Conditii de Finitudine Pentru Module
CUPRINS
bibliografie
Bibliografie
T. Albu și C Nartasescu – ”Relative Finiteness in Module Theory” – Dekker, New York, 1984;
2. F.W. Anderson si K.R.Fuller – ”Rings and categories of modules”. Springer Verlag New-York 1974;
3. A.W. Chatters și S.M. Khuri – ”Endomorphism rings of modules over nonsingular CS rings”, J. London Math. Soc. 21 (2) (1980), 434-444;
C.Faith – ”Lectures in injective modules and quotient rings”, Lecture Notes in Mathematics Vol. 246 Spring – Verlag Heidelberg, 1972;
J. Hutchinson și I. Zelmanowitz – „Quotient rings of endomorphism rings of modules with zero singular submodule” Proc. Amer Math Soc 35 (1972) 16 – 20
6. D. Handelman – ”Coordinatization applied to finite Baer*-rings” Trans. Ames. Math. Soc. 235/ 1978/ I – 34;
7. S.M. Khuri – ”Corespondence theorems for modules and their endomorphism rings”, J. Algebra 122 (1989), 380-396;
8. S.M. Khuri – „Endomorfism rings of nonsingular modules”. Ann Sci. Math. Quebec 4 (1980) 145 – 152
S.M. Khuri – ”Modules whose endomorphism rings have izomorphic maximal left and right quotient rings”, Proc. Amer. Math. Soc. 85,161-164;
10. S.M. Khuri – ”Modules with regular, noetherian or artinian endomorphism rings in Non Commmutative Ring Theory” , Lecture Notes in Mathematics, vol 1448. Ids, S.K. Jain and SR – Lopez – Permouth, p 7-18;
11. B.R. Mac-Donalds – „Endomorfism rings of infinitely generated projective modules”, J. Algebra 45 (1977) 69 – 82;
12. B.I. Muller – ”The quotient category of a Morita context”, J. Algebra 28, 389-407;
13. O. M. Tsukerman – „The ring of endomorfism of a free modules” Sibirsk, Mat. Zh 7 (1966) 1161 – 1167
14. R.G. Wolfson – ”Baer rings of endomorfism”, Math Ann 143 (1691) 19 – 28;
15. B. Zimmerman-Huisgen – ”Endomorfism rings of self-generators”, J Math, 61 (1975) 587 – 602;
=== 1+2 ===
Condiții de finitudine pentru inele de endomorfisme
Anulatori și conexiuni Galois
Scopul acestei secțiuni este să indice două conexiuni Galois duale, natural asociate fiecărei perechi de R-module drepte, și să descrie obiectele Galois corespunzătoare.
Fie M, N Mod-R și notăm S = HomR(M, N). Pentru fiecare submulțime X a lui M și fiecare submulțime Z a lui S putem defini:
lS(x) = {f S | f (x) = 0, pentru toți x X}
rM(z) = {x M | f(x) = 0, pentru toți f Z}
observăm că ls(x) = ls(<x>), unde <x> este submodulul lui M generat de X și că
ls(x) = {f s | X Ker (f)
rM(z) =
Astfel, definițiile lui ls și rM pot fi date dacă luăm în locul lui Mod-R, orice categorie abeliană care posedă intersecții arbitrare (orice categorie abeliană completă).
Propoziție 1.1. Fie M, N Mod-R și S = HomR(M, N). Atunci:
X1 X2 M ls(X1) ls(X2)
Z1 Z2 S rM(Z1) rM(Z2)
X rM(ls(x)) și z ls(rM(z)) pentru fiecare x s
ls(x) = ls(rM(ls(x))) și rM(z) = rM(ls(rM(z))) pentru fiecare x M, z s.
Demonstrație. (1) și (2) sunt evidente
(3) Fie f ls(x); atunci X Ker(f) așa că X = rM(ls(x)). Fie f Z, atunci rM(z) = ker(f) așa că f ls(rM(z)).
(4) rezultă imediat din (1), (2) și (3).
Fie Y o submulțime a lui N și Z o submulțime a lui S. putem defini acum dual
= {f S | Im(f) <y>}
Evident = , deci definițiile anterioare pot fi date pentru orice categorie abeliană completă.
Propoziția 1.2. Fie M, N Mod-R și S = HomR(M, N). Atunci
Y1 Y2 N
Z1 Z2 S
și pentru fiecare Y N și Z S.
și pentru fiecare Y N și Z S.
Demonstrație. (1) și (2) sunt evidente
(3) Avem , deoarece Im(f) <Y> pentru toți f .
Fie acum f Z; atunci Im(f) deci f
(4) rezultă imediat din (1), (2) și (3).
Evident HomR(M, N) are o structură canonică de End(NR)-End(MR) bimodul; pentru fiecare submulțime X a lui M și fiecare submulțime Y a lui N1 ls(x) este un submodul al End(NR)-modulului stâng HomR(M, N) și este un submodul al End(MR)-modulului drept HomR(M, N).
Propozițiile 1.1 și 1.2 pot fi reformulate utilizând noțiunea de conexiune Galois.
Reamintim că conexiunea Galois dintre două mulțimi parțial ordonate A și B este o pereche de aplicații descrescătoare
: A → B și : B → A ce satisfac condițiile:
a ( o )(a) pentru toți a A și
b ( o )(b) pentru toți b B.
Dacă a A (respectiv b B) putem nota pe scurt cu a’ (respectiv b’) elementele (a) (respectiv (b) ); atunci un element x din A sau B se spune că este un obiect sau element închis (sau Galois) al lui A sau B dacă x = x”.
Notăm cu = (B) și = (A). Din definiția unei conexiuni Galois, rezultă direct că x’ = x”’, pentru fiecare element x al lui A sau B, deci și constă exact din toate elementele închise ale lui A, respectiv B.
Reamintim că o mulțime parțial ordonată L este noetheriană (sau satisface ACC) dacă nu există nici un lanț strict ascendent infinit x1 < x2 < … în L, și antiniană (sau satisface DCC) dacă nu există nici un lanț strict descrescător infinit x1 > x2 > … în L. Aceste condiții de lanț pot fi de asemenea formulate ca și condiții de maxim (respectiv minim). L este noetheriană (respectiv antiniană) dacă și numai dacă fiecare submulțime nevidă a lui L are un element maximal (respectiv minimal). L se spune că este de lungime finită dacă ea este atât noetheriană cât și antiniană.
Propoziția 1.3. Fie : A → B și : B → A o conexiune Galois între A și B și , restricțiile lui și la mulțimile de obiecte Galois. Atunci și sunt bijecții inverse una celeilalte. Mai mult, satisface ACC (respectiv DCC) dacă și numai dacă satisface DCC (respectiv ACC).
Demonstrație. Fie b ; atunci b = (a) pentru un anumit a A, deci ( o )(b) = (((a))) = a”’ = a’ = (a) = b. Similar ( o )(a) = a, pentru toți a .
Putem acum aplica aceste considerații generale cazului nostru particular. Prin L(ER) vom nota laticea tuturor submodulelor unui R-modul drept E; dacă L este o latice, atunci Lop reprezintă laticea opusă a lui L mulțimea L ordonată de ordinea opusă.
Propoziția 1.4. Fie M, N Mod-R și S = HomR(M, N).
Atunci aplicațiile:
ls : L(MR) → definită prin X →ls(x)
rM : → L(MR) definită prin Z → rM(Z) definește o conexiune Galois.
Dual aplicațiile:
: L(NR)op → definită prin Y →
: →L(NR)op definită prin Z → definesc o conexiune Galois.
Notațiile , , și vor fi folosite pentru a desemna obiectele închise ale laticilor corespunzătoare. Fiecare element al acestor mulțimi satisface așa-numita condiție a dublului anulator, și reciproc (X X = rM(ls(x)).
Observăm că aplicațiile ls, rM, , pot fi considerate de asemenea, după cum urmează:
P(M) P(S) P(N)op P(S)
unde P(E) reprezintă pentru fiecare mulțime E laticea tuturor submulțimilor lui E. evident, găsim pe această cale conexiunile Galois, și etc.
Reamintim că dacă U Mod-R, un R-modul E se spune că este generat (respectiv finit generat) de U (sau U-(finit) generat), dacă există un epimorfism U(I) → E pentru o anumită mulțime (respectiv mulțime finită) I. Clasa tuturor R-modulelor generate (respectiv finit generate) de U va fi notată cu Gen(U) (respectiv FGen(U) ). Evident Gen(U) = Mod-R dacă și numai dacă U este un generator al categoriei Mod-R.
Dual, E se spune că este cogenerat (respectiv finit cogenerat) de U (sau U-(finit) cogenerat) dacă există un monomorfism E → UI pentru o anumită mulțime (respectiv mulțime finită) I. Clasa tuturor R-modulelor cogenerate (respectiv finit cogenerate) de U va fi notată prin Cog(U) (respectiv FCog(U)). Evident Cog(U) = Mod-R dacă și numai dacă U este un cogenerator al categoriei Mod-R.
Propoziția 1.5. Fie M, N Mod-R, S = HomR(M, N), X L(MR) și Y L(NR). Atunci:
X x = rM(ls(x)) M / X Cog(N)
Y y = Y Gen(M)
Demonstrație. (1) X x = rM(ls(x)) este evidentă. Presupunem că x = rM(ls(x)) și notăm Z = ls(x). Definim un morfism de R-module.
: M → NZ; (x) = (f(x))fZ
atunci Ker() = {x M | f(x) = 0, pentru toți f Z} = rM(z) = = rM(ls(x)) = x
așa că induce un morfism
M / X → NZ adică M / X Cog (N)
Reciproc, presupunem că M / X Cog(N), atunci există o mulțime I și un monomorfism M / X → NI, deci există o familie (fi)i I cu fi S așa încât X = . Atunci X rM(ls(x)) = = X așa că X = rM(ls(x)).
(2) Presupunem că Y = și notăm cu Z = . Să definim morfismul de R-module.
: M(Z) → Y, ((xf)fZ) =
Deoarece Y = = , deducem că este un epimorfism, adică Y Gen(M).
Reciproc, presupunem că Y Gen(M). Atunci există o mulțime I și un epimorfism M(I) → Y, deci există o familie (fi)iI cu fi HomR(M, Y) HomR(M, N) așa încât Y = . Atunci Y = = așa că Y = .
Corolar 1.6. Fie M, N Mod-R și s = HomR(M, N). Dacă N este un cogenerator al lui Mod-R, atunci fiecare X L(MR) satisface condiția dublului anulator ( X = rM(ls(x)) ), și dacă M este un generator al lui Mod-R, atunci fiecare Y L(NR) satisface condiția dublului anulator (Y = ).
Vom analiza acum cazul particular M = N. Atunci S = End(MR) este un inel. Pentru fiecare submulțime nevidă Z a lui S putem nota:
Annr(z) = {g S | f o g = 0, pentru toți f Z}
Annl(z) = {g S | g o f = 0, pentru toți f Z}
Propoziția 1.7. Pentru fiecare submulțime nevidă Z S = End(MR) avem:
Annr(z) =
Annl(z) =
Demonstrație. = {g S | Im(g) rM(z)} = {g S | Im(g) } = {g S | f o g = 0 pentru toți f Z} = Annr(z)
= {g S | Ker(g)} = {g S | Ker(g)} = {g S | g o f = 0, pentru toți f Z} = Annl(z).
Încheiem această secțiune dând un criteriu referitor la condiția Acc pe obiectele Galois ale unei conexiuni Galois. Acest criteriu este esențial datorat lui Faith.
Propoziția 1.8. Fie R1 și R2 două inele, M1 Mod-R1, M2 Mod-R2 (sau M2 R2-Mod) și A (respectiv B) laticea tuturor submodulelor lui M1 (respectiv M2).
Fie : A → B și : B → A o conexiune Galois și presupunem că următoarea condiție este satisfăcută:
(*) pentru fiecare familie nevidă (xi)iI a lui A. atunci laticea a tuturor obiectelor închise ale lui A este noetheriană dacă și numai dacă fiecare X A conține un submodul finit generat X’ astfel încât (X’) = (X).
Demonstrație. Presupunem că este o latice noetheriană. Atunci din 1.3 este o latice artiniană. Fie X A, atunci L = {(U) | U este un submodul finit generat al lui X} este o mulțime nevidă a lui , deci L are un element minimal, să zicem (X’). Din minimalitatea lui (X’) avem (X’) = (X’ + xR1) pentru toți x X. Deci (X) = .
Reciproc, fie X1 X2 X3 … un lanț ascendent de elemente din . Notăm cu X = . Din ipoteză, există un submodul finit generat X’ al lui X, cu (X’) = (X). deoarece X’ este finit generat, există un întreg k 1 astfel încât X’ Xn pentru toți n k. Atunci, pentru toți n k avem X ((x)) = ((x’)) ((xn)) = xn, deoarece xn este închis, așa că X =Xn pentru toți n k.
Corolar 1.9. Fie M, N Mod-R și S = HomR(M, N). Atunci:
este o latice noetheriană (sau echivalent este o latice artiniană) dacă și numai dacă pentru fiecare submodul X MR există un submodul finit generat X’ < X cu ls(x’) = ls(x);
este o latice noetheriană (sau echivalent este o latice artiniană) dacă și numai dacă pentru fiecare submulțime Z S există o submulțime finită Z’ Z astfel încât rM(Z’) = rM(Z);
este o latice noetheriană (sau echivalent este o latice artiniană) dacă și numai dacă pentru fiecare submulțime Z S, există o submulțime finită Z’ Z astfel încât .
Demonstrație. Aplicațiile ls, rM și au evident proprietatea (*) din 1.8. Observăm de asemenea că pentru fiecare submulțime Z a lui S rM(Z) = rM(<Z>e), unde <z>e este submodulul lui End(NR)S generat de Z și , unde <Z>r este submodulului SEnd(MR) generat de Z. Aplicăm acum 1.8.
Aplicații la condiții de lanț pe HomR(M, N)
De-a lungul acestei secțiuni M și N vor fi două R-module drepte fixate, S = HomR(M, N), A = End(MR) și B = End(NR). Atunci S este canonic cu B-A bimodul BSA.
În această secțiune vom investiga condițiile dublului anulator și condițiile de lanț pe modulele BS și SA, presupunând că R-modulele date MR și NR satisfac câteva condiții de lanț și câteva condiții de injectivitate sau proiectivitate relativă. Câteva rezultate clasice datorate lui Fisher (1973), Harada (1970), Harada și Ishii (1972), Johnson și Wong (1961) etc., sunt atunci ușor obținute într-o manieră unificatoare.
Definiție. Un submodul X al lui M (respectiv un submodul Y al lui N) se spune că este finit închis dacă M / X FCog(N) (respectiv Y FGen(M) ). Vom nota cu (respectiv ) mulțimea tuturor submodulelor finit închise ale lui M (respectiv N). din 1.5. avem: și .
Propoziția 2.1. Fie M, N Mod-R, S = HomR(M, N) și B = End(NR). Presupunem că N este cvasiinjectiv.
Dacă Z este un submodul închis al lui BS ( Z = lS(rM(Z)), atunci Z + Z0 este de asemenea un submodul închis al lui BS pentru fiecare submodul finit generat Z0 al lui BS. În particular fiecare submodul finit generat al lui BS este închis.
ls(x1 + x2) = ls(x1) ls(x2) pentru fiecare X1, X2 L(MR).
ls(x1 x2) = ls(x1) + ls(x2) pentru fiecare submodule finit închise X1, X2 din MR.
mai mult, dacă N este un R-modul injectiv, atunci afirmația (3) are loc pentru fiecare X1, X2 L(MR).
Demonstrație. (1) Este suficient să considerăm numai cazul z0 = Bf, f S. Din 1.1., Z + Bf ls(rM(Z + Bf)). Fie g ls(rM(Z + Bf)) și definim : f(rM(Z)) → g(rM(Z)) prin (f(x)) = g(x), x rM(Z). este bine definită deoarece f(x) = f(x’) x – x’ rM({f}) x – x’ rM({f}) rM(Z) = rM(Z + Bf) g(x – x’) = 0. N fiind QI, există un morfism care face diagrama de mai jos comutativă:
Notăm h = o f – g. Fie x rM(Z): atunci h(x) = ( o f – g)(x) = (f(x)) – g(x) = g(x) – g(x) = 0. Deci h ls(rM(Z)) = Z, adică o f – g Z și astfel g Z + Bf. Astfel ls(rM(Z + Bf)) Z + Bf și în consecință Z + Bf = ls(rM(Z + Bf)). (2) este evident; (3) Incluziunea ls(x1) + ls(x2) ls(x1 x2) este clară.
Să considerăm acum f ls(x1 x2), atunci f(x1 x2) = 0.
Considerăm diagrama:
unde p1, p2 și i1, i2, i sunt aplicațiile naturale și g este indus de f.
Deoarece M / X1, M / X2 FCog(N), există doi întregi k, s 1 și două monomorfisme M / X1 → Nk, M / X2 → NS. Dar N este QI, deci N este Nk injectiv și astfel N este M / X1 injectiv; într-un mod similar, N este M / X2-injectiv, deci N este (M / X1) (M / X2)-injectiv. Rezultă că există un morfism h : (M / X1) (M / X2) → N pentru care diagrama anterioară este comutativă.
Notăm h1 = h o i1 o p1 și h2 = h o i2 o p2, unde i1, i2, p1, p2 sunt aplicațiile canonice. Este ușor de verificat că f = h1 + h2 și h1 ls(x1), h2 ls(x2). Astfel ls(X1 X2) ls(X1) + ls(x2).
rezultă din demonstrația lui 3.
Corolar 2.2. (Sandomievski, 1972b, Miller și Turnidge 1973a)
Fie N un R-modul drept QI și M un R-modul arbitrar. Notăm cu S = HomR(M, N) și B = End(NR). Atunci ls și rM stabilesc corespondente bijective una alteia între mulțimea a tuturor submodulelor finit închise ale lui MR și mulțimea L(BS)f a tuturor submodulelor finit generate ale lui BS.
Demonstrație. Fie X ; atunci există un întreg k 1 și un monomorfism M / X → Nk. deoarece N este QI, N este Nk-injectiv, deci avem șirul exact HomR(Nk, N) → HomR(M / X, N) → 0 de B-module stângi. Astfel HomR(M / X, N) = ls(x) este un B-modul stâng, finit generat, deoarece HomR(Nk, N) BBk.
Reciproc, dacă z BS este un submodul finit generat al lui S atunci z = Bf1, + … + Bfs, cu fi S, deci rM(z) = și astfel avem monomorfismul: M / rM(z) → Ns cu x + rM(z) → (f1(x), …, → fs(x)). Atunci rM(z) .
În consecință ls și rM induc aplicații între și L(BS)f. Mai mult, X = rM(ls(x)) pentru toți X din 1.5. (1) și z = ls(rM(z)) pentru toți z L(BS)f din 2.1. (1). Aceasta completează demonstrația.
Corolar 2.3. Fie N un R-modul QI, M un R-modul S = HomR(M, N) și B = End(NR). Atunci:
BS este noetherian dacă și numai dacă Mr are dcc pe submodulele (finit) închise. În particular, dacă MR este artinian, atunci BS este noetherian.
BS este un modul coperfect ( are dcc pe submodulele finit generate – sau ciclice) dacă și numai dacă MR are acc pe submodulele finit închise. În particular, dacă MR este noetherian, atunci BS este coperfect.
Corolar 2.4. (Harada și Ishii, 1972). Dacă MR este QI și artinian, atunci End(MR) este un inel noetherian stâng.
Corolar 2.5. (Fisher, 1973; Harada și Ishii 1972). Dacă MR este QI și noetherian, atunci End(MR) este un inel semiprimar.
Demonstrație. Din 2.3 (2) A = End(MR) este un inel la dreapta perfect, deci A / J este un inel artinian semisimplu Si J este T-nilpotent la dreapta, unde J este radicalul Jacobson al lui A din binecunoscuta teoremă a lui Bass (vezi Anderson și Fuller 1973 pag. 315). Completăm demonstrația arătând că J este nilpotent.
Lanțul descrescător de ideale bilaterale ale lui A
J J2 … Jm ….
duce la un lanț ascendent de submodule ale lui MR.
rM(J) rM(J2) …
Deoarece MR este noetherian, există un întreg n așa încât rM(Jn) = rM(Jn + 1) = X. Observăm că am folosit numai faptul că MR satisface acc pe submodulele închise.
Dar MR are de asemenea, o structură canonică de A-modul la stânga și X este un submodul al lui AM. Presupunem că X M, atunci 0 Soc(AM / X) = Y / X M / X, deoarece A este un inel semiartinian la stânga, unde Soc(AE) reprezintă soclul lui AE. Atunci J(Y / X) = 0, deci JY X așa că Jn + 1Y JnX = Jn rM(Jn) = 0. Rezultă că Y rM(Jn + 1) = rM(Jn) = X X = Y, o contradicție.
Astfel X = M și atunci rM(Jn) = M; în consecință Jn ls(rM(Jn)) = ls(M) = 0. Demonstrația este acum completă.
Cazuri particulare.
În continuare dorim să obținem câteva rezultate clasice ca aplicații la 2.1.
Întâi, considerăm cazul MR = RR. astfel S = HomR(R, N) N deci, pentru fiecare X R și Z S, ls(x) poate fi identificat cu lN(x) = {n N | nX = 0} și rM(z) poate fi identificat cu rR(Y) = {r R | Yr = 0}, unde Y este submulțimea lui N care corespunde lui Z prin izomorfismul canonic S N.
Cu aceste identificări conexiunea Galois dată în 1.4 L(MR) L(End(Nr)S) devine în cazul particular MR = RR următoarea conexiune Galois: L(RR) L(BN), unde
B = End(NR) și ln, rR au fost descrise mai sus.
Să considerăm obiectele închise ale acestei noi conexiuni Galois: = {rR(z) | z BN} = |rR(z) | z N}
= {lN(x) | X RR} = |lN(x) | X R}
După Faith (1978) aceste două latici de obiecte închise sunt notate respectiv cu Ar(N, R) și Al(N, R).
Definiție. După Faith (1978), R-modulul drept N se numește supra Levitzki (sau acc-Levitzki) dacă laticea = Ar(N, R) este noetheriană și sub-Levitzki (sau dcc-Levitzki) dacă laticea este artiniană. N se numește Levitzki dacă N este atât acc-Levitzki, cât și Dcc-Levitzki. Când RR este un modul supra (sub)-Levitzki, numim R un inel drept supra (sub)-Levitzki.
Observăm că dacă NR = RR, atunci B = End(NR) = R și conexiunea Galois anterioară.
L(RR) L(BN) devine L(RR) L(RR)
Unde lR(b) = {x R | xb = 0}, rR(a) = |x R | ax = 0} pentru fiecare b L(RR) și a L(RR).
După terminologia lui Stenström (1975), contra-modulul lui N peste R este modulul N considerat ca un modul la stânga peste inelul său de endomorfism B.
Definiție. Dacă contramodulul BN are proprietatea P, atunci spunem că N este contra-P. De exemplu: contra-noetherian, contra-ciclic, contra-artinian.
Direct din 2.1 avem, pentru cazul particular MR = RR următoarele:
Corolar 2.6 (Jacobson 1956, Johnson și Wong 1961)
Fie N un R-modul QI și B = End(NR). dacă Y0 este un submodul finit generat al contramodulului N, atunci Y0 satisface condiția dublului anulator Y0 = ln(rR(Y0)) (adică Y0 = ). Mai mult, dacă un contra-submodul Y al lui N aparține lui , atunci așa face și Y + Y0.
Corolar 2.7. (Faith, 1978) Un R-modul drept N, QI este Dcc-Levitzki dacă și numai dacă N este contra-noetherian.
Demonstrație. Aplicăm 2.3 (1), cazul MR = Rr.
Un alt caz particular al lui 2.1 poate fi obținut prin M = N.
Corolar 2.8 (Harada și Ishii, 1972) Fie N un R-modul drept QI. Atunci fiecare ideal stâng finit generat b al lui B = End(NR) satisface condiția dublului anulator b = lB(rN(b)) (adică b ).
În continuare dorim să dualizăm rezultatele anterioare, referitoare la conexiunea Galois, L(MR) L(BS) la situația dată de conexiunea Galois „duală”
L(NR)op L(SA)
Propoziția 2.9. Fie M, N Mod-R, S = HomR(M, N) și A = End(MR). Presupunem că M este QP.
Dacă Z este un submodul închis al lui SA ( Z = ) atunci așa este și Z + Z0 pentru fiecare submodul finit generat Z0 al lui SA. în particular, fiecare submodul finit generat al lui SA este închis. Dacă M este în plus, finit generat, atunci fiecare submodul al lui SA este închis.
(Y1 Y2) = (Y1) (Y2) pentru fiecare Y1, Y2 L(NR)
(Y1 + Y2) = (Y1) + (Y2) pentru fiecare submodule finit închise Y1, Y2 ale lui NR
Mai mult, dacă M este proiectiv, atunci afirmația (3) are loc pentru fiecare Y1, Y2 L(NR).
Demonstrație. Este suficient să considerăm numai cazul Z0 = fA, f S. Fie g ; atunci Im(g) (Z + fA) = (Z) + (fA). Notăm cu P = (Z) și fie p : N → N / P aplicația naturală. Deoarece Im(g) P + Im(f) și M este QP, există un morfism h, care face comutativă diagrama:
unde f’ = p o f și g’ = p o g
Deci p o g = p o f o h, așa că p o (g – f o h) = 0
Im(g – f o h) P = (z). Atunci g – f o h ((z)) = z și în consecință g Z + fA. Astfel ((z + fA)) Z + fA.
Incluziunea inversă rezultă din 1.2 (3).
Presupunem că MR este finit generat. Fie Z un submodul arbitrar al lui SA și considerăm f ((z)). Atunci Im(f) (z) = . Deoarece MR este finit generat, există g1, g2, …, gn Z așa încât Im(f) = . Fie Z0 = g1A + g2A + … + gnA. Din rezultatul deja demonstrat Z0 = ((z0)), deci f Z0 Z, astfel ((z)) Z. Incluziunea inversă rezultă din 1.2. (3).
(2) este evidentă
(3) Incluziunea (Y1) + (Y2) (Y1 + Y2) este clară.
Incluziunea inversă necesită puțină muncă.
Fie f (Y1 + Y2) atunci Im(f) Y1 + Y2 considerăm diagrama:
Deoarece Y1, Y2 FGen(M), există doi întregi k, s 1 și două epimorfisme Mk → Y1, MS → Y2. Dar M este QP, deci M este Mk-proiectiv, deci M este Y1-proiectiv.
Într-un mod similar M este Y2-proiectiv, deci M este Y1 Y2-proiectiv. În consecință există un morfism g : M →Y2 Y2 care face diagrama anterioară comutativă.
Notăm g1 = i2 o p1 o g și g2 = i2 o p2 o g, unde i1, i2, p1, p2 sunt aplicațiile naturale. Este ușor de verificat că f = g1 + g2 și g1 (Y1), g2 (Y2). Așa că (Y1 + Y2) (Y1) + (Y2).
(4) rezultă din demonstrația lui (3).
Corolar 2.10 Fie M un R-modul drept QP și N un R-modul drept arbitrar. Notăm cu S = HomR(M, N) și A = End(MR). Atunci și determină corespondențe bijective, inverse una alteia între mulțimea a tuturor submodulelor fiind închise ale lui NR și mulțimea L(SA)f a tuturor submodulelor finit generate ale lui SA. Dacă, în plus, MR este finit generat, atunci există o corespondență bijectivă între laticile și L(SA).
Demonstrație. Fie Y : atunci există un întreg k 1 și un epimorfism MK → Y. Deoarece M este QP, M este Mk-proiectiv, deci avem șirul exact HomR(M, Mk) → HomR(M, Y) → 0 de A-module la dreapta. Astfel HomR(M, Y) = (Y) este un A-modul drept, finit generat, deoarece HomR(M, Mk) .
Reciproc, dacă Z SA este un submodul finit general al lui S, atunci Z = f1A + f2A + … + frA cu fi S, deci avem epimorfismul Mr →(z) = definit prin:
(x1, x2, …, xr) → f1(x1) + f2(x2) + … + fr(xr).
Astfel (z)
În consecință, și induc aplicații între și L(SA)f. Mai mult Y = ((Y)) pentru toți Y din 1.5 (2) și Z = ((Z)) pentru toți Z L(SA)f din 2.9 (1).
Dacă MR este finit generat și QP, atunci L(SA) = din 2.9 (1) și astfel, din 1.3., și induc o corespondență bijectivă inversabilă între L(SA) și .
Corolar 2.11. Fie M un R-modul QP, N un R-modul, S = HomR(M, N) și A = End (MR). Atunci:
SA este noetherian dacă și numai dacă NR are acc pe submodulele închise (finit). În particular, dacă NR este noetherian atunci așa este SA;
SA este un modul coperfect dacă și numai dacă NR are dcc pe submodulele finit închise. În particular, dacă NR este artinian, atunci SA este coperfect;
Dacă adițional MR este finit generat, atunci SA este artinian, atât timp cât NR este artinian.
Corolar 2.11. Dacă MR este QP și noetherian, atunci End(MR) este un inel noetherian drept.
Corolar 2.13. Fie MR un modul artinian QP, finit generat, atunci End(MR) este inel drept artinian.
Corolar 2.14. (Fisher 1973, Harada 1970). Dacă MR este QP și artinian, atunci End(MR) este un inel semiprimar.
Demonstrație. Din 2.11 (2), A = End(MR) este un inel stâng perfect, deci A / J este un inel artinian semisimplu și fiecare A-modul stâng nenul conține un submodul maximal, unde J este radicalul Jacobson al lui A, din binecunoscuta teoremă a lui Bass. Încheiem demonstrația arătând că J este nilpotent. Lanțul descendent de ideale bilaterale ale lui A .
J1 J2 … Jm …, conduce la lanțul descrescător de submodule ale lui MR (J) (J2) … (Jm) …
Deoarece MR este artinian există un întreg n așa încât (Jn) = (Jn+1) = x
Evident, X este un contrasubmodul al lui M ( X AM). Presupunem X 0. atunci AX are un submodul maximal Y și atunci J(X / Y) = 0, deci JX Y JX X.
Pe de altă parte, este clar că (Jn + 1) = J(Jn) și astfel, X = JX, o contradicție.
Atunci X = 0 și prin urmare Jn ((Jn)) = (0) = 0.
Demonstrația este acum completă.
Remarcă 2.15. Harada (1970) a demonstrat că M artinian proiectiv implică M este finit generat și End(MR) este drept artinian.
Module cu inele de endomorfisme regulate, perfecte, noetheriene sau artiniene
Introducere
Problema clasificării proprietăților inelului de endomorfisme ale unui modul în raport cu proprietățile modulului este foarte natural realizată printr-o bijecție între anumite ideale stângi sau drepte ale inelului de endomorfisme și anumite submodule ale modulului. În această lucrare, utilizăm această cale pentru a investiga în ce condiții inelul de endomorfisme a unui modul este (von Newman) regulat, perfect la stânga sau la dreapta, Noetherian sau artinian.
De-a lungul acestei lucrări, RM este un R-modul stâng, unde R este un inel asociativ cu identitate, și fie B = EndRM inelul R-endomorfismelor lui M. Fie
K = {U M | U = Ker b, b B}
I = {U M | U = Im b, b B}
T = {U M | U este sumand direct în M}
Pentru un modul oarecare M, se știe că B este un inel regulat dacă și numai dacă k T și I T; pentru module particulare regularitatea lui B poate fi determinată sau de k sau de I, de exemplu, pentru M un modul liber, B este regulat dacă și numai dacă I T. O chestiune pe care încercăm să o rezolvăm în acest paragraf este chestiunea când k sau I determină regularitatea lui B și o cale de a face aceasta este să determinăm pentru care module există o bijecție b1 între idealele la dreapta principale ale lui B și submodule din k, și pentru care module există o bijecție b2, între idealele stângi principale ale lui B și submodulele din I (Prop. 2.3.). Dată bijecția b1 (respectiv b2) suntem în stare să deducem că regularitatea lui B este determinată de k (respectiv I) prin utilizarea unei teoreme de bază (Teorema 2.4) care ne permite să transferăm proprietatea de a fi sumand direct de la B la M și reciproc.
Deoarece definiția unui inel regulat este stâng-drept simetrică, este natural să întrebăm aici cum sunt relaționate condițiile „k T” și „I T” una cu alta și cu existența bijecțiilor b1 și b2. În răspuns găsim că „I T” implică existența bijecțiilor b1, în timp ce „K T” implică existența bijecției b2 (Teorema 3.3). Mai mult, avem (Teorema 3.5):
Dată k T, atunci I T dacă și numai dacă pentru fiecare U T, și fiecare monomorfism : U → M, Im T.
Dată I T, atunci k T dacă și numai dacă pentru fiecare U T, și fiecare epimorfism : M → U, Ker T.
O aplicație simplă a Teoremei 3.5 ne arată că, pentru M continuu, regularitatea lui B este echivalentă cu K T, în timp ce pentru M nesingular și CS, regularitatea lui B este echivalentă cu I T; pentru M nesingular și continuu B este regulat (Prop. 3.6).
Bijecțiile b1 și b2 de asemenea servesc pentru stabilirea condițiilor în care B este perfect la stânga sau la dreapta. Pentru a determina când B este Noetherian sau artinian la stânga sau la dreapta pot fi stabilite bijecții similare între idealele finit generate la stânga sau la dreapta ale lui B și anumite clase Ma sau M’ de submodule ale lui M. Găsim de exemplu, că în prezența unei bijecții între idealele la dreapta ale lui B și submodulele din Ma, avem că B este Noetherian la dreapta dacă și numai dacă M satisface ACC pe Ma (Teorema 4.3. (i)) și B este artinian la dreapta dacă și numai dacă M satisface acc și dcc pe Ma (Teorema 4.6 (i)).
Teoreme de corespondență
În această secțiune stabilim bijecțiile necesare pentru a determina condiții necesare și suficiente pe M, pentru ca B să fie regulat, perfect la stânga sau la dreapta, Noetherian sau artinian. Reamintim că B este un inel regulat dacă și numai dacă fiecare ideal principal la dreapta (sau la stânga) al lui B este sumand direct în B; și că B este inel perfect la stânga (sau la dreapta) dacă și numai dacă B satisface condiția lanțurilor descendente (dcc) pe idealele la dreapta (respectiv stânga) principale. Deci, atunci când investigăm dacă B este regulat sau perfect, avem nevoie să stabilim bijecții între idealele la dreapta sau la stânga principale ale lui B și anumite submodule ale lui M.
Fie pr(B) = {k B | k = bB, b B}
pl(B) = {H B | H = Bb, b B}
Bijecțiile necesare vor fi induse de următoarele aplicații bine cunoscute. Pentru un submodul U al lui M și o submulțime H al lui B definim: rB(U) = {b B | Ub = 0}, lM(H) = {m M | mH = 0}
IB(U) = {b B | Mb U} SM(H) = MH =
Evident, rB(U) este un ideal drept al lui B, în timp ce IB(U) este un ideal stâng al lui B, iar lM(H) și SM(H) sunt submodule ale lui M. Notațiile SM(H) și MH vor fi utilizate alternativ și vom identifica IB(U) și HomR(M, U).
Următoarele propoziții sunt ușor de verificat:
Propoziția 2.1. Fie U1 și U2 submodule ale lui M, H1 și H2 submulțimi ale lui B, atunci:
U1 U2 rB(U1) rB(U2)
H1 H2 lM(H1) lM(H2)
U1 lMrB(U1) și H1 rBlM(H1)
rB(U1) = rB lMrB(U1) și lM(H1) = lMrB lM(H1)
Propoziția 2.2. Pentru submodulele U1, U2 ale lui M și H1, H2 submulțimi ale lui B, avem:
U1 U2 IB(U1) IB(U2)
H1 H2 SM(H1) SM(H2)
SMIB(H1) U1 și H1 IB SM(H2)
IB(U1) = IBSMIB(U1) și SM(H2) = SMIB SM(H2)
Rezultă din Prop. 2.1. și 2.2. că rB și lM induc aplicații cu schimbarea ordinii între submodulele lui M și idealele le dreapta ale lui B, în timp ce IB și SM induc aplicații cu păstrarea ordinii între submodulele lui M și idealele la stânga ale lui B.
Reamintim că o bijecție cu păstrarea ordinii (respectiv schimbarea ordinii) între două mulțimi parțial ordonate se numește o proiectivitate (respectiv o dualitate).
Fie Ma = {U M | U = lMrB(U)} = {U M | U = lM(k), pentru un anumit k B} și
Ba = {k B | k = rB lM(k)} = |k B | k = rB(U) pentru un anumit U M}
Evident, pentru b B, lM(b) = Ker b așa că k Ma.
Fie M’ = {U M | U = SMIB(U)} = {U M | U = SM(H), pentru un anumit H B} și
B’ = {H B | H = IBSM (H)} = {H B| H = IB(U) pentru un anumit U M}
Evident, pentru b B. SM(b) = Mb = Im b, așa că I M’.
Deoarece lM(bB) = lM(b) și SM(Bb) = SM(b), este evident că lM aplică pr(B) în k și SM aplică pl(B) în I. Mai mult, condițiile care sunt necesare și suficiente pentru ca aceste aplicații să fie bijecții sunt evidente, așa cum următoarea propoziție afirmă:
Propoziția 2.3.
Aplicațiile rB și lM determină o dualitate între K și pr(B) dacă și numai dacă pentru fiecare b B, bB = rBlM(bB) (adică dacă și numai dacă pr(B) Ba)
Aplicațiile IB și SM determină o proiectivitate între I și pl(B) dacă și numai dacă, pentru fiecare b B, Bb = IBSM(Bb) (adică dacă și numai dacă pl(B) B’).
Dacă una din bijecțiile din Prop. 2.3. să zicem de exemplu dualitatea din (i), este clar că DCC pe pr(B) este echivalent cu ACC pe k. Este mai puțin evident, dar indiscutabil adevărat, că fiecare element din pr(B) este un sumand direct în B dacă și numai dacă fiecare element din k este un sumand direct în M. Acest lucru rezultă imediat din următorul rezultat general:
Teorema 2.4.
Dacă rB și lM determină o dualitate între U Ma și Ba, atunci fiecare k este un sumand direct în B dacă și numai dacă fiecare U U este un sumand direct în M.
Dacă IB și SM determină o proiectivitate între U M’ și B’, atunci fiecare k este un sumand direct în B dacă și numai dacă fiecare u U este un sumand direct în M.
Înainte de a demonstra Teorema 2.4. avem nevoie de o mică lemă și câteva notații pentru anulatorii din B: pentru H B fie L(H) = {b B | bH = 0} și R(H) = {b B | Hb = 0}.
Lema 2.5. Pentru H B, IB lM(H) = L(H) și rBSM(H) = R(H).
Demonstrație. b IBlM(H) Mb lM(H) (Mb)H = 0 bH = 0 b L(H), b rBSM(H) [SM(H)]b = 0 MHb = 0 Hb = 0 b R(H).
Demonstrația Teoremei 2.4.
(i) Cum rB și lM determină o dualitate între U Ma și Ba, presupunem că fiecare U U este un sumand direct în M și fie k . Atunci U = lM(k) U, deci există un indempotent e = e2 B, astfel încât U = Me. Deoarece k Ba, avem k = rBlM(k); atunci, utilizând Lema 2.5 avem k = rBlM(k) = rB(Me) = R(e) = (1 – e)B adică k este un sumand direct în B.
Reciproc, presupunem că fiecare k este un sumand direct în B și fie U U. Atunci k = rB(U) , deci există un idempotent e = e2 B astfel încât k = eB. Atunci, deoarece U U Ma, avem U = lMrB(U) = lM(eB) = lM(e) = M(1 – e) adică U este sumand direct în M.
(ii) Dat fiind că IB și SM determină o proiectivitate între U M’ și ’, presupunem că fiecare U U este un sumand direct în M, și fie H . Atunci U = SM(H) U, deci U = Me, pentru e = e2 B. Atunci H = IBSM (H) = IB(Me). Vom demonstra că IB(Me) = Be unde e este un idempotent, din care va rezulta că H este un sumand direct în B.
Evident e IB(Me), deci Be IB(Me). Pe de altă parte, fie b IB(Me); atunci pentru orice m M, mb = m1e pentru un anumit m1 M, deci mbe = m1e2 = m1e = mb, adică b = be Be.
Reciproc, presupunem că H ν este un sumand direct în B și fie U U. atunci H = IB(U) ν, deci H = Be, pentru e = e2 B . Atunci U = SMIB(U) = SM(Be) = Me adică U este sumand direct în M.
O definiție echivalentă a regularității lui B este aceea că fiecare ideal stâng (și drept) finit generat (f. g) al lui B poate fi un sumand direct în B. mai mult, reamintim că B este noetherian drept (stâng) dacă și numai dacă B satisface ACC pe idealele drepte (stângi) f.g. Astfel este de interes pentru noi să stabilim teoreme de corespondență pentru ideale stângi sau drepte f.g.
Fie Fr(B) = {k B | k = , bi B} și
Fl(B) = {H B | H = , bi B}
Fie de asemenea M = {U M | U = , bi B} și
M = {U M | U = , bi B}
Observăm că = lM() Ma adică M Ma și = M= SM M’ adică M M’
Propoziția 2.6
Aplicațiile rB și lM determină o dualitate între M și Fr(B) dacă și numai dacă k = rBlM(k) pentru fiecare k Fr(B) (adică dacă și numai dacă Fr(B) Ba);
Aplicațiile IB și SM determină o proiectivitate între M și Fl(B) dacă și numai dacă H = IBSM(H) pentru fiecare H Fl(B) (adică dacă și numai dacă Fl(B) B’).
Demonstrație. Un sens este evident. Reciproc, dacă k = rBlM(k) pentru fiecare k Fr(B), atunci avem, pentru U = M și pentru k = Fr(B):
U→ rB(U) = rBlM() = Fr(B) →lMrB(U) = U și k → lM(k) = lM() = M →rBlm(k) = k.
Deci rB și lM determină o dualitate între M și Fr(B).
(ii) Aici iarăși, o implicație este evidentă. Reciproc, dacă H = IBSM(H) pentru fiecare H Fl(B), atunci avem pentru U = M și pentru H = Fl(B):
U → IB = IBSM = Fl(B) → SMIB(U) = U și H → SM() = M → IBSM(H) = H
Deci IB și SM determină o proiectivitate între M și Fl(B).
Inele de endomorfisme regulate
O combinație a Teoremei 2.4 și Prop. 2.3 dă condiții duale pe M pentru ca K sau I să determine regularitatea lui B:
Teorema 3.1
Dacă pr(B) Ba, atunci B este un inel regulat dacă și numai dacă k T;
Dacă pl(B) B’, atunci B este un inel regulat dacă și numai dacă I T.
Demonstrație.
(i) Dacă pr(B) Ba, atunci din Prop. 2.3, rB și lM determină o dualitate între k și pr(B). Deoarece, așa cum am observat, k Ma și prin ipoteză pr(B) Ba, rezultă din Teorema 2.4. că fiecare k pr(B) este un sumand direct în B dacă și numai dacă fiecare U k este un sumand direct în M; astfel spus B este regulat dacă și numai dacă k T.
Demonstrația lui (ii) este analogă demonstrației lui (i).
Corolar 3.2.
Dacă RM este cvasi-injectiv, atunci B este regulat dacă și numai dacă k T;
Dacă RM este cvasi-proiectiv, atunci B este regulat dacă și numai dacă I T.
Demonstrație. Este știut că atunci când M este cvasi-injectiv (respectiv cvasi-proiectiv) avem k = rBlM(k) (respectiv H = IBSM(H)) pentru fiecare ideal drept (respectiv stâng) finit generat al lui B (cf. [Prop. 4.1. și 4.9]).
În teorema 3.1. am văzut că condiția „pr(B) Ba” implică faptul că regularitatea lui B este echivalentă cu „k T” în timp ce condiția „pl(B) B’ ” implică faptul că regularitatea lui B era echivalentă cu „I T”. vom arăt acum că „I T” implică „pr(B) Ba” în timp ce „k T” implică „pl(B) B’ ”.
Teorema 3.3.
Dacă I T atunci pr(B) Ba;
Dacă k T, atunci pl(B) B’.
Demonstrație.
(i) Presupunem că I T și fie k = bB pr(B), b B. Fie c rBlM(bB) = rBlM( (b), așa că [lM(b)]c = 0 sau lM(b) lM(c). Definim h1 : Mb → Mc prin (mb)h1 = mc1, pentru fiecare m M. h1 este bine definită deoarece: mb = m1b m – m1 lM(b) lM(c) mc = m1c. Deoarece Mb T avem M = Mb U pentru un anumit U M, așa că putem extinde h1 la h B definind uh = 0 pentru u U. Atunci, pentru fiecare m M avem (mb)h = (mb)h1 = mc adică c = bh bB. Astfel rBlM(bB) bB și deoarece, întotdeauna bB rBlM(bB) (Prop 2.1) rezultă bB = rBlM(bB) adică k Ba.
(ii) Presupunem că k T și fie b B. Întotdeauna Bb IBSM(Bb) (Prop. 2.2.). Reciproc, fie c IBSM(Bb) = IBSM(b) așa că Mc SM(b) = Mb. Deoarece lM(b) este un sumand direct în M, există e = e2 B așa încât lM(b) = lM(e) și M = lM(b) Me = lM(e) Me. De asemenea lM(c) T așa că există f = f2 B așa încât lM(c) = lM(f) și M = lM(c) Mf = lM(f) Mf.
Dat mf Mf, avem mc Mc Mb, deci există m1 M astfel încât mc = m1b. definim h1 : Mf → Me prin (mf)h1 = m1e, unde mc = m1b. Atunci h1 este bine definită deoarece mf = m’f m – m’ lM(f) = lM(c) mc = m’c și dacă m1b = mc = mb atunci m1 – m lM(b) = lM(c) așa că m1e = me. Deoarece Mf T, h1 se extinde la h B definind xh = 0 pentru x lM(f). Observăm că, pentru fiecare m M, m= m(1-e)+me și m(1-e) lM(e) = lM(b) așa că mb = meb. Acum pentru orice m M, avem m = mf + m(1 – f) și mh = mfh = m1e, unde m1b = mc; atunci mhb = m1eb = m1b = mc așa că c = hb Bb și Bb = IBSM(Bb).
Este interesant să obținem următorul rezultat via Teoremele 3.1. și 3.3.
Corolar 3.4. Pentru orice RM, B este regulat, dacă și numai dacă k T și I T.
Demonstrație. Dacă B este regulat atunci pentru orice b B există e = e2 B astfel încât bB = eB și există f = f2 B astfel încât Bb = Bf. Atunci lM(b) = lM(bB) = lM(eB) = lM(e) așa că lM(b) T și SM(b) = SM(Bb) = SM(Bf) = Mf, așa că SM(b) T.
Reciproc, presupunem că k T și I T. Din Teorema 3.3. (i) deoarece I T avem pr(B) Ba, deci din Teorema 3.1. (i), B este regulat, deoarece k T. Observăm că putem demonstra la fel de ușor cum am combinat 3.3. (i) și 3.1. (i) că B este regulat.
Următorul rezultat dă o condiție pe M echivalentă cu una din condițiile „k T” sau „I T” în cazul când cealaltă este dată.
Teorema 3.5.
Presupunem că k T. Atunci I T dacă și numai dacă pentru fiecare u T și fiecare monomorfism : U → M, u T.
Presupunem că I T. atunci k T dacă și numai dacă pentru fiecare U T și fiecare epimorfism : M → U, lM() T.
Demonstrație. (i) Presupunem că k T. Presupunem de asemenea că I T și fie : U → M un monomorfism unde U T. Avem M = U V pentru un anumit V M; definim b B prin ub = u, pentru u U și vb = 0 pentru v V. Atunci Mb = U, deci deoarece Mb T, U T.
Reciproc, presupunem că ori de câte ori : U → M este un monomorfism șu U T, atunci U T. Fie b B prin ipoteză avem M = lM(b) V pentru un anumit V M. Fie restricția lui b la V; atunci : V → M este un monomorfism și V T, deci Mb = Vb = V T.
(ii) Presupunem că I T. Presupunem de asemenea că k T și fie : M → U un epimorfism, unde U T. Atunci B, așa că lM() T.
Reciproc, presupunem că ori de câte ori : M → U este un epimorfism și U T atunci lM() T. Fie b B prin ipoteză avem M = Mb N, pentru un anumit N M, adică b : M → Mb este un epimorfism cu Mb T. Deci lM(b) T adică k T.
Ca o aplicație a Teoremei 3.5. vom determina când inelul de endomorfisme al unui CS modul sau a unui modul continuu este regulat. Reamintim că M este un CS-modul dacă fiecare submodul complement al lui M este un sumand direct în M: M este un modul continuu dacă:
M este un CS modul și
Imaginea ezomorfă a unui sumand direct în M este un sumand direct în M.
Propoziția 3.6.
Dacă M este continuu, atunci B este regulat dacă și numai dacă k T;
Dacă M este nesingular și CS, atunci B este regulat dacă și numai dacă I T;
Dacă M este nesingular și continuu, atunci B este regulat.
Demonstrație.
(i) Presupunem că M este continuu. Dacă B este regulat, atunci din Corolarul 3. 4 k T. Reciproc, presupunem că k T, atunci pentru orice U T și orice monomorfism : U → M, avem U T, deoarece M este continuu. Deci, din Teorema 3.5. I T și astfel din Corolarul 3.4. B este regulat.
(ii) Presupunem că M este nesingular și CS. Deoarece M este nesingular, fiecare U K este un complement.
Deci, deoarece M este de asemenea CS, fiecare U K este un sumand direct în M. Rezultă din Corolarul 3.4. că B este regulat dacă și numai dacă I T.
(iii) Presupunem că M este nesingular și continuu. Atunci M este, în particular, nesingular și CS, deci, așa cum deja am văzut în (ii), k I. rezultă acum din (i) că B este regulat.
Corolar 3.7. Dacă M este nesingular și continuu, atunci pentru fiecare b B avem bB = rBlM(bB) și Bb = IBSM(Bb).
Demonstrație. Dacă M este nesingular și continuu, atunci B este regulat din Prop. 3.6, deci k T și I T din Corolarul 3.4., deci pr(B) Ba și pl(B) B’ din Teorema 3.3.
Inele de endomorfisme perfecte, semiprimare, noetheriene și artiniene
Reamintim că B este un inel perfect la stânga (dreapta) dacă și numai dacă B satisface DCC pe idealele drepte (stângi) principale, dacă și numai dacă B satisface DCC pe idealele drepte (stângi) fiind generate.
Astfel, putem deduce din Prop. 2.3.
Propoziția 4.1.
Dacă pr(B) Ba atunci B este un inel perfect la stânga dacă și numai dacă M satisface ACC pe k;
Dacă pr(B) B’ atunci B este un inel perfect dacă și numai dacă M satisface DCC pe I.
În particular, având în vedere Corolarul 3.7. dacă M este nesingular și continuu, atunci B este perfect la stânga (dreapta) dacă și numai dacă M satisface ACC (DCC) pe k(I).
Din Propoziția 2.6 putem deduce:
Propoziția 4.2
Dacă Fr(B) Ba, atunci: B este regulat dacă și numai dacă M T și B este perfect la stânga dacă și numai dacă M satisface ACC pe M;
Dacă Fl(B) B’ atunci B este regulat dacă și numai dacă M T și B este perfect la dreapta dacă și numai dacă M satisface DCC pe M.
Propoziția 2.6 este de asemenea utilă pentru a determina când B este Noetherian.
Teorema 4.3.
Dacă Fr(B) Ba, atunci B este Noetherian drept dacă și numai dacă M satisface DCC pe M, dacă și numai dacă M satisface DCC pe Ma.
Dacă Fl(B) B’, atunci B este Noetherian stâng dacă și numai dacă M satisface DCC pe M, dacă și numai dacă M satisface ACC pe M’.
Demonstrație. (i) Prima echivalență este clară dacă utilizăm dualitatea dată de Prop. 2.6. (i).
Pentru a vedea că a doua echivalență are loc, presupunem că B este Noetherian drept și fie U1 U2 … un lanț descendent de submodule din Ma. atunci rB(U1) rB(U2) … este un lanț ascendent de ideale drepte în B, deci există un întreg n > 0, așa încât rB(Un+j) = rB(Un) pentru j 1 și aceasta implică că Un+j = lMrB(Un+j) = lMrB(Un) = Un pentru j 1 adică M satisface DCC pe Ma. Reciproc, dacă M satisface DCC pe Ma, atunci este satisfăcută DCC pe M și B este Noetherian drept.
(ii) Aici din nou prima echivalență este evidentă din Prop. 2.6. (ii). Presupunem că B este Noetherian stâng și că U1 U2 … este un lanț ascendent de submodule în M’. Atunci IB(U1) IB(U2) … este un lanț ascendent de ideale stângi în B, așa că există un întreg n > 0 așa încât IB(Un+j) = IB(Un) pentru j 1, deci avem Un+j = SMIB(Un+j) = SMIB(Un) = Un, pentru j 1 adică M satisface ACC pe M’. Reciproc, dacă M satisface ACC pe M’, atunci el satisface ACC pe M și B este Noetherian stâng.
Pentru a stabili când B este artinian, trebuie mai întâi să determinăm când B este semiprimar. Reamintim că un inel R cu radicalul Jacobson J este semiprimar dacă și numai dacă R / J este semisimplu și J este nilpotent.
Putem face apel la următorul rezultat:
Propoziția 4.4. Fie R un inel care satisface ACC pe idealele anulatori la stânga (dreapta). Dacă R este perfect la stânga (dreapta), atunci R este semiprimar.
Propoziția 4.4. rezultă imediat din următoarele rezultate cunoscute:
R este perfect la stânga (dreapta) dacă și numai dacă R / J este semisimplu și J este T-nilpotent la stânga (dreapta);
Fie R un inel care satisface ACC pe idealele anulatori la stânga (dreapta). Dacă I este un ideal de o parte T-nilpotent la stânga (dreapta), atunci I este nilpotent.
Teorema 4.5.
Presupunem că Fr(B) Ba și M satisface ACC pe Ma. Atunci B este semiprimar.
Presupunem că Fl(B) B’ și că M satisface DCC pe M’. Atunci B este semiprimar.
Demonstrație. (i) Dacă Fr(B) Ba și M satisface ACC pe Ma atunci, din Prop. 4.2. B este perfect la stânga. Deci, din Prop. 4.4. pentru a arăta că B este semiprimar, este suficient sa arătăm că B satisface ACC pe idealele anulatori la stânga.
Fie L(k1) L(k2) … un lanț ascendent de ideale anulatori la stânga din B. Atunci SML(k1) SML(k2) … și avem un lanț ascendent, lMrBSML(k1) lMrBSML(k2) … de submodule în Ma. Deci, există un n > 0 așa încât lMrBSML(kn+ j) = lMrBSML(kn) pentru j 1 și astfel rBSML(kn+ j) = rBSML(kn) pentru j 1. Deoarece rBSM(H) = R(H), pentru H B, din Lema 2.5 avem RL(kn+ j) = RL(kn) și deci L(kn+ j) = L(kn) pentru j 1. Aceasta demonstrează că B satisface ACC pe idealele anulatori la stânga și în consecință B este semiprimar.
(ii) Dacă Fl(B) B’ și M satisface DCC pe M’, atunci, din Prop. 4.2., B este perfect la dreapta. Deci, din Prop. 4.4. pentru a arăta că B este semiprimar, este suficient să arătăm că B satisface ACC pe ideale anulatori la dreapta.
Fie R(H1) R(H2) … un lanț ascendent de ideale anulatori la dreapta din B. Atunci LR (H1) LR(H2) … și astfel SMLR (H1) SMLR(H2) … este un lanț descrescător de submodule în M’. Deci , există un n > 0 așa încât SMLR (Hn+j) = SMLR(Hn), pentru j 1. Din Lema 2.5. L(H) = IBlM(H), pentru orice H B adică avem SMIBlMR(Hn+j) = SMIBlMR(Hn), pentru j 1 și din Prop. 2.2. IBSMIB(U) = IB(U) pentru orice U M, așa că avem IBlMR(Hn+j) = IBlMR(Hn), pentru j 1, sau LR(Hn+j) = LR(Hn) și astfel R(Hn+j) = R(Hn), pentru j 1. Aceasta demonstrează că B satisface ACC pe idealele anulatori la dreapta și în consecință B este semiprimar.
Acum o combinație a Teoremelor 4.3. și 4.5. cu următorul bine cunoscut rezultat ne va conduce la determinarea condițiilor în care B este artinian:
Teorema Hopkins. Un inel R este artinian drept (stâng) dacă și numai dacă R este Noetherian drept (stâng) și semiprimar.
Teorema 4.6.
Presupunem că Fr(B) Ba. Atunci B este artinian drept dacă și numai dacă M satisface ACC și DCC pe Ma.
Presupunem că Fl(B) B’. Atunci B este artinian stâng dacă și numai dacă M satisface ACC și DCC pe M’.
Demonstrație. (i) Presupunem că Fr(B) Ba și presupunem că M satisface ACC și DCC pe Ma. Atunci din Teorema 4.3 (i). B este Noetherian drept și din Teorema 4.5 (i) B este semiprimar. Deci, din Teorema Hopkins, B este artinian drept.
Reciproc, presupunem că B este artinian drept. Atunci din Teorema Hopkins, B este Noetherian drept și din Teorema 4.3. (i), M satisface DCC pe Ma. Fie U1 U2 … un lanț ascendent de submodule din Ma. Atunci rB(U1) rB(U2) … este un lanț descendent de ideale drepte ale lui B, deci, din ipoteză, există un n > 0 așa încât rB(Un+j) = rB(Un) pentru j 1. Atunci, Un+j = lMrB(Un+j) = lMrB(Un) = Un, pentru j 1, adică M satisface ACC pe Ma.
(ii) Presupunem că Fl(B) B’ și presupunem că M satisface ACC și DCC pe M’. Atunci ca și în (i), din Teorema 4.3 (ii) B este Noetherian stâng și din Teorema 4.5. (ii), B este semiprimar. Deci, din Teorema Hopkins, B este artinian stâng.
Reciproc, presupunem că B este artinian stâng. Atunci din Teorema Hopkins B este Noetherian stâng și din Teorema 4.3. (ii), M satisface ACC pe M’. Fie U1 U2 … un lanț descendent de submodule din M’. Atunci IB(U1) IB(U2) … este un lanț descendent de ideale stângi ale lui B, deci, din ipoteză există un n > 0 așa încât IB(Un+j) = IB(Un), pentru j > 1. Atunci Un+j = SMIB(Un+j) = SMIB(Un) = Un pentru j 1 adică M satisface DCC pe M’.
Corolar 4.7
Fie RM cvasi-injectiv. Atunci B este artinian drept dacă și numai dacă M satisface ACC și DCC pe Ma.
Fie RM cvasi-proiectiv. Atunci B este artinian stâng dacă și numai dacă M satisface ACC și DCC pe M’.
Remarcă. O privire de ansamblu asupra unora din demonstrațiile anterioare arată că anumite afirmații „dacă și numai dacă” pot fi demonstrate într-o direcție fără utilizarea ipotezei „Fr(B) Ba” sau „Fl(B) B’”. Anume, avem:
Propoziția 4.8
Dacă B este Noetherian drept, atunci M satisface DCC pe Ma și dacă B este artinian drept, atunci M satisface DCC pe Ma.
Dacă B este Noetherian stâng, atunci M satisface ACC pe M’ și dacă B este artinian stâng, atunci M satisface ACC pe M’.
=== 3-7 ===
Teoreme de corespondență pentru module și inelele lor de endomorfisme
Introducere
Fie RM un R-modul stâng și fie B = EndRM inelul său de endomorfisme. Când investigăm relația dintre proprietățile lui B și proprietățile lui M, o foarte utilă și bine cunoscută tehnică face apel la două conexiuni Galois duale naturale G1 și G2, care există între laticea L a submodulelor lui M și laticile Lr sau Ll a idealelor la dreapta sau la stânga ale lui B. conexiunea Galois G1 este dată de aplicațiile rB : L → Lr și lM : Lr → L, unde rB(U) = {b B | Ub = 0} pentru U M și lM(J) = {m M | mJ = 0}, pentru J B. Aici restricțiile și ale lui rB și lM la obiectele Galois ale lui G1. I = {U L | U lM(I), pentru J B} și Ir = {J Lr | J = rB(U) pentru U M} sunt bijecții mutual inverse între I și Ir. Când studiem o proprietate dată a lui B, via G1, primul lucru ce trebuie făcut este să determinăm clasa de ideale ale lui B care este asociată cu această proprietate și să stabilim că aceste ideale sunt obiecte Galois ale lui G1. Odată făcut acest lucru, tot ce a rămas de făcut este să identificăm acele submodule ale lui M care corespund prin , idealelor relevate. În acest mod obținem o teoremă de corespondență implicând idealele particulare care ne preocupă, și din această teoremă de corespondență devine posibil să deducem condiții pe M care sunt necesare și suficiente pentru ca B să posede proprietatea investigată.
Ca exemplu, considerăm proprietatea că B este drept noetherian; aici idealele relevante ale lui B sunt toate idealele la dreapta finit generate (f.g.), deoarece B este noetherian drept dacă și numai dacă el satisface condiția lanțurilor ascendente (ACC) pe idealele la dreapta finit generate. Când M este cvasi-injectiv, fiecare ideal drept finit general al lui B este un obiect Galois al lui G1. Mai mult, și induc bijecții cu păstrarea ordinii între idealele la dreapta finit generate ale lui B și submodulele finit închise ale lui M. deci putem deduce că B este noetherian drept dacă și numai dacă M are DCC pe submodulele finit închise.
Frumusețea acestei tehnici constă în faptul că ea ne permite să grupăm o clasă de proprietăți înrudite ale lui B și să le tratăm într-o manieră sistematică și unificatoare. În [1] de exemplu, Albu și Năstăsescu utilizează această tehnică pentru a studia condițiile de lanț pe B și relația lor cu condițiile de lanț pe M și sunt în consecință în stare să conducă, într-o manieră unificatoare și simplificatoare la câteva rezultate clasice. În acest paragraf utilizăm aceeași tehnică pentru a da o tratare sistematică și unificatoare a proprietăților lui B asociate cu anulatorii (cum ar fi proprietatea că B este un inel Baer sau un inel supra sau sub Levitzki la dreapta sau la stânga) și a proprietăților lui B asociate cu complemenții la stânga în B (cum ar fi proprietatea că B este un CS inel stâng sau un inel cu dimensiune Goldie la stânga finită).
Așa cum am observat anterior, rezultatul cheie de care avem nevoie, când studiem proprietățile lui B via această tehnică, este o teoremă de corespondență dintre aceste ideale ale lui B care sunt asociate cu proprietatea în investigare și anumite submodule ale lui M. În consecință, direcționăm eforturile noastre spre stabilirea teoremelor de corespondență pentru anulatori și a teoremelor de corespondență pentru complemenții la stânga și găsim că, pe această cale, putem coordona o varietate de rezultate bine cunoscute, ca și deducerea unor rezultate noi, toate într-un cadru unificator, simplificant.
În Secțiunea 2, stabilim teoremele de corespondență pentru anulatori (Teoremele 2.2. și 2.5.) și din acestea putem deduce imediat, de exemplu, condiții necesare și suficiente pe M pentru ca B să poată fi Baer (corolar 2.3, 2.4 și 2.6) sau Levitschi (Cor. 2.7).
În secțiunea 3, stabilim teoremele de corespondență pentru complemenții la stânga (Teoremele 3.5, 3.7 și 3.10) care în mod analog dau drept corolarii condiții necesare și suficiente pe M pentru ca B să fie Goldie (Cor. 3.4 și 3.14) sau CS-stâng n(Th. 3.6 și Cor. 3.8, 3.9 și 3.11). În anumite cazuri teoremele de corespondență sunt aplicate împreună și viceversa, atât cât este posibil să comparăm ipotezele variate pe M, care sunt cerute pentru stabilirea acestor teoreme de corespondență. Finalizăm paragraful cu o mică diagramă ce sintetizează relațiile dintre variatele tipuri de module utilizate în teoremele noastre de corespondență.
Teoremele de corespondență pentru anulatori
De-a lungul acestui paragraf, fără alte indicații, R reprezintă un inel asociativ cu unitatea (1), RM un R-modul stânga și B inelul R-endomorfismelor lui RM. Acțiunea morfismelor va fi scrisă pe partea opusă aceluia a scalarilor.
Anulatorul la dreapta (stânga) în B a unei submulțimi H a lui B va fi notat cu R(H) (L(H)), în timp ce r și l vor fi folosite pentru anulatorii în M ai submulțimilor lui B, sau în B ai submulțimilor lui M:
l M(H) = {m M | mh = 0, h H} pentru h B
rB(U) = {b B | ub = 0, u U} pentru U M
De asemenea, fie IB(U) = {b B | Mb U} pentru orice submodul U al lui M și MH = SM(H) = pentru orice submulțime H a lui B.
Următoarea Lemă este imediată.
Lema 2.1.
(i) Sm IB(U) U și U lMrB(U) pentru orice submodul U al lui M.
(ii) IB lM(H) = L (H) și rBSM(H) = R (H) pentru H B.
Fie L o latice completă. Un operator de închidere pe L este o aplicație : L → L, notată cu (a) = ac, astfel încât:
(c1) a b implică ac bc
(c2) a ac
(c3) = ac
Un element a este închis în raport cu l dacă a = ac.
Fie L1 o altă latice completă. O conexiune Galois între L și L1 este o pereche de aplicații : L → L1 și : L1 → L ce satisfac:
x1 x2 implică (x1) (x2) pentru x1, x2 L
y1 y2 implică (y1) (y2) pentru y1, y2 L1
x (x) și y (y) pentru x L, y L1
Dată o conexiune Galois se poate arăta că (x) = (x) și (y) = (y) pentru x L, y L1, așa că aplicațiile și sunt operatori de închidere pe L și L1, respectiv. Elementele închise sau obiectele Galois în L (respectiv L1) sunt acele care sunt de forma (y) pentru un anumit y L1 (respectiv (x), pentru un anumit x L). Fie = (L1) și = (L) și fie și restricțiile lui și la mulțimile de obiecte Galois ale lui L și L1 respectiv. Acum este imediat că și sunt bijecții inverse una alteia.
Pentru RM un R-modul stâng și B = EndRM, fie L laticea submodulelor lui M, Lr laticea idealelor la dreapta ale lui B și Ll laticea idealelor la stânga ale lui B; pentru fiecare latice A, fie Aop laticea sa opusă adică A ordonată cu ordinea inversă. Atunci este ușor de văzut că:
aplicațiile rB și lM formează o conexiune Galois G1, între L și Lr;
aplicațiile IB și SM formează o conexiune Galois G2 între L și (Ll)op;
aplicațiile L și R formează o conexiune Galois între Lr și Ll.
Obiectele Galois lM(H) ale lui M se numesc submodulele a-închise ale lui M și obiectele Galois SM(H) ale lui M se numesc submodulele de M cotorsiune ale lui M. Obiectele Galois L (H) și R (H) sunt desigur idealele anulatori la stânga și la dreapta ale lui B.
Următoarea observație este ușor de verificat și va fi utilizată fără comentarii în continuare. Dacă U este un sumand direct al lui M, atunci U este a-închis și de M cotorsiune.
Dacă I este un ideal drept al lui B care este generat de un idempotent e B, adică I = eB, atunci I este un ideal anulator la dreapta în B, de fapt, I = R(B(1-e)) și similar pentru idealele la stânga. Dacă aM este un spațiu vectorial atunci avem reciproca:
dacă I este un ideal anulator la dreapta în B, atunci I este generat de un idempotent în B și
dacă H este un ideal anulator la stânga în B, atunci H este generat de un idempotent în B.
Mai mult, în orice inel B cu unitatea 1 (a) și (b) sunt proprietăți echivalente. Orice inel având proprietățile (a) și (b) se numește inel Baer.
Inelele de endomorfisme Baer au fost investigate de câțiva autori, utilizând cele trei conexiuni Galois menționate anterior. Aceste conexiuni Galois sunt în special potrivite pentru investigații când B este un inel Baer, deoarece din Lema 2.1 (ii) orice anulator drept sau stâng în B = EndRbM este un obiect Galois. În consecință, în acord cu tehnica pusă în evidență în Introducere, pricipalul scop aici este să identificăm acele submodule ale lui M care corespund anulatorilor la stânga sau la dreapta în B. Pentru simplitate și conciziune în emiterea teoremelor noastre, reamintim că dacă avem două mulțimi parțial ordonate, atunci o bijecție între acestea care este cu păstrarea ordinii (respectiv cu schimbarea ordinii) se numește o proiectivitate (respectiv o dualitate).
Teorema 2.2. Aplicațiile U → rB(U) și J → lM(J) determină o dualitate între S1 = {U M | U = lM rBISMIB(U)J} și anulatorii la dreapta A(B) = {J B | J = R (H), H B}.
Demonstrație.
Pentru fiecare U S1 avem: rB(U) = rB[SMIB(U)] = R [IB(U)] din Lema 2.1. (ii) adică rB(U) este un anulator la dreapta în B. pe de altă parte, fie J = R (H) un anulator la dreapta în B și fie U = lM(J). atunci, din Lema 2.1. (ii): lMrBSMIB(U) = lMRIB(lM(j)) = lMRL(J) = lM RLR(H) = lMR(H) = lM(J) = U
adică U S1. Deoarece orice U S1 este a-închis și orice anulator la dreapta J = R(H) este un obiect Galois J = rBSM(H) avem: U = l MrBSMIR(U) → rB(U) = R[IB(U)] → lMrB(U) = U și J = R(H) = rBSM(H) → lM(J) = lMrBSM(H) → rBlM(J) = J. Deci cele două aplicații cu schimbarea ordinii sunt inverse una alteia și astfel determină o dualitate.
Corolar 2.3. B este un inel Baer dacă și numai dacă fiecare U S1 este un sumand direct în M.
Demonstrație. Presupunem că fiecare U S1 este un sumand direct în M și fie J = R(H) un anulator la dreapta în B. Atunci U = lM(J) este un S1, așa că există un idempotent e B așa încât U =Me. Rezultă că J = rBlM(J) = rB(U) = rB(Me) = R(e) = (1-e)B adică J este generat de un idempotent în B, ceea ce arată că B este Baer.
Reciproc, presupunem că B este un inel Baer și fie U S1. Atunci J = rB(U) este un anulator la dreapta în B, așa că J = eB, pentru e = e2 B. Rezultă că U = lMrB(U) = lM(J) = lM(eB) = lM(e) = M(1-e) adică U este sumand direct în M.
Corolar 2.4. Dacă RM este semisimplu, atunci B este un inel Baer.
Dacă fiecare submodul U al lui M este de M-cotorsiune adică U = SMIB(U), atunci M se spune că este self-generator. [9]. Orice modul liber și orice modul semisimplu este un self-generator; alt exemplu de self-generator este orice modul proiectiv infinit generat ce conține un element unimodular (cf [6]). Proprietatea de a fi self-generator este foarte utilă, și adesea joacă un rol crucial în stabilirea corespondențelor dintre submodulele a-închise ale lui M și anulatorii la dreapta ai lui B. Oricum, nu este necesar ca M să fie un self-generator pentru a avea o astfel de teoremă de corespondență: mai exact, o aproximare a self-generării este suficientă și necesară pentru ca rB și lM să poată induce un antiizomorfism de latici între Ca = {U M | U = lMrB(U)} și anulatorii la dreapta A(B).
Definiția 1. Utilizând notația lMrB(U) = Ua pentru a închiderea operatorului lMrB vom spune că M este un a-self-generator dacă, pentru fiecare submodul a-închis U al lui M, avem U = [SMIB(U)]a. Întâmplător, această condiție pe M este de asemenea echivalentă cu obținerea unui izomorfism de latici, via IB și SM, dintre Ca și anulatorii la stânga A(B) = {H B | H = L(J), J B} pentru care avem:
Teorema 2.5. Următoarele afirmații sunt echivalente:
RM este un a-self-generator;
Aplicațiile U → rB(U) și J → lM(J) determină un antimorfism de latici între Ca și A(B);
Aplicațiile U → IB(U) și H → [SM(H)]a determină un izomorfism de latici între Ca și A(B).
Demonstrație: (1) (2). Întotdeauna S1 Ca; M este un a-self-generator dacă și numai dacă Ca S1. Evident Ca S1 sau echivalent Ca = S1 implică, din Teorema 2.2 că rB și lM determină un antiizomorfism între Ca și A(B).
(2) (1). Dacă rB și lM dau un astfel de antiizomorfism, atunci pentru orice U Ca, avem rB(U) = R(H) pentru H B, deci lMrB[SMIB(U)] = lMrB[SMIBlMrB(U)] = lMRLR(H) = lMR(H) = lMrB(U) = U, adică u S1.
(1) (3). Observăm mai întâi că pentru orice U Ca, IB(U) este în A(B), deoarece IB(U) = IBlMrB(U) = LrB(U) și evident, [SM(H)]a Ca pentru fiecare H B. Acum presupunem (1); atunci avem pentru orice U Ca, U → IB(U) → [SMIB(U)]a = U și pentru fiecare H A(B), H → [SM(H)]a → IBl MrBSM(H) = LR(H) = H. Deci cele două aplicații cu păstrarea ordinii sunt inverse una alteia și astfel determină un izomorfism de latici.
(3) (1). Dacă cele două aplicații sunt inverse una alteia, atunci avem U = [SMIB(U)]a adică U Ca.
Corolar 2.6. Fie RM un a-self-generator. Atunci B este un inel Baer dacă și numai dacă fiecare submodul a-închis a lui M este un sumand direct în M.
Remarci.
Orice self-generator este evident un a-self-generator. În secțiunea 3 vom da un exemplu de un a-self-generator care nu este un self-generator.
Corolarul 2.4. este Teorema 6 din [8]. Dacă M este un modul liber, atunci submodulele a-închise coincid cu submodulele dual-închise și Corolarul 2.6 dă Teorema 9 din [8] sau Teorema 2 din [7]. Submodulele a-închise și submodulele dual-închise coincid de asemenea în cazul în care M este un proiectiv infinit generat, conținând un element unimodular, în care caz Teorema 2.5 dă Teorema 3.8 din [6].
Teoremele 2.2 și 2.5 pot fi aplicate pentru a investiga alte proprietăți ale lui B având de-a face cu anulatori. Reamintim că B se spune că este superior (inferior) Levitschi la dreapta dacă el satisface ACC (DCC) pe idealele anulatori la dreapta. Inelele Levitschi la stânga sunt definite analog. Rezultă imediat, de exemplu, că:
Corolar 2.7. Fie RM un a-self-generator. Atunci B este supra (sub) Levitschi la dreapta dacă și numai dacă M satisface DCC (ACC) pe submodulele a-închise și B este supra (sub) Levitschi la stânga dacă și numai dacă M satisface ACC (DCC) pe submodulele a-închise.
O altă clasă de inele care este definită în termeni de anulatori și este închisă relativ la inelele Baer este clasa inelelor Rickart. Reamintim că B este un inel Rickart la stânga (respectiv la dreapta) dacă anulatorul la stânga (la dreapta) al oricărui element din B este generat de un idempotent în B. Ca și în cazul inelelor Baer, putem folosi conexiunile noastre Galois pentru a găsi când B = EndRM este Rickart la stânga sau la dreapta. Utilizând demonstrații similare, găsind ușor, de exemplu că:
Propoziția 2.8. Aplicațiile U → rB(U) și J → lM(J) determină o dualitate între k1 = {U M | U = (Mb)a, pentru b B} și A1(B) = {J B | J = R(b), b B} și B este un inel la dreapta Rickart dacă și numai dacă fiecare U k1 este un sumand direct în M.
Propoziția 2.9. Fie RM un a-self-generator. Atunci aplicațiile U → IB(U) și H → [SM(H)]a determină o proiectivitate între k2 = {U M | U = lM(b) = ker b, pentru b B} și A1(B) = {H B | H = L(b), b B} și B este inel Rickart la stânga dacă și numai dacă fiecare U K2 este un sumand direct în M.
Dacă luăm M ca modul liber, atunci Propozițiile 2.8 și 2.9 dau Teorema 3 din [7].
Teoreme de corespondență pentru complemenții la stânga
Așa cum am menționat în Introducere, pentru a utiliza conexiunile Galois în scopul studierii proprietăților lui B care sunt definite în termeni de anumite clase de ideale ale lui B, avem nevoie să stabilim că aceste ideale sunt obiecte Galois ale lui G1 sau G2. În Secțiunea 2 această relație deja există, deoarece, pentru orice RM, orice anulator la dreapta sau la stânga este un obiect Galois în G1 sau G2. Când lucrăm cu ideale, altele decât anulatori, adesea, avem nevoie să alegem M în așa fel încât relația cerută, între idealele în cauză și obiectele Galois ale lui G1 sau G2, să poată fi stabilită. De exemplu, când idealele relevante sunt ideale drepte finit generate, M este luat ca fiind cvasi-injectiv, deoarece pentru un astfel de RM, J = rBlM(J), pentru orice ideal drept finit generat J al lui B [1, Prop. 4.1]. În această secțiune, deoarece suntem interesați în proprietățile lui B definite în termeni de complemenți la stânga, ne vom ocupa mai mult cu module nedegenerate (pe care la vom defini la un anumit moment), deoarece, când M este nedegenerat, fiecare complement stâng H din B este un element Galois al lui G2, adică H = IBSM(H).
Înainte de a defini un modul nedegenerat, reamintim câteva notații:
M* = HomR(M, R) reprezintă, ca de obicei, modulul dual al lui M;
T = (M, M*) = reprezintă trasul lui M în R și
(R1, RMB, BM, B) este contextul Morita standard pentru M, cu morfismul de (R, R)-bimodule ( , ) : M M* → R, dat prin (m, f) = mf, pentru m M, f M* și morfismul de (B, B) bimodule [ , ] : M* M → B definit prin m1[f, m] = (m1, f)m pentru m, m1 M, f M*. De asemenea:
RU ’ RM reprezintă faptul că U este un R-submodul esențial al lui M, adică U are intersecție nenulă cu fiecare R-submodul nenul al lui M.
Definiția 2. Spunem că RM este nedegenerat dacă:
Tm = 0 m = 0 pentru orice m M.
Următoarea propoziție este ușor de verificat.
Propoziția 3.1. Pentru orice RM, următoarele afirmații sunt echivalente:
RM este nedegenerat;
Pentru fiecare m M, [M*, m] = 0 implică m = 0;
Pentru fiecare submodul RU al lui RM, TU ’ RU.
Orice modul liber, de fapt orice generator, este nedegenerat. Un self-generator, pe de altă parte, nu este necesar să fie nedegenerat: Z-modul Z / pn Z este un self-generator care nu este nedegenerat. M poate fi de asemenea nedegenerat fără a fi un self-generator: fie R inelul tuturor șirurilor Cauchy din Q cu multiplicarea pe componente și M idealul șirului nul; atunci M este nedegenerat dar nu este un self-generator.
Reamintim că RM se numește nesingular dacă, pentru orice m M, Im = 0 cu RI un ideal stâng esențial al lui R, implică m = 0. Din Definiția 2, este clar că orice modul nesingular cu traseul esențial este nedegenerat. Alt exemplu de module nedegenerate este orice modul torsionless peste un inel semiprim.
Modulele nedegenerate posedă câteva proprietăți care le fac în special potrivite pentru teoremele de corespondență stabilite pentru complemenți la stânga în B. În particular, proprietatea că, pentru M nedegenerat, fiecare complement stâng H în B satisface H = IBSM(H) va rezulta direct din (3) al propoziției anterioare. Înaintea prezentării Propoziției 3.2. remarcăm că următoarea binecunoscută proprietate a submodulelor esențiale va fi folosită fără comentarii în continuare: dacă RU RV RM, atunci RU ’ RM dacă și numai dacă RU ’ RV și RV ’ RM.
Propoziția 3.2. Fie RM nedegenerat. Atunci:
Pentru orice submodul nenul U al lui M avem: IB(U) 0;
Dacă H și J sunt ideale stângi ale lui B astfel încât H J atunci avem: BH ’ BJ dacă și numai dacă SM(H) ’ SM(J);
Pentru orice ideal stâng H în B avem: BH ’ IBSM(H);
Dacă U și V sunt submodule ale lui M astfel încât U V, atunci avem: RU ’ RU dacă și numai dacă IB(U) ’ IB(V);
M este un a-self-generator.
Demonstrație.
Fie U un submodul nenul al lui M și fie 0 u U. Atunci, deoarece M este nedegenerat [M*, u] 0 (Prop. 3.2). Din M[M*, u] = (M, M*) u Ru, vedem că [M*, u] IB(U), deci IB(U) 0.
Presupunem că BH ’ BJ și fie 0 m = , cu mi M și ji J pentru i = 1, …, n. Atunci 0 [M*, m] = ji J, deci [M*, m] H 0. Avem:
0 M (H [M*, m]) MH M[M*, M] = MH (M, M*)m MH Rm astfel, MH = SM (H) ’ SM(J).
Reciproc, presupunem că SM(H) ’ SM(J) pentru H J, și fie 0 c J. Atunci Mc 0 implică Mc SM(H) 0 și aceasta implică: 0 [M*, Mc SM(H)] [M*, Mc] [M*, SM(H)] Bc H; deci BH ’ BJ.
Din SM(H) = SMIBSM(H) pentru orice ideal stâng BH din B, avem, în particular că SM(H) ’ SMIBSM(H) deci din (2), H ’ IBSM(H).
Observăm mai întâi că rezultă din (1) faptul că pentru orice submodul nenul U al lui M, avem SMIB(U) ’ U; deoarece dacă 0 u U, atunci există 0 b IB(Ru). Deci, deoarece IB(Ru) IB(U) avem: 0 Mb Ru SMIB(U) așa că SMIB(U) ’ RU.
Fie acum U și V submodule nenule ale lui M astfel încât U V (cazurile când unul sau amândoi U și V sunt 0, sunt triviale) și presupunem mai întâi că RU ’ RV. Atunci, avem IB(U) IB(V), SMIB(U) SMIB(V) ’ V și SMIB(U) ’ U ’ V, astfel SMIB(U) ’ V și deci SMIB(U) ’ SMIB(V) și aceasta implică din (2) că IB(U) ´IB(V).
Presupunem acum că IB(U) ’ IB(V). Atunci, utilizând (2) avem SMIB(U) ’ SMIB(V) ’ V deci SMIB(U) ’ V. Dar SMIB(U) ’U V, deci SMIB(U) ’V, implică U ’ V.
Fie U un submodul a-închis al lui M. Este suficient să arătăm că rB(U) = rB[SMIB(U)], deci atunci U = lMrB(U) = lMrB[SMIB(U)]. Evident, deoarece SMIB(U) U, avem rB(U) rB[SMIB(U)]. Pentru incluziunea inversă, fie b rB[SMIB(U)] astfel încât [SMIB(U)]b = 0 și în consecință [IB(U)]b = 0. Dacă u este un element nenul în U, avem din nedegenerare, [M*, u] 0. Dar, așa cum am observat în (1), [M*, u] IB(U), astfel încât [M*, ub] = [M*, u]b [IB(U)]b = 0, care implică, în sfârșit, din nedegenerare iarăși, că ub = 0.
Deci Ub = 0 și b rB(U), ceea ce completează demonstrația.
Proprietatea (1) cu prop. 3.2. sunt de interes în sine:
Definiția 3. Spunem că RM este retractabil dacă, pentru orice submodul nenul U al lui M, avem: IB(U) 0. Mai mult, dacă „c” este orice operator de închidere pe L, atunci vom spune că M este c-retractabil dacă pentru orice submodul c-închis nenul U M, avem: IB(U) 0.
Rezultă ușor din demonstrația Prop. 3.2. (4) că M este retractabil dacă și numai dacă SMIB(U) ’ RU pentru fiecare submodul nenul U al lui M. Combinând Prop. 3.2 (5) cu Corolariile 2.6 și 2.7 găsim:
Corolar 3.3 Fie RM nedegenerat. Atunci:
B este un inel Baer dacă și numai dacă fiecare submodul a-închis al lui M este un sumand direct în M;
B este superior (inferior) Levitschi la dreapta dacă și numai dacă M satisface DCC (ACC) pe submodulele a-închise și
B este superior (inferior) Levitschi la stânga dacă și numai dacă M satisface ACC (DCC) pe submodulele a-închise.
Înaintea demonstrării primei teoreme de corespondență pentru complemenți la stânga reamintim că:
Un submodul RU al lui M se spune că este un complement în M dacă U nu are nici o extensie esențială proprie în M sau, echivalent, dacă există un submodul V al lui M astfel încât U este maximal în raport cu proprietatea U V = 0.
M se spune că este un CS modul dacă fiecare complement din M este un sumand direct în M. Un inel R se spune că este un CS inel stâng (drept) dacă RR (RR) este un CS modul. Modulele injective și cvasi-injective sunt CS module, cum sunt modulele semisimple și uniforme; pentru alte exemple vezi [2]. M se spune că este finit-dimensional, în sensul lui Goldie și notăm d(RM) < , dacă M satisface ACC pe submodulele complement. Un inel R are dimensiune Goldie la stânga (dreapta) finită dacă RR (RR) este finit-dimensional. R este un inel Goldie la stânga dacă el satisface ACC pe anulatorii la stânga și pe complemenții la stânga.
Este cunoscut faptul că dacă RM este nedegenerat, atunci d(RM) = d(BB) asă că M este finit dimensional dacă și numai dacă B are dimensiune Goldie la stânga finită (cf [4] Prop. 3). Combinând aceasta cu Corolarul 3.3. obținem:
Corolar 3.4. Fie RM nedegenrat. Atunci B este un inel Goldie la stânga dacă și numai dacă M satisface ACC pe submodulele a-închise și pe cele complement.
Teorema 3.5. Fie RM nedegenerat. Aplicațiile U → IB(U) și H → SM(H) determină o proiectivitate între S2 = {U M | U = SMIB(U) și IB(U) este un ideal stâng complement în B} și idealele stângi complement C(B) = {H B | H este un ideal stâng complement în B}.
Demonstrație. Evident, din definiție, dacă U S2, atunci IB(U) C(B). Pe de altă parte, dacă H C(B), atunci SM(H) este de M-cotorsiune și IBSM (H) = H din Prop. 3.2. (3), deci SM(H) S2. Avem: pentru u S2, u →IB(U) →SMIB(U) = U și, pentru H C(B), H → SM(H) →IBSM (H) = H. Deci, cele două aplicații cu păstrarea ordinii sunt inverse una celeilalte și astfel determină o proiectivitate.
Teorema 3.6. Fie RM nedegenerat. Atunci:
B este un CS inel stâng dacă și numai dacă fiecare U S2 este un sumand direct în M;
Dacă M satisface ACC pe submodulele de M-cotorsiune, atunci B este un inel Goldie la stânga.
Demonstrație. (1) Presupunem că fiecare V S2 este un sumand direct în M și fie H un ideal stâng complement al lui B. Atunci SM(H) S2, deci, există un idempotent e = e 2 în B astfel încât SM(H) = Me și H = IBSM (H) = IB(Me). Dar IB(Me) = Be deoarece, evident, e IB(Me), deci Be IB(Me) și reciproc, pentru b IB(Me) avem, pentru orice m H, mb = m1e pentru un anumit m1 M deci mbe = m1e2 = mb adică b = be Be. Rezultă că H = Be, adică H este un sumand direct în B.
Reciproc, presupunem că este CS stâng și fie U S2. Atunci IB(U) este un complement stâng în B, așa că IB(U) = Be, unde e = e2 B. Rezultă că U = SMIB(U) = SM(Be) = Me, așa că U este un sumand direct în M.
(2) Presupunem că M satisface ACC pe submodulele de M-cotorsiune. Atunci, în particular M satisface ACC: pe elementele lui S2 și aceasta implică, din Teorema 3.5 că B satisface ACC pe idealele stângi complement. Apoi, fie L(k1) L(k2) … un lanț ascendent de anulatori la stânga în B.
Atunci SM[L(k1)] SM[L(k2)] … este un lanț ascendent de submodule de M-cotorsiune ale lui M; deci, există un n > 0 astfel încât SM[L(kn)] = SM[L(kn + j)] j 1. Folosind Lema 2.1. (ii) avem că RL(kn) = rBSM[L(kn)] = rBSM[L(kn+j)] = RL(kn+j) pentru j 1. Și astfel L(kn) = L(kn + j) pentru j 1, ceea ce demonstrează că B satisface ACC pe anulatorii la stânga.
Remarcă. Din Teorema 3.6. (2) și Corolarul 3.4. vedem că, pentru un M nedegenerat, dacă M satisface ACC pe submodulele M-cotorsiune, atunci M satisface ACC pe submodulele a-închise și pe cele complement.
Lucrurile devin mai interesante când modulul nedegenerat este, în plus, un self-generator sau un CS modul, deoarece în ambele cazuri, submodulele lui S2 sunt precis complemenții lui M.
Teorema 3.7. Fie RM nedegenerat. Dacă M este un self-generator sau un CS modul, atunci aplicațiile IB și SM determină o proiectivitate între submodulele complement ale lui M și idealele stângi complement ale lui B.
Demonstrație. Din Teorema 3.5. va fi suficient de arătat că U S2 dacă și numai dacă U este un complement în M.
Fie U S2 așa că U = SMIB(U) și IB(U) este un complement stâng în B. Presupunem că RU ’ RV: putem presupune utilizând Lema Zorn, că V este un complement în M. Din Prop. 3.2. (4) IB(U) ’ IB(V) deci, deoarece IB(U) este un complement stâng, IB(U) = IB(V) și U = SMIB(U) = SMIB(V). Dacă M este un self-generator, atunci orice submodul este M-cotorsiune, așa că V = SMIB(V) = U și U este un complement: și dacă M este CS, atunci fiecare complement este un sumand direct deci de M-cotorsiune, așa că din nou V = SMIB(V) = U și U este un complement.
Reciproc, fie U un complement în M. Atunci dacă M este un self-generator sau CS modul, U este de M-cotorsiune. Pentru a vedea că IB(U) este un complement stâng în B, presupunem că IB(U) ’ J, unde J poate fi luat ca fiind un complement stâng în B (folosind Lema Zorn). Atunci, din Prop. 3.2. (2), SMIB(U) ’ SM(J) așa că U = SMIB(U) ’ SM(J), deci U = SM(J) deoarece U este un complement. Dar aceasta implică J IB(U), deci J = IB(U) ceea ce demonstrează că IB(U) este un complement stâng în B. Aceasta arată că U S2 și completează demonstrația.
Corolarul 3.8. Fie RM un self-generator nedegenerat. Atunci B este un CS inel stâng dacă și numai dacă M este un CS modul.
Corolar 3.9. Fie RM un CS modul nedegenerat. Atunci B este CS inel stâng.
Din aceste ultime rezultate vedem că existența unei proiectivități între complemenții lui M și complemenții stângi ai lui B este un lucru foarte util, deoarece existența unei astfel de proiectivități înseamnă că B este CS stâng dacă și numai dacă M este CS. Putem arăta acum că pentru un M nedegenerat este posibil să avem o astfel de proiectivitate fără a cere ca M să fie un self-generator sau un CS modul, ci simplu luând M ca fiind nesingular. În aceste caz, desigur, aplicațiile ce dau proiectivitatea trebuie ajustate puțin pentru a face față faptului că nu avem așa de multe submodule de M-cotorsiune la dispoziția noastră, așa cum am avut în cazul modulelor CS sau self-generate. Reamintim că pentru M nesingular, oricărui submodul U al lui M îi corespunde un unic complement Ue în M astfel încât U ’ Ue (cf [3 p 61 Prop 7]). Aplicația U → Ue definește un operator de închidere numit operatorul de închidere esențială sau operatorul de e-închidere pe laticea L a submodulelor lui M.
Teorema 3.10. Fie RM nedegenerat și nesingular. Atunci aplicațiile U →IB(U) și H → [SM(H)]e determină o proiectivitate între submodulele complement ale lui M și idealele la stânga complement al lui B.
Demonstrație. Fie U un submodul complement al lui M; vom arăta că IB(U) este un ideal stâng complement al lui B. Presupunem că IB(U) ’ H, unde putem presupune, prin Lema Zorn, că H este un ideal stâng complement al lui B. Atunci, din Prop. 3.2. (2) SMIB(U) ’ Sm(H) și aceasta implică că [SMIB(U)]e = [SM(H)]e. Dar, din Prop. 3.2 (1) SMIB(U) ’ U așa că U = [SMIB(U)]e = [SM(H)]e și aceasta implică, în particular, că SM(H) U deci că H IB(U). De aici H = IB(U) așa că IB(U) este un complement stâng în B. Reciproc, este clar că [SM(H)]e este un complement în M pentru orice ideal stâng în H din B.
Dacă H este un ideal stâng al lui B, avem SM(H) ’ [SM(H)]e și deoarece M este nedegenerat, avem din Prop. 3.2 (4), IBSM(H) ’ IB{[SM(H)]e} și din Prop. 3.2. (3), H ’ IBSM(H). Dacă H este un ideal stâng complement în B, atunci avem H = IBSM(H) = IB{[SM(H)]e}. Avem U →IB(U) →[SMIB(U)]e = U pentru fiecare complement U al lui M și H → [SM(H)]e → {[SM(H)]e} = H, pentru fiecare ideal stâng complement H al lui B. Deci cele două aplicații cu păstrarea ordinii sunt inverse una alteia și astfel determină o proiectivitate.
Corolar 3.11. Fie RM nedegenerat și nesingular. Atunci B este un inel CS la stânga dacă și numai dacă M este un CS modul.
Demonstrație. Presupunem că M este un CS modul și fie H un complement stâng în B. atunci [SM(H)]e = Me, pentru e = e2 B, și H = IB{[SM(H)]e} = IB(Me) = Be. Deci H este un sumand direct în B, ceea ce demonstrează că B este un CS inel stâng.
Reciproc, presupunem că B este un CS inel stâng, și fie U un complement în M. atunci IB(U) = Be, pentru e = e2 B și U = [SMIB(U)]e = [SM(Be)]e = [Me]e = Me, ultima egalitate având loc deoarece fiecare sumand direct este e-închis. Deci U este un sumand direct în M și M este un CS-modul.
Așa cum rezultă din ultimele trei Corolarii, complementele în M joacă un rol important în determinarea faptului că B este CS stâng. Următoarea teoremă arată că complemenții pot de asemenea juca un rol important în stabilirea faptului că B este Baer. Vom demonstra mai întâi o Lemă care ne va da posibilitatea să folosim rezultatele Secțiunii 2 pentru demonstrarea Teoremei 3.13. Utilizând Def. 3, vom spune că M este e-retractabil dacă IB(U) 0 pentru fiecare complement nenul U din M.
Lema 3.12 Fie M un modul nesingular, e-retractabil. Atunci M este un a-self-generator. În consecință, B este un inel Baer dacă și numai dacă fiecare submodul a-închis al lui M este un sumand direct în M.
Demonstrație. Fie U = lMrB(U) un submodul a-închis al lui M. Vom arăta mai întâi că, deoarece M este nesingular, U este un complement. Pentru a face aceasta, vom utiliza următoarea proprietate bine cunoscută a extensiilor esențiale: dacă RN ’ RK și 0 k K, atunci idealul stâng RI al lui R definit prin RI = [N : k] = {r R | rk N} este esențial în RR (cf. e.g. [3, p 46, Lema 3]). Fie V = Ue așa că, în particular, U ’V; atunci, evident rB(V) rB(U).
Reciproc, fie b rB(U); atunci vom arăta că b rB(V). Fie v V, atunci idealul stâng RI = [U : v] = {r R | rv U} ’ RR și avem Ivb = 0. Deoarece RM este nesingular, aceasta implică vb = 0 adică b rB(V) și astfel rB(U) = rB(V). Avem V lMrB(V) lMrB(U) = U, deci U = V și U este un complement în M.
În paragraful precedent am arătat că dacă U și V sunt două submodule arbitrare ale lui M, astfel încât RU ’ RV, atunci rB(U) = rB(V). Vom arăta acum că, deoarece M este e-retractabil, avem SMIB(C) ’ C, pentru orice submodul complement C al lui M. Fie 0 c C; atunci avem: 0 Y = (Rc)e C și 0 IB(Y) IB(C). Fie 0 b IB(Y), atunci 0 Mb Y implică 0 Mb Rc SMIB(c) Rc, ceea ce demonstrează că SMIB(C) ’ C.
Acum, dacă U este orice submodul a-închis al lui M, atunci U este un complement și avem SMIB(U) ’ U. Deci rB[SMIB(U)] = rB(U) și U = lMrB(U) = lMrB[SMIB(U)], ceea ce demonstrează că M este un a-self-generator. A doua cerință a lemei rezultă acum din Corolarul 2.6.
Teorema 3.13. Fie RM un CS modul nesingular. Atunci B este un inel Baer.
Demonstrație. Dacă 0 U este un complement în M, atunci deoarece M este CS, U este un sumand direct în M astfel încât U = Me pentru un anumit e = e2 B. Deci, IB(U) 0 adică un CS modul este e-retractabil. De asemenea, deoarece un complement este un sumand direct, fiecare complement din M este a-închis. Pe de altă parte știm din demonstrația Lemei 3.12 că atunci când M este nesingular, fiecare submodul a-închis este un complement. Deci, într-un CS modul nesingular M, U este un complement dacă și numai dacă el este a-închis. Deoarece M este, în particular, nesingular și e-retractabil știm din Lema 3.12 că B este un inel Baer dacă și numai dacă fiecare submodul a-închis este un sumand direct în M, adică dacă și numai dacă fiecare submodul complement este un sumand direct în M, adică dacă și numai dacă M este CS. Deci B este Baer și demonstrația este completă.
Combinând faptul că într-un modul nesingular, fiecare submodul a-închis este un complement, cu Corolarul 3.4. obținem:
Corolar 3.14. Fie RM nedegenerat și nesingular. Atunci B este un inel Goldie la stânga dacă și numai dacă M satisface ACC pe submodulele complement adică dacă și numai dacă d(RM) < .
Combinând Corolarul 3.9 cu Teorema 3.13 avem:
Corolar 3.15. Fie RM nedegenerat, nesingular și CS. Atunci B este Baer și CS stâng.
O comparație a celor două rezultate:
M nedegenerat CS B CS stâng (Corolar 3.9) și
M nesingular CS B Baer (Teorema 3.13)
ne duce în mod natural la întrebarea: care este relația dintre inelele Baer și inelele CS la stânga și care este relația dintre modulele nedegenerate și modulele nesingulare.
Pentru a răspunde la prima întrebare, reamintim mai întâi că un inel R se spune că este co-nesingular la stânga dacă fiecare ideal stâng al lui R care are anulatorul la dreapta nul, este esențial. Observăm că un inel Baer este întotdeauna nesingular, atât la stânga cât și la dreapta, în timp ce un CS inel la stânga nu este necesar să fie nesingular la stânga. Este cunoscut că: un inel este nesingular la stânga, CS stâng dacă și numai dacă el este un inel Baer co-nesingular la stânga ([2, Teorema 2.1]).
Referitor la întrebarea a doua avem:
Propoziția 3.16. Fie RM nesingular. Atunci RM este nedegenerat dacă și numai dacă RM este retractabil și TM ’ RM.
Demonstrație. Presupunem că M nesingular este retractabil și satisface TM ’ M. Vom arăta că M este nedegenerat, demonstrând că TU ’ U pentru orice submodul nenul U al lui M, de unde aceasta implică 0 TU = (M, M*)U = M[M*, u] și deci [M*, U] 0.
Observăm mai întâi că M[M*, U] = (M, M*)u U așa că [M*, U] IB(U). Avem: (M, M*)U = M[M*, U] SMIB(U) U și din retractabilitate SMIB(U) ’ U, așa că a rămas de arătat că (m, M*)U ’ SMIB(U). Fie 0 u SMIB(U) și scriem u = , cu mi M, bi IB(U) și mibi 0 pentru i = 1, …, n. Luăm ki = [(M, M*)M : mi] = {r R | rmi (M, M*)M}, atunci RKi ’ RR și 0 kimibi (M, M*)Mbi Rmibi, pentru . Fie J = lR(u) = {r R | ru = 0}, atunci, deoarece M este nesingular, și u 0, J nu este un ideal stâng esențial al lui R. Fie 0 RN un ideal stâng al lui R astfel încât N J = 0. Atunci, deoarece ’ RR există cu 0 k N . Avem: 0 ku = = deoarece k ki, deci deoarece mbi U, 0 ku (M, M*)U Ru ceea ce arată că (M, M*)U ’ SMIB(U) și M este nedegenerat.
Reciproc, dacă M este nedegenerat, atunci știm din Prop. 3.2. (1) că M este retractabil. Mai mult, este ușor de văzut că (M, M*)M ’ RM, deoarece dacă 0 m M, atunci, din nedegenerare, 0 (M, M*)m (M, M*)M Rm.
Dacă R este un inel care nu este stâng nesingular, atunci RR este nedegenerat, dar nu nesingular, așa cum este orice R-modul liber la stânga RF. Pe de altă parte în Exemplul 3.2. din [2] avem un modul nesingular proiectiv care nu este retractabil (nici chiar e-retractabil) și deci nu este nedegenerat.
În exemplul 3.4 din [5] RM este un modul nesingular, proiectiv, e-retractabil, care nu este retractabil, deci nu este nedegenerat. Totuși, din Lema 3.12 M este un a-self-generator. Aceasta dă un exemplu de un a-self-generator care nu este nedegenerat. De asemenea, deoarece un self-generator este evident retractabil, aceasta arată că un a-self-generator nu este necesar să fie un self-generator. În final, observăm că exemplul menționat mai devreme în această secțiune a unui modul nedegenerat care nu este un self-generator, de asemenea arată că un modul retractabil nu este necesar să fie self-generator. Relațiile dinte self-generatori, a-self-generatori, modulele nedegenerate și retractabile pot fi sintetizate în următoarea diagramă, unde simbolul „,” indică contra exemplul menționat în această secțiune:
Ar fi interesant să avem un exemplu de modul retractabil care nu este un a-self-generator, pentru a completa diagrama.
Module potrivite pentru schimbarea proprietăților cu inelele lor de endomorfisme
REZUMAT
Caracterizarea proprietăților unui modul RM în raport cu proprietățile inelului sau de endomorfisme E este adesea obținută prin stabilirea bijecțiilor dintre anumite submodule ale lui M și anumite ideale stângi sau drepte ale lui E. În acest paragraf, câteva bijecții importante care apar frecvent în literatura de specialitate, sunt clasificate în raport cu condițiile pe M – cum ar fi nedegenerarea, nesingularitatea, autogenerarea și retractabilitatea – care sunt necesare sau suficiente pentru stabilirea lor.
Introducere și preliminarii
Când caracterizăm proprietățile unui inel de endomorfime, E = End RM, ale unui modul RM, în raport cu proprietățile lui M, o tehnică frecvent utilizată este cea a stabilirii unor bijecții între acele ideale ale lui E care caracterizează proprietatea investigată și anume submodule ale lui M. Această tehnică este folositoare în caracterizarea multor tipuri diferite de proprietăți ale lui E și pentru multe tipuri diferite de module și este interesant și încercăm să determinăm pentru fiecare proprietate particulară a lui E în investigație, câteva condiții de bază minimale pe M care asigură că bijecțiile corespunzătoare pot fi stabilite. În realizarea acestui fapt, se trece peste câteva tipuri generale foarte interesante de module care sunt investigate pe merit în spațiu propriul lor sens și în acest paragraf comparăm aceste module generale și le clasificăm în raport cu care din proprietățile diferite ale lui E sunt transferabile pentru fiecare modul.
Tipuri de proprietăți ale lui E
Tipurile de proprietăți ale lui E a căror caracterizare în raport cu proprietățile lui M vor fi clasificate, sunt proprietăți ale lui E definite în raport fie cu clasele de ideale anulator la stânga sau la dreapta ale lui E (notate cu Al sau Ar) fie cu clasele de ideale stângi sau drepte fiind generate ale lui E (notate cu Fl sau Fr) fie cu clasa idealelor stângi complement ale lui E (notată cu Cl). Exemple de astfel de proprietăți sunt: E este inel Baer fiecare I Al (sau Ar) este un sumand direct (d.s) în E și E este stâng (respectiv drept) superior Levitski E satisface ACC pe Al (respectiv Ar); E este un inel regulat (Von Neumann) fiecare I Fl (sau Fr) este un sumand direct în E și E este noetherian stâng (respectiv drept) E satisface ACC pe Fl (respectiv Fr); E este un CS inel stâng fiecare I Cl este un sumand direct în E și E este inel Goldie la stânga E satisface ACC pe Cl și Al.
Aceste proprietăți ale lui E sunt ușor de caracterizat în raport cu proprietățile lui M, atâta timp cât există bijecțiile între idealele finit generate sau complement sau anulator care definesc proprietatea și anumite clase de submodule ale lui M. Printre aceste clase, avem clasa submodulelor anulator – închise ale lui M, definite ca Ma = { U M | U = f, pentru H E } și subclasa sa
M = { U M | U = ker f, f E } a submodulelor nucleu ale lui M; sau clasa submodulelor self-generate ale lui M, definită ca
MS = { U M | U = , pentru H E } și subclasa sa
M = { U M | U = Mf, f E} a submodulelor imagine ale lui M și clasa Mc a submodulelor complement ale lui M (U este un submodul complement sau un complement în U, dacă U nu are nici o extensie esențială proprie în M).
Observație. U < M reprezintă faptul că U este un R- submodul esențial al lui M adică U are intersecție nenulă cu fiecare submodul nenul al lui M.
Bijecțiile principale
Bijecțiile specifice pe care le vom discuta se obțin sau prin aplicarea unui ideal drept I din E, în submodulul f a lui Ma (numită aplicația G1) sau aplicând un ideal stâng I din E, submodulului din MS (numită aplicația G2).
Ori de câte ori putem să utilizăm G1 pentru a stabili bijecții între Ar și Ma, vom spune că avem ar; dacă putem să utilizăm G2 pentru stabilirea bijecțiilor între Al și Ms, vom spune că avem al și dacă putem utiliza G2 pentru stabilirea bijecțiilor dintre Cl și Mc, spunem că avem cl.
Anumite proprietăți ale lui E, cum ar fi aceea ca E să fie un inel Rickart stâng sau drept, sunt definite în raport cu clasele de anulatori la stânga sau la dreapta ale elementelor lui E, anume subclasele lui Ar sau Al.
A = { I E | I = r(f), f E } Ar
A = { I E | I = l(f), f E } Al
(“r” și “l” reprezintă anulatori la dreapta și la stânga în E). Alte proprietăți ale lui E, cum va fi aceea ca E să fie perfect la dreapta sau la stânga sau chiar regularitatea lui E, sunt definite în raport cu clasele pr sau pl a idealelor stângi sau drepte principale ale lui E. Ca o consecință, câteva alte bijecții foarte folositoare și frecvent stabilite sunt:
a dintre A și M via G1, a dintre A și M via G2
pr dintre pr și M via G1 și pl dintre pl și M via G2.
Pentru a ilustra utilizarea și necesitatea stabilirii acestei bijecții, prezentăm câteva rezultate cunoscute împreună cu analoagele simetrice stânga-dreapta:
[1] Dacă ar există, atunci E este Baer fiecare U Ma este un sumand direct în M și E este drept superior (respectiv inferior) Levitzki M satisface DCC (respectiv ACC) pe Ma.
[2] Dacă al există, atunci E este Baer fiecare U MS este un sumand direct în M și E este stâng superior (respectiv inferior) Levitzki M satisface ACC (respectiv DCC) pe MS (analogul stâng al lui [1]).
[3] Dacă a există, atunci E este Rickart drept fiecare U Meste un sumand direct în M (analogul drept al lui [4]).
[4] Dacă a există, atunci E este Rickart stâng fiecare U M este un sumand direct în M.
[5] Dacă pr există, atunci E este regulat fiecare U M este un sumand direct în M și E este un inel stâng perfect M satisface ACC pe M.
[6] Dacă pl există, atunci E este regulat fiecare U Meste un sumand direct în M și E este un inel perfect la dreapta M satisface DCC pe M.
[7] Dacă cl există, atunci E este un CS inel stâng fiecare U Mc este un sumand direct în M și E are dimensiunea Goldie stângă finită M satisface ACC pe Mc.
Câteva condiții pe m necesare și/sau suficiente pentru stabilirea bijecțiilor anterioare
Condițiile pe M cel mai adesea întâlnite în încercarea de a stabili principalele bijecții sunt condițiile ca nedegenerarea, nesingularitatea, auto-generarea și retractabilitatea; alte tipuri generale de module care sunt potrivite pentru stabilirea bijecțiilor sunt modulele CS trace-accesibile și continue. Toate aceste condiții vor fi definite în Secțiunea 2, împreună cu câteva din generalizările lor cum ar fi modulele e-retractabile și CSG precum și a-self-generatorii.
După prezentarea definițiilor, vom compara aceste condiții pe M cu fiecare alta. Avem, de exemplu, că dacă M este nedegenerat sau un self-generator, atunci M este atât retractabil cât și un a –self-generator. Pe de altă parte, dăm contraexemple pentru a arăta că: “nedegenerarea” și “self-generatorii” nu implică unul pe altul și nici “retractabilitatea” și “a-self-generatorii” nu o fac. Alte exemple de aceste interrelații între condiții sunt: un M trace-accesibil este nedegenerat dacă și numai dacă este retractabil și un M nesingular, e-retractabil este un a-self-generator.
Clasificarea condițiilor pe M în termeni referitori la cele șapte bijecții
Când pornim să clasificăm condițiile pe M în termeni referitori la cele șapte bijecții listate anterior, facem apel la relațiile din secțiunea anterioară și dezvoltăm altele, prin combinarea condițiilor pe M. De exemplu (i) nedegenerarea singură sau o combinație de nesingularitate cu e-retractabilitatea ne permite să stabilim bijecția ar , (ii) o combinație de nedegenerare cu nesingularitate sau cu c-self-generare ne permite să stabilim ci, (iii) ori self-generarea singură ori o combinație de ne-singularitate cu c-self-generarea ne permite să stabilim a. În concluzie, condițiile din [1] au loc ori de câte ori M este sau nedegenerat, un self-generator sau nesingular și e-retractabil; concluzia lui [4] are loc ori de câte ori M este sau un self-generator sau un c-self-generator nesingular, și concluzia lui [7] are loc când M este sau nedegenerat și nesingular sau nedegenerat și c-self-generat.
Exemplele precedente sunt pentru module pentru care au loc două din cele șapte bijecții. Mergând cu un pas mai departe avem de exemplu: Dacă M este nesingular și CS, atunci putem stabili ar, a și pl, așa că concluziile lui [1], [4] și [6] au loc ; și dacă M este un self-generator trace-accesibil, atunci ar, a și cl sunt stabilite, așa că concluziile din [1], [4] și [7] au loc. În final, dacă M este nesingular și continuu, atunci avem ar, a, pr și pl, așa că concluziile [1], [4], [5] și [6] au loc; dacă M este liber, avem ar, a, pl și cl, așa că avem concluziile din [1], [4], [6] și [7]; și dacă M este semisimplu, toate cele șapte bijecții și rezultate au loc.
Diagrama din finalul acestui paragraf reprezintă această clasificare. Cele 7 bijecții sunt plasate la baza diagramei. Atunci la primul nivel deasupra bazei, se găsesc acele tipuri de module pentru care cel puțin una din bijecții este stabilă. La al doilea nivel, se găsesc module pentru care putem stabili cel puțin două bijecții și așa mai departe. În consecință, modulele semisimple sunt în vârful diagramei. Putem folosi diagrama în legătură cu [1] – [7] pentru a deduce câteva noi rezultate.
Dacă M este semisimplu atunci E este Baer, regulat și CS-sting;
Dacă M este liber, atunci E este Baer fiecare U Ma este un d.s în M, E este Rickart la stânga fiecare submodul nucleu este un d.s. în M, E este regular fiecare submodul imagine este un d.s. în M și E este stâng C.S. M este C.S.;
Dacă M este nesingular și continuu, atunci E este Baer și regular.
Principalele tipuri de module
Vom da acum definițiile a zece condiții generale pe M care, singure sau combinate sunt necesare și/sau suficiente pentru stabilirea uneia sau mai multor din cele 7 bijecții principale din Secțiunea 1.2. Literele mari din fața fiecărei definiții o va face ușor de indicat în relațiile dintre aceste condiții din diagramă.
ND: RM este nedegenerat dacă Tm 0 pentru fiecare m M nenul, unde T = este trasul lui M în R.
SG: RM este un self-generator dacă fiecare submodul U al lui M satisface U = M HomR(M, U).
Observație. Pentru U M, fie aE(U) = {f E: Uf = 0} și pentru H E fie kM(H) = {m M: m H = 0}. Observăm că, U Ma U = kM(H), pentru H E U = kMaE(U); când U Ma, vom numi U un anulator închis sau un submodul a închis al lui M și pentru orice V M, numim kMaE (V) = Va, a-închiderea lui V
a-SG: RM este un a-self-generator dacă fiecare submodul a-închis U Ma satisface U = [M HomR(M, U)]a.
RE: RM este un retractabil dacă, pentru fiecare submodul nenul U al lui M avem HomR (M, U) 0.
e-ER: RM este e-retractabil dacă pentru fiecare complement nenul C al lui M avem HomR(M, C) 0.
NS: RM este nesingular dacă Im 0 pentru fiecare m M nenul atunci când I este un ideal stâng esențial al lui R.
CS: RM este un CS- modul dacă fiecare complement este un sumand direct în M.
CSG: RM este un CSG modul dacă fiecare complement este self-generat adică dacă pentru fiecare complement C în M avem C = M HomR(M, C).
CT: RM este un modul continuu dacă: (a)M este CS și (b) orice imagine izomorfă în M a unui sumand direct al lui M este un sumand direct în M.
TA: RM este trace-accesibil dacă TM = M, unde T este trasul lui M în R sau echivalent, dacă TN = MHomR(M, N) pentru fiecare R-modul stâng RN.
Când comparăm aceste condiții una cu alta, este convenabil să avem următoarea
Notație. Pentru U M, fie iE(U) = { f E : Mf U } și pentru H E fie SM(H) = {; mj M, hj H } = MH.
Notațiile SM(H) și MH vor fi folosite intercalat și vom identifica iE (U) și HomR (M, U). Reamintim deasemenea notația pentru contextul Morita standard (RR, ME, , E) pentru M, unde M* = HomR(M, R) și avem morfismul de R-R bimodule (. , .): M E M* R dat de (m, f) = mf, pentru m M și f M*.
Următoarele caracterizări echivalente ale nedegenerării vor fi utile în continuare:
Propoziție 2.1. Pentru fiecare RM sunt echivalente:
M este nedegenerat
Pentru fiecare m M, [M*, m] = 0 implică m = 0
Pentru fiecare submodul U al lui M, TU < U, unde T este trasul lui M în R.
Demonstrație. (a) (b): (M, M*)m = 0 M[M*, m] = 0 [M*, m] = 0
(c): Dacă 0 u U, atunci 0 Tu TU Ru
(c) (a): Dacă 0 m M, atunci Tm <1 Rm Tm 0.
Este ușor de văzut că fiecare modul liber, de fapt fiecare generator este atât nedegenerat și un self- generator. De asemenea, rezultă direct din definiție că un self-generator este un a-self-generator și dacă M este un self-generator, atunci orice submodul U al lui M satisface U = M HomR (M, U) așa că dacă 0 U avem HomR(M, U) 0 așa că un self-generator este retractabil. Arătăm acum că nedegenerarea ca și self-generarea implică amândouă a-self-generarea și retractabilitatea.
Propoziție 2.2. Dacă RM este nedegenerat, atunci M este retractabil și un a-self-generator.
Demonstrație. Fie M nedegenerat. Dacă U este un submodul nenul al lui M și 0 u U, atunci din Propoziția 2.1.(b) [M*, u] 0. Din M[M*, u] = (M, M*)u Ru vedem că [M*, u] HomR(M, U), așa că HomR(M, U) 0 și M este retractabil.
Fie U = kMaE(U) un submodul a-închis al lui M. Pentru a arăta că M este un a-self-generator, va fi suficient să arătăm că, pentru fiecare U Ma, avem aE(U) = aE SM iE(U), pentru că atunci va rezulta că U = kMaE(U) = kMaE SMiE(U) = [SMiE(U)]a. Evident, SMiE(U) = MiE(U) U; de asemenea, este ușor de văzut că aE este cu inversarea ordinii, așa că rezultă că aE(U) aESMiE(U).
Pentru incluziunea inversă, fie f aE SM iE (U) așa că 0 = [SM iE (U)] f = [MiE(U)]f; atunci avem [iE(U)]f = 0. Dacă u este orice element nenul al lui U, atunci din nedegenerare, avem [M*, u] 0. Dar, așa cum am arătat în primul paragraf al acestei demonstrații, [M*, u] HomR(M, U) = iE(U). Deci avem [M*, uf] = [M*, u]f iE(U)] f = 0 și aceasta implică din nedegenerare din nou că uf = 0. Deci Uf = 0 și f aE(U) ceea ce completează demonstrația.
În continuare arătăm că relațiile dintre module nedegenerate, retractabile self-generate și a-self-generate pot fi sintetizate în următoarea diagramă:
ND SG
RE a-SG
Vom da acum câteva exemple pentru a arăta că nu au loc alte implicații în diagrama anterioară. Utilizăm simbolul “” pentru a indica cazul când este dat un contraexemplu pentru a arăta că o implicație nu are loc.
2.3. Exemple.
Fie R inelul tuturor șirurilor Cauchy în Q cu multiplicarea pe componente și fie M idealul șirurilor nenule; atunci M nedegenerat dar nu este un self-generator. Astfel
ND SG
Pe de altă parte Z modulul Z / pn Z este un self-generator care nu este nedegenerat. Astfel
SG ND
Deoarece un self-generator este un a-self-generator b) ne dă de asemenea
a – SG ND
și deoarece un self-generator este retractabil b) implică
RE ND
Similar, deoarece un modul nedegenerat este atât retractabil cât și un a-self-generator, a) dă de asemenea
RE SG
și a-SG SG
Fie R inelul Z al întregilor și fie M R-modulul (Zp) (Zp) unde P este mulțimea numerelor prime. Atunci soculul lui M, Soc(M) = (Zp) (Zp) este un submodul esențial al lui M și HomR(M, X) 0 pentru fiecare submodul nenul X al lui Soc(M), de unde M este retractabil. Pe de altă parte M este un cogenerator așa că fiecare submodul al lui M este a-închis. Astfel, M este un a-self-generator M este un self-generator. Dar M nu este un self-generator deoarece pentru orice prim p, toate endomorfismele nenule ale lui Zp sunt surjective. Deci
RE a-SG
Fie K orice subcorp al numerelor complexe C, să fie R inelul matricelor 2 x 2 inferior triunghiulare cu elementul (1, 1) din K și cu celelalte elemente C:
R =
Atunci M = Re, unde e = . R este un inel nesingular stâng, CS stâng și M este un sumand direct al lui R, deci de asemenea CS și e-retractabil. Avem E = EndRM = = eRe = K. Fie anvelopa injectivă a lui R; atunci este inelul matricilor 2 x 2 peste C, așa că = e. Deoarece un R-endomorfism stâng al lui este de asemenea un -endomorfism stâng, avem EndR() = EndR(e) = ee = C. Astfel K are intersecții nenule cu fiecare ideal stâng al lui C, dar K este esențial ca un K-submodul al lui C numai dacă K = C. Este cunoscut (conform (4)) că atunci când M este un modul nesingular, retractabil, atunci inelul său de endomorfisme E este esențial ca un E-submodul al inelului de endomorfisme al anvelopei injective al lui M. Deci, în acest exemplu, M nu este retractabil fără ca K = C. Pe de altă parte M este nesingular și e-retractabil, deci un a-self-generator (așa cum vom arăta pe scurt cu propoziția 2.4.). Atunci
a-SG RE
Din punct de vedere al exemplelor din 2.3. putem completa diagrama noastră după cum urmează:
ND SG
RE a-SG
Exemplul d) este dat de A.W. Chatters și exemplul c) este dat de J.L. Gracia Hernandez.
În exemplul 2.3.d) am folosit următorul rezultat pe care îl demonstrăm acum pentru completare.
Propoziție 2.4. Fie RM un modul nesingular, e-retractabil. Atunci M este un a-self-generator.
Demonstrație. Fie U = kMaE(U) un submodul a-închis al lui M. Vom arăta mai întâi că, deoarece M este nesingular, U este un complement. Pentru a face aceasta, vom utiliza următoarea proprietate bine cunoscută a extensiilor esențiale: Dacă N <K și 0 k K, atunci idealul stâng RI al lui R definit prin RI = [N: k]={r R | rkN} este esențial în RR. De asemenea reamintim că dacă M este nesingular, atunci pentru orice submodul Y al lui M corespunde un unic complement Ye în M așa încât Y <1 Ye.
Fie acum V = Ue așa că, în particular, U <1 V; deci, evident aE(V) aE(U). Reciproc fie f aE(U); atunci vom arăta că f aE(V). Fie v V; atunci idealul stâng RI = [U : v] = {r R | rvU } <R și avem Ivf = 0. Deoarece RM este nesingular, aceasta implică vf = 0 i.e. f aE(V) și aE(U) = aE(V). Avem V kMaE(V)= kMaE(U) = U, deci U = V și U este un complement în M.
În paragraful precedent, am arătat că, dacă U și V sunt orice două submodule ale lui M așa încât U <V, atunci aE(U) = ae(V). Vom arăta acum că, deoarece M este e-retractabil, avem SMiE(C) <C pentru orice submodul complement C al lui M. Fie 0 c C; atunci avem 0 Y = (Rc)e C și 0 iE(Y) iE(C) ceea ce demonstrează că SM iE(C) <1 C. Acum, dacă U este orice submodul a-închis al lui M, atunci U este un complement și avem SMiE(U) <U. Deci aE[SMiE(u)] = aE(U) și U = kMaE(U) = kM aE SM iE(U) ceea ce demonstrează că M este un a-self- generator.
Observăm că în exemplul 2.3.d) M este e-retractabil și nu retractabil adică avem
RE e- RE.
De asemenea în 2.3.d) M este nesingular dar nu nedegenerat deoarece un modul nedegenerat este retractabil, așa că avem
NS ND
Pe de altă paret, dacă R este inel care nu este stâng nesingular, atunci RR este nedegenerat dar nu nesingular, așa cum este orice R-modul stâng liber, așa că
ND NS
În prima parte a demonstrației propoziției 2.2. am arătat că, pentru orice RM, dacă U este un submodul al lui M, atunci [M*, U] HomR(M, U). Deci, pentru orice M cu submodulul U avem TU = (M, M*)U = M[M*, U] M HomR(M, U) = SM iE(U) U.
Propoziție 2.5.
a) M este retractabil SM iE(U) <U pentru fiecare 0 U < M.
b) M este nedegenerat M este retractabil și TU <1 SM iE(U) pentru fiecare submodul U al lui M.
c) Un M trace-accesibil este nedegenerat este retractabil.
Demonstrație. a) Presupunem că M este retractabil și fie U un submodul nenul al lui M. Dacă 0 u U, atunci există 0 f iE(Ru). Deci, deoarece iE(Ru) iE(U), avem 0 Mf Ru SM iE(U) așa că SM iE(U) <U. Reciproc, dacă SM iE(U) <U și U 0, atunci aceasta implică că iE(U) 0.
b) Din TU SM iE(U) U avem că TU <1 U dacă și numai dacă TU <1 SM iE(U) și SM iE(U) <1 U. Deoarece TU <1 U este echivalent cu nedegenerarea din propoziția 2.1. și TU <1 SM iE(U) este echivalent cu retractabilitatea din a), rezultă concluzia;
c) Dacă M este trace-accesibil atunci, în particular TU = M HomR(M, U) pentru fiecare submodul U al lui M, așa că din b), M este nedegenerat este retractabil.
Clasificarea principalelor bijecții în raport cu principalele module pentru care ele pot fi stabilite.
Pornim prin a da condiții necesare și suficiente pentru stabilirea bijecțiilor: ar între Ar și Ma; și al între Al și Ms. Pentru H E fie r(H) = {f E: Hf = 0} și l(H) = {f E: fH = 0}.
Reamintim că
Ar = { I E: I = r(H) pentru H E } = { I E: I = rl (I)}
Al = { I E: I = l(H) pentru H E } = { I E: I = lr (I)}
Ma = { U M : U = kMaE(U)} = { U M: U = kM(I), I E }
MS = { U M : U = SMiE(U)} = { U M: U = SM(I), I E }
Remarcă 3.1.
Rezultă ușor din definiție că pentru Y E, aESM(Y) = r(Y) și iEkM(Y) = l(Y).
Teoremă 3.2.
a) Aplicațiile U aE(U) și I kM(I) determină bijecțiile între Ma și Ar Ma = kM(Ar).
b) Aplicațiile U iE(U) și I SM(I) determină bijecțiile între MS și Al MS = SM(Al).
Demonstrație.
Dacă aE și kM determină bijecțiile între Ma și Ar atunci pentru orice U Ma, avem aE(U) = r(Y) pentru anume Y E, deci U = kM aE(U) = kMr(Y) este în kM(Ar). Aceasta arată că Ma kM(Ar); deoarece întotdeauna kM(Ar) Ma, avem egalitate.
Reciproc, presupunem că Ma = kM(Ar). Atunci, dacă U Ma, avem U = kM(r(Y)) = kM(aE SM(Y)) din remarca 3.1. așa că aE(U) = aE kM aE SM (Y) = aESM(Y) = r(Y) Ar; adică aE implică pe Ma în Ar. Avem: U aE(U) kM aE(U) = U. Pe de altă parte, pentru I Ar, kM(I) aparține evident Ma și avem I=r(Y)kM(I)= kM(r(Y)) = kM(aE SM(Y)) din Remarca 3.1. și deci aE kM (I) = aE kM aE SM(Y) = aE SM(Y) = r(Y) = I. Astfel aplicațiile aE și kM sunt inverse una celeilalte și deci determinarea bijecției între Ma și Ar.
Demonstrația pentru b) este similară.
Corolar 3.3. Dacă M este un modul nedegenerat, a-self-generator sau nesingular, e-retractabil, atunci bijecțiile ar pot fi stabilite între Ma și Ar.
Demonstrație. Este necesar să arătăm că condiția Ma = kM(Ar) este echivalentă cu “M este un self-generator”, deoarece ultima dă: pentru orice U Ma, U = [SMiE(U)]a = kM aE SM iE(U) = kM r (iE(U)) kM(Ar); și Ma = kM(Ar) dă: pentru orice U Ma, U = kM r(Y) = kM aE SM(Y), așa că kM SM iE(U) = kM aE SM iE(kM aE SM(Y)) = kM rlr (Y) = kM r(Y) = U. Corolarul rezultă apoi din propozițiile 2.2. și 2.4. și definiția selfgeneratorului.
Remarcă. Teorema 3.2. a) este în esență echivalența dintre (1) și (2) a Teoremei 2.5. a lui (4), excepție faptul că “M este un self-generator” este utilizat în Teorema 2.5., în timp ce Ma = kM(Ar) este utilizat în Teorema 3.2.
Definiția unui self-generator poate fi reformulată ca: M este un self-generator dacă fiecare submodul U satisface U = SM iE(U) dacă fiecare submodul aparține lui MS. Dual definim: M este un self-cogenerator dacă fiecare sumbodul U satisface U = kM aE(U) dacă fiecare submodul aparține lui Ma. Este ușor de arătat că orice cogenerator este un self-cogenerator și că bijecțiile al pot fi stabilite pentru M un self-cogenerator.
Privim acum bijecțiile: a dintre Ași M și a dintre A și M. Reamintim că:
A = { I E : I = r(f), f E } Ar
A = { I E : I = l(f), f E } Al
M = { U M : U = Ker (f) = kM(f), f E } Ma
M = { U E : U = Mf = SM(f), f E } MS
Teoremă 3.4.
kM și aE determină bijecțiile între A și M M Ma.
SM și iE determină bijecțiile între A și M M MS.
Demonstrație. a) O direcție este clară; dacă kM și aE determină bijecții între A și M, atunci pentru orice U M, avem U = kM aE(U) Ma. Reciproc, presupunem că M Ma așa că pentru fiecare U M, avem U = kM aE(U). Atunci, pentru orice I A, avem I = r(f) pentru un anumit f E, deci I = aE SM(f) din Remarca 3.1. și în consecință kM(I) = kM aE SM(f) = SM (f) deoarece SM(f) M Ma; cu alte cuvinte kM duce A în M.
De asemenea pentru orice U M avem U = SM(f) pentru un anumit f E, deci aE(U) = aE SM(f) = r(f) din 3.1. adică aE duce Mîn A. Avem, pentru I A, I = r (f) = aE SM (f) kM(I) = kM aE SM(f) aE kM(I) = aE kM aE SM(f) = aE SM(f) = I și pentru U M, U aE(U) kM aE(U) = U. Deci, kM și aE sunt inverse una alteia și determină bijecții între A și M.
Demonstrația b) este similară.
Remarcă. Teorema 3.4. este o generalizare a Propozițiilor 2.8. și 2.9. din (4).
Corolar 3.5. Dacă M este un self-generator sau un modul CSG nesingular, atunci bijecțiile a pot fi stabilite între și M. Dacă M este un self-cogenerator, atunci bijecțiile a pot fi stabilite între A și M.
Demonstrație. Dacă M este un self-generator, atunci fiecare submodul este în MS, deci din teorema 3.4. b) avem bijecțiile a. Fie M un CSG modul nesingular. În demonstrația Propoziției 2.4. am arătat că, atunci când M este nesingular, fiecare submodul a-închis este un complement. Deoarece într-un CSG–modul fiecare complement este în MS, avem că Ma MS, așa că în particular M MS, dând bijecțiile a.
Dacă M este un self-cogenerator, atunci fiecare submodul este în Ma, așa că în particular M Ma, deci din teorema 3.4. a) avem bijecțiile a.
Propoziție 3.6. Dacă M este un modul CSG nesingular, sau un modul trace-accesibil retractabil, atunci avem bijecțiile ar.
Demonstrație. Un CSG modul este e-retractabil deoarece dacă C este un complement nenul, atunci C = SM iE(C) implică iE (C) 0. Deci, M CSG nesingular M nesingular e-retractabil bijecțiile ar sunt stabilite de corolarul 3.3. Dacă M este trace-accesibil și retractabil, atunci din propoziția 2.5. M este nedegenerat, deci din Corolarul 3.3. avem ar.
Pentru a clasifica bijecțiile cl dintre idealele stângi complementul Cl ale lui E și submodulele complement Mc ale lui M, prezentăm fără demonstrație următoarele rezultate (conform (4) Teorema 3.7. și 3. 10):
Teorema 3.7. Dacă M este nedegenerat și CSG sau nedegenerat și nesingular atunci bijecțiile Ce pot fi stabilite.
În final, pentru bijecțiile: Pr dintre idealele drepte principale Pr ale lui E și submodulele nucleu M ale lui M, bijecțiile Pe dintre idealele stângi principal Pe ale lui E și submodulele imagine M ale lui M, avem:
Propoziție 3.8. [(5) propoziția 2.3.]
kM și aE determină bijecțiile între Pr și kM(Pr) = M fiecare I Pr satisface I = aE kM(I).
SM și iE determină bijecțiile între Pe și SM(Pe) = M fiecare I Pr satisface I = iE SM(I).
Demonstrație. a) Dacă kM și aE determină bijecțiile între Pr și kM(Pr), atunci pentru orice I Pr avem I = aE kM(I).
Reciproc, presupunem că I = aE kM(I) pentru fiecare I Pr. Atunci pentru I = fE Pr avem: I kM(I) = kM(fE) = kM(f) M aE kM(I) = I; și pentru U = kM(f) = kM(fE) M = kM(Pr), avem UaE(U) = aE kM(fE) = fE PrkM aE(U) = U, ultima egalitate datorată faptului că M Ma. Deci aplicațiile aE și kM sunt inverse una celeilalte și astfel determină bijecțiile între Pr și M.
Demonstrația lui b) este similară.
În legătură cu pr și pe este necesar să utilizăm următorul rezultat din (5) pe care îl dăm fără demonstrație.
Teorema 3.9. [(5) Teorema 3.3.]
Dacă fiecare U M este un sumand direct în M, atunci fiecare I Pr satisface I = aE kM(I);
Dacă fiecare U M este sumand direct în M, atunci fiecare I Pe satisface I = iE SM(I).
Putem acum să combinăm rezultatele 3.3. – 3.9. pentru a obține module pentru care trei din principalele bijecții au loc.
Propoziție 3.10. Dacă M este un trace-accesibil, self-generator, atunci bijecțiile ar, ași ce pot fi stabilite. Dacă M este nesingular și CS, atunci ar, ași pe pot fi stabilite.
Demonstrație. Fie M un self-generator trace-accesibil, atunci din self-generare, avem ar din Corolarul 3.3. și a din Corolarul 3.5. Deoarece un self-generator este retractabil, M este trace-accesibil și retractabil, deci nedegenerat din propoziția 2.5. c) și deoarece un self-generator este în particular un CSG modul, M este un CSG modul nedegenerat, deci avem ce din 3.7.
Fie M nesingular și CS. Deoarece un CS modul este un CSG modul avem ar din propoziția 3.6. așa cum am arătat în demonstrația propoziției 2.4. deci, deoarece M este CS, fiecare U Ma este un sumand direct în M. Deoarece M Ma avem că fiecare U M este un sumand direct în M, deci din 3.9. a) fiecare I Pe satisface I = iE SM(I) care din propoziția 3.8. b) implică că avem bijecțiile Pe.
Reamintim că M este gvasi-injecție (QI) dacă orice homomorfism de la un submodul al lui M în M se extinde la un endomorfism al lui M și că M este gvasi-proiectiv (QP) dacă pentru fiecare epimorfism p de la M la un modul M’ și fiecare g HomR(M, M’), există un endomorfism h al lui M așa încât g = hp.
S-a arătat în (1) că: Dacă M este cvasi-proiectiv, atunci fiecare I Pe (de fapt, fiecare I Fe) satisface I = iE SM(I). Aceste rezultate ajută să găsim următorul corolar:
Corolar 3.11.
Dacă M este un cvasi-injectiv, atunci avem bijecțiile pr.
Dacă M este un cvasi-proiectiv, atunci avem bijecțiile pe.
Dacă M este proiectiv și retractabil, atunci avem pe și ar.
Demonstrație. O combinație de remarci precedând corolarul și propoziția 3.8. ne dau a) și b). Fie M proiectiv și retractabil; atunci, deoarece un modul proiectiv este cvasi-proiectiv, avem pe din b) și deoarece un modul proiectiv este trace-accesibil, M este în particular, trace-accesibil și retractabil, deci avem ar din propoziția 3.6.
Dăm acum câteva exemple de module cu patru bijecții principale valabile.
Propoziție 3.12. Dacă M este nesingular și continuu – în particular, dacă M este nesingular și cvasi-injectiv – atunci avem bijecțiile ar, a , pe și pr. Dacă M este un modul liber, atunci avem ar, a , ce și pe.
Demonstrație. Fie M nesingular și continuu. Deoarece un modul continuu este CS avem ar, a și pe din propoziția 3.10. Fie U M așa că U = Mf, pentru f E. Deoarece M este nesingular, submodulul kM(f) fiind a-închis, este de asemenea un complement; deci, deoarece M este CS, există un submodul V al lui M așa încât M = kM(f) V. Fie f1 restricția lui f la V, atunci f1 : V Vf1 este un izomorfism și avem Mf = Vf = Vf1. Deci, deoarece V este un sumand direct și M este continuu, Vf1 = Mf este un sumand direct în M. Acum din 3.9. deoarece fiecare U M este un sumand direct în M, avem I = aE kM(I) pentru fiecare I Pr, care din propoziția 3.8. a) implică că avem bijecțiile pr.
Fie M un modul liber, atunci M este un proiectiv și un generator, deci gvasi-proiectiv, trace-accesibil și un self-generator.
Astfel, avem Pe din Corolarul 3.11.b) și avem ar, a și ce din propoziția 3.10.
În final, un exemplu unde avem toate cele șapte bijecții principale:
Propoziție 3.13. Dacă M este un modul semisimplu, atunci avem bijecțiile ar, , ae, a, a , ce, pr și pe.
Demonstrație. Fie M semisimplu. Atunci deoarece M este un self-generator, avem ar și a și deoarece M este un self-cogenerator, avem ae și a. Deoarece M este atât cvasi-injectiv cât și cvasi-proiectiv avem pr și pe și deoarece M este trace-accesibil și un self-generator avem ce.
Această clasificare este rezumată în următoarea diagramă.
Semisimple
Libere
CS = complemenții sunt sumanzi NS = nesingular
CSG = complemenții sunt self-generatori PR = proiectiv
CT = continuu QI = cvasi-injectiv
ER = e-retractabil QP = cvasi-proiectiv
GE = generator RE = retractabil
ND = nedegenerat SCG = self-cogenerator
SG = self-generator TA = trace-accesibil
Module ale căror inele de endomorfisme au inele de fracții la stânga și la dreapta maximale izomorfe
Rezumat. Fie RM un R-modul stâng cu proprietatea că HomR(M, U) 0 pentru orice submodul nenul U al lui M, fie E(M) anvelopa injectivă a lui M și fie B (respectiv A) inelul de R-endomorfisme ale lui M (respectiv E(M)). Este cunoscut faptul că dacă M este nesingular, atunci B este nesingular la stânga, iar A este inelul de fracții la stânga maximal al lui B. Dăm în acest paragraf, condiții necesare și suficiente pe M pentru ca B să fie nesingular la dreapta și pentru ca A să fie inelul de fracții la dreapta maximal al lui B.
Introducere și preliminarii.
Utumi a dat soluția următoarei probleme: dat un inel S care este nesingular la stânga și la dreapta, în ce condiții inelul de fracții maximal la stânga (MLQR) al lui S este izomorf cu inelul de fracții maximal la dreapta (MRQR) al lui S? El a demonstrat că acest izomorfism are loc, dacă și numai dacă reciproca proprietății de nesingularitate are loc pe S, adică dacă și numai dacă fiecare inel stâng al lui S care are anulatorul la dreapta nul este esențial în S și fiecare ideal drept al lui S, care are anulatorul la stânga nul, este esențial în S. Considerăm acum chestiunea analoagă pentru inelul endomorfismelor unui R-modul.
Fie RM un R-modul stâng, unde R este un inel cu unitatea 1 și B = EndRM inelul său de R-endomorfisme.
Următoarele notații vor fi utilizate în continuare:
Dacă U este un submodul al lui M, atunci
IB(U) = {b B: Mb U }
rB(U) = {b B: Ub = 0 }
ℓR(U) = {r R: rU = 0 }
Dacă I este un ideal drept al lui B, atunci:
ℓM(I) = {m M: m I = 0 }.
X ’ Y înseamnă că X este un submodul esențial al lui Y adică X intersectează netrivial fiecare submodul nenul al lui Y. Dacă I este un ideal stâng, drept sau bilateral a inelului S, atunci SI ’ SS (respectiv IS ’ SS) ne arată că I este esențial în S ca ideal stâng (drept) al lui S.
Reamintim că RM se numește nesingular dacă unicul submodul al lui M care are anulatorul (stâng) esențial în R este submodulul nul, adică ℓR(U) ’ R U = 0.
Modulul MR se numește conesingular dacă unicul submodul al lui M cu anulatorul (drept) esențial în B, este submodulul nul, adică rB(U) ’ BB U = 0.
Fie E(M) anvelopa injectivă a lui M și A = EndR[E(M)] inelul său de R-endomorfisme. Se știe că dacă M este nesingular, atunci A este inel regulat în sens von Neumann la stânga și inel self-injectiv. Dacă impunem o condiție de nedegenerare pe M, anume dacă presupunem că M este retractabil, adică IB (U) 0 pentru orice submodul nenul U al lui M, atunci, când RM este nesingular, B este nesingular la stânga și A este MLQR al lui B. Este natural să ne întrebăm ce proprietăți ale lui M vor face pe B să fie nesingular la dreapta și ce proprietăți ale lui M vor face A izomorf cu MRQR al lui B.
În Propoziția 1 arătăm că pentru un modul RM nesingular retractabil, B este nesingular la dreapta, dacă și numai dacă M este conesingular. În Teorema 2 arătăm că B are MLQR și MRQR izomorfe dacă și numai dacă
fiecare submodul (stâng) al lui M cu anulatorul (drept) nul în B este esențial în M, adică rB(U) = 0 U ’ M;
fiecare ideal drept lui B cu anulator (stâng) nul în M este esențial în B, adică ℓM(I) = 0 IB ’ BB.
Remarcăm faptul că (a) este reciproca bine cunoscutei proprietăți a modulelor nesingulare: dacă RM este nesingular atunci orice submodul esențial a lui M are anulatorul nul în B, adică U ’ M rB(U) = 0, pe când proprietatea (b) este reciproca proprietății corespunzătoare a modulelor conesingulare: dacă M este conesingular atunci orice ideal drept esențial al lui B are nucleul nul, adică IB ’ BB ℓM(I) = 0. Exemple de module care satisfac diferite condiții sunt date în ultimul paragraf.
Inele de endomorfisme cu inele de câturi la dreapta și la stânga izomorfe
Fie RM un R-modul stâng nesingular, retractabil, deci în particular, B este nesingular stâng și A este MLQR al lui B.
Propoziția 1. B este nesingular la dreapta dacă și numai dacă M este conesingular.
Demonstrație. Presupunem că B este nesingular la dreapta așa că fiecare element al lui B cu anulatorul la dreapta esențial, este nul. Dacă U este un submodul al lui M, atunci evident ℓB(U) rB(U) = 0. Deci, dată nesingularitatea la dreapta a lui B, dacă rB(U) este esențial în B, atunci ℓB(U) = 0, ceea ce implică, din retractabilitatea lui M, că U = 0. Astfel M este conesingular.
Reciproc, presupunem că M este conesingular și presupunem că bI = 0 pentru un anumit b din B, cu I ideal la dreapta esențial al lui B. Atunci MbI = 0 implică faptul că Mb este conținut în ℓM(I), deci rB(Mb) conține rB ℓM(I), care conține pe I. Deoarece I este esențial în B, aceasta implică că rB(Mb) este esențial în B, deci din conesingularitatea lui M, Mb = 0 adică b = 0 și B este nesingular la dreapta.
Un inel la stânga nesingular S, adică unul în care fiecare ideal stâng esențial are anulatorul drept nul, este numit un inel Utumi la stânga dacă fiecare ideal stâng al lui S cu anulatorul drept nul în S este esențial în S. Într-un R-modul stâng nesingular RM, un submodul esențial (stâng) U are anulatorul (drept) nul în B, adică: U ’ M rB(U) = 0. Un modul RM nesingular se numește modul Utumi, dacă în M are loc reciproca acestei proprietăți, adică orice submodul al lui M cu anulatorul nul în B este esențial în M: rB(U) = 0 U ’ M.
Definiția inelului Utumi la stânga este stâng – drept simetrică. Utilizând această terminologie teorema Utumi poate fi reformulată astfel: un inel nesingular Utumi la stânga și la dreapta S are MLQR și MRQR izomorfe dacă și numai dacă S este inel Utumi atât la stânga cât și la dreapta.
Dacă RM este conesingular, rezultă ușor că ideal drept esențial al lui B, are nucleul nul în M: IB ’ BB ℓM(I) = 0. Un modul RM conesingular este un modul co-Utumi dacă reciproca acestei proprietăți are loc în M, adică dacă orice ideal drept al lui B cu anulatorul nul în B, este esențial în B: ℓM(I) = 0 IB ’ BB.
Teorema 2. Dacă M este un R- modul stâng retractabil, nesingular și conesingular, atunci A = EndR(E(M)) este atât MLQR cât și MRQR al lui B = EndR(M) dacă și numai dacă M este un modul Utumi și co-Utumi.
Această teoremă rezultă imediat din următoarele:
Lema 3. B este un inel Utumi stâng dacă și numai dacă M este un modul Utumi.
Demonstrație. Sa arătat în [5] că inelul nesingular stâng B este un inel Utumi dacă și numai dacă B are intersecție nenulă cu fiecare ideal drept nenul al lui MLQR A. Dar din [3], deoarece A = EndR(E(M)), aceasta are loc dacă și numai dacă rB(U) = 0, pentru fiecare U, care nu este esențial în M, adică dacă lși numai dacă M este un modul Utumi.
Lema 4. Dacă M este conesingular, atunci B este un inel Utumi la dreapta dacă și numai dacă M este un modul co-Utumi.
Demonstrație. Presupunem că B este Utumi la dreapta și presupunem că ℓM(I) = 0, pentru un anumit ideal I al lui B. Atunci IB ℓM(I) = 0. Dar IB ℓM(I) este egal cu anulatorul stâng L (I) a lui I în B. Deci proprietatea de a fi Utumi drept implică faptul că I este esențial în B, astfel M este co – Utumi.
Reciproc, presupunem că M este co – Utumi și fie I un ideal drept al lui B, cu anulatorul stâng nul L (I) în B. Atunci IB ℓM(I) = L (I) = 0 implică că ℓM(I) = 0 deoarece M este retractabil, ceea ce implică iarăși că I este esențial în B, deoarece M este co – Utumi. Deci B este Utumi drept.
Exemple. Orice modul liber, de fapt orice generator este retractabil așa cum este orice modul semisimplu, orice modul fără torsiune peste un inel semiprim și orice RM așa încât (Trace RM)m 0, dacă 0 m M.
Exemple de module utumi sunt CS- modulele, adică modulele în care fiecare submodul complement este un sumand direct. Pentru a vedea faptul că un CS – modul este Utumi, fie RM un CS – modul și fie U un submodul al lui M cu proprietatea că rB(U) = 0. Deoarece închiderea esențială Ue a lui U este sumand direct în M, există un submodul V al lui M așa încât M = Ue V și a, b B cu proprietatea că Ueb = 0 și vb = v, pentru v V. Atunci rB(U) = 0 implică b = 0 și astfel V = 0 și U este esențial în M.
Proprietăți ale inelelor de endomorfisme ale modulelor și dualele lor
Rezumat. Fie RM un R – modul stâng nesingular, a cărui context Morita este nedegenrerat și fie B = EndR M iar M* = HomR(M, R). Arătăm că B este tare modular la stânga (dreapta) dacă și numai dacă orice element al lui B care are nucleul nul în RM (M) are imaginea esențială în RM (M) și că B este inel Utumi stâng (drept) dacă și numai dacă fiecare submodul RU al lui RM (U a lui M) cu U1 = 0 (1U* = 0) este esențial în RM (M).
Introducere.
Fie RM un R – modul stâng a cărui context Morita standard este nedegenerat, fie B = EndRM inelul de R – endomorfisme ale lui RM să fie M* = HomR (M, R) modulul său dual atunci B este nesingular la stânga dacă și numai dacă RM este nesingular (adică M satisface proprietatea oricare ar fi m M cu anulatorul esențial în R trebuie să fie nul) și B este nesingular la dreapta dacă și numai dacă M satisface condiția: dacă U este un submodul esențial al lui M, atunci anulatorul lui U* în B trebuie să fie nul. Aceste condiții au loc desigur dacă M este nesingular. Desigur, ca și în cazul lui RM, M este nesingular dacă și numai dacă EndR M* este nesingular la dreapta.
Atenția noastră se îndreaptă spre B, care în general este un subinel propriu al lui EndRM* (de exemplu pentru RM infinit generat), deci nu este de așteptat ca o condiție pe RM care este echivalentă cu anumită proprietate la stânga a lui B, să fie echivalentă cu aceeași proprietate la dreapta lui B când este reflectată în M.
În acest paragraf, investigăm această situație și încercăm să evidențiem câteva proprietăți stângi – drepte ale lui B care sunt simetrice, sau aproape simetrice, reprezentate în RM și M. De exemplu găsim că B este tare modular la stânga dacă și numai dacă orice element al lui B care are nucleul nul în RM are imaginea esențială în BM, în timp ce B este tare modular la dreapta dacă și numai dacă orice element al lui B care are nucleul nul în M are imaginea esențială în M. Găsim de asemenea că B este inel Utumi la stânga dacă și numai dacă fiecare submodul RU al lui RM cu U1 = 0 este esențial în RM, în timp ce B este inel Utumi la dreapta dacă și numai dacă fiecare submodul U a lui M cu 1U* = 0 este esențial cu M.
Preliminarii.
Notăm anulatorii la stânga și la dreapta în B ai unei submulțimi k a lui B cu L(k) și R(k) respectiv, iar ℓM(k), (k), rB(U), ℓB(U*) reprezintă anulatorul în M al lui k B, în M* a lui k B, în B a lui U M și în B a lui U* M* respectiv. De asemenea, pentru RU RM și U M utilizăm notația IB (U) ={ bB | Mb U } și IB (U*) ={ bB | bM* U* }. Notația RU e RM va fi utilizată pentru a arăta că U este un R – submodul esențial al lui M (adică U intersectează netrivial fiecare R – submodul nenul al lui M).
Reamintim că RM se numește nesingular dacă pentru m M, cu lR(m) e RR m = 0. B se numește nesingular la stânga (dreapta) dacă BB (BB) este nesingular.
Reamintim câteva definiții și propoziții.
Definiție. Fie (R, M, N, S) un context Morita adică fie RMS și SNR bimodule cu R – R morfismul de bimodule ( , ) : M SN R și cu S–S morfismul de bimodule [ , ]: N SM S satisfăcând proprietățile m1[ n1, m2] = (m1, n1) m2 și n1(m1, n2) = [n1, m1] n2 pentru toți m1, m2 M și n1, n2 N.
Atunci (R, M, N, S) se spune că este nedegenerat dacă și numai dacă cele patru module RM, MS, SN, NR și cele două aplicații sunt fidele (ultima însemnând că (m, N) = 0 implică m = 0).
Acesta este echivalent cu faptul că cele opt aplicații naturale asociate cu contextul Morita sunt injective (de exemplu două din aceste aplicații sunt: m (m, -) și r (n nr) End (SN) pentru toți m M, n N și r R). Vom numi un modul a cărui context standard este nedegenerat, modul nedegenerat.
Propoziție. Dacă contextul (R, M, N, S) este nedegenerat și dacă unul din modulele RR, RM, SN, SS este nesingular, atunci toate celelalte sunt nesingulare.
De aici înainte, fără alte indicații, considerăm RM un R- modul stâng nesingular și nedegenerat. Atunci, din cele de mai sus RM, MB, BM*, Mși cele două aplicații perechi sunt fidele și RR, RM* și BB sunt nesingulare. ( , ) și [ , ] reprezintă aplicațiile perechi asociate cu contextul standard pentru RM, adică ( , ) este definită prin (m, f) = mf pentru m M și f M* și [f, m] este definită prin m1 [f, m] = (m1, f) m pentru toți m, m1 M și f M*.
Dacă RU este un submodul al lui RM, atunci [M*, U] indică idealul stâng al lui B definit prin [M*, U] = { mi M*, ui Ui } și similar pentru [U*, M] unde U este un submodul al lui M. De asemenea U1 = { m* M* (U, m*) = 0 } și 1U* = { m M (m, U*) = 0 }.
Vom utiliza de asemenea faptul că pentru un modul nesingular RM orice R- morfism f de la RM la un alt R-modul, care are nucleul esențial, este nul.
Vom folosi și următoarea
Lemă. Pentru k B, L(k) = IB ℓM(k) = ℓB(kM*) și R(k) = rB(Mk) = IB* rM* (k).
Inele de endomorfisme Utumi și tare modulare
Definiție. Un *-inel Baer B este numit tare modular dacă pentru toți b din B, R(b) = 0 implică faptul că bB este esențial cu B.
Datorită involuției definiția este stâng-drept simetrică.
În absența involuției numim un inel B tare modula la stânga dacă pentru bB, L(b) = 0 Bb e BB și tare modular la dreapta dacă R(b) = 0 bB e BB. Rezultă că proprietățile de tare modularitate la stânga și la dreapta pe B = EndR M sunt echivalente cu condițiile aproape simetrice pe RM și M.
Teorema 3. (i) B este tare modul la stânga dacă și numai dacă, pentru fiecare b B, ℓM(b) = 0 Mb e RM.
(ii) B este tare modul la dreapta dacă și numai dacă, pentru fiecare b B, rM*(b) = 0 bM* e M.
Demonstrație. Comparând definiția modularității tari la stânga cu condițiile referitoare la RM din (i), este ușor de văzut că (i) va rezulta de îndată ce arătăm că “L(b) = 0” este echivalent cu “ℓM(b) = 0” și că Bb e BB este echivalent cu “Mb e RM”. Aceste echivalențe vor fi demonstrate în Lema 4 următoare. La fel, (ii) va rezulta de îndată ce arătăm în Lema 4 că “R(b) = 0” este echivalent cu “rM*(b) = 0” și că “bB e BB” este echivalent cu “bM*e M”.
Lema 4. (i) Pentru fiecare submulțime k a lui B, L(k) = 0 dacă și numai dacă ℓM(k) = 0 și R(k) = 0 dacă și numai dacă rM*(k) = 0.
(ii) Pentru orice ideal stâng BH al lui B, BH e BB dacă și numai dacă MH e RM, și pentru orice ideal drept IB al lui B, IB e BB dacă și numai dacă IM* e M.
Demonstrație. (i) Fie k B și considerăm submodulul ℓM(k) al lui RM. Dacă ℓM(k) = 0, fie 0 m ℓM(k); atunci, din nedegenerare, există m * M* așa încât [m*, m] 0.
Deoarece MB este fidel, 0 M[m*, m] = (M, m*)m Rm ℓM(k), astfel 0 [m*, m] IB ℓM(k). Deci ℓM(k) = 0 dacă și numai dacă L(k) = IB ℓM(k) = 0.
Similar, dacă 0 m* rM*(k), atunci nedegenerarea ne dă m M așa încât [m*, m] 0 și deoarece M* este fidel, [m*, m] este un element nenul al lui IrM*(k); astfel rM*(k) = 0 dacă și numai dacă R(K) = IrM*(k) = 0.
(ii) Fie BH un ideal stâng esențial al lui B și fie 0 m M. Atunci [M*, m] H 0 și astfel MB este fidel.
0 M([M*, m] H) M[M*, m] MH = (M, M*)m MH Rm MH, ceea ce demonstrează că MH e RM.
Reciproc, presupunem că MH e RM pentru un anumit ideal stâng BH al lui B și fie 0 c B. Atunci, deoarece MB este fidel, Mc 0 și astfel Mc MH 0. Din nedegenerare 0 [M*, Mc MH] [M*, Mc] [M*, MH] Bc [M*, MH].
Reciproc, presupunem că 1U* = 0 Ue M pentru orice submodul U al lui M. Fie IB un ideal drept al lui B așa încât L(IB) = 0. Atunci, din Lema 4 (i), IM(I) = 0; deci, dacă (m, IM*) = 0, atunci mI = 0 din nedegenerare și m = 0 deoarece ℓM(I) = 0. Astfel 1(IM*) = 0, ceea ce conform ipotezei, implică faptul că IM* e M. În final, din Lema 4 (ii), IM* e M IB e BB, ceea ce completează demonstrarea faptului că B este Utumi la dreapta.
Observații.
Condiția de nedegenerare pe RM nu poate fi eliminată din ipoteza Teoremei 7, așa cum vom vedea în următorul exemplu.
Mai întâi amintim că un CS modulul este un modul în care fiecare submodul complement (= esențial închis) este un sumand direct, cu un inel R care este CS la stânga sau la dreapta, atâta timp cât RR sau RR este un CS modul. În [1] este dat un exemplu de CS modul proiectiv, nesingular P al cărui inel de endomorfism B = End P nu este CS la stânga. Vom arăta acum că pentru un astfel de P, condiția “U1 = 0 U e P, pentru orice submodul U al lui P” din Teorema 7(i) nu are loc și chiar B End P nu este Utumi la stânga, motivul fiind faptul că condiția de nedegenerare nu are loc în P.
Presupunem că U1 = 0 pentru un submodul U al lui P. Atunci, b rB(U) Ub = 0 (U, bP*) = (Ub, P*) = 0 bP* = 0, deoarece U1 = 0 și aceasta duce la b = 0 deoarece BP* este fidel, ceea ce arată că rB(U) = 0. Acum, deoarece P este un CS modul, închiderea esențială Ue a lui U este un sumand direct în P, să zicem P = Ue V și există un idempotent b B așa încât Ueb = 0 și vb = v, pentru v V, atunci rB(U) = 0 implică b = 0, deci V = 0 și U e P.
Pentru a arăta că B nu este Utumi la stânga, reamintim mai întâi că un inel este nesingular la stânga, CS stâng dacă și numai dacă el este Baer și Utumi la stânga, astfel, deoarece B nu este CS stâng, va fi suficient să arătăm că B este Baer. Fie I o submulțime oarecare a lui B atunci închiderea esențială (PI)e a lui PI este un sumand direct în P, deoarece P este CS; să zicem că P = (PI)e U. Dacă e este idempotentul lui B cu Ker e = (PI)e, atunci avem R(I) = rB(PI) = rB((PI)e) = eB, ceea ce demonstrează că B este un inel Baer.
În final, pentru a vedea că nu are loc nedegenerarea lui P, observăm că (a): P nedegenerat IB(U) 0 pentru orice submodul U al lui P, (așa cum am arătat în Remarca 1 a Teoremei 3) și (b): “ IB(U) 0 pentru fiecare 0 U P”, nu are loc în P, datorită Lemei 3 din [3] care arată că un modul nesingular cu această proprietate are un inel de endomorfisme Utumi la stânga dacă și numai dacă “rB(U) = 0 U e P” și noi am arătat că ultima afirmație este adevărată în P iar B nu este Utumi la stânga.
În cazul special când modulul nedegenerat, nesingular RM este chiar RR este ușor de văzut că condițiile Teoremei 7 sunt exact condițiile Utumi pentru un inel R nesingular la stânga și la dreapta. Verificăm acest lucru pentru condițiile Utumi la stânga, observând că “U1 = 0” devine “rB(U) = 0” sau “R(I) = 0” unde I este un ideal stâng al lui B. Pentru B = End(RR) R dacă RU = RI este un ideal stâng în R, atunci I1 = 0 rB(I) = 0 : b rB(I) Ib = 0 (I, bR*) = (Ib, R*) = 0 bR* = 0 deoarece I1 = 0 b = 0 deoarece BR* este fidel.
Reciproc rB(I) = 0 I1 = 0: r* I1 (I, r*) = 0 Ir* r = (I, r* r) = 0 pentru fiecare r R și de aici rezultă că r*r = 0 pentru fiecare r R atâta timp cât considerăm că r*r este în R B și folosim faptul că rB (I) = 0; În final r*R = 0 r* = 0 deoarece R este fidel.
Inele de endomorfisme ale self-generatorilor
Grupul R-morfismelor HomR(M, A), unde M, A sunt module peste un inel R este într-un mod natural un modul peste inelul endomorfismelor S al lui M. Sub câteva condiții slabe pe M, următorul rezultat este adevărat: HomR(M, -) duce anvelope injective de R-module în anvelope injective de S-module M generează toate submodulele sale. Modulele de ultimul tip se numesc self-generatori. Pentru un self-generator M, HomR(M, -) au proprietățile adiționale privind condițiile de lanț și soclul. Multe din rezultatele cunoscute în acest domeniu, în particular acelea pentru M proiectiv, sunt cazuri speciale ale teoremelor noastre principale.
Introducere
La întrebarea despre cum proprietățile unui R-modul drept unitar M = MR sunt corelate cu proprietățile inelului său de endomoefisme S s-a răspuns complet de către (Morita) teorema Morita în cazul în care M este progenerator. Atunci functorii F = HomR(M, -) : MR MS și H = M R – : RM SM sunt echivalenți și deci păstrează și reflectă toate proprietățile categoriale ale obiectelor (MR reprezintă categoria R-modulelor drepte unitare).
Anderson [1] a determinat modulele finit generate și proiective M, pentru care H păstrează anvelopele injective și le-a numit injectori perfecți. Inspirat din lucrarea lui, investigăm problema analoagă pentru F și introducem noțiunea de “coinjector perfect” de-a lungul modelului din [1] (fără restricții pe M). Când M este un domeniu Dedekind, avem o teoremă de structură pentru coinjectori perfecți (2.1). Rezultă o caracterizare a modulelor de torsiune plate peste inelele lor de endomorfisme care generealizează aceasta pentru R = Z în [13 Th. 2]. În particular, coinjectorii perfecți coincid cu acele module ce generează toate submodulele sale (delf-generatori) pentru o alegere specială a lui R. Acest lucru este foarte fals pentru R arbitrar, dar este adevărat (2.4) dacă anumite ipoteze, mai simple (slabe) decât “proiectivitate” sau “generatori” sunt date pe M (echivalent M = MT unde T este idealul tras al lui M).
Clasele largi ale self-generatorilor [§ 3] justifică o privire închisă: Laticele de R-submodule ale lui A MR și S-submodule ale lui Hom (M, A) sunt în relație intimă și astfel, ca o consecință condițiile de lanț și dimensiunea Goldie a lui A și Hom (M, A). Aceste corespondente apar ca o continuare naturală a rezultatelor lui Sandomierski în [15]. Mai mult, self-generatorii M = MT sunt exact acele module pentru care F păstrează proprietățile “simplu” și “esențial” ca în cazul optimal, adică M un spațiu vectorial (rezultând formule soclu 4.5).
O altă aplicație a § 2 clasifică caracterizarea Anderson a injectorilor perfecți în termeni de ecivalență de categorii (§ 5). În același timp rezultatul principal extinde rezultatele din [1] și furnizează informații suplimentare despre functorul H.
Subcategoria plină m a obiectelor M-generate a lui mr.
Referiri pentru notațiile standard și rezultate se află în [2]. Următoarea observație este de reținut: R este un inel asociativ (nu neapărat comutativ) cu 1, MR categoria R-modulelor drepte unitare, M = MR un obiect din MR, S = HomR(M, M) inelul R-endomoefismelor lui M, M* = HomR(M, R). Evident, M este S-modul stâng, M* este S-modul drept.
Morfismele ( , ) : M* S M R cu (f, m) = f(m), respectiv [ , ] : M R M* S cu [m, f] = mf(-) sunt R-R respectiv S-S liniare, imaginile lor notându-se cu T, respectiv . Așa cum este bine știut T = R ( = S) înseamnă că MR este un generator (fiind generat și proiectiv). TM(A) = {Im (f), f HomR (M, A)} este numit trasul lui M în A, TM(R) = T este numit simplu trasul. : GF reprezintă transformarea naturală corespunzătoare perechii adjuncte (G, F), unde F : MR MS cu F(A) = HomR(M, A)
G: MS MR cu G(B) = B S M
Se observă că Im ( (A)) = TM(A).
Este cunoscut faptul că F conservă anvelopele injective dacă F este deplin și fidel și G este exact, ultima fiind adevărată dacă și numai dacă MR este un generator [5]. (În acest context MR poate fi înlocuită cu orice categorie Grothendieck). Observăm că Hom(M, A) = Hom(M, TM(A)), ne concentrăm atenția asupra subcategoriei pline M a obiectelor M-generate ale lui MR, adică A M TM(A) = A (comparate cu [4]) cu functori restricționați F’ : M MS, G’: MS M (’ : G’ F’ 1M) corespunzătoare perechii adjuncte (G’, F’). Așa cum este ușor de verificat, o anvelopă injectivă A B de R-module, coboară într-o anvelopă injectivă TM(A) TM(B) în M, deci F păstrează anvelopele injective dacă F’ o face. O condiție suficientă pentru ultimul rezultat : F’ definit și fidel, G’ exact. Vom interpreta acestea în termeni de condiții echivalente pe M și vom vedea că, în multe cazuri ele sunt asemenea și necesare.
Definiția 1.1. 1. M se numește self-generator TM(K) = K pentru toate R-submodulele K ale lui M.
2. M se numește self-generator TM(U) = U, pentru toate R-submodulele U ale lui Mn, n N.
Exemple 1.2. (F. Dischinger): Fie
R =
unde k este un corp necomutativ. Alegem , k, astfel încât și fie
I =
Evident, I este un ideal drept al lui R și R – modulul drept ciclic M = R/I este un self generator, dar nu un generator. Notând produsul lui cu matricea unitate cu x, obținem I x I = 0 și R/I R/ xI. Astfel R este scufundat în M2 și în consecință M nu este un self-generator.
Peste un inel comutativ, evident, fiecare modul ciclic este un self-generator; pentru alte exemple vezi § 2.3. Din punct de vedere al următoarelor două leme, definiția 1.1 apare ca o alegere naturală (observăm că F’ este deplin și fidel ‘ este un izomorfism).
Lema 1.3. 1. Fie A MR. Aplicația ‘(A) : Hom (M, A) SM TM(A) este un izomorfism dacă M generează toate nucleele homomorfismelor Mn A, n N.
2. S-modulul stâng SM este plat M generează toate nucleele homomorfismelor Mn M, n N.
Demonstrație. Fie (mi) = 0, unde fi HomR(M, A), mi M. Din ipoteză (mi)1 i n = (nj) pentru anumiți gj HomR(M, ker ( fi)), nj M. Notând proiecția canonică Mn M prin pri, concluzionăm că mi = fi pri ( (nj)) = pri gj nj = 0, deoarece pri gj = 0 pentru toți j.
Afirmația 2 este similară Lemei 19.19 din [2].
Lema 1.4. Următoarele afirmații sunt echivalente:
M este un self-generator;
M este închis în raport cu R-submodulele (deci este o categorie Grothendieck);
F’ este deplin și fidel și G’ este exact.
Demonstrație. (1) (2): O implicație este clară. Reciproc, fie M un self-generator, A M (adică există o mulțime I și un epimorfism f : M(I) A) și A’ un R- submodul al lui A. Deoarece A’ poate fi presupus finit generat putem alege o submulțime finită I’ a lui I așa încât A’ f(M(I’)). Din ipoteză M generează f-1(A’) M(I’) și deci pe A’.
(2) (3): Acesta este un caz special al lui [5] deoarece M este un generator pentru M. Rezultă de asemenea direct din Lema 1.3.
(3) (1): presupunem că G’ este exact ( SM este plat). Afirmăm că dacă ’(A) este un izomorfism, atunci M generează toate nucleele morfismelor Mn A pentru n N. Fie f : Mn A și fie fi = f ini unde ini este injecția naturală și fie (mi) ker(f). Presupunând că ’(A) este un izomorfism, fi(mi) = 0 obligă elementul fi mi a lui Hom(M, A) SM să fie zero. În consecință, deoarece SM este plat, elementul fi mi al lui fi S M este nul. Astfel [3, Lema 10] există gij S, nj M, 1 i n, 1 j m așa încât mi = (nj) pentru toți i
gij = 0 pentru toți j
Pentru gj = ini gij aceasta înseamnă gj HomR(M, ker(f)) și (mi) = (nj).
Observații.
Implicațiile (3) (2) și (3) (1) sunt independente de [5], unde numai categoriile Grothendieck sunt considerate.
În demonstrația noastră a lui (3) (1) am arătat că dacă SM este plat , atunci reciproca Lemei 1.3.1 este adevărată.
În partea (1) a următorului corolar descoperim o teoremă a lui Pahl [12] în, cazul special A = M un generator.
Corolar 1.5. Fie M un self-generator, f : A B un homomorfism de R-module. Atunci
Hom (M, A) este un S-modul injectiv (gvasi-injectiv, vezi [2]) TM(A) este un R-modul M-injectiv (cvasi-injectiv).
Hom (M, f) : Hom (M, A) Hom (M, B) un monomorfism esențial în MS f|: TM(A) TM(B) este un monomorfism esențial în MR.
În particular, F păstrează anvelopele injective.
Dacă Hom (M, A) este artinian (noetherian) în MS, atunci așa este TM(A) în MR (dacă SS este artinian, atunci așa este și MR).
Demonstrația 1.2. Din 1.4. (G’, F’) este o pereche adjunctă de functori între categorii abeliene, G’ este exact, F’ este deplin și fidel. Așa cum este bine cunoscut, F’ păstrează atunci și reflectă injectivitatea și extensiile esențiale. În același mod se verifică că F’ (deci F) păstrează și reflectă cvasi-injectivitatea.
3. A’ HomR(M, A’) definește o aplicație injectivă de la laticea R-submodulelor lui TM(A) în laticea S-submodulelor lui HomR(M, A).
Coinjectori perfecți
Spunem că M este un coinjector (perfect) F = HomR(M, -): MR MS conservă modulele injective (anvelopele injective). Este cunoscut faptul că M este un coinjector M este plat ca S- modul stâng. Așa cum am arătat, toți self-generatorii sunt coinjectori perfecți. Vom studia cazurile în care această afirmație este reversibilă și “ self-generator ” poate fi înlocuit cu “self-generator”. Mai întâi cazul special când R este un domeniu Dedekind ne dă o teoremă de structură pentru coinjectori perfecți. Descrierea rezultată a modulelor de torsiune care sunt coinjectori generalizează [13. Th. 2]. Pentru 0 P Spec R, fie Mp = { x M : Pn x = 0 pentru un anumit n N}.
Teorema 2.1. Pentru un domeniu Dedekind, următoarele rezultate sunt echivalente:
M este un coinjector perfect;
F : MR MS păstrează extensiile esențiale;
M este un self-generator;
M este un self-generator;
Dacă M nu este un modul de torsiune, atunci M este un generator. Dacă M este un modul de torsiune, atunci următoarele afirmații au loc pentru fiecare componentă primară Mp, 0 P Spec R: Mp este redus (adică nu conține un submodul divizibil nenul) sau complemenții direcți ai celui mai mare submodul divizibil sunt nemărginiți.
Mai mult, un modul de torsiune este un coinjector perfect este un coinjector.
Demonstrație. (1) (2) și (3) (4) sunt triviale, (3) (1) are loc pentru un inel arbitrar R. (4) (2): Fie A B este o extensie esențială și 0 f HomR(M, B). Alegem m M cu f(m) 0 și utilizăm faptul că m R este generat de M, pentru a găsi g Hom (M, mR) S cu 0 f g HomR(M, A).
(2) (5). Mai întâi fie M fără torsiune, adică RR un submodul al lui MR. Corpul K de fracții al inelului R fiind o anvelopă injectivă a lui R (ca un R-modul), KR este un sumand direct al anvelopei injective a lui M. Aceasta forțează HomR(M, K) 0 și deci HomR (M, R) 0 din ipoteză. Dar pentru un domeniu integru Dedekind R, T 0 înseamnă T = R.
Pentru un modul de torsiune M, presupunem MP primar și nu redus. Deoarece M conține cel mai mare submodul divizibil al lui M, este suficient să demonstrăm că M / M este nemărginit. Presupunem contrariul, adică Pk (M / M) = 0 pentru un anumit k N. Pentru r Pk / Pk+1 fie ℓr : M M multiplicarea lui r. Aplicând (2) extensiei esențiale NM, unde N = {m M : Pm = 0}, obținem g S așa încât 0 ℓr g HomR(M, N), (ℓr 0, deoarece M nu este redus și deci nemărginit). În particular, aceasta înseamnă Pk+1 g(M) = 0. În consecință g(M) = 0, adică, g factorizează prin M/ (M. Din presupunerea făcută concluzionăm că Pk g(M) = 0, contradicție cu r g(M) 0.
(5) (3) : Ne limită atenția la un modul de torsiune primar M = Mp și un R-submodul ciclic A ≈ R/ Pk al lui Mn, n N. Dacă M este mărginit, atunci M se știe că este o sumă directă de R-submodule ciclice și astfel A Mn implică existența unui sumand direct R/Pn, unde n k.
Dacă M este nemărginit cu ML cel mai mare submodul al său divizibil, atunci M/ML este de asemenea nemărginit (în cazul ML 0 aplicăm ipoteza). Nu se pierde din generalitate dacă presupunem ML = 0, deoarece ML este un sumand direct al lui M. Afirmăm că M / (M) este nemărginit. Dacă nu, atunci Pm M M pentru un anumit m, ceea ce va implica PmM = Pm+iM pentru toți i. Aceasta înseamnă că PmM este divizibil. Dar cu M nemărginit, PmM 0 contradicție cu ML = 0. În particular, avem că Pk(M / PmM) 0 pentru un anumit m, și deci modulul mărginit M / PmM conține un sumand direct de forma R/Pn, n k.
Astfel M / PmM, respectiv M generează A. Acesta completează demonstrația echivalențelor.
Presupunem acum că modulul de torsiune M este un coinjector. Lema 1.3. justifică restricția M = Mp. Pentru a verifica (5) fie M = M1 M2 cu 0 M1 divizibil și M2 redus, n N arbitrar. Pentru r Pn, considerăm multiplicarea ℓr : M M cu r. Din 1.3., ker(ℓr) este generat de M și astfel de M2, deoarece Hom(M, ker(ℓr)) = 0. Mai mult, ker(ℓr) conține un submodul R/Pn, deoarece M1 o face, ceea ce forțează PnM2 0. Aceasta arată nemărginirea lui M2.
REMARCĂ.
Ultima afirmație este falsă pentru module de netorsiune: considerăm Z- modulul Q.
O parcurgere difentă a lui (4) (5) pentru cazul special R = Z și M un modul de torsiune este [8, th. 2.5].
Demonstrația actuală stabilește implicația (4) (2) pentru toate inelele R.
Teorema 2.2. Fie R = Z.
Sumele directe de grupuri Prüfer Z(p), p prim nu sunt coinjectori;
Sumele directe de grupuri ciclice, în special toate grupurile finit generate sau mărginite, sunt coinjectori perfecți;
Un produs direct de grupuri ciclice este un coinjector perfect el este sau mărginit sau unul din factorii ciclici este infinit.
Demonstrațiile 1, 2 sunt echivalente, 3 este lăsat ca exercițiu.
Fie R arbitrar. Exemplul 1.2 arată că, în general nici (2) nu implică (1) nici (4) nu implică (3).
În continuare punem în evidență clasele de module M pentru care echivalența primelor patru afirmații din 2.1 este menținută.
Pentru un ideal I al lui R, Sandomierski numește un R-modul A I-accesibil dacă AI = A. Cu această definiție, M este T-accesibil (“trace-accesibil”) dacă, de exemplu, M este un modul proiectiv, un generator sau un ideal idempotent (pentru alte exemple vezi § 3).
Lema 2.3.
MT = M M = M TM(A) = AT pentru toți A MR;
Dacă MT = M, atunci T și sunt idempotenți ( T2 = T, 2 = ), și este trasul S-modulului stâng M ( = {Im (g) : g HomS(M, S)}).
Demonstrație. Ținând cont de m(f, n) = [m, f] n; a) și prima parte a lui b) sunt evidente. {Im (g) : g HomS(M, S)} este mereu adevărată, deoarece [-, f ] HomS(M, S) pentru f M*. Cealaltă incluziune rezultă din M = M
Teorema 2.4. Pentru un modul M = MT sau un modul cvasi-proiectiv M (vezi [2]), următoarele afirmații sunt echivalente:
M este coinjector perfect;
F : MR MS păstrează extensiile esențiale;
M este self-generator;
M este un self-generator;
Dacă A’ este un submodul esențial simplu al R-modulului A, atunci Hom (M, A’)=0 implică Hom(M, A) = 0.
În cazul M = MT putem adăuga:
TR este un self-generator;
R-submodulele, modulelor T-accesibile sunt T-accesibile;
R(R/T) este palt.
Remarci.
Pentru M proiectiv (7) (8) a fost demonstrat independent în [co. Th.2.1];
Demonstrația lui (5) (3) a fost inspirată din [1.Th.2.4] care este conținută mai sus ca un caz special al lui (1) (2) (8). (Observăm că M R – HomR(M*, -) și RM* este proiectiv finit generat dacă MR este proiectiv finit generat).
M cvasi-proiectiv și M = MT sunt cazuri speciale ale următoarei situații: Există un modul M-proiectiv P așa încât M = {Im (f) : f S, f poate fi factorizat prin P}. Modulele de acest tip (ca și self-generatorii) este ușor de verificat că satisfac următoarele două condiții pentru submodulele A, B ale lui Mn, n N:
TM (A + B) = TM(A) + TM(B)
A B și TM(B) TM(A) implică TM(B / A) = 0. Mai general decât 2.4 demonstrăm echivalența (1) – (5) pentru toate modulele M cu condițiile (a), (b). (Observăm că ele nu au loc în general pentru grupuri abeliene).
Pentru MR = QZ afirmațiile (6) – (8) sunt adevărate, în timp ce (1) – (5) nu sunt.
Demonstrația lui 2.4. Fără restricții pentru M, am stabilit (3) (1) în 1.5. și (4) (2) din demonstrația lui 2.1. De asemenea pentru toți M implicațiile (1) (2) (5) sunt evident adevărate. Arătăm că (5) (3): presupunem x TM(x R) pentru un anumit x Mn, n N. Alegem A Mn maximal în raport cu Tn(x R) A, x A. Atunci A + x R/A este simplu și esențial în Mn / A. Din TM(A + xR) = = TM(A) + TM(xR) TM(A), concluzionăm că TM(A + xR / A) = 0 (comparate cu Remarca 3), deci 0 = TM(Mn / A) = Mn / A din (5). Aceasta contrazice faptul că Mn / A 0.
Acum particularizăm pentru M = MT. Din punct de vedere al lui 1.4. și TM(A) = AT, pentru toți A MR condițiile (3) și (7) sunt identice. Înlocuind M cu T = T2 în (1) (2), obținem (6) (7). (6) (8) este ușor de obținut din [3. p.33].
M fiind un coinjector perfect așa cum am arătat în 2.1. și 2.4., Hom (M, -) reflectă de asemenea injectivitatea și anvelopele injective în sensul lui 1.5. De exemplu, dacă M = MT este un self-generator, atunci S este injectiv drept MR este cvasi-injectiv MR este T-injectiv.
Exemple de – self- generatori M = MT
Evident, fiecare generator este self-generator trace-accesibil. Exemplele ce rezultă pentru clasele speciale de inele sunt listate în:
Teorema 3.1. Fie M = MT (în particular adevărat pe MR proiectiv). Atunci MR, TR și RT sunt self-generatori trace-accesibili dacă sau:
R este regulat sau
R este comutativ și M este proiectiv sau finit generat.
Demonstrație. 1. este evident din (2.4). 2. Dacă M este proiectiv, atunci M este self-generator din [6]. Aserțiunea rezultă din 2.4. Fie M finit generat. Pentru a verifica (5) din 2.4. considerăm o extensie esențială de R-module A’ A și 0 f HomR(M, A). Deoarece f(M) este finit generat, există r R cu 0 f(M) r A’. Aceasta înseamnă 0 ℓr f HomR(M, A’), unde ℓr S reprezintă multiplicarea cu r.
Nu orice modul T-accesibil M peste un inel comutativ este un self-generator. De exemplu, fie R inelul șirurilor Cauchy în Q cu multiplicarea pe componente și M idealul șirurilor nule. Observăm că M = T = T2, de unde M nu este un self-generator:
Alegem a = (ai) T cu ai 0, pentru o infinitate de i N. Evident, a aT ceea ce înseamnă a TM(aR). Pentru R arbitrar, nici chiar modulele finit generate și proiective nu sunt self-generatori. Alegem R = unde k este un corp, M = , A = M și alegem HomR(M, A) = 0 (în consecință M nu este un coinjector perfect. Totuși M este un coinjector, deoarece S este un corp: comparați cu [1]).
Pe de altă parte, privind la M ca un S-modul stâng, facem următoarea observație simplă care se va demonstra a fi foarte folositoare în § 5.
Teorema 3.2. pentru un R- modul proiectiv M, S-modulele și M sunt self-generatori trace-accesibili.
Demonstrație. Trasul luiSM coincide cu și avem M = M (2.3). Având în vedere 2.4. este suficient să arătăm că m m, pentru toți m M, care este o consecință imediată a lemei bazei duale.
Exemple de module având proprietățile considerate pe ambale părți simultan sunt date de modulele regulate Zelmanowitz [18] pentru ficare m M există un f M* satisfăcând m = m(f, m). Partea 1 a următoarei teoreme este conținută [10. Cor.2.2].
Teorema 3.3. Dacă MR este regulat (Zelmanowitz), atunci următoarele module sunt self-generatori trace-accesibili.
R-modulele MR, TR
S-modulele SM, S
Demonstrație. Pentru m M, m = m(f, m) este o versiune mai tare a lui m mT, ceea ce înseamnă că M = MT este un self-generator. Așa că 1. Rezultă evident din 2.4. Mai mult m(f, m) = [m, f]m, unde [-, f] HomS(M, S) arată că SM este regulat din nou și argumentele anterioare pot fi reflectate pe cealaltă parte.
Pentru exemple de module regulate (Zelmanowitz) unele în special neproiective vezi [18].
Submodulele lui AR și Homr(M, A)S
Următoarele observații referitoare la modulele M = MT formează baza pentru multe rezultate specializate pentru modulele proiective (finit generate) pe de o parte și generatori (self-generatori T-accesibili) pe de altă parte. Lema 4.1. și simetrica lui 4.2. în raport cu T și arată că condițiile M = T este naturală.
Lema 4.1. M = MT este adevărată pentru fiecare A MR și fiecare S-submodule B al lui HomR(M, A), S-submodulul B al lui este esențial.
Demonstrație. Fie M = MT, A, B ca mai sus și 0 f B. Luăm m M cu f(m) 0. Din ipoteză, m = mi (fi, ni) ceea ce înseamnă 0 f(m) = f(mi (fi, ni)) = f[mi, fi] ni, de unde 0 f [mi, fi] B pentru un anumit i.
Reciproc, concluzionăm că HomR(M : M/MT) = 0 din HomR(M, M/MT) = 0
Notație. Pentru A MR, laticea R-submodulelor, respectiv R-submodulelor T-accesibile ale lui A, se vor nota cu UR(A), respectiv UT(A). Pentru B MS, US(B) și U(B) sunt definite similar.
Teorema 4.2. Fie M = MT
Pentru fiecare A MR, următoarele aplicații sunt izomorfisme inverse de latici:
: UT(A) X Hom (M, X) U (Hom (M, A))
: US(Hom (M, A)) Y { Im (f) : f Y} UT(A)
Afirmațiile (1) – (3), respectiv (1’) – (3’) sunt ecivalente:
Demonstrație.
1. Ținând cont de T2 = T și 2 = aplicațiile și sunt homomorfisme bine definite de latici. Mai mult, M = M implică că Im (f) = { Im (g) : g f }, pentru toți f HomR(M, A). Pentru toți X UT(A), (X) = { Im (f) : f Hom (M, X) } =
= { Im (f) : f Hom (M, X) } = XT = X.
Fie acum Y U (Hom (M, A)). Afirmăm că HomR(M, X) = Y, unde X= { Im (f): fY}. O incluziune este evidentă. Reciporc, fie h HomR(M, X), [m, g] .
Din h(m) = fi (mi), fi Y, mi M, obținem h[m, g] = fi [mi, g] Y = Y, deoarece h[m, g]x = h(m (g, x)) = h(m) (g, x) = fi (mi)(g, x) = fi(mi (g, x)) = fi [mi, g]x, pentru toți x M.
2. Rezultă imediat din 2.4.
Observații și corolarii 4.3.
1. Izomorfismul de latici din 4.2. poate fi dedus de asemenea din [11.Prop.6] (aceaasta este mult mai complicat dar relevă un aspect mult mai general). Pentru = S el coincide cu unul stabilit de Sandomierski [15]. Extremele simetrice T = R și = S au o reciprocă în următorul sens:
T = R UR(A) X Hom (M, X) U (Hom (M, A)) este un izomorfism pentru toți A MR.
= S UT(A) X Hom (M, X) US (Hom (M, A)) este un izomorfism pentru toți A MR.
2. Fie M = MT. Ilustrăm prin câteva exemple, cum sunt relevate condițiile de lanț pe AR și Hom (M, A)S (pentru = S, vezi [15]).
ATR este finit generat Hom (M, A) S este finit generat. În particular MR este finit generat S este finit generat.
Dacă MR este un self-generator și Hom (M, A)S este artinian (noetherian), atunci ATR este artinian (noetherian). Dacă S este un self-generator și AR este artinian (noetherian), atunci Hom(M, A) S este artinian (noetherian). (Un caz interesant fiind A = AT = M).
Demonstrație. (a) Fie ATR finit generat, (Bi)iI un lanț de S-submodule proprii ale lui Hom(M, A) și continuăm lanțul (Bi)iI. În acord cu 4.2, există un lanț (Xi)iI de R-sumbodule proprii ale lui AT cu (Xi) = Bi . UXi AT (prin ipoteză) și UXi UT(A), conduc la U (Bi) = U (Xi) = (UXi) Hom (M, A) , deci UBi Hom (M, A) . Reciproce se demonstrează similar.
(b) este evident.
3. Exemple de module M așa încât S este un self-generator (diferit de cazul = S) sunt ușor de dedus din [16, Th.3.5]. De fapt, următoarele afirmații sunt echivalente:
R este drept noetherian
S este un () self-generator, pentru toate modulele proiective MR
MS* = M* S este un () self-generator, pentru toate modulele proiective MR.
Pentru R noetherian comutativ, combinăm cu 3.1. și 3.2. Dacă MR este proiectiv, atunci toate modulele următoare sunt self-generatori: MR, TR, M*R, SM, M*S, S, S. În consecință UR(MR) US (S); UR(TR) US (M*S);
Sandomierski [15] numește un R-modul X T – fidel x T 0 pentru toți 0 x X și demonstrăm că, în cazul când MR este proiectiv fiind generat, X T – fidel, atunci dimensiunea Goldie finită a lui XR este mostenită de Hom (M, X)S. Ultima afrimație rămâne adevărată pentru ipoteze reduse despre M și este evident reversibilă.
Corolar 4.4.
Fie M = MT, n N.
Dacă X este T-fidel, atunci XR are dimensiunea Goldie n Hom(M, X)S are dimensiunea Goldie finită n;
Dacă M este self-generator, atunci, pentru toți X MR, XTR are dimensiunea Goldie finită n același lucru este adevărat pentru Hom(M, X)S.
Demonstrație. 1. Fie Xi o sumă directă de R-submodule netriviale Xi ale lui X. Considerăm Xi T 0 din ipoteză și aplicăm : ( XiT ) = (XiT) unde 0 (XiT)S Hom (M, X)S.
Suma (Xi T) este directă: Xi T = 0 implică 0 = ((Xi T ) T) = ( (Xi T) ), unde (Xi T) = 0 din 4.1.
Aceeași metodă directă la reciporcă.
2. Dacă M este un self-generator, atunci XT este T-fidel pentru toți X (4.2)
Informațiile despre soclul lui HomR(M, A)S [so (Hom(M, A))], date în teorema următoare, caracterizată self-generatori. În cazul spațiilor vectoriale, redescoperim rezultatele standard ( fiind idealul M-endomorfismelor de rang finit). Pentru exemple netriviale vezi §3. Chiar și calculul lui So (SS) pentru un generator M (R = Z, M = Z Z(p)) poate fi considerabil simplificat de 4.5. “’ ” înseamnă “R- (respectiv S-) submodul esențial”.
Teorema 4.5. Fie M = MT, A MR, X un R- submodul al lui AT, B un S-submodul al lui Hom (M, A). Atunci următoarele sunt echivalente (condițiile (2) – (4) se înțelege că au loc pentru toți A, X, B).
MR este un self-generator
HomR(M, X) S este simplu X este simplu
(2’) BS este simplu { Im (f) : f B}R este simplu.
Hom (M, X) ’ Hom (M, A) X ’ AT
(3’) B ’ Hom (M, A) { Im (f) : f B} ’ AT
(4) So (Hom (M, A)) = Hom (M, So (A)) și una din următoarele afirmații este adevărată:
So(Hom (M, A)) ’ Hom (M, A) So (AT) ’ AT
So(Hom (M, A)) este simplu So (AT) este simplu
So(Hom (M, A)) = 0 So(AT) = 0
Mai mult, dacă (1) are loc, atunci S este semisimplu artinian MR este finit generat, proiectiv și semisimplu (acesta generelizează [18. Th.4.8]).
Demonstrație.
(2): Fie XR simplu. Din X = XT (4.2) deducem UT(X) = {0, x} ceea ce înseamnă că U(Hom (M, X) ) = {0, Hom (M, X) }. Mai mult, pentru orice S-submodul B 0 al lui Hom (M, A) , obținem B 0 (4.1): deci B = B = Hom (M, X) . Analog decurge cealaltă implicație a lui (2) cu ajutorul lui 4.2.
(1): Verificăm condiția (5) a lui 2.4. Fie A’ un R-submodul simplu esențial al lui A și Hom (M, A) 0, adică AT 0. Deci A’ AT. Din (2) Hom (M, A’) este un S-modul simplu; în particular, Hom (M, A’) 0.
(4): Fie (Bi)iI S- submodule simple ale lui Hom (M, A). Observăm că Bi = Bi și alegem Xi UT(A) cu (Xi) = Bi, în concordanță cu 4.2. Din (1) (2) Xi sunt R-submodule simple ale lui AT, și obținem: So(Hom (M, A)) = == = (So(AT)) = (So(A)T) = Hom(M, So(A)) .
(a), (b), (c) rezultă imediat din 4.2.
(4) (1): Fie A, A’ ca în “(2) (1)”. Din A’ = So(A) = So(AT), deducem So(Hom(M, A)) = Hom(M, A’) . So(AT) fiind un submodul esențial simplu al lui AT, concluzionăm că So(Hom(M, A)) 0 din fiecare din (a), (b), (c). În consecință Hom (M, A’) 0.
Implicațiile rămase sunt demonstrate în același stil. Mai mult, observăm că: S este artinian semisimplu echivalent
S = So(S) = (Hom(M, So(M))) S = și So(M) = M
Coinjectori perfecți
În [1.Th. 2.4] Anderson a stabilit echivalența următoarelor afirmații pentru un modul proiectiv finit generat MR:
M R – : RM SM păstrează anvelopele injective (MR este un “injector perfect”);
(ii ) M R – : RM SM păstrează extensiile esențiale;
(iii) (R / T)R este plat.
Din 2.4 putem adăuga o nouă condiție ecivalentă:
IV. RT este un self-generator.
Așa cum vom vedea, fundalul acestor rezultate este o echivalență de categorii dintre subcategoria plină a lui RM, respectiv SM constând din toate obiectele T-respectiv -accesibile (acestea se vor nota cu TM, respectiv M). Această observație ne dă posibilitatea să dicutăm validitatea sau a lui (i) sau a lui (ii) (care nu sunt neapărat echivalente când condiția de “finită generare” este eliminată) și a altor proprietăți ale functorului MR -.
De-a lungul acestei secțiuni luăm M = MT; în consecință MR A M, pentru toți A RM și MR TA MR A în cazul că MR este plat. Următoarea teoremă conține o variantă a teoremei Morita.
Teorema 5.1. Următoarele afirmații sunt echivalente:
TM și M sunt închise în raport cu R – respectiv S – submodulele și MR – induce o echivalență TM M cu inversa M*S – (în special când MR este plat).
RT și S sunt self-generatori.
(R / T)R și (S / )S sunt plate.
Înaintea demonstrației 5.1. observăm că pentru un modul proiectiv sau regulat MR, S-modulul stâng S este întotdeauna un self-generator.
Următorul demers tehnic este conținut în [16 p 358 cor.]
Lema 5.2.
1. Dacă RT (sau TR) este un self-generator, atunci T M*SM ca R-bimodul.
2. Dacă S (sau S) este un self-generator, atunci MR M* ca S-bimodule.
Demonstrație.
Fie RT un self-generator. Arătăm că ( , ) : M*SM T este un izomorfism. Mai întâi, deoarece TM* = M* și M = M avem TM*SM = M*SM TM. Deoarece TM este închisă în raport cu R-submodule (2.4) este suficient să arătăm T ker( , ) = 0.
Fie (fi, mi) = 0 și (g, n) T; atunci (g, n) fi mi = (g [n, fi]) mi = g ([n, fi] mi) = g n (fi, mi) = 0. Restul rezultă din simetrie.
Demonstrația 5.1. Toate afirmațiile din 5.1 sunt acoperite de 2.4 excepție faptul că (2) forțează funcții restricție MR – : TM M și M*S – : M TM să fie echivalențe inverse. Deoarece incluziunile TR RR și S SS sunt pure din (2), știm că TA TRA și B SB, pentru toți A RM, B SM. Fie acum A TM și BM. Combinând rezultatele anterioare cu 5.2, obținem:
A = TA TRA M*S MRA
B = B SB MR M*SB
Din proprietățile functorului restricție MR – : TM M obținem ușor informații despre functorul MR – : RM SM.
Corolar 5.3. Una din condițiile din 5.1 fiind satisfăcute (MR proiectiv și (R/T)R plat), afirmațiile din fiecare pereche următoare sunt echivalente, pentru toți A, B RM, f HomR(A, B):
(i) M f : MRA MRB este un monomorfism (esențial) în SM;
(ii) f / TA : TA TB este un monomorfism (esențial) în RM (în cazul în care f este un monomorfism esențial, (ii) este adevărat);
2. (i) SM R A este -injectiv (cvasi-injectiv);
(ii) RA este T- injectiv (cvasi-injectiv);
3. (i) M f : MRA MRB este o acoperire proiectivă în SM;
(ii) f / TA : TA TB este o acoperire proiectivă în RM (în contrast cu anvelopele injective, TA TB nu este necesar o acoperire proiectivă în TM dacă A B este o acoperire proiectivă în RM).
4. (i) MRA este artinian (noetherian, finit generat) în SM;
(ii) TA este artinian (noetherian, finit generat) în SM.
Conexiunea cu rezultatele lui Anderon.
Dacă S este un self-generator, cum este cazul când MR este proiectiv sau regulat, atunci afirmațiile (ii) (iii) (iv) de la începutul acestei secțiuni sunt echivalente (pentru (ii) (iii) demonstrația lui Anderson poate fi adaptată). Adesea (ii) nu implică (i): Fie M un spațiu vectorial peste un corp R, dim MR = , atunci SM SM R R nu este injectiv (vezi [14]). Pentru cazul special = S, echivalentele (ii) (i) urmează din 5.3.
Exemplul 5.5. Următoarele clase de module MR au proprietățile listate în 5.1 și 5.3. M R – păstrează extensiile esențiale:
Toate modulele proiective peste un inel comutativ R. În particular, toate modulele proiective finit generate peste un inel comutativ sunt injectori perfecți în senul lui [1].
Idealul maxim regulat [7] al unui inel arbitrar R, considerat ca R-modul drept (respectiv stâng).
Demonstrație. 1. În acord cu 3.1 RT și S sunt self-generatori.
2. Idealul regulat maximal este regulat Zelmanawitz ca un R-modul stâng. Deci toate modulele RT, TR, S, S sunt self-generatori din 3.3.
=== endomorf ===
MODULE POTRIVITE PENTRU SCHIMBAREA PROPRIETĂȚILOR
CU INELELE LOR DE ENDOMORFISME
REZUMAT
Caracterizarea proprietăților unui modul RM în raport cu proprietățile inelului sau de endomorfisme E este adesea obținută prin schimbarea bijecțiilor dintre anumite submodule ale lui M și anumite ideale stângi sau drepte ale lui E. În această lucrare, câteva bijecții importante care apar frecvent în literatura de specialitate, sunt clasificate în raport cu condițiile pe M – cum ar fi nedegenerarea, nesingularitatea, autogenerarea și retractabilitatea – care sunt necesare sau suficiente pentru stabilirea lor.
I. INTRODUCERE ȘI PRELIMINARII
Când caracterizăm proprietățile unui inel de endomorfime, E = End RM, ale unui modul RM, în raport cu proprietățile lui M, o tehnică frecevnt utilizată este cea a stabilirii unor bijecții între acele ideale ale lui E care caracterizează proprietatea investigată și anume submodule ale lui M. Această tehnică este folositoare în caracterizarea multor tipuri diferite de proprietăți ale lui E și pentru multe tipuri diferite de module și este interesant și încercăm să determinăm pentru fiecare proprietate particulară a lui E în investigație, câteva condiții de bază minimale pe M care asigură că bijecțiile corespunzătoare pot fi stabilite. În realizarea acestui fapt, se trece peste câteva tipuri generale foarte interesante de module care sunt investigate pe merit inpropriul lor sens și în această lucrare – în special expositive – comparăm aceste module generale și le clasificăm în raport cu care din proprietățile diferite ale lui E sunt transferabile pentru fiecare modul.
1.1. TIPURI DE PROPRIETĂȚI ALE LUI E
Tipurile de proprietăți ale lui E a căror caracterizare în raport cu proprietățile lui M vor fi clasificate, sunt proprietăți ale lui E definite în raport fie cu clasele de ideale anulator la stânga sau la dreapta ale lui E (notate cu Al sau Ar) fie cu clasele de ideale stângi sau drepte fie genrate ale lui E (notate cu Fl sau Fr) fie cu clasa idealelor stângi complement ale lui E (notată cu Cl). Exemple de astfel de proprietăți sunt: E este inel Baer fiecare I Al (sau Ar) este un sumand direct (d.s) în E și E este stâng (respectiv drept) superior Levitski E satisface a.c.c. pe Al (respectiv Ar); E este un inel regulat (Von Neumann) fiecare I Fl (sau Fr) este un sumand direct în E și E este noetherian stâng (respectiv drept) E satisface a.c.c. pe Fl (respectiv Fr); E este un CS inel stâng fiecare I Cl este un sumand direct în E și E este inel Goldie la stânga E satisface a.c.c. pe Cl și Al.
Aceste proprietăți ale lui E sunt ușor de caracterizat în raport cu proprietățile lui M, atâta timp cât există bijecțiile între idealele finit generate sau complement sau anulator care definesc proprietatea și anumite clase de submodule ale lui M. Printre aceste clase, avem clasa submodulelor anulator – închise ale lui M, definite ca
Ma = { U M | U = f, pentru H E } și subclasa sa
M = { U M | U = ker f, f E } a submodulelor nucleu ale lui M; sau clasa submodulelor self+generate ale lui M, definită ca
MS = { U M | U = , pentru H E } și subclasa sa
M = { U M | U = Mf, f E } a submodulelor imagine ale lui M și clasa Mc a submodulelor complement ale lui M (U este un submodul complement sau un complement în U, dacă U nu are nici o extensie esențială proprie în M).
Observație. U < M reprezintă faptul că U este un R- submodul esențial al lui M adică U are intersecție nenulă cu fiecare submodul nenul al lui M.
1.2. BIJECȚIILE PRINCIPALE
Bijecțiile specifice pe care le vom discuta se obțin sau prin aplicarea unui ideal drept I din E, în submodulul f a lui Ma (numită aplicația G1) sau aplicând un ideal stâng I din E, submodulului din MS (numită aplicația G2).
Ori de câte ori putem să utilizăm G1 pentru a stabili bijecții între Ar și Ma, vom spune că avem ar; dacă putem să utilizăm G2 pentru stabilirea bijecțiilor între Al și Ms, vom spune că avem al și dacă putem utiliza G2 pentru stabilirea bijecțiilor dintre Cl și Mc, spunem că avem cl.
Anumite proprietăți ale lui E, cum ar fi aceea ca E să fie un inel Rickart stâng sau drept, sunt definite în raport cu clasele de anulatori la stânga sau la drepta a elementelor lui E, anume subclasele lui Ar sau Al.
A = { I E | I = r(f), f E } Ar
A = { I E | I = l(f), f E } Al
(“r” și “l” reprezintă anulatori la dreapta și la stânga în E). Alte proprietăți ale lui E, cum va fi aceea ca E să fie perfect la dreapta sau la stânga sau chiar regularitatea lui E, sunt definite în raport cu clasele pr sau pl a idealelor stângi sau drepte principale ale lui E. Ca o consecință, câteva alte bijecții foarte folositoare și frecvent stabilite sunt:
a dintre A și M via G1, a dintre A și M via G2
pr dintre pr și M via G1 și pl dintre pl și M via G2.
Pentru a ilustra utilizarea și necesitatea stabilirii acestei bijecții, prezentăm câteva rezultate cunoscute împreună cu analoagele simetrice stânga-dreapta:
[1] Dacă ar există, atunci E este Baer fiecare U Ma este un sumand direct în M și E este drept superior (respectiv inferior) Levitzki M satisface d.c.c. (respectiv a.c.c.) pe Ma.
[2] Dacă al există, atunci E este Baer fiecare U MS este un sumand direct în M și E este stâng superior (respectiv inferior) Levitzki M satisface a.c.c. (respectiv d.c.c) pe MS (analogul stâng al lui [1]).
[3] Dacă a există, atunci E este Rickart drept fiecare U Meste un sunamd direct în M (analogul drept al lui [4]).
[4] Dacă a există, atunci E este Rickart stâng fiecare U M este un sumand direct în M.
[5] Dacă pr există, atunci E este regulat fiecare U M este un sumand direct în M și E este un inel stâng perfect M satisface a.c.c. pe M.
[6] Dacă pl există, atunci E este regulat fiecare U Meste un sumand direct în M și E este un inel perfect la dreapta M satisface d.c.c. pe M.
[7] Dacă cl există, atunci E este un CS inel stâng fiecare U Mc este un sumand direct în M și E are dimensiunea Goldie stângă finită M satisface a.c.c pe Mc.
1.3. CÂTEVA CONDIȚII PE M NECESARE ȘI/SAU SUFICIENTE PENTRU STABILIREA BIJECȚIILOR ANTERIOARE
Condițiile pe M cel mai adesea întâlnite în încercarea de a stabili principalele bijecții sunt condițiile ca nedegenerarea, nesingularitatea, auto-generarea și rectabilitatea; alte tipuri generale de module care sunt potrivite pentru stabilirea bijecțiilor sunt modulele CS trace-accesibile și continue. Toate aceste condiții vor fi definite în Secțiunea 2, împreună cu câteva din generalizările lor cum ar fi modulele e-retractabile și CSG precum și a-self-generatorii.
După prezentarea definițiilor, vom compara aceste condiții pe M cu fiecare alta. Avem, de exemplu, că dacă M este nedegenerat sau un self- generator, atunci M este atât retractabil cât și un a –self-generator. Pe de altă parte, dăm contraexemple pentru a arăta că: “nedegenerarea” și “self-generatorii” nu implică unul pe altul și nici “retractabilitatea” și “a-self-generatorii” nu o fac. Alte exemple de aceste interrelații între condiții sunt: un M trace-accesibil este nedegenerat dacă și numai dacă este retractabil și un M nesingular, e-retractabil este un a-self-generator.
1.4. CLASIFICAREA CONDIȚIILOR PE M ÎN TERMENI REFERITORI LA CELE ȘAPTE BIJECȚII
Când pornim să clasificăm condițiile pe M în termeni referitori la cele șapte bijecții listate anterior, facem apel la relațiile din secțiunea anterioară și dezvoltăm altele, prin combinarea condițiilor pe M. De exemplu (i) nedegenerarea singură sau o combinație de nesingularitate cu e-retractabilitatea ne permite să stabilim bijecția ar , (ii) o combinație de nedegenerare cu nesingularitate sau cu c-self-generare ne permite să stabilim ci, (iii) ori self-generarea singură ori o combinație de ne-singularitate cu c-self-generarea ne permite să stabilim a. În concluzie, condițiile din [1] au loc ori de câte ori M este sau nedegenerat, un self-generator sau nesingular și e-retractabil; concluzia cu [4] are loc ori de câte ori M este sau un self-generator sau un c-self-generator nesingular, și concluzia lui [7] are loc când M este sau nedegenerat și nesingular sau nedegenerat și c-self-generat.
Exemplele precedente sunt pentru module pentru care au loc două din cele șapte bijecții. Mergând cu un pas mai departe avem de exemplu: Dacă M este nesingular și CS, atunci putem stabili ar, a și pl, așa că concluziile lui [1], [4] și [6] au loc ; și dacă M este un self-generator trace-accesibil, atunci ar, a și cl sunt stabilite, așa că concluziile din [1], [4] și [7] au loc. În final, dacă M este nesingular și continuă, atunci avem ar, a, pr și pl, așa că concluziile [1], [4], [5] și [6] au loc; dacă M este liber, avem ar, a, pl și cl, așa că avem concluziile din [1], [4], [6] și [7]; și dacă M este semisimplu, toate cele șapte bijecții și rezultate au loc.
Diagrama din finalul acestui paragraf reprezintă această clasificare. Cele 7 bijecții sunt plasate la baza diagramei. Atunci la primul nivel deasupra bazei, se găsesc acele tipuri de module pentru care cel puțin una din bijecții este stabilă. La al doilea nivel, se găsesc module pentru care putem stabili cel puțin două bijecții și așa mai departe. În consecință, modulele semisimple sunt în vârful diagramei. Putem folosi diagrama în legătură cu [1] – [7] pentru a deduce câteva noi rezultate.
Dacă M este semisimplu atunci E este Baer, regulat și CS-sting;
Dacă M este liber, atunci E este Baer fiecare U Ma este un d.s în M, E este Rickart la stânga fiecare submodul nucleu este un d.s. în M, E este regular fiecare submodul imagine este un d.s. în M și E este stâng C.S. M este C.S.;
Dacă M este nesingular și continuu, atunci E este Baer și regular.
2. PRINCIPALELE TIPURI DE MODULE
Vom da acum definițiile a zece condiții generale pe M care, singure sau combinate sunt necesare și/sau suficiente pentru stabilirea uneia sau mai multor din cele 7 bijecții principale din Secțiunea 1.2. Literele mari din fața fiecărei definiții o va face ușor de indicat în relațiile dintre aceste condiții din diagramă.
ND: RM este nedegenerat dacă Tm 0 pentru fiecare m M nenul, unde T = este trasul lui M în R.
SG: RM este un self-generator dacă fiecare submodul U al lui M satisface U = M HomR(M, U).
Observație. Pentru U M, fie aE(U) = {f E: Uf = 0} și pentru H E fie kM(H) = {m M: m H = 0}. Observăm că, U Ma U = kM(H), pentru H E U = kMaE(U); când U Ma, vom numi U un anulator închis sau un submodul a închis al lui M și pentru orice V M, numim kMaE (V) = Va, a-închiderea lui V
a-SG: RM este un a-self-generator dacă fiecare submodul a-închis U Ma satisface U = [M HomR(M, U)]a.
RE: RM este un retractabil dacă, pentru fiecare submodul nenul U al lui M avem HomR (M, U) 0.
e-ER: RM este e-retractabil dacă pentru fiecare complement nenul C al lui M avem HomR(M, C) 0.
NS: RM este nesingular dacă Im 0 pentru fiecare m M nenul atunci când I este un ideal stâng esențial al lui R.
CS: RM este un CS- modul dacă fiecare complement este un sumand direct în M.
CSG: RM este un CSG modul dacă fiecare complement este self-generat adică dacă pentru fiecare complement C în M avem C = M HomR(M, C).
CT: RM este un modul continuu dacă: (a)M este CS și (b) orice imagine izomorfă în M a unui sumand direct al lui M este un sumand direct în M.
TA: RM este trace-accesibil dacă TM = M, unde T este trasul lui M în R sau achivalent, dacă TN = MHomR(M, N) pentru fiecare R-modul stâng RN.
Când comparăm aceste condiții una cu alta, este convenabil să avem următoarea
Notație. Pentru U M, fie iE(U) = { f E : Mf U } și pentru H E fie SM(H) = {; mj M, hj H } = MH.
Notațiile SM(H) și MH vor fi folosite intercalat și vom identifica iE (U) și HomR (M, U). Reamintim deasemenea notația pentru contextul Morita standard (RR, ME, , E) pentru M, unde M* = HomR(M, R) și avem morfismul de R-R bimodule (. , .) : M E M* R dat de (m, f) = mf, pentru m M și f M*.
Următoarele caracterizări echivalente ale nedegenerării vor fi utile în continuare:
2.1. Propoziție. Pentru fiecare RM sunt echivalente:
M este nedegenerat
Pentru fiecare m M, [M*, m] = 0 implică m = 0
Pentru fiecare submodul U al lui M, TU < U, unde T este trasul lui M în R.
Demonstrație. (a) (b): (M, M*)m = 0 M[M*, m] = 0 [M*, m] = 0
(c): Dacă 0 u U, atunci 0 Tu TU Ru
(c) (a): Dacă 0 m M, atunci Tm <1 Rm Tm 0.
Este ușor de văzut că fiecare modul liber, de fapt fiecare generator este atât nedegenerat și un self- generator. De asemenea, rezultă direct din definiție că un self-generator este un a-self-generator și dacă M este un self-generator, atunci orice submodul U al lui M satisface U = M HomR (M, U) așa că dacă 0 U avem HomR(M, U) 0 așa că un self-generator este retractabil. Arătăm acum că nedegenerarea ca și self-generarea implică amândouă a-self-generarea și retractabilitatea.
2.2. Propoziție. Dacă RM este nedegenerat, atunci M este retractabil și un a-self-generator.
Demonstrație. Fie M nedegenerat. Dacă U este un submodul nenul al lui M și 0 u U, atunci din Propoziția 2.1.(b) [M*, u] 0. Din M[M*, u] = (M, M*)u Ru vedem că [M*, u] HomR(M, U), așa că HomR(M, U) 0 și M este retractabil.
Fie U = kMaE(U) un submodul a-închis al lui M. Pentru a arăta că M este un a-self-generator, va fi suficient să arătăm că, pentru fiecare U Ma, avem aE(U) = aE SM iE(U), pentru că atunci va rezulta că U = kMaE(U) = kMaE SMiE(U) =
= [SMiE(U)]a. Evident, SMiE(U) = MiE(U) U; de asemenea, este ușor de văzut că aE este cu inversarea ordinii, așa că rezultă că aE(U) aESMiE(U).
Pentru incluziunea inversă, fie f aE SM iE (U) așa că 0 = [SM iE (U)] f = [MiE(U)]f; atunci avem [iE(U)]f = 0. Dacă u este orice element nenul al lui U, atunci din nedegenerare, avem [M*, u] 0. Dar, așa cum am arătat în primul paragraf al acestei demonstrații, [M*, u] HomR(M, U) = iE(U). Deci avem [M*, uf] = [M*, u]f iE(U)] f = 0 și aceasta implică din nedegenerare din nou că uf = 0. Deci Uf = 0 și f aE(U) ceea ce completează demonstrația.
În continuare arătăm că relațiile dintre module nedegenerate, retractabile self-generate și a-self-generate pot fi sintetizate în următoarea diagramă:
ND SG
RE a-SG
Vom da acum câteva exemple pentru a arăta că nu au loc alte implicații în diagrama anterioară. Utilizăm simbolul “” pentru a indica cazul când este dat un contraexemplu pentru a arăta că o implicație nu are loc.
2.3. Exemple.
Fie R inelul tuturor șirurilor Cauchy în Q cu multiplicarea pe componente și fie M idealul șirurilor nenule; atunci M nedegenerat dar nu este un self-generator. Astfel
ND SG
Pe de altă parte Z modulul Z / pn Z este un self-generator care nu este nedegenerat. Astfel
SG ND
Deoarece un self-generator este un a-self-generator b) ne dă de asemenea
a – SG ND
și deoarece un self-generator este retractabil b) implică
RE ND
Similar, deoarece un modul nedegenerat este atât retractabil cât și un a-self-generator, a) dă de asemenea
RE SG
și a-SG SG
Fie R inelul Z al întregilor și fie M R-modulul (Zp) (Zp) unde P este mulțimea numerelor prime. Atunci soculul lui M, Soc(M) = (Zp) (Zp) este un submodul esențial al lui M și HomR(M, X) 0 pentru fiecare submodul nenul X al lui Soc(M), de unde M este retractabil. Pe de altă parte M este un cogenerator așa că fiecare submodul al lui M este a-închis. Astfel, M este un a-self-generator M este un self-generator. Dar M nu este un self-generator deoarece pentru orice prim p, toate endomorfismele nenule ale lui Zp sunt surjective. Deci
RE a-SG
Fie K orice subcorp al numerelor complexe C, să fie R inelul matricelor 2 x 2 inferior triunghiulare cu elementul (1, 1) din K și cu celelalte elemente C:
R =
Atunci M = Re, unde e = . R este un inel nesingular stâng, CS stâng și M este un sumand direct al lui R, deci de asemenea CS și e-retractabil. Avem E = EndRM = = eRe = K. Fie anvelopa injectivă a lui R; atunci este inelul matricilor 2 x 2 peste C, așa că = e. Deoarece un R-endomorfism stâng al lui este de asemenea un -endomorfism stâng, avem EndR() = EndR(e) = ee = C. Astfel K are intersecții nenule cu fiecare ideal stâng al lui C, dar K este esențial ca un K-submodul al lui C numai dacă K = C. Este cunoscut (conform (4)) că atunci când M este un modul nesingular, retractabil, atunci inelul său de endomorfisme E este esențial ca un E-submodul al inelului de endomorfisme al anvelopei injective al lui M. Deci, în acest exemplu, M nu este retractabil fără ca K = C. Pe de altă parte M este nesingular și e-retractabil, deci un a-self-generator (așa cum vom arăta pe scurt cu propoziția 2.4.). Atunci
a-SG RE
Din punct de vedere al exemplelor din 2.3. putem completa diagrama noastră după cum urmează:
ND SG
RE a-SG
Exemplul d) este dat de A.W. Chatters și exemplul c) este dat de J.L. Gracia Hernandez.
În exemplul 2.3.d) am folosit următorul rezultat pe care îl demonstrăm acum pentru completare.
2.4. Propoziție. Fie RM un modul nesingular, e-retractabil. Atunci M este un a-self-generator.
Demonstrație. Fie U = kMaE(U) un submodul a-închis al lui M. Vom arăta mai întâi că, deoarece M este nesingular, U este un complement. Pentru a face aceasta, vom utiliza următoarea proprietate bine cunoscută a extensiilor esențiale: Dacă N <K și 0 k K, atunci idealul stâng RI al lui R definit prin RI = [N: k]={r R | rkN} este esențial în RR. De asemenea reamintim că dacă M este nesingular, atunci pentru orice submodul Y al lui M corespunde un unic complement Ye în M așa încât Y <1 Ye.
Fie acum V = Ue așa că, în particular, U <1 V; deci, evident aE(V) aE(U). Reciproc fie f aE(U); atunci vom arăta că f aE(V). Fie v V; atunci idealul stâng RI = [U : v] = {r R | rvU } <R și avem Ivf = 0. Deoarece RM este nesingular, aceasta implică vf = 0 i.e. f aE(V) și aE(U) = aE(V). Avem V kMaE(V)= kMaE(U) = U, deci U = V și U este un complement în M.
În paragraful precedent, am arătat că, dacă U și V sunt orice două submodule ale lui M așa încât U <V, atunci aE(U) = ae(V). Vom arăta acum că, deoarece M este e-retractabil, avem SMiE(C) <C pentru orice submodul complement C al lui M. Fie 0 c C; atunci avem 0 Y = (Rc)e C și 0 iE(Y) iE(C) ceea ce demonstrează că SM iE(C) <1 C. Acum, dacă U este orice submodul a-închis al lui M, atunci U este un complement și avem SMiE(U) <U. Deci aE[SMiE(u)] = aE(U) și U = kMaE(U) = kM aE SM iE(U) ceea ce demonstrează că M este un a-self- generator.
Observăm că în exemplul 2.3.d) M este e-retractabil și nu retractabil adică avem
RE e- RE.
De asemenea în 2.3.d) M este nesingular dar nu nedegenerat deoarece un modul nedegenerat este retractabil, așa că avem
NS ND
Pe de altă paret, dacă R este inel care nu este stâng nesingular, atunci RR este nedegenerat dar nu nesingular, așa cum este orice R-modul stâng liber, așa că
ND NS
În prima parte a demonstrației propoziției 2.2. am arătat că, pentru orice RM, dacă U este un submodul al lui M, atunci [ M*, U] HomR(M, U). Deci, pentru orice M cu submodulul U avem TU = (M, M*)U = M[M*, U] M HomR(M, U) = SM iE(U) U.
2.5. Propoziție.
a) M este retractabil SM iE(U) <U pentru fiecare 0 U < M.
b) M este nedegenerat M este retractabil și TU <1 SM iE(U) pentru fiecare submodul U al lui M.
c) Un M trace-accesibil este nedegenerat este retractabil.
Demonstrație. a) Presupunem că M este retractabil și fie U un submodul nenul al lui M. Dacă 0 u U, atunci există 0 f iE(Ru). Deci, deoarece iE(Ru) iE(U), avem 0 Mf Ru SM iE(U) așa că SM iE(U) <U. Reciproc, dacă SM iE(U) <U și U 0, atunci aceasta implică că iE(U) 0.
b) Din TU SM iE(U) U avem că TU <1 U dacă și numai dacă TU <1 SM iE(U) și SM iE(U) <1 U. Deoarece TU <1 U este echivalent cu nedegenerarea din propoziția 2.1. și TU <1 SM iE(U) este echivalent cu retractabilitatea din a), rezultă concluzia;
c) Dacă M este trace-accesibil atunci, în particular TU = M HomR(M, U) pentru fiecare submodul U al lui M, așa că din b), M este nedegenerat este retractabil.
3. CLASIFICAREA PRINCIPALELOR BIJECȚII ÎN RAPORT CU PRINCIPALELE MODULE PENTRU CARE ELE POT FI STABILITE.
Pornim prin a da condiții necesare și suficiente pentru stabilirea bijecțiilor: ar între Ar și Ma; și al între Al și Ms. Pentru H E fie r(H) = {f E: Hf = 0} și l(H) = {f E: fH = 0}.
Reamintim că
Ar = { I E: I = r(H) pentru H E } = { I E: I = rl (I)}
Al = { I E: I = l(H) pentru H E } = { I E: I = lr (I)}
Ma = { U M : U = kMaE(U)} = { U M: U = kM(I), I E }
MS = { U M : U = SMiE(U)} = { U M: U = SM(I), I E }
3.1. Remarcă.
Rezultă ușor din definiție că pentru Y E, aESM(Y) = r(Y) și iEkM(Y) = l(Y).
3.2. Teoremă.
a) Aplicațiile U aE(U) și I kM(I) determină bijecțiile între Ma și Ar Ma = kM(Ar).
b) Aplicațiile U iE(U) și I SM(I) determină bijecțiile între MS și Al MS = SM(Al).
Demonstrație.
Dacă aE și kM determină bijecțiile între Ma și Ar atunci pentru orice U Ma, avem aE(U) = r(Y) pentru anume Y E, deci U = kM aE(U) = kMr(Y) este în kM(Ar). Aceasta arată că Ma kM(Ar); deoarece întotdeauna kM(Ar) Ma, avem egalitate.
Reciproc, presupunem că Ma = kM(Ar). Atunci, dacă U Ma, avem U = kM(r(Y)) =
= kM(aE SM(Y)) din remarca 3.1. așa că aE(U) = aE kM aE SM (Y) = aESM(Y) = r(Y) Ar; adică aE implică pe Ma în Ar. Avem: U aE(U) kM aE(U) = U. Pe de altă parte, pentru I Ar, kM(I) aparține evident Ma și avem I=r(Y)kM(I)= kM(r(Y)) = kM(aE SM(Y)) din Remarca 3.1. și deci aE kM (I) = aE kM aE SM(Y) = aE SM(Y) = r(Y) = I. Astfel aplicațiile aE și kM sunt inverse una celeilalte și deci determinarea bijecției între Ma și Ar.
Demonstrația pentru b) este similară.
3.3. COROLAR. Dacă M este un modul nedegenerat, a-self-generator sau nesingular, e-retractabil, atunci bijecțiile ar pot fi stabilite între Ma și Ar.
Demonstrație. Este necesar să arătăm că condiția Ma = kM(Ar) este echivalentă cu “M este un self-generator”, deoarece ultima dă: pentru orice U Ma, U = [SMiE(U)]a = kM aE SM iE(U) = kM r (iE(U)) kM(Ar); și Ma = kM(Ar) dă: pentru orice U Ma, U = kM r(Y) = kM aE SM(Y), așa că kM SM iE(U) = kM aE SM iE(kM aE SM(Y)) =
= kM rlr (Y) = kM r(Y) = U. Corolarul rezultă apoi din propozițiile 2.2. și 2.4. și definiția selfgeneratorului.
Remarcă. Teorema 3.2. a) este în esență echivalența dintre (1) și (2) a Teoremei 2.5. a lui (4), excepție faptul că “M este un self-generator” este utilizat în Teorema 2.5., în timp ce Ma = kM(Ar) este utilizat în Teorema 3.2.
Definiția unui self-generator poate fi reformulată ca: M este un self-generator dacă fiecare submodul U satisface U = SM iE(U) dacă fiecare submodul aparține lui MS. Dual definim: M este un self-cogenerator dacă fiecare sumbodul U satisface U = kM aE(U) dacă fiecare submodul aparține lui Ma. Este ușor de arătat că orice cogenerator este un self-cogenerator și că bijecțiile al pot fi stabilite pentru M un self-cogenerator.
Privim acum bijecțiile: a dintre Ași M și a dintre A și M. Reamintim că:
A = { I E : I = r(f), f E } Ar
A = { I E : I = l(f), f E } Al
M = { U M : U = Ker (f) = kM(f), f E } Ma
M = { U E : U = Mf = SM(f), f E } MS
3.4. Teoremă.
kM și aE determină bijecțiile între A și M M Ma.
SM și iE determină bijecțiile între A și M M MS.
Demonstrație. a) O direcție este clară; dacă kM și aE determină bijecții între A și M, atunci pentru orice U M, avem U = kM aE(U) Ma. Reciproc, presupunem că M Ma așa că pentru fiecare U M, avem U = kM aE(U). Atunci, pentru orice I A, avem I = r(f) pentru un anumit f E, deci I = aE SM(f) din Remarca 3.1. și în consecință kM(I) = kM aE SM(f) = SM (f) deoarece SM(f) M Ma; cu alte cuvinte kM duce A în M.
De asemenea pentru orice U M avem U = SM(f) pentru un anumit f E, deci aE(U) = aE SM(f) = r(f) din 3.1. adică aE duce Mîn A. Avem, pentru I A, I = r (f) = aE SM (f) kM(I) = kM aE SM(f) aE kM(I) = aE kM aE SM(f) = aE SM(f) = I și pentru U M, U aE(U) kM aE(U) = U. Deci, kM și aE sunt inverse una alteia și determină bijecții între A și M.
Demonstrația b) este similară.
Remarcă. Teorema 3.4. este o generalizare a Propozițiilor 2.8. și 2.9. din (4).
3.5. COROLAR. Dacă M este un self-generator sau un modul CSG nesingular, atunci bijecțiile a pot fi stabilite între și M. Dacă M este un self-cogenerator, atunci bijecțiile a pot fi stabilite între A și M.
Demonstrație. Dacă M este un self-generator, atunci fiecare submodul este în MS, deci din teorema 3.4. b) avem bijecțiile a. Fie M un CSG modul nesingular. În demonstrația Propoziției 2.4. am arătat că, atunci când M este nesingular, fiecare submodul a-închis este un complement. Deoarece într-un CSG –modul fiecare complement este în MS, avem că Ma MS, așa că în particular M MS, dând bijecțiile a.
Dacă M este un self-cogenerator, atunci fiecare submodul este în Ma, așa că în particular M Ma, deci din teorema 3.4. a) avem bijecțiile a.
3.6. Propoziție. Dacă M este un modul CSG nesingular, sau un modul trace-accesibil retractabil, atunci avem bijecțiile ar.
Demonstrație. Un CSG modul este e-retractabil deoarece dacă C este un complement nenul, atunci C = SM iE(C) implică iE (C) 0. Deci, M CSG nesingular M nesingular e-retractabil bijecțiile ar sunt stabilite de corolarul 3.3. Dacă M este trace-accesibil și retractabil, atunci din propoziția 2.5. M este nedegenerat, deci din Corolarul 3.3. avem ar.
Pentru a clasifica bijecțiile cl dintre idealele stângi complementul Cl ale lui E și submodulele complement Mc ale lui M, prezentăm fără demonstrație următoarele rezultate (conform (4) Teorema 3.7. și 3. 10):
3.7. Dacă M este nedegenerat și CSG sau nedegenerat și nesingular atunci bijecțiile Ce pot fi stabilite.
În final, pentru bijecțiile: Pr dintre idealele drepte principale Pr ale lui E și submodulele nucleu M ale lui M, bijecțiile Pe dintre idealele stângi principal Pe ale lui E și submodulele imagine M ale lui M, avem:
3.8. Propoziție. [(5) propoziția 2.3.]
kM și aE determină bijecțiile între Pr și kM(Pr) = M fiecare I Pr satisface I = aE kM(I).
SM și iE determină bijecțiile între Pe și SM(Pe) = M fiecare I Pr satisface I = iE SM(I).
Demonstrație. a) Dacă kM și aE determină bijecțiile între Pr și kM(Pr), atunci pentru orice I Pr avem I = aE kM(I).
Reciproc, presupunem că I = aE kM(I) pentru fiecare I Pr. Atunci pentru I = fE Pr avem: I kM(I) = kM(fE) = kM(f) M aE kM(I) = I : și pentru U = kM(f) = kM(fE) M = kM(Pr), avem UaE(U) = aE kM(fE) = fE PrkM aE(U) = U, ultima egalitate datorată faptului că M Ma. Deci aplicațiile aE și kM sunt inverse una celeilalte și astfel determină bijecțiile între Pr și M.
Demonstrația lui b) este similară.
În legătură cu pr și pe este necesar să utilizăm următorul rezultat din (5) pe care îl dăm fără demonstrație.
3.9. [(5) Teorema 3.3.]
Dacă fiecare U M este un sumand direct în M, atunci fiecare I Pr satisface I = aE kM(I);
Dacă fiecare U M este sumand direct în M, atunci fiecare I Pe satisface I = iE SM(I).
Putem acum să combinăm rezultatele 3.3. – 3.9. pentru a obține module pentru care trei din principalele bijecții au loc.
3.10. Propoziție. Dacă M este un trace-accesibil, self-generator, atunci bijecțiile ar, ași ce pot fi stabilite. Dacă M este nesingular și CS, atunci ar, ași pe pot fi stabilite.
Demonstrație. Fie M un self-generator trace-accesibil, atunci din self-generare, avem ar din Corolarul 3.3. și a din Corolarul 3.5. Deoarece un self-generator este retractabil, M este trace-accesibil și retractabil, deci nedegenerat din propoziția 2.5. c) și deoarece un self-generator este în particular un CSG modul, M este un CSG modul nedegenerat, deci avem ce din 3.7.
Fie M nesingular și CS. Deoarece un CS modul este un CSG modul avem ar din propoziția 3.6. așa cum am arătat în demonstrația propoziției 2.4. deci, deoarece M este CS, fiecare U Ma este un sumand direct în M. Deoarece M Ma avem că fiecare U M este un sumand direct în M, deci din 3.9. a) fiecare I Pe satisface I = iE SM(I) care din propoziția 3.8. b) implică că avem bijecțiile Pe.
Reamintim că M este gvasi-injecție (QI) dacă orice homomorfism de la un submodul al lui M în M se extinde la un endomorfism al lui M și că M este gvasi-proiectiv (QP) dacă pentru fiecare epimorfism p de la M la un modul M’ și fiecare g HomR(M, M’), există un endomorfism h al lui M așa încât g = hp.
S-a arătat în (1) că: Dacă M este cvasi-proiectiv, atunci fiecare I Pe (de fapt, fiecare I Fe) satisface I = iE SM(I). Aceste rezultate ajută să găsim următorul corolar:
3.11. COROLAR.
Dacă M este un cvasi-injectiv, atunci avem bijecțiile pr.
Dacă M este un cvasi-proiectiv, atunci avem bijecțiile pe.
Dacă M este proiectiv și retractabil, atunci avem pe și ar.
Demonstrație. O combinație de remarci precedând corolarul și propoziția 3.8. ne dau a) și b). Fie M proiectiv și retractabil; atunci, deoarece un modul proiectiv este cvasi-proiectiv, avem pe din b) și deoarece un modul proiectiv este trace-accesibil, M este în particular, trace-accesibil și retractabil, deci avem ar din propoziția 3.6.
Dăm acum câteva exemple de module cu patru bijecții principale valabile.
3.12. Propoziție. Dacă M este nesingular și continuu – în particular, dacă M este nesingular și cvasi-injectiv – atunci avem bijecțiile ar, a , pe și pr. Dacă M este un modul liber, atunci avem ar, a , ce și pe.
Demonstrație. Fie M nesingular și continuu. Deoarece un modul continuu este CS avem ar, a și pe din propoziția 3.10. Fie U M așa că U = Mf, pentru f E. Deoarece M este nesingular, submodulul kM(f) fiind a-închis, este de asemenea un complement; deci, deoarece M este CS, există un submodul V al lui M așa încât M = kM(f) V. Fie f1 restricția lui f la V, atunci f1 : V Vf1 este un izomorfism și avem Mf = Vf = Vf1. Deci, deoarece V este un sumand direct și M este continuu, Vf1 = Mf este un sumand direct în M. Acum din 3.9. deoarece fiecare U M este un sumand direct în M, avem I = aE kM(I) pentru fiecare I Pr, care din propoziția 3.8. a) implică că avem bijecțiile pr.
Fie M un modul liber, atunci M este un proiectiv și un generator, deci gvasi-proiectiv, trace-accesibil și un self-generator.
Astfel, avem Pe din Corolarul 3.11.b) și avem ar, a și ce din propoziția 3.10.
În final, un exemplu unde avem toate cele șapte bijecții principale:
3.13. Propoziție. Dacă M este un modul semisimplu, atunci avem bijecțiile ar, , ae, a, a , ce, pr și pe.
Demonstrație. Fie M semisimplu. Atunci deoarece M este un self-generator, avem ar și a și deoarece M este un self-cogenerator, avem ae și a. Deoarece M este atât cvasi-injectiv cât și cvasi-proiectiv avem pr și pe și deoarece M este trace-accesibil și un self-generator avem ce.
Această clasificare este rezumată în următoarea diagramă.
Semisimple
Libere
CS = complemenții sunt sumanzi NS = nesingular
CSG = complemenții sunt self-generatori PR = proiectiv
CT = continuu QI = cvasi-injectiv
ER = e-retractabil QP = cvasi-proiectiv
GE = generator RE = retractabil
ND = nedegenerat SCG = self-cogenerator
SG = self-generator TA = trace-accesibil
BIBLIOGRAFIE
T. Albu și C Nartasescu – Relative Finiteness in Module Theory – Dekker, New York, 1984;
A.W. Chatters și S.M. Khuri – Endomorphism rings of modules over nonsingular CS rings, J. London Math. Soc. 21 (2) (1980), 434-444;
C.Faith – Lectures in injective modules send guatiant reings Lecture Notes in Mathematics Vol. 246 Spring – Verlag Heidelberg, 1972;
S.M. Khuri – Corespondence theorems for modules and their endomorphism reings, I. Algebra 122 (1989), 380-396;
S.M. Khuri – Modules with regular, noetherian on artinian endomorphism rigs in Non Commmutative Ring Theory , Lecture Notes in Mathematics, vol 1448. Ids, S.K. Ian and SR – Lopes – Permouth, p 7-18;
B. Yinnerman – Huisgen Endomorphism rings of self-generators, Pacific J. Math. Gl (1975), 587-602
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Conditii de Finitudine Pentru Module (ID: 149282)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.