Integrala Dubla. Integrala DE Suprafata

Economie

Integrala Dubla. Integrala DE Suprafata

Byadmin ianuarie 1, 2024

INTEGRALA DUBLĂ. INTEGRALA DE SUPRAFAȚĂ

CUPRINS

INTRODUCERE

INTEGRALE DUBLE

Funcții integrabile

Criteriu de integrabilitate

Clase de funcții integrabile

Proprietățile integralelor duble

Calculul integralelor duble

Integrala dublă, funcție de limitele de integrare

Formula lui Green

Schimbarea de variabile în integralele duble

INTEGRALE DE SUPRAFAȚĂ

Elemente de teoria suprafețelor

Aria unei suprafețe

Integrale de suprafață în raport cu aria

Integrale de suprafață în raport cu coordonatele

Formula lui Stokes

APLICAȚIILE INTEGRALELOR DUBLE ȘI DE SUPRAFAȚĂ

Aria unui domeniu plan

Aria unei suprafețe din spațiu

Volumul corpurilor

Centru de greutate

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

Am ales ca temă pentru lucrearea mea de licență: Integrale duble. Integrale de suprafață și am structurat-o în trei capitole: Capitolul I: Integrale duble, Capitolul II: Integrale de suprafață și Capitolul III: Aplicațiile integralelor duble și de suprafață.

În primul capitol Integrale duble am prezentat: funcții integrabile, criteriul de integrabilitate, clase de funcții integrabile, proprietățile integralelor duble, calculul integralelor duble, formula lui Green și schimbarea de variabile în integralele duble.

În capitolul al doilea Integrale de suprafață am tratat: elemente de teoria suprafețelor, aria unei suprafețe, integrale de suprafață în raport cu aria și cu coordonatele și formula lui Stokes.

În ultimul capitol Aplicațiile integralelor duble și de suprafață am prezentat așa cum spune și titlul capitolului mai multe aplicații aduse în completarea celorlalte aplicații din capitolele precedente.

Lucrarea de față se dorește a fi o bază teoretică și practică pentru fundamentare experienței mele de viitor matematician.

INTEGRALE DUBLE

Funcții integrabile

Fie f (x, y) o funcție definită și mărginită pe un domeniu plan D, m≤ f(x,y) ≤ M, (x,y)ϵD;

domeniul D îl vom considera închis și mărginit, deci interior unui interval bidimensional I = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, (fig. 1).

Frontiera domeniului D este formată dintr-o curbă închisă Г, alcătuită dintr-un număr finit de arce netede.

Să presupunem că f(x, y) este și pozitivă pe D, deci f(x, y) ≥ 0 pentru orice (x, y) ϵ D; în această situație, graficul funcției z = f(x, y), (x, y) ϵ D reprezintă o suprafață S situată în întregime deasupra planului xOy avînd ca proiecție pe planul xOy domeniul D.

Ne propunem să găsim volumul V al corpului mărginit de suprafața S, planul xOy și cilindrul (proiectant) cu generatoarele paralele cu axa Oz și a cărui curbă directoare în planul xOy este curba Г.

Fig. 1

în vederea acestui scop vom da câteva noțiuni. Fie diviziunile:

δ : a = x0 < x1 <…< xn-1 < xn = b,

: c = y0 <y1 <…< ym-1 < ym = d ale intervalelor [a, b], [c, d] respectiv. Paralelele la axa Ox prin punctele diviziunii și la axa Oy prin punctele diviziunii δ împart intervalul I în n x m subintervale (fig.2), Iij = {(x, y) | xi≤ x≤ xi+1 , yj ≤ y≤ yj+1 }. Dintre aceste subintervale numai o parte sînt conținute în întregime în domeniul D; să notăm mulțimea lor cu M. O parte din subintervalele Iij conțin și puncte ale domeniului D și ale diferenței I-D; notăm mulțimea lor cu M'. În fine, există subintervale exterioare intervalului D; notăm mulțimea lor cu M".

Fig.2

Definiția 1.1.1. Vom numi o diviziune a domeniului D, mulțimea subintervalelor Iij dată de M U M' și o vom nota = (δ1, δ2, …, δp ) ordinea de numerotare a sub- intervalelor δk fiind indiferentă.

Din definiția dată rezultă δk D, k=și pentru orice k > p, δk D.

Vom numi norma unei diviziuni și o vom nota v (), numărul pozitiv

v ()= = )

deci

v (), i=1, 2, …, n

v (), j=1, 2, …, m.

Să considerăm diviziunile și ale intervalelor și respectiv, mai fine decât și , deci , ⊃, diviziunilor și le corespunde o diviziune a domeniul D, mai fină decât diviziunea, ⊃ , și dacă notăm cu v (’)norma diviziunii ’ avem v (’) v (), deoarece v()v(), v()v() și v()= max(v(), v())max(v(), v()).

Observația 1.1.1

1)Faptul că diviziunea ' este mai fină decît diviziunea înseamnă că orice interval al diviziunii ' este conținut într-un interval al diviziunii și acest fapt se întîmplă dacă și numai dacă și ⊃.

2)Dacă și sunt două diviziuni ale aceluiași domeniu D și dacă v () v () nu înseamnă că diviziunea este mai fină decît diviziunea .

c)Să considerăm acum o diviziune a domeniului D în care funcția f(x, y) este definită și mărginită. Fie , , …, intervalele bidimensionale ale diviziunii , numerotate într-o ordine oarecare și , , …, ariile corespunzătoare ale acestor intervale. Să notăm cu , marginile inferioară și superioară ale funcției f(x, y) în

f(x, y) , (x, y) și să formăm sumele Darboux

= + +…+ (suma inferioară Darboux),

= + + … + (suma superioară Darboux);

avem evident

m M

unde am notat cu aria domeniului D, iar cu m și M marginile inferioară și superioară a lui f în D.

Se demonstrează la fel ca pentru integrala definită (numită și integrala simplă) următoarele proprietăți:

Dacă ' este o diviziune a domeniului D mai fină decît , atunci

.

Oricare ar fi diviziunile ' și " avem

.

Dacă * este mulțimea tuturor diviziunilor domeniului D, atunci

Mulțimea este mărginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

Dacă (, )este un punct oarecare al intervalului și suma

= f(, ) + f(, ) + …+ f(, )

atunci

sumele se numesc sume Riemann relative la diviziunea .

Între sumele Riemann și sumele Darboux ale unei diviziuni avem următoarele relații:

=, =

d) Interpretarea geometrică a sumelor , și . Să considerăm un interval = {(x, y) | xi≤ x≤ xi+1 , yj ≤ y≤ yj+1 } care aparține diviziunii , și , partea din suprafața S care se proiectează pe planul xOy în ; dacă și sînt marginile superioară și inferioară ale funcției f(x, y) 0 în , produsele

și

reprezintă respectiv volumele paralelipipedelor de bază (fig. 3) și înălțime și .

Fig. 3

Se observă că volumul mărginit de partea de suprafață , de intervalul și de cilindrul proiectant (format din fețe plane) al conturului lui pe conturul lui , este cuprins între cele două volume

prin urmare, însumînd în raport cu k = 1,2,…, p, avem

V

Produsul

f() cu ()

reprezintă volumul unui paralelipiped de bază și înălțime f() ; avem f() , deci

f()

de unde prin însumare rezultă și

Toate proprietățile enumerate mai sus sînt adevărate pentru funcția f, definită și mărginită în D. Faptul că funcția f este și pozitivă în D a servit numai pentru a da o semnificație geometrică sumelor , și .

D e f i n i ț i a 1.1.2. Fie f o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit D⊂R2. Se spune că f este integrabilă Riemann pe D dacă pentru orice șir de diviziuni () ale domeniului D cu v()0 când n, șirurile sumelor lui Darboux și au o limită comună finită V. Limita însăși se numește integrala dublă a funcției f întinsă la domeniul D și se notează

V =.

Dacă f(x, y) este și pozitivă în D atunci V reprezintă volumul corpului mărginit de suprafața z = f(x,y) care se proiectează pe planul xOy în domeniul D, de planul xOy și de cilindrul proiectant al conturului lui S pe conturul lui D.

Observația 1.1.2.

Ținând seamă de definiția mulțimilor măsurabile din spațiu A, urmează că definiția dată este echivalentă cu

= V,

unde este mulțimea tuturor diviziunilor intervalului D.

De obicei se notează

=

și se numesc, respectiv, integrala dublă inferioară Darboux și integrala dublă superioară Darboux.

Domeniul D se numește domeniul de integrare.

Expresia se numește elementul de arie în coordonate carteziene.

Dacă este o sumă Riemann oarecare relativă la diviziunea , avem

deci, dacă f este integrabilă, rezultă că

= V,

adică și sumele Riemann sunt convergente către limita comună a celor două șiruri ale sumelor Darboux () și (). Reciproca acestui rezultat este de asemenea adevărată astfel încât avem următoarea definiție echivalentă a integrabilității:

Definiția 1.1.3. Spunem eă o funcție f(x,y) definită și mărginită pe domeniul închis și mărginit D este integrabilă Riemann pe D, dacă pentru orice șir de diviziuni () cu norma v()0 când n , și pentru orice alegere a punetelor () ⊂, șirurile Riemann corespunzătoare () au o limită comună, finită, V.

Criteriu de integrabilitate

Criteriul lui Darboux. Fie f(x, y) o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit D. Funcția f(x, y) este integrabilă pe D dacă pentru orice număr > 0 există un număr ()>0 astfel încât pentru orice diviziune a domeniului D cu v () < () să avem – .

Demonstrație. Condiția este necesară. Presupunem că f este integrabilă pe D. Fie ⊂⊂…⊂⊂… un șir de diviziuni ale domeniului D, ordonate după finețe; avem și

v()v()… v()…

= 0.

Dacă notăm

V =.

funcția f fiind integrabilă, pentru orice număr >0 există un număr N(), astfel încît pentru orice n >N() avem

V – , V +

deci

–

Condiția este suficientă. Fie ⊂⊂…⊂⊂… un șir de diviziuni ale domeniului D cu v()0 cînd n. Pentru orice număr >0 există N(), astfel încît pentru orice n >N() avem

–

Dacă

= V’, = V’’,

avem inegalitățile

V’ V’’

deci

V’’- V’

și cum este oarecare, iar V', V'’ sunt fixe, urmează că

V'= V'’

deci f este integrabilă Riemann pe D.

Clase de funcții integrabile

Teorema 1.3.1. Funcțiile continue pe un domeniu închis și mărginit D sunt integrabile pe D.

Demonstrație. Fie f(x, y) o funcție continuă pe domeniul închis și mărginit D. Funcția f(x, y) este și mărginită pe D, deci

mf(x,y)M, (x,y) D.

Fie = (δ1, δ2, …, δp ) o diviziune a domeniului D; avem

f(x,y), (x,y) δk ;

există două puncte () δk , () δk , astfel încât

f() = , f() = .

Să considerăm sumele lui Darboux relative la diviziunea

= ,

prin urmare

= – f()] .

O funcție continuă în domeniul închis și mărginit D este și uniform continuă, deci pentru orice număr >0 există un număr () > 0, astfel încât pentru orice pereche de puncte (x', y'), (x", y") D, avem

<

dacă

<(), <()

am notat cu A aria intervalului I care conține domeniul D, deci A=.

Fie diviziunea astfel încât v () < () , în această situație

deci

= <

deoarece .

Clasa funcțiilor integrabile Riemann este însă mai întinsă decât clasa funcțiilor continue, fapt ce reiese din următoarea teoremă.

Teorema 1.3.2. Dacă mulțimea T a punctelor de discontinuitate a unei funcții mărginite f, definită pe un domeniu închis și mărginit D (TD) este formată dintr-un număr finit de arce netede, atunci funcția f este integrabilă Riemann pe D.

Putem găsi o diviziune () a domeniului D (formată de exemplu din pătrate), astfel încât suma ariilor pătratelor care au puncte comune cu T să fie , unde A= M' – m', M' și m' fiind marginile superioară și inferioară a funcției f în D.

Dacă M este mulțimea acestor pătrate, urmează că pe D – M funcția f este continuă. Dacă și sunt sumele lui Darboux relative la domeniul D și , sumele lui Darboux relative la domeniul format de mulțimea pătratelor din M, avem

=

deoarece .

Fie și sumele lui Darboux relative la D – M. Pe D – M înlocuim diviziunea cu diviziunea , astfel încât

– ,

fapt ce este posibil, deoarece pe D – M funcția f este continuă, deci integrabilă. Dacă vom considera acum diviziunea a domeniului D care pe D – M este diviziunea , iar pe M diviziunea avem

– + =

de unde rezultă că f este integrabilă pe D.

Proprietățile integralelor duble

Se demonstrează la fel ca și pentru integralele simple următoarele proprietăți:

Dacă este integrabilă pe D și este integrabilă pe D și

Dacă f și g sunt integrabile pe D funcția sumă f=g este integrabilă pe D și

Dacă f(x,y)

Dacă f(x,y) pentru orice (x,y) D și dacă f și g sunt integrabile pe D atunci

Dacă f este integrabilă pe D iar domeniul D este împărțit în două subdomenii, si , print-o curbă C de arie il, deoarece pe D – M funcția f este continuă, deci integrabilă. Dacă vom considera acum diviziunea a domeniului D care pe D – M este diviziunea , iar pe M diviziunea avem

– + =

de unde rezultă că f este integrabilă pe D.

Proprietățile integralelor duble

Se demonstrează la fel ca și pentru integralele simple următoarele proprietăți:

Dacă este integrabilă pe D și este integrabilă pe D și

Dacă f și g sunt integrabile pe D funcția sumă f=g este integrabilă pe D și

Dacă f(x,y)

Dacă f(x,y) pentru orice (x,y) D și dacă f și g sunt integrabile pe D atunci

Dacă f este integrabilă pe D iar domeniul D este împărțit în două subdomenii, si , print-o curbă C de arie nulă, atunci f este integrabilă pe și are loc egalitatea

Daca f este integrabilă pe D atunci |f| este integrabilă pe D și

Formule de medie.

Dacă f este mărginită și integrabilă pe D m

atunci există un număr cuprins între m și M, astfel încât

unde este aria domeniului D.

Dacă f(x,y) este continuă pe D, atunci există un punct () astfel încât să avem egalitatea

(1)

Formula (1) se numește formula mediei pentru integrale duble.

Dacă f(x,y) este continuă pe D iar p(x,y)este integrabilă și pozitivă pe D atunci există un punct ()astfel încât să avem

(2)

Relația (2) se numește formula genereală a mediei pentru integrale duble.

Calculul integralelor duble

Pentru a putea fi calculată integrala dublă, este necesar ca ea sa fie descompusă în integrale iterate. Vom analiza urmatoarele cazuri:

Cazul I. Să considerăm mai întâi pentru D un interval I={(x,y)|a} și f integrabilă pe I.

Teorema 1.5.1. Dacă f(x,y) este mărginita și integrabilă pe I și dacă :

pentru orice xexistă integrala

F(x)=

F(x) este integrabilă pe [a,b], atunci

Demonstrația. Să considerăm o diviziune a intervalului bidimensional I (fig 4), realizată de dreptele x=, i=0,1,….,n,y=,k=0,1,……,m,cu

a =

c =

Fig.4

Să notam cu intervalul bidimensional definit de

={(x,y|}

și

=

cu aceste notații sumele sunt date de

Unde = aria intervalului

Avem

(1)

Dacă (x,y) deoarece pentru orice (x,y

funcția F(x)=dy este integrabilă pe[a,b], deci pentru orice interval [] putem scrie

sau

Pentru că f(x,y) este integrabilă pe I rezultă imediat

unde este mulțimea tuturor diviziunilor lui I , deci

Teorema este demonstrată.

Observația 1.5.1

În mod analog se obține și

Dacă f(x,y) este integrabilă [a,b] pentru orice y și dacă

F*(y)=

este integrabilă pe [c,d].

De obicei se notează

și

Deci putem scrie

sau

ordinea de integrare în partea a doua fiind de la dreapta la stînga.

Relația

Se numește și formula integrării sub semnul integral.Într-adevăr, dacă f(x,y) este definită pe intervalul bidimensional [a,b] x [c,d] și f(x,y) este integrabilă în raport cu x pe [a,b] pentru orice y[c,d], integrala

Reprezintă o funcție F(y) definită pe [c,d]. Dacă F(y) este integrabilă pe (c,d) și dacă se cere să calculăm pe ne spune că putem schimba ordinea de efectuare a integralelor, anume putem integra mai întâi în raport cu parametrul y (sub semnul integral) și apoi în raport cu variabila de integrare x.

Aplicație

Calculul integralelor definite cu ajutorul integrării sub semnul integrat. Pentru

să înmulțim cu d și să integrăm în raport cu de la 0 la ,

dacă intervenim ordine de integrare obținem

Am găsit astfel valoarea integralei definite

Dacă scriem și

Rezultă

Cazul II. Să găsim acum formula de calcul a une integrale duble pentru un domeniu plan D, mărginit de o curbă închisă T, formată dintr-un număr finit de arce netede. Vom face ipoteza că o paralelă la axa taie conturul numai în două puncte (fig 5); fie A și B punctele de pe de abscise extreme a,b , a și E, F punctele de pe de ordonate extreme c,d , c deci domeniul D este conținut în intervalul închis bidimensional I={(x,y)|a}

Fig. 5

fie y = ecuația arcului AEB al curbei și

y =, ecuația arcului AFB al curbei .

Teorema 1.5.2. Fie funcția f(x,y) definită pe D mărginită și integrabilă pe D; dacă există integrala

F(x) =

pentru orice x este integrabilă pe (a,b), atunci

Demonstrație. Pentru demonstrație, vom reduce problema integrării pe D la problema integrării pe intervalul I, tratată anterior. Funcția f(x, y) este definită de domeniul închis și mărginit D. Să considerăm funcția (x, y) definită pe intervalul ID în modul următor

(x,y) = (1)

Funcția (x, y) este integrabilă pe I, deoarece f(x, y) este integrabilă pe D, este nulă pe I—D, iar frontiera lui D este o mulțime de arie nulă. Dacă ținem seamă și de faptul că (x, y) = f(x, y), (x,y) , rezultă că

însă

Dacă considerăm integrala definită

conform fig. 5 și ținând cont de proprietatea de aditivitate a integralelor definite, putem scrie

=

Însă pe MN și PQ, (x,y)=0, iar pe NP, (x,y) = f(x,y), deci

=

Integrala din partea a doua, conform ipotezei din enunț, există pentru orice x [a,b]. Deoarece există și integral

urmează din (2) egalitatea

Teorema este demonstrată.

Integrala dublă, funcție de limitele de integrare

Fie o funcție mărginită și integrabilă într-un domeniu . Pentru orice interval conținut în , integrala dublă

definește o funcție reală de variabile reale

Ne propunem să stabilim câteva proprietăți ale funcției .

Teorema 1.6.1. Dacă este marginită și integrabilă în , atunci

este continuă în D.

Demonstrație. Fie un punct oarecare însa fix în și , , astfel încât intervalele și xsă fie conținute în . Diferența

este egală cu

funcția este mărginită în , , deci putem scrie

,

de unde se deduce imediat că

,

deci este continuă. Teorema este demonstrată.

Teorema 1.6.2. Dacă este continuă în D, atunci funcția

are derivatele parțiale de ordinul întâi continue în D,

Derivata a doua mixtă

există și este continuă în D.

Demonstrație.

a)Funcția

este continuă pentru orice , deoarece este continuă în ; avem

,

este derivabilă parțial în raport cu x, iar după regula de derivare a unei integrale definite care depinde de un parametru obținem

.

b)Funcția

este continuă pentru orice , deoarece este continuă în . Avem

,

este derivabilă parțial în raport cu în și după aceeași regulă obținem

.

c)Funcția este continuă în raport cu ambele variabile în , deci este continuă în raport cu fiecare variabilă în parte; prin urmare funcția

este derivabilă parțial în raport cu x , iar funcția

este derivabilă parțial în raport cu ; avem

,

Teorema este demonstrată.

Consecința 1.6.1. Dacă ne propunem să găsim soluțiile care verifică ecuația cu derivate parțiale

,

ținând cont de cele de mai sus, obținem

,

unde și sunt funcții arbitrare, derivabile.

Formula lui Green

Formula lui Green stabilește legatura dintre integrala curbilinie în raport cu coordonatele și integrala dublă în domeniul mărginit de o curbă închisă.

Fie D un domeniu închis și mărginit de o curbă închisă formată dintr-un număr finit de arce netede. Vom presupune că domeniul D îndeplinește condiția că atât paralelele la axa Ox cât și paralelele la axa Oy taie frontiera în cel mult două puncte.

Teorema 1.7.1. Fie și două funcții continue pe D derivabile parțial, cu derivatele și continue pe D.

În aceste condiții are loc egalitatea

,

numită formula lui Green sau integrala lui Green.

Demonstrație. Fie A și B punctele de pe de abscise extreme punctele de pe de ordonate extreme , fig. 6.

Fig. 6

Dacă este ecuația arcului AEB și , ecuația arcului AFB , putem scrie

= = =

Însă

,

deci

. (1)

În mod asemănător, dacă , este ecuația arcului EAF, iar este ecuația arcului EBF avem

însă

,

deci

; (1’)

dacă adunăm pe (1) și ( obținem formula lui Green

.

Teorema este demonstrată.

Observația 1.7.1.

Condiția ca paralelele la axele de coordonate să taie conturul numai în două puncte a servit doar la demonstrație și poate fi înlăturată. Într-adevar, dacă domeniul D nu îndeplinește această condiție putem să-l împărțim într-un număr finit de subdomenii de contururi … care îndeplinesc această condiție. Pentru fiecare subdomeniu de contur avem

însă (cazul fig. 7) avem

si

deci și pentru domeniul D subsistă formula integrală

.

Formula lui Green ne permite să demonstrăm urmatoarea teoremă:

Teoremă 1.7.2. Fie două funcții continue în domeniul simplu conex D. Dacă derivatele și există și sunt continue în D, atunci condiția necesară și suficientă pentru ca integrala curbilinie

să nu depindă de drum în D este ea pentru orice

(1)

Demonstrație. Am arătat că relația (1) este necesară. Să arătăm acum că este și suficientă.

Fig. 7 Fig. 8

Într-adevar dacă în orice punct din (D), atunci, conform formulei lui Green, pentru orice curbă închisă avem

,

însă o integrală, care este nulă pe orice contur închis situat într-un domeniu D, nu depinde de drum în D, deci condiția este și sufucientă. Teorema este demonstrată.

Aplicație

Dacă obținem Aria domeniului D.

Exemplu

Să se calculeze integrala curbilinie

,

(unde este conturul din fig. 8), transformând-o într-o integrală dublă. Avem

deci

și

.

Schimbarea de variabile în integralele duble

Metoda schimbării de variabilă la integrala dublă se folosește cu scopul obținerii unui domeniu mai simplu iar dacă este posibil, chiar un domeniu bidimensional. De asemenea, se poate obține o expresie mai simplă pentru funcția de sub semnul integralei.

a) Să considerăm în planul xOy un domeniu D mărginit de o curbă închisă formată dintr-un număr finit de arce netede și în planul uOv un domeniu D’ mărginit de o curbă închisă formată tot dintr-un număr finit de arce netede. Fie transformarea punctuală a domeniului D’ în D realizată de funcțiile

x=, y = , D’ (1)

cu și continue, cu derivate de ordinul întâi și derivatele de ordinul doi mixte continue pe D’; determinatul funcțional

=

nu se anulează în D’.

Vom presupune că transformarea (1) este biunivocă pe D, adică reciproc fiecărui punct (x, y) din D îi corespunde un punct (u, v) dat de

u = (x, y), v = (x, y), (x, y) D.

Corespondența dintre dintre D’ și D se spune ca este directă dacă urmatoarea condiție este îndeplinită: când un punct se deplasează pe în sens direct, punctul corespunzător de pe se deplasează tot în sens direct. Dacă un punct de pe se deplasează în sens direct și punctul corespunzător de pe se deplasează în sens invers, corespondența dintre D’ și D se spune că este inversă.

Teorema 1.8.1. Dacă determinantul funcțional , D, este pozitiv în D’, transformarea este directă.

Demonstrație. Aria a domeniului D este dată de integrala curbilinie conturul fiind parcurs în sens direct. Să facem schimbarea de variabilă definită de (1); avem

căreia îi aplicăm formula lui Green. Avem

cu

P = , Q = ,

deci

Sau

.

așadar

Însă , deci dacă , atunci conturul R este parcurs în sens direct și

.

Teorema este demonstrată.

Observația 1.8.1.

Dacă folosim formula mediei in (1) sau () obținem

unde este un punct din .

b) Să revenim acum la schimbarea de variabilă în integrale duble. Fie o diviziune (, , …, ’ ) a domeniului D căreia, prin transformarea

x=, y = , D’

îi corespunde diviziunea = (δ1, δ2, …, δp ) a domeniului D. Fie și ariile subdomeniilor și respectiv; între ariile subdomeniilor și avem relația

=

Conform obervației făcute. Dacă notăm

= , =

avem următoarea egalitate

= ,

De unde rezultă imediat

=

care este formula schimbării de variabile în integrale duble.

INTEGRALE DE SUPRAFAȚĂ

Elemente de teoria suprafețelor

a) Fie ( trei funcții continue cu derivate parțiale de ordinul întâi contine într-un domeniu închis D din planul . Mulțimea punctelor M () din spațiu, data de

, (1)

cu determinanții funcționali

,

care nu se anulează simultan în D, este o suprafață S în spațiu, iar ecuațiile (1) se numesc ecuațiile parametrice ale suprafeței S.

Pe suprafața S dată de (1) dacă (constant), obținem o curbă trasată pe suprafața S, de-a lungul căreia variază numai parametrul.

Pentru valori diferite ale lui obținem așadar o familie de curbe trasate pe suprafață, curbe de-a lungul cărora variază numai

În mod asemănător, dacă = (constant), obținem o curbă trasată pe suprafața S de-a lungul căreia variază nunai parametrul , deci la = constant corespunde o familie de curbe trasate pe suprafața S, de-a lungul cărora variază numai (fig. 9)

Fig. 9

Printr-un punct P de pe suprafață trece o curba și o curbă = .

b) Parametrii directori ai tangentei la curba în punctul P (), după cum se știe, sunt

, ,

iar ai tangentei la curba = in punctul P ( sunt

, , ;

cosinușii direcori ai dreptelor si sunt respectiv , , ;

, ,

unde am notat

E = + + ,

G = + +

toate derivatele fiind calculate în punctul (, ). Unghiul dintre cele doua curbe și este dat de

cos = ± = ±

c) Elementul de arc al unei curbe oarecare trasată pe suprafața este definit de

;

dacă ținem seama că

d + d ,

d + d,

obținem

d d

având semnificația de mai sus. În particular, pentru curbele elementul de arc este

,

Iar pentru curbele , elementul de arc este

.

d) Dacă α, β, γ sunt cosinușii directori ai normalei la suprafață, în punctul, deoarece este perpendicular pe și are relațiile

+ + = 0

+ + = 0,

de unde deducem, în ipoteză că matricea

este de rang doi, soluțiile

α = λ, β = λ γ = λ ,

unde sunt determinanții funcționali

A = , B = , C =

și pentru ca + + = 1 rezultă λ, astfel încât avem în cele din urmă

α= , β = , γ = = .

În fiecare punct al suprafeței avem doi vectori normali la suprafață, de sensuri opuse. Dacă , unul din ei va face un unghi ascutit cu axa (deci γ , iar celalalt va face un unghi obtuz (deci γ < 0).

Folosind identitatea lui Lagrange

( + ( + ( =

+ + ( + + ) – ( + + )

și ținând seama că

,

rezultă identitatea

.

e) Să considerăm funcția vectoriala (), identificată de

() ;

când punctul () parcurge domeniul , vârful () al vectorului descrie suprafața . Vectorii

,

calculați în punctul (), sunt vectori tangenți la curbele si în punctul respectiv. Avem și

,

deci

x , x ,

deoarece

x

Versorul normalei la suprafață este dat, așadar, de

;

semnele și corespund la cei doi vectori normali la suprafață.

Planul tangent la suprafață este planul ce trece prin punctul și este pararel cu vectorii deci are ecuația

sau, în coordonate carteziene,

Aria unei suprafețe

Să considerăm suprafața definită de

,

fiind un domeniu închis și mărginit din planul , interior unui interval

Fie o diviziune a domeniului

;

dreptelor care formează diviziunea le corespund pe suprafața o rețea de curbe parametrice, care la rândul lor determină o diviziune a suprafeței

.

Reciproc, la o diviziune a suprafeței formată dintr-o rețea de curbe parametrice corespunde pe domeniul o diviziune formată din paralele la axele de coordonate și .

Dacă sunt părțile de suprafață care formează diviziunea , pentru fiecare suprafață să considerăm cea mai mică sferă care conține pe și fie diametrul său; pe cel mai mare dintre numerele îl numim norma diviziunii și îl notăm cu ν.

În planul diviziunea are forma ν, așa cum a fost definită anterior.

Să luăm un interval al diviziunii determinat de dreptele ,

;

acestui interval îi corespunde partea de suprafață marginită de curbele parametrice ( fig. 10 )

.

Fig. 10

În planul tangent la suprafață în punctul ( de pe suprafață, să considerăm paralelogramul cu un vârf în acest punct și laturi dirijate după vectorii de lungimi

.

Vom aproxima aria părții de suprafață cu aria a acestui paralelogram

,

unde este unghiul curbelor parametrice .

Deoarece avem

rezultă imedia că

,

expresia fiind calculată în punctul .

Aria =

Să considerăm acum un șir de diviziuni ( ale suprafeței cu ν() când n; acestui șir îi corespunde un șir de diviziuni () ale domeniului , de asemenea cu ν()0 când n. Sumele sunt sume Riemann relative la funcția și diviziunea a domeniului .

Deoarece au derivate parțiale continue în , urmează că reprezintă o funcție continuă în ; prin urmare când ν () 0 sumele sunt convergente către integrala dublă

d d.

Definiția 2.2.1. Spunem că suprafața are o arie dacă integrala dublă

d d

există și este finită. Valoarea inegralei duble reprezintă aria suprafeței .

Observația 2.2.1

O suprafață pentru care funcțiile sunt continue cu derivate parțiale de ordinul întâi continue în și pentru care determinanții funcționali

, ,

nu se anulează simultan în , se numește o suprafață netedă.

Din definiția dată rezultă că o suprafață netedă, sau o suprafață formată dintr-un număr finit de porțiuni netede, are o arie.

Definiția 2.2.2. Formula diferențială.

d d

se numește elementul de arie al suprafeței .

Observația 2.2.2. Dacă suprafața este dată prin ecuația ei carteziană , punând , obținem

, , , , ,

elementul de arie este dat de

d d = d d,

iar aria suprafeței de integrala dublă

= d d

unde este proiecția suprafeței pe planul .

Exemple

1) Sfera + + = are o reprezentare parametrica , , . Avem, cu

,

prin urmare elementul de arie al sferei este dat de

2) Paraboloidul eliptic are o reprezentare parametrică data de , .

Avem , , deci elementul de arie este

d d.

În formula care dă aria suprafeței

= d d.

depind de adică de reprezentarea parametrică a suprafeței .

Numarul este însă independent de reprezentarea parametrica a suprafeței .

Teorema 2.2.1. Integrala dublă

= d d

este independentă de reprezentarea parametrică a suprafeței S.

Demonstrație. Orice altă reprezentare parametrică a suprafeței se obține din

printr-o schimbare de variabile

(2)

cu funcții continue cu derivate parțiale de ordinul întii continue în , cu determinantul funcțional

și care realizează o transformare regulate a lui pe

Dacă considerăm transformarea punctuală

,

care transformă domeniul în domeniul avem egalitatea

(3)

demonstrate la integrale duble și unde am notat

Avem însă

,

conform unei proprietăți cunoscute a determinanților funcționali deci

=

pe care o înlocuim în (3) ne dă

d dd d.

Teorema este demonstrată.

Exemple

1) Să se calculeze aria suprafeței (paraboloid hiperbolic) care se proiectează pe planul în interiorul cercului .

Avem

,

deci aria A cautată este dată de

,

undeeste discul circular Dacă facem schimbarea de variabile
,

obținem

sau

2) Să se calculeze aria elipsoidului de rotație

,

O reprezentare parametrică a elipsoidului este

Avem

deci

d dd d

Aria elipsoidului de rotație este dată de integrala dublă

d

în care dacă punem obținem

Dacă din (1) obținem suprafața sferei 4.

Integrale de suprafață în raport cu aria

Fie o suprafață în spațiu definită de funcțiile fiind continue și având derivate parțiale de ordinul întâi continue în domeniul (închis și mărginit) și o funcție definită pe .

Fie o diviziune a suprafeței în părțile de suprafață

de arii respectiv

Să considerăm suma

(1)

unde este un punct oarecare situat pe ; deoarece avem

urmează că suma (1) este egală cu suma (

(1’)

Diviziunii a lui îi corespunde diviziunea a lui D, iar părților de suprafață , le corespund subdomeniile ; punctul ( aparține așadar lui .

Să considerăm acum un șir de diviziuni ( ale suprafeței cu 0. La șirul de diviziuni ale suprafeței corespunde un sir de diviziuni ale domeniului (închis și mărginit) de asemenea cu 0.

La șirul de diviziuni ale suprafeței corespunde șirul numerelor

Definiția 2.3.1. Dacă pentru orice șir de diviziuni ale suprafeței cu 0, șirul sumelor are o limită finită, atunci limita șirului (se numește integrala de suprafață a funcției pe suprafața (în raport cu aria) și se notează

. (2)

Deoarece șirul sumelor (are aceeași limită cu șirul (dacă există), urmează că avem egalitatea

(3)

formulă care constituie și regula de calcul pentru integrala de suprafață (2).

Observația 2.3.1.

1) Daca este continuă într-un domeniu și dacă , atunci integrala (2) există, deoarece și (3) există.

2) Dacă suprafața este definită de

,

atunci avem

d d.

3) Dacă luăm pe , obținem integrala de suprafață

d d

care ne dă aria suprafeței .

Exemple

1) Să se calculeze integrala de suprafață

fiind porțiunea din suprafața sferei situate în primul octant. O reprezentare parametrică a suprafeței este dată de

,

cu Elementul de arie al sferei de rază este

avem

2) Să se calculeze integrala de suprafață

unde este porțiunea din paraboloidul de rotație cuprinsă între si . Avem

,

și calculul integralei de suprafață se reduce la calculul integralei duble

sau

fiind discul circular Cu substituția , , obținem

.

Integrale de suprafață în raport cu coordonatele

a) Să considerăm o suprafață dată de ecuațiile fiind funcții continue cu derivate parțiale de ordinul întâi continue în domeniul închis și mărginit din planul . Vom presupune că determinanții funcționali , , nu se anulează simultan în .

În fiecare punct al suprafeței se pot considera doi vectori normali la suprafață, și având sensuri opuse.

Unul din vectori face un unghi ascuțit cu axa , iar celălalt un unghi obtuz. Vom numi fața superioară a suprafeței în raport cu planul fața lui pentru care vectorul normal face un unghi ascuțit cu axa ; vom numi fața inferioară a suprafeței , cealaltă față a lui , adică fața pentru care vectorul normal face un unghi obtuz cu axa .

Exemplu

a) Să considerăm semisfera . Fața superioară are ca normală normala exterioară la sfera dată. Fața inferioară are ca normală normala la sfera dirijată spre centrul sferei.

b) Dacă considerăm semisfera , situate sub planul , fața superioară are normala dirijată spre centrul sferei, iar fața inferioară are normala dirijată spre exteriorul sferei.

Fie centrul suprafeței ( care nu este o suprafață închisă) și proiecția lui pe planul . Pe se pot lua două sensuri de parcurs. Sensul asociat suprafeței superioare (fig. 11), este acela care corespunde sensului direct pe conturul . Feței inferioare i se asociază sensul invers. În acest mod se definește un sens de parcurs pe conturul oricărei porțiuni din suprafața . Spunem că suprafața este orientată fața de planul , în același timp fiind orientat și domeniul , proiecția suprafeței pe planul , precum și domeniul din planul .

Observația 2.4.1.

Nu orice suprafață are doua fețe. Există suprafețe cu o singură față suprafețe pe care, printr-o deplasare continuă, normala schimbându-și direcția în mod continuu, poate reveni în punctul inițial cu sensul opus sensului inițial.

Cel mai simplu exemplu este așa-numita banda a lui Mobius (fig. 12).

Pentru a o obține luăm o foaie de hârtie dreptunghiulară , o răsucim și o lipim astfel încat să coincidă cu și cu .

Fig. 11 Fig. 12

Fie o funcție definită pe suprafața orientată . Fie o diviziune a suprafeței

căreia îi corespunde o diviziune a domeniului , proiecția suprafeței pe planul ,

se proiectează pe , iar frontiera lui se proiectează pe frontiera lui ,

și fie

Dacă notăm cu aria părții de suprafață de pe avem egalitatea

, (1)

unde este cosinusul unghiului pe care îl face normala la suprafața orientată într-un punct de pe suprafața , cu axa .

Să considerăm suma

,

unde este un punct oarecare de pe . Conform egalității (1), suma este egală cu suma

relativă la diviziunea a suprafeței .

Fie un șir de diviziuni ale domeniului cu când

Acestui șir de diviziuni îi corespunde un șir de diviziuni ale suprafeței cu când .

Definiția 2.4.1. Dacă pentru orice șir de diviziuni cu , șirul sumelor are o limită finită, această limită se numește integrala de suprafață a funcției în raport cu si și se notează

.

Deoarece șirul sumelor are aceeași limită cu șirul (dacă există), avem egalitatea

(2)

unde este cosinusul unghiului pe care îl face normala la suprafața orientată cu axa .

Formula (2) ne dă regula de calcul a integralei de suprafață în raport cu , deoarece

unde

;

avem așadar

dacă domeniul are aceeași orientare cu domeniul , și

dacă domeniul are orientare inversă față de domeniul .

b) Procedeul folosit pentru a orienta suprafața și de a asocia acestei orientări orientarea domeniului , proiecția suprafeței pe planul poate fi extins și la celelalte plane de coordonate. Astfel, vom numi fața superioară a suprafeței în raport cu planul, fața lui pentru care vectorul normal face un unghi ascuțit cu axa . Dacă este conturul lui si proiecția lui pe planul , sensul pe asociat suprafeței superioare este acel care corespunde sensului direct pe . În modul acesta suprafața este orientată față de planul , fiind în același timp orientat și domeniul , proiecția suprafeței pe planul , precum și domeniul din planul . Vom numi fața superioară a suprafeței în raport cu planul , fața lui pentru care vectorul normal face un unghi ascuțit cu axa . Daca este proiecția conturului a lui pe planul , sensul pe asociat suprafeței superioare este acela care corespunde sensului direct pe . În modul acesta, suprafața este orientată față de planul fiind în același timp orientat și domeniul , proiecția suprafeței pe planul , precum și domeniul din planul .

Exemplu

Fie semisfera pe care planele de coordonate o împart în 4 octante. Să cercetăm cum este orientată suprafața exterioară a semisferei față de cele trei plane de coordonate în fiecare octant.

Se observă că pentru această față, normala este normala la sfera dirijată înspre exteriorul sferei.

a) în octantul , octantul corespunzător al sferei este suprafața superioară față de cele trei plane de coordonate.

b) în octantul , octantul corespunzător al sferei este suprafața superioară față de planele, și fața inferioară pentru planul .

c) în octantul , octantul corespunzător al sferei este suprafața superioară pentru planele și fața inferioară pentru planul .

d) în octantul , octantul corespunzător al sferei este fața superioară față de planul și fața inferioară față de planele .

c) Dacă este o funcție definită pe suprafața , integrala de suprafață a funcției în raport cu pe o anumită față a suprafeței se definește în mod asemănător

unde este cosinusul unghiului pe care îl face normala la suprafața orientată cu axa . Dacă domeniul (din planul are aceeași orientare cu suprafața , atunci avem egalitatea

,

iar dacă domeniul este orientat invers, avem egalitatea

,

formule care ne dau regula de calcul pentru integrala (1).

Dacă este o funcție definită pe suprafața , integrala de suprafață a funcției în raport cu pe o anumita față a suprafeței se definește în mod asemănător

unde este cosinusul unghiului pe care îl face normala la suprafața orientată cu axa . Dacă domeniul (din planul are aceeași orientare cu suprafața , atunci avem egalitatea

,

iar dacă domeniul este orientat în sens invers,

d) Am obținut egalitățile

unde sunt cosinușii directori ai normalei la suprafața și anume ai normalei la fața suprafeței în raport cu care sunt luate integralele din prima parte (această față este aceeași pentru cele trei integrale).

Dacă le adunăm, obținem

(1)

egalitatea care ne dă și regula de calcul pentru integrala de suprafață în raport cu coordonatele

. (2)

Expresia (2) este forma generală a integralei de suprafață în raport cu coordonatele și din discuția de mai sus rezultă că se calculează aducându-se la forma (1), adică la o integrală în raport cu aria, care la rândul ei se calculează dupa regula dată la alineatul precedent.

Observații.

1) Dacă considerăm câmpul vectorial de componente definit într-un domeniu ,

,

iar daca este versorul normalei la fața suprafeței în raport cu care se calculează integrala de suprafață (2), adică

,

atunci relația (1) se scrie

.

În cazul când este câmpul de viteze ale unui fluid în mișcare (de masă specifică egală cu unitatea), produsul

reprezintă cantitatea de fluid care trece prin elemental de suprafață (al suprafeței ) în unitatea de timp se numește fluxul elementar al câmpului de viteze prin elementul . Integrala de suprafață

reprezintă așadar fluxul total al câmpului de viteze prin suprafața orientată și după cum se vede are o semnificație fizică.

2) Dacă sunt continue într-un domeniu și dacă , toate integralele de suprafață în raport cu coordonatele care intră în componența integralei (2) există.

3) Dacă suprafața nu este netedă însă este formată din reunirea unui numar finit de suprafețe netede , atunci integrala de suprafață (2) se definește ca sumă a integralelor de suprafață relative la suprafețele netede a căror reuniune este suprafața .

Exemple

1) Să se calculeze integrala de suprafață

unde este suprafața ( fața exterioară) a sferei . Normala la suprafața sferei, dirijată spre exteriorul sferei, are cosinușii directori

,

deci

.

O reprezentare parametrică a sferei date este

,

. Avem , deci

și ținând seama că integralele , sunt nule dacă cel puțin unul din numerele este impar obținem

,

.

2) Să se calculeze integrala de suprafață

unde este suprafața (fața exterioară) a cilindrului , cuprinsă între planele și .

Avem

,

unde sunt cosinușii directori ai normalei exterioare la suprafața , deci

,

prin urmare

O reprezentare parametrică a suprafeței este

Avem

,

deci

.

Formula lui Stokes

Formula lui Stokes stabilește o legatură între integrala curbilinie în raport cu coordonatele definită pe o curbă închisa C din spațiu și integrala de suprafață definită pe suprafața mărginită de curba C.

Fie o suprafață orientată, netedă, deschisă, definită de

, (1)

mărginită de o curbă închisă, netedă, , funcțiile având derivatele parțiale de ordinul doi, continue în .

La suprafața orientată corespunde un sens de parcurs pe curba ; vom alege fața suprafeței astfel încât un observator situat pe acea față să vadă conturul parcurs în sens direct (fig. 13).

Teorema 2.5.1. Dacă sunt trei funcții continue cu derivate parțiale de ordinul întâi continue într-un domeniu care conține suprafața , atunci are loc egalitatea

care se numește formula lui Stokes sau formula integrală a lui Stokes.

Fig. 13

Demonstrație. Avem

(2)

unde este conturul domeniului din planul (prin transformarea (1) domeniului îi corespunde suprafața și curbei curba din spațiu). Dacă punem

și dacă aplicăm formula lui Green în (2) obținem

(3)

însă

și

;

pentru că = , rezultă că integrantul integralei duble este

,

astfel încât dacă îl înlocuim în (3) ne dă

,

sau
, (4)

dacă ținem seama de rezultatele de la alineatul precedent.

În mod analog obținem și

, ()

iar dacă adunăm pe (4), () si () obținem formula integrală a lui Stokes

.

Teorema este demonstrată.

Observații

1) Teorema este adevarată pentru orice suprafață , care îndeplinește condițiile din enunț și care are ca bordură curba .

2) Formula lui Green se obține din formula lui Stokes dacă sunt în , adică

.

3) Dacă sunt cosinușii directori ai normalei la suprafața orientată , atunci formula lui Stokes se scrie

,

iar dacă este un câmp vectorial de componente , observăm că funcția vectorială

,

este rot , astfel încât formula lui Stokes are și urmatoarea formă remarcabilă

,

care se citește în modul următor: Circulația câmpului de-a lungul curbei închise C este egală cu fluxul rotorului câmpului prin orice suprafață S, care are ca bordură curba C.

4) Dacă citim formula lui Stokes în mod invers, vedem că nu orice integrală de suprafață

(1)

poate fi transformată în integrală curbilinie. Pentru aceasta trebuie ca vectorul definit în să fie rotorul unei anumite funcții adică

,

de unde rezultă

. (2)

Se poate arăta că această condiție

,

este și suficientă ca integrala de suprafață (1) să se transforme într-o integrală curbilinie.

Formula lui Stokes ne permite sa demonstram urmatoarea teoremă:

Teorema 2.5.2. Dacă sunt trei funcții continue cu derivate parțiale continue într-un domeniu simplu conex din spațiu, atunci condiția necesară și suficientă pentru ca integrala curbilinie

să nu depindă de drum în este pentru orice să avem

. (1)

Demonstrație. Am arătat că relațiile (1) sunt necesare. Să arătăm că sunt și suficiente. Într-adevar, dacă pentru orice avem egalitățile (1), atunci, conform formulei lui Stokes, pentru orice curbă închisă avem

,

însă o integrală care este nulă pe orice contur închis situat într-un domeniu nu depinde de drum în , deci condiția este și suficientă. Teorema este demonstrată.

Fig. 14

Exerciții

1) Să se calculeze integrala curbilinie

luată de-a lungul laturilor triunghiului, transformând-o într-o integrală de suprafață.

Ecuația planului ABC este

,

deci o reprezentare parametrică a suprafeței triunghiului ABC este dată de

cu .

Integrala curbilinie se transformă cu formula lui Stokes în integrala de suprafață

unde sunt cosinușii directori ai normalei la planul triunghiului ABC, dirijată spre exteriorul tetraedului OABC (fig. 14). Avem

și

deci

.

2) Să se calculeze integrala de suprafață

întinsă la semisfera , transformând-o într-o integrală curbilinie pe cercul din planul .

Dacă punem

avem

deci integrala de suprafață poate fi transformată în integrală curbilinie. Trebuie să avem

.

O soluție particulară a acestui sistem este dată de

.

Avem deci

Cercul (C) are o reprezentare parametrică x , prin urmare

APLICAȚIILE INTEGRALELOR DUBLE ȘI DE SUPRAFAȚĂ

Aria unui domeniu plan

Aria unui domeniu plan, închis și mărginit este dată de integrala dublă

,

după cum rezultă din definiția integralei duble.

Dacă considerăm aria domeniului D dată de integrala curbilinie

unde este conturul lui D, obținem, aplicând formula lui Green, același rezultat.

Exemplu

Să se calculeze aria A a domeniului plan mărginit de curbele (fig. 15). Punctele de intersecție ale celor două curbe se obțin rezolvând sistemul

deci ,

A.

Fig. 15

Aria unei suprafețe din spațiu

Aria a unei suprafețe S definite de ecuațiile parametrice

cu continue cu derivate parțiale de ordinul întâi continue în D , este data de

Volumul corpurilor

Din definiția integralei duble rezultă că volumul mărginit de suprafața S definită de , de cilindrul proiectant al suprafeței S pe planul xOy (cu generatoarele paralele cu axa Oz) și de planul xOy este dat de

(1)

dacă și de

dacă nu se păstrează un semn constant în D.

Observația 3.3.1

Formula (1) este valabilă și când suprafața S este închisă, deci

(2)

Formula (2) se mai poate scrie

(

sau

. ()

Dacă adunăm pe obținem și

.

Exemplu

Să se calculeze volumul al corpului cuprins între paraboloidul , cilindrul și planul (Fig. 16).

unde D este discul circular .

Dacă facem schimbarea de variabile

,

Fig. 16

obținem

,

.

Centru de greutate

a) Se numește corp plan sau placă un corp la care una din dimensiuni este mult mai mică față de celelalte două dimensiuni; un astfel de corp îl asimilam cu un domeniu plan D , dacă placa este plană, sau cu o suprafață S în spațiu, dacă placa este curbă.

Să considerăm o placă plană D (în planul ), neomogenă, de densitate Fie o diviziune a domeniului D ,

și ariile subdomeniilor respective. Masa unei plăcuțe este dată de

,

unde este un punct aparținând domeniului . Dacă presupunem masa unei plăcuțe concentrate în punctul , urmează ca centrul de greutate al celor p plăcuțe are coordonatele

Observăm că atât la numărătorul cât și la numitorul lui avem sume integrale care conduc la integrale duble relative la domeniul .

Astfel, dacă este un șir de diviziuni ale domeniului cu avem

,

prin urmare centrul de greutate al plăcii de densitate este dat de

. (1)

b) Centrul de greutate al unei plăci curbe, de densitate căreia i se asociază o suprafață , se obține în mod asemănător,

, , (2)

unde este elementul de arie al suprafeței .

Aplicație

Dacă placa este omogenă, atunci formulele (1) sau (2) constant . Să considerăm o placă plană omogenă; centrul de greutate are coordonatele

, .

Ultima relație se mai scrie

. (3)

Am folosit formula lui Green și am notat cu aria domeniului , iar cu R conturul lui (conturul plăcii). Dacă înmulțim în (3) cu obtinem

,

unde V este volumul corpului obținut prin rotația domeniului plan în jurul axei . Am demonstrate astfel

Teorema a doua a lui Guldin. Volumul născut din rotația unui domeniu plan în jurul unei drepte din planul său (dreapta care nu traversează domeniul ) este egal cu suprafața domeniului înmulțită cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al domeniului .

Exemple

1) Să se determine centrul de presiune pe o clapă eliptică situată în peretele vertical al unui rezervor cu lichid (Fig. 17), greutatea specifică a lichidului fiind .

Luăm originea axelor în centrul elipsei , cu dirijat în jos. Presiunea specifică în punctul de adâncime este

,

fiind înalțimea lichidului pâna la centrul elipsei. Probelma se reduce la găsirea centrului de greutate al plăcii eliptice de densitate . Din motive de simetrie este dat de

.

Se observă că , deci ne mai ramâne

.

Fig. 17

Avem

sau, punând ,

,

deci .

2) Să se găseasca centrul de greutate al unei tole, omogene, care are forma porțiunii din sfera situată în primul octant. Din motive simetrice, centrul de greutate al tolei se găsește pe prima bisectoare a triedrului axelor,

.

Folosind reprezentarea parametrică a suprafeței , , , obținem

deci

.

3) Folosind teorema lui Guldin să se găsească centrul de greutate al plăcii omogene semicirculare .

Prin rotația plăcii în jurul axei obținem sfera de rază R.

,

de unde

.

Centrul de greutate G al plăcii se găsește pe axa Oy, deci = 0.

CONCLUZII

În concluzie, lucrarea de față are rolul de a dezvolta o gândire analitică și abstractă și ne ajută la calcularea ariilor și volumelor diferitelor suprafețe prin intermediul integralelor tratate în primele două capitole.

Cu toate că lucrarea vizează mai mult noțiunile teoretice ale integralelor duble și de suprafață, acestea pot avea o puternică nuanță practică deoarece ele pot fi folosite în calculul unor suprafețe care pot fi greu calculate fără stăpânirea acestor noțiuni.

Prin aplicațiile prezentate în ultimul capitol am încercat să reliefez aspectul practic al integralelor duble și de suprafață în calculul ariilor, volumelor și centrelor de greutate al diferitor corpuri.

Consider că prin elaborarea acestei lucrări am reușit sa-mi formez deprinderi teoretice și practice care mă vor ajuta într-o viitoare carieră de matematician.

BIBLIOGRAFIE

Mica Enciclopedie matematică, București, Editura Tehnică, 1995

COȘNIȚĂ, C., TURTOIU, F. Culegere de probleme de analiză matematică, București, Editura Tehnică, 1962

CIORĂNESCU, N. Curs de algebră și analiză matematică, București, Editura Tehnică, 1955

CRISTESCU, R. Matematici superioare, București, Editura didactică și pedagogică, 1963

IACOB, C. Curs de matematici superioare, București, Editura Tehnică, 1957

MARINESCU, GH. Teoria ecuațiilor diferențiale și integrale, București, Editura didactică și pedagogică, 1963

NICOLESCU, M. Calculul integral, București, Editura Victoriei, 1949

NICOLESCU, M. Analiză matematică, Vol. I, 1957, vol. II, 1958, București, Editura Tehnică

STĂNĂȘILĂ, O., ȘTEFĂNOIU, D., IOSIFESCU, M., Enciclopedie matematică, București, Editura Agir, 2010

ȘABAC, I. GH. Matematici speciale, Vol. I, II, București, Editura didactică și pedagogică, 1964-1965