Factorizarea In Algebra Moderna
PROBLEMA FACTORIZARII
IDEEA GENERALA :CONSTRUCTIA MULTIMII FACTOR IN RAPORT CU O RELATIE DE ECHIVALENTA. 1
FACTORIZARI PE MULTIMI PARTICULARE 2
MULTIMI FACTOR 4
GRUP FACTOR 7
TEOREMA FUNDAMENTALA DE IZOMORFISM 12
A DOUA TEOREMA DE IZOMORFISM 12
A TREIA TEOREMA DE IZOMORFISM 13
INEL FACTOR 14
IDEALE SI INELE FACTOR ALE INELULUI.APLICATII 18
MODULUL FACTOR.TEOREME DE IZOMORFISM PENTRU INELE.NOTIUNI GENERALE DESPRE MODULE. 21
SUBMODULUL GENERAT DE O MULTIME 23
MORFISME DE MODULE 24
TEOREME DE IZOMORFISM PENTRU MODULE 29
CONSTRUCTII CLASICE DE INELE DE FRACTII 31
NUMARUL RATIONAL 0 33
INMULTIREA NUMERELOR RATIONALE 33
PROPRIETATILE INMULTIRII 34
STRUCTURA (Q,X) 35
MULTIMEA NUMERLOR RATIONALE NENULE 35
MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE 36
ADUNAREA IN Q 37
STRUCTURA (Q,+) 38
STRUCTURA (Q,+,X) 38
RELATIA DE ORDINE 39
INELE DE FRACTII CLASICE 40
MODULE DE FRACTII SI TEOREMA GOLDIE.MODULE DE FRACTII 50
TEOREMELE LUI GOLDIE 54
DEMONSTRATIA TEOREMEI LUI GOLDIE 63
CATEGORII SI FUNCTII.NOTIUNI DE CATEGORII,SUBCATEGORII,EXEMPLE 67
MORFISM ,EPIMORFISM,IZOMORFISM 71
FUNCTORI 74
PRETOPOLOGII SI TOPOLOGII ADITIVE PRERADICALI SI RADICALI 80
PRERADICALI 80
RADICALI 82
TEORII DE TORSIUNE 85
CORESPPONDENTA INTRE RADICALI IDEMPOTENTI SI TEORIILE DE TORSIUNE 88
EXEMPLE DE TEORII DE TORSIUNE 91
IDEALE DENSE SI TEORIA DE TORSIUNE A LUI LAMBEK 93
PRETOPOLOGII SI TOPOLOGII ADITIVE 96
INELE DE MODULE DE CATURI MODULE F – INJECTIVE 99
ANVELOPE F – INJECTIVE 100
CONSTRUCTIA INELELOR SI MODULELOR DE CATURI 100
MODULE F – INCHISE 108
ANDERSON F.W.FULLER K ,[1] RINGS AND CATEGORIES OF MODULES SPRINGER – VERLOG 1973
C.NASTASESCU INELE MODULE CATEGORII.EDITURA ACADEMICA BUCURESTI 1976
ION.D.ION,RADU N [1] ALGEBRA,EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA ,BUCURESTI 1970
RADU N ,[1] INELE LOCALE. EDITURA ACADEMIEI BUCURESTI 1968
SOLIANU,A,[1] TEORIA MODULELOR. EDITURA ACADEMIEI ,BUCURESTI,1972
RING AND MODULES OF QUATIENTS,SPRINGER ,LECTURE NOTES 1971
=== CAPITOLUL I nou nou ===
Fie A,B mulțimi nevide
Definiție: O submulțime RAxB ,a produsului cartezian AxB se numește relație între elementele lui A și elementele lui B.
Notam: Faptul că perechea (a,b)ЄR ,prin aRb și citim a în relație R cu b. Putem exprima relația R și sub forma R={(a,b)ЄAxB/aRb}
In particular dacă A=B o relație RAxA se numește relație între elementele lui A sau relație pe A.
Definiție: Fie A,B,C mulțimi nevide si RAxB SBxC.Atunci S compus cu R .
S o R ={(x,y)ЄAxC/yЄB a.î (x,y)ЄR; (x,y)ЄS} este o relație pe AxC numită compunerea relațiilor R și S.
Proprietate: (asociativitatea compunerii relațiilor)
Fie A o mulțime nevidă .Relația 1A={(x,y)ЄAxA /x=y} se numește relația de egalitate pe A.
Proprietate: Fie A,B≠ø pentru orice relație RAxB avem R o 1A=1B o R=R.
Definiție: Fiind dată o relație RAxB numim relația inversă și o notăm cu R-1BxA relația definită prin R-1={(x,y)ЄBxA /yRx} adică xR-1y yRx
Proprietate: Fie A,B,C mulțimi nevide RAxB,SBxC – relații
Atunci (S o R)-1=R-1 o S-1
Proprietate: Dacă RAxB este o relație atunci (R-1)-1=R
Proprietate:Fie A,B,C–mulțimi nevide R,Ŕ AxB ;S,Ś BxC- relații
Atunci : a) dacă RŔ => S o R S o Ŕ
b) dacă SŚ => S o R Ś o R
Fie R o relație pe mulțimea A
Relația R se numește:
reflexivă: dacă xRx,….. ЄA
simetrică: dacă xRy => yRx
tranzitivă: dacă xRy si yRz => xRz
Definiție: O relație R pe A se numește relație de echivalență dacă ea este reflexivă,simetrică și tranzitivă.
Proprietate: Dacă R este o relație pe A atunci:
R este reflexivă 1AR
R este simetrică R-1R (caz în care R-1=R)
R este tranzitivă R o R R
Definiție: Fie A o mulțime și (Ai)iЄI o familie de submulțimi ale lui A, (Ai)iЄI se numește partiție a lui A dacă au loc condițiile:
Ai ≠ ,…ЄI
Ai ∩ Aj ≠ …..ЄI i≠j
Definiție: Fie A o mulțime și R o relație de echivalență pe A.Pentru orice xЄA,mulțimea Rx ={yЄA/yRx} se numește clasă de echivalență a elementului x.
Proprietate: Dacă R este o relație de echivalență pe A atunci mulțimea {Rx /xЄA} a tuturor claselor de echivalență constituie o partiție a lui A și se notează A/R
Definiție: A/R se numește mulțimea factor sau mulțimea c@t a lui A prin R.
EXEMPLE:
Considerăm mulțimea Z împreună cu relația de congruență modulo n
Z,(mod n)nN*
x, y Z, xy(mod n) zZ a. î. x – y = nz
Dacă Cx: = se pune întrebarea cine este Z / Z /:=Zn={0,1,2,..,n-1}
xZ și nN aplicăm teorema împărțirii cu rest pentru numere
întregi:
! q, r z ,0rn-1 a. î. x= nq+ r
x – r = nq x = r(mod n) x = r
Deci xZ, r(0, n-1) a. î. xr.
Se consideră Z x Z*={(m,n):mZ, nZ*} și se introduce o relație de
echivalență:
(m, n)~(m’, n’)mn’= nm’
Definiție: Se numește număr rațional orice clasă de echivalență în raport cu relația de echivalență introdusă.
C(m ,n): = m / n.
Fie funcția f: M P. Putem defini o relație de echivalență pe mulțimea M asociată funcției f, notată cu ρf în modul următor : x ρf y f(x)= f(y).
Proprietățile acestei relații sunt:
– x ρf x f(x) = f(x) deci este reflexivă
– x ρf y f(x) = f(y) f(y) = f(x) y ρf x deci este simetrică
– x ρf y și y ρf z f(x)= f(y) și f(y)= f(z) f(x) = f(z) deci este tranzitivă
Avem Cx = { y : y M, f(y)= f(x)} iar mulțimea factor în raport cu aceasta relație este Imf .
Fie M o mulțime și ρM x M o relație de echivalență pe M.
Dacă notăm cu N mulțimea claselor de echivalență ale mulțimii M în raport cu relația de echivalență ρ, atunci putem defini funcția p : M N astfel: pentru x M, p(x) este clasă de echivalență în care se află x, p este corect definită, adică nu depinde de alegerea reprezentanților:
x , y M, cu x ρ y f(x)= C x= C y = f(y).
Funcția p este surjectivă și din definiția claselor de echivalență ale mulțimii M în raport cu relația de echivalență ρ ρ p= ρ .Mulțimea N a claselor de echivalență ale mulțimii M in raport cu relația de echivalență ρ se numește mulțime factor (sau mulțime cât) a lui M în raport cu relația de echivalență și se notează M / ρ iar funcția p : M N, definită mai sus, este numită surjecția canonică.
O submulțime de elemente M’ a mulțimii M se numește sistem de reprezentanți ai claselor de echivalență în raport cu relația de echivalență ρ dacă în orice clasă de echivalență există un element din M’ și numai unul singur.
Fie p : M N o funcție surjectivă. Dacă considerăm pe M relația de echivalență ρp asociată lui p, atunci se observă că mulțimea factor a lui M în raport cu relația de echivalență ρp este echipotentă cu N și anume funcțiag : N M / ρp definită prin g(p(x)) = clasa lui x în relația ρp este o bijecție. De aceea putem privi orice pereche (N, p ), unde N este o mulțime și p : M N o funcție surjectivă, ca o mulțime factor al lui M.
1.2.1.1.Propoziție : ( Proprietatea de universalitate a mulțimii factor )
Fie ( M, p) o mulțime factor a mulțimii M și f: M P o funcție.
(i) Există o funcție u: N P, astfel că up = f, adică astfel ca diagrama
(1) M p N
f u
P
să fie comutativă, dacă și numai dacă între relațiile de echivalență ρp și ρf definite pe M de p și f avem ρp ρf , adică din p(x) = p (x’) pentru x, x’ M f(x) = =f(x’).Dacă u există, ea este unică.
(ii) Dacă există u cu proprietatea din (i), atunci u este surjectivă
f este surjectivă.
(iii) Dacă există u cu proprietatea din (i), atunci u este injectivă ρ p= ρ f ( adică p(x) = p(x’) este echivalentă cu f(x) = f(x’), pentru x, x’ M).
Demonstrație:
Să presupunem că există u care face comutativă diagrama (1) și să
presupunem că p(x) = p(x’),x, x’M.
Atunci u(p(x)) = u(p(x’)),adică f(x) = f(x’).Reciproc, să presupunem că ρp ≤ ρf , atunci definim u:N→P astfel: fie yN, atunci există xM astfel că p(x)=y; deoarece p este funcție surjectivă, definim u(y)=f(x). Pentru a arăta că u este o funcție trebuie să observăm că ea nu depinde de alegerea lui x cu proprietatea p(x)=y, ci numai de y.
Fie deci un alt element x’M cu p(x’)=y, deci p(x)=p(x’), și din faptul că
ρp ≤ ρf rezultă atunci f(x)=f(x’).Unicitatea lui u rezultă din faptul că p este surjecție.
ii) Dacă f este surjectivă, atunci din relația up=f rezultă că u este surjectivă. Reciproc, dacă u este funcție surjectivă, atunci f este compunerea a două funcții surjective, deci este o funcție surjectivă.
iii) Presupunem că u este funcție injectivă. Este suficient să demonstrăm că ρf ≤ ρp. Fie x, x’M astfel ca f(x)=f(x’). Atunci rezultă (up)(x)=(up)(x’), deci u(p(x))=u(p(x’)) și deoarece u este funcție injectivă rezultă p(x)=p(x’). Reciproc, să presupunem că ρp ≤ ρf și fie y, y’N astfel că u(y)=u(y’). Există atunci x, x’M, astfel că p(x)=y, p(x’)=y’. Avem f(x)= =(up)(x)=u(p(x))=u(y)=u(y’)=(up)(x’)=f(x’), și din egalitatea ρp = ρf rezultă p(x)=p(x’), adică y = y’.
1.2.1.1.Corolar:
Dacă (N,p) și (N’,p’), sunt doua mulțimi factor ale mulțimii M astfel că ρp ≤ ρp’ , atunci există o bijecție u:NN’,astfel încât up=p’,adică astfel ca diagrama
(2) MN
p’ u
N’
să fie comutativă.
Demonstrație:
Fiind dată o relație de preordine pe o mulțime M, atunci putem să-i asociem o relație de echivalență pe M . Să notăm cu (M’ , p) mulțimea factor a lui M. Atunci pe M’ putem introduce o relație de ordine astfel încât P să fie morfism de mulțimi preordonate în modul următor. Dacă x’, y’ M’, fie x1, x2, y1, y2M astfel ca p(x1) = x’, p(x2) = x’, p(y1) = y’, p(y2) = y’; atunci x1 y1 este echivalent cu x2 y2, pentru ca din p(x1) = p(x2) x1 x2 și x2 x1, iar din p(y1) = p(y2)y1 y2 și y2 y1. Așadar, putem defini relația de preordine pe M’ astfel : x’ y’ x y, unde elementele x, y M sunt astfel ca p(x) = x’ și p(y) = y’.
Se vede, din observația precedentă, că această relație nu depinde de alegerea lui x și y din M cu proprietatea ca p(x) = x’ și p(y) =y’.
Această relație este o relație de ordine, pentru că din faptul că x’ y’ și y’ x’ rezultă că x y și y x, adică x și y sunt echivalente, deci x’ = p(x) = p(y) = y’. Astfel , am asociat unei mulțimi preordonate o mulțime factor a ei care este ordonată, iar surjecția canonică este un morfism de mulțimi preordonate. Această construcție permite, în anumite cazuri, să reducem studiul mulțimilor preordonate la cel al mulțimilor ordonate.
Fie G un grup și H un subgrup al său. Definim pe G următoarele două relații binare:
– x ~ y x-1y H;
– x y xy-1 H.
Aceste relații binare sunt relații de echivalență. Vom demonstra acest fapt pentru prima dintre aceste relații, pentru cea de a doua, demonstrația este analoagă.
Relația ''~ " este reflexivă, pentru că x-1x =e H, deci x ~ x. Ea este simetrică, pentru că din x~ y x-1y H, deci și (x-1y)-1 = y-1xH (deoarece
H este subgrup), prin urmare y ~ x. Relația ~ este tranzitivă : dacă x ~ y și
y~ z, atunci x-1y H și y-1z H x-1yy-1z = x-1z H, deci x ~ z.
Relațiile binare de mai sus fiind relații de echivalență, să considerăm mulțimile factor G/~ și G/. Un element din G/ ~ se numește de obicei clasă alăturată la stânga sau clasă de echivalență la stânga sau încă clasă de resturi la stânga grupului G în raport cu subgrupul H și un element din G/ clasă alăturată la dreapta sau clasă de echivalență la dreapta sau încă clasă de resturi la dreapta. Dacă în grupul G cele două relații coincid, vom nota a ~ b, a, b G și prin ab(mod H).
Dacă xG, atunci clasa de echivalență la stânga a lui x în G/ ~ va fi mulțimea y G echivalente în relația ~ cu x, deci x-1y H, ceea ce este echivalent cu y = xh, unde h H, adică submulțimea xH. Analog , clasa lui x în G/ (adică clasa de echivalență a lui x la dreapta în raport cu H) este mulțimea Hx.
Putem defini o aplicație :G/ ~ G/ prin (xH) = Hx-1. Într-adevăr, definiția lui nu depinde de reprezentantul ales, pentru că dacă Hy-1 = Hx-1, pentru că y = xh, cu h H, deci Hy-1 = Hh-1x-1 = Hx-1.
1.2.2.1 Propoziție: Funcția definită mai sus este o bijecție între mulțimea claselor alăturate la stânga ale lui G în raport cu H și mulțimea claselor alăturate la dreapta.
Demonstrație: este injectivă. Fie (xH ) = (yH) , deci Hx-1 = Hy-1 x-1 = hy-1, cu h H, deci y = xh și xH yH . Așadar, yH = xH.
este surjectivă. Într-adevăr, fie Hz un element din G/ . Atunci este clar că (z-1H) = Hz.
1.2.2.2 Teoremă: Clasele de resturi la stânga și la dreapta ale grupului G în raport cu subgrupul H coincid (deci relațiile de echivalență coincid ) dacă și numai dacă H este subgrup normal în G.
Demonstrație: Să presupunem că cele două împărțiri în clase echivalente coincid. Atunci rezultă că pentru xG, Hx = xH x-1Hx = H, xG, de unde rezultă afirmația teoremei.
O funcție f : MN definește o relație de echivalență pe M. Pentru grupuri considerăm morfisme de grupuri.
1.2.2.3 Propoziție: Fie f : GH un morfism de grupuri. Atunci relația de echivalență ρf pe G asociată lui f coincide cu relația de echivalență asociată subgrupului normal Ker f al lui G.
Demonstrație : Știm că x, yG sunt în relația ρf f(x) = f(y) xy-1 Ker f, ceea ce demonstrează afirmația propoziției.
Să observăm că dacă H este un subgrup al lui G, atunci relația de echivalență la stânga ( la dreapta ) în raport cu acest subgrup este determinată de submulțimea lui G x G care este imaginea inversă a lui H prin funcția : G x GG, definită astfel : (x, y ) = xy-1 ( respectiv (x, y) = x-1y ).
De aici rezultă că dacă H și H’ sunt două subgrupuri ale lui G și notăm cu ρH și ρH’ relațiile de echivalență la stânga ( la dreapta ) determinate pe G de H, respectiv H’, atunci ρH ρH’ dacă și numai dacă H H’.
1.2.2.4 Definiție: Dacă p: G G’ este un morfism surjectiv de grupuri, se spune că cuplul (G’, p ) este un grup factor sau grup cât al grupului G. Se mai spune că G’ este grup factor al lui G, iar p este surjecția canonică sau morfismul canonic.
Este clar că dacă ( G’, p ) este grup factor al grupului G, atunci considerând pe G și G’ ca mulțimi și p ca o funcție, obținem că (G’, p) este o mulțime factor a mulțimii G.
1.2.2.5 Propoziție: ( Proprietatea de universalitate a grupului factor ).
Fie (G’, p) un grup factor al grupului G și f : G Q un morfism de grupuri.
(i) Există un morfism de grupuri u : G’ Q având up = f, adică astfel încât diagrama
(1) M p G’
f u
Q
să fie comutativă dacă și numai dacă Ker f Ker p.
Dacă u există, el este unic.
(ii) Dacă există u cu proprietatea din (i), atunci u este surjectiv dacă și numai dacă f este surjectiv.
(iii) Dacă există u cu proprietatea din (i), atunci u este injectiv
dacă și numai dacă Ker p = Ker f.
Demonstrație: Folosind propoziția 2.2.1. și propoziția 2.2.3., rezultă că
este suficient să mai demonstrăm că dacă există funcția u care face comutativă diagrama (1), atunci, în condițiile propoziției, u este morfism de grupuri.
Fie H, a, bG, astfel că p(a) = și p(b) =.
Avem u( ) = u(p(ab)) = (up)(ab) = …. = f(ab) = f(a)f(b) = (up)(a)(up)(b) = =u()u().
1.2.2.6.Corolar : Dacă (N, p) și (N’, p’) sunt două grupuri ale grupului
G astfel ca Ker p = Ker p’, atunci există un izomorfism de grupuri u :N N’
astfel că up = p’, adică astfel încât diagrama
G p G’
p’ u
Q
să fie comutativă.
1.2.2.7 Teoremă : Fie G un grup și H un subgrup normal al său. Atunci
există un grup factor (N, p) al lui G astfel încât Ker p = H.
Demonstrație: Considerăm relația de echivalență definită de H pe G și fie
(N, p) mulțimea factor a lui G în raport cu această relație de echivalență. Rămâne să introducem pe N o structură de grup astfel încât p să fie morfism de grupuri și teorema va fi demonstrată.
Fie , N și a, bG a, î. p(a) = , p(b) = . Atunci definim
= p(ab). Produsul nu depinde de alegerea lui a și b în G astfel încât
p(a) = și p(b) =. Pentru că dacă a’, b’G sunt astfel încât p(a’) = și
p(b’) = , atunci a’ aH, b’ bH și deci a’b’aHbH = abH, fiindcă H este subgrup normal în G (Hb = bH). De aici rezultă că p(a’b’) = p(ab).
(reamintim că p asociază unui element din G clasa de echivalență în care se află). Din definiția operației algebrice pe N se vede că pentru două elemente x,yG avem p(x)p(y) = p(xy) și, folosind această relație, se deduce ușor că N este grup.
Fie N și a, b, c G astfel că p(a) = , p(b) = , p(c) = .
Atunci () = p(a(bc)) = p((ab)c) = (), deci operația definită pe
N este asociativă. Dacă 1 este elementul unitate în G , atunci p(1) este elementul unitate în N. Pentru că dacă N, fie aG astfel că p(a) =.
Avem : p(1) = p(1a) = p(a) = = p(a1) = p(a)p(1) = p(1). De
asemenea, din relațiile :
p(1) = p(aa-1) = p(a)p(a-1) = p(a-1)
p(1) = p(a-1a) = p(a-1)p(a) = p(a-1) .
rezultă că este inversabil, inversul lui fiind -1 = p(a-1).
Grupul factor construit în teorema precedentă se numește grupul factor
(cât) al lui G în raport cu H (sau relativ la H ) și se notează G/H.
Fie :G G’ un morfism de grupuri. Atunci există un izomorfism
(numit canonic ) : G/Ker Im .
Într-adevăr, considerăm morfismul de grupuri : G Im , definit
prin (x) = (x), x G. Atunci cuplul (Im ,' ) este un grup factor al lui G și Ker' = Ker. Afirmația teoremei rezultă atunci din teorema precedentă și din corolarul 2.2.5.
Se observă că izomorfismul din corolarul precedent este unicul morfism
care face comutativă diagrama :
(1) G p G/Ker
Im
unde p:GG/Ker este surjecția canonică.
Fie G un grup și A, B două subgrupuri ale grupului G astfel încât A să fie
subgrup normal al grupului (A, B) generat de A și B. Atunci A B este subgrup normal al grupului B și există un izomorfism numit canonic.
w : B/AB (A,B)/A
Într-adevăr, B este subgrup al grupului ( A , B ).
Fie atunci
B(A,B)(A,B)/A, unde i este injecția canonică, iar p surjecția
canonică și =pi. Să observăm că (A,B) coincide cu mulțimea AB a produselor de forma xy, cu x A, yB. Evident, (A,B) conține AB, iar AB conține pe A și B, deci este suficient să arătăm că AB este subgrup al lui G, deoarece (A,B) este cel mai mic subgrup al lui G ce conține pe A și B, și AB subgrup ce conține pe A și B, rezultă că AB (A,B).
Fie xyAB și zwAB, x, zA, y, wB. Atunci din egalitatea
yw-1A = Ayw-1, adevărată, deoarece A este subgrup normal al lui (A,B), rezultă că există tA astfel ca xyw-1z-1 = tyw-1 = xtx-1yw-1 = xz’yw-1, unde z’A. Dar xz’yw-1 AB, deci xy(zw)-1 = xyw-1z-1 AB, ceea ce arată că AB este subgrup în G. Morfismul este surjectiv. Pentru că dacă (A,B)/A, atunci există xy(A,B), xA, yB astfel că p(xy)=p(y)=, deci (y)=p(y)=.Din teorema precedentă rezultă că induce un izomorfism w: B/Ker(A,B)/A și rămâne să arătăm că Ker φ =AB. Evident φ (AB)=1, deci AB Ker.
Reciproc, fie yB astfel ca (y)=1. Deci pi(y)=1 și cum i este injecție
avem p(y)=1, adică yA, deci yABKerABKer=AB.
Fie G un grup și H N două subgrupuri normale ale lui G. Atunci există
un izomorfism canonic :
Într-adevăr, să observăm mai întâi că N/H este subgrup al lui G/H, fapt
care rezultă din propoziția 2.2.4, aplicată diagramei :
(1) N p N/H
p’ ni
G/H
in care morfismele sunt cele canonice. Morfismul : N/H G/H care se
obține astfel este injectiv, deci putem identifica pe N/H cu imaginea sa în G/H. Tot din aceeași propoziție 2.2.4. rezultă că există un morfism surjectiv
u : G / H G / N. Aplicând teorema fundamentală de izomorfism, va fi suficient să arătăm că Ker u = N/H, fapt care se verifică imediat prin dubla incluziune.
Analog ca la grupul factor vom introduce inelul factor, adică vom
numi inel factor (sau cât ) al inelului A un inel A’ împreună cu un morfism surjectiv de inele p : A A’. Morfismul surjectiv p se numește morfism canonic sau surjecție canonică.
Să observăm că dacă A este inel comutativ orice inel factor A’ al său este
încă comutativ.
Într-adevăr, fieA’; atunci, din faptul că p este morfism surjectiv
a, b A astfel că p(a) =, p(b) = , unde p : A A’, este morfismul canonic. Atunci din relația = p(a)p(b) = p(ba) = p(b)p(a) = verificată, datorită faptului că A este inel comutativ, rezultă afirmația de mai sus. În mod analog, dacă A este inel unitar, atunci și A’ este inel unitar, iar morfismul canonic p este unitar. Pentru a arăta acest lucru, este suficient să observăm că dacă 1 este elementul unitate din A, atunci p(1) este elementul unitate în A’. Fie A’. Atunci, dacă a A astfel încât p(a) = , avem p(1) = p(1)p(a) = p(1a) = p(a)=.
De asemenea, trebuie să menționăm că dacă A’ este inel factor al inelului
A atunci, reținând doar structurile de grupuri aditive ale lui A și A’, vedem că A’ este grup factor al lui A. La fel, în acest caz, A’ este o mulțime factor a mulțimii A. Dacă A’ este inel factor al lui A de morfism canonic p : AA’, atunci notam acest lucru prin (A’,p) punînd în evidență și morfismul canonic.
1.2.3.1 Propoziție ( Proprietatea de universalitate a inelului factor )
Fie p: AA’ un inel factor al inelului A și φ :AB un morfism de inele.
Există un morfism de inele u:A’B astfel că up = φ , adică
astfel încît diagrama :
AA’
φ u
B
să fie comutativă dacă și numai dacă Ker φ Ker p.
În cazul în care u există, el este unic.
(ii) Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din (i), atunci
u este surjectiv, adică (B, φ) este și el inel factor al lui A.
(iii) Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din (i), atunci u este injectiv dacă și numai dacă Ker p = Ker φ .
Demonstrație : Folosind propoziția 2.2.4., este suficient să arătăm că dacă există morfismul de grupuri u, atunci el este morfism de inele. Fie α, β A’ și a, b A astfel că p(a) = α și p(b) = β. Atunci u(α, β) = u(p(a)p(b)) = (up)(ab) = φ(ab) = φ(a)φ(b) = (up)(a)(up)(b) = u(α)u(β).
1.2.3.2. Corolar: Fie (A’, p’) și (A’’, p’’), două inele factor ale inelului A. Atunci există un izomorfism de inele u:A→A’’, astfel că up’ = p’’ dacă și numai dacă Ker p’ = Ker p’’.
1.2.3.3. Teoremă: Fie A un inel și I un ideal bilateral al lui A. Atunci există un inel A’ și un morfism surjectiv de inele φ:A→A’ astfel încît Ker φ = I.
Demonstrație : Considerăm pe A ca grup aditiv. Atunci I este subgrup al lui A și considerăm grupul factor A’ = A/I, iar φ:A→A’ morfismul canonic de grupuri, care știm că are proprietatea Ker φ = I. Vom arăta că pe A’ putem introduce o structură de inel astfel ca φ să fie morfism de inele.
Într-adevăr, fie α, β A’ și fie aα și bβ. Deci α =a+1, β =b+1, atunci definim αβ=ab+1 .Clasa produsului nu depinde de elementele a și b alese în clasele respective. Pentru că dacă a’≡ a ( mod I ) și b’≡ b ( mod I ), atunci
a’= a +c, b’= b + d, cu c,dI, deci a’b’ = ab + cb + ad + cd și, deoarece I este ideal bilateral în A, cb + ad + cd I, deci a’b’ ≡ ab(mod I).
Această operație este asociativă pe A’, deoarece operația de înmulțire pe A este asociativă, are element unitate dacă A are element unitate și este distributivă față de adunarea pe A’, deoarece înmulțirea pe A este distributivă față de adunare. Avem, de asemenea :φ(ab)= ab + I, iar φ(a)φ(b) = (a+I)(b+I)=ab+I pentru orice a,b A, deci φ este morfism de inele.
Inelul construit în teorema precedentă se numește inelul factor (cât) al lui A în raport cu idealul bilateral I și se notează prin A/I.
1.2.3.4 Corolar: Dacă f: A→ B este un morfism de inele, atunci există un izomorfism canonic : :a / Ker φIm f
Demonstrație: Fie f’: A→Im f morfismul de inele dedus din f prin restrângerea codomeniului . Se observă imediat că f’ este surjectiv și că
Ker f’=Ker f, adică Im f este un inel factor al lui A în raport cu Ker f și din corolarul 2.3.2. rezultă afirmația.
1.2.3.5. Corolar: Fie A un inel și IJ două ideale bilaterale ale sale. Atunci există un izomorfism canonic de inele :
A/J
Demonstrație: este analogă demonstrației celei de-a treia teoreme de izomorfism, folosind propoziția 1.2.3.1. și corolarul 1.2.3.4., sau se demonstrează direct din a treia teoremă de izomorfism demonstrînd că în acest caz ψ este izomorfism de inele.
2.3.6 Propoziție: Fie A un inel unitar și I un ideal stîng (drept sau bilateral).
Atunci I=A dacă și numai dacă I conține un element inversabil din A.
Demonstrație: Dacă I = A, atunci evident I conține orice element inversabil din A.
Reciproc, să presupunem că I este ideal stâng și conține un element inversabil u.
Deci există u-1A astfel că uu-1 = u-1u = 1.Atunci avem uu-1 =1I(deoarece u I ), deci pentru orice element aA avem a = a1I.
Fie A un inel unitar și nenul și M = Mm (A) inelul matricilor pătrate de ordinul m > 1. După cum știm, M este un inel necomutativ. Vom da un exemplu de ideal stâng în acest inel care nu este și ideal drept. Fie I mulțimea matricelor din M ale căror elemente de pe prima coloană sunt toate egale cu 0. Se verifică imediat că I este un ideal stâng în M. I nu este ideal drept pentru că:
=
Evident prin schimbarea liniilor cu coloanele se obține un ideal drept al inelului M, care nu este ideal stâng.
1.2.3.7. Propoziție : Fie A ≠ (0) inel unitar, comutativ și finit și aA. Atunci a este sau divizor al lui zero sau element inversabil.
Demonstrație : Considerăm funcția f : A→A, definită prin f(b) = ab pentru orice bA. Dacă a nu este divizor al lui zero, atunci f este injectivă, pentru că din ab = ab’b = b’. A fiind însă mulțime finită, rezultă că f este și funcție surjectivă, deci există a’A astfel că f(a’) = 1, deci aa’ = 1 și a este inversabil în A.
1.2.3.8 Corolar: Un inel integru finit are toate elementele nenule inversabile.
Deoarece orice ideal este subgrup al grupului aditiv al idealului, rezultă că idealele lui Z sunt printre subgrupurile grupului aditiv al lui Z care, după cum știm, sunt de forma nZ, cu n 0. Se observă însă că subgrupurile nZ ale lui Z sunt toate ideale ale lui Z, deci idealele lui Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv al lui Z și sunt toate ideale principale.
Suma a două ideale nZ și mZ este idealul generat de cel mai mare divizor comun al numerelor m și n pe care îl notăm cu (n, m). Într-adevăr, dacă
nZ + mZ = qZ, q0, atunci din faptul că nqZ și mqZ rezultă că q divide pe n, respectiv m, adică q divide pe (n, m). Pe de altă parte, rezultă că q = ns + mt, s,t Z, deci orice divizor comun al lui n și m divide pe q.
Așadar, (n, m) divide pe q, de unde rezultă egalitatea cerută. În mod analog se arată că nZmZ = [n, m] Z, unde am notat cu [n, m ] cel mai mic multiplu comun al numerelor n și m. De asemenea, rezultă că produsul idealelor nZ și mZ este generat de produsul nm.
Două numere întregi n, m se numesc prime între ele ( sau relativ prime ) dacă 1 este cel mai mare divizor comun al lor.
Din cele de mai sus rezultă că inelele factor ale lui Z sunt de forma:
Zn = Z/nZ.
Acestea sunt inele comutative cu element unitate și Zn are n elemente pentru n>0. Pentru n=0, Z0 este izomorf cu Z.
În continuare vom demonstra câteva proprietăți ale inelelor Zn precum și câteva aplicații ale acestora.
1.2.4.1. Propoziție: În inelul Zn, n>1, un element este inversabil dacă și numai dacă există aZ, a relativ prim cu n, astfel încât p(a)=, unde
p: ZZn este surjecția canonică. În particular, dacă n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.
Demonstrație: A doua afirmație a propoziției rezultă din prima. Pentru a demonstra prima afirmație vom observa că dacă aZ și are proprietatea că este relativ prim cu n , adică (a, n) = 1 atunci , pentru orice a’ Z, cu
a’≡ a mod n, avem de asemenea (a’, n)=1. Într-adevăr, dacă un număr divide pe a’ și n , atunci divide pe a, pentru că aceasta are forma a’+ kn, cu kZ.
Dacă a este un reprezentant al lui și (a, n)=1 atunci, după cum am observat mai sus, există b, cZ astfel încât ab+ nc=1. Trecând această relație în Zn, se obține p(b)= 1, deci p(b) este inversul lui.
Reciproc, să presupunem căZn este inversabil, deci există Zn astfel încât =1. Dacă a, b Z sunt astfel încât p(a)=, p(b)=, atunci rezultă ab1 mod n, de unde rezultă că (a ,n)=1.
1.2.4.2.Propoziție: Fie m,n >1 numere întregi, prime între ele.
Atunci inelul Zm x Zn este izomorf cu Zmn.
Demonstrație: Fie pm: Z Zm, pn: ZZn, pmn: Z Zmn surjecțiile canonice și p’:ZZm x Zn aplicația definită prin p’(a)= (pm(a), pn(a)).
Aplicația p’ este un morfism de inele, după cum se verifică cu ușurință, iar
Ker p’= mnZ.
Într-adevăr, mnZKer p’. Fie x Ker p’. Atunci pm(x)=0 și pn(x)=0, deci x se divide cu m, cu n și cum (m,n)=1 rezultă că x se divide cu produsul mn, adică xmnZ și Ker p’mnZ. Din propoziția 2.3.1. rezultă că există un morfism injectiv de inele p: Zmn Zm x Zn și deoerece inelele Zmn și Zm x Zn au același număr de elemente, rezultă că p este și surjectiv.
Fie :NN funcția definită prin : (0)=0, (1)=1 și (n)=numărul numerelor naturale nenule, prime cu n și mai mici decât n, pentru n>1.
Aplicația se numește funcția lui Euler sau indicatorul lui Euler. Din propoziția 1.2.4.1. rezultă că φ(n) coincide cu numărul elementelor inversabile din inelul Zn, dacă n 1.
1.2.4.3 Propoziție Dacă m și n sunt numere prime între ele, atunci
φ (mn) = φ(m) φ(n).
Demonstrație : Dacă unul dintre numerele m,n este nul, afirmația este evidentă. În caz contrar, φ(mn) coincide cu numărul elementelor inversabile din inelul Zm x Zn după cum rezultă din propoziția precedentă. Acum afirmația propoziției rezultă din lema care urmează și a cărei demonstrație este imediată.
1.2.4.4 Lemă: Fie A și B după inele unitare. Notăm cu A*, B·* și (AxB)* respectiv, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A, B și A x B.
Atunci există egalitatea (A x B)* = A*x B*.
1.2.4.5. Propoziție : Fie n > 1 un număr întreg și n = … descompunerea sa în produs de numere prime, unde p1, p2 , …..pr sunt prime distincte. Atunci :
φ(n)=n…
Demonstrație : Din propoziția 2.4.3.Rezultă căφ(n) = φ()∙φ()∙…∙φ()
Atunci este suficient să arătăm că : φ() = …, ceea ce rezultă din faptul că numerele naturale mai mici decît se divid cu pi sunt în număr de, anume 0, pi, 2pi,…,(pi –1)pi, pi2,…,( –1)pi.
1.2.4.6 Propoziție : (Teorema lui Euler )
Dacă a și n > 0 sunt numere întregi prime între ele, atunci≡1 mod n.
Demonstrație : Deoarece grupul multiplicativ al elementelor inversibile din Zn are ordinul (n), iar clasa â lui a aparține acestui grup, rezultă că âφ(n) = 1^, relație care este echivalentă cu afirmația propoziției.
Pentru un număr prim, avem φ(n) = n-1 și se obține din propoziția precedentă următorul corolar cunoscut sub numele de teorema lui Fermat sau mica teoremă a lui Fermat.
1.2.4.7 Corolar : Dacă p > 1 este un număr întreg prim și a un întreg care nu se divide cu p, atunci ap-1 ≡1 mod p.
DEFINIȚII. INTERPRETARI.
Se știe că un modul este o generalizare a unui spațiu vectorial, în sensul următor: dacă operația externă ( înmulțirea cu scalar ), în cazul spațiului vectorial, se definește cu ajutorul unui corp (comutativ, eventual), în cazul modulelor se va folosi pentru aceasta un inel.
Fie R un inel unitar, nu neapărat comutativ și M un grup abelian în raport cu o operație internă presupusă aditivă: (M, +).
1.2.5.1 Definiție : M se numește R-modul stâng (drept), dacă există o operație externă s: R x M→M, s(a, x) = axM, aR și xM (respectiv
d: M x R→M, d(x,a) = xa, care verifică următoarele axiome a,bR și
x,yM:
a(x + y) = ax + ay
(a + b)x = ax + bx
(ab)x = a(bx)
1x = x, unde 1 este unitatea inelului R.
(respectiv: (x + y)a = xa + ya
x(a + b) = xa + xb
x(ab) = (xa)b
x1 = x, în cazul modulului drept).
1.2.5.2Definiție: Fie M și N două R-module stângi. Se numește morfism de R-module (sau R-morfism), o aplicație f: M→N cu proprietățile:
– x,yM, are loc f(x + y) = f(x)+f(y), adică f păstrează operația internă;
-aR, xM, are loc f(ax)=af(x), adică f păstrează operația externă.
Observație: Cele două condiții din definiția unui R-morfism sunt echivalente cu:
a,bR, x, yM, are loc f(ax + by) = af(x) + bf(y).
Dacă M=N, f se numește endomorfism, iar mulțimea endomorfismelor stângi se notează cu End1(M), care poate fi organizat cu structura de inel în raport cu operația de adunare obișnuită a funcțiilor și cu operația de compunere a morfismelor.
Definiția unui R-modul stâng poate fi dată și în modul următor:
1.2.5.3 Definiție: O pereche (M,λ) se numește R-modul stâng, dacă M este grup abelian, iar λ:R→End1(M) este un morfism de inele de la inelul R la inelul de endomorfisme cu acțiune la stânga al lui M.
Observație: Acțiunea morfismului se înțelege în modul următor:
aR, (a):M M, (a)(x)M, cu propietățile:
– (a)(x + y) =(a)(x)+(a)(y)
-(a + b)(x) =(a)(x)+(b)(x)
-(ab)(x) = (a)((b)(x))
-(1)(x) = x
Analog se definește structura la dreapta.
Fie R și S două inele.
1.2.5.4 Definiție: Un grup abelian M este un bimodul R-stâng și S-drept,
dacă M este un R-modul stâng și un S-modul drept, pentru care cele două înmulțiri cu scalari satisfac relația: r(xs) = (rx)s, rR, sS, x M. Notăm bimodulul cu RMS.
Observație: Există și alte structuri de bimodule, de exemplu:
R-S M = bimodulul R-stâng și S-stâng.
Fie M un R-modul stâng și X M, X .
1.2.5.5 Definiție: Se numește submodul al lui M generat de X, intersecția
tuturor submodulelor lui M, care conține pe X reprezentând unicul submodul, "cel mai mic " în sensul incluziunii, ce conține pe X.
1.2.5.6 Propoziție: Dacă M este un R-modul stâng și X M, X, atunci
submodulul lui M generat de X este chiar RX.
1.2.5.7 Definiție: Dacă (M) este o familie de submodule ale lui M,
atunci ΣM este submodulul generat de familia dată.
Dacă M = ΣM, spunem că submodulele M,I generează pe M.
Dacă X M este o submulțime nevidă a lui M cu RX = M, spunem că X generează pe M.
Un modul cu o mulțime finită de generatori se numește finit generat.
Un modul cu un singur generator se numește modul ciclic.
1.2.5.8 Propoziție: Dacă X este o mulțime de generatori pentru
R-modulul stâng M, atunci M este ΣRx, xX.
Observație : Un modul simplu este generat de orice element al său.
1.2.5.9 Definiție: Un modul M se numește simplu dacă M 0 și M nu
are submodule netriviale.
Teoremă: Fie M un R-modul stâng, nenul, finit generat. Atunci
orice R-submodul propriu al său este conținut într-un submodul maximal. În particular, M are un submodul maximal.
Dacă M și N sunt două R-module stângi, se știe că un morfism de module
este o aplicație f : MN, cu proprietatea: f(ax+by)=af(x)+bf(x), a,bR,
x,yM, adică este o aplicație liniară.
1.2.5.11 Definiție: Fie RMS și RNS două (R-S)-bimodule.O aplicație f:M→N este un (R-S)-morfism dacă este liniară peste R și S, adică r,r’R, s,s’S, x,y RMS are loc f : (rxs + r’ys’) = rf(x)s + r’f(y)s’.
1.2.5.12 Definiție: Un morfism f:M N se numește monomorfism, dacă
el este injectiv.
Un morfism f:M N se numește epimorfism, dacă el este surjectiv.
Un morfism f:M N se numește izomorfism, dacă el este bijectiv.
Observație : De fapt, un monomorfism (epimorfism) este un morfism
care se poate simplifica la dreapta (stânga) și în cazul R-modulelor coincide cu o injecție (bijecție).
1.2.5.13 Propoziție : Fie f : M N, un morfism de R-module stângi.
Următoarele afirmații sunt echivalente:
-f este monomorfism;
-Im f = N;
-Pentru orice R-modul stâng, RK și orice două R-morfisme g, h : NK, din gh = hf se obține g = h.
-Pentru orice R-modul stâng, RK și orice R-morfism g : N K, din gf = 0 se obține g = 0.
1.2.5.14 Propoziție : Fie f : M N, un morfism de R-module stângi.
Următoarele afirmații sunt echivalente:
-f este epimorfism;
– Ker f = 0;
– Pentru orice R-modul stâng, RK și orice două R-morfisme g, h : KM,
din fg = fh se obține g = h.
– Pentru orice R-modul stâng, RK și orice R-morfism g : K M, din
gf = 0 se obține g = 0.
Fie L un submodul al unui R-modul M. În particular, L este subgrup al grupului abelian subadiacent R-modulului M. Așadar putem considera grupul factor M/L. Reamintim că elementele lui M / L sunt clasele de echivalență ale relației de echivalență pe M;
x~ y (mod L) x – y L
și că adunarea în grupul abelian M / L se face după regula:
=x+y, M / L
Dacă a R și M / L, definim a= xa. Dacă x’, atunci x – x’ L, deci ax’ – ax = a ( x – x’ ) L, de unde ax = xa.
Rezultă că aplicația Rx M/LM/L, (a,) ax este corect definită. Această operație externă definită pe grupul abelian M/L verifică axiomele
R-modulului la stânga.
Astfel,aR și , M/L, avem :
a (+) = a ( x + y ) = ax + ay = ax + ay = a+a
Așadar, M/L este în acest mod organizat ca un modul peste inelul R, numit modulul factor al lui M prin submodulul L.
Aplicația canonică φL: M M/L, φL(x) =, xM, este morfism surjectiv de R-module, numit morfismul canonic.
Dacă u : MN este un morfism de R-module, notăm cu
Ker u = { x M |u(x)=}
Im u = { yN | xM a.î. u(x) =y }
Cum u este în particular morfism de grupuri Ker u (respectiv Im u ) este grup al grupului subadiacent R-modulului M ( respectiv N ).
Dacă aR și xKer u, atunci u(ax) = au(x) = a∙0 = 0, deci axKer u.
Analog, dacă aR și yIm u, atunci y = u(x), cu xM,
atunci ay = au(x)= = u(ax), deci ayIm u.
Așadar, Ker u (respectiv Im u) este submodul al lui M (respectiv N), numit nucleul (respectiv imaginea) morfismului u.
Dacă L este submodul al modulului M iar φL:M M/L este morfismul canonic, atunci Ker u = L și Im u = M/L.
1.2.5.15 Propoziție: Pentru un morfism u:M N de R-module următoarele afirmații sunt echivalente:
a) u este aplicație injectivă;
b)Ker u = 0;
c) Din u o v1=u o v2, unde v1 și v2 sunt morfisme de R-module v1 și v2.
Demonstrație:
a) b) Fie x Ker u. Din u(x) = 0 = u(0) și presupunerea că u este aplicația injectivă x = 0, deci ker u = 0.
b) a) Dacă u(x1) = u(x2), atunci u(x1 – x2) = 0, deci x1-x2Ker u = 0, de unde x1 = x2.
a) c) Fie v1:PM și v2:PM două morfisme de R-module a.î.
u o v1 = u o v2.Pentru orice xP avem (u(v1(x))=u(v2(x)), deci v1(x)=v2(x), pentru că u este aplicație injectivă,de unde v1=v2.
c) b) Fie L = Ker u și v:LM morfismul incluziune.
Avem u o v = 0 = =u o 0, de unde v = 0, deci L = 0.
Un morfism u:M N de R-module se numește monomorfism dacă satisface una din condițiile echivalente ale propoziției precedente. Din propoziția precedentă rezultă:
1.2.5.16 Corolar: Fie u:M N și v:N P două morfisme de R-module.
i)Dacă u și v sunt monomorfisme, atunci v o u este monomorfism.
ii)Dacă v o u este monomorfism, atunci u este monomorfism
Analog se demonstrează:
Propoziție: Pentru un morfism u:MN de R-module,
următoarele afirmații sunt echivalente:
a) u este aplicație surjectivă;
b) din v1 o u = v2 o u, unde v1 și v2 sunt morfisme de R-module v1 = v2
Un morfism u:MN de R-module se numește epimorfism dacă satisface una din condițiile echivalente ale propoziției precedente. Avem:
Corolar: Fie u:MN și v:NP două morfisme de R-module.
Dacă u și v sunt epimorfisme, atunci v o u este epimorfism.
Dacă v o u este epimorfism, atunci v este epimorfism.
Un morfism u: MN de R-module se numește izomorfism dacă
vH o mR(N, M) astfel încât v o u = 1M și u o v = 1N. În cazul că există, v se notează cu u-1 și se numește inversul lui u. Evident u-1 este, de asemenea, izomorfism și (u-1)-1 = u. Spunem că R-modulele M și N sunt izomorfe și scriem MN dacă există cel puțin un izomorfism u:MN.
Propoziție: Pentru un morfism u:MN de R-module,
următoarele afirmații sunt echivalente:
a) u este aplicație bijectivă;
b) u este izomorfism;
Demonstrație: a)b) Cun u este, în particular, morfism de grupuri, atunci aplicația inversă u-1:N M, u-1(y) = x, dacă u(x) = y, este morfism de grupuri.
Dacă aR și yN, y = u(x) cu xM,atunci ay = au(x) = u(ax), deci
u-1(ay) = ax = au-1(y),de unde u-1HomR(N,M).
b) a) Rezultă din 1.2.5.15 și 1.2.5.17 și din faptul că aplicația identică este bijectivă.
1.2.5.20 Lemă : Fie u: MN și v:MP două morfisme de R-module astfel încît v este surjectiv și Ker v Ker u. Atunci:
i) există un morfism unic de R-module w:PN astfel încît u = w o v
MN
v w
P
ii) w este injectivă dacă și numai dacă Ker u = Ker v.
iii) w este surjectiv dacă și numai dacă u este surjectiv.
Demonstrație:
i)Pentru yP fie xM astfel încât v(x) = y și definim w(y) = u(x).
Dacă x1M este astfel încât v(x1)=v(x)=y, atunci x1-xKer vKer u, de unde u(x1) = u(x),deci aplicația w este corect definită.Se verifică ușor că wHomR(P,N) și că w o v = u. Unicitatea lui w rezultă din faptul că v este epimorfism. (1.2.5.17).
ii)Fie x Ker u și y = v(x). Dacă w este injectiv, atunci din w(y) = u(x)=0
0 = y = v(x), deci xKer v, de unde Ker u = Ker v.
Analog, dacă Ker u = Ker vcă w este injectiv.
iii) Rezultă din corolar 1.2.5.18
1.2.5.21.Teoremă: (Teorema fundamentală de izomorfism).
Dacă u:MN este un morfism de R-module, atunci Im uM/Ker
Demonstrație: Fie P=m/Ker u și v:M→P morfismul canonic. Avem
Ker v = Ker u și se aplică lema 1.2.5.20.
Evident, unicul izomorfism w :M/Ker uIm u astfel încât u = w o v este funcția u(x), numită izomorfismul canonic.
1.2.5.22.Corolar: (Teorema I de izomorfism a lui E. Noether)
Dacă H și L sunt submodule ale unui R-modul M a. î. LH, atunci:
M / H(M / L) / (H / L)
Demonstrație: Fie φH: MM/H și φL: MM/L morfismele canonice.
Cum Ker φL=LH = Ker φH, există un unic morfism surjectiv u:M/LM/H astfel încât φH = u o φL (lema 1.2.5.20). Cum Ker u = H/L și Im u = M/H rezultatul se obține aplicînd (1.2.5.21) morfismului u.
1.2.5.23 Corolar: (Teorema a II-a de izomorfism a lui E. Noether).
Dacă H și L sunt submodule ale unui R-modul M, atunci:
(H + L) / L H / HL.
Demonstrație: Fie u:H(H + L) / L morfismul rezultat prin compunerea morfismului incluziune HH + L cu morfismul canonic H + L(H + L) / L.
Cum Ker u = HL și Im u = (H + L) / L, rezultatul se obține aplicând (1.2.5.21) morfismului u.
Se consideră mulțimea:
Z*=Z-{0}adică mulțimea numerelor întregi fără elementul zero.
Fie: Z*=Z*x Z*.
Pe mulțimea Z* vom defini o relație de echivalență în modul următor:
Dacă : (a,b) și (a',b') Z*,atunci: (a,b) (a',b') dacă și numai dacă avem: ab'=ba'.
:
a) Este reflexivă:
(a,b),avem (a,b) (a,b) ab = ba.
b) Este simetrică:
(a,b) și (a',b'),avem: (a,b) (a',b') => (a',b') (a,b), pentru că:
ab'=a'b este echivalent a'b=b'a
c) Relația este tranzitivă:
Pentru orice (a, b), (c, d), (e, f), dacă: (a,b)(c,d) și (c,d)(e,f), atunci (a,b) (e,f)
Într-adevăr : (a,b)(c,d) ad=bc.
(c,d)(e,f) cf = de.
Dacă înmulțim cele două egalități membru cu membru, obținem:
adcf = bcde af=be, sau (a,b)(e,f).
Clasele de echivalență determinate în mulțimea Z* de relația, formează o nouă mulțime ,numită cât Z*/ .
Mulțimea cât Z* / este deci o partiție a lui Z* în care elementele sunt clase de echivalență după .
Mulțimea Z*/ se numește mulțimea numerelor raționale nenule și se notează Q*.
Toate perechile aparținând aceleiași clase de echivalență pot fi considerate ca diverși reprezentanți ai acestei clase .Conform cu definiția adoptată, vom zice ca ele reprezintă un același număr rațional.
Când perechea (a,b) de numere întregi are rolul de reprezentant al unui număr rațional, i se dă numele de fracție, primul său termen a se numește numărător, iar cel de-al doilea , b se numește numitor.
Relația ab' = a'b exprimă faptul că perechile (a,b) și (a',b') aparțin unei aceleiași clase de echivalentă; ea exprimă,de asemenea,faptul ca fracțiile, reprezintă un același număr rațional.
Mulțimea de referință fiind mulțimea Q a numerelor raționale, iar fracțiile si , reprezentând același număr rațional, trebuie să le considerăm egale.
Să considerăm mulțimea Z x Z.
Când a = 0, atunci din ab’ = 0 și din a’b = 0, (b 0) rezultă a’=0. Deci, dacă o fracție are numărătorul nul, atunci orice fracție egală cu aceasta are, de asemenea, numărătorul nul. Se zice că acest număr rațional este nul, se notează cu 0, iar valoarea sa absolută este 0. I se poate atribui semnul + sau -, la alegere, dar acesta, în general se omite.
Să definim pe mulțimea Z*, înmulțirea, notată, a două perechi (a,b) și (c,d) prin relația:
(a,b) (c,d) = (ac,bd).
Să considerăm perechile (a,b) , (a’,b’) , (c,d) și (c’,d’).
Dacă : (a,b)(a’,b’)
(c,d) (c’,d’)
atunci : (ac , bd) (a’c’, b’d’).
Deoarece înmulțirea pe Z* este compatibilă cu relația de echivalență, putem defini operația determinată în mulțimea cât Z*/, pe care o notăm cu x, astfel : .
1.Elementul neutru pentru x.
Daca (a, b) este un element neutru pentru x, atunci, pentru orice element (x,y) din Q* , avem: , sau:
, sau:
xay=ybx ,
care implică a=b, pentru orice x și orice y, nenuli din Q*.
Prin urmare (a,b) este element neutru pentru x ,dacă a=b.
Elementul neutru din Q* este deci clasa de echivalență a elementelor din Z*. Această clasă de echivalență admite ca reprezentant canonic elementul (1,1).
2.Elementul simetric pentru x.
Să presupunem că simetricul elementului este elementul
Atunci avem:, sau
Rezultă : xx’ = yy’ = 1, care este echivalent cu (x’, y’) (y, x) ;
x’,y’ sunt dați de relațiile x’=1/x, y’=1/y.
Prin urmare orice element (x,y) din Q* admite element simetric pentru operația x:
a) este asociativă și comutativă;
b) elementul este neutru;
c)orice element admite elementul ca simetric.
(Q*,x) este un grup abelian.
Se consideră submulțimea , având elementele de forma .
Această mulțime, având elemente de forma , înzestrată cu operația x, este izomorfă cu Z*, înzestrată de x.
Să arătăm că aplicația f care face să corespundă elementului din această mulțime numărul întreg nenul x, este o bijecție și un omomorfism.
1) f este bijecție ; aceasta este evident;
2) f este un omomorfism; într-adevăr:
sau:
În aceste condiții, orice număr rațional verifică egalitatea:
, și un reprezentant va fi notat x / y, sau: .
Putem deci considera numărul rațional x / y ca produsul numărului rațional prin simetricul numărului rațional
Vom nota , bara orizontală simbolizează operația reciprocă înmulțirii.
În cele ce urmează vom folosi, pentru notația numărului rațional forma x/y.
Să considerăm mulțimea Z’2 a lui Z2 definită astfel:
Z’2 ={(0, x), x N}.
În mulțimea Z’ se considera relația,
(x,y)(x’,y’) xy’ = x’y.
Avem: (0,x) (0,y) 0x=0y.
Clasa tuturor elementelor echivalente cu (0, x) o vom nota
Mulțimea Q= Q* se numește mulțimea numerelor raționale.
Pe mulțimea Z’xZ’ definim operația , numită adunarea perechilor, astfel:
(x, y) (z, w)=(xw+ zy, yw)
Se arată, ca și în exemplele precedente, că operația de adunare astfel definită este compatibilă cu relația de echivalența, adică, dacă :
(x,y) (x’,y’) și (z,w) (z’,w’)
Atunci:
[(x, y) (z, w)][(x’, y’) (z’, w’) (1)
Relația (1) ne arată că dacă în operația se înlocuiesc perechile (x,y) și (z,w) cu două perechi echivalente (x’,y’) și (z’,w’) se obțin perechi echivalente după relația .
Operația corespunde deci la o operație între clase de echivalență.
Vom nota cu + operația corespunzătoare între numerele raționale și avem:
x/y + z/w=(zw + yz/yw)
Această operație este comutativă, admite element neutru și pentru fiecare element al mulțimii Q* există un element simetric.
1)Comutativitatea și asociativitatea sunt evidente;
2 )Element neutru;
Operația + fiind definită, să presupunem că există un element neutru notat a/b. Avem:
a/b + x/y = x/y ay + bx/by = x/y (ay + bx/by)(x/y)(ay + bx)y = ybx y2a = 0 a = 0.
Elementul 0/b este neutru pentru operația +.
3)Element simetric
Să presupunem că orice element x/y a lui Q admite un element simetric (x’/y’).
Atunci avem:
x/y + x’/y’ = 0/1 sau (xy’ + x’y/yy’)(0,1)
De unde rezultă că : xy’= -x’y sau : (x’,y’) R (-x,y).
Prin urmare orice element x/y Q admite un element simetric –x/y față de operația +.
1) Operația + este comutativă;
2) Este asociativă;
3) Elementul (0,1) este neutru;
4) Orice element x/y are un simetric –x/y fată de operația +.
(Q,+) este un grup abelian.
( Q,+) este un grup abelian;
(Q*,x) este un grup abelian;
Înmulțirea este distributivă față de adunare.
Structura (Q,+,x) este un corp.
Definiție: Se numește submulțimea numerelor raționale pozitive, o submulțime a mulțimii Q,notată Q +, ale cărei elemente x/y sunt astfel încât x-y aparține lui Z .
Definiție : Se numește submulțimea numerelor raționale negative și se notează Q, submulțimea mulțimii Q, ale cărei elemente x/y sunt astfel încât
x-y Z-.
Definiție : Numărul rațional x este “superior sau egal”, numărului y, dacă și numai dacă diferența x-y este un element din Q . Se notează x ≥ y.
Această relație este o relație de ordine totală:
1) Relația este reflexivă: x, x≥x;
2)Relația este antisimetrică ; dacă relațiile x≥ y și y≥ x sunt adevărate simultan, atunci x = y.
3)Relația este tranzitivă.
Această relație este deci o relație de ordine; arătăm ca această ordine este totală. Într-adevăr, orice număr rațional aparține fie lui Q+, fie lui Q -. Fiind date două numere raționale oarecare x și y, atunci x-y aparținând lui Q + sau lui Q -, vom avea respectiv relația x≥ y sau y ≥x.
3.1 Definiție: Fie R un inel; o submulțime S nevidă a lui R este un sistem multiplicativ dacă sunt verificate condițiile:
a) 1S;
b) s, s’S, atunci ss’S;
c) 0S.
3.2. Definiție: Fie R un inel și S o parte multiplicativă a lui R. O pereche (B,φ) formată dintr-un inel B și un morfism φ: RB de inele, se numește inel de fracții la stânga al lui R relativ la S, dacă sunt îndeplinite condițiile:
1) Dacă xR și φ(x) = 0 sS așa încât sx = 0;
2) Dacă sS atunci φ(s) este ireversibil în B;
3) element bB este de forma φ(s)-1φ(a), unde aR și sS.
3.3 Lemă: (Teorema numitorului comun). Fie R un inel și S o parte multiplicativă a lui R. Presupunem că (B, φ) este un inel de fracții la stânga al lui R relativ la S. Dacă s1…..sn S atunci există a1…..an R și sS așa încât (si)-1 = =(s)-1(ai), 1 i n.
Demonstrație: Prin inducție după n. Dacă n = 1 atunci punem s = și
a1 =s1. Presupunem că am determinat b1,…,bn-1 R și s’ S încât
φ(si)-1= φ(s’)-1φ(si) pentru 1in-1. Cum (B, φ) este un inel de fracții la stânga pentru R atunci elementul (sn) (s’)-1 este de forma (s’’)-1(a), unde s’’S și a R.
Din egalitatea φ(sn)φ(s’)-1= φ(s’’)-1φ(a) obținem: φ(a)φ(s’)= φ(s’’)φ(sn)= =φ(s’’∙sn)=φ(s) unde am notat s = s’’sn. Deci φ(s’)-1φ(s’’) =φ(sn)-1. Notăm
ai = abi pentru 1 i n-1 și an = s’’.
Atunci pentru 1 i n-1, obținem:
(si)-1 =(s’)-1(bi) =(s)-1(a)(bi) =(s)-1(abi) =(s)-1(ai)q e d.
3.4 Teoremă: Fie R un inel și S o parte multiplicativă a lui R.
Următoarele afirmații sunt echivalente:
1) Există un inel de fracții la stânga al lui R pentru S;
2) S satisface condițiile următoare:
*) oricare ar fi sS și aR, t S și bR astfel încât ta = bs
(S se zice că este permutabil la stânga).
**) Dacă aR și sS și as = 0,tS astfel încât ta = 0.
(S se zice că este reversibil la stânga).
Demonstrație: 1)2) Pentru elementul (a)·(s)-1, bR și tS astfel încât φ(t)-1φ(b) =φ(a)φ(s)-1 de unde φ(t)φ(a) =φ(b)·φ(s) sau φ(ta-bs)=0. Din 2.2.r S astfel încât r(ta-bs) = 0 sau rta = rbs. Notăm rt = t’ și rb = b’ și deci t’a = b’s, t’S ceea ce demonstrează *).
Să verificăm **). Cum as = 0 atunci 0=φ(as)= φ(a)∙ φ(s). Cum φ(s) este inversabil,atunci (a) = 0 de unde rezultă că există tS așa încât ta = 0.
2) 1) Presupunem că S verifică *) și **).
Considerăm mulțimea S x R; pe această mulțime definim relația binară "~ ’’.
Dacă (s, x) și (t, y) sunt două elemente din S x R atunci punem prin definiție
(s, x)~ (t, y) dacă există două elemente a,bR astfel încât as = btS și ax = by.
Este clar că relația „ ~” este reflexivă și simetrică. Să dovedim că este tranzitivă. Fie elementele (s1, x1), (s2, x2) și (s3, x3) din S x R așa încât
(s1, x1) ~ (s2,x2) și (s2,x2) ~ (s3, x3). Există perechile de elemente din R (a1, a2) și (b2, b3) așa încât să avem egalitățile a1s1 = a2s2 S, a1x1=a2x2 și b2s2 = b3x3 S, b2x2 = b3x3.
Cum S verifică *) atunci existența sS și aR așa încât s(s1a1) =a(b3s3).
Dar sa1s1 =sa2s2 și ab3s3 =ab2s2. Deci sa2s2 =ab2s2 adică (sa2 – ab2)s2 = 0.
Cum S verifică **), există s’S așa încât s’(sa2 – ab2) = 0 sau
s’sa2 = s’ab2. Dar pe de altă parte s’sa2x2 = s’sa1x1 și s’ab2x2 = s’ab3x3 de unde (s’sa1)x1 = (s’ab3)x3. Dar (s’sa1)s1 = s’a2s2 = s’ab2s2 = s’ab3s3 de unde
(s’sa1)s1 = (s’ab3)s3. Cum a1s1S atunci (s’sa1)s1S. Deci relația noastră este tranzitivă. Considerăm mulțimea factor S x R/ = | S-1 | R. Dacă (s, x) S x R notăm clasa acestui element prin x / s.
Definim operația de adunare în mulțimea | S-1 |R în modul următor:
, a,bR sunt aleși astfel încât u = as = bt S (întotdeauna este posibil deoarece S verifică *).
Partea cea mai delicată este de a arăta că operația astfel introdusă este bine definită.
Fie pentru aceasta (s, x) ~ (s’, x’) și (t, y) ~ (t’, y’).
Presupunem că: , unde u’ = a’s’ = b’t’ S. Deci trebuie dovedit că (u,ax + by) ~ (u’,a’x’ + b’y’)
Cum as = uS atunci este clar că (s, x) ~ (as, ax) = (u, ax). Analog
(s’, x’) ~ (u’, a’x’). Cum relația ~ " este tranzitivă avem (u, ax) ~ (u’, a’x’). Analog obținem (u, by) ~ (u’, b’y’).
Să notăm = ax, ’ = a’x’, = by, ’ = b’y’. Să demonstrăm că din
(u, ) ~ (u’,’) și (u,) ~ (u’,’) obținem (u, +) ~ (u’,’+’).
Într-adevăr cum (u, ) ~ (u’, ’), a, b R astfel încât cu = bu’S și a = b’.
Din (u,β) ~ (u’,β’) că există c,d R așa încât cu = du S și c = d’.
Din condiția *) rezultă că există sS și rR astfel încât sau = rcu.
Deci (sa – rc)u = 0.Există s’S’ astfel încât s’(sa – rc) = 0 adică
s’sa = s’rc. Dar atunci s’sau = s’rcu sau s’sbu’ = s’rdu’.
Există s’’S astfel încât s’’(s’sb – s’rd) = 0 adică s’’s’sb = s’’s’rd.
Notăm ε = s’’s’sb și δ=s’’s’rc. Obținem egalitățile δu = s’’s’rcu = s’’s’rdu = =s’’s’sbu’ = εu’.
În plus uS deci u = εu’S.
(+) = s’’sirc(+) = s’’s’rc + s’’src = s’’s’a + s’’s’rd’ = s’’s’sb +s’’s’rd’ = ε’ + s’’s’sb’ = ε’ + ε’ = ε(’+’).
(|S-1|R, +) – grup abelian.
Definim operația de înmulțire pe mulțimea |S-1|R: t1S și
x1 R sunt astfel aleși încât t1x = x1t.
Să dovedim că operația de înmulțire nu depinde de alegerea reprezentanților.
Fie (s, x) ~ (s’, x’) există a, b R
(t,y) ~ (t’, y’) există c, d R
Presupunem că , t1 S și t1x1 = x1t1.
Luăm a și t1; atunci există a1R și r1S astfel încât r1a =a1t1 (1)
Luăm b și t’1; atunci există b1R și r2S astfel încât r2b =b1t’1 (2)
Luăm r1și r2 atunci există a2R și r3S astfel încât a2r1 =r3r2 (3)
Din relațiile (1), (2), (3) obținem:
(4) a2a1t1s = a2r1as = a2r1bs’ = r3r2bs’ = r3b1t1’s’ S și
(5) a2a1x1t = a2a1t1x = a2r1ax = a2r1bx’ = r3r2bx’ = r3b1t’1x’ = r3b1x1’t’.
Luăm elementele ct S și a2a1x1t r4 S și a3 R astfel încât
r4a2a1x1t = a3ct unde (r4a2a1x1 – a3c)t = 0.
Din condiția **) obținem că r5 S așa încît r5r4a2a1x1 = r5a3c.
Deci (6) r5r4 a2a1x1t = r5a3ct = r5a3dt’.
Dar r5 r4a2a1x1t = r5r4r3b1x1t’.
Din egalitățile r5r4r3b1x1’t’ = r5a3dt’ și din condiția **) obținem că
r6S așa încât r6r5r4r3b1x1’ = r6r5a3d.
Din relațiile (4), (5), (6) și (7) obținem
(r6r5r4a2a1)(t1s) = (r6r5r4r3b1)(t1’s’) S și
(r6r5r4a2a1)(x1y) = r6r5a3cy = r6r5a3dy’ = (r6r5r4r3b1)(x1’y’) relații ce ne arată că (t1s, x1y)~(t1’s’, x1’y’).
Elementul unitate pentru înmulțire este clasa
Definim morfismul φ : R → | S-1| R prin egalitatea φ (x) = .
Cum (1, x) ~ (s, sx) S, atunci φ(x) =
Ținând cont de modul cum au fost definite operațiile avem:
φ (x) + φ (y) = = φ (x+y) și
φ (x) · φ(y) = = φ(xy).Deci φ este un morfism de inele.
Se vede că se verifică 1) și 2) din definiția 3.2. Dacă |S-1|R este un element arbitrar, din = φ(s)-1φ(x) rezultă că se verifică și condiția 3) din 3.2.
3.5. Obsevație: Presupunem că inelul R este comutativ, atunci condițiile *)și **) devin superflue.
În plus, pe mulțimea S x R putem defini relația de echivalență „~” în
felul următor: (s, x) ≈ (t, y) dacă r S astfel încât r(tx – sy) = 0.
Relațiile „~” și „≈” sunt egale.
Într-adevăr dacă (s,x) ≈ (t.y), atunci rtx = rsy pentru un rS. Punând
a = rt, b = rs, avem ax = by și as = bt S dacă (s, x) ~ (t,y). Invers, presupunem că (s, x) ~ (t, y) a, b R așa încât as = bt S și ax = by.
Relația „≈” este relația de echivalență clasică prin care se construiește
inelul de fracții în cazul comutativ.
3.6 Propoziție: Fie R un inel, S un sistem multiplicativ ce verifică *),
**). Inelul |S-1|R *(care există) are următoarea proprietate (de universalitate): pentru orice inel B și ψ: R→B morfism de inele astfel încât ψ(s) este inversabil s S un mic morfism de inele σ: |S-1|R→B așa încât ψ = σ o φ.
Demonstrație: Fie |S-1|R; atunci punem σ = ψ(s)-1ψ(x). σ este o funcție bine definită. Într-adevăr dacă (s,x) ~ (t,y), a,bR a. î. as = btS
și ax = by.
Atunci ψ(a) ψ(s) = ψ(b) ψ(t) este un element inversabil deci ψ(a) și ψ(b)
sunt inversabile. Din egalitatea ax = by obținem ψ(a) ψ(x) = ψ(b) ψ(y). Cum ψ(a) = ψ(b) ψ(t) ψ(s)-1 atunci ψ(b) ψ(t) ψ(s)-1ψ(x) = ψ(b) ψ(y) de unde
ψ(s)-1ψ(x) = ψ(t)-1ψ(y).
Fie |S-1|R, atunci , unde u = as = bt S.
Deci = ψ(u)-1ψ(ax + by) =ψ(u)-1ψ(a)ψ(x) +ψ(u)-1ψ(b)ψ(y) =
ψ(s)-1ψ(x) +ψ(t)-1ψ(y) =
Analog , unde t1 S și x1t=x1t
Deci = ψ(t1,s)-1·ψ(x1y) =ψ(s)-1ψ(t1)-1ψ(x1)ψ(y).
Cum t1x = x1t atunci ψ(t1)ψ(x) =ψ(x1)ψ(t) de unde ψ(t1)-1ψ(x1)=ψ(x)ψ(t)-1.
Atunci = ψ(s)-1ψ(x) ψ(t)-1 ψ(y) = .
Este evident că σ · φ = ψ. Să dovedim că σ este unic. Pentru aceasta
presupunem dat un morfism de inele σ-1 :[s-1] R→B așa încât σ’ ◦ φ = ψ.
Deci σ◦φ =σ’◦φ adică , x R. Atunci dacă este arbitrar avem:
Deci σ’ = σ.
În mod analog se poate defini noțiunea de inel de fracții la dreapta.
Fie S o parte multiplicativă a lui, având proprietățile:
*’) s S și aA tS și b A așa încât at = ab (S este permutabil la dreapta).
**’) Dacă a R, s S și sa = 0, t S a. î. at = 0 (S este reversibil la dreapta).
În mod similar ca în teorema 3.4. se poate construi un inel de fracții la dreapta notat cu R[S-1].
Ținând cont de propoziția 3.6 obținem:
3.7 Corolar: Dacă [S-1]R și R[S-1`] atunci ele sunt izomorfe.
3.8 Observație: Când inelul R este comutativ, 3.7 ne permite ca inelele
[S-1]R și R[S-1] să le notăm simplu S-1R sau Rs.
3.9 Definiție: Fie R un inel și S un sistem multiplicativ. Un ideal stâng
I al lui R se zice S-saturat dacă este îndeplinită următoarea condiție:
pentru s S, x R așa încât sx I, atunci x I.
3.10 Propoziție: Fie R un inel și S un sistem multiplicativ în R. Presupunem că (B,1) este un inel de fracții la stânga al lui R relativ la S.
Atunci aplicația J→φ-1(J) este o bijecție care păstrează incluziunile între mulțimea idealelor stângi ale lui B și mulțimea idealelor stângi din R, S-saturate.
Demostrație: Dacă sxφ-1(J), unde sS, atunci φ(s)φ(x)J. Cum φ(s) este inversabil, obținem φ(x)J de unde xφ-1(J) și deci idealul φ-1(J) este
S-saturat. Să arătăm că Bφ(φ-1(J)) = J.
Fie yBφ(φ-1(J)), atunci y =Σbiφ(ai), unde biB și aiφ-1(J).Deci
φ(ai)J și y J. Invers dacă y J putem scrie y = φ(s)-1φ(a) cu sS și aR.
Deci φ(a) = φ(s) și deci φ(a)J de unde a φ-1(J) și deci φ(a) φ(φ-1)(J)) și
prin urmare y Bφ(φ-1(J)).
Fie acum I un ideal stâng din R, S-saturat.
Să dovedim egalitatea I = φ-1(Bφ(I)). Este evidentă incluziunea I φ-1(Bφ(I)); Fie acum xφ-1Bφ(I)); deci φ(x)Bφ(I) de unde φ(x) = unde bi B și ai I. Putem scrie bi = φ(si)-1φ(xi) unde si S (1 i n).
Din lema 3.3 putem presupune că toți si (1 i n) sunt egali cu s S.
Atunci
Notăm . Atunci aI deci φ(x)=φ(si)-1φ(a) de unde φ(a – sx) = 0.
Există t S așa încșt t(a – sx) = 0. Cum I este S-saturat, obținem că a – sx I și deci sxI de unde x I ceea ce trebuia arătat și deci afirmația din enunț.
Fie R un inel arbitrar: să considerăm S mulțimea tuturor elementelor regulate din R (non divizorii lui R).
Este clar că S este un sistem multiplicativ.
Se consideră că S verifică în mod evident condițiile **) și **’). Dacă S verifică condiția *), adică S este permutabil la stânga, inelul de fracții [s-1]R se numește inelul total de fracții (clasic) la stânga lui R. Acest inel se notează Qcl(R). Când S este permutabil la dreapta se poate vorbi de inelul total de fracții (clasic) la dreapta al lui R.
Definiție: Fie Q un inel; un subinel R Q se numește ordin la stânga în Q dacă Q este inelul total de fracții la stânga al lui R .
Analog se definește noțiunea la dreapta în Q.
Fie D un inel unitar care este domeniu de integritate. Mulțimea
T = D – {0} este un sistem multiplicativ.
3.12 Definiție: Dacă T este un sistem permutabil la stânga, D se numește domeniu Ore la stânga. Dacă T este un sistem permutabil la dreapta atunci inelul D se numește domeniu Ore la dreapta.
Se observă imediat că D este un domeniu Ore la stânga respectiv la (dreapta) dacă și numai dacă Da Db 0 (respectiv aD bD 0) a, b D nenuli.
3.13 Propoziție: Fie D un domeniu de integritate ; atunci D este un domeniu Ore la stânga dacă și numai dacă D este ordin la stânga într-un corp (în general necomutativ).
Demonstrație: Fie T = D – {0}. Inelul [T-1] D este un corp.
Într-adevăr, dacă y [T-1] D, atunci a D, b D, b 0. Dacă
y0, atunci a 0 și deci putem considera elementul . Este evident că
yz = zy = 1 adiocă [T-1]D este un corp și deci D este un odin în acest corp.
Dacă D este un domeniu Ore la stânga (respectiv dreapta) atunci corpul [T-1]D se va numi corpul de fracții la stânga (respectiv dreapta) al lui D.
3.14 Propoziție: Dacă D este un domeniu Ore la stânga, atunci inelul de polinoame D|x| este un domeniu Ore la stânga.
Demonstrație: Fie f, g D|x|, f 0, g 0, dacă grad f=0, atunci f =a0 cu a D. Fie g = bmxm +…..+b0 cu bm 0. Dacă K este corpul de fracții la stânga a lui D, atunci în K considerăm elementele bma-1,…..b0a-1. Din lema 3.3
am…….a0 D și b D, b 0 așa încât b-1am = bma-1……b-1a0 = b0a-1.
Dacă h = amxm +……..a0, am 0 atunci este clar că ha = bg.
Presupunem afirmația adevărată pentru toate polinoamele nenule f cu grad f n – 1 (n >1). Fie f un polinom de gradul n și g un polinom de gradul m;
f = anxn +….+a0, an 0 și g = bmxm +…..b0, bm 0.
Dacă m n atunci a, b D a, b o și astfel încât aan = bbn. Atunci
f’ = af – bxn-mg este un polinom de grad n – 1, dacă f’ = 0, demonstrația este terminată.
Dacă f’ 0 atunci din ipoteza de inducție, polinoamele h1 și k1 nenule așa încât h1f’ = k1g de unde h1 (af – bxn-mg) = k1g.
Notând h = h1a și k = k1 + h1bxn-m obținem hf = kg.
Cum h0 atunci k0. Dacă m>n atunci g’= axm-nf – bg este de grad
m – 1. Continuând raționamentul cu g’ obținem în final că există un polinom f1= m-1xm-n + …+0 și un element cD așa încât f1f – cg să fie grad n–1.
Este clar că c 0. Dacă f1f – cg = o atunci demonstrația este terminată. Dacă f1f – cg o atunci aplicând din nou ipoteza de inducție h1, k1 D[x] nenule așa încât h1(f1f – cg) = k1g ude (h1k1)f = (k1+ h1c)g, unde h1f10 ceea ce încheie demonstrația.
3.15 Corolar: Fie {xi}iI o familie de nedeterminate. Dacă D este un domeniu Ore la stânga, atunci DXi iI este un domeniu Ore la stânga.
Fie R un inel și S un sistem multiplicativ ce verifică (*) și (**) din teorema 2.4. Fie M un R-modul stâng. Pe mulțimea S x M definim relația
~: dacă (s, x) și (t, y) sunt din S x M, (s, x) ~ (t, y) dacă și numai dacă există
a, bR a. î. as = bt și ax = by.
1) Relația ~ este de echivalență.
Demonstrația se face exact ca în teorema 2.4. Mulțimea factor SxM/~
o vom nota cu simbolul |S-1|M și dacă clasa de echivalență a elementului (s, x) o vom nota cu .
Pe mulțimea |S-1|M definim operația de adunare: , unde
a, bR sunt aleși astfel încât u = sa = bt S.
Dacă |S-1|R și |S-1|M, atunci definim și operația , unde t1S, a1R sunt aleși astfel încât t1a = a1t.
2) Cele două operații sunt bine definite.
Demonstrația se face exact ca în teorema 2.4.
Mai mult, |S-1|M devine un |S-1|R-modul stâng (deci și un R-modul stâng prin restricția scalarilor). Acest modul se numește modul de fracții la stânga relativ la sistemul multiplicativ S.
Fie f : M→N un modul de R-module; atunci definim aplicația:
|S-1|f : |S-1|M→|S-1|N prin egalitatea |S-1|f=.
Se verifică imediat că S-1f este un homomorfism de |S-1|R-module.
Este aproape evidentă:
4.1.1 Propoziție:
1) dacă M este un R-modul stâng, atunci [S-1]1M = 1[S-1]M.
2) dacă sunt două homomorfisme de module, atunci
[S-1](gf) = [S-1]g[S-1]f.
4.1.2 Propoziție: Dacă Q→Q este un șir exact de R-module stângi, atunci șirul Q→[S-1]M’ [S-1]M [S-1]M” →Q este exact.
Demonstrație: Dacă [S-1]f= 0, atunci = 0. Deci există a R
a. î. as S și af(x’) = 0, deci f(ax’) = 0 de unde ax’ = 0 ceea ce ne arată că = 0 și deci [S-1]f este injectivă. Este evident că [S-1]g este surjectivă.
Din propoziția 4.1.1. obținem că [S-1]g ◦[S-1]f = 0 adică Im[S-1]f Ker[S-1]g. Fie Ker[S-1]g; atunci și deci există a R a. î. as S și ag(x) = 0.
Deci axKer g = Im f. Există x’M’ a.î. ax = f(x’).Dar cum obținem că și deci Im[S-1]f de unde obținem egalitatea
Ker[S-1]g = Im[S-1]f.
Dacă φ : R→[S-1]R este morfismul canonic (φ(a) = ), atunci [s-1]R are o structură canonică de R-modul drept (prin intermediul lui φ): , unde
rR și [S-1]R. Deci [S-1]R este bimodul [S-1]R-stâng și drept.
Rezultă că [S-1]RM este un [S-1]R-modul stâng.
Fie z = [S-1]RM un element:
(conform lemei 2.3) și deci
, unde .
Deci orice element z[S-1]RM este de forma z = cu sS și xM.
4.1.3 Propoziție: Fie M un R-modul stâng. Există un unic izomorfism de
[S-1]R-module
a. î.
Dacă f:M→N un R-homomorfism, atunci diagrama
[S-1]RR M [S-1]M
1f [S-1]N
[S-1]RRN [S-1]N este comutativă.
Demonstrație: Fie Ψ : [S-1]R x M→ [S-1]M dată de egalitatea care este Z-biliniară și R-balansată. Există un unic morfism de grupuri φM : [S-1]RRM→[S-1]M a. î. .
Este clar că φM este un [S-1]R-homomorfism.
Fie Z [S-1]RRM a. î. φM(z) = Q. Cum , atunci și deci .
Există b = R astfel încât bs = S și bx = 0.
Dar atunci . Deci Ker φM = 0.
Dacă [S-1]M, atunci și deci φM este surjectivă.
Comutativitatea diagramei rezultă imediat.
4.1.4. Propoziție: Dacă M este un R-modul stâng, atunci morfismul canonic αM : M→[S-1]M, x→ este un morfism de R-module. În plus, dacă
f : M→N este morfism de module, atunci diagrama
M[S-1]M
f [S-1]f
N[S-1]N este comutativă.
Exact ca în 2.9 se poate verifica:
Propoziție: Fie M un R-modul; atunci este o bijecție
( care păstrează incluziunile) între mulțimea [S-1]R, submodulele lui [S-1]M și R-submodulele lui M care sunt S-saturate (dacă N M, atunci N este S-saturat dacă din relația sx N cu s S rezultă x N). Aplicația inversă este:
N→[S-1]RαM(N), unde N este un R-submodul S-saturat al lui M.
4.1.6 Propoziție: [S-1]R este un R-modul drept plat.
Demonstrație: Rezultă din 4.1.3 și 4.1.2.
Fie R un inel și M un R-modul stâng. Spunem că M satisface condiția maximală (respectiv minimală), dacă orice mulțime nevidă de submodule ale lui M, ordonată cu incluziunea, admite un element maximal (respectiv minimal).
Spunem că M satisface condiția lanțurilor ascendente (ACC) (respectiv descendente – DCC) dacă orice șir (lanț) ascendent de forma :
M1 M2 … Mi …(respectiv orice șir descendent M1 M2 … Mi …) de submodule ale lui M este staționar : există n 1 astfel încât Mn = Mn+1 = …
4.2.1 Definiție: Un R-modul M se numește noetherian (artinian) dacă satisface condiția maximală (respectiv minimală).
4.2.2 Definiție: Un inel R se zice noetherian (respectiv artinian) la stânga dacă R-modulul RR este noetherian (respectiv artinian). Inelul R se zice noetherian (respectiv artinian) la dreapta dacă inelul opus R0 este noetherian (respectiv artinian) la stânga.
4.2.3 Definiție: Un inel R se numește semisimplu dacă R-modulul stâng
RR este semisimplu.
Fie R un inel și M un R-modul stâng. Dacă XM este o mulțime nevidă, atunci prin anulatorul la stânga al lui X în R ,înțelegem mulțimea
LR(x)={rR│ rx=o, xX}
Dacă IR este o submulțime nevidă a lui R , atunci mulțimea
rM(I)=( xM│ rx=o, rI} se va numi anulatorul la dreapta al lui I în M.
PROPOZIȚIE: Fie R un inel și M un R – modul stâng. Fie X,Y două submulțimi ale lui M și I,J două submulțimi în R.Atunci:
1) XY implică 1R(Y) 1R(X), IJ implică rM(J) rM(I);
2) XrM(1R(x)) și I1R(rM(I));
3) 1R(X)=1R(rM(1R(X))) și rM(I)=rM(1R(rM(I))).
Definiție: Un R-modul stâng M se zice simplu dacă M0 și singurul
submodul propriu al său este submodulul zero.
Dacă M este un R-modul și N este un submodul care este R-modul
simplu, atunci N se zice submodul minimal.
Fie M un R-modul și (S) mulțimea submodulelor simple ale lui M.
Dacă M=, atunci se zice semisimplu. De exemplu, orice spațiu vectorial peste un corp K este un K-modul semisimplu.
Fie A o submulțime a lui R cu proprietatea că dacă x, yA, atunci x+yA
și xyA.Vom conveni să numim o astfel de mulțime subinel al lui R (fără unitate). În particular orice ideal stâng (drept bilateral) este un subinel fără unitate al lui R. Fie A un subinel fără unitate al lui R, dacă orice element xA este nilpotent , atunci spunem că A este un nilsubinel în R. Un ideal stâng (respectiv drept)I al lui R se numește ideal anulator la stânga (respectiv dreapta) dacă X R astfel încât I=1R(X) (respectiv I = rR(X)).
4.2.4. Definiție Un inel R se numește inel Goldie la stânga dacă R
satisface următoarele lanțuri ascendente pentru ideale anulatori la stânga și nu există în R o sumă directă infinită de ideale stângi nenule.
4.2.5. Exemple: 1) Dacă R este noetherian la stânga , atunci R este un inel Goldie la stânga.
Dacă R este un domeniu de integritate, atunci R este
inel Goldie la stânga dacă și numai dacă R este domeniu Ore la stânga.
4.2.6. Teoremă.(Teorema I-a a lui Goldie)
Fie R un inel; R este ordin la stânga într-un inel simplu artinian dacă și
numai dacă R este un inel Goldie la stânga și R este un inel prim.
4.2.7 Teoremă: (Teorema a II-a a lui Goldie)
Fie R un inel; R este ordin la stânga într-un inel semisimplu dacă și numai dacă R este inel Goldie la stânga și R este semiprim.
4.2.8 Lemă: Dacă R este un ordin într-un inel semisimplu Q (respectiv simplu), atunci R este semiprim (respectiv prim) și inel Goldie la stânga.
Demonstrație: Fie X o submulțime nevidă a lui R; este evidentă egalitatea: (1) 1R(X) = 1Q(X)R
Cum Q este noetherian la stânga, rezultă imediat din (1) că R verifică condiția lanțurilor ascendente (ACC) pentru ideale anulatori la stânga.
Presupunem acum că în R există o sumă directă infinită de ideale stângi; fie aceasta . Considerăm în Q suma . Această sumă este directă.
Într-adevăr, fie yQIk’ .
Orice element din QIk este de forma cu x Ik și s este element regulat din R. Obținem că , unde xk’ Ik’, și s, s’ sunt elemente regulate din R. Deci există a, b R astfel încât as = bs’ aparține mulțimii elementelor regulate din R și . Cum este directă, atunci axk’ = 0 și deci y = 0. Deci suma este directă. Cum Q este inel Goldie, atunci obține o contradicție.
Să dovedim acum că R este un inel semiprim. Fie I un ideal bilateral nilpotent al lui R cu indicele de nilpotență k+1. Considerăm idealul bilateral QIQ al lui Q. Cum Q este semisimplu, atunci QIQ = Qe, de unde e este un element indenpotent central în Q.
Putem să scriem e = , unde ai I și qi Q. Deci se = .
Dar atunci Ik es = Ik se = Ik+1q = 0 ( k+1 este indicele de nilpotență al lui I, adică Ik+1 = 0 și Ik ≠ 0).
Cum s este inversabil în Q, atunci Ik e = 0. Din incluziunea Ik I obținem (QIkQ)2 QIQQIkQ = QeQIkQ = QIkeQ = Q. Cum Q este semisimplu deci și semiprim, atunci QIkQ =Q ]și deci Ik = 0. Dar k a fost ales a. î. Ik ≠ 0, deci obținem o contradicțiee necesar ca I = 0 de unde rezultă că R este semiprim.
Presupunem acum că Q este simplu artinian și să arătăm că R este prim. Fie I, J două ideale bilaterale din R a. î. IJ = 0. Dacă J ≠ 0, atunci QJQ = Q și deci I QJQ. Rezultă că I = , unde yi J, qi Q, iar s este regulat, în R. Deci s = de unde obținem că Is = 0. Cum s este regulat, obținem I = 0, deci R este inel prim.
4.2.9 Lemă: Fie R un inel. Verificăm condiția de ascendență pentru idealele anulatorii stângi pe orice r 0a. î. : IR(an) Ram = 0, n0 și
m r.
Demonstrație: Avem lanțul ascendent de ideale stângi:
LR(a) 1R(a2) …1R(ak) ….
Fie r 0 a. î. 1R(ar) = 1R(am) pentru orice m r. Dacă 1R(an) Ram, atunci an = 0 și = am de unde am+n = Q. Cum m + n r obținem că
1R(ar) și deci ar =Q. Cum m r, atunci putem scrie = aram-r = Q și deci
IR(an) Ram = Q.
4.2.10 Lemă: Fie R un inel; atunci R verifică condiția lanțurilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga dacă și numai dacă R verifică condiția lanțurilor descendente (DCC) pentru ideale anulatori la dreapta.
Demonstrație: Rezultă imediat din egalitățile:
LR(rR(IR(X))) = IR(X) și rR(IR(rR(X))) = rR(X)
4.2.11 Lemă: Fie R un inel semiprim, verificând condiția lanțurilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga. Dacă I și J sunt două ideale stângi a. î. I J și rR(I) rR(J), atunci există un element bR a. î. Jb 0 și Jb I = 0.
Demonstrație: Din 4.2.10 există un element minimal în mulțimea idealelor anulatoare drepte ce sunt conținute în rR(1) și îl conțin propriu pe rR(J), adică, rR(J) rR(I). Atunci J0 și cum R este semiprim, obținemcă JJ0, există b = ax cu a și xJ a. î. Jaxo. Evident, Jb0. Să dovedim că JbI = 0. Fie JbI, deci = ax cu J. Cum rR(J) rR(μ) obținem că rR(J) rR()rR(I). Deoarece a, atunci ax și ax rR() deoarece ax = =0.
Dar cum Jax0, atunci axrR(J) deci rR () rR(). Dacă 0, atunci ax0 adică ax și ax rR(). Deci rR() ceea ce contrazice alegerea lui . Deci =0 și atunci JbI = 0.
4.2.12 Corolar: Dacă R este inel Goldie la stânga semiprim, atunci R satisface DCC de ideale anulatori la stânga.
Demonstrație: Presupunem că un șir strict descrescător de ideale anulatori la stânga: I1 I2 …In … .Pentru orice n1, rR(In) rR(In+1). Din 4.2.11 rezultă că pentru orice n1 există un ideal stâng kn astfel încât
Kn In și Kn In+1 = 0. Atunci este directă contradicție.
4.2.13 Lemă: Fie R un inel semiprim care verifică ACC de ideale anulatori la stânga. Dacă x, y R a. î. idealele Rx și Ry sunt esențiale în R, atunci Rxy este esențial.
Demonstrație: Fie I un ideal stâng nenul al lui R. Notăm J = {I : y} =
{R |yI}. J este un ideal stâng al lui R și Jy = RyI0 (deoarece I este esențial în R).
Cum 1R(y)J, Jy0 și IR(y)y = 0, atunci rR(J) rR(1R(y)). Din 4.2.11 rezultă că un ideal stâng k0 a. î. kJ și k1R(y) = 0. Să notăm
L = {K : x}. Cum Rx este esențial în R, atunci Lx = RxK0. Dacă Lxy = 0, atunci Lx1R(y) de unde rezultă că LxKIR(y) = 0, contradicție. Deci Lxyo.Cum LxxKyJyI, atunci Rxy I Lxx0 și deci Rxy este esențial în R.
4.2.14 Corolar: Suntem în condițiile lemei 4.2.13. Dacă Rx este esențial în R, atunci x este element regulat în R.
Demonstrație: Dacă rR(x) 0, atunci 0 = rR(R) rR(Rx) și deci un ideal stâng I 0 a. î. I Rx = 0 contradicție. Deci trebuie ca rR(x) = 0, din 4.2.13 rezultă că Rxn este esențial în R pentru orice n 1. Aplicând 4.2.9 rezultă că există r 0 a. î. 1R(x) Rxm = o, mr. Deci trebuie ca 1R(x) = 0. Cum am arătat că rR(x) = 0, atunci x este regulat în R.
Corolar: Presupunem că R este inel Goldie și semiprim. Dacă 1R(x) = 0, unde xR, atunci Rx este esențial în R și x este regulat în R.
Demonstrație: Fie I un ideal stâng nenul al lui R. Presupunem că
IRx = 0. Atunci suma este directă. Într-adevăr, Ixp este egală cu IxIxn dacă p1 și egală cu IxIx2 dacă p = 1.
Dacă y IxIx2 atunci y =λx =μx2, unde λ,μI. Dar atunci
-x IR(x) și deci = x de unde obținem că IRx = 0. Deci = 0 și atunci y = 0. Rezultă că IxIx2 = 0 și cu atât mai mult IxIxp = 0 dacă p 1.
Deci Ixp = 0 și prin urmare suma este directă, contradicție. Deci trebuie ca Rx să fie esențial în R. Din 4.2.14 rezultă că x este regulat în R.
În cele ce urmează vom introduce noțiunea de inel fără unitate.Vom spune că R este un inel fără unitate dacă pe R sunt definite două operații algebrice, o adunare și o înmulțire ce verifică toate axiomele din definiția inelului mai puțin existența elementului identitate.
Exact ca în teoria inelelor (unitare), se poate defini noțiunea de ideal stâng (drept, bilateral), subinel, inel factor, element regulat, element inversabil etc., precum și noțiunile de inel prim, semiprim, inel Goldie.
4.2.16 Propoziție. Fie R un inel Goldie (unitar) și semiprim. Atunci:
1) Orice ideal bilateral al lui R anulator la stânga al lui R conține un ideal bilateral anulator la stânga minimal.
2) Există o sumă directă finită de ideale bilaterale nenule anulatori la stânga minimale ale lui R, care este esențială în R (ca ideal stâng).
3) Orice ideal bilateral nenul anulator la stânga minimal al lui R este un inel (fără unitate) prim și Goldie la stânga.
Demonstrație: a) rezultă din 4.2.12
b) Fie I = I1 … In o sumă directă maximală, unde I1,….In sunt ideale nenule (bilaterale) anulatori la stânga minimale ale lui R. Fie K un ideal stâng nenul astfel încât IK = 0. Cum IkIk, atunci Ik = 0 și deci krR(I). Cum R este semiprim, atunci IrR(I) = 0 de unde rR(I)·I = 0. Deci rR(I) 1R(I), unde rR(I)0. Cum R este semiprim, atunci și IIR(I) = 0, unde IR(I) este un ideal bilateral. Din a) există un ideal bilateral J anulator la stânga și minimal astfel încât J 1R(I) și JI = 0.Dar aceasta contrazice alegerea lui I.
c) Fie s = 1R(X) un ideal bilateral nenul anulator la stânga minimal. Să
dovedim că S este inel prim (fără unitate). Fie A,B ideale bilaterale ale lui S astfel încât AB = 0. Presupunem că A0. Cum SBB, atunci ASB = 0 și deci A1R(SB) S = 1R(SB) 1R(X) = 1R(SBUX) S. Cum S este minimal, atunci IR(SB)S și deci SIR(SB) de unde SBIR(SB)(SB)2 = 0. Dar SB este un ideal stâng a lui R și cum R este semiprim, atunci SB=0. Din relațiile (RB)2 RBRBRSRB=0, atunci RB=0 și deci B=0. Deci inelul S este prim.
Să dovedim că S este inel Goldie. Dacă Y este o mulțime nevidă a lui S,
atunci 1s(Y) = 1R(Y) S = 1R(Y) 1R(X) = 1R(XUY). Din această egalitate rezultă că S satisface ACC pentru ideale anulatori la stânga. Fie k un ideal stâng al lui S. Dacă k ≠ 0, atunci SK ≠ 0. Într-adevăr, dacă SK= 0, atunci (KR)2 = KRKR SRKR SKR = 0 și cum R este semiprim, obținem KR = 0, de unde K = 0, absurd.
Fie (ki)iA o familie de ideale stângi nenule ale lui S astfel încât suma
este directă. Rezultă imediat că (SKi)iA este o familie de ideale stângi nenule ale lui R astfel încât suma este directă, contradicție. Deci S este un inel Goldie la stânga.
4.2.17 Lemă: Fie R un inel Goldie la stânga și semiprim. Dacă I este un ideal stâng al lui R esențial, atunci I conține un element regulat al lui R.
Demonstrație: Vom presupune mai întâi că R este un inel prim. Vom vedea din demonstrație că putem presupune că R este un „inel fără unitate”. Alegem a I, astfel încât IR(a) este minimal în mulțimea {1R(X) | x I}. Fie J un ideal stâng nenul al lui R pentru care Ra J = 0. Cum I este esențial, atunci I J 0. Deci putem presupune că J este un ideal stâng nenul al lui R conținut în I și pentru care Ra J = 0. Fie x J. Dacă IR(a+x), atunci a +x = 0 și deci x Ra J și deci x = 0 de unde și a = 0. Atunci 1R(x). Cum incluziunea 1R(a) 1R(x) 1R(a+x) este clară, atunci obținem egalitatea 1R(a+x) =1R(a) 1R(x). Cum 1R(a) este minimal, rezultă că 1R(a+x) = 1R(a). Cum 1R(a+x)1R(x), atunci 1R(a)1R(x) și deci 1R(a)·x =0 de unde 1R(a)·J = 0. Cum R este un inel prim, atunci IR(a) = 0. Din 4.2.15 rezultă că Ra este esențial în R. Dar atunci J = 0, contradicție. Deci trebuie ca Ra să fie esențial în R și aplicând 4.2.14 obținem că a este regulat în R.
Presupunem acum că R este un inel semiprim. Din 4.2.16 există idealul bilateral S = S1….. Sn, esențial ca ideal stâng în R, unde S1,….Sn sunt ideale bilaterale nenule anulatori la stânga minimale ale lui R. Să arătăm că ISi este un ideal stâng al lui Si 1 i n. Fie pentru aceasta J un ideal stâng L lui Si nenul astfel încât I Si J = 0, dar atunci I J = 0. Cum SiJ J și SiJ 0 ideal stâng al lui R, atunci obținem că I SiJ = 0 care este o contradicție. Deci trebuie ca I Si să fie esențial în Si.
Din prima parte a lemei noastre rezultă că pentru orice 1 i n un element ai rezultat în Si astfel aiI Si.
Să arătăm că a = a1 + …+ an este regulat în R. Dacă 1R(a) 0, atunci IR(a) S0 și deci λ 1R(a) S, μ o. Dacă λ = λ1 + ……+ λn cu λi Si, (1 i n), atunci cum λa = 0 obținem că (λ1 + …+ λn)(a1 + ……+an) = λ1a1 +……+ λnan = 0 de unde λiai = 0 1 i n. Cum ai este regulat în Si, atunci λi = 0 și deci λ = 0, contradicție. Deci trebuie ca 1R(a) = 0 și aplicând 4.2.15 obținem că a este regulat în R.
Din 4.2.8 rezultă că dacă R este ordin la stânga al unui inel semisimplu (simplu artinian), atunci R este un inel semiprim și Goldie la stânga.
Presupunem că R este inel Goldie la stânga și semiprim. Fie a, bR cu a R, element regulat în R. Atunci din 4.2.15 idealul Ra este esențial în R. Rezultă imediat că idealul stâng {Ra :b) este esențial în R. Din 4.2.17 există c {Ra:b},c element regulat în R, dar atunci cb = a cu R ,ce ne arată că mulțimea elementelor regulate ale lui R satisface condiția *) din teorema 3.4 (capitolul III). Cum mulțimea elementelor regulate satisface în mod trivial condiția **), atunci există inelul total de fracții la stânga Q al lui R. Să arătăm că Q este semisimplu. Fie K un ideal la stânga al lui Q; atunci din 3.10 (capitolul III) avem că K = Q (RK).
Fie I un ideal stâng al lui R maximal cu proprietatea I (R K) = 0, atunci I (R K) este esențal în R. Din 4.2.17 rezultă că I (R K) conție un element regulat în R. Dar atunci Q (I (R K) = Q de unde Q = QI Q(R K) = QI K ceea ce ne arată că Q este semisimplu.
Presupunem că R este un inel prim. Trebuie să dovedim că Q este un inel simplu artinian. Dacă Q nu este simplu artinian, există două ideale bilaterale nenule k și k’ în Q, distincte. Dar atunci KK’ = 0. Cum R K și R K’ sunt nenule și (R K)(R K’) = 0 obținem că R nu este prim, contradicție.
4.2.19 Corolar: Fie R un inel semiprim, Goldie la stânga. Fie Q inelul total de fracții la stânga lui R. Atunci Q este anvelopa injectivă a lui R modulului RR.
Demonstrație: Fie q Q, q ≠ 0; atunci q = s-1a, unde s, a R și s este regulat în R. Cum q ≠ 0, atunci a ≠ 0. Se observă că sq = a R și deci Q este o extensie esențială a lui RR.
Cum Q este un inel semisimplu, atunci aQ este un Q-modul injectiv. Cum Q este R-modul drept plat, atunci rezultă că Q este R-modul stâng injectiv.
Fie R un inel semiprim, Goldie la stânga iar Q inelul total de fracții la stânga al lui R.Cum Q este inel semisimplu rezultă că există idempotenți ortogonali și centrali l1, l2, ….ln, Q astfel încât Qi = Qli să fie inele simple artiniene și Q = . Să notăm Ri = Rli; Ri este subinel al lui Qi.
4.2.20 Lemă: Cu notațiile de mai sus, Ri este ordin la stânga în Qi (l i n). În particular Ri este inel prim
Demonstrație: Fie Si = {li | element regulat în R}. Este clar că orice element din Si este regulat în Ri. Dacă este regulat în R, atunci este inversabil în Q și deci li este inversabil în Qli. Dacă qli Qli, atunci q = s-1a, atunci a, s R și s este regulat în R. Putem scrie în Qli că qli = (sli)-1ali. Cum mulțimea elementelor regulate din R verifică condițiile *) și **), atunci și elementele lui Si verifică în Ri condițiile *) și **). Rezultă deci că Qi este inelul de fracții al lui ri relativ la sistemul multiplicativ Si. Dacă s Ri este element regulat în Ri, atunci rezultă că s este regulat la stânga în Qi și cum Qi este inel simplu artinian, atunci s este inversabil în Q.
Putem trage concluzia că Ri este ordin în Qi.
4.2.21 Propoziție: Fie R un inel semiprim, Goldie la stânga. Atunci idealul (0) este intersecție a unui număr finit de ideale prime bilaterale.
Demonstrație: Fie Ri, (l i n), inelele descrise în 4.2.20. Considerăm morfismul injectiv de inele φ : R→R1 x R2 x…….x Rn cu φ (λ) =(λ l1,…..λln). Dacă Пi : R1 x R2 x …..x Rn →Ri este surjectiv canonică,atunci Пi ◦ φ este un morfism surjectiv. Notăm Pi = Ker(Пi ◦ φ). Cm Ri este prim și Пi ◦ φ este surjectiv, atunci Pi este un ideal prim în R. Se observă imediat că = 0.
4.2.22 Corolar: Fie R un inel noetherian la stânga. Atunci R conține un număr finit de ideale prime minimale.
Demonstrație: Fie (Pi)iI mulțimea de ideale bilaterale prime minimale ale lui R. Cum orice ideal prim al lui R conține un ideal prim minimal, atunci nilradicalul rad R = . Inelul R/rad R este semiprim și Goldie la stânga.
Din 4.2.21 rezultă că există ideale prime Q1,Q2,…,Qn ale lui R astfel încât rad R= Q12…Qn . Din egalitatea Q1Q2…Qn = și cum Pieste un ideal prim minimal, un Qk astfel încât Pi = Qk . Deci I este o mulțime finită
4.2.23 Corolar: Fie R un inel noetherian la stânga și un ideal bilateral, atunci I conține produsul unui număr finit de ideale bilaterale.
Demonstrație: Evident că ne putem reduce la cazul când I = 0. Dar 4.2.22, rad(R) = P1 ….. Pn , unde P1 ……Pn sunt ideale prime minimale. Dar atunci P1 P2 ……Pn rad(R).
5.1 Definiție: Vom spune că s-a dat o categorie C dacă s-a dat o clasă Ob.C ale cărei elemente se numesc obiectele lui C; pentru oricare ar fi perechea ordonată (M, N) de obiecte din C s-a dat o mulțime notată HomC (M,N), eventual vidă, numită mulțimea morfismelor de la M la N așa încât:
1) Pentru triplet M,N, P de obiecte ale lui C s-a dat o aplicație: : HomC (M,N) x HomC (N, P) →HomC (M, P) (u, v) → (u, v) = vu numită compunerea morfismelor.
2) Compunerea morfismelor este asociativă adică dacă M, N, P, R sunt obiecte din C și u HomC (M, N), v HomC (N, R), w HomC (P, R),atunci w ◦ (v ◦ u) = (w ◦ v) ◦
3)obiectul M al lui C, lM HomC (M, M) numit morfismul identic al obiectului M a.î. u◦lM =u, lM◦v = v,uHomC(M, Y) și vHomC(X, M).
4) Dacă cuplurile (M, N), M', N') sunt distincte, atunci intersecția
mulțimilor HomC(M,N), HomC(M', N') este vidă. Foarte des în loc de MOb C vom scrie MC.
Dacă uHomC(M, N), mai consemnăm acest fapt prin notațiile u:M→N sau MN. Obiectul M se numește domeniul (sursă) morfismului u iar N se numește codomeniul (cosursa) morfismului u. Se observă că pentru oricare obiect MC, morfismul identic lM al lui M este unic determinat.
O categorie C în care clasa Ob C este o mulțime se numește categorie mică.
Exemple de categorii:
1) Categoria Ens. Obiectele categoriei Ens sunt mulțimi. Dacă M,N sunt două mulțimi atunci HomEns (M, N) este mulțimea tuturor funcțiilor u: M→N. Compunerea morfismelor în categoria Ens este compunere uzuală a funcțiilor.
2) Categoria Gr: Obiectele Gr sunt grupurile. Dacă G, H sunt două grupuri atunci HomGr(G, H) este mulțimea tuturor morfismelor de grupuri de la G la H iar compunerea morfismelor va fi iar compunere obișnuită a aplicațiilor.
3) Categoria Ab: Obiectele categoriei Ab sunt grupurile abeliene. Dacă A, B sunt două grupuri abeliene, atunci vom defini HomAb(A, B) ca mulțimea tuturor homomorfismelor grupului A în grupul B.
4 ) Categoria R C: Fie R un inel. Obiectele categoriei RC vor fi module, la stânga peste inelul R. Morfismele vor fi homomorfismele de R module,iar compunerea morfismelor va fi compunerea obișnuită a aplicațiilor. RC se numește categoria R-modulelor la stânga. Analog se introduce categoria R-modulelor la stânga care se notează CR.
5) Categoria RCS: Fie R și S două inele. Obiectele categoriei RCS sunt R-S bimodule de tipul RMS iar morfismele sunt homomorfisme de bimodule cu compunerea obișnuită a aplicațiilor. Analog se definesc categoriile R-SC și CR-S.
6) Categoria Ann : Obiectele categorice Ann sunt inelele, iar morfismele sunt homomorfismele de inele și compunerea este compunerea aplicațiilor, AnnC-inelelor comutative.
7) Fie A o mulțime ordonată cu relația de ordine notată . Definim următoarea categorie notată tot cu A; obiectele lui A sunt elementele din mulțimea ordonată (A, ); dacă a, bA, atunci HomA(a, b) este mulțime vidă dacă a b sau o mulțime formată dintr-un singur element notat a→b. Dacă ab și ba, atunci compunerea morfismelor a→b și b→c este morfismul a→c.
Această categorie astfel obținută se numește categoria asociată mulțimii ordonate (A, )
5.3. Duala unei categorii: Fie C0 categorie. Putem obține o nouă categorie C0 în modul următor: Obiectele categoriei C0 coincid cu obiectele categoriei C, adică Ob C0 = Ob C. Dacă M, N sunt două obiecte din C0, atunci HomC0(M, N) coincide cu mulțimea HomC(N, M).
Legea de compunere: HomC0(M, N) x HomC0(N, P)→HomC0(M,P) se definește în modul următor: dacă uHomC0(M, N) și vHomC0(N, P) atunci: v * u = u ◦ v ( am notat cu * legea de compunere în C0 ). Categoria C0 astfel obținută se numește duala categoriei C. Este clar că (C0)0 = C.
Introducerea categoriei duale permite ca orice noțiune și enunț relativ la categoria C să se dualizeze într-o noțiune și enunț relativ la categoria C0.
5.4 Subcategorie: Fie C o categorie. Prin subcategorie a lui C vom înțelege o categorie C' care îndeplinește următoarele condiții:
1) Ob C' Ob C.
2) Dacă M, N Ob C, atunci HomC(M, N) HomC(M, N).
3) Compunerea morfismelor în C este indusă de compunerea morfismelor din C.
4) Dacă M este un obiect arbitrar din C' atunci morfismul identic al lui M în C'. O subcategorie C’ al lui C pentru care HomC(M, N) = HomC(M, N) M, NOb C se numește subcategorie plină.
Din exemplele 5.2 se obține că Ab este o subcategorie plină a lui Gr iar Annc este o subcategorie a lui Ann. Se constată imediat că dacă C este o subcategorie a lui C, atunci C0 este o subcategorie a lui C0.
5.5 Produs de categorii: Fie (Ci)iI o familie de categorii indexată cu mulțimea IФ. Vom defini C în modul următor: obiectele lui sunt familii (Mi)iI de obiecte, indexate cu I astfel încât Mi Ci, i I.
Dacă M = (Mi)i I și N = (Ni)iI sunt două obiecte din C, atunci mulțimea HomC (M, N) este prin definiție egelă cu mulțimea produs cartezian
.
Fie obiectele din C, M = (Mi)iI, N = (Ni)iI și P = (Pi)iI și morfismele u = (ui)iI Hom(M, N), v = (vi)iI HomC(N, P); atunci compunerea v ◦ u se definește ca fiind formația (vi ◦ ni)iI Hom(M, P).
Categoria C astfel obținută se numește produsul familiei de categorii (Ci)iI și se notează . Dacă I = {1,…..n} atunci în loc de se mai scrie C1 x C2 x…x Cn .
Dacă familia de categorii (Ci)iI are propietatea că Ci = C iI atunci în loc de se mai scrie și CI.
5.6 Definiție: Fie C o categorie și U:M→N un morfism din C. Atunci U se numește morfism (epimorfism) dacă oricare ar fi obiectul P al categoriei C și oricare ar fi , HomC(P, M) (respectiv , HomC(N, P) din
u◦ = u ◦ (respectiv ◦ u = ◦ u) rezultă = .
Dacă R este un inel atunci în categoria CR , monomorfismele (epimorfismele) coincid cu homomorfismele injective (homomorfismele surjective).
5.7 Definiție: Un morfism u : M→N din categoria C se numește izomorfism dacă u' : N→M astfel încât u' ◦ u = lM și u ◦ u' = lN ; morfismul u' se numește inversul lui u.
Dacă M și N sunt izomorfe, vom scrie M N.
Fie u : M→N un izomorfism în categoria C și u' și u'' două morfisme inverse ale lui u. Atunci u' ◦ u = u'' ◦ u = lM și u ◦ u' = u ◦ u'' = lN.
Dar u' = u' ◦ lN = u' ◦ (u ◦ u'') = (u' ◦ u) ◦ u'' = lM ◦ u'' = u''. Deci inversul lui u este unic determinat; inversul lui u se notează cu u-1.
Este clar că u-1 este izomorfism și (u-1)-1 = u. Se poate vedea ușor că în categoriile Ens, Gr, Ab, RC, Ann, și Annc izomorfismele coincid cu homomorfismele bijective.
5.8 Definiție: Fie C o categorue și MN, NP două morfisme din C, atunci:
1) Dacă u și v sunt morfismele (epimorfisme, izomorfisme) atunci vu este monomorfism (respectiv epimorfism, izomorfism).
2) Dacă v ◦ u este monomorfism (epimorfism), atunci u (respectiv v) este monomorfism (respectiv epimorfism).
5.9 Corolar: Dacă u : M→N este izomorfism în C, atunci u este monomorfism și epimorfism.
Demonstrație: Există u' : N→M astfel încât u' ◦ u = l și u ◦ u' = lN. (În continuare se aplică 5.8.2).
Dacă u : M→N este un morfism în categoria C care este monomorfism și epimorfism, nu rezultă că u este izomorfism. De exemplu în categoria Annc, morfismul incluziune i : Z→Q este monomorfism și epimorfism dar nu este izomorfism.
Fie C o categorie și M un element al său. Sau considerat două monomorfisme u : U →M și v : V →M. Vom spune că monomorfismul U majorează monomorfismul v și vom scrie vu dacă există un morfism: : V → U așa încât u ◦ = v. Dacă un astfel de există, atunci cum v este monomorfism din relația 3.8 rezultă că este monomorfism, iar din faptul că u este monomorfism, atunci este unic. Se verifică simplu că relația este reflexivă și tranzitivă. Dacă acum și u v atunci un : U → V așa încât v ◦ = u. Rezultă atunci că u = u ◦ ( ◦ ) și v = v ◦ ( ◦ ) de unde ◦ = lu; ◦ = lv ceea ce ne arată că și sunt izomorfisme.
Vom spune că monomorfismele u : U → M și v : V → M sunt echivalente dacă n ≤ v și v ≤ u sau, astfel spus dacă există un izomorfism : V → U așa încât v = u ◦ . Se verifică simplu că această relație este o relație de echivalență. În fiecare clasă de monomorfisme echivalente o să alegem o dată pentru totdeauna (pe baza axiomei alegeri) câte un reprezentant. Monomorfismele astfel obținute se vor numi subobiectele ale obiectului M. Pentru noi subobiectele obiectului M sunt perechi (U, u) unde u : U→M este un monomorfism ce poartă denumirea de injecția canonică. Fiind dat un subobiect (U, u) al lui M, foarte des vom nota mai simplu U în loc de (U,u).
Noțiunea duală cu cea de subiect poartă denumirea de obiect cât, iar cea duală cu monomorfism canonic poartă denumirea de surjecție canonică.
Pentru un obiect M din C, vom nota cu P(M), clase ale subobiectelor lui M, iar prin Q(M) clasa obiectelor cât ale lui M. Relația ≤ definită mai sus induce pe clasa P(M) (respectiv Q(M) o relație de ordine. Subobiectul asociat monomorfismului MN îl notăm cu M și se va numi subobiectul total al lui M. Subobiectul total al lui M este un ultim element în mulțimea (P(M), ≤).
5.10 Exemplu: Să considerăm categoria RC a modulelor la stânga peste inelul R. Fie M un obiect din RC, adică un R modul stâng și u : U → M un subobiect al lui M. Cum u este monomorfism deci injectiv, atunci U este izomorfism cu u(U) și deci perechile (U, u) și (u(U),i) unde i : u(U) → M este injecția canonică, se găsesc în aceeași clasă de echivalență. De aici rezultă că putem lua ca reprezentantă pentru subobiectele lui M perechile de forma (K, i) unde K este un submodul al lui M, iar i injecția canonică. Acest lucru ne permite să identificăm un subobiect al lui M cu ceea ce se înțelege în mod curent prin submodulul lui M.
5.11 Definiție: Fie C și D două categorii. Vom spune că s-a dat un functor covariant (respectiv contravariant) F de la C la D dacă s-au dat:
1) O aplicație M → F(M) de la clasa de obiecte ale lui C în clasa de obiecte ale lui D.
2) Pentru fiecare pereche (M, N) de unde obiecte din C o aplicațtie u → F(u) de la HomC(M, N) → HomD(f(M), F(N)), (respectiv de la Hom(M, N) → HomD(F(N), F(M))) astfel încât să avem:
i) F(lM) = lF(M) oricare ar fi obiectul M C.
ii) Dacă M N și N P sunt două morfisme în C, atunci
F(v ◦ u) = F(v) ◦ F(u), (respectiv F(v ◦ u) = F(u) ◦ F(v))
Un factor F de la C la D îl consemnăm prin notațiile F : C → D sau C D.
5.12 Exemple.
1) Fie C o categorie și C0 duala sa. Definim functorul covariant
F : C0 x C → Ens în modul următor: dacă (M, N) este un obiect din C0 x C atunci F(M, N) = HomC(M, N) iar dacă (u, v) : (M, N) → (M', N') este un morfism, atunci F(u, v) : HomC(M, N)→HomC(M', N') este aplicația
→ v ◦ ◦ u.
Acest functor se notează cu "Hom".
2) Fie C o categorie și A un obiect fixat din C. Vom defini un functor covariant hA : C → Ens în modul următor: dacă M este un obiect din C, atunci hA(M) = HomC(A, M) iar dacă u : M → N este un morfism din C atunci hA(u) este aplicația de la hA(M)→hA(N) definită prin hA(u)() = u ◦ , unde hA(M).
Putem să definim și un functor contravariant hA : C→Ens astfel:
HA(M) = HomC(M, A) și hA(u) : hA(N) → hA(M)este aplicația →◦u unde hA(N)
3) Fie RC și CR categoria modulelor, la stânga (respectiv dreapta) peste inelul R. Definim functorul T:CR x CR→Ab în felul următor: dacă (M, N) este un obiect din CR x RC atunci T(M, N) = M RN, iar dacă (u, v) este un morfism de la obiectul (M, N) în obiectul (M', N') atunci T(u, v) = u v. Acest functor se mai notează și „” și se numește functorul produs tensorial.
4) Fie RC categoria modulelor la stânga peste inelul R și A un R-modul drept. Obținem TA : RC→Ab definit prin egalitățile:
TA(X) = ARX și dacă u : X→Y este un morfism de R-module, atunci
TA(u) = IAu. Acest functor se notează AR. Analog dacă B este R-modul stâng, se definește functorul de la CR în categoria Ab.
5) Fie : R→S un morfism de inele. Obținem functorul φ*: RC în felul următor: dacă M este un obiect din SC atunci φ*(M) este R-modul ce se obține prin restricția scalarilor, iar dacă u : M→N este un morfism din SC atunci φ*(u) = u. Functorul φ* astfel obținut se numește functorul restricția scalarilor.
6) Fie A o subcategorie a lui C. Definim functorul i : A→C astfel: dacă M este obiect din A atunci i(M) = M iar dacă u : M→N este un morfism din A, atunci i(u) = u. Functorul i se numește functor incluziune. În particular când categoria A coincide cu C functorul i poartă denumirea de functor identitate al categoriei C și se notează cu IC.
7) Fie RC categoria modulelor la stânga peste R. Definim functorul S : RC→Ens astfel: dacă M este un R-modul, atunci S(M) = M (mulțimea M fără structură), iar dacă u : M→N este R-morfism, atunci S(u) = u. Functorul S se numește functorul subiacentă.
5.13 Compunerea functorilor: Fie A, B, C, trei categorii și functorii F : A→B și G : B→C. Definim functorul H : A→C în modul următor: dacă M este un obiect din A atunci H(M) = G(F(M)), iar dacă u : M→N este morfism din A atunci H(U) = G(F(U)). Functorul H astfel obținut se numește compunerea factorilor F și G.
5.14 Morfismul functorial: Fie F, G doi functori covarianți de la categoria C în categoria D. Vom spune că s-a dat un morfism functorial φ de la functorul F în functorul G și se notează φ : F→G dacă pentru fiecare obiect M din C s-a dat un morfism φ(M) : F(M)→G(M) astfel încât dacă u : M→N, următoarea diagramă:
F(M)G(M)
F(u) G(u) a)
F(N)G(N)
Dacă φ(M) este izomorfism pentru oricare ar fi M din C vom spune că φ este izomorfism functorial. Dacă functorii F, G sunt contravarianți atunci în definiția morfismului functorial diagrama anterioară se înlocuiește cu diagrama comutativă:
F(N)G(N)
F(u) G(u) b)
F(M)G(M)
Dacă functorii covarianți (contravarianți) F și G sunt izomorfi vom nota FG
5.15 Compunerea morfismelor functoriale
Fie F, G, H trei functori de la categoria C în D și φ un morfism functorial de la F în G, iar Ψ morfism functorial de la G în H. Pentru oricare obiect MC, definim θ(M) = Ψ(M) ◦ φ(M). Se verifică imediat că morfismele θ(M) definesc un morfism functorial θ : F→H care poartă denumirea de compunerea morfismelor φ și ψ se notează θ = ψ ◦ φ.
Vom nota cu Hom(F, G) clasa morfismelor functoriale de la F la G. Dacă categoria C este mică, atunci Hom(F, G) este o mulțime. Acest lucru ne permite să definim o nouă categorie Fonct(C, D) ale cărei obiecte sunt functori covarianți de la C în D iar mulțimea morfismelor de la functorul F la G va fi mulțimea Hom(F, G). Este clar că morfismul functorial 1F : F→F definit prin 1F(M) = 1F(M) este identic al obiectului F.
5.15 Propoziție: Fie F și G doi functori covarianți (respectiv contravarianți) de la categoria C în categoria D și φ : l→G un morfism functorial. Atunci φ este izomorfism functorial dacă și numai dacă există ψ : G→F unic așa încât ψ ◦ φ = lF și φ ◦ ψ = lG (în acest caz notăm ψ = φ-1).
5.16 Teorema (Yoneda). Fie F : C→Ens un factor covariant. Pentru orice obiect XC există o bijecție canonică de mulțimi Фx : F(x)→Hom(hx, F).
Demonstrație: Fie F(x) definim Фx (ξ) : hx→F, morfism functorial, în modul următor: pentru oricare ar fi YOb C punem
Фx (ξ)(Y) : Hom(X, Y) → F(Y) Фx (ξ)(Y)(f) = F(f)(ξ)
Definim acum aplicația:
Ψx : Hom (hx, F)→F(X)
Fie pentru aceasta θ : hx→F un morfism functorial.
Atunci Фx(θ) = θ(X)(lx). Să arătăm că ψx∙Фx = lF(X). Dacă ФxξF(X), atunci:
(ψx ◦ Фx )(ξ) = фx(ξ)(X)(lx) = F(lx)(ξ) = ξ
Să arătăm că și фx ּψx = lHom(hx , F). Fie θ : hx→F, atunci:
(Фx ∙ ψx)(θ) = ψx(θ(X)(lx)). Dacă Y este un obiect arbitrar din C atunci:
Фx(θ(X)(lx)(Y) : hx(Y)→F(Y) și θ(Y) : hx(Y)→F(Y).
Fie fhx(Y) = HomC(X, Y) atunci Фx(θ(X)(lx)(Y)(f) = F(f)(θ(X)(lx))
Și cum θ este un morfism functorial, atunci din diagrama comutativă
Hx(X) F(X)
Hx(f) F(f)
hx(Y) F(Y)
Obținem F(f)(θ(X)(lx)) = θ(Y)(hx(f)(lx)) = θ(Y)(f) și deci (Фx ◦ Ψx)(θ(Y)) = θ(Y) de unde (Фx ּΨx)(θ)= θ ceea ce trebuia arătat.
5.17 Corolar: Fie C o categorie și X,Y două obiecte din C. Atunci X este izomorf cu Y dacă și numai dacă hx este izomorf cu hy.
Demonstrație: Este clar că dacă X este izomorf cu Y, hx este izomorf cu hy. Fie acum θ : hxhy un izomorf funcțional și θ-1 : hx hy inversul său (propoziția 5.15). Din 5.16 există HomC(Y,X) așa încât Фx ()=θ și Hom C(X,Y) pentru care Фy ()=θ-1. Se arată ușor că ◦=1y și ◦=1x.
5.18 Observație: În teorema (5.10) era mai indicat să notăm cu Фx,F bijecția Фx : F(X) Hom(hx,F) deoarece Фx,1 are caracter functorial în X și F . Mai precis dacă F : X Y este un morfism și : FG un morfism functorial, se verifică simplu că diagrama următoare este comutativă.
F(X) Фx,F Hom(hx,F)
(Y)◦ F(f)=G(f)◦ (X) Hom(hf, )
G(Y) Фy,G Hom(hy,G)
În care Hom(hf, ) (0)= ◦ θ ◦hf și hf : hyhx este morfismul functorial indus de f (Pentru oricare ar fi Z C și hY(Z) atunci hf (Z)()=◦f).
Fie R un inel și RC categoria la stânga peste R.
6.1.1. Definiție: Se numește preradical al lui RC un factor r : RC RC astfel încât r(M) M oricare ar fi modulul M RC și dacă f : M N este un morfism în RC, atunci:
r(f) : r(M)r(N) este restricția lui f la r(M) (altfel spus r este un subfunctor al functorului identitate al lui RC.
Din definiție rezultă că pentru a defini un preradical r al lui RC este suficient a da asocierea M r(N) având proprietățile:
a) r(M) M M RC;
b) Dacă f : MN este un morfism în RC atunci f(r(M)) r(N)
Notăm cu Pr clasa tuturor preradicalilor ai lui RC.Dacă r1·r2 Pr punem r1 r2 dacă r1(M) r2(M) R+ modulul M.
Relația „” este o relație de ordine pe clasa Pr.
Fie (ri)iI o familie de elemente din Pr. Definim preradicalii i și i în modul urmator:
(i)(M)=(i)M) și (i)(M)=(i(M) este ușor de văzut că și sunt preradicali și că sunt inferiorul respectiv superiorul familiei (ii)iI în mulțimea (Pr’ ). Rezultă deci că (Pr’ ) este o latice completă.
Fie r1, r2 Pr : definim preradicalii r1 ◦ r2 și (r1 ◦ r2) în modul următor:
(r1 ◦ r2)(M) = r1(r2(M)) și (r1 : r2) este un subinodul al lui M ce conține r1(M) astfel încât (r1 : r2)(M)/r1(M) = r2(M/r1(M)).
6.1.2. Propoziție: Dacă r1 și r2 Pr atunci r1◦ r2 și (r1 : r2)) aparține lui Pr .
6.1.3. Definiție: Fie r Pr ; r se numește :
a) idempotent, dacă r ◦ r = r2 = r ;
b) radical, dacă (r : r) =r ;
exact la stânga, dacă r este exact la stânga.
Se observă că r este idempotent r(r(M)) = r(M) M RC
– r este radical dacă r(M/r(M)) = 0 M RC
– r este exact la stânga dacă pentru M, N RC cu M N avem că r(M) = M r(N).
6.1.4 Observație: Dacă r Pr este exact la stânga, atunci r este idempotent.
Demonstrație: cum r(M) M atunci R(r(M)) = r(M) r(M) = r(M)
6.1.5 Propoziție: Dacă r PR și M este suma directă internă a familiei de submodule (Mi)iI atunci :
r(M = r(Mi))
Demonstrție : Cum Mi M atunci r(Mi) < r(M) și deci r(Mi) r(M).
Fie proiecție canonică.
Dacă x r(M) atunci x = xil + … + xin, unde xin Mik
Cum , atunci ar fi l k n. Deci
xr(M) de unde obținem ca r(M) = r(Mi) = r(Mi)
Propietăți ale radicalilor.
Fie R un inel. Un preradical r : RC → RC se zice radical dacă (r : r) = r.
6.2.1 Propoziție: Fie r un radical al lui RC. Fie MRC și L un submodul al lui M astfel încât L r(M). Atunci r(M/L) = r(M)/L
Demonstrație: Fie: П : M→M/L surjecție canonică. Atunci
П(rM)) r(M/L). Cum L r(M) obținem r(M)/L r(M/L).
Fie φ : M/L→M/r(M) surjecția canonică cu Ker φ = r(M)/L. Atunci
φ (r(/L)) r(M/r(M)) = 0 de unde că r(M/L) r(M)/L și deci egalitatea
r(M/L) = r(M)/L.
6.2.2. Propoziție:
1) Dacă r1, r2 sunt radicali ai lui RC, atunci r1 ◦ r2 este un radical.
Dacă (ri)iI este o familie de radicali și este un radical.
Demonstrație:
1) Deoarece (r1r2)M r2(M), din 6.1.1. obținem că r2(M/(r1r2)(M)) = r2(M)/(r1r2)(M). Aplicând r1 obținem că (r1r2)(M/(r1r2)(M)) = r1(r2(M)/r1(r2(M)) = 0 și deci r1r2 este un radical.
Dacă r = . Pentru j I avem r(M) rj(M).
Din 6.1.1.obținem rj(M/r(M)) = rj(M)/r(M) de unde (M(r(M)) = (M)/r(M) = r(M)/r(M) = 0 și deci r(M/r(M)) = 0 ceea ce ne arată că r este un radical.
Teoremă: Fie r un preradical al lui RC. Atunci:
Există un preradical r astfel ca r r, r este indempotent și r este cel mai mare cu aceste propietăți.
Există un cel mai mic radical cu propietatea ca r.
Demonstrație:
1) Construim prin inducție transfinită un [șir descendent de preradicali în felul următor r1 = r. Dacă β este un ordinal nelimită atunci rβ = r · rβ-1, iar dacă β este un ordinal limită punem rβ = . Punem a cum r = .
O astfel de intersecție are sens deoarece pentru M RC, un ordinal β0 astfel încât rβ0 (M) = rβ0+1(M) = …
Se observă că r este un radical idempotent.
Dacă r este un preradical idempotent astfel încât r’ r, atunci r rβ ordinalul β și deci r r.
2) Construim prin inducție transfinită o succesiune crescătoare de preradicali, în felul următor: Punem rl = r. Dacă β este un ordinal nelimită, atunci punem rβ = rβ-1 : r, iar dacă β este un ordinal limită, punem rβ =. Definim acum r = . Această sumă are sens pentru M RC în ordinal βl astfel încât rβ l (M) = rβ l + 1 (M) = …. Este adevărat că este un radical și pentru orice radical r’ cu propietatea r r’ r’. Șirul ascendent de preradicali (rβ ) se numește seria Loewy asociată preradicalului r.
6.2.4. Lemă:
1)Dacă r1, r2 sunt 2 preradicali idempotenți, r1 : r2 este un preradical idempotent.
2)Dacă (ri)iI este o familie de preradicali idempotenți, atunci este un preradical idempotent.
Demonstrație:
Din r1(M) (r1 : r2)(M) și înmulțite cu r1 rezultă : r12(M) r1(r1 : r2)(M) r1(M). Cum r este idempotent, obținem că r1(M) = r1(r1 : r2)(M) și deci r1 = r1(r1 : r2). Atunci (r1 : r2)2 (M)/r1(M) = (r1 : r2)2 (M)/r1(r1 : r2)(M) = r2(r1 : r2)(M)/r1(r1 : r2)) = r2((r1 : r2)(M)/r1(M) = r22(M(r1(M))) = r2(M/r1(M)) = (r1 : r2)(M)/r1(M) (r1 : r2)2(M) = (r1 : r2)(M) și deci (r1 : r2)2 = r1 : r2
Notând r = Pentru orice j I avem rj(M) r(M) M de unde rj(rj(M)) rj(r(M)) rj(M) și deci rj = rj · r.
Dar atunci . Deci r = r2
6.2.5 Corolar: Cu notațiile din 6.1.3 au loc afirmațiile:
1) Dacă r este un preradical idempotent, atunci este idempotent.
2) Dacă r este un radical, atunci r este un radical.
Demonstrație: Rezultă Lema 6.1.5., 2) rezultă 6.1.2.
6.2.6 Propoziție: Dacă r este preradical al categoriei RC, exact la stânga, atunci este exact la stânga.
Demonstrație: Fie M un R-modul și N un submodul al lui M. Se poate demonstra că pentru orice ordinal α, rα (N) = Nrα (M).
Cum atunci
ceea ce arată că este exact la stânga.
6.3.1. Definiție: O pereche (T, F) de clase nevide de R-module stângi se numește teorie de torsiune pe categoria RC dacă:
1) HomR(X, Y) = 0 X T și Y F.
2) T și F sunt maximale având propietatea 1).
Condiția 2) înseamnă că dacă T T’ și F F’ iar (T’, F’) verifică condiția 1) atunci T = T’ și F = F’
Dacă (T, F) este o teorie de tensiune în categoria RC, atunci sunt îndeplinite condițiile:
1’) X T HomR(X, Y) = 0 Y F.
2’) Y F HomR(X, Y) = 0 X F.
Invers, dacă T și F sunt clase nevide de R-module satisfăcând condițiile 1’) și 2’) rzultă că (T, F) sunt o teorie de torsiune pe RC.
Dacă (T, F) este o teorie de torsiune pe RC, modulele din T se numesc module de torsiune, iar modulele din F se numesc module fără torsiune.
6.3.2. Observație: Dacă (T, F) – e o teorie de torsiune pe RC atunci din definiție rezultă imediat că este închisă la sumele directe în timp ce F este închisă la produsele directe.
6.3.3. Propoziție: Fie T și F două clase nevide de R-module stângi. (T, F) este o teorie de torsiune dacă și numai dacă T și F satisfac următoarele condiții:
a)T F = { 0 }
b)T este închisă la imagini omomorfe (adică dacă MM" → 0 și MT atunci M”T
c) F este închisă la submodule (adică K M cu M F K F).
d) Pentru MRC, un submodul t(M)M a. i. t(M)T și M/t(M) F.
Demonstrație: Dacă (T, F) e o teorie de torsiune, atunci condițiile a), b), c), rezultă imediat. Fie MRC. Punem , unde (Xi)iI este familia de submodule ale lui M ce se găsesc în T. Cum , atunci și t(M) T. Dacă M/t(M) F, X T și un morfism nenul f : X→M/t(M). Fie Im = M’/t(M).
Cum X T, atunci M’/t(M) T. Din șirul exact
0→HomR(M’/t(M), Y)→HomR(M’Y)→HomR(t(M),Y)
Cum primul și ultimul termen sunt = 0HomR(M’, Y) = 0 și cum T verifică condiția 1’), atunci M’ T . Dar atunci M’ = t(M) și deci f = 0, absurd.
Invers, presupunem că T și F sunt două clase nevide de module ce satisfac condițiile a), b), c) și d).
Fie XT: dacă YF așa încât HomR (X’, Y) = atunci un morfism f : X → Y, f 0.Dar atunci din b) rezultă Imf T și prin c) obținem că Imf F.
Deci din a) urmează că Imf =0, absurd.Invers, fie MRC și HomR(M,Y)=0,YF.
Din d) are loc șirul exact 0→t(M)→MM/t(M)→0 cu t(M) T și M/t(M) F. Dacă luam Y = M/t(M) atunci π = 0 deci M = t(M) T.
Deci (T< F) verifică 1’).Analog se arată că este îndeplinită și condiția 2’).
6.3.4. Obesrvație: Dacă (T, F) este o teorie de torsiune pe RC, atunci ambele clase T și F sunt închise la extensii.
Reamintim că un șir exact de forma 0→T1→X→T2→0 se numește o extensie a lui T1 prin T2.
Într-adevăr dacă T1 , T2 T atunci pentru orice Y F obținem din șirul exact 0→HomR(X, Y)→HomR(T1, Y) că HomR(X, Y) = 0 și deci X T.
Analog se demonstrează că dacă T1, T2 F atunci X F.
6.3.5 Propoziție:
1) Fie T o clasă nevidă de R-module. Atunci T este clasa de module de torsiune pentru o teorie de torsiune (T, F) dacă și numai dacă T este închisă la imagini omomorfe, la sume directe și la extensii.
2) Fie F o clasă nevidă de R-module. Atunci F este clasa de module fără torsiune pentru o teorie de torsiune de forma (T, F) dacă și numai dacă F este închisă la submodule, la produse directe și la extensii
Demonstrație: Din observația și proprietatea anterioară rezultă că condițiie sunt necesare. Invers presupunem că T se bucură de aceste condiții.
Punem F={ MRC/HomR/(X, M) = 0, XT}. Se verifică condițiile din propoziția anterioară a), b), c), d).
Se consideră T = {M RC/HomR/(Y, M)=0, YT}
6.3.6 Definiție: O subclasă A a lui RC se zice clasa de torsiune dacă o
teorie de torsiune (T, F) pe RC astfel încât T = Ai o subclasă B a lui RC se zice
clasa de module fără torsiune deci o torsiune (T, F) așa încât B = F.
Fie A o clasă de R-module. Definim subclasele lui RC:
F = {M RC/HomR /X, M) = 0, X A}
T = {M RC/HomR /(N, Y) = 0, YF}
Este clar că AT și (T, F) este o teorie de torsiune. Mai mult T este cea mai mică clasă de torsiune ce conține pe A. Teoria de torsiune (T, F) astfel obținută se numește teorie de torsiune generată de clasa A.
Dacă B este o subclasă a lui RC se definesc clasele:
T = {MRC /HomR /(M, Y) =0, YB} și
F = {MRC /HomR /(X, N) = 0, XT}
Este clar că B F și (T, F) este o teorie de torsiune în plus, F este cea mai mică subclasă de R-module fără torsiune ce conține pe B. Teoria de torsiune astfel obținută se numește teoria de torsiune cogenerată de clasa B.
Fie (T,F) o teorie de tosiune pe RC. Pentru orice MRC punem , unde {Xi}iI e familia de submodule ale lui M ce aparține lui T.
Cum M/t(M)F, atunci t(M/t(M))=0 și deci t este un radical. Invers fie r un radical indempotent al lui RC. Definim:
Tr = {MRC/r(M)=M} și Fr ={N RC/r(N) = 0}
Făcând uz de propietatea 6.3.3. rezultă că (Tr , Fr ) este o teorie de torsiune pe RC. În felul acesta am construit corespondențele între clasa de radicali idempotenți și clasa teoriilor de torsiune.
ф: (T, F)→t și ф : r→( Tr, Fr)
6.4.1. Teoremă: Aplicațiile ф și φ din (1) sunt inverse una celeilalte adică există o corespondență bijectivă între clasa teoriilor de torsiune și clasa radicalilor idempotenți.
Demonstrație: Fie t ф(T, F) și φ(t) = (Tt , Ft ). Dacă M T, atunci t(M) = M și deci M Tt, de unde T Tt. Invers dacă M Tt, atunci t(M) = M și deci M T. Deci T = Tt, de unde F = Ft. Rezultă deci φ · ф = l.
Fie acum (Tr , Fr ) – φ (r) și t = ф ((Tr , Fr )). Fie M RC : cum r este idempotent atunci r(r(M)) = r(M) și deci r(M) Tr și deci r(M) t(M). Cum r este un radical, avem r(M/r(M)) = 0 și deci M/r(M) Fr. Pentru că r(M) t(M) din 6.2.1. obținem că t(M)/r(M)=t(M)/r(M). Cum M/r(M)Fr, atunci t(M/r(M)) = 0 și deci t(M)/r(M) = 0 de unde r(M) = t(M). Rezultă că r = t adică ф ◦ φ = 1.
6.4.2. Propoziție: Fie (T, F) o teorie de torsiune pe RC . Fie t radicalul idempotent asociat prin corespondență ф. Următoarele afirmații sunt echivalente: 1) T este închisă la submodule.
2) F este închisă la anvelope injective.
3) T este exact la stânga.
Demonstrație: 1) →3). Fie MN. Cum t(N) T, atunci t(N)M T și deci t(N) M t(M). Dar cum t(M) t(N) M, rezultă că t(N) M = t(M) și deci t este exact la stânga.
3)→2) Fie M F și E(M) anvelopa injectivă a lui M. Cum t este exact la stânga, atunci 0=t(M)=t(E(M))M și deci t(E(M))=0 de unde rezultă E(M)F.
2)→1) Fie MN cu NT. Considerăm diagrama comutativă
0 M N
π α
0M/t(M)E(M/t(M))
unde π este surjecția canonică, j injecția canonică și α morfismul ce extinde pe
j ◦ π (el există deoarece E(M/t(M)) este injectiv). Cum M/t(M) F, atunci E(M/t(M) F. Cum N T, atunci α(N) = 0 și deci α = 0. Deci j ◦ π = 0 de unde rezultă π = 0 și deci M = t(M).
6.4.3. Definiție: O teorie de torsiune (T, F) care satisface una din condițiile echivalente din 6.4.2. se numește hereditară.
Ținând cont de 6.4.1. obținem:
6.4.4 Corolar: Există o corespondență bijectivă între teoriile de torsiune hereditare și clasa radicalilor exacți la stânga.
6.4.5 Definiție: O subcategorie plină A a lui RC se numește deasă (sau subcategorie Serre) dacă pentru orice șir exact 0→M’→M→M”→0, Mob A dacă și numai dacă M’, M” ob A. O subcategorie deasă care este închisă la
sumele directe arbitrare se numește localizantă.
6.4.6 Observație: Dacă (T, F) este o teorie de torsiune hereditară pe RC atunci subcategortia plină care are ca , clasă de obiecte pe T este localizantă.
6.4.7 Propoziție: Fie A subclasă a lui RC închisă la imagini omomorfe. Fie (T, F) teoria de torsiune generată de A. Atunci T = {MRC/ M’ M,
M’M, NA, N0, așa încât N M/M’}
Demonstrație: Notăm cu T(A) clasa modulelor din enunț. Este clar că A T(A). Fie MT(A); este clar că Hom(M, Y) = 0 Y F și deci T(A) T .
Pentru încheierea demonstrației vom verifica că T(A) este o clasă de torsiune.
Fie MT(A) și M’M; vom arăta că M/M’ T(A). A : = A
Fie L/M’ un submodul propriu al lui M/M’. Deci M’L M. Deoarece M/L conține un submodul nenul din A atunci M/M’/L/M’M/L, conține un submodul nenul din A. Deci M/M’T(A). Să arătăm că T(A) este închisă la sume directe: fie (Mi)iI o familie de module din T(A) și fie . jI așa încât Mj L. Dar atunci Mj /Mj LMi /L și cum Mj /MjL0 obținem că Mj /L conține un submodul nenul din A. Deci Mj T(A).Să arătăm în final că T(A) este închisă la extensie. Fie pentru aceasta șirul exact 0→M’→ M →M”→0 cu M’, M” T(A). Presupunem că M’ este submodul al lui M și M”. Fie L<M. Dacă M’ l atunci M/L este un modul factor al lui M” \și deci M/L conține un submodul nenul din A . Dacă M L, avem injecția canonică 0→M’ / M’L →M/L cu M’/M’L = . Cum M’/M’L conține un submodul nenul ce aparține lui A, atunic și M/L are aceași proprietate. Deci putem conclude că MT(A)
6.4.8. Corolar: Fie A o subclasă a lui RC închisă la imagini homomorfe și la submodule. Atunci teoria de torsiune (T, F) generată de A este hereditară.
Demonstrație: Fie MF, să arătăm că E(M)F. Dacă t(E(M))0, atunci din 6.4.7, t(E(M)) conține un submodul nenul LA. Cum ML0, atunci
M LA și deci t(M)0, absurd. Deci trebuie ca t(E(M))=0 și deci E(M)F.
6.4.9 Observație: Fie r un preradical idempotent al lui RC.
Fie Ar = {M RC/ r(M) = M}. Fie radicalul idempotent asociat lui r și ( Tr- , Fr- ) teoria torsiunii asociată lui . Atunci (Tr- , Fr-) este generat de A.
6.4.10 Observație: Fie (T, F) o teorie de torsiune hereditară pe RC. Atunci ea este generată de clasa de module.
A = {R/I ideal stâng al lui R, R/IT}
Într-adevăr, MFHom (R/I, M) = 0 R/I A.
6.5.1 Teoria de torsiune a lui Dickson
Notăm cu A clasa de module semisimple. Această clasă e închisă la imagini omomorfe și submodule. Vom nota cu (D, D’) teoria de torsiune generată de A. Din 6.4.8. rezultă că această teorie de torsiune este hereditară. Din 6.4.7. rezultă imediat că M D dacă și numai dacă M este semiartinian. Teoria de torsiune (D, D’) se numește teoria de torsiune a lui Dickson.
6.5.2 Teoria de torsiune a lui Goldie
Fie A clasa de R-module de tipul M/L, unde L este un submodul esențial în M. Se vede imediat că A este închisă la imagini omomorfe și la subcelule. Fie (G, H) teoria de torsiune generată de A. Din 6.4.8. rezultă că această teorie de torsiune este hereditară. Teoria de torsiune (G, H) poartă denumirea de teoria de torsiune a lui Goldie.
6.5.3 Propoziție: Fie M RC, următoarele afirmații sunt echivalente:
1. M G
2. Pentru L < M xM – L a. i. (L : x) este esențial în R.
3. M = Z2(M)
Demonstrație: 1)→2). Din 6.4.7că M/L conține un submodul nenul XA. Dar X=P/O cu Q un submodul esențial în P. Fie xP–Q și x=x+Q P/Q. Se știe că (Q : x) = lR(x) este un ideal esențial. Punem (Q : x) = I. Cum P/QM/Lcă R/I R x M/L
Fie φ : R/I→M/L, morfismul canonic. Punem j(l). Atunci IR(y) = I. Dacă = z + L, atunci (L : y) = IR() = I.
2)→1) Dacă L < M, x M –L cu (L : x) esențial în R. Fie x = x + L.
Atunci R x M/L și R x R/IR(x) = R/(L : x). Deci M/L conține un submodul ce aparține lui A. Deci M G.
2)→3). Dacă Z2(M)M, xM- Z2(M) cu (Z2(M) : x) esențial în R.
Dar atunci x Z3(M) = Z2(M), absurd. Deci M = Z2(M).
3)→2) Fie L < M. Dacă Z(M) L atunci L este esențial în Z2(M) și deci în M și deci pentru xM – L, (L:x) este esențial în R. Dacă Z(M) L, x Z(M) – L. Dar atunci IR(x) este esențial în R și deci (L : x) este esențial în R.
6.5.6.1 Definiție: Un ideal stâng I a lui R se zice dens dacă pentru a R, rR(I : a) = 0, adică {R | (I : a) = 0} = 0.
6.5.6.2 Observație: Dacă R este comutativ, un ideal I este dens dacă și numai dacă Ann(I) = 0
6.5.6.3 Lemă: Dacă I este un ideal stâng în R, dens, atunci I este esențial în R.
Demonstrație: Fie λ R, λ 0. Cum rR(I : λ) = 0, atunci (I : λ)λ0. Există μ(I : λ) a.î. μ λ0. Dar μ λ I și deci I este esențial în R.
Indicăm cu D mulțimea idealelor stângi dense în R și cu E mulțimea idealelor stângi esențiale în R. Din 6.5.6. avem DE.
6.5.6.4 Propoziție: Pentru inel R pentru D au loc următoarele proprietăți:
1. Dacă ID, J RR și I J atunci JD.
2. Dacă I, JD, atunci I DD.
3. Dacă ID atunci pentru xR, (I : x)D.
4. Dacă I RR, J D și pentru x , (I : x) D, atunci I D.
Demonstrație: 1) e imediată;
2)Presupunem că λ R, λ 0 astfel că pentru un anumit a R să avem (IJ : a) λ = 0. Atunci μ λ = 0 μ cu μ a I J.
Cum rR (I : a) = 0, un μ’I : a așa încât μ’ λ 0.
Cum rR (J : μ’a) = 0, un μ” (J : μ’ a) așa încât μ” μ’ λ 0. Pe de altă parte, μ’aI și μ” μ’ aJ deci μ”μ’a IJ de unde μ”μ’(I J : a)
Deoarece μ”μ’ λ 0 obținem o contradicție. Deci trebuie ca rR (I J : a) = 0 a R și deci I J D.
3) Rezultă din definiție și din faptul că ((I : x) : a) = (I : ax)
4) Presupunem ca rR (I : a) 0 pentru un anume a R. Atunci există un λ 0 așa încât μ λ = 0 μ (I : a). Deoarece rR(J : a) = 0, μ’ (J : a) a.î. μ’ λ 0. Deoarece μ’a J și (I : μ’a) D atunci rR (I : μ’a) = 0. Cum μ’λ 0, μ” (I : μ’a) așa încât μ’μ”λ0. Pe de altă parte μ”μ’a I de unde μ”μ’λ = 0, absurd. Deci trebuie ca I D.
6.5.6.5 Propoziție: Fie R un inel nesingular la stânga (adică Z(RR) = 0). Atunci ideal stâng esențial este dens, adică E = D.
Demonstrație: Fie I un ideal stâng esențial în R . Fie a R. Cum Z(RR)=0, atunci (I :a) este încă esențial în R. Deci este suficient să verificăm că pentru un ideal stâng I esențial, rR (I) = 0. Presupunem că rR (I)0 atunci λR, λ 0a. i. I λ = 0. Deci IIR(λ) și deci IR(λ) este esențial în R. Atunci λ (RR) de unde λ = 0, absurd. Pentru MC, punem:
D(M) ={xM/IR(x) D}. Ținând cont de 6.5.6.4. este submodul al lui M.
6.5.6.6 Propoziție: Asocierea D : M→D(M) este un radical exact la stânga.
Demonstrație: Fie f : M→N un morfism RC. Dacă xD(M) cum
IR(x) IR(f(x)) atunci din 6.5.6.4. obținem că f(x)D(N) și deci D este un preradical. Este clar că D este exact la stânga. Să arătăm că D este un radical
adică D(M/D(M)) =0. Fie =x+D(M) D(M/D(M)). Atunci IR() =D(M): x este dens în R. Pentru μ(D(M):x) μ xD(M) și atunci IR(μx) = (IR(x) :μ) este dens și deci din proprietatea 4 a propoziției 6.5.6.4. IR() este dens. Deci x D(M) și deci =0 ceea ce trebuia arătat.
6.5.6.7 Propoziție: Pentru un inel comutativ, următoarele afirmații
sunt echivalente: 1) D = E.
R este redus (adică rad (R) = 0).
Z(R) = 0
Demonstrație: 3) → 1) din 6.5.6.5.
2)→ 3) Fie 0x Z(R); atunci IR(x) este esențial și deci IR(x) Rx 0.
Fie λ xIR(x)Rx cu λ x0; atunci λx2 =0 de unde (λ x2) = 0 și cum rad (R) = 0 obținem λ x = 0, absurd. Deci trebuie ca Z(R) = 0.
1)→ 2). Fie xrad(R), x0. Există un număr natural n >1 așa încât xn =0 și xn-10. Rezultă imediat că IR(xn-1) este esențial în R. Din ipoteză obținem că IR(xn-1) este dens. Cum xn-1 IR(xn-1) = 0ca xn-1= 0, absurd. Deci trebuie ca rad(R) = 0.
6.5.6.8 Lemă: Fie Q un R-modul stâng injectiv teoria de torsiune
(TQ,FQ) cogenerată de clasă {Q} este hereditară și TQ={MRC /HomR(M,Q) = 0}. Demonstrația rezultă imediat.
Fie E(RR) anvelopa injectivă a R-modulului stâng RR.
Teoria de torsiune cogenerată de E(RR) notată (L, L1) se numește teoria de torsiune a lui Lambek.
6.5.6.9 Propoziție: Teoria de torsiune a lui Lambek este cea mai mare teorie de torsiune heredetară pentru care RR este fără torsiune.
Demonstrație: Cum E(RR)L1, atunci RRL1. Fie (T, F) o altă teorie de torsiune heredetară cu RRF. Atunci E(RR)F și deci dacă MF, HomR(M, E(R)) = 0 de unde rezultă că T L.
6.5.7 Module reflexive
Fie R un inel RC și CR categoria modulelor la stânga respectiv dreapta peste R. Putem considera functori aditivi și contravarianți: hR R :RC→CR și hRR : CR→RC. Vom nota simplu ()* = hR unul dintre acești functori.
Dacă M este R-modul stâng (respectiv drept), morfismul canonic de module stângi (respectiv drepte): FM : M→M**
R-modulul stâng (respectiv drept ) M se zice „torsionless” (fără torsiune) deci fM este injectiv. Dacă fM este bijectiv, M se numește f reflexiv.
Morfismele fM definesc 2 morfisme f motoriale:
f : IRC→(( )*)*
f : IRC→(( )*)*
6.6.1.Definiție: O mulțime nevidă F de ideale stângi ale lui R se numește pretopologie (la stânga) dacă sunt îndeplinite condițiile:
a) dacă I F și J este ideal stâng a.i. I J atunci J F;
dacă I, J F,atunci I J F;
c) dacă I F, atunci (I : x) F, x R.
Observăm că dacă R este un inel comutativ,condiția 3) decurge din 1).
6.6.2. Definiție (Gabriel): O pretopologie F se numește topologie aditivă (la stânga) dacă este îndeplinită și condiția:
dacă JF și (I:x)F xJ, atunci I F.
6.6.3. Definiție: O subcategorie plină A a lui RC se numește închisă dacă este închisă pentru submodule, pentru imagini omomorfe și pentru sume directe arbitrare.
Este clar că o subcategorie plină A a lui RC este localizată dacă și numai dacă este închisă în sensul definiției 6.6.3. și este închisă la extensii.
Fie F o pretopologie a lui R. Putem AF = {M RC / x M, IR(x) F}
6.6.4. Propoziție:
1. Dacă F este o pretopologie, atunci AF este o subcategorie închisă a lui RC.
2. Dacă F este o topologie aditivă, atunci AF este o clasă de torsiune hereditară ( o subcategorie localizantă).
Fie A o subcategorie plină a lui RC. Definim mulțimea
FA = {I ideal stâng în R/R/I A}
6.6.5. Propoziție:
1. Dacă A este o subcategorie închisă a lui RC, atunci FA este o pretopologie.
2. Dacă A este o subcategorie localizantă a lui RC atunci FA este o topologie aditivă.
Demonstrație: 1) Rezultă imediat că sunt îndeplinite condițiile a) și b) din 6.6.1., c). Fie I FA și x R; morfismul φx : R→R/I definit prin
φx(a) = ax + I are nucleul egal cu (I : x). Atunci φx definesc un morfism injectiv de la R/(I: x) în R/I și deci R/I(I : x)A de unde rezultă că (I : x) F. Deci verifică și condiția c) din 6.6.1.
2) Fie j FA și I un ideal stâng a lui R așa încât (I : x) FA, x J. Se vede că R/I + J A. Să arătăm că I + J/I J/I J A.
Fie J/I J cu = x + I J și x J. Atunci IR() = (I J;x) = (I : x). Dar cum (I : x) FA, atunci R R/IR () A. Cum A este închisă la sume directe, obținem imediat că J/I J A și deci I + J/I A. Din șirul exact 0→I + J/I→R/I→ + J→0 că R/I A și deci I FA
6.6.6. Teoremă: Cu notațiile de mai sus, corespondentele
F→AF și A →FA
De la mulțimea pretopologiilor pe R la clasa subcategoriilor închise ale lui RC, respectiv de la clasa subcategoriilor închise la mulțimea pretopologiilor pe R sunt inverse una celeilalte. Aceste corespondente induc o bijecție între mulțimea topologiilor aditive ale lui R și clasa subcategoriilor localizante ale lui RC (sau echivalent clasa teoriilor de torsiune hereditare pe RC ).
Demonstrație: Fie F o pretopologie. Vom arăta că F = FAF Dacă I F și dacă R/I cu = x + I, xR, atunci (I : x) = CR()F. Cum I = CR(), unde = I + I, atunci I F. Deci R/I AF și deci I FAF. Invers, dacă I FAF, atunci R/I AF.
În mod analog se arată că dacă A este o subcategorie închisă avem că A = AFA.
6.6.7. Corolar (Gabriel).
Există o corespondență bijectivă între
1. Topologiile aditive (la stânga) pe R.
2. Teoriile de torsiune hereditare pe RC.
3. Radicali exacți la stânga a lui RC.
Demonstrație: din 6.4.4. și 6.6.6.
Dacă F este o toplogie aditivă și (T, F) teoria de torsiune asociată, atunci când M T vom spune că M este un modul F – torsiune, iar când MF spunem că este F – fără torsiune.
6.6.8. Observație: Din 6.6.6. rezultă că, clasa teoriilor de torsiune hereditare pe RC este o mulțime.
Exemple:
1) Topologia aditivă asociată teoriei de torsiune lui Dickson este următoarea: FD = { I ideal stâng /R/I este R-modul stâng semiartinian}
2. Topologia aditivă asociată la teoria de torsiune a lui Goldie este: G = {I RR / J ideal stâng esențial în R, IJ și (I : x) esențial x J}.
3. Topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Lambek este: D = {IRR /i DENS În R}.
Fie R un inel arbitrar, (T, F) o teorie de torsiune hereditară pe RC și F topologia aditivă asociată acestei teorii.
7.1.1. Lemă: M RC, următoarele afirmații sunt echivalente:
1. Pentru orice ideal stâng I F și orice morfism f : I→f se extinde la un morfism f’ : R→M.
2. Ext. (R/I, M) = 0 pentru orice I F.
7.1.2 Definiție: Un R-modul stâng M care îndeplinește una din condițiile echivalente din 7.1.1. se numește F-injectiv.
7.1.3 Teoremă: Fie MRC. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1) M este F-injectiv.
Ext (L, M) = 0, pentru orice L T;
3) Dacă L K cu K/L T, orice morfism f : L→M se extinde la un morfism f’ : K→M
7.1.4 Observație. Dacă F este topologia aditivă constituită din mulțimea tuturor idealelor stângi ale lui R, se obține noțiunea curentă de modul injectiv.
Notațiile și ipotezele sunt cele de la 7.1.
7.2.1 Definiție: Fie MRC. Un modul F – injectiv E se numește o F anvelopă injectivă a lui M, dacă există un morfism esențial f : M→E a. i. E / f(M)T.
7.2.2 Teoremă: Pentru orice MRC, există o F – anvelopă injectivă unică până la izomorfism.
Demonstrație: Fie E(M) anvelopă injectivă a lui M. Notăm cu EF(M) = {x E(M)/(M:x) F}.Se verifică ușor că EF(M) este un submodul al lui E(M) ce conține pe M. Mai mult, EF(M) / M = t(E(M)/M), unde t este radicalul asociat topologiei F.
Fie IF și f : I → EF(M) . Considerăm diagrama comutativă
→ I → R → R/I → 0
↓f ↓g ↓g’
0 → EF(M) → E(M) → E(M)/EF(M) → 0
unde g extinde pe f, iar g’ este indus de g. Cum R/I T și E(M)/EF(M) T atunci g’=0. Atunci Img EF(M) ceea ce ne arată că EF(M) este F – anvelopă injectivă a lui M.
Fie R un inel, F o topologie aditivă pe R, (T, F) teoria de torsiune asociată lui F și t radicalul asociat la (T, ).
F devine o mulțime ordonată filtrată dacă punem:
IJ dacă conține pe J (I, J F).
Fie MRc; dacă I < J (I,JF), există un morfism canonic HomR (I, M) → HomR (J, M) ce la α : I →M asociază α / J. În felul acesta familia {HomR (I, M)}IF devine un sistem inductiv. Punem M(F) = HomR(I, RR). Și pentru M = RR, notăm R(F) = HomR(I, RR)
7.3.1. Lemă: Dacă I, J F și dacă α : J→R, atunci α-1(M) F.
Demonstrație: Fie λJ; avem: α-1(I) : λ = {x R / x λ α-1(I)} ={xR / α (x λ) I} = {x R / x α (λ) I} = {I : α (λ) F. Deci α-1(I) F}.
Definim aplicația: (I) R(F) x M(F) →M(F)
În felul următor: dacă aR(F), aα, clasă de morfisme, reprezentată prin α : I→R, și xM(F), x =, clasă de morfisme reprezentată de morfismul ξ : J→M pentru un anume JF, punem atunci a x = (ξ ◦ α), (clasă de echivalență) unde =/-1(J). Se verifică că aplicația (a, x)→a x este bine definită ce face din R(F)un inel. Pentru orice MRC, M(F) devine un R(F)-modul stâng.
Fie acum ψ(R) : R→R(F), aplicația definită astfel: dacă a R indicăm cu μa morfismul μa : RR→RR, μa (λ) = λa și punem atunci ψ(R) (a) = μa, clasa de echivalență a lui μa în limita inductiv.
Se verifică imediat că φ(R) este morfism de inele. Prin intermediul morfismului ψ(R), M(F) devine un R-modul stâng punând:
a x = ψ(R) (a) x, a R și x M(F)
Definim acum morfismul ψ(M) : M→M(F) în modul următor: dacă x M, fie μx : R→M, morfismul μx (λ) = λx; punem atunci ψ(M)(x) = μx, clasă de echivalență a lui μx în limita inductivă. Se verifică ușor că ψ(M) este un morfism de R-module.
Fie acum f : M→N, un morfism de R-module. Definim morfismul f(F) : M(F) →N(F) în modul următorr: dacă x = : I→M (IF), punem f(F)(x) =(f ◦ ξ), f(F) este bine definit și f(F) este un morfism de R(F)-module.
În plus diagrama următoare este comutativă:
2) M N
↓ψ(M) ↓ψ(N)
M(F) N(F)
În felul acesta am definit un factor aditiv L : RC→RC, unde L(M) = M(F) și dacă f : M→N, L(f) = f(F)
Mai mult, din diagrama (2) rezultă că morfismele ψ(M), definesc un morfism functorial: ψ(M) : l RC→L.
Se observă imediat că L este functor exact la stânga.
7.3.2 Lemă. Fie M Rc. Atunci Ker ψ(M) = t(M).
Demonstrație: Dacă x Ker ψ(M), ψ(M) (x) = 0, adică μx = 0. Există IF așa încât μx / I = 0 și deci Ix = 0 de unde I IR(x) și deci IR F adică xt(M). Invers, x t(M), există un ideal I F cu I x = 0. Rezultă atunci că aplicația μx : R→M (μx (λ) = λx) are proprietatea că μx / I =0 și deci ψ(M)(x) = 0.
7.3.3 Lemă: Fie M RC. Atunci M T dacă și numai dacă M(M) = 0.
Demonstrație: Dacă M(F) = 0, atunci din 7.3.2. avem M = t(M) T. Invers, fie M T și fie x M(F) , cu x =, unde ξ : I →M (I F). Dacă arătăm că ker ξ F, rezultă că x = = 0. Dacă a I, ξ (a) M = t(M); există un ideal Ia F așa încât Ia ξ (a) = 0.
Fie k = · a; k este un ideal stâng conținut în I și k ker ξ. Dacă aI, atunci (k : a) =(∑Ib · b : a)(Ia · a : a)IaF deci kF de unde ker ξf.
7.3.4 Lemă: Fie M RC, x M(F), x = , cu ξ : I→M (I F)
Fie β : R→M(F) morfismul definit astfel: β (λ) = λ · x.
Atunci diagrama următoare este comutativă
I R
↓ξ ↓β
M M
unde i este morfismul incluziune.
Demobstrație: Fie aI, atunci (Ψ(M) ◦ ξ) (a) = Ψ(M) (ξ (a)) = μξ (a), unde μξ (a) : R → M, λ → λ ξ (a).
Pe de altă parte, (βi) (a) = β (a) = a · x = a · ξ = ψR (a) · ξ = μa · ξ = (ξ μa / (I : a)) = μξ (a) .
7.3.5.Corolar: Pentru orice M RC, coker Ψ(M) T.
Demonstrație: Fie x + Im Ψ(M) M(F) / Im Ψ(M) cu x = , ξ : I→M (I F). Din 7.3.4. rezultă că I · x = (β ◦ i)(I) = (Ψ(M) ◦ ξ)(I) ≤ Im Ψ(M) de unde obținem că I · (x + Im Ψ(M)) = 0 și deci M(F) / Im Ψ(M) T.
Definim acum:
M(F) = HomR (I, M /t(M)) · MF se numește modulul de câturi al lui M relativ la topologia aditivă F.
7.3.6 Lemă: Pentru M RC avem MF = (M / t(M))(F) = L(M(F)) = L2(M).
Demonstrație: Cum ker Ψ(M) = t(M), Ψ(M) induce un monomorfism
ε : M / t(M) →M(F). În plus Coker ε = Coker Ψ(M). Cum L este functor exact la stânga din șirul exact.
0→M/t(M) M(F)→Coker Ψ(M) →0
și din 7.3.3. și 7.3.5. obținem că ε(F) : (M/t(M))(F)→L(M(F)) este un izomorfism.
7.3.7.Corolar. Pentru functorul L, are loc izomorfismul L3(M) L2(M), M RC.
7.3.8.Observație. Dacă M RC este un modul F- fără torsiune atunci MF = M(F).
Notăm R(F) = HomR (I, R/t(RR)), care este un R-modul stâng.
Definim acum aplicația: (3) RFxMF ◦ MF, în modul următor: fie a RF,
x MF, unde a = α, x = cu α : I →R/t(RR) și ξ : J →M(t(M)(I,jF)). ξ induce un morfism : J/t(J)→M(t(M). în plus J(t(J) ≤ R/t(R)
Fie atunci I’ = α-1(J/t(J)), avem morfismele
I'J/t(J)M/t(M),
Unde = /I’ . Să arătăm că I’ F. Fie λ I, atunci
(I’ : λ) = {μ R / μλ I’} = {μ R / α(μ ) J / t(J)} =
{μR / μ α(λ) J / t(J)} = {μR / μ J/t(J)}, unde am pus = λ0 + t(R) și =α (λ).
Se verifică simplu că {μ R / μ J/t(J)} = (J : ) F. Deci (I’ : λ) F,
λ I și deci I’ F.
Acum definim aplicația (3) prin egalitatea:
a x = ( ) clasa elementului () în limita inductivă. Se verifică că această aplicație este bine definită și biaditivă. În cazul particular M = RR, aplicația (3) defineșta pe RF o structură de inel care se numește inelul de câturi al lui R relativ la topologia F. În plus MF devine un RF – modul stâng. Definim morfismul
ψM : M→ MF
în modul următor : dacă x M, fie = x+t(M) M/t(M) și fie
: R→M/t(M), (λ) = λ , punem prin definiție ΨM(x) = μx.
Dacă PM : M →M/t(M) este surjecția canonică, rezultă egalitatea
(4) ΨM Ψ(M/t(M)) ◦ PM
Fie acum f : M→N un morfism în RC. Definim morfismul fF : MF→NN în modul următor f induce un morfism : M/t(M)→N/T(N); atunci punem fF =. Atunci are loc egalitatea:
(5) fF ◦ Ψ(M/t(M)) ◦ PM = Ψ(N/t(N))◦PN◦f
Se arată simplu că fF este un morfism de RF – module. 6n plus are loc diagrama comutativă.
ΨM
M M/t(M) MF
N N/t(N) NF
ΨN
Deci sistemul de morfisme {ΨM} definește un morfism functorial
Ψ : I RC→L2
7.3.9.Corolar. Ker ΨM = t(M) și Coker ΨM T.
Cu notațiile de mai sus pentru M RR are loc diagrama comutativă:
M M / t(M)
ΨM
Ψ(M) Ψ(M/t(M))
ε
M(F) (M /t(M))(F)
ε(F)
Ψ(M(P))
L(M(F))
Unde p este surjecția canonică.
Pentru cazul M = RR obținem diagrama comutativă:
R P R / t(R)
Ψ(R) ΨR Ψ(R/t(R))
ε
R(F) P(F) (R / t(R))(F)= RF
Ψ(R(P)) ε(F)
L(R(F))
Unde p este surjecția canonică; p este morfism de inele t(R) este un inel bilateral.
7.3.10 Propoziție: În diagrama (8), P(F) și Ψ(R) sunt morfisme de inele.
7.3.11 Propoziție: Dacă R este un inel comutativ,atunci R(F) și RF sunt inele comutative.
Demonstrație: Fie a, b R(F), a = , b =η cu ξ: IR și η: JR
(I, J F) .Putem presupune că I=J. Cum F este o topologie aditivă atunci I2F. Au loc relațiile: ξ (I2)I· ξ(I) I și η(I2) I, η(I) I. Deci I2 ξ-1(I) η-1(I).
Considerăm diagrama:
I2 ξ-1(I)IR unde i este incluziunea canonică și =ξ /ξ-1(I).Notăm ξ= =ξ·i. Cum I2F, atunci ab= (ξ·η). Analog avem ba =( η ·ξ ).
Să arătăm că ξ·η=η ·ξ. Fie x,yI, atunci ( η ·ξ )(xy)= η (ξ(xy) )=
η (ξ (xy))= ξ(x)η(y).
Analog (ξ η)(xy)= ξ(x) · η(y) de unde rezultă că ξ·η =η ·ξ.
Să arătăm că RF este comutația. Fie a, b RF a= ξ , b= η, unde
ξ: IR/t(R), η: I R/t(R). Considerăm diagrama :
ξ-1(I/t(I)) I/t(I)R/t(R) unde ξ= ξ/ ξ-1(I/t(I)) și η morfismul indus de η. Deoarece I2 ξ-1(I/t(I)) și I2F, presupunem ξ= ξ/I2. Atunci ab=( η ·ξ ). Analog avem ba= (ξ·η).
În continuare se procedează ca pentru R(F).
Exemple:
Fie S un sistem multiplicativ în R. Definim mulțimea de ideale stângi.
FS ={IRR/ xM,sS, sx=I}.
FS este o topologie aditivă pe R. Clasa de module de torsiune asociată acestei topologii este:
TS = {MRC/ xM,sS, sx=0}.
Dacă acum S este un sistem multiplicativ al lui R ce verifică condițiile *) și **) (teorema 3.4., cap III), atunci
FS={IRR / ISØ}
În acest caz ,M =[S-1] M și R =[S-1]R
Fie R un inel , F o topologie aditivă pe R, (T, F) teoria de torsiune asociată și t radicalul asociat la (T,F).
7.4.1. Definiție : Un R-modul stâng M se numește F-închis dacă pentru orice IF, morfismul canonic HomR(R,M)HomR (I,M) este un izomorfism. Altfel spus M este F-închis dacă pentru orice morfism f : I→M (IF) există un morfism f’: R→M, unic cu proprietatea f’│I=f.
7.4.2.Teoremă: Fie MRC.sunt echivalente afirmațiile:
1) M este F-închis
2) M este F-injectiv și F-fără torsiune (adică t(M)=0)
3) pentru orice morfism α : P→Q în RC astfel încat ker α și Coker α aparțin la T, morfismul canonic Hom R(Q,M)HomR(P,M) este un izomorfism.
4) ψ:M→MF este un izomorfism.
Demonstrație: 1) →2) Fie M un modul F-închis. Din 7.1.2. rezultă că M este F-închis.Cum HomR(R/I,M)=0, IF t(M)=0.
2) 1) este evidentă.
2) 3) Fie α : P→Q un morfism în RC cu ker α ,Coker αT și f: P→M. Cum t(M)=0, atunci f(ker α)=0 și deci există un morfism unic f’ : α(P) →M așa încat f’ α=f. Cum Q│ α(P) T și cum M este F-injectiv, există un morfism h : Q→M așa încat h│ α(P)=f’. Este clar h∙ α=f deci α* este surjectivă. Fie h’ un alt morfism așa încat h’ α=f. Atunci h’│ α(P)=f’=h│ α(P) de unde rezultă că α(P)ker(h-h’) = Q și deci Q│ ker(h-h’) T. Cum t(M)=0 atunci Q│ ker(h-h’)=0 și deci ker(h-h’)=Q de unde h=h’.
3) 1) și 1) 4) sunt evidente
4) 2).Cum ker ψ(M)=t(M), atunci t(M)=0. Să arătăm că M este F-injectiv. Fie IF și f : I→M un morfism. Considerăm diagrama:
IR
f β
MMF=M(M)
unde β(λ)=λ,este clasa de echivalență a lui f în limita inductivă ce definește pe M(F). Din 7.3.4. rezultă că această diagramă este comutativă. Atunci β este morfismul ce extinde pe f→M este F-injectiv.
7.4.3.Corolar: Pentru orice MRC, MF este F-închis.
Demonstrație: Să arătăm că MF este F-fără torsiune. Cum MF=(M/t(M))(F) este suficient să arătăm că dacă t(M)=0,atunci t(M(F))=0. Dacă xt(M(F)), x= cu ξ : I→M, JF astfel încât Jx=0.
Considerăm diagrama:
IR
ξ β β(λ)=λx
MMF
care este comutativă (lema 7.3.4.). În plus ψ(M) este morfism și β/IJ=0. Atunci ψ(M) ξ/IJ=0 și deci ξ/IJ=0 de unde x= ξ=0.
Vom arăta acum că dacă t(M)=0, atunci M(F) este f-injectiv. Fie IF și f : I→M(F) un morfism. Definim mulțimea J={λI│f(λ) Im ψ(M)} care este un ideal al lui R.
Morfismul f induce un morfism de la I/J în coker ψ(M) T și deci I/JT,unde rezultă că JF.
Fie g : J→M, g(λ),unde xM așa încât ψ(M)(x)=f(λ). Deoarece ψ(M) este morfism, atunci g este bine definită.
Din lema 7.3.4. există un morfism h : R→ M(F) ce extinde pe ψ(M) g. Cum h și f coincid pe J și cum I/JT, atunci h/I=f și deci M(M) este –injectiv.
7.4.4.Corolar: Dacă Q este un R-modul injectiv și F-fără torsiune, atunci Q este F-închis.
7.4.5.Corolar: Dacă M este F-fără torsiune, atunci monomorfismul canonic ψ(M) : M→ M(F) este esențial.
Demonstrație: Fie NIm ψ(M)=0. Cum coker ψ(M) T, atunci NT. Dar din 7.4.3. M(F) este F-fără torsiune deci N=0.
7.4.6.Propoziție: Dacă MRC așa încât t(M)=0, atunci MFFF(M) (din teorema 7.2.2.)
Cum ψ(M) este monomorfismul esențial, există un monomorfism esențial G : MF→E(M). Se verifică imediat că G(MF)=EF(M).
7.4.7.Lemă: Fie MRC un modul F-închis. Se poate descrie în mod explicit pe M o structură de RF-module ce extinde pe cea de R-modul și astfel încât ψ(M) : M→ M(F) să fie un RF-izomorfism.
Demonstrație: Fie xM și aRF cu a=ξ, ξ : I→R/t(R) (IF).Cum t(M)=0 și t(R)Mt(M), rezultă atunci t(R)M=0. Deci M este R(t(R))-modul. Fie morffismul f : I→M,dat prin f(λ)=ξ(λ)∙x.
Deoarece M este F-închis, f se extinde la un unic morfism g:R→M. Pentru λI, avem egalitatea ξ(λ)∙x= f(λ)=g(λ)=λg (1).
Punem a∙x=g (1) care definește pe M o structură de RF – modul care extinde structura de R – modul. Este ușor de văzut că ψ(M) devine un izomorfism de RF – module.
7.4.8.Propoziție: Fie MRC un R-modul F-fără torsiune. Atunci E(M) este o anvelopă injectivă a lui MF în categoria RC.
Demonstrație: Cum t(M)=0, atunci t(E(M))=0 și deci E(M) este F-închis. Prin urmare E(M) este în mod canonic un RF-modul. Deoarece ψ(M) este un monomorfism esențial, putem presupune că MF ≤ E(M). Este clar că E(M) este o extensie esențială ca RF-modul al lui MF. Să arătăm că E(M) este un RF-modul injectiv. Fie P,Q cu P≤Q și f : P→E(M) un morfism din categoria.Cum E(M) este R-modul injectiv, există g : Q→E(M) R-morfism ce extinde pe f. Să arătăm că g este un RF-morfism adică aRF și xQ, g(ax)=a∙g(x).
Fixat xQ,considerăm R-morfismele:
RF E(M) RRFE(M)
π
Coker ψR
Definite astfel: g’(a)=g(ax) și g’’(a)=ag(x). Este clar că g’ψR=g’’ψR și deci (g’-g’’) ψR=0 de unde Im ψR≤ker(g’-g’’). Există atunci morfismul h : coker ψR→E(M) așa încât hπ = g’-g’’, unde π : RF→coker ψR este surjecția canonică. Cum t(E(M))=0 și coker ψRT, atunci h=0 și deci g’=g’’.
7.4.9.Exemple:
1) Fie (G,H) teoria de torsiune a lui Golgie și G topologia aditivă asociată. Cum orice ideal stâng esențial al lui R aparține lui G, atunci MRC este G-închis dacă și numai dacă M este injectiv și G-fără torsiune. În particular dacă M este G-fără torsiune, atunci MG=E(M).
2) Fie R un inel cu Z (RR)=0, atunci inelul maximal de câturi Qm al lui R este egal cu Qm=lim HomR(I,R), unde I este ideal stâng esențial. În acest caz Qm ca R-modul coincide cu E(RR).
PROBLEMA FACTORIZARII
IDEEA GENERALA :CONSTRUCTIA MULTIMII FACTOR IN RAPORT CU O RELATIE DE ECHIVALENTA. 1
FACTORIZARI PE MULTIMI PARTICULARE 2
MULTIMI FACTOR 4
GRUP FACTOR 7
TEOREMA FUNDAMENTALA DE IZOMORFISM 12
A DOUA TEOREMA DE IZOMORFISM 12
A TREIA TEOREMA DE IZOMORFISM 13
INEL FACTOR 14
IDEALE SI INELE FACTOR ALE INELULUI.APLICATII 18
MODULUL FACTOR.TEOREME DE IZOMORFISM PENTRU INELE.NOTIUNI GENERALE DESPRE MODULE. 21
SUBMODULUL GENERAT DE O MULTIME 23
MORFISME DE MODULE 24
TEOREME DE IZOMORFISM PENTRU MODULE 29
CONSTRUCTII CLASICE DE INELE DE FRACTII 31
NUMARUL RATIONAL 0 33
INMULTIREA NUMERELOR RATIONALE 33
PROPRIETATILE INMULTIRII 34
STRUCTURA (Q,X) 35
MULTIMEA NUMERLOR RATIONALE NENULE 35
MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE 36
ADUNAREA IN Q 37
STRUCTURA (Q,+) 38
STRUCTURA (Q,+,X) 38
RELATIA DE ORDINE 39
INELE DE FRACTII CLASICE 40
MODULE DE FRACTII SI TEOREMA GOLDIE.MODULE DE FRACTII 50
TEOREMELE LUI GOLDIE 54
DEMONSTRATIA TEOREMEI LUI GOLDIE 63
CATEGORII SI FUNCTII.NOTIUNI DE CATEGORII,SUBCATEGORII,EXEMPLE 67
MORFISM ,EPIMORFISM,IZOMORFISM 71
FUNCTORI 74
PRETOPOLOGII SI TOPOLOGII ADITIVE PRERADICALI SI RADICALI 80
PRERADICALI 80
RADICALI 82
TEORII DE TORSIUNE 85
CORESPPONDENTA INTRE RADICALI IDEMPOTENTI SI TEORIILE DE TORSIUNE 88
EXEMPLE DE TEORII DE TORSIUNE 91
IDEALE DENSE SI TEORIA DE TORSIUNE A LUI LAMBEK 93
PRETOPOLOGII SI TOPOLOGII ADITIVE 96
INELE DE MODULE DE CATURI
MODULE F – INJECTIVE 99
ANVELOPE F – INJECTIVE 100
CONSTRUCTIA INELELOR SI MODULELOR DE CATURI 100
MODULE F – INCHISE 108
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Factorizarea In Algebra Moderna (ID: 149284)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.