Descompunerea Primara In Inele
CUPRINS
MEMORIU JUSTIFICATIV.
CAPITOLUL 1. INELE……………………………………………………………………
1.1. Morfisme de inele………………………………………………………
1.2. Compunerea morfismelor
1.3. Inelul endomorfismelor unui inel
1.4. Izomorfisme de inele
1.5. Subinele și ideale
1.5.1. Subinelul morfismului
1.5.2. Ideale
1.6. Intersecții de subinele și de ideale
1.7. Subinele generate de o mulțime
1.8. Operații cu inele
1.8.1. Suma și produsul a două inele
1.8.2. Congruențe în inel. Inelul factor
1.9. Morfismul canonic (surjecția canonică)
CAPITOLUL 2. MODULE……..……………………….
CAPITOLUL 3. CONDIȚII DE LANȚURI……………………………………………
3.1. Module artiniene și module noetheriene…………………..
3.2. Module de lungime finită…………………………………………
CAPITOLUL 4. Descompunere primară…..….
4.1. Nilradicalul și radicalul jacobson al unui inel……………………..
4.2. Ideale primare. Descompunere primară într–un inel…………
4.3. Descompunere primara în inele noetheriene……………
4.4. Asasinul și suportul unui modul………….
4.5. Descompunerea primară într–un modul
4.6. Inele artiniene……………………
CAPITOLUL 5. concluzii…………………………………………………………………… BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………………………….
pagini 70
BIBLIOGRAFIE
1. Prof.
2. Prof. TOMA ALBU, ȘERBAN RAIANU – „lecții de algebră comutativă” – Editura Universității din bucurești – facultatea de matematică – bucurești – 1984
=== cap 1 ===
CUPRINS
INTRODUCERE……………………………………………………………….………………..……2
CAPITOLUL I INELE………………….……………………………………………….…………….3
1.1. Reguli de calcul într-un inel…………………………………………………….……….5
1.2. Divizorii lui zero………………………………………………………….7
1.3. Exemple de inele…………………………………………………………9
1.4. Subinele și ideale……………………………………………………..….11
1.5. Operații cu subinele………………………………………………………12
1.6. Idealele unui subinel…………………………………………………….13
1.7. Operații cu ideale………………………………………………………..14
1.8. Morfisme de inele………………………………………………………..18
1.9. Inelul factor……………………………………………………….……..21
1.10 Teoreme de izomorfism………………………………………………….23
1.11 Idealele și inele factor……………………………………………………25
CAPITOLUL II ELEMENTE DE TEORIA MODULELOR………………………….27
2.1 Definiția interpretării ……………………………………………………..27
2.2 Combinații liniare …………………………………………….…..………28
2.3 submodulul generat de o mulțime………………………………….. ……29
2.4 Module factor…………………………………………………… .……….30
CAPITOLUL III CONDIȚII DE LANȚURI………………………………………..……..…..33
3.1. Module artiniene și module noetheriene……………………………………..33
3.2. Module de lungime finită……………………………………….………………….40
CAPITOLUL IV Descompunere primară..…………….…………………..45
4.1. Nilradicalul și radicalul jacobson al unui inel….………………………….45
4.2. Ideale primare. Descompunere primară într–un inel..…………………….46
4.3. Descompunere primara în inele noetheriene……………………………….58
4.4. Asasinul și suportul unui modul….…………………………..……………61
4.5. Descompunerea primară într–un modul………………………………….74
BIBLIOGRAFIE…………………………………………………………………………….…………..81
INTRODUCERE
Lucrarea tratează problema descompunerii primare a inelelor cu vizualizarea proprietăților corespunzătoare.
În capitolul I, am făcut o succintă prezentare a structurii de inel, cu prezentarea structurilor de subinel și ideal, a morfismelor de inel și a izomorfismelor de inele.
În capitolul II am prezentat câteva elemente din teoria modulelor, începând cu definiția modului, a submodului, a morfismelor și izomorfismelor de module. Am caracterizat aceste concepte și am dat câteva aplicații ale lor.
În capitolul III am prezentat câteva condiții de lanț pentru module caracterizând modulele artiniene și module noetheriene și de lungime finită.
În capitolul IV ne-am ocupat de observarea primară a inelelor, prezentând nilradicalul și radicalul Jacobson al unui inel, ideale primare, descompunerea primară într-un inel, descompunerea primară în inele noetheriene, asasinul și suportul unui modul, descompunerea primară într-un modul.
CAPITOLUL I
INELE
Structura de inel este o extensie a structurii de grup, obținută prin introducerea unei noi operații algebrice care este compatibilă cu prima lege și are anumite proprietăți.
Definiție. Se numește inel o mulțime nevidă A înzestrată cu două legi de compoziție, prima notată aditiv (+) iar a doua notată multiplicativ (∙) cu proprietățile:
(A, +) – grup comutativ
Operația ∙ are proprietățile:
2.1. este asociativă: (xy)z = x(yz), () x, y, z A
2.2. este distributivă la stânga și la dreapta față de prima lege:
(a+b) ∙ c = ac + bc, () a, b, c A
c ∙ (a+b) = ca + cb, () a, b, c A.
Notam un inel A înzestrat cu operațiile “+” și “ ∙ ” cu (A, +, ∙).
Definiție. Dacă a doua lege a inelului admite element neutru, notat de obicei cu 1, spunem că inelul A este unitar.
Definiție. Un inel A pentru care legea a doua este comutativă se numește inel comutativ.
Definiție. Un inel care conține un singur element, adică A = {a}, unde a + a = = a ∙ a = a se numește inel nul, iar un inel care admite cel puțin două elemente se numește inel nenul.
Observație. Dacă notăm cu 0 elementul neutru de la prima lege și cu 1 elementul neutru de la legea a doua, atunci în orice inel nenul avem: 1 0.
Definiție. Dacă (A, +, ∙) este un inel unitar, elementele inversabile în raport cu a doua lege se numesc unitățile inelului, iar mulțimea tuturor unităților inelului A se notează U(A).
U(A) = {a A, a inversabil în A în raport cu operația ∙ }
Observație. 1 U(A) în orice inel nenul și unitar.
Proporziție. Dacă (A, +, ∙) este un inel unitar, atunci (U(A), ∙) este un grup numit grupul elementelor inversabile ale inelului A.
Demonstrație. Fie a, b U(A) () a-1, b-1 U(A).
Să demonstrăm că a ∙ b U(A). (a ∙ b)-1 = b-1 ∙ a-1 U(A) a ∙ b U(A).
Evident 1 U(A).
Fie a U(A) () a-1 U(A) si (a-1)-1 = a U(A) a-1 U(A) (U(A), ∙) – grup.
Exemple. 1. În inelul (Z, +, ∙) al numerelor întregi singurele elemente inversabile în raport cu operația de înmulțire sunt 1 și -1 U(Z) = {-1, 1}.
2. Fie Z[i] = {a + ib| a, b Z}. (Z[i], +, ∙) este un inel comutativ, unitar numit inelul întregilor lui Gauss. Avem U(Z[i]) = {1, -1, i, -i}, deoarece: fie z = a+ib Z[i] inversabil în Z[i] () u = c + id Z[i] astfel încât z ∙ u = 1 (a + ib)(c+ id) = 1
ac – bd + i(ad + bc) = 1
a(c2 + d2) = c a = ,
b = .
Dar a, b Z. Deoarece a, b sunt subunitare pot lua doar valorile -1, 0, 1.
Dacă c = 0 a = 0, b = – Z d = 1 b = 1.
Dacă d = 0 b = 0, a = Z c = 1 a = 1 elementele inversabile sunt 1 și i.
3. (Mn(R), +, ∙) adică inelul matricelor pătratice de ordin n cu elementele reale, în raport cu operația de adunare și înmulțire a matricelor este un inel necomutativ, unitar, cu unitatea inelului In, adică matricea unitate. Elementele inversabile ale acestui inel sunt matricele inversabile, adică acele matrici care au determinantul nenul.
U(Mn(R)) = {A| det A 0}.
Reguli de calcul într-un inel
În afară de proprietățile celor două operații ale inelului date în definiția sa au loc și alte propietăți care rezultă imediat din definiție.
Propoziție. Dacă (A, +, ∙) este un inel, atunci:
0 ∙ a = a ∙ 0 = 0, () a A
–a ∙ b = a ∙ (-b) = -ab, () a, b A
(-a)(-b) = a ∙ b, () a, b A
a(b – c) = ab – ac , () a, b, c A
(b – c)a = ba – ca, () a, b, c A
a ∙ , () a, b1, b2, …, bn A
, () a, b1, b2, …, bn A
, () ai, bj A , , j = .
Propoziție. Dacă (A, +, ∙) este un inel comutativ pentru () a, bA și ()n N* are loc formula binomului Newton:
(a + b)n = an-k bk.
Practic. Într-un inel regulile de calcul admise sunt cele date de axiomele inelului, cele date de propozițiile anterioare, precum și identitățile care au loc în inel.
Exemplu. Fie (A, +, ∙) – inel necomutativ cu x2 = x, () x A, iar x1, x2, x3 A cu x1x2x3 = 0, atunci:
x2x3x1 = 0
x3x1x2 = 0
x1a x2b x3 = 0, () a, b A.
Soluție. Dacă într-un inel produsul a doua elemente este nul, nu înseamnă că unul din factori trebuie să fie nul, deci relația x1x2x3 = 0 poate avea loc fără ca x1 sau x2 sau x3 să fie zero.
Relațiile din concluzie nu sunt evidente, deoarece într-un inel necomutativ nu avem voie să schimbăm ordinea factorilor.
Pentru calculul expresiilor cerute vom folosi unica regula de calcul din inelul dat care ne arată ca orice element este egal cu el însuși ridicat la pătrat.
x2x3x1 = (x2x3x1)2 = x2x3x1 = x2 x3 0 x1 = 0
x3x1x2 = (x3x1x2)2 = x3x1x2 = x3 0 x1 x2 = 0
x1a x2b x3 =(x1a x2b x3)2 = = 0
Deoarece nu au apărut cele trei elemente x1x2x3 cuplate într-un produs, vom decupa o secvență din produsul obținut care să înceapă cu un x și să se încheie cu ceilalți 2 () sau să înceapă cu 2x și să se încheie cu al treilea ().
= x2 b x3x1 = (x2b x3x1)2 = x2b(x3x1∙ x2)b x3x1 = 0
Divizorii lui zero intr-un inel
În inele există în general elemente diferite de elementul neutru de la prima lege (0), a căror compunere în sensul legii a doua este egală cu elementul neutru al primei legi, sau mai simplu sunt nenule cu produsul nul.
Definiție. Dacă (A, +, ∙) este un inel, un elementul a A se numește divizor al lui 0 la stânga (la dreapta) dacă el este nunul și () b A, b 0 astfel încât a ∙ b = 0 (b ∙ a = 0).
Practic divizorii lui zero se determinea rezolvând ecuația a ∙ b = 0, a, b A oarecare. Avem cazurile:
Dacă a = 0 sau b = 0 sunt singurile soluții ale ecuației date, inelul A nu are divizori ai lui zero.
Dacă () a 0 și b 0 soluții ale ecuației date, atunci inelul A are divizori ai lui zero care sunt chiar soluțiile nenule găsite.
Exemplu. 1. În inelul (Mn(R), +, ∙) al matricelor patratice de ordinul 3, matricile A = si B = sunt nenule dar au produsul nul,
A ∙ B = , deci sunt divizori ai lui zero.
2. Fie A = Z x Z = {(x, y) | x, y Z}, care are o structură de inel comutativ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire pe componente:
(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b)
(x, y) ∙ (a + b) = (xa, yb)
În acest inel divizorii lui zero sunt perechile care au o componentă nulă și cealaltă nenulă, adică (x, 0) și (0, y) cu x 0, y 0.
Soluție. Elementul neutru la adunarea perechilor este (0,0). Fie (x,y), (a,b)A cu (x, y) ∙ (a, b) = (0, 0) (xa, yb) = (0, 0) xa = 0 sau yb = 0. Avem cazurile:
1). a = 0 si b = 0 (a, b) = (0, 0)
2). x = 0 si y = 0 (x, y) = (0, 0)
3). b = 0 si x = 0 (a, 0) ∙ (0, y) = (0, 0) care pentru a 0 și y 0 sunt divizori ai lui zero.
4). a = 0 si y = 0 (0, b) ∙ (x, 0) = (0, 0), pentru x 0 și b 0 sunt divizori ai lui zero.
3. În Z12 = {,10, 11} avem
{, 10 } sunt divizori ai lui zero.
4. Pe mulțimea Z considerăm operațiile x y = x + y + 3
x T y = xy + 3x + 3y +6, împreună cu care Z devinde inel comutativ. Pentru a găsi divizorii lui zero deteminăm mai întâi elementul neutru de la prima lege care este e1 = -3. Rezolvăm ecuația xTy = -3, din care x, y Z oarecare xy +3x +3y +6 = -3
xy + 3x +3y +9 = 0 (x+y) (y +3) = 0 x = -3 sau y = -3 nu există divizori ai lui zero.
Definiție. Un inel A unitar nenul și comutativ care nu are divizori ai lui zero se numește domeniu de integritate (inel integru).
Observație. Dacă a A nu este divizor al lui zero atunci în inelul A au loc regulile de simplificare la stânga și la dreapta cu a, adică:
ab = ac b = c
ba = ca b = c.
1.3 Exemple importante de inele
1. Inelul întregilor lui Gauss
Z[I] = {a + ib | a, b Z}, care împreună cu operațiile de adunare a numerelor complexe și înmulțire a numerelor complexe capătă o structură de inel comutativ fără divizori ai lui zero și cu elemente inversabile 1, -1, i, -i.
2. Produsul direct a două inele
Fie (A, +, ) și (B, +; ). Considerăm produsul cartezian A x B = {(x, y)| x A, y B} pe care introducem operația de adunare pe componente.
(a, b) + (x, y) = (a + x, b + y) și operația de înmulțire pe componente
(a, b) (x, y) = (ax, by)
Cu această operație A x B devine un inel numit produsul direct al inelelor A și B. Dacă inelele A și B sunt unitare, atunci A x B este tot un inel unitar cu elemente unitare (1, 1), iar dacă A și B sunt comutative, atunci A x B este tot un inel comutativ.
Să determinăm divizorii lui zero din acest inel. Deoarece elementul neutru la adunarea perechilor este (0, 0) rezolvăm ecuația
(a, b) (x, y) = (0, 0) (ax, by) = (0, 0) ax = 0; by = 0.
I. Dacă A și B au divizori ai lui zero egalitățile din sistemul anterior sunt verificate și pentru elementele nenule, anume divizori ai lui zero din cele două inele. În acest caz divizori ai lui zero din inelul A x B sunt perechile de divizori ai lui zero din cele două inele.
Exemple: Z12 x Z6 () este divizor al lui zero deoarece () (,) astfel încât ()(,) = ().
Divizorii lui zero din Z12 sunt ,10 iar divizorii lui zero din Z6 sunt . Divizori ai lui zero din Z12 x Z6 sunt toate perechile de divizori ai lui zero din cele două inele.
II. Dacă A și B nu au divizori ai lui zero, ecuația (a, b) (x, y) = (0, 0) admite soluțiile nenule (a, 0) și (0, b) care pentru a 0 și b 0 sunt divizori ai lui zero în A x B.
Exemplu. Z3 x Z5 = {} x {}. Sunt divizori ai lui zero (), (), (), (), (), (). Elementele inversabile ale inelului A x B sunt perechile de elemente (x, y) cu x inversabil în A și y inversabil în B.
Observație. În Zn există 3 tipuri de clase de resturi:
1. clasa lui zero care este neinversabilă și nu este divizor al lui zero;
2. clase inversabile care au reprezentanți primi cu n;
3. divizori ai lui zero sunt clase nenule și neinversabile.
Exemplu. În Z6 = {}, și sunt inversabile iar în
Z4 = {}, și sunt inversabile.
Z6 x Z4 sunt inversabile () () ()
Propoziție. U(A x B) = U(A) x U(B) adica (a, b) A x B este inverasabil în A x B a este inversabil în A și b este inversabil în B.
III. Fie A un inel și M o mulțime. Atunci mulțimea AM = {f : M A} capătă o structură de inel cu operațiile de adunare și de înmulțire a funcțiilor induse de operațiile inelului A, adică (f + g)(x) = f(x) + g(x), x M
(f g)(x) = f(x) g(x), x M.
Dacă A este un inel comutativ atunci și inelul AM este comutativ. Elementul neutru la adunare este funcția nulă : M A definită prin (x) = 0, x M, unde 0 este elementul neutru de la adunarea inelului A.
Elementul neutru la înmulțire este i: M A definit prin i(x) = 1, x M, unde 1 este elementul unitate al inelului A.
Dacă M are cel puțin două elemente, inelul AM are divizori ai lui zero, de exemplu funcțiile f: M A f(x) = și g: M A, g(x) = cu a M fixat. Avem f 0, g 0 dar f g = 0.
Subinele și ideale ale unui inel
Fie (A, +, ) un inel nenul.
Definiție. O submulțime nevidă A’ a lui A se numește subinel a lui A dacă operațiile inelului A induc operații pe A’, împreună cu care A’ devine inel.
Observație. O operație algebrică induce o operație algebrică pe o submulțime a sa dacă compunerea oricăror două elemente din submulțime rămâne tot în submulțime.
Propoziție. (caracterizări echivalente pentru subinele)
Fie (A, +, ) un inel, A’ o sbmulțime nevidă. Sunt echivalente afirmațiile:
A’ este subinel în A
a) a, b A’ a – b A’
b) a, b A’ a b A’.
Comentariu. Condiția a) ne arată că A’ este subgrup al grupului (A, +) iar b) ne arată că A’ este parte stabilă în raport cu a doua operație.
Exemple de subinele:
1. Pentru orice inel (A, +, ) mulțimea {0} și A sunt subinele numite subinele improprii ale lui A.
2. (Z, +, ) este un subinel al lui (Z[i], +, )
3. (n Z, + ; ) este un subinel în (Z, +; )
4. Dacă A și B sunt inele, atunci A x {0} și {0} x B sunt subinele ale lui A x B.
5. A’ = este subinel al inelului M2(A) al matricelor pătratice de ordin 2 cu elemente din A.
Operații cu subinele
1. Intersecția oricărei familii de subinele este un subinel.
Propoziție. Fie (A, +, ) un inel și (Ai)iI o familie de subinele ale lui A este tot subinel în A.
Demonstrație. Fie a, b a, b Ai, i I , i I este subinel în A.
2. Reuniunea a două subinele nu este în general subinel decât, naumai dacă unui din ele este inclus în celălalt.
Propoziție. Fie (A, +, ) un inel și A1 și A2 subinele a lui A. Atunci A1 A2 este subinel în A A1 A2 sau A2 A1.
3. Subinelul generat de o mulțime
Definiție. Dacă (A, +, ) este un inel și M A este o submulțime nevidă, atunci cel mai mic subinel al lui A în raport cu relația de incluziune, care conține pe M, se numește subinel generat de M.
Propoziție. Subinelul generat de M concide cu intersecția tuturor subinelelor lui A care conțin pe M.
Idealele unui inel
Fie (A, +, ) un inel și I A o submulțime nevidă.
Definiție. I se numește ideal stâng al lui A dacă:
1) a – b I, a, b I
2) x a I, pentru x A, a I.
Comentariu. Condiția 1) ne arată că un ideal este un subgrup al grupului (A, +) iar 2) ne arată că un ideal stâng absoarbe inelul A la stânga, adică orice element din A compus la stânga cu unul din ideal ne dă un element din ideal.
Definiție. I se numește ideal drept al lui A dacă:
1) a – b I, a, b I
2) a x I, x A, a I.
Definiție. I se numește ideal bilateral al lui A dacă el este ideal stâng și ideal drept pentru A, adică:
1) a – b I, a, b I
2) x a y I, a I, x, y A.
Observație. Dacă inelul A este comutativ noțiunile de ideal stâng, ideal drept și ideal bilateral coincid.
Exemple de ideale.
În orice inel A, {0} și A sunt ideale bilaterale numite idealele improprii ale lui A.
nZ este un ideal bilateral al lui Z.
M1 = este un ideal stâng al inelului de matrici M2(A); care nu este și ideal drept.
M2 = este un ideal drept al inelului M2(A) care nu este și ideal stâng.
M3 = este un ideal bilateral în M2(A) .
Operații cu ideale
Fie (A, +, ) un inel.
1) Intersecția unei familii de ideale este tot un ideal al inelului.
Propoziție. Dacă (Ii)iM este o familie de ideale stângi ale inelului A, atunci este tot un ideal stâng al lui A.
Demonstrație. Fie x, y x, y Ii, i M. Deoarece Ii este ideal x – y I, () i M este subgrup al grupului (A, +).
Fie a A și x x Ii, () i M. Deoarece Ii este ideal stâng ax Ii, () i M ax ideal stâng în A.
Observație. Rezultate alnaloage au loc pentru ideale drepte sau bilaterale.
2) Reuniunea a două ideale nu este în general un ideal.
3) Idealul generat de o mulțime nevidă
Definiție. Se numește ideal stâng (drept, bilateral) generat de M cel mai mic ideal stâng (drept, bilateral) al lui A care conține pe M.
Propoziție. Idealul stâng (drept, bilateral) generat de M coincide cu intersecția tuturor idealelor stângi (drepte, bilaterale) care conțin pe M, adică .
Propoziție. (Structura idealelor generate de o mulțime)
Fie (A, +, ) un inel, M A, M și I idealul stâng (drepte, bilaterale) generat de M. Atunci:
I = ;
I =
I =
Demonstrație. a) Notăm cu X mulțimea din membrul drept al egalității. Să arătăm că X este un ideal al lui A (stâng). Fie x, y X: x = și y = cu xi și yi A, ai M, () i = .
x – y = ai X (X, +) subgrup al lui (A, +).
Fie a A și x X x = , xi A, ai M, i = .
ax = ai X X ideal stâng în A.
Dacă luăm n = 1 și x1 = 1 ai X, () ai M, M X. Să arătăm că C este cel mai mic ideal al lui A care conține pe M.
Fie J un ideal în A cu M J, () x X, x = X J I = X.
Definiție. Dacă (A, +, ) este un inel și a A atunci idealul stâng (drept, bilateral) generat de a, se numește idealul stâng (drept, bilateral) principal generat de A și se notează respectiv cu Aa, (aA, aAa).
4) Suma a două ideale
Fie (A, +, ) un inel.
Definiție. Dacă I1 și I2 sunt două ideale stângi (drepte, bilaterale) ale lui A, atunci idealul generat de I1 I2 se numește suma celor două ideale și se notează cu I1 + I2.
Propoziție. Dacă I1, I2 sunt ideale stângi (drepte, bilaterale) ale inelului A, atunci
I1 + I2 = {a1 + a2 | a1 I1, a2 I2}
Demonstrație. Notăm I mulțimea din membrul drept al egalității. Să demonstăm că I este ideal stâng în A. Fie a, b I
a = a1 + a2, b = b1 + b2 unde a1, b1 I1 și a2, b2 I2
a – b = (a1 + a2) – (b1 + b2) = + I (I, +) este subgrup în (A, +).
Fie A și a I a = a1 + a2, a1 I1 și a2 I2.
a = (a1 + a2) = + I I este ideal stâng în A.
Fie a1 I1 a1 = a1 + 0 I a1 I
Fie a2 I2 a2 = 0 + a2 I a2 I
Să arătăm că I este cel mai mic ideal al lui A care conține pe I1 I2. Fie J un ideal stâng în A cu I1 I2 J. Fie a I a = a1 + a2, a1 I1, a2 I2 I J I = J.
Propoziție. Operația de adunare a idealelor determină pe mulțimea idealelor stângi (drepte, bilaterale) o structură de monoid comutativ cu element neutru idealul nul “0” adică adunarea este:
Asociativă (I1 + I2) + I3 = I1 + (I2 + I3), () I1 I2 I3 ideale în A
Comutativă I1 + I2 = I2 + I1, () I1 I2 ideale în A
Element neutru I + 0 = 0 + I = I, () I ideal în A
Produsul idealelor
Fie (A, +, ) un inel și I1, I2 ideale stângi (drepte, bilaterale) ale lui A. Atunci mulțimea M = {ab | a I1, b I2} nu este ideal stâng (drept, bilateral) în A.
Definiție. Se numește produsul idealelor I1 și I2 și se notează cu I1I2 idealul generat de mulțimea M = {ab | a I1și b I2}.
Propoziție. Dacă I1, I2 sunt ideale stângi (drepte, bilaterale) ale inelului A, atunci I1I2 = .
Propoziție. Operația de înmulțire a idealelor determină pe mulțimea idealelor stângi (drepte, bilaterale) ale nelului A cu structură de monoid comutativ în care elementul neutru este inelul A, adică această operație are proprietățile:
Asociativă I1(I2 I3) = (I1I2) I3, () I1 I2 I3 ideale în A
Comutativă I1I2 = I2 I1, () I1 I2 ideale în A
Element neutru I1A = A I1 = I1, () I1 ideal în A
Propoziție. Înmulțirea idealelor este distributivă față de operația de adunare a idealelor și la stânga și la dreapta adică
I1(I2 + I3) = I1 I2 + I1 I3, () I1 I2 I3 ideale în A
(I2 + I3) I1 = I2 I1 + I3 I1, () I1 I2 I3 ideale în A.
Observație. Mulțimea idealelor unui inel A nu determină o structură de inel deaorece adunarea idealelor nu determină o structură de grup pe această mulțime.
Morfisme de inele
Fie (A, +; ) și (B, +, ) două inele.
Definiție. Se numește morfism de inele orice aplicație f: A B cu proprietățile:
f(x + y) = f(x) + f(y),
f(xy) = f(x) f(y), () x, y A.
Exemplu. 1) Aplicația identică 1A : A A definită prin 1A (x) = x, () x A este morfism de inele.
2) Aplicația nulă : A B, definită prin (x) = 0B, () x A este morfism de inele.
Propoziție. Compunerea a două morfisme de inele este tot un morfism de inele. Fie f: A B și g: B C morfisme de inele unde A, B, C sunt inele cu operațiile notate cu +, . Atunci g f: A C este un morfism de inele.
Demonstrație. Fie x, y A.
(g f)(x + y) = g(f(x + y)) g(f(x)+f(y)) g(f(x)) + g(f(y)) = (g f)(x) + (g f)(y) g f morfism de grupuri.
(g f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x) f(y)) = g(f(x)) g(f(y)) = (g f)(x) (g f)(y).
Un morfism de inele este în particular un morfism de grupuri, deci duce elementul neutru de la prima operație din domeniu în elementul neutru de la prima operație din codomeniu f(0A) = 0B.
Un morfism de inele nu duce neapărat elementele unitate din domeniu în elementele unitate din codomeniu.
Exemplu. Funcția f: Z M2(Z), definit prin f(x) = , () x Z este un morfism de inele deoarece
f(x + y) = = f(x) + f(y)
f(x) f(y) = = f(xy), () x, y Z
f(1) = = I2. f nu duce elementul unitate în elementul unitate.
Definiție. Un morfism de inele f A B care satisface condiția f(1A) = 1B, unde 1A, 1B sunt elementul unitate din A, B respexctiv, se numește morfism unitar de inele.
Propoziție. Orice morfism surjectiv de inele este unitar.
Definiție. Un morfism de inele f : A B se numește monomorfism dacă pentru orice morfisme de inele g: C A și h: C A cu proprietatea că: f g = f h
g = h (se numește monomorfism).
Observație. Un monomorfism de inele nu ese neapărat injectiv.
Definiție. Un morfism de inele f : A B se numește epimorfism dacă pentru orice două morfisme de inele g, h: B C cu properietatea că din g f = h f g = h.
Propoziție. Un morfism de inele este epimorfism el este surjectiv.
Definiție. Dacă f: A B este un morfism de inele, mulțimea Ker f = {x A | f(x) = 0B} se numește nucleul lui f, iar mulțimea Im f = {f(x) | x A} se numește imaginea lui f.
Definiție. Un morfism f: A B se numește izomorfism de inele dacă există un morfism de inele g: BA astfel încât g f = 1A și f g = 1B.
Observație. g este unic determinat de f și se notează cu f-1.
Propoziție. Un morfism de inele f: A B se numește izomorfism el este bijectiv.
Proprietăți de transport pentru subinele și ideale, prin morfisme de inele
Fie f: A B un morfism de inele.
Propoziție. 1) Dacă A’ este un subinel a lui A, atunci f(A’) = {f(x) | x A’} este un subinel în B. În particular Imf = f(A) este subinel în B.
2) Dacă B’ este subinel în B, atunci f-1(B) = { x A| f(x) B’} este un subinel în A. În particular Ker f = f-I({0B}) este subinel în A.
3) Dacă S(A, Ker f) este mulțimea subinelelor lui A care conțin pe Ker f iar S(B) este mulțimea subinelelor lui B și f: A B este un morfism surjectiv de inele, atunci aplicația:
F: S(A, Ker f) S(B) definit prin F(A’) = f(A’) este o bijecție care păstrează incluziunea, adică A’ A” F(A’) F(A”).
4) Dacă I este un ideal al lui A, atunci f(I) este un ideal al lui B.
5) Dacă I este ideal al lui B, atunci f-1(I) este ideal al lui A care conține pe Ker f.
6) Dacă II(A, kerf) este mulțimea idealelor lui A care conțin pe Ker f, II(B) este mulțimea idealelor lui B și f: A B este un morfism surjectiv de inele, atunci aplicația: F: II(A Ker f) II(B), definit prin F(I) = f(I) este o corespondență bijectivă cu inversa G: II(B) II(A Ker f) definit prin G(I) = f-1(I).
În particular f(A)=Im f și Ker f=f-1{0B} sunt ideale bilaterale ale lui B respectiv A.
Inelul factor
Noțiunea de ideal din teoria inelelor este echivalentul noțiunii de subgrup normal din teoria grupurilor.
Vom arăta în continuare cum se construiește inelul factor al unui inel în raport cu un ideal bilateral al său.
Fie (A, +, ) un inel și I un ideal bilateral al lui A. În particular I este un subgrup normal al grupului (A, +), deci putem construi grupul factor în modul următor: consierăm relația de congruență modulo I definită prin x y (mod I) x – y I, care este o relație de echivalență pe A. Această relație împarte mulțimea A în clase de echivalență, unde clasa unui element x A este = x + I = { x +a| a I}. Aceste clase consituie o partiție a mulțimii A, adică sunt nevide, disjuncte și reuniunea lor formează mulțimea A. Mulțimea acestor clase de chivalență este mulțimea factor a grupului A în raport cu subgrupul său I.
Operația de adunare a grupului A induce o operație de adunare a claselor definită prin += x+y. S-a demonstrat că această adunare a claselor este bine definită adică nu depinde de reprezentanții aleși ai claselor.
Mulțimea factor capătă o structură de grup comutativ în raport cu operația de adunare a claselor deoarece această operație este asociativă, are element neutru clasei = I, este comutativă și orice clasă are clasa opusă – = -x.
Definiție. Dacă operația a doua a inelului A induce o operație algebrică pe mulțimea clselor de echivalență din grupul factor spunem că relația de congruență modulo I este compatibilă cu operația considerată a inelului A.
Observație. Am văzut că relația de congruență modulo I este compatibilă cu prima lege a inelului A, lucru vizualizat în definiția operației de adunare a claselor.
Propoziție. Dacă (A, +, ) este un inel și I este un ideal bilateral al lui A, atunci relația de congruență modulo I este compatibilă cu operația de înmulțire a inelului A, adică dacă x x1 (modulo I) și y y1 (modulo I), atunci xy x1y1(modulo I).
Datorită compatibilității relației de congruență modulo I cu operația de înmulțire a inelului putem defini o operație de înmulțire a claselor prin = xy.
Teoremă. Mulțimea factor are o structură de inel în raport cu operațiile de adunare și înmulțire a claselor. Dacă A este un inel comutativ, atunci este tot un inel comutativ.
Demonstrație. Am arătat că este grup comutativ în raport cu operația de adunare a claselor. Să demonstrăm proprietățile operațiilor de înmulțire care duc la structura de inel.
Asociativitate : () =yz =x(yz)=(xy)z= xy = () , (),,
Distributivitatea operației înmulțire față de operația de adunare :
(+) = (y+z) = x(y+z) = xy+xz = xy + xz = + , (),,
(+) = (z + y) = (y +z)x = yx + zx = yx + zx =+, (),,
Dacă A este inel unitar cu unitatea 1 atunci este tot un inel unitar cu unitatea .
= x 1 = și = 1 x = , () .
Definiție. Inelul (, +, ) se numește inelul factor al inelului A în raport cu idealul bilateral I.
Propoziție. Aplicațiile I: A , definită prin I(x) = = x + I este un morfism surjectiv de inele a cărui nucleu coincide cu I adică Ker I = I.
Demonstrație. Să arătăm că aplicația I este un morfism de inele:
I(x + y) = x+y = += I(x) + I(y), ()x, y A
I(x y) = xy = = I(x) I(y), ()x, y A
Evident I este surjectiv.
Ker f I = {x A| I(x) =} = {x A| I(x) =I} = I.
Definiție. Morfismul de inele I : A se numește surjecția canonică a inelului A pe inelul său factor .
Observație. Dacă A este inel unitar atunci I este un morfism unitar de inele.
Teoreme de izomorfism pentru inele
1) Teorema fundamentală de izomorfism
Dacă f: A B este un morfism de inele, atunci există izomorfismul canonic de inele : Im f, unde este inelul factor în raport cu Ker f, iar Im f este subinelul f(A) a lui B.
Demonstrație. Definim aplicația () = f(x), ().
Această corespondență este bine definită, adică nu depinde de reprezentantul ales în clasa lui x. Într-adevăr dacă y = x + Ker f () a Ker f astfel încât y=x+a.
f(y) = f(x + a) f(x) + = f(x) () = () .
este surjectivă: evident () z Imf () A astfel încât z = f() () = f() = z.
este injectivă: () = () f(x) = f(y) f(x) – f(y) = 0 f(x-y) = 0
x – y Ker f x y(mod Ker f) = .
este morfism de inele:
(+) = (x + y) = f(x+y) = f(x) + f(y) = () + (), (),.
() = (xy) = f(x y) = f(x) f(y) = () (), (),.
este izomorfism de inele.
Teorema 2 de izomorfism pentru inele:
Fie A un inel, A’ un subinel a lui A și I un ideal bilateral al lui A. Atunci A’ + I = = {x +a| x A’, a I } este un subinel al lui A, I este ideal bilateral în A’ + I, A’ I este ideal bilateral în A’ și există izomorfismul canonic : .
Observație. Izomorfismul este unicul morfism de inele care face comutativă diagrama
A’ A’+I A’+
Demonstrație. Dacă u, v A’ + I () x, y A’ și () a, b I astfel încât
u = x +a, v = y + b.
u – v = (x +a) – (y +b) = + A’ + I A’ + I este subgrup
u v = (x+a)(y+b) = xy + ay + bx + ab A’ + I A’ + I subinel a lui A.
Deoarece I este ideal bilateral în A, el este un ideal bilateral și în A’ I. Este subinel în A, fiind intersecția a două subinele deci este subinel și în A’.
Considerăm morfismul incluziune I: A’ A’ + I, definit prin i(x) = x, () x A’, I: A’ +I A’+ definit prin I(x) = x + I si notăm cu f, f = I i: A’ A’+care este un morfism surjectiv de inele cu Ker f = {x A‘| x + I = I} = A’ I: Din teorema fundamentală de izomorfism obținem izomorfismul canonic : A’+ definită prin (x + A’I) = x + I.
Teorema 3 de izomorfism pentru inele
Fie (A, +, ) un inel, I un ideal bilateral al lui A și f: A surjecția canonică. Dacă notăm cu S(A; I) mulțimea subinelelor lui A care conțin pe I și cu S() mulțimea subinelelor lui , atunci aplicația : S(A, I) S(A/ I) definită prin (A’) = (A’) = , () A’ S(A, I), este o bijecție. Mai mult, J S(A,I) este un ideal bilateral al lui A J/I este ideal bilateral al lui A/I și există izomorfismul de inele : A/J .
Idealele și inelele factor ale inelului claselor de resturi modulo n: (Zn, +, )
Fie Z mulțimea numerelor întregi, n N fixat și nZ = {nk| k Z} idealul bilateral generat de n și n: Z Z/nZ = Zn surjecția canonică definită prin n(x) = , () x Z.
Conform teoremei 3 de izomorfism pentru inele există o bijecție între mulțimea S(Z, nZ) a idealelor lui Z ce conțin pe nZ și mulțimea S(Zn) a idealelor lui Zn, care se realizează prin corespondența I n(I). Fie J un ideal al lui Zn. Atunci există I = (J) un ideal al lui Z care conține pe nZ, deci este de forma I = mZ. Din condiția mZ nZ m | n.
În concluzie idealele lui Zn sunt de forma J = n(I) = n(mZ) = cu m | n.
Din teorema 3 de izomorfism rezultă existența izomorfismului :Z/mZ care ne arată că inelele factor ale lui Zn sunt de forma Zm cu m | n.
În (Zn, +, ) idealele bilaterale sunt cu m |12, adică sunt = (0), = Z12.
Inelele factor ale lui Z12 sunt Zm cu m |12, adică Z12, Z6, Z4, Z3, Z2, Z.
=== cap II ===
CAPITOLUL II
ELEMENTE DE TEORIA MODULELOR
2.1 Definitii. Interpretari
Se stie ca un modul este generalizarea unui spatiu vectorial,in sensul urmator: daca operatia externa (inmultirea cu scalari), in cazul spatiului vactorial, se defineste cu ajutorul unui corp(comutativ, eventual),in cazul modulelor se va folosi un inel.
Fie R un inel unitar, nu neaparat comutativ si M un grup abelian cu o operatie interna presupusa aditiva: (M,+).
Definitia 1 M se numeste R-modul stang (drept), daca exista o operatie externa s:RxM→M, s(a,x)= axM,aR si xM ( respectiv d:MxR→M, d(x,a)=xa) ,care verifica urmatoarele axiomea,bR si x,yM:
a(x+y)=ax+ay
(a+b)x=ax+bx
(ab)x=a(bx)
1x=x, unde 1 este unitatea inelui R.
( respectiv:
(x+y)a=xa+ya
x(a+b)=xa+xb
x(ab)=(xa)b
x1=x,
in cazul modulului drept )
Definitia 2 Fie M si N doua R-module stangi. Se numeste morfism de R-module (sau R-morfism), o aplicatie f:M→N cu proprietatile:
x,y M, are loc f(x+y)=f(x)+f(y), adica f pastreza operatia interna;
aR, xM, are loc f(ax)=af(x), adica f pastreza operatia externa.
Observatie: Cele doua conditii din definitia unui R-morfism sunt echivalente cu:
a,bR,x,yM, are loc f(ax+by)=af(x)+bf(y).
Daca M=N, f se numeste endomorfism, iar multimea endomorfismelor stangi se noteaza cu End(M), care poate avea structura de inel in raport cu operatia de adunare obisnuita a functiilor si cu operatia de compunere a functiilor.
Definitia unui R-mudul stang poate fi data si astfel:
Definitia 3 O pereche (M,λ) se mumeste R-modul stang, daca M este un grup abelian, iar λ:R→End(M) este un morfism de inele de la inelul R la inelul de endomorfisme cu actiune la stanga al lui M.
Observatie: Actiunea endomorfismului λ se intelege in modul urmator:aR, λ(a):M→M, λ(a)(x)M, cu proprietatile:
λ(a)(x+y)=λ(a)(x)+λ(a)(y)
λ(a+b)(x)=λ(a)(x)+λ(b)(x)
λ(ab)(x)=λ(a)(λ(b)(x))
λ(1)(x)=x.
Daca notam λ(a)(x)=ax, se obtin conditiile din definitia 1.1.1.
Analog se defineste structura la dreapta.
Fie R si S doua inele.
Definitia 4 Un grup abelian M este bimodul R-stang si S-drept, daca M este un R-modul stang si un S-modul drept, pentru care cele doua inmultiri cu scalari satisfac relatia: r(xs)=(rx)s, rR, sS, xM. Notam bimodulul cu M.
Observatie:Exista si alte strusturi de bimodule, de exemplu:M=binomul R-stang si S-stang.
2.2 Combinatii liniare si submodule
Fie R un inel si M un R-modul stang.
Definitia 1. Un grup abelian N, al lui M, se numeste R-submodul stang al lui M daca N este stabil la endomorfismele lui M induse de inelul R, adica este inchis la inmultirea cu scalari din R.
Definitia 2 Fie XM si AR.Orice element din M de forma ax, i=1,…,n cu xX si aA, se numeste combinatie liniara a lui X cu scalari din A.
Notam cu AX={ax│xX si aA, i=1,…,n, nN}.
Propozitia 1 Fie M un R-modul stang si XM, X. Atunci RX este R-modul al lui M.
Propozitia 2 Fie M un R-modul stang si NM, N.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
N este submodul al lui M;
RN=N;
Pentru a,bR,x,yNax=byN.
Definitia 3 Fie M un bimodul si NM. O submultime nevida N este un (R-S)bisubmodul al luiM daca N este R-submodul stang si S-submodul drept simultan.
Definitia 4 O (R-S) combinatie liniara a lui XM cu elemente din R si S este un element de forma: rxs, rR, xX, sS, i=1,…,n.
Notam cu RXS multimea acestor combinatii.
Definitia 5 M,…, Mn submultimi ale lui M .Se numeste suma acestor multimi,
M+…..+Mn={x+….+xn / xM,i=1,..,n}.
Lema 1 Daca M este un R-modul stang si M,…, Mn sunt R-submodule ale lui M, atunci M+….+Mn este un R-submodul stang al lui M,reprezentand de fapt R-submodulul combina-
tiilor liniare ale multimii M….Mn .
2.3 Submodul generat de o multime
Fie M un R-modul stang si XM , X.
Definitia 1 Se numeste submodul al lui M generat de X, intersectia tuturor submodulelor lui M, care contin pe X, reprezentand unicul submodul, „cel mai mic” in sensul incluziunii, ce contine pe X.
Propozitia 1 Daca M este un R-modul stang si XM , X, atunci submodulul lui M generat de X este chiar RX.
Definitia 2 Daca (M) este o familie de submodule ale lui M, atunci M este submodulul generat de familia data.
Daca M=M, spunem ca submodulele M,I genereaza pe M.
Daca XM este o submultime nevida a lui M cu RX=M, spunem ca X genereaza pe M.
Un modul cu o multime finita de generatori se numeste finit generat.
Un modul cu un singur generator se numeste modul ciclic.
Propozitia 2 Daca X este o multime de generatori pentru R-modulul stang M, atunci M =
Rx, xX.
Definitia 3 Un modul M se numeste simplu daca M si M nu are submodule netriviale.
Observatie: Un modul simplu este generat de orice element nenul al sau.
Teorema 1 Fie M un R-modul stang, nenul, finit generat. Atunci orice R-submodul propriu al sau este continut intr-un submodul maximal. In particular, M are un submodul maximal.
2.4 Module factor
Fie M un R-modul stang si K un submodul al sau. Definim multimea:
M/K={x+K/xM}, care devine R-modul stang relativ la urmatoarele operatii de adunare si inmulture cu scalari: (x+K)+(x+K)=x+y+K , x,yM
a(x+K)=ax+K , aR si xM.
Definitie: Modulul M/K astfel construit se numeste R-modulul factor al lui M relativ la K.
Corolar: Un modul factor M/K este simplu daca si numai daca K este submodul maximal in M.
2.5 Morfisme de module
Daca M si N sunt doua R-module stangi, se stie ca un morfism de module este o aplicaqtie f:MN, cu proprietatea : f(ax+by)=af(x)+bf(y), a,bR , x,yM , adica este o aplicatie liniara.
Definitia 1 Fie M si N doua (R-S)-bimodule. O aplicatie f:MN este un (R-S)-morfism daca este liniara peste R si S, adica r,r’R, s,s’S, x,yM are loc:
f(rxs+r’ys’)=rf(x)s+r’f(y)s’ .
Definitia 2 Un morfism f:MN se numeste monomorfism daca el este injectiv. Un morfism f:MN se numeste epimorfism daca este surjectiv. Un morfism f:MN se numeste izomorfism daca el este bijectiv.
Propozitia 1 Fie f:MN, un morfism de R-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
f este epimorfism;
Im f=N;
Pentru orice R-modul stang,K si orice doua R-morfisme g,h:NK, din gf=hf se obtine g=h;
Pentru orice R-modul stang,K si orice R-morfism g:NK, din gf=0 se obtine g=0.
Propozitia 2 Fie f:MN, un morfism de R-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
f este monomorfism;
Ker f=0;
Pentru orice R-modul stang,K si doua R-morfisme g,h:KM, din fg=fh se obtine g=h;
Pentru orice R-modul stang,K si orice R-morfism g:KM din gf=0 se obtine f=0.
2.6 Teoreme de factorizare
Definitia 1 Un morfism de R-module, f:MN, se spune ca este factorizat prin g si h, daca el este compunerea lui g cu h: f = gh.
Observatie: Teorema factorizarii (data mai jos), arata ca un morfism f este factorizat in mod unic prin orice epimorfism al carui nucleu este continut in Ker f si prin orice monomorfism a carui imagine contine Im f.
Teorema 1 (Teorema factorizarii)
Fie M,M’,N,N’ R-module stangi si f:MN un R-morfism.
Fie g:MM’ un epimorfism cu Ker gKer f. Atunci exista un unic morfism h:M’N, astfel incat f=hg. M f N
Mai mult,Ker h=g(Ker f)si Im h=Im f .
Asa ca h este monomorfism daca si numai g h
daca Ker g=Ker f si h este epimorfism daca
si numai daca f este epimorfism. M’
Daca g:N’N este un R-morfism cu Im fIm g, atunci exista un unic morfism h:MN’, astfel incat f=gh. M’ f N
Mai mult, Ker h=Ker f si Im h=g(Im f),
adica:h este monomorfism daca si numai daca g
f este monomorfism si h este epimorfism daca
si numai daca Im g=Im f. N’
Teoreme de izomorfism:
Fie M,N doua R-module stangi.
Daca f:MN este un apimorfism cu Ker f=K, atunci exista un unic izomorfism
:M/KN, dat prin (x+K)=f(x).
Daca KLM, atunci M/L(M/K)/(L/K).
Daca HM si KM, atunci (H+K)/KH/(HK).
=== capitol Iv ===
CAPITOLUL IV
Descompunere primară
Celebra teoremă a lui EUCLID care afirmă că orice număr natural >2 este în mod unic un produs de numere prime, supranumită și Teorema Fundamentală a Aritmeticii a fost stabilită de mai bine de 2200 de ani. Această Teoremă a fost reluată, adâncită și generalizată de–a lungul anilor și nu greșim dacă afirmăm că ea stă la originea Teoremei descompunerii primare.
În încercarea de a demonstra Marea Teoremă a lui FERMAT enunțată de către P. FERMAT în jurul anului 1637, o serie de matematicieni ai secolului XIX s-au izbit de problema privind analogul Teoremei lui EUCLID în inele de tipul unde și pentru un număr prim p>0. Observând faptul că în general în inele de acest tip un asemenea analog nu funcționează, E. KUMMER și mai târziu R. DEDEKIND au introdus noțiunea de întreg algebric și de ideal, tocmai pentru a înlătura inconvenientul care apărea în privința neunicității descompunerii în factori ireductibili în inelele de întregi algebrici; în aceste inele, DEDEKIND a demonstrat că orice idel propriu se poate scrie în mod unic ca un produs de ideale prime.
Un pas următor a fost făcut de E. LASKER [1905], a cunoscut mai ales ca mare jucător de șah, care introduce noțiunea de ideal primar în inele și și demonstrează existența unei descompuneri rimare pentru orice ideal propriu al acestor inele. Să menționăm că descompunerea unui ideal propriu într-un inel de întregi algebrici ca produs de puteri de ideale prime este identică cu descompunerea idealului, respectiv ca intersecție de aceste puteri de ideale prime, acestea din urmă fiind ideale primare. În memoriul său fundamental, E. NOETHER [1921] extinde într-un mod spectaculos Teorema lui LASKER la inelele care astăzi îi poartă numele.
Teorema lui LASKER–NOETHER, conform căreia orice ideal propriu al unui inel Noetherian se poate scrie ca o intersecție finită de ideale primare, a fost extinsă la cazul modulelor Noetheriene.
În ultimii ani teorema descompunerii primare a fost extinsă și în cazul necomutativ prin considerarea așa–numitelor descompuneri terțiare. S-a definit și o Teorie a descompunerilor secundare care într-un anumit sens duală celei de descompunere primară. Să menționăm totodată că există deverse generalizări ale teoriei descompunerii primare la cazul categoriilor abeliene.
Scopul acestui capitol este de a prezenta, în ordinea în care s-au degajat și evoluat, principalele fapte privind descompunerea primară în inele și apoi descompunerea primară în module.
4.1 Nilradicalul și radicalul Jacobson al unui inel
Se vor defini și studia câteva din proprietățile de bază ale nilradicalului și radicalului jabcoson al unui inel. Printre altele se demonstrează un rezultat deosebit de util: Lema lui NAKAYAMA.
Fie A un inel; un element se numește nilpotent dacă pentru un anumit . Mulțimea N(A) a tuturor elementelor nilpotente din A se numește nilradicalul lui A.
4.1.1. Propoziție: N(A) este un ideal al lui A și N(A/ N(A)) = 0.
Demonstrație: Dacă N(A) și este clar că N(A). Fie acum N(A); atunci și . Conform formulei binomului lui Newton este o sumă de produse de tipul cu . Nu este posibil să avem simultan și , deci fiecare asemenea produs este 0, și atunci , adică N(A). Rezultă că N(A) este un ideal al lui A.
Fie N(A/N(A)); atunci , deci N(A), de unde pentru un m>0, adică xnm = 0. Rezultă că N(A), deci .
4.1.2. Propoziție: N(A)
Demonstrație: Să notăm: . Dacă N(A), atunci xn = 0 pentru un n>0, deci xn pentru orice . Rezultă că , adică .
Fie acum și presupunem că N(A). considerăm sistemul multiplicativ: .Deoarece N(A) avem. Există cu , deci , absurd. Așadar N(A), deci N(A).
Un ideal prim se numește ideal prim minimal dacă este un element minimal în mulțimea ordonată . Vom nota prin Min(A) mulțimea tuturor idealelor prime minimale ale lui A.
4.1.3. Lemă: Pentru orice există cu.
Demonstrație: În baza Lemei lui Zorn este suficient să demonstrăm că
mulțimea ordonată prin relația „” este inductivă. Fie Y o submulțime nevidă total ordonată a lui P; este suficient să demonstrăm că este un ideal prim al lui A. Pentru aceasta, fie cu ; există atunci cu și (Y fiind total ordonată), deci , adică . Deci .
4.1.4. Propoziție: N(A).
4.1.5. Observații:
Mulțimea ordonată a idealelor prime ale unui inel
Noetherian satisface următoarele:
(i) Condiția ACC.
(ii) Condiția DCC în următorul sens mai tare: există o margine superioară (finită) a lungimii lanțurilor descrescătoare de ideale prime care încep cu un ideal prim dat.
(iii) Numărul idealelor prime între două ideale prime date este zero sau infinit.
(iv) Există doar un număr finit de ideale prime minimale (i.e. Min(A) este o mulțime finită).
Se pune în mod natural întrebarea: pentru care mulțimi ordonate
există un inel comutativ A astfel încât mulțimile ordonate și să fie izomorfe. M. HOCHSTER a demonstrat în 1969 că orice mulțime ordonatăfinită are proprietatea de mai sus. Rezultatele mai noi în această direcție pot fi găsite în HEITMANN [1977].
Vom considera acum un nou ideal al lui A și anume . Acest ideal se numește radicalul jacobson al inelului A. Cum deducem că N(A). Observăm că dacă A este un inel local de ideal maxim m, atunci .
4.1.6. Propoziție: Fie ; atunci .
Demonstație: „” Presupunem că ; atunci , deci există cu . Dar deci , absurd.
„” Presupunem că ; există atunci cu . Deci , de unde deducem că . Rezultă că cu și , adică , absurd.
4.1.7. Lema lui NAKAYAMA: Fie AM un modul finit generat și cu . Dacă , atunci .
Demonstație: Presupunem și fie un sistem minimal de generatori al lui M. Cum , rezultă că astfel încât , deci . Cum , conform lui 3.1.6. rezultă că deci , , adică nu este sistem minimal de generatori, contradicție.
4.1.8. Corolar: Fie AM un modul finit generat, N≤M și . Dacă și , atunci .
Demonstație: Avem . Aplicând Lema lui Nakayama A–modulul finit generat , deducem că , i.e. .
Fie a un ideal arbitrar în A. Notăm: .
se numește radicalul idealului a. dacă este morfismul canonic se observă imediat că (N(A/a)); în particular = N(A). rezultă de asemenea că este un ideal în A.
Vom folosi în continuare notația: . Din 3.1.2. și 3.1.4. rezultă imediat
4.1.9. Propoziție: pentru orice unde este mulțimea elementelor minimale ale mulțimii ordonate .
4.1.10. Propoziție: Fie a și b ideale în A. Au loc afirmațiile:
(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
(5) .
(6) .
(7) pentru orice .
Demonstație: Afirmațiile (1), (2), (3) și (4) rezultă imediat din definiția radicalului unui ideal. Pentru a demonstra (5) este suficient conform lui 3.1.9. să probăm următoarele:
.
Într-adevăr avem: .
Conform lui 1.3.7. , deci:
Incluziunea este evidentă.
6) Conform lui (1) și (2) , deci Fie acum ; atunci pentru un , deci cu și . Așadar și pentru anumiți s,t >0. Rezultă că , deci . În concluzie: .
7) Incluziunea este evidentă; reciproc fie ; atunci pentru un anumit k>0, deci , căci este un ideal prim.
4.1.11. Propoziție: Dacă și sunt două ideale ale lui A astfel încât este finit generat și , atunci pentru un k>0 convenabil.
Demonstrație: Fie un sistem de generatori ai idealului . Cum , rezultă că există s>0 cu pentru orice . Fie și . Atunci y este o sumă finită de elemente de forma: cu ; dar fiecare este o combinație liniară cu coeficienți în A de elementele . Deci este o sumă de termeni, fiecare termen fiind un multiplu de factori, iar fiecare dintre acești factori fiind unul dintre . Printre acești factori cel puțin s corespund unuia și aceluiași indice și deci toate produsele care intervin în scrierea lui aparțin lui . Cu alte cuvinte, .
4.1.12. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian și , există astfel încât . În particular N(A) este un ideal nilpotent (i.e. o anumită putere a lui N(A) este idealul 0).
4.1.13. Corolar: Fie A un inel Noetherian, și . Atunci pentru un anumit .
4.1.14. Corolar: Dacă S este un sistem multiplicativ închis în A, atunci N N(A).
Demonstație: fie N; atunci pentru un , deci există cu . Rezultă că , adică N(A), deci:
N .
Reciproc, dacă N(A), atunci N(A) și , deci pentru un , de unde , adică N.
Definiție: Un inel A se numește redus dacă N(A)=0.
4.1.15. Corolar: Dacă A este un inel redus, atunci pentru orice sistem multiplicativ închis în , este tot un inel redus.
Rezultatul care încheie acest paragraf arată că proprietatea unui inel de a fi redus este o proprietate locală.
4.1.16. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un inel A:
A este inel redus.
este un inel redus pentru orice .
este un inel redus pentru orice .
Demonstație: (1)(2) rezultă din 3.1.14. iar (2)(3) este evidentă.
Probăm acum implicația (3)(1). Avem N = N pentru orice , deci N(A)=0 conform lui 1.2.3.
Exemplu: Fie N(A) și . Să se demonstreze că .
4.2 Ideale primare. Descompunere primară într–un inel
După cum o generalizare a noțiunii de număr prim din este noțiunea de ideal prim, o generalizare a noțiunii de putere a unui număr prim este noțiunea de ideal prim.
După ce se indică o serie de proprietăți generale ale idealelor primare, în paragraful de față se consideră noțiunea de descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) a unui ideal într-un inel. Se demonstrează apoi o Teoremă privind unicitatea radicalilor idealelor primare care apar într-o descompunere primară finită redusă a unui ideal propriu al unui inel , ca și o Teoremă privind unicitatea componentelor primare izolate ale lui .
Definiție: Un ideal al lui A se numește primar dacă îndeplinește următoarele două condiții:
Pentru orice cu rezultă că sau pentru
un anumit .
Definiția unui ideal primar se poate și altfel formula. Reamintim că dacă B este un inel, am notat prim mulțimea divizorilor lui zero din inelul B. Cu această notație rezultă că este un inel primar și N .
Notăm cu Primar(A) mulțimea tuturor idealelor primare din A.
4.2.1. Propoziție:
.
Dacă este un morfism de inele și atunci
.
Dacă sunt două ideale în A, atunci
.
Demonstație:
Avem pentru orice .
Morfismul induce un monomorfism ; dacă
atunci , deci pentru un . Cum și este injectiv deducem că , adică . Așadar , deci este un ideal primar.
Rezultă printr–un raționament analog, observând că .
4.2.2. Propoziție: Dacă , atunci și este cel mai mic ideal prim care include pe .
Demonstație: Fie ; cum rezultă că .
Fie acum cu , deci pentru un . Deducem că sau pentru un , adică sau , deci .
Dacă acum și , atunci .
Fie ; se numește ideal orice ideal primar cu . Vom nota prin mulțimea tuturor idealelor ale inelului A.
4.2.3. Propoziție: Mulțimea este închisă la intersecții finite, i.e. pentru orice familie finită de ideale , .
Demonstrație: Conform lui 1.10. (5), avem. Fie și cu și . Există atunci astfel încât , deci deoarece .
4.2.4. Propoziție: Fie cu . Atunci . În particular, pentru orice și orice , este .
Demonstrație: este clar că avem . Notăm și fie cu și . Atunci , de unde rezultă că există și cu . Dar , deci există cu . Deci cu , conform binomului lui Newton. Rezultă că căci și . Așadar , deci .
Exemplu: În inelul idealele primare sunt exact și cu prim, . În adevar este ușor de probat că aceste ideale sunt primare și că singurele ideale ale lui având radicalul ideal prim sunt cele de mai sus. În general, dacă A este un inel principal și , atunci sau element prim, și cu .
Definiții:
Se numește descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) a unui ideal din inelul A o familie nevidă (respectiv o familie nevidă finită) de ideale primare ale lui A astfel încât .
Inelul A se numește inel cu descompunere primară (respectiv inel Laskerian) dacă orice ideal al lui A, are o descompunere primară (respectiv o descompunere primară finită ).
O descompuner primară (finită sau nu) se numește redusă dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții:
pentru orice .
pentru orice .
Observăm că dacă idealul al lui A admite o descompunere primară finită , atunci grupând termenii intersecției în mod convenabil se obține conform lui 2.3. o descompunere primară finită a lui care îndeplinește condiția (i) de mai sus. Din această descompunere primară se obține una care îndplinește în plus și condiția (ii) eliminând pur și simplu idealele primare pentru care . Așadar din orice descompunere primară finită a unui ideal se poate obține o descompunere primară finită redusă a lui .
Pentru a demonstra o anumită teoremă de unicitate a descompunerilor primare finite avem nevoie de câteva pregătiri.
Fie și două ideale ale lui A. Câtul lui prin este mulțimea: , care este un ideal. Dacă , vom nota în locul lui .
Se probează fără nici un fel de dificultate următoarele proprietăți:
;
;
;
;
.
4.2.5. Lemă: Fie și . Au loc următoarele afirmații:
;
;
.
Demonstație: Afirmația (1) este evidentă.
(2) Dacă atunci (căci ), de unde . Trecând la radicali, obținem . Fie cu și , atunci , deci de unde . Așadar .
(3) Incluziunea este evidentă. Reciproc fie , atunci și , deci , adică .
4.2.6. Teoremă: Fie un ideal A care admite o descompunere primară finită. Dacă este o descompunere primară redusă a lui , atunci:
.
Prin urmare idealele prime nu depind de alegerea unei descompuneri primară redusă a lui , ele depinzând doar de idealul .
Demonstație: Notăm pentru orice . Dacă x este un element arbitrar din A, atunci avem:
,
deci (*)
conform lui 3.2.5., unde .
Presupunem că ; atunci , deci conform lui 1.3.7., rezultă că cu . Cum însă deducem că . Așadar .
Reciproc, pentru orice avem , căci este o descompunere primară redusă, deci există cu . Rezultă că și atunci, din (*) deducem .
Dacă idealul al lui A are o descompunere primară finită vom nota:
unde este o descompunere primară redusă a lui A. Idealele prime , despre care am observat că nu depind de alegerea descompunerii primară reduse a lui se numesc ideale prime asociate lui . Este clar că este un ideal primar are un singur element.
Observație: Pentru orice , unde este clasa lui x module , deci . Dacă E este un A–modul și , atunci este un ideal al lui A numit anulatorul lui z.
Așadar .
Elementele minimale ale lui se numesc ideale primare minimale (sau izolate) asociate lui ; celelalte ideale prime asociate se numesc ideale prime scufundate asociate lui .
4.2.7. Propoziție: Fie un ideal al lui A care admite o descompunere primară finită. Atunci orice (i.e. și ) include un ideal prim minimal asociat lui . Deci mulțimea tuturor idealelor prime minimale asociate lui coincide cu mulțimea tuturor elementelor minimale ale lui . În particular, dacă idealului nul al lui A admite o descompunere primară finită, atunci este o mulțime finită.
Demonstrație: Fie o descompunere primară finită redusă a lui ; dacă atunci , deci , de unde pentru un și atunci va include singur un element minimal din . Se observă că orice element al lui aparține lui .
Exemplu: Idealul din inelul admite două descompuneri primare reduse distincte:
după cum se verifică ușor. Avem .
Așadar este un ideal prim asociat minimal al lui , pe când este un ideal prim asociat scufundat al lui .
Vom studia în continuare comportarea descompunerilor primare finite la localizare.
4.2.8. Propoziție: Fie un sistem multiplicativ închis în și . Atunci:
Dacă , atunci funcția stabilește o bijecție
între și .
Funcția stabilește de asemenea o bijecție între
și .
Demonstrație:
Dacă atunci , deci pentru un .
Reciproc, dacă , atunci căci . Deci . Pe de altă parte, .
Conform lui (1), avem . Dacă
, atunci , deci . Dacă și , atunci pentru un , deci deoarece . Așadar și atunci , conform lui 1.3.4. deci . Reciproc, dacă , atunci este clar că , deci conform lui (1).
Vom demonstra acum că . Înainte de toate avem: conform unei variante a lui 3.1.14. Fie cu și . Atunci cu și , deci există cu , de unde . Cum rezultă că , deci căci , de unde , adică .
Fie , atunci cu .
Conform lui 3.2.1., .Avem ; cum și , din 1.3.4. deducem că , așadar conform lui (2) și 1.3.4. rezultă că afirmația (3) este adevărată.
Rezultă din (3).
4.2.9. Propoziție: Fie S un sistem multiplicativ închis în A și un
ideal al lui A care admite o descompunere primară finită. Fie o descompunere primară redusă a lui și pentru orice . Printr–o renumerotare presupunem că pentru orice și pentru orice , unde m este un număr natural, . Atunci:
și
și în plus, descompunerile de mai sus sunt descompuneri primare reduse.
Demonstrație: Conform lui I.2.2. și III.2.8. avem
,
căci pentru ; în plus este un ideal .
Cum pentru orice , cu și , avem conform lui I.3.4.
Dacă am avea pentru un , , ar rezulta (trecând la idealele contractate) că , contradicție. Așadar , este o intersecție primară redusă. Prin contracție, descompunerea primară de mai sus a lui dă naștere la
care de asemenea este o descompunere primară redusă.
Fie acum un ideal al lui A, care admite o descompunere primară finită. O submulțime nevidă a lui se zice închisă la generizare (sau izolată) dacă pentru orice și pentru orice cu rezultă că . Să considerăm o asemenea mulțime izolată și să punem . Este clar că S este un sistem multiplicativ închis al lui A. Pentru un ideal avem: . Într–adevăr și conform Lemei de evitare I.3.8.
4.2.10. Teoremă: Fie un ideal al lui A admițând o descompunere primară finită. Fie o descompunere primară redusă a lui și pentru orice . Dacă este o mulțime izolată de ideale prime asociate lui atunci idealul nu depinde de alegerea descompunerii primare a lui . În particular, componentele primare izolate ale lui (i.e. idealele primare pentru care este minimal în ) sunt unic determinate de .
Demonstrație: Fie ; atunci pentru orice . Conform celor de mai sus, dacă , atunci , deci conform lui 3.2.9.; deci depinde numai de , deoarece idealele depind numai de .
Observație: Componentele primare scufundate ale unui ideal care admite o descompunere primară finită depind în general de alegerea descompunerii. Mai mult, dacă A este un inel Noertherian, componentele primare scufundate ale unui ideal se pot alege într–o infinitate de moduri.
4.3 Descompunere primara în inele noetheriene
Scopul principal al acestui subcapitol este de a demonstra Teorema LASKER–NOETHER, orice inel Noetherian A, este Laskerian i.e. orice ideal al lui A, are o descompunere primară finită. În acest caz, are o descriere simplă, ceea ce sugerează definirea Asasinului pentru orice și odată cu aceasta considerarea descompunerilor primare într–un modul.
Ca aplicație a Teoremei LASKER–NOETHER se demonstrează Teorema de intersecție a lui KRULL.
Definiție: Un ideal al lui A se zice ireductibil dacă și pentru orice ideale și în A cu rezultă sau .
Este clar că oice ideal prim al lui A este ireductibil, căci deci sau , adică sau .
Din definiție rezultă de asemenea că idealul al lui A este ireductibil idealul din este ireductibil.
4.3.1. Lemă: Într–un inel Noetherian A orice ideal , este o intersecție finită de ideale ireductibile.
Demonstrație: Presupunem prin absurd că există ideale proprii în A care nu se pot scrie ca intersecție finită de ideale ireductibile. Inelul A fiind Noetherian mulțimea nevidă I a tuturor idealelor , care nu se pot scrie ca intersecție finită de ideale ireductibile are un element maximal . Rezultă că idealul nu este ireductibil, deci există , cu
, ,
Din maximalitatea lui în I rezultă că și , deci atât cât și se pot scrie ca intersecție finită de ideale ireductibile, de unde rezultă că și are aceeași proprietate, adică , contradicție.
4.3.2. Lemă: Dacă A este un inel Noetherian, atunci orice ideal ireductibil al lui A este primar.
Demonstrație: Fie un ideal al lui A, . Am vazut că un ideal ireductibil (respectiv primar) al lui este un ideal ireductibil (respectiv primar) al inelului factor . Înlocuind deci inelul A cu inelul , care este tot Noetherian, rezultă că este suficient să demonstrăm următorul rezultat: dacă este un ideal ireductibil în A, atunci este primar. Fie deci cu și . Lanțul crescător de ideale ale lui A este staționar căci A este Noetherian. Există deci astfel încât . De aici rezultă că . Într–adevăr, dacă , atunci (caci ) și pentru un . Deci , de unde , i.e. . Așadar este un ideal primar.
Din cele două leme de mai sus rezultă imediat.
4.3.3. Teorema LASKER–NOETHER: Orice inel Noetherian este un inel Laskerian.
4.3.4. Corolar: Pentru orice inel noetherian A, este o mulțime finită.
Demonstrație: Se aplică 3.2.7.
Observații: (1) Un ideal primar al inelului Noetherian nu este neapărat ireductibil; într-adevăr, dacă K este un corp și , atunci , deci este un ideal primar al lui A conform 3.2.4. Dar nu este ireductibil, căci și , .
Un inel Laskerian nu este neapărat Noetherian.
4.3.5. Propoziție: Fie A un inel Noetherian și un ideal al lui A, atunci: .
Demonstrație: Trecând de la A la , putem presupune . Fie o descompunere primară redusă a lui 0 și fie pentru orice . Pentru fiecare fie . Deoarece descompunerea primară este redusă, rezultă că . Din demonstrația lui 3.2.6. deducem că pentru orice , , de unde .
Cum este , există cu conform lui 3.1.12., deci . Fie cel mai mic număr natural pentru care .
Există atunci , . Avem , deci . Dar și , deci conform celor demonstrate mai sus, de unde deducem că .
Așadar: .
Reciproc, dacă , atunci , deci conform lui 3.2.6.
În virtutea unei observații făcute înainte de enunțul lui 3.2.7., deducem că: . Mulțimea din partea dreaptă a egalității de mai sus se notează și se numește „Asasinul” .
În paragraful următor se va defini noțiunea de „Asasin” al unui arbitrar.
Ca aplicație a Teoremei de descompunere LASKER–NOETHER vom demonstra în încheierea acestui paragraf un rezultat celebru, datorat lui KRULL. Mai întâi, probăm următoarea
4.3.6. Lemă: Fie A un inel Noetherian, și . Atunci .
Demonstrație: Avem evident . Dacă , nu avem nimic de demonstrat. Dacă , atunci , deci admite o descompunere primară: , cu , . Fie cu . Dacă fie cu , atunci . Dacă fie . Cum avem , deci căci este . În concluzie, .
4.3.7. Teorema de intersecție a lui KRULL: Dacă A este un inel Noetherian și , atunci .
Demonstrație: Conform Lemei precedente,, deci conform Lemei lui Nakayama.
4.3.8. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian local de ideal maxim , atunci .
4.3.9. Corolar: Fie A un domeniu de integritate Noetherian și . Atunci .
Demonstrație: Fie cu . Atunci . A fiind domeniu, morfismul canonic este injectiv, deci .
4.3.10. Observație: O formă mai tare a Teoremei de intersecție a lui KRULL este următoarea:
„Fie un ideal Noetherian A. Atunci pentru orice , (i.e. nu este divizor al lui zero în A)”.
4.4 Asasinul și suportul unui modul
Noțiunea de „Asasin” al unui , introdusă de N. Bourbaki în anul 1961 în Capitolul IV al monografiei sale „ALGÈBRE COMUTATIVE” s-a dovedit a fi foarte utilă și simplificatoare în Algebra Comutativă.
În acest subcapitol vom stabili câteva din prpoprietățile de bază ale lui „Ass”. Alături de acesta vom prezenta și o altă noțiune înrudită și anume noțiunea „Assf” de „Asasin slab”, care pentru cazul inelelor Noetheriene coincide cu noțiunea de „Ass”.
După ce vom indica câteva din proprietățile elementare ale topologiei lui ZARISKI pe mulțimea a idealelor prime ale unui inel A și vom sugera cum anume se pot traduce în limbaj geometric noțiunele și rezultatele de Algebră Comutativă, vom defini noțiunea de „Suport” al lui modul. În continuare vom prezenta legătura între Asasinul și Suportul unui modul finit generat peste un inel Noetherian, după care vom particulariza aceste considerații la cazul modulelor de lungime finită.
Ultima Propoziția a paragrafului precedent conduce în mod natural la următoarea
Definiție: Se numește „Asasinul” mulțimea:
Adeseori vom nota Asasinul lui M mai simplu, prin .Observăm că un ideal prim al lui A se găsește în conține un submodul izomorf cu . Într-adevăr, dacă , atunci și unde este clasa lui modolo .
4.4.1. Propoziție: Pentru orice și pentru orice submodul nenul al are loc .
Demonstrație: Fie , ; atunci cu . Avem căci ; reciproc, dacă atunci , deci și cum , rezultă că . În concluzie, pentru orice , avem , adică .
4.4.2. Propoziție: Fie . Presupunem că există , astfel încât este un element maximal în mulțimea . Atunci .
Demonstrație: Fie cu , unde . Presupunem că ; atunci , deci . Din maximalitatea lui deducem că . Dar , deci , adică (căci evident ) și astfel .
4.4.3. Corolar: Fie A un inel Noetherian și . Atunci .
Demonstrație: Dacă atunci este clar că (afirmație adevărată, pentru orice inel A). Dacă , atunci este o mulțime nevidă de ideale ale lui M, care admite un element maximal deoarece A un inel Noetherian. Se aplică în continuare 3.4.2.
Observație: Corolarul precedent nu este adevărat dacă A nu este inel Noetherian.
Pentru inelele nu neapărat Noetheriene are loc o variantă a lui 3.4.3. dacă în locul „Asasinului” al se consideră așa numitul „Asasin slab” („f” de la cuvântul francez „faible” = slab):
cu elment minimal în . Reamintim că dacă , atunci am notat prin mulțimea .
Dacă , atunci pentru orice , , deci conform lui 3.1.3. inelul are ideale prime minimale, cu alte cuvinte are elemente minimale, deci . Reciproc, dacă atunci este clar că . Așadar .
În general, , dar pentru inel Noetheriene are loc
4.4.5. Propoziție: Dacă A este un inel Noetherian și , atunci .
Demonstrație: Evident, putem presupune că . Dacă atunci cu , deci este un element minimal în , cu alte cuvinte .
Presupunem acum că ; există atunci , astfel încât este un element minimal în . Considerăm mulțimea: de ideale ale lui A. Cum rezultă că , deci A fiind un inel Noetherian, deducem că are elemente maximale. Fie un asemenea element maximal. Vom arăta ca , de unde, ținând cont că este element minimal în , obținem că , adică . fie cu și . Atunci (căci ), deci conform condiției de maximalitate a lui în . Există deci cu și atunci . Dar , deci , deoarece:
.
Cum , deducem că . Din maximalitatea lui în rezultă că . Așadar , deci , ceea ce termină demonstrația.
Dacă , un element se zice divizor al lui zero în M (sau pe M) dacă există , cu ; elementul a se zice non-divizor al lui zero în M sau încă element M-regulat dacă din , rezultă .
Dacă notăm prin endomorfismul lui M de multiplicare cu , numit încă și omotetia lui M definită de a (i.e. ), atunci este clar că a este non-divizor al lui zero în este injectiv.
Vom folosi în continuare pentru notația:
Adeseori vom nota pe mai simplu, prin .
4.4.6. Propoziție: Fie A un inel Noetherian și .
Demonstrație: Presupunem că . Dacă , atunci pentru un , cu . Dar , deci conform lui 3.4.3., avem . Fie ; atunci cu . Cum rezultă că , deci , cu alte cuvinte . Este însă clar că , deci .
Observație: Pentru un inel A nu neapărat Noetherian și un are loc o afirmație similară, înlocuind pe cu : .
4.4.7. Propoziție:
Dacă este reuniunea unei familii de submodule ale
sale, atunci .
Dacă M și N sunt două izomorfe, atunci
Dacă este un șir exact de
module,.
Dacă este o familie de , atunci
.
Demonstrație: (1) rezultă direct din definiția lui .
Fie un izomorfism al lui M pe N. Este clar că
pentru orice , deci .
Conform lui (2) putem presupune că și .
Incluziunea este clară. Fie acum ; există atunci cu , deci . Notăm .
Dacă , atunci
, deci este izomorfcu un submodul al lui , cu alte cuvinte .
Dacă , atunci pentri orice , avem conform demonstrației lui 3.4.1., deci .
Fie . Pentru fiecare submulțime finită L a lui J să
notăm , unde .
Este clar că și că , unde (J) este mulțimea părților finite ale lui J. Pe de altă parte este clar că . Ținând cont de punctul (1) și de punctul (2) rezultă că este suficient să demonstrăm afirmația de la punctul (4) doar pentru cazul când J este o mulțime finită. Folosind un raționament de inducție după cardinalul lui J deducem că ne putem reduce la cazul când cardinalul lui J este 2, deci . În acest caz, avem șirul exact de :
,
de unde, conform punctului (3) deducem:
.
Cum avem și , rezultă că:
.
4.4.8. Corolar: Fie M un și o familie finită de submodule ale lui M. Dacă , atunci: .
Demonstrație: Considerăm morfismul canonic:
unde: este pentru fiecare epimorfismul canonic. Este clar că , deci este un morfism. Se aplică acum 3.4.6.
Vom studia în continuare comportarea lui „Ass” la luarea fracțiilor.
4.4.9. Propoziție: Fie S un sistem multiplicativ închis în A și
.
Atunci:
Aplicația definită prin
este injectivă.
Dacă este finit generată și rezultă că
.
Demonstrație: (1) Reamintim că aplicația definită prin este o bijecție. Dacă , atunci există un șir exact de .
de unde rezultă șirul exact de
.
Dar și , deci . Afirmația privind injectivitatea funcției din enunț este clară deoarece funcția , este bijectivă.
Presupunem acum că și .
Atunci cu . Avem pentru orice , deci cu . Fie . Atunci pentru orice , deci. Reciproc, fie cu ; atunci , deci , adică . Așadar , deci.
4.4.10. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian și M este un , atunci aplicația stabilește o bijecție între și , S fiind un sistem multiplicativ închis în A și
.
Vom arăta că mulțimea a tuturor idealelor unui inel comutativ are în mod natural o structură de spațiu topologic și vom prezenta câteva proprietăți ale acestuia.
Am folosit notația: pentru orice ideal al lui A. Vom extinde notația de mai sus pentru orice submulțime E a lui A: . Dacă este idealul generat de E, este clar că , iar dacă vom nota în locul lui .
4.4.11. Propoziție: Aplicația de la mulțimea a părților lui A la mulțimea a părților lui are următoarele proprietăți:
unde , iar și sunt ideale în A.
Demonstrație: (1), (2), (3) și (4) sunt evidente, iar (5) a fost probat în cursul demonstrației 3.1.10.
Avem și reciproc, dacă atunci
presupunând rezultă că există cu , deci ,
absurd.
Conform lui 3.1.10.(7), dacă atunci,
deci .
4.4.12. Propoziție: Mulțimea a idealelor prime din A are o structură de spațiu topologic, în care mulțimile închise sunt exact mulțimile de forma , unde E parcurge mulțimea a părților lui A. Această topologie se numește topologie spectrală sau topologiea lui ZARISKI pe spațiul .
Demonstrație: Propoziția rezultă din proprietățile (2), (3), (4) și (5) de la 3.4.10.
Dacă este categoria inelelor comutative cu element unitate, iar este categoria spațiilor topologice, atunci:
este un functor contravariant, unde este definit prin: pentru orice . Pentru aceasta trebuie să demonstrăm că este o funcție continuă. Într-adevăr, avem: , adică întoarce mulțimi închise în mulțimi închise. Este apoi clar că dacă: și sunt morfisme de inele, atunci: .
Vom prezenta în continuare cu titlu informativ o teoremă care permite traducerea în limbaj geometric a principalelor noțiuni și rezultate de algebră comutativă. Pe spațiul topologic se poate defini în mod canonic un fascicol de inele având următoarea proprietate: fibra lui într-un punct oarecare este localizatul al lui A în idealul prim . În acest fel, fiecărui inel comutativ cu element unitate A i se asociază un spațiu inelat .
Definiție: O schemă afină este un spațiu inelat ( este un spațiu topologic, iar este un fascicol de inele pe ) izomorf (în categoria spațiilor inelate) cu un spațiu inelat de forma , unde A este un inel. Dacă este categoria schemelor afine atunci are loc următorul rezultat:
4.4.13. Teoremă (GROTHENDIEK [1960]): Functorul contravariant
de la la este o dualitate de categorii (categoria este echivalentă cu duala categoriei ).
Prezentăm câteva proprietăți ale spațiului topologic .
Dacă , vom folosi următoarea notație:
deci se poate considera următoarea funcție:
,
unde L(A) desemnează ca de obicei laticea idealelor lui A. Este clar că:
pentru orice familie de mulțimi ale lui .
4.4.14. Propoziție: Fie A un inel, și . Atunci:
este o mulțime închisă în , iar este un ideal
redical al lui A (un ideal al lui A se zice radical dacă ).
, iar , unde este închiderea lui în
spațiul topologic .
Aplicațiile și definesc bijecții descrescătoare inverse una
alteia între mulțimile închise ale lui și mulțimea idealelor redicale
ale lui A.
Demonstrație: (1) este o mulțime închisă în conform definiției topologiei spectrale.
Avem conform lui 3.1.9.:
Dar
deci căci orice are proprietatea că , deci participă la idealele prime care dau expresia lui ca intersecție de ideale prime.
Avem: .
Presupunem acum că , unde , deci pentru orice avem , de unde și atunci . Pe de altă parte, , deci este cea mai mică submulțime închisă a lui care include pe Y, deci .
Dacă ,atunci și dacă Y este o submulțime
închisă a lui , atunci , conform lui (2), de unde (3).
4.4.15. Corolar: Pentru orice punct al spațiul topologic (pentru orice ideal prim al lui A) închiderea a mulțimii este . Pentru ca mulțimea să fie închisă este necesar și suficient ca .
Demonstrație: Avem .
Am folosit pentru orice notația în locul lui .
Pentru orice vom nota: .
Este clar că este un deschis al lui , fiind complementara mulțimii închise . Evident, .
Mulțimile deschise ale lui de forma cu se numesc mulțimi deschise principale.
Dacă este un ideal al lui A, cum . Conform relaților lui DE MORGAN deducem: , cu alte cuvinte orice mulțime deschisă a lui este o reuniune de mulțimi deschise principale. Așadar familia este o bază de deschiși pentru topologia lui ZARISKI pe .
4.4.16. Propoziție: Spațiul topologic este quasi–compact.
Demonstrație: Cum este o bază a topologiei lui este suficient să demonstrăm că pentru orice familie de elemente din A pentru care: există o subfamilie finită pentru care . Avem: , deci , de unde . Există atunci și astfel încât: , de unde rezultă că și atunci rezultă că: .
Definiție: Se numește suport al mulțimea tuturor idealelor prime ale lui A pentru care ; această mulțime se notează prin sau mai simplu prin .
Rezultă că .
Observație: Este clar că , căci dacă inelul A este nenul, atunci pentru orice . Mai general, pentru orice ideal al lui A, are loc: . Într-adevăr, 4.4.17. Propoziție: (1) Dacă este un șir exact de , atunci: .
În particular cele două izomorfe au suporturile egale.
Dacă este suma unei familii de submodule ,
atunci: .
Demonstrație: (1) Se deduce că pentru orice avem șirul exact de :
,
deci și ,
adică: și
ceea ce demonstrează egalitatea din enunț.
Cum , rezultă că pentru orice
. Într-adevăr, mai general, pentru orice sistem multiplicativ închis
S al lui A are loc egalitatea: , egalitate care se demonstrează astfel: orice este o sumă finită , cu , deci problema se reduce la cazul când I este o mulțime finită.
Rezultă că cu de unde egalitatea din enunț.
4.4.18. corolar: Dacă este o familie de generatori pentru , atunci: , unde pentru fiecare .
Demonstrație: Cum , conform Propoziției precedente deducem că: . Dar , deci , conform unei observații anterioare lui 3.4.15., de unde rezultă că: .
4.4.19. Propoziție: Fie M un finit generat și . Atunci , deci este o submulțime închisă a spațiului topologic .
Demonstrație: Reamintim că: .
Fie un sistem de generatori ai lui M. Conform lui 3.4.16. , unde . Dar este clar că: , deci , de unde: .
În continuare vom prezenta legătura între Asasinul și Suportul unui modul.
4.4.20. Propoziție: dacă M este un , atunci au loc afirmațiile:
pentru orice .
Dacă A este un inel Noetherian, atunci, reciproc, pentru orice
există astfel încât , cu alte cuvinte .
Demonstrație: (1) Fie , deci și . Atunci , deci conform lui 3.4.8. (1) , unde , adică , deci , de unde .
Cum este inel Noetherian și (căci ),
rezultă conform lui 3.4.3. că , deci cu
, cu .
Observație: În cazul când inelul A nu este neapărat Noetherian pentru orice are loc egalitatea analoagă: .
4.4.21. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian, atunci pentru orice are loc incluziunea: și în plus cele două mulțimi de ideale prime au aceleași elemente minimale.
4.4.22. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian atunci: .
Demonstrație: Avem și conform lui 3.4.19. și au aceleași elemente minimale. Dar mulțimea elementelor minimale din este și am văzut la 3.1.4. că , deci .
Încheiem acest subcapitol considerând cazul particular al modulelor finit generate peste un inel Noetherian A.
4.4.23. Propoziție: Fie A un inel Noetherian și un finit generat. Există atunci un lanț de submodule ale lui M.
astfel încât cu , pentru orice . În plus, , iar cele trei mulțimi au aceleași elemente minimale care coincid cu elementele minimale ale lui .
Demonstrație: Fie mulțimea tuturor submodulelor lui M care au proprietatea că posedă un lanș de submodule ca în enunț. Avem căci , deci există , cu . Atunci , căci posedă lanțul ca în enunț.
Fie un element maximal al lui , posibil căci M este un Noetherian. Dacă , atunci , deci conform lui 3.4.3. deci există cu și, unde . Rezultă, conform definiției că , căci dacă
este un lanț al lui N în enunț, un lanț pentru cu aceleași proprietăți este:
.
Dar și , ceea ce contrazice maximalitatea lui N. Așadar .
Fie deci un lanț de submodule în M cu pentru orice , cu .
Prin aplicarea repetată a lui 3.4.6. (3), găsim:
Pentru orice , avem:
conform lui 3.4.15., deci: .
Cum și au aceleași elemente minimale (conform lui 3.4.19.) și cum (conform lui 3.4.17.), rezultă că demonstrația Propoziției este completă.
4.4.24. Corolar: Dacă este un modul finit generat peste inelul Noetherian A, atunci este o mulțime finită.
Deducem de asemenea din 3.4.21. că pentru orice inel Noetherian A, este o mulțime finită, rezultat stabilit la 3.3.4. pe altă cale.
Observație: În enunțul lui 3.4.21. este posibil ca . De exemplu, fie A un domeniu de integritate Noetherian care nu este corp și . Atunci , dar pentru orice ideal prim al lui A, se poate găsi un lanț de ideale: cu proprietățile din enunțul lui 3.4.21., căci este un finit generat. Atunci lanțul de ideale: are aceleași proprietăți, dar .
În cazul modulelor de lungime finită peste un inel Noetherian, relația între „Ass” și „Supp” este mult mai stânsă.
4.4.25. Propoziție: fie M un modul finit generat peste inelul Noetherian A. Următoarele afirmații sunt echivalente:
M este un modul de lungime finită.
.
.
Demonstrație: Conform lui 3.4.21., M admite un lanț de submodule:
(*)
cu proprietatea că , pentru orice .
(1) (2) Dacă M este de lungime finită, atunci și este de lungime finită, deci este un de lungime finită pentru orice . Rezultă evident că este un inel Artinian care în plus este domeniu de integritate. Un asemenea inel este însă corp (conform lui 3.6.1.).
Deci și atunci , deducem că: .
(2) (3) Conform lui 3.4.19.
(3) (1) Avem . Deci (*) este chiar un șir de compoziție al lui M, deoarece sunt simple pentru orice .
4.4.26. Corolar: Pentru un modul de lungime finită M peste un inel Noetherian are loc:
Demonstrație: Într-adevăr, orice element din este în acest caz minimal în ; se aplică apoi din nou 3.4.19.
4.5. Descompunerea primară într–un modul
Scopul acestui subcapitol este acela de a extinde considerațiile din subcapitolele 3.2. și 3.3. privind noțiunile de ideal primar și de descompunere primară, precum și Teorema LARSKEN–NOETHER de la inele la module. Evident că se poate inversa ordinea, prezentând la început cazul modulelor, cazul inelelor fiind apoi obținut printr–o banală particularizare.
S–a expus teoria descompunerii primare în module ca o extindere a celeia în inele, deoarece aceasta a fost și calea naturală în care s–au degajat și au evoluat de–a lungul anilor noțiunile respective, întâi la inele și apoi la module. În acest fel definițiile noțiunilor de rădăcină a unui submodul într–un modul, de submodul primar, de descompunere primară într–un modul rezultă ca o prelungire naturală a definițiilor corespunzătoare în cazul inelelor.
În paragraful de față prezentăm întâi noțiunea de submodul al unui modul în cazul unui inel arbitrar A, folosind noțiunea de rădăcină a unui submodul într–un modul, sau echivalent, noțiunea de „Ass”, după care, prin particularizare la cazul când A este inel Noetherian se obține, definiția curentă a unui submodul primar. Teorema LASKER–NOETHER pentru modulele finit generate peste inelel Noetheriene este apoi obținută folosind intensiv proprietățile lui „Ass” stabilite în subcapitolul precedent.
Fie și . Se numește rădăcină a lui N în M, mulțimea: .
Este clar că , și că . În plus, .
Pentru orice și orice vom nota prin omotetic lui E definită de a, i.e.:
.
Dacă , atunci se zice local nilpotent (respectiv nilpotent) dacă a.î. (respectiv, dacă a.î. ). Este clar că orice endomorfism nilpotent este local nilpotent.
Cu această definiție rezultă că:
.
În cazul și , este exact , conform lemei de mai jos.
4.5.1.Lemă: Fie un modul finit generat și , atunci este nilpotent este local nilpotent.
Demonstrație: Fie a.î. . Dacă este local nilpotent, există a.î. pentru orice . Fie . Atunci pentru orice , deci pentru orice , i.e. este nilpotent.
Putem degaja acum, prin analogie cu definiția noțiunii de ideal primar, noțiunea de submodul primar al unui modul.
Definiție: Un submodul al unui se zice primar dacă:
.
Pentru orice și cu rezultă că sau
.
Un se zice coprimar dacă submodulul este primar în .
Ținând cont că rezultă că este un submodul primar în este un modul coprimar.
Reamintim următoarea notație pentru un , introdusă exact înainte de 3.4.5.:
.
Cu notația introdusă la începutul acestui paragraf, avem:
.
Putem acum reformula noțiunea de modul coprimar și în consecință și pe cea de submodul primar astfel:
este coprimar și .
este submodulul primar în și .
De aici deducem imediat:
4.5.2. Propoziție: Fie , unde . Atunci este submodul primar în pentru orice , omotetia este injectivă sau local nilpotentă.
Are loc un rezultat similar cu cel de la 3.2.2.
4.5.3. Propoziție: Dacă este submodul primar în , atunci este un ideal prim.
Demonstrație: Cum , avem . Fie acum cu ; atunci , und am notat pentru prescurtare , deci . Presupunem că . Atunci , deci căci este submodul primar în , deci . Așadar .
Dacă , se numește al unui modul orice submodul primar al lui pentru care .
4.5.4. Lemă: Dacă este un , atunci:
.
Demonstrație: Fie ; atunci pentru orice există cu și atunci pentru orice , deci pentru orice avem .
Reciproc, presupunem că . Fie . Atunci .
Dar elementele minimale în sunt elemente ale lui , deci ; așadar cu , i.e. . În concluzie .
Rezultatul care urmează dă o caracterizare foarte simplă, în limbaj de „Assf” a modulelor coprimare.
4.5.5. Propoziție: Un este coprimar este constituit dintr-un singur element.
Demonstrație: Presupunem că P este coprimar. Atunci 0 esste un submodul primar al lui P, mai precis dacă . Conform unui rezultat stabilit înainte de 3.4.4., avem . Vom demonstra .
Fie ; conform Lemei precedente . Cum rezultă că există cu element minimal în . Dacă am avea , atunci ar rezulta , deci ar exista cu , deci , și , ceea ce ar contrazice faptul că 0 este submodul primar în P. Așadar , deci .
Reciproc, să presupunem că . Atunci conform Lemei precedente. Arătăm că 0 este un submodul primar în P; fie și cu . Dacă , atunci și fie element minimal în . Rezultă conform definiției că , deci , ceea ce arată că 0 este submodul în P.
4.5.6. Corolar: Un submodul al unui este primar în este constituit dintr-un singur element. În acest caz, dacă , atunci .
Odată precizată noțiunea de submodul primar al unui modul, este clar că noțiunea de descompunere primară a unui ideal se poate extinde la cazul modulelor.
Definiții: Fie M un și . Se numește descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) a lui N în M o familie nevidă (respectiv familie nevidă finită) de module ale lui M, primare în M, astfel încât: .
Modulul M se numește modul cu descompunere primară (respectiv Laskerian) dacă orice submodul N al lui M, are o descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) în M.
O descompunere primară (finită sau nu) a lui N în M se zice redusă dacă îndeplinește următoarele două condiții:
pentru orice
pentru orice .
Ca și în cazul inelelor, dacă are o descompunere primară finită, atunci din această descompunere primară se poate deduce o descompunere primară finită și redusă.
Scopul este de a demonstra că orice modul finit generat peste un inel Noetherian este un modul Laskerian. Pentru aceasta avem nevoie de următorul rezultat general.
4.5.7. Propoziție: Fie și . Atunci există astfel încât astfel încât .
Demonstrație: Fie . Cum , deducem că . Conform lui 3.4.6.(1) este o submulțime inductiv ordonată față de „”, deci în virtutea Lemei lui Zorn, are un element maximal N. Atunci .
Arătăm că ; pentru aceasta, fie , atunci , unde , deci . Notăm . Din șirul de : , deducem conform lui 3.4.6.(3):
.
Cum N este element maximal în , avem deci . Așadar:
Cum , deducem obligatoriu:
.
În continuare inelul A va fi presupus Noetherian. În acest caz, pentru orice are loc: , conform lui 3.4.4., deci particularizând rezultatele anterioare la cazul A = inel Noetherian, obținem
4.5.8. Propoziție: Fie A un inel Noetherian, M un și . Următoarele afirmații sunt echivalente:
.
N este un submodul în M.
Pentru orice , omotetia este fie injectivă, fie local
nilpotentă.
Dacă una din aceste condiții este îndeplinită, atunci:
.
4.5.9. Teoremă: Fie A un inel Noetherian și . Atunci pentru orice , și orice există un submodul al lui M, în M astfel încât:
.
Cu alte cuvinte, orice modul peste un inel Noetherian este un modul cu descompunere primară.
Demonstrație: Trecând de la M la , putem presupune că . Conform lui 3.5.6., pentru fiecare , există a.î.:
Să notăm că deoarece , avem (vezi 3.4.3.). Conform lui 3.5.7., este un submodul al lui M.
Fie ; atunci pentru orice , deci
,
deci conform lui 3.4.3. deducem că și Teorema este astfel demonstrată.
4.5.10. Corolar: Orice finit generat M peste un inel Noetherian A este Laskerian.
Demonstație: Dacă , , este o mulțime finită conform lui 3.4.2.1. se aplică în continuare Teorema precedentă.
Observație: Se poate demonstra un rezultat mai tare: orice Noetherian, A fiind un inel nu neapărat Noetherian, este Laskerian.
Rezultatul care urmează stabilește o proprietate de unicitate a descompunerilor primare într-un modul, similară cu cea care are loc pentru descompunerile primare într-un inel (vezi 3.2.6.).
4.5.11. Propoziție: Fie A un inel Noetherian, M un și , , având o descompunere primară finită în M:
.
Fie pentru fiecare .
Atunci:
.
Descompunerea primară a lui N în M este redusă
pentru orice din și .
Dacă este o descompunere primară redusă a lui
N în M, atunci: , pentru orice .
Demonstrație: (i) Rezultă din 3.4.7.
Presupunem că este o descompunere primară redusă.
Pentru fiecare notăm: . Atunci: și , deci și deci , de unde . Dar pentru orice , adică .
Reciproc, să presupunem că pentru orice din și . Dacă am avea pentru un anumit , atunci ar rezulta , deci: , adică , absurd. Așadar, descompunerea primară din enunț este redusă.
Fie . Avem: , deci:
conform lui 3.4.7. Dar , deci și atunci .
Pe de altă parte, din șirul exact de :
deducem:
deci neapărat: .
4.5.12. Corolar: Fie A un inel Noetherian, M un finit generat și , . Atunci o descompunere primară a lui N ca în 3.5.8.:
este redusă.
Dacă este o descompunere primară redusă a lui N în M, atunci:
.
BIBLIOGRAFIE
T. Albu, Ion I.- „Itinerar elementar în algebra superioară”, Editura ALL, București, 1992
P. Dragomir – „Structuri algebrice”, Editura Facla, Timișoara, 1975
Ion I.- „Algebra”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991
Ion I., C. Niță, C. Năstăsescu – „Complemente de algebră”, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1984
C. Năstăsescu, C. Niță – „Bazele algebrei”, Editura Academică, București, 1988
E. Olaru –Note de curs. Algebră
Gh. Radu, V. Tamas- „Elemente de algebră”, Universitatea Al. I. Cuza, Iași, 1998
=== capitolul III ===
CAPITOLUL III
CONDIȚII DE LANȚURI
Condiția lanțurilor ascendente („ACC”, de la Ascending Chain Condition) a fost pentru prima oară formulată în Algebră de EMMY NOETHER (1921) pentru un inel comutativA, condiție despre care a demonstrat că este echivalentă cu condiția ca orice ideal al inelului A să fie finit generat. Considerarea acestei condiții i-a permis să dea o demonstrație foarte scurtă și elegantă Teoremei de descompunere primară a lui LASKER în inelele care ulterior s-au numit inele Noetheriene în onoarea sa.
Condiția duală și anume condiția lanțurilor descendente („DCC” de la Descending Chain Condition) a fost considerată de ARTIN (1927), iar inelele care îndeplinesc această condiție au fost denumite, în onoarea sa, inele Artiniene.
Capitolul de față are drept scop să prezinte principalele proprietăți ale inelelor și modulelor care îndeplinesc una dintre cele două condiții (ACC sau DCC) pentru mulțimea ordonată a idealelor și respectiv a submodulelor lor, precum și a celor care le îndeplinesc simultan pe amândouă.
3.1 Module artiniene și module noetheriene
În acest subcapitol se demonstrează câteva din proprietățile de bază ale modulelor Artiniene și modulelor Northeriene, incluzând celebra Teoremă a lui HILBERT a bazei.
3.1.1. Definiție – Propoziție: Fie o mulțime ordonată. se zice Artiniană (respectiv Northeriană) dacă satisface una din următoarele condiții echivalente:
DCC (ACC) (1) Orice șir descrescător (respectiv crescător ) de elemente din este staționar (adică cu ).
MIN (MAX) (2) Orice parte nevidă a lui are un element minimal (respectiv maximal).
Demonstație: Vom demonstra numai faptul că DCC este echivalent cu MIN. (1)(2). Să presupunem că (2) nu este adevărată. Există deci , , astfel încât nu are elemente minimale. Fie . Cum nu este minimal, există . Dar nu este minimal și deci există . Continuând, prin inducție, obținem un șir descrescător care nu staționează, contradicție.
(2)(1). Fie un șir descrescător de elemente din . Considerăm mulțimea . Această mulțime are un element minimal, fie el . Dacă , atunci și ( fiind minimal) de unde rezultă că , adică șirul staționează, începând de la .
Definiție: Un M se numește Noetherian (respectiv Artinian) dacă mulțimea ordonată (LA (M),) a tuturor submoduleleor lui este Noertheriană (respectiv Artiniană). Un inel A se numește Noertherian (respectiv Artinian) dacă este Noertherian (Artinian) privit ca modul peste el însuși.
Reaminim că un se numește finit generat dacă există astfel încât .
3.1.1.2. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un :
(1) este finit generat.
(2) Pentru orice familie de submodule ale lui astfel încât , există o parte , J finită, cu .
Demonstrație: (1)(2) Fie astfel încât . Fiecare se scrie ca o sumă finită de elemente .
Luăm . Este clar că J este finită și că .
(2)(1) Considerăm familia de submodule ale lui .
Propoziția pe care tocmai am demonstrat-o permite să definim noțiunea duală celeia de modul finit generat.
Definiție: Un se numește finit cogenerat dacă pentru orice familie de submodule ale sale cu , există finită, astfel încât .
Exemplu: Fie K un corp. Un K-spațiu vectorial V este finit generat dacă și numai dacă este finit cogenerat, dacă și numai dacă este de dimensiune finită peste K.
3.1.3. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru
:
M este Noertherian (respectiv Artinian).
Orice submodul al lui M este finit generat (respectiv orice modul
cât al lui M este finit cogenerat).
Pentru orice familie de submodule ale lui există
, J finită, astfel încât (respectiv ).
Demonstrație: Demonstram întâi cazul Noertherian. Pentru (2)(3) se consideră A-modulul și se aplică: Propoziția 3.1.2.
(1) (3) Fie M= și fie element maximal al lui M. Rezultă că pentru orice și deci .
(3) (1) Fie un lanț ascendend de submodule ale lui M. Există astfel încât , de unde pentru orice .
În cazul Artinian vom demonstra numai (2) (3), (1) (3) rezultând ca în cazul Noertherian.
(2) (3) Fie și fie , surjecția canonică. Avem , și cum modulul cât M/N este finit cogenerat, conform afirmației 2) deducem că există , J finită cu , adică .
(3) (2) Fie și o familie de submodule în M” cu . Notând avem , de unde deducem că .
3.1.4. Propoziție. Fie un șir exact de . Atunci este Noetherian (respectiv Artinian) și sunt noetheriene (respectiv Artiniene).
Demonstație. Vom demonstra numai cazul Noethrian.
Fie un lanț ascendent de submodule ale lui . Atunci este un lanț ascendent de submodule ale lui și cum este Noetherian, există astfel încât . Dar este injectiv și deci . Fie acum un lanț ascendent de submodule ale lui . Avem lanțul ascendent de submodule ale lui : care staționează, adică există astfel încât . Dar este surjectiv și deci .
Fie un lanț ascendent de submodule ale lui . Considerăm lanțurile:
și
,
( a fost convenabil ales). Vom arăta că . Fie . Rezultă că , adică există cu . deci , așadar există astfel încât .
Deci , de unde și cum , rezultă că , ceea ce încheie demonstrația.
3.1.5. Corolar: Fie și . Dacă și este Noetherian (Artinian), atunci este Noetherian (Artinian).
3.1.6. Corolar: Fie o familie finită de . Atunci este
Noetherian (Artinian) Noetherian (Artinian) .
Demonstrație: Se aplică inducția după și se folosește 3.1.4. pentru șirul canonic:
.
3.1.7. Corolar: Fie un și . Dacă este Noetherian (Artinian) atunci și sunt Noetheriene (Artiniene).
3.1.8. Corolar: Fie Noetherian (Artinian) și un finit generat. Atunci este Noetherian (Artinian).
Demonstrație: Dacă , atunci este izomorf cu un cât al lui . Se aplică în continuare 3.1.6. și 3.1.7.
3.1.9. Corolar: Dacă este un inel Noetherian (respectiv Artinian) și , atunci este un inel Noetherian (respectiv Artinian).
3.1.10. Propoziție: Dacă este un Noetherian (respectiv Artinian) și este un sistem multiplicativ închis în , atunci este un Noetherian (respectiv Artinian). În particular, dacă este inel Notherian (respectiv Artinian) atunci este inel Notherian (respectiv Artinian).
Demonstație: Dacă este Noetherian (respectiv Artinian), atunci mulțimea ordonată este Noetheriană (respectiv Artiniană) deci la fel este și submulțimea a lui formată din toate submodulele . Dar mulțimile ordonate și sunt izomorfe, de unde propoziția.
Exemple:
1). Orice grup abelian finit este Artinian și Noetherian.
2). Orice inel principal este inel Noetherian și este deci Artinian dacă și numai dacă este corp. În particular este inel Noetherian dacă nu este Artinian. Orice corp este inel Noetherian și Artinian.
3). nu este inel Notherian.
3.1.11. teorema lui Hilbert a bazei. Dacă este un inel Noetherian, atunci inelul de polinoame este Noetherian.
Demonstrație: Fie un inel arbitrar în . Pentru fiecare notăm:
.
Este clar că este un ideal în și că
fiind un inel Noetherian există astfel încât și fiecare din idealele este finit generat. Pentru fiecare fie un sistem de generatori ai idealului și pentru fiecare și fie având coeficientul dominant . Afirmăm că idealul este generat de familia . Pentru aceasta fie , de grad d; vom demonstra prin inducție după d că .
Fie . Dacă atunci polinoamele au proprietatea că coeficienții lor dominanți generează pe , deci există astfel încât
este polinomul nul sau un polinom de grad < d, aparținând de asemenea lui .
Dacă , putem găsi astfel încât
este polinom nul sau un polinom de grad < d, aparținand de asemenea lui .
Observăm că în ambele cazuri, polinomul care se scade din este în idealul generat de . Aplicând inducția, rezultă că putem găsi un polinom aparținând idealului generat de astfel încât , ceea ce termină demonstrația teoremei.
Remarcă: Este adevărată și afirmația reciprocă din Teorema lui HILBERT a bazei: dacă este un inel Noetherian, atunci este un inel Noetherian. Într-adevăr , deci este un inel Noetherian conform lui 3.1.9.
3.1.12. Corolar. Dacă este un inel Noetherian, atunci este un inel Noetherian pentru orice .
Demonstrație: Se face inducție după .
Înainte de a prezenta o serie de alte rezultate privind inelele Noetheriene vom preciza câteva definiții:
Dacă este un morfism de inele, va fi numit algebră de morfism structural . Pe grupul abelian subiacent inelului se introduce o structură de prin restricția scalarilor via morfismul ; mai precis pentru orice și . În cazul în care este injectiv, identificând pe cu putem presupune că este un subinel al lui și că este morfismul incluziune . Spunem în acest caz că este o extindere a inelului .
Se spune că morfismul este finit sau că este o algebră finită dacă este .
Fie ; vom nota cu cel mai mic subinel al lui care conține pe și pe . Din proprietatea de universalitate a algebrei polinoamelor rezultă că:
este unicul morfism de inele astfel încât:
și
.
Este acum clar
.
Se spune că morfismul de inele este de tip finit sau că este o algebră de tip finit (sau finit generată) dacă există astfel încât . În acest caz se numește sistem de generatori ai algebrei și avem conform celor de mai sus
fiind un ideal al lui .
3.1.13. Propoziție: Fie un inel Noetherian (respectiv Artinian) și o algebră finită. Atunci este inel Noetherian (respectiv Artinian).
Demonstație: Conform 3.1.8., este un Noetherian (respectiv Artinian). Este însă clar că orice ideal al lui este și un al lui , deci laticea idealelor lui satisface condiția ACC (respectiv DCC).
Remarcă: Are loc și o anumită reciprocă a lui 3.1.13.: dacă este un subinel al lui astfel încât este o algebră finită (via morfismul incluziune ) iar este un inel Noetherian (respectiv Artinian) atunci este inel Noetherian (respectiv Artinian). Acest rezultat, deloc banal, poartă numele de Teorema EAKIN–NAGATA–EISENBUD și a fost stabilit în cazul Noetherian în anul 1968 de P.M. EAKIN Jr. și independent de M. NAGATA, iar în cazul Artinian în anul 1970 de către D. EISENBUD. Există și generalizări necomutative ale acestei teoreme.
3.1.14. Propoziție: Fie un inel Noetherian și o algebră de tip finit. Atunci este un inel Noetherian.
Demonstrație: Dacă , atunci inelul este izomorf cu un inel factor al inelului , care este Noetherian conform lui 3.1.12., deci este Noetherian conform lui 3.1.9.
Se prezintă în continuare o variantă a Teoremei Factorilor Invarianți în lumbaj de module Noetheriene.
3.1.15. Teoremă. Fie un inel principal. Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un :
este un modul Noetherian.
este un modul finit generat.
Există cu pentru orice , și
astfel încât .
Demonstrație: (1) (2) conform lui 3.1.8. (3) (2) în mod evident.
Pentru a demonstra implicația (2) (3), putem presupune că ; există deci și un epimorfism de . este un al lui, deci conform unui binecunoscut rezultat, este un liber. Mai mult, există o bază a lui și cu , pentru care este o bază a lui . Punând pentru orice cu obținem:
căci .
Aplicații:
1). Fie și . Dacă și sunt ambele module Noetheriene (respectiv Artiniene) să se demonstreze că este un modul Noetherian (respectiv Artinian).
2). Un inel se numește regulat în sens von Neumann dacă pentru orice există cu . Să se demonstreze:
Un produs direct al unei familii (finite sau nu) de inele regulate în
sens von Neumann este tot un inel regulat în sens von Neumann.
Orice inel de fracții al unui inel regulat în sens von Neumann este
un inel regulat în sens von Neumann.
Orice inel local, regulat în sens von Neumann este un corp.
3.2. Module de lungime finită
Noțiunea de modul de lungime finită este o generalizare naturală a noțiunii de spațiu vectorial de dimensiune finită. În acest subcapitol se prezintă Teorema JORDAN–HÖLDER precum și câteva proprietăți elementare ale „funcției” lungime a unui modul.
Definiție: se numește lanț de submodule al lui o familie de submodule ale lui astfel încât:
;
numărul se numește lungimea lanțului, iar modulele factor se numesc factorii lanțului.
Se numește șir de compoziție (sau șir JORDAN – HÖLDER) al lui un lanț maximal, adică un lanț având proprietatea că pentru orice , nu există nici un submodul al lui cu ; rezultă că un lanț al lui este un șir de compoziție toți factorii șirului sunt simple. Reamintim că un se numește simplu dacă și . Prin convenție, modulul nul admite un șir de compoziție de lungime zero.
3.2.1. Propoziție: Un are un șir de compoziție este un modul atât Noetherian cât și Artinian.
Demonstrație: „” Vom face inducție după lungimea a unui șir de compoziție a lui . Putem presupune . Dacă , atunci este un simplu, deci este Noetherian și Artinian. Presupunem că afirmația ce dorim să o demonstrăm este adevărată pentru orice având un șir de compoziție de lungine ; presupunem că are un șir de compoziție:
de lungime . Rezultă că are șirul de compoziție:
de lungime , deci este Noetherian și Artinian conform ipotezei de inducție. Cum este un modul simplu, considerând șirul exact:
deducem conform lui 3.1.4. că este Noetherian și Artinian.
„” Putem presupune și fie un submodul simplu al lui , care există, deoarece fiind Artinian, mulțimea tuturor submodulelor nenule ale lui are un element minimal. Dacă fie un submodul al lui având proprietatea că este un modul simplu. fiind Noetherian deducem că există un șir de compoziție:
al lui .
Definiție: Un se numește de lungime finită dacă este atât Noetherian cât și Artinian.
3.2.2. Corolar. Fie un șir exact de . Atunci este de lungime finită și sunt de lungime finită.
Demonstrație: se aplică 3.1.4.
Definiție: Două șiruri de compoziție
ale unui modul sunt echivalente dacă și există o bijecție astfel încât pentru orice .
3.2.3. Teorema JORDAN–HÖLDER: Dacă este un modul de lungime finită, atunci orice două șiruri de compoziție ale lui sunt echivalente.
Demonstrație: Pentru orice de lungime finită vom nota cu lungimea celui mai scurt șir de compoziție al lui . Evident .
Fie și
(*)
un șir de compoziție al lui de lungime . Avem de demonstrat că orice alt șir de compoziție:
(**)
al lui este echivalent cu cel precedent.
Evident putem presupune . Vom face demonstrația prin inducție după . Dacă atunci este simplu și este clar că este unicul șir de compoziție al lui . Presupunem că teorema este adevărată pentru orice cu și .
Există două posibilități:
Cazul I: Mn-1 = Np-1 ; atunci:
0 = M0 < M1 <…< Mn-1
și
0 = N0 < N1 <…< Np-1
sunt șiruri de competență echivalente căci λ(Mn-1) ≤ n-1. Cum M/Mn-1=M/Np-1, rezultă că șirurile de compoziție (*) și (**) sunt echivalente.
Cazul II: Mn-1≠Np-1 deoarece Mn-1 este un submodul maximal în M rezultă că Mn-1+Np-1=M, deci:
Deducem că Mn-1∩Np-1 este un subansamblu maximal în Mn-1 ca și în Np-1. Dar conform lui 3.2.2., Mn-1∩Np-1 este un modul de lungime finită, căci Mn-1∩Np-1≤ M. Fie
0 = L0 < L1 < … < Lk = Mn-1 ∩ Np-1
un șir de compoziție al lui Mn-1∩Np-1 (eventual k poate fi 0). Considerăm următoarele șiruri de compoziție ale lui M:
0 = L0 < L1 < … < Lk < Mn-1 < Mn = M
0 = M0 < M1 < … < Mn-2 < Mn-1 < Mn = M
0 = L0 < L1 < … < Lk < Np-1 < Np = M
0 = N0 < N1 < … < Np-2 < Np-1 < Nn = M
Conform cazului I, șirurile (1) și (2) sunt echivalente, deci k=n–2. Rezultă că Np-1 are un șir de compoziție de lungime cel mult n–1 ( λ(Np-1)≤n–1), deci șirurile (3) și (4) sunt echivalente. Dar și , deci (1) și (3) sunt echivalente, ceea ce termină demonstrația teoremei.
Dacă este un modul de lungime finită atunci conform Teoremei JORDAN–HÖLDER, orice două șiruri de compoziție ale lui M au aceeași lungime; această lungime comună se notează cu și se numește lungimea lui . Avem .
3.2.4. Propoziție: Lungimea unui modul este o „funcție” aditivă pe clasa tuturor A – modulelor de lungime finită adică dacă
este un șir de module de lungime finită, atunci
Demonstrație: fie și și
șiruri de comparație pentru și respectiv . Se arată ușor ușor că
este un șir de comparație al lui .
3.2.5. Corolar: Dacă și sunt submodule ale unui modul de lungime finită, atunci
Demonstrație: Cum deducem .
3.2.6. Corolar: Fie o familie finită de . Atunci este un modul de lungime finită sunt module de lungime finită pentru orice caz în care
Demonstrație: Prima parte a corolarului rezultă din 3.2.1. și 3.1.6. Egalitatea din enunț rezultă din 3.2.4. prin inducție după , considerând șirul exact canonic
.
Rezultatul care urmează stabilește identitatea dintre –modulele de lungime finită () și –spațiile vectoriale de dimensiune finită.
3.2.7. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un spațiu vectorial peste un corp :
este finită.
este un –modul de lungime finită.
este Noetherian.
este Artinian.
În plus dacă una dintre afirmațiile de mai sus este îndeplinită.
Demonstrație: (1) (2). Fie și o –bază a lui . Este clar că:
unde este șir de compoziție pentru , deci este de lungime finită.
(2) (3) și (2) (4) în mod evident.
(3) (1) (respectiv (4) (1)). Presupunem că este Noetherian (respectiv Artinian) și totuși nu este finită; există atunci o familie de elemente liniar independente din . Considerăm pentru fiecare subspațiul al lui generat de (respectiv subspațiul al lui generat de ). Este clar că (respectiv este un lanț strict crescător (respectiv strict descrescător) de subspații ale lui , contradicție.
Aplicație:
Fie un modul de lungime finită indecompozabil (un modul se numește indecompozabil dacă și singurii sumanzi direcți ai lui sunt și ). Să se demonstreze că următoarele afirmații sunt echivalente:
este monomorfism.
este epimorfism.
este automorfism.
nu este nilpotent (i.e. ).
=== CAPITOLUL 1. INELE ===
CAPITOLUL 1.
INELE
1.1. MORFISME DE INELE
Definiție: Fie , două inele oarecare și o funcție de la la . Funcția se numește homomorfism de inele sau pe scurt morfism de inele dacă satisface următoarele condiții:
;
.
Observație: Din condiția a). rezultă că orice morfism de inele este în particular morfism al grupurilor aditive subiacente inelului
.
Deci, rezultă conform celor cunoscute la grupuri că . Am notat cu elementul neutru la adunare al inelului .
.
Dacă și sunt inele unitare având elementul unitate și , atunci în general nu duce elementul în elementul .
Definiție: Dacă este un morfism de la inelul unitar la inelul unitar a.î. , atunci morfismul se numește morfism unitate.
Definiție: Morfismul de inele se numește morfism surjectiv, injectiv sau bijectiv dacă ca funcție are aceste calități, adică este respectiv surjectiv, injectiv sau bijectiv.
Propoziție: Dacă și sunt inele unitare cu unitățile și și dacă este morfism surjectiv de inele de la la , atunci este morfism unitar de inele.
–surjectivă a.î. ;
(aplicăm morfism)
(pentru că 1 este element unitate).
1.2. COMPUNEREA MORFISMELOR
Propoziție: compunerea a două morfisme de inele este un morfism de gr. În plus, dacă cele două morfisme sunt unitate atunci și compusul lor este unitar.
Fie trei inele și , −morfisme, −morfism de grupuri.
Condiții:
Condiția este satisfăcută pentru că este morfism al grupurilor aditive subiacente care se știe că este morfism de grupuri.
Considerăm două elemente oarecare , iar:
Presupunem toate inelele unitare cu , , . Prin urmare .
Deci, ca orice compunere de funcții, operația de compunere a funcțieieste asociativă.
Exemplu de morfisme:
, , −element neutru la adunarea din este un morfism de inele pentru că satisface condiția a) :
.
La fel condiția b) :.
Acest morfism se numește morfism nul.
, este morfism de inele pentru că:
și se numește morfism unitar.
unde: sunt subinele.
Incluziunile canonice între aceste mulțimi sunt morfisme de incluziune canonică.
,
;
.
Deci este morfism de inele.
Dacă , , , deci −morfism
−morfism de inele.
1.3. INELUL ENDOMORFISMELOR UNUI INEL
Definiție: Dacă , atunci un morfism se numește endomorfism.
Observație: m. endomorfismul lui se notează .
Propoziție: Mulțimea împreună cu adunarea și compunerea de morfisme este un inel unitar și se numește inelul endomorfismelor lui A.
Operația de adunare între morfisme este cea definită la grupuri aditive și anume:
,
„0” distributivă la dreapta și la stânga față de adunare.
Demonstrație:
, pentru că „0” este asociativă
, −unitatea, .
Distributivitatea:
Deci are loc distributivitatea la stânga, analog la dreapta.
Compunerea a două endomorfisme este un endomorfism:
.
1.4. IZOMORFISME DE INELE
Definiție: Fie și inele și −morfism se inele de la la , , se numește izomorfism de inele dacă morfism a.î. .
Definiție: Două inele se numesc izomorfe dacă există un izomorfism între aceste inele.
Teoremă: Un morfism de inele este izomorf dacă și numai dacă el este bijectiv.
1.5. SUBINELE ȘI IDEALE
Definiție: Fie un inel și o submulțime nevidă a sa. se numește subinel dacă operațiile inelului induc pe o structură de inel. Adică −parte stabilă la operațiile inelului (adică operațiile lui induc operații pe ) și operațiile incluse determină pe o structură de inel.
Teorema de caracterizare a subinelelor: Fie . este subinel dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
.
Demonstrație:
subinel în −gr.
Presupunem că sunt îndeplinite condițiile a) și b):
−gr.
înmulțirea induce o înmulțire pe .
Asociativitatea se păstrează și de asemenea distributivitatea.
Observație: Mulțimea formată numai din elementul „0” este subinel și se numește subinel nul. Se notează: .
La fel, m. este subinel în , .
Aceste două inele se numesc improprii. Toate celelalte inele se vor numi inele proprii.
Propoziție: Singurele inele ale lui sunt subgrupurile lui . Adică, subinelele lui sunt inelul nul, toate mulțimile de forma unde este cel mai mic element pozitiv al subinelului.
Demonstrație (teorema de caracterizare): Se știe de la grupuri că ….
Fie subinel în . Arătăm că este de forma .
Dacă
Reciproc: subgr aditiv în ,
Deci: .
Teoremă (comportarea subinelelor la morfisme de inele): Fie și inele și un morfism de inele. Atunci avem:
subinel în subinel în
(în particular este subinel în )
subinel în subinel în
(în particular este subinel în ).
Demonstrație:
. De la grupuri știm că este subgrup al grupului aditiv
(prima condiție de la subinele este îndeplinită).
, inel în a.î. , .
(a doua condiție de la subinele este îndeplinită).
. De la grupuri subgrup al grupului aditiv
pentru că este
subinel
.
Demonstrație (teorema de la izomorfism):
izomorfism de inele izomorfism al grupurilor aditive subiacente −bijectivă.
Presupunem −bijectivă.
bijectivă a.î. ,
− morfism de grupuri (demonstrat).
morfism bijectiv de grupuri morfism de grupuri
morfism de grupuri
prima condiție de la morfisme de inele este demonstrată.
a doua condiție de la morfisme de inele este demonstrată.
a.î. , . Analog ,
Observații: Morfismul este unic și este morfism invers al morfismului .
Dacă − izomorfism de inele este tot izomorfism de inele.
Relația de izomorfism între inele este o relație de echivalență.
1.5.2. IDEALE
Definiție: Fie și o submulțime a lui . se numește ideal la stânga (dreapta) al lui A dacă sunt îndeplinite condițiile următoare:
La stânga: , adică −subgrad aditiv al lui .
( la dreapta)
()
Idealul la stânga și la dreapta se numește ideal bilateral.
Observații:
Într-un inel comutativ toate idealele sunt bilaterale. De aceea le vom numi pur și simplu ideale.
Orice ideal este subinel.
Idealele lui sunt date de subinelele lui .
Fie − subinel în ideal în .
−gr. prima condiție din definiția idealului.
Definiție: , , se numește ideal la stânga dacă sunt îndeplinite condițiile:
;
.
Definiție: , , se numește ideal la stânga dacă sunt îndeplinite condițiile:
;
.
Definiție: Un ideal care este simultan ideal la stânga și la dreapta se numește ideal bilateral. Folosim denumirea de ideal.
Observație: Toate idealele unui inel comutativ sunt ideale bilaterale. Idealele lui sunt subgrupurile lui .
În particular, este ideal nul.
Idealul nul și inelul însuși sunt ideale bilaterale inelul .
Exemple de ideale:
, element fixat de inel.
este ideal la stânga.
este ideal la dreapta.
Aceste ideale se numesc ideale principale generate de elementul a.
Demonstrație: a.î.
(definiție 1) din definiția idealului este îndeplinită).
Pentru definiția 2): , a.î.
.
Notațăm: idealul principal la stânga generat de .
idealul principal la dreapte generat de .
Propoziție (comportarea idealelor la morfisme de inele): Fie și inele și morfism. Avem atunci:
este ideal la stânga (dreapta) sau bilateral în este ideal în de același tip cu . În particular este ideal bilateral în .
Dacă este surjectivă și este ideal în la stânga (dreapta) sau bilateral este ideal în la stânga (dreapta) sau bilateral.
Demonstrație:
este ideal în el este în particular un subgrup în grupul aditiv subiacent inelului .
Ținând cont de teorema de comportare a subgrupului de morfisme −subgrup în (prima condiție a idealului)
Deci ideal la stânga în .
În particular considerăm idealul format din elementul neutru la adunare din .
− ideal bilateral este ideal bilateral în .
.
Observație: Nucleul oricărui morfism este ideal bilateral în inelul sursă.
− ideal la stânga în . Notăm
În particular, − subgrup al grupului aditiv subiacent inelului.
Din teorema de corespondență de la subgrupuri subgrup în
(prima condiție de la inele)
(a doua condiție de la inele).
Propoziție (Teorema de corespondență pentru ideale): Fie și inele și un morfism surjectiv de inele . Atunci între mulțimea tuturor idealelor la stânga (dreapta sau bilaterale) ale lui și mulțimea idealelor la stânga (dreapta sau bilaterale) ale lui care conțin nucleul, există o corespondență bijectivă.
Această corespondență este dată de definiția: , ideal la stânga în .
Demonstrație: Se face ca la grupuri bijectivă.
1.6. INTERSECȚII DE SUBINELE ȘI DE IDEALE
Propoziție: Fie inel oarecare. Avem atunci:
intersecția oricărei familii de subinele este tot un subinel;
intersecția oricărei familii de ideal de un anumit tip este tot un ideal de același tip de ideal.
Demonstrație:
familia de subinele ala lui , . Vrem să demonstrăm că este subinel și .
, vrem să demonstrăm că
conform definiției intersecției:
− familie de ideale la stânga a inelului .
Notăm: .
Observație: A nu se confunda din a), unde este familie de indici cu cel din b), unde este mulțime.
; (rezultă din a)).
vrem să demonstrăm că .
Fie și
1.7. SUBINELE GENERATE DE O MULȚIME
Definiții: Fie inel și . Se numește subinel generat de m. M intersecția tuturor subinelelor care conțin m. .
inel,
, subinel în .
Spunem că este sistem de generatori pentru inelul A dacă există o submulțime din care generează întreg inelul.
Dacă inelul admite o submulțimefinită de generatori, atunci se numește inel finit de generatori.
este structura subinelelor generate de o mulțime.
1.8. IDEALE GENERATE DE O MULȚIME
Definiție: Fie inel și . Se numește ideal la stânga generat de m. M intersecția tuturor idealelor la stânga ale inelului care conțin m. M.
Notăm: .
Analog, se definește noțiunea de ideal la dreapta, respectiv bilateral generat de o m. M.
Teorema de structură a idealelor generate de o mulțime: Fie inel unitar și . Atunci:
idealul la stânga generat de mulțimea este egal cu mulțimea tuturor sumelor finite de forma:
idealul la dreapta generat de mulțimea este format din mulțimea tuturor sumelor finite de forma:
idealul bilateral generat de din este mulțimea tuturor sumelor finite de forma:
Observație: Se folosește și alt limbaj, preluat din teoria spațiilor vectoriale, mai precis, teoria modulelor, pentru precizarea idealelor generate de o mulțime.
Definiție: Fie inel unitar, , . Elementul se numește combinație liniară la stânga cu coeficienții în dacă există a.î. .
Definiție: Se numește combinație liniară la dreapta cu coeficienții în dacă există a.î. .
Definiție: Se numește combinație bilaterală cu coeficienții din de elementele dacă există a.î. .
Se mai folosește:
Definiție: Un element se numește combinație liniară la stânga de elemente din dacă există un număr finit de elemente liniare și dacă există a.î. să avem .
Analog, pentru combinații liniare la stânga și bilaterale.
Deci, teorema poate fi formulată și în felul următor: Fie inel unitar și . Atunci:
idealul la stânga generat de mulțimea este următ. de mulțimea tuturor combinațiilor liniare finite la stânga de elemente din ;
dreapta;
bilaterale.
Demonatrație:
Notăm: −mulțimea tuturor combinațiilor liniare la stânga de elemente din .
Vrem să demonstrăm că: −ideal .
Diferența dintre două combinații la stânga este tot o combinație la stânga.
Produsul la stânga dintre un element din și o combinație liniară la stânga de elemente din este tot o combinație liniară.
ideal în , unde
Vrem să demonstrăm că: .
atunci combinație liniară de
(*)
Arătăm și incluziunea inversă: fie este o sumă finită de elemente din idealul generat de la stânga.
(*)
(*)
Analog se demonstrează b) și c).
1.9. OPERAȚII CU INELE
1.9.1. SUMA ȘI PRODUSUL A DOUĂ INELE
Definiție: Fie inel, ideale la stânga (dreapta sau bilateral) în . Se numește suma idealelor I, J la stânga (dreapta sau bilateral) și se notează . Idealul generat de mulțimea idealelor la stânga (dreapta sau bilaterale).
Definiție: Se numește produsul la stânga (dreapta sau bilateral) notat idealul la stânga (dreapta sau bilateral) generat de mulțimea produselor .
Propoziție: Dacă inel unitar atunci avem:
este constituit din mulțimea tuturor punctelor finite de forma:. Această propoziție dă structura sumei și produsului.
Demonstrație: Ne referim la ideale la stânga, la fel va fi pentru idealele la dreapta și bilateral. Vom folosi teorema de caracterizare (de structură) a idealelor generate de o mulțime.
Fie
Reciprocă: este combinație liniară la stânga de elemente din . Adică rezultă că a. î.
Deci:
a.î. .
Folosim teorema de structură a idealelor generate de o mulțime.
combinație liniară de elemente din mulțimea produselor
a.î.
cu
Reciproca:
este o combinație liniară din oricare ar fii .
Observații:
definiția sumei și a produsului se poate extinde la un număr finit de idale.
Suma idealelor este comutativă pentru că idealul generat de este tot de una cu idealul .
Ambele operații sunt asociative. Înmulțirea rezultă din asociativitatea produsului a trei elemente din inel.
Dacă inelul este comutativ, atunci are loc și proprietatea de distributivitate a produsului față de sumă.
1.9.2. CONGRUENȚE ÎN INEL
Definiție: Fie inel și relația de echivalență pe mulțimea . Relația se numește congruență în A dacă este compatibilă (la dreapta și la stânga) cu ambele operații ale inelului.
Teoremă: Fie inel și relația de echivalență pe . Atunci R este congruență pe inelul A ideal bilateral în A astfel încât .
Notăm: (mod ), (mod ).
Demonstrație: Împărțim în mai multe faza:
congruență pe inelul Aideal bilateral în A astfel încât .
Oricare ar fi congruența generează un ideal și invers.
congruență pe (compatibil cu operațiile) compatibil cu adunarea este subgrup normal în grupul aditiv și . Vrem să demonstrăm că: ideal.
− ideal bilateral în A, este congruență pe .
ideal bilateral
relația de echivalență pe mulțimea (demonstrăm ca la grupuri,
gr).
Această relație e compatibilă cu adunarea (exact ca la grupuri).
Arătăm compatibilitatea cu înmulțirea.
Fie și
și
relația este compatibilă la stânga la fel pentru la dreapta.
Observație: O congruență este o relație compatibilă cu ambele operații din inel.
1.9.3. INELUL FACTOR
Fie inel și − ideal bilateral, atunci relația este o congruență pe inelul . Dci putem construi m. factor în raport cu relația R și o notăm .
− inelul factor
R − congruență operația inelului determină operații interne pe m. claselor.
, , . Se scrie uzual .
structura cu operația de adunare este grup abelian.
Operația asociativă:
Elementul neutru: , , ,
, , . Se notează cu .
−semigrup.
Operația asociativă .
Observație: Dacă inel unitar, atunci înmulțirea are element neutru și
este .
operația de înmulțire este distributivă la dreapta și la stânga față de adunare.
Structura este un inel și se numește inel factor a lui A în raport cu idealul bilateral .
Dacă inelul A − unitar atunci și inelul factor este unitar, elementul neutru fiind .
Dacă inelul A este comutativ atunci și inelul factor este comutativ.
1.10. MORFISMUL CANONIC (SURJECȚIA CANONICĂ)
, putem defini în relația . Această funcție este un morfisme de inele și se numește morfism canonic sau surjecție canonică pentru că este o surjecție.
Dacă inelul este unitar atunci acest morfism este unitar, , a.î. .
Exemplu: Inelele .
inel, ideale bilaterale ale lui sunt m. de forma>
Ele dau naștere la o congruență (), a.î. .
Putem construi inelul factor:
Cazul 1:
ideal nul
deci , inelul izomorf cu inelul .
inel cu un singur element , adică
este inelul nul .
1.11. MORFISMUL CANONIC (SURJECȚIA CANONICĂ)
Teorema fundamentală de izomorfism: Fie A și −inel și morfism. Atunci rezultă că un morfism injectiv care face comutativă diagrama:
, morfism canonic
Dacă surjectovă .
− Relația fundamentală de izomorfism
Demonstrație: Este ca cea de la grupuri, deosebirea constă în faptul că aici avem inel în loc de grup. Dacă ținem cont că orice grup este abelian aditiv, atunci este clar că vom folosi teorema de caracterizare de la grupuri.
grupuri aditive subiacente inelului
− morfism de inele, este neo…. De grupuri.
Din teorema de la grupuri
=== CAPITOLUL 3. CONDITII DE LANTURI ===
CAPITOLUL 3.
CONDIȚII DE LANȚURI
Condiția lanțurilor ascendente („ACC”, de la Ascending Chain Condition) a fost pentru prima oară formulată în Algebră de EMMY NOETHER (1921) pentru un inel comutativA, condiție despre care a demonstrat că este echivalentă cu condiția ca orice ideal al inelului A să fie finit generat. Considerarea acestei condiții i-a permis să dea o demonstrație foarte scurtă și elegantă Teoremei de descompunere primară a lui LASKER în inelele care ulterior s-au numit inele Noetheriene în onoarea sa.
Condiția duală și anume condiția lanțurilor descendente („DCC” de la Descending Chain Condition) a fost considerată de ARTIN (1927), iar inelele care îndeplinesc această condiție au fost denumite, în onoarea sa, inele Artiniene.
Capitolul de față are drept scop să prezinte principalele proprietăți ale inelelor și modulelor care îndeplinesc una dintre cele două condiții (ACC sau DCC) pentru mulțimea ordonată a idealelor și respectiv a submodulelor lor, precum și a celor care le îndeplinesc simultan pe amândouă.
3.1. MODULE ARTINIENE ȘI MODULE NOETHERIENE
În acest subcapitol se demonstrează câteva din proprietățile de bază ale modulelor Artiniene și modulelor Northeriene, incluzând celebra Teoremă a lui HILBERT a bazei.
3.1.1. Definiție – Propoziție: Fie o mulțime ordonată. se zice Artiniană (respectiv Northeriană) dacă satisface una din următoarele condiții echivalente:
DCC (ACC) (1) Orice șir descrescător (respectiv crescător ) de elemente din este staționar (adică cu ).
MIN (MAX) (2) Orice parte nevidă a lui are un element minimal (respectiv maximal).
Demonstație: Vom demonstra numai faptul că DCC este echivalent cu MIN. (1)(2). Să presupunem că (2) nu este adevărată. Există deci , , astfel încât nu are elemente minimale. Fie . Cum nu este minimal, există . Dar nu este minimal și deci există . Continuând, prin inducție, obținem un șir descrescător care nu staționează, contradicție.
(2)(1). Fie un șir descrescător de elemente din . Considerăm mulțimea . Această mulțime are un element minimal, fie el . Dacă , atunci și ( fiind minimal) de unde rezultă că , adică șirul staționează, începând de la .
Definiție: Un M se numește Noetherian (respectiv Artinian) dacă mulțimea ordonată (LA (M),) a tuturor submoduleleor lui este Noertheriană (respectiv Artiniană). Un inel A se numește Noertherian (respectiv Artinian) dacă este Noertherian (Artinian) privit ca modul peste el însuși.
Reaminim că un se numește finit generat dacă există astfel încât .
3.1.1.2. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un :
(1) este finit generat.
(2) Pentru orice familie de submodule ale lui astfel încât , există o parte , J finită, cu .
Demonstrație: (1)(2) Fie astfel încât . Fiecare se scrie ca o sumă finită de elemente .
Luăm . Este clar că J este finită și că .
(2)(1) Considerăm familia de submodule ale lui .
Propoziția pe care tocmai am demonstrat-o permite să definim noțiunea duală celeia de modul finit generat.
Definiție: Un se numește finit cogenerat dacă pentru orice familie de submodule ale sale cu , există finită, astfel încât .
Exemplu: Fie K un corp. Un K-spațiu vectorial V este finit generat dacă și numai dacă este finit cogenerat, dacă și numai dacă este de dimensiune finită peste K.
3.1.3. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru
:
M este Noertherian (respectiv Artinian).
Orice submodul al lui M este finit generat (respectiv orice modul
cât al lui M este finit cogenerat).
Pentru orice familie de submodule ale lui există
, J finită, astfel încât (respectiv ).
Demonstrație: Demonstram întâi cazul Noertherian. Pentru (2)(3) se consideră A-modulul și se aplică: Propoziția 3.1.2.
(1) (3) Fie M= și fie element maximal al lui M. Rezultă că pentru orice și deci .
(3) (1) Fie un lanț ascendend de submodule ale lui M. Există astfel încât , de unde pentru orice .
În cazul Artinian vom demonstra numai (2) (3), (1) (3) rezultând ca în cazul Noertherian.
(2) (3) Fie și fie , surjecția canonică. Avem , și cum modulul cât M/N este finit cogenerat, conform afirmației 2) deducem că există , J finită cu , adică .
(3) (2) Fie și o familie de submodule în M” cu . Notând avem , de unde deducem că .
3.1.4. Propoziție. Fie un șir exact de . Atunci este Noetherian (respectiv Artinian) și sunt noetheriene (respectiv Artiniene).
Demonstație. Vom demonstra numai cazul Noethrian.
Fie un lanț ascendent de submodule ale lui . Atunci este un lanț ascendent de submodule ale lui și cum este Noetherian, există astfel încât . Dar este injectiv și deci . Fie acum un lanț ascendent de submodule ale lui . Avem lanțul ascendent de submodule ale lui : care staționează, adică există astfel încât . Dar este surjectiv și deci .
Fie un lanț ascendent de submodule ale lui . Considerăm lanțurile:
și
,
( a fost convenabil ales). Vom arăta că . Fie . Rezultă că , adică există cu . deci , așadar există astfel încât .
Deci , de unde și cum , rezultă că , ceea ce încheie demonstrația.
3.1.5. Corolar: Fie și . Dacă și este Noetherian (Artinian), atunci este Noetherian (Artinian).
3.1.6. Corolar: Fie o familie finită de . Atunci este
Noetherian (Artinian) Noetherian (Artinian) .
Demonstrație: Se aplică inducția după și se folosește 3.1.4. pentru șirul canonic:
.
3.1.7. Corolar: Fie un și . Dacă este Noetherian (Artinian) atunci și sunt Noetheriene (Artiniene).
3.1.8. Corolar: Fie Noetherian (Artinian) și un finit generat. Atunci este Noetherian (Artinian).
Demonstrație: Dacă , atunci este izomorf cu un cât al lui . Se aplică în continuare 3.1.6. și 3.1.7.
3.1.9. Corolar: Dacă este un inel Noetherian (respectiv Artinian) și , atunci este un inel Noetherian (respectiv Artinian).
3.1.10. Propoziție: Dacă este un Noetherian (respectiv Artinian) și este un sistem multiplicativ închis în , atunci este un Noetherian (respectiv Artinian). În particular, dacă este inel Notherian (respectiv Artinian) atunci este inel Notherian (respectiv Artinian).
Demonstație: Dacă este Noetherian (respectiv Artinian), atunci mulțimea ordonată este Noetheriană (respectiv Artiniană) deci la fel este și submulțimea a lui formată din toate submodulele . Dar mulțimile ordonate și sunt izomorfe, de unde propoziția.
Exemple:
1). Orice grup abelian finit este Artinian și Noetherian.
2). Orice inel principal este inel Noetherian și este deci Artinian dacă și numai dacă este corp. În particular este inel Noetherian dacă nu este Artinian. Orice corp este inel Noetherian și Artinian.
3). nu este inel Notherian.
3.1.11. teorema lui Hilbert a bazei. Dacă este un inel Noetherian, atunci inelul de polinoame este Noetherian.
Demonstrație: Fie un inel arbitrar în . Pentru fiecare notăm:
.
Este clar că este un ideal în și că
fiind un inel Noetherian există astfel încât și fiecare din idealele este finit generat. Pentru fiecare fie un sistem de generatori ai idealului și pentru fiecare și fie având coeficientul dominant . Afirmăm că idealul este generat de familia . Pentru aceasta fie , de grad d; vom demonstra prin inducție după d că .
Fie . Dacă atunci polinoamele au proprietatea că coeficienții lor dominanți generează pe , deci există astfel încât
este polinomul nul sau un polinom de grad < d, aparținând de asemenea lui .
Dacă , putem găsi astfel încât
este polinom nul sau un polinom de grad < d, aparținand de asemenea lui .
Observăm că în ambele cazuri, polinomul care se scade din este în idealul generat de . Aplicând inducția, rezultă că putem găsi un polinom aparținând idealului generat de astfel încât , ceea ce termină demonstrația teoremei.
Remarcă: Este adevărată și afirmația reciprocă din Teorema lui HILBERT a bazei: dacă este un inel Noetherian, atunci este un inel Noetherian. Într-adevăr , deci este un inel Noetherian conform lui 3.1.9.
3.1.12. Corolar. Dacă este un inel Noetherian, atunci este un inel Noetherian pentru orice .
Demonstrație: Se face inducție după .
Înainte de a prezenta o serie de alte rezultate privind inelele Noetheriene vom preciza câteva definiții:
Dacă este un morfism de inele, va fi numit algebră de morfism structural . Pe grupul abelian subiacent inelului se introduce o structură de prin restricția scalarilor via morfismul ; mai precis pentru orice și . În cazul în care este injectiv, identificând pe cu putem presupune că este un subinel al lui și că este morfismul incluziune . Spunem în acest caz că este o extindere a inelului .
Se spune că morfismul este finit sau că este o algebră finită dacă este .
Fie ; vom nota cu cel mai mic subinel al lui care conține pe și pe . Din proprietatea de universalitate a algebrei polinoamelor rezultă că:
este unicul morfism de inele astfel încât:
și
.
Este acum clar
.
Se spune că morfismul de inele este de tip finit sau că este o algebră de tip finit (sau finit generată) dacă există astfel încât . În acest caz se numește sistem de generatori ai algebrei și avem conform celor de mai sus
fiind un ideal al lui .
3.1.13. Propoziție: Fie un inel Noetherian (respectiv Artinian) și o algebră finită. Atunci este inel Noetherian (respectiv Artinian).
Demonstație: Conform 3.1.8., este un Noetherian (respectiv Artinian). Este însă clar că orice ideal al lui este și un al lui , deci laticea idealelor lui satisface condiția ACC (respectiv DCC).
Remarcă: Are loc și o anumită reciprocă a lui 3.1.13.: dacă este un subinel al lui astfel încât este o algebră finită (via morfismul incluziune ) iar este un inel Noetherian (respectiv Artinian) atunci este inel Noetherian (respectiv Artinian). Acest rezultat, deloc banal, poartă numele de Teorema EAKIN–NAGATA–EISENBUD și a fost stabilit în cazul Noetherian în anul 1968 de P.M. EAKIN Jr. și independent de M. NAGATA, iar în cazul Artinian în anul 1970 de către D. EISENBUD. Există și generalizări necomutative ale acestei teoreme.
3.1.14. Propoziție: Fie un inel Noetherian și o algebră de tip finit. Atunci este un inel Noetherian.
Demonstrație: Dacă , atunci inelul este izomorf cu un inel factor al inelului , care este Noetherian conform lui 3.1.12., deci este Noetherian conform lui 3.1.9.
Se prezintă în continuare o variantă a Teoremei Factorilor Invarianți în lumbaj de module Noetheriene.
3.1.15. Teoremă. Fie un inel principal. Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un :
este un modul Noetherian.
este un modul finit generat.
Există cu pentru orice , și
astfel încât .
Demonstrație: (1) (2) conform lui 3.1.8. (3) (2) în mod evident.
Pentru a demonstra implicația (2) (3), putem presupune că ; există deci și un epimorfism de . este un al lui, deci conform unui binecunoscut rezultat, este un liber. Mai mult, există o bază a lui și cu , pentru care este o bază a lui . Punând pentru orice cu obținem:
căci .
Aplicații:
1). Fie și . Dacă și sunt ambele module Noetheriene (respectiv Artiniene) să se demonstreze că este un modul Noetherian (respectiv Artinian).
2). Un inel se numește regulat în sens von Neumann dacă pentru orice există cu . Să se demonstreze:
Un produs direct al unei familii (finite sau nu) de inele regulate în
sens von Neumann este tot un inel regulat în sens von Neumann.
Orice inel de fracții al unui inel regulat în sens von Neumann este
un inel regulat în sens von Neumann.
Orice inel local, regulat în sens von Neumann este un corp.
3.2. Module de lungime finită
Noțiunea de modul de lungime finită este o generalizare naturală a noțiunii de spațiu vectorial de dimensiune finită. În acest subcapitol se prezintă Teorema JORDAN–HÖLDER precum și câteva proprietăți elementare ale „funcției” lungime a unui modul.
Definiție: se numește lanț de submodule al lui o familie de submodule ale lui astfel încât:
;
numărul se numește lungimea lanțului, iar modulele factor se numesc factorii lanțului.
Se numește șir de compoziție (sau șir JORDAN – HÖLDER) al lui un lanț maximal, adică un lanț având proprietatea că pentru orice , nu există nici un submodul al lui cu ; rezultă că un lanț al lui este un șir de compoziție toți factorii șirului sunt simple. Reamintim că un se numește simplu dacă și . Prin convenție, modulul nul admite un șir de compoziție de lungime zero.
3.2.1. Propoziție: Un are un șir de compoziție este un modul atât Noetherian cât și Artinian.
Demonstrație: „” Vom face inducție după lungimea a unui șir de compoziție a lui . Putem presupune . Dacă , atunci este un simplu, deci este Noetherian și Artinian. Presupunem că afirmația ce dorim să o demonstrăm este adevărată pentru orice având un șir de compoziție de lungine ; presupunem că are un șir de compoziție:
de lungime . Rezultă că are șirul de compoziție:
de lungime , deci este Noetherian și Artinian conform ipotezei de inducție. Cum este un modul simplu, considerând șirul exact:
deducem conform lui 3.1.4. că este Noetherian și Artinian.
„” Putem presupune și fie un submodul simplu al lui , care există, deoarece fiind Artinian, mulțimea tuturor submodulelor nenule ale lui are un element minimal. Dacă fie un submodul al lui având proprietatea că este un modul simplu. fiind Noetherian deducem că există un șir de compoziție:
al lui .
Definiție: Un se numește de lungime finită dacă este atât Noetherian cât și Artinian.
3.2.2. Corolar. Fie un șir exact de . Atunci este de lungime finită și sunt de lungime finită.
Demonstrație: se aplică 3.1.4.
Definiție: Două șiruri de compoziție
ale unui modul sunt echivalente dacă și există o bijecție astfel încât pentru orice .
3.2.3. Teorema JORDAN–HÖLDER: Dacă este un modul de lungime finită, atunci orice două șiruri de compoziție ale lui sunt echivalente.
Demonstrație: Pentru orice de lungime finită vom nota cu lungimea celui mai scurt șir de compoziție al lui . Evident .
Fie și
(*)
un șir de compoziție al lui de lungime . Avem de demonstrat că orice alt șir de compoziție:
(**)
al lui este echivalent cu cel precedent.
Evident putem presupune . Vom face demonstrația prin inducție după . Dacă atunci este simplu și este clar că este unicul șir de compoziție al lui . Presupunem că teorema este adevărată pentru orice cu și .
Există două posibilități:
Cazul I: Mn-1 = Np-1 ; atunci:
0 = M0 < M1 <…< Mn-1
și
0 = N0 < N1 <…< Np-1
sunt șiruri de competență echivalente căci λ(Mn-1) ≤ n-1. Cum M/Mn-1=M/Np-1, rezultă că șirurile de compoziție (*) și (**) sunt echivalente.
Cazul II: Mn-1≠Np-1 deoarece Mn-1 este un submodul maximal în M rezultă că Mn-1+Np-1=M, deci:
Deducem că Mn-1∩Np-1 este un subansamblu maximal în Mn-1 ca și în Np-1. Dar conform lui 3.2.2., Mn-1∩Np-1 este un modul de lungime finită, căci Mn-1∩Np-1≤ M. Fie
0 = L0 < L1 < … < Lk = Mn-1 ∩ Np-1
un șir de compoziție al lui Mn-1∩Np-1 (eventual k poate fi 0). Considerăm următoarele șiruri de compoziție ale lui M:
0 = L0 < L1 < … < Lk < Mn-1 < Mn = M
0 = M0 < M1 < … < Mn-2 < Mn-1 < Mn = M
0 = L0 < L1 < … < Lk < Np-1 < Np = M
0 = N0 < N1 < … < Np-2 < Np-1 < Nn = M
Conform cazului I, șirurile (1) și (2) sunt echivalente, deci k=n–2. Rezultă că Np-1 are un șir de compoziție de lungime cel mult n–1 ( λ(Np-1)≤n–1), deci șirurile (3) și (4) sunt echivalente. Dar și , deci (1) și (3) sunt echivalente, ceea ce termină demonstrația teoremei.
Dacă este un modul de lungime finită atunci conform Teoremei JORDAN–HÖLDER, orice două șiruri de compoziție ale lui M au aceeași lungime; această lungime comună se notează cu și se numește lungimea lui . Avem .
3.2.4. Propoziție: Lungimea unui modul este o „funcție” aditivă pe clasa tuturor A – modulelor de lungime finită adică dacă
este un șir de module de lungime finită, atunci
Demonstrație: fie și și
șiruri de comparație pentru și respectiv . Se arată ușor ușor că
este un șir de comparație al lui .
3.2.5. Corolar: Dacă și sunt submodule ale unui modul de lungime finită, atunci
Demonstrație: Cum deducem .
3.2.6. Corolar: Fie o familie finită de . Atunci este un modul de lungime finită sunt module de lungime finită pentru orice caz în care
Demonstrație: Prima parte a corolarului rezultă din 3.2.1. și 3.1.6. Egalitatea din enunț rezultă din 3.2.4. prin inducție după , considerând șirul exact canonic
.
Rezultatul care urmează stabilește identitatea dintre –modulele de lungime finită () și –spațiile vectoriale de dimensiune finită.
3.2.7. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un spațiu vectorial peste un corp :
este finită.
este un –modul de lungime finită.
este Noetherian.
este Artinian.
În plus dacă una dintre afirmațiile de mai sus este îndeplinită.
Demonstrație: (1) (2). Fie și o –bază a lui . Este clar că:
unde este șir de compoziție pentru , deci este de lungime finită.
(2) (3) și (2) (4) în mod evident.
(3) (1) (respectiv (4) (1)). Presupunem că este Noetherian (respectiv Artinian) și totuși nu este finită; există atunci o familie de elemente liniar independente din . Considerăm pentru fiecare subspațiul al lui generat de (respectiv subspațiul al lui generat de ). Este clar că (respectiv este un lanț strict crescător (respectiv strict descrescător) de subspații ale lui , contradicție.
Aplicație:
Fie un modul de lungime finită indecompozabil (un modul se numește indecompozabil dacă și singurii sumanzi direcți ai lui sunt și ). Să se demonstreze că următoarele afirmații sunt echivalente:
este monomorfism.
este epimorfism.
este automorfism.
nu este nilpotent (i.e. ).
=== CAPITOLUL 4. DESCOMPUNERE PRIMARA ===
CAPITOLUL 4.
Descompunere primară
Celebra teoremă a lui EUCLID care afirmă că orice număr natural >2 este în mod unic un produs de numere prime, supranumită și Teorema Fundamentală a Aritmeticii a fost stabilită de mai bine de 2200 de ani. Această Teoremă a fost reluată, adâncită și generalizată de–a lungul anilor și nu greșim dacă afirmăm că ea stă la originea Teoremei descompunerii primare.
În încercarea de a demonstra Marea Teoremă a lui FERMAT enunțată de către P. FERMAT în jurul anului 1637, o serie de matematicieni ai secolului XIX s-au izbit de problema privind analogul Teoremei lui EUCLID în inele de tipul unde și pentru un număr prim p>0. Observând faptul că în general în inele de acest tip un asemenea analog nu funcționează, E. KUMMER și mai târziu R. DEDEKIND au introdus noțiunea de întreg algebric și de ideal, tocmai pentru a înlătura inconvenientul care apărea în privința neunicității descompunerii în factori ireductibili în inelele de întregi algebrici; în aceste inele, DEDEKIND a demonstrat că orice idel propriu se poate scrie în mod unic ca un produs de ideale prime.
Un pas următor a fost făcut de E. LASKER [1905], a cunoscut mai ales ca mare jucător de șah, care introduce noțiunea de ideal primar în inele și și demonstrează existența unei descompuneri rimare pentru orice ideal propriu al acestor inele. Să menționăm că descompunerea unui ideal propriu într-un inel de întregi algebrici ca produs de puteri de ideale prime este identică cu descompunerea idealului, respectiv ca intersecție de aceste puteri de ideale prime, acestea din urmă fiind ideale primare. În memoriul său fundamental, E. NOETHER [1921] extinde într-un mod spectaculos Teorema lui LASKER la inelele care astăzi îi poartă numele.
Teorema lui LASKER–NOETHER, conform căreia orice ideal propriu al unui inel Noetherian se poate scrie ca o intersecție finită de ideale primare, a fost extinsă la cazul modulelor Noetheriene.
În ultimii ani teorema descompunerii primare a fost extinsă și în cazul necomutativ prin considerarea așa–numitelor descompuneri terțiare. S-a definit și o Teorie a descompunerilor secundare care într-un anumit sens duală celei de descompunere primară. Să menționăm totodată că există deverse generalizări ale teoriei descompunerii primare la cazul categoriilor abeliene.
Scopul acestui capitol este de a prezenta, în ordinea în care s-au degajat și evoluat, principalele fapte privind descompunerea primară în inele și apoi descompunerea primară în module.
4.1. nilradicalul și radicalul jacobson al unui inel
Se vor defini și studia câteva din proprietățile de bază ale nilradicalului și radicalului jabcoson al unui inel. Printre altele se demonstrează un rezultat deosebit de util: Lema lui NAKAYAMA.
Fie A un inel; un element se numește nilpotent dacă pentru un anumit . Mulțimea N(A) a tuturor elementelor nilpotente din A se numește nilradicalul lui A.
4.1.1. Propoziție: N(A) este un ideal al lui A și N(A/ N(A)) = 0.
Demonstrație: Dacă N(A) și este clar că N(A). Fie acum N(A); atunci și . Conform formulei binomului lui Newton este o sumă de produse de tipul cu . Nu este posibil să avem simultan și , deci fiecare asemenea produs este 0, și atunci , adică N(A). Rezultă că N(A) este un ideal al lui A.
Fie N(A/N(A)); atunci , deci N(A), de unde pentru un m>0, adică xnm = 0. Rezultă că N(A), deci .
4.1.2. Propoziție: N(A)
Demonstrație: Să notăm: . Dacă N(A), atunci xn = 0 pentru un n>0, deci xn pentru orice . Rezultă că , adică .
Fie acum și presupunem că N(A). considerăm sistemul multiplicativ: .Deoarece N(A) avem. Există cu , deci , absurd. Așadar N(A), deci N(A).
Un ideal prim se numește ideal prim minimal dacă este un element minimal în mulțimea ordonată . Vom nota prin Min(A) mulțimea tuturor idealelor prime minimale ale lui A.
4.1.3. Lemă: Pentru orice există cu.
Demonstrație: În baza Lemei lui Zorn este suficient să demonstrăm că
mulțimea ordonată prin relația „” este inductivă. Fie Y o submulțime nevidă total ordonată a lui P; este suficient să demonstrăm că este un ideal prim al lui A. Pentru aceasta, fie cu ; există atunci cu și (Y fiind total ordonată), deci , adică . Deci .
4.1.4. Propoziție: N(A).
4.1.5. Observații:
Mulțimea ordonată a idealelor prime ale unui inel
Noetherian satisface următoarele:
(i) Condiția ACC.
(ii) Condiția DCC în următorul sens mai tare: există o margine superioară (finită) a lungimii lanțurilor descrescătoare de ideale prime care încep cu un ideal prim dat.
(iii) Numărul idealelor prime între două ideale prime date este zero sau infinit.
(iv) Există doar un număr finit de ideale prime minimale (i.e. Min(A) este o mulțime finită).
Se pune în mod natural întrebarea: pentru care mulțimi ordonate
există un inel comutativ A astfel încât mulțimile ordonate și să fie izomorfe. M. HOCHSTER a demonstrat în 1969 că orice mulțime ordonatăfinită are proprietatea de mai sus. Rezultatele mai noi în această direcție pot fi găsite în HEITMANN [1977].
Vom considera acum un nou ideal al lui A și anume . Acest ideal se numește radicalul jacobson al inelului A. Cum deducem că N(A). Observăm că dacă A este un inel local de ideal maxim m, atunci .
4.1.6. Propoziție: Fie ; atunci .
Demonstație: „” Presupunem că ; atunci , deci există cu . Dar deci , absurd.
„” Presupunem că ; există atunci cu . Deci , de unde deducem că . Rezultă că cu și , adică , absurd.
4.1.7. Lema lui NAKAYAMA: Fie AM un modul finit generat și cu . Dacă , atunci .
Demonstație: Presupunem și fie un sistem minimal de generatori al lui M. Cum , rezultă că astfel încât , deci . Cum , conform lui 3.1.6. rezultă că deci , , adică nu este sistem minimal de generatori, contradicție.
4.1.8. Corolar: Fie AM un modul finit generat, N≤M și . Dacă și , atunci .
Demonstație: Avem . Aplicând Lema lui Nakayama A–modulul finit generat , deducem că , i.e. .
Fie a un ideal arbitrar în A. Notăm: .
se numește radicalul idealului a. dacă este morfismul canonic se observă imediat că (N(A/a)); în particular = N(A). rezultă de asemenea că este un ideal în A.
Vom folosi în continuare notația: . Din 3.1.2. și 3.1.4. rezultă imediat
4.1.9. Propoziție: pentru orice unde este mulțimea elementelor minimale ale mulțimii ordonate .
4.1.10. Propoziție: Fie a și b ideale în A. Au loc afirmațiile:
(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
(5) .
(6) .
(7) pentru orice .
Demonstație: Afirmațiile (1), (2), (3) și (4) rezultă imediat din definiția radicalului unui ideal. Pentru a demonstra (5) este suficient conform lui 3.1.9. să probăm următoarele:
.
Într-adevăr avem: .
Conform lui 1.3.7. , deci:
Incluziunea este evidentă.
6) Conform lui (1) și (2) , deci Fie acum ; atunci pentru un , deci cu și . Așadar și pentru anumiți s,t >0. Rezultă că , deci . În concluzie: .
7) Incluziunea este evidentă; reciproc fie ; atunci pentru un anumit k>0, deci , căci este un ideal prim.
4.1.11. Propoziție: Dacă și sunt două ideale ale lui A astfel încât este finit generat și , atunci pentru un k>0 convenabil.
Demonstrație: Fie un sistem de generatori ai idealului . Cum , rezultă că există s>0 cu pentru orice . Fie și . Atunci y este o sumă finită de elemente de forma: cu ; dar fiecare este o combinație liniară cu coeficienți în A de elementele . Deci este o sumă de termeni, fiecare termen fiind un multiplu de factori, iar fiecare dintre acești factori fiind unul dintre . Printre acești factori cel puțin s corespund unuia și aceluiași indice și deci toate produsele care intervin în scrierea lui aparțin lui . Cu alte cuvinte, .
4.1.12. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian și , există astfel încât . În particular N(A) este un ideal nilpotent (i.e. o anumită putere a lui N(A) este idealul 0).
4.1.13. Corolar: Fie A un inel Noetherian, și . Atunci pentru un anumit .
4.1.14. Corolar: Dacă S este un sistem multiplicativ închis în A, atunci N N(A).
Demonstație: fie N; atunci pentru un , deci există cu . Rezultă că , adică N(A), deci:
N .
Reciproc, dacă N(A), atunci N(A) și , deci pentru un , de unde , adică N.
Definiție: Un inel A se numește redus dacă N(A)=0.
4.1.15. Corolar: Dacă A este un inel redus, atunci pentru orice sistem multiplicativ închis în , este tot un inel redus.
Rezultatul care încheie acest paragraf arată că proprietatea unui inel de a fi redus este o proprietate locală.
4.1.16. Propoziție: Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un inel A:
A este inel redus.
este un inel redus pentru orice .
este un inel redus pentru orice .
Demonstație: (1)(2) rezultă din 3.1.14. iar (2)(3) este evidentă.
Probăm acum implicația (3)(1). Avem N = N pentru orice , deci N(A)=0 conform lui 1.2.3.
Exemplu: Fie N(A) și . Să se demonstreze că .
4.2. IDEALE PRIMARE. DESCOMPUNERE PRIMARĂ ÎNTR–UN INEL
După cum o generalizare a noțiunii de număr prim din este noțiunea de ideal prim, o generalizare a noțiunii de putere a unui număr prim este noțiunea de ideal prim.
După ce se indică o serie de proprietăți generale ale idealelor primare, în paragraful de față se consideră noțiunea de descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) a unui ideal într-un inel. Se demonstrează apoi o Teoremă privind unicitatea radicalilor idealelor primare care apar într-o descompunere primară finită redusă a unui ideal propriu al unui inel , ca și o Teoremă privind unicitatea componentelor primare izolate ale lui .
Definiție: Un ideal al lui A se numește primar dacă îndeplinește următoarele două condiții:
Pentru orice cu rezultă că sau pentru
un anumit .
Definiția unui ideal primar se poate și altfel formula. Reamintim că dacă B este un inel, am notat prim mulțimea divizorilor lui zero din inelul B. Cu această notație rezultă că este un inel primar și N .
Notăm cu Primar(A) mulțimea tuturor idealelor primare din A.
4.2.1. Propoziție:
.
Dacă este un morfism de inele și atunci
.
Dacă sunt două ideale în A, atunci
.
Demonstație:
Avem pentru orice .
Morfismul induce un monomorfism ; dacă
atunci , deci pentru un . Cum și este injectiv deducem că , adică . Așadar , deci este un ideal primar.
Rezultă printr–un raționament analog, observând că .
4.2.2. Propoziție: Dacă , atunci și este cel mai mic ideal prim care include pe .
Demonstație: Fie ; cum rezultă că .
Fie acum cu , deci pentru un . Deducem că sau pentru un , adică sau , deci .
Dacă acum și , atunci .
Fie ; se numește ideal orice ideal primar cu . Vom nota prin mulțimea tuturor idealelor ale inelului A.
4.2.3. Propoziție: Mulțimea este închisă la intersecții finite, i.e. pentru orice familie finită de ideale , .
Demonstrație: Conform lui 1.10. (5), avem. Fie și cu și . Există atunci astfel încât , deci deoarece .
4.2.4. Propoziție: Fie cu . Atunci . În particular, pentru orice și orice , este .
Demonstrație: este clar că avem . Notăm și fie cu și . Atunci , de unde rezultă că există și cu . Dar , deci există cu . Deci cu , conform binomului lui Newton. Rezultă că căci și . Așadar , deci .
Exemplu: În inelul idealele primare sunt exact și cu prim, . În adevar este ușor de probat că aceste ideale sunt primare și că singurele ideale ale lui având radicalul ideal prim sunt cele de mai sus. În general, dacă A este un inel principal și , atunci sau element prim, și cu .
Definiții:
Se numește descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) a unui ideal din inelul A o familie nevidă (respectiv o familie nevidă finită) de ideale primare ale lui A astfel încât .
Inelul A se numește inel cu descompunere primară (respectiv inel Laskerian) dacă orice ideal al lui A, are o descompunere primară (respectiv o descompunere primară finită ).
O descompuner primară (finită sau nu) se numește redusă dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții:
pentru orice .
pentru orice .
Observăm că dacă idealul al lui A admite o descompunere primară finită , atunci grupând termenii intersecției în mod convenabil se obține conform lui 2.3. o descompunere primară finită a lui care îndeplinește condiția (i) de mai sus. Din această descompunere primară se obține una care îndplinește în plus și condiția (ii) eliminând pur și simplu idealele primare pentru care . Așadar din orice descompunere primară finită a unui ideal se poate obține o descompunere primară finită redusă a lui .
Pentru a demonstra o anumită teoremă de unicitate a descompunerilor primare finite avem nevoie de câteva pregătiri.
Fie și două ideale ale lui A. Câtul lui prin este mulțimea: , care este un ideal. Dacă , vom nota în locul lui .
Se probează fără nici un fel de dificultate următoarele proprietăți:
;
;
;
;
.
4.2.5. Lemă: Fie și . Au loc următoarele afirmații:
;
;
.
Demonstație: Afirmația (1) este evidentă.
(2) Dacă atunci (căci ), de unde . Trecând la radicali, obținem . Fie cu și , atunci , deci de unde . Așadar .
(3) Incluziunea este evidentă. Reciproc fie , atunci și , deci , adică .
4.2.6. Teoremă: Fie un ideal A care admite o descompunere primară finită. Dacă este o descompunere primară redusă a lui , atunci:
.
Prin urmare idealele prime nu depind de alegerea unei descompuneri primară redusă a lui , ele depinzând doar de idealul .
Demonstație: Notăm pentru orice . Dacă x este un element arbitrar din A, atunci avem:
,
deci (*)
conform lui 3.2.5., unde .
Presupunem că ; atunci , deci conform lui 1.3.7., rezultă că cu . Cum însă deducem că . Așadar .
Reciproc, pentru orice avem , căci este o descompunere primară redusă, deci există cu . Rezultă că și atunci, din (*) deducem .
Dacă idealul al lui A are o descompunere primară finită vom nota:
unde este o descompunere primară redusă a lui A. Idealele prime , despre care am observat că nu depind de alegerea descompunerii primară reduse a lui se numesc ideale prime asociate lui . Este clar că este un ideal primar are un singur element.
Observație: Pentru orice , unde este clasa lui x module , deci . Dacă E este un A–modul și , atunci este un ideal al lui A numit anulatorul lui z.
Așadar .
Elementele minimale ale lui se numesc ideale primare minimale (sau izolate) asociate lui ; celelalte ideale prime asociate se numesc ideale prime scufundate asociate lui .
4.2.7. Propoziție: Fie un ideal al lui A care admite o descompunere primară finită. Atunci orice (i.e. și ) include un ideal prim minimal asociat lui . Deci mulțimea tuturor idealelor prime minimale asociate lui coincide cu mulțimea tuturor elementelor minimale ale lui . În particular, dacă idealului nul al lui A admite o descompunere primară finită, atunci este o mulțime finită.
Demonstrație: Fie o descompunere primară finită redusă a lui ; dacă atunci , deci , de unde pentru un și atunci va include singur un element minimal din . Se observă că orice element al lui aparține lui .
Exemplu: Idealul din inelul admite două descompuneri primare reduse distincte:
după cum se verifică ușor. Avem .
Așadar este un ideal prim asociat minimal al lui , pe când este un ideal prim asociat scufundat al lui .
Vom studia în continuare comportarea descompunerilor primare finite la localizare.
4.2.8. Propoziție: Fie un sistem multiplicativ închis în și . Atunci:
Dacă , atunci funcția stabilește o bijecție
între și .
Funcția stabilește de asemenea o bijecție între
și .
Demonstrație:
Dacă atunci , deci pentru un .
Reciproc, dacă , atunci căci . Deci . Pe de altă parte, .
Conform lui (1), avem . Dacă
, atunci , deci . Dacă și , atunci pentru un , deci deoarece . Așadar și atunci , conform lui 1.3.4. deci . Reciproc, dacă , atunci este clar că , deci conform lui (1).
Vom demonstra acum că . Înainte de toate avem: conform unei variante a lui 3.1.14. Fie cu și . Atunci cu și , deci există cu , de unde . Cum rezultă că , deci căci , de unde , adică .
Fie , atunci cu .
Conform lui 3.2.1., .Avem ; cum și , din 1.3.4. deducem că , așadar conform lui (2) și 1.3.4. rezultă că afirmația (3) este adevărată.
Rezultă din (3).
4.2.9. Propoziție: Fie S un sistem multiplicativ închis în A și un
ideal al lui A care admite o descompunere primară finită. Fie o descompunere primară redusă a lui și pentru orice . Printr–o renumerotare presupunem că pentru orice și pentru orice , unde m este un număr natural, . Atunci:
și
și în plus, descompunerile de mai sus sunt descompuneri primare reduse.
Demonstrație: Conform lui I.2.2. și III.2.8. avem
,
căci pentru ; în plus este un ideal .
Cum pentru orice , cu și , avem conform lui I.3.4.
Dacă am avea pentru un , , ar rezulta (trecând la idealele contractate) că , contradicție. Așadar , este o intersecție primară redusă. Prin contracție, descompunerea primară de mai sus a lui dă naștere la
care de asemenea este o descompunere primară redusă.
Fie acum un ideal al lui A, care admite o descompunere primară finită. O submulțime nevidă a lui se zice închisă la generizare (sau izolată) dacă pentru orice și pentru orice cu rezultă că . Să considerăm o asemenea mulțime izolată și să punem . Este clar că S este un sistem multiplicativ închis al lui A. Pentru un ideal avem: . Într–adevăr și conform Lemei de evitare I.3.8.
4.2.10. Teoremă: Fie un ideal al lui A admițând o descompunere primară finită. Fie o descompunere primară redusă a lui și pentru orice . Dacă este o mulțime izolată de ideale prime asociate lui atunci idealul nu depinde de alegerea descompunerii primare a lui . În particular, componentele primare izolate ale lui (i.e. idealele primare pentru care este minimal în ) sunt unic determinate de .
Demonstrație: Fie ; atunci pentru orice . Conform celor de mai sus, dacă , atunci , deci conform lui 3.2.9.; deci depinde numai de , deoarece idealele depind numai de .
Observație: Componentele primare scufundate ale unui ideal care admite o descompunere primară finită depind în general de alegerea descompunerii. Mai mult, dacă A este un inel Noertherian, componentele primare scufundate ale unui ideal se pot alege într–o infinitate de moduri.
4.3. DESCOMPUNERE PRIMARA ÎN INELE NOETHERIENE
Scopul principal al acestui subcapitol este de a demonstra Teorema LASKER–NOETHER, orice inel Noetherian A, este Laskerian i.e. orice ideal al lui A, are o descompunere primară finită. În acest caz, are o descriere simplă, ceea ce sugerează definirea Asasinului pentru orice și odată cu aceasta considerarea descompunerilor primare într–un modul.
Ca aplicație a Teoremei LASKER–NOETHER se demonstrează Teorema de intersecție a lui KRULL.
Definiție: Un ideal al lui A se zice ireductibil dacă și pentru orice ideale și în A cu rezultă sau .
Este clar că oice ideal prim al lui A este ireductibil, căci deci sau , adică sau .
Din definiție rezultă de asemenea că idealul al lui A este ireductibil idealul din este ireductibil.
4.3.1. Lemă: Într–un inel Noetherian A orice ideal , este o intersecție finită de ideale ireductibile.
Demonstrație: Presupunem prin absurd că există ideale proprii în A care nu se pot scrie ca intersecție finită de ideale ireductibile. Inelul A fiind Noetherian mulțimea nevidă I a tuturor idealelor , care nu se pot scrie ca intersecție finită de ideale ireductibile are un element maximal . Rezultă că idealul nu este ireductibil, deci există , cu
, ,
Din maximalitatea lui în I rezultă că și , deci atât cât și se pot scrie ca intersecție finită de ideale ireductibile, de unde rezultă că și are aceeași proprietate, adică , contradicție.
4.3.2. Lemă: Dacă A este un inel Noetherian, atunci orice ideal ireductibil al lui A este primar.
Demonstrație: Fie un ideal al lui A, . Am vazut că un ideal ireductibil (respectiv primar) al lui este un ideal ireductibil (respectiv primar) al inelului factor . Înlocuind deci inelul A cu inelul , care este tot Noetherian, rezultă că este suficient să demonstrăm următorul rezultat: dacă este un ideal ireductibil în A, atunci este primar. Fie deci cu și . Lanțul crescător de ideale ale lui A este staționar căci A este Noetherian. Există deci astfel încât . De aici rezultă că . Într–adevăr, dacă , atunci (caci ) și pentru un . Deci , de unde , i.e. . Așadar este un ideal primar.
Din cele două leme de mai sus rezultă imediat.
4.3.3. Teorema LASKER–NOETHER: Orice inel Noetherian este un inel Laskerian.
4.3.4. Corolar: Pentru orice inel noetherian A, este o mulțime finită.
Demonstrație: Se aplică 3.2.7.
Observații: (1) Un ideal primar al inelului Noetherian nu este neapărat ireductibil; într-adevăr, dacă K este un corp și , atunci , deci este un ideal primar al lui A conform 3.2.4. Dar nu este ireductibil, căci și , .
Un inel Laskerian nu este neapărat Noetherian.
4.3.5. Propoziție: Fie A un inel Noetherian și un ideal al lui A, atunci: .
Demonstrație: Trecând de la A la , putem presupune . Fie o descompunere primară redusă a lui 0 și fie pentru orice . Pentru fiecare fie . Deoarece descompunerea primară este redusă, rezultă că . Din demonstrația lui 3.2.6. deducem că pentru orice , , de unde .
Cum este , există cu conform lui 3.1.12., deci . Fie cel mai mic număr natural pentru care .
Există atunci , . Avem , deci . Dar și , deci conform celor demonstrate mai sus, de unde deducem că .
Așadar: .
Reciproc, dacă , atunci , deci conform lui 3.2.6.
În virtutea unei observații făcute înainte de enunțul lui 3.2.7., deducem că: . Mulțimea din partea dreaptă a egalității de mai sus se notează și se numește „Asasinul” .
În paragraful următor se va defini noțiunea de „Asasin” al unui arbitrar.
Ca aplicație a Teoremei de descompunere LASKER–NOETHER vom demonstra în încheierea acestui paragraf un rezultat celebru, datorat lui KRULL. Mai întâi, probăm următoarea
4.3.6. Lemă: Fie A un inel Noetherian, și . Atunci .
Demonstrație: Avem evident . Dacă , nu avem nimic de demonstrat. Dacă , atunci , deci admite o descompunere primară: , cu , . Fie cu . Dacă fie cu , atunci . Dacă fie . Cum avem , deci căci este . În concluzie, .
4.3.7. Teorema de intersecție a lui KRULL: Dacă A este un inel Noetherian și , atunci .
Demonstrație: Conform Lemei precedente,, deci conform Lemei lui Nakayama.
4.3.8. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian local de ideal maxim , atunci .
4.3.9. Corolar: Fie A un domeniu de integritate Noetherian și . Atunci .
Demonstrație: Fie cu . Atunci . A fiind domeniu, morfismul canonic este injectiv, deci .
4.3.10. Observație: O formă mai tare a Teoremei de intersecție a lui KRULL este următoarea:
„Fie un ideal Noetherian A. Atunci pentru orice , (i.e. nu este divizor al lui zero în A)”.
4.4. ASASINUL ȘI SUPORTUL UNUI MODUL
Noțiunea de „Asasin” al unui , introdusă de N. Bourbaki în anul 1961 în Capitolul IV al monografiei sale „ALGÈBRE COMUTATIVE” s-a dovedit a fi foarte utilă și simplificatoare în Algebra Comutativă.
În acest subcapitol vom stabili câteva din prpoprietățile de bază ale lui „Ass”. Alături de acesta vom prezenta și o altă noțiune înrudită și anume noțiunea „Assf” de „Asasin slab”, care pentru cazul inelelor Noetheriene coincide cu noțiunea de „Ass”.
După ce vom indica câteva din proprietățile elementare ale topologiei lui ZARISKI pe mulțimea a idealelor prime ale unui inel A și vom sugera cum anume se pot traduce în limbaj geometric noțiunele și rezultatele de Algebră Comutativă, vom defini noțiunea de „Suport” al lui modul. În continuare vom prezenta legătura între Asasinul și Suportul unui modul finit generat peste un inel Noetherian, după care vom particulariza aceste considerații la cazul modulelor de lungime finită.
Ultima Propoziția a paragrafului precedent conduce în mod natural la următoarea
Definiție: Se numește „Asasinul” mulțimea:
Adeseori vom nota Asasinul lui M mai simplu, prin .Observăm că un ideal prim al lui A se găsește în conține un submodul izomorf cu . Într-adevăr, dacă , atunci și unde este clasa lui modolo .
4.4.1. Propoziție: Pentru orice și pentru orice submodul nenul al are loc .
Demonstrație: Fie , ; atunci cu . Avem căci ; reciproc, dacă atunci , deci și cum , rezultă că . În concluzie, pentru orice , avem , adică .
4.4.2. Propoziție: Fie . Presupunem că există , astfel încât este un element maximal în mulțimea . Atunci .
Demonstrație: Fie cu , unde . Presupunem că ; atunci , deci . Din maximalitatea lui deducem că . Dar , deci , adică (căci evident ) și astfel .
4.4.3. Corolar: Fie A un inel Noetherian și . Atunci .
Demonstrație: Dacă atunci este clar că (afirmație adevărată, pentru orice inel A). Dacă , atunci este o mulțime nevidă de ideale ale lui M, care admite un element maximal deoarece A un inel Noetherian. Se aplică în continuare 3.4.2.
Observație: Corolarul precedent nu este adevărat dacă A nu este inel Noetherian.
Pentru inelele nu neapărat Noetheriene are loc o variantă a lui 3.4.3. dacă în locul „Asasinului” al se consideră așa numitul „Asasin slab” („f” de la cuvântul francez „faible” = slab):
cu elment minimal în . Reamintim că dacă , atunci am notat prin mulțimea .
Dacă , atunci pentru orice , , deci conform lui 3.1.3. inelul are ideale prime minimale, cu alte cuvinte are elemente minimale, deci . Reciproc, dacă atunci este clar că . Așadar .
În general, , dar pentru inel Noetheriene are loc
4.4.5. Propoziție: Dacă A este un inel Noetherian și , atunci .
Demonstrație: Evident, putem presupune că . Dacă atunci cu , deci este un element minimal în , cu alte cuvinte .
Presupunem acum că ; există atunci , astfel încât este un element minimal în . Considerăm mulțimea: de ideale ale lui A. Cum rezultă că , deci A fiind un inel Noetherian, deducem că are elemente maximale. Fie un asemenea element maximal. Vom arăta ca , de unde, ținând cont că este element minimal în , obținem că , adică . fie cu și . Atunci (căci ), deci conform condiției de maximalitate a lui în . Există deci cu și atunci . Dar , deci , deoarece:
.
Cum , deducem că . Din maximalitatea lui în rezultă că . Așadar , deci , ceea ce termină demonstrația.
Dacă , un element se zice divizor al lui zero în M (sau pe M) dacă există , cu ; elementul a se zice non-divizor al lui zero în M sau încă element M-regulat dacă din , rezultă .
Dacă notăm prin endomorfismul lui M de multiplicare cu , numit încă și omotetia lui M definită de a (i.e. ), atunci este clar că a este non-divizor al lui zero în este injectiv.
Vom folosi în continuare pentru notația:
Adeseori vom nota pe mai simplu, prin .
4.4.6. Propoziție: Fie A un inel Noetherian și .
Demonstrație: Presupunem că . Dacă , atunci pentru un , cu . Dar , deci conform lui 3.4.3., avem . Fie ; atunci cu . Cum rezultă că , deci , cu alte cuvinte . Este însă clar că , deci .
Observație: Pentru un inel A nu neapărat Noetherian și un are loc o afirmație similară, înlocuind pe cu : .
4.4.7. Propoziție:
Dacă este reuniunea unei familii de submodule ale
sale, atunci .
Dacă M și N sunt două izomorfe, atunci
Dacă este un șir exact de
module,.
Dacă este o familie de , atunci
.
Demonstrație: (1) rezultă direct din definiția lui .
Fie un izomorfism al lui M pe N. Este clar că
pentru orice , deci .
Conform lui (2) putem presupune că și .
Incluziunea este clară. Fie acum ; există atunci cu , deci . Notăm .
Dacă , atunci
, deci este izomorfcu un submodul al lui , cu alte cuvinte .
Dacă , atunci pentri orice , avem conform demonstrației lui 3.4.1., deci .
Fie . Pentru fiecare submulțime finită L a lui J să
notăm , unde .
Este clar că și că , unde (J) este mulțimea părților finite ale lui J. Pe de altă parte este clar că . Ținând cont de punctul (1) și de punctul (2) rezultă că este suficient să demonstrăm afirmația de la punctul (4) doar pentru cazul când J este o mulțime finită. Folosind un raționament de inducție după cardinalul lui J deducem că ne putem reduce la cazul când cardinalul lui J este 2, deci . În acest caz, avem șirul exact de :
,
de unde, conform punctului (3) deducem:
.
Cum avem și , rezultă că:
.
4.4.8. Corolar: Fie M un și o familie finită de submodule ale lui M. Dacă , atunci: .
Demonstrație: Considerăm morfismul canonic:
unde: este pentru fiecare epimorfismul canonic. Este clar că , deci este un morfism. Se aplică acum 3.4.6.
Vom studia în continuare comportarea lui „Ass” la luarea fracțiilor.
4.4.9. Propoziție: Fie S un sistem multiplicativ închis în A și
.
Atunci:
Aplicația definită prin
este injectivă.
Dacă este finit generată și rezultă că
.
Demonstrație: (1) Reamintim că aplicația definită prin este o bijecție. Dacă , atunci există un șir exact de .
de unde rezultă șirul exact de
.
Dar și , deci . Afirmația privind injectivitatea funcției din enunț este clară deoarece funcția , este bijectivă.
Presupunem acum că și .
Atunci cu . Avem pentru orice , deci cu . Fie . Atunci pentru orice , deci. Reciproc, fie cu ; atunci , deci , adică . Așadar , deci.
4.4.10. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian și M este un , atunci aplicația stabilește o bijecție între și , S fiind un sistem multiplicativ închis în A și
.
Vom arăta că mulțimea a tuturor idealelor unui inel comutativ are în mod natural o structură de spațiu topologic și vom prezenta câteva proprietăți ale acestuia.
Am folosit notația: pentru orice ideal al lui A. Vom extinde notația de mai sus pentru orice submulțime E a lui A: . Dacă este idealul generat de E, este clar că , iar dacă vom nota în locul lui .
4.4.11. Propoziție: Aplicația de la mulțimea a părților lui A la mulțimea a părților lui are următoarele proprietăți:
unde , iar și sunt ideale în A.
Demonstrație: (1), (2), (3) și (4) sunt evidente, iar (5) a fost probat în cursul demonstrației 3.1.10.
Avem și reciproc, dacă atunci
presupunând rezultă că există cu , deci ,
absurd.
Conform lui 3.1.10.(7), dacă atunci,
deci .
4.4.12. Propoziție: Mulțimea a idealelor prime din A are o structură de spațiu topologic, în care mulțimile închise sunt exact mulțimile de forma , unde E parcurge mulțimea a părților lui A. Această topologie se numește topologie spectrală sau topologiea lui ZARISKI pe spațiul .
Demonstrație: Propoziția rezultă din proprietățile (2), (3), (4) și (5) de la 3.4.10.
Dacă este categoria inelelor comutative cu element unitate, iar este categoria spațiilor topologice, atunci:
este un functor contravariant, unde este definit prin: pentru orice . Pentru aceasta trebuie să demonstrăm că este o funcție continuă. Într-adevăr, avem: , adică întoarce mulțimi închise în mulțimi închise. Este apoi clar că dacă: și sunt morfisme de inele, atunci: .
Vom prezenta în continuare cu titlu informativ o teoremă care permite traducerea în limbaj geometric a principalelor noțiuni și rezultate de algebră comutativă. Pe spațiul topologic se poate defini în mod canonic un fascicol de inele având următoarea proprietate: fibra lui într-un punct oarecare este localizatul al lui A în idealul prim . În acest fel, fiecărui inel comutativ cu element unitate A i se asociază un spațiu inelat .
Definiție: O schemă afină este un spațiu inelat ( este un spațiu topologic, iar este un fascicol de inele pe ) izomorf (în categoria spațiilor inelate) cu un spațiu inelat de forma , unde A este un inel. Dacă este categoria schemelor afine atunci are loc următorul rezultat:
4.4.13. Teoremă (GROTHENDIEK [1960]): Functorul contravariant
de la la este o dualitate de categorii (categoria este echivalentă cu duala categoriei ).
Prezentăm câteva proprietăți ale spațiului topologic .
Dacă , vom folosi următoarea notație:
deci se poate considera următoarea funcție:
,
unde L(A) desemnează ca de obicei laticea idealelor lui A. Este clar că:
pentru orice familie de mulțimi ale lui .
4.4.14. Propoziție: Fie A un inel, și . Atunci:
este o mulțime închisă în , iar este un ideal
redical al lui A (un ideal al lui A se zice radical dacă ).
, iar , unde este închiderea lui în
spațiul topologic .
Aplicațiile și definesc bijecții descrescătoare inverse una
alteia între mulțimile închise ale lui și mulțimea idealelor redicale
ale lui A.
Demonstrație: (1) este o mulțime închisă în conform definiției topologiei spectrale.
Avem conform lui 3.1.9.:
Dar
deci căci orice are proprietatea că , deci participă la idealele prime care dau expresia lui ca intersecție de ideale prime.
Avem: .
Presupunem acum că , unde , deci pentru orice avem , de unde și atunci . Pe de altă parte, , deci este cea mai mică submulțime închisă a lui care include pe Y, deci .
Dacă ,atunci și dacă Y este o submulțime
închisă a lui , atunci , conform lui (2), de unde (3).
4.4.15. Corolar: Pentru orice punct al spațiul topologic (pentru orice ideal prim al lui A) închiderea a mulțimii este . Pentru ca mulțimea să fie închisă este necesar și suficient ca .
Demonstrație: Avem .
Am folosit pentru orice notația în locul lui .
Pentru orice vom nota: .
Este clar că este un deschis al lui , fiind complementara mulțimii închise . Evident, .
Mulțimile deschise ale lui de forma cu se numesc mulțimi deschise principale.
Dacă este un ideal al lui A, cum . Conform relaților lui DE MORGAN deducem: , cu alte cuvinte orice mulțime deschisă a lui este o reuniune de mulțimi deschise principale. Așadar familia este o bază de deschiși pentru topologia lui ZARISKI pe .
4.4.16. Propoziție: Spațiul topologic este quasi–compact.
Demonstrație: Cum este o bază a topologiei lui este suficient să demonstrăm că pentru orice familie de elemente din A pentru care: există o subfamilie finită pentru care . Avem: , deci , de unde . Există atunci și astfel încât: , de unde rezultă că și atunci rezultă că: .
Definiție: Se numește suport al mulțimea tuturor idealelor prime ale lui A pentru care ; această mulțime se notează prin sau mai simplu prin .
Rezultă că .
Observație: Este clar că , căci dacă inelul A este nenul, atunci pentru orice . Mai general, pentru orice ideal al lui A, are loc: . Într-adevăr, 4.4.17. Propoziție: (1) Dacă este un șir exact de , atunci: .
În particular cele două izomorfe au suporturile egale.
Dacă este suma unei familii de submodule ,
atunci: .
Demonstrație: (1) Se deduce că pentru orice avem șirul exact de :
,
deci și ,
adică: și
ceea ce demonstrează egalitatea din enunț.
Cum , rezultă că pentru orice
. Într-adevăr, mai general, pentru orice sistem multiplicativ închis
S al lui A are loc egalitatea: , egalitate care se demonstrează astfel: orice este o sumă finită , cu , deci problema se reduce la cazul când I este o mulțime finită.
Rezultă că cu de unde egalitatea din enunț.
4.4.18. corolar: Dacă este o familie de generatori pentru , atunci: , unde pentru fiecare .
Demonstrație: Cum , conform Propoziției precedente deducem că: . Dar , deci , conform unei observații anterioare lui 3.4.15., de unde rezultă că: .
4.4.19. Propoziție: Fie M un finit generat și . Atunci , deci este o submulțime închisă a spațiului topologic .
Demonstrație: Reamintim că: .
Fie un sistem de generatori ai lui M. Conform lui 3.4.16. , unde . Dar este clar că: , deci , de unde: .
În continuare vom prezenta legătura între Asasinul și Suportul unui modul.
4.4.20. Propoziție: dacă M este un , atunci au loc afirmațiile:
pentru orice .
Dacă A este un inel Noetherian, atunci, reciproc, pentru orice
există astfel încât , cu alte cuvinte .
Demonstrație: (1) Fie , deci și . Atunci , deci conform lui 3.4.8. (1) , unde , adică , deci , de unde .
Cum este inel Noetherian și (căci ),
rezultă conform lui 3.4.3. că , deci cu
, cu .
Observație: În cazul când inelul A nu este neapărat Noetherian pentru orice are loc egalitatea analoagă: .
4.4.21. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian, atunci pentru orice are loc incluziunea: și în plus cele două mulțimi de ideale prime au aceleași elemente minimale.
4.4.22. Corolar: Dacă A este un inel Noetherian atunci: .
Demonstrație: Avem și conform lui 3.4.19. și au aceleași elemente minimale. Dar mulțimea elementelor minimale din este și am văzut la 3.1.4. că , deci .
Încheiem acest subcapitol considerând cazul particular al modulelor finit generate peste un inel Noetherian A.
4.4.23. Propoziție: Fie A un inel Noetherian și un finit generat. Există atunci un lanț de submodule ale lui M.
astfel încât cu , pentru orice . În plus, , iar cele trei mulțimi au aceleași elemente minimale care coincid cu elementele minimale ale lui .
Demonstrație: Fie mulțimea tuturor submodulelor lui M care au proprietatea că posedă un lanș de submodule ca în enunț. Avem căci , deci există , cu . Atunci , căci posedă lanțul ca în enunț.
Fie un element maximal al lui , posibil căci M este un Noetherian. Dacă , atunci , deci conform lui 3.4.3. deci există cu și, unde . Rezultă, conform definiției că , căci dacă
este un lanț al lui N în enunț, un lanț pentru cu aceleași proprietăți este:
.
Dar și , ceea ce contrazice maximalitatea lui N. Așadar .
Fie deci un lanț de submodule în M cu pentru orice , cu .
Prin aplicarea repetată a lui 3.4.6. (3), găsim:
Pentru orice , avem:
conform lui 3.4.15., deci: .
Cum și au aceleași elemente minimale (conform lui 3.4.19.) și cum (conform lui 3.4.17.), rezultă că demonstrația Propoziției este completă.
4.4.24. Corolar: Dacă este un modul finit generat peste inelul Noetherian A, atunci este o mulțime finită.
Deducem de asemenea din 3.4.21. că pentru orice inel Noetherian A, este o mulțime finită, rezultat stabilit la 3.3.4. pe altă cale.
Observație: În enunțul lui 3.4.21. este posibil ca . De exemplu, fie A un domeniu de integritate Noetherian care nu este corp și . Atunci , dar pentru orice ideal prim al lui A, se poate găsi un lanț de ideale: cu proprietățile din enunțul lui 3.4.21., căci este un finit generat. Atunci lanțul de ideale: are aceleași proprietăți, dar .
În cazul modulelor de lungime finită peste un inel Noetherian, relația între „Ass” și „Supp” este mult mai stânsă.
4.4.25. Propoziție: fie M un modul finit generat peste inelul Noetherian A. Următoarele afirmații sunt echivalente:
M este un modul de lungime finită.
.
.
Demonstrație: Conform lui 3.4.21., M admite un lanț de submodule:
(*)
cu proprietatea că , pentru orice .
(1) (2) Dacă M este de lungime finită, atunci și este de lungime finită, deci este un de lungime finită pentru orice . Rezultă evident că este un inel Artinian care în plus este domeniu de integritate. Un asemenea inel este însă corp (conform lui 3.6.1.).
Deci și atunci , deducem că: .
(2) (3) Conform lui 3.4.19.
(3) (1) Avem . Deci (*) este chiar un șir de compoziție al lui M, deoarece sunt simple pentru orice .
4.4.26. Corolar: Pentru un modul de lungime finită M peste un inel Noetherian are loc:
Demonstrație: Într-adevăr, orice element din este în acest caz minimal în ; se aplică apoi din nou 3.4.19.
4.5. DESCOMPUNEREA PRIMARĂ ÎNTR–UN MODUL
Scopul acestui subcapitol este acela de a extinde considerațiile din subcapitolele 3.2. și 3.3. privind noțiunile de ideal primar și de descompunere primară, precum și Teorema LARSKEN–NOETHER de la inele la module. Evident că se poate inversa ordinea, prezentând la început cazul modulelor, cazul inelelor fiind apoi obținut printr–o banală particularizare.
S–a expus teoria descompunerii primare în module ca o extindere a celeia în inele, deoarece aceasta a fost și calea naturală în care s–au degajat și au evoluat de–a lungul anilor noțiunile respective, întâi la inele și apoi la module. În acest fel definițiile noțiunilor de rădăcină a unui submodul într–un modul, de submodul primar, de descompunere primară într–un modul rezultă ca o prelungire naturală a definițiilor corespunzătoare în cazul inelelor.
În paragraful de față prezentăm întâi noțiunea de submodul al unui modul în cazul unui inel arbitrar A, folosind noțiunea de rădăcină a unui submodul într–un modul, sau echivalent, noțiunea de „Ass”, după care, prin particularizare la cazul când A este inel Noetherian se obține, definiția curentă a unui submodul primar. Teorema LASKER–NOETHER pentru modulele finit generate peste inelel Noetheriene este apoi obținută folosind intensiv proprietățile lui „Ass” stabilite în subcapitolul precedent.
Fie și . Se numește rădăcină a lui N în M, mulțimea: .
Este clar că , și că . În plus, .
Pentru orice și orice vom nota prin omotetic lui E definită de a, i.e.:
.
Dacă , atunci se zice local nilpotent (respectiv nilpotent) dacă a.î. (respectiv, dacă a.î. ). Este clar că orice endomorfism nilpotent este local nilpotent.
Cu această definiție rezultă că:
.
În cazul și , este exact , conform lemei de mai jos.
4.5.1.Lemă: Fie un modul finit generat și , atunci este nilpotent este local nilpotent.
Demonstrație: Fie a.î. . Dacă este local nilpotent, există a.î. pentru orice . Fie . Atunci pentru orice , deci pentru orice , i.e. este nilpotent.
Putem degaja acum, prin analogie cu definiția noțiunii de ideal primar, noțiunea de submodul primar al unui modul.
Definiție: Un submodul al unui se zice primar dacă:
.
Pentru orice și cu rezultă că sau
.
Un se zice coprimar dacă submodulul este primar în .
Ținând cont că rezultă că este un submodul primar în este un modul coprimar.
Reamintim următoarea notație pentru un , introdusă exact înainte de 3.4.5.:
.
Cu notația introdusă la începutul acestui paragraf, avem:
.
Putem acum reformula noțiunea de modul coprimar și în consecință și pe cea de submodul primar astfel:
este coprimar și .
este submodulul primar în și .
De aici deducem imediat:
4.5.2. Propoziție: Fie , unde . Atunci este submodul primar în pentru orice , omotetia este injectivă sau local nilpotentă.
Are loc un rezultat similar cu cel de la 3.2.2.
4.5.3. Propoziție: Dacă este submodul primar în , atunci este un ideal prim.
Demonstrație: Cum , avem . Fie acum cu ; atunci , und am notat pentru prescurtare , deci . Presupunem că . Atunci , deci căci este submodul primar în , deci . Așadar .
Dacă , se numește al unui modul orice submodul primar al lui pentru care .
4.5.4. Lemă: Dacă este un , atunci:
.
Demonstrație: Fie ; atunci pentru orice există cu și atunci pentru orice , deci pentru orice avem .
Reciproc, presupunem că . Fie . Atunci .
Dar elementele minimale în sunt elemente ale lui , deci ; așadar cu , i.e. . În concluzie .
Rezultatul care urmează dă o caracterizare foarte simplă, în limbaj de „Assf” a modulelor coprimare.
4.5.5. Propoziție: Un este coprimar este constituit dintr-un singur element.
Demonstrație: Presupunem că P este coprimar. Atunci 0 esste un submodul primar al lui P, mai precis dacă . Conform unui rezultat stabilit înainte de 3.4.4., avem . Vom demonstra .
Fie ; conform Lemei precedente . Cum rezultă că există cu element minimal în . Dacă am avea , atunci ar rezulta , deci ar exista cu , deci , și , ceea ce ar contrazice faptul că 0 este submodul primar în P. Așadar , deci .
Reciproc, să presupunem că . Atunci conform Lemei precedente. Arătăm că 0 este un submodul primar în P; fie și cu . Dacă , atunci și fie element minimal în . Rezultă conform definiției că , deci , ceea ce arată că 0 este submodul în P.
4.5.6. Corolar: Un submodul al unui este primar în este constituit dintr-un singur element. În acest caz, dacă , atunci .
Odată precizată noțiunea de submodul primar al unui modul, este clar că noțiunea de descompunere primară a unui ideal se poate extinde la cazul modulelor.
Definiții: Fie M un și . Se numește descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) a lui N în M o familie nevidă (respectiv familie nevidă finită) de module ale lui M, primare în M, astfel încât: .
Modulul M se numește modul cu descompunere primară (respectiv Laskerian) dacă orice submodul N al lui M, are o descompunere primară (respectiv descompunere primară finită) în M.
O descompunere primară (finită sau nu) a lui N în M se zice redusă dacă îndeplinește următoarele două condiții:
pentru orice
pentru orice .
Ca și în cazul inelelor, dacă are o descompunere primară finită, atunci din această descompunere primară se poate deduce o descompunere primară finită și redusă.
Scopul este de a demonstra că orice modul finit generat peste un inel Noetherian este un modul Laskerian. Pentru aceasta avem nevoie de următorul rezultat general.
4.5.7. Propoziție: Fie și . Atunci există astfel încât astfel încât .
Demonstrație: Fie . Cum , deducem că . Conform lui 3.4.6.(1) este o submulțime inductiv ordonată față de „”, deci în virtutea Lemei lui Zorn, are un element maximal N. Atunci .
Arătăm că ; pentru aceasta, fie , atunci , unde , deci . Notăm . Din șirul de : , deducem conform lui 3.4.6.(3):
.
Cum N este element maximal în , avem deci . Așadar:
Cum , deducem obligatoriu:
.
În continuare inelul A va fi presupus Noetherian. În acest caz, pentru orice are loc: , conform lui 3.4.4., deci particularizând rezultatele anterioare la cazul A = inel Noetherian, obținem
4.5.8. Propoziție: Fie A un inel Noetherian, M un și . Următoarele afirmații sunt echivalente:
.
N este un submodul în M.
Pentru orice , omotetia este fie injectivă, fie local
nilpotentă.
Dacă una din aceste condiții este îndeplinită, atunci:
.
4.5.9. Teoremă: Fie A un inel Noetherian și . Atunci pentru orice , și orice există un submodul al lui M, în M astfel încât:
.
Cu alte cuvinte, orice modul peste un inel Noetherian este un modul cu descompunere primară.
Demonstrație: Trecând de la M la , putem presupune că . Conform lui 3.5.6., pentru fiecare , există a.î.:
Să notăm că deoarece , avem (vezi 3.4.3.). Conform lui 3.5.7., este un submodul al lui M.
Fie ; atunci pentru orice , deci
,
deci conform lui 3.4.3. deducem că și Teorema este astfel demonstrată.
4.5.10. Corolar: Orice finit generat M peste un inel Noetherian A este Laskerian.
Demonstație: Dacă , , este o mulțime finită conform lui 3.4.2.1. se aplică în continuare Teorema precedentă.
Observație: Se poate demonstra un rezultat mai tare: orice Noetherian, A fiind un inel nu neapărat Noetherian, este Laskerian.
Rezultatul care urmează stabilește o proprietate de unicitate a descompunerilor primare într-un modul, similară cu cea care are loc pentru descompunerile primare într-un inel (vezi 3.2.6.).
4.5.11. Propoziție: Fie A un inel Noetherian, M un și , , având o descompunere primară finită în M:
.
Fie pentru fiecare .
Atunci:
.
Descompunerea primară a lui N în M este redusă
pentru orice din și .
Dacă este o descompunere primară redusă a lui
N în M, atunci: , pentru orice .
Demonstrație: (i) Rezultă din 3.4.7.
Presupunem că este o descompunere primară redusă.
Pentru fiecare notăm: . Atunci: și , deci și deci , de unde . Dar pentru orice , adică .
Reciproc, să presupunem că pentru orice din și . Dacă am avea pentru un anumit , atunci ar rezulta , deci: , adică , absurd. Așadar, descompunerea primară din enunț este redusă.
Fie . Avem: , deci:
conform lui 3.4.7. Dar , deci și atunci .
Pe de altă parte, din șirul exact de :
deducem:
deci neapărat: .
4.5.12. Corolar: Fie A un inel Noetherian, M un finit generat și , . Atunci o descompunere primară a lui N ca în 3.5.8.:
este redusă.
Dacă este o descompunere primară redusă a lui N în M, atunci:
.
4.6. INELE ARTINIENE
Scopul principal al acestui subcapitol este de a demonstra câteva rezultate clasice privind inelele Artiniene comutative: Teorema HOPKINS-LEVITZKI, Teorema lui AKIZUKI și Teorema de structură a inelelor Artiniene comutative.
4.6.1. Lemă: Un domeniu de integritate este inel Artinian dacă este corp.
Demonstrație: Implicația „” este evidentă. Presupunem acum că este un inel Artinian și fie . Obținem un șir descrescător de ideale:
deci există cu ; atunci pentru un , de unde, , căci este un domeniu de integritate. Așadar , deci este un corp.
4.6.2. Propoziție: Dacă este un inel Artinian, atunci .
Demonstrație: Fie ; atunci este un domeniu de integritate Artinian, deci un corp conform Lemei precedente. Așadar . Cum , avem egalitatea din enunț.
4.6.3. Corolar: Dacă este un inel Artinian, atunci .
4.6.4. Propoziție: Orice inel Artinian este un inel semilocal.
Demonstrație: Fie mulțimea tuturor intersecțiilor finite de ideale maximale ale lui . Inelul fiind Artinian, rezultă că are un element minimal, fie acesta . Pentru orice avem:
căci și este element minimal al lui . Așadar:
,
de unde pentru un anumit . Cum deducem că , deci .
4.6.5. Propoziție: Dacă este un inel Artinian, atunci este un idal nilpotent.
Demonstrație: Pentru prescurtare, notăm . Cum , deducem că: pentru un . Presupunem și notăm: . Este clar că căci , deci . Fie un element minimal al lui ; atunci , deci există cu , iar , deci din minimalitatea lui . Avem: și , deci , de unde deducem că pentru un . Rezultă că: . Dar și deci este nilpotent, de unde pentru un anumit , contradicție. Așadar .
4.6.6. Lemă: Fie un inel având proprietatea că , unde sunt ideale maxime în , nu neapărat distincte. Atunci este Noetherian este Artinian.
Demonstrație: Considerăm lanțul de ideale ale lui :
Fiecare factor are proprietatea că , deci poate fi înzestrat în mod canonic cu o structură de , definind: pentru orice și . Definiția este corectă, căci (deoarece ) deci . În plus laticea –submodulelor lui coincide cu laticea –submodulelor lui , deci este Artinian (respectiv Noetherian) este Artinian (respectiv Noetherian).
Dar este un corp, deci rezultă că este Artinian este Noetherian.
Pe de altă parte, se deduce că este Artinian (respectiv Noetherian) este Artinian (respectiv Noetherian) pentru orice . Așadar este Artinian este Noetherian.
4.6.7. Teorema HOPKINS-LEVITZKI: Orice inel Artinian este inel Noetherian.
Demonstrație: Conform lui 3.6.4., este un inel semi-local, deci este o mulțime finită . Aplicând 3.6.5., deducem că pentru un , deci:
Conform lemei precedente, deducem că , este un inel Noetherian.
Observații:
Are loc un rezultat uni general și anume: „Orice inel unitar nu
neapărat comutativ, Artinian la stânga este Noetherian la stânga”, rezultat stabilit în anul 1939 în mod independent de către C. HOPKINS și J. LEVITZKI. Reamintim că un inel nu neapărat comutativ se numește Artinian la stânga (respectiv Noetherian la stânga) dacă mulțimea ordonată a tuturor idealelor la stânga ale lui este Artiniană (respectiv Noetheriană).
Un modul Artinian nu este neapărat Noetherian.
4.6.8. Teorema lui AKIZUKI: Fie un inel Noetherian în care . Atunci este un inel Artinian.
Demonstrație: Se aplică 3.4.23. pentru , oservând că .
Indicăm și o altă demonstrație care nu face apel la 3.4.23.
Conform lui 3.3.3., este o mulțime finită. Din ipoteză rezultă că , deci: . Cum pentru un rezultă că:
și apoi se aplică 3.6.6.
Cuplând cele două teoreme de mai sus obținem
4.6.9. Teoremă: Un inel este Artinian este Noetherian și .
4.6.10. Corolar: Dacă este un inel Artinian local de ideal maximal , atunci este un ideal nilpotent.
4.6.11. Corolar: Fie un inel local Noetherian de ideal maximal . Atunci una și numai una dintre afirmațiile următoare este adevărată:
pentru orice ;
pentru un anumit în care caz rezultă că este un
inel Artinian.
Demonstrație: Presupunem că pentru un ; atunci , deci conform Lemei lui Nakayama 3.1.7., deducem . Fie . Cum rezultă că deci . Se aplică în continuare 3.6.8.
Definiție: Două ideale și ale unui inel se zic comaximale dacă .
Este clar că și sunt comaximale și sunt comaximale. Într-adevăr dacă , atunci , deci ; reciproc, dacă și totuși , fie cu , deci și , de unde , absurd.
Regula de aflare a soluției unui sistem de congruențe liniare,care esențialmente este echivalentă în cazul cu rezultatul care urmează, a fost găsită de vechii chinezi care se ocupau de întocmirea calendarului, între secolele IV și VII e.n., fiind utilizată de ei pentru găsirea perioadelor comune ale anumitor fenomene astronomice. De aici derivă și denumirea dată mai jos.
4.6.12. Lema chineză a resturilor: Fie un inel, , și ideale în astfel încât pentru orice , , și sunt comaximale. Atunci:
Morfismul , definit prin
(unde este pentru fiecare epimorfismul canonic) este
surjectiv și induce un izoomorfism: .
Demonstrație: Vom raționa prin inducție după . Dacă , atunci avem evident și deoarece rezultă că:
,
deci .
Presupunem relația din enunț adevărată pentru ideale și o demonstrăm pentru . Notând , avem , deoarece altfel, decă , ar exista cu , de unde , deci pentru un . Cum , deducem , absurd deoarece și sunt comaximale.
Vom demonstra întâi că pentru orice există astfel încât:
Cum pentru orice , există și cu . Notând , avem:
.
Dacă , atunci există pentru fiecare un cu . Să considerăm elementul din , unde sunt elemente construite anterior. Atunci, pentru fiecare , avem și pentru orice , deci , cu alte cuvinte
,
adică este o surjecție.
Evident , de unde, aplicând teorema fundamentală de izomorfism pentru inele deducem izomorfismul dorit.
4.6.13. Lemă: Fie un inel Artinian cu . Dacă este un indice de nilpotență al lui (i.e. ), atunci:
este o descompunere primară redusă a lui în , în plus, pentru orice altă descompunere primară redusă a lui în :
rezultă și , cu alte cuvinte idealul are o descompunere primară redusă în unică în sens tare.
Demonstrație: Conform demonstrației lui 3.6.7., avem: . Dar și sunt comaximale pentru , deci și sunt comaximale căci și , de unde aplicând 3.6.12.(1), rezultă că:
(*)
Conform lui 3.2.4., este pentru orice . Mai rămâne de demonstrat că descompunerea primară (*) este redusă; dacă am avea pentru un
,
atunci ar rezulta că:
,
deci , de unde pentru un , adică , absurd.
Unicitatea în sens tare a descompunerii primare a lui rezultă acum din 3.2.10.
Remarcă: Cu notațiile din Lema de mai sus, pentru orice avem , deci ținând cont de unicitatea descompunerii primare a lui în , rezultă că , pentru orice .
4.6.14. Teoremă de structură a inelelor Artiniene: Fie un inel Artinian și
unica descompunere primară redusă a lui în , und pentru fiecare , este . Atunci au loc afirmațiile:
Pentru orice , morfismul canonic
este surjectiv și .
Injecția canonică:
este un izomorfism de inele, deci conform lui (1), morfismul canonic:
este un izomorfism de inele.
Demonstrație: (1) Conform cu 3.6.13., rezultă că există astfel încât:
pentru orice și orice .
Fie fixat; să notăm pentru prescurtare . Inelul este local de ideal maximal , deci pentru orice , unde este surjectivă canonică, așadar . Folosind proprietatea de universalitate a inelelor de fracții deducem că există un morfism de inele:
astfel ăncât diagrama:
să fie comutativă. Mai precis este definit astfel:
.
Afirmăm că morfismul este injectiv. Într-adevăr, dacă , atunci , deci , adică . Dar este un inel Artinian local, deci este nilpotent lui 3.6.5. fie cu , i.e. . Dacă este cel mai mare dintre numerele și , atunci și . Rezultă că , deci , cu alte cuvinte este injectiv. Cum este surjectiv, rezultă că este surjectiv și este izomorfism, deci .
Se folosește 3.6.12.
Observație: Teorema de mai sus se poate extinde la cazul modulelor de lungime finită peste un inel Noetherian.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Descompunerea Primara In Inele (ID: 149283)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.