Informatica Aplicata

CUPRINS GENERAL

Prefață 9

Capitolul 1

Generalități despre Informatică / Computer Science

ITC, Sisteme de calcul și platforme software 11

Capitolul 2

Teoria erorilor și a incertitudinilor

Calcule statistice și modele de aproximare 45

Capitolul 3

Modele de aproximare neliniare

Calcule matematice

și aplicații 109

Capitolul 4

Conceperea și elaborarea lucrărilor științifice,

Editarea formulelor matematice și a structurilor chimice,

Teorema lui Green și aria unui poligon oarecare,

Tehnologii e-Learning și software educațional 157

Capitolul 5

Aplicații pentru Laborator,

Modele de regresie, probleme rezolvate

Teme pentru Laborator 215

Bibliografie 263

C U P R I N S

Prefață . 9

1 Generalități despre Informatică 11

1.1 Impactul calculatorului asupra cunoașterii 14

1.2 Sisteme de calcul și gândirea algoritmică 19

1.3 Componenta hardware 23

1.4 Componenta software 25

1.5 Componenta Web și sistemul Internet 26

1.6 Componenta de securitate informatică 34

1.7 Componenta de aplicații și platforme 35

2 Teoria erorilor și modele de aproximare 45

2.1 Generalități despre erori, incertitudini și aproximări 47

2.2 Cazuri speciale: metode și algoritmi noi 56

2.3 Indicatori statistici 71

2.4 Distribuția, propagarea și estimarea erorilor 76

2.5 Analiza datelor experimentale. Modele matematice 85

2.6 Modele liniare. Regresia liniară 99

2.7 Exemple și aplicații practice 102

3 Modele de aproximare neliniare 109

3.1 Puncte de extrem ale funcțiilor reale 111

3.2 Aplicații și suport software 113

3.3 Modelul matematic al regresiei neliniare 129

3.4 Modelul logaritmic 131

3.5 Modelul exponențial 136

3.6 Modele neliniare în Farmacocinetică 144

4 Conceperea și elaborarea lucrărilor științifice 157

4.1 Motodologia elaborării și editării lucrărilor științifice 159

4.2 Editarea formulelor matematice 171

4.3 Editarea structurilor chimice 177

4.4 Teorema lui Green și aria unui poligon oarecare 199

4.5 Tehnologii e-Learning și software educațional 206

5 Aplicatii, probleme și teme pentru Laborator 215

5.1 Determinarea modelelor liniare și neliniare 219

5.2 Parametrizarea și rezolvarea problemelor 227

5.3 Teme pentru Laborator 237

PREFAȚĂ

Calculatorul: mijloc de formare a unei noi viziuni

asupra educației, cercetării și inovării.

Mediile din natură sunt guvernate de limbaje. Omul a inventat calculatorul, limbajele și științele pentru cunoaștere. Prin intermediul calculatorului se prelucrează informațiile și cunoștințele. Pentru reprezentarea și prelucrarea informațiilor calculatorul utilizează limbajele artificiale.

Acest fapt dovedește că limbajele au fost inventate nu numai pentru comunicarea informațiilor, ci mai ales pentru prelucrarea informațiilor.

Prezentul curs de Informatică destinat studenților de la Chimie nu este un curs de Matematică, de Statistică sau de Analiză numerică, și nici curs de Chimie sau Fizică. Conținutul și competențele urmărite a fi căpătate trebuie să-i ajute pe studenți să înțeleagă conținutul celorlalte cursuri din programul de studii pentru Chimie și Fizică. Astfel, vor avea posibilitatea să înțeleagă diverse calcule matematice, calcule statistice, calcule numerice sau analiza datelor experimentale prin utilizarea calculatorului, a sistemelor software moderne, a tehnologiilor Web și a sistemului Internet, și în general prin utilizarea TIC (Tehnologiile Informației și Comunicației; ICT- Information and Communication Technologies).

La finalul programului de studii, în cadrul programului de Master, studenții de la Chimie trebuie să aibă posibilitatea (în străinătate această posibilitate există în mod concret) să-și aleagă rute de specializare care să cuprindă și cursuri specializate de Matematică și Informatică (de ex. geometrie computațională sau cercetări operaționale), statistică matematică, informatică (de ex. inteligență artificială sau computer graphics), sau cursuri interdisciplinare, etc.

„Computer Science” (Știința calculului) si „Informatics” (Informatică) au fost considerate concepte identice. Astăzi, termenii sunt diferiți. Publicul larg confundă uneori Computer Science cu Informatics sau Information Technology (IT) / Tehnologia Informației (IT). Utilizarea sistemelor de calcul (prelucrarea informațiilor și prelucrarea de cunoștințe – inteligența artificială), a schimbat lumea și continuă să influențeze aproape fiecare aspect al vieții noastre, inclusiv în medicină și asistență medicală, în afaceri și finanțe, în educație și formare continuă, în știință și tehnologie, în politică și guvernare, în divertisment, etc.

În enumerarea de mai jos (cuvinte cheie reprezentative), scoatem în evidență complexitatea dinamicii tehnologiei și evoluția TIC.

1990 versus 2010 – NU existau, dar astăzi există:

www, web technologies, web programming, web server, router, proxy, spider, e-mail, HTML, XML, PHP, URL, My SQL, DNS, DHCP, cookie, .com, .edu, .ro, .eu, link, Google, Facebook, Yahoo, Mozilla, Chrome, chat, skype, Yahoo! messenger, twitter, SMS, RSS, BBS, CSS, SSL, SSH, Firewall, Page rank algorithm, e-learning, educational software, virtual learning, e-commerce, e-training, iPhone, iPad, SmartPhone, Tablet PC, Android OS, Blackberry, Cloud computing, Touch technology, interactive table, online journal, online courses, digital library, open source, Flash, PDF, CMS, Moodle, Drupal, Joomla!, Wikipedia, wiki, blog, Java, JavaScript, Windows OS, Linux, Microsoft Azure platform.

Ce se va întâmpla în anul 2020?

22 iunie 2012 , București Marin Vlada

1

Generalități despre Informatică /

Computer Science

De-a lungul vremii, în toate domeniile științifice se schimbă teoriile, metodele și tehnicile de investigare, de aceea dinamica cunoașterii umane influențează dezvoltarea generală a societății umane. Pentru a obține evoluție și eficiență în viața sa, omul trebuie să se adapteze continuu la aceste schimbări ale cunoașterii. În domeniul educației, și în special al învățării și perfecționării, apariția de noi tehnologii ale informației și comunicării (TIC), îmbunătățirea teoriilor pedagogice și psihologice, obligă pe elevi/studenți, profesori, părinți și pe specialiști, să se adapteze la aceste schimbări.

Implementarea și utilizarea de tehnologii moderne în educație și cercetare reclamă mobilizarea și susținerea diverselor inițiative, programe și proiecte ale instituțiilor publice, organizațiilor profesionale sau individual ale specialiștilor din domeniul eLearning, cercetătorilor, profesorilor din învățământul universitar și preuniversitar, inspectorilor, consilierilor, pedagogilor, psihologilor, elevilor și studenților. Astfel, după anul 2000, când s-au extins și dezvoltat tehnlogiile Web 2.0 și Learning 2.0 s-au abordat programe și proiecte legate de:

strategii de dezvoltare și formare,

management de proiecte,

lucru în echipe,

metodologii de implementare.

Informatica a devenit o știință deoarece utilizeaza metode, tehnici și instrumente proprii pentru investigarea obiectelor și proceselor pe care le definește și cu care operează. Tezaurul științific al Informaticii este rezultatul unor simbioze de cunoștințe și cercetări provenite și de la alte științe (matematică, cibernetică, microelectronică, fizică, chimie, etc.) și care prin metode și tehnici proprii, și utilizînd dispozitive speciale (sisteme de calcul-calculatoare) prelucrează informații și cunoștințe pe care trebuie să le interpreteze, să le transforme și să le comunice.

Informatica este una din cele patru științe exacte: MATEMATICĂ, FIZICĂ, CHIMIE, INFORMATICĂ (Ref.: studii universitare de licență, 2005)

Tezaurul stiintific al unei stiinte se formeaza si se pastreaza de la o generatie la alta prin intermediul teoriilor, experimentelor, limbajelor si mediilor de stocare a cunoasterii.

Științele au apărut în diverse etape specifice de dezvoltare a societății umane și s-au dezvoltat ca urmare a acumularii de cunoștințe despre realitatea înconjurătoare și despre o realitate virtuală. Fiecare știință reprezintă un continuu proces al cunoașterii ce utilizează metode și tehnici de observare și experimente, metodologii și tehnologii într-o continuă perfecționare, metode proprii de cercetare, informații proprii despre obiectele investigate, un limbaj științific propriu. Prin apariția calculatorului și a noilor tehnologii de prelucrare a informațiilor și cunoștințelor științele au realizat salturi mari în acumularea de noi cunoștințe și noi descoperiri. Prin urmare, știința este un generator de cunoștințe obținute prin activitatea oamenilor de știință ce adaugă de fiecare dată la fondul comun al științei, cunoștințe noi, descoperiri noi, revizuiri ale unor cunoștințe vechi, realizând astfel o dezvoltare permanentă a științei.

1.1 Impactul calculatorului asupra cunoașterii

Piloni ai CUNOAȘTERII:

Limbaje;

Teorii-Metode-Tehnici;

Medii de stocare;

Învățarea.

LIMBAJE

Mediile din natura sunt guvernate de limbaje. Omul a inventat calculatorul, limbajele și științele pentru cunoaștere: rezolvarea problemelor, evoluția și stocarea cunoșterii. Prin intermediul calculatorului (computer) se prelucrează informațiile (IT- Tehnologia informației). Pentru reprezentarea și prelucrarea informațiilor calculatorul utilizează limbajele artificiale. Acest fapt dovedește că limbajele au fost inventate nu numai pentru comunicarea informțiilor, ci mai ales pentru prelucrarea (procesarea) informațiilor.

(EN: Natural environments are ruled by languages. Computer science use artificial languages. Languages exist therefore, not for communication purposes alone, but particullarily for knowledge.)

Observație: Apariția microprocesorului (in anul 1972) a determinat performanțe mari ale prelucrării informațiilor: viteza de calcul, timp de execuție a programelor, interactivitatea în utilizarea calculatorului.

MEDII DE STOCARE

Evoluția cunoașterii este infuențată de natura și performanța reprezentării și stocării: hârtie (cărți și reviste), suport magnetic, suport optic, etc.

ÎNVĂȚARE

Societatea umană se dezvoltă prin Cunoaștere și Învățare. Dacă Dezvoltarea și Cunoașterea se moștenesc, Învățarea nu se poate moșteni, ci se formează și se perfecționează continuu, pe tot parcursul vieții (Blended learning).

Definiția 1.1. Un produs software este un rezultat/produs obținut în urma unui proces creativ uman, fiind un obiect/istrument utilitar, distinct și identificabil individual ca element virtual/logic și care fizic există în format electronic (digital) pe un suport de memorie magnetică/optică de tip FD (floppy disk), HD (hard disk), CD (compact disk) sau Memory Stick/Flash. Formatul electronic (digital) al produsului poate reprezenta: un program ce rezolvă anumite probleme, un sistem de operare, un compilator, un interpretor, un program convertor, un program utilitar, un mediu de operare, un mediu de programare, un mediu de rezolvare, o platformă, o procedură, un program editor, un generator de programe, un program ativirus, un document HTML/PHP/ASP/JS, un program de e-mail, un browser, etc.

Algoritmi, Proiecte și Limbaje de programare: Concepte ce au revoluționat științe și au avut impact deosebit în planificarea, organizarea, execuția și controlul activităților umane și nu numai.  La baza obținerii produselor software se află evoluția și dezvoltarea limbajelor de programare.

Evoluția și utilizarea conceptelor de Algoritm și Proiect au contribuit la inventarea, conceperea, elaborarea, implementarea și utilizarea limbajelor de programare ce sunt limbaje artificiale. Limbajele sunt instrumente ale gîndirii.

"The only real valable think is intuition" Albert Eistein (1879 – 1955)

Figura 1. Relația Învățare-Cunoaștere- Dezvoltare (M. Vlada, © 2008)

Figura 2. Book: A whole new mind by Daniel Pink

(http://www.danpink.com/whole-new-mind)

Figura 3. Triada Sistem de calcul-Algoritmică-Programare (M. Vlada, © 2004)

Creativity, Technology and Learning by Avril M Loveless
"Critical Thinking is my life, it's my philosophy of life. It's how I define myself … I'm an educator because I think these ideas have meaning. I'm convinced that what we believe in has to be able to stand the test of evaluation." John Chaffee
“If we were compelled to make a choice between these personal attributes and knowledge about the principles of logical reasoning together with some degree of technical skill in manipulating special logical processes, we should decide for the former.” John Dewey

Figura 4. Critical Thinking (Gândirea critică)

Sursa: http://www.insightassessment.com , Dr. Peter A. Facione

Pseudo-ecuații:

ALGORITM = LOGICĂ + CONTROL (R. Kowalski 1979)
PROGRAM = ALGORITM + STRUCTURI DE DATE (N. Wirth 1976)
SISTEM EXPERT = CUNOAȘTERE + METAINTERPRETARE (Sterling 1984)

MODELARE = CUNOAȘTERE + REPREZENTARE

LIMBAJE = PROCESARE + INTERPRETARE

Calculatorul: mijloc de formare a unei noi viziuni asupra educației, cercetării și inovării

Promovarea tehnologiilor moderne în educație și cercetare

"Cea mai bună modalitate de a prezice viitorul este să îl creezi tu însuți" Peter Drucker

"Imagination is everything. Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited to all we now know and understand, while imagination embraces the entire world, and all there ever will be to know and understand". A. Einstein

Figura 5. Cele 4 valuri ale societății informaționale

Figura 6. Inițiativa Intel® Education, http://c3.icvl.eu/2011/

1.2 Sisteme de calcul și gândirea algoritmică

Coponenta HARDWARE

Componenta SOFTWARE

Componenta Web – Rețele și sistemul Internet

Componenta de securitate informatică

Componenta de Aplicații-programe sepecializate, sisteme informatice

Figura 7. Componentele integrate (hardware-software) ale sistemelor de calcul

Limbajele sunt instrumente/unelte ale gândirii : Gândirea algoritmică

Astăzi, limbajele (limbajele naturale, limbajele științifice/tehnice/economice și limbajele artificiale din domeniul calculatoarelor) sunt utilizate nu numai pentru comunicare, ci mai ales pentru exprimarea de idei, pentru a reprezenta cunoștințe, pentru a explora și prelucra cunoștințele reprezentate și gestionate. Limitele limbajelor privind modul de reprezentare a cunoștințelor, comunicarea și explorarea cunoștințelor, prelucrarea și gestionarea cunoștințelor sunt condiționate de caracteristicile fiecărui limbaj: alfabet, sintaxă, semantică, construcții lexicale, concepte și termeni, structuri etc. În actul de procesare un limbaj folosește termenul de “entitate” prin intermediul căruia se realizează procesarea și cunoașterea.

Definiția 1.2. Un limbaj de cunoaștere este sistemul virtual/logic

L = ( V, Sin, Sem, O, C, T, Tc) , unde

V = vocabular/alfabet, Sin = sintaxa (reguli), Sem = semantica (reguli), O = obiecte, C = concepte / termeni, T = teorii / metode / tehnici de rezolvare, Tc = tezaurul cunoașterii (baza de cunoștințe).

Limbajele cunoașterii sunt:

Limbajele naturale (utilizate de popoare; limbile popoarelor) – entitate=cuvânt ; construcțiile lexicale descriu stări, imagini, acțiuni etc.;

Limbajele științifice/tehnice/economice … (utilizate în domeniile științelor)- entitate=cunoștință; studiul obiectelor și a relațiilor dintre obiecte în domeniile matematică, fizică, chimie, informatică, biologie, economie, etc. ;

  Limbajele artificiale (utilizate în domeniul calculatoarelor) formate din:

Limbaje de programare procedurală – entitate=locație de memorie

Limbaje de programare fucțională – entitate=element de listă

Limbaje de programare logică – entitate=obiect / clauză

Limbaje de programare obiectuală – entitate=obiect

Limbaje de programare Web – entitate=elemente multimedia

Limbaje pentru baze de date – entitate=înregistrare

Limbaje pentru grafică pe calculator – entitate=obiect grafic

Limbaje pentru modelare-simulare – entitate=eveniment

  Limbaje pentru sisteme de operare – entitate=proces

Limbaje pentru Inteligența Artificială – entitate=cunoștință

Figura 8. Nivelele limbajelor în relația Utilizator-Calculator

În etapa actuală de dezvoltare științifică și tehnică, rezolvarea unei probleme din diverse domeniu (matematică, fizică, chimie, informatică, etc. ) reprezintă o activitate de creație, un raționament prin construirea, generarea, descrierea următoarelor aspecte, înainte de un proces de execuție (realizat de un calculator/o mașină de calcul):

proces demonstrativ (demonstrația) care să arate existența unei soluții sau a mai multor soluții și/sau să determine efectiv soluțiile exacte;

proces computațional (algoritmul) care să codifice/modeleze un proces demonstrativ, o metodă sau o tehnică de rezolvare în scopul determinării (eventual aproximative) a soluțiilor exacte.

Figura 10. Relațiile Modelare-Limbaj-Procesare

Se poate observa că termenul de “Limbaj” este foarte important în aceeastă relație. Din experiența celor care au utilizat calculatorul și diverse tehnologii de prelucrare a informațiilor și cunoștințelor, se poate conchide faptul ca sunt necesare cunoștințe și experiență în utilizarea diverselor “limbaje” pentru rezolvarea problemelor folosind calculatorul.

1.3 Componenta hardware

Computer Systems: Componenta hardware

– scurtă descriere a tipurilor, caracteristicilor și parametrilor de performanță

1. CPU (Central Processing Unit): socket, clock freq. (MHz, GHz), multi-CPU,multi-CORE, Flops, Gflops, (cei mai importanti fabricanți: AMD, Intel); cuvânt de memorie folosit în sistemul de adrese (word) (16, 32, 64 biti).

NOTĂ: costul de fabricație (la o fabrică din Scoția) al unei CPU Intel era de 1$ în anul 2008; primul calculator IBM/360 cu care a fost dotat CCUB (Centrul de Calcul al Universității din Bucurețti) de la Facultatea de Matematică (UB) în anul 1969, prin contribuția acad. prof. Grigore C. Moisil, a costat 658.000 $ (era embargou pentru țările socialiste, iar pentru țările capitaliste costa 250.000 $). A fost adus de la Viena unde IBM avea filială.

2. RAM (Random Access Memory): memorie internă de diverse capacități (512 MB, 1024 MB, 2GB, …), tipuri: SDRAM, DDR, DDR2, DDR3, suport dual/triple channel, bus frecquency, latency.

3. HDD (Hard Disk Drive):

capacitate stocare – 120 GB, 256 GB, 512 GB, …

tehnologie clasică – SSD

conectori – IDE (ATA,PATA), SATA (SATA1,SATA2,SATA3), SCSI, SAS

viteza de transfer teoretică / magistrala (PATA-max. 133Mb/s, SATA1-1.2 Gb/s=150 Mb/s, SATA2-2.4 Bb/s= 300 Mb/s, SATA3 – 600Mb/s)

îmbunatățirea vitezei de transfer: HDD (5400, 7200, 10000, 15000 rpm), cache memory, RAID (RAID: 0=striping, îmbunătățire viteză; 1-mirroring-backup).

4. MotherBoard (placa de bază): CPU socket, RAM slots, sloturi de extensie: PCI, AGP (vechi!), PCI express (x4, x16), HDD conectors (SATA, IDE).

Figura 11. Placa de bază (Mother Board),

Ref.: http://en.wikipedia.org/wiki/Motherboard

5. Plăci de rețea (Network Connection):

a) tehnologia Ethernet

wired (Cu): clasic 10 Mbps; Fast Ethernet 100 Mbps, 1000 Mbps (max. 100 m distanță, latență mică)

wired (optical fiber): single mode, multimode > 10 Gbps (max. 1 Km distanță, latență mică)

wireless: a (5 GHz), b (2.4 GHz) 11 Mbps, g (2.4 GHz) 54 Mbps, n (2.4 GHz) – > 100 Mbps – (150,300); Securitate WEP, WPA, WPA2

b) tehnologii speciale (InfiniBand, Myrinet – latență foarte mică, utilizate la supercalculatoare).

6. Modemuri:

telefonie clasică (fir) – max. 56 Kbps

telefonie mobilă (3G, 4G) – HSDPA / HSUPA: 3.6 / 7.2 / 14.4 / 28.8 Mbps.

1.4 Componenta Software

Computer Systems: Componenta software

– scurtă descriere a tipurilor, caracteristicilor și funcțiilor

1. BIOS (Basic Input/Output Basic): low level software (firmware); conținutul stocat în memoria ROM (Read Only Memory, memoria non-volatilă scrisă de fabricant);

face legatura cu sistemul de operare (OS) și cu componenta hardware;

la inițializarea (pornirea) sistemului de calcul (Computer System) se activează automat și încarcă în memoria RAM programele ce controlează initializarea și activitatea OS;

2. OS (Operating System): sistem de programe/proceduri/servicii ce coordonează și gestionează toate resursele hardware și software ale sistemului de calcul și lansează în execuție aplicațiile sistemelor informatice pentru rezolvarea diverselor probleme specifice domeniilor de activitate ale omului.

Exemple de OS cele mai utilizate: CP/M, RSX/11M, DOS, OS/2, UNIX, Linux (open sourse, diverse distribuții), Windows (diverse versiuni), Android (ptr. iPhone); NOTA: exista peste 500 de OS (www.operatingsystems.org)

Structura de bază: kernel (nucleu), biblioteci de sistem (Library) (.dll ptr. Windows, .so ptr. Linux), drivere (.drv ptr. Windows, .ko ptr. Linux)

Caracteristici: cuvânt de memorie folosit în sistemul de adrese (word) (16, 32, 64 biti), single/multi-user, single /multi-tasking

3. Produse software: medii de dezvoltare, utilitare, aplicații și sisteme informatice

Compilatoare pentru diverse limbaje de programare: transformă codul sursă al unui program scris într-un limbaj de programare într-un fișier de tip obiect; Exemple – Visual Basic, Visual C++, Java, Prolog, Delphi, etc. ptr. Windows, gcc, gfortran, etc. pentru Linux.

Programe Linker: Genereaza fisiere executabile (în format binar) ce reprezintă forma executabilă a unui program scris într-un limbaj de programare prin asamblarea codului obiect (creat de compilator) de operații și funcții oferite de bibliotecile de sistem (sub Windows acestea sunt incluse în mediile de dezvoltare, sub Linux: ld). Notă: Lansarea în execuție a programelor are loc doar dacă există forma lor executabilă.

Interpretoare ce interpretează și execută codul sursă linie cu linie (“step by step”) fără a se efectua compilarea (Exemple – sub DOS: DOS scripting, .bat; sub Windows: VBS; sub Linux: Bash Scripting, Perl, Python, etc.)

Aplicații, utilitare, programe specializate: Office (MS Office, OpenOffice), științifice (MathCAD, Mathematica, Maple, SPSS, STATISTICA, HyperChem, etc.), inginerie și CAD (AutoCAD, …), Baze de date (FoxPro, Oracle …), Grafică pe calculator (Corel Draw, Photo Shop, …), Multimedia (filme, muzică, albume foto: Youtube, Facebook, etc.), jocuri, programe antivirus, firewall, etc.

Aplicații și utilitare Internet: navigatoare/browsere (Internet Explorer-IE, Mozilla FireFox, Chrome-Google, Opera, Safari, etc.), servicii e-mail, mesagerie instant (Yahoo messenger, Google chat/talk, Skype, MSM, etc.), Bloguri (WordPress, Google, etc.), Wiki și Web Page, Arhive si Biblioteci on-line (scribd, docs, etc.).

Aplicații Enterprise (ERP, Gestiunea documentelor): Sisteme informatice complexe ce conectează companiile la un ansamblu de resurse ordonate și relaționate sistemic, pe mai multe niveluri: operațional, de business, managerial, etc.

1.5 Componenta Web și sistemul Internet

Rețele de calculatoare și sistemul Internet.

– tipuri de rețele, protocoale și servicii, tehnologii cu fir și fără fir (wired technologies, wireless technologies).

Rețelele de calculatoare sunt considerate realizări (teoretice și practice) ale unor discipline: inginerie electrică, telecomunicații, informatică, tehnologia informației, tehnică de calcul.

– Folosind o rețea, oamenii pot comunica eficient și ușor prin e-mail, mesagerie instantanee, camere de chat, telefon, apeluri telefonice video și video-conferințe.

– Într-un mediu de rețea, fiecare calculator dintr-o rețea poate accesa și utiliza resursele oferite de dispozitivele din rețea. Calcul distribuit folosește resursele de calcul într-o rețea pentru a îndeplini sarcini.

Protocoale de comunicații: IP ( Internet Protocol), TCP/IP (Transmission Control Protocol), UDP (User Datagram Protocol), IPX, OSPF, BGP, etc;

Adresa IP: pentru transferul pachetelor de date prin protocolul TCP/IP sunt utilizate adresele IP ale clientului/serverului. De exemplu pentru IPv4 – 32 biți (4 bytes): există 4 grupe de cifre 0-255 de forma a.b.c.d (separate de punct);

a) IPv4 (Internet Protocol version 4) este un protocol de nivel internet TCP/IP pentru rețelele cu comutare de pachete. Versiunea Ipv4 oferă un număr de 232 (4 294 967 296) adrese unice, dar la începutul anului 2011 au fost alocate ultimele adrese. De aceea, s-au cautat mai multe soluții de a mări acest spațiu de adrese. S-a optat pentru un nou protocol numit Ipv6 ce oferă adrese de128 de biți, adică un număr de 2128 adrese unice (spațiu suficient pentru 1015 obiectiv- adrese și subrețele, adică în total 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.456 adrese). „In IPv4 an address consists of 32 bits which limits the address space to 4 294 967 296 (232) possible unique addresses. IPv4 reserves some addresses for special purposes such as private networks (~18 million addresses) or multicast addresses (~270 million addresses)”. Localizare IP (IP Finder – Check My IP Address): http://www.ip-address.org/. Ex.: 193.226.51.39 – adresa IPv4 a serverului www.chimie.unibuc.ro .

Lansarea mondiala IPv6. Evenimentul "Lansarea mondiala IPv6” (World IPv6 Launch: http://www.worldipv6launch.org/) organizat de Internet Society (www.internetsociety.org) a avut loc pe 6 iunie 2012.

Furnizorii de Internet din România care implementează protocolul IPv6 au realizat testele IPv6 în perioada 2011 – 2012. Testele IPv6 la care au participat mii de clienți s-au încheiat cu succes. Acum orice client din orice localitate din România se poate conecta la Internet folosind o configurație cu stivă duală (fiecare utilizator va primi simultan adrese IPv4 și IPv6) având astfel acces nativ la Internet atât pentru IPv4, cât și pentru IPv6. Prin urmare, cei care folosesc un router compatibil vor primi și un prefix IPv6 dinamic /64 prin DHCPv6 Prefix Delegation (RFC 3769) pentru a putea fi folosit în spatele routerului, în rețeaua locală. O adresă IPv6 are 128 de biți, reprezentați ca 8 grupuri de 4 cifre hexazecimale separate prin două puncte (:).128 biți sunt reprezentați ca 8 câmpuri în sistemul hexazecimal. Exemplu: 2031:0000:130F:0000:0000:09C0:876A:130B. În plus față de asigurarea spațiului mai mare de adrese, IPv6 are următoarele avantaje în comparație IPv4:

-Managementul și delegarea adreselor devine mai ușoară;

-Autoconfigurarea ușoară a adreselor; IPsec încorporat;

– Rutare optimizată; Depistarea adreselor duble.

b) Adresa IP este utilizată de protocolul IP (se utilizează forma în zecimal, octal și binar) pentru obținerea în binar a unui cuvânt de memorie (word) de 32 biți și care va fi utilizat în operațiile de dirijare a pachetelor (datelor). De exemplu, pentru adresa reprezentată în zecimal 131.15.3.19, cuvântul de memorie ce reprezintă forma binară este (se concatenează cei 4 octeți asociați pentru a, b, c si d):

131 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , 27 = 128

c) Din punct de vedere arhitectural și funcțional, nodurile sistemului Internet sunt clasificate astfel: noduri de nivel înalt (clasa A), noduri continentale (clasa B), noduri locale (clasa C), iar structura adresei IP este formată din: cod clasă, cod router, cod host (împărțirea spațiului de adrese IP în clase este utilizată de routere):

Exemple: 102.54.94.97 (rhino.acme.com, source server), 38.25.63.10 (x.acme.com , x client host), 127.0.0.1 (localhost)

DNS (Domain Name System): sistem pentru domenii de nume ce asigură legatura între adresa IP și numele serverului (exemplu: numele chimie.unibuc.ro corespunzător adresei IP 193.226.51.39); se poate face analogia dintre lista abonaților de telefonie și numerele de telefon asignate: Nume abonat-Număr telefon.

Descrierea unui nume de domeniu (max. 253 caractere) ce reprezintă o ierarhie de subdomenii (127 de nivele), de la dreapta la stânga:

Nume127 . Nume126 . … . Nume3 . Nume2 . Nume1 , unde

nivel inferior nivel superior

numei , i=1 …127 sunt etichete ce conțin fiecare max. 63 caractere (A-Z, 0-9 și cratimă/underline) și reprezintă domenii/subdomenii (NOTA: până în anul 2008 existau doar 5 nivele)

Exemple de domenii: www.unibuc.ro , www.chimie.unibuc.ro , www.c3.icvl.eu, www.c3.cniv.ro,

URL (Uniform Resource Locator): adresa ce conține DNS pentru accesarea unei pagin web, de exemplu:

URL: http://www.example.net/index.html

Top-level domain name: net

Second-level domain name: example.net

Host name: www.example.net

Protocoale & Servicii (Ports:1- 65535): în funcție de tipul datelor, tranferul pachetelor de un anumit tip se face între anumite porturi.

Exemple:

80 – http (hypertext, www – World Wide Web),

443 – https (secured hypertext transfer protocol, securitate oferită prin SSH- secure Sockets Layer)

21 – FTP (File Transfer Potocol),

25 – SMTP (Simple Mail Transfer Protocol)

Exemplu de fișier Windows: Protocoale & Servicii ( Ports:1-65535)

C:\WINDOWS\system32\drivers\etc\protocol

# Copyright (c) 1993-1999 Microsoft Corp.

#

# This file contains the Internet protocols as defined by RFC 1700

# (Assigned Numbers).

# Format:

# <protocol name> <assigned number> [aliases…] [#<comment>]

ip 0 IP # Internet protocol

icmp 1 ICMP # Internet control message protocol

ggp 3 GGP # Gateway-gateway protocol

tcp 6 TCP # Transmission control protocol

egp 8 EGP # Exterior gateway protocol

pup 12 PUP # PARC universal packet protocol

udp 17 UDP # User datagram protocol

hmp 20 HMP # Host monitoring protocol

xns-idp 22 XNS-IDP # Xerox NS IDP

rdp 27 RDP # “reliable datagram” protocol

rvd 66 RVD # MIT remote virtual disk

C:\WINDOWS\system32\drivers\etc\services

# Copyright (c) 1993-1999 Microsoft Corp.

#

# This file contains port numbers for well-known services defined by IANA

#

# Format:

#

# <service name> <port number>/<protocol> [aliases…] [#<comment>]

#

echo 7/tcp

echo 7/udp

discard 9/tcp sink null

discard 9/udp sink null

systat 11/tcp users #Active users

systat 11/tcp users #Active users

daytime 13/tcp

daytime 13/udp

qotd 17/tcp quote #Quote of the day

qotd 17/udp quote #Quote of the day

chargen 19/tcp ttytst source #Character generator

chargen 19/udp ttytst source #Character generator

ftp-data 20/tcp #FTP, data

ftp 21/tcp #FTP. control

telnet 23/tcp

smtp 25/tcp mail #Simple Mail Transfer Protocol

time 37/tcp timserver

time 37/udp timserver

rlp 39/udp resource #Resource Location Protocol

nameserver 42/tcp name #Host Name Server

nameserver 42/udp name #Host Name Server

nicname 43/tcp whois

domain 53/tcp #Domain Name Server

domain 53/udp #Domain Name Server

bootps 67/udp dhcps #Bootstrap Protocol Server

bootpc 68/udp dhcpc #Bootstrap Protocol Client

tftp 69/udp #Trivial File Transfer

gopher 70/tcp

finger 79/tcp

http 80/tcp www www-http #World Wide Web

kerberos 88/tcp krb5 kerberos-sec #Kerberos

kerberos 88/udp krb5 kerberos-sec #Kerberos

hostname 101/tcp hostnames #NIC Host Name Server

iso-tsap 102/tcp #ISO-TSAP Class 0

rtelnet 107/tcp #Remote Telnet Service

pop2 109/tcp postoffice #Post Office Protocol – Version 2

pop3 110/tcp #Post Office Protocol – Version 3

sunrpc 111/tcp rpcbind portmap #SUN Remote Procedure Call

sunrpc 111/udp rpcbind portmap #SUN Remote Procedure Call

auth 113/tcp ident tap #Identification Protocol

uucp-path 117/tcp

nntp 119/tcp usenet #Network News Transfer Protocol

ntp 123/udp #Network Time Protocol

epmap 135/tcp loc-srv #DCE endpoint resolution

epmap 135/udp loc-srv #DCE endpoint resolution

netbios-ns 137/tcp nbname #NETBIOS Name Service

netbios-ns 137/udp nbname #NETBIOS Name Service

netbios-dgm 138/udp nbdatagram #NETBIOS Datagram Service

netbios-ssn 139/tcp nbsession #NETBIOS Session Service

imap 143/tcp imap4 #Internet Message Access Protocol

pcmail-srv 158/tcp #PCMail Server

snmp 161/udp #SNMP

snmptrap 162/udp snmp-trap #SNMP trap

print-srv 170/tcp #Network PostScript

bgp 179/tcp #Border Gateway Protocol

irc 194/tcp #Internet Relay Chat Protocol

ipx 213/udp #IPX over IP

ldap 389/tcp #Lightweight Directory Access Protocol

https 443/tcp Mcom

https 443/udp Mcom

microsoft-ds 445/tcp

microsoft-ds 445/udp

kpasswd 464/tcp # Kerberos (v5)

kpasswd 464/udp # Kerberos (v5)

isakmp 500/udp ike #Internet Key Exchange

exec 512/tcp #Remote Process Execution

biff 512/udp comsat

login 513/tcp #Remote Login

who 513/udp whod

cmd 514/tcp shell

syslog 514/udp

printer 515/tcp spooler

talk 517/udp

ntalk 518/udp

efs 520/tcp #Extended File Name Server

router 520/udp route routed

timed 525/udp timeserver

tempo 526/tcp newdate

courier 530/tcp rpc

conference 531/tcp chat

netnews 532/tcp readnews

netwall 533/udp #For emergency broadcasts

uucp 540/tcp uucpd

klogin 543/tcp #Kerberos login

kshell 544/tcp krcmd #Kerberos remote shell

new-rwho 550/udp new-who

remotefs 556/tcp rfs rfs_server

rmonitor 560/udp rmonitord

monitor 561/udp

ldaps 636/tcp sldap #LDAP over TLS/SSL

doom 666/tcp #Doom Id Software

doom 666/udp #Doom Id Software

kerberos-adm 749/tcp #Kerberos administration

kerberos-adm 749/udp #Kerberos administration

kerberos-iv 750/udp #Kerberos version IV

kpop 1109/tcp #Kerberos POP

phone 1167/udp #Conference calling

ms-sql-s 1433/tcp #Microsoft-SQL-Server

ms-sql-s 1433/udp #Microsoft-SQL-Server

ms-sql-m 1434/tcp #Microsoft-SQL-Monitor

ms-sql-m 1434/udp #Microsoft-SQL-Monitor

wins 1512/tcp #Microsoft Windows Internet Name Service

wins 1512/udp #Microsoft Windows Internet Name Service

ingreslock 1524/tcp ingres

l2tp 1701/udp #Layer Two Tunneling Protocol

pptp 1723/tcp #Point-to-point tunnelling protocol

radius 1812/udp #RADIUS authentication protocol

radacct 1813/udp #RADIUS accounting protocol

nfsd 2049/udp nfs #NFS server–

knetd 2053/tcp #Kerberos de-multiplexor

man 9535/tcp #Remote Man Server

Routing (dirijare / rutare): Calculatoarele de tip router realizează transportul pachetelor de date de la sursa la destinație. Eficiența acestei operații este asigurată de împărțirea spațiului de adrese Ipv4 în clase: A, B, C. Adrese IP routabile, private (10.x.x.x, 172.16.x.x, 172.31.x.x, 192.168.x.x)

DHCP (Dynamic Host Configuration Protocol): protocol de configurare Internet Protocol (IP) pentru calculatoarele host. DHCP elimină sarcina de configurare manuală de către un administrator de rețea.

Firewall (paravan de protecție): dispozitiv sau o serie de dispozitive configurate în așa fel încât să filtreze, să cripteze sau să intermedieze traficul între diferite domenii de securitate pe baza unor reguli predefinite.

1.6 Componenta de securitate informatică

Securitatea sistemelor informatice:

– noțiuni despre atacuri informatice, riscuri, recomandări privind utilizarea calculatorului propriu

Riscuri: pierderea resurselor de pe calculatorul propriu, pierderi/furt de: date personale, bani (cont bancă online), date/informații/proiecte de specialitate

Noțiuni și termeni: malware (virus, worm, trojan), atacuri informatice (prin malware, vulnerability vs. exploit, phising-e-mail spooling, spam, website forgery, link manipulation, social engineering, brute force attack-dictionary attack al parolelor, TCP/IP sniffers / honeypots, wireless communication – WEP (foarte vulnerabil), WPA/WPA2)

Recomandări privind utilizarea calculatorului propriu:

să nu se utilizeze contul curent cu drepturi de administrator, ci unul de user obișnuit; să se lucreze pe o partiție HD diferită de C: (de exemplu D:)

să nu se instaleze software piratat (poate conține malware), ci doar programe cu licență

să nu se navigheze pe site-uri cu piraterie software

să se utilizeze parole corecte: să conțină mimim 8 caractere; passwords (combinație de litere upper/lower case, cifre, și semne de punctuație)

să se realizeze periodic Backup pentru date importante pe medii de stocare externe (HDD extern, DVD, Flash Memory)

să se instaleze program antivirus + updates la zi (free: AVG, Avira, Avast, Clamwin, etc.)

să se instaleze firewall și să se realizeze updates sistem de operare (Windows update, Linux updates)

1.7 Componenta de aplicații și platforme software

Sisteme de calcul moderne, Platforme Web 2.0

– tablete PC, Cloud computing, resurse Web pentru Chimie, platforma Wikispaces, platformei CSM oferită de site-ul www.unibuc.ro, tehnologii Web 2.0, Online Tutoring Tools.

Tablet PC – calculator portabil al cărui ecran (de regulă cu o diagonală de 12 inch.) îndeplinește o funcție dublă: cea de afișare a informației și interfață de manipulare a calculatorului (de obicei prin intermediul unui stylus –unealtă de scris sub forma unei mini-baghete din material plastic sau metal având la vârf o bobiță din plastic, folosită pentru interacțiunea cu ecranele tactile rezistive, sau folosind degetele – touch). Primul tablet a fost lansat în 2001 de către Microsoft și folosea Windows XP Tablet PC Edition.

Tipuri de Tablet PC: a) tip broșură ; b) tip placă; c) tip decapotabil; d) tip hibrid.

Figura 12. PC Tablet, Sursa: http://www.it4fans.ro/ 

TextBook vs. Tablet PC: Korea to digitise school books, Coreea de Sud schimbă manualele cu Tablete PC (Proiect pentru anul 2015)

The South Korean government has said it plans to digitise all textbooks for elementary, middle and high school students by 2015. This plan for "smart education" is aimed at helping students create their own study pattern, and lighten their backpacks. Source: http://www.channelnewsasia.com/

Cloud computing Microsoft Azure Platform

Case Studies: http://www.microsoft.com/windowsazure/evidence/

Premieră în 2011 pentru România: Modulul de publicare a informațiilor pe Internet (Sistemul informatic pentru examenele naționale – realizat de Siveco Romania) a folosit platforma de Cloud computing Microsoft Azure, ceea ce asigură disponibilitate permanentă, capacitate de calcul practic infinită, redundanță și securitate a informațiilor. Acest modul a fost conceput special pentru a face față atât unui număr foarte mare de accesări simultane, cât și posibilelor atacuri menite să întrerupă disponibilitatea serviciilor furnizate. Conform www.trafic.ro, pe 12 iulie 2011 s-a înregistrat un nou record de vizitatori unici pentru http://portal.edu.ro, cu 828.935 într-o singură zi și peste 24 de milioane de afișări.  Cele mai accesate site-uri ale portalului au fost http://admitere.edu.ro, http://bacalaureat.edu.ro și http://titularizare.edu.ro. (Sursa: http://portal.edu.ro/index.php/articles/news/11492)

DOCUMENTARE PE INTERNET (Web Site) pentru CHIMIE

http://www.sciencedirect.com – ScienceDirect is a leading full-text scientific database offering journal articles and book chapters (science, technology and medicine).

http://www3.interscience.wiley.com – Wiley Online Library hosts the world's broadest and deepest multidisciplinary collection of online resources covering life, health and physical sciences, social science, and the humanities. It delivers seamless integrated access to over 4 million articles from 1500 journals, almost 10,000 online books, and hundreds of reference works, laboratory protocols and databases.

http://www.springer.com/ – Articles and books for Chemistry by Springer

http://www.pubs.acs.org – publications by ACS (American Chemical society).

http://www.chemweb.com – Journal Abstracts  from chemistry publishers such as Bentham, Elsevier, Springer and others  covering over 500 journals can be searched and accessed for free.  Search by title and issue or use Journal Search for full-text search of abstracts across all journals.

http://www.ccdc.cam.ac.uk – The Cambridge Crystallographic Data Centre: The CCDC is a non-profit, charitable Institution whose objectives are the general advancement and promotion of the science of chemistry and crystallography for the public benefit.

http://www.rsc.org – Publications by RSC (Royal Society of Chemistry), the greatest european organisation for chemistry development.

http://www.scirus.com/srsapp/ – SCIRUS is the most comprehensive scientific research tool on the web. With over 440 million scientific items indexed at last count, it allows researchers to search for not only journal content but also scientists' homepages, courseware, pre-print server material, patents and institutional repository and website information.

http://www.rcsb.org/pdb/ – An Information Portal to Biological Macromolecular Structures: PDB (Protein Data Bank); Biological Macromolecular Resource.

http://www.aist.go.jp/RIODB/SDBS/menu-e.html – SDBS – Integrated Spectral Data base System (RMN, RES, IR, Raman, SM).

http://www.chem.ucla.edu/VL/Academic.html – Academic Institutions

http://www.nature.com/ – Nature Publishing Group

http://www.chem.ucla.edu/VL/InfoRes.html – Other Lists of Chemistry Resources and Related WWW Virtual Libraries.

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/ – All Nobel Prizes in Chemistry.

http://web.mit.edu/chemistry/www/index.html – Department of Chemistry at MIT.

http://chemistry.stanford.edu/ – Department of Chemistry at University Stanford.

http://www.chem.cmu.edu/ – Department of Chemistry Carnegie Mellon University.

http://chemistry.uchicago.edu/ – Department of Chemistry, The University of Chicago

http://www.chm.davidson.edu/vce/ – Virtual Chemistry Experiments by David N. Blauch

http://www.chem.ucalgary.ca/SHMO/ – The Simple Huckel Molecular Orbital Theory Calculator by A. Rauk and R. Cannings

Figura 13. http://www.chm.davidson.edu/vce/

RESURSE GENERALE

MATHEMATICA (Wolfran Research, UK) – www.mathworld.wolfram.com

Science World (Wolfram Research, UK)  – http://scienceworld.wolfram.com/

MATHCAD (MathSoft Inc., Cambridge,USA) – www.mathsoft.com

Scientific Work Place (MacKichan Software, Inc., USA) –  http://www.tcisoft.com/

MAPLE (Maplesoft, Canada ) – www.mapleapps.com/

DERIVE (Soft Warehouse, USA,Austria) – http://www.derive-europe.com/

Matlab (MathWorks, Inc., USA, Canada, … ) –  www.mathworks.com/

SPSS (SPSS, Inc., USA) – http://www.spss.com/

STATISTICA (StatSoft, Inc., USA) – http://www.statsoft.com/

ORIGIN (OriginLab Corporation, USA, Canada, Germany, Japan) – www.originlab.com/

SlideWrite (Advanced Graphics Software, Inc., USA) – www.slidewrite.com/

Eureka, Delphi (Borland Software Corporation, USA) – www.borland.com/  

MathDL (Journal of Online Mathematics and its Applications, Mathematical Sciences Digital Library, USA ) – http://www.joma.org/

Studiu de caz: Utilizarea platformei Wikispaces.com (free software)

Comunicare și activități didactice (profesor studenți)

Disciplina: Algoritmi și structuri de date, Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică

Exemplu: http://laborator.wikispaces.com/ (by Cristina Păunescu)

(LABORATOR: Algoritmi și structuri de date, Universitatea din București, Facultatea de Matematică – Informatică, Anul I, 2011 – 2012, semestrul I, Contact: Cristina Păunescu).

Top of Form

Bottom of Form

Manage Wiki: Content, People, Tools.

STRUCTURA PAGINII (Home)

Teme de laborator semestrul I

Tema săptămânii 1 (30 octombrie 2011)
Tema săptămânii 2 (30 octombrie 2011)
Tema săptămânii 3 (30 octombrie 2011)
Tema săptămânii 4 (30 octombrie 2011)
…

Punctaje parțiale ( 9 ianuarie 2012)
1411
1421
1431
1441
…..

Principii de notare

Nota de la laborator reprezintă o treime din nota finală a examenului la această disciplină

Nota de la laborator se obține prin rezolvarea problemelor obligatorii, precum și prin rezolvarea problemelor suplimentare si a celorfacultative

Nota finală va fi de la 0 la 10 și se calculează prin formula

……

Desfășurarea laboratorului

Programare semestrul I:

Grupa 1411 – Vineri, 12:00 – 14:00, sala 303

Grupa 1421 – Joi, 16:00 – 18:00, sala 302C

Grupa 1431 – Joi, 14:00 – 16:00, sala 302C

Grupa 1441 – Luni, 18:00 – 20:00, sala 302C

….
Problemele obligatorii și cele suplimentare din săptămâna

…..
Problemele facultative din săptămâna

Surse de documentare

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Introducere în algoritmi, Computer Libris Agora, 2003. Cote bibliotecă: II 39837, II 39751

…..

Despre utilizarea platformei Wikispaces (Free Wikis for Higher Education),

& Educational-Blogging wiki

Platforma este destinată următoarelor categorii de utilizatori: Business, Non-Profit, K-12 Edu, Higher Edu. Este necesară o documentare despre facilitățile oferite de platforma Wiki:

http://help.wikispaces.com/New+Wiki

http://help.wikispaces.com/faq+teacher+wiki

http://www.wikispaces.com/content/wiki-tour

Utilizatorii (creatorii) Wiki au calitatea de administrare wiki pentru conținutul generat (sub tehnologia Web 2.0). Ca organizator al acestui wiki, aveți unele facilități speciale, faciltăți pe care care alți membri nu le vor avea:

Setarea permisiunilor pentru întregul wiki

Gestionarea membrilor wiki

 Schimbare și personalizare

 Blocarea paginilor astfel încât nimeni nu le poate edita

Ștergerea sau redenumirea fișierelor și paginilor.

Se oferă un upgrade gratuit pentru wiki-urile ce sunt utilizate exclusiv pentru K-12 sau în învățământul Superior și un Ghid de utilizare ce permite să se deschidă conturi pentru studenti cu sau fără adrese de e-mail.

Noțiuni de bază pentru administrarea paginii Web folosind instrumentele Wiki:

Members (Membrii) – adaugarea de noi membri si eliminarea unora; aprobarea sau respingerea cererilor de membru în așteptare; promovarea unor membri de a avea drept de administrator.

Pages (Pagini)- vizualizarea paginilor wiki; ultima modificare; blocare sau deblocare; ștergere pagini individuale; editarea etichetelor.

Files (Fișiere) – vizualizarea fișierelor în wiki; detalii despre fișier; încărcare fișiere; șterge fișiere; editarea etichetelor.

Permission (Permisiuni) – se poate decide cine poate vizualiza sau edita wiki; gestionarea permisiunilor pentru paginile wiki individuale.

Exemplu: Personalize Your Wiki:

Studiu de caz: Utilizarea platformei CSM oferită de site-ul www.unibuc.ro

utilizatori: cadre didactice și cercetători, conducere departamente și facultăți

Exemplu.

Platforma CMS (Content Management Systems) oferită de site-ul www.unibuc.ro (Universitatea din București).

Începând cu anul 2011 Universitatea din București oferă servicii de editare și management de conținut cadrelor didactice și conducerilor structurilor din universitate. Acest lucru se realizează prin intermediul unei platforme CSM (interfața de editare: http://www.unibuc.ro/n/backend_help/).

Figura 14. Platforma CMS www.unibuc.ro

Există două modalități de autentificare pentru site-ul www.unibuc.ro: autentificare normală (user/parola) și autentificare profesori.

Tipuri de pagini Web; Există două tipuri de pagini:

Pagini normale – utilizatorul poate modifica conținutul articolelor postate.

Pagini speciale. Prin intermediul acestui tip de pagină utilizatorul poate modifica conținutului bazei de date.

Pagini speciale. Există următoarele pagini speciale: pagina index a unui profesor; pagina index a unui departament; pagina index a unei facultăți.

Tehnologii Web 2.0

Web 2.0 nu este o tehnologie în sens propriu, ci reprezintă componente de servicii și aplicații, realizate de comunitatea Internet (dezvoltatori și utilizatori) prin intermediul unor instrumente aplicative. Saltul calitativ se referă la faptul că utilizatorul are acces la conținut pentru care i se oferă instrumente software de editare, modificare și postare (publicare pe Internet). Exemple tipice pentru acest nou aspect sunt așa-numitele wiki-uri, weblogs (bloguri), precum și portalurile și bursele de schimb de imagini, muzică, filme/video și software din Internet, așa cum ar fi Flickr, YouTube și siturile pentru File Sharing. De asemenea, componente ale Web 2.0 sunt și așa-numitele "rețele sociale", cum ar fi Facebook, Ning sau Twitter. O problemă importantă în utilizarea acestor servicii și platforme este pentru ce scopuri sunt folosite acestea. S-a dovedit că există o multitudine de aspecte și scopuri în utilizare, inventivitatea și viziunea utilizatorilor și dezvoltatorilor, în acest caz este nelimitată.

Au apărut sisteme de gestiunea automată a informațiilor dintr-un Web site, numite Content Management Systems (CMS). Aceste platforme oferă în mod dinamic elaborarea, modificarea și actualizarea de pagini web destinate diverselor activități. Exemple de platforme CMS-uri OpenSource:

DotNetNuke (platform for ASP.NET) – www.dotnetnuke.com/;

Drupal (an open source content management platform powering millions of websites and applications)- http://drupal.org/;

Joomla! (an award-winning content management system (CMS), which enables you to build Web sites and powerful online applications) – www.joomla.org/;

WordPress (Open source WordPress has been incredibly successful and risen from a handful of users to the most-used blog tool in its category) – http://wordpress.com/;

Plone (Plone is an open source CMS built on top of Zope and CMF) – http://plone.org/;

Top 10 Free Online Tutoring Tools for 2012

Top 10 instrumente gratuite pentru educația online: Skype, Gchat, WizIQ, Scribblar, Google Docs, Wikispaces, Wallwisher, Jing, Animoto, 4Teachers. Sursa: http://edudemic.com/2012/01/online-tutoring-2012/

Referinta:

Vlada M., 2010, New Technologies in Education and Research. Models and Methodologies, Technologies and Software Solutions, LAMBERT Academic Publishing, ISBN 978-3-8433-6391-4.

2

Teoria erorilor,

calcule statistice,

modele de aproximare

“Să măsurăm ce se poate măsura și să facem măsurabil ceea ce nu se poate măsura încă.” Galileo Galilei

– Introducere în teoria erorilor: erori de măsurare și reprezentare, distribuția erorilor, parametri caracteristici, propagarea erorilor

– Calcule statistice: indicatori statistici, corelații între seturi de măsurători, modele de corelație empirice și teoretice

2.1 Generalități despre erori, incertitudini și aproximări

În sens larg cuvantul “eroare” înseamnă greșeală, incertitudine, nesiguranță, etc. Prin greșeală înțelegem un fapt realizat de om în activitatea profesională, socială, economică, etc. privind un raționament greșit, o metodă aplicată greșit, un instrument utilizat greșit, o atitudine ce contrazice regulile morale, sociale sau legistative, neînțelegeri ale unor noțiuni, termeni sau concepte din limbajul științific, economic, social, etc. Prin incertitudine se înțelege lipsa de certitudine, îndoială asupra unor raționamente, calcule, sau experimente, iar în domeniul social poate reprezenta starea unei persoane lipsite de siguranță, de hotărâre. În doate domeniile exista incertitudini, de exemplu în domeniul științific s-au dezvoltat diverse teorii care “controlează” incertitudinile:

logica matematică bivalentă (cu 2 valori: true, false; logica propozițiilor, logica predicatelor, logica relațiilor) oferă metode și tehnici certe (logica matematică are aplicații în electrotehnică-studiul schemelor cu relee, al schemelor electronice-, în cibernetică-teoria automatelor, tehnica programării-, în neurofiziologie-modelarea sistemelor neuronale-, lingvistică – lingvistica matematică, etc.); sistemele de calcul folosesc limbajul binar pentru procesarea informațiilor; pentru rezolvarea diverselor probleme complexe a fost necesară conceperea unor teorii de logică matematică trivalente și cu mai multe valori (primele sisteme de logică polivalentă au fost construite de J. Lukasiewicz (1920), E. Post (1921) și de Grigore C. Moisil (1963)); În limbajul de manipulare a datelor SQL (Structured Query Language), o stare de adevăr TRUE pentru o expresie (de exemplu într-o clauză WHERE) inițializează o acțiune pe un rând (returnează un rând), în timp ce o stare de adevăr UNKNOWN sau FALSE nu face acest lucru. În acest fel, logica trivalentă este implementată în SQL, și se comportă ca logică bivalentă pentru utilizatorul SQL; limbajul Prolog (programare în logică), limbaj al Inteligenței artificiale este conceput și elaborat având la bază logica de ordinul I (cuantificatorii oricare() și există () operează doar asupra variabilelor).

teoria logicii și multimilor fuzzy (suport pentru studiul incertitudinii și impreciziei; aplicații în analiza fenomenelor și proceselor, fiabilitatea sistemelor, uzura produselor, gradul de utilizare a produselor sau mașinilor, procesarea imaginilor, etc.). Incompletitudinea unei informații/date se exprimă pe două scări: scara incertitudinii se referă la încrederea care i se acordă informației (dacă sursa de informație, instrumentul de măsură sau expertul sunt siguri, demni de încredere, informația este certă), scara impreciziei se referă la conținutul informațional (informația este precisă dacă mulțimea valorilor specificate în enunțul corespunzător este o valoare unică). Există fenomene si procese în care gradualitatea și ambiguitatea joacă un rol important (imprecizia nu este de tip aleator). Problema înseamnă de a putea aprecia în ce măsură un obiect dat aparține unei clase ale cărei margini nu pot fi precizate clar. Clasa de obiecte are grade de apartenență continue. O astfel de mulțime este caracterizată de o funcție de apartenență ce atribuie fiecărui obiect un grad de apartenență între 0 și 1.

Sunt cunoscute exemple de oameni de știință din matematică, fizică, chimie, etc. ce au făcut greșeli în cercetările/teoriile lor (există cazuri când s-au făcut descoperiri științifice în mod întâmplător, de ex. razele X, Penicilina, Viagra, etc.):

exemple relevante pentru matematică sunt prezentate în Alexandru Froda (1894-1973), Eroare și paradox în matematică, Editura Enciclopedică Română, 1971.

sute de lucrări științifice sunt retrase în fiecare an, din cauza documentărilor superficiale, plagiatului sau analizelor greșite; de exemplu: “Apendicita se tratează cu antibiotice. The Journal of Gastrointestinal Surgery a publicat în 2009 un studiu al unor cercetători indieni care susțineau că antibioticele sunt o metodă mai sigură decât îndepărtarea chirurgicală a apendicelui. Ei au fost contestați de chirurgi italieni, iar studiul a fost retras din publicație pe motiv de plagiat.” (Sursa: LiveScience);

invenții atribuite greșit – Conceptul de computer desktop-"oficial": Microsoft (prin Windows), real: Xerox PARC; Razele X- Inventator "oficial": Thomas Edison, real: Wilhelm Rontgen; Becul- Inventator "oficial": Thomas Edison, real: Sir Humphry Davy; Radioul- Inventator "oficial": Guglielmo Marconi, real: Nikola Tesla (Sursa: http://www.descopera.ro/)

Analiza datelor experimentale: Tipuri de erori

În Chimie și Fizica (precum și în alte științe inginerești), metodele folosite la măsurarea parametrilor (mărimi fizice sau chimice) sunt în general precise. Totuși, în timpul masurătorilor pot interveni diferiți factori perturbatori care generează apariția erorilor de măsurare. Pentru determinarea mărimilor fizice sau chimice se folosesc instrumente de masură, care au o anumită precizie. Nici o măsurătoare nu este absolută. Măsurând de mai multe ori aceeași mărime fizică, în aceleași condiții, cu aceleași mijloace, se poate observa că rezultatele obținute sunt diferite. Diferențele ce apar depind de construcția instrumentelor de măsură, de observator, sau de alți factori perturbatori. Acuratețea unui experiment arată cât de aproape este rezultatul masurătorii de valoarea adevarată. Prin urmare, acuratețea este o măsură a corectitudinii rezultatelor obținute prin măsurare și prin calcul. Precizia unui experiment este o măsura a exactității determinării rezultatelor.

Procedurile de observare statistică în analiza fenomenelor și proceselor pot fi afectate de erori. Prelucrarea statistică a datelor experimentale prin calculele matematice ce urmează a fi efectuate cu datele respective, contribuie cu o anumită cantitate de erori. De aceea, specialiștii știu că atât erorile de observare statistică cât si cele de calcul, vor afecta rezultatele obținute din prelucrarea și interpretarea datelor experimentale. Din aceste motive, ne propunem să examinăm în acest capitol atât sursele de erori, cât și modul în care acestea influențează rezultatele finale.

Figura 15. Tipuri de erori

Erorile se clasifică în două mari categorii:

erori experimentale – efectuarea masurătorilor pot produce erori care au aceeași mărime, când procesul de masurare se efectuează în condiții identice, sau erori care au mărimi variabile, variația acestora fiind supusă unei anumite legi de variație; erorile de măsurare se clasifică în:

– erori grosolane (greșeli): pot proveni din aplicarea unor metode de calcul inexacte, din citiri eronate, din neatenția sau lipsa de instruire a personalului; aceste erori trebuie eliminate și refăcute măsuratorile;

– erori sistematice: pot proveni din cauza unor caracteristici constructive ale aparatelor, incorectei etalonări sau uzurii; pot fi erori produse de metoda de măsurare sau erori produse de factori externi (erori de influență), deosebit de greu de evaluat prin calcule, deoarece nu întotdeauna pot fi cunoscute cauzele și legile de variație în timp a condițiilor de mediu (temperatură, presiunea, umiditatea, câmpuri magnetice, radiații, etc.) ;

– erori aleatoare (accidentale, întâmplatoare): pot proveni ca urmare diversității proceselor și fenomenelor precum și a interacțiunilor experimentului cu alte procese și fenomene ce se desfășoară simultan; nu este posibilă depistarea și înlăturarea lor, efectul global fiind producerea unor erori aleatorii inevitabile ce nu pot fi înlăturate din rezultatele măsurătorilor;

erori de calcul numeric – interpretarea matematică a datelor reprezintă totalitatea operațiilor matematice ce trebuie efectuate pentru obținerea unui anumit rezultat, în vederea căruia au fost efectuate măsurările respective. În timpul efectuării acestor calcule, pot interveni anumite erori ce se vor adăuga la erorile experimentale, și astfel valoarea măsurată să se abată și mai mult față de mărimea adevarată; se disting următoarele categorii de erori de calcul:

– erori inerente: pot proveni ca urmare a folosirii aproximative a unor valori provenite din măsurători, a utilizării în calcule a numerelelor iraționale (, e,) sau ca urmare a calculelor aproximative (serii numerice) oferite de calculatoarele numerice; trebuie specificat faptul că multe valori ale unor funcții obișnuite (sin, cos, lg, etc.) sunt obținute prin calculul aproximativ al valorii unor serii numerice;

– erori de metodă: analiza și interpretarea datelor experimentale depind de experiența specialiștilor care efectuează prelucrarea datelor experimentale; matematica, și în special analiza numerică oferă o multitudine de metode și tehnici de rezolvare a problemelor în acest caz; unele din aceste metode sunt mai eficiente sau nu pentru un anumit caz, de aceea, alegerea metodei este foarte importantă pentru rezultatul final care se dorește a fi obținut cu o anumită eroare de aproximare; de remarcat este faptul că determinarea soluțiilor se realizează prin procese iterative, numărul de iterații determinând eroarea de aproximare;

– erori de rotunjire: aceste erori sunt inevitabile deoarece depind de posibilitățile limitate de reprezentare a numerelor în memoria calculatoarele numerice; orice calculator, indiferent cât de performant este construit, poate reprezenta numerele cu un număr redus de cifre semnificative, depinzând de lungimea cuvântului de memorie (numărul de biți: 32 sau 46) utilizat la stocarea unui număr; calculatoarele actuale oferă calcule pentru numerele reale cu maxim 7 cifre semnificative în simplă precizie, și cu maxim 15 cifre semnificative în dublă precizie.

Termeni și concepte despre erori

Eroarea reală este definită ca diferența dintre valoarea reală (corectă) a unei mărimi y și valoarea măsurată (aproximativă) a mărimii, adică . În cazul în care < y, mărimea respectivă este aproximată prin lipsă, altfel aproximația este prin exces sau adaos.

Eroarea absolută – uneori nu se cunoaște semnul erorii , de aceea se folosește noțiunea de eroare absolută care este definită prin relația .

Eroarea relativă se definește ca raportul dintre eroarea absolută și valoarea absolută a mărimii exacte, adică

Eroarea relativă se poate exprima și în procente, adică

.

Eroarea absolută limită – în cazul în care valoarea mărimii y nu este cunoscută, se introduce noțiunea de eroare absolută limită  corespunzătoare valorii aproximative ; valoarea acestei erori reprezintă cel mai mic număr pozitiv care conține una sau mai multe cifre semnificative, ales în așa fel, încât să putem fi siguri că eroarea absolută comisă, în cazul respectiv, nu depăsește acest număr; prin urmare avem următoarea relație

, adică ,

ceea ce înseamnă că valoarea y este aproximată prin lipsă, respectiv adoaos.

Incertitudine de măsurare () reprezintă intervalul în care se estimează, cu o anumită probabilitate, că se află valoarea adevărată a mărimii y;

Eroarea convențională – În realitate valoarea adevărată a unei mărimi nu poate fi cunoscută, de aceea este necesar să se adopte o valoare de referință, care are un caracter convențional. Se definește astfel eroarea convențională ca diferența dintre valoarea măsurată și valoarea de referință admisă , adică .

y

O y

Figura 16. Erori de măsurare

Erori de trunchiere și erori de rotunjire

Metodele numerice oferite de analiza matematică împreună cu implementarea algoritmilor eficienți din domeniul informaticii sunt utilizate cu succes la multe probleme complexe din toate domeniile științifice, tehnice, economice, etc. Cu toate acestea, trebuie să se cunoască corect gradul de precizie privind obținerea soluțiilor în aceste rezolvări de probleme. Am văzut mai sus că varietatea și combinarea diverselor erori (de măsurare, de calcul, de aproximare, de rotunjire, etc.) pot să conducă la rezultate ce nu răspund exigențelor practice. Acest lucru este și mai complicat când în diverse situații (la fizică, chimie, etc.) trebuie să se realizeze calcule cu valori foarte mari, dar și cu zecimale foarte multe care depășesc performanța calculatoarelor actuale (de exemplu aritmetica modală).

Calculele matematice și operațiile implementate în algoritmii de calcul pentru calculatoarele numerice utilizează aproximarea cu serii numerice și dezvoltarea funcțiilor analitice prin descompunere de tip Taylor și de tip Mac-Laurin. Dezvoltările în serii numerice se utilizează la obținerea rezultatelor cu mai multe zecimale exacte, și anume se ține seama de precizia dorită 10-p , unde p reprezintă numărul de zecimale exacte. De exemplu, pentru calculul valorii ln2 cu p=2 zecimale exacte, folosind dezvoltarea în serie alternantă,

trebuie să se calculze suma seriei până la n=99 (trunchiere de rang 99). În practică, există alte reprezentări care sunt mai eficiente decât cazul n=99, și anume trunchierea se realizează la un rang mai mic. Ex.: Calculul valorii sin(2) cu eroarea 10-7 este 0.909297.

Folosind programul Excel se obține valoarea 0.909297427, cu 9 zecimale exacte și valoarea 0.909297426825682, cu 15 zecimale exacte.

Programul EXCEL oferă pentru calcule și reprezentarea valorilor reale următoarele formate:

Number – decimal places, de exemplu 345.67845634322 cu p=11 zecimale exacte;

Scientific – forma exponențiala , unde nm reprezintă exponentul lui 10, adică , de exemplu 3.45678456343E+02;

Fraction –forma fracționala de diverse tipuri, de exemplu 345 211/311 .

Figura 17. Fereastra “Format Cells”

O funcție reală derivabilă de o infinitate de ori în este analitică în punctul dacă există relația

,

pentru unde este un număr real dat.

Orice funcție analitică se descompune în polinomul Taylor de ordinul n și în restul seriei Taylor de ordinul n, adică , unde

, și restul de la rangul (n+1)

.

Restul seriei Taylor de ordinul n se poate reprezenta sub forma Lagrange, adică

, unde sau .

Funcțiile elementare (sin, cos, ln, etc.) sunt funcții reale analitice ce au proprietatea că restul seriei lui Taylor tinde la 0. Mai jos sunt exemple de dezvoltări de tip Mac-Laurin pentru .

Reprezentarea în virgulă mobilă a numerelor reale

Calculatoarele actuale utilizează reprezentarea în virgulă mobilă a numerelor reale. Dacă b este o bază de numerație (se presupune număr par) și p este o precizie (număr de cifre semnificative), atunci reprezentarea unui număr real în virgulă mobilă are următoarea formă:

, cu cifrele semnificative ,

E fiind exponentul marginit.

Tabelul de mai jos exemplifică cei patru parametri (baza, precizia, valorile limită ale exponentului) ce caracterizează reprezentarea în virgulă mobilă în diverse sisteme (IEEE-Institute of Electrical and Electronics Engineers):

Tabelul 1. Ref.: http://www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2007/c04.pdf

Reprezentarea în virgulă mobilă în formă normalizată este reprezentarea unui număr y sub forma

, unde f reprezintă mantisa, iar E exponentul.

Reprezentarea normalizată a numerelor reale are următoarele avantaje:

reprezentarea fiecărui număr este unică;

nu se pierd cifre pentru reprezentarea primele zerourilor de la dreapta virgulei;

în sistemul binar (baza b=2) prima cifră poate să nu mai fie stocată (deoarece este întotdeauna 1).

Un număr real cu mai multe cifre semnificative este rotunjit la numărul de cifre maxim. Acest lucru se realizează prin rotunjirea mantisei. Alte rotunjiri se efectueaza în decursul operațiilor. Aproximarea unui număr real cu cele două forme de reprezentare se numește tehnica de rotunjire ce introduce eroarea de rotunjire. Există mai multe modalități de rotunjire:

trunchiere (rotunjire prin tăiere) – se rețin primele p cifre din reprezentarea normalizată;

rotunjire la cel mai apropiat în virgulă mobilă (rotunjire la par) – forma în virgulă mobilă este cel mai apropiat număr de numărul aproximat.

Rotunjirea la par determină o acuratețe mai mare a reprezentării. Acuratețea sistemului în virgulă mobilă este caracterizată de așa-numită precizie a mașinii . Dacă regula de rotunjire este trunchierea, atunci , iar dacă regula de rotunjire este rotunjirea la par atunci .

2.2 Cazuri speciale: metode și algoritmi noi

Exemplul 1: Puterile mari ale lui 2.

Există cazuri (chimie, fizică, etc.) ăn care trebuie să se lucreze în calcule cu numere foarte mari. În acest caz, trebuie să se cunoască foarte bine limitele oferite de calculatoare privind reprezentarea numerelor și modul de calcul pentru toate operațiile. Pe lângă teoriie (aritmetica modală) ce se ocupă de aceste aspecte, există diverse implementări de algoritmi pentru astfel de situații. Un alt exemplu este lucrul cu tablouri foarte mari de date (tablouri de tip masive). În acest caz este vorba de matricele rare. Matricele rare își găsesc aplicabilitatea în modelarea unor procese biologice, neoronale, de natură industrială, economică, tehnică, socială, etc.

a) Utilizarea programului Excel. (Puterile 2k, k > 30). Pentru k > 30 să se determine numărul cifrelor și cifrele puterii 2k (de exemplu, să se verifice că 2100 are 31 de cifre și 2100 = 1267650600228229401496703205376 , iar 21000 are 302 cifre).

Evident, problema ar fi simplă (fără sens) dacă s-ar rezolva printr-o singură instrucțiune scrisă într-un limbaj de programare. Acest lucru se poate realiza doar dacă ar există restricția k < 31. Ținând seama de reprezentarea tipului integer în memoria internă a calculatorului, astăzi microprocesoarele și limbajele de programare pot stoca/reprezenta o valoare întreagă doar pe 4 bytes (32 biți). Prin urmare 231-1 = 2147483647 este cea mai mare valoare întreagă pe care o poate stoca. Este necesar să concepem un algoritm pentru calculul puterilor 2k, k>30. Vom lua în considerație următorul tabel (generat printr-un simplu program, sau folosind facilitățile unor programe de calcul, de exemplu programul Excel inclus în pachetul Microsoft Office, vers. 2003-2007 ; vers. 2010 oferă precizie mai mare) :

Folosind programul Excel (ce oferă funcția Power și operația de putere “^ “) se poate constata că 236= 68719476736 (dacă se utilizează pentru celule formatul “General”) este puterea maximă ce se poate calcula, și 249= 562949953421312 (dacă se utilizează pentru celule formatul “Number” cu 0 zecimale) este puterea maximă ce se poate calcula.

Deci, pentru k=50 rezultatele sunt eronate (versiunea Excel 2010 oferă precizie mai mare în acest caz), și anume se poate observa că ultimele cifre din dreapta sunt eronate: ptr. k=50, prima cifra din dreapta, ptr. k=51, ultimele 2 cifre, s.a.m.d. Rezultate corecte calculate cu Web 2.0 scientific calculator (http://web2.0calc.com/):

250= 1125899906842624 si 251 = 2251799813685248.

b) Utilizarea Web 2.0 scientific calculator:

Astăzi, nu este nevoie să se apeleze frecvent la algoritmi de calcul care să utilizeze un limbaj de programare (C++, Java, Visual Basic, etc.), deoarece până în prezent s-a dezvoltat foarte mult piața sistemelor de programe specializate ce oferă programe eficiente și comode pentru a fi utilizate de elevi, studenti, specialiști. De altfel, dezvoltarea tehnologiilor Web și a sistemului Internet, a făcut posibilă apariția unui număr foarte mare de astfel de programe specializate.Un astfel de program este oferit de site-ul http://web2.0calc.com/ ce oferă un Web 2.0 Scientific Calculator. Rezultate obținute prin utilizarea acestui program:

2100=1267650600228229401496703205376
2300=2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376

Figura 18. http://web2.0calc.com/

Observație: programul lucrează cu 14 zecimale exacte!

= 3.14159265358979, e = 2.71828182845905 (reprezentare cu 14 zecimale exacte)

Acest program se poate utiliza la obținerea diverselor calcule matematice și inginerești (cu utilizarea unităților de măsura: Units), rezolvarea de ecuații (Solve), operații cu matrice (Matrix), reprezentarea grafică a funcțiilor (Plot), etc.

Exemplul 2: Reprezentarea grafică a funcțiilor

În funcție de metoda utilizată, de programul specializat, și funcție de complexitatea unei funcții pot apărea erori frecvente în astfel de situații. Aceste erori pot apărea în primul rând din cauza neînțelegerii noțiunilor matematice despre funcții sau ca urmare a unei slabe experiențe în acest tip de probleme. Vom exemplifica printr-un simplu exemplu.

Să presupunem că trebuie să se reprezinte grafic funcția f(x) = x*sin (x), unde x aparține intervalului [-50,50]. Evident, funcția este o compunere de funcții, o dreaptă și o sinusoidă. Metoda matematică învățată de elevi la liceu nu este chiar comodă în acest caz. Nici nu se recomandă să se utilizeze procedura rezultată din metoda matematică. Nici studentul de anul I nu se gândește mai înainte la metoda matematică. Știe și intuiește ca sunt foarte multe programe care oferă posibilitatea reprezentării grafice a funcțiilor. Problema este aceea a alegerii unui astfel de program ținând seama de licența de utilizare și funcțiile acelui produs software. Majoritatea programelor științifice (2D si 3D) oferă această posibilitate.

a) cazul programului Excel

Pentru testarea modului de a utiliza programul Excel în cazul reprezentării grafice a funcțiilor, condiderăm exemplu doar pentru funtia g(x)=sin(x) pe intervalul [-50,50]. La activitățile practice de Laborator am avut posibilitatea în ultimii ani să realizez un sondaj în acest caz. S-a dovedit faptul că din 20 de studenți, au fost cazuri când nici un student nu a obținut rezultatul corect, dar au fost cazuri când doar unul sau doi au obținut rezultatul corect. Acest lucru dovedește că înțelegerea noțiunilor, conceptelor și relațiilor între diverși termeni lasă de dorit la mulți studenți din anul I.

Probabil, cauzele sunt în învățămantul general și mediu cu multă teorie și cunoștințe multiple, fără activități demonstrative și practice care să determine obtinerea unor competențe utile, importante și oportune. Tot pentru un test să considerăm că graficul trebuie obținut pe intervalul [0,30]. Primul lucru care se realizează rapid și fără să se intuiască eroarea, se generează valorile naturale 1, 2, 3, … , 30 pentru argumentul x. Evident că va rezulta graficul unei linii poligonale și nu graficul real al funcției sin(x).

Eroarea provine de la faptul ca trebuie să se realizeze discretizarea intervalului (tabelarea funcție cu un pas cât mai mic p= 10-1 , 10-2 , etc. ce are legatură cu funcția studiată; trebuie să “cuprindă” convexitățile și cancavitățile graficului). În cazul funcției sin(x) este suficientă discretizarea cu pasul p= 10-1, dar tabelarea va produce 10×50 = 500 puncte pe axa pozitivă și tot atâtea pe axa negativă. Acum, dacă se ține seama ca mai înainte, trebuie să se genereze tabelarea funcției, se poate trece la realizarea graficului f(x) = x*sin (x), pe intervalul [-50,50]. Va rezulta graficul corect ce este mai fidel și mai realist.

Tabelarea funcției vs. Discretizare-Calculul integral vs. Rezoluția suportului grafic

Sistemul de diviziuni (proces de discretizare) din calculul integral este analog rezoluției (matricea de pixeli; un „pixel” este unitatea grafică indivizibilă a unui display grafic) oferite de un display grafic (CRT sau LCD). Această structură de pixeli reprezintă în informatică, ceea ce reprezintă calculul integral în analiza matematică (Newton, Riemann, Darboux, Leibniz etc.). Cu cât rezolutia este mai mare cu atât reprezentarea este de bună calitate. Mai jos este rezoluția oferita de un ecran grafic.

Display Properties Screen Resolution: Less-800 x 600 pixels, More-1680×1050 pixels.

Odată cu apariția display-ului grafic (Graphic Display), în anul 1953, s-a trecut la o nouă etapă în dezvoltarea și răspândirea calculatorului. Utilizarea bit-ului prin organizarea eficientă a memoriei calculatorului, nu oferea nici hardware, nici software posibilitatea de modelare spațială a ieșirilor (OUTPUT). Reprezentările grafice folosind caractere (numerice sau alfanumerice) nu era o soluție care să realizeze o reprezentare fidelă a obiectelor reale. Suportul hardware fiind inventat, în perioada 1960-1980 au fost nevoie de cercetări și experimente, modele, algoritmi si programe care să foloseacă aprinderea unui „pixel” (unitatea grafică indivizibilă oferită de un display grafic) ce oferea și culoare, dar mai ales o structură de reprezentare grafică. Atunci s-a născut Grafica pe calculator: trasarea unui segment de dreaptă (algoritmul Bresenham), trasarea cercului și elipsei, trasarea și aproximarea curbelor, algoritmi de clipping (decupare) (algoritmul Cohen – Sutherland, algoritmul Suitherland-Hodgman, algoritmul Weiler- Atherton), tehnici de vizualizare 2D și 3D, modele de iluminare și reflexie, modele de tip rastru, modele vectoriale, tehnici de textură. Astfel, s-au pus bazele pentru soluții integrate software și hardware pentru proiectare, analiză și producție asistată de calculator (CAD/CAM/CAE) – Computer Aided Design. După anul 1990, s-au obținut rezultate deosebite în domeniul modelării și simulării obiectelor din lumea reală, atât prin elaborarea de tehnici și algoritmi specifici, cât prin apariția produselor software care să sprijine acest domeniu. Astfel, Realitatea Virtuală (Virtual Reality) este un nou domeniu al Informaticii ce are un impact deosebit în utilizarea calculatorului pe scară largă și pentru o mare diversitate de teme.

b) cazul programului Web 2.0 scientific calculator

Se introduce comanda: plot(x*sin(x),x=-50..50) și se obține imediat graficul corect.

Figura 19. Graficul folosind Web 2.0 scientific calculator

Exemplul 3: Problema lui Gauss. Un vas conține 2000 litri dintr-un lichid cu o concetrație de 80 % alcool. În fiecare zi se scot din vas 15 litri și se înlocuiesc cu alți12 litri dintr-un lichid a cărui concentrație în alcool este de numai 40 %. După câte zile concentrația lichidului din vas ajunge la 50 % ?

În cele ce urmează vom aborda 3 variante de rezolvări ale problemei pentru a evidenția atât evoluția metodelor și tehnicilor de rezolvare (teorii și metode numerice), cât și obstacole în utilizarea diverselor metode (de exemplu, problema propagării erorilor în calcule) :

Modelarea matematică-metoda matematică – modelarea matematică va reprezenta o ecuație funțională ce se poate aborda ca o ecuație cu diferențe finit de orinul I neomogenă;

Algoritm de calcul-program într-un limbaj de programare – conceperea procesului de calcul ce realizează un proces iterativ al operațiilor pentru rezolvarea problemei;

Rezolvare cu programul EXCEL – se vor utiliza faciltățile programului Excel și forma algoritmică oferită de metoda algorimică.

Modelarea matematică și Metoda algoritmică.

Problema este prezentată în [1], enunțul ei, aparent este al unei probleme simple, dar interesantă din punctul de vedere al rezolvării ei, deoarece problema a fost menționată la vremea respectivă chiar de GAUSS. În [2] apare rezolvarea problemei cu calculatorul.

Rezolvarea problemei nu este evidentă, după cum se va vedea în cele ce urmează. Din punct de vedere matematic, rezolvarea necesită noțiuni și concepte de matematică superioară din domeniul ecuațiilor funcționale, și anume a ecuațiilor cu diferențe finite de ordinul I neomogene. În două articole științifice, problema a fost rezolvată de către W. LOREY (1935) și A. WALTHER (1936). Din punct de vedere numeric, rezolvarea problemei necesită cunoașterea metodelor numerice specifice rezolvării ecuațiilor cu diferențe finite. De altfel, W. LOREY a și utilizat o mașină de calcul pentru rezolvarea numerică a unei ecuații cu diferențe finite, aceasta deoarece a sesizat faptul că soluția se obține după un număr considerabil de iterații.

Din punct de vedere informatic, rezolvarea va fi simplă deoarece nu se va utiliza modelul matematic (ecuația funcțională) obținut din modelarea analitică a problemei, ci un proces de calcul care simulează operațiile și stările unor locații de memorie (acesta este de fapt algoritmul care codifică rezolvarea problemei), și care implementat într-un limbaj de programare (de exemplu C sau Pascal) va rezolva problema în cazul general.

Pentru a face comparația dintre soluția algoritmică obținută pentru calculator și soluția analitică, prezentăm succint rezolvarea dată de A. WALTHER. Vom considera problema în cazul general, de accea vom face următoarele notații :

a – cantitatea de lichid (în litri) conținută inițial în vas;

b – cantitatea de lichid ce se scoate zilnic din vas;

c – cantitatea de lichid ce se adaugă zilnic în vas;

y0 – cantitatea de alcool pe litru (concentrația de alcool) a lichidului din vas la momentul inițial;

yp – cantitatea de alcool pe litru a lichidului ce se adaugă;

yf – cantitatea de alcool pe litru a lichidului din vas, la momentul final;

x – numărul de zile (operații de înlocuire a lichidului);

y(x) – cantitatea de alcool pe litru a lichidului din vas după x operații de înlocuire a lichidului.

Ecuația funcțională (ecuația cu diferențe finite) pentru determinarea funcției y(x), se obține exprimând cantitatea totală de alcool din vas după x zile, în două moduri :

i) ( a – bx + cx ) y(x)

ii)     ( a – bx + c(x-1) ) y(x-1) + c yp ,

unde cazul ii) se obține adunând cantitatea de alcool din lichidul rămas în vas după (x-1) zile, din care s-au scot b litri, cu cantitatea de alcool a celor c litri care se adaugă.

Prin urmare, se obține următoarea ecuație funcțională:

(1) ( a – bx + cx ) y(x) – ( a – bx + c(x-1) ) y(x-1) = c yp , ecuație cu diferențe finite de ordinul I neomogenă.

Rezolvarea acestei ecuații este prezentă în [1], soluția generală fiind

unde este funcția lui Euler dată de relația:

În cazul particular a=2000, b=15, c=12, y0=0.8, yp=0.4, y(x) este un polinom de gradul IV :

de unde, prin aproximare se deduce că y(194) = 0.50048, y(195) = 0.49963, prin urmare după x=195 zile se ajunge la concentrația de 0.5.

Metoda algoritmică – proces de calcul și cod algoritm

În cazul rezolvării algoritmice, vom abandona metoda obținerii ecuației funcționale și rezolvarea ei analitică sau numerică, și vom concepe algoritmul ce realizează procesul de calcul generat de cerințele problemei.

Pe lângă variabilele x, a, b, c, yp, yf cu semnificațiile prezentate mai sus, vom utiliza și următoarele variabile:

z – cantitatea de alcool din vas la un moment dat ;

t – cantitatea de lichid din vas la un moment dat ;

y0 – concentrația de alcool din vas la un moment dat.

Algoritmul în limbaj pseudo-cod este următorul :

algorithm Gauss;

int x;

float a,b,c,y0,yp,yf,z,t;

begin // main

read a,b,c ; // cantități de lichid

read y0,yp,yf; //concentrații

// initializations

x1; z(a-b)*y0+c*yp;

ta-b+c

while yf < z/t do

begin

xx+1;

y0 z/t; //concentrație

z(t-b)*y0+c*yp;

tt-b+c;

end

write x; // soluția

end

Prin execuția algoritmului/programului de mai sus (în limbaj de programare C, Pascal, etc.), pentru valorile b=15, c=12, y0 (inițial) = 0.8, yp= 0.4, yf = 0.5 se obțin următoarele rezultate :

a = 2000 , yf = 0.5004515, x(zile) = 195

a = 5000 , yf = 0.5001438, x(zile) = 488

a = 10000 , yf = 0.5000983, x(zile) = 976

a = 100000 , yf = 0.5000064, x(zile) = 9763

 Referințe

[1] GABRIEL SUDAN, Câteva probleme matematice interesante, Biblioteca SSM, Editura Tehnică, București, 1969.

[2] MARIN VLADA, O problemă a lui K.F. Gauss rezolvată cu calculatorul, Gazeta Matematică, nr. 5/1995.

Rezolvare cu programul EXCEL

Pentru a realiza în Excel calculul iterativ din algoritmul de mai sus vom introduce mai înainte, în celulele corespunzătoare valorile datelor cunoscute:

Calculul iterativ și valorile parametrilor/variabilelor acestui calcul trebuie să fie implementate într-un tabel de forma:

Deoarece în algorimul de calcul precedent variabila y0 este folosită și pentru concentrația de alcool din vas la un moment inițial, dar și pentru concentrația de alcool din vas la un moment curent, vom introduce variabila

– ycurent = concentrația de alcool din vas la un moment curent.

Din aceste motive, trebuie să implementăm în Excel un calcul iterativ de forma:

while yf < z/t do

begin

xx+1;

ycurent z/t; //concentrația

z(t-b)*ycurent+c*yp;

tt-b+c;

end

Trebuie să se realizeze următoarele etape (capul de tabel este pe rândul 6):

se generează cu Edit Fill valorile pentru variabila (număr de zile) x: 0..200 pe coloana A corespunzătoare acesteia, și anume pe rândurile 7-207;

se introduc valorile pentru starea inițială (x=0), adică pentru ycurent, în B7 valoare 0.800, pentru z în C7 formula =A$4*D$4, iar pentru t, în celula D7, valoarea 2000;

se introduc formulele pentru prima iterație (x=1) ținând seama de calcul iterativ de mai sus (a se vedea imaginea capturată din programul Excel), și anume,

– pentru ycurent, B8= =C7/D7

– pentru z, C8 =(D7-B$4)*B8+C$4*E$4

– pentru t, D8 =D7-B$4+C$4

se generează formulele (prin Copy sub Excel) pentru iterațiile x= 2..200, adică se selectează domeniul de celule B8:D8, se eliberează butonul de mouse, după care se aduce cursorul cruce (mare) al mouse-lui către colțul dreapta-jos al cadrului ce a selectat domeniul de celule, determinând apariția cursorului de cruce mică; după aceea se apasă butonul din stânga și se trage până la rândul 207 (x=200), realizându-se astfel calcule corespunzătoare pentru cele 3 coloane din tabel..

Figura 20. Rezolvarea problemei lui Gauss folosind Excel

Valorile generate de calculul iterativ sunt prezentate în continuare. Concluzia este că soluția în acest caz este x= 195 , adică identică cu soluția determinată prin algoriumul/programul precedent.

Concluzii

Din analiza celor 3 rezolvări ale problemei lui Gauss se poate exprima concluzia că metoda matematică (rezolvarea unei ecuații funcționale) este laborioasă și incomodă, iar metoda algoritmică susținută de un program scris într-un limbaj de programare este cea mai comodă și eficientă. De asemenea, rezolvarea folosind facilitățile programului Excel este comodă și eficientă, în primul rând pentru că se bazează pe procesul de calcul iterativ din metoda algoritmică. Incovenientele (eliminate în cazul programului scris într-un limbaj de programare) apar atunci când în vas cantitatea de lichid este foarte mare (5000, 10000, etc.), caz în care tabelul de calcul necesită dimensiuni mari. Mai jos vom exemplifica printr-o situație modul în care propagarea erorilor pot denatura obținerea rezultatului corect în cazul acestei probleme.

Exemplu privind propagarea erorilor.

Pentru cantitatea de lichid de 2000, numărul de iterații este considerabil (x=195, soluția) și pot determina procesul de propagare a erorilor. Formula variabilei/parametrului z din algoritmul de calcul, utilizează valoarea concentrației de la pasul precedent

z(t-b)*ycurent + c*yp .

Vom modifica formula astfel ca să se utilizeze valoare concentrației la momentul curent, adică formula C8 = (D7-B$4)*B8+C$4*E$4 va fi modificată astfel:

C8 = (D7-B$4)*B7+C$4*E$4.

În urma refacerii calculelor obținem rezultatele de mai jos:

Soluția, în acest caz are valoare mai mare decât valoarea corectă. Influența propagării erorilor a determinat obținerea unor rezultate eronate.

2.3 Indicatori statistici

Indicatorii statistici sunt definiți pentru a surprinde (a analiza) variații de manifestare a unor valori măsurate pentru fenomene și procese și care necesită elaborarea unor metodologii și tehnici de rafinare, transformare și aplicare a unor operații speciale de calcul pentru obținerea unor determinări cantitativ-numerice. Indicatorul statistic, în forma sa generală, este expresia numerică a manifestărilor unor fenomene, procese, activități sau categorii economice și sociale, delimitate în timp, spațiu. Pentru cunoașterea proceselor și fenomenelor, indicatorii statistici îndeplinesc mai multe funcții și anume: de măsurare; de comparare; de analiză sau de sinteză; de estimare; de verificare a ipotezelor și/sau de testare a semnificației parametrilor utilizați.

Indicatorii statistici se pot grupa în:

Indicatori primari (mărimi absolute) – exprimă direct valori initiale (masuratori) pentru obiectivele cercetate; se pot obține prin înregistrarea directă, centralizarea datelor sau prin însumarea parțială sau totală a datelor individuale; prezintă o capacitate relativ limitată de descriere a fenomenului/procesului analizat, și nu permite realizarea unor aprecieri calitative;

Indicatori derivați – se obțin prin prelucrarea indicatorilor primari și fac posibilă analiza aspectelor calitative ale fenomenelor și proceselor analizate (ex: mărimi relative, mărimi medii, indicatori ai variației, indici, indicatori ai corelației, etc).

Indicatorii tendinței centrale

În general, indicatorii tendinței centrale se determină în general ca indicatori medii sau indicatori de poziție (ai localizării), în funcție de natura caracteristicilor urmărite în colectivitatea investigată, de scopul investigației. Sunt multe situațiile când tendința centrală se caracterizează printr-un anumit tip de medie (aritmetică, armonică, pătratică, geometrică), dar și situații de utilizare a indicatorilor sintetici de poziție (localizare: modul, cuantile).

Diverse tipuri de medii ale valorilor primare:

Media aritmetica – În sens statistic, media aritmetică a valorilor individuale (x1, x2, …, xn) ale variabilei / parametrului X = (x1, x2, …, xn) reprezintă acea valoare care s-ar fi înregistrat dacă toți factorii de influență ar fi acționat constant (cu aceeași intensitate) la nivelul fiecărei valori masurare/înregistrare. Prin urmare, , sau , și avem .

Media ponderată – Într-o colectivitate statistică, suficient de mare (n mare), unde de obicei, multe valori prezintă o anumită frecvență de apariție, media aritmetică se calculează ca o medie ponderată:

, unde fi reprezintă frecvența valorii xi , și avem .

Media armonică – Media armonică este folosită numai în anumite situații, și anume atunci când valorile/seturile de date sunt alcătuite din valori exprimate sub formă de rapoarte, cum ar fi prețurile vitezele (în mp/h), prețurile (în u.m./kg), sau productivitatea (produse/oră-om). Media armonică se definește ca valoare inversă a mediei aritmetice a inverselor valorilor elementelor individuale înregistrate; relația de calcul a mediei armonice simple a șirului de valori X = (x1, x2, …, xn) este următoarea:

;

Pentru o serie de distribuții de frecvențe media armonică ponderată se calculează după relația: ,

Media geometrică – Media geometrică este o mărime specializată folosită pentru a calcula media creșterilor procentuale (media creșterilor procentuale a salariilor sau prețurilor bunurilor). Media geometrică reprezintă acea valoare a caracteristicii observate care dacă ar înlocui fiecare valoare individuală din serie produsul acestora nu s-ar modifica, adică

Indicatori de poziție

Indicatorii de poziție calculează și se identifică în cadrul unui set de valori cu câte o variantă reală, care posedă o anume proprietate, conform căreia respectiva variantă oferă o informație satisfăcătoare despre setul de valori studiat:

Mediana (Median)- Me, aceasta reprezintă valoarea centrală a unei serii de date aranjate crescător sau descrescător, și are proprietatea că împarte seria în 2 grupuri egale, astfel încât jumatate din valori sunt mai mici decât mediana și jumatate sunt mai mari decât mediana. Este cuartila de mijloc, cuartilele fiind valori care împart seria în 4 grupe, sau este percentila de mijloc, percentilele fiind valori care împart seria în 10 grupe egale. Pentru o serie cu număr impar de valori, valorile seriei sunt în ordine crescătoare și valoarea care împarte seria în două părți egale este mediana. Valoarea de mijloc a unei distribuții, este definită drept cel mai mic număr astfel încât jumătate dintre valori să nu fie mai mari decât el. Cu alte cuvinte, jumătate dintre valori sunt mai mici sau egale cu mediana, jumătate sunt mai mari decât mediana. De remarcat că, deși este utilizat în general ca un indicator de tendință centrală, mediana oferă mai degrabă informații asupra repartizării observațiilor (indicator de împrăștiere). De regulă, mediana este raportată împreună cu quartilele distribuției în așa-zisa rezumare prin cinci valori. Dacă x1, x2,  . . .  , xn sunt valorile observate, mediana este calculată, după ordonarea crescătoare a valorilor, x(1) <= x(2)<=  . . . <= x(n), prin

.

Este de notat că mediana realizează minimul sumei abaterilor absolute ale valorilor distribuției de la un punct fixat: |xi – m| este minimă pentru m egală cu mediana distribuției (în cazul unui număr par de valori, mediana – așa cum a fost definită – nu este singura valoare cu această proprietate).

Funcție Excel: MEDIAN(number1,number2,…)

Number1, number2, …    are 1 to 30 numbers for which you want the median.

Exemplu: Median (18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32)=25 (nr. impar de valori) si Median (18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31) = 24.5

Modulul (Mode) – valoarea modală, adică dominanța unei variabile ce reprezintă valoarea care înregistrează cea mai mare frecvență de apariție. Valoarea modală se utilizează ca indicator al tendinței centrale atunci când media nu se poate calcula sau nu are sens să fie calculată.Valoarea modală este cea mai frecventă valoare dintr-o mulțime de valori. Grafic, dintr-o histogramă, o valoare mod este identificată printr-un maxim relativ. O distribuție poate avea astfel mai multe valori mod (distribuții unimodale, bimodale, etc.).

Funcție Excel: MODE (number1,number2,…)

Number1, number2, …    are 1 to 30 arguments for which you want to calculate the mode. You can also use a single array or a reference to an array instead of arguments separated by commas. :

Exemplu: Mode (18,19,20,21,22,20,24,20,26,27,20,29,30,31,32)=20, Mode (18,19,20,18,22,18,24,25,26,27,18,29,30,31) = 18

În Excel, funcțiile corespunzătoare acestor parametri media arimetică, mediana și modulul, sunt: AVERAGE, MEDIAN, MODE.

Indicatori ai împrăștierii (variației)

Amplitudine (Range) – sau indice de dispersie (Dispersion indexes) – este definită ca xmax–xmin, unde xmax și xmin sunt valorile extreme ale unui set de numere observate. Oferă o imagine a răspândirii datelor, dependentă însă de numărul de valori observate. Cu cât se măsoară mai multe elemente, cu atât șansa de a observa valori mai depărtate crește, deci șansa de a obține o amplitudine mai mare.

Abaterea medie (Mean Deviation) – deviația sau abaterea medie reprezintă media abaterilor valorilor individuale față de valoarea medie:

Abaterea standard (Standard Deviation – SD) este radicalul mediei pătratice a abaterilor datelor față de medie și se calculează cu formula:

(în Excel este funcția STDEV sau STDEVP).

Varianța (Variance) sau dispersia este pătratul abaterii medii pătratice, (în Excel este funcția VAR sau VARP).

Intervalul de confidență (Confidence interval) – interval de încredere (număr de valori în intervalul de încredere) pentru estimarea unui parametru (ex. media, dispersia, etc) în cazul unei distribuții normale Gauss:

cu probabilitate de 0.682

cu probabilitate de 0.954

cu probabilitate de 0.997

În Excel există funcția CONFIDENCE(alpha,standard_dev,size), Alpha  is the significance level used to compute the confidence level. The confidence level equals 100*(1 – alpha)%, or in other words, an alpha of 0.05 indicates a 95 percent confidence level. Standard_dev is the population standard deviation for the data range and is assumed to be known. Size is the sample size.

2.4 Distribuția, propagarea și estimarea erorilor

Erorile aleatoare (accidentale) produc efecte asupra preciziei datelor și rezultatelor. Acestea nu sunt corelate și afectează valorile observate (măsurate) și se consideră ca pentru masurători de volum foarte mare (n tinde catre infinit) aceste erori sunt realizări (sunt distribuite) ale unei variabile aleatoare normale (distributia normala Gauss) X. Proprietatea importantă a aceste distribuții de probabilități este aceea că valorile observate (măsurate) se distribuie aleator la stânga și la dreapta față de valoarea medie, adică satisface legea densității de probabilitate Gauss (numită și clopotul lui Gauss), distribuția normală standard N(0,1), având media 0 și dispersia 1:

, , (precizia),

și .

Mai jos este graficul densității de probabilitate pe intervalul [-2,2] realizat (pasul discretizării/diviziunii p=0.1) cu programul Excel.

Figura 21. Graficul folosind Excel

Pentru o valoare dată , conform definiției funcției de repartiție, probabilitatea ca X < x este dată de relația:

F(x) = P ( X < x ) = ,

adică reprezintă aria de sub curba normală standard delimitată de – ∞ și x .

f(x)

-∞ -3 -2 – =0 + +2 +3 +∞

68.3%

aria 0.341

95.5%

aria 0.477

99.7%

aria 0.499

Figura 22. Erorile aleatoare: Distribuția probabilităților și relația cu funcția de repartiție

Distribuția normală (Normal Distribution – ND) – Densitatea de probabilitate Gauss

Prin definiție, o variabila aleatoare. X are o repartiție normală cu parametrii și dacă densitatea sa de probabilitate este

,

Se demonstrează că și  2 este media, respectiv dispersia, variabila aleatoare X. Conform definiției funcției de repartiție,

și se poate demonstra că pentru orice a b, probabilitatea ca a < (X-m)/s < b este

P(a < (X-m)/s < b) = aria de sub curba normală standard delimitată de x = a și x = b,

formulă care permite calcularea probabilităților asociate cu repartiția normală doar cunoscând probabilitățile asociate repartiției normale standard. Notația uzuală este X~N(,2). Pentru distribuția normală standard se obține X~N(0,1).

În EXCEL există funcția: NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

– X    is the value for which you want the distribution.

– Mean    is the arithmetic mean of the distribution. Standard_dev    is the standard deviation of the distribution.

– Cumulative    is a logical value that determines the form of the function. If cumulative is TRUE, NORMDIST returns the cumulative distribution function; if FALSE, it returns the probability mass function.

The equation for the normal density function (cumulative = FALSE) is: When cumulative = TRUE, the formula is the integral from negative infinity to x of the given formula.

Este remarcat faptul că pentru o curbă a distribuției erorilor cu o medie dată și cu diverse dispersii 1 ,2 și 3 crescătoare, atunci cele trei curbe au “baza” crescătoare așa cum se vede în figura următoare:

Figura 23. Curbele distribuției pentru diverse dispersii crescătoare 1 ,2, 3

Modelul teoretic al distribuției erorilor (curba lui Gauss: distribuția normală standard) se referă la un număr infinit de măsurători pentru valorile măsurate (observate). În practică, numărul observațiilor este finit, și uneori acest număr este mic așa cum este cazul domeniilor chimie, fizică, etc. Să presupunem că se fac măsurători pentru marimea Y. Dacă se repetă măsurarea mărimii Y în condiții identice se constată că valorile măsurate diferă între ele, și atât pentru un număr foarte mare de măsurători (teoretic infinit), cât și pentru un număr mic de măsurători (finit) se obțin două șiruri (seturi) distincte de valori măsurate. Dacă pentru ambele seturi de valori măsurate se reprezintă grafic frecvențele de apariție (distribuția probabilităților) a valorii măsurate în funcție de valorile măsurate, se obțin două curbe diferite (a se vedea figura de mai jos). Vom nota:

Yr = valoarea adevarată (reală, corectă) a mărimii Y;

m = media valorilor măsurate pentru un număr infinit de măsurători

= media valorilor măsurate pentru un număr mic (finit) de măsurători

Eroarea sitematică (obiectivă) este dată de diferența dintre media valorilor măsurate pentru un număr infinit de măsurători și valoarea adevarată a mărimii Y, adică m – Yr .

Eroarea aleatoare (accidentală) ) este dată de diferența dintre media valorilor măsurate pentru un număr finit de măsurători și media valorilor măsurate pentru un număr infinit de măsurători, adică – m.

Figura 24. Erori de măsurare sistematice ăi aleatoare

(Sursa: M. Miron, L. Miron, Măsurări electrice și electronice, Brașov, 2003, http://www.afahc.ro/invatamant/electro/mee.pdf)

Propagarea erorilor

Atunci când un rezultat experimental depinde de unul sau mai multe măsurători nesigure, este necesar să se analizeze propagarea erorilor (incertitudinile: propagation of error or propagation of uncertainty) acestor măsurători în rezultatul final al cercetării (experimentului).

În sens statistic, dacă X este o variabilă aleatoare dată ce are o distribuție cunoscută a erorilor și asupra ei acționeaza un sistem de prelucrare (experiment system), se dorește să se cunoască propagarea erorilor (distribuția erorilor) pentru variabila aleatoare rezultat Y:

(input) X Y (Output)

Trebuie să se determine distribuția funcției de ieșire pentru variabila Y, adică Y = f(X), unde f este cunoscută și distribuția erorilor pentru varaiabila aleatoare X este cunoscută.

Presupunem că variabila X (input) este normal distribuită N(x , x) cu media x și abaterea standard x , și se dorește să se determine cum se propagă intervalul cu probabilitatea 68% [x – x , x + x ] prin sistemul de prelucrare în rezultatul final, adică în variabila Y (output). Dacă f este o funcție complexă, din figura următoare se poate observa că acest interval depinde de această funcție să determine o anumită distribuție a erorilor pentru rezultatul final Y. În cazul normal distribuit pentru Y, avem notația N (y , y).

Figura 25. Propagarea erorilor pentru cazul neliniar al rezultatului

Pentru cazul general când avem n variabile aleatoare la intrare (input) X1 , X 2, … Xn , avem următoarea schemă generală:

Figura 26. Schema generală pentru n intrări

În acest caz avem Y = f (X1 , X 2, … Xn), unde X1 , X 2, … Xn sunt variabile aleatoare de intrare (input) având distribuția normală N(i , i), unde .

În concluzie, reprezentarea lui Y sub forma dezvoltătii în serie Taylor de ordinul I (se utilizează doar derivata de ordinul I)) în punctul (1 , 2, … , n ) este

Dacă pentru medie utilizăm notația din statistică (probabilități), E ( . ), atunci avem următoarele calcule:

, cu notațiile

Vom presupune că funcția f este liniară și astfel Y este o variabilă aleatore distribuită normal N(y , y) cu media y și abaterea standar y . Să calculăm y și y2 :

adică

și dacă vom considera că variabilele aleatoare X1 , X 2, … Xn sunt independente, atunci covarianța ij este zero și avem

Pentru exemplificare vom da câteva exemple de operații asupra intrărilor. Calculul erorii rezultatului final va fi analizat în cele ce urmează.

Input: a, b, c obținute din măsurători directe cu erorile sa, sb, sc

Output: rezultatul final x, cu eroarea sx

Tabelul 2. Propagarea erorilor

De exemplu, se poate calcula eroarea la etalonul de curent pe baza legii lui Ohm, sau în general la măsurarea indirectă a curentului, prin măsurarea căderii de tensiune pe o rezistență etalon. În Chimie și Fizică sunt diverse formule de calcul pentru care trebuie să se calculeze eroarea.

2.5 Analiza datelor experimentale. Modele matematice

În cercetare și în analiza datelor experimentale din diverse domenii științifice trebuie să se realizeze proceduri de calcul și modele care să conducă la concluzii privind interpretarea măsurătorilor, calculelor și rezultatelor modelelor teoretice sau empirice (aproximative).

Presupunem că trebuie să se studieze variabila Y (dependentă) în funcție de variabila X (independentă), adică dependența Y = f(X). De exemplu, dacă X reprezită parametrul “temperatură”, iar Y parametrul “presiune”, în acest caz variabila Y se exprimă ca o funcție de o singură variabilă. Considerăm că s-au determinat n perechi de valori (xi,yi), i=1,…,n corespunzătoare celor două variabile pentru care se dorește să se studieze asocierea și relația dintre ele. O primă apreciere asupra distribuției comune o vom avea dacă realizăm diagrama de împrăștiere a valorilor, de fapt reprezentarea într-un sistem de axe XOY pentru punctele având coordonatele (x , y). Analiza vizuală a organizării și formei norului de puncte obținut poate oferi indicii importante asupra relației dintre variabile. Datele vor susține ipoteza asocierii între variabile dacă forma norului de puncte se apropie de o curbă dată cu expresie analitică cunoscută. Astfel, se pot aprecia asocieri liniare, curbilinii, etc. Dacă în norul de puncte nu se poate distinge o tendință, se va spune că variabilele nu sunt corelate. Diversitatea proceselor și fenomenelor studiate determină obținerea unei mari diversități de tendințe: liniare și neliniare (curbilinii).

În figuririle următoare sunt ilustrate câteva tendințe ale acestor asocieri.

Y Y

X X

a) asociere liniară pozitivă b) asociere liniară negativă

Y Y

X X

c) fără (nu există) asociere d) asociere neliniară (curbilinie)

Figura 27. Diferite tipuri de asociere pentru variabilele X și Y

Pentru a sintetiza (estima) modul în care schimbările variabilei Y sunt asociate cu schimbările variabilei X, se utilizează metoda matematică "metoda celor mai mici pătrate – MCMMP" (concepută de Legendre, 1806). Aplicată în cazurile a) si b), asocierea dintre X și Y este reprezentată printr-o dreaptă trasată printre punctele diagramei de împrăștiere. Dreapta estimată (dreapta de regresie) este "cea mai bună" în sensul că exprimă cel mai central drum printre puncte: linia pentru care suma pătratelor distanțelor (pe verticală) dintre puncte și dreaptă este minimă.

Y f(x) = ax + b

X

Figura 28. Dreapta de regresie în cazul a)

Distanțele yi – f(xi), i=1,…,n sunt considerate ca erori (reziduri) dintre valorile măsurate și valorile estimate. Dreapta de regresie f(x) = ax + b realizează valoarea minimă a pătratelor erorilor (parametri dreptei a și b urmează a fi determinați prin MCMMP),

în sensul că orice altă dreaptă produce o sumă de pătrate mai mare. Este de amintit că o proprietate a mediei aritmetice este aceea că suma pătratelor diferențelor de la medie are o valoare minimă. Astfel se poate spune că după cum media reprezintă punctul de echilibru pentru o distribuție univariată de scoruri, la fel dreapta de regresie reprezintă punctul de echilibru într-o distribuție bivariată. Utilitatea dreptei de regresiei este aceea că servește ca bază pentru predicția valorilor lui Y asociate valorilor lui X.

În cazul asocierii neliniare (curbilinie), curba care estimează asocierea dintre varabilele Y și X va fi exprimată prin intermediul unor parametri ce urmează a fi determinati prin MCMMP. În practică, în funcție de natura datelor experimentale și procesul analizat trebuie să se determine ‘evoluția” procesului pe baza datelor experimentale. Aceasta este reprezentată și estimată de modele matematice date de funcții liniare sau neliniare (curbe).

Modelele matematice (liniare sau neliniare) ce estimează evoluția proceselor sau fenomenelor sunt exprimate de:

Modele teoretice – acestea se bazează pe diverse legi și principii ale domeniului teoretic; sunt modele raționale ce se determină prin funcții și legi obținute prin raționamente teoretice ce exprimă funcții și ecuații ale unor teorii studiate în domeniul respectiv: chimie, fizică, biologie, etc.

Modele empirice (de aproximare) – acestea au la bază un suport teoretic pentru a utiliza observații (măsurători) empirice ale unor parametri ce definesc procesele și fenomenele în vederea realizării de calcule și aproximări (fitare) ale datelor.

Modele teoretice

Exemple.

a) Legea densității de probabilitate Gauss privind distribuția erorilor de măsurare (numită și clopotul lui Gauss), distribuția normală standard N(0,1), având media 0 și dispersia 1:

, , (precizia),

și .

b) Exemplu din chemical kinetics (teoria stării de traziție – “'transition state theory'”) – ecuația Eyring–Polanyi (1935) ce descrie dependența de temperatură a ratei de reacție într-o reacție bimoleculară. Principiile teoriei stării de tranzitie: există un echilibru termodinamic între starea de tranziție și starea de reactanți în partea de sus a barierei de energie; rata de reacție chimică este proporțională cu concentrația de particule în stare de tranziție de înaltă energie. Modelul dat de ecuația Eyring este folosit în studiul gazelor prin reacții condensate și mixte (Sursa: Peter Keusch, University of Regensburg, http://www.demochem.de/eyr-e.htm):

, unde

variabila dependentă k este funcție de temperatura T și de parametri S ‡ (entropia de activare), H‡ (entalpia de activare) și

kB  =  Boltzmann's constant [ 1.381 · 10 -23 J · K -1 ]
T  =  absolute temperature in degrees Kelvin [ K ]
h  =  Pank constant [ 6.626 · 10 -34 J · s ]

R  =  Universal Gas Constant  =   8.3144621 [ J · mol -1 · K -1 ]
S‡ =  activation entropy [ J · mol -1 · K -1 ]
H‡ =  activation enthalpy [ kJ · mol -1 ]

Observații:

is given by statistical thermodynamics,

k‡  is known as a universal rate constant for a transition state.

G‡  =  free activation enthalpy [kJ · mol -1] (Gibbs energy),

G‡  is also described by the Legendre transformation of the Gibb's free energy function.

G‡  poate fi considerată a fi forța motrice a unei reacții chimice, ce determină spontaneitatea de reacție: reacția este spontană (< 0), sistem in echilibru (= 0), reacția nu este spontană (> 0).

Prin logaritmare, ecuația Eyring se transformă într-un model liniar:

Modele empirice (de aproximare)

Exemple.

a) Ecuația Arrhenius – ecuația se poat aplica numai la cinetica reacțiilor de gaz și se bazează pe observația empirică a faptului că o reacție se desfășoară cu o creștere a ratei de reacție la o temperatură mai ridicată:

, unde A factor si Ea este energia de activare.

(forma liniară)  

b) Legea lui Beer (Spectrofotometrie): A = ε L C, unde A este absorția, ε este cantitate este de absorbție molară, L este lungimea de undă a luminii folosite la măsurare, iar C este concentrația analitului (Sursa: David N. Blauch, Beer's Law: http://www.chm.davidson.edu/vce/spectrophotometry/beerslaw.html,

și http://teaching.shu.ac.uk/hwb/chemistry/tutorials/molspec/beers1.htm).

Figura 29. Virtual Chemistry Experiments by David N. Blauch – http://www.chm.davidson.edu/vce/

Coeficientul de corelație (Correlation coefficient)

Coeficientul de corelație (Pearson) este o măsură a asocierii liniare dintre două variabile, cu alte cuvinte a gradului în care reprezentarea bivariată sub forma unei diagrame de împrăștiere se apropie de o dreaptă. Notând cu X și Y cele două variabile și cu xi, yi, i=1,…,n, valorile variabilelor, formula de calcul este

.

Coeficientul de corelație ia valori în [–1,+1] cu semnificația de asociere pozitivă/negativă după semnul coeficientului și de lipsă de asociere pentru rXY = 0.

Exemplul 4. Pentru un set de date ce reprezintă valorile a două variabile aleatoare X și Y vom calcula în trei moduri coeficientul de corelație rXY : a) folosind funcția CORREL (X,Y) din Excel, b) folosind Excel pentru calculele directe ale formulei de mai sus, și c) folosind covarianța COVAR (X,Y) din Excel.

În cazul a) se apelează funcția CORREL(Array1,Array2), unde Array1, Array2 sunt, respectiv, zonele care conțin valorile celor două variabile (trebuie să aibă, evident, același număr de valori), adică X și Y. Mai jos este fereastra oferită prin apelul funcției CORREL. Se va indica, pe rând fiecare argument în parte: X si Y. Rezultatul obținut este următorul: rXY = 0.775901.

În cazul b) trebuie să se realizeze calculul direct, adică este nevoie să se utilizeze 5 vectori A, B, C, D , E definiți ținând seama de expresia din formula coeficientului de corelație rXY .

Deasupra tabelului de mai sus în care se calculează cei 5 vectori se calculează valorile intermediare din structura expresiei coeficientului de corelație și se va obține același rezultat rXY = 0.775901.

A B

C=A*B, D=A2, E=B2

Figura 30. Fereasta oferită de funcția CORREL

Cazul c). Calculul coeficientului de corelație al celor doi vectori de date se poate exprima și folosind formula de mai jos:

,

unde Cov(X,Y) este covarianța celor doi vectori X si Y, iar SX , SY sunt abaterile standard pentru X, respectiv Y. Avem:

și .

Covarianța (Covariance)

Coeficientul de covarianța este o măsură a asocierii liniare dintre două variabile X și Y, , unde și reprezintă mediile vectorilor X și Y. Calculul covarianței folosind funcția statistică din Excel, se face prin apelul funcției COVAR(Array1,Array2), unde Array1, Array2 sunt, respectiv, zonele care conțin valorile celor două variabile (trebuie să aibă, evident, același număr de valori), adică X și Y.

Pentru calculul abaterilor standard SX , SY se apelează funcția STDEVP(number1, number2, …), number1, number2, …    are 1 to 30 number arguments corresponding to a population. You can also use a single array or a reference to an array instead of arguments separated by commas.

În acest fel, și în cazul c) se va obține același rezultat rXY = 0.775901.

Pentru diverse probleme complexe ce necesită anumite calcule statistice, trebuie să se cunoască și să se înțeleagă semnificația termenilor și calculelor statistice corespunzătoare și apoi să se utilizeze instrumentele statistice (Analysis ToolPak, Analysis ToolPak – VBA, Solver Add-in, etc.) oferite de programul Excel.

Acest lucru este valabil și în cazul problemelor ce necesită rezolvarea ecuațiilor și a sistemelor. Trebuie să se utilizeze meniul Tools Add-Ins (va apărea submeniul Data Analysis în meniul Tools):

Figura 31. Utilizare meniul Tools Add-Ins

Despre programul Microsof Office Excel (versiunea 2007- 2010)

În comparație cu versiunea Microsoft Office Excel vers. 2003-2007 ce oferă pentru o foaie de calcul (sheet) dimensiune 65536R x 256 C (linii și coloane: se acționează simultan tastele <CTRL>+ <>, respectiv <CTRL>+ <>) și extensia pentru fișierul output (rigistru, agenda – work) este dată de .xls, noua versiune 2007-2010 oferă pentru o foaie de calcul (sheet) cu dimensiunea mult mai mare 1048576R x 16384C și extensia sub forma. .xlsx. Referitor la formatul acestei extensii, trebuie să facem observația că în practică, un utilizator care lucrează cu versiunea veche Excel 2003-2007 și deschide un fișier cu acest format, trebuie să se asigure că în versiunea nouă Excel 2007-2010 este neapărat necesar să se salveze pentru versiunea Excel 2003-2007.

Figura 32. Meniurile principale pentru versiunile Excel 2003-2007 și 2007-2010

MeniulPORNIREMeniul ÎNSERARE

Meniul FORMULE: Financiar, Logică, Text, Date, Căutare și referințe., Matematică și trigonometrie , Alte funcții (Statistică, Inginerie, Cub, Informații)

Meniul DATE

Funcții: Matematică și trigonometrie

Figura 33. Centrul de Control: File

Modele liniare. Regresia liniară (Linear Regression)

Date fiind valorile observate pentru două variabile aleatoare X și Y, fie acestea (xi,yi), i=1,…,n, prin funcție de regresie se va înțelege acea funcție Y = f(X) care aproximează cel mai bine setul de date observate. De regulă, criteriul ales este dat de metoda celor mai mici pătrate (MCMMP), adică acea funcție f pentru care se minimizează suma patratelor erorilor dintre valorile măsurate și cele estimate (procedeu de fitare), adică suma

Dacă f este o funcție liniară, atunci se obține regresia liniară, reprezentată grafic printr-o dreaptă (dreapta de regresie). Dreapta de regresie, împreună cu abaterile standard ale variabilelor X și Y, sau cu coeficientul de corelație, pot constitui o rezumare rezonabilă a distribuției comune a celor două variabile X si Y. Descrierea modelului liniar este mai bună atunci când diagrama de împrăștiere are formă de elipsă.

Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP, Legendre 1806)

Dependența funcțională a unei variabile aleatoare Y (dependență-efect) față de altă variabilă X (independentă-cauză) poate fi studiată empiric, pe cale experimentală, efectuîndu-se o serie de măsurători asupra variabilei Y pentru diferite valori ale variabilei X. Rezultatele se pot prezenta sub formă de tabel sau grafic.

Problema care apare în acest caz este de a găsi reprezentarea analitică a dependenței funcționale căutate (procedeu de fitare), adică de a alege o expresie (formulă sau model matematic) care să descrie rezultatele experimentului printr-un model matematic.

Formula se alege dintr-o mulțime de formule determinate, de exemplu:

y = ax + b (dreapta),

y = ax2 + bx + c (parabola),

y = aebx + c (exponențiala),

y = a + b sin( ωt + φ ) (sinusoida).

Pin urmare, problema constă în a determina parametrii a, b, c, etc. în timp ce formula (expresia analitică) este cunoscută dinainte, ca urmare a unor considerente teoretice sau după forma prezentării grafice a datelor, în mod empiric.

Să considerăm, cazul general când avem p+1 parametri, și astfel vom nota dependența funcțională prin

y = f(x; a0, a1, …, ap)

Parametri a0, a1,…, ap nu se pot determina exact pe baza valorilor empirice y1, y2,…,yn ale funcției, deoarece acestea din urmă conțin erori aleatoare. Problema reprezintă obținerea unei estimari “suficient de bune”.

Formularea problemei

Dacă toate măsurătorile valorilor varabilei Y sunt y1, y2,…,yn, atunci estimațiile parametrilor a0, a1,…, ap se determină din condiția ca suma pătratelor abaterilor valorilor măsurate yk de la cele calculate f(xk; a0, a1,…, an) să ia valoarea minimă (Legendre, 1806), adică sa fie minimă expresia

.

.

Considerația formulată se păstrează și în general, pentru determinarea parametrilor unei funcții de mai multe variabile (2, 3, etc.), adică o variabilă dependentă (efect) și mai multe variabile independente (cauze). De exemplu, pentru variabila Z (efect) ce depinde de două variabile independente (cauze) X și Y, adică Z=f(X,Y), estimațiile parametrilor a0, a1,…, ap se determină din condiția ca expresia

să fie minimă.

Determinarea valorilor parametrilor a0, a1,…, ap, se face prin aplicarea condițiilor de obtinere a valorii minime în derivatele parțiale ale funcției S considerată în variabilele a0, a1,…, ap , adică funcția cu p+1 variabile S(a0, a1,…, ap). Obținerea acestor valori înseamnă rezolvarea sistemului de p+1 ecuații cu p+1 necunoscuteȘ

, ,…, .

Dreapta de regresie

În cazul modelului liniar (cel mai simplu) se studiază numai două variabile X (cauza), Y(efect) și se dorește găsirea dependenței Y = f(X), unde f(x) = ax + b este o dependență liniară (funcție de gradul I) cu 2 parametri a și b.

În urma celor n probe (măsurători, observații) se cunosc datele (xi ,yi), i=1,…, n și trebuie să se determine coeficienții a și b astfel încât suma

să fie minimă. Condițiile de obținere a parametrilor a și b sunt:

, ceea ce conduce la sistemul de 2 ecuații cu 2 necunoscute:

Se notează: și sistemul de ecuații devine:

. Se obțin următoarele expresii pentru cei doi parametri a și b:

și

Cei doi parametri ai funcției model f(x) = ax + b reprezintă:

a – panta dreptei de regresie, adică a=tg(α), unde α este unghiul dintre graficul funcției f și axa OX (axa absciselor);

b – valoarea pe axa OX unde graficul funcției f intersectează axa OY (axa ordonatelor).

Trebuie să facem observația că indiferent de gradul de împrăștiere al punctelor, întotdeauna se poate găsi o dreaptă de regresie, dar în cazul unei dispersii mari aceasta devine inutilă. De aceea, un studiu preliminar al distribuției punctelor (norul de puncte) se impune cu necesitate.

Calitatea unei drepte de regresie poate fi analizată după coeficientul de determinare R2 (R-squared value on chart, pătratul coeficientului de corelație multiplă) ce are valori în intervalul [0,1] și se calculează cu relația:

, unde .

O valoare 1 pentru acest coeficient are semnificația că funcția model f explică întreaga variabilitate (dependentă) a lui y, iar valoarea 0 că nu există nici o relație liniară între variabila Y și variabila X. O valoare de 0.5 a lui R2 poate fi interpretată în sensul că aproximativ 50% din variația variabilei Y poate fi determinata de către variabila independentă X.

Exemple și aplicații practice

Exemplul 5.

Folosind programul Excel să se determine drepta de regresie pentru două variabile X și Y (de exemplu, în cadrul unui proces electric: variabila intensitate I(mA) și variabila Tensiune U(mV) ce depinde de aceasta) și să se obțină calitatea aproximării (fitării) prin calculul coeficientului de determinare R2.

Într-o foaie de calcul Excel presupunem că apar valorile măsurate pentru variabilele X și Y. Pentru obținerea dreptei de regresie și a coeficientului de determinare R2 , trebuie să se parcurgă următorii 2 pași:

Pasul 1. Reprezentarea norului de puncte (diagrama de împrăștiere) pentru variabilele X și Y. Pentru acest lucru trebuie să se selecteze valorile aflate în cele 2 coloane ale celor 2 variabile, se acționează Insert Chart și se alege tipul de grafic XY (Scatter) (Standard Types), de unde din cele 5 variante de grafice se optează pentru prima variantă (Scatter-Compares pairs of values); se parcurg etapele pentru a genera graficul respectiv (acesta apare mai jos);

Figura 34. Alegerea graficului de tip XY (Scatter) (norul de puncte)

Pasul 2. Determinarea și reprezentarea dreptei de regresie. Se selectează graficul obținut la pasul 1 (norul de puncte) și se acționeaza Chart Add Trendline de unde se alege tipul Linear (Standard Types), Eticheta Add Trendline Options este prezentată în figura următoare și permite definirea altor atribute ale liniei de trend: Display equation on chart – marcarea boxei de control are efectul trecerii pe grafic a ecuației estimate, Display R-squared value on chart – este utilă pentru afișarea coeficientului de determinare R2 (pătratul coeficientului de corelație multiplă).

Figura 35. Alegerea modelului și optiunilor pentru display

În urma apariției graficului ce reprezintă dreapta de regresie, se obțin următoarele rezultate:

y = f(x) = -83.636x + 1317.6, a = -83.636, b = 1317.6 si R2 = 0.999.

Figura 36. Setul de valori și dreapta de regresie (modelul liniar)

Trebuie să precizăm că programul Excel oferă prin Trendline mai multe tipuri de regresii (modele liniare și neliniare):

Linear – modelul liniar (regresia simplă), y = a + bx.

Polynomial – modelul polinomial de ordin 2, 3, 4, 5, sau 6,

.

Logarithmic – modelul logaritmic, y = a + b ln x.

Exponential – modelul exponențial, y = aebx

Power – modelul putere, y = a xb.

Moving Average – modelul de tip MA (medii glisante), în care se calculează o serie nouă cu valori obținute ca medie aritmetică a valorilor din seria inițială:

yn = (xn + xn-1 + … + xn-k+1)/k, unde k este ordinul modelului. Este modelul prin care se elimină influențele pe termen foarte scurt sau scurt. Pentru o alegere corectă se poate utiliza informația cunoscută din cercetări anterioare sau cea furnizată vizual de aspectul norului de puncte.

Exemplul 6.

Pentru dozarea unui antibiotic într-un lichid biologic se propun două metode: o metodă radio-imunologică (R-I) și o metodă imuno-enzimatică (I-E). Se se realizează testarea comparativă a celor două metode. Datele pentru cele două metode sunt prezentate în tabelul de mai jos. Coeficientul de corelație între vectorii R-I (X) și I-E (Y). Dreapta de regresie și coeficientul de determinare.

Coeficientul de corelație se obține apelând funcția Excel CORREL (X,Y) = 0.964795. În urma apariției graficului ce reprezintă dreapta de regresie, se obțin următoarele rezultate:

y = f(x) = 0.8983 x + 0.146, a = 0.8983, b = 0.146 si R2 = 0.9308.

Exemplul 7.

Pentru studierea efectului unei anumite substanțe medicamentoase se injectează aleator cu diferite doze 15 șoareci. Se urmărește numărul de zile de supraviețuire la soareci. Analizând datele, se poate trage concluzia că rata de supraviețuire crește liniar în funcție de doza injectată? Să se studieze reprezentarea norului de puncte și să se compare modelul liniar și modelul exponential.

Rezolvare.

În cazul modelului liniar (dreapta de regresie) se obțin: y = 1.0167 x + 6.9233, și R2 = 0.9308, iar în cazul neliniar (logaritmic) avem y = 2.4383 Ln(x) + 7.6387, și R2 = 0.9064. În concluzie, deoarece cazul liniar (dreapta de regresie) oferă R2 = 0.9308, coeficientul de determinare mai mare, acesta este mai bun în aproximare.

Exemplul 8.

Se presupune că se dau măsurători (observații) ale variabilei dependente Y față de variabila X. Să se determine modelele: exponențial și logaritmic.

3

Modele de aproximare neliniare, calcule matematice și aplicații

“Toată cunoașterea noastră își are originea în percepțiile noastre.” Leonardo da Vinci

“Nu se poate prevedea limitele cunoașterii și previziunile științifice.” Dimitri Ivanovici Mendeleev

“Știința reprezintă cunoașterea organizată.Înțelepciunea reprezintă viața organizată.” Kant

– Concepte matematice: puncte de extrem ale funcțiilor reale cu mai multe variabile

– Modele neliniare: modelul matematic al regresiei, calcule matematice și aplicații

3.1 Puncte de extrem ale funcțiilor reale: suport matematic și suport software

Preliminarii argumentative

În domeniul științific, un cercetător sau un specialist folosește teorii, metode și tehnici din domeniul matematicii în studiul diverselor fenomene și procese pe care le studiază și le analizează. Utilizarea și aplicarea acestora depinde de nivelul de pregătirea și de experiența cercetătorului (specialistului). În cercetare și în activitatea profesională a unui specialist pot apărea probleme a caror rezolvare să fie foarte complexă. Rezolvarea problemelor complexe necesită programe de cercetare-dezvoltare la care participă mai mulți specialiști și cercetători dintr-o anumită țară sau chiar din mai multe țări. Astăzi se pot evidenția multe astfel de exemple numai dacă se analizează activitatea de cercetare științifica din spațiul american sau spațiul european. De exemplu, în perioada 1990-2005 s-au finanțat și desfășurat activități de cercetare pentru întocmirea hărții genomului uman în cadrul proiectului de cercetare “THE HUMAN GENOME”. Printr-o simplă căutare a subiectelor pe această temă, se poate observa că Informatica (Computer Science/Informatics), Bioinformatica (Bioinformatics), Biologia computațională (Computational Biology), Medicina Genetică (Genetic Medicine), Ingineria Genetică (Genetic Engineering), etc. sunt domenii științifice importante ce și-au adus contribuția la finalizarea hărții genomului uman. Articolul “The Sequence of the Human Genome” apărut în anul 2001 în revista Science, vol 291, are un număr foarte mare de autori de la diverse universități, institute, laboratoare (a se vedea imaginea de mai jos) și este rezultatul unor cercetări în cadrul acestui proiect (The Sequence of the Human Genome, Science, vol 291, pp.1145-1434, 2001, http://cs.brown.edu/~sorin/pdfs/venter2.pdf ). Ca exemplu, printre autori se află și cercetători proveniți din România:

Prof. Dr. Sorin Istrail se numără printre șefii echipelor de cercetători care au realizat cercetări pentru întocmirea hărții genomului uman (Sorin Istrail – Professor of Computer Science, and Director of the Center for Computational Molecular Biology at Brown University- are doctoratul la Universitatea din București din anul 1979 sub conducerea profesorilor Solomon Marcus și Sergiu Rudeanu; Ref.: Istrail Laboratory – www.brown.edu/Research/Istrail_Lab/, http://cs.brown.edu/~sorin/, http://mvlada.blogspot.com/2011/07/professor-sorin-istrail.html ).

De asemenea, printre autori se află și Liliana Florea absolventă de informatică la Universitatea din București (Liliana Florea – Assistant Profesor at Center for Bioinformatics and Computational Biology, McKusick-Nathans Institute of Genetic Medicine, Johns Hopkins University School of Medicine University of Maryland School of Medicine; Ph.D., Computer Science and Engineering (2000) Penn State University; M.Sc., Computer Science and Engineering (1998) Penn State University; B.S., Computer Science (1994) University of Bucharest, România; Ref.: http://www.cbcb.umd.edu/~florea/).

Figura 37. Prima pagină din articolul „The Sequence of the Human Genome”

Ref.: The Sequence of the Human Genome, Science, vol 291, pp.1145-1434, 2001, http://cs. brown.edu/~sorin/pdfs/venter2.pdf

Extreme ale funcțiilor reale de mai multe variabile

Funcțiile de mai multe variabile reale definite pe spațiul n-dimensional

cu valori reale sunt funcții de forma

și se numesc funcții reale de n variabile reale.

Teorema următoare arată că dacă

este o funcție reală de n variabile reale cu proprietatea că are derivate parțiale de ordinul 2 mixte și acestea sunt continue, atunci ordinea în care se face derivarea parțială nu influențează rezultatul final.

Teorema 3.1 (Criteriul lui Schwartz). Fieo funcție reală de n variabile reale. Dacă f are derivate parțiale de ordinul 2 mixte și acestea sunt continue, atunci are loc egalitatea

.

Punctele staționare sau critice ale unei funcții reale de n variabile reale, dacă există, au propietatea că anulează derivatele parțiale de ordinul I ale funcției.

Definitia 3.1. Fieo funcție reală de n variabile reale. Un punct

se numește punct staționar (critic) al funcției f, dacă f are derivate parțiale de ordinul I în acest punct și acestea sunt nule, adică

.

Punctele de extrem local ale unei funcții sunt punctele de minim local, respectiv de maxim local și au propietatea din următoarea definiție.

Definitia 3.2. Fieo funcție reală de n variabile reale. Un punct

se numește punct de minim (maxim) local al funcției f, dacă există V o vecinătate a punctului a astfel ca

Punctele de extrem global ale unei funcții există dacă are puncte de minim local, respectiv de maxim local și au propietatea din următoarea definiție.

Definitia 3.3. Fieo funcție reală de n variabile reale. Un punct

se numește punct de minim (maxim) global al funcției f, dacă are loc propietatea

Evident, punctele de extrem global (minim sau maxim) se află printre punctele de minim local, respectiv printre punctele de maxim local.

Teorema 3.2. Fieo funcție reală de n variabile reale și un punct interior lui D

.

Dacă f are în punctul a un extrem local și admite derivate parțiale de ordinul I în acest punct, atunci acestea sunt nule, adică

.

Conform definiției 3.1, acestă teoremă arată că punctele de extrem local ale unei funcții se găsesc printre punctele staționare (critice). Prin urmare, nu toate punctele staționare (critice) sunt și puncte de extrem local. Teorema 3.3 ce va fi prezentată în continuare va preciza care dintre punctele staționare (critice) sunt într-adevăr și puncte de extrem local.

Definitia 3.4. Fieo funcție reală de n variabile reale și un punct interior lui D

.

cu proprietatea că este un punct staționar (critic) al funcției f. Dacă funcția f are derivate parțiale de ordinul II continue într-o vecinătate V a punctului a, atunci se definește Hessianul (matricea Hessian) funcției f ca fiind matricea

Hessianul functiei f sau matricea Hessian a unei funcții f este o matrice simetrică având în vedere conținutul teoremei 3.1.

Teorema 3.3 va preciza ce condiții trebuie să fie satisfăcute astfel ca punctele staționare (critice) să fie puncte de extrem local.

Teorema 3.3. Fieo funcție reală de n variabile reale și un punct interior lui D

.

cu proprietatea că este un punct staționar (critic) al funcției f. Dacă funcția f are derivate parțiale de ordinul II continue într-o vecinătate V a punctului se consideră Hessianul (matricea Hessian) funcției f

și minorii principali

,

adică numerele reale

.

Cu notațiile și condițiile de mai sus au loc următoarele:

dacă , atunci punctul este punct de minim local pentru funcția f (criteriul lui Sylvester);

dacă atunci punctul este punct de maxim local pentru funcția f;

în alte cazuri punctul nu este punct de extrem pentru funcția f.

3.2 Aplicații și suport software

Aplicația 1. Să se determine punctele de extrem ale funcției

Rezolvare. Derivatele parțiale de ordinul I ale funcției conduc la sistemul liniar ce are soluția a = (1,2), acesta fiind singurul punct staționar (critic).

Matricea Hessian a funcției f în punctul a = (1,2) este

.

Deoarece atunci conform criteriul lui Sylvester de la teorema 3.3, rezultă că punctul a = (1,2) este punct de minim global și minimul funcției în acest punct este f(1,2)= -3. Pentru a argumenta în plus acest rezultat vom utiliza reprezentarea grafică 3D oferită de programul Graphing Calculator 3D (free edition, versiunea 3.2 by Runiter Company, Canada – manager Saeid Nourian) ce se poate descărca de la adresa: http://calculator.runiter.com/graphing-calculator/download-free-graphing-calculator.htm.

Figura 38. Programul Graphing Calculator by Runiter Company

Observație. Programul oferă pe lângă reprezentarea grafică 3D și tabelarea (pasul de discretizare fiind 0.2) funcției pe domeniul ales, de exemplu pentru valori ale lui x, y în intervalul [-5,5]. În felul acesta avem posibilitatea să verificăm faptul că pentru funcția

avem x=1, y=2, z= -3. De asemenea, reprezentarea formei (în acest caz forma este un paraboloid) în spațiul tridimensional (3D) se poate face cu decupare (se utilizează butonul Clip) sau nu în funcție de opțiunea dorită. De exemplu, pentru cazul de mai sus reprezentarea este realizată cu decupare în cubul [-5,5]3. În imaginea de mai sus forma apare reprezentată cu o “tăietură” (decupare), deoarece este mai îndepărtată de planul XOZ, punctul de minim al funcției fiind (x,y) = (1,2), și astfel planul y=5 taie paraboloidul așa cum se vede în imaginile de mai jos. Aceste imagini au fost realizate utilizând facilitățile de rotire a sistemului de axe și implicit a formei reprezentate.

Figura 39. Reprezentări cu programul Graphing Calculator

O altă metodă pentru a arăta că punctul a = (1,2) este punct de minim pentru funcția f este utilizarea polinomului caracteristic al matricei Hessian corespunzătoare funcției f:

.

Rădăcinile acestui polinom sunt valorile proprii ale matricei și care au valori pozitive. Acest lucru înseamnă că diferențiala de ordinul II a funcției f în punctul a = (1,2) este o formă pătratică pozitiv definită și prin urmare punctul a = (1,2) este punct de minim global.

Aplicația 2. Să se arate că există un punct de maxim și unul de tip “șa” pentru funcția

Rezolvare. Derivatele parțiale de ordinul I ale funcției conduc la sistemul neliniar

ce are 2 soluții a=(-4,-4) si b=(-3,-3), acestea fiind punctele staționare ale funcției f.

Derivatele parțiale de ordinul II ale funcției f au expresiile

Matricea Hessian a funcției f în punctul a = (-4,-4) este

,

iar în punctul b=(-3,-3) este

.

Pentru punctul a = (-4,-4) avem (are loc alternanța semnului) și conform punctului b) al teoremei 3.3, punctul este punct de maxim local. Valoarea maximă în punctul de maxim este f(-4,-4) = -80.

P

Figura 40. Utilizarea programului Online 3-D Function Grapher

Graficul 3D de mai sus este reprezentat pe domeniul x, y [-7,-5]2.

Pentru punctul b = (-3,-3) avem (NU are loc alternanța semnului) și conform punctului c) al teoremei 3.3, punctul Nu este punct de extrem. Punctul b = (-3,-3) este punct de tip “șa” pentru funcția f.

Punct de tip “șa”

Pentru o funcție de 2 variabile, dacă , atunci punctul a este punct de tip “șa” pentru funcția f, altfel dacă acest determinant este nul, testul nu este concludent. Vom cosidera funcția de două variabile z = f(x,y) = x2 – y2, atunci pentru reprezentare vom folosi programul Online 3-D Function Grapher ce se poate accesa de la următoarea adresa:

http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php . Reprezentarea grafică pentru x,y în intervalul [-1,1], conduce la faptul că punctul (0,0) este un punct de tip “șa” pentru această funcție.

NOTĂ: Acoperișul gării din Predeal este o suprafață ce are un punct “șa”, așa cum se arată în imaginea de mai jos.

Aplicația 3. Să se determine punctele de extrem ale funcției

Rezolvare. Derivatele parțiale de ordinul I ale funcției conduc la sistemul neliniar

ce are 3 soluții și prin urmare se obțin punctele staționare a=(0, 0) , b=(-1, 0), c=(-1, 2).

Derivatele parțiale de ordinul II ale funcției sunt:

Matricea Hessian a functiei f în punctul a = (0,0) este

, prin urmare nu se poate decide,

iar în punctul b=(-1, 0) este

,

și prin urmare testul nu este concludent deoarece .

Matricea Hessian a funcției f în punctul c = (-1,2) este

,

și prin urmare testul este concludent, punctul fiind punct de minim local (criteriul lui Sylvester, teorema 3.3) deoarece .

Concluzie. În aplicația de mai sus a rezultat faptul că sunt exemple când nu se poate decide asupra naturii punctului staționar al unei funcții f (teorema 3.3). În astfel de cazuri se va utiliza diferențiala a două a funcției f într-un punct oarecare (x, y). Astfel, pentru aplicația de mai sus, diferențiala a două a funcției f într-un punct oarecare(x, y) este expresia:

i) pentru punctul staționar a=(0, 0) diferențiala a doua a funcției f în punctul a=(0, 0) este identic nulă, și astfel nu se poate decide asupra naturii punctului staționar. Totuși, se poate aplica definiția punctului de extrem pentru o funcție, de aceea se studiază semnul creșterii f(x,y) – f(0,0) în vecinătatea punctului a=(0, 0). Se poate observa că în vecinătatea punctului a=(0, 0) creșterea

nu păstrează semn constant în oricare din vecinătățile punctului a=(0, 0). Prin urmare punctul a=(0, 0) nu este punct de extrem local, acesta este un punct de tip “șa”.

ii) pentru punctul staționar b=(-1, 0) diferențiala a doua a functiei f în punctul b=(-1, 0) este expresia:

ce reprezintă o formă pătratică negativă, ceea ce arată că punctul b=(-1, 0) este punct de maxim local al funcției f.

iii) pentru punctul staționar c=(-1, 2) diferențiala a doua a funcției f în punctul c=(-1, 2) este expresia:

ce reprezintă o formă pătratică pozitiv definită, ceea ce arată că punctul c=(-1, 2) este punct de minim local al funcției f.

Pentru reprezentarea grafică vom utiliza programul Online 3-D Function Grapher.

Punctul a=(0, 0) este un punct de tip “șa” al funcției f.

Figura 41. Utilizare program Online 3-D Function Grapher

Punctul b=(-1, 0) este punct de maxim local al funcției f.

Figura 42. Utilizare program Online 3-D Function Grapher

Punctul c=(-1, 2) este punct de minim local al funcției f.

Figura 43. Utilizare program Online 3-D Function Grapher

Aplicația 4. Să se determine punctele de extrem ale funcției

Rezolvare.

Se va proceda la fel ca la aplicația 3. Pentru ajutor mai jos este o reprezentare grafică.

Figura 44. Utilizare program Online 3-D Function Grapher

Aplicația 5. Să se determine punctele de extrem ale funcției

Rezolvare.

Se va proceda la fel ca la aplicația 3. Pentru ajutor mai jos este o reprezentare grafică.

Figura 45. Utilizare program Online 3-D Function Grapher

Reprezentarea grafică pentru valorile x,y in intervalul [-1,1] are următoarea formă:

Reprezentarea grafică pentru valorile x,y în intervalul [-3,3] are următoarea formă:

Aplicația 6. Să se determine punctele de extrem ale funcției de 3 variabile reale

Rezolvare. Derivatele parțiale de ordinul I ale funcției conduc la sistemul liniar

ce are unica soluție ca fiind punctul staționar a=(0, 0, 0).

Pentru a decide asupra naturii punctului staționar trebuie să se determine matricea Hessian a functiei f în punctul a=(0, 0, 0):

.

Șirul minorilor principali ai acestei matrice este următorul:

ceea ce înseamnă că are toate valorile pozitive, și conform criteriului lui Sylvester (teorema 3.3, punctul a), punctul staționar este punct de minim local.

3.3 Modelul matematic al regresiei neliniare

În activitatea practică din diverse domenii științifice, economice, sociale, etc. apar cele mai complexe probleme ce trebuie rezolvate. Științele și cercetarea științifică s-au dezvoltat influențate de complexitatea acestor probleme și de proiectele societății umane. Tezaurul conoașterii umane este influențat de știință și tehnică, de cultură și artă, și în special de modul de rezolvare a problemelor nerezolvate din societatea umană.

Astfel de probleme apar în chimie, biologie și medicină, în fizică și geologie, în economie și sociologie, etc. Pentru studierea și analiza proceselor și fenomenelor aceste activități reclamă metode și tehnici valide și eficiente, astfel că modele utilizate să elimine căt mai mult incertitudinile și aproximările.

Regresia neliniară (Nonlinear Regression)

Date fiind valorile observate pentru două variabile aleatoare X și Y, fie acestea (xi,yi), i=1,…,n, prin funcție de regresie se va înțelege acea funcție Y = f(X) care aproximează cel mai bine setul de date observate. De regulă, criteriul ales este dat de metoda celor mai mici pătrate (MCMMP), adică acea funcție f pentru care se minimizează suma patratelor erorilor între valorile măsurate și cele estimate (procedeu de fitare), adică suma

Dacă f este o funcție neliniară, atunci se obține regresia neliniară, reprezentată grafic printr-o (curba de regresie). Dreapta de regresie, împreună cu abaterile standard ale variabilelor X și Y, sau cu coeficientul de corelație, pot constitui o rezumare rezonabilă a distribuției comune a celor două variabile X si Y. Adecvanța modelului neliniar este mai bună atunci când diagrama de împrăștiere are formă de elipsă.

Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP)

Dependența funcțională a unei variabile aleatoare Y (dependentă-efect) față de altă variabilă X (independentă-cauză) poate fi studiată empiric, pe cale experimentală, efectuîndu-se o serie de măsurători asupra variabilei Y pentru diferite valori ale variabilei X. Rezultatele se pot prezenta sub formă de tabel sau grafic.

Problema care apare în acest caz este de a găsi reprezentarea analitică a dependenței funcționale căutate (procedeu de fitare), adică de a alege o expresie (formulă sau model matematic) care să descrie rezultatele experimentului printr-un model matematic.

Formula (modelul matematic-expresia analitică) se alege dintr-o mulțime de formule determinate (modele de aproximare neliniare), de exemplu:

y = ax2 + bx + c (parabola),

y = ax3 + bx2 + cx + d (polinom gradul 3),

y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (polinom gradul 4),

y = a + b ln x (logaritm),

y = aebx (exponentiala),

y = a / ( 1 – c e-bx ) (exponential decay); y = a / ( 1 + c e-bx ) (logistic),

y = a exp(-(x- c)/ b)2 (modelul gaussian)

y = a xb (putere),

y = a sin( bx + c) + d (sinusoida).

Pin urmare, problema constă în a determina parametrii a, b, c, etc. în timp ce formula (expresia analitică) este cunoscută dinainte, ca urmare a unor considerente teoretice sau după forma prezentării grafice a datelor, în mod empiric.

Să considerăm, cazul general când avem p parametri, si astfel vom nota dependența funcțională prin

y = f(x; a1, a2, …, ap)

Parametrii a1, a2, …, ap nu se pot determina exact pe baza valorilor empirice y1, y2,…,yn ale funcției, deoarece acestea din urmă conțin erori aleatoare. Problema reprezintă obținerea unei estimări "suficient de bune".

Formularea problemei

Dacă toate măsurătorile valorilor varabilei Y sunt y1, y2,…,yn, atunci estimațiile parametrilor a1, a2,…, ap se determină din condiția ca suma pătratelor abaterilor valorilor măsurate yk de la cele calculate f(xk; a1, a2,…, an) să ia valoarea minimă, adică sa fie minimă expresia

Considerația formulată se păstrează și în general, pentru determinarea parametrilor unei funcții de mai multe variabile (2, 3, etc.), adica o variabila dependenta (efect) si mai multe variabile independente (cauze). De exemplu, pentru variabila Z (efect) ce depinde de două variabile independente (cauze) X și Y, adică Z=f(X,Y), estimațiile parametrilor a0, a1,…, ap se determină din condiția ca expresia

să fie minimă. Determinarea valorilor parametrilor a1, a2,…, ap, se face prin aplicarea condițiilor de obținere a valorii minime în derivatele parțiale ale funcției S considerată în variabilele a1, a2,…, ap , adică funcția cu p variabile S(a1, a2,…, ap). Obținerea acestor valori înseamnă rezolvarea sistemului de p ecuații cu p necunoscute:

…

3.4 Modelul logaritmic

Modelul logaritmic f(x)= a +b ln(x)

În cazul modelului logaritmic se studiază numai două variabile X (cauză), Y(efect) și se dorește găsirea dependenței Y = f(X), unde f(x) = a + b lnx este o dependență neliniară (funcție logaritmică) cu p=2 parametri a și b.

Teorema 3.4. Dacă pentru variabilele X (cauză), Y(efect) se cunosc n probe (măsurători, observații) prin valorile datelor (xi ,yi), i=1,…, n, modelul logaritmic f(x)= a + b ln(x) este determinat de coeficienții a si b având următoarele expresii:

sau .

Demonstratțe. În urma celor n probe (măsurători, observații) se cunosc datele (xi ,yi), i=1,…, n și trebuie să se determine coeficienții a și b astfel încât suma

să fie minimă.

Vom avea următoarele calcule:

prin urmare

Derivatele parțiale ale funcției S(a,b) sunt:

.

Condițiile de obținere a parametrilor a și b sunt:

, ceea ce conduce la sistemul de 2 ecuații cu 2 necunoscute:

Pentru rezolvarea acestui sistem se înmulțește prima ecuație cu expresiaiar a doua ecuație cu expresia , după care din prima ecuație se scade a doua ecuație.

Se va abține următoare ecuație:

, adica

,

și prin urmare din a doua ecuație, respectiv prima ecuație avem determinat coeficientul b:

sau .

Aplicația 7. Pentru variabilele X si Y avem următoarele măsurători (observații):

Pentru a realiza calculul direct al coeficienților a și b conform teoremei 3.4, vom realiza în Excel calculele din tabelul de mai jos:

Tabelul 3. Calcule pentru modelul logaritmic

În celula B44 se scrie formula

“=(B41*E41-C41*D41) /(10*E41-C41*C41)” pentru calculul expresiei lui a,

iar în celul B45 se scrie formula

“=(B41-10*B44)/C41” pentru calculul expresiei lui b (a doua expresie).

Se obțin următoarele valori:

a = 1245.508 si b = -32.9391, f(x)= 1245.508 -32.9391 ln(x), R2 = 0.9083.

Mai jos este capturat ecranului cu prelucrările realizate în programul Excel (valorile pentru a și b obținute conform teoremei 3.4 sunt identice cu valorile obținute prin aplicarea modelului logaritmic oferit de programul Excel):

3.5 Modelul exponențial

Modelul exponențial f(x)= aebx

În cazul modelului exponențial se studiază numai două variabile X (cauză), Y(efect) și se dorește găsirea dependenței Y = f(X), unde f(x) = a ebx este o dependență neliniară (funcție exponențială) cu p=2 parametri a și b.

Teorema 3.5. Dacă pentru variabilele X (cauză), Y(efect) se cunosc n probe (măsurători, observații) prin valorile datelor (xi ,yi), i=1,…, n, modelul exponențial f(x) = a ebx este determinat de coeficienții a și b având următoarele expresii:

și a= ep , unde

sau .

Demonstrație. În urma celor n probe (măsurători, observțtii) se cunosc datele (xi ,yi), i=1,…, n și trebuie să se determine coeficienții a și b astfel încât suma

să fie minimă. Analog calculelor de la teorema 3.4 se poate realiza demonstrația pentru determinarea coeficienților a și b. Calculul și rezolvarea sistemului de ecuații este mai laborios. În cele ce urmează vom aplica o altă metodă, și anume vom face transformările necesare pentru a aplica modelul liniar. De aceea, datele celor două variabile X și Y, (xi ,yi), i=1,…, n, vor fi transformate astfel (xi , lnyi), i=1,…, n, iar modelul exponențial va fi transformat într-un model liniar astfel:

g(x) = ln(f(x), adica g(x) = bx + lna,

prin urmare este vorba de un model liniar g(x) de coeficienți b (panta) și lna (termenul liber) ce trebuie aplicat datelor (xi , lnyi), i=1,…, n. Din acest motiv, în expresiile coeficienților obtinuți pentru modelul liniar se va substitui yi cu lnyi . Să presupunem că modelul liniar căutat este notat cu h(x) = x + , atunci dacă expresiile pentru coeficienții și sunt determinate, pentru modelul inițial (exponențial) avem:

b = și a = e .

Dacă vom considera un model liniar notat prin h(x) = ax + b (pentru comoditate a nu se confunda coeficienții a și b cu cei de la funcția g), sistemul de ecuații ce rezultă din anularea derivatelor parțiale ale modeluluil h (dreapta de regresie) conduce la următoarele:

Se notează: și sistemul de ecuații devine:

.

Se obțin următoarele expresii pentru cei doi parametri a și b:

și sau .

Cei doi parametri ai funcției model h(x) = ax + b s-au obținut pentru datele (xi ,yi), i=1,…, n, de aceea prin substituirea yi cu lnyi vom obține:

, sau

Concluzie. În cazul modelului exponențial pentru datele (xi ,yi), i=1,…, n trebuie să se determine coeficienții a și b prin transformări asupra datelor inițiale și asupra modelului exponențial pentru a se aplica modelul liniar. Se vor urma următoarele etape:

datele celor două variabile X si Y, (xi ,yi), i=1,…, n, vor fi transformate astfel: (xi , lnyi), i=1,…, n;

modelul exponențial va fi transformat într-un model liniar astfel: g(x) = ln(f(x) = bx + lna;

se determină modelul liniar notat cu h(x) = x + ce se aplica datelor transformate;

coeficienții b și a sunt determinați pentru modelul inițial (exponențial), folosind relațiile b = și a = e.

Aplicația 8. Vom aplica modelul exponențial pentru variabilele X și Y de la Aplicația 7.

Conform pasului 3 se aplică modelul liniar datelor transformate și astfel se obține

y = -0.0658x + 7.184, coeficientul de determinare R2 = 0.999.

La pasul 4, coeficienții a și b sunt determinați, pentru modelul inițial (exponențial), folosind relațiile b = și a = e, adică b = -0.0658 și a = e7.184 = 1318.218.

Figura 46. Modelul liniar folosit pentru modelul exponențial

Pentru a argumenta și compara rezultatele obținute conform etapelor de mai sus, vom aplica modelul exponențial datelor inițiale (xi ,yi), i=1,…, n cu ajutorul programului Excel, și astfel se obține:

y = 1318.2e-0.0658x, coeficientul de determinare R2 = 0.999.

Pentru a realiza calculul direct al coeficienților a și b conform teoremei 3.5, vom realiza în Excel calculele din tabelul de mai jos:

Figura 47. Calculul direct pentru modelul exponențial

Pentru calculul expresiei coeficientului b în celula C45 se scrie formula “=(A43*C43-10*E43)/(A43*A43-10*D43)”, iar pentru calculul expresiei coeficientului a în celula C46 se scrie formula “=EXP((E43-C45*D43)/A43)”, respectiv în celula D46 se scrie formula “=EXP((C43-C45*A43)/10)”:

Mai jos este captura ecranului cu prelucrările realizate în programul Excel (valorile pentru a și b obtinute conform teoremei 3.5 sunt identice cu valorile obținute prin aplicarea modelului exponențial oferit de programul Excel):

Tipuri de modele exponențiale

În practică, la studiul diverselor procese și fenomene apare o mare varietate de modele exponențiale. Diversitatea acestor modele neliniare este funcție de varietatea domeniile: chimie, fizică, medicină, biologie, sociologie, economie, etc. Mai jos prezentăm câteva din aceste modele exponențiale.

Aplicația 9. Să se determine modelul exponențial pentru variabilele X (cauză, Timp), Y(efect, Temperatură) cănd se cunosc n=14 probe (măsurători, observații) prin valorile datelor (xi ,yi), i=1,…, n, modelul exponențial fiind f(x) = a ebx , determinat de coeficientii a și b.

Prin utilizarea programului Excel se va obține următorul model exponențial:

y = 171.46e-0.0118x, coeficientul de determinare R2 = 0.9701, unde

a = 171.46 , b = – 0.0118.

3.6 Modele neliniare în Farmacocinetică

Matematica și Informatica au schimbat esențial metodele și analiza pivind evaluarea de laborator a medicamentelor și monitorizarea clinică a tratamentelor medicamentoase. Farmacocinetica este disciplina ce a beneficiat din plin de dezvoltarea teoriilor, metodelor și tehnicilor din Matematică și Informatică prin intermediul calculatorului. Astăzi procedurile pentru testarea medicamentelor includ rezultate importante obținute în cercetarea privind utilizarea medicamentelor la tratarea diverselor boli. Bioinformatica, Biostatistica și Biofarmacia sunt discipline ce oferă diverse metode și analize privind domeniul Farmacocineticii.

În analiza și practica din domeniul Farmacocineticii se studiază efectul administrării medicamentelor în scopul tratării bolilor. Administrarea unui medicament se realizează prin mai multe moduri (locul administrării) și are efecte în funcție de substanța activă a medicamentului asupra distribuirii acesteia în plasmă urmând un model farmacocinetic:

monocompartimental – medicament administrat extravascular (intramuscular, subcutan, rectal sau oral) care se distribuie numai în compartimentul central, apos, intracelular și extracelular, de la locul administrării substanța activă, pentru a ajunge în plasmă, și suferă un proces de absorbție (functța de variație C1(t)), după care se va realiza procesul de eliminare; se spune că medicamentul se distribuie doar în compartimentul numit generic sânge, iar concentrația substanței active în sânge este dată de funcția de variație C2(t);

bicompartimental – medicament administrat extravascular care se distribuie în două compartimente numite generic sânge și lipide; modelul este caracterizat de funcțiile de variație C1(t) , C2(t), C3(t) ce reprezintă concentrația substanței active la locul administrării, concentratța substanței active în sânge, și respectiv concentrația în lipide;

tricompartimental – utilizat în cazul medicamentelor cu indice terapeutic scăzut (de exemplu digoxina, Ref.: Prof. dr. Constantin Mircoiu) pentru care medicamentul administrat extravascular se distribuie în trei compartimente unde se studiază variația concentrației substanței active în cele trei compartimente: C1(t) , C2(t), C3(t).

“Considerarea organismului ca un singur compartiment reprezintă o simplificare drastică. Astfel, pentru a se absorbi bine, substanțele medicamentoase ar trebui sa fie solubile în membranele celulare și deci lipofile, iar pentru a rămâne în sânge în concentrații mai mari, ar trebui să fie hidrofile. Practic toate medicamentele sunt amfifile, având o parte hidrofilă și o parte lipofilă. Ca urmare a caracterului parțial lipofil, ele se vor repartiza și în lipidele organismului și nu vor mai respecta modelul monocompartimental. ” (Prof. dr. Constantin Mircoiu, Universitatea de Medicină și Farmacie “Carol Davila” București).

În teza sa de doctorat din anul 2010, Flavian Ștefan Rădulescu utilizează modele monocompartimentale și bicompartimentale la studiul diverselor medicamente: Diltiazem, Dezacetil-Diltiazem, N-Desmetil-Diltiazem, Loratadina, Descarboetoxi-Loratadina, Tramadol, O-Desmetil-Tramadol. Mai jos se prezintă rezultatele obținute de cercetările din teza de doctorat prin comparație dintre modelul monocompartimental și cel bicompartimental.

“Datele experimentale au fost fitate cu soluția unui model mono- și, respectiv, bicompartimental, atât pentru medicamentul părinte, cât si pentru metabolitul activ. În cazul mianserinului și al risperidonei, datele experimentale nu au putut fi fitate, constatându-se un proces de absorbție mult mai rapid decât cel considerat în planificarea experimentului. Astfel, concentrațiile plasmatice maxime au fost raportate la timpi corespunzători primelor probe prelevate după administrarea medicației de studiu. Rezultatele modelării compartimentale ilustrează astfel multitudinea căilor alternative de metabolizare (reacții succesive sau paralele).” (Flavian Ștefan Rădulescu, Studiul farmacocineticii medicamentelor cu metaboliți activi prin analiza compartimentală și prin modele de farmacocinetică fiziologică, Teză de doctorat – coord. șt.: Prof.Dr. Constantin Mircioiu , Universitatea de Medicină și Farmacie “Carol Davila” București, 2007).

Tabelul 4. Sursa: Flavian Ștefan Rădulescu, Teză de doctorat, UMF București, 2010

Modelul monocompartimental

În acest caz se studiază un medicament administrat extravascular (intramuscular, subcutan, rectal sau oral) care se distribuie numai în compartimentul central, apos, intracelular și extracelular. Prin acțiunea de administrare a substanței active, se poate aproxima că medicamentul urmează un model farmacocinetic monocompartimental dacă între sânge și apă intracelulară și extracelulară se stabilește foarte rapid un echilibru. Modelul farmacocinetic monocompartimental se poate reprezenta schematic astfel:

Figura 48. Modelul monocompartimental

Prin administrarea medicamentului în locul administrării C1 (concentrația inițială a medicamentului este C0), se declanșează un proces de absorbție (viteza de absorbție este exprimat prin constanta de absorbție ka) prin care substanța activă este îndepărtată din depozitul creat la locul de administrare și totodată să apară în plasmă (în sânge, unde la prima administrare concentrația inițială este 0). De asemenea, se declașează un proces de eliminare (viteza de eliminare este exprimată prin constanta de eliminare ke) prin care substanța activă este îndepărtată din plasmă.

Se cunosc:

C0 – concentrația inițiala a medicamentului în locul administrării;

Momentul inițial determinat de C1(0)= C0 si C2(0)= 0;

ka – constanta de absorbție;

ke – constanta de eliminare.

Se cere determinarea modelelor C1(t) , C2(t) ce reprezintă evoluția în imp a concentraței substanți active. Pentru determinarea acestor modele se va ajunge la rezolvarea unui sistem de ecuați diferențale pentru care se va utiliza transformata Laplace. În continuare vom scoate în evidență proprietățile și rolul transformatei Laplace.

Aplicații ale transformatei Laplace (operator liniar) se utilizează în:

matematică – teoria probabilitaților, rezolvarea ecuațiilor și sistemelor diferențiale și integrale (transformă operațiile de derivare în operații algebrice);

fizică – optică, oscilatori armonici, dispozitive optice, sisteme mecanice;

inginerie electrică – automatică, circuite electrice, prelucrarea semnalelor ;

teoria sistemelor – evoluția și comportamentul sistemelor, modele de simulare.

Definiția 3.5. O funcție se numește funcție original dacă este derivabilă și are proprietatea:

si astfel ca

(k = indice de creștere a funcției f).

Exemplu.

,.

Definiția 3.6. Transformata Laplace a funcției originaleste un operator liniar definit de funcția

£[f(t)] = ,

și se notează , , adică Lf = £[f(t)] numită funcția imagine.

Teorema 3.6. Dacă se consideră funcțiile original , atunci au loc următoarele proprietăți ale transformatei Laplace:

£[f(t) ± g(t)] = £[f(t)] ± £[g(t)] (teorema transformării liniare);

£[f(at)](p) = £[f(t)] (teorema scalării);

£[eatf(t)](p) = Lf (p-a) (teorema translației);

£[ ](p) = pLf (p) – f(0) (teorema derivatei I);

£[ ](p) = p2 Lf (p) – p – (teorema derivatei II);

£[eat](p) = ;

£[e-at](p) = .

Exemplu. Dacă f(t) = este o funcție original, atunci transformata Laplace corespunzătoare (imaginea funcției f) este

£[f(t)] =

=

= .

Teorema 3.7. (modelul monocompartimental). Pentru un model monocompartimental în care se studiază un medicament administrat extravascular există un proces de absorbție (funcția de variație C1(t), concentrația substanței active) și un procesul de eliminare (funcția de variație C2(t), concentrația substanței active).

Dacă se cunosc:

C0 – concentrația inițială a medicamentului în locul administrării;

Momentul inițial determinat de C1(0)= C0 si C2(0)= 0;

ka – constanta de absorbție;

ke – constanta de eliminare,

atunci la locul administrării substanței active funcția de variație C1(t) în procesul de absorbție este

,

iar în sânge funcția de variație C2(t) în procesul de eliminare este

.

Demonstrație. Pentru comoditatea scrierii vom face următoarele notații:

f(t) = C1(t) , g(t) = C2(t).

În domeniul Farmacocineticii, conform axiomelor farmacocineticii liniare, cantitatea de substanță activă ce părăsește un compartiment este proporțională cu cantitatea existentă în acel compartiment.

Prin urmare, variația concentrației în timp poate fi descrisă de următorul sistem de ecuații diferențiale:

(1)

sistem ce va fi rezolvat aplicând metoda transformatei Laplace. Dacă ținem seama de proprietățile de la teorema 3.6, vom folosi următoarele proprietăți:

£[ ](p) = pLf (p) – f(0) (teorema derivatei I);

£[f(t) ± g(t)] = £[f(t)] ± £[g(t)] (teorema transformării liniare);

£[e-at](p) = .

Prin aplicarea transformatei Laplace ecuațiilor sistemului (1) vom obține:

(2)

sistem cu 2 ecuații și 2 necunosctute (imaginile funcțiilor f și g) Lf și Lg .

a) determinarea lui Lf .

Din prima ecuație se determină Lf = și conform proprietații 7 de la teorema 3.6, transformata Laplace ce are aceasta expresie este funcția f(t) = . Prin urmare, funcția de variație C1(t) în procesul de absorbție este

Funcția de variație C1(t) în procesul de absorbție are următoarea evoluție arătată mai jos pentru cazul particular:

C0 = 10;

ka = 0.3 (constanta de absorbție).

Figura 49. Utilizare software: http://web2.0calc.com/

plot((10*(EXP(-0.3*x)),x=0..30)

Funcția de variație C1(t) are o evoluție de la o valoare maximă (inițială) a concentrației (C0 = 10), la valori ce scad exponențial spre 0.

b) determinarea lui Lg .

Pentru a determina Lg se va folosi regula lui Cramer:

Ținând seama de proprietatea £[e-at](p) = , se deduce că funcția de variație C2(t) în procesul de eliminare este

.

În domeniul farmacocineticii această curba se numește curba de absorbție-eliminare.

Figura 50. Utilizare software: http://web2.0calc.com/

plot((3/(0.03-0.3))*(EXP(-0.3*x)-EXP(-0.03*x)),x=0..120)

Figura 51.Utilizare software: programul Excel.

Funcția de variație C2(t) în procesul de eliminare are o evoluție din origine (0,0), crește până la o valoare maximă a concentrației, apoi scade exponențial spre 0.

Formula de calcul pentru tabelarea funcției:

=(3/(0.03-0.3))*(EXP(-0.3*B450)-EXP(-0.03*B450)).

Aplicația 10 (metoda rezidualelor – determinarea ka și ke). Se consideră cazul unui medicament administrat oral ce inițial a realizat în intestin o concentrație inițială C0=10 µg/ml. Conform teoremei 3.7, în ipoteza unui model monocompartimental concentrația în sânge este dată de variația concentrației substanței active în timp exprimată de expresia:

.

Se presupune că se dau măsurători

(observații) ce apar în următorul tabel:

Ipoteza de lucru: pentru un t (variabila timp) suficient de mare.

Pe baza măsurătorilor date în tabel se cer valorile (parametrilor) constantelor ka și ke ce determină modelul variației concentrației substanței active în sânge.

a) determinarea constantei de eliminare ke .

Se determină timpul în care se obține concentrația maximă (maximulul funcției) pentru a aplica modelul liniar pentru “coada” curbei de variație a concentrației, deci pentru Ln C(t).

Dacă se reprezintă grafic Ln C(t), panta dreptei obținute este chiar ke .

Dreapta de regresie pentru valorile din tabelul de mai sus se determină folosind programul Excel.

Rezultatul este următorul:

y= -0.0299x + 2.3984, coeficientul de determinare R2 = 1.

Panta dreptei găsite este valoare căutată a constantei de eliminare ke, adică avem

ke = -0.0299.

b) determinarea constantei de absorbție ka .

Având în vedere ipoteza de lucru, și anume: pentru un t (variabila timp) suficient de mare, se face aproximarea

, unde .

Prin logaritmarea lui C1 se obține . Dacă se reprezintă grafic , panta dreptei obținute este chiar ka.

Se presupune că se dau observații în partea de început pentru timpii până la atingerea concentrației maxime:

Se face logaritmarea pentru a aplica modelul liniar utilizat în programul Excel:

Rezultatul este următorul:

y = -0.3x +0.1054, iar coeficientul de determinare este R2 = 1. Panta dreptei găsite este valoare căutată a constantei de absorbție ka, adică avem ka = -0.3.

Referințe

Lucian Boiculese – Biostatistica teme, Școala doctorală, UMF Iași

David W. A. Bourne, Pharmacokinetics and Biopharmaceutics, (Java Applets – On line Graphs, JavaScript Calculators Online), http://www.boomer.org/c/p1/

David W. A. Bourne, Mathematical modeling of pharmacokinetic data, Technomic Publishing Co., ISBN 1-56676-204-9, 1995

Ion Crăciun , http://www.mec.tuiasi.ro/diverse/sem_cdif_mec.pdf

Sorin Istrail, http://cs.brown.edu/~sorin/pdfs/venter2.pdf

James Jones, http://people.richland.edu/james/lecture/m116/logs/models.html

Peter Keusch, University of Regensburg, http://www.demochem.de/eyr-e.htm

Dalia Simona Miron, Constantin Mircioiu, Seminarii de matematici aplicate în Farmacie, Editura Tehnoplast, București 2010

Constantin Mircioiu, Roxana Colette Sandulovici, Statistică aplicată în farmacie și studii clinice, Ediția II, Editura Universitară “Carol Davila” București, 2009

Joseph W. Ochterski, Thermochemistry in Gaussian,

http://www.gaussian.com/g_whitepap/thermo.htm Saeid Nourian

Marjorie Olmstead, http://courses.washington.edu/phys431/index.php

Saeid Nourian, http://calculator.runiter.com/graphing-calculator/

Flavian Ștefan Rădulescu , Studiul farmacocineticii medicamentelor cu metaboliți activi prin analiza compartimentală și prin modele de farmacocinetică fiziologică, Teză de doctorat (coord. șt.: Prof.Dr. Constantin Mircioiu), Universitatea de Medicină și Farmacie “Carol Davila” București, 2007

Online 3D, http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php

3D, http://www.calculator-grapher.com/graphers/function-grapher-2-var.html

Wolfram, http://library.wolfram.com/webMathematica/Graphics/Plot3D.jsp

Scientific Calculator, http://web2.0calc.com/

M. Vlada, pagina principală, http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/

M. Vlada, on-line – http://ebooks.unibuc.ro/informatica/Birotica/

M. Vlada, on-line – http://ebooks.unibuc.ro/informatica/eureka/

4

Conceperea și

elaborarea lucrărilor științifice

“Ideile noastre, după ce le naștem, mai așteaptă să și murim pentru ele” Lucian Blaga

"Write with precision, clarity and economy. Every sentence should convey the exact truth as simply as possible." Instructions to Authors, Ecology 1964

("Scrie cu precizie, claritate și economiei. Fiecare propoziție trebuie să transmită exact adevărul cel mai simplu cu putință".)

"Bad scientific writing involves more than stylistic inelegance: it is often the outward and visible form of an inward confusion of thought. The scientific literature at its present standard distorts rather than forms the graduate student's view of scientific knowledge and thought, and corrupts his ability to write, to read, and to think. Strong educational measures are needed to effect reform. I advocate a course on scientific writing as an essential feature in every scientist's training. Such a course delves deep into the philosophy and method of science if it deals with logic, precision, and clarity; on how these qualities can be achieved in writing; and on how such achievement strengthens the corresponding faculties in thinking" F. Peter Woodford, New York: Rockefeller University Press, 1968 [12].

– Concepte privind lucrările științifice: limbajele cunoașterii, principiile gândirii științifice, tipuri de lucrări științifice, metodologia redactării lucrărilor științifice

– Instrumente software pentru editare (ISIS Draw, Symyx Draw, JSDraw): strucuri chimice (formule, molecule și reacții chimice), exemple și aplicații

– Aria unui pologon oarecare și teorema lui Green: demonstrație și aplicații

-Tehnologii e-Learning și software educațional: utilizare în invățământ și cercetare

4.1 Metodologia elaborării și editării lucrărilor științifice

Științele au apărut în diverse etape specifice de dezvoltare a societății umane și s-au dezvoltat ca urmare a acumularii de cunoștințe despre realitatea înconjuratoare și despre o realitate virtuală. Fiecare știință reprezintă un continuu proces al cunoașterii ce utilizează metode și tehnici de observare și experimente, metodologii și tehnologii într-o continuă perfecționare, metode proprii de cercetare, informații proprii despre obiectele investigate, un limbaj științific propriu. Prin apariția calculatorului și a noilor tehnologii de prelucrare a informațiilor și cunoștințelor, știintele au realizat salturi mari în acumularea de noi cunoștințe și noi descoperiri. Prin urmare, știința este un generator de cunoștințe obținute prin activitatea oamenilor de știință ce adaugă de fiecare dată la fondul comun al științei, cunoștințe noi, descoperiri noi, revizuiri ale unor cunoștințe vechi, realizând astfel o dezvoltare permanentă a științei.

Cunoașterea este dependentă de procesul de învățare. Dezvoltarea societății omenești se realizează prin cunoaștere și învățare. [Vlada, CNIV 2005, ICVL 2006]

Factorul limitativ în dezvoltare va fi legat din ce în ce mai mult de cunoaștere și învățare, de capacitatea omului de asimilare și dezvoltare a noilor tehnologii, de utilizare a acestora în noi domenii de activitate, pentru noi produse și servicii. Pentru a înțelege în profunzime conceptul de societate bazată pe cunoaștere (knowledge society) se poate afirma că evoluția în epoca actuală este în bună măsură condiționată de știință, deoarece ea stă la baza progresului tehnologic, iar importanța științei devine covârșitoare într-o societate bazată pe cunoaștere. Vom atrage atenția asupra faptului că tehnologiile societății informaționale au un profund impact asupra dezvoltării științifice și tehnologice în general. Aceste tehnologii permit modelarea și simularea unor fenomene complexe, precum și prelucrarea avansată a datelor experimentale ceea ce poate contribui esențial la înțelegerea și utilizarea unor fenomene, la progresul științei și tehnologiei.

Limbajele cunoașterii, metode și mijloace cognitive

Larga răspândire a utilizăriii tehnologiilor informatice și rezultatele rezolvării problemelor în cele mai diverse domenii de activitate ale omului, demonstrează capacitatea omului de modelare, reprezentare și rezolvare a unor clase diverse de probleme. Acest lucru a fost posibil prin reconsiderarea și utilizarea conceptului de limbaj nu numai pentru comunicare, ci mai ales pentru cunoaștere (același lucru s-a întâmplat și cu conceptul de algoritm utilizat de Informatică în programarea calculatoarelor). Evoluția dinamică a noțiunii de algoritm a determinat apariția gândirii algoritmice în rezolvarea problemelor cu ajutorul calculatorului; mai mult, limbajele de programare moderne oferă o gândire obiectuală în rezolvarea problemelor). Complexitatea și multitudinea de limbaje arată de fapt că aceste eforturi, experimente și cercetări sunt realizate în scopul procesării informațiilor și cunoștințelor. Calculatorul și tehnologiile informatice demonstrează rolul primordial al limbajelor în procesul cunoașterii.

Astăzi, limbajele (limbajele naturale, limbajele științifice/tehnice/economice și limbajele artificiale din domeniul calculatoarelor) sunt utilizate nu numai pentru comunicare, ci mai ales pentru exprimarea de idei, pentru a reprezenta cunoștințe, pentru a explora și prelucra cunoștințele reprezentate și prelucrate. Limitele limbajelor privind modul de reprezentare a cunoștințelor, comunicarea și explorarea cunoștințelor, prelucrarea și gestionarea cunoștințelor sunt condiționate de caracteristicile fiecărui limbaj: alfabet, sintaxă, semantică, construcții lexicale, concepte și termeni, structuri, etc. În actul de procesare un limbaj folosește termenul de “entitate” prin intermediul căruia se realizează procesarea și cunoaștere.

Definiția 4.1. Un limbaj de cunoaștere este sistemul virtual/logic

L = ( V, Sin, Sem, O, C, T, Tc) , unde

V = vocabular/alfabet, Sin = sintaxă (reguli), Sem = semantică (reguli), O = obiecte, C = concepte / termeni, T = teorii / metode / tehnici de rezolvare, Tc = tezaurul cunoașterii (baza de cunoștințe).

Limbajele cunoașterii sunt:

Limbajele naturale (utilizate de popoare; limbile popoarelor) – entitate=cuvânt ; construcțiile lexicale descriu stări, imagini, acțiuni, etc.;

Limbajele științifice/tehnice/economice … (utilizate în domeniile științelor)- entitate=cunoștință; studiul obiectelor și a relațiilor dintre obiecte în domeniile matematică, fizică, chimie, informatică, biologie, economie, etc. ;

  Limbajele artificiale (utilizate în domeniul calculatoarelor) formate din:

Limbaje de programare procedurală – entitate=locație de memorie

Limbaje de programare fucțională – entitate=element de listă

Limbaje de programare logică – entitate=obiect / clauză

Limbaje de programare obiectuala – entitate=obiect

Limbaje de programare Web – entitate=elemente multimedia

Limbaje pentru baze de date – entitate=înregistrare

Limbaje pentru grafica pe calculator – entitate=obiect grafic

Limbaje pentru modelare-simulare – entitate=eveniment

  Limbaje pentru sisteme de operare – entitate=proces

Limbaje pentru Inteligența Artificială – entitate=cunoștință

– Limbajele sunt instrumente/unelte ale gândirii (M. Vlada, CNIV 2005).

– Limbajele sunt instrumente/unelte pentru procesare/prelucrare.

Paradigme ale limbajelor

Om Calculator :

Limbaje naturale (entitate=cuvânt; descrie stări/acțiuni/imagini)

Limbaje

Limbaje științifice(mat./fiz./ch./inf./soc./ec.)

Limbaje ale

cunoașterii

(entitate=cunostintã) Limbaje de progr. clasicã

(entitate=locație de memorie)

Limbaje ptr. baze de date

(entitate= înregistrare)

Limbaje Limbaje ptr. graficã

artificiale (entitate=obiect grafic)

(sisteme de calcul)

Limbaje ptr. modelare/simulare

(entitate=eveniment)

Limbaje ptr. sisteme de operare

(entitate=proces)

Limbaje ptr. Inteligență artificialã

(entitate=cunostintã)

Reprezentare ( recepție )

Limbaj artificial

(sistem cibernetic) Procesare ( transformare )

Interpretare (emitere)

Figura 52. Paradigme ale limbajelor

Știința – ansamblu de metode și mijloace cognitive

Ca și în orice fel de activitate umană, în știință sunt folosite aceleași mijloace și procedee de cunoaștere și de gândire: inducția și deducția; analiză și sinteză; abstractizare și generalizare; analogia; descriere; motivare și argumentări; ipoteză; confirmare și infirmareă [4].

Mijloace cognitive

Limbaj științific – lexic specific, semantică, termeni și concepte;

Matematizarea științei – modele matematice în chimie, fizică, biologie, economie, sociologie, medicină, lingvistică, istorie, etc.;

Concepte logico-filosofice – teorii și modele logice sau filosofice;

Noi tehnologii și tehnici experimentale – modelarea și simularea unor fenomene complexe, prelucrarea avansată a datelor experimentale, produse software si calcul computerizat, etc.;

Limbaje formalizate, sisteme semantice – modele, structuri și reprezentări

Legile sau principiile logice ale gândirii [4]

Legea identității – păstrarea sensului expresiei pe parcursul procesului de gândire și fiecare noțiune este folosită pe acest parcurs cu unul și același sens;

Legea contradicției – dintre două enunțuri contradictorii numai unul expus în același timp și raport poate fi adevărat;

Legea terțiului exclus – din două judecăți contradictorii expuse una este adevărată, una este falsă, a treia nu poate să existe sive-sive, terțio non datum;

Legea rațiunii suficiente – întemeierea suficientă a oricărui enunț adevărat.

O nouă orientare a investigațiilor științifice apare în epoca modernă prin studiile și cercetările următorilor filosofi și oameni de știință: Fr. Bacon, Descartes, Newton, Leibniz, Kant, Hegel, etc.

Cunoaștere și Modelare

Larga răspândire a utilizăriii tehnologiilor informatice și rezultatele rezolvării problemelor în cele mai diverse domenii de activitate ale omului, demonstrează capacitatea omului de modelare, reprezentare și rezolvare a unor clase diverse de probleme. Acest lucru a fost posibil prin reconsiderarea și utilizarea conceptului de limbaj nu numai pentru comunicare, ci mai ales pentru cunoaștere (același lucru s-a întâmplat și cu conceptul de algoritm utilizat de Informatică în programarea calculatoarelor; evoluția dinamică a noțiunii de algoritm a determinat apariția gândirii algoritmice în rezolvarea problemelor cu ajutorul calculatorului; mai mult, limbajele de programare moderne oferă o gândire obiectuală în rezolvarea problemelor). Complexitatea și multitudinea de limbaje arată de fapt că aceste eforturi, experimente și cercetări sunt realizate în scopul procesării informațiilor și cunoștințelor. Calculatorul și tehnologiile informatice demonstrează rolul primordial al limbajelor în procesul cunoașterii.

În etapa actuală de dezvoltare științifică și tehnică, rezolvarea unei probleme din diverse domeniu (matematică, fizică, chimie, informatică, etc. ) reprezintă o activitate de creație, un raționament prin construirea, generarea, descrierea următoarelor aspecte, înainte de un proces de execuție (realizat de un calculator/o mașină de calcul):

proces demonstrativ (demonstrația) care să arate existența unei soluții sau a mai multor soluții și/sau să determine efectiv soluțiile exacte;

proces computațional (algoritmul) care să codifice/modeleze un proces demonstrativ, o metodă sau o tehnică de rezolvare în scopul determinării (eventual aproximative) a soluțiilor exacte.

În prezent este tot mai des invocată reprezentarea problemelor folosind concepte OOP (Object Oriented Programming). Conceptul de obiect (M. Minsky, The Society of Mind, Touchstone Books, New York, 1986) are un rol important în știința cunoașterii și educației. Un obiect modelează o entitate din lumea reală sau virtuală.

Figura 53. Relația Inductive Reasoning-Deductive Reasoning

În activitatea de rezolvare a problemelor trebuie să se identifice/definească obiectele din cadrul problemelor ce provin din diferite domenii: științifice, economice, sociale, etc. Identificarea obiectelor este echivalentă cu determinarea entităților și conceptelor care reprezintă forme fizice/grafice, fapte, evenimente, procese, stări, etc. Un obiect este caracterizat în mod unic prin identificare, comportament (caracteristică dinamică), și stare(caracteristică statică). În esență, rezolvarea unei probleme se va exprima printr-o codificare/modelare a universului problemei și a raționamentelor pentru procesul demonstrativ.

Conceperea și elaborarea lucrărilor științifice

Literatura științifică este modalitatea de stocare a rezultatelor cercetării științifice în vederea regăsirii, utilizării și prelucrării eficiente a cunoștințelor de-a lungul timpului. Astăzi, această literatură științifică este stocată prin formă tiparită (print), forma Web (On-line), biblioteci digitale, medii de stocare magnetică sau optică, etc.

The National Science Digital Library – http://nsdl.org/,

Project by Unesco – www.worlddigitallibrary.org,

European Digital Library – http://www.theeuropeanlibrary.org/.

“Literatura științifică este compusă în esență din cărți (în special tratate și monografii), articole publicate în reviste, rapoarte de cercetare, memoriile unor conferințe științifice (proceedings), teze de doctorat, brevete de invenție, granturi de cercetare (rapoartele științifice aferente), etc. “[L. Vintan, 2006]

O lucrare științifică trebuie să satisfacă criteriile unei lucrări academice: cercetare, studiu, analiză, produs software, ce abordează un subiect sau o temă și care reprezintă o investigație originală, comparativă sau o implementare a unor metode, tehnici în vederea obținerii unor rezultate sau a unor concluzii în domeniul cunoașterii.

Definiția 4.2. Lucrare – Studiu scris asupra unui anumit subiect; scriere, operă artistică sau științifică. (DEX)

Definiția 4.3. Tipuri de lucrări științifice (redactate în formă finală – full paper):

ARTICOL ORIGINAL (publicat în revistă de specialitate sau în Proceedings al unei Conferințe)

ARTICOL DIDACTIC (publicat în revistă de specialitate sau în Proceedings al unei Conferințe)

STUDIU DE SPECIALITATE (publicat în revistă de specialitate sau în Proceedings al unei Conferințe)

REVISTĂ DE SPECIALITATE (publicație de articole științifice de specialitate sau lucrări ale unei Conferințe)

REVISTA DE PUPULARIZARE (publicație de articole de popularizare a informațiilor și cercetărilor științifice)

PROCEEDINGS (publicație de articole științifice prezentate la o Conferință)

CARTE / MONOGRAFIE (publicație prin expunerea unor teme din punct de vedere teoretic și practic)

TEZĂ DE DOCTORAT (lucrare științifică ce expune rezultatele unor cercetări într-o anumită temă pentru obținerea titlului știintific de Dr. – PhD.)

TEZĂ DE DISERTAȚIE (lucrare științifică ce expune un studiu de specialitate într-o anumită temă pentru obținerea titlului științific de M.Sc., master)

LUCRARE DE LICENȚĂ (lucrare științifica ce expune un studiu de specialitate într-o anumită temă pentru obținerea diplomei de licență, B.Sc., licențiat)

Clasificarea lucrării științifice se efectuează din diferite principii: al conținutului; al originalității; al destinației; ariei de cuprindere etc.

„Orice lucrare științifică poate fi prezentată spre valorificare într-o formă explicită prin redactarea textului ei. Redactarea lucrărilor științifice este o parte importantă a cercetării științifice, prezentând pentru apreciere a rezultatelor cercetărilor. În ea vom găsi rezultatul investigațiilor științifice. Redactarea constituie o comunicare realizarea obiectivelor propuse, metodele și tehnicile folosite și comunicarea propriu-zisă a rezultatelor obținute. Comunicarea rezultatelor investigațiilor este o activitate, un lucru obligatoriu și o formă de valorificare a rezultatelor prin reintegrarea cunoștințelor dobândite în urma elaborării științifice pentru a ajunge la rezultatul scontat conform regulilor enunțate de Blaise Pascal.” (Universitatea Tehnică din R. Moldova – UTM, Curs de Filosofie, Programul de Masterat "Inginerie și Managementul Calității", http://www.utm.md/master/curs/filos/cap7.pdf) [4].

Articolul științific

Structura generală a unui articol știintific poate conține următoarele secțiuni succesive, considerate canonice în practica redactării (Fig. 54, Hill et al., 1982, Vințan, 2006)[10]:

Titlu (Title)- acesta trebuie să rezume cât mai adecvat conținutul articolului, urmat de numele tuturor autorilor, cu specificarea instituțiilor corespunzătoare;

Rezumat (Abstract) – prezintă în mod succint lucrarea (aproximativ 150 de cuvinte): domeniul științific în care se încadrează articolul; provocările științifice la care acesta propune soluții; rezultatele importante obținute împreună cu implicațiile aferente; relevanța, originalitatea și calitatea cercetării. Nu se recomandă utilizarea citărilor bibliografice;

Cuvinte cheie (Keywords) – principalele 5-7 cuvinte cheie, consacrate domeniului științific în care se înscrie lucrarea;

Introducere (Introduction) – descrie cadrul științific general al lucrării, provocările abordate și importanța lor în cercetare, ipotezele științifice ale lucrării și metodologia de principiu ce a fost selectată și utilizată, structura secțiunilor lucrării;

Alte abordări (Related Work) – descrie stadiul actual al cunoașterii în domeniu, într-un mod clar, sistematic, critic, coerent și concis, raportat la realizări anterioare sau recente; se descriu în mod critic lucrările considerate relevante, descrie cu acuratețe și în mod onest, deontologic și diferențele specifice între abordările din articol și altele prezentate în literatură;

Corpul articolului: metodologii, rezultate, interpretări – prezintă metode, tehnici, algoritmi, tehnologii, cadrul experimental, cadrul de evaluare a rezultatelor, materialele utilizate în cadrul investigației științifice; se descriu rezultatele obținute, se compară cu cele cunoscute prin intermediul altor cercetări; conținutul acestei secțiuni depinde de caracterul fundamental sau aplicativ al cercetării, dar și de domeniul științific al lucrării;

Concluzii, dezvoltări ulterioare (Conclusions, Further Work) – descrie succint principalele concluzii ale cercetării și viitoarele oportunități de cercetare considerate a fi fezabile și fertile din punct de vedere științific;

Mulțumiri (acknowledgments) – opțional, printr-un text scurt, autorii prezintă recunoștința lor instituțiilor/organizațiilor și persoanelor fizice care i-au sprijinit, din punct de vedere științific sau/și material, pentru buna desfășurare a cercetării expuse;

Referințele bibliografice (References) – de regulă, este secțiune obligatorie și descrie o listă de publicații relevante, recente și citate în textul articolului; aceste referințe trebuie să poată fi consultate de orice persoană interesată.

Figura 54. Structura generală a unui articol științific [Hill et al., 1982] [11]

Elaborare și redactare

Redactarea lucrărilor științifice presupune cerințe deosebite față de forma lucrărilor. Ele trebuie să fie elaborate citeț cu o acuratețe deosebită, clare, pe înțelesul tuturor. Este foarte importantă problema exprimării și a prezentării. Un rol aparte ține de limbajul științific, de logica exprimării, de ortografia și de sintaxa corectă, adică o armonie dintre forma și conținutul lucrării [4,5]. „Prezentarea unui articol științific trebuie să fie coerentă, completă dar concisă și neredundantă, necontradictorie, clară, scrisă într-un limbaj extrem de atent la fiecare detaliu și interpretare. Fiecare domeniu conține termeni cu accepțiuni precise, care trebuie utilizați corespunzător în lucrare, evitând ambiguitațile de limbaj și jargoanele obositoare” [4]. În general se recomandă adresarea impersonală prin diateza pasivă (“se demonstrează că”, “s-au obținut următoarele rezultate”) evitându-se folosirea persoanei întâi.(VINȚAN 2006).

PRINCIPII: rigoare, claritate, concizie.

Cunoașterea de către autor a principiilor redactării știintifice va conduce la o redactare RIGUROASĂ, CLARĂ și CONCISĂ. Trebuie să existe o coerență între FOND (conținutul articolului) și FORMA (redactarea) articolului („Ceea ce se știe bine se enunță clar” – Boilean). Exprimarea unui gând, a unui raționament, a unei idei este cu atât mai cuprinzătoare, cu cât este mai clar exprimat („Daca nu găsești cuvintele, nu ai în cap ideea” – G. Calinescu; „Ideile sunt rădăcinile creației”- Ernest Dimnet) [www.intelepciune.ro].

OBIECTIVE: comunicare, calitate, concluzii.

Se are în vedere comunicarea și publicarea rezultatelor cu valoare științifică a concluziilor unor studii, a unor comparații și experimente. De asemenea, se urmărește valorificarea cercetărilor și studiilor cuprinse în lucrările științifice de calitate, precum și interesul științific, calitatea redactării și exprimarea corectă din punct de vedere lingvistic.

Plagiatul (Plagiarism)

Astăzi, având în vedere utilizarea pe scară largă a redactării computerizate și a utilizării tehnologiilor Web pentru stocare, prezentare și căutare, autorii de articole/lucrări științifice sunt tentați să utilizeze abuziv operațiile “Copy-Paste” și astfel să realizeze voluntar sau involuntar ceea ce se numește plagiat. La școală sau la universitate, elevii și studenții trebuie să fie instruiți și avertizați să respecte rezultatele muncii autorilor de articole, să știe și să respecte regulile impuse de calitatea de autor și de sistemul de citare. “Furtul intelectual” este un aspect dăunător și trebuie respins categoric de orice persoană indiferent de vârstă, funcție sau statut social. Deși există metode de prevenire a plagiatului, programe și sisteme informatice de depistarea a cazurilor de plagiat, în fiecare an în timpul susținerii lucrărilor de licență, conducerile facultăților împreună cu cadrele didactice au surprize mari când constată cazuri de plagiat. Formarea viitorilor specialiști trebuie să aibă în vedere și acest aspect important privind respectarea proprietății intelectuale și prevenirea plagiatului.

“Plagiarism (use of others words, ideas, images, etc. without citation) is not to be tolerated and can be easily avoided by adequately referencing any and all information you use from other sources. In the strictest sense, plagiarism is representation of the work of others as being your work. Paraphrasing other's words too closely may be construed as plagiarism in some circumstances. In journal style papers there is virtually no circumstance in which the findings of someone else cannot be expressed in your own words with a proper citation of the source” (Greg Anderson, http://www.bates.edu/~ganderso/) [1].

Conform Codului de etică al Universității din București (art. 6), “plagiatul sau însușirea de către un autor a rezultatelor muncii altui autor (indiferent dacă este vorba de reproducerea exactă a unui text sau de reformularea unei idei cu adevărat originale), fără ca acestea din urmă să fie menționate ca sursă a textului sau a ideii respective, constituie o fraudă intelectuală și se sancționează în conformitate cu gravitatea pe care o prezintă”. Plagiatul poate fi voluntar (numit și plagiat propriu-zis) sau involuntar (petrecut atunci când se folosește greșit sistemul de citare sau nu se indică sursa unui material).

Constituie cazuri de plagiat (Carmen-Viviana Ciachir, Departamentul-Catedra UNESCO, Universitatea din București):

preluarea unui text al unui alt autor, indiferent de suportul utilizat pentru publicare (carte, revistă, pagini web, etc), fără utilizarea ghilimelelor și a trimiterilor bibliografice;

prezentarea unui citat dintr-un text al altui autor ca parafrază (repovestirea ideii sau a argumentului unui autor), fără utilizarea semnelor convenționale de citare (ghilimele și trimiteri bibliografice);

preluarea unui text fără referințe clare, cu modificarea topicii, a unor expresii din cuprinsul său și/sau inversarea unor paragrafe, capitole etc;

compilația de fragmente din mai multe surse, fără trimiteri bibliografice clare la textele sursă;

utilizarea excesivă a altor surse, în detrimentul propriului aport.

« Citatele mai consistente (mai mari decât câteva rânduri succesive) se trec fie cu spațiere (“indentare”) diferită în text și cu caractere italice, fie în anexe, dacă depășesc o pagină » [3].

Concluzii

Rezultatele unor studii, cercetări sau experimente nu pot fi cunoscute de către comunitatea științifică, decât dacă respectă standarde și reguli impuse de experiența și tradiția din activitatea științifică. În fiecare etapă de dezvoltare a societății se constată o dinamică sporită privind regulile, metodele, standardele și tehnologiile.

Referințe

[1] Anderson Greg, How to write a paper in Scientific Journal style and format, Bates College Department of Biology , http://www.bates.edu/~ganderso /, 2009

http://abacus.bates.edu/~ganderso/biology/resources/writing/HTWtoc.html

[2] Achimas Cadariu A. (1999). Metodologia cercetării științifice medicale, Ed. Universitară "Iuliu Hațieganu", Cluj Napoca, http://www.info.umfcluj.ro/ .

[3] Codului de etică al Universității din București, http://www.unibuc.ro/ro/cod_etica_ro, accesat 02.10.2011

[4] Curs de Filosofie, Programul de Masterat "Inginerie și Managementul Calității", Universitatea Tehnică din R. Moldova – UTM, 2009

http://www.utm.md/master/curs/filos/cap7.pdf

[5] Day Robert A., How to Write & Publish a Scientific Paper, 5th edition, Orynx Press, 1998

[6] Fellows, N. J. (1994). A window into thinking: Using student writing to understand conceptual change in science learning. Journal of Research in Science Teaching, 31(9), 985-1001.

[7] Gaskins, I. W., Guthrie, J. T., Satlow, E., Ostertag, J., Byrne, J. & Connor, B. (1994). Integrating instruction of science, reading, and writing: Goals, teacher development, and assessment. Journal of Research in Science Teaching, 31(9), 1039-1056.

[8] Huth J, Brogan M, Dancik B, Kommedahl T, Nadziejka D, Robinson P, Swanson W. 1994. Scientific format and style: The CBE manual for authors, editors, and publishers. Cambridge: Cambridge University Press.

[9] Vințan L., Calitatea cercetării prin abordări scientometrice, Euroeconomia, XXI, ISSN 1841-0707, nr. 53, Sibiu, 24 februarie 2006

[10] Vințan L., Scrierea și publicarea științifica, University of Sibiu, Computer Science and Engineering Department, http://webspace.ulbsibiu.ro/lucian.vintan/html/Acad.pdf

[11] Vlada Marin, Professional Netwok, http://c3.wordpress.com/ , 2010

[12] Woodford Peter F. ed. Scientific writing for graduate students: a manual on the teaching of scientific writing. New York: Rockefeller University Press, 1968

4.2 Editarea formulelor și a ecuațiilor matematice

Cele mai răspândite pachete de programe (produse software) ce oferă astfel de prelucrări sunt:

pachetul gratuit OpenOffice (free software/ open source, http://www.openoffice.org/) ce conține Writer (procesor de texte și editor HTML), Calc (foi de calcul tabelar), Draw (modul de desen și grafică vectorială), Impress (modul pentru crearea de prezentări), Editor de formule, Modul de baze de date;

pachetul Microsoft Office (nu este gratuit, http://office.microsoft.com/ro-ro/) ce conține MS-Word (procesor de texte și editor HTML, ofera editorul de formule matematice MS Equation), Excel (foi de calcul tabelar), Access (prelucrări baze de date), Power Point (crearea de prezentări), Publisher (editare texte), OneNote (editor simplu), Outlook (gestionare e-mail);

pachetul Scientific Word (SW) (forma inițiala LaTeX este gratuită, http://www.latex-project.org) utilizat frecvent de oamenii de știință pentru redactarea articolelor și cărților științifice. Având la bază limbajul LaTeX, destinat prelucrării textelor matematice, acesta oferă Scientific WorkPlace ce realizează calcule și reprezentări 2D și 3D, precum și Scientific Notebook ce realizează rezolvarea de ecuații și sisteme.

Scientific Word (SW) v. 5.5

La baza pachetului Scientific Word se află LaTeX (elaborat de Leslie Lamport în anul 1994 ce are la bază limbajul TeX elaborat de Donald E. Knuth în anul 1984) ce este un limbaj des folosit de către oamenii de știință, în mediul academic. LaTeX seamănă cu limbajul HTML sau cu RTF (Rich Text Format). Acesta poate fi downloadat gratuit de pe site-ul http://www.latex-project.org. Limbajul este dezvoltat de către utilizatori, existând o varietate de pachete ce extind macrourile inițiale ale acestuia. Se poate afirma ca LaTeX este un pachet de macrodefiniții pentru TeX, iar TeX este un sistem de prelucrare a textelor ce permite permite definirea de layout-uri pentru cărți, teze de doctorat, articole, rapoarte, scrisori, etc.

Observație. În general, în activitatea științifică trebuie să se realizeze editarea lucrărilor științifice astfel ca să respecte regulile cerute de o editură sau de formatul unei reviste de specialitate. O lucrare este predată editorului care, după verificarea semantică de către un grup de recenzori, va accepta lucrarea pentru a fi publicată. Lucrarea acceptată pentru publicare va trebui aranjată în pagină, operație făcută de către tehnoredactor, ce hotărăște dimensiunile paginii, fonturile, aspectul general, etc. Aceste informații formează layout-ul lucrării ce va trebui publicată. După corectură, lucrarea se tipărește în numărul dorit de exemplare. Dacă recenzia este realizată de specialiști, celelalte operații pot fi efectuate cu ajutorul calculatorului, pe baza unor reguli simple și fixe. Pentru aceasta, este necesară utilizarea unui procesor de texte, iar din motive legate de răspândire și disponibilitate, se poate utiliza LaTeX.

Principalele motive ale utilizării sale pe scară din ce în ce mai largă, de către editorii și autorii de texte sunt independența față de driver-ul de imprimantă și utilizarea pe diferite platforme. În general, layout-ul paginilor realizate în MS Word (poziția figurilor, a tabelelor, claritatea formulelor și ecuațiilor, etc.) poate să varieze foarte mult, în schimb prelucrarea sub LaTeX oferă un text matematic clar și ordonat.

Figura 55. Ex. Ion Crăciun, http://www.mec.tuiasi.ro/diverse/sem_cdif_mec.pdf

Despre SW versiunea 5.5

Scientific Word Version 5.5 – crearea de documente profesionale, adică documente matematice, științifice, tehnice de la tastatura folosind notații matematice obișnuite. Se poate alege publicarea ca document Web folosind HTML sau PDF și se poate imprima cu sau fără typesetting LaTeX;

Scientific WorkPlace Version 5.5 – redactarea de documente științifice și tehnice complexe cu LaTeX. Se pot crea reprezentări 2-D și 3-D în mai multe stiluri și sisteme de coordonate, animație 3D, etc.;

Scientific Notebook Version 5.5 – realizează calcul simbolic sau numeric, calcul integral și diferențial. Se pot rezolva ecuații algebrice și diferențiale în documente ușor de utilizat cu o interfață comodă. Folosind comenzile din meniu se pot realiza calcule în peste 150 de unități de măsură. Se pot importa date și grafice.

Mai multe informații la următoarele adrese:

– http://www.mackichan.com/index.html?products/sw.html~mainFrame

– http://www.mackichan.com/

Editorul de formule matematice Microsoft Equation (MS Word)

Fără să fie la nivelul pachetului Scientific Word (SW), pachetul Microsoft Word (vers. 2003-2007 sau 2007-2010) oferă utilizatorilor crearea de obiecte care să cuprindă text matematic. Acest lucru se poate realiza prin intermediul modulului Microsoft Equation 3.0 ce se poate invoca prin Insert Object Microsoft Equation 3.0 sau direct prin utilizarea pictogramei ce va fi prezentă în bara de instrumente prin acțiunile Tools Customize Insert Microsoft Equation:

Figura 56. Meniul Microsoft Equation 3.0

În cazul programului Word vers. 2010 (română) se va invoca Inserare Obiecte:

Figura 57. Programul Word ce oferă Microsoft Equation

Meniul oferit de modulul Microsoft Equation 3.0:

Exemple: 1.

2.

3.

Figura 58. Utilizarea meniului Microsoft Equation

În cazul exemplului 2, pentru editarea unei integrale definite, cursorul se va plasa la începutul unui rând (sau în altă poziție, ulterior cadrul rezultat va fi plasat acolo unde se dorește), după care se execută click pe butonul pentru a invoca Microsoft Equation 3.0. Prin această acțiune va apărea pe ecran meniul corespunzător al modulului din care se alege submeniul corespunzător editării tipurilor de integrale. Pentru integrala definită se va alege primul buton din coloana a III-a așa cum se arată în imaginea următoare:

Prin executarea unui click pe acest buton la poziția cursorului va apărea un cadru general și elementul grafic corespunzător integralei definite. Vor apărea elementele ce urmează a fi editate folosind mouse-ul. După completarea acestora se va executa click pe un punct din documentul Word și astfel va apărea în document integrala dorită. Rezultatul editării este un obiect grafic ce poate fi prelucrat prin diverse operații.

4.3 Editarea formulelor și a reacțiilor chimice

Produse software: ISIS / Symyx / ChemSketch / JSDraw

ISIS, Symyx și ChemSketch sunt sisteme (medii) de programe ce oferă instrumente pentru elaborarea de structuri chimice: molecule, formule, reacții chimice. Desenele pot fi utilizate ca structuri 2D (bidimensionale), de exemplu, în fișiere de tip text, sau pot fi transformate în modele 3D (tridimensionale). Dacă programul ISIS Draw are prima versiune în anul 1990, după care a fost perfecționat permanent, programele Symyx (download: http://symyx-draw.en.softonic.com/) și ChemSketch (download: http://chemsketch.en.softonic.com/) sunt elaborate mai recent și au versiuni noi (Symyx 4.0 și ChemSketch 11.0).

JSDraw (A Javascript Chemical Structure Editor/Viewer, http://www.olncloud.com/oln/jsdraw/, Scilligence: Software for Life Science) este un program modern scris în JavaScript ce oferă posibilitatea conceperii și elaborării structurilor din chimie și biologie prin intermediul paginile web. Folosind JavaScript se pot afișa și elabora structuri chimice în pagini web apelate sub un browser (IE, Firefox, Safari, Opera si Chrome) pe platformele (sisteme de operare) Windows, Mac, Linux, și chiar iPhone, Android și alte dispozitive mobile.

Exemple de molecule: simple & complexe

Exemplu din Stereochimie: Izomeri

Figura 59. Exemple de structuri chimice

Exemplu de vizualizare 3D cu ChemSketch: 1-aminocyclopropanecarboxylic acid

Figura 60. ChemSketch: Sistemul periodic al elementelor chimice (JSDraw)

Programul ISIS Draw – Meniuri și indicații de utilizare

Meniul principal (general): File, Edit, Options, Text, Templates, Chemistry, Windows, Help.

Meniul principal – orizontal (instrumente): Run Chem Inspector, Open Last Template Page, Draw Previous Template, Cyclohexane, Cyclopentane, Benzene, … , Cyclobutane, Cyclopropane.

Meniul principal – vertical (instrumente): Lasso Select, 2D Rotate, Eraser, Atom, Single Bond, Up Wedge, Chain, Plus, Arrow, Atom – Atom Map, Sequence, Bracket, Text, Straight Line, Rectangle.

Se recomandă ghidul: ISIS /Draw Tutorial (1993) by MDL Information System- http://www.ccl.net/cca/software/MS-WIN3/ISIS/isis_tut.pdf

Figura 61. Meniurile (orizontal, vertical) ale programului ISIS Draw

Figura 62. Meniurile ISIS Draw: meniul vertical, meniul orizontal

Fișierele (schițele-desenele) salvate vor avea extensia <nume>.SKC. Utilizarea diverselor instrumente ce oferă prelucrări determină și diverse forme ale cursorului, acestea fiind prezentate în tabelul de mai jos.

Tabelul 5. Tipuri de cursoare

Figura 63. Fișiere cu șabloane (sketch)

Toate facilitățile oferite de meniuri oferă editarea (molecule, reacții, forme grafice) prin următoarele acțiuni:

utilizarea de șabloane (molecule, structuri chimice);

adăugarea/ștergerea de atomi și legături (bonds);

desenarea și editarea de legături;

adăugarea și editarea simbolurilor de atom;

mutarea și redimensionarea moleculelor.

Submeniul Templates din meniul general oferă diverse șabloane de structuri chimice:

Figura 64. Submeniul Templates

Șabloanele sunt structuri predesenate (predefinite) utilizate pentru a construi rapid molecule. Sunt oferite două tipuri de șabloane:

pagini de șabloane – o pagină de șabloane este o fereastră care conține multe fragmente structurale, cum ar fi inele sau lanțuri; se alege șablonul dorit ce apare în fereastră;

instrumente de șabloane – un instrument de șablon este un singur fragment structural, cum ar fi un inel de benzen, ce se alege direct din bara de meniu (meniul orizontal).

Figura 65. Submeniul Templates: AMINO.SKC (Amino acids)

Există patru moduri de a utiliza șabloane de instrumente și pagini. Pentru un șablon de instrument se face click pe instrumentul respectiv. Pentru un șablon de pagină se alege șablonul de pagină corespunzător din meniul Templates și se face click pe șablonul dorit.

Tabelul 6. Sursa: http://www.ccl.net/cca/software/MS-WIN3/ISIS/isis_tut.pdf

Figura 66. Exemple de structuri editate cu ISIS Draw

Obiect evidențiat (object highlighting)

Pentru selectarea (evidențierea) unui obiect se face deplasarea cursorului peste obiectul respectiv, și se execută click. Obiectul evidențiat este indicat dacă se executa click când cursorul este peste un atom, o legătură, o componentă, sau o schiță (atom, bond, component, or sketch).

Figura 67. Sursa: http://www.ccl.net/cca/software/MS-WIN3/ISIS/isis_tut.pdf

Meniul Chemistry

Figura 68. Submeniul Chemistry

Figura 69. Chemistry Calculate Mol Value Calculate

Aplicație. Utilizarea și afișarea valorilor moleculare (molecular values) pentru o moleculă: Molecular weight, Exact mass, Molecular formula, Molecular composition.

Acțiuni de operare și editare: după ce este creată molecula, aceasta se selectează și se execută Chemistry Molecular Value fereastra Molecular Values. După apariția ferestei Molecular Values se execută click pe butonul Paste în vederea trecerii informațiilor în zona de editare, așa cum apare în imaginea de mai jos (dreapta).

Observație. Prin utilizarea meniului Options se poate activa rigla prin următoarele comenzi: Options Show Ruler.

Figura 72. Utilizarea riglei (ruler)

Exemple de structuri chimice editate.

Figura 73. Structuri chimice editate

Figura 74. Structuri: Basres, Orbitals (templates)

Figura 75. Structuri Templates: Carbonyls

Figura 76. Structuri, Tutorial ISIS, http://www.ccl.net/cca/software/MS-WIN3/ISIS/isis_tut.pdf

Aplicații practice: editarea de molecule și reacții folosind ISIS Draw

Figura 77. Adenina, Benzen, Trifenilfosfina, hexaclorociclohexan, Naftalina, Tetralina, Decalina

Aplicații practice: Reacția de nitrare a fenolului folosind programul ISIS Draw

Figura 78. Reactii

Figura 79. Reacții

Figura 80. Reacții

Aplicații practice: editarea de reacții chimice folosind programul Symyx Draw vers. 3.2

Figura 81. Reacții

Referințe

 Greg Pearce, Symyx Draw, ISIS Draw – An Introductory Guide, http://bbruner.org/obc/symyx.htm,  http://bbruner.org/obc/isis.htm, on-line

 MDL IS, Tutorial ISIS, http://www.ccl.net/cca/software/MS-WIN3/ISIS/isis_tut.pdf

 ChemSketch – An Introductory Guide Obtaining ChemSketch, http://bbruner.org/obc/chemsket.htm , http://www.acdlabs.com/download/

 Symyx, download: http://symyx-draw.en.softonic.com/

 ChemSketch, download: http://chemsketch.en.softonic.com/

JSDraw – A Javascript Chemical Structure Editor/Viewer (Free)

JSDraw este un program modern scris în JavaScript ce oferă posibilitatea conceperii și elaborării structurilor din chimie și biologie prin intermediul paginile web. Folosind JavaScript se pot afișa și elabora structuri chimice în pagini web apelate sub un browser (IE, Firefox, Safari, Opera si Chrome) pe platformele (sisteme de operare) Windows, Mac, Linux, și chiar iPhone, Android și alte dispozitive mobile.

Mai multe informații la (Scilligence: Software for Life Science):

http://www.olncloud.com/oln/jsdraw/Demo.htm,

http://www.scilligence.com/web/jsdrawapis.aspx.

Scilligence: JSDraw – A Javascript Chemical Structure Editor/Viewer

Prelucrările realizate prin intermediul acestui editor vor fi salvate în fișiere ce vor avea extensiile: fișiere salvate cu extensia .sdf, .csv, .smiles.

Meniul principal al programului JSDraw

Meniul orizontal

About JSDraw

Lasso selection

Single bond Increase Charge Eraser Reaction arrow

Clear/File Double bond Chain Tool Zoom in

Zoom out

Rotate …

SDF List Viewr Grid Viewer

Figura 82. Descrierea meniului principal JSDraw

Observație. Tehnologia JavaScript oferă posibilitatea ca utilizatorul să opereze într-o fereastră separată. De aceea, dacă se execută double-click (Viewer with popup (double-click to edit)) pe această zonă din dreapta, se va afișa o fereastă de editare în care apar cele două meniuri: vertical și orizontal. Toate facilitățile oferite de programul JSDraw pot fi accesate prin intermediul celor două meniuri, iar la final să se salveze prin acționarea butonului Save aflat în partea centrală de jos.

Există și se pot crea diverse fișiere cu structuri chimice utilizate frecvent. Acestea sunt salvate în fișiere de tip .sdf.

Figura 83. Popup Editor oferit de JSDraw

Exemplu: În partea de jos a meniului JSDraw apare „And also check SDF List and Grid Viewer using JsDraw.”. Se execută click pe link-ul “Grid” și se alege o strucură.

JSDraw – SDF Grid Viewer

<script type="text/javascript">

new JsSDF("data/sdf4.sdf.txt", { grid: true, width:200, height:120, searchable: true });

</script>

Figura 84. SDF Grid

JSDraw – SDF List Viewer

Se utilizează „And also check SDF List and Grid Viewer using JsDraw”. Se execută click pe link-ul “List” și se alege o strucură pentru care se indică diverși parametri.

Câmpuri: ID, Structure, M.F., M.W., frequency, logP, PSA, natoms, MW, nON, nOHNH, nviolations, nrotb, Volume.

Observație. Dacă se execută click pe un câmp se face ordonarea lor după acel câmp.

<script type="text/javascript">

new JsSDF("data/sdf4.sdf.txt", { searchable: true, showformula:true, showmolweight:true });

</script>

Figura 85. SDF List

Observație. În funcție de structurile și formulele ce trebuie editate se vor selecta diverse instrumente din cele două meniuri (vertical sau orizontal). Trecerea la utilizarea unui alt instrument se poate realiza doar dacă se execută “renunțarea” la instrumentul utilizat, acest lucru se face prin activarea (click pe butonul respectiv) butonului Lasso Selection. Acesta este al doilea buton (instrument) din lista oferită de meniul orizontal, primul fiind butonul Clear.

Exemplu. În timpul editării unei molecule se utilizează diverse instrumente. Dacă se dorește indicarea proprietăților unui atom, se face click pe butonul Lasso Selection pentru a renunța la ultimul instrument folosit și se accesează ultimul instrument (grafic este un punct mare) din meniul vertical. După această acțiune, dacă se va face dublu-click pe un atom al unei structuri din fereasta de editare, va apărea fereastra Atom Properties:

Figura 86. Fereastra Atom Properties

Show periodic table

Figura 87. Fereastra Periodic Table: Sistemul periodic al elementelor chimice

Aplicație. Editare Polymer

Figura 88. Fereastra de editare structuri chimice

4.4 Teorema lui Green și aria unui poligon oarecare

“Nimic nu costă mai scump decăt neștiința” Grigore C. Moisil

Matematică versus Informatică

Matematica este cea mai veche dintre științele exacte, iar Informatica a apărut și s-a dezvoltat ca știință în a doua jumătate a secolului XX (după anul 1960, când deja apăruse calculatorul modern – conceput de matematicianul de origine maghiară John von NEUMANN (1903-1957) și se dezvoltase teorii, metode și tehnici de procesare a datelor/ informațiilor), fiind cea mai nouă.

Matematicianul John von NEUMANN este considerat arhitectul calculatorului modern (The von Neumann Architecture of Computer Systems, John von Neumann's EDVAC Report 1945  John von Neumann's 1945 on June 30 by Hungarian mathematician John von Neumann (1903-1957), http://www.csupomona.edu/~hnriley/www/VonN.html, [20]).

Un rol important în dezvoltarea Informaticii ca știință l-a avut Alan TURING (1912-1954), matematician, logician, criptanalist și informatician britanic, alături de matematicienii Kurt Gödel și Alonzo Church ce au contribuții remarcabile în domeniile demonstrabilității și calculabilității. “Turing este adesea considerat a fi părintele informaticii moderne. Cu mașina Turing, el a adus o formalizare a conceptului de algoritm și calcul. În 1999, Time Magazine l-a numit pe Turing unul dintre cei mai importanți 100 de oameni din secolul XX pentru rolul său în crearea calculatorului modern, afirmând: «Rămâne faptul că oricine tastează la un calculator, oricine deschide o foaie de calcul sau un program de procesare a textului lucrează pe o formă de mașină Turing».” [22]. De remarcat este faptul ca spre sfârșitul vieții sale, Turing a devenit interesat de domeniul chimie. A scris o lucrare despre bazele chimice ale morfogenezei și a prezis reacțiile chimice oscilante, cum ar fi reacția Belousov–Jabotinski, observată pentru prima oară în anii 1960.

Ref.: http://ro.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing, http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/turing/

În anul 2012 în Marea Britanie s-a declarat „2012 Alan Turing Year” pentru sarbătorirea centenarului nașterii lui Alan Turing (la 23 iunie 2012 Google i-a dedicat un logo special) :

http://www.turingcentenary.eu/ 

http://www.cie2012.eu, University of Cambridge, June 18-23, 2012

http://www.turing100.manchester.ac.uk/, June 22-23, 2012

http://www.mathcomp.leeds.ac.uk – Alan Turing Year Events Overview .

Pe plan mondial, în acei ani de pionierat pentru Informatică și pentru domeniul utilizării calculatorului, și România și-a adus o contribuție importantă prin școala de logică și informatică creată de matematicianul român GRIGORE C. MOISIL (1906-1973).

Profesorul Gr. C. Moisil a avut contributii remarcabile la dezvoltarea informaticii în România și la formarea primelor generații de informaticieni. A avut o contribuție însemnată la introducerea și folosirea primelor mașini electronice de calcul în țara noastră. Deosebit de valoroase sunt contribuțiile aduse de Grigore C. Moisil în domeniul teoriei algebrice a mecanismelor automate. A elaborat metode noi de analiză și sinteză a automatelor finite, precum și o teorie structurală a acestora. A introdus algebre numite de el lukasiewicziene trivalente și polivalente (numite astăzi, algebre Lukasiewicz-Moisil) și le-a întrebuințat în logică și în studiul circuitelor de comutație. Pentru aceste contribuții, post-mortem, în anul 1996, Gr. C. Moisil a primit Computer Pioneer Award al societății IEEE (premiul primit pentru lucrarea "For polyvalent logic switching circuits". Exemplul oferit de Moisil a fost urmat de generații de matematicieni și informaticieni ce au contribuții recunoscute pe plan internațional, atât în domeniul cercetării științifice, cât și în domeniul utilizării calculatoarelor pentru dezvoltarea generală a societății românești și internaționale. [19]

Grafica pe calculator, Geometria computațională, Realitatea Virtuală.

“O imagine valorează cât zece mii de cuvinte ” (Proverb chinezesc)

“The book of nature is written in the characters of geometry" (Galileo)

Odată cu apariția display-ului grafic (Graphic Display), în anul 1953, s-a trecut la o nouă etapă în dezvoltarea și răspândirea calculatorului. Utilizarea bit-ului prin organizarea eficientă a memoriei calculatorului, nu oferea nici hardware, nici software posibilitatea de modelare spațială a ieșirilor (OUTPUT). Reprezentările grafice folosind caractere (numerice sau alfanumerice) nu era o soluție care să realizeze o reprezentare fidelă a obiectelor reale. Suportul hardware fiind inventat, în perioada 1960-1980 au fost nevoie de cercetări și experimente, modele, algoritmi si programe care să foloseacă aprinderea unui „pixel” (unitatea grafică indivizibilă oferită de un display grafic) ce oferea și culoare, dar mai ales o structură de reprezentare grafică.

Procesul de discretizare: matricea de pixeli vs. sistemul de diviziuni

Această structură reprezintă în informatică, ceea ce reprezintă calculul integral în analiza matematică (Newton, Riemann, Darboux, Leibniz etc.). Sistemul de diviziuni (proces de discretizare) din calculul integral este analog rezoluției (matricea de pixeli) oferite de un display grafic. Atunci s-a născut Grafica pe calculator: trasarea unui segment de dreaptă (algoritmul Bresenham), trasarea cercului și elipsei, trasarea și aproximarea curbelor, algoritmi de clipping (decupare) (algoritmul Cohen – Sutherland, algoritmul Suitherland-Hodgman, algoritmul Weiler- Atherton), tehnici de vizualizare 2D și 3D, modele de iluminare și reflexie, modele de tip rastru, modele vectoriale, tehnici de textură. Astfel, s-au pus bazele pentru soluții integrate software și hardware pentru proiectare, analiză și producție asistată de calculator (CAD/CAM/CAE) – Computer Aided Design.

Prin implicarea utilizării calculatorului în rezolvarea problemelor din multe domenii, s-au definit și rezolvat diverse cerințe și proiecte ce în trecut erau de neconceput. Drumul deschis de Grafica pe calculator a fost continuat de Geometria computațională: domenii poligonale, orientare spațială, probleme și algoritmi de triangularizare, acoperirea convexă în 2D și 3D (algoritmul Quick Hull, algoritmul Graham, algoritmul Jarfis de înfășurare, algoritmul lui Chan), poligoane monotone, Diagrame Voronoi (algoritmul Fortune), Triangularizări Delaunay, Graf de vizibilitate, Algoritmul lui Dijkstra, probleme și algoritmi de intersecții, dinamica mișcării obiectelor în spațiu, probleme de apartenență a punctelor la un domeniu (Ref.:The Jordan curve theorem for polygons by Octavian Cișmasu, Mc Gill University, Web Project, 1997) .

După anul 1990, s-au obținut rezultate deosebite în domeniul modelării și simulării obiectelor din lumea reală, atât prin elaborarea de tehnici și algoritmi specifici, cât prin apariția produselor software care să sprijine acest domeniu. Astfel, Realitatea Virtuală (Virtual Reality) este un nou domeniu al Informaticii ce are un impact deosebit în utilizarea calculatorului pe scară largă și pentru o mare diversitate de teme. Pentru referințe suplimentare recomandăm consultarea referințelor [10, 16].

Teorema lui Green și aria unui poligon oarecare 

George Green (1793–1841) matematician și fizician englez, este cunoscut prin contribuțiile sale de analiză matematică cu aplicații în teoria electricității și magnetismului (“An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, George Green, 1828) [http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_theorem]. Formula lui Green stabilește o legătură între integrala curbilinie și integrala dublă.

În figura alăturată (de mai sus), într-un sistem cartezian de axe XOY, se consideră domeniul D din R2 ce are ca frontieră curba C închisă constituită din reuniunea curbelor C1, C2, C3, C4. Se consideră L si M funcții cu derivatele parțiale continue (de clasa C1) pe domeniul deschis D,

Curba C1 este dată de ecuațiile parametrice x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b.

Curba C3 este dată de ecuațiile parametrice x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b.

Domeniul D se exprimă prin x [a, b] și g1(x) < y < g2(x), având frontiera constituită din curbele C1, C2, C3, C4, unde C2 si C4 sunt linii verticale.

Formula lui Green este [18]:

În [2] se demonstrează că dacă D R2 este domeniu mărginit, cu FrD=Im, drum de clasă C1 pe porțiuni,

,

, unde m(D) este măsura Jordan.

În principal, se consideră L(x,y)= – y/2, M(x,y)= x/2 și se aplică formula lui Green.

Teoremă (Green).

Dacă D R2 este un domeniu mărginit simplu conex având frontiera FrD = Im dată de un drum de clasă C1 pe porțiuni,

,unde,, i=1,n

Pentru determinarea ariei unui poligin oarecare (convex sau concav), rămâne doar să modelăm laturile poligonului cu drumuri de clasă C1, lucru ce este posibil deoarece acestea sunt segmente de dreaptă (curbe de gradul I).

Folosind aplicația bijectivă între segmentele reale [0,1] și [a,b], dată de

φ(t) = a + t(b-a),

linia poligonlă se modelează cu reuniunea drumurilor γi reprezentate parametric astfel:

,, i=1,n,

unde

x(t) = xi + t (xi+1 – xi), y(t) = yi + t (yi+1 – yi), i=1,n-1

cu observația că pentru ultimul drum γn ecuațiile parametrice sunt

x(t) = xn + t (x1 – xn), y(t) = yn + t (y1 – yn).

În concluzie, aria unui poligon oarecare (convex sau concav) determinat de coordonatele vârfurilor sale, este dată de următoarea formulă:

,

unde poligonul este dat de linia poligonală P=P1 … Pn, Pi(xi,yi), i=1,n .

În aplicațiile din știință și tehnică, în proiectele și aplicațiile ce utilizează calculatorul, se întâlnește utilizarea următoarelor formule pentru aria unui poligon oarecare (convenție: xn+1=x1, yn+1=y1):

Formula 1: (suma ariilor „triunghiurilor”)

Formula 2: (suma ariilor „trapezelor”)

Formula 3: (Teorema lui PICK, contorizare noduri),

când poligonul are vârfurile situate în nodurile unei rețele de pătrate de arie a2 (coordonatele date în numere întregi), și

ne,v = numărul nodurilor situate pe laturi și in vârfurile poligonului

ni = numărul nodurilor situate în interiorul poligonului

a = latura pătratului (lungimea laturii în funcție de unitatea de măsura a sistemului de coordonate)

Obsevații. Dacă se consideră că toate vârfurile poligonului sunt în cadranul I (dacă nu, se poate face o translație), Formula 1 se poate demonstra și prin metoda inducției matematice. Aria poligonului este dată de suma ariei triunghiurilor ce au ca vârfuri, originea sistemului de coordonate și cele două vârfuri ce reprezintă extremele unei laturi curente ce determină linia poligonală. Pentru Formula 2, se proiectează fiecare latură pe axa OY și se obține un trapez. Suma ariilor trapezelor obținute este aria poligonului.

Referințe

[1] CGAL – Computational Geometry Algorithms Library, http://www.cgal.org/

[2] Colojoară I., Lecții de analiză matematică, Facultatea de matematică, Universitatea din București, Tipografia Universității, 1979.

[3] Cristea, V., C. Giumale, E, Kalisz, Al. Paunoiu, Limbajul C standard, Ed. Teora, București, 1992.

[4] Tom Davis, Practical calculation of Polygonal Areas, Pick’s Theorem, 2006 http://www.geometer.org/mathcircles/polyarea.pdf,

http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf

[5] Eppstein D., http://www.ics.uci.edu/~eppstein/index.html

[6] Goodman, J. E. and O'Rourke, J., eds., Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd Ed.). CRC Press, 2004.

[7] John Louis von Neumann, http://ei.cs.vt.edu/%7Ehistory/VonNeumann.html

[8] O'Rourke, J., Computational Geometry in C (2nd Ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-64976-5, 1998.

[9] Popovici, M. D., Popovici, M. I., C++. Tehnologia orientată spre obiecte. Aplicații, Ed. Teora, București, 2000.

[10] Pop D., Petcu D., Modelarea lumii tridimensionale, Editura Eubeea, Timișoara, ISBN 973-673-011-5, 2004.

[11] Vlada, M., Informatică, Universitatea din București, Ed. Ars Docendi, București, 1999.

[12] Vlada, M., Poligoane stelate. Problema lui Hopf și Pannwitz, Gazeta de matematică, nr. 8/1995, pag. 339-348.

[13] Vlada, M., Rezolvarea problemelor folosind Eureka, software educațional, www.unibuc.ro/eBooks/informatica/eureka/, Universitatea din Bucuresti, 2003.

[14] Vlada, M., Concepul de algoritm-abordare modernă, Gazeta de informatică, vol. 13/2 și 3, pp. 25-30, pp. 35-39, Agora, Cluj Napoca, 2003.

[15] M. Vlada, Birotică: Tehnologii multimedia, Editura Universității din București, ISBN 973-575-847-4, 2004.

[16] M. Vlada, D.M. Popovici, Realitatea Virtuala (Virtual Reality), tehnologie moderna a informaticii aplicate, CNIV-2004, Noi tehnologii de E-Learning, Conferința Națională de Învățământ Virtual, Software Educațional, Ediția a II-a, 29-31 octombrie 2004, Editura Universității din București, 2004

[17] WIKIPEDIA, Enciclopedia liberă (portal în Limba Româna) – http://ro.wikipedia.org/wiki/Matematica, http://ro.wikipedia.org/wiki/Informatic%C4%83

[18] WIKIPEDIA , The Free Encyclopedia – http://en.wikipedia.org/wiki/Greens_theorem

[19] CNIV 2006 – Conferința Națională de Învățământ Virtual , edtiția a IV-a 2006, http://fmi.unibuc.ro/cniv/2006/centenar-moisil/

[20] M. Vlada, http://www.unibuc.ro//prof/vlada_m/Computer_Architecture_.php

[21] M. Vlada, http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/turing/

[22] Wikipedia, http://ro.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

4.5 Tehnologii e-Learning și Software educațional

"O pledoarie pentru schimbare în educație nu ar putea începe, în zilele noastre, decât cu afirmarea rolului principal care revine cadrelor didactice în asumarea acestei

schimbări și cu sublinierea necesității de recuperare a principiilor pedagogice

aplicate, în contextul actual dinamic, marcat de utilizarea noilor tehnologii

pe toate palierele sociale, culturale și profesionale" [1].

Tehnologii moderne pentru dezvoltarea învățământului și cercetării

Definiția 4.4. E-learning înglobează metode și tehnici tradiționale sau moderne și folosind tehnologii IT&C (procesare multimedia și comunicare asincronă sau sincronă) conduce subiectul care îl utilizează, la obținerea unei experiențe în înțelegerea și stăpânirea de cunoștințe și îndemânări într-un domeniu al cunoașterii.

În esență, e-Learning oferă accesul comod și eficient la informațiile și cunoștințele cele mai noi, metode noi și eficiente de predare, învățare și evaluare a cunoștințelor, instruire și formare permanentă. În acest sens, e-learning este și o alternativă la educația permanentă în societatea informatizată de azi sau de mâine. Particularitățile specifice tehnologiilor de e-learning aduc noi dimensiuni în educație și care pot fi complementare sau alternative față de metodele tradiționale din domeniul educației. Aceste particularități oferă posibilitatea organizării învățământului online pe subiecte sau teme, în timp ce învățământul tradițional este organizat pe grupe/clase de vârstă.

Procesul de predare-învățare-evaluare capătă noi dimensiuni și caracteristici prin utilizarea tehnologiilor e-learning. Sistemul de învățământ din țara noastră este în mod direct și determinant implicat în fundamentarea și construirea societății informaționale. O societate informațională se naște într-un mediu în care marea majoritate a membrilor ei are acces la tehnologii IT&C și utilizează frecvent tehnologiile informaționale, atât pentru instruire și perfecționare profesională, cât și pentru activități personale privind rezolvarea unor probleme economice, sociale, etc.

Definiția 4.5. Software Educațional reprezintă orice produs software în orice format (exe sau nu) ce poate fi utilizat pe orice calculator și care reprezintă un subiect, o temă, un experiment. o lecție, un curs, etc., fiind o alternativă sau unica soluție față de metodele educaționale tradiționale (tabla, creta, etc.).

Etapele de verificare și evaluare a cunoștintelor și deprinderilor în insușirea competențelor corespunzătoare scenariului didactic, pot fi implementate sau nu în software educațional, acest lucru fiind în funcție de particularitățile cunoștințelor corespunzătoare unei discipline didactice. De exemplu, este cazul disciplinelor din domeniile IT&C și Informaticii care au ca suport utilizarea calculatorului în obținerea competențelor. În acest caz, obținerea competențelor trebuie să se realizeze în urma verificării și evaluării atât a cunoștințelor însușite, cât și a deprinderilor în utilizarea corectă și eficientă a calculatorului. Acestea trebuie să se obțină prin prezentarea de către cel examinat, direct la calculator a diverselor proiecte care să demonstreze profesorului – examinator gradul / nivelul competenței

Platforme e-Learning și Învățământ virtual

Construirea unei societăți informaționale (ce va reprezenta trecerea la societatea cunoașterii) nu se poate realiza fără cercetare și proiecte de investiții, atât în domeniul IT&C, cât și în domeniul educației. Dezideratul final fiind competența, nici o tehnologie, nici o teorie, nici o abordare nu va elimina sau neglija relația profesor-elev/student. Toate vor fi instrumente comode și eficiente la îndemâna, atât a profesorului, cât și elevului /studentului. Uneori, aceste instrumente pot fi unice față de instrumentele tradiționale din educație. Unele reprezentări pot fi reproduse sau simulate doar prin intermediul calculatorului care oferă metode și tehnici privind grafica, animația, sunetul.

De exemplu, reprezentările 3-dimensionale sau evoluția unor fenomene fizice, chimice, biologice, etc. care se desfășoara dinamic, nu pot fi reprezentate sau studiate decât folosind calculatorul. Competența implică experiență în rezolvarea problemelor dintr-un anumit domeniu de activitate. Competența și experiența în rezolvarea problemelor se pot obține doar dacă permanent se are în vedere interdependența realitatea fizică-realitatea virtuală, și dacă se întreprind eforturi pentru însușirea de noi cunoștințe, pentru conoașterea corespunzătoare a tuturor aspectelor privind modelul fizic , respectiv modelul virtual, aspecte determinate de particularitățile problemlor de rezolvat dintr-un anumit domeniu. Tehnologiile de e-learning ce sunt răspândite azi sunt rezultatul evoluției, atât a metodelor pedagogice și psihologice din educație, cât și a tehnologiilor IT&C (tehnologii Web, tehnologii multimedia, tehnologii de comunicație). Astfel, utilizarea sistemului Internet, a programelor de elaborare a produselor Web, a înregistrărilor audio/video, a stocării informațiilor pe CD-uri, a implementării rezultatelor din domeniul graficii pe calculator, au facut posibilă elaborarea de cursuri online, de software educațional pentru diverse discipline, de biblioteci și campusurilor virtuale.

Formarea cadrelor didactice în utilizarea TIC pentru instruire, cercetare și inovare

Implementarea și utilizarea de tehnologii moderne în educație și cercetare reclamă mobilizarea și susținerea diverselor inițiative, programe și proiecte ale instituțiilor publice, organizațiilor profesionale sau individual ale specialiștilor din domeniul eLearning, cercetătorilor, profesorilor din învățământul universitar și preuniversitar, inspectorilor, consilierilor, pedagogilor, psihologilor, elevilor și studenților. Astfel, după anul 2000, când s-au extins și dezvoltat tehnlogiile Web 2.0 și Learning 2.0 s-au abordat programe și proiecte legate de:

strategii de dezvoltare și formare,

management de proiecte,

lucru în echipe,

metodologii de implementare.

De asemenea, inițiatorii au avut în vedere promovarea și integrarea noilor tehnologii în educație și formarea continuă, adaptarea sistemului de învățământ românesc la noile cerințe și provocări impuse de construirea societății cunoașterii potrivit Strategiei Europene "Instruirea în Societatea Cunoașterii".

Inițiative, programe și proiecte operaționale în România:

1. Programul "Instruirea în Societatea Cunoașterii" (2009-2010) – Ministerul Educației, Cercetării și Inovării (MECI), în parteneriat cu SIVECO România (www.edu.ro, www.siveco.ro ); instruirea a 3000 de profesori formatori;

2. Programul Intel®Teach (2007, www.siveco.ro, www.intel.com) – curs internațional de formare la nivelul Caselor Corpului Didactic din țară coordonat de Siveco România și Corporația Intel;

3. Proiectul ICVL (2006, www.icvl.eu) – Conferința Internațională de Învățământ Virtual “News Technologies in Education and Research”, susținută de Universitatea din București și ANCS (Autoritatea Națională pentru Cercetare Științifică), Siveco România și Corporația Intel ;

4. Portalul Elearning.Romania (2006, www.elearning.ro) – platforma de resurse educaționale, inițiativa TEHNE (Centrul pentru Dezvoltare și Inovare în Educație);

5. Proiectul eLSE (2005, http://adl.unap.ro) – Conferința Științifică Internațională "eLearning and Software for Education", susținută de Universitatea Națională de Apărare “Carol I” București;

6. Proiectul CNIV (2003, www.cniv.ro) – Conferința Națională de Învățământ Virtual “Promovarea tehnologiilor moderne în educație și cercetare”, susținută de Universitatea din București și ANCS (Autoritatea Națională pentru Cercetare Științifică), Siveco România și Corporația Intel;

7. Portalul AeL și Cupa Siveco "Software Educațional" (2003, www.advancedelearning.com) – dezvoltarea lecțiilor interactive de Software educațional, inițiativă a firmei Siveco;

8. Portalul Didactic.ro (2003, http://www.didactic.ro) – platforma “Cancelaria Națională”, inițiativă a firmei Softwin (http://www.softwin.ro)

9. Portalul TimSoft (2001, www.timsoft.ro ) – platformă de e-learning, inițiativă a firmei TimSoft;

10. Programul/Portalul SEI (2001, www.portal.edu.ro) – Sistemul Educațional Informatizat coordonat de MECI și Siveco România.

Calculatorul – mijloc de formare a unei noi viziuni asupra educației, cercetării și inovării

"LUMEA CONTEMPORANĂ este marcată de o evoluție rapidă și greu previzibilă din toate punctele de vedere (economic, politic, social, științific). Această evoluție marchează toate regiunile globului și toate sferele vieții sociale. Are un caracter imperativ, pluridisciplinar, cu conexiuni puternice și numeroase. În fața acestor demersuri epistemologice, oamenii tentați să folosească abordări unidisciplinare și nu pluridisciplinare sau transdisciplinare sunt dezorientați și depășiți de situație. Pentru a forma noile generații astfel încât să fie capabile să facă față problemeticii lumii contemporane, sunt necesare acele schimbări în paradigma învățării care favorizează trecerea de la învățărea disciplinară, atomizată, la cea orientată către dezvoltarea unui nou mod de gândire, integrator, ancorat în actualitatea socioculturală complexă, autonom, creativ, deschis. Procesul învățării transcende educația formală și depinde de interacțiuni realizate cu o multitudine de surse externe situate în zona proximei dezvoltări individuale și în orizontul motivațional personal.

OMUL și LUMEA interacționează continuu, realitatea este văzută din perspective multiple, informația ne parvine prin diverse canale, astfel încât, pentru a avea un răspuns adecvat, CUNOȘTINȚELE noi trebuie produse, și nu reproduse. ÎNVĂȚAREA este individualizată, iar dezvoltarea în plan cognitiv și afectiv nu poate face abstracție de contextul cultural, social, tehnologic. Acestea sunt motive serioase pentru care școala secolului 21 ar trebui să se deschidă spre activități care să permită o educație de factură nouă, mai adecvată realităților contemporane. Una dintre cele mai bine instrumentate modălități de abordare a învățării în mod integrator și diferențiat este utilizarea calculatorului în sala de clasă.

CALCULATORUL incită la permanentă reconfigurare a imaginii pe care o avem despre domeniile cunoașterii prin accesarea de surse diverse de informații și ne oferă un alt mod de a cunoaște și de a produce CUNOAȘTEREA.

EDUCATORUL nu mai dirijează și nu mai controlează informațiile care intră în lumea elevilor. El ar trebui să faciliteze înțelegerea lumii externe, corespondențele subiective între lumea externă și lumea internă, iar calculatorul îi poate fi de mare ajutor în demersul său de la o instruire uniformă, pentru toți elevii la fel și una individualizată, fiecăruia după potențialul biopshihologic și nevoi. Schimbarea de paradigmă a învățării și anume trecerea de la achiziții de cunoștințe la dezvoltarea de competențe, valori și atitudini impune focalizarea instruirii pe activități dominante de participare activă și voluntară a elevilor după nevoile, interesele și profilurile lor de învățare. Diferențierea instruirii și contextualizarea acesteia are un suport deosebit de util în utilizarea calculatorului la clasă." [1].

Exemple și initiative internaționale – BETT Londra

Inițial, BETT (British Education and Training Technology) s-a organizat în anul 1985 sub denumirea de “Hi Technology and Computers in Education Exhibition”. În anul 2009, evenimentul s-a desfășurat sub deviza „Learning Creatively through Technology” și sub semnul aniversării a 25 de ani de la prima organizare. “BETT celebrated its 25th anniversary this year, and for the show to continue to breaking records in terms of both visitor attendance and number of exhibitors indicates that technology is playing a greater role in education than ever before.  BETT really is the place for teachers, leaders, local authorities and professionals to see the latest resources, debate ideas and continue their professional development – all under one roof.” Richard Joslin, exhibition director of BETT [2].

În ianuarie 2009 BETT a sarbătorit 25 de ani ca lider mondial în tehnologii educaționale și de comunicații (TIC). BETT promovează și simbolizează cele mai bune produse educaționale folosind tehnologii utilizate în Marea Britanie și în lume, resurse și cele mai bune practici, pe care le utilizează mii de practicanți pentru a spori cunoștințele lor de învățare prin intermediul tehnologiei. Premiile BETT sunt recunoașteri anuale ale activităților de excelență prin utilizarea TIC în învățământ și cercetare.

BETT – obiective, strategii, teme, rezultate

Cea de-a 25-a ediție a BETT a avut în anul 2009 drept teme centrale: învățarea personalizată, curricula digitală, modernizarea unităților de învățământ și managementul în educație. Zonele speciale dedicate testării noilor tehnologii permit interacțiunea dintre specialiștii IT&C și beneficiarii direcți: profesorii și elevii participanți la târg. Feedback-ul obiectiv obținut în timp real de la participanți reprezintă o informație extrem de utilă în ceea ce privește strategia de dezvoltare a unor viitoare resurse educaționale.

În ianuarie 2009 s-a desfășurat în Londra, BETT 2009, cea mai importantă expoziție dedicată utilizării tehnologiei în educație. Peste 650 de companii au prezentat soluții inovative pentru educația secolului XXI, iar organizatorii au estimat ca până la finalul evenimentului, peste 30.000 de vizitatori din întreaga lume să treacă porțile spațiului expozițional Olympia. Ca în fiecare an, la expoziția BETT au avut loc lansări de produse educaționale revoluționare ce încurajează utilizarea tehnologiei moderne pentru dezvoltarea de sisteme de învățământ adapatate secolului XXI. De asemenea, au fost organizate diverse seminarii ținute de specialiști în probleme educaționale și IT. Cu această ocazie au avut loc dialoguri între specialiștii IT&C și beneficiarii direcți: profesorii și elevii. Cu ocazia evenimentului, anual se acordă premiile BETT.

Premiile BETT se bazează pe cinci principii-cheie [2]:
   1. promovează și recunoaște diverse resurse digitale pentru educație;
  2. reprezintă și satisface nevoile sistemului de învățământ;
   3. stimulează proiectarea, producția și furnizarea de resurse de învățare de înaltă calitate
   4. ofera opțiuni pentru practicieni, elevi și părinți care doresc să utilizeze resursele educaționale inovatoare și deosebite;
   5. oferă modele cuprinzătoare și accesibile ce pot contribui esențial la înțelegerea și utilizarea unor fenomene, la progresul științei și tehnologiei.

Exemple și colaborări românești: E-learning și software educațional

SANAKO Study Science Lab and AeL Science Lab digital

SIVECO România împreună cu partenerii de la SANAKO Corporation au lansat produsul SANAKO Study Science Lab.  Laboratorul virtual le oferă profesorilor și elevilor posibilitatea de a realiza experimente științifice într-un mediu sigur și atractiv. Experimentele științifice sunt facilitate de AeL Science Lab, conținutul digital interactiv dezvoltat de SIVECO Romania, ce include 400 de lecții multimedia de biologie, chimie, fizică și matematică. “SIVECO România este un nume de referință în dezvoltarea de conținut educațional interactiv. Parteneriatul cu SANAKO, o companie ce furnizează platforme educaționale în întreaga lume, reprezintă ocazia de a ne consolida această poziție și a demonstra la nivel internațional valoarea eLearning-ului românesc”. Otto Zelch, Line of Business Manager în cadrul SIVECO Romania. De asemenea, reprezentanții SIVECO Romania fac prezentări ale soluției de eLearning AeL. „Proiectele majore implementate de companie au peste 7 milioane de beneficiari în România și în țări din Europa, Orientul Mijlociu, Africa și spațiul CSI” (Radu Jugureanu, Siveco). În figura de mai jos este prezentată o astfel de lecție [3].

Figura 91. FLesson: Aluminium, The Reaction between Aluminum and Hydroxides and between Aluminum and Chlorine (ISCED Level: 3)

O abordare interactivă de învățare pentru știință:

software interactiv care simulează experimente științifice autentice și încurajează elevii să ia parte în mod activ la procesul de învățare

elevii sunt stimulați să gândească constructiv, să testeze și să tragă concluzii; AeL Science Lab cuprinde un valoros conținut educațional digital;

AeL Biology Lab – 170 obiecte de învățare;

AeL Chemistry Lab – 94 obiecte de învățare;

AeL Physics Lab – 71 obiecte de învățare;

AeL Math Lab – 58 obiecte de învățare;

Referințe

[1] Mihaela Ilie, Radu Jugureanu, Otilia Ștefania Păcurari, Olimpius Istrate, Emil Dragomirescu, Dana Vlădoiu (2008), Manual de instruire a profesorilor pentru utilizarea platformelor de eLearning, Editura LITERA Internațional, București, 2008

[2] BETT, www.bettshow.com

[3] Siveco, http://www.siveco.ro/web/content.jsp?page=2795&language=1

[4] CNIV and ICVL Projects, www.cniv.ro (romanian project), www.icvl.eu (international project)

[5] CNIV, http://www.cniv.ro/2009/elearning

[6] Vlada, Marin (2009) Utilizarea Tehnologiilor eLearning: cele mai importante 10 initiative și proiecte din Romania. In: Elearning.Romania. Bucharest: TEHNE- Centre for Innovation in Education. Available online: http://www.elearning.ro.

[7] Vlada, Marin, Adăscăliței, A. and Jugureanu, R. (2009) Trends of eLearning: Learning – Knowledge – Development. In eLSE 2009 – The 5th International Scientific Conference ”eLearning and Software for Education”, BUCHAREST, April 09-10, 2009, "Carol I" National Defense University, Romania, Available Online: http://adl.unap.ro/else2009/index.php

5

Aplicații, probleme

și teme pentru

Laborator

"Cel care dobândește cunoașterea, dar nu o pune în practică este ca acela care ară pământul, dar nu-l seamănă." Ralph Waldo Emerson

"Rațiunea nu lucrează instinctiv, ci cere încercări, practică și învățare pentru a progresa treptat de la un nivel de înțelegere la celălalt." Immanuel Kant

"Trebuie să învățăm cât timp trăim. Nu pentru școală, ci pentru viață învățăm. Ce nebunie să înveți lucruri de prisos, când e atâta lipsă de timp!" Seneca

"Învățătura este frumusețea cea mai aleasă a omului, avere ascunsă și tăinuită; învățătura procură plăceri; ea dă glorie și bucurie; învățătura este învățătorul învățătorilor." Bhartrhari

"Este esențial ca studentul să dobândească o înțelegere și un sentiment viu al valorilor. El trebuie să aibă un simț puternic al lucrurilor frumoase și bune din punct de vedere moral, în caz contrar, și posedând o cunoaștere specializată, el va semăna mai degrabă cu un câine bine dresat decât cu o persoană dezvoltată armonios." Albert Einstein

Ref.: http://www.unibuc.ro//prof/vlada_m/Learning_from_projectspractice.php

Științele sunt modele și reprezentări virtuale ale cunoașterii:

Științele au apărut ca urmare a necesității omului de a-și organiza CUNOAȘTEREA în scopul măsurării, comparației, analizei și operațiilor ce trebuie realizate în diverse activități de existență și adaptare în natură. În acest proces complex al evoluției omului și evoluției cunoașterii, s-a conturat și definit necesitatea omului de a rezolva problemele folosind diverse teorii, metode și tehnici: raționament, experiment, etc.

Exemple: geometrie-măsurarea pământului, algebră-numărare și calcule, geologie-studiul pământului, biologie-studiul organismelor vii, chimie-studiul substanțelor, fizică-studiul materiei, cibernetică-studiul sistemelor, astronomie-studiul cosmosului, etc.

Rezolvarea problemelor se poate realiza la nivel: de amator, de specialist, de expert. Evident că rezultatele și efectele pot fi diferite în cele trei cazuri. Experiența în rezolvarea problemelor are un rol primordial în acest caz. Din aceste motive, sistemele educaționale din diverse țări ale lumii caută soluții pentru un echilibru între pregătirea teoretică și pregătirea aplicativă (ativități practice). Teoriile pedagogice și psihologice tradiționale trebuie să se adapteaze la impactul calculatorului în viața omului. Experimentul, lucrul în echipa, stilurile de învățare, modalitățile de formare a competențelor, vor reprezenta pentru sistemele educaționale provocări continue avand în vedere nivelul general de dezvoltare.

Figura 92. Sursa: http://scolipentruunviitorverde.ro/jurnal/2010/,

Echipa "Talmaciu verde", în vizită la Arlechino (prof. Stratulat Cezara)

"Research in education demonstrates that, by working hard, virtually all students are capable of high achievement. People can become smart by working hard at the right kinds of learning tasks." Source: Institute for Learning, University of Pittsburgh  – http://www.instituteforlearning.org/

5.1 Determinarea modelelor liniare și neliniare

Aplicația 1.

ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE-Modele de aproximare.

Exemplul DEMO: modele liniare și modele neliniare (Software Excel 2007-2010).

PASUL 1: determinarea norului de puncte (se va face o copie pentru fiecare model de la pasul 2);

PASUL 2: se determină modelele de aproximare (expresia analitică și coeficientul de determinare R2).

Se presupune că se dau măsurători (observații) ale variabilei dependente Y față de variabila X:

Folosind versiunea 2007-2010 a programului Excel vom determina toate modelele oferite de acest program.

Pasul 1: determinarea norului de puncte

Pasul 2: se determină modelele de aproximare (expresia analitică și coeficientul de determinare R2)

Figura 93. Modelul exponențial: y = 48.336e0.0836x, R2 = 0.876

Figura 94. Modelul logaritmic: y = 18.505Ln(x) + 47.345, R2 = 0.6989

Figura 95. Modelul polinom gr. II: y = 0.625×2 + 0.3869x + 54.196, R2 = 0.9333

Figura 96. Modelul putere: y = 49.875×0.26, R2 = 0.6995

Figura 97. Modelul polinom gr. III: y = -0.2399×3 + 3.8636×2 – 11.968x + 66.071, R2 = 0.9534

Figura 98. Modelul polinom gr. IV: y = 0.0994×4 – 2.0297×3 + 14.673×2 – 36.769x + 82.946, R2 = 0.964

Figura 99. Modelul polinom gr. V: y = -0.1074×5 + 2.5153×4 – 22.072×3 + 89.565×2 – 158.66x + 148.75, R2 = 0.9942

Figura 100. Modelul polinom gr. VI: y = 0.0104×6 – 0.3886×5 + 5.4888×4 – 37.626×3 + 131.3×2 – 211.86x + 173.13, R2 = 0.9947

Concluzii: Analiza rezultatelor

Coeficientul de determinare R2:

Meniul “Înserare” oferit de programul Excel vers. 2007-1010 :

Figura 101. Meniul „Înserare” programul Excel 2007-2010

5.2 Parametrizarea și rezolvarea problemelor

Atât în teorie, cât și în practică, problemele se pot clasifica în clase de probleme, clase ce necesita teorii, metode, tehnici specifice pentru rezolvare. Odată cu apariția calculatorului și cu dezvoltarea algoritmicii (algoritmi de calcul) și programării (limbaje de programare) s-au creat programe specializate pentru rezolvarea problemelor specifice domeniilor (a se vedea capitolul 1). În Informatică (domeniul dezvoltării algoritmilor și programelor), sunt cunoscute proprietățile pe care trebuie să le îndeplinească forma finală a unui algoritm ce rezolvă o clasă de probleme:

corectitudine – furnizarea de soluții corecte bazate pe teorii, metode și tehnici;

generalitate – algoritmul nu este conceput pentru rezolvarea unei probleme particulare, ci este elaborat pentru rezolvarea unei clase sau categorii largi de probleme;

claritate și verificabilitate – nu există ambiguități în fluxul de calcul și există posibilitatea ca toți pașii algoritmului să fie verificați cu date de test sau date reale;

finitudine și optimalitate – pentru orice date de intrare acceptate rezultatul calculelor se obține după un număr finit de pași (nu conduce la cicluri în execuție), iar complexitatea algoritmului este dată de numărul minim de pași pentru obținera soluțiilor;

eficiența – pentru obținerea soluțiilor utilizează eficient memoria de către structurile de date folosite și timpul de execuție nu este foarte mare, ci rezonabil (de ordinul secundelor, minutelor, sau poate de ordinul orelor).

Utilizarea calculatorului în diverse domenii de activitate reclamă folosirea de algoritmi și programe care să rezolve o mare diversitate de probleme mai simple, sau mai complexe. S-au dezvoltat programe specializate pentru rezolvarea problemelor complexe din diverse domenii de activitate, s-au dezvoltat sisteme informatice ce implementează informatizarea tuturor activităților unui proces, ale unei firme sau organizații, ale unui companii mari, sau ale unor sisteme economice, sociale, etc.

În domeniul chimiei, fizicii, biologiei, medicinii, etc., procesele și fenomenele pot fi descrise și controlate dacă exista studii ale acestora care să conducă la diverse soluții ce trebuie să fie implementate în vederea rezolvării problemelor complexe ale acestora.

În matematică, in cazul “generalizării” unei probleme pot să apară soluții și rezolvări foarte complexe față de cazul particular, sau chiar să nu existe soluții de rezolvare pentru cazul general. Este o obligație a cercetătorilor dintr-un anumit domeniu de activitate să studieze procesele și fenomenele într-un context general pentru ca apoi să compare evoluția pentru cazurile particulare. Experiența și competențele unui cercetător sau specialist sunt cele care contribuie primordial la rezolvarea diverselor probleme din activitatea științifica. De altfel, rezultatele obținute în domeniul cercetării contribuie la extinderea clasei de probleme rezolvate pentru un anumit domeniu de activitate.

Definitia 1. Parametrizarea enunțului unei probleme reprezintă descrierea enunțului inițial al problemei sub forma unui enunț general care să înlocuiască descrierea particulară cu înlocuirea (substituirea) constantelor sau valorilor din enunț cu nume de parametri astfel că enunțul problemei va genera o clasă întreagă de probleme ce trebuie să fie rezolvate printr-un algoritm (flux de calcul) sau program ce respectă raționamentul de rezolvare pentru cazul particular al problemei.

Exemplu. Parametrizarea și rezolvarea unei probleme.

Problema: Vase cu azot

Două vase de azot (N), ce au volumele V1 = 4 10-3 , V2 = 8 10-3, aflate la temperatura de T = 300 grade K(Kelvin), sunt conecatate printr-un furtun subțire (neglizabil) prevăzut cu un robinet care inițial este închis. Inițial în vasul 1, presiunea azotului este P1 = 3 105 N/m2, iar în vasul 2 presiunea este P2 = 2 105 N/m2, robinetul fiind inchis.

Să se determine:

a)     masa totală a gazului aflat în cele două vase și masa de gaz din fiecare vas, după deschiderea robinetului, temperatura fiind neschimbată în cele două vase;

b)     presiunea finală din fiecare vas, după inchiderea robinetului și dacă vasul 1 este încălzit la temperatura T1 = 400 K;

c)     viteza termică și concentrația moleculară din cele două vase după ce robinetul s-a închis și vasul 1 s-a încălzit la temperatura T1.

Se cunosc:

       μ = 28 Kg/ kmol masa moleculară a gazului (N)

       R = 8.31 103 J/ (Kmol . K) constanta gazelor perfecte

NA = 6.023 10 26 molecule/ Kmol Numărul lui Avogadro

Parametrizarea și rezolvarea problemei

– Cazul: n vase cu azot

Un număr de n (n>1) vase de azot (N), ce au volumele Vi , i=1,n, aflate la temperatura de T grade K(Kelvin), sunt conectate între ele printr-un furtun subțire (neglizabil) prevăzut cu un robinet care inițial este închis. Inițial în vase, presiunile sunt Pi , i=1,n (N/m2), robineții fiind închiși.

Să se determine:

a)     masa totală a gazului aflat în vase și masa de gaz din fiecare vas, după deschiderea robineților, temperatura fiind neschimbată în cele n vase;

b)     presiunea finală din fiecare vas, după închiderea robineților și dacă vasul 1 este încălzit la temperatura T1 (K);

c)     viteza termică și concentrația moleculară din cele n vase după ce robineții s-au închis și vasul 1 s-a încălzit la temperatura T1.

Se cunosc:

μ = 28 Kg/ kmol masa moleculară a gazului (N)

R = 8.31 103 J/ (Kmol . K) constanta gazelor perfecte

NA = 6.023 10 26 molecule/ Kmol Numărul lui Avogadro

REZOLVARE: determinarea fluxului de calcul

Problema celor n () vase cu azot.

Se utilizează ecuația termică de stare a gazului ideal:

,

unde p= presiune, V= volum, m= masa gazului, = masa moleculară a gazului, R = constanta gazelor perfecte, T = timp.

Prin urmare, avem următoarea formulă:

.

masa totală a gazului din cele n vase înainte de deschiderea robinetelor:

(1) deoarece .

dupa deschiderea robinetelor, presiunea în cele n vase se echilibrează, devine aceeași, și anume p, iar masa totală a gazului rămâne aceeași, adică

(2) , unde p este presiunea de echilibru.

din identitatea (conform (1) si (2))

= rezultă , adică

presiunea de echilibrur după deschiderea robintelor

după deschiderea robinetelor, masele de gaz în fiecare din cele n vase sunt date de:

, adică , i=1,n.

Se închid toate robinetele dintre cele n vase. Vasul numărul 1 este încălzit la temperatura de 400K.

deoarece în vasele 2, 3, … n temperatura nu s-a modificat (T=300K), presiunea în aceste vase este aceeași ca și cea ce era înainte de închiderea robinetelor, adică presiunea de echilibru:

p2 = p3= … = .

în vasul 1 (încălzit la temperatura T1 = 400K), încălzirea se face la volum constant (transformare izocoră- Legea Charles: ), deci , unde p este presiunea de echilibru.

calculul pentru viteza termică și concentrația moleculară

viteza termică din vasul 1 după închiderea robinetelor și încălzirea la temperatura T1 = 400 este dată de formula:

.

vitezele termice pentru vasele 2, 3, … n înainte de deschiderea robinetelor sunt date de

, T=300K.

concentrația de molecule (numărul de molecule din unitatea de volum) Cmol se obține cunoscând masa de gaz din vas. Dacă m1 este masa de gaz din vasul 1, într-un Kmol există NA (numărul lui Avogadro) molecule, deci in Kmoli vor exista molecule, prin urmare avem

Observație. Concentrația moleculară este aceeași pentru fiecare vas din cele n vase cu azot .

FLUXUL DE CALCUL

Fluxul de calcul: algoritmul de calcul – ordinea de executare a calculelor rezultată din raționamentul de rezolvare.

masa totală a gazului din cele n vase înainte de deschiderea robinetelor

; calcul intermediar

presiunea de echilibru după deschiderea robinetelor

; calcul intermediar

masele de gaz în fiecare vas după deschiderea robinetelor

, i=1,n

presiunea în vasul 1 după încălzire la T1 = 400K

, p = presiunea de echilibru

presiunile în vasele 2, 3, … n

, p = presiunea de echilibru

viteza termică din vasul 1

, T1 = 400

vitezele termice pentru vasele 2, 3, … n

, T=300K

concentrațiile moleculare

, i=1,n

Rezolvarea folosind programul Excel.

Figura 102. Utilizarea programului Excel pentru rezolvare

Tabelul calculelor

Figura 103. Tabelul calculelor în Excel

Aplicația 2. Utilizarea programului Excel pentru calcule matriciale și rezolvarea de sisteme de ecuații.

5.3 Teme pentru Laborator

APLICAȚIA 3.

Scenarii (Tabelarea unei funcții de mai multe variabile)

Definiție. Un scenariu reprezintă o foaie de calcul ce conține valoarea unei funcții de mai multe variabile y = f(x1 , x2 , … , xn) pentru un set de valori ale argumentelor x1 , x2 , … , xn. Pentru o  funcție de n variabile (argumente) se pot atașa mai multe scenarii, fiecare scenariu având atașat un nume distinct.

Exemplu. Pentru generarea unor scenarii, să presupunem că zilnic, în cadrul unui proces tehnologic trebuie să se măsoare valoarea unui parametru (de exemplu, temperatura, presiunea, etc.) în diverse locuri, de exemplu la 4 aparate de măsură. Vom nota cele patru măsurători prin x1, x2, x3, x4. Se cere ca zilnic, să se calculeze deviația standard estimată (rădăcina pătrată a dispersiei estimate) corespunzătoare celor 4 valori.  Dacă x1, x2,…, xn sunt aceste valori, dispersia estimată a valorilor x1, x2,…, xn este D= (xi – m)2/(n-1), unde m este media aritmetică a valorilor. Prin urmare, trebuie să se calculeze valori ale funcției de n varibile  f(x1, x2,…, xn), unde

Într-o foaie de calcul vom memora în celulele B2 :B5 valorile parametrului măsurate în prima zi, scenariu pe care îl vom numi « ziua1 ». Deviația standard estimată (rădăcina pătrată a dispersiei estimate) corespunzătoare celor 4 valori se calculează în celula B7 prin introducerea formulei « =STDEV(B2 :B5) ».

Pentru crearea mai multor scenarii (în esență, acest scop îl are comanda Scenarios), se selectează Tools Scenarios care determină deschiderea ferestrei de dialog Scenario Manager.

Figura 104. Submeniul Scenarios

            Gestionarea (crearea, afișarea, editarea) scenariilor se face prin următoarele acțiuni :

        după ce în foaia de calcul s-a memorat un set de valori (de exemplu, în regiunea B2 :B5) și s-a introdus într-o celulă formula pentru calculul corespunzător (de exemplu, în celula B7), se utilizează meniul Tools pentru a selecta comanda Tools Scenarios ; se va deschide ferestra de dialog Scenario Manager care oferă mai multe butoane (Show, Close, Add, Delete, Edit, Merge, Summary) cu ajutorul cărora se pot realiza prelucrări asupra scenariilor;

        în fereastra de dialog Scenario Manager se acționează butonul Add (adăugare scenariu) prin care se cere crearea unui nou scenariu; se afișeaza fereastra de dialog Add Scenario în care utilizatorul trebuie să indice un nume pentru scenariu (Scenario name), zona de celule care intră în calcul (Changing cells), opțional comentariu (Comment) și opțiuni de protecție (Protection); în linia Changing cells se tastează sau se indică cu mouse-ul referința la celulele care conțin valorile ce vor intra în calculul care se evaluează; pentru desemnarea celulelor neadiacente cu mouse-ul –în timpul selectării celulelor- se va ține apăsată tasta <Ctrl>; dacă este activată opțiunea Prevent chages, scenariul generat este protejat la ștergere și la editare (în acest caz și foaia de calcul trebuie să fie protejată prin Tools Protect Sheet); în final, se acționeaza butonul OK prin care se va afișa fereastra de dialog Scenario Values ;

        fereasta de dialog Scenario Values oferă specificarea valorilor corespunzătoare celulelor care trebuie să se modifice și care reprezintă  argumentele funcției (formulei) care se evaluează ; în liniile corespunzătoare se vor introduce noile valori ale argumentelor, numărul maxim de argumente fiind 32; în final, se va acționa butonul OK care determină revenirea la fereastra principală Scenario Manager, sau se va acționa butonul Add pentru a se afișa fereastra de dialog Add Scenario pentru crearea unui nou scenariu;

            Fereastra principală pentru gestionarea scenariilor Scenario Manager oferă 7 butoane care au funcții bine definite :

        Show – înlocuiește în foaia de calcul valorile corespunzătoare scenariului care a fost selectat din lista Scenarios ;

        Close – închide ferestra de dialog Scenario Manager ;

        Add – adăugarea de noi scenarii prin afișarea ferestrei de dialog Add Scenario ;

        Delete – ștergerea scenariului care a fost selectat din lista Scenarios ;

        Edit – afișarea ferestrei de dialog Edit Scenario care este identică cu ferestra Add Scenario și care permite editarea scenariului selectat (numele, referințele la celulele care se modifică, comentariile), modificările efectuate sunt urmărite și sunt afișate în partea inferioară a ferestrei, în zona destinată comentariilor ;

        Merge – interclasarea în foaia de calcul actuală a diferitelor scenarii care se află în diverse agende de lucru deschise simultan și care trebuie să aibă aceeași structură ; prin acționarea butonului Merge se afișeaza ferestra de dialog Merge Scenarios ce oferă casetele Book și Sheet prin care se indică numele agendelor de lucru și numelor scenariilor ce trebuie interclasate ;

        Summary – crearea unui raport într-o foaie separată a agendei de lucru activă; se pot crea două tipuri de rapoarte, sumarul scenariilor și un tabel pivot corespunzător scenariilor ; ferestra afișată oferă două botoane de validare (Scenario summary, Scenario Pivot Table) și caseta Result cells. Dacă se validează butonul Scenario summary, se creează un raport care afișeaza toate scenariile definite (valorile de intrare și rezultatele corespunzătoare), în cazul în care agenda de lucru este gestionată în regim monoutilizator; dacă se validează butonul Scenario Pivot Table, se va genera un tabel pivot ce conține și un control de tip listă ascunsă; elementele listei permit filtrarea rezultatelor în rapor cu numele utilizatorului, acest lucru se face dacă agenda de lucru este partajată între mai multi utilizatori; linia Result cells conține referința sau referințele la acele celule, pentru care se dorește recalcularea rezultatelor pentru scenariul aplicat;

      Prin crearea celor două rapoarte, automat se creează două foi de calcul cu numele corespunzătoare tipului de raport :

Figura 105. Scenario Summary

Figura 106. Pivot Table

APLICAȚIA 4.

Generarea ți fuzionarea documentelor tip scrisoare – Letters and Mail Merge (utilizarea programelor Word și Excel)

Enunț și descriere aplicație.

Se presupune că o organizație (firmă, bancă, etc.) trebuie să trimită scrisori prin poștă unui număr (n=500, 900, …) foarte mare de clienți pe care să-i informeze cu diverse informțtii actualizate. De exemplu, dacă este vorba de o bancă, fiecare client va fi identificat prin informații definite de cele 10 câmpuri de mai jos:

Dacă în locul informațiilor variabile din fiecare scrisoare apar cifrele 1-10 corespunzătoare câmpurilor de mai sus, conținutul unei scrisori va avea următorul format:

Banca XXX

Adresa: XXX

Localitatea: XXX

E-mail: XXX

Către:

Stimate(ă) …1… …2…

Prin prezentul document vă informăm asupra situației financiare a contului dvs. bancar, deschis la banca noastră.

Contul dvs. este de tip …6…, dobânda anuală este de …7… procente, unitatea monetară (lei sau valută) …8…, are la începutul lunii un sold inițial de …9… iar la sfârșitul acesteia, are un sold final de …10… .

Vă mulțumim pentru că ați folosit serviciile băncii noastre și vă informăm că aceste informații v-au fost expediate și pe adresa dvs. de e-mail: …5… .

Data: Cu respect,

XXX Director

Captura de mai jos reprezintă documentul Word ce descrie modelul de scrisoare.

Pentru testarea serviciului (Letters and Mail Merge) se vor folosi informțtiile din cele 5 înregistrări ale unui tabel aflat în foaia de calcul Excel lista.xls:

REZOLVARE.

Conform formatului de mai sus se redactează în Word scrisoarea model. Dacă aceasta este redactată, se deschide în Word documentul “scrisoare-banca-model.doc”.

– Se alege din meniul Tools opțiunea Letters and Mailing și apoi Mail Merge

Funcția Mail Merge oferă parcurgerea a 6 pași.

Step 1 – selectarea tipului de document „Letters" (apare în panoul din dreapta)

mai jos apare:

se face click pe Next

Step 2 – se utilizează documentul curent (documentul deschis)

mai jos apare

– se face click pe Next

Step 3 – după apăsarea butonului Browse, se va indica tabelul de informații (foaia de calcul)

mai jos apare

– se indică fișierul cu tabelul de informații (exemplu: tabel Excel cu 10 coloane, lista.xls)

mai jos apare

– se face click pe Next

Step 4 – Se alege More items iar în locul cifrelor (care apar în scrisoare) se va completa cu câmpurile destinatarilor, alegând din opțiunea More items unul din câmpurile ce corespunde cifrei din document.

mai jos apare

– În documentul model (scrisoare), acolo unde apar cifrele 1,2, 3, … ,10 corespunzătoare câmpurilor din tabel, pe rând se elimină cifra și apoi trebuie să se acționeze More items ce determină apariția ferestrei Insert Mail Field (pentru a se selecta câmpul corespunzător – Fields):

se alege câmpul respectiv și se închide (close) fereastra.

procedura se repetă pentru fiecare cifra (1-10) ce indică locul unde trebuie să apară informațiile din tabel.

De exemplu, după inlocuirea cifrelor 1-4, în documenul .doc va apărea:

Rezultatul înlocuirilor cifrelor cu numelor câmpurilor corespunzătoare:

Banca XXX

Adresa: XXX

Localitatea: XXX

E-mail: XXX

Către:

Stimate(ă) «Apelativ» «Nume_și_prenume»

Prin prezentul document vă informăm asupra situației financiare a contului dvs. bancar, deschis la banca noastră.

Contul dvs. este de tip «Tip_cont», dobânda anuală este de «Dobânda» procente, unitatea monetară (lei sau valută) «Monetar», are la începutul lunii un sold inițial de «Sold_inițial» iar la sfârșitul acesteia, are un sold final de «Sold_final» .

Vă mulțumim pentru că ați folosit serviciile băncii noastre și vă informăm că aceste informații v-au fost expediate și pe adresa dvs. de e-mail: «Email» .

Data: Cu respect,

XXX Director

– se face click pe Next

Step 5 – se previzualizează scrisorile/ documentele (Complete the merge) în care zonele specifice, au fost completate automat cu valorile corespunzătoare (din listă)

mai jos apare

– exemplu: se generează prima scrisoare

Banca XXX

Adresa: XXX

Localitatea: XXX

E-mail: XXX

Către:

Stimate(ă) Dl. Pavel Ioan – Mihai

Prin prezentul document vă informăm asupra situației financiare a contului dvs. bancar, deschis la banca noastră.

Contul dvs. este de tip depozit, dobânda anuală este de 10% procente, unitatea monetară (lei sau valută) RON, are la începutul lunii un sold inițial de 1000 iar la sfârșitul acesteia, are un sold final de 7000 .

Vă mulțumim pentru că ați folosit serviciile băncii noastre și vă informăm că aceste informații v-au fost expediate și pe adresa dvs. de e-mail: [anonimizat] .

Data: Cu respect,

XXX Director

– se face click pe Next

Step 6 – scrisorile redactate pot fi listate sau editate individual (Edit individual list) prin deschiderea unui nou document ce cuprinde toate scrisorile destinate persoanelor din tabel : letters1.doc

Pentru a genera fișierul .doc cu toate scrisorile conform tabelului.

mai jos apare

se acționeaza Edit individual letters

apare fereastra Merge to New document

– dacă se alege All se generează fișierul letter1.doc ce poate fi salvat și listat.

Aplicații propuse pentru Laborator

Laborator 1.

Tema 1. Calcule statistice, funcții matematice și statistice

∑ (Autosum)

Sum (…)

fx , AVERAGE (…),

– Să se genereze într-un tabel pe orizontală și pe verticală serii de numere consecutive folosind Edit  Fill  Series. Să se utilizeze funcțiile indicate în a)-c) și să se se verifice rezultatele.

Tema 2. Indicatori statistici: corelație (Pearson), covarianța, abaterea medie, deviația standard

– Se consideră datele (măsurătorile) a două variabile aleatoare X si Y, X=(xi)i=1,n si Y=(yi)i=1,n, adică (xi ,yi), i=1,…, n.

,

a) folosind funcția CORREL (X,Y) ,

b) folosind Excel pentru calculele directe: se utilizează calculele intermediare (vectori),

c) folosind covarianța COVAR (X,Y), STDEVP (X,Y) .

,,

,

unde Cov(X,Y) este covarianța, iar SX , SY sunt abaterile standard.

Tema 3. Puterile lui 2: Puterile 2k, k > 30. Pentru k > 30 să se determine numărul cifrelor și cifrele puterii 2k (de exemplu, să se verifice ca 2100 are 31 de cifre și 2100 = 1267650600228229401496703205376 , iar 21000 are 302 cifre.

a) folosind POWER ()

b) folosind http://web2.0calc.com/ (Web 2.0 Scientific Calculator).

Referința: M. Vlada, Informatică Aplicată, cap. 2, 2012 și online – http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/docs/2012/ian/16_20_37_19C3-C5-Informatica.pdf

Laborator 2.

Tema 1. Grafice de funcții folosind

1. tabelerea funcției și programul Excel

2. http://web2.0calc.com/ (Web 2.0 Scientific Calculator)

a) f : [-50, 50] R , f(x) = x*sin (x)

b) f : [-2, 2] R , f(x) = e-x*x (clopotul lui Gauss)

c) C2 : [0, 120] R,

(curba de absorbție-eliminare în Farmacocinetică), unde C0 =10, ka =0.3, ke =0.03

1. Se generează pentru argumentul x, respectiv t, într-un tabel pe verticală, serii de numere consecutive folosind Edit Fill Series, cu pasul pas = 0.1. Se vor calcula valorile funcției în aceste valori generate, după care se realizează graficul folosind Chart .

2. Comenzi pentru programul ce realizează reprezentări grafice – http://web2.0calc.com :

comanda: plot(x*sin(x),x=-50..50)

comanda: plot(exp(-x*x),x=-2..2)

comanda: plot((3/(0.03-0.3))*(exp(-0.3*x)-exp(-0.03*x)),x=0..120)

Tema 2. Rezolvarea problemei lui Gauss.

Un vas conține 2000 litri dintr-un lichid cu o concetrație de 80 % alcool. În fiecare zi se scot din vas 15 litri și se înlocuiesc cu alți 12 litri dintr-un lichid a cărui concentrație în alcool este de numai 40 %. După câte zile concentrația lichidului din vas ajunge la 50 % ?

parametrizare (constante variabile);

procesul de calcul (fluxul de calcul);

rezolvarea folosind programul Excel.

Tema 3. Rezolvarea problemei celor n vase cu azot (Ref.: www.unibuc.ro/prof/vlada_m/docs/2012/apr/09_22_14_22App-demo-2.doc).

cazul n=2

cazul general n > 1

parametrizare (constante variabile) și raționamentul de rezolvare;

procesul de calcul (fluxul de calcul);

rezolvarea folosind programul Excel.

Referința: M. Vlada, Informatică Aplicată, cap. 2, 2012 si online – http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/docs/2012/ian/16_20_37_19C3-C5-Informatica.pdf

Laborator 3.

Analiza datelor experimentale: Procedeul de modelare

Tema 1. Modele de aproximare (liniare-dreapta de regresie, neliniare-curbe): suport teoretic

Studiul variabilei depentente Y în funcție de variabila X, Y = f(X), (X și Y au valori măsurate), f reprezintă modelul (funcție), adică funcția de evoluție a lui Y față de X.

Tipuri de asociere a datelor măsurate, tipul modelului (funcției) f: f(x)=ax+b (dreaptă); f(x)=ax2+bx+c (polinom gr. 2, 3, …, 6); f(x)=aebx (exponențială); f(x)=a+bln(x) (logaritmică).

Suportul matematic: Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP)

– se determină coeficienții a,b, … astfel ca suma să fie minimă (valoarea minimă a pătratelor erorilor).

Tema 2. Procedeul de modelare (fitare): asocierea datelor, determinarea modelelor, comparații

Pasul 1. Reprezentarea norului de puncte (diagrama de împraștiere) pentru variabilele X și Y. Pentru acest lucru trebuie să se selecteze valorile aflate în cele 2 coloane ale celor 2 variabile, se acționează Insert Chart și se alege tipul de grafic XY (Scatter) (Standard Types), de unde din cele 5 variante de grafice se optează pentru prima variantă (Scatter-Compares pairs of values); se parcurg etapele pentru a genera graficul respectiv;

Pasul 2. Determinarea și reprezentarea modelului. Se selectează graficul obținut la pasul 1 (norul de puncte) și se acționează Chart Add Trendline de unde se alege tipul modelului, ex. Linear (Standard Types);

se alege modelul (se aleg pe rând toate modelele; pasul 2 se repetă plecând de la o copie a norului de puncte)

ATENȚIE! Eticheta Add Trendline Options permite definirea altor atribute ale liniei de trend:

Display equation on chart – marcarea boxei de control are efectul trecerii pe grafic a ecuației estimate,

Display R-squared value on chart – este utilă pentru afișarea coeficientului de determinare R2 (pătratul coeficientului de corelație multiplă).

, unde .

– Să se realizeze tema 2 pentru 2 exemple semnificative și pentru fiecare exemplu să se compare modelele după criteriul coeficientului de determinare R2.

Referința: M. Vlada, Informatică aplicată, cap. 2 și online – http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/docs/2012/ian/16_20_37_19C3-C5-Informatica.pdf

Laborator 4.

Analiza datelor experimentale: Modele de aproximare neliniare

Tema 1. Modelul logaritmic f(x)= a +b ln(x)

Dacă pentru variabilele X (cauza), Y(efect) se cunosc n probe (măsurători, observații) prin valorile datelor (xi ,yi), i=1,…, n, modelul logaritmic

f(x)= a + b ln(x) este determinat de coeficienții a și b având următoarele expresii:

sau

Folosind un exemplu de date pentru variabilele X si Y, să se determine:

Modelul și coeficienții a și b prin intermediul programului Excel: Chart Add Trendline

Direct, valorile coeficienților a și b conform formulelor de mai sus.

Tema 2. Modelul exponențial f(x)= aebx

Dacă pentru variabilele X (cauză), Y(efect) se cunosc n probe (măsurători, observații) prin valorile datelor (xi ,yi), i=1,…, n, modelul exponențial f(x) = a ebx este determinat de coeficienții a și b avand următoarele expresii:

si a= ep , unde

sau

– Folosind un exemplu de date pentru variabilele X si Y, să se determine:

Modelul și coeficienții a și b prin intermediul programului Excel: Chart Add Trendline

Direct, valorile coeficienților a și b conform formulelor de mai sus.

Referința: M. Vlada, Informatică aplicată, cap. 2 și online – http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/docs/2012/ian/16_20_37_19C6-C8-Informatica.pdf

Laborator 5.

Operații matriceale, rezolvări de sisteme și ecuații; Editarea structurilor chimice

Tema 1. Calcule matriceal, rezolvarea sistemelor și ecuațiilor

Operații cu matrice

se vor utiliza funcțiile MDETERM (), MINVERSE (), MMULT ().

În cazul în care destinația unui rezultat este un tablou (array), după scrierea formulei EXCEL, nu se execută OK, ci se utilizează combinația de taste CTRL + SHIFT + ENTER.

Rezolvarea matriceală a sistemelor liniare

Rezolvarea ecuațiilor folosind Goal Seek, Solver

Exemplu: f(x) = 75, unde f(x) = x2 + sin(x). Pentru a determina o valoare a lui x când f(x)=75, se va selecta Tools Goal Seek care va afișa fereastra Goal Seek.

Tema 2. Utilizarea programelor ISIS/Draw și JSDraw

– Editarea formulelor și a reacțiilor chimice: Produse software: ISIS / Symyx / ChemSketch / JSDraw

Referința: M. Vlada, Informatică aplicată, cap. 2 si online – http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/docs/2012/ian/16_20_37_19C9-C10-Informatica.pdf

Evaluarea (Colocviul) la INFORMATICA

A) Intrebări referitoare la subiectele de la Curs + Laborator: erori și propagarea erorilor, parametrizarea și rezolvarea problemelor (Excel), metoda celor mai mici pătrate (MCMMP), modele de aproximare liniare (dreapta de regresie) și neliniare, comparația modelelor (coeficientul R2), rezolvarea ecuațiilor, sistemelor, tabelarea funcțiilor și scenarii în Excel, reprezentarea moleculelor, structurilor și a reacțiilor chimice folosind ISIS/Draw sau JSDraw.

B) Susținerea și prezentarea unui Proiect ce va cuprinde (enunțuri+rezolvări):

1. FC-1 (foaia de calcul 1) – parametrizarea și rezolvarea unei probleme folosind Excel sau calcule folosind indicatori statistici;

2. FC-2 (foaia de calcul 2) – o problemă ce necesită modele de aproximare liniare (căutarea din cele 5 modele);

3. FC-3 (foaia de calcul 3) – o problemă ce necesită modele de aproximare neliniare (căutarea din cele 5 modele);

4. O prezentare PPT de 5-6 slide-uri, primele să reprezinte o sinteză de conținut pentru FC-1, FC-2, FC-3, iar ultimul slide să cuprindă reprezentări pentru molecule și reacții chimice folosind ISIS/Draw sau JSDraw.

OBSERVAȚIE: Conținutul digital al proiectului se va descărca prin e-mail la Laboratorul de informatică.

În loc de concluzii !

Bibliografie

Kai Oliver Arras, An Introduction To Error Propagation, 1998, http://www.nada.kth.se/~kai-a/papers/arrasTR-9801-R3.pdf

BETT, www.bettshow.com

Lucian Boiculese, Biostatistică teme , Școala doctorală, UMF Iași

David W. A. Bourne, Pharmacokinetics and Biopharmaceutics, (Java Applets – On line Graphs, JavaScript Calculators Online), http://www.boomer.org/c/p1/

David W. A. Bourne, Mathematical modeling of pharmacokinetic data, Technomic Publishing Co., ISBN 1-56676-204-9, 1995

Achimas Cadariu A., Metodologia cercetării științifice medicale, Ed. Universitară "Iuliu Hațieganu", Cluj Napoca, http://www.info.umfcluj.ro/ , 1999

Lucia Căbulea, Nicoleta Breaz, Interpretarea statistică a informațiilor. Elememnte de data mining și prognoză, Modul de instruire nr.7, Universitatea “1 decembrie 1918” Alba Iulia

Valentin Clocotici, Dicționar explicativ de statistică (online), Universitatea “A.I.Cuza” Iași, http://profs.info.uaic.ro/~val/statistica/StatGloss.htm

CNIV 2006 – Conferința Națională de Învățământ Virtual , edtiția a IV-a 2006, http://fmi.unibuc.ro/cniv/2006/centenar-moisil/

CNIV and ICVL Projects, www.cniv.ro (romanian project), www.icvl.eu (international project)

CNIV, http://www.cniv.ro/2009/elearning

CGAL – Computational Geometry Algorithms Library, http://www.cgal.org/

Colojoară I., Lecții de analiză matematică, Facultatea de Matematică, Universitatea din București, Tipografia Universității din București, 1979.

Cristea, V., C. Giumale, E, Kalisz, Al. Paunoiu, Limbajul C standard, Ed. Teora, București, 1992.

Ion Crăciun , http://www.mec.tuiasi.ro/diverse/sem_cdif_mec.pdf

Codul de etică al Universității din București, http://www.unibuc.ro/ro/cod_etica_ro, accesat 02.10.2011

Curs de Filosofie, Programul de Masterat "Inginerie și Managementul Calității", Universitatea Tehnică din R. Moldova – UTM, 2009, http://www.utm.md/master/curs/filos/cap7.pdf

Leonard Mihaly Cozmuta, Prelucrarea datelor experimentale, http://chimie-biologie.ubm.ro/Cursuri%20on-line/MIHALY%20COZMUTA%20LEONARD/Prelucrarea%20datelor%20experimentale.pdf

Tom Davis, Practical calculation of Polygonal Areas, Pick’s Theorem, 2006 http://www.geometer.org/mathcircles/polyarea.pdf, http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf

Emil Dragomirescu, Dana Vlădoiu (2008), Manual de instruire a profesorilor pentru utilizarea platformelor de eLearning, Editura LITERA Internațional, București, 2008

Eppstein D., http://www.ics.uci.edu/~eppstein/index.html

Fellows, N. J. (1994). A window into thinking: Using student writing to understand conceptual change in science learning. Journal of Research in Science Teaching, 31(9), 985-1001

Gaskins, I. W., Guthrie, J. T., Satlow, E., Ostertag, J., Byrne, J. & Connor, B. (1994). Integrating instruction of science, reading, and writing: Goals, teacher development, and assessment. Journal of Research in Science Teaching, 31(9), 1039-1056

Goodman, J. E. and O'Rourke, J., eds., Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd Ed.). CRC Press, 2004

Anderson Greg, How to write a paper in Scientific Journal style and format, Bates College Department of Biology , http://www.bates.edu/~ganderso/, 2009, http://abacus.bates.edu/~ganderso/biology/resources/writing/HTWtoc.html

Huth J, Brogan M, Dancik B, Kommedahl T, Nadziejka D, Robinson P, Swanson W. 1994. Scientific format and style: The CBE manual for authors, editors, and publishers. Cambridge: Cambridge University Press

Huth J, Brogan M, Dancik B, Kommedahl T, Nadziejka D, Robinson P, Swanson W. 1994. Scientific format and style: The CBE manual for authors, editors, and publishers. Cambridge: Cambridge University Press

John Louis von Neumann, http://ei.cs.vt.edu/%7Ehistory/VonNeumann.html

Alexandra Fotiș, http://anale-informatica.tibiscus.ro/download/lucrari/1-2-13-Fortis.pdf

ISIS /Draw Tutorial (1993) by MDL Information System- http://www.ccl.net/cca/software/MS-WIN3/ISIS/isis_tut.pdf

Sorin Istrail, http://cs.brown.edu/~sorin/pdfs/venter2.pdf

James Jones, http://people.richland.edu/james/lecture/m116/logs/models.html

Peter Keusch, University of Regensburg, http://www.demochem.de/eyr-e.htm

Mihai Miron, Liliana Miron, Masurari electrice si electronice, Brasov. 2003, http://www.afahc.ro/invatamant/electro/mee.pdf

Constantin Mircioiu, Roxana Colette Sandulovici, Statistica aplicată în farmacie și studii clinice, Ediția II, Editura Universitară “Carol Davila” București, 2009

Dalia Simona Miron, Constantin Mircioiu, Seminarii de matematici aplicate în Farmacie, Editura Tehnoplast, București 2010

Saeid Nourian, http://calculator.runiter.com/graphing-calculator/

Joseph W. Ochterski, Thermochemistry in Gaussian, http://www.gaussian.com/g_whitepap/thermo.htm

Marjorie Olmstead, http://courses.washington.edu/phys431/index.php

Joseph W. Ochterski, Thermochemistry in Gaussian, http://www.gaussian.com/g_whitepap/thermo.htm

Popovici, M. D., Popovici, M. I., C++. Tehnologia orientată spre obiecte. Aplicații, Ed. Teora, București, 2000

Pop D., Petcu D., Modelarea lumii tridimensionale, Editura Eubeea, Timișoara, ISBN 973-673-011-5, 2004

Flavian Ștefan Rădulescu, Studiul farmacocineticii medicamentelor cu metaboliți activi prin analiza compartimentală și prin modele de farmacocinetică fiziologică, Teză de doctorat (coord. șt.: Prof. Dr. Constantin Mircioiu) , Universitatea de Medicină și Farmacie “Carol Davila” București, 2007

Day Robert A., How to Write & Publish a Scientific Paper, 5th edition, Orynx Press, 1998

O'Rourke, J., Computational Geometry in C (2nd Ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-64976-5, 1998

Online 3D, http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php

Peter J. Steinbach, Two-Dimensional Distributions of Activation Enthalpy and Entropy from Kinetics by the Maximum Entropy Method, Biophysical Journal Volume 70 March 1996, pp. 1521-1528, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1225079/pdf/biophysj00049-0431.pdf

Scilligence: Software for Life Science): http://www.olncloud.com/oln/jsdraw/Demo.htm, http://www.scilligence.com/web/jsdrawapis.aspx

Siveco, http://www.siveco.ro/web/content.jsp?page=2795&language=1

Vințan L., Calitatea cercetării prin abordări scientometrice, Euroeconomia, XXI, ISSN 1841-0707, nr. 53, Sibiu, 24 februarie 2006

Vințan L., Scrierea și publicarea științifica, University of Sibiu, Computer Science and Engineering Department, http://webspace.ulbsibiu.ro/lucian.vintan/html/Acad.pdf

M. Vlada, pagina principală, http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/

Vlada, M., Informatică, Universitatea din București, Ed. Ars Docendi, București, 1999.

Vlada, M., Poligoane stelate. Problema lui Hopf și Pannwitz, Gazeta de matematică, nr. 8/1995, pag. 339-348.

Vlada, M., Rezolvarea problemelor folosind Eureka, software educațional, www.unibuc.ro/eBooks/informatica/eureka/ , Universitatea din București, 2003.

Vlada, M., Concepul de algoritm-abordare modernă, Gazeta de informatică, vol. 13/2 și 3, pp. 25-30, pp. 35-39, Agora, Cluj Napoca, 2003.

M. Vlada, Birotică: Tehnologii multimedia, Editura Universității din București, ISBN 973-575-847-4, 2004.

M. Vlada, D.M. Popovici, Realitatea Virtuală (Virtual Reality), tehnologie modernă a informaticii aplicate, CNIV-2004, Noi tehnologii de E-Learning, Conferința Națională de Învățământ Virtual, Software Educațional, Ediția a II-a, 29-31 octombrie 2004, Editura Universității din București, 2004

M. Vlada, on-line – http://ebooks.unibuc.ro/informatica/Birotica/

M. Vlada, on-line – http://ebooks.unibuc.ro/informatica/eureka/

Vlada, Marin (2009) Utilizarea Tehnologiilor eLearning: cele mai importante 10 initiative și proiecte din Romania. In: Elearning.Romania. Bucharest: TEHNE- Centre for Innovation in Education. Available online: http://www.elearning.ro .

Vlada, Marin, Adăscăliței, A. and Jugureanu, R. (2009) Trends of eLearning: Learning – Knowledge – Development. In eLSE 2009 – The 5th International Scientific Conference ”eLearning and Software for Education”, BUCHAREST, April 09-10, 2009, "Carol I" National Defense University, Romania, Available Online: http://adl.unap.ro/else2009/index.php

M. Vlada, http://www.unibuc.ro//prof/vlada_m/Computer_Architecture_.php

M. Vlada, http://www.unibuc.ro/prof/vlada_m/turing/

Wikipedia, http://ro.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

Wikipedia,http://ro.wikipedia.org/wiki/Matematica , http://ro.wikipedia.org/wiki/Informatic%C4%83

Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Greens_theorem

Wolfram, http://library.wolfram.com/webMathematica/Graphics/Plot3D.jsp

Woodford Peter F. ed. Scientific writing for graduate students: a manual on the teaching of scientific writing. New York: Rockefeller University Press, 1968

Scientific Calculator, http://web2.0calc.com/

3D, http://www.calculator-grapher.com/graphers/function-grapher-2-var.html

http://ebooks.unibuc.ro/Fizica/Sabina/2.pdf

http://www.phys.ubbcluj.ro/~daniel.andreica/pdf/Mec-CURS/01-INTRODUCERE-IN-CALCULUL-ERORILOR.pdf

http://www.phys.ubbcluj.ro/~dana.maniu/Laborator%20Optica/Calcul%20de%20erori.pdf

http://www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2007/c04.pdf

http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf

Tiparul s-a executat sub c-da nr. ????/2012

la Tipografia Editurii Universității din București