. Sistem DE Programe Pentru Prelucrarea Datelor CU Ajutorul Teoriei Fractale

0.Introducere

Lucrarea de faþa este structuratã în opt capitole ºi cuprinde, în general, tot ceea ce este nevoie, pentru a se înþelege substratul teoretic pe care se bazeazã sistemul de programe ModelFract.

Denumirea acestui software este aleasa de mine ca o prescurtare a cuvintelor Fractal Modelation sau Modelare Fractalã, în scopul de a da un nume cat mai usor de retinut ºi cât mai reprezentativ.

Primul capitol cuprinde câteva definiþii ale fractalilor, clasificãri ºi proprietãþi ale acestora ºi la sfârºit sunt descriºi cîþiva algoritmi recursivi. Algoritmii recursivi apar aici deoarece fractalii sunt generaþi în special în mod recursiv.Toate acestea sunt grupate sub numele de “Fractali”.

Cel de-al doilea capitol “Seriile de timp ºi fractalii”, este împãrþit în douã subcapitole.Primul descrie metode de analizã a seriilor de timp cu ajutorul teoriei fractale,iar cel de-al doilea aratã câteva rezultate (interpretate) obþinute chiar cu sistemul de programe.

Capitolul trei intitulat “Utilizarea fractalilor în simularea proceselor economice” este o prelungire a capitolului doi deoarece îl foloseºte în demonstrarea posibilitãþii de a utiliza serii de timp generate dupã un model fractal, în simularea unor peocese economice.

În capitolul patru începe sã se contureze importanþa fractalilor în optimizare ºi în special în alegerea portofoliilor optime de investiþii prin introducerea unui risc autocorelat.

Cel de-al cincilea capitol “Sistemul de programe “ se ocupã în special cu instrumentele de creare a programului, algoritmi utilizaþi ºi structura pe obiecte a acestuia.

“Manualul operatorului “ este capitolul în care se descrie modul de utilizare al software-ului, cum aratã, ce face ºi cum putem sã realizãm ceva cu acesta. De asemenea se vor lua în cosiderare eficienþa ºi oportunitatea unui astfel de soft.

Ultimul capitol, evident concluziile încearcã sã facã un rezumat al importanþei fractalilor în economie ºi în special al importanþei utilizãrii software-ului ModelFract .

De asemenea încearcã sã contureze scopul acestei lucrari ºi mijloacele utilizate pentru a o realiza.

Lucrarea are de asemenea referinþe, anexe (în care am introdus listingul programelor) ºi un index pentru a se uºura înþelegearea mai rapidã a acestei lucrãri.

Dupã cum se observã din acest rezumat, pe parcursul a câteva zeci de pagini voi face legãtura între fractali ºi domeniul economic. Mai exact între fractali ºi procese economice considerate pâna nu demult ca fiind aleatoare (urmãrind o lege de distribuþie Gauss).Scopul acestei legãturi este de a clarifica o nouã viziune asupra conceptelor de ordonat, haotic, aleator. Aceºti trei termeni stau la baza tuturor teoriilor fractale, influenþând concluziile analizelor bazate pe aceste teorii.

Teoria fractalã este universalã. Aceastã afirmaþie poate fi motivatã de faptul cã ea cuprinde definiþii ºi proprietãþi care s-au adeverit a fi la baza existenþei însãºi. Suportul pe care mã bazez, în lansarea unei astfel de afirmaþii, este faptul cã existã deja rezultate ale studiilor cu ajutorul teoriei fractale în foarte multe domenii :biologie, chimie, fizicã, geologie, geodezie etc.

Cel mai clarificator exemplu este posibilitatea de a genera pe ecranul calculatorului forme din naturã,cu ajutorul teoriei fractale.

Sã ne imaginãm o întreprindere, iar în ea un anumit birou cu mai multe posturi. La fiecare post câte un funcþionar, care trebuie sã lucreze trei dosare pe zi. Cum decurg lucrurile într-un astfel de sistem,binenþeles cã anumiþi funcþionari nu se vor apuca de lucru imediat,iar dosarele se vor strânge pe birou.Cei care au mai multe de lucrat, vor încerca sã le plaseze în dreapta sau în stânga, pentru a-ºi elibera birourile ºi pentru a face faþa noilor dosare care vin. Cei care primesc de la colegi evident cã se vor încãrca ºi ei,deci vor încerca la rândul lor sã scape de încãrcãturã.

Apare astfel o avalanºa de dosare, iar la prima vdere sistemul pare cã s-a dereglat total ºi cã s-a instalat haosul (mai ales cã apar dosare care ies pe fereastrã).

Dacã ne uitãm însã la ceea ce iese din sistem, vom observa cã intervalele de timp la care se succed dosarele, cresc în timp dupã o lege de putere.Aceasta înseamnã cã de fapt cã sistemul se aflã într-o stare de reorganizare.

Concluzia : Haosul nu înseamnã altceva decât o stare de reorganizare a unui sistem.

Sistemul exemplu dat mai sus, are multe caraceristici ale sistemelor reale ºi putem distinge la el trei sadii :

1.Acumularea

2.Saturaþia

3.Reorganizarea sau haosul

Aceste trei sadii se repetã în timp ºi ele formeazã de fapt un nivel de echilibru al sistemului.

În momentul de faþã teoria economicã se confruntã cu imposibilitatea de a analiza stabilitatea unor sisteme economice complexe, sau de a determina punctele de echilibru ale acestor sisteme (pentru o perioadã mai lungã de timp).

Starea iniþialã a unui sistem poate influenþa puternic evolutia acestuia. Uneori perturbaþii nesemnificative ale condiþiilor iniþiale conduc la traiectorii total diferite ale acluiaºi sistem.În sistemul economic aceste mici perturbaþii pot determina producerea unor catastrofe la nivel macroeconomic.În teorie e demonstrat faptul cã distanþa dintre doua traiectorii, a cãror condiþii iniþiale diferã foarte puþin ,creºte dupã o lege de putere. Pe o perioadã scurtã de timp aceste perturbaþii nu influenþeazã, dar pe perioade mai lungi de timp unele decizii ,aparent inofensive, pot duce la haos. Analiza prin metoda fractalã evidenþiazã organizrea sistemului.

De exemplu: luând în considerare o serie statisticã (ale cãror înregistrãri reprezintã înãlþimea unor pomi ), prin metode fractale pot fi luate în considerare ºi ordinea în care au fost mãsuraþi aceºtia, sau perioada cu care se succed pomi de aceeaºi înalþime la analiza seriei.

Scopul acestor programe este acela de instrument de analiza a datelor, el poate fi folosit de orice persoanã indiferent de pregãtirea sa, în analiza seriilor de timp.

Sistemul de programe este structurat în douã parþi principale, o parte de analizã ºi o altã parte de simulare.

Lucrarea descrie atât partea teoreticã a acestui instrument cât ºi modul de realizare ºi de utilizare .

Lucrarea de faþã reprezintã o dezvoltare a articolului “Fractalii ºi seriile de timp” publicat în numarul 52 ianuarie 1997 al revistei PCReport.Trebuie menþionat de asemenea faptul cã ea a fost comunicatã la “Sesiunea de comunicãri ºtiinþifice” desfãºuratã în A.S.E anul acesta.

1.Fractali

1.1 Definitii

Numele de fractal, sau de mulþime fractalã a fost ales de Mandelbrot într-o lucrare, pentru a face referire la obiecte care erau atât de neregulate încât nu puteu fi descrise cu geometria tradiþionalã. Cuvântul fractal provine din latinescul fractus ceea ce înseamnã întrerupt sau spart.

Fractalul este totuºi o formã geometricã, cu toate cã nu poate fi descris cu ajutorul geometriei tradiþionale. Iar aceastei forme geometrice i se pot asocia anumite proprietãþi, dacã este privitã ca mulþime.

Dacã notãm cu F o mulþime fractalã atunci aceastã mulþime are urmãtoarele proprietãþi [13]:

F are o structurã foarte finã,ceea ce înseamnã cã existã detalii la o scarã oricât de micã.

F este atât de neregulatã,încât nu poate fi descrisã în limbaj geometric tradiþional,la nivel local sau global.

Deseori F are o formã de autosimilaritate definitã în sens geometric,sau o autosimilaritate definitã în sens sattistic (aproximativã).

Uzual dimensiunea fractalului definitã într-un anumit fel, este mai mare decât dimensiunea topologicã.

În cele mai multe cazuri,F este definitã într-un mod foarte simplu poate recursiv.

Definiþia fractalului datã de cãtre Mandelbrot (1989) se bazeazã pe descrierea acestor proprietãþi [11] :

“Un fractal este acea figurã geometricã sau obiect natural care combinã urmã toarele caracteristici:

A.Pãrþile sale componente au aceeaºi formã sau structurã cu întregul,þinând cont de faptul cã ele sunt la o scarã diferitã ºi pot fi uºor deformate.

B.Forma sa trebuie sã fie extrem de neregulatã, întreruptã sau fragmentatã.

C.El; conþine elemente distincte,care scalate sunt foarte variate ºi formeazã o gama foarte largã.

Mandelbrot nu face distincþie între fractal ºi obiect fractal.Defineºte obiectul fractal ca fiind un termen ce înlocuieºte denumirea de de fractal, deoarece precizeazã cã este vorba de un obiect natural. Obiectul natural este rezonabil ºi util de reprezentat matematic printr-un fractal.

De asemenea a definit ansamblul fractal ca fiind un termrn ce înlocuieºte denumirea de fractal deoarece precizeazã cã este vorba despre un model informatic sau matematic al unui fractal.

1.2 Clasificãri

Dacã se ia în considerare modul de generare al fractalilor putem avea douã categorii :

Fractali naturali (obiecte fractale)- îi gãsim în naturã sau sunt creaþi în urma unor procese naturale.Se pot da exemple prin munþi, þãrmuri de continente, sistemul nervos, arborii, sistemul de ramificaþii al bronhiilor, etc.

Fractali artificiali (ansambluri de fractali)- reprezintã modele informatice sau matematice ale fractalilor naturali.

Dupã transformarea care stã la baza generãrii unui fractal avem:

Fractali liniari -Sunt fractalii care sunt generaþi cu ajutorul unor transformãri geometrice liniare, aplicate asupra unor puncte, suprafeþe sau corpuri.

Exemplu:Curbele Von Kock, care în principiu se genereazã astfel:

Pas 1 – se pleacã de la un triunghi echilateral cu latura având o lungime finitã.

Pas 2 – fiecare laturã se împarte în trei pãrþi egale.

Pas 3 – segmentul din mijloc se eliminã pentru fiecare laturã ºi se înlocuieºte cu un unghi al cãror laturi sunt egale cu segmentul eliminat.

Pas 4 – Pentru fiecare segment al figurii obþinute se repetã de la pasul 2.

Dupã repetarea procesului se obþine o linie poligonalã închisã cu latura din ce în ce mai micã ca în figura 1.

Iteraþia 1 Iteraþia 2

fig.1

Fractalii liniari pot fi artificiali sau naturali. Exemple de fractali liniari naturali sunt sistemul de ramificaþii a;l bronhiilor ºi arborii.Exemplul anterior, curba Von Kock este un exemplu de fractal liniar artificial.

Fractali neliniari – se obþin cu ajutorul transformãrilor geometrice neliniare.ªi aceºtia pot fi la rândul lor artificiali sau naturali.

Exemple de fractali neliniari naturali :munþii, sistemul nervos, norii etc.

Exemple de fractali neliniari artificiali: Mulþimea Mandelbrot ºi Mulþimea Julia.

În funcþie de transformarea care stã la baza generãrii fractalilor neliniari artrificiali avem:

Fractali auto-patratici- sunt obþinuþi cu ajutorul generatorului patratic z2+c, unde z ºi c sunt din mulþimea numerelor complexe.

De exemplu Mulþimea Mandelbrot este generatã astfel:

Dacã se considerã planul complex de laturi lx,ly cu colþul stânga jos x0, y0.

Un punct curent din acest domeniu va fi notat cu z0 , iar fiecãrui punct z i se aplixcã urmãtoarea transformare:

T:DD

T(z)=z2+z (1.1)

z{z0 ,z02 +z0, (z02 +z0)2 +z02 +z0 ,…}

Pe parcursul acestor iteraþii se testeazã modulul lui z

M(z)=Im(z)2 +Re(z) 2 (1.2)

unde:

Im(z) reprezintã partea imaginarã a lui z

Re(z) reprezintã partea realã a lui z

Dacã dupã un numãr de iteraþii n, M4 atunci z va apar’ine mul’imii Mandelbrot.

Algoritmul de obþinere a unei imagini pe ecranul calculatorului, care sã reprezinte mulþimea Mandelbrot,este urmãtorul:

Citeºte : x0,y0 colþul stânga jos al zonei în care va fi inclusã mulþimea

lat intervalul din domeniul complex care este explorat

lecran latura pãtratului în care este inclusã imaginea obþinutã

n numãrul de iteraþii

pas lat/lecran

a x0

pentru i=1 la lecran cu pasul 1 executã

aa+pas

by0

pentru j=1 la lecran cu pasul 1 executã

bb+pas

x0

y0

k0

repetã

xxx•x-y•y+a

y 2•x•y+b

x xx

Mx•x+y•y

kk+1

pânã când: M4 sau kn

dacã M4 atunci aprinde(i,j)

sfârºit

Cu acesti aprinde(i,j)

sfârºit

Cu acest algoritm se obþine o imagine alb negru ca în figura 2

fig.2

Fractali de auto-inversiune se obþin prin aplicarea unor transformãri geometrice neliniare inverse asupra unor puncte suprafeþe sau corpuri.

Dupã modelul de generare pot fi:

Fractali aleatori sunt generaþi aleator folosind procese stochastice

Fractali determiniºti sunt obþinuþi cu ajutorul unor modele recursive , în general simple,pentru a fi utili în studierea fractalilor aleatori.

1.3 Algoritmi recursivi

O funcþie este recursivã dacã se poate auto-apela [ ].ªirul {ui }i=1,2,..n se numeºe secvenþã recursivã dacã pentru calculul tuturor numerelor:

un+k=a1 un+k-1+ a2 un+k-2+…+ ak uk nm1 (1.3)

unde:

k iar u1, u2,.., uk sunt reale sau complexe.

Relaþia (1.3) se numeºte relaþie recursivã de ordin k.

O relaþie recursivã se caracterizeazã printr-un termen general care se determinã printr-o relaþie recrsivã ºi valoarea de start.

Tipuri de funcþii recursive [21]:

Dupã modul în care descriu procesul de calcul al valorilor funcþiilor pe care le definesc:

recursia liniarã definitã prin:

f(x)= if c(x) then g(x)

else (f(h(x)),i(x))

Exemplu funcþia factorial:

fact:NN

fact(x)= 1 dacã n=0

n•fact(n-1) dacã n 0

recursia neliniarã în cascadã :

f(x)= if c(x) then g(x)

else (f(h(x)),f(i(x)))

Exemplu funcþia Fibonacci :

fib:NN

fib(n)= 1 dacã n=0 sau n=1

fib(n-1)+fib(n-2) dacã n1

recursia neliniarã de tip împachetat:

f(x)= if c(x) then g(x)

else f(..f(..f(..)..)..)

Exemplu funcþia Manna-Pnueli :

f:NN

f(x)= x-1 dacã x10

f(f(x+2)) în rest

O formã mai generalã a recursiei se bazeazã pe enumþul de tip case:

f(x)= if c(x) then g(x)

else case

p1(x):e1

p2(x):e2

………….

pn(x):en

endcase

endif

unde ei sunt expresii de forma f(..f(..)..).

Un algoritm de acest tip este dat de funcþia Ackerman:

f:NN

f(m,n)= n+1 dacã m=0

f(m-1,1) dacã n=0

f(m-1,f(m,n-1)) în rest

Toate funcþiile recursive trebuie sã îndeplineascã o condiþie de consistenþã ºi anume: valoarea funcþiei sã fie direct calculabilã, sau calculabilã cu ajutorul unor valori direct determinabile.

Aceste recurenþe uneori pot fi rezolvate uºor prin metode iterative,executându-se primii paºi intuindu-se forma generalã ºi apoi demostrându-se prin inducþie matematicã corectitudinea formei.

1.4 Caracteristici si proprietãþi

1.4.1 Fragmentarea la infinit

Reprezintã proprietateafractalului de a regãsi detalii la o scalã oricât de micã ºi se traduce printr-o structurã foarte finã.

Dacã vrem sã calculãm lungimea unui þãrm ºi folosim o riglã ca instrument de mãsurã reprezentând un km .Cu acest instrument prin mãsurare vom neglija o serie de detalii,iar mãsurarea va fi aproximativã obþinând o lungime L1 a þãrmului. Mai departe dacã alegem o unitate de mãsurã mai micã, de exemplu 1/2Km,avem posibilitatea sã luãm în considerare noi detalii ceea ce înseamnã cã rezultatul mãsurãrii va fi L2L1.Dacã se continuuã, când lungimea riglei va tinde cãtre 0 lungimea þãrmului mãsurat va tinde la infinit.

Putem trage concluzia cã þãrmul are o lungime infinitã ºi ocupã o suprafaþã finitã.Se poate spune deci cã proprietatea de fragmentare la infinit dã fractalului caracteristica specificã de a avea o lungime infinitã ºi sã ocupe un spaþiu finit,sau sã aibã un spaþiu infinit într-un volum finit.

1.4.2 Auto-similaritatea

Este proprietatea fractalului de a avea orice detaliu al sãu asemãnãtor cu întregul la orice scalã.

Deseori fractalii sunt auto-similari la diferite grade.Pot fi auto-similari de nivel geometric (definirea similaritãþii se face geometric), auto-similari de grad aproximativ (definirea similaritãþii se face statistic)

1.4.3 Invarianþa la translaþii

Proprietatea unui obiect fractal de a regãsii un detaliu al sãu prin suprapunerea acestuia peste o altã zonã,dupã ce a fost translatat dupã o anumitã direcþie. La fel ca auto-similaritatea nu este o proprietate universalã pentru fractali.

1.4.4 Dimensiune fractalã (dimensiune fracþionarã sau dimensiune de auto-similaritate)

Mandelbrot a definit dimensiunea fractalã astfel[ ]:

“Dimensiunea fractalã este un numãr care cuantificã gradul de iregularitate ºi de fragmentare a unui ansamblu fractal sau a unui obiect natural ºi care se reduce în cazul ociectelor geometrice Euclidiene la dimensiune lor topologicã .“

Dimensiunea fractalã este datã în general printr-un numãr real ºi cuantificã gradul de fragmentare ºi gradul de auto-similaritate,deci asociazã o valoare structurii obiectului.

Dacã douã curbe fractale au lungime infinitã ºi dimensiune topologicã 1,atunci este normal ca o comparare a lor sã se facã prin intermediul unei altfel de mãsuri, de exemplu dimensiunea fractalã.

1.4.4 Mãsura Hausdorff ºi dimensiunea Hausdorff (consideraþii matematice)[13]

Dimensiunea Hausdorff este o altã dimensiune fracþionarã care mãsoarã gradul de fragmentare al unui obiect fractal.

Dacã notãm cu U orice submulþime nevidã din Rn cu proprietatea |U|=sup{x-y|x,y U} {Ui} este o mulþime finitã de mulþimi cu diametrul mai mic decât d care acoperã pe F adicã

F {Ui} este o acoperire d a lui F.

Dacã F Rn ºi s0 pentru d0 notãm:

Hds(F)=inf {:{Ui} este o acoperire d a lui F} (1.4)

Dacã ne uitãm la toate acoperirile lui F de mulþimi de diametru mai mic decât d ºi cãutând sã minimizãm suma, cu cât d scade clasa acoperirilor permisibile se reduce rezultã:

Hs(F)=(Hds(F)) (1.5)

Aceastã limitã exsistã pentru orice subset F Rn

Definim Hs(F) ca fiind o mãsurã s dimensionalã Hausdorff a lui F ºi are urmãtoarele proprietãþi:

Hs()=0

(ii) dacã EF atunci Hs(E) Hs(F)

dacã {Fi} este o colecþie numãrabilã de mulþimi Borel disjuncte atunci:

Hs(F)= Hs(Fi)

dacã F este o mulþime Borel din Rn atunci :

Hn(F)=cnvoln(F)

unde cn este volumul unei sfere n dimensionale de diametru similar pentru dimensiuni mai mici din Rn

Exemplu:

H2(F)=4/•aria(F) pentru cazul în care F este o suprafaþã netedã.

la mãrirea cu un factor , lungimea unei curbe este multiplicatã cu ,aria unei suprafeþe cu 2 ,volumul unui corp multiplicat cu 3, aºa cum

Hs(F)= s Hs(F) unde F={x:xF} este mulþimea F scalatã cu un factor

Aceastã proprietate se numeºte proprietatea de scalare ºi este fundamentalã teoriei fractale.

Demonstraþie:

Dacã {Ui} este o acoperire d a lui F atunci {Ui} este o d acoperire a lui F unde :

Hsd(F) |Ui|s=ss Hsd(F)

deoarece aceasta se menþine pentru orice acoperire d a lui F luând d tinzând cãtre 0 rezultã

Hs(F) s Hs(F) luând =1/ ºi F=F rezultã : Hs(F) 1/s Hs(F)

s Hs(F) Hs(F) de unde rezultã ceea ce trebuia demonstrat.

Propoziþia 1.1

Fie F Rn ºi f:F Rm o mapare a.î

|f(x)-f(y)|c|x-y| (1.6)

x,yF pentru constante c ºi pozitive, atunci pentru oricare s avem :

Hs/(f(F)) cs/ Hs(F) (1.7)

Demonstraþie :

Dacã {Ui} este o acoperire d a lui F,atunci deoarece |f(FUi)|c|Ui| rezultã {f(FUi)} este o acoperire a lui f(F) unde =cd cum |f(FUi)|s/cs/ |Ui|s

Hs/(f(F)) cs/ Hsd(F) dacã d0 0 (1.7)

Dimensiunea Hausdorff

Se observã în (1.4) cã pentru orice F dat ºi d1 cã Hsd(F) nu creºte cu s ºi prin (1.5) cã de asemenea Hs(F) nu creºte.De fapt dacã ts ºi {Ui} este o acoperire d a lui F avem:

|Ui|t dt-s|Ui|s (1.8)

Htd(F) dt-s Hsd(F) (1.9)

luând d0 vedem cã dacã Hs(F) atunci Ht(F)=0 cu ts, aceasta înseamnã cã existã o valoare criticã a lui s pentru care valoarea lui Hs(F) sare de la la 0 (vezi figura 4) .

Hs(F)

0 s dimHF

fig.4

Aceastã valoare criticã se numeºte dimensiune Hausdorff ºi o notãm cu dimHF

dimHF=inf {s: Hs(F)=0} =sup {s: Hs(F)=} (1.9)

de unde Hs(F)= dacã sdimHF

0 dacã sdimHF

Dacã s= dimHF Hs(F) poate fi 0 sau infinit sau poate sã ia o valoare între acestea douã.

Proprietãþi:

(i)pentru mulþimi deschise

FRn este o mulþime deschisã rezultã dimHF=n

(ii)pentru mulþimi netede

F este netedã(continuã ºi diferenþiabilã) de tip m dimensional în Rn atunci dimHF=m

(iii)monotonicitate

EF atunci dimHE dimHF Hs(E) Hs(F) pentru orice s

(iv)Stabilitate numãrabilã

F1,F2,..,Fi,… este un ºir numãrabil de mulþimi atunci:

Fi= de asemenea dimHFidimHFJ pentru orice j (din proprietatea de monotonicitate.Pe de altã parte dacã sdimHFi pentru toþi I rezultã Hs(Fi)=0 Hs(Fi)=0 dând inegalitate inversã

(v)pentru mulþimi numãrabile

Dacã F este numãrabilã rezultã dimHF=0.Pentru situaþia Fi arer un singur punct H0(Fi)=1 ºi dimHFi=0 deci prin stabilitate numãrabilã avem dimHFi=0

Propoziþia 1.2

proprietatea de transformare a dimensiunii Hausdorff

Fie FRn ºi luãm f:F Rn cu |f(x)-f(y)|c|x-y| atunci dimHf(F)1/dimHF

demonstraþie:

sdimHF, din propoziþia 1.1 rezultã Hs/(f(F)) cs/ Hs(F)=0 dimHf(F)s/ pentru toþi sdimHF.

Definiþie 1.1

fie FRn f:FRm este o transformare bi-Lipschitz dacã:

c1|x-y||f(x)-f(y)|c2|x-y| unde 0c1c2 (1.10)

Propoziþia 1.3

dacã f:FRm o transformare Lipschitz atunci dimHf(F)dimHF

dacã f:FRm este o transformare bi-Lipschitz dimHf(F) dimHF

demonstraþie:

reiese din propoziþia 1.2 luând =1 ºi f-1:f(F)F rezultã ºi cealaltã inegalitate adicã dimensiunea Hausdorff este invariantã la transformarea bi-Lipschitz.Dacã douã mulþimi au dimensiuni diferite nu pot exista mapãri bi-Lipschitz de la una la alta.

În topologie 2 mulþimi sunt considerate la fel dacã existã un homeomorfism între ele.O abordare în geometria fractalã a douã mulþimi la fel dacã existã o mapare bi-Lipschitz între ele. Aºa cum invarianþa topologicã este folositã pentru a distinge între mulþimi nehomeomorfice, putem cãuta parametrii (chiar dimensiunea) pentru a distinge între mulþimi care nu sunt echivalente bi-Lipschitz.

Deoarece transformarea bi-Lipschiz este neapãrat continuã (1.10), parametrii topologici indicã un start în aceastã direcþie ºi dimHF (ºi alte definiþii ale dimensiunii) aratã caracteristicile distinctive între fractali.

În general dimensiunea unei mulþimi ne spune foarte puþin despre proprietãþile sale topologice.Orice mulþime de dimensiune mai micã decât 1 este atât de spartã încât poate fi disconectã total,adicã nici unul dintre douã puncte nu sunt aceeaºi componentã conectã.

Propoziþia 1.4

FRn cu dimHF1 este total disconectã

Fie x,yF xy f:Rn:[0,) cu f(z)=|z-x| deoarece f nu creºte distanþa |f(z)-f(w)||z-w| rezultã din propoziþia 1.3 (a) dimHf(F)dimHF1 ºi f(F)R, H1=0(lungime 0)are un complement dens.

Alegând rF cu 0rf(y)

F={zF:|z-x|r}{zF:|z-y|r}

F este conþinutã în douã componente disjuncte cu x într-un set ºi y într-altulx ºi y sunt în diferite componente conecte ale lui F.

Calcularea dimensiunii Hausdorff

Dacã ts ºi {Ui} este o acoperire a lui F avem:

Uitdt-s|Ui|s

sau Hsd(F)dt-s Hsd(F) luînd d0 dacã Hs(F) Ht(F)=0 pt ts, adicã existã un punct critic s de la care Hs(F) sare de la la 0.

Exemple de calcul ale dimensiunii Hausdorff:

Fie F mulþimea Cantor nisip (La fiecare pas al construcþiei pãtratele sunt împãrþite în 16 pãtrate cu o pãtrime ca lungime în care acelaºi model de 4 pãtrate este reþinut ca în figura 5.

Fig.5

rezultã 1 H1(F)2

Calcularea:

luând acoperirea lui F ca fiind 4k pãtrate de mãrime 4-k ºi de diametru d=4-k2 în etapa k estimãm:

H1d(F)4k4-k2 pentru k ºi d0 dã H1(F)2.

Pentru o estimare mai bunã :

Fie p o proiecþie ortogonalã pe axa x.Proiecþia ortogonalã nu creºte distanþa |p(x)-p(y)||x-y| dacã x,yR2 p este o mapare Lipschitz.Prin proprietatea construcþiei mulþimii F proiecþia sau umbra sa pe axa x este intervalul [0,1].Folosind (1.8), (1.9) rezultã 1=lungime([0,1]) = H1([0,1])= H1(p(F)) H1(F)

Notãm cã acelaºi argument ºi rezultat se menþine pentru o mulþime obþinutã prin divizare repetatã a pãtratelor în m2 pãtrate de lungime 1/m din care este obþinut câte un singur pãtrat din fiecare coloanã.

Acest mod de a folosii proiecþii ortogonale pentru a obþine un minim al estimãrii mãrimii Hausdorff ,se poate aplica doar în cazuri speciale ºi nu este baza unei metode generale.

Fie F mulþimea de tipul Cantor generatã ca în figura 6

0 1 iteraþia 0

0 1/3 2/3 1 iteraþia 1 0 1 iteraþia 2

figura 6

dacã s=log2/log3=0.6309 dimHF=s ºi 1/2 Hs(F)1

Calcul euristic:

F se împarte în Fdr=F[0,1/3] ºi Fst=F[2/3,1] ambele p[r’I sunt similare din punct de vedere geometric cu F dar scalate cu 1/3 ºi F=FdrFst cu aceaºi uniune disjunctã, atunci pentru orice s:

Hs(F)= Hs(Fdr)+ Hs(Fst)=(1/3)s Hs(F)+ (1/3)s Hs(F) (1.11)

din proprietate de scalare a mãsurii Hausdorff.

Presupunând cã la valoarea criticã s=dimHF avem 0 Hs(F) , împãrþind cu Hs(F) obþinem 1=2(1/3)s sau s=log2/log3.

Calcul riguros:

Avem 3k (k=1,2,..) intervale de aceeaºi lungime, în construcþia mulþimii de bazã F.

Dacã luãm acoperirea {Ui} a lui F constituitã din 2k intervale Ek de lungime 3-k rezultã:

luând k Hs(F)1 iar pentru a arãta cã Hs(F)1/2 trebuie sã arãtãm cã

|Ui|s1/2=3-s (1.12)

pentru orice acoperire {Ui} a lui F.Desigur este destul sã presupunem cã Ui sunt intervale, extinzând ºi folosin faptul cã F este compactã avem nevoie sã verificãm doar formula (1.12).

Dacã { Ui} este o colecþie finitã de subintervale închise din [0,1] astfel încât:

3-(k+1) |Ui|3-k (1.13)

pentru fiecare Ui ºi k întreg.

Atunci Ui poate intersecta cel mult un interval de bazã a lui Ek în timp ce separarea acestor intervale de bazã este cel puþin 3-k. Dacã jk atunci prin construcþie Ui intersecteazã cel mult 2j-k=2j3-jk2j3s| Ui|s intervale de bazã ale lui Ej folosind (1.13)

Dacã alegem jdestul de mare a.î 3-(j+1) |Ui| pentru toþi Ui atunci din moment ce {Ui} intersecteazã toate Ej de bazã de lungime 3-j numãrând intervalele ne dã 2jj2j3s|Ui|s care se reduce la (1.12).

În general dacã F= unde Fi este similarã cu F dar scalatã cu un factor ci dimHF=s a.î

Definiþie echivalentã a dimensiunii Hausdorff:

Putem alege acoperiri ca fiind sfere în Rn luând

B sd(F)=inf{|Bi|s:{Bi} este o acoperire d a lui F cu sfere} (1.14)

B s(F)= B sd(F) ºi dimensiunea la care B s(F) sare de la la 0.Se vede clar cã

Hsd(F)B sd(F) din moment ce orice acoperire a lui F cu sfere este o acoperire permisã în definiþia mãsurii Hausdorff .De asemenea {Ui} este o acoperire d a lui F atunci ºi {Bi} este o acoperire d a lui F, unde pentru fiecare i, Bi este aleasã ca fiind o sferã micã ce conþine Uiºi de razã |Ui|d

|Bi|s(2Ui)s=2s|Ui|s ºi luând minimul B s2d(F)2s Hsd(F) ºi d0

Hs(F) B s(F) 2s Hs(F)

Este uºor de verificat cã avem aceleaºi valori pentru dimensiunea Hausdorff dacã în (1.1) folosim acoperirea d de doar mulþimi deschise sau mulþimi închise.

Mai departe dacã F este compactã, extinzând acoperirea de mulþimi la mulþimi deschise ºi luând o subacoperire finitã, obþinem aceeaºi valoare a lui Hs(F) cu cazul în care considerãm acoperirea d prin colecþii finite ale mulþimilor .

Masura Net

Simplificând luãm pe F ca fiind o submulþime a intervalului [0,1) de forma [r2-k,(r+1)2-k) unde k=1,2,.. ºi r=1,2,..,2k-1 definim

Nsd(F)=inf{|Ui|s:{Ui} este o acoperire a lui F cu intervale binare} (1.14)

Rezultã masura Net:

Ns(F)= Nsd(F)

Din moment ce orice interval U[0,1) este conþinut în douã intervale binare consecutive,fiecare de lungime aproape 2|U|, observãm în acelaºi fel ca la Bs(F) cã:

Hs(F) N s(F) 2s Hs(F)

valoarea lui s la care N s(F) sare de la la 0 egaleazã dimensiunea Hausdorff.Din anumite puncte de vedere mãsura Net este mai convenabilã decât mãsura Hausdorff.Deoarece douã intervale binare sunt ori disjuncte ori unul dintre ele este conþinut de celãlalt permit oricãrei acoperiri a intervalelor binare sã fie redusã la o acoperire de intervale disjuncte.

O altã definiþie a dimensiunii:

Pentru a avea o definiþie mai exactã a dimensiunii atunci:

Fie h:R+ R+ o funcþie crescãtoare ºi continuã, o “funcþie dimensiune” definim:

Hhd(F)=inf{h(|Ui|):{Ui} este o acoperire d a lui F} (1.15)

Pentru FRn rezultã o mãsurã : Hh(F)= Nhd(F).

Dacã h(t)=ts rezultã definiþia uzualã a mãrimii s dimensionale Hausdorff.

Dacã h ºi g sun douã funcþii dimensiune ºi h(t)/g(t) tinde la 0 atunci când t tinde la 0pentru un argument similar cu |Ui|tdt-s|Ui|s Hh(F)=0 ori de câte ori Hg(F).

Împãrþind funcþiile de dimensiuni în funcþii pentru care Hh este finitã ºi funcþii pentru care Hh este infinitã, aceastã definiþie va da mai mullte informaþii precise decât numãrul dimHF. Un exemplu important Miºcarea Brownianã în R2,se poate arãta (cu probabilitatea 1) cã o cale Brownianã are dimensiunea Hausdorff 2, dar cu mãsura Hausdorff 0.Mai multe calcule aratã cã o astfel de cale are mãsura pozitivã ºi finitã Hh unde h(t)=t2log log(1/t).

Deºi drumurile Browniene au dimensiunea 2, dimensiunea este în sens logaritmic mai micã decât 2.

Definiþii alternative ale dimensiunii

Nu toate definiþiile sunt în general aplicabile, câteva descriu doar clase particulare de mulþimi (exemplu Curbele).Conceptul fundamental pentru toate definiþiile de dimensiuni este conceptul de “masurã la scalã d”.Pentru orice d, mãsurãm o mulþime într-un fel în care se ignorã iregularitãþi ale mãrimilor mai mici ca d ºi vedem cum se comportã aceastã mãsurã când d tinde la 0.

De exemplu dacã F este o curbã planã, atunci rezultatul mãsurii Md(F) poate fi numãrul de paºiceruþi de o împãrþire a mulþimii în pãrþi d pentru a traversa F.O dimensiune a lui F este determinatã de o lege de putere dacã

Md(F)cd-s (1.16)

când d tinde la 0.Logaritmând rezultã:

log Md(F)log c – s log d (1.17)

s= (1.18)

Aceastã metodã este folositã pentru scopuri experimentale ºi de calcul, deoarece s poate fi estimat ca fiind panta dreptei de regresie log-log între Md(F) ºi d.

Pentru fenomene reale nu putem lucra decât cu intervale finite deoarece d din teorie ºi cel din experiment diverg înainte de a atinge o scalã atomicã.Poate nu este o lege de putere exactã pentru Md(F),pentru o valoare a lui s datã de (1.16).Pentru a se comporta ca o dimensiune, metoda de mãsurare are nevoie de a fi scalatã F. Dublând pe F ºi în acelaºi timp dublând scala la care se face mãsurãtoarea nu se afecteazã rezultatul, aceasta înseamnã Md(dF)= M1(F) pentru orice d.

Dacã modificãm exemplul ºi redefinim Md(F) ca fiind omogenã de grad 1 atunci Md(dF)=d M1(F) pentru d0 ºi aceasta trebuie luatã în calcul când se defineºte dimensiunea.

În general dacã Md(F) este omogenã de grad x aceasta înseamnã Md(dF)=dx M1(F), atunci avem o lege de putere de forma Md(F)cdx-s corespunzând unei dimensiuni s.

Nu existã reguli bune ºi rapide pentru a decide dacã o cantitate poate fi rezonabil privitã ca o dimensiune.Teoria dimensiunii conþine multe definiþii care nu se potrivesc exact cu cea de aici chiar dacã sunt implicate scenariile.Factorii care determinã acceptabilitatea definiþiei unei dimensiuni sunt recunoscuþi în general prin experienþã ºi intuiþie.

În general se cautã un tip de comportament la scalare, o individualitate a definiþiei într-un context particular ºi proprietãþi tipice ale dimensiunilor ca cele discutate mai sus.

Aparent definiþii similare ale dimensiunii, pot avea în mare mãsurã proprietãþi diferite.Nu înseamnã însã cã definiþii diferite dau aceeaºi valoare a dimensiunii, chiar ºi pentru mulþimi simple.Este necesar derivarea proprietãþilor oricãrei dimensiuni din definiþia sa.Proprietãþile dimensiunii Hausdorff nu se menþin neapãrat pentru alte definiþii.

Proprietãþile derivate ale dimensiunii Hausdorff sunt destul de tipice:

Monotonicitate : Dacã EF atunci dimHEdimHF

Stabilitate : dimH(EF)=max(dimHE, dimHF)

Stabilitate numãrabilã : Fi=

(iv) Pentru mulþimi deschise : FRn este o mulþime deschisã rezultã dimHF=n

(v) Pentru mulþimi netede : F este netedã(continuã ºi diferenþiabilã) de tip m dimensional în Rn atunci dimHF=m

(vi) Pentru mulþimi deschise: FRn este o mulþime deschisã rezultã dimHF=n

(vii) Pentru mulþimi numãrabile: Dacã F este numãrabilã rezultã dimHF=0.

Invarianþã geometricã: dimHf(F)=dimHF dacã f este o transformare în Rn,o translaþie, rotaþie, similaritate, afinitate..

Invarianþã Lipschitz : dimHf(F)=dimHF dacã f este o transformare bi-Lipschitz.

Toate definiþiile sunt monotone, cele mai multe sunt stabile, iar câteva definiþii comune nu au stabilitate numãrabilã.Toate dimensiunile uzuale sunt invariante Lipschitz adicã invariante geometric.Proprietãþile mulþimilor netede ºi deschise asigurã cã dimensiunea este o extensie a definiþiei clasice.

Definiþii diferite ale dimensiunii pot oferii informaþii diferite despre ce mulþimi sunt invariante Lipschitz.

1.5 Metode de determinare a dimensiunii fractale.

În general nu existã o formulã unicã de determinare a dimensiunii fractale ºi de obicei metode diferite pot conduce la valori neegale pentru acelaºi fractal.

Metoda clasicã

Este cea mai simplã metodã ºi este utilizatã numai pentru fractali liniari. Relaþia de calcul este urmãtoarea:

D=logN2/logN1 (1.19)

unde:

N2 reprezintã numãrul de replici obþinute prin similaritate

N1 numãrul iniþial de obiecte

De exemplu, luând fractalul Cantor , care se obþine prin împãrþirea unui segment în trei pãrþi egale din care se eliminã segmentul din mijloc .Se repetã aceastã operaþie în mod iterativ pentru fiecare din segmentele rãmase,ca în figura7

iteraþia 0

iteraþia 1 iteraþia 2

figura 7

deci N1=3 ºi N2=2 de unde rezultã D=log2/log3 ºi D=0.631

Metoda “SandBox” sau metoda cutiei cu nisip[3]

Este o metodã cu care se calculeazã dimensiunea fractalã pentru orice tip de obiect fractal.Pe scurt metoda constã în urmãtorii paºi:

Se alege un prim punct (poziþie amplasament ) al fractalului ca origine a n cercuri cu raze R1 R2… Rn unde Rn mai mic decît raza R a fractalului, apoi se numãrã cîte puncte (pixeli) M1(Ri) din fiecare cerc I (uneori este mult mai uºor sã se aleagã n patrate de laturi L1, L2, …. Ln în loc de cercuri)

Repetãm aceastã procedurã, alegînd alte puncte ca origine a n cercuri ºi determinãm numãrul corespunzãtor de puncte Mj(R I) j=2, 3, .., m în fiecare cerc.

Calculãm media numerelor M(Ri) astfel:

M(Ri)= (1.20)

ªi se vor aprinde punctele M(Ri) fiind dependent de Ri într-o functie logaritmica.Panta curbei, pentru mai multe valori ale lui Ri determina dimensiunea fractalã. Pentru a se evita anumite efecte de graniþa trebuie ca razele cercurilor sã se aleagã mai mici decît raza fractalului.

Metoda Box-Counting sau metoda cãsuþelor numãrate[13]

Definiþia dimensiunii Box-Counting

Fie mulþimea F, limitatã ºi FRn ºi fie Nd(F) cel mai mic numãr de mulþimi de diametru cel puþin dcare pot acoperii mulþimea F,atunci dimensiunea Box-Counting se calculeazã astfel:

(1.20)

(1.21)

dacã cele douã limite sunt egale rezultã:

(1.22)

Existã câteva definiþii echivalente ale dimensiunii Box-Counting, care sunt câteodatã mai folositoare.

Considerând colecþia de cuburi ca o plasã în Rn de forma: ([m1d,(m1+1)d]x[m2d,(m2+1)d]x..x[mnd,(mn+1)d]) de laturã d ºi cu m1,m2,..,mn.

Fie Ndi(F) numãrul de cuburi reþea de laturã d care intersecteazã pe F.Ele determinã o colecþie de Ndi(F) mulþimi de diametu dn, care acoperã F deci:

Ndn(F) Nd(F) (1.23)

Dacã dn 1 atunci :

(1.24)

luând limitã rezultã:

(1.25) (1.26)

Pe de altã parte , oricare mulþime de diametru cel mult d este conþinut într-o reþea de 3n cuburi de laturã d .Alegând un cub conþinând câteva puncte ale mulþimii împreunã cu cuburile vecine rezultã

N|d(F)3nNd(F) (1.27)

Logaritmând rezultã inegalitatea inversã din (1.25) ºi (1.26),din acest motiv pentru a gãsi dimensiunea Box-Counting puem lua la fel de bine ºi Nd(F) ca fiind numãrul de cuburi reþea de laturã d care sã intersecteze pe F.

Pentru a gãsi dimensiunea Box-Counting asociatã unui plan, putem desena o reþea de pãtrate de laturã d ºi ºi sã numãrãm Nd(F),care acoperã mulþimea pentru diferite laturi d mici.Dimensiunea este rata logaritmicã la care Nd(F) creºte când d tinde la 0 ºi poate fi estimatã de panta grafului regresiei log(Nd(F)) ºi log(d). Aceastã definiþie dã o interpretare a înþelesului dimensiunii Box-Counting.

Numãrul de cuburi din reþea de laturã d care intersecteazã o mulþime este o indicaþie a cât de rãspânditã în afarã sau neregulatã este mulþimea, atunci când se examineazã la o scarã d. Dimensiunea reflectã cât de rapid se dezvoltã iregularitãþile pentru d0.

O altã definiþie, folositã frecvent, a dimensiunii Box-Counting este prin luarea numãrului Nd(F) ca fiind cel mai mic numãr de sfere închise de razã d care sã acopere pe F.

O mai puþin clar echivalentã formulare a dimensiunii Box-Counting implicã cel mai mare numãr de sfere de razã d, disjuncte cu centrele în F.

Fie acest numãr N|d(F) ºi fie B1,B2,.., sferele disjuncte centrate în F ºi de razã d. Dacã xF a.î xBi sfera de centru x ºi razã d poate fi adãugatã sã formeze o colecþie mai mare de sfere disjuncte. Astfel N|d(F) sfere concentrice cu Bi dar de razã 2d acoperã pe F dând:

N4d(F) N|d(F) (1.28)

Pe de altã parte, presupunând cã B1,B2,.., sunt sfere disjuncte de raze d cu centre în F.Fie U1,U2,..,Uk orice colecþie de mulþimi de diametru cel mult d cvare acoperã pe F.Din moment ce Uj trebuie sã acopere centrele lui Bi, fiecare Bi trebuie sã conþinã cel puþin un element din Uj.Cum Bi sunt disjuncte existã cel puþin atâtea mulþimi Uj câte Bi.Din acest motiv

N|d(F) Nd(F) (1.29)

dimensiunea nu va fi alteratã ca valoare nici în aczul acesta.

Definiþie 1.2

Se poate da o definiþie echivalentã care sã le includã pe toate descrise anterior, astfel:

(1.20)

(1.21)

(1.22)

unde Nd(F) poate fi:

1 Cel mai mic numãr de mulþimi sferice închise de razã d care acoperã F (figura 7.a)

2 Cel mai mic numãr de cuburi de laturã d care acoperã F(figura 7.b)

3 Numãrul de cuburi reþea de laturã d care intersecteazã F (figura 7.c)

4 Cel mai mic numãr de mulþimi de diametru cel mult d care acoperã pe F (figura 7.d)

5 Cel mai mare numãr de mulþimi sferice disjuncte de razã d cu centre în F.(figura7.e)

(a) (b) (c) (d)

(e) figura 7

Este imporatant sã se înþeleagã legãtura între dimensiunea Box-Counting ºi dimensiunea Hausdorff.

Dacã F poate fi acoperitã de Nd(F)mulþimi de diametru d atunci din definiþia 1.1

Hds(F)ds Hd(F)

Dacã 1 Hds(F)= Hds(F) atunci log(Nd(F))+slog(d)0 dacã d este suficient de mic. Astfel : slog(Nd(F))/-log(d)

dimHF (1.23)

pentru orice FRn

Chiar dacã dimHF=dimBF pentru multe mulþimi “rezonabile” existã multe exemple în care inegalitatea este strictã.Formula (1.22) în sens strict spune cã Nd(F)d-s pentru d mic, unde s=dimBF sau mai precis:

Nd(F)ds dacã sdimBF

Nd(F)ds0 dacã sdimBF

Dar Nd(F)ds=inf{|Ui|s:{Ui} este o acoperire d finitã a lui F} care are trebui comparatã cu

Hd(F)=inf{|Ui|s:{Ui} este o acoperire d a lui F} definiþia mãsurii Hausdorff.În calcularea dimensiunii Hausdorff luãm diferite ponderi |Ui|s pentru mulþimile acoperiri Ui , unde pentru dimensiunea Box-Counting folosim aceeaºi pondere ds pentru fiecare mulþime de acoperire.

Dimensiunea Box-Counting poate fi gânditã ca indicând eficienþa cu care o mulþime poate fi acoperitã cu mulþimi mici de mãrimi egale, în timp ce dimensiunea Hausdorff implicã acoperirea cu mulþimi mici dar de variate mãrimi.

Existã tendinþa de a introduce cantitatea v(F)= Nd(F)ds, dar aceasta nu va da nici o mãsurã pe submulþimi ale lui Rn.

Dupã cum se va vedea, o consecinþã a acesteia este aceea cã dimensiunea Box-Counting are un numãr de proprietãþi nedorite care pot fi incomode la mânuirea lor matematicã.Din moment ce dimensiunea Box-Counting poate fi determinatã prin acoperiri cu mulþimi de mãrimi egale, tinde sã fie mai uºor de calculat decât dimensiunea Hausdorff.

Proprietãþi ale dimensiunii B

Un super-plan neted,m-dimensional din Rn are dimBF=m

ºi sunt monoton

stabilã finit

(EF)=max{E, F} dar nu este

ºi sunt invariante Lipschitz.Aceasta deoarece dacã |f(x)-f(y)|c|x-y| `I poate fi acoperit[ cu Nd(F) mul’imi de diametru cel pu’in cd, atunci dimBf(F)dimBF.Similar dimensiunea Box-Counting se comportã exact ca dimensiunea Hausdorff la transformãri bi-Lipschitz sau Hölder.

O altã proprietate care este descrisã prin propoziþia urmãtoare este un dezavantaj al dimensiunii Box-Counting

Propoziþia 1.5

Fie FI închidere a mulþimii F (cel mai mic subset din Rn care o conþine pe F)

atunci:

ºi

Demonstraþie:

Fie B1,B2,..,Bk o colecþie finitã de sfere închise de raze d. Dacã mlþimea închisã o conþine pe F atuncide asemenea o conþine ºi pe FI.Deoarece cel mai mic numãr de sfere închise de raze d ce acoperã F este de ajuns pentru a acoperii pe FI,ºi rezultatul este determinat.Aceastã proprietate reduce utilizarea dimensiunii Box-Counting la mulþimi închise.

Dimensiunea Box-Counting modificatã

Deoarece existã metode de a depãºi dificultãþile dimensiunii Box-Counting se poate apela la metode de a modifica calcularea acesteia.

Dacã F este o submulþime în Rn putem sã încercãm descompunerea lui F într-un numãr finit de pãrþi F1,F2,.. a.î cea mai mare parte are o dimensiune cât mai micã posibilã, aºa putem definii dimBF astfel:

(1.24)

(1.25)

minimul se ia pentru toate acoperirile posibile numãrabile {Fi} ale lui F.

Este clar cã ºi . Totuºi acum avem cã dacã F este numãrabilã.Mai mult, pentru orice subset F în Rn avem:

(1.26)

Este uºor de observat cã acoperã toate proprietãþile avantajoase ale dimensiunii dar aceasta este greu de calculat.

Totuºi existã un test util pentru mulþimi compacte pentru a avea dimensiunea Box-Counting ºi dimensiunea Box modificatã egale. Acest test se aplicã mulþimilor care pot fi descrise ca omogene dimensional.

Propoziþia 1.6

Fie FRn compactã. Presupunând cã:

(1.27)

pentru toate mulþimile V care intersecteazã pe F.

Atunci ºi un rezultat similar se menþine ºi pentru .

Pentru o aplicaþie considerând F compactã cu un grad ridicat de auto-similaritate( de exemplu curba Von Kock). Dacã V este o mulþime oarecare deschisã care intersecteazã pe F, atunci FV conþine o copie similarã geometric cu F, care trebuie trebuie sã aibã dimensiunea superioarã Box-Counting egalã cu cea a lui F ca urmare a propoziþiei enunþate mai sus.

Tehnici de calculare a dimensiunii

Pentru mulþi fractali estimãri superioare ale dimensiunii pot fi obþinute prin folosirea de acoperiri naturale cu mulþimi mici.

Propoziþia 1.7

Presupunem F ca putând fi acoperitã de nk mulþimi de diametru cel mult dk cu dk0 atunci când k atunci:

ºi dacã dk+1cdk pentru un 0c1

Mai mult dacã nkdks rãmîne limitatã atunci când k atunci H s(F)

Demonstraþie

Inegalitatea pentru dimB rezultã imediat din definiþia acesteia.Pentru a doua parte dksnk deci tinde la o limitã finitã H s(F) atunci când k.

Dimensiunea Graficelor de funcþii temporale

Considerãm f:[a,b]R, în anumite circumstanþe graficul

gf={(t,f(t)):atb}

privit ca o submulþime de coordonate (t,x) în plan poate fi un fractal.

Observaþie: Se lucreazã cu coordonate (t,x) în loc de (x,y) deoarece variabila timp este independentã.

Dacã f este continuuã ºi derivabilã atunci dimensiunea graficului este 1 ºi într-adevãr este o mulþime regulatã de dimensiune 1.Acelaºi lucru este adevãrat dacã f este variatã limitat adicã: constantã, pentru oriceîmpãrþire 0t0t1..tm=1. Totuºi este posibil pentru o funcþie continuuã sã fie suficient de nergulatã ca sã aibã un grafice de dimensiune strict mai mare ca 1.

Cel mai bun exemplu este funcþia

(s-2)ksin(kt)

unde 1s2 ºi 1.Aceastã funcþie, exemplul esenþial al lui Weierstrass de funcþie continuuã care nu este diferenþiabilã în nici un punct, are dimB=s de asemenea se fac presupuneri cã ºi dimH este tot s.

Notãm domeniul maxim Rf[t1,t2]=

Propoziþia 1.8

Fie f:[0,1]R func’ie continuuã.Presupunem cã 0d1 ºi m este cel mai mic numãr întreg mai mare decât 1/d sau egal.Atunci, dacã Nd este numãrul de pãtrate din reþeaua de laturã d care intersecteazã graficul f, avem:

(1.28)

Demonstraþie

Numãrul de pãtrate din reþea de laturã d din coloana de lângã intervalul [id,(i+1)d] care intersecteazã graficul gf este cel puþin Rf[id,(i+1)d]/d ºi cel mult 2+Rf[id,(i+1)d]/d.Folosind faptul cã f este continuuã,însumând pentru toate intervalele dã formula (1.28) ºi este ilustratã în figura 8

x x=f(t)

d t

figura 8

Corolar

Fie f:[0,1]R continuuã

Presupunem cã

|f(t)-f(u)|c|t-u|2-s (0t,u1) (1.29)

unde c0 ºi 1s2 .

Atunci H s(F) ºi dimHgf dimBgf s ºi rãmîne adevãrat dacã (1.29) se menþine pentru

|t-u|d ºi d0

Presupunem cã existã numere c0, d00 ºi 1s2 cu urmãtoarele proprietãþi :

pentru fiecare t[0,1) ºi 0dd0 u a.î |t-u|d ºi

|f(t)-f(u)|cd2-s (1.30)

atunci s.

Demonstraþie

Rezultã imediat din (1.30) cã Rf[t1,t2]c|t1-t2|2-s pentru 0t1 ºi t21.Cu notaþiile de la propoziþia anterioarã m(1+d-1) deci

Nd(1+d-1)(2+cd-1d2-s)c1d-s

unde c1 este independent de d.Iar rezultatul se determinã prin aplicarea propoziþiei (1.7)

În acelaºi mod (1.30) implicã faptul cã Rf[t1,t2]c|t1-t2|2-s .Deoarece d-1m rezultã din (1.28) cã Ndd-1d-1cd2-s=cd-s

definiþia echivalentã 1.2 punctul 3 dã s

2.Fractalii ºi seriile de timp

2.0 Introducere

În ultimul timp statistica a devenit un instrument de neânlocuit în orice domeniu.Cu ajutorul ei se realizeazã caracterizãri ale sistemelor complexe, fie cã sunt economice, sociale, sau fizice.

Caracterizarea unui sistem cu metode statistice se face prin valori medii, ceea ce duce la imposibilitatea evidenþierii schimbãrilor de structurã sau organizatorice.

Ieºirile sistemelor reprezintã valori înregistrate în timp ale diferiþilor parametri ai sistemului deci sunt serii de timp.

‘Nivelele în creºtere ale lumii pieþii, cãile de competiþie din ce în ce mai active ºi mai complexe, rolul important al schimbãrilor tehnologice în mutaþiile ofertei productive ºi alteraþiile din pieþele împarþite de mai multe þãri, ne permit sã înþelegem cum discuþia despre competitivitate încearcã sã cîºtige o poziþie preferenþialã în dezbaterea împotriva productivitãþii .

Termenul de competitivitate este asociat cu posibilitatea de a “vinde orice este produs”.Deci competitivitatea este asociatã cu capacitatea firmei de a-ºi menþine sau de a-ºi creºte continuu partea sa de piaþã.’[17]

Deci o firmã urmareºte un proces de îmbunatãþire gradual, care implicã reorgnizarea ca întreg în baza strategiei firmei. Deoarece o firmã se prezintã ca un sistem complex compus din subsisteme corelate,dar care prin funcþionarea lor se supun unor legi aleatoare, care au proprietaþile fractalilor.

Cea mai cunoscutã dintre aceste legi este legea miºcãrii Browniene.

2.1 Metode de analizã

Miºcarea Brownianã Fractalã[13]

Robert Brown a fost primul care a observat miºcarea aleatoare a particolelor de polen. Brown, în urma studiilor fãcute ajunge la concluzia cã moleculele, macromoleculele, viruºii, precum ºi alte particule sunt supuse fluctuaþiilor termice (se aflã în continuuã miºcare ciocnindu-se aleator datoritã energiei termice pe care o posedã.

Miºcarea unei particule, vãzutã la microscop este alcãtuitã aparent din paºi efectuaþiîn direcþii diferite.Fiecare pas având o lungime caracteristicã.Crescând rezoluþia microscopului ºi pecea temporalã se observã o miºcare similarã.Dupã cum se cunoaºte, în miºcarea Brownianã, distanþa parcursã de oparticulã într-un interval de timp este independentã de deplasarea ei într-un alt interval de timp.

Mandelbrot a fost primul care a observat posibilitatea folosirii miºcãrii Browniene în studiul “miºcãrilor “ din alte domenii (exemplu: evoluþia valorii la bursã a unui titlu sau al unei valute ).Mandelbrot introduce noþiunea de miºcare fractalã ca o generalizare a miºcãrii Browniene.Funcþia miºcãrii Browniene (introdusã în 1923 de cãtre Winer) este:

Se considerã un proces aleator Gaussian, normat cu probabilitatea p ºi deplasarea particulei este datã de ecuaþia:

|X(t)-X(t0)| p|t0-t|H (2.1)

cu H s-a notat Exponentul Hurst.

Pentru orice momente t ºi t0 ºi H=1/2 avem o mºcare Brownianã normalã iar pentru H(0,1)\{1/2} avem o miºcare Brownianã fractalã.Folosind ecuaþia (2.1), putem deduce pentru variabilele miºcãrii fractale media nulã Xf(t)=0. Diferenþa între cele douã miºcãri este aceea cã miºcarea Brownianã fractalã prezintã corelaþii la o scarã infinit de lungã.

Putem definii funcþia de corelare între creºterile Xf(t) de la momentele viitoare de timp ºi creºterile -Xf (-t) de la momentele anmterioare de timp:

C(t)=-Xf(-t)•Xf(t)/Xf(t)2 =22H-1 (2.2)

De unde tragem concluziile:

1.Pentru H=1/2 C(t)=0 pentru orice t deci nu existã nici o corelaþie în aceste procese aleatoare.

2.Pentru H1/2 C(t)0 dar funcþia de corelaþie este independentã de timp .Aceastã proprietate conduce la douã cazuri particulare:

a) H>1/2 apare persistenþa.În acest caz existenþa unei tendinþe crescãtoare la un moment anterior de timp implicã o tendinþã crescãtoare la un moment de timp viitor pentru timpi oricît de mari ºi invers.

b)H1/2 apare antipersistenþa ,caracteristicã sistemelor cu auto-reglare.În acest caz ,o direcþie crescãtoare la un anumit moment anterior implicã o tendinþã descrescãtoare la un moment viitor ºi invers .

2.2 Exponentul Hurst

Miºcarea Brownianã fractalã îºi gãseºte aplicaþia în modelarea seriilor de timp ale unor fenomene naturale sau ale altor procese,serii ce se analizeazã printr-o metodã dezvoltatã de Hurst pe care a numit-o „Analize ale domemeniului rescalat( sau analiza R/S)“ descrisã în detaliu în „ Long-Term Storage:An Experimental Study“-Hurst 1965.

Mandelbrot (1972) a arãtat cã analiza R/S este în general un test de dependenþã în timp pentru serii de timp pe perioade foarte lungi.Iar Lo(1991) susþine cã una dintre limitãrile acestui test este cã nu se poate distinge între serii de timp pe termen scurt ºi serii de timp pe termen lung.

Avãnd un proces aleator X(t) definim

X*(t) = (2.3)

Semnalul seriei numerice .

Impartind semnalul in domenii de latura d .Se calculeaza pentru acest d R astfel :

R=Rp(t,d)=max{X*(t+u)-X*(t)-uX(t+u)] (2.4)

0 <=u <=d

unde

X(t)= (2.5)

Metoda R/S se bazeazã pe calcularea unui raport R/S unde R este Rp(t,d) iar S este abaterea standard a seriei X(t) pe subseria de latura d deci S(t,d).

Pentru a utiliza o astfel de statisticã pentru serii de timp care sunt discrete {X(1),X(2),X(3),..,X(T)} se aproximeazã media pe domeniul d ºi rezultã

R=Rp(t,d)=max{X*(t+u)-X*(t)-(u/d)[X*(t+d)-X*(t)]}- min{X*(t+u-X*(T)-(u/d)[X*(t+d)-X*(t)]} (2.6)

unde

X*(t)=

ªi o înlocuire similarã pentru abaterea standard parþialã conduce la :

S2(t,d)= (2.7)

Dacã d=1 R(t,1)=S(t,1)=0 ºi R/S este nedeterminat, dacã d=2 R(t,2)/S(t,2)=2 din acest motiv se alege în general d3.[ ]

Hurst a descoperit faptul cã R/S depinde de d într-o lege de putere astfel:

R/SdH (2.8)

Unde H este exponentul Hurst ºi 0H1, iar dacã am presupune cã este o miºcare Brownianã am obþine un H=1/2.

Într-o serie de lucrãri Mandelbrot a explorat proprietãþile analizei R/S ºi a ceea ce a numit „Fractional Gaussian Noise“ (FGN) sau „Zgomotul fracþionar Gaussian“ .Acest zgomot reprezintã o lege de distribuþie creatã prin integrare sau diferenþiere sau integrare fractþonarã a miºcãrii Browniene.

Pentru a cîºtiga o îmbunãtaþire a estimãrii empirice a statisticii H, Rd/Sd este calculat pe diferite subserii de date.

H este estimat prin intermediul metodei celor mai mici pãtrate a regresiei:

log(Rd/Sd)=+log(n)+ (2.9)

pentru un diferiþi d.Interpretãm pe ca fiind statistica H, termenul de interceptare care oferã informaþii despre distribuþia dsatelor. Dacã se face presupunerea cã seria este distribuitã normal(Gauss) ºi cã procesul este independent cu variaþii finite atunci

Rd/Sd=(n/2)1/2 (2.10)

(acest lucru este demonstrat de Hurst (1950) [6])

Deoarece ecuaþia de regresie (2.9) este aproximatã cel mai bine de

Rd/Sd=(n) (2.11)

la o distribuþie normalã, rezultã cã în acest caz trebuie sã fie /2.

Algoritmul simplu de determinare a exponentului Hurst este urmãtorul:

procedure Hurst(n,x)

//n lungimea seriei de date

//x valorile seriei

for i=3 to n do

for j=0 to n-rest(n/i) do

R0;

S0;

for k=j to j+i do

temp[k]X[k]-media(X,j,j+I);

X1[k]X1[k]+temp[k];

endfor

for k=n-rest(n/i) to n do

temp[k]X[k]-media(X,n-rest(n/I),n);

X1[k]X1[k]+temp[k]; //seria X integratã

endfor

RR+max(X,j,j+i)

SS+std(X1);

endfor

Rv[i]R/int(n/i);

Sv[i] S/int(n/i);

endfor

//v este un vector al timpului actualizat de la 1( 1,2,…,n)

H=regresie(log(Rv/Sv),log(v));

return H

endprocedure

Dupã cum a observat ºi Lo[10] aceastã metodã are dezavantajul cã nu face distincþie între serii pe termen lung ºi serii pe termen scurt.De fapt metoda poate fi aplicatã cu rezultate foarte bune, dacã seria studiatã are o lungime mai mare de 1000 de date.Aceasta îngreuneazã extragerea de rezultate pentru o serie de timp din economie care sã se refere la o perioadã mai scurtã de timp.

Este interesant de observat cã seriile care au un exponent Hurst diferit de ½ sunt invariante cu scala de timp.Adicã persistenþa sau antipersistenþa se manifestã la orice scalã de timp mai micã decât lungimea seriei.

Se pot face diferite alegeri ale intervalelor în care se împarte seria ºi ale punctelor de start pentru acestea (aplicîndu-se definiþia dimensiunii Box-counting ).Douã metode sunt cele mai des întâlnite F-Hurst ºi G-Hurst (dezvoltate de Walis ºi Matalas 1970[1]).Pentru F-Hurst sunt alese toate lungimile d3 pentru subintervale ºi cu toate posibilitãþile de start. În calcularea lui G-Hurst, se genereazã aleator într-un anumit mod niºte valori pentru d ºi se alege pentru fiecare d o selecþie de puncte de start. Simulãrile realizate de Wallis ºi Matals scot în evidenþã faptul cã pentru serii de timp mai mari de 1000 de înregistrãri statistica

G-Hurst se aproximeazã foarte bine pe cea F-Hurst.

Deºi statistica H s-a demonstrat a fi robustã, la detectarea dependenþelor pe termen lung faþã de alte tipuri de teste statistice,pot exista o serie de potenþiale erori provenite din trei cauze:

Auto-corelaþia pe termen scurt

Comportamentul asimptotic

Forma distribuþiei de bazã a seriei

Walis ºi Matalas(1970)[1] au investigat sursele potenþiale de erori pentru cazul auto-corelaþiei pe termen scurt. Ei au gãsit cã influenþele provin de la mãrimea ºi direcþia coeficientului de auto-regresie .

Lo(1991) oferã o altã metodã care testeazã auto-corelaþia pe termen lung ºi este de asemea robustã la comportament pre-asimptotic (auto-corelare la nivelul unui subinterval q). Testul R/S modificat al lui Lo nu implicã analiza cu metoda celor mai mici pãtrate.Evitã dificultãþile erorilor asociate tehnicii repective.

Noua statisticã se prezintã astfel:

RD/D|(q) unde:

RD=max Xi- minXi (2.12)

D|(q)= (2.13)

ºi

wj(q)=1-[j/(q+1)], qD (2.14)

Aºa cã acest estimator modificat nu implicã numai suma abaterilor pãtratice ale lui rj faþã de media MD,ci ºi ponderarea cu auto-covarianþa la nivelul unui sub-interval q.Rezultã cã acest test va fi invariant la o clasã generalã de de dependenþe pe termen scurt (auto-corelaþii).Statistica Lo poate fi comparatã cu clasicã .Cele douã statistici RD/D|(q) ºi Rd/Sd în general vor converge în probabilitate la diferite limite în prezenþa auto-corelaþiilor pe termen scurt.Alegerea lui q este arbitrarã.

Lo mormalizeazã cele douã teste statistice cu numãrul de observaþii ºi scoate distribuþia asimptoticã a testelor statistice, definite astfel:

(2.15)

(2.16)

Dificultatea în interpretareaexponentului Hurst este în relaþie cu procedura de calcul.În momentul de faþã existã mai multe proceduri de estimare a acestui exponent, toate reprezentînd modificãri ale procedurii clasice.Este necesar sã se realizeze o combinare a acestora pentru a se acoperii cât mai multe neajunsuri ale metodei clasice. Tocmai de aceea este necesarã trecerea în revistã a tuturor procedurilor:

1. Estimarea a doi exponenþi F-Hurst ºi G-Hurst unul pentru auto-corelãri la nivel de serii de timp mici ºi unul pentru dependenþe pe terman lung[1].

Îndepãrtarea trendului din seriile statistice pe termen lung sau scurt care poate afecta valoarea exponentului[16].

Testarea seriei, dacã este sau nu integratã sau derivatã apriori, pentru a se evita valori care nu se încadreazã în intervalul (0,1) deoarece existã riscul ca prin aplicarea metodei clasice sã se integreze seria de douã ori sau nici o datã (metoda presupune o singurã integrare a seriei) [16].

Alegerea aleatoare a lungimilor de subintervale ºi a punctelor de start astfel încât suprapunerea intervalelor sã fie minimã [6].

Luarea în considerare a faptului cã exponentul Hurst poate fi mai bine aproximat dacã se considerã o serie de timp ca fiind invarianta la scala de timp, pentru orice lungime mai micã decât o anumitã proporþie din lungimea seriei (de obicei se ia ½, adicã douã drepte de regresie ,doi exponenþi Hurst) [6]

Toate aceste proceduri sunt ]ncorporate în sistemul de programe ModelFract.

2.3 Rezultate ºi interpretarea lor

R.J.Korsan în lucrarea sa [6], face niºte studii ale unor serii de timp ce conþin schimbãrile de preþuri la IBM, pe perioada ianuarie 1972 august 1992.Rezultatele sale sunt foarte interesante, scot în evidenþã faptul cã sunt serii ale cãror înregistrãri la momentul T depind de valori ale seriei la momente anterioare de timp(de ex. T-d)ceea ce înseamnã cã sunt serii autocorelate.Se poate spune însã prin aceastã analizã chiar mai mult prin calcularea dimensiunii fractale(exponent Hurst+1):

De exemplu pentru seria de timp menþionatã ( înregistratã la nivel de lunã) Korsan a obþinut urmãtorul exponent Hurst: H=0.640373

Interpretarea este urmãtoarea: dacã seria a avut o tendinþã crescãtoare pe o perioadã de timp, aceastã tendinþã se va menþine pentru urmatoarea perioadã (valabil pentru orice scalã mai micã decãt marimea seriei).Korsan observã însã cã la nivelul unei serii se pot indentifica douã drepte de regresie care pot duce la 2 coeficienþi Hurst,pentru aceeaºi serie el gãseºte :

Pentru d36.7239 H1=0.743445 ceea ce înseamnã : o tendinþã puternic persistentã,adicã dacã seria are o tendinþã crescãtoare atunci ea iºi va menþine aceastã tendinþã la nivelul oricãrui interval mai mic de 36.7239 luni ºi invers.

Iar pentru d36.7239 H2=0.433791 ceea ce reprezintã faptul cã la nivelul oricãrei scale mai mari de 36.7239 luni seria va avea o tendinþã descrescãtoare dacã a fost crescatoare.

Eu am analizat seria din figura.8 cu aceeaºi metodã folositã de Korsan (pe figurã se observa cã existã o evoluþie constantã -un trend- ºi una aleatoare, scoþând acest trend rezultã ).Iar rezultatul este H=0.945

Din figurã se observã o foarte mare persistenþã, vedem însã cã sunt douã posibile drepte de regresie ,ceea ce va duce la o împarþire în douã regiuni,una la nivelul cãreia autocorelaþia este mai puþin puternicã ºi alta puternic autocorelatã.

fig.8

2.3 Concluzii

Aceste tendinþe de autocorelare s-au observat ºi în seriile de timp care înregistreazã evoluþia unor fenomene care erau considerate pânã nu demult ca fiind aleatoare ,ca de exemplu:

-evoluþii bursiere,evoluþii de stocuri,evoluþii pe piaþa de valori

S-a demonstrat cã evoluþia cotaþiei unei acþiuni pe piaþa bursei de valori(ca de asemenea preþul valutei sau variaþia de stoc) reprezintã o serie temporalã autocorelatã. Preþul unei acþiuni la momentul curent depinde de preþul înregistrat la un moment anterior de timp, ceea ce înseamnã cã evoluþia acestuia nu este aleatoare. Determinând dimensiunea fractalã a acestor serii se fac estimãri ale evoluþiilor viitoare.

Prin aceasta s-a demonstrat cã de fapt atunci când vorbim despre evoluþie haoticã ne referim de fapt la o evoluþie a cãrei lege de desfãºurare este una de autocorelare .

Nu de mult timp s-a ajuns la concluzia (prin experimente), cã aceste fenomene considerate aleatoare (urmarind o lege de distribuþie Gaussiana) de fapt depind în mare mãsura de nivelele înregistrate anterior .

Chiar din exemplul de mai sus se poate observa ,cã evoluþia importurilor din Japonia ale Australiei are o tendinþã de autocorelare la nivelul oricarui interval de timp.Se poate deci aprecia cu o anumita precizie cã la nivelul urmatorului interval de timp (pe care se face analiza), importurile australiene vor creºte.

-simulãri

Prin utilizarea de numere pseudoaleatore (ºiruri autocorelate de dimensiune fractalã datã la simularea unor fenomene de tipul celor menþionate mai sus).

3.Utilizarea fractalilor în optimizarea proceselor economice

3.0 Introducere

O ipotezã de piaþã poate fi urmãtoarea:

1. O piaþã este constituitã din mulþi investitori cu diferite orizonturi de investiþii

Mulþimea de informaþii care este importantã pentru fiecare orizont de investiþie este diferitã

Atâta timp cât piaþa îºi menþine o structurã fractalã fãrã caracteristici ale scalei de timp,va rãmîne stabilã. Atunci cînd orizonturile pe piaþa de investiþii devin uniforme, piaþa devine instabilã deoarece toþi se bazeazã pe aceea ºi mulþime de ifnormaþii.

3.1 Utilizarea fractalilor în simularea proceselor economice

Din moment ce unele serii de timp nu mai pot fi considerate aleatoare, ci ele sunt auto-similare ºi invariante la scalarea timpului,atunci în generarea lor pentru diverse simulãri nu mai putem utiliza legea de distribuþie Gauss.Generarea acestor tipuri de serii de timp persistente sau anti-persistente implicã generarea unor serii de timp cu dimensiune fractalã datã

3.2 Segmentarea pieюelor de capital

Segmentarea în ºi între domenii reale ale pieþii are un trecut în literatura de specialitate.Totuºi recent are natura segmentãrii între domenii reale ºi pieþe de capital.

Liu, Hartzell, Greig ºi Grissom(1990)[9] reprezintã primul studiu, care examineazã explicit partea de segmentare a pieþii între domenii reale ºi pieîe de capital. Studiul lor scoate în evidenþã faptul cã segmentarea existã.

Ambrose, Ancel ºi Grifitts [1] extinde analiza segmentãrii în pieþe mari de capital, examinând structura fractalã a domeniilor ºi returnurilor acþiunilor sau titlurilor de valoare.Ei testeazã explicit neliniaritatea în beneficiile investiþiilor din domeniile reale, de încredere.Testul de structuri fractale cautã neliniaritãþi deterministice în serii de timp.

Ei îºi motiveazã studiul fãcut prin urmãtoarele:

Traiectoriile haotice pot arãta schimbãri exacte calitative în comportament, asemãnãtoare în general celor asociate cu disturbãri aleatoare

Dacã timpii de fructifiacare al investiþiilor sunt dependenþi pe termen lung, atunci consumul optim, economiile ºi portofoliile de investiþii devin senzitive la orizontul de timp.

Modele ca CAPM (Capital Market Asset Pricing Model -fondatã pe ipoteze ale pieþii eficiente – care este reprezentatã matematic ca asocierea seriilor de tip fianciar unei legi de distribuþie normale) ºi APT devin invalide din moment ce exclud posibilitatea unor astfel de persistenþe neliniare.

Diferenþa între piaþa realã ºi alte pieþe de capital I-a condus pe Liu, Hartzel, Grissom (1990,p 456) la ipoteza cã cã piaþa realã poate fi caracterizatã ca o piaþã segmentatã moderat. Deoarece instituþiile care investesc sunt restricþionate sã investeascã în clãdiri, care asigurã un cost de oportunitate al rentei.

Pãrerea celor trei autori Ambrose, Ancel ºi Grifitts este cã odatã gãsite structuri fractale semnificante diferite, în variate perioade de fructificare, putem trage concluzia cã existã segmentare, din moment ce astfel de neliniaritãþi sunt cauzate de diferite structuri economice active. Altertnativ dacã piaþa realã, mai precis beneficiile de pe piaþa realã, urmãresc o lege aleatoare, câºtigurile prin segmentare (ca opusã diversificãrii) nu existã deoarece un model consistent risc-rezultat trebuie aplicat.

Studiul fãcut de Ambrose,Ancel ºi Griffits(1992) extinde analiza segmentãrii pieþii, prin compararea returnurilor din piaþa realã de investiþii cu altele de pe alte pieþe de capital, folosind o metodologie alternatã.

O diferenþã fundamentalã între piaþa realã ºi pieþele de capital poate fi o diferenþã de structurã în procesul de generare al ieºirilor ºi rezultã din studiul fãcut de Liu, Hartzell, Greig ºi Grissom(1990), care au dezvoltat o bazã teoreticã, arãtînd modele separate de evaluare.Modelele sunt desprinse din diferite clase de date financiare, într-o piaþã segmentatã moderat. Astfel dacã piaþa realã este segmentatã de alte domenii, atunci putem sã ne aºteptãm ca ieºirile de pe piaþa realã sã aibã caracteristci diferite din alte domenii.Ne-am aºtepta ca returnurile dintr-un domeniu în care nu existã segmentare substanþialã sã se comporte similar.

Ambrose,Ancel ºi Griffits(1992) testeazã o versiune specificã a ipotezei, comparând structurile fractale ale returnuriluo pe piaþa realã cu cea a returnurilor de pe piaþa de valori.Acest test este creat special pentru a detecta persistenþe ne-ciclice pe termen lung.Testând deci o formã de auto-similaritate sau auto-dependenþã în general ne luatã în cosiderare de analize convenþionale empirice. Persistenþa neciclicã este examinatã folosind analiza domeniului rescalat adicã R/S.

Studiul lor foloseºte serii de timp din domeniul „Real Estate Investment Trusts“(REITs) sau domeniul real al investiþiilor stabile, ca reprezentând returnuri de pe piaþa realã.Aceasta pentru a permite studiul pe serii de timp mai lungi ºi care pot fi comparate direct cu indexul preþurilor zilnice la bursa de valori. Folosirea seriilor REITs ca reprezentând domeniul real al pieþei este demonstratã a fi o bunã metodã de mulþi alþi autori.

Ambrose,Ancel ºi Griffits(1992) calculeazã returnurile zilnice din REIT ale portofoliilor de investiþii ºi testeazã douã tipuri de portofolii, de tip ipotecã ºi mijloace fixe. Deoarece ei comparã indicii REIT cu indicii ponderaþi ai preþurilor investiþiilor (calculaþi la nivel macro,la Centrul de cercetãri în domeniul securitãþii peþurilor sau Center Research for Security Prices CRSP) ºi indicii preþurilor la bursa de valori, calculeazã returnurile portofoliilor REIT folosind aceeaºi metodã de ponderare folositã pentru construirea indicelui preþurilor. Portofoliile sunt rebalansate pentru fiecare tranzacþie zilnicã. Returnul logaritmic al unui portofoliu, R(t)este calculat ca o medie ponderatã a returnurilor individuale de pe piaþa de încredere din portofoilul respectiv:

(3.1)

Unde:

vj(t)=pj(t)(t-1)•nj(t)(t-1) j=1,..,K (3.2)

ºi pentru 1jK

rj=pj/pj(t-1) pentru REIT j

pj(t) preþul investiþiei j în ziua t

nj(t) numãrul acþiunilor disponibile pe piaþã în ziua t pentru investiþia j.

Compararea acestor tipuri de portofolii cu cu cele de la CRSP au dezavantajul cã la calcularea acestora din urmã sunt introdse ºi returnurile REIT. Oricum contribuþia acestora la formarea indexului este destul de micã a.î poate fi neglijatã. Dar compararea cu indicele preþurilor pe piaþa de valori nu conþine nici un indice de tip REIT.

Concluziile acestui studiu sunt urmãtoarele:

Preþurile titlurilor de valoare pe piaþã, aratã un comporatament la analiza R/S consistent cu cel existent în cazul unei serii aleatoare

Returnurile Portofoliilor aratã aceleaºi caracteristici.De aceea teoria pieþei de capital ar trebuii aplicatã domeniului real al economiei.

Deºi portofliile de tip ipotecã ºi de tip mijloace fixe au statistica H substanþial diferitã de statistica unei serii aleatoare ºi destul de mare faþã de indicii preþurilor pieþei, aceste diferenþe par a fi generate de corelaþii pe termen scurt.

În final bazat pe rezultatele de mai sus, nu au gasit nici o evidenþã cã ipoteza unei segmentãri a pieþei pe termen lung este adevãratã.

3.3 Alegerea portofoliului optim de investiþii

Investitorii au tendinþa de a da foarte mare atenþie situaþiei existente, disproporþionând aºteptãrile pe termen lung, presupunând cã starea existentã a afacerilor va continuua la infinit dacã nu existã motive reale sã se creadã într-o schimbare.De asemenea mãresc importanþa informaþiilor actuale, în defavoarea celor din trecut.

Un exemplu semnificativ: Considerând o societate comercialã care pânã anul acesta a avut câºtiguri similare cu media pe industrie, dar dintr-o datã raporteazã un salt foarte mare în profit.Reacþia investitorilor este de a extrapola în viitor, bazându-se pe extraprofitul din anul acesta ºi în consecinþã vor creºte preþurile.În momentul în care profitul din viitor se dovedeºte a fi mai mic decât cel aºteptat, investitorii îºi recunosc greºeala ºi vor scãdea din nou preþurile.

Efectul „Învingãtor învins“ este explicat cu ajutorul acestor teorii comportamentale. Chiar dacã investiþiile individuale conduc la alte evaluãri ale perspectivelor de viitor, extrapolarea se face în baza prezentului. Partea învingãtorului (odatã ce este declarat ca învingãtor) nu este uºor de reclasificat, în ciuda câºtigurilor adversarilor. Aceasta se întâmplã pânã când evenimente majore conduc la corectarea acestui crez, în perspectivele de viitor. Pe de altã parte, odatã ce sunt declaraþi învinºii, îmbunãtaþirile în câºtigurile înregistrate sunt luate drept aberaþii sau devieri accidentale ale rezultatelor companiei în care mediocritatea managementului este bine stabilitã.

Metoda de a investiga efectul învingãtor învins este de a forma un portofoliu al învingãtorilor ºi de a se testa serii de timp, ale cãror observaþii reprezintã returnurile în timp ale companiilor, din punct de vedere statistic ºi.

Deºi strategia portofoliului apare ca profitabilã aceastã concluzie se schimbã atunci când este luat în considerare riscul. Procedura de estimare a riscului este nepotrivitã pentru acest studiu. Aici intervine faptul cã aceste serii de timp sunt auto-corelate iar riscul estimat ca o abatere standard este insuficient, deoarece existã influenþe ale valorilor înregistrate în trecut asupra valorilor care se vor înregistra în prezent sau în viitor.

Metoda de creare a portofolilui învingãtorilor se bazeazã pe combinarea metodei de analizã a domeniului rescalat cu cea a estimãrii abaterii standard, pentru serii de timp ce conþin profiturile în timp ale companiilor.

Se poate face o împãrþire în funcþie de exponentul Hurst estimat cele care au un exponent H0.5 vor face parte din portofoliul învingãtorilor. Dacã existã o rupere , în sensul în care se pot estima doi exponenþi atunci se poate concluziona cã la nivelul unei perioade d lungimea seriei componenta x va face parte din portofoliul învingãtorilor sau nu. Aceasta în funcþie de orizontul de timp pe care se construieºte portofoliul. Dacã orizontul este mai mare decât d, atunci chiar dacã exponentul Hurst estimat pentru o invarianþã la nivelul unei scale mai mici decât d este favorabil sã nu facã parte din acest portofoliu.

4.Sistemul de programe

4.1 Schema obiectelor folosite

CreateFileDlg este obiectul asociat ferestrei de dialog care creazã fiºiere de tip .mod

CAboutDlg este asociat casetei de dialog care afiºeazã informaþii despre sistemul de programe.

CBarDlg este obiectul standard MFC din care tip sunt decaraþi membri ai obiectului CMainFraime.Asociazã unei ferestre o casetã de dialog ataºabilã.

CGridCtrl este un control OLE care deseneazã o grilã în caseta de dialog pentru a se prelua datele .

CmodelFractView ºI CModelFractDoc sunt douã obiecte care asigurã gestionarea documentelor.

4.2 Suporturi ºI instrumente

Programele sunt realizate în Visual C++ 4.1 cu ajutorul controalelor OLE.Rularea lor este indicatã sã se facã sub Windows95.

Existã o singurã aplicaþie ,iar numele fiºierului executabil este ModelFract.Pentru fiecare obiect mediul de dezvoltare Visual C++ creazã un fiºier de tip hader în care este declarat obiectul ºI un fiºier de tip cpp în care sunt adãugate noile funcþii ale utilizatorului asociate obiectului respectiv.

5.Manualul operatorului pe ModelFract

5.1 Instalarea

Programul se poate stoca pe douã dischete isr instalarea se face prin rularea fiºierului executabil setup.

Instalarea nu necesitã o asistenþã specialã din partea utilizatorului.Versiunea programului este 1.0 ºi ruleazã numai sub Windows 95.

5.2 Interfaþã ºi funcþii

Programul manipuleazã în special serii de timp de diferite mãrimi, de aceea existã o posibilitate de a creea ºi deschide serii de timp ºi de a vizualiza graficul acesteia printr-o nouã funcþie adãugatã în meniu „New time series“ care deschide o fereastrã nouã ca în figura 9.

Grila din stânga este folositã pentru a introduce valorile seriei de timp.

Opþiunea „File Name“ dã posibilitatea de a da nume fiºierului.

Opþiunea „Title of the time series“ dã posibilitatea asocierii unui titlu graficului

No of obs , preluarea numãrului de elemente ale seriei

Time period, preluarea perioadei pe care s-au fãcut observaþiile

Registrated, nivelul la care se fac înregistrãrile zi, sãptãmânã,lunã, an.

Save, salvarea într-un fiºier

Aceastã casetã este ataºatã ca o barã de dialog unei ferestre în care se face desenarea graficului.Iar fereastra va avea un meniu doar cu o singurã opþiune (un pop-up) Image care ajutã la salvarea graficului într-un fiºier imagine.

O altã opþiune nouã este aceea de Open time series, deschiderea unei serii noi sub forma unei ferestre ca cea descrisã mai sus (cu posibilitatea de modificare)

De asemenea la apariþia noii ferestre, va apãrea un meniu nou tools ale cãrui opþiuni sunt Dimension ºi Simulation

Dimension Apare o fereastrã nouã de tipul urmãtor:

Fereastra are asociatã un meniu cu opþiunile: Calculate,Image, Modifications

Calculate este un pop-up cu opþiunile F-Hurst,G-Hurst,R-Hurst,Hurst , fiecare reprezentând o metodã de calcul a exponentului Hurst

Image este un pop-up identic cu cel din fereastra de creare de noi serii de timp ºi de vizualizare dar de data aceasta se referã la graficul rezultat care aratã dreapta de regresie.

Modifications un pop-up cu opþiunile Numeric Integration, Numeric Derivation, Get Trend, modificãri aduse seriei pentru o estimare mai bunã

Fereastra este împãrþitã în 4 pãrþi:

1 Feresatra în care se afiºeazã rezultatele în cifre ºi în ordinea în care au fost apelate opþiunile din Calculate.Puse sub forma unui meniu de care depind afiºãrile din celelalte pãrþi ale ferestrei

2 Fereastra în care se afiºeazã un singur grafic corespunzãtor unui rezultat selectat

3 Fereastra în care sunt afiºate interpretãrile rezultatelor

4 Fereastra de test în care apar informaþii despre validitatea valorii obþinute ºi ce ar trebuii fãcut pentru o mai bunã estimare.

Simulation Apare o fereastrã de genul:

Meniu asociat cu opþiunile Image Series

Series un pop-up cu opþiuile de Save, View

Save salveazã seria într-un fiºier cu extensia .mod care se poate deschide cu opþiunea open time series.

Fereastra are asociatã un dialog-bar care preia datele în vederea simulãrii unei serii imaginare de dimensiune fractalã datã

Are o parte în care se deseneazã graficul asociat seriei obîinute dupã simulare.

Fereastra are asociatã un dialog bar care ajutã la preluarea datelor în vederea simulãrii

De asemenea existã posibilitatea de a se deschide fiºiere text ºi de editare a acestora.

Software-ul are de asemenea încorporat un sistem de help care sã ghideze întreaga activitate a utilizatorului.Pentru utilizarea acestui soft nu sunt necesare cunoaºterea unor noþiuni de economie mai aprofundate sau de programare.

6.Concluzii

Lucrarea de faþã nu se ocupã cu observarea fenomenelor în sine ºi cu aplicarea teoriilor pentru a discuta rezultate.Ea este pur ºi simplu o abordare teoreticã ºi o descriere a unor instrumente care stau la baza prelucrãrilor de date ºi în special a seriilor de timp.Este o abordare care sã facã luminã asupra instrumentelor utilizate în crearea unui software puternic de analizã a datelor cu ajutorul teoriei fractale.

Rezultatele obþinute cu acest software nu sunt baza unor ulterioare cercetari în domeniul economic, ele sunt doar explicate ºi pot ajuta în studierea oricãror tipuri de serii de timp.

Totuºi exemplele sunt necesare pentru a putea scoate în evidenþã cât de eficient este software-ul sau cât de puternic.

Teste de vitezã a prelucrãrii sunt necesare, deoarece astfel de programe ce testeazã auto-similaritatea sunt mari cosumatoare de timp.De asemenea sunt necesare teste de lizibilitate sau de uºurinþã în mânuire.În aceste direcþii rezultatele sunt prezentate în tabele ºi fac parte din anexa B a acestei lucrãri.

Acest soft este o primã versiune, el putând fi dezvoltat în continuare pentru cele douã aplicaþii ale acestor teste, pe serii de timp : anume în segmentarea pieþelor de capital ºi în crearea portofoliului invingãtorilor. Dezvoltãrile constând în extragerea de rezultate automate ca urmare a testelor fãcute ºi a concluziilor referitoare la aceste teste prin compararea între mai multe serii de date.

8.Referinþe

[1 ] Brent Ambrose, Esther Ancel, Mark D. Griffits

<The Fractal Structure of Real Estate Investment Trust Returns:The Search for Evidance of Market Segmentation and Nonlinear Dependecy >

Journal of the American Real Estate and Urban Economics Association, vol.20,1:p25-54

[ 2] Michael Bransley,B Mandelbrot,Robert I Devaney

<The sciance of fractals images>

Springer Verlag 1988 313pg

[ 3] Armin Bunde, Sholmo Halvin

<Fractals in science>

Springer Verlag 1994

[ 4] Jean FranÇois Goyet

„Phisique et structure fractales“

Paris Masson 1992

[ 5] H. Haken &A. Mikhailov

„Inter disciplinary aproaches to nonlinear complex systems“

Springer Verlag 1993

[ 6] Robert J.Korsan

<Fractals and time series analysis>

Decisions, Uncertenity and all that vol.II pg39

[ 7] Maurice Larrin

<Testing chaos and nonlinearities in T-Bill Rates>

Financial analysts Journal sept-oct 1991 pg51:61

[8 ] C.H Liu,D.J Hartzell,W Greig,T.V. Grissom

<The Integration of the Real estate Market and Stock Market: Some preliminary Evidence>

Journal of Real Estate Finance and Economics, 1990 nr3:261-282

[ 9] C.H Liu,D.J Hartzell,T.V. Grissom

<The Impact of Market Imprfections on Real Estate Returns and Optimal Portofolios”

Journal of the American Real Estate and Urban Economics Association, 18(4):453-478

[10] Lo A

<Long term memory in stock prices>

Econometrica 59:1991 pg279:300

[11] Benoit Mandelbrot

<Les object fractals: forme, hasard et dimension>

Paris, Flamarion 1989

[12] B. Mandelbrot

<Statistical methodology for non-periodic cycles: From the covariance to R/S analysys>

Annals of Social Mesurement 1972

[13] <Fractal Geometry:Mathematical fundation and Aplications>

Jhon Wiley&Sons

[14] B.Mandelbrot

<The fractal geometry of nature>

W.H.Freeman 1973

[15] R.K.Mishra, D.Moa & E.Zwielein

„On self organization.An interdisciplinary search for unifyng principle“

Springer Verlag 1994

[16] Florin Munteanu,Cristian Ioana, Cristian ªuþeanu …

„Smoothing dimenions for time series caracterization“

Fractals vol.III nr.2 1995

[17] Alecsandru Puiu Tacu,Jaime Gil Aluja,Horia Nicolai Teodorescu

„Fuzzy systems in Economy and Ingeneering“

Publishing House of the Roumanian Academy 1994

[18] Peitgen, Richter

„The beauty of Fractals“

Springer Verlag 1986

[19] Marin Vlada, Ioan Nistor,Adrian Posea

<Graficã pe calculator în limbajele C ºi Pascal“ vol.II Aplicaþii

Ed.Tehnicã 1992

[20] Elena Zerfus

<Seriile de timp ºi fractalii“

PCReport 1996 ianuarie 52:64:65

[21] I.Odãgescu ºi alþii

„Programarea avansatã a calculatoarelor“