Inele Si Corpuri

INTRODUCERE

Corpurile joacă in rol important în rezolvarea problemelor legate de mulțimi înzestrate cu două operații binare.

Exemple concrete de mulțimi înzestrate cu două operații se întâlnesc de către cei care vor sa studieze matematica încă din primele clase de școală. Ei discută despre suma și produsul a două numere naturale deși definițiile mai concrete ale operațiilor de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor naturale nu le pot înțelege încă. În liceu sunt învățați să definească corect operațiile de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor întregi , raționale, reale, complexe, în mulțimea polinoamelor cu o nedeterminată, în mulțimea matricilor pătratice etc.

Asemenea exemple concrete de mulțimi înzestrate cu două operații binare , pot fi studiate dintr-un punct de vedere mai larg , prin introducerea noțiunilor de inel și corp.

În lucrarea de față am încercat să fac o trecere în revistă a celor mai cunoscute noțiuni despre inele și corpuri, realizând o prezentare teoretică a inelelor și corpurilor, cât și demonstrații ale teoremelor cu unele exemple practice.

În primul capitol al lucrării sunt prezentate principalele noțiuni, definiții, teoreme și exemple de inele, iar capitolul doi face același lucru legat de corpuri algebrice .

CAP. I. INELE

Definiția inelului. Exemple

1.1.1. Definiție : Fie A o mulțime înzestrată cu doua operații binare notate prin simbolurile + și și numite operație de adunare respectiv de înmulțire. Tripletul (A,+, ) se numește inel daca satisface condițiile ( axiomele) :

(A,+) este grup abelian (comutativ) ;

(A, ) este semigrup ;

Pentru orice a, b, c A ,

a (b + c) = ab + ac

(a + b) c = ac + bc ,

adică operația de înmulțire este distributiva, atât la stânga cât și la dreapta, fața de operația de adunare.

Explicitând proprietățile 1, 2 si 3, (A, +, ) este inel dacă:

(x + y) + z = x + (y + z) , () x, y, z A.

0 A a. i. 0 + x = x + 0 = x , () xA

() xA , -x A a.i. x + (- x ) = (- x) + x = 0

x(yz) = (xy)z , () x, y, z A

Observăm că A, deoarece cel puțin elementul neutru față de operația de adunare trebuie să aparțină lui A, adică notând acest element prin 0 , neapărat 0A . Elementul 0 se numește elementul zero al inelului, prin analogie cu numărul întreg zero, care joacă rolul de element neutru față de operația de adunare în Z.

Dacă A nu conține alte elemente, diferite de elementul zero, atunci inelul (A,+, ) se numește inel nul . Mai mult, se observă că pentru orice mulțime formată dintr-un singur element există o singură structură de inel, inelul nul.

Exemple de inele:

(Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comutative și unitare.

Menționăm că mulțimea numerelor naturale , împreună cu operațiile de adunare și înmulțire , definite în modul cunoscut în această mulțime , nu formează inel, întrucât (N, +) nu este grup.

(Z[i],+, ) numit inelul întregilor lui Gauss,

unde Z[i] = {z/z = a + bi; a, b Z}, iar operațiile + și sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifică ușor ca (Z[i], +, ) este inel comutativ unitar.

(Zn ,+, ) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Exemple concrete de inele:

1. Presupunând cunoscută construcția numerelor naturale N, precum și proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire cu numere naturale, putem construi inelul numerelor întregi. Pentru aceasta să considerăm produsul cartezian și definim în această mulțime o relație binară ≈ astfel

Relația ≈ este o relație în N x N, deci putem construi mulțimea cât Z = N x N/≈ , adică , unde

Definind în Z operațiile binare + și prin

se constată că (Z, +, ) este un inel unitar și comutativ , având ca element zero clasa iar ca element unitate clasa . Pentru simplificarea scrierii se notează = 1 și = 1

Să arătăm că inelul (Z, +, ) nu admite divizori ai lui zero nebanali. Pentru aceasta, fie și două numere întregi pentru care ab = 0 , adică

deci,

de unde obținem

Dacă m = n sau p = q , atunci sau

Dacă m > n ( > fiind relația de ordine definită în modul cunoscut în N) , atunci există l N , l 0 , astfel încât m = n + l , deci

(n + 1)p + nq = (n + 1)q + np

adică

np + lp + nq = nq + lq + np

de unde , aplicând legile comutativității și simplificării valabile pentru operațiile din N , primim p = q , prin urmare .

În cazul m < n se obține b = 0 , iar în cazul p < q sau p > q se obține a = 0 .

2. Să notăm prin Mn mulțimea tuturor matricilor pătratice de ordin n (n N)

având elementele dintr-un inel (A,+, ) . Definind operațiile de adunare și înmulțire a matricilor în modul cunoscut, adică

(i, j= 1,2, …,n)

tripletul (Mn, +, ) devine inel. Elementul zero al acestui inel este matricea care are toate elementele egale cu elementul 0 A . Dacă inelul posedă element unitate, atunci și inelul (Mn, +, ) , posedă element unitate. De asemenea, se știe că operația de înmulțire a matricilor este, în general, necomutativă , deci inelul (Mn, +, ), va fi necomutativ. În sfârșit, se constată că (Mn, +, ) , admite divizori ai lui zero. Într-adevăr, dacă considerăm de exemplu inelul matricilor cu elemente din Z, atunci

deși fiecare dintre matricile ce se înmulțesc sunt diferite de matricea zero.

3. Fie (A, +, ) un inel și M o mulțime, M ≠ Ø . Să notăm prin AM mulțimea tuturor funcțiilor de la M la A. Pentru fiecare f, g AM să definim suma și produsul acestor două funcții astfel:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

(f g) (x) = f(x) g(x)

Se observă imediat că f + g și fg sunt funcții de la M la A , adică f + g , f g AM. Apoi se constată că (AM, +, ) formează un inel pentru care elementul zero este funcția z : M A definită prin z(x) = 0 (xM) . Acest inel este cu element unitate dacă (A, +, ) posedă element de unitate . Într-adevăr , dacă 1 A este elementul unitate în inelul (A, +, ) , atunci funcția ε : M A, definită prin ε(x) = 1 va fi element unitate în inelul (AM, +, ) . De asemenea , dacă (A, +, ) este comutativ , atunci și inelul (AM, +, ) va fi comutativ.

În sfârșit , se constată că acest inel este cu divizori ai lui zero. Pentru a dovedi acest lucru să considerăm , de exemplu , în inelul (ZZ, +, ) funcțiile f, g : Z Z definite prin

dacă x ≤ 0

daca x > 0

în rest

Observăm că pentru orice x Z avem (fg) (x) = f(x) g(x) = 0 , adică fg = z , deși atât f cât și g sunt diferite de elementul zero al inelului (ZZ, +, ) .

Proprietăți de bază ale inelelor

Teorema 1.2.1. Pentru fiecare a A , a 0 = 0 a = 0 .

Demonstrație. Pentru orice a A , a 0 = a(0 + 0) = a 0 + a 0 , deci simplificând în grupul aditiv (A, + ) prin a 0 , obținem a 0 = 0 . Similar se demonstrează că 0 a = 0 .

Teorema 1.2.2. Pentru orice a, b, c A ,

a(b – c) = ab – ac ;

(a – b)c = ac – bc ,

adică operația de înmulțire este distributivă față de operația de scădere , atât la stânga cât și la dreapta .

Demonstrație. În grupul (A, +) operația de scădere se definește prin formula a – b = a + ( – b) , deci pentru orice a, b, c A , (b – c) + c = b , adică a[(b – c) + c] = ab deci a(b – c) + ac = ab , de unde primim a(b – c) = ab – ac . A doua egalitate se demonstrează similar .

Teorema 1.2.3. Pentru orice a, b A, ( – a)b = a(- b) = – ab și de asemenea ( – a)( – b) = ab .

Demonstrație. Dacă a, b A , atunci ab + ( – a)b = [a + ( -a)]b = 0b = 0 și la fel, ab + a( – b) = a[b + ( – b)] = 0 , deci ( – a)b = a( – b) = – ab .

Apoi , ( – a) ( – b) = – [a( – b)] = ab .

Inelul (A, +, ) se numește inel cu element unitate (sau inel unitar) , dacă satisface condiția :

Există elementul 1 A , astfel încât pentru orice a A, a 1 = =1 a = a.

Dacă inelul (A, +, ) este unitar , atunci are sens să vorbim despre elementele inversabile (simetrizabile) ale acestui inel. Anume, elementul a A se numește inversabil dacă există a – 1 A cu proprietatea aa – 1 = a – 1 a = 1 .

Exemple: Inelele (Z ,+ , ) , (Q , + , ) , (R ,+ , ) , (C , + , ) , (Z[i], + , ) sunt domenii de integritate . Dacă A este un inel unitar , elementele lui simetrizabile în raport cu înmulțirea se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului..

Inversul sau simetricul lui a ,dacă există , se notează cu a .

Teorema 1.2.4. Mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar (A, +, ) formează grup în raport cu operația de înmulțire indusă.

Demonstrație. Fie S = {a A ‌ a – 1 A : aa – 1 = a – 1 a = 1 } și să arătăm că (S, ) satisface axiomele grupului :

Dacă a, b S , atunci a – 1 , b – 1 A , astfel încât aa – 1 = a – 1 a = 1 și bb –1 = b – 1 b = 1, deci

(ab) (b – 1 a – 1 ) = a(bb – 1 )a – 1 = a 1 a – 1 = aa – 1 =1 ,

(b – 1 a –1 )(ab) = b –1 (a –1 a)b = b –1 1 b = b –1 b = 1,

adică ab S .

Asociativitatea operației induse este evidentă , ea se transmite de la inelul (A, +, ) .

Deoarece 11 = 1, obținem 1 S și astfel acesta va juca rol de element neutru și pentru elementele din S.

În sfârșit , dacă a S, atunci există a –1 A astfel încât aa –1 = a –1 a = 1, deci întrucât proprietatea de „a fi simetric” este reciprocă, obținem că a –1 S.

Inelul (A, +, ) se numește comutativ dacă satisface condiția:

Pentru orice a, b A, ab = ba .

Fie (A, +, ) un inel. Elementul a A se numește divizor al lui zero , dacă există b A, b 0 , astfel încât ab = ba = 0

Observăm imediat că , pentru orice inel (A, +, ) nenul , elementul 0 este în mod banal divizor al lui zero. Prezintă interes faptul dacă un inel admite și divizori ai lui zero nebanali.

Un inel care nu admite divizori ai lui zero nebanali se va numi inel fără divizori ai lui zero.

Inelul (A, +, ) se numește domeniu de integritate dacă este comutativ , cu element unitate și fără divizori ai lui zero .

Exemple:

(1) (Z, +, ) este un domeniu de integritate deoarece

– este comutativ

este unitar, – conține pe 1

nu are divizori ai lui zero

(Zn , +, )

Teorema 1.2.5. Dacă (A, +, ) este inel și a A nu este divizor al lui zero, atunci ax = ay sau xa = ya implică x = y. În particular, intr-un domeniu de integritate este valabilă legea simplificării .

Demonstrație. Dacă ax = ay , atunci ax – ay = 0, deci a(x – y) = 0, prin urmare x – y = 0 și astfel x = y .

Teorema 1.2.6. Elementele inversabile dintr-un inel unitar nu sunt divizori ai lui zero .

Demonstrație. Să presupunem că elementul a A este inversabil, adică există a –1 A cu proprietatea aa –1 = a –1 a = 1 . Dacă a a ar fi divizor al lui zero , atunci există b a , b 0 , astfel încât ab = 0, deci a –1 (ab) = (a –1 a)b = b = 0, ceea ce contrazice faptul că b 0.

Din această teorie rezultă că un inel unitar este nenul , deoarece conține cel puțin elementele 0 și 1 , 1 0.

1.3. Subinele

Definiție. Fie (A,+, ) un inel și SA, S . Considerând operațiile induse în S din A, tripletul (S,+, ) se numește subinel al inelului (A,+, ) dacă la rândul sau formează inel.

Teorema 1.3.1. Dacă (A,+, ) este inel și SA, S , atunci S va fi subinel dacă și numai dacă se satisfac condițiile:

Pentru orice a, b S, a + b S (teorema de închidere a sumei);

Pentru orice a S, -a S ;

Pentru orice a, b S, a b S (condiția de închidere a produsului);

Demonstrație. Aceste condiții sunt evident necesare, deoarece coincid cu o parte dintre axiomele ce definesc inelul . Observam insă ca ele sunt și suficiente . Într-adevăr condiția (1) ne asigura închiderea parte din axiomele ce definesc inelul operației de adunare in S, legile asociativității și comutativității păstrându-se evident și pentru operația de adunare indusă, condiția (2) ne asigură existența opusului pentru fiecare element din S . Apoi, observăm că deoarece S , exista a S  astfel încât , -a S , deci prin condiția (1) a + (-a) = 0 S . Proprietatea de asociativitate a operației de înmulțire și legile distributivității ale acesteia mește subinel al inelului (A,+, ) dacă la rândul sau formează inel.

Teorema 1.3.1. Dacă (A,+, ) este inel și SA, S , atunci S va fi subinel dacă și numai dacă se satisfac condițiile:

Pentru orice a, b S, a + b S (teorema de închidere a sumei);

Pentru orice a S, -a S ;

Pentru orice a, b S, a b S (condiția de închidere a produsului);

Demonstrație. Aceste condiții sunt evident necesare, deoarece coincid cu o parte dintre axiomele ce definesc inelul . Observam insă ca ele sunt și suficiente . Într-adevăr condiția (1) ne asigura închiderea parte din axiomele ce definesc inelul operației de adunare in S, legile asociativității și comutativității păstrându-se evident și pentru operația de adunare indusă, condiția (2) ne asigură existența opusului pentru fiecare element din S . Apoi, observăm că deoarece S , exista a S  astfel încât , -a S , deci prin condiția (1) a + (-a) = 0 S . Proprietatea de asociativitate a operației de înmulțire și legile distributivității ale acesteia fața de adunare se transmit de la întregul inel A.

Teorema 1.3.2. Dacă (A,+, ) este inel și S A, S , atunci (S,+, ) va fi subinel dacă și numai dacă satisface condițiile:

Pentru orice b S , a – b S (condiția de închidere a operației de scădere);

Pentru orice a, b S, a b S  (condiția de închidere a produsului).

Demonstrație. Daca (S, +, ) este subinel, atunci din teorema (1.3.1.) rezultă că pentru orice b S , -b S , deci pentru orice b S , a + (-b) = a – b S  și astfel este satisfăcută condiția (1) , iar condiția (2) coincide cu condiția (3) din teorema precedentă .

Invers, să presupunem că submulțimea S satisface condițiile (1) și (2). Atunci, pentru orice a S , a – a = 0 S , deci pentru orice b S , 0 – b = – b S  și astfel pentru orice a b S , a – (- b) = a + b S . Prin urmare se satisfac condițiile teoremei, 1.3.1. , deci (S, +, ) este subinel al inelului (A, +, ) .

Teorema 1.3.3. Dacă (A, +, ) este inel și SA, S este o submulțime finită a lui A, atunci (S, +, ) va fi subinel dacă și numai dacă satisface condițiile:

Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, ab S .

Demonstrație. Condițiile sunt evident necesare. Să arătăm că ele sunt și suficiente. Pentru aceasta observăm că este de ajuns să demonstrăm că este satisfăcută condiția (2) formulată în teorema 1.3.1. Fie S = { a1, a2, … , an } și pentru a S să notăm a + S = { a + a1, a + a2, … , a + an }. Se constată că pentru orice a S, a + S = S, deci pentru orice a, b S ecuația a + x = b are soluție în S. În particular, ecuația a + x = a are soluție în S , deci există x0 S astfel încât x0 + a = b. Prin urmare , pentru orice b S , b + 0 = ( x0 + a ) + 0 = x0 + ( a + 0 ) = x0 + a = b, adică 0 joaca rol de element neutru pentru operația de adunare din S. În sfârșit, din faptul că pentru orice a S ecuația a + x = 0 are soluție în S rezultă condiția de demonstrat.

Observăm că dacă (A, +, ) este unitar și (S, +, ) este un subinel al acestui inel, atunci elementul 1 A nu aparține obligatoriu și lui S. Așa, de exemplu , (2Z, +, ) este un subinel al inelului (Z, +, ) pentru care 1 2Z.

Pentru fiecare inel (A, +, ) tripletele ( {0}, +, ) și însăși (A, +,) sunt subinele banale ale acestui inel. Există insă inele care admit subinele nebanale . Un astfel de inel, este, de exemplu (Z, +, ) care admite ca subinele toate tripletele (nZ, +, ) , oricare ar fi n N.

Teorema 1.3.4. Dacă (S i, +, ), i I , sunt subinele ale inelului (A, +, ) ,

atunci este subinel al inelului (A, +, ) .

Demonstrație. Observăm că ≠ Ø, deoarece cel puțin 0 . Apoi, (, +, ), este subgrup al grupului (A, +, ), deci va fi suficient să arătăm că operația de înmulțire indusă pe este închisă . Pentru aceasta, observăm că dacă a, b , atunci pentru fiecare i I ; a, b Si , deci pentru fiecare i I; ab Si , adică ab .

Se constată însă că , în general, reuniunea unei familii de subinele nu este

subinel. Pentru a ne convinge de acest lucru să considerăm subinelele (2Z, +, ) și (3Z, +, ) ale inelului (Z, +, ) . Se știe că operația de adunare indusă pe submulțimea 2Z 3Z nu este închisă , deci reuniunea acestor două subinele nu va fi subinel al inelului (Z, +, ) .

Cu toate acestea, este adevărată următoarea afirmație:

Teorema 1.3.5. Dacă (Si, +, ), este o familie de subinele ale inelului (A, +, ) , atunci există subinelul (S, +, ) al inelului cu proprietățile:

Pentru fiecare i I ,S Si ;

(2) Dacă pentru fiecare i I subinel (S’, +, ) al inelului are proprietatea S’ Si , atunci S’ S.

Subinelul (S, +, ) , astfel determinat, se numește subinelul generat în inelul

(A, +, ) de familia de subinele Si .

Demonstrație. Se consideră mulțimea tuturor subinelelor (X, +, ) ale inelului (A, +, ) care posedă proprietatea că pentru fiecare i I, X Si . Această mulțime este nevidă , deoarece cel puțin A posedă această proprietate. Intersecția tuturor acestor subinele este un subinel care posedă proprietățile (1) și (2).

Teorema 1.3.6. Dacă (A, +, ) este inel și M A, atunci există subinelul (S, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietățile :

S M;

Dacă (S’, +, ) este un subinel al inelului (A, +, ) cu proprietatea

S’ M, atunci S’ S .

Subinelul (S, +, ) astfel determinat, se numește subinelul generat în inelul

(A, +, ) de submulțimea M A . Evident, dacă M = Ø, atunci subinelul generat de M coincide cu subinelul zero .

Deoarece teoremele precedente ne asigură numai existența subinelului generat , e bine să arătăm și modul cum se poate obține efectiv acest subinel.

Teorema 1.3.7. Subinelul generat în inelul (A, +, ) de submulțimea M A,

M ≠ Ø , este format din toate sumele finite de forma , unde xk M sau – xk M (k = 1, 2, …, n) . În particular, subinelul generat de familia de subinele (Sj, + , ) i I , va fi format din toate sumele finite de forma , unde xk .

Demonstrație. Notând , se constată ca S M și că diferența și produsul a două elemente din S sunt tot elemente din S. Deci (S, +, ), este un subinel al inelului (A, +, ) . Apoi , dacă (S’, +, ) este un

subinel al inelului (A, +, ) care conține pe M , atunci acesta (prin calitatea sa de subinel) va conține și elementele din S, deci S’ S .

În sfârșit, observăm că oricare ar fi subinelele (S1, +, ) și (S2, +, ) ale inelului (A, +, ) , S1 S2 Inf {S1, S2} . De asemenea, notând prin <S1 S2> subinelul generat de aceste subinele, prin (2.7), < S1 S2> Sup {S1,S2} .

Exemple:

Dacă A este un inel, atunci A și {0} sunt subinele, numite subinele improprii.

(Z, +, ) și (Q, +, ) sunt subinele ale inelului (R, +, ) .

Z Q R sunt subinele unul în altul , cu adunarea și înmulțirea numerelor .

Fie n N. Mulțimea H = nZ = {nk / k Z} este un subgrup al grupului aditiv (Z, +). Dacă avem x, y H, atunci x = nk1, y = nk2, k1, k2 Z, deci xy = nk1k2 H, adică H este un subinel al lui Z. Deci, orice grup al grupului aditiv al lui Z este un subinel al inelului Z, deoarece orice subgrup al lui (Z, +) este de forma nZ , cu n N.

Reciproc, deoarece orice subinel al unui inel trebuie sa fie subgrup al grupului aditiv al inelului respectiv, rezulta ca orice subinel al lui Z este de forma H = nZ . Deci subinelele inelului Z coincid cu subgrupurile lui (Z, +), care sunt de forma nZ , n N .

Mai exact fiecare subinel este format din multipli întregi ai celui mai mic număr natural nenul sau zero ce aparține subinelului.

Ideale

Definiție. Fie (A, +, ) un inel și IA , I . Considerăm operațiile induse în I din A, tripletul (I, +, ) se numește ideal al inelului (A, +, ) dacă satisface condițiile:

Pentru orice a , b I, a – b I ;

(ii) Pentru orice x A și orice , a I, xa I ;

(iii) Pentru orice x A și orice a I, ax I .

Din condiția (i) rezultă că (I, +) este un subgrup al grupului aditiv (A, +) iar din condiția (ii) sau (iii) rezultă că pentru orice a, b I avem ab I. Deci fiecare ideal al inelului (A, +, ) este, în particular, un subinel al acestui inel. Afirmația inversă nu este, în general, adevărată . Într-adevăr , de exemplu, (Z, +, ) este un subinel al inelului (Q, +, ) fără a fi ideal.

Dacă sunt satisfăcute numai condițiile (i) și (ii), atunci tripletul (I, +, ) se numește ideal stâng al inelului (A, +, ) iar daca satisfac condițiile (i) și (iii) , atunci (I, +, ) se numește ideal drept . Aceste noțiuni sunt distincte, în sensul că idealele stângi ale unui inel nu coincid obligatoriu cu idealele drepte. Așa de exemplu, dacă în inelul matricilor pătratice de ordin n, n > 1, cu elemente din Z, am considera mulțimea matricilor care au elementele de pe prima coloană egale cu zero, se va constata că acestea formează un ideal stâng , fără a fi și un ideal drept. Cu toate acestea, în continuare ne vom ocupa numai de idealele bilaterale, pe care le vom numi, simplu, ideale.

Teorema 1.4.1. Dacă (A, +, ) este un inel cu element unitate și IA, I , atunci (I, +, ) va fi ideal dacă și numai dacă satisface condițiile:

Pentru orice a,b I, a + b I ;

Pentru orice x A și orice a I , xa I ;

(3) Pentru orice x A și orice a I, ax I .

Demonstrație. Întrucât (i) este o condiție necesară și suficientă pentru ca (I, +) să fie subgrup al grupului (A, +), din (i) rezultă (1) . Invers, pentru orice b I , din -1 A și din (2) rezultă -b I , adică pentru orice a, b I , a + (-b) = a – b I.

Pentru fiecare inel (A, +, ) , tripletele ({0}, +, ) și însăși (A, +, ) sunt exemple banale de ideale . Un ideal al lui (A, +, ) nebanal se numește ideal propriu. Inelele fără ideale proprii se numesc inele simple . Un exemplu de inel cu ideale proprii este (Z, +, ) . Într-adevăr, se constată ușor că toate subinelele acestui inel , adică tripletele (nZ, +, ) , n N , sunt ideale ale inelului numerelor întregi .

De asemenea se constată că inelul (Q, +, ) nu admite ideale proprii , adică este simplu . De altfel , este adevărată următoarea afirmație mai generală :

Teorema 1.4.2. Fiecare corp este inel simplu.

Demonstrație. Dacă (I, +, ) este ideal al corpului (A, +, ) , atunci întrucât I ≠ Ø , există a I și a – 1 A astfel încât aa – 1 = 1 I . Deci , oricare ar fi x A , x = x 1 I și astfel I = A.

Menționăm că nu orice inel simplu este obligatoriu corp, adică inelele simple nu sunt epuizate de corpuri. Pentru a ne convinge de acest lucru demonstrăm următoarea teoremă :

Teorema 1.4.3. Inelul matricilor de ordin n, n > 1 , cu elemente dintr-un corp este simplu, deși acest inel nu este corp.

Demonstrație. Fie (Mn, +, ) inelul matricilor pătratice de ordin n cu elemente din corpul (A, +, ) și (I, +, ) un ideal nenul al acestui inel. Deci, există matricea care conține cel puțin un element diferit de zero, de exemplu akl ≠ 0.

Deoarece (A, +, ) este corp, pentru orice b A există x, y A, astfel încât b= xakly .

Notând prin cij matricea din Mn care are pe locul (i, j) elementul c A , iar în rest zero și ținând cont de definiția operației de înmulțire a matricilor, pentru orice l s și orice t n,

Întrucât (I, +, ) este ideal în (Mn, +, ) , și cum orice matrice din Mn se poate reprezenta ca o sumă de matrici de forma bst , rezultă că Mn I , adică I = Mn .

Teorema 1.4.4. Dacă (I, +, ), este o familie de ideale ale inelului (A, +, ), atunci este un ideal al inelului (A, +, ).

Demonstrație. este un subgrup al grupului aditiv (A, +) , deci rămâne să arătăm că satisface condițiile (ii) și (iii) din definiția idealului. Pentru aceasta, observăm că dacă a , atunci a I , pentru fiecare , deci pentru orice x A și orice xa I , adică xa și ax .

Menționăm că reuniunea unei familii de ideale ale unui inel nu este obligatoriu un ideal. Așa, de exemplu, se știe că în inelul (Z, +, ) , tripletele (2Z, +, ) și (3Z, +, ) sunt ideale, însă reuniunea lor nu este subinel al inelului (Z, +, ), deci nu va fi nici ideal în acest inel.

Teorema 1.4.5. Dacă (I, +, ) , este o familie de ideale ale inelului (A, +, ) , atunci există idealul (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietățile:

Pentru fiecare , I I ;

Dacă (I, +, ) este ideal al inelului (A, +, ) cu proprietatea că pentru orice , I I , atunci I I .

Idealul (I, +, ) , astfel determinat se numește idealul generat în inelul (A, +, ) de familia de ideale (I, +, ) .

Același raționament ne conduce la următoarea afirmație mai generală :

Teorema 1.4.6. Dacă (A, +, ) este un inel și M A , atunci există idealul (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietățile:

I M;

Dacă idealul (I, +, ) al idealului (A, +, ) are proprietatea I M , atunci I I.

Idealul (I, +, ) astfel determinat se numește idealul generat în inelul (A, +, ) de submulțimea M A . Evident dacă M ≠ Ø , atunci idealul generat de M este idealul zero.

Prin teorema ce urmează obținem construcția efectivă a idealului generat de o submulțime într-un inel unitar.

Teorema 1.4.7. Dacă (I, +, ) este idealul generat de submulțimea M, M ≠ Ø , a inelului unitar (A, +, ), atunci elementele lui I sunt toate sumele finite de forma , unde i , i A și xi M .

Demonstrație. Dacă , atunci observăm că diferența a două elemente din S este tot un element din S și înmulțind la stânga sau dreapta un element din S cu un element din A obținem tot un element din S, deci (S, +, ) este un ideal al inelului (A, +, ) . Deoarece (A, +, ) este inel unitar, S M , deci în baza definiției idealului generat S I . Pe de altă parte, deoarece (I, +, ) este ideal și I M, I S deci I = S .

Și în cazul idealelor, la fel ca în cazul subinelelor unui inel, se observă că

oricare ar fi(I1, +, ) și (I2, +, ) ideale ale inelului (A, +, ) , I1 I2 Inf I1 , I2.

De asemenea, notând prin < I1 I2> idealul generat de aceste două ideale în inelul (A, +, ) obținem ca <I1 I2> Sup {I1, I2}. Prin urmare, ținând cont de definiția laticii, obținem:

Teorema 1.4.8. Mulțimea idealelor unui inel formează latice în raport cu

ordonarea prin incluziune.

Pentru obținerea efectivă a dealului generat de două ideale ale unui inel,

formulăm următoarea teoremă :

Teorema 1.4.9. Dacă (I1, +, ) și (I2, +, ) sunt ideale ale inelului (A, +, ) , atunci <I1 I2> este format din toate elementele de forma a + b , unde a I1 și b I2.

Demonstrație. Să notăm I = {a + b a I1 și b I2 } și să arătăm că I = <I1 I2> . Observăm mai întâi că I I1 și I I2 , iar I < I1 I2 > . Deci ținând cont de definiția idealului generat , va trebui să demonstrăm numai că (I, +, ) este ideal . (I, +) este subgrup normal al grupului aditiv (A, +) , deci pentru orice a, b , a – b I .

Apoi, dacă x A și h I, atunci există a I1 și b I2 , astfel încât h = a + b, deci xh = x(a + b) = xa + xb , unde xa I1 ;i xb I2 , adică xh I . Asemănător se arată că pentru x A și h I , hx I .

Inel factor

Noțiunea de ideal a fost definită pornind de la proprietățile pe care le au nucleele morfismelor de inele . În continuare vom constata că pentru orice ideal bilateral exista un morfism de inele al cărui nucleu este chiar idealul dat . În acest mod , noțiunea de ideal bilateral joacă în teoria inelelor același rol pe care îl joacă noțiunea de subgrup normal în teoria grupurilor.

Fie (A, +, ) un inel și I un ideal bilateral al sau . În particular I este un subgrup (normal) al grupului abelian (A, +) . Relația definita pe R în modul următor:

x ≡ y (mod I) x – y I

este o relație de echivalență compatibilă cu operația aditivă pe R . Această proprietate face posibilă extinderea operației „ + ” de la elementele lui R la clasele de echivalență în raport cu relația „ ≡ ” , prin

+ =

O clasă de echivalență în raport cu relația „ ≡ ” este de forma = x + I = {x + a │ a I} .

În raport cu această operație mulțimea R / ≡ a claselor de echivalență are o structură de grup abelian. Elementul neutru al acestui grup este = I .

Vom studia în continuare comportarea relației „ ≡ ” în raport cu înmulțirea.

1.5.1. Lemă. Dacă I este un ideal bilateral al inelului (A, +, ) atunci relația de echivalență „ ≡ ” definită prin (1) este compatibilă cu operația „ ” din inelul A.

Demonstrație. Fie x ≡ x1 (mod I) și y ≡ y1(mod I). Există a, b i astfel încât x – x1 = a I și y – y1 = b I .

x y = (x1 + a)(y1 + b) = x1y1 + ay1 + x1b + ab

xy – x1y1 = ay1 + x1b + ab I

Ultima relație rezultă din faptul că I este ideal bilateral și arată tocmai xy ≡ x1y1 (mod I) .

Ca și în cazul grupurilor , mulțimea claselor de echivalență în raport cu idealul I o vom nota cu A / I.

1.5.2. Teoremă. Mulțimea A / I are o structură de inel în raport cu operațiile definite astfel :

+ =

=

Demonstrație. Pentru a nu complica scrierea am folosit notațiile “ + ” și “ ” pentru operațiile cu clase de echivalență ca și pentru operațiile cu elementele din A de operațiile din A / I după natura elementelor cu care se lucrează.

După cum am amintit la începutul paragrafului , mulțimea A / I are o structură de grup abelian în raport cu « + ». Din lema 1.5.1. rezultă că operația multiplicativă cu clasele de echivalență este bine definită. Prin calcul verificăm că această operație este asociativă :

( ) = 

și distributivă față de adunare :

Inelul factor (A/I, +, ) poartă numele de inel factor al inelului A în raport cu idealul sau bilateral I .

Dacă A este inel unitar și 1 este elementul său unitate , atunci este element unitate al inelului A/I . Într-adevăr , pentru orice A/I , deducem :

= = și

De asemenea , dacă A este inel comutativ , atunci printr-un calcul simplu putem arăta că și A/I este inel comutativ .

Aplicația , definită prin

este un morfism surjectiv de inele. Într-adevăr , pentru orice x, z R deducem

În plus orice element din R/I este de forma , x R .

Morfismul φ1 poartă numele de surjecție canonică a inelului R pe inelul său factor R/I . Nucleul acestui morfism este chiar idealul bilateral I :

Ker

Dacă R este inel unitar , atunci φ1 este morfism unitar pentru că

Morfisme de inele

Fie (A, +, ) și (B, +, ) doua inele . Funcția f : A B se numește morfism de inelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) dacă pentru orice a1, a2 A se satisfac condițiile:

f(a1 + a2) = f(a1) + f(a2)

f(a1a2) = f(a1) f(a2) ,

adică funcția este compatibilă cu operațiile de adunare și de înmulțire.

Acest morfism se va numi injectiv, surjectiv sau bijectiv dacă funcția f : A B este respectiv injectivă , surjectivă sau bijectivă. De asemenea , morfismele de la un inel (A, +, ) la el însuși se mai numesc endomorfisme, iar endomorfismele bijective se numesc automorfisme.

În continuare, dacă nu va exista nici un pericol de confuzie vom nota inelul (A, +, ) simplu prin A.

Să dam câteva exemple de morfisme de inele :

Pentru fiecare inel (A, +, ) , funcția 1A : A A este un automorfism.

(2) Fie (A, +, ) un inel unitar și a A un element inversabil, adică există a –1 A astfel încât a a-1 = a-1 a = 1. Atunci funcția a : A A definită prin a(x) = axa-1 este un automorfism . Într-adevăr , pentru orice x1, x2 A ,

a(x1 + x2) = a(x1 + x2)a-1 = ax1a-1 + ax2a-1 = a(x1) + a(x2)

și de asemenea ,

a(x1 x2) = a(x1 x2)a-1 = (ax1a-1 )( ax2a-1 )= a(x1) a(x2)

Apoi, dacă a(x1) = a(x2) , atunci ax1a-1 = ax2a-1 , adică a-1 ax1 a-1 =a-1 ax2a-1 ,

deci x1a-1 = x2a-1 și astfel x1 = x2 . În sfârșit , pentru orice y A , există a-1ya A astfel încât a(a-1ya) = a(a-1ya)a-1 = y .

(3) Fie (A, +, ) și (B, +, ) două inele . Definind în mulțimea A x B două operații binare prin

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2 , b1 + b2)

(a1, b1) (a2, b2) = (a1 a2 , b1 b2)

se constată imediat că (A x B, + , ) devine inel.

Funcțiile i1 : A A x B și i2 : B A x B definite prin i1(a) = (a, 0) și i2(b) = (0, b) sunt morfisme injective, iar funcțiile p1 : A x B A și p2 : A x B B definite prin p 1((a, b)) = a și p2 ((a, b)) = b sunt morfisme surjective.

Menționăm că dacă A și B sunt inele unitare, pentru care 1 A este element unitate în A și 1’ B element unitate în B , iar f : A B este un morfism de inele , atunci morfismul f nu păstrează obligatoriu unitatea, adică în general f(1) 1’ . Dacă această proprietate este însă satisfăcută , vom spune că morfismul f este unitar.

Studiem în continuare , câteva proprietăți ale morfismelor de inele .

Teorema 1.6.1. dacă f : A B este un morfism de la inelul A la inelul B , atunci

f(0) = 0 ;

(2) f(- a) = – f(a) .

Demonstrație. Întrucât f este , în particular , un morfism de la grupul aditiv (A, +) , la grupul aditiv (B, +) , egalitățile menționate sunt o consecință imediată a teoremei grupurilor .

Teorema 1.6.2. Dacă f : A B și g : B C sunt morfisme de inele, atunci gf : A C este morfism de la inelul A la inelul C . Mai mult , dacă f și g sunt morfisme injective, surjective sau bijective, atunci la fel este și morfismul g f .

Demonstrație. Este suficient să arătăm că se satisface a doua condiție din definiția morfismului de inele. Pentru aceasta observăm că dacă a, b A , atunci

(gf) (ab) = g(f(ab)) = g(f(a) f(b)) = g(f(a)) g(f(b )) =

= (gf )(a) (gf)(b) .

Teorema 1.6.3. Dacă f : A B este un morfism de inele și A1 A este un subinel al inelului A , atunci f(A1) este subinel al inelului B . În particular f(A) va fi subinel al inelului B , numit imaginea morfismului f și notată prin Im f.

Demonstrație. Deoarece f este morfism de la grupul aditiv al inelului A la grupul aditiv al inelului B , f(A) este un subgrup al grupului aditiv B . Rămâne de arătat că pentru orice b1, b2 f(A1), b1b2 f(A1) . Pentru aceasta , observăm că există a1, a2 A , astfel încât b1 = f(a1) și b2 = f(a2) , deci b1b2 = f(a1) f(a2) = =f(a1a2) f(A1) .

Teorema 1.6.4. Dacă f : A B este un morfism de inele și B1 B este un subinel al inelului B , atunci f –1(B1) este un subinel al inelului A . În particular , f-1({0}) va fi un subinel al inelului A, numit nucleul morfismului f și notat prin Ker f .

Demonstrație. Se știe că f-1(B1) este un subgrup la grupului aditiv (A, +) . Să arătăm că f-1(B1) este chiar un subinel al inelului A. Pentru aceasta, fie a1, a2 f-1 (B1), adică f(a1) B1 și f(a2) B1 , deci f(a1a2) B 1 și astfel a1a2 f-1(B1) .

Teorema 1.6.5. Dacă f : A B este un morfism de inele și I B este un ideal al inelului B, atunci f-1(I) va fi ideal în A. În particular, Ker f = f-1 ({0}) va fi ideal în A.

Demonstrație. Din teorema precedentă rezultă că f-1(I) este subinel al inelului A adică prima condiție din definiția idealului este satisfăcută. Să arătăm că se satisface și a doua condiție. Pentru aceasta, fie xA și a f-1(I), deci

f(xa) = f(x)f(a) I și la fel f(ax) = f(a)f(x I) , prin urmare xa , ax f-1(I) .

Menționăm că imaginea directă a unui ideal I al inelului A prin morfismul f : A B nu este neapărat un ideal al inelului B. Cu toate acestea , este adevărată afirmația:

Teorema 1.6.5. Dacă f :A B este un morfism de inele surjectiv și IA este un ideal al inelului A, atunci f(I) este un ideal al inelului B.

Demonstrație. Evident este suficient să arătăm că dacă y B și b f(I), atunci by I și yb f(I) . Din faptul că b f(I) rezultă că există aI astfel încât b = f(a) , iar din faptul că f este morfism surjectiv rezultă că există xA astfel încât y = f(x) . În plus, ax I și xa I , deci by = f(a)f(x) = f(ax) f(I) și yb = f(x)f(a) = = f(xa) f( I ) .

Teorema 1.6.6. Morfismul de inele f : A B este injectiv dacă și numai dacă Ker f = {0}.

Demonstrație. Afirmația este o consecință a teoremei grupurilor :

« Morfismul f : G1 G2 este injectiv dacă și numai dacă Ker f = {e1} » , teorie transcrisă în limbajul grupurilor aditive .

Teorema 1.6.7. Morfismul de inele f : A B este surjectiv dacă și numai dacă Im f = B .

Demonstrație. Inelele A și B se numesc izomorfe dacă există morfismele f : AB și g : BA astfel încât :

g f = 1A ;

f g = 1B .

Și de data aceasta se poate arăta că izomorfismul de inele poate fi caracterizat complet de noțiunea de morfism bijectiv, anume :

Teorema 1.6.8. Inelele A și B sunt izomorfe dacă și numai dacă există cel puțin un morfism bijectiv f : A B .

Demonstrație. Dacă A și B sunt izomorfe ca inele , atunci există morfismele f și g astfel încât g f = 1A și f g = 1B . Se constată imediat că f : A B este morfism bijectiv.

Invers să presupunem că f : A B este un morfism bijectiv de inele. Atunci, f este în particular și un morfism bijectiv de grupuri, deci există morfismul de grupuri f-1 : B A cu proprietatea f -1 f = 1A și f f -1 = 1B . Rămâne să arătăm că f-1 : B A este chiar un morfism de inele. Pentru aceasta, observăm că dacă b1 b2 B , atunci f(f -1(b1 b2)) = b1b2 și f(f -1 (b1)f -1 (b2)) = f(f -1 (b1)) f(f -1 (b2)) deci, întrucât f este injectivă , avem f –1 (b1b2) = f –1 (b1) f –1 (b2) .

Teorema 1.6.9. Fiecărui ideal I al inelului A i se poate asocia un inel factor A / I ; I un morfism surjectiv g : A A / I astfel încât Ker g = I .

Demonstrație. În grupul comutativ (A, +) , idealul I este evident un subgrup normal. Deci , există grupul factor A / I = {a + I | a A } , unde a + I = {a +h | a A și h I} , iar operația grupală se definește prin

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

Să definim în mulțimea cât A / I o nouă operație binară , astfel :

(a + I) (b + I) = ab + I

Observăm, mai întâi, că operația astfel definită nu depinde de alegerea reprezentanților , în sensul că dacă a1 a + I și b1 b + I , atunci a1b1 + I = ab + I . Într-adevăr, dacă x a1b1 + I , atunci există h1 I astfel încât x = a1b1 + h1 . Apoi din faptul că a1 a + I și b1 b + I rezultă că există h2, h3 I astfel încât a1 = a + h2 și b1 = b + h3 , deci x = (a + h2)(b + h3) + h1 = ab + ah3 + h2b + h2h3 + h1 . Dar întrucât i este ideal , ah3 + h2b + h2h3 + h1 I adică există h = ah3 + h2b + h2h3 + h1 I astfel încât x = ab + h , deci x ab + I și astfel a1b1 + I ab + I . Asemănător se arată că ab + I a1b1 + I .

În continuare se verifică imediat că operația de înmulțire este asociativă , deci (A / I , + , ) formează un inel . Elementul nul al inelului factor A / I este clasa 0 + I = I , unde 0 este elementul zero din inelul (A, +, ) .

Aplicația g : A A /I definită prin g(a) = a + I este un morfism surjectiv , așa cum rezultă din definiția operațiilor din inelul cât .

În sfârșit, se observă că pentru orice a A , a + I = I dacă și numai dacă a I , deci Ker g = {a A | g(a) = I} = I .

Teorema 1.6.10. (Prima teorema de izomorfism).

Dacă f : A B este morfism de inele atunci A / Ker f și Im f sunt inele izomorfe.

Demonstrație. Prin teorema 1.6.5. , Ker f = f –1 ({0}) este ideal al inelului A deci în baza teoremei precedente există inelul factor A/ Ker f = {a + Ker f | a A } , unde a + Ker f ) {a + h | h Ker f }.

Definind funcția hf : A/ Ker f Im f prin hf (a + Ker f ) = f(a) se constată că hf este morfism bijectiv , adică inelele A/ Ker f și Im f sunt izomorfe .

Teorema 1.6.11. (Teorema a doua de izomorfism)

Fie R un inel , R un subinel al lui R și I un ideal bilateral al lui R. Atunci

R + I = {x + a x R , a I}

este un subinel al lui R . I este ideal bilateral al lui R + I , R I este ideal bilateral al lui R și există un izomorfism canonic

 : R R I (R + I) I .

Demonstrație. Dacă u , v R + I , atunci există x, y R și a, b I astfel încât u = x + a și v = y + b

u – v = (x – y) + (a – b) R + I

uv = xy + (xb + ay + ab) R + I

deci R + I este subinel al lui R .

Deoarece I este ideal bilateral în R , I este evident un ideal bilateral al lui R + I . R I este subinel al lui R ca intersecție de subinele , deci este subinel al lui R .

Dacă x R și a I , atunci xa , ax R deoarece R este subinel și xa , ax I deoarece I este ideal bilateral . Deci xa , ax R I , adică R I este ideal bilateral al lui R . Fie i : R R + I morfismul incluziune , i(x) = x, pentru orice x R și : R + I R + I I surjecția canonică , (x) = x + I. Notăm f = I , f : R (R + I) I. F este morfism surjectiv de inele și Ker f = {x R \ x + 1 = I} = = R I . Conform teoremei fundamentale de izomorfism , există un izomorfism canonic

: R / R I (R + I) / I

Acest izomorfism este definit prin (x + R I) = x + I .

Teorema 1.6.12. ( Teorema a treia de izomorfism )

Fie R un inel , I un ideal bilateral al sau și 1 : R R I surjecția canonică . Notăm cu J (R , I) mulțimea subinelelor inelului R care includ pe I și cu J (R / I) mulțimea subinelelor inelului R / I . Aplicația : J (R , I) J (R I) definită prin (R) = (R) = R I este o bijecție . Dacă J J (R , I) , atunci J este un ideal bilateral în R dacă și numai dacă J I sete ideal bilateral în R I . În plus , în acest caz există un izomorfism canonic

: R J (R I) (J I)

Demonstrație. Deoarece este un morfism surjectiv de inele , considerăm surjecțiile canonice :

Morfismul f = J I 1 : R (R I) (J I) este surjectiv . Pentru x R , f(x) J I dacă și numai dacă x + I J I sau x J . Rezultă Ker f = J și conform teoremei fundamentale există un izomorfism canonic : R J (R I ) (J I ) definit prin

(x + J) = f(x) = (x + I) + J I .

Aplicație . Ne propunem să descriem ideale și inele factor ale inelului claselor de resturi modulo n .În inelul Z al numerelor întregi mulțimea nZ , n N este ideal (bilateral) .Fie n : Z Zn surjecția canonică . Există o bijecție între mulțimea J (Z, nZ) a idealelor lui Z care includ nZ și mulțimea J (nZ) a idealelor lui Zn . atunci I = n –1 (J) este un ideal al lui Z care include nZ , deci I = mZ și m n (mZ nZ m n) . Din egalitatea J = n(I) rezultă J = (mZ) (nZ) .Deci idealele (bilaterale ) ale inelului Zn sunt de forma (mZ) (nZ) unde m n . Conform teoremei a treia de izomorfism există un izomorfism

: Z mZ Zn (mZ nZ) .

Rezultă că inelele factor ale inelului Zn sunt izomorfe cu inele de forma Zm , unde m n .

1.7. Inele de fracții

O noțiune importantă în teoria structurilor algebrice, în particular în teoria

inelelor, este aceea de scufundare izomorfă . Anume, vom spune că inelul (A, +, ) se scufundã izomorf în inelul (B, +, ) dacă există un morfism injectiv f : A B .

Evident, în acest caz f(A) este un subinel al inelului B izomorf cu inelul A.

În leg ă tură cu această noțiune este adevărată următoarea afirmație:

Teorema 1.7.1. Fiecare inel se scufundă izomorf într-un inel cu unitate.

Demonstrație. Fie inelul (A, +, ) si să notăm B = A x Z , unde Z este

mulțimea numerelor întregi. În mulțimea B s ă definim două operații binare, notate tot prin + si astfel

(a1, n1) + (a2, n2) = (a1 + a2 , n1 + n2)

(a1, n1) (a2, n2) = (a1a2 + n2a1 , n1n2)

Se constată că (B, +, ) este un inel care posedă ca element unitate perechea (0,1) .

Funcția f : A B definită prin f(a) = (a, 0) este un morfism injectiv de la

inelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) . Într-adevăr, faptul că această funcție este injectivă este evident, apoi observăm că pentru orice a b A ,

f(a + b ) = (a + b ,0 ) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b)

f(ab) = (ab, 0) = (a, 0) (b, 0) = f(a) f(b) .

Prin urmare , inelul (A, +, ) se scufundă izomorf în inelul cu unitate (B, + , ) .

O altă teoremă de scufundare, deosebit de importantă în teoria inelelor, este

următoarea:

Teorema 1.7.2. Fie (A, +, ) un inel comutativ și cu element unitate și fie S

mulțimea tuturor elementelor din A care nu sunt divizori ai lui zero. Atunci există inelul (, +, ) comutativ și cu element unitate și morfismul injectiv f : A A astfel încât toate elementele din f(S) sunt inversabile în inelul (,+ , ) .

Demonstrație. Observăm, mai întâi, că S Ø, deoarece cel puțin elementul

unitate din inelul (A, +, ) aparține lui S (adică 1 S ) și că , dacă s1, s2 S, atunci s1s2 S .

Apoi, se demonstrează ușor că , relația binară ~ definită în produsul cartezian A x S prin

(a1, s1) (a2, s2) a1s2 = a2s1

este o relație de echivalență în mulțimea A x S . Deci, există mulțimea cât A x S ~ pe care să o notăm prin , adică =ﾗ{( ) / ( a, s ) A x S }, unde

Definind în mulțimea cât A operațiile binare prin + și prin

() + () = ()

() () = ()

se constată că operațiile de adunare și înmulțire astfel definite nu depind de alegerea reprezentanților claselor. Mai mult, (,+ , ), devine inel comutativ, care posedă ca element unitate clasa () .

Funcția f :A A, definită prin f( a) = ( ) este un morfism injectiv de la inelul (A,+ ,) la inelul (,+ ,) . Într-adevăr, dacă f(a1) = f(a2) , atunci , adică (a1,1) (a2.1), deci a11 = a21 și astfel a1 = a2 , prin urmare aplicația f este injectivă . Apoi, observăm că oricare ar fi a1, a2 A ,

f (a1 + a2) = () = () + () = f(a1) + f( a2) ,

f (a1a2) = () = () () = f(a1) f(a2) .

Pentru a termina demonstrația, rămâne să arătăm că elementele din f(S) sunt

inversabile în inelul (,+ , ) . Dacă b f(S) , atunci există s S astfel încât b = f(s) = () deci f(S) = {() / s S} . Cu această precizare , observăm că oricare ar fi clasa () f (S) , există clasa () A astfel încât () () = = () .

De obicei elementele inelului se notează simplu prin , în loc de () , adică = . Acest inel se numește inelul de fracții al inelului (A, +, ).

În cazul când inelul (A, +, ) este domeniu de integritate, atunci inelul său de

fracții (,+ , ) este chiar un corp, deci:

Teorema 1.7.3. Fiecare domeniu de integritate se scufundă izomorf într-un

corp, numit corpul de fracții al domeniului de integritate respectiv.

Pentru exemplificare, să ne reamintim cum a fost construit corpul

numerelor raționale (Q,+ , ) . Vom constata că (Q,+ , ) este corpul de fracții al

domeniului de integritate (Z,+ , ).

1.8. Inele de polinoame.

1.8.1. Inelul polinoamelor intr-o nedeterminată.

Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o construcție a inelului de polinoame intr-o nedeterminată peste A, care la început nu folosește scrierea obișnuită a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.

Peste inelul A se considera șirurile f = (a0, a1, a2, …), ai A a.i. toți termenii săi, in afară de un număr finit dintre ei, sunt nuli.

Fie A’ mulțimea tuturor șirurilor de acest tip. Șirurile f = (a0, a1 , …) și g = (b0 , b1 , …) sunt egale dacă și numai dacă ai = bi, pentru orice i. Pentru A’ se definesc două operații algebrice , adunarea și înmulțirea, in raport cu care A’ devine un inel comutativ si unitar.

Fie f, g A’, f = (a0, a1, a2, …) , g = (b0, b1, b2,…). Atunci adunarea se definește astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, …).

Este evident ca f + g are numai un număr finit de termeni nenuli, deci f + g A . Să verificăm ca (A’,+) este grup abelian .

Într-adevăr , dacă f ,g, h A , f = (a0, a1, a2, …), g = (b0, b1, b2, …), h = (c0, c1, c2, …), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, …) + + (c0, c1, c2, …) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, …] și f + (g + h) = (a0, a1, a2, …) + [(b0, b1, b2, …) + (c0, c1, c2,…)] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1),…] .

Cum adunarea în inelul A este asociativă , avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 …, de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arată că f + g = g + f.

Dacă 0 = (0, 0, 0, …) , atunci 0 + f = (0, 0, …) + (a0, a1, …) = (0 + a0, 0 + + a1, …) = (a0, a1, a2, …) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Dacă f A’, f = (a0, a1, a2, …), atunci –f = (- a0, – a1, – a2, …) este opusul lui f și f + (- f) = (- f) + f = 0 .

Înmulțirea pe A se definește astfel:

f g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, …) = (c0, c1, …) , unde Ck=.

Este clar ca f, g A’. Înmulțirea pe A’, astfel definită , este asociativă, comutativă și are element unitate. Să arătăm mai întâi asociativitatea .

Fie f, g, h A’ , unde f = (a0, a1, a2, …) , g = (b0, b1, b2, …) , h = (c0, c1, ,c2, …) și să arătăm că (fg)h = f(gh).

Fie fg = (d0, d1, d2,…). Atunci . De asemenea, fie

(fg)h = (d0’,d1’,d2’,…), unde d’m =

Dacă gh = (c0,c1,…), atunci :

și fie f(gh) = (l’0,l’1,l’2,…), unde :

.

Deci d’m = l’m pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea înmulțirii rezultă din faptul că înmulțirea în inelul A este comutativă, iar în expresia produsului polinoamelor f și g termenii factorilor intervin în mod simetric.

Elementul unitate din A’ este șirul (1, 0, 0, …). Înmulțirea pe A’ este distributivă față de adunare. Într-adevăr, cu notațiile de mai sus, rezultă :

f(g + h) = (d0, d1,…) , unde

fg + fh = (d’0,d’1,…), unde

Cum operația de înmulțire pe A este distributivă față de adunare rezultă f(g + h) = fg + fh. Evident are loc și relația (f + g)h = fh + gh și afirmația s-a demonstrat.

Propoziția 1.8.1.

Dacă A este un inel unitar comutativ, atunci mulțimea A’ ( a șirurilor de elemente din A, care au numai un număr finit de termeni nenuli) împreună cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.

Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienți din A .

Dacă f = (a0, a1, …) este un polinom nenul (adică nu toți termenii ai sunt nuli ) și dacă n este cel mai mare număr natural cu proprietatea că an 0 , atunci n se numește gradul polinomului f . Pentru polinomul nul nu se definește gradul. Convenim să considerăm gradul său ca fiind – n . Dacă gradul (f) = n , atunci a0, a1, …, an se numesc coeficienții polinomului f.

Fie aplicația u: A A’ definită prin u(a) = (a, 0, 0, …) . Aplicația u este injectivă , deoarece , dacă u(a) = u(b), atunci (a, 0, …) = (b, 0, …) a = b. De asemenea , u(a + b) = u(a) + u(b) și u(ab) = u(a)u(b) , a, b A , deoarece , după definiție , este evident că (a, 0, …) + (b, 0, …) = (a + b, 0, … ) și (a, 0, …) (b, 0, …) = (ab, 0, …) .

Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul a A cu imaginea sa prin u , adică polinomul (a, 0, …) din A’. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A’. Notăm prin X polinomul (0, 1, 0, …), care se numește nedeterminata X. Obținem:

Pentru orice a A, avem ax= (0, 0, …, 0, a, 0, …). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, …, an, 0, …) = (a0, 0, 0, …) + (0, a1, 0, …) + …

…+ (0, 0, …an, 0, …) = a0(1, 0, …) + a1(0, 1, 0, …) + … + an(0, 0, …, 1, 0, …) =

Daca an = 1 , spunem că polinomul este unitar. Inelul A’ obținut se numește inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienți in inelul A (sau peste inelul A) și se notează cu A[X]. Observăm că f are gradul 0 sau – dacă și numai dacă f aparține inelului A. Din definiția sumei și produsului a două polinoame , rezultă că grad (f + g) max (grad(f), grad(g)) ; grad(fg) grad(f) + grad(g), pentru f, g A[x].

Dacă A este un domeniu de integritate , se poate înlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

Propoziția 1.8.2.

Dacă A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.

Demonstrație:

Fie f, gA[x] ;

Atunci :

A fiind domeniu de integritate, rezultă din am 0 și bn 0 că ambn 0, adică fg 0. În particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți in K este un inel integru.

Propoziția 1.8.3.

Fie A un domeniu de integritate și A[x] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notațiile cunoscute, avem: u(A[x]) = =u(A).

Demonstrație:

Fie a A , inversabil in A , adică există bA a.i. a b = 1. Evident, această relație are loc și in A[x] , deoarece a și b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x] .

Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci există un polinom g A[x] a.i. fg = 1 și , deci, grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0, adică f, g A. Deci f A și f este inversabil in A. În particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 și numai acesta. Dacă A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) u(A). Într-adevăr , polinomul neconstant 1 + 2X Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1.

Exemple . ( Probleme )

Să se arate că in inelul Q[x, y], polinomul x + y este ireductibil.

Soluție.

Este clar ca x + y este nenul si neinversabil . Dacă ar fi reductibil s-ar descompune astfel: x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b )x + + (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici obținem a b = 0, a b = 1 , a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a(a b + a b ) = 0 se obține că a + a = 0 , contradicție .

2. Să se arate că in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y + X Y + + XY + Y este ireductibil, n 2 , n N .

Soluție .

Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienți in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p – prim , în inelul factorial Q[Y] sunt îndeplinite condițiile din criteriul lui Eisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y] = Q[X,Y] .

3. Să se arate că polinomul f = 3X + 4X – 6X + 7X + 21 este ireductibil in Z[X] .

Soluție .

Polinomul f este primitiv. Aplicăm criteriul reducției pentru p = 2. Avem f = X +X +1 Z [X] și arătam că f este ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0) = (1) = 1 0 , rezultă că f nu are factori de gradul întâi in descompunere. Fie acum X +X +1= =(aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificarea coeficienților se ajunge la am = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn = 1, cq = 1. De aici, avem a = m = c = q = 1 și deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp + n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradicție. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reducției rezultă f ireductibil in Z[X].

1.8.2. Inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate.

Fie A un inel. Atunci inelul polinoamelor in nedeterminatele X1, X2, …, Xn cu coeficienți în inelul A se definește inductiv astfel : dacă A[X1] este inelul polinoamelor in nedeterminata X , cu coeficienți in inelul A1, A[X1, X2] este inelul polinoamelor in nedeterminata X2 cu coeficienți in inelul A[X1] și, in general : A[X1, X2, …, Xn] este inelul polinoamelor in nedeterminata Xn cu coeficienți in inelul A[X1, X2, …, Xn-1] . Pe A[X1] l-am construit deja și in mod recurent:

A[X1,X2]=A[X1]A[X2]

A[X1,X2,X3]=A[X1,X2]A[X3] ;

……………………………….

A[X1,X2,…Xn]= A[X1,X2,…,Xn-1]A[Xn].

Dacă f este un polinom in inelul A[X1,X2,…,Xn] , atunci el este polinom in nedeterminata Xn cu coeficienți in inelul A[X1,X2,…,Xn-1] și , deci, A[X1,X2,…,Xn-1], pentru orice i = 0, 1, …, hn . Din aproape in aproape , f se scrie ca o suma finita de forma:

în care A se numesc coeficienții polinomului f,

sunt numere nenaturale . Un polinom din A[X1, X2, … Xn] de forma aX1X2X3 … Xn, a 0 , se numește monom .

Definiția 1.8.4.

Se numește gradul monomului aX1X2X3…Xn, a0 in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,X2,X3,…, Xn, suma i1 + i2 + … + in.

Definiția 1.8.5

Se numește gradul polinomului f A[X1,X2,…Xn] in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,…,Xn cel mai mare dintre gradele monoamelor sale în raport cu ansamblul nedeterminatelor. Ca și în inelul polinoamelor într-o nedeterminată , și aici avem:

Propoziția 1.8.6.

Fie A un inel și f, g A[X1, X2, … Xn] . Atunci:

grad (f + g) max(grad(f), grad(g)) ;

grad (fg) grad(f) + grad(g) ;

daca, in plus, A este domeniu de integritate , atunci la punctul (2) vom avea egalitate ; mai mult, U(A[X1, X2, … Xn]) = U(A).

1.9. Inelul claselor de resturi modulo n

Operațiile de adunare și înmulțire conferă mulțimii Z a numerelor întregi o structură de inel comutativ unitar și fără divizori ai lui zero .(pe scurt inel integru ) .În acest inel mulțimea nZ a multiplilor numărului natural n (fixat) formează un ideal (bilateral) . Pe de altă parte dacă I este un ideal al inelului (Z, +, ) atunci I este un subgrup al grupului (Z, +) deci există un număr natural n astfel încât I = nZ . Dacă I = nZ și J = mZ sunt două ideale ale lui Z atunci I + J este de asemenea un ideal al lui Z și există d Z astfel încât I + J = dZ sau nZ + mZ = dZ (putem presupune d N) . Din relația nm dZ rezultă d n și d m , iar din relația d nZ + mZ rezultă că există a, b Z astfel încât d = an + bm . Din urma relației deducem că orice divizor comun al lui m și n este și un divizor al lui d . Prin urmare d este cel mai mare divizor comun al numerelor întregi n și m . Analog se demonstrează că dacă nZ mZ = qZ atunci q este cel mai mic multiplu comun al lui n și m . De asemenea are loc relația (nZ)(mZ) = (nm)Z .

Inelele factor ale inelului Z se construiesc prin factorizare cu ideale care au forma nZ , n N . Reamintim că pornind de la structura de grup aditiv a lui Z și considerând un subgrup nZ al acestuia , relația

x y x – y nZ

este o relație de echivalență (numită și relație de congruență modulo n ) și notată în teoria numerelor prin x z (mod n) ale cărei clase de echivalență au forma

Clasele de echivalență se mai numesc și clase de resturi modulo n , în rolul reprezentantului r putând fi ales totdeauna un număr natural cuprins între 0 și n – 1 . Mulțimea acestor clase Zn = {} capătă o structură de grup comutativ în raport cu operația Construcția amintită ține seama numai de operația de adunare pe Z . Ținând cont și de operația de înmulțire din Z , deci de structura de inel , se poate completa și structura lui Zn . Astfel operația

împreună cu operația de adunare induc pe Zn o structură de inel comutativ și unitar . Acest inel poartă numele de inelul claselor de resturi modulo n . Elementele remarcabile ale acestui inel sunt următoarele : 0 – elementul neutru (al operației de adunare ) , – opusul clasei , – elementul unitate (al operației de înmulțire ) .

Aplicația n : Z Zn definită prin n (x) = este un morfism unitar de inele deoarece :

Morfismul n se numește surjecția canonică a lui Z pe inelul său factor Zn . Dacă n = 0 atunci fiecare clasă de resturi în Z0 este de forma . Surjecția canonică 0 = Z Z0 este și injectivă , deci inelele Z și Z0 sunt canonic izomorfe .

Dacă n = 1 atunci = Z , deci toate numerele întregi fac parte dintr-o singură clasă de resturi , iar inelul Z1 este inelul nul , Z1 = .

Inelul Zn are mai multe aplicații în teoria numerelor . În continuare , pe baza proprietăților grupurilor finite vom deduce câteva astfel de rezultate . Pentru aceasta vom stabilii mai întâi care sunt unitățile (elementele inversabile ) inelului Zn .

Teorema 1.9.1. În inelul Zn , n 1, elementul este inversabil dacă și numai dacă x și n sunt relativ prime .

Demonstrație. Observăm mai întâi că dacă x și n sunt relativ prime și y = x + kn , k Zn , atunci z și n sunt de asemenea relativ prime. Dacă este inversabilă în Z n atunci există Z n astfel încât , de unde xz = 1 + kn , pentru un anumit k Z . Din relația

xz – kn = 1

rezultă că divizorii comuni ai lui x și n sunt 1 , deci x și n sunt relativ prime . Reciproc , dacă x și n sunt relativ prime , atunci există numerele întregi și astfel încât x + n = 1 . Luând imaginile acestor elemente prin surjecția canonică n și ținând seama că n (n) = 0 rezultă , adică este inversabilă în Zn .

Conform teoremei precedente , de exemplu , în Z15 , și sunt inversabile , dar nu este inversabilă .

1.9. 2. Consecință . Dacă n este număr prim , atunci Zn este corp . Într-adevăr dacă n este număr prim , atunci 1, 2, … . n – 1 sunt relativ prime cu n și deci toate elementele inelului Zn diferite de elementul neutru al adunării () sunt inversabile .

1.9.3. Consecință . Inelul Zn (n 1) conține atâtea elemente inversabile câte numere naturale mai mici ca n și prime cu n există , adică (n) elemente , unde : N N este funcția lui Euler .

1.9.4. Observație . Legătura dintre elementele inversabile din Zn și (n) ne permite să dăm o nouă demonstrație faptului că indicatorul lui Euler este o funcție multiplicativă . Pentru aceasta vom demonstra lema care urmează .

1.9.5. Lemă . Dacă m1 și m2 , sunt numere întregi relativ prime , atunci .

Demonstrație . Considerăm funcția f : Z Zm1 x Zm2 , definită prin f (x) = (1(x ) , 2 (x)) , unde 1 , 2 sunt surjecțiile canonice ale lui Z pe Zm1 , Zm2 . Se verifică imediat că f este morfism de inele . Dacă x Ker f , atunci m1 x , m2 x , și deoarece m1 , m2 sunt relativ prime , deducem m1m2 x . Dacă m1m2 x , atunci x Ker f . Deci Ker f = m1m2 Z . Conform teoremei fundamentale de izomorfism Im f Z Ker f = Zm1m2 . Deoarece Im f are m1m2 elemente rezultă că Im f = Zm1 x Zm2 , de unde izomorfismul din enunț .

Aplicând propozițiile din 1.9.5. pentru izomorfismul din lema precedentă se obține U(Zm1m2) u (Zm1) x U (Zm2) din care deducem că ( m1m2 ) = (m1) (m2) .

CAP. II. CORPURI

Definiția corpului. Exemple.

2.1.1. Definiție: Un inel unitar (A, +, ) se numește corp dacă fiecare element nenul al inelului este inversabil , adică dacă satisface condiția :

Pentru fiecare a A* , unde A* = A \ {0}, există a –1 A astfel încât aa –1 = a –1 a = 1 .

Prin urmare , dacă (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) se numește corp comutativ sau câmp.

Observație:

Pe orice mulțime formata din doua elemente distincte exista o singura structura de corp. Daca notăm cu 0 și 1 aceste elemente, atunci adunarea și înmulțirea nu pot fi definite decât in modul următor:

0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

2.1.2. Exemple:

1. (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt corpuri comutative.

2. Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p 0 este un număr natural prim, atunci rezulta ca Z este corp.

3.Corpurile de numere pătratice Q(). Fie d un întreg liber de pătrate și Q() ={a +b / a, b Q}. Dacă z1 = a1 + b1 și z2 = a2 + b2, a1, a2, b1, ,b2 Q, atunci :

z1 + z2 = ( a1 + b1) + a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) z1 + + z2 Q(), iar z1z2 = a1a2 + db1b2 + (a1b2 + a2b1) z1z2 Q().

Deci Q() este parte stabilă a lui C in raport cu adunarea și înmulțirea. Observăm că 0 = 0 + 0Q(), 1+ 0Q() și deducem că Q() este inel comutativ in raport cu operațiile induse pe Q() de adunarea și înmulțirea pe C. Pentru a dovedi că Q() este corp, mai rămâne să arătăm că pentru orice element z Q(), z = a + b, z 0, există z’Q() a.i. zz’ = z’z =1. Deoarece z 0, atunci a 0 sau b 0 (dacă și b = 0, deducem a = 0, iar dacă și b 0 atunci = |a/b| și deducem că Q, contradicție).

Apoi, zz’=1 (a + b)z’ = 1 z’ = 1/(a + b) = (ab) / () = a/() + (-b)/()Q(). Deci Q()este corp comutativ. Astfel, Q( ) și Q( ) sunt corpuri comutative.

Exemple concrete de corpuri:

1. Pornind de la domeniul de integritate (Z, +, ) , putem construi corpul numerelor raționale. Pentru aceasta, să definim în produsul cartezian Z x Z*, unde Z* = Z \ {0} , relația binară astfel

(a, b) (c, d) ad =bc

Relația astfel definită este o echivalență în Z x Z*, deci se poate construi mulțimea cât Q = Z x Z* , adică , unde

Definind în Q operațiile binare + și prin

se constată că (Q, +, ), este corp comutativ, având ca element zero clasa , , iar ca element unitate clasa . Și de data aceasta, pentru simplificarea scrierii, se notează , deci = 0 și = 1.

Menționăm că domeniul de integritate al numerelor întregi nu este corp,

deoarece (Z*, +, ) nu este grup. Într-adevăr, elementele lui diferite de 1 și -1 nu sunt inversabile în inelul (Z, +, ).

2. Presupunând cunoscută noțiunea de șir fundamental de numere raționale precum și proprietățile acestor șiruri, putem construi corpul numerelor reale. Anume, în mulțimea tuturor șirurilor fundamentale de numere raționale se definește relația binară astfel

și se observă că aceasta este o relație de echivalență . Notând prin R mulțimea cât corespunzătoare și definind în R operațiile binare + și prin

se constată că (R, +, ) este un corp comutativ, numit corpul numerelor reale.

3. Pornind de la corpul numerelor reale (R, +, ) se poate construi corpul numerelor complexe. Pentru aceasta, să definim în C= R x R operațiile binare + și astfel

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

(a, b) (c, d) = (ac – bd , ad + bc)

Se constată că tripletul (C, +, ) devine corp comutativ, având ca element zero perechea (0,0), iar ca element unitate perechea (1,0) .

Notând (a, 0) = a și (0,1) = i și ținând cont de definiția operațiilor în C , observăm că oricare pereche (a, b) C se poate scrie astfel

(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib .

Am obținut, în acest fel, forma de scriere cunoscută a numerelor complexe.

4. Fie m N, m 0 și fie Zm mulțimea claselor de resturi ale întregilor față de modulul m, adică Zm = {Ca a Z}, unde Ca = {x Z x a(mod m)} . Definind în Zm operațiile de adunare și înmulțire prin

Ca + Cb = C a+ b

Ca Cb = C ab

se constată că (Zm, + ) , este inel unitar și comutativ, având ca element zero clasa C0 , iar ca element unitate clasa C1 . Acest inel nu este în general domeniu de integritate .

Într-adevăr, dacă spre exemplu, m = 6 atunci C2 C3 = C6 = C0 , deși C2 C0 și C3 C0 .

Se poate demonstra că inelul (Z, +, ), este corp comutativ dacă și numai dacă modulul m este un număr natural prim. Într-adevăr , faptul că elementul Ca C0 este inversabil este o afirmație echivalentă cu existența unei soluții unice x0 , 0 x0 m – 1 , pentru congruența ax 1 (mod m) . Se știe că această soluție există și este unică atunci și numai atunci când (a, m) = 1 , adică numerele naturale a și m sunt prime între ele . Deci, elementele nenule ale inelului (Zm, +, ) vor fi inversabile dacă și numai dacă pentru orice a Z , 0 a m – 1 avem ( a, m ) = 1 , adică atunci și numai atunci când numărul natural m nu are divizori diferiți de 1, ceea ce înseamnă că m este număr prim.

. Proprietăți de bază ale corpurilor.

Teorema 2.2.1.

Într-un corp nu există divizor al lui zero.

Fie (A, +, ) un inel . Deoarece (A, +) este un grup , pentru orice a A și orice n Z putem defini elementul na in mod recursiv prin condițiile:

0 a = 0

na = (n -1)a + a dacă n >0 ;

na = (n + 1)a – a dacă n <0.

Observăm că este vorba de transpunerea în limbaj aditiv a definiției puterii unui element dintr-un grup multiplicativ .

Pentru orice a A și orice n Z ,

na = -n ( -a ) = -(-na) ;

Pentru orice a A și orice m, n Z ,

ma + na = (n + n)a și n(ma) = (nm)a ;

Pentru orice a, b A și orice n Z ,

n(a + b) = na + nb .

De asemenea, întrucât (A, ) este semigrup, pentru orice aA și orice n Z , n > 0 , se poate defini elementul an A , anume an = , astfel încât pentru orice a A și pentru orice m, n Z , am an = am+n și (am)n = amn .

Dacă inelul (A, +, ) este comutativ, atunci pentru orice a, b A și orice n Z , n >0, (ab)n = an bn .

Mai mult, dacă (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) este grup, deci pentru fiecare a A a 0, se poate defini elementul an unde n Z. În acest caz, regulile de calcul cu puteri sunt:

(1) Pentru orice a A* și orice n Z, an = (a –1 ) –n = (a –n ) –1 ;

(2) Pentru orice a A* și orice n Z, aman = am + n și (am)n = amn ;

(3) Dacă (A, +, ) este corp comutativ , atunci pentru orice a, b A* și orice n Z , (ab)n = anbn .

Deoarece orice corp este inel , toate proprietățile inelelor rămân valabile în cazul corpurilor. Însă unele dintre proprietățile inelelor devin caracteristice în cazul corpurilor .

2.2.2. Propoziție . Într-un corp există doar două ideale , idealul nul și tot corpul , care sunt ideale bilaterale .

Demonstrație. Fie I un ideal la stânga în corpul K . dacă I (0) , atunci există în I un element nenul a . Fie b un element arbitrar din K , atunci egalitatea b = ba –1 a arată că b I , deci I conține toate elementele lui K , adică I = K . În mod analog se arată că orice ideal coincide sau cu (0) sau cu K, care , de altfel , sunt ideale bilaterale în orice inel K .

2.2.3. Propoziție . Fie K un inel nenul care are numai doua ideale (0) și K. Atunci K este corp .

Demonstrație. Pentru a demonstra că K este corp trebuie să arătăm că orice element nenul din K este inversabil . Fie x K , x 0 . Deoarece idealele xK și Kx sunt nenule , rezultă xK = K și Kx = K. Din aceste relații rezultă că există x , x K astfel încât xx = 1 și xx = 1 . Atunci se obține x = 1x = (xx) x = x(xx) = x1 = = x , deci x = x și deci x este inversabil .

Din propozițiile precedente rezultă că în cadrul inelelor , corpurile pot fi definite ca și inele nenule care au doar două ideale .

Corpurile fiind inele , morfismele de inele se aplică și în cazul corpurilor . În cazul corpurilor exista următoarea proprietate.

2.2.4. Propoziție. Fie k un corp . Atunci orice morfism de la K la un inel A nenul este injectiv.

Demonstrație. Menționăm că prin inel înțelegem un inel unitar iar prin morfism de inele un morfism unitar , adică care duce elementul unitate al domeniului de definiție în elementul unitate al domeniului valorilor . Fie u : K A un morfism de inele . Se știe că u este injectiv dacă și numai dacă Ker u este idealul nul în K . Deoarece Ker u este ideal bilateral în K și K este corp deducem că Ker u = K sau Ker u = 0 . Egalitatea Ker u = K nu poate avea loc deoarece ar rezulta că f (1) = 0 , ceea ce contrazice faptul că f(1) este elementul unitate la înmulțire în A și aceasta este diferit de 0 , întrucât A este inel nenul .

2.2.5. Propoziție . Fie un K inel comutativ cu proprietatea că orice morfism de la K la un inel nenul este injectiv . Atunci K este corp .

Demonstrație . Este suficient să arătăm că dacă K nu este corp există un morfism de la K la un inel nenul care nu este injectiv . dacă K nu este corp , din propoziția 2.2.3. rezultă că există în K un ideal I diferit de (0) și K .deoarece K este inel comutativ , idealul I este bilateral , deci există inelul factor A = K I . Atunci morfismul canonic p : K K I nu este injectiv , căci Ker p = I (0) .

2.3. Subcorpuri

Definiție. Dacă (A, +, ) este inel unitar sau corp și S A , S Ø  , atunci (S, +, ) va fi subcorp dacă și numai dacă satisface următoarele condiții :

Pentru orice a, b S, a + b S ;

Pentru orice a, b S, a b S ;

Pentru orice a S, -a S ;

Pentru orice a, b S, a – b S

Avem in plus condiția:

Pentru fiecare a S*, există a –1 S* astfel încât aa –1 = a –1 a = 1 adică elementele diferite de zero sunt inversabile .

Teorema 2.3.1.

Dacă (A, +, ) este corp și S A , S Ø  este o submulțime finită a lui A , atunci (S, +, ) va fi subcorp dacă îndeplinește următoarele condiții :

Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, ab S .

Exemple:

(1) Fie A un corp. Atunci A este evident subcorp al lui A.

Q este un subcorp al lui R cu adunarea și înmulțirea numerelor reale.

(3) Q este un subcorp al corpului R al numerelor reale.

(4) Z și Q nu au alte subcorpuri in afară de ele însele

În corpul numerelor complexe C , corpul numerelor reale R și corpul numerelor raționale Q sunt subcorpuri . Corpurile Q, R, C sunt subcorpuri în corpul cuaternionilor P. De asemenea Q este subcorp al lui R . Mulțimea numerelor complexe de forma a + bi , unde a , b Q , se notează , de obicei prin Q(i) este subcorp al lui C.

De asemenea numerele reale de forma a + b, a, b Q formează un subcorp al corpului numerelor reale R.

Să observăm că dacă k este subcorp al corpului K și la rândul său, K este subcorp al corpului L , atunci rezultă că k este subcorp al lui L . Prin urmare subcorpurile posedă o proprietate de tranzitivitate .

Corpuri prime

Fie (A, +, ) un corp notat cu A. Atunci A poate fi privit și ca subcorp în A. Un subcorp al lui A diferit de A se numește subcorp propriu al lui A. Se numește subcorp prim , un corp care nu are subcorpuri proprii. Deci într-un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însuși.

Propoziție.

Corpurile Q și Zp, p > 0, număr întreg prim , sunt corpuri prime.

Demonstrație. Fie A un subcorp al lui Q. Atunci 1 A , de unde deducem că pentru n Z, n > 0 , n A, deoarece n = 1 + 1 + 1 + … + 1 de n ori. Apoi obținem –n A. Deci Z A . Cum inversele elementelor din Z trebuie să fie și ele în A rezultă A = Q .

Fie p > 1 un număr întreg prim . Atunci Zp are p elemente , , …, .

Orice subcorp A al lui Zp conține pe și pe . Pentru orice , 0 ≤ r ≤ p-1, avem = + + … + de r ori. Prin urmare A = Zp .

Ne propunem să arătăm că Q și Zp sunt singurele corpuri prime. Pentru aceasta este suficient să mai demonstrăm următoarea propoziție.

Propoziție.

Orice corp conține un subcorp izomorf cu unul și numai unul dintre corpurile Q sau Zp, p > 0 , număr întreg prim .

Demonstrație. Fie A un corp. Atunci există un unic morfism de inele u : Z A , definit prin u (a) = 1a , unde a Z iar 1 este elementul unitate din A . u (Z ) este subinel în A și este izomorf cu Z / Ker u . Cum u (Z) este inel integru, iar dacă Ker u 0 , atunci există p > 0 număr întreg prim astfel încât Ker u = pZ, deci u(Z) Zp și deci A conține corpul Zp. Dacă Ker u = 0 , atunci Z este izomorf cu u(Z). Atunci u se extinde la un morfism de inele u : Q A punând pentru a, b Z , b 0 , u (a / b) = u(a) (u(b)) –1 , după cum se verifică cu ușurință. Pentru a arăta că în A , există numai un singur subcorp izomorf cu un corp prim , observăm că dacă ar conține două astfel de subcorpuri distincte , intersecția lor ar fi un subcorp propriu a cel puțin unuia dintre subcorpuri , ceea ce ar contrazice faptul că subcorpurilor sunt corpuri prime.

Propoziție.

Singurul endomorfism al unui corp prim este automorfismul identic.

Demonstrație. Dacă u : A A este un endomorfism al corpului prim A, atunci cum u este injectiv iar u(A) este subcorp al lui A , deducem că u(A) = A, adică u este un automorfism al lui A, fiind injectiv. Însă din faptul că u() = rezultă că u() = ,pentru orice r număr întreg 0 r < p dacă A = Zp, p > 0 număr întreg prim. Deci în acest caz u este automorfismul identic. Dacă A = Q , tot din faptul că u(1) = 1 rezultă u(n) = n pentru orice n Z , apoi pentru a, b Z , b 0 rezultă u(a / b ) u(a) u(b –1 ) = ab –1 , adică u este și în acest caz identitatea.

Se poate arăta că proprietatea din propoziția precedentă caracterizează corpurile prime .

Propoziția 2.4.2. ne permite să dăm următoarea definiție.

2.4.4. Definiție. Fie A un corp . Se poate spune că A are caracteristica zero dacă A conține pe Q și caracteristica p > 0, p fiind un număr întreg prim > 0, dacă A conține corpul Zp .

Din această definiție rezultă : corpurile Q, R, C sunt de caracteristică 0 iar corpul Zp are caracteristica p. Se deduce, de asemenea, direct din definiție , că dacă aA este o extindere de corpuri, atunci corpurile a și A au aceeași caracteristică . Uneori în loc de caracteristica unui corp se folosește exponentul caracteristic , care prin definiție este 1 dacă caracteristica corpului este p > 0 , dacă caracteristica corpului este p .

În continuare vom indica un alt mod de a introduce caracteristica unui corp , care este, poate, mai sugestiv.

Fie A un corp și e elementul unitate la înmulțirea în A. Atunci caracteristica lui A este cel mai mic număr natural p > 0 cu proprietatea 0 = p e = e + e + … + e , de p-ori . Dacă nu există nici un număr natural cu această proprietate vom spune că corpul A este de caracteristică 0 . Să arătăm că dacă numărul natural p > 0 există el este prim . Într-adevăr , dacă p = p1p2, atunci pe = (p1e)(p2e) și pe = 0, iar A fiind corp se obține sau p1e = 0 sau p2e = 0 . Din proprietatea de minimalitate a lui p se obține sau p1 = p sau p2 = p .

Observând că în corpul Zp , p este cel mai mic număr natural cu proprietatea p = 0 , deducem ușor echivalența dintre cele două moduri de a introduce caracteristica unui corp .

Morfisme de corpuri

Definiție. Fie A și A doua corpuri. Se numește morfism de corpuri de la A la A o funcție f : A A , astfel încât să fie satisfăcute următoarele condiții:

f(x + y) = f(x) + f(y) , oricare ar fi x, y A ,

f(xy) = f(x) f(y) , oricare ar fi x, y A ,

f(1) = 1 .

Deci f : A A este un morfism de corpuri dacă este un morfism unitar de inele .

Deoarece f este în particular un morfism de grupuri de la A* la A* , rezultă că f(x –1) = (f(x)) –1 , pentru orice x 0.

Propoziția 2.5.1. Orice morfism de corpuri este injectiv .

Demonstrație. Într-adevăr , fie f : A A morfism de corpuri și x, y A astfel încât x y . Atunci x – y 0 și deci există z a , astfel încât (x – y)z = 1 , de unde f(x – y)z = f(1) sau f (x – y)f(z) = 1 . Prin urmare , f(x – y) 0 adică f(x)- f(y) 0 sau f(x) f(y) .

Fie A un corp și {Fα}α A o familie nevidă de subcorpuri ale sale . De la inele știm că Fα este un subinel al lui A. Mai mult dacă y Fα , y 0 , atunci y Fα , y 0, oricare ar fi α A și cum fiecare Fα este corp rezultă că y –1 Fα , oricare ar fi α A . deci y –1 Fα .

Am obținut astfel că intersecția unei familii oarecare nevide de subcorpuri ale unui corp A este de asemenea un subcorp al lui A .

Dacă considerăm intersecția tuturor subcorpurilor unui corp , se obține un subcorp al sau , care nu are alte subcorpuri în afară de el însuși .

Corpuri finite

Fie K L o extindere de corpuri cu un număr finit de elemente ; presupunem că corpul K are Q elemente . Corpul L este spațiu vectorial (la stânga) peste K și fie r = dimK L. Atunci , din faptul că orice element x L se scrie în mod unic sub forma fiind o bază a lui L peste K și ai K, deducem că corpul L are qr elemente . Dacă L este un subcorp al lui L care conține pe K și s = dimkL , atunci s divide pe r. Orice corp finit K este de caracteristică p 0 și deci conține corpul prim Zp , deci k va avea pn elemente , unde n = dimZpK .

Teorema 2.6.1. Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al elementelor nenule dintr-un corp comutativ este ciclic .

Demonstrație. Fie K un corp comutativ. Notăm cu K* grupul multiplicativ al elementelor nenule din K . Fie G un subgrup finit al lui K* de ordin h . Este suficient să arătăm că in G există un element de ordin h . Fie h = descompunerea în factori primi a lui h, p1, p2, … ,pk 0 fiind numere prime distincte . Pentru orice i = 1, 2, …, k există un element xi G astfel încât , căci în cazul contrar polinomul ar avea mai multe rădăcini decât gradul său . Vom arăta că elementul yi = are ordinul . În adevăr , este clar că , căci . rezultă atunci că ordinul elementului yi este un divizor al lui , adică de forma , cu 1 s ri . Dacă s ri , ar rezulta , în contradicție cu alegerea elementului xi . Deci s = ri și ordinul elementului yi este . Atunci din lema care urmează va rezulta că elementul y = y1 y2 … yk este un element din G de ordin h .

Lema 2.6.2. Fie G un grup comutativ și ai , i = 1, 2, …, k , elemente din G de ordin respectiv ni , i = 1, 2, …, k , astfel încât numerele naturale ni , să fie relativ prime două câte două . Atunci ordinul elementului este egal cu .

Demonstrație. Este suficient să demonstrăm lema în cazul k = 2 , căci apoi afirmația se obține ușor prin inducție după k , observând că nk este prim cu produsul . Din rezultă că ordinul elementului a1a2 divide produsul n1n2 . Fie n ordinul elementului a = a1a2 . Atunci 1 = , de unde rezultă că n1 divide pe nn2 , deci n1 divide pe n , căci și produsul lor (care coincide cu cel mai mic multiplu comun al lor ) divide pe n , deoarece n1 și n2 sunt prin ipoteză relativ prime.

În continuare ne propunem să demonstrăm că orice corp finit este comutativ. În acest scop vom da câteva proprietăți ajutătoare .

Fie K un corp comutativ algebric închis cu exponent caracteristic p și u 1 un număr întreg cu proprietatea (p,n) = 1 . Notăm cu Un mulțimea rădăcinilor polinomului Xn – 1 în K . Elementele din Un se numesc rădăcini de grad n ale unității în K . Se verifică imediat că împreună cu înmulțirea din K , Un este un grup , numit grupul rădăcinilor de grad n ale unității din K . Întrucât (n, p) = 1 și derivata polinomului Xn – 1 nu este nulă , rezultă că acest polinom nu are rădăcini multiple , deci Un are n elemente . Rezultă că un este grup ciclic și deci este izomorf cu Zn . Orice generator al grupului Un se numește rădăcină primitivă de grad n a unității. Numărul acestor rădăcini este (n) , unde este funcția lui Euler . Dacă este o rădăcină primitivă de grad n a unității și m un număr întreg relativ prim cu n , atunci m este încă o rădăcină primitivă de grad n a unității deoarece ordinul lui coincide cu ordinul lui m . Mai mult , toate rădăcinile primitive de ordin n ale unității sunt de această formă , deoarece ele sunt în număr de (n) . În continuare vom considera cazul în care K = C . Dacă este o rădăcină primitivă de grad n a unității din C , atunci corpul Q() , care este corpul de descompunere al polinomului Xn – 1 în C peste Q , se numește al n – lea corp ciclotomic .

În demonstrația teoremei care urmează este necesară următoarea lemă .

Lema 2.6.3. Fie A un inel factorial , K corpul său de fracții , x un element dintr-o extindere a lui K care este rădăcină a unui polinom unitar h A(x) . Atunci polinomul minimal al lui x peste K are coeficienții în A .

Demonstrație. Fie f polinomul minimal al lui x peste K și g un factor ireductibil al lui h cu g(x) = 0 . Polinomul g are coeficientul termenului de grad maxim o unitate din A , deci , eventual înmulțind cu inversul acestui element din A , putem presupune că g este polinom unitar . rezultă f g și cum g este ireductibil în K(x) , deducem că f = g .

Teorema 2.6.4. Fie o rădăcină de grad n a unității din C și f polinomul minimal al lui (peste Q) . Atunci f Z(x) și este polinomul minimal al oricărei rădăcini primitive de grad n a unității . În plus , gradul lui f este egal cu (n) și deci Q() : Q = (n) .

Demonstrație . Prima afirmație a teoremei rezultă din lema precedentă . Este clar că orice rădăcină a lui f este tot o rădăcină primitivă de grad n a unității , deoarece Q() este izomorf cu Q() printr-un izomorfism care duce pe în și deci m = 1 dacă și numai dacă m = 1. Să arătăm acum că orice rădăcină primitivă e grad n a unității este rădăcină a lui f . Din cele de mai sus rezultă că este suficient să arătăm că m , pentru m relativ prim cu n , este încă o rădăcină a lui f . Pentru aceasta efectuând un raționament de inducție , este suficient să demonstrăm afirmația când m = p este un număr prim care nu divide pe n . Fie g polinomul minimal al lui p . Din lema precedentă rezultă că g Z(x) . Va fi suficient să arătăm că f = g , deci că f și g au un factor comun de grad 1 , deoarece f și g sunt polinoame ireductibile în Z(x) . Să presupunem dimpotrivă că (f, g) = 1 . Atunci rezultă că

Xn – 1 = fgh , cu h Zx .

Notăm gp = g(Xp) . Avem gp () = 0 , deci (gp, f) 1 și cum f este ireductibil în Zx , obținem

gp = fh , cu h Zx .

Fie u : Zx Zpx extinderea unică a morfismului canonic Z Zp , cu proprietatea u(X) = X . Notăm cu Zpx imaginea prin u a unui polinom r Zx. Atunci din (1) și (2) obținem :

Xn – 1 = ,

.

Deoarece pentru a Zp avem ap = a , rezultă și relațiile (3) și (4) arată că polinomul Xn – 1 Zpx are rădăcini multiple . Însă (Xn – 1) = nX n – 1 și p nu divide pe n , deci Xn – 1 Zpx nu poate avea rădăcini multiple , contradicție . Celelalte afirmații ale teoremei rezultă din cele demonstrate .

Polinomul minimal al unei rădăcini primitive a unității (și deci al tuturor rădăcinilor primitive) de grad n se numește al n-lea polinom ciclotomic și se notează cu Fn sau (n) . Deoarece orice rădăcină primitivă de grad d 1 a unității , cu d divide pe n , este și o rădăcină de grad n a unității și orice rădăcină de grad n a unității este o rădăcină primitivă de grad d a unității pentru un d convenabil d divide pe n iar (Fd, Fd) = 1 dacă și d și d sunt divizori distincți ai lui n , rezultă că avem relația

Xn – 1 = , d 1 .

Din egalitatea precedentă, ținând seama de egalitatea gradelor , rezultă relația :

n = , d 1 .

Fie G un grup și C(G) centrul grupului G adică mulțimea elementelor din G care comută cu orice element din G . se verifică imediat că C(G) este subgrup abelian și orice subgrup al lui C(G) este subgrup normal al lui G . Pentru un element a G notăm cu C(a) = {x G ax = xa} . C(a) este un subgrup din G și se numește centralizatorul elementului a .

Pentru un grup G se introduce următoarea relație de echivalență : dacă a, b G , se spune că a este conjugat cu b dacă există x G astfel încât x – 1 ax = b . Clasele de echivalență asociate acestei relații de echivalență se numesc clase de elemente conjugate . Pentru fiecare element a G aplicația care asociază unui element x G elementul x – 1 ax din clasa de echivalență a lui a este evident surjectivă și se verifică imediat că relația de echivalență asociată acestei aplicații coincide cu relația de echivalență la dreapta asociată centralizatorului elementului a . Într-adevăr , relația x –1 ax = y –1 ay este echivalentă cu relația y x –1 a = ayx –1 adică yx – 1 C(a) . De aici rezultă că numărul elementelor din clasa de elemente conjugate cu a coincide cu indicele centralizatorului elementului a . Dacă notăm cu G: N indicele subgrupului N al grupului G , din cele de mai sus rezultă

G: (1) = C(G): (1) + ,

unde suma se extinde după elementele unui sistem de reprezentanți ai claselor de elemente conjugate care nu aparțin lui C (G) . Această relație este cunoscută sub numele de formula claselor de elemente conjugate .

Teorema 2 .6.5. (Wedderburn) . Orice corp finit este comutativ .

Demonstrație . Fie K un corp și C = {x K ax = xa , pentru orice a K} . C este evident un subcorp comutativ al lui K , numit centrul corpului K . Avem Zp C K , unde p este caracteristica corpului K . Atunci C are q = pm elemente , unde m = [C: Zp] , iar K are qn elemente, unde n = [K: C] . Este suficient să demonstrăm că n = 1 , pentru că , atunci rezultă K = C . Presupunem n 1 . Atunci C* = C \ {0} este centrul grupului multiplicativ K* = K \ 0 . Pentru a K , fie K(a) = {x K \ xa = ax}. Evident K(a) este un subcorp al lui K și K(a) 0 este centralizatorul lui a în K* . Există incluziunile

Zp C K(a) K .

Corpul K(a) are qd(a) elemente , unde d(a) = K(a): C , și d(a) divide pe n . Aplicând formula claselor de elemente conjugate în K* , se obține :

,

unde a parcurge elementele care nu sunt în C* dintr-un sistem de reprezentanți ai claselor de elemente conjugate . Din relația (5) rezultă că Fn divide polinomul Xn – 1 / Xd(a) – 1 , deoarece d(a) divide pe n și Xd(a) – 1 = . Din relația (6) rezultă că Fn(q) divide pe q – 1 . Dacă n 2 , deducem că orice rădăcină primitivă de grad n a unității este 1 și = 1. Atunci q – = q – a – bi = q – 1 , dacă = a + bi . Deoarece , când parcurge rădăcinile primitive de grad n ale unității , rezultă Fn(q) q – 1 , ceea ce contrazice faptul că Fn(q) divide pe q – 1 .

Pentru n = 2 rezultă F(q) = q + 1 și deci F(q) nu divide pe q – 1 .

Deci neapărat n = 1 și K = C , ceea ce demonstrează teorema .

Teorema 2.6.6. Două corpuri finite cu același număr de elemente sunt izomorfe .

Demonstrație . Fie K un corp cu pr elemente . Atunci orice element x K este rădăcină a polinomului Zpx , deoarece un element nenul x K satisface relația = 1 , deoarece grupul multiplicativ al elementelor nenule din K are ordinul pr – 1 . De aici rezultă că corpul K , este corpul de descompunere al polinomului Zpx și deci rezultă că două astfel de corpuri sunt izomorfe .

Fie K un corp de caracteristică p 0 . Atunci aplicația u : K K , definită prin u(x) = xp , este un endomorfism de inel al lui K , numit endomorfismul lui Frobenius , deoarece pentru x , y K avem evident u(xy) = u(x)u(y) . De asemenea , u(x + y) = u(x) + u(y) , deoarece (x + y)p = xp + yp , deoarece (combinări de p luate câte s ) se divid cu p dacă p 1 este un număr prim . În general u este un endomorfism injectiv iar dacă K este finit sau este algebric închis , rezultă imediat că este și surjectiv , deci în aceste două cazuri este automorfism al lui K .

Un corp K de caracteristică zero sau de caracteristică p 0 pentru care morfismul u de mai sus este izomorfism se numește corp perfect . Din cele de mai sus rezultă că corpurile finite și cele algebric închise sunt corpuri perfecte . Notăm cu us puterea de ordin s a endomorfismului u (definit mai sus) al corpului K de caracteristică p 0 . Evident u este automorfism dacă și numai dacă us este automorfism .

Propoziția 2.6.7. Fie K un corp algebric închis de caracteristică p 0 . Atunci K conține un singur corp finit cu pr elemente pentru orice r 0 . Acest corp este format din elementele lui K invariate de ur .

Demonstrație . Fie K un subcorp finit cu pr elemente din K . Atunci elementele lui K sunt rădăcinile polinomului – X , deci elementele din K sunt invariate de ur . Reciproc , dacă x K este invariat de ur , atunci – X = 0 , deci X este o rădăcină a polinomului – X și prin urmare aparține lui K . Pe de altă parte , rădăcinile polinomului – X formează un subcorp al lui K care are pr elemente , fiindcă derivata lui – X este 1 și deci nu are rădăcini multiple .

Corolarul 2.6.8. Fie K un corp finit cu pr elemente . Corpul k conține un subcorp L cu ps elemente dacă și numai dacă s divide pe r .

Într-adevăr , dacă K conține subcorpul L , atunci K : L L : Zp = K : Zp și deci s divide pe r , deoarece r = K : Zp iar s = L : Zp . Reciproc , fie r = st și K o închidere algebrică a lui K . Atunci conform propoziției precedente , K este subcorpul lui format din elementele invariate de us formează un subcorp L al lui K de ordin ps , unde u este endomorfismul lui Frobenius .

Corpul finit care are pr elemente , p 0 fiind un număr întreg prim , se notează cu sau G . În particular , corpul prim de caracteristică p se notează cu Fp .

Corpul fracțiilor unui domeniu de integritate.

Fie A un domeniu de integritate și A* mulțimea elementelor nenule ale lui A. Considerăm produsul cartezian AA*={(a, b)/ a + A, bA*}.

Pe A x A* vom introduce o relație de echivalentă , R, definită astfel:

(a, b) R (c, d) ad = bc . Sa verificăm că R este o relație de echivalentă:

reflexivitatea: (a, b)R(a, b) , deoarece ab = ba.

tranzitivitatea: dacă (a, b)R(c, d) și (c, d)R(e, f) , vom arăta că (a, b) R (e, f).

Din (a, b)R(c, d) și (c, d) R (e, f) rezultă ad = bc și cf = de , deci adf = bcf = bde și cum d0 și A este domeniu de integritate, avem af = be , adică (a, b) R (e, f). Deci R este o relație de echivalență.

Clasa de echivalență a perechii (a, b) se numește fracție rațională și se notează prin a/b. Atunci a/b = c/d ad = bc.

Fie a/b si c/d două fracții. Cum b 0 si d 0 , atunci bd 0 și , deci , are sens fracția (ad + bc) / bd. Dacă a/b = a’/b’ si c/d = c’/d’ , atunci:

(ad + bc) / bd = (a’d’+b’c’) / b’d’. Într-adevăr, avem ab’ = ba’ si cd’ = dc’.

Deci ab’dd’ = ba’dd’ și cd’bb’ = dc’bb’, de unde ab’dd’ + cd’bb’ = ba’dd’ + + dc’bb’ , sau, încă, (ad + bc)b’d’ = (a’d’ + b’c’)bd, ceea ce trebuia demonstrat.

Acum, definim adunarea prin : a/b + c/d = (ad + bc) / bd, operația care nu depinde de alegerea reprezentanților, după cum s-a văzut, iar înmulțirea o definim prin: a/b c/d = ac / bd, operație care de asemenea nu depinde de reprezentanți, deci este bine definită.

Punem 0 = 0/1 și 1 = 1/1.

Se arată ușor că (A,+, ) este un inel unitar. Fie a/b 0 din A, atunci a 0. Deci are sens fracția b/a, care este din A și a/b b/a = ab / ba = 1/1 = 1 . Deci orice element a/b 0 din A are un invers și anume (a/b) = b/a , deci A este corp comutativ.

Fie aplicația f : A K , definită prin f(a) = a/1. Atunci f(a + b) = (a + b) / 1 = a/1 + b/1 = f(a) + f(b) si f(ab) = ab/1 = a/1 b/1 = f(a) f(b).

Deci f este omomorfism de inele. Dacă f(a ) = f(b), adică a/1 = b/1, atunci a 1 = 1 b, adică a = b. Prin urmare, f este omomorfism injectiv. Acest omomorfism injectiv permite identificarea lui A cu un subinel al lui K, mai precis, a = a/1. Atunci, daca a/b K, putem scrie a/b = a/1 1/b = a/1 (b/1) = ab . Corpul K se numește corpul fracțiilor (sau corpul de fracții ) al lui A.

Exemplu:

Pentru A = Z, prin procedeul descris se obține corpul Q al fracțiilor raționale.

Corpul fracțiilor raționale

Teorema 2.7.1.1.

Fie un domeniu de integritate și D[x] inelul polinoamelor cu coeficienți în D. Atunci, elementele inversabile ale inelului D[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului D. În particular, dacă (K, +, ) este un corp, atunci elementele inversabile ale inelului vor fi polinoamele de grad zero și numai ele.

Demonstrație. Dacă a D este inversabil în inelul D, atunci evident el va fi

inversabil si în inelul D[x] , considerat ca polinom de gradul zero .

Invers , dacă A = (a0, a1, a2, …) D[x ] este inversabil in inelul D[x] , atunci exista B = (b0, b1, b2, …) D[x] astfel încât AB = (1,0, …) , adică AB = 1 și ținând cont ca grad A + grad B = 0 , de unde rezultă că grad A = 0 și grad B = 0 deci A D și B D . Cum AB = 1 , rezultă că A este inversabil în inelul D.

În baza teoremei precedente, elementele inversabile ale inelului Z[x] sunt

numerele întregi 1 și -1, iar elementele inversabile ale inelului Q [x] sunt toate

numerele raționale nenule.

Teorema 2.7.1.2. Dacă (D, +, ) este domeniu de integritate, atunci (D[x], +, ) este domeniu de integritate. În particular, dacă K este un corp, atunci (K[x], +, ) este domeniu de integritate fără a fi corp.

Demonstrație . Proprietatea de comutativitate a operației de înmulțire din inelul se transmite de la proprietatea similară a operației de înmulțire din D. Apoi, dacă I D este element unitate în inelul D, atunci acesta va juca rol de element unitate și în D[x] , considerat ca polinom de gradul zero. Rămâne să arătăm că inelul D[x] nu posedă divizori ai lui zero. Într-adevăr, dacă A B D[x] și A 0 și B 0 , atunci există m, n N astfel încât grad A = m și grad B = n , deci grad (AB) = m + n , adică AB 0

Pentru a termina demonstrația, observăm că dacă K este corp, atunci în baza

teoremei (2.7.1.1.) , elementele inversabile ale inelului K[x ]sunt polinoame de grad zero și numai ele. Dar, în K[x] există cu siguranță și alte polinoame, de exemplu polinomul de grad unu x = (0,1,1,…) deci K[ x] va fi numai domeniu de integritate fără a fi corp .

Din (2.7.1.2.) și (2.6.3) rezultă imediat:

Teorema 2.7.1.3. Dacă D este domeniul de integritate, atunci D[x] se scufundă izomorf într-un corp , numit corpul de fracții raționale atașat inelului de polinoame D[x] anume

Construcția corpului se poate face urmărind pas cu pas construcția inelului de fracții dată în (2.6.2), înlocuind în această construcție inelul A cu inelul D[x] și mulțimea S prin mulțimea D[x] \ {0} .

Bibliografie

[1] M. Becheanu, C. Niță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Purdea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu , Algebră Pentru Perfecționarea Profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

[2] Gheorghe Fărcaș, , Algebră, Editura universității “Petru Maior”, Târgu Mureș, 2001

[3] Ion D. Ion , R. Nicolae, Algebra, Ediția a III-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

[4] C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol.I , Editura Academiei R.S.R. , București, 1986