Functii Trigonometrice

Cuprins

Introducere

Trigonometria se poate defini ca o parte a matematicii care se ocupă cu studiul unghiurilor, a triunghiurilor și a funcțiilor trigonometrice cum sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta. Unii matematicieni definesc trigonometria ca și o subdiviziune a geometriei iar alții ca și o știință matematică distinctă. Ca și origine, trigonometria are cultura antică din Egipt, Babilon și Valea Indului, de mai mult de 3000 de ani, pionierii calculelor matematice fiind matematicienii indieni, realizând aplicații în astronomie și în trigonometrie. Singurul matematician cunoscut care a utilizat geometria și trigonometria în astronomie a fost Lagadha, în cartea sa Vedanga Jyotisha.[5]

Un alt matematician important a fost Hipparchus, acesta fiind un matematician grec, care a realizat un tabel trigonometric pentru triunghiuri in anul 150 î.Hr. Alt matematician grec, a fost și Ptolemeu (circa 100 î.Hr.) care la rândul său a continuat să se ocupe de dezvoltarea calculul trigonometric.

Cel care a considerat trigonometria pentru prima dată ca și o disciplină matematică distinctă a fost Shia Musulman Nasir al-Din Tusi. Acest savant a fost primul care a descris cele șase cazuri cunoscute pentru un triunghi dreptunghic în trigonometria sferică. Trigonometria a fost introdusă ca și cuvânt în franceză și engleză de către Bartholemaeus Pitiscus, un matematician de origine silesă care a realizat o lucrare în anul 1595 pentru introducerea cuvântului trigonometrie in cele două limbi.[5]

Funcțiile trigonometrice se pot defini ca și rapoarte între laturile unui triunghi dreptunghic plan. Cea mai lungă latura a unui triunghi dreptunghic, cea care este opusă unghiului drept, poartă numele de ipotenuză, pe când celelalte laturi care formează unghiul drept poartă denumirea de catete. Sinusul unui unghi ascuțit pentru un triunghiul dreptunghic, se definește ca și raportul dintre lungimea catetei opuse și cea a ipotenuzei. În același fel, cosinusul unui unghi ascuțit este definit ca și raportul realizat între lungimea catetei alăturate și lungimea ipotenuzei. Aceste funcții trigonometrice există din vremurile babiloniene iar o muncă considerabilă în dezvoltarea lor fiind realizată de către matematicieni greci dar și persani.

În matematică, funcții trigonometrice se se mai pot defini și ca niște funcții ale unui unghi oarecare. Acestea se folosesc la studierea triunghiurilor dar se mai pot folosi și la reprezentarea unor fenomene periodice. Unele definiții mai moderne exprimă funcțiile trigonometrice sub forma unor serii infinite sau sub forma unor soluții ale ecuațiilor diferențiale, se poate permite extinderea lor la valori pozitive sau negative și se poate ajunge și la unele numere complexe.

Utilizarea lor modernă presupune șase funcții trigonometrice de bază dar în istorie au fost utilizate și câteva derivate ale acestor funcții. Acestea au apărut în unele tabele vechi, însă în zilele noastre sunt foarte rar folosite, un exemplu de astfel de funcții fiind funcția versinus și funcția exsecantă, care sunt definite ca și  (1 − cos θ) respectiv (sec θ − 1). [6]

Noțiuni generale ale funcțiilor trigonometrice

2.1 Unghiuri și arce în trigonometrie

Cele două unități de măsură ale unghiurilor, utilizate in trigonometrie sunt urmatoarele:

Măsura în grade

Pentru sistemul în grade, unitatea folosită pentru măsurarea unghiului este gradul () (). Și se definește ca măsura unghiului egal cu cea de-a 90-a parte dintr-un unghi drept. El are ca si submultipli minutul () și secunda () . Un minut este egal cu cea de-a 60-a parte dintr-un grad, și o secunda este a 60-a parte din minut. Asadar, și .

Măsura unghiului alungit (desfășurat) este de (dublu față de unghiul drept). Măsura unui unghi complet este de . [1]

Măsura în radiani

Măsura în radiani pentru unghiurise bazeaza pe afirmația: raportul dintre lungimea arcului și lungimea razei arcului de cerc, iar aceasta este o mărime întotdeauna constantă, care nu variaza în funcție de raza cercului.

Măsura in radiani – definiție:„Fie l lungimea arcului circular de razăr, α este numărul egal cu raportul rezultat dintre lungimea arcului circular și lungimea razei de cerc și poartă denumirea de măsură în radiani a arcului (dar și a unghiului la centru corespunzător acestui arc). Așadar.”[1]

Tranziția de la o unitate de măsură la alta se poate face deoarece prin masurători ale aceluiași unghi sau arc cu doua unități de măsură diferite se obțin numere al căror raport este egal cu raportul unităților de măsură. Așadar, dacă este măsura în grade, iar – măsura în radiani pentru un unghi alungit, atunci , de unde rezultă că, . [1]

Exemple de probleme cu unghiuri:

Exemplul 1: Măsura în radiani () a unghiului complet este . Într-adevăr, deoarece lungimea cercului este , rezultă că , unde este un număr irațional. Valoarea în radiani a unghiului alungit este egală cu , iar a unghiului drept este egală cu rad.

Exemplul 2: Transformați în radiani măsurile unghiurilor de:

; b) ; c) ; d) ;

Rezolvare:

;

;

;

.

Exemplul 3:

Scrieți în grade măsurile unghiurilor de:

; b) ; c) ; d) ;

Rezolvare:

;

;

;

.[1]

2.2 Funcții trigonometrice de bază

Cercul trigonometric este cercul de rază 1 cu centrul în originea sistemului de coordonate.

Teoremă: Dacă semidreptele [OM1 și [OM2 coincid (, ), atunci (2), unde , sunt puncte într-un sistem cartezian de coordonatex,yiar , (Fig. 1).

Observație: Dacă punctul aparține cadranului I, rapoartele reprezintă tangenta, cotangenta, cosinusul șisinusul pentru unghiului ascuțit. Deoarece valorile acestor rapoarte nu sunt în funcție de lungimea segmentului , ci depind numai de măsura unghiului format de semidreapta cu semiaxa pozitivă , în continuare vor fi examinate doar punctele situate pe cercul trigonometric.

Definiții: Fie cercul trigonometric și unghiul format de semidreapta cu semidreapta pozitivă (punctul aparține cercului trigonometric) (Fig. 2).

Sinusul unghiului α – se numește ordonata punctului M ();

Cosinusul unghiului α – abscisa punctului M ();

Tangenta unghiului α – raportul dintre ordonata și abscisa punctului M (, , ).

Cotangenta unghiului α– raportul dintre abscisa și ordonata punctului M (, , ). [1]

Observație: Au fost definite, de fapt, niște funcții pe submulțimi ale mulțimii numerelor reale, deoarece măsura în radiani a oricărui unghi este un număr real.

Definiții: Se numește funcție:

Sinus – funcția , ;

Cosinus – funcția , ;

Tangentă – funcția , ;

Cotangentă – funcția , .

Funcțiile definite sin, cos, tg, ctg se numesc funcții trigonometrice. [1]

Exemple de probleme:

Exemplul: Să se calculeze valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de măsurile 0, , , respectiv de vectorii , , (Fig. 2).

Rezolvare: Cum unghiurile , au măsurile de , radiani respectiv, din , avem , , , ceea ce permite să determinăm coordonatele punctelor respective: , , . Astfel, conform definițiilor funcțiilor trigonometrice, obținem:

, , ,

, , , ,

, , ,iar nu există, [1]

Proprietățile funcțiilor trigonometrice

2.3.1 Funcția sinus , .

Sinusul este funcția trigonometrică egală cu raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei opuse unghiului respectiv dintr-un triunghi dreptunghi.

, fiindcă pentru orice se determină în mod unic ordonata punctului , unde formează unghiul de măsură cu semiaxa pozitivă .

, incluziunea este evidentă, fiindcă pentru orice avem: . Deoarece incluziunea inversă se obține utilizând cercul trigonometric. Pentru orice examinăm pe axa punctul (Fig.3). Dreapta paralelă cu axa ce trece prin punctul va intersecta cercul trigonometric cel puțin într-un punct Din construcție rezultă că, pentru orice unghi determinat de vectorul avem , adică este o valoare a funcției sinus.

Se obține .

Abscisele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa sunt soluțiile ecuației , adică . Punctele au ordonate zero, deoarece ele aparțin axei .

În figura 3 acestea sunt punctele și . Unghiurile determinate de vectorul au măsură , , iar cele determinate de vectorul au măsura , . Reuniunea acestor două mulțimi numerice este mulțimea .

Astfel, zerourile funcției sunt numerele .

Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției sinus cu axa sunt determinate de egalitatea , adică graficul intersectează axa într-un unic punct de coordonate .

Periodicitatea.Din definiția funcției sinus rezultă că, , deoarece unghiurile , sunt determinate de același vector. Aceasta înseamnă că, numărul este perioadă a funcției sinus. Să arătăm că, este perioada principală a funcției sinus. Presupunând că, există o perioadă mai mică , obținem , . În particular, pentru avem . Întrucât numărul este un zerou al funcției sinus, el are forma , . Unica valoare pozitivă de forma , , mai mică decât , . Dacă ar fi perioadă, am obține , . Această relație nu este însă adevărată pentru orice . De exemplu, pentru avem și . Rezultă că, nu este perioadă. Astfel, perioada principală a funcției este .

Observație: În baza proprietăților funcțiilor periodice conchidem că, este suficient să studiem proprietățile funcției sinus pe orice segment de lungime .

Semnulfuncției sinus coincide cu semnul ordonatei punctului respectiv pe cercul trigonometric. Ordonata unui punct este pozitivă, dacă el este situat mai sus de axa , ceea ce înseamnă că vectorul respectiv determină un unghi ce aparține intervalelor , . În acest caz unghiul aparține cadranului I sau II. Dacă , , adică unghiul aparține cadranului III sau IV, atunci ia valori negative (Fig. 4, a).

Paritatea. Dacă semidreapta determină un unghi , iar semidreapta determină unghiul , atunci punctele , , ce aparțin cercului trigonometric, sunt simetrice față de axa . Atunci se obține

pentru orice , deci funcția sinus este o funcție impară.

Monotonia. Funcția este strict crescătoare pe fiecare dintre segmente , , cu valori de la până la , și strict descrescătoare pe fiecare dintre segmentele ,, cu valori de la până la .

Extremele. În baza monotoniei funcției sinus, punctele , , sunt puncte de maxim local ale funcției și , iar punctele , , sunt punctele de minim local ale acestei funcții și . .[1][2]

Graficul funcției este prezentat în fig. 6. [3]

Funcția cosinus , .

Cosinusul este funcția trigonometrică a unui unghi, egală cu sinusul unghiului complementar, într-un triunghi dreptunghic, raportul dintre cateta alăturată unghiului și ipotenuză.

Proprietățile funcției cosinus se obțin în mod analog ca și proprietățile funcției sinus:

;

;

Zerourile funcției sunt valorile , iar graficul ei intersectează axa în punctul .

Funcția este periodică, perioada principală este 2π.

Semnele valorilor funcției cosinus coincid cu semnele absciselor punctelor pe cercul trigonometric: valorile funcției sânt pozitive, dacă unghiurile aparține cadranului IV sau I ( , ), și negative, dacă unghiul aparține cadranului II sau III ( , ).

Funcția este pară, deoarece, dacă vectorii și determină, respectiv, unghiurile și , atunci punctele , pe cercul trigonometric sunt simetrice față de axa și au aceeași abscisă. Deci formula , .

Funcția cosinus este strict crescătoare pe fiecare dintre intervalele , , (cadranele III, IV), ia valorii de la -1 la 1 și strict descrescătoare pe fiecare din , , (cadranele I, II) și ia valori de la 1 la -1.

Punctele , , sunt punctele de maxim local: ; punctele , , sunt puncte de minim local: . [1][2][4]

Graficul funcției , este prezentat în figura 7. [3]

Funcția tangentă , .

Tangenta este funcția trigonometrică a unui unghi egală cu raportul dintre sinusul și cosinusul acelui unghi.

;

;

Zerourile funcției coincid cu zerourile funcției sinus .

Deoarece pentru avem , funcția este periodică. Se poate arăta că, perioada principală a ei este .

Funcția tangentă ia valori pozitive în cadranele I, III, unde funcțiile sinus, cosinus iau valori de același semn, și valori negative – în cadranele II, IV unde funcțiile sinus și cosinus iau valoriau valori de semne opuse.

Funcția este impară, deoarece pentru orice avem:

.

Funcția tangentă este strict crescătoare pe fiecare din intervalele , ,

Funcția tangentă nu are extreme.

Graficul funcției este prezentat în figura 8.

Observație: Dreptele , , sunt asimptote verticale ale graficului funcției .

Funcția cotangentă , .

Cotangenta este funcția trigonometrică a unui unghi egală cu tangenta trigonometrică a unghiului complementar. 

;

;

Zerourile funcției sunt valorile .

Perioada principală a funcției este .

Funcția cotangentă ia valori pozitive în cadranele I, III și negative – în cadranele II, IV.

Funcția cotangentă este impară: ,

Funcția este strict descrescătoare pe fiecare dintre intervalele

, (Fig. 9).

Fiind monotonă, funcția cotangentă nu are extreme.

Graficul funcției este prezentat în figura 9.

[1][2][4]

Exemple:

Exemplul 1: Să se determine semnul produsului:

Rezolvare: Pentru a determina semnul unui produs trebuie să cunoaștem semnul fiecărui factor. În acest scop constatăm că, unghiurile de radiani, radiani aparțin cadranului I, unghiul de radiani – cadranul II, unghiul de radiani – cadranul III, unghiul de radiani – cadranul IV. Deoarece , , , , , rezultă că este pozitiv. [2]

Exemplul 2: Să se determine semnul expresiei .

Rezolvare: Deoarece , iar funcția cosinus pe este descrescătoare, rezultă: , deci , adică numărătorul este negativ. Expresia de la numitor este pozitivă, deoarece . Prin urmare expresia inițială este negativă. [2]

Exemplul 3: Să se determine paritatea funcției .

Rezolvare: Domeniul de definiție este , de aceea e suficient să verificăm schimbarea semnului: . Deci, funcția este impară. [1]

Exemplul 4. Să se determine domeniul de definiție al funcției .

Rezolvare: Expresia din partea dreaptă are sens pentru acele valori ale lui , pentru care:

Sunt definite funcțiile sinus și tangentă;

Are sens fracția de sub radical;

Această fracție e nenegativă.

Aceste condiții vor fi satisfăcute, dacă va fi soluție a sistemului:

Condiția a doua este echivalentă cu condiția , deci e satisfăcută de unghiurile, ce determină pe cercul unitar punctele cu ordonata diferită de . Acestea sunt unghiurile .

Prin urmare, ele se află în mulțimea determinată de prima condiție.

Inecuația a treia se rezolvă ușor, dacă ținem cont de faptul că, mulțimea valorilor funcției sinus este , adică faptul că sau . Atunci fracția din ecuația a treia va fi nenegativă (ținând cont de condiția ), atunci și numai atunci, când , adică , . Deci aflăm intersecția acestei mulțimi (ea reprezintă reuniunea mulțimilor ) cu prima (ea reprezintă reuniunea mulțimilor ), obținem reuniunea mulțimilor , . [1]

Exemplul 5: Să se aducă expresia , la valorile funcțiilor trigonometrice ale unui unghi din intervalul .

Rezolvare: Dacă împărțim la , obținem restul , deci . Folosind periodicitatea din imparitatea funcției sinus, obținem . [2]

Întrucât cotangenta are perioada , vom reprezenta ca suma a doi termeni , unul fiind multiplu lui , iar celălalt din intervalul : . Atunci . [8, p. 170-172]

Exemplul 6: Aflați și , dacă și .

Rezolvare: , de unde ; ; ; ; ; ; . [2]

Exemplul 7: Se dă: ; . Să se afle , , .

Rezolvare: , . Deoarece , avem , ,

, ,

, . [2]

Relațiile matematice ale funcțiilor trigonometrice

3.1 Ecuații trigonometrice

Ecuația care conține necunoscuta sub simbolul funcțiilor trigonometrice se numește ecuație trigonometrică.

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt ecuațiile de forma , , , [4]

Să determinăm formulele de calcul ale soluțiilor ecuațiilor trigonometrice fundamentale. Sunt posibile două modalități de ilustrare a soluțiilor acestor ecuații:

Utilizarea cercului trigonometric;

Utilizând graficele funcțiilor trigonometrice.

Ecuația

DVA:. Vom ilustra rezolvarea ecuației date pe cercul trigonometric. Fie cercul trigonometric și dreapta (Fig.12). Soluțiile ecuației sunt măsurile unghiurilor (în radiani sau în grade) formate de semiaxa pozitivă cu vectorii (, etc.) corespunzătoarepunctelor de pe cerc care au ordonata . Deci , ecuația nu are soluții.

Dacă , atunci singurul punct care are ordonata 1 (punctul de intersecție al cercului cu dreapta ) este . Deci o soluție particulară a ecuației este . Ținând cont de periodicitatea funcției sinus, obținem toate soluțiile ecuației : , , (5).

Similar pentru , (punctul ) obținem toate soluțiile ecuației : , , (6).

Dacă , atunci există pe cerc punctele și cu ordonata 0. Deci soluțiile particulare ale ecuației sunt , .

Ținând cont de periodicitatea funcției sinus, obținem toate soluțiile ecuației : , , , , sau reuniunea lor: , (7).

Dacă , atunci dreapta intersectează cercul trigonometric în două puncte, și , cu ordonata . Aceste puncte sunt simetrice față de axa ordonatelor. Deci soluțiile particulare ale ecuației sunt , . Ținând cont de periodicitatea funcției sinus, obținem toate soluțiile ecuației pentru.

Care pot fi unite într-o singură formulă:

, (10).

Observăm că, din (10) pentru , , obținem respectiv soluțiile . Prin urmare, este formula de calcul al tuturor soluțiilor ecuațiilor trigonometrice fundamentale , .

Deci mulțimea soluțiilor ecuației , este:

(10’)

Ecuația

DVA: . Fie cercul trigonometric și dreapta .

Soluțiile ecuației sunt măsurile unghiurilor formate de semiaxa pozitivă cu vectorii (, , , etc.) corespunzătoare punctelor pe cerc care au abscisa . Deci dacă , ecuația nu are soluții.

Similar cu ecuația , utilizând figura 13 și ținând cont de periodicitatea funcției cosinus, se obține că formula de calcul al tuturor soluțiilor ecuației fundamentale , , este , .

Deci mulțimea soluțiilor ecuației , , este:

(11)

Ecuația

DVA: . Din faptul că rezultă că, ecuația are soluții pentru orice . Vom ilustra rezolvarea ecuației pe cercul trigonometric și pe axa tangentelor (fig. 14). Pentru orice număr pe axa tangentelor avem un singur punct , a cărui ordonată este . Dreapta intersectează cercul trigonometric în două puncte (). Deci există două unghiuri și , a căror tangentă este , unde și .

Atunci o soluție particulară a ecuației este . Similar cu rezolvarea ecuațiilor , , utilizând figura 14 și ținând cont de periodicitatea funcției tangenta obținem că, formula de calcul tuturor soluțiilor ecuației fundamentale , , este , .

Pentru obținem formula de calcul a tuturor soluțiilor ecuației : , .

Deci mulțimea soluțiilor ecuației , , este (12)

Ecuația

DVA: . Din faptul că, rezultă că, ecuația are soluții pentru orice . Vom ilustra rezolvarea ecuației pe cercul trigonometric și pe axa tangentelor (Fig. 15).

Similar cu ecuația, pentru ecuația fundamentală ,, avem formula de calcul a tuturor soluțiilor ei:, .

Pentru obținem formula de calcul a tuturor soluțiilor ecuației : , .

Deci mulțimea soluțiilor ecuației , , este

(13)

[1] [7]

Generalizare:

,

Cazuri particulare:

, ,

, ,

, ,

, ,

,

Cazuri particulare:

, ,

, ,

, ,

, ,

,

Cazuri particulare:

, ,

, ,

, ,

, ,

,

Cazuri particulare:

, ,

, ,

, ,

, ,

Exemple de probleme:

Exemplul 1:Să se rezolve în ecuațiile :

; b) ; c) ; d)

Rezolvare:

, .

, .

, .

, .

Exemplul 2: Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: Conform formulei (10), avem:

, sau ,

Răspuns: .

Exemplul 3: Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare:Conform formulei (11), obținem soluțiile:

, sau , , de unde , . Deci

, .

Răspuns: .

Exemplul 4:Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: Conform formulei (12), avem , , sau, , de unde , .

Răspuns: : .

Exemplul 5:Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: Conform formulei (13), avem:, , sau , .Deci , .

Răspuns: : .

[1]

3.2 Funcții trigonometrice inverse

Transformările expresiilor trigonometrice arată că sunt multe situații când este necesar să se determine valoarea unei funcții trigonometrice fiind cunoscute valoarea altei funcții trigonometrice de același unghi sau de un multiplu (submultiplu) al său. Aceste fapte fac oportună problema de a determina unghiul fiind cunoscută valoarea unei funcții trigonometrice de acest unghi. Cum funcțiile trigonometrice nu sunt bijective se examinează restricțiile lor pe așa domenii, unde ele sunt bijective. Anume se examinează funcțiile:

, ;

, ;

, ;

, .

Aceste funcții sunt bijective, deci inversabile. Inversele lor se notează cu ,,,și, respectiv, se citesc „arcsinus”, „arccosinus”, „arctangentă”, „arccotangentă”.

Funcțiile:

arcsinus:; ;

arccosinus: ; ;

arctangenta: ; ;

arccotangenta:; .

se numesc funcții trigonometrice inverse.

Așadar, în baza definiției funcțiilor inverse, obținem:

, , ; (1)

, , ; (2)

, , ; (3)

, , . (4)

[2] [1]

Ținând cont de proprietățile funcțiilor inverse, obținem următoarele proprietăți principale ale funcțiilor trigonometrice inverse:

;

;

;

Este impară: ;

Este crescătoare pe ;

Nu are extreme;

Este bijectivă.

;

;

;

Nu este nici pară, nici impară, iar;

Este descrescătoare pe ;

Nu are extreme;

Este bijectivă.

;

;

Funcția arctangentă este impară: ;

Este descrescătoare pe ;

Nu are extreme;

Este bijectivă.

;

;

;

Nu este nici pară, nici impară, iar;

Este descrescătoare pe ;

Nu are extreme;

Este bijectivă.

[1]

Exemple de probleme cu funcții inverse:

Exemplul 1: Să se calculeze .

Rezolvare: Notăm . Conform definiției avem . Se știe că, sinus ia valoarea pentru , , , însă , deoarece numai

Exemplul 2:Să se demonstreze identitățile :

iar

Rezolvare:

Notăm . Conform definiției , , sau , . Întrucât , aplicând formula (1), obținem sau .

Notăm . Atunci , . Din definiția cosinusului și fapt că punctele de pe cercul unitar, determinate de unghiurile și sunt simetrice față de obținem . Întrucât , (, , , ), atunci în baza (2) avem sau .[2]

Exemplul 3: Să se calculeze și .

Rezolvare: Se știe, că și de aceea vom calcula primei expresii, exprimând sinus prin cosinus: . Întrucât , avem că e pozitiv și deci .

Pentru a calcula valoarea expresiei a doua notăm . Aplicând formulele de reducere, putem scrie . Întrucât , avem .[2]

Exemplul 4: Să se demonstreze că, pentru orice are loc egalitatea .

Rezolvare: Notăm , atunci ; , , iar .

Deci . [2]

3.3 Ecuații omogene

Considerăm ecuația de forma (1), unde ,,,…, sunt numere reale.

În fiecare termen din partea stângă a ecuației (1)suma exponenților sinusului și cosinusului este una și aceeași și este egală cu . Așa ecuație se numește omogenă în raport cu și , iar numărul se numește exponent de omogenități.

Este evident că, dacă , atunci toate rădăcinile ecuației (adică numerele ) verifică ecuația (1).

Dacă , atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației (1). Într-adevăr, pentru , avem , , și de aceea partea stângă a ecuației (1) obține valoarea . Sunt sau nu numerele rădăcini ale ecuației (1) se determină direct.

Vom căuta rădăcinile ecuației (1) . Pentru aceste valori ale lui și de aceea ambele părți ale ecuației (1) le putem împărțim la , obținând ecuația

(2)

Pe care o putem deja rezolva. Pentru ecuația (2) este echivalentă cu ecuația (1).

Să examinăm mai detaliat ecuații omogene cu exponenții de omogenități 1 și 2.

Pentru obținem ecuația . Dacă , atunci acest ecuație este echivalentă cu ecuația sau , de unde , .

[7]

Exemple:

Exemplul 1: Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: Ecuația dată este echivalentă cu ecuația , de unde .

Pentru obținem ecuația omogenă de forma

(3)

Dacă , atunci ecuația (3) este echivalentă cu ecuația

(4)

Prin substituția ecuația (4) o reducem la ecuația

(5)

Dacă , atunci ecuația (5) are rădăcinilereale , , și, prin urmare, ecuația (4) are soluțiile , .

Dacă ,atunci ecuația (4) nu are soluții.

[7]

Exemplul 2:Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare:Aducem ecuația dată la forma

sau

,

, , de unde

, .

Astfel ecuația dată este echivalentă cu totalitatea de ecuații , , de unde , . [8]

Exemplul 3:Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: DVA: . Substituind în ecuația dată, obținem ecuația omogenă. Împărțind ultima ecuație la , obținem ecuația echivalentă . Fie , atunci avem ecuația algebrică cu soluțiile , .

Revenind la necunoscuta , obținem ecuațiile , cu soluțiile:

, .

Răspuns [2]

Exemplul4: Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: Împărțind la , obținem ecuația sau , de unde , . Rezolvând însă această ecuație prin metoda descompunerii în factori, obținem ecuația , echivalent cu totalitatea

Prima ecuație are mulțimea soluțiilor

,

iar ecuația a doua – mulțimea soluțiilor

Constatăm că, prin împărțirea ecuației date la , am pierdut soluțiile ecuației inițiale de forma , (soluțiile ecuației ).

Răspuns: [1]

3.4 Ecuații cu modul

La rezolvarea ecuațiilor ce conțin modul vom utiliza aceleași metode ca și la ecuațiile trigonometrice obișnuite.

Să rezolvăm ecuația .

Metoda I.

Deoarece în cadranele I și III semnele funcțiilor și coincid, ecuația dată este echivalentă cu ecuația sau , de aici .

În cadranele II și IV funcțiile și au semne diferite, deci ecuația dată este echivalentă cu ecuația sau , de aici . Din aceste două mulțimi de soluții, obținem .

Metoda II.

Pentru orice ecuația dată o scriem astfel sau , de aici . Ultima ecuație este echivalentă cu totalitatea de ecuații , , de unde , , pe care le unim într-o mulțime .

Răspuns: .

Să se rezolve ecuația

Cunoaștem că,. Notând , , scriem ecuația dată sub forma

(1)

Vom considera două cazuri:

Fie , atunci și . Ecuația (1) o scriem astfel sau , care are rădăcinile , .

Domeniului considerat îi aparține numai , prin urmare , de aici .

Dacă , atunci și . Deci ecuația (1) ia forma sau , care are rădăcinile , .

Întrucât numai aparține domeniului considerat, obținem ecuația , de unde .

Să se rezolve ecuația .

Membrul stâng al ecuației este nenegativ. De aceea rădăcinile acestei ecuații trebuie să verifice condiția .

Pentru ecuația dată este echivalentă cu ecuația :

(1)

Ecuația (1) este echivalentă cu totalitatea a două ecuații și .

Ecuația are rădăcinile , iar ecuația are două rădăcini , .

Acum clarificăm, care din aceste rădăcini verifică condiția .

Este evident că, toate rădăcinile , verifică această condiție. Deoarece, avem , deci verifică condiția și este rădăcină a ecuației date. Deoarece , , deci nu verifică condiția . Deci nu este rădăcină a ecuației date.

Răspuns: 1, .

[7]

3.5 Metoda substituției

3.5.1 Metoda substituției universale

La utilizarea substituției vom menționa că, inițial vom exclude , pentru care nu există, iar la finele rezolvării vom verifica dacă satisface ecuația dată.

Să exprimăm , , și prin :

Prin substituția reducem ecuația trigonometrică la o ecuație algebrică în raport cu .

[7]

Exemple:

Exemplul 1: Să se rezolve în ecuația

Rezolvare:

Efectuând substituția , obținem ecuația , care are soluția . Astfel obținem ecuația , soluțiile căreia sunt , sau .

Răspuns: : [2]

Exemplul 2: Să se rezolveîn ecuația

Rezolvare: Utilizând metoda substituției universale , obținem ecuația

sau ,

de unde . Astfel ecuația dată este echivalentă cu ecuația , care are soluțiile

,

Se observă ușor că, mulțimea verifică ecuația dată, deci numerele

sunt soluții ale acesteia.

Răspuns: , , . [7]

3.5.2 Metoda substituției

Fie că este dată o ecuație trigonometrică . Notăm funcția prin și introducem o necunoscută nouă , unde , deoarece.

Dacă vom reuși să exprimăm funcția prin , adică s-o reprezentăm sub forma, atunci rezolvarea ecuațieise va reduce la rezolvarea ecuației .

Introducem într-o ecuație trigonometrică o necunoscută nouă . Aplicând identitatea , obținem , dacă partea stângă a ecuației trigonometrice se exprimă prin și , adică , atunci putem exprima prin .

Astfel, dacă partea stângă a ecuației trigonometrice poate fi exprimată prin și , atuncieste util de a aplica substituția necunoscutei cu formulele.

, .

Să construim ecuația de forma:

(1)

Care prin substituția indicată o reducem la ecuația de gradul doi în raport cu .

sau (2).

Dacă și sunt rădăcinile acestei ecuații de gradul doi, atunci ecuația (1) este echivalentă cu totalitatea de ecuații.

[7]

Exemple:

Exemplul:Să se rezolveîn ecuația

Rezolvare: Notăm , și obținem ecuația

Sau , unde , .

Numai verifică restricția , și de aceea ecuația dată este echivalent cu ecuația , , .

Analog putem rezolva ecuații de forma . În acest caz notăm și atunci .[8]

3.6 Metoda descompunerii în factori

Una din cele mai frecvente metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice este metoda descompunerii în factori.

Inițial să examinăm unele chestiuni generale, referitoare la această metodă.

Trecerea de la ecuația (1) la disjuncția ecuațiilor , , … , (2).

Această trecere se utilizează destul de frecvent la rezolvarea ecuațiilor. Firesc, apare întrebarea: putem oare afirma că, ecuația (1) este echivalentă cu disjuncția ecuațiilor (2)? Cu alte cuvinte, putem oare obține mulțimea tuturor rădăcinilor ecuației (1), rezolvând toate ecuațiile (2) și reunind rădăcinile acestora? Răspunsul la această întrebare ne dă teorema următoare.

Teorema 1: Dacă toate funcțiile , , …, sunt definite pe mulțimea M, atunci pe această mulțime ecuația (1) este echivalentă cu disjuncția ecuațiilor (2).

Demonstrație: Fie și este rădăcina uneia din ecuații (2). Păstrând generalitatea, vom considera că,este rădăcinile ecuației .

Atunci funcția este definită pentru și , (primul factor din partea stângă este egal cu zero).

Astfel, orice rădăcină (ce se conține în mulțimea ) a fiecărei ecuații , , … , (2)este rădăcina ecuației (1).

În direcție opusă, fie este rădăcină a ecuației (1) și . Atunci toate funcțiile , , …, sunt definite pentru , și . De aici rezultă că, cel puțin unul din numerele , , …, este egal cu zero. Iar aceasta înseamnă că, este rădăcina cel puțin a uneia din ecuații.

, , … ,

Teorema demonstrată stă la baza metodei descompunerii în factori de rezolvare a ecuațiilor.

Exemple:

Exemplu: Să se rezolve ecuația.

Rezolvare:Scriem ecuația astfel sau ,

Deoarece partea stângă a acestei ecuații este definită pentru , atunci ecuația dată este echivalentă cu disjuncția ecuațiilor

, .

Ecuația are soluțiile , iar ecuația , .

Răspuns: , , [7]

3.7 Metoda reducerii la ecuații algebrice

Fie o expresie algebrică de variabilele , , , . Fie , , , și scriem ecuația trigonometrică.

(1)

În particular ecuația (1) poate să conțină numai unele din aceste funcții trigonometrice. De exemplu, ecuația

(2)

Conține numai funcția . Pentru a o rezolva, efectuăm substituția și obținem ecuația . Ecuația (2) este echivalentă cu sistemul

Prin urmare, având în vedere că pentru orice , rezolvarea ecuației (2) se reduce la rezolvarea sistemului mixt

Dacă este mulțimea soluțiilor acestui sistem, atunci ecuația (2) este echivalentă cu totalitatea de ecuații , .

În cazul ecuațiilor , nu se pune nici o restricție, deoarece domeniul valorilor funcțiilor și este .

Considerăm acum cazul, când ecuația (1) conține două sau mai mult funcții trigonometrice. Se știe că, toate aceste funcții se pot exprima prin una singură. Deci revenim la unul din cazurile considerate anterior.[7]

Exemple:

Exemplul 1:.

Rezolvare: Notăm , și ecuația dată ia forma , care are rădăcinile , . Astfel ecuația dat este echivalentă cu totalitatea de ecuații, , de unde

, ,

, .

Exemplul 2:

Rezolvare:Aducem ecuația dată la forma:

Notăm , și obținem ecuația , de unde , , dintre care numai verifică restricția . Astfel ecuația dată este echivalentă cu ecuația , care are soluțiile , .[7]

3.8 Metoda introducerii unghiului auxiliar

Prin această metodă se rezolvă ecuațiile de tipul

, unde , (1)

[7]

Împărțind ambii membri ai ecuației (1) la , , obținem ecuația echivalentă

(2)

Fie , unde . Unghiul se numește unghi auxiliar.

Substituind în ecuația (2), obținem

.

Rezolvând această ecuație elementară, obținem soluțiile ecuației (1).[1]

Exemple:

Exemplul 1: Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare: DVA: . Împărțind ambii membri ai ecuației la , obținem ecuația

.

Avem . Deci . Ecuația dată devine , unde , .

Răspuns: ;

Exemplul 2: Să se rezolve în ecuația .

Rezolvare:În ecuația dată , , . Punctul este situat în cadranul IV și de aceea ecuația are soluția .

Ecuația dată ia forma

, , de unde

,

Răspuns: [2]

Aplicații de bază cu funcții trigonometrice

Funcțiile trigonometrice pentru unghiul ascuțit

Definiția funcțiilor trigonometrice.

Fie un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic și lungimea ipotenuzei, lungimea catetei alăturate unghiului , lungimea catetei opuse unghiului (Fig. 1).

Reamintim că funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unghiului se definesc ca rapoarte între laturile triunghiului, și anume:

adică sinusul unghiului ascuțit se numește raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză;

adică cosinusul unghiului ascuțit se numește raportul dintre cateta alăturată unghiului și ipotenuză;

adică tangenta unghiului ascuțit se numește raportul dintre cateta opusă unghiului și cateta alăturată;

adică cotangenta unghiului ascuțit se numește raportul dintre cateta alăturată unghiului și cateta opusă.

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30˚, 45˚, 60˚

Unghiul de 30˚. Să considerăm triunghiul dreptunghic cu un unghi de 30˚, și ipotenuza egală cu (Fig.2).

În acest caz, cateta opusă unghiului de 30˚ este egală cu jumătatea ipotenuzei: . Mai departe, din teorema lui Pitagora , găsim că . Prin urmare:

;

;

;

.

Unghiul de 60˚. Observăm că:

;

;

;

.

și folosim rezultatele precedente.

Unghiul de 45˚. Dacă un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este de 45˚, triunghiul este și isoscel (Fig.3). Din teorema lui Pitagora rezultă că . Prin urmare:

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile se pot memora din tabelul următor:

4.2 Funcții trigonometrice pentru unghiul orientat

Unghiul format de doi vectori și de un vector cu o axă. Dându-se vectorii și , dintr-un punct arbitrar O se construiesc vectorii și (Fig.4)

Prin definiție, oricare dintre unghiurile cu latura inițială OA și latura finală OB se numește unghiul format de vectorul cu vectorul și se notează . Prin urmare, trebuie să se facă distincție între unghiul și . Dacă dreptele (OA) și (OB) sunt perpendiculare, atunci vectorul și se numesc perpendiculari sau ortogonali, notându-se .

Unghiul format de un vector cu o axă se definește ca unghiul format de vector cu versorul axei și se notează .

Definiția funcțiilor trigonometrice.

Fie un sistem ortogonal de axe de coordonate în planul orientat și un unghi situat în acest plan. Fără să restrângem generalitatea, putem presupune că latura inițială a unghiului este semidreapta . Să notăm cu OM latura sa finală. În acest fel se poate considera că, este unghiul format de raza-vector cu axa . (Fig.5). Dacă și reprezintă proiecțiile razei-vector pe axa absciselor și axa ordonatelor respectiv, iar modulul său atunci este valabilă următoarea:

Teoremă: Rapoartele , , dacă există, nu depind de modulul razei vector, ci depind numai de unghiul .

Demonstrație: Deoarece , rapoartele , există pentru orice unghi . În schimb, raza vector este situată pe una din axele de coordonate, ori , ori , și prin urmare, unul din rapoartele nu există.

Presupunem că, toate cele patru rapoarte există. Fie o altă rază-vector care formează unghiul cu axa absciselor și a', b' proiecțiile sale, respectiv, pe axa absciselor și axa ordonatelor, iar r' modulul său. Deoarece razele vectore și cu același sens, proiecțiile b', b sunt proporționale cu modulele r', r: ,

Împărțind membru cu membru aceste egalități, obținem, de asemenea, proporțiile:

; ceea ce demonstrează teorema.

Dacă raza-vector este situată pe una din axele de coordonate, de exemplu pe axa absciselor, fiindcă , există numai rapoartele:

; .

Repetând raționamentul anterior, obținem:

; ;

Cu aceasta, teorema este complet demonstrată.

Observați:. Dacă unghiul este ascuțit rapoartele sunt, respectiv, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului .

Această observație ne dă posibilitatea să definim funcțiile trigonometrice ale unui unghi orientat. Fie unghiul format de o rază-vector cu axa absciselor.

Definiție:

Sinusul unghiului se numește raportul dintre proiecția razei-vector pe axa ordonatelor și modulul său: (1)

Cosinusul unghiului se numește raportul dintre proiecția razei-vector pe axa absciselor și modulul său: (2)

Tangenta unghiului se numește raportul dintre proiecția razei-vector pe axa ordonatelor și proiecția sa pe axa absciselor: (3)

Cotangenta unghiului se numește raportul dintre proiecția razei-vector pe axa absciselor și proiecția sa pe axa ordonatelor: (4)

Observații:

În mod analog se definesc încă două funcții trigonometrice, mai puțin folosite: secanta unghiului : și cosecanta unghiului : .

Pentru fiecare unghi , rapoartele , , , , dacă există, sunt numere reale determinate. De aceea, aceste rapoarte sunt funcții de unghiul . Se spune că,, , , sunt funcții trigonometrice ale unghiului . Unghiul se numește argumentul funcției trigonometrice, iar valorile rapoartelor , ,, se numesc, respectiv, valorile funcțiilor trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și cotangentă de unghiul .

Exemplu: Să se calculeze valorile funcțiilor trigonometrice pentru

Soluței: În figura 6 unghiul dintre raza-vector și axa absciselor este egal cu -60˚. Proiectând raza vectore pe axa de coordonate obținem: , .

Prin urmare:

; ;

;;

4.3 Relații de legatură între funcții trigonometrice

4.3.1 Funcțiile trigonometrice ale unghiurilor care au mărimi opuse

Fie unghiurile și care au mărimi opuse (Fig.7)

Razele-vector unitare și formând, respectiv, unghiurile și cu axa absciselor sunt simetrice față de această axă. Deci, proiecțiile lor pe axa sunt egale: . Ținând seama că , , obținem:

(1)

Analog:

; ; ,

De unde:

; ; ; (2)

4.3.2 Funcțiile trigonometrice ale unghiurilor complementare

Unghiurile a căror sumă este egală cu 90˚ se numesc complementare. Așadar, complementul unghiului este unghiul .

Dacă raza-vector unitară formează cu axa absciselor unghiul , cu axa ordonatelor ea formează unghiul . (Fig.8).

Conform definițiilor funcțiilor sinus și cosinus, proiecția vectorului pe axa ordonatelor se poate exprima în două moduri:

De aici deducem:

Prin urmare, relația precedentă devine:

(3)

Înlocuind în această relație unghiul prin unghiul , obținem:

(4)

Din definițiile funcțiilor tangentă și cotangentă, obținem (Fig.8):

;

De unde:

Însă și, prin urmare, relația precedentă devine:

(5)

Înlocuind în această relație unghiul prin unghiul , obținem:

(6)

Observație: Dacă funcția cosinus o numim, confuncția funcției sinus, și invers, iar funcția cotangentă o numim cofuncția funcției tangentă, și invers, formulele (3),(4),(5),(6) se enunță astfel: funcția trigonometrică a unui unghi este egală cu cofuncția unghiului complementar. Această proprietate justifică denumirile funcțiilor cosinus și cotangentă.

Aplicație: Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 120˚, 135˚, 150˚.

Unghiul de 120˚.

Observând că, unghiurile de 120˚ și -30˚ sunt complementare, obținem:

Unghiul de 135˚.

Complementul său este unghiul de -45˚. Procedând ca și în exemplul precedent, obținem: ; ; .

Unghiul de 150˚.

Complementul său este unghiul de . Prin urmare:

; ; ;.

[9]

4.4 Teorema sinusurilor și cosinusurilor

Vom stabili în continuare două relații fundamentale între elementele unui triunghi, care vor permite rezolvaremetrică a triunghiului.

Pentru simplificarea limbajului facem următoarele convenții numerele , , le vom numi laturi, iar numerele , , – unghiuri ale triunghiului .

Teorema 1 (Teorema sinusurilor).

În orice triunghi avem

(2)

Demonstrație: În planul triunghiului (Fig. 9), alegem un sistem de axe de coordonate cu originea în punctul , dreapta axa absciselor și dreapta perpendiculară în pe , axa ordonatelor. Sistemul a fost ales în așa fel, încât abscisa lui și ordonata lui să fie numere pozitive.

Utilizând coordonatele polare, punctul are coordonatele (, ). Dacă , rezultă că,, deoarece distanțele de la la este ordonata punctului .

Dar , deci .

Egalând cele două rezultate se obține .

Înseamnă că, .

Prin același raționament, schimbând convenabil sistemul de coordonate, se obțin egalitățile:

și

Așadar, și teorema este demonstrată.

Teorema 2. Dacă numerele strict pozitive , , , , , verifică relațiile:

(3)

Atunci există un triunghi ale cărui elemente sunt respectiv cele șase numere date.

Demonstrație: Deoarece din a doua relație (3) rezultă , putem construi un triunghi ABC, astfel ca , , . Atunci și din teorema sinusurilor deducem: .

Comparând cu prima relație (3) , rezulta = , .

Exemplu: Să se arate că triunghiul în care este dreptunghic.

Soluție: Aplicând teorema sinusurilor, din

Rezultă: , , . Înlocuind în relația din enunț se obține

Și conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.

Teorema 3. (Teorema cosinusului). În orice triunghi avem:

(4)

Demonstrație: Se ia un sistem de coordonate cu originea în vârful al triunghiului , axa absciselor dreapta și axa ordonatelor dreapta perpendiculară în pe (Fig. 10). Sistemul a fost ales astfel ca abscisa lui B și ordonata lui să fie numere pozitive. Punctul are coordonatele , iar punctul are coordonatele .

Aplicând formula distanței dintre două puncte rezultă:

Dar și teorema este demonstrată.

Formula (4) rămâne adevărată dacă schimbăm pe în , pe în , pe în , pe în , pe în și pe în , adică avem:

(4')

(4'')

Relația (4') s-a obținut din (4) prin așa-numita permutare circulară; tot așa s-a obținut (4'') din (4').

În general, dacă o relație între , , , , , este adevărată pentru orice triunghi atunci sunt adevărate și relațiile deduse din ea prin permutări circulare.

Teorema 4. Dacă numerele strict pozitive , , și satisface relația

(5)

Atunci există un triunghi cu

, , , .

Demonstrație: Se poate construi un triunghi , astfel ca , ,

Aplicând teorema cosinusului în acest triunghi, se obține:

și comparând cu (5) rezultă .

Aplicații:

Aplicatia 1: Să se arate că, triunghiul ABC este dreptunghic în A, dacă și numai dacă

.

Soluție: Dacă , .

Mai rămâne de demonstrat că:

.

Din teorema cosinusului rezultă:

și

Înlocuind în relația dată se obține:

sau

Relația care caracterizează triunghiul dreptunghic.

Aplicatia 2: Să se arate că, dacă , și , atunci triunghiul este obtuzunghic.

Soluție: Numai unghiul opus laturii de lungime mai mare poate fi obtuz.

Din

,

Deoarece și , rezultă . Deci triunghiul este obtuzunghic.

[10]

4.5 Coordonate polare

În sistemul de coordonate din plan de reper , fie punctul diferit de originea a axelor de coordonate. Dacă notăm cu distanța , atunci . Deoarece , rezultă .

Punctul este situat pe cercul unitate . Într-adevăr , adică .

Rezultă că, este punctul de intersecție al semidreaptei cu unitate .

Deoarece , există numărul unic , astfel încât:

, (1)

Aceste egalități se pot scrie sub forma

Dacă , adică , , atunci și formulele (1) sunt variabile, oricare ar fi . Se observă că, atât numerele cât și numerele determină poziția punctului în plan.

Numerele , care apar în formulele (1) se numesc coordonate polare ale punctului ; se numește raza polară a lui iar se numește argumentul polar al lui .

Dacă se cunosc numerele , , nu ambele nule, coordonatele carteziene ale punctului , raza polară a lui se determină din , iar argumentul polar t se determină din una din egalitățile (1), ținându-se seama de cadranul în care se află punctul . Dacă , putem folosi și formula

(2)

deci în acest caz:

, (2’)

unde , dacă se află în cadranul I, , dacă este în cadranul II și III și , dacă se găsește în cadranul IV (deoarece ).

Dacă , , avem și argumentul polar este nedeterminat.

Exemple: Să se determine coordonatele polare ale punctelor:

; b) ; c) ; d) ;

Soluție:

. Punctul fiind situat pe semiaxa absciselor pozitive rezultă . Așadar coordonatele polare ale lui sunt .

Punctul fiind pe semiaxa ordonatelor negative rezultă și .

Avem și . Deoarece este situat în cadranul I, rezultă .

În acest caz și . Punctul fiind situat în cardanul IV rezultă

.

5. Concluzii

Matematica este importantă atunci când încercăm să obținem o perspectivă mai bună asupra evenimentelor care au loc în lumea naturală. Un domeniu specific de raționament matematic și geometric este trigonometria, care studiază proprietățile triunghiurilor. Chiar dacă triunghiurile sunt una dintre cele mai simple figuri geometrice, ele au aplicații variate. Aplicarea primară a trigonometrie se găsește în studii științifice în ceea ce privește distanțele precise care trebuiau măsurate.

Trigonometrie este o componentă fundamentală a calculului. În statistici, funcțiilor trigonometrice sunt necesare pentru calculul curbei clopot și pentru studiul periodicității. Cele mai multe utilizări ale trigonometrie în alte domenii se referă la utilizarea de serii Fourier, care nu poate fi calculată fără utilizarea acestei părți a matematicii.

O gamă largă de domenii care nu țin de matematică, se bazează pe funcțiile trigonometrice. În afară de cele deja menționate, trigonometrie a contribuit la progrese în domeniul acusticii, arhitecturii, cartografiei, construcțiilor civile, geofizicii, cristalografiei, electronicii, imagisticii medicale și farmaciei. Trigonometria sferică a fost utilizată în astronomie pentru a calcula locația stelelor și planetelor înainte de inventarea algebrei liniare. Inspectorii și inginerii utilizează trigonometria în munca lor de sute de ani. Aplicații practice comune, moderne de trigonometrie includ utilizarea sa în navigația prin satelit, în industriile navale și de aviație, compoziția de muzică, precum și toate tipurile de imagini digitale. Ea a devenit, de asemenea critică în construcția de clădiri moderne.

Tehnicile de trigonometrie sunt folosite în navigație în cazul unor sisteme complexe satelitare dar și în astronomie, industria navală și de aviație, oceanografie, topografia terenurilor, și în cartografie (crearea de hărți). Acestea sunt aplicațiile științifice ale conceptelor din trigonometrie,chiar dacă de cele mai multe ori studiul matematicii pare a avea o utilizare redusă în viața reală.

Deci, este într-adevăr trigonometria relevantă în activitățile de zi cu zi? Sigur că este, această știință găsește utilizați în activitățile noastre de zi cu zi, chiar dacă este puțin probabil că va fii vreodată nevoie să se aplice în mod direct o funcție trigonometrică în rezolvarea unei probleme din lumea reală, fondul fundamental al științei găsește utilizare într-o zonă care este cunoscută sau este chiar pasiunea multora – muzica. Așa cum se știe că un sunet este transmis sub forma unor unde, formele de sinus și cosinus sunt încă utile în dezvoltarea muzicii pe calculator. Un calculator nu poate asculta și înțelege muzica așa cum facem noi, dar calculatoarele o reprezintă matematic ca și niște valuri de sunet constitutive. Acest lucru înseamnă că inginerii, compozitorii cât și tehnologiile hi-tech, trebuie să se refere la legile de bază ale trigonometrie în activitățiile lor.

Trigonometria găsește un partener perfect în arhitectura modernă. Suprafețele frumos curbate din oțel, piatră și sticlă ar fi imposibil dacă nu ar exista potențialul imens al acestei științe.

Imagistica digitală este o altă aplicație din viața reală a acestei științe minunate. Generarea de imagini complexe este posibilă prin utilizarea de modele geometrice care definesc amplasarea exactă și culoarea pentru fiecare dintre punctele ce urmează a fi create. Imaginea este realizată detaliat și exact printr-o tehnică denumită triangulație. Marginile triunghiuri care formează imaginea fac un cadru de sârmă a obiectului care urmează să fie creat și care contribuie la formarea unei imagini realiste. Mai multe tehnologii de imagistică care se aplică conceptelor trigonometriei își găsesc utilizare în medicină. Când se apelează la o procedură avansată de scanare a corpului uman, se poate verifica modul în care sinusul și cosinusul, care se învață la școală, se găsesc ca și o aplicație practică în aceste tehnici medicale, cum ar fi CAT și scanare RMN, în detectarea tumorilor și chiar și în tratamentele cu laser.

Așadar sunt destul de multe dovezi că trigonometria are o utilizare practică și că face viața mai ușoară, prin utilizarea ei în domenii succinte de la construcția și decorarea casei până la realizarea studiilor în domeniul medicinii.

6. Bibliografie

[1] I. Achiri, P. Comaniuc, „Matematică: Manual pentru clasa a X-a”, Editura Prut Internațional, 2007

[2] S. F. Alecsei, N. I. Prodan, „Consolidarea Deprinderilor de Rezolvare a Problemelor de Matematică: Carte pentru elevi”, Editura Lumina, 1989

[3] E. Rogai, „Formule și tabele matematice”, Editura Tehnică, 1996

[4] A. M. Abramov, B. M. M. Ivlev, „Algebra și Elementele de Analiză in Clasele IX-X: Pentru Învătători”, Editura Lumina, 1985

[5] M. Corral, „Trigonometry”, Schoolcraft College, 2009

[6] P. Adamson, J. Nicholas, „Introduction to Trigonometric Functions”, University of Sydney, 1998

[7] I. Lupu, „Metodica Predării Matematicii”, Editura Lumina, 1996

[8] N. V. Bogomolov, L. I. Sergienco, Editura Lumina, „Culegere de Probleme de Matematică: Materiale didactice pentru Elevii Școlilor Medii de Specialitate”, 1989

[9] M. Stoka, E. Mărgăritescu, “Trigonometrie: Manual pentru Anul II Liceu”, Editura Didactică și Pedagogică, 1976

[10] A. Coța, F. Vornicescu , Geometrie și Trigonometrie: Manual pentru Clasa a IX-a, Editura Didactică și Pedagogică, 1994

Bibliografie

[1] I. Achiri, P. Comaniuc, „Matematică: Manual pentru clasa a X-a”, Editura Prut Internațional, 2007

[2] S. F. Alecsei, N. I. Prodan, „Consolidarea Deprinderilor de Rezolvare a Problemelor de Matematică: Carte pentru elevi”, Editura Lumina, 1989

[3] E. Rogai, „Formule și tabele matematice”, Editura Tehnică, 1996

[4] A. M. Abramov, B. M. M. Ivlev, „Algebra și Elementele de Analiză in Clasele IX-X: Pentru Învătători”, Editura Lumina, 1985

[5] M. Corral, „Trigonometry”, Schoolcraft College, 2009

[6] P. Adamson, J. Nicholas, „Introduction to Trigonometric Functions”, University of Sydney, 1998

[7] I. Lupu, „Metodica Predării Matematicii”, Editura Lumina, 1996

[8] N. V. Bogomolov, L. I. Sergienco, Editura Lumina, „Culegere de Probleme de Matematică: MaterialedidacticepentruEleviiȘcolilorMedii de Specialitate”, 1989

[9] M. Stoka, E. Mărgăritescu, “Trigonometrie: Manual pentruAnul II Liceu”, EdituraDidactică și Pedagogică, 1976

[10] A. Coța, F. Vornicescu , Geometrie și Trigonometrie: Manual pentru Clasa a IX-a, Editura Didactică și Pedagogică, 1994