Sistem DE Reglare Numerica A Vitezei Unui Motor Asincron PE Principiul Orientarii Dupa Camp

SISTEM DE REGLARE NUMERICĂ A VITEZEI UNUI MOTOR ASINCRON PE PRINCIPIUL ORIENTĂRII DUPĂ CÂMP

CUPRINS

INTRODUCERE

Cap. I MODELUL MAȘINII ASINCRONE

1.1 Analiza unitară a mașinilor electrice

1.2 Conceptul de fazor spațial

1.3 Tratarea matricială a modelului ortogonal

1.4 Transformări de axe

1.5 Reducerea mărimilor rotorice la stator

1.6 Ecuațiile de tensiune ale mașinii asincrone

1.7 Curentul de magnetizare

1.8 Ecuațiile de flux ale mașinii asincrone

1.9 Ecuația de mișcare a mașinii

1.10 Puterea și cuplul electromagnetic al mașinii asincrone

1.11 Modelul general al mașinii asincrone

1.12 Modelul matematic operațional al mașinii asincrone

Cap. II REGLAREA VITEZEI MOTOARELOR ASINCRONE

2.1 Metode de reglare a vitezei la mașina asincronă

2.2 Reglajul vitezei motoarelor asincrone prin convertoare de frecvența cu circuit intermediar de curent continuu

Cap. III SISTEME DE REGLARE CU ORIENTARE DUPĂ CÂMP

3.1 Clasificarea sistemelor de reglare cu orientare după câmp

3.2 Orientarea după fluxul rotoric

3.3 Orientarea după fazorul fluxului de magnetizare

Cap. IV STRUCTURA SISTEMULUI NUMERIC DE REGLARE

4.1 Particularități ale reglării în varianta numerică

4.2 Schema bloc a sistemului de reglare

4.3 Modalitatea de calcul al fluxului din mărimile de fază

și de implementare a principiului orientării după câmp

BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

Acționările electrice cu viteză reglabilă constituie un domeniu important și în plină dezvoltare al industriei moderne, datorită multiplelor aplicații pe care le au.

În prezent sunt larg utilizate acționările reglabile în curent continuu alimentate prin redresoare comandate sau prin choppere, având în vedere simplitatea echipamentului de reglare și comandă.

Se impune tot mai mult prelucrarea numerică a semnalelor în sistemele de reglare automată, prin creșterea continuă a performanțelor microprocesoarelor. Avantajele tehnicii digitale constau în precizie, imunitate ridicată la perturbații, dar și în facilitățile oferite de programare, în special posibilitatea implementării unor algoritmi de reglare adaptivi și optimali.

Actualmente se manifestă tendința de înlocuire treptată a acționărilor de curent continuu cu cele de curent alternativ, mai robuste, dar mai dificil de realizat datorită complexității echipamentului de conducere.

Motorul asincron prezintă unele avantaje, cum sunt posibilitatea obținerii unor turații mai mari, funcționare bună în condiții grele de mediu, fiabilitate ridicată datorată simplității constructive, cheltuieli de întreținere reduse.

Dezvoltarea acționarilor reglabile de curent alternativ a fost favorizată de apariția dispozitivelor electronice semiconductoare de putere (tiristorul GTO, tranzistoarele de putere bipolare și MOSFET) și de elaborarea unei noi teorii de reglare automată, aplicabilă la mașinile de curent alternativ.

La începutul anilor 70 au fost puse bazele teoriei reglării cu orientare după câmp, care utilizează conceptul de fazor spațial (vector Park). Acest concept derivă din modelul ortogonal al mașinii electrice.

Fazorii spațiali permit studiul mașinii și al sistemului de reglare atât în regim static, cât și în regim dinamic, și totodată în mod unitar, sistemic.

Studiul, proiectarea și realizarea unor sisteme de reglare cu orientare după câmp impune interfațarea unor domenii diverse: teoria mașinilor electrice, electronică de putere, teoria reglării automate, arhitectură și programarea sistemelor de dezvoltare.

Este de așteptat să se obțină progrese notabile la frontiera acestor domenii, crescând astfel competivitatea acționărilor reglabile cu mașini asincrone față de cele cu mașini de curent continuu.

Cap. I MODELUL MAȘINII ASINCRONE

1.1 Analiza unitară a mașinilor electrice

Structura diferitelor tipuri de mașini electrice prezintă analogii pentru toate cele 4 circuite existente: magnetic, electric, mecanic și termic.

În baza asemănărilor structurale și funcționale ce derivă din destinația comună a mașinilor electrice ca și convertoare electromecanice a fost conceput modelul de mașină electrică.

Bazele teoriei unitare a mașinilor electrice, având ca fundament acest model, au fost puse de G. Kron (1942) care a generalizat modelul lui R. H. Park pentru mașina asincronă (1929).

Elementele principale ale modelului de mașină electrică sunt: simetria radială, liniaritatea circuitului magnetic, întrefierul constant, repartizarea sinusoidală a solenației de-a lungul arcului polar.

Caracteristica esențială a modelului este prezența a cel mult 2 înfășurări statorice și 2 înfășurări rotorice, cu axele magnetice în cuadratură. De aceea, acest model este denumit și modelul ortogonal al mașinii electrice.

Prin modelul ortogonal sau bifazat se realizează analogia diferitelor tipuri de mașini electrice cu mașina de curent continuu. Evident, fiecare tip de mașină necesită introducerea particularităților specifice în relațiile ce definesc modelul.

Modelul de mașină electrică este un instrument fizico-matematic foarte util, determinând simplificarea sistemului de ecuații ce caracterizează mașina și permițând o interpretare fizică intuitivă a fenomenelor.

Alt avantaj al analizei unitare este punerea la dispoziția utilizatorilor mașinilor electrice a unui model general, mai accesibil, care oferă posibilități noi la realizarea sistemelor de acționare reglabilă.

1.2 Conceptul de fazor spațial

Fazorii spațiali oferă modelul general și simplu al funcționării mașinilor electrice în regim staționar sau tranzitoriu

După elaborarea modelului ortogonal (modelul d-q) , reprezentând suportul matematic al teoriei unitare matriciale al mașinilor electrice, la începutul anilor 60 este definit fazorul spațial, ca înglobând sub formă vectorială componentele după cele 2 axe ortogonale ale mărimilor studiate. Prin aceasta s-a creat și suportul fizic intuitiv care va conduce la începutul anilor 70 la ideea sistemelor de reglare cu orientare după câmp.

Tratarea matricială (pe componentele după axele d,q) conduce la simplificarea formală a ecuațiilor și este adecvată implementării sistemelor de reglare analogice sau numerice. Utilizarea fazorilor spațiali este indicată la analiza calitativă, fiind mai apropiată fenomenului fizic studiat. Evident, metodele furnizează aceleași rezultate obținute însă pe căi diferite, fiind utilă aplicarea lor simultană.

Pentru caracterizarea câmpului magnetic al unei bobine se introduce noțiunea de vector spațial al fluxului magnetic ψ , orientat după axa bobinei, cu sensul dat de cel al liniilor de câmp și de modul egal cu valoarea instantanee a fluxului.

Având în vedere relațiile de proporționalitate:

ψ=Li , (1.1)

unde L este inductivitatea bobinei, si

θ=Ni , (1.2)

N fiind numărul de spire al bobinei, se definesc vectorii spațiali ai curentului i si ai solenației θ prin:

ψ=Li , (1.3)

θ=Ni , (1.4)

Mărimile introduse sunt reprezentate în figura (1.1):

FIG. 1.1

Vectorii definiți se numesc spațiali, deoarece orientarea lor se modifică odată cu dispunerea în spațiu a bobinei.

Semnificația fizică a vectorului spațial se dezvăluie în cazul considerării unei înfășurări dintr-o mașină trifazată rotativă. (fig. 1.2)

FIG 1.2

Practic înfășurarea este repartizată discontinuu de-a lungul întrefierului. Solenația θ în întrefier, fiind definită ca suma curenților cuprinși de linia de câmp ce trece prin punctul considerat pe periferia întrefierului, are prin urmare o variație în trepte, deoarece reprezintă integrala distribuției curentului. De regulă se ia în considerare doar fundamentala solenației θ(1) rezultând astfel o distribuție sinusoidală a acesteia de-a lungul întrefierului (fig 1.3)

Distribuția spațială sinusoidală poate fi reprezentată printr-un vector spațial orientat în sensul valorii maxime a sinusoidei și având lungimea egală cu această valoare (fig 1.2). prin proiectarea acestui vector spațial pe orice diametru se obține valoarea solenației în punctele corespunzătoare de pe întrefier, în aceasta constând de fapt semnificația fizică a vectorului spațial.

FIG. 1.3

Din legea circuitului magnetic:

(1.5)

Rezultă considerând μFe>>1 si grosimea întrefierului δ constanta:

(1.6)

Inducția magnetică este proporțională cu solenația, având deci o distribuție sinusoidală.

Putem reprezenta această repartiție armonică prin vectorul spațial ψ , având aceeași orientare cu vectorul spațial θ și modulul dat de relațiile (1.1) și (1.2) .

Într-un punct oarecare al întrefierului inducția magnetică este proporțională cu proiecția vectorului spațial ψ pe diametrul care trece prin punctul considerat.

Din relația (1.2) se poate defini vectorul spațial al curentului, prin relația (1.4) , cu mențiunea că acesta nu mai are un sens fizic real, indicând doar axa magnetică a bobinei și curentul care o străbate. Pentru a avea aceeași semnificație fizică, vectorul spațial asociat curentului ar trebui reprezentat perpendicular pe cel al solenației, dar în acest caz s-ar îngreuna, paradoxal, atât formalismul tratării cât și interpretarea fizică

În cazul unei mașini trifazate, avem 3 înfășurări conform fig 1.4

FIG. 1.4

Aplicând un curent alternativ prin faza a, vectorii spațiali de flux și curent își schimbă modulul și sensul, păstrând însă orientarea după axa magnetică a înfășurării. Considerând toate cele 3 faze statorice ale mașinii, apar 3 vectori spațiali de flux ψa, ψb, ψc , defazați în spațiu cu unghiurile 2π/3 respectiv 4π/3 . Apar și 3 vectori spațiali de curent ia, ib, ic.

Orientarea vectorilor spațiali e dată de poziția în spațiu a înfășurărilor. La mașina de construcție obișnuită cu simetrie cilindrică (altă ipoteză a modelului de mașină), vectorii spațiali sunt coplanari și perpendiculari pe axa mașinii.

Vectorii spațiali având orientarea bine determinată în planul perpendicular pe axa mașinii se pot exprima prin numere complexe. Considerând axa reală a sistemului de coordonate după direcția axei de magnetizare a fazei a statorice (a6), fig. 1.4. b,c, vectorii spațiali ai celor 3 faze statorice sunt:

iSa=iSa ; iSb=a*iSb ; iSc=a*iSc (1.7)

unde:

Pentru a exprima efectul rezultant al celor 3 vectori spațiali, îi vom însemna, obținând un vector trifazat de curent statoric:

(1.8)

Trebuie remarcat că în cazul însumării vectorilor spațiali de flux a celor 3 faze se obține un vector trifazat, care păstrează semnificația fizică expusă anterior, adică prin proiectarea sa pe orice direcție se obține inducția magnetică rezultată din întrefier. În cazul vectorului trifazat de curent observația nu este valabilă.

Acest vector rezultant nu e utilizat ca atare ci se definește fazorul spațial prin:

(1.9)

care are proprietatea remarcabilă că proiecțiile sale pe cele 3 axe ale înfășurărilor reprezintă valorile instantanee ale mărimilor de fază, în cazul în care nu avem componenta omopolară =0 , figura 1.5a.

FIG 1.5

Semnificația fizică a fazorului spațial există doar în cazul în care repartiția câmpului magnetic de-a lungul întrefierului este sinusoidala, altfel fazorul spațial fiind doar o mărime de calcul.

Fazorul spațial, care echivalează cei 3 curenți de fază, poate fi descompus în 2 componente, cea reală (după axă d), respectiv cea imaginară (după axă q).

(1.10)

conform figurii 1.5b

Analog se introduce fazorul spațial al fluxului prin relația:

(1.11)

unde ,,sunt fluxurile celor trei faze statorice.

Considerând tensiunile pe fazele statorice uSa, uSb, uSc , fazorul tensiunii statorice este:

(1.12)

cu mențiunea că acesta nu are semnificația fizică a fazorulinducția magnetică rezultată din întrefier. În cazul vectorului trifazat de curent observația nu este valabilă.

Acest vector rezultant nu e utilizat ca atare ci se definește fazorul spațial prin:

(1.9)

care are proprietatea remarcabilă că proiecțiile sale pe cele 3 axe ale înfășurărilor reprezintă valorile instantanee ale mărimilor de fază, în cazul în care nu avem componenta omopolară =0 , figura 1.5a.

FIG 1.5

Semnificația fizică a fazorului spațial există doar în cazul în care repartiția câmpului magnetic de-a lungul întrefierului este sinusoidala, altfel fazorul spațial fiind doar o mărime de calcul.

Fazorul spațial, care echivalează cei 3 curenți de fază, poate fi descompus în 2 componente, cea reală (după axă d), respectiv cea imaginară (după axă q).

(1.10)

conform figurii 1.5b

Analog se introduce fazorul spațial al fluxului prin relația:

(1.11)

unde ,,sunt fluxurile celor trei faze statorice.

Considerând tensiunile pe fazele statorice uSa, uSb, uSc , fazorul tensiunii statorice este:

(1.12)

cu mențiunea că acesta nu are semnificația fizică a fazorului spațial de flux, fiind doar o mărime de calcul.

Dacă motorul este cu rotor bobinat, fenomenele referitoare la mărimile statorice, respectiv la fazorii spațiali ai acestora vor fi valabile și pentru mărimile rotorice, însă planul complex utilizat la definirea fazorilor spațiali rotorici are axa reală după direcția axei de magnetizare a înfășurării fazei „a” rotorice (ar). Astfel, fazorii spațiali ai mărimilor rotorice în sistemul de coordonate legat de rotor sunt:

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Considerând un sistem trifazat de mărimi ga, gb, gc ce pot fi curenți, tensiuni, fluxuri, etc. Conform definițiilor date anterior, fazorul spațial al acestor mărimi este:

(1.16)

unde:

= = (1.17)

este vectorul spațial trifazat.

Fazorul spațial g se poate scrie:

(1.18)

Evidențiind componentele fazorului după cele 2 axe ortogonale, care reprezintă tocmai valorile mărimilor în sistem trifazat ortogonal. Este evident că transformarea de variabile ce realizează trecerea din sistemul trifazat în sistemul bifazat nu este biunivocă datorită reducerii numărului de variabile. Pentru a obține o transformare inversabilă se completează sistemul bifazat cu componenta omopolară a mărimilor de fază.

= (1.19)

Componenta omopolară ar putea fi considerată ca o proiecție a fazorului spațial după o a treia axă (perpendiculară pe cele două axe ale modelului d-q, deci axă de rotație a mașinii). În acest caz fazorul nu ar mai fi situat în planul d-q.

Datorită faptului că ecuațiile cu componente omopolare sunt implementate de ecuațiile componentelor după axele d și q, pentru facilitarea formalismului și a interpretării intuitive se utilizează fazorii spațiali cu două componente, definiți prin relația (1.16), iar componentele omopolare se tratează separat.

Prin proiectarea fazorului spațial pe axele celor 3 faze se obțin valorile instantanee ale mărimilor de fază mai puțin componenta omopolară, această proprietate importantă fiind motivul introducerii factorului 2/3 în expresia de definiție.

Demonstrarea aceste proprietăți se face cel mai ușor pentru proiecția pe faza „a”, deoarece aceasta este chiar partea reală a numărului complex ce reprezintă fazorul.

Pra(g)=Re(g)=Re=

=-= (1.20)

Întrucât sistemul de referință poate fi orientat cu axa reală (d) după oricare fază, este evident că se obțin relații analoge pentru proiecțiile pe celelalte două faze.

Prb(g)=Re(g)= (1.21)

Pra(g)=Re(g)= (1.22)

unde și a g sunt expresiile fazorilor spațiali în sistemele de referința cu axa reală (d) orientată după faza „b”, respectiv „c”. Rezultatele exprimate prin relațiile (1.20) – (1.22), obținute matematic, sunt reprezentate in figura 1.6, în prezența sau absența componentei omopolare.

FIG. 1.6

Această proprietate se poate deduce considerând sistemul mărimilor de fază ca suprapunere a unui sistem trifazat echilibrat și a componentei omopolare. Este evident că prin definiția fazorului spațial componenta omopolară dispare, deoarece 1+a+=0, fazorul spațial fiind dat doar de sistemul echilibrat. Completarea sistemului bifazat prin componenta omopolară nu este întâmplătoare având în vedere posibilitatea alcătuirii unui circuit independent cu componentele omopolare, derivată din proprietatea de mai sus.

Utilitatea fazorilor spațiali derivă din caracterul lor profund intuitiv și din reducerea numărului de ecuații de la 3 la 2 în formă matricială sau la una singură în formă vectoriala.

Avantajul esențial al fazorilor spațiali este că la definirea lor nu s-a pus nici o condiție asupra variației în timp a mărimilor de fază, astfel utilizarea lor permițând studiul fenomenelor atât în regim staționar cât și în regim tranzitoriu, într-un mod intuitiv. În figura 1.7 se prezintă traiectoria vârfului fazorului spațial în diferite regimuri de funcționare.

FIG. 1.7

Fazorul spațial a cunoscut diferite denumiri în literatura de specialitate: vectorul Parker, vector spațial, fazor spațio-tensoral reprezentativ, sinor reprezentativ, etc. Denumirea de fazor spațial este preferabilă datorită apropierii de baza sa fizică deoarece:

indică variația în timp a mărimilor de fază, în cazul unui sistem trifazat sinusoidal simetric comportându-se asemănător fazorului Fresnel;

expresia lui conține si dispunerea in spațiu a înfășurărilor prin utilizarea versorilor 1, a, ai axelor fazelor

Considerăm cazul unui sistem sinusoidal trifazat echilibrat ga, gb, gc de mărimi de faza. Valorile mărimilor de faza exprimate in complex (fazori Fresnel) sunt:

(1.23)

și valorile instantanee ale acestora

(1.24)

unde este conjugatul complex al lui

Obținem astfel pentru fazorul spațial g expresia:

g == (1.25)

În regim staționar fazorul spațial va rezulta rotitor (se remarcă sensul sau fizic, el reflectând în acest caz un câmp rotitor) de amplitudine constantă, vârful său descriind uniform un cerc.

Se remarcă asemănarea formală a fazorilor spațiali cu fazorii Fresnel, de care însă se deosebesc prin semnificație.

Definiția 1.9 a fazorului spațial nu este unanim acceptată. Toate modurile de definire ale fazorului spațial pot fi însă cuprinse în forma generalizată:

Modelul mașinii nu este influențat semnificativ de coeficientul KF , ecuațiile de tensiune și de flux fiind neafectate. Depind de KF relațiile ce dau cuplul sau puterea datorită faptului că acestea se exprimă prin produse de fazori spațiali.

Tratarea matricială a modelului ortogonal

Am arătat că fazorii spațiali reprezintă un concept intuitiv și un suport fizic, care facilitează analiza comportării mașinii pe baza modelului bifazat ortogonal.

Prin componentele fazorilor spațiali se realizează echivalarea mașinii trifazate cu o mașină bifazată și un circuit electric și magnetic independent corespunzător componentelor omopolare, dacă acestea sunt nenule. (fig. 1.8)

Echivalarea trebuie interpretată în felul următor: efectul produs de cele două înfășurări cu axe ortogonale având ca mărimi de fază componentele fazorului spațial după axele d-q este identic cu cel produs de cele 3 faze ale mașinii reale.

FIG. 1.8

O alternativă la metoda vectorială (cu fazori spațiali) este tratarea matricială a modelului ortogonal, care nu reprezintă o metodă aparte, ci reprezintă doar alt formalism matematic. Astfel, fazorul spațial g=gd+jgq completat de componenta omopolară g0 este înlocuit cu matricea coloană a componentelor:

(1.26)

introducând matricea coloană a sistemului trifazat de mărimi

(1.27)

schimbarea de variabile care face trecerea din sistemul trifazat în cel bifazat poate fi exprimată matricial prin relația:

(1.28)

unde [A] este o matrice de dimensiunea 3×3.

Elementele matricii [A] pot fi deduse geometric din echivalența reprezentată in figura 1.8, sau analitic prin relația de definire a fazorului spațial:

(1.29)

(1.30)

rezultă matricea pătratică:

(1.31)

trecerea din sistemul bifazat în sistemul trifazat se exprimă matricial prin relația:

(1.32)

Matricea de transformare inversă se obține prin inversarea lui sau prin proiectarea fazorului spațial pe axele fazelor:

(1.33)

(1.34)

(1.35)

obținem astfel:

(1.36)

Transformările din sistemul trifazat în sistemul bifazat și invers realizate prin matricile [A], respectiv se numesc transformări de faze.

Transformări de axe

În sistem bifazat

Consideram un fazor spațial g , raportat la un sistem de axe dα1 – qα1, definit prin unghiul α2 fața de sistemul fix.

(1.37)

expresia fazorului se modifică dacă se raportează la un sistem de axe dα2-qα2 , definit prin unghiul α2 față de sistemul fix.

(1.38)

Relația de legătură este:

(1.39)

unde β este unghiul între axele reale ale celor două sisteme ortogonale (unghiul cu care s-a rotit planul complex).

(1.40)

Această transformare de axe nu afectează componenta omopolară.

(1.41)

Rotirea sistemului de axe poate fi scrisă și matricial, fiind de fapt o schimbare de variabile.

(1.42)

Elementele matricei [D] pot fi determinate prin relația (1.39), în care fazorii sunt exprimați prin componentele lor.

(1.43)

Obținem astfel:

(1.44)

Transformarea inversă se exprimă prin:

(1.45)

unde:

(1.46)

(1.47)

Dacă se efectuează două schimbări de variabile succesive:

(1.48)

În sistem trifazat

Schimbarea de variabile reprezentând echivalența între două sisteme trifazate de axe se poate deduce utilizând transformarea de axe în sistem bifazat (1.42) și transformările de faze (de sistem) exprimate prin (1.29) și (1.32)

Matricial schimbarea de axe în sisteme trifazate se poate scrie:

(1.49)

unde α1 și α2 reprezintă unghiurile de definire ale celor două sisteme trifazate (unghiul fazei aα1 , respectiv aα2 , față de axa fixă de referință).

(1.50)

rezultă astfel:

(1.51)

(1.52)

Transformarea inversă se exprimă prin

(1.53)

Matricea are proprietățile:

(1.54)

(1.55)

(1.56)

unde (1)3 este matricea 3×3 cu toate elementele unitare, iar

(1.57)

Din formele celor două matrici se observă că matricea [1]3 asigură conservarea componentei omopolare (impusă la transformarea bifazată), iar matricea [t(β)] realizează transformarea sistemului trifazat echilibrat rezultat prin eliminarea componentei omopolare (echivalentă rotirii fazorului spațial în sistemul bifazat).

Reducerea mărimilor rotorice la stator

În tratarea modelului unei mașini electrice este utilă reducerea mărimilor din rotor (tensiuni, curenți, fluxuri) la stator. La baza acestui artificiu matematic, dar cu semnificație fizică stau principiile:

– păstrarea solenației (tensiunii magneto-motoare) unei înfășurări indiferent la ce număr de spire se reduce;

– păstrarea tensiunii electromotoare induse într-o spiră

– păstrarea fluxului unei înfășurări, indiferent de numărul de spire la care se reduce.

Curentul rotoric redus la stator reprezintă valoarea curentului statoric care produce aceeași solenație cu circuitul rotoric.

Solenația rezultată a înfășurării statorice este:

(1.58)

unde NS reprezintă numărul înfășurărilor statorice, KθS este constanta solenației statorice, iar IS este curentul ce parcurge o înfășurare statorică.

Analog, solenația rezultantă a înfășurărilor rotorice este:

(1.59)

Din egalitatea:

Rezultă curentul rotoric redus la stator .

(1.60)

unde

(1.61)

reprezintă constanta de deducere pentru curent.

Tensiunea rotorică ur se reduce la stator prin relația:

(1.62)

constanta de reducere a tensiunilor este:

(1.63)

unde WS, wr reprezintă numărul de spire al înfășurărilor statorice, respectiv rotorice, iar Kws, Kwr reprezintă factorul de înfășurare statoric, respectiv rotoric.

Fluxul rotoric ψR se reduce la stator tot prin intermediul constantei de reducere a tensiunilor:

(1.64)

rezistențele rotorice se reduc la stator pe baza legii lui Ohm:

(1.65)

unde reprezintă constanta de raportare a rezistențelor.

Inductivitățile mutuale nu se reduc conform expresiei

, unde

(1.66)

reprezintă inductivitatea mutuala raportată la stator.

Inductivitățile proprii ale rotorului se reduc având în vedere relația:

, unde

(1.67)

reprezintă inductivitatea rotorică redusă la stator.

1.6 Ecuațiile de tensiune ale mașinii asincrone

Schema echivalentă a mașinii asincrone trifazate cu rotor bobinat este reprezentată în figură (1.9):

FIG. 1.9

Poziția relativa a rotorului față de stator este caracterizată de unghiul θ .

Mărimile din rotor sunt raportate la stator.

Ecuațiile de tensiune ale celor 3 faze statorice au forma:

(1.68)

unde RS reprezintă rezistența înfășurărilor statorice, iar reprezintă tensiunile electromotoare induse în cele 3 faze statorice datorită variației fluxului statoric.

Conform relației (1.27) sistemul (1.68) este echivalent cu ecuația matricială

(1.69)

pornind de la relația (1.16) de definire a fazorilor spațiali prin înmulțirea ecuațiilor 1, a, și adunarea lor ajungem la ecuația fazorială:

(1.70)

Prin adunarea celor 3 ecuații se obține, având în vedere (1.16), ecuația componentelor omopolare:

(1.71)

Ecuațiile (1.70) și (1.71) , conform notației (1.26), pot fi scrise cu o singură ecuație matricială, în model bifazat:

(1.72)

Această ecuație poate fi obținută de altfel și prin înmulțirea ecuației 1.69 cu matricea la stânga, făcând astfel schimbările de variabile.

Ecuațiile de tensiune ale fazelor rotorice au forma:

(1.73)

acest sistem poate fi scris matricial într-o singură ecuație, având în vedere notația (1.27):

(1.74)

indicele θ arătând că sistemul de referință este legat de rotor.

Analog deducerii ecuațiilor tensiunii statorice se obțin pentru rotor ecuația fazorială:

(1.75)

unde indicele θ arată că sistemul de coordonate e legat de rotor și de ecuația componentelor omopolare:

(1.76)

Ecuațiile (1.75) și (1.76) pot fi echivalate cu o singură ecuație matricială:

(1.77)

Ecuația (1.77) poate fi obținută și prin schimbarea de variabile , înmulțind ecuația (1.74) cu la stânga.

Cu ajutorul transformărilor de axe putem obține forma ecuațiilor de tensiune raportate la un sistem oarecare de axe dλ-qλ, rotit în sens direct cu unghiul λ față de sistemul x statoric d-q.

Ecuațiile de tensiune raportate la sistemul de axe dλ-qλ se poate determina ușor prin tratarea vectorială. Fazorii spațiali ai mărimilor statorice cu acest sistem sunt:

(1.78)

Astfel relația (1.70) poate fi scrisă:

(1.79)

Notând cu:

viteza unghiulară a sistemului de axe dλ-qλ rezultă :

(1.80)

Fazorii spațiali ai mărimilor rotorice sunt:

(1.81)

deoarece sunt raportate la sistemul dθ-qθ.

Înlocuind relația (1.81) în (1.75) obținem:

(1.82)

Notând cu:

viteza unghiulară a rotorului (deci și a sistemului de axe dθ-qθ), rezultă:

(1.83)

Prin separarea părților reale și imaginare ale ecuațiilor (1.80) și (1.83) se obțin componentele după axele d și q ale tensiunilor statorice, respectiv rotorice.

(1.84)

(1.85)

(1.86)

(1.87)

Întrucât componenta omopolară nu depinde de sistemul de axe, ecuațiile cu componente omopolare sunt aceleași indiferent cărui sistem i se raportează. Astfel, ecuațiilor (1.84), (1.85) i se asociază ecuația (1.71), iar ecuațiile (1.86), (1.87) sunt asociate cu (1.76), rezultând forma matricială a ecuațiilor de tensiune în sistem bifazat:

(1.88)

(1.89)

unde matricea Q este de forma

(1.90)

și este echivalentul matricial al vectorului j din relațiile (1.80) și (1.83).

Formele matriciale ale ecuațiilor de tensiune se pot obține și prin tratarea matricială, efectuând întâi o transformare de axe trifazată din sistemul legat de stator în sistemul oarecare (λ) și apoi efectuând trecerea în sistem bifazat.

Se observă din ecuațiile componentelor omopolare că acestea formează un circuit separat, independent. Între componentele d și q există însă o legătură prin ultimii termeni ai ecuațiilor, care poate fi eliminată sau în prima ecuație (ωλ=0, sistem fix) sau în a doua (ωλ= ω, sistem legat de rotor), dar nu în ambele simultan.

Curentul de magnetizare

Solenația (tensiunea magneto-motoare) produsă de fiecare dintre înfășurările de fază ale mașinii are o repartiție sinusoidală de-a lungul întrefierului, fiind reprezentată printr-un vector spațial orientat după axa magnetică a înfășurării, proporțional cu curentul ce parcurge faza respectivă.

Solenația rezultantă în mașină poate fi reprezentată prin suma vectorilor trifazați asociați solenațiilor produse de stator, respectiv rotor.

În relația de mai sus solenațiile fazelor rotorice sunt exprimate în sistem de referință fix.

Vectorii trifazați ai solenațiilor statorice , respectiv rotorice sunt proporționali (mașina fiind simetrică) cu vectorii trifazați ai curenților din stator, respectiv din rotor.

(1.91)

În relația (1.91) vectorul trifazat este raportat la sistemul fix.

Daca se raportează curenții rotorici la stator (= = ), vectorul trifazat al solenației din întrefier este:

) (1.92)

Inducția magnetică din întrefier este proporțională cu solenația rezultantă.

Curentul de magnetizare este definit ca fiind curentul statoric care produce câmpul magnetic din întrefier.

)

unde :

Reprezintă vectorul trifazat al celor 3 curenți de magnetizare ima , imb, imc.

Astfel, fazorul spațial al curentului de magnetizare :

(1.93)

satisface relația:

im=is=ir (1.94)

în care curentul ir este raportat la stator atât scalar, cât și ca fazor.

Prin înmulțirea relației (1.94) cu se obține ecuația fazorială a curentului de magnetizare într-un sistem oarecare dλ-qλ, având axa reală rotită cu unghiul λ în sens direct față de axa d a sistemului fix.

imλ= iSλ= irλ (1.95)

Ecuația este invariantă la schimbarea sistemului de axe și este echivalentă cu două ecuații scalare.

(1.96) (1.97)

Se observă că cele două ecuații sunt independente. Componenta omopolară a curentului de magnetizare este nulă datorită repartiției sinusoidale a solenației în întrefier.

(1.98)

Aceasta este o consecință a proprietății fazorului spațial, de a nu conține componenta omopolară a mărimilor de fază, ci doar sistemul echilibrat rezultat prin eliminarea acestuia din cele 3 mărimi de fază.

Componenta omopolară a curenților statorici sau rotorici, dacă există, nu se manifestă fizic în întrefier (în distribuția câmpului magnetic), deci nu poate apărea la curenți de magnetizare, care sunt complet caracterizați de fazorul spațial asociat.

Relațiile (1.97) și (1.98) pot fi scrise într-o singură relație matriciala:

(1.99)

Ecuațiile de flux ale mașinii asincrone

Circuitele statorice și rotorice ale unei mașini electrice se află în contact electromagnetic prin intermediul inductivităților neutrale. Datorită mișcării relative dintre rotor și stator, inductivitatea neutrală dintre o înfășurare statorică și o înfășurare rotorică este funcție de poziția rotorului. În cazul în care mașina are întrefier constant, inductivitatea mutuală între două înfășurări statorice sau rotorice e constantă.

În deducerea ecuațiilor de flux se poate porni de la relațiile fluxului fiecărei faze statorice, respectiv rotorice funcție de curenții statorici și rotorici, care transpuse în formă matriciala sunt:

(1.100)

(1.101)

unde și reprezintă matricile curenților rotorici și a fluxurilor rotorice exprimate în sistemul de axe legat de rotor.

Elementele matricii sunt inductivitățile mutuale atât a câte două faze rotorice, cu excepția celor de pe diagonală, care reprezintă inductanțele proprii ale fazelor rotorice.

(1.102)

Matricea inductivităților rotorice este simetrica.

Elementele matricei sunt inductivitățile mutuale a câte două faze statorice, cu excepția celor de pe diagonală, care reprezintă inductivitățile proprii ale fazelor statorice.

(1.103)

Matricea inductivităților statorice este simetrică. Elementele matricilor și sunt inductivitățile mutuale dintre o fază statorică și o fază rotorică.

(1.104)

(1.105)

Între cele două matrici există relația:

=

Inductivitățile mutuale exprimă legătură între curentul dintr-o înfășurare și efectul (fluxul magnetic), pe care îl produce aceasta în celelalte înfășurări. Dar această influența se exercită prin intermediul fluxului magnetic din întrefier, caracterizat prin fazorul său spațial. Fluxul magnetic din întrefier, numit de unii autori chiar flux de magnetizare, este determinat de curentul de magnetizare corespunzător celor 3 faze statorice. Vectorul spațial asociat fluxului din întrefier determinat de curentul de magnetizare corespunzător unei faze statorice este de forma:

(1.106)

unde sunt vectorii spațiali asociați curenților de magnetizare din fazele a, b, c, iar ls este o constantă de proporționalitate, care fizic reprezintă inductivitatea proprie utilă a unei faze statorice.

Prin raportarea mărimilor rotorice la stator, rezultă că efectul asupra fluxului din întrefier al curenților rotorici este același cu cel al curenților statorici, deci ls este egală atât cu inductivitatea proprie utilă a unei înfășurări rotori ce lr, cât și cu inductivitatea mutuală maximă dintre o înfășurare statorică și una rotorică lm.

ls=lr=lm (1.107)

fazorul spațial al fluxului din întrefier( fluxul de magnetizare), ale cărui proiecții pe orice diametru ne oferă valoarea inducției în punctele din întrefier ce se află pe acel diametru este:

(1.108)

(1.109)

Este important ca în relația (1.108) nu intervin componentele după axele fazelor statorice ale fluxului ci avem de-a face cu superpoziția câmpurilor determinate de curenții de magnetizare ale celor 3 faze.

(1.110)

(1.111)

După cum am arătat în paragraful anterior .

Fluxurile celor 3 faze statorice cuprind pe lângă fluxul util (din întrefier) și fluxuri de dispersie, corespunzătoare liniilor de câmp care nu se includ prin întrefier. Acestea sunt caracterizate prin inductivitățile proprii de scăpări ale înfășurărilor statorice și inductivitățile mutuale de scăpări dintre două înfășurări statorice .

Este evident că nu pot exista inductivități mutuale de scăpări între o fază statorică și una rotorică, întrucât cuplajul între acestea se realizează prin întrefier.

Luând în considerare inductivitățile de scăpări, matricea inductivităților statorice devine

(1.112)

=+ (1.113)

Inductivitățile de scăpări și nu mai conțin indici superiori (a,b,c) deoarece datorită simetriei, sunt invariabile. Matricea are ca elemente inductivitățile mutuale utile ale înfășurării statorice care se manifestă prin intermediul fluxului de magnetizare.

Matricea inductivităților de scăpări statorice poate fi scrisă:

(1.114)

Notăm cu fluxurile de scăpări ale celor 3 faze statorice definite prin:

(1.115)

Înmulțind liniile ecuației matriciale (1.115) cu 1, a, obținem:

(1.116)

Componenta omopolară a fluxului de scăpări statorice se obține adunând cele 3 ecuații din

(1.115)

(1.117)

Din (1.109) și (1.116) obținem:

(1.118)

Notăm cu:

(1.119)

inductivitatea mutuală trifazată a mașinii și cu

(1.120)

inductivitatea de scăpări trifazată a statorului.

Relația (1.118) devine:

(1.121)

sau, având în vedere relația (1.94)

(1.122)

Notând cu:

(1.123)

inductivitatea totală trifazată a statorului, obținem ecuația de flux statoric

(1.124)

Componenta omopolară a fluxului statoric este:

(1.125)

unde reprezintă inductivitatea omopolară de scăpări statorică.

Procedăm analog pentru deducerea fluxului rotoric. Fluxurile de dispersie rotorice sunt caracterizate prin inductivitățile proprii de scăpări lσr ale înfășurărilor rotorice și inductivitățile mutuale de scăpări dintre două înfășurări rotorice mσr.

Considerând inductivitățile de scăpări, matricea inductivităților rotorice devine:

(1.126)

sau

(1.127)

inductivitățile de scăpări lσr și mσr nu mai au indici superiori din motive de simetrie a mașinii. Matricea conține inductivitățile mutuale utile ale înfășurării rotorice, care se manifestă prin intermediul fluxului de magnetizare.

Descompunem matricea :

(1.128)

și obținem analog, din relația de definire a fluxurilor de scăpări rotorice

(1.129)

Ecuația cu fazori spațiali:

(1.130)

Componenta omopolară este:

(1.131)

Din (1.109) si (1.130) avem:

(1.132)

Notăm cu:

(1.133)

inductivitatea de scăpări trifazată a rotorului

Relația (1.132) devine astfel:

(1.134)

sau, având în vedere relația (1.94)

(1.135)

Notăm cu

(1.136)

inductivitatea totală trifazată a rotorului, obținem ecuația fazorială a fluxului rotoric:

(1.137)

Componenta omopolară a fluxului rotoric este:

(1.138)

unde este inductivitatea omopolară a rotorului.

Cele două ecuații cu fazori spațiali ale fluxurilor statoric și rotoric (1.124) și (1.137) se poate generaliza pentru orice sistem de axe dλ-qλ prin înmulțirea cu , obținând:

(1.139)

(1.140)

Ecuațiile de mai sus pot fi descompuse după axele d, q rezultând:

(1.141); (1.142)

(1.143); (1.144)

Adăugând ecuațiilor (1.141) și (1.142), respectiv ecuațiilor (1.143) și (1.144) relațiile componentelor omopolare (1.125), respectiv (1.138), ajungem la forma matricială a ecuațiilor de flux ale mașinii asincrone într-un sistem bifazat oarecare (λ)

(1.145)

(1.146)

La aceste relații se poate ajunge și pe cale matricială efectuând întâi o transformare trifazată din sistemul fix în sistemul oarecare (λ) și apoi o schimbare de variabile, pentru a face trecerea din sistemul trifazat în sistemul bifazat.

Observăm și la ecuațiile de flux că dacă există componente omopolare, ele formează un circuit interdependent, iar ecuațiile după axele d și q sunt independente una de alta.

Ecuația de mișcare a mașinii

În paragrafele 1.2-1.8 au fost întâi definiți fazorii spațiali și apoi utilizați în deducerea ecuațiilor de tensiune, a curentului de magnetizare și a ecuațiilor de flux pentru mașina asincrona cu o pereche de poli (Zp=1).

Astfel nu s-a făcut distincție între unghiul electric θ și unghiul mecanic θr, care de fapt exprimă poziția in spațiu a rotorului.

Modelul fazorilor spațiali și ecuațiile deduse rămân valabile și în cazul mașinilor cu Zp diferit de 1, deoarece aceasta se bazează pe distribuția armonică a solenației în întrefier. Se modifică, dar nu esențial, semnificația fizică a fazorului, flux, în sensul că proiecția sa pe un diametru nu oferă valoarea locală a fluxului în întrefier, deoarece proiecția sa se face după unghi mecanic, iar valoarea sa e data de unghiul electric.

În cazul general Zp diferit de 0 avem:

(1.147)

Viteza unghiulară mecanică a rotorului este:

(1.148)

unde ω este viteza unghiulară electrică a rotorului, conform relației (1.82)

Ecuația de mișcare a mașinii este:

(1.149)

unde me este cuplul dezvoltat de mașina, mr este cuplul rezistent (de sarcină), reprezintă cuplul dinamic, iar J este momentul de inerție al tuturor maselor în mișcare, redus la arborele mașinii.

Pentru a face ecuația de mișcare compatibilă cu ecuațiile de tensiune, care conțin ca variabilă ω, ea se transcrie astfel:

(1.150)

Ecuația de mișcare realizează legătura între mărimile electrice de la borne (u,i) sau din mașină (u,i) și mărimea mecanică de ieșire, turația, prin intermediul cuplului electromagnetic.

Puterea și cuplul electromagnetic al mașinii asincrone

Puterea electrică instantanee absorbită de mașina asincrona de la rețea în cazul general, când este alimentată atât în stator cât și în rotor se exprimă prin:

(1.151)

Putem considera mărimile rotorice reduse la stator, întrucât această operație se face cu conservarea expresiei puterii.

Relația (1.151) poate fi scrisă și matricial:

(1.152)

Indicele θ ne arată că mărimile rotorice sunt exprimate în sistemul trifazat de axe legat de rotor. Transpusele ale matricilor de mărimi trifazate sunt:

(1.153)

Pentru a exprima puterea instantanee în sistemul bifazat, se utilizează schimbarea de variabile dată matricial de referința (1.32)

și se obține:

(1.154)

Calculând produsul se obține matricea:

(1.155)

Prin înlocuirea (1.154) rezultă:

(1.156)

În exprimarea fazorială, relația (1.156) devine

(1.157)

Expresia puterilor într-un sistem ortogonal oarecare dλ-qλ este aceeași deoarece:

Rezultă expresia puterii:

(1.158)

Înlocuim în relația (1.158) tensiunile , din ecuațiile de tensiune (1.80) si (1.183), iar tensiunile , din ecuațiile (1.71) si (1.76) rezultând:

(1.159)

unde:

(1.160)

reprezintă pierderile prin efect Joule,

(1.161)

reprezintă pierderile in fierul mașinii,

(1.162)

reprezintă puterea mecanică a mașinii (care produce cuplul electromagnetic al mașinii), iar ultimul termen este nul:

(1.163)

Din rezultă că expresia puterii este invariabilă la schimbarea sistemului de axe, ceea ce era de așteptat. De asemenea, din relațiile (1.160) și (1.161) observăm influența componentelor omopolare ale curenților doar asupra pierderilor în cupru și fier, nu și asupra puterii mecanice dezvoltate de mașină. Acest fapt era previzibil întrucât componentele omopolare nu se regăsesc în câmpul magnetic din întrefier, pe baza căruia se produce de fapt, cuplul motor.

Puterea mecanică poate fi pusă și sub următoarele forme care se deduc ușor din relația (1.162) și ecuațiile de flux ale mașinii:

(1.164)

(1.165)

(1.166)

(1.167)

Cuplul electromagnetic se exprimă din relația:

(1.168)

unde este viteza unghiulară mecanică a rotorului, definită prin relația (1.148).

Având în vedere relația rezultă forma generală a cuplului electromagnetic:

(1.169)

care poate fi exprimată în următoarele forme particulare:

cu mărimile statorice:

(1.170)

(1.171)

cu mărimile rotorice

(1.172)

(1.173)

– cu curenți:

(1.174)

(1.175)

– cu fluxul de magnetizare:

(1.176)

(1.177)

sau

(1.178)

(1.179)

Cuplul electromagnetic poate fi scris matricial. De exemplu expresia (1.170) este echivalentă cu:

(1.180)

Fiecare din cele 5 modalități de exprimare a cuplului poate fi scrisă și sub formă de produs vectorial. De exemplu relația (1.170) poate fi scrisă:

(1.181)

modulul cuplului fiind:

(1.182)

unde β este unghiul dintre cei doi fazori spațiali, iar ψs și is sunt modulele fazorilor. Din relația (1.182) reiese foarte clar invariația cuplului la schimbarea sistemului de axe.

Considerând un sistem de axe orientat după direcția uneia din cei doi fazori, exprimarea cuplului se simplifică la un singur termen sub formă de produs. Această proprietate este valorificată în sistemele cu orientare după câmp.

Modelul general al mașinii asincrone

Modelul mașinii asincrone bazat pe teoria fazorilor spațiali este general valabil întrucât nu s-a pus nici o restricție în ceea ce privește variația mărimilor de fază la definirea fazorilor spațiali.

Modelul matematic al mașinii asincrone constă dintr-un sistem de ecuații diferențiale cu caracter de generalitate atât din punct de vedere al funcționării mașinii cât și din perspectiva utilizării mașinii în sisteme de reglare.

Ecuațiile, după cum s-a văzut, prezintă două moduri de scriere: vectorială și matricială. Acestea nu reprezintă metode diferite nici din punct de vedere fizic, nici matematic, deosebindu-se pur formal.

Componentele omopolare ale mărimilor ce intervin în model formează circuite electrice și magnetice independente de cele ale fazorilor spațiali, acest fapt apărând explicit numai la scrierea fazorială. Nici din punct de vedre mecanic componentele omopolare nu influențează modelul bifazat, întrucât nu are aport la producerea cuplului. De aceea ele nu intervin nici în buclele de reglare ale sistemelor orientate după câmp.

Pentru a explicita separarea componentelor omopolare și în tratarea matricială a ecuațiilor modelului, se definește scrierea matricială restrânsă în sistem bifazat cu ajutorul matricelor de forma:

(1.183)

în care este omisă componenta omopolară, fără a modifica notația matricii.

În continuare vom utiliza scrierea matricială restrânsă, notând în cazul general matricea corespunzătoare mărimilor raportate la un sistem oarecare dλ-qλ cu:

(1.184)

Pentru a ajunge la ecuațiile generale ale mașinii asincrone au fost efectuate două transformări, reprezentate în figura 1.10

FIG. 1.10

Prin transformări de faze se trece modului bifazat natural (d-q , dθ-qθ) , ca apoi, prin transformări de axe să ajungem la modulul bifazat general (dλ-qλ) . Ecuațiile generale ale mașinii asincrone în scrierea matricială restrânsă rezultă din ecuațiile de tensiune, flux și a curentului de magnetizare dedus anterior.

(1.185)

(1.186)

(1.187)

(1.188)

(1.189)

(1.190)

(1.191)

unde este o submatrice a lui și este echivalentă cu vectorul j din ecuațiile fazoriale ale tensiunilor.

(1.192)

pentru a completa modelul mașinii asincrone în sisteme bifazate, ecuațiilor (1.185) – (1.189) li se atașează cele ale componentelor omopolare.

Din ecuațiile componentelor omopolare se evidențiază separarea circuitului omopolar statoric de cel omopolar rotoric, realizată fizic prin întrefier (nu există cuplaj magnetic).

Ecuațiile generale ale mașinii asincrone pot fi scrise și cu fazorii spațiali:

(1.193)

(1.194)

(1.195)

(1.196)

(1.197)

(1.198)

(1.199)

Pe baza ecuațiilor generale de funcționare scrise vectorial se construiește schema echivalentă a mașinii asincrone corespunzătoare modelului bifazat (fig. 1.11)

FIG. 1.11

Să remarcăm separarea modulului bifazat reprezentat cu fazori spațiali, de componentele omopolare. Legătura dintre stator și rotor este reprezentată cu un cuplaj electric datorită reducerii mărimilor rotorice la stator, dar de fapt apare un cuplaj magnetic, realizat prin intermediul fluxului de întrefier.

În modelul bifazat mai există cuplaje între stator și rotor prin cele două surse de tensiune de rotație în care intervin fluxurile. Componentele omopolare formează circuite independente în stator și în rotor.

Modelul mașinii asincrone a fost dedus pentru cazul în care rotorul este bobinat.

Dacă solenația în întrefier are distribuție sinusoidala, ipoteză în general valabilă, rotorul în colivie (în scurtcircuit) este echivalent cu rotorul bobinat. Modelul dedus este astfel aplicabil și la mașinile cu rotor în scurtcircuit.

În relațiile tensiunilor (1.193) și (1.194) apar tensiuni induse, datorate rotirii sistemului de axe dλ-qλ . Ecuațiile de tensiune pot fi însă puse sub o formă în care nu apar tensiuni induse. Pentru aceasta punem în evidență în derivata fazorului flux componentele datorate modificării modulului, respectiv orientării.

(1.200)

unde este versorul fazorului

este viteza unghiulară instantanee a fazorului iar este viteza unghiulară instantanee a sistemului de axe dλ-qλ. .

Remarcăm că în expresia (1.200) apare o tensiune indusă datorită rotirii sistemului de axe care este compensată de ultimul termen al relației (1.193).

Obținem o noua formă pentru ecuația de tensiune statorică:

(1.201)

invariantă la rotirea sistemului de axe, fiind de fapt ecuația tensiunii statorice raportată la sistemul fix.

În mod analog obținem pentru ecuația tensiunii rotorice:

(1.202)

unde reprezintă viteza unghiulară a fazorului

reprezintă versorul fazorului , deci:

(1.203)

În ultima relație fazorii sunt raportați la sistemul fix.

Fenomenele tranzitorii electrice și magnetice din mașină pot fi evidențiate prin diagrama cu fazori spațiali, reprezentată în figură. Derivatele fluxurilor pot fi puse sub forma

(1.204)

(1.205)

unde este vectorul fazorului

si sunt versorii fazorilor de curent și

este viteza unghiulară a fazorului

și sunt vitezele unghiulare ale fazorilor și .

Derivatele modulelor fazorilor spațiali apar numai în regim tranzitoriu. În cazul regimului stabilizat:

===== (1.206)

și se ajunge la diagrama cu fazori de timp a mașinii asincrone.

Modelul matematic operațional al mașinii asincrone.

Studiul regimurilor tranzitorii ale mașinii asincrone utilizând modelul matematic prezentat prin ecuațiile generale este dificil, atât în formă matricială cât și vectorială, deoarece ecuațiile de tensiune conțin derivatele de timp ale fluxurilor.

Mai ales în ideea utilizării mașinii asincrone în sisteme de reglare în buclă închisă se impune folosirea unui model operațional al mașinii, care să utilizeze transformatele Laplace ale mărimilor modelului bifazat.

Modelul operațional se obține din ecuațiile generale scrise sub formă matricială, prin înlocuirea matricilor fluxurilor din relațiile (1.187) și (1.188) în ecuațiile de tensiune (1.185) și (1.186):

(1.207)

(1.208)

Aceste două ecuații, descompuse după axele d, q, și trecute în domeniul operațional prin transformarea Laplace pot fi scrise matricial:

(1.209)

Matricile coloană conțin transformatele Laplace ale tensiunilor, respectiv curenților modelului bifazat.

Ecuația operațională a mișcării este:

(1.210)

unde Me(p), Mr(p), (p) reprezintă transformatele Laplace ale mărimilor me(t) , mr(t) ,ω(t) .

(1.211)

Sistemul format din ecuațiile (1.209) și (1.210) este neliniar deoarece în expresia cuplului instantaneu intervine produsul curenților. Prin urmare, studiul regimurilor tranzitorii este foarte dificil, deși prin modelul ortogonal s-au adus simplificări importante ecuațiilor mașinii asincrone. În anumite condiții este posibil să se considere variații mici ale mărimilor studiate în jurul unor valori de echilibru, ceea ce permite liniarizarea ecuațiilor și aplicarea teoriei deviațiilor mici.

Metoda este aplicabilă în cazul alimentării motoarelor asincrone de la convertoare statice de frecvență, pentru regim cvasistabilizat (în care mărimile sunt periodice).

Dacă turația variază în limite largi, cum ar fi pornirea motorului cu alimentare prin convertor static sau direct de la rețea, teoria deviațiilor mici nu este aplicabilă.

În acest caz ecuațiile se rezolvă prin metode numerice.

Este utilă de multe ori utilizarea unor funcții transfer simplificate, variabile în cazul studiului comportării dinamice la deviațiile mici. Cea mai simplă expresie de acest tip este funcția de transfer a turației față de cuplul rezistent.

(1.212)

unde reprezintă panta caracteristicii mecanice în jurul punctului de funcționare.

Scriind relația (1.212) în altă formă putem pune în evidență constanta de timp electromecanic Tem a motorului (pentru deviațiile mici), necesară in proiectarea sistemelor numerice de reglare.

(1.213)

Tem= (1.214)

Cap. II REGLAREA VITEZEI MOTOARELOR ASINCRONE

2.1 Metode de reglare a vitezei la mașina asincronă

Turația mașinii este dată de expresia:

(2.1)

unde: u0 este turația sincronă

s este alunecarea

fs reprezintă frecvența de alimentare in stator

Zp numărul perechilor de poli

Din relația (2.1) rezultă posibilitățile de modificare a turației motorului asincron prin intermediul celor 3 parametri care intervin.

Prin schimbarea numărului de perechi de poli se poate realiza doar o modificare în trepte a turației sincrone, ceea ce restrânge sensibil aplicabilitatea metodei.

Modificarea alunecării s se poate realiza prin variația rezistenței rotorice, variația tensiunii de alimentare, sau prin conectarea în cascadă, obținându-se în general un reglaj subsincron.

Variația rezistenței rotorice se obține prin mijloace mecanice (contacte), electromecanice (relee cu contacte) sau electronice. Varianta electronicii de putere, realizată prin montarea de contactoare statice în paralel cu rezistența inseriată rotorului, este cea mai avantajoasă adaptării unui sistem de reglare automată. Modificarea rezistenței rotorice scade însă randamentul motorului, afectează rigiditatea caracteristicilor mecanice și nu este aplicabilă la mașina asincronă cu rotor în scurtcircuit.

Reglajul prin variația tensiunii de alimentare are aplicabilitate generală, dar permite o gamă limitată a reglajelor sistemelor în circuit deschis.

Introducerea unei reacții de viteză permite obținerea de caracteristici mecanice rigide, într-un domeniu larg de viteză.

Metoda se bazează pe dispozitivele de comutație statică, însă cu toate progresele înregistrate în domeniul electronicii industriale nu poate fi utilizată la motoare de puteri mari.

Conectarea în cascadă oferă posibilitatea unui reglaj de putere constantă (sau cuplu constant), cu recuperarea energiei rotorice, dar într-o gamă restrânsă. Prin conectarea unui al doilea motor asincron cuplat electric prin rotor, și mecanic, prin arbore, cu primul motor se obține o cascadă asincronă. Cascadele de curent continuu se realizează prin redresarea puterii din rotorul mașinii asincrone și transformarea acesteia în putere mecanică prin intermediul unui motor de curent continuu (cascadă Kramer) sau restituirea acesteia în rețea cu ajutorul unui convertor de frecvență (cascadă Schrebins). Instalațiile fiind complexe, sunt economice doar la mașinile asincrone de mare putere.

Modificarea frecvenței tensiunii de alimentare reprezintă o metodă cu eficientă maximă, comparabilă cu reglarea prin tensiune a motoarelor de curent continuu. Se obține astfel o gamă de reglare foarte largă, randament bun, caracteristici mecanice rigide.
Este necesară utilizarea convertoarelor de frecvență, relativ costisitoare, dar progresele înregistrate în domeniul electronicii de putere cresc competivitatea acestei metode.

Cicloconvertoarele permit transformarea directă a frecvenței, dar într-o gamă limitată, cu frecvență tensiunii de ieșire mai mică decât frecvența tensiunii de alimentare.

Metoda cea mai utilizată de reglare prin frecvență a viteze mașinii asincrone este cea a alimentării prin convertoare de frecvență indirecte (cu circuit intermediar de curent continuu) care oferă o gamă largă de viteză sub- și supra-sincronă.

2.2 Reglajul vitezei motoarelor asincrone prin convertoare de frecvența cu circuit intermediar de curent continuu

Reglajul prin frecvență al turației mașinii asincrone cu rotor în scurtcircuit este cel mai economic, pierderile suplimentare datorate reglajului fiind reduse. Posibilitatea obținerii unor turații superioare celei sincrone constituie un alt avantaj al metodei.

Din ecuația tensiunii statorice raportată la sistemul fix

(2.2)

Rezultă un regim permanent sinusoidal , neglijând căderile de tensiune datorate rezistenței statorice și inductivității de dispersie

(2.3)

unde reprezintă viteza unghiulară a fazorului , al fluxului de magnetizare.

Fiind limitată superior de saturația fierului, iar inferior de exploatarea eficientă, este indicat ca fluxul să fie păstrat în jurul valorii nominale.

Deoarece în regim permanent sinusoidal =, unde este viteza unghiulară a mărimilor statorice, rezultă necesitatea păstrării constante a raportului U/f

(2.4)

unde Usn și fsn reprezintă tensiunea nominală, respectiv frecvența de alimentare nominală

La frecvențe joase nu mai poate fi neglijată rezistența statorică, acest fapt ducând la complicarea relației de legătură între variația tensiunii și a frecvenței.

Peste frecvența nominală reglarea turației mașinii asincrone trebuie făcută cu slăbirea câmpului, rezultând:

și o variație invers proporțională a câmpului maxim cu pătratul frecvenței.

Dezavantajul metodei de reglare prin frecvență constă tocmai în legătura care trebuie realizată exterior între valoarea tensiunii de alimentare și frecvența acesteia, legătură care pentru un domeniu larg de turații își pierde caracterul liniar.

Convertoarele cu circuit intermediar de curent continuu se caracterizează prin dublă conversie a energiei electrice:

transformarea tensiunii alternative de frecvență constantă a rețelei în tensiune continuă prin intermediul unui redresor în 2 sau 4 cadrane.

transformarea tensiunii continue din circuitul intermediar în tensiune alternativă monofazată sau trifazată, utilizând un invertor.

În funcție de locul unde se face reglarea frecvenței și a tensiunii de ieșire, convertoarele cu circuit intermediar de curent continuu se clasifică în două categorii:

convertoare la care reglarea tensiunii și frecvenței de ieșire se face în locuri diferite, tensiunea modificându-se în circuitul de redresare, iar frecvența în invertor.

În acest caz convertorul de frecvență este format dintr-un redresor comandat și un invertor alimentat cu tensiune variabilă.

convertoare la care reglarea tensiunii și frecvenței se face în același loc, și anume în invertor, formate dintr-un redresor necomandat și un invertor alimentat cu tensiune constantă.

Invertoarele se pot clasifica funcție de modalitatea de stingere a tiristoarelor în:

– invertoare cu stingere automată, la care stingerea unui tiristor principal se datorează aprinderii tiristorului principal următor.

invertoare cu stingere independentă caracterizate prin aceea că stingerea unui tiristor principal se realizează cu circuite separate, care conțin tiristoare auxiliare de stingere.

La puteri mici se pot utiliza invertoare în punte trifazate cu tranzistoare. Aceste invertoare prezintă avantajul simplității constructive, prin eliminarea condensatoarelor de stingere sau a circuitelor auxiliare de stingere, întrucât blocarea tranzistoarelor se realizează prin comandă în bază.

La majoritatea convertoarelor de frecvență circuitele de filtraj mențin constantă tensiunea pe durata unei perioade, circuitul intermediar comportându-se ca o sursă de tensiune. În acest caz, invertorul comută tensiunea în circuitul de ieșire numindu-se invertor de tensiune, iar curentul se stabilește în raport cu caracterul sarcinii.

FIG. 2.1

Pentru a realiza frânarea cu recuperare, asigurând un transfer invers de energie, este necesară utilizarea redresoarelor în 4 cadrane.

Circuitul intermediar de curent continuu poate avea și caracter de sursă de curent, caz în care convertorul de frecvență conține un invertor de curent. Valoarea constantă a curentului din circuitul intermediar de curent continuu, în decursul unei perioade, este asigurată de către bobina de șoc. Invertorul comută acest circuit de pe o fază a motorului pe cea următoare, tensiunea fiind determinată de parametrii motorului. În figura 2.2 este reprezentată schema bloc a convertorului de frecvență cu invertor de curent.

FIG. 2.2

Curenții de fază au o formă aproximativ dreptunghiulară, iar tensiunea la borne variază aproximativ sinusoidal. Comutația curentului de pe o fază pe alta nu poate fi prea rapidă deoarece apar tensiuni mari de autoinducție. Comutația lentă necesită condensatoare de stingere de capacitate mare, dar este favorabilă din punct de vedere al armonicilor și nu necesită tiristoare rapide.

Tensiunea continuă a invertorului fiind formată în mod liber de tensiunile motorului, în cazul depășirii vitezei sincrone determinată de frecvența de lucru, se inversează polaritatea tensiunii continue din circuitul intermediar. Astfel este posibilă frânarea cu recuperarea în regim de generator a motorului asincron, rezultând o acționare reglabilă în 4 cadrane fără a fi necesare două redresoare de rețea.

Avantajele invertoarelor de curent au condus la o largă răspândire a acestora în cadrul acționarilor electrice.

În ultimii ani, datorită creșterii performanțelor convertoarelor de frecvență, s-a dezvoltat o nouă metodă de reglare a mașinii asincrone, numită cu orientare după câmp sau cu reglare fazorială. Metoda se bazează pe modelul cu fazori spațiali ai mașinii asincrone și permite obținerea unei comportări dinamice asemănătoare cu cea a motorului de curent continuu cu excitație derivație.

Cap. III SISTEME DE REGLARE CU ORIENTARE DUPĂ CÂMP

3.1 Clasificarea sistemelor de reglare cu orientare după câmp

Topologiile sistemelor de reglaj vectorial sunt determinate în principal de următorii factori:

• fluxul după care se realizează orientarea după câmp;

• mărimile de reacție ale buclei de reglare;

• tipul invertorului din cadrul convertorului static de frecvență (caracterul circuitului intermediar de c.c.)

După fluxul la care se orientează mărimile de reglaj, sistemele de control vectorial pot fi:

• cu orientare după fluxul rotoric;

• cu orientare după fluxul din întrefier (fluxul de magnetizare);

• cu orientare după fluxul statoric,

Orientarea după fluxul rotoric este metoda cea mai des utilizată întrucât mărimile de reglare se obțin foarte simplu. Cu toate că prezintă o structură de reglare mai complicată, orientarea după fluxul din întrefier poate oferi uneori avantaje legate în special de măsurarea directă a fluxului din întrefier, eliminându-se astfel compensările pe calea sa de măsură. O schemă simplificată pentru orientarea după fluxul din întrefier se obține în situația măsurării curentului rotoric. Orientarea după fluxul statoric implică calcule mai complexe ale mărimilor de comandă și o reglare cu repercusiuni negative asupra performanțelor dinamice.

Fluxul de orientare poate fi determinat prin metode directe sau indirecte, situație în care acesta se calculează din alte mărimi cum ar fi curenții statorici, tensiuni sau viteza rotorului.

În cadrul reglajului vectorial, convertorul static de frecvență joacă un rol hotărâtor în obținerea unor răspunsuri dinamice rapide și precise precum și în alegerea strategiilor de control care se aplică, cele mai des întâlnite fiind: controlul în curent, controlul în tensiune precum și controlul hibrid (în curent și în tensiune). În continuare se prezintă succint cele trei metode de orientare după flux.

a. Orientarea după fluxul rotoric

Este o metodă des utilizată datorită simplității buclei de reglare și a algoritmului de calcul a mărimilor de comandă. Pentru această situație, modelul matematic al servomotorului se deduce pornind de la sistemul din care se rețin ecuațiile de tensiune rotorica, flux rotoric și cuplu electromagnetic:

(3.1)

În condițiile orientării după fluxul rotoric, modelul dq al servomotorului de inducție se poate obține simplu dacă sistemul de referință se consideră sincron și sinfazic cu fazorul fluxului din rotor. În sistemul (3.1) se consideră si . Ecuațiile de tensiune rotorică, flux rotoric și cuplu electromagnetic se descompun după axele dq ale sistemului orientat. După efectuarea calculelor se obține:

= (3.2)

În continuare se elimină componentele fazorului curentului rotoric. După efectuarea calculelor rezultă relațiile fluxului din rotor, cuplului electromagnetic și frecvenței rotorice scrise în funcție de componentele fazorului curentului statoric:

(3.3)

Componentele idr și igr sunt date de expresiile:

(3.4)

Relațiile de mai sus indică că servomotorul în cazul orientării după fluxul rotoric este complet decuplat pe cele două axe d și q, situație similară celei de la servomotorul de c.c. (mașină de c.c. în cazul general).

Mărimile de control sunt proiecțiile fazorului curent statoric is pe cele două axe. Astfel, componenta după axa d, ids, având un caracter reactiv, controlează fluxul din rotor deci nivelul de solicitare magnetică a mașinii iar componenta după axa, iqs. controlează cuplul electromagnetic, fiind un curent activ. În situația în care circuitul intermediar al convertorului static are caracter de sursă de curent, nu este nevoie să se compenseze mărimile de control ids și iqs deoarece fazorul curent rotoric este perpendicular pe fazorul fluxului de orientare în regim staționar.

Cuplul electromagnetic se modifică prin intermediul lui ψr și iqs. Se poate

observa din relațiile (3.3) că ψr este dependent exclusiv de mărimea de comandă ids printr-o relație simplă de întârziere de ordinul I în mod similar ca și la servomotorul (de ex. mașina de c.c. în cazul general) cu excitație separată.

Dacă ψ se consideră variabil, cuplul electromagnetic se modifică lent, datorită lui Tr. Armonicile suprapuse componentei continue idS, cu efecte asupra lui ψr și m.

pot fi diminuate printr-o valoare ridicata a lui Tr.

Dacă ψr= const. (ias = const.) atunci cuplul electromagnetic variază practic

instantaneu cu iqs fără suprareglaj (la salt treapta de turație nu apar regimuri tranzitorii în curentul rotoric).

FIG. 3.1

Circuitul rotoric are un caracter pur rezistiv ceea ce face ca la flux constant cuplul să varieze practic instantaneu cu iqs, similar mașinii de c.c. cu excitație separată.

Afirmația este valabilă atât în regim staționar cât și în regim dinamic. În consecință la orientarea după fluxul din rotor se preferă comanda în curent.

În regim staționar, caracteristicile mecanice se determină din expresia (v. și relațiile (3.3)):

(3.5)

FIG 3.2

În figura 3.2 sunt prezentate caracteristicile mecanice ale servomotorului de inducție la flux rotoric constant. Se observă că nu apar probleme de stabilitate în funcționare. În final se poate concluziona că la flux rotoric constant se realizează o decuplare a circuitelor servomotorului de inducție similară celei de la mașină de c.c. Prin urmare, servomotorul de inducție poate fi analizat în regim dinamic de pe aceleași poziții ca și servomotorul de c.c. cu excitație separată.

b. Orientarea după fluxul din întrefier (fluxul de magnetizare ψm ).

Metodele la care orientarea se face după alt flux decât cel rotoric conduc la topologii ale sistemului de reglaj mult mai laborioase deoarece nu se mai dispune de avantajul orientării după flux rotoric. dat de perpendicularitatea între fluxul de orientare și curentul rotoric. Cu toate acestea, orientarea după fluxul din întrefier poate oferi avantaje în anumite condiții de măsurare a curentului rotoric.

Pentru determinarea ecuațiilor funcționate în acest caz, sistemul de referință se consideră sincron și sinfazic cu fluxul din întrefier (fluxul de orientare). În aceste condiții, sistemul (3.4) se particularizează pentru ψdm =ψra și yqm=0. După efectuarea calculelor rezulta ecuațiile:

(3.6)

Relațiile de mai sus arată că fluxul din întrefier depinde de curentul rotoric iar cuplul electromagnetic este proporțional cu proiecția lui is pe axa q. În această situație nu se realizează o posibilitate de comandă separată, de felul celei obținute la proiectarea după fluxul rotoric. Atât comanda în curent cât și cea în tensiune necesită compensări pentru determinarea proiecției fazorului curent statoric pe axa q. La orientarea după fluxul din întrefier, schema echivalentă a servomotorului este identică cu schema echivalentă în T. Caracteristicile mecanice în regim stabilizat (v. observația de la punctul precedent) se determină în baza relației :

(3.7)

Pentru această situație particulară, reprezentarea grafică a caracteristicilor mecanice la flux din întrefier constant este dată în figura 3.3. Cuplul critic în unități relative este:

(3.8)

c. Orientarea după fluxul statoric

Metoda de orientare după fluxul statoric este asemănătoare cu orientarea după fluxul din întrefier, conducând de asemenea la sisteme de reglare mai complicate decât cele orientate după fluxul rotoric.

De data aceasta. sistemul de referință dq se alege sincron și sinfazic cu fazorul flux statoric ceea ce se traduce matematic prin particularizarea sistemului (3.5) pentru ψds=ψs și ψds=0. După efectuarea înlocuirilor în ecuațiile fluxului statoric și a cuplului electromagnetic se obțin relațiile:

(3.9)

Analiza relațiilor (3.10) evidențiază faptul că fluxul statoric depinde numai de o parte din proiecția lui ms pe axa d. în schimb, cuplul este proporțional cu proiecția fazorului curent statoric pe axa q, iqs. Analiza ecuațiilor (3.10) scoate în evidență același neajuns în ceea ce privește comanda separată ca și în situația orientării după fluxul din întrefier. Prin urmare și la orientarea după fluxul statoric, la comanda în curent, sunt necesare compensări pentru a determina componenta iqs.

Particularizând, schema echivalentă a servomotorului de inducție la orientarea după fluxul din stator în regim stabilizat se obține pe baza ecuațiilor de tensiune ale sistemului (3.5) în care se introduce curentul de magnetizare modificat al statorului ims potrivit relației:

(3.10)

de unde se obține expresia lui ims:

(3.11)

Cu (3.11) ecuațiile tensiunilor se scriu:

(3.12)

Pe baza relațiilor (3.12) rezultă schema echivalentă a servomotorului de inducție trifazat la orientarea după fluxul statoric, în situația regimului stabilizat.

Se poate observa că circuitul statorului are un caracter pur rezistiv. Prin urmare, servomotorul trebuie să fie comandat în tensiune pentru a se obține un răspuns rapid în fluxul statoric.

Cuplul critic se obține din relația:

(3.13)

fiind în general mai mare decât în cazul orientării după fluxul din întrefier.

În final, trebuie spus că analiza comparativă a celor trei posibilități de orientare subliniază avantajele considerării orientării după fluxul rotoric, situație în care se obține o decuplare a circuitelor servomotorului, potrivită pentru comanda în regim dinamic.

3.2 Orientarea după fluxul rotoric

Aceasta reprezintă varianta cea mai avantajoasă, datorită simplității sistemului de reglare.

Fluxul rotoric se calculează din fluxul întrefierului determinat direct sau indirect.

(3.14)

Erorile datorate neglijării fluxului rotoric de dispersie se manifestă în primul rând în direcția fazorului ψr și nu în modulul său, având cu atât mai mult un efect nedorit.

Se definește curentul de magnetizare corespunzător fluxului rotoric.

(3.15)

Rezultă astfel: (3.16)

unde reprezintă coeficientul de scăpări al rotorului.

(3.17)

Relațiile (3.2) – (3.4) sunt reflectate in diagrama fazorială din figura 3.3

FIG. 3.3

Curentul de magnetizare rotoric se obține prelungind fazorul ir până la intersecția cu ψr. Rațiunea introducerii curentului de magnetizare rotoric constă în posibilitatea transformării tuturor relațiilor în ecuații de curent, fluxurile fiind exprimate prin curenți proporționali cu ele

Din relația (3.4) rezultă:

,

care permite calculul fluxului rotoric și pe baza căreia se poate realiza comparatorul de flux Cψr reprezentat în figura 3.4

FIG. 3.4

Pot apărea erori datorită saturației fierului.

Ecuația de tensiune a rotorului sub forma sa invariantă la schimbarea sistemului de axe este:

(3.18)

și pentru ur = 0 (rotor în scurtcircuit) și ψr=constant rezultă:

(3.19)

Deci curentul rotoric ir este perpendicular pe fluxul ψr și proiecția curentului statoric pe direcția fluxului este:

(3.20)

deci poate fi considerată componenta reactivă a curentului is (figura 3.5)

FIG 3.5

Dacă , ecuația de tensiune a rotorului este

(3.21)

deci fazorii ir și ψr nu mai sunt perpendiculari.

Din (3.16) avem:

(3.22)

și eliminând ir din ultimele două relații obținem:

(3.23)

unde (3.24)

reprezintă constanta de timp a rotorului.

Raportând fazorii spațiali la sistemul de axe orientat după fluxul rotoric ψr (determinat de λr) rezultă:

(3.25)

(3.36)

Componentele fazorului is în sistemul d λr-q λr rezultă din (3.23):

(3.37)

(3.38)

Diagrama fazorială din figura 3.5 se deformează deoarece componenta reactivă a fazorului is conține un termen proporțional cu derivata fluxului ψr (figura 3.6)

FIG. 3.6

Cuplul electromagnetic dezvoltat de mașină este:

(3.29)

Din relația (3.16) rezultă:

(3.30)

deci cuplul poate fi exprimat prin:

(3.31)

Considerând fazorii raportați la sistemul dλ-qλ orientat după fluxul rotoric ψr, relația (3.31) devine:

(3.32)

unde (3.33)

reprezintă constanta cuplului.

Componentele fazorului is al curentului statoric în sistemul orientat dλ-qλ se pot utiliza pentru controlul fluxului ψr , respectiv pentru controlul cuplului mașinii me.

3.3 Orientarea după fazorul fluxului de magnetizare

În figura 3.8 a, axa reală a planului de referință s-a ales după axa uneia dintre cele trei înfășurări statorice ale mașinii. Ca urmare, cele două componente ortogonale ale fazorilor spațiali sunt variabile, sinusoidal, în timp.

Dacă planul de referință este ales rotitor (fig. 5.18, b), cu axa reală „orientată” după fazorul spațial al fluxului învârtitor din întrefier, toți fazorii spațiali au o poziție relativă staționară. Ei pot fi considerați, deci mărimi de curent continuu, deși toate mărimile de fază sunt variabile.

Alegând un sistem de referință rotitor, cu viteza unghiulară egală cu pulsația tensiunii de alimentare, apare posibilitatea de a realiza un reglaj, cu ajutorul unor mărimi de curent continuu. Pentru separarea celor două bucle de reglaj, de flux și de turație, fazorul curentului statoric – staționar față de fazorul spațial al fluxului învârtitor – se descompune după două direcții determinate de aceasta din urmă, ca în figura 5.18 b. Cele două componente sunt, deci ortogonale și independente una de alta, rolul lor fiind similar cu cel al curenților din indus și din excitație de la motorul de curent continuu. Efectuând un reglaj asupra uneia sau alteia dintre componente isqλ sau isdλ (figura 3.8 b) ale fazorului spațial al curentului, se poate realiza un reglaj de turație pentru mașina asincrona cu mărimi de curent continuu, similar cu metodele de reglaj de la motorul de curent continuu.

În ceea ce privește cele două componente ale fazorului spațial curent isdλ, fiind orientată după direcția fluxului de magnetizare, reprezintă componenta reactivă – curentul de flux, iar isqλ, fiind perpendiculară pe această direcție, reprezintă componenta activă – curentul de cuplu.

Mărimile de curent continuu, utilizate în reglajul pe principiul orientării după câmp, nu sunt măsurabile direct. Ele trebuie calculate din mărimile reale (naturale) ale motorului, adică din mărimile variabile și măsurabile. Acest calcul presupune, în esență, un șir de schimbări de variabile, ce implică și rezolvarea unor sisteme de ecuații algebrice și trigonometrice. Tratarea matricială a calculelor aduce simplificări în modul de lucru, dar timpul necesar efectuării acestora rămâne suficient de lung, în unele cazuri implicând și utilizarea mai multor calculatoare.

Cap. IV Structura Sistemului Numeric de Reglare

4.1 Particularități ale reglării în varianta numerică

Schemele de principiu prezentate în capitolul III pot fi transpuse în variantă numerică, caz în care sunt necesare circuite suplimentare în raport cu varianta analogică, pentru interfațarea sistemului digital de conducere cu procesul reglat.

Problemele principale sunt legate de conversia analog-numerică a mărimilor măsurate de traductoare. Turația nu ridica probleme de acest gen, deoarece utilizarea traductoarelor TIRO permitea obținerea sub formă numerică a acestei mărimi.

In cazul realizării unui sistem numeric de reglare a mașinii asincrone pe principiul orientării după câmp se impune conversia A/N a mărimilor de la borne (curenți, tensiuni) sau a fluxului din întrefier.

Deși fundamentala acestor mărimi cu frecvență redusă (de obicei maxim 50 Hz), conținutul ridicat în armonici, datorită alimentării prin convertoare statice, impune măsurarea acestora la perioade mai mici de 1 ms.

Conversia numeric-analogică, prin care se obțin mărimile de comanda pentru convertorul static, este mai ușor de realizat, având în vedere ușurința transformării unui cod numeric în interval de timp, cu ajutorul timerelor programabile.

Conducerea mașinii asincrone prin orientare după câmp necesită efectuarea unui volum important de calcule, fapt care creează dificultăți la încadrarea în perioada de eșantionare.

Pentru obținerea de performanțe ridicate (precizie mare și timp de răspuns redus) este necesară utilizarea sistemelor multiprocesor (de preferința de 16 biți). Operarea cu mărimi codificate de 8 biți limitează precizia mai ales la orientarea după câmp, unde se efectuează multe calcule. De asemenea, încadrarea în perioada de eșantionare devine critică dacă acționarea este rapidă (în cazul motoarelor de putere mică).

Datorită faptului că, prin efectuarea de calcule pentru determinarea mărimii de orientare (flux), respectiv a mărimilor de comandă (curenți, tensiuni), apar timpi morți în proces, se impune aplicarea principiului de orientare după câmp într-o varianta specifică, ținând cont de aceste întârzieri.

4.2 Schema bloc a sistemului de reglare

Sistemul de reglare cu orientare după câmp proiectat este o variantă simplificată și adaptată conducerii cu microprocesor a schemei din figura 3.5.

Această alegere are la bază următoarele considerente:

– implementarea traductoarelor de flux nu este recomandată, ridicând probleme tehnologice deosebite

– orientarea după fluxul de magnetizare asociată cu comanda în curent a acționării simplifică la maximum calculul mărimilor de comandă în curent a acționarii.

– determinarea fluxului (mărimea de orientare) se realizează cel mai ușor din curenții și tensiunile statorice

Ultimele două opțiuni au fost impuse de reducerea pe cât posibil a timpului de

calcul într-un pas. Astfel este posibilă adoptarea unei perioade de eșantionare de 10 ms, ceea ce face acest sistem utilizabil la reglarea acționarilor electrice cu constante de timp mai mari de 100 ms.

Schema bloc a sistemului numeric de reglare având ca element central un emulator pentru μC 8086. Schema a fost gândită spre a fi implementată pe un calculator de uz personal, spre a fi apoi transferată pe un microsistem cu microprocesorul 8086.

Programul rulat pe emulator presupune utilizarea, ca circuite de putere, a unui redresor trifazat necomandat și a unui invertor trifazat de curent implementat cu tranzistoare MOS. Invertorul este comandat direct cu emulatorul. Electronica de putere alimentează un motor trifazat asincron cu rotor bobinat.

Structura și modul de comandă al echipamentului de putere reprezintă conținutul unei alte lucrări de diplomă asociate.

FIG 4.1

Sincronismul operațiilor efectuate de către emulator cu tensiunile de fază R S T ale sistemului trifazat de alimentare se asigură cu un circuit adecvat CS.

Între circuitul de putere și calculator este necesară și izolarea galvanica.

Invertorul de curent este comandat cu o secvența de 6 impulsuri de comandă, necesare pentru sintetizarea unei perioade complete a curentului trifazat de ieșire.

La fiecare impuls de comandă, curentul constant furnizat de invertor este comutat de pe o fază pe alta a motorului. Ca urmare, frecvența de comutare este de 1/6 din cea a impulsurilor de comandă, iar fazorul spațial al curenților din stator ocupă în spațiu 6 poziții fixe între care se comută.

FIG. 4.2

Fazorul spațial curent execută rotația discretă, dintr-o poziție fixă în alta, exact ca în momentul comenzii.

Trenul de impulsuri, din care se sintetizează secvența de comandă pentru invertor, este generat de un microsistem, utilizând timerul din componența sa.

În sistemul prezentat, principiul orientării după câmp este aplicat într-o variantă care folosește măsurarea indirectă a fluxului din întrefier.

Comanda circuitului de putere din acționare se realizează pe baza unu program structurat pe trei subrutine principale:

1.) urmărire a turației și fluxului curent

2.) sincronizare – "orientare după câmp" – a curentului din stator

3.) calculul mărimilor de comandă.

În acest fel, sistemul de referință este rotitor, solidar cu fazorul spațial flux, în conformitate cu principiul orientării după câmp.

Practic, "orientarea după câmp" se aplică în felul următor:

Impulsurile de comandă pentru invertor sunt generate de către timerul din sistem, fără participarea permanentă a unității centrale, ocupată cu execuția programului principal. Fazorul spațial curent efectuează o rotație discretă, ocupând direcția axei imaginare a sistemului de referință fix, în momentul aplicării impulsurilor de comandă 3 și 6 dintr-o perioadă de repetiție. Sistemul de referință fix, solidar cu înfășurările motorului, este același cu cel după care se măsoară și componentele fluxului din întrefier.

Motorul asincron este alimentat prin convertor static de frecvență, cu caracter de sursă de curent , format dintr-un redresor necomandat, o capacitate de filtrare în circuitul intermediar de curent continuu și un invertor de curent cu tranzistoare MOS.

Este necesară și măsurarea turației curente. Pentru măsurarea acesteia este utilizat traductorul TIRO (traductor incremental rotativ optic), ale cărui impulsuri sunt contorizate de un numărător pe întreaga perioadă de eșantionare.

Pentru determinarea fluxului de magnetizare s-a ales o metodă de calcul indirect al acestuia. Se măsoară doi curenți și două tensiuni de fază, amplitudinea și frecvența acestora se convertesc în coduri numerice sintetizate și cu ajutorul unor numărătoare externe.

Conversia tensiunilor de pe fazele motorului se realizează prin convertoare tensiune-frecvență. Numărătoarele cuplate la ieșirea acestora transformă frecvența impulsurilor într-un cod numeric, pe durata perioadei de eșantionare. Numărătoarele sunt legate la porturile sistemului, care sunt citite la sfârșitul fiecărei perioade de eșantionare. După citire, numărătoarele sunt resetate, comanda făcându-se printr-un port utilizat ca ieșire.

Măsurarea curenților se realizează prin înserierea unor rezistențe cu fazele motorului, iar conversia este similară cu a tensiunilor.

Se remarcă măsurarea a câte două mărimi de fază pentru tensiuni, respectiv curenți, întrucât componentele omopolare sunt considerate nule.

(4.1)

Fazele motorului fiind legate în stea, rezultă:

(4.2)

deci:

(4.3)

Astfel sistemele trifazate de mărimi sunt complet caracterizate prin două componente.

Deoarece curenții și tensiunile de fază variază rapid, frecvența de ieșire a convertoarelor U/f nu este constantă.

Acest fapt nu deranjează, ci se transformă într-un avantaj, deoarece prin numărarea impulsurilor se realizează integrarea mărimilor măsurate, necesară la calculul fluxului statoric.

(4.4)

Comanda convertorului de frecvență se realizează prin intermediul a două porturi programate ca porturi de ieșire.

Atât pe partea de măsurare, cât și pe cea de comandă se realizează izolarea prin utilizarea de optocuploare.

Pentru comanda în fază a redresorului este necesară introducerea unui circuit de sincronizare, care are rolul de a detesta momentele de egalitate ale fazelor. Ieșirea acestuia este legată la un pin de întrerupere . Sosirea semnalului la acest pin declanșează temporizarea, prin care se realizează comanda la unghiul dorit.

Circuitul generează și un semnal de sincronizare, pe fiecare perioadă, care informează μP că urmează să fie comandat tranzistorul T1 (primul din invertor).

Emulatorul pentru μC 8086 îndeplinește funcțiile:

calculul mărimii de orientare (fluxul rotoric) din mărimile măsurate (curenți, tensiuni)

– calculul mărimilor de comandă din mărimea prescrisă (turația) și mărimile ce caracterizează procesul (turația măsurată și fluxul rotoric)

– generarea impulsurilor de comandă pentru invertor, funcție ce realizează conversia mărimilor de comandă numerice în intervale de timp corespunzătoare (conversie N/A)

– controlul conversiei A/N

Mărimea de prescriere pentru flux este generată intern din turația măsurată. La viteze

subnominale fluxul este păstrat constant, iar la viteze mai mari decât cea nominală valoarea impusă a fluxului este invers proporțională cu turația.

(4.5)

Astfel se realizează și funcția de slăbire a câmpului la viteze mari.

În aplicația prezentată lipsesc regulatoarele propriu-zise.

Prin aplicarea procedeului și utilizarea sistemului prezentat au ieșit în evidența avantajele utilizării microprocesoarelor și în acest domeniu al acționarilor electrice: înlocuirea sistemelor analogice cu cele numerice, generalizarea sistemelor de reglare prin mijloace software, reducerea numărului de componente de sistem și preluarea rolului lor de către microprocesor, scăderea volumului și prețului de cost al echipamentelor de comandă, etc.

4.3 Modalitatea de calcul al fluxului din mărimile de fază

și de implementare a principiului orientării după câmp

Fluxul rotoric este determinat de curenții și tensiunile statorului pe baza relațiilor

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Eliminăm din cele trei ecuații mărimile intermediare ψr și ψs , rezultând astfel:

(4.9)

Notăm cu (4.10)

inductivitatea tranzitorie a statorului și astfel ecuația (4.9) devine:

(4.11)

Componentele fazorului spațial al fluxului rotoric sunt

(4.12)

(4.13)

Pentru determinarea fluxului avem nevoie de fazorii spațiali ai curentului și tensiunii statorului. Deoarece componentele omopolare sunt nule, transformarea de sistem (1.28) se poate scrie:

(4.14)

Componentele fazorilor is și us rezultă:

(4.15) ; (4.16)

(4.17); (4.18)

Fluxul rotoric se determină la momente de timp date de perioada de eșantionare Te a sistemului de reglare. Astfel, se obțin poziții discrete ale fluxului.

Ψk= ψr(kTe) (4.19)

Calculul valorii ψk se efectuează în perioada (k+1)

(4.20)

unde λk reprezintă argumentul fazorului,

ψk reprezintă modulul fazorului (figura 4.3)

FIG. 4.3

În aceeași perioadă de eșantionare, după obținerea mărimii de orientare ψk se determină mărimile de comandă si raportate la sistemul de axe legat de flux.

Pentru a fi utilizate la comanda acționarii, componentele fazorului trebuie raportate la un sistem de axe fix.

Considerând componentele , raportate la sistemul legat de ψk, am obține mărimea de comandă corespunzătoare momentului t=kTe.

(4.21)

Dar este obținut la sfârșitul perioadei de eșantionare și poate fi utilizat doar în următoarea perioadă.

Poziția fazorului ψm , va fi evident alta, deci Ik nu reprezintă o mărime de comandă utilizabilă.

Pentru a obține mărimile de comandă reale, fazorul trebuie considerat ca fiind raportat la un sistem legat de poziția fazorului ψk+1 . La momentul t=(k+1)Te , aceastã valoare nu este încã disponibilã. Prin urmare, ea trebuie estimată din valorile anterioare ale fazorului ψm.

Pentru estimarea argumentului fazorului se realizează o extrapolare de ordinul I, considerând viteza unghiulară a fazorului cvasiconstantă

(4.22)

Deoarece modulul fazorului ψm variază mult mai lent decât argumentul sau, în cazul acestuia se poate aplică o extrapolare de ordinul 0,

(4.23)

Valoare estimată a fazorului de flux este

(4.24)

La trecerea în sistemul de axe fix, fazorul se consideră raportat la un sistem legat de .

Se determină astfel valoarea reală a mărimilor de comandă, caracterizate prin fazorul

, (4.25)

unde (4.26)

În figura 4.3 se observă că unghiul dintre fazorii și , respectiv dintre Ik și ψk este același, notat cu ρk.

Prin raportarea mărimilor de comandă la poziția estimată , acestea sunt transferate din perioada (k+1), în care au fost calculate, în perioada (k+2), în care vor fi aplicate.

Poziția astfel dedusă a fazorului corespunde momentului t=(k+1)Te. Având în vedere că fazorul fluxului este rotitor, fazorul curentului are șase poziții discrete, pentru a obține același efect că în cazul unui fazor de curent rotitor, comanda invertorului trebuie ajustată.

În figura 4.4 sunt reprezentate cele două situații distincte (cu fazor de curent rotitor, respectiv fix).

FIG. 4.4

Fazorul din figura 4.4.a este rotitor cu viteza unghiulară ω constantă iar fazorul i este fix.

Alegând un sistem de axe legat de fazorul fluxului, rezultă pentru fazorul curentului iλ o mișcare uniformă cu viteza ω, dar în sens invers (figura 4.4.c)

(4.27)

unde αo reprezintă unghiul inițial dintre fazori.

Efectul rezultant al curentului (asupra cuplului, respectiv asupra fluxului) este dat de valoarea medie a componentelor sale, în raport cu fazorul fluxului ψ, pe un interval de timp egal cu a șasea parte din perioada de rotație

(4.28)

Întrucât dorim să obținem un unghi mediu între fazorii de curent și flux

(4.29)

iar în momentul inițial acest unghi este , rezultă necesitatea comandării invertorului în avans cu π/6 .

Unghiurilor le corespund fazorii

(4.30)

Datorită faptului că invertorul permite obținerea doar a șase poziții discrete pentru fazorul curentului, iar argumentul fazorului poate lua orice valoare, este necesară introducerea unor temporizări pentru sincronizarea cu fazorul fluxului. În figura 4.5 sunt reprezentate pozițiile discrete ale fazorului de curent, care delimitează șase regimuri ale planului complex.

Primul tact al invertorului într-o perioadă de eșantionare este dat de regiunea în care se află fazorul . Momentul comenzii este dictat de unghiul pe care-l face cu poziția fixă corespunzătoare.

(4.31)

unde ; (n=5,6) (4.32)

reprezintă unghiurile corespunzătoare pozițiilor discrete. Pentru a determina temporizarea necesară până la prima comandă, se realizează iar o extrapolare de ordinul I:

(4.33)

unde (4.34)

reprezintă viteza unghiulară a fluxului.

FIG 4.5

Pentru a stabili intervalul între două comenzi succesive ale invertorului, se discretizează relația ce dă viteza unghiulară a fazorului de curent

(4.35)

Se obține:

(4.36)

Frecvența de comandă este

(4.37)

Intervalul între două comenzi pentru invertor rezultă

(4.38)

Efectuarea calculelor pentru determinarea mărimilor de orientare și comandă necesită alegerea unei perioade de eșantionare Te=10 ms .

BIBLIOGRAFIE

I. Bogdanov – Conducerea cu calculatorul a acționărilor electrice, Editura „Orizonturi Universitare” Timișoara, 2004

I. Bogdanov – Microprocesorul în comanda acționărilor electrice, Editura „Facla” Timișoara, 1989

V. Popescu – Electronică de Putere, „Editura de Vest” Timișoara, 2005

S. Mușuroi, D. Popovici – Acționări electrice cu servomotoare, Editura „Politehnica” Timișoara, 2006

M.I. Oprea – Convertizor static de frecventa pentru controlul turației mașinii asincrone, Internet

A. Kelemen, M. Imecs – Sisteme de reglare cu orientare după câmp ale mașinilor de curent alternativ, Litografia I.P Cluj-Napoca, 1987

A. Kelemen – Acționări electrice, Editura „Didactică si Pedagogică” 1979

BIBLIOGRAFIE

I. Bogdanov – Conducerea cu calculatorul a acționărilor electrice, Editura „Orizonturi Universitare” Timișoara, 2004

I. Bogdanov – Microprocesorul în comanda acționărilor electrice, Editura „Facla” Timișoara, 1989

V. Popescu – Electronică de Putere, „Editura de Vest” Timișoara, 2005

S. Mușuroi, D. Popovici – Acționări electrice cu servomotoare, Editura „Politehnica” Timișoara, 2006

M.I. Oprea – Convertizor static de frecventa pentru controlul turației mașinii asincrone, Internet

A. Kelemen, M. Imecs – Sisteme de reglare cu orientare după câmp ale mașinilor de curent alternativ, Litografia I.P Cluj-Napoca, 1987

A. Kelemen – Acționări electrice, Editura „Didactică si Pedagogică” 1979