.o Metoda DE Ridicare LA Putere A Matricelor

CUPRINS

Capitolul 1

CONSIDERATII METODICE ASUPRA PROCEDEELOR DE RIDICARE LA PUTERE A UNEI MATRICE(METODE CLASICE)

Capitolul 2

POLINOM CARACTERISTIC

Capitolul 3

RIDICAREA LA PUTERE A MATRICILOR DE ORDINUL 2

Capitolul 4

APLICATII LA RIDICAREA LA PUTERE A MATRICELOR

Capitolul 5

SET DE PROBLEME REPREZENTATIVE IN TEMATICA PREZENTATA

INTRODUCERE

Lucrarea de fata isi propune sa prezinte metodele de ridicare la putere a unei matrice,pornind de la procedeele clasice,cu care sunt obisnuiti elevii din liceu si continuam cu o metoda mai noua,dar deosebit de interesanta.

Capitolul 1,intitulat “Consideratii metodice asupra procedeelor de ridicare la putere a unei matrice”face o scurta trecere in revista a metodelor clasice de ridicare la putere a unei matrice:cu ajutorul metodei inductiei matematice,cu ajutorul sirurilor ,cu formula Binomul lui Newton si cu transportul de structura.

Fiecare dintre aceste ,metode este ilustrata prin cateva exemple.

Capitolul 2,intitulat “Polinom caracteristic” defineste notiunile de polinom caractersitic al unei matrice,valori proprii,etc. ,prezinta forma generala a polinomului caracteristic pentru o matrice de ordinal n,cu particularizari pentru n=2 si 3.Un rezultat important il prezinta teorema lui Cayley-Hamilton.

Capitolul 3,dupa cum indica si titlul este dedicate studiului ridicarii la putere a matricilor de ordinul 2 prin toate metodele prezentate.

Capitolul 4,prezinta aplicatii la ridicarea la putere a matricilor cu ajutorul teoremei impartirii cu rest lui X la puterea m la polinomul caracteritic al unei matrice.

Capitolul 5,continua un set de probleme representative ale acestei teme.

Lucrarea se doreste a fi un material util atat profesorilor cat si elevilor cu inclinatii catre studiul matematicii.

Capitolul 1

Consideratii metodice asupra procedeelor de ridicare la putere a unei matrice.

In acest capitol ne propunem sa trecem in revista metodele clasice de ridicare la putere a unei matrice folosind:
-metoda inductiei matematice

-Binomul lui Newton

-siruri concurente

-transportul de structuri

Fie A℮Mn (k),unde k este unu din inelele Z,Q,R sau C.

Definim A2℮Mn(k), A2=A·A

A3℮Mn(k), A3=A2·A

si in general pentru n℮N,n ≥1 An=An-1·A

RIDICAREA LA PUTERE A MATRICILOR CU METODA INDUCTIEI MATEMATICE

Aplicatia 1

Fie matricea A=

Calculati An;n℮N*,x℮R

Solutie:

A2=A·A= =

A3=A2•A==

Demonstram prin inductie ca :

An=

Relatia fiind adevarata pentru n=1,2,3 presupunem ca este adevarata pentru n si calculam An+1.

An+1=An•A==

An+1=

Deci An= ;() n1

Aplicatia 2

Sa se calculeze An daca a= ,xR

Solutie

A2=AA= =

Demonstram prin inductie ca An=

Verificarea fiind facuta calculam An+1

An+1=AnA= =

=

==

Deci An= ;n1

Aplicatia 3

Fie matricea A=.Calculati An,n

Solutie

Scriem matricea A sub forma:

A==2 =2

Atunci, conform aplicatie 2 avem :

A2 = A :A =22

Verificarea fiind facuta presupunem ca An =2n

Demonstram ca An+1=2n+1

An+1=An•A=2n 2•

=2n+1

Deci An=2n ,nN,n1

Aplicatia 4

Fie matricea A= ,aR.Calculati An,n1

Solutie

A2=A•A==

A3=A2•A==

Deci An=.Calculam An+1

An+1=An•A==

Deci An=

Aplicatia 5

Fie matricea A= ,aR.Calculati An,n1

Solutie

Calculam A2,A3,…..

A2=A•A==

A3=A2•A==

Presupunem ca Ak=si aratam ca

Ak+1=

Dar Ak+1=Ak•A==

Deci An=

Aplicatia 6

Fie matricele A=

a)Sa se arate ca A•B=B•A

b)Sa se demonstreze ca folosind metoda inductiei matematice ca (A+B)n=An+Bn,nN*

c)Sa se calculeze (A+B)n

Solutie

a)A•B==

B•A==

b)Verificarea

-pentru n=1=> (A+B)-adevarata

-pentru n=2=>(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+B2-adevarata

Demonstratie

-presupunem ca (A+B)n=An+Bnsi demonstram ca (A+B)n+1=An+1+Bn+1

Dar (A+B)n+1=(A+B)n (A+B)=(An+Bn)(A+B)=An+1+An•B+Bn•A+Bn+1=An+1+An-1•A•B+Bn-1•BA+ Bn+,deci (A+B)n+1=An+1+Bn+1

c)Calculam (A+B)n.Dar conform pct. b avem: (A+B)n=An+Bn ,si calculam An si Bn

A2=A•A===-3=-3A

A3=A2•A=-3A•A=-3 A2=-3(-3A)=(-1)2•32•A

Presupunem An=(-1)n-13n-1•A A si demonstram ca

An+1=(-1)n 3n•A

An+1=An•A=(-1)n+1 3n-1 A•A==(-1)n+1 3n-1•A2=(-1)n+1 3n-1

•(-3A) =(-1)n • 3n•A

Deci An=(-1)n • 3n•A

Calculam Bn

B2=B•B===3B

B3=B2•B=3B•B=3B2=3•3B=32•B

Presupunem Bn=Bn-1B si demonstram ca Bn+1=3n•B

Bn+1=Bn•B=3n-1•B• B2B=3n-1 • B2=3n-1•3B=3n•B

Deci Bn=3n-1•B Atunci:
(A+B)n=An+Bn=(-1)n-1•3n-1•A+3n-1•B=Bn-1[(-1)n-1•A+B]

Ridicarea la putere a matricilor folosind siruri recurente

Daca A Mp(R),sa notam elementele notiunii An Mp,n1 cu (aij)n.

Atunci putem forma p2 siruri de numere reale,pentru fiecare pozitie (I,j),considerand sirul (aij)1, (aij)2….…, (aij)n

Evident (aij)1=aij, (aij)2este elementul de pe pozitia (i,j) din matricea A2,si cum An=An-1•A obtinem ca este o relatie

Pentru fiecare din sirurile (aij)n.

Din aceste relatii de recurenta , incercam sa obtinem apoi formula general pentru fiecare dintre sirurile (aij)n.

Metoda poate funcitona destul de bine pentru un numar de siruri (aij)n si poate deveni mai cu cat numarul de siruri este mai mare.

APLICATIA 1

Fie matricea A= . Calculati An, n 1

SOLUTIE

A2 = AA = =

Presupunem An =

An+1 =An A = = = , avem

Cum xn =an +bn este o progrsie geometrica cu ratia q=3 si x1 =3n => xn =3n si

Jn+1 = an+1- bn+1 => Jn+1 =Jn = ……..= a1-b1 =2-1=1.

An = bn +1

An +bn=3n

2an +bn =bn + 3n+1 => an = si bn = =>

An =

APLICATIA 2

Fie A = ; (An) Calculati An, n1

SOLUTIE

A2= A A = =

Presupunem An = = = =>

Cum a1 =2=> an+bn+3

Bn +1 =bn +4n+3 b2=b1+4+3

B3=b2+4 X 2+3

………………

bn=bn-1 +4(n-1)+3

insumand obtinem : bn= b1 +4 [ 1=2+….+(N-1)]+3(N-1) = 3+4 +3n-3 = 2n2-2n+3n=2n2+n => bn =n(2n+1)

Deci An=

APLICATIA 3

Fie matricea A = Calculati An, n1

SOLUTIE

A2=AA = =

Presupunem a1=7 ; b1=1 si An =

An+1 =AA = = =

Deci => => => =>

An =

Fie matricea A= , x,y,R. Sa se calculeze An, n1

Solutia

Avem A2= =

Presupunem An = si calculam An+1

An+1 = =

Deci pentru sirurile (xn) , (yn) avem relatiile :

de acolo obtinem xn+1 + yn+1 = (x+y) (xn+yn)

xn+1 – yn+1 = (x-y) (xn –yn)

Observam ca srul an=xn+yn verifica matrice de recurenta an+1 =(x+y) an, a1= x+y iar sirul bn= (x-y) verifica relatia de recurenta bn+1= (x-y) bn b1= x-y.

Obtinem an = (x+y)n si bn = (x+y)n de unde xn == si yn= =

Rezulta An=

Ridicarea la putere a matricilor folosind binomul lui Newton

Daca A,BMn(k),k unul din multimileZ,Q,R,C,si matricile A,B intre ele,AB=BA,atunci pentru a calcula (A+B)n,n1,putem folosi formula lui Newton.

(A+B)n=Cn0 An+C1nAn-1B+C2nAn-2B2+………….+Cnn Bn

Metoda poate fi folosita cu succes pentru a calcula An,n1,atunci cand matricea A se poate scrie ca suma a doua matrice B si C ale caror puteri sunt relativ usor de calculat.

Fie A= ,x,yeR,sa se calculeze An,n1

Solutie

A=x I2+yB,unde B =

Avem B2===5I2

B3=B2•B=5I2B=5B

B4=52I2;

B5=52B

De unde prin inductie obtinem :

B2k=5kI2 si B2k+1=5kB

An=(x I2_+yB)n=C0n xn I2+Cn1 xn-1yB+Cn2 xn- y2B2+………

An=(Cn0 xn +Cn2 xn-2y2 5+C4n xn-4y4 52+….)I2+(Cn1y+C3n xn-3y35+Cn5 xn-5y552+………)B

=anI2+bnB

Observam ca an+bn=(x+)n si an-+bn=(x-y)n de unde

An=si bn=

Fie matricea A= .Sa se calculeze An,n1

Solutie

Observam ca A= + =I2+B

Calculam puterile matricii B=

B2==

Vom demonstra prin inductie ca Bn=2n-1B

Verificarea fiind facuta calculam Bn+1Bn1

Cum I2 si B putem folosi binomul lui Newton pentru a calcula An

An=(I2+B)=Cn0I2+Cn1B+Cn2B+ Cn2B2+……. Cnn Bn=

=I2+ Cn1B+Cn22B+ Cn2B + Cn3 22B +………. Cnn 2n-1B

= I2(Cn1+Cn22+ Cn2 + Cn3 22 +………….+ Cnn 2n-1 )B

= I2+[(1+2)n-1]B=I2+B

An=+=

POLINOM CARACTERISTIC

DEFINITIE

Fie A M n (C) , A= (aij) i,j =

Polinomul cu ceficienti complecsi.

PA (x) = det (xIu-A) se numeste polinom caracteristic al matricii A

Ecuatia PA () =0 se numeste ecuatia caracteristica a matricii A, iar radacina ei complexe se numere valori proprii ale lui A.

Multimea valorilor proprii formeaza spectul matricii A.

Dezvoltand determinantul det ( x In – A ) se obtine forma algebrica a polinomului caracteristic

PA (x) = an xn+ an+1xn+1+… a1x+a0, unde an=1, a0=(-1) n det A si an-r este produsul dintre (-1)n si suma minorilor diagonali de irdin K ai matricii A (care sunt in numar de C)

Vom demonstra acest lucru pentru n=2 si n=3

N=2

PA(x) == (x-a11) (x-a22) – a21a12 = x2 – x (a11+a12) + a11a22 – a21a12= x2- trA +det A

N=3

PA(x) = = +

+ = ++

+ = +

++

=x3 +x2(-a33) +x2 (-a22) + X + x2 (-a11) +x

+ x – det A = x3- ( a11 + a22 + a33) x 2 +

++ x – det = x3- trA .x2+trA x-det A.

Demonstratia se poate generaliza dezvoltand det (xIn- A) in 2n determinanti.

Putem folosi pentru aflarea coeficientilor polinomului caracteristic si derivatele formale alea acestuia

Pentru n=3

PA(x) = = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

Evident a0 = P A (0) =(-1) 3 det A = – det A , a3=1

P(x) = + +

= 3a3 x2 + 2a2 X + a 1

a1 = P(0) = ++= suma minorilor diagonali de ordin 2 ai matricii A.

P(x) = + +

+ +

+ + ++

+ + = 6a 3 X + 2a 2

2a 2= P A (0) = – a 33 – a 22 – a 33- a 11 – a 22 – a 33- a 11 = – 2 (a 22 + a11+ a33)

a2 = – (a 22 + a11+ a33) = – tr A .

TEOREMA HAMILTON- CAYLEY

O matrice A Mn ( C) isi apmlaseaza polinomul caracteristic, adica PA (A) = On

Dem:

Fie PA (x) = anxn + an-1xn-1 + …..+ a1x+a0= det ( xIn-A) si (xIn-A)* adjuncta matricii caracteristice (xIn-A) (xIn-A) (xIn-A)* = det (xIn-A) . In.

Din modelul de formare al adjunctiei deducem ca elementele matricii (xIn-A) sunt polinoame de gradul (n-1 , deci ea se poate scrie ca un polinom de grad (n-1) cu coeficienti matriciali, adica (xIn-A)* = Bn-1 X n-1 + Bn-2 Xn-2 + …..+ B1X + B0, c B M n ( c)

(xIn-A) (Bn-1 X n-1 + Bn-2 Xn-2 + …..+ B1X + B0 ) = PA(x). In.

Si identificand coeficienti obtinem :

si adunand relatile obtinem :

an An + an-1 A n-1+ …………+ a2 A2 +a1A + a0 In = On, adica PA(A) = On.

EXEMPLE :

1. Fie A =

PA ( X) = = (x-1)(x-4)(x+1) – 15(x-4)-(x-1)+10 = (x2-1) (x-4)-15x+60-x+1+10= X3- 4×2-x+4-16x+71= x3-4×2-17x +75.

Din teorema H-C => PA(A) = 0 => A3-4A2- 17 I3) = I3 rezulta A-1 = – (A2 –4A-17I3)

2. Fie A M 2 cu trA =1. Daca p N p 2 ai Ap+1

= Ap , atunci An=A, n2.

Solutie:

Ap+1= Ap Ap(A-I2) =0 => (det A)p det (A-I2)=O .

Daca det A o => A este si din Ap+1 =Ap => A=I2 => An=I2=A

Daca det A=0 => din Th . H-C avem

A2-trAA + det AI2=0 si cum trA =1, det A=0 =>

A2=A si prin inductie obtinem An=A

Ridicarea la putere a matricilor cu ajutorul transportului de structura

Aplicatia 1

Fie M= ;aR cu operatia de inmultire a matricilor.Aratati ca :

a)M(a)=M(b)a=b

b)M(a) si M(b) M=>M(a) M(b) M

c) M(a)M(b)=M(b) M(a)

d)Calculati Mn(a),n1

Solutie

M(a)=M(b)=> =

=>a=b

-a-b/(-1)=>a=b

-= a=b

b) M(a) M(b =

M(a) M(b=M(a+b)M

c) M(a) M(b= M(a+b)

M(b) M(a)= M(b+a) din comutivitatea adunarii numerelor reale M(a) M(b)= M(b) M(a)

d)Calculam M(a)n prin inductie matematica:

M(a)2= M(a) M(a)=M(a+a)=M(2a)

M3(a)= M(a)2 M(a)=M(2a)M(a)=M(3a)

Presupunem ca Mn(a)=M(na) si demonstram ca M(a)n+1

=M((n+1)a)

M(a)n+1=Mn(a) M(a)=M(na)+M(a)=M(na+a)=M((n+1)a)

Fie A=,xR.Calculcati An,n

Solutie

Notam A=A(x) si calculam

A(x) A(y)= =

=

=

Cum A(x)A(y)=A(xy),putem demonstra prin inductie ca A(x1) A(x2)……….A(xn)=A(x1 x2 ……xn).

Pentru x1=x2=…….xn avem

An=An(x)=A(xn)=

APLICATII LA CALCULUL PUTERILOR UNEI MATRICI

TEOREMA 1

Fie A M2 (C ) si 1, 2 valorile progresii ale lui A.

Daca

Si =det A atunci

An= A-n-1 I2 n1

Dem: deoarece , sunt radacinile polinomului

PA (x) =det (xI2-A)= X 2 –trA X + det A rezulta ca 0=0,

1=1, 2=rtA

pentru n=1 avem A= ,A -I2=> A=A

n=2 avem A2=A-1I2=>

A2=trAA-I2=> A2-trAA-I2=o=>PA(A)=0 si relatia este verificate pt n=1 si n=2

PresupunanI

TEOREMA 1

Fie A M2 (C ) si 1, 2 valorile progresii ale lui A.

Daca

Si =det A atunci

An= A-n-1 I2 n1

Dem: deoarece , sunt radacinile polinomului

PA (x) =det (xI2-A)= X 2 –trA X + det A rezulta ca 0=0,

1=1, 2=rtA

pentru n=1 avem A= ,A -I2=> A=A

n=2 avem A2=A-1I2=>

A2=trAA-I2=> A2-trAA-I2=o=>PA(A)=0 si relatia este verificate pt n=1 si n=2

Presupunand relatia adevarata pantru n sa demonstram ca :

An+1= A-In

CAP 4

III. Aplicatiile la ridicarea la putere a matricilor de ordin 3 si 4

Daca A Mn (C ) , m N si r este restul inpartirii lui Xm la K (x) , atunci Am = R(A)

Dem : Aplicand teorema impartirii cu rest polinomului Xm si K(x) din C[x] , exista in mod unic polinoamele g , r , C[x] , a. i xm = K(x) ∙g(x) + r (x) , grad r(x)<grad K(x) si atunci Am= K(A) g (A) + r(A)

Din teorema Cayley-Hamilton , avem K(A) = 0 => Am = r(A)

OBSERVATIE

Pentru calculul unei puteri Am , A Mn (C ) , m n se va determina polinomul matricial de grad n-1 , ai carei coeficienti se gasesc usor daca se cunosc radacinile ecuatiei caracteristice. Pentru cazul matricilor patratice de ordin 2 si 3 , obtinem : Am = am A+bm I2 , AM 2(C ) respectiv Am = am A2 + bm A+CmI3,AM (C )

Exemplu 1. Sa se calculeze An, nN stiind ca A =

R : K (X) = =(x-1) 3

Ecuatia caracteristica (x-1)3= 0 are solutie tripla x1=x2=x3

Din teorema impartirii cu rest avem :

Xn = (x-1)3= g(x) +an x2 +bn + cn (1) si atunci => An=anA2+bnA+cnI3

Pentru x=1 => an +bn+cn=1

Derivand relatia (1) obtinem: n Xn-1 =(x-1)2 [3g(x)+ (n-a) g’ (x)] + 2an +bn (2)

Pentru , x=1 => 2an +bn =n

Derivand relatia (2) obtinem:

n(n-1) xn-2 = (x-1) [6g(x) + 2g’(x) +3 (x-1) g’(x) + (x-1)g’(x) + (x-1)2 g’’ (x) ] +2an

pentru x=1=> 2an=n(n-1)=> an = => bn = n(n-2) , C n = si atunci An = + n(2-n) + => An

Exemplu 2: Fie A Calculati, An , nN

Rez: K(X) = = x(x-1)2

Xn = k(X) g(X) + anx2 + bnX+Cn (1)

Derivam relatia 1 si obtinem :

N Xn-1= 2x(x-1) (….) + 2anx+bn (2)

Pentru x=1 => => an = n-1

Cn =2-n

Pentru x=0 => Cn = 0

An= (n-1) + (2-n)

An=

Exemplu 3

A = Calculati An, nN

Rez: ecuatia caracteristica este x(x2-1) =0 => x1=0, x2=1 , x3=-1

Aplicand teoremele impartirii cu rest obtinem:

Xn= X(X-1) (X+1) g(X) +anx2+Cn

Pentru x=0 => Cn=0

x=1=> an+bn=1 => an = ; bn=

x=-1=> an-bn=(-1)n

Cum An = an A2+ bnA + Cn I3 ave,:

Pentru n1=par => An =A2 (an=1, bn=0)

n2=impar => An= (an=0. bn=1)

Exemplu 4

A= Calculati An, nN

Rez: : ecuatia caracteristica matricei A este :

X3-2×2+2x-1=0 cu valorile proprii x1=1 , x2,3 =

Aplicand teorema impartirii cu rest obtinem:

Xn=(x-1) (x2-x-11) g(x) +anx4+bnx=Cn de unde se obtine

An=CnA2+ bn+ cn i3

Pentru x=1 => an+bn+cni3 si din faptul ca este o valoare a ecuatiei X2-x+1=0 avem relatia :

a +bn + cn= care este echivalentul cu (an+bn) + cn-an= n=-1

Avem urmataore situatei 1. Daca n=6k, kN , obtinem sistemul :

=> an+ bn=0 cn=1 => An= I3

Daca n=6k+1, kN =>