NOTIUNI INTRODUCTIVE

CAPITOLUL I

NOTIUNI INTRODUCTIVE

1.1 ELEMENTE DE TEORIA MODULELOR

Definitii. Interpretari.

1.1.2.Combinatii liniare si submodule.

1.1.3. Submodul generat de o multime.

1.1.4. Module factor.

1.1.5. Morfisme de module.

Teoreme de factorizare.

1.1.7.Exactitate

1.1.8. Produse si sume directe de submodule.

1.2 ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR

1.2.1 Definitia categoriei. Exemple.

1.2.2. Clase speciale de morfisme

1.2.3. Categoria duala. Principiul dualitatii

1.2.4. Sume si produse directe

1.3 TIPURI SPECIALE DE MODULE

1.3.1 Submodule esentiale si submodule superflue.

1.3.2 Generari si cogenerari

1.3.3 Trasul(urma) si rejectul(reziduul) unui modul

1.3.4 Module semisimple. Soclul si radicalul

1.3.5. Module finit generate și finit cogenerate

1.3.6 Conditii de lant

1.3.7. Module cu serii de compoziție

Capitolul II

Proiectivitate și injectivitate

2.1 Injectivitate și proiectivitate relativa

2.2. Moclule proiective și module injective

2.3 Module cvasi-injective și cvasi-proiective

pagini 55

=== CAPITOLUL I CC ===

CAPITOLUL I

NOTIUNI INTRODUCTIVE

1.1 ELEMENTE DE TEORIA MODULELOR

1.1.1 Definitii. Interpretari.

Se stie ca un modul este generalizarea unui spatiu vectorial,in sensul urmator: daca operatia externa (inmultirea cu scalari), in cazul spatiului vactorial, se defineste cu ajutorul unui corp(comutativ, eventual),in cazul modulelor se va folosi un inel.

Fie R un inel unitar, nu neaparat comutativ si M un grup abelian cu o operatie interna presupusa aditiva: (M,+).

Definitia 1 M se numeste R-modul stang (drept), daca exista o operatie externa s:RxM→M, s(a,x)= axM,aR si xM ( respectiv d:MxR→M, d(x,a)=xa) ,care verifica urmatoarele axiomea,bR si x,yM:

a(x+y)=ax+ay

(a+b)x=ax+bx

(ab)x=a(bx)

1x=x, unde 1 este unitatea inelui R.

( respectiv:

(x+y)a=xa+ya

x(a+b)=xa+xb

x(ab)=(xa)b

x1=x,

in cazul modulului drept )

Definitia 2 Fie M si N doua R-module stangi. Se numeste morfism de R-module (sau R-morfism), o aplicatie f:M→N cu proprietatile:

x,y M, are loc f(x+y)=f(x)+f(y), adica f pastreza operatia interna;

aR, xM, are loc f(ax)=af(x), adica f pastreza operatia externa.

Observatie: Cele doua conditii din definitia unui R-morfism sunt echivalente cu:

a,bR,x,yM, are loc f(ax+by)=af(x)+bf(y).

Daca M=N, f se numeste endomorfism, iar multimea endomorfismelor stangi se noteaza cu End(M), care poate avea structura de inel in raport cu operatia de adunare obisnuita a functiilor si cu operatia de compunere a functiilor.

Definitia unui R-mudul stang poate fi data si astfel:

Definitia 3 O pereche (M,λ) se mumeste R-modul stang, daca M este un grup abelian, iar λ:R→End(M) este un morfism de inele de la inelul R la inelul de endomorfisme cu actiune la stanga al lui M.

Observatie: Actiunea endomorfismului λ se intelege in modul urmator:aR, λ(a):M→M, λ(a)(x)M, cu proprietatile:

λ(a)(x+y)=λ(a)(x)+λ(a)(y)

λ(a+b)(x)=λ(a)(x)+λ(b)(x)

λ(ab)(x)=λ(a)(λ(b)(x))

λ(1)(x)=x.

Daca notam λ(a)(x)=ax, se obtin conditiile din definitia 1.1.1.

Analog se defineste structura la dreapta.

Fie R si S doua inele.

Definitia 4 Un grup abelian M este bimodul R-stang si S-drept, daca M este un R-modul stang si un S-modul drept, pentru care cele doua inmultiri cu scalari satisfac relatia: r(xs)=(rx)s, rR, sS, xM. Notam bimodulul cu M.

Observatie:Exista si alte strusturi de bimodule, de exemplu:M=binomul R-stang si S-stang.

1.1.2.Combinatii liniare si submodule.

Fie R un inel si M un R-modul stang.

Definitia 1. Un grup abelian N, al lui M, se numeste R-submodul stang al lui M daca N este stabil la endomorfismele lui M induse de inelul R, adica este inchis la inmultirea cu scalari din R.

Definitia 2 Fie XM si AR.Orice element din M de forma ax, i=1,…,n cu xX si aA, se numeste combinatie liniara a lui X cu scalari din A.

Notam cu AX={ax│xX si aA, i=1,…,n, nN}.

Propozitia 1 Fie M un R-modul stang si XM, X. Atunci RX este R-modul al lui M.

Propozitia 2 Fie M un R-modul stang si NM, N.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

N este submodul al lui M;

RN=N;

Pentru a,bR,x,yNax=byN.

Definitia 3 Fie M un bimodul si NM. O submultime nevida N este un (R-S)bisubmodul al luiM daca N este R-submodul stang si S-submodul drept simultan.

Definitia 4 O (R-S) combinatie liniara a lui XM cu elemente din R si S este un element de forma: rxs, rR, xX, sS, i=1,…,n.

Notam cu RXS multimea acestor combinatii.

Definitia 5 M,…, Mn submultimi ale lui M .Se numeste suma acestor multimi,

M+…..+Mn={x+….+xn / xM,i=1,..,n}.

Lema 1 Daca M este un R-modul stang si M,…, Mn sunt R-submodule ale lui M, atunci M+….+Mn este un R-submodul stang al lui M,reprezentand de fapt R-submodulul combina-

tiilor liniare ale multimii M….Mn .

1.1.3. Submodul generat de o multime.

Fie M un R-modul stang si XM , X.

Definitia 1 Se numeste submodul al lui M generat de X, intersectia tuturor submodulelor lui M, care contin pe X, reprezentand unicul submodul, „cel mai mic” in sensul incluziunii, ce contine pe X.

Propozitia 1 Daca M este un R-modul stang si XM , X, atunci submodulul lui M generat de X este chiar RX.

Definitia 2 Daca (M) este o familie de submodule ale lui M, atunci M este submodulul generat de familia data.

Daca M=M, spunem ca submodulele M,I genereaza pe M.

Daca XM este o submultime nevida a lui M cu RX=M, spunem ca X genereaza pe M.

Un modul cu o multime finita de generatori se numeste finit generat.

Un modul cu un singur generator se numeste modul ciclic.

Propozitia 2 Daca X este o multime de generatori pentru R-modulul stang M, atunci M =

Rx, xX.

Definitia 3 Un modul M se numeste simplu daca M si M nu are submodule netriviale.

Observatie: Un modul simplu este generat de orice element nenul al sau.

Teorema 1 Fie M un R-modul stang, nenul, finit generat. Atunci orice R-submodul propriu al sau este continut intr-un submodul maximal. In particular, M are un submodul maximal.

1.1.4. Module factor.

Fie M un R-modul stang si K un submodul al sau. Definim multimea:

M/K={x+K/xM}, care devine R-modul stang relativ la urmatoarele operatii de adunare si inmulture cu scalari: (x+K)+(x+K)=x+y+K , x,yM

a(x+K)=ax+K , aR si xM.

Definitie: Modulul M/K astfel construit se numeste R-modulul factor al lui M relativ la K.

Corolar: Un modul factor M/K este simplu daca si numai daca K este submodul maximal in M.

1.1.5. Morfisme de module.

Daca M si N sunt doua R-module stangi, se stie ca un morfism de module este o aplicaqtie f:MN, cu proprietatea : f(ax+by)=af(x)+bf(y), a,bR , x,yM , adica este o aplicatie liniara.

Definitia 1 Fie M si N doua (R-S)-bimodule. O aplicatie f:MN este un (R-S)-morfism daca este liniara peste R si S, adica r,r’R, s,s’S, x,yM are loc:

f(rxs+r’ys’)=rf(x)s+r’f(y)s’ .

Definitia 2 Un morfism f:MN se numeste monomorfism daca el este injectiv. Un morfism f:MN se numeste epimorfism daca este surjectiv. Un morfism f:MN se numeste izomorfism daca el este bijectiv.

Propozitia 1 Fie f:MN, un morfism de R-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

f este epimorfism;

Im f=N;

Pentru orice R-modul stang,K si orice doua R-morfisme g,h:NK, din gf=hf se obtine g=h;

Pentru orice R-modul stang,K si orice R-morfism g:NK, din gf=0 se obtine g=0.

Propozitia 2 Fie f:MN, un morfism de R-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

f este monomorfism;

Ker f=0;

Pentru orice R-modul stang,K si doua R-morfisme g,h:KM, din fg=fh se obtine g=h;

Pentru orice R-modul stang,K si orice R-morfism g:KM din gf=0 se obtine f=0.

1.1.6. Teoreme de factorizare.

Definitia 1 Un morfism de R-module, f:MN, se spune ca este factorizat prin g si h, daca el este compunerea lui g cu h: f = gh.

Observatie: Teorema factorizarii (data mai jos), arata ca un morfism f este factorizat in mod unic prin orice epimorfism al carui nucleu este continut in Ker f si prin orice monomorfism a carui imagine contine Im f.

Teorema 1 (Teorema factorizarii)

Fie M,M’,N,N’ R-module stangi si f:MN un R-morfism.

Fie g:MM’ un epimorfism cu Ker gKer f. Atunci exista un unic morfism h:M’N, astfel incat f=hg. M f N

Mai mult,Ker h=g(Ker f)si Im h=Im f .

Asa ca h este monomorfism daca si numai g h

daca Ker g=Ker f si h este epimorfism daca

si numai daca f este epimorfism. M’

Daca g:N’N este un R-morfism cu Im fIm g, atunci exista un unic morfism h:MN’, astfel incat f=gh. M’ f N

Mai mult, Ker h=Ker f si Im h=g(Im f),

adica:h este monomorfism daca si numai daca g

f este monomorfism si h este epimorfism daca

si numai daca Im g=Im f. N’

Teoreme de izomorfism:

Fie M,N doua R-module stangi.

Daca f:MN este un apimorfism cu Ker f=K, atunci exista un unic izomorfism

:M/KN, dat prin (x+K)=f(x).

Daca KLM, atunci M/L(M/K)/(L/K).

Daca HM si KM, atunci (H+K)/KH/(HK).

1.1.7.Exactitate.

Definitia 1 O pereche de morfisme M’MM” se spune ca este exacta in M daca Im f=Ker g.

Definitia 2 Un sir finit sau infinit de morfisme …MMM… se numeste exact in fiecare M, adica Im f=Ker f, nN.

Propozitia 1 Fie M si N doua R-module si f:MN un R-morfism.

Sirul OMN este exact daca si numai daca f este monomorfism;

Sirul MNO este exact daca si numai daca f este epimorfism;

Sirul OMNO este exact daca si numai daca f este izomorfism.

Definitia 3 Se numeste conucleul morfismul f:MN, submodulul N/Im f si se noteaza CoKer f.

Propozitia 2 Fie M si N doua R-module si f:MN un R-morfism. Atunci sirul

OKer fMNCoKer fO este exact, unde i:Ker fM este aplicatia incluziune, iar u:N N/Im f=CoKer f este surjectia canonica.

Definitia 4 Un sir exact de forma OKMNO se numeste sir exact scurt.

Observatie: 1) In sirul exact scurt f este nonomorfism, iar g este epimorfism.

2) Sirul exact scurt se mai numeste si extensia lui K la N.

Lema 1 Fie diagrama comutativa de R-module si R-morfisme :

f g

AB C

, atunci:

A’ B’ C’

f’ g’

Daca , si f’ sunt monomorfisme, atunci este monomorfism;

Daca , si g sunt epimorfisme, atunci este epimorfism;

Daca este monomorfism si ,g sunt epimorfisme, atunci este monomorfism;

Daca este epimorfism si f’, sunt monomorfisme, atunci este epimorfism.

Lema 2 (Leme celor cinci morfisme)

Fie diagrama comutativa de R-module si R-morfisme:

A B C D E

A’ B’ C’ D’ E’

a) Daca este epimorfism si sunt monomorfisme, atunci este monomorfism;

Daca este monomorfism si sunt epimorfisme, atunci este monomorfism;

c) Daca sunt izomorfisme, atunci este izomorfism.

Latici distributive.Conditii de modularitate.

DacaM este un R-modul stang, atunci multimea S(M) a submodulelor lui M este o latice completa, modulata in raport cu relatia „”, adica:

Daca A este multime nevida de submodule, atunci sup A=A, AA si

inf A=A, AA.

Daca K,LM(sunt submodule) si HM, cu LK, atunci:

H(L+K)=L+(HK) (conditia de modularitare).

1.1.8. Produse si sume directe de submodule.

Definitia 1 Fie (M) o familie de R-module si ,,produsul cartezian al multimilor M. Daca reprezinta aplicatia proiectie pe coordonata , atunci pentru fiecare x=(x) si y=(y), definim suma si produsul cu un element din inelul R prin:

()=()+(),

.

AcestM,, cu operatiile de adunare si inmultire cu scalari, definite mai sus, devine un R-modul numit produsul direct al familiei de si se noteaza cuM,xA.

Observatie: Daca M=M, , notam M=M. Daca M=M, atunci produsul direct se noteaza cu (M,).

Propozitia 1(proprietatea de universalitate a produsului direct)

Fie , o familie de R-module, N un R-modul si o familie de morfisme, :,. Atunci exista un unic morfism f:NM, astfel incat pentru fiecare sa avem f=f,adica urmatoarea diagrama este comutativa:

N

f

f f

f

M M

M

M

Definitia 2 Unicul morfism f:NMdin proprietatea de universalitate se numeste produsul direct al familiei si se noteaza f=f.

Definitia 3 O pereche ((j),M), unde M este un R-modul si morfismele j:MM, se numeste suma directa a familiei (M), daca pentru fiecare familie de morfisme f:MN, , exista un unic morfism f:MN astfel incat f=fj,

Observatie: Suma directa este unica pana la un izomorfism.

N

f f

f

f

M M M

M

1.2 ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR

Teoria categoriilor este o ramura moderna a matematicii, care dateaza din anul 1945, prin aparitia lucrarii lui Eilenberg si MacLane. Aceasta teorie a constituit un salt important in matematica, comparabil descoperirii teoriei multimilor.

Prin teoria categoriilor, printre altele, se realizeaza o sistematizate a intregii matematici, sistemetizare care s-a dovedit foarte importanta in obtinerea unor noi rezultate.

Teoria categoriilor sta la baza multor ramuri ale matematicii moderne.

1.2.1 Definitia categoriei. Exemple.

Definitia 1 O categorie consta in urmatoarele date D,D,D si urmatoarele axiome C,C,C:

(D) Se da o clasa de obiecte, pe care o notam cu Ob(C). Obiectele de obicei se noteaza cu litere mari.

(D) Pentru orice perche ordonata de obiecte A,BOb(C) se da o multime notata cu Hom(A,B), care poate fi si vida, si care se numeste multimea homomorfismelor (morfismelor) de la A la B.

Daca fHom(A,B), atunci se spune ca f este morfism de la A la B si se noteaza f:AB. A se numeste domeniul sau adresa lui f , iar B se numeste codomeniu sau sursa lui f . Daca nu exista pericol de confuzie atunci se poate nota multimea homomorfismelor cu Hom(A,B).

(D) Pentru orice A,B,COb(C) se da o aplicatie de la Hom(A,B)Hom(B,C) la Hom(A,C), care poarta numele de lege de compunere a morfismelor.

Prin aceasta aplicatie, pentru orice pereche (u,v) cu uHom(A,B) si vHom(B,C) se ataseaza un unic element wHom(A,C) : (u,v)w. Acest unic w se noteaza cu w:=vu=vu, si se citeste „compusul morfismului v cu morfismul u”.

(C) Pentru orice (A,B) si (A,B), perechi deobiecte, avem:

Hom(A,B)Hom(A,B)=,

cu exceptia cazului A=A si B=B, cand cele doua morfisme coincid.

(C) Asociativitatea compunerii morfismelor:

Pentru orice morfisme u, v, w ale categoriei avem w(vu)=(wv)u, ori de cate ori compunerea are sens, adica u:AB, v:BC, w:CD.

(C) Existenta morfismului identitate:

Pentru orice obiect Aob(C), exista un morfism notat 1Hom(A,A), astfel incat sa avem:

1) Pentru orice Xob(C) si orice uHom(X,A) are loc 1u=u

XAA

2) Pentru orice Yob(C) si orice v Hom(A,Y) are loc v1=v.

1 se numeste morfismul identic al obiectului A. El joaca rol de unitate la stanga pentru orice morfism de adresa A si unitate la dreapta pentru orice morfism de sursa A.

Exemple de categorii:

Pentru a da o categorie trebuie sa precizam clasa de obiecte, morfismele sale si legea de compunere a morfismelor, apoi trebuie verificate axiomale C, C, C.

Exemplul 1: Categoria Ens : = E = categoria multimilor.

Obiectele categoriei sunt toate multimile posibile, Hom(A,B):={f | f:AB}, iar compunerea morfismelor inseamna compunerea uzuala a functiilor.

Axiomele se verifica imediat:

(C) Presupunem Hom(A,B)(A,B), exista f:AB si f:AB, A=A si B=B sau intersectia este vida.

(C) Se stie ca, in cazul functiilor, compunerea este asociativa.

(C) Functia identica 1:AA, 1(x)=x, xA.

Exemplul 2: Categoria Gr, a grupurilor:

Obiectele categoriei sunt grupurile, morfismele sunt morfisme de grupuri, iar compunerea morfismelor este cea uzuala.

Exemplul 3: Categoria modulelor stangi sau drepte peste un inel unitar R: R-Mod, respectiv Mod-R.

Obiectele categoriei R-Mod, de exemplu, sunt modulele la stanga peste inelul R, morfismele sunt morfismele de module, iar compunerea este compunerea obisnuita a functiilor.

1.2.2. Clase speciale de morfisme

Monomorfisme si epimorfisme

Fie C o categorie, A si B doua obiecte ale categoriei, iar uHom(A,B) un morfism.

Definitia 1 Morfismul u:AB se numeste monomorfism, daca pentru orice obiect Xob(C) si orice doua mofisme si Hom(X,S) din relatia u=u se obtine = (monomorfismul se poate simplifica la stanga).

Exemplu: 1 este monomorfism , Aob(C), deoarece:

Xob(C) si , Hom(X,A) astfel incat 1=1 (din definitia morfismului identic).

Propozitia 1 Fie uHom(A,B), vHom(B,C), A,B,Cob(C). Atunci avem:

Daca u, v sunt monomorfisme, atunci vu este monomorfism;

Daca vu este monomorfism, atunci u este monomorfism.

Definitia 2 Fie A, Bob(C) si unde uHom(A,B). Morfismul u se numeste epimorfism daca pentru orice obiect Yob(C) si orice doua morfisme si Hom(B,Y) din reltia u=u se obtine = (epimorfismul se poate simplifica la dreapta).

Exemplu: 1 este epimorfism, Aob(C) pentru ca:

Yob(C), Hom(A,Y) astfel incat =1 =, . . 1 ξ

A A Y . . η

Propozitia 2 Fie u Hom(A,B), vHom(B,C), A,B,Cob(C). Atunci avem:

Daca u,v sunt epimorfisme, atunci vu este epimorfism;

Daca vu este epimorfism, atunci v este epimorfism.

Observatie: Definitia monomorfismului (epimorfismului) este echivalenta cu urmatoarea:

u:A B este monomorfism (epimorfism) daca pentru orice X (respectivY) si pentru orice doua morfisme Hom(X,A) (respectiv, Hom(B,Y)) din relatia se obtine u u (respectiv, u u).

Bimorfisme si epimorfisme

Definitia 1.2.3. Se numeste bimorfism, un morfism u:A B, care este simultan monomorfism si epimorfism.

Exemplu: Pentru orice Aob(C), morfismul identic este bimorfism.

Definitia 1.2.4.: Se numeste izomorfism un morfism u:AB cu proprietatea ca exista un morfism v:BA, astfel incat sa avem: uv = si vu = .

Exemplu: Pentru orice Aob(C), morfismul identic este un izomorfism.

Remarca: Daca u este izomorfism, atunci morfismul v este si el izomorfism si este unic. El se numeste morfismul invers al lui u si se noteaza cu u. Deci, (u) = u.

Legatura intre izomorfism si bimiorfism este data de urmatoarea propozitie:

Propozitie 1.3.3. Orice izomorfism este bimorfism (dar nu si reciproc).

Sectiune si retracta

Definitia 1.2.5. Un morfism u, dintr-o categorie C, se numeste sectiune (retracata), daca el este inversabil la stanga (dreapta).

Observatie: u:A B, este sectiune (retracta), daca exista v:B A, astfel incat vu = 1

(uv = 1).

Un morfism, care este sectiune si retracta este izomorfism.

1.2.3. Categoria duala. Principiul dualitatii

Daca C este o categorie, atunci putem sa-i asociem acestei categorii o alta categorie C*, definita in felul urmator:

(D*) ob(C*) = ob(C).

(D*) A, Bob(C), definim Hom(A,B)

(D*) A,B,Cob(C), definim pe Hom(A,B) Hom(B,C)Hom(A,C), compunerea in felul urmator:

Daca uHom (A,B) si vHom(B,C), definim compunerea vu = uv. Adica se schimba ordinea de compunere a morfismelor:

ABC si ABC

Se constata imediat ca sunt indeplinite cele trei axiome ale definitiei categoriei.

Dualizarea: Fie N o notiune referitoare la o anumita categorie. Fie C o categorie si C* duala sa. Notiunea N din categoria C*, dar interpretata in categoria C se numeste duala notiunii N.

Exemplu: N = „u este monomorfism”,

adica u:AB, cu proprietatea ca pentru orice X, obiect al categoriei si orice Hom(X,A) cu u = u = .

N* = („u este monomorfism”)*,

adica u:B A, cu proprietatea ca pentru orice X, obiect al categoriei si orice Hom(A,X) cu u = u = , deci duala monomorfismului este epimorfism.

In mod asemanator se arata:

(epimorfism)* = monomorfism

(bimirfism)* = bimorfism

(izomorfism)* = izomorfism.

Definitia 1.3.1. Fie P o propozitie matematica, iar P* propozitia care se obtine din P inlocuind fiecare notiune cu notiunea sa duala. Propozitia P* se numeste duala propozitiei P.

Exemplu: P: Fie u si v doua morfisme, u:AB si v:BC.

Daca u, v sunt monomorfisme, atunci vu este monomorfism.

Daca vu este monomorfism, atunci u este monomorfism.

P*: Fie u si v doua morfisme, u:AB si v:BC.

Daca u, v sunt epimorfisme, atunci vu epimorfism.

Daca vu este epimorfism, atunci v este monomorfism.

Teorema 1 (principiul dualitatii):

Fie P o proprietate referitoare la o categorie, iar P* duala sa, atunci P* este adevarata daca si numai daca P este adevarata.

1.2.4. Sume si produse directe

Definitia 1 Fie C o categorie, (A)iI o familie oarecare de obiecte si S un obiect din categorie, Sob(C). Se spune ca S este suma directa a familiei (A) daca exista o familie de morfisme (), :AS satisface urmatoarele conditii:

Oricare ar fi S’ un obiect si familia de morfisme (u), u:AS’, exista un unic morfism u:SS’ care face comutativa diagrama, adica u=u.

A S

u !u

S’

Definitia 2 Daca intr-o categorie orice familie finita de obiecte admite suma directa atunci categoria se numeste categorie cu suma directa. Daca orice familie finita sau nu, admite suma directa atunci categoria se numeste categorie cu suma infinita.

Observatie: Suma directa se noteaza ((),S), iar S se noteaza S = A, sau S = A.

Daca exista o suma directa pentru o familie de obiecte data, atunci ea este unica pana la un izomorfism.

1.3 TIPURI SPECIALE DE MODULE

1.3.1 Submodule esentiale si submodule superflue.

In acest paragraf toate modulele si morfismele de module sunt privite peste inelul R cu actiune la stanga.

Definitia 1 Un submodul K al unui modul M este sumand direct in M daca si numai daca exista un submodul K’ al lui M astfel incat KK’=O si K+K’=M, adica K are complement in laticea submodulelor lui M.

Pentru orice submodul K al lui M putem gasi mereu un submodul care impreuna cu K sa satisfaca una sau alta din aceste conditii. De exemplu: KO=O si K+M=M. Ne intereseaza acele submodule ale lui M care satisfac doar una din conditii si sunt „cele mai bune”.

Definitia 2 Un submodul K al lui M se numeste esentail sau larg, lucru ce se noteaza KM, daca pentru orice L submodul al lui M cu LK=M se obtine L=M.

Definitia 3 Un submodul K al lui M se numeste superfluu sau mic,lucru ce se noteaza cu K<<M, daca pentru orice submodul L al lui M cu L+K=M se obtine L=M.

Observatie: Aceste trei concepte de sumand direct, submodul esential si submodul superfluu sunt reminescente ale conceptelor topologice de componenta conexa, densa si nicaieri densa.

Intr-un anumit sens un submodul esential al lui M domina laticea submodulelor, adica nu este dependent de nici un submodul nenul, iar submodulele superflue sunt neesentiale intrucat ele nu contribuie cu nimic la generarea lui M.

Definitia 4 Un monomorfism f:KM se numeste esential, daca imaginea lui f este submodul esential al lui M (Im fM), iar un epimorfism g:MN este superfluu, daca nucleul sau este submodul superfluu in M (Ker g<<M).

Observatie:Aceste doua cocepte sunt duale in categoria R-modulelor.

Propozitia 1 Pentru un submodul K al lui M (KM) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

KM;

Aplicatia incluziune i:KM este monomorfism esential;

Pentru orice modul N si orice morfism hHom(M,N) cu Ker hK=O se obtine Ker h=O.

Demonstratie:

(a)(b) Evident conform definitiilor.

(b)(c) i:KM si h:MN, i monomorfism esentialIm iM, dar

Ker hM, deci, conform definitiei, Im iKer h=O, iar Im i=K.

(c)(a) Presupunem ca LM astfel incat LK=O. Consideram epimorfismul natural n:MM/L (surjectia canonica). Evident, Ker n=LKer nK=O Ker n=O(pe baza lui (b))L=O.

Corolar 1 Un monomorfism f:LM este esential daca si numai daca pentru toate morfismele h pentru care hf este monomorfismh este monomorfism.

Demonstratie:

Se foloseste urmatorul rezultat: daca g:MN este un morfism si f:NP un monomorfism astfel incat gf este monomorfism, atunci g este monomorfism.

Propozitia 2 Pentru un submodul K al lui M, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

K<<M;

Aplicatia naturala p:MM/K este un epimorfism superfluu;

Pentru orice submodul N si orice morfism hHom(N,M) cu

Im h + K = M Im h = M.

Demonstratie:

Se observa aceasta propozitie este duala propozitiei 1 dupe cum si urmatorul corolar este dualul corolarului 1.

Corolar 2 Un epimorfism g:MN este superfluu daca si numai daca pentru toate morfismele h cu gh epimorfismh este epimorfism.

Propozitia 3 Fie M un modul cu submodulele KNM si HM, atunci:

KMKN si NM;

HKM HM si KM.

Demonstratie:

a)() Fie KM si fie OLMKMO. Luand in particular L<NKM.

De asemenea KN si LNONM.

() Fie L<M astfel incat LK=O. Dar K=KNL(KN)=O

(LK)N=O (dar KN, din ipoteza) LN=O (dar NM, din ipoteza) L=OKM.

b)( ) Este consecinta a primului punct in care HKHM si HKKM.

() Fie LM cu LKH=O (dar KM, din ipoteza)LH=O (dar HM,din ipoteza) L=OHKM.

Propozitia 4 Fie un modul M cu submodulele K<N<M si H<M, atunci:

N<<MK<<M si N/K<<M/K;

H+K<<MH<<M si K<<M.

Demonstratie: Se observa ca aceasta propozitie este duala propozitiei 3.

Lema 1 Daca K<<M si f:MN este un morfism, atunci f(K)<<N. In particular, daca K<<MNK<<N.

Demonstratie:

Fie LN cu proprietatea ca L+f(K)=Nf(L)+K= f(N)=M. Deoarece K<<M f(L)= M KM= f(L)f(K)LL=Nf(K)<<N.

Lema 2 Un submodul K al lui M este esential in M daca si numai daca pentru orice element nenul al lui M exista rR astfel incat rx0 si rxK.

Demonstratie:

() Daca presupunem K<M si 0xM, atunci RxKOrR astfel incat 0rxK.

() Fie 0xLM, atunci din ipoteza exista rR astfel incat 0rxKLKM.

Propozitia 5 Daca KMM si KMM, iar M= MM, atunci:

KK<< M M K<< M si K<<M;

KKM M KM si KM.

Observatie: Daca NM si N’M, maximal cu proprietatea ca NN’=O spunem ca N’ este un M-complement al lui N. Folosind principiul de maxim se vede imediat ca daca NM, atunci multimea acelor submodule ale lui M a caror intersectie este nula contine un element maximal: N’. Acest lucru justifica urmatorul rezultat:

Propozitia 6 Fiecare submodul N al lui M are un M-complement.Mai mult, daca N’ este un M-complement al lui N, atunci:

NN’M;

NN’/N’M/N’.

1.3.2 Generari si cogenerari

Conceptul de multime de generatori pentru un modul nu este categorial (depinde de morfismele si obiectele categoriei) si nu are dual natural. Exista insa un echivalent al sau care este categorial si are un dual foarte important:conceptul de cogenerare.

In acest paragraf toate modulele si morfismele de module sunt privite peste inelul R cu actiune la stanga.

Clase generate si clase cogenerate

Definitia 1. Fie U o clasa de module, un modul M este (finit) generat de U sau U genereaza (finit) pe M daca exista o multime (finita), indexata (U), (A fiind o multime de indici) in U si un epimorfism de la UMO.

Observatie: Daca familia U ={U}, spunem ca U genereaza (finit) M, adica exista un epimorfism de la UMO.

Teorema 1. Daca un modul M are o multime de generatori XM, atunci exista un epimorfism RMO , ceea ce ne arata ca R genereaza pa M. Mai mult, R genereaza finit pe M M are o multime finita de generatori.

Demonstratie:

Fie X M o multime de generatori. Pentru fiecare xM consideram aplicatia :RM (r)=rx, care este un R-morfism stang. Fie =x, suma directa a acestor morfisme, cu :RM. Cum Im=Im=Rx=M (deoarece X=familie de generatori) epimorfism R genereaza pe M.

Exemplu: Reamintim ca un grup (Z –modul) M este de torsiune daca fiecare element al sau are ordin finit. Daca M este de torsiune, pentru fiecare xM exista un numar natural n(x)=ordinul lui x si un morfism f:ZM, care are imaginea Im f= Zx.

Consideram suma directa f: ZM, care are imaginea Im f=Zx.

Consideram suma directa f: ZM, care este un epimorfism, f= f, xM.

Reciproc, daca M este imaginea epimorfica a unei sume directe de grupuri finite, atunci el este evident generat de elementele de ordin finit, deci este de torsiune.

In concluzie, in grup abelian este de torsiune daca si numai daca este generat de familia: U = {Z| nN , n 2 }.

Observatie: Notiunea de generare este categoriala, deoarece depinde numai de obiectele si morfismele categoriei modulelor si nu de elementele vreunui anumit modul.

Conceptul dual este dat de:

Definitia 1. Fie U o clasa de module. Un modul M este (finit) cogenerat de U daca exista o multime (finita), indexata (U) in U si un monomorfism OMU.

Observatie: Daca U={U} spunem ca U cogenereaza pe M, adica exista un monomorfism de la OMU.

Exemplu: Fie M un grup abelian fara torsiune. Exista atunci un monomorfism MQ, adica M este cogenerat de Q. Pe de alta parte orice subgrup al lui Q este fara torsiune. În concluzie grupurile abeliene fără torsiune sunt cogenerate de Q.

Notații: Fie U o clasă de module, notăm cu Gen(U), clasa tuturor modulelor generate de U si cu Cog(U), clasa tuturor modulelor cogenerate de U.

FGen(U) si FCog(U) reprezintă clasele de module finit generate, respectiv cogenerate de U.

Propoziția 1 Fie U o clasă de module.

Dacă MGen(U), atunci orice imagine epimorfică a lui M este tot in Gen(U);

Dacă (M) este o mulțime indexată din Gen(U), atunci si suma directa a familiei: MGen(U).

(Acest rezultat este valabil și în cazul generării finite).

Demonstratie: a) MGen(U)(U) si f:UM’ este epimorfismM’Gen(U).

b) (M)Gen(U) (U)U si aplicatiile f: UM epimorfisme.

Consideram R-morfismul f=f:(U)M care este un epimorfism M Gen(U).

Observatie: Propozitia arata ca, clasa modulelor generate de U este inchisa in categoria R-Mod la izomorfisme, luarea modulelor factor si la sume directe.

Propozitia 2 (varianta duala): Fie U o clasa de module.

MCog(U) si g:MM’ este un monomorfism, atunci M’Cog(U);

(M)Cog(U), atunci MCog(U).

Corolar 1 (tranzitivitatea generarii si cogenerarii): Fie U si V doua clase de module.

Daca VGen(U)(respectiv VFGen(U)), atunci intreaga clasa Gen(V)Gen(U) (respectiv FGen(V) FGen(U));

Daca VCog(U) (respectiv VFCog(U)), atunci intreaga clasa Cog(V) Cog(U) (respectiv FCog(V) FCog(U)).

Observatie: Exista si o alta cale de descriere a conceptelor de generare si cogenerare.

Clasa U genereaza M daca si numai daca exista o suma de submodule, fiecare din ele fiind imaginea epimorfica a unui anumit submodul din U.

Clasa U cogenereaza M daca si numai daca exista o multime K de submodule ale lui M astfel incat M/K se scufunda intr-un anumit modul din U pentru fiecare KK si K=O.

Generatori si cogeneratori

Daca U si V sunt clase de module care se genereaza una pe alta, atunci Gen(U)=Gen(V). Este posibil ca cele doua module sa fie total diferite.

Data fiind clasa U , se pune problema gasirii unei cele mai mici clase care sa genereze pe Gen(U)(la fel si pentru Cog(U)).

Definitia 3 O multime U’U este o clasa de reprezentanti de tipuri izomorfe a lui U daca fiecare UU este izomorf cu un element din U’. Daca in plus nu exista doua elemente din U’ izomorfe, atunci clasa de reprezentanti este ireductibila(minimala).

Observatie: Daca U’ este o clasa de reprezentanti pentru U, atunci:

Gen(U’)=Gen(U) si Cog(U’)=Cog(U).

Definitia 4 Data fiind o clasa U, un modul G este generator pentru Gen(U) daca Gen(U)=Gen(G).

Un modul C este un cogenerator pentru Cog(U) daca Cog(U)=Cog(C).

Un generator (cogenerator) pentru clasa R-Mod (clasa tuturor R-modulelor stangi) se numeste, simplu, generator (cogenerator) fara referire la clasa.

Corolar 1 Modulul R este un generator.

Exemplu: Modulul G=Z, n este un generator pentru clasa grupurilor de torsiune, iar Q este un cogenerator pentru clasa modulelor fara torsiune.

Propozitia 3 Daca U are multimea de reprezentanti {U}, atunci:

a) U este un generator pentru Gen(U);

b) U siU sunt cogeneratori pentru Cog(U).

Demonstratie:

b) Din propozitia anterioara atat U cat si submodulul sau U sunt in Cog(U). Aplicatiile incluziune i:U U sunt monomorfisme, asa ca U cogenereaza fiecare U, deci cogenereaza Cog(U).

Propozitia 4 Fie U si M, doua R-module stangi, atunci:

U genereaza (finit) pe Mexista o submultime(finita) HHom(U,M), asa incat M=Im h;

U cogenereaza (finit) pe Mexista o submultime(finita) HHom(M,U), asa incat Ker h=0.

Demonstratie:

b)()Presupunem ca U cogereaza pe Mf:MU un monomorfism. Pentru orice A, consideram morfismul f:MU, unde : UU este proiectia canonica a produsului direct: U. Evident f=f si Ker f=Ker f.

f monomorfismKer f=OKer f=O.

()Daca HHom(M,U) este o familie de morfisme cu Ker h=O, atunci morfismul h:MU are nucleul Ker h=Oh este monomorfism U cogenereaza pe M.

Corolar 2 Fie U,N si M trei R-module, atunci:

U cogenereaza pe Mpentru fiecare morfism nenul f:MN, exista un morfism h:UM astfel incat fh0.

U cogenereaza pe Mpentru fiecare morfism nenul f:NM, exista un morfism h:MU astfel incat hf0.

1.3.3 Trasul(urma) si rejectul(reziduul) unui modul

Fie U o clasa de module. Indiferent daca U genereaza sau nu modulul M, exista un unic submodul, „cel mai mare” al lui M, generat de U si dual: exista un unic modul factor, „cel mai mare” al lui M cogenerat de U.

Definitia 1 Trasul(urma) lui U in M este Tr(U) ={Im h| h:MU, UU}.

Rejectul(reziduul) lui U in M este Rej(U) ={Ker h| h:MU, UU }.

In particular, daca U = {U}, atunci avem:

Tr(U) ={Im h| hHom(U,M)}.

Rej(U) ={Ker h| h Hom(M,U)}.

Propozitia 1 Fie U o clasa de module si M un modul. Atunci:

Tr(U) = unicul submodul L, cel mai mare al lui M, generat de U;

Rej(U) = unicul submodul K, cel mai mic, astfel incat M/K este cogenerat de U.

Demonstratie: h

Fie (U)U si fie h:UM, U M

i:UU, h i:UM. i

h i

U

Avem Im h=Im h i Tr(U), asa ca fiecare submodul a lui M din Gen(U) este continut in clasa Tr(U).

Pe de alta parte, exista o multime indexata {U} si morfismele h:UM astfel incat Tr(U)= Im hh:UM are imaginea Tr(U), deci Tr(U)Gen(U).

Fie (U)U, o familie de module si h:MU, un morfism.

Consideram diagrama: M U

h

U

Fie K=Ker h, atunci K=Ker(h)Rej(U).Asa ca M/K este cogenerat de U.

Pe de alta parte exista o multime indexata (U) din U si morfismele h:M U astfel incat Rej(U)=Ker h conform caracterizarilor anterioare. Atunci morfismul h:MU are nucleul Rej(U). Deci M/Rej(U)Cog(U).

Corolar 1 Fie M un modul si U o clasa de module, atunci:

U genereaza pe M Tr(U)=M;

U cogenereaza pe M Rej(U)=O.

Corolar 2 Fie M un modul si U o clasa de module, iar KM, atunci:

K=Tr(U) K Tr(U) si Tr(U)=K;

K=Rej(U)K Rej(U) si Rej(U)=O.

In particular: Tr(U)=Tr(U) si Rej(U)=O.

Exemplu:

a) Fie U={Z, n2}, atunci pentru fiecare grup abelian M, cu Tr(U) = T(M) = subgrupul de torsiune al lui M, atunci T(M) este cel mai mare subgrup al lui M cu aceasta calitate si avem T(T(M))=T(M).

b) Daca M este un grup abelian, atunci Rej(U)={K|KM,K/M fara torsiune}.Si in plus avem T(M/T(M))=O.

Propozitia 2 Fie U o clasa de module si M<N doua R-module, f:MN un R-morfism, atunci f(Tr(U))Tr(U) si f(Rej(U)) Tr(U). In particular, Tr(U) si Rej(U) sunt bimodule R-stangi si End(M)-drepte ale lui M.

Corolar 3 a) Daca f:MN este un monomorfism si Tr(U)Im f, atunci f(Tr(U))= Tr(U).

b) Daca f:MN este un epimorfism cu Ker f Rej(U), atunci f(Rej(U))=Rej(U).

Propozitia 3 Daca (M) este o familie de morfisme de module, atunci pentru fiecare clasa de module U avem: Tr(U)=Tr(U), A si Rej(U)=Rej(U), A.

Lema 1 Daca U si V sunt clase de module, atunci:

Daca VGen(U), atunci Tr(V) Tr(U);

Daca VCog(U), atunci Rej(U) Rej(V).

Propozitia 4 Fie G un generator pentru Gen(U) si C un cogenerator pentru Cog(U). Atunci pentru fiecare modul M avem: Tr(U)= Tr(G) si Rej(U)= Rej(C).

In particular, daca (U) este o multime indexata de modulele:

Tr( U)=Tr(U) si Rej(U)=Rej(U)=Rej(U), A.

Exista doua cazuri speciale:

Propozitia 5 Pentru fiecare clasa U de module, Tr(U) este un ideal bilateral. Mai mult, un modul M este un generatorTr(M)=R.

Definitia 2 Se numeste anulatorul stang al R-modului M, idealul 1(M)={rR|rx=0,xM}.

Propozitia 6 Pentru fiecare R-modul stang, M avem Rej(M)=1(M).

Corolar 4 Pentru fiecare clasa de module stangi U : Rej(U)= 1(U) este un ideal bilateral.

1.3.4 Module semisimple. Soclul si radicalul

Module semisimple

Definitia 1 Fie (T) o multime indexata de module simple ale lui M. Daca M este suma directa directa a acestei multimi, atunci M=T,A este o descompunere semisimpla a lui M.

Definitia 2 Un modul M se numeste semisimplu daca el are o descompunere semisimpla.

Observatie: Evident, orice modul simplu este semisimplu, asa ca pentru orice inel exista module semisimple. Asa cum vom vedea, modulele semisimple nu sunt din belsug, dar orice suma directa de module simple este semisimpla.

Daca un modul este generat de o familie de submodule simple (T), atunci acestea se comporta ca subspatii unidimensionale generate de o multime de generatori pentru un spatiu vectorial.

Lema 1 Daca (T) este o multime indexata de submodule simple ale R-modulului stang, M si daca M=T, atunci pentru fiecare submodul K al lui M exista o multime BA asa incat (T) este independenta si M=(T).

Demonstratie: Fie HM, un submodul al lui M. Din principiul de maxim exista o submultime BA, maximala in raport cu conditiile ca (T) care sa fie independenta si K(T)=O. Atunci suma N=K (T) este directa.

Sa aratam ca N=M. Fie A.Deoarece T este simplu, atunci: sau TN= T sau TN=O. Dar TN=O duce la contradictie cu maximalitatea lui B. Astfel TN, A, asa ca M=N.

Ca o consecinta a acestei leme fundamentale avem urmatoarea generalizare a faptului ca intr-un spatiu vectorial, multimea de generatori contine o baza:

Propozitia 1 Daca un modul M este generat de multimea indexata (T) de submodule simple, atunci exista BA , astfel incit M=T,B, adica M este semisimplu.

Demonstratie: Luam K=O in lema 1.

Propozitia 2 Fie M un R-modul stang semisimplu cu descompunerea semisimpla, M=T, A. Daca OKMNO este un sir exact de R-module, atunci acesta este scindat si atat K cat si N sunt semisimple. Intr-adevar, exista o submultime BA si izomorfismeleNT,B si KT,A/B.

Demonstratie: Avem f:KM si g:MN. Deoarece Im f este submodul in M, exista conform lemei 1 o submultime BA astfel incat M=(Im f)( T),B. Astfel sirul este scindat si NM/Im f= T,B. De asemenea M=( T)( T),B si A/B.

Asa ca avem KIm f T,A/B.

Aceasta este un rezultat semnificativ. Orice submodul si orice modul factor al unui modul semisimplu este semisimplu. Mai mult, orice submodul este sumand direct.

Corolar 1 Fie (T), o multime indexata de submodulele semisimple ale lui M, astfel incat T(T)O, atunci exista un A astfel incat TT.

Demonstratie: Daca T este simplu si T(T)O, atunci TT. Atunci, din propozitia 1 rezulta ca M este semisimplu si ca M= T,B, pentru un anumit BA.

Avem urmatoarea caracterizare fundamentala a modulelor semisimple:

Teorema 1 Pentru un R-modul stang urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

M este semisimplu;

M este generat de module simple;

M este suma unei anumite multimi de submodule simple;

M este suma submodulelor sale simple;

Orice submodul al lui M este sumand direct;

Orice sir exact scurt OKMNO de R-modulelor stangi este scindat.

Demonstratie:

e)d) Cum satisface e), rezulta ca orice submodul nenul al lui M are un submodul simplu. Intr-adevar, fie x0, xM. Atunci Rx este un submodul maximal, sa zicem H.Din e) avem M=HH’ pentru un H’M. Astfel, din modularitate rezulta:

Rx=RxM=H(RxH’) si RxH’Rx/H este simplu.

Astfel Rx are un submodul simplu. Fie N, suma tuturor submodulelor simple ale lui M. Atunci M=NN’, conform e), pentru un N’M. Cum N’N =O, N’ nu are submodule simple, dar cum am aratat aceasta inseamna ca N’=O. Asa ca N=M.

Exemplu: Este clar ca daca R este un inel cu diviziune, atunci orice spatiu vectorial M este semisimplu, caci M este generat de modulele sale ciclice si orice R-modul ciclic nenul este simplu.

Soclul unui modul

Echivalenta a)b) din ultima teorema arata ca, clasa R-modulelor semisimple stangi este cu siguranta clasa Gen(S), a modulelor generate de modulele semisimple din S. Astfel fiecare modul M are un submodul unic semisimplu, „cel mai mare”, trasul lui S in M, Acest modul este numit soclul lui M si se noteaza cu SocM=Tr(S). Evident M este semisimplu daca si numai daca M=SocM.

O importanta caracterizare a soclului este:

Propozitia 3 FieM un R-modul stang. Atunci:

SocM={KM | Kminimal in M}={LM | L este esential in M}

Demonstratie: Prima egalitate este evidenta. Sa o demonstram pe a doua:

Fie TM, semisimplu. Daca LM, atunci TLO, asa ca TL. Astfel SocM este continut in orice submodul esential al lui M.

Pe de alta parte notam multimea H={LM | LM}. Sa aratam ca H este semisimplu.

Fie NH si fie N’M un complement al lui N. Atunci N+N’=NN’M. Dar atunci NHNN’ si din modularitate: H=H(NN’)=N(HN’). Astfel N este sumand direct in H, deci H este semisimplu, asa ca HSocM.

Multe proprietati ale soclului rezulta din faptul ca SocM este chiar trasul in M al unei anumite clase de module. De exemplu, SocR este un ideal in R. Mai general:

Propozitia 4 Fie M si N doua R-module stangi si f:MN, un R-morfism. Atunci f(SocM)SocN. In particular, SocM este un submodul R-stang si EndM-drept al lui M.

Corolar 2 Fie M un modul si KM. Atunci SocM=KSocM. In particular, Soc(SocM)=Soc(M).

Demonstratie: Din propozitia anterioara SocKSocM. Dar KSocM este semisimplu, daci continut in SocM.

Soclul lui M este cel mai mare submodul al lui M, care este continut in fiecare submodul esential al lui M. In general, SocM nu este necesar sa fie esential in M.

Corolar 3 Fie M un R-modul stâng. Atunci SocMM dacă și numai dacă orice submodul nenul al lui M conține un submodul minimal.

Așa cum am observat, clasa R-modulelor stângi simple are o mulțime F de reprezentanți. Așa că avem:

Propoziția 5 Fie F o mulțime de reprezentanți ai R-modulelor stângi simple. Atunci pentru fiecare M, avem:

SocM=Tr(F) = Tr({T|TF})=∑ Tr(T).

Observăm că o consecință a propoziției este: clasa R-modulelor semisimple stângi are un generator semisimplu, anume{T |T F }.Dacă T este simplu, atunci trasul, Tr (T) al lui T în M se numește componentă T-omogenâ a lui SocM. Desigur Tr (T) este generat de un modul simplu, așa că este semisimplu și în SocM. Dar fiecare submodul semisimplu al lui Tr (T) este izomorf cu T. De exemplu, componenta Z-omogenă a soclului unui grup abelian M este chiar mulțimea elementelor de ordin p.

Definiția 3 Un modul semisimplu H este T-omogen dacă H=Tr (T).

Astfel este clar că pentru orice modul M componenta T-omogenă al lui SocM este unicul submodul semisimplu T-omogen, cel mai mare al lui M. Desigur, dacă M nu are submodule simple izomorfe cu T, atunci componenta T-omogenă a soclului său este O. Din ultima propoziție, componentele omogene ale lui SocM generează SocM; ele sunt independente și stabile față de endomorfismele lui M. Avem:

Propoziția 6 Soclul unui R-modul stâng, M este, ca un bimodul R-stâng și EndM-drept, o sumă directă a componentelor sale omogene.

Radicalul unui modul

Soclul unui modul este cel mai mare submodul al său generat de clasa S, a modulelor simple. Există un dual al acestei noțiuni: pentru fiecare modul M există un ”cel mai mare“ modul factor al lui M cogenerat de S. Oricum, ne concentrăm mai puțin asupra acestui modul factor al lui M, numit capitalul lui M, decât asupra rejectului corespunzător al lui S în M.

Definiția 4 Fie S clasa R-modulelor stângi simple.Pentru fiecare R-modul M, radicalul (Jacobson) al lui M este rejectul lui S în M: RadM=Rej(S).

Propoziția 7 Fie M un R-modul stâng. Atunci:

RadM=∩{KM |K maximal în M}=∑{LM |L <<M}

Demonstrație: Deoarece KM este maximal în M dacă și numai dacă M/K este simplu, prima egalitate rezultă imediat din definiția rejectului în M a unei clase.

Pentru a doua egalitate, fie L<<M. Dacă K este un submodul maximal al lui M și dacă LK atunci K+L=M; dar cum L<<M, atunci K=L (contradicție).

Deducem că orice submodul superfluu al lui M este conținut în RadM. Pe de alta parte :

Fiind dat xM și NM cu Rx+N==M, atunci sau N=M sau există un submodul maximal K al lui M cu NK și xK. Dacă xRadM, atunci ultima condiție nu poate avea loc. Astfel xRadM forțeaza ca Rx<<M și egalitatea secundă este demonstrată.

Deoarece radicalul lui M este rejectul în M al unei clase de module, deducem multe proprietăți ale lui RadM din acelea ale rejectului. De exemplu: RadR este un ideal în R. Mai general avem:

Propoziția 8 Fie M și N două R-module stângi și funcția f :M→N un R-morfism. Atunci f(RadM)RadN. În particular RadM este un submodul R-stâng și EndM-drept al lui M.

Dat un morfism f :M→N am văzut că f(RadM)RadN. Chiar dacă f este un epimorfism nu ne putem aștepta ca f(RadM) să fie radicalul lui M. Atunci o consecință imediată este:

Propoziția 9 Dacă f :M→N este un epimorfism și dacă Ker fRadM, atunci RadN=f(RadM). În particular, Rad(M/RadM)=O.

Reamintim că SocM=M dacă și numai dacă M este semisimplu. Duala acestei afirmații este:

Propoziția 10 Fie M un R-modul. Atunci RadM=O dacă și numai dacă M este cogenerat de clasa modulelor simple. În particular, dacă M este semisimplu atunci RadM=O.

Duala componentei T-omogene a soclului lui M este rejectul Rej(T).Avem:

Propoziția 11 Fie F o mulțime de reprezentanți ai R-modulelor simple, atunci pentru fiecareM avem: RadM=Rej({T |TF})= Rej(T)=∩ Rej(T).

Deci, radicalul lui M este cel mai mic submodul al lui M, care conține toate submodulele superflue. Totuși, radicalul nu trebuie neapărat să fie superfluu; avem o condiție suficientă ca RadM<<M, care nu este, însă necesară.

Propoziția 12 Dacă fiecare submodul propriu al lui M este conținut într-un submodul maximal al lui M, atunci RadM este unicul submodul superfluu, cel mai mare al lui M.

Demonstrație: Fie L un submodul propriu al lui M astfel încât L+RadM=M și K un submodul maximal cu LK. Atunci L+RadMKM(contradicție). Rezultă L=M, deci RadM<<M.

Propoziția 13 Dacă (M)este o mulțime indexată de submodule ale lui M cu M=M , atunci SocM=SocM și RadM=RadM.

1.3.5. Module finit generate și finit cogenerate

Așa cum am observat, conceptele de mulțime de generatori și mulțime de generatori finite nu sunt categoriale și nu au duale. În acest paragraf reformulăm conceptul de finit generat, atât laticeal teoretic cât și categorial și obținem un dual important.

Module finit generate

Definiția 1 Un modul M este finit generat dacă pentru fiecare mulțime A care generează M, există oanumită mulțime finită FA care generează M, adică ∑A=M=>∑F=M pentru o anumită mulțime finită FA. Observăm că aceasta este o reformulare a conceptelor familiare.

Propoziția 1 Următoarele afirmații despre un R-modul stâng, M sunt echivalente:

a) M este finit generat;

b) Pentru fiecare mulțime f:U→M, A cu M=∑Im f,A, există o mulțime finita FA cu M=∑Im f,F.

c) Pentru orice mulțime indexată (U)și epimorfismul f: U→M→O, A, există o mulțime FM și un epimorfism g : U→M→O, F, (f=f,g=g);

d) Orice modul care generează M, generează fmit pe M.

e) M conține o mulțime finită de generatori.

Demonstrație: Implicațiile a)=>b), c)=>d) sunt clare.

b)=>c) Avem că f= f,A este un epimorfism <=> ∑Im fi=M și fi:U→M, A.

d)=>e) evident

e)=>a) Presupunem că {x , x, … , x)este o mulțime finită de generatori pentru M și presupunem că A este o mulțime de submodule ale lui M cu M=∑A. Atunci pentru fiecare x , există o submulțime finită FA cu x∑ F.PunemF=FF……F.Atunci F este finită și deoarece ∑F este un submodul al lui M, conține o mulțime de generatori ai lui M => ∑F =M. Atunci M este finit generat.

Module finit cogenerate

Definiția modulului finit generat are o duală care nu este atât de familiară.

Definiția 2 Un modul M este finit cogenerat dacă pentru fiecare mulțime A de submodule ale lui M avem ∩A=O =>∩F =O pentru o submulțime finită FA (proprietatea intersecției finite).

De exemplu, grupul abelian Z (Z-modul) este finit generat (evident de {1}), dar nu este finit cogenerat. Grupul Z este finit cogenerat, dar nu este finit generat.(p-număr prim, Q={a/p|aZ, nN} Q, Z Q, Q/ Z= Z)

Numai patru condiții din propoziția anterioară au dual și surprinzator, numai trei dintre ele sunt echivalente.

Propoziția 2 Următoarele afirmații referitoare la un R-modul stâng M sunt echivalente:

a) M este finit cogenerat;

b) Pentru fiecare mulțime f:M→U A,cu ∩Ker f=O, există o mulțime finită FA cu ∩Ker f=O, F;

c)Pentru fiecare mulțime indexată (U ) și monomorfismul O→M→U, A există o mulțime finită FA și un monomorfism O→M→U,F.

Demonstrație: a)=>b) este evident;

b)=>a) Fie {M| A} submodule ale lui M cu ∩M ,A. Aplicăm b) pentru aplicațiile naturale f:M→U,A și rezultă a);

b)=>c) Presupunem că f :M→U,A, este un monomorfism, atunci ∩Kerf=O, A .Din b) există o mulțime finita FA cu ∩Kerf=O,F, așa că:

f:M→U este monomorfism.

Corolar 1 Dacă M este finit cogenerat, atunci fiecare modul care cogenereazâ pe M îl cogenerează finit pe M.

Demonstrație: Acest rezultat se obține din implicația b)=>c) a propoziției anterioare.

Propritatea modulelor finit cogenerate din corolar este duala proprietății d) din propoziția 1 de la finit generare și totuși ea nu caracterizează modulele fmit cogenerate.

De exemplu, grupul abelian Z , p-număr prim, nu este fmit cogenerat deși fiecare grup care îl cogenerează, îl cogenerează finit.

Acest fapt nu infirmă Principiul Dualitații – acela că duala unei teoreme este o teoremă. Implicația d)=>a) nu este o teorema în categoria R-Mod, a R-modulelor stângi, căci pentru a o obține utilizăm câteva versiuni ale unor fapte necategoriale. O versiune a lui c) din propoziție este ca M să aibă un cogenerator finit cogenerat pentru ca reciproca corolarului să fie adevarată în R-Mod.

Rolul soclului și al radicalului

Dăm acum caractcrizările fundamentale ale modulelor finit generate și finit cogenerate. Ele arată că “generarea finită” și "cogenerarea finită" sunt determinate de radicalul și soclul, respectiv.

Teorema 1 Fie M un R-modul stâng. Atunci:

a) M este finit generat <=> M/RadM este finit generat și epimorfismul natural M→M/RadM este superfluu (RadM<<M);

b) M este fint cogenerat <=> SocM este finit cogenerat și aplicatia incluziune O→SocM→M este esențiala (SocM M).

Demonstrație: Aratăm numai echivalența din b), deoarece demonstrația pentru a) este duală.

() Evident, un submodul al unui modul finit cogenerat este finit cogenerat. Așa că este suficient să arătăm că dacă M este finit cogenerat, atunci SocMM. Fie KM cu (SocM)K=O.

Cum SocM este intersecția tuturor submodulelor esențiale ale lui M și cum M este finit cogenerat , atunci există submodulele esențiale L,L,…,L ale lui M cu

LL…L K=O.

Dar (LL…L) M, de unde K=O => SocM M.

() Fie SocM fmit cogenerat și esențial în M. Fie A o familie de submodule ale lui M cu A=O. Atunci {ASocM | AA}=O => A,A,…,A cu (AA…A)SocM =(ASocM)…(ASocM)=O pentru anumiți A,A,…,AA.

Dar SocMM => AA…A=O=> M finit cogenerat.

Corolar 2 Fie M un modul nenul.

a) Dacă M este finit gcnerat, atunci M are un submodul maximal;

b) Dacă M este finit cogenerat, atunci M are un submodul minimal.

Pentru modulele semisimple cele douâ concepte sunt echivalente și avem:

Propoziția 3 Următoarele afirmații despre un modul semisimplu sunt echivalente:

a) M este finit cogenerat;

b) M=TT … T cu T simple, i=l,..,n;

c) M este finit generat.

Demonstrație:

a)=>b) Presupunem că are loc afirmația a). Cum M poate fi scufundat într-un produs de module simple atunci M poate fi scufundat într-un produs cu un număr finit de module simple.

b)=>c) Din forma pe care o are M , se observa că M este finit generat.

c)=>a) Deoarece M este semisimplu, el este generat de submodule simple. Din c), el este generat de o mulțime finită T .. .Tde submodule simple.

Demonstrăm a) prin inducție după n.

Evident, pentru n=l, M este simplu finit cogenerat.

Presupunem inductiv că n>l și că orice modul generat de mai puțin de n submodule simple este finit cogenerat. Mai presupunem că A este o mulțime de submodule ale lui M cu A=O. Atunci TL=O, pentru un LA. Deci L=S…S, fiecare S simplu și m<n.

Presupunem că A’={NL | NA} așa că A’ este o mulțime de submodule ale lui L cu A’=O.

Astfel pentru o anumită mulțime finită {N,…,N}A avem LN…N=O și M este finit cogenerat.

Putem da acum o caracterizare a modulelor finit cogenerate :

Propoziția 4 Un modul este finit cogenerat dacă și numai dacă soclul său este esențial și finit generat.

Este clar din definiție că dacă M este finit generat (finit cogenerat), atunci așa este orice modul factor (sumodul) al lui M. Atunci:

Propoziția 5 Fie M=MM…M. Atunci M este finit generat ,(cogenerat) dacă și numai dacă fiecare Mi=1…n este finit generat (cogenerat).

Demonstratie: Deoarece reuniunea multimilor de generatori ai lui M, i=1…n este o multime de generatori ai lui M, cazul generarii finite rezulta dintr-o propozitie anterioara. Este suficient sa aratam ca M, i=1…n este finit cogenerat implica M este finit cogenerat.

Stim insa ca SocM=SocM…SocM. Deoarece fiecare M este finit cogenerat, ficare SocM este finit generat. Astfel SocM este finit generat. Din propozitia anterioara, fiecare SocMM, deci SocMM conform propozitiei de mai sus, ca M este finit cogenerat.

1.3.6 Conditii de lant

Modulele pentru care fiecare submodul(modul factor) este finit generat(finit cogenerat) pot fi caracterizate de „conditii de lant”.

In general, nici una din aceste conditii de finitudine nu implica altele decat in cateva situatii(conditii) speciale in care ar putea fi echivalente.

Definitia 1 O multime S de submodule ale lui M satisface conditia lanturilor ascendente(A.C.C.) daca pentru fiecare lant LL…L… din S, exista nN cu L=L, pentru n=1,2,… .

Considerand incluziunile inverse obtinem conditia lanturilor descendente

( D.C.C.).

Definitia 2 Un modul M este noetherian daca laticea S(M), a tuturor submodulelor lui M satisface conditia lanturilor ascendente( A.C.C.).

Un modul M este artinian daca laticea S(M) satisface conditia lanturilor descendente( D.C.C).

Propozitia 1 Pentru un modul M urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) M este artinian;

b) Orice modul factor al lui M este finit generat;

c) Orice multime nevida de submodule ale lui M are un element maximal.

Propozitia 2 Pentru un modul, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) M este noetherian;

b) Orice modul factor al lui M este finit cogenerat;

c) Orice multime nevida de submodule ale lui M are un element minimal.

Demonstratie: a)c) Fie A o submultime nevida de submodule ale lui M. Sa presupunem ca A nu ar avea un element minimal. Atunci, pentru fiecare LA, multimea {L’A | L’<L} este nevida. Astfel, din Axioma Alegerii, exista o functie LL’ cu L>L’ pentru fiecare LA.

Fie LA, atunci L>L’>… este un lant infinit descrescator de submodule ale lui M, ceea ce contrazice faptul ca M este artinian. De aici rezulta existenta elementului minimal in A.

c)=>b) Presupunem că are loc c). Este suficient să aratăm că dacă KM și dacă A este o colecție de submodule ale lui M cu K=A , atunci K=F, pentru FA,F finită.

Definim mulțimea P={F| FA,F-finită}. Atunci, din c) P are un element minimal F. Evident K=∩F.

b)=>a) Presupunem că are loc b) și că M are un lanț descrescător de submodule:

LL…LL… Fie K = L, nN, atunci deoarece M/K este finit cogenerat trebuie să existe un nN astfel încât K=L de unde: L=L, i=l,2… .

Corolar 1 Fie M un modul nenul .

a)Dacă M este artinian, atunci M are un submodul simplu, de fapt SocM este submodul esențial;

b)Dacă M este noetherian, atunci M are un submodul maximal, de fapt RadM este un submodul superfluu.

Propoziția 3 Fie O→K→M→N→O un șir exact de R-module stângi. Atunci M este artinian (noetheian) dacă și numai dacă atât N cât și K sunt artiniene (noetheriene).

Demonstrație:

() Fie M artinian, atunci K este izomorf cu un submodul al lui M (KIm f)=> K este artinian. De asemenea N este izomorf cu un modul factor al lui M(NM/K), așa că N este artinian.

()Presupunem că N și K sunt artiniene. Să aratăm că M este artinian.

Putem presupune că KM și M/K=N.

Fie LL…LL… un lanț descendent de submodule ale lui M. Cum M/KN este artinian, există un întreg m astfel încât L+K=L+K, i=1,2…Cum K este artinian => nm astfel încât LK=LK, i=l,2,…Astfel, folosind modularitatea și faptul ca LL, avem pentru fiecare i=l,2,…:

L=L∩(L+K)=L∩ (L+K)=L +(L∩K)=L + (L ∩K )=L =>M este artinian.

Demonstrația cazului noetherian este duală.

Corolar 2 Fie M= MM…M. Atunci M este artinian (noethrian) dacă și numai dacă fiecare Mi este artinian (noetherian).

Una din cele mai semnificative proprietăți ale modulelor artiniene și noetheriene este aceea că fiecare astfel de modul admite descompunere directă finită indecompozabilă.

Observăm totuși că modulele care sunt finit generate nu este necesar să aibă o astfel de descompunere; de exemplu dacă R este un produs al unei infinități de copii ale unui corp, atunci Reste ciclic dar nu are nici o descompunere indecompozabilă (nu se mai poate descompune).

Propoziția 4 Fie M un modul nenul care verificâ condiția lanțurilor ascendente sau descendente pe sumanți direcți (adică M este artinian sau noetherian ). Atunci M este suma directă M=M+M+…M, a unei mulțimi finte de submodule idecompozabile.

Demonstrație: Pentru fiecare modul nenul M care nu are o descompunere idecompozabilă finită alegem o descompunere proprie. M=N’M’ așa încât M’ nu are nici o descompunere idecompozabilă finită. Presupunem că M’ este nenul și nu este o sumă directă de module idecompozabile. Atunci M=NM’, M’=N’’M’’,… este un șir de descompuneri proprii. Astfel există lanțurile infinite N’<N’+M’’<…și M>M’>M’… de sumanți direcți în M.

Cele patru conditii de finititudine sunt echivalente pentru modulele semisimple.

Propoziția 5 Pentru fiecare modul M urmatoarele afirmații sunt echivalente:

a) RadM=O și M artinian;

b) RadM=O și M este finit cogenerat;

c) M este semisimplu și finit cogenerat;

d) M este scmisimplu și noetherian;

e) M este suma directă a unei mulțimi finite de submodule simple.

Demonstrație: Implicațiile a)=>b) și d)=>c) sunt evidente.

b)=>c) Presupunem că are loc b). RadM=O <=> M este cogenerat de clasa modulelor simple și din propoziția 2. (c) M este izomorf cu un submodul al unui produs finit P de module simple. Deoarece un asfel de produs este suma directă, P este semisimplu. Se aplică propoziția 3.

e)=>d) din propoziția 3.

e)=>a) și e)=>d) Presupunem că are loc e). Atunci M este semisimplu și dintr-o propoziție anterioara avem RadM=0.

Evident un modul simplu (semisimplu) este atât artinian cât și noetherian și se aplică corolarul1.

Corolar 3 Pentru un modul semismplu M următoarele afirmații sunt echivalente:

a) M este artinian;

b) M este noetherian;

c) M este finit generat;

d) M este finit cogenerat.

1.3.7. Module cu serii de compoziție

Fie M un modul nenul cu proprietatca că fiecare submodul nenul al lui M are un submodul maximal. De exemplu, fiecare modul nenul noetherian are aceasta propritate. In orice caz, dat un astfel de modul M, el are un submodul maximal M și, daca M≠0 , la rândul său are un submodul maximal M. Atunci fiecare astfel de proces duce la un lanț descrescător infinit: M>M1>M2>… de submodule, fiecare maximal în predecesorul său, sau exista lanțul finit M>M1>M2>…>Mn=0 cu fiecare termen maximal în predecesorul său. Observăm că, dacă în plus M este artinian, numai ultima opțiune are loc.

Similar, dacă M este un modul nenul cu proprietatea că fiecare modul factor nenul are un submodul simplu (M este artinian), atunci există un lanț ascendent 0<L<L<… de submodule ale lui M, fiecare maximal în succesorul său. Din nou, dacă M este noetherian, lanțul se termină la M după un număr finit de termeni, pentru un anume n.

Despre existența unor astfel de lanțuri de submodule este posibil demonstrăm un număr substanțial de proprietăți de dimensiune aritmetică, familiare pentru spații vectoriale.

Serii de compoziție

Definiția 1 Fie M un modul nenul. Un lanț finit de n+1 submodule ale lui M:

M=M>M>M>.. >M=O se numește serie de compoziție de lungime n pentru M daca M/M este simplu i=l,2,… fiecare termen este maximal în predecesorul sau.

Este de remarcat că dacă un modul este atât artinian cât și noetherian, atunci el are o serie de compoziție. Intr-adevăr, acestea sunt singurele module cu serii de compoziție.

Propoziția 1 Un modul nenul M are o serie de compoziție M este atât artinian cât și noetherian.

Demonstratie: In lumina observatiilor anterioare este suficient sa demonstram necesitatea condiției.

Presupunem că M are o serie de compoziție. Vom face inducție după lungimea minimă, să spunem n, a tuturor acestor serii.

Desigur, dacă n=l, atunci M este simplu.

Astfel, dacă M= M>M>M>.. >M=O, este o serie de compoziție de lungime minimă pentru M, atunci M are o serie de compoziție de lungime n-1 și M/M este simplu. Aplicăm propoziția 7 din paragraful anterior si rezulta ca M si M/M artiniene și noetheriene => M este artinian și noetherian.

Propoziția 2. Fie M un modul nenul și presupunem ca există un șir exact OKMNO de morfisme. Atunci M are o serie de compoziție <=> N și K au amândouă serii de compoziție .

Demonstratie: Rezulta din propozitia 3(1.3.6). și propozitia 1.

Definiția 2 Fie M un modul arbitrar și LM, indiferent dacă L este termen într-o serie de compoziție a lui M sau nu, dacă L are un submodul maximal K, atunci modulul simplu L/K se numește factor de compoziție pentru M.

Definiția 3 Dacă M are o serie de compozitie M=M>M>M>.. >M=O, atunci modulele simple M/M , M/ M,…,M/M se numesc factorii de compoziție ai seriei.

Definiția 4 Dacă M are o a doua serie de compoziție M=N>N>N>.. .>N=O, atunci cele două serii de compoziție sunt echivalente, dacă n=p și există permutarea a lui {0,l,…,n-l}astfel încât M/MN/N.

Observam că echivalența înseamna, simplu, că pentru fiecare R-modul simplu T, numărul de copii izomorfe ale lui T în șirul factorilor de compoziție ai unei serii de compoziție este același cu numărul de copii izomorfe ale lui T în altul.

Teorema 1 (teorema Jordan-Holder): Daca un modul M are o serie de compoziție, atunci fiecare pereche de serii de compoziție ale lui M sunt echivalente.

Demonstrație: Daca M are o serie de compozitie, atunci notăm cu c(M) lungimea minimă a unei astfel de serii pentru M. Procedăm prin inducție matematică după c(M).Evident, dacă c(M)=1 nu este nimic de demonstrat.

Presupunem că c(M)=n-l și că orice modul cu o serie de compoziție de lungime mai mică are toate seriile de compoziție echivalente. Fie M=MMM…M=O, o serie de compoziție de lungime minimală pentru M și fie M= NNN…N=O o a doua serie de compoziție a lui M.

Dacă M=N, atunci, prin ipoteza de inducție, deoarece c(M)<n-l cele doua serii sunt echivalente. Presupunem ca MN . Atunci, deoarece M este submodul maximal în M avem:

M+ N= M, așa că avem conform teoremei a treia de izomorfism:

1) M/M=( M+N)/MM1/( MN) si

2) M/M=(M+N)/NN1/( MN).

Astfel, MN este maximal atât în M cât și în N. Din propoziția 2, MN are o serie de compoziție ( OMNMM/(MN)O ), MN=LL…L=O.

Atunci, M>L>L>.. .>L=O și N>L>L>.. .>L=O sunt doua serii de compoziție pentru M și N. Deoarece c(M)<n, oricare două serii de compoziție pentru M și N sunt echivalente, așa că cele două serii M=M>M>…>M=O și M=M>M>L>…>L=O sunt echivalente. In particular, k<n-l, așa ca c(N)<n. Dar din ipoteza de inductie fiecare doua serii de compozitie sunt echivalente. Astfel seriile M=M>M>.. >M=O, M>M>L>.. >L=O sunt echivalente. Dar, M/MN/LșiM/NM/L , ceea ce incheie demonstratia.

Lungimea compozitiei

Este o consecință imediată a teoremei Jordan-Holder faptul că pentru orice modul care are o serie de compoziție, toate seriile de compoziție pentru acest modul au aceeasi lungime.

Definiția 5 Un modul M care este atât artinian cât și noetherian se numește de lungime finita.

Definiția 6 Pentru un astfel de modul M definim lungimea compoziției prin:

C(M)= 0, daca M=O

n, daca M are o serie de compozitie de lungime n

Dacă un modul M nu este de lungime finită spunem că el este de lungime infinita și scriem: c(M)=.

Exemplu: Un spațiu vectorial finit dimensional are o lungime a compozitiei și aceasta lungime este chiar dimensiunea spațiului. Intr-adevăr funcția c acționeaza pe module de lungime finită asemănător, cum funcția dimensiune acționează pe spațiile vectoriale finit dimensionale.

Fie K,M,N trei R-module și OKMNO un șir exact. Presupunem că: K=K>K>…>K=O și N=N>N>…>N=O sunt serii de compoziție pentru K și N, respectiv.

Pentru fiecare i=0,1…n fie K’=f(K) și pentru fiecarej=0,1…p fie N’=g( N). Avem ca seria: M=N’>N’>…>N’=K>K’>…>K’=O este o serie de compoziție pentru M. Egalitatea N'=K' rezulta din exactitatea de mai sus. Astfel în baza unicitații unei astfel de serii avem:

Corolar 1 Fie K,M și N trei R-module și presupunem că exista un șir exact OKMNO de morfisme. Atunci c(M)=c(N)+c(K).

Din acest corolar deducem ușor următorul rezultat:

Corolar 2 (Teorema dimensiunii)

Fie M un modul de lungime finită și K și N submodule ale lui M. Atunci, c(K+N)+c(KN)= c(K)+c(N).

Demonstratie: (K+N)/NK/(KN). Aplicăm corolarul 1 pentru șirurile exacte ONN+K(K+N)/NO și OKNK/(KN) O pentru a gasi relația din corolar.

Lema Fitting

Un endomorfism f al unui spațiu vectorial finit dimensional induce o descompunere directă a spațiului în două subspații, din care pe unul este nilpotent și pe celalalt este inversabil. Acest fapt are o generalizare de importanță fundamentală in studiul modulelor de lungime finită. Demonstrația depinde de:

Lema 1 Fie M un modul și fie f un endomorfism al lui M.

a) Dacă M este artinian, atunci Im f+Ker f=M pentru un anumit n, de unde f este automorfism f este monomorfism;

b) Dacă M este noetherian, atunci Im fKer f=O pentru un anumit n, de unde f este automorfism f este epimorfism.

Demonstrație: Pentru a) observăm că Im fIm f2…. Presupunem că M este artinian. Atunci, acest lanț descendent este finit n astfel încât Im f=Im f. Fie xM f(x) lm f așa că fn(x)=f2n(y) pentru un anumit yM. Avem x=fn(y)+(x-fn(y))Im fn+Ker fn. In final, daca f este monomorfism, atunci Ker f=O Im fn = M Im f = M f este automorfism.

Propoziția 3 (Lema Fitting) Dacă M este un modul de lungime finită n și f este un endomorfism al lui M, atunci M=Im fKer f.

Demonstrație: Din propoziția 1 M este atât artinian cât și noetherian, așa că mN astfel încât M=Im f+Ker f. Deoarece M are lungimea n Im fn=Im f și Kerf=Kerf.

Corolar 3 Fie M un modul idecompozabil de lungime finită. Atunci urmatoarele afirmații sunt echivalente:

a) f este monomorfism;

b) f este epimorfism;

c) f este automorfism;

d) f nu este nilpotent.

=== CAPITOLUL II CC ===

Capitolul II

Proiectivitate și injectivitate

1.1 Injectivitate și proiectivitate relativa

Module M-proiective și module M-injective

Definiția 1 Fie M un modul fixat din categaria Mod-R.Un R-modul drept Q se numește M-injectiv (sau injectiv relativ la M) dacă pentru fiecare monomorfism jHom(M’,M) și fiecare fHom(M’,Q), exista f’Hom(M,Q) astfel încât diagrama următoare să fie comutativa, adică f= f’j.

OM’M

f f’

Q

Dual, un R-modul drept P se spune că este M-proiectiv(sau proiectiv relativ la M)dacă pentru fiecare epimorfism p Hom(M,M”) și fiecare gHom(P,M”), există g’ Hom(P, M) astfel încât diagrama urmatoare să fie comutativă, adică g=pg’.

MM” O

g’ g

P

Propoziția 1 Fie M un modul fixat din categoria Mod-R. Urmatoarele afirmații sunt echivalente:

a) Q este M-injectiv;

b) Pentru fiecare submodul M’M, fiecare fHom(M’,Q) poate fi extins la un morfism f’ Hom(M,Q);

c) Pentru fiecare șir exact scurt din Mod-R, cu termenul din mijloc M:

OM’MM”O

șirul de grupuri abeliene:

OHom(M”,Q)Hom(M,Q) Hom(M’,Q)O

este exact.

Demonstrație: a)b) Este evident.

a)c) Deoarece functorul Hom(*,Q) :Mod-RAb este exact la stânga, șirul: OHom(M”,Q)Hom(M,Q)Hom(M’,Q)Q

este exact dacă și numai dacă j* este o surjecție, adică pentru fiecare f Hom(M’,Q), exista f’Hom(M,Q) astfel încât j*(f’)=f’j=f .

Propoziția 2 Fie MMod-R., fixat. Umatoarele afirmații sunt echivalente:

a) P este M-proiectiv;

b) Pentru fiecare submodul M’M, fiecare gHom(P,M/M’) factorizează prin epimorfismul MM/M’;

c) Pentru fiecare șir exact scurt în Mod-R cu termenul din mijloc M: . OM’MM”O

șirul de grupuri abeliene:

OHom(P,M’)Hom(P,M)Hom(P,M”)Q

este exact.

Fie C o clasă nevidă de R-module drepte.

Definiția 2 Un R-modul X este C-injectiv(respectiv C-proiectiv) daca X este M-injectiv (respectiv M-proiectiv) pentru fiecareMC.

Notații: Vom nota cu I(C), respectiv P(C) clasa tuturor modulelor drepte C-injective, C-proiective; daca conține numai un singur R-modul M, atunci vom folosi notatia I(M), respectiv P(M).

Observație: Evident, pentru fiecare CMod-R, OP(C)I(C) și Mod-R=I(O)=P(O).

De asemenea I(Mod-R), respectiv P(Mod-R) sunt clasele tuturor R-modulelor injective, proiective.

Exemple:a) Pentru fiecare R-modul semisimplu M avem I(M)=P(M)=Mod-R;

b) Fiecare grup abelian fara torsiune este injectiv relativ la fiecare grup de torsiune, adica FI(T), unde F reprezintă clasa grupurilor abeliene fara torsiune și T reprezintă clasa grupurilor abeliene de torsiune.

Fie C o clasă nevidă de R -module.

Definiția 3 a) C esteînchisă la obiecte factor dacă pentru fiecare șir exact XX”O in Mod-R, faptul că XC X”C;

b) C este închisa fața de subobiecte daca pentru fiecare șir exact OX’X în Mod-R, faptul că XC X’C;

c) C este închisa la extensii dacă pentru fiecare șir exact OX’XX”O în Mod-R, din X’,X”C XC;

d) C este închisă la sumele directe(respectiv la sumele directe finite) dacă pentru fiecare mulțime nevidă I(fiecare mulțime nevida finită I) și pentru fiecare familie (X) cu XC,iIXC;

e) C este stabila(sau închisă la anvelope injective), dacă pentru fiecare XC, anvelopa sa injectivă e(X) este in C;

f) C este o clasa Serre daca C este închisă la submodule, obiecte factor și extensii.

Propoziția 3 Fie C o clasă nevidă de R-module și o familie nevidă (X) de R-module. Atunci:

a) XI(C)XI(C), pentru fiecare iI;

b) XP(C)XP(C), pentru fiecare iI;

Demonstrație: Fie OM’MM” O un șir exact in Mod-R cu MC.

Avem diagrama comutativă cu liniile exacte:

OHom(M”, X) Hom(M, X) Hom(M’,X)

S S S

O Hom(M”,X)Hom(M,X)Hom(M’,X)

în care S este un izomorfism.

Deci, Hom(j,X) este epimorfismHom(j,X) este epimorfism

Hom(j,X) este epimorfism, pentru toți iI.

Propoziția anterioară arată că clasa I(C) este inchisă la produse directe, în timp ce clasa P(C) este închisă la sume directe. In general, nici clasa I(C), nici clasa P(C) nu sunt închise la subobiecte, obiecte factor și extensii.

Pentru fiecare clasă nevidă CMod-R definim acum alte două clase:

I(C)={MMod-R | X este M-injectiv pentru toti XC}

P(C)={MMod-R | Xeste M-proiectiv pentru toti XC}.

Dacă C={X}, notăm I(X), respectiv P(X).

Definiția 4 I(C) (respectiv P(C)) se numeste clasa de relativă injectivitate(proiectivitate) a lui C.

Observații:

a) Aceste două clase sunt nevide deoarece OI(C)P(C);

b) Evident, X este un R-modul injectiv (proiectiv) dacă și numai dacă

I(X) = Mod-R (P(X) = Mod-R).

Ne concentrăm atenția la comportarea claselor I(C) și P(C) relativ la subobiecte, obiecte factor, sume directe și produse directe.

Vom demonstra că în aceasta direcție clasele I(C) si P(C) se comportă mai natural decât clasele I(C) și P(C).

Lema 1 Fie diagrama comutativâ cu liniile exacte în Mod-R:

EF G

EF’G’

Dacă este un epimorfism și f’și sunt monomorfisme, atunci este un epimorfism.(Vezi lema celor cinci morfisme).

Propoziția 4 Fie QMod-R:

a) Dacă OM’MM”O este un șir exact în Mod-R și Q este M-injectiv atunci Q este M’-injectiv și M”-injectiv;

b) Dacă (X) este o familie de R-module drepte și Q este M-injectiv pentru fiecare iI, atunci Q este M-injectiv.

Demonstratie:

a) Fie T=Hom(*,Q):Mod-RAb.

Dacă ON’M’ este un șir exact scurt în Mod-R atunci jh’ este monomorfism, deci T(jh’)=T(h’)T(j) este epimorfism deoarece Q este M-injectiv și astfel T(h') este epimorfism, adică Q este M’-injectiv.

Să demonstrăm acum că Q este M”-injectiv.

Dacă ON” M” este un șir cxact, atunci evident că există o diagramă comutativă cu liniile și coloanele exacte:

O O

OM’N’N” O

1 h h”

OM’MM”O

Aplicăm functorul T acestei diagrame și obținem diagrama comutativă:

OT(M”)T(M)T(M’)

T(h”) T(h) 1

OT(N”)T(N’)T(M’)

cu liniile exacte. Deoarece Q este M-injectiv, T(h) este epimorfism, deci din lema 1 T(h”) este epimorfism, adică Q este M”-injectiv.

b) Notăm cu M=M. Fie L un submodul al lui M și fie fHom(L,Q). Considerăm mulțimea F={(L’,f”) | LL’M, f’Hom(L’,Q) si f’/L=f} care poate fi ordonată într-o maniera evidenta: (L’,f’)(L”,f”)L’L” si f”/L’=f’. Aceasta mulțime ordonată este inductivă:

Fie {(L,f)} o familie total ordonata de elemente din F. Considerăm L*=L, , care este un submodul al lui M și aplicația f*:L*Q definită astfel: dacă xL*, atunci exista f*(x)=f*(x)=f/L(x)=f(x), adică f* este bine definita. Este clar că (L*,f*)F, deci (F,) este inductivă. Fie (L,f) un element maximal al lui F. Este suficient să arătăm că (Mi)L pentru fiecare iI, unde :MM sunt injecțiile naturale.

Fie M’=( M)L pentru fiecare iI. Deoarece Q este M-injectivQ este (M)-injectiv, deci există pentru fiecare iI un fHom(,Mi) astfel încât diagrama urmatoare este comutativa:

OM’i( M)

f/M’ f

Q

Daca m( M) și xL cu m+x=0, atunci m= -xM și f(m)+f(x)= f(-x)+f(x)=0. Deci f’:(M)+LQ, m+xf(m)+f(x) este un morfism bine definit. Deoarece f’/L=f, din minimalitatea lui (L,f) se deduce ca (M)L pentru fiecare iIL=M. Astfel Q este M-injectiv.

Corolar 1 Pentru fiecare clasă nevidă C de R-module drepte I(C) este închisă la subobiecte, obiecte factor și sume directe. In general, I(C) nu este închisă la extensii și produse directe.

Propoziția 5 Fie P un R-modul drept.

a) Dacă OM’MM”O este un șir exact în Mod-R și P este M-proiectiv, atunci P este M’-proiectiv și M”-proiectiv;

b) Dacă (M) este o familie de R-module drepte astfel încât P este M-proiectiv pentru orice i=l ,2,.. .,n, atunci P este M-proiectiv.

Demonstrație:

a) Demonstratia este simlară demonstrației propoziției 4 a), luând functorul Hom(P,*) in locul functorului T.

b) Putem presupune n=2. Fie NMM un submodul și i:MMM injecția canonică.

Urmatoarea diagramă comutativă, având ca săgeti aplicațiile canonice are liniile și coloanele exacte:

O M MM M O

O(i(M)+N)/N(MM)/N(MM)/(i(M)+N)O

O O O

Aplicând functorul T obținem diagrama comutativă cu liniile exacte:

O T(M) (MM) T(M) O

OT((i(M)+N)/N)T((MM)/N)T((MM)/(i(M)+N))O

Ultima săgeată verticală este un monomorfism și celelalte sageți verticale nepunctate sunt epimorfisme, deoarece P este M-proiectiv (i=l,2).

Din Lema celor cinci morfisine, săgeata verticală din centru, punctată, este epimorfism, deci P este MM-proiectiv.

Generalizăm:

Fie diagrama, cu q epimorfism. Deoarece Imf este finit generat, există x,x,…,xM astfel încat Imf este finit generat de q(x),q(x),…,q(x).

P

MM”O

Fie M’= xR+xR+…+xRM,iI atunci M’=M, iJ unde Jeste o submultime finita a lui I.

Din b) P este M-proiectiv, iJ și din a) p este M’-proiectiv, există atunci f’:PM’ care face diagrama urmatoare comutativa:

P

f’ f

M’Im fO

Evident, qf’=f, adică P este M-proiectiv.

Corolar 2 Pentru fiecare clasă nevidă C de R-module, P(C) este închisă în raport cu subobiectele, obiectele factor și sumele directe finite.

Corolar 3 Fie XMod-R și G un generator al lui Mod-R. Atunci:

a) X este G-injectiv X este modul injectiv;

b) Daca X este modul finit generat, atunci X este G-proiectiv X este proiectiv.

Demonstrație: Dacă aplicăm corolarul anterior cazului G=R redescoperim binecunoscutul criteriu al lui Baer de injectivitate.

Un criteriu similar pentru module proiective nu există.

Contraexemplu: Qeste Z-proiectiv, dar Q nu este un Z-modul proiectiv.

2.2. Moclule proiective și module injective

Module proiective

Definiția 1 Un R-modul stâng P este proiectiv dacă P este proiectiv relativ la fiecare R-modul stâng, adica ori de câte ori este dată o diagramă cu linia exactă, există un R-morfism ’ astfel încât urmatoarea diagrama este comutativa g’=

P

’

M g N O

Incepem cu câteva caracterizari ale modulelor proiective:

Propoziția 1 Următoarele afirmații despre un R-modul stâng P sunt echivalente:

a) P este proiectiv;

b) Pentru fiecare epimorfism f :MN aplicația

Hom(P,f):Hom(P,M)Hom(P,N) este un epimorfism;

c) Pentru fiecare structură de bimodul P, functorul Hom(P,-):MM este

exact;

d) Pentru fiecare șir exact M’MM” în M, șirul

Hom(P,M’) Hom(P,M) Hom(P, M”) este exact.

Ca o consecință a propoziției anterioare, este faptul că R este proiectiv.O demonstrație directă este de asemenea ușoara. Intr-adevăr, presupunem că avem diagrama cu linia exactă:

R

g(m)

M N O

Atunci există un mM cu g(m)=(l). Evident, g(m):RM definește un R-morfism RM ce face întreaga diagramă comutativă.

Reaminitim că un modul este liber dacă este izomorf cu R pentru o anumită mulțime A. Astfel faptul important că sumele directe de module proiective sunt proiective stabilește că fiacare modul liber este proiectiv.

Aceasta implică urmatoarea caracterizare:

Propoziția 2 Urmatoarele afirmații despre un R-modul P stâng sunt echivalente:

a) P este proiectiv;

b) Fiecare epimorfism MPO este scindat;

c) P este izomorf cu un sumand direct al unui R-modul stâng liber.

Demonstratie:

a)b) Presupunem ca f:MP este un epimorfism. Dacă P este proiectiv, atunci există un morfism g astfel încât fg=l așa că epimorfismul f este scindat.

b)c) Aceasta rezultă din faptul că fiecare modul este un epimorf al unui modul liber.

c)a) Fiecare modul liber este proiectiv.

Corolar 1 Un R-modul stang P este finit generat și proiectiv pentru anumite module P’ și un anumit întreg n>0, există un R-izomorfism PP’R.

Demonstrație: Un modul P este finit generat pentru un anumit număr natural n, există un epimomfism RPO. Dar din propoziția 2 acest epimorfism este scindat P este proiectiv.

Se cunoaște că modulele peste inele semisimple au comportare asemănătoare cu modulele peste inele cu diviziune. Desigur modulele peste inele cu diviziune sunt proiective. Comportarea paralelă a inelelor cu diviziune și a inelelor semisimple este aprofundată în:

Corolar 2 Un inel R este semisimplu fiecare R-modul stâng este proiectiv.

Demonstrație: R este semisimplu fiecare epimorfism în M este scindat. Dar din propoziția 2, b) această condiție are loc fiecare R-modul stâng este proiectiv.

Module injective

Definiția 2 Un R-modul stâng E este injectiv dacă E este injectiv relativ la fiecare R-modul stâng, adică ori de câte ori este data diagrama urmatoare în M cu linia exactă, exista un R-morfism ’ așa încât diasrama este comutativa ’f=

E

’

O K M

Cu alte cuvinte, modulele injective sunt dualele categoriale ale modulelor proiective.

Modulele injective și proiective au efect dual pe functorii Hom. In particular, duala propozitiei 1 este:

Propoziția 3 Urmatorele afirmații despre un R-modul stâng E sunt echivalente:

a) E este injectiv;

b) Pentru fiecare monomorfism f:KM aplicația

Hom(f,E):Hom(M,E)Hom (K,E) este un epimorfism;

c) Pentru fiecare structură de bimodul E, functorul Hom(-,S):MM este

exact;

d) Pentru fiecare șir exact scurt M’MM” în M șirul

Hom(M”,E)Hom (M,E)Hom(M’,E) este exact.

Inainte de a stabili existența a suficient de multe module injective, nu putem demonstra proprietatea duală a propoziției 2. Ca o substituție temporară, avem cel puțin faptul următor:

Propoziția 4 Produsele directe și sumanzii direcți ai modulelor injective sunt de asemenea injective.

Fiecare modul este un epimorf al unui modul proiectiv(chiar liber). Unul din scopuri este să demonstrăm rezultatul dual că fiecare modul poate fi scufundat într-un modul injectiv. Intâi stabilim un test foarte folositor pentru injectivitate. Acest test (uneori numit „Criteriul Baer”) spune ca injectivitatea unui modul E poate fi determinată din mulțimea de diagrame:

E

O I R

când linia este restrânsă la aplicațiile incluziune ale idealelor stângi.

Lema 1(Lema test de injectivitate) Următorele afirmații, despre un R-modul stâng, E, sunt echivalente:

a) E este injectiv;

b) E este injectiv relativ la R;

c) Pentru fiecare ideal IR și fiecare R-homomorfism h:IE, există un xE astfel încât h este multiplicarea la dreapta a lui x: h(a)=ax, aI.

Demonstrație: a)b) deoarece R este un generator;

b)c) Dacă E este R-injectiv și IR cu h:IE, atunci există un h:RE asfel încât h’/I=h. Fie x= h’(l), atunci h(a)= h’(a)=a h’(l)=ax pentru toți aI.

c)d) Dacă IR , xE și h(a)=ax pentru toți aI, atunci multiplicarea la dreapta prin x, (x):RE extinde pe h. Astfel c) implică faptul că E este R -injectiv.

Reamintim că un grup abelian Q este divizibil dacă nQ=Q penru fiecare întreg nenul n.

Lema 2 Un grup abelian Q este divizibilQ este injectiv ca un Z-modul.

Demonstrație: () Fiecare ideal nenul al lui Z este de forma nZ, n0. Dacă Q este un grup abelian divizibil și h:nZQ, atunci există un bQ cu h(n)=nb și h(jn)=jh(n)=(jn)b, pentru toți j,nZ. Astfel se poate aplica Lema test de injectivitate.

() Dacă Q este injectiv, aQ și 0nZ, atunci h, care duce: jnja definește un morfism h:nZQ care, din Lema test de injectivitate, trebuie sa fie multiplicarea printr-un anumit bQ. Dar atunci, a=h(n)=nb.

Propoziția 6 Fiecare R-modul stâng poate fi scufundat într-un modul injectiv.

Demonstrație: Fie M un R-modul stâng. Atunci, există o mulțime A și un Z-epimorfism f:ZM. Astfel, deoarece ZZ/KerfQ/Kerf și deoarece produsul direct și grupurile factor ale grupurilor abeliene divizibile sunt divizibile, putem presupune ca MQ cu Q divizibil. In continuare folosim relația:

MHom(R,M)Hom(R,M) Hom(R,Q).

Următoarea propozitie este duala parțiala a propoziției 2:

Propoziția 7 Un R-modul stâng E este injectivfiecare monomorfism OEM este scindat.

Corolar 3 Un inel R este semisimplufiecare R-modul stâng al sau este injectiv.

Anvelope injective

Așa cum am văzut în propoziția 6, fiecare R-modul M poate fi scufundat într-un R-modul injectiv. Aceasta conduce la o noțiune duala acelei de acoperire proiectivă, anume o scufundare „minimală” a lui M într-un modul injectiv.

Definiția 3 O pereche (E,i) este o anvelopă injectivă a lui M dacă E este un R-modul stâng injectiv și OME este un monomorfism esențial.

Exemplu: Deoarece Q este divizibil ca un Z-modul, el este Z-injectiv. Evident, aplicația incluziune i:ZQ este esențiala. Astfel (Q,i) este o anvelopa injectivă a lui Z.

Avem următoarea lema fundamentală pentru anvelopele injective:

Lema 3 Fie M un R-modul stâng și presupunem că i:ME este o anvelopă injectivă pentru M. Dacă Q este injectiv și g:MQ este un monomorfism, atunci Q are o descompunere Q=E’E” astfel încât:

a) E’E;

b) ImgE’;

c) g:ME’ este o anvelopa injectiva a lui M. Mai mult, dacă f:MM este un izomorfism și i:ME iar i:ME sunt anvelope injective, atunci există un izomorfism f’:EE astfel încât f’ i= if.

E E

i i

M M

Nu orice modul are o acoperire proiectivă. Astfel, următorul rezultat foarte important este remarcabil:

Teorenia 1 Fiecare modul are o anvelopă injectivă. Aceasta este unică până la un izomorfism.

Definitia 4 Fie M un R-modul stâng. O pereche (P,p) este o anvelopa proiectivă a lui M dacă P este un modul stâng proiectiv și PMO este un epimorfism superfluu.

2.3 Module cvasi-injective și cvasi-proiective

Modulele cvasi-injective și cvasi-proiective au fost introduse de Jonson și Wong în 1961, dar Jacobson a demonstrat în 1965 că ele satisfac așa numita condiție a dublului anulator.

Noțiunea duală de module cvasi-proiective a fost considerată mai întâi de Miyashita în 1966 si Jans în 1967.

Definiția 1 Un R-modul drept M se numește cvasi-injectiv (cvasi-proiectiv) dacă M este M-injectiv (M-proiectiv).

Notație: Dacă M este un modul cvasi-injectiv (cvasi-proiectiv), acest lucru se

notează scriind că M este QI (QP).

Observație: M este QI (QP)MI(M) sau MI(M) ( MP(M) sau MP(M)).

Comportarea modulelor QI și QP față de sumele directe finite este dată de urmatoarea propoziție:

Propoziția 1 Fie (M), o familie finită de R-module drepte. Atunci M, este QI (QP) dacă și numai dacă M este M-injectiv (M este M-proiectv) pentru toți i și j cu 1i , jn.

Demonstrație: Din propozițiile 3(2.1), 4(2.1), 5(2.1) avem: M este QI (QP) dacă și numai dacă M,1in, este M-injectiv(M-proiectiv)M este M-injectiv, j=1…n (respectiv M-proiectiv, j=l,…,n) pentru toți i, 1inM este M-injectiv (Mj-proiectiv) pentru toți 1i, jn.

Corolar 1 (Harada 1972, Robert 1969) Fie MMod-R și nN,nl. Atunci M este QI (respectiv QP)M este QI (respectiv QP).

Exemple: 1) Orice modul semisimplu este QI și QP.

2) Orice factor direct al unui modul QI (QP) este QI (QP).

In loc să dăm câteva criterii uzuale de cvasi-injectivitate, stabilim câteva rezultate mai generale despre modulele M-injective.

Propoziția 2 Fie U,MMod-R. Atunci U este M-injectivpentru fiecare fHom(M,E(U)) avem ImfU.

Demonstratie:

() Fie OM’M un șir exact în Mod-R și gHom(M’,U). Fie i:UE(U) injectia canonica. Deoarece E(U) este un R-modul injectiv, există un morfism g’ care face comutativă diagrama: OM’M

g g f

g’

UE(U)

Deoarece g’(M)U rezulta că g’ definește g:MU astfel încât gj=g U este M-injectiv.

()Fie f și notăm cu X=f(U). Evident, X este submodul al lui M. Fie f=f/X. Deoarece U este M-injectiv, există g:MU ce face comutativa diagrama:

OXM

f g

UE(U)

Evident ca Ker(f-ig)=X. Presupunem XM atunci (f-ig)(x)0 pentru un anumit xM\X.

Dar (f-ig)(x)E(U), deci există aR\{0} astfel încât (f-ig)(x)a= ( f-ig)(xa)U\{0}, E(U) fiind extensia esențiala a lui U, deci f(xa)-g(xa)U și astfel xaf(U)=X, adică

(f-ig)(xa)=0. In consecință, X=M, așa cum doreamf = igImf = Im(ig) = ImgU.

Corolar 2 Fie C o clasă nevidă de R-module, atunci I(C) este închisă la extensii esențiale.

Corolar 3 (Jonson și Wong) Un R-modul M este QI dacă și numai dacă f(M)M, pentru orice fEnd(E(M));

Putem da acum o nouă demonstrație pentru un rezultat anterior:

Corolar 4 Pentru fiecare clasă nevidă de R-module I(C) este închisa la sume directe.

Demonstrație: Fie(M) o familie de obiecte din I(C), atunci U este M-injectiv pentru fiecare UC și iI. Fie fHom(M,E(U)). Atunci f(M)U pentru toți iI, deci ImfU, adica U este M injectiv, din propoziția 3. Deci MI(C).

Corolar 5 Fie Q un R-modul injectiv și A un ideal bilateral al lui R. Atunci N={xQ | xa=0,aA} (N este anulatorul lui a în Q) este un R-modul QI și un R/A-modul injectiv (N fiind considerat ca R/A modul în mod canonic).

Demonstrație: Putem presupune E(N). Fie fEnd(E(N)), atunci f poate fi extins la f’End(Q) din injectivitatea lui Q. Deoarece g(N)N pentru toți gEnd(Q), rezultă că f(N)N, adică N este QI din corolarul 3.

Fie N’=E(N). Deoarece NN’ este o extensie esentiala peste R putem presupune N’Q. Dar N’Mod-R/A.

Corolar 6 Pentru orice R-modul injectiv Q, Q este injectiv ca un R/Ann(Q)-modul.

Demonstrație: Luând A=Ann(Q) avem {xQ | xa=0,}=Q. Aplicăm apoi corolarul 5.

Observatie: Propoziția 3 poate fi reformulată astfel:

U este M-injectiv dacă și numai dacă morfismul natural Hom(M,U)Hom(M,E(U)) este un izomorfism.

Fie MMod-R și AEnd(M). Conform corolarului 3, AM==f(M), fA este un R-modul QI și, mai mult, AM este intersecția tuturor submodulelor QI ale lui E(M) ce conțin pe M.

Definiția 2 Printr-o extensie QI minimală a lui M înțelegem o pereche (Q,i), unde Q este un modul QI și i:MQ este un monomorfism având proprietatea că Q este unicul submodul al lui Q ce conține i(M).

Asadar, (AM,i) este o extensie QI minimală a lui M, unde i:MAM este injecția canonică.

Propoziția 3 (Faith-Utumi 1964) Orice doua extensii QI minimale ale unui R-modul M sunt izomorfe peste M .

Demonstrație: Fie (Q,j) o extensie QI a lui M (adica Q este un modul QI și j:MQ este un monomorfism) și E=E(Q). Deoarece AM este extensie esentiala a lui M, monomorfismul MQR poate fi extins la un monomorfism f:AME.

M AM

j f

Q E

Notam N=f(AM)Q, E’=E(f(AM)), E”= E(N), =End(E), ’= End(E), ”= =End(E).

Evident putem presupune ca E”E’E.

Fie g”(N)=g(N)g’(f(AM))g(Q)=g’(f(AM))g(Q)f(AM)Q=N din corolarul 3,f(AM) este QI (deoarece AM este QI).

Din nou, din corolarul 3, N este QI, deci f(N) este o extensie QI a lui M continuta in AM. Din minimalitatea lui AM concluzionam ca f(N)=AM si atunci N=f(AM)Q. Daca (Q,j) este acum o extensie QI minimala a lui M, atunci f:AMQ este inca epimorfism deoarece f(AM) este QI.

j(M)f(AM)Q si (Q,j) este minimala.

Astfel, fiecare extensie QI minimala a lui M este izomorfa cu extensia QI minimala (AM,i) a lui M.

Notatii: Pentru fiecare R-modul notam cu Q (M) o extensie QI minimal a lui M, care este unic determinata. Observam ca Q(M) este o extensie esentiala a lui M din propozitia 4.

Dorim acum sa dam Criteriul lui Fuchs de cvasi-injectivitate.

Putem sa-l prezentam ca o consecinta triviala a unui rezultat mai general despre module M-injective.

Reamintim ca daca N este o clasa de R-module, atunci MMod-R se spune ca este N-generat (N genereaza M) in cazul in care exista o multime (N) in N si un epimorism NM,I.

Propozitia 4 Fie U si M doua R-module.

a) Daca U este M-injectiv atunci fiecare NMod-R are urmatoarea proprietate:

(*) Pentru fiecare submodul N’N si fiecare fHom(N’,M) cu KerfKer, exista g Hom(N,U) care face urmatoarea diagrama comutativa:

ON’N

f g

U M

b) Daca N este o multime de R-module care genereaza M, astfel incat fiecare N∈N are proprietatea anterioara (*), atunci U este M-injectiv.

Demonstratie: a) Fie p:N’(N’) surjectia canonica si j:(N’)M injectia canonica. Deoarece Ker fKerKer p, exista f:(N’)U ce face comutativa diagrama :

N’ N

p

f (N’)

f j

U M

(Prin definiție f((x’))=f(x’) pentru toți x’N’)

Dar U este injectiv, deci există f astfel încât fj=f. Notăm cu g= f. Atunci g/N’=f.

b) Din propoziția 3 este suficient să aratăm că ImfU pentru fiecare hHom(M,E(U)) și deoarece M este N generat aceasta este echivalent cu Im(h)U pentru toți NN și Hom(N,M).

Fie N’=(h) și f=(h)/N’. Evident, KerfKer, deci din (*) există g:NU astfel încât g extinde pe f:

N’N

f g M

h

UE(U)

Presupunem ca igh. Atunci X=Ker(ig-hg)N și N’X. Atunci (ig-h)(x) E(U)\{0}, deci (ig-h)(x)aU\{0} pentru un anumit aR, așa că (h)(xa)=0, contradicție. Aceasta dă X=N, adica ig=h, cum am doritIm(h)=Im(ig)=ImgU.

Pentru fiecare MMod-R putem folosi urmatoarea notație:

(M)={A | AR astfel încât xM cu AAnn(x)}

Corolar 7 Fie U și M doua R-module. Atunci U este M-injectiv daca și numai dacă fiecare ideal drept A al lui R și fiecare fHom(A,U) cu Kerf(M), f poate fi extins la R.

Demonstrație: Luăm N={R}. Dacă AR și fHom(A,U), atunci Kerf este în (M)există :RM astfel încât Ker= Ann(x)Kerf, unde x=(l). Aplicăm apoi propoziția 5.

Deoarece U este M-injectivU este M-injectiv pentru toți nl, rezulta că în afirmația din corolarul 7 putem înlocui (M) cu ’(M), unde

’={A | AR cu AAnn(S) pentru o anumită mulțime nevidă SM}.

Corolar 8 (Fuchs 1969): Fie MMod-R. Atunci M este QI dacă și numai dacă pentru fiecare ideal drept A al lui R și fiecare fHom(A,M) cu Kerf(M) (sau Kerf’(M)), f poate fi extinsă la R.

0 consecință directă a criteriului lui Fuchs da acum un rezultat uzual:

Propoziția 5 Fie M un R-modul QI. Atunci M este un R/Ann(M)-modul injectiv canonic, cu condiția că M satisface una din umatoarele două cerinte:

a) Condiția lantului descendent (D.C.C.) are loc in mulțimea {Ann(x) | xM}.

b) M este un un End(M)-modul stâng finit generat.

Demonstrație: Mai întâi vom demonstra ca Ann(M)’(M) dacă M satisface a) sau b).

Presupunem că M satisface

a) Ann(M)=Ann(x)=Ann(x)Ann(x)… Ann(x), pentru anumiti x,x, …,xM, deoarece {Ann(x) | xM} satisface D.C.C., deci Ann(M)’(M).

Presupunem că M satisface b). Fie y,y,…,yM astfel încât M=Sy+Sy+…+Sy, unde SEnd(M). Luăm aAnn(y), i=1,…,n și yM. Atunci y=f(y)+…+f(y) cu fS, i=1,…,m, deci ya=f(ya)=0, i=l,…,m, așa că Ann(y)Ann(M), adică Ann(M)’(M).

Fie A’=A/Ann(M), un ideal drept al lui R’=R/Ann(M). Fie p:AA’ surjecția canonică și fHom(A’,M). Deoarece Ann(M)Ker(fp)Ker(fp)’(M), deci există g:RM ce face comutativă diagrama:

A R

P g

A’ R’

F g’

M

Evident, g factorizează prin epimorfismul natural RR’ și g’/A’=f, deci M este R’-modul injectiv relativ din criteriul lui Baer.

Observatii:a) Fie MMod-R. Dacă M este injectiv (proiectiv) ca un R/Ann(M)-modul, atunci M este un R-modul QI (QP), deci are loc o reciproca partiala a propoziției 6.

b) Daca M este un R-modul QI nu rezulta că M este injectiv ca un R/Ann(M)-modul. Intr-adevăr Z-modulul semisimplu M=Zp, p-prim este QI dar nu este injectiv peste Z/Ann(M)=Z.

Totuși, urmatoarea afirmatie are loc: M este injectiv peste R/Ann(M)M este un R-modul QI pentru fiecare multime I(Fuller 1969).