. Valente Formative ALE Activitatii DE Rezolvare Si Coompunere A Problemelor

INTRODUCERE………………………………………………………….

I. FORMAREA SI STIMULAREA CREATIVITATII-

OBIECTIV MAJOR AL INVATAMINTULUI

1.Particularitățile gândirii creatoare a școlarului mic…………….

2.Tehnici de cunoaștere a aptitudinilor creative………………….

3.Educarea capacităților creatoare ale elevilor …………………….

II.VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR ÎN PROCESUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT

1. Învățarea creativă a matematicii ……………………………

2. Activizarea și stimularea creativității prin rezolvarea mai multor

tipuri de probleme și a unor probleme prin mai multe metode ..

3. Activizarea și stimularea elevilor prin compunerea de probleme .

4. Evaluarea în spiritul dezvoltării creativității elevilor ………..

III. TIPURI DE EXERCIȚII ȘI PROBLEME UTILIZATE ÎN ACTIVITĂȚILE MATEMATICE

Exerciții și probleme folosite în lecțiile de consolidare a

priceperilor și deprinderilor ………………………………

Exerciții și probleme pentru cercuri și concursuri de matematică……

Probleme de pespicacitate (netipice)-mijloc de dezvoltare a supleței

gîndirii matematice și creativității elevilor……………………………..

Concluzii …………………………………………………………………………….

Concluzii

– Proiecte didactice ………………………………………………………..

– Fișe de muncă independentă ………………………………………….

– Exerciții și probleme pentru cercuri și concursuri de matematică……..

Bibliografie tematică și selectivă ………………………………………………..

INTRODUCERE

Școala românească contemporană s-a transformat în ceea ce privește calitatea și are ca scop fundamental instruirea și formarea cadrelor necesare în toate sectoarele de activitate , educarea elevilor în spiritul muncii , al pasiunii și cutezanței , pentru valorile din cultură , știință , tehnică , informatică.

Între aceste obiective ale școlii românești se înscrie și acela al educării creativității la elevi prin obiectul matematică .

Procesul modernizării învățământului matematic a devenit mult mai

dificil ,deoarece s-au amplificat sarcinile tradiționale ca urmare a operării cu

noțiuni algebrice și prin schimbarea raportului dintre predare și învățare în scopul orientării gândirii elevilor spre acțiune , atât în dobândirea de noi cunoștințe cât și în aplicarea lor , prin folosirea unor metode active care să

sporească ponderea activității proprii a elevilor .

Astăzi , mulți oameni de știință își exprimă convingerea că fundamentul culturii contemporane constituie matematica , că indiferent de domeniul în care își desfășoară activitatea omul zilelor noastre trebuie să posede o pregatire matematică bună pentru a putea rezolva problemele multiple și variate ale vieții . Matematica dezvoltă gîndirea și gândirea a stat

întotdeauna la baza progresului , a contribuit la dezvoltarea societății .

Societatea contemporană are nevoie nu de orce fel de gîndire , ci de o

gândire critică , originală și creatoare pe care matematica modernă o formează .

La actuala dezvoltare economică și culturală la care a ajuns țara noastră , pregătirea științifică și tehnică a tinerilor generații nu se mai poate

face fără o riguroasă fudamentare matematică . Ea se va realiza prin modernizarea învățământului matematic .

Se impune deci încurajarea eforturilor pentru deschiderea unor căi noi

în știință , tehnică și tehnologie , stimularea creativității și educarea pasiunii pentru știință , ca forță nemijlocită a producției materiale moderne . În fața acestei comenzi sociale , hotăra pentru ridicarea omului pe noi trepte de bună stare , de cultură și civilizație , școala ca factor principal în formarea cadrelor necesare în toate sectoarele vieții are un rol important privind dezvoltarea la elevi a inteligenței și creativității .

De asemenea , testarea și dezvoltarea inteligenței este destul de utilă pentru a stabili în ce măsură succesul sau insuccesul școlar este afectat de

aptitudinile intelectuale sau de alți factori de personalitate .

Iată de ce analiza și determinarea principalelor trăsături ale sistemului creativ alcătuite din inteligență , creativitate și aptitudini speciale , constituie obiectul a numeroase studii și cercetări actuale , menite să contribuie la sporirea capacității creatoare a omului contemporan .

Ideea că aptitudinile creatoare pot fi deliberat și sistematic educate

a căpătat o confirmare experimentală în cercetarea psihologică din ultimii ani.

Aceasta a generat un curent favorabil investigării condițiilor psihopedagogice care să contribuie la dezvoltarea continuă a potențialului creativ al elevilor în însușirea de noi cunoștințe în procesul de învățământ .

Numeroase programe de cercetare efectuate au scos în evidență faptul că deși în procesul de învățământ copilul ia contact cu cele mai valoroase produse ale creației umane . Puterea sa de imaginație nu se dezvoltă de la sine , ci mai curând este frânată de exersarea excesivă a reproducerii cunoștințelor și agândirii deductive

În această lucrare pornesc de la ipoteza că activitățile de compunere a

problemelor , de rezolvare a exercițiilor și a problemelor , contribuie la dzvoltarea creativității a școlarului mic . De asemeni în ceea ce privește atitudinea copiilor față de sarcinile cu caracter creator , elevii nu vor fi suprasolicitați , dimpotrivă ei le așteaptă cu bucurie și uneori le vor solicita .

După îndeplinirea acestor sarcini creatoare elevii vor fi mai pregătiți , mai recreați și mai odihniți . Ei vor fi bucuroși când vor reyolva exerciții și probleme și nemulțumiți când vor greși . Doresc ca prin aceste activități elevii timizi sau cei care sunt slabi la învățătură să aibă încredere în forțele

proprii .

Din experiența didactică se cunoaște posibilitatea stabilirii unui dialog viu cu școlarul mic având ca punct de plecare experiența și cunoștințele lui căpătate în familie , grădiniță , în relațiile directe cu mediul înconjurător .

La lecțiile de matematică am căutat să desfășor o activitate dirijată , să asigur un climat creativ . Am conceput activități creative care antrenau toți elevii , deoarece toți posedă un potențial creativ care poate fi pus în slujba însușirii de noi cunoștințe

În sarcina învățământului cade realizarea unui climat creativ în clasă, a acelei atmosfere de manifestare liberă a curiozității și gândurilor elevilor .

Sistemul de predare –învățare de la clasele I – IV și până la închiderea cursurilor liceale înscrie țara noastră în rândul țărilor cu un învățământ matematic modern .

Învățământul matematic din țara noastră a dobândit o mare importanță

începând cu activitățile matematice de la grădiniță și până la studierea matematicii in școală. Aici se pun bazele unei gândiri matematice care se formează și se dezvoltă pe tot parcursul școlarității . S–a ridicat nivelul științific al predării și învățării matematicii la clasele I- IV.

Conceptul de număr natural și operațiile cu numere naturale sunt explicate elevilor în mod științific . Definirea lor corectă la nivelul rigorilor actuale ale științelor matematice într-o manieră modernă .

Programa de matematică pentru clasele I-IV este elaborată după criterii științifice și ține seama de particularitățile de vârstă a copiilor . Cunoștințele sunt dozate și asigură accesibilitatea , dar totodată se pune un mare accent pe activitatea de rezolvare a exercițiilor și problemelor .

Am pornit de la studiul atent al literaturii de specialitate , de la cunoașterea concluziilor unor cercetări și experimente ale diverșilor specialiști

și le-am confruntat permanent cu experiența noastră , cu deficiențele și rezultatele de ordin instructiv și formativ întâlnite în munca cu elevii .

Călăuziți de dorința de a ne aduce o contribuție cât mai eficientă la

soluționarea multiplelor probleme cu care se confruntă astăzi școala , procesul instructiv-educativ , ne-am îndreptat preocupările noastre de studiu și

cercetare , de investigare și experimentare asupra unor aspecte pe care le ridică învățarea creativă a matematicii în clasele I-IV .

Urmărind o cuprindere cât mai largă , complexă și completă a problematicii ce o ridică , tema noastră , ne-am organizat lucrarea în trei capitole distincte , dar ca părți componente ale întregului ei ,constituind un fir și punct de vedere unitar.

Principiul care a stat la baza elaborării lucrării , în expunerea și tehnicilor de cunoaștere a aptitudinilor creative și a modalităților de educare a creativității a școlarului mic . De asemeni în ceea ce privește atitudinea copiilor față de sarcinile cu caracter creator , elevii nu vor fi suprasolicitați , dimpotrivă ei le așteaptă cu bucurie și uneori le vor solicita .

După îndeplinirea acestor sarcini creatoare elevii vor fi mai pregătiți , mai recreați și mai odihniți . Ei vor fi bucuroși când vor reyolva exerciții și probleme și nemulțumiți când vor greși . Doresc ca prin aceste activități elevii timizi sau cei care sunt slabi la învățătură să aibă încredere în forțele

proprii .

Din experiența didactică se cunoaște posibilitatea stabilirii unui dialog viu cu școlarul mic având ca punct de plecare experiența și cunoștințele lui căpătate în familie , grădiniță , în relațiile directe cu mediul înconjurător .

La lecțiile de matematică am căutat să desfășor o activitate dirijată , să asigur un climat creativ . Am conceput activități creative care antrenau toți elevii , deoarece toți posedă un potențial creativ care poate fi pus în slujba însușirii de noi cunoștințe

În sarcina învățământului cade realizarea unui climat creativ în clasă, a acelei atmosfere de manifestare liberă a curiozității și gândurilor elevilor .

Sistemul de predare –învățare de la clasele I – IV și până la închiderea cursurilor liceale înscrie țara noastră în rândul țărilor cu un învățământ matematic modern .

Învățământul matematic din țara noastră a dobândit o mare importanță

începând cu activitățile matematice de la grădiniță și până la studierea matematicii in școală. Aici se pun bazele unei gândiri matematice care se formează și se dezvoltă pe tot parcursul școlarității . S–a ridicat nivelul științific al predării și învățării matematicii la clasele I- IV.

Conceptul de număr natural și operațiile cu numere naturale sunt explicate elevilor în mod științific . Definirea lor corectă la nivelul rigorilor actuale ale științelor matematice într-o manieră modernă .

Programa de matematică pentru clasele I-IV este elaborată după criterii științifice și ține seama de particularitățile de vârstă a copiilor . Cunoștințele sunt dozate și asigură accesibilitatea , dar totodată se pune un mare accent pe activitatea de rezolvare a exercițiilor și problemelor .

Am pornit de la studiul atent al literaturii de specialitate , de la cunoașterea concluziilor unor cercetări și experimente ale diverșilor specialiști

și le-am confruntat permanent cu experiența noastră , cu deficiențele și rezultatele de ordin instructiv și formativ întâlnite în munca cu elevii .

Călăuziți de dorința de a ne aduce o contribuție cât mai eficientă la

soluționarea multiplelor probleme cu care se confruntă astăzi școala , procesul instructiv-educativ , ne-am îndreptat preocupările noastre de studiu și

cercetare , de investigare și experimentare asupra unor aspecte pe care le ridică învățarea creativă a matematicii în clasele I-IV .

Urmărind o cuprindere cât mai largă , complexă și completă a problematicii ce o ridică , tema noastră , ne-am organizat lucrarea în trei capitole distincte , dar ca părți componente ale întregului ei ,constituind un fir și punct de vedere unitar.

Principiul care a stat la baza elaborării lucrării , în expunerea și tehnicilor de cunoaștere a aptitudinilor creative și a modalităților de educare a capacităților creatoare dezbaterea modalităților de dezvoltare a capacităților creatoare prin rezolvări și compuneri de probleme, a fost acela care vizează învățământul de masă.

Am considerat necesar și util în primul capitol , să ne începem lucrarea cu câteva aspecte referitoare la cunoașterea particularităților gândirii școlarului mic , a ale elevilor .

În capitolul al II –lea se tratează aspecte generale ale învățării creative

a matematicii , a activizării și stimulării creativității prin rezolvarea mai multor tipuri de probleme și a unor probleme prin mai multe metode , a stimulării creativității prin compunerea de probleme și am făcut câteva referiri în ceea ce privește evaluarea în spiritul dezvoltării creativității elevilor.

Capitolul al III-lea valorifică în cea mai mare parte experiența noastră pe care o avem la catedră , venind cu multe aspecte metodologice concrete pe care le-am utilizat în cariera didactică cu elevii .

În concluzie , lucrarea noastră , a cărei temă se încadrează în preocupările generale de cercetare a personalului didactic , prin aspectele concrete metodologice pe care le prezintă , vine în sprijinul confirmării unor ipoteze formulate în literatura psihopedagogică cu privire la însușirea conștientă și activă a cunoștințelor de matematică , la dezvoltarea creativității la formarea priceperilor și deprinderilor de a rezolva și compune probleme .

CAPITOLUL I

FORMAREA ȘI STIMULAREA CREATIVITĂȚII-OBIECTIV

MAJOR AL ÎNVĂȚĂMÂNTULUI ROMÂNESC

1.Particularitățile gândirii creatoare a școlarului mic

Eficiența tuturor activităților instructiv-educative depinde în cea mai mare măsură de cunoașterea psiho-pedagogică a copilului.

În pedagogia practică este demult recunoscută ideea că educarea și cunoașterea copiilor constituie momente solidare ale aceleiași activități ; învățătorul îl cunoaște pe elev educându-l și-l educă mai bine cunoscându-l.

Procesele psihice ale școlarului se formează și se dezvoltă în cursul vieții . Sensibilitatea poate fi dezvoltată și specializată prin educație .

Memoria , gândirea , voința , atenția sunt solicitate și dezvoltate în cursul vieții în diverse chipuri . Aceste însușiri psihice depind de condițiile concrete ale vieții și activității individuale . Orice proces psihic are anumite calități și anume :

– memoria se apreciază după rapiditate , volum, fidelitate, trăinicie ;

– gândirea după suplețe , lărgime ,caracter critic ;

sentimentele după orientare ,profunzime , stabilitate ;

voința după tărie ,promptitudine , perseverență etc.

Procesele psihice diferă de la o persoană la alta după gradul de dezvoltare și modul de îmbinare a acestor calități.

Procesele psihice nu se dezvoltă fiecare pe un drum separat și nici nu sunt izolate unul de altul .

Exemplu : memoria , imaginația , atenția au forme involuntare și voluntare. Gândirea creatoare este de neconceput în afara unui efort voluntar.

Gândirea se bazează pe datele furnizate de organele de simț și pe toate cunoștințele fixate în memorie . De asemenea conștiința nu ar fi posibilă fără o strânsă conlucrare și întrepătrundere a tuturor proceselor psihice .

În dezvoltarea personalității micului școlar sunt permanent prezenți toți cei trei factori : mediul ,educația și ereditatea . Acești factori nu acționează izolat , ci se întrepătrund lucrând în colaborare .

Nici un proces psihic și nici un caracter al personalității nu este rezultatul influenței unui singur factor , ci al interacțiunii lor .

Rolul hotărâtor în dezvoltarea omului îl are educația. Pe parcursul vieții sale omul se transformă necontenit , atât sub aspect fizic cât și psihic .

Activitatea psihică se prezintă ca un ansamblu , dar totodată apar și unele particularități .

Trăsăturile fizice și psihice caracteristice copiilor care se găsesc în aceeași perioadă de vârstă sunt denumite particularități de vârstă .

J. Piaget a formulat mai multe stadii sau etape succesive în dezvoltare intelectuală a copilului fără ca un stadiu nou să desființeze pe cel anterior , noile condiții suprapunându-se celor anterioare :

1.Stadiul inteligenței senzorio-motorio între 0 și 2 ani ;

2.Stadiul inteligenței preoperatorii :

a).Preconceptual între 2 și 4 ani.

b).Substadiul intuitiv între 2 și 4 ani ;

3.Stadiul inteligenței operatorii.

a). Substadiul operațiilor concrete ( între 6-7 ani și 8-10 ani )

b). Substadiul operațiilor formale ( 11-12 ani și 14-16 ani )

4.Stadiul inteligenței reflexive sau vârsta teoriilor ( 16-20 ani ).

La 6 ani cei mai mulți copii sunt apți să înceapă învățământul scolar obligatoriu . Datorită activităților școlare , jocul nu mai ocupă locul principal. Activitatea principală a copilului a devenit învățătura .

Această activitate îl obligă pe copil la efort , munca școlară se desfășoară după anumite norme date de învățător; ea este controlată și apreciată. Elevul își dă seama acum că are datorii și obligații.

Sub influența muncii, a jocului , dar mai ales a procesului de învățământ are loc în această perioadă o intensă dezvoltare psihică.

Percepția copilului mai păstrează unele trăsături specifice vârstei preșcolare : este superficială și globală. În cadrul procesului de învățământ

percepția devine analitică . Analiza este sprijinită la început de mult material

intuitiv , apoi treptat ea se realizează și pe plan mintal .

Transformări importante se produc și în dezvoltarea atenției , memoriei , voinței , proceselor emotive , limbajului și gândirii .

Gândirea copilului de vârstă mică , are încă un caracter concret intuitiv . Copilului îi vine greu să explice ceva dacă nu are la îndemână materialul concret-intuitiv ; socotește mai ușor pe materialul concret-intuitiv

(jetoane ,bile ,bețișoare etc. ) și mai greu ,, în gând “.

La această vârstă persistă de asemenea unele defecte ale gândirii căreia îi lipsește mobilitatea , suplețea este rigidă . Elevii adesea transferă un procedeu de rezolvare a unei probleme și la rezolvarea alteia la care nu e adecvat.

Sub îndrumarea învățătorului le este mai ușor să lucreze sau să aplice un anumit procedeu însușit , decât să rezolve independent o temă . Mai ales la lecțiile de gramatică și de matematică se observă o anumită inerție a gândirii . Dacă învățătorul formulează unele probleme la matematică sau a dat unele exemple la gramatică și a cerut apoi elevilor să formuleze și alte exemple , ei folosesc adesea aceleași scheme sau chiar același material .

În procesul de învățământ se fac pași însemnați în dezvoltarea gândirii creatoare a școlarului mic .

Cunoștințele sunt transmise elevilor atât pe baza unui material intuitiv ,

cât și pe baza unor cunoștințe însușite anterior , învățătorul servindu-se de

cuvinte , de noțiuni , cea ce solicită gândirea lor abstractă . În vederea formării

unor noțiuni noi , elevii sunt să facă analize , și sinteze ,comparații , generalizări și concretizări la toate obiectele de învățământ . Aceste activități se desfășoară sub îndrumarea învățătorului și îi ajută pe elevi să-și însușească și procedee de a gândi corect .

Noțiunile școlarului mic sunt concret-intuitive . În procesul instructiv-educativ se urmărește :

– dezvoltarea capacităților de rezolvare a situațiilor problemă ,

– conceptualizarea și formarea capacității de raționare corectă ,

– dezvoltarea caracterului critic al gândirii ,

– îndrumarea elevului spre o gândire creatoare .

La intrarea în școală copii care n-au frecventat grădinița dispun de o serie de noțiuni empirice , generalizează trăsături neesențiale , aparente și fragmentare ale obiectelor pe care le-au intuit sau care au acționat în practica zilnică . În școală ei

își însușesc cunoștințele ,își formează noțiuni științifice care exprimă esențialul și

generalul din obiectele și fenomenele realității înconjurătoare .

O dată cu dezvoltarea gândirii și a experienței personale și a influenței procesului instructiv-educativ apare la școlarul mic și gândirea creatoare . Învățând pe copii să pună întrebări să caute și să găsească soluții pentru anumite situații-problemă , îi conducem pe calea unei gândiri creatoare , superioare .

Orce problemă rezolvată sau compusă este o manifestare a creativității gândirii.

Psihologul rus Galperin a arătat că însușirea unei acțiuni mintale (ca de exemplu

numerația și socotitul ) trece prin mai multe etape :

…………………………

îndeplinirea practică a acțiunilor prin folosirea obiectelor reale sau a materialului intuitiv ;

2) realizarea acțiunii fără mânuirea obiectelor , ci pe bază de reprezentări

însoțită de cuvinte ,,cu voce tare “ ;

3)acțiunea este înfăptuită mintal cu ajutorul ,, limbajului interior “.

Pe baza experienței dobândite , după un anumit timp , etapa a doua va

dispărea .(2)

La școlarul mic nu se poate vorbi de existența unei gândiri creative absolute , deoarece acesta are cunoștințe elementare în domeniul matematicii ,științele

naturii , geografie , etc. ,asta înseamnă că este vorba de o creație reală prin gândire .

Învățătorului îi revine sarcina de a forma unele premize pentru dezvoltarea în etapele următoare a creativității . El va urmări stimularea unor trăsături ale personalității copilului : încurajarea căutării de nou , perseverența , exigența față de sine și față de colegi .

Enrica Landau arată că : ,,Paralelismul dintre situația de rezolvarea unei probleme și gândirea creatoare constă în faptul că individul trebuie să dezvolte , în

ambele cazuri , o strategie nouă , pe care o va folosi apoi , sau , cu alte cuvinte , el trebuie să transforme stimulul neadecvat într-unul adecvat , pentru a-l aplica “.(3)

Pentru aceasta este necesar ca elevii să stăpânească gândirea logică :

,,Dar apariția capacității de a gândi logic nu se produce în mod spontan și la orice vârstă . Elevul capătă doar putința de a face raționamente logice . Această calitate trebuie cultivată cu grijă ca un răsad care trebuie crescut până în stadiul în

care transplantat în pământ fertil , este pus să se dezvolte , tot îngrijit , în condiții naturale pentru a ajunge plantă matură “. (4)

––––––––––

(2)- Galperin P. I. ,,Studii asupra gândirii în psihologia rusă “; ,,Psihologia gândirii și teoria formării în etape a acțiunilor mintale “ E. D. P. Buc. ,1970, p.31)

(3)- Landau Erica , ,,Psihologia creativității “ E. D. P. Buc. ,1976 p.21)

(4)- N. Teodorescu ,,Matematica în școala generală” Societatea de științe matematice din România , Buc. ,1976 p.21.)

1. 2. TEHNICI DE CUNOASTERE A APTITUDINILOR CREATIVE

O definiție fermă a creativității nu s-a dat încă , deoarece diverși cercetători au

abordat noțiunea din perspective diferite : inteligentă , conduită , limbaj ,etc.

Marin Stoica definește creativitatea ca fiind ,,capacitatea sau aptitudinea de a realiza ceva original “.(1)

Alexandru Roșca arată că ,,…creativitatea este și activitatea unui individ , de

exemplu a elevului , care ajunge să rezolve o problemă cunoscută pentru omenire ,

dar pe care el o soluționează pe o cale de independență , personală “.(2)

,,În vorbirea curentă se afirmă despre cineva că posedă aptitudini pentru matematică –spune I. Beraru – dacă rezolvă corect , cu o anumită ușurință și rapiditate diferite sarcini cum ar fi : jocuri matematice , însușirea și aplicarea cunoștințelor matematice , elaborarea unor probleme noi și stabilirea de relații inedite și logice intre entitățile matematice cu care operează.”(3)

,,O trăsătură caracteristică pentru elevii cu aptitudini creatoare la matematică o constituie posibilitatea acestora de a înțelege , de a sesiza imediat sau după o scurtă perioadă de tatonare sensul exact si structura de ansamblu a problemei. Aceștia nu par copleșiți de date de forme de prezentare , de complexitatea problemei în general .” (4)

Elevii slabi la matematică au un mod diferit de ,,orientare “. Ei nu rețin datele și operațiile ,,sau nu le rețin pe cele esențiale “. Elevii cu aptitudini matematice au ,,simț sau sensibilitate și intuiție matematică în rezolvarea de exerciții și probleme .”(5)

La școlarul mic apar unele forme de manifestare a aptitudinilor matematice.

Încă din primele clase , când elevii abia iau contact cu matematica ies în evidență anumiți copii care socotesc rapid , dau dovadă de ingeniozitate în rezolvarea și compunerea de probleme .

Învățătorul încă din primele clase poate să-și cunoască elevii pe care îi poate grupa astfel :

a). Elevi cu aptitudini creatoare în rezolvarea și compunerea de exerciții și probleme . Aceștia rezolvă și compun cu ușurință exerciții și probleme datorită unei gândiri dezvoltate și a operațiilor de analiză , sinteză , generalizare , abstractizare , concretizare .

b).Elevi care au aptitudini reduse pentru matematică(au un ritm redus în rezolvarea exercițiilor și problemelor, întâmpină greutăți la trecerea de la exerciții la probleme și invers , calculează în scris evitând calculele orale, lipsa autocontrolului ).

(1)- Stoica Marin , ,,Psihopedagogie școlară “, Scrisul românesc, Craiova p.58.

(2)- Roșca Al. ,,Creativitate “ Buc. , Ed. Enciclopedică română , p. 8.

(3)- Beraru Ion ,,Studii de psihologie generală “,E.D.P. Buc. P.209 ,210.

(4),(5)- Beraru Ion , ,,op. cit…”p.213 ; 214.

În vederea depistării elevilor cu aptitudini creatoare , învățătorul trebuie să urmărească la elevi :

a). capacitatea de a generaliza ;

b). capacitatea de percepere ;

c). flexibilitatea gândirii ;

d). raționamentul matematic folosit ;

e). puterea de judecată (probleme de pespicacitate ).

Învățătorul mai poate urmări și alte aspecte : atitudinea elevului față de matematică , originalitatea și perseverența în activitățile matematice , preocupările în afara școlii , participarea la cercul de matematică , olimpiadă și chiar informații privind starea sănătății și date privind familia .

În practica pedagogică pentru depistarea aptitudinilor matematice se folosește testul. Acesta poate fi :

test psihologic

test de cunoștințe

Testele de cunoștințe sunt asemănătoare lucrărilor de control și conțin mai multe probleme și exerciții care sunt notate după gradul de dificultate pe care problemele și exercițiile le conțin .

Cu ajutorul unor astfel de teste învățătorul își dă seama de volumul și calitatea cunoștințelor , de anumite însușiri sau calități psihice generale sau speciale.

Mai semnificativ este testul psihologic , deoarece el se adresează potențialului creativ al elevului . La astfel de teste învățătorul urmărește :

să rezolve prin mai multe metode aceeași problemă ;

odată rezolvată problema prin mai multe operații să poată scrie soluția sub forma unui exercițiu ;

să creeze probleme pornind de la o expresie numerică dată ;

să descopere singuri prin analogie , regulile de calcul în unele subcazuri ,

pentru o anumită operație ;

să poată justifica anumite etape în calcul , prin proprietățile operațiilor

învățate ;

să vehiculeze limbajul matematic în mod adecvat , evitând confuziile

atunci când creează probleme (de exemplu probleme cu împărțirea ,,în părți egale” și împărțirea ,, prin cuprindere “).

Fișele de lucru trebuie să solicite gândirea creatoare .

Exemplu de fișe la clasa I

Formulări de probleme după figuri .

Compuneri de probleme după formule :

se indică formula : T1+ T2 =S ; S – T2 = T1 ; D – Sc = R ;

D = R + Sc

elevii care creează probleme corecte și bine gândite dau

dovada unor aptitudini creative la obiectul matematică .

Pentru formula D – Sc = R , elevii au compus probleme de natura acesteia :

,,După ce a mâncat 3 caise , lui Cătălin i-au mai rămas 7 caise. Câte caise a avut la început ? “

După însușirea temeinică a termenilor operațiilor , s-a trecut la înlocuirea acestora prin litere. Elevii au fost solicitați să compună probleme în care , de exemplu :

a = 5+b; a=b+4; a = b + c.

3. Completarea datelor problemei.

a). O gospodină pleacă la alimentară cu 87 lei. Ea cumpără de ….. Câți lei îi rămân?

b). Elevii clasei a II – a au răsădit în grădina școlii 35 fire de flori. Panseluțe….. albăstrele ….., iar restul lalele.

Câte lalele au răsădit ?

4. Alcătuire de probleme după exerciții.

Compuneți o problemă la care să se obțină rezultatul 60.

Unii elevii au compus probleme simple, ca de exemplu: Nicu a depus la C.E.C. 20 lei, iar fratele lui mai mare 40 lei. Câți lei au depus cei doi copii la C.E.C. ?

Alți copii au complicat problema, aceștia au dat dovadă de reale aptitudini creative :

Exemplu: Într-o ladă erau 50 Kg. mere și în alta 30 Kg., din care s-au vândut

20Kg. Câte Kg. de mere au rămas ?

Prin aplicarea diferitelor procedee în activitatea de rezolvare a problemelor, învăță-torul poate să cunoască aptitudinile creative ale fiecărui elev din clasa sa.

Ion Beraru arată că ,,la clasele mici aptitudinile matematice apar mai mult ca niște forme ,,embrionare” ca ,, mugurii” din care se vor dezvolta, sub acțiunea modelatoare a factorilor instructiv – educativi, elementele aptitudinale evidente de mai târziu”.(6)

(6) Beraru Ion ,,op. cit.”, pag. 219.

3.Educarea capacităților creatoare ale elevilor

P. Popescu – Novianu arată că :

,,Creativitatea este o problemă tot așa de veche ca și gândirea umană ,dar, după

cum se știe , termenul de creativitate a fost introdus abia către finele celui de-al patrulea deceniu al secolului XX. El avea să înlocuiască global și într-o nouă interpretare conceptele vechi și unilaterale de aptitudine creatoare, talent, dotație, geniu.

Același autor arată că nu există rețete pentru dezvoltarea creativității ,,totul depinde de personalitatea învățătorului ,de stilul creativ ce ghidează activitatea sa hipercomplexă de construcție umană “.

Conceptul de creativitate a fost definit de mulți psihologi și au scos în evidență faptul că orce persoană dispune de un potențial creativ, într-o măsură mai mare sau mai mică : ,,Nu numai că toți oamenii dispun de un potențial creativ, dar toți pot să și-l sporească și să-l realizeze ”.

Mihaela Roco arată că : ,,toți specialiștii care s-au ocupat de fenomenul creației

recunosc că trăsătura definitorie a creației este neunitatea acesteia .”

Comportamentul de rezolvare de probleme indică o serie de însușiri de personalitate și atitudini specifice : perseverență , receptivitate față de nou , interes nemijlocit de cunoaștere, independență în câmpul cunoașterii. Se conturează deja ideea că fenomenul creației este totuși mai complex decât simpla rezolvare de probleme.

Creativitatea presupune mai mult sesizarea, descoperirea și formularea de noi probleme plecând de la situații care aparent nu ar prezenta dificultăți.

,,Relevante pentru creație sunt aptitudinile divergente “.

1.Flexibilitatea (capacitatea de modificare și restructurare eficientă a gândirii în

situații noi, abilitatea de a opera transformări, posibilitatea de a renunța la ipoteze vechi și

de a adopta cu ușurință altele noi, capacitatea de a produce un număr cât mai mare și variat de idei, imagini care nu aparțin aceleași clase de obiecte sau categorii de noțiuni ).

Flexibilitatea poate fi spontană (inițiativa aparține subiectului ) sau adaptivă (solicitată de instructajul unor teste ).

Fluiditatea – factor care se referă la rapiditatea asociațiilor dintre imagini, idei și

Originalitatea se referă la capacitatea de a elabora soluții, idei, răspunsuri ,,ieșite din comun “, neconvenționale, ingeniozitate și inventivitate a metodelor de rezolvare a problemelor, luarea în considerație a consecințelor pe care le-ar putea avea soluțiile găsite

Evaluarea (acest factor se referă la anticiparea rezultatului final și finalizarea unei idei”, elaborarea unor ipoteze multiple și ,,selecționarea celor semnificative”).

Educarea capacităților creatoare ale elevilor presupune ca învățătorul în activitatea sa să creeze unele situații de predare-învățare care să-i favorizeze posibilitatea cunoașterii fiecărui elev, a relațiilor dintre ei, capacitatea de pregătire și urmărire discretă a muncii lor, asigurarea unei atmosfere relaxate , confortabile propice unei activități creatoare .

Învățătorul care asigură un climat școlar plăcut, dominat de voioșie și încredere, înțelege năzuințele elevilor, folosește în lecții dialogul viu care antrenează întreaga clasă. Favorizează procesul de creație .

În vederea educării capacităților creatoare educatorul trebuie să urmărească formarea și dezvoltarea capacităților intelectuale :

– să dezvolte la elevi spiritul de observație ;

– să atitudinile și aptitudinile creatoare ;

– să creeze o atmosferă plăcută, lipsită de tensiuni, teamă, frică de pedeapsă, o atmosferă care să favorizeze comunicarea, conlucrarea între colegi .

Într-o astfel de atmosferă chiar și elevi care au tendințe de pasivitate, neobișnuiți cu efortul muncii intelectuale, ,,ei prind gustul rezolvării problemelor școlare, își eliberează, de asemenea treptat, energiile latente psihice, privind dorința de autoafirmare.”

Educarea capacităților creatoare presupune :

– formarea deprinderilor de activitate independentă și a deprinderii de a rezista la

efortul intelectual ;

– efortul intelectual trebuie calculat conform curbei gaussiene în fiecare oră de matematică ;

– elevul trebuie ajutat în găsirea soluției, nu prin a-i da soluția de-a gata. Învățătorul ,,trebuie să înțeleagă că ideea gândită de el poate să capete alte modalități de formulare în conștiința copiilor. El trebuie să aprobe pe cele care exprimă adevărul, să încurajeze pe cele care se apropie de adevăr, să-i stimuleze pe cei timizi și pe cei reținuți…

De asemenea să atragă atenția asupra superficialității, fără însă a jicni sau a admonesta, ci îndemnându-i la mai mult efort, la dorința de a fi mai stăruitori, în schimb, trebuie încurajată spontaneitatea cu licăriri de fantezie efervescentă. Să creeze, o atmosferă calmă, caldă, afectivă, care descătușează spiritele copiilor, și creează un climat de securitate psihică “. Școlarul mic își manifestă unele elemente de originalitate .El este creativ în toate situațiile în care nu reproduce fidel schemele sau structurile învățate.

Nicolae Oprescu arată că pentru educarea creativității sunt necesare respectarea unor condiții : ,,O condiție esențială este ,,fondul de cunoștințe” pe care le are elevul. Informațiile puține constituie un obstacol în formarea creativității gândirii. Cunoștințele multilaterale și bine asimilate se organizează în sisteme asociative multiple, care favorizează mobilitatea acțiunilor și operațiilor mintale, realizarea de combinații multiple și variate .”

O altă condiție este formarea ,, deprinderii intelectuale de a inova”, care optimizează creativitatea . O ultimă condiție este ,, climatul educațional “. Activitatea învățătorului “poate fi sursa educării elevilor în spirit conformist sau creator”. Activitatea lui să activeze mintea elevilor, puterilor lor creatoare ,să asigure un climat care să ducă la “independență, originalitate, creativitate ”.

Creativitatea se cultivă într-o atmosferă de antrenare a elevilor în căutări , formulări de idei ,verificări. De multe ori este necesar să se “ amâne evaluarea” pentru crearea unor condiții în care elevul să se manifeste printr-un “flux ideațional optim”. Ei se vor manifesta liber și nu se vor teme de greșeli, sau de aprecieri critice. Numai așa cultivă la elevi originalitatea, îndrăzneala, independența.

Nu se poate vorbi de educarea creativității prin lecții speciale. Educarea capacităților creatoare are loc pe tot parcursul activităților didactice.

Învățătorul nu poate fi în totalitate creativ . Exemplu: nu se poate vorbi de rezolvarea creatoare a unei probleme noi, mai complexe, dacă elevii nu-și însușesc operațiile cu numere naturale ,tehnicile de calcul cu aceste numere.

Însușirea algoritmilor oferă posibilitatea ca unele probleme teoretice și practice să se rezolve în mod creator.

La un nivel superior automatismele de calcul pot deveni suple, flexibile și perfectibile. Creativitatea se cultivă prin crearea de situații problematizate care asigură flexibilitatea gîndirii, finețea analitică. Descoperirea unor elemente noi duce la creșterea intensității proceselor intelectuale. Stimularea activității de investigație, înseamnă un antrenament al gândirii creatoare.

Exemplu: continuarea construirii tablei înmulțirii a unui număr , continuarea exercițiului, a problemei etc.

Exemplu: să compună exerciții, probleme, să transforme problemele în exercițiu și invers. Elaborarea sau transformarea unui sistem sau structuri pe baza modelului dat oferă prilejul unui câmp larg de dezvoltare a creativității.

7) Matei Nicolae Constantin, ,,op. cit…” pag.22.

O a patra categorie propusă de același autor este elaborarea variantelor. Se cere elevilor să elaboreze cât mai multe variante de adunare (scădere ) a două numere pe baza cunoașterii sumei sau diferenței, să găsească toate combinațiile de factori care duc la același produs. Aceste activități pot fi organizate și sub formă de joc .

O altă categorie sunt ,,activitățile care lasă elevilor independența deplină” în rezolvarea și compunerea pe căi diferite de exerciții și probleme .

În cadrul clasei I și a II-a elevii sunt ajutați mai mult și pe măsură ce ei ajung în clasa a III-a și a IV-a gradul de independență crește pentru ca elevii să poată elabora produse originale .

,,De fapt nu se poate vorbi de activități creative și activități necreative. Orice activitate poate avea o doză mai mare sau mai mică de creativitate după modul cum este îndrumat elevul în desfășurarea ei. “

Erika Landau arată că ,,pot fi date educatorilor următoarele îndrumări : gândirea creativă și învățarea din proprie inițiativă trebuie încurajate prin laudă .”(10)

Aceeași autoare arată în continuare că : ,,O altă sarcină a educației creativității ar fi, deci, aceea de a lămuri elevii că învățarea creativă impune o anumită atitudine : elevul trebuie să știe că i se cere să fie creativ!”(11)

Numeroși cercetători atestă existența unei corelații importante între inteligență și creativitate . Potențialul creativ al unei persoane constituie fondul de aur al inteligenței.

Noul sau ,,ineditul” sunt elemente relative, deoarece pentru elev, nou este ceea ce el nu a întâlnit până atunci.

Foarte frumos vorbește Mihai Eminescu despre oamenii care sunt talentați :

,,Oamenii învățați dar fără talent propriu, adică purtătorii științei moarte, mi-i închipuiesc ca o sală întunecată cu o ușă de intrare și una de ieșire. Ideile străine intră printr-o ușă, trec prin întunericul sălii și ies prin cealaltă, indiferente, sigure și reci.

Capul unui om de talent e ca o sală iluminată, cu pereți și oglinzi. Din afară vin ideile într-adevăr reci și indiferente-dar ce societate, ce petrecere găsesc!” (12)

……………………….

12) Noica C-tin. ,,Eminescu sau gânduri despre omul deplin al culturii românești”(Manuscrisul 2289 fila 15 ),Editura Eminescu București, 1975 ,pag 30.

CAPITOLUL II

VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE

ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR ÎN PROCESUL DE ÎNVĂȚĂMẬNT

Învățarea creativă a matematicii

Învățarea creativă reprezintă un nivel ridicat în ierarhia comportamentală :

,,În învățarea creativă, elevul este pus în situația de a folosi cunoștințele care n-au mai fost antrenate anterior într-o experiență similară, de a alege din cunoștințele învățate

pe acelea care-i folosesc în situația problematică dată, de a raporta una la alta în conformitate cu cerințele problemei.”(1)

Învățarea creativă presupune un ansamblu de cunoștințe care nu sunt predate anume pentru rezolvarea unei probleme .

Literatura de specialitate subliniază esența creativă, factorii, etapele, precum și faptul că operativitatea intelectuală este fundamentală psihofiziologic al învățării creative și calitatea ei depinde în cea mai mare măsură de mobilitatea, reversibilității și generalitatea sistemelor operatorii de ansamblu ale inteligenței elevilor.

,,Dacă materialul informativ asimilat pe cale memorial-logică, este de condiție pentru operativitatea mintală, ce stă la baza învățării creative –spune Nicolae Constantin Matei-capacitățile, aptitudinile creatoare (fluiditatea, flexibilitatea, originalitatea) constituie obiectivele educaționale, necesar logice ce trebuie să le realizeze învățarea creatoare –ele fiind virtuțile specifice omului nou, omului societății actuale.”(2)

Pe primplan se pune așa dar, educarea flexibilității, a gândirii divergente pentru rezolvarea inventivă a problemelor, care cuprinde un câmp larg de capacități creative, de la descoperirea unor aspecte, relații, sisteme noi, până la crearea originală a acestora .

Omul epocii contemporane și al viitorului este un rezolvator de probleme și un făuritor de decizii, un constructor de probleme și de sisteme ideatice care sunt necesare rezolvării lor. De aceea, învățarea, ca proces de achiziționare nu mai este satisfăcătoare ,

ci doar creativitatea este cea care rezolvă problemele de situație .

Este absolut necesar un stil de muncă intelectuală care să formeze personalități apte de învățare inovatoare care formează personalități ,,apte de crearea unor alternative noi “.(3)

–––––––

1) Oprescu Nicolaie -,, În sprijinul elaborării obiectivelor operaționale ale lecției”

Revista de pedagogie nr. 6 /1983 pag.4.

2) Matei Nicolae C. -,, Educarea capacităților creatoare în procesul de învățământ”

E.D.P. București, 1982 pag. 14.

3) Bunescu Vasile -,, Stilul muncii intelectuale-indicator și mijloc al învățării . eficiente”. Revista de pedagogie nr.6/1982 pag.40.

Lazăr Vlăsceanu propune câteva acțiuni care pot fi avute în vedere pentru promovarea unui stil de învățare creativă :

1) Diminuarea continuă până la înlăturarea oricărei forme de manifestare a paternalismului educativ.

Introducerea, încă din etapele timpurii de școlarizare, a unor exerciții speciale de asimilare și practicare de către elevi a tehnicilor de muncă independentă : (tehnici de lectură, fișare și catalogare a informațiilor, metode de cercetare etc.)

Activitatea elevilor pe proiecte care să presupună : definirea obiectivelor și

problemelor, documentarea , căi metodologice de analiză și rezolvare, de propunere de soluții, de evaluarea soluțiilor.

Elaborarea independentă de către elevi a problematicii analizate, să ajungă să fie capabil să prezinte coerent, sistematic și responsabil o problemă.

Organizarea învățării în micro grupuri de muncă centrate pe rezolvarea creatoare de probleme cu ajutorul informației transmise școlarului sau asimilate din alte surse .(4)

Grigore Nicola arată că învățarea creativă are ,,patru determinanți “:

subiectul care învață ;

situația problematică în care este pus subiectul pentru a învăța ;

factorii de modelare a noii experiențe;

mecanismul psihic prin care se realizează achiziția .(5)

Dacă analizăm cele patru mari probleme ale învățării creative putem afla:

Subiectul posedă un anumit potențial creativ, o capacitate fundamentală de a-și imagina într-un mod original noul ; aceasta reprezintă o însușire generală a personalității și o menire a ei. Din punct de vedere filogenetic fiind o funcție psihică, imaginația creatoare este ușor inhibată și ușor stimulată ; până la un anumit nivel acompaniază inteligența, după care își urmează o evoluție proprie. Se are în vedere că potențialul creativ este condiționat de vârstă , sex , mediu.

Situația problematică este de tip deschis: permite și necesită mai multe soluții sau căi spre soluții. Se recomandă folosirea testelor cu ,,o orientare netă spre sarcini divergente”

Factorii de modelare a experienței subiectului, privesc mai mult climatul de lucru în clasă decât conținutul sarcinilor. Grigore Nicola arată că : ,,dacă referitor la climat s-a adoptat o lungă listă de condiții de optimizare identificate în colectivele de inovație și creație ,

4) Vlăsceanu Lazăr ,,Stilul muncii intelectuale – remiză a succesului la învățătură”

,,Revista de pedagogie “ nr. 6 /1982 pag, 46

Nicola Grigore ,,Învățarea creativă : Concept și metodologie”, ,,Revista de pedagogie “ nr.9 /1979 pag.17.

referitor la conținutul sarcinilor, la relația acestuia cu noua experiență care

trebuie achiziționată, deci toate acestea nu s-au format încă, și nici concepția .”

Reprezentarea psihologică a mecanismului dobândirii unei noi componente:

înlăturarea blocajelor perceptive, emoționale și culturale și formarea unor seturi creative

(investigația după chestionarea, amânarea cenzurii, metode sintetice.)

Această analiză ne arată ,,criteriile distincției maxime, dintre învățarea creativă și alte grupuri de învățare; ne mai arată că atributul ,,creativ” are un diapazon foarte larg de folosire, pe cât de întinsă este aria condițiilor de realizare a acestui proces. “(6)

Metodele utilizate la ora actuală în școală în vederea dezvoltării gîndirii creatoare

și a învățării creative sunt: demonstrația matematică, expunerea, conversația, problematizarea, modelarea, demonstrarea materialului intuitiv, exercițiile învățarea pe grupe mici, metodele muncii cu manualul și jocurile matematice .

În tratarea acestor metode ne vom mărgini la sublinierea contribuției fiecăreia la

învățarea creativă a matematicii.

,,Demonstrarea matematică este o metodă de predare-învățare specifică matematicii. Ea apare ca o formă a demonstrației logice și constă într-un șir de raționamente prin care se verifică un anumit adevăr, exprimat prin propoziții.”(7)

Demonstrarea se folosește atât la asimilarea unor cunoștințe noi, cât și la fixarea și consolidarea acestora.

Demonstrarea se demonstrează prin mai multe căi :

– cu ajutorul materialului confecționat : mulaje, machete, modele, diagrame, scheme etc.

cu ajutorul desenelor executate de învățător la tablă: simboluri, figuri plane, segmente, cerculețe etc.

Expunerea sistematică a cunoștințelor . În predarea matematicii , dintre cele trei forme pe care această metodă le poate lua (povestirea, prelegerea, explicația), se utilizează cu precădere explicația .

Explicația domină întreg procesul de instrucție matematică .Utilizând această metodă învățătorul expune logic și argumentat modul lui de gândire , iar elevii îl urmăresc căutând să-l înțeleagă . Dezavantajul acestei metode este atitudinea pasivă a elevilor. Din această cauză învățătorul trebuie să-i stimuleze și să-i determine să gândească odată cu el.

În general în matematică recurgem la explicație atunci când tema este complet nouă și printr-o altă metodă mai activă nu se poate descoperi acest nou. Suntem nevoiți

să recurgem la explicație pentru :

– înțelegerea anumitor noțiuni matematice ;

înțelegerea unor raționamente matematice ce conduc la demonstrarea unor legi,

relații.

––––––––––––––

6)Nicola Grigore , ,,op. cit. Pag.18

7)Rus Ileana , ,,Metodica predării matematicii”, E. D. P. București 1983 pag.10.

Pentru realizarea acestor deziderate este mai indicat folosirea unor metode mai active, ca, problematizarea, diversele forme de muncă independentă etc.

Independent de forma expunerii folosite ea nu se aplică de-a lungul unei ore întregi, ci se îmbină cu celelalte metode de predare.

Metoda conversației , constă în dialogul dintre învățător și elev, în care învățătorul

nu trebuie să apară în rolul unui partener , care nu mai întreabă dar și răspunde la întrebările elevilor .

Folosind această metodă se stimulează gândirea elevilor în vederea învățării creative a matematicii . Ea determină o participare activă din partea elevilor pentru că învățătorul adresează întrebări clasei în orice moment al lecției. Prin utilizarea corectă a

acestei metode se obține un ritm de muncă în care sunt atrași și elevi neatenți sau mai puțin disciplinați .

După numărul de elevi cărora li se adresează întrebarea, conversației este :

individuală, când se poartă între învățător și elev ;

conversația frontală, când întrebările se adresează întregii clase, iar răspunsurile vin de la diferiți elevi .

După obiectivele urmărite în lecții, conversația este :

– introductivă , folosită în momentul organizării și reactualizării cunoștințelor însușite anterior ;

– conversația în cadrul prezentării de materiale noi ;

– conversația pentru fixarea cunoștințelor noi ;

– conversația pentru recapitulare ;

– conversația în procesul de evaluare a cunoștințelor asimilate etc.

Indiferent de forma conversației întrebările trebuie să îndeplinească anumite cerințe :

să fie precise , să nu fie vagi ,să vizeze un singur răspuns ;

să nu conțină răspunsul , să nu ceară un răspuns prin ,,da” sau ,,nu”;

să contribuie la dezvoltarea gîndirii creative .

O importanță deosebită a metodei conversației este aceea că ea ajută la dezvoltarea limbajului matematic . Stăpânirea limbajului se repercutează mai pregnant în rezolvarea problemelor . În acest sens neînțelegerea textului problemei face imposibilă nu numai rezolvarea dar și orce inițiativă și încercare de rezolvare .

Importanța limbajului matematic la elevi se reliefează nu numai pe plan matematic ,ci și pe plan afectiv motivațional , căci nestăpânirea acestui limbaj provoacă la copii o inhibiție.

Utilizarea greșită a unor denumiri matematice îl face pe elev să se simtă ridicol și îi mărește tracul . Prin faptul că învățătorul îi învață pe elevi cuvinte matematice, le arată importanța lor , nu face altceva decât să-i învețe spiritul matematic , și în același timp contribuie la învățarea conștientă și activă, creativă a matematicii.

Metoda exercițiului. Exercițiile sunt acțiuni efectuate în mod conștient și repetat cu scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi sau chiar a unor cunoștințe noi, pentru a ușura unele activități și a contribui la dezvoltarea unor aptitudini.

Aceastǎ metodǎ contribuie nu numai la formarea priceperilor și deprinderilor, dar își aduce un aport substanțial la dezvoltarea unui raționament flexibil și operant.

Academician N. Teodorescu aratǎ cǎ exercițiile și problemele trebuie alese, formulate, tratate, folosite.

– Alegerea problemelor sǎ fie condiționatǎ de programǎ;

– Formularea sǎ țină cont de limbajul manualelor;

– Tratarea sǎ aibǎ în vedere obținerea rezultatelor pe cǎi clare și verificabile.

– Folosirea sǎ vizeze lămurirea conținutului activ in cunoașterea noțiunilor învățate, asimilarea metodelor de rezolvare și aplicarea lor la rezolvarea altor probleme.

Metoda muncii cu manualul sau alte cărți

Aceastǎ metodǎ pretinde studierea sistematicǎ a noilor cunoștințe din anual.

Când elevii au deja deprinderea de a folosi manualul, se pot însuși din manual lecții întregi. elevul este obligat sǎ-și facă un plan de lecții întregi. Elevul este obligat sǎ-și facă un plan al celor studiate.

În timpul studierii de către elev a noului material din manual, învățătorul are un rol activ. El constatǎ cum lucrează elevii, dǎ îndrumării cu voce scăzuta unor elevi care-l solicitǎ, verificǎ lucrările întocmite de ei, corectând acolo unde este cazul. El se ocupǎ nu numai de elevii slabi, ci și de cei buni, cărora le va da material în plus care sǎ completeze cele citite din manual, fie o explicație.

Nu orice lecție se pretează la a fi însușită din manual.

Metoda poate fi aplicata numai in cazul in care lectiile respective au in manual o redactare sistematica si accesibila nivelului de vârsta si cunostinte ale elevilor.

Așa cum arata literatura de specialitate jocurile didactice contribuie la formarea conceptelor matematice la clasele mici si constituie o modalitate eficienta de lucru cu elevii, deoarece activitatea desfășurata sub forma de joc primește valențe educative.

Incorporat in activitatea didactica, elementul joc imprima acestuia un caracter viu si nai atrăgător, aduce varietate si o stare de buna dispoziție funcțională, de veselie si de bucurie, de divertisment si de destindere, ceea ce previne apariția monotoniei si a plictiselii, a oboselii. Restabilind un echilibru in activitatea școlarilor, jocul fortifica energiile intelectuale si fizice ale acestora, generând o motivație secundara, dar stimulatorie, constituind o prezenta indispensabila in ritmul accentuat al muncii școlare.

O problema sau un exercițiu de matematica poate deveni joc didactic matematic daca:

– realizează un scop si o sarcina didactica din punct de vedere matematic;

– folosește elemente de joc in vederea realizării sarcinii propuse;

– folosește un conținut matematic accesibil si atractiv;

– utilizează reguli de joc, cunoscute anticipat si perspectate de elevi

Jocul didactic matematic poate fi organizat cu succes in orice tip de lecție si in orice clasa a ciclului primar contribuind la învățarea creativa a matematicii.

Învățarea in microgrupuri este recomandata din considerente de ordin socio-profesional; munca productiva de viitor este o prelungire a modului de munca in grup din scoala, se vor forma deprinderi de a rezolva probleme in grup si pentru grup.

Nicolae Constantin Matei arata ca este necesar „respectarea unor reguli, care facilitează procesul circulației labile a informației in cadrul grupului si a participației efective a fiecărui membru al grupului la rezolvarea problemelor de învățat prin descoperire, fie a acelora de creație in procesul învățării școlare.”

In continuare același autor semnalează următoarele reguli:

– mărimea microgrupurilor sa fie maxim patru elevi (doua bănci de elevi – prima cu a doua, a treia cu a patra) sau sase elevi daca elevii lucrează cate trei la o masa;

– problemele date spre rezolvare in grup sa nu se rezume la aplicarea unor reguli învățate sau a unor deprinderi stereotipizante.

– cele mai indicate probleme pentru dezvoltarea capacităților creative sunt cele care se dezvolta prin cercetare-descoperire, cele ce solicita imaginația, originalitatea, inventivitatea, celor care incita la o participare afectiva.

– activitatea independenta este calea cea mai eficienta in formarea deprinderii elevilor de a rezista la efortul intelectual;

– efortul intelectual trebuie sa fie calculat si distribuit de învățător conform curbei gaussiene atât in domeniul cognitiv in cadrul fiecărei ore de curs cat si in funcție de locul pe care-l ocupa ora in programul scolar;

Elevul sa fie dirijat in găsirea soluției sau a soluțiilor cerute de problema școlara solicitată, sa fie ajutat, dar nu prin a-i da soluția de-a gata, ci numai prin a i-o sugera la timp si de fiecare data când este nevoie.

Învățătorul trebuie sa înțeleagă ca ideea gândita de el poate sa capete alte forme de exprimare in conștiința elevilor. De aceea el trebuie sa aprobe pe cele care exprimă adevărul, sa încurajeze pe cele care se apropie de adevăr, sa încurajeze pe cei timizi.

In practica pedagogica au apărut in ultimul timp si metode noi care contribuie la dezvoltarea creativitatii ca: problematizarea, modelarea, metode sinectice , metoda asaltului de idei.

Ioan Cerghit arata ca: „In cadrul problematizării, expresia <<rezolvarea de probleme >> înseamnă un efort de gândire consacrat descoperirii unor noi combinații de reguli învățate anterior cu ajutorul cărora se poate ajunge la soluțiile adecvate noilor situații problematice care s-au ivit ”.

In continuare arata ca „problema constituie un agent director al cercetării, devine motorul însuși al achiziționării unor noi cunostinte si practice”. Metoda problematizării dezvolta capacitatea de a sesiza existenta unei probleme si de a formula ca întrebare, desprinderea de reconstituire a vechilor cunostinte, strategia elaborării ipotezelor, puterea de analiza si de soluționare a problemelor, de a găsi răspunsuri ingenioase pe baza unui raționament deductiv. Sunt capacitatii si deprinderi deosebit de eficace din punctul de vedere al generalizării si transferului de cunostinte, de importanta covârșitoare pentru funcția omului modern.

Brainstormingul in traducere fidela ar însemna „furtuna in creier, efervescenta, aflux de idei, asalt de idei.

In aplicarea acestei metode trebuie respectate următoarele reguli:

Aprecierile critice sunt interzise. Educatorul nu trebuie „sa facă aprecieri negative , sa se mire, sa aiba îndoieli asupra valabilității ideilor propuse”. „ Intervențiile de acest gen sunt distructive pentru imaginația creatoare a grupului. ”

Imaginația sa fie total libera. Aceasta metoda presupune acceptarea tuturor ideilor „care-ti vin in minte, fara cenzura chiar daca ti se pare absurda sau imposibila”.

Se cere cantitate. Elaborarea mai multor idei pana se ajunge „in atmosfera rarefiata a ideilor neobișnuite, care au din ce in ce mai multe șanse de a fi originale, nemaiîntălnite”.

Sunt încurajate asociațiilor propuse de ceilalți. Atunci când se găsește o soluție „ingenioasa” înseamnă , in ultima instanța, „corelarea unor elemente pe care nimeni nu le mai așezase alături asociere inedita ”.

Sinectica consta in folosirea conștienta a mecanismelor psihice prezente in activitatea creatoare a omului.

Sinectica provine de la cuvântul grecesc „synectics” care are înțelesul de reuniune a unor elemente fara legătura intre ele.

Metoda sinectică parcurge trei etape:

Convertirea ciudatului in familiar (înțelegerea problemei);

Convertirea familiarului in straniu, ciudat (îndepărtarea de problema);

Reconvertirea ciudatului in familiar (revenirea la problema).

Acest proces nu este tot timpul liniar. „Pot exista drumuri înfundate si atunci se ia de la început sau de acolo de unde bănuim ca ne-am abătut pe o direcție sterila.”

Modelarea

Ioan Caraghit definește conceptul de modelare ca „reprezentare sau construcție substanțiala sau mintala a unor modele , materiale sau ideale, ca analoge ale realității si folosirea lor efectiva ca instrumente in organizarea învățării, a dat naștere , in accepție didactica , metodelor de modelare”.

Interesante sunt rezultatele cercetărilor întreprinse de Zorgo in predarea aritmeticii la clasele I-IV, care demonstrează cat de mult anume acțiunile materiale cu modelele obiectuale (care concretizează sau „obiectualizează” anumite principii sau structuri matematice) pot sa faciliteze însusirea operațiilor formale cu simboluri.

In aplicarea modelării in învățarea matematicii trebuie sa se aiba in vedere doua etape ale aplicării ei, Intr-o prima etapa, învățarea se va face pe baza modelelor construite de învățător. In aceasta etapa se vor analiza trasaturile modelului si compararea cu originalul. Pentru a reliefa condițiile ce trebuie sa le îndeplinească modelul se vor da si exemple de modele cu eficiență scăzuta.

Eficacitatea modelării, pentru elevii care învață matematica, este mărită de utilizarea a cat mai multe tipuri de modele, ținând cont de particularitățile de vârsta si cunostintele elevilor. In clase mici să predomine modele materiale si grafice, ce se vor diminua sau dispărea in clasele mari. Confecționarea si crearea de către elevi a unor astfel de modele contribuie la dezvoltarea spiritului inventiv al elevilor si orientarea lor spațială.

Învățarea matematicii nu se poate rezuma la simpla asimilare de cunostinte, ci ea trebuie sa vizeze formarea unui mod anume de gândire, printr-un antrenament permanent.

Învățarea creativa a matematicii presupune cultivarea curiozității, a dorinței de descifrare a necunoscutului.

Matematica este o disciplina de baza in dezvoltarea creativității. Rezolvarea si compunerea de exercitii si probleme presupune o gândire disciplinata care poate deveni o trăsătura a viitorului adult.

Învățarea creativa a matematicii presupune formarea la elevi a unor aptitudini matematice:

capacitatea de a percepe selectiv in funcție de o idee conducătoare

plurivalenta gândirii (a gândi fiecare lucru prin esența lui si in mod condensat pentru a putea gândi concomitent la mai multe aspecte si deci a face legaturile dintre acestea) .

capacitatea de a depune un efort de concentrare, nu numai prin izolarea faza de solicitările exterioare, ci mai ales prin izolarea fata de solicitările exterioare, ci mai ales prin a gândi in tensiune maxima problema in întregul ei.

Operațiile matematice cele mai simple pot constitui momente favorabile dezvoltării gândirii si a raționamentului.

Calculul mintal are o mare importanta in dezvoltarea gândirii logice a elevilor. Elevii care stăpânesc deprimările de calul mintal îsi pot concentra atenția asupra principiului de rezolvare a problemei , asupra raționamentului propriu-zis, efectuarea operațiilor făcându-se de la sine, datorita calculului însușit bine anterior.

Prin însusirea conștientă a noțiunilor, si mai ales pentru a forma la copil, încă de la vârsta de 6-7 ani, capacitatea de a aplica cele învățate in rezolvarea exercițiilor si problemelor, in munca didactica apare necesitatea căutării procedeelor prin care sa se stimuleze creativitatea si sa se formeze deprinderea de a crea independent.

O modalitate de actiune in cadrul orelor de matematica, este folosirea fiselor de munca independenta. Aceasta reprezintă avantajul ca pot insera o varietate larga de întrebări , exercitii si probleme formulate in scopul pe care-l urmărim la un moment dat si pot fi individualizate, adresându-se fiecărui copil, in masura in care el trebuie ajutat.

Practica la clasa dovedește ca folosirea fiselor de munca independenta da rezultate certe, spectaculoase chiar, daca acestea se au după o anumita metodologie si au un scop bine stabilit:

Înainte de a le folosi, trebuie sa formam la elevi deprinderea dea lucra independent,

de a se concentra asupra răspunsurilor , de a avea încredere in fortele lor.

Pentru obținerea unor rezultate bune trebuie sa se lucreze multe exercitii la tabla in timp ce restul clasei lucrează in mod independent sub supravegherea învățătorului, rezultatele se confrunta după terminarea lucrării de la tabla. De fiecare data trebuie sa se discute si sa se compare rezultatele cu cele de la tabla. Elevii care lucrează la tabla nu sunt dirijați pentru a face corectare frontala. Daca se procedează astfel, obișnuiam pe elevi sa nu copieze de la tabla rezolvarea exercițiilor.

In timpul calculelor, învățătorul da indicații fiecărui copil, cu glas scăzut, in clasa sa fie liniște pentru ca elevii sa se poată concentra.

Sa se calculeze timpul necesar efectuării exercițiilor si problemelor , iar elevii sa nu fie presați. Elevii care au un ritm încet or fi îndemnați sa se grăbească. Timpul va fi cat mai scurt posibil.

Fisele pot fi clasificate după scopul urmărit:

Fise folosite in lectiile de predare;

Fise folosite in lectiile de consolidare si fixare a cunostintelor;

Fise de verificare a cunostintelor, de testare a greșelilor colective si individuale;

Fise de corectare a greșelilor.

Practica a demonstrat ca nu trebuie sa se facă abuz de fise, acestea se dau cu multa grija avându-se in vedere scopul lecției. Trebuie sa se evite ca elevilor buni sa se dea foarte greu iar elevilor slabi foarte ușor, deoarece elevii trebuie educați in spiritul eticii si echitații.

Mult mai eficient se dovedesc a fi fisele, care sunt concepute gradat, aceleași pentru întreaga clasa, pentru ca elevii buni sa nu se plictisească, iar elevului cu rezultate mai slabe sa aiba impresia ca știe foarte bine (deoarece exercițiile sunt ușoare) si poate fi si nedreptatit la notare.

N Constantin Matei arata ca formarea unor deprinderi de învatare prin cercetare-descoperire si efort intelectual propriu cu cat sunt mai fixate si consolidate mai de timpuriu cu atât au un efect formativ mai eficient, materializat in dezvoltarea capacitatilor intelectuale superioare si a aptitudinilor specifice actului creator.”

Invatatorul trebuie sa fie receptiv la ceea ce place elevilor, la ceea ce vor si pot realiza, valorificând in activitate posibilitatile si dorințele lor, satisfăcându-le interesele.

In cadrul orelor de matematica, prin modul cum am conceput lectiile, elevii au fost atrași către acest obiect, fiind antrenați in compunerea de exercitii asemănătoare celor rezolvate in timpul predării, in alcătuiri originale de probleme după exercitii sau scheme date înainte, după desene, după materialul didactic existent in clasa, precum si in găsirea soluțiilor de rezolvare a problemelor, sau a unor jocuri matematice interesante.

Am organizat activitati cat mai interesante, mereu altfel formulate, iar acestea au reușit sa trezească si sa intretina un climat care generează curiozitate, dragoste de investigație, de descoperire si inventivitate.

Exemplu:

După invatarea scăderii in scris, cu trecerea peste ordin s-au rezolvat 2-3 exercitii in care se cunoșteau ambii termeni ai scăderii si se cerea diferența:

82 – 57 = …

40 – 18 = …

Am formulat apoi exercițiile ce se rezolvau prin scadere, in care se cunoșteau descăzutul si restul si trebuia sa se afle scazatorul; sau se cunoștea suma a doi termeni, pe unul din ei si se cerea sa se afle cel de-al doilea.

Exemplu (clasa a II-a)

48 – x = 19 82 = 48 + x

x + 15 =76 65 = 70 – x

62 + x = 93 82 = x – 7

Elevii le-au copiat după tabla si le-au rezolvat in scris in caietele lor, iar eu am acordat sprijinul necesar celor ce-l așteptau, observând in același timp in ce masura si-au insusit elevii cele predate.

Am propus si câteva probleme simple ce se rezolvau prin scădere, elevii scriind doar operația prin care se rezolvau spre a castiga timp pentru lucru.

Clasa a II-a

Cu cat este mai mic 62 decât 91 ?

Cu cat este mai mare 76 decât 38 ?

O mapa costa 95 lei. Eu am 86 lei. Cați lei îmi mai trebuie ca sa o pot cumpăra ?

După rezolvarea acestor probleme simple, le-am cerut sa compună oral probleme după formulele: D – a = R, a – Sc = R; T1 + m = S (D,Sc,R,T,S: sunt numere cunoscute, iar „a” este numărul necunoscut).

Numărul problemelor îl dau după timpul disponibil si după rapiditatea cu care lucrează copii. Acest gen de lucru l-am aplicat de la clasa I, folosind date numerice corespunzătoare cunostintelor de matematica ale elevilor.

Elevii care rezolva mai repede, reprezintă prin segmente datele problemelor propuse, astfel:

Poza pag 42

In cadrul temelor pentru acasă, elevii vor compune exercitii si probleme asemănătoare celor rezolvate in clasa.

Munca independenta data in clasa o controlez si intervin individual unde e cazul, iar daca o greșeala e mai frecventa, le explic elevilor, la tabla făcând apel la cunostintele lor.

In cadrul unor lecții re recapitulare, in cele 5 minute de calcul mintal, am rezolvat exercitii cu cele patru operații folosind numere corespunzătoare cunostintelor matematice ale elevilor.

Exemplu:

Aflați suma numerelor 6 si 4.

Care-i numărul cu 5 mai mic decât 7?

M-am gândit la un număr. Daca l-as mari cu 5, as obține 8. Ghiciți numărul.

Daca as cumpăra 3 creioane, as avea 9 creioane. Cate creioane am?

2. Clasa a II-a

Calculați 6×6

Cine mai da produsul 36?

Avem produsul 56. un factor este 8. Care este celalalt factor?

Dați exemple de produse mai mici ca 36.

15;20;25. De la ce inmultiri sunt produsele?

Dublați numerele 4,8,9,3,7.

Triplați numerele 9,2,0,5.

3. Clasa a III-a

– Aflați suma numerelor 125 si 156

– Care-i numărul cu 130 mai mic decât 800?

– Gasiti numărul de 8 ori mai mic decât 720.

– M-am gândit la un număr. Daca l-as mari de 9 ori as obține 630. Ghiciți numărul.

– Daca as mai cumpăra 150 cârti as avea in biblioteca 900 cârti. Cate cârti am?

– Aflați catul dintre produsul numerelor 100 si 4 si diferența numerelor 200 si 195.

După răspuns elevii au scris in caietele lor exercițiul desprins in ultima cerința:

100 x 4 :200 – 195 = CATUL

Modele de fise creative:

Clasa I.

Calculați si comparați rezultatele:

Figura pagina 43

Calculați si compune ti exercitii cu numerele cerute de calcul

Figura pagina 43

Figura pagina 44

a) Figura pagina 44 b) Figura pagina 44

c) Figura pagina 44

Aflați numărul:

Comparați rezultatele:

Clasa a II-a

7 * 2 =

0 * 4 =

5 * 5 =

mariti cu 2 numerele 6;7;2;0;1.

Mariti de doua ori numerele 6;7;2;0;1.

a)Figura pagina 44

b) Figura pagina 45

Trei cârti costa 9 lei. Ce rest a primit un elev la o bancnota de 50 lei, daca a cumpărat 7 cârti?

Alcatuiti o problema care sa se rezolve prin inmultirea numărului 9 cu numărul 5.

Clasa a III-a

Figura pagina 45

Figura pagina 45

Indicație : Comparați rezultatele.

Problema:

La un magazin s-au adus 3 m de stofa care costa 900 lei si 6 m stamba care costa 96 lei. Cați lei cost un metru de stofa? Dar de stamba?

Clasa a IV-a

Efectuați scăderile si faceți proba prin adunare:

Figura pagina 45

Efectuați scăderile si faceți proba prin adunare:

Figura pagina 45

Gasiti termenul necunoscut din următoarele egalitati:

Figura pagina 45

Folosind numai semnul adunării, scrieți numărul 42 cu ajutorul a cinci cifre 3:

Soluția: 33+3+3+3+3=42

Sa se afle x din egalitatea:

(x+3711) * 2 – 235 + 21 =7800

2. Activizarea si stimularea creativitatii prin rezolvarea mai multor tipuri de probleme si a unor probleme prin mai multe metode

„A rezolva o problema înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.

A găsi soluția unei probleme este o performanta specifica inteligentei, iar inteligenta este apanajul specific speciei umane; se poate spune ca dintre toate îndeletnicirile omenești, cea de rezolvare a problemelor este cea nai caracteristica”.

Nicolae Oprescu definește problema „sub aspect psihologic ca un obstacol sau o dificultate cognitiva care implica o necunoscuta si fata de care repertoriul de răspunsuri de care dispune subiectul este insuficient sau inadecvat. O situație problematica implica o discordanta de moment intre mijloace si scopuri, intre disponibilitati si cerințe, transformând necunoscutul in cunoscut, recombinând datele si cerințele problemei”.

Una din calitatile valoroase ale omului este capacitatea de a rezolva probleme. Intr-o orânduire sociala dreapta, locul omului este determinat, in primul rând, de nivelul la care poseda aceasta capacitate intr-un anumit domeniu.

Optimismul pedagogic înseamnă tocmai încrederea in posibilitatea formarii de capacitatii intelectuale tot mai adecvate cerințelor sociale mereu crescânde. Practica școlara are insa nevoie de indicații mai precise privitoare la natura acestei funcții psihice, ce trebuie construita pe îndelete, începând din prima clasa. Si pentru ca o astfel de construcție este o formație a sufletului omenesc, ea trebuie in așa fel transpusa din fondul social in cel al individului, încât sa devină forta interioara proprie, pe care sa si-o folosească singur, cu încredere si plăcere.

In general, mai mult de jumătate din timpul orelor de matematica este afectat rezolvării de probleme. In cunoscuta sa carte despre rezolvarea problemelor, Polya priveste de fapt nu formarea capacitatii de rezolvare a problemelor, ci doar manifestarea a ei in forma finala, ca proces de rezolvare a unor probleme.

Daca punem semnul egalitatii intre capacitatea de rezolvare a problemelor matematice si deprinderea de înot, așa cum arata Polya, atunci procesul invatarii ramane la nivelul unei practici de antrenament, a cârei calitate o putem determina la sfarsitul unei lungi perioade de timp, după un singur parametru – performanta rezultatului.

Grigore Nicolae arata ca: Imitația, pe care Polya o pune la baza mecanismului invatarii este, posibila numai in masura in care este insotita de intelegere. Deci deprinderea se distinge prin automatismul operațional, specificul gândirii consta dimpotriva in orientarea variabila in situațiile problematice”.

Problemele prevăzute de metodica sunt clasificate in:

probleme tipice;

probleme netipice

Problemele tipice, arata Grigore Nicolae, sunt elaborate special, pe când cele netipice sunt rezolvate printr-o practica îndelungata, urmărindu-se ca pe aceasta cale la elevi sa se

formeze o capacitate generala de gândire. Aceasta practica are la baza ipoteza ca in acest fel s-ar elabora la elevi operațiile generale de analiza, sinteza, etc. Faptul evident ca nu toti elevii ajung la o capacitate generala poate fi explicat psihologic prin aceea ca analiza si sinteza sunt doar operații logice, care au la rândul lor nevoie de mecanisme de dirijare specifice obiectului căruia i se aplica. Astfel, elevul poate „analiza” si „sintetiza” corect o

problema, la fel de simpla, de calculul vitezei”.

Aceeași metodica clasifica problemele in:

probleme simple;

probleme compuse;

Problemele simple sunt clasificate după operații:

probleme de adunare;

probleme de scădere;

probleme de inmultire;

probleme de impartire.

Daca vom analiza pe scurt o problema „de scădere”, vom vedea ca operația poate fi dictata de mai multe feluri de situații:

aflarea unei parti dintr-un întreg, când se cunoaste întregul si celelalte parti;

micșorarea unui întreg cu un număr de unitati pentru a afla un alt întreg;

comparația a doua mărimi.

Deci, pentru elevi nu exista „problema de scădere”, căci, daca elevul vede scăderea, pentru el aceasta nu mai este o problema – spune Grigore Nicola – ci un simplu exercițiu. ( Si in cazul când problemele sunt formulate cu termeni care indica operația, ele de asemenea nu mai sunt , psihologic, probleme).

In concluzie, in rezolvarea problemelor functioneaza o activitate de orientare privind conținutul situației problematice, partea operaționala fiind doar o consecința a acesteia.

Grigore Nicola propune o clasificare a problemelor după logaritmi generali. El arata ca exista o mulțime de variante de probleme a căror elemente sunt exprimate simbolic, iar relatiile dintre ele in formule. S-a putut stabili astfel ca acest tip de probleme are doua trepte de complexitate:

când in proces actioneaza numai o singura forta, despre care se dau doua mărimi si se cere o a treia;

când in proces actioneaza doi sau mai mulți „participanți”, astfel ca pe fiecare parametru avem o mărime generala si câteva particulare .

Iata un exemplu de 5 probleme in care avem aceleași elemente si relații:

Problema 1

Intr-o cooperativa agricola de producție s-au pregătit 2400 q nutreț pentru animale. Pentru cate zile va ajunge aceasta cantitate daca intr-o zi se consuma 8 q ?

Problema 2

Mă aflam la 400 km de oraș. Peste cat timp vom fi in oraș, daca mergem cu 50 km/ora ?

Problema 3

Din doua porturi, situate la distanta de 760 km, pleacă in același timp, cate un vapor cu vitezele de 50 km pe ora si 45 km pe ora. Peste cate ore se vor întâlni vapoarele, daca ele circula de la un port pana la celalalt ?

Problema 4

Doi strungari primesc sarcina sa execute 120 piese. Peste cat timp vor termina ei aceasta munca, daca primul executa 8 piese pe ora, iar al doilea 5 piese ?

Problema 5

In același timp au fost deschise trei robinete, fiecare cu o capacitate de 150 l pe ora. Peste cat timp trebuie închise robinetele, daca sunt necesare 1350 l ?

In toate aceste probleme se cere timpul desfasurarii unui proces: consumul de nutreț, parcurgerea unei distante, îndeplinirea unei munci. Indiferent daca actioneaza o forta sau mai multe (doua vapoare, doi muncitori, trei robinete), timpul ramane o functie de doua argumente: marimea rezultatului procesului S si de marimea acelei parti din S, care reine la o unitate de timp. Deci aceste probleme nu sunt diferite , ele putand fi rezolvate, orientandu-se la una si aceeasi relatie.

George Polya deosebeste „doua tipuri de probleme”, probleme „de aflat” si probleme „de demonstrat”. Scopul unei „probleme de aflat” este sa „afle” (adica: sa gaseasca, sa construiasca, sa calculeze, sa obtina, sa identifice…) un anumit obiect, necunoscuta problemei. Scopul unei „probleme de demonstrat” este sa stabileasca daca o anumita asertiune este adevarata sau falsa, sa „demonstreze asertiunea sau sa o infirme”

Alte clasificari ale problemelor:

Dupa finalitate:

probleme teoretice;

aplicatii practice.

Dupa continut:

– probleme geometrice;

– probleme de miscare;

– probleme de amestec, aliaj,densitate.

Dupa complexitate:

probleme simple;

probleme compuse;

Dupa gradul de generalitate al metodei folosite in rezolvare:

probleme generale (se foloseste metoda analitica sau sintetica).

probleme tipice (se rezolva printr-o metoda specifica, grafica, reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparatiei, etc)

Prin problema tipica intelegem o anumita constructie matematica a carei rezolvare are la baza un anumit algoritm specific fiecarui tip. O asemenea problema se considera teoretic rezolvata in momentul in care i-am stabilit tipul si suntem in posesia algoritmului de rezolvare.

Clasificarea problemelor tipice:

Probleme cu operatii relativ evidente:

Probleme simple;

Probleme compuse.

Probleme care se rezolva prin metoda figurativa:

Probleme de aflare a doua numere cunoscand suma si diferenta lor.

Probleme de aflare a doua numere cunoscand suma sau diferenta si raportul lor.

Probleme de egalare a datelor.

Probleme de presupunere.

Probleme gen rest din rest.

Probleme de amestec si aliaje cu doua variante:

De categoria I

De categoria a II-a

Probleme de miscare (bazata pe relatia S=V*t, cu doua variante):

In acelasi sens;

In sensuri contrare.

Probleme cu marimi proportionale, cu trei variante:

Impartirea unui numar in parti direct proportionale;

Impartirea unui numar in parti invers proportionale;

Impartirea unui numar in parti care luate perechi formeaza rapoarte date.

Probleme cu continut specific:

Probleme cu continut geometric;

Probleme cu continut de fizica;

Probleme asupra actiunii si muncii in comun.

Probleme nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme joc, etc.)

Metoda de rezolvare a problemelor de matematica se clasifica in doua categorii:

Metode algebrice;

Metode aritmetice.

Metodele algebrice folosesc in rezolvarea problemelor tehnice specifica calcului algebric, adica tehnica bazata pe ecuatii si sisteme de ecuatii. Pentru a rezolva o problema algebric se parcurg urmatorele etape:

Se stabilesc necunoscutele si se noteaza cu litere;

Se pune problema in ecuatie, cea ce inseamna in limbaj algebric traducerea relatiilor dintre valorile cunoscute si necunoscute, prin utilizarea ecuatiilor si a sistmelor de acuatii;

Se rezolva ecuatia sau sistemul de acuatie;

Intepretarea solutiilor obtinute si verificarea lor in textul problemei pentru a stabili in ce masura acestea corespund naturii si conditiilor problemei, se arata daca problema admite una sau mai multe solutii sau daca ecuatiile acestea impun anumite limite si daca solutiile sunt sau nu posibile din punct de vedere logic si daca sunt „plauzibile din punct de vedere practic”.

„Metodele algebrice se caracterizeaza in mod deosebit prin simplitate si conciziune, astfel incat aplicarea lor inlatura dificultatile care se intampina adeseori in utilizarea unora din metodele aritmetice in a caror alegere nu se pot stabili vriterii precise. Apoi, rezolvarea algebrica a unei probleme ofera posibilitati noi de formulare a relatiilor dintre valori si stabileste ansamblul conditiilor pe care trebuie sa le indeplineasca solutiile problemei in raport cu elementele cunoscute. ”

In situatiile in care rezolvarea prin metode aritmetice intampina greutati se recomanda sa se foloseasca intai metoda algebrica care pune la indemana rezolvitorului instrumentul matematic adecvat si il orienteaza corect in alegerea si aplicarea metodelor aritmetice. Imbinarea armonioasa a celor doua categorii de metode duce la evitarea unor eforturi inutile. De multe ori metodele algebrice se impletesc atat de strans cu cele aritmetice incat ele nu se pot delimita, din cauza ca prin relationamente specifice aritmeticii se ajunge la la egalitati cu una sau mai multe necunoscute, adica la ecuatii si sisteme de ecuatii. In aceste situatii calculele se pot face cu mitivarea algebrica, pe baza proprietatilor ecuatiilor sau cu motivarea aritmetica, pe baza relatiilor dintre termenii unei operatii si rezultatul ei.

Exemplu: In unele probleme tipice, mai ales in cele care se rozolva prin metoda mersului invers, precum si in cele de aliaj, densitate, amestec, concentratii. Metoda algebrica se poate aplica si in ploblemele de aflare a doua numere cunoscand suma si diferenta lor, sau in cele care se rezolva prin metoda comparatiei.

Metodele aritmetice se clasifica in doua categorii:

– Metode fundamentale sau generale;

II. – Metode speciale sau particulare.

Metode generale sau fundamentale se plaica in rezolvarea tuturor problemelor. Aceasta metoda se bazeaza pe operatiile de analiza si sinteza a gandirii, de aceea se numesc metoda analitica si metoda sintetica.

Metoda analitica. O mare problema rezolvata prin metoda analitica inseamna eaminarea ei in ansamblu, apoi se porneste de la intrebare spe descompunerea ei in probleme simple din care e alcatuita si se ordoneaza aceste probleme simple intr-o succesiune logica astfel incat rezolvarea los sa contribuie la formularea raspunsului pe care il cere intrebarea problemei respective.

Exemplu: In sectia de strungarie a Intreprinderii de Rulmenti Barlad lucreaza doua echipe de strungari care executa cate 25 de rulmenti pe zi, a doua cu 9 strungari care executa cate 30 rulmenti pe zi. Sa se afle valoarea rulmentilor executati intr-o zi de cele doua echipe stiind ca un rulment este evaluat in medie la 60 lei.

Examinarea problemei:

Pentru a calcula valoarea totala a rulmentilor, cunoscand valoarea unui singur rulment, ar trebui sa se stie numarul total al rulmentilor realizati de cele doua echipe.

De aceea este necesar sa se calculeze mai intai numarul rulmentilor executati de prima echipa, apoi numarul rulmentilor realizati de a doua echipa. Numarul rulmentilor executati de o echipa se poate afla utilizand datele problemei, se inmulteste numarul rulmentilor realizati de un strungar cu numarul lor din echipa.

Folosind metoda analitica elevii pot realiza urmatoarea schema:

Figura pag 56

Planul de rezolvare a problemei cuprinde detaliile stabilite analitic sub forma unopr enunturi de probleme simple descompuse din problema enuntata:

Se calculeaza numarul de rulmenti realizati de echipa I

8 * 25 rulmenti = 200 rulmenti

Se calculeaza numarul de rulmenti realizati de echipa a doua:

9 * 30 rulmenti = 270 rulmenti

Se afla numarul total de rulmenti realizati de cele doua echipe:

200 rulmenti + 270 rulmenti = 470 rulmenti

Se calculeaza valoarea rulmentilor executati:

60 lei * 470 = 28.200 lei.

b. Metoda sintetica. Examinarea unei probleme prin metoda sintetica inseamna sa orientam gandirea elevilor asupra datelor problemei, sa grupam aceste date dupa relatiile dintre ele, in asa fel incat cu aceste date sa se formeze toate problemele simple posibile asezate intr-o succesiune logica sa conduca la acea problema simpla a carei intrebare este identica cu prolema respectiva.

Exemplu: Problema enuntata mai sus se examineaza prin metoda sintetica astfel:

Cunoscand numarul strungarilordin prima echipa si numarul rulmentilor executati de fiecare, se afla numarul rulmentilor realizati la intreaga echipa.

Pentru echipa a II-a se formuleaza la fel.

Daca se afla cati rulmenti au fost executati de prima echipa si cati de a doua, atunci se poate afla numarul total de rulmenti realizati de cele doua echipe.

Cunoscand numarul total de rulmenti si valoarea unui rulment, se poate afla valoarea lor totala.

Folosind metoda sintetica se poate realiza urmatoarea schema:

Figura pag 57

„In legatura cu cele doua metode generale de examinare a unei probleme, se mentioneaza faptul ca procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic, intrucat cele doua operatii ale gandirii s gasesc intr-o stransa conexiune si independenta, ele conditionandu-se reciproc si realizandu-se intr-o unitate inseparabila. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea in mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, in examinarea unei probleme intervenind ambele operatii cu laturi separate ale procesului unitar de gandire, insa in anumite momente sau situatii una din ele devine dominanta.

Descompunerea unei probleme compuse in probleme simple, constituie in esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteza. Din aceasta cauza, cele doua metode apar sub o formulare unica: metoda analitica este identic cu cel stabilit prin metoda sintetica, problemle simple si succesiunea lor fiind aceleasi. Doar in cazul metodei sintetice planul de rezolvare reda sub forma mao concisa desfasurarea procesului de examinare a prolemei. Intre ele exista o singura deosebire si anume punctele de plecare a rationamentului.

Prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei, iar prin metoda sintezei se pleaca de la datele problemei spre gandirea solutiei ei. Metoda sintezei este mai accesibila scolarilor mici, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor. Metoda analitica este mai dificila, dar solicita mai mult gandirea si ii ajuta pe elevi sa priveasca problema in totalitatea ei, au tot timpul in atentie intrebarea problemei.

II. Metodele speciale sau particulare:

Metoda figurativa sau grafica.

Metoda care pentru reprezentarea marimilor din problema si a relatiilor dintre ele utilizeaza elemente grafice sau desene si scheme se numeste metoda figurativa. Pentru a aplica aceasta metoda se foloseste orice categorie de elemente grafice sau combinatii ale acestora cu conditia ca ele sa fie adecvate naturii datelor problemei si specificului lor.

Pentru a reprezenta grafic o problema se pot folosi:

–desene diferite care sugereaza actiunea problemei si partile ei componente;

–diferite figuri geometrice: cercul, dreptunghiul, triunghiul, patratul, segmente de dreapta;

– reprezentari schematie care sugereaza relatiile matematice dintre datele problemei;

– diferite semne conventionale care sunt stabilite de invatator sau elevi;

– litere sau combinatii de litere;

– elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc.

Datorita avantajelor pe care le are, metoda figurativa se situeaza pe primul loc in ceea ce priveste folosirea ei.

Astfel:

are caracter general, deoarece se aplica la orice categorie de probleme in care se preteaza figurarea si pe diferitele trepte ale scolaritatii;

are caracter intuitiv, intelegerea relatiilor dintre datele problemei se face pe baza unor imagini vizuale, uneori intervine miscarea si transpunerea acesteia pe plan mintal.

Prin dimensiunile elementelor figurative si prin proportiile dintre ele se creeaza modatitati vatiate de stabilire a relatiilor cantitative dintre diferitele valori ale marimilor, se sugereaza aceste relatii, se pun in evidenta.

Metoda comparatiei. Comparatiea ca operatie a gandirii logice intervine i multe momente si situatii ale activitatiimatematice, dar in mod deosebit in problemele in care doua marimi necunoscute se unt legate intre ele prin doua relatii bine precizate, valorile unitare fiind aceleasi. Algebric, aceste relatii se traduc sub forma unui sistem de doua ecuatii e gradul I cu doua necunoscute. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia din marimi prin reducere, adica prin adunare sau scadere, fiind analog cu cel algebric. Daca din enuntul problemei, reucerea este imediata prin scadere, fiind analog cu cel algebric. Daca valorile aceleiasi marimi sunt egale prin enuntul problemei, reducerea este imediata prin scaderea relatiilor respective. Daca din enuntul problemei nu rezulta valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la acelasi termen de comparatie.

Medota ipotezelor este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri. Din aceasta categorie fac parte foarte multe probleme. Toate problemele ale carei date sunt marimi proportionale pot fi rezolvate prin metoda falsei ipoteze.

Aceasta metoda consta ca presupunerea pleaca de la intrebarea problemei. Marimea pe care o cautam o aflam prontr-o presupunere complet arbitrara. Se reface problema pe baza presupunerii facute. Refacand problema ajungem la un rezultat care difera de cel din problema. Este ori mai mare, ori mai mic decat acesta. Rezultatul obtinut se compara pe baza presupunerii cu cel real, si observam de cate ori am gresit cand am facut presupunerea. Aces rezultat va fi micsorat sau marit de acest numar de ori.

d. Metoda mersului invers (metoda retrograda).

Folosind aceasta metoda se rezolva aritmetic anumite probleme in care elementul necunoscut apare in faza de inceput a sirului de calcule ce rezulta din enuntul problemei. Se numeste a mersului invers pentru ca operatiile se reconstituie in sens invers actiunii problemei, adica de la sfarsit spre inceput, fiecarei operatii ii corespunde inversa ei. Aceasta metoda se aplica atat in rezolvarea exercitiilor numerice care contin un element necunoscut, cat si in rezolvarea problemelor care se incadreaza in tipul acesta.

In afara metodelor mentionate mai sus, exista si alte metode speciale aplicabile in rezolvarea unor anumite categorii de proleme, cum sunt:

metoda reducerii la unitate;

metoda proportiilor;

impartirea in parti proportionale;

probleme cu procente, de amestec, concentratii si aliaj;

probleme de medii

probleme de miscare

Introducerea notiunii de problema matematica, formartea deprinderilor de rezolvare si compunere de probleme presupun proiectarea si desfasurarea unor demersuri metodice meticuloase esalonate si de durata.

Inca din clasa I in perioada rezolvarilor orale, prontr-o analiza detaliata a cotinutului problemelir, pe baza dialogului dirijat, imi indrum elevii sa observe si sa-si insuseasca urmatoarele adevaruri: orice problema presupune un enunt; enuntul contine una sau mai multe propozitii; enuntul ne ofera marimi (numere) numite date ale problemei;intre datele problemei (marimi cuoscute ) se pot stabili relatii matematice; relatiile matematice dintre date se pot exprima prin operatii matematice; orice problema are cel putin o intrebare; rezolvarea problemei inseamna gasirea raspunsului la intrebare; raspunsul la intrebarea problemei se poate afla prin efectuarea uneia sau mai multor operatii matematice; uneori problemele se pot rezolva prin mai multe metode.

In scopul cunoasterii acestor adevaruri, este necesar ca elevului sa i se puna frecvent intrebari de precizare: Care este enuntul problemei? Care sunt datele problemei? Care este intrebarea problemei? Prin ce operatii se rezolva problema? (simpla).

De ce am ales aceasta operatie? Care este rezultatul problemei? Cand problema poate fi considerata rezolvata? Precizarea elementelor mentionate se monteaza in momentul utilizarii enuntului scris. Ea va fi precedata de exersarea scrierii de litere, cuvinte, propozitii pe caietul de matematica. Este creat prilejul de a se insusi modul de asezare in pagina a enuntului si a rezolvarii. Nu se va ignora delimitarea alineatuluisi scrierea intrebarii cu alineat. Se exerseaza scrierea problemei in date si reproducerea enuntului pe baza notarii schematice.

Simbolistica rezumarii trebuie sa fie clara, elevii vor fi invatati cum se prescurteaza corect.

Rezolvarea de probleme simple nu ridica dificultati deosebite. In general la clasa I aceste probleme sunt structurate pe una din urmatoarele situatii matematice: aflarea diferentei (mai mult sau mai putin, mai lung sau mai scurt); marirea cu „n” unitati, micsorarea cu „n” unitati; completarea cu „n” unitati (aflarea unui termen al adunarii); precizarea marimii initiale (descazut) in functie de marimea separata (scazator) si rezultat (rest).

Valoarea formativa a rezolvarilor de probleme sporeste pentru ca o astfel de activitate este superioara altor demersuri matematice, elevii sunt pusi in situatia de a descoperi ei insusi modalitatea de rezolvare, sa formuleze ipoteze, sa le verifice, sa faca asociatii de idei si corelatii inedite.

Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita inteligenta, de aceea programa de matematica de la clasa I-IV acorda problemelor o foarte mare atentie.

Rezolvarea problemelor simple primii pasi in directia cultivarii flexibilitatii si fluentei gandirii. Elevii ajung sa opereze in mod real cu numere, sa faca operatii de descompunere si compunere, sa foloseasca strategii mintale.

Exemple:

Problema 1: Mama a cumparat: 3 kg de rosii si 5 kg de ardei. Cate kilograme de legume a cumparat in total?

Problema 2: Sorin a citit dintr-o carte 9 pagini. Tatal lui na citit de 6 ori mai multe pagini. Cate pagini a citit tata?

Problema 3: Un caiet si un creion costa 7 lei. Creionul costa 2 lei. Cat costa caietul?

Problema 4: Sapte muncitori sapa un sant lung de 42 m. Cati metri va sapa un muncitor?

Rezolvarea problemelor compuse nu ne reduce numai la rezolvarea succesiva a mai multor probleme simple, ci mai important este legatura dintre verigi, construirea rationamentului. Este necesar sa fie o perioada de tranzitie, de la rezolvarea problemelor simple (cu o operatie) la rezolvarea problemelor compuse cu doua sau mai multe operatii.

Exemplu:

Maria si Victor sunt de curand pioneri. Maria a adus la angajamentul de munca patriotica 4 kg de maculatura si Victor 3 kg. Cate kilograme au adus impreuna?

(4 kg + 3 kg = 7 kg )

In continuare problema poate fi continuata:

Vasile aduce si el 2 kg. Cate kilograme au adus cei trei pioneri?

(7 kg + 2 kg = 9 kg )

Vom spune problema in intregime:

Maria, Victor si Vasile sunt de curand pionieri. Maria a adus la angajamentul de munca patriotica 4 kg de maculatura ,Victor 3 kg si Vasile 2 kg. Cate kilograme au adus cei trei pionieri?

Problema se rezolva pe secvente (judecati si operatii separate).

Cate kilograme au adus Maria si Victor ?

4 kg + 3 kg = 7 kg

Cate kilograme au adus in total cei trei pionieri?

7 kg + 2 kg = 9 kg ceea ce in esenta se exprima prin relatia: a + b + c.

In clasa I, planul problemei se intocmeste oral, aceeasi metoda se foloseste si in clasa a II-a, in unele situatii planul oral si cel scris se foloseste in egala masura.

Planul problemei trebuie scris de invatator la tabla, iar elevii pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, aceasta pentru ca elevii sa-si formeze deprinderi de a formula intrebari si a rezolva si alte probleme. La clasele a III-a si a IV-a elevii sunt capabili, datorita deprinderilor de scriere formate sa treaca la scrierea planului cu usurinta. Planul de cele mai multe ori este format sub forma de intrebari.

Exemplu:

La o librarie s-au vandut intr-o zi 126 de caiete, a doua zi de 4 ori mai multe, iar a treia zi de 3 ori mai putine decat in primele doua zile. Cate caiete s-au vandut in total?

126 … de 4 ori mai multe … de trei ori mai putine … ? caiete.

1. Cate caiete s-au vandut a doua zi?

126 * 4 = 504 (caiete)

2. cate caiete s-au vandut in cele doua zile?

126 + 504 = 630 (caiete)

3. Cate caiete s-au vandut in a treia zi?

630 : 3 = 210 (caiete)

4. Cate caiete s-au vandut in total?

126 + 504 + 210 = 840 caiete.

Raspuns = 840 caiete.

Daca elevii formuleaza un astfel de plan sunt solicitati sa raspunda imediat, prin efectuarea operatiei, fiecarei intrebari din plan si in felul acesta se evita greselile sau confuziile de itrebari si operatii.

De retinut este ca, indiferent de natura problemei sa se tina cont de anumiti pasi care trebuie respectati pentru ca elevii sa se obisnuiasca cu tehnica rezolvarii problemelor. Acestia ar fi:

Intelegerea deplina a continutului problemei;

recunoasterea clara a relatiilor matematice din problema;

Asezarea problemei;

Formulare raspunsului.

Invatatorul trebuie sa acorde o atentie deosebita problemelor ce admit mai multe metode de rezolvare. Acestea pentru ca se cultiva mobilitatea gandirii, creativitatea, se formeaza simtul estetic al scolarilor (prin eleganta, organizarea modului de rezolvare, economicitatea si simplitatea rezolvarii).

Dezvoltarea si formarea priceperilor de a gasi procedee noi de rezolvare duce la o adevarata gimnastica a mintii se educa atentia, spiritul de investigatie si perspicacitate a elevilor.

Maiestria pedagogica consta in aceea ca au cu ajutorul intrebarilor invatatorului determina pe elevi sa gaseasca si alte modalitati de rezolvare.

Pentru a demonstra capacitatea creatoare si caracterul realist al gandirii unor elevi am ales ca exemple continutul urmatoarelor probleme:

Problema 1

Sorin a platit pentru o excursie 265 lei. De la mama a primit 67 lei, de la bunica 54 lei, iar restul l-a pus din economiile lui. Ce suma a folosit din economiile lui?

La aceasta problema elevii au gasit 2 solutii:

-I solutie: 265 lei – 67 lei = 198 lei

198 lei – 54 lei = 144 lei

-II solutie: 67 lei + 54 lei = 121 lei

265 lei – 121 lei = 144 lei

Aceaste modalitati de rezolvare se pot exprima in urmatoarele formule: a – b – c sau a – (b + c) .

Problema 2

Se prezinta elevilor urmatorul model matematic:

a + b = 50 kg.

b + c = 75 kg.

a + c = 65 kg.

Elevii compun urmatoarea problema:

Doi copii strang intr-o zi 50 kg de mere, a doua zi, al doilea copil cu al treilea copil strang 75 kg de mere, iar a treia zi primul copil si al treilea copil strang 65 kg de mere.

Cate kilograme de mere a strans fiecare copil?

Elevii sunt indrumati sa observe primele doua numere si sa raspunda la intrebarea: cu cate kilograme este mai mare suma lui b + c decat suma lui a + b ? ( se gaseste diferenta de 25 kg). De unde provine aceasta diferenta daca (b) este comun si in prima si in a doua operatie?

Elevii gasesc ca (c) a strans mai mult ca (a) cu 25 kg. In continuare copiii sunt indrumati sa observe. Si a treia suma: a + c = 65 kg. Ce se intampla daca din 65 kg se scad 25 kg? Cu cat (c) strange mai mult ca (a) ? Elevii descopera ca in operatia a treia a ramas de 2 ori cat a strans (a) , adica (2a).

Ajunsi aici, elevii rezolva cu usurinta prolema:

75 – 50 = 25

65 – 25 = 40

2 a = 40 a = 40 : 2 a = 20

I-ul copil a strans 20 kg mere; al doilea copil a strans 30 kg mere si al III-lea copil a strans 45 kg mere.

Unii elevi gasesc si a douya solutie care consta in aflarea cantitatii recoltata de cei trei copii:

2 a + 2 b + 2 c = 50 kg + 75 kg + 65 kg

a + b + c = 190 kg : 2

a + b + c = 95 kg.

De aici rezulta ca a = 95 kg – 75 kg a = 20 kg;

b = 95 kg – 65 kg = 30 kg

c = 95 kg – 50 kg = 45 kg.

Se poate cere elevilor sa gaseasca alte doua solutii cu calcularea lui (c) prima data sau calcularea lui (b) prima data. Rezolvarea acestui gen de probleme, presupune fluienta asociativa si mai ales flexibilitate si capacitate de redefinire.

Problema 3

Intr-o familie mama si tata castiga impreuna 5800 lei. Fiul castiga cu 1200 lei mai putin decat tatal si cu 800 mai putin decat mama. Cat castiga lunar fiecare?

S-au facut urmatoarele notatii:

a + b = 5800

b + c = 1200

a – c = 800

La aceasta problema elevii au gasit 3 modalitati de rezolvare:

I-a solutie: Din relatia a II-a si a III-a s-a dedus diferenta dintre 1200 si 800 determinata de (b) cu 400 ca (a). La suma de 5800 s-a adaugat 400 lei si s-a obtinut valoarea lui (2b).

5800 + 400 = 6200 2b

b = 6200 : 2 b=3100 lei

a = 5800 – 3100 a = 2700 lei

c = 3100 – 1200 c = 1900 lei

La a II-a solutie rezolvarea consta din aflarea valorii salarului maimei prin scaderea de 400 lei din suma de 5800 care da valoarea a 2 a= 5400 a = 2700.

A treia solutie a fost gasita de un numar restrans de elevi.

Gasire unei a treia solutii la rezolvarea unei probleme demonstreaza cresterea operativitatii mintale si cresterii artei de a testa ipotezele in rezolvarea problemelor. Rezolvarea problemelor a fost simpla dar ingenioasa si de aceasta inseamna creativitate.

Judecata problemei in aceasta ultima solutie a decurs astfel:

Daca tatal castiga cu 1200 lei mai mult decat fiul si mama cu 800 lei, din castigul lor scazand aceste sume a rezultat ca si tatal si mama sa primeasca cat castiga fiul.

1200 + 800 = 2000 lei

5800 – 2000 = 3800 lei

3800 : 2 = 1900 lei castiga fiul

1900 + 1200 = 3100 lei castiga tatal

1900 + 800 = 2700 lei castiga mama.

Daca la clasa I si a II-a incercam o gradare a efortului si un inceput de simbolizare literala, exercitiul problema de mai sus, la clasa a III-a si a IV-a nu mai prezinta dificultati ci contribuie eficient la fluiditatea si flexibilitatea gandirii operationale concrete si abstracte a elevilor, la formarea unor structuri economicoase, dar cu putere efectiva.

Tot pentru dezvoltarea creativitatea gandirii matematice se mai folosesc in rezolvarea si compunerea de probleme modelele matematice.

Exemplu : (125 – 83) * 6 si respectiv (125*6) – (83*6)

Elevii primesc ca sarcina sa compuna independent dupa modelul de mai sus si sa rezolve probleme in cat mai multe solutii. Recurg din nou la un exemplu creat de copii:

La o librarie s-au adus 125 de carti. Stiind ca s-au vandut 83 de carti si ca o carte costa 6 lei, sa se afle cat valoreaza cartile ramase.

Si la aceasta problema elevii au gasit mai multe solutii:

Prima ecuatie: Costul cartilor aduse 125*6 =750 lei

Costul cartilor vandute 83*6 = 498 lei

Valoarea cartilor ramsae 750 – 498 = 252 lei

A doua solutie:

Numarul de carti ramase: 125 – 83 = 42 carti

Valoarea cartilor ramase: 42*6 = 252 lei

Elevii au gasit si o formula literala :

(a – b)*c si respectiv (a*c) – (b*c)

Elaborarea modelului pune elevul in situatia sa inteleaga structura logica a continutului problemei, isi exercita gandirea divergenta, creatoare, ca si abilitatile de compuneri de probleme.

Problemele care se rezolva dupa un plan necesita si folosirea schemelor, desenelor,graficelor si pentru a forma o gandire sintetica se pot folosi formule numerice sau literale.

Practica a demonstrat ca intr-o ora de matematica este corect sa se rezolve doar 2-3 probleme care sa fie corect judecate care s-au rezolvat prin diferite cai posibile de rezolvare, s-au folosit scheme, formule numerice si literale, s-au compus probleme asemanatoare pornind de la exercitiu si formula, decat daca s-au rezolvat superficial mai multe probleme fara sa se respecte cerintele amintite.

Activizarea si stimularea elevilor prin compunerea de probleme

Sub raportul formativ, predarea matematicii in scoala de cultura generala urmareste formarea la elevi, o data u dezvoltarea gandirii lor matematice, a unor priceperi si deprinderi intelectuale specifice acestui obiect. Printre acestea, importante sunt:

priceperea de a rezolva probleme;

priceperea de a alcatui in mod independent probleme.

Compunerea de probleme la clasele I- IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru a forma la elevi disponibilitati pentru o viitoare munca de cercetare, pentru o viitoare activitate de creatie (inovatie, inventie) , o modalitate sigura de sporire a rolului formativ al invatatorului matematic in stransa legatura cu celelalte discipline de invatamant.

Priceperea de a alcatui probleme in mod independent este o activitate intelectuala deosebit de complexa, care presupune o anumita orientare a operatiilor logice in scopul formularii verbale corecte a problemelor. Se stie ca in enuntul oricarei probleme intalnim in mod obligatoriu trei elemente: datele, conditia si cerinta problemei. Intre acestee elemente fiind raporturi de interdependenta, ele se cer sa fie temeinic intelese in cazul rezolvarii si stabilite in cazul compunerii problemelor. In spiritul acestor consideratii putem aprecia ca o problema „compusa”de elevi este corecta numai in cazul cand ea contine cele trei elemente, cand acestea sunt corect si clar formulate verbal si cand intre ele au fost corect stabilite raporturile. In orice alta situatie, enuntul problemei trebuie apreciat ca fiind gresit.

M. Boros si F. Fornvald arata ca principalele greseli pe care le comit elevii care au sarcina sa compuna probleme sunt:

Lipsa de corelatie dintre conditie si cerinta. Cerinta nu deriva din conditie.

Problema compusa este incompleta, lipsind din structura ei cerinta.

Conditia este insuficienta pentru cerinta formulata in problema.

Conditia este rodundanta. Contine elemente superflue.

Datele aritmetice ale problemei sunt neconforme cu realitatea.

Solutia pe care o implica cerinta este data in conditie.

Se pot compune si crea probleme avand urmatoarele forme:

Probleme actiune sau punere in scena. Aceasta forma o intalnim frecvent la clasa I. Ele se desfasoara sub forma de joc si ii familiarizeaza pe elevi cu viata inconjuratoare, deoarece in desfasurarea lor cuprind sarcini didactice care contribuie la exersarea deprinderilor de a socoti, de a rationa si la valorificarea creatoare a cunostintelor asimilate.

Compuneri de probleme dupa tablouri si imagini.

Se poate concepe un panou sub denumirea de „Probleme ilustrate” unde sunt prezentate diferite imagini care sugereaza alcatuirea problemei. Aceasta forma este folosita cu precadere la clasele I si a II-a. La inceput elevii vor fi dirijati sa alcatuiasca probleme simple, apoi etapa de etapa, in mod gradat elevii vor ajunge sa compuna texte complexe.

Probleme cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate. Se cere elevilor sa alcatuiasca probleme cu o operatie (Exemplu: 6*9 = ; 426 : 3 = )

Compuneri de probleme dupa un plan dat.

Elevii sunt solicitati sa alcatuiasca o problema dupa un plan de rezolvare. Vor crea o problema a carei rezolvare sa coincida cu planul dat. datele prezenate vor fi prelucrate de creator de copii.

Compuneri de probleme cu mai multe intrebari posibile.

Dupa ce elevii au formulat o problema li se da ca sarcina sa se gaseasca mai multe intrebari. (Intrebarile vor coincide cu plannul de rezolvare).

Compuneri de probleme cu marimi date, cu valori numerice date: se dau diferite numere, se indica un domeniu oarecare (industrie, agricultura, comert, transporturi) si se cere elevilor sa se alcatuiasca diferite probleme.

Compuneri de probleme cu un inceput dat, cu sprijin de limbaj: se cere alcatuirea unei probleme in care sa fie incluse expresiile : s-a cumparat s-au dat, restul s-a impartit in mod egal, etc.

Compuneri de probleme dupa un model simbolic: se cere elevilor sa-si aleaga domeniul de preferinta si sa alcatuiasca o problema. Exemplu: a*(b+c) =

Compuneri de probleme dupa exercitii date:

Exemplu : 300 + (300 + 200) + (300 – 50) = ?

In aceasta situatie se impune sa atragem atentia elevilor asupra raportului de dependenta intre datele problemei- raport care necesita introducerea in text a formularilor: mai mult cu 200; mai putin cu 50; ambele raportate la prima marime data – 300.

Compuneri de probleme dupa scheme date:

Figura pag 73

Pornind de la intrebarea principala a problemei care cere:

? = a + b + c, a fiind o marime cunoscuta in problema, iar c si b avand valori raportate la valoarea lui a (de trei ori mai mare si respectiv cu 200 mai mult), lasam deplina independenta elevilor in formularea textului, stabilirea valorii lui a si drezolvarii problemei.

Probleme cu date numerice incomplete prin care urmarim:

Cum elevul stabileste rapoturile matematice, mascate in conditia problemei, daca sesizeaza de la inceput lipsa din enuntul problemei a unor date fara de care problema nu poate fi corect rezolvata, sau constata pe parcursul incercarilor gresite ca problema este incompleta, sau nu sesizeaza de loc acest lucru, efectuand operatiile aritmetice cu datele existente, fara a se verifica daca prin oeratiile efectuate se obtine raspunsul la cerinta problemei.

Probleme fara intrebare, in care nu se formuleaza nici direct, nici indirect cerinte, care decurge in mod logic din enuntul ei, in acest caz urmarim daca scolarul mic poate formula corect cerinta problemei. In cazul in care elevul „prinde” relatia dintre datele problemei, va sesiza si cerinta problemei, noi intentionam sa dezvoltam la ei capacitatea de a face o analiza critica a enuntului problemei, care conditioneaza rezolvarea corecta a acesteia.

Probleme cu date redundante, care solicita din partea elevilor o alegere corecta a doua date din trei.

Prezenta unei date de prisos creaza posibilitatea de a stabili in mod gresit raportul dintre datele problemei, „o sinteza gresita”. Aceste probleme le folosin cu scopul de a cultiva la scolarii mici particularitatile gandirii creatoare si critice, care se exprima prin: sesizarea datelor numerice de prisos odata ce elevul se familiarizeaza cu continutul problemei, preintampinandu-si calculele gresite cu aceste date, sau constatarea greselilor de calcul cu aceste date si eliminarea lor din problema pe calea „incercarilor” nereusite de rezolvare a acestora.

Creatii libere se cere elevilor sa alcatuiasca o problema simpla sau compusa cu sarcini date sau fara sarcini date.

Analize de probleme: unele dintre ele cu mai multe solutii.

Este indicat ca in elaborarea textului unei probleme sa se foloseasca date si expresii reale, mijloace din mediul inconjurator.

Continutul trebuie astfel formulat incat datele sa fie in concordanta cu realitatea, sa se poata stabili intre date relatii matematice corespunzatoare.

Pentru aceasta elevii vor fi ajutati, sugerandu-li-se cadrul in care se desfasoara actiunea.

Aceasta activitate presupune ca invatatorul sa tina seama de posibilitatile elevilor (nivelul lor de pregatire, particularitati individuale), se dau sarcini gradate, trecandu-se treptat de la compunerea libera la cea ingradita de anumite cerinte.

La clasa I compunerile de probleme nu ridica dificultati deosebite. Este indicat ca in urma compunerii sau rezolvarii unei probleme prin adunare, sa se reformuleze probleme, astfel incat operatia scontata sa fie scaderea si invers. Variantele sunt multiple. Acestea ilustreaza ideea ca rezolvarea si compunerea de probleme (chiar simple) se bazeaza preponderent pe cunoasterea relatiilor dintre termenii componenti si operatiilor, pe relatia dintre adunare si scadere, ca operatii antonimice care confera si suport demonstrativ in efectuarea probelor.

Separarea intrebarii de enunt si retinerea ei u claritate este o secventa care se cuvine a fi temeinic structurata.

Practica demonstreaza ca nu putine sunt cazurile cand se pleaca la rezolvarea hazardata a problemei; fara orientarea elevilor spre finalitatea fireasca – aflarea raspunsului la intrebare. O modalitate de eradicare a erorii este descoperirea de catre elevi a intrebarii implicate de enunt (intrebare lacunara).

Valoarea formativa a procedurii poate fi sporita de capacitatea invatamantului de a-i invata pe elevi sa afle o pluritate de solutii, care se pot constitui in tot atatea rationamente, judecati si probleme distincte.

Exemplu :

Cumpar 3 caiete de abecedar si 2 caiete de matematica.

Intrebarile posibile ale acestui enunt, ca sa devina o problema, ar putea fi: „cate caiete am in total ?”, „Cate caiete sunt mai multe si cu cat?”, „Cate caiete de matematica ar fi trebuit sa mai cumpar, pentru ca sa am tot atatea cate sunt de abecedar ?”

Formularea intrebarii este un pas inainte si presupune din partea elevilor o vedere analitica si sintetica asupra intregii probleme, o ipoteza de deliberare privind rationamentul si alegerea operatiei.

Practica didactica recomanda ca valoroasa si propunerea de enunturi cu date lacunare. Procedeul mijloceste intelegerea de catre elevi a adevarului ca, pentru a face posibila rezolvarea unei probleme, este absolut necesar un numar determinat de marimi cunoscute (date) care trebuie sa se coreleze logic si matematic. Obisnuiesc sa argumentez elevilor aceasta situatie prin mai multe exemple de probleme cu enunt eliptic. De exemplu:

Intr-un saculet au fost introduse 100 bile de trei culori: 20 rosii, iar restul galbene si albastre. Cate bile sunt galbene si cate albastre?

Este evident ca modul de formulare a problemei nu ne poate pune in posesia caii de rezolvare.

Cu o dificultate similara privind corlarea datelor in economia riguroasa a unui enunt se pot confrunta elevii si in probleme cu date de prisos.

Modalitatea cea mai usoara de abordare a problemelor compuse este transformarea enuntului unei probleme simple recent rezolvate.

Exemplu :

Pe un raft sunt 3 carti. Pe alt raft sunt 2 carti. Cate carti sunt pe ambele rafturi?

Problema simpla se modifica sub forma unui alt enunt, al carui raspuns la intrebare are alta semnificatie fata de cazul precedent:

Pe un raft sunt 3 carti. Pe alt raft sunt cu 2 carti mai mult. Cate carti sunt pe al doilea raft ?

Problema compusa careia prin transformare i se amplifica gradul de dificultate:

Pe un raft sunt 3 carti. Pe alt raft sunt cu 2 carti mai mult. Cate carti sunt pe ambele rafturi ?

Se poate constata ca rezolvarea complica urmatorul exercitiu:

3 + (3 – 2) sau a + (a – b)

Pe un raft sunt 3 carti. Pe alt raft sunt cu 2 carti mai putine. Cate carti sunt pe ambele rafturi?

Acest procedeu poate continua la alt nivel de numeratie in urmatoarele clase.

Tot in clasa I se poate porni de la alta problema spre exercitiu:

Exemplu :

„Pe o sarma erau 9 randunele. Din ele au zburat 6. Apoi au revenit 2. Cate randunele sunt pe sarma ?” (9 – 6 + 2)

Enuntul poate fi astfel modificat:

„Pe o sarma erau 9 randunele. Din ele au zburat 6 si apoi inca 2. Cate pasarele au ramas?” (9 – (6 + 2) sau 9 – 6 – 2 )

Formula literala: a – (b + c) sau a – b – c .

Procesul creator poate fi stimulat de intrebari si de executarea diferitelor sarcini de natura sa-i determine sa-si incerce puterile si sa caute satisfactia oferita de invingerea dificultatilor.

Exemple:

Un drumet parcurge intr-o ora 8 km. In acelasi timp un biciclist parcurge 20 km.

Puneti intrebarea astfel incat problema sa se rezolve printr-o singura operatie.

Puneti intrebarea si rezolvati problema prin doua operatii.

Raspuns: 12 km; 28 km;

Un detasament de pionieri a colectat intr-o zi 64 borcane. A doua zi a colectat de 8 ori mai putin decat in prima zi, iar a treia zi a colectat de 5 ori mai multe borcane decat in a doua zi. Cate borcane au colectat cele trei grupe ?

(Scrieti rezolvarea sub forma unei expresii numerice).

Solutia : 64 + 64 : 8 + 64 : 8 * 5 = 64 + 8 + 40 = 112 borcane

Din 9 bancnote a 50 lei si 4 bancnote a 100 lei, un muncitor a cumparat 2 perechi de pantofi a 375 lei bucata. Ce rest a primit?

(Scrieti formula literala corespunzatoare rezolvarii ).

Solutie:

9 * 50 + 4 * 100 – 2 * 375 = 450 + 400 – 750 = 850 – 750 = 100 (lei)

Expresia literala: a * b + d * c – n * m

Pentru a forma la elevi o gandire creatoare si a-i inarma cu unele tehnici de munca intelectuala, am plaicat si alte modalitati de exersare si stimulare a gandirii creatoare, prin efort propriu.

Iata unele din acestea:

Formulari de probleme dupa figuri si scheme:

Figura pagina 79

Pe baza acestei figuri elevii au compus probleme.

Exemplu :

La un depozit s-au adus 216 kg de cartofi, iar a doua zi s-au adus cu 36 kg mai mult. Cate kilograme de cartofi s-au adus in total ?

Solutia : 216 + (216 + 36) = 468 kg.

Formula literala: a + (a + b)

Fisa 2.

Compuneti probleme dupa schemele date:

Fig pag 79

Fig pag 79

Elevii au compus urmatoarea problema:

La o C.A.P s-au recoltat de pe un lot in prima zi 406 kg de grau, a doua zi 812 kg iar a treia zi s-a recoltat o cantitate egala cu primele doua zile la un loc.

Ce cantitate de grau s-a recoltat in cele trei zile ?

Solutie: 406 * 2 + 812 * 2 = 2436 (kg)

Vlad are 45 de lei, mama ii mai da 125 lei. El isi plateste o excursie care costa 97 lei. Cu cati lei a ramas Vlad?

45 + 125 = 170 (lei)

170 – 97 = 73 (lei)

Raspuns: 73 (lei).

Figura nr. 3

Figura pagina 80

Dupa aceasta schema elevii au compus problema:

La un depozit sunt 2456 carti. In prima zi s-au distribuit 362 carti, a doua zi cu 67 carti mai multe, iar a treia zi cat primele doua zile la u loc. Cate carti au mai ramas in depozit?

Compuneri de probleme dupa formule

Se cere elevilor sa compuna probleme dupa formulele:

a = 41

b = cu 5 mai mic decat „a „

c = cu 7 mai mare decat „b”

b = 41 – 5 = 36

c = 36 + 7 = 43

a + b + c = 41 + 36 + 43 = 120

a = 81

b = de 9 ori mai mic decat „a”

c de 3 ori mai mult decat „b”

b = 81 : 9 = 9

c = 9 * 3 = 27

a + b +c = 81 + 9 + 27 = 117

Elevii au compus urmatoarele probleme:

O echipa este formata din trei muncitori. Primul muncitor executa 41 piese, al doilea cu 5 piese mai putin, iar al treilea cu 7 piese mai mult decat al doilea.

Cate piese au realizat cei trei muncitori?

Formula : a + (a – b) + (a + b + c)

Raspuns: 220 piese

Trei pionieri fac economii pentru a merge intr-o excursie. Primul a economisit 81 lei, al doilea de 9 ori mai putin, iar al treilea de 3 ori mai mult decat al doilea.

Ce suma au economisit cei trei pionieri ?

Formula : a + a : b + a: b* c

Raspuns: 117 lei

Completarea datelor problemei

Pentru a ilustra aceasta modalitate voi prezenta urmatoarele probleme:

Problema nr.1

Mama pleaca la alimentara cu 97 lei. Ea cumpara alimente de …. lei.Cati lei ii raman ?

Problema nr. 2

s-au cumparat de la ocofetarie …. cutii c bomboane cu 9 lei bucata, si 7 prajituri cu … lei bucata. Ce rest s-a primit de la 2 bancnote de 50 lei ? (Asezati rezolvarea problemei sub forma de exercitiu).

Alcatuiri de probleme dupa exercitii

Dupa ce elevii s-au familiarizat cu limbajul matematic specific operatiilor aritmetice ca urmare a intelegerii relatiei dintre date, text si intrebare, rezolvarea problemelor dobandeste un caracter abstract.

La clasa I problemele pot fi simple sau compuse.

Exemplu:

Compuneti o problema la care sa obtineti rezultatul 80.

In executara acestei sarcini, unii elevi au compus probleme simple,ca de exemplu: Elena are 50 lei, iar sora ei 30 lei. Cati lei au cei doi copii?

Alti copii au complicat problema.

Exemplu:

Intr-un sac erau 60 kg malai, iar in altul 40 kg, din care s-au vandut 20 kg. Cate kilograme de malai au ramas?

Citeste sub forma de problema urmatoarele exercitii:

52 + 7 = a; 88 – a = 84; a + 30 = 90 etc.

Compune o problema care sa se rezolve dupa exercitiul :

63 + 4 – 7 =

La clasa a II-a se pot cere elevilor alcatuiri de probleme dupa exercitii care contin cele patru operatii invatate:

Exemplu:

cititi sub forma de problema, apoi rezolvati:

a * 7 = 49; 4 * a = 36; 21 + a = 7; a : 4 = 5 .

Compune o problema, care sa se rezolve dupa exercitiul:

(3 * 8) m + (6 * 4)m =

Compuneti o problema a carei rezolvare sa se exprime sub forma:

4*(3 + 4 + 2)

Gasiti o alta cale de rezolvare.

Scrieti noua formula numerica.

In cazul problemelor cu mai multe operatii la clasele III-IV, exercitiul devine mai complex, in raport cu gradul de dificultate al problemelor din manualele acestor clase.

Spre exemplificarea celor relatate voi prezenta cate un caz de problema la clasele

III-IV

La clasa a III-a:

Exercitiu: (880:8) + (900:10) + (486:6) = A

Text creat:

La un aprozar s-au vandut mere de 880 lei cu 8 lei kilogramul, capsuni de 900 de lei cu 10 lei kilogramul. Ce cantitate de fructe s-a vandut ?

Formula literala: (a : b) + (c : d) +(m : n)

La clasa a IV-a

Exercitiu : 1536 – (1536 : 4) – (1536 : 8 * 5) = A

Text creat:

La C.A.P.Tutova – jud. Vaslui, s-au recoltat de pe o tarla 1536 tone de sfecla. Cantitatea a fost transportata la fabrica de zahar din comuna Falciu in 3 zile dupa cum urmeaza: in prima zi ¼ din intreaga cantitate, iar a doua zi 5/8 din intreaga cantitate.

Cate tone de sfecla s-u transportat in a treia zi?

Crearea de texte dupa un exercitiu dat este o forma superioara a meditatiei intelectuale. Aceasta sarcina din punct de verdere logic consta in inversarea caii clasice de rezolvare a problemelor, iar din punct de vedere intelectual ca cerinta a deprinderii elevilor de a aplica cunostintele matematice dobandite in viata practica prin crearea de texte, care sa ilustreze din punct de vedere gramatical cat si matematic; sa imbogateasca vocabularul lor matematic si a vocabularului in general, sa contribuie la ####### continua a volumului lor de cunostinte, de corelarea lor si de folosirea cunostintelor in practica, in expunerea problemelor elevii sa scoata in evidenta atat datele, cat mai ales, relatiile dintre ele, intrebarea problemei etc.

In concluzie :

1) Este necesar ca in predare invatatorul sa-si propuna in mod explicit aceasta sarcina si sa foloseasca in realizarea ei un sistem adecvat de exercitii, pornind de la constientizarea partilor partilor principale ale unei probleme.

2) In cadrul preocuparilor in vederea formarii priceperii de a compune problema, atentia invatatorului trebuie sa fie orientata initial spre formarea la elevi a priceperii de a formula enuntul unei probleme, element prim si esential.

3) Priceperea de „compunere” a problemelor influenteaza pozivit insasi rezolvarea acestora.

4. Evaluarea in spiritul dezvoltarii creativitatii elevilor

Fiecare lectie de matematica – considerata ca o unitate din ansamblul inregului sistem de cunostinte matematice prevazute de programe – necesita o evaluare permanenta a randamentului scolar, pentru a cunoaste nivelul real de cunostinte si deprinderi operationale ale elevilor. In pedagogia tarditionala, evaluarea era un proces insuficient pus in lumina. Era considerata o activitate colaterala. In prezent, se considera ca evaluarea face parte dintre comportamentele fundamentale ale invatatorului. Rolul evaluarii a fost pus in evidenta de cibernetica – disciplina care a aratat valoarea informatei invere pentru inaintarea corecta intr-un anumit domeniu. Cercetarile au aratat ca fara cunoasterea corecta a rezultatelor nu este posibil progresul real nici in invatare.

Ion T. Radu arata ca: „Experienta de pana acum permite conturarea a trei forme de evaluare, dupa modul de integrare a lor in desfasurarea procesului didactic:

Evaluarea initiala;

Evaluarea cumulativa (sumativa)

Evaluarea continua (formativa)”

Prima dintre acestea, evaluarea initiala se efectueaza in contextul adoptarii unui program de instruire si este menita sa stabileasca nivelul de pregatire al elevilor la inceputul acestei activitati, conditiile in care acestia se pot integra in programul pregatit, ea considera chiar una din premisele conceperii programului de instruire.

Cunoasterea capacitatii de invatare a elevilor, a nivelului de pregatire de la care pornesc si a gradului in care stapanesc cunostintele si abilitatile necesare asimilarii continutului etapei care urmeaza, constituie o conditie hotaratoare pentru reusita activitatii didactice. Aceasta relatie apare pregnant in situatii in care invatatorul incepe activitatea cu elevi al caror potential de invatare nu-l cunoaste, la inceputul unui ciclu de invatamant sau chiar al unui an scolar.

Performantele elevilor in perioada precedenta reprezinta primele informatii referitoare la capacitatea lor generala de invatare. Pentru completarea acestora, insa, si mai ales, pentru cunoasterea faptului daca elevii stapanesc acele cunostinte si abilitati necesare intelegerii continutului programului care urmeaza, este utila evaluarea acestoraprin examinari orale dar, mai cu seama, prin probe scrise. Aceste probe realizeaza un diagnostic al pregatirii elevollor in domeniile pe care continutul lor le verifica si totodata indeplinesc o functie prdicativa, indicand conditiile in care levii vor putea asimila continuturile noului program de instruire. Datele obtinute prin evaluarile de aceasta natura ajuta la conturarea activitatii urmatoare in cel putin 3 directii:

Modul adecvat de predare-invatare a noului continut;

Aprecierea oportunitatii organizarii unui program de recuperare a unor elevi.

Evaluarea cumulativa (sumativa )este realizata prin verificari partiale pe parcursul programului si o estimare globala, de bilant, a rezultatelor pe perioade lungi, in general corespunzatoare trimestrelor scolare sau anului scolar. Ea realizeazaun sondaj atat in ceea ce-i priveste pe elevi cat si materia a carei insursire este supusa verificarii; datorita acestui fapt, ea nu poate oferi informatii compete cu privire la masura in care toti subiectii cunosc continutul ce trebuie asimilat. Apoi, evaluarea realizata nu insoteste procesul didactic, secventa cu secventa, si, in consecinta, nu permite ameliorarea lui decat dupa perioade relativ indelungate si, de regula, pentru seriile viitoare de elevi.

Evaluarea continua, formativa se efectueaza prin masurarea si aprecierea rezultatelor pe parcursul unui program, din domeniul inceperii lui pana cand se incheie „Evaluarea formativa se prezinta ca o preocupare continua a tuturor celor angajati in activitatea evaluata de a recepta efectele actiunii (feed-back). Daca programele nu sunt cele scontate, se stabileste un diagnostic, precizandu-se neajunsurile si dificultatile, pentru a se opera remediile necesare. Prin urmanre, evaluarea formativa este impliciti aplicata in proces si vizeaza sesizarea la timp a unor defectiuni si aplicarea masurilor de corectare necesare.”

Evaluarea continua se distinge prin doua trasaturi principale:

ritmul mult mai alert al activitatilor de evaluare, frecventa mult mai mare a verificarilor si aprecierilor pe parcursul unei perioade;

scurtarea considerabila a intervalului dintre „evaluare” si „modificari”, „ameliorari” aduse actuolui pedagogic. Ea se realizeaza concomitentcu procesul insusi.

Conditiile care favorizeaza procesul de evaluare si imbunatatirea rezultatului sunt:

stabilirea tehnicilor de masura pe temeiul obiectivelor pedagogice, astfel incat evaluarea sa fie in stricta concordanta cu scopurile urmarite.

Integrarea actului evaluarii in activitatea didactica, astfel incat masurarea si aprecierea sa intervina in timp, informandu-i pe cei angajati in aceasta activitate despre succesiunea etapelor si conditiile desfasurarii lor. Privita din acest punct de vedere evaluarea traditionala, finala, poate satisface prima conditie, dar nu o realizeaza pe a doua. Ea raspunde mai mult cerintei de a cunoaste rezultatele totale ale unei activitati decat sa ofere informatii utile pentru desfasurarea procesului in viitor. In schimb, evaluarea secventa cu secventa, desi se raporteaza la obiective mai limitate si acopera un continut mai restrans, permit un diagnostic mai aprofundat al actului incheiat si imbunatatirea lui.

In cazul evaluarii cumulative se obtin informatii referitoare la o estimare globala. De aceea evaluarea cumulativa poate fi efectuata, atat de invatator cat si de persoane din afara programului: cercetatori, organizatori de invatamant, factori de control, in general foruri ierarhice. In schimb, evaluarea continua, fiind integrata efectiv in desfasurarea procesului, este realizata, de regula, de catre conducatorul aestui proces. Reprezentand un arbitru al celor ce participa la activitatea estimata.

„Aplicarea modelului de evaluare continua este ceruta si de caracteristicile activitatii de invatamant care se prezinta, in principal, ca un proces de comunicare. Activitatea de invatamant este conceputa ca o organizare a unei comunicari, a unui schimb intre personalitatea celui care „invata”, „asculta”, „primeste” si a celui care „organizeaza”,”transmite”,”preda”, oricare ar fi limbajul folosit pentru denumirea acestor procese. ”

Procesul de comunicare nu se desfasoara in sens unic, si presupune o intoarcere la emitator, care deduce pentru etapa urmatoare a procesului conditiile unei comunicari optime.

Modalitati de ameliorare a tehnicilor actuale de evaluare a randamentului scolar:

Evaluarea asimilarii si aplicarii cunostintelor nu numai prin reproducere, ci si prin procedee de descoperire si problematizare;

Sa se aprecieze activitatea pe intreg parcursul scolarizarii si nu numai periodic (sevcvential);

Probele orale sa conste nu numai din raspunsuri la intrebari, ci si din rezulame, scheme la tabla, stabilirea unor comparatii, expuneri in fata clasei etc.

Probele scrise sa aiba si ele un continut variat; probe de cunostinte (de memorare), probe de agerime si rapiditate, de aptitudini;

Evaluarea randamentului scolar sa se faca si cu alutorul testelor de constatare a aptitudinilor, abilitatilor etc.;

Rezultatele sa se prelucreze si sa se interpreteze prin metode matematice si statistice moderne.

Educatorul „din scolile noastre evalueaza mult”. El este obligat sa o faca, cel putin din trei motive: in primul rand, in numele acestui principiu care cere feed-back-ul; in al doilea rand, ca necesitate de a-l prezenta societatii pe absolvent insotit de o eticheta privind gradul sau de pregatire. Si in sfarsit pentru ca nota devine in mana cadrului didactic un instrument de constrangere si un substitut extern al motivatiei reale pentru invatatura.

Sensul pe care il dau educatorii notarii, este insa acela de recompensa sau pedeapsa, ambele fiind expresia numarului mai mic sau mai mare de greseli si omisiuni. Perspectiva din care este judecata interventia elevului este aceea a greselii. Aceasta este sanctionata pentru a nu se repeta si pentru ca elevul sa se fereasca pe viitor de a mai gresi. Si copilul se fereste, dar uneori atat de profunda ii este aceasta teama de greseala, incat el nu mai indrazneste nimic cand se afla pe un termen neexplorat. Curajul de a incerca il paraseste, gustul riscului l-a pierdut sau nu-l va capata niciodata pe bancile scolii pentru ca el stie ca gresin, nu va scapa de pedeapsa notei, de ironiile si admonestarile „invatatorului” si „de ridiculizarile colegilor. Elevul invata sa nu mai intreprinda nimic in afara de ce este prescris si i se cere, reprimandu-si spontaneitatea naturala”.

In vederea unei evaluari creative aceeasu autoare recomanda urmatoarele remedii pedagogice:

Instituirea unor perioade de rneevaluare;

Incurajarea.

Perioada de neevaluare trebuie sa beneficieze din plin de acest statut, elevii sa se convinga treptat ca ele nu vor afecta cu nimic situatia lor scolara. Aceasta inseamna ca invatatorul ii va convinge ca nu exista teme „bune” sau „proaste” sub aspectul creativitatii, ci „doar teme mai reusite sau mai putin reusite, cu posibilitati mari de ameliorare pentru fiecare dintre ele”.

Increderea deplina nil face pe elev sa-si alunge timiditatea si inhibitiile sale, considerandu-se demn de a se dezvalui si exterioriza.

In situatiile acestea este bine sa se renunte la orice criterii care tin de nivelul de pregatire a elevului la disciplina respectiva, cat si de formarea stilistica, grafica si caligrafica.

Invatarorului i se cere un efort de reprimare a tendintei spre critica de gen distructiv, orientata spre „relevarea greselilor si imperfectiunilor, care devine uneori aproape o deformare profesionala. Aceasta urmeaza – arata Ana Stoica – sa-i ia locul incurajarii”. „Creativitatea este o floare atat de delicata, incat elogiul o face sa infloreasca, in timp ce descurajarea o inabusa adesea chiar inainte ca ea sa se poata transforma in floare”.

Invataotrul trebuie sa porneasca de la acceptarea elevului asa cum este, a-l face sa simta acest lucru inseamna a-l elibera de inhibitii si a crea atmosfera propice exprimarii personalitaii si originalitatii sale.

„Daca silim elevul sa gandeasca sau sa compuna original trebuie sa respectam ideile si compozitiile pe care le produce el, sa luaam in serios efortul lui, care dovedeste ca a muncit cu sinceritate. Daca uneori suntem fortati sa respingem creatia sa, trebuie sa indicam de ce anume. Invatatorul trebuie sa stie ca o creatie care pare a fi banala pentru noi poate fi ceva nou pentru elevul care a produs-o. Atunci cand un copil de varsta mica enunta o idee imposibila, educatorul trebuie sa intre in interiorul fanteziei sale. Daca la aceasta varsta invatatorul franeaza fanteziile in interesul logicului inseamna ca traseaza o linie intre intelect si imaginatie, iar copilul este condus spre ideea ca imaginatia este inutila si umilitoare pentru gandire”.

Invatatorul nu trebuie sa neglijeze autoevaluarea. „Pentru a invata sa fie creativ, sa fii autoactiv si autoresponsabil este nevoie de o practica constanta in autoevaluare.” Un invatator bun va cultiva aceasta capacitate le elevii sai. Copiii vor fi indrumati sa se aprecieze corect, sa raporteze propria productie la valorile reale, aceasta contribuind la intretinerea curajului si posibilitatea de a infrunta opinia „deseori ostila a celor din jur”

Aprecierea fiselor creative (care vor fi des folosite) se va face sub semnul intelegerii, al incurajarii, deschisa evidentierii partilor bune si creative.

Despre fisele de exercitii Dettrens arata ca acestea reprezinta „unul din mijloacele cele mai eficace pentru a ajuta pe copil sa asimileze notiunile si sa progreseze folosind la maximum eforturile sale personale.”

In sistemul muncii cu ajutorul fiselor propus si aplicat de R. Dettrens, controlul il face invatatorul clasei. El controleaza daca elevul a lucrat corect, daca a inteles ce a facut, ii pune intrebari, eventual ii da explicatii. Invatatorul apreciaza daca este cazul sa-i dea spre rezolvare o fisa similara, una mai grea sau una mai usoara. Dettrens nu a admis fisele cu raspuns, considerand ca elevii din scoala elementara ar rezista cu greu tentatiei de a cauta rezultatul inainte de a executa lucararea.

Pedagogul elvețian R. Dettrens a clasificat fisele in fise de recuperare , fise de dezvolare si fise de exercitiu.

Fisele de reuperare sunt elaborate pentru elevii care au goluri in cunostintele lor, care nu si-au insusit bine o notiune, o pricepere sau o deprindere. Lucrand cu astfel de fise, elevii reusesc sa-si insuseasca materia neasimilata anterior si sa prinda din urma colegii lor. Sunt fise de „astupat golurile” cum le spune Dettrens.

Fisele de dezvoltare se alcatuiesc pentru elevii buni, ca sa nu piarda timpul asteptand pana ce colegii lor termina munca independenta. Aceste fise cuprind probleme de inteligenta, chestiuni mai grele si-i ajuta pe elevi sa-si perfectioneze cunostintele, sa-si dezvolte gandirea creatoare. Folosirea acestor fise da posibilitatea invatatorului sa lucreze cu elevii mai slabi, iar elevii mai buni sa rezolve probleme mai grele in mod independent.

Fisele de exercitiu cuprind exercitii redate in mod gradat si adoptat la intregul colectiv de elevi. Temele cuprinse in astfel de fise se refera la cunostintele de baza pe care trebuie sa si le insuseasca toti elevii.

Fiecare elev lucreaza individual la rezolvarea lor, in ritmul sau.

R. Dettrens acorda o atentie deosebita fiselor de dezvoltare care „permit sa se introduca actualitatea in invatamant, si sa se iasa din cadrul asa de stramt al muncii din scoala, sa se stimuleze perspicacitatea elevilor, sa li se dea posibilitatea sa-si insuseasca o mie si una de cunostinte care sunt inceputul culturii, in afara comportarii pe branse si a clasificarilor scolare”.

„Prin caracterul sau dezinteresat, dar deosebit de educativ, aceasta activitate susureaza insusirea multor notiuni, dezvolta fructuoase asociatii de idei, largeste orizontul spiritual si trezeste interesul si gustul de a cunoaste. Ea atrage in asa masura pe copil, incat acestia, de multe ori propun subiecte pentru fise noi dupa ce s-au documentat singuri, pentru a fi in masura sa le redea in scris” .

Lectia de matematica se poate defini ca „o activitate de invatare in cadrul careia fiecaruia din elevii unei clase i se ofera posibilitatea sa rezolve sau sa incerce sa rezolve- independent o problema” .

Fise de evaluare pot fi date dupa fiecare capitol parcurs, constituind o modalitatede evaluare ebiectiva.

Totodata aceste fise obliga pe fiecare invatator la o munca creatoare, de conceptie si elaborare a continutului lor, de verificare, de analiza si de compararea rezultatelor de la o etapa la alta a anului scolar. Eficienta lor in stimularea gandirii si imaginatiei mamematice justficand orice efort depus de invatator.

Fisele de evaluare pe care le-am conceput si folosit in clasa, cu rezultate apreciabile, concretizate in note scolare (1-10), chibzuind mult si anticipat, al fiecare proba, in parte, raportat la cerintele programei scolare.

Aceste fise de evaluare mi-au dat posibilitatea sa pot urmari pe fiecare lelv pana unde si la ce nivel a ajuns cu intelegerea notiunilor matematice, asigurandu-le posibilitatea sa rezolve problemele si exercitiile intr-un ritm propriu, ceea ce inseamna sa lucreze „ce poate” si „cat poate”

Pentru a trezi interesul pentru studiu si activitate independenta, este necesar ca itemurile sa fie asezate intr-o anumita ordine, pornind de la cerintele cele mai usor de realizat, apoi crescand in dificultate pana la ultima proba.

Pentru fiecare item se stabilesc punctaje, in functie de numarul de operatii ce se cer a fi efectuate si de gradul de dificultate. In felul acesta se asigura criterii unitare de apreciere.

In urma corectarii probelor, invatatorul poate stabili punctajul realizat de fiecare elev, prin insumarea punctelor oblinute la fiecare item. O deosebita importanta o are pentru elev si invatator analiza rezultatelor obtinute care se fac global si la nivelul fiecaruii item.

Analiza rezultatelor ofera informatii suficiente pentru ca invatatorul sa poata organiza activitati diferentiate, pentru optimizarea procesului de predare-invatare si chiar pentru perfectionarea continutului.

Se are in vedere ca invatamantul este organizat pe clase eterogene si in multe cazuri este oarecare distanta intre extremitati. Aceasta realitate exclude posibilitatea de a fundamenta activitatea invatatorilor pe interesele fiecarui elev in parte.

Obiective generale au un pronuntat caracter formativ-operational care sunt mai greu de realizat decat niste finalitati posibile de realizat prin multe repetari si reproduceri. Acest kucru inseamna ca elevii sa lucreze, nu sa asculte sau sa asiste la demonstratii facute la tabla.

In activitatea de predare-invatare invatatorului trebuie sa aiba in vedere diversitatea posibilitatilor elevilor si nu o medie imaginara.

Pentru elevii care inregistreaza importante ramaneri in urma sau care au o usoara handicapare in dezvoltarea proceselor mintale se pot folosi fise de exercitii.

Continutul acestor fise sunt strict individuale si se intocmesc pentru fiecare elev in parte. Elevii le lucreaza in cea mai mare parte acasa sau in ore de meditatie.

Folosirea unor modalitati de masura si evaluare a randamentului scolar sporeste gradul de obiectivitate in aprecierea progresului elevilor. Aceasta presupune din punct de vedere teoretic cat si in ceea ce priveste practica proiactarii, redactarii si administrarii probelor de evaluare cat si a interpretarii corecte a rezultatelor.

Fisele de evaluare contin itemuri care se materializeaza prin sarcini gradate si varinte, astfel incat sa acopere intreaga gama a situatiilor posibile intr-un capitol dat.

Voi exemplifica cele aratate mai sus prin prezentarea unor fise corespunzatoare unor capitole si clase:

Clasa I.

Adunarea si scaderea numerelor naturale (0-100)

Obiective operationale:

sa se calculeze suma si diferenta a doua numere naturale (0-100), fara trecere peste ordin;

sa aplice calcului sumei si al diferentei in exercitii si probleme;

sa determine termenul necunoscut intr-un exercitiu dat.

Subiectul evaluarii

Efectuati adunarile si scaderile de mai jos:

18 + 11 = b) 96 – 54 = c) 100 – 60 + 35 =

15 + 4 = 26 – 5 = 32 + 41 – 22 =

82 + 34 = 84 – 32 = 98 – 54 + 3 =

68 + 21 = 57 – 24 = 47 + 20 – 63 =

2. Calculati :

a) suma numerelor 40 s 50;

b) diferenta numerelor 26 si 14;

c) aflati un numar cu 3 mai mare decat 41;

d) aflati un numar cu 8 mai mic decat 79;

3. Calculati termenul necunoscut:

46 + a = 97

49 – b = 30

n – 21 = 76

4. Problema :

In clasa I-a B a Scolii cu clasele I-VIII nr. 3 din Barlad sunte 32 elevi, iar in clasa I-a C cu 4 elevi mai mult. Cati elevi sunt in cele doua clase?

PUNCTAJ

-2,00 (0.25 pentru fiecare calcul);

-2,00 (0,25 pentru fiecare calcul corect);

-3,00 (0,75 pentru fiecare calcul);

-1.50 (0,50 pentru fiecare termen determinat corect);

-1,50 (0,75 pentru fiecare rezolvare corecta)

Clasa a II-a

Impartirea numerelor naturale

Obiective operationale

sa efectueze impartiri simple si combinate cu inmultiri;

sa alfe termenul necunoscu in impartiri date;

sa gaseasca perechi de termeni ce au caturi identice;

sa verifice egalitatile date si sa foloseasca corect semnul de relatie corespunzator;

sa aplice calculul catului in problema data.

Subiectul evaluarii

Efectuati :

64 : 8 = 16 : 2 = 16 : 4 * 9 = 28 : 7 * 6 =

32 : 4 = 72 : 8 = 36 : 6 * 7 = 24 : 8 * 3 =

Aflati termenul necunoscut :

a : 7 = 6 56 : b = 7

Scrieti perechi de factori ale caror caturi sa fie identice:

Exemplu : 28 : 7 = 16 : 4

4 = 4

Scrie cate patru impartiri, ce au pe rand, caturile 9 si 5.

Exemplu : 18 : 2 = 9 45 : 9 = 5

Inlocuieste semnul = (egal), acolo unde nu sunt adevarate egalitatile, cu seknele de relatie corespunzatoare:

32 : 8 = 24 : 6 c. 54 : 9 = 69 : 9

6 * 8 = 8 * 5 d. 20 : 5 = 81 : 9

o cantitate de 25 l lapte se toarna in bidoane de cate 5 l, o alta cantitate de 42 l se toarna in bidoane de 6 l fiecare, si alta cantitate de 49 l se toarna in bidoane de 7 l fiecare. De cate bidoane este nevoie pentru intreaga cantitate de lapte?

PUNCTAJ

4,00 (cate 0,25 pentru fiecare calcul)

0,50 (cate 0,25 pentru fiecare termen aflat)

1.50 (cate 0,50 pentru fiecare pereche scrisa)

1.00 (cate 0,25 pentru fiecare impartire)

1.00 (cate 0,25 pentru fiecare verificare)

2.00 (cate 0,25 pentru fiecare rezolvare)

Clasa a III-a

Inmultirea numerelor naturale fara si cu trecere peste ordin, cand unul din factori este mai mic decat 10.

Obiective operationale:

– sa efectueze inmultiri a doua numere de mai multe cifre cu un numar format din doua sau trei cifre semnificative sau urmate de zerouri;

– sa verifice simetria egalitatilor date;

– sa afle termenul necunoscut;

– sa respecte ordinea operatiilor;

– sa utilizeze corect datele dintr-o problema aplicativa.

Subiectul evaluarii

Calculati:

7*(5 + 2) = 6 * 10 = 321 * 4 = 6 * 111 =

5*(6 + 8) = 0 * 100= 142 * 5 = 364 * 0 =

8 * 2 * 7 = 47 * 10= 36 * 3 = 4 * 80 =

9*6*0*3 = 412 * 6 = 140 8 5 = 27 * 8 =

Dublati numerele 107, 144, 138 apoi rezultatele mariti-le de 2 ori.

Din sirul de numere date: 36; 420; 132; 118, obtineti numere care sa fie fata de primele:

De 6,7,9,3,1 ori mai mari;

Cu 6,7,9,3,1 ori mai mari.

Problema :

In tabara de pionieri „Poiana Caprioarei” din jud. Vaslui au sosit in vacanta de vara, cate 60 pionieri din 7 scoli ale judetului. Unii au fost cazati in 42 de camere a cate 8 paturi, iar restul dormitoare cu mai multe paturi. Care este numarul elevilor care au fost cazati in camere cu mai multe paturi?

PUNCTAJ:

3.20 (cate 0,20 pentru fiecare rezolvare);

1.80 (cate 0,30 pentru fiecare produs);

2.00 (cate 0,20 pentru fiecare operatie);

3,00 (cate 1,00 pentru fiecare judecata si operatie corecta).

Clasa a IV-a

ORDINEA EFECTUARII OPERATIILOR:

Obiective operationale:

sa se rezolve exercitii cu cele patru operatii, sa respecte ordinea efetuarii acestora;

sa rezolve problemele date;

sa foloseasca metoda figurativa in rezolvarea problemei date.

Subiectul evaluarii:

Aduceti urmatoarele exercitii la o forma simpla:

[420 : (260 – 2000 : 8) + 68] * 9 =

280026 – 89275 – [119 *(1237545 : 4005)] + 30429 :147 =

Raspuns: a) 990; b; 154187.

Problema :

Tatal este de 3 ori mai in varsta decat fiul, iar acesta cu 25 ani mai tanar decat mama. Stiind ca impreuna au 110 ani, sa se afle cati ani are fiecare. (Reprezentati grafic).

Problema :

Gina are 133 lei. Tatal ei ii da de 15 ori mai mult decat are ea, iar bunica cu 1776 lei mai putin decat tata.

Cati lei a depus la C.E.C. Gina daca a platit mai intai o excursie de 829 lei si a cumparat doua plovere de cate 504 lei fiecare?

Punctaj:

1 – 3.75 (1,00 pentru rezolvarea parantezei patrate si 0,25 pentru fiecare operatie);

2 – 2,25 (0,5 pentru fiecare rezolvare corecta, 0,25 pentru reprezentare grafica);

3 – 3,00 (0,5 pentru fiecare judecata si operatie).

Capitolul III

Tipuri de exercitii si probleme utilizate in activitatile matematice

1.Exercitii si probleme folosite in lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor

In conditiile unui invatamant modern ramane in vigoare experienta traditionala a organizarii invatamantului pe clase si lectii. Practica pedagogica cunoaste si alte moduri de organizare a procesului instructiv :

activitatea de grup (grupuri omogene, eterogene, competitive) ;

forme de organizare individuale ;

Dintre toate formele de organizare cea mai cunoscuta este lectia.

Principalele forme de organizare a activitatilor matematice in clasele I-IV sunt:

Activitati informativ-formative:

Lectia introductiva (la inceput de an sau de trimestru);

Lectia combinata (mixta) ;

Lectia de predare (comunicare) de noi cunostinte ;

Lectia de formare a deprinderilor si priceperilor (de formare a capacitatilor de a utiliza informatii, reguli, algoritmi), de rezolvare independenta a exercitiilor si problemelor etc.

Activitati cumulative (se organizeaza la finalurile unor teme sau capitole).

Lectia de recapitulare

Lectia de sistematizare (fixare)

Meditatia, consultatia

Activitati evalutive

Lectia de verificare (notare si evaluare)

Lucrari scrise

Teste sumative

Baremele, olimpiade matematice (concursuri matematice, etc.)

Se pot identifica o serie de etape (pasi) in lectii, indiferent de tipul lor. Aceste momente (secvente) sunt foarte putin programabile si controlabile datorita flexibilitatii de manifestare si ordonare a acestora care ii dau invatatorului posibilitatea sa organizeze in mod creator lectiile potrivit personalitatii lui.

Mentionez principalele etape a caror succesiune nu este invariabila si nici prezenta tuturor nu este o necesitate :

– Organizarea elevilor pentru lectie, captarea atentiei pentru tema lectiei, prin organizarea de jocuri cu specific matematic prin stimulari, se face apel la experienta elevilor.

– Elevii sunt informati cu privire la obiectivele lectiei, si daca este cazul se stabileste tipul de performante ce vor fi atinse la sfarsitul lectiei.

– Recapitularea cunostintelor dobandite anterior si stimularea capacitatilor si a experientei elevilor. Invatatorul trebuie sa cunoasca volumul de cunostinte al elevilor pentru ca sa-i permita transmiterea de noi cunostinte. Totodata el sa depisteze elementele nestiintifice, erorile, confuziile care coexista in mintea elevilor. Acestea vor fi eliminate, corectate sau chiar reinvatate.

– Comunicarea noului continut matematic (exersarea si asimilarea lui). Aceste cunostinte vor fi comunicate intr-un mod accesibil si se tine seama de particularitatile gandirii scolarului mic.

– Dirijarea cunoasterii (a invatarii) folosind metode, tehnici, strategii variate in scopul invatarii inca din clasa.

– Proiectarea modalitatilor efective de conexiune inversa sub forma unor performante observabile.

– Evaluarea performantelor urmarindu-se totodata fixarea, sistematizarea si rezolvarea unor probleme sau situatii tipice.

– Informarea elevilor cu privire la activitatile ce urmeaza a fi desfasurate de ei in mod individual, acasa sau in cadrul altor activitati extrascolare.

Coordonata principala a modernizarii lectiei o reprezinta renuntarea la structuri prestabilite si adoptarea unei atitudini creatoare in conducerea activitatilor de predare-invatare.

In cadrul lectiilor de consolidare a priceperilor si deprinderilor activitatea independenta constituie deopotriva mijloc si scop al demersului didactic. Activitatea independenta contribuie la formarea deprinderilor de lucru, a spiritului de independenta, a initiativei, dar este si un mijloc de consolidare a unor cunostinte, priceperi si deprinderi.

Exercitiile si problemele folosite in lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor conduc la :

consolidarea si imbogatirea cunostintelor matematice ;

dezvoltarea spiritului de observatie si independenta a proceselor gandirii (analiza, sinteza, comparatia, abstractizarea, generalizarea), a tehnicilor de lucru cu manualul si a deprinderilor de invatare.

Exercitiile si problemele folosite in activitatea independenta trebuie sa raspunda anumitor cerinte :

respectarea programei scolare in ceea ce priveste volumul de cunostinte, obiectivele si continutul lectiei, asigurand unitatea acesteia si solutionarea tuturor sarcinilor didactice : fixarea si consolidarea cunostintelor, sistematizarea lor, formarea priceperilor si deprinderilor, dobandirea prin efort propriu a unor cunostinte si abilitati etc.

concretizarea prin exercitii si problemele accesibile, variate, care solicita un efort intelectual gradat, logic si stimuleaza interesul ; sa se asigure exercitii si probleme suplimentare, facultative, pentru elevii dotati ;

sa se evite supraincarcarea elevilor prin dozarea in timp si volum cat si aparitia unor « timpi morti » in desfasurarea lectiilor.

constientizarea sarcinilor didactice si a procedeelor de lucru. Pentru realizarea acestui scop invatatorul trebuie sa adreseze elevilor cateva intrebari de verificare pentru a avea siguranta reusitei depline a activitatii ;

finalizarea muncii independente cu controlul indeplinirii ei si cu aprecieri asupra calitatii, pentru mentinerea curiozitatii elevilor, depistarea si inlaturarea la timp a lacunelor.

Activitatea independenta din lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor poate sa contina :

calcule orale si scrise ;

rezolvari si compuneri de probleme ;

lucarai de masurare ;

desenarea figurilor geometrice.

Tipuri de exercitii si probleme utilizate in lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor :

Clasa I

Adunarea si scaderea numerelor naturale.

sa se scrie toate numerele care prin insumare dau numarul 8;

sa se scrie toate numerele care indeplinesc conditia x <= 4+8.

cu ajutorul rigletelor sa compuna numerele 6,7,10 ;

completarea, in manual, aunor exercitii cu operatiile invatate, dupa efectuarea frontala a 3-4 exercitii cu invatatorul ;

rezolvari de probleme simple din manualul de amtematica si compunerea unor probleme dupa ilustratii;

exercitii de numarare in scris, atat in ordine crescatoare si descrescatoare cat si la anumite intervale;

stabilirea relatiei intre numere consecutive prin scrierea semnelor (< >) ;

exercitii joc scrise sub forma de figuri geometrice (pe tabla sau pe fise) ;

figuri pag 105

compunerea figurilor geometrice din betisoare ;

aflarea unui termen al sumei (sau diferentei) in exercitii:

a + 20 = 80 b + 30 = 70 60 + 20 + a = 100

a – 30 = 40 80 – b = 20 70 – 40 + a = 100

– tabele cu calcul literal :

x x+5 y y-3

11 16 19 16

14 ___ 23 ___

15 ___ 68 ___

compunerea unor probleme prin completarea datelor care lipsesc :

Un biciclist a avut de parcurs _____. In prima zi a parcurs _____. Cati kilometri i-au mai ramas de parcurs pentru a doua zi ?

stabilirea intrebarii si rezolvarea unor probleme :

Tata are 39 ani, iar mama are cu 3 ani mai putin.

Puneti intrebarea si rezolvati apoi problema.

Elevii reusesc sa foloseasca modalitati de simplificare a calculului prin reducerea termenilor, daca cunosc proprietatile operatiilor matematice .

Exemplu :

Dupa ce rezolva coloana urmatoare de exercitii, le cer s-o transcrie intr-un exercitiu in lant, apoi sa aseza numerele (cu semnele matematice existente) in asa fel incat sa se faca reduceri.

18 + 2 =

20 – 5 = 18 + 2 – 5 + 4 – 6 + 5 = 18

15 + 4 =

19 – 6 = 18 + 2 + 4 – 6 + 5 – 5 = 18

13 + 5 =

Clasa a II-a

Inmultirea numerelor naturale

efectuarea unor produse date;

sa se scrie mai multe perechi de factori ce au ca produs pe 12; 16; 81 ; 36 ; 56.

Formularea intrebarilor care sa conduca rationamentul in rezolvarea unei probleme ce necesita una sau doua operatii.

Exemplu:

Elena a citit intr-o zi 9 pagini, iar sora ei mai mare a citit de 4 ori mai multe pagini.

Puneti intrebarea si rezolvati problema printr-o singura operatie ;

Puneti intrebarea si rezolvati problema prin doua operatii.

transpunerea in expresie numerica a problemei rezolvate ;

scrierea formulei literale date de rezolvarea problemei si alcatuirea altei probleme dupa acea formula.

Exemplu :

Intr-o lada sunt 8 kg mere, iar in alta de 5 ori mai mult. Din cele doua lazi se vand 17 kg mere. Cate kilograme de mere au ramas ?

(8 + 8 * 5) – 17 = (a + a * b) – c =

– compunerea unei probleme cunoscandu-se datele :

Exemplu 9 kg * 5 – 30 kg =

compunerea unor probleme pe teme la alegere, pe baza indicarii datelor.

Exemplu : 80 – 6 * 9 =

compunerea unor probleme cu date la alegere, indicandu-se tema (Exemplu : O problema despre recoltarea cireselor).

Crearea unor exercitii :

a * b + c = ; m * n – d = ; x + a * b = ;

a – b * c = ; .

Clasa a III-a

Adunarea si scaderea numerelor naturale cuprinse intre 100 si 1000, cu trecere peste ordin.

precizarea valorii de adevar a unor propozitii matematice.

Exemplu :

356 + 256 = 402 + 210

190 + 218 = 78 + 330

265 + 237 = 179 + 278

345 + 296 = 278 + 109

efectuarea unor exercitii de adunare si scadere cu si fara trecere peste ordin, in cadrul temelor si capitolului din manual

aflarea sumei a doua numere date si efectuarea probei prin adunare su prin scadere ;

aflarea unui termen , cand se cunoaste suma si celalalt termen :

36 + a = 72 a + 326 = 967

a = 72 – 36 a = 967 – 326

aflarea scazatorului sau descazutului, cand se cunoaste diferenta si unul din termenii scaderii :

732 – a = 436 586 – a = 199

a = 72 – 36 a = 586 – 199

completarea spatiilor punctate cu numerele corespunzatoare, astfel incat sa satisfaca egalitatile :

Exemplu :

139 + 423 = (100 + 30 + 9) + (400 + 20 + 3) =

= (……….+……..) + (……….+………)

precizarea multimii numerelor naturale, dintre numerele naturale cu valori intre 28 si 48, care in locul lui n, satisfac inegalitatile :

n + 17 < 45 10 < n – 19 <= 19

aplicarea tehnicilor de calcul in rezolvarea unor probleme cu doua sau mai multe operatii.

exercitii pentru transcrierea simbolica o operatiilor

Exemplu:

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c

(a + b) – (c + d) = (a – c) + (b – d)

transpunerea datelor unei probleme in simboluri;

analiza relatiilor dintre diferite parti ale problemei;

recunoasterea datelor si cerintei unei probleme;

compunerea unor probleme.

Clasa a IV-a

Unitati de masura

108

Clasa a IV-a

Unitati de masura

precizarea si imbogatirea cunostintelor despre unitatile de masura, prin diferite masuratori practice (a lungimii) a mesei corpurilor, acapacitatii vaselor atimpului) ;

constientizarea raportului dintre doua marimi, prin exercitii de transformare a unitatilor de masura, folosind cunostintele despre multiplii si submultiplii acestora;

Exemple :

43000m = ? dam = ? hm = ? km

3000mm = ? cm = ? dm = ? m

369 kl = ? hl = ? dal = ? l

4l = ? cl

16 t = ? q = ? kg

82000 cg = ? g

8 ore = ? minute

5760 minute = ? zile

78 kl – 16 hl – ? hl = 70 hl

rezolvarea unor probleme cu numere reprezentand unitati de masura :

Exemplu :

La statia Peco Barlad s-au adus 480460l benzina. Intr-o zi s-au livrat masinilor particulare 512dal, iar masinilor proprietate de stat 48hl. Cati litri de benzina au ramas ?

Rezolvare :

l = 5120 l

hl = 4800 l

Exercitiul problemei : 480460 – (5120 + 4800) = 480460 – 5120 – 4800 = 470 540 l.

Raspuns : 470540 l.

Probleme formulate de elevi dupa expresii date :

Exemplu :

230m – 160m – 30m = ? dam

(501 * 3) + (401 * 5) = ? hl

Probleme ale caror solutii nu sunt unic determinate, solicitand mai multe posibilitati.

a + b = 70 l.

In doua butoaie sunt 70 l. Cati litri sunt in fiecare ? Pe baza gandirii probabilistice elevii gasesc mai multe solutii:

a=10 si b=60 sau a=14 si b=56

a=20 si b=50 a=15 si b=55

a=30 si b=40 b=16 si b=54

etc.

Controlul si evaluarea activitatii independente :

Controlul lucrarilor independente este efectuat de invatator prin folosirea unor metode si procedee diverse si are ca obiectiv principal analiza continutului.

Invatatorul va supraveghea permanent elevii in timpul activitatilor de rezolvare a exercitiilor si problemelor, trecand printre banci, pentru a verifica daca lucreaza toti elevii, daca au inteles bine tema si procedeul de lucru.

Atunci cand este cazul, va interveni prompt, printr-un gest, printr-o privire sau chiar verbal pentru ca toti elevii sa fie antrenati la lucru si pentru a preveni greselile tipice.

Atunci cand lucrarile independente vor fi corectate se va tine seama atat de aspectul cantitativ, cat si cel calitativ, deci nu se va urmari numai efectuarea temei, ci si modul cum a fost rezolvata.

Controlul lucrarilor independente se realizeaza in fiecare lectie, dar in mod deosebit in cele de formare a priceperilor si consolidare a deprinderilor.

Exercitiile si problemele date in aceste lectii pot ocupa aproape intreaga ora, iar controlul lor se va realiza acasa, de catre invatator, finalizandu-se cu notarea si analiza acestora, cu ajutorul elevilor, in urmatoarea ora. Cu ocazia aceasta se corecteaza eventualele greseli, se insista chiar asupra formarii unei atitudini corecte fata de invatatura, se analizeaza posibilitatea ca elevii sa poata stabili noi legaturi intre cunostinte, sa aplice cele invatate in situatii noi, sa se dezvolte spiritul critic si autocritic.

Un loc important in verificarea exercitiilor si problemelor il ocupa autocontrolul, care se realizeaza prin confruntarea rezultatelor obtinute de ei cu cele date de invatator.

O alta forma de verificare mai poate fi si controlul reciproc al elevilor pentru lucrarilor efectuate.

Autocontrolul nu trebuie sa inlocuiasca controlul zilnic sau periodic pe care-l efectueaza invatatorul.

2.Exercitii si probleme pentru cercuri si concursuri de matematica.

Sub indrumarea invatatorului se pot organiza activitati matematice in afara clasei, avand ca scop completarea si consolidarea cunostintelor realizate in timpul lectiilor, a deprinderilor si priceperilor dobandite, dezvoltarea intereselor elevilor pentru stiinta si tehnica, aplicarea in practica a cunostintelor.

Cu ocazia unor astfel de activitati invatatorul descopera elevii cu inclinatii si preferinte in domeniul matematicii si ofera posibilitatea unei pregatiri suplimentare, diferentiate si individualizate a acestor elevi. Astfel de activitati pot fi desfasurate cu intreaga clasa sau numai cu o parte din elevii clasei, in funtie de sarcinile pe care si le-a propus invatatorul.

Obiectivele specifice activitatilor in afara clasei pot fi :

stimularea si dezvoltarea intereselor elevilor pentru un inceput de investigatie stiintifica si tehnica;

depistarea si dezvoltarea inclinatiilor si aptitudinilor elevilor pentru matematica;

stimularea disponibilitatilor pentru creatie prin rezolvari si compuneri de exercitii si probleme;

formarea unor deprinderi de munca intelectuala ;

completarea si consolidarea cunostintelor realizate in timpul lectiilor.

Pentru a realiza aceste obiective se pot desfasura activitati matematice cu grupuri restranse de copii, de obicei cu aceia care dau dovada de reale inclinatii pentru obiectul matematica.

« O prima caracteristica a elevilor cu un nivel ridicat de dezvoltare a aptitudinilor matematice o constituie capacitatea de a ,,intui’’, de a intelege, de a sesiza imediat sau dupa o scurta perioada de tatonare sensul exact si structura de ansamblu a problemei. Acestia nu par coplesiti de date (fie ele numeroase, lacunare sau de prisos), de forma de prezentare, de complexitatea problemei, in general.

Se pot organiza in afara clasei urmatoarele forme de activitati matematice :

cercuri de elevi ;

concursuri scolare ;

activitati practice de masurare pe teren ;

confectionare de material didactic ;

vizite si excursii.

Cercul de matematica este o forma de organizare a activitatilor extradidactice, care raspunde preferintelor matematice ale elevilor. La cercul de matematica pot participa toti elevii care isi exprima dorinta de a participa la aceste activitati. Cu toate acestea invatatorul trebuie sa depisteze elevii care au reale aptitudini si inclinatii matematice. Acest lucru se poate realiza prin lucrari de control si teste aplicate grupului restrans de elevi selectionati dupa rezultatele lucrarilor date.

Cercurile de matematica se pot organiza inca din clasele mici (I si a II-a), dar mai ales elevilor din clasele a III-a si a IV-a. In clasa a IV-a se impune o pregatire deosebita in cadrul cercului, deoarece elevii vor participa la concursuri de matematica.

Pentru ca activitatea desfasurata in cadrul cercurilor sa fie eficienta si sa duca la realizarea tuturor obiectivelor stabilite (atat instructive, cat si educative), trebuie ca invatatorul sa aiba in vedere ca exercitiile si problemele propuse spre rezolvare sa fie atractive, accesibile elevilor, sa contribuie la ridicarea nivelului de cunostinte al participantilor la cerc.

Spre exemplificare voi prezenta in continuare exercitii si probleme cu grad sporit de dificultate care pot fi rezolvate cu elevii participanti la cercul de matematica la clasa a IV-a.

Rezolvarea problemelor prin metode algebrice

Printre disciplinele matematice predate in scoala, algebra elementara joaca un rol fundamental. Metodele algebrice sunt caracterizate prin faptul ca numerele, precum si alte obiecte se noteaza cu litere si operatiile se efectueaza dupa legi bine determinate, fara a preciza in prealabil ce numere reprezinta literele.

Prin intermediul simbolurilor algebrice gandirea copilului nu se mai desfasoara cu ajutorul cuvintelor explicative din vorbirea obisnuita, ci numai cu ajutorul cuvintelor acestor simboluri. Din aceasta cauza procedeele de calcul algebric sunt introduse mult mai tarziu pe treptele superioare ale scolii. Despartirea care se face astazi intre aritmetica si algebra – aritmetica studiindu-se in special in primele patru clase ale scolii ; algebra in clasele V-VIII – are un caracter conventional care nu corespunde dezvoltarii istorice a acestor doua discipline. Trecerea la algebra este marcata prin folosirea literelor, dar asa cum am putut constata de-a lungul anilor de scoala, elevii recurg la intelegerea simbolurilor si utilizarea lor atunci cand folosesc anumite formule din geometrie (P=2*(L+1) ; P=4*1) s-au atunci cand vor sa exprime anumite proprietati generale ale operatiilor cu numere naturale :

a * b = b * a (comutativitatea factorilor )

a + b = b + a (comutativitatea termenilor)

a * ( b + c ) = a * b + a * c (distributivitatea inmultirii fata de adunare etc.)

Prin trecerea de la operatii cu numere concrete la operatii cu numere abstracte elevii se ridica pe prima treapta de abstractizare, iar prin trecerea de la operatii cu numere determinate in aritmetica la operatii cu numere nedeterminate in algebra, elevii se ridica la cea de a doua treapta de abstractizare.

Introducerea acestei trepte este necesar sa se faca progresiv incepand cu scoala primara. Invatand sa foloseasca simbolurile algebrice, elevii invata de fapt sa generalizeze anumite operatii aritmetice si sa le exprime intr-o forma comuna. Asa de eemplu, expresia a+(b+c)=(a+b)+c este comuna nu numai operatiilor cu numere naturale, dar si operatiilor care se fac cu numere rationale (fractiile). Daca insa se considera operatia : 3+ x – 2 = x + ( 3 – 2 ) atunci se intelege ca avem de a face tot cu calcule simple algebrice dar in care legatura dintre algebra si aritmetica apare mult mai stransa, deoarece se folosesc, in aceasta expresie si numere naturale. Prin urmare, trecerea de la calculul propriu-zis aritmetic la calculul algebric se poate face progresiv, folosind proprietati ale operatiilor care sunt comune literelor si numerelor naturale. Prin introducerea mai timpurie a calculului cu variabile si reolvarea unor ecuatii de forma : a – x = b ; a + x = c ; a + x – b =c ; x – a + b = c ; a * x +b = c unde a,b,c sunt numere cunoscute, iar x variabila sau necunoscuta, elevii dobandesc capacitatea de a generalizaproprietatile operatiilor cu numere si de a stapani mai temeinic proprietatile egalitatilor numerice.

Evident, scopul experimentului pe care l-am intreprins este acela de a oferi elevului o varietate mai larga de exercitii in care el sa execute calcule cu variabile si sa rezolve ecuatii. Cunostintele elementare de algebra pe care elevii le dabandesc in scoala primara se intregesc prin rezolvarea problemelor.

Exemplu 1

Un automobil a parcurs distanta dintre doua orase in 4 ore. Daca viteza automobilului ar fi fost cu 20 km pe ora mai mare, atunci ar fi parcurs aceeasi distanta in 3 ore. Aflati viteza automobilului.

Rezolvare :

Stim ca : d=v*t.

Vom nota viteza automobilului cu x km pe ora.

Distanta parcursa (in km) va fi egala cu 4*x.

Daca viteza ar fi fost cu 20 km pe ora mai mare, aceeasi distanta ar fi fost parcursa in 3 ore.

Deci aceeasi distanta (in km) va fi egala cu 3*(x+20).

Putem scrie in concluzie 4*x=3*(x+20)

Avem in continuare:

4*x=3*x+60

Scadem din ambii membri pe 3*x si obtinem :

x=60

Deci viteza automobilului este de 60 km pe ora.

Distanta intre orase este de 4*60=240 km.

Exemplu 2 :

Intr-o curte sunt gaini si iepuri, in total 43 de capete si 124 de picioare. Cate gaini si cati iepuri sunt in curte ?

O metoda prin care se poate rezolva aceasta problema este metoda falsei ipoteze.

Aceeasi problema poate fi rezolvata algebric :

x=numarul gainilor y=numarul iepurilor

x+y=43 x=43 –y

2*x + 4*y = 124 | :2

x + 2*y = 62

43 – y + 2y = 62

2y – y = 62 – 43

y=19 (iepuri)

x=43-19

x=24 (gaini)

Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

Problemele care se rezolva prin metoda figurativa se impart in doua mari categorii :

Cu date sau marimi care pot fi numarate cate una si se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii. Marimile pot fi reprezentate prin simboluri.

Cu date sau marimi care pot fi reprezentate, prin segmente.

Exemplificam cu urmatoarele probleme prima categorie :

Problema 1

Daca intr-o clasa, se aseaza cate 2 elevi intr-o banca, raman 3 elevi in picioare. Daca se aseaza cate 3 elevi intr-o banca, raman 4 banci libere.

Cati elevi si cate banci sunt in clasa?

Figura pagina 118

Desenul sigereaza situatia initiala. Am asezat cate doi elevi in banca, 3 elevi raman in picioare.

Se face legatura cu partea a doua a enuntului: nu ne convine asezarea cate doi elevi in banca, deoarece raman unii elevi (3) fara loc. de aceea ar fi mai bine sa-i ,,distribuim’’ pe cei 3 elevi ramasi cate unul in fiecare banca. Vom realiza grupuri de forma e e e.

Sugeram aceste mutatii prin urmatorul desen :

Figura pagina 118

Cei 4*2=8 elevi s-au ,, distribuit’’ la urmatoarele banci unde erau cate doi elevi pentru a forma grupuri de 3 elevi.

Deci sunt urmatoarele banci : 3+8+4=15 banci.

Pentru a afla numarul elevilor revenim la prima parte a problemei : 15*2+3=33 elevi.

Raspuns 15 banci si 33 elevi.

Problema 2

Un gospodar are gaste si oi. In total sunt 30 de capete si 96 de picioare.

Cate oi si cate gaste are gospodarul ?

La prima vedere se pare ca problema este imcompleta deoarece nu se dau numarul de picioare pe care le are o gasca si o oaie. Dar aceste date se subinteleg.

Sugeram cele 30 de capete (animale) prin cateva ovale :

Figura pagina 119

Dar nu stim unde sa desenam 2 picioare si unde 4. totusi fiecare vietate are cel putin doua picioare.

Folosim 30*2=60 (picioare) si ne raman 96-60=36 (picioare)

Cu aceste picioare formam oi. La fiecare oaie adaugam cate 2 picioare pana terminam cele 36 picioare.

Obtinem urmatorul desen :

Figura pagina 119

36 :2=18 oi 12 gaste

Oile sunt 36 :2= 18 oi. Restul de vietati care au doua picioare sunt gaste 30-18=12 gaste.

Raspuns : Gospodarul avea 18 oi si 12 gaste.

Se face proba : 18*4+12*2=72+24=96 (picioare)

Pentru a doua categorie exemplificam cu urmatoarele cazuri :

Probleme de aflare a numerelor cunoscand suma si diferenta lor.

Problema 1

In doua vase sunt 64 l de apa. Daca un vas are cu 12 l mai mult decat celalalt. Cati litri de apa sunt in fiecare vas ?

Figura pagina 119

Putem aplica formulele :

b=(S-D) / 2 = (64-12) / 2 = 52 /2 = 26 (litri) b=26 (litri)

a=S-b=64-26=38 (litri) a=38 (litri)

Proba: 26+38=64 (litri)

Raspuns: 38l ; 26l .

Problema 2

Suma a 3 numere este 125. Primul numar este mai mare decat al doilea cu 36, iar al doilea este mai mare decat al treilea cu 7.

Care sunt numerele ?

Sugerez urmatoarea rezolvare. Ne imaginam numerele ca fiind niste segmente.

Le putem reprezenta astfel:

Figura pagina 120

Elevii observa ca putem egala cantitatile daca din intreaga cantitate inlaturam: 7+7+36=50.

Deci : 125 – 50 = 75

Al treilea numar: 75 : 3 = 25

Al doilea numar : 25 + 7 = 32

Primul numar : 32 + 36 = 68

Proba: 25 + 32 + 68 = 125

Raspuns : 68 ; 32 ; 25.

2.Probleme de aflare a doua numere cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor.

Problema 1

Sorin are cu 26 lei mai mult decat Catalin. Daca Sorin ii da 38 lei lui Catalin, acesta va avea o suma de 3 ori mai mare. Cati lei are fiecare ?

Rezolvare

Dupa modificare stabilim ca raportul R=3. Cautam sa stabilim ce diferenta va fi intre suma lui Sorin si-a lui Catalin. La inceput aceasta diferenta este de 26 lei. Elevii judeca : daca Sorin da lui Catalin 38 lei, inseamna ca a luat si cei 26 lei si inca 12 lei, Catalin va avea mai multi lei cu 38+12=50 lei.

Pentru a rationa mai usor folosim graficul :

Figura pagina 121

Elevii reformuleaza problema : Sorin are o suma de 3 ori mai mare decat a lui Catalin. Catalin are cu 50 lei mai mult decat Sorin. Cati lei are fiecare ?

Figura pagina 121

D/(R-1) = 50 / 2 = 25 lei

Elevii au aflat ca :

Sorin are o suma de 3 ori mai mare : 25 * 3 = 75

Revenim la primul enunt :

Cati lei are Sorin ?

25 + 38 = 63 lei

Cati lei are Catalin ?

63 – 26 = 37 lei

Raspuns : La inceput Sorin avea 63 lei, iar Catalin 37 lei.

Problema 2

Diferenta a doua numere este 65 daca le impartim , obtinem catul 9 si restul 1, aflati numerele.

La aceasta problema cunoastem diferenta de 65 si raportul lor.

Pentru sugera rezolvarea elevii s-au folosit de urmatorul grafic care reprezinta cele doua numere :

Figura pagina 121

65 – 1 = 64 64 reprezinta 9 parti egale. Rezulta ca :

64 : 8 = 8 al doilea numar.

Numar : 8*9+1=73

Voi preciza elevilor ca, catul ne arata de cate ori un numar este mai mare decat celalalt.

Problema 3

Sa se afle 2 numere stiind ca al doilea este de 7 ori mai mare decat primul, iar suma dintre dublul primului numar si triplul celui de-al doilea este 690.

Fig pag 122

Dublul primului numar reprezinta 2 parti.

Triplul celui de-al doilea numar reprezinta 3*7 parti = 21 parti. Deci total avem 21 parti + 3 parti = 23 parti.

Primul numar = 690 :23 = 30.

Al doilea numar =30 * 7 = 210

Raspuns : 30 ;210.

Probleme de egalare a datelor. Metoda aducerii la acelasi termen de comaparatie

Pentru acest tip de problema exemplificam cu urmatoarele probleme :

Problema nr.1. de la o librarie Mioara cumpara 20 caiete si 35 creioane si plateste 150 lei. Iar sora ei cumpara 20 caiete si 9 creioane platind 98 lei. Cati lei costa un caiet si cati lei costa un creion ?

Notam datele pe doua siruri corespunzatoare celor doua situatii :

20 caiete …………. 35 creioane ………….. 150 lei

20 caiete …………. 9 creioane ………….. 98 lei

Elevii vor fi dirijati sa observer ca atat prima data cat si a doua oara copiii au cumparat acelasi numar de creioane. Mioara a cumparat mai multe creioane, de aceea a platit mai mult decat sora sa. Deci creioanele cumparate in plus a doua oara au facut sa creasca suma de la 98 la 159 lei. Planul de rezolvare alcatuit de elevi :

cate creioane a cumparat mai multe Mioara ?

35-9=26 (creioane)

cat costa 26 creioane ?

150-98=52 lei

cat costa un creion ?

52 :26=2 lei

cat costa 9 creioane ?

9*2=18 lei

cat costa 20 caiete ?

98-18=80 lei

cat costa un caiet ?

80 :20=4 lei

Raspuns : 2 lei creionul ; 4 lei caietul.

Problema 2

Pentru 6 bluze si 2 pulovere s-au platit 690 lei. Cat costa o bluza si un pulover daca daca 7 pulovere si 6 bluze de acelasi fel valoreaza cu 600 lei mai mult ?

Observam ca pentru situatia a doua avem o suma de :

690 + 600 = 1.290 lei. Asezam in continuare datele problemei pe doua siruri.

2 pulovere …………. 6 bluze …………. 690 lei

7 pulovere …………. 6 bluze …………. 1290 lei

Elevii vor rezolva ca si in primul caz:

cate pulovere a cumparat mai mult a doua oara?

7-2=5 pulovere

cati lei costa 5 pulovere?

1290-690=600

cati lei costa un pulover?

600 :5=120 lei

cati lei costa doua pulovere ?

120 * 2 = 240 lei

cati lei costa 6 bluze?

690-240=450 lei

cati lei costa o bluza?

450:6=75 lei

Raspuns: 75 lei o bluza si 120 lei un pulovar.

Problema 3

Pentru 7 m de stamba si 5 m de stofa s-au platit 1622 lei, iar pentru 4 m de stamba si 10 m de stofa s-au platit 2884 lei. Cat costa un metru de stamba si cat costa un metru de stofa ?

Asezam datele astfel :

7 m stamba ………… 5 m stofa ………….. 1622 lei

4 m stamba ………… 10m stofa …………. 2884 lei

Pentru ca elevii sa poata rezolva problema le propun sa avem acelasi numar de metri de stofa, de aceea vom inmulti primul rand cu 2. in urma acestei operatii, vom obtine urmatoarele date :

14m stamba …………10 m stofa ………….. 1622 lei

4 m stamba ………… 10 m stofa ……….…. 2884 lei

In continuare rationamentul este ca si la problema anterioara.

Probleme de presupunere. Metoda falsei ipoteze

Aceasta metoda are mai multe variante de aplicare. In cadrul cercului de matematica am prezentat urmatoarele probleme :

Problema 1

La o serbare scolara s-au vandut 415 bilete la pretul de 4 lei si , respectiv, de 6 lei biletul, incasandu-se in total 2160 de lei. Cate bilete de fiecare categorie au fost vandute ?

Sugerez elevilor sa presupuna ca toate cele 415 bilete s-au vandut la pretul de 6 lei. Elevii observa ca aceasta ipoteza este falsa deoarece in numarul total de bilete sunt si bilete de 4 lei si de 6 lei.

Conform presupunerii aflam cat costa biletele :

415*6=2490 (lei)

In realitate biletele au costat 2160 lei.

Cu cati lei am obtinut mai mult pe baza presupunerii facute?

2490-2160=330 lei

Aceasta diferenta provine din faptul ca au existat si bilete de 4 lei si pentru fiecare am socotit 6-4=2 lei mai mult, presupunand ca toate sunt de 6 lei.

De aceea urmatoarea judecata se formuleaza :

Cu cati lei am socotit mai scump un bilet de 6 lei ?

6-4=2 lei

Pentru cate bilete am socotit cate 2 lei in plus ? pentru atatea bilete, de cate ori 2 lei se cuprinde in diferenta totale de 330 lei. Deci :

Numarul biletelor de 4 lei :

330 :2 = 165 bilete

Numarul biletelor de 6 lei :

415-165=250 bilete

Raspuns : s-au vandut 165 bilete de 4 lei si 250 bilete de 6 lei.

Probleme de rest din rest. Metoda mersului invers.

Metoda mersului invers o voi ilustra cu urmatorul exemplu.

Problema 1

Intreitul unui numar marit cu 2 a fost inmultit cu 5. Produsul obtinut micsorat cu 4 a fost impartit la 7 si s-a obtinut 18. Care este numarul cu care s-a inceput operatiile ?

[(x*3+2)*5-4] :7=18

S-a obtinut o egalitate care in algebra se numeste ecuatie. Aceasta egalitate se rezolva prin rationament aritmetic, urmarindu-se enuntul de la sfarsit spre inceput, de aici denumirea metodei de mersul invers.

Elevii observa ca ultima operatie este o impartire in care necunoscuta figureaza ca deimpartit. Deci : D=I*C unde D-deimpartit, I-impartitor si C=cat.

D=18*7=126 si problema devine :

(x*3+2)*5-4=126

Care este ultima operatie facuta pentru a obtine 126 ? Scaderea. Necunoscuta se afla la descazut. Deci :

D=R+S, D-descazut, S-scazator si R-rest

D=126+4=130 si problema devine:

(x*3+2)*5=130

Care este ultima operatie facuta pentru a obtine 130 ? Inmultirea. Necunoscuta figureaza la deinmultit. Deci :

D=P :I, D-deinmultit, P-produsul, I-inmultitorul.

D=130 :5=26 si problema devine :

X*3+2=26

Necunoscuta figureaza la unul din termenii adunarii.

Deci : T1= S*T2 T1-primul termen, S-suma, T2-termenul al doilea.

T1=26-2=24 Problema a devenit x*3=24

Aici am ajuns la ultima operatie prin calcularea lui x (numarul pe care trebuie sa-l aflam).

Avem o inmultire. Necunoscuta figureaza la deinmultit.

D=P :I ; D-deinmultit, P-produs, I-inmultitorul

D=24 :3=8

Raspuns : Numarul cu care s-a inceput operatiile este 8.

Etapele parcurse pot fi redactate pe scurt astfel:

( ) : 7 = 18 ––-> ( ) = 18 * 7 = 126

( ) – 4 = 126 ––-> ( ) = 126 + 4 = 130

( ) * 5 = 130 ––-> ( ) = 130  : 5 = 26

( ) + 2 = 26 ––-> ( ) = 26 – 2 = 24

x * 3 = 24 ––-> x = 24 : 3 = 8

Aceste exercitii rezultate din astfel de probleme se numesc ,,exercitii’’ cu x. Daca se trateaza artmetic ele pot fi usor rezolvate si de elevii din clasele I-IV si totodata in acest fel se consolideaza si cele patru operatii cu numere naturale si a relatiilor dintre rezultatele operatiilor si numerele cu care se opereaza.

Problemele denumite rest se rezolva pornind de la ultimul rest.

Exemplu :

Problema 2

O familie si-a impartit venitul sau dintr-o luna, astfel : o jumatate pentru hrana , un sfert din ce ramane pentru chirie, telefon etc., o jumatate din noul rest pentru cheltuieli neprevazute si restul de 600 lei il depune la C.E.C.

Care era venitul lunar al acelei familii si cum si-a planificat cheltuielile ?

Observam ca datele depind unele de altele succesiv. Analizand cu elevii raportul in care se afla acestea, incepand cu ultima, se ajunge la raspunsul problemei.

Realizand urmatorul grafic si notam calculele obtinute astfel ca in final acesta va arata asa :

Fig pag 127

Al doilea rest :

600*2=1200 lei

Aflam un sfert din primul rest :

1200 : 3 = 400 lei

Aflam primul rest :

400*4=1600 lei

Aflam venitul lunar

1600*2=3200 lei

Raspuns : 1600 lei pentru hrana, 400 lei chirie, telefon, etc., 600 lei cheltuieli neprevazute, 3200 lei venitul lunar.

Problema nr. 3

Avem doua vase cu apa, A si B. Turnam din A in B atat cat contine B ; turnam apoi din B in A, atat cat a ramas in A s.a.m.d. Dupa 3 operatii, in fiecare vas sunt cate 16 l. de apa. Cati litri de apa au fost la inceput in fiecare vas?

Elevii rezolva prin rationament aritmetic, urmarind enuntul de la sfarsit spre inceput, adica invers :

Fig pag 128

Sau :

Operatiile s-au

Desfasurat astfel :

Insusirea unor algoritmi de rezolvare au o mare influenta asupra descoperirii modului de solutionare a unor probleme noi, date elevilor in timpul lectiilor.

Se creeaza anumite scheme si anumite disponibilitati spre alegerea cailor de rezolvare insusite in conditii identice.

In cazul unor probleme noi aceste scheme orienteaza dezvoltarea rationamentului in directii adecvate.

Aceste disponibilitati insusite de elevi in cadrul activitatilor de rezolvare a problemelor se manifesta in doua situatii :

atunci cand elevul trebuie sa rezolve o problema asemanatoare (de acelasi tip) cu problemele rezolvate anterior.

Atunci cand elevul trebuie sa rezolve o problema cu totul noua fata de problemele pe care le-a rezolvat pana atunci.

G.Polya arata ca «  A rezolva o problema imitand metoda folosita in rezolvarea altei probleme poate fi usoara daca problemele sunt asemanatoare, sau mai grea, sau chiar imposibila – daca asemanarea nu este prea mare ».

Gasirea cailor de rezolvare a unor prebleme este usurata daca elevul poate incadra problema noua unei anumite categorii, unui anumit ti determinant de probleme deja cunoscute sau rezolvate. Tipul de problema inseamna o schema de operatii logice, care da posibilitatea de a incadra in ea o serie de probleme de la care pot diferi numai datele.

Nicolae Oprescu arata ca « Prin rezolvarea unor probleme care se incadreaza in aceeasi categorie, avand acelasi mod de organizare a judecatilor, acelasi rationament, in mintea copiilor se stabileste principiul de rezolvare a problemei, schema mintala de rezolvare. In cazul problemelor tipice, aceasta schema mintala se fixeaza ca un algoritm de calcul, fiind vorba de algoritmul de rezolvare a problemei ».

Probleme de perspicacitate (netipice) – mijloc de dezvoltare a supletei gandirii matematice si a creativitatii elevilor

Probleme de perspicacitate (netipice sau nonstandard) includ acele probleme in fata carora , dupa citirea enuntului, rezolvitorul, nu reuseste sa aplice una din metodele de rezolvare bine stiute. Datorita acestui lucru, gandirea si imaginatia lucreaza febril, elevul devenind, in situatia in care reuseste rezolvarea, un creator. Astfel de probleme nu seamana un cu alta de fiecare data elevul fiind obligat sa gaseasca o anumita cale de rezolvare proprie fiecarei probleme.

Problemele nonstandard dispun de bogate valente formative ; contribuind la :

cultivarea creativitatii elevilor din clasele I-IV (spirit novator, iscoditor, felxibilitatea gandirii, supletei, indrazneala, istetime, cresterea interesului pentru matematica, educarea unor trasaturi pozitive pentru conduita elevului : vointa de a invinge, dorinta de autodepasire, tenecitate , concentrare)

cultivarea creativitatii invatatorilor.

Asemenea probleme vor fi rezolvate si comentate in cadrul orelor dedicate desfasurarii activitatilor de la cercul de matematica. Acest gen de probleme are o mare varietate si un inalt grad de particularitate.

Exemple :

Problema 1 : Puneti cifrele 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , in cerculetele din desenul alaturat astfel incat sum cifrelor numai din cerculetele unite printr-o linie dreapta sa fie 14.

fig SOLUTIA : fig131

Problema 2

Florin intrebat de colegii lui ce numar are blocul sau rasounde :

este un numar format din 3 cifre ;

prima cifra este intreitul celei de-a treia si de doua ori mai mica decat a doua.

Suma cifrelor este zece.

Solutie : xyz = 361

Problema 3

Cum se poate realiza egalitatile de mai jos punand semnele operatiilor matematice intre cifrele date :

a) 5 5 5 5 = 3 ( 5 + 5 + 5 ) : 5 = 3

b) 5 5 5 5 = 6 solutia : ( 5 * 5 + 5 ) : 5 = 6

c) 5 5 5 5 = 5 ( 5 – 5 ) * 5 + 5 = 5

Problema 4

Scrieti toate numerele de doua cifre care indeplinesc in acelasi timp conditiile :

se imart exact (fara rest) la 7

au suma cifrelor 10

Solutie : 55 ; 64 ; 73 ; 82 ; 91 ; 46 ; 37 ; 28 ; 19 ;

R. = 91 ; 28.

Problema 5

Sa se scrie numarul 77 ca un produs de numere naturale astfel incat suma acestor numere sa fie 77.

Solutie : 7 * 11 * 1 * 1 * 1 *……………………. * 1 = 77 7+11=18

7 + 11 + 1 + 1 + 1 + ……..……………. + 1 = 77 77-18=59

de 59 ori

Problema 6

Ce numar lipseste ?

a)

figura………..132

Problema 7

Puneti paranteze in egalitatile de mai jos ca sa fie adevarate :

Solutia :

2 * 1 + 2 * 4 + 1 = 12 2 * 1 + 2 * ( 4 + 1 ) = 12

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 37 3 * ( 1 + 2) * 4 + 1 = 37

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 28 3 * ( 1 + 2 * 4 ) + 1 = 28

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 30 3 * ( 1 + 2 * 4 + 1 ) = 30

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 13 3 * 1 + 2 * ( 4 + 1 ) = 13

Problema 8

Continuati sirurile : Solutia :

a) 13 ; 14 ; 16 ; 19 ; 23 ; 28 ; a) 14-13=1 ; 16-14=2 ; 19-16=3

b) 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; b) 1+2=3 ; 2+3=5 ; 3+5=8 ;8+5=13

c) 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; c) 1*1=1 ; 2*2=4 ; 3*3=9 ; 4*4=16 ; 5*5=25 etc.

Problema 9

Opt ori opt fac saizeci si patru si cu unu si cu altul si cu doi legat de patru cat fac ?

Solutia : 64 + 1 + 1 + 24 = 90

Problema 10

Noua ori noua fac optzeci si unu , iei pe opt si mai pui 1 cat fac ?

Solutia : 81 – 8 + 1 = 74

Problema 11

Cum trebuie sa fie asezate sase cifre de 1 pentru ca prin adunarea lor sa se obtina suma egala cu 12 ?

Solutia : 11 + 11 = 12

11

Problema 12

Asezati sapte cifre de 7 in asa fel incat numai prin folosirea semnelor adunarii si scaderii sa obtineti un total egal cu 7.

Solutia : 7+7 7+7

7 7

In concluzie dezvoltarea potentialului de gandire si creativitate se realizeaza prin activitati care solicita independenta , investigatie , originalitate. De aceea este strict necesar sa fim receptivi la ceea ce intereseaza si le place copiilor, la ceea ce vor si pot realiza, valorificand in activitate toate fortele si dorintele lor, satisfacandu-le interesele.

Problemele de perspicacitate sun socotite ca o trebuinta generala de cunoastere, accelerand curiozitatea si conflictul rational ca un proces de cautare si descoperire.

Procesul de invatamant modern trebuie sa ajute pe elevi sa prezinte cunostintele intr-o forma personala sa caute solutii originale, sa stie sa grupeze si sa ierarhizeze ideile care trebuie sa inlesneasca gandirea creatoare.

C O N C L U Z I I

Matematica , stiinta care la inceputul acestui secol n-avea alte aplicatii in afara de fizica si inginerie, a devenit un fenomen fundamental al vietii contemporane si un instrument de neinlocuit in cele mai multe domenii ale stiintei si tehnicii.

Invatatorul, prin primele deprinderi matematice pe care le formeaza la scolari, se alatura matematicienilor in opera de formare a culturii matematice.

El trebuie sa fie un om cu multa sensibilitate, un om entuziast, un om in cautarea noului in vederea pregatirii sale pedagogice, sa fie mereu tanar, iar acestei tinereti permanente sa i se adauge cautarile zilnice pentru perfectionarea maiestriei sale profesionale.

Insusirea matematicii la clasele I-IV, impune rabdare, munca si iarasi munca, gasirea celor mai potrivite procedee care sa nu plictiseasca, sa nu descurajeze, mai mult, sa trezeasca interesul micilor scolari, dragostea de a invata bine si temeinic, dragoste pentru munca, curiozitatea si pasiunea pentru matematica.

Rezolvarea si compunerea problemelor in ciclul primar se realizeaza in etape, potrivit particularitatilor de varsta ale elevilor.

Acest proces presupune din partea invatatorului :

adaptarea metodelor si mijloacelor de lucru la specificul clasei si al fiecarui elev, pentru a asigura o eficienta maxima ;

disciplina si ordine in desfasurarea orelor de matematica ;

urmarirea prin metode variate a nivelului de formare a deprinderilor de calcul ;

organizarea unor activitati suplimentare cu elevii care inteleg mai greu anumite probleme ;

existenta unei relatii de colaborare invatator-elev, astfel incat elevul sa solicite singur rezolvarea unor exercitii si probleme, fie la tabla, fie pe caiet, in vederea consolidarii tehnicilor de calcul.

Exercitiile, problemele si jocurile didactice pot fi utilizate in toate tipurile de lectie.

lectii de transmitere si insusire a noilor cunostinte ;

lectii de fixare si aplicare in practica a cunostintelor, de formare a deprinderilor si a priceperilor.

Consideram ca prin lucrarea de fata, fara a aduce lucruri inedite , am reusit sa demonstram, prin exemplele practice pe care le-am prezentat din experienta mea la catedra, ca activitatea invatatorului in directia cultivarii la elevi a dragostei si interesului pentru matematica se impune a fi inventiva si creativa.

Lucrarea de fata a elucidat o parte din aspectele esentiale ale rezolvarii si compunerii de probleme in directia cultivarii creativitatii elevilor. La incheierea experimnetului propus putem afirma ca activitatile matematice si indeosebi cele de rezolvari si compuneri de probleme dispun de bogate valente formative. Specificul activitatii matematice consta in faptul ca ea reprezinta o tensiune, o incredere, o mobilizare a spiritului care inseamna antreanarea intelectului – a gandirii pe prim plan.

Multe din parerile si sugestiile noastre sunt susceptibile de imbunatatiri. Problematica poate fi aprofundata prin continuarea cercetarii pe baza de observatii zilnice la lectii, atat de noi, cat si de alte cadre didactice. In acest sens, se simte nevoia de organizare a unor schimburi mai largi de opinii, intrucat invatatorul nu este un simplu executant al programei scolare, ci un realizator al ei, un creator in materiale de metodologie.

De aceea am cautat sa prezint un numar sporit de exercitii si probleme practice, cat si metodologia rezolvarii lor, punand accent pe activitatea elevilor in scopul atingerii celei mai inalte trepte ale invatarii, invatarea creativa, chiar de la clasele mici.

Caracterul practic al lucrarii este accentuat si de anexele prezentate, ca modele de lucru, si in mod deosebit pentru cercul de matematica si concursurile scolare, care insotesc lucrarea. Aceste probleme au fost intocmite in scopul folosirii lor si ca intrument auxiliar de lucru al invatatorului.

Fiecare invatator trebuie sa aiba astfel de seturi de probleme, ele fiind utile in activitatile cu elevii la clasa, cat si in orele de pregatire suplimentara cu acestia. Problemele propuse vin in completarea celor din manual, dar sunt mai deosebite sau cu grad mai mare de dificultate, diversificand mai mult tipologia problemelor rezolvate. Ele ajuta invatatorul si in realizarea unui invatamant diferentiat, unele dintre acestea putand fi date suplimentar pentru elevii cu un ritm mai mare de lucru.

In munca pe care o desfasor la catedra cu elevii din clasele mici urmaresc, nu numai transmiterea de cunostinte, ci sa formez, in primul rand, copilul pentru viata.

Este de dorit ca ecoul activitatilor noastre sa se simta in constiinta elevilor, a copiilor nostri, pe care-i crestem si ii educam pentru a trai cinstiti, creatori si liberi, devotati patriei si partidului ; invatatorul ramanand pentru ei un model de constiinciozitate, un om mereu nou, prin adaosul ca-l face zilnic pregatirii sale stiintifice si pedagogice.

In incheiere putem afirma ca exista multe posibilitati de educare a capacitatilor creatoare prin invatarea matematicii, dar este necesar sa se aplice metode si procedee adecvate particularitatilor de varsta a alevilor. O alta concluzie ce se desprinde este aceea ca prin aceste activitati se ridica nivelul intelectual, se formeaza o atitudine corecta fata de creatie si invatare.

Modernizarea invatamantului matematic este impusa de dezvoltarea societatii noastre socialiste pe multiple planuri, social, economic, cultural. Matematica implica multe legaturi cu viata, pregateste viitorul cetatean pentru viata, pentru integrarea lui in societate.

Scoala moderna asigura conditii optime pentru dezvoltarea capacitatilor creatoare.

PROIECT DIDACTIC

Obiectul de invatamant : matematica

Clasa a II-a

Tema lectiei : Inmultirea numerelor naturale de la 0 la 100 – exercitii si probleme recapitulative.

Scopul lectiei :

Consolidarea cunostintelor despre inmultirea numerelor naturale de la 0 la 10.

Consolidarea operatiilor de adunare , scadere si inmultire.

Consolidarea deprinderii de a aplica cunostintele dobandite in rezolvarea unor exercitii si probleme cu cele trei operatii matematice.

Educarea atentiei, dezvoltarea gandirii ( a operatiilor analiza, sinteza, comparatie), a dragostei pentru obiectul matematica.

Obiective operationale : La sfarsitul lectiei, elevii vor fi capabili :

O.1 – sa cunoasca modalitati de calcul a produsului a doua numere de la 0 la 10.

O.2 – sa-si formeze automatisme de eneuntare a produsului direct fara calcul.

O.3 – sa dobandeasca deprinderea recunoasterii problemelor care se rezolva prin inmultire si sa se obisnuiasca a scrie numarul ce se repeta ca termen al adunarii, ca al doilea factor al inmultirii, primul factor aratand de cate ori se repeta al doilea ca termen al adunarii.

O.4 – sa aplice in calcul , intelegand semnificatia lor, relatiile matematice « cu atat mai mare decat »,  « cu atat mai mic decat », « de atatea ori mai mare decat » ;

O.5 – sa scrie rezolvarea unei probleme (sau parti ale ei) sub forma unui exercitiu cu mai multe operatii ;

O.6 – sa alcatuiasca probleme dupa exercitii date ;

O.7 – sa aplice comutativitatea si asociativitatea la adunari si inmultiri in scopul accesibilizarii calculului si optimizarii ritmului ;

O.8 – sa plice distributivitatea inmultirii fata de adunare atat in exercitii cat si in rezolvare de probleme pe mai multe cai.

Tipul lectiei : formare de priceperi si deprinderi

Metode si procedee : conversatia, explicatia, exercitiul, problematizarea, algoritmizarea, jocul didactic, evaluarea.

Material didactic :

plansa cu tabla inmultirii ;

exercitii scrise pe tabla ;

planse cu jocuri si probleme ;

fise de evaluare.

Material bibliografic

“Programa de matematica a claselor I-IV“, E.D.P. Bucuresti, 1980, M.E.I.

“Manual pentru clasa a II-a”, E.D.P, Bucuresti 1988, p.98-99.

Neacsu Ioan, “Metodica predarii matematicii la clasele I-IV” E.D.P., Bucuresti, 1988.

Nr. Secventele Obiective Continutul Metode si Evaluare

crt. Lectiei lectiei procedee

0. 1. 2. 3. 4. 5.

PROIECT DIDACTIC

Obiectul de invatamant : matematica

Clasa a III-a

Tema lectiei : Litrul. Multipli ai litrului

Obiective instructiv-educative :

O.1 – elevii sa-si fixeze cunostintele despre multiplii si submultiplii metrului ;

O.2 – sa stie sa faca masuratori ;

O.3 – sa stie sa rezolve exercitii si probleme in care sa transforme unitatile de masura invatate ;

O.4 – sa-si insuseasca cunostintele despre litru si multiplii lui ;

O.5 – sa stie sa opereze cu multiplii litrului ;

O.6 – sa cunoasca utilitatea acestor unitati de masura ;

O.7 – sa dea dovada de interes si pasiune pentru obiectul matematica ;

O.8 – sa-si dezvolte gandirea , judecata matematica si spiritul de observatie.

Tipul de lectie : de dobandire a cunostintelor

Metode si procedee : exercitiul, problematizarea, algoritmizarea, demostratia, jocul didactic, conversatia.

Mijloace didactice: plansa cu multiplii litrului, vase de diferite capacitati, fise , planse cu multiplii si submultiplii metrului.

Forme de activitate : activitatea frontala si individuala.

Material bibliografic : Neacsu, Ioan, « metodica predarii matematicii la clasele I-IV »,  « Probleme de matematica pentru clasele 2-4 », E.D.P, Buc. 1998, p 182-184 ; « Programa de matematica a claselor I-IV » E.D.P., Buc., 1983,M.E.I.

FISE DE MUNCA INDEPENDENTA

Clasa a III-a

Fisa 1 A

Obiective operationale :

sa afle termenul necunoscut ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea exercitiului dat ;

sa aplice cunostintele insusite in rezolvarea problemei date ;

Aflati termenul necunoscut din egalitatile :

535-x-170=87

900-355+x=233

Cum se schimba suma a trei numere, daca fiecare se va micsora cu 150 ?

Problema :

Un muncitor doreste sa cumpere un pardesiu in valoare de 990 lei. Are o suma de bani, care nu-i ajunge sa cumpere pardesiul. Daca ar avea cu 235 lei mai mult decat suma pe care o are, atunci, dupa cumpararea pardesiului ar ramane cu 153 lei.

Ce suma avea muncitorul inainte de a cumpara pardesiul ?

Raspuns : 908 lei.

Fisa 1 B

Obiective operationale :

sa calculeze sume si diferente cu numere pana la 1000, cu trecere peste ordin ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea exercitiului dat ;

sa aplice adunarea si scaderea in rezolvarea problemei date ;

Sa se efectueze :

208+196+300+67=

451-153+7-118=

Ce se intampla cu rezultatul unei scaderi daca descazutul se micsoreaza cu 1757. Verificati pe exemplu 900-638

Problema :

La o cooperativa agricola de productie s-au recoltat 956t de fructe : 450t mere ; 120t pere ; 147t prune, iar restul gutui.

Cate tone de gutui s-au recoltat ?

Rezolvati in doua moduri. Scrieti rezolvarea sum forma unui exercitiu.

Raspuns: 239 t.

Fisa 2 A

Obiective operationale:

sa calculeze suma, diferenta si produsul cu numere date;

sa respecte ordinea efectuarii operatiilor ;

sa verifice simetria egalitatilor date ;

sa utilizeze corect datele dintr-o problema aplicativa.

15 * 4 + 328 =

164* 7 + 96 =

208 – 4 * 38 =

6 * 43 – 144 =

Care numar este de 9 ori mai mare decat numerele :

69 ;241 ;64.

Problema :

Un costum de dama costa 859 lei. Cu 122 lei mai mult decat costul costumului s-ar putea cumpara 3 costume de pionier.

Care este costul unui costum de pionier ?

Raspuns : 328 lei.

Fisa 2 B

sa calculeze sume si diferente ;

sa resprecte ordinea efectuarii operatiilor ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea problemei date;

Calculati:

3825 + 2546 = 700541 – 29361 =

12734 + 10504 = 105400 – 44259 =

Efectuati:

(7 * 123) + (3 * 24)=

(930 : 3) – (240:2) =

Problema:

Din judetul Vaslui au plecat la tabara la mare si la munte 8792 baieti si cu 528 mai multe fete. Cate compartimente de tren au fost necesare pentru a-i transporta pe toti elevii la destinatie ? (un compartiment are 8 locuri)

Raspuns : 2264 compartimente.

Fisa 3 A

Obiective operationale :

sa calculeze produse si caturi ;

sa aplice cunostintele insusite in rezolvarea problemei date ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea exercitiilor date ;

Calculati :

500 : 100 = 24 * 10 =

42 * 100 = 2 * 1000 =

6600 : 10 = 6000 : 1000=

Se da numarul 643000. Scrieti un numar mai mic decat acesta de 10 ori, de 100 ori, de 1000 ori.

De la un depozit s-au repartizat 44000 oua in mod egal la 10 magazine. Cate oua au revenit fiecaruia ?

Fisa 3 B

Obiective operationale :

sa efectueze operatii aritmetice cu numere reprezentand multiplii si submultiplii unitatilor de masura ;

sa transforme unitatile de masura dupa conditia data ;

sa opereze cu unitatile de masura invatate in probleme cu caracter practic.

Faceti transformarile :

24 km = ? hm = ? dam = ? m

8 kl = ? hl = ? dal = ? l

b) 14 zile = ? ore 48 ore = ? zile

50 ani = ? decenii 4 secole = ? ani

2.Efectuati :

a) 40 q + ? q + 300 q = 4 t

9 t – 36q –  ? q = 20 q

b) 42 secole = ? ani

17 milenii = ? ani

3.Curtea scolii are forma de patrat cu latura de 25 dam. Cati metri are perimetrul ?

PROBLEME DIVERSE

Suma de 550 lei s-a platit cu ajutorul a 15 bancnote de 50 lei si de 25 lei.

Cate bancnote au fost de 25 lei ? Dar de 50 lei ?

Raspuns : 7 bancnote de 50 lei ;

8 bancnote de 25 lei.

Intr-o curte erau iepuri si rate ; 27 de capete si 78 picioare. Cate rate si cati iepuri erau ?

Raspuns : 15 rate ; 12 iepuri.

Sa se afle cele doua numere, stiind ca al doilea este de 7 ori mai mare decat primul, iar suma dintre dublul primului numar si triplul celui de-al doile este 1150.

Se va efectua si proba.

Raspuns : 50 ; 350.

Intr-o forma sunt 880 gaini si curcani. Diferenta dintre numarul curcanilor si al gainilor este de 360.

Cati lei se incaseaza daca se vand 2/5 din numarul curcanilor si 4/5 din numarul gainilor, cunoscand ca o gaina si un curcan costa 160 lei si ca un curcan costa cu 80 lei mai mult decat o gaina ?

Raspuns 38.080 lei.

Aflati numerele naturale naturale care fac adevarate egalitatile :

(195 + a) – (245 + 436) = 321

24 * 100 + (3500 – b) = 5428

148 + (629 – a) + 535 = 721

Raspuns : a=807 ; b=472 ; c=591.

Cati lei vor costa 150 caiete daca 15 caiete costa cu 9 lei mai mult decat 12 caiete ?

Raspuns : 450 lei.

a) Suma a trei numere naturale consecutive este 954. Sa se afle numerele.

Raspuns : 317 ; 318 ; 319.

Exista trei numere naturale consecutive, care sa aiba suma egala cu 673 ?

Raspuns : Nu.

Suma a patru numere naturale consecutive este 1654. Care sunt numerele ?

Raspuns : 412; 413; 414; 415.

Exista patru numere naturale consecutive , care sa aiba suma 1675?

Raspuns: Nu.

Compuneti un exercitiu asemanator pentru 5 numere consecutive.

Sa se afle valoarea lui x din egalitatile :

x : 9 – 164 =2016

2100 : x + 325 = ( 925 – 675 ) * 2

2200 + 1900 – 4 * x = 2000

Raspuns : a)19620 ; b)12 ; c)525.

Un numar este cu 10 mai mare decat altul. Daca numarul mare il inmultim cu 3, obtinem 51. Aflati cele doua numere.

Raspuns : 7 ; 17.

Pentru cumpararea unei mingi de fotbal, patru sportivi au contribuit cu sume de bani diferite. Aflati suma cu care a contribuit fiecare daca toate propozitiile ce urmeaza sunt adevarate.

P.1 : Primul a dat 68 lei sau 27lei sau 153 lei ;

P.2 : Al doilea a dat 102 lei sau 153 lei ;

P.3 : Al treilea nu a dat 27 lei ;

P.4 : Al patrulea a dat 102 lei.

Raspuns : I=27lei ;II=153lei ;III=68lei ;IV=102 lei.

La « Teatrul V.I.Popa » s-au platit 600 bilete de 15 lei si 20 lei biletul incasadnu-se in total 10000 lei. Cate bilete s-au vandut de fiecare fel ?

Raspuns : 400 bilete ; 200 bilete.

La « Libraria Al.Vlahuta » din Barlad s-au adus 565 carti. Unele aveau pretul de 12 lei bucata, altele de 16 lei bucata, platindu-se in total 8188 lei. Cate carti de 12 lei bucata si cate carti de 16 lei bucata s-au adus la librarie ?

Raspuns : 213 carti ; 352 carti.

Un caine urmareste o pisica care se afla la 24 sarituri in fata lui. Sa se afle dupa cate sarituri ajunge caiinele pisica daca in timp ce cainele face 5 sarituri pisica face 6 sarituri si 5 sarituri ale cainelui fac cat 8 sarituri ale pisicii.

Raspuns : 60 de sarituri.

Un elev rezolva probleme. Daca ar rezolva cate 6 probleme pe zi i-ar ramane 4, daca ar rezolva 7 probleme pe zi i-ar ramane o problema nerezolvata. Cate probleme are elevul de rezolvat ?

Raspuns : 22 probleme.

Gheorghita s-a dus la cules mere. El are de umplut un anumit numar de ladite. Daca ar umple cate 10 ladite pe zi, i-ar ramane 5 ladite goale ; daca ar umple cate 11 ladite pe zi, i-ar ramane 3 ladite de umplut.

Cate ladite are de umplut ?

Raspuns : 25 ladite.

Clasa a II-a a plecat cu saniutele la derdelus. Daca s-ar aseza cate 2 pe sanie, ar ramane 8 copii fara sanie. Daca s-ar aseza cate 3 copii pe sanie, ar ramane 3 sanii libere.

Cati copii si cate sanii sunt ?

Raspuns : 42 copii si 17 sanii.

PROBLEME CARE POT FI REZOLVATE PRIN METODA FIGURATIVA (GRAFICA)

Aflati lungimea si latimea unui dreptunghi al carui perimetru este de 606 m, lungimea fiind cu 61 m mai mare decat latimea.

Raspuns : 182m ; 121m.

Doi muncitori au executat impreuna intr-o zi 3117 piese. Stiind ca primul a executat cu 389 piese mai mult decat al doilea, aflati cate piese au executat fiecare muncitor.

Raspuns : 1753 piese ; 1364 piese.

Doi elevi au economisit pentru o excursie 554 lei. Daca primul ii da celui de-al doilea 36 lei amandoi au aceeasi suma. Cati lei a avut fiecare, ala inceput ?

Raspuns : 313 lei ; 241 lei.

Intr-o vaza sunt cu 28 de flori mai multe decat in alta. Cate flori trebuie sa trecem indr-o vaza in alta, pentru ca in amandoua vaze sa fie acelasi numar de flori ?

Raspuns : 14 flori.

In trei lazi se afla 85 kg cirese. In prima lada se afla cu 4 kg mai mult decat in a doua, iar in a doua cu 3 kg mai mult decat in a treia. Cate kilograme de cirese se afla in fiecare lada ?

Raspuns : 32 kg ; 28 kg ; 25 kg.

Catalin, Ana si Mioara au adus impreuna pentru angajamentul de munca un numar de sticle. Sa se afle cat a adus fiecare, stiind ca : Catalin impreuna cu Ana au adus 78 sticle, Ana impreuna cu Mioara au adus 95 sticle, iar Catalin impreuna cu Mioara au adus 89 sticle.

Raspuns : 36 sticle ; 42 sticle ; 53 sticle.

Pe un santier sunt cazati 436 muncitori in 4 cladiri. In prima cladire sunt cu 10 muncitori mai multi decat in cladirea a IV-a, unde sunt cu 8 muncitori mai multi decat in cladirea a III-a, iar in cladirea a II-a sunt cu 10 muncitori mai multi ca in a III-a. Cati muncitori sunt cazati in fiecare cladire ?

Raspuns : 118 ; 110 ; 100 ; 108.

Andrei, Barbu si Costel au impreuna 182 lei. Barbu are jumatate din suma pe care o are Andrei si dublul sumei pe care o are Costel. Ce suma are fiecare?

Raspns: 26 lei ; 52 lei ; 104 lei.

In trei clase sunt 119 elevi. In prima sunt cu trei elevi mai putin decat in a doua, iar in a treia cu 5 elevi mai mult decat in prima. Cati elevi sunt in fiecare clasa?

Raspuns: 37; 40; 42.

Cate kilograme de cirese au cules 3 pionieri daca primul a cules 5 kg, al doilea a cules 2/5 din cat a cules primul si 1/3 din cat a cules ultimul, iar al treilea a cules cat al doilea si de 2 ori cat primul ?

Raspuns : 31 kg.

Cate creioane colorate are un elev, stiind ca daca ar avea cu doua mai putin, atunci 1/3 din acest numar ar fi cu unu mai mare decat 1/6 din el ?

Raspuns : 8 creioane.

Cu un sfert din banii pe care ii are un elev a cumpara un stilou de 50 lei, iar cu o 1/5 din cat i-au ramas a cumparat doua carti. Cati lei a avut la inceput si cati lei i-au mai ramas ?

Raspuns : 200 lei ; 120 lei.

Intr-un depozit se afla de 3 ori mai multa faina decat in altul. Daca din primul depozit se scot 850 kg faina, iar din al dailea 50, atunci in ambele depoziteraman aceleasi cantitati de faina. Cate kiograme de faina sunt in fiecare depozit ?

Raspuns : 400 kg ; 1200 kg.

Un drumet si-a propus sa strabata un drum in cinci etape egale. Dupa ce a strabatut doua parti din cele planificate, s-a oprit s a vazut ca daca ar merge inca 4 km, ii raman de parcurs tot atatea parti cate facuse in momentul opririi. Ce lungime are drumul ?

Raspuns : 40 km.

Intr-o camera erau 12 oameni. Dupa un timp au plecat 7. Cineva a spus : Am ramas a treia parte si inca unul din cati am fost.

Este adevarat acest lucru ?

Raspuns : Da.

La o ferma s-au repartizat 846 kg graunte astfel : pentru ei de 3 ori mai mult si inca 6 kg decat hrana repartizata pentru gaini. Cate gaini are ferma daca pentru fiecare gaina s-au repartizat 5 kg graunte ?

Cate kg de graunte a repartizat pentru oi?

Raspuns : 42 gaini; 636 kg.

Patru frati: Mircea, Ionel, Catalin si Anca au o suma de bani. Catalin are de 5 ori mai putin decat Ionel. Ionel de doua ori mai mult decat Mircea, iar Mircea de trei ori mai putin decat Anca. Sa se afle ce suma are fiecare stiind ca Ionel are 350 lei.

Raspuns : 70 lei ; 175 lei ; 525 lei.

18.Detasamentul clasei a IV-a a recoltat de pe lotul scolar ceapa, o cantitate de rosii de 3 ori mai mare decat ceapa, vinete cu 30 kg mai mult decat rosii, iar morcovi cu 20 kg mai mult decat vinete s-au recoltat ?

Raspuns : 50 kg ; 150 kg ; 180 kg.

19.Trei muncitori au depus la C.E.C 1548 lei. Primul a depus mai putin cu 36 lei decat al doilea, iar al doilea cu 72 lei mai mult decat al treilea. Cati lei a depus fiecare muncitor la C.E.C ?

Raspuns : 480 lei ; 552 lei ; 516 lei.

20.Sa se afle cele doua numere, stiind ca al doilea este de 7 ori mai mare decat primul, iar suma dintre dublul primului numar si triplul celui de-al doilea este 966.

Raspuns : 42 ; 294.

PROBLEME CARE POT FI REZOLVATE PRIN METODA REDUCERII LA UNITATE

La o librarie s-au adus 2547 caiete. Cati lei se vor incasa, daca 9 caiete costa 27 lei ?

Raspuns : 7641 lei.

Doua echipe de muncitori, una cu 4 muncitori si cealalta cu 6 muncitori, au primit pentru o lucrare 7500 lei. Ce suma a primit fiecare echipa, daca fiecare muncitor a primit aceeasi suma ?

Raspuns : 3000 lei ; 4500 lei.

Sase robinete cu acelasi debit umplu un bazin in 8 ore. Aflati : a) In cate ore vor umple bazinul 2 robinete ? Dar 8 robinete? b) In cate ore va umple bazinul un singur robinet? c) In cate ore vor umple bazinul 3 robinete?

Raspuns: 24 ore; 6 ore; 48 ore; 16 ore.

La o alimentara s-a vandut timp de trei zile zahar in valoare de 4466 lei. Ce suma s-a incasat in fiecare zi stiind ca in prima zi s-au vandut 85 kg, a doua zi 102 kg, iar in a treia zi 132kg ?

Raspuns: 1190 lei; 1428 lei; 1848 lei.

In 8 ore un iciclist parcurge 144 km, iar un automo bilist parcurge in 2 ore 130 km. Cu cati kilometri parcurge mai mult automobilistul in 5 ore, dacat biciclistul in 10 ore? (viteza medie este aceeasi la fiecare).

Raspuns : 145 km.

16 muncitori au lucrat 3200 piese in 8 zile. In cate zile ar fi lucrat acelasi numar de piese 32 muncitori, lucrand toti la fel ?

Raspuns : 4 zile.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN METODA COMPARATIEI

Pentru o cantina s-au cumparat 8 oachete de unt si 7 kg de faina si s-au platit 123 lei. Alta data s-au cumparat 10 pachete de unt si 7 kg faina si s-au platit 145 lei. Cat costa un pachet de unt si cat costa un kilogram de faina ?

Raspuns : 11 lei si 5 lei.

Daca se confectioneaza 5 costume de elevi si 4 costume barbatesti se consuma 22 m de stofa, iar daca se croiesc 10 costume de elevi si 6 costume barbatesti se consuma 38 m de stofa. Cati metri de stofa sunt necesari pentru un costum de elev si cati pentru un costum barbatesc ?

Raspuns : 2m ; 3m.

O toneta a primit in prima zi 120 kg mere si 79 kg de pere in valoare de 1314 lei. A doua zi a primit 15 kg mere si 145 kg pere in valoare de 975 lei. Cat costa un kilogram de mere ? Dar un kilogram de pere ?

Raspuns : 7 lei ; 6 lei.

Maria cumpara 2 carti, 5 blocuri de desen si 6 caiete de matematica si plateste 51 lei. Sorin cumpara 7 carti, 4 blocuri de desen si si 3 caiete de matematica si plateste 66 lei. Marin cumpara 7 carti, 9 blocuri de desen si 9 caiete de matematica si plateste 105 lei. Cat costa o carte ? Dar un bloc ? Dar un caiet de matematica ?

Raspuns 6 lei ; 3 lei ; 4 lei.

Un bazin pentru inot se umple cu apa prin doua robinete. Daca lasam deschis primul robinet 7 ore si al doilea 6 ore, in bazin vor curge 385 kl de apa, iar daca lasam deschis primul robinet 8 ore si al doilea robinet 10 ore, in bazin vor curge 550 kl de apa. Cati kilolotri de apa curg prin fiecare robinet intr-o ora ?

Raspuns : 25 kl ; 35kl.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN REDUCEREA LA ACELASI TERMEN DE COMPARATIE

Cu 860 lei se pot cumpara 5 rate, 2 curcani si 3 gaini. Stiind ca un curcan costa cat o gaina si o rata la un loc, iar o gaina este mai ieftina dacat o rata cu 20 lei, aflati costul unei gaini, a unei rate si a unui curcan.

Raspuns : 60 lei ; 80 lei ; 140 lei.

Cu 780 lei se pot cumpara 40 caiete si 30 carti. Stiind ca o carte costa de 3 ori mai mult decat un caiet, sa se afle cat costa o carte si cat costa un caiet.

Raspuns : 6 lei ; 18 lei.

Mama cumpara 3 batiste si 3 perechi de sosete platind 57 lei. Stiind ca perechea de sosete costa cat 3 batiste si inca 3 lei, aflati pretul unei perechi de sosete si a unei batiste.

Raspuns : 15 lei ; 4 lei.

Cu 86 lei se pot cumpara 4 napolitane si 5 ciocolate. Stiind ca o ciocolata costa cat 3 napolitane sin ca 2 lei, aflati pretul unei ciocolate si a unei napolitane.

Raspuns : 14 lei ; 4 lei.

Un elev, cumparand 7 gume, 5 creioane si 8 caiete plateste 86 lei. O guma este de doua ori mai scumpa decat un creion, iar creionul este de 3 ori mai ieftin decat caietul. Cat costa o guma ; un creion ; si un caiet ?

Raspuns : 4 lei ; 2 lei ; 6 lei.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN METODA IPOTEZELOR (Falsei presupuneri)

Un muncitor a primit o prima constand in bancnote de cate 100 lei si 25 lei in valoare de 425 lei. Cate bancnote de fiecare fel a primit ?

Raspuns : 5 bancnote de 25 lei ;

3 bancnote de 100 lei

La statia C.F.R Barlad s-au vandut intr-o zi 214 bilete pentru calatorie, de 11 lei si 13 lei, incasandu-se in total 2502 lei. Cate bilete s-au vandut de fiecare fel ?

Raspuns : 140 bilete ; 74 bilete.

Intr-o zi s-a transportat la piata 141 ladite cu capsuni, unele de 10 kg si altele de 12 kg. Cate ladite au fost de fiecare daca in total s-au transportat 1594 kg de capsuni ?

Raspuns : 49 ladite ; 92 ladite.

Intr-un bloc sunt 97 apartamente cu cate 2 si 3 camere. Daca in bloc sunt in total 246 camere, cate apartamente sunt cu 2 camere si cate sunt cu 3 camere ?

Raspuns: 45 apartamente; 52 apartamente.

La o cooperativa agricola de productie sunt oi si pasari in total 4213 capete si 9596 picioare. Cate oi si cate pasari are cooperativa ?

Raspuns : 3628 pasari ; 585 oi.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN METODA MERSULUI INVERS

De la un depozit s-au distribuit in patru zile o cantitate de malai astfel :

in prima zi 2/5 din intreaga cantitate

in a doua zi ½ din rest.

In a treia zi 2/3 din ce-a mai ramas dupa ce s-a distribuit in primele doua zile.

In a patra zi s-a distribuit 200 kg.

Ce cantitate a fost transportata si cate kilograme a primit fiecare unitate alimentara ?

Raspuns : 2000 kg ; 800 kg ; 600 kg ; 400 kg.

La un aprozar s-au adus rosii. Primul cumparator a luat ½ din toata cantitatea, al doulea 1/3 din rest, al treilea ½ din noul rest, iar al patrulea 1/3 din cantitatea ramasa. Dupa aceasta vanzatorul constata ca a mai ramas cu 12 kg.

Ce cantitate de rosii s-au adus?

Raspuns : 108 kg.

Ce suma de bani a avut Maria daca dupa ce a cheltuit ¾ din ea si apoi 2/3 din rest i-au ramas 24 lei ?

Raspuns : 288 lei.

Un excursionist porneste de la cabana A la cabana B. Dupa 45 km se opreste si face un popas mai lung gandindu-se ca mai are de parcurs un sfert. Care este lungimea dintre cabane ?

Raspuns : 60 km.

Sa se afle numarul « a » din egalitatea :

(a+5370 : 30) – 639 .

9315 :27 – ( 2681 + 417 * 28 – 14019)

Raspuns : a = 642

Determinati valoarea lui x din egalitatea :

3 + { 4 * [ 2 + ( 6 + x ) : 3 ] – 17 } * 7 = 24

Raspuns : x=3

Calculati pe « a » din egalitatea :

{ [ ( a + 3 ) * 3 + 3 ] * 3 + 3 } * 3 + 3 = 201

Raspuns : a=3

Determinati numerele naturale x, y, z stiind ca :

7 * x + 5 * y – z = 24 si y + z = 8

Raspuns: x=2; y=3 si z=5.

Sa se determine numerele x, y, z, stiind ca :

x * 3 * y + 7 * y = z

z = 7 * 6 + 3 * x

9 * x = 63

Raspuns : x=7 ; y=3 ; z=63.

Sa se afle numerele necunoscute x si y din egalitatile :

[ 45 : ( 34 – x ) + 44 ]  : 7 = 7

y : [ ( 842 – 622 ) : 4 – 25 ] = 5

Raspuns : x=25 ; y=150.

BIBLIOGRAFIE TEMATICA SI SELECTIVA

Revista de pedagogie nr 12/1989

Aren, Ioan ; I.Gheorghe si Herescu “Aritmetica pentru invatatori”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1977;

Beraru,Ion Cunoasterea si cultivarea aptitudinilor matematice la elevii de varsta scolara mica si mijlocie in “Studii de spihologie scolara”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1979.

Boros, M. si Fornvald, F. “Priceperea elevilor de a alcatui in mod independent probleme” in “Revista de pedagogie”, nr.6/1982.

Bunescu, Vasile “Stilul muncii intelectuale – indicator si mijloc al invataturii eficiente” in “Revista de pedagogie”,nr.6/1982

Cerghit, Ioan “Metode de invatamant”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

Dottrene, R. « A educa si a instrui », Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

“Diferentierea activitatii cu elevii din ciclul primar in cadrul lectiei “, volum editat de “Revista de pedagogie”,Bucuresti,1976.

Galperin, P.I. « Psihologia gandirii si teoria formarii in etape a actiunilor mentale » in « Studii asupra gandirii in psihologia sovietica ».Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

Holban,I.  « Incursiuni in problemele docimologiei » in « Revista de pedagogie » nr.5/1973.

« Invatamantul in clasele I-IV » Culegere metodica editata de « Revista de pedagogie », Bucuresti, 1979.

Landu,Erika « Psihologia creativitatii » Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti ,1979.

Matei,Nicolae,C. « Educarea capacitatilor creatoare in procesul de invatamant », Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1982.

“Metodica predatii aritmeticii in scoala generala de 8 ani”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1965.

«Modernizarea invatamantului primar » Culegere metodica editata de « Revista de pedagogie », Bucuresti 1980

Neacsu,Ioan “Metodica predarii matematicii in clasele I-IV”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1988.

17.Nicola,Grigore “Criterii psihologice in clasificarea problemelor de aritmetica” in “Probleme ale invatarii in clasele I-IV „Editura Didactica si pedagogica”, Bucuresti, 1969.

18. Nicola Grigore: Invatarea creative: Concept si metodologie- in „Revista de pedagogie”, nr. 9/1979.

19. Nicola, Ioan: Pedagogie scolara. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980

20. Noica, C: Eminescu sau ganduri despre omul deplin al culturii romanesti (Manuscrisul 2289 fila 15)

21. x x x x : Organizarea si desfasurarea procesului de ivatamant in ciclul primar in vederea cresterii randamentului scolar si lichidarea repetentei, volum editat de „Revista de pedagogie”, Bucuresti, 1974

22. Oprescu Nicolae: Educarea creativitatii elevilor in procesul de invatamant in „Revista de pedagogie”, nr. 3/1997

23. Oprescu Nicolae: In sprijinul elaborarii obiectivelor operationale ale lectiei in „Revista de pedagogie”, nr. 6/1983

24. Oprescu Nicolae: Modernizarea invatamantului in ciclul primar, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974

25. x x x x: Pedagogia. Atelierul de imprimerie al Universitatii din Iasi, 1979

26. Piaget, Jean: „Psihologia inteligentei” Bucuresti, Editura Stiintifica, 1965.

27. Polya , George:Descoperirea in matematica. Euristica rezolvarii problemelor, Editura stiiintifica , Bucuresti, 1965.

28. Polya , George: Cum se rezolva o problema ?, Editura stiintifica, Bucuresti, 1971

29. Popescu-Neveanu, Paul: Creativitatea si invatare in „Revista de pedagogie”, nr. 1/1980

30. x x x x : Predarea si rezolvarea problemelor de matematica la clasele I-IV , in „Revista de pedagogie”, nr. 11/1979.

31. Radu T. Ion: Teorie si practica in evaluarea eficientei invatamantului

32. Radu T. Ion: Teorie si practica in evaluarea eficientei invatamantului, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

33. Radulescu, Marin: Problema problemelor matematice din invatamantul primar in „Invatamantul in clasele I-IV”, Culegere metodica editata de „Revista de pedagogie”,Bucuresti, 1979.

34. Roco, Mihaela: Creativitate individuala si de grup, Editura Academiei R.S.R. , Bucuresti, 1979

35 Rosca, Al.: Creativitate, Editura Enciclopedica Roama, Bucuresti, 1972.

36 Rus, Ileana: Metodica predarii matematicii, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983

invatarii in clasele I-IV „Editura Didactica si pedagogica”, Bucuresti, 1969.

18. Nicola Grigore: Invatarea creative: Concept si metodologie- in „Revista de pedagogie”, nr. 9/1979.

19. Nicola, Ioan: Pedagogie scolara. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980

20. Noica, C: Eminescu sau ganduri despre omul deplin al culturii romanesti (Manuscrisul 2289 fila 15)

21. x x x x : Organizarea si desfasurarea procesului de ivatamant in ciclul primar in vederea cresterii randamentului scolar si lichidarea repetentei, volum editat de „Revista de pedagogie”, Bucuresti, 1974

22. Oprescu Nicolae: Educarea creativitatii elevilor in procesul de invatamant in „Revista de pedagogie”, nr. 3/1997

23. Oprescu Nicolae: In sprijinul elaborarii obiectivelor operationale ale lectiei in „Revista de pedagogie”, nr. 6/1983

24. Oprescu Nicolae: Modernizarea invatamantului in ciclul primar, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974

25. x x x x: Pedagogia. Atelierul de imprimerie al Universitatii din Iasi, 1979

26. Piaget, jean: „Psihologia inteligentei” Bucuresti, Editura Stiintifica, 1965.

27. Polya , George: Descoperirea in matematica. Euristica rezolvarii problemelor, Editura stiiintifica , Bucuresti, 1965.

28. Polya , George: Cum se rezolva o problema ?, Editura stiintifica, Bucuresti, 1971

29. Popescu-Neveanu, Paul: creativitatea si invatare in „Revista de pedagogie”, nr. 1/1980

30. x x x x : Predarea si rezolvarea problemelor de matematica la clasele I-IV , in „Revista de pedagogie”, nr. 11/1979.

31. Radu T. Ion: Teorie si practica in evaluarea eficientei invatamantului

32. Radu T. Ion: Teorie si practica in evaluarea eficientei invatamantului, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

33. Radulescu, Marin: Problema problemelor matematice din invatamantul primar in „Invatamantul in clasele I-IV”, Culegere metodica editata de „Revista de pedagogie”,Bucuresti, 1979.

34. Roco, Mihaela: Creativitate individuala si de grup, Editura Academiei R.S.R. , Bucuresti, 1979

35 Rosca, Al.: Creativitate, Editura Enciclopedica Roama, Bucuresti, 1972.

36 Rus, Ileana: Metodica predarii matematicii, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983

=== partea a II-a ===

Capitolul III

Tipuri de exercitii si probleme utilizate in activitatile matematice

1.Exercitii si probleme folosite in lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor

In conditiile unui invatamant modern ramane in vigoare experienta traditionala a organizarii invatamantului pe clase si lectii. Practica pedagogica cunoaste si alte moduri de organizare a procesului instructiv :

activitatea de grup (grupuri omogene, eterogene, competitive) ;

forme de organizare individuale ;

Dintre toate formele de organizare cea mai cunoscuta este lectia.

Principalele forme de organizare a activitatilor matematice in clasele I-IV sunt:

Activitati informativ-formative:

Lectia introductiva (la inceput de an sau de trimestru);

Lectia combinata (mixta) ;

Lectia de predare (comunicare) de noi cunostinte ;

Lectia de formare a deprinderilor si priceperilor (de formare a capacitatilor de a utiliza informatii, reguli, algoritmi), de rezolvare independenta a exercitiilor si problemelor etc.

Activitati cumulative (se organizeaza la finalurile unor teme sau capitole).

Lectia de recapitulare

Lectia de sistematizare (fixare)

Meditatia, consultatia

Activitati evalutive

Lectia de verificare (notare si evaluare)

Lucrari scrise

Teste sumative

Baremele, olimpiade matematice (concursuri matematice, etc.)

Se pot identifica o serie de etape (pasi) in lectii, indiferent de tipul lor. Aceste momente (secvente) sunt foarte putin programabile si controlabile datorita flexibilitatii de manifestare si ordonare a acestora care ii dau invatatorului posibilitatea sa organizeze in mod creator lectiile potrivit personalitatii lui.

Mentionez principalele etape a caror succesiune nu este invariabila si nici prezenta tuturor nu este o necesitate :

– Organizarea elevilor pentru lectie, captarea atentiei pentru tema lectiei, prin organizarea de jocuri cu specific matematic prin stimulari, se face apel la experienta elevilor.

– Elevii sunt informati cu privire la obiectivele lectiei, si daca este cazul se stabileste tipul de performante ce vor fi atinse la sfarsitul lectiei.

– Recapitularea cunostintelor dobandite anterior si stimularea capacitatilor si a experientei elevilor. Invatatorul trebuie sa cunoasca volumul de cunostinte al elevilor pentru ca sa-i permita transmiterea de noi cunostinte. Totodata el sa depisteze elementele nestiintifice, erorile, confuziile care coexista in mintea elevilor. Acestea vor fi eliminate, corectate sau chiar reinvatate.

– Comunicarea noului continut matematic (exersarea si asimilarea lui). Aceste cunostinte vor fi comunicate intr-un mod accesibil si se tine seama de particularitatile gandirii scolarului mic.

– Dirijarea cunoasterii (a invatarii) folosind metode, tehnici, strategii variate in scopul invatarii inca din clasa.

– Proiectarea modalitatilor efective de conexiune inversa sub forma unor performante observabile.

– Evaluarea performantelor urmarindu-se totodata fixarea, sistematizarea si rezolvarea unor probleme sau situatii tipice.

– Informarea elevilor cu privire la activitatile ce urmeaza a fi desfasurate de ei in mod individual, acasa sau in cadrul altor activitati extrascolare.

Coordonata principala a modernizarii lectiei o reprezinta renuntarea la structuri prestabilite si adoptarea unei atitudini creatoare in conducerea activitatilor de predare-invatare.

In cadrul lectiilor de consolidare a priceperilor si deprinderilor activitatea independenta constituie deopotriva mijloc si scop al demersului didactic. Activitatea independenta contribuie la formarea deprinderilor de lucru, a spiritului de independenta, a initiativei, dar este si un mijloc de consolidare a unor cunostinte, priceperi si deprinderi.

Exercitiile si problemele folosite in lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor conduc la :

consolidarea si imbogatirea cunostintelor matematice ;

dezvoltarea spiritului de observatie si independenta a proceselor gandirii (analiza, sinteza, comparatia, abstractizarea, generalizarea), a tehnicilor de lucru cu manualul si a deprinderilor de invatare.

Exercitiile si problemele folosite in activitatea independenta trebuie sa raspunda anumitor cerinte :

respectarea programei scolare in ceea ce priveste volumul de cunostinte, obiectivele si continutul lectiei, asigurand unitatea acesteia si solutionarea tuturor sarcinilor didactice : fixarea si consolidarea cunostintelor, sistematizarea lor, formarea priceperilor si deprinderilor, dobandirea prin efort propriu a unor cunostinte si abilitati etc.

concretizarea prin exercitii si problemele accesibile, variate, care solicita un efort intelectual gradat, logic si stimuleaza interesul ; sa se asigure exercitii si probleme suplimentare, facultative, pentru elevii dotati ;

sa se evite supraincarcarea elevilor prin dozarea in timp si volum cat si aparitia unor « timpi morti » in desfasurarea lectiilor.

constientizarea sarcinilor didactice si a procedeelor de lucru. Pentru realizarea acestui scop invatatorul trebuie sa adreseze elevilor cateva intrebari de verificare pentru a avea siguranta reusitei depline a activitatii ;

finalizarea muncii independente cu controlul indeplinirii ei si cu aprecieri asupra calitatii, pentru mentinerea curiozitatii elevilor, depistarea si inlaturarea la timp a lacunelor.

Activitatea independenta din lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor poate sa contina :

calcule orale si scrise ;

rezolvari si compuneri de probleme ;

lucarai de masurare ;

desenarea figurilor geometrice.

Tipuri de exercitii si probleme utilizate in lectiile de consolidare a priceperilor si deprinderilor :

Clasa I

Adunarea si scaderea numerelor naturale.

sa se scrie toate numerele care prin insumare dau numarul 8;

sa se scrie toate numerele care indeplinesc conditia x <= 4+8.

cu ajutorul rigletelor sa compuna numerele 6,7,10 ;

completarea, in manual, aunor exercitii cu operatiile invatate, dupa efectuarea frontala a 3-4 exercitii cu invatatorul ;

rezolvari de probleme simple din manualul de amtematica si compunerea unor probleme dupa ilustratii;

exercitii de numarare in scris, atat in ordine crescatoare si descrescatoare cat si la anumite intervale;

stabilirea relatiei intre numere consecutive prin scrierea semnelor (< >) ;

exercitii joc scrise sub forma de figuri geometrice (pe tabla sau pe fise) ;

figuri pag 105

compunerea figurilor geometrice din betisoare ;

aflarea unui termen al sumei (sau diferentei) in exercitii:

a + 20 = 80 b + 30 = 70 60 + 20 + a = 100

a – 30 = 40 80 – b = 20 70 – 40 + a = 100

– tabele cu calcul literal :

x x+5 y y-3

11 16 19 16

14 ___ 23 ___

15 ___ 68 ___

compunerea unor probleme prin completarea datelor care lipsesc :

Un biciclist a avut de parcurs _____. In prima zi a parcurs _____. Cati kilometri i-au mai ramas de parcurs pentru a doua zi ?

stabilirea intrebarii si rezolvarea unor probleme :

Tata are 39 ani, iar mama are cu 3 ani mai putin.

Puneti intrebarea si rezolvati apoi problema.

Elevii reusesc sa foloseasca modalitati de simplificare a calculului prin reducerea termenilor, daca cunosc proprietatile operatiilor matematice .

Exemplu :

Dupa ce rezolva coloana urmatoare de exercitii, le cer s-o transcrie intr-un exercitiu in lant, apoi sa aseza numerele (cu semnele matematice existente) in asa fel incat sa se faca reduceri.

18 + 2 =

20 – 5 = 18 + 2 – 5 + 4 – 6 + 5 = 18

15 + 4 =

19 – 6 = 18 + 2 + 4 – 6 + 5 – 5 = 18

13 + 5 =

Clasa a II-a

Inmultirea numerelor naturale

efectuarea unor produse date;

sa se scrie mai multe perechi de factori ce au ca produs pe 12; 16; 81 ; 36 ; 56.

Formularea intrebarilor care sa conduca rationamentul in rezolvarea unei probleme ce necesita una sau doua operatii.

Exemplu:

Elena a citit intr-o zi 9 pagini, iar sora ei mai mare a citit de 4 ori mai multe pagini.

Puneti intrebarea si rezolvati problema printr-o singura operatie ;

Puneti intrebarea si rezolvati problema prin doua operatii.

transpunerea in expresie numerica a problemei rezolvate ;

scrierea formulei literale date de rezolvarea problemei si alcatuirea altei probleme dupa acea formula.

Exemplu :

Intr-o lada sunt 8 kg mere, iar in alta de 5 ori mai mult. Din cele doua lazi se vand 17 kg mere. Cate kilograme de mere au ramas ?

(8 + 8 * 5) – 17 = (a + a * b) – c =

– compunerea unei probleme cunoscandu-se datele :

Exemplu 9 kg * 5 – 30 kg =

compunerea unor probleme pe teme la alegere, pe baza indicarii datelor.

Exemplu : 80 – 6 * 9 =

compunerea unor probleme cu date la alegere, indicandu-se tema (Exemplu : O problema despre recoltarea cireselor).

Crearea unor exercitii :

a * b + c = ; m * n – d = ; x + a * b = ;

a – b * c = ; .

Clasa a III-a

Adunarea si scaderea numerelor naturale cuprinse intre 100 si 1000, cu trecere peste ordin.

precizarea valorii de adevar a unor propozitii matematice.

Exemplu :

356 + 256 = 402 + 210

190 + 218 = 78 + 330

265 + 237 = 179 + 278

345 + 296 = 278 + 109

efectuarea unor exercitii de adunare si scadere cu si fara trecere peste ordin, in cadrul temelor si capitolului din manual

aflarea sumei a doua numere date si efectuarea probei prin adunare su prin scadere ;

aflarea unui termen , cand se cunoaste suma si celalalt termen :

36 + a = 72 a + 326 = 967

a = 72 – 36 a = 967 – 326

aflarea scazatorului sau descazutului, cand se cunoaste diferenta si unul din termenii scaderii :

732 – a = 436 586 – a = 199

a = 72 – 36 a = 586 – 199

completarea spatiilor punctate cu numerele corespunzatoare, astfel incat sa satisfaca egalitatile :

Exemplu :

139 + 423 = (100 + 30 + 9) + (400 + 20 + 3) =

= (……….+……..) + (……….+………)

precizarea multimii numerelor naturale, dintre numerele naturale cu valori intre 28 si 48, care in locul lui n, satisfac inegalitatile :

n + 17 < 45 10 < n – 19 <= 19

aplicarea tehnicilor de calcul in rezolvarea unor probleme cu doua sau mai multe operatii.

exercitii pentru transcrierea simbolica o operatiilor

Exemplu:

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c

(a + b) – (c + d) = (a – c) + (b – d)

transpunerea datelor unei probleme in simboluri;

analiza relatiilor dintre diferite parti ale problemei;

recunoasterea datelor si cerintei unei probleme;

compunerea unor probleme.

Clasa a IV-a

Unitati de masura

108

Clasa a IV-a

Unitati de masura

precizarea si imbogatirea cunostintelor despre unitatile de masura, prin diferite masuratori practice (a lungimii) a mesei corpurilor, acapacitatii vaselor atimpului) ;

constientizarea raportului dintre doua marimi, prin exercitii de transformare a unitatilor de masura, folosind cunostintele despre multiplii si submultiplii acestora;

Exemple :

43000m = ? dam = ? hm = ? km

3000mm = ? cm = ? dm = ? m

369 kl = ? hl = ? dal = ? l

4l = ? cl

16 t = ? q = ? kg

82000 cg = ? g

8 ore = ? minute

5760 minute = ? zile

78 kl – 16 hl – ? hl = 70 hl

rezolvarea unor probleme cu numere reprezentand unitati de masura :

Exemplu :

La statia Peco Barlad s-au adus 480460l benzina. Intr-o zi s-au livrat masinilor particulare 512dal, iar masinilor proprietate de stat 48hl. Cati litri de benzina au ramas ?

Rezolvare :

l = 5120 l

hl = 4800 l

Exercitiul problemei : 480460 – (5120 + 4800) = 480460 – 5120 – 4800 = 470 540 l.

Raspuns : 470540 l.

Probleme formulate de elevi dupa expresii date :

Exemplu :

230m – 160m – 30m = ? dam

(501 * 3) + (401 * 5) = ? hl

Probleme ale caror solutii nu sunt unic determinate, solicitand mai multe posibilitati.

a + b = 70 l.

In doua butoaie sunt 70 l. Cati litri sunt in fiecare ? Pe baza gandirii probabilistice elevii gasesc mai multe solutii:

a=10 si b=60 sau a=14 si b=56

a=20 si b=50 a=15 si b=55

a=30 si b=40 b=16 si b=54

etc.

Controlul si evaluarea activitatii independente :

Controlul lucrarilor independente este efectuat de invatator prin folosirea unor metode si procedee diverse si are ca obiectiv principal analiza continutului.

Invatatorul va supraveghea permanent elevii in timpul activitatilor de rezolvare a exercitiilor si problemelor, trecand printre banci, pentru a verifica daca lucreaza toti elevii, daca au inteles bine tema si procedeul de lucru.

Atunci cand este cazul, va interveni prompt, printr-un gest, printr-o privire sau chiar verbal pentru ca toti elevii sa fie antrenati la lucru si pentru a preveni greselile tipice.

Atunci cand lucrarile independente vor fi corectate se va tine seama atat de aspectul cantitativ, cat si cel calitativ, deci nu se va urmari numai efectuarea temei, ci si modul cum a fost rezolvata.

Controlul lucrarilor independente se realizeaza in fiecare lectie, dar in mod deosebit in cele de formare a priceperilor si consolidare a deprinderilor.

Exercitiile si problemele date in aceste lectii pot ocupa aproape intreaga ora, iar controlul lor se va realiza acasa, de catre invatator, finalizandu-se cu notarea si analiza acestora, cu ajutorul elevilor, in urmatoarea ora. Cu ocazia aceasta se corecteaza eventualele greseli, se insista chiar asupra formarii unei atitudini corecte fata de invatatura, se analizeaza posibilitatea ca elevii sa poata stabili noi legaturi intre cunostinte, sa aplice cele invatate in situatii noi, sa se dezvolte spiritul critic si autocritic.

Un loc important in verificarea exercitiilor si problemelor il ocupa autocontrolul, care se realizeaza prin confruntarea rezultatelor obtinute de ei cu cele date de invatator.

O alta forma de verificare mai poate fi si controlul reciproc al elevilor pentru lucrarilor efectuate.

Autocontrolul nu trebuie sa inlocuiasca controlul zilnic sau periodic pe care-l efectueaza invatatorul.

2.Exercitii si probleme pentru cercuri si concursuri de matematica.

Sub indrumarea invatatorului se pot organiza activitati matematice in afara clasei, avand ca scop completarea si consolidarea cunostintelor realizate in timpul lectiilor, a deprinderilor si priceperilor dobandite, dezvoltarea intereselor elevilor pentru stiinta si tehnica, aplicarea in practica a cunostintelor.

Cu ocazia unor astfel de activitati invatatorul descopera elevii cu inclinatii si preferinte in domeniul matematicii si ofera posibilitatea unei pregatiri suplimentare, diferentiate si individualizate a acestor elevi. Astfel de activitati pot fi desfasurate cu intreaga clasa sau numai cu o parte din elevii clasei, in funtie de sarcinile pe care si le-a propus invatatorul.

Obiectivele specifice activitatilor in afara clasei pot fi :

stimularea si dezvoltarea intereselor elevilor pentru un inceput de investigatie stiintifica si tehnica;

depistarea si dezvoltarea inclinatiilor si aptitudinilor elevilor pentru matematica;

stimularea disponibilitatilor pentru creatie prin rezolvari si compuneri de exercitii si probleme;

formarea unor deprinderi de munca intelectuala ;

completarea si consolidarea cunostintelor realizate in timpul lectiilor.

Pentru a realiza aceste obiective se pot desfasura activitati matematice cu grupuri restranse de copii, de obicei cu aceia care dau dovada de reale inclinatii pentru obiectul matematica.

« O prima caracteristica a elevilor cu un nivel ridicat de dezvoltare a aptitudinilor matematice o constituie capacitatea de a ,,intui’’, de a intelege, de a sesiza imediat sau dupa o scurta perioada de tatonare sensul exact si structura de ansamblu a problemei. Acestia nu par coplesiti de date (fie ele numeroase, lacunare sau de prisos), de forma de prezentare, de complexitatea problemei, in general.

Se pot organiza in afara clasei urmatoarele forme de activitati matematice :

cercuri de elevi ;

concursuri scolare ;

activitati practice de masurare pe teren ;

confectionare de material didactic ;

vizite si excursii.

Cercul de matematica este o forma de organizare a activitatilor extradidactice, care raspunde preferintelor matematice ale elevilor. La cercul de matematica pot participa toti elevii care isi exprima dorinta de a participa la aceste activitati. Cu toate acestea invatatorul trebuie sa depisteze elevii care au reale aptitudini si inclinatii matematice. Acest lucru se poate realiza prin lucrari de control si teste aplicate grupului restrans de elevi selectionati dupa rezultatele lucrarilor date.

Cercurile de matematica se pot organiza inca din clasele mici (I si a II-a), dar mai ales elevilor din clasele a III-a si a IV-a. In clasa a IV-a se impune o pregatire deosebita in cadrul cercului, deoarece elevii vor participa la concursuri de matematica.

Pentru ca activitatea desfasurata in cadrul cercurilor sa fie eficienta si sa duca la realizarea tuturor obiectivelor stabilite (atat instructive, cat si educative), trebuie ca invatatorul sa aiba in vedere ca exercitiile si problemele propuse spre rezolvare sa fie atractive, accesibile elevilor, sa contribuie la ridicarea nivelului de cunostinte al participantilor la cerc.

Spre exemplificare voi prezenta in continuare exercitii si probleme cu grad sporit de dificultate care pot fi rezolvate cu elevii participanti la cercul de matematica la clasa a IV-a.

Rezolvarea problemelor prin metode algebrice

Printre disciplinele matematice predate in scoala, algebra elementara joaca un rol fundamental. Metodele algebrice sunt caracterizate prin faptul ca numerele, precum si alte obiecte se noteaza cu litere si operatiile se efectueaza dupa legi bine determinate, fara a preciza in prealabil ce numere reprezinta literele.

Prin intermediul simbolurilor algebrice gandirea copilului nu se mai desfasoara cu ajutorul cuvintelor explicative din vorbirea obisnuita, ci numai cu ajutorul cuvintelor acestor simboluri. Din aceasta cauza procedeele de calcul algebric sunt introduse mult mai tarziu pe treptele superioare ale scolii. Despartirea care se face astazi intre aritmetica si algebra – aritmetica studiindu-se in special in primele patru clase ale scolii ; algebra in clasele V-VIII – are un caracter conventional care nu corespunde dezvoltarii istorice a acestor doua discipline. Trecerea la algebra este marcata prin folosirea literelor, dar asa cum am putut constata de-a lungul anilor de scoala, elevii recurg la intelegerea simbolurilor si utilizarea lor atunci cand folosesc anumite formule din geometrie (P=2*(L+1) ; P=4*1) s-au atunci cand vor sa exprime anumite proprietati generale ale operatiilor cu numere naturale :

a * b = b * a (comutativitatea factorilor )

a + b = b + a (comutativitatea termenilor)

a * ( b + c ) = a * b + a * c (distributivitatea inmultirii fata de adunare etc.)

Prin trecerea de la operatii cu numere concrete la operatii cu numere abstracte elevii se ridica pe prima treapta de abstractizare, iar prin trecerea de la operatii cu numere determinate in aritmetica la operatii cu numere nedeterminate in algebra, elevii se ridica la cea de a doua treapta de abstractizare.

Introducerea acestei trepte este necesar sa se faca progresiv incepand cu scoala primara. Invatand sa foloseasca simbolurile algebrice, elevii invata de fapt sa generalizeze anumite operatii aritmetice si sa le exprime intr-o forma comuna. Asa de eemplu, expresia a+(b+c)=(a+b)+c este comuna nu numai operatiilor cu numere naturale, dar si operatiilor care se fac cu numere rationale (fractiile). Daca insa se considera operatia : 3+ x – 2 = x + ( 3 – 2 ) atunci se intelege ca avem de a face tot cu calcule simple algebrice dar in care legatura dintre algebra si aritmetica apare mult mai stransa, deoarece se folosesc, in aceasta expresie si numere naturale. Prin urmare, trecerea de la calculul propriu-zis aritmetic la calculul algebric se poate face progresiv, folosind proprietati ale operatiilor care sunt comune literelor si numerelor naturale. Prin introducerea mai timpurie a calculului cu variabile si reolvarea unor ecuatii de forma : a – x = b ; a + x = c ; a + x – b =c ; x – a + b = c ; a * x +b = c unde a,b,c sunt numere cunoscute, iar x variabila sau necunoscuta, elevii dobandesc capacitatea de a generalizaproprietatile operatiilor cu numere si de a stapani mai temeinic proprietatile egalitatilor numerice.

Evident, scopul experimentului pe care l-am intreprins este acela de a oferi elevului o varietate mai larga de exercitii in care el sa execute calcule cu variabile si sa rezolve ecuatii. Cunostintele elementare de algebra pe care elevii le dabandesc in scoala primara se intregesc prin rezolvarea problemelor.

Exemplu 1

Un automobil a parcurs distanta dintre doua orase in 4 ore. Daca viteza automobilului ar fi fost cu 20 km pe ora mai mare, atunci ar fi parcurs aceeasi distanta in 3 ore. Aflati viteza automobilului.

Rezolvare :

Stim ca : d=v*t.

Vom nota viteza automobilului cu x km pe ora.

Distanta parcursa (in km) va fi egala cu 4*x.

Daca viteza ar fi fost cu 20 km pe ora mai mare, aceeasi distanta ar fi fost parcursa in 3 ore.

Deci aceeasi distanta (in km) va fi egala cu 3*(x+20).

Putem scrie in concluzie 4*x=3*(x+20)

Avem in continuare:

4*x=3*x+60

Scadem din ambii membri pe 3*x si obtinem :

x=60

Deci viteza automobilului este de 60 km pe ora.

Distanta intre orase este de 4*60=240 km.

Exemplu 2 :

Intr-o curte sunt gaini si iepuri, in total 43 de capete si 124 de picioare. Cate gaini si cati iepuri sunt in curte ?

O metoda prin care se poate rezolva aceasta problema este metoda falsei ipoteze.

Aceeasi problema poate fi rezolvata algebric :

x=numarul gainilor y=numarul iepurilor

x+y=43 x=43 –y

2*x + 4*y = 124 | :2

x + 2*y = 62

43 – y + 2y = 62

2y – y = 62 – 43

y=19 (iepuri)

x=43-19

x=24 (gaini)

Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

Problemele care se rezolva prin metoda figurativa se impart in doua mari categorii :

Cu date sau marimi care pot fi numarate cate una si se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii. Marimile pot fi reprezentate prin simboluri.

Cu date sau marimi care pot fi reprezentate, prin segmente.

Exemplificam cu urmatoarele probleme prima categorie :

Problema 1

Daca intr-o clasa, se aseaza cate 2 elevi intr-o banca, raman 3 elevi in picioare. Daca se aseaza cate 3 elevi intr-o banca, raman 4 banci libere.

Cati elevi si cate banci sunt in clasa?

Figura pagina 118

Desenul sigereaza situatia initiala. Am asezat cate doi elevi in banca, 3 elevi raman in picioare.

Se face legatura cu partea a doua a enuntului: nu ne convine asezarea cate doi elevi in banca, deoarece raman unii elevi (3) fara loc. de aceea ar fi mai bine sa-i ,,distribuim’’ pe cei 3 elevi ramasi cate unul in fiecare banca. Vom realiza grupuri de forma e e e.

Sugeram aceste mutatii prin urmatorul desen :

Figura pagina 118

Cei 4*2=8 elevi s-au ,, distribuit’’ la urmatoarele banci unde erau cate doi elevi pentru a forma grupuri de 3 elevi.

Deci sunt urmatoarele banci : 3+8+4=15 banci.

Pentru a afla numarul elevilor revenim la prima parte a problemei : 15*2+3=33 elevi.

Raspuns 15 banci si 33 elevi.

Problema 2

Un gospodar are gaste si oi. In total sunt 30 de capete si 96 de picioare.

Cate oi si cate gaste are gospodarul ?

La prima vedere se pare ca problema este imcompleta deoarece nu se dau numarul de picioare pe care le are o gasca si o oaie. Dar aceste date se subinteleg.

Sugeram cele 30 de capete (animale) prin cateva ovale :

Figura pagina 119

Dar nu stim unde sa desenam 2 picioare si unde 4. totusi fiecare vietate are cel putin doua picioare.

Folosim 30*2=60 (picioare) si ne raman 96-60=36 (picioare)

Cu aceste picioare formam oi. La fiecare oaie adaugam cate 2 picioare pana terminam cele 36 picioare.

Obtinem urmatorul desen :

Figura pagina 119

36 :2=18 oi 12 gaste

Oile sunt 36 :2= 18 oi. Restul de vietati care au doua picioare sunt gaste 30-18=12 gaste.

Raspuns : Gospodarul avea 18 oi si 12 gaste.

Se face proba : 18*4+12*2=72+24=96 (picioare)

Pentru a doua categorie exemplificam cu urmatoarele cazuri :

Probleme de aflare a numerelor cunoscand suma si diferenta lor.

Problema 1

In doua vase sunt 64 l de apa. Daca un vas are cu 12 l mai mult decat celalalt. Cati litri de apa sunt in fiecare vas ?

Figura pagina 119

Putem aplica formulele :

b=(S-D) / 2 = (64-12) / 2 = 52 /2 = 26 (litri) b=26 (litri)

a=S-b=64-26=38 (litri) a=38 (litri)

Proba: 26+38=64 (litri)

Raspuns: 38l ; 26l .

Problema 2

Suma a 3 numere este 125. Primul numar este mai mare decat al doilea cu 36, iar al doilea este mai mare decat al treilea cu 7.

Care sunt numerele ?

Sugerez urmatoarea rezolvare. Ne imaginam numerele ca fiind niste segmente.

Le putem reprezenta astfel:

Figura pagina 120

Elevii observa ca putem egala cantitatile daca din intreaga cantitate inlaturam: 7+7+36=50.

Deci : 125 – 50 = 75

Al treilea numar: 75 : 3 = 25

Al doilea numar : 25 + 7 = 32

Primul numar : 32 + 36 = 68

Proba: 25 + 32 + 68 = 125

Raspuns : 68 ; 32 ; 25.

2.Probleme de aflare a doua numere cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor.

Problema 1

Sorin are cu 26 lei mai mult decat Catalin. Daca Sorin ii da 38 lei lui Catalin, acesta va avea o suma de 3 ori mai mare. Cati lei are fiecare ?

Rezolvare

Dupa modificare stabilim ca raportul R=3. Cautam sa stabilim ce diferenta va fi intre suma lui Sorin si-a lui Catalin. La inceput aceasta diferenta este de 26 lei. Elevii judeca : daca Sorin da lui Catalin 38 lei, inseamna ca a luat si cei 26 lei si inca 12 lei, Catalin va avea mai multi lei cu 38+12=50 lei.

Pentru a rationa mai usor folosim graficul :

Figura pagina 121

Elevii reformuleaza problema : Sorin are o suma de 3 ori mai mare decat a lui Catalin. Catalin are cu 50 lei mai mult decat Sorin. Cati lei are fiecare ?

Figura pagina 121

D/(R-1) = 50 / 2 = 25 lei

Elevii au aflat ca :

Sorin are o suma de 3 ori mai mare : 25 * 3 = 75

Revenim la primul enunt :

Cati lei are Sorin ?

25 + 38 = 63 lei

Cati lei are Catalin ?

63 – 26 = 37 lei

Raspuns : La inceput Sorin avea 63 lei, iar Catalin 37 lei.

Problema 2

Diferenta a doua numere este 65 daca le impartim , obtinem catul 9 si restul 1, aflati numerele.

La aceasta problema cunoastem diferenta de 65 si raportul lor.

Pentru sugera rezolvarea elevii s-au folosit de urmatorul grafic care reprezinta cele doua numere :

Figura pagina 121

65 – 1 = 64 64 reprezinta 9 parti egale. Rezulta ca :

64 : 8 = 8 al doilea numar.

Numar : 8*9+1=73

Voi preciza elevilor ca, catul ne arata de cate ori un numar este mai mare decat celalalt.

Problema 3

Sa se afle 2 numere stiind ca al doilea este de 7 ori mai mare decat primul, iar suma dintre dublul primului numar si triplul celui de-al doilea este 690.

Fig pag 122

Dublul primului numar reprezinta 2 parti.

Triplul celui de-al doilea numar reprezinta 3*7 parti = 21 parti. Deci total avem 21 parti + 3 parti = 23 parti.

Primul numar = 690 :23 = 30.

Al doilea numar =30 * 7 = 210

Raspuns : 30 ;210.

Probleme de egalare a datelor. Metoda aducerii la acelasi termen de comaparatie

Pentru acest tip de problema exemplificam cu urmatoarele probleme :

Problema nr.1. de la o librarie Mioara cumpara 20 caiete si 35 creioane si plateste 150 lei. Iar sora ei cumpara 20 caiete si 9 creioane platind 98 lei. Cati lei costa un caiet si cati lei costa un creion ?

Notam datele pe doua siruri corespunzatoare celor doua situatii :

20 caiete …………. 35 creioane ………….. 150 lei

20 caiete …………. 9 creioane ………….. 98 lei

Elevii vor fi dirijati sa observer ca atat prima data cat si a doua oara copiii au cumparat acelasi numar de creioane. Mioara a cumparat mai multe creioane, de aceea a platit mai mult decat sora sa. Deci creioanele cumparate in plus a doua oara au facut sa creasca suma de la 98 la 159 lei. Planul de rezolvare alcatuit de elevi :

cate creioane a cumparat mai multe Mioara ?

35-9=26 (creioane)

cat costa 26 creioane ?

150-98=52 lei

cat costa un creion ?

52 :26=2 lei

cat costa 9 creioane ?

9*2=18 lei

cat costa 20 caiete ?

98-18=80 lei

cat costa un caiet ?

80 :20=4 lei

Raspuns : 2 lei creionul ; 4 lei caietul.

Problema 2

Pentru 6 bluze si 2 pulovere s-au platit 690 lei. Cat costa o bluza si un pulover daca daca 7 pulovere si 6 bluze de acelasi fel valoreaza cu 600 lei mai mult ?

Observam ca pentru situatia a doua avem o suma de :

690 + 600 = 1.290 lei. Asezam in continuare datele problemei pe doua siruri.

2 pulovere …………. 6 bluze …………. 690 lei

7 pulovere …………. 6 bluze …………. 1290 lei

Elevii vor rezolva ca si in primul caz:

cate pulovere a cumparat mai mult a doua oara?

7-2=5 pulovere

cati lei costa 5 pulovere?

1290-690=600

cati lei costa un pulover?

600 :5=120 lei

cati lei costa doua pulovere ?

120 * 2 = 240 lei

cati lei costa 6 bluze?

690-240=450 lei

cati lei costa o bluza?

450:6=75 lei

Raspuns: 75 lei o bluza si 120 lei un pulovar.

Problema 3

Pentru 7 m de stamba si 5 m de stofa s-au platit 1622 lei, iar pentru 4 m de stamba si 10 m de stofa s-au platit 2884 lei. Cat costa un metru de stamba si cat costa un metru de stofa ?

Asezam datele astfel :

7 m stamba ………… 5 m stofa ………….. 1622 lei

4 m stamba ………… 10m stofa …………. 2884 lei

Pentru ca elevii sa poata rezolva problema le propun sa avem acelasi numar de metri de stofa, de aceea vom inmulti primul rand cu 2. in urma acestei operatii, vom obtine urmatoarele date :

14m stamba …………10 m stofa ………….. 1622 lei

4 m stamba ………… 10 m stofa ……….…. 2884 lei

In continuare rationamentul este ca si la problema anterioara.

Probleme de presupunere. Metoda falsei ipoteze

Aceasta metoda are mai multe variante de aplicare. In cadrul cercului de matematica am prezentat urmatoarele probleme :

Problema 1

La o serbare scolara s-au vandut 415 bilete la pretul de 4 lei si , respectiv, de 6 lei biletul, incasandu-se in total 2160 de lei. Cate bilete de fiecare categorie au fost vandute ?

Sugerez elevilor sa presupuna ca toate cele 415 bilete s-au vandut la pretul de 6 lei. Elevii observa ca aceasta ipoteza este falsa deoarece in numarul total de bilete sunt si bilete de 4 lei si de 6 lei.

Conform presupunerii aflam cat costa biletele :

415*6=2490 (lei)

In realitate biletele au costat 2160 lei.

Cu cati lei am obtinut mai mult pe baza presupunerii facute?

2490-2160=330 lei

Aceasta diferenta provine din faptul ca au existat si bilete de 4 lei si pentru fiecare am socotit 6-4=2 lei mai mult, presupunand ca toate sunt de 6 lei.

De aceea urmatoarea judecata se formuleaza :

Cu cati lei am socotit mai scump un bilet de 6 lei ?

6-4=2 lei

Pentru cate bilete am socotit cate 2 lei in plus ? pentru atatea bilete, de cate ori 2 lei se cuprinde in diferenta totale de 330 lei. Deci :

Numarul biletelor de 4 lei :

330 :2 = 165 bilete

Numarul biletelor de 6 lei :

415-165=250 bilete

Raspuns : s-au vandut 165 bilete de 4 lei si 250 bilete de 6 lei.

Probleme de rest din rest. Metoda mersului invers.

Metoda mersului invers o voi ilustra cu urmatorul exemplu.

Problema 1

Intreitul unui numar marit cu 2 a fost inmultit cu 5. Produsul obtinut micsorat cu 4 a fost impartit la 7 si s-a obtinut 18. Care este numarul cu care s-a inceput operatiile ?

[(x*3+2)*5-4] :7=18

S-a obtinut o egalitate care in algebra se numeste ecuatie. Aceasta egalitate se rezolva prin rationament aritmetic, urmarindu-se enuntul de la sfarsit spre inceput, de aici denumirea metodei de mersul invers.

Elevii observa ca ultima operatie este o impartire in care necunoscuta figureaza ca deimpartit. Deci : D=I*C unde D-deimpartit, I-impartitor si C=cat.

D=18*7=126 si problema devine :

(x*3+2)*5-4=126

Care este ultima operatie facuta pentru a obtine 126 ? Scaderea. Necunoscuta se afla la descazut. Deci :

D=R+S, D-descazut, S-scazator si R-rest

D=126+4=130 si problema devine:

(x*3+2)*5=130

Care este ultima operatie facuta pentru a obtine 130 ? Inmultirea. Necunoscuta figureaza la deinmultit. Deci :

D=P :I, D-deinmultit, P-produsul, I-inmultitorul.

D=130 :5=26 si problema devine :

X*3+2=26

Necunoscuta figureaza la unul din termenii adunarii.

Deci : T1= S*T2 T1-primul termen, S-suma, T2-termenul al doilea.

T1=26-2=24 Problema a devenit x*3=24

Aici am ajuns la ultima operatie prin calcularea lui x (numarul pe care trebuie sa-l aflam).

Avem o inmultire. Necunoscuta figureaza la deinmultit.

D=P :I ; D-deinmultit, P-produs, I-inmultitorul

D=24 :3=8

Raspuns : Numarul cu care s-a inceput operatiile este 8.

Etapele parcurse pot fi redactate pe scurt astfel:

( ) : 7 = 18 ––-> ( ) = 18 * 7 = 126

( ) – 4 = 126 ––-> ( ) = 126 + 4 = 130

( ) * 5 = 130 ––-> ( ) = 130  : 5 = 26

( ) + 2 = 26 ––-> ( ) = 26 – 2 = 24

x * 3 = 24 ––-> x = 24 : 3 = 8

Aceste exercitii rezultate din astfel de probleme se numesc ,,exercitii’’ cu x. Daca se trateaza artmetic ele pot fi usor rezolvate si de elevii din clasele I-IV si totodata in acest fel se consolideaza si cele patru operatii cu numere naturale si a relatiilor dintre rezultatele operatiilor si numerele cu care se opereaza.

Problemele denumite rest se rezolva pornind de la ultimul rest.

Exemplu :

Problema 2

O familie si-a impartit venitul sau dintr-o luna, astfel : o jumatate pentru hrana , un sfert din ce ramane pentru chirie, telefon etc., o jumatate din noul rest pentru cheltuieli neprevazute si restul de 600 lei il depune la C.E.C.

Care era venitul lunar al acelei familii si cum si-a planificat cheltuielile ?

Observam ca datele depind unele de altele succesiv. Analizand cu elevii raportul in care se afla acestea, incepand cu ultima, se ajunge la raspunsul problemei.

Realizand urmatorul grafic si notam calculele obtinute astfel ca in final acesta va arata asa :

Fig pag 127

Al doilea rest :

600*2=1200 lei

Aflam un sfert din primul rest :

1200 : 3 = 400 lei

Aflam primul rest :

400*4=1600 lei

Aflam venitul lunar

1600*2=3200 lei

Raspuns : 1600 lei pentru hrana, 400 lei chirie, telefon, etc., 600 lei cheltuieli neprevazute, 3200 lei venitul lunar.

Problema nr. 3

Avem doua vase cu apa, A si B. Turnam din A in B atat cat contine B ; turnam apoi din B in A, atat cat a ramas in A s.a.m.d. Dupa 3 operatii, in fiecare vas sunt cate 16 l. de apa. Cati litri de apa au fost la inceput in fiecare vas?

Elevii rezolva prin rationament aritmetic, urmarind enuntul de la sfarsit spre inceput, adica invers :

Fig pag 128

Sau :

Operatiile s-au

Desfasurat astfel :

Insusirea unor algoritmi de rezolvare au o mare influenta asupra descoperirii modului de solutionare a unor probleme noi, date elevilor in timpul lectiilor.

Se creeaza anumite scheme si anumite disponibilitati spre alegerea cailor de rezolvare insusite in conditii identice.

In cazul unor probleme noi aceste scheme orienteaza dezvoltarea rationamentului in directii adecvate.

Aceste disponibilitati insusite de elevi in cadrul activitatilor de rezolvare a problemelor se manifesta in doua situatii :

atunci cand elevul trebuie sa rezolve o problema asemanatoare (de acelasi tip) cu problemele rezolvate anterior.

Atunci cand elevul trebuie sa rezolve o problema cu totul noua fata de problemele pe care le-a rezolvat pana atunci.

G.Polya arata ca «  A rezolva o problema imitand metoda folosita in rezolvarea altei probleme poate fi usoara daca problemele sunt asemanatoare, sau mai grea, sau chiar imposibila – daca asemanarea nu este prea mare ».

Gasirea cailor de rezolvare a unor prebleme este usurata daca elevul poate incadra problema noua unei anumite categorii, unui anumit ti determinant de probleme deja cunoscute sau rezolvate. Tipul de problema inseamna o schema de operatii logice, care da posibilitatea de a incadra in ea o serie de probleme de la care pot diferi numai datele.

Nicolae Oprescu arata ca « Prin rezolvarea unor probleme care se incadreaza in aceeasi categorie, avand acelasi mod de organizare a judecatilor, acelasi rationament, in mintea copiilor se stabileste principiul de rezolvare a problemei, schema mintala de rezolvare. In cazul problemelor tipice, aceasta schema mintala se fixeaza ca un algoritm de calcul, fiind vorba de algoritmul de rezolvare a problemei ».

Probleme de perspicacitate (netipice) – mijloc de dezvoltare a supletei gandirii matematice si a creativitatii elevilor

Probleme de perspicacitate (netipice sau nonstandard) includ acele probleme in fata carora , dupa citirea enuntului, rezolvitorul, nu reuseste sa aplice una din metodele de rezolvare bine stiute. Datorita acestui lucru, gandirea si imaginatia lucreaza febril, elevul devenind, in situatia in care reuseste rezolvarea, un creator. Astfel de probleme nu seamana un cu alta de fiecare data elevul fiind obligat sa gaseasca o anumita cale de rezolvare proprie fiecarei probleme.

Problemele nonstandard dispun de bogate valente formative ; contribuind la :

cultivarea creativitatii elevilor din clasele I-IV (spirit novator, iscoditor, felxibilitatea gandirii, supletei, indrazneala, istetime, cresterea interesului pentru matematica, educarea unor trasaturi pozitive pentru conduita elevului : vointa de a invinge, dorinta de autodepasire, tenecitate , concentrare)

cultivarea creativitatii invatatorilor.

Asemenea probleme vor fi rezolvate si comentate in cadrul orelor dedicate desfasurarii activitatilor de la cercul de matematica. Acest gen de probleme are o mare varietate si un inalt grad de particularitate.

Exemple :

Problema 1 : Puneti cifrele 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , in cerculetele din desenul alaturat astfel incat sum cifrelor numai din cerculetele unite printr-o linie dreapta sa fie 14.

fig SOLUTIA : fig131

Problema 2

Florin intrebat de colegii lui ce numar are blocul sau rasounde :

este un numar format din 3 cifre ;

prima cifra este intreitul celei de-a treia si de doua ori mai mica decat a doua.

Suma cifrelor este zece.

Solutie : xyz = 361

Problema 3

Cum se poate realiza egalitatile de mai jos punand semnele operatiilor matematice intre cifrele date :

a) 5 5 5 5 = 3 ( 5 + 5 + 5 ) : 5 = 3

b) 5 5 5 5 = 6 solutia : ( 5 * 5 + 5 ) : 5 = 6

c) 5 5 5 5 = 5 ( 5 – 5 ) * 5 + 5 = 5

Problema 4

Scrieti toate numerele de doua cifre care indeplinesc in acelasi timp conditiile :

se imart exact (fara rest) la 7

au suma cifrelor 10

Solutie : 55 ; 64 ; 73 ; 82 ; 91 ; 46 ; 37 ; 28 ; 19 ;

R. = 91 ; 28.

Problema 5

Sa se scrie numarul 77 ca un produs de numere naturale astfel incat suma acestor numere sa fie 77.

Solutie : 7 * 11 * 1 * 1 * 1 *……………………. * 1 = 77 7+11=18

7 + 11 + 1 + 1 + 1 + ……..……………. + 1 = 77 77-18=59

de 59 ori

Problema 6

Ce numar lipseste ?

a)

figura………..132

Problema 7

Puneti paranteze in egalitatile de mai jos ca sa fie adevarate :

Solutia :

2 * 1 + 2 * 4 + 1 = 12 2 * 1 + 2 * ( 4 + 1 ) = 12

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 37 3 * ( 1 + 2) * 4 + 1 = 37

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 28 3 * ( 1 + 2 * 4 ) + 1 = 28

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 30 3 * ( 1 + 2 * 4 + 1 ) = 30

3 * 1 + 2 * 4 + 1 = 13 3 * 1 + 2 * ( 4 + 1 ) = 13

Problema 8

Continuati sirurile : Solutia :

a) 13 ; 14 ; 16 ; 19 ; 23 ; 28 ; a) 14-13=1 ; 16-14=2 ; 19-16=3

b) 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; b) 1+2=3 ; 2+3=5 ; 3+5=8 ;8+5=13

c) 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; c) 1*1=1 ; 2*2=4 ; 3*3=9 ; 4*4=16 ; 5*5=25 etc.

Problema 9

Opt ori opt fac saizeci si patru si cu unu si cu altul si cu doi legat de patru cat fac ?

Solutia : 64 + 1 + 1 + 24 = 90

Problema 10

Noua ori noua fac optzeci si unu , iei pe opt si mai pui 1 cat fac ?

Solutia : 81 – 8 + 1 = 74

Problema 11

Cum trebuie sa fie asezate sase cifre de 1 pentru ca prin adunarea lor sa se obtina suma egala cu 12 ?

Solutia : 11 + 11 = 12

11

Problema 12

Asezati sapte cifre de 7 in asa fel incat numai prin folosirea semnelor adunarii si scaderii sa obtineti un total egal cu 7.

Solutia : 7+7 7+7

7 7

In concluzie dezvoltarea potentialului de gandire si creativitate se realizeaza prin activitati care solicita independenta , investigatie , originalitate. De aceea este strict necesar sa fim receptivi la ceea ce intereseaza si le place copiilor, la ceea ce vor si pot realiza, valorificand in activitate toate fortele si dorintele lor, satisfacandu-le interesele.

Problemele de perspicacitate sun socotite ca o trebuinta generala de cunoastere, accelerand curiozitatea si conflictul rational ca un proces de cautare si descoperire.

Procesul de invatamant modern trebuie sa ajute pe elevi sa prezinte cunostintele intr-o forma personala sa caute solutii originale, sa stie sa grupeze si sa ierarhizeze ideile care trebuie sa inlesneasca gandirea creatoare.

C O N C L U Z I I

Matematica , stiinta care la inceputul acestui secol n-avea alte aplicatii in afara de fizica si inginerie, a devenit un fenomen fundamental al vietii contemporane si un instrument de neinlocuit in cele mai multe domenii ale stiintei si tehnicii.

Invatatorul, prin primele deprinderi matematice pe care le formeaza la scolari, se alatura matematicienilor in opera de formare a culturii matematice.

El trebuie sa fie un om cu multa sensibilitate, un om entuziast, un om in cautarea noului in vederea pregatirii sale pedagogice, sa fie mereu tanar, iar acestei tinereti permanente sa i se adauge cautarile zilnice pentru perfectionarea maiestriei sale profesionale.

Insusirea matematicii la clasele I-IV, impune rabdare, munca si iarasi munca, gasirea celor mai potrivite procedee care sa nu plictiseasca, sa nu descurajeze, mai mult, sa trezeasca interesul micilor scolari, dragostea de a invata bine si temeinic, dragoste pentru munca, curiozitatea si pasiunea pentru matematica.

Rezolvarea si compunerea problemelor in ciclul primar se realizeaza in etape, potrivit particularitatilor de varsta ale elevilor.

Acest proces presupune din partea invatatorului :

adaptarea metodelor si mijloacelor de lucru la specificul clasei si al fiecarui elev, pentru a asigura o eficienta maxima ;

disciplina si ordine in desfasurarea orelor de matematica ;

urmarirea prin metode variate a nivelului de formare a deprinderilor de calcul ;

organizarea unor activitati suplimentare cu elevii care inteleg mai greu anumite probleme ;

existenta unei relatii de colaborare invatator-elev, astfel incat elevul sa solicite singur rezolvarea unor exercitii si probleme, fie la tabla, fie pe caiet, in vederea consolidarii tehnicilor de calcul.

Exercitiile, problemele si jocurile didactice pot fi utilizate in toate tipurile de lectie.

lectii de transmitere si insusire a noilor cunostinte ;

lectii de fixare si aplicare in practica a cunostintelor, de formare a deprinderilor si a priceperilor.

Consideram ca prin lucrarea de fata, fara a aduce lucruri inedite , am reusit sa demonstram, prin exemplele practice pe care le-am prezentat din experienta mea la catedra, ca activitatea invatatorului in directia cultivarii la elevi a dragostei si interesului pentru matematica se impune a fi inventiva si creativa.

Lucrarea de fata a elucidat o parte din aspectele esentiale ale rezolvarii si compunerii de probleme in directia cultivarii creativitatii elevilor. La incheierea experimnetului propus putem afirma ca activitatile matematice si indeosebi cele de rezolvari si compuneri de probleme dispun de bogate valente formative. Specificul activitatii matematice consta in faptul ca ea reprezinta o tensiune, o incredere, o mobilizare a spiritului care inseamna antreanarea intelectului – a gandirii pe prim plan.

Multe din parerile si sugestiile noastre sunt susceptibile de imbunatatiri. Problematica poate fi aprofundata prin continuarea cercetarii pe baza de observatii zilnice la lectii, atat de noi, cat si de alte cadre didactice. In acest sens, se simte nevoia de organizare a unor schimburi mai largi de opinii, intrucat invatatorul nu este un simplu executant al programei scolare, ci un realizator al ei, un creator in materiale de metodologie.

De aceea am cautat sa prezint un numar sporit de exercitii si probleme practice, cat si metodologia rezolvarii lor, punand accent pe activitatea elevilor in scopul atingerii celei mai inalte trepte ale invatarii, invatarea creativa, chiar de la clasele mici.

Caracterul practic al lucrarii este accentuat si de anexele prezentate, ca modele de lucru, si in mod deosebit pentru cercul de matematica si concursurile scolare, care insotesc lucrarea. Aceste probleme au fost intocmite in scopul folosirii lor si ca intrument auxiliar de lucru al invatatorului.

Fiecare invatator trebuie sa aiba astfel de seturi de probleme, ele fiind utile in activitatile cu elevii la clasa, cat si in orele de pregatire suplimentara cu acestia. Problemele propuse vin in completarea celor din manual, dar sunt mai deosebite sau cu grad mai mare de dificultate, diversificand mai mult tipologia problemelor rezolvate. Ele ajuta invatatorul si in realizarea unui invatamant diferentiat, unele dintre acestea putand fi date suplimentar pentru elevii cu un ritm mai mare de lucru.

In munca pe care o desfasor la catedra cu elevii din clasele mici urmaresc, nu numai transmiterea de cunostinte, ci sa formez, in primul rand, copilul pentru viata.

Este de dorit ca ecoul activitatilor noastre sa se simta in constiinta elevilor, a copiilor nostri, pe care-i crestem si ii educam pentru a trai cinstiti, creatori si liberi, devotati patriei si partidului ; invatatorul ramanand pentru ei un model de constiinciozitate, un om mereu nou, prin adaosul ca-l face zilnic pregatirii sale stiintifice si pedagogice.

In incheiere putem afirma ca exista multe posibilitati de educare a capacitatilor creatoare prin invatarea matematicii, dar este necesar sa se aplice metode si procedee adecvate particularitatilor de varsta a alevilor. O alta concluzie ce se desprinde este aceea ca prin aceste activitati se ridica nivelul intelectual, se formeaza o atitudine corecta fata de creatie si invatare.

Modernizarea invatamantului matematic este impusa de dezvoltarea societatii noastre socialiste pe multiple planuri, social, economic, cultural. Matematica implica multe legaturi cu viata, pregateste viitorul cetatean pentru viata, pentru integrarea lui in societate.

Scoala moderna asigura conditii optime pentru dezvoltarea capacitatilor creatoare.

PROIECT DIDACTIC

Obiectul de invatamant : matematica

Clasa a II-a

Tema lectiei : Inmultirea numerelor naturale de la 0 la 100 – exercitii si probleme recapitulative.

Scopul lectiei :

Consolidarea cunostintelor despre inmultirea numerelor naturale de la 0 la 10.

Consolidarea operatiilor de adunare , scadere si inmultire.

Consolidarea deprinderii de a aplica cunostintele dobandite in rezolvarea unor exercitii si probleme cu cele trei operatii matematice.

Educarea atentiei, dezvoltarea gandirii ( a operatiilor analiza, sinteza, comparatie), a dragostei pentru obiectul matematica.

Obiective operationale : La sfarsitul lectiei, elevii vor fi capabili :

O.1 – sa cunoasca modalitati de calcul a produsului a doua numere de la 0 la 10.

O.2 – sa-si formeze automatisme de eneuntare a produsului direct fara calcul.

O.3 – sa dobandeasca deprinderea recunoasterii problemelor care se rezolva prin inmultire si sa se obisnuiasca a scrie numarul ce se repeta ca termen al adunarii, ca al doilea factor al inmultirii, primul factor aratand de cate ori se repeta al doilea ca termen al adunarii.

O.4 – sa aplice in calcul , intelegand semnificatia lor, relatiile matematice « cu atat mai mare decat »,  « cu atat mai mic decat », « de atatea ori mai mare decat » ;

O.5 – sa scrie rezolvarea unei probleme (sau parti ale ei) sub forma unui exercitiu cu mai multe operatii ;

O.6 – sa alcatuiasca probleme dupa exercitii date ;

O.7 – sa aplice comutativitatea si asociativitatea la adunari si inmultiri in scopul accesibilizarii calculului si optimizarii ritmului ;

O.8 – sa plice distributivitatea inmultirii fata de adunare atat in exercitii cat si in rezolvare de probleme pe mai multe cai.

Tipul lectiei : formare de priceperi si deprinderi

Metode si procedee : conversatia, explicatia, exercitiul, problematizarea, algoritmizarea, jocul didactic, evaluarea.

Material didactic :

plansa cu tabla inmultirii ;

exercitii scrise pe tabla ;

planse cu jocuri si probleme ;

fise de evaluare.

Material bibliografic

“Programa de matematica a claselor I-IV“, E.D.P. Bucuresti, 1980, M.E.I.

“Manual pentru clasa a II-a”, E.D.P, Bucuresti 1988, p.98-99.

Neacsu Ioan, “Metodica predarii matematicii la clasele I-IV” E.D.P., Bucuresti, 1988.

Nr. Secventele Obiective Continutul Metode si Evaluare

crt. Lectiei lectiei procedee

0. 1. 2. 3. 4. 5.

PROIECT DIDACTIC

Obiectul de invatamant : matematica

Clasa a III-a

Tema lectiei : Litrul. Multipli ai litrului

Obiective instructiv-educative :

O.1 – elevii sa-si fixeze cunostintele despre multiplii si submultiplii metrului ;

O.2 – sa stie sa faca masuratori ;

O.3 – sa stie sa rezolve exercitii si probleme in care sa transforme unitatile de masura invatate ;

O.4 – sa-si insuseasca cunostintele despre litru si multiplii lui ;

O.5 – sa stie sa opereze cu multiplii litrului ;

O.6 – sa cunoasca utilitatea acestor unitati de masura ;

O.7 – sa dea dovada de interes si pasiune pentru obiectul matematica ;

O.8 – sa-si dezvolte gandirea , judecata matematica si spiritul de observatie.

Tipul de lectie : de dobandire a cunostintelor

Metode si procedee : exercitiul, problematizarea, algoritmizarea, demostratia, jocul didactic, conversatia.

Mijloace didactice: plansa cu multiplii litrului, vase de diferite capacitati, fise , planse cu multiplii si submultiplii metrului.

Forme de activitate : activitatea frontala si individuala.

Material bibliografic : Neacsu, Ioan, « metodica predarii matematicii la clasele I-IV »,  « Probleme de matematica pentru clasele 2-4 », E.D.P, Buc. 1998, p 182-184 ; « Programa de matematica a claselor I-IV » E.D.P., Buc., 1983,M.E.I.

FISE DE MUNCA INDEPENDENTA

Clasa a III-a

Fisa 1 A

Obiective operationale :

sa afle termenul necunoscut ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea exercitiului dat ;

sa aplice cunostintele insusite in rezolvarea problemei date ;

Aflati termenul necunoscut din egalitatile :

535-x-170=87

900-355+x=233

Cum se schimba suma a trei numere, daca fiecare se va micsora cu 150 ?

Problema :

Un muncitor doreste sa cumpere un pardesiu in valoare de 990 lei. Are o suma de bani, care nu-i ajunge sa cumpere pardesiul. Daca ar avea cu 235 lei mai mult decat suma pe care o are, atunci, dupa cumpararea pardesiului ar ramane cu 153 lei.

Ce suma avea muncitorul inainte de a cumpara pardesiul ?

Raspuns : 908 lei.

Fisa 1 B

Obiective operationale :

sa calculeze sume si diferente cu numere pana la 1000, cu trecere peste ordin ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea exercitiului dat ;

sa aplice adunarea si scaderea in rezolvarea problemei date ;

Sa se efectueze :

208+196+300+67=

451-153+7-118=

Ce se intampla cu rezultatul unei scaderi daca descazutul se micsoreaza cu 1757. Verificati pe exemplu 900-638

Problema :

La o cooperativa agricola de productie s-au recoltat 956t de fructe : 450t mere ; 120t pere ; 147t prune, iar restul gutui.

Cate tone de gutui s-au recoltat ?

Rezolvati in doua moduri. Scrieti rezolvarea sum forma unui exercitiu.

Raspuns: 239 t.

Fisa 2 A

Obiective operationale:

sa calculeze suma, diferenta si produsul cu numere date;

sa respecte ordinea efectuarii operatiilor ;

sa verifice simetria egalitatilor date ;

sa utilizeze corect datele dintr-o problema aplicativa.

15 * 4 + 328 =

164* 7 + 96 =

208 – 4 * 38 =

6 * 43 – 144 =

Care numar este de 9 ori mai mare decat numerele :

69 ;241 ;64.

Problema :

Un costum de dama costa 859 lei. Cu 122 lei mai mult decat costul costumului s-ar putea cumpara 3 costume de pionier.

Care este costul unui costum de pionier ?

Raspuns : 328 lei.

Fisa 2 B

sa calculeze sume si diferente ;

sa resprecte ordinea efectuarii operatiilor ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea problemei date;

Calculati:

3825 + 2546 = 700541 – 29361 =

12734 + 10504 = 105400 – 44259 =

Efectuati:

(7 * 123) + (3 * 24)=

(930 : 3) – (240:2) =

Problema:

Din judetul Vaslui au plecat la tabara la mare si la munte 8792 baieti si cu 528 mai multe fete. Cate compartimente de tren au fost necesare pentru a-i transporta pe toti elevii la destinatie ? (un compartiment are 8 locuri)

Raspuns : 2264 compartimente.

Fisa 3 A

Obiective operationale :

sa calculeze produse si caturi ;

sa aplice cunostintele insusite in rezolvarea problemei date ;

sa dovedeasca gandire logica in rezolvarea exercitiilor date ;

Calculati :

500 : 100 = 24 * 10 =

42 * 100 = 2 * 1000 =

6600 : 10 = 6000 : 1000=

Se da numarul 643000. Scrieti un numar mai mic decat acesta de 10 ori, de 100 ori, de 1000 ori.

De la un depozit s-au repartizat 44000 oua in mod egal la 10 magazine. Cate oua au revenit fiecaruia ?

Fisa 3 B

Obiective operationale :

sa efectueze operatii aritmetice cu numere reprezentand multiplii si submultiplii unitatilor de masura ;

sa transforme unitatile de masura dupa conditia data ;

sa opereze cu unitatile de masura invatate in probleme cu caracter practic.

Faceti transformarile :

24 km = ? hm = ? dam = ? m

8 kl = ? hl = ? dal = ? l

b) 14 zile = ? ore 48 ore = ? zile

50 ani = ? decenii 4 secole = ? ani

2.Efectuati :

a) 40 q + ? q + 300 q = 4 t

9 t – 36q –  ? q = 20 q

b) 42 secole = ? ani

17 milenii = ? ani

3.Curtea scolii are forma de patrat cu latura de 25 dam. Cati metri are perimetrul ?

PROBLEME DIVERSE

Suma de 550 lei s-a platit cu ajutorul a 15 bancnote de 50 lei si de 25 lei.

Cate bancnote au fost de 25 lei ? Dar de 50 lei ?

Raspuns : 7 bancnote de 50 lei ;

8 bancnote de 25 lei.

Intr-o curte erau iepuri si rate ; 27 de capete si 78 picioare. Cate rate si cati iepuri erau ?

Raspuns : 15 rate ; 12 iepuri.

Sa se afle cele doua numere, stiind ca al doilea este de 7 ori mai mare decat primul, iar suma dintre dublul primului numar si triplul celui de-al doile este 1150.

Se va efectua si proba.

Raspuns : 50 ; 350.

Intr-o forma sunt 880 gaini si curcani. Diferenta dintre numarul curcanilor si al gainilor este de 360.

Cati lei se incaseaza daca se vand 2/5 din numarul curcanilor si 4/5 din numarul gainilor, cunoscand ca o gaina si un curcan costa 160 lei si ca un curcan costa cu 80 lei mai mult decat o gaina ?

Raspuns 38.080 lei.

Aflati numerele naturale naturale care fac adevarate egalitatile :

(195 + a) – (245 + 436) = 321

24 * 100 + (3500 – b) = 5428

148 + (629 – a) + 535 = 721

Raspuns : a=807 ; b=472 ; c=591.

Cati lei vor costa 150 caiete daca 15 caiete costa cu 9 lei mai mult decat 12 caiete ?

Raspuns : 450 lei.

a) Suma a trei numere naturale consecutive este 954. Sa se afle numerele.

Raspuns : 317 ; 318 ; 319.

Exista trei numere naturale consecutive, care sa aiba suma egala cu 673 ?

Raspuns : Nu.

Suma a patru numere naturale consecutive este 1654. Care sunt numerele ?

Raspuns : 412; 413; 414; 415.

Exista patru numere naturale consecutive , care sa aiba suma 1675?

Raspuns: Nu.

Compuneti un exercitiu asemanator pentru 5 numere consecutive.

Sa se afle valoarea lui x din egalitatile :

x : 9 – 164 =2016

2100 : x + 325 = ( 925 – 675 ) * 2

2200 + 1900 – 4 * x = 2000

Raspuns : a)19620 ; b)12 ; c)525.

Un numar este cu 10 mai mare decat altul. Daca numarul mare il inmultim cu 3, obtinem 51. Aflati cele doua numere.

Raspuns : 7 ; 17.

Pentru cumpararea unei mingi de fotbal, patru sportivi au contribuit cu sume de bani diferite. Aflati suma cu care a contribuit fiecare daca toate propozitiile ce urmeaza sunt adevarate.

P.1 : Primul a dat 68 lei sau 27lei sau 153 lei ;

P.2 : Al doilea a dat 102 lei sau 153 lei ;

P.3 : Al treilea nu a dat 27 lei ;

P.4 : Al patrulea a dat 102 lei.

Raspuns : I=27lei ;II=153lei ;III=68lei ;IV=102 lei.

La « Teatrul V.I.Popa » s-au platit 600 bilete de 15 lei si 20 lei biletul incasadnu-se in total 10000 lei. Cate bilete s-au vandut de fiecare fel ?

Raspuns : 400 bilete ; 200 bilete.

La « Libraria Al.Vlahuta » din Barlad s-au adus 565 carti. Unele aveau pretul de 12 lei bucata, altele de 16 lei bucata, platindu-se in total 8188 lei. Cate carti de 12 lei bucata si cate carti de 16 lei bucata s-au adus la librarie ?

Raspuns : 213 carti ; 352 carti.

Un caine urmareste o pisica care se afla la 24 sarituri in fata lui. Sa se afle dupa cate sarituri ajunge caiinele pisica daca in timp ce cainele face 5 sarituri pisica face 6 sarituri si 5 sarituri ale cainelui fac cat 8 sarituri ale pisicii.

Raspuns : 60 de sarituri.

Un elev rezolva probleme. Daca ar rezolva cate 6 probleme pe zi i-ar ramane 4, daca ar rezolva 7 probleme pe zi i-ar ramane o problema nerezolvata. Cate probleme are elevul de rezolvat ?

Raspuns : 22 probleme.

Gheorghita s-a dus la cules mere. El are de umplut un anumit numar de ladite. Daca ar umple cate 10 ladite pe zi, i-ar ramane 5 ladite goale ; daca ar umple cate 11 ladite pe zi, i-ar ramane 3 ladite de umplut.

Cate ladite are de umplut ?

Raspuns : 25 ladite.

Clasa a II-a a plecat cu saniutele la derdelus. Daca s-ar aseza cate 2 pe sanie, ar ramane 8 copii fara sanie. Daca s-ar aseza cate 3 copii pe sanie, ar ramane 3 sanii libere.

Cati copii si cate sanii sunt ?

Raspuns : 42 copii si 17 sanii.

PROBLEME CARE POT FI REZOLVATE PRIN METODA FIGURATIVA (GRAFICA)

Aflati lungimea si latimea unui dreptunghi al carui perimetru este de 606 m, lungimea fiind cu 61 m mai mare decat latimea.

Raspuns : 182m ; 121m.

Doi muncitori au executat impreuna intr-o zi 3117 piese. Stiind ca primul a executat cu 389 piese mai mult decat al doilea, aflati cate piese au executat fiecare muncitor.

Raspuns : 1753 piese ; 1364 piese.

Doi elevi au economisit pentru o excursie 554 lei. Daca primul ii da celui de-al doilea 36 lei amandoi au aceeasi suma. Cati lei a avut fiecare, ala inceput ?

Raspuns : 313 lei ; 241 lei.

Intr-o vaza sunt cu 28 de flori mai multe decat in alta. Cate flori trebuie sa trecem indr-o vaza in alta, pentru ca in amandoua vaze sa fie acelasi numar de flori ?

Raspuns : 14 flori.

In trei lazi se afla 85 kg cirese. In prima lada se afla cu 4 kg mai mult decat in a doua, iar in a doua cu 3 kg mai mult decat in a treia. Cate kilograme de cirese se afla in fiecare lada ?

Raspuns : 32 kg ; 28 kg ; 25 kg.

Catalin, Ana si Mioara au adus impreuna pentru angajamentul de munca un numar de sticle. Sa se afle cat a adus fiecare, stiind ca : Catalin impreuna cu Ana au adus 78 sticle, Ana impreuna cu Mioara au adus 95 sticle, iar Catalin impreuna cu Mioara au adus 89 sticle.

Raspuns : 36 sticle ; 42 sticle ; 53 sticle.

Pe un santier sunt cazati 436 muncitori in 4 cladiri. In prima cladire sunt cu 10 muncitori mai multi decat in cladirea a IV-a, unde sunt cu 8 muncitori mai multi decat in cladirea a III-a, iar in cladirea a II-a sunt cu 10 muncitori mai multi ca in a III-a. Cati muncitori sunt cazati in fiecare cladire ?

Raspuns : 118 ; 110 ; 100 ; 108.

Andrei, Barbu si Costel au impreuna 182 lei. Barbu are jumatate din suma pe care o are Andrei si dublul sumei pe care o are Costel. Ce suma are fiecare?

Raspns: 26 lei ; 52 lei ; 104 lei.

In trei clase sunt 119 elevi. In prima sunt cu trei elevi mai putin decat in a doua, iar in a treia cu 5 elevi mai mult decat in prima. Cati elevi sunt in fiecare clasa?

Raspuns: 37; 40; 42.

Cate kilograme de cirese au cules 3 pionieri daca primul a cules 5 kg, al doilea a cules 2/5 din cat a cules primul si 1/3 din cat a cules ultimul, iar al treilea a cules cat al doilea si de 2 ori cat primul ?

Raspuns : 31 kg.

Cate creioane colorate are un elev, stiind ca daca ar avea cu doua mai putin, atunci 1/3 din acest numar ar fi cu unu mai mare decat 1/6 din el ?

Raspuns : 8 creioane.

Cu un sfert din banii pe care ii are un elev a cumpara un stilou de 50 lei, iar cu o 1/5 din cat i-au ramas a cumparat doua carti. Cati lei a avut la inceput si cati lei i-au mai ramas ?

Raspuns : 200 lei ; 120 lei.

Intr-un depozit se afla de 3 ori mai multa faina decat in altul. Daca din primul depozit se scot 850 kg faina, iar din al dailea 50, atunci in ambele depoziteraman aceleasi cantitati de faina. Cate kiograme de faina sunt in fiecare depozit ?

Raspuns : 400 kg ; 1200 kg.

Un drumet si-a propus sa strabata un drum in cinci etape egale. Dupa ce a strabatut doua parti din cele planificate, s-a oprit s a vazut ca daca ar merge inca 4 km, ii raman de parcurs tot atatea parti cate facuse in momentul opririi. Ce lungime are drumul ?

Raspuns : 40 km.

Intr-o camera erau 12 oameni. Dupa un timp au plecat 7. Cineva a spus : Am ramas a treia parte si inca unul din cati am fost.

Este adevarat acest lucru ?

Raspuns : Da.

La o ferma s-au repartizat 846 kg graunte astfel : pentru ei de 3 ori mai mult si inca 6 kg decat hrana repartizata pentru gaini. Cate gaini are ferma daca pentru fiecare gaina s-au repartizat 5 kg graunte ?

Cate kg de graunte a repartizat pentru oi?

Raspuns : 42 gaini; 636 kg.

Patru frati: Mircea, Ionel, Catalin si Anca au o suma de bani. Catalin are de 5 ori mai putin decat Ionel. Ionel de doua ori mai mult decat Mircea, iar Mircea de trei ori mai putin decat Anca. Sa se afle ce suma are fiecare stiind ca Ionel are 350 lei.

Raspuns : 70 lei ; 175 lei ; 525 lei.

18.Detasamentul clasei a IV-a a recoltat de pe lotul scolar ceapa, o cantitate de rosii de 3 ori mai mare decat ceapa, vinete cu 30 kg mai mult decat rosii, iar morcovi cu 20 kg mai mult decat vinete s-au recoltat ?

Raspuns : 50 kg ; 150 kg ; 180 kg.

19.Trei muncitori au depus la C.E.C 1548 lei. Primul a depus mai putin cu 36 lei decat al doilea, iar al doilea cu 72 lei mai mult decat al treilea. Cati lei a depus fiecare muncitor la C.E.C ?

Raspuns : 480 lei ; 552 lei ; 516 lei.

20.Sa se afle cele doua numere, stiind ca al doilea este de 7 ori mai mare decat primul, iar suma dintre dublul primului numar si triplul celui de-al doilea este 966.

Raspuns : 42 ; 294.

PROBLEME CARE POT FI REZOLVATE PRIN METODA REDUCERII LA UNITATE

La o librarie s-au adus 2547 caiete. Cati lei se vor incasa, daca 9 caiete costa 27 lei ?

Raspuns : 7641 lei.

Doua echipe de muncitori, una cu 4 muncitori si cealalta cu 6 muncitori, au primit pentru o lucrare 7500 lei. Ce suma a primit fiecare echipa, daca fiecare muncitor a primit aceeasi suma ?

Raspuns : 3000 lei ; 4500 lei.

Sase robinete cu acelasi debit umplu un bazin in 8 ore. Aflati : a) In cate ore vor umple bazinul 2 robinete ? Dar 8 robinete? b) In cate ore va umple bazinul un singur robinet? c) In cate ore vor umple bazinul 3 robinete?

Raspuns: 24 ore; 6 ore; 48 ore; 16 ore.

La o alimentara s-a vandut timp de trei zile zahar in valoare de 4466 lei. Ce suma s-a incasat in fiecare zi stiind ca in prima zi s-au vandut 85 kg, a doua zi 102 kg, iar in a treia zi 132kg ?

Raspuns: 1190 lei; 1428 lei; 1848 lei.

In 8 ore un iciclist parcurge 144 km, iar un automo bilist parcurge in 2 ore 130 km. Cu cati kilometri parcurge mai mult automobilistul in 5 ore, dacat biciclistul in 10 ore? (viteza medie este aceeasi la fiecare).

Raspuns : 145 km.

16 muncitori au lucrat 3200 piese in 8 zile. In cate zile ar fi lucrat acelasi numar de piese 32 muncitori, lucrand toti la fel ?

Raspuns : 4 zile.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN METODA COMPARATIEI

Pentru o cantina s-au cumparat 8 oachete de unt si 7 kg de faina si s-au platit 123 lei. Alta data s-au cumparat 10 pachete de unt si 7 kg faina si s-au platit 145 lei. Cat costa un pachet de unt si cat costa un kilogram de faina ?

Raspuns : 11 lei si 5 lei.

Daca se confectioneaza 5 costume de elevi si 4 costume barbatesti se consuma 22 m de stofa, iar daca se croiesc 10 costume de elevi si 6 costume barbatesti se consuma 38 m de stofa. Cati metri de stofa sunt necesari pentru un costum de elev si cati pentru un costum barbatesc ?

Raspuns : 2m ; 3m.

O toneta a primit in prima zi 120 kg mere si 79 kg de pere in valoare de 1314 lei. A doua zi a primit 15 kg mere si 145 kg pere in valoare de 975 lei. Cat costa un kilogram de mere ? Dar un kilogram de pere ?

Raspuns : 7 lei ; 6 lei.

Maria cumpara 2 carti, 5 blocuri de desen si 6 caiete de matematica si plateste 51 lei. Sorin cumpara 7 carti, 4 blocuri de desen si si 3 caiete de matematica si plateste 66 lei. Marin cumpara 7 carti, 9 blocuri de desen si 9 caiete de matematica si plateste 105 lei. Cat costa o carte ? Dar un bloc ? Dar un caiet de matematica ?

Raspuns 6 lei ; 3 lei ; 4 lei.

Un bazin pentru inot se umple cu apa prin doua robinete. Daca lasam deschis primul robinet 7 ore si al doilea 6 ore, in bazin vor curge 385 kl de apa, iar daca lasam deschis primul robinet 8 ore si al doilea robinet 10 ore, in bazin vor curge 550 kl de apa. Cati kilolotri de apa curg prin fiecare robinet intr-o ora ?

Raspuns : 25 kl ; 35kl.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN REDUCEREA LA ACELASI TERMEN DE COMPARATIE

Cu 860 lei se pot cumpara 5 rate, 2 curcani si 3 gaini. Stiind ca un curcan costa cat o gaina si o rata la un loc, iar o gaina este mai ieftina dacat o rata cu 20 lei, aflati costul unei gaini, a unei rate si a unui curcan.

Raspuns : 60 lei ; 80 lei ; 140 lei.

Cu 780 lei se pot cumpara 40 caiete si 30 carti. Stiind ca o carte costa de 3 ori mai mult decat un caiet, sa se afle cat costa o carte si cat costa un caiet.

Raspuns : 6 lei ; 18 lei.

Mama cumpara 3 batiste si 3 perechi de sosete platind 57 lei. Stiind ca perechea de sosete costa cat 3 batiste si inca 3 lei, aflati pretul unei perechi de sosete si a unei batiste.

Raspuns : 15 lei ; 4 lei.

Cu 86 lei se pot cumpara 4 napolitane si 5 ciocolate. Stiind ca o ciocolata costa cat 3 napolitane sin ca 2 lei, aflati pretul unei ciocolate si a unei napolitane.

Raspuns : 14 lei ; 4 lei.

Un elev, cumparand 7 gume, 5 creioane si 8 caiete plateste 86 lei. O guma este de doua ori mai scumpa decat un creion, iar creionul este de 3 ori mai ieftin decat caietul. Cat costa o guma ; un creion ; si un caiet ?

Raspuns : 4 lei ; 2 lei ; 6 lei.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN METODA IPOTEZELOR (Falsei presupuneri)

Un muncitor a primit o prima constand in bancnote de cate 100 lei si 25 lei in valoare de 425 lei. Cate bancnote de fiecare fel a primit ?

Raspuns : 5 bancnote de 25 lei ;

3 bancnote de 100 lei

La statia C.F.R Barlad s-au vandut intr-o zi 214 bilete pentru calatorie, de 11 lei si 13 lei, incasandu-se in total 2502 lei. Cate bilete s-au vandut de fiecare fel ?

Raspuns : 140 bilete ; 74 bilete.

Intr-o zi s-a transportat la piata 141 ladite cu capsuni, unele de 10 kg si altele de 12 kg. Cate ladite au fost de fiecare daca in total s-au transportat 1594 kg de capsuni ?

Raspuns : 49 ladite ; 92 ladite.

Intr-un bloc sunt 97 apartamente cu cate 2 si 3 camere. Daca in bloc sunt in total 246 camere, cate apartamente sunt cu 2 camere si cate sunt cu 3 camere ?

Raspuns: 45 apartamente; 52 apartamente.

La o cooperativa agricola de productie sunt oi si pasari in total 4213 capete si 9596 picioare. Cate oi si cate pasari are cooperativa ?

Raspuns : 3628 pasari ; 585 oi.

PROBLEME CARE SE REZOLVA PRIN METODA MERSULUI INVERS

De la un depozit s-au distribuit in patru zile o cantitate de malai astfel :

in prima zi 2/5 din intreaga cantitate

in a doua zi ½ din rest.

In a treia zi 2/3 din ce-a mai ramas dupa ce s-a distribuit in primele doua zile.

In a patra zi s-a distribuit 200 kg.

Ce cantitate a fost transportata si cate kilograme a primit fiecare unitate alimentara ?

Raspuns : 2000 kg ; 800 kg ; 600 kg ; 400 kg.

La un aprozar s-au adus rosii. Primul cumparator a luat ½ din toata cantitatea, al doulea 1/3 din rest, al treilea ½ din noul rest, iar al patrulea 1/3 din cantitatea ramasa. Dupa aceasta vanzatorul constata ca a mai ramas cu 12 kg.

Ce cantitate de rosii s-au adus?

Raspuns : 108 kg.

Ce suma de bani a avut Maria daca dupa ce a cheltuit ¾ din ea si apoi 2/3 din rest i-au ramas 24 lei ?

Raspuns : 288 lei.

Un excursionist porneste de la cabana A la cabana B. Dupa 45 km se opreste si face un popas mai lung gandindu-se ca mai are de parcurs un sfert. Care este lungimea dintre cabane ?

Raspuns : 60 km.

Sa se afle numarul « a » din egalitatea :

(a+5370 : 30) – 639 .

9315 :27 – ( 2681 + 417 * 28 – 14019)

Raspuns : a = 642

Determinati valoarea lui x din egalitatea :

3 + { 4 * [ 2 + ( 6 + x ) : 3 ] – 17 } * 7 = 24

Raspuns : x=3

Calculati pe « a » din egalitatea :

{ [ ( a + 3 ) * 3 + 3 ] * 3 + 3 } * 3 + 3 = 201

Raspuns : a=3

Determinati numerele naturale x, y, z stiind ca :

7 * x + 5 * y – z = 24 si y + z = 8

Raspuns: x=2; y=3 si z=5.

Sa se determine numerele x, y, z, stiind ca :

x * 3 * y + 7 * y = z

z = 7 * 6 + 3 * x

9 * x = 63

Raspuns : x=7 ; y=3 ; z=63.

Sa se afle numerele necunoscute x si y din egalitatile :

[ 45 : ( 34 – x ) + 44 ]  : 7 = 7

y : [ ( 842 – 622 ) : 4 – 25 ] = 5

Raspuns : x=25 ; y=150.

BIBLIOGRAFIE TEMATICA SI SELECTIVA

Revista de pedagogie nr 12/1989

Aren, Ioan ; I.Gheorghe si Herescu “Aritmetica pentru invatatori”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1977;

Beraru,Ion Cunoasterea si cultivarea aptitudinilor matematice la elevii de varsta scolara mica si mijlocie in “Studii de spihologie scolara”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1979.

Boros, M. si Fornvald, F. “Priceperea elevilor de a alcatui in mod independent probleme” in “Revista de pedagogie”, nr.6/1982.

Bunescu, Vasile “Stilul muncii intelectuale – indicator si mijloc al invataturii eficiente” in “Revista de pedagogie”,nr.6/1982

Cerghit, Ioan “Metode de invatamant”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

Dottrene, R. « A educa si a instrui », Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

“Diferentierea activitatii cu elevii din ciclul primar in cadrul lectiei “, volum editat de “Revista de pedagogie”,Bucuresti,1976.

Galperin, P.I. « Psihologia gandirii si teoria formarii in etape a actiunilor mentale » in « Studii asupra gandirii in psihologia sovietica ».Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

Holban,I.  « Incursiuni in problemele docimologiei » in « Revista de pedagogie » nr.5/1973.

« Invatamantul in clasele I-IV » Culegere metodica editata de « Revista de pedagogie », Bucuresti, 1979.

Landu,Erika « Psihologia creativitatii » Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti ,1979.

Matei,Nicolae,C. « Educarea capacitatilor creatoare in procesul de invatamant », Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1982.

“Metodica predatii aritmeticii in scoala generala de 8 ani”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1965.

«Modernizarea invatamantului primar » Culegere metodica editata de « Revista de pedagogie », Bucuresti 1980

Neacsu,Ioan “Metodica predarii matematicii in clasele I-IV”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1988.

17.Nicola,Grigore “Criterii psihologice in clasificarea problemelor de aritmetica” in “Probleme ale invatarii in clasele I-IV „Editura Didactica si pedagogica”, Bucuresti, 1969.

18. Nicola Grigore: Invatarea creative: Concept si metodologie- in „Revista de pedagogie”, nr. 9/1979.

19. Nicola, Ioan: Pedagogie scolara. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980

20. Noica, C: Eminescu sau ganduri despre omul deplin al culturii romanesti (Manuscrisul 2289 fila 15)

21. x x x x : Organizarea si desfasurarea procesului de ivatamant in ciclul primar in vederea cresterii randamentului scolar si lichidarea repetentei, volum editat de „Revista de pedagogie”, Bucuresti, 1974

22. Oprescu Nicolae: Educarea creativitatii elevilor in procesul de invatamant in „Revista de pedagogie”, nr. 3/1997

23. Oprescu Nicolae: In sprijinul elaborarii obiectivelor operationale ale lectiei in „Revista de pedagogie”, nr. 6/1983

24. Oprescu Nicolae: Modernizarea invatamantului in ciclul primar, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974

25. x x x x: Pedagogia. Atelierul de imprimerie al Universitatii din Iasi, 1979

26. Piaget, Jean: „Psihologia inteligentei” Bucuresti, Editura Stiintifica, 1965.

27. Polya , George:Descoperirea in matematica. Euristica rezolvarii problemelor, Editura stiiintifica , Bucuresti, 1965.

28. Polya , George: Cum se rezolva o problema ?, Editura stiintifica, Bucuresti, 1971

29. Popescu-Neveanu, Paul: Creativitatea si invatare in „Revista de pedagogie”, nr. 1/1980

30. x x x x : Predarea si rezolvarea problemelor de matematica la clasele I-IV , in „Revista de pedagogie”, nr. 11/1979.

31. Radu T. Ion: Teorie si practica in evaluarea eficientei invatamantului

32. Radu T. Ion: Teorie si practica in evaluarea eficientei invatamantului, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

33. Radulescu, Marin: Problema problemelor matematice din invatamantul primar in „Invatamantul in clasele I-IV”, Culegere metodica editata de „Revista de pedagogie”,Bucuresti, 1979.

34. Roco, Mihaela: Creativitate individuala si de grup, Editura Academiei R.S.R. , Bucuresti, 1979

35 Rosca, Al.: Creativitate, Editura Enciclopedica Roama, Bucuresti, 1972.

36 Rus, Ileana: Metodica predarii matematicii, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983