O serie de comentarii și dezvoltări ale acestui rezultat pot fi citite în lucrările [2], [3].

Demonstrație. Dacă x = x(t) este înlocuit cu y= y(t), unde

(47) x= yet ,

atunci

(48) x’ = (y’ + y)et .

O nouă derivare arată că substituția (47) transformă ecuația (36) în

y’’+ 2y’ – y= 0 .

Aceasta ecuație diferențială poate fi scrisă sub forma (7) prin introducerea funcțiilor

(49) p(t) = e2 t

și

(50) q(t) = – e2 t .

Se va arăta că ipotezele lemei 3, și anume (4), (5), (6), (19) și (20) sunt îndeplinite, cu excepția cazului când este identic nulă, caz în care concluziile teoremei devin triviale.

Mai întâi, (4) și (20) rezultă imediat din (49), apoi (6) este evident din (50) din moment ce nu este identic nulă. Deci, doar (5) și (19) trebuie verificate. Conform (49) și (50), aceste condiții devin

(51)

și respectiv

(52)

În [15, p. 67] apare greșeala de tipar „”, cf. de asemeni [3].

Afirmăm că atât (51) cât și (52) rezultă din (46). Integrând prin părți în (51) avem

care este echivalentă cu (46), din moment ce

Pe de altă parte, (52) rezultă ușor din (46), dacă intervalul de integrare 0 u t este înlocuit cu T u t și folosim inegalitatea

unde T < t < ∞ și T → ∞ .

Aceastea demonstrează că, dacă coeficientii ecuației (7) sunt stabiliți de (49) și (50), ipotezele teoremei implică ipotezele lemei 3. Deci, există o soluție y=y(t) care îndeplinește

y(t) → 1 , y’(t) → 0 (t → ∞).

Conform (47), (48), aceasta înseamnă că (36) are o soluție ce verifică (44). În final, existența unei soluții a ecuației (36) care să satisfacă (45) se deduce în același fel ca existența soluției corespondente din finalul demonstrației teoremei 1.

2. Familii de soluții nerestricționate ale ecuațiilor cu variabile aproape separabile

2.1. O ecuație de gradul întâi și proprietățile sale

Să considerăm ecuația diferențială reală

(1) x′ = F (x, t), (x′ = dx / dt),

unde F (x, t) este o funcție de x plus o funcție de t luate separat

x′ = g(x) + f(t).

Dacă soluția generală a ecuației (2) poate fi obținută printr-o cvadratură ori prin inversiunea unei cvadraturi atunci când sau g sau f sun identic nule, cazul general al ecuației (2) nu este rezolvabil “în mod explicit”. Această afirmație este o consecință a teoremelor de ireductibilitate concentrate în jurul rezultatului lui Liouville privind cazuri particulare ale ecuației lui Riccati.

Cu toate acestea, există câteva proprietăți generale privitoare la integrarea asimptotică a ecuației (2) în cazul când f(t) devine “mică” pentru t→ ∞. Stabilirea lor constituie obiectul capitolului de față. O întreagă clasă de teoreme cunoscute poate fi dedusă analizând comportamentul asimptotic al soluțiilor ecuației (2). Astfel, aceste cazuri particulare pot fi tratate uniform și simplificat.

În cele ce urmează, funcțiile prezente în discuție vor fi considerate cu variabile și valori reale.

Teorema 1. Fie g(x) și f(t) continue pe -∞ < x < ∞, respectiv pe 0 ≤ t < ∞. Să presupunem că,

(3) g(x)<0 dacă 0 < x < ∞ și g(x) > 0 dacă -∞ < x < 0

și că

(4) │‌‌‌‌‌ g(x) │→ ∞ atunci când │x│→ ∞.

Să presupunem, de asemeni, că f(t) îndeplinește una din condițiile de mai jos

(5′) f(t) → 0 pentru t → ∞

sau

(5″) este convergentă (ori conditional convergentă)

sau (o condiție mai slabă decât ( 5’) și ( 5’’))

(5) când .

Atunci, nici o soluție x=x(t) a ecuației diferențiale (2) nu va exploda în timp finit și, în plus, toate aceste soluții au proprietatea că

(6) x(t) 0 când t .

Discuția privind prelungibilitatea la infinit a soluțiilor este necesară deoarece asupra lui g(x) nu a fost impusă condiția obișnuită de funcție Lipschitz.

Continutul primei afirmații a teoremei, și anume, acela al afirmației anterioare lui (6), poate fi ilustrat prin exemplul g(x) = x², f(t)= 0. În acest caz, (2) se reduce la x’= x², și astfel toate soluțiile x(t)≠0 sunt de forma x = (c- t, unde c este arbitrar. Dacă c>0, aceste soluție există pentru 0≤t<c dar înceteaza să mai existe la o valoare finită a lui t, și anume t=c. Astfel, prima afirmație a teoremei este falsă. Firește, ipoteza (3) nu era îndeplinită.

Dacă vom considera g(x)= – x³, f(t) = 0 pentru (2), adică x’= x³, atunci toate condițiile teoremei sunt îndeplinite, și fiecare solutie x(t) ≠ 0 este de forma x = (2t-c)-1/2. Aceste soluții există pentru toate valorile pozitive mari ale lui t, dar nu pot fi prelungite înapoi la stânga unei anumite valori finite a lui t, și anume t =2c. Prin urmare, vom subînțelege în continuare că prelungibilitatea soluțiilor este în sensul creșterii lui t.

În teorema 1, condiția (5) referitoare la f(t) este necesară și suficientă. În fapt, oricând g(x) este, ca în teorema 1, o funcție continuă ce se anulează în x=0, existența unor soluții x=x(t), ce satisfac (6), implică (5). Căci, o cvadratură a lui (2) dă

Astfel, (6) și g(x(t))→0 când t→∞ implică (5).

Începem prin a arăta că toate soluțiile sunt prelungibile la infinit. Se știe că, dacă F(x, t) are valori reale și este continuă pentru t > 0 iar x = x(t) este o soluție a ecuației (1) pe un interval t0 t < t0, atunci pentru ca această soluție să nu poată fi continuată la dreapta lui t =t0 este necesar ca

(7) sau x(t) + sau x(t) – când t t0 – 0.

Astfel, este suficient să arătăm că, dacă (1) are formula dată de (2), unde g(x) satisface (3) și (4) (condițiile privitoare la f(t), și anume presupunerea (5), nu sunt necesare în acest moment), nu poate exista un t˚ finit, care să satisfacă (7).

Să presupunem, prin absurd, că există un astfel de t˚. Atunci, dacă f(t) este continuă pe 0 ≤ t < ∞, deci mărginită pe t0tt0, se observă din (7), (3), (4) și (2) că

(8) sau x’(t) → – ∞ sau x’(t) → + ∞ când t→ t˚ – 0.

Se subînțelege că atât prima cât și cea de-a doua alternativă au loc simultan în (7) și (8). În mod evident, situația din (8) o contrazice pe cea din (7).

Practic, numai (6) rămâne de demonstrat. În acest scop, se va arăta mai întâi că

(9)

unde x(t) este o prelungire oarecare a uneia din soluțiile lui (2). Aceasta demonstrație va folosi presupunerile (5), (3) și o parte din presupunerea (4), și anume, lim inf| g(x) | ≠ 0; adică,

g*(r) > 0 pentru 0 < r < ∞ ,

unde

(11) g*(r) = | g(x) |.

Să presupunem, prin absurd, că prima din inegalitățile (9) este falsă, și anume, că limita inferioară a lui x(t) când t→∞ este pozitivă (posibil + ∞). Atunci există a > 0 și T > 0 astfel încât

(12) x(t) > a dacă t > T.

Rezultă din (10) că, din moment ce a > 0, este posibil să alegem un care să satisfacă

(13) 0 < < g*(a).

Din moment ce T din (12) poate fi înlocuit cu orice T’ > T dacă a este fixat, având în vedere (5) se poate presupune că

(14) dacă T < u < u + v < ∞ ,

unde T = T.

Conform cu (3), (12) și (11),

g(x(t)) – g*(a) dacă t > T.

Prin urmare, rezultă din (14), că o integrare a ambilor membri ai lui (2) duce la

x(T + v) – x(T) < – g*(a)v + (1 + v) dacă v > 0.

Pe de altă parte, din (13),

– g*(a)v + (1 + v) → – ∞ când v → ∞.

Ultimele două formule arată că

x(T + v) → – ∞ când v → ∞,

unde T este fixat. Aceasta contrazice (12).

Contradicția demonstrează prima din inegalitațile (9). Cea de-a doua inegalitate poate fi demonstrata în mod similar.

Se observă din (9) că, pentru a completa demonstrația lui (6), este suficient să arătăm că

(15) inf x(t) 0 și sup x(t) 0.

Din demonstratia lui (15) se va deduce că este suficient să luăm în considerare doar pe a două din inegalitățile (15).

Să presupunem, prin absurd, că ultima inegalitate este falsă. Atunci există o constantă pozitivă b astfel încât x(t) este mai mare ca b pentru anumite valori, oricât de mari, ale lui t. Pe de altă parte, prima din inegalitățile (9) arată că b / 2 îl depășește pe x(t) pentru alte valori, oricât de mari, ale lui t. Rezultă deci din continuitatea lui x(t), că există anumite valori, oricât de mari, ale lui u și respectiv anumite valori v = vu > 0 care satisfac ecuațiile următoare

(16) x(u) = b/2, x(u + v) = b

și au proprietatea că

x(t) b/2 dacă u t u + v.

Ultima proprietate arată că, având în vedere (3) și (11),

(17) g(x(t)) – g*(b/2) dacă u < t < u + v.

Din moment ce b > 0, rezultă din (10) că este posibil să alegem un care să satisfacă

(18) 0 < < min (g*(b/2), b/2).

Referitor la un astfel de, fie T = T , ales în conformitate cu (14). Atunci, dacă u + v > u > T, o integrare a lui (2) are ca rezultat

x(u+v) – x(u) < .

Dar există intervale de valori ale lui t la distanțe arbitrare, u< t < u+v, pe care atât (16) cât și (17) sunt indeplinite. Dacă această concluzie se reunește cu ultima formulă rezultă că

b – b/2 < – g*(b/2) v + (1+ v).

Din moment ce a doua inegalitate poate fi scrisă sub forma

b/2 + g*(b/2) v < (1+v), unde b > 0, v > 0,

aceasta contrazice (18). Aceasta contradicție completează demonstrația lui (6) și, prin urmare, pe aceea a teoremei 1.

O variantă duală a Teoremei 1 este următoarea.

Teorema 2. Fie g(x) și f(t) continue pe – ∞ < x < ∞, respectiv pe 0 t < ∞. În ceea ce îl privește pe g(x), se presupune că au loc (4) și următoarea formă duală a lui (3)

(19) g(x) > 0 dacă 0 < x < ∞ și g(x) < 0 dacă – ∞ < x < 0.

Pentru f(t), se presupune că (5) este valabilă; de exemplu, fie sau (5’) sau (5’’). Atunci, ecuația (2) are cel puțin o soluție x=x(t) care există pentru toți t mari și care satisface (6).

Spre deosebire de cazul teoremei 1, soluția x = x(t) a ecuației (2) ce satisface (6) ar putea fi unică. Această afirmație este ilustrată prin următoarea observație:

dacă ipotezele teoremei 2 sunt indeplinite și dacă g(x) este nedecrescătorare, atunci ecuația (2) are doar o soluție x = x(t) care satisface (6).

Pentru a începe demonstrația, fie x = xn(t), pentru orice număr pozitiv întreg n, o soluție a lui (2) care satisface

xn(n) = 0.

O astfel de soluție poate fi prelungită, odată cu descreșterea lui t , astfel încât să existe pe intervalul 0 t n. Presupunând contrariul, ar trebui să existe în intervalul 0 < t < n un anume t =tn care să aibă proprietatea că soluția x (t) exista pentru tn < t n dar

(20) fie xn(t) → + ∞ fie xn(t) → – ∞ când t→ tn + 0.

În baza lui (19) se ajunge la aceeași contradicție la care au dus (7) și (8) ținând seama de (3), duala lui (19).

Aceasta demonstrează că xn(t) există pentru 0 t n. Se va arăta acum că afirmația

(21) xn(tn)→ 0 când n → ∞

este valabilă pentru orice șir t1 , t2 ,… care satisface

(22) 0<tn<n și tn → ∞ când n → ∞.

Să presupunem prin absurd că (22) nu implică pe (21). Atunci există un șir t1,t2,… care satisface (22) și conține un subșir astfel incât, dacă al n -lea element al acestui subșir și elementul corespunzător al șirului x1(t), x2(t), ….sunt desemnate simplu prin tn și respectiv xn(t), atunci (22) este satisfăcută dar afirmația

(23) sau xn(tn)> b sau xn(tn) < – b

are loc pentru orice n atunci când b>0 este fixat.

Să luăm în considerare prima din aceste două posibilități. Atunci, din moment ce xn(t) este o funcție continua ce se anulează în t = n , și din moment ce tn < n , oricărui n îi va aparține un vn pozitiv care satisface

(24) xn(tn+vn) = b/2 și xn(t)>b/2, dacă tn<t<tn+vn<n.

Dacă g*(r) este definită de (11), atunci (24) și (19) implică

(25) g(xn(t)) g*(b/2) dacă tn< t < tn + vn.

Din moment ce (4), (19) și continuitatea lui g(x) asigură (10), și cum b >0, va exista un care să satisfacă (18). Referindu-ne la un astfel de , fie T = T ales în concordanță cu (14). Atunci, dacă n este atât de mare încât tn > T, o cvadratură a lui (2) dă

xn(tn+vn) – xn(tn) >

Deci, din (25) și din prima din relațiile (24),

b/2 – xn(tn) > g*(b/2)vn – (1 + vn ),

astfel că, deoarece suntem la primul din cele două cazuri (23),

(1+ vn ) > g*(b/2)vn + b/2 , unde b > 0, vn > 0.

Ceea ce contrazice (18).

În consecință, prima din posibilitățile (23) nu poate exista. A doua poate fi exclusă în același mod. Aceasta demonstrează că (21) este valabilă pentru toate șirurile t1 ,t2 … care satisfac (22).

Soluția x = xn(t), care există pe intervalul 0 t n (cel puțin), verifică

(26) | xn(t) | < C dacă 0 t n ,

unde C este o mărime independentă de t și n. Căci, dacă nu ar exista un astfel de C, ar fi posibil să se construiască șirul t1 , t2 ,… care satisface (22), dar care încalcă (21).

Dacă N este fixat arbitrar, atunci, din moment ce g(x) si f(t) sunt continue peste tot, se observă din (2) și (26) că funcțiile xN(t),xN+1(t),…, pe lângă faptul că sunt uniform mărginite, au și derivate uniform mărginite pe intervalul 0 t N și sunt, în consecință, echicontinue pe acest interval. De aceea, compacitatea relativă a familiei unor astfel de funcții, folosind „procedeul diagonal” (teorema Ascoli-Arzelà) corespunzător lui N → ∞, unde 0 t N, arată că șirul x1(t), x2(t),… conține un subșir care tinde uniform către o anumită funcție pe fiecare interval mărginit semidreptei 0 t < ∞.

Dacă x = x(t) este această limită, atunci, din moment ce fiecare xn(t) este o soluție a lui (2) (când 0 t n) iar g(x) și f(t) sunt continue pe tot intervalul, este evident din convergența uniformă locală a subșirului selectat, că x=x(t) este o soluție a ecuației (2). Cum această soluție există pe 0 t < ∞ rezultă că demonstrația va fi completă dacă se arată că această soluție satisface (6).

Fie xn(t) cel de-al n-lea element al acelui subșir al lui x1(t), x2(t),… care tinde către x(t). Astfel,

xn(t) → x(t) (n→ ∞)

are loc în mod uniform pe fiecare interval mărginit. Deci, este evident că negația lui (6) ne va conduce la un șir t1, t2 ,… care satisface (22), dar nu respectă (21). Din moment ce o astfel de șir t1,t2,… nu poate exista, demonstrația teoremei se încheie.

O soluție x= x(t) a lui (2) este numită soluție nerestricționată (saturată) dacă nu încetează să existe când t crește la infinit, adică, dacă (7) nu se materializează pentru nici un t˚ < ∞. De exemplu, toate soluțiile lui (2) sunt nerestricționate în ipotezele teoremei 1 și cel puțin o soluție este nerestricționată în ipotezele teoremei 2. În al doilea caz, restricții suplimentare asupra lui g(x) conduc la următoarea rafinare a teoremei 2.

Teorema 2*. Se presupune că g(x) și f(t) satisfac ipotezele teoremei2. Mai mult, se presupune că

(27)

și că g(x) este astfel încât funcția

(28) g(x + x1) / g(x),

de două variabile independente x, x1, să fie mărginită când ( | x | , | x1| ) → (∞, 0). Atunci, (6) este valabilă pentru orice soluție nerestricționată a lui (2).

Faptul că restricțiile suplimentare (27) si (28) nu pot fi omise se arată în exemplul x’ = x. Aici, g(x) = x și f(t) = 0. Astfel, toate ipotezele teoremei 2 sunt satisfăcute. Dar soluțiile sunt de tipul x = cet și aceste soluții sunt toate nerestricționate fără a îndeplini (6) pentru c ≠ 0.

Pentru a demonstra teorema 2* se va arăta mai întâi că ambele inegalități (9) sunt valabile pentru orice soluție nerestricționată x = x(t) a lui (2). Așa cum va reieși din demonstrație, va fi suficient să se verifice prima din inegalitățile de la (9); cu alte cuvinte, nu poate exista o pereche de numere pozitive a, T care să satisfacă (12). Să presupunem, prin absurd, că există o astfel de pereche a, T . Atunci, cum a>0, se observă din (19), (11) și (10) că

(29) g(x(t)) g*(a) > 0 dacă t > T.

Fie x = x1(t) , unde 0 t < ∞ , o soluție a lui (2) care satisface (6), adică

(30) x1’ (t) = g(x1(t)) + f(t),

și

(31) x1(t) → 0 când t→ ∞.

Existența unui astfel de x1(t) este asigurată de teorema 2. Apoi este evident din (31), g(0) = 0, și din continuitatea lui g(x) în x =0 că, dacă T este suficient de mare,

(32) | g(x1(t)) | < g*(a) / 2 pentru t > T,

și

(33) | x1(t) | < a /2 pentru t > T.

Din (2) și (30),

(34) x’(t) – x1’ (t) = g(x(t)) – g(x1(t)),

în timp ce (29) și (32) arată că g(x) – g(x1) > g*(a) /2 > 0 dacă t >T. Deci, x’ – x1’ > 0 dacă t >T; astfel că x – x1 este monoton crescătoare pe.

Relațiile (12) si (33) implică x – x1 > a/2 dacă t >T; astfel că, din (10) și (11),

g(x –x1) g*(a/2) > 0 dacă t > T.

Deci, rezultă din (31) și din continuitatea uniformă a lui 1/g(x) pe orice interval mărginit închis (care nu îl conține pe x = 0) că raportul

(35) (g(x) – g(x1)) / g(x – x1)

ar tinde către 1 când t→ ∞ dacă x = x(t) ar fi mărginită. Pe de altă parte, dacă x(t) nu este mărginită, monotonia funcției x(t) – x1(t) și (31) implică x(t) → ∞ când t→ ∞. În consecință, (31) și presupunerea privind raportul (28) arată că funcția (35) este mărginită inferior de o constantă c pozitivă pentru t mare. (Defapt, ipoteza (28) implică o mărginire superioară, dar este evident că mărginirea superioară pentru toate valorile mari ale lui | x | și mici ale lui |x1| implică faptul că raportul nu se poate apropia de 0). Deci, indiferent dacă x(t) este sau nu mărginit, există o constantă c pozitivă astfel încât

(g(x) – g(x1)) / g(x – x1) > c dacă t > T,

cu condiția ca T să fie ales suficient de mare.

Deci, (34) și o cvadratură arată că

(v>0).

Din moment ce x(t) – x1(t) este monotonă, schimbarea de variabile

u = u(t) = x(t) – x1(t)

transformă ultima inegalitate în

unde u1 = u(T) și u2 = u(T + v). Dacă v→ ∞, presupunerea (27) este contrazisă ( pentru că u1 = x(T) – x1(T) a/2 > 0). Această contradicție arată că inegalitățile (9) trebuie să fie valabile.

Pentru a încheia demonstrația lui (6), se va arăta că ambele inegalități de la (15) sunt valabile. Din nou, va fi suficient să se verifice doar una din ele, să zicem a doua. Se presupune prin absurd că cea de-a doua inegalitate este falsă. Atunci există o constantă pozitivă b astfel încât x(t) este mai mare ca b pentru anumite valori, oricât de mari, ale lui t. Pe de altă parte, prima din inegalitățile (9) implică faptul că b/2 îl depășește pe x(t) pentru alte valori, oricât de mari, ale lui t. Deci, ținând seama de continuitatea lui x(t), există valori arbitrar de mari ale lui u și anumite valori corespunzătoare v = vu > 0 care satisfac

x(u) = b , x(u + v) = b/2

și

x(t) > b/2 dacă u < t < u + v .

Restul demonstrației teoremei 2* este asemănător cu finalul demonstrației teoremei 1 și, prin urmare, poate fi omisă.

Când condiția de “micime” din (5) asupra lui f(t) este întârită, afirmația corespunzătoare (6) privind “micimea“ soluțiilor x=x(t) poate fi reformulată.

Teorema 3. Fie g(x) și f(t) continue pe – ∞ < x < ∞ respectiv pe 0 t < ∞. Se presupune că f(t) este de clasă Lp pentru un anumit p 1,

(36)

Atunci, (5) este valabilă (astfel încât concluziile teoremelor 1, 2 sau 2* sunt valide dacă g(x) satisface ipotezele corespunzătoare). De asemeni, dacă (2) are pentru T t < ∞ o soluție x=x(t) ce satisface (6), atunci g(x(t)) și x’(t) fac parte din clasa Lp,

(37) și .

Inegalitatea Hölder implică

unde 1/q + 1/p=1 (și 1/q = 0 dacă p =1). Dacă v >0, atunci v1/q < 1+ v, astfel că

Deci, (5) rezultă din (36).

Pentru a dovedi afirmația referitoare la (37), fie (x) definit ca -1, 0 sau +1 după cum g(x) este negativă, zero sau pozitivă. Atunci, conform (2),

|g(x(t))|p=(x(t))|g(x(t))|p-1(x’(t)-f(t)).

Dar, după (6), integrala

tinde către

,

deci este O(1) când t→ ∞ . Astfel,

Dacă p=1, rezultă din (36) că g(x(t)) este din clasa Lp = L1. Astfel, poate fi presupus că p >1. Atunci, inegalitatea lui Hölder implică faptul că integrala din membrul drept ultimei inegalități este majorată de

,

unde 1/p+1/q=1. Rezultă astfel din (36) că

sau, deoarece q>1,

.

Aceasta dovedeste prima implicație (37). A doua implicație rezultă din prima, din (2) și din faptul că clasa L este un spațiu liniar.

Demonstrația teoremei 3 s-a încheiat.

2.2. Ecuații diferențiale cu dichotomii

Teoremele demonstrate anterior vor fi aplicate pentru a obține detalii despre comportamentul asimptotic al soluțiilor ecuației diferențiale liniare

(38) y’’=

în cazul „hiperbolic”, când este „aproape” o constantă pozitivă pentru valorile mari ale lui t. Se poate presupune că această constantă este 1 (altfel, unitatea de lungime pe axa t poate fi schimbată), deci diferența f(t)=-1 este „mică” și (38) devine

(39) y’’=(1+f(t))y.

O aplicare a teoremei 1 sau a toremei 2 duce la următorul rezultat.

Teorema 4. Fie f(t), unde 0t<, o funcție continuă. Atunci f(t) satisface (5) dacă și numai dacă ecuația diferențială liniară (39) are o soluție y=y(t) cu proprietatea că

(40) sau y’(t) / y(t)1 sau y’(t) / y(t)-1 (t)

(în particular, y(t) nu se poate anula pentru valorile mari ale lui t).

Începem prin a demonstra că ipoteza (5) este suficientă. Introducând noua variabilă

x=y’ / y

(39) devine

(42) x’=1 – x+ f(t).

Dacă y=y(t) este o soluție a (39) și dacă y(t)0 pe un interval I, atunci (41) definește o soluție a (42) pe același interval I. Invers, dacă x=x(t) este o soluție a ecuației (42) pe un interval I, atunci o cvadratură a lui (41) ne dă o funcție y=y(t) care nu se anulează și care e o soluție a ecuației (39) pe același interval I.

Ecuația diferențială (42) este de tipul (2), unde g(x)=1-x2. Este posibil, în mod evident, să definim o funcție continuă g1(x), pentru -<x<, care să satisfacă (4), identitatea

(43) g1(x) = 1 – x, dacă x>0,

și inegalitățile

g1(x)<0 dacă 1<x< și g1(x)>0 dacă -<x<1.

Atunci, condițiile impuse în teorema 1 asupra lui g(x) și f(t) sunt satisfăcute de functiile g1(x) și respectiv f(t), cu deosebirea că anularea lui g1(x) se face în x=1 în loc de x=0.

Este clar că teorema 1 implică faptul că toate soluțiile x=x(t) ale ecuației diferențiale

(44) x’ = g1(x) + f(t)

sunt nerestricționate și satisfac

(45) x(t)1 când t.

În particular, x(t)>0 pentru toți t suficient de mari, să zicem pentru t>T. Atunci, x(t) este și o soluție a ecuației (42) pentru t>T, ținând seama de (43) și (44). În consecință, conform observației de după formula (42), ecuația diferențială (39) are soluții care nu se anulează pentru t mare. De asemeni, conform (41) și (45), aceste soluții satisfac prima variantă a lui (40).

Este clar că, dacă folosim teorema 2 în loc de teorema 1, existența soluțiilor care satisfac a doua variantă a lui (40) poate fi stabilită.

Cât despre stabilirea necesității condiției (5) din teorema 4, va reieși din demonstrație (și/sau din demonstrația teoremei 5 de mai jos) că este suficient să considerăm cazul când (39) are o soluție y=y(t) care nu se anulează pentru t mare și care satisface prima variantă în (40).

În acest caz, (41) definește pentru t mare o funcție x=x(t) care satisface relația (45) și ecuația diferențială (42). Aceasta ne asigură că f(t) satisface (5).

O demonstrație independentă a rezultatului anterior poate fi citită în [2].

Pentru a evita o întrerupere în demonstrațiile de mai jos, se va stabili mai întâi următorul corolar al teoremei 4.

Teorema 5. Dacă f(t), unde 0 t<, este o funcție continuă care satisface (5), atunci fiecare soluție y=y(t)0 a ecuației diferențiale (39) are cel mult un număr finit de zerouri (puncte în care se anuleaza); mai mult, fiecare soluție y=y(t) este dată de superpoziționarea

(46) y = c1y1 + c2y2

a două soluții particulare y=y1(t) și y=y2(t), care au formulele asimptotice

(47) y1’(t) / y1(t) 1

(48) y2’(t) / y2(t) -1

ș

i

(49) y1(t)y2(t) 1 când t .

Conform teoremei 4, conditia (5) implică existența soluțiilor y=y(t) ale ecuației (39) care nu se anulează pentru t mare. Atunci, proprietatea de separare a zerourilor soluțiilor ecuației diferențiale (39) implică faptul că nici una din soluțiile nebanale ale acesteia nu se anulează pentru t mare. Căci zerourile unei soluții nu au un punct de acumulare t finit, astfel că oricare din soluțiile nebanale ale lui (39) are cel mult un număr finit de zerouri pe intervalul 0t<.

De asemeni, teorema 4 implică existența soluțiilor y = y1(t) și y = y2(t) ale lui (39) satisfăcând (47), respectiv (48). Din moment ce (47) și (48) implică y1(t) și y2(t) 0 când t , aceste soluții sunt liniar independente astfel că fiecare soluție y=y(t) este o combinatie liniară, (46), a lor. Dacă această soluție (46) nu este identic 0, atunci prima sau a doua alternativă din (40) are loc, după cum c1 0 sau c1 = 0.

Rămâne să verificăm dacă y1 și y2 pot fi alese astfel încât să îndeplinească (49), precum și (47) și (48). Dacă y= y1(t) și y= y2(t) sunt două soluții ale (39), atunci wronskianul lor este

y1’(t)y2(t) – y1(t)y2’(t) = c,

unde c este o constantă. Dacă y= y1(t) este o funcție care satisface (47), atunci pentru orice număr , 0<<1 și pentru t suficient de mare,

,

deci

(50) .

O cvadratură a wronskianului ne dă

,

unde C este o constantă. Invers, dacă y1(t) este o soluție a lui (39) satisfăcând (50), atunci ultima formulă definește, pentru constante arbitrare C și c, o soluție y = y2(t) a lui (39). Particularizăm constantele făcând C=0 și c=-2, asfel că

Deoarece y1(t), rezultă din regula lui l’Hospital că y1(t)y2(t) are o limită, care este egală cu limita raportului

cu condiția ca limita raportului să existe. Dar acest raport este y1(t)/y1’(t). Cum y=y1(t) satisface (47), aceste considerații demonstrează (49). Împărțind wronskianul (cu c=-2) la y1(t)y2(t), observăm că (48) este satisfacută de y= y2(t). Aceasta completează demonstrația teoremei 5.

Din punct de vedere al integrării asimptotice a ecuației (39), rezultatul (40), adică y’~ y, este de obicei ineficient. Primul pas în îmbunătățirea rezultatului este dat de teorema următoare.

Teorema 6. Dacă f(t), unde 0 t<, este o funcție continuă satisfăcând (5), atunci

(51)

există ca o limită finită pentru fiecare soluție y=y(t) a lui (39).

Existența limitei (51) nu implică neapărat o formulă asimptotică valoroasă pentru soluția y(t), dat fiind că această limită poate fi 0 pentru orice soluție y=y(t). O asemenea posibilitate este ilustrată de următorul exemplu. Se verifică ușor că dacă y = y1(t) = exp (t + 2t1/2), atunci y1’(t) = (1 + t-1/2)y1, astfel încât y=y1(t) este o soluție a ecuației diferențiale (39), unde

f(t) = 2t-1/2 + t-1 – t-3/2/2 (t>1)

și atunci (47) este satisfăcută. Dar, când t,

astfel că limita corespunzătoare (51) există și este nulă. Pe de altă parte, cum în acest caz (39) are o soluție y=y1(t) satisfăcând (47), ea va avea și o soluție (liniar independentă de prima) y=y2(t) satisfăcând (48). Dar această ultimă soluție tinde la 0 atunci când t, deci limita corespunzătoare (51) există și este nulă. Cum o soluție oarecare este combinația liniară a celor două soluții, y1 și y2, rezultă că (51) există și este 0 penru toate soluțiile y=y(t).

Pentru a demonstra teorema 6, fie y=y(t)0 o soluție a ecuatiei (39). Atunci, y(t) nu se poate anula pentru t mare și satisface (40), conform teoremei 5. Fie x=x(t) definit, pentru t mare, ca

(52) x = – 1 + y’/ y,

astfel încât (40) implică

(53) x(t) 0 sau x(t) -2 (t).

Deoarece y(t) este o soluție a (39), rezultă din (52) că x=x(t) satisface

(54) x’ + x2 + 2x = f(t).

O cvadratură a lui (52) ne dă

y(t) = const. exp

deci

(55) y(t) exp

Așadar, pentru a verifica că limita (51) există și este finită, este suficient să arătăm că

(56)

tinde fie către o limită finită fie către – . Dar (54) arată că expresia (56) este egală cu

Astfel, din (53), funcția (56) tinde către limita

care poate fi –. Teorema 6 este demonstrată.

Următoarea observație ne va folosi ulterior:

limita (51) este diferită de 0 dacă și numai dacă funcția x=x(t), definită prin (52), este de clasă L2,

(57) .

O ușoară rafinare a condițiilor puse asupra lui f(t) în teorema 6 duce la o formulă asimptotică convenabilă.

Teorema 7. Dacă f(t), unde 0 t<, este o funcție continuă verificând

(58) pentru un anumit p, ,

atunci fiecare soluție y=y(t) a (39) este superpoziționarea (46) a două soluții particulare y=y1(t) și y=y2(t), care satisfac relațiile asimptotice

(59) y1’(t) ~ y1(t)

și

(60) – y2 ’(t) ~ y2(t),

atunci când t.

Faptul că teorema 7 poate fi falsă când f(t) este de clasă pentru p>2 este exemplificat de exemplul discutat mai jos.

În cazul p=2, teorema 7 a fost stabilită de Wintner [15] cu restricția suplimentară ca f(t) să aibă variație totală finită pe 0 t<. Defapt, Wintner a arătat că, dacă f(t) are variație totală finită pe 0 t< și satisface (5’), atunci (39) are două soluții liniar independente y=y1(t) și y=y2(t) satisfăcand

(59 bis) y1’(t) ~ y1(t)

și

(60 bis) y2’(t) ~ y2(t),

respectiv (vezi secțiunea 2, teorema 1 din capitolul precedent); astfel că, dacă f(t) este și de clasă , aceste funcții y1 si y2 sunt proporționale asimptotic cu funcții satisfăcând (59), respectiv (60). Deoarece teorema 7 arată că ipoteza variației finite nu este necesară pentru a asigura existența soluțiilor ce verifică (50), (60), se pune întrebarea dacă această condiție nu ar putea fi evitată și în chestiunea existenței soluțiilor care îndeplinesc (59 bis) și (60 bis). Totuși, se va vedea în cele ce urmează că, dacă f(t) satisface (5’), (5’’) și este de clasa () pentru p>2, atunci se poate ca (39) să nu aibă soluții care să îndeplinească (59 bis) sau (60 bis).

Când ecuatia (39) este de tip „eliptic”, adică

(39 bis) y’’ + (1 + f(t))y = 0

(unde f(t) este „mic”), a fost stabilit de Aurel Wintner [Asymptotic integration of the adiabatic oscillator, American Journal of Mathematics 69 (1947), 251-272, la pag. 252-253] că, dacă f(t) are variație mărginită pe 0 t<și este de clasă L2, atunci (39 bis) are două soluții y=y1(t) și y=y2(t), satisfăcând relația

și

atunci când t. Cum aceste relatii sunt analoage formulelor (59) și (60), se pune întrebarea dacă, și aici, condiția de variație mărginită nu ar putea fi evitată. Răspunsul este însă negativ [ibidem, pag. 255-256], astfel că teorema 7 nu are un rezultat analog în cazul „eliptic” (39 bis). Aceasta este una din puținele situații când rezultatele integrării asimptotice pentru cazurile „hiperbolic” și „eliptic” nu sunt „paralele”. O demonstrație ingenioasă a existenței soluțiilor cu formulele (59 bis) și (60 bis) în cazul “eliptic” (aici “exp” va fi înlocuit cu “sin”, respectiv “cos”) îi aparține lui R.B. Kelman [Short proof of a theorem of Wintner on asymptotic integration of the adiabatic oscillator, Prooceedings of the American Mathematical Society 13 (1962), 663-664]. Ea se bazează pe metoda transformării Prüfer.

Revenind la demonstrație, observăm că, în acord cu teorema 3, condiția (58) implică (5). Așadar, ipotezele teoremei 6 sunt îndeplinite de funcția f(t) din teorema 7.

Fie y=y(t) o soluție a lui (39) îndeplinind prima condiție (40). Vom arată că (58) implică faptul că limita (51) nu este 0; de aici, orice constantă multiplicată cu y=y(t) este o soluție y=y1(t) a ecuației (39) satisfacand (59). Raportându-ne la y(t), definim o funcție x=x(t), pentru t mare, cu (52). Conform observației ce precede teorema 7, este suficient să verificăm (57).

Funcția x=x(t) este, pentru t mare, o soluție a ecuației diferențiale (54), care aparține familiei (2), unde g(x)= -x2-2x. De asemeni, pentru că y=y(t) îndeplinește prima variantă din (40), x=x(t) îndeplinește prima variantă din (53), adică (6). Prin urmare, (58) arată că teorema 3 poate fi aplicată. În consecință, -g(x(t))=x2(t)+2x(t) este de clasă . Cum p2, x2(t)+2x(t) este de clasă , pe baza lui (6). De asemeni, relația (6) ne arată că, pentru t mare, avem

,

deci (57) se verifică.

Astfel se demonstrează existența unei soluii y=y1(t) îndeplinind (59). Existența unei soluții liniar independente y=y2(t) a lui (39) îndeplinind (60) este o consecință a teoremei 5. Astfel, teorema 7 este demonstrată.

Teorema 7 are următorul corolar.

Teorema 8. Dacă f(t), 0 t<, este o funcție continuă satifăcând (5’’) și (58), atunci fiecare soluție y=y(t) a lui (39) este superpoziționarea a două soluții particulare y=y1(t) și y=y2(t) care îndeplinesc relațiile asimptotice

(61)

și

(62) ,

atunci cand t.

Teorema 8 rezultă imediat din teorema 7, deoarece (5’’) implică faptul că et când t, unde const.0. (Desigur, când p=1 în (58), ipoteza (5’’) este inutilă).

Niciuna din condițiile (5’’), (58) nu poate fi omisă din teorema 8. Evident, din teorema 7 rezultă că, dacă f(t) satisface (58) dar nu (5’’), afirmațiile din teorema 8 nu pot fi susținute. Este, de asemeni adevărat, că dacă f(t) satisface (5’’) dar nu (58), atunci afirmațiile din teorema 8 pot fi false. Teorema 6 arată că, atunci când sunt îndeplinite condițiile (5’’) și afirmatiile teoremei 8 sunt false, relația y(t)=o(et) când t este adevărată pentru toate soluțiile y=y(t) ale lui (39). În concluzie,

Teorema 9. Există funcții continue f(t), unde 0 t<, satisfăcând (5’) și (5’’), de clasă Lp pentru p>2, care au proprietatea că

(63) când t

este adevărată pentru orice soluție y=y(t) a ecuației (39).

Bibliografie

1. R.P. Agarwal, D. O’Regan, Infinite interval problems for differential, difference and integral equations, Kluwer, Dordrecht, 2001

2. R.P. Agarwal, O.G. Mustafa, Y.V. Rogovchenko, Existence and asymptotic behavior of solutions of a boundary value problem on an infinite interval, Mathematical and Computer Modelling 41 (2005), 135-157

3. C. Avramescu, O.G. Mustafa, S.P. Rogovchenko, Y.V. Rogovchenko, Conditional stability for a class of second-order differential equations, Applied Mathematics Letters 2005 (sub tipar)

4. A. Cook, The motion of the moon, Adam Hilger Press, Bristol, 1988

5. M.S.P. Eastham, The asymptotic solution of linear differential systems, Clarendon Press, Oxford, 1989

6. P. Hartman, Unrestricted solution fields of almost-separable differential equations, Transactions of the American Mathematical Society 63 (1948), 560-580

7. P. Hartman, A. Wintner, Asymptotic integration of linear differential equations, American Journal of Mathematics 77 (1955), 45-86

8. I.T. Kiguradze, T.A. Chanturia, Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary differential equations, Kluwer, Dordrecht, 1993

9. C. Marchal, The three-body problem, Studies in astronautics, vol. 4, Elsevier, Oxford, 1990

10. R. Naulin, J. Urbina, Asymptotic integration of linear ordinary differential equations of order n, Acta Mathematica Hungarica 80 (1988), 129-141

11. R. Naulin, Weak dichotomies and asymptotic integration of nonlinear differential systems, Nonlinear Studies 5 (1998), 201-218

12. K.J. Palmer, Exponential dichotomy, integral separation and diagonaliza-bility of linear systems of ordinary differential equations, Journal of Differential Equations 43 (1982), 184-203

13. K.J. Palmer, Exponential dichotomies and transversal homoclinic points, Journal of Differential Equations 55 (1984), 225-256

14. R.J. Sacker, G.R. Sell, A spectral theory for linear differential systems, Journal of Differential Equations 27 (1978), 320-358

15. A. Wintner, Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator in its hyperbolic range, Duke Mathematical Journal 15 (1948), 55-67

16. J.L. Massera, J.J. Schäffer, Linear differential equations and functional analysis, Annals of Mathematics 67 (1958), 517-573