Metode de Rezolvare a Sistemelor de Ecuatii Diferentiale

Cuprins:

Cap.1 PREZENTAREA GENERALĂ A SISTEMELOR DE ECUAȚII DIFERENȚIALE…………………………………………………………………1

Generalități…………………….……………………………………1

1.2 Forma generală a unui sistem de ecuații diferențiale de ordin superior……….…………….……………………………….…….1

1.3 Teorema de existență…….……………….,.……………………….4

Cap.2 SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI…..9

2.1 Sisteme neliniare……….……………….………..…………………9

2.2 Sisteme liniare omogene……….…………………………………..9

2.2.1 Soluția generală a sistemelor omogene…………………….11

2.3 Sisteme liniare neomogene…………………………………..……14

2.3.1 Metoda variației constantelor………………………………15

2.4 Sisteme cu coeficienți constanți……………………………….…17

2.4.1 Forma generală…………………………………………….17

2.4.2 Metode de rezolvare a sistemelor omogene………………..17

2.4.3 Sisteme neomogene. Metode de rezolvare…………………34

2.4.4 Metoda transformatei Laplace …………………………….37

2.5 Sisteme simetrice…………………………………………………40

2.5.1 Integrale prime……………………………………………..40

2.5.2 Metoda aproximațiilor succesive…………………………..42

2.5.3 Metoda combinațiilor integrabile………………………….43

Cap.3 METODE NUMERICE DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI……………….…………45

3.1 Metoda lui Euler………………………………………………….45

3.2 Metoda Runge-Kutta…………………………………………….46

3.3 Metoda predictor-corector………………………………………48

3.4 Funcții predefinite în Mathcad………………………………….49

Cap.4 CONCLUZII……..………………………………………….….…….…51

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………….…….52

PREZENTAREA GENERALĂ A SISTEMELOR DE ECUAȚII DIFERENȚIALE

1.1 Generalități

Ecuațiile diferențiale și sistemele de ecuații diferențiale au fost îndelung studiate de către cercetători și ocupă un rol important în multe discipline precum matematică, știință sau inginerie. Modelul matematic reprezentând comportamentul dinamic al sistemlor fizice este dat sub forma unor sisteme de ecuații diferențiale ordinare, liniare și neliniare. Ecuațiile diferențiale își găsesc aplicații atât în teoria circuitelor ([1], pg.259) cât și în geometria diferențială ([2], pg.88) sau topologia diferențială. Dispozitivele cu întârzieri devin din ce în ce mai importante datorită creșterii performanțelor sistemelor integrate de dimensiuni foarte mari, iar investigarea acestora necesită cunoștințe în rezolvarea sisemelor de ecuații diferențiale. Acestea sunt caracterizate de sistemele de ecuații diferențiale cu întârzieri. Pornind de la clasificarea ecuațiilor diferențiale, sistemele de ecuații diferențiale sunt de mai multe tipuri: omogene, simetrice, liniare sau neliniare.

De-a lungul timpului s-au publicat o serie de studii privind atât metodele de rezolvare cât și convergența sau eficacitatea acestor algoritmi. Unele sisteme de ecuatii diferențiale nu se pot rezolva analitic, caz în care soluția se determină prin aplicarea metodelor numerice. Dintre metodele numerice clasice se pot aminti Euler, Runge-Kutta de ordinul 2, 3 sau 4, sau metoda predictor-corector. O serie de algoritmi, diferiți de cei tradiționali au la bază metoda lui Tau [3] sau metoda descompunerii lui Adomian [4]. Pentru sistemele de ecuații diferențiale neliniare, soluția analitică exactă se poate calcula sub formă de serii [5].

În această lucrare se prezintă pe scurt tipurile de sisteme de ecuații diferențiale de ordinul întâi și metodele de rezolvare.

1.2 Forma generală a unui sistem de ecuații diferențiale de ordin superior

Se dă sistemul :

(1)

unde f1, f2 sunt două funcții definite pe intervalul [c,d]×[V]x[W], cu valori în și .

Definiție 1. Funcțiile necunoscute, y(x) și z(x), definite pe intervalul [c,d], derivabile de ordin n și respectiv p formează o soluție a sistemului cu două ecuații

diferențiale dacă pentru orice x din [c,d] verifică sistemul (1).

În același mod se poate defini un sistem cu m ecuații diferențiale avînd m funcții necunoscute de ordin superior ([6], pg. …). Dacă n=p=1 atunci sistemul (1) va deveni un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. Forma canonică sau explicită a sistemului implică scrierea și rezolvarea ecuațiilor în funcție de gradul cel mai mare:

(2)

Teorema 1. Un sistem de ecuații diferențiale de ordin superior se poate transpune într-un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi dacă se introduc noi funcții necunoscute.

Demonstrație. Introducând notațiile , i=1,2…,n-1, j=1,2,…,p-1, funcțiile necunoscute vor fi:

(3)

iar sistemul (2) devine un sistem de n+p ecuații diferențiale de ordinul întâi având forma:

(4)

Teorema 2. Soluția unui sistem de m ecuații diferențiale de ordinul întâi se reduce la soluția unei ecuații diferențiale de ordin m. Reciproca este de asemenea reală.

Demonstrație. Fie ecuația diferențială de ordin m:

(5)

Introducând funcțiile necunoscute:

(6)

și ținând cont de ecuația (5), sistemul de ecuații diferențiale de ordinul întâi sub formă normală este:

(7)

Se observă că rezolvarea unui sistem de ecuații de ordin superior se reduce la studiul sistemelor de ecuații diferențiale de ordinul întâi. De asemenea orice soluție a unui sistem de ecuații diferențiale de ordin întâi se poate deduce din rezultatul unei ecuații diferențiale de ordin m.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare de ordin m cu coeficienți constanți de forma ([7], pg.135):

(8)

a cărei ecuații caracteristice:

(9)

are rădăcini reale

(10)

și rădăcini complexe

(11)

este dată de:

(12)

iar m=s+2t.

Asftel se confirmă faptul că o serie de proprietăți ale ecuațiilor diferențiale

sunt comune cu ale sistemelor de ecuații diferențiale. Aceste proprietăți sunt exemplificate prin următoarele aplicații:

Exemplul 1. Să se reducă următorul sistem de ecuații diferențiale de ordin 2 la un sistem de ecuații diferențiale de ordin întâi.

Rezolvare. Se introduc funcțiile necunoscute:

Sistemul de ordin întâi cu patru necunoscute va fi:

Exemplul 2. Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale cu coeficienți constanți.

Rezolvare. Ecuația caracteristică corespunzătoare acestei ecuații de gradul trei este:

Rădăcinile ecuației caracteristice au valorile: r1=1, r2=2 și r3=3. Soluția generală devine:

1.3 Teorema de existență

Fie sistemul de ecuații diferențiale de ordinul întâi exprimat sub formă explicită:

(13)

unde f1 și f2 sunt funcții continue într-un domeniu . Determinarea unei soluții y(x) și z(x) a sistemului (13) cu valorile inițiale x0, y0 I atunci când x=x0 se numește problemă de tip Cauchy [Rosculet, pg. 446].

Teorema 3. Dacă punctul (x0, y0, z0) , iar funcțiile f1(x, y, z), f2(x, y, z) sunt continue pe intervalul închis I:

(14)

și pentru orice (x, y1, z1), (x, y2, z2) satisfac condiția Lipschitz:

(15)

unde constantele Λ>0, Κ>0, atunci soluția sistemului (13) este de forma:

(16)

Funcțiile α și β sunt derivabile pe intervalul și pentru x=x0 iau valorile y0, z0, respectiv:

(17)

Demostrația acestei teoreme este prezentată în [Rosculet, pg.447]. O consecință a teoremei de existență este Teorema 4.

Teorema 4. Soluția unui sistem de n ecuații diferențiale de ordinul întâi având forma:

(18)

unde funcțiile fk și derivatele lor sunt continue într-un domeniu I depinde de n constante arbitrare.

Mulțimea de soluții definite prin teorema de existență, pe I, este dată de integrala generală a sistemului (18) în I. Aceste soluții formează o familie de curbe cu n constante arbitrare.

Soluția particulară a sistemului (18) se deduce din soluția generală în care constantelor arbitrare li se dau valori particulare.

Exemplul 3. Să se reducă următorul sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi la o ecuație de ordin superior și să se determine soluția de tip Cauchy.

Rezolvare. Se derivează prima ecuație și apoi se elimină z și z’ din cele două ecuații ale sistemului obținându-se:

Ecuația diferențială de ordin 2 rezultă:

Ecuația caracteristică a acestei ecuații este:

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: r1=-1 și r2=-2. Soluția generală obținută va fi:

Cealaltă soluție, z, se obține din prima ecuație a sistemului, unde se înlocuiește y’ și y:

Pentru determinarea soluției particulare a sistemului, constantele c1 și c2 se determină din condițiile inițiale:

Rezolvând sistemul pentru c1 și c2, valorile celor două constante sunt: c1=4 și c2=3. Soluția particulară a sistemului este:

O altă consecință a teoremei lui Cauchy afirmă că soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordin n depinde de n constante arbitrare.

Teoremă 5. Ecuația diferențială de ordinul n:

(19)

unde funcția f și derivatele parțiale de ordinul întâi ale acesteia sunt continue pe

V=[c,d] ×W are ca soluție y=ν(x), x[c,d] dacă pentru orice x0[c,d] îndeplinește condițiile inițiale:

(20)

iar constantele arbitrare , astfel încât această soluție este unică.

Exemplul 4. Ecuația lui Euler:

pentru W îndeplinește condițiile din teoremă dacă orice interval [c,d] nu conține originea.

Teoremă 6. O ecuație diferențială liniară de ordin n unde coeficienții au derivatele de ordinul întâi continue și unde k0(x)≠0,

(21)

admite întotdeauna un sistem fundamental de ecuații integrale pe [c,d].

Exemplul 5. Să se găsească soluția ecuației cu condiții inițiale de tip Cauchy :

, y(0)=1, y’(0)=2

Ecuația caracteristică atașată acestei ecuații este:

Determinantul ecuației va fi Δ=1, ceea ce corespunde unor rădăcini reale și distincte egale cu:

r1=2, r2=3

Soluția generală a ecuației va fi:

Derivând pe y(x) obținem :

Pentru determinarea celor două constante, c1 și c2, se înlocuiesc condițiile inițiale

y(0)=1, y’(0)=2

și obținem sistemul:

Rezultă c1=1 și c2=0. Soluția particulară a ecuației diferențiale determinată conform valorilor inițiale date va fi:

Exemplul 6. Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale:

Rezolvare. Ecuația caracteristică atașată este:

Aceasta se poate scrie sub forma:

Rădăcină reală a ecuației este r1=1. Ecuația de gradul doi:

are Δ=36i, prin urmare va avea rădăcinile complexe:

Soluția ecuației diferențiale se determină conform relației (12) și este:

2. SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

2.1 Sisteme de ecuații diferențiale neliniare

Un sistem de n ecuații diferențiale ordinare, de ordinul întâi prezentat sub formă normală este:

(22)

unde funcțiile reale y1, y2,…., yn sunt funcțiile necunoscute definite pe un interval închis V. Funcțiile f1, f2,….,fn, împreună cu derivatele lor de ordinul întâi sunt continue pe V×W, unde W.

Sistemul (22) scris sub forma vectorială este:

(23)

unde:

, ,

2.2 Sisteme liniare omogene

Fie sistemul:

(24)

unde necunoscutele sistemului sunt funcțiile y1,y2,…yn, iar variabila independentă este x. Se presupune că a11(x), a12(x),…ann(x) sunt funcții cu derivate de ordinul întâi continue pe un interval V.

Sistemul de ecuații diferențiale liniar omogen (24) poate fi scris sub forma matricială și devine:

(25)

unde: , ,

Dacă ak,m și fk, cu k,m=1,2….n sunt funcții continue și (x0, y10, y20,…yn0)V atunci vom avea o soluție unică, Y(x), astfel încât:

(26)

Definiție 2. Sistemul format din n funcții derivabile

și continue pe un interval închis formează o soluție a sistemului omogen (24) dacă verifiia de gradul doi:

are Δ=36i, prin urmare va avea rădăcinile complexe:

Soluția ecuației diferențiale se determină conform relației (12) și este:

2. SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

2.1 Sisteme de ecuații diferențiale neliniare

Un sistem de n ecuații diferențiale ordinare, de ordinul întâi prezentat sub formă normală este:

(22)

unde funcțiile reale y1, y2,…., yn sunt funcțiile necunoscute definite pe un interval închis V. Funcțiile f1, f2,….,fn, împreună cu derivatele lor de ordinul întâi sunt continue pe V×W, unde W.

Sistemul (22) scris sub forma vectorială este:

(23)

unde:

, ,

2.2 Sisteme liniare omogene

Fie sistemul:

(24)

unde necunoscutele sistemului sunt funcțiile y1,y2,…yn, iar variabila independentă este x. Se presupune că a11(x), a12(x),…ann(x) sunt funcții cu derivate de ordinul întâi continue pe un interval V.

Sistemul de ecuații diferențiale liniar omogen (24) poate fi scris sub forma matricială și devine:

(25)

unde: , ,

Dacă ak,m și fk, cu k,m=1,2….n sunt funcții continue și (x0, y10, y20,…yn0)V atunci vom avea o soluție unică, Y(x), astfel încât:

(26)

Definiție 2. Sistemul format din n funcții derivabile

și continue pe un interval închis formează o soluție a sistemului omogen (24) dacă verifică acest sistem pentru orice x[c,d].

Cconsiderând că sistemului liniar omogen prezintă n soluții de forma:

(27)

atunci

(28)

unde c1, c2,….,cn reprezintă de asemenea o soluție a sistemului (22).

Soluțiile (28) formează un sistem fundamental, dacă sunt liniar independente; adică dacă wronskianul celor n soluții nu se anulează în nici un punct din intervalul V ([8], pg.66). Matricea Wronski asociată sistemului de soluții (27) va fi:

(29)

Determinantul matricei W , denumit wronskianul soluțiilor va fi:

(30)

Pe baza matricei Wronski soluția generală a sistemului (24) se poate scrie ca fiind egală cu:

(31)

unde C este vectorul constantelor arbitrare:

(32)

Wronskianul soluțiilor sistemului omogen verifică relația:

(33)

unde traceA(z)=a11(z)+a22(z)+….+ann(z) este urma matricii A.

2.2.1 Soluția generală a sistemelor omogene

Fie Y1, Y2,…., Yn un sistem fundamental de soluții ale lui (24), pe intervalul [c,d].

Teoremă 7. Dacă soluțiile (27) îndeplinesc condițiile pentru un sistem fundamental, soluția generală a sistemului (24) este dată de:

(34)

unde c1, c2, …., cn sunt constante arbitrare.

Dacă un sistem de n2 funcții continuu derivabile pe un interval închis [c,d]:

(35)

are determinantul :

(36)

unde wr(x)≠0 pentru orice x din [c,d], atunci sistemul de n ecuații diferențiale de ordinul întâi:

(37)

cu k=1,2,….,n, admite ca soluție sistemul fundamental (36).

Exemplul 7. Să se creeze sistemul de ordinul întâi cu două ecuații care admite soluția următoare ca sistem fundamental:

cu

Rezolvare. Ecuațiile sistemului sunt date de:

Cele două ecuații diferențiale de gradul întâi ale sistemului vor fi:

Wronskianul soluțiilor:

este diferit de zero pe intervalul . În consecință soluțiile date formează un sistem fundamental.

Exemplul 8. Se dă sistemul de ecuații diferențiale omogen :

Să se arate că următoarele funcții:

formează un sistem fundamental de soluții pentru sistemul dat și să se determine soluțiile sistemului care satisfac condițiile: y(0)=1, z(0)=0.

Rezolvare. Se verifică că S1 și S2 sunt soluții ale sistemului. Înlocuim y=, și z=:

Se observă că sistemul este verificat. Se procedează în mod analog și cu soluția S2, care verifică de asemenea sistemul.

Pentru a stabili dacă sistemul de soluții este unul fundamental se calculează wronskianul conform relației (36):

Rezultă așadar că soluțiile date sunt baza unui sistem fundamental. Soluția generală a sistemului este:

Pentru valorile inițiale se calculează cele două constante și rezultă: c1=1 și c2=0. Soluția sistemului devine:

2.3 Sisteme neomogene

Fie sistemul de n ecuații diferențiale de ordinul întâi, liniar neomogen scris sub formă canonică:

(38)

unde funcțiile b1(x), b2(x),….,bn(x) sunt continue pe [c,d]. Scris sub formă matricială sistemul devine:

(39)

Definiție 3. Soluția generală a unui sistem liniar neomogen se obține din soluția sistemului omogen la care se adună o soluție particulară a sistemului neomogen.

Teoremă 8. Considerând că W este o matrice fundamentală a sistemului omogen și Φ o soluție particulară a sistemului (38), atunci Y este soluție a sistemului (38) dacă are este de forma:

(40)

unde vectorul C aparține lui .

Demonstrație. Derivând (40) și înlocuind în (39), după câteva calcule se deduce

că Y este soluția sistemului neomogen (38).

Determinarea unei soluții particulare a sistemului (39) se realizează prin metoda variației constantelor ([8], pg. 70).

2.2.1 Metoda variației constantelor

Teoremă 9. Se dă sistemul neomogen de n ecuații diferențiale de ordinul întâi:

(41)

unde coeficienții aki(x), bk(x) sunt funcții continue cu ak0≠0 pe intervalul [c,d],

Soluția paticulară Φ1, Φ2 ,…. Φn a sistemului neomogen este de forma:

(43)

unde:

(42)

formează sistemul fundamental de soluții al sistemului omogen, iar c1(x), c2(x),….,cn(x) sunt deduse din sistemul:

(44)

Considerând Y(x)=W(x)C, soluția sistemului omogen funcție de matricea Wronski, soluția sistemului neomogen se alege de forma:

(45)

unde C(x) este soluția sistemului:

(46)

Dacă integrăm în (44) și (46), rezultă:

(47)

unde k1, k2, ….,kn constante arbitrare. Soluția generală a sistemului neomogen este dată de:

(46)

Exemplul 9. Să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale neomogen prin metoda variației constantelor:

unde x>0. Soluția generală a sistemului omogen

este dată de:

Soluția particulară a sistemului neomogen se determină prin aplicarea metodei variației constantelor care conduce la următorul sistem:

Sub formă matricială C se determină din sistemul:

Rezultă și . După integrare cele două constante, c1 și c2, vor fi egale cu:

Înlocuind în ecuația (46), soluția generală a sistemului neomogen va fi:

Soluția particulară a acestui sistem este:

2.4 Sisteme cu coeficienți constanți

2.4.1 Forma generală

Definiție 4. Sistemul de ecuații diferențiale liniar și omogen:

(48)

unde aij sunt constante se numește sistem de n ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți având n funcții necunoscute.

Sub formă matricială sistemul devine:

(49)

unde : , ,

2.4.2 Metode de rezolvare a sistemelor omogene

Soluția acestui tip de sisteme se poate determina prin derivarea primei

ecuații de n-1 ori, iar restul ecuațiilor de n-2 ori. Eliminând pe y2, y3,….yn și derivatele lor până la ordinul n-1 se obține o ecuație diferențială de ordinul n în y1 cu n constante arbitrare.

Soluția generală a sistemului liniar omogen cu coeficienți constanți (48) depinde numai de constantele arbitrare a lui y1. Această metodă de rezolvare se mai numește și metoda eliminării ([7], pg.154).

Exemplu 10. Fiind dat sistemul de ecuații liniar omogen cu coeficienți constanți:

să se determine soluția sa generală.

Pentru rezolvarea sistemului omogen cu coeficienți constanți se va exprima y2 și y3 în funcție de y1. Pentru aceastea primele două ecuații se vor scrie sub forma:

Derivând ecuațiile sistemului rezultă:

Înlocuind pe y2 și derivata acestuia în expresia lui y3 vom avea:

Derivata lui y3 se determină din a 2-a ecuație a sistemului derivat și este:

unde:

Derivând încă odată prima ecuație din care se exprimă y2 și înlocuind-o în expresia derivatei lui y3 rezultă:

Înlocuind y3 și în ultima ecuație se obține:

Ecuația de ordinul 3 în funcție de y1 are ecuația caracteristică:

Rădăcinile acestei ecuații sunt: r1=0 și r2,3=-3, iar soluția va fi de forma:

y2 se obține din:

și este:

y3 se obține din:

și este egal cu:

Prin urmare, soluția generală a sistemului va fi:

O altă metodă propusă pentru rezolvarea sistemelor diferențiale cu coeficienți constanți este metoda valorilor și vectorilor proprii.

Teoremă 10. Pentru sistemul omogen liniar de ordinul întâi (48) soluțiile vor fi de forma:

(50)

unde funcțiile Y și constanta κ sunt vectori.

Înlocuind această soluție în sistemul diferențial de ordin întâi atunci când derivata sa este:

(51)

obținem:

(52)

(53)

(54)

unde ο este un vector coloană nul, iar I este matricea identitate.

Pentru ca (50) să fie o soluție a sistemului (48) trebuie ca :

(55)

iar r și κ trebuie să fie valoarea proprie și respectiv vectorul propriu al matricii A. Prin urmare soluția sistemului va fi de forma:

(56)

unde λ este valoarea proprie, iar v este vectorul propriu, [4]. Pentru determinarea vectorilor proprii se va rezolva sistemul omogen:

(57)

Pentru v≠o matricea sistemului devine singulară și rezultă o infinitate de soluții nebanale.

Dacă λ1, λ2,….λn este setul complet de valori proprii pentru matricea A atunci există următoarele cazuri:

dacă λ apare o singură dată în set atunci va fi o valoare proprie simplă;

dacă λ apare de k>1 ori atunci λ va avea ordinul de multiplicitate k;

dacă λ1, λ2,….λn sunt valori proprii simple cu vectorii proprii corespunzători v(1), v(2),…., v(n) atunci toți vectorii proprii sunt liniar independenți.

dacă λ este o valoare proprie cu k>1 atunci λ va avea numai vectori proprii liniar independenți.

Înlocuind (51) în sistemul (48), termenul ert dispare rămânând sistemul omogen algebric cu necunoscutele κ1, κ2,….,κn:

(58)

Pentru ca sistemul (58) să admită și soluție nebanală, cea banală implicând κ1=0, κ2 =0,…., κn =0 trebuie ca:

(59)

ecuația (59), numită ecuația caracteristică a sistemului să fie egală cu zero. Pentru sistemul (48) această ecuație este un polinom de ordinul n, ([6], pg.rosc).

Determinarea soluției generale a sistemului omogen cu coeficienți constanți se depinde de tipul rădăcinilor ecuației caracteristice (58). Se cunosc următoarele variante ale soluției:

pentru r=α, rădăcină simplă, sistemul admite soluții de forma:

;

pentru r=α±iβ două rădăcini complexe conjugate, simple soluția sistemului va fi:

pentru r=α, rădăcină reală cu ordinul de multiplicitate k sistemul are ca

soluții:

unde constantele κi,j se determină prin identificare în sistemul inițial.

pentru r=α±iβ două rădăcini complexe conjugate, cu ordinul de multiplicitate k soluția este dată de:

În continuare aceste tipuri de soluții se vor exemplifica prin exemple concrete.

Exemplul 11. Să se determine soluția generală a următorului sistem având condițiile inițiale y1(0)=0 și y2(0)=1 :

Matricea A corespunzătoare sistemului va fi:

Determinarea valorilor proprii se face din ecuația caracteristică a matricii:

Valorile proprii echivalente cu rădăcinile ecuației caracteristice sunt: λ1=1, λ2=7.

Vectorii proprii corespunzători valorilor proprii se determină din sistemul (57). Pentru λ1=1 avem:

Rezultă că: v1=v2 iar vectorul propriu va fi:

Pentru λ2=7 avem:

Vectorul propriu va fi dat de:

Deoarece vectorii proprii sunt liniar independenți, soluția generală va fi de forma:

Determinarea constantelor arbitrare se realizează pe baza condițiilor inițiale:

Rezolvând sistemul:

Soluția sistemului omogen cu coeficienți constanți va fi:

Exemplul 12. Să se determine soluția sistemului omogen cu coeficienți constanți și condiții inițiale:

Ecuația caracteristică a sistemului va fi:

Rădăcina dublă a ecuației este: r1,2=-4.

Soluția generală a sistemului va fi de forma:

Înlocuind aceste valori în prima ecuație va rezulta:

de unde:

Impunând condițiile inițiale se determină constantele arbitrare:

Soluția va fi:

Exemplul 13. Să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale, omogen cu coeficienți constanți și condiții inițiale:

Ecuația caracteristică a sistemului va fi:

Rădăcinile acestei ecuații sunt complex conjugate și au valorile: r1=3+3i și

respectiv r2=3-3i. Componentele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori valori proprii se determină din sistemul:

Primei valori proprii ii corespunde vectorul propriu:

Pentru a doua valoare prorie vectorul propriu este:

Înlocuind în (56), aplicând formula lui Euler și efectuând calculele, soluția generală a sistemului devine:

Făcând înlocuirile în prima ecuație se deduce următoarea egalitate:

unde:

Pentru c1 și c2 arbitrare soluția este:

Condițiile inițiale impuse care particularizează soluția sunt:

Soluția sistemului care îndeplinește condițiile inițiale este:

Soluția sistemelor diferențiale omogene cu coeficienți constanți, având forma (49), de tip Cauchy se determină prin calculul direct al exponențialei matriciale și este:

(60)

unde C este vectorul constantelor arbitrare. Pentru problemele de tip Cauchy C se determină din condițiile inițiale ale sistemului și soluția devine:

(60)

unde Y0=Y(0) vectorul valorilor inițiale.

Exponențiala unei matrice pătratice se calculează conform formulei ([7], pg. 155, [9], pg.675):

(61)

Teorema 11. Seria (61) este convergentă pentru toate matricile pătrate A.

(62)

unde:

este norma Frobenius.

Demonstrație. Se consideră seria:

unde și este componenta (i,j) a matricei . Se verifică

următoarele afirmații:

prin urmare:

rezultă că seria (62) este convergentă pentru orice componentă a sa și inegalitatea (62) este verificată.

Dacă în formula (61) se înlocuiește A cu Ax se determină formula care se utilizează la rezolvarea sistemelor diferențiale de forma (49).

Definiție 5. Fiind date o matrice pătratică A de dimenisiuni n×n și un număr real x, exponențiala matricii xA este:

(63)

Demonstrație. Formula (63) se demonstrează pe baza seriilor Picard. Prin definiție, coloanele matricii sunt date de vectorii soluție w1(x), w2(x),…., wm(x), ale căror valori la x=0 corespund cu coloanele matricii identitate m×m. Conform iterațiilor Picard, o iterație oarecare este definită de:

unde vectorul y0 este o coloană a matricii identitate. Iterațiile Picard vor fi:

Aplicând teorema Picard-Lindelöf se arată că pentru orice k:

În consecință suma coloanelor matricii dată de:

converge la w1(x), w2(x),…., wm(x) atunci când N→∞. Aceasta conduce la identitatea matricială:

Fie două matrici A și B și x, un număr arbitrar. Se definesc următoarele proprietăți ale exponențialei matriciale:

, unde o este matricea nulă.

dacă AB=BA

dacă AB=BA

Definiție 6. Dacă matricea A de dimensiuni n×n este diagonalizabilă, ceea ce înseamnă că se poate exprima sub forma:

A=TDT-1 (64)

unde are ca și coloane cei n vectorii proprii ai matricii A, și

atunci matricea exponențială, eA, se calculează conform formulei:

(65)

Exponențiala unei matrici diagonale înseamnă exponențializarea fiecărui termen de pe diagonala principală:

(66)

Exemplul 14. Să se determine soluția generală a sistemului cu ecuații diferențiale, omogen:

Soluția generală a sistemului va fi de forma:

unde:

Din ecuația caracteristică se determină valorile proprii ale sistemului matricial și anume:

Deoarece λ1≠ λ2, există o bază formată din vectorii proprii. Vectorul propriu corespunzător lui λ1=1 este:

Procedând în mod analog se determină și al doilea vector propriu: . Se observă că vectorii proprii sunt liniar independenți, așadar matricea A este diagonalizabilă, A=TDT-1 unde matricele T , T-1 și D sunt:

Rezultă că:

Soluția generală se determină din:

și este egală cu:

Pentru matricile care nu sunt diagonalizabile, calculul matricei exponențiale se realizează prin mai multe metode: aplicând formula lui Putzer, exprimarea matricii în forma Jordan sau utilizând matricea fundamentală.

Metoda Putzer definește matricea exponențială sub forma:

(67)

unde matricile P1, P2,….Pn sunt formate din matricea A și valorile sale proprii:

(68)

iar r1(x), r2(x),….rn(x) sunt soluțiile problemei cu valori inițiale de ordinul întâi:

(69)

cu .

Orice matrice pătratică poate fi reprezentată sub forma canonică Jordan.

Teoremă 12. Dacă J=TAT-1 este forma canonică Jordan atașată matricii A, atunci matricea exponențială este:

(70)

unde:

Matricea T are coloanele formate din vectorii generalizați conform relației:

(71)

Cu matricea normală Jordan astfel determinată, A=TJT-1, ([10], pg.453). Determinarea matricii exponențiale a unui bloc Jordan revine la a descompune matricea Jordan conform formulei:

(72)

unde matricea N este nilpotentă, ([11], pg.574); în partea superioară a diagonalei principale are valorea 1 pentru m<n și este nulă pentru m≥n. În consecință matricea exponențială a unei celule Jordan este:

(73)

Scrisă explicit formula (73) devine:

(74)

Exemplul 15. Să se reprezinte matricea sistemului liniar omogen cu coeficienți constanți sub formă Jordan și să se calculeze soluția generală:

Matricea sistemului și vectorul constantelor arbitrare sunt:

Soluția generală va fi de forma: . Ecuația caracteristică corespunzătoare matricii A este:

Vectorul propriu corespunzător valorii proprii este:

Deoarece nu mai există alți vectori proprii independenți se vor determina vectorii proprii generalizați conform relației (71):

Componentele vectorului propriu generalizat sunt: v21=0, v22=-1, iar matricea T rezultă:

Forma Jordan a matricii A va fi:

iar exponențiala matricii Jordan este:

Rezultă:

Soluția generală a sistemului este:

Evaluarea matricii exponențiale utilizând matricea fundamentală cu condiții inițiale pentru un sistem diferențial de forma Y’=AY având soluția generală:

(75)

unde y1(x), y2(x),….., yn(x) sunt soluții particulare liniar independente. Rescriind această formulă :

(76)

unde pentru problemele cu condiții inițiale, C se determină din sistemul:

(77)

Prin urmare soluția problemei de tip Cauchy este dată de:

(78)

Dacă se notează cu M(x)= setul de soluții liniar independente și comparăm relația (78) cu (61), rezultă:

(79)

Exemplul 16. Să se determine eAx utilizând matricea fundamentală și să rezolve sistemul de ecuații diferențiale de tip Cauchy:

Soluția acestui sistem va fi de forma (56). Rezolvând ecuația caracteristică atașată matricii sistemului: se obțin valorile proprii: λ1=4, λ2=2. Vectorul propriu corespunzător lui λ1=4 se determină din , iar vectorul propriu corespunzător lui λ2=2 rezultă din :

Soluția generală a sistemului se poate exprima sub forma:

Matricea fundamentală a soluțiilor este în acest caz:

Pentru x=0 rezultă:

Matricea exponențială va fi:

Soluția generală a sistemului cu condiții inițiale este:

2.4.3 Sisteme neomogene. Metode de rezolvare

Definiție 7. Un sistem liniar cu coeficienți constanți, neomogen este de forma:

(80)

Rezolvarea sistemelor cu coeficienți constanți, neomogene se realizează atât prin metoda variației constantelor cât și prin metoda eliminării.

Metoda variației constantelor este o metodă generală de rezolvare a sistemelor liniare neomogene:

(81)

unde soluția este : , iar Y0 este un vector ale cărui funcții sunt variate și urmează a fi determinate.

Teorema 13. Fie A o matrice n×n constantă și b(x) o funcție continuă în vecinătatea lui x=x0. Soluția unică, y(t), a problemei matriciale cu valori inițiale:

, y0(x0)=y0 (82)

este dată formula variației constantelor:

(83)

Demonstrație. Se definește funcția:

Această relație trebuie să verifice identitatea: . Funcția z(x) este derivabilă și are derivata continuă. Aplicând regula derivării unui produs se obține:

În concluzie se poate observa că y(t) satisface .

Funcțiile bi(x) pot avea diferite forme particulare, pentru care s-au dedus relații de calcul ale soluției ([6], pg.rosc). Dacă bi(x) sunt:

polinoame de grad <m, unde soluția va fi de forma:

prin unde Pkm(x) sunt polinoame de grad m, iar coeficienții acestor polinoame se determină înlocuire în sistemul inițial și apoi se identifică.

funcții de forma: , unde sunt polinoame de grad <m, iar soluția particulară va fi:

Observație. Această soluție este validă în cazul în care α nu este soluție a ecuației caracteristice. Atunci când α este o soluție cu gradul de multiplicitate k a ecuației caracteristice soluția devine:

funcții de forma: cu soluția particulară:

Observație. Această soluție este validă în cazul în care α+iβ nu este soluție a ecuației caracteristice. Atunci când α+iβ este o soluție cu gradul de multiplicitate k a ecuației caracteristice soluția devine:

Exemplul 17. Să se determine soluția generală a sistemului neomogen cu coeficienți constanți care satisface condițiile inițiale: y1(0)=0, y2(0)=1.

Derivând prima ecuație și înlocuind pe y2 din a 2-a, prin metoda înlocuirii se obține ecuația:

Ecuația omogenă atașată va fi:

Ecuația caracteristică asociată valorii y1 este: . Valorile proprii corespunzătoare sunt: λ1=-1+2i și λ2=-1-2i. Soluția generală rezultă:

Pentru sistemul neomogen soluția va fi de forma:

Înlocuind această soluție, în ecuația neomogenă se găsește:

Prin identificarea parametrilor rezultă sistemul:

Soluția particulară e ecuației este:

iar soluția generală devine:

y2 se deduce din prima ecuație: a sistemului neomogen, în care se înlocuiește y1 și derivata sa. Sistemul de soluții generale este:

2.4.4 Metoda transformatei Laplace

Transformata Laplace este cel mai des utilizată în probleme de teoria circuitelor deoarece permite ca o problemă de sisteme de ecuații diferențiale să se transforme într-o problemă de algebră ([12], pg. 124).

Definiție 8. Fie o funcție f:[0,∞)→C, transformata Laplace a acestei funcții este:

(84)

Transformata Laplace există pentru funcții original cu proprietățile:

f(t)=0, t<0;

f are un număr finit de puncte de discontinuitate de prima speță, pe orice interval finit;

f are un ordin exponențial de creștere astfel încât:

(85)

unde constantele M, τ ≥ 0. τ se numește indice de creștere.

Teoremă 14. Fie funcția reală și continuă f care verifică relația (85). Dacă se presupune că f’(t) este continuă pe porțiuni atunci:

(86)

Această teoremă se poate adapta pentru derivatele de ordin n și devine:

(87)

Inversa transformatei Laplace este dată de integrala complexă cunoscută sub numele de Bromwich integral sau Fourier-Mellin integral ([13], pg. 69).

Teoremă 15. Dacă f este o funcție original și

(88)

atunci se deduce formula:

(89)

unde σ0 este indicele de creștere cel mai mic, denumit abscisă de convergență.

Dacă se consideră sistemul de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți:

(90)

Determinarea soluției care verifică condițiile inițiale Cauchy: yk(0)=yk cu k=1,2,…, n, se realizează prin aplicarea transformatei Laplace și se obține:

(91)

unde: L{yk(t)}=Yk(s) și L{bk(t)}=Bk(s), k=1, 2…., n.

Dacă soluția sistemului (90) se exprimă prin intermediul matricei exponențiale, atunci eAx se determină în urma aplicării transformatei Laplace

sistemului diferențial. Dând factor comun în relația (91) rezultă:

(92)

Soluția sistemului se determină prin aplicarea transformatei Laplace inverse:

(93)

(94)

Exemplul 18. Circuitul RLC serie, din figura 1 are condițiile inițiale nule. Să se determine expresia curentului prin circuit și a sarcinii pe condensator atunci când se aplică un semnal treaptă de tensiune u(t)=1. Elementele circuitului sunt: R= 1 Ω, L=0.25 H, C=1 F, U=1V.

Figura 1. Circuitul serie RLC

Soluția unui sistem cu timp continuu, y(t), cu condiții inițiale nule se obține rezolvând sistemul de ecuații diferențiale, y’=A·y+B·u, este:

unde matricea exponențială este:

Ecuațiile circuitului sunt:

Acest sistem poate fi rescris în funcție de derivatele mărimilor de stare astfel:

Matricile sistemului vor fi:

Matricea exponențială se calculează conform formulei (94):

Înlocuind valorile numerice rezultă:

Termenul de sub integrală devine:

Calculând integrala, soluția este:

2.5 Sisteme simetrice

2.5.1 Integrale prime

Fie sistemul canonic de ecuații diferențiale:

(80)

unde f(y1, y2,….,yn)≠0 și sunt definite pe . Dacă în (80) se înlocuiește

atunci sistemul de ecuații diferențiale este echivalent cu:

(81)

Un sistem de ecuții diferențiale de ordinul întâi se poate exprima sub forma următoare:

(82)

unde funcțiile fm satisfac condiția: . Sistemul (82) se numește sistem de ecuații diferențiale sub formă simetrică, ([7], pg.57). Dacă se alege xn variabilă independentă sistemul simetric (82) devine un sistem de n-1 ecuații cu n-1 necunoscute de ordinul întâi.

(83)

Dacă se introduce variabila independentă y, prin egalarea ecuațiilor diferențiale (83) cu dy va rezulta un sistem cu n ecuații diferențiale de ordinul întâi:

(83)

Soluția generală sub formă implicită a sistemului (82) este:

(84)

Dacă se rezolvă sistemul în raport cu c1, c2,….cn soluția generală a sistemului (82)

se mai poate scrie:

(85)

unde funcțiile ψ1, ψ2,….,ψn și derivatele lor sunt continue pe D.

Definiție 9. Orice relație din soluția generală, obținută în raport cu constantele arbitrare se numește integrală primă a sistemului de ecuații diferențiale.

Dacă se cunosc n integrale prime independente ale sistemului simetric se cunoaște soluția generală a sistemului.

Definiție 10. Funcția ψ(x, x1, x2,…, xn):[c,d]×D→ este o integrală primă a sistemului (80) pe o submulțime deschisă S a mulțimii [c,d] ×D, dacă ψ aparține clasei C1(S), nu este identic constantă însă:

(86)

de-a lungul oricărei traiectorii y1=ϑ1(x), y2=ϑ2(x),….,yn= ϑn(x).

Rezolvarea sistemului (80) este echivalentă cu deducerea a n integrale prime independente.

2.5.2 Metoda aproximațiilor succesive

Dacă sistemul:

(87)

nu se poate integra prin metodele amintite se vor calcula o serie de aproximații care se apropie de soluția generală cu o eroare impusă apriori. Se consideră că funcțiile fi îndeplinesc condițiile teoremei de existență și se alege un punct interior lui D (x0, y10, y20,….,yn0), ([6]), pg rosc.

Șirurile de funcții care converg uniform către soluția sistemului și care îndeplinesc condițiile inițiale yjk(x0)=yj0, j=0, 1, …, n, k=0,1,… au următoarea formă:

(88)

și se construiesc în intervalul . Aproximațiile succesive se calculează conform relațiilor:

(89)

Soluția aproximativă este cu atât mai apropiată de soluția exactă cu cât k este mai mare.

2.5.3 Metoda combinațiilor integrale

Fiind date funcțiile fi(y1, y2,…, yn) continue care nu se anulează simultan pe D, se construiește egalitatea ([14], pg.69):

(88)

unde λ1, λ2,…, λn sunt funcții continue arbitrare.

Definiție 11. Sistemul de n funcții continue pe D, λ1(y1, y2, …, yn), λ2(y1, y2, …, yn)…. λn(y1, y2, …, yn) care îndeplinesc condițiile:

(88)

pentru orice (y1, y2,…, yn)se numește combinație integrabilă a sistemului pe domeniul D.

Diferențiala este o integrală primă a sistemului (82). Dacă pe D, o consecință a ecuațiilor sistemului este: =0 pe D. Prin urmare funcția:

(89)

este o integrală primă a sistemului.

Exemplul 19. Să se integreze sistemul de ecuații diferențiale:

Luând primele două rapoarte se obține integrala primă:

Înmulțind rapoartele pe rând cu x, y și z se obține combinația integrală:

Integrala primă aferentă este:

Integrala generală a sistemului dat rezultă:

Exemplul 20. Să se integreze sistemul de ecuații diferențiale:

Din primele două rapoarte rezultă integrala primă:

y2+x2=c1.

Adunând cele trei rapoartele și apoi egalându-le cu suma primelor două se obține egalitatea:

Cea de-a doua integrală primă devine:

Soluția generală a sistemului este:

METODE NUMERICE DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Sistemele de ecuații diferențiale stau la baza multor aplicații practice și tehnice. Rezolvarea exactă a sistemelor este posibilă pentru o clasă restrânsă de ecuații. Comportamentul dinamic al sistemelor fizice conduce la modele matematice formate din sisteme de ecuații diferențiale care nu pot fi rezolvate pe cale analitică, deoarece conțin funcții complicate ca formă sau funcții cunoscute doar pe baza unor valori în puncte date tabelar și obținute pe cale experimentală. Din acest motiv se recurge la rezolvarea numerică a acestora [15], [16]. Metodele numerice utilizate în aproximarea soluțiilor se rețin în tabele de valori ale funcției necunoscute, calculate folosind o valoare deja calculată, metode unipas sau mai multe valori calculate numite metode multipas.

3.1 Metoda lui Euler

Metoda lui Euler este o procedură de calcul numeric de ordinul întâi, unipas pentru rezolvarea ecuațiilor și sistemelor de ecuații diferențiale atunci când valoarea inițială este cunoscută ([16], pg. 230). Este cea mai simplă metodă numerică de integrare a ecuațiilor diferențiale și se obține din metoda Taylor setând n=1.Dacă se alege un pas de integrare h care împarte intervalul de definiție [c,d] în segmente egale atunci formula de definiție este pentru o ecuație diferențială este:

(90)

Dacă se consideră un sistem de ecuații diferențiale ordinare cu condiții inițiale:

; , (91)

unde punctele sunt echidistante, pasul h fiind: , , atunci valorile funcțiilor , la un pas j, se determină cu relațiile:

(92)

Deoarece în unele aplicații, rezolvarea cu metoda Euler prezintă unele dificultăți din punct de vedere a preciziei se folosesc alte variante ale metodei cu precizie mai mare. Cele mai populare sunt metoda lui Euler modificată sau metoda Euler predictor-corector.

Exemplul 21. Să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale pe intervalul [0,8], cu

condiții inițiale Cauchy folosind metoda lui Euler:

Rescriind sistemul sub formă matricială rezultă: Y’(x)=F(x, Y(x)) unde:

În acest caz x0=0, iar h=0.08. Prima iterație va fi:

Reprezentarea grafică a soluțiilor obținute pentru xi=x0+h·i, i=0, 1…N se poate observa în figura 2 și respectiv figura 3:

Figura 2. Reprezentarea grafică a Figura 3. Reprezentarea grafică a

soluției Y1(x) soluției Y2(x)

3.2 Metoda Runge – Kutta

În metodele de tip Runge – Kutta nu se utilizează derivatele de ordin superior, se întâlnesc doar derivatele de ordin 1 ale funcției , adică valorile funcției . Valorile funcției se calculează într-un număr de puncte intermediare ale intervalului pentru determinarea soluției cu o eroare minimă ([17], pg.508).

Există mai multe variante ale metodei Runge – Kutta cea mai des întâlnită fiind metoda Runge – Kutta de ordinul 4. Pentru sisteme de ecuații diferențiale algoritmul metodei Runge – Kutta de ordinul 4 este:

(93)

unde k1,…k4 sunt definiți de relațiile:

(94)

În general metoda Runge – Kutta produce rezultate cu o acuratețe mai bună decât metodele Euler, dar prezintă un timp de calcul mai îndelungat datorită evaluării la fiecare pas, a celor patru funcții.

Exemplul 22. Să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale pe intervalul [0,3], cu

condiții inițiale Cauchy folosind metoda lui Runge – Kutta de ordinul patru:

Pasul devine: h=0.03, iar intervalul este xi=x0+h·i. Pentru rezolvarea în Mathcad se fac notațiile:

Algoritmul Runge – Kutta este:

Soluția este determinată de iterațiile i=1,2….N:

unde k1i-1=k1(xi-1, y1i-1,y2i-1),…., r4i-1=r4(xi-1, y1i-1,y2i-1).

Graficele soluțiilor y1 și y2 determinate prin metoda Runge–Kutta sunt prezentate

în figura 4 și respectiv figura 5.

Figura 4. Reprezentarea grafică a Figura 5. Reprezentarea grafică a

soluției y1(x) soluției y2(x)

3.3 Metoda predictor-corector

Metoda face parte din seria metodelor multipas. Există mai multe tipuri de metode predictor-corector: Adams, Milne, Hamming sau Euler ([18], pg.230). În continuare se prezintă metoda predictor-corector Euler care rezultă din versiunea clasică a metodei lui Euler (relația predictor) și metoda modificată (relația corector). Primul pas al algoritmului este de a calcula o primă aproximație a lui yi cu relația:

(95)

La un pas oarecare j al procesului iterativ, noua valoare a lui yi este dat de formula iterativă:

(96)

Metoda predictor-corector Euler se aplică sistemului de ecuații diferențiale din Exemplul 21 care a fost rezolvat cu metoda Euler clasică. Aplicând relațiile (95) și (96) pentru o constantă j=1,2,…M

În figura 6 se poate observa o diferență redusă între soluția y1 obținută prin cele două metode.

Figura 6. Comparație între metoda lui Euler clasică și metoda predictor-corector

Metoda predictor-corector Euler, reprezentată în grafic prin puncte albastre are o acuratețe mai ridicată decât metoda Euler clasică.

3.4 Funcții predefinite în Mathcad

Programul de calcul numeric, Mathcad, are predefinite o serie de funcții pentru rezolvarea ecuațiilor și a sistemelor de ecuații diferențiale. Sistemele de ecuații diferențiale de ordinul 1, se pot rezolva cu funcțiile rkfixed și rkadapt care rezolvă numeric sistemele diferențiale prin metoda Runge-Kutta cu pas fix și respectiv cu pas adaptiv.

Sintaxa funcției este rkfixed(y,x0,x1,N,D), unde y este vectorul valorilor inițiale, x0, x1 sunt capetele intervalului, n este numărul punctelor intermediare, iar D este o funcție de variabile x și y ce definește membrul drept al ecuației. Aceeași sintaxă este valabilă și pentru funcția rkadapt. Pentru exemplificare se prezintă următorul sistem rezolvat în Mathcad:

Exemplul 23. Să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale cu condiții inițiale Cauchy pe intervalul [0,5], utilizând funcția rkfixed:

Argumentele funcției rkfixed sunt:

Soluția va fi determinată prin apelarea funcției: sol=rkfixed(Y0,x1,x2,N,D).

Vizualizarea grafică a soluțiilor obținute cu funcția rkfixed se poate observa în figurile 7 și figura 8. Pentru sistemul propus se observă că soluția converge spre o valoare fixă după un număr redus de iterații.

Figura 6. Reprezentarea grafică a Figura 7. Reprezentarea grafică a

soluției y1(x) soluției y2(x)

Pentru sistemele de ecuații diferențiale cu proprități precum „stiffness” unde matricea discretă este aproape singulară sau „smooth” unde există o variație lentă se propun funcțiile predefinite stiffb(y,x0,x1,n,D,J), stiffb(y,x0,x1,acc,D,kmax, save) sau bulstoer(y,x0,x1,acc,D,kmax,save).

CONCLUZII

În această lucrare s-au prezentat succint atât metode analitice cât și metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuații diferențiale. Cel mai des întâlnite în aplicații sunt sistemele de ecuații diferențiale de ordinul întâi, așadar lucrarea de față s-a concentrat pe metodele de rezolvare aferente acestui tip de sisteme. S-au studiat principalele tipuri de sisteme diferențiale de ordinul întâi și s-au sintetizat metodele de rezolvare ale acestora.

Pentru o înțelegere mai profundă a noțiunilor și a algoritmilor numerici de rezolvare a sistemelor de ecuații diferențiale, s-au propus o serie de exemple concludente corespunzătoare metodelor utilizate. Alegerea metodei de rezolvare depinde în primul rând de forma sistemului diferențial, iar apoi de factori precum timpul de calcul, acuratețe sau precizie.

Sistemele diferențiale au aplicabilitate într-un domeniu de acțivități și cercetări foarte larg precum: medicină, chimie, fizică, marketing sau inginerie. Atunci când sistemele de ecuații diferențiale au o formă complicată și nu pot fi rezolvate analitic, rezolvarea acestora se realizează prin intermediul metodelor numerice. În ultima parte a lucrării s-au selectat și prezentat modele de algoritmi numerici atât pentru metode numerice unipas cât și pentru metode multipas. Soluția unor tipuri particulare de sisteme se poate identifica și prin utilizarea funcțiilor predefinite din Mathcad. O parte din aceste funcții au fost detaliate și aplicate pe un exemplu concret. Rezultatele numerice prezentate în această lucrare evidențiază gama largă de probleme practice care se pot soluționa prin metode numerice.

BIBLIOGRAFIE

Bird J., Electrical Circuit Theory and Technology, Revised Second Edition, Newnes, ISBN 0 7506 5784 7, (2003).

Duda I., Dunca A., Lecții de geometrie analitică, Ed. FRM, București, ISBN 978-973-163-059-5, (2007).

Ortiz E. L., The Tau Method, SIAM J. Numerical Analysis, 6, pg. 480-492, (1969).

Adomian G., Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method, Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, (1994).

Li Y., Geng F., Cui M., The Academic Solution of a System of Nonlinear Differential Equations, Int. Journal of Math. Analysis, Vol.1, nr.10, pg.451-462, (2007).

Roșculeț M.N., Analiză matematică vol.II, Ed. Didactică și Pedagogică, București, (1966).

Crăciun I., Capitole de matematici speciale, Ed. PIM, Iași, pg.47-81, (2007).

Stoica C., Ecuații și sisteme cu derivate parțiale prin exerciții și probleme, Ediția a II-a revăzută și completată, Ed. Mirton, pg. 68-94, (2004).

Coftas N., Elemente de Algebră Liniară, Ed. Universității din București, (2009).

Strang G., Linear Algebra and Its Applications, Third Edition, Thomson Learning, ISBN: 0-15-551005-3, pg.453-460, (1988).

Meyer D. C., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN: 0-89871-454-0, pg.574-598, (2000).

Kreyszig E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley, ISBN-13: 978-0-471-72897-9, pg.124-169, (2006).

Stroud K. A., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition, Palgrave Macmillan, ISBN: 1-4039-0312-3, pg.47-143, (2003).

Rotman J. J., Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN: 0130878685, (2002).

Coman Gh., Analiză numerică, Ed. Libris, Cluj-Napoca, (1995).

Quarteroni A., Sacco R., Saleri F., Numerical Mathematics, Springer, pg. 469-527, (2000).

Dukkipati R. V., Numerical Methods, New Age International Publishers Lmt., ISBN (13) : 978-81-224-2978-7, pg. 265-307, (2010).

Berbente C., Mitran S., Zancu S., Metode Numerice, Ed. Tehnică, (1997).

=== abstract ===

ABSTRACT

The systems of differential equations arise in many areas of study such as mathematics, physics, chemistry, economics or biology. Some of the physical processes like: the movement of a material point in a conservative field, free fall of the bodies or the displacement of an elastic membrane under the action of a continuous charge have been of great interest to the scientists.

The creators of the differential theory were I. Newton and G. M. Leibniz. A significant number of mathematical models of the real processes contain at least one differential equation. Newton started from the study of the dynamical problem of a material point and Leibniz was studying the inverse problem of the tangents. Leibniz introduced the term differential equation and his studies were continued by other mathematicians as Euler, Laplace, Cauchy, Picard, etc. Euler presented a definition and a solution to this type of equations. Cauchy proposed and solved the existence theorem and the uniqueness theorem and Picard developed the succesive approximation method. These theorems were further simplied by Lipschitz. Nowadays, the theory of differential equations and systems of differential equations, respectively is well defined.

The development of modern technology has caused large and complicated differential based applications. In order to obtain an approximate solution, different numerical methods have been proposed. Due to the increasing performances of high speed electronics and computers, solutions with sufficient accuracy can be easily determined.

This work has been structured in 3 main chapters followed by a chapter of conclusions and . Within each chapter, the main solving methods are attended by complete solved examples.

In the first chapter an original approach of the general form and the existence theorem of the systems of differential equations have been presented.

The second chapter approached the first order systems of differential equations. Four types of systems have been studied. For each type of system, one or more analytical methods have been discussed.

In the third chapter unipass and multipass numerical methods for solving systems of differential equations have been described. The compromise between accuracy and compution time depends upon the application.

In the Conclusions chapter the main ideas of this work have been drawn.