Elementele Prime Si Ireductibile Intr Un Domeniu de Integritate
ELEMENTELE PRIME SI IREDUCTIBILE
INTR-UN DOMENIU DE INTEGRITATE
Cap.I. Inele si corpuri.
1.Inel. Subinel. Ideal. Exemple.
Definitie: Se numeste inel o multime A, nevida inzestrata cu doua legi de compozitie: +:AxAA si :AxAA, una notata aditiv cealalta notata multiplicativ, care satisfac urmatoarele proprietati:
A este un grup abelian fata de operatia aditiva;
Operatia de inmultire este asociativa;
Inmultirea este distribuitiva bilateral fata de adunare.
Elementul neutru al grupului (A,+) se noteaza cu 0 si se numeste elementul nul al inelului, iar simetricul fata de adunare al unui element oarecare xA se noteaza cu -x si se numeste opusul elementului x.
Explicitind proprietatile 1, 2 si 3, (A, +, ) este inel daca:
(x+y)+z=x+(y+z) , () x, y, z A.
0 A a.i. 0+x=x+0=x , () xA
() xA , -x A a.i. x+(-x)=(-x)+x=0
x(yz)=(xy)z , () x,y,z A
Daca, in plus operatia de inmultire admite un element neutru, se spune ca inelul este cu element unitate sau unitar.
Elementul neutru se noteaza, de obicei, cu 1. Atunci, inelul este unitar daca exista un element 1.
Daca inmultirea este comutativa, adica daca xy=yx , inelul se numeste comutativ. In acest caz, cele doua axiome de distributivitate sunt identice si se reduc la una singura.
Exemple de inele:
(Z,+,), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comutative si unitare.
(Z[i],+, ) numit inelul intregilor lui Gauss,
unde Z[i]={z/z=a+bi; a,b Z}, iar operatiile + si sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifica usor ca (Z [i],+, ) este inel comutativ unitar .
(Zn ,+, ) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.
Propozitia 1.1. Daca A este un inel, atunci:
x 0=0x=0 , x A;
(-x)y=x(-y)=-xy , x,y A;
(-x)(-y)=xy , x,y A (regula semnelor)
x(y-z)=xy-xz si (y-z)x=yx-zx , x,y,z A;
(distributivitatea inmultirii fata de scadere)
Demonstratie:
x 0=x (0+0)=x 0+x 0. Adunind -x 0 la ambii membrii ai egalitatii
x 0=x 0+x 0 , obtinem: x 0=0. Analog, 0 x=0.
0=0 y=[x+(-x)]y=xy+(-x)y. Deci opusul lui xy este (-x)y, de unde
(-x)y=-xy
Analog se arata ca x(-y)=-xy iar (-x)(-y)=-(x(-y))=-(-xy)=xy.
x(y-z)=x(y+(-z))=xy+x(-z)=xy-xz si analog (y-x)z=yz-xz.
Observatie:
Intr-un inel unitar A cu cel putin doua elemente, avem 1 0. Intr-adevar, daca 1=0, atunci x=1 x=0 x=0, de unde A={0}, contradictie.
Definitie: Fie (A,+,.) un inel comutativ. Un element x A, x 0 se numeste divizor al lui zero daca exista y A, y 0 a.i. xy=0.
In inelul (Z 8 ,+,.)elementele 2 si 4 sunt divizori ai lui zero, caci: 2 4=0 si 4 2=0.
Spunem ca inelul A este fara divizori ai lui zero daca x 0 si y 0 rezulta xy 0.
Pe o multime A formata dintr-un singur element ,a , se poate defini o singura structura de inel, punind a+a= a si a a= a.In acest caz a=1 si a=0, deci 1=0.Acesta se numeste inelul nul.
Un inel nenul A, comutativ, cu element unitate si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate sau inel integru.
Exemple: Inelele(Z,+,.),(Q,+,.),(R,+,.),(C,+,.),(Z[i],+,.)sunt domenii de integritate.Daca A este un inel unitar ,elementele lui simetrizabile in raport cu inmultirea se bnumesc elemente inversabile sau unitati ale inelului..
Inversul sau simetricul lui a ,daca exista , se noteaza cu a .
Propozitia 1.2. Daca inelul comutativ unitar A este nenul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor al lui zero.
Demonstratie.
Presupunem ca x A este un element inversabil din A si ca este divizor al lui zero .Atunci exista y 0 a.i. xy =0.Daca x este inversul lui x, atunci avem
x (xy) =(x x)y=1 y si x 0=0 y=0, contradictie.
In particular, 1A fiind element inversabil ,nu este divizor al lui zero,deci 1 0.
Intr-un domeniu de integritate A; produsul a doua elemente x,y A este zero daca si numai daca x=0 sau y=0,adica xy=0 x=0 sau y=0.
Daca A este un domeniu de integritate, atunci din egalitatea ax=ay,a 0 x=y.Deci intr-un domeniu de integritate au loc regulile de simplificare. Vom nota cu U(A) multimea elementelor inversabile din inelul comutativ unitar A(multimea unitatilor lui A). 1 U(A) U(A) 0.
Daca x,y U(A), atunci exista x ,y A,a.i. x x =x x=1, yy =
y y=1.Deci x ,y U(A),adica U(A) este parte stabila a lui a in raport cu inmultirea si,evident, verifica conditiile :
1.(xy)z=x(yz) , x,y,z U(A)
1 U(A) a.i. 1 x=x 1=x , x U(A)
x U(A) , x U(A) a.i. xx =x x=1.
xy=yx, x,y U(A).
Prin urmare (U(A),.) este grup comutativ numit, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A sau grupul unitatilor lui A.
Exemple.
U(Z)={-1,1}, U( C)=C-{0},U( R)=R-{0}, U(Z[i ])={-1,1,-i,i}.Sa determinam ,de exemplu ,elementele inversabile din Z[ i ].Fie a+bi U(Z[ i ]) .Atunci exista c+di Z[ i ] a.i.(a+bi)(c+di)=1,de unde ,aplicind modulul si ridicind la patrat , avem |a+bi| |c+di| =|1| sau (a +b )(c +d )=1.
Deci a +b =1 si ,cum a,bZ,rezulta ca a= 1si b=0 sau a=0,b= 1.Asadar elementele inversabile din Z[ i ] sunt 1,-1,i,-,i ,deci U(Z[ i ]) ={1,-1,i,-i}.
Propozitia 1.3. Fie n 2. Un element aZn este un element inversabil daca a este prim cu n. In particular, daca n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.
Demonstratie:
Presupunem ca a este element inversabil in inelul Zn . Atunci exista bZn a.i. ab=1. Cum ab=ab=1, avem ab=1=0 ab-1=0. Deci rezulta ca n divide pe ab-1. kZ a.i. ab-1=nk. Asadar, ab+n(-k)=1 (a,n)=1.
Reciproc, daca (a,n)=1, h,kZ a.i. ah + nk=1. Cum 1=ah+nk=0=ah=ah, rezulta ca a este element inversabil al inelului Zn si (a )=h. Avem deci ca
U(Zn )={aZn / (a,n)=1}. De exemplu, U(Z8)={1,3,5,7}.
Definitie. Fie A un inel. O submultime nevida A’ a lui A se numeste subinel daca A’ impreuna cu operatiile induse de cele definite pe A formeaza, la rindul sau, un inel .
Propozitia 1.4. Fie A un inel si A’ A submultime nevida a lui A. Atunci A’ este subinel al lui A daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:
x,yA’ x-yA’;
x,yA’ xyA’.
Demonstratie:
Fie A’ un subinel al lui A. Atunci, din definitie rezulta ca A’ este subgrup al grupului aditiv al lui A si, deci, este satisfacuta conditia (1). Tot din definitie rezulta ca inmultirea din A induce o inmultire pe A’, adica este satisfacuta conditia (2).
Reciproc, daca conditiile (1) si (2) sunt satisfacute, atunci este din (1) rezulta ca A’ este subgrup abelian al grupului aditiv A, deci A’ impreuna cu adunarea indusa este grup abelian, iar din (2) rezulta ca inmultirea din A induce o inmultire pe A’, care este asociativa si distributiva fata de adunare. Deci A’ este subinel al inelului A.
Exemple:
Daca A este un inel, atunci A si {0} sunt subinele, numite subinele improprii.
(Z, +, ) si (Q, +,) sunt subinele ale inelului (R, +, ).
Fie nN. Multimea H=n Z={nk /kZ} este un subgrup al grupului aditiv (Z, +). Daca avem x,yH, atunci x=nk1, y=nk2, k1,k2Z, deci
xy = nk1k2H, adica H este un subinel al lui Z. Deci, orice grup al grupului aditiv al lui Z este un subinel al inelului Z, deoarece orice subgrup al lui (Z, +) este de forma nZ, cu nN.
Reciproc, deoarece orice subinel al unui inel trebuie sa fie subgrup al grupului aditiv al inelului respectiv, rezulta ca orice subinel al lui Z este de forma H=nZ. Deci subinelele inelului Z coincid cu subgrupurile lui (Z, +), care sunt de forma nZ, nN.
Mai exact fiecare subinel este format din multipli intregi ai celui mai mic numar natural nenul sau zero ce apartine subinelului.
Definitie.
O submultime nevida I a unui inel comutativ se numeste ideal daca:
x-yI , x,yI;
axI , aA si xI.
Din aceasta definitie rezulta ca orice ideal al unui inel este un subinel, pe cind reciproca nu este adevarata.
Astfel, Z este un subinel al lui Q, dar nu este ideal, deoarece, de exemplu 2/3Q, 5Z, iar 2/35Z.
Am vazut ca subinelele inelului Z sunt submultimile sale de forma nZ, nN. Vom arata ca astfel de submultime este un ideal al inelului Z. Evident, nZ, n0, este subgrup al grupului aditiv (Z, +). Mai mult, daca aZ si xnZ x=nk, kZ ax=ank=n(ak)nZ. Deci subgrupurile grupului aditiv (Z,+) coincid cu idealele inelului Z si cu subinelele sale.
Definitie.
Fie A un inel comutativ si aA. Submultimea Aa={xa / xA} este un ideal al lui A si se numeste idealul principal generat de a; il vom mai nota si cu (a). Din observatiile anterioare rezulta ca idealele inelului Z sunt principale .
2.Corp. Subcorp. Morfisme de corpuri. Exemple.
Definitie: Un inel unitar K se numeste corp daca 01 si orice element xK , x0 este inversabil (in raport cu inmultirea ), adica xK , x0 , xK, astfel incit xx=xx=1.
Conditia 01 este echivalenta cu faptul ca inelul K contine cel putin doua elemente distincte: un element neutru fata de adunare si un alt element neutru fata de inmultire.
Din definitie se observa ca multimea elementelor nenule din K, K*=K-{0}, formeaza grup fata de inmultire. Atunci, definitia corpului poate fi formulata astfel:
C1: (K, +) este grup abelian;
C2: (K*,) este grup;
C3: inmultirea este distributiva bilateral fata de adunare. Daca in plus, inmultirea este comutativa, corpul se numeste comutativ.
Observatie:
Pe orice multime formata din doua elemente distincte exista o singura structura de corp. Daca notam cu 0 si 1 aceste elemente, atunci adunarea si inmultirea nu pot fi definite decit in modul urmator:
0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
Propozitia 2.1. Un corp nu are divizori ai lui zero.
Demonstratie.
Intr-adevar, daca x,yK, x0 si y0, atunci xy0, caci daca xy=0 , deducem : y=1y=(xx)y=x(xy)=x0=0, contradictie.
De fapt, conform unei propozitii demonstrata anterior, intr-un corp orice element nenul fiind inversabil, nu poate fi divizor al lui zero.
Exemple de corpuri
(Q,+,), (R,+,), (C,+,) sunt corpuri comutative.
Corpurile de numere patratice Q(). Fie d un intreg liber de patrate si Q() ={a +b /a,bQ}. Daca z1=a1+b1 si z2=a2+b2, a1,a2,b1,b2Q,atunci :
z1+z2=( a1+b1)+a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2) z1+z2Q(), iar z1z2=a1a2+db1b2+(a1b2+a2b1) z1z2Q().
Deci Q() este parte stabila a lui C in raport cu adunarea si inmultirea. Observam ca 0=0+0Q(), 1+0Q() si deducem ca Q() este inel comutativ in raport cu operatiile induse pe Q() de adunarea si inmultirea pe C. pentru a dovedi ca Q() este corp, mai ramine sa aratam ca pentru orice element zQ(), z=a+b, z0, exista z’Q() a.i. zz’=z’z=1. Deoarece z0, atunci a0 sau b0 (daca si b=0, deducem a=0, iar daca si b0 atunci =|a/b| si deducem ca Q, contradictie).
Apoi, zz’=1 (a+b)z’=1 z’=1/(a+b)=(ab)/()=a/()+(-b)/()Q(). Deci Q()este corp comutativ. Astfel, Q( ) si Q( ) sunt corpuri comutative.
Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p0 este un numar natural prim, atunci din Propozitia 1.3. rezulta ca Z este corp.
Definitie. Daca K este un corp, o submultime nevida F a lui A este un subcorp al lui K daca operatiile algebrice de pe K induc pe F operatii algebrice fata de care F este un corp. Daca F este un subcorp al lui K, atunci K se numeste extindere a lui F.
Propozitia 2.2. Fie K un corp si FK o submultime a sa. Atunci F este un subcorp al lui K daca si numai daca:
x-yF, x,yF .
xy F, x,yF, y0.
Echivalenta celor doua afirmatii din propozitie este imediata. Observam ca elementul unitate din K este element unitate si pentru F.
Exemple:
Fie K un corp. Atunci K este evident subcorp al lui K.
Q este un subcorp al lui R cu adunarea si inmultirea numerelor reale.
Q( ) este un subcorp al corpului R al numerelor reale.
Z si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele.
Definitie.
Fie (A,+,) si (B,+,) doua inele. Aplicatia f: A B se numeste omomorfism de inele daca:
f(x+y)=f(x)+f(y), x,yA;
f(xy)=f(x)f(y) , x,yA.
Daca A si B sunt inele unitare si f are proprietatea ca f(1)=1, atunci f se numeste omomorfism unitar de inele. Ca si la grupuri, se intilnesc si la inele notiunile de omomorfism injectiv, surjectiv, izomorfism.
Definitie.
Daca K si K’ sunt doua corpure element unitate si pentru F.
Exemple:
Fie K un corp. Atunci K este evident subcorp al lui K.
Q este un subcorp al lui R cu adunarea si inmultirea numerelor reale.
Q( ) este un subcorp al corpului R al numerelor reale.
Z si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele.
Definitie.
Fie (A,+,) si (B,+,) doua inele. Aplicatia f: A B se numeste omomorfism de inele daca:
f(x+y)=f(x)+f(y), x,yA;
f(xy)=f(x)f(y) , x,yA.
Daca A si B sunt inele unitare si f are proprietatea ca f(1)=1, atunci f se numeste omomorfism unitar de inele. Ca si la grupuri, se intilnesc si la inele notiunile de omomorfism injectiv, surjectiv, izomorfism.
Definitie.
Daca K si K’ sunt doua corpuri, atunci un izomorfism de corpuri de la K la K’ este o aplicatie f: K K’ , astfel incit :
f(x+y)=f(x)+f(y), x,yK;
f(xy)=f(x)f(y) , x,yK;
f(1)=1’ , unde 1’ este elementul unitar din K.
Deci f: K K’ este un omomorfism de corpuri daca este un omomorfism unitar de inele.
Propozitia 2.3. Orice morfism de corpuri este injectiv.
Demonstratie:
Intr-adevar fie f: K K’ morfism de corpuri si x,yK a.i. xy. Atunci x-y0 si deci exista zK a.i. (x-y)z=1, de unde f((x-y)z)=f(1) sau
f(x-y)f(z)=1’, iar 1’0’ (0’ este elementul nul din K’).
Prin urmare, f(x-y)0’ , adica f(x)-f(y)0’ sau f(x)f(y).
Corpul fractiilor unui domeniu de integritate.
Fie A un domeniu de integritate si A* multimea elementelor nenule ale lui A. Consideram produsul cartezian AA*={(a,b)/ a+A, bA*}.
Pe AxA* vom introduce o reletie de echivalenta , R, definita astfel:
(a,b)R(c,d) ad=bc . Sa verificam ca R este o relatie de echivalenta:
reflexivitatea: (a,b)R(a,b) , deoarece ab=ba.
tranzitivitatea: daca (a,b)R(c,d) si (c,d)R(e,f) , vom arata ca (a,b)R(e,f).
Din (a,b)R(c,d) si (c,d)R(e,f) rezulta ad=bc si cf=de , deci adf=bcf=bde si cum d0 si A este domeniu de integritate, avem af=be , adica (a,b)R(e,f). Deci R este o relatie de echivalenta.
Clasa de echivalenta a perechii (a,b) se numeste fractie rationala si se noteaza prin a/b. Atunci a/b=c/d ad=bc.
Fie a/b si c/d doua fractii. Cum b0 si d0 , atunci bd0 si , deci , are sens fractia (ad+bc)/bd. Daca a/b=a’/b’ si c/d=c’/d’ , atunci:
(ad+bc)/bd=(a’d’+b’c’)/b’d’. Intr-adevar, avem ab’=ba’ si cd’=dc’.
Deci ab’dd’=ba’dd’ si cd’bb’=dc’bb’, de unde ab’dd’+cd’bb’=ba’dd’+dc’bb’, sau, inca, (ad+bc)b’d’=(a’d’+b’c’)bd, ceea ce trebuia demonstrat.
Acum, definim adunarea prin : a/b + c/d= (ad+bc)/bd, operatia care nu depinde de alegerea reprezentantilor, dupa cum s-a vazut, iar inmultirea o definim prin: a/bc/d=ac/bd, operatie care deasemenea nu depinde de reprezentanti, deci este bine definita.
Punem 0=0/1 si 1=1/1.
Se arata usor ca (K,+,) este un inel unitar. Fie a/b0 din K, atunci a0. Deci are sens fractia b/a, care este din K si a/bb/a=ab/ba=1/1=1. Deci orice element a/b0 din K are un invers si anume (a/b) =b/a. deci K este corp comutativ.
Fie aplicatia f:AK , definita prin f(a)=a/1. Atunci f(a+b)=(a+b)/1=a/1+b/1=f(a)+f(b) si f(ab)= ab/1=a/1b/1=f(a)f(b).
Deci f este omomorfism de inele. Daca f(a )=f(b), adica a/1=b/1, atunci a1=1b, adica a=b. Prin urmare, f este omomorfism injectiv. Acest omomorfism injectiv permite identificarea lui A cu un subinel al lui K, mai precis, a=a/1. Atunci, daca a/bK, putem scrie a/b=a/11/b=a/1(b/1) =ab . Corpul K se numeste corpul fractiilor (sau corpul de fractii ) al lui A.
Exemplu:
Pentru A=Z, prin procedeul descris se obtine corpul Q al fractiilor rationale.
Inele de polinoame.
Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata.
Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la inceput nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.
Peste inelul A se considera sirurile f=(a0,a1,a2,…), aiA a.i. toti termenii ai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli.
Fie A’ multimea tuturor sirurilor de acest tip. Sirurile f=(a0,a1,…) si g=(b0,b1,…) sint egale daca si numai daca ai=bi, pentru orice i. Pentru A’ se definesc doua operatii algebrice , adunarea si inmultirea, in raport cu care A’ devine un inel comutativ si unitar.
Fie f,gA’, f=(a0,a1,a2,…), g=(b0,b1,b2,…). Atunci adunarea se defineste astfel: f+g=(a0+b0, a1+b1, a2+b2,…).
Este evident ca f+g are numai un numar finit de termeni nenuli, deci f+gA. Sa verificam ca (A’,+) este grup abelian.
Intr-adevar , daca f,g,hA , f=(a0,a1,a2,…), g=(b0,b1,b2,…), h=(c0,c1,c2,…), atunci (f+g)+h=(a0+b0, a1+b1, a2+b2,…)+(c0,c1,c2,…)=
=[(a0+b0)+c0, (a1+b1)+c1, …] si f+(g+h)= (a0,a1,a2,…)+[(b0,b1,b2,…)+
+(c0,c1,c2,…)]=[a0+(b0+c0),a1+(b1+c1),…] .
Cum adunarea in inelul A este asociativa ,avem (ai+bi)+ci=ai+(bi+ci) , i=1,2,3…, de unde (f+g)+h=f+(g+h) . Analog se arata ca f+g=g+f.
Daca 0=(0,0,0,…) , atunci 0+f=(0,0,…)+(a0,a1,…) = (0+a0,0+a1,…)=
=(a0,a1,a2,…)=f=f+0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca fA’, f=(a0,a1,a2,…), atunci -f=(-a0,-a1,-a2,…) este opusul lui f si f+(-f)=(-f)+f=0.
Inmultirea pe A se defineste astfel:
fg=(a0b0,a0b1+a1b0, a0b2+a1b1+a2b1,…)=(c0,c1,…), unde Ck=.
Este clar ca f, gA’. Inmultirea pe A’, astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratam mai intii asociativitatea .
Fie f,g,hA’ , unde f=(a0,a1,a2,…), g=(b0,b1,b2,…), h=(c0,c1,c2,…) si sa aratam ca (fg)h=f(gh).
Fie fg=(d0, d1, d2,…). Atunci . De asemenea, fie
(fg)h=(d0’,d1’,d2’,…), unde d’m=
Daca gh=(c0,c1,…), atunci :
si fie f(gh)=(l’0,l’1,l’2,…), unde :
.
Deci d’m=l’m pentru orice m. Deci (fg)h=f(gh). Comutativitatea inmultirii rezulta din faptul ca inmultirea in inelul A este comutativa, iar in expresia produsului polinoamelor f si g termenii factorilor intervin in mod simetric.
Elementul unitate din A’ este sirul (1,0,0,…). Inmultirea pe A’ este distributiva fata de adunare. Intr-adevar, cu notatiile de mai sus, rezulta :
f(g+h)=(d0, d1,…) , unde
fg+fh=(d’0,d’1,…), unde
Cum operatia de inmultire pe A este distributiva fata de adunare rezulta f(g+h)=fg+fh. Evident are loc si relatia (f+g)h=fh+gh si afirmatia s-a demonstrat.
Propozitia3.1.
Daca A este un inel unitar comutativ, atunci multimea A’ ( a sirurilor de elemente din A, care au numai un numar finit de termeni nenuli) impreuna cu operatiile de adunare si inmultire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.
Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienti din A .
Daca f=(a0,a1,…) este un polinom nenul (adica nu toti termenii ai sunt nuli ) si daca n este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca an0 , atunci n se numeste gradul polinomului f. Pentru polinomul nul nu se defineste gradul. Convenim sa consideram gradul sau ca fiind – . Daca gradul (f)=n , atunci a0,a1,…,an se numesc coeficientii polinomului f.
Fie aplicatia u: A A’ definita prin u(a)=(a,0,0,…). Aplicatia u este injectiva , caci, daca u(a)=u(b), atunci (a,0,…)=(b,0,…) a=b. De asemenea , u(a+b)=u(a)+u(b) si u(ab)=u(a)u(b) , a,bA , deoarece , dupa definitie , este evident ca (a,0,…)+(b,0,…)=(a+b,0,… ) si(a,0,…)(b,0,…)=(ab,0,…).
Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul aA cu imaginea sa prin u , adica polinomul (a,0,…) din A’. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A’. Notam prin X polinomul (0,1,0,…), care se numeste nedeterminata X. Obtinem:
Pentru orice aA, avem ax=(0,0,…,0,a,0,…). Fie acum un polinom de gradul n , f=(a0,a1,a2,…,an,0,…)=(a0, 0, 0,…)+(0,a1,0,…)+…
…+(0,0,…an,0,…)=a0(1,0,…)+a1(0,1,0,…)+…+an(0,0,…,1,0,…)=
=
Daca an=1 , spunem ca polinomul este unitar. Inelul A’ obtinut se numeste inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in inelul A (sau peste inelul A) si se noteaza cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau – daca si numai daca f apartine inelului A. Din definitia sumei si produsului a doua polinoame , rezulta ca grad (f+g) max(grad(f), grad(g)); grad(fg)
grad(f)+grad(g), pentru f,g A[x].
Daca A este un domeniu de integritate , se poate inlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.
Propozitia 3.2.
Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.
Demonstratie:
Fie f,gA[x]; :
A fiind domeniu de integritate, rezulta din am0 si bn0 ca ambn0, adica fg0. In particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K este un inel integru.
Propozitia 3.3.
Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notatiile cunoscute, avem: u(A[x])=u(A).
Demonstratie:
Fie aA, inversabil in A , adica exista bA a.i. ab=1. Evident, aceasta relatie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x].
Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinom gA[x] a.i. fg=1 si , deci, grad(f)+grad(g)=grad(1)=0, adica f,gA. Deci fA si f este inversabil in A. In particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x])u(A). Intr-adevar , polinomul neconstant 1+2XZ [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x)=1.
Inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate.
Fie A un inel. Atunci inelul polinoamelor in nedeterminatele X1,X2,…,Xn cu coeficienti in inelul A se defineste inductiv astfel: daca A[X1] este inelul polinoamelor in nedeterminata X , cu coeficienti in inelul A1, A[X1,X2] este inelul polinoamelor in nedeterminata X2 cu coeficienti in inelul A[X1] si, in general : A[X1,X2,…,Xn] este inelul polinoamelor in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1,X2,…,Xn-1]. Pe A[X1] l-am construit deja si in mod recurent:
A[X1,X2]=A[X1]A[X2]
A[X1,X2,X3]=A[X1,X2]A[X3];
……………………………….
A[X1,X2,…Xn]= A[X1,X2,…,Xn-1]A[Xn].
Daca f este un polinom in inelul A[X1,X2,…,Xn] , atunci el este polinom in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1,X2,…,Xn-1] si , deci, A[X1,X2,…,Xn-1], pentru orice i=0,1,…,hn. Din aproape in aproape , f se scrie ca o suma finita de forma:
in care A se numesc coeficientii polinomului f,
sunt numere nenaturale . Un polinom din A[X1,X2,…Xn] de forma aX1X2X3…Xn, a0 , se numeste monom.
Definitie:
Se numeste gradul monomului aX1X2X3…Xn, a0 in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,X2,X3,…,Xn, suma i1+i2+…+in.
Definitie:
Se numeste gradul polinomului f A[X1,X2,…Xn] in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,…,Xn cel mai mare dintre gradele monoamelor sale in raport cu ansamblul nedeterminatelor. Ca si in inelul polinoamelor intr-o nedeterminata , si aici avem:
Propozitia 3.4.
Fie A un inel si f,g A[X1,X2,…Xn]. Atunci:
grad(f+g) max(grad(f),grad(g));
grad(fg) grad(f)+grad(g);
daca, in plus, A este domeniu de integritate , atunci la punctul (2) vom avea egalitate; mai mult, U(A[X1,X2,…Xn])=U(A).
Cap.II. Elemente prime si elemente ireductibile.
1. Divizibilitatea in domenii de integritate.
In continuare , inelele considerate vor fi domenii de integritate daca nu se va face vreo mentiune contrara expresa.
Definitie: Fie A un domeniu de integritate. Spunem ca un element aA divide elementul bA (sau ca a este divizor al lui b sau ca b este multiplu de a ) si scriem a/b daca exista cA a.i. b=ac.
Propozitia 1.1. Relatia de divizibilitate are urmatoarele proprietati:
a/b (b)(a) ; (a)- idealul general de a.
a/a aA;
daca a/b si b/c a/c;
daca a/bi, i=1,2,3,…,n, atunci a/(c1b1+c2b2+…+cnbn),
c1,c2,…,cnA.
a/b si b/a exista uU(A) a.i. b=ua.
Demonstratie:
Presupunem ca a/b , deci exista cA a.i. b=ac ; Daca x(b) atunci exista uA a.i. x=ub. Cum b=ac atunci x=(uc)a si , deci x(a) , adica (b)(a).
Fie (b) (a) . Cum b(b) , atunci b(a) si deci , exista cA a.i. b=ac, adica a/b.
Relatia a/a rezulta din faptul ca a=1a.
Daca a/b si b/c , atunci exista elementele u,vA a.i. b=ua si c=vb . Deci c=v(ua)=(uv)a, adica a/c.
Cum a/bi, oricare ar fi I=1,2,…,n , exista uiA a.i. bi=uia , I=1,2,…,n , deci c1b1+c2b2+…+cnbn=c1u1a+c2u2a+…+cnuna=(c1u1+c2u2+…+cnun)a si , deci, a/(c1b1+…+cnbn).
Presupunem ca a/b si b/a. Inseamna ca exista u,vA , a.i. b=ua si a=vb. Daca a=0 , obtinem b=0 si putem lua u=1. Daca b=0 , obtinem a=0 si , in mod similar, putem lua v=1.
Daca b0 , a0 , atunci din relatia de mai sus obtinem a=(uv)a si, cum a0,
rezulta ca uv=1, adica uU(A) .
Invers , daca b=ua , unde uU(A) , atunci a/b . Cum a=u b, atunci avem si b/a.
Prioritatile 2 si 3 arata ca relatia de divizibilitate pe A este o relatie binara reflexiva si tranzitiva. Relatia de divizibilitate nu este simetrica, asa cum se vede din contraexemplu 5/10, dar 10 nu divide 5 in inelul Z.
Relatia de divizibilitate nu este antisimetrica, asa cum se vede in exemplul 7/-7 si -7/7, dar -77. Proprietatea 5 ne permite sa definim alta relatie binara pe multimea A.
Definitie. Daca a,bA , spunem ca a si b sunt asociati in divizibilitate , si notam a~b daca si numai daca a/b si b/a .
Propozitia 1.2.
Relatia de asociere in divizibilitate “~” are urmatoarele proprietati:
a~b (a)=(b);
“~” este o relatie de echivalenta;
a~1 aU(A) (a)=A.
Demonstratie:
Deoarece a/b (b) (a). Deoarece si b/a (a) (b). Din ambele rezulta ca (a)=(b).
Reflexivitatea : a~a , aA . Intradevar , a=1a ;
Simetria: Daca a~b, atunci b~a ; Daca a~b , exista uU(A) a.i. b=ua . Dar atunci a=u b si , cum u U(A), obtinem b~a.
Tranzitivitatea: Daca a~b si b~c , atunci a~c. Intr-adevar , din a~b avem a/b si b/a.
Din b~c avem b/c si c/b. Din a/b si b/c rezulta a/c . Din b/a si c/b rezulta c/a , deci a~c.
Astfel, relatia “~” fiind reflexiva , simetrica si tranzitiva este o relatie de echivalenta pe A.
Daca a~1, atunci a/1 si deci exista bA a.i. 1=ab si , deci, aU(a) .
Invers, daca aU(A), atunci exista bA a.i. 1=ab si deci a/1. Cum evident si 1/a , atunci a~1.
Echivalenta aU(A) (a)=A este evidenta . Intr-adevar , daca a este element inversabil, atunci 1(a) (a)=A.
C.M.M.D.C. si C.M.M.M.C.
Definitie. Fie a,bA. Un element dA se numeste cel mai mare divizor comun (cmmdc) al elementelor a si b daca are urmatoarele proprietati:
d/a si d/b , adica d este un divizor comun al elementelor a si b .
daca d’/a si d’/b , atunci d’/d (orice alt divizor comun d’ al lui a si b divide si pe d).
Cmmdc al elementelor a si b se mai noteaza cu (a,b).
Definitie. Fie a,bA , unde A este un inel unitar si comutativ. Un element mA se numeste cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al elementelor a si b daca are urmatoarele proprietati:
a/m si b/m , adica m este multiplu comun al elementelor a si b;
daca a/m’ si b/m’ , atunci m/m’ (pentru orice multiplu comun al lui a su b , m divide pe m’).
Cmmmc al elementelor a si b se mai noteaza cu [a,b].
Propozitia 1.3. Fie A un domeniu de integritate si a,b A . Atunci:
Daca d este cmmdc al lui a si b , atunci un element d’ A este cmmdc al lui a si b daca si numai daca este asociat cu d.
Daca mA este cmmdc al lui a si b , atunci un element m’A este cmmmc al lui a si b daca si numai daca este asociat cu m.
Demonstratie:
Deoarece d=(a,b) , iar d’=(a,b) d/d’ (pentru ca d este un divizor comun al lui a si b) si d’/d (pentru ca d’ este un divizor comun al lui a si b) . Deci d si d’ sunt asociate cu d in divizibilitate. Reciproc, daca d’ este asociat cu d , atunci din faptul ca d/a si d/b si d/d’ rezulta ca d’/a si d’/b , adica d’ este divizor comun al lui a si b.
Fie c un divizor comun al lui a si b ; atunci d fiind cmmdc al lui a si b , rezulta ca c/d si , cum d/d’ , rezulta ca c/d’ , adica d’ este cmmdc al lui a si b.
In mod analog se demonstreaza si 2.
Din aceasta propozitie rezulta ca cmmdc si cmmmc a doua elemente sunt determinate abstractie facind de o asociere in divizibilitate.
Definitiile date pentru cmmdc si cmmmc a doua elemente se generalizeaza la un numar finit de elemente. Daca cmmdc si cmmmc exista pentru doua elemente , atunci exista si pentru un numar finit de elemente.
Definitie. Fie A un inel comutativ si unitar. Doua elemente a si b din A se numesc prime intre ele (relativ prime) daca (a,b0=1.
Propozitia 1.4. Fie A un domeniu de integritate si a,b doua elemente nenule . Daca d este cmmdc al lui a si b si a=da’ , b=db’, atunci a’ si b’ sunt prime intre ele.
Demonstratie:
Fie uA un divizor comun al lui a’ si b’. Atunci a’=ua”, b’=ub” , cu a”,b”A si a=d(a’)=d(ua”)=(du)a”, b=(du)b”, adica du este un divizor comun al lui a si b , deci du/d, adica d=duu’, cu u’A. Din d(1-uu’)=0 rezulta ca uu’=1, deoarece d0 , adica u este inversabil , deci u~1. Din faptul ca orice divizor comun al lui a’ si b’ este asociat cu 1, rezulta ca cmmdc al lor este asociat cu 1 si deci a’ si b’ sunt prime intre ele.
Propozitia 1.5. Fie A un domeniu de integritate, a si b doua elemente nenule din A si d cmmdc al lor. Daca pentru cA, c0 exista cmmdc al elementelor ca si cb , atunci acesta este asociat cu cd (deci cd este cmmdc al lui a si b).
Demonstratie:
Fie d’ cmmdc al elementelor ca si cb. Deoarece cd/ca si cd/cb cd/d’ , deci d’=cdu, cu uA ,. Din ipoteza rezulta ca exista a1,b1,a’,b’ A , astfel incit : ca=d’a1, a=da’, cb=d’b1, b=db’, din care deducem relatiile: cdua1=cda’, cdub1=cdb’ si deoarece cd0 , rezulta ua1=a’, ub1=b’. Deci u este divizor comun al elementelor a’ si b’ , iar din propozitia precedenta rezulta ca u este inversabil in A. Din d’=cdu, unde u este inversabil , rezulta ca d’ este asociat cu cd.
Propozitia 1.6. Fie A un domeniu de integritate. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
Pentru orice doua elemente exista un cmmdc.
Pentru orice doua elemente exista un cmmmc.
Intersectia oricaror doua ideale principale este un ideal principal . In plus, daca este verificata una din conditiile echivalente de mai sus, atunci pentru orice a si b A , avem egalitatea : (a,b)[a,b]=ab.
Demonstratie:
Sa aratam mai intii ca 2 3. Este usor de vazut ca daca m=[a,b], atunci (m) (a) si (m) (b) , adica (m)(a) (b). Daca m’(a) (b), atunci a/m’ si b/m’ si , deci m/m’, adica m(m) si , deci, avem incluziunea (a) (b) (m) si in final (m)= (a) (b).
Invers , se arata usor ca daca (m)= (a) (b), atunci m=[a,b]
1 2.
Fie a,bA. Daca a=0 sau b=0 , atunci [a,b]=0 . Deci presupunem ca a,b0 si fie d=(a,b). Inseamna ca a=da’ si b=db’, unde (a’,b’)=1.Sa notam cu m=ab/d = a’b=ab’ si sa dovedim ca m=[a,b]. Se vede ca a/m si b/m. Fie acum m’A, a.i. a/m’ si b/m’; deci exista u,v A a.i. m’=au=bv.
Deci da’u=db’v si ,cum d0 , rezulta ca a’u=b’v. Cum (a’,b’)=1, rezulta ca u=(a’u,b’u)=(b’v,b’u) si deci b’/u, adica u=b’u, deci m’=au=ab’u1=mu1, adica m/m’. In plus, arezultat ca [a,b]=ab/(a,b) sau (a,b)[a,b]=ab.
21.
Evident ca putem presupune a,b0 si fie m=[a,b]. Atunci exista a’,b’A a.i. m=aa’=bb’. Deoarece a/ab si b/ab, atunci m/ab si deci exista dA a.i. ab=md. Sa dovedim ca d=(a,b). deoarece ab=aa’d=bb’d, obtinem prin simplificare ca b=a’d si a=b’d si deci d/a si d/b. Fie d’/a si d’/b , adica a=d’a1 si b=d’b1. Punem m’=d’a, b=ab1=ba1. Deci a/m’ si b/m’, de unde rezulta ca m/m’, adica m’=mc si , deci ,d’m’=d’mc.
Cum d’m’=d’ a1b1=(d’a1)(d’b1)=ab, obtinem ca ab=d’mc si deoarece ab=md md=d’mc si prin simplificare , rezulta ca d=d’c, adica d’/d.
Elemente ireductibile si elemente prime.
Definitie. Fie a un element nenul si neinversabil dintr-un domeniu de integritate A. Se spune ca a este ireductibil daca orice divizor al lui a este asociat cu a sau este inversabil (adica asociat cu 1) si reductibil , in caz contrar.
Din aceasta definitie rezulta ca daca a este un element ireductibil din inelul integru A si b un element oarecare din A, atunci cmmdc al elementelor a si b exista si este asociat cu a sau este element inversabil.
Intr-un domeniu de integritate A orice element asociat cu un element ireductibil este ireductibil.
Intr-adevar, fie aA un element ireductibil si b A un element asociat cu a. atunci b=au, cu uA , element inversabil. Fie cA un divizor al lui b. Atunci, b fiind asociat cu a , rezulta ca c este un divizor al lui a, deci c este inversabil sau c este asociat cu a , deci si cu b.
Propozitia 1.7. Fie A un domeniu de integritate si aA un element nenul si neinversabil in A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
a este ireductibil in A;
Daca a=bc, atunci a este asociat cu cel putin unul din elementele b,c;
Daca a=bc, atunci a este asociat cu cel putin unul din elementele b sau c , iar celalalt este inversabil.
Demonstratie:
1 2.
Fie aA un element ireductibil . Atunci, din a=bc rezulta ca b este inversabil sau asociat cu a si , la fel, c este inversabil sau asociat cu a. Cum nu pot fi ambele inversabile , rezulta ca unul este asociat cu a. Deci a este inversabil.
2 3.
Fie a=bc. Din 2 rezulta ca unul din elementele b,c este asociat cu a. Sa presupunem ca b este asociat cu a; atunci b=au, cu u element inversabil in A. Din a=auc si din faptul ca a0 rezulta uc=1 , deci c este element inversabil in A.
3 1.
Din 3 rezulta ca orice divizor al lui a este sau asociat cu a sau inversabil. Deci a este element ireductibil. Avind in vedere proprietatiel 2 si 3 , elementele ireductibile se mai numesc si elemente nedecompozabile.
Definitie. Fie A un domeniu de integritate. Un element p din A , nenul si neinversabil , se numeste element prim daca din faptul ca p/ab, cu a,bA, rezulta p/a sau p/b.
Intr-un domeniu de integritate A , orice element asociat cu un element prim este prim.
Intr-adevar, fie p un element prim din A si p’ un element asociat cu p. Daca p’/ab rezulta p/ab si atunci p/a sau p/b; rezulta ca p’/a sau p’/b . Deci p’ este element prim.
Propozitia 1.8. Intr-un domeniu de integritate A avem:
Orice element prim este ireductibil.
Daca inelul A are proprietatea ca pentru orice doua elemente exista un cmmdc, atunci orice element ireductibil este prim.
Demonstratie:
Fie p=ab, unde p este un element prim. Atunci p/ab, deci p/a sau p/b. Daca p/a, atunci a=pa’ si prin urmare, p=pa’b, de unde rezulta ca a’b=1, adica b este inversabil. Analog, se arata ca daca p/b rezulta ca a este inversabil.
Deci p este ireductibil.
Presupunem ca q este ireductibil si ca q/ab. Fie d=(q,a). Cum d/q, rezulta ca d este inversabil sau d este asociat in divizibilitate cu q. In cazul ca d este inversabil, atunci 1=(q,a) si deci , b=(qb,ab) si, cum q/ab, rezulta q/b. daca q este asociat in divizibilitate cu d , atunci q/d si cum d/a , rezulta ca q/a. In concluzie, q este element prim in A.
Exemple:
Fie Z inelul intregilor. Numerele 2,3,5,7 etc sunt numere prime , deci ireductibile. Intr-adevar, sa demonstram ca 2 este prim. Fie 2/ab , a,bZ. Atunci, cel putin unul dintre numerele a si b se divide cu 2, deoarece, in caz contrar, am avea: a=2a’+1, b=2b’+1 si ab=4a’b’+2(a’+b’)+1, care nu se divide cu 2. Analog, se arata ca numerele 3,5,7 etc sunt numere prime, deci ireductibile. Numerele -2,-3,-5,-7, sunt prime deoarece sunt asociate cu 2,3,5,7, deci sunt si ireductibile.
Fie K un corp comutativ . Atunci in inelul K[x] orice polinom de gradul intii este ireductibil. Intr-adevar, daca fK[x] este piolinom de gradul I , atunci din f=gh grad(f)=grad(g)+grad(h), rezulta sau grad(g)=1 si grad(h)=0 sau invers, afirmatia rezulta din faprul ca in K[x] un polinom de gradul zero este inversabil. Elementul xK[x] este prim in K[x] deoarece x/fg, atunci cel putin unul din polinoamele f si g se divide cu x. Daca K este corpul R al numerelor reale, polinoamele ireductibile din R[x] sunt doar cele de gradul intii si cele de gradul doi cu discriminantul negativ.
Polinoamele ireductibile in C[x], C-corpul numerelor complexe, sunt doar
polinoamele de gradul intii.
Fie inelul Z[i] al intregilor lui Gauss. Am vazut ca elementele sale inversabile sunt -1,1,-i,i. Fie 1+iZ[i], acesta este neinversabil. Sa aratam ca 1+i este ireductibil. Sa presupunem ca 1+i=uv. Atunci |1+i | = |u | |v |; deci |u | |v |=2, de unde rezulta ca |u | =2 si |v |=1 sau invers. Deci, sau u este asociat cu 1+i si v inversabil, sau invers. Prin urmare, 1+i este element ireductibil in Z[i].
In schimb, 2Z[i] este reductibil. Intr-adevar, el se descompune intr-un produs de forma 2=(1+i)(1-i) , unde 1+i si 1-i sunt elemente neinversabile.
Numarul 3 este ireductibil in Z[i]. Intr-adevar daca ar fi reductibil , atunci ar exista o descompunere a sa de forma 3=uv, in care u,v sunt neinversabile.
Atunci |3 |=|u | |v |=9, de unde rezulta ca |u |=3 si |v |=3, deoarece am presupus u,v neinversabile. Fie u=a+bi. Atunci |u |=a + b =3. Deci |a |,|b |1, insa asemenea numere intregi care sa verifice egalitatera nu exista.
Prin urmare, un astfel de u nu exista si, deci 3 este ireductibil in Z[i].
Fie inelul Z[i], unde Z[i]={uC/ u=a+bi, a,bZ}. Fie u=a+bi, u este inversabil daca in mod necesar a + 5b =1, de unde rezulta ca u=+-1. Asadar, pentru acest inel, elementele inversabile sunt 1 si -1. Fie elementul 3Z[i]. Elementul 3 este ireductibil, caci daca 3=uv, cu u,v neinversabile , rezulta ca |3 | =|u | |v | sau 9=|u | |v | , adica |u | =|v | =3. Daca u=a+bi, atunci 3=a + 5b , ceea ce nu este posibil. Insa 3 nu este prim in acest inel, caci 3/(4+i)(4-i)=21, iar 3 nu divide nici unul din factori.
Daca 3 ar divide, de exemplu, pe 4+i, rezulta ca |3 | =9 ar divide
| 4+i |=21, ceea ce nu este adevarat. Acest exemplu arata ca reciproca punctului 1 al teoremei nu este intotdeauna adevarata, adica exista elemente care nu sunt prime. In domenii de integritate notiunile de element prim si element ireductibil sunt in general distincte.
2. Inele factoriale.
Definitie. Un domeniu de integritate A se numeste inel factorial sau cu descompunere unica in factori primi (ireductibili) daca orice element nenul si neinversabil din A se descompune intr-un produs finit de elemente prime.
Propozitia 2.1. Fie A un inel factorial . Atunci descompunerea unui element din A in produs de elemente prime este unica in afara de ordinea factorilor si o asociere a lor.
Adica, daca a=p1p2…pn=q1q2…qm , sunt doua descompuneri ale elementului nenul si neinversabil aA, atunci n=m si, schimbind eventual ordinea factorilor, avem pi~qi, 1 i n .
Demonstratie: Vom demonstra prin inductie asupra numarului minim de factori din cele doua descompuneri . Presupunem ca n m . Atunci, pentru n=1,
avem p1=q1…qm si deoarece p1 este prim , el este asociat cu unul dintre factorii qi, 1 i m.
Putem presupune ca p1~q1 si deci produsul q2q3…qm~1 si deci toti qj, 1 j m ar fi elemente inversabile ale inelului A, ceea ce nu este posibil, deoarece prin ipoteza ele sunt elemente prime, deci m=1 si afirmatia este dovedita in acest caz.
Presupunem afirmatia dovedita pentru orice doua descompuneri in care una are mai putin de n factori. Atunci, in descompunerea de mai sus, din faptul ca pn este element prim rezulta ca pn divide cel putin unul dintre qj, 1 j m.
Putem presupune ca pn/qm si deoarece qm este ireductibil , rezulta ca pn~qm. Deci pn=qmu, unde u este element inversabil in A. Atunci, simplificind cu qm , obtinem a’=p1p2…pn-1 u=q1q2…qm-1. Deoarece pn-1u este element prim, rezulta ca avem pentru elementul a’ doua descompuneri in produse de elemente prime, dintre care una are mai putin de n factori. Atunci, din ipoteza inductiva rezulta ca avem n-1=m-1, iar,dupa o eventuala renumerotare a factorilor , pi~qi, 1 i n-1, si cu aceasta teorema este demonstrata.
Fie A un inel factorial. Atunci, daca din fiecare clasa de elemente asociate , prime, luam cite un reprezentant , obtinem un sistem de reprezentanti de elemente prime{pi}iI, astfel incit orice element a din A , a0, se scrie sub forma ,numere intregi nenegative, si numai un numar finit sunt nenule , iar u un element inversabil in A. Unicitatea descompunerii se exprima , atunci, astfel: este alta descompunere de forma de mai sus pentru a, atunci u=u’ si ni=mi, iI.
Propozitia 2.2. Intr-un inel factorial, orice doua elemente au un cmmdc.
Demonstratie:
Fie a si b doua elemente din inelul factorial A. Daca unul dintre ele este nul , atunci celelalt este cmmdc al lor. Putem presupune ca a si b sunt nenule si fie {pi}iI un sistem de reprezentanti de elemente prime.
Fie a= u , b=u descompunerile lui a si b in produse de elemente prime si d= , unde ri=min{mi,ni}iI.
Atunci se observa ca d’ este un divizor comun al lui a si b. Daca d’ este un alt divizor comun al lui a si b atunci d’= , atunci din faptul ca d’/a si d’/b rezulta ca ri mi si ri ni , iI, de unde rezulta ca d’/d. Prin urmare , d este cmmdc al elementelor a si b si propozitia este demonstrata.
Observatii:
Din aceasta propozitie si din propozitia 3.4. din capitolul I rezulta ca intr-
un inel factorial orice doua elemente au cel mai mic multiplu comun.
Intr-adevar , cu notatiile precedente se observa ca elementul m= , unde
ti=max{mi,ni} este cmmdc al elementelor a si b.
Din propozitia precedenta si propozitia 1.10. (cap I) rezulta ca intr-un inel factorial orice element ireductibil este prim.
Propozitia 2.3.
Fie A un inel integru . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
A este inel factorial;
Orice element nenul si neinversabil din A se descompune in produs finit de elemente ireductibile si orice element ireductibil este prim;
Orice element nenul si neinversabil din A se descompune in produs finit de elemente ireductibile si doua astfel de descompuneri sunt unice in afara de ordinea factorilor si de asociere.
Orice element nenul si neinversabil din A se descompune in produs finit de elemente ireductibile si doua elemente din A au cmmdc.
Demonstratie:
Implicatia 1 2 rezulta din definitia inelului factorial si observatia 2.
Implicatia 2 1 este evidenta. Implicatia 1 3 rezulta din definitia inelului factorial si propozitia 2.1. Din 2 1 si 1 3 rezulta 2 3.
Pentru a arata 3 2 , este suficient sa observam ca din 3 rezulta ca orice element ireductibil din A este prim. Fie q un element ireductibil din A si sa presupunem q/ab. Atunci exista q’A , astfel ca ab=qq’. Din 3 rezulta ca putem considera in ab=qq’ descompuneri ale elementelor a,b,q’ in produs de factori ireductibili si , din unicitatea descompunerii in factori ireductibili , rezulta, din relatia ab=qq’ , ca q/a sau q/b . Deci q este element prim.
Am aratat ca 1,2,3 sunt echivalente. Din observatia 2 rezulta 4 2. Dar 2 1 , deci 4 1 . Din propozitia 2.2 rezulta ca 1 4 . Deci 1 este echivalenta cu 4.
Exemple de inele factoriale vor rezulta in continuare.
3. Inele euclidiene.
Definitie: Un inel integru A impreuna cu o functie f: A-{0}N se numeste inel euclidian daca are urmatoarele doua proprietati:
Oricare ar fi elementele nenule a,bA , astfel incit a sa divida pe b , rezulta f(a) f(b).
Pentru oricare a,b A , b0 exista q,rA , a.i. a=bq+r, unde r=0 sau f(r)<f(b).
Proprietatea 2 se numeste teorema impartirii cu rest in inelul euclidian.
Exemple:
Inelul (Z,+,) este euclidian. Intr-adevar , in acest inel are loc teorema impartirii cu rest pentru numere intregi , si anume:
a,bZ , b0 , q,rZ a.i. a=bq+r . unde 0 r ¸| b| .
Mai mult q si r sunt unice.
Considerind functia f: Z-{0}N, f(n)=| n |, rezulta clar ca inelul Z impreuna cu f este euclidian (satisface conditiile 1 si 2). Mentionam ca teorema impartirii cu rest la numere intregi o vom demonstra in paragraful 1 al capitolului III.
Orice corp este inel euclidian. Intr-adevar, daca K este un corp, consideram functia f : K-{0}N definita prin f(a)=1, aK ,a0 . Aceasta functie satisface 1 si 2.
Inelul K[x] al polinoamelor cu coeficienti intr-un corp K pentru care functia f :K[x] -{0}N, definita prin f(g)=grad(g), gK[x] , g0 , este un inel euclidian.
Intr-adevar, daca g,h K[x], g0 si g/h, atunci h=gg’, cu g’K[x], deci grad(g) grad(h), adica f(g) f(h). Deci conditia 1 este indeplinita.
Sa verificam proprietatea 2. Fie f,gK[x] cu g0. Daca grad(g)=0, atunci f=g(g f), deoarece g0 din K, deci inversabil si afirmatia este dovedita, adica este verificata proprietatea 2. Daca grad(g)>0, atunci vom face o inductie dupa gradul lui f. Daca grad(f)<grad(g), in particular, pentru grad(f)=0, din relatia f=g0+f, rezulta 2.
Presupunem ca 2 afost verificata pentru toate polinoamele f, cu grad(f)<n. Fie atunci f un polinom de grad n, si g un polinom de gradul m, Putem presupune ca m n , conform celor demonstrate mai sus. Atunci, polinomul are gradul cel mult n-1, deoarece termenii de gradul cel mai mare se reduc , deci grad(f1)<grad(f). Din ipoteza inductiva rezulta, atunci ca exista q,rK[x] a.i. f1=gq+r, unde r=0 sau grad(r)<grad(g). Atunci avem: satisfac proprietatea 2. Polinoamele q si r K[x] , numite citul si restul , astfel incit f=qg+r, r=0 sau grad(r)<grad(g); In cazul inelului K[x] sunt chiar unice (ca si la Z , de altfel). Dar unicitatea acestora nu este necesara in formula de impartire cu rest , in cazul inelului euclidian.
Inelul intregilor lui Gauss este euclidian, in care functia din definitie este norma N. Definim pe Z[i] functia f :Z[i] N, f(m+ni)=m +n (f(m+ni) este patratul modulului numarului complex m+ni). Numarului complex z=a+bi, a,bR, i se asociaza in plan punctul M de coordonate (a,b). Numerele complexe din multimea Z[i] sunt reprezentate in plan prin puncte ale caror coordonate sunt numere intregi.
Reprezentindu-le , obtinem o retea in plan ca in figura 1. Consideram z,z’Z[i] , z’0 si fie M punctul din plan asociat numarului comlex z/z’ . In retea exista un patrat ABCD in care se afla punctul M. Fie A virful cel mai apropiat de M. Daca A(a,b) , atunci a,bZ si A este asociat numarului complex q=a+ib.
Pe de alta parte , cum latura patratului ABCD este unitate si cum A a fost ales cel mai apropiat de M , obtinem ca distanta MA este mai mica decit jumatate din diagonala patratului. Deci MA /2<1, dar MA este egal cu modulul numarului complex z/z’-q. Deci avem: | z/z’-q| 1.
Avem, atunci, |z-qz’|<|z’| si , notind r=z-qz’, avem | r |<| z’| sau | r |<| z’| si , deci, f(r)<f(z’). In concluzie, avem z=qz’+r, cu f(r)<f(z’) si, deci, Z[i] este inel euclidian. Din aceasta demonstratie rezulta ca restul si citul impartirii nu sunt unic determinate.
y
B A
M
C D
x Fig.1.
Intr-adevar, daca M este centrul patratului ABCD, atunci putem alege citul q al impartirii in egelitatea de mai sus , numarul complex q=a+ib, cu a,bZ pentru care (a,b) sa fie coordonatele oricaruia din virfurile patratului ABCD.
Sa exemplificam pe un caz numeric ; consideram in Z[i] numerele
z=6i si z’=2+2i, pentru care z/z’=6i/(2+2i)=3/2+3i/2.
In figura 2 , punctul M , care este reprezentarea geometrica a numarului comlex z/z’=3/2+3i/2, cade in centrul patrtului ABCD.
Deci putem alege citurile q1=1+i sau q2=2+i sau q3=2+2i sau q4=1+2i.
Avem egalitatile: z=z’q1+r1 unde r1=2i;
z=z’q2+r1 unde r1=-2; y
z=z’q3+r1 unde r1=-2i;
z=z’q4+r1 unde r1=2.
In cele 4 cazuri , avem f(ri)<f(| z |), 1 i 4.
A(1,2) D(2,2) M(3/2,3/2) B(1,1) C(2,1)
Propozitia 3.1. Intr-un inel euclidian orice 2 elemente au un cmmdc si un cmmmc .
Demonstratie:
Fie A un inel euclidian si a,b doua elemente din A. Daca unul dintre acestea este nul, atunci celalalt este cmmdc al lor. Putem presupune a,b0. In acest caz , pentru a demonstra propozitia , vom aplica succesiv teorema impartirii cu rest, ceea ce constituie algoritmul lui Euclid.
Aplicam teorema impartirii cu rest elementelor a si b si obtinem :
a=bq1+r, unde r1=0 sau f(r1)<f(b);
Daca r10 exista elementele q2,r2A a.i.
b=r1q2+r2, cu r2=0 sau f(r2)<f(r1).
Daca r20, aplicam teorema impartirii cu rest elementelor r1 si r2 . Exista elementele q3,r2A a.i.:
r1=r2q3+r3, cu r3=0 sau f(r3)<f(r2)
Repetind acest procedeu , obtinem elementele q4,q5,…,qn,… si r4,r5,…,rn,…, astfel incit:
r2=r3q4+r4, cu r4=0 sau f(r4)<f(r3);
…………………………………..
rn-2=rn-1qn+rn cu rn=0 sau f(rn)<f(rn-1);
rn-2=rn-1qn+rn+1 cu rn+1=0 sau f(rn)<f(r n+1).
Deoarece sirul f(r1)>f(r2)>…>f(rn)>f(rn+1)>… este un sir descrescator de numere naturale, dupa un numar finit de pasi obtinem neaparat un rest nul , adica exista un numar natural/n a.i. rn0 si rn+10.
Vom arata ca rn este cmmdc al lui a si b. Cum rn-1=rnqn+1 rn/rn-1.
Deoarece rn-2=rn-1qn+rn rn/rn-2.In continuare , folosind egelitatea rn-3=rn-2qn-1+rn-1 si tinind cont ca rn/rn-1 si rn/rn-2, rezulta rn/rn-3.Din aproape in aproape tinind cont de egalitatea 4 , rezulta ca rn divide elementele rn-1, rn-2, …, r2,…. Din egalitatea 3 rezulta ca rn/r1 si din egalitatea 2 rezulta rn/a. Deci rn este un divizor comun al elementelor a si b. Din 1 obtinem r1=a-bq1 si deci d’/r1. Din 2 obtinem r2=b-r1q2. Cum d’/r1 si d’/b d’/r2 . Din egalitatea 3 obtinem r3=r1-r2q3 si deci d’/r3. Acum folosim egalitatea 4 . Din aproape in aproape rezulta ca d’ divide elementele r4,r5,…, rn-1,rn. Asadar rn (ultimul rest nenul) este cmmdc al elementelor a si b. Sirul de egalitati 1,2,3,4,…, n0 poarta numele de algoritmul lui Euclid. Acest sir de egalitati ne permite sa determinam pentru un inel euclidian un cmmdc a doua elemente. De asemene, cmmdc este unic determinat , abstractie facind de o asociere in divizibilitate , asa cum se demonstreaza prin propozitia 3.1. din acest capitol.
Din propozitia 3.5 , cap.I , rezulta ca orice doua elemente au cmmdc.
Din propozitia precedenta, rezulta:
Corolarul 3.2. Intr-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.
Exemplu: In inelul Z[i] , fie a=16+6i si b=7+3i .
Sa calculam cmmdc al lor.
16+6i=(7+3i)(2-i)+(-1+7i), f(-1+7i)<f(7+3i), 50<28.
7+3i=(-1+7i)(1-i)+(1-5i), f(1-5i)<f(-1+7i), 26<50;
-1+7i=(1-5i)(-1+0i)+2I, f(2i)<f(1-5i), 4<26.
1-5i=(-2-i)2I+(-1-i), 2I=(-1-i)(-1-i), f(-1-i)<f(2i), 2<4.
Cmmdc al numerelor 16+6i si 7+3i este -1+i.
4. Inele principale.
Definitie. Un inel integru in care orice ideal este principal se numeste inel principal sau inel cu ideale principale.
Teorema 4.1. Orice inel euclidian este inel principal.
Demonstratie:
Fie A euclidian , f : A-{0}N functia respectiva si I un ideal al lui A. Vom arata ca I este ideal principal. Daca I=(0), afirmatia este demonstrata. Daca I(0), consideram submultimea M={f(a) / aI , a0} a lui N. Deoarece N este o multime bine ordonata , rezulta ca exista un element bI, b0 , astfel incit f(b) sa fie elementul minimal in M. Vom arata ca c=(b)=I. Din faptul ca bI si I este un ideal in A, rezulta ca (b)I.
Reciproc, fie aI. Deoarece b0, exista q,rA astfel incit a=bq+r, unde r=0 sau f(r)<f(b). Dar r0; atunci f(r)<f(b) si r=a-bqI, ceea ce este in contradictie cu alegerea lui b. Rezulta r=0, deci a=bq atunci a(b) si deci I(b).
Propozitie 4.2. Fie A un domeniu de integritate care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor de o nedeterminata A[x] nu este inel principal. (deci nici euclidian).
Demonstratie:
Deoarece A nu este corp, rezulta ca exista un element aA , a0 si a neinversabil. Sa aratam ca idealul general de a si X nu este principal. Sa presupunem ca aA[x]+xA[x]=(f), cu fA[x]. Atunci a(f), adica a=fg, cu gA[x]; rezulta ca fA, iar, dinfaptul ca X(f) , X=fh, hA[x], rezulta ca f este inversabil in A si , deci, ar rezulta ca aA[x]+XA[x]=A. De aici rezulta 1=au+xv, cu u,vA[x] , relatie imposibila pentru ca v0, fiindca a nu este inversabil. Din aceasta propozitie rezulta ca inelul Z[x] nu este principal si oricare inel de polinoame de n>1 nedeterminate cu coeficientii intr-un corp nu este inel principal si, deci, nici euclidian.
Exemple de inele principale:
Orice corp comutativ este inel principal.
Inelul intregilor Z este inel principal.
Inelul intregilor lui Gauss Z[i ] este inel principal.
Oricare inel de polinoame de o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp este inel principal (deoarece este inel euclidian ).
Pentru a,bA definim (a)+(b)={ua+vb / u,vA}. Este clar ca (a)+(b) este ideal al lui A , numit suma idealurilor principale (a) si (b).
Propozitia 4.3. fie A un inel principal si a,bA. Atunci :
Elementul dA este cmmdc al elementelor a,bA daca si numai daca (a)+(b)=(d).
Elemntul mA este cmmmc al lui a si b daca si numai daca (m)=(a) (b).
Demonstratie:
Daca dA este cmmdc al lui a si b, atunci evident a(d), b(d) si, deci (a)+(b) (d). In (a)+(b), fiind ideal principal , exista d’A a.i. (a)+(b)=(d’).
Atunci rezulta d’ divizor comun al lui a si b , deci d’ divide pe d, deci
(d’)=(a)+(b).
Din (a)+(b) (d) si (d) (a)+(b0 rezulta (d)=(a)+(b).
Reciproc, daca dA , a.i. (d)=(a)+(b) , atunci evident d este divizor comun al lui a si b si, in plus, exista relatia d=au+bv, cu u,v A, din care rezulta ca orice divizor comun al lui a si b divide pe d.
Daca m este cmmdc al elementelor a si b , atunci a/m si b/m . Deci (m) (a) si (m) (b), adica (m) (a)(b). Insa, idealul (a)(b) este principal ; exista m’A a.i. (a)(b)=(m’) si, deoarece m’ este , evident, multiplu comun al elementelor a si b , rezulta ca m divide pe m’, adica (m’)=(a)(b)(m)
(a)(b) (m). Deci rezulta ca (m)=(a)(b).
Reciproc, daca mA este astfel incit (m)=(a)(b), atunci m este multiplu comun al lui a si b. Fie m’ alt multiplu comun al lui a si b . Atunci m(a) si m’(b) , deci (m’) a)(b)=(m) , deci m divide pe m’. Deci m este cmmdc al lui a si b.
Observatii:
Propozitia precedenta este in legatura cu o alta propozitie din cap.I , dar am dat demonstratia completa a acesteia, deoarece in cazul inelelor principale este mai precisa .
Intr-un inel principal , idealul general de un numar finit de elemente a1,a2,…,an coincide cu idealul general de cmmdc al acestor elemente.
Datorita acestui fapt , atit idealul general de a1,a2,…, an, cit si cel generat de cmmdc al elementelor a1,a2,…,an se noteaza prin (a1,a2,…,an).
Corolar 4.4. Intr-un inel principal , orice doua elemente au un cmmdc si cmmmc, iar daca dA este cmmdc al elementelor a si b din A, atunci exista u,vA a.i. ca d=ua+vb. Din acest corolar si dintr-o propozitie din cap.I, rezulta :
Corolar 4.5. Intr-un inel principal , orice element ireductibil este prim.
Din acest corolar deducem ca inelul Z[i] nu este inel principal. (Dupa cum am aratat, in acest inel 3 este ireductibil , dar nu este prim).
Lema 4.6. Fie A un inel principal si (a0) (a1) … un sir crescator infinit de ideale din A. Atunci exista n>0 astfel ca (ai+1)=(ai) pentru orice i n (orice lant ascendent de ideale principale este stationar ).
Demonstratie:
Fie I=U(ai); atunci I este un ideal in A, deoarece daca b,cI, atunci exista i,jN a.i. b(ai) si c(ai), iar, daca k=max{i,j}, atunci b,c(ak). Deoarece ak este ideal, rezulta ca b-c(ak) si pentru orice uA, u/3(ak), deci b-cI, si ubI. Inelul A fiind principal, exista aA a.i. I=(a). Cum aI, rezulta ca exista un numar natural n0 a.i. a(an0). Atunci , evident (a) (an) , n n0 si , din incluziunile evidente (an) (a), pentru n n0 se deduce afirmatia lemei.
Teorema 4.7. Orice inel principal este factorial.
Demonstratie:
Pentru a demonstra teorema , va fi suficient sa aratam ca orice element nenul si neinversabil se descompune in produs de elemente ireductibile .Vom face demonstratia prin reducere la absurd , adica vom presupune ca exista in inelul A un element nenul si neinversabil a , care nu este produs finit de elemente ireductibile si vom ajunge la o contradictie .
Intradevar , a nu poate fi ireductibil , daca exista o descompunere a lui a de forma a=a1a’1,in care a1 si a’1 nu sunt asociate cu a si sunt elemente neinversabile si nenule .Atunci , este clar ca cel putin unul din elementele a1 si a’1 are propietatea lui a, adica nu este produs finit de elemente ireductibile (caci astfel a ar fi produs finit de elemente ireductibile, contrar ipotezei ).Facind acelasi rationament cu a1, gasim un divizor a2 al lui a1 , care este neinversabil si neasociat cu a1 si care are aceeasi proprietate s.a.m.d.
Se obtine , astfel , un sir finit de elemente neinversabile, din a=a0,a1,a2,… cu proprietatea ai+1 divide ai si nu este asociat cu acesta , i=0,1,2,… . Din acest sir rezulta sirul strict crescator infinit de ideale ale inelului A. (a0) (a1) (a2) …, contradictie cu afirmatia lemei care arata ca u astfel de sir nu poate exista intr-un inel principal.
5. Factorialitatea inelelor de polinoame.
Propozitia 5.1. Fie aA si f = a0 + a1X + a2X + … + anX A[X] .
Daca a divide f , atunci a|ai , oricare ar fi i=0,1,2,….,n.
Demonstratie.
Cum a|f , exista g=b0 + b1X + b2X + … +bmX , astfel incit
f = ag = ab0+ab1X+ab2X+…+abmX. Evident ca daca f=0, atunci ai = 0 si deci a|ai , oricare ar fi i. Putem presupune ca f0 si , in acest caz , avem m=n si ai=abi adica a|ai.
Propozitia 5.2. Fie A un domeniu de integritate. Daca pA este element
prim in A, atunci p este element prim in A[x].
Demonstratie.
Fie f, g A[x] astfel incit p|fg. Presupunem ca f=a0+a1X+…+anX si g=b0+b1X+b2X+…+bmX si ca p nu divide nici pe f si nici pe g, rezulta ca exista un an astfel incit p sa nu divida pe an . Alegem pe k cel mai mic numar cu aceasta proprietate. Deci p|a0, p|a1, … ,p|an-1 si p nu divide pe ak.
Analog , deoarece p nu divide pe g, exista un l a.i. p|b0 , p|b1 , …. , p|bl-1 dar p nu divide pe bl.
Coeficientul lui x din produsul fg este elementul
Ck+1= a0bk+l + a1bk+l-1 + a2bk+l-2 + … + akbl + ak+lb0.
Deoarece p|aibi , cu ik si jl si p nu divide akbl , rezulta ca p nu divide Ck+1 si, deci , p nu divide fg, contradictie.
Deci trebuie ca p|f sau p|g . Presupunem acum ca inelul A este factorial si fie f= a0+a1X+…+anX un polinim din A[x]. Vom nota cu c(f) c.m.m.d.c. al elementelor a0,a1,a2,…,an. Elementul c(f) se numeste continutul polinomului f.
Daca c(f) =1 , atunci polinomul se numeste primitiv.
Exemplu.
f=17X+7X+5X+3 Z[x] ; c(f)=(17,7,5,3,)=1
Orice polinom fA[x] se scrie sub forma c(f)·f ` , unde f ` este primitiv.
Exemplu.
f=21x+18x+33x+18x+6 Z[x] , c(f)=3 , f `= 7x+6x+11x+6x+2
Propozitia 5.3. (Gauss) Daca A este un inel factorial si f,g A[x], atunci
c(fg)=c(f)·c(g).
Demonstratie.
Cum f=c(f)·f ` si g = c(g)·g` , unde f ` si g` sint polinoame primitive, obtinem fg= c(f)·c(g)·(f `g`) si , deci , c(fg)=c(f)·c(g)· c(f `g`). Deci trebuie probat ca c(f `g`) =1 . Presupunem c(f `g`)1. Deci exista p A element prim astfel incit p|c(f `g`) . Deci p|f `g` si, conform proprietatii 5.2., rezulta p|f ` sau p|g`. Conform proprietatii 5.1. rezulta ca p|c(f `) sau p|c(g`) , contradictie deoarece f ` si g` sint primitive.
Propozitia 5.4. Fie A inel factorial si f.g A[x] , unde g este un polinom primitiv . Daca aA , a0 si g|af atunci g|f.
Demonstratie. Din g|af avem af=gh, unde hA[x] . Din propozitia 5.3. obtinem:
ac(f)=c(g)·c(h) . Dar g primitiv c(g)=1 ac(f)=c(h). Cum h=c(h)·h` cu h` primitiv h=ac(f)·h` af = gac(f)·h`si simplificind cu a, avem f=c(f)·gh` si, deci, g|h.
Notam cu k corpul de fractii al domeniului de integritate A.
Propozitia 5.5. Fie A un inel factorial cu corpul de fractii K si f,g A[x] doua polinoame primitive. Atunci f si g sint asociate in A[x] daca si numai daca sint asociate in inelul K[x]
Demonstratie.
Evident ca daca f si g sint asociate in A[x], sint asociate si in K[x]. Invers,
presupunem ca f si g sint asociate in K[x] . Deci exista nK[x], element inversabil, astfel incit g=fn. Cum nK[x], atunci putem scrie ca n=a/b , cu a,bA si a0, b0. Deci bg=af. Aplicind propozitia 5.4. obtinem ca f|g si g|f, adica f si g sint asociate in divizibilitate in inelul A[x].
Propozitia 5.6. Fie A un inel factorial si k corpul sau de fractii. Fie fA[x] un polinom primitiv cu grad(f)>= 1. Atunci f este ireductibil in A[x], daca si numai daca f este ireductibil in K[x].
Demonstratie.
Presupunem ca f este ireductibil in A[x] si fie f=gh , unde gK[x] , hK[x], si grad(g)>=1 , grad(h)>=1. Evident ca putem scrie g=(a/b )·g1 , unde a,bA, (a,b)=1 si gA[x]. Analog h=(c/d)·h1 , unde c,dA, (c,d)=1 si h1A[x]. In plus, grad(g)=grad(g1) si grad(h)=grad(h1). Deci f=(ac/bd)·g1h1. Cum g1=c(g1)·g1` si h1=c(h1)·h1`, unde h1` si g1` sint polinoame primitive , obtinem ca f=ng1`h1` , unde n este un element inversabil din K . Deci f si g1`h1` sint asociate in K[x].
Conform propozitiei 5.5., rezulta ca f si g1`h1` sint asociate in A[x] , adica f=vg1`h1` , unde vU(A). Cum gradul lui g1`>=1 si gradul lui h1`>=`1 , rezulta ca f nu este ireductibil in A[x] , contradictie. Invers , presupunem ca f este ireductibil in K[x] si ca f=gh, cu g,hA[x] . Cum f este ireductibil in K[x] , rezulta ca g este inversabil sau h este inversabil in K[x]. Daca g este inversabil in K[x] , rezulta ca gK, dar gA[x] g=aA. Prin urmare , f=ah cu aA, hA[x]. Cum f este primitiv , rezulta ca este inversabil in A. Deci f este ireductibil in A[x].
Rezultatul principal al acestui paragraf este :
Teorema 5.7. (Gauss) Daca A este inel factorial, atunci inelul A[x] este factorial.
Demonstratie.
Fie f A[x] . Putem scrie f=c(f)·f0, unde f0 este un polinom primitiv. Cum f0 K[x] , iar K[x] este inel factorial (fiind euclidian) , rezulta ca f0=f1f2f3…fn , unde f1,f2,f3,…,fn K[x] si sint polinoame ireductibile. Putem scrie , evident pentru fi , fi=(ai/bi)·gi, unde ai, biA si giA[x] este un polinom primitiv. Comform propozitiei 5.6. rezulta ca gi este ireductibil in A[x]. Rezulta ca f0 se scrie sub forma f0=(a/b)g1g2g3…gn, unde a,bA. Cum f0 este primitiv si produsul g1g2g…gn este un polinom primitiv , din propozitia 5.5 rezulta ca f0=ng1g2…gn , unde n U(A) . Cum c(f) este un produs finit de elemente prime din A , care sint prime si in A[x] , conform propozitiei 5.2 rezulta ca f este un produs finit de elemente ireductibile in A[x].
Vom demonstra unicitatea scrierii lui f ca produs de elemente ireductibile in A[x].
Intradevar, sa presupunem ca avem egalitatea f=f1f2f3…fn =g1g2g3…gm , unde fi si gi A[x] si sint elemnte ireductibile in A[x]. Daca grad(fi)>=1 , atunci evident c(fi)=1 , iar daca grad(gi)>=1 pentru r+1<= i <= m c(gi)=1.
Acum f=f1f2f3…fsfs+1…fn=g1g2g3…grgr+1…gm f1…fs si g1…gr sint asociate in divisibilitate in A cu f1,f2,…, fs,g1,g2,…, gr A ireductibile.
Cum A este factorial , rezulta ca r=s si abstractie facind de o renumerotare , avem gi~fi , () 1<= i <= s.
Din egalitatea de mai sus rezulta ca fs+1,…,fn =gr+1,…,gn. Din propozitia 5.6. aceasta egalitate gasita in inelul K[x] implica m=n si gk~fk in K[x] , oricare ar fi k=s+1,…,n.
Aplicind, din nou, propozitia 5.5. , obtinem gk~fk in A[x] , oricare ar fi k=s+1,…,n . Cu aceasta s-a demonstrat si unicitatea lui f ca produs de elemente ireductibile in A[x].
Corolar 5.8. Daca A este un inel factorial , atunci inelul de polinoame in
variabilele X1,X2,…..,Xn , cu coeficienti in A este factorial. In particular , orice inel de polinoame de n nedeterminate , cu coeficienti intr-un corp, este factorial.
Demonstratie.
Se procedeaza prin inductie dupa n. Daca n=1 , atunci se aplica teorema. Presupunem afirmatia adevarata pentru n-1 . Deci inelul A[x1,x2,…,xn-1] este factorial . Cum A[x1,x2,…,xn]=A[x1,x2,…,xn-1][xn] aplicind din nou teorema precedenta, obtinem afirmatia noastra.
Exemple.
De mai sus avem ca inelele de polinoame Z[x1,x2,…,xn], n>=1 si K[x1,x2,….,xm] , K-corp , n>=2, sint factoriale , dar nu sint principale si nici euclidiene dupa cum rezulta din propozitia 3.2. Acest fapt este important in clasificarea din punct de vedere aritmetic a inelelor de polinoame a caror aritmetica se studieaza in scoala si anume : inelele de polinoame euclidiene si inele de polinoame factoriale care nu sint euclidiene.
6. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame.
Teorema 6.1. (Criteriul lui Eisenstein)
Fie A un inel factorial , K corpul
sau de fractii , f=a0 +a1x+a2x+….+anx un polinom de gradul n>=1 din A[x] si p un element prim din A ; cu proprietatile :
p|a0, p|a1, …, p|an-1
p|an
p|a0.
Atunci f este ireductibil in K[x] si , deci, si in A[x], daca este primitiv.
Demonstratie.
Putem presupune ca f este un polinim primitiv . Atunci, daca f este reductibil in K[x] , el este reductibil si in A[x]. Fie f=gh, cu g,hA[x] , g=b0+b1x+….+bnx , h=c0+c1x+…..+crx , unde bm0, cr0 si m0 si r0 , iar m+r=n . Din b0c0=a0 si p|a0 dar p nu divide a0 , rezulta ca unul si numai unul dintre elementele b0, c0 se divide cu p. Presupunem ca p|b0 si p nu divide c0.
Deoarece p nu divide an , nu toti coeficientii lui g se divid cu p. Deci exista un indice i , minim , cu proprietatea ca bi nu se divide cu p .
Atunci nu se divide cu p, deoarece p nu divide C0 si p divide , ceea ce contrazice ipoteza.
In cadrul cercului de matematica organizat la clasele a-X-a si a-XII-a se pot rezolva o serie de exercitii , in care sa aratam ca un polinom este ireductibil folosind criteriul lui Eisenstein pentru polinoame cu coeficienti intregi. Atunci, in teorema luam A=Z (Z fiind factorial), iar corpul K de fractii ale lui Z este Q. Fiind dat un polinom cu coeficienti intregi , daca exista un numar prim p care satisface proprietatile 1,2,3, din teorema 2.1 , atunci f este ireductibil in Q[x] (la clasa a-X-a putem formula concluzia astfel : f nu se poate descompune in produsul a doua polinoame neconstante cu coeficienti intregi).
Exemplul 1.
Polinoamele urmatoare sint ireductibile in Q[x] :
I) 13x – 18x + 20x – 4x + 2
7x – 12x + 15x -6
Solutie.
Aplicam criteriul lui Eisenstein pentru p=2. Avem p divide pe -18, 20, -4, 2 , iar p=4 nu divide pe 2 , deci polinomul este ireductibil in Q[x].
Fie p=3 Avem p divide pe -12, 15, -6, dar p=9 nu divide pe -6 , deci polinimul este ireductibil.
Exemplul 2.
Fie polonomul x+2. Este ireductibil in Q[x] conform criteriului lui Eisenstein (luam p=2) . Asadar pentru orice numar natural n exista un polinom ireductibil in Q[x] , avind gradul n.
Exemplul 3.
Fie p un numar prim . Polinomul f=x + x +…+x+1 este ireductibil in Q[x].
Solutie.
Sub aceasta forma nu putem aplica criteriul lui Eisenstein, de aceea consideram polinomul g=f(x+1). Corespondenta dintre polinomul f si g este realizata de izomorfismul :O[x]O[x] , (x)=x+1. Ca urmare , f este ireductibil g este ireductibil.
Dar,obtinem
Deoarece p este prim , avem p|C , oricare ar fi 1<= k <= p-1 si , deci , conform criteriului lui Eisenstein , g(x) este un polinom ireductibil si, in consecinta , f(x) este un polinom ireductibil.
Exemplul 4.
Aratati ca polinomul yx + (y-1)x + y -1 este ireductibil in C[x,y].
Solutie.
Polinomul yx + (y-1)x + y -1C[x] considerat in nedeterminata x si cu p=y-1 , avem:
y-1|y -1 , (y-1)|y-1
y-1| y
(y-1) | y -1
Deci si polinomul initial este ireductibil .
Fie acum A si B inele si A[x] , B[x] inele de polinoame in nedeterminata x cu coeficienti in A, respectiv in B.
Daca :AB este morfism de inele , definim functia :A[x]B[x] , punind:
Este clar ca este morfism de inele .Spunem ca extinde izomorfismul .
Teorema 6.2. (Criteriul reductiei) Fie A si B domenii de integritate cu A factorial si :AB omomorfism unitar de inele , K corpul de fractii al lui A si L corpul de fractii al lui B.
Fie :A[x]B[x] morfism de inele care extinde pe . Atunci, daca fA[x] este astfel incit (f) este ireductibil in L[x], iar grad(f) = grad((f)) , rezulta ca f este ireductibil in K[x].
Demonstratie.
Putem presupune ca f este primitiv si din ipoteza (f) este ireductibil in L[x] si de acelasi grad cu f. Atunci daca presupunem ca f este reductibil in K[x] , el este reductibil si in A[x]. Fie f=gh , cu grad(g)>=1, grad(h)>=1 . Atunci , (f)=(g) (h) si rezulta grad((g))=grad(g)>=1 iar grad((h))=grad(h)>=1 , ceea ce contrazice faptul ca (f) este ireductibil.
In aplicatii, vom folosi mai des urmatorul caz particular al criteriului reductiei:
Caz particular.
In aplicatii, de obicei, folosim mai mult un caz particular al criteriului reductiei si anume : fie p un numar prim , f=a0+a1x+…+anx un polinom primitiv din Z[x] si f=a0+a1x+…+anx polinomul din Zp[x] astfel incit ai este clasa de resturi modulo p a lui ai , 1<= i <= n . Daca grad(f) = grad(f) si f este ireductibil , atunci f este ireductibil.
Observatie.
Daca polinomul fZ[x] nu este primitiv , este posibil ca f sa fie reductibil in Z[x] , dar sa fie ireductibil in Q[x] . De exemplu , polinomul 2x-4 este reductibil in Z[x] , fiind 2(x-2) , dar este ireductibil in Q[x] (deoarece 2 este inversabil in Q[x]).
Exemplu.
Polinomul f=9x + 21x + 12x + 110x +5 Z[x] este ireductibil in Q[x].
Solutie.
Luam p=2 si , reducind coeficientii polinimului f , modulo 2 , avem f=x + x + 1 Z12[x]. Este suficient sa aratam ca acest polinom este ireductibil in Z12[x].
Intradevar, f(0)=f(1)=10. Daca x + x + 1= (ax +bx +c)(x +x +), prin identificarea coeficientilor se obtine:
1= a +b ;
0= a+b+ c;
0= b+c;
1=c.
De aici avem a==c==1 si deci, inlocuind in relatia 2 si 4 , avem 1=+b si 0=b +, adica 1=0 , ceea ce este o contradictie . Deci f este ireductibil in Z12[x] si atunci polinomul f este ireductibil in Z[x] si , de asemenea , in Q[x].
Teorema 6.3. (Criteriul de ireductibilitate al lui Schonemann). Fie p>=2 un numar prim, iar F Z[x] un polinom de forma F=f + pg , unde f,g Z[x] , n N , F avind coeficientul dominant egal cu 1. Daca f este ireductibil in Zp[x] si f nu-l divide pe g, atunci F este ireductibil in Z[x].
Demonstratie.
Daca f(x) = a0+a1x+…+anx Z[x] , iar p>=2 , p este prim , atunci f(x)=a0+a1x+….+anx Zp[x], unde ai este clasa lui ai modulo p si se numeste polinomul redus modulo p al lui f . Se observa ca grad(g)<n grad(f) si f are coeficientul dominant 1 . Ppresupunem prin absurd ca polinomul F ar fi reductibil . Deci exista F1, F2 Z[x] astfel incit , grad(F1) , grad(F2)>=1 , si F=F1F2 . Trecem la polinoamele reduse modulo p si obtinem F1·F2=F=f . Cum f este ireductibil in Zp[x] , rezulta F1=f, F2=f , unde n1+n2=n. Deci F1=f +pg1 , F2=f +pg2, unde Z[x], grad(gi)<ni grad(f) (deoarece F are coeficientul dominant 1).
Deci f +pg =(f +pg1)(f +pg2) , de unde obtinem g=f g1+f g2+pg1g2. Daca n1,n2>0, atunci din ultima egalitate rezulta ca fh=g, cu hZ[x] , deci f ar divide pe g , contradictie. Atunci n1=n sau n2=n , adica grad(F1)=grad(F) sau grad(F2)=grad(F), deci F este ireductibil in Z[x].
Exemplul 1.
Sa se arate ca polinomul F(x)=(x +2) +5(x +10x +5) este ireductibil in Z[x].
Solutie.
Se ia f=x +2 , g=x +10x +5. Atunci f=x +2 este ireductibil in Z5[x], iar g=x nu se divide prin x +2 in Z5[x] si deci conform criteriului lui Schonemann F este ireductibil in Z[x].
Exemplul 2.
Fie p un numar prim de forma p= 4n+3 , iar a,bZ astfel incit p divide pe
a , p divide (p-1) si p nu divide pe (b-1).
Sa se arate ca polinomul F(x)=x +ax+b este ireductibil in Z[x].
Solutie.
Se scrie F=(x +1) +pg, unde g=cx+d+(1/p)[-C (x +1) +C (x +1) -…..+C (x +1)].
c=a/p , d=(b-1)/p
Atunci f=x +1 este ireductibil in Zp[x] , iar g nu se divide prin f, deoarece cx+d0 nu se divide prin f=x +1 in Zp[x]. Din teorema lui Schonemann rezulta ca F(x) este ireductibil in Z[x].
Cap III. Consideratii metodice.
Aplicatii.
1. Consideratii metodice asupra predarii aritmeticii in gimnaziu si liceu.
M-am oprit asupra unei teoreme de divizibilitate propunandu-mi sa lamuresc un aspect al acestui capitol mai larg, mai exact notiunile de element prim si element ireductibil intr-un domeniu de integritate.Problemele legate de tema divizibilitatii imbraca forme mai tipice la nivelul clasei dar sunt nelipsite si la olimpiadele scolare unde li se atribuie de obicei cel mai ridicat nivel de dificultate.Odata cu prezentarea teoretica si mai departe cu aplicarea practica a divizibilitatii , in activitatea noastra didactica apar intrebari pe care elevii si le pun in mod natural,iar noi incercam sa le raspundem lor ,dar sa ne lamurim si noi dintr-o perspectiva mai limitata sau mai generala.
As exemplifica prin cateva intrebari legata de programa noastra scolara, la care, lucrarea pe care am ales-o va fi in masura sa raspunda.
In multimea numerelor naturale ,la clasa a V-a, vorbim de numere prime si descompunerea unica a unui numar natural in produs de numere prime.Mai departe,la clasa a VI-a ,problema divizibilitatii se pune pe multimea numerelor intrgi.Ea se reia,cu unele completari ,la clasa a X-a unde, se extinde ulterior la multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi.
Aici vorbim de polinoame ireductibile si cercetam posibilitatea descompunerii unui polinom in produs de polinoame ireductibile.In clasa a XII-a se studiaza structura de inel si se revine asupra polinoamelor si descompunerii in factori ireductibili,cu coeficienti in inelul sau corpul coeficientilor, respectiv descompunerii in Z[x] , R[x] sau C[x] , Zp[x] , p-prim.
De asemenea , calculul c.m.m.d.c. este introdus in mod liniar pentru numere naturale in clasa a V-a , numere intregi in clasa a VI-a , polinoame in clasa a X-a ,apare ca metoda de calcul si algoritmul lui Euclid.
Ne punem , in consecinta intrebarile:
-De ce la numere intregi folosim denumirea de numar prim si descompuneri in factori primi, iar la polinoame denumirea de polinom ireductibil si descompunerea in factori ireductibili ? Este vreo deosebire, asadar, intre elemrnt prim si element ireductibil?
Apoi, aceste descompuneri sunt unice?
-De ce la numere naturale avem un singur c.m.m.d.c. pentru mai multe numere date,la numere intregi avem cate doi (cu semnele ),iar la polinoame mai multi c.m.m.d.c. , depinzand de inelul coeficientilor ( in Zx cate doi , cu , in Rx o infinitate ,cu cate un factor real de proportionalitate)?
Elevii se mai pot intreba de asemenea de ce studiem divizibilitatea numai pe anumite multimi ,spre exemplu , de ce o studiem pe inelul Z si nu pe corpurile Q, R, sau C ?
In clasa a V-a se studiaza niste criterii de divizibilitate cu numere naturale iar in clasa a X-a un criteriu de divizibilitate la polinoame (Teorema
lui Bezout).Ne-ar mai putea interesa si alte reguli de divizibilitate , dar mai ales problema deciziei , daca un numar este prim sau un polinom este ireductibil, care ramane deschisa in programa gimnaziului si liceului susceptibila , insa , la lamuriri si completari.
Desigur, ne putem ridica si mai sus cu aceste intrebari, in clasa a XII-a, la studiul structurilor algebrice.
-De ce problema divizibilitatii se pune pe inele integre si cum se leaga ea de unitatile inelului, de ce nu prezinta interes in cazul corpurilor ?
-Mai departe, in ce fel de inele integre notiunile de element prim si element ireductibil sunt identice ?
-Exista si inele unde ele nu coincid ?
-In orice inel doua elemente admit c.m.m.d.c. ?
-Orice inel admite descompuneri in factori ireductibili ?
-In ce inele putem aplica algoritmul lui Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. ?
-Cum arata elementele inversabile (unitatile) in inelele Z , Zx , Rx de care depind asocierile in divizibilitate ?
Scopul temei pentru care am optat este , deci , perfectionarea noastra profesionala , capabila sa ofere elevilor cu care lucram raspunsuri si completari la asemenea intrebari , privirea lor dintr-o perspectiva generalizatoare.
O tratare comparativa , cu caracter teoretic dar si aplicativ , am incercat sa schitez in exemplele care urmeaza.
Inca din clasa a X-a ne intalnim cu notiunea de numar prim care se defineste ca fiind un numar nN , n0,1 si care nu are alti factori decat pe 1 si el insusi. Observam ca aceasta definitie corespunde definitiei elementului ireductibil intr-un domeniu de integritate. Ca rezultat fundamental de aritmetica pentru multimea numerelor naturale in gimnaziu se enunta teorema fundamentala a aritmeticii : “ Orice numar natural diferit de 0 sau 1, se descompune in mod unic , mai putin ordinea factorilor , ca un produs de factori primi.”
Existenta descompunerii se justifica prin exemple.De altfel , demonstratia existentei descompunerii in factori este usor de intuit , folosind definitia numarului prim data mai sus.In ceea ce priveste unicitatea ,se observa tot prin exemple, dar, de fapt, problema demonstratiei unicitatii nu ne-o putem pune la clasele de gimnaziu.Pentru aceasta ar trebui sa demonstram, pentru inceput , ca “un numar natural p (p 2) este prim daca si numai daca oricare ar fi a,bN p/ab ,atunci p/a sau p/b” (adica este prim in sensul adevarat al definitiilor din lucrare) ori acest lucru nu este simplu si atunci unicitatea ramane sa o justificam printr-o diversitate de exemple.De altfel, definitia numarului prim data in gimnaziu (ca element ireductibil) are avantajul ca este usor de inteles de elevi;in acelasi timp , definitia ca element prim intr-un domeniu de integritate nu credem ca este pe intelesul elevilor din clasa a V-a.In definitiv, nici denumirea nu deranjeaza in perspectiva, pentru ca, in conformitate cu rezultatele date in lucrare, un numar natural este prim daca si numai daca este ireductibil.
In clasa a X-a, este un capitol intitulat “Notiuni de aritmetica numerelor intregi” care, din pacate, nu mai este in programa,unde se arata ca
un numar natural este prim daca si numai daca numarul natural este ireductibil.In acest capitol, se face o teorie riguroasa a aritmeticii numerelor intregi, unele elemente exprimandu-le in continuare.
Teorema fundamentala a aritmeticii pentru numere intregi:
Oricare ar fi numarul intreg n, cu n>2 ,exista o descompunere a sa in produs de numere prime p1,p2,…,pm , nu neaparat distincte ,astfel incat n=p1 p2 …pm
In plus, aceasta descompunere este unica, in sensul ca oricare alta descompunere in produs de factori primi difera de ea doar prin ordinea factorilor.
Demonstratie:
Vom dovedi, mai intai, ca orice numar intreg a , cu a2 ,are cel putin un divizor prim.Fie A multimea divizorilor naturali ai lui a, diferiti de 1. Evident ca aA , deci A si in plus, A este finita .Fie p cel mai mic numar ce apartine multimii A.Daca p nu ar fi prim, atunci, conform definitiei ca “un numar natural p2 se numeste prim daca singurii sai divizori sunt 1 si p” ar exista un divizor natural al lui p, cu d > 1.Cum d/p, atunci d/a si, deci ,dA, ceea ce contrazice alegerea lui p.Deci, p este prim.
Trecem acum la demonstrarea existentei unei descompuneri a numarului n in produs de numere prime. Deoarece n2, exista p1 numar prim astfel incat p1/n.Sa notam cu n1=n/p1.Daca n1=1 atunci n=p , si deci partea de existenta este demonstrata.Daca nu , vom avea n12 si , deci, exista un numar prim p2 astfel incat p2/n1. Daca n2=n1/p2=1, atunci n=n1p1=p2.Daca nu , continuam procedeul si obtinem un numar prim p3/n2 s.a.m.d.
Sirul de numere n, n1, n2, n3, …, are proprietatea ca n>n1>n2… , deoarece n2=n1/p2n1/2n1 s.a.m.d. Fiind un sir srict descrescator de numere naturale, rezulta ca el este finit si, deci, acest un procedeu se opreste dupa un numar finit de pasi, adica exista un m astfel incat nm=nm-1/pm=1. Prin urmare, n=p1n1=p1p2n2=…=p1p2…pmnm=p1p2…pm.
Unicitatea:
Sa presupunem ca avem pentru n doua descompuneri in factori primi n=p1p2…pm si n=q1q2..qr.Deoarece toate numerele pi si qj sunt pozitive , semnul din fata produselor este acelasi in ambele scrieri: plus, daca n>0, si, minus, daca n<0.Avem,prin urmare, (1) p1p2…pm=q1q2..qr.Reordonand eventual factorii celor doua produse , valoarea produselor nu se schimba, inmultirea fiind comutativa.Putem deci presupune ca
p1p2…pm si q1q2…qr .
Din egalitatea (1) rezulta ca p1/q1q2…qr si,conform teoremei “un numar
naturalp2 este prim daca si numai daca oricare ar fi a si b numere intregi, astfel incat p divide pe ab, sa rezulte ca p divide pe a sau b” rezulta ca exista 1ir astfel incat p1/qi, conform teoremei fundamentale a aritmeticii enuntate mai sus,
singurii divizori ai lui qi sunt 1 si qi si cum p1>2 , rezulta ca p1=qi.Vom avea chiar ca p1=q1.
Intr-adevar, deoarece q1 este cel mai mic element din sirul q1,q2,…,qr avem q1qi=p1.Deoarece q1/p1p2…pr exista j astfel incat q1/pj.Prin urmare, q1=pj>p1, si deci, q1p1.Am obtinut ,deci, ca p1q1 si p1q1.Simplificand in relatia (1) cu p1=q1 , obtinem egalitatea p2p3…pm=q2q3…qr.
Facand acelasi rationament , va rezulta p2=q2 si, din aproape in aproape, vom avea , in final, m=r si pi=qi , 1im , ceea ce completeaza demonstratia partii de unicitate din tema.
Observatie:
In teorema enuntata , in reprezentarea numarului n ca produs de factori primi p1, p2, …, pm este posibil ca unii dintre factori sa fie egali intre ei; p1 poate sa apara de t1 ori , unde t11, p2 de t2 ori cu t21 si in genegal pk de tk ori cu tk1.Daca numarul factorilor primi distincti este l atunci vom avea : n=p p …p , unde putem presupune ca p1<p2<…<pl (3) .
Scrierea lui n in forma (3) se numeste descompunerea lui n in factori primi.In acest sens , teorema fundamentala a aritmeticii se mai numeste si teorema de descompunere in factori primi.
Exemplu:
Numarul intreg –7800 se poate scrie ca produs de factori primi in felul urmator : 3 2
-7800 =-2*2*2*3*5*5*13=-2 *3*5 *13
Cu ajutorul teoremei fundamentale a aritmeticii se da si un alt procedeu de calcul al c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere intregi si anume : se scriu descompunerile acestor numere in produse de factori primi si c.m.m.d.c. al lor va fi produsul factorilor primi comuni ai acestor numere la puterea cea mai mica .In mod similar cu specificul de rigoare din teorema fundamentala, rezulta un mod de calcul al c.m.m.m.c al doua sau mai multe numere.
In continuare se pot face cateva observatii asupra sirului numerelor prime.Practic, pentru a dovedi ca un numar natural n>1 este prim, este suficient sa verificam ca el nu are divizori primi mai mici decat n.
Pentru polinoamele cu coeficienti numerici , lucrurile stau analog ca la numerele naturale si intregi.In gimnaziu ,se definise ,de asemenea, ceea ce este in fapt definitia elementului ireductibil intr-un domeniu de integritate; aici denumirea corespunde.In cadrul capitolului “Polinoame cu coeficienti complecsi” din algebra de clasa a X-a se enunta teorema :”Fie f=a0+a1X+…+anX un polinom cu an0 , n1.Daca x1, x2, …, xn sunt radacinile polinomului f atunci (1) f=an(X-x1)(X-x2)…(X-xn).In plus, descompunerea (1) nu este unica.”
Aici unicitatea este adevarata, mai putin ordinea factorilor si asociera in divizibilitate a acestora.Este clar ca doua polinoame P si Q sunt asociate in divizibilitate daca si numai daca exista un numar a astfel incat P=aQ .
Existenta se poate justifica cu aceasta definitie a polinoamelor ireductibile, dar unicitatea sufera ,de asemenea, de faptul ca nu am demonstrat nicaieri in gimnaziu ca un polinom este ireductibil daca si numai daca polinomul este prim.Din lucrare rezulta ca acest rezultat este adevarat.Deci, ca si in cazul numerelor intregi, si la polinoame conceptele de element prim si element ireductibil coincid, fara a se mentiona la nivelul gimnaziului.Mentionam ca in clasa a X-a , la polinoame cu coeficienti complecsi, se justifica faptul ca un polinom cu coeficienti complecsi intr-o nedeterminata este ireductibil daca si numai daca este prim, acestea fiind polinoamele de gradul I . De asemenea , se arata ca un polinom intr-o nedeterminata cu coeficienti reali este prim daca si numai daca esta ireductibil , acestea fiind polinoamele de gradul I sau de gradul al II-lea cu <0. Se folosesc proprietati ale radacinilor unui polinom , se enunta teorema:”Orice polinom f=a +a X +…+a X de grad 1 cu coeficienti reali este un produs de polinoame de gradul I sau gradul al II-lea cu coeficienti reali adica f poate fi scris sub forma
f=an(X-x1)…(X-xp) (X+b1*X+c1)…(X+bsX+cs) unde x1, …, xpR si
b1-4c1<0 … bs-4cs<0.
Demonstratie:
Conform teoremei enuntate mai inainte f are descompunerea
(2) f=an(X-x1) (X-x2) … (X-xn) unde x1, x2, …, xn sunt radacinile lui f.
Presupunem ca x1, x2, …, xp sunt radacinile reale ale lui f ,iar radacinile xp+1, …, xn sunt complexe.Luam radacina xp+1, care are ordinul de multiplicitate kp+1.Cum xp+1 este o radacina a lui f, exista o radacina xp+i (i >1) astfel incat xp+i=xp+1. Dupa teorema care spune ca “orice polinom cu coeficienti reali care admite o radacina complexa, admite si conjugata sa cu acelasi ordin de multiplicitate” avem kp+1=kp+i .In descompunera (2) grupam factorul (X-xp+1) cu factorul (X-xp+i) =(X-xp+1) . Notam r1=kp+1, b1=(xp+1+xp+1) si cu c1=xp+i xp+1. Atunci, in descompunerea (2) apare factorul (X-xp+i) (X-xp+1) =(X+b1X+c1) unde b1, c1 R . Daca in continuare se procedeaza la fel cu toate radacinile complexe ale lui f , atunci descompunerea (2) a lui f se scrie sub forma (1).
Mai tarziu, in clasa a XII-a, se trateaza despre polinoame ireductibile si descompunerea polinoamelor in produs de factori ireductibli, care se finalizeaza cu enuntul si demonstratia teoremei:”Fie K un corp comutativ si fk[X] un polinom de grad mai mare ca 0.Atunci:
1. f se descompune intr-un produs finit de polinoame ireductinile peste K;
2. Daca f=f1f2…fm=f1’f2’…fm, sunt doua descompuneri ale lui f in produs finit de polinoame ireductibile,atunci m=m’ si exista o permutare Sm astfel incat fi=f(i)’ 1im’ care este, de fapt, o generalizare la polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ, a teoremei fundamentale a aritmeticii.”
Aceasta teorema este urmata de enuntul a doua consecinte , de fapt amintite si in clasa a X-a, si anume:
Consecinta 1: Orice polinom fR[X] de grad mai mare ca zero, se reprezinta ca produs finit de polinoame de grad 1, din C[X], unic determinate, mai putin ordinea si o asociere in divizibilitate a factorilor.
Consecinta 2: Orice polinom fR[X] de grad mai mare ca zero se reprezinta ca produs finit de polinoame din R[X] de gradul 1 sau de gradul 2 fara radacini reale, unic determinate mai putin ordinea si o asociere in divizibilitate a factorilor.
Aceste consecinte se demonstreaza foarte usor, folosind teorema de mai sus.
In final se trateaza despre polinoame ireductibile cu coeficienti in corpul Zp , unde p este prim.In acest sens putem enunta cateva exemple, cum ar fi :
Exemplul 1. Sa se descompuna in factori ireductibili peste Z5
polinomul f=X +X +2X +3.
Solutie f(1)=1+1+2+3=2
f(0)=3
f(2)=1+3+3+3=0
f(3)=1+2+3+3=4
f(4)=1+4+2+3=0
deci f=(X+2X+1)(X+3)(X+1) ,unde g=X+2X+1 este reductibil deoarece g(4)=1+3+1=0 deci , g(X)=(X+1)(X+1) si mai departe f(X)=(X+3)(X+1)(X+1)(X+1)=(X+3)(X+1).
Exemplul 2. Descompuneti in produs de polinoame ireductibile peste corpul Z2 polinoamele de grad 4 din Z2[X].
Solutie.
f1=X ; f2=X+1 ; f3=X ; f4=X+X ; f5=X+1=(X+1) ; f6=X+X+1 ; f7=X ; f8=X+X=X(X+1) ; f9=X+X+1 ; f10=X+X+X=X(X+X+1) ; f11=X+X+X+1=(X+1) ; f12=X+1=(X+1)(X+X+1) ; f13=X+X=X(X+1) ; f14=X+X+1 ; f15=X ; f16=X+1=X+1 ; f17=X+X=X(X+1) ; f18=X+X+1 ; f19=X+X=X(X+1) ; f20=X+X+1=(X+X+1) ; f21=X+X=X(X+1)(X+X+1) ; f22=X+X+1 ; f23=X+X+X=X(X+X+1) ; f24=X+X+X+1=(X+1)(X+X+1) ; f25=X+X+X=X(X+X+1) ; f26=X+X+X+1=(X+1)(X+X+1) ; f27=X+X+X=X(X+X+1) ; f28=X+X+X+1=(X+1)(X+X+1) ; f29=X+X+X+X ; f29=X+X+X+X+1.
Observam ca polinoamele f1, f2, f6, f9, f14, f16, f22, f30, sunt ireductibile peste corpul Z2.
Observam, deasemenea, ca este important cand vorbim de polinoame ireductibile si descompunerea in factori ireductibili, sa precizam carei multimi de numere apartin coeficientii sau la ce multime de polinoame ne referim.
De exemplu, polinomul 2X-4 in Q[X] este ireductibil, pe cand, in Z[X] este reductibil, deoarece 2(X-2) este o descompunere in factori ireductibili in Z[X] (in Q[X], numarul 2 fiind inversabil nu este prim).De asemenea, polinomul X+1 este ireductibil in R[X], dar in C[X] este reductibil, deoarece X+1=(X+i)(X-i). Deci si cand tratam teorema fundamentala a descompunerii in factori ireductibili la polinoame trebuie sa precizam multimea polinoamelor in care facem descompunerea in factori ireductibili.Problema ireductibilitatii polinoamelor este legata de aflarea radacinii polinoamelor.Observam ca prezenta lucrare justifica faptul ca notiunile de numar intreg prim si numar intreg ireductibil, ca si polinom prim si polinom ireductibil coincid, aceasta fiind o proprietate a domeniilor factoriale, mai general, a domeniilor in care orice doua elemente au un c.m.m.d.c. Multe rezultate din gimnaziu, din aritmetica, privind numerele prime si polinoamele ireductibile nu se pot demonstra deoarece conceptele respective sunt date prin cel de element ireductibil, care este mai slab decat cel de element prim (in general vorbind,orice element prim este ireductibil, reciproca nefiind, de regula, adevarata).
2. Elemente prime in inelul intregilor al lui Gauss ( Z[i] )
Sa determinam elementele prime din inelul intregilor lui Gauss, Z[i] , pornind de la cunoasterea numerelor prime din inelul Z. Consideram functia norma : Z[i] N, (a+ib)=a+b. Stim ca Z[i] este inel euclidian relativ la functia . De asemanea, U(Z[i])={-1,1 –i,i}. Acest material poate constitui o tema de cerc pentru elevii claselor a X-a.
Propozitia 2.1 Orice element prim din Z[i] este divizor al unui numar prim din Z.
Demonstratie:
Fie un element prim din Z[i].Avem ()=. Cum ()N si ()>1 atunci ()=p1p2…ps unde p1, p2, …, ps sunt numere prime din Z. Avem =p1p2…ps si, deci, /p1p2…ps. Cum este prim exista un pi astfel incat /pi.
Propozitia 2.2
Numarul 1+I este prim in Z[i].In plus, 2 are urmatoarea descompunere in factori primi in Z[i] : 2=(-i)(1+i) (-i este inversabil in Z[i] ).
Demostratie:
Vom dovedi ca 1+i este ireductibil in Z[i]. Fie 1+i=z1*z2 cu z1=a1+ib1, z2=a2+ib2 . Avem: (1+i)=(z1)(z2) sau 2=(a1+b1)(a2+b2). Deci, a1+b1=1 si a2+b2=2 sau a1+b1=2 si a2+b2=1.In primul caz, obtinem ca a1=1 , b1=0 sau a1=0 , b1=1, adica z1=i sau z2=i.Deci, z1 este element inversabil . In cazul a1+b1=2, rezulta ca a2+b2=1 si deci, z2 este element inversabil in Z[i] si conform propozitiei “Daca A este inel euclidian, atunci un element pA este prim daca si numai daca el este ireductibil” , rezulta ca este prim.
Observatie. 1-i este, de asemenea, element prim in Z[i], dar 1+i si 1-i sunt asociate in divizibilitate. Intr-adevar , 1-i=(-i)(1+i).
Propozitia.2.3 Orice numar prim p>2 este de forma p=4k+1 sau p=4k+3 , unde k>0.
Demonstratie:Intr-adevar, p are una din urmatoarele forme: p=4k ,p=4k+1, p=4k+2, p=4k+3. Cum p este prim si p>2, atunci p nu poate fi de forma 4k sau 4k+2.
Propozitia 2.4. Orice numar prim p de forma p=4k+3 este prim in Z[i].
Demonstratie:
Vom arata ca p este ireductibil in Z[i]. Vom folosi metoda reducerii la absurd si anume presupunem ca p nu este ireductibil.Exista z1, z2 apartinand lui Z[i] elemente neinversabile astfel incat p=z1*z2. Sa presupunem ca z1=a1+ib1, z2=a2+ib2. Avem (p)=(z1*z2)=(z1)(z2) sau p=(a1+b1)(a2+b2). Cum z1, z2 nu sunt inversabile, avem (z1)>1 si (z2)>1. Deci trebuie ca a1+b1=p si a2+b2=p . a1 si b1 sunt de una din urmatoarele forme a1=2r sau a1=2r+1 si b1=2s sau b1=2s+1. Este clar ca daca a1 si b1 sunt pare rezulta ca 4 divide pe a1+b1=p, ceea ce este imposibil. Sa presupunem ca a1=2r+1 si b1=2s. Avem, atunci, a1+b1=(2r+1)+4s=4r+4r+1+4s=4(r+s+1)+1, de unde ar rezulta ca p este de forma 4t+1, imposibil. Daca a1=2r+1 si b1=2s+1 , atunci a1+b1=(2r+1)+(2s+1)=4r+4r+1+4s+4s+1=2(2r+2r+2s+2s+1), ceea ce inseamna ca p este numar par, contradictie. Deci p este irductibil in Z[i].
Observatie:
Din propozitia 2.4 rezulta ca numerele prime 3, 7, 11, 19, 23, … sunt elemente prime in inelul Z[i].
Propozitia 2.5.
Orice numar prim p de forma 4k+1 este produsul a doua elemente prime din Z[i] care nu sunt asociate in divizibilitate.In plus, aceste elemente prime sunt conjugate unul celuilalt.
Demonstratie.
Pornim de la teorema lui Wilson: (p-1)!+1=0 (mod p).Avem clare relatiile p-1-1 (mod p) ; (p-1)/2+1-(p-1)/2 (mod p) . Inmultind aceste congruente parte cu parte, avem ca :
(p-1)(p-2)[(p-1)/2+1] (-1) [12…((p-1)/2)] (mod p)
Cum p=4k+1, atunci (-1) =1 si deci, avem:
(p-1)(p-2)[(p-1)/2+1] [(p-1)/2]! (mod p), de unde, prin inmultire cu [(p-1)/2]!, obtinem ca : (p-1)!=[(p-1)/2]! (mod p).
Notand x=[(p-1)/2]!, din teorema lui Wilson obtinem ca 1+x=0 (mod p), adica p/1+x de unde obtinem in Z[i] ca p/(1+ix)(1-ix). Daca p ar fi prim in Z[i] , ar rezulta ca p/1+ix sau p/1-ix. Sa presupunem ca p/1+ix. Atunci exista a+ib in Z[i] astfel incat 1+ix=p(a+ib) si, deci, 1=pa, adica p=1, contradictie. Analog p/1-ix ne conduce la o contradictie. Deci p nu este element prim in inelul Z[i]. In inelul Z[i] , p are o descompunere in factori primi p=12 … k unde iZ[i] si i sunt elemente prime.
Din cele aratate mai inainte, avem k2.Aplicand functia , avem: (p)=(12…k)=(1)(2)…(k) sau p=(1)(2)…(k). Cum (i)>1, oricare ar fi 1ik, rezulta ca trebuie ca k2. Deci k=2, adica p=12.
Elementele 1 si 2 nu sunt asociate in divizibilitate.Intr-adevar , daca 1~2, atunci exista uU(Z[i]) astfel incat 2=u1 si deci p=u1 , de unde (p)=(u)(1), adica p=(1). Cum (1)>1, avem ca p=(1). Sa presupunem ca 1=a+ib; atunci p=a+b si din demonstratia propozitiei 3.4 ar rezulta ca p este de forma 4k+3.
Exemplu:
Fie p=13. Avem 13=(2+3i)(2-3i). Din propozitia 2.5 rezulta ca 2+3I si 2-3I sunt elemente prime in Z[i]. Se observa ca avem descompunerea 13=(3+2i)(3-2i) si deci, 3+2i si 3-2i sunt si ele elemente prime in Z[i]. Dar observam ca 3+2i este asociat in divizibilitate cu 2-3i, iar 3-2i este asociat in divizibilitate cu 2+3i. Sa notam cu P multimea P={1+i}{multimea numerelor naturale de forma 4k+3}{multimea divizorilor primi in Z[i] ai numerelor naturale prime de forma 4k+1}. Din propozitiile 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 obtinem:
Teorema 2.6
Orice element prim din inelul Z[i] este asociat in divizibilitate cu un element din multimea P.
Din propozitia 2.5 obtinem urmatorul rezultat important in aritmetica:
Teorema2.7. Orice numar natural prim p de forma 4k+1 este suma a doua patrate.
Demonstratie:
Din propozitia 2.5 avem p=12. Fie 1=a+ib; cum 2=1=a-ib atunci p=(a+ib)(a-ib)=a+b.
Exemplu.
Sa descompunem in factori primi numarul 1200 in inelul Z[i].Avem : 1200=2*3*5 in inelul Z. Cum 2=(-i )(1-i), 3 este prim in Z[i], iar 5=(1+2i)(1-2i), obtinem ca 1200 are urmatoarea descompunere in factori primi in Z[i] : 1200=3(-i)(1+i)(1+2i)(1-2i).
3. Elemente de aritmetica in inelul K[X] ( K corp comutativ)
Multe din rezultatele acestui paragraf rezulta din cele tratate anterior in lucrare, dar vom expune aritmetica in K[X] cu unele extensii sau demonstratii elementare , in cadrul acestui paragraf , in mod unitar in scopul sugerarii unor teme de cerc pentru elevii claselor a X-a si a XII-a.
Mai intai , prezentam o extensie a algoritmului de impartire a polinoamelor cu coeficienti intr-un corp.
Propozitia 3.1 ( teorema impartirii cu rest)
Fie A un domeniu de integritate, f, g0 doua polinoame din A[X] astfel incat coeficientul termenului de grad maxim al lui g sa fie inversabil in A. Atunci, exista polinoamele q si r din A[X] , unic determinate, astfel incat f=gq+r si grad(r)<grad(g).
Demonstratie:
Procedam prin inductie dupa gradul lui f. Fie m gradul lui f, iar n gradul lui g. Daca grad(f)=m<n=grad(g) , atunci q=0 si r=f. Daca mn, fie a si b coeficientii termenilor de grad maxim al lui f, respectiv al lui g. Prin ipoteza, b este inversabil. Atunci, fie: f-(a b )X g=f1.
Deoarece coeficientii lui X in f si in (a b )X g sunt egali, este clar ca grad(f1)<grad(f). Prin urmare, dupa ipoteza inductiei, exista polinoamele q1 si r din A[X] astfel incat:
f1=gq1+r1 unde grad(r1)<grad(g).
Atunci f=a b X g+gq1+r1=g(a b X +q1)+r1 unde grad(r1)<grad(g). Deci, f= gq1+r, unde grad(r)<grad(g), q=a b X +q1, iar r=r1.
Sa demonstram unicitatea lui r si q.
Intr-adevar daca avem inca f=gq’+r’ unde grad(r’)<grad(g), atunci rezulta g(q’-q)=r’-r, unde grad(r’-r)<grad(g) si g0. Cum b este inversabil, deci nu este divizor al lui zero in A, daca qq’ rezulta ca
grad(g(q-q’))grad(g). Asadar, gradul polinomului din membrul I al egalitatii g(q-q’)=r’-r este n, iar al celui din membrul al doilea este <n si se obtine o contradictie. Deci in mod necesar , q=q’ si r=r’. Polinomul r poate fi nul (in acest caz, dupa conventia facuta, gradul sau este –
Din aceasta propozitie rezulta evident:
Corolarul 3.2.
Fie K un corp comutativ si f, g0 doua polinoame din K[X]. Atunci exista polinoamele q si r din K[X] unic determinate, astfel incat f=gq+r si grad(r)<grad(q).
Polinomul q se numeste catul impartirii lui f la g, iar r se numeste restul impartirii.
Vom da acum, cateva fapte referitoare la divizibilitatea in inele de polinoame. Presupunem, in cele ce urmeaza, ca A este un domeniu de integritate. Atunci A[X] este domeniu de integritate (conform cu o propozitie din constructia inelului de polinoame si anume “Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[X] este domeniu de integritate”). Fie f si g doua polinoame din A[X]. Spunem ca f divide g (in inelul A[X] ) daca exista hA[X] astfel incat g=fh. Daca f divide g, scriem f/g, in caz contrar, spunem ca f nu divide g in inelul A[X]. Cand f divide g, se mai spune ca g se divide prin f sau ca g este un multiplu de f sau, inca, f este un divizor al lui g (in inelul A[X]).
Propozitia 3.3
Relatia de divizibilitate pe A[X] are proprietatile:
f/f , oricare ar fi fA[X];
daca f/g si g/h, atunci f/h , oricare ar fi f,g,hA[X];
daca f/g1 si f/g2 , atunci f/rg1+qg2, oricare ar fi q,rA[x].
Aceste afirmatii sunt evidente.
Amintim, de asemanea, o propozitie care spune ca elementele inversabile din A[X] coincid cu elementele inversabile din A.
Fie f,gA[X] . Spunem ca f este asociat in divizibilitate cu g si scriem f~g daca f/g si g/f in inelul A[X].Relatia de asociere in divizibilitate este evident o relatie de echivalenta, adica este reflexiva, simetrica si tranzitiva.
Propozitia 3.4
Fie A un domeniu de integritate si A[X] inelul polinoamelor peste A. Daca f,g sunt doua polinoame din A[X], atunci f~g daca si numai daca exista
aA, a inversabil, astfel incat f=ag.
Demonstratie:
Presupunem f0 si g~f. Cum f/g si g/f, rezulta g=fq si f=gh, cu q,hA[X]. Asadar , f=fqh, adica f(1-qh)=0. Cum f0 si inelul A[X] este domeniu de integritate, rezulta 1-qh=0 sau qh=1. Deci q,h sunt inversabile in A[X] si conform propozitiei enuntate la demonstratia propozitiei 3.3, rezulta ca q, h sunt elemente din A, inversabile. Deci, f=gh, cu hA, inversabil.
Reciproc, fie f=ag cu aA inversabil. Atunci g=bf, unde bA, este inversul lui a si deci, g/f si f/g, de unde f~g. Daca f=0 , atunci si g=0 si afirmatia din enunt este evidenta.
Definitia 3.1
Fie A un domeniu de integritate si f, g doua polinoame din A[X]. Un polinom dA[X] se numeste cel mai mare divizor comun al lui f si g daca si numai daca sunt indeplinite conditiile:
d/f si d/g;
daca hA[X], iar h/f si h/g, atunci h/d.
Daca d’ este alt polinom din A[X] care verifica 1) si 2) rezulta ca d/d’ si d’/d deci, d~d’. Dupa propozitia precedenta, avem ca exista aA inversabil, cu d’=ad. Asadar, c.m.m.d.c. a doua polinoame din A[X],in cazul ca exista, este unic, mai putin o asociere in divizibilitate. In general, se alege unul dintre acestea ca fiind c.m.m.d.c. al polinoamelor f si g si se noteaza prin (f,g).
Fie K un corp comutativ. Printre polinoamele asociate in divizibilitate cu un polinom dat exista unul singur care este unitar, adica are coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1. In acest caz, f si g fiind doua polinoame din K[X], vom nota prin (f,g) acel polinom unitar care este cel mai mare divizor comun al lor. Cum pentru f=g=0 polinomul (f,g) nu poate fi definit ca mai sus, convenim sa punem in acest caz (0,0)=0. Vom arata, in continuare, ca oricare doua polinoame din inelul K[X] (K-corp comutativ) au c.m.m.d.c. Daca f/g, atunci (f,g)=f, in particular (f,0)=f.
Propozitia 3.5
Fie K[X] inelul polinoamelor cu coeficienti intr-un corp comutativ K. Pentru orice doua polinoame f,g din K[X] exista c.m.m.d.c. al lor. Mai mult, daca d=(f,g), atunci exista polinoamele h1,h2K[X] astfel incat d=fh1+gh2.
Demonstratie:
Daca f=g=0, teorema este evidenta. Fie f0 sau macar g0 si fie I={fu+gv/ u,vA[X]}. Daca h/f si h/g, conform propozitiei 3.3 (3), rezulta ca h/fu+gv oricare ar fi u,v din A[X]. Deci orice divizor al lui f si g divide orice element din I . Intrucat f=f1+g0 si g=f0+g1 rezulta ca f,gA[X].
Deci, I contine elemente nenule. Atunci multimea Df,g={grad(h)/hI, h0} este o submultime nevida de numere naturale. Fie d=fh1+gh2I, astfel incat grad(d) sa fie cel mai mic numar natural din Df,g. Sa aratam ca d=(f,g).
Deoarece dI , orice divizor al lui f si g divide pe d, deci este verificata conditia 2) din definitia 3.1. Sa probam ca d are proprietatea 1) a aceleiasi definitii. Cum d0, dupa propozitia 3.1, exista q,rA[X] astfel incat f=dq+r si grad(r)<grad(d) . Avem r=f-dq=f-(fh1+gh2)q=
=f(1-qh1)+g(1-qh2)I .
Intrucat dI si este astfel incat grad(d) sa fie minim in Df,g iar grad(r)<grad(d), rezulta, in mod necesar, ca r=0. Asadar, f=dq si, deci d/f. Analog, se arata ca d/g. Deci , d=(f,g) si din demonstratie avem ca d=fh1+gh2 cu h1, h2 apartinand lui A[X].
Definitia 3.2.
Doua polinoame f si g din K[X] se numesc prime intre ele (sau relativ prime) daca (f,g)=1.
Avem ca f si g sunt prime intre ele daca si numai daca exista h1 si h2 din A[X] astfel incat fh1+gh2=1.
Observatie.
Este bine cunoscuta si metoda constructiva de calcul a c.m.m.d.c. a doua polinoame , cunoscuta sub numele de algoritmul lui Euclid.
In continuare, ne ocupam de polinoame ireductibile in inele de polinoame cu coeficienti intr-un corp si descompunerea polinoamelor in factori ireductibili.
Fie K un corp comutativ si K[X] inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K.
Definitia 3.3.
Un polinom P nenul si neinversabil se numeste ireductibil daca din f/p rezulta f~1 sau f~p.
Cu alte cuvinte, un polinom nenul si neinversabil este ireductibil, daca singurii divizori ai sai sunt polinoamele inversabile si cele asociate in divizibilitate cu P (adica cele care difera de P prin constante nenule sau, inca, daca P nu poate fi reprezentat ca produs de doua polinoame din K[X], ambele cu gradul strict mai mic decat grad(P)).
Un polinom nenul si neinversabil, care nu este ireductibil, se numeste reductibil.
Definitia 3.4
Un polinom q nenul si neinversabil din K[X] se numeste prim daca, oricare ar fi f,g din K[X], din q/fg rezulta q/f sau q/g.
Propozitia 3.6
Un polinom din inelul K[X] este ireductibil daca si numai daca este prim.
Demonstratie:
Fie p un polinom ireductibil si p/fg f,gK[X]. Cum p este ireductibil , acesta nu are divizori decat polinoamele inversabile sau cele asociate in divizibilitate cu p. Deci (p,f)~p sau (p,f)=1.
In primul caz, rezulta p/f. Daca, insa, (p,f)=1, atunci exista h1, h2 din K[X] astfel incat ph1+fh2=1, de unde multiplicand cu g, avem g=pgh1+fgh2. De aici, cum p/fg rezulta ca p/pgh1+fgh2, deci p/g. Reciproc, fie q un polinom prim si f un divizor al sau, adica q=fg, cu f,gK[X]. Cum q este prim si q/fg, rezulta q/f sau q/g. Daca q/f si cum f/q, rezulta f~q. Daca, insa, q/g si cum g/q, avem g~q, deci, f~1. Asadar, q este ireductibil.
Teorema 3.7. Orice polinom nenul si neinversabil din K[X] este produsul unui numar finit de polinoame ireductibile. Mai mult, daca fK[X], cu grad(f)1 si f=p1p2…pm=p1’p2’…pn’, unde pi si pi’ sunt polinoame ireductibile in K[X], atunci m=n si exista o permutare Sn astfel incat pi~p(j)’ , i=1,2,…,n.
Demonstratie. Vom demonstra, pentru inceput, prima parte a teoremei.
Fie, pentru aceasta , f din K[X]. Daca f este ireductibil, atunci totul este evident. Daca nu, adica f este reductibil, exista g,hK[X] astfel incat f=gh, 1grad(g), grad(h)<grad(f). In acest caz, vom demonstra prin inductie dupa grad.
Presupunem adevarata proprietatea pentru toate polinoamele de grad mai mic ca cel al lui f, polinoamele g si h se descompun in produs finit de polinoame ireductibile si, deci, f=gh se descompun similar.
Ramane sa demonstram partea a doua a teoremei prin inductie dupa m. Daca m=1, atunci f=p1 si deci n=1 si p1’=p1. Sa presupunem proprietatea adevarata pentru polinoamele ce se descompun in m-1 factori si sa demonstram pentru f. Cum p1 este prim, (vezi propozitia 3.6) si p1/p1’p2’…pn’ , rezulta ca exista i astfel incat p1/pi’.
Renumerotand termenii daca este necesar, putem presupune ca p1/p1’. Cum p1’ este ireductibil, rezulta p1~p1’ si deci, p1’=p1a1 cu a1 din K, a0. Din p1p2…pm=p1’p2’…pm’ obtinem p1p2…pm=a1p1p2’…pn’ si deci, p2p3…pm=p2’’p3’’…pn’’, unde p2’’=ap2’ si pj’’=pj’ sunt ireductibili. Din ipoteza inductiei, m-1=n-1 si dupa o eventuala renumerotare a termenilor, pj~pj’’. Deci m=n si pi~pi’, 1in, dupa o eventuala renumerotare a factorilor. Dar, a face o renumerotare a factorilor revine la a aplica o permutare a indicilor acestora , asa ca totul este demonstrat.
4. Probleme rezolvate
Sa se determine c.m.m.d.c. al numerelor 2 si 1-i din inelul Z[i].
Solutie.
Deoarece 2=(1+i)(1-i), rezulta c.m.m.d.c. d=1-i.
Sa se arate ca in inelul Z[i5] elementele 2 si 2+i5 au un c.m.m.d.c.
Solutie
Fie dZ[i5] un divizor comun al elementelor 2 si 2+i5 si functia f:Z[i5] N, f(z)=a+5b, daca z=a+bi5. Avem f(2)=4, f(2+i5)=9. Din d/2 si d/2+i5 deducem f(d)=1 sau f(d)=2. Dar f(d) nu poate fi egal cu 2, caci nu exista zZ[i5] cu f(z)=2. Asadar, orice divizor comun al celor doua elemente avand proprietatea f(z)=1 este element inversabil in Z[i5] , adica c.m.m.d.c. al elementelor 2 si 2+i5 este 1.
Sa se descompuna in factori primi numarul 6000 in Z[i].
Solutie.
Avem 6000=235. Cum 3 este un numar prim, 2=(1+i)(1-i), 5=(1+2i)(1-2i) obtinem ca 6000 are urmatoarea descompunere in factori primi in Z[i]: 6000=3(1+i)(1-i)(1+2i)(1-2i).
In inelul intregilor lui Gauss Z[i] sa se descompuna in factori primi elementele 8 si 20+50i.
Solutie.
Avem 8=222=(1+i)(1-i) elementele 1+i si 1-i fiind ireductibile in Z[i]. De asemenea, 25+50i=25(1+2i)=55(1+2i)=(1+2i)(1-2i)(1+2i)=(1+2i)(1-2i).
Sa se arate ca in inelul Z[i] orice numar prim din Z se descompune in produsul a cel mult doi factori ireductibili.
Solutie.
Fie p un numar intreg prim. Putem, evident, presupune ca p>0. Daca p=u u …u este o descompunere in factori ireductibili in Z[i] atunci,
p =p=uu…u. Cum u1, rezulta ca u=p sau u=p, de unde rezulta n2.
6. Sa se arate ca multimea numerelor prime de forma 4k+1 este infinita.
Solutie.
Presupunem ca aceasta multime este finita. Daca p ,p ,…,p sunt aceste numere, fie x=(p ,…,p )+1, iar q un divizor al lui x. Daca q este de forma 4k+3, atunci q este prim in Z[i]. Notam a=p …p si atunci q/(1+ia)(1-ia) si deci, q/1+ia sau q/1-ia , ceea ce conduce la o contradictie.
7. Fie A un inel euclidian si a,bA doua elemente prime intre ele. Daca m, n sunt doua numere naturale atunci un c.m.m.d.c. al elementelor a –b si a –b este a –b , unde d=(m,n).
Solutie.
Fie t=(a –b ,a –b ) iar d=(m,n). Deoarece d/m si d/n, atunci exista m ,n doua numere naturale astfel incat m=dm si n=dn .Atunci, a –b =a –b =
(a ) –(b ) =(a –b )[(a ) +(a ) b +… (b ) ] si deci a –b /a –b .La fel arata ca
a –b /a –b .Rezulta ca a –b /t. Sa aratam ca t/a –b .Scriem algoritmul lui Euclid pentru numerele m si n:
m=nq +r , cu 0r <n;
n=rq +r , cu 0r <r ;
r =r q +r , cu 0r <r ;
……………………….
r =r q +r , cu 0r <r ;
r =r q .
Folosind prima egalitate, obtinem :
a –b =a -b =a a –b b =a a –a b +a b –b b =a (a –b )+b[(a ) –(b ) ]. Doarece t/a –b si t/a –b rezulta t/a (a –b ). Daca t si a nu ar fi doua elemente prime intre ele, atunci, ar exista un element prim p din A astfel incat p/t si p/a . Dar atunci, p/a si p/a –b , ceea ce implica p/b si deci, a si b nu ar fi prime intre ele. Rezulta ca t/a –b . Folosind a doua egalitate din algoritmul lui Euclid n=r q +r , si procedand la fel ca mai sus , obtinem ca t/a –b . Continuand, obtinem dupa un numar finit de pasi ca t/a –b .Cum d=r atunci t/a –b .Deci t=a –b .
8. Daca m si n sunt doua numere naturale si d=(n,m), atunci:
2 –1=(2 –1, 2 –1) in inelul Z[i];
X –1=(X –1, X –1) in inelul K[X], unde K este corp comutativ.
Solutie.
In problema precedenta, luam A=Z si a=2 b=1 si respectiv, A=K[X], K-corp si a=x , b=1.
Sa se arate ca Z, Z[i], Z[i2] au o infinitate de elemente prime neasociate.
Solutie.
Se aplica exercitiul 6 tinand cont ca Z, Z[i], Z[i2] sunt inele euclidiene
si U(Z)={-1, 1}, U(Z[i])={-1, 1, -i, i}, U(Z[i2])={-1, 1}.
Pentru ce valori ale lui n numerele 5 +1 si 39 sunt prime intre ele?
Solutie.
n are una din formele: 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. Dacan=4k+1, atunci 5 +1=
=(26-1) +1=M13+2; 5 +1=(24+1) +1=M3+2, deci in acest caz, (5 +1, 39)=1.
Daca n=4k+1, atunci 3/5 +1. Deci (5 +1, 39)1.
Daca n=4k+2, atunci 13/5 +1. Deci (5 +1, 39)1.
Daca n=4k+3, atunci 3/5 +1. Deci (5 +1, 39)1.
Deci, (5 +1, 39)=1, pentru n=4k, cu k natural.
Sa se arate ca orice numar intreg n>6 poate fi reprezentat ca o suma de doua numere intregi mai mari ca 1, prime intre ele.
Solutie.
n are una din formele 4m, 4m+1, 4m+2, 4m+3. Din 4m=(2m+1)(2m-1),
4m+1=2m+(2m+1), 4m+2=(2m-1)+(2m+3), 4m+3=(2m+1)+(2m+2) rezulta usor afirmatia exercitiului.
Pentru n impar si n>1, numerele n si n+2 sunt prime atunci si numai atunci cand (n-1)! Nu se divide cu n si nu se divide cu n+2.
Solutie.
Presupunem ca numerele n si n+2 sunt prime. Rezulta atunci ca n nu divide (n-1)! , deoarece factorii primi ai lui (n-1)! sunt mai mici decat n. Reciproc sa presupunem ca pentru n impar si n>1 numarul (n-1)! nu se divide prin n si nici prin n+2. Sa aratam ca n si n+2 sunt prime. Daca n este compus atunci n=ab, a>1, b>1, an-1, bn-1. Daca ab, atunci n=ab/(n-1)! . Daca a=b, n=a si cum a este impar rezulta a3, deci n=a 3a>2a, deci
2an-1. Asa ca a si 2a sunt factori diferiti in produsul (n-1)!=1 2…(n-1), deci n=a /(n-1)!, contrar ipotezei.
Daca n+2 este compus, n+2=ab, cu a,b intregi si mai mari ca 1. Deoarece n este impar, numerele a si b sunt impare si 3. Avem ,deci, n9 si a(n+2)/3<(n-1)2 si deci, 2a<n-1. Daca ab a si b sunt factori diferiti ai produsului 1 2 … (n-1)=(n-1)! si deci, n+2=ab/(n-1)!, contrar ipotezei.
Daca a=b, atunci a si 2a sunt factori diferiti ai produsului (n-1)!, deci n+2=2ab/(n-1)!, din nou contrar ipotezei si reciproca este demonstrata.
Daca n numere prime formeaza o progresie aritmetica, atunci ratia progresiei se divide prin fiecare numar prim p<n (M. Cantor).
Solutie.
Fie a, a+d, a+2d, …, a+(n-1)d cele n numere prime in progresie aritmetica si p un numar prim, cu p<n. Prin impartirea la p a acestor numere prime, vom obtine, intr-o anumita ordine, resturile 1, 2, …, p-1 daca ap, sau resturile 0, 1, 2,…, p-1 daca a=p. Deoarece numarul lor este mai mic decat numarul resturilor cel putin doua din ele vor da acelasi rest. Fie
a+id=q p+r , a+jd=q p+r , cu 0i<jp-1. De unde (j-i)d=(q –q )p=Mp, de unde rezulta ca p/(j-i)d, dar j-i<p si, deci , p nu divide j-i, deci p/d.
Sa se demonstreze ca daca p este un numar prim, atunci C –[n/p] se divide cu p (n – natural, p).
Solutie.
C =[n(n-1)…(n-p+1)]/(1 2 …p). Din cele p numere consecutive n-p+1, …, n-1, n evident, unul si numai unul se divide prin p; sa notam acest numar prin k. In acest caz, [n/p]=[n/k] si diferenta considerata are forma:
C –[n/p]=[n(n-1)…(k+1)k(k-1)…(n-p+1)]/(p!)-k/p
Fiindca p numere consecutive dau prin impartire la p resturile 0, 1, 2, …,p-1 intr-o anumita ordine, numerele n, n-1, …, k+1, k-1,…,n-p+1 vor da prin impartire la p resturile 1, 2, 3,…, p-1. De aici, rezulta ca diferenta
n(n-1)…(k-1)(k+1)…(n-p+1)-(p-1)! se divide prin p. Inmultind aceasta diferenta cu numarul intreg k/p, obtinem diferenta:
n(n-1)…(n-p+1)/p-[k(p-1)!]/p care este din nou divizibila prin p. Impartind, in fine , aceasta diferenta cu (p-1)! (care este prim cu p) obtinem rezultatul cautat.
Teorema lui Wilson. Daca p2 este un numar prim, atunci:
(p-1)!+10 (mod p)
Solutie.
Fie corpul Zp si polinomul X -1Zp[X]. Cum pentru orice XZp,
X =1 (conform teoremei lui Lagrange pentru grupul (Zp , ) sau teorema lui fermat pentru numere prime), rezulta ca radacinile polinomului X -1 sunt
1, 2, …, p-1. Avand in vedere ca 1 2 … p-1=-1 (conform relatiilor lui Viete intre radacinile si coeficientii unui polinom) sau (p-1)!=-1, adica (p-1)!=-1 (mod p), de unde, (p-1)!+10 (mod p).
Daca p este numar prim si m{1, 2, …,p}, avem :
(m-1)! (p-m)!=Mp+(-1) (1)
Solutie.
Vom demonstra prin inductie dupa m. Pentru m=1 rezultatul devine
(p-1)!Mp-1, care este chiar teorema lui Wilson . Sa presupunem ca este adevarata pentru m si sa aratam pentru m+1 (m<p).Avem, asadar
(m-1)! (p-m)!=Mp+(-1). De asemenea, avem evident (m-1)!(p-m-1)!p=Mp (2). Scazand (1) din (2) obtinem (m-1)!(p-m-1)!(p-p-m)=Mp+(-1) sau
m!(p-m-1)!=Mp+(-1), ceea ce, de fapt, incheie demonstratia prin inductie.
Observatie: Mentionam ca in demonstratia prin inductie am presupus m<p; daca insa m=p, rezultatul se mentine, fiind iarasi vorba de teorema lui Wilson.
Sa se gaseasca o conditie necesara pentru ca numarul N=2 +3 sa fie un numar prim. Este aceasta conditie suficienta?
Solutie.
Fie n=2 p, unde kN si p este un numar natural impar. Atunci N=2 +3 =
=(2 )+(3 ) .Cum p este impar, daca p>1, rezulta ca N se divide cu (2 )+(3 ) deci, nu mai este numar prim. Rezulta cu necesitate, p=1, adica n=2 .Aceasta este o conditie necesara pentru ca N sa fie prim, dar nu suficienta dupa cum rezulta din urmatorul contraexemplu:
k=3, 2 +3 =2 +3 =6817=17401
Folosind egalitatea 23=(i6)(-i6), sa se arate ca inelul Z[i6] nu este factorial.
Solutie.
Folosind functia f :Z[i6] N definita prin f(a+ib6)=a +6b , se deduce ca in Z[i6] egalitatea 6=23=(i6)(-i6) constituie doua descompuneri distincte in produs de elemente ireductibile ale lui 6.
Sa se arate ca inelul Z[3] este euclidian.
Solutie.
Z[3] este subinel al lui Q[3] format din elementele de forma m=a+b3, unde a, bZ. Se defineste N:Z[3] N, prin N(m)=a -3b . Se constata ca, pentru m, nZ[3] avem N(m,n)=N(m)N(n), din care rezulta ca daca m/n si m0, n0, atunci N(m)N(n). Fie m,nZ[3] si n0. Atunci m/n=r+s3, r,sQ. Fie a,b din Z, cele mai apropiate numere intregi de r respectiv s. Atunci avem:
m/n-(a+b3)=r-a=(s-b)3 si deci, N(m/n-(a+b3))(r-a) –3(a-b) (r-a) +3(s-b) Ľ+ 3/4=1.
Deci, daca notam f=a+b3 si r=r-a+(s-b)3n, avem N(r)<N(n), caci daca s-b=0, atunci (s-a) +3(s-b) <1, si daca s-b0, atunci
(r-a) –3(s-b) <(r-a) +3(s-b) .
Sa se demonstreze ca exista o infinitate de numere naturale a astfel incat pentru orice numar natural n , numarul Z=n +a nu este prim.
Solutie.
Avem : Z=n +2na+a-2n a=(n +a) –(n2a) =
=(n +a+n2a)(n +a-n2a). Fie 2a=kN. Rezulta 2a=k sau 4a=k . Deci a=k /4. Pentru k=2m (mN) se obtine Z=(n +2m +2mn)(n +2m –2mn). Daca m>1si deci, k>2 vom avea n +2m +2mn2m 8 si n +2m –2mn(n-m) +m m 4, adica cei doi factori sunt mai mari decat 1, deci, Z nu este prim. Deci, a{8 , 18 , 32 ,…, (2m ) ,…}, adica exista o infinitate de astfel de numere.
Fie Sn suma primelor n numere prime mai mari ca 2. Sa se determine n astfel incat:
Sn=(6n +7+(-1) )/4.
Solutie.
Consideram sirul (a ) a =3, a =61-1, a =61+1, a =62-1, a =62+1 … (sirul tuturor numerelor naturale de forma 6k1. Se constata usor ca a =6[i/2]-(-1), pentru orice i2. Vom demonstra egalitatea
a =(6n +7+(-1) )/4, oricare ar fi n1 (1).
Intr-adevar daca n=2k+1, kN, se obtine a =a =3+[(61-1)+(61+1)]+[(62-1)+(62+1)]+…+[(6k+1)+(6k+1)]=3+12(1+2+…+n)=
=3+6k(k+1)=3+6(n-1)(n+1)/4=(6n +6)/4=(6n +7+(-1) )/4 iar pentru n=2k , kN ,se obtine a =3+[(61-1)+(61+1)]+[(62-1)+(62+1)]+…+
+[(6(k-1)-1)+(6(k-1)+1)]+(6k-1)=3+12[1+2+3+…+(k-1)]+(6k-1)=
=6k+2+6k(k-1)=6k +2=(6n +8)/4=(6n +7+(-1) )/4.
Fie p =3, p =5, p =7, p =11, …, sirul numerelor prime mai mari ca 2. Deoarece oricare asemanea numar prim este de forma 6k1, deducem inegalitatea p a , () iN.
Rezulta Sn=p a=(conform(1))=(6n +7+(-1) )/4, nN (2).
Observam usor ca p =a =3, p =a =5, p =a =7, p =a =11, p a =13, p =a =17, p =a =19, p =a =23, p =29>a =25. Rezulta ca in inegalitatea (2) avem inegalitatea pentru n{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, iar pentru n>8 avem inegalitate stricta . Asadar, valorile cautate pentru n sunt primele 8 numere naturale nenule.
22. Sa se arate ca in inelul Q[x,y], polinomul x +y este ireductibil.
Solutie.
Este clar ca x +y este nenul si neinversabil. Daca ar fi reductibil s-ar descompune astfel: x +y =(a +a x+a y)(b +b x+b y)=a b +(a b +a b )x+
(a b +a b )y+(a b +a b )xy+a b x +a b y . De aici obtinem a b =0, a b =1,
a b =1, a b +a b =0 de unde a =b =0. Apoi, din a a (a b +a b )=0 se obtine se obtine ca a +a =0, contradictie.
23. Fie A un inel factorial care nu este corp, astfel incat grupul elementelor inversabile din A este finit. Atunci A contine o infinitate de elemente ireductibile (prime) neasociate.
Solutie.
Deoarece orice domeniu de integritate finit este corp, rezulta ca inelul A are o infinitate de elemente. Sa presupunem prin absurd ca ar exista in A un numar finit de elemente ireductibile p , p ,…, p neasociate.Consideram elementele q =(p p …p ) +1, iN.Avem q q , pentru ij, caci altfel p ar fi elemente inversabile. Din ipoteza rezulta ca numai un numar finit dintre q sunt elemente inversabile. Asadar, exista r>0 astfel incat q este neinversabil; atunci q se descompune, q =p …p , unde cel putin un (1rn) este>0. Egaland (p …p ) +1=p …p , rezulta ca p /1, adica p este inversabil, contradictie.
Sa se arate ca inelul K[X], K-corp comutativ, contine o infinitate de polinoame ireductibile neasociate.
Solutie.
1) Pentru K-infinit, multimea {x-a} este infinita si formata numai din polinoame ireductibile si neasociate.
2) Daca corpul K este finit, atunci grupul U[K]=K-{0} este finit si se aplica problema 23.
25. Sa se arate ca polinomul X +1 este ireductibil in inelul Q[X].
Solutie.
Sub aceasta forma nu putem aplica criteriul lui Eisenstein. Vom arata, in schimb, ca polinomul g(X)=f(X+1)=(X+1) +1 este ireductibil. Avem:
g(X)=X +C X +C X +…+C X +…+C X+1+1=X + C X +2 . Vom dovedi ca 2/C , oricare ar fi 1k2 –1. Avem:
C =[2 (2 –1)(2 –2)…(2 –(k-1))]/(123…k). Fie 1k’k, putem scrie k’=2 r, unde p<n si r este un numar impar.
Doarece: (2 –k’)/k’=[2 (2 -r)]/(2 r)=(2 -r)/r atunci (2 –k’)/k’ este egal cu catul a doua numere impare. Deci produsul:
[(2 –1)(2 –2)…(2 –(k-1))]/(123…(k-1)) este catul a doua numere impare. Cum k<2 atunci in catul 2 /k apare cel putin un factor egal cu 2, deci 2/C. Luand numarul p=2 si aplicand criteriul lui Eisenstein, obtinem ca polinomul g(X) este ireductibil. Aceasta arata ca f(X) este polinom ireductibil in Q[X].
26. Sa se arate ca in inelul C[X,Y], polinomul X (Y+1)+X Y +X Y +XY +Y este ireductibil, n2, nN.
Solutie.
Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienti in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y=p, p-prim, in inelul factorial Q[Y] sunt indeplinite conditiile din criteriul lui Eisenstein. Deci, polinomul X (Y+1)+X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y]=Q[X,Y].
Sa se arate ca polinomul f=3X +4X –6X +7X +21 este ireductibil in Z[X].
Solutie.
Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reductiei pentru p=2. Avem f=X +X +1Z [X] si aratam ca f este ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0)=(1)=10, rezulta ca f nu are factori de gradul intai in descompunere. Fie acum X +X +1=(aX +bX+c)(mX +nx +pX+q). Prin identificarea coeficientilor se ajunge la am=1, an+mb=0, ap+bn+cm=0, aq+bp+cn=1, cq=1. De aici, avem a=m=c=q=1 si deci, b+n=0, p+bn=1, bp+n=1, b+p=0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a=1, contradictie. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reductiei rezulta f ireductibil in Z[X].
Fie p un numar prim de forma p=4k+3 si a,bZ astfel incat p/a, p/b-1 si p nu divide a, p nu divide b-1. Atunci polinomul F(X)=X +aX+b este ireductibil in Z[X].
Solutie.
Intr-adevar , avem F(X)=(X +X) +pg, unde
G=cX+d-[C (X +1) +C (X +1) +…+C (X +1)], c=a/p, d=(b-1)/p. Atunci , f=X +1 este ireductibil in Z [X] iar g nu se divide prin f , deoarece cX+d0 nu se divide prin f=X +1, in Z [X]. Din teorema lui Schonemann rezulta ca F(X) este ireductibil in Z[X].
Fie P(X) un polinom cu coeficienti intregi de grad 2 si p(0)=P(1)=1. Fie x un numar intreg si x =P(x ) pentru n=1, 2, … . Sa se demonstreze ca numerele x ,x ,…,x sunt prime intre ele doua cate doua.
Solutie.
Avem P(X)=X(X-1)Q(X)+1 unde Q(X) este catul impartirii lui P(X) prin X(X-1). Deoarece x =P(x ), vom avea x =x (x -1)Q(x ). Dand lui n valorile 1, 2, 3,…,k si inmultind relatiile obtinute,gasim x =x (x –1)(x –1)…(x –1)M (1), unde
M=(x-1)Q(x)…Q(x ) este numar intrg. Din relatia (1) deducem proprietatea ceruta, deoarece daca ar exista un x si un x (i<k) care sa aiba un divizor comun d , atunci d/1.
Sa se arate ca polinomul f=X +p-1 , p numar prim, este ireductibil in Z[X].
Solutie.
Pentru a arata ca f(X) este ireductibil este suficient sa dovedim ca g(X)=f(X+1) este ireductibil. Vom dovedi ca p/C , oricare ar fi 1kp –1. Dar, C =[p (p –1)…(p –k+1)]/k! .Fie 1k’<k, putem scrie k’=p r, unde t<n si (p,r)=1. Deoarece (p –k’)/k’=[p (p -r)]/(p r)=(p -r)/r, se observa ca din conditia ca (p,r)=1, rezulta ca in fractia (p –k’)/k’ , dupa simplificare numaratorul si numitorul nu se mai divid prin p.
Deci, fractia [(p –1)(p –2)…(p –(k-1))]/(123…(k-1)), dupa simplificare, este catul a doua numere naturale, in care, atat numaratorul cat si numitorul nu se mai divid cu p. Deoarece k<p , atunci putem scrie k=p k, unde s<n si (p,k )=1. Deci p /k=p /k si numarul intreg C este catul a doua numere naturale in care numaratorul se divide cu p (de fapt, cu p ) si numitorul nu se divide cu p.
Asadar, p/C si aplicand criteriul lui Eisenstein pentru numarul prim p, rezulta ca polinomul g(X) este ireductibil si deci, f(X) este ireductibil in Z[X].
Inelele Z[x ,x ,…,x ], cu n1 si Z [x ,x ,…x ], cu n1, iar p2, p-prim cu o infinitate de polinoame ireductibile, neasociate.
Solutie.
Se aplica problema 23, tinand cont ca Z[x ,…,x ], n1 respectiv
Z[x ,…,x ], n1, p2, p-prim, sunt inele factoriale iar U(Z[x ,…,x ])={-1,1} si de asemanea, U(Z )=Z –{0}.
Determinati toate numerele prime p pentru care numarul 2 +p este , de asemanea, prim.
Solutie.
Notam N(p)=2 +p ; orice numar prim p5 este de forma M31, deci p =M+1. Atunci, N(p)=2 +M3+1, insa p fiind impar 2 +1 se divide cu 2+1=3, prin urmare, 2 +1=M3. Asadar, N(p)=M3 si cum pentru p5 avem N(p)>3, inseamna ca pentru orice numar prim p5 numarul N(p) nu poate fi numar prim. Ramane sa incercam numerele prime mai mici decat 5, adica p=2 si p=3. Avem N(2)=8, care nu este prim si N(3)=17 care este numar prim. Asadar solutia problemei este unica si anume p=3.
Sa se arte ca in inelul Q[X] , polinoamele de forma X +X +…+1, unde p>0 este un numar intreg prim, sunt ireductibile.
Solutie.
Fie u : Q[X] Q[X] morfism de Q-algebre, definit prin u(X)=X+1. Este clar ca u este izomorfism ( u (X)=X-1) si este suficient sa aratam ca polinoamele u(X +X +…+1)=u((X -1)/(X-1)=[(X+1) –1]/X=
=X +C X +…+C X +…+C sunt ireductibile. Deoarece p este intreg prim, rezulta ca fiecare C , 1ip-1, se divide cu p, iar C =p nu se divide cu p . Atunci, afirmatia rezulta din criteriul lui Eisenstein.
Fie p un numar prim de forma 4k+3. Sa se arate ca pentru orice nN polinomul (X +1) +p este ireductibil in inelul Z[X].
Solutie.
Deoarece pentru p-prim de forma 4k+3 polinomul X +1 este ireductibil in Z , luam g(X)=1 si aplicam criteriul lui Schonemann.
Daca fQ[X] este un polinom ireductibil de gradul 3, avand radacinile x ,x ,x C , demonstrati ca numerele complexe f’(x ), f’(x ), f’(x ) sunt doua cate doua distincte, f’ fiind derivata polinomului .
Solutie.
Fie f =a(X-x )(X-x )(X-x ) , aQ .
Sa presupunem prin absurd, ca doua din numerele f’(x ), f’(x ), f’(x ) sunt egale, de exemplu, f’(x )=f’(x ). Aceasta egalitate este echivalenta cu :
a(x –x )(x –x )=a(x –x )(x –x ). Impartind prin a(x –x ), obtinem, x –x =
=-(x –x ) de unde rezulta ca x +x =2x adica x +x +x =3x .Dar , folosind relatiile lui Viete suma x +x +x este un numar rational. Deci 3x Q adica x Q, contradictie (un polinom ireductibil in Q[X] nu poate avea radacini rationale).
Bibliografie
Mircea Becheanu ,C. Nita , Mirela Stefanescu , A. Dinca , I. D. Ion , N. Radu , C. Vraciu – Algebra pentru perfectionarea profesorilor.
Ion Cucurezeanu – Probleme de aritmetica si teoria numerelor.
Ion D. Ion, Nicolae Radu – Algebra .
Ion D. Ion , Constantin Nita , C. Nastasescu -Complemente de algebra.
Ion D. Ion ,C. Nita -Elemente de aritmetica cu aplicatii in tehnici de calcul .
Ion D. Ion ,Constantin Nita, Nicolae Radu – Probleme de algebra.
C.Nastasescu , C. Nita , C. Vraciu – Bazele algebrei.
C. Nastasescu , C. Nita – Teoria calitativa a ecuatiilor algebrice.
C. Nastasescu , C.Nita , C. Vraciu – Aritmetica si algebra .
C.Nastasescu , C. Nita , M.Brandiburu , D.Foita – Exercitii si probleme de algebra , cls. a IX a – a XII a .
Eugen Rusu , E. Opreanu , N. Oprescu – Metodica predarii matematicii.
Eugen Rusu – Matematica in liceu. Probleme de metodica.
W.Sierpinski – Ce stim si ce nu stim despre numerele prime.
Manualele de aritmetica din gimnaziu.
Manualele de algabra din liceu .
Colectia “Gazeta Matematica”.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Elementele Prime Si Ireductibile Intr Un Domeniu de Integritate (ID: 149091)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.