Modelarea Situatiilor Concurentiale

Modelarea situațiilor

concurențiale

Cuprins

Cuprins

Bibliografia:

Modelarea și simularea proceselor economice “Rațiu Suciu Camelia”

teorie si practică

cercetare operațională cu aplicații în economie, “Boldur-Lațescu”

O minte sclipitoare, București,1998, Sylvia Nasar,

Autobiografia lui John Nash pentru premiul Nobel;

Cercetare operațională în intreprinderile industriale “”

Scurt istoric

Teoria jocurilor reprezinta o abordare interdisciplinara si distincta a studiului comportamentului uman. În teoria jocurilor, cele mai incluse discipline sunt matematica si economia, dar si alte stiinte comportamentale și sociale. Matematicianul John von Neumann a creat teoria jocurilor. O lucrare importanată a lui, fiind și prima a fost “The Theory of Games and Economic Behavior”, lucrare scrisa in colaborare cu un celebru economist, Oskar Morgenstern. Odata cu lucrarea lui Neumann, “jocurile” au devenit o metafora stiintifica ce înseamnă o gama mare de interactiuni umane ale caror finalitate depinde de strategiile interactive a doua sau mai multe persoane, ale caror importanță sunt in cel mai rau caz opuse sau in cel mai bun caz, partial comune.

Matematicianul american evreu John Von Neumann

Teoria jocurilor avea ca obiect de cercetare strategiile abordate de către participanții la jocurile cu două sau mai multe persoane,John von Newman folosind la început jocul de pocker ca demonstrație.Ulterior,prin îmbunătățiri și completări,această teorie va urma să aibă o influență importantă asupra desfășurării activităților economice sau chiar asupra modului de abordare a relațiilor internaționale,iar cel care va aduce contribuții importante la dezvoltarea acesteia va fi o persoana importantă al acestui articol, John Nash, prin a sa teză de doctorat despre jocurile non -competitive din anul 1950, care va consacra  conceptul de „Echilibru Nash “,concept ce îi va aduce premiul Nobel pentru economie.

Matematicianul american John Nash

John Nash își are originea dintr-o familie bună,din clasa de mijloc americană,care punea mare accent pe formarea și educația copiilor. Tânărul demonstra încă de la o vârstă fragedă că dispune de posibilități intelectuale de excepție pentru a-și construi o profesie de succes. Felul său de a fi nu era diferit de cel al altor genii în formare :era o persoană care își îndreaptă atenția mai ales spre trăirile sale interioare, care manifesta o atitudine de superioritate față de cei din jur,trasături ce aveau să nu îl facă o persoană prea placută în colectivități.

În anul 1948 după absolvirea Institului Tehnologic Carnegie , tânărului John Nash, la numai 20 de ani i se deschid oportunități remarcabile :primește burse la cele mai de prestigiu universități americane ,Harvard și Princeton. Alegerea celei din urmă se va dovedi de foarte bună pentru personalitatea sa,deoarece viziunea privind formarea viitorilor specialiști la Universitatea din Princeton era total diferită de severitatea impusă la Harvard. Studenții,aici erau încurajați să își valorifice la maximum creativitatea și originalitatea, punându-se foarte puțin accent pe notele sau examenele obținute.

Pentru a-i mulțumi pe “nenorociții de decani “ notele trebuiau trecute ,iar situațiile școlare ”erau pentru filistini”(oameni fațarnici),după concepția unuia dintre profesorii de prestigiu ai universității, Solomon Lefschetz. În acest cadru ,John Nash va reuși să intre în legătură cu personalități de excepție ale domeniului matematicii și va reuși să își valorifice potențialul ,în numai doi ani obținând titlul de doctor ,cu teza ”Puncte de echilibru în jocuri cu N persoane”,coordonată de către profesorul Albert W.Tucker. În perioada în care era la Princeton John Nash nu mergea mai deloc la cursuri, a fost trecut cu vederea de către profesori,acesta câștigându-și deja reputația.

Din această perioadă cercetările sale s-au realizat în mod practic prin publicări în revistele de specialitate  “Econometrica șiAnnals of Mathematics”. John Nash recomanda rezolvări ingenioase pentru simplificarea teoriei jocurilor ,cum ar fi problema negocierii.Acestea vor avea un deosebit impact asupra științei economice care funcționa în mare parte după principiile din secolul XVIII ale lui Adam Smith.

Felul de cercetare al lui Nash era bazat pe metoda axiomatică ,idee relativ nouă pentru acea perioadă,prin care se pornea de la axiome deja cunoscute și se formulau noi idei prin deducție logică. Un important fapt de adus la cunoștință este că singurele cunoștințe pe care John Nash le avea despre economie au fost obținute în urma unui curs de comerț exterior studiat la Carnegie.Din acest fapt deducem că John Nash studia individual,bazându-se foarte mult pe intuiție.

Teoria propusă de John Nash arăta în următorul fel :”acesta susținea ideea calculării punctelor de echilibru în ceea ce privește studierea jocurilor cooperante,în scopul găsirii soluției optime în problemele de negociere.” Fără a intra în amănunte ce țin de matematică,acesta susținea că printr-un calcul matematic se putea determina punctul în care două părți cad de comun acord ,punct numit ”Soluția Nash”,aflat pe o curbă de optimitate Pareto.

Corporația RAND (Research and Development ) a fost fondată în anul 1948 cu scopul de a furniza idei pentru tacticile armatei americane,devenind în prezent cel mai prestigios laborator de idei din lume.Perioada în care John Nash a lucrat pentru RAND a reprezentat o fază Începătoare în istoria acesteia,în care se testau anumite teorii și erau recrutați oameni de știință din domenii diferite de activitate, matematicienii fiind de mare importanță.

John Nash aici își va pune amprenta la crearea jocului de strategie numit ”Dilema deținutului”, ce este conținută în prezent în teoria relațiilor internaționale,dar având aplicații și în alte domenii ca economia și psihologia. În felul următor era exemplificată aceasta: ”Poliția arestează doi suspecți pe care îi interoghează în încăperi diferite.Fiecare are de ales între a mărturisi ,implicându-l astfel pe celălălalt ,și a tăcea.Trăsătura principală a jocului este că ,indiferent de alegerea făcută de celălalt ,fiecare suspect (luat în parte ) este mai avantajat dacă mărturisește [….]Mărturisirea este strategia dominantă .Ironia constă în faptul că pentru ambii deținuți (luați împreună) ar fi mult mai bine ca nici unul să nu mărturisească -adică dacă ar coopera…”. Astfel se puteau face corelații cu cursa înarmărilor dintre S.U.A. și U.R.S.S. din timpul Războiului Rece ,ajungându-se la concluzia că cele două superputeri ar fi mai avantajate dacă ar coopera și ar renunța la înarmare.

Pe principiul acestei teorii realizate de către Albert Tucker,John Nash va realiza în anii petrecuți la RAND un nou model de negociere dintre două părți în patru pași ,care va fi publicat în 1953 în Econometrica cu titlul ”Two person cooperative games”. Mai pe scurt,cei patru pași ai negocierii propuse de către acesta erau: alegerea unei amenințări de către fiecare jucător;comunicarea amenințărilor;alegerea unui scop care să aducă un avantaj (soluția optimă) și ultimul pas în care dacă negocierea avea succes să satisfacă pretențiile ambilor jucători ,jucătorii obțineau ce își doresc.Dacă nu reușea ,se puneau în practică de la pasul 1 amenințările.

Conceptele lui John Nash despre punctele de  echilibru și teoria jocurilor își vor dovedi utilitatea Aceasta era exemplificată începând cu anii '70 -'80 ,când economia mondială va trece prin profunde schimbări.O aplicație lipsită de confuzii a ideilor acestuia este modul de organizare al cunoscutelor licitații publice,care vor fi întrebuințate cu succes începând cu anii '90 pentru atribuirea contra cost a anumitor bunuri și servicii de către guverne persoanelor interesate. Distribuirea licențelor a fost permisă de teoria jocurilor în cadrul unui proces de licitație să se facă într-un mod eficient, realizându-se astfel tipul de licitație simultană cu ofertă ascendentă pe care îl cunoaștem în momentul de față.

Toate aceste contribuții la crearea economiei moderne din ultimele trei decenii i-au adus premiul Nobel în anul 1994.

John Nash a fost exemplul omului care a caștigat indiferent de situații,de aceea povestea sa de viață a reprezentat subiect pentru un roman biografic de succes și pentru un film premiat cu Oscar (A Beautiful Mind, 2004). Felul prin care acesta oferea soluții la problemele cele mai complicate pe baza propriilor observații ,fără a consulta lucrări de specialitate ,poate fi un exemplu pentru cercetarea științifică din  cadrul oricărui domeniu de activitate, poate chiar și pentru cercetarea istorică.

Capitoulul 2

2. Modelarea situatiilor concurentiale

2.1 Elemente privind jocurile strategice

Jocul reprezinta un proces competitiv care se desfasoara intre mai multi participanti numiti jucatori, iar cel putin unul este inteligent si prudent , adica poate analiza si hotari asupra actiunilor viitoare.

In modelarea proceselor economice jocurile cu doi participanti au o deosebita imporatanta.

Partida reprezinta desfasurarea actiunilor dupa anumite reguli a jucatorilor. Orice pratida are o stare initiala si o stare finala, cea finala determinand , un castig sau o pierdere pentru fiecare jucator, pe baza regulilor jocurilor .

O colectie de succesiuni de actiuni ale unui jucator reprezinta strategia, fiecare dintre succesiuni fiind pregatita ca o reactie fata de strategia adversarului in scopul atingerii obiectivului propus, adica a acelei stari finale careia regulile jocului ii asociaza maximum de castig posibil.

Un joc cu doi jucatori se poate reprezenta sub forma matriceala (tabelul nr.1)

Tabelul 1.Joc cu doi jucători reprezentat sub formă matriceală

In acest tabel, A reprezinta unul dintre jucatori, iar B reprezinta adversarul.

A = {,,…,}- este multimea strategiilor lui A,

B = {,,…,}- multimea strategiilor lui B

(i=1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – reprezinta consecinta corespunzatoare adoptarii strategiei A si a strategiei B, de catre B.

In procesul de decizie pe care-l reprezinta alegerea uneia sau alteia dintre strategii utilitatile u() ale fiecarei consecinte, ar trebui luate in consideratie. Pentru simplificare, se va considera ca toate consecintele sunt valori banesti sau ca ele reprezinta chiar utilitati.

Exista mai multe categori de jocuri. O prima categorie de jocuri sunt jocuri cu punct sa , caracterizate prin aceea ca un rationament corect impune fiecaruia din

cei doi jucatori alegerea cate unei anumite strategii optime. O solutie a jocului constitiuie ansamblul celor doua strategii optime.

In matricea de mai jos reprezentam urmatorul joc (tabelul nr 2.)

Tabelul 2.Joc sub formă matricelă

Tabelul nr 2. il interpretam astfel:

daca jucatorul A alege strategia , iar jucatorul B strategia , jucatorul A castiga 1 punct , iar B, pierde 1;

daca A alege strategia , iar B strategia , jucatorul A pierde 1 punct, iar B castiga 1 punct s.a.m.d

Cum va proceda jucatorul A pentru a alege strategia optima?

A poate avea cel mai mare castig prin alegerea strategiei , in cazul cand B alege startegia , dar si la cea mai mare pierdere , in cazul cand B alege strategia , in schimb strategia este mai prudenta deoarece aduce decat un castig maxim de 0,5, dar , in cazul cel mai nefavorabil , nici pierderea nu e mai mare decrderea nu e mai mare decat 0,5. Se observa de asemenea , ca atat pentru strategia cat si pentru strategia , ambele consecinte sunt mai avantajoase decat consecintele corespunzatoare ale strategiei .

“In terminologia teoriei jocurilor “se va spune ca strategiile B2 si B3 domina strategia , ca fiind totdeauna dezavantajoasa pentru jucatorul B care poate fi prin urmare eliminata. Efectuand modificarile avem urmatoarea matrice (tabelul nr 3.):

Tabelul nr. 3

Se observa in maticea de mai sus ca strategia , domina pe si prin urmare eliminand-o pe aceasta din urma, matricea va avea urmatoarea forma finala:

Tabelul nr.4

Jucatorul B va alege strategia in mod evident.Prin urmare, ambii jucatori si-au ales strategiile printr-un sir de rationamente: jucatorul A strategia , iar jucatorul B strategia . Datorita acestor alegeri jucatorul A va pierde 0,5 puncte , iar jucatorul B va castiga 0,5 puncte. Un aspect important este faptul ca aceste cifre constituie valori minime la care se pot astepta cei doi jucatori alegand cele doua strategii, si anume , valori care rezulta cand adversarul “joaca” corect. Observam cu usurinta ca daca unul dintre jucatori greseste , adica alege alta strategie , celalalt jucator, castiga mai mult decat valorile indicate mai sus ,daca “joaca ” corect.

Rationamentul dupa cum s-a observat la jocurile de tipul de mai sus impune fiecarui jucator cate o strategie optima numita “strategie pura”.

O solutie a jocului este formata din perechea celor doua strategii optime care si determina un asa-numit puncat sa . Valoarea jocului este reprezentat de castigul, respectiv pierderea, inregistrata de cei doi jucatori (in cazul de mai sus 0,5), ca rezultat al aplicarii perechii de strategii optime.

Determinarea strategiilor optime la jocurile avand punct sa se poate face fara a relua intregul rationamentul pe baza asa-numitului principiu maximin .

Fie jocul de ordinul , avand urmatoarea matrice asociata :

Primul jucator va alege acea strategie careia ii corespunde un castig de minimum, confrom principiului maximin :

= max(min ) ; 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n ;

i j

Pentru determinarea valorii si a strategiei corespunzatoare el va proceda astfel : va determina toate valorile minime pe linii (min ) si dintre acestea va lua valoarea maxima (maximin ).

Al doilea jucator va proceda asemanator alegand toate maximele pe coloana (max ) si luand pe cel mai mic dintre ele (minmax ):

=min(max ) ;1 ≤ j ≤ n; 1 ≤ i ≤ m

j i

Jucatorii care au punct sa cele doua valori sunt egale si corespund valorii jocului:

===max (min ) = min (max ) ; 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n ;

i j j i

Categoria a doua o constituie jocurile fara punct sa.

Ele se caracterizeaza prin faptul ca un rationament oricat de riguros al jucatorului nu-i va conduce in mod necesar la alegerea unei anumite perechi de strategii, ca in cazul jocurilor cu punct sa.

In cazul cand procesul economic al carui model matematic este un joc fara punct sa si se repeta, in conditii identice de multe ori , exista o rezolvare specifica a problemei constand in determinarea strategiilor mixte optime ale celor doi parteneri.

O strategie mixta a jucatorului A, care are la dispozitie m strategii:, este un sir de m numere (;), care reprezinta probabilitatile de a folosi fiecare din cele m strategii, in efectuarea unui numar mare de partide. Notiunea de strategie mixta a jucatorului B are un inteles asemanator . In teoria jocurilor se demonstreaza ca exista o pereche de strategii mixte ale celor doi jucatori, care sunt optime , asigurand un castig mediu maxim, respectiv o pierdere medie minima , egale intre ele.

In unele jocuri care au doi adversari care rationeaza, se modeleaza situatii conflictuale intre doua sau mai multe parti ,fiecare dintre parti urmarind alegerea unei strategii care sa-i asigure un rezultat cat mai avantajos in detrimentul adversarului sau adversarilor.

2.2 Aspecte privind teoria deciziei

Obiectivul teorie deciziei este modelarea structurii generale a procesului decizional. “Desi este de obicei considerata o disciplina independenta, avand in vedere rolul ei in modelarea unor procese decizionale care apar in activitatea organizatorica si de conducere, ii rezervam acest paragraf in prezentul curs ,cercetarii operationale.”

Problemele studiate pot fi privite in doua perspective, in cadrul teoriei deciziei:

in perspectiva descriptiva, cand se urmareste descrierea si intelegerea mecanismului decizional;

in perspectiva normativa, cand se cauta formularea unor regului relationale si eficiente de urmat in activitatea decizionala;

Cele doua perspective se complecteaza reciproc, de obicei.

Elementele procesului decizional

La un proces de decizie, in general se pot distinge urmatoarele elemente:

decidentul, adica individul sau multimea de indivizi care urmeaza sa ia decizia;

formularea (denumirea) pe care o da decidentul problemei decizionale intalnite;

multimea variabilelor (alternativelor) posibile, care caracterizeaza o situatie decizionala si din care trebuie aleasa o varianta optima;

multimea consecintelor anticipate pentru fiecare varianta luata in considerare;

multimea criteriilor de decizie ale decidentului, si anume punctele de vedere pe care le ia in considerare la alegerea variantei optime;

obiectivele (scopurile) decidentului, respectiv consecintele propuse a fi atinse pentru citeriile de decizie alese;

starile naturii.

Elementele procesului decizional pot fi reprezentate schematic astfel:

Tabelul 5. Elementele procesului decizional

Consecintele n reprezentarea de mai sus s-au notat cu (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n; k=1,2,…,r) iar decidentul , formularea problemei si obiectivelor urmarite trebuie specificate separat.

Exemplu 1. Un grup de specialisti trebuie sa aleaga o solutie privind dotarea unei intreprinderi cu echipament electronic de calcul. In tabelul de mai jos sunt prezentate elementele problemei:

Starile naturii luate in considerare pot fi analizate ca niste conditii posibile de conjunctura pe piata internationala a calculatoarelor.

Pentru fiecare criteriu in parte obiectivele urmarite de decident trebuie specificate si ele pot fi , de exemplu :

pentru criteriul cost – minimizarea costului ;

pentru criteriul durata –nedepasirea termenului de livrare de 8 luni;

pentru criteriul software – calitate cat mai buna.

Conceptul de utilitate

In teoria deciziei conceptul de utilitate apare ca urmare a necesitatii de a compara intre ele variante decizionale caracterizate prin mai multe consecinte. Referindu-ne la exemplul de mai sus si tinand seama, pentru simplificare, numai de starea naturii N1, variantele care trebuie comparte in vederea alegerii celei mai avantajoase sunt caracterizate din puncte de vedere al consecintelor in modul urmator:

(cost 4 milioane; durata de livrare 9 luni; calitate software buna);

(cost 4,8 milioane , durata de livrare 6 luni, calitate software foarte buna);

(cost 4,5 milioane, durata de livrare 8 luni, calitate software excelenta).

Dupa compararea celor trei variante nu ne putem spune care este mai avantajoasa. De aceea trebuie sa urmarim alegerea variantei care ne este cea mai avantajoasa., cea care are utilitatea maxima. Pentru acesta este nevoie sa se defineasca utilitatea. In continuare, vom prezenta principalele idei care stau la baza definitiei data utilitatii de “J. Von Neumann si O. Morgenstern” denumita in continuare “axiomatica V.N – M, “ fiind cea mai intrebuintata si cunoscuta definitie.

Utilitatea este o marime subiectiva, depinzand de aprecierea decidentului. Se introduc cinci axiome pentru a intelege caracterul subiectiv al estimarii utilitatii:

Axioma 1.

Doua variante decizionale si pot fi totdeauna comparte intre ele, decidentul putand pronunta una din urmatoarele optiuni :

prefera pe lui Vj(> );

prefera pe lui (>);

cele doua varinate ii sunt indiferente ( ~ )”

Axioma 2.

Relatia de indiferenta este tranzitiva si simetrica iar relatia de preferinta este tranzitiva.

Axioma 3.

“ In afara multimii V =(,,…,) a variantelor simple, decidentul poate lua in considerare un tip special de varinte simple numite “ mixturi probabilistice” de tipul: V =[p, (1-p)], in care p este probabilitatea realizarii varinatei iar (1-p) – probabiliatea realizarii variantei .”

Axioma 4.

Fie variabile , si si un decident care exprima relatia > > , exista o mixtura :

=[, (1-)], astfel ca >

Si o alta mixtura

, astfel ca >

Axioma 5.

Daca o varinta () este preferata altei variante () atunci o mixtura [p,(1-p) ] va fi totdeauna preferata mixturii [p,(1-p) ].

Functia de utilitate se introduce datorita acestor axiome , avand ca domeniu de definitie multimea variantelor , iar valori in multimea numerelor reale. Principalele sale proprietati sunt urmatoarele:

Fie si doua varinate decizionale, atunci > daca si numai daca ;

;

Daca functia de utilitate are proprietatile a si b , atunci ea poate suferi o transformare liniara pozitiva.

, cu si .

Procedeul practic de estimare a utilitatilor consta in a considera cunoscuta utilitatea a doua varinate apartinand multimii , utilitatea celorlalte varinate determinanandu-se cu ajutorul proprietetii b.

Exemplu 2

Variantelor si specificate mai sus stabilim urmatoarea ordine de preferinta :. Apreciem si iar pentru determinarea utilitatii lui construim mixtura si estimam probabilitatea p pentru care vom avea:

Sa presupunem ca se apreciaza p=0,6 atunci proprietatii b se scrie:

.

Tipuri de procese de decizie si algoritmi de rezolvare

Clasificari ale proceselor decizionale.

Clasificari ale proceslor de decizie din mai multe puncte de vedere:

a) Dupa numarul variabilelor posibile:

– procese de decizie cu numar finit de variante;

– procese de decizie cu numar infinit de variante;

b) Dupa numarul criteriilor luate in considerare:

– procese de decizie cu un singur criteriu ;

– procese de decizie cu mai multe criterii (multidimensionale);

c) Dupa numarul de stari ale naturii si probabilitatea de realizare a acestora:

– procese de decizie in conditii de certitudine (o singura stare a naturii, probabilitatea de realizare 1)

– procese de decizie in conditii de risc(mai multe stari ale naturii cu probabilitati de realizare cunoscute).

– procese de decizie in conditii de incertitudine (mai multe stari ale naturii, fara cunoasterea probabilitatilor de realizare a lor).

d) Dupa numarul decidentilor:

– procese decizionale cu decident unic;

– decizii de grup;

In perspectiva clasificarilor de mai sus vom prezenta ,in continuare diferite tipuri de procese de decizie.

Procese de decizie multidimensionale.

Atunci cand estimam utilitatea unor variante decizionale caracterizate prin mai multe consecinte, luam de fapt in considerare mai multe criterii decizionale. Estimarea utilitatii este insa globala, adica nu se analizeaza separat, consecinta cu consecinta. Teoria moderna a deciziei a simtit nevoia sa introduca estimarea utilitatilor separat de criterii ,spre deosebire de acest procedeu de comparare a utilitatii consecintelor, care are originea in teoriile economice ale secolului trecut.

Fie procesul decizional multidimensional:

Tabelul .7 Procesul decizional multidimensional

Utilitatea unei consecinte va fi:

In teoria deciziilor multidimensionale avem urmatoarele probleme:

cum estimam utilitatea consecintelor?

In ce conditii utilitatile consecintelor sunt aditive?

La acest tip de proces decizional dintre procedeele produse pentru estimarea utilitatilor consecintelor , cel mai avantajos pare a fi acela in care se considera multimea tuturor consecintelor X={,,…,, ,,…,,…., } si se aplica tuturor elementelor multimii metoda Neumann-Morgen-stern.

Problema este foarte compilcata, in ceea ce priveste aditivitatea multidimensionala a utilitatilor, nu exista inca procedee unanim acceptate de operare. Atunci cand criteriile sunt independente de obicei se accepta posibilitatea utilitatilor.

Facem urmatoarele estimari , considerand procesul de decizie multidimensional din tabelul 6 si anume numai stare naturii :

(6 luni ) = 1

(4,8 milioane) = 0

Cu ajutorul mixturilor se va determina utilitatea celoralte consecinte , de exemplu:

(4 milioane) = (6 luni) + (4,8 milioane) si daca estimam , vom avea:

(4 milioane) = 0,9.

Tabelul 8

Se va putea construi tabelul utilitatilor (tabelul 8), presupunand ca aplicam procedeul pentru toate consecintele si ca determinam astfel toate utilitatile . Vaianta optima va fi cea de utilitate globala maxima adica.

Tabelul 9

3.Procese de decizie in conditii de risc si incertitudine

a.Conditii de risc. Fie procesul de decizie cu mai multe stari ale naturii din tabelul 8. Presupunem ca cunoastem pentru fiecare stare a naturii probabilitatile de realizare.

In conditii de risc pentru a determina varianta optima se vor estima mai intai toate utilitatile consecintelor dupa metodele cunoscute.

Cea mai buna varianta va fi aceea cariea ii corespunde utilitatea medie ponderata maximă.

b. Conditii de incertitudine. Fie problema de mai sus, dar fara sa știm probabilitatea de realizare a stărilor naturii

Pentru a găsi soluția optimă in condiți de incertitudine putem utiliza una din regulile de mai jos:

Regula prudentă(Wald)

Se alege varianta căreia îi corespunde utilitatea:

Regula regretului (Savage). Se alege varianta căreia îi corespunde utilitatea :

Regula lui Laplace

Se consideră problema în condiții de risc cu probabilitățile de realizare a stărilor naturii egale între ele.

Exemplu 3

Reluăm problema de decizie a alegerii de risc cu echipament electronic de calcul și considerăm că datele de care dispunem impun luarea în considerare a trei stări ale naturii. Presupunem estimate utilitățile pe ficare criteriu în parte și însumate , ca utilități globale pe fiecare stare a naturii. (tabelul 10)

Regula prudentă

max [min(1,5; 1,3; 1,4), min (1,6; 1,5; 1,4); min (1,4; 1,2; 1,5) = max [1,3 ; 1,4 ; 1,2] =1,4 deci alegem .

Regula regretului

Se formează asa-numita ’’matrice a regretelor’’, iar pentru fiecare stare a naturii se scad toate utilitățile din cea maximă :

Aplicăm regula prodentă acestei matrici ținând seama că cele avantajoase sunt “regretele” mici:

Min [max (0,1 ; 0,2 ; 0,1), max(0 ; 0 ; 0,1), max(0,2 ; 0,3 ; 0) = min [0,2 ; 0,1 ; 0,3] = 01 , deci tot rezulta .

Regula lui Laplace

= max [1,4 ; 1,5 ; 1,37] = 1,5 tot .

4. Succesiuni de procese de decizie, arbori decizionali.

Procesul de decizie în condiții de incertitudine sau de risc, având regulile de mai sus și modelat schematic prin tabelul 6, este în cele mai multe cazuri practice doar o etapă dintr-o succesiune de decizii în condiții de incertitudine sau de risc. Prin asa-numitul “arbore decizional” se face reprezentarea succesiunii proceslor de decizii

În figura de mai jos se reprezintă arborele decizional pentru următoarea situație:

Pentru o investiție trebuie aleasă o varintă de execuție

, din două variante posibile. ( și ) . Realizarea lucrării

se poate efectua in condiții favorabile în ceea ce privește condițiile de

import ale unor utilaje () sau în condiții nefavorabile () influențând evident

costul.

La sfarșitul investiției , exploatarea ei se poate face in două () sau în trei schimburi

(), antrenînd în funcție de conjunctura favorabilă sau nefavorabilă () a pieței , beneficii sau pierderi la sfârșitul unei perioade de exploatare (de exemplu 4 ani).

Avem 8 strategii posibile în arborele decizional din figura 1 și anume:

Pentru a determina strategia optimă vom proceda astfel: se determină varianta optimă in condiții de risc sau incertitudine, după cum se cunosc sau nu probabilitațile și ,pentru fiecare din nodurile decizionale D2 – D5 ceea ce echivalează cu rezolvarea problemelor decizionale din etapa a II-a; utiliatea care se obține pentru fiecare din cele patru variante “optime” astfel găsite se va considera ca utilitate a consecinței asociate modului decizional adecvat. Dacă se cunosc și vom aplicarea regulile de decizie in conditii de risc- iar dacă cele două probabilitați sunt necunoscute vom aplicarea regulile de decizie in condiții de incertitudine

5. Decizii in grup. In sistemul axiomatic a lui von Neumann-Morggenstern, ca si in alte sisteme de fundamentare a operării cu utilitați, se ține seama că, la nivelul unui decident individual , o alegere între două variante a si b este rațională când se poate exprima precis că a este preferabil, echivalent sau nonpreferabil lui b dacă se respecta regula de tranzitivitate.

Cerințele de raționalitate la nivelul unui grup de decizie sunt mai complexe. J.K. Arrow definește cinci astfel de condiții:

Condiția 1. Metoda de decizie trebuie să fie aplicabilă mulțimii tuturor variabilelor posibile.

Condiția 2. Dacă o anumită variabilă urcă pe scara preferințelor fiecărui individ, atunci ea trebuie să urce pe scara preferințelor grupului.

Condiția 3. Dacă decizia se referă la n alternative posibile, “clasamentul” facut de un grup acestora nu trebuie să fie modificat prin luarea in considerare a unei noi variabile. De exemplu, daca se compară variabilele a si b, prima fiind preferata si se ia in considerare varianta c, relația între a si b nu trebuie să se modifice.

Condiția 4. Regula dupa care se extrage decizia colectivă trebuie să depindă direct de de opiniile individuale nu trebuie să fie independentă de acestea.

Conditia 5. Decizia colectivă nu trebuie să fie la fel cu opinia unui anumit membru al grupului , fară a ține seama de opiniile celorlalți

Pornind de la aceste condiții Arrow demonstrează că nu există nici o metodă de decizie colectivă care să îndeplinească cele cinci condiții de raționalitate enumerate și care să ducă întotdeauna la o soluție corectă când numărul decidenților este mai mare sau egal cu 2, iar numărul alternativelor superior lui 2. Acest rezultat se numește paradoxul lui Arrow fiind mult analizat și dezbătut , propunându-se o serie de motode pentru ieșirea din aceasta situație.

Una dintre metode constă in renunțarea la condiția a 3-a a lui Arrow , ceea ce echivalează cu posibilitatea de a “grada” preferințele și , în cele din urmă, cu introducerea unor utilitați aditive interpersonale. Însă numeroși autori contestată aditivitatea interpersonală a utilității .

O altă cale constă în aplicarea metodei ELECTRE (paragraful.3)

Deciziile de grup sunt procese de mare frecvență și importanță în munca de și conducere și organizare a activității în întreprinderi, unde cea mai mare parte a hotărârilor se iau în colective de specialiști. Acest fapt justifică în totalitate analiza teoretică a fenomenului și încercarea de modelare matematică , fie si parțială deocamdată, pe care o întreprinde teoria deciziilor de grup.

Metoda Electre

Un grup de cercetători de la SEMA(Sociétè d’Economie et Matematique appliquée, Paris) au pus bazele binecunoscutei metode ELECTRE, cunoscută sub numele de metoda “clasament si alegere în prezența unor puncte de vedere multiple”, aplicabilă în rezolvarea a numeroase probleme de decizie multidimensională.

Acesata metodă permite clasificarea și compararea elementelor unei mulțimi de obiecte M, ținând sema de m puncte de vedere, în scopul găsirii unor submulțimi omogene de elemente, precum și pentru a stabili o ierarhizare a elementelor.

Fie o mulțime , ale cărei elemente le vom numi strategii sau varinate și n criterii sau puncte de vedere pe baza cărora judecăm cele m obiecte . Obiectele multimii M în funcție de criteriile dupa care sunt judecate pot avea importanțe și semnificații diferite stabilindu-se pentru fiecare problemă în parte:

prezența sau absența unei proprietați;

recunoașterea unei caracteristici sau aprecieri a unui factor calitativ;

atribuirea unei note sau evaluarea unui factor calitativ;

Din punct de vedere analiza unui element duce la un rezultat , care poate fi o notă atribuită elementului , o valoare numerică , sau o apreciere calitativă (rău,bun, foarte bun etc.)

Fiecărui element , i se poate asocia o notă de apreciere care poate fi “normalizată” la o anumită scară.

Ca în cazul de mai jos , elementele și criteriile, împreună cu rezultatele , se transpun într-un tablou (tabelul 11):

Dacă elementele mulțimii X – sunt criteriile de decizie , iar elementele mulțimii M sunt modurile posibile de a acționa ale unui decident , suntem în fața unei probleme tipice de decizie multidimensională.

Metoda ELECTRE permite ordonarea alternativelor dupa criterii complexe , luând în considerare atât aspectele favorabile, cât și pe cele nevaforabile ale diferitelor posibilități și deci alegerea celei mai bune alternative.

Mulțimea rezultatelor, pentru fiecare criteriu, se notează cu pe care le vom numi stări, la care poate conduce analiza din puncte de vedere al elementelor lui M. Astefel se pot stabili n aplicații care reflectă această asociere:

Comparația elementele mulțimii M după starea multidimnesională a lui , care se asociază prin intermediul aplicațiilor , nu este posibilă decât dacă oricare două elemente ale lui M se pot compara din punct de vedere al fiecărui criteriu. Astfel fiecărui criteriu i se asociază un graf = (M,) , unde:

vârfurile grafului vor fi constituite din elementele mulțimii M;

vom duce un arc între două vârfuri și , orientat de la spre , dacă depășește pe în ordonarea după criteriul , dacă în această ordonare și sunt echivalente se va trasa între ele un arc în ambele sensuri.

O reprezentare clară a relației de preordine definită pe M de criteriul ne este dată de graful . Aceste graf are următoarele proprietăți:

daca există un drum orientat de la spre între două vârfuri , atunci există un arc și de la la iar este tranzitiv;

dacă două vârfuri oaricare și sunt unite printr-un arc cel puțin într-un sens atunci graful este complet.

Având la dispoziție posibilitatea de a ordona elementele mulțimii M după fiecare criteriu în parte, trebuie găsit un mod de a “sintetiza” rezultatul acestor comparații într-o ordonare finală. Acest fapt revine la obținerea unui graf – sinteză a acelor n grafe , de la care să se poată deduce o ordonare a elementelor lui M, ținând seama de toate criteriile .

În graful , prin definiție, avem arc de la un vârf la un vârf dacă și numai dacă există arc de la la în toate grafele .

Cu ajutorul grafului sinteză pentru a putea efectua o ordonare completă este necesar să se introducă conceptele de discordanță și concordanță care vor permite în final completarea lui cu arce până se obține un rezultat “bună” din toate punctele de vedere.

Între două strategii și indicatorul de concordanță se definește astfel:

Unde indicii sunt coficienții de importanță ai criteriilor considerate, iar suma se face după acei indici j pentru care .

În felul în care a fost definit, rezultă că acest indicator ia valori cuprinse între 0 și 1. El va oferi o indicație asupra nivelului de “depășire” a unei strategii de către o altă strategie .

Între două strategii și indicatorul de discordanță se definește astfel:

d(,) = 0 dacă oricare ar fi j = 1,2,….,n;

, maximul luându-se pentru acei indici j

Pentru care , iar d reprezintă ecartul maxim între valorile stărilor.

Dacă indicatorul de concordanță dă indicații despre modul în care o strategie , “depașește” (din punct de vedere luat în considerare) strategia , indicatorul de discordanță ne oferă o inforamație asemănătoare (dacă nu indică) despre felul în care strategia este depașită de strategia .

Se introduce o relație de durclasare în mulțimea M definită astfel: o strategie surclasează o strategie dacă c(,)p și d(,) q, unde q și p sunt două valori-prag , alese de decident și cupreinse între 0 și 1, valoarea lui q fiind apropiată de 0 , iar cea a lui p – relativ apropiată de 1.

Pentru fiecare perche de valori p si q ,acestei relații de surclasare i se asociază un graf :

În care:

și

Din definiția grafului G(p,q) reiese că dacă și , atunci este un subgraf parțial

al lui G(p,q). Cu alte cuvinte, mișcând pragul de concordanță p și mărind pragul de discordanță q se introduc în graful G(p,q) legături noi.

În practică, se pornește de la valorile q=0 și p=1 și valoarea lui q se mărește, iar cea a lui p se micșorează, până când se obține o variantă care le surclasează pe toate celelalte.

Din mulțimea M o anumită variantă M* le va surclasa, pe toate celelate când și

, pentru j=1,2,….,n , surclasarea fiind cu atât mai puternică cu cât q este mai apropiat de 0 , iar p mai apropiat de 1.

În cele mai multe probleme de decizie multidimensională este dată frecventa utilizare a metodei ELECTRE, să ilustrăm procedeul respectiv printr-un exemplu.

În continuare înainte de a trece la calcule vom arăta că procedeul de atriburie a “notelor” pe care îl sugerează metoda nu este suficient precizat, ceea ce poate constitui sursa unor confuzii la calculul indicatorilor de discordanța. Din expunerea metodei pare că în aceeași problemă este posibilă coexistența unor criterii cantitative, pentru care valorile sunt simple note de apreciere.

Asupra semnificației conceptului de discordanțna apare o confuzie, întrucât diferențele

din expresia lui d() nu se mai potrivesc. Acest neajuns reprezintă consecința faptului că metoa ELECTRE ignoră în totalitate întrbuințarea utilităților. Nu facem referim neapărat la evaluarea aproximativă a unor utilități prin metode care sunt uneori dificile, ci, pur și simplu, la introducerea unei unități comune de estimare pentru toate elementele fie ele calitative sau cantitative.

Cu scopul de a înlătura acestă neclaritate ne-am propus să analizăm că în fond intențiile autorilor metodei au fost acelea de a da rezultatelor , semnificația unor utilități, estimate printr-o metodă oarecare. Prin urmare, am transcris în tabelul 12 utilităților consecințelor unei probleme decizionale trei criterii decizionale și cu patru varinate după care am trecut în continuare la construirea grafelor fig.2.

Coeficienților de importanță ai celor trei criterii ale problemei AvâND În vedere că au fost estimați precum urmează, , putem trece la calculul indicatorilorde concordanță:

Care se înscriu în tabelul 13.

În continuare calculăm indicatorii de discordanță:

Înscriindu-i în tabelul 8.14

Între variantele și va fi cea mai puternică surclasare, pentru care avem și , conform figurii 8.3. a. Dacă “nivelul” surclusării la q=0,4 p=0,6 ; apar 3 relații de surclasare (fig. 8.3, b) și de-abia la q=0,6 p=0,4; (fig. 8.3, c) alternativa le va surclasa pe toate celelalte putând fi considerată “optimă” (după această metodă).

Tabelul 8.14

La activul metodei vom trece o observație acesta fiind simplitatea ei. Tot la activ vom trece luarea în considerare a discordanței între consecințe, ceea ce semnifică un nou element față de metodele clasice de comparare a utilității.

Întorcându-ne însă la observațiile critice, vom arăta că cei doi coficienți pe care îi definește metoda

a. b. c. Fig.3 au asemnificații aparte: este un raport de ecarturi între note iar este un raport de sume a unor coeficeinți de impotanță. Pe lânga acestea, utilizarea coeficeințiilor de importanță mărește gradul de subiectivism ala procedeului.

Considerăm că procesul de comparare și clasificare ar fi bine de realizar dacă cei doi coeficienți de importanță mărește gradul de subiectivism al procedeului.

Dacă cei doi coeficenți ar avea aceeasi dimensiune considerăm că procesul de comparare și clasificare ar fi mai bine de realizat:

In acest sens am putea propune:

coeficeintul normatizat de concordannța;

în care suma se face dupa indici j pentru care ;

coeficentul normatizat de discordanță:

în care suma se face după acei indici j pentru care .

Astfel pentru valorile-prag q si p în acest caz cuprinse între 1 și 0 normalizaează valorile “notelor ” astfel ca precum și coeficeinții de importanță a criteriilor astfel ca .

Efectuând câteva aplicații cu acești doi coeficienți ne-au condus la concluzia că ei reprezintă mai bine fenomenul de asemănare-deosebire. Se poate observa acest lucru și din faptul că , , și anume “concordanța” între și este egală cu “discordanța” intre și , ceea este evident.

O ultimă observație , și anume metoda ELECTRE nu ține seama în nici un fel de independența, respectiv dependență criteriilor.

“Observațiile de mai sus nu scad întru nimin meritul școlii franceze* “care, prin abilitatea sa de a gasi structuri raționale care să îngaduie compararea și clasificarea după mai multe criterii ia parte substanțial la închegarea teoriei deciziilor multideimensionale.

Teoria jocurilor în întreprinderile industriale [Cercetări operaționale în întreprinderi industriale] [Modelarea matematică în cercetare operațională]

Teoria jocurilor reprezintă capitolul cercetării operaționale destinat adoptării deciziilor în situații conflictuale, și anume în situații în care acționează mai mulți factori “raționali” , având fiecare un anumit scop, independenți în alegerea propriilor decizii , dar dependenți de rezultate , despre totalizatea deciziilor. Cazul acesta este formalizat în conceptul matematic de joc. În toate domneniile de activitate unde se găsește noțiunea de interese contrare se întâlnesc situațiile conflictulae. De obicei, o situație de conflict se ivește atunci când în fața mai multor ipoteze realizate cu anumite probabilități rezultă sa se efectueze o alegere a unei soluții dintre mai multe pentru ipoteza aceasta , după un anumit criteriu de convergență. Situațiile de conflict , pentru a putea fi analizate cu instrumentul matematic este necesar sa fie schematizate, abstractizate , modelate. Aceste modele restânse ale realelor situații nu pot avea toate complicațiile unei situații conflictuale, ci doar caracteristicile comune ale lor. Prin analizarea acestor modele se pot deduce concluzii despre modul cum trebuie rezolvat realul conflict.

Prezentul capitol se ocupă de jocurile care au un plan de acțiune conștient al jucătorilor , de o anume strategie pe careaceștia este necesar sa o elaboreze și să o respecte. Din această cauză jocurile acestea se numesc jocuri strategice. Schema unui joc strategic sonține totalitatea acțiunilor pe care jucătorii le realizaează de un număr limitat prin urmarea unor reguli cunoscute și care, în scopul stabilirii unui câștig, trebuie sa conțină repartiția de valori între ei care este necesară. Câștigul repeprezintă rezultatul confruntării dintre adversari și constă în obținerea unor benefici de către unii în dauna altora. Avantajele acestea pot avea caracter material sau moral, fiind măsurabile în toate cazurile.

Construcția unui joc se mai numește și denumirea unei partide. Fiecare patidă se sfârșește printr-un câștig acesta find obținut de către un jucător. În desfășurarea unei partide jucători întreprind acțiuni care se numesc mutări. Unele mutări se intitulează întâmplătoare , acestea putând fi efectuate cu un mecanism întâmplător. Un alt tip de mutari sunt cele libere, acestea sunt efectuate de jucători în mod deliberat, cu libertatea de a alege între mai multe variante care le au la îndemână. Jocurile strategice sunt nevoite sa conțină mutări libere, facute conștient și care trebuie să reprezinte potențialul intelectual al jucătorului, în comparație cu jocurile de noroc care conțin doar mutări întâmplătoare. Când jocurile cuprind și mutări întâmplătoare , pentru a putea preciza câștigul mediu corespunzător acestor mutări , este necesar sa se știe repartiția probabilităților rezultatelor posibile.

Noțiunea de strategie este legată în mod direct de mutările libere. Prin strategie se înțelege arta întrebuința cu pricepere toate mijloacele de care dispunem, toate măsurile și modalitțile în scopul întreținerii succesului. În sens redus al teorie jocurilor, prin strategie se are în vedere faptul că muțimea de regului dă voie alegerii unei decizii din cele pe care un jucător le are la îndemână. Strategia poate fi găndită ca o mulțime de instrucțiuni care pot fi comunicate unei mașini pentru ca să realizeze ca și un jucător o acțiune. Mai întâlnim în teoria jocurilor notiunile de strategie ponserată, mixtă și pură. Se consideră că jucătorul are la dispoziție m strategii pure, atunci când pentru realizarea unui joc unul dintre adversari are la dispoziție m alternative. De exemplu jucătorul are de ales unul dintre elementele mulțimi {-m,……,-3,-2,-1,0}

Numărul strategiilor pure împarte jocurile în două categorii: jocuri infinite unde numărul strategiilor pure este infinit și jocuri finite în care fiecare jucător are un număr finit de strategii pure. Jocul “m x n” este un exemplu de joc finit între doi jucători dintre care unul are m strategii pure iar celălalt jucător al său are n strategii pure. Jucătorii pot alege strategii pure cu anumite frecvențe în momentul în care partidele se repetă , iar în acestă situație se zice că se utilizează o strategie mixtă. Prin urmare, o strategie ponderată rezultă din alternarea strategiilor pure cu anumite frecvențe.

O strategie optimă se obține atunci când unui jucător, prin utilizarea unei strategii i se aduce maximum de avantaje. Această strategie are un plan ingenios și inteligent folosit, astfel încât să nu poate fi înlăturat de acțiunile adversarului. Jocurile pure de noroc sunt predominate numai de întâmplări neprevăzute, ele nu au strategii.

Prin câștigul obținut la terminarea unei partide în jocurile strategice se înțelege rezultatul confruntării a două strategii pure alese de parteneri. Având în vedere faptul că adversarii nu au ca scop realizarea aceluiași eveniment, obiectivele lor nu sunt aceleași, ceea ce duce la diferite câștiguri. Pentru a afla câștigul este necesar sa fie cunoscut rezultatul confruntărilor strategiilor pure ale celor doi jucători, deci o etapă care se realizaează înaintea determinării câștigului este identificarea strategiilor pure pe care le are fiecare jucător. Pe lângă acestea trebuie cunoascută suma de plată ce ar trebuie facută de jucători sau o mai numim repartiția câștigului , unii în favoarea altora, ca rezultat a confruntării fiecărei perechi de strategii pure.

În funcție de câștig, jocurile pot fi fără sumă nulă , adică când o parte din plata facută de jucători se păstrează altor scopuri și jocuri cu sumă nulă, când la terminarea jocului suma pierdută de o parte din jucători este câștigată de ceilalți jucători, altfel zis când jucătorii își fac plățile unui altuia. În jocurile cu doi parteneri de orice categorie câștigul face legătura între mulțimea strategiilor pure ale unui adversar și mulțimea strategiilor pure ale jucătorului său. Câștigul este necesar să fie cunoscut de toți jucătorii, odată cu celelalte regului ale jocului , acesta fiind exprimat printr-o funcție câștig numit și nucleul jocului. Funcția câștig în jocurile strategice m x n cu sumă nulă între doi jucători se poate reda sub forma unei matrici ca în tabelul 1 .

În tabelul de mai sus câștigul jucătorului X este reprezentat de elementul , care folosește strategia pură (linia i) iar jucătorul Y folosește strategia pură (coloana j). Elementul este reprezentat la intersecția liniei i cu coloana j. Din reguluile jocului rezultă elementele , care sunt cunoscute. Din cauza formei de tabel al funcției de câștig, tabel care se numește matricea plăților sau matricea câștigurilor, sau, mai simplu, matricea jocurilor , jocuri m x n, , prezentate astfel, se numesc jocuri matriceale sau dreptunghiulare. Acestea se mai numesc jocuri sub formă normală sau jocuri normale. Jocul normal prezintă trei elemente importante:

m strategii pure ale jucătorului X reprezentate de o mulțime A={a1,a2,…am}

n strategii pure ale jucătorului Y reprezentate de mulțimea B = {b1,b2,….,bn}

funcția de câștig fiind o funcție reală definită pe mulțimea A și B

Matricea de plăți definită prin , se construiește în raport cu un singur jucător , care poartă numele de jucător maximizat, iar denumirea de jucător minimizat o va purta partenerul său.

Un joc se poate prezenta sunt în mai multe forme , nu doar în formă normală.

Dacă se dorește scoaterea în evidență a ordinii mutărilor și a informațiilor despre acestea, jocul se poate prezenta sub o formă care se bazează pe intuiție cu ajutorul unui arbore ca în cazul arborelui de decizie sau ca în teoria grafurilor.

În figura de mai jos este prezentat arborele desfășurat al unui joc cu trei mutări :

Etapa 1 : jucătorul X alege din mulțimea {1,2} unul dintre numere;

Etapa 2 : jucătorul Y alege din mulțimea {1,2} tot unul dintre numere;

Etapa 3 : jucătorul X alege din mulțimea {1,2} de asemenea un număr, indiferent de alegerea facută la pasul 1.

Jucători fac alegeri,acestea fiind secrete. După trei mutări partida se termină. Plata se efectuează dupa o convenție exprimată de nucleul jocului, care este oferit de funția de plată f(x, y, z) unde x este alegerea din prima etapă, y alegerea din a doua etapă și z alegerea din a treia etapă. Succesiunea în care sunt facute mutările este scoasă în evidență prin reprezentarea arborescentă a acestui joc. Fiecare nod al grupului are indicat jucătorul de mutare. Cele din urmă opt noduri prezintă istoria strategiilor folosite, pentru a putea face plata pe baza cunoscutului nucleu. O valoare îi este alăturată fiecărui drum. Reprezentarea arborescentă dă voie să fie urmărite căile grafului a întregii istorii a jocului, începând cu prima pâna la ultima misșcare. Exista jocuri care se numesc segvențiale, acestea efectuează mai multe mișcari în timp.

În domeniul jocurilor unele interesesunt orientate către precizarea comportamentului optimal întreprinderilor pe piața capitalistă, numai în cazul unstabilități și concurenței economice definite ale acesteia. În economia socialistă economiștii maghiari J. Kornay și P.Liptak erau preocupați de aplicarea teoriei jocurilor, la două nivele în modelul de planificare, ca și economiștii sovietici Kazakevici și Aganeghian , în modelul de planificare rațională.

Jocuri statistice aplicate la controlul calității prosuselor industriale

A . Word a studiat teoria matematică a jocurilor statistice , la incepuy ca și jocuri matriceale cu sumă nulă. Jocurile statistice prezintă studierea unor probleme, cum ar fi de exemplu ansamblul cercetărilor geologice pentru a alege investigațiile în scopul exploatării, controlul static de calitate al producției, cercetarea unui fenomen fizic în vederea stabilirii legilor sale de producere când este cunoscut costul experimentelor cât și rezulatele experimentale contradictorii.

Determinare calității unui produs se face prin luarea unui număr de n elemente din producția fiecărei zile sau a unei unități de timp convenabilă care crează o mulțime numită eșantion sau selecție de volum n. Producția zilei este considerată acceptabilă , atâta timp cât numărul elementelor defecte din eșantion nu trece o anumită valoare limită. Se presupune problema să se determine valoarea limită-procent de defecte ce nu trebuie sa fie depășită și volumul eșantionului. În producție, de obicei, pe baza analizei statistice se determină indicii care prezintă gradul de garanție al producției în raport cu diversele procente de defectare și cu volumul eșantionului.

În cadrul realizarii produselor deciziile despre volumul eșantionului sunt luate mai mult sau mai puțin întâmplător iar de cele mai multe ori nu ilustrează gradul de perfecționare a tehnicii utilizate. Se poate ajunge la o hotărâre optimă, prin intermediul jocurilor statistice însă, pentru că în această problemă se poate cunoaște o situație conflictuală cum ar fi : dacă volumul eșantionului este prea mare , se produc pagibe producției , iar dacă volumul eșantionului este prea mic, s-ar putea să se determine greșit procentele de rebuturi. Strategiile controlului de calitate sunt constituite în acest joc statistic aât de procentele diferite de rebuturi cât și de eșantioanele de volum care diferă. Se poate realiza o matrice a câștigurilor în funcție de acestea.

Exemplu

Presupunem că este nevoie să se creeze un agreat scump format din trei subansambluri: “agreatul este considerat corespunzărot din punct de vedere al calității ” doar când fiecare din cele trei componente ale sale merg destul de bine. Următoare convenție se încheie între beneficiarul A al acestui agreat și fabrica M care prelucrează . Dacă produsul este bun, A va achita lui M, pe lângă valoarea agreatului o sumă în plus, a, iar dacă agreatul nu este bun , M va mplăti lui A o penalizare b. Prin urmare se mai dă faptul că întrucât a achitat lui M agreatul , M are voie sa-l facă să dispară dacă după o probă unul din subansambluri nu se potrivește. Oricare din cele trei subansambluri, se pot supune probelor care alcătuiesc agreatul. Prețul unei probe făcute de fabrică este egal cu c. Doar dacă fiecare subansamblu face față problei la care a fost supus , atunci beneficiarul consideră agreatul destul de bun.

“Înainte de a i se trimite agreatul beneficiarului”, el beneficiază de patru strategii pure notate adică:

fără încercări să preia obiectul;

are voie sa încerce numai unul din cele trei subansambluri aleatorii. În cazul în care subansamblul nu este bun , se respinge agreatul fară alte verificări;

în cazul în care primul subansamblu controlat, ales la întâmplare, este bun, să controleze un alt subansamblu la întâmplare din celelalte două. Dacă acesta este bun, se recepționează fără altă examinare iar dacă acesta nu este satisfăcator, se rebutează agreatul.

în cazul când primele subansambluri au fost satisfăcătoare, se verifică subansamblul al treilea; se recepționeză doar dacă acesta este bun iar dacă nu se respinge.

Natura mai are și ea patru strategii pure cum ar fi:

toate subansamblurile sunt satisfăcătoare;

un subansamblu nu este satisfăcător;

două subansambluri nu sunt satisfăcătoare;

nici un subansamblu nu este satisfăcător;

În tabelul de mai jos este afișată matricea unui joc. Componetele acestei matrice s-au calculate în modelul următor: dacă M(A) folosește strategia , iar natura are strategia ,

atunci nu se fac încercări și nu se găsește nici un ansamblu greșit, adică A crede că agreatul este bun și achită fabricii costul a. Când M(A) folosește strategia iar natura strategia , se face doar o încercare și A consideră agreatul satisfăcător. În momentul de față M va obține de la A suma a, dar pentru încercare va cheltui suma c. Dacă M(A) folosește strategia iar natura strategia , rezultă că M dă agreatul beneficiarului, iar acesta, observând că nu este utilizabil, va cere lui M amendarea lui b. Dacă natura are strategia și se procedează la fel. Atunci când natura are natura are strategia și M(A) strategia , înseamnă că se remarcă după prima încercare că subansamblul nu este satisfăcător, se “rebutează agreatul și se pierde costul probei”. Când fabrica folosește strategia iar natura strategia , probabilitatea că nu se va afla subansamblul care nu se potrivește este de 2/3 iar probabilitatea că se va afla subansamblul necorespunzător este de 1/3. În cazul în care fabrica găsește subansamblul nepotrivit ia de la încasează de la beneficiar valoarea – c, iar dacă nu va descoperi subansamblul defect, va fi nevoi să plătească lui A pensalizarea b , în afara cheltuielilor de încercare. În concluzie , fabrica va avea un câștig mediu cum ar fi:

La fel se procedează, dacă fabrica folosește strategia iar natura are strategia , atunci câștigul mediu al fabricii este:

Doar dacă M utilizează stategia iar natura strategia , probabilitatea faptului că M va găsi subansamblul nepotrivit de la prima încercare este egală cu 1/3 , iar probabilitatea faptului că va găsi la a doua încercare va fie egal cu:

În cazul în care probabilitatea este ca subansamblul necorespunzător să treacă neobservat vom avea:

Când subansamblul nepotrivit va fi găsit din prima încercare, câștigul lui M este – c, iar dacă acesta va fi găsit la a doua încercare, câștigul va fi egal cu -2c; dacă nu este descoperit subansamblul necorespunzător, câștigul este egal cu –b-2c. Prin urmare , câștigul area valoarea medie :

Celelalte elemente ale matricei se stabilesc în mod analog. Modul de comportare a partenerilor , precum și valoarea acestui joc sunt în funcție de valorile lui a, b, și c.

Exemple de folosire a jocurilor statistice într-o companie din industia alimentară , “modele pentru simularea unui joc de întreprindere” sunt oferite de literatura de specialitate.

2.5 Exemple de joc rezolvat in WinQSB

Alegem jocul la care se asociază urmtoarea matrice

Valoarea inferioară a jocului este , iar valoarea superioară este . Observăm că .

Se atașează jocului următoarele probleme de optimizare:

Introducând cele două probleme în softul WinQSB, acestea se afișează informații despre soluția problemei:

Cap 3.: Modelarea și simularea riscului, în cazul situațiilor concurențiale

Noțiunea de risc

Decidenții (cu niveluri diferite de autoritate) , în procesul managerial sunt de multe ori puși în situații grele prin trebuința opțiunii dintr-o mulțime de strategii, a unei singure.

Într-un proces decizional modelarea structurii generale ne conduce la determinarea elementelor acestuia, adică:

decidentul;

formularea problemei;

mulțimea alternativelor/variantelor realizabile ce descrie o situație decizională;

mulțimea consecințelor anticipate pentru fiecare variantă;

mulțimea criteriilor de decizie ale decidentului;

obiectivele sugerate de decident;

stările naturii, factorii independenți de decidenți, de tipul conjunctural;

Decidentul va trebui sa rețină numai una, și anume , pe cea mai convenabilă , din mulțimea variantelor posibile.

Datorită necesității de a compara între ele diferite variante decizionale definite prin mai multe consecințe se face apel la conceptul de utilitate, utilitate comună de măsură a consecințelor variatelor alternative decizionale.

Axiomatiza von Neumann-Morgenstern

Axioma von Neumann-Morgwnstern oferă cea mai completă fundamentare a utilității decizionale. Mai pe scurt, aceasta cuprinde propoziții fundamentale cum ar fi:

Relația de indiferență este tranzitivă și simetrică, iar relația de preferință este tranzitivă;

Un decident care compară două variante și , poate exprima una din opțiunile următoare:

preferă pe lui ( P);

preferă pe lui ( P);

realația de indiferență este tranzitivă și simetrică, iar relația de preferințăneste tranzitivă;

O nouă variantă poate fi formată din două variante simple dacă li se asociază celor două câte o probabilitate de realizare, în așa fel încât suma celor două probabilități sa aibă rezultatul 1. Varianta se face de tip “mixtură”.

Dând trei variante ,,, diferite între ele, dacă un decident exprimă relația P, atunci, implicit, va exprima și relația

Dând un decident care exprimă relația și trei variante ,,, există o mixtură , incât și o altă mixtură , încât .

Dacă o variantă este preferată altei variante , atunci o mixtură a lui cu o a treia variantă va fi preferată aceleiași mixture a lui și .

Se determină conform acestor propoziții funcția de utilitate care unește fiecărei variante un element al mulțimii numerelor reale.

Problema utilității decizionale este foarte dificilă și controversată , deoarece utilitățile sunt marimi exprimate subiectiv de decident.

După numeroase încercări , în sensul de a obiectiva, nu s-au dobândit rezultate care sunt exprimate cu claritate. În mecanismul decizional economic, utilitatea rămâne necesară.

Modalitatea de laure a deciziei în cazul în care există două sau mai multe stării ale naturii , depinde de informațiile privind perspectivele de realizare a stărilor naturii.

Decizia se desfășoară în condiții de risc, dacă cunoaștem probabilitatea de realizare a stării și probabilitatea de realizare a stării , iar rezolvarea constă în determinarea “speranțelor matematice ale utilităților” fiecărei altrnative și alegerea alternativei căreia îi corespunde o speranță matematică maximei utilități.

În condiții de risc pentru a obține varianta optimă, se calculează utilitatea medie ponderată maximă ca sumă a produselor între utitilitatea corespunzătoare pentru fiecare stare considerată și probabilitatea de realizare.

Functii de utilitate atașate unui proces decizional

Vom folosi următoarele notații, c pentru consecințele anticipate pentru diferite varinate (exprimate în u.m) decizionale, iar cu U(c) funcția de utilitate , și anume U(0)=0 și U(1)=1.

Fiind dat un sistem de axe de coordonate (c,u), funcția de utilitate va trece prin punctele (0,0) și (1,1), fiind o funcție crescător monotonă.

În funcție de decident se va diferenția dezvoltarea acestia. Următoarele situații se pot constata: figura 1:

– evoluție liniară;

– curbă convexă;

– curbă concavă;

– curbă parțial convexă, parțial concavă.

În continuare vom comenta aceste curbe:

În cazul I, din punct de vedere al riscului decidentul este neutru, pentru că își poate judeca acțiunile sale doar pe baza valorii așteptate a se obține, care este la fel cu valoarea probabilă a utilității.

În cazul II , utilitatea acțiunilor cu valori mari este foarte ridicată (întâlnită în jocurilor cu noroc), de aceea decidentul este atașat față de risc, așadar manifestă o anumită “simpatie’ față de acesta.În acest caz echivalentul primei de asigurare este mai mare decât așteptata valoare. Este întâlnită la acei decidenți care au șansa redusă de a primi o recompensă.

Putem spune că este cazul decidenților care, cu “simpatie” , riscă să intre într-un gol de piață, să ia parte la speculațiile de la bursă sau când iau o hotărâre în legătură cu statutul lor de angajat, mai precis, a lucra pe bază de comision la o firmă sau de a nu depinde de nimeni.

În cazul III , decidentul prezintă o oarecare “timiditate”, “sfială” , prudență în legătură cu acțiunile riscante. În cazul în care pierderile mari sunt supraevaluate , iar câștigurile mari sunt subevaluate, decidentul are o anumită antipatie.

În aceste situații când recompensa este mult mai mare decât valoarea previzibilă a pierderilor așteptate, decidentul trebuie să se asigure de această recompensă.

Atunci când se duce o politică de cautării de tip conservator, când se lucrează cu desfacere asigurată pe bază de precomenzii, când se încheie un contract produselor si devizelor la anumite termene, asigurarea locurilor de muncă se întâlnește aversiunea.

În cazul IV , decidentul prezintă în unele împrejurări un comportament riscant sau în alte împrejurări unul prudent, acesta fiind cel mai des întâlnit în practică. Analizând figura 19 observăm ca funcția conține o porțiune concavă care alterneaza cu una convexă.

Selectarea unei varinate decizionale în condiții de risc

În efectuarea acțiunilor economice complexe, care reprezintă înșiruri de procese economice nedecizionale si de procese economice decizionlae, de cele mai multe ori este necesar să se decidă nu numai în funcție de urmarile imediate ale variantelor, ci și de urmările mai îndepărtate ale unui șir de procese viitoare decizionale.

Cu ajutorul arborelui decizional se pot modela astfel de succesiuni decizionale.

În situații de nedeterminare luarea în considerare a riscului ca mijloc de raționalizare a deciziilor necesită conceperea și exercitarea funcțiilor procesului de management prin facerea unor metode eficiente spre maximizarea unor indicatori sau a unor funcții acceptate de randament.

Este categoric că un model de prognoză strategică nu va putea vedea, în etapa deciziei, toate consecințele economice sau de altă natură dacă în condițiile în care factorii de mediu daunează procesului economic în mod diferit, atât ca importanță, cât și ca impact. Datorită unor efecte care apar cu întârzâiere sau perturbații ale mediului pot aduce transformări ireversibile sau calitative.

Prin adăugarea caracterului care nu este complet al informațiilor de care dispune decidentul și dinamica aleatoare a procesului supus influenței mediului, reiese faptul că este nevit să își gandească strategia prin enumerarea tuturor varianteor de acțiune, cu analizarea diferitelor condiții care pot fi posibile în acea clipă. Din faptul că aceasta impune luarea în considrare a unui “risc operativ” în vederea nedeterminării situației și imposibilitatea prevederii ei precise, se va recurge la mijloace de acțiune bazate pe sesizarea intuitivă a situației, prin probabilități și estimări, pentru a aprecia unele consecințe și premise economice.

Astfel se ajunge la structuri arborescente ca ilustrări ale vectorilor starilor naturii și ale variantelor decizionale, care dau voie la stabilirea unei strategii “raționale”. Pentru definirea completă și corectă a problemei de decizie se va presupune respectarea uramătoarelor etape:

1) Determinarea exactă a proceslor de decizie, a momentelor aleatoare și a alternanței lor;

2) Strangerea informațiilor care se referă la alternativele posibile de acțiune ;

3) Determinarea diferitelor șiruri de evenimente și stărilor naturii;

4) Evaluarea urmărilor la sfârșitul fiecărui șir de evenimente și a criteriilor de eficiență presupuse independente. Estimarea se poate efectua prin mai mulți indicatori economici și, se pune problema acceptării informațiilor într-un întreg care să se poată realiza judecăți de valoare unitare pentru procesul dat ptin utilități, determinând propriu înfățișarea funției de interpolare a utilității în raport de amplitudinea valorilor urmărilor economice și de gradul lor de variație. Analiza multicriterială , în acest caz va întrebuința un vector al importanței criteriilor de apreciere a rezultatelor economice în fiecare fel de combinație de stâri ale naturii. Apoi se pune problema asupra senseibilități soluției și stabilității ei schimbările mici ale componentelor acestui vector.

5) Găsirea unei politici datorită căreia urmează să se aleagă o variantă de decizie sau alta într-o situație dată. În “nodurile de incertitudine”(alese la întâmplare) judecata se poate face cu “criteriul maximizării speranței matematice a funcției de utilitate” sau după valorile extreme pe care le poate lua indicatorul economic agreat.

6) Examinarea sensibilității clasamentului în circumstanța mulțimii alternaticelor de decizie , ținând cont de faptul că, condițiile adevărate de desfășurare a procesului se pot întâmpla schimbări de priorități ale utilităților unor valori sau ale unor criterii de evaluare.

7) Examinarea finală și exprimarea concluzie. Examinarea finală are în vedere verificarea la lipsa de precizie a soluției; dacă se ajunge la o “situație ambiguă”, se decide pentru detalierea în mod suplementar la nivelul unui nod care realizează legături, considerând că în componența “unui proces condiționat de viitor” se găsesc aprecieri de “tip vag” ce ilustrează neclaritatea informațiilor sau rezultatelor și care au nevoie de punerea în evidență a structurii logice a modelului și “tratarea dintr-o perspectiva fuzzy a algoritmului dinamic”.

Echivalentă cu găsirea soluției “optime” este alegerea unui drum în arbore, începând de la nodul de la sfârșit și urmând ramurile acestuia până în unul din nodurile de la început unde trebuie sa se respecte următoarele:

a) valoarea nodurilor unde “natura” alege decizia depinde numai de întâmplăriile viitoare și nu de cele dinainte.

b) efectuarea proceslor de decizie în trepte

Bibliografie: Cartea: “cercetari operationale cu aplicatii in economie” de “Boldur- Latescue ”