Polinoame In Mai Multe Nedeterminate

POLINOAME ÎN MAI MULTE NEDETERMINATE

CUPRINS

INTRODUCERE

CAPITOLUL 1: POLINOAME ÎN MAI MULTE NEDETERMINATE

1.1. Aspecte teoretice

1.2. Polinoame simetrice

1.3 Aplicații

CAPITOLUL 2: ECUAȚII DIOFANTICE

2.1 Ecuația ax+by+c=0 , a,b,c ϵ Z

2.2. Ecuația x^n+y^n=z^n ;n≥2

2.2.1. Ecuația x^2+y^2=z^2

2.2.2. Ecuația x4 + y4 = z4

2.3. Ecuația 〖ax〗^2+〖by〗^2+〖cz〗^2=0 , cu a,b,c ∈Z

2.4. Ecuația 1/x+1/y=a/b,a,b ∈N*

2.5 Ecuația 〖ax〗^2+bxy+cy+d=0

2.6 Ecuația 1/x^2 +1/y^2 =1/z^2

2.7. Ecuația x^n+y^n=x^p y^q z (unde p+q=n)

2.8. Ecuația1/x_1 +1/x_2 +⋯+1/x_n =1/x_(n+1)

2.9. Ecuația x^3+y^3=z^3+u^3

2.10. Ecuația x^2+y^2=z(1+xy)

Aplicație C++

Program C++

Bibliografie

INTRODUCERE

Lucrarea de față, Polinoame în mai multe nedeterminate, tratează aspecte teoretice dar și aplicative legate de aceste elemente importante din algebră.

În primul capitol, Polinoame în mai multe nedeterminate, pentru început se prezintă construcția inelului de polinoame în mai multe nederminate, proprietatea de universalitate a acestuia, dar și alte proprietăți importante ale acestora. Din clasa polinoamelor în mai multe nedeterminate, polinoamele simetrice reprezintă o categorie aparte care este tratată în paragraful doi al primului capitol, iar Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice și formulele lui Newton ocupa un loc aparte în acest paragraf. În finalul primului capitol sunt prezentate câteva exerciții interesante legate de polinoamele în mai multe nedeterminate(simetrice sau nu).

În capitolul doi, Ecuații diofantice, sunt prezentate o serie de ecuații diofantice, de diferite grade (pentru ca acestea sunt de fapt cazuri particulare de ecuații polinomiale, în mai multe nedeterminate). O ecuație aparte printre acestea este ceea ce este cunoscută sub numele de ”marea conjectură a lui Fermat” care afirmă că ecuația nu are soluții întregi nenule pentru

În finalul acestei lucrări este prezentată o aplicație C++ prin care se determină rădăcinile ecuației diofantice .

CAPITOLUL 1: POLINOAME ÎN MAI MULTE NEDETERMINATE

1.1. Aspecte teoretice

Fie A un inel. În cele ce urmează vom pleca de la inelul A[X] al polinoamelor în nedeterminată X cu coeficienți în A:

Putem construi inelul A[X][Y] al polinoamelor în nedeterminată Y cu coeficienți în A[X]. Un element f ϵ A[X][Y] se scrie:

,

unde . Vom identifica inelul pe A[X] cu subinelul lui A[X][Y] format din polinoamele care au gradul zero în Y și vom nota m=max gr(fj). Adăugând eventualele monoame nule, putem scrie pentru orice j, j =1, … ,n:

Dacă efectuăm calculele în A[X][Y] vom obține o scriere a lui f ca o sumă de tipul:

sau, reținând doar termenii, în număr finit, pentru care aij ≠ 0, avem o sumă de tipul:

Elementul poartă numele de monom în nedeterminatele X, Y; aij se numește coeficientul monomului iar i+j este gradul monomului. Rezultă din suma de mai sus că orice polinom f ϵ A[X][Y] se reprezintă, în mod unic, ca o sumă finită de monoame în nedeterminatele X, Y. Gradul monomului nenul de grad cel mai mare din expresia lui f se numește gradul lui f. În plus f = 0 dacă și numai dacă toate monoamele lui f au coeficinții nuli și vom spune că în acest caz gradul lui f este -∞.

Propoziția 1.1.1. Inelul A[X] [Y] coincide cu inelul generat de subinelul A și elementele X, Y. Orice polinom f ϵ A[X][Y] se scrie în mod unic ca o sumă finită de monoame:

Propoziția justifică înlocuirea notației A[X][Y] cu notația A[X, Y]. Inelul A[X, Y] se numește inelul polinoamelor de două nedeterminate cu coeficienți în A. Se notează uneori cu f (X, Y) în loc de f, pentru a pune în evidență nedeterminatele X și Y.

Dacă A este un inel comutativ,unitar, B un inel unitar și un morfism unitar de inele, se spune că B este o A-algebră de morfism structural dacă pentru orice are loc relația

Teorema 1.1.2.([6]) Fie A un inel, A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminate cu coeficienți în A, B o A-algebră cu morfismul structural φ : A → B. Pentru orice element , există un morfism unic de A-algebre : A[X] → B astfel încât (X) = b.

Teorema 1.1.3. Fie A un inel, A[X, Y] inelul polinoamelor de două nedeterminate cu coeficienți în A, B o A-algebră cu morfismul structural φ : A → B. Pentru orice pereche de elemente (b1 , b2) ϵ B × B există un morfism unic de A-algebre : A[X, Y] → B astfel încât (X) = b1, (Y) = b2.

Demonstrație: Vom aplica Teorema 1.2.2. inelului A[X] și vom construi morfismul φ1 : A[X] → B care va face comutativă diagrama:

φ φ1

B

și . Pentru , . Vom aplica Teorema 1.2.2. inelului A[X, Y] și A[X] – algebrei B, de morfism structural . Se va obține morfismul astfel încât și diagrama:

φ1 φ

B

este comutativă. În plus se știe că dacă f = f(Y) A[X, Y] atunci : (f(Y)) = f(b2).

Dacă vom alătura cele două diagrame comutative vom obține că este morfism de A-algebre și , . Din modul în care φ1 și sunt definite rezultă că dacă :

atunci:

.

Unicitatea lui rezultă din egalitatea de mai sus.

Dacă în teorema de mai sus A este subinel în B și φ este incluziunea lui , atunci:

adică imaginea lui este subinelul A[b1, b2] B. Nucleul lui este un ideal I în A[X, Y] și anume:

.

Aplicând teorema fundamentală de izomorfism pentru inele vom obține izomorfismul de inele:

din care vom deduce că orice inel obținut prin adjuncționarea la inelul A a două elemente este izomorf cu un inel cât al inelului A[X, Y] și este o A-algebră izomorfă cu A[X, Y] dacă și numai dacă nu există nici un polinom nenul f(X,Y) cu proprietatea: f() = 0, adică .

Construcția inelului polinoamelor în două nedeterminate poate fi repetată inductiv și vom obține inelele:

A[X1 , X2 , X3] = A[X1 , X2][ X3]

…………………………………

A[X1 , … ,Xn] = A[X1 ,…, Xn-1][Xn]

Dacă vom urma această construcție, unele proprietăți ale inelului A[X1 , … ,Xn] se deduc din construcția sa și din proprietățile lui A[X1 ,…, Xn-1] ceea ce ne obligă evident să facem raționamente repetate prin inducție. Este preferată uneori o construcție directă a acestui inel, construcție care generalizează pe cea a inelului polinoamelor de o nedeterminată.

În construcția lui A[X] se pornește de la inelul A și monoidul aditiv al numerelor naturale . Construcția inelului polinoamelor în n nedeterminate (n > 0) se bazează pe monoidul aditiv n = × … × (unde produsul cartezian are n factori). Vom nota elementele lui n cu I = (i1 , … , in) , ik ϵ , și vom defini suma a două asemenea șiruri finite astfel:

I + J = (i1, i2, …, in) + (j1, j2, … , jn) = (i1 + j1 , i2 + j2 , … , in + jn).

Suma este evident asociativă și elementul 0 = (0, … , 0) este element neutru la adunare. Notăm cu mulțimea funcțiilor f: n → A . este grup abelian în raport cu adunarea:

.

Se numește suportul funcției f mulțimea șirurilor din in care f este nenulă:

În mulțimea , mulțimea funcțiilor care au suportul finit formează un subgrup. Acesta rezultă din incluziunea:

și din egalitatea:

Vom nota = { f ϵ | Sup f este mulțime finită }. În grupul vom defini următoarea înmulțire:

Vom observa că mulțimea perechilor de șiruri (I , J) pentru care I + J = K este finită, deci suma de mai sus este finită. Sup (fg) este o mulțime finită. Vom lua K=(k1,k2,…,kn) unde k1,k2,…,kn sunt numere naturale suficient de mari; avem (fg)(K)=0. Elementul neutru la înmulțire este funcția 1 : n → A, unde :

1(0, …, 0) = 1 și 1(i1,…,in) = 0 dacă (i1,…,in) ≠ (0, 0, … , 0).

devine un inel comutativ. Aplicația , (a)(I)=a dacă I=(0, … ,0) și nulă în celelalte cazuri, este morfism injectiv de inele, astfel încât identificăm pe A cu subinelul format din funcțiile al căror suport se reduce la {(0,0,…,0)}.

În inelul se introduc funcțiile X1 ,X2 , …, Xn cu

Sup(X1) = {(1, 0, …, 0)} , Sup(X2) = {(0, 1, 0, … , 0)} , … , Sup(Xn) = {(0, 0, …, 1)}

fiind definite prin:

X1 (1, 0, … , 0) = 1, X2 (0, 1, … , 0) = 1,…………………………, Xn (0, 0, … ,1) = 1.

Pentru orice i≠j , j ≤ n avem Sup (XiXj) = {(0, …, 1, …, 1, …, 0)} unde găsim cifra 1 pe locurile i și j.

Deci:

XiXj (I) =

Dacă i=j , Sup () = {(0, … , 2 , … , 0)} și .

Pentru orice I = (i1 , i2 … , in) n avem:

și: .

Funcția f ϵ are Sup f = {I} și f(I) = a. Se vede prin calcul direct că :

dacă I=(i1 , … , in ).

Din calculul și definiția lui deducem cu ușurință următorul rezultat.

Propoziția 1.1.4. Orice element f ϵ se scrie în mod unic ca o sumă finită :

Inelul coincide cu subinelul său generat de A și submulțimea X1 ,X2 , …, Xn , adică =A [X1 , … , Xn].

Definiția 1.1.5. Inelul A [X1 , … , Xn] poată numele de inelul polinoamelor în n nedeterminate cu coeficienți în A. Un element f ϵ A [X1 , … , Xn] se numește polinom în nedeterminatele X1 , … , Xn . Un polinom de forma se numește monom, a ϵ A poartă denumirea de coeficientul monomului iar i1 + … + in se numește gradul total al monomului.

Notăm polinoamele din A [X1 , … , Xn] cu f(X1 , … , Xn) în loc de f, ca să punem în evidență nedeterminatele. Observăm că monomul este nenul și nu e divizor al lui zero în A [X1 , … , Xn]. Dacă = 0 rezultă a = 0, adică un monom este nul dacă și numai dacă coeficientul său e nul.

Definiția 1.1.6. Se numește gradul total al polinomului f, gradul monomului nenul cel mai înalt în grad, care apare în scrierea lui f. Polinomul f poartă denumirea de polinom omogen dacă toate monoamele nenule care apar în scrierea lui f au același grad total.

Polinomul omogen de grad m se numește formă de grad m. Formele de gradul întâi poartă numele de forme liniare si cele de grad doi poartă denumirea de forme pătratice.

În următorul exemplu, polinomul din [X1 , X2 , X3]:

este o formă de gradul 8, iar polinomul:

NU E OMOGEN!

Vom arăta condiția de universalitate a inelelor de polinoame în n nedeterminate.

Teorema 1.1.7. Fie A un inel, A [X1 , … , Xn] inelul polinoamelor în n nedeterminate, φ : A → B un morfism de inele și b = (b1 , … , bn) ϵ Bn . Există un morfism unic de A-algebre astfel încât .

Demonstrație: Vom construi pe astfel: pentru orice care se scrie ca o sumă de monoame:

punem:

Din această formulă rezultă că f = a A, atunci și . Funcția îndeplinește condițiile cerute. Se verificăprin calcul direct că este un morfism de inele. Unicitatea lui rezultă din faptul că este determinată în mod unic de cerința ca să fie morfism de A-algebre și .

Corolar 1.1.8. Dacă este subinel și atunci

Demonstrație: Avem: φ = i incluziunea. Dacă f ϵ atunci:

ceea ce arată că: .

Definiția 1.1.9. Pentru orice funcția , definită prin poartă denumirea de funcție polinomială atașată pe Bn polinomului f.

Mulțimea funcțiilor polinomiale formează un subinel în inelul funcțiilor . Aplicația asociază unui polinom din o funcție polinomială nu e în general injectivă. Polinomul f(X,Y) = X2 + Y2 + X + Y ϵ 2[X, Y] îi corespunde funcția polinomială: , , oricare ar fi ( ) .

Teorema 1.1.10. Fie A un inel, n și p două numere întregi strict pozitive și inelul polinoamelor în nedeterminatele . Numărul monoamelor de grad p in având coeficientul egal cu 1 este:

,

și orice formă de grad p se exprimă în mod unic ca o combinație liniară cu coeficienți în A de aceste monoame unitare.

Demonstrație: Raționalizăm prin inducție după n și p. Demonstrăm că numărul monoamelor unitare distincte de grad p este . Orice monom de grad p în nedeterminatele e un monom de grad p în nedeterminatele sau obținem dintr-un monom de grad p-1 în nedeterminatele prin înmulțire cu Xn .Numărul monoamelor unitare distincte de grad p în nedeterminatele este:

.

Teorema 1.1.11. Fie A un inel, inelul polinoamelor în n nedeterminate, p un întreg pozitiv și . f este o formă de grad p , dacă și numai dacă , unde Y e o nouă nedeterminată.

Demonstrație: Vom considera inelul și morfismul de A-algebre pe care îl definimți în A de aceste monoame unitare.

Demonstrație: Raționalizăm prin inducție după n și p. Demonstrăm că numărul monoamelor unitare distincte de grad p este . Orice monom de grad p în nedeterminatele e un monom de grad p în nedeterminatele sau obținem dintr-un monom de grad p-1 în nedeterminatele prin înmulțire cu Xn .Numărul monoamelor unitare distincte de grad p în nedeterminatele este:

.

Teorema 1.1.11. Fie A un inel, inelul polinoamelor în n nedeterminate, p un întreg pozitiv și . f este o formă de grad p , dacă și numai dacă , unde Y e o nouă nedeterminată.

Demonstrație: Vom considera inelul și morfismul de A-algebre pe care îl definim prin . Dacă este un monom de grad p , atunci . Dacă f este o formă de grad p , atunci:

Reciproc, vom presupune că și că f se poate scrie ca o sumă de polinoame omogene : de grade .

Atunci:

.

Vom aplica proprietatea pe care am demostrat-o :

.

Din ipoteză rezultă:

Dacă luăm în considerare cele două polinoame de mai sus în vom avea k=1 și p=p1.

1.2. Polinoame simetrice

Polinoamele simetrice au avut un rol important în dezvoltarea algebrei, pornind de la problema rezolvării ecuațiilor algebrice. O demonstrație elementară, pe care C. F. Gauss a dat-o teoremei fundamentale a algebrei se bazează pe teoria polinoamelor simetrice.

Teoria polinoamelor simetrice furnizează numeroasele aplicații în matematică. Cercetări recente scot în evidență aplicații ale teoriei polinoamelor simetrice în capitole cum ar fi:

Combinatorică

Teoria reprezăntărilor liniare

Geometria algebrică

Fie A este un inel, inelul polinoamelor în n nedeterminate cu coeficienți în A, n ≥ 2. Vom nota cu grupul simetric al permutărilor de grad n. La orice permutare , vom defini morfismul , unde și . Pentru un polinom arbitrar avem:

.

Propoziția 1.2.1. pentru orice este un automorfism al A-alegebrei polinoamelor , iar aplicația definită prin este un morfism de grupuri.

Demonstrație: Demonstrăm că pentru orice cuplu de permutări ω, avem:

.

Pentru orice nedeterminată avem:

,

iar

.

Dacă este permutarea identică atunci este aplicația identică a A-algebrei . Vom obține din demonstrația de mai sus că:

Dacă este un automorfism al A-algebrei , inversul său este .

Definiția 1.2.2. Polinomul este un polinom simetric dacă pentru orice permutare , avem:

Propoziția 1.2.3. Mulțimea polinoamelor simetrice formează o A-subalgebră în algebra .

Demonstrație: Dacă f, g sunt polinoame simetrice, atunci avem:

și

,

iar .

A-algebra polinoamelor simetrice în nedeterminatele o vom nota: .

Exemple de polinoame simetrice

………………………………………….

…………………………………………….

definite pentru k ≥ 1sunt evident polinoame simetrice. Pentru n fixat, șirul de polinoame este infinit.

Următoarele polinoame au un rol important în teoria polinoamelor simetrice:

…………………………………………………………………………………………

Pentru 1 ≤ k ≤ n , e o formă de grad k și e suma a monoame. Prin extensiune pentru m > n .

Propoziția 1.2.4. Polinoamele sunt simetrice. Pentru orice 1 ≤ k ≤ n sunt îndeplinite relațiile:

(*)

Demonstrație: Considerăm polinomul :

Pentru orice vom avea :

.

Arătăm
(**).

n=2 , avem:

pt n-1 vom presupune că formula (**) este adevărată. Vom observa că demonstrarea ei pentru n nedeterminate se reduce prin a arăta ca formulele (*) sunt adevărate.

Orice șir cu 1 ≤ i1 < … < ik ≤ n e un șir de forma 1 ≤ i1 < … < ik ≤ n-1 sau

de forma 1 ≤ i1 < … < ik-1 < ik = n .

Pentru avem:

adică .

Definiția 1.2.5. Polinoamele , , poartă numele de polinoame simetrice fundamentale în nedeterminatele .

Teorema 1.2.6. Dacă se poate descompune ca produs de factori liniari:

atunci sunt adevărate relațiile (formulele lui Viète):

……………………………………………………….

………………………………………………………..

.

Demonstrație: Considerăm morfismul de A-algebre

definit prin:

.

Dacă:

avem:

.

Ca aplicție a acestor relații, reamintim un rezultat important din teoria numerelor:

Teorema (Wilson) 1.2.7. Dacă este un număr natural, atunci p este un număr prim dacă și numai dacă:

Demonstrație : Dacă . Presupunem că p n-ar fi prim, un factor prim q al lui p cu q <p e divizor a lui , deci q | -1 , contradicție cu q prim.

Considerăm corpul ℤp al claselor de resturi modulo p și polinomul:

.

Grupul multiplicativ are ordinul p-1. Conform Teoremei lui Lagrange, pentru oricare avem: . Teorema arată că polinomul f(X) are p-1 radacini în ℤp , dar cum numărul de rădăcini nu poate depăși gradul p-1 , vom avea:

.

Dacă vom aplica formulele lui Viète vom avea: în Zp,

adică

.

Notăm cu , pentru n ≥ 2, polinoamele simetrice fundamentale în și cu morfismul de A-algebre.

dat prin: . Avem: . Pentru că A[ e un inel de polinoame simetrice . Teorema ne arată că morfismul este injectiv și:

Teorema 1.2.8.(Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice) Fie A un inel. Pentru orice polinom simetric:

] ,

există un polinom unic ] astfel încât:

Demonstrație: Se va demonstra mai întâi existența polinomului g. Prin inducție dublă după n și gradul lui f, vom presupune că orice polinom simetric în nedeterminatele este un polinom în polinoamele simetrice fundamentale:

,

,

……………………………. ,

.

Orice polinom simetric în nedeterminatele și de grad inferior gradului lui f este polinom în polinoamele simetrice .

Fie r = gr f și fie monomul de grad maxim al lui f. Polinomul este un polinom simetric și rezultă :

.

Vom considera polinomul : ; f 1 este un polinom simetric și . Vom avea:

Deci:

.

Pentru că este un polinom simetric, rezultă că pentru orice transpoziție de forma: vom avea . Polinomul este deci divizibil cu . De aici rezultă că polinomul este divizibil cu produsul: , adică .

Polinomul are gradul strict mai mic decât gradul lui și este simetric.

Așadar, pentru orice , vom avea egalitatea:

.

Vom deduce:

.

Dar nu este divizorul lui zero în rezultă că:

Pentru că nu e divizorul lui zero în , rezultă că:

Din inducția aplicată polinomului , avem , de unde:

.

Vom nota:

,

Deci g este polinomul căutat.

Vom demonstra unicitatea lui g arătând de fapt că este injectiv: adiacă, dacă este un polinom simetric astfel încât atunci . Vom folosi inducția după n și gradul lui h.

Vom alege pe de grad total minim și fie . Vom scrie pe h ca polinom în și fie :

.

Vom arăta că . Dacă , atunci:

,

unde este un polinom de grad inferior gradului lui h. nu este divizorul lui zero în . Este contradicție cu alegerea lui h de grad minim.

Din expresia lui h și ipoteză, vom avea:

și . Atunci și obținem: .

De unde rezultă o contradicție cu ipoteza de inducție și că În concluzie, h este polinomul nul.

Ca aplicația pentru Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice arătăm cum se exprimă în funcție de polinoamele simetrice fundamentale polinoamele:

.

Teorema (Formulele lui Newton) 1.2.9. Dacă A este un inel integru, atunci pentru orice au loc formulele:

,

unde pentru

Demonstrație: Arătăm mai întâi pentru

(*)

(**)

pentru .

Considerăm polinomul:

.

Vom înlocui T cu unde obținem relațiile:

.

Vom înmulți relațiile cu unde obținem:

Prin adunarea lor se obține relația (**).

Pentru cazul , vom arăta prin inducție după că polinomul:

este nul.

Pentru , adică , se obține (*), unde . Vom vedea că este polinom simetric și e simetric. Dacă notăm polinoamele simetrice fundamentale în nedeterminate cu , avem:

.

Avem și

.

Atunci:

Conform ipotezei de inducție, adică e divizibil cu . Pentru că e polinom simetric rezultă că este divizibil cu , deci cu . Atunci:

.

Relația nu are loc decât dacă , căci este un polinom omogen de grad , iar este un polinom omogen de grad n .

Vom calcula acum

ca aplicație la formulele lui Newton.

Vom scrie formulele luiNewton sub forma:

=

……………………………………………………………………….

Dacă interpretăm relațiile ca un sistem de ecuații liniare cu necunoscutele P1,…Pk, vom rezolva, cu ajutorul teoremei lui Kramer, și vom obține pentru următoarea expresie:

Prin permutări de coloane obținem:

1.3 Aplicații

Următoarele exerciții sunt aplicații ale formulelor lui Newton și ale teoremei fundamentale a polinoamelor simetrice, dar și alte rezultate ce implică polinoamele în mai multe nedeterminate:

Exercițiul 1: Numerele m, n, o verifică relațiile:

Să se demonstreze că unul din aceste numere este egal cu a.

Rezolvare: Vom construi un polinom de gradul 3 cu rădăcinile: m, n, o.

,

unde:

Aici:

Deci:

Rezultă că numărul a este o rădăcină a polinomului P și coincide cu unul din numerele m,n,o.

Exercițiul 2: Suma a 3 numere întregi x, y, z este egală cu zero.Să se arate că numărul:

este pătratul unui număr întreg.

Rezolvare: Fie , polinomul care are rădăcini pe x, y, z. Știm că p=0 și că . Dacă înmulțim aceste relații cu 2x, 2y, 2z vom avea:

Deci:

Exercițiul 3: Să se rezolve următorul sistem:

Rezolvare:

Vom înmulți ecuațiile sistemului cu p, q, r și le adunăm membru cu membru, ținând seama de: . Vom obține:

.

Deci r = 6. Acum vom avea:

.

Rădăcinile polinomului sunt: 1, -2, 3. Deci .

Exercițiul 4: Numerele m, n, o, x, y, z sunt:

Să se demonstreze că: .

Rezolvare: Vom considera polinoamele:

Fie: . Atunci:

Dacă: , vom avea: .

Analog , unde . Deci , adică și în concluzie polinoamele P(t) și Q(t) coincid.

Exercițiul 5: Să se demonstreze că numerele u, v, w sunt numere complexe și u+v+z=u3+v3+w3=1, atunci pentru orice n număr natural avem:

Rezolvare: Vom nouta cu u, v, w soluțiile ecuației de gradul 3: .

Din . Dacă folosim relațiile date și relațiile între rădăcini și coeficienți, vom găsi: b= -c , iar ecuația devine: . Rădăcinile ecuației sunt: .

Exercițiul 6: Să se rezolve sistemul:

Rezolvare: Vom considera de gradul 3 ecuația ce are rădăcini: x, y, z. Se găsește: .

Soluțiile sistemului sunt: (1, 1, 2), (1, 2, 1) , (2, 1, 1).

Exercițiul 7: Numerele m, n, o verifică:

Să se arate că măcar unul din aceste numere este mai mic ca 1.

Rezolvare: Considerăm polinomul:

.

Inegalitățile exercițiului se scriu:

Dacă t =1, avem: , adică:

Rezultă că toți factorii sunt pozitivi.

Exercițiul 8: Să se exprime ca polinom de polinoamele simetrice fundamentale, polinomul simetric cu coeficienți reali.

Rezolvare: Termenul principal al polinomului f este . Atunci exponenții termenilor principali ai polinoamelor care vor rămâne după eliminarea succesivă a termenilor principali vor fi (4,2,0), (4,1,1), (3,3,0), (3,2,1) și (2,2,2).

Deci , unde a, b, c, d sunt numere reale. Determinăm acești coeficienți dând valori numerice nedeterminatelor .

Obținem astfel sistemul de ecuații:

de unde: .

Prin urmare,

.

Exercițiul 9: Să se exprime ca polinom de polinoamele simetrice fundamentale polinomul simetric:

.

Rezolvare:

Notând:

, , ,

avem:

.

La același rezultat se ajunge și folosind procedeul descris în Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice.

Exercițiul 10: Să se arate că inelul este izomorf cu un subinel al

inelului , K fiind corp comutativ.

Rezolvare:

Avem:

Deci:

.

Reciproc, dacă P este un polinom din K[Y,Z] de forma , cu și atunci avem , de unde rezultă și .

Deci, și deducem că .

În concluzie, dacă g este compunerea morfismelor de inele K[Y,Z]→K[X,Y,Z] (incluziunea canonică) și (surjecția canonică) atunci avem .

Deci g induce o injecție care aplică izomorf pe Im(g).

Exercițiul 11: Dacă sunt rădăcinile ecuației . Să se calculeze suma .

Rezolvare: Deoarece și , conform formulelor lui Newton vom avea: și cum din ecuația dată avem:

, deducem că .

De asemenea, rezultă că , .

În acest caz, , pentru i∈{1, …, 20}\{7, 14}. Atunci pentru suma cerută avem:

Observație. Am notat: și .

Exercițiul 12: Fie un polinom de grad n și rădăcinile sale. Notăm cu:

Să se arate că:

.

Rezolvare:

Suma din membrul stâng reprezintă un polinom în nedeterminatele simetric și omogen de gradul p+q .

În particular, dacă în i). punem p=q obținem:

Exercițiul 13: Să se calculeze suma , unde sunt rădăcinile ecuației:

Rezolvare: Conform formulelor demostrate la exercițiul 12, avem:

În acest caz avem:

Obținem: .

Atunci: .

Exercițiul 14: Să se rezolve în sistemul:

.

Rezolvare:

Notăm:

Considerăm :

Avem:

;

;

;

Cum:

Rezultă:

Deci:

.

De asemenea:

Și cum:

Rezultă că:

Deci:

.

Trebuie rezolvat sistemul de ecuații:

echivalent, după eliminarea lui , cu sistemul:

din care, eliminând pe , avem:

din care se mai scrie:

Vom avea două cazuri:

1) . Atunci , și prin urmare:

sistem a cărui rezolvare revine la rezolvarea ecuației de gradul trei: ale cărei rădăcini sunt , .

Deci o soluție a sistemului va fi: , , și cum el este simetric în obținem alte cinci soluții ale sale prin permutări acestei soluții.

2) Dacă .

Dacă atunci și deci

Obținem ecuația , adică .

Avem soluțiile , , și permutările acestora.

Dacă atunci adică și vom avea soluțiile , , și permutările acestora.

Exercițiul 15: Fie elemente oarecare dintr-un inel A și inelul polinoamelor în nedeterminatele cu coeficienți în A.

Să se arate că inelul este izomorf cu A.

Rezolvare: Aplicând Teorema fundamentală de izomorfism pentru inelele morfismului de inele , dat prin .

Exercițiul 16: Să se arate că în polinomul are numai soluția banală (0, 0, 0).

Rezolvare:

Se observa ca x=y=z=0 verifică ecuația. Dacă unul dintre numerele x, y, z este zero atunci și celelalte sunt zero. Fie x>0, y>0, z>0. Cum membrul drept este par trebuie ca și membrul stâng să fie par astfel că sunt posibile situațiile (x, y impare, z par) sau (x, y, z pare). În primul caz membrul drept este multiplu de 4 iar membrul stâng este de forma 4k+2, deci acest caz nu este posibil.

Fie deci cu impare, iar . Înlocuind în ecuație obținem:

astfel că dacă, de exemplu,

(1)

Dacă și egalitatea (1) nu este posibilă (membrul stâng este impar iar cel drept este par). Din aceleași considerente nu putem avea .

Dacă din nou +1 și din nou (1) nu este posibilă.

Rămâne doar cazul .

Exercițiul 17: Să se arate că în polinomul are soluția banală (0, 0, 0, 0).

Rezolvare:

Sunt posibile cazurile :

i) x, y pare, z, t impare – imposibil (căci membrul drept este de forma 4k iar cel stâng de forma 4k+2).

ii) x, y, z, t impare, din nou imposibil (din aceleași considerente).

iii) x, y, z, t pare : .

Fie ; înlocuind în ecuație se obține:

(2)

Dacă egalitatea (1) nu este posibilă deoarece paranteza din (1) este impară și .

Dacă , din paranteza de la (1) mai iese 2 factor comun și din nou .

Contradicții rezultă imediat și în celelalte situații. Rămâne deci doar posibilitatea x = y = z = t = 0.

Exercițiul 18: Să se arate dacă polinomul admite soluția , atunci z =3.

Rezolvare:

Presupunem că z ≠ 3 și îl fixăm. Fie (x, y)∈ℕ2 o soluție a ecuației (cu z fixat). Dacă x=y, atunci x=y=1 și deci z=3, absurd !.

Putem presupune x < y iar dintre toate soluțiile va exista una (x0, y0) cu y0 minim. Fie Fie x1=x0z-y0 și y1=x0. Avem : 1, deci x1∈ℕ.

Cum:

z, adică și (x1, y1) este soluție a ecuației. Cum x1<y1 iar y1< y0 se contrazice minimalitatea lui y0, absurd, deci z = 3.

Exercițiul 19: Să se rezolve în ℕ* 3 ecuația .

Rezolvare:

Ecuația fiind simetrică în x, y și z să găsim soluția pentru care x≤y≤z. Atunci ⇔⇔x≤3.

Cazul x=1 este imposibil. Dacă x=2 atunci ecuația devine și deducem imediat că y=z=4 sau {y, z}={3, 6}.

Dacă x=3 atunci ecuația devine , de unde y=z=3.

Prin urmare x=y=z=3 sau {x, y, z}={2, 4} (două egale cu 4) sau {x, y, z}={2, 3, 6}.

Exercițiul 20: Să se rezolve în ℕ* 4 ecuația .

Rezolvare:

Evident nici unul dintre x, y, z, t nu poate fi egal cu 1. De asemenea nici unul nu poate fi superior lui 3, căci dacă de exemplu x=3, cum y, z, t≥2 atunci :

, imposibil !. Deci x=2 și analog y=z=t=2.

Exercițiul 21: Să se rezolve în ℕ 4 ecuația x2+y2+z2=t2.

Rezolvare:

Să observăm la început că cel puțin două dintre numerele x, y, z trebuie să fie pare, căci dacă toate trei sunt impare atunci x2+y2+z2 va fi de forma 8k+3, deci nu putem găsi t∈ℕ a.î. t2≡3(8). (pătratul oricărui număr natural este congruent cu 0 sau 1 modulo 4).

Să presupunem de exemplu că y și z sunt pare, adică y=2l și z=2m cu l, m∈ℕ.

Deducem imediat că t>x, fie t-x=u. Ecuația devine x2+4l2+4m2=(x+u)2⇔ u2=4l2+4m2-2xu. Cu necesitate u este par, adică u=2n cu n∈ℕ. Obținem n2=l2+m2-nx, de unde iar .

Cum x∈ℕ, deducem că .

În concluzie (1)

cu m, n, l∈ℕ, n|l2+m2 și .

Reciproc orice x, y, z, t dați de (1) formează o soluție pentru ecuația x2+y2+z2=t2.

Într-adevăr, cum:

, pentru orice l, m, n ținând cont de (1) deducem că x2+y2+z2=t2.

Exercițiul 22: (Ecuația Euler-Bell-Kalmar) Să se determine x, y, z, t∈ℕ pentru care xy=zt.

Rezolvare:

Alegem x și z arbitrare și atunci cum , din deducem că | y, adică , deci .

Pe de altă parte, luând pentru x, z, u valori arbitrare și punând și obținem că soluția generală în ℕ4 a ecuației xy=zt este x=ac, y=bd, z=ad și t=bc cu a, b, c, d∈ℕ arbitrari.

Exercițiul 23: Să se arte că dacă polinomul x2+y2+z2-1993 admite soluția (x, y, z)∈ℕ3, atunci x+y+z nu este pătrat perfect.

Rezolvare: Presupunem prin absurd că x2+y2+z2=1993 și x+y+z=a2, cu a∈ℕ. Cum a2=x+y+z<, deducem că a2∈{1, 4, 9, …,64}. Cum (x+y+z)2= x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) deducem că x+y+z trebuie să fie impar, adică a2∈{1, 9, 25, 49}.

De asemenea, din (x+y+z)2>x2+y2+z2 și 252<1993 deducem că a2=49, de unde sistemul:

x2+y2+z2=1993

x+y+z=49

Înlocuind y+z=49-x obținem (49-x)2=(y+z)2>y2+z2=1993-x2, adică x2-49x+204>0, deci sau . În primul caz x≥45 deci x2=2025>1993, absurd. În al doilea caz x≤4. ProbLema fiind simetrică în x, y, z deducem analog că și y, z≤4, deci 49=x+y+z≤4+4+4=12, absurd.

Observație. De fapt ecuația x2+y2+z2=1993 are în ℕ3 doar soluțiile: (2, 30, 33), (2, 15, 42), (11, 24, 36), (15, 18, 38), (16, 21, 36) și (24, 24, 29).

Exercițiul 24: Dacă n, p∈ℕ*, atunci polinomul nu are soluții în numere întregi.

Rezolvare:

Polinomul nu are soluții în numere întregi pentru că membrii săi sunt de parități diferite.

Într-adevăr,. Și sau

De unde deducem că este impar, deci nu poate fi zero.

CAPITOLUL 2: ECUAȚII DIOFANTICE

O ecuație diofantică este o ecuație de forma cu . Pentru a rezolva o ecuație diofantică trebuie să gasim toate n-uplurile pentru care .

Denumirea de ecuații diofantice provine de la numele matematicianului grec Diophante.

2.1 Ecuația ax+by+c=0 , a,b,c ϵ

Lema 2.1.1. Ecuația 2.1 are soluție în ℤ dacă și numai dacă d=(a, b) | c.

Demonstrație: Dacă , atunci , vom deduce că . Reciproc, vom presupune că d|c. Din algoritmul lui Euclid vom deduce că există .

Atunci:

adică este soluția ecuației .

Lema 2.1.2. Dacă (a, b) =1 și este o soluție particulară a ecuației 2.1 , atunci soluția din ℤ a ecuației 2.1 este dată de: și , cu .

Demonstrație: Fie și (soluția particulară a ecuației 2.1 este și ) , atunci:

,

deci este o soluție a ecuației 2.1.

Fie .

Atunci:

.

Dacă (a, b) =1 vom deduce , adică ( ) .

Deducem:

, de unde .

2.2. Ecuația

Ecuația reprezintă ceea ce este cunoscut în matematică drept Marea Conjectură a lui Fermat ( sau Marea Teorema a lui Fermat). Aceasta a fost enunțată de Pierre de Fermat în anul 1637, iar demonstrația completă a fost elaborată de abia 357 de ani mai târziu de către matematicianul englez Andrew Wiles:

Dacă atunci ecuația nu poate avea soluție nenulă în (în sensul că xyz≠0). Evident, este suficient să presupunem că n este prim.

Printre hârtiile lui Fermat a fost găsită demonstrația teoremei numai pentru cazul n=4 (interesant este că aceasta este singura demonstrație a unui rezultat de teoria numerelor care s-a păstrat de la Fermat).

În ce privește cazul general, n>4, Fermat a notat (pe marginea unei pagini din ,,Aritmetica” lui Diophant ) că a găsit ,,o demonstrație cu adevărat minunată” a acestui fapt, dar ,,această margine este prea îngustă pentru a o cuprinde”. Cu toate eforturile multor matematicieni, această demonstrație nu a fost găsită și este îndoielnic că ea ar fi existat în general. Mai mult, numai pentru n=4 s-a reușit să se dea o soluție elementară. Astfel se explică de ce specialiștii în teoria numerelor au fost convinși de imposibilitatea demonstrării Marii teoreme a lui Fermat prin procedee elementare.

Paradoxul constă totuși în aceea că în toate cazurile în care Fermat a afirmat categoric că a demonstrat o afirmație sau alta, ulterior s-a reușit a se demonstra această afirmație. Cel care a reușit să demonstreze conjectura lui Fermat este matematicianul englez Andrew Wiles de la Universitatea din Princeton (S.U.A). De fapt acesta a demonstrat o altă conjectură (așa zisa conjectură a lui Taniyama-Wiles) din care conjectura lui Fermat rezultă ca un corolar.

Din păcate demonstrația lui Wiles este destul de dificilă, ea neavând un caracter elementar, limitând astfel accesul la înțelegerea ei pentru un foarte mare număr de matematicieni.

Celor care posedă cunoștințe solide de aritmetica geometriei algebrice le recomandăm lucrarea lui A.Wiles din care rezultă conjectura lui Fermat (dacă este număr prim astfel încât , atunci xyz = 0 ).

2.2.1. Ecuația

Ecuația este cunoscută drept ecuația pitagoreică, iar o soluție nenulă a sa poartă numele de triplet pitagoreic (de exemplu, tripletul (3, 4, 5) este unul pitagoreic). Dacă (x, y, z) este un triplet pitagoreic, atunci (kx, ky, kz) este tot un triplet pitagoreic pentru oricare număr întreg pozitiv k. Un triplet pitagoreic primitiv este un triplet format din a, b și c astfel încât numerele să fie prime între ele. Numele este derivat din denumirea teoremei lui Pitagora; astfel, tripletele pitagoreice descriu trei laturi de lungime numere naturale ale unui triunghi dreptunghic.

Trebuie să verificăm dacă tripletul (x, y, z) de numere întregi verifică ecuația 2.2.1. Atunci ecuația va fi satisfăcută de orice triplet de forma: , unde și reciproc.

Pentru a afla soluțiile ecuației 2.2.1 (soluții diferite de zero) trebuie să găsim (soluțiile (x, y, z) , unde numerele x, y, z sunt numere relativ prime) .

Dacă într-o soluție (x, y, z) a ecuației , două dintre numerele x, y, z au un divizor comun , atunci și al treilea număr se divide cu μ .

Vom numi (x,y,z) soluție primitivă dacă x,y,z sunt relativ prime două câte două. Dacă (x, y, z) este o soluție a ecuației 2.2.1, cu x sau y par (dacă x sau y ar fi numere impare vom avea x2 + y2 de forma 4k+2, deoarece pătratul unui număr întreg este de forma 4k sau 4k + 1) .

Dacă (x, y, z) este soluția ecuației, atunci vor fi și ele soluțiile ecuației.

Lema 2.2.1.1. Orice soluție particulară (x, y, z) de numere naturale (cu n număr par) a ecuației este de forma: , , , cu și , iar m, n au parități diferite.

Demonstrație: Relația arată că numerele sunt soluții ale ecuației 2.2.1 cu x număr par. Dacă x, y, z au un divizor comun , atunci divide : și . Deci , deoarece (m, n) = 1. Deci sun simultan numere pare sau impare contradicție cu ipoteza, deoarece m și n au parități diferite soluția din enunț este primitivă.

Fie (x, y, z) o soluție primitivă pentru ecuația 2.2.1 cu , iar .

Atunci y și z sunt impare z + y și z-y sunt pare ( , ).

Oricare divizor al numerelor b și c divide pe și , a.î .

Dacă , unde , adică , iar , deci , , iar (unde ).

Corolar 2.2.1.2. Soluția generală a ecuației este și cu .

2.2.2. Ecuația x4 + y4 = z4

Vom demonstra un rezultat mai general:

Lema 2.2.2.1. Ecuația nu are soluții în .

Demonstrație: Vom presupune că ar exista o soluție în a ecuației din Lema 2.3.1. Putem spune că această soluție constă din numere din . Orice mulțime nevidă care apaține mulțimii numerelor naturale, are cel mai mic element, iar printre soluțiile ecuației 2.2.2 există una (x, y, z) cu z minim.

Vom demonstra că x sau y trebuie să fie par. Să presupunem că x este număr par.

, iar sunt numere naturale, atunci există numere naturale , relativ prime și de paritate diferită a.î. , și .

Dacă și , contradicție deoarece trebuie să fie de forma , de unde rezultă că m este impar și n este par.

Dacă , atunci așa că . Cum vom deduce că: și naturale.

Vom observa că:

.

Vom deduce că există (aplicând din nou Lema 2.2.1.1) , de parități diferite a.î. :

.

Cum , iar , vom deduce că: a=x12 , b=y12 și atunci: x14 + y14 = z14 .

Observăm că este o soluție a ecuației 2.2.2. Conform alegerii lui z ar trebui ca: , ceea ce este absurd.

Corolar 2.2.2.2 : Ecuația 2.2.2 nu poate avea soluții (x, y, z) cu .

2.3. Ecuația , cu

Vom rezolva ecuația diofantică, în cazul în care sunt libere de pătrate (nu conțin în descompunerea lor factori de forma cu d prim), iar .

Dacă sau atunci ecuația 2.4 are soluție trivială .

Vom presupune că nu sunt simultan pozitive sau negative.

Dacă , vom nota: m R n dacă există a.î. , unde m este rest pătratic modulo n.

Teorema 2.3.1. (Legendre): Fie , libere de pătrate, oricare două relativ prime, numerele nu au același semn. Ecuația are soluție netrivială dacă și numai dacă sunt îndeplinite condițiile:

–ab R c

–ac R b

–bc R a

Vom demonstra Teorema lui Legendre sub următoarea formă echivalentă:

Teorema 2.3.2. : Fie a, b numere naturale libere de pătrate. Atunci ecuația

are o soluție netrivială întreagă dacă și numai sunt îndeplinite condițiile:

a R b

b R a

-(ab/d2) R d , unde d=(a,b)

Presupunem că Teorema 2.4.2 este adevărată și considerăm cu a, b, c ca în enunțul Teoremei 2.4.1 (presupunem că , iar ).

Atunci satisface condințiile din Teorema 2.4.2. Dacă (x, y, z) este o soluție netrivială , pentru că c este liber de pătrate , atunci c/z.

Vom demonstra Teorema 2.4.2. Dacă a = 1 totul este clar. Vom presupune că (deoarece dacă , vom înlocui pe x cu y , iar daca a = b , atunci -1 este pătrat modulo b, unde se verifică dacă există ; soluția ecuației va fi x = r, y= s, z=r2 + s2).

Vom construi o nouă formă , a.î. forma construită are o soluție netrivială. Dacă schimbăm de fiecare dată pe A cu b dacă vom ajunge la unul din cazurile următoare: a=1 sau a=b.

Conform cu ii. , există L, a.i , cu , A liber de pătrate , iar . Din vom deduce că:

, .

Dacă b este liber de pătrate vom deduce . Din vom deduce că a.î .

Vom demonstra că A R b. Fie și să vedem dacă , a și b sunt libere de pătrate.

Ecuația devine , iar cum d este liber de pătrate vom deduce d/c. Dacă punem și simplificăm obține: .

Atunci sau .

Dacă , din vom deducem că în caz contrar un factor comun al lui m și d ar divide b1 și d a.î b nu ar mai fi liber de pătrate. Dacă folosim iii. și m este o unitate modulo d vom deduce: A R d. Dacă c2aAm2(b1 ), iar R b vom avea: a R b1. Iar (a, b1)=1 , pentru că în caz contrar un factor comun ar divide d și b1, contradicție cu faptul că : b=b1d este liber de pătrate.

Asemănător A R b1. Atunci A R db1 sau A R b. Vom avea:

.

Vom demonstra că: . Din vom deduce că:

.

Cum r este liber de pătrate vom deduce că r /c . Dacă , atunci:

.

Cum a R b vom avea: a R r. Având: , observând:

, unde concluzionăm că: .

Presupunem că: are o soluție netrivială. Atunci:

Din și prin multiplicare vom obține:

.

Atunci are soluția:

, ( și , b este liber de pătrate).

2.4. Ecuația

Considerăm pentru simplificarea discuției(ecuația fiind simetrică în x,y acest lucru nu schimbă cu nimic soluția).

Cazul I:

Dacă eliminăm numitorii vom avea:

Cazul I1 : b este număr prim.

Din , cum și . Vom avea soluția unică:

.

Cazul II 2 : b nu este număr prim.

Vom nota cu d un divizor al lui . Din și . Dacă , atunci revenim la , adică . Vom obține:

Propoziția 2.4.1.: Dacă b nu este prim atunci numărul soluțiilor ale ecuației este egal cu numărul divizorilor lui strict mai mici decât b. Dacă d este un astfel de divizor, atunci soluția este:

Cazul II :

Dacă eliminăm numărătorul vom avea: . Rezultă:

.

Cazul II1 : b este număr prim.

Din , unde , rezultă:

.

Din o să rezulte că a divide pe b+1 și vom obține:

Propoziția 2.4.2.: Dacă și b număr prim, atunci ecuația are soluții doar dacă a divide pe b+1 și vom obține soluția unică:

, .

Cazul II2 : b nu este număr prim.

Dacă d este un divizor al lui atunci din , vom avea: și . impune , iar relațiile precedente impun că o sa dividă pe b + d și .

Vom obține:

Propoziția 2.4.3. : Dacă și b nu este număr prim, atunci ecuația are soluții dacă există divizori d ai lui b2 strict mai mici decât b a.î. a divide b + d și , iar numărul soluțiilor este dat de numărul acestor divizori și soluția este:

, .

Exemplu: Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația:

Soluție : Vom verifica că nu există soluții de forma: . Soluțiile de forma cu . Divizorii d ai lui strict mai mici ca b sunt: 1, 3, 5 și 9. Decât divizorii 1 și 9 îndeplinesc condițiile și . Soluțiile ecuației sunt:

(2, 30) , (3, 5) , (30, 2) , (5, 3).

2.5 Ecuația

Teorema 2.5.1: Soluțiile întregi ale ecuației : , unde și , sunt:

(*)

Demonstrație: Dacă înmulțim ecuația cu și o scădem cu din ambii membrii, vom obține:

Soluțiile întregi ecuației , sunt soluții întregi ale sistemelor:

;

unde:

.

Dacă rezolvăm aceste sisteme, vom avea următoarele soluții:

Exercițiul 1 : Rezolvați în numere întregi ecuația

Rezolvare:

Avem: , deci , unde:

, unde obținem soluțiile ținând cont de (*) :

Exercițiul 2: Rezolvați ecuația diofantică .

Rezolvare: Avem: . Vom înmulți ecuația cu , adică cu 25 și apoi o scădem cu , adică cu 1. Vom obține:

sau

Vom avea de rezolvat în , 8 sisteme:

După rezolvarea sistemelor constatăm că sistemul format din ecuațiile și admite soluțiile (0, 3) și că celelalte sisteme nu admit soluții în .

Exercițiul 3: Determinați mulțimea:

Rezolvare: Vom nota , vom fi conduși la ecuația

A este mulțimea acelor pentru care (x, y) este soluția ecuației diofantice. Vom înmulțim cu 4 și scădem cu 75, vom obține: , unde:

. Sistemele asociate sunt:

, , , .

Ele au următoarele soluții: (-2, -11) , (-3, -26) , (33, 46) și (-38, -61). Deci:

2.6 Ecuația

De-a lungul anilor, au apărut mai multe soluții incorecte ale acestei ecuații. De exemplu, J. D. Thérond a afirmat că toate soluțiile din numere naturale sunt date de:

, , , (1)

I. Safta ”a dovedit” că toate soluțiile întregi sunt date de:

, , (2)

unde

În anul 1981, autorul J. Sándor, obține o metodă mai simplă de determinare a tuturor soluțiilor, care includ – ca și cazuri particulare – soluțiile (1) și (2). Acestea au apărut în limba română ( On a diophantine equation (Romanian), Gaz. Mat. 2-3/1982, 60-61.) și în limba maghiară (On a diophantine equation (Hungarian), Mat. Lapok 87(1982), 12-14.).

Lema 2.6.1.: Fie . Atunci :

. (3)

Demonstrație: Dacă , p este un divizor al , atunci și din deducem că sau . Deoarece avem – contradicție.

Lema 2.6.2: Dacă nu este pătrat perfect, atunci este irațional.

Demonstrație: În identitate evidentă:

, (4)

luăm . Deoarece k nu este pătrat perfect,

avem:

,

adică

Să presupunem că este rațional, , cu cel mai mic numărător posibil. Atunci din, , deducem că , care are numitorul și deoarece . Deoarece am presupus că v este cel mai mic numărător al lui , ne rezultă o contradicție.

Teorema 2.6.3: Toate soluțiile întregi pozitive din ecuația , pot fi scrise sub forma:

(5)

unde sunt numere întregi pozitive de diferite parități, și e arbitrar număr întreg pozitiv, ( cu permutări ale lui x și y).

Demonstrație: Ecuația mai poate fi scrisă:

(6)

Fie , adică cu . Înlocuind în (4) vom obține:

(7)

Din , astfel din Lema 2.6.1 vom avea:

Prin urmare:

implică și , pentru k întreg pozitiv.

Prima egalitate – Lema 2.6.2 – presupune că k trebuie să fie pătrat perfect, altfel ar fi irațional – contradicție.

Prin urmare . Atunci , notând (care este din nou un număr întreg din Lema 2.6.2) avem: . Soluțiile generale ale acestei ecuații sunt:

(cu permutări ale lui x1 și y1), cu având diferite parități; . Deoarece , avem . Dacă adunăm:

(8)

(cu permutari ale lui x și y).

Remarcăm că pentru ; și cu distincte parități, astfel soluțiile (2) (cu t) sunt reobținute. Mulțimea de soluții, este însă mult mai largă, așa cum observăm din alte alegeri ale lui u și v.

2.7. Ecuația

Fie numere întregi pozitive astfel încât Dorim să obținem soluții netriviale ale ecuației date în numere întregi pozitive. De fapt, metoda utilizată permite de a obține toate soluțiile din setul de numere întregi . Vom folosi următoarele rezultate auxiliare:

Lema 2.6.1.: Dacă sunt numere întregi astfel încât atunci .

Lema 2.7.1.: Dacă sunt numere întregi și , pentru orice .

Notăm Din ecuația inițială obținem:

(1)

Din Binomul lui Newtom putem scrie:

(2)

și, deoarece și din (1) rezultă:

(3)

deoarece .

Din Lema 2.6.1. și Lema 2.7.2., partea stângă din (3) conține o fracție ireductibilă. Acesta poate fi un număr întreg numai în cazul . Prin urmare , ceea ce implică Aceasta oferă mulțimea(infinită) de soluții ale ecuației date.

Observație: Cazuri particulare ale ecuației sunt, de exemplu:

2.8. Ecuația

Fie numere întregi pozitive.

Pentru n = 2 , obținem ecuația:

.

Pentru n=2 obținem ecuația:

(1)

Această ecuație este foarte importantă, deoarece are loc în geometrie, teoria numerelor, optică, fizică, etc.

Scriem ecuația sub forma considerăm , adică Folosind Lema 2.6.1., Atunci implică Rezultă că unde

Considerăm acum că .

Pentru a simplifica scrierea, vom nota suma tuturor produselor , unde înseamnă că termenul lipsește (exemplu n=3 această sumă este . Atunci:

(2)

înseamnă că

(3)

Fie cel mai mare divizor comun al elementelor . Atunci:

unde . Înlocuind în (3) după simplificarea cu , vom obține:

(4)

Dacă . Atunci relația (4) implică faptul că , adică există un k întreg pozitiv, astfel încât:

.

Deci:

, , …,(5)

Atunci este un număr întreg pozitiv, deci sunt numere întregi pozitive, ce satisfac ecuația.

Reciproc, din (5) avem:

(6)

și

.

Deoarece și

, avem , astfel (6) implică (3).

Sumarizând, soluțiile ecuației (2) sunt date de (5) și

unde sunt numere întregi arbitrare, satisfăcând , unde k este un număr întreg pozitiv.

Observație:

Pentru n=2 noi obținem din (5):

,,

deoarece pentru (obținem soluțiile prezentate mai sus).

Pentru n=3 soluțiile generale poate fi scrise:

,

,

,

unde este arbitrar și .

2.9. Ecuația

Vom folosi ecuația Euler-Bell-Kalmár (exercițiul 22 din capitolul 1):

Toate soluțiile ecuației sunt numere întregi pozitive.

, unde .

Observație: László Kalmár și J. Surányi numesc acest rezultat drept ,,Teorema celor patru numere”.

Revenind la ecuația noastră, presupunem că (pentru obținem ). Atunci și ecuația poate fi scrisă:

. (2)

Deoarece

și

și

Prin calcule simple, se obține:

(3)

Prin rezolvarea acestor ecuații pătratice ajungem ușor la:

,

unde

. (4)

Atunci adică rezultând:

. (5)

Prin urmare, trebuie să rezolvăm o ecuație de tipul:

(6)

unde n și s au aceeași paritate (clar z și y trebuie să fie numere întregi, și atunci este necesar ca ab și T, respectiv ad și P să aibă aceeași paritate).

n este par, .

Dacă s trebuie să fie par, atunci . Din (1) obținem că . De aceea,

atunci când n este par, soluția generală a ecuației (6) poate fi scrisă sub forma:

. (7)

n este impar, .

Dacă . Atunci din ecuația 6 obținem:

(8)

În cazul i.) și trebuie să fie pare. Deoarece , acest caz este posibil doar în cazul în care a este par, . Atunci și obținem . Din celelalte condiții din (7) obținem:

unde . Similar:

unde

. (9)

Deoarece

, , ,

unde b, c, d satisfac (9) și

În cazul ii.) și sunt impare, prin urmare a, b, d sunt toate impare și .

Astfel:

.

Atunci:

(10)

și

și

Atunci

,

unde b, c, d satisfac (10) și .

2.10. Ecuația

Pentru vom obține adică

,

deci ceea ce este imposibil pentru deoarece .

Totuși, pentru , vom obține soluția . Astfel (1, 1, 1) este o soluție a ecuației. Prin urmare, în cele ce urmează am putea presupune că .

Pentru , din deducem că , obținând adică .

Pentru ecuația implică , imposibil datorită iraționalității lui .

Astfel, putem presupune în cele ce urmează, că . Să considerăm mai întâi mulțimea:

(1)

unde denotă faptul că x nu divide y. Vom arăta că ecuația nu are soluții în mulțimea A.

Să presupunem că este soluție a ecuației date .Atunci:

(*)

Fie Atunci , deci:

adică:

.

Remarcăm că obținând ( adică implică . Dar deoarece altfel vom avea , adică .

Pe de altă parte deoarece acest lucru este echivalent cu , adică . Acest lucru este adevărat, deoarece:

.

Notând , avem relația:

(**)

Aici . Dacă atunci vom obține , ceea ce este o contradicție. Avem deci două cazuri:

În cazul ii.), și cu Deci, dacă vom considera o soluție a mulțimii A cu un a minim, vom obține o contradicție.

Vom demonstra că cazul i.) este imposibil.

Lema 2.10.1: Să presupunem că satisface ecuația , unde și . Atunci .

Demonstrație: Fie , unde . Atunci implică . Deoarece , , atunci . Vom deduce ecuația:

(2)

Pentru , aceast caz este imposibil deoarece . Astfel să avem , adică .

Pentru obținem , adică .

Vom presupune acum . Atunci împărțim k la , adică , unde . Relația (2) devine echivalentă cu:

(3)

sau

.

Deoarece divide partea stângă, acesta trebuie să dividă . Cu toate acestea, vom arăta că:

sau echivalent cu:

.

Avem

.

De aceea, relația (3) este imposibilă.

Observație: Lema 2.10.1 arată, de asemenea, că ecuația are o infinitate de soluții : pentru .

Acum, în cazul în care , atunci cu ajutorul Lemei 2.10.1 vom obține . Astfel . Dar cu , și nu sunt soluțiile ecuației . Atunci:

.

Aplicație C++

În cele ce urmează voi prezenta un program C++ care rezolvă în ecuația diofantică:

.

Pentru aceasta, procedăm în felul următor:

Verificăm dacă are soluție: ecuația are soluție în dacă și numai dacă ;

Dacă (dacă atunci simplificăm prin d și ajungem la această situație) și este soluție particulară, atunci soluția generală din a acestei ecuații este dată de:

și cu

Prezentăm acum un procedeu pentru a găsi o soluție particulară (cu .

Vom dezvolta numărul irațional în fracție continuă:

s.a.m.d. (ne oprim în momentul în care ).

Numerele se numesc redusele fracției continue. Numărătorii și numitorii reduselor verifică relațile:

iar .

Observăm că ultima redusă a lui este chiar . Putem scrie:

de unde (prin înmulțire a ambilor membrii ai ultimei egalități cu ) deducem:

Altfel, este o soluție particulară a ecuației noastre.

Soluția generală a ecuației va fi atunci:

Program C++

#include<iostream>

#include<conio.h>

#include<stdio.h>

#include<math.h>

using namespace std;

#define epsilon 0.0000001

int cmmdc(int a, int b){

while (a != b) {

if(a>b)

a=a-b;

else

b=b-a;

}

return b;

}

int main(){

int i, n, a, b, c;

double alpha[100], d[100], p[100], q[100], x0, y0;

cout<<"Dati valoarea lui a:";

cin>>a;

cout<<"Dati valoarea lui b:";

cin>>b;

cout<<"Dati valoarea lui c:";

cin>>c;

int e=cmmdc(a,b);

if(c%e!=0)

{

cout<<"\n Ecuatia:"<<a<<"x+"<<b<<"y+"<<c<<"=0 nu are solutii intregi.";

}

else {

double u=a;

double v=b;

double t=c;

alpha[0]=u/v;

d[0]=floor(alpha[0]);

cout<<"\n Dezvoltarea in fractie continua a lui "<<a<<"/"<<b<<"este:\n["<<d[0]<< "; ";

i=0;

while (fabs(alpha[i]-floor(alpha[i]))>epsilon){

i++;

alpha[i]=1/(alpha[i-1]-d[i-1]);

d[i]=floor(alpha[i]);

cout<<d[i]<<" ";

}

cout<<"]";

n=i;

p[0]=d[0];

p[1]=d[1]*d[0]+1;

q[0]=1;

q[1]=d[1];

for(i=1;i<=n;i++){

p[i+1]=d[i+1]*p[i]+p[i-1];

q[i+1]=d[i+1]*q[i]+q[i-1];}

cout<<"\n Solutia particulara a ecuatiei: "<<a<<"x+"<<b<<"y+"<<c<<"=0 este:";

x0=pow(-1.0,n)*t*q[n-1];

y0=pow(-1.0,n+1)*t*p[n-1];

cout<<"\nx0="<<x0;

cout<<"\ny0="<<y0;

cout<<"\n Solutia generala a ecuatiei: "<<a<<"x+"<<b<<"y+"<<c<<"=0 este:";

cout<<"\n x="<<x0;

cout<<"\n y="<<y0;

}

_getch();

}

Exemplu:

Ecuația diofantică are soluțiile particulare:.

Bibliografie

Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D., Algebra, Editura Universitaria, Craiova 2001

Bușneag, D., Piciu, D., Lecții de algebra, Editura Universitaria, Craiova 2002

Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D., Complemente de aritmetică și teoria numerelor,, Editura Gil, Zalău, 2007

Ion, D. I., Niță, C., Popescu, D., Radu, N., Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Bazele algebrei I, Editura Academiei, București, 1986

Radu, N., & colab., Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Sándor J., Geometric theorems, diophantine equations and arithmetic functions, American Research Press Rehoboth, 2002

Bibliografie

Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D., Algebra, Editura Universitaria, Craiova 2001

Bușneag, D., Piciu, D., Lecții de algebra, Editura Universitaria, Craiova 2002

Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D., Complemente de aritmetică și teoria numerelor,, Editura Gil, Zalău, 2007

Ion, D. I., Niță, C., Popescu, D., Radu, N., Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Bazele algebrei I, Editura Academiei, București, 1986

Radu, N., & colab., Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Sándor J., Geometric theorems, diophantine equations and arithmetic functions, American Research Press Rehoboth, 2002