Aplicarea Modelelor Functional Stochastice Folosite la Compensarea Retelelor Geodezice Planimetrice

APLICAREA MODELELELOR FUNCȚIONAL-STOCHASTICE FOLOSITE LA COMPENSAREA REȚELELOR GEODEZICE PLANIMETRICE

-STUDIU COMPARATIV-

Prefață

Lucrarea de față se dorește a fi un studiu asupra mai multor modele de compensare utilizate la prelucrarea rețelelor geodezice planimetrice. La finalul acestui studiu, dorim să putem emite anumite aprecieri asupra oportunității utilizării unui model sau altul în calculele de compensare a măsurătorilor efectuate în rețele geodezice planimetrice.

Am ales această temă având în vedere larga aplicabilitate a rețelelor planimetrice în măsurătorile inginerești, și datorită faptului că la ora actuală tehnica de calcul nu mai impune limitări asupra modelelor utilizate și implementate în algoritmii de prelucrare a măsurătorilor.

Lucrarea este structurată pe șase capitole:

În capitolul 1 sunt prezentate pe scurt noțiuni referitore la rețelele geodezice planimetrice și de asemenea argumente privind importanța modelelor folosite în compensarea acestora.

Capitolul 2 conține aspecte generale referitoare la măsurători, erori de măsurare, model și noțiunea de compensare a măsurătorilor.

Obiectul celui de-al treilea capitol îl constituie modelul Gauss-Markov de compensare a măsurătorilor, un model utilizat pe scară largă în geodezie. De asemenea sunt prezentate aspecte teoretice privind măsurătorile corelate și compensarea măsurătorilor eterogene. În finalul capitolului este prezentat un indicator important al poziționării planimetrice, elipsa erorilor.

Capitolul 4 prezintă particularitățile prelucrărilor efectuate în rețele geodezice planimetrice și modelele utilizate, reprezentând practic fundamentele teoretice pentru studiul de caz.

În capitolul 5 este prezentat un studiu de caz efectuat asupra unei rețele geodezice planimetrice, iar în final observațiile și concluziile referitoare la modelele studiate.

Cuprins

Lista figurilor

Lista planșelor anexe la lucrare

Lista tabelelor

Lista simbolurilor și abrevierilor utilizate

ex. – exemplu

fig. – figură

nr. crt. – număr curent

ș.a. – și altele

tab. – tabel

Capitolul 1. Introducere

1.1. Rețele geodezice planimetrice

Unul dintre cele mai utilizate tipuri de poziționare în geodezie este poziționarea planimetrică, deoarece în cele mai multe aplicații inginerești se pune problema reprezentării pe un plan sau hartă a situației din teren.

Pentru a realizarea acestei lucrări este nevoie de o infrastructură de puncte cărora li se cunoaște poziția planimetrică. Această infrastructură de puncte constituie o rețea geodezică planimetrică. Deci vom spune că:

O Rețeaua geodezică planimetrică este formată din mulțimea punctelor situate pe suprafața pe care se desfășoară o lucrare, a căror poziție este cunoscută într-un sistem unitar de referință.

Poziția într-o rețea geodezică planimetrică este dată printr-un set de coordonate în spațiul bidimensional, în special plan de proiecție, caz în care vorbim de coordonate planimetrice sau coordonate carteziene. Astfel putem spune că în funcție de spațiul în care se desfășoară, rețelele geodezice planimetrice sunt rețele bidimensionale.

Din punct de vedere al elementelor ce se măsoară în rețelele geodezice planimetrice acestea pot fi:

rețele de triangulație în care se efectuează numai măsurători de direcții unghiulare orizontale.

rețele de trilaterație în care se efectuează numai măsurători de distanțe.

rețele de triangulație–trilaterație în care se efectuează ambele categorii de observații.

În ultima perioadă, datorită perfecționării aparatelor de măsură, ultima categorie de rețele este cea mai utilizată pentru determinarea poziției planimetrice a punctelor.

În concluzie, putem spune că rețelele geodezice planimetrice au fost și sunt utilizate pe scară largă în aplicațiile inginerești cum sunt ridicările de detalii, trasările, urmăririle deformaților structurilor ș.a., ceea ce face ca multe preocupări din domeniul geodeziei să se îndrepte către stabilirea unor modele de prelucrare a acestui tip de rețele.

1.2 Importanța modelelor folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice

Faptul ca in trecut nu se dispunea de tehnică de calcul foarte avansată, a dus la limitări severe în privința formei și dimensiunilor acestor retețele, însă odata cu dezvoltarea fabuloasă din ultima jumătate de secol a tehnicii de calcul, aceste limitări au dispărut, acum fiind disponibile o multitudine de programe specializate ce automatizează complet procesul de compensare a măsuratorilor efectuate în rețelele geodezice planimetrice.

Aceste dezvoltări ridică noi probleme la prelucrarea rețelelor geodezice planimetrice, cum ar fi aceea a modelului funcțional–stochastic implementat în algoritmii programelor de specialitate.

Orice prelucrare riguroasă are la bază modelul funcțional–stochastic, care practic coordonează întregul proces de compensare, deci un deziderat important la prelucrarea rețelelor geodezice planimetrice este alegerea cât mai corectă a modelului funcțional–stochastic.

Este lesne de înțeles că orice modificare adusă modelului funcțional–stochastic atrage după sine modificarea rezultatelor prelucrării, deci rezultatele obținute sunt sensibile la alegerea modelului funcțional–stochastic.

Un model funcțional–stochastic defectuos ales va introduce erori în procesul de prelucrare. Astfel neglijarea unor parametrii sau introducerea unora insuficient cunoscuți, pentru care nu se poate stabili o dependență funcțională corectă, va afecta compensarea.

După cum se știe orice model reprezintă într-o anumită măsura o simplificare a realității fizice, cu toate acestea trebuie urmărit ca modelul ales să reflecte cât mai fidel problema studiată (realitatea).

Deși neconcordanțele dintre modelul funcțional–stochastic și realitate sunt greu de evaluat, acesta trebuie îmbunătățit în permanență, eventual pe baza unor rezultate obținute din prelucrări anterioare.

Având în vedere aceste aspecte în lucrarea de față ne propunem un studiu comparativ asupra a trei modele funcțional–stochastice folosite la compensarea unei rețele geodezice planimetrice de triangulație–trilaterație:

compensarea rețelei geodezice planimetrice utilizând modelul Gauss–Markov pe direcții măsurate și distanțe.

compensarea rețelei geodezice planimetrice utilizând modelul Gauss–Markov pe unghiuri independente și distanțe.

compensarea rețelei geodezice planimetrice utilizând modelul Gauss–Markov pe unghiuri corelate și distanțe.

Capitolul 2. Noțiuni generale. Model. Compensare

2.1. Generalități

Unul dintre scopurile geodeziei este de a evalua anumiți parametrii care contribuie direct sau indirect la descrierea geometriei figurii Pământului. Astfel există o anumită metodologie pe care trebuie să o respectăm pentru a ajunge la rezultatele finale.

Pentru a evalua acești parametrii se efectuează măsurători, iar specific în geodezie se efectuează mai multe măsurători decât este necesar. În acest caz, în care măsurătorile depășesc minimul necesar unei determinări unice putem vorbi de compensare.

Termenul de “măsurătoare” trebuie asociat cu procesul de efectuare a măsurătorii și cu rezultatul obținut (valoarea numerică a acesteia). Deci putem spune că termenul de măsurătoare are două accepțiuni: operația în sine și rezultatul acesteia.

Caracteristicile măsurătorilor:

După cum se știe din experiență orice măsurătoare este afectată de erori. Cauzele acestor erori sunt deopotrivă datorate operatorului, imperfecțiunilor instrumentului și condițiilor exterioare.

Fig. 2.1. Cauzele apariției erorilor

Măsurătoarea este o operație fizică. Procesul de măsurare conține de fapt mai multe etape: calibrarea aparatului, verificarea aparatului, punctarea, efectuarea citirii.

Măsurătoarea este un proces care se efectuează cu instrumente (teodolite, stații totale, nivele, rulete).

Rezultatul măsurătorii este o valoare numerică (citirea), valoare numerică ce conține informații stochastice.

Măsurătoarea este dependentă de anumite condiții matematice și fizice.

Rezultatul măsurătorii este stabilit în raport de un etalon (standard stabilit de anumite convenții). Deci măsurătoarea este un raport dintre două mărimi de aceeași natură din care una este luată drept etalon.

Rezultatele măsurătorilor sunt asociate cu anumite concepte (la care se referă și pe care se bazează rezultatele). Acestea poartă numele de modele.

În geodezie există o multitudine de cantități fizice și geometrice care pot fi măsurate și de asemenea o multitudine de rezultate finale pe care dorim să le obținem în urma prelucrărilor. În tabelul de mai jos am prezentat câteva tipuri de observații efectuate în geodezie și de asemenea principalele categorii de rezultate.

Tab. 2.1. Observații geodezice și tipuri de rezultate finale

Dacă dorim să realizam o clasificare a măsurătorilor o putem face în funcție de următoarele criterii:

Funcție de modul de determinare a mărimii care interesează:

Măsurători directe – reprezintă raportul dintre două mărimi de aceeași natură dintre care una este considerată drept etalon (ex. distanțe, direcții).

Măsurători indirecte – în acest caz se măsoară anumite mărimi în scopul determinării altor mărimi ce nu pot fi măsurate direct (ex. măsurăm direcții unghiulare orizontale și dorim coordonate).

Măsurători condiționate – reprezintă un caz al măsurătorilor directe, acestea trebuind să satisfacă anumite condiții analitice sau geometrice (ex. suma unghiurilor în triunghi).

Funcție de necesitate putem avea:

Măsurători strict necesare.

Măsurători excedentare.

Funcție de precizie:

Măsurători de aceeași precizie – măsurători efectuate de același operator, cu același instrument și aceeași metodă.

Măsurători de precizii diferite – măsurători la care factorii enumerați mai sus variază.

Funcție de dependență:

Măsurători independente (ex. direcții măsurate).

Măsurători dependente (corelate) (ex. unghiuri din direcții măsurate).

Măsurătorile efectuate sunt afectate de erori. Aceste erori pot fi de următoarele tipuri:

Erori întâmplătoare – semnul și valoarea acestor erori variază la repetarea măsurătorii în mod cu totul neregulat.

Erori sistematice – sunt erorile cărora li se cunoaște legea de propagare și semnul.

Erori grosolane – erori cu un ordin de mărime mai mare decât precizia de măsurare. Pot fi recunoscute și eliminate cu ușurință.

Observație: Înainte de compensarea prin metoda celor mai mici pătrate măsurătorile trebuie să fie afectate numai de erorile întâmplătoare.

2.2. Etapele pentru a ajunge la rezultatele finale

O prelucrare a măsurătorilor efectuate în rețele geodezice parcurge în principiu următoarele etape (Moldoveanu, 2002):

Identificarea parametrilor necunoscuți (mărimile ce urmează a fi determinate) și stabilirea preciziei cu care dorim sa îi obținem.

Stabilirea funcțiilor de legătură între acești parametrii și mărimile care pot fi măsurate direct. Această etapă de găsire a funcțiilor respective constituie modelul matematic și stă la baza procesului de determinare a parametrilor.

Înainte de a efectua observațiile trebuie să se specifice acuratețea cu care acestea trebuie să se efectueze. Această acuratețe depinde de precizia cu care vrem să determinăm parametri. Acest proces se cheamă preanaliză.

Eliminarea măsurătorilor care nu se încadrează în precizia specificată. Dacă după această etapă nu mai rămân suficiente observații pentru determinarea parametrilor trebuie să se efectueze noi măsurători.

Prelucrarea preliminară sau preprocesarea. Această etapă trebuie introdusă în modelul matematic pentru că influențează în mare măsură rezultatele finale.

Evaluarea modelului matematic și completarea lui dacă este cazul.

Evaluarea parametrilor necunoscuți și dacă este posibil compararea cu rezultate obținute din alte prelucrări.

2.3. Model

În domeniul ingineriei în general și al geodeziei în special se lucrează cu modele matematice care sunt concepte teoretice sau abstracte care descriu proprietățile fizice ale mediului natural prin intermediul formulelor matematice.

2.tice.

2.3.1. Modelul matematic

În principiu în geodezie putem vorbi de două componente principale ale modelelor matematice utilizate după natura variabilelor care intervin. Aceste două componente sunt reprezentate de modelul funcțional și de modelul stochastic.

a) Modelul funcțional

Acesta stabilește legătura sau dependența dintre măsurători și parametri (elementele sistemului fizic sau fictiv). Modelul funcțional descrie o relație pură între mărimi (la o valoare dată a argumentului corespunde o valoare unică a funcției).

Modelul funcțional trebuie să reflecte cât mai exact situația fizică și geometrică a problemei respective. Modelul funcțional stabilește legătura cu realitatea prin măsurători.

În principiu modelul funcțional poate fi reprezentat de relația:

(2.1)

unde:

– funcțiile sau vectorul funcțiilor care leagă necunoscutele cu observațiile.

– vector al constantelor (mărimi fără eroare).

– vectorul parametrilor necunoscuți.

– vectorul observațiilor (cantități fizice sau geometrice care au fost măsurate).

b) Modelul stochastic

Modelul stochastic conține variabile aleatoare ce corespund efectului posibil al unor factori necontrolabili ce influențează procesul de măsurare. Acesta descrie o relație complexă între mărimi (la o valoare dată a argumentului corespunde un ansamblu de valori posibile ale funcției).

Modelul stochastic stabilește proprietățile stochastice cât și legăturile de interdependență dintre măsurători. De asemenea modelul stochastic furnizează informații cu privire la elementele ce pot fi considerate fixe într-o compensare.

Modelul stochastic este reprezentat două componente principale:

Matricea de varianță-covarianță

Dacă vom grupa varianțele și covarianțele măsurătorilor într-un tablou vom obține matricea de varianță – covarianță:

(2.2)

Condiția de minim

(2.3)

Condiția de mai sus reprezintă metoda celor mai mici pătrate, și dirijează orice prelucrare riguroasă.

Observație: Orice modificare a modelului funcțional atrage după sine și modificarea modelului stochastic deoarece se schimbă anumiți parametrii.

La formarea modelului funcțional–stochastic trebuie să se aibă în vedere următoarele aspecte:

Prelucrarea riguroasă a măsurătorilor efectuate în rețele geodezice trebuie să se raporteze la un sistem unitar din acest motiv măsurătorile trebuie reduse la acest sistem unitar.

Orice prelucrare a observațiilor efectuate în rețele geodezice este dirijată prin modelul funcțional – stochastic.

Orice modificare a modelului funcțional–stochastic modifică rezultatul compensării.

Modelul funcțional–stochastic poate fi îmbunătățit pe baza unor rezultate obținute în prelucrări anterioare.

2.4. Compensare

Prin compensare stabilim un criteriu de apreciere al preciziei și totodată siguranța utilizării datelor furnizate. Tot prin compensare se determină valori numite corecții necesare pentru a stabilii legătura dintre măsurători și model. Mărimile obținute prin compensare se numesc “mărimi compensate” sau “valori cele mai probabile”

Funcție de

legătură

Fig. 2.2. Dependența funcțională dintre măsurători și parametri

În concluzie compensarea furnizează cantități mici numite corecții și reprezintă un criteriu de apreciere al preciziei. Din punct de vedere al preciziei măsurătorilor ce intervin în compensare se disting două situații:

Precizia măsurătorilor care intervin în compensare (apriori).

Precizia măsurătorilor compensate și a funcțiilor de mărimi compensate (aposteriori).

Observații:

Prin compensare precizia măsurătorilor compensate este mai ridicată decât cea a măsurătorilor.

Precizia rezultată prin compensare este dependentă de cea a măsurătorilor. Precizia măsurătorilor se transmite rezultatelor.

Nu putem vorbi de compensare în cazul măsurătorilor strict necesare pentru o determinare unică.

Capitolul 3. Estimarea parametrilor necunoscuți. Modelul Gauss-Markov

În cazul măsurătorilor indirecte valorile mărimilor care ne interesează nu se pot măsura direct. Acestea se obțin prin intermediul unor mărimi ce pot fi măsurate direct, între mărimile măsurate direct și cele de determinat existând o dependență funcțională.

Fie o rețea geodezică în care s-au măsurat direct n mărimi, obținându-se valorile medii și matricea de varianță-covarianță a măsurătorilor , iar , sunt mărimile ce urmează a fi determinate indirect.

Se cere să se determine valorile parametrilor și preciziile acestora , știind că între măsurători și parametri există o dependență funcțională.

După cum s-a specificat în paragraful (2.3) orice prelucrare riguroasă a măsurătorilor efectuate într-o rețea geodezică este dirijată prin modelul funcțional–stochastic.

Fig. 3.1. Modele folosite la compensarea măsurătorilor

3.1. Modelul funcțional

3.1.1. Modelul funcțional neliniarizat

Conform celor specificate anterior dependența funcțională dintre măsurători și necunoscute este de forma:

(3.1)

Relația (3.1) definește modelul funcțional și reprezintă un sistem de n ecuații și h necunoscute.

Discuție privind dimensiunea sistemului (3.1):

Dacă n < h atunci, din punct de vedere matematic, sistemul este compatibil nedeterminat, din punct de vedere geodezic, numărul de măsurători este insuficient pentru rezolvarea problemei.

Dacă n = h atunci, din punct de vedere matematic sistemul este compatibil determinat, din punct de vedere geodezic, se măsoară numai strictul necesar de elemente pentru rezolvarea problemei.

Dacă n > h atunci, din punct de vedere matematic sistemul este incompatibil, iar din punct de vedere geodezic, sistemul interesează pentru că reprezintă cazul în care în rețea s-au efectuat mai multe măsurători decât necunoscute, deci putem pune problema compensării.

Dacă valorile măsurate direct ar fi neafectate de erori, atunci sistemul (3.1) ar fi compatibil și rezolvabil în raport cu necunoscutele . În acest caz ecuațiile suplimentare în număr de (n-h) ar fi simple consecințe ale celorlalte h iar operațiile de măsurare s-ar reduce la atâtea măsurători câte necunoscute sunt.

Datorită erorilor de măsurare sistemul (3.1) este incompatibil, astfel mărimilor măsurate trebuie să li se aplice niște corecții astfel încât sistemul să devină compatibil.

(3.2)

(3.3)

3.1.2. Liniarizarea ecuațiilor

Deoarece în majoritatea cazurilor funcțiile din relația (3.3) sunt neliniare, și având în vedere că prelucrarea observațiilor prin metoda măsurătorilor indirecte presupune un model funcțional liniar, aceste ecuații se aproximează cu ecuațiile liniare ce se obțin prin dezvoltarea în serie Taylor, în jurul unor valori aproximative ale necunoscutelor, , și reținând din dezvoltare doar termenii de ordinul I.

(3.4)

În relația (3.4) am adoptat următoarele notații:

– valoarea cea mai probabilă a necunoscutei.

– valoare aproximativă (provizorie).

– corecția ce trebuie aplicată valorii aproximative.

Aceste corecții trebuie să fie suficient de mici, astfel că în dezvoltarea în serie să putem neglija termenii de ordinul II și mai mari.

Din relațiile (3.4) și (3.3), dezvoltând în serie Taylor obținem:

(3.5)

În relația (3.5) vom considera următoarele notații:

…… (3.6)

(3.7)

unde:

– coeficienții necunoscutelor din ecuația i.

– termenul liber al ecuației de corecție i.

Observație: Termenul liber al ecuației de corecție se obține ca diferență dintre valoarea calculată și valoarea măsurată.

Relațiile (3.5) vor deveni prin notațiile (3.6) și (3.7):

(3.8)

Această relație reprezintă forma generala a sistemului liniar al ecuațiilor de corecții. Scrisă desfășurat relația (3.8) are următoarea formă:

(3.9)

Observații cu privire la sistemul liniar al ecuațiilor de corecții:

Pentru fiecare mărime măsurată se întocmește câte o ecuație.

Conform relației (3.7) mărimea măsurată intervine numai în termenul liber, deci termenul liber conține erori.

Coeficienții sunt mărimi lipsite de erori (constante).

Ordinul de mărime sau unitatea de măsură a corecției este dată de ordinul de mărime și unitatea de măsură a termenului liber.

3.2. Modelul stochastic

3.2.1. Matricea de varianță-covarianță a măsurătorilor

Așa cum s-a specificat în paragraful (2.3.1) modelul stochastic descrie proprietățile stochastice ale măsurătorilor prin matricea de varianță-covarianță :

(3.10)

În relația (3.10) s-au folosit notațiile:

– varianța măsurătorii .

– covarianța măsurătorilor și .

Proprietățile matricei de varianță–covarianță:

Matricea de varianță–covarianță este matrice pătratică (numărul de linii este egal cu numărul de coloane).

Matricea este simetrică față de diagonala principală.

Matricea de varianță–covarianță este pozitiv definită (determinanții dezvoltați pe diagonala principală sunt pozitivi).

Consecință: , deci .

3.2.2. Determinarea matricei ponderilor

Ponderea reprezintă un număr pozitiv prin care se exprimă gradul de încredere într-o mărime măsurată.

În general ponderea unei măsurători se definește astfel:

(3.11)

– constantă arbitrar aleasă pentru a obține valori ale ponderilor convenabile.

Uneori considerăm , astfel

(3.12)

– abatere standard a unității de pondere apriori (dependentă de instrument).

Noțiunea de pondere prezentată în formulele (3.11) și (3.12) o putem generaliza pentru întreaga matrice de varianță–covarianță, obținând astfel matricea ponderilor:

, sau (3.13)

(3.14)

De asemenea la modelul stochastic trebuie adăugată condiția care va dirija întreaga prelucrare prin metoda măsurătorilor indirecte:

(3.15)

Observații cu privire la matricea de varianță–covarianță și matricea ponderilor:

În cazul măsurătorilor corelate atât matricea de varianță–covarianță , cat și matricea ponderilor sunt matrice pline.

În cazul măsurătorilor independente matricea de varianță–covarianță și matricea ponderilor sunt matrice diagonale.

În cazul măsurătorilor independente de aceeași precizie elementele de pe diagonala principala a matricei de varianță–covarianță sunt egale, iar matricea ponderilor devine matricea unitate ().

3.3. Estimarea parametrilor necunoscuți

3.3.1. Cazul măsurătorilor de precizii diferite. Tratarea matriceală

Fie sistemul liniar al ecuațiilor de corecții:

(3.16)

De asemenea vom considera matricea ponderilor care în general este

, cu observațiile făcute în paragraful (3.2.1) (3.17)

În sistemul (3.16) vom considera următoarele notații:

(3.18)

Matricele de mai sus au următoarele semnificații:

– matricea coeficienților ecuațiilor de corecție.

– vectorul corecțiilor.

– vectorul parametrilor.

– vectorul termenilor liberi.

Cu ajutorul notațiilor (3.18), din relația (3.16) rezultă că forma generală a sistemului de ecuații de corecție va fi:

(3.19)

Sistemul (3.19) este compatibil nedeterminat. Pentru a ridica nedeterminarea sistemului vom pune suplimentar condiția de minim (metoda celor mai mici pătrate) reprezentată prin relația (3.15), care matriceal ia următoarea formă:

(3.20)

Înlocuind relația (3.19) în (3.20) rezultă:

(3.21)

Cunoaștem din analiza matematică faptul că punctele de extrem (maxim sau minim) ale unei funcții sunt punctele în care prima derivată a funcției este nulă. Deci condiția (3.20) se exprimă matematic astfel:

(3.22)

Ținând cont de (3.21) în (3.22) și derivând în funcție de , obținem

(3.23)

Efectuând calcule în relația (3.23) vom obține

(3.24)

(3.25)

Relația (3.25) reprezintă sistemul normal în cazul măsurătorilor indirecte de precizii diferite.

Notație: (3.26)

– matricea sistemului normal.

Cu notația (3.26) sistemul normal (3.25) devine

(3.27)

Pentru a afla necunoscutele , corecțiile ce se aplică valorilor provizorii, vom înmulți relația (3.27) la stânga cu , obținând

(3.28)

Matricea notata și cu se numește matricea cofactorilor parametrilor.

Astfel din relația (3.28) vectorul va fi:

(3.29)

Relația (3.29) reprezintă rezolvarea sistemului normal în cazul măsurătorilor indirecte de precizii diferite.

Valorile ce se vor regăsii în vectorul parametrilor necunoscuți sunt corecții pe care le vom aplica valorilor provizorii pentru a determina valorile cele mai probabile:

(3.30)

Cu ajutorul valorilor determinate în relația (3.29) se determină vectorul corecțiilor cu relația (3.19). Aceste corecții se aplică mărimilor măsurate , obținând valorile cele mai probabile ale măsurătorilor:

(3.31)

3.3.2. Cazul compensării măsurătorilor eterogene

În foarte multe situații la compensarea rețelelor geodezice prin metoda pătratelor minime apare situația în care se măsoară mărimi de natură diferită. În acest caz se pune problema compensării măsurătorilor de natură diferită sau eterogene. Așadar prin măsurători eterogene înțelegem măsurători de natură diferită (ex. distanțe, direcții orizontale, unghiuri zenitale, diferențe de nivel)

Fie o rețea geodezică în care s-au măsurat direct distanțe și direcții.

– direcții măsurate.

– distanțe măsurate.

Dacă se dorește o prelucrare sau compensare în bloc a acestor observații, valorile cele mai probabile ale parametrilor necunoscuți, conform metodei pătratelor minime se obțin sub condiția:

(3.32)

Relația (3.32) poate fi scrisă efectuând un artificiu de calcul sub următoarea formă:

(3.33)

Ponderile direcțiilor și respectiv distanțelor se calculează cu relațiile:

(3.34)

Deci:

(3.35)

Ținând cont de (3.35), relația (3.33) devine:

(3.36)

În relațiile (3.36) vom efectua următoarele notații:

(3.37)

Observație: Mărimile din relațiile (3.37) sunt adimensionale. Mărimile se numesc corecții fictive pentru direcții sau distanțe.

Înlocuind relațiile (3.37) în (3.36) vom obține:

(3.38)

Observație: Măsurătorile s-au transformat în măsurători de aceeași precizie.

Concluzie: Prin prelucrarea în bloc ecuațiile de corecție pe direcții și pe distanțe se omogenizează prin intermediul ponderilor.

Determinarea matricei ponderilor

În general matricea ponderilor se determină cu formula (3.13). Astfel este de observat că în cazul rețelelor geodezice în care se execută și măsurători de direcții și măsurători de distanțe matricea de varianța–covarianță a măsurătorilor, , este de următoarea formă:

direcții

(3.39)

distanțe

Deci matricea ponderilor devine conform formulei (3.13):

direcții

(3.40)

distanțe

Având în vedere că într-o rețea geodezică numărul direcților măsurate este mai mare decât numărul distanțelor și de asemenea considerând că direcțiile au fost măsurate cu aceeași precizie, în relația (3.40) putem scoate factor comun și alege . Astfel vom obține:

direcții

(3.41)

distanțe

În cazul rețelelor geodezice în care se măsoară deopotrivă și direcții și distanțe (măsurători eterogene), matricea ponderilor se poate calcula cu relația (3.41).

Restul algoritmului de compensare în cazul măsurătorilor eterogene este similar algoritmului prezentat în paragraful (3.3.1).

3.3.3. Cazul compensării măsurătorilor corelate

a) Corelația fizică și corelația matematică

Dependența (corelația) dintre mărimile care intervin într-o compensare este de două feluri:

Corelație matematică.

Corelație fizică.

În cazul corelației matematice se disting de asemenea două aspecte, și anume:

Când într-o compensare intervin mărimi sau funcții dintr-o compensare anterioară. Aceste mărimi sunt dependente, corelația dintre ele putând fi ușor determinată cu ajutorul matricei de varianță–covarianță.

Când se introduc în compensare nu elemente inițiale măsurate și care sunt considerate independente, ci o combinație a acestora (ex. se folosesc unghiuri deduse cu ajutorul direcțiilor), corelația și în acest caz este ușor de stabilit deoarece se cunoaște dependența funcțională.

În cazul corelației fizice se presupune că în timpul procesului de măsurare rezultatele măsurătorilor sunt influențate în comun de anumiți factori exteriori. În acest caz dependența măsurătorilor este dată de matricea de varianță–covarianță care conține informații despre corelația fizică dintre mărimi.

Exemplu de corelație matematica: Fie unghiurile și obținute din direcțiile măsurate , și conform figurii de mai jos.

Fig. 3.2. Corelația unghiurilor din direcții măsurate

Din figură putem scrie:

Observăm că unghiurile și sunt corelate pentru că ambele depind de .

b) Compensarea măsurătorilor corelate

Vom prezenta modelul de compensare a măsurătorilor corelate comparativ cu modelul de compensare a măsurătorilor independente într-un tabel centralizator.

Tab. 3.1. Compensarea măsurătorilor independente și a măsurătorilor corelate

Observație: În cazul măsurătorilor corelate se observă că modelul funcțional rămâne același. Ceea ce se modifică este modelul stochastic.

3.3.4. Controlul compensării

În urma compensării prin metoda măsurătorilor indirecte este necesar să se efectueze controlul calculelor. Pentru aceasta vom înlocui mărimile determinate cu relațiile (3.30) și (3.31) în relația (3.3) pe care acestea trebuie sa o satisfacă în limita preciziei de calcul.

Deci în concluzie putem spune că în urma compensării mărimile compensate trebuie să satisfacă modelul funcțional neliniarizat.

(3.42)

3.4 Estimarea preciziilor

Orice prelucrare a observațiilor efectuate într-o rețea geodezică se încheie cu calculele de evaluare a indicatorilor de precizie

3.4.1 Abaterea standard a unității de pondere

(3.43)

Se observă că în acest caz trebuie să se evalueze valoarea:

(3.44)

Această valoare se poate calcula și cu relația:

(3.45)

Relația (3.44) scrisă matriceal are următoarea formă:

(3.46)

Având în vedere importanța deosebită pe care o are valoarea pentru calculul indicatorilor de precizie este recomandat ca această valoare să se calculeze prin două metode diferite cu relațiile (3.44) și (3.46).

3.4.2 Estimarea preciziei necunoscutelor

Abaterea standard a necunoscutelor o vom obține aplicând dispersia unei transformări liniare. Fie o transformare liniară de forma:

(3.47)

Atunci matricea de varianță-covarianță a vectorului este de forma:

(3.48)

Necunoscutele în cazul măsurătorilor indirecte se obțin printr-o transformare liniară de forma (3.29). Deci conform relației (3.48) putem determina matricea de varianță-covarianță a necunoscutelor cu formula:

(3.49)

După cum bine știm erorile de măsurare sunt conținute în termenul liber, deci putem spune că:

(3.50)

Înlocuind (3.50) în (3.49) și efectuând calcule obținem:

(3.51)

Efectuând în continuare calcule în relația (3.49) vom ajunge la:

(3.52)

Știind că în matricea de varianță–covarianță, valorile dispersiei mărimilor se află pe diagonala principală putem scrie că:

(3.53)

Din relația de mai sus rezultă formula pentru abaterea standard a unei necunoscute:

(3.54)

3.5. Elipsa erorilor

3.5.1. Elipsa absolută

Poziția planimetrică a unui punct determinat prin metoda pătratelor minime depinde de doi parametrii N și E. Deoarece erorile medii pătratice și , își modifică valorile la o schimbare de reper (o rotație a axelor), ceea ce produce o neuniformitate în estimarea preciziei, se impune introducerea unui invariant care să nu depindă de reper, ci numai de precizia de măsurare a elementelor rețelei și de configurația acesteia. Acest invariant este elipsa erorilor.

Fie o rețea geodezică compensată prin metoda pătratelor minime în care s-au obținut coordonatele punctelor noi și matricea cofactorilor

unde:

– blocul bidimensional aferent punctului, extras din matricea cofactorilor .

Pentru a determina domeniul de încredere în poziția planimetrică a unui punct vom considera o schimbare de reper (o rotație a axelor) ca în fig. 3.3.

Fig. 3.3. Schimbare a sistemului de referință

Poziția punctului P în noul sistem (u,v) o obținem aplicând matricea de rotație coordonatelor sale planimetrice N și E

Relația (3.62) reprezintă o transformare liniară de formă (3.47).

Pentru a determina blocul bidimensional aferent punctului P în ipoteza unei rotații a axelor vom aplica dispersia unei transformări liniare, dată de relația (3.48), în relația (3.56).

Efectuând calcule în relația (3.57) obținem:

(3.58)

Relația (3.58) reprezintă formula unei conice. Mai precis această conică reprezintă o elipsă reală.

Punând condiția de extrem în (3.58) obținem orientarea semiaxei mari a elipsei:

(3.59)

Reducerea la primul cadran a orientării elipsei se face conform următorului tabel:

Tab. 3.2. Stabilirea cadranului orientării elipsei

Pentru a calcula semiaxele elipsei vom determina inițial valorile proprii , ale acesteia. Astfel din relația (3.58) va rezulta:

(3.60)

Deci semiaxele elipselor vor fi:

Observație: Primul factor , are semnificația unui factor de scară în timp ce depinde de geometria rețelei.

Deci în cazul măsurătorilor repetate vom obține elipse asemenea.

Fig. 3.4. Elipsa absolută a erorilor

Folosim elipsa erorilor pentru:

Determinarea direcțiilor după care erorile sunt maxime respectiv minime.

Pentru calculul erorii pe orice direcție:

(3.62)

Se introduce noțiunea de eroare totală sau eroare Helmert:

(3.63)

Interpretarea geometrică: eroarea Helmert reprezintă semidiagonala dreptunghiului în care este înscrisă elipsa.

Această eroare este folosită în studii comparative.

Elipsa erorilor este de asemenea utilizată în probleme de optimizare (studiul geometriei rețelei) sau design. Din acest punct de vedere vorbim despre:

Rețele omogene în care avem elipse cu aceeași dimensiune.

Rețele izotrope în care eroarea pe orice direcție într-un punct este aceeași.

3.5.2 Elipsa relativă

Pentru unele rețele este posibil să intereseze precizia poziției relative a două puncte oarecare I și J din rețea. În acest caz este nevoie să determinăm elipsa relativă a erorilor.

Fie o rețea geodezică în care cunoaștem în urma compensării matricea inversă a sistemului normal și coordonatele punctelor noi.

Fig. 3.5. Elipsa relativă a erorilor

Matriceal putem scrie următoarea relație pentru determinarea coordonatelor relative dintre două puncte noi I si J.

Relația (3.64) reprezintă o transformare liniară de forma (3.47). Pentru a determina elementele matricei cofactorilor coordonatelor relative vom aplica dispersia unei transformări liniare dată de relația (3.48).

Efectuând calcule în relația (3.65) obținem:

(3.66)

Calculul elementelor elipsei relative se realizează similar cu cel al elementelor elipsei absolute, cu observația că în formulele (3.59) si (3.60) elementele blocului bidimensional aferent punctului vor fi înlocuite cu elementele matricei cofactorilor coordonatelor relative date de relațiile (3.65) sau (3.66). Astfel vor rezulta următoarele formule:

Orientarea elipsei:

(3.67)

Valorile proprii:

(3.68)

Semiaxele elipsei se vor calcula utilizând relațiile (3.61).

Elipsa relativă este folosită pentru:

Determinarea erorilor în poziția relativă a două puncte pe orice direcție.

Determinarea erorilor longitudinale care indică precizia distanței de la I la J, .

Determinarea erorilor transversale care indică precizia orientării direcției de la I la J, .

Concluzii referitoare la domeniile de încredere:

în spațiul unidimensional domeniul este intervalul de încredere.

în spațiul bidimensional domeniul de încredere este elipsa erorilor.

în spațiul tridimensional domeniul de încredere este elipsoidul de eroare.

.

Capitolul 4. Modele funcțional-stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice

Scopul urmărit la prelucrarea rețelelor geodezice planimetrice este determinarea coordonatelor N și E ale punctelor noi din aceste rețele. Compensarea măsurătorilor efectuate în rețele geodezice constituie ultima etapă a activității geodezice în urma căreia se obțin rezultatele finale.

Ca metodă de prelucrare a măsurătorilor folosim metoda observațiilor indirecte, cunoscută și sub denumirea de compensarea grupului de puncte, al cărei principal avantaj constă în aceea că fiecărei observații îi corespunde o ecuație de corecție ceea ce permite efectuarea unui control riguros asupra alcătuirii modelului funcțional și o completă automatizare a procesului de compensare.

Compensarea măsurătorilor realizate în rețele geodezice planimetrice prin metoda observațiilor indirecte implică parcurgerea mai multor etape, în fiecare etapă obținându-se rezultate care permit alegerea unor modele mai performante și a unor valori mai precise pentru următoarele etape de calcul. Aceste etape sunt:

Prelucrarea preliminară a observațiilor geodezice și reducerea observațiilor la suprafața de referință aleasă.

Calculul elementelor provizorii.

Formarea modelului funcțional–stochastic.

Normalizarea sistemului de ecuații liniare ale corecțiilor și rezolvarea sistemului normal de ecuații.

Calculul elementelor compensate și controlul compensării.

Calcule de evaluare a preciziei.

În continuare va fi prezentat modul de deducere a relațiilor de calcul necesare prelucrării observațiilor efectuate în rețele geodezice planimetrice. Astfel vom expune suportul teoretic pentru compensarea măsurătorilor în cele trei situații ce le vom trata în această lucrare: compensarea rețelelor planimetrice pe direcții și distanțe, pe unghiuri independente și distanțe și pe unghiuri corelate și distanțe.

Observație: Având în vedere că măsurătorile furnizate în tema prezentei lucrări sunt măsurători reduse la planul de proiecție nu vom trata în această lucrare prelucrarea preliminară a observațiilor și reducerea la planul de proiecție a acestora.

4.1. Calculul elementelor provizorii

După cum am specificat în capitolul precedent la paragraful (3.1) pentru formarea modelului funcțional trebuie să dispunem de valori provizorii pentru necunoscutele ce intervin în model.

În cazul rețelelor geodezice planimetrice aceste valori provizorii se referă la coordonatele aproximative ale punctelor rețelei și de asemenea la valorile provizorii ale unghiurilor de orientare ale stațiilor în care s-au efectuat observații unghiulare.

Aceste valori trebuie să fie suficient de apropiate de valorile cele mai probabile pentru a putea renunța la termenii de ordinul II și mai mari din dezvoltările în serie Taylor.

Pentru calculul elementelor provizorii se poate utiliza orice metodă cu condiția să se facă cel puțin două determinări independente. Dacă valorile obținute diferă cu cantități mici valoarea provizorie se obține prin mediere.

4.1.1. Calculul orientării și distanței între punctele vechi

În aceasta etapă calculăm orientări și distanțe între punctele vechi ce se află în legătură directă.

Fig. 4.1. Calculul distanței și orientării între punctele vechi

Orientarea unei direcții este unghiul dintre axa Nord și direcția dată, măsurat în sens orar, de la axa Nord către direcția considerată.

Conform fig. 4.1 putem scrie următoarele relații:

(4.1)

Observație: Va trebui să luăm în considerare semnele diferențelor de coordonate în cele 4 cadrane pentru a obține valori ale orientării între [0G,400G).

Dacă dispunem de coordonatele celor două puncte putem scrie:

(4.2)

Controlul calculelor se poate efectua cu:

(4.3)

4.1.2. Orientarea stațiilor cu coordonate cunoscute

Se numește unghi de orientare al unei stații în care s-au efectuat măsurători de direcții unghiulare orizontale, orientarea vizei imaginare pe care se află originea cercului gradat orizontal, relativ la care s-au măsurat direcțiile azimutale din stația considerată.

Fig. 4.2. Unghiul de orientare al stației și măsurători de direcții într-o stație

Presupunem o stație S în care au fost efectuate observații unghiulare orizontale către puncte noi și puncte vechi din rețea. Atunci conform fig. 4.2 putem scrie:

(4.4)

Vom obține mai multe valori al unghiului de orientare al stației. Valoarea finală o vom obține prin medierea ponderată a acestor valori în funcție de distanță:

(4.5)

unde – numărul de puncte vechi către care s-au făcut observații unghiulare în stația S.

Cu ajutorul unghiului de orientare al stației putem calcula orientările către punctele noi:

(4.6)

4.1.3. Calculul coordonatelor provizorii

În paragraful precedent am arătat modul de obținere al orientărilor din punctele vechi către punctele noi. Dispunând de aceste orientări calculul coordonatelor provizorii pentru punctele noi se efectuează de regulă prin intersecții simple înainte cu ajutorul relațiilor:

(4.7)

(4.8)

(4.9)

unde cu P s-a notat punctul nou ale cărui coordonate provizorii vrem să le determinăm.

Dacă se efectuează calculele manual este obligatoriu să se realizeze un control al acestora calculând coordonata E prin două metode cu formulele (4.8) și (4.9).

Se efectuează două intersecții simple înainte, valorile provizorii ale coordonatelor determinându-se prin efectuarea mediei aritmetice ale celor două rânduri de valori obținute. Diferențele dintre aceste două valori trebuie să fie de ordinul centimetrilor. Coordonatele provizorii se determină cu o precizie mai mare decât coordonatele preliminarii.

4.1.4. Calculul valorilor provizorii ale unghiurilor de orientare ale stațiilor

Așa cum am specificat în această etapă dispunem de orientări definitive sau provizorii pentru toate laturile rețelei, deci vom putea calcula astfel noi valori ale unghiurilor de orientare ale stațiilor pe care le vom folosi în continuare în compensare. Astfel din fig. 4.2. vom scrie:

(4.10)

Valoarea provizorie a unghiului de orientare al stației o vom obține cu:

(4.11)

Observație: La calculul valorilor provizorii pentru unghiurile de orientare ale stațiilor nu se mai folosește media ponderată ci media simplă.

4.2. Modele funcționale folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice

După faza calculelor elementelor provizorii prezentată în paragraful (4.1) vom dispune de coordonate provizorii sau definitive pentru toate punctele rețelei și de asemenea de valori provizorii pentru unghiurile de orientare ale stațiilor.

Elementele provizorii astfel determinate constituie elemente de bază ale modelului funcțional–stochastic utilizat la prelucrarea observațiilor efectuate în rețele geodezice planimetrice. Așa cum am precizat aceste elemente trebuie să fie suficient de apropiate de valorile cele mai probabile.

În cele ce urmează vom prezenta modul de formare a modelelor funcționale utilizate la prelucrarea observațiilor prin metoda măsurătorilor indirecte, în planul de proiecție.

*****4.2.1. Forma ecuațiilor de corecție pentru direcții măsurate și reduse la planul de proiecție ****nu folosim directii in compensare

În prima situație de compensare, care se efectuează utilizând direcții orizontale și distanțe, este necesar să dispunem de forma ecuației de corecție pentru o direcție măsurată.

Consideram direcția măsurată din stația I către punctul J ca în figura de mai jos:

Fig. 4.3. Direcție orizontală măsurată în stația I către punctul J

Din fig. 4.3 putem scrie următoarea relație:

(4.12)

Exprimând în formula (4.12) orientarea în funcție de coordonatele planimetrice ale punctelor obținem:

(4.13)

Relația (4.13) reprezintă dependența funcțională (modelul funcțional neliniarizat) dintre măsurători și parametrii în cazul măsurătorilor de direcții orizontale.

După cum am arătat în capitolul precedent conform relației (3.2) măsurătorilor trebuie să li se aplice corecții pentru a ajunge la valorile cele mai probabile. Deci putem scrie că:

(4.14)

De asemenea conform relațiilor (3.4) valorile provizorii vor primii corecții care adăugate la acestea vor da valorile cele mai probabile ale parametrilor

respectiv (4.15)

și

Valorile cu care se modifică coordonatele se numesc creșteri de coordonate și se notează cu , respectiv .

Relația (4.13) nu este liniară. Conform celor specificate în paragraful (3.1.2) o vom liniariza dezvoltând în serie Taylor, în jurul valorilor aproximative date de relațiile (4.15). De asemenea vom ține cont și de relația (4.14). Astfel vom obține:

(4.16)

sau efectuând calcule:

(4.17)

unde și se calculează din coordonatele provizorii ale punctelor.

Vom efectua următoarele notații:

(4.18)

(4.19)

unde este coeficientul de transformare din radiani în secunde centezimale.

Coeficienții și se numesc coeficienți de direcție iar prin intermediul lor se exprimă variația orientării funcție de variațiile coordonatelor plane pe unitatea de lungime considerată, astfel:

(4.20)

Coeficientul se referă la axa N și coeficientul se refera la axa E.

Termenul liber al ecuațiilor de corecție pentru direcțiile azimutale măsurate, dat de relația (4.19) se determina ca diferență dintre unghiul de orientare al stației calculat pentru direcția respectivă și unghiul mediu de orientare determinat ca medie aritmetică simplă cu relația (4.11).

Datorită modului de calcul al unghiului de orientare, întotdeauna într-o stație suma termenilor liberi va fi 0.

(4.21)

Astfel cu notațiile (4.18) și (4.19) relațiile (4.16) și (4.17) devin:

(4.22)

Relația (4.22) reprezintă forma generală a unei ecuații de corecție pentru direcții unghiulare orizontale măsurată între două puncte noi.

Cazuri particulare:

punct vechi, punct nou

(4.23)

astfel din (4.22) vom obține:

(4.24)

punct nou, punct vechi

(4.25)

astfel din (4.22) vom obține:

(4.26)

punct vechi, punct vechi

(4.27)

astfel din (4.22) vom obține:

(4.28)

Observații:

Analizând relațiile (4.18) observăm că:

sau (4.29)

ceea ce în cazul unui calcul manual reprezintă un control al calculelor

Tot din relațiile (4.18) se poate observa că:

și (4.30)

din aceasta se deduce că valoarea cu care variază orientarea este aceeași indiferent de modul cum este considerată direcția, de la I la J sau de la J la I.

(4.31)

ceea ce are ca și consecință faptul că în ecuațiile pentru vizele reciproce necunoscutele de poziție au aceeași coeficienți.

4.2.2. Forma ecuațiilor de corecție pentru unghiuri din direcții măsurate și reduse la planul de proiecție

În a doua și a treia situație de compensare, care se efectuează utilizând unghiuri din direcții orizontale măsurate și distanțe, este necesar să dispunem de forma ecuației de corecție pentru un unghi obținut din direcții măsurate.

Consideram unghiul obținut din direcțiile măsurate din stația I către punctul J, și din stația I către punctul K, , precum în figura de mai jos:

Fig. 4.4. Unghi din direcții orizontale măsurate

Din fig. 4.4 putem scrie următoarea relație:

(4.32)

Exprimând în formula (4.32) orientările în funcție de coordonatele planimetrice ale punctelor obținem:

(4.33)

Relația (4.33) reprezintă dependența funcțională (modelul funcțional neliniarizat) dintre măsurători și parametri pentru unghiurile din direcții măsurate.

După cum am arătat în capitolul precedent conform relației (3.2) măsurătorilor trebuie să li se aplice corecții pentru a ajunge la valorile cele mai probabile. Deci vom scrie că:

(4.34)

Relația (4.33) nu este liniară. Conform celor specificate în paragraful (3.1.2) o vom liniariza dezvoltând în serie Taylor, în jurul valorilor aproximative date de relațiile (4.15). De asemenea vom ține cont și de relația (4.34). Astfel vom obține:

(4.35)

sau efectuând calcule:

(4.36)

unde și se calculează din coordonatele provizorii ale punctelor.

Vom efectua următoarea notație:

(4.37)

Termenul liber al ecuațiilor de corecție pentru direcțiile azimutale măsurate, dat de relația (4.37) se determină ca diferență dintre unghiul calculat din orientările provizorii ale punctelor și unghiul din direcții măsurate.

Astfel cu notațiile (4.18) și (4.37) relațiile (4.35) și (4.36) devin:

(4.38)

Relația (4.38) reprezintă forma generală a unei ecuații de corecție pentru un unghi obținut din măsurători de direcții unghiulare orizontale.

Cazuri particulare:

punct vechi, punct nou, punct nou

(4.39)

astfel din (4.38) vom obține:

(4.40)

punct nou, punct vechi, punct nou

(4.41)

astfel din (4.38) vom obține:

(4.42)

punct nou, punct nou, punct vechi

(4.43)

astfel din (4.38) vom obține:

(4.44)

punct vechi, punct vechi, punct nou

(4.45)

astfel din (4.38) vom obține:

(4.46)

punct vechi, punct nou, punct vechi

(4.47)

astfel din (4.38) vom obține:

(4.48)

punct nou, punct vechi, punct vechi

(4.49)

astfel din (4.38) vom obține:

(4.50)

punct vechi, punct vechi, punct nou

(4.51)

Nu se consideră unghiuri măsurate numai între puncte vechi.

Observații:

Ecuațiile de corecție pentru unghiurile din direcții măsurate (inclusiv termenii liberi) se obțin ca diferență dintre ecuațiile de corecție ale direcțiilor corespunzătoare ce formează unghiurile.

Ecuațiile pentru unghiuri nu mai conțin necunoscuta pentru unghiul de orientare al stației, .

4.2.3. Forma ecuațiilor de corecție pentru distanțe măsurate și reduse la planul de proiecție

În toate cele trei situații de compensare, este necesar să dispunem de forma ecuației de corecție pentru o distanță măsurată.

Considerăm distanța măsurata între punctele I și J precum în figura de mai jos:

Fig. 4.5. Distanță măsurată între punctele I și J

Din fig. 4.5 putem scrie următoarea relație:

(4.52)

Relația (4.52) reprezintă dependența funcțională (modelul funcțional neliniarizat) dintre măsurători și parametrii în cazul măsurătorilor de distanțe.

După cum se știe conform relației (3.2) măsurătorilor trebuie să li se aplice corecții pentru a ajunge la valorile cele mai probabile. Deci putem scrie că:

(4.53)

Relația (4.52) nu este liniară. Conform celor specificate în paragraful (3.1.2) o vom liniariza dezvoltând în serie Taylor, în jurul valorilor aproximative date de relațiile (4.15). De asemenea vom ține cont și de relația (4.53). Astfel vom obține:

(4.54)

sau efectuând calcule:

(4.55)

unde și se calculează din coordonatele provizorii ale punctelor.

Vom efectua următoarele notații:

(4.56)

(4.57)

Astfel cu notațiile (4.56) și (4.57) relațiile (4.54) și (4.55) devin:

(4.58)

Relația (4.58) reprezintă forma generală a unei ecuații de corecție pentru o distanță măsurată între două puncte noi.

Cazuri particulare:

punct vechi, punct nou

(4.59)

astfel din (4.58) vom obține:

(4.60)

punct nou, punct vechi

(4.61)

astfel din (4.22) vom obține:

(4.62)

punct vechi, punct vechi

(4.63)

Nu se măsoară distanțe între puncte vechi.

Observație: Dacă într-o rețea geodezică s-au efectuat și măsurători unghiulare și măsurători de distanțe, dorindu-se o prelucrare în bloc, atunci termenul liber al ecuațiilor pentru distanțe trebuie calculat în unitatea pe care se exprimă variația orientării.

Exemplu:

4.3. Modele stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice

Așa cum s-a menționat în mod repetat modelul stochastic este determinat în mod curent de două componente principale:

Matricea ponderilor P derivată din matricea de varianță–covarianță conform relației (3.13).

Condiția de minim (3.15) care coordonează întreaga prelucrare.

Dacă aspectele legate de formarea modelului funcțional sunt practic elucidate, existând soluții deja consacrate în practica lucrărilor de compensare, constituirea modelului stochastic este și rămâne o problemă discutată și cu soluții diverse.

Problema centrală în aceste discuții este constituită de considerarea sau neglijarea corelației măsurătorilor care intervin definită prin elementele dreptunghiulare ale matricei de varianță–covarianță.

S-au realizat studii extinse (Pelzer 1980, Niemeier 1980) care să pună în evidență corelațiile dintre observațiile efectuate în rețelele geodezice, corelații declanșate de componente instrumentale sau de condiții atmosferice. Nu de puține ori aceste studii s-au încheiat cu anumite concluzii ce nu pot conduce la generalizarea procedeelor expuse.

Tot printre aceste concluzii se poate întâlni și observația că determinarea incompletă sau puțin adecvată a corelațiilor dintre măsurători este uneori mai dăunătoare în prelucrare decât neglijarea unor astfel de corelații.

Din aceste considerente vom prezenta în cele ce urmează, conform celor trei situații de compensare a rețelelor geodezice planimetrice tratate în această lucrare, modelele stochastice aferente acestora.

4.3.1. Matricea de varianță–covarianță a măsurătorilor de direcții

În prima situație de compensare vom folosi la prelucrarea rețelei geodezice direcțiile măsurate. Astfel în acest caz va trebui ca, pentru formarea modelului stochastic, să dispunem de matricea de varianță–covarianță a măsurătorilor de direcții.

Direcțiile care sunt utilizate la compensarea rețelelor geodezice planimetrice sunt obținute în urma compensării în stație. De asemenea în urma compensării în stație se obține și abaterea standard a unei direcții compensată în stație, . În mod uzual se consideră că toate direcțiile măsurate într-o stație au aceeași abatere standard, care este egală cu abaterea standard a unei direcții compensate în stația respectivă .

Astfel pentru o direcție măsurată în stația I putem determina abaterea standard a acestei direcții ca:

(4.64)

De asemenea mai trebuie spus că măsurătorile de direcții sunt considerate ca fiind independente, deci matricea de varianță–covarianță a direcțiilor, , va fi o matrice diagonală.

Dacă vom grupa varianțele direcțiilor într-un tablou conform celor prezentate în paragraful (2.3.1) vom obține matricea de varianță–covarianță a direcțiilor:

(4.65)

unde reprezintă numărul de direcții măsurate în rețeaua geodezică.

4.3.2. Matricea de varianță–covarianță a unghiurilor independente obținute din direcții măsurate

În cea de a doua situație de compensare vom folosi la prelucrarea rețelei geodezice unghiuri independente obținute din direcții măsurate. Astfel în acest caz va trebui ca, pentru formarea modelului stochastic, să dispunem de matricea de varianță–covarianță a unghiurilor independente.

Dependența funcțională dintre unghiuri și direcțiile măsurate este dată de relația (4.32). Conform acestei relații, aplicând formula pentru determinarea abaterii standard a unei funcții de mărimi măsurate direct, vom obține abaterea standard a unui unghi determinat din direcții măsurate:

(4.66)

Știind că direcțiile și sunt măsurate în aceeași stație i, atunci conform relației (4.64) putem scrie că:

(4.67)

În acest caz unghiurile din direcții măsurate sunt considerate ca fiind independente, deci matricea de varianță–covarianță a unghiurilor independente, , va fi o matrice diagonală.

Dacă vom grupa varianțele unghiurilor într-un tablou conform celor prezentate în paragraful (2.3.1) vom obține matricea de varianță-covarianță a unghiurilor independente obținute din direcții măsurate:

(4.68)

unde reprezintă numărul de unghiuri obținute din direcții măsurate.

4.3.3. Matricea de varianță–covarianță a unghiurilor corelate obținute din direcții măsurate

În cea de a treia situație de compensare vom folosi la prelucrarea rețelei geodezice unghiuri corelate obținute din direcții măsurate. Astfel în acest caz va trebui ca, pentru formarea modelului stochastic, să dispunem de matricea de varianță–covarianță a unghiurilor corelate.

Vom considera un vector în care vom grupa toate direcțiile orizontale măsurate în rețeaua geodezică. De asemenea vom considera un vector care conține unghiurile obținute din direcții măsurate, astfel:

(4.69)

Astfel dependența funcțională dintre unghiuri și direcții scrisă matriceal va avea următoarea forma:

(4.70)

unde:

– numărul direcțiilor măsurate în rețeaua geodezică.

– numărul de unghiuri obținute din direcții măsurate.

– matricea coeficienților funcțiilor de legătura dintre direcții măsurate și unghiuri.

Relația (4.70) reprezintă o transformare liniară de forma (3.47). Deci pentru a determina matricea de varianță-covarianță a unghiurilor corelate, vom aplica în relația (4.70) dispersia unei transformări liniare dată de relația (3.48), obținând:

(4.71)

Observații:

Matricea de transformare are numărul de linii egal cu numărul de unghiuri considerate iar numărul de coloane egal cu numărul de direcții măsurate în rețea.

Matricea de varianță-covarianța a unghiurilor corelate este o matrice plină în aceasta situație, deoarece ne aflam în cazul măsurătorilor dependente.

4.3.4. Matricea de varianță–covarianță a măsurătorilor de distanțe

În toate cele trei situații de compensare vom folosi la prelucrarea rețelei geodezice măsurători de distanțe. Astfel în acest caz va trebui ca, pentru formarea modelului stochastic, să dispunem de matricea de varianță–covarianță a măsurătorilor de distanțe.

Abaterea standard a unei distanțe măsurate cu aparate electrooptice este dată de formula:

(4.72)

– constante oferite de firma constructoare sau rezultate în urma unui proces de etalonare.

Distanțele sunt considerate ca fiind măsurători independente, deci matricea de varianță–covarianță a distanțelor, , va fi o matrice diagonală.

Dacă vom grupa varianțele distanțelor într-un tablou conform celor prezentate în paragraful (2.3.1) vom obține matricea de varianță–covarianță a distanțelor:

(4.73)

unde reprezintă numărul de distanțe măsurate în rețea.

Observație: Dacă într-o rețea geodezică s-au efectuat și măsurători unghiulare și măsurători de distanțe, dorindu-se o prelucrare în bloc, atunci abaterea standard a unei distanțe măsurate trebuie exprimată în unitatea de măsură pe care se exprimă variația orientării.

Exemplu:

4.3.5. Determinarea matricei ponderilor măsurătorilor

Determinarea matricei ponderilor măsurătorilor presupune să avem la dispoziție matricea de varianță-covarianță a tuturor măsurătorilor din rețeaua geodezică, .

Această matrice se obține prin reunirea matricelor , sau , pe deoparte, conform cu situația de compensare considerată, cu matricea , care va fi prezentă în toate situațiile de prelucrare. Astfel matricea de varianță-covarianță a măsurătorilor , va avea următoarea formă:

(4.74)

Odată determinată matricea de varianță-covarianță a măsurătorilor, matricea ponderilor o putem determina conform celor specificate în paragraful (3.2.1), cu relația (3.14).

(4.75)

4.4. Concluzii referitoare la modelele funcțional-stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice

Având în vedere aspectele teoretice prezentate în paragrafele (4.2) și (4.3) referitoare la diferitele modele funcțional–stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice, putem concluziona următoarele:

Modelul funcțional folosit în cazul compensării pe unghiuri independente și distanțe este identic cu acela folosit în cazul compensării pe unghiuri corelate și distanțe.

Atât matricea ponderilor cât și matricea de varianță-covarianță în cazul compensării pe direcții și distanțe sunt matrice diagonale.

De asemenea și în cazul compensării pe unghiuri independente și distanțe, matricea ponderilor și matricea de varianță-covarianță a măsurătorilor sunt matrice diagonale.

În cazul compensării pe unghiuri corelate și distanțe matricea ponderilor și matricea de varianță-covarianță a măsurătorilor sunt matrice pline.

Matricea ponderilor în cazul compensării pe unghiuri corelate și distanțe este matrice plină în blocul care se referă la unghiuri corelate și matrice diagonală în blocul care se referă la distanțe.

Vom prezenta concluziile referitoare la modelele funcțional-stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice într-un tabel comparativ.

Tab. 4.1. Modele funcțional–stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice

4.5. Sisteme echivalente de ecuații ale corecțiilor

Două sisteme de ecuații ale corecțiilor se numesc echivalente dacă prin normalizare conduc la obținerea aceluiași sistem normal și în final la obținerea acelorași soluții.

În prima situație de compensare (care se efectuează utilizând direcții și distanțe) vom utiliza regulile de echivalență pentru a reduce numărul necunoscutelor și numărul ecuațiilor de corecție.

Există trei reguli de echivalență denumite și reguli Schreiber. Din acestea trei în această lucrare vom utiliza și vom prezenta doar primele două reguli.

4.5.1. Prima regulă de echivalență

Se dă un sistem de m ecuații și n+1 necunoscute, în care o necunoscută are același coeficient în toate ecuațiile sistemului:

,

,

(4.76)

,

Acest sistem este echivalent cu următorul sistem de ecuații:

,

,

(4.77)

,

,

Observații:

Normalizând cele doua sisteme (4.76) și (4.77) obținem același sistem normal

Acest sistem are cu o necunoscuta mai puțin decât sistemul inițial dar cu ecuație mai mult. Această ecuație este denumită ecuație sumă.

Coeficienții necunoscutelor pentru ecuația sumă se determină ca suma produselor dintre coeficientul necunoscutei din fiecare ecuație în care apare și ponderea ecuației respective.

Termenul liber al ecuației sumă se determină ca suma produselor dintre termenii liberi și pondere.

Ponderea ecuației sumă este inversul sumei ponderilor celorlalte ecuații luat cu semn schimbat.

Presupunem o stație în care s-au efectuat măsurători de direcții unghiulare orizontale. În stația respectivă au fost vizate t puncte.

,

, (4.78)

,

Sistemul (4.78) este un sistem de t ecuații și 2t+3 necunoscute în care o necunoscută are același coeficient -1 în toate ecuațiile sistemului.

Conform primei reguli de echivalență putem înlocui acest sistem cu altul în care nu apare necunoscuta dar apare o ecuație în plus.

,

, (4.79)

,

Observație: În afara de necunoscuta se mai elimină și ecuațiile corespunzătoare direcțiilor măsurate între două puncte vechi.

Într-o stație de regulă:

(4.80)

Deci conform relației (4.21) vom obține pentru termenul liber al ecuației sumă:

(4.81)

Iar ponderea ecuației sumă va fi:

(4.82)

Observație: Această regulă de echivalență se aplică și în cazul unui calcul automatizat deoarece reduce numărul necunoscutelor.

4.5.2. A doua regulă de echivalență

Fie un sistem de m ecuații cu n necunoscute în care fiecare din cele n necunoscute au același coeficient în toate ecuațiile.

,

,

(4.83)

,

Acest sistem este echivalent cu ecuația:

(4.84)

Observație: Normalizând cele doua sisteme obținem același sistem normal.

Se consideră două vize reciproce între și. După aplicarea primei reguli de echivalență rămân următoarele două ecuații:

,

, (4.85)

Conform celei de-a doua reguli de echivalență putem înlocui acest sistem cu o ecuație de forma:

(4.86)

Observații:

Termenul liber al ecuației echivalente este media ponderată a termenilor liberi ale ecuațiilor nereduse.

Această regulă se aplică la un calcul manual pentru că reduce numărul ecuațiilor și deci volumul de calcul.

4.6. Normalizarea și rezolvarea sistemului de ecuații

Această etapă are ca scop principal determinarea creșterilor de coordonate și . De asemenea în această etapă se calculează corecții pentru unghiurile de orientare ale stațiilor, și corecțiile ce se adaugă măsurătorilor pentru a ajunge la valorile cele mai probabile ale acestora.

4.6.1. Calculul creșterilor de coordonate

Matriceal sistemul ecuațiilor de corecții se scrie sub forma dată de relația (3.19):

(4.87)

În relația (4.87) este matricea coeficienților ecuațiilor de corecție în care se regăsesc coeficienții ecuațiilor (4.22), (4.38) și (4.58), cu observația că în prima situație de compensare ecuațiile de corecție sunt inițial transformate după regulile de echivalență conform relațiilor (4.79) și (4.86).

Termenii liberi ai ecuațiilor de corecție se regăsesc în vectorul , cu aceeași observație ca și în cazul matricei .

De asemenea în relația (4.87) este vectorul parametrilor care conține creșterile de coordonate, iar este vectorul corecțiilor.

Astfel conform formulei (3.26) vom calcula matricea sistemului normal:

(4.88)

În relația de mai sus matricea ponderilor, se determină conform celor specificate în paragraful (4.3.5).

Vectorul parametrilor va fi conform cu (3.29):

(4.89)

În acest vector se regăsesc valorile creșterilor de coordonate și .

4.6.2. Calculul corecțiilor unghiurilor de orientare ale stațiilor

În prima situație de compensare ecuațiile de corecție conțin și necunoscute pentru corecțiile unghiurilor de orientare ale stațiilor, , pentru stațiile în care s-au efectuat măsurători de direcții unghiulare orizontale. Așa cum s-a specificat în paragraful (4.5.1) aceste necunoscute au dispărut din ecuații în urma aplicării primei reguli de echivalență, ceea ce înseamnă că în vectorul parametrilor calculat cu relația (4.89), aceste necunoscute nu se regăsesc. Așadar se pune problema calculului necunoscutelor .

Pentru a calcula necunoscutele avem nevoie de valorile variației orientării, , pentru toate perechile de puncte între care s-au efectuat măsurători de direcții orizontale.

Dispunând de creșterile de coordonate și , vom calcula valorile variației orientării cu relația (4.20).

Astfel valoarea unghiului de orientare într-o stație , se va calcula cu relația:

(4.90)

unde:

– numărul total de direcții măsurate în stația .

Observație: Și direcțiile între puncte vechi pentru care variația orientării este nulă vor fi luate în calcul la stabilirea numărului total de direcții dintr-o stație.

4.6.3. Calculul corecțiilor măsurătorilor

În paragrafele (4.6.1) și (4.6.2) s-a arătat modul de obținere a soluțiilor sistemului, adică al creșterilor de coordonate și și al corecțiilor pentru unghiurile de orientare ale stațiilor .

Având la dispoziție aceste valori putem calcula corecțiile măsurătorilor, în funcție de situația de compensare abordată cu una din relațiile (4.22), (4.38) și (4.58).

În cazul compensării pe direcții și distanțe avem la dispoziție un control al calculelor. Suma corecțiilor într-o stație trebuie să fie nulă.

(4.91)

4.6.4. Calculul elementelor compensate

După parcurgerea etapelor prezentate în paragrafele (4.6.1), (4.6.2) și (4.6.3) avem la dispoziție valorile necesare calculului elementelor compensate.

Astfel valorile cele mai probabile ale coordonatelor pentru un punct nou se vor calcula cu:

(4.92)

În cazul compensării pe direcții și distanțe vom calcula și valorile cele mai probabile ale unghiurilor de orientare ale stațiilor pentru stațiile în care s-au efectuat măsurători de direcții unghiulare orizontale:

(4.93)

În final vom determina valorile cele mai probabile ale măsurătorilor conform cu situația de compensare abordată:

Pentru direcții măsurate

(4.94)

Pentru unghiuri din direcții măsurate

(4.95)

Pentru distanțe măsurate

(4.96)

4.6.5. Controlul compensării

În cazul în care calculele de compensare se efectuează manual este necesar ca după calculul elementelor compensate să se efectueze controlul compensării. Astfel conform relației (3.42) elementele compensate trebuie să satisfacă modelul funcțional neliniarizat. Deci conform cu situația de compensare considerată controlul compensării se va efectua cu următoarele relații:

Pentru direcții

(4.97)

Pentru unghiuri

(4.98)

Pentru distanțe

(4.99)

În relațiile care constituie controlul compensării și reprezintă elemente calculate cu valorile cele mai probabile ale coordonatelor date de relațiile (4.92). Astfel:

(4.100)

(4.101)

4.7. Estimarea preciziilor

Conform aspectelor prezentate în paragraful (3.4) vom încheia prelucrarea măsurătorilor efectuate în rețelele geodezice planimetrice cu estimarea indicatorilor de precizie.

4.7.1. Calculul indicatorilor de precizie

Abaterea standard de selecție a unității de pondere se calculează cu relația (3.43), ținând de asemenea cont și de observațiile privitoare la calculul valorii :

(4.102)

unde:

– numărul de măsurători din rețea.

– numărul de necunoscute.

Abaterea standard de determinare a necunoscutelor de poziție:

(4.103)

unde:

și sunt elementele corespunzătoare punctului , extrase de pe diagonala principală a matricei .

Abaterea standard de determinare a poziției. Eroarea Helmert:

(4.104)

Abaterea standard medie pe rețea:

(4.105)

unde reprezintă numărul de puncte noi din rețea.

4.7.2. Calculul elementelor elipselor de eroare

Domeniul de încredere în poziția planimetrică a unui punct este reprezentat de elipsa erorilor.

Conform celor specificate în paragraful (3.5) elementele elipselor de eroare se calculează extrăgând din matricea blocul bidimensional aferent punctului pentru care dorim să calculam elementele elipselor de eroare. Astfel:

Pentru elipsa absolută, care se determină pentru fiecare punct, calculul elementelor se face folosind relațiile (3.59), (3.60) și (3.61).

Pentru elipsa relativă, care se determină pentru fiecare pereche de puncte noi între care s-au efectuat măsurători, vom calcula inițial elementele matricei cofactorilor coordonatelor relative cu relațiile (3.65) sau (3.66), după care putem calcula elementele elipsei cu relațiile (3.67), (3.68) și (3.61).

Capitolul 5. Studiu de caz

Având în vedere aspectele teoretice prezentate în capitolele anterioare, în acest capitol vom prezenta un studiu comparativ asupra celor trei modele funcțional-stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice.

Astfel am considerat o rețea geodezică planimetrică constrânsă în care s-au efectuat măsurători de direcții orizontale și distanțe. Aceste măsurători le-am compensat în trei situații:

Situația 1: utilizând direcții orizontale și distanțe.

Situația 2: utilizând unghiuri independente și distanțe.

Situația 3: utilizând unghiuri corelate și distanțe.

5.1. Caracteristicile rețelei

Vom prezenta în continuare caracteristicile rețelei studiate conform cu situația de compensare abordată:

Situația 1: utilizând direcții orizontale și distanțe

Total puncte: 9

Număr puncte vechi: 4

Număr puncte noi: 5

Număr necunoscute: 19

Număr măsurători: 61

Număr stații: 9

Număr direcții: 41

Număr distanțe: 20

Tip rețea: Constrânsa

Situațiile 2 și 3: utilizând unghiuri și distanțe

Total puncte: 9

Număr puncte vechi: 4

Număr puncte noi: 5

Număr necunoscute: 10

Număr măsurători: 52

Număr stații: 9

Număr unghiuri: 32

Număr distanțe: 20

Tip rețea: Constrânsa

5.2. Date inițiale

5.2.1. Coordonatele punctelor vechi

În temă se dau coordonatele punctelor vechi (fixe) în planul de proiecție.

Tab. 5.1. Inventar de coordonate puncte fixe

5.2.2. Măsurători în rețea

Așa cum am specificat în rețeaua considerată s-au efectuat măsurători de direcții orizontale și distanțe, unghiurile fiind deduse din direcțiile orizontale.

a) Măsurători de direcții

Direcțiile în rețea s-au măsurat prin metoda seriilor, efectuând câte 3 serii în fiecare stație. În datele temei se dau valorile cele mai probabile ale direcțiilor măsurate prin metoda seriilor, reduse la planul de proiecție, cât și valorile abaterilor standard ale direcțiilor compensate în stație.

Tab. 5.2. Măsurători de direcții și abaterile standard ale acestora

b) Măsurători de distanțe

Distanțele în rețea s-au măsurat utilizând aparate electrooptice cu un instrument cu următoarele caracteristici:

a= 5 mm

b= 5 mm/km

Astfel vom prezenta distanțele măsurate, reduse la planul de proiecție, și abaterile standard ale acestora calculate cu ajutorul formulei (4.72) utilizând coeficienții de mai sus.

Tab. 5.3. Măsurători de distanțe și abaterile standard ale acestora

b) Unghiuri din direcții măsurate

Din direcțiile măsurate vom determina unghiurile utilizând formula (4.32). Aceste unghiuri le vom considera măsurători și le vom utiliza în situațiile 2 și 3 de compensare. De asemenea abaterea standard a unui unghi din direcții măsurate o vom calcula cu formula (4.67).

Tab. 5.4. Unghiuri din direcții măsurate și abaterile standard ale acestora

5.3. Calcule preliminarii

5.3.1. Calculul orientării și distanței între punctele vechi

În această etapă vom calcula orientările și distanțele între punctele vechi între care s-au efectuat măsurători utilizând formulele (4.1) și (4.2), controlul calculelor efectuându-se cu relațiile (4.3).

Tab. 5.5. Calculul orientării și distanței între punctele vechi

5.3.2. Orientarea stațiilor cu coordonate cunoscute

Unghiul de orientare al stațiilor cu coordonate cunoscute îl vom calcula cu relația (4.4), iar orientările către punctele noi le vom determina cu formula (4.6).

Tab. 5.6. Orientarea stațiilor cu coordonate cunoscute

*Observație: Deoarece din punctul RF1 nu s-au făcut măsurători de direcții orizontale către puncte fixe, pentru a putea calcula orientarea stației RF1 s-a transmis orientarea RF1-VS4 din punctul VS12 utilizând orientarea VS12-VS4 și măsurătorile de direcții din punctul VS4.

5.3.3. Calculul coordonatelor provizorii

Configurația rețelei nu permite calculul coordonatelor provizorii pentru toate punctele noi prin două intersecții simple înainte. Pentru aceasta vom calcula inițial coordonatele provizorii pentru punctul VS5 după care vom efectua orientarea stației VS5, iar coordonatele provizorii pentru celelalte puncte noi le vom obține efectuând intersecții înainte din punctul VS5 și din punctele vechi.

Calculul coordonatelor provizorii pentru punctul VS5 se face cu relațiile (4.7), (4.8) și (4.9) utilizând două intersecții simple înainte și mediind valorile obținute.

Tab. 5.7. Calculul coordonatelor provizorii pentru punctul VS5

Pentru a putea efectua orientarea stației VS5 este necesar să dispunem de distanțe și orientări între VS5 și punctele vechi pe care le vom calcula cu relațiile (4.1) și (4.2), efectuând controlul cu relațiile (4.3).

Tab. 5.8. Calculul orientărilor și distanțelor între VS5 și punctele vechi

În continuare, în scopul de a determina orientările către celelalte puncte noi, vom efectua orientarea stației VS5 utilizând relațiile (4.4), (4.5) și (4.6).

Tab. 5.9. Orientarea stației VS5

Putem calcula acum coordonate provizorii pentru celelalte puncte noi utilizând relațiile (4.7), (4.8) și (4.9), prin două intersecții simple înainte.

Tab. 5.10. Calculul coordonatelor provizorii pentru punctele noi VS2, VS4, VS13, VS6

Tab. 5.10. (Continuare)

După această etapă dispunem de coordonate (definitive sau provizorii) pentru toate punctele rețelei. Aceste coordonate sunt necesare pentru calculul coeficienților ecuațiilor de corecție.

Tab. 5.11. Inventar de coordonate provizorii și definitive ale punctelor rețelei

5.3.4. Calculul coeficienților de direcții și distanțe

Pentru întocmirea sistemului ecuațiilor de corecție este necesar să calculăm coeficienții ecuațiilor pentru direcții respectiv pentru distanțe. De remarcat faptul că și în cazul ecuațiilor pentru unghiuri din direcții măsurate este necesar să dispunem de coeficienții de direcție.

Astfel coeficienții îi vom calcula utilizând relațiile (4.18) pentru direcții și (4.56) pentru distanțe.

Tab. 5.12. Calculul coeficienților de direcții și distanțe

Tab. 5.12. (Continuare)

Tab. 5.12. (Continuare).

Tab. 5.12. (Continuare).

5.3.5. Calculul termenilor liberi ai ecuațiilor de corecție

Pentru a calcula termenii liberi ai ecuațiilor de corecție pentru direcții vom calcula mai întâi valoarea provizorie a unghiului de orientare al stației cu formula (4.11) și apoi termenul liber îl vom determina cu relația (4.19). Controlul calculelor îl vom efectua cu relația (4.21).

Tab. 5.13. Calculul termenilor liberi ai ecuațiilor de corecție pentru direcții

Calculul termenilor liberi ai ecuațiilor de corecție pentru distanțe se va efectua aplicând formula (4.57).

Tab. 5.14. Calculul termenilor liberi ai ecuațiilor de corecție pentru distanțe

După această etapă dispunem de toate elementele necesare pentru întocmirea modelelor funcțional-stochastice în cele 3 situații de compensare studiate.

5.4. Situația 1. Compensare pe direcții și distanțe

5.4.1. Sistemul ecuațiilor de corecție

Pentru întocmirea sistemului ecuațiilor de corecție vom utiliza forma generală a ecuației de corecție pentru direcții dată de relația (4.22) și pentru distanțe dată de relația (4.58). Coeficienții acestor ecuații au fost calculați în tab. 5.12, iar termenii liberi în tab 5.13 și 5.14.

Pentru calculul ponderilor s-a utilizat relația (3.12), deoarece ne aflam în cazul măsurătorilor independente deci matricea ponderilor este diagonală, iar elementele sale pot fi calculate utilizând relația (3.12). În relația respectivă am ales:

σ02= 25

iar abaterile standard ale măsurătorilor au fost calculate în tab. 5.2 și 5.3.

Precizăm că tabelul de mai jos nu conține și rubricile referitoare la necunoscutele dz. Coeficienții necunoscutei dz pentru o stație sunt -1 în stația respectivă și 0 în rest.

Sistemul ecuațiilor de corecție are următoarele caracteristici:

Număr de ecuații: 61 (41 de direcții și 20 de distanțe)

Număr de necunoscute: 19 (9 de orientare a stațiilor și 10 de poziție)

Tab. 5.15. Sistemul ecuațiilor de corecție pentru direcții și distanțe

Tab. 5.15. (Continuare)

5.4.2. Aplicarea regulilor de echivalență

a) Prima regulă de echivalență

Vom aplica prima regulă de echivalență sistemului de ecuații prezentat în tab. 5.15, utilizând relațiile (4.78) și (4.79). După această etapă din sistem dispar necunoscutele dz pentru unghiurile de orientare a stațiilor și de asemenea ecuațiile pentru direcții măsurate între puncte vechi. Ecuațiile pentru distante rămân neschimbate.

După aplicarea primei reguli de echivalență sistemul ecuațiilor de corecție are următoarele caracteristici:

Număr de ecuații: 67 (38 de direcții, 20 de distanțe și 9 ecuații sumă)

Număr de necunoscute: 10 (de poziție)

Tab. 5.16. Sistemul ecuațiilor de corecție după aplicarea primei reguli de echivalență

Tab. 5.16. (Continuare)

Tab. 5.16. (Continuare)

b) A doua regulă de echivalență

A doua regulă de echivalență se aplică pentru vizele reciproce. În această etapă se reduce numărul ecuațiilor sistemului deoarece pentru o viză reciprocă între două puncte se va scrie o singură ecuație. A doua regulă de echivalență este dată de relațiile (4.85) și (4.86).

După aplicarea celei de-a doua reguli de echivalență sistemul ecuațiilor de corecție are următoarele caracteristici:

Număr de ecuații: 49 (20 de direcții, 20 de distanțe și 9 ecuații sumă)

Număr de necunoscute: 10 (de poziție)

Tab. 5.17. Sistemul ecuațiilor de corecție după aplicarea celei de-a doua reguli de echivalență

Tab. 5.17. (Continuare)

5.4.3. Normalizarea și rezolvarea sistemului de ecuații

Normalizarea sistemului ecuațiilor de corecție se face calculând matricea sistemului normal N, cu relația (4.88) iar calculul necunoscutelor de poziție se efectuează cu formula (4.89).

Tab. 5.18. Matricea sistemului normal, N (situația 1)

Tab. 5.19. Inversa matricei sistemului normal, N-1 (situația 1)

Tab. 5.20. Vectorul parametrilor (situația 1)

În continuare se pune problema de a calcula corecțiile v ale sistemului inițial (înainte de aplicarea regulilor de echivalență), corecții ce le vom aplica mărimilor măsurate pentru a afla valorile cele mai probabile ale măsurătorilor.

Pentru aceasta vom calcula mai întâi valorile variației orientării cu relația (4.20), după care necunoscutele dz cu relația (4.90). Dispunând de valorile necunoscutei dz și ale creșterilor de coordonate dN și dE, putem calcula corecțiile v ce se aplică măsurătorilor de direcții cu relația (4.22), controlul calculelor efectuându-se cu relația (4.91).

Tab. 5.21. Calculul variației orientării și a corecțiilor măsurătorilor de direcții

5.4.4. Calculul elementelor compensate

Dispunând de valorile corecțiilor pentru măsurătorile de direcții putem calcula valorile compensate ale direcțiilor cu relația (4.94).

Tab. 5.22. Calculul valorilor compensate ale măsurătorilor de direcții

Corecțiile pentru măsurătorile de distanțe le vom calcula cu relația (4.58). Cu ajutorul acestor corecții vom obține valorile compensate ale măsurătorilor de distanțe cu relația (4.96).

Tab. 5.23. Corecțiile pentru măsurătorile de distanțe și valorile compensate ale distanțelor (situația 1)

Calculul valorilor cele mai probabile ale necunoscutelor de orientare a stațiilor Z, se va efectua cu relația (4.93).

Tab. 5.24. Calculul valorilor compensate ale necunoscutelor de orientare a stațiilor

Calculul valorilor cele mai probabile ale necunoscutelor de poziție dN și dE, se va efectua cu relația (4.92).

Tab. 5.25. Calculul valorilor compensate ale necunoscutelor de poziție (situația 1)

5.4.5. Controlul compensării

Controlul compensării în cazul ecuațiilor de corecție pentru direcții se efectuează folosind formula (4.97), iar în cazul ecuațiilor de corecție pentru distanțe utilizând formula (4.99).

Tab. 5.26. Controlul compensării pe direcții

Tab. 5.26. (Continuare)

Tab. 5.27. Controlul compensării pe distanțe (situația 1)

5.4.6. Estimarea preciziilor

Calculul abaterii standard a unității de pondere se efectuează cu formula (3.43) după ce în prealabil valoarea Ω=vTPv s-a calculat în două moduri cu relațiile (3.44) și (3.46).

Tab. 5.28. Calculul abaterii standard a unității de pondere (situația 1)

Abaterea standard de determinare a necunoscutelor de poziție se va calcula cu relațiile (4.103), eroarea Helmert cu relația (4.104), iar abaterea standard totală pe rețea cu formula (4.105).

Tab. 5.29. Calculul indicatorilor de precizie (situația 1)

5.4.7. Calculul elementelor elipselor de eroare

Calculul elementelor elipselor absolute de eroare se va face cu relațiile (3.59), (3.60) și (3.61), utilizând blocul bidimensional, QNN, aferent punctului în care se calculează elipsa extras de pe diagonala principală a matricei N-1.

Tab. 5.30. Calculul elementelor elipselor absolute de eroare (situația 1)

Pentru calculul elementelor elipselor relative de eroare vom extrage din matricea N-1 blocul aferent punctelor între care se calculează elipsa relativă, QNN, Din acest bloc vom deduce cu ajutorul relației (3.65) matricea cofactorilor coordonatelor relative QΔNΔN. Din elementele acestei matrice, utilizând relațiile (3.67), (3.68) și (3.61) vom calcula elementele elipselor relative de eroare.

Tab. 5.31. Calculul elementelor elipselor relative de eroare (situația 1)

5.5. Situația 2. Compensare pe unghiuri independente și distanțe

5.5.1. Sistemul ecuațiilor de corecție

Așa cum am specificat în paragraful (4.2.2.) ecuațiile de corecție pentru unghiurile din direcții măsurate (inclusiv termenii liberi) se obțin ca diferență dintre ecuațiile de corecție ale direcțiilor corespunzătoare ce formează unghiurile.

Ecuațiile de corecție pentru distanțe rămân neschimbate față de situația 1.

Pentru calculul ponderilor s-a utilizat relația (3.12), unde abaterile standard ale măsurătorilor au fost calculate în tab. 5.3 și 5.4, iar σ02= 25.

Caracteristicile sistemului ecuațiilor de corecție în cazul compensării pe unghiuri și distanțe sunt următoarele :

Număr de ecuații: 52 (32 de unghiuri, 20 de distanțe)

Număr de necunoscute: 10 (de poziție)

Tab. 5.32. Sistemul ecuațiilor de corecție pentru unghiuri și distanțe

Tab. 5.32. (Continuare)

5.5.2. Normalizarea și rezolvarea sistemului de ecuații

Matricea sistemului normal N se obține cu relația (4.88), după care necunoscutele de poziție se calculează cu formula (4.89).

Tab. 5.33. Matricea sistemului normal, N (situația 2)

Tab. 5.34. Inversa matricei sistemului normal, N-1 (situația 2)

Tab. 5.35. Vectorul parametrilor (situația 2).

5.5.3. Calculul elementelor compensate

Calculul corecțiilor pentru unghiuri se va efectua cu relația (4.38). Dispunând de valorile corecțiilor pentru unghiurile din direcții măsurate putem calcula valorile compensate ale acestora cu relația (4.95).

Tab. 5.36. Corecțiile pentru unghiuri din direcții măsurate și valorile compensate ale acestora (situația 2)

Corecțiile pentru măsurătorile de distanțe le vom calcula cu relația (4.58). Cu ajutorul acestor corecții vom obține valorile compensate ale măsurătorilor de distanțe cu relația (4.96).

Tab. 5.37. Corecțiile pentru măsurătorile de distanțe și valorile compensate ale distanțelor (situația 2)

Calculul valorilor cele mai probabile ale necunoscutelor de poziție dN și dE, se va efectua cu relația (4.92).

Tab. 5.38. Calculul valorilor compensate ale necunoscutelor de poziție (situația 2)

5.5.4. Controlul compensării

Controlul compensării în cazul ecuațiilor de corecție pentru unghiuri se efectuează folosind formula (4.98), iar în cazul ecuațiilor de corecție pentru distanțe utilizând formula (4.99).

Tab. 5.39. Controlul compensării pe unghiuri (situația 2)

Tab. 5.40. Controlul compensării pe distanțe (situația 2)

Tab. 5.40. (Continuare)

5.5.5. Estimarea preciziilor

Calculul abaterii standard a unității de pondere se efectuează cu formula (3.43) după ce în prealabil valoarea Ω=vTPv s-a calculat în doua moduri cu relațiile (3.44) și (3.46).

Tab. 5.41. Calculul abaterii standard a unității de pondere (situația 2)

Abaterea standard de determinare a necunoscutelor de poziție se va calcula cu relațiile (4.103), eroarea Helmert cu relația (4.104), iar abaterea standard totală pe rețea cu formula (4.105).

Tab. 5.42. Calculul indicatorilor de precizie (situația 2)

5.5.6. Calculul elementelor elipselor de eroare

Calculul elementelor elipselor absolute de eroare se va face cu relațiile (3.59), (3.60) și (3.61), utilizând blocul bidimensional, QNN, aferent punctului în care se calculează elipsa extras de pe diagonala principală a matricei N-1.

Tab. 5.43. Calculul elementelor elipselor absolute de eroare (situația 2)

Pentru calculul elementelor elipselor relative de eroare vom extrage din matricea N-1 blocul aferent punctelor între care se calculează elipsa relativă, QNN, Din acest bloc vom deduce cu ajutorul relației (3.65) matricea cofactorilor coordonatelor relative QΔNΔN. Din elementele acestei matrice, utilizând relațiile (3.67), (3.68) și (3.61) vom calcula elementele elipselor relative de eroare.

Tab. 5.44. Calculul elementelor elipselor relative de eroare (situația 2)

5.6. Situația 3. Compensare pe unghiuri corelate și distanțe

Așa cum am specificat și s-a arătat în paragraful (3.3.3), tab. 3.1, modelul funcțional al măsurătorilor corelate este același cu al măsurătorilor independente. Ceea ce se schimbă este modelul stochastic.

În concluzie sistemul ecuațiilor de corecție în cazul compensării pe unghiuri corelate și distanțe este același ca în cazul compensării pe unghiuri independente și distanțe, adică acela prezentat în tab. 5.32. Ceea ce se modifică față de situația precedentă este matricea ponderilor pe care o vom deduce în paragraful următor.

5.6.1. Determinarea matricei ponderilor

Matricea ponderilor în această situație este matrice plină în zona care se referă la unghiuri și matrice diagonală în zona care se referă la distanțe.

Pentru a deduce matricea ponderilor avem nevoie de matricea de varianță-covarianță a unghiurilor corelate, Σucorelate. Această matrice o vom deduce din matricea de varianță-covarianță a direcțiilor, Σdir, care este o matrice diagonală, deoarece direcțiile sunt măsurători independente. Elementele de pe diagonala principală a matricei Σdir sunt pătratele abaterilor standard ale direcțiilor prezentate în tab. 5.2.

Știind că măsurătorile de direcții dintr-o stație sunt de aceeași precizie vom descompune matricea Σdir în blocuri corespunzătoare fiecărei stații, ușurând astfel prezentarea având în vedere dimensiunile acesteia.

Tab. 5.45. Structura matricei de varianță-covarianță a direcțiilor

Vom prezenta în continuare fiecare dintre blocurile din tabelul de mai sus cu elementele sale corespunzătoare:

Tab. 5.46. Elementele matricei de varianță-covarianță a direcțiilor

Tab. 5.46. (Continuare)

Pentru a determina matricea de varianță-covarianță a unghiurilor corelate vom folosi, conform celor specificate în paragraful (4.3.3), matricea coeficienților funcțiilor de legătură dintre direcții și unghiuri, care are următoarea formă:

Tab. 5.47. Structura matricei de transformare F

Explicit blocurile matricei F sunt următoarele:

Tab. 5.48. Elementele matricei de transformare F

Tab. 5.48. (Continuare).

Matricea de varianță-covarianță a unghiurilor corelate o vom determina în continuare cu relația (4.71). Această matrice are următoarea structură:

Tab. 5.49. Structura matricei de varianță-covarianță a unghiurilor corelate

În tabelul următor vom prezenta explicit elementele acestei matrice:

Tab. 5.50. Elementele matricei de varianță-covarianță a unghiurilor corelate

Având la dispoziție matricea de varianță-covarianță a unghiurilor corelate vom determina matricea ponderilor unghiurilor corelate, Pu, cu relația (3.14) unde σ02= 25.

Precizam că în blocul ce se refera la distanțe matricea ponderilor este matrice diagonală, ponderile distanțelor fiind aceleași ca în situațiile de compensare anterioare (tab. 5.15, 5.32).

Matricea ponderilor tuturor măsurătorilor, PM, se obține prin reunirea matricei ponderilor unghiurilor, Pu, cu matricea ponderilor distanțelor PD. Astfel:

Tab. 5.51. Structura matricei ponderilor unghiurilor corelate

Blocurile matricei Pu conțin următoarele elemente:

Tab. 5.52. Elementele matricei ponderilor unghiurilor corelate

Tab. 5.53. Structura matricei ponderilor tuturor măsurătorilor.

5.6.2. Normalizarea și rezolvarea sistemului de ecuații

Odată ce dispunem de matricea ponderilor măsurătorilor, PM, putem calcula matricea sistemului normal N, cu relația (4.88) iar calculul necunoscutelor de poziție se efectuează cu formula (4.89).

Tab. 5.54. Matricea sistemului normal, N (situația 3)

Tab. 5.55. Inversa matricei sistemului normal, N-1 (situația 3)

Tab. 5.56. Vectorul parametrilor (situația 3)

5.6.3. Calculul elementelor compensate

Calculul corecțiilor pentru unghiuri se va efectua cu relația (4.38). Dispunând de valorile corecțiilor pentru unghiurile din direcții măsurate putem calcula valorile compensate ale acestora cu relația (4.95).

Tab. 5.57. Corecțiile pentru unghiurile din direcții măsurate și valorile compensate ale acestora (situația 3)

Corecțiile pentru măsurătorile de distanțe le vom calcula cu relația (4.58). Cu ajutorul acestor corecții vom obține valorile compensate ale măsurătorilor de distanțe cu relația (4.96).

Tab. 5.58. Corecțiile pentru măsurătorile de distanțe și valorile compensate ale distanțelor (situația 3)

Calculul valorilor cele mai probabile ale necunoscutelor de poziție dN și dE, se va efectua cu relația (4.92).

Tab. 5.59. Calculul valorilor compensate ale necunoscutelor de poziție (situația 3)

5.6.4. Controlul compensării

Controlul compensării în cazul ecuațiilor de corecție pentru unghiuri se efectuează folosind formula (4.98), iar în cazul ecuațiilor de corecție pentru distanțe utilizând formula (4.99).

Tab. 5.60. Controlul compensării pe unghiuri (situația 3)

Tab. 5.61. Controlul compensării pe distanțe (situația 3)

Tab. 5.61. (Continuare)

5.6.5. Estimarea preciziilor

Calculul abaterii standard a unității de pondere se efectuează cu formula (3.43) după ce în prealabil valoarea Ω=vTPv s-a calculat în două moduri cu relațiile (3.44) și (3.46).

Tab. 5.62. Calculul abaterii standard a unității de pondere (situația 3)

Abaterea standard de determinare a necunoscutelor de poziție se va calcula cu relațiile (4.103), eroarea Helmert cu relația (4.104), iar abaterea standard totală pe rețea cu formula (4.105).

Tab. 5.63. Calculul indicatorilor de precizie (situația 3)

5.6.6. Calculul elementelor elipselor de eroare

Calculul elementelor elipselor absolute de eroare se va face cu relațiile (3.59), (3.60) și (3.61), utilizând blocul bidimensional, QNN, aferent punctului în care se calculează elipsa extras de pe diagonala principală a matricei N-1.

Tab. 5.64. Calculul elementelor elipselor absolute de eroare (situația 3)

Pentru calculul elementelor elipselor relative de eroare vom extrage din matricea N-1 blocul aferent punctelor între care se calculează elipsa relativă, QNN, Din acest bloc vom deduce cu ajutorul relației (3.65) matricea cofactorilor coordonatelor relative QΔNΔN. Din elementele acestei matrice, utilizând relațiile (3.67), (3.68) și (3.61) vom calcula elementele elipselor relative de eroare.

Tab. 5.65. Calculul elementelor elipselor relative de eroare (situația 3)

5.7. Prezentarea rezultatelor

În continuare vom prezenta rezultatele care s-au obținut în cele trei situații de compensare privind coordonatele punctelor noi, preciziile cu care acestea au fost determinate, elementele elipselor de eroare și abaterea standard totală pe rețea.

a) Situația 1. Compensare pe direcții și distanțe

Tab. 5.66. Rezultatele compensării în situația 1

Tab. 5.67. Elementele elipselor relative de eroare în situația 1

b) Situația 2. Compensare pe unghiuri independente și distanțe

Tab. 5.68. Rezultatele compensării în situația 2

Tab. 5.69. Elementele elipselor relative de eroare în situația 2

c) Situația 3. Compensare pe unghiuri independente și distanțe

Tab. 5.70. Rezultatele compensării în situația 3

Tab. 5.71. Elementele elipselor relative de eroare în situația 3

De asemenea vom prezenta și schița rețelei cu elipsele de eroare absolute pentru toate cele trei situații de compensare abordate în această lucrare.

5.8. Studiu comparativ

5.8.1. Tabele și grafice comparative asupra rezultatelor obținute

În acest paragraf vom prezenta o serie de tabele și grafice comparative privind indicatorii cantitativi și calitativi obținuți în toate cele 3 variante de compensare. Studiul comparativ se referă la indicatori precum:

Valorile cele mai probabile ale necunoscutelor de poziție.

Preciziile necunoscutelor de poziție.

Elipsele de eroare absolute.

Corecțiile pentru unghiuri în situația 2 și 3 de compensare.

Tab. 5.72. Tabel comparativ privind cele 3 situații de compensare

Tab. 5.73. Diferențele dintre coordonatele obținute în situațiile 1, 3 și situația 2

Tab. 5.74. Tabel comparativ privind creșterile de coordonate dN

Tab. 5.75. Tabel comparativ privind creșterile de coordonate dE

Tab. 5.76. Tabel comparativ privind precizia coordonatei N

Tab. 5.77. Tabel comparativ privind precizia coordonatei E

Tab. 5.78. Tabel comparativ privind eroarea Helmert

Tab. 5.79. Tabel comparativ privind abaterea standard totală pe rețea și abaterea standard a unității de pondere

Fig. 5.6. Grafic comparativ privind abaterea standard totală pe rețea și abaterea standard a unității de pondere

Tab. 5.80. Tabel comparativ privind corecțiile unghiurilor în situațiile 2 și 3 de compensare

Fig. 5.7. Grafic comparativ privind corecțiile unghiurilor în situațiile 2 și 3 de compensare

5.8.2. Observații

Analizând rezultatele obținute putem face următoarele observații:

Valorile compensate ale coordonatelor obținute în situația 1 și situația 3 sunt egale.

Preciziile coordonatelor obținute în situația 1 și situația 3 sunt identice.

Valorile abaterii standard de selecție a unității de pondere, S0, și a abaterii standard totale pe rețea St, obținute în situațiile 1 și 3 sunt egale.

Corecțiile distanțelor în situația 1 și situația 3 sunt egale.

Elementele elipselor de eroare absolute și relative obținute în situațiile 1 și 3 de compensare sunt identice.

Diferențele maxime pe coordonate între situațiile 1/3 și situația 2 sunt de 1,3 cm pe direcția N și 1,2 cm pe direcția E.

Preciziile coordonatelor în situațiile 1/3 și situația 2 sunt comparabile, totuși se observă o îmbunătățire sensibilă a preciziei în situațiile 1/3 față de situația 2.

Elipsele de eroare absolute și relative în situația 2 au alta formă și orientare față de situațiile 1 și 3.

Corecțiile pentru distanțe și pentru unghiuri au valori diferite în situația 2 de situațiile 1 și 3 de compensare.

În situațiile 2 și 3 de compensare nu mai intervin necunoscutele de orientare a stațiilor, deci numărul de necunoscute este mai redus.

În cazul compensărilor pe unghiuri numărul de măsurători este mai redus decât în cazul compensării ce utilizează direcții.

În situațiile 2 și 3 de compensare nu se mai pune problema aplicării regulilor de echivalență.

În situația 3 de compensare este necesar să dispunem de matricea de transformare dintre direcții și unghiuri, F.

Volumul de calcul în situația 1 de compensare este mai mare decât în celelalte două situații.

5.8.3. Concluzii

Având în vedere observațiile de mai sus putem formula următoarele concluzii cu privire la modelele funcțional-stochastice folosite la compensarea rețelelor geodezice planimetrice studiate în această lucrare:

Faptul ca în situațiile 1 și 3 s-au obținut aceleași rezultate validează practic ipotezele sub care s-a desfășurat compensarea în aceste situații, putând concluziona astfel că modelele funcțional-stochastice utilizate în aceste două cazuri reflectă problema studiata.

În situația 2 rezultatele au fost diferite de celelalte două situații deoarece în această situație nu s-a ținut cont de corelațiile ce intervin între unghiuri. Putem afirma deci ca în această situație rezultatele obținute nu sunt în totalitate riguroase.

Modele funcțional-stochastice diferite dar corecte, în sensul că reflecta în mare măsură realitatea, conduc din punct de vedere matematic la aceleași rezultate.

Nu se recomandă într-o compensare utilizarea unghiurilor din direcții măsurate fără a ține cont de corelațiile ce intervin între aceste mărimi deoarece diferențele obținute între rezultate nu sunt acceptabile pentru lucrări de precizie.

Dacă se dispune de tehnică ce permite efectuarea unor calcule cu matrice de mari dimensiuni este de preferat o compensare utilizând unghiuri din direcții măsurate considerând corelațiile dintre acestea deoarece volumul de calcul este substanțial redus față de o compensare ce utilizează direcții, prin reducerea numărului de necunoscute și de observații, și datorită faptului că nu mai este necesară aplicarea regulilor de echivalență.