Teoria Fotosferelor Stelare

I. INTRODUCERE

Astronomia este o ramură a științelor naturii, care se ocupă în mod special cu studiul obiectelor cerești și al întregului univers. Folosirea instrumentelor matematice precum și realizările științelor fizice și tehnice. Astronomia studiază universul care ne înconjoară, din care face parte și Pământul cât și o infinitate de alte obiecte cerești.

Astrofizica este una din ramurile Astronomiei. Astrofizica studiază și evoluția corpurilor cerești ținând seama de procesele fizice ce au loc în interiorul lor. Este strâns legată de dezvoltarea fizicii. Deși primele considerații de natură astrofizică se pot găsi și la autorii din antichitate (de exemplu, evoluarea vizuală a strălucirii stelelor), astrofizica propriu-zisă nu s-a putut dezvolta decât după constituirea fizicii ca știință și după elaborarea de metode potrivite de observație. Practic, astrofizica a apărut în secolul al XIX – lea odată cu constituirea fotometriei și spectrometriei.

Lumina (în general radiația electromagnetică) care nu vine de la corpurile cerești, poate fi studiată fie din punct de vedere spectral cât și fotometrie. Obiectele cerești principale ca surse de lumină sunt stelele. Cu o lună aproximare majoritatea stelelor pot fi considerate sferice, ele fiind constituite din gaz (hidrogen și heliu) în procent de peste 90% din masa stelei și din alte elemente chimice.

O stea este constituită din interior (I) și atmosferă (A). La rândul ei atmosfera este formată din 3 straturi: fotosfera (F), cronosfera (C), coroana (K).

Fotosfera este stratul atmosferic prin suprafața căruia este emisă energia produsă de linia centrală, emisia făcându-se în spectrul continuu (pe toate lungimile de undă). Grosimea ei este mică în raport cu raza interiorului stelei. De aceea se consideră că ea delimitează globul luminos. Astfel în cazul Soarelui grosimea fotosferei este de ≈ 400 km în timp ce raza interioară este de ≈ 696000 km.

Luminescența fotosferei determină strălucirea stelei (de aici provine denumirea de „fotosferă” – sfera luminii). Totuși în fotosfera înseși energia nu se produce. Sursele energiei se află în straturi mai adânci ale stelei, iar prin fotosferă energia doar se transferă în afară.

Chiar din primele cercetări în teoria fotosferei s-a stabilit că transferul energiei în fotosferă se realizează în principal prin degajarea de radiații. Transferul energiei prin termoconductibilitate nu joacă rol esențial ca urmare a coeficientului mic de termoconductibilitate al gazelor. Transferul energiei prin comunicație poate avea importanță doar pentru anumite locuri în fotosferă.

Studiul transferului energiei radiante prin fotosferă este principala sarcină a teoriei fotosferei. Rezolvarea acestei probleme este legată de lămurirea construcției fotosferei, adică de aflarea dependenței densității, temperaturii și a altor valori ale adâncimii.

Unul din rezultatele importante ale teoriei fotosferelor trebuie să fie obținerea distibuției energiei în spectrul stelar continuu. Prin compararea teoriei și observațiilor asupra distribuției energiei în spectru stelar se poate face verificarea corectitudinii presupunerilor, care au constituit baza teoriei fotosferelor.

CAPITOLUL ii.

Echilibrul radiant al fotosferei stelare

II. 1. Câmpul de radiație

Întrucât sarcina noastră prioritară constă în analiza câmpului de radiații ăn fotosferă, este necesar în primul rând să introducem mărimile care caracterizează câmpul de radiație.

Mărimea de bază o constituie intensitatea radiației. Intensitatea radiației se determină în felul următor. Într-un punct al câmpului considerăm un element de suprafață normal de direcția de propagare a radiației studiate. Dacă dσ este mărimea elementului de suprafață, iar radiația cade în intervalul de frecvență de la ν până la ν + dν în unghiul solid dω în intervalul de timp dt, atunci cantitatea energiei radiante dEν , care cade pe suprafață va fi proporțională cu dσ dν dω dt, adică va fi egală cu

(1.1.) dEν = Iν dσ dν dω dt

Coeficientul proporționalității care intră în această formulă se numește intensitatea radiației. Se poate spune că intensitatea radiației este cantitatea energiei radiante care cade în intervalul unitate al frecvențelor într-o unitate de timp într-o unitate de unghi solid pe unitate de suprafață care este așezată normal pe direcția radiațiilor.

În general vorbind, intensitatea radiațiilor depinde de coordonatele punctului dat, de direcția radiațiilor și de frecvența ν. Dacă intensitatea radiațiilor este dată atunci sunt ușor de aflat și alte mărimi care sunt caracteristice câmpului de radiație. Una dintre ele este densitatea radiațiilor ρν, care reprezintă cantitatea energiei radiante în intervalul unitate al frecvențelor care se află în unitatea de volum.

Ca să exprimăm ρν prin Iν vom proceda astfel: să presupunem, la început, că radiația cu intensitatea Iν cade pe suprafața dν normală la ea în interiorul unghiului solid Δω în intervalul de timp dt în intervalul de frecvență de la ν la ν + dν. Pe de altă parte, aceeași mărime este egală după definiție cu ρν dν. Între ρν și Iν există o relație simplă. Energia dEυ din (1.1.) va ocupa evident volumul dσ cdt (c = viteza luminii). Deci cantitatea de energie care revine unității de volum este:

= Iν dν și deci:

(1.2.) ρν =

În caz general, când pe volum dat cad radiații din toate direcțiile, densitatea radiațiilor ρν se va exprima prin formula

(1.3.) ρν =

unde integrarea se va face prin toate unghiurile solide. Dacă radiația este izotropă, adică dacă Iν nu depinde de direcție (de ω), putem scrie:

ρν = = Iν

Prin intensitatea radiației se poate de asemenea exprima ușor fluxul radiației Hν , care reprezintă cantitatea de energie radiantă trecând prin unitatea de arie în unitatea de timp și în intervalul unitar de frecvențe. Pentru a face acest

lucru să examinăm la început radiația, care trece prin suprafața dσ în direcția care compune unghiul θ cu normala lui exterioară. (desen 2)

În cazul de față suprafața elementară normală la direcția radiațiilor este egală cu dσ cos θ. De aceea cantitatea energiei radiante, care trece prin suprafața dσ sub unghiul θ la normala în interiorul unghiului solid dω în timpul dt în intervalul frecvențelor de la ν până la ν + dν va fi egală cu Iν dσ cos θ dν dt dω. Dacă vom afla integrala acestei expresii în toate orientările vom obține mărimea care după definiție este egală cu Hν dρd + dν. Prin urmare

(1.4) Hν =

În sistemul coordonatelor sferice cu axul polar îndreptat după normala exterioară la suprafața dσ, elementul unghiului solid este egal cu: dω = sin θ dσ dτ, unde τ – azimutul direcției radiației. De aceea expresia pentru fluxul radiației poate fi transcris în forma

(1.5) Hν =

Întrucât din cos < o rezultă că > atunci din formula (1.5) rezultă că fluxul radiației Hν este diferența a două mărimi pozitive

(1.6) Hν = ξν – ξν΄

unde

(1.7) ξν =

și

(1.8) ξν΄ = – cos sin d

Mărimea ξν reprezintă iluminarea suprafeței de pe o parte, iar mărimea ξν΄ iluminarea suprafeței de pe cealaltă parte. Prin urmare, fluxul radiației printr-o suprafață oarecare este diferența iluminărilor acestui spațiu.

Să marcăm o importantă proprietate a intensității radiației: în vid (adică un spațiu care nu absoarbe și nu emite energie radiantă) intensitatea radiației nu se modifică de-a lungul razei.

Pentru demonstrarea acestei proprietăți să luăm pe rază două suprafețe elementare, așezate normal pe rază la distanța s una de alta. Fie dσ și dσ΄ ariile acestor suprafețe, iar dω și dω΄ – unghiuri solide, sub care de pe o porțiune se vede cealaltă. Examinând energia radiantă care trece prin cele două porțiuni, putem scrie:

Iν dσ dω = Iν΄ dσ΄ dω΄

unde Iν și Iν΄ sunt intensitatea radiației care cade pe o suprafață și respectiv pe cealaltă suprafață. Dar

dω = s2 d σ΄

dω΄= s2 d σ

Rezultă că:

Iν = Iν΄

Din cele spuse, în special, reiese că intensitatea radiației solare pe distanța de la Soare la Pământ este aceeași ca și la plecare de la Soare. Este evident însă că densitatea și fluxul radiației scade pe măsura depărtării de Soare.

2. Ecuația de transfer a radiației

Mai sus deja s-a spus, că în vid intensitatea radiației nu se modifică de-a lungul razei. Acum să admitem că spațiul este umplut de un mediu capabil să absoarbă și să emită energie radiantă. În acest caz intensitatea radiației se va modifica de-a lungul razei, și noi vom scoate ecuația care descrie această modificare. Totuși, mai înainte introducem spre examinare mărimile care caracterizează capacitatea mediului de a absoarbe și emite.

Fie ca pe suprafața dσ, așezată normal la direcția radiațiilor, cade radiația cu intensitatea Iν în interiorul unghiului solid dω în intervalul frecvențelor de la ν până la ν +dν în timpul dt. Cantitatea de energie care cade pe porțiune va fi egală cu Iν dσ dω dν dt. Dacă mediul este capabil să absoarbă radiație atunci pe parcursul ds din cantitatea energiei arătate va fi absorbită o parte proporțională cu ds. Noi vom marca această parte cu αν ds. Astfel cantitatea energiei absorbite pe drumul ds va fi egală cu

(1.9) αν ds Iν dσ dω dν dt

Mărimea αν se numește coeficient de absorbție. Întrucât partea energiei absorbite αν ds este mărime adimensională, atunci coeficientul absorbției αν are caracter ritmic invers lungimii. Să observăm că coeficientul absorbției depinde de frecvența radiației și coordonatele punctului dat și nu depinde de direcția radiației (în mediu izotropic).

Dacă mediul este capabil să și emită energie atunci cantitatea energiei radiată de volumul dV în interiorul unghiului solid dω în intervalul frecvențelor de la ν până la ν +dν în timpul dt, va fi proporțională cu dV dω dν dt. Noi marcăm această cantitate de energie prin

(1.10) dV dω dν dt

și vom numi mărimea – coeficient de radiație (emisie). Prin urmare coeficientul de radiație (emisie) este cantitatea de energie radiantă de unitatea de volum în unitatea de unghi solid în intervalul unitar de frecvențe într-o unitate de timp. El, spre deosebire de αν care este adimensional, are dimensiunile energiei. depinde de frecvența ν, de coordonatele punctului dat și, în general vorbind, de direcția radiației.

Dacă αν și ξν sunt cunoscute, atunci în ipoteza câmpului de radiație staționar (invariabil în timp), se poate studia variația intensității Iν de-a lungul razei luminoase.

Să luăm un cilindru elementar a cărui axă este îndreptată pe direcția razei date. Fie suprafața bazei cilindrului egală cu dσ, iar înălțimea egală cu ds (însă înălțimea este mică în comparație cu dimensiunea razei bazei). (desen 3)

Să examinăm radiația care intră în cilindru și iese din el în interiorul unghiului solid dω în intervalul frecvențelor de la ν până la ν +dν în timpul dt. Dacă intensitatea radiației care intră în cilindru este Iν, atunci cantitatea de energie care pătrunde în cilindru va fi egală cu Iν dσ dω dν dt

. Să marcăm intensitatea radiației ce iese din cilindru prin Iν +dIν . Atunci cantitatea energiei care iese din cilindru va fi egală cu

(Iν +dIν) dσ dω dν dt.

Diferența dintre cantitățile de energie indicate apare atât din cauza absorbției energiei în cilindru, precum și din cauza emiterii de energie în cilindru. Cantitatea de energie absorbită de cilindru se determină din expresia (1.9). În ceea ce privește energia emisă de cilindru, ea va fi dată de expresia (1.10), dacă stabilim în el dV = dσ ds. Astfel obținem

(Iν +dIν) dσ dω dν dt = Iν dσ dω dν dt – αν ds Iν dσ dω dν dt + dσ ds dω dν dt

sau după reduceri necesare

(1.11) = – αν Iν +

Aceasta este și ecuația căutată, care determină modificarea intensității radiației la trecerea ei printr-un mediu care absoarbe și emite. Ea se numește ecuația de transfer al radiației.

Uneori când în mediu se produce absorbția energiei radiante, dar nu se emite (adică αν ≠ 0, iar = 0) în locul ecuației (1.11) avem

(1.12) = – αν Iν

= – αν ds

ln |Iν| =+ ln|c|, c0

|Iν| = |c| ∙ e- Iν = c ∙ e-

Iν (0) = c ∙ e0 = c

(ervalul frecvențelor de la ν până la ν +dν în timpul dt. Dacă intensitatea radiației care intră în cilindru este Iν, atunci cantitatea de energie care pătrunde în cilindru va fi egală cu Iν dσ dω dν dt

. Să marcăm intensitatea radiației ce iese din cilindru prin Iν +dIν . Atunci cantitatea energiei care iese din cilindru va fi egală cu

(Iν +dIν) dσ dω dν dt.

Diferența dintre cantitățile de energie indicate apare atât din cauza absorbției energiei în cilindru, precum și din cauza emiterii de energie în cilindru. Cantitatea de energie absorbită de cilindru se determină din expresia (1.9). În ceea ce privește energia emisă de cilindru, ea va fi dată de expresia (1.10), dacă stabilim în el dV = dσ ds. Astfel obținem

(Iν +dIν) dσ dω dν dt = Iν dσ dω dν dt – αν ds Iν dσ dω dν dt + dσ ds dω dν dt

sau după reduceri necesare

(1.11) = – αν Iν +

Aceasta este și ecuația căutată, care determină modificarea intensității radiației la trecerea ei printr-un mediu care absoarbe și emite. Ea se numește ecuația de transfer al radiației.

Uneori când în mediu se produce absorbția energiei radiante, dar nu se emite (adică αν ≠ 0, iar = 0) în locul ecuației (1.11) avem

(1.12) = – αν Iν

= – αν ds

ln |Iν| =+ ln|c|, c0

|Iν| = |c| ∙ e- Iν = c ∙ e-

Iν (0) = c ∙ e0 = c

(1.13) Iν = Iν (0) e-,

unde Iν (0) este intensitatea radiației la s = 0 (de exemplu intensitatea radiației care intră în mediu). Aceasta este cazul atmosferelor planetare în domeniul spectral vizibil sau ultraviolet.

Mărimea adimensională se numește distanța optică între două puncte. Când radiația parcurge distanța optică unitară – intensitatea Iν descrește de e ori.

În cazul general (adică când αν 0, iar

0) vom rezolva ecuația (1.11).Folosind ecuația liniară asociată (1.12) rezultă:

Iν (s) = c(s) · e-

=c(s) · (e-)' + c'(s) · e-= (-αν )" · e-= -αν ·

e-+ ξν c'(s) = ξν · e-

c(s) = · eds' + K

Iν (s) = (· eds' + K) · e-

Iν (0) = K

(1.14) Iν (s) = Iν (0) · e-+· eds'

Relația (1.14) poartă numele de ecuația integrală a transferului de energie radiantă. Observăm că în cazul general intensitatea radiației se compune din două părți. Prima parte reprezintă intensitatea inițială (în punctul s = 0), slăbită în urma absorbției pe drum de la 0 până la s. A doua parte este intensitatea radiației condiționată de emisia energiei radiante pe drum de la 0 până la s și de slăbirea ei corespunzătoare în urma absorbției pe drum de la locul emisiei s' până la locul de observare s.

3. Ecuația echilibrului radiant

Ecuația obținută mai sus de transfer al radiației (1.11) ne permite să aflăm intensitatea radiației Iν, dacă sunt cunoscute coeficientul radiației ξν și coeficientul absorbției αν. Totuși de obicei în probleme despre transferul radiației coeficientul radiației ξν nu este dat, ci depinde de cantitatea energiei radiante absorbite în volumul elementar, adică de mărimile αν și Iν. Pentru a afla această dependență trebuie examinate procese energetice ce se produc în volumul elementar al mediului dat.

Procesele arătate sunt specifice fiecărei probleme. Acum vom examina procesele energetice care se produc în volumul elementar al fotosferei stelare.

Cum s-a mai spus (în introducere), în fotosferă nu există surse de energie și energia ce se produce în interiorul stelei se transferă prin fotosferă prin emisie de raze. De aceea radiația fiecărui volum elementar al fotosferei se produce pe seama energiei radiante absorbite. Presupunând stabilitatea fotosferei, noi vom spune că fiecare volum elementar al fotosferei emite atâta energie câtă absoarbe. O asemenea stare a fotosferei se numește stare a echilibrului radiant.

Se înțelege că în starea echilibrului radiant se află numai fotosferele acelor stele care nu suferă modificări rapide în decursul timpului. După cum se știe, ele constituie marea majoritate a stelelor. Tocmai despre aceste stele se va vorbi în continuare. Nu ne vom ocupa de atelele care își modifică rapid strălucirea și spectrul (de exemplu stelele noi).

Vom da o formulare matematică a echilibrului radiant. Pentru aceasta vom afla cantitatea energiei radiante care este absorbită de volumul elementar și cantitatea energiei emisă de acest volum.

Vom lua volumul elementar cu suprafața bazei dσ și înălțimea dr. Fie ca pe acest volum să cadă radiația de intensitate Iν în interiorul unghiului solid dω pe direcția care formează unghiul θ cu normala la bază. Cantitatea de energie care cade pe volum în intervalul de frecvențe de la ν până la ν +dν în timpul dt va fi egală cu Iν dσ cos dν dω dt. Întrucât calea străbătută de radiație în volum este egală cu dr sec o, atunci din cantitatea totală de energie care cade pe volum va fi absorbită de el o parte egală cu αν dr sec o. Prin urmare cantitatea de energie absorbită va fi egală cu Iν dσ dr dν αν dω dt. Pentru a obține cantitatea totală a energiei absorbite de volum, trebuie să aflăm integrala acestei expresii pe toate frecvențele și pe toate direcțiile. Ca rezultat găsim, că cantitatea totală de energie absorbită de volum se află cu ajutorul expresiei

(1.15) dσ dr dt

Folosind (1.10) rezultă: cantitatea de energie emisă de volumul dσ dr în interiorul unghiului solid dω în intervalul de frecvențe de la ν până la ν +dν în timpul dt va fi egală cu

dσ dr dν dω dt

Întrucât energia din spectru continuu este emisă de volumul elementar cu o probabilitate uniformă în toate direcțiile, atunci pentru cantitatea totală de energie, emisă de acest volum obținem expresia

(1.16) 4π dσ dr dt

Din relațiile (1.15) și (1.16) găsim:

(1.17) 4π =

Ecuația (1.17) se numește echilibrul radiant. Ecuația transferului radiant (1.11) și ecuația echilibrului radiant (1.17) aparțin de principalele ecuații ale teoriei fotosferelor stelare.

4. Modelul geometric al fotosferei

Ecuația (1.11) reprezintă forma cea mai generală de ecuație a transferului radiației. În cazuri concrete tipul ecuației transferului radiației se determină ținând cont de sistemul coordonatelor folosit și de argumentele de care depinde intensitatea radiației.

Putem socoti că steaua posedă simetrie sferică. În acest caz intensitatea radiației Iν depinde de două argumente: de distanța r de la centrul stelei și de unghiul o între direcția radiației și direcția razei-vector. În cazul dat avem

(1.18) = · + ·

(1.19) = cos θ, = –

De aceea ecuația transferului radiației în cazul fotosferei sferice – simetrice capătă aspectul:

(1.20) cos θ – = – αν Iν +

În cazul examinat ecuația echilibrului radiant (1.17) poate fi vizibil alta, o ecuația mai simplă, care are același sens fizic. Aflând integrala ecuației (1.20) pe toate frecvențele și în toate direcțiile, obținem

(1.21) (r2 ) = -+ 4π

Din (1.21) se vede, că dacă se rezolvă ecuația (1.17) atunci trebuie să se rezolve și ecuația:

(1.22) (r2 ) = 0

Din (!.22) reiese că

(1.23) = ,

unde c este o constantă oarecare care este determinată de sursele energiei stelare.

Astfel fluxul total al radiației (adică fluxul radiației cu integrala pe tot spectrul) în fotosfera sferico – simetrică este invers proporțională pătratului distanței până la centrul stelei. Raportul (1.23) ca și ecuația (1.17) sunt rezultantele lipsei surselor și pierderilor de energie în fotosferă.

După cum s-a mai spus, aproape toate stelele au fotosfere, grosimea lor fiind foarte mică în comparație cu raza stelelor. Pentru aceste stele ecuațiile (1.20) și (1.23) pot fi mult simplificate. Acest lucru nu se poate face doar pentru stele de tip deosebit (de pildă, pentru stele de tip Wolf-Raye).

Dacă grosimea fotosferei este mult mai mică decât raza stelei, atunci strălucirile fotosferice pot fi considerate nesferice, ci plane paralele (desen 3).

În acest caz unghiul θ nu se modifică de-a lungul razei și în locul ecuației (1.20) obținem:

(1.24) cos θ = – αν Iν +

Întrucât distanța r de la centrul stelei se modifică în fotosferă în limite neesențiale, atunci în loc de ecuația (1.23) avem:

(1.25) =const.

Astfel la examinarea câmpului de radiație în fotosferele stelelor „obișnuite” se recomandă folosirea ecuațiilor (1.24) și (1.17) sau ecuațiile (1.24) și (1.25).

CAPITOLUL iii.

Teoria fotosferelor la coeficientul de

absorbție ce nu depinde de frecvențe

1. Ecuațiile fundamentale

La început teoria fotosferelor se folosea ipoteza despre independența coeficientului de absorbție de frecvențe, care a dus la simplificarea substanțială a teoriei. Mai apoi, însă, s-a stabilit că această ipoteză nu este adevărată. Ea își mai păstrează importanța sa întrucât poate fi examinată ca prima apropiere de o teorie mai riguroasă.

Considerând că, coeficientul absorbției nu depinde de frecvență (adică αν = α), în locul ecuației transferului radiant (1.24) și a ecuației echilibrului radiant (1.17) obținem:

(2.1) cos θ = – αν Iν +

(2.3) = I,

=

(2.2) 4π = α

Mărimea I se poate numi intensitatea radiantă totală (integrală), iar mărimea ξ – coeficient total (integral) de radiație.

Aflând integrala ecuației (2.1) pe toate frecvențele găsim:

(2.4) cos θ= – αI +

iar ecuația (2.2) se transcrie sub forma:

(2.5) 4π = α

La cercetarea transferului radiant de orice mediu este rațional să trecem de la distanțe geometrice la distanțe optice. În cazul dat este potrivit să introducem adâncimea optică τ, care se determină prin formula:

(2.6) τ =

Admitem de-asemenea:

(2.7) = αS

Atunci ecuațiile (2.4) și (2.5) capătă forma:

cos θ = I – S

(2.8) S =

Astfel, am obținut două ecuații pentru definirea a două funcții necunoscute I și S.

În sistemul de ecuații (2.8) mărimea I este funcție de τ și θ, iar mărimea S este funcție de τ. Ținând seama că dω = sin θ dθ dτ și aflând integrala la τ în limitele de la θ la 2π în loc de (2.8) obținem:

cos θ = I(τ,θ) – S(τ)

S(τ) = sin θ = sin θ dθ

La sistemul de ecuații (2.9) este necesar să mai adăugăm o condiție la limită. Ea exprimă faptul că nu există radiații care să cadă pe stea din afară, adică:

(2.10) I(0,θ) = 0, θ >

În afară de aceasta, pentru obținerea unei anume rezolvări totale a sistemului de ecuații (2.9) cu condiția la limită (2.10) mai trebuie dat fluxul complet de radiație în fotosferă, egal cu H = (2.11)

Unde L este luminozitatea stelei (adică cantitatea totală de energie emisă de stea într-o secundă) și R – raza stelei.

Sistemele de ecuații de tipul (2.9) se întâlnesc destul de des în astrofizică. Cu aceleași ecuații ne putem întâlni și în geofizică (la studierea dispersiei luminii în atmosfera Pământului și în bazinele acvatice). Spre ecuații analoage duc și unele probleme de fizică (de exemplu problema difuziei neutronilor). De aceea sistemul de ecuații de tip (2.9) au făcut obiectul multor cercetări și pentru rezolvarea lor s-au propus o serie de metode. În continuare vom prezenta unele din aceste metode, care reprezintă un interes uriaș pentru astrofizică.

2. Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor

Pentru rezolvarea sistemului de ecuații (2.9) au fost propuse metode aproximative bazate pe media intensității radiației pe direcții. Prima dintre aceste metode aparține lui Schwarzschild și lui Schuster, a doua lui Eddington. Acum vom rezolva sistemul de ecuații (2.9) cu ajutorul metodelor amintite.

Metoda lui Schwarzschild și Schuster

Vom marca prin I1 (τ) intensitatea medie de radiație, care merge de jos în sus, și prin I2(τ) intensitatea medie de radiație care vine de sus în jos. Aceste mărimi sunt egale cu:

(2.12) I1(τ) = sin θ dθ

I 2(τ) = sin θ dθ

Înmulțim prima dintre ecuațiile sistemului (2.9) cu sin θ dθ și integrăm de la 0 la:

= sinθdθ–S(τ) = I1 (τ) – S(τ)

(2.13)

Integrala din partea stângă a acestei ecuații o prezentăm aproximativ în forma = I1 (τ) (2.14) adică scoatem în fața integralei valoarea medie a lui cos θ în semisfera superioară, egală cu ½. Atunci în (2.13) vom avea:

(2.15) = I1 (τ) – S(τ)

Înmulțind prima dintre ecuațiile sistemului (2.9) cu sin θ dθ și integrăm de la 0 la π/2 găsim analog

(2.16) – = I2 (τ) – S(τ)

Ecuația a doua din sistemul (2.9) se transcrie cu ajutorul mărimilor I1(τ) și I2 (τ) astfel:

(2.17) S(τ) =

Astfel, de la sistemul de ecuații (2.15) – (2.17) care se rezolvă destul de simplu.

= I1 (τ) – S(τ) = I1 (τ) – I2 (τ)

– = I2 (τ) – S(τ) – = I2 (τ) – I1 (τ)

S(τ) =

[ I1 (τ) – I2 (τ)] = 0 I1 (τ) – I2 (τ) = F (2.18)

unde F – constantă arbitrară.

Scădem (2.16) din (2.15)

[ I1 (τ) +I2 (τ)] =

2τF + C (2.19)

unde C – constantă nouă.

Pentru definirea constantelor F și C să apelăm mai întâi la condiția la limită (2.10). În cazul dat ea reprezintă că I2 (0) = 0.

I1(0) – I2 (0) = F I1 (0) = F C = F (2.20)

I1 (0) + I2 (0) = C

În ceea ce privește constanta F, ea se exprimă prin fluxul complet de radiație H, care este constant în fotosferă și se redă cu formula (2.11). După definiție, fluxul radiant complet este egal cu

H = 2π cos θ sin θ dθ (2.21)

În aproximația acceptată

H = 2π [

sinθ dθ – sin θ dθ]

H = π [I1 (τ) – I2 (τ)] (2.22)

Comparând (2.22) cu (2.18), obținem H = π F (2.23)

Substituirea lui (2.19) și (2.20) în (2.17) ne dă una din funcțiile căutate:

(2.24) S(τ) = (2 Fτ + C) = F (τ +)

Cealaltă funcție căutată I(τ, θ) se exprimă ușor prin S(τ) cu ajutorul primei ecuații din sistemul (2.9).

Metoda lui Eddington

Înmulțim prima din ecuațiile sistemului (2.9) cu 2π cosθ sinθ dθ și integrăm de la 0 la π obține:

2 π cos2 θ sin θ dθ = 2 π cos θ sin θ dθ – 2 π S(τ) cos θ sin θ dθ

Folosind formula (2.21) obținem:

(2.25) 2 π cos2 θ sinθ dθ = H

Scoatem în fața integralei valoarea medie a lui cos2 o pe sferă, egală cu 1/3, adică admitem aproximativ

(2.26) cos2 θ sinθ dθ = sin θ dθ

Atunci în locul lui (2.25) și ținând seama de a doua ecuație din (2.9) avem:

(2.27) = H

Întrucât fluxul radiant complet este constant în fotosferă atunci din (2.27) reiese:

(2.28) S(τ) = Hτ + c

unde c – constantă arbitrară.

Pentru aflarea lui c să scriem expresia pentru mărimea S(τ) cu τ = 0. Având în atenție și condiția la limită (2.10), avem:

(2.29) S(0) = sinθ dθ

și pentru H:

(2.30) H = πsinθ dθ

De aceea avem S(0) = (2.31)

Cu condiția (2.31) pentru constanta C obținem C = (2.32)

Substituția (2.32) în (2.28) dă:

S(τ) = F (τ + ) (2.33),

Unde, ca și mai înainte, este folosită notația (2.23). Se observă că expresia (2.33) pentru funcția S(τ) nu se deosebește prea mult de expresia (2.24) obținută cu metoda anterioară.

3. Aplicarea formulei de cuadraturi

Metodele aproximative expuse mai sus au găsit o destul de largă utilizare în astrofizică. Totuși exactitatea rezultatelor obținute prin aceste metode, este relativ mică. De aceea în ultima vreme a căpătat răspândire o altă metodă aproximativă, bazată pe substituția componentei integralei ecuației echilibrului radiant prin suma lui Gauss pentru cuadraturi numerice. Ecuația transferului radiației se scrie aici pentru acele valori cos o, care sunt puncte de diviziune a intervalului în formula cuadraturii. Acest lucru permite să reducem problema la un sistem de ecuații cu diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Avantajul acestei metode constă în faptul, că poate mări exactitatea rezultatelor, mărind numărul componentelor formulei cuadraturii. Totuși și la un număr mic de componente ale acestei formule se obțin rezultate bune, mulțumită înaltei precizii substituirii integralei cu suma lui Gauss. Metoda arătată a fost studiată amănunțit de către Chandrasekhar. Acum vom aplica această metodă la rezolvarea sistemului de ecuații (2.9).

Mai întâi transcriem acest sistem în forma unei ecuații:

(2.34) μ = I (π, θ) –

unde se notează μ = cos θ.

Să substituim componenta integrală a ecuației (2.34) în forma sumei care corespunde formulei cuadraturii a lui Gauss

= (2.35)

Prezentarea (2.35) este cu atât mai exactă cu cât este mai mare n.

În aproximația n ecuația (2.34) este înlocuită cu sistemul liniar al ecuațiilor de cuadratură de ordinul 2n.

μ i = Ii – , (i = ±1,±2,….±n), (2.36)

unde pentru concizie I(τ, μi )se notează cu Ii .

Constantele arbitrare, care intră în rezolvarea generală a acestui sistem, se definește din următoarele condiții:

1) lipsește radiația care cade pe fotosferă din afară, adică I –i = 0 la τ = 0 (i = 1, …., n)

2) nu pot fi componente exponențial crescătoare cu τ

3) este dat fluxul radiației H = πF

După aflarea mărimilor Ii din ecuațiile (2.36) prin principala funcție căutată S(τ) se exprimă după formula:

S(τ) =

Să găsim de exemplu forma funcției S(τ) în prima aproximație. În cazul dat μi = μ-i = 1, a1 = -a-1 = 1. De aceea în locul lui (2.36) obținem

(2.38) = I1 -(I1 + I-1 )

– = I-1 -(I1 + I-1 )

Sistemul de ecuații (2.38) trebuie să se rezolve în condițiile ca I-1 = 0 în jurul lui τ = 0 și (I1 – I-1 ) = F (2.39)

Căutând I1 și I-1 din (2.38) în condițiile anterioare, pentru funcția căutată S(τ) obținem:

(2.40) S(τ) = F (τ + )

Cum vom vedea mai departe, expresia (2.40) pentru funcția S(τ) se arată mai precisă, decât expresia obținută mai înainte (2.24) și (2.33). Mărind numărul de componente în formula de cuadratură (2.35), se pot obține expresii și mai precise pentru S(τ).

4. Ecuația integrală a lui Milne

Din sistemul de ecuații (2.9) se poate obține o ecuație integrală pentru determinarea funcției S(τ). Pentru aceasta trebuie rezolvată prima din ecuațiile (2.9) relativ la I(τ, o) și de a substitui expresia găsită a lui I(τ, o) în cea de-a doua ecuație. Acest mod de rezolvare a problemei se prezintă ca cel mai natura, întrucât noi obținem o ecuație pentru determinarea funcției, care depinde numai de un singur argument.

Rezolvarea comună a primei ecuații din sistemul (2.9) are forma:

I(τ, θ) = I(τ*, θ) e-( τ* – τ) sec o + e-( τ* – τ) sec o S(τ') sec θ d τ' (2.41)

Ea reprezintă ecuația transferului radiației în forma integrală (comparație cu ecuația (1.14)).

Ecuația (2.41) trebuie analizată separat pentru două cazuri: pentru radiația care se îndreaptă de jos în sus și pentru radiația care se îndreaptă de sus în jos.

În primul caz, ușor înclinată spre τ* = ∞ și socotim, că intensitatea radiației nu crește exponențial odată cu creșterea lui τ, obținem:

I(τ, θ) = S(τ') sec θ d τ' (θ < ) (2.42)

În cazul al doilea, ușor înclinată spre τ* = 0 și ținând cont de condiția la limită (2.10) avem:

I(τ, θ) = – sec o S(τ') sec θ d τ' (θ >) (2.43)

Acum trebuie să plasăm expresiile (2.42) și (2.43) în a doua ecuație (2.9). Făcând această substituție și modificând ordinea integrării avem:

S(τ) = sec θ sinθ dθ (2.44)

Să admitem sec θ = x în prima integrală și -secθ = x în a doua. Ținând cont că secθ sin θ dθ = dx/x, în locul ecuației precedente obținem:

S(τ) =

+

(2.45)

Întrucât indicele în ambele exponente pot fi reprezentate în aspectul -|τ – τ'| x, atunci (2.45) mai scurt se notează astfel:

S(τ) =

(2.46)

Nucleul ecuației integrale (2.46) este funcția integrală caracteristică, caracterizată prin egalitatea:

(2.47) Ei τ =

Să observăm că funcția Ei τ în jurul lui τ = 0 are o specificitate logaritmică, iar pe lângă τ → tinde spre zero ca

Cu ajutorul expresiei (2.47) ecuația integrală pentru determinarea funcției S(τ) se notează definitiv astfel:

(2.48) S(τ) =

Această ecuație integrală se numește ecuația lui Milne. Aceasta determină funcția S(τ) cu o precizie până la arbitrar, care se află din cunoașterea fluxului radiației: H = πF.

Să exprimăm fluxul radiației prin formula lui S(τ). Pentru aceasta trebuie să substituim în formula (2.21) expresiile (2.41) și (2.42). Efectuând aceleași transformări ca și la obținerea ecuației (2.48) găsim:

(2.49) F = 2 – 2

Unde E2τ este a doua din funcțiile integrale caracteristice, determinată din egalitatea:

(2.50) En τ =

Funcția introdusă mai sus Ei τ se notează adeseori cu Ei τ. Ecuația integrală a lui Milne a fost studiată de mulți autori. Cea mai completă cercetarea aparține lui Vogt, care a găsit că rezolvarea exactă a acestei ecuații are formula:

(2.51) S(τ) = F[τ + q(τ)]

unde q(τ) este o funcție care se modifică monoton în limite nu prea mari q(0) = 0,58 și q() = 0,71.

Prezintă interes comparația expresiilor aproximative pentru S(τ) obținute cu ajutorul lui Schwarzschild și Schuster, Eddington și Chandrasekhar cu formula exactă (2.51). Aceste expresii aproximative se dau corespunzător prin formulele (2.24), (2.33) și (2.40). Vedem că de cea mai mare exactitate se bucură formula (2.40). Voturile funcției S(τ), găsite cu această formulă în jurul lui τ = 0 și pe lângă mai mulți τ, și anume:

(2.52) S(0) = F

(2.53) S(τ) = F τ , τ >>1

coincid cu valori exacte S(τ). Formula (2.33) dă valori exacte funcției S(τ) numai când τ >>1. Valorile S(τ) obținute din formula (2.24) se deosebesc de valorile exacte din jurul lui τ = 0 și de valorile exacte când τ >>1.

5. Distribuția luminozității pe discul stelar

Cunoscând funcția S(τ) ne permite să determinăm intensitatea radiației pe orice adâncime optică. În particular, putem afla intensitatea radiației, care iese din stea, adică mărimea I(0,θ). Este evident, că intensitatea radiației, care iese din fotosferă sub unghiul o spre normală, reprezintă luminozitatea discului stelei pe distanța unghiului o de la centrul discului. De aceea prin mărimea I(0,θ) se redă distribuția luminozității pe discul stelei.

Pentru a afla I(0,θ), trebuie ca în formula (2.42), care dă intensitatea radiației care merge de jos în sus (θ<), să luăm τ = 0. Făcând aceasta și înlocuind variabila integralei τ' cu τ, găsim:

(2.54) I(0,θ) =

Mai sus au fost obținute diferite formule aproximative pentru funcția S(τ). Să vedem la ce distribuție a luminozității pe discul stelei conduce fiecare din aceste formule.

Folosindu-ne pentru funcția S(τ) de formulele (2.24), (2.33) și (2.40) găsim:

(2.55) I(0,θ) = F(+ cos θ)

(2.56) I(0,θ) = F(+ cos θ)

(2.57) I(0,θ) = F(+cos θ)

Pentru raportul luminozității în centrul discului față de luminozitatea pe margine, adică pentru mărimea I(0,0)/I(0,π) aceste formule dau corespunzător: 3; 2,5 și 2,7. După cum vom vedea mai jos, valoarea exactă a acestei mărimi egală cu 2,9.

Astfel luminozitatea în centrul discului este considerabil mai mare decât pe margine. Se explică aceasta prin faptul că în centrul discului radiația iese din straturi mai adânci decât de pe margine.

Exemplificată mai sus, legea teoretică despre distribuția luminozității pe discul stelei în general se confirmă din datele de observație. Aceste date provin în principal din studierea Soarelui, pentru că nu vedem discurile altor stele. Unele cunoștințe despre întunecarea discului stelei la trecerea de la centru spre margine ni se dau de-asemenea de analiza curbelor modificării strălucirii variabilelor eclipsale. În acest caz o stea o acoperă periodic pe alta și după lumina rămasă neacoperită a părții discului stelei se poate judeca distribuția luminozității pe disc.

Să subliniem, că în acest paragraf a fost vorba despre luminozități totale. Observațiile însă dau nu numai distribuția pe discul stelei a luminozității pe diferite lungimi de undă.

Problema despre legea întunecării discului stelei la trecerea de la centru spre periferii în diferite lungimi de undă se va examina în continuare.

CAPITOLUL IV.

SOLUȚIA EXACTĂ A ECUAȚIILOR FUNDAMENTALE

4.1 Ecuația pentru rezolvantă

Ecuația integrală a lui Milne exemplificată mai sus reprezintă un caz particular de ecuații, destul de des întâlnit în astrofizică. Toate aceste ecuații au nucleu, dependent de valoarea absolută a diferenței între două argumente. Pentru rezolvarea unor astfel de ecuații a fost propusă o metodă relativ simplă, pe care o vom aborda acum. Apoi această metodă se va utiliza pentru obținerea soluției exacte a problemei privind transferul radiației prin fotosfera stelei.

Să examinăm ecuația integrală:

(3.1) S(τ) = (|τ -τ'|) S(τ') d τ' + g(τ)

care determină funcția S(τ) (care nu coincide, în general vorbind, cu funcția introdusă anterior S(τ), dar are sens fizic analog).

K(|τ -τ'|) – nucleul ecuației

g(τ) – funcția care caracterizează repartiția surselor radiației în mediu.

Funcțiile K(τ) și g(τ) sunt date și pentru diferite probleme deosebite.

Soluția ecuației (3.1) poate fi reprezentată sub forma:

(3.2) S(τ) = g(τ) + Γ(τ, τ') g(τ') d τ'

unde Γ(τ, τ') este rezolvanta care satisface, după cum se știe ecuația:

(3.3) Γ(τ, τ') = K (|τ- τ'|) + ( |τ- τ"|) Γ(τ", τ') d τ"

Pe lângă aceasta P(τ, τ') este funcție simetrică în τ și τ', adică Γ(τ, τ') = Γ(τ', τ).

Folosind ecuația (3.3), putem obține o ecuație nouă pentru rezolvantă. Transcriem (3.3) în felul următor:

(3.4) Γ(τ, τ') = K(|τ- τ'|) + Γ(τ – α1 τ') d α + Γ(τ + α2 τ') d α

Calculând diferențiala formulei (3.4) la început de τ și apoi de τ' și așezând pe componente egalitățile obținute, avem:

(3.5) = K(α) Γ(0, τ') + ( |τ- τ"|) (

+) dτ"

Pe de altă parte, din ecuația (3.3) avem:

(3.6) Γ(o, τ) = K(τ) + ( |τ – τ"|) Γ(τ", 0) d τ"

Compararea (3.5) și (3.6) dă:

(3.7) + = Φ(τ) Φ(τ'),

unde avem notația

(3.8) Γ(o, τ) = Φ(τ),

Din (3.7) reiese (pe lângă τ' >τ):

(3.9) Γ(τ, τ') = Φ(τ' – τ) +

Astfel rezolvanta Γ(τ, τ') se exprimă prin funcția Φ(τ), care depinde numai de un singur argument.

Pentru definirea funcției Φ(τ) se poate utiliza ecuația:

(3.10) Φ(τ) = K(τ) + ( |τ – τ'|) Φ(τ') d τ'

care reprezintă ecuația (3.6) luând în considerare (3.8). Altă ecuație pentru definirea lui Φ(τ) va fi obținută în continuare.

2. Ecuații ajutătoare

Prin funcția Φ(τ) se exprimă rezolvanta ecuației (3.1) oricare ar fi funcția g(τ). De aceea funcția Φ(τ) trebuie să joace un rol fundamental în teoria ecuațiilor examinate. Cu scopul de a defini această funcție vom obține acum unele ecuații ajutătoare.

Să examinăm ecuația:

(3.11) S(τ, x) = ( |τ – τ'|) S(τ', x) d τ' + e-xτ

care este un caz particular al ecuației (3.1).

Cu ajutorul formulei (3.2) avem:

(3.12) S(τ, x) = e-xτ + Γ(τ', τ ) e-xτ d τ"

Înmulțind (3.7) cu e-xτ , integrând în funcție de τ de la 0 la și ținând cont de (3.12), obținem :

(3.13) = -x S(τ, x) + Φ(τ) [1 + e-xτ d τ']

Dar din (3.12) rezultă:

(3.14) S(0, x) = 1 + e-xτ dx

Rezultă:

(3.15) = -x S(τ, x) + S(0, x) Φ(τ)

Aflarea integralei (3.15) dă:

(3.16) S(τ, x) = S(0, x) [e-xτ + e-x (τ -τ') Φ(τ') d τ']

În majoritatea problemelor despre transferul radiației nucleul ecuației cu integrala (3.1) se reprezintă în felul următor:

(3.17) K(τ) =

unde A(y), este o funcție arbitrară, a și b numere oarecare. În acest caz pentru determinarea funcției S(0, x) se obțin ecuațiile relativ simple. La rândul său, funcția căutată Φ(τ) se exprimă prin funcția S(0, x).

Dacă K(τ) se dă cu ajutorul formulei (3.17), atunci din ecuația (3.11) rezultă:

(3.18) S(0, x) = 1 +

Înmulțind (3.15) cu e-yτ , integrând în funcție de τ de la 0 la și ținând cont de (3.14) aflăm:

(3.19) =

Substituirea lui (3.19) în (3.18) dă:

(3.20) S(0, x) = 1 + S(0, x)

Am obținut ecuația integrală neliniară pentru determinarea funcției S(0, x), care poate fi ușor rezolvată numeric.

Din ecuația (3.20) se poate obține și ecuația liniară integrală pentru determinarea lui S(0, x). Înmulțind (3.20) cu și integrând în funcție de x de la a la b, după mici modificări găsim:

(3.21) S(0, z) [1-2] = 1-

3. Determinarea funcției Φ(τ)

Comparând între ele ecuațiile (3.10) și (3.11) observăm că, componenta liberă a ecuațiilor (3.10) reprezintă suprapunerea componentelor libere în ecuația (3.11). De aceea avem:

(3.22) Φ(τ) =

Înmulțind (3.14) cu A(x) și integrând în funcție de x de la a la b, aflăm:

(3.23) Φ(τ) = L(τ) +

unde:

(3.24) L(τ) =

Ecuația (3.23) reprezintă ecuația căutată pentru determinarea funcției Φ(τ). Aplicând transformările lui Laplace obținem:

(3.25) = – 1

Astfel, definirea rezolvantei ecuației (3.1) se reduce la găsirea funcției S(0, x) din ecuația (3.20) (sau (3.23)) și definirea ulterioară a funcției Φ(τ) din (3.25) prin rotația transformării lui Laplace. Ultima operație se face ușor prin metoda integralei de contur folosind relația (3.21).

Dacă funcția Φ(τ) este cunoscută, atunci cu ajutorul formulelor (3.2) și (3.9) poate fi găsită și funcția S(τ) la orice surse de radiație. În unele cazuri funcția S(τ) se exprimă prin Φ(τ) destul de simplu. Ca exemplu ne poate servi cazul când sursele de radiație sunt repartizate în mediu exponențial. După cum s-a arătat mai sus, g(τ) = e-xτ și funcția S(τ) , marcată de noi prin S(τ, x), se dă prin formula (3.16).

O expresie deosebit de simplă pentru funcția S(τ) se obține la repartizarea uniformă a surselor de radiație în mediu, adică g(τ) = 1. Admițând în formula (3.16): x = 0, avem:

(3.26) S(τ, 0) = S(0,0) [1 + ]

Mărimea S(0, 0) care intră în formula (3.26) se exprimă prin funcția A(x). Să admitem în (3.20) x = 0 și în (3.21) z = 0. Atunci din ecuațiile obținute rezultă:

(3.27) S2 (0, 0) [1 – 2 ] = 1

Formule simple pentru funcția S(τ) se pot obține când g(τ) = τn , unde n – numărul întreg.

4. Soluția ecuației omogene

Mai sus s-a arătat, că rezolvarea ecuației neomogene (3.1) oricare ar fi funcția g(τ) se exprimă prin funcția Φ(τ). Acum vom arăta, că prin aceeași funcție Φ(τ) se exprimă rezolvarea ecuației omogene:

(3.28) S(τ) = ( |τ – τ'|) S(τ') d τ'

Din punct de vedere fizic această ecuație corespunde cazului când sursele de energie se află pe o adâncime infinit de mare.

Presupunând că rezolvarea ecuației (3.28) există, vom afla diferențiala ei în funcție de τ. Găsim:

(3.29) S'(τ) = ( |τ – τ'|) S(τ') d τ' + S(0) K(τ)

Comparând ecuațiile (3.29) și (3.10), vedem că

(3.30) S'(τ) = k S(τ) + S(0) Φ(τ)

unde k constantă oarecare. Din (3.30) reiese:

(3.31) S(τ) = S(0) [ekτ + ]

Pentru aflarea constantei k să analizăm ecuația (3.28) când τ = 0. Ținând seama de (3.17) avem

(3.32) S(0) =

Înmulțind (3.30) cu e-xτ , integrând în funcție de τ de la 0 la și luând în seamă (3.14), aflăm:

(3.33) = S(0)

Substituirea lui (3.33) în (3.32) dă:

(3.34) = 1

sau ținând cont de (3.21)

(3.35) 2 = 1

Astfel rezolvarea ecuației omogene (3.28) se exprimă prin funcția Φ(τ)

Cu formula (3.31), în care constanta k este definită de ecuația (3.35).

Notă: Diferite probleme matematice, care sunt legate de studierea ecuațiilor integrale ale teoriei transferului de radiație, sunt amănunțit cercetate de către I.W. Bushridge în „The mathematics of radioactive transfer”. Tot acolo sunt date rezolvările unora dintre aceste ecuații, exprimate prin funcția Φ (τ).

5. Intensitatea radiației emergente

Funcția Φ(τ) prezintă interes nu numai pentru că prin ea se exprimă rezolvanta ecuației integrale (3.1). Nu mai puțin important este și faptul că intensitatea radiației care iese din mediu, în multe cazuri, se exprimă prin aceeași funcție.

Acum vom analiza câteva din aceste cazuri, totuși mai înainte vom obține o importantă formulă generală pentru intensitatea radiației care iese din mediu.

Vom analiza radiația care iese din mediu semiinfinit sub unghiul θ la normală. Notând cos θ = μ, pentru intensitatea acestei radiații avem:

(3.36) I(0, μ) =

Atunci prin S(τ) înțelegem rezolvarea ecuației integrale (3.1) oricare ar fi g(τ), adică oricare ar fi sursele de radiație.

Funcția S(τ) se exprimă prin g(τ) și rezolvanta Γ(τ, τ') cu ajutorul formulei (3.2). Substituind (3.2) în (3.36) obținem:

(3.37) I(0, μ) = [ + ]

De aici în baza formulei (3.12) rezultă:

(3.38) I(0, μ) =

Aceasta este și formula căutată pentru intensitatea radiației. Astfel, pentru aflarea funcției I(0, μ) oricare ar fi sursa de radiație este suficient să știm funcția S(τ, x), definită prin ecuația (3.11).

Totuși, după cum s-a mai spus, în multe cazuri izolate pentru determinarea intensității radiației trebuie să cunoaștem numai funcția S(0, x). Întrucât această funcție se determină prin ecuațiile (3.20) sau (3.21), atunci pentru aflarea I(0, μ) în aceste cazuri nu este necesară cunoașterea funcției Φ(τ).

Să examinăm următoarele cazuri particulare ale așezării surselor de radiații.

1. Funcția g(τ) descrește exponențial în adâncimea optică, adică:

(3.39) g(τ) = e-mτ

În acest caz, folosind formula (3.19), aflăm:

(3.40) I(0, μ) =

2. Să admitem că sursa radiației se află în mediu uniform, adică g(τ) = 1. În acest caz, presupunând în (3.40) m = 0 obținem:

(3.41) I(0, μ) = S(0,0) S(0, )

Substituirea lui S(0, 0) din (3.37) în (3.41) dă:

(3.42) I(0, μ) = S(0, ) [1 – 2 ] –1/2

3. Să presupunem că g(τ) = τ. În baza formulei (3.38) avem:

(3.43) I(0, μ) =

Pentru determinarea integralei (3.43) să folosim ecuația (3.15). Înmulțind această ecuație cu și integrând în funcție de de la 0 la ∞ obținem:

(3.44) x = + S(0, x)

Dar din formulele (3.38) și (3.41) rezultă:

(3.45) x = S(0, 0) S(0, x)

De aceea în loc de (3.44) găsim:

(3.46) x = S(0, x) [ S(0, 0) + ]

Înmulțim această relație cu și aflăm integrala de la a la b. Folosind formula (3.22) și ecuația (3.20) când x = 0, obținem:

(3.47) = S2 (0, 0)

Înlocuim în (3.46) x cu 1/μ și substituind (3.47), găsim în sfârșit:

(3.48) I(0, μ) = S(0, 0) S(0, ) [μ + S(0, 0) ]

Analog, folosind formula (3.38) și ecuația (3.15) se poate găsi intensitatea radiației I(0, μ) și în cazul când g(τ) = τn , oricare ar fi n întreg.

4. Vom considera că sursele radiației sunt așezate pe adâncimea infinit mare. În acest caz funcția S(τ), determinată de ecuația omogenă (3.28), este legată de funcția Φ(τ) prin raportul (3.30). Înmulțind acest raport cu e-τ/μ și integrând în funcție de Φ(τ) de la 0 la găsim:

(3.49) I(0, μ) (1- k μ) = S(0) [1+ ]

De aici, folosind formula (3.14) rezultă:

(3.50) I(0, μ) = S(0)

Vedem, că în toate cazurile analizate intensitatea radiației I(0, μ) se exprimă prin funcția S(0, x) se exprimă prin funcția S(0, x) cu formule simple.

6. Aplicații la fotosferele stelare

Aplicăm metoda expusă mai sus la rezolvarea problemelor transferului prin fotosfera stelei. După cum știm, la presupunerea independenței coeficientului de absorbție de frecvență, problema indicată se reduce la ecuația integrală a lui Milne:

(3.51) S(τ) =

Vedem că această ecuație reprezintă un caz particular al ecuației omogene (3.28) când

(3.52) K(τ) = Ei τ =

Utilizarea metodei expuse trebuie să înceapă de la constituirea ecuației pentru definirea funcției S(0, x). Pentru simplificarea notării înlocuim x cu , S(0, x) = φ (μ). Atunci ecuația (3.20) pentru cazul dat căpătă forma:

(3.53) φ (μ) = 1 + φ (μ)

Ecuația (3.53) a fost obținută de V.A. Ambartumian cu alt procedeu. Pentru rezolvarea numerică a acestei ecuații au fost alcătuite tabele amănunțite ale funcției φ (μ). Această funcție crește monoton de la valoarea φ (μ) = 1 până la valoarea φ (μ) = 2,9. A fost obținută și expresia lui φ (μ).

Dacă funcția φ (μ) este cunoscută, atunci poate fi găsită și funcția Φ(τ). Pentru determinarea ei noi avem ecuația:

(3.54)

care reiese din (3.25). Transformarea lui Laplace dă

(3.55)

Formula (3.55) a fost obținută prin procedeul arătat în lucrarea lui I.N. Minin. Tot acolo este dat și tabelul valorilor funcției Φ(τ).

Valoarea funcției Φ(τ) ne permite să obținem atât rezolvarea ecuației omogene (3.51) ca și rezolvarea ecuației neomogene. Pe noi ne interesează numai rezolvarea ecuației (3.51). Această soluție se determină cu formula (3.31). Din ecuația (3.35) rezultă că în acest caz k = 0. De aceea avem

(3.56) S(τ) = S(0) [1 + ]

Formula (3.56) dă și soluția exactă căutată a ecuației integrale a lui Milne.

De asemenea putem obține legea exactă a distribuției luminozității pe discul stelar. Luminozitatea pe distanța unghiulară τ de la centrul se află din formula (2.35). Înlocuind în ea cos θ = μ, ajungem la formula (3.36). Mai sus s-a arătat că intensitatea radiației I(0, μ) când sursele se află la infinit se determină cu formula (3.50). Dar în cazul dat, k = 0 și S(0, 1/μ) = φ(μ). De aceea luminozitatea pe distanța unghiulară arc cos μ de la centrul discului va fi egală cu:

(3.57) I(0, μ) = S(0) φ(μ)

Pentru raportul luminozității în centrul discului la luminozitatea de pe margine găsim valoarea: φ(1)/ φ(0) = 2,9 deja amintită în paragraful precedent. Mărimea S(0) care intră în formulele (3.56) și (3.57) se poate exprima prin fluxul radiației prin fotosferă πF. Avem:

(3.58) F = 2 = 2S(0) α1

unde este folosită notația:

(3.59) αn =

Mărimile αn , care reprezintă momentele funcției (μ) pot fi aflate din ecuația (3.53). Integrând în funcție de μ de la 0 la 1, obținem:

(3.60) =

de unde rezultă că = 2 (3.61)

Înmulțind (3.53) cu μ2 dμ și integrând de la 0 la 1 analog găsim:

(3.62) α1 =

Substituția (3.62) în (3.58) dă F = S(0) (3.63).

Această mărime exprimă dependența exactă între mărimile F și S(0).

Substituind (3.63) în (3.56) rezultă S(τ) = F [1 + ] (3.64).

Comparația (3.64) cu (2.50) dă q(τ) = [1 + ] – τ (3.65)

Dacă substituim în (3.65) expresia (3.55) ajungem la formula pentru q(τ), obținem pentru prima dată cu alt procedeu în lucrarea lui Marc.

CAPITOLUL V

ECHILIBRUL TERMODINAMIC LOCAL

1. Câmpul de radiație în cazul echilibrului termodinamic

Cum vom vedea mai departe, în teoria fotosferelor se folosesc formulele care descriu starea echilibrului termodinamic. De aceea trebuie să prezentăm câteva din aceste formule. Un interes deosebit îl reprezintă pentru noi probleme câmpului de radiație în cazul echilibrului termodinamic. După cum se știe, echilibrul termodinamic se realizează într-o cavitate atunci când pereții acesteia sunt încălziți până la o anumită temperatură constantă T. Starea de echilibru termodinamic se caracterizează prin faptul că fiecare proces este echilibrat de un proces contrar lui („principiul echilibrului detaliat”). De aici, în particular, reiese că intensitatea radiației în cazul echilibrului termodinamic nu depinde nici de poziție, nici de direcție. Dacă n-ar fi așa, atunci trecerea energiei dintr-un loc în altul s-ar fi realizat în anumite direcții.

Se observă că intensitatea radiației în cazul echilibrului termodinamic nu depinde de proprietățile individuale ale cavității. Pentru lămurirea acestui lucru este suficient să admite, că avem două cavități cu aceeași temperatură, dar cu valori diferite ale intensității radiației cu frecvența . Atunci prin unirea acestor cavități ar fi început trecerea energiei dintr-o cavitate în alta în contradicție cu al doilea principiu al termodinamicii.

Astfel, intensitatea radiației în cazul echilibrului termodinamic depinde numai de frecvență și temperatură. Vom nota această intensitate cu Bν (T).

Să aplicăm în cazul de studiat ecuația de transfer al radiației (1.11). Întrucât în cazul dat avem:

= 0

atunci din (1.11) rezultă:

= Bν (T) (4.1)

Cu ajutorul formulei (4.1) se exprimă legea lui Kirkoff: în cazul echilibrului termodinamic raportul coeficientului radiației la coeficientul de absorbție este egal cu intensitatea radiației, care este funcție universală de frecvență și temperatură.

Expresia intensității radiației în cazul echilibrului termodinamic a fost găsită prima dată de Planck. Formula lui Planck este:

(4.2) Bν (T) =

unde h – constanta lui Planck și k – constanta lui Boltzmann.

După cum s-a mai spus, intensitatea radiației în cazul echilibrului termodinamic nu depinde de direcție, adică radiația este izotropică. În acest caz, după cum reiese din formula (1.3) densitatea radiației este egală cu:

(4.3) ρν (T) = Bν (T)

Rezultă în cazul echilibrului termodinamic pentru densitatea radiației ρν(T) obținem:

(4.4) ρν (T) =

Fluxul radiației în cazul echilibrului termodinamic, se pare, este egal cu zero. Totuși fluxul radiației care iese din cavitatea amintită printr-o mică fantă, este diferit de zero. Pentru aflarea acestui flux trebuie să apelăm la formula (1.4) și să ținem seama, că intensitatea care iese din cavitatea radiației nu depinde de direcție, iar radiația care intră în cavitate lipsește. Ca rezultat pentru fluxul radiației Hν (T), în acest caz, obținem

(4.5) Hν (T) = π Bν (T)

Să observăm, că dacă radiația intră în cavitate printr-o mică fantă, atunci practic este absorbită în totalitate. Se poate spune că în acest caz avem un corp total negru. De aceea mărimea Bν (T) se numește deseori intensitatea radiației a corpului total negru.

Integrând expresia (4.4) pe toate frecvențele obținem densitatea totală a radiației în cazul echilibrului termodinamic

(4.6) ρ (T) = =

sau ρ (T) = aT4 (4.7),

unde a = (4.8)

Formula (4.7) exprimă legea Ștefan – Boltzmann. Mărimea a se numește constanta lui Ștefan.

Integrând pe toate frecvențele expresia (4.2) găsim intensitatea totală a radiației corpului absolut negru.

(4.9) B (T) = T4

Din (4.5) și (4.9) reiese că fluxul total al radiației care iese din corpul absolut negru este egal cu:

(4.10) H(T)= σT4

unde σ = (4.11)

2. Ipoteza echilibrului termodinamic local a fotosferei stelare

Câmpul de radiație în fotosferă se deosebește mult de câmpul de radiație în cazul echilibrului termodinamic. Aceasta se observă din faptul că intensitatea radiației în fotosferă depinde de adâncime și de direcție. Rezultă de aici că în fotosferă nu este echilibru termodinamic în întregime.

Chiar condițiile în volumul elementar al fotosferei sunt diferite de condițiile echilibrului termodinamic. Totuși radiația absorbită de volumul elementar îl transformă în mare măsură. După cum se știe din termodinamică o asemenea transformare merge în direcția stabilirii echilibrului termodinamic. Din această cauză putem presupune că în fiecare loc al fotosferei coeficientul radiației εν are același raport de proporționalitate cu coeficientul absorbției αν ca și în cazul echilibrului termodinamic la o oarecare temperatură T caracteristică pentru poziția dată. Cu toate acestea temperatura se determină din următoarea condiție: cantitatea totală de energie emisă de volumul elementar este egală cu cantitatea totală de energie absorbită de acest volum, adică din condiția echilibrului radiant.

Ipoteza prezentată se numește ipoteza echilibrului termodinamic local al fotosferei stelare. Fără îndoială, el se realizează cu mare exactitate în straturile adânci ale fotosferei. Însă problema despre în ce măsură această ipoteză se realizează în straturile superficiale ale stelei este destul de dificilă pentru examinarea teoretică. Unele concluzii asupra acestei probleme pot rezulta din comparația teoriei cu observațiile.

Ipoteza echilibrului termodinamic local înseamnă că în fotosfera stelară raportul dintre coeficientul radiației și coeficientul absorbției se află din formulele (4.1) și (4.2) adică:

(4.12) =

Adaptarea ipotezei echilibrului termodinamic local simplifică puternic teoria fotosferelor. Fără o astfel de ipoteză calcularea câmpului de radiație în fotosfere pentru diferite frecvențe ar fi fost peste măsură de dificilă.

Ca și mai înainte, vom admite acum că coeficientul de absorbție nu depinde de frecvență. În acest caz se observă dependența temperaturii de adâncimea optică și calculul câmpului de radiație în fotosferă pentru diferite frecvențe se face ușor.

Dacă coeficientul de absorbție nu depinde de frecvență, atunci formula (4.12) capătă forma:

(4.13) εν = α

Integrând (4.13) pe toate frecvențele, obținem:

(4.14) ε = α ,

unde este considerat (4.9). Vom nota ε = aS. Mărimea S a fost determinată în cazul teoriei echilibrului radiației ca funcție de adâncimea optică σ. Rezultă:

(4.15) S() =

Această formulă ne arată relația temperaturii de adâncime optică.

În aproximarea lui Eddington mărimea S(σ) se determină din formula (2.33). În acest caz obținem:

(4.16) = ]

Luând pentru S(τ) expresia exactă, pe care o cunoaștem din formula (2.50) găsim:

(4.17) =

Mărimea πF care intră în formulele (4.16) și (4.17) este fluxul total al radiației în fotosferă. Poate fi prezentat ca fluxul total al radiației al corpului absolut negru de temperatură oarecare Te , adică bazându-ne pe formula (4.10)

(4.18) πF = σ , unde σ = ac/4

Temperatura Te se numește temperatura efectivă stelară. Ea este legată de luminozitatea stelei L și de raza ei R prin relația:

(4.19) L = 4πR2 σTe 4

Substituind (4.18) în formula (4.16) și (4.17) dă:

(4.20) T4 = Te 4 ( +)

(4.21) T4 = Te 4

Considerând în formulele obținute σ = 0, putem determina temperatura superficială Tν . Cu aproximația lui Eddington găsim:

(4.22) =()1/4 Te = 0,811 Te

Leg[tura precisă între Tν și Te este astfel:

(4.23) Tν = Te = 0,841 Te

Presupunând în aceleași formule T = , găsim adâncimea optică, care corespunde temperaturii efective a stelei. Ea se obține astfel: σ = 2\3 din formula (4.20) si

din formula (4.21)

3. Radiația emergentă din fotosferă

Pentru a determina câmpul de radiație în fotosferă pentru diferite frecvențe, trebuie să folosim ecuația transferului de radiație:

(4.24) cos θ = – αν Iν + εν

Presupunând aici:

(4.25) =

și introducând adâncimea optică în fotosferă la frecvența ν:

(4.26) =

În loc de (4.24) obținem:

(4.27) cos θ

= Iν ( ,θ) – Sν ()

Integrând ecuația (4.27) se poate găsi intensitatea radiației pe diferite adâncimi optice. Pentru noi, interesul cel mai mare îl reprezintă intensitatea radiației emergente din stea, adică mărimea Iν (0 ,). Această mărime este egală cu:

(4.28) Iν (0 ,θ) =

Formula (4.28) este urmare a ecuației transferului de radiație. Să ne folosim acum de presupunerea echilibrului termodinamic local. Comparând între ele formulele (4.25) și (4.1), vedem că în această presupunere

Sν ( ) = Bν (T) (4.20), unde Bν (T) – intensitatea radiației a corpului absolut negru, care este dată de formula (4.2). De aceea în cazul echilibrului termodinamic local în loc de (4.28) obținem:

(4.30) Iν (0 ,θ) =

sau

(4.31) Iν (0 ,θ) =

Formula (4.31) ne dă intensitatea radiației de frecvență ν emergentă din stea sub unghiul o de la raza vectoare.

Mărimea Iν (0 ,θ) poate fi aflată din observațiile Soarelui și variabilele eclipsale. Din observarea altor stele se obține doar mărimea proporțională cu fluxul radiației Hν de pe suprafața stelei. Mai precis vorbind, aceste observații dau iluminarea stelei egală cu:

(4.32) ξν =

unde Lν – luminozitatea stelei de frecvență ν și r – distanța de la stea până la observator.

(4.33) Dar Lν =

unde R – raza stelei. Rezultă de aici:

(4.34) ξν =

Astfel, fluxul radiației Hν caracterizează repartiția relativă a energiei în spectrul stelei.

Fluxul de radiație Hν , se determină din formula:

Hν =

care rezultă din (1. 5). Substituind în (4.35) expresia (4.28) și modificând ordinea integrării, găsim:

(4.36) Hν =

unde E2 – a doua funcție integrală demonstrativă [comparați cu formula (2.48)].

Presupunând echilibrul termodinamic local în fotosferă, din (4.36) rezultă:

(4.37) Hν =

sau

(4.38) Hν =

Formulele (4.31) și (4.38) sunt adevărate oricum ar depinde coeficientul de absorbție de frecvență. Totuși pentru a putea să ne folosim de aceste relații, este necesar de știut legătura între mărimile și . În continuare ne vom ocupa de stabilirea unei astfel de relații oricare ar fi coeficientul de absorbție αν . Acum ca și înainte, să admitem că, coeficientul absorbției nu depinde de frecvență. În acest caz αν = α , iar legătura între T și α se este dată de formula (4.21). (sau (4.20)).

În cazul prezentat în locul formulelor (4.31) și (4.38) obținem:

(4.39) Iν (0 ,θ) =

și

(4. 40) Hν =

unde este folosită formula (4.20).

Calculul arată că repartiția energiei în spectrul continuu al stelei care este dată de formula (4.40) nu se deosebește mult de repartiția Planck corespunzătoare, adică egală cu temperatura efectivă a stelei,

(4.41) Hν

Totuși repartiția observată a energiei în spectrele stelare nu este aceeași cu repartiția teoretică, dată de formula (4.40). Pe lângă aceasta, pentru stelele de clase spectrale diferite divergențele între observații și teorie sunt diferite. De pildă, diferențele nu sunt prea mari pentru partea vizibilă a spectrului Soarelui dar sunt foarte mari pentru partea vizibilă a spectrelor din clasa A și B. Se explică aceasta prin faptul că formula (4.40) este dedusă având în vedere presupunerea independenței coeficientului de absorbție de frecvență. Se observă că influența dependenței coeficientului de absorbție de frecvență la distribuția energiei în spectrul stelei este considerabilă.

4. Dependența temperaturii și densității de adâncime

În paragrafele anterioare a fost găsită dependența temperaturii de adâncimea optică a fotosferei. Aici au fost făcute presupuneri despre echilibrul radiant și echilibrul termodinamic local. Acum vom găsi dependența temperaturii și densității de adâncimea geometrică a fotosferei. Pentru această trebuie să mai facem o presupunere – a echilibrului mecanic al fotosferei. Este evident că justețea acestei presupuneri pentru marea majoritate a stelelor nu creează dubii (în afară de stele de tipul Wolf-Raye pe care nu le vom examina).

Vom socoti că fiecare unitate de volum al fotosferei se află în echilibru sub acțiunea a două forțe: forța gravitației și a presiunii gazoase (presiunea luminii o lăsăm deocamdată deoparte). Considerând egale aceste forțe obținem ecuația echilibrului hidrostatic.

(4.42) dp = – gρdr

unde p – presiunea, ρ – densitatea și g – accelerația forței gravitaționale în fotosferă.

Gazul din fotosferă poate fi considerat ideal. De aceea la ecuația (4.42) adăugăm ecuația de stare a gazului ideal.

(4.43) p =

unde μ – masa moleculară medie și R* – constanta gazoasă.

Socotind că μ nu se modifică în fotosferă, din (4.42) și (4.43) rezultă:

(4.44) = – gρdr

Ne folosim și de relația obținută anterior între temperatura T și adâncimea optică σ. Relația aproximativă între aceste mărimi este dată de formula (4.20), din care reiese:

(4.45) dT4 = –

Aici α este coeficientul mediului de absorbție.

Din ultimele două ecuații se pot afla și T. Să admitem α = și vom presupune la început că = const. Atunci din ecuațiile (4.44) și (4.45) obținem:

(4.46) d(T) =

sau, integrând

(4.47) =

unde Tν – temperatura superficială a stelei.

În straturile adânci ale fotosferei, unde T4 >>, densitatea pare a fi legată de temperatură prin relația:

(4.48) =

Substituind (4.48) în (4.44) găsim formula următoare pentru gradientul temperaturii:

(4.49) = –

Ecuațiile (4.44) și (4.45) pot fi ușor rezolvate și la presupuneri mai generale relative la α. Să admitem de exemplu:

(4.50) α

unde s – un parametru oarecare. Atunci în locul lui (4.48) și (4.49) obținem:

(4.51) ρ

și

(4.52) = –

Aplicăm formulele obținute mai sus la fotosfera Soarelui. Presupunând în formula (4.49) g = 2,7 · 104 , μ = 1, R* = 8,3 · 107 aflăm: dT/dr = 10-4 grad/sm. Prin urmare, la adâncirea în fotosfera Soarelui cu 1 km temperatura crește cu 10 grade.

Din formulele obținute se poate găsi mărimea, adică adâncimea geometrică a stratului adâncimii optice unitare. Substituind în formula = -ρdr expresia (4.48) găsim:

(4.53) = –

Dacă presupunem aici că T = Te , atunci mărimea va caracteriza adâncimea fotosferei. În cazul Soarelui adâncimea fotosferei este de ordinul 100 km. Întrucât raza Soarelui este egală cu 700000km, atunci suntem convinși că grosimea fotosferei este mult mai mică decât raza.

5. Presiunea luminoasă de radiație în fotosferă

La examinarea echilibrului mecanic al fotosferei nu am ținut cont de presiunea luminoasă. Să apreciem acum rolul presiunii luminoase în fotosferă, găsind raportul dintre presiunea luminoasă și cea gazoasă. Pentru aceasta vom obține la început formule generale, care determină puterea presiunii luminoase. După cum se cunoaște, fiecare foton posedă un impuls egal hν/c. Dacă fotonul este absorbit de atom, atunci atomul obține impulsul hν/c în direcția de mișcare a fotonului. Prin aceasta se și provoacă presiunea de radiație la atomi.

Să luăm un element de volum cu suprafața bazei dσ și adâncimea dr. Să admitem că asupra volumului cade radiația din toate părțile și să aflăm puterea presiunii luminoase care acționează asupra volumului pe direcția normalei spre bază. Să analizăm mai întâi radiația, care cade pe volum sub unghiul spre normală în interiorul unghiului solid în intervalul de frecvențe de la ν la ν +dν în intervalul de timp dt. Dacă intensitatea radiației este Iν , atunci cantitatea de energie care cade pe volum va fi egală cu Iν dσ cos dω dν dt. Însă nu toată această energie produce presiunea pe volum ci numai o parte a ei, care este absorbită de obiect. Întrucât drumul fotonilor în volum este egal cu dr sec , atunci cantitatea de energie absorbită de obiect este egală cu αν Iν dσ dr dω dν dt. Pentru a găsi cantitatea de mișcare pe care o primește obiectul pe direcția normalei spre bază trebuie să înmulțim această energie cu

. Prin urmare, impulsul aflat este egal cu αν Iν dσ dr dω dν dt.

Integrând această expresie pe toate frecvențele și în toate direcțiile, obținem impulsul pe care îl capătă volumul în timp dt. Ea este egală cu:

d

dr dt

sau

(4.54) d

dr dt

Indicăm prin:

(4.55) dσ dr dt

impulsul puterii presiunii luminoase, care acționează asupra volumului elementar în timpul dt. Din legea de bază a mecanicii reiese că ultimele două expresii trebuie să fie egale. De aceea obținem:

(4.56) =

Cu această formulă se cunoaște puterea presiunii luminoase care acționează pe unitate de volum.

Puterea care acționează asupra volumului elementar poate fi prezentată ca diversitatea presiunilor pe bazele volumului. Notând prin pr presiunea luminoasă, putem nota această putere prin – dprdσdt (4.57).

Din expresiile (4.54) și (4.57) găsim

(4.58)

Să aplicăm ultima expresie la fotosfera stelară. Presupunând că, coeficientul de absorbție nu depinde de frecvență, în locul lui (4.58= obținem

(4.59) dpr = –

sau folosind (4.18)

(4.60) dpr = –

Comparând (4.60) cu (4.45) rezultă

(4.61) =

Astfel, în cazul analizat pentru presiunea luminoasă se obține aceeași expresie ca și pentru echilibrul termodinamic.

Mai sus am presupus că fotosfera se află în echilibru sub acțiunea gravitației și presiunii gazoase și de aceea în ecuația (4.42) prin p se înțelege numai presiunea gazoasă. Acum vom înțelege prin p suma presiunii gazoase pg și a presiunii luminoase pr. Atunci ecuația (4.42) se va scrie:

(4.62) d(pg+pr) = -gρdr

Folosind ecuațiile (4.62) și (4.45) și expresia (4.43) pentru presiunea gazoasă și expresia (4.61) pentru presiunea luminoasă, se obține, ca și mai sus repartiția temperaturii și densității în fotosferă. Totuși nu vom face asta, ci vom găsi numai raportul presiunii luminoase pr la presiunea totală p = pg+pr . Împărțind (4.59) la (4.62) și α = χρ, obținem:

(4.63)

Fluxul total al radiației H este constant în fotosferă. Admitem că și χ = const. În acest caz integrând avem:

(4.64) pr – =

unde – presiunea luminoasă la suprafața stelei.

De aici pentru straturi adânci ale fotosferei rezultă:

(4.65)

Pentru a calcula după formula (4.65) trebuie cunoscută mărimea χ (adică coeficientul mediu de absorbție, calculat la unitate de masă).

Calculele arată că pentru stele de tip Soare mărimea pr/p – de ordinul câtorva miimi, iar pentru stele de clase spectrale mai târzii ca importanță este și mai mică. Prin urmare pentru aceste stele presiunea luminoasă poate fi neglijată în comparație cu presiunea gazoasă. Totuși rolul presiunii luminoase crește odată cu mărimea temperaturii efective a stelei și pentru supergiganții fierbinți relația presiunii luminoase cu cea gazoasă este de ordinul unu.