. Teoria Tragerile

CUPRINS

Introducere

Potrivit titlului “Aplicații ale teoremei limită centrală în teoria tragerii”, lucrarea de față prezintă modul în care aparatul matematic furnizat de către teoremele de limită centrală (Moivre-Laplace, Liendenberg-Feller, Leapunov) poate fi aplicat în situații concrete de tragere.

Lucrarea începe cu un capitol de teoria tragerilor în care sunt prezentate noțiuni elementare ca: fenomen de tragere , împrăștiere, etc., precum și particularități ale fenomenului tragerii legate de factorii care îl influențează.

Capitolul al doilea vine din partea “opusă” teoriei tragerilor și anume din teoria probabilităților, aducând cu sine noțiuni de probabilități strict necesare înțelegerii teoremelor limită centrală, care sunt prezentate pe larg în capitolul 3.

Capitolul 4 al lucrării este capitolul în care se aplică teoremele limită centrală în situații concrete și are două părți de bază. Prima parte în care sunt rezolvate situații problematice de trageri, și menționez aici că am urmărit să folosesc în probleme situații specifice armamentului din dotarea trupelor de apărare nucleară, biologică și chimică, dar că aceste situații se pot extinde la trageri cu alte tipuri diferite de armament. În a doua parte a capitolului 4 prezint alte situații concrete de rezolvare a unor probleme din câmpul de luptă, de asemenea cu referire la specificul armei de apărare nucleară, biologic și chimic, dorind să ilustrez faptul că teorema limită centrală își găsește aplicabilitate și în alte situații din câmpul de luptă, nu doar în teoria tragerilor.

În lucrare sunt prezentate o serie de tipuri de probleme cu aplicabilitate într-o multitudine de situații concrete de luptă (situații care se rezolvă atât la eșaloane mari, cât și la eșaloane mici) .

Capitolul 1

Noțiuni de teoria tragerilor

O privire sintetică asupra câmpului de luptă relevă faptul că lupta modernă se caracterizează prin acțiuni de mare amploare, deosebit de dinamice, desfășurate pe spații largi, cu o cantitate însemnată de forțe și mijloace, cărora le sunt proprii mobilitatea, puterea de foc și razele de acțiune sporite. Totodată, în prezent acțiunile militare se pot purta, atât ziua, cât și noaptea, în orice condiții de timp și anotimp, indiferent de natura terenului.

Desigur, această definiție surprinde numai trăsăturile esențiale ale luptei, așadar nu toate elementele care ar putea să dea un tablou complet al factorilor ce concură la definirea acțiunilor de luptă modernă.

Caracteristicile enumerate reflectă însă, într-o suficientă măsură, elementele de noutate ale luptei, induse de progresele înregistrate de știința și tehnica contemporană, ce au fost aplicate în construcția tehnicii cu care sunt înzestrate trupele.

În definirea sintetică, lapidară, menționată mai sus, rolul omului și al relației sale cu tehnica este exprimat doar prin noțiunea de forțe. Este indeobste cunoscut că, definițiile în general nu pot să surprindă decât elementele esențiale, și ca atare nu ne-am fi așteptat ca în caracterizarea de mai sus a luptei moderne să regăsim detailat și rolul factorului uman, relația om-tehnică modernă, în întreaga sa substanță, fundamentală de altfel în adjudecarea succesului pe câmpul de luptă.

Teoria tragerilor terestre. Fenomenul tragerii

Teoria tragerilor terestre studiază influența tuturor factorilor ce intervin în tragerea cu o gură de foc în scopul fundamentării unor reguli și procedee raționale de pregătire și executare a tragerilor care să permită îndeplinirea misiunilor de foc cu maximum de eficacitate.

Multitudinea și diversitatea factorilor care influențează tragerea și rezultatul acesteia derivă din caracteristicile constructive și funcționale ale materialului, aparatelor și muniției cu care se execută tragerea, din condițiile de mișcare ale proiectilului în țeavă și după ieșirea din țeavă, din condițiile meteorologice, precum și din cerințele misiunii de foc. Ca urmare, în analiza influenței acestor factori, teoria tragerii se sprijină pe unele rațiuni, reguli și teoreme puse la dispoziție de balistica interioară și exterioară, meteorologie, principiile de construcție a gurilor de foc, teoria pulberilor, explozivilor și a muniției de artilerie, infanterie, apărare NBC etc., teoria probabilităților, teoria erorilor etc.

Proiectilul este aruncat din gura de foc (țeavă) sub acțiunea forței de presiune a gazelor rezultate din arderea unei cantități de pulbere (încărcătură de azvârlire). Acționând asupra fundului proiectilului, presiunea gazelor imprimă masei proiectilului o mișcare de translație în lungul axului țevii cu o viteză din ce în ce mai mare, precum și o mișcare de rotație în jurul axului propriu, ca urmare a tăierii brâului forțelor în ghinturile țevii; acesta este denumit fenomenul tragerii.

Este știut că lupta în sine este o combinare iscusită a focului cu mișcarea; misiunea este îndeplinită prin efortul comun al tuturor militarilor subunității (unității), acționând în acest fel. Înfrângea inamicului presupune distrugerea lui totală sau într-o proporție care să-l oblige să abandoneze lupta. Acest lucru se realizează în ultimă instanță prin combaterea lui cu focul însumat al armamentului de toate categoriile din înzestrarea subunității (unității).

Pentru al distruge pe inamic, fiecare luptător trebuie să-și aducă contribuția personală printr-un foc eficace, care se înțelege că se însumează în eficacitatea focului întregii subunități.

Dacă focul nu se execută cu eficiența scontată există posibilitatea ca în timpul acțiunii luptătorul sau servanții care deservesc armamentul greu să termine muniția înainte de a se încheia lupta. Pentru a preveni o asemenea situație, evident se iau măsuri de reaprovizionare, operație care nu este deloc simplă, mai ales când are loc sub focul inamic. Dar lipsa muniției are implicații serioase asupra deznodământului luptei, întrucât inamicului I se acordă posibilitatea de a-și manifesta inițiativa în acțiuni.

După cum este cunoscut, pentru fiecare categorie de armament sunt stabilite așa numitele unități de foc, care reprezintă de fapt numărul de lovituri pe care militarul sau, în cazul armamentului greu servanții le au la dispoziție pentru luptă. Numărul unităților de foc se stabilește pentru fiecare tip de armament înaintea luptei, bineînțeles ținând seama de condițiile concrete în care aceasta urmează să se desfășoare.

1.2. Pricipalii factori balistici și meteorologici care influențează mișcarea proiectilului în aer

În pricipiu, deschiderea focului cu armamentul presupune parcurgerea a trei etape: pregătirea tragerii, reglajul și tragerea de distrugere.

Mișcarea proiectilului în aer este fenomen complex care are loc sub acțiunea forțelor și cuplurilor aerodinamice, forței de greutate, mișcării de rotație a Pământului, elementelor meteorologice, precum și sub influența altor factori balistici și meteorologici.

În timpul mersului prin aer, asupra proiectilului acționează următoarele forțe și cupluri mai importante:

viteza inițială a proiectilului;

forța de greutate a proiectilului;

forțe și cupluri aerodinamice;

forța datorită rotației Pământului în jurul axei sale.

Mișcarea proiectilului prin aer (traiectoria) este influențată de o serie de factori care definesc condițiile balistice și meteorologice ale tragerii.

În calculul traiectoriei (la întocmirea tabelelor de tragere) se admite că parametrii care definesc condițiile de tragere au anumite valori nominale stabilite în mod convențional, valori care la rândul lor definesc așa numitele condiții normale de tragere. Dintre condițiile balistice și meteorologice normale menționăm:

viteza inițială a proiectilului corespunzătoare tragerii cu o țeavă nouă cu o încărcătură care asigură o viteză egală cu cea înscrisă în tabelele de tragere;

greutatea proiectilului (complet echipat) egală cu cea înscrisă în tabelele de tragere;

forma proiectilului echipat cu focos corespunde desenelor de fabricație;

presiunea barometrică la orizontala piesei egală cu 750 mm/Hg;

temperatura aerului;

piesei egală cu +15,9 grade;

atmosfera liniștită, viteza vântului egală cu zero la toate înălțimile.

Tragerea reală se desfășoară în condiții balistice și meteorologice diferite de cele normale, motiv pentru care este util să se cunoască influența variației condițiilor de tragere asupra proiectilului.

Principalii factori balistici care influențează mișcarea proiectilului sunt următorii: valoarea vitezei inițiale a proiectilului, temperatura încărcăturii de azvârlire, uzura țevii, substanța antiflacără, forma și greutatea proiectilului, vopsirea proiectilului, tipul focosului.

Dintre forțele care acționează asupra proiectilului în mersul său pe traiectorie, forța de rezistență a aerului este factorul esențial a cărei valoare depinde de condițiile meteorologice în care se execută tragerea.

1.3.Pregătirea tragerii. Deschiderea focului

În luptă focul terestru de toate categoriile constituie principalul mijloc de lovire a inamicului. Îndeplinirea misiunilor de foc se concretizează prin lovirea obiectivelor.

Prin neutralizarea unui obiectiv se înțelege producerea unor astfel de pierderi care să determine scoaterea lui din luptă pe un timp limitat (pierderea temporară a capacității de luptă).

Prin nimicirea unui obiectiv se înțelege producerea unor astfel de pierderi care să determine reducerea completă a capacității de luptă a acestuia.

Prin distrugerea unei lucrări de apărare se înțelege producerea unor astfel de deteriorări care să facă imposibilă folosirea în continuare a acesteia.

Ținând seama că modul în care se execută pregătirea tragerii influențează nemijlocit eficacitatea focului, se impune că în orice situație să analizeze în primul rând acele activități care permit deschiderea la timp a focului, urmând ca în continuare să se completeze pregătirea tragerii atât prin îmbunătățirea preciziei datelor obținute inițial cât și prin realizarea tuturor activităților care asigură obținerea efectului urmărit.

Fenomenul împrăștierii

Trăgând un număr mare de proiectile în condiții pe cât posibil constante (gloanțe, proiectile și încărcături din același lot) fiecare proiectil va urma o traiectorie proprie și ca urmare punctele de cădere (impact) corespunzătoare nu se vor suprapune și nici nu vor coincide cu punctul pentru care s-au pregătit elementele. Acest fenomen a fost denumit împrăștierea traiectoriilor sau uzual împrăștierea tragerii (punctelor de cădere).

Caracteristica principală a acestui fenomen o constituie abaterile punctelor de cădere de la lovitură la lovitură, precum și față de punctul pentru care s-au determinat elementele de tragere.

Din studiul teoretic și experimental al influenței cauzelor de ordin accidental asupra mișcării proiectilului rezultă că acțiunea lor, în cazul tragerii unui număr mare de lovituri în condiții aparent identice, pune în evidență unele caracteristici ale împrăștierii:

Traiectoriile urmate de proiectile ocupă în spațiu un volum finit având forma unui snop (snopul traiectoriilor).

Traiectoria imaginară care trece prin centrul snopului (care s-ar obține în lipsa cauzelor care provoacă împrăștierea) se numește traiectorie medie; toate celelalte traiectorii din snop sunt dispuse simetric în jurul traiectoriei medii.

În interiorul snopului, traiectoriile sunt dispuse mai dense în apropierea traiectoriei medii și din ce în ce mai rare cu cât sunt mai departe de acesta.

Ca unitate de măsură a împrăștierii pe o direcție a fost adoptată abaterea medie (de mijloc) adică acea abatere a cărei valoare absolută este mai mare decât fiecare din abaterile unei jumătăți a tuturor abaterilor așezate în șir (crescător sau descrescător) și mai mică decât fiecare din abaterile celeilalte jumătăți. Cu alte cuvinte, abaterea medie se caracterizează prin aceea că probabilitatea producerii unor abateri mai mari sau mai mici decât ea este de 0,5.

Împrăștierea proiectilelor reactive

Am dorit să introduc un punct separat despre împrăștierea proiectilelor reactive deomprăștierea proiectilelor reactive deoarece în cadrul aplicațiilor ce vor fi discutate ulterior, arma folosită pentru ilustrarea diferitelor probleme de tragere va fi aruncătorul de grenade incendiare, armă specifică trupelor de apărare nucleară, biologic și chimic.

Fenomenul împrăștierii traiectoriilor (punctelor de cădere) în tragerea cu proiectile reactive, principial are la bază aceleași cauze și prezintă aceleași caracteristici ca și în tragerea cu proiectile obișnuite.

În grupele de cauze care determină împrăștierea traiectoriilor (punctelor de cădere), în cazul tragerilor cu proiectile reactive se adaugă o nouă grupă de cauze, generate de principiul reactiv, care imprimă proiectilului forța necesară deplasării pe traiectorie.

Din aceste cauze mai importante sunt:

-toleranțele admise în construirea și funcționarea motoarelor rachetă (cantitatea și calitatea combustibilului, forma și dimensiunile ajutajului, greutatea rachetei etc.)

-forma și dimensiunile rachetei

-excentricitatea posibilă a forței reactive în raport cu axa longitudinală a ajutajului

-forma și montarea ampenajului pe corpul rachetei.

Aceste cauze în plus față de cele proprii împrăștierii în tragerea cu proiectile obișnuite, face ca fenomenul împrăștierii proiectilelor reactive să fie mai evident determinând o majorare a suprafeței de împrăștiere și implicit o creștere a valorilor abaterilor probabile, ceea ce are ca urmare o micșorare a preciziei tragerii.

Capitolul 2.Noțiuni introductive de teoria probabilităților

2.1 Noțiuni fundamentale

Definiția 2.1.1. K P() se numește corp daca:

K ;

AK ĀK (Ā=x-A);

A,B K ĀB K;

Proprietati

AB K (AB)=(AB) A,BK;

(Ai)i1,nK (inducție);

(Ai)i1,nK (inducție);

4)

A\B K A\B = AB;

A,B K AB=(A\B)(B\A) K;

5) , XK ( K () AK; AA=, AĀ= X);

6) Fie (Ki)i , KiP(x) corp, ()i corp;

Definitie2.1.2. Câmp de evenimente [,K] este format dintr-un sistem de evenimente elementare si un corp KP().

[,K]={,A,Ā,} câmp de evenimente.

Consideram [,K] un câmp de evenimente .

Definitie2.1.3. Fie P:[,K]R o funcție care asociata () AKP(A)R . Aceasta funcție se numește probabilitate dacă are proprietățile:

P1) P()=1 (, evenimentul sigur);

P2) P(A) 0 () A K;

P3) Daca AB= P(AB)=P(A)+P(B) deci P este funcție aditiva.

Proprietati:

Funcția P are si alte proprietati:

P4) P() = 0 ;

P5) P(CA) =1 – P(A) si P(A) 1;

P6) Daca AB P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P7) AB P(B-A)=P(B)-P(A);

Definiția corpului borelian:

Fie B={BR-B boreliana}P(R) – corp generat de una din următoarele mulțimi:

M1={[a,b] a,b R , a<b};

M2={(a,b) a,b R , a<b};

M3={[a,b) a,b R , a<b};

M4={(a,b] a,b R , a<b};

M5={(-,a] aR , a<b};

M6={(-,a)aR , a<b};

M7={(a,) a R , a<b};

M8={[a,)a R , a<b};

Definiția 2.1.5.o aplicație f: R se numește variabila aleatoare daca f-1 (B) ,() BBR (BR fiind – corpul mulțimilor boreliene din |R).

Corolar2.1.6. Următoarele afirmații sunt echivalente pentru f : x|R:

f este o variabila aleatoare;

f-1([a,b]) , () a,b |R;

f-1((a,b)) , () a,b |R;

f-1([a,b)) , () a,b |R;

f-1((a,b]) , () a,b |R;

f-1([a,)) , () a |R;

f-1((a,)) , () a |R;

f-1((-,a]) , () a |R;

f-1((-,a)) , () a |R;

In continuare vom prezenta o clasificare a variabilelor aleatoare .

Cel mai simplu tip de variabila aleatoare unidimensionala este dat de următoarea definiție:

Definiția 2.1.8. : Fie (,K,P) un câmp de probabilitate . O variabila aleatoare X : |R care ia un număr finit de valori se numește variabila aleatoare simpla.

Definiția 2.1.9. : Fie (,K,P) un câmp borelian de probabilitate . O variabila aleatoare x : |R se numește continua daca exista o funcție reala f : |R [0,) integrabila pe |R astfel încât:

unde F este funcția de repartiție a lui x. In acest caz f se numește densitate de repartiție (de probabilitate) iar F se spune ca este funcție de repartiție continua.

Definiția 2.1.1.1. Fie P o probabilitate pe (|R,B) ; definim următoarea aplicație:

-1: |R [0,1] ; P-1(x) =P[(-,x)] ; P-1 se numește funcție de repartiție a lui P.

Fie X : |R o variabila aleatoare Fx=Pox-1 se numește funcție de repartiție a lui x.

Proprietati: FX are urmatoarele proprietati:

FX crescătoare ;

Fx este continua la stanga .

Definitie 2.1.1.2. Funcția c : |RC cx(t)= M(e-itx), t|R si eitx =cos tx + isin tx ; cx(t) -functie caracteristica.

Observatii:

Z o variabila aleatoare complexa Z= X+iY atunci M(Z)= M(X)+iM(Y) ;

Z1,Z2 variabile aleatoare complexe atunci M(Z1+Z2)= M(Z1)+M(Z2) ;

a) pentru X o variabila aleatoare discreta:

b) Pentru X variabila aleatoare numărabilă :

serie absolut convergenta ;

Pentru o variabila aleatoare de tip continuu

Propietati ale funcției caracteristice :

P1: cx(0)=1;

P2: |cx(t)|1 ,() t|R ;

P3: cx(-t)= cx(t) ,() t|R ;

P4: Y=aX+b a,b |R cy(t)= e itb cx(at) ;

P5: Fie x, y variabile aleatoare independente si cx(t)=cx(t) cy(t);

P6: (Teorema Momentelor) Fie x o variabila aleatoare cu functia caracteristica cx(t) atunci

mk=M(xk);

P7: Fie x o variabila aleatoare cu funcția caracteristica cx(t) atunci:

2.2.Legi de probabilitate

O variabilă aleatoare unidimensională reală este complet determinată de repartiția sa. După cum variabilele aleatoare sunt de tip discret sau de tip continuu, repartițiile lor sunt discrete sau continue. În continuare se prezintă repartiții unidimensionale cele mai cunoscute, devenite clasice.

2.2.1 Legea binomială

O variabilă aleatoare X are o repartiție binomială de parametrii n și p, dacă repartiția sa are forma:

X : , x{0, …, n}, p>0, p+q=1, nN*, q>0.

Funcția f(x)= Cxnpxqn-x se numește lege de repartiție ( de probabilitate) binomială, iar mulțimea variabilelor aleatoare cu o repartiție binomială de parametrii n și p se notează prin B(n,p).

Legea de repartiție binomial are următoarele proprietăți:

1o f(x)0, oricare ar fi x; evident din definiție;

2o f(x)= Cxnpxqn-x=(p+q)n=1.

Pentru a determina M(x), D(x) și σ(x), aflăm mai întâi funcția caracteristică:

c(t)=M(eitx) = eitx Cxnpxqn-x =Cnx(peit)xqn-x =(peit+q)n.

Derivând funcția caracteristică în raport cu t, obținem:

c(t)=npi eit(peit+q)n-1M(x)==np, c’’(t)=npi2eit(peit+q)n-1+n(n-1)p2i2e2it(peit+q)n-1M(x2) = = np + n(n-1)p2 = np +n2p2-np2+np(1-p) = n2p2+npq și deci D(x)=M(x2) – M2(x) = npq, iar σ(x) = .

Observație: Variabila aleatoare asociată schemei lui Bernoulli (a bilei revenite) are o repartiție binomială de parametri n și p, unde n este numărul de extrageri succesive, iar p este probabilitatea de a extrage o bilă albă.

2.2.2. Legea Poisson

O variabilă aleatoare X arre o repartiție Poisson de parametru a, dacă repartiția sa are forma:

X : , a={max(0, a+n-N), …, min(n,a)}.

Funcția f(x)= se numește legea de repartiție (de probabilitate) Poisson, care are proprietățile:

1o f(x)0, oricare ar fi , evident:

2o ; într-adevăr avem:

=e-aea=1.

M(x)===e-a==ae-a=ae-aea=a.

D(x)=M(x2)-M2(x), unde M(x2)=

===

= a2e-aea + a = a2+a. Rezultă:

D(x)=M(eitx)= .

Observație: Legea de repartiție Poisson este legea limitată a repartiției binomiale , adică: .

Ca o consecință, în aplicații, pentru n suficient de mare (n100), se poate folosi următoarea aproximare: , unde a=np.

Această repartiție este specifică evenimentelor rare, adică a evenimentelor cu probabilitate mică de producere (din p= rezultă că n număr mare implică p număr mic).

2.2.3.Legea normală

Este o repartiție normală în teoria probabilităților, fiind cel mai des întâlnită; astfel durabilitatea anvelopelor, rezistența la rupere a unui fir de PNA, abaterea diametrului unei piese cilindrice de la dimensiunea standard, reprezintă exemple de variabile aleatoare care au o repartiție normală.

Această repartiție a apărut în teoria erorilor de măsurare și a fost introdusă de Gauss și Laplace.

O variabilă aleatoare X are o repartiție normală de parametri m și σ, dacă densitatea sa de repartiție este:

f(x)=, >0.

Funcția f se numește legea de repartiție normală și are proprietățile:

1o f(x)0, ; evident pentru că σ>0;

2o care se calculează cu schimbarea de variabilă:

, de unde x=σt+m, și se obține:

, unde ultima integrală se calculează cu ajutorul integralei Euler – Poisson:

.

Graficul lui f se numește curba lui Gauss și are o forma ca în Anexa 3.

Mulțimea tuturor variabilelor aleatoare cu o repartiție normală de parametri m și σ se notează prin N(m,σ).

M(x)= =+, deoarece g(t)=este impară.

D(x)=

, deoarece penultima integrală s-a calculat prin părți și .

Pentru σ(x) avem σ(x)=. Rezultă că parametrii repartiției normale au următoarea semnificație: m este media și σ este abaterea medie pătratică.

Pentru determinarea funcției de repartiție se va utiliza funcția integrală a lui Laplace, definită prin:

Φ(z)=

care are următoarele proprietăți:

1o Φ=0, evident;

2o Φ(-z)=-Φ(z);într-adevăr are loc: Φ(-z)= Φ(z), unde u= -t;

3o Φ()=; într-adevăr are loc: Φ()=.

4o Φ(-)=-Φ()= – .

Observație. Funcția Φ(z) este tabelată.

Funcția de repartiție este:

cu schimbarea de variabilă se obține:

= -Φ(-) + ΦΦ.

Probabilitatea P(a) se poate calcula cu funcția lui Laplace:

P(a)=F(b)-F(a)= +–=

=-.

Exemplu. Fie . Să se afle P(-13).

Rezolvare. Conform formulei avem:

P(-13)=Φ (1).

Pentru m=0 și σ=1 se obține o formă particulară a repartiției normale numită repartiția normală normată. Astfel, densitatea de repartiție unei variabile aleatoare X cu o repartiție este:

f(x)= ,iar funcția de repartiție a lui X este F(x)=Φ(x). În acest caz se scrie X N(0,1).

Funcția caracteristică a lui X N(0,1) este c(t)=.

Într-adevăr, se poate scrie:

c(t)= ; seria de funcții sub semnul integralei, fiind uniform convergentă pe R, se poate permuta cu integrala și rezultă:

c(t)=, unde .

Are loc: M2k==

=

M2k-2(x) = (2k-1) M2k-2(x), de unde prin recurență se deduce că M2k(x)=(2k-1)(2k-3)…3*1=

Pentru n=2k+1 are loc:

M2k+1(x)= , deoarece funcția de integrat este impară. Prin urmare: .

Pentru n=2k și c(t)=.

Fie x. Funcția caracteristică a lui X va fi:

c(t)=

Într-adevăr, deoarece Y= avem M(Y)= și D(Y)=, rezultă Y.

Atunci X=σY+m și c(t)=.

Fenomene cum sunt: împrăștierea lanțurilor erorilor apărute în efectuarea unor măsurători de tragere, materia la un pluton de tragere normală, urmează această lege.

Dintre repartițiile întâlnite, cea normală este cel mai des utilizată.

2.3. Șiruri de variabile aleatoare

In continuare vom trece la definirea diferitelor tipuri de convergenta si analizarea legaturilor dintre acestea.

Fie (,,P) un câmp de probabilitate .

Definiția 2.3.1. Spunem ca variabila aleatoare X : R este limita a. p. t. a șirului de variabile aleatoare (xn)nN daca P()=1.

In general o propoziție P (P(x ) definita pentru XA) este a. p. t. adevărata pe A in raport cu probabilitatea P – a. p. t. daca () M a. i. P(M)=0 si P(X) adevărata () X A.

Deci, daca C si Xn: AR , n N, X: AR, spunem ca xn tinde a. p. t. la x si scriem daca () N a. i. P(N)=0 si Xn(x)X(x), () XA\N.

Daca A= scriem simplu .

Daca Xn, X : Ř, A, atunci însaemna Xn|A X|A.

Observație: 1) , X=Y a. p. t. pe A.

2) Fie Xn : R variabila aleatoare a. i. .

Notație: Daca C, nN, notam proprietatea Xn converge uniform la x pe A ( adică () >0, () n N a. i. nn sa avem

|Xn(x)X(x)|< , () x A).

S- a căutat exprimarea convergentei a. p. t. in termeni apropiați convergentei uniforme. Aceasta exprimare a fost găsita de Egorov cu ajutorul următorului concept:

Definiție 2.3.2. Fie A, X, Xn : Ř, n N funcții a. p. t. finite . Se spune ca Xn converge asimptotic uniform (a.u.) la X pe A si se notează daca:

() >0, () A A a .i. A\ A , P(. A\ A)< si .

(, K, P) camp de probabilitate ;(Xn)nN șir de variabile aleatoare definite pe acest câmp X : R o variabila aleatoare.

Definiție 2.3.3. P()=1. (aproape sigur).

Definiție 2.3.4. , ( in probabilitate ).

Definiție 2.3.5. () >0 si >0 , () N(,), ( tare in probabilitate).

sau .

Definiție 2.3.5. () Mr (Xn) si Mr (X) ; M (Xn-X)=0, (in medie de ordin r).

Definitie 2.3.6. ; Fn(x)=P(X<x), (in repartiție in sens Bernoulli)

Intre tipurile de convergenta avem următoarele relații:

Capitolul 3.Teoreme limita centrala

Cea mai generala teorema limita centrala este teorema Lindeberg- Feller pentru ca aceasta ne da condiția necesara si suficienta pentru ca un șir de variabile aleatoare sa tinda către o variabila cu repartiție normala.

Aceste teoreme ne spun ca in anumite condiții un șir de variabile aleatoare tinde in repartiție către o variabila aleatoare cu repartiție normala si deci ca un fenomen caracterizat printr-un astfel de șir de variabile aleatoare poate fi studiat cu ajutorul variabilei normale.

In acest capitol in afara de teorema Lindeberg Feller am dat si alte teoreme importante (Leapunov, Moivre-Laplace).

Pentru demonstrarea teoremei Lindeberg-Feller vom face câteva notații si vom da câteva propoziții ajutătoare. Important de amintit este faptul ca nu folosim integrala clasica ci folosim integrala Stieltjes.

Pentru a demonstra cea mai importanta propoziție din acest capitol vom reaminti următoarele:

Funcția de repartiție caracterizează complet o variabila aleatoare. Toate conceptele referitoare la variabile aleatoare privesc de fapt funcția lor de repartiție.

Pentru funcția caracteristica putem scrie: CX(t)=CFx(t).

Teorema de convergenta a funcțiilor caracteristice.

Fie (Fn)n un șir de funcții de repartiție si CFn șirul corespunzător al funcțiilor caracteristice. Daca penrtu orice tR exista C(t)=lim nCFn(t) si C e continua in t=0, atunci exista F o funcție de repartiție astfel încât C=CF si punct de continuitate pentru F.

3. Teorema momentelor. Fie X o variabila aleatoare astfel încât Mr(X)<. Atunci CX e de n ori derivabila cu derivata de ordinul n continua si Cx(n)(0)=inMX(X).

3.1. Teorema Lindeberg – Feller

Notații:

Fie un șir de variabile aleatoare independente.

mk : = M , 2k: = D2, k N*

m(n): = , 2(n): = , n N*

, 1 k n, n N*

Avem:

= 0

sunt funcțiile de repartiție ale variabilelor aleatoare .

Avem:

sunt funcțiile caracteristice ale variabilelor aleatoare

Definiție: Șirul de variabile aleatoare (n)n verifică condiția (Lindeberg), dacă

pentru () > 0

(L):

Demonstrație:

Lemă:

Observație:

Avem:

Demonstrație:

Deci:

3.2. Teorema limită centrală (Lindeberg – Feller)

Fie ( n) n un șir de variabile aleatoare independente. Atunci

Fie t R fixat

Mai avem de arătat că

Corolar: Dacă variabilele aleatoare ( n)n sunt independente, identic repartizate și au dispersii finite, atunci

3.4..Teorema lui Leapunov (generalizare)

Fie (n)n un șir de variabile aleatoare independente. Dacă () > 0 astfel încât () k N* să existe k2+ =M ( k – m k2+) și astfel încât

Teorema lui Leapunov: Fie ( n)n un șir de variabile aleatoare independente. Dacă () > 0

astfel încât

Demonstrație: Vom arăta că este îndeplinită condiția (L) !!!

3.5.Teorema lui Leapunov

Fie (n)n un șir de variabile aleatoare independente. Dacă () k N*, () k3 =M (X– m k3) și

Demonstrație: = 0

3.6..Consecință: (Teorema Moivre – Laplace)

Demonstrație: Folosim teorema lui Leapunov (dacă folosim teorema lui Leapunov generalizată, luăm = 1 și ea se reduce până la urmă la folosirea teoremei lui Leapunov).

Teoremele la limita stabilesc condițiile in care suprapunerea unui număr mare de factori întâmplători independenți si cu efect mic conduce la un efect cu repartiție normala. De exemplu fenomenul de împrastiere a proiectilelor in jurul punctului mediu datorat de un număr mare de factori aleatori conduce la o împrastiere care urmează o lege normala.

Relația dintre curba repartiției populației si curba repartiției mediilor eșantioanelor extrase dintr-o populație este caracterizata de teorema limita centrala. Teorema limita centrala este de fapt cea mai importanta teorema a inferenței statistice.

Corolar(pentru variabile de tip Poisson):

Cum

Atunci: unde (X) este un șir de variabile de tip Poisson.

Teorema limita centrala ne asigura ca repartiția mediilor eșantioanelor se apropie de normalitate odată cu creșterea dimensiunilor eșantioanelor. Sunt intilnite situații teoretice in care teorema limita centrala înseala asteptarile, dar ele nu sunt întâlnite de obicei in practica tragerilor.

Importanta teoremei de limita centrala consta in faptul ca ea ne permite sa folosim datele statistice pentru a trage concluzii despre parametrii populației fara sa cunoaștem ceva despre repartiția populației din afara de ceea ce putem prelucra dintr-un eșantion adecvat ales.

Capitolul 4.Aplicații ale teoremei limita centrala in teoria tragerii

41. Aplicații ale teoriei de limită centrală în tragerea cu armamentul de artilerie pentru neutralizarea mijloacelor de atac nuclear ale inamicului

Mijloacele de atac ale inamicului cu destinație tactică (instalații în poziție de lansare, piese sau baterii de artilerie care folosesc muniție nucleară, tehnică de luptă pentru pregătirea și lansarea rachetelor, personalul care deservește această tehnică și execută lansarea), pot fi nimicite sau neutralizate cu focul artileriei.

Nimicirea unor astfel de obiective se realizează prin scoaterea din luptă a rachetelor sau a instalaților de lansare, precum și prin nimicirea personalului de pe pozițiile de lansare, sau neutralizarea se realizează prin crearea în raionul obiectivului , a unei densități de foc în condițiile căreia personalul de deservire să nu poată asigură pregătirea și executarea tragerii.

Mijloacele de atac nuclear ale inamicului reprezintă obiectivele cele mai importante de pe câmpul de luptă care trebuie nimicite cu o probabilitate de 70 la 90%.

Tragerea de neutralizare asupra mijloacelor de atac nuclear ale inamicului se execută ori de câte ori nu este posibilă trecerea imediată la nimicirea obiectivului cu subunități proprii de rachete, cu aviația sau cu artileria.

Pe timpul neutralizării, în raionul obiectivului trebuie creată o astfel de densitate a focului încât personalul de deservire a instalaților de lansare sau altor mijloace tehnice de luptă să nu-și poată îndeplini misiunea și nici să părăsească pozițiile de tragere.

Ca urmare, neutralizarea obiectivului se asigură prin lovirea personalului dispus neadăpostit pe timpul lucrului la instalațiile de lansare cu un grad de lovire de 30%.

Aplicație 1:

Fie un obiectiv inamic constituit din instalații nucleare în poziții de lansare, obiectiv dispus pe trei fâșii paralele, adânci de câte 30m, 50m și 30m și deplasate între ele la 40m. Centrul de împrăștiere corespunde cu centrul obiectivului, considerat în mijlocul fâșiei de adâncime egală cu 50m.

Considerând că trupele proprii acționează pentru neutralizarea instalațiilor nucleare dispuse liniar pe un front cu lungime foarte mare (deci lărgimea fâșiei este considerată infinită) și folosesc o baterie cu artilerie autopropulsata blindată se cere să se determine probabilitatea de lovire a obiectivului dacă σ=60m.

Să se discute rezultatele.

Rezolvare 1:

Pentru intervalul (x1,x2) avem:

Și putem scrie probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval(α,β):

P(α<x<β)=F(β)-F(α) sau folosind valorile funcției Φ(x):

Din figură observăm cu ușurință că:

m=0 α1=95 β1=65

σ=60 α2=25 β2=-25

α3=-65 β3=-95

Ca urmare vom obține:

Ultima fâșie are aceeași valoare ca și prima și deci în final vom avea:

P = 0,0808 + 0,32186 + 0,0808 = 0,48346 ≈ 48%

Gradul de lovire al obiectivului fiind de peste 30% putem spune că neutralizarea obiectivului a fost asigurată din acest punct de vedere.

4.2. Aplicații ale teoremei de limită centrată în tragerile executate de către trupele de aruncătoare de grenade incendiare din cadrul trupelor de apărare nucleară, biologică și chimică

A. O primă categorie de obiective împotriva cărora sunt chemați să deschidă focul luptătorii înzestrați cu aruncătoare de grenade incendiare sunt obiectivele fixe ca: tancurile, autotunurile si transportoarele blindate (aflate în amplasamente sau pe timpul opririlor pe care le efectuează pentru executarea tragerilor), construcțiile de apărare, clădirile amenajate de adversar pentru apărarea personalului din tranșee etc.

Tragerea asupra mijloacelor blindate ale inamicului se execută de regulă pe timpul opririi acestora.

Aplicație 2. O echipă de aruncătoare de grenade incendiare primește misiunea de a nimici un tanc aflat în staționare și care este situat la distanța de aproximativ 100-150 m. Echipa execută tragerea cu 4 lovituri. Probabilitatea loviturii în obiectiv pentru o lovitură trasă este de 0,5. Să se determine probabilitatea de a avea 1-3 lovituri pe tanc.

Rezolvare 2.

Valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt 0,1,2,3,4. Ne interesează realizarea unuia din valorile 1,2,3. Cea mai exactă valoare, având în vedere numărul redus a experiențelor ar fi – bineînțeles – cu ajutorul relației binomiale:

P(α≤x≤β)=Pn (x)+Pn(x+1)+…+ Pn(β)=∑Cnk.pk.qn-k; α<β.

Totuși tabelele repartiției normale (adică ale funcției de repartiție normală) ne ajută să rezolvăm această problemă și cu ajutorul teoremei de limită centrală ținând cont de aproximarea repartiției binomiale cu repartiția normală.

Pentru folosirea repartiției normale la aproximarea repartiției binomiale avem nevoie de valoarea parametrilor

m=np=4×0,5=2 σ= npq = 4×0,5×0,5=1

Folosind formula:

P(x1≤x≤x2) = P(z1<z<z2)=F(z2)- F(z1)

în care

vom avea:

P(n≤x≤3) = P(-1,5<z<1,5)=F(1,5)- F(-1,5)=0,9332-0,0668=0,8664

Observații:

Aproximația (0,86%) este acceptabilă (0,875-0,8664=0,0086).

B. O altă categorie de obiective asupra cărora luptătorii dotați cu aruncătoare de grenade incendiare sunt obligați să deschidă focul sunt obiectivele aflați în mișcare: tancurile, transportoarele blindate și celelalte mașini de luptă.

Un prim principiu care trebuie cunoscut de către toți luptătorii este următorul: dintr-un număr de ținte pe care le are în față servantul de la aruncător va alege și va executa foc oportun asupra celei mai apropiate ținte, pe care să distingă dacă se poate din prima lovitură. Pentru aceasta el trebuie să cunoască nu numai distanța, corecția de vânt și punctul de ochire cum se cere la tragerea împotriva obiectivelor fixe ci și modul cum se determină și se iau în considerare viteza și direcția de mișcare a țintei.

În intervalele de timp de mare tensiune ale luptei deschiderea focului se execută când ținta se află la o depărtare care nu depășește distanța loviturii directe.

Aplicație 3. De câte ori trebuie să se tragă cu aruncătorul de grenade incendiare asupra unui tanc în mișcare care atacă limita dinaintea adversarului în cooperare cu infanteria, cunoscând faptul că probabilitatea lovirii acestuia cu un cartuș tras fiind de 4/5, astfel încât să putem afirma cu o probabilitate de 0,05 că frecvența lovirii obiectivului este între 70 % și 90%.

Rezolvare

n=?

Din ipoteza avem:

Aplicație 4.

Comandamentul unui batalion de apărare NBC. Este nemulțumit de rezultatele slabe obținute în cadrul unei ședințe de tragere cu armatorul de grenade incendiare.

Rezultatele obținute de militari în tragerea cu punctaj arată că acestea au obținut o medie de 110 puncte cu o abatere standard de 64 de puncte, rezultate care de altfel sunt considerate slabe conform condițiilor ședinței.

Comandamentul batalionului a decis că în cazul în care nu va putea fi sigur in proporție de cel puțin 80% de faptul că nici unul din cei 48 de trăgători aleși întâmplător din cadrul batalionului nu va obține peste 120 de puncte, atunci va ordona ca antrenamentul să se reia și se va reexecuta tragerea.

Rezolvare:

Avem ca : m=110 media punctajului;

abaterea de la medie (variația);

n=48 numărul populației (mărimea populației aleasa intamplator);

Facem notația si avem m=np si si

Aplicam teorema lui Moivre-Laplace sub forma:

valoare care este mai mare decât probabilitatea ceruta de către comandantul de batalion. In concluzie putem spune ca tragerea nu va fi reprogramata.

4.3.Aplicati a teoremei de limita centrala pentru rezolvarea unor probleme din diverse categorii ale Forțelor Terestre

În cadrul realizării apărării pregătite din timp trupele de apărare N. B. C. sunt capabile să realizeze pianele de fugose incendiare.

Acest tip de pian constituie o rețea de fugose incendiare conectate între ele cu posibilitatea de a fi declanșate de la o sursă electrică unică. Fugasele incendiare sunt îngropate în pământ, iar plantarea lor nu se face în afara contactului cu inamicul, în adâncimea apărării proprii și se execută cu plutonul fără să fie împărțit pe grupe.

Prin realizarea pianelor se obține o schemă a unui câmp de fugose, similară cu cea a unui câmp de mine, dar cu observația că densitatea de fugose este funcție de raza de acțiune a acesteia, iar toate aceste fugose sunt interconectate prin fir electric pentru a putea fi acționate simultan de la aceeași sursă. În construcția pianelor pot fi folosite pentru fugasele incendiare piroîntârzietoare pentru a crește efectul lor.

Pianele se execută în regulă în locurile obligate de trecere, în limitele unui contur mărginit de anumite obstacole. Dispunerea în front și în adâncime a unui pian poate ajunge până la 100m.

Realizarea unui pian dar mai mult dezamorsarea lui lui necesită o disciplină deosebită și un algoritm foarte riguros.

Subunitățile destinate în realizarea pianelor de fugose incendiare se împart în echipe, fiecare din ele primind spre executare o anumită lucrare (operație) bine precizată (echipă de montare și aplicare a fugoselor incendiare, echipă de realizare a dizpozitivului de apărare, etc.)

Aplicație 5:

În cadrul apărării pregătite din timp trupele proprii au primit misiunea de a realiza împotriva atacului terestru a trupelor inamice ,lucră de fortificație și baraje antitanc și antiinfanterie explozive.

Trupele de apărare N.B.C. participă alături de trupele de geniu la realizarea incendiare pe o suprafață de 1000 m dispusă pe limita dinaintea apărării pe un punct obligat de trecere.

Știind că probabilitatea ca o focoasă să dea rateu este de p=0,05 iar acestea sunt dispuse câte una la fiecare metru pătrat, să se determine probabilitatea ca din pianul dat să nu explodeze un număr cuprins între 60 și 70.

Rezolvare:

Deoarece nu are o repartiție binomială de parametri n și p rezultă că repartiția limită a repartiției binomiale este repartiția normală de parametrii

Are loc următoarea aproximare:

θθ

Pentru n suficient de mare (n>100)

Astfel avem:

Fie N* și Sn=

Atunci Sn are o repartiție binomială de parametrii n=1000 și p=0,05. Rezultă că M(Sn )=np=50

D(Sn)=npq= 49,75

Se obține aproximarea

θθθθ

Discuție: Cu o astfel de probabilități nu putem aștepta ca pianul să nu lase zone neincendiate pentru a facilita atacul inamic.

43. Aplicații ale teoremei de limită centrală în cadrul cercetării realizate de către trupele de apărare nucleară biologică și chimică.

Înștiințarea trupelor teritoriale și populației despre pericolul contaminării radioactive și chimice se execută de către subunitățile de control nuclear și chimic, în cadrul sistemului unic de înștiințare, care cuprinde și posturile de observare (observatorii) subunităților de toate armele și ale forțelor teritoriale, în scopul de a preveni contaminarea radioactivă și chimică și diminuarea efectelor acesteia.

Aparatele de cercetare de radiație se utilizează pentru descoperirea prezenței radiațiilor nucleare (β,γ) de pe teren sau în atmosferă.

Roentgenametrul de bază pentru cercetarea din aer a terenului R.B.C.A – este destinat pentru măsurarea nivelurilor de radiație gama a terenului, de la bordul elicopterului (avionului) pe care este montat.

Cercetarea de radiație a terenului se poate executa la înălțimi cuprinse între 50 și 500 de metri, la o viteză de zbor de la zero până la 500.

Aparatul poate funcționa în regim de lucru cu corecție automată – când aparatul măsoară de la înălțimea de zbor, nivelul de radiație gama existent la înălțimea cu 1m de la suprafața terenului. Pentru corecție aparatul dispune de radioaltimetrul de la bordul aparatului de zbor.

Aplicație 6 Eroarea sistematică în menținerea altitudinii de către un avion de cercetare dotat cu un roentgenometru de bord pentru cercetarea din aer a terenului este de 20m, iar eroarea medie pătratică 75m. Pentru cercetarea radioactivă a unei zone de avionului i s-a acordat pentru zbor un coridor de 100m înălțime. Având în vedere că situația tactică în care este antrenat avionul – pentru a nu fi detectat de radarele inamice trebuie să folosească un culoar de zbor de la 400 la 500 de metri – și faptul că cercetarea terenului se execută la înălțimi cuprinse între 50 și 500 de metri se pune problema: care este posibilitatea ca avionul să zboare mai sus de acest coridor… Discuție

Rezolvare:

Pentru funcția de împărțire normală normată – Laplace

avem: F(0,4)=0,6554 Astfel preluarea noastră devine: cunoaștem n=20 =75

În cadrul acestei situații tactice date probabilitatea ca avionul să părăsească limita superioară iar eroarea de măsurare să crească este 0,34%.

Tot în cadrul acestei probleme se pot pune întrebările:

Să se determine probabilitatea ca avionul va zbura:

În interiorul coridorului acordat

Mai jos de acest coridor

Rezolvare:

Cunoaștem m=20 și =75 și avem: Probabilitatea0,5 rezonabilă pentru situația ei în situația dată.

În cadrul rezolvării am folosit aceeași funcție de repartiție normală normată-Laplace.

B) Tot în cadrul cercetării realizate de trupele de apărare nucleară, biologică și chimică se pune problema determinării parametrilor exploziei nucleare. Acești parametrii sunt foarte importanți, ei regăsindu-se în rapoartele întocmite de către personalul ce a realizat cercetarea NBC.

În acest sens trupele de apărare NBC au în datorie autostația pentru detectarea exploziilor nucleare (ADEN), autostație care dispune și de un bloc pentru determinarea distanței până la locul unde a avut loc explozia nucleară (alături de un bloc pentru determinarea puterii exploziei nucleare și a unui bloc pentru determinarea azimutului locului unde a avut loc explozia).

Aplicație 6: O variabilă aleatoare x urmează o lege de repartiție normală, reprezentând o eroare de măsurare a distanței de la autospeciala ADEN până la locul unde a avut loc nucleară. Pe timpul efectuării măsurătorii se comite o eroare sistematică de măsurare de –50m. Eroarea medie pătratică este de 80 m. Să se determine probabilitatea ca la măsurarea distanței cu ajutorul blocului pentru determinarea distanței să nu se comită o eroare mai mare de 120m în valoare absolută .

b) probabilitatea ca distanța măsurată să nu depășească distanța adevărată.

Rezolvare

Vom folosi în rezolvarea problemei din nou funcția de repartiție normală normată -Laplace:

și avem:

b)

CONCLUZII

In lucrarea de fata , pornind de la modul de aplicare a teoremei limita centrala ,propun –pe baza unor date culese din bibliografia de specialitate – o serie de tipuri de probleme de tragere , cu mai multe categorii de armament in ideea de a oferii militarilor exemple de rezolvare a unor situații de lupta .

Importanta teoremei de limita centrala consta in faptul ca ea ne permite sa folosim datele statistice pentru a trage concluzii despre parametrii populației fara sa cunoaștem ceva despre repartiția populației din afara de ceea ce putem prelucra dintr-un eșantion adecvat ales.

Astfel orice problema de trageri in particular sau problema de tactica ,economie, etc. in general in care populația (sau un eșantion reprezentativ aleator ales) respecta legea de repartiție normala poate fi in general rezolvata prin aplicarea teoremei limita centrala .

In partea aplicativa a lucrării am rezolvat o parte din aplicațiile ce se regăsesc in lucrare cu ajutorul programului MathCAD, aplicații cu ajutorul căruia se pot rezolva probleme asemănătoare prin simpla înlocuire a datelor de intrare .

Tot in partea aplicativa am creat un program care rezolva o problema la caz general aplicând teorema limita centrala. Aplicația mai conține si o prezentare sumara a subiectului dezbătut in lucrare , prezentare realizata in MatLab.

BIBLIOGRAFIE

1.***, Instrucțiuni. Principii si reguli de tragere cu armamentul de infanterie, Bucuresti,1993.

2.***, Teoria tragerilor artileriei terestre (vol. I-II), București, 1973.

3.***, Teoria tragerilor artileriei terestre – Exerciții aplicative, București, 1973.

4.***, Regulamentul tragerii cu armamentul de infanterie, București, 1995.

5.***, Instrucțiuni pentru executarea lucrărilor genistice de către trupele de toate armele, București, 1981.

6.Cira O., Lecții de MathCAD, Editura Albastra, Cluj- Napoca, 2000.

7.Ciucu G.,Craiu V.,Sacuiu I., Probleme de teoria probabilitatii, Ed. Tehnica, București, 1974.

8.Ciucu G., Tudor C., Probabilitati si procese stocastice, Editura academiei, vol.I, 1978, vol.II, 1979.

9. Ciucu G., Tudor C., Teoria probabilitatilor si aplicații, Editura Sintiifica si Enciclopedica, 1983.

10.Costea D., Inițiere in limbajul C, Ed. Teora, București, 1995.

11.Cuculescu I., Curs de teoria probabilitatilor, Tipografia universitatii, București, 1976.

12.Ghinea M., Fireteanu V., Matlab- Calcul numeric, Ed. Teora, București, 1997.

13.Iosifescu H., Mihoc Gh.,s.c., Teoria probabilitatilor si statistica matematica , Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1970.

14.Onicescu O., Mihoc Gh., s.c., Calculul probabilitatilor si aplicații, Ed. Academiei,1956.

15.Popescu O., Raischi C.,s.c., Matematici aplicate in economie, vol.I, Ed. Didactica si Pedagogica , Bucuresti, 1993.

16.Rachitan D.,Carutasu V., Culegere de probleme – Teoria probabilitatilor , Ed. A.T.U., Sibiu, 2000.

17.Rachitan D.,Carutasu V., Probabilitati clasice si aplicații, Ed. Univ. L.Blaga, Sibiu, 2000.

18.Tocu P., Teoria tragerilor artileriei terestre – Exerciții aplicative, București, 1981.

19.Verboncu S., Exerciții si probleme de trageri, Editura Militară, București, 1980.