. Teoria Probabilitatilor

CAPITOLUL 1: NOȚIUNI GENERALE DE TEORIA PROBABILITĂȚILOR

În condițiile lărgirii considerabile a cadrului de aplicare a metodelor matematice moderne în toate domeniile de studiu și cercetare științifică ca și în rezolvarea unor probleme practice, o atenție deosebită se acordă teoriei probabilităților și aplicațiilor acesteia.

Teoria probabilităților este o disciplină matematică asemenea geometriei, algebrei, mecanicii sau statisticii matematice care s-a închegat într-o disciplină riguros construită cu metode specifice de cercetare, capabilă să satisfacă cerințele științelor naturii și ale tehnicii moderne, a căror dezvoltare, cunoaște astăzi un avânt fără precedent.

În diferitele domenii ale activității practice (tehnică, industrie, armată etc.) ne întâlnim din ce în ce mai mult cu fenomene de masă. Studiul acestor fenomene, al legilor ce le guvernează, ne va permite să elaborăm procedee și metode raționale de prelucrare și de analiză a datelor reale sau empirice, oferite de observarea fenomenelor de masă, pentru a releva legile probabilistice care se manifestă în aceste fenomene.

Legea este expresia acelor caracteristici care există în diferite fenomene. Ea nu acționează asupra unui fenomen luat separat, ci asupra unui număr mare de fenomene de aceeași clasă, conținând ceea ce este stabil, esențial și repetabil pentru fiecare din ele.

În acest sens, dacă examinăm o anumită clasă de fenomene și dezvăluim pentru ele legea care le guvernează, atunci această lege nu se referă la orice relație sau legătură ci numai la cele esențiale, comune tuturor fenomenelor din clasa respectivă. Acești factori care nu decurg din natura internă a procesului dat și care pot să apară sau lipsească fără să împiedice procesul ca atare se numesc factori întâmplători.

Fenomenul împrăștierii traiectoriilor se datorează faptului că loviturile aceleiași serii nu sunt trase în condiții absolut identice. De la o lovitură la alta condițiile balistice și meteorologice prezintă mici variații care au un caracter accidental (întâmplător). Cauzele împrăștierii sunt deci întâmplătoare (aleatoare), iar fenomenul împrăștierii traiectoriilor este, de asemenea aleator.

Cauzele (sursele) împrăștierii sunt reprezentate pe de o parte de surse care dau naștere neuniformității condițiilor inițiale de mișcare, iar pe de altă parte de surse care se manifestă pe timpul mișcării proiectilului pe traiectorie.

În categoria surselor de împrăștiere care produc neuniformitatea vitezei inițiale intră următoarele:

mici variații ale greutății încărcăturii de azvârlire în limitele toleranțelor de fabricație;

neuniformitatea dimensiunilor, formei și proprietăților fizico – chimice ale pulberii încărcăturilor de azvârlire, ceea ce conduce la variații ale impulsului și forței pulberii;

neuniformitatea temperaturii încărcăturii de pulbere de la o lovitură la alta (la calculul corecțiilor se consideră o anumită temperatură medie a încărcăturii, dar față de aceasta există întotdeauna mici variații);

neuniformitatea valorilor volumului camerei de încărcare, W0, ca urmare a faptului că dimensiunile părții de dinapoi a proiectilului variază de la un proiectil la altul în limitele toleranțelor de fabricație;

micile abateri ale greutății proiectilului, ca urmare a toleranțelor de fabricație (proiectile cu greutate așa-zis normală sau cu un anumit număr de semne au de fapt greutatea încadrată în limite mici);

neuniformitatea curgerii gazelor în spatele proiectilului, în interiorul țevii, de la un proiectil la altul.

Datorită cauzelor de mai sus, vitezele inițiale în cadrul unei serii pot varia cu cca. 1% când V0 este în jur de 200 m/s, cu cca. 0,75% dacă V0 este în jur de 350 m/s și cu aproximativ (0,5 – 0,7) % în cazul vitezelor inițiale cuprinse între 400 m/s și 1000 m/s.

Variațiile greutății, formei și dimensiunilor proiectilului, neuniformitatea prelucrării suprafețelor, precum și cea a vitezei inițiale conduc la abateri accidentale ale valorii coeficientului balistic c; astfel la tragerea unei serii de proiectile, valoarea coeficientului balistic poate să varieze de la un proiectil la altul cu (1..3)% sau mai mult.

Jocurile normale ale mecanismelor de ochire, erorile generate de ochire, precum și erorile mici, admisibile, pe care le face ochitorul conduc la variații ale unghiului de proiecție, care pot să fie, de regulă între 0,5 miimi și o miime sau ceva mai mult, precum și la neuniformitatea direcției de tragere în plan orizontal.

Variațiile condițiilor inițiale ale mișcării în jurul centrului de masă de la o lovitură la alta se datorează mai multor cauze cum ar fi neuniformitatea dimensiunilor părții dinapoi a proiectilului, abaterile poziției centrului de masă (excentricități rezultate din fabricație), mici variații ale unghiului de zvâcnire și ale vitezei unghiulare a țevii pe timpul zvâcnirii, neuniformitatea deformațiilor clastice și a vibrațiilor țevii etc.

O influență importantă asupra împrăștierii o au cauzele (sursele) de împrăștiere care acționează în timpul mișcării proiectilului pe traiectorie.

În această categorie intră neuniformitatea mișcării proiectilului în jurul centrului de masă, cauzată în bună măsură de neuniformitatea condițiilor inițiale ale acestei mișcări, de variația distribuției maselor și a excentricităților proiectilelor, care diferă de la un proiectil la altul, de micile abateri de formă și dimensiunilor proiectilului etc. Ca urmare de-a lungul traiectoriei forța de rezistență la înaintare și efectul de derivație variază în mod diferit de la un proiectil la altul, ceea ce duce la dispersarea traiectoriilor în bătaie, în direcție și înălțime.

Influența surselor de împrăștiere ce acționează de-a lungul traiectoriei este, în general, cu atât mai mică cu cât variațiile incidenței de zbor a proiectilului de-a lungul traiectoriei sunt mai mici; aceasta deoarece variațiile respective ale incidenței cauzate de sursele amintite, duc la modificări corespunzătoare ale forțelor și cuplurilor aerodinamice care acționează asupra proiectilului modificându-i mișcarea. Cu cât proiectilele se mișcă mai corect, fiind mai stabile, deci cu cât unghiul de incidență de-a lungul traiectoriei are valori mai mici, cu atât variațiile respective sunt mai mici, iar împrăștierea este mai mică.

Influența factorilor întâmplători asupra legilor pe care le studiem poate fi observată în aplicațiile cele mai diferite ale oricărei metode științifice de cercetare. Este binecunoscut în acest sens fenomenul împrăștierii proiectilelor, are însoțește permanent și în mod constant tragerea executată cu o gură de foc. Fenomenul constă în abaterea traiectoriilor reale de la traiectoria teoretică corespunzătoare unor condiții considerate “normale”, adică unor condiții inițiale medii. Aceste abateri sunt cauzate modificări întâmplătoare ale vitezei inițiale, direcției de tragere și unghiului de înălțător, variației condițiilor meteorologice etc.

Calculul probabilităților ca metodă științifică nu se aplică tuturor fenomenelor întâmplătoare, ci numai unora din ele caracterizate prin următoarele particularități:

Fenomenul este foarte complex și condiționat de acțiunea simultană a unui număr foarte mare de factori sau legături din care nici unul nu este net predominant;

La studierea fenomenului dat interesează, de regulă, o problemă la care răspunsul pozitiv sau negativ poate depinde de o modificare neînsemnată a condițiilor care influențează fenomenul respectiv;

Fenomenul respectiv se poate repeta în condiții aproape asemănătoare sau altfel spus, experiența ale cărei rezultate ne interesează face parte din categoria evenimentelor de masă.

MULȚIME, EXPERIENȚĂ, PROBĂ, EVENIMENT

Aplicarea calculului probabilităților în practica artileristică dă posibilitatea de a anticipa (prevedea) științific rezultatele unei trageri, de a stabili reguli de tragere prin folosirea cărora să se obțină cele mai bune rezultate în timpul cel mai scurt și cu un consum minim de muniție, de a determina erorile sistematice și influența erorilor accidentale ce însoțesc operațiile de legare topogeodezică a elementelor dispozitivului de luptă a artilerie etc. Inginerii și tehnicienii militari ocupați în producția sau întreținerea armamentului folosesc calculul probabilităților pentru studiul toleranțelor și cerințelor față de precizia diferitelor mecanisme, pentru controlul calității produselor după fabricație, cât și al deprecierii lor în timp, la prelucrarea rezultatelor tragerilor de încercare.

Studiul și aplicarea metodelor calculului probabilităților devin în prezent o necesitate pentru toți ofițerii de artilerie atât în însușirea bazelor teoriei tragerilor artileriei, cât și în dezvoltarea acestei teorii în deplină concordanță cu avântul științei și tehnicii moderne.

Teoria probabilităților utilizează o serie de noțiuni fundamentale pentru obiectul ei de studiu.

Mulțime

Lucrurile, ființele sau fenomenele dintr-o clasă dată au o proprietate comună care ne permite să le considerăm împreună, constituite într-o mulțime. Această proprietate comună reprezintă criteriul fundamental de alcătuire a mulțimii respective.

De cele mai multe ori suntem puși în situația de a cerceta o mulțime nu după proprietatea comună care a permis constituirea ei, ci după o anumită proprietate particulară, care reprezintă un criteriu de cercetare a mulțimii date. Elementele mulțimii pot să aibă în totalitate sau numai parțial proprietatea particulară considerată. Pe această bază mulțimea loviturilor dintr-un depozit de muniție poate fi cercetată după tipul ei (proiectile sau mine), după felul încărcăturii de azvârlire, după anul de fabricație, după destinație. La fel numărul de guri de foc dintr-o subunitate poate fi analizată după calibru, după model, după felul traiectoriilor pe care le poate realiza, după viteza inițială etc. În cazul mulțimii loviturilor executate asupra unui obiectiv aceasta poate fi studiată după rezultatul obținut la țintă (în obiectiv sau în afară), după poziția față de obiectiv (lungi sau scurte), după poziția față de planul de tragere al obiectivului (dreapta sau stânga), după felul tragerii (aeriene sau terestre) etc.

Experiență, probă, eveniment

Prin experiență se înțelege realizarea practică a unui complex de condiții definite înainte. De exemplu, putem considera drept experiență tragerea mai multor lovituri executate de o gură de foc, cu aceleași elemente, în condiții meteorologice și balistice aproximativ identice. În cadrul unei asemenea experiențe se realizează o serie de condiții și rezultate ce reflectă criteriul de cercetare propus și anume lovirea sau nelovirea obiectivului, obținerea unei serii de spargeri lungi sau scurte etc.

Alegerea la întâmplare a unui element al mulțimii pentru a determina măsura împlinirii condițiilor se numește probă iar rezultatul unei probe constituie un eveniment. Deoarece la efectuarea unei singure probe evenimentul poate să se producă sau nu, el se numește eveniment întâmplător (aleator). Astfel, lovirea sau nelovirea obiectivului, obținerea unei spargeri lungi sau scurte față de țintă – reprezintă evenimente întâmplătoare din șirul de evenimente posibile corespunzătoare experienței efectuate.

Exemplu: Mulțimea considerată: totalitatea spargerilor obținute în urma executării unei trageri cu o gură de foc.

Criteriul de cercetare: dacă spargerile s-au obținut în obiectivul asupra căruia se execută tragerea.

Experiență: executarea tragerii.

Probă: a lua din mulțimea spargerilor pe una dintre ele și a o cerceta dacă răspunde criteriului propus (spargerea s-a produs în obiectiv sau în afara obiectivului).

Eveniment: spargerea s-a obținut în țintă.

În general se notează cu E, A, B … etc. mulțimea evenimentelor ce reprezintă rezultatul unei experiențe, adică mulțimea tuturor realizărilor posibile ale acestei experiențe, efectuată în condiții cunoscute.

Rezultatul unei probe se numește eveniment elementar și se notează cu e; de exemplu, pot fi considerate evenimente elementare lovirea țintei – când se t evenimente posibile corespunzătoare experienței efectuate.

Exemplu: Mulțimea considerată: totalitatea spargerilor obținute în urma executării unei trageri cu o gură de foc.

Criteriul de cercetare: dacă spargerile s-au obținut în obiectivul asupra căruia se execută tragerea.

Experiență: executarea tragerii.

Probă: a lua din mulțimea spargerilor pe una dintre ele și a o cerceta dacă răspunde criteriului propus (spargerea s-a produs în obiectiv sau în afara obiectivului).

Eveniment: spargerea s-a obținut în țintă.

În general se notează cu E, A, B … etc. mulțimea evenimentelor ce reprezintă rezultatul unei experiențe, adică mulțimea tuturor realizărilor posibile ale acestei experiențe, efectuată în condiții cunoscute.

Rezultatul unei probe se numește eveniment elementar și se notează cu e; de exemplu, pot fi considerate evenimente elementare lovirea țintei – când se trag mai multe lovituri – alegerea unui proiectil cu două semne de greutate “++”, obținerea unei spargeri ricoșet și plus la tragerea unui proiectil armat cu focos cu întârziere etc.

Faptul că este un element al mulțimii E se exprimă prin notația E, respectiv eE și se citește “ E aparține (mulțimii) E”.

CATEGORII DE EVENIMENTE

1.2.1. Categorii de evenimente în raport cu evenimentul sigur

Ori de câte ori se realizează un complex de condiții, cu alte cuvinte, dacă la fiecare experiență se produce inevitabil evenimentul e vom spune că evenimentul E este evenimentul sigur sau total.

Astfel putem considera drept eveniment sigur E obținerea unei spargeri în interiorul elipsei de împrăștiere, dacă toate loviturile au fost trase cu aceleași elemente.

Părțile sau submulțimile unei mulțimi se obțin considerând elementele ei care satisfac o proprietate suplimentară; de exemplu, în cazul nostru din mulțimea spargerilor produse în limitele elipsei de împrăștiere, constituie o submulțime A, cele grupate în fig 1.1 cadrul unui obiectiv ale cărei dimensiuni nu depășesc suprafața elipsei.

În general fiind date două evenimente E și A astfel încât fiecare element al evenimentului A este conținut în E, atunci A este o submulțime sau o parte a lui E, iar relația dintre ele este o relație de incluziune sau implicație pe care o scriem simbolic, EA sau AE.

Relația de implicare dintre evenimentul A și evenimentul sigur E poate prezenta următoarele situații:

Toate elementele eE satisfac criteriul care determină evenimentul A. în acest caz avem E=A. aceasta înseamnă că în orice probă are loc evenimentul A. numim acest eveniment A, eveniment cert.

Unele evenimente eE satisfac criteriul care determină evenimentul A, altele nu. În acest caz avem relația AE. aceasta înseamnă că în unele probe are loc evenimentul A iar în altele nu are loc; în exemplul din fig. 1.1. unele spargeri se obțin în obiectiv iar altele în afară, dar în suprafața elipsei de împrăștiere. Numim acest caz evenimentul A eveniment întâmplător sau aleator.

Nici un element eE nu satisface criteriul care determină evenimentul A. aceasta înseamnă că în nici o probă nu are loc evenimentul A. numim acest eveniment imposibil și-l notăm cu .

Fiind dat evenimentul sigur E și evenimentul A între care există relația de incluziune (AE), observăm că sunt evenimente elementare eE care satisfac criteriul de cercetare ce a determinat evenimentul A și elemente eE care nu satisfac același criteriu de cercetare. Se numește eveniment contrar evenimentului A acel eveniment care constă în nerealizare lui A. acest eveniment se notează cu și se citește “non A”. în exemplul din figura 1.1. evenimentul A constă în lovire obiectivului iar în nelovirea acestuia. La fel se consideră spargerile lungi față de cele scurte, spargerile aeriene de cele terestre etc.

Categorii de evenimente în funcție de complexul de condiții în care au loc

În practica aplicării teoriei probabilităților la tragerile de artilerie, clasificare evenimentelor în funcție de complexul de condiții concretizate prin experiențe prezintă o mare importanță. Din acest punct de vedere ies în evidență două aspecte, și anume:

măsura în care aceste evenimente considerate se pot sau nu realiza împreună – evenimente incompatibile (sigure, posibile) și evenimente compatibile.

dacă realizarea unora din evenimentele date este condiționată de realizarea celorlalte evenimente – evenimentele independente și evenimentele dependente.

În cazul evenimentelor incompatibile, apariția unui eveniment exclude posibilitatea apariției celorlalte, cu toate că inițial, toate au fost egal posibile. De exemplu, trăgând o lovitură și obținând spargerea în obiectiv, se exclude posibilitatea apariției aceleiași lovituri în afara obiectivului.

Dacă apariția unui eveniment – dintr-un șir de evenimente posibile inițial – nu exclude posibilitatea apariției altora, atunci evenimentele se numesc compatibile. Trăgând, de exemplu, o lovitură se poate obține ricoșet și plus, ricoșet și minus sau nericoșet doar în obiectiv.

Evenimentele independente sunt formate din colectivitatea mai multor evenimente simple și se obțin ca urmare a apariției simultane sau succesive a acestora. De exemplu în cazul tragerii a trei lovituri cu aceeași piesă obținem toate spargerile în obiectiv sau în afara obiectivului ori o combinație de spargeri în obiectiv și în afara obiectivului.

În grupa evenimentelor compuse din evenimente simple independente intră acele evenimente a căror apariție nu influențează apariția celorlalte din șirul celor posibile. De exemplu, trăgând două lovituri și obținând prima spargere plus, aceasta nu influențează apariția și a celei de-a doua spargeri tot plus.

Dacă apariția unui eveniment depinde de apariția altuia din șirul de evenimente posibile spunem că avem evenimente compuse din evenimente simple dependente. De exemplu, să presupunem că într-o ladă cu muniție sunt două proiectile de greutate normală și un proiectil cu trei semne de greutate plus. Dacă se scoate din ladă fără a privi un proiectil de greutate normală, la a doua extragere se micșorează posibilitatea scoaterii tot a unui proiectil de greutate normală. Cu alte cuvinte apariția evenimentului așteptat la o a doua extragere depinde de rezultatul obținut la prima probă.

NOȚIUNEA DE PROBABILITATE

1.3.1. Definirea clasică a probabilității

Fie E mulțimea evenimentelor atașate unei experiențe cu un număr finit de rezultate posibile. Rezultă că E este finită. Evenimentele din E se deosebesc între ele și prin posibilitatea de apariție sau gradul de realizare, în sensul că unele au un grad de realizare mai mare în comparație cu altele, dacă se ține seama de numărul evenimentelor elementare ce le implică.

Evenimentele elementare pot avea sau nu același grad de realizare. De exemplu: dacă se consideră o urnă cu 10 bile numerotate și de dimensiuni diferite, din care se extrage la întâmplare o bilă, atunci evenimentele elementare asociate acestei experiențe nu au același grad de realizare, datorită influenței pe care o exercită dimensiunea bilelor asupra extragerii.

Pentru a măsura gradul de realizare a unui eveniment din E definim noțiunea de probabilitate în sens clasic.

Definiție: În ipoteza că evenimentele elementare din E a același grad de realizare, se numește probabilitate în sens clasic a unui eveniment A din E numărul P(A)=m/n, unde n este numărul total de evenimente elementare din E, iar m este numărul evenimentelor elementare care îl implică pe A.

Într-o exprimare mai sugestivă, m este numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului A, iar n este numărul cazurilor egal posibile.

În cazul experimentelor întâmplătoare, un eveniment nu se realizează niciodată în mod unic, ci întotdeauna în mai multe feluri (cazuri). Din totalul de cazuri posibile la care pot duce condițiile ce preced evenimentul, numai o parte din ele numite cazuri favorabile duc la realizarea evenimentului dorit.

Din analiza definiției clasice a probabilității rezultă următoarele proprietăți:

Deoarece numărul cazurilor favorabile evenimentului este mai mare, cel mult egal cu 0 (m0) atunci, probabilitatea oricărui element este nenegativă, adică:

P(A)0

Dacă numărul cazurilor de producere a evenimentului este egal cu numărul total al cazurilor posibile (m=n), atunci evenimentul se produce sigur și deci:

P(A)=1

Când în șirul de evenimente posibile, nici unul nu este favorabil, adică m=0, atunci spunem că evenimentul este imposibil și deci:

P()=0

Cum 0mn, ca o consecință a celor arătate șa punctele a, b și c rezultă că probabilitatea unui eveniment este cuprinsă între probabilitatea evenimentului sigur și a evenimentului imposibil, adică:

0P(A)1

Dacă probabilitatea producerii unui eveniment (A) este P(A), atunci probabilitatea evenimentului contrar ( ) este P( )=1-P(A) de unde:

P(A) + P() = 1

Legătura dintre frecvența relativă și probabilitate – definiția câmpului (borelian) de evenimente

Se consideră n probe ale unei experiențe cu un număr finit de experiențe elementare echiprobabile și fie E mulțimea tuturor evenimentelor atașate experienței.

Se numește frecvență relativă a unui eveniment A din E numărul fn(A) egal cu raportul dintre numărul k al probelor în care s-a realizat evenimentul A și numărul total de probe k, adică:

fn(A)=k/n

S-a stabilit experimental ca fn(AB)= fn(A) + fn(B) dacă A și B sunt incompatibile.

Între frecvența relativă și probabilitatea unui eveniment poate să existe următoarea legătură: dacă se efectuează un număr din ce în ce mai mare de probe, frecvența relativă corespunzătoare oscilează în jurul probabilității, apropiindu-se din ce în ce mai mult de aceasta. Numai existența acestei legături justifică aproximarea probabilității unui eveniment din E prin frecvența relativă a sa.

Definiția clasică a probabilității este aplicabilă numai evenimentelor asociate acelor experiențe care au un număr finit de rezultate posibile și acestea au același grad de generalizare. Aceste condiții restrâng sfera de aplicabilitate a definiției clasice. Astfel în cazul evenimentelor asociate unei experiențe cu un număr finit de rezultate posibile sau care au același grad de realizare nu se poate vorbi de probabilitatea acestor evenimente.

Pentru înlăturarea acestor deficiențe este nevoie de o altă definiție a probabilității care să fie o generalizare a celei clasice.

Expunerea noii definiții a probabilității presupune o modelare matematică a cunoștințelor, privind evenimentele asociate unei experiențe, utilizând noțiunile de corp de mulțimi și corp borelian.

Definiție: Fie M o mulțime nevidă. O familie nevidă de mulțimi, KP(M) unde P(M) este mulțimea părților lui M, se numește corp de mulțimi dacă:

10 () AK, atunci nonAK, A – complementara lui A în raport cu M;

20 () A,BK, atunci ABK.

În baza definiției, un corp este închis, în raport cu reuniunea finită și trecerea la complementară.

Un exemplu de corp este P(M), dacă M este finită.

Fie KP(M) un corp. au loc proprietățile:

MK și K

Dacă {Ai | iK{1..n}}K, atunci

Dacă A,BK, atunci A\BK

Definiție: Fie M nevidă. O familie nevidă kP(M) se numește corp borelian, dacă:

() AK, atunci K

dacă șirul de mulțimi {An|AnM, nN*}K, atunci K.

Cu ajutorul teoriei mulțimilor și al noțiunii de corp (borelian) de mulțimi se va modela matematic mulțimea elementelor asociate unei experiențe.

Rezultatele posibile ale unei experiențe formează o mulțime, notată prin . Dacă numărul rezultatelor este n<, atunci ={w1,w2,…,wn}; dacă este o mulțime infinit numărabilă atunci ={w1,w2,…,wn,…}; dacă mulțimea rezultatelor posibile este infinit nenumărabilă, atunci este, de exemplu un interval n- dimensional, cu nN*.

Un eveniment elementar atașat experienței se identifică cu o submulțime a lui formată dintr-un singur element. Dacă două evenimente sunt incompatibile, atunci submulțimile lui cu care se identifică, respectiv, fiecare sunt disjuncte.

În cadrul acestei modelări matematice, mulțimea E a evenimentelor asociate unei experiențe se identifică cu P(). Cum P() este un corp ale cărui elemente reprezintă evenimente se va numi un corp de evenimente.

Definiție: împreună cu un corp (borelian ) k de evenimente din P() se numește câmp (borelian) de evenimente și se notează (,k). Dacă este o mulțime finită nevidă, atunci (,k) se numește câmp finit de evenimente.

Un exemplu de câmp finit de evenimente este dat de : Propoziția 1: Fie un spațiu finit de evenimente elementare și nevid, (,k) este un câmp finit de evenimente, dacă și numai dacă, k=P(); în acest caz numărul de evenimente ale câmpului este de 2n, unde n este numărul evenimentelor elementare.

Definiția axiomatică a probabilității

Definiție: Fie (,k) un câmp de evenimente. Se numește probabilitate pe acest câmp, o funcție de mulțimi P:K->R care satisface axiomele:

10 P(A)>=0 pentru orice AK

20 P()=0

30 P este o funcție finit aditivă, adică A1,A2K, cu A1A2= are loc: P(A1A2)=P(A1)+P(A2).

Definiție: Un câmp finit de evenimente (,k) împreună cu o probabilitate P, definită pe acest câmp, se numește câmp finit de probabilitate și se notează prin (,k,P). Observație: Fie câmpul finit de evenimente (,k), unde ={w1,w2,…,wn}. Definim pe acest câmp funcția P ca fiind probabilitatea în sens clasic, adică: P(A)=m/n, AK, unde m este numărul evenimentelor elementare incluse în A.

Se observă că P({w1})=P({w2})=…=P({wn})=1/n, adică evenimentele elementar sunt echiprobabile. De asemenea P verifică axiomele 1,2 și 3 deci este o probabilitate.

Rezultă că probabilitatea clasică este un caz particular de probabilitate.

Definiție: Fie (,k) un câmp borelian de evenimente cu o mulțime infinită. Se numește probabilitate complet aditivă pe acest câmp o funcție de mulțimi P:K->R care satisface axiomele:

10 P(A)>=0 pentru orice AK

20 P(A)=1

30 P este complet aditivă, adică oricare ar fi șirul {An|nN*} de evenimente din k, cu A1Aj= pentru ij, are loc:

Observație: O probabilitate P complet aditivă este finit aditivă

Definiție: Un câmp borelian (,k) înzestrat cu o probabilitate complet aditivă se numește câmp borelian de probabilitate și se notează (,k,P)

Teorema 1: Fie (,k,P) un câmp borelian de probabilitate

Dacă (An|nN*) este un șir ascendent de evenimente din k, adică An An+1 nN*, atunci

Dacă (An|nN*) este un șir descendent de evenimente din k, adică
AnAn+1 nN*, atunci:

Regula de înmulțire a probabilităților de evenimente

Definiție: Prin produs de evenimente se înțelege evenimentul care constă în apariția simultană a tuturor evenimentelor considerate.

Fie A1,A2,…,An evenimente din câmpul de probabilitate (,k,P) cu :

, () k{1,2,…,n}

Are loc:

Observații:

10 Probabilitatea unei reuniuni de evenimente depinde de compatibilitatea sau incompatibilitatea evenimentelor

20 Probabilitatea unei intersecții de evenimente depinde de independența sau dependența evenimentelor

30 Fie (Ai), i{1,2,…,n} o familie de evenimente independente și compatibile. Atunci:

Regula de însumare a probabilităților evenimentelor

Suma evenimentelor are sens numai dacă elementele componente sunt implicate în același eveniment sigur. Reuniunea se aplică numai pentru evenimentele incompatibile și compatibile.

În cazul reuniunii de evenimente incompatibile, probabilitatea evenimentului reunit este egală cu suma probabilităților de a se realiza fiecare evenimente în parte.

Dacă evenimentele întâmplătoare A1,A2,…,An sunt două câte două incompatibile, atunci:

P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

În general fiind dat un câmp k generat de mulțimea {ei}, există o repartiție a sa alcătuită dintr-o mulțime de evenimente incompatibile a căror reuniune este evenimentul sigur, adică:

A1A2…An = E Ai Aj= (ij)

Evenimentele sunt astfel încât intr-o operație individuală se produce numai unul dintre ele și numai unul. Un astfel de sistem se numește sistem complet de evenimente, având suma probabilităților egală cu unitatea.

Să presupunem că rezultatele posibile ale unei experiențe se reduc la un ansamblu de n cazuri din care m sunt favorabile evenimentului A, iar zero cazuri sunt favorabile evenimentului B.

Atunci: P(A)= p1=m/n și P(B)= p2=0/n

Deoarece evenimentele sunt incompatibile, înseamnă că nu pot apărea simultan și evenimentul A și evenimentul B. prin urmare evenimentului (AB) îi sunt favorabile m+0 cazuri și deci: P(AB)= p(m/n+0/n)=P(A)+P(B)=p1+p2.

Generalizând teorema de adunare a probabilităților pentru orice număr de evenimente, avem:

Consecințe:

Suma probabilităților evenimentelor posibile si incompatibile este egală cu unitatea adică:

P(A1 A2 … An) = P(A1) +P(A2) +…+P(An) = P(E) = 1

Sau: P=p1+p2+…+pn=1

Suma probabilităților evenimentelor opuse este egală cu unitatea:

P(A)+P( )=1

Sau: p+q=1

1.4 REPETAREA EXPERINȚELOR. SCHEME CLASICE

În natură anumite fenomene se repetă de nenumărate ori în condiții identice. Pornind de la această observație și cunoscând probabilitatea pe care o are un eveniment de a se produce în cadrul unei singure probe, se poate calcula și probabilitatea pe care o are același eveniment de a se produce de n ori când proba de care depinde realizarea evenimentului se repetă de s ori (s>n). astfel de probleme, destul de frecvente în practica artileristică se rezolvă cu ajutorul unor scheme probabilistice, denumite clasice și care depind de modul cum se efectuează experiențele.

1.4.1. Schema binomială

Schema binomială, cunoscută și sub numele de Schema Bernoulli cu două stări presupune existența unei urne în care există bile de două culori în proporții date. Din această urnă se extrag succesiv bile care se pun de fiecare dată înapoi. Astfel compoziția urnei rămâne neschimbată iar probabilitatea de a scoate o bilă de aceeași culoare este constantă în toate extracțiile.

Să considerăm că în urnă avem bile albe și bile negre. În condițiile de mai sus, probabilitățile de apariție ale evenimentului A (extragerea unei bile albe) sunt egale pentru toate cele s experiențe deoarece evenimentele sunt independente între ele și prin urmare, oricare ar fi rezultatul extracției precedente, probabilitatea de a obține o bilă albă în proba următoare, rămâne constantă. Notăm P(A)=p. Fie An evenimentul care constă în apariția lui A în experiența de ordin n. evident P(An)=P(A)=p pentru orice n mai mic sau cel mult egal cu s. deoarece evenimentele An sunt independente, probabilitatea ca A să apară în toate cele s probe va fi pn.

Să notăm acum cu nonA evenimentul opus lui A și cu P( )=q probabilitatea sa. Deoarece p+q=1, atunci probabilitatea ca evenimentul A să nu apară în cele s experiențe va fi qs=(1-p)s.

Vrem să determinăm acum probabilitatea ca evenimentul A să apară de n ori în cadrul celor s experiențe, probabilitate pe care o vom nota Ps(n)(A).

Dacă evenimentul A a apărut de n ori înseamnă că nu a apărut de s-n ori și deci avem:

P(A1 A2 … An n-1 … s) =

=P(A1)*P(A2)*…*P(An)*P n-1)*…*P(s)=

p*p*p*…*p*…*q*q*q=pn*qs-n p de n ori, q de s-n ori

este clar că succesiunile favorabile evenimentului de a se obține de n ori bila albă sunt în număr egale cu numărul combinărilor ce se pot face cu s obiecte luate câte n, întrucât interesează posibilitatea teoretică de apariție distinctă a evenimentului A și nu ordinea în care va apărea.

Prin urmare vom avea:

Ps(n)(A)=Csn*pn*qs-n (1)

Calculând probabilitatea ca numărul de apariții a evenimentului A să fie cuprins între două limite date, adică n1nn2, deoarece evenimentele sunt incompatibile, obținem:

Pentru n1=0 și n2=s avem probabilitatea evenimentului sigur și deci:

(2)

Dar suma din (2) reprezintă tocmai dezvoltarea binomului lui Newton adică (p+q)s=1 ceea ce este adevărat deoarece p+q=1.

Rezultă astfel că probabilitățile pot fi calculate dezvoltând binomul (p+q)s. De aceea formula (1) se mai numește și formula binomială a probabilității.

Așa cum am arătat la început, problemele care se pun în cazul repetării experiențelor sunt destul de frecvente și numeroase. Din cele care-și găsesc aplicare în practică în artilerie reținem determinarea probabilității ca un eveniment să se producă de n ori când proba se repetă de s ori (0<n<S).

1.4.2. Schema multinomială

Dacă în cazul schemei binomiale în loc de bile de două culori avem bile cu m culori și extragerile succesive din urnă le facem în același mod (punând de fiecare dată bila înapoi în urnă) atunci, într-o extragere, putem obține unul din evenimentele A1,A2,…,Am incompatibile între ele, constând din scoaterea bilei de culoare 1,2,…,m.

Asta înseamnă că dacă vom nota cu p1 probabilitatea ca să obținem bila de culoarea întâi, p2 probabilitatea să apară bila de culoarea a doua, etc., avem:

p1+p2+…pm = 1

calculăm în continuare probabilitatea ca din cele s extrageri evenimentul A1 să se producă de n1 ori, evenimentul A2 de n2 ori ș.a.m.d. Unde: n1+n2+…nm=s probabilitate pe care o notăm: Ps(n1,n2,…,nm)

Cum evenimentele sunt incompatibile rezultă că probabilitatea unei asemenea grupe va fi:

Se știe că permutările cu repetiție sunt grupările pe care le putem forma cu m obiecte date, astfel încât în fiecare grupare primul obiect să figureze de n1 ori, al doilea de n2 ori etc., două grupe fiind considerate distincte dacă diferă prin ordinea elementelor. Numărul acestor permutări se obține din relația:

Există deci pentru probabilitatea căutată următoarea formulă generală:

care se numește formula polinomială a probabilității corespunzătoare urnei cu m stări.

1.4.3. Schema Poisson

Se consideră n urne U1,U2,…,Un care conțin bile de două culori (albe și negre) în proporții cunoscute. Din fiecare urnă se extrage o bilă la întâmplare. Se pune problema să se determine care este probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe.

Fie:

p1= probabilitatea de a extrage o bilă albă din urna U1

p2=probabilitatea de a extrage o bilă albă din urna U2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pn= probabilitatea de a extrage o bilă albă din urna Un

și:

q1= probabilitatea de a extrage o bilă albă din urna U1

q2=probabilitatea de a extrage o bilă neagră din urna U2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

qn= probabilitatea de a extrage o bilă albă din urna Un

În acest caz, pentru fiecare pereche pi,qi, i=(1,2,..,n) avem evident pi+qi=1.

Deoarece extragerile se fac din urne diferite, ele sunt independente. Notăm A evenimentul care constă în extragerea unei bile albe și nonA evenimentul opus, de a se extrage o bilă neagră. O combinație posibilă este ca A să se obțină din primele k urne și nonA din următoarele n-k urne. Pentru aceasta trebuie să se realizeze un eveniment de forma:

A1 A2 … Ak nonAk+1 nonAk+2 … .

Probabilitatea unui astfel de eveniment este:

p1*p2*…*pk*qk+1*qk+2*…*qn.

Evenimentul a cărui probabilitate ne interesează este dat de reuniunea tuturor evenimentelor de mai înainte. Rezultă că probabilitatea căutată va fi:

P=p1p2…pkqk+1…qn+…+q1q2…qn-kpn-k+1…pn

Considerând produsul:

(z)=(p1z+q1)(p2z+q2)…(pnz+qn)

adică:

(z) = (3)

unde z este un parametru oarecare, rezultă că probabilitatea ca A să se producă de k ori, pe care o vom nota Pn,k va fi coeficientul lui zk din relația (3) și deci:

(4)

Funcția (z) se numește funcție generatoare.

Schema lui Poisson generalizează schema lui Bernoulli. Într-adevăr dacă presupunem că urnele au aceeași structură, adică:

p1=p2=..=pn

și

q1=q2=…=qn

relația (3) devine:

(5)

adică, asemănătoare cu (1) ceea ce confirmă cele spuse anterior.

LEGI DE PROBABILITATE

O lege de probabilitate se caracterizează prin faptul că oricărei valori pe care o ia variabila aleatoare i se asociază o probabilitate corespunzătoare și numai una.

Pentru considerente practice, în teoria probabilităților se studiază câteva legi tipice, întâlnite mai frecvent în rezolvarea diferitelor probleme.

În studiul teoriei tragerilor artileriei terestre întâlnim mai ales legea binomială – ca lege de probabilitate discretă – precum și legea probabilității egale (legea uniformă ) și legea normală, ca legi de probabilitate continue.

1.5.1. Legea binomială

Este o lege de probabilitate caracteristică pentru variabile aleatoare discrete. Pentru această lege este specific faptul că există un număr finit de valori xi cu probabilitățile pi . valorile xi pot fi și în număr finit , dar să formeze o mulțime numărabilă adică în orice interval finit să existe un număr finit de valori.

Probabilitățile apariției unui eveniment dat de n ori când proba se repetă de s ori sunt date de termenii succesivi ai dezvoltării binomului lui Newton, fiecare termen fiind expresia formulei generale: .

Când se trag cu aceleași elemente asupra unui obiectiv punctual trei lovituri, o spargere lungă poate să apară de trei ori, două ori, o singură dată sau niciodată cu probabilitățile respective:

Deoarece evenimentele sunt incompatibile probabilitatea evenimentului reunit, este egală cu suma probabilităților fiecărui eveniment în parte, adică:

Observăm că legea de probabilitate pentru această schemă este identică cu modelul matematic al desfășurării binomului lui Newton. Datorită acestui fapt legea de probabilitate cu repartiția:

Se numește lege binomială.

Relația sintetizează legea binomială.

1.5.2. Legea probabilității egale

Această lege, cunoscută și sub denumirea de legea uniformă, este cea mai simplă lege de tip continuu, deoarece densitatea de repartiție este constantă într-un anumit interval (a,b) și nulă în afara acestuia.

Întrucât densitatea de repartiție este constantă în intervalul (a,b), adică f(x)=c, rezultă că:

De unde:

C=1/(b-a)

Sau încă:

Funcția de repartiție este:

Adică:

Valoarea medie este:

Iar dispersia va avea valoarea:

De unde:

Legea probabilității egale este întâlnită des în teoria erorilor de măsurare și în compunerea acestor erori.

1.5.3. Legea normală

legea normală, cunoscută sub numele de legea lui Gauss, are un rol important în teoria probabilităților și ocupă un loc deosebit între legile de repartiție utilizate frecvent în teoria tragerilor prin caracterul său de lege limită, spre care tind alte legi.

Se poate demonstra că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare independente, care au diferite legi de repartiție, are ca lege de repartiție legea normală și aceasta cu atât mai exact cu cât numărul variabilelor ce se însumează este mai mare.

Foarte multe din variabilele aleatoare întâlnite în practica artileristică, de exemplu erorile de măsurare, împrăștierea spargerilor etc. pot fi considerate ca suma unui număr foarte mare de factori care acționează independent. Dat fiind faptul că influența acestora se nivelează deoarece fiecare din ei joacă în ansamblu un rol relativ restrâns, acțiunea în întregul ei poate fi descrisă cu ajutorul legii normale.

Funcția densității de probabilitate a legii normale este:

Curba de repartiție a legii normale este simetrică (fig. 2), ea are forma unui clopot cu ordonata maximă 1/=0,4/ corespunzătoare punctului x=m, două puncte de inflexiune pentru x= și tinde asimptotic spre 0 pentru x.

Parametrii acestei funcții m și reprezintă valoarea medie și abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare.

1.5.3.1. Caracteristicile legii normale de probabilitate

Calculul valorii medii

(*)

Făcând schimbarea de variabilă (x-m)/(*)=t vom avea:

X=m+t**

dx=*dt

fig. 1.2.

Înlocuind în (*) obținem:

Prima dintre integrale este egală cu zero, iar cea de-a doua este integrala lui Euler-Poisson.

Prin urmare:

M(x)=m

Funcția de repartiție a legii normale este:

Făcând schimbarea de variabilă (x-m)/=t, funcția de repartiție devine:

Ea reprezintă suprafața delimitată de curba de repartiție, axa absciselor și ordonata corespunzătoare valorii x și este cunoscută sub numele de funcția Gauss-Laplace.

1.5.3.2. Probabilitatea de a obține o abatere cuprinsă între două abateri date

Probabilitatea ca o mărime aleatorie cu lege normală de distribuție să ia valori într-un interval dat este egală cu diferența valorilor funcției de distribuție. Pentru legea normală, funcția de distribuție se numește funcția lui Laplace (domeniul pozitiv de definiție).

Astfel avem relația:

în care (x) este funcția lui Laplace.

Probabilitatea ca o mărime aleatoare sa ia o valoare cuprinsă într-un interval dat sau de pe un segment dat de lungime l, dispus simetric de o parte și de alta a centrului de împrăștiere este:

P=

O mărime întâmplătoare caracterizată prin legea normală de distribuție nu deviază de la centrul de împrăștiere mai mult de patru abateri probabile.

Din relația P(x1<x<x2)= putem scrie că probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval (,):

P(<x<)=F()-F()

Sau folosind valorile funcției (x):

(**)

Argumentul funcției (x) reprezintă distanța până la centrul de împrăștiere exprimat în unități – valoare numită valoare normalizată a variabilei. În acest caz funcțiile F(x) și (x) au valorile caracteristice m=0 și =1.

Funcția F(x) are următoarele proprietăți:

F(-)=0

F(+)=1

F(x) este o funcție monoton crescătoare

Din simetria repartiției normale față de originea axelor de coordonate rezultă că:

F(-x)=1-F(x) și (-x)=-(x) (***)

În practică trebuie adesea să calculăm probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval simetric față de centrul de împrăștiere m. în acest caz din (**) avem:

P(m-z<x<m+z)=(2/)+(-2/)

Ținând seama de (***):

P(|X-m|<2)=2(2/)

Pentru o serie de calcule cerute de practică este deosebit de important să cunoaștem câteva valori particulare, între care probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori în intervalele (m, ), (,2) și (2,3). Ținând seama de simetria curbei de repartiție, din relația (**) obținem:

P(m<x<m+)=F(1)-F(0) = 0,8413-0,5000=0,341

P(m+<x<m+2)=F(2)-F(1)=0,9772-0,8413=0,1359

P(m+2<x<m+3)=F(3)-F(2)=0,9987-0,9772=0,0215

P(m+3<x<m+4)=F(4)-F(3)=1,000-0,9987=0,0013

Rotunjind valorile rezultate până la 1% obținem > 0.34; 0.14; 0.02 a căror sumă este egală cu 0,5.

Rezultă că pentru legea normală toate valorile posibile ale variabilei aleatoare se înscriu în intervalul m3. Prin urmare având cunoscute valorile parametrilor repartiției (m, ) putem delimita orientativ domeniul valorilor posibile ale variabilei aleatoare: (fig. 1.3.)

Fig. 1.3.

1.5.3.3. Abateri caracteristice și relații între ele

Abaterea probabilă. Abaterea z, care are probabilitatea ½ de a fi sau nu depășită, poartă numele de abatere probabilă și se notează Ap.

Din cele anterioare reținem că efectuând un număr oarecare s de probe nu întotdeauna se realizează numărul cel mai probabil de întâmplări N, ci aproape mereu se produc abateri față de acesta. Aceste abateri pot varia între două limite z1 și z2.

Valoarea minimă a lui z este cea care corespunde lui n=0, adică evenimentul propus nu s-a produs deloc. În acest caz, din formula z=n-sp pentru n=0 avem z1=sp.

Valoarea maximă a lui z este cea care corespunde lui n=s, adică evenimentul propus apare de s ori. În acest caz z2=s-sp=s(1-p)=sq.

Dintre diferitele valori pe carele poate lua z în intervalul său de variație (z1,z2) există desigur una care are probabilitatea p=1/2=0,5 de a se produce. Ea reprezintă abaterea probabilă și mărimea ei se deduce astfel:

se caută în tabela (t) valoarea lui t pentru care (t)=0.500

se introduce această valoare a lui t în relația:

și se obține z.

Din tabela (t) se vede că la un (t)=0,500 corespunde t=0,477.

În relația introducem t=0,477 și obținem z=Ap=0,477 z=Ap=0.477 (1)

Relația (1) reprezintă valoarea particulară a abaterii z pentru care P= (t)=0,500, adică abaterea probabilă.

Dacă în relația (1) se ia z=4Ap atunci:

4Ap=tsau t=4Ap/ (2).

Cum Ap/ = 0,478 rezultă t = 4*0,477=1,912

Din tabela funcție de repartiție a legii normale (t), avem (1,912)=0,993=P(4Ap).

Deoarece această probabilitate este foarte mare, putem spune că evenimentul se realizează aproape sigur de un număr oarecare de ori cuprins între sp-4Ap și sp+4Ap. Probabilitatea pe care o are evenimentul de a se realiza în afara acestor limite este foarte mică (1-0,993=0,007).

Pentru a preciza mai bine noțiunile referitoare la Ap se întocmește graficul din fig. 1.4. în care pe axa x-ilor se trec Ap iar pe axa y-ilor probabilitățile corespunzătoare.

Probabilitățile înscrise în grafic se calculează cu ajutorul tabelei (t), dând lui z diferite valori exprimate în Ap. Astfel pentru z=Ap avem:

=0,477

pentru care (t1)=0,500

Pentru z=2Ap avem t2=2,0*0,477=0,956 și (t2)=0,820

Pentru z=3Ap avem t3=3,0*0,477=1,434 și (t3)=0,960

Pentru z=4Ap avem t4=4,0*0,477=0,912 și (t2)=0,993

Fig 1.4.

Aceste probabilități reprezintă suprafețele arătate în fig. 1.4. și se interpretează astfel:

probabilitatea de a realiza o abatere z cuprinsă între 1Ap este (t1)=0,500=P2 și reprezintă mărimea suprafeței S1+S1=2S1=0,500

probabilitatea de a realiza o abatere z cuprinsă între 0 și 1Ap este P(Ap)=1/2 (t1)=1/2*0,500=0,250 sau 25%

probabilitatea de a realiza o abatere z cuprinsă între 2Ap este (t2)=0,820=P(2Ap) și reprezintă mărimea suprafeței S2+S1+S2+S1=2S1+2S2=0,820, adică:

2S2=0,820-2S1=0,820-0,500=0,320 de unde,

S2=0,160 sau 16%.

Abaterea relativă

În egalitatea n=spz dacă împărțim ambii membrii prin s obținem n/s=pz/s (3) în care raportul z/s se numește abatere relativă.

Dacă introducem raportul z/s în relația obținem:

Putem spune deci că dacă se efectuează un număr mare de probe și se constată că evenimentul propus se produce de n ori, atunci probabilitatea p ca dintr-o singură probă să se realizeze evenimentul dorit este sensibil egală cu n/s, deoarece abaterea relativă z/s tinde câte 0 când s crește foarte mult.

În grupa abaterilor caracteristice se mai cuprind:

abaterea medie simplă (E1), egală prin definiție cu media aritmetică a valorilor absolute ale abaterilor, adică:

(4)

abaterea medie pătratică (E2) care este egală cu rădăcina pătrată din media sumei pătratelor tuturor abaterilor:

(5)

sau în general abaterea medie de ordinul n:

(6)

Între aceste abateri caracteristice, abaterea probabilă și a modului de precizie există următoarele relații:

4Ap=0,477

4E1=1/

4E2=1/

CAPITOLUL 2. METODE DE DETERMINARE A PROBABILITĂȚILOR DE LOVIRE A OBIECTIVELOR

În teoria tragerilor artileriei, valoarea probabilității de lovire a unui obiectiv în condiții de tragere date stă la baza celor mai importante calcule și reguli de tragere. Astfel, folosind valoarea numerică a probabilității de lovire se stabilesc cele mai potrivite procedee de tragere (reglaj și tragere de efect).

Cunoașterea probabilității de lovire permite aprecierea eficacității unei trageri pe baza unor indici importanți ca siguranța și economia tragerii. De asemenea, cunoscând valoarea probabilității de lovire se poate determina consumul mediu de lovituri, necesar obținerii unui efect stabilit sau consumul de lovituri pentru obținerea efectului propus cu o siguranță dată.

2.1. FACTORII DE CARE DEPINDE VALOAREA PROBABILITĂȚII DE LOVIRE A UNUI OBIECTIV

Valoarea probabilității de lovire a unui obiectiv, în condiții de tragere date, depinde de următorii factori: dimensiunile obiectivului; poziția C.I.P. față de centrul obiectivului; mărimea împrăștierii spargerilor (punctelor de cădere); direcția de tragere și dimensiunile suprafeței eficace a loviturii (exploziei).

Pentru studierea variației probabilității de lovire în raport cu un anumit factor, mărimile celorlalți factori vor fi considerate constante.

2.1.1. Dimensiunile obiectivului

Trăgând în aceleași condiții (aceeași depărtare a C.I.P. față de centrul obiectivului, aceeași mărime a împrăștierii, aceeași orientare a direcției de tragere) asupra unui obiectiv de dimensiuni variabile (fig. 2.1) probabilitatea loviturii în obiectiv crește pe măsura creșterii dimensiunilor (suprafeței) obiectivului.

De exemplu dacă C.I.P. corespunde centrului obiectivului și întreaga elipsă de împrăștiere este inclusă în dimensiunile (suprafața) obiectivului (fig. 2.1 a) probabilitatea loviturii în obiectiv este egală cu (100%).

Fig. 2.1 Variația probabilității de lovire cu dimensiunile obiectului

Dacă dimensiunile obiectului se reduc la ¼ (fig. 2.1 b) atunci probabilitatea lovirii obiectivului (calculată cu ajutorul împrăștierii) va fi:

pb= 0,16+0,25+0,25+0,16 = 0,82

pd= 0,16+0,25+0,25+0,16 = 0,82

po= pb * pd = 0,82 * 0,82 = 0,67 sau 67%

Dacă dimensiunile obiectivului se reduc cu 1/8 ()fig. 2.1 c, atunci probabilitatea lovirii obiectivului va fi:

pb = 0,25+0,25 = 0,50

pd = 0,25+0,25 = 0,50

po = pb * pd = 0,50*0,50 = 0,25 sau 25%.

Rezultă că valoarea probabilității de lovire a obiectivului se modifică în mod proporțional cu modificarea dimensiunilor acestuia. Acest lucru este normal, fiind justificat de principiul neuniformității împrăștierii.

2.1.2. Poziția centrului de împrăștiere al proiectilelor față de centrul obiectivului

Elementele tragerii de efect pe un obiectiv se determină, de regulă, pentru centrul obiectivului (C), prin cel mai precis procedeu de pregătire permis de condițiile concrete în care se execută tragerea.

În cazul când elementele de tragere se determină pentru un punct diferit de centrul obiectivului, situat în afară sau la una din extremități, poziția C.I.P. față de obiectiv este definită prin diferențele de coordonate (xc și zc) între punctul pentru care s-au pregătit elementele și centrul obiectivului sau de vectorul distanță (d) ca în figura 2.2.

Fig. 2.2 Poziția C.I.P. față de centrul obiectivului

Pentru aceleași dimensiuni ale obiectivului și aceeași direcție de tragere, cu cât C.I.P. este mai departe de centrul obiectivului, cu atât elipsa de împrăștiere va acoperi o parte tot mai mică din obiectiv și probabilitatea de lovire va fi mai mică (fig. 2.3).

Fig. 2.3 Poziția C.I.P. față de centrul obiectivului

Dacă depărtarea C.I.P. față de centrul obiectivului depășește 4Ap atunci probabilitatea de lovire devine egală cu zero.

În calculul valorii probabilității de lovire a unui obiectiv interesează nu numai poziția (depărtarea) punctului pentru care s-au pregătit elementele față de centrul obiectivului, ci și poziția C.I.P., corespunzător elementelor de tragere determinate față de centrul obiectivului. datorită acțiunii fenomenului împrăștierii tragerii, C.I.P. nu se suprapune niciodată pe centrul obiectivului, ci va ocupa o poziție oarecare. Această poziția fiind determinată de erorile accidentale de pregătire a elementelor, repartiția C.I.P. față de centrul obiectivului urmează legea de repartiție normală. Ca urmare, poziția C.I.P. față de centrul obiectivului va fi definită de valorile erorilor medii de pregătire, în bătaie (RD) și în direcție (Rd)., sau de eroarea circulară (er) ce caracterizează precizia procedeului de determinare a elementelor de tragere.

Depărtările punctului pentru care s-au pregătit elementele, față de centrul obiectivului (xc, zc sau d), au caracter sistematic; de influența lor asupra probabilității de lovire se ține seama introducând în calcul valorile xc, zc sau d.

Erorile de pregătire au caracter accidental; de influența lor asupra probabilității de lovire se ține seama introducând în calcul valorile recalculate (totale) ale abaterilor probabile ( și ) obținute pe baza compunerii caracteristicilor legii împrăștierii și legii de repartiție a C.I.P. față de punctul pentru care s-au pregătit elementele.

Aceste valori se obțin folosind relațiile:

; (2.1)

unde:

Apb și Apd sunt abaterile probabile ce caracterizează legea împrăștierii punctelor de cădere față de C.I.P.;

RD și Rd sunt erorile medii de pregătire ce caracterizează legea de repartiție a C.I.P. față de punctul pentru care s-au pregătit elementele;

și sunt abaterile medii recalculate ce caracterizează legea de repartiție (rezultantă) a abaterilor punctelor de cădere față de punctul pentru care s-au pregătit elementele și nu față de C.I.P..

Valorile și sunt valabile numai pentru tragerea unei lovituri; totuși în calculele artileristice sunt admise și pentru tragerea unui număr mic de lovituri. În acest caz, valorile și obținute cu relațiile (2.1) asigură o precizie corespunzătoare atunci când Rp≤Apb și Rd≤Apd.

2.1.3. Mărimea împrăștierii punctelor de cădere

Mărimea împrăștierii punctelor de cădere în cazul tragerii unui număr oarecare de lovituri în condiții de tragere determinate (gură de foc, proiectil, încărcătură, forma traiectoriei etc.) depinde în principal de distanța de tragere. Cu cât distanța de tragere este mai mică cu atât împrăștierea este mai mică.

Pentru aceleași dimensiuni ale obiectivului, pentru aceeași poziție a C.I.P. față de obiectiv și pentru aceeași direcție de tragere, cu cât împrăștierea este mai mare, cu atât suprafața de împrăștiere ce se suprapune pe obiectiv va fi mai mică și deci probabilitatea de lovire a obiectivului va fi mai mică.

Modificarea probabilității de lovire, în raport cu variația mărimii împrăștierii rezultă din utilizarea în calcule a valorilor abaterilor probabile (Apb și Apd) extrase din tabelele de tragere, corespunzător distanței, proiectilului și încărcăturii cu care se execută tragerea.

Atunci când condițiile concrete de tragere impun determinarea probabilității de lovire cu ajutorul scării împrăștierii radiale în care se va folosi valoarea abaterii probabile circulare (Apc) obținută cu relația:

; (2.2)

sau, mai precis:

; (2.3)

Relațiile (2.2 și 2.3) pot fi utilizate și în cazul când condițiile de tragere impun înlocuirea împrăștierii elipsoidale cu împrăștierea circulară, bineînțeles cu o anumită aproximație. Această înlocuire este admisă când este satisfăcută relația:

sau (2.4)

unde:

este caracteristica mai mică a împrăștierii elipsoidale ( sau ), iar este caracteristica cea mai mare ( sau ).

2.1.4. Orientarea direcției de tragere

Din analiza fenomenului împrăștierii a rezultat că punctele de cădere se dispun în jurul CIP pe o suprafață elipsoidală, orientată în majoritatea cazurilor cu axa mare pe direcția de tragere; ca urmare, împrăștierea în direcție este mai mică decât împrăștierea în bătaie (≤). De aceea pentru aceleași dimensiuni ale obiectivului, aceeași poziția a CIP față de centrul obiectivului și aceeași mărime a împrăștierii, probabilitatea de lovire a obiectivului este mai mare atunci când direcția de tragere (axa mare a elipsei de împrăștiere) este dirijată supă latura cea mai mare a obiectivului. Așa de exemplu (fig. 2.4), dacă direcția de tragere (axa mare a elipsei de împrăștiere) este orientată în lungul unui obiectiv de formă dreptunghiulară (α=00), iar elipsa de împrăștiere este cuprinsă în limitele obiectivului, probabilitatea de lovire a obiectivului este egală cu unitatea.

Fig. 2.4 Variația probabilității de lovire în raport cu orientarea direcției de tragere

Dacă însă, direcția de tragere este perpendiculară pe același obiectiv (α=900), iar elipsa de împrăștiere acoperă obiectivul numai cu o porțiune (1,5 sau 1,5), probabilitatea de lovire este numai de 0,66.

Pentru orientări intermediare (în tragerea oblică) ale direcției de tragere față de dimensiunea principală (cea mai mare) a obiectivului, valoarea probabilității de lovire variază în raport cu înclinarea direcției de tragere (α).

Fig. 2.5 Compunerea vectorială a și

De aceea în calculul probabilității de lovire a unui obiectiv, în situația când direcția de tragere face cu dimensiunea principală a acestuia un unghi α, în locul valorilor () se vor introduce noi valori ale acestora, obținute prin compunerea vectorială a șidupă direcția X(Z) (fig. 2.5), folosind relația:

; (2.5)

Relațiile (2.5) exprimă valoarea abaterii probabile, rezultantă, sub o formă variabilă pentru oricare din orientările cuprinse între cele două orientări limită (=900 și =00).

Când tragerea este frontală (după direcția X), deci când =900 rezultă:

și

deoarece sin900=1 și cos 900=0.

Când tragerea este de flanc (după direcția Z), deci când =0 rezultă:

;

.

De aici rezultă că probabilitatea de lovire a obiectivului are valori mai mari în tragerea de flanc și oblică decât în tragerea frontală.

2.1.5. Dimensiunile suprafeței eficace a loviturii (exploziei)

În tragerea asupra unor obiective de dimensiuni mici (punctuale) sau în tragerea cu proiectile (încărcături) de mare eficacitate, dimensiunile suprafeței eficace (raza efectului) nu mai pot fi considerate nule (neglijabile) în calculul probabilității de lovire a unui obiectiv oarecare. Deoarece suprafața efectului pentru marea majoritate a proiectilelor (rachetelor) acoperă zonă aproximativ circulară, dependența probabilității de lovire de suprafața eficace se va aprecia în raport cu raza acesteia (raza efectului, re), cu distanța de la centrul suprafeței eficace (exploziei) la centrul obiectivului (d) și de raza obiectivului (r0).

În cazul tragerilor asupra obiectivelor punctuale (r0=0), variația probabilității de lovire în raport cu suprafața eficace rezultă din fig. 2.6.

Valoarea probabilității de lovire când re>d se obține înlocuind în relația:

care reprezintă probabilitatea producerii de abateri în limitele unei suprafețe circulare de rază “r” (rR) în care:

r = raza suprafeței circulare;

= abaterea probabilă circulară .

Valoarea r prin re, astfel:

; (2.6)

fig. 2.6 Variația probabilității de lovire a obiectivelor

punctuale în raport cu suprafața eficace a loviturii

În cazul tragerii asupra obiectivelor de suprafață (r0>0), variația probabilității de lovire în raport cu suprafața eficace rezultă din figura 2.7.

Valoarea probabilității de lovire când re>(d-r0) se determină folosind reguli mai complexe.

Fig. 2.7 Variația probabilității de lovire a obiectivelor de suprafață

În raport cu suprafața eficace a loviturii

Când raza obiectivului este mult mai mare decât raza suprafeței eficace (r0>>re) și împrăștierea este circulară, probabilitatea de lovire a obiectivului poate fi determinată, cu oarecare aproximație, pe baza mediei pierderilor relative provocate obiectivului, dată de relația:

(2.7)

unde: M = media (așteptarea matematică) pierderilor relative provocate obiectivului;

re = raza suprafeței eficace a loviturii;

r0 = raza cercului a cărei suprafață este echivalentă cu suprafața obiectivului;

= abaterea probabilă circulară.

2.2 METODE DE DETERMINARE A PROBABILITĂȚII DE LOVIRE A UNUI OBIECTIV

Probabilitatea de lovire a unui obiectiv în condiții de tragere se poate obține prin calcul folosind teoreme și relații fundamentale de teoria probabilităților și erorilor sau pe cale grafică cu ajutorul scărilor (rețelei) împrăștierii.

Indiferent de metoda folosită, pentru determinarea unei valori cât mai exacte a probabilității de lovire a obiectivului este necesar să se stabilească (determine) toate mărimile ce caracterizează acțiunea factorilor de care depinde probabilitatea de lovire, corespunzător condițiilor de tragere, astfel:

pentru dimensiunile obiectivului: frontul (2f) și dimensiunea (2l) iar pentru obiectivele circulare raza (r0) exprimate în metri;

pentru poziția CIP față de centrul obiectivului: coordonatele rectangulare ale centrului obiectivului (xc și zc) sau depărtarea acestuia (d) în raport cu CIP, precum și valorile abaterilor probabile recalculate () cu relațiile (2.1) care caracterizează legea de repartiție a punctelor de cădere față de punctul pentru care s-au pregătit elementele (centrul obiectivului);

pentru mărimea împrăștierii tragerii: valorile abaterilor probabile din tabelele de tragere () în cazul împrăștierii elipsoidale sau valoarea abaterii circulare () în cazul împrăștierii circulare. În cazul când tragerea se execută pe un teren în pantă (contrapantă), valorile abaterilor probabile din tabelele de tragere se recalculează ținând seama de panta terenului, folosind relațiile cunoscute:

și

pentru orientarea direcției de tragere față de dimensiunea principală a obiectivului: abaterea probabilă rezultantă, obținută prin compunerea vectorială a și ;

pentru suprafața eficace a loviturii: mărimea razei suprafeței eficace (re), depărtarea centrului exploziei de centrul obiectivului (d) și dimensiunile (raza) obiectivului (r0).

În raport cu numărul factorilor care intervin și cu mărimile ce caracterizează condițiile respective de tragere, pot fi diferențiate câteva metode reprezentative de determinare a probabilității de lovire a obiectivului.

2.2.1. Probabilitatea de lovire a unui obiectiv având forma de patrulater cu laturile paralele cu axele elipsei de împrăștiere

Considerând un obiectiv orizontal, de forma unui dreptunghi, de dimensiuni date (2f și 2l), a cărui suprafață este acoperită de elipsa de împrăștiere (fig. 2.8.) rezultă:

obiectivul dat este determinat de intersecția a două fâșii perpendiculare, având lățimile 2f (frontul) și 2l (adâncimea).

Fig. 2.8 Determinarea probabilității de lovire a unui obiectiv dreptunghiular

evenimentul, lovirea obiectivului, se realizează prin apariția a două evenimente independente: lovirea fâșiei de lățime 2l (în bătaie) și lovirea fâșiei de lățime 2f (în direcție);

probabilitatea lovirii obiectivului se obține conform teoremei înmulțirii probabilității a două evenimente independente, adică:

probabilitatea lovirii obiectivului în bătaie P(B) și probabilitatea lovirii obiectivului în direcție P(D) se calculează folosind legea împrăștierii pe o direcție sau cu scara împrăștierii.

Probabilitatea lovirii obiectivului în bătaie, reprezentată prin aria aa’bb’ (fig. 2.8), este:

(2.8)

Probabilitatea de lovire a obiectivului în direcție, reprezentată prin aria cc’dd’ (fig. 2.8), este:

(2.9).

Probabilitatea de lovire a obiectivului va fi: P(0) = P(B) = P(D) = P(a<x<b) = P(c<z<d); rezultă relația:

(2.10).

În raport cu valorile concrete ale mărimilor ce caracterizează anumiți factori de care depinde probabilitatea de lovire a unui astfel de obiectiv, se pot întâlni numeroase variante ale relației generale (2.10), astfel:

Când CIP se suprapune pe centrul obiectivului, adică valorile coordonatelor xc și zc sunt nule (fig. 2.9)

fig. 2.9 CIP suprapus pe centrul obiectivului

fig. 2.10 Frontul obiectivului tinde către infinit

Înlocuind în relația generală (2.10) valorile xc=0, zc=0 se obține o nouă formă a relației de calcul a probabilității de lovire a obiectivului:

sau aplicând proprietățile funcției lui Laplace:

și, în final:

(2.11).

Când una din dimensiunile obiectivului, frontul (2f) sau adâncimea (2l), este nelimitată, depășind dimensiunea elipsei de împrăștiere (fig. 2.10).

Înlocuind pe rând în relațiile (2.10) și (2.11) valorile 2f= și apoi 2l= se obțin alte forme ale relației de calcul al probabilității de lovire a obiectivului, astfel:

pentru 2f=, relațiile (2.10) și (2.11) devin:

(2.12)

(2.13);

pentru 2l=, relațiile (2.10) și (2.11) devin:

(2.14)

(2.15).

2.2.2. Probabilitatea de lovire a unui obiectiv având o formă geometrică neregulată (oarecare)

Sunt situații când obiectivul asupra căruia se execută tragerea nu poate fi încadrat într-o suprafață dreptunghiulară cu laturile paralele cu axele elipsei de împrăștiere. Calculul probabilității de lovire a obiectivului, în aceste situații, este destul de dificil, necesitând împărțirea obiectivului (când este posibil) în suprafețe cu forme geometrice regulate și determinarea probabilității de lovire a fiecărei suprafețe elementare. Calea directă de determinare a probabilității de lovire a unui astfel de obiectiv este cea grafică, folosind scara împrăștierii în plan.

Pentru a determina probabilitatea de lovire a unui obiectiv folosind scara împrăștierii în plan, coordonatele rectangulare ale punctelor, care definesc conturul obiectivului în raport cu axele împrăștierii (cu originea în CIP) se exprimă în abateri probabile. Cunoscând aceste coordonate se raportează obiectivul pe scara împrăștierii și se trasează conturul. Probabilitatea de lovire a obiectivului se obține însumând valorile tuturor probabilităților înscrise în pătratele scării acoperite de obiectiv. Valorile probabilităților de lovire din pătratele acoperite parțial de obiectiv se stabilesc proporțional, din vedere.

La raportarea obiectivului pe scara împrăștierii în plan se obține un contur deformat față de cel real datorită folosirii în construirea scării împrăștierii în plan a unor scări de reducere diferite pentru abaterile probabile; influența acestui fapt este nesemnificativă, deoarece scara împrăștierii se construiește în fracțiuni de abateri probabile și nu în unități metrice.

Ca urmare a acestui avantaj, scara împrăștierii în plan (circulare) poate fi folosită pentru determinarea probabilității de lovire a unui obiectiv de orice formă, situat atât în plan orizontal cât și în plan vertical.

2.2.3. Probabilitatea de lovire a unui obiectiv cu suprafață circulară

Calculul probabilității de lovire a unui obiectiv circular prezintă unele dificultăți determinate în principal de faptul că în majoritatea cazurilor împrăștierea este elipsoidală, iar CIP nu poate fi suprapus întotdeauna pe centrul obiectivului. Ca urmare, în mod frecvent probabilitatea de lovire a unui obiectiv circular se va determina cu ajutorul unor tabele numerice antecalculate. Astfel, în determinarea probabilității de lovire a unui astfel de obiectiv se pot întâlni două cazuri mai reprezentative:

Centrul de împrăștiere a punctelor (CIP) corespunde centrului geometric al obiectivului (fig. 2.11).

Fig. 2.11

Pentru cazul general, când împrăștierea este elicoidală, probabilitatea de lovire a obiectivului circular de rază r0 se determină folosind tabelul cu dublă intrare prezentat în anexa 6. Valorile înscrise în tabel s-au calculat folosind relația:

în raport cu mărimea razei obiectivului (r0) și valoarea excentricității elipsei de împrăștiere.

Pentru intrarea în tabel se folosesc următorii parametrii, determinați corespunzător condițiilor de tragere, cu relațiile:

(2.15)

în care: r1 – parametrul de intrare în prima coloană a tabelului având valori între 0,1 și 5 ; reprezintă raza obiectivului exprimată în abateri probabile;

r0 – raza obiectivului în m;

a – valoarea celei mai mari abateri probabile (semiaxa mare a elipsei unitate de împrăștiere), adică sau ;

(2.16)

în care: e1 – parametrul de intrare în prima linie a tabelului având valori între 0 și 1;

a, respectiv b, reprezintă semiaxa mare, respectiv mică, a elipsei unitate de împrăștiere ( sau ).

Rezultă pentru acest parametru valorile:

, când >

, când > .

Când = = , valoarea parametrului e1 este egală cu 0, deci împrăștierea este circulară.

Centrul de împrăștiere al proiectilelor (CIP) este în afara centrului geometric al obiectivului (fig. 2.12).

fig. 2.12

Pentru cazul general când împrăștierea este elipsoidală, determinarea prin calcul a probabilității de lovire este dificilă și rezultatele obținute sunt de cele mai multe ori aproximative.

Cu o aproximație acceptabilă și mult mai rapid se poate determina valoarea probabilității de lovire a unui obiectiv pe cale grafică, folosind scara împrăștierii în plan (anexa 5). Modul de lucru este același ca și în cazul unui obiectiv de formă oarecare, cu deosebirea că obiectivul circular se raportează pe scara împrăștierii în plan cu ajutorul coordonatelor centrului (xc și zc) față de CIP și al razei (r0), toate exprimate în abateri probabile.

Probabilitatea de lovire a unui obiectiv circular, în situația când centrul obiectivului se găsește la o distanță “d” față de CIP poate fi determinată cu precizie suficientă numai în cazul particular, când împrăștierea este circulară (= = ) sau este elipsoidală, dar caracteristicile acesteia îi permit înlocuirea împrăștierii elipsoidale cu împrăștierea circulară.

În acest caz, valoarea probabilității de lovire a obiectivului circular se determină folosind tabelul cu dublă intrare prezentat în anexa 7.

Pentru intrarea în tabel se folosesc valoarea depărtării centrului obiectivului de CIP (d) și raza obiectivului circular (r0), ambele exprimate în abateri (erori) medii pătratice (), astfel:

în prima coloană a tabelului se intră cu mărimea d/;

în prima linie a tabelului se intră cu mărimea r0/.

Pentru determinarea abaterii (erorii) medii pătratice () se folosesc relațiile între abaterile caracteristice.

Conform relației: h * Ap = 0,477 sau h = 0,477/Ap

dar modulul de precizie

deci:

de unde rezultă: sau .

Considerând împrăștierea circulară, relația devine:

(2.17).

2.2.4. Probabilitatea de lovire a unui obiectiv a cărui suprafață este acoperită de elipsa unitate de împrăștiere

Din studiul fenomenului împrăștierii tragerii și al legii împrăștierii a rezultat că în limitele elipsei unitate de împrăștiere probabilitatea de producere a abaterilor punctelor de cădere poate fi considerată aproximativ uniformă. În această ipoteză, probabilitatea de lovire a unui obiectiv de dimensiuni mici, acoperit în întregime de elipsa unitate de împrăștiere, se poate calcula pe baza proporționalității dintre probabilitate și suprafață. Notând cu “A” aria elipsei unitate de împrăștiere, cu “a” aria obiectivului, cu “P” probabilitatea de lovire a elipsei unitate de împrăștiere și cu “p” probabilitatea de lovire a obiectivului se poate scrie:

, de unde: p=P*a/A (2.18).

Aria elipsei unitate de împrăștiere (A) poate fi echivalată cu aria unui dreptunghi având laturile egale cu 2 și respectiv 2, deci A=2*2=4.

Probabilitatea de producere a abaterilor în limitele elipsei (dreptunghiului) unitate de împrăștiere se obține folosind scara împrăștierii în plan. Suma probabilităților înscrise în primele pătrate grupate în jurul CIP este P=0,25.

Înlocuind aceste valori în relația (2.18) rezultă:

sau (2.19).

Pentru obiective dispuse în plan vertical relația devine:

.

2.2.5. Probabilitatea de lovire a unui obiectiv cu suprastructură

Toate cazurile de calcul al probabilităților de lovire prezentate anterior s-au referit la obiecte plane. Se pot întâlni și obiective care ocupă un volum. Pentru determinarea probabilității de lovire a unor astfel de obiective, în raport cu condițiile concrete de tragere, se pot întâlni două cazuri:

dacă tragerea se execută cu traiectorie întinsă asupra părții frontale a suprastructurii obiectivului (asupra peretelui vertical) probabilității de lovire a obiectivului se determină prin unul din procedeele prezentate, luându-se în considerare dimensiunile obiectivului din planul vertical și abaterea probabilă în înălțime;

dacă tragerea se execută cu traiectorie curbă, în calculul probabilității de lovire este necesar să se introducă suprafața obținută prin proiectarea dimensiunilor obiectivului în planul de tragere după direcția tangentei la traiectorie în punctul de impact (graficul umbrei).

Mărimea acestei suprafețe depinde de înălțimea și lungimea obiectivului; frontul obiectivului rămâne nemodificat.

Cunoscând dimensiunile obiectivului în spațiu (înălțimea h, lungimea l și frontul 2f) și valoarea tangentei la traiectorie în punctul de impact (tg ) se determină valoarea proiecției înălțimii în planul orizontal (d) folosind relația (fig. 2.13).

d=h/(tg ) (2.20)

fig. 2.13 Graficul umbrei

Lungimea totală a obiectivului în planul orizontal (2l) va fi: 2l = L +d sau

(2.21)

în care:

L – lungimea (adâncimea) reală a obiectivului;

H – înălțimea suprastructurii obiectivului;

– unghiul de cădere, corespunzător distanței de tragere.

Determinarea probabilității de lovire a obiectivului cu suprastructură se reduce astfel la determinarea probabilității de lovire a suprafeței din planul orizontal, ale cărei dimensiuni sunt: 2f, 2l; aceasta deoarece toate punctele de cădere cuprinse în limitele acestei suprafețe vor lovi obiectivul.

Există numeroase cazuri când obiectivul se află în glacis sau contrapantă.

Teren în contrapantă

tg (-n) = h/d; rezultă .

Teren în glacis

tg (+n) = h/d; rezultă .

CAPITOLUL 3. APLICAȚII ALE PROBABILITĂȚII DE LOVIRE A OBIECTIVELOR PRIVIND CREȘTEREA EFICACITĂȚII TRAGERILOR CU ARMAMENTUL DE ARTILERIE

EFICACITATEA TRAGERII LA OBIECTIVELE CU SUPRASTRUCTURĂ ATUNCI CÂND SE ALEG PUNCTE DE REGLAJ DIFERITE PE OBIECTIV

Pentru studiul eficacității tragerii la obiectivele cu suprastructură vom analiza cum diferă probabilitatea de lovire a obiectivelor atunci când alegem puncte de reglaj diferite pe obiectiv.

Când tragerea se execută cu traiectorie curbă, probabilitatea de lovire a obiectivului se determină luând în calcule suprafața obținută prin proiectarea dimensiunilor în plan orizontal.

Dimensiunile obținute prin proiectare sunt:

frontul: 2f (care rămâne cel real al obiectivului)

adâncimea: 2l = L+d în care: d = h / tg ω de unde rezultă adâncimea obiectivului luată în calcule: 2l = L + h / tg ω în care:

L: adâncimea (lungimea) reală a obiectivului;

h: înălțimea obiectivului;

ω: unghiul de cădere.

Determinarea probabilității de lovire a obiectivului cu suprastructură constă în determinarea probabilității de lovire a suprafeței rezultată în planul orizontal (2f, 2l), cunoscând că toate punctele de cădere din această suprafață corespund traiectoriilor care vor lovi obiectivul.

Aplicație:

Se trage asupra unei lucrări de apărare cu suprastructură ale cărei dimensiuni sunt: 2f = 20 m, h = 3 m, L = 25 m. tragerea se execută frontal. Calculați probabilitățile de lovire și studiați eficacitatea tragerii în cazurile:

Punctul de reglaj este pe mijlocul muchiei de sus apropiate. Erorile medii de reglaj sunt: Rb = 0,5 , Rd = 1 . Din tabla de tragere se cunosc: = 20 m, = 5 m, ω = 10010’;

Punctul de reglaj este pe mijlocul bazei peretelui frontal. Erorile medii de reglaj sunt: Rb = 0,5 , Rd = 1 . Din tabla de tragere se cunosc: = 20 m, = 5 m, ω = 10010’;

Punctul de reglaj este pe centrul peretelui frontal. Erorile medii de reglaj sunt: Rb = 0,5 , Rd = 1 . Din tabla de tragere se cunosc: = 20 m, = 5 m, ω = 10010’;

REZOLVARE:

a)

Determinăm adâncimea obiectivului ce trebuie luată în calcule, cunoscând că adâncimea reală a obiectivului este L = 25 m, ω = 10010’.

Avem: 2l = L + d, unde d = h / tg ω, rezultă 2l = L + h / tg ω

d = h / tg ω = 3 / tg 10010’ = 3 / 0,17933 = 16,7 m

d = 16,7 m

2l = L + d = 25 + 16,7 = 41,7

2l = 41,7

Recalculăm abaterile probabile după cum urmează:

Vom calcula probabilitatea de lovire a obiectivului folosind tabela factorilor de probabilitate.

Pentru probabilitatea în bătaie folosim formula:

Avem:

Din tabela factorilor de probabilitate, pentru

β = 1,12 rezultă F0(1,12) = 0,549 iar pentru β = 0,75 rezultă F0(0,46) = 0,387

Rezultă P(B) = ½ (0,549 + 0,387) = 0,468

P(B) = 0,468

Pentru calculul probabilității de lovire în direcție avem relația:

Avem:

Pd = 0,658

Din tabelă, pentru β = 1,41 rezultă F0(1,41) = 0,658

În final probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,468 * 0,658 = 0,31

P(0) = 0,31 rezultă că probabilitatea de lovire este aproximativ 31%.

b)

d = h / tg ω = 3 / tg 10010’ = 3 / 0,17933 = 16,7 m

d = 16,7 m

2l = L + d = 25 + 16,7 = 41,7

2l = 41,7

Abaterile probabile recalculate sunt:

Folosind tabela factorilor de probabilitate obținem:

– probabilitatea de lovire în bătaie:

Din tabela factorilor de probabilitate, pentru β = 1,86 rezultă F0(1,86) = 0,792.

Avem: P(B) = ½ 0,792 = 0,396

P(B) = 0,396

– probabilitatea de lovire în direcție:

Avem:

Din tabelă, pentru β = 1,4 rezultă F0(1,41) = 0,658

Probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,396 * 0,658 = 0,260

P(0) = 0,31 rezultă că probabilitatea de lovire este aproximativ 26%.

c)

d = h / tg ω = 3 / 0,17933 = 16,7 m

d = 16,7 m

2l = L + d = 25 + 16,7 = 41,7

2l = 41,7

2f = 10

Abaterile probabile recalculate sunt:

În acest caz CIP se află la d / 2 față de latura apropiată a obiectivului.

Folosind tabela factorilor de probabilitate obținem:

Din tabela factorilor de probabilitate, pentru β = 1,49, prin interpolare obținem F0(1,49) = 0,685 iar pentru β = 0,38 rezultă F0(0,46) = 0,202

Avem P(B) = ½ (0,549 + 0,387) = 0,44

Din tabelă, prin interpolare, pentru β = 1,41 obținem F0(1,41) = 0,654

Conform teoremei înmulțirii a două evenimente independente, probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,44 * 0,654 = 0,289

P(0) = 0,289

Rezultă că probabilitatea de lovire este aproximativ 29%.

În concluzie, analizând probabilitățile de lovire a obiectivului în cele trei cazuri studiate putem spune că, calculând probabilitatea prin proiectarea dimensiunilor obiectivului în plan orizontal, eficacitatea tragerii (când se aleg puncte diferite de reglaj pe obiectiv) diferă de la caz la caz.

Așadar, ținându-se cont că în fiecare caz studiat, elementele de tragere sunt aceleași, în afară de punctul de reglaj, putem spune că:

atunci când punctul de reglaj se află pe mijlocul laturii de sus a obiectivului, CIP se află pe obiectiv la o distanță d (16,7 m) față de latura apropiată. Probabilitatea de lovire a obiectivului este de 31%. CIP se află la o distanță relativ mică (4,2 m) față de centrul obiectivului. Eficacitatea tragerii este mare deoarece elipsa se împrăștiere acoperă o suprafață mare din obiectiv;

când punctul de reglaj se află pe mijlocul bazei peretelui frontal, CIP coincide cu punctul de reglaj. Probabilitatea de lovire a obiectivului este de 26%. În acest caz deoarece elipsa de împrăștiere acoperă doar o parte din obiectiv, putem spune că eficacitatea tragerii este mică;

când punctul de reglaj se află e mijlocul peretelui frontal, CIP se află la d / 2 = 8,4 m față de latura apropiată. Eficacitatea tragerii depinde de distanța la care se află CIP față de centrul obiectivului. (12,5 m). probabilitatea de lovire a obiectivului fiind 29% rezultă că eficiența tragerii este mai scăzută decât în cazul alegerii punctului de reglaj pe mijlocul muchiei de sus a peretelui frontal.

Concluzionând, atunci când se dorește o creștere a eficacității tragerii asupra obiectivelor cu suprastructură, se urmărește ca elipsa de împrăștiere să fie cât mai centrată pe obiectiv. Din cazurile studiate am observat că aceasta se realizează atunci când punctul de reglaj se ia pe mijlocul muchiei de sus a peretelui frontal.

3.2 EFICACITATEA TRAGERII ATUNCI CÂND SE FOLOSESC PENTRU UN OBIECTIV DIFERITE MATERIALE (GURI DE FOC)

Pentru studiul eficacității tragerii când se folosesc pentru un obiectiv diferite materiale vom analiza cum diferă aceasta atunci când se trage cu:

Tunul antitanc de 100 mm;

Tunul de 85 mm, md. 1944;

Obuzierul de 152 mm, md. 1981;

Obuzierul de 122 mm, md. 1938.

Aplicație:

Se trage asupra unui obiectiv cu suprastructură. Dimensiunile obiectivului sunt: 2f = 10 m, L = 42 m, h = 4 m. Se trage de la distanța de 100 m cu proiectil exploziv, încărcătura completă. Reglajul s-a executat asupra centrului peretelui frontal, erorile medii de reglaj sunt: Rb = 0,2, Rd = 0,5 .

Calculați probabilitatea de lovire a obiectivului în următoarele situații:

Se trage cu tunul antitanc calibru 100 mm;

Tunul calibru 152 mm, md. 1944;

Obuzierul de 152 mm, md. 1981;

Obuzierul de 122 mm, md. 1938.

REZOLVARE:

a) Calculul probabilității de lovire când se trage cu tunul antitanc ca. 100 mm.

Din tabla de tragere avem:

Rb=0,2*42 = 8,4

Rd=0,5*4,7 = 2,4

ω = 140

d = h / tg ω = 3 / tg 140 = 3 / 0,24933 = 16,7 m

2l = L + d = 42 + 16 = 58 m

2l = 41,7

Recalculăm abaterile probabile:

Folosind tabela factorilor de probabilitate avem:

Din tabelă, pentru β = 1,17 F0(1,17) = 0,560 iar pentru β = 0,19 F0(0,19) = 0,101

P(B) = ½ (0,560 + 0,101) = 0,33

P(B) = 0,33

Din tabelă, pentru β = 0,94 rezultă F0(0,94) = 0,47

P(d) = 0,47

Probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,33 * 0,47 = 0,155

P(0) = 0,155 (16%).

Deci, când se execută tragerea asupra unui obiectiv cu suprastructură folosind ca material tunul de 100 mm (cu elementele de tragere de mai sus) probabilitatea de lovire este de aproximativ 16%.

b) Calculul probabilității de lovire când se trage cu tunul de cal. 85 mm, md. 1944.

Din tabla de tragere avem:

Rb=0,2*38 = 7,6

Rd=0,5*3,7 = 1,9

ω = 240

d = h / tg ω = 3 / tg 240 = 3 / 0,44523 = 9 m

CIP se află la d / 2 față de latura apropiată (d / 2 = 4,5 m)

2l = L + d = 42 + 9 = 51 m

Recalculăm abaterile probabile:

Folosind tabela factorilor de probabilitate obținem:

P(b) = 0,320

Din tabela factorilor de probabilitate, pentru β = 1,19 prin interpolare avem F0(1,19) = 0,577, iar pentru β = 1,12 F0(1,12) = 0,064.

Din tabelă, pentru β = 1,19 rezultă F0(1,19) = 0,577

P(d) = 0,577

Probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,320 * 0,577 = 0,184 (18%)

c) Calculul probabilității de lovire a obiectivului când se trage cu obuzierul cal. 152 mm, md. 1981.

Din tabla de tragere avem:

Rb=0,2*43 = 8,6

Rd=0,5*3,6 = 1,8

ω = 200

d = h / tg ω = 4 / tg 200 = 4 / 0,36394 = 11 m

CIP se află la d / 2 = 5,5față de latura apropiată.

Adâncimea obiectivului ce trebuie luată în calcule este:

2l = L + d = 42 + 11 = 53 m

Recalculăm abaterile probabile:

Calculăm probabilitatea de lovire a obiectivului folosind tabela factorilor de probabilitate. Avem:

P(b) = 0,301

P(d) = 0,600

Probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,301 * 0,600 = 0,18 (18%)

c) Calculul probabilității de lovire a obiectivului când se trage cu obuzierul cal. 122 mm, md. 1938.

Din tabla de tragere avem:

Rb=0,2*38 = 7,6

Rd=0,5*5,5 = 2,8

ω = 380

d = h / tg ω = 4 / tg 380 = 4 / 0,78129 = 5,1 m

CIP se află la d / 2 = 2,6 m față de latura apropiată a obiectivului.

2l = L + d = 42 + 5,1 = 47,1 m

Recalculăm abaterile probabile:

Folosind tabela factorilor de probabilitate, avem:

– probabilitatea de lovire în bătaie:

Din tabela factorilor de probabilitate, pentru β = 1,15 rezultă F0(1,15) = 0,562 iar pentru β = 0,07 rezultă F0(0,07) = 0,038.

– probabilitatea de lovire în direcție:

Avem:

P(d) = 0,410

Din tabelă, pentru β = 0,8 rezultă F0(0,8) = 0,410

Probabilitatea de lovire a obiectivului este:

P(0) = P(b) * P(d) = 0,300 * 0,410 = 0,123

P(0) = 0,123 (12%).

Așadar, în urma rezultatelor obținute în cele 4 situații:

pentru tunul cal. 100 mm, probabilitatea de lovire a obiectivului este 16%;

pentru tunul cal. 85 mm, probabilitatea de lovire a obiectivului este 18%;

pentru obuzierul cal. 152 mm, probabilitatea de lovire a obiectivului este 18%;

pentru obuzierul cal. 122 mm, probabilitatea de lovire a obiectivului este 12%;

putem trage concluzia că atunci când este necesar ca pentru un obiectiv cu suprastructură să se aleagă o gură de foc cu care să se obțină efectul dorit la obiectiv, și având la dispoziție cele 4 guri de foc din exemplu, cel mai eficient material pentru o astfel de misiune este tunul de 85 mm și obuzierul de 152 mm (la distanța de 1000 m).