Unele Aplicatii ale Schemelor de Aproximare

Prefață

În lucrarea de față se tratează aspecte mai importante din teoria discretizării.

Lucrarea este organizată în cinci capitole, după cum urmează:

Capitolul I :Schema lui Cauchy de aproximare

În acest capitol de definesc șirurile lui Cauchy și de aproximare. Relațiile prin care sunt definite șirurile Cauchy în toate cazurile sunt relații de convergență către un element din spațiul Hillbert H deci în acest fel se stabilește o corespondență biunivocă între mulțimea claselor de echivalență și o submulțime a spațului Hillbert H. Schemele de aproximare obișnuite sunt cazuri particulare ale schemelor Cauchy.

Capitolul II: Metode de discretizare.

În acest capitol se studiază discretizarea internă a unui spațiu vectorial normat E, unde construim un șir de spații vectoriale normate și definim operatorii Pn liniari și continui numiți operatori de prelungire și definim operatorii de restricție rn.

După definirea convergenței slabe (tare) a șirului de soluții (Un)n și eroarea dintre soluția exactă și soluțiile aproximative se studiază cazurile în care discretizarea {En,Pn,rn}a spațiului E e convergentă și stabilă.

Capitolul al II-lea se încheie cu un exemplu de discretizare intrnă a spațiului Lp ().

Capitolul III: Aproximații externe ale inecuațiilor variaționale.

În capitolul al III-lea se consideră un spațiu Hilbert real și două inecuații variaționale. Demonstrăm că inecuațiile variaționale considerate sunt echivalente cu două probleme de minimizare. După aceasta demonstrăm existența și unicitatea soluțiilor pentru inecuațiile variaționale propuse.

Pentru aproximarea unei inecuații avem următoarele etape principale:

Aproximarea spatiului soluțiilor V.

Aproximarea mulțimii

Aproximarea funcțiilor a,f,j

Aproximarea inecuației.

Acest capitol se încheie cu studiul convergenței soluțiilor aproximative la soluția exactă pentru problemele obținute în studiul aproximării inecuației.

Capitolul IV: Un algoritm pentru problemele cu punct fix.

Este format din studiul câtorva proprietăți ale operatorilor contractivi monotoni și câteva teoreme care au legătură cu acești operatori. Apoi definim punctul fix pentru un operator T și mulțimea punctelor fixe ale lui T.

După definirea algoritmului pentru mulțimea precedentă studiem convergența slabă a algoritmului.

Capitolul V: Aplicație cu privire la modelarea unei membrane elastice. Schemă generală.

Se prezintă un exemplu ce modelează o problemă fizică (deformarea unei membrane elastice sub acțiunea unei forțe exterioare).

Capitolul I.

Scheme Cauchy de aproximare.

1.1.Șiruri Cauchy

Fie (En) un șir de mulțimi, n=1,2,3,….. Considerăm șirurile de forma , unde este un subșir infinit al șirului numerelor naturale și Xnpentru orice Presupunem că s-a dat o submulțime C a mulțimii S (cu S am notat mulțimea tuturor șirurilor care se pot obține când parcurge mulțimea tuturor subșirurilor infinite de numere naturale) împărțită în clase de echivalență, asfel încăt orice subșir al unui șir este echivalent cu S. Elementele mulțimii C le numim șiruri Cauchy. Spunem ca șirul (En) este dotat cu o structură Cauchy.

Fie o mulțime E și o aplicație a mulțimii E în mulțimea părților mulțimii C, asfel încăt dacă și echivalent cu S rezultă și invers. În aceste condiții spunem că sistemul (E,En,a) costituie o schemă Cauchy de aproximare. Pentru vom scrie și sau X=lim Xn

Schema (E,En,a) se numește totală dacă orice element din E este limita unui șir SC și completă dacă orice șir Cauchy converge către un element din E.

Dacă rezultă . Spunem că schemă este unică sau că schema satisface condiția de unicitate.

Fie (En) un șir cu structură Cauchy. Notăm cu mulțimea claselor de echivalență în care este împărțită mulțimea C și cu I aplicația identică a multimii în ea însăși.

Propoziția echivalentă

Propoziția (1): Schema (,En,I)este totală completă și sadisface codiția de unicitate.

Propoziția2. Fie (En) un șir de spații metrice. Presupunem că avem o structură Cauchy cu relația de echivalență:

(1)

și pentru orice pereche de șiruri Cauchy X=(Xn) și există limita:

(2)

În aceste condiții, spațiul este metrizabil cu metrica (2).

Structurile Cauchy și schemele de aproximare se pot extinde la spațiul de aplicații.

Fie (En) și (Fn) două șiruri de mulțimi dotate cu structuri Cauchy și fie fn o aplicație a mulțimii En în Fn.

Șirul se numește Cauchy dacă transformă șirurile Cauchy (de elemente)în șiruri Cauchy (de elemente )

Șirul se numește stabil dacă transformă clasele de echivalență în clase de echivalență.

Fie (E,(En),aE) și (F,(Fn),aF) două scheme de aproximare, dotate și cu structuri Cauchy .

Fie F(E,F) mulțimea aplicațiilor lui E în F.

Spunem că șirul de aplicații (fn) converge către aplicația dacă penru orice și orice șir (Xn) converge către X, șirul fn(Xn)converge către f(x).

Spunem că șirul (fn) consistent cu f în punctul dacă există un șir (Xn) convergent către X asfel încât șirul ()este convergent către f(x).

Teorema (1): Dacă șirul (fn) este stabil și consistent cu f în orice punct atunci .

Șirul se numește stabil invers dacă din echivalența șirurilor (fn(Xn)) și rezultă echivalența șirurilor (Xn)și .

De asemenea spunem că șirul (fn) converge invers către f dacă din relația

rezultă

pentru orice

Teorema (2): Dacă șirul (fn)este consistent cu f și stabil invers atunci fn converge invers către f.

Teorema (3):Fie (E,(En), aE) o schemă Cauchy de aproximare totală și (F,(Fn,aF)) o schema completă. Orice șir Cauchy (fn) converge către o aplicație .

Demonstrație:Fie . Pentru orice n există un asfel încât și.

Elementele yn formează un șir Cauchy deci convergent către un element . Dacă notăm f(x)=Y aplicația f este limita aplicațiilor fn

Teorema (4):În condițiile teoremei (3)presupunem că amândouă schemele considerate sunt totale și complete. Dacă ecuațiile fn(Xn)=Yn au soluții unice pentru orice , atunci și ecuația f(x)=Y are soluție unică pentru orice . Dacă atunci și soluțiile ecuației aproximante converg către soluția ecuației f(X)=Y.

Demonstrație : Fie , există un șir Cauchy convergent către Y. Fie soluția ecuației =. Pentru că șirul () este stabil invers, rezultă că șirul este Cauchy și deci converge către un element . Pentru că ,rezultă =Y. Unicitatea rezultă din condiția de unicitate cerută de schema (E,(),).

1.2.Exemple de aproximații în spații Hilbert

Fie E un spațiu liniar închis al spațiului Hilbert H. Ne punem problema aproximării lui E prin șirul cu relația de convergență

– (a)

Propoziția 1

Schema (E,(),a) este totală dacă și numai dacă

(X) () XH

= aplicația identică a spațiului

(X)=- ; = adjunctul operatorului lui .

Propoziția 2: Pentru ca schema dată să fie completă, este necesar și suficient ca pentru orice , YE să avem

unde

= sup ;

Demonstrație:

Șirurile convergente (a) sunt convergente și în sensul

(b)

Pentru a arăta suficiența relației din propoziție demonstrez că ea este suficientă în cazul șirurilor convergente în sensul b). Fie deci () un șir slab convergent (în H) către un element xH și îndeplinind condiția

Funcționala liniară definită pe Y este continuă pe deci

Rezultă:

<X,Y>=lim <Xn,Y>=0 pentru orice ceea ce este echivalent cu

Invers

Presupunem că schema dată este completă . Fie . Există un subșir K asfel:

lim sup||Y||=lim ||Y||

Există un șir de elemente , sadisfăcând condițiile :

||xn||n=1, <Xn,Y>=||Y||;

acest șir fiind mărginit, este slab compact în N, deci există un subșir ,asfel încât șirul (Xn), converge slab către un element . Pentru că schema este completă, . De aici rezultă :

lim sup||Y||=lim |<Xn,Y>|=|<X,Y>|=0

deci: lim ||Y||=0

Capitol II

METODE DE DISCRETIZARE

2.1. Discretizarea internă

Fie E un spațiu vectorial normat. Vom numi discretizare internă un șir de spații normate (En) asfel încât :

i)există liniare și continue numiți operatori de prelungire.

ii) ()există rn:Eoperatori de restricție.

Operatorii Pn sunt lineari și continui.

En sunt spații de dimensiune finită, reprezentând spațiile în care se discretizează funcționala.

Vom nota cu ||.|| și respectiv ||.||n normele, în E și En. Spațiile discretizori En sunt de aceeași natură cu spațiul E.

Definiția (1):

Fie . Spunem că un converge slab (tare)la u dacă :

în E, în topologia slabă (tare)

Definiția (2):

Eroarea dintre soluția exactă E și soluțiile aproximative va fi:

||Pnun-u||=en.

Definiția (3):

Fie ,. Spunem că un converge discret la u dacă:

Cantitatea se numește eroarea discretă dintre un și u.

Definiția (4):

Discretizarea a spațiului E este convergentă dacă:

Pnrnu-u||=0

Definiția (5):

Discretizarea {En,Pn,rn} se numește stabilă dacă:

asfel încât ,

Lema (1):

Fie {En,Pn,rn}o discretizare stabilă a lui E.

Următoarele afirmații sunt echivalente:

{En,Pn,rn} este convergentă

; V-subspațiul lui E dens în E.

Lema (2):

Dacă discretizarea {En,Pn,rn} este stabilă și convergentă pentru E, atunci convergența discretă implică convergența tare.

2.2.Discretizarea absolută

Definiția (6):

Fie E și F spații liniare normate și un izomorfism al lui E în F. Vom spune că avem o discretizare externă a spațiului E dacă am definit:

un șir En de spații liniare normate,

un șir de operatori de prelungire și

un șir de operatori de restricție:

Dacă notăm cu ||.|| norma lui F, în acest caz:

un converge tare la u

un converge slab la u Pnuv eu

un converge direct la u

Definiția (7):

Spunem că discretizarea externă {En,Pn,rn}este convergentă dacă:

Dacă avem un șir care converge slab în E la .

Noțiunea de discretizare externă este mai generală decât cea de discretizare externă, care se obține pentru F=E și e-operatorul identic.

Este ușor de constatat că lemele (1) și (2) își păstrează valabilitatea și pentru discretizarea externă (Lema (1)) trebuie ușor modificată prin adăugarea condiției (II) din definiția (7).

2.3. Spații Sobolev

Fie deschisă. Definim asfel:

unde

Definim pe norma:

Spațiul cu norma ||.||peste un spațiu vectorial seminormat.

Introducem pe o relație de echivalență:

aproape peste tot.

Se notează

Spațiul cu norma ||.||peste spațiul Banach:

Fie cu

Notăm

Derivata generalizată: pentru și , definim derivata generalizată de ordin ()a lui f ea fiind o funcție cu proprietatea că:

(1)

și în cazul în când g există se noteză cu deci

-derivata Sobolev.

Pentru și definim spațiile Sobolov asfel:

De exemplu:

unde -derivatele parțiale generate în sensul relației (1).

Pentru p=2 obținem spațiile:

este subspațiul vectorial în .

Introducem pe o normă:

de exemplu, pe avem norma :

Observația(1):

.

Pe spațiul se consideră tot norma ||.||m . Dacă este mărginită atunci peavem norma:

care este echivalentă cu ||.||m. Se observă ușor că pentru m=1:

unde

2.4. Discretizarea internă a spațiului

Fie un domeniu mărginit din Rm și spațiul funcțiilor de putere p sumabile în cu norma:

Pentru a defini o discretizare a acestui spațiu introducem o rețea de puncte în Rm. Notăm cu j vectorul din cu componente întregi (j1, j2, j3,……….. jm) și cu :

Fie fixat. Definim:

.

Dacă introducem notațiile:

De exemplu, pentru m=2 avem Rși (j,j)L

Atunci

(x,x)=

=

=

Se observă că:

Deci:

Se observă ușor că este formată din toate punctele lui ce se află în la care adăugăm punctele lui situate la o distanță “foarte mică” de și e formată din punctele lui situate în interiorul lui destul de daparte de și .

Pentru discretizarea lui considerăm drept spații En subspațiile lui Lp(Rm) de funcții etajate de forma:

cu normele:

.

Observația (2):

Vn are un număr finit de valori deci Vn este funcție etajată

() este și bază pentru spațiul En (rezultă din modul de definire al spațiului En)

En sunt finit dimensionale, având ca dimensiune numărul punctelor din și baza .

Operatorii de prelungire sunt definiți prin :

,

Operatorii de restricție se definesc prin:

(2) unde

(3)

Demonstrăm că sunt continui: Din relațiile(1notațiile:

De exemplu, pentru m=2 avem Rși (j,j)L

Atunci

(x,x)=

=

=

Se observă că:

Deci:

Se observă ușor că este formată din toate punctele lui ce se află în la care adăugăm punctele lui situate la o distanță “foarte mică” de și e formată din punctele lui situate în interiorul lui destul de daparte de și .

Pentru discretizarea lui considerăm drept spații En subspațiile lui Lp(Rm) de funcții etajate de forma:

cu normele:

.

Observația (2):

Vn are un număr finit de valori deci Vn este funcție etajată

() este și bază pentru spațiul En (rezultă din modul de definire al spațiului En)

En sunt finit dimensionale, având ca dimensiune numărul punctelor din și baza .

Operatorii de prelungire sunt definiți prin :

,

Operatorii de restricție se definesc prin:

(2) unde

(3)

Demonstrăm că sunt continui: Din relațiile(1), (2), (3) obținem:

.

După inegalitatea lui Holder

unde .

Dar pentru că .

Deci :

e continuă.

Convergența discretizării rn se demonstrează cu ajutorul Lemei (1). Spațiul funcțiilor continue cu suport compact în este dedus în și atunci este suficient să arătăm convergența pentru acest subspațiu. După definirea lui pn avem:

și rnv converge la v în cum se vede ușor pentru funcțiile din subspațiul considerat.

2.5. Discretizarea externă a spațiului

Vom considera acum spațiul Sobolev unde :

și

.

Se observă că dacă integrabilă pe orice și k- compactă, definim în sens generalizat asfel:

este o aplicație local integrabil și cu proprietatea că:

unde

.

Pe introducem norma:

Notăm cu închiderea lui în norma adică

Considerăm

Se arată că este izomorfism de (S.V.N.) .

Definim astfel:

cu norma

unde

o bază în .

Pentru fiecare definim și este o bază în rezultă că dimensiunea lui egal numărul punctelor din .

Definim :

prin

și

dar , deci este suficient să definim doar pe pentru că, dacă așa încât atunci:

Discretizarea este stabilă

Observația( 3)

Fie (S.V.N.) și

Pe se pot introduce normele echivalente:

sau

Atunci

adică discretizarea este stabilă.

Discretizarea este convergentă

Adică :

1).

2). a.î. sușir slab convergent la

rezultă:

adică

a.î.

Condiția 1).

E suficient să demonstrăm pentru

Trebuie să demonstrăm că

Demonstrație

și

deci în

și în ;i=1,2…….m.

Demonstrăm că:

în adică .

Observația (4)

(i) Pentru n suficient de mare, mulțimile ajung să acopere supp v deci:

(ii) Diferența trebuie să fie evaluată doar pentru pentru că asfel v(x)=0. Atunci luăm deci

asfel încât

(iii) Dacă iar

pentru .

Deci:

.

Formula lui Taylor ne dă:

Deci:

unde

cu

Pentru m =2 obținem imediat:

Deci:

unde

Pentru \ avem

Deci:

Dacă

Avem:

măsura

Deci:

în

Să dovedim acum valabilitatea concluziei 2).

În fapt converge slab la v

în cu topologia slabă

în cu topologia slabă

Dar

Mai observăm că dacă slab în

în

Deci:

și în

Observația 5

Aplicațiile și sunt egale cu (0) în afara mulțimii și astfel le putem prelungi la tot prin:

Dacă

Atunci aplicațiile și sunt în

Pentru avem relația :

Dar A se scrie astfel:

Am înlocuit în prima integrală cu și în al doilea cu

Observația (6)

(i) Avem

(ii) în

Integrala (ii) în observația b) se face de fapt pe o mulțime mărginită închisă în . Atunci se poate demonstra că din integrala în (ii) rezultă și

și deci avem și

deci

Analog

pentru că:

deci este evident că este derivata în raport cu în sens Sobolev a lui , adică

Atunci

dar

Dar

Se poate demonstra că:

Dar pe deci și pe

CAPITOLUL III

APROXIMAȚII EXTERNE ALE INECUAȚIILOR VARIAȚIONALE

3.1.Noțiuni generale privind inecuațiile variaționale

Considerăm un spațiu Hilbert real cu norma ||.|| și

bilineară , continuă și simetrică

continuă și convexă

lineară și continuă

Definim

unde

Considerăm apoi următoarele inecuații variaționale:

Să se determine astfel încât:

1).

Să se determine astfel încât:

2).

Definim

prin

Problema (1)

Problema (1) este echivalentă cu problema:

Să se detrmine așa încât:

3).

Rezolvarea rezultă din teorema:

Teorema (1):

Fie un spațiu Hilbert și conexă închisă și

biliniară , simetrică, continuă, coercivă

lineară, continuă

Următoarele sunt echivalente:

i). Există și este unic astfel încât:

ii). Există și este unic astfel încât

Demonstrație

Etapa 1.

a este un produs scalar pe pentru că este bilineară, simetrică, coercivă

coercivă astfel încât :

Să notăm acest produs scalar cu :

Etapa 2

Fie

Atunci || || norma inițială pe V

continuă

și mai avem:

din și rezultă că:

|| ||

considerăm atunci este lineară și continuă.

Din teorema Riesz pentru produsul scolar rezultă că există și este unic astfel încât

Etapa 3

Această problemă admite ca soluție:

Etapa 4

Din teorema amintită rezultă:

Deci

Problema (2).

Problema (2) este echivalentă cu problema:

Să se determine astfel încât:

Propoziția (1):

Fie continuă, convexă și

Atunci următoarele probleme sunt echivalente:

i) așa încât

ii) așa încât

Demonstrație

Fie un spațiu Hilbert și

conexă și diferențială Gateaux

conexă și

Atunci este soluție pentru problema de minimalizare

Observația (1)

Fie E un spațiu vectorial normat și aplicație; fie . Spunem că f este diferențială Gateaux în după direcția h dacă există

Dacă f este diferențială Gateaux în orice punct și după orice direcție spunem pe scurt că f este diferențială Gateaux pe E.

Notăm diferențiala Gateaux în după direcția h prin:

La noi definim și astfel:

și

Dar și sunt convexe.

Demonstrăm că este diferențiabilă Gateaux:

Fie avem:

Deci

Deci

Aplicând rezultatul obținem că:

Teorema de existență și unicitate pentru problemele (1) și (2)

Teorema (2)

Dacă respectiv este coercivă atunci problema (1) respectiv (2) are soluție (nu neapărat unică)

Corolar (1)

Dacă a este coercivă (adică așa încât ) atunci problema (1) are soluție (Evident)

Corolar (2)

Dacă a este coercivă atunci problemaa (2) are soluție.

Demonstrație

Rezultă din propoziția următoare

Propoziția (2)

A este coercivă rezultă că

este strict convexă unde este convexă

Demonstrație

Fie cu Presupunem prin absurd că:

contradicție cu ipoteza.

Teorema (3)

Dacă (respectiv ) este strict conexă, problemele (1) respectiv (2) au cel mult o soluție.

Propoziția (3)

Fie a coercivă, bilineară, f lineară rezultă că este strict conexă .

Demonstrație

Fie atunci:

este convexă.

Presupunem prin absurd că există și cu astfel încât:

de unde rezultă că:

Dar contradicție.

Corolar (3)

Dacă a este coercivă rezultă că și strict convexe.

Corolar (4)

Dacă (respectiv ) este coercivă și strict convexă atunci problema (1)respectiv(2) are soluție unică.

3.2.Scheme de aproximare pentru problemele (1) și (2)

I. Aproximarea spațiului

Se consideră un spațiu Hilbert real și lineară, continuă, injectivă.

(De exemplu dacă și putem lua:

și

Se consideră apoi o familie de spații Hilbert finit dimensionale (nu sunt neapărat subspații ale lui ) cu normele . De asemenea, considerăm operatorii de proiecție: lineară, continuă și cu proprietatea că există astfel încât:

Exemplu:

Dacă , mărginită, fie apoi arbitrar.

Definim rețeaua

a.î. cu

pentru fiecare construim “ cărămida “de centru definită prin:

și “ ” de centru prin:

unde este baza canonică în .

Apoi definim:

funcția caracteristică a mulțimii

spațiul vectorial generat de funcțiile cu

Se observă că:

și, dacă unde constant.

Definim atunci:

prin

unde

Se arată ușor că sunt lineare și continue. În plus avem:

Vom spune că constitue o aproximare a lui dacă:

5). și slab în

atunci

6). a.î. tare în și unde nu depinde de h.

II.Aproximarea lui

Presupunem construite și fie o famile de forme bilineare:

și cu proprietățile

7).

8). (ce nu depinde h ) așa încât

adică sunt egale coercive.

9). Dacă slab în și

tare în

avem:

10). Dacă slab în atunci:

Definiția(1)

Dacă familia satisface condițiile vom spune că ea realizează o aproximare a lui .

Observația (1)

Elemenele lui nu fac parte neapărat din

Demonstrație:

Avem:

Dacă apoximarea este internă, adică în general:

Definim:

astfel:

10’)

Dacă nu putem defini ca în

De exemplu:

atunci

Propoziția (4):

Fie

și

Atunci funcția caracteeristică a lui nu este în spațiul

Notăm

Vom arăta că nu este funcție

(derivata este luată în sens distribuțional)

Rezultatul (1): Distribuția lui Dirac

unde 1

se știe că nu este distribuție de tip funcție.

Rezultatul (2): funcția lui Heaviside

Se știe că:

(în sens distribuțional)

Fie funcța caracteristică a

intervalului .

Se arată ușor că:

Folosin rezultatul (2)obținem:

nu este funcție. Deci cu atât mai mult .

Atunci spațiul (Vn) generat de funcții de tipul nu este subspațiu al lui deci nici al lui .

Deci aproximarea este externă .

Exemplu (1).

Dacă și

iar Vn sunt cele construite anterioare,

Definim:

Să se arate că (ah)h verifică condițiile (f)-10

Condiția 7

.

Am folosit în demonstrație :

-inegalitatea lui Holder

-și faptul că

unde.

Condiția (8)

.

Deci, pentru condiția(8) este îndeplinită.

Condiția (9)

Avem :

-cu

-(la fel ca Ph)

în spațiul .

Din amândouă relațiile rezultă:

.

De unde rezultă:

.

Pe de altă parte avem:

conform relației

Condiția (10).

Dacă slab (tare) atuci ca la condiția (9) avem:

și

Pe de altă parte:

de unde rezultă că:

(B)

Analog

(C)

Din (A),(B),(C)

III.Aproximarea mulțimii K

Fie K o mulțime conexă și fie subspații finit-dimensionale, conexă și închisă.

Definiția (2)

Vom spune că familia realizează o aproximare a lui K dacă:

(11) și slab în spațiul F atunci și

astfel încât:

tare în spațiul F și

unde

lineară, continuă, injectivă

și lineară, continuă

Observația (2)

În multe cazuri se consideră și atunci condițiile (11), (12) sunt la fel ca condițiile (5) respectiv (6)

IV.Aproximarea lui J:

Se consideră:

convexă

Definiția (3)

Vom spune că familia realizează o aproximare a lui dacă

și

atunci

a.î.

tare în spațiul F

atunci:

în R

V.Aproximarea lui f:

Fie lineară și continuă

lineară și continuă

Definiția 4.

Vom spune că familia realiează o aproximare a lui f dacă:

(15)

unde C nu depinde de h

(16)dacă slab în F atunci

VI.Aproximarea problemelor (1) și (2)

Pentru problema (1)

Să se determine astel încât:

(17)

Pentru problema (2)

Să se determine astfel încât:

(18)

Acum avem teorema de convergență a soluțiilor aproximative la soluția exactă pentru problemele (17) și (18).

Teorema (4)

Presupunem că sunt îndeplinite condițiile (4)-(16) și dacă este soluția problemei (17) respectiv (18) și (U) este soluția exactă a problemei (1) respectiv (2) atunci

Demonstrație

Fie și ce verfică condiția (12) .

Introducem aleși anterior (17) rezultă:

de aici și din (7), (8), (12), (15) obținem:

unde deci:

de unde rezultă că

adică șirul este mărginit; atunci:

adică

șirul este mărginit în F, atunci din extragem un subșir notat tot convergent slab la un element .

Din (11) rezultă că , deci există astfel încât , deci:

slab în F

Din (22) și (10) rezultă:

Dar șirul și elementul au fost alese la început cu prorietatea că:

tare în F

de aici, din (22) și condiția (9) rezultă

din (16) rezultă că:

Folosind (23), (24),(25),(19) rezultă:

deci

adică W este soluție pentru problema (1).

Dar am presupus de la început că problema (1) are soluție unică deci și cum:

slab rezultă:

slab în F

Demonstrăm că tare în F

Pentru aceasta fie așa încăt:

tare în F

Pe de altă parte există un asemenea șir datorită condiției (12).

Notăm

avem:

Din (9) și (26) și presupunând că:

tare în F obținem din (27):

În particular pentru obținem:

dar deci

dar

dar lineare și continue de unde rezultă că

tare în F deci

tare în F

Absolut la fel se procedează și pentru problema (2) folosind la momentul potrivit relațiile (13), (14) pentru funcțiile .

CAPITOLUL IV

ALGORITM PENTRU PROBLEME DE PUNCT FIX

4.1.Operatori contractivi și monotoni

Definiția 1

Fie H un spațiu Hilbert, închisă și convexă

un operator

atunci

T se numește contracție dacă

T se numește strict contractiv dacă a.î.

T este quasi ferm contracriv dacă a.î.

T este ferm contractiv echivalent

Observații:

T strict contractiv T contractiv (evident).

T ferm contractiv T quasi ferm contractiv

Demonstrație

T ferm contractiv

Presupunem că T nu este quasi ferm contractiv a.î.

Fie a.î.

Pe de altă parte avem:

Din și

Din obținem:

Dar din ipoteză și din inegalitatea Cauchy-Schwartz avem:

contradicție cu unde pentru că altfel ar rezulta: și din obținem absurd T este quasi ferm contractiv.

T quasi ferm contractiv T contractiv

Demonstrație

Din ipoteză rezultă că a.î.:

din inegalitatea Cuchy-Schwartz rezultă:

Din (1) și (2) rezultă:

Din (3) rezultă că:

Observație

Dacă din (3) obținem:

absurd

Definiția 2

Fie V un spațiu Banach și un operator .

A se numește monoton dacă:

U,v

unde pentru notăm

Definiția 3

Fie H un spațiu Hilbert a.î. și

Notăm

A este maximal monoton echivalent dacă cu proprietățile:

Avem:

Teorema (1)

Operatorul este maximal monoton echivalent,

Definiția 4

Operatorul A se numește hemi-continuă dacă:

,

A se numește coercivă dacă: dacă

Lema (1)

Dacă este maximal monoton atunci operatorul este ferm contractiv.

Demonstrație

Vom arăta mai întâi că T este inversabil

1). Injectivitatea

Fie a.î.

înmulțim scalar cu

dar A este monoton

adică deci

2). e surjectivă

Din teorema (1) rezultă:

Deci, este surjectivă inversabil

e ferm constructiv echivalent cu:

Fie și , i=1,2,

Atunci relația (unde ) este echivalentă cu:

adică

Din relația obținem:

Din

ceea ce este adevărat deoarece A este monoton.

Definiția 5

Fie C , C se numește punct fix pentru T dacă:

Notăm

mulțimea punctelor fixe ale lui T

Lema (2):

Fie C o mulțime conexă și închisă și fie strict contactiv. Atunci T are un punct fix.

Demonstrație

Unicitatea:

Fie a.î. și din ipoteză avem că a.î.

Existența

Fie fixat, avem:

Definim șirul astfel

Vom arăta că este șir Cauchy în H și cum este complet va rezulta că e la un element . Dar C este închisă rezultă că și din ipoterză se observă că T este continuă, deci:

și obținem

Dar

Analog se arată că:

Fie

Fie pentru că când astefel încât:

Atunci obținem:

Lema (3)

Fie convexă, închisă și Tcontractiv rezultă că:

este o mulțime închisă și convexă.

Observație

Dacă operatorul T este strict contractiv din Lema (2) rexultă că și este unic a.î. aceasta fiind echivalentă cu

se obține ca limită (tare) a unui șir de elemente din C definit astfel:

și

fixat a.î.

Deci formula (*) dă un algoritm de calcul al punctelor fixe ale lui T. În general, operatorul T ce apare în cazuri concrete nu sunt strict contractivi. Atunci se pune următoarea problemă:

În ce condiții puse asupra lui T sau asupra mulțimii C algoritmul (*) definește un șir care să conveargă tare sau slab la un punct fix a lui T ? În acest sens avem următoarele rezultate:

4.2 Convergența slabă a algoritmului

Teorema (2)

Dacă ferm contractiv, (H) un spațiu Hilbrt și convexă, închisă și dacă atunci șirul din (*) converge slab la un element

Teorema (3)

Fie H un spațiu Hilbert, submulțime și cu proprietățile:

, a.î. în R

subșir a. î. cu slab atunci când atunci a.î. slab.

Teorema(4)

Fie H un sapțiu Hilbert real și , cu

S este spațiu quasi ferm constructiv și

Q este ferm constructiv și

atunci dacă și , , fixat

atunci converge slab la un element

Demonstrație

(1) S quasi ferm contractiv echivalent deoarece dacă a.î.

(2) Q este ferm constructiv echivalent ca:

Să calculăm:

(3)

din (1) și (3)

din (3) și (4) obținem:

Din relația (2) pentru și scriem (2) înlocuind pe cu avem:

Deoarece rezultă că și avem de unde

rezultă că

Atunci avem:

Făcând la fel pentru (S) obținem:

Dar Din (7)

Din (5) și (8)

Notăm cu

La fel pentru n-1,n-2,……..,1,0 și adunând toate relațiile de mai sus obținem:

Definm

, este descrescător pentru că:

.

De unde rezultă că .

Deci, este mărginit, deci convergent la un element , adică este îndeplinită condiția (i) din teorema (3).

Demonstrăm că este îdeplinită și condiția (ii).

Fie un subșir al lui a.î. slab .

Vom arăta că echivalent cu

Din relația (10) rezultă că:

de unde rezultă că:

(11)

când

T fiind contractiv și obținem:

deci:

.

Trecem la limită după folosind relațiile (11) și slab rezultă că:

și

Atunci:

deci: de unde rezultă că:

deci adică

Atunci a.î. slab.

Din (10) rezultă că:

Deci șirul este mărginit în H un subșir al lui slab convergent la un element .

Teorema (5)

Fie T quasi ferm contractiv astfel încât

, ; fixat

atunci șirul converge slab la un punct

Demonstrație

Din ipoteză există a.î.

(12)

Luăm și , din (12) rezultă:

Observație

Avem:

Din observație și din (13)

Pe de altă parte:

deci:

(14) unde

Din (14)

mărginit. Deci subșir slab convergent la un . Din (12) avem:

Facem ,

Dar slab și de unde rezultă că:

, adică

4.3. Exemplu

Considerăm problema:

unde: , , și

și

Condiția la limită:

,

Observație:

Fie , definim:

prin este binară.

Dar și

este continuă

Deci de unde rezultă că A este bine definit.

Să demonstrăm că A este monotonă.

; și u-v pe ;

unde:

și este maximal monoton.

Definiții:

Fie și operator

1). A se numește hemi-continuuu dacă:

2). A se numește coerciv dacă a.î.

Propoziția (1):

Fie cu proprietățile că A este :

1. Mărginit,

2. Hemi-continuuu,

3. Coerciv și monoton

și fie astfel încât:

și V e dens în H.

Fie atunci restricția lui A la D(A) este un operator maximal monoton.

Vom arăta că laplacianul

verifică condițiile (1), (2), (3) din propoziția (1)

Luăm , , verifică (1):

Fie mărginită și adică și

verfică (2):

continuu

hemicontinuuu

verifică (3):

Observația (1):

Unui operator linear continuu i se asociază o formă bilineară:

prin:

se numește coercivă dacă a.î.

Se observă că A este coerciv este coercivă.

Considerăm dacă există pentru că orice distribuție este derivabilă de orice ordin și deoarece:

Dacă are sens, și cu formula Green rezultă:

și din rezultă că

Dar: și este coercivă pe spațiul

Deci e coercivă pe

Din propoziția (1) rezultă este maximal monoton. Atunci este ferm constructiv deci șirul converge slab la un punct fix al lui T și poate fi folosit ca schema implicită.

pentru aproximarea soluțiilor ecuației

pe și

Schema de aproximare. Laplacianul în diferențe finite

Fie . Considerăm o diviziune a intervalului :

unde

h – pasul diviziunii.

este soluția aproxiativă la pasul n al algoritmului (15). Valoarea lui în punctul o vom nota:

Definim Lapalacianul cu diferențe astfel:

(vezi Marciuc pag. 46)

Să considerăm o diviziune a intervalului de timp : unde:

și pasul

Schema de aproximare cu diferențe pentru:

apare astfel:

notăm cu:

Se pleacă de la datele inițiale:

Calculăm la primul pas cu sistemul (17)

La pasul al-II-lea

etc.

Valorile reprezintă valoarea soluțiilor aproximative la momentul de timp și în punctul .

CAPITOLUL V

Aplicații cu privire la modelarea unei membrane elastice. Schema generală

5.1 Exemplu numeric

Modelăm matematic problema fizică a deformării unei membrane elastice sub acțiunea unei forțe exterioare

Să considerăm problema:

Să se determine U astfel încât:

pe

(1)

unde:

Avem:

și

Fie

și

Avem:

Schema de rezolvare a problemei (1) este urmptoarea:

(2)

Vom lua: pentru fiecare

Notăm

Se obține astfel o discretizare a domeniului

Definim apoi analogul cu diferențe al Laplacianului:

unde

Atunci problema (1) se scrie

unde:

și :

care se calculează pentru fiecare

Expresiile care apar în (3) (pentru fiecare K,l) sunt însă funcții de timp. Atunci trebuie să facă și o discretizare în raport cu timpul. Astfel facem o diviziune a intervalului de timp prin:

unde , și

Apoi luăm fiecare ecuație din (3) (pentru K și l fixate) și o discretizăm în raport cu timpul astfel:

,

j=0,1, …n-1

Din relația (4) obținem:

Din (5) se obține imediat:

unde:

Eroarea este dată de formula:

Exemplul acesta s-a rezolvat la calculator după cum urmează:

Rescriem problema astfel:

cu

pt.

pt.

cu

,

și

Discretizarea spațiului și intervalul de timp

Alegem

Notăm și avem:

unde

Obținem o rețea de puncte pe care le numim noduri. Intrvalul de tip îl împărțim în intervale egale cu condiția:

unde

De aici rezultă că nu putem folosi mai multe noduri pentru că pasul de integrare în timpul va fi din ce în ce mai mic, deci prea mulți pași și metoda devine ineficientă.

Pentru rezolvare s-a folosit metoda cu diferențe finite explicită.

Condiția (1) exprimă stabilitatea schemei folosite (este o condiție la care nu se poate renunța).

Rescriem problema cu diferențe. Notând

pentru

Sau echivalent:

5.2 Schema generală pentru determinarea soluției aproximative

Având în vedere condiția de stabilitate alegem:

Alegem M=100. Avem de făcut 100 de pași în timp. Din formulă rezultă că pentru valoarea la momentul în nodul avem nevoie de valorile:

care sunt valori la momentul .

Stiind deci valoarea inițială a funcției U aflăm ; știm f dci aflăm și avem și h, deci rezultă soluția la momentul .

Aplicăm formula interactiv până când , deci de M ori.

De fapt programul ne dă soluția aproximativă pentru fiecare din momentele pe care le avem.

și eroarea dintre soluția aproximativă și soluția exactă.

De exemplu:

Pentru și ,

Obținem unde este discretizat astfel:

BIBLIOGRAFIE

CUCULESCU, I.- Analiză matematică, Ed. Tehnică București 1967

DEMIDOVICI, B., I. MARAN, – Elementes de calcul numerique, Ed. De Moscau 1953

EBÂNCĂ, D. – Metode de calcul numeric, Ed. Sitech Craiova

DINCĂ, G. – Metode variaționale și aplicații, Editura Tehnică București. 1950

MARCIUK, G.- Metode de analiză numerică, ed. Academiei, București 1983.

VRACIU G., DINCĂ AL.,- Curs de analiză numerică, Universitatea din Craoiva 1977.

VRACIU G., POPA A.,- Metode numerice cu aplicații în tehnică de calcul, Ed. Scrisul Românesc Craiova 1989

VRACIU G., MICU S., POPA M., EFREM R., – Analiză numerică (Culegere de probleme vol. I) Ed. Sitech, Craiova 1996