Ecuatii Diofantice

Ecuații diofantice

Introducere

Diofant din Alexandria (n. între 200 și 214 d.Hr. la Alexandria – d. între 284 și 298) a fost autorul unei serii de cărți grupate sub titlul Arithmetica, despre care Fermat susținea că ar conține o anumită ecuație fără soluții și care ar sta la baza demonstrației a ceea ce ulterior se va numi marea teoremă a lui Fermat.

După unii autori, algebra lui Diofant reprezintă contribuția tuturor matematicienilor greci din epoca sa. Această lucrare a sa a ajuns în Europa prin intermediul arabilor. În lucrările sale, Diofant expune metodele utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și al II-lea. Necunoscutele sunt notate prin simboluri și sunt folosite consecvent semnele de operație.

La Diofant apare pentru prima dată noțiunea de număr negativ, deși nu a lucrat cu astfel de numere. Ecuațiile care conduceau la numere negative le considera imposibile, absurde.

În epoca în care matematica greacă era ∈n declin, la șase secole după sfârșitul epocii de aur a matematicii grecești, Diofant a început să dezvolte regula de calcul algebric abstract. Astfel, a studiat rezolvarea sistemelor liniare prin eliminarea succesivă a necunoscutelor.

Contribuția principală a sa în matematică o constituie așa-numita ecuație diofantică, pe care a prezentat-o sub forme diferite, fără a indica vreo metodă de rezolvare. Cercetarea ecuațiilor nedeterminate face parte din analiza nedeterminată sau analiza diofantică.

Diofant s-a ocupat și de teoria numerelor. Știința calculului numeric a fost dezvoltată în anii următori, datorită aplicării pe scară largă a sistemului de numerație indian. Matematica arabă a contribuit la democratizarea matematicii, deoarece cifrele arabe au devenit accesibile oamenilor de știință.

Cunoscutul matematician francez Pierre Fermat (1601-1665) pune unui prieten al său, Frenicle de Bessy (1602-1675) următoarea problemă: ” Dacă a este un număr întreg care nu este pătrat perfect, există soluții întregi (x,y) ale ecuației ax2 +1= y2 ? ” ( Fermat, 1657). Cum Frenicle nu reușește s-o rezolve, Fermat răspândește o ”circulară” cu această problemă, aducând-o astfel la cunoștința lumii matematice a vremii sale.

b#%l!^+a?

Doi matematicieni britanici: lordul W. Brouncker (1620-1684) președinte al Societății Regale de Științe (Royal Society – Academia de Științe a Marii Britanii ) și nu mai puțin celebrul John Wallis ( 1616-1703) rezolvă independent problema lui Fermat. Soluția a apărut publicată în 1658.

Fermat afirmase, fără să demonstreze, că ecuația are soluții. Wieleitner menționează că vechii greci au rezolvat unele cazuri particulare și că indienii au dat ” o soluție genială”, dar fără justificarea teoretică necesară.

Lucrurile păreau uitate, până când marele Euler, aproape opt decenii mai târziu, a început să se preocupe de ecuațiile diofantice, fiindcă putem considera ecuația lui Fermat drept diofantică de ordinul II. Euler arată în 1732 procedeul de deducere al unei infinități de soluții întregi ale ecuației ax2 + bx + c= y2 (deci ecuația Fermat se obține pentru b = 0 și c = 1) dacă se cunoaște o soluție a sa.

Ceva mai târziu, Lagrange în 1769 tratează cazul general: ax2 +bxy+cy2 +dx+ey+f = 0 și analizează soluția dată de Wallis pentru cazul b = 0, c = -1, d = 0, e = 0, f = 1, adică tocmai pentru ecuația propusă de Fermat.

În mod curios, în lucrările sale, Euler numește ecuația ax2 +1= y2 drept ”ecuație a lui Pell” și datorită autorității sale de necontestat, de-atunci încolo, ecuația propusă de Fermat a primit numele lui Pell, deși în lucrările acestuia din urmă nu apare în nici o pagină vreo referire la o astfel de problemă. Desigur, Euler a fost probabil victima unei confuzii. Cert este că literatura matematică a preluat și perpetuat peste veacuri numele lui Pell.

b#%l!^+a?

Cuprins

Capitolul 1. Noțiuni introductiveb#%l!^+a?

Se convin următoarele notații:

N = {0, 1, 2, … , n, …} – mulțimea numerelor naturale;

N* = {1, 2, …, n, …} – mulțimea numerelor naturale pozitive;

Z = {0, ±1, ±2, …, ±n, …} – mulțimea numerelor întregi;

Q = {m/n | m Z, n N*} – mulțimea numerelor raționale;

R – mulțimea numerelor reale.

Definiția 1.1. Fie a,b ∈ Z si b 0. Numerele q ∈ Z si r ∈ {0, 1, …, |b|-1} se numesc câtul și respectiv restul de la împărțirea numărului a prin b dacă

(1)

În plus, daca r = 0, atunci se zice ca numărul a este divizibil prin b, sau b divide a, sau b este divizor al numărului a, și se notează a b sau b | a.

Se poate demonstra că pentru orice numere întregi a, b, b ≠ 0, există unicele numere întregi q, r, r ∈ {0, …, |b| – 1} astfel încât are loc descompunerea (1).

Definiția 1.2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi nenule a1, a2, …, an se numește cel mai mic număr natural pozitiv care se divide la fiecare număr ak (k = 1, …, k).

Pentru cel mai mic multiplu comun al numerelor a1, a2, …, an vom utiliza notația

m = [a1, a2, …, an].

Definiția 1.3. Cel mai mare divizor comun al numerelor întregi a1, a2, …, an (nu toate nule), se numește numărul natural maximal prin care se divide fiecare dintre numerele a1, a2, …, an.

Pentru cel mai mare divizor comun al numerelor întregi a1, a2, …, an vom utiliza notația

d = (a1, a2, …, an).

Definiția 1.4. Numerele întregi a,b ∈ Z se numesc reciproc prime sau prime între ele daca (a,b) = 1.

Proprietăți: Fie a,b,c ∈ Z. b#%l!^+a?

Daca a|b,   b|c, atunci a| c (proprietatea de tranzitivitate).

Daca a|b,   a|c, atunci a|b + c.

Daca a|b, atunci pentru orice întregi c are loc a|bc.

Daca ac|bc și c ≠ 0, atunci a|b.

Fie a|bc și (a,c) = 1. Atunci a|b.

Daca a|c,   b|c și (a,b) = 1, atunci ab|c.

(a,b)·[a,b] = a·b.

(a,b ±a ) = (a,b).

Definiția 1.5. Fie a,b ∈ Z si c ∈ Z\{0}. Vom spune ca numărul a este congruent cu numărul b modulo c, notând a º b (mod c), daca c|(a – b). În caz contrar se spune că numărul a nu este congruent cu b modulo c (notație a b(mod c)).

Proprietăți:

a º a (mod d).

Daca a º b(mod d), atunci b º a(mod d).

Daca a º b(mod d),   b º c(mod d), atunci a º c(mod d).

Daca a1 º b1(mod d) și a2 º b2(mod d), atunci (a1 + a2 )º(b1 + b2)(mod d).

Daca a1 º b1(mod d) și a2 º b2(mod d), atunci a1a2 º b1b2(mod d).

Daca ac º bc(mod dc), atunci a º b(mod d).

Daca a º b(mod dc), atunci a º b(mod d).

Daca a º b(mod d), a º b(mod c) și (d,c) = 1, atunci a º b(mod dc).

Daca a º b(mod d), atunci pentru orice c ∈ Z ac º bc (mod d).

Daca ac º bc(mod d) si (c,d) = 1, atunci a º b(mod d).

Definiția 1.6. Numărul natural pozitiv mai mare decât unu se numește prim daca acest număr este divizibil numai prin 1 si el însuși. Celelalte numere naturale mai mare ca 1 se numesc compuse.

Numărul natural 1 nu se considera fiind nici prim nici compus.

Teoremă. Orice număr natural n 2 este produs de numere prime.

Demonstrație: Presupunem că mulțimea A a numerelor naturale n 2 care nu se scriu ca produs de numere prime este nevidă. Atunci, cum N este bine ordonată, fie n0 un prim element al lui A. Astfel, n0 = ab unde 1 < a; b < n0 pentru că n0 nu este prim. Dar, b#%l!^+a?pentru a nu contrazice alegerea lui n0; a, b A. Astfel, a, b sunt fiecare produs de numere prime, de unde și n0 este la fel, afirmație ce contrazice n0 A.

Teorema fundamentală a aritmeticii.

Orice număr natural mai mare ca 1 posedă descompunerea în factori primi (nu neapărat diferiți). Mai mult, această descompunere este unică cu precizie de ordinea factorilor.

Adică orice număr întreg nenul n, diferit de 1, poate fi scris în mod unic (mai puțin ordinea factorilor) ca produs de numere prime de forma

unde P este mulțimea numerelor prime și doar un număr finit din numerele naturale sunt nenule.

Demonstrație. Produsul se poate scrie de fapt sub forma

cu u unitate, p1, …, ps numere prime distincte și . Pentru un număr prim q, se poate scrie

Cum u este unitate, ordqu = 0: ordqp = 1 dacă p = q; altfel ordqp = 0. Rezultă astfel că

Teorema mică a lui Fermat.

Fie p un număr prim. Pentru orice număr natural nenul n astfel încât este adevărată relația

.

Demonstrație: Considerăm primii p-1 multipli ai numărului n:

Resturile împărțirii acestora la p sunt respectiv: Așadar, avem relațiile:

(*)

Observăm că pentru orice ; în caz contrar, ar urma că , deci , ceea ce contravine ipotezei . Mai observăm că resturile b#%l!^+a? sunt diferite între ele; dacă am avea , atunci ar rezulta

,

De unde , din nou în contradicție cu ipoteza.

Aceste afirmații permit să concluzionăm că sunt numerele aranjate într-o anumită ordine.

Înmulțind egalitățile (*) vom obține

sau

deci

adică

de unde

.

Propoziție. Dacă n este un număr natural și 2n + 1 este număr prim, atunci n este o putere a lui 2.

Demonstrație. Presupunem că n = 2km cu k N și m număr impar.

Deci,

Cum este prim, rezultă că , ceea ce nu este posibil, sau

de unde .

Definiția 1.7. Numerele Fermat sunt numerele de forma

Fermat a afirmat că toate aceste numere sunt prime. Până în prezent se cunosc ca fiind prime doar numerele Fermat:

F0 = 3; F1 = 5; F2 = 17; F3 = 257; F4 = 65537;

fără a putea preciza dacă există o infinitate de numere prime Fermat.

În 1732, Euler a arătat că F5 este compus, numărul fiind divizibil cu 641. Demonstrația este foarte elegantă, fără multe calcule. Ea se bazează pe relația b#%l!^+a?

Astfel,

F5 = + 1 = 232 + 1 = 24 228 + 1

= (641 – 54)228 + 1 = 641 ∙ 228 – (5 ∙27)4 + 1

= 641 ∙ 228 – (641 – 1)4 + 1

= 641(228 – 6413 + 4 ∙ 6412 – 6 ∙ 641 + 4).

Tot el, în 1770, a arătat că orice divizor al lui Fn trebuie să fie de forma 2n+1 k +1, cu k 0. Acest rezultat a fost îmbunătățit de Lucas, în 1878, prin următoarea teoremă:

Teoremă. Orice divizor prim al lui Fn, dacă există, este de forma

2n+2 k + 1.

Spre exemplu, pentru F3 = 257 se caută divizori primi 257 =16, … de forma

25k + 1 = 32k + 1.

Cum astfel de factori nu există, F3 este prim.

La fel, pentru F6 divizorii primi căutați ar fi de forma

28k + 1 = 256k + 1 .

După mai multe calcule se obține k = 1071 și astfel, 274177 / F6.

Lema următoare stă la baza unei proprietăți importante a numerelor Fermat. Demonstrația ei se realizează folosind metoda inducției matematice.

Lemă. Numerele Fermat verifică relația de recurență:

F0F1F2 … Fn-1 = Fn – 2; pentru n 1.

Propoziție. Pentru m, n N, distincte, numerele Fermat Fm și Fn sunt prime între ele.

Demonstrație. Putem presupune n > m:

Din lema anterioară, F0F1 … Fm … Fn-1 = Fn – 2.

Fie d = (Fn; Fm). Cum d / Fn și d / F0F1 … Fn-1, obținem că d / 2. Dar, toate numerele Fermat sunt impare de unde rezultă d = 1.

b#%l!^+a?

Fiecare număr Fermat este mai mare decât 1, deci el va avea un factor prim. Fie pn un divizor prim al lui Fn, cu n N. Dar, (Fn, Fm) = 1, pentru m n. Obținem astfel că divizorii pn și pm sunt diferiți. Cum mulțimea divizorilor pn este infinită, există o infinitate de numere prime.

Descompunerea în factori primi a numerelor Fermat este foarte dificilă, ținând cont de dimensiunea lor mare. De fapt, s-au factorizat complet doar numerele F5 până la F11.

Astfel, în 1880, Landry a factorizat F6, metoda folosită nefiind publicat ă însă. F7 a fost factorizat folosind metoda fracțiilor continue în 1975 de către Morrison și Brillhart. Pentru F8, în 1981, Brent și Pollard au folosit o versiune a testului rho. Cu ajutorul metodei curbelor eliptice, în 1988, Brent a factorizat F11.

F12 are 5 factori primi cunoscuți, rămânând un factor compus necunoscut de 1187 cifre. Pentru F13 situația este asemănătoare, știindu-se 4 factori primi iar cel compus, rămas de studiat, are 2391 cifre. Chiar dacă nu se cunoaște factorizarea lui F14, el este număr compus.

În prezent, se știe că Fn este compus pentru . Dintre acestea, singurele numere Fermat compuse pentru care nu este cunoscut nici un divizor prim sunt F14, F20, F22 și F24.

Numerele Fermat își găsesc importanța în geometrie prin rezultatul dat de Galois în 1801. Acesta a stabilit că un poligon regulat cu n laturi este construibil cu rigla și compasul dacă și numai dacă

n = 2kp1p2 … pr

unde k N și p1, … , pr sunt numere prime Fermat distincte.

De asemenea, aceste numere prezintă interes și în teoria corpurilor finite. Astfel, dacă considerăm un corp K de ordin , grupul multiplicativ K* este o sumă directă de n grupuri ciclice ale căror ordine sunt egale cu F0, F1, …, Fn-1. Folosind acest rezultat, pentru a determina ordinul unui element din K* este necesar să cunoaștem descompunerea în factori primi a numerelor Fermat.

Definiția 1.8. Se numește ecuație diofantică ecuația de forma

f(x1, x2, …, xn) = 0, (1)

unde f(x1, …, xn) este un polinom cu coeficienți întregi.

În cadrul cercetării ecuațiilor diofantice, de regulă, se abordează următoarele întrebări: b#%l!^+a?

posedă ecuația rădăcini întregi;

este finită sau infinită mulțimea rădăcinilor întregi;

să se rezolve ecuația în mulțimea Z, adică să se determine toate soluțiile întregi ale ecuației;

să se rezolve ecuația peste N;

să se rezolve ecuația peste Q.

Menționăm că problema soluționării ecuațiilor în numere întregi este complet soluționată numai pentru ecuațiile cu o singură necunoscută, pentru ecuații de ordinul întâi și pentru ecuații de ordinul doi cu două necunoscute. În caz general este suficient de dificilă chiar problema existenței soluției întregi.

Capitolul 2.

Metode elementare de rezolvare a ecuațiilor diofantice

2.1. Metoda descompunerii

Metoda descompunerii consta în scrierea ecuației (1) sub forma

unde .

Folosind descompunerea în factorii primi ai lui a, obținem un număr finit de descompuneri în factori întregi. Fiecare astfel de descompunere conduce la un sistem de ecuații de forma

Rezolvând aceste sisteme de ecuații obținem mulțimea de soluții pentru ecuația considerată.

Vom ilustra această metodă prin prezentarea câtorva exemple.

Exemplul 1. Să se rezolve ecuația în mulțimea numerelor naturale

Rezolvare: Avem:

de unde soluțiile: b#%l!^+a?

și permutările lor.

De cele mai multe ori, descompunerea, când aceasta este posibilă, se face prin prelucrarea ecuației, prin tatonări și încercări. Reușita depinde mult de ecuație și de abilitatea rezolvitorului.

Exemplul 2. Să se rezolve pe mulțimea numerelor întregi ecuația

Soluție: Ecuația se scrie succesiv:

iar de aici soluțiile

În figura anterioară este reprezentarea curbei și a celor patru puncte ce au coordonatele soluții întregi ale ecuației, realizată în Geogebra.

Alteori, când încercările de descompunere sunt greoaie, folosim metoda coeficienților nedeterminați.

Exemplul 3. Ecuația

Soluție: Vom încerca să scriem ecuația ca o egalitate între produsul a doi factori, un polinom de gradul întâi și altul de gradul doi în necunoscutele x, y, și un număr întreg. Ecuația fiind simetrică în x și y, vom lua:

unde numerele întregi a, b, c, d se determină prin identificare. Găsim

și ecuația se scrie sub forma

de unde se găsesc ușor toate soluțiile întregi (1,-2) și (-2,1).

În figura anterioară este reprezentată curba și punctele ce au coordonatele soluțiile întregi ale acestei, realizată în GeoGebra.

Câteodată, când o ecuație se poate scrie ca o ecuație de gradul al doilea într-una din necunoscute, punem condiția ca discriminantul său să fie pătrat perfect, ceea ce ușurează descompunerea.

Exemplul 4. Ecuația în numere întregi nenule

Soluție: După desfacerea parantezelor și simplificarea cu y≠0, o putem considera ca o ecuație de gradul doi în y:

și pentru ca aceasta să aibă soluții întregi trebuie ca discriminantul său, să fie pătrat perfect.

Rezultă sau , de unde

,

iar de aici și corespunzător y. Dacă este descompunerea canonică a numărului n >1, atunci numărul divizorilor pozitivi ai lui n este

Exemplul 5. Fie n>1 un număr întreg dat prin descompunerea sa canonică . Se cere numărul de soluții pozitive al ecuației:

Soluție: Ecuația se mai scrie:

și cum are divizori pozitivi, rezultă că și ecuația are același număr de soluții.

Sunt utile și identitățile:

Exemplul 6. Rezolvați în numere naturale ecuația:

unde p > 3 este un număr prim dat. (Titu Andreescu și Dorin Andrica)

Soluție: Ecuația este echivalentă cu:

Deoarece implică

și .

Ultima ecuație se mai scrie:

Din simetria ecuației putem presupune , atunci

Deci 1 sau Numărul prim p este de forma sau și soluțiile sunt:

sau

și permutările acestora.

Exemplul 7. Să se arate că, pentru fiecare întreg pozitiv m dat, ecuația

are exact m soluții în numere întregi.

Soluție: Avem descompunerea

și cum x și z sunt pozitivi, deci , rezultă , care are exact m soluții în întregii pozitivi x, y și anume , unde .

2.2. Metoda inegalităților

Rezolvarea ecuațiilor diofantice cu ajutorul inegalităților constă în determinarea unor intervale în care se află necunoscutele, prin utilizarea unor inegalități adecvate. În general, acest proces conduce la un număr finit de posibilități pentru toate necunoscutele sau pentru o parte dintre acestea.

Exemplul 8. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi pozitive, pentru și , iar pentru are soluțiile:

,

cu n natural arbitrar.

Soluție: Din inegalitatea mediilor rezultă , cu egalitate numai pentru , de unde afirmația din enunț.

Câteodată, pentru a arăta că o expresie nu este pătrat sau cub perfect, o încadrăm între două pătrate sau cuburi consecutive.

Exemplul 9. Să se arate că ecuațiile de forma

unde , nu au soluții în numere întregi. (Dorin Andrica)

Soluție: Condițiile date implică:

adică:

ceea ce arată că fiecare din ecuațiile considerate nu au soluții.

Uneori, pentru a determina valorile variabilelor pentru care o expresie este pătrat perfect (adică pătratul unui număr întreg), o încadrăm pe aceasta între două pătrate apropiate.

Exemplul 10. Rezolvați ecuația

în mulțimea numere întregi pozitive. (Titu Andreescu)

Soluție: Avem:

de unde inegalitățile:

Deci expresia din enunț poate fi egală numai cu . Aceasta implică x = y și soluțiile căutate sunt .

Uneori, nu putem încadra direct o expresie între două pătrate de întregi, dar o putem încadra pe aceasta înmulțită cu un factor care să fie pătrat.

Exemplul 11. Rezolvați ecuația

în numere întregi. (T. H. Gronwall)

Soluție: Pentru x = 0 avem y = ±1. Pentru x ≠ 0 înmulțim ecuația cu 4 și avem:

iar din această dublă inegalitate rezultă:

de unde ecuația:

cu soluțiile , cărora le corespund y = ±1 și respectiv y = ±11.

Uneori, când se cere ca o expresie de forma A2−4B, cu A, B>0, să fie pătrat perfect, este util să folosim inegalitatea:

rezultând din aceea că expresia trebuie să fie un pătrat mai mic decât A2 și de aceeași paritate.

Exemplul 12. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere b#%l!^+a?întregi. Dacă ecuația:

are rădăcini întregi, atunci triunghiul este echilateral. (I. Cucurezeanu)

Soluție: Dacă ecuația are rădăcini întregi, atunci:

este pătrat perfect mai mic decât și de aceeași paritate cu . Deci:

de unde (trecând termenul din dreapta în stânga și transformând diferența de pătrate) rezultă:

sau

iar de aici a = b = c, deci triunghiul are toate laturile de aceeași lungime, prin urmare este un triunghi echilateral.

2.3. Metoda parametrică

În multe situații soluțiile întregi ale unei ecuații diofantice

pot fi reprezentate parametric sub forma:

unde sunt funcții de l-variabile, cu valori întregi și .

Pentru unele ecuații diofantice mulțimea soluțiilor poate avea mai multe reprezentări parametrice.

În multe cazuri nu este posibil să găsim toate soluțiile pentru o ecuație diofantică. Metoda parametrică este o cale utilă de a pune în evidență familii infinite de soluții.

Exemplul 13. Arătați că există o infinitate de triplete de numere întregi astfel încât

Soluție: Alegând z = −y , ecuația devine:

Dacă , atunci și obținem următoarea familie infinită b#%l!^+a?de soluții:

În figura anterioară, realizată în Microsoft Mathematics, este reprezentată ecuația , pentru . Din această reprezentare se poate constata că pentru orice soluție întreagă a acesteia .

2.4. Metoda modulului

În rezolvarea unor ecuații în numere întregi un rol important îl are metoda aritmeticii modulare. Aceasta constă în considerarea resturilor celor doi membrii ai unei ecuații prin împărțirea acestora la același număr m > 0 numit modul (de unde și denumirea).

Această metodă are rolul de a restrânge domeniul în care sunt căutate soluțiile ecuației și, uneori chiar de a conduce la rezolvarea ei.

Exemplul 14. Să se arate că ecuația

nu are soluții întregi.

Soluție: Evident x impar și atunci . Iar de aici, considerând ecuația modulo 8, obținem resturi diferite, indiferent de paritatea lui y. Prezența cubului unor necunoscute într-o ecuație, sugerează considerarea ei mod 7 sau 9.

Exemplul 15. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi. (I. Cucurezeanu)

Soluție: Considerăm ecuația și avem . Pentru , membrul stâng al ecuației este congruent cu 0 sau este congruent cu –1, 3 sau deci în ambele cazuri avem o contradicție, adică ecuația este imposibilă .

Alegerea modulului m depinde de ecuație și de abilitatea rezolvitorului. De obicei, acesta este un număr prim sau o putere a unui număr prim.

Exemplul 16. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi. (Olimpiada rusă, 1984)

Soluție: Să studiem ecuația în raport cu un modul convenabil ales. Deoarece sau ±1 atât modulo 9 cât și modulo 7, iar , vom considera ecuația mod 7. Cum iar vom avea

, adică , fals.

Deseori, considerarea unei ecuații în raport cu un modul nu conduce direct la b#%l!^+a?rezolvarea ei, dar contribuie la micșorarea intervalelor de variație ale necunoscutelor.

Exemplul 17. Găsiți numerele naturale a, b, c, astfel încât

Soluție: Pentru micșorarea numărului încercărilor, vom considera ecuația modulo 9. Deoarece , iar cum sau rezultă . Fie deci:

Notăm:

și ecuația devine:

Deoarece rezultă că . Deoarece

rezultă sau simetricele și deci soluțiile:

În figura anterioară, realizată cu Microsoft Mathematics, este reprezentată reprezentarea ecuației și a planelor pentru exemplificarea soluției ecuației date

Exemplul 18. Există doi întregi m și n astfel încât

Soluție: Considerăm ecuația modulo 8. Evident m și n sunt de parități diferite. Deoarece , iar pentru a impar, , rezultă n par și deci m impar.

Dar , indiferent de faptul că n se divide cu 4 sau numai cu 2. Deducem că membrul stâng al ecuației este congruent cu , dar cel drept este congruent cu , deci nu există soluții.

2.5. Metoda inducției matematice

Inducția matematică este o metodă utilă și elegantă în demonstrarea unor afirmații care depind de mulțimea numerelor naturale.

Fie un șir de propoziții. Metoda inducției matematice ne ajută să demonstrăm că propoziția P(n) este adevărată pentru orice , unde n0 este un număr natural fixat.

Inducția matematică (forma slabă):

Presupunem că:

• P(n0) este adevărată; b#%l!^+a?

• Pentru orice k ≥ n0, din faptul că P(k) este adevărată rezultă că P(k+1) este adevărată.

Atunci propoziția P(n) este adevărată pentru orice n ≥ n0.

Inducția matematică (cu pasul s):

Fie s un număr natural fixat. Presupunem că:

• P(n0), P(n0 + 1), …, P(n0 + s – 1) sunt adevărate;

• Pentru orice k ≥ n0, din faptul că P(k) este adevărată rezultă că P(k+s) este adevărată.

Atunci propoziția P(n) este adevărată pentru orice n ≥ n0.

Inducția matematică (forma tare):

Presupunem că:

• P(n0) este adevărată;

• Pentru orice , din faptul că P(m) este adevărată pentru orice m cu n0 ≤ m ≤k, rezultă că P(k+1) este adevărată.

Atunci propoziția P(n) este adevărată pentru orice n ≥ n0.

Această metodă de demonstrație este frecvent utilizată în diferite discipline matematice, inclusiv în teoria numerelor. Următoarele exemple ilustrează utilizarea inducției matematice în studiul ecuațiilor diofantice.

Exemplul 19. Arătați că pentru orice număr natural n, următoarea ecuație este solvabilă în mulțimea numerelor întregi

Soluție: Vom utiliza inducția matematică cu pasul . Observăm că pentru

avem

Definim , prin:

pentru orice n ≥ 1. Atunci:

deci:

Implică

Exemplul 20. Să se arate că pentru orice , ecuația

este solvabilă în numere naturale distincte.

Soluție: În cazul n = 3 avem:

Presupunem că pentru k ≥ 3 are loc relația:

unde sunt numere naturale distincte și obținem:

Prin urmare:

unde numerele naturale sunt distincte două câte două.

2.6. Metoda lui Fermat

Cercetările lui Fermat au avut un puternic impact în lumea matematicienilor, descoperirile și metodele sale impunându-se cu repeziciune. El a fost unul dintre primii matematicieni care a utilizat o metoda de demonstrație cunoscută sub numele de "descendență infinită".

Doua cazuri particulare ale metodei descendenței infinite a lui Fermat (MDIF) sunt deosebit de utile în studiul ecuațiilor diofantice.

Varianta 1: " Nu există un șir infinit strict descrescător de numere naturale ".

În unele situații este convenabil să înlocuim varianta 1 cu următoarea formulare echivalentă: Dacă este cel mai mic număr natural n pentru care propoziția P(n) este adevărată, atunci P(n) este falsă pentru orice .

Varianta 2: " Dacă șirul de numere naturale satisface inegalitățile

,

atunci exista un indice astfel încât " b#%l!^+a?

În limbaj metaforic, dacă nu putem ajunge la o treaptă oarecare a unei scări fără să urcăm mai întâi una dintre treptele inferioare și dacă nu avem acces la prima treaptă a scării, atunci nu putem ajunge la niciuna dintre trepte.

Exemplul 21. Rezolvă pe mulțimea numere întregi nenegative ecuația

Soluție: Reținem că este o soluție. Vom demonstra că nu există alte soluții. Să presupunem că este o soluție.

Deoarece , sunt ambele iraționale, nu este greu să vedem că x1 > 0, y1> 0, z1> 0.

Din rezultă că 2/x1, și .

Analog, , prin urmare, y1 = 2y2, y2 ∈ Z +.

În mod similar, z1 = 2z2, y2 ∈ Z+. Vom obține noua soluția (x2, y2, z2), cu x1> x2, y1> y2, z1> z2.

Pentru continuarea acestei proceduri, vom construi o secvență de pozitivi, soluții integrale astfel încât x1 > x2> x3> … Dar acest lucru contrazice MDIF varianta 1.

Exemplul 22. Găsiți valoarea maximă a m2 + n2 dacă m și n sunt numere întregi între 1 și 1981 ce satisfac relația

Soluție. Reținem că satisface relația . De asemenea, în cazul în care o pereche (m, n) satisface această relație și 0 < m < n, apoi m < n < 2m, iar prin completare se obține

care arată că îndeplinește aceeași relație și

Prin MDIF varianta 2, transformarea trebuie să pună capăt după un număr finit de etape, și se termină doar atunci când m = n = 1. Deci toate perechile de numere ce satisfac relația sunt obținute din prin aplicarea transformării inverse de mai multe ori:

Componentele tuturor acestor perechi sunt numere Fibonacci . b#%l!^+a?

Această secvență respectă o anumită regulă recurentă: fiecare număr este suma precedentelor sale două numere. Excepția de la această regulă o reprezintă numerele de început ale secvenței (0 și 1):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 34, 55, 89, 144,…

Secvența este definită de

De aceea, toate perechile sunt formate din numere Fibonacci consecutive. Cel mai mare număr Fibonacci mai mic de 1981 este F16 = 1597, astfel încât să se răspundă la problemă este

.

2.7. Diverse ecuații diofantice

Multe ecuații diofantice elementare nu sunt de tipul celor descrise anterior. În cele ce urmează sunt prezentate câteva exemple de astfel de ecuații.

Exemplul 24. Să se rezolve ecuația

unde x1, x2, …, xn sunt numere naturale distincte.

Soluție. Scrierea ecuația în formă

randamentele x1 = 1 și

Deoarece x2 x1, rezultă că x2 = 2 și că

Avem x3 x2 și x3 x1, deci x3 = 3.

Continuând această procedură (care se ridică la o "inducție finit"), obținem

În final, rezultă că

Înlocuind aceste valori în ecuația inițială se obține următoarea identitate.

Exemplul 25. Să se arate ca ecuația

posedă o infinitate de rădăcini în Z.

Soluție. Fie x = a + b, y = a – b. Atunci și ecuația inițială devine

În ultima egalitate se consideră a = 1 și se obține z3 = -6b2. Fie b = 6t3, de unde z = -6t2, x = 1 + 6t3, y = 1 – 6t3. În consecință sau obținut o infinitate de rădăcini întregi a ecuației inițiale, corespunzătoare lui t Z.

Exemplul 26. Să se arate că oricare ar fi numerele întregi și , de parități diferite, există numerele întregi și , astfel încât, .

Soluție: Egalitatea dată poate fi scrisă, echivalent:

de unde obținem prin descompunere

.

De aici se găsesc valorile

.

Întrucât m și n au parități diferite, deducem că a și b sunt întregi:

sau

Exemplul 27. Radu și Mihai joacă de mai multe ori un joc în urma căruia câștigătorul primește a puncte, iar cel care pierde primește b puncte . Dacă scorul final este 61 − 49 în favoarea lui Radu, iar Mihai a câștigat 4 partide, aflați a și b.

Soluție: Dacă notăm cu x numărul partidelor câștigate de Radu, avem:

, ,

de unde obținem că .

De aici, având în vedere că și , rezultă că și b#%l!^+a? sau și sau și .

În primul caz, avem , dar atunci este un număr par, diferit de 61, deci această situație nu convine. Procedând la fel, constatăm că nici al treilea caz nu convine. În al doilea caz, găsim și , care este soluția problemei.

Exemplul 28. Fie n un număr impar, iar , n ∈ numere care împărțite la n dau câturi distincte și resturi distincte. Arătați că valoarea minimă a sumei S = + + · · · + este multiplu de 12.

Soluție: Conform ipotezei, avem:

unde { , } = {0, 1, 2, . . . , n − 1}.

Astfel, suma

S = = n () + ,

este minimă dacă { (} = {0, 1, 2, . . . , n − 1}, deci

Smin = n + =

Cum n este impar, rezultă că (n − 1) (n + 1) se divide cu 8, deci Smin se divide cu 4. Pe de altă parte, deoarece sunt numere consecutive, rezultă că Smin se divide cu 3. Prin urmare, Smin este multiplu de 12.

Capitolul 3. Clase de ecuații diofantice

3.1. Ecuații diofantice liniare

Definiția 3.1. O ecuație de forma

unde b sunt numere întregi fixate, se numește ecuație diofantică liniară.

Presupunem că și coeficienții sunt toți diferiți de zero.

Teoremă. Ecuația

este solvabilă dacă și numai dacă În caz de solvabilitate, soluțiile întregi ale ecuației se exprimă în funcție de n–1 parametri întregi.

Definiția 2.2. Ecuațiile diofantice liniare cu două necunoscute sunt de forma:

Așadar, presupunem că a, b, c sunt numere întregi prime între ele și a, b nenule. Dacă n-ar fi așa, atunci ecuația s-ar simplifica prin cel mai mare divizor comun al b#%l!^+a?numerelor a, b, c.

Problemele care se pun în legătură cu aceste ecuații sunt: dacă au soluții întregi și, în caz afirmativ, cum se determină soluțiile.

Dacă atunci avem ecuația , deci , adică Punând , rezultă x = , oricare ar fi t întreg.

În continuare, vom presupune, deci, că și c este nenul.

1) Dacă (a,b) ≠ 1 atunci ecuația nu are soluții.

Într-adevăr, dacă există k > 1 astfel încât și , atunci

rezultă k divide pe c, ceea ce contrazice ipoteza

2) Dacă (x0,y0) este o soluție particulară, atunci

este soluția generală, k∈ Z.

Într-adevăr,

3) Dacă (x0,y0) este o soluție a ecuației , atunci (-x0,y0) este soluție a ecuației iar (x0,-y0) este soluție a ecuației .

Într-adevăr:

4) Determinarea unei soluții particulare în cazul și , a, b nenule.

Dacă b = 1, atunci obținem soluția , t∈ Z iar dacă , obținem soluția .

Presupunem, deci, . Mai mult, ținând seama de punctul 3, putem presupune că

Fără a restrânge generalitatea, ecuația se poate scrie sub forma:

și presupunem că

Există k0 și r0 întregi, astfel ca:

Să observăm că r0 > 0, deoarece (a0,b0)=1. De asemenea, (b0,r0) = 1. b#%l!^+a?

Înlocuind, obținem

adică

Notăm:

a1 = b0 , b1 = r0, x1 = și y1 = x0,

rezultând ecuația:

Dacă b1 = 1, procesul se oprește, altfel se continuă, în același fel. Astfel, dacă la pasul n-1 avem ecuația

atunci, la pasul n avem ecuația

în care

Procesul continuă până când bn = 1. Acest lucru este asigurat de faptul că șirul (bn) este strict descrescător:

Așadar, dacă bn = 1, avem ecuația:

Ecuația de mai sus, în necunoscutele xn și yn, are soluția particulară (xn = 1, yn = c – an).

În continuare, folosind formulele de recurență:

determinăm soluția particular (x0,y0) a ecuației inițiale.

Teoremă. Fie Ecuația are soluții întregi dacă și numai dacă d / c unde d = (a, b).

Demonstrație: Dacă d = (a, b) atunci pentru orice numere întregi x, y. Reciproc, dacă d / c putem scrie . Există , pentru care . Obținem astfel

adică o soluție particulară a ecuației este dată de

Mai mult, dacă ecuația are o soluție, (x0, y0), ea va avea o infinitate de soluții și anume b#%l!^+a?

Exemplul 29. Să se rezolve ecuația pe mulțimea numerelor întregi.

Soluție: De exemplu, pentru că avem deja rezultatele algoritmului lui Euclid extins pentru numerele a = 34, b = 19 să rezolvăm în numere întregi ecuația: .

Din relația

și 1 / 14, ecuația are soluții întregi.

O soluție particulară este

Soluția generală a ecuației este dată de

, unde .

În figura anterioară este reprezentată dreapta de ecuație și nouă puncte cu coeficienți întregi obținuți prin înlocuirea lui t, pentru . Figura este realizată în GeoGebra.

Exemplul 30. Să se rezolve ecuația diofantică pe mulțimea numerelor întregi pozitive.

Soluția 1: Rezolvăm, mai întâi, ecuația: .

Scriem ecuația astfel:

Avem: , deci

Notăm: x1 = x0 + y0, y1 = x0 și obținem ecuația . Avem: , deci

Notăm: x2 = x1 + y1, y2 = x1 și ecuația Avem: , deci

Notăm: x3 = x2 + y2, y3 = x2 și ecuația

Ultima ecuație are soluția particulară: x3 = 1, y3 = 0.

Deducem: x2 = y3 , , adică x2 = 0, y2 = 1

Apoi: x1 = y2 , , adică x1 = 1, y1 = -1

În fine, x0 = y1 , , adică x0 = -1, y0 = 2. Astfel, soluția generală a ecuației este:

Conform 3, soluția particulară a ecuației este , deci soluția generală este:

Soluția 2: Se poate proceda, mai practic, astfel:

Trebuie ca

Trebuie ca

Trebuie ca

Deci:

Așadar, soluția generală este:

Soluția de aici, se obține din cea de la rezolvarea1, luând .

Exemplul 31. Rezolvați pe mulțimea numerelor întregi ecuația

Soluție: Lucrând , reașezând ecuația dată astfel

obținem:

deci

O soluție a ecuației este:

Conform corolarului anterior obținem: b#%l!^+a?

iar prin înlocuire în ecuația inițială rezultă Prin urmare toate soluțiile întregi ale ecuației noastre sunt date de:

Pentru numerele întregi pozitive (a1, …, an) =1, considerăm notația g(a1, …, an) pentru cel mai mare număr întreg pozitiv N pentru care ecuația

nu este rezolvabilă în mulțimea numere întregi nenegative.

În figura anterioară, realizată cu Microsoft Mathematics, este reprezentat planul pentru , fiind evidentă restricționarea pentru aceste valori. În această reprezentare se poate constata că nu există puncte în spațiu cu toate coordonatele numere naturale care să aparțină planului studiat.

Exemplul 32. (Sylvester, 1884) Fie a, b întregi pozitive cu (a, b) = 1. Atunci

Soluție. Să presupunem că . Din corolarul anterior rezultă că soluțiile ecuației sunt de forma

t Z. Fie un număr întreg t astfel încât .

Apoi

care presupune xo + bt > -1, adică x0 + bt > 0. Rezultă că, în acest caz, ecuația este rezolvabilă în numere întregi pozitive. Astfel

Acum, avem nevoie doar pentru a arăta că ecuația

nu este solvabilă în numere întregi pozitive. În caz contrar, avem

Avem a/(y+ 1) și b/(x+ 1), ceia ce implică y + 1 > a și x + 1 > b.

Prin urmare

și această contradicție demonstrează că

Prin urmare .

3.2. Ecuația pitagorică

Subiectul ”triplete pitagoreice” are o istorie bogată, fiindu-i dedicate zeci de articole.

Definiția 3.2. Tripletul de numere naturale nenule (x, y, z) cu se b#%l!^+a?numește pitagoreic dacă

.

În primul rând trebuie observat că dacă tripletul (x, y, z) de numere întregi verifică ecuația, atunci aceeași ecuație va fi satisfăcută de orice triplet de forma , unde și reciproc.

În figura anterioară, realizată cu Microsoft Mathematics, este reprezentată coadrica

pentru .

Pentru a găsi toate soluțiile ecuației studiate (constând din numere diferite de zero) este suficient să găsim soluțiile (x, y, z) pentru care numerele x, y, z sunt relativ prime (adică nu au nici un divizor prim diferit de 1).

Este clar că dacă într-o soluție (x, y, z) a ecuației studiate două dintre numerele x, y, z au un divizor comun λ = ±1, atunci și cel de al treilea număr se divide cu l.

De aceea ne putem restrânge la soluțiile ce constau din numere relativ prime două câte două, pe care le vom numi soluții primitive.

Dacă (x, y, z) este o soluție a ecuației, atunci în mod evident și (y, x, z) este soluție.

Pe de altă parte, dacă (x, y, z) este soluție, atunci x sau y este par (căci dacă x și y ar fi impare atunci x2+y2 ar fi de forma 4k+2, pe când pătratul unui număr întreg nu poate fi decât de forma 4k sau 4k+1).

În plus, este evident că dacă (x, y, z) este soluție, atunci și (±x, ±y, ±z) vor fi soluții.

Lemă. Orice soluție particulară (x, y, z) de numere naturale (cu n par) a ecuației este de forma cu m, și n < m, iar m, n au parități diferite.

Demonstrație: Identitatea

arată că numerele de forma din enunț sunt soluții ale ecuației cu x par. Dacă x, y, z au un divizor comun λ, atunci λ divide și numerele

Rezultă că λ = 2 (căci (m, n)=1). Însă atunci m2 și n2 sunt simultan pare sau impare, ceea ce este imposibil căci prin ipoteză m și n au parități diferite. Deci soluția din enunț este primitivă.

Reciproc, fie (x, y, z) o soluție primitivă a ecuației cu iar .

Atunci y și z sunt impare, deci numerele și sunt pare (fie ). b#%l!^+a?

Orice divizor comun al lui b și c divide pe și pe , de aceea , astfel că . Pe de altă parte

de unde , adică și iar de aici

,

deci iar (se observă că ).

Corolar. Soluția generală a ecuației este

cu .

Se știe că forma generală a unui triplet pitagoreic este

cu α, β numere naturale nenule și prime între ele, adică (α, β) = 1.

Câteva generalizări ale unor rezultate referitoare la triplete pitagoreice, rezultate aflate în bibliografia română sunt prezentate în continuare.

În scopul de a obține o listă a soluțiile primitive ecuației ale ecuației pitagorice, putem atribui valori 2,3,4, … pentru numărul m succesiv și apoi pentru fiecare dintre aceste valori luăm acele numere întregi n care sunt relativ prime față de m, la mai puțin de m si chiar ori de câte ori m este impar.

Primelor douăzeci de soluții primitive sunt enumerate în conformitate cu regula menționată anterior, în tabelul următor.

Daca există o soluție oarecare cu , unde , și utilizăm termenul b#%l!^+a?minorant , obținem o alta soluție . Analog obținem x1 < x și y1 < y. Continuând procesul descendent, termenul limita va fi soluția banală. Am demonstrat că toate rădăcinile întregi pozitive ale ecuației pitagoreice, și numai acestea, se regăsesc ca noduri ale unui graf.

Arborele soluțiilor ecuației pitagoreice este prezentat în figura următoare.

Soluția banală (-1,0,1) este “rădăcina”, iar soluția (3,4,5), conexata printr-un arc al grafului de soluția banala, este “tulpina”.

Exemplul 33. Să se arate că pentru un triplet de numere naturale nenule (x, y, z) cu .

Soluție: Avem

Divizibilitatea cu 3 și 5: Dacă α sau β este multiplu de 3 (sau 5) demonstrația este terminată. Dacă nu, conform teoremei lui Fermat, avem

de unde rezultă divizibilitatea cu 3 și 5.

(ii) Divizibilitatea cu 4: Deoarece (α, β) = 1 cel mult unul dintre α și β poate fi par.

(ii1)

(ii2)

În concluzie avem și divizibilitatea cu 4.

Divizibilitatea cu 4 constituie Problema C:827, G.M.-10/1988, autor Augustin Stan, iar divizibilitatea cu 5 Problema E:6303, G.M.-8/1978, fără autor.

Exemplul 34. Se cer lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic așa încât produsul lor să fie de p ori perimetrul, cu p un număr prim dat.

Soluție: Din rezultă

adică . Cum p este număr prim rezultă că avem soluțiile (β, α − β) =

(1, p) , (p, 1) deci . În concluzie avem:

(i)

(ii)

Exemplul 35. (G.M. 5/1979) Există triplete pitagoreice cu x, y, z numere prime?

Soluție: Din rezultă singura posibilitate dar atunci

Imposibil. Deci răspunsul este negativ.

Exemplul 36. (G.M. 12/1979) Să se arate, că pentru un triplet pitagoric , are loc relația

Soluție: , iar .

Exemplul 37. Să se arate că este suma a două pătrate.

Soluție:

.

Exemplul 38. Dacă p și q sunt numere naturale nenule și prime între ele, să se rezolve ecuația diofantică .

Soluție: Considerând și obținem de unde rezultă

și deci b#%l!^+a?

În concluzie:

cu .

3.3. Ecuații remarcabile

Vom începe prin examinarea ecuația diofantice

unde a este un anumit număr întreg. Ecuația lui Pitagora este un caz special de această ecuație (a = 0).

Teoremă. Toate soluțiile complete pentru ecuația sunt date de

(*)

unde

Demonstrație: Cele două familii de soluții sunt oferite de simetrie.

Nu este greu pentru a verifica dacă tripletele (x, y, z) date anterior satisfac ecuația dată. În schimb, trebuie demonstrat că toate soluțiile ecuației sunt de forma (*). În acest sens, rețineți că ecuația inițială este echivalentă cu

Rezultatul este clar în cazul în care y = z, care corespunde x = 0 sau . În toate celelalte cazuri ecuația anterioară este echivalentă cu

pentru unele numere întregi nenule m și n. Ultimele relații duc la sistemul omogen

cu soluțiile b#%l!^+a?

Alegând se obțin relațiile ce trebuiau demonstrate.

Observații. 1) Teorema anterioară rezolvă ecuația diofantică

Soluția generală este , unde și sunt date în (*).

2) Într-un mod asemănător, putem arăta că soluțiile la ecuația sunt date de

unde .

3) Folosind observația anterioară, putem rezolva ecuația diofantică

Soluțiile sale sunt (x, y, z, u, v), unde și x, y, z sunt date în observația anterioară.

4) Soluțiile în numere întregi pozitive ale ecuației diofantice studiate pot fi exprimate după cum urmează

(**)

unde ,

În afară de cazul în care a = 0, când vom obține ecuația pitagorică, următoarele două cazuri sunt:

Cazul a = 1 pentru ecuația devine

Din (**) rezultă că soluțiile sale, numere naturale, sunt date de

unde ,

Soluțiile anterioare dau toate tripletele de numere întregi pozitive (x, y, z) care sunt lungimile laturilor unui triunghi al cărui unghi opus z este de 120 °.

Cazul a = -1 pentru ecuația devine b#%l!^+a?

Soluții naturale sunt date de

unde ,

Soluțiile anterioare caracteriză toate tripletele de numere întregi pozitive (x, y, z} care sunt lungimile laterale ale unui triunghi al cărui unghi care se opune laturii de lungime z este de 60 °.

Exemplul 39. Găsește toate triple (x, y, z) de numere naturale astfel încât

Soluție: Din forma generală a soluției prezentate anterior, problema se reduce la găsirea tuturor numere naturale k, m, n cu , astfel încât

În tabelul următor vom da toate perechile (m, n) care satisfac inegalitatea , unde

Dacă k = 1, din tabelul de mai sus se poate vedea că

dacă și numai dacă m = 5 și n = 3. În acest caz vom obține soluții

Dacă k = 7 obținem că dacă și numai dacă m = 2 și

n = 1, rezultând soluțiile

În figura anterioară, realizată în Geogebra, este reprezentată curba și cele patru puncte cu coeficienți numere naturale, soluții a acestei ecuații.

Este firesc să ne întrebăm în ce situații soluțiilor (x, y) ale ecuației și respectiv , sunt pătrate perfecte.

Teoremă. Toate soluțiile naturale ale ecuației

sunt (x, y, z) = (k, 0, k2), (x, y, z) = (0, k, k2), .

Demonstrație: Putem presupune că (x, y) = 1. Atunci x și y au diferite parități, pentru că altfel . Să presupunem că y este minim. Se poate scrie ecuația în formă echivalentă

sau

Cum , apoi d impar divide atât pe z cât și pe . Rezultă că . Dacă , atunci și , adică , o contradicție. Dacă d = 3, rezultă că și se obține , astfel încât . Prin urmare, și așa , o contradicție.

Prin urmare, fie

sau

unde a și b sunt numere naturale, ambele impare.

În prima situație,

o contradicție.

În al doilea caz,

Deoarece a și b sunt amândouă impare, rezultă că și , pentru unele numere întregi c și d pozitive. Apoi și

care contrazice minimalitatea de y.

De aceea , rezultând soluția

Luând în considerare simetria în x și y, avem, de asemenea, soluția și demonstrația este încheiată.

Exemplul 40. Să se rezolve în mulțimea numere întregi pozitive sistemul de ecuații

Soluție: Stabilind pentru și obținem sistemul echivalent

Înmulțind cele două ecuații obținem

Astfel obținem că

rezultând soluțiile

Exemplul 40. Ecuația

nu este solvabilă în numere întregi nenule.

Soluție. Putem presupune că și considerăm o soluție (x, y, z) cu (x, y) = 1 și x minim. Apoi (y2, z, x2) este un triplet pitagoric. Avem următoarele două cazuri:

1° , unde . Rezultă că

și , contrazicând minimalitatea lui x.

2 ° unde

Din faptul că (a, b, x) este un triplet de numere pitagorice, putem presupune că a este par și b este impar.

Apoi pentru întregii pozitivi p și q cu

(p, q) = 1 și q = 1 (mod 2).

Rezultă că

Prin urmare (2p2, q2, x) este ea însăși un triplet pitagoric, și astfel

b#%l!^+a?

pentru numerele naturale r, s cu .

În cele din urmă, r = u2, s = v2, pentru unele numere naturale u, v cu (u, v) = 1. Apoi

și , ceea ce contrazice minimalitatea lui x.

Exemplul 41. Să se rezolve pe mulțimea numere întregi ecuația

Soluție: Fără pierderi de generalitate, putem presupune că (x, y) = 1. Apoi x si y sunt ambele impare și

Din exemplul anterior rezultă că și așa sau Soluțiile sunt ( k2), .

Exemplul 42. Să se rezolve pe mulțimea numere întregi ecuația

Soluție: Fie este o soluție a ecuației. Apoi

Stabilim , unde , obținem o ecuație

care este echivalentă cu

Din exemplul anterior rezultă că rezultând soluțiile și

Exemplul 43. Să se arate că singurele soluții în mulțimea numerelor naturale ale ecuației

sunt .

Soluția1. Soluțiile date se verifică prin calcul direct. Mai trebuie să demonstrăm că ecuația dată nu are soluții pentru .

Presupunem că și vom arăta că nu are loc egalitatea .

Pentru impar avem

b#%l!^+a?

Ultimul factor este sumă de termeni impari și numărul termenilor un număr impar, contradicție.

Pentru par avem . Atunci , iarăși contradicție, deoarece nu este multiplu de 4.

Soluția 2. Considerăm ecuația , și obținem . Fie , atunci și deoarece diferența factorilor este 2 numai unul se divide cu 3. Deci , de unde și urmează respectiv

Exemplul 44. Să se arate că singurele soluții în mulțimea numerelor naturale ale ecuației

sunt .

Soluție: Soluțiile date se verifică prin calcul direct. Mai trebuie să demonstrăm că ecuația dată nu are soluții pentru .

Presupunem .

Pentru impar obținem Ultimul factor este sumă de termeni impari și numărul termenilor un număr impar ; contradicție.

Pentru par avem . Atunci

, , .

Rezultă că fie , fie este impar. Prin urmare , , deci nu avem soluție pentru .

Exemplul 45. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Evident .

Pentru scriem ecuația sub forma

sau

și observăm că are un factor prim de forma 4m+3 care nu poate divide membrul drept.

b#%l!^+a?

Exemplul 46. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Evident x nu poate fi par sau de forma 4m-1, fiindcă . Pentru scriem ecuația sub forma

sau

și are un factor prim de forma care nu poate divide suma de pătrate . Avem , pentru

Exemplul 47. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Evident x este impar. Pentru sau , ecuația este imposibilă mod 8. Pentru , scriem ecuația sub forma:

și observăm că membrul stâng, care se divide cu , are un factor prim de forma sau

Exemplul 48. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Evident și . Fie , adică sau . Ecuația se mai scrie

sau

Pentruavem .

Pentru avem .

Exemplul 49. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Rezultă din .

Exemplul 50. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Evident și . Pentru scriem ecuația astfel: b#%l!^+a?

sau

și care este de forma , nu poate divide , pentru . În cazul , rezultă și ecuația devine , dar .

Exemplul 51. Să se arate că ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Soluție: Evident x impar și deci y impar și atunci (ținând seama că rezultă că și . Pentru scriem ecuația sub forma

și observăm că , care divide membrul stâng, are un divizor prim ce nu divide membrul drept, dacă . Reamintim că o expresie de forma , cu , nu poate avea divizori primi de forma sau . Rămâne cazul și ecuația se scrie:

și cum avem iar de aici și din rezultă că x+2 este de forma . Dar acest 8t−1 nu poate divide pe

Exemplul 52. Să se arate că ecuația

are soluție unică

Soluție: Evident . Rămâne adică sau . Pentru , ecuația este imposibilă modulo 8. Pentru scriem ecuația sub forma:

(i) .

Dar pentru membrul drept din (i) nu poate avea un factor de forma . Dar x−2, care divide membrul stâng din (i), trebuie să fie diferit de , deci . Pentru , relația (i) devine

Dar pentru nu poate divide pe și atunci , iar de aici și din rezultă

Capitolul 4. Ecuații de tip Pell

4.1. Istoria ecuației lui Pell

Un interes deosebit a continuat sa-l prezinte studiul ecuației cuadrice principale:

în mulțimea numerelor naturale, cu soluția banala presupunând că a > 0 nu este pătrat perfect.

Ecuația menționată a fost considerată prima dată de către Arhimede (sec. III î.e.n.) și studiată de către Diofant (sec. III–IV), Brahmagupta (sec. VII), Baskara (sec. XI), Fermat (sec. XVII). Cercetată în anii următori de către Leonhard Euler, Joseph Lagrange și Adrien Legendre.

Fermat a indicat o metoda de rezolvare, numita metoda cascadelor. În 1762, Euler a rezolvat ecuația prin dezvoltare în fracție continuă a numărului. El a considerat și ecuația în numere întregi

pe care a readus-o la forma simpla

pe care a numit-o ecuație Pell.

Euler, după o lectură superficială a Wallis Opera Mathematica, a atribuit eronat primul studiu serios de soluții netriviale ale ecuații de forma x2 – dy2 = 1, unde x1 și y0, matematicianului John Pell. Cu toate acestea, nu există dovezi că Pell, care a predat la Universitatea din Amsterdam, ar fi contribuit la rezolvarea acestor ecuații. El a recunoscut, pe bună dreptate, contribuțiile la studiul ecuațiilor lui Fermat, deoarece Fermat a investigat primul proprietățile soluțiilor netriviale ale ecuațiilor menționate.

Cu toate acestea, ecuațiile Pell au o istorie lungă și poate fi urmărită pornind de la greci. Theon din Smyrna folosește x / y să aproximeze , unde x și y erau soluții integrale la x2 – 2y2 = 1. În general, dacă x2 = dy2 + 1, atunci

Astfel, pentru y mare, x/y este o bună aproximare a lui , un fapt bine cunoscut la Arhimede.

Potrivit unui manuscris descoperit în librăria Wolfenbiittel în 1773 Arhimede a devenit supărat cu Apollonius din Perga pentru criticarea uneia dintre lucrările sale. El a conceput o problemă care ar implica multe calcule pentru a o rezolva și a trimis-o la b#%l!^+a?Apollonius.

Cea mai mică turmă care îndeplinește condițiile date de problemă, în urma unor simplificări, conduce la ecuația de tip Pell unde d este un număr de șapte cifre

Soluția pozitivă, pentru care y are 41 cifre, a fost descoperită de Carl Amthov în 1880. Soluția lui implică faptul că numărul taurilor albi are peste 2 x 105 cifre.

În Aritmetică, Diophantus cere soluții raționale pentru ecuații de tipul x2 – dy2 = 1. În cazul în care d = m2 + 1, Diophantus a oferit soluția întreagă x = 2m2 + 1 și y = 2m. Ecuațiile Pell sunt găsite în matematică hindusă. În secolul al patrulea, matematicianul indian Baudhayana a remarcat faptul că x = 577 și y = 408 este o soluție pentru x2 – 2y2 = 1 și a folosit fracția pentru aproximarea lui . În secolul al șaptelea, Brahmagupta a considerat soluții pentru ecuația lui Pell x2 – 92y2 = 1, cea mai mică soluție fiind x = 1151 și y = 120. În secolul al XII-lea, matematicianul hindus Bhaskara a găsit soluția cea mai puțin pozitiv la ecuația lui Pell x2 – 61y2 = 1 ca fiind x = 226153980 și y = 1766319049.

În 1657, Fermat a afirmat, fără dovezi, că dacă d este pozitiv și nu este pătrat perfect, ecuația Pell are un număr infinit de soluții. Pentru cazul în care (x, y) este o soluție la x2 – dy2 = 1, apoi

Astfel, (x2 + dy2, 2xy) este de asemenea o soluție la ecuația x2 – dy2 = 1. Prin urmare, în cazul în care ecuația Pell are o soluție, are o infinite de soluții.

În 1657, Fermat provocat de William Brouncker, Caste Lynn în Irlanda, și John Wallis a solicitat soluțiile întregi ale ecuațiilor x2 -151y2 = 1 și x2 – 313y2 = 1. El i-a provocat să găsească soluții naturale. Wallis a răspuns cu (1728148040, 140634693) ca o soluție la prima ecuație. Brouncker răspuns cu (126862368, 7170685) ca o soluție la a doua ecuație.

În 1766, Lagrange a demonstrat că ecuația x2 = dy2 + 1 are un număr infinit de soluții atunci când d este pozitiv și nu pătrat perfect.

Ecuația de gradul al doilea diofantică

cu coeficienți integrale a, b, c, d, e, f se reduce în principal cazul la o ecuație Pell. În continuare, vom schița metoda generală de reducere. Ecuația anterioară reprezintă o conică în planul cartezian , prin urmare rezolvarea ei, în numere întregi înseamnă a găsi toate punctele situate pe această conică. Vom rezolva ecuația prin reducerea ecuației generale conice în forma sa canonică. Discriminantul ecuației este b#%l!^+a?

Dacă <0, conică definit de ecuația studiată este o elipsă iar în acest caz ecuația dată are doar un număr finit de soluții.

Dacă = 0, atunci conică dată de ecuația studiată este o parabolă. Dacă , atunci ecuația dată devine

și nu este greu de rezolvat. În cazul , prin efectuarea substituții

ecuația inițială se reduce la x2 + y = 0, care este, de asemenea, ușor de rezolvat.

Cazul cel mai interesant este > 0, atunci conică definit de ecuația studiată este o hiperbolă. Folosind o secvență de substituții, ecuația se reduce la o ecuație generală de tip Pell x2 + Dy2 = N

Pentru a ilustra procedeul descris mai sus, vom considera ecuația:

Observăm că = 12> 0, deci conică corespunzătoare este o hiperbolă. Ecuația poate fi scrisă ca

și prin efectuarea substituții X = x și Y = y – x, reducem ecuația studiată la ecuația lui Pell X2 – 3Y2 = 1.

4.2. Rezolvarea ecuației lui Pell prin metode elementare

Vom prezenta o abordare elementară pentru rezolvarea ecuației Pell dată de Lagrange.

Teoremă. Dacă D este un număr întreg pozitiv, care nu este un pătrat perfect, atunci ecuația

are o infinitate de soluții în numere întregi pozitive și soluția generală este dată de ,

în cazul în care (u0, v0) este soluție fundamentală, adică minim soluția diferită de (1, 0).

Demonstrație: În primul rând, vom demonstra că ecuația are o soluție fundamentală.

Fie c1 un număr întreg mai mare decât 1. Vom arăta că există întregi ti, astfel b#%l!^+a?încât

Într-adevăr, considerând , randamentele și deoarece este un număr irațional, rezultă că ori de câte ori k ' k ".

Există astfel încât

pentru că există intervale ci de forma și c1+1 numere de forma , .

Din inegalitățile anterioare rezultă că

și stabilind se obține și

Înmulțind această inegalitate cu obținem

Alegem un număr întreg pozitiv c2> c1 astfel încât am obține numerele întregi pozitive t2, w2 cu proprietățile

și

Prin continuarea acestei proceduri, vom găsi o secvență de perechi distincte satisface inegalitățile pentru toate numere întregi pozitive n. Rezultă că intervalul (,) conține un k întreg nenul astfel încât să existe un subșir de ce satisface ecuația .

Acest subșir conține cel puțin două perechi , pentru care , și altfel ts = tr și ws = wr, în contradicție cu .

Fie și . Atunci

.

Pe de altă parte,

și rezultă imediat că . Perechea (t, w), unde și este o soluție netrivială ecuației Pell studiate. b#%l!^+a?

Vom studia dacă perechea (un, vn), definite anterior, satisface ecuația lui Pell. Vom proceda prin inducție după n. Evident, (u0, v0) este o soluție pentru ecuația inițială. Dacă (un, vn) este o soluție la această ecuație, atunci

adică perechea (un + 1, vn + 1) este, de asemenea, o soluție pentru ecuația studiată.

Nu este dificil de demonstrat că pentru orice întreg n pozitiv,

.

Fie și z1 < z2 <…< zn <. . . .

Vom demonstra acum că toate soluțiile ecuația studiate sunt de forma . Într-adevăr, în cazul ecuației inițiale avem o soluție (u, v) astfel încât nu este de forma , apoi zm<z<zm + l pentru un întreg m. Apoi

și, prin urmare

Pe de altă parte,

adică

este o soluție pentru ecuația studiată, mai mică decât (u0, v0), în contradicție cu presupunerea că (u0, v0) este cea mai mică și astfel teorema este demonstrată.

Relația ar putea fi scrisă în formă matriceală astfel

Dacă

atunci este bine cunoscut faptul că fiecare an, bn, cn, dn este o combinație liniară de , unde sunt valorile proprii ale matricei

Prin utilizarea, după un calcul simplu rezultă că b#%l!^+a?

Astfel, putem concluziona, pentru un d număr natural liber de pătrate, dacă (u0,v0) este o soluție particulară a ecuației , atunci soluția generală (un,vn) are următoarele proprietăți:

pentru orice natural n.

Exemplul 53. Să se rezolve ecuația pe mulțimea numerelor întregi pozitive.

Soluție: Soluția fundamentală a ecuației studiate este (x0,x0) = (3,1). Orice altă soluție (xn, xn) , pentru este de forma

În figura anterioară sunt reprezentate trei soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1, 2 și 3, ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele . b#%l!^+a?

Exemplul 54. Să se găsească soluția generală a ecuație pe mulțimea numerelor întregi pozitive și pe mulțimea numerelor întregi.

Soluție: Soluția pozitivă minimă a ecuației studiate este (x0,y0) = (3,2), diferită de soluțiile banale (1,0) și (-1,0). Ecuația dată are o infinitate de soluții începând cu . Orice altă soluție (xn, yn) , pentru este de forma

În figura anterioară sunt reprezentate trei soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1, 2 și 3, ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele .

Pe mulțimea numerelor întregi soluția generală este

4.3. Ecuația

O ecuație importantă, ce merită a fi studiată, mai generală decât ecuația lui Pell, este ecuația cu forma generală b#%l!^+a?

(***)

unde a și b sunt numere întregi pozitive. Având in considerare cele prezentate anterior constatăm că și ecuația (***) poate fi redusă la o ecuație Pell.

Propoziție. Dacă ab = k2, unde k este un număr întreg mai mare decât 1, atunci ecuația (***) nu are soluții în mulțimea numere întregi pozitive.

Demonstrație. Să presupunem că ecuația (***) are o soluție (x0, y0), unde x0, y0 sunt numere întregi pozitive. Apoi , și în mod clar a și b sunt relativ prime. Din condiția ab = k2 rezultă că și pentru ca k1 și k2 sunt întregi pozitivi. Din relația

putem scrie ca . Rezultă că

ce duce la o contradicție. Vom numi rezolventa Pell a ecuației (***) ecuația

Teoremă. Să presupunem că ecuația (***) are soluții în mulțimea numerelor întregi pozitive și fie (A, B) soluția cea mai mică. Soluția generală a ecuației este , unde

,

și este soluția generală a rezolventei Pell.

Demonstrație. Vom demonstra mai întâi că (xn, yn) este o soluție pentru ecuația (***). Într-adevăr,

În schimb, (x, y) este o soluție pentru ecuația (***). Apoi (u, v), în cazul în care

și ,

este o soluție pentru rezolventa Pell. Rezolvarea sistemului anterior de ecuații liniare cu necunoscutele x și y conduce la

,

adică (x, y) are forma specificată în teoremă.

b#%l!^+a?

Capitolul 5. Aplicații rezolvate

Aplicația 1. Rezolvați ecuația următoare pe mulțimea numerelor întregi pozitive

Soluție: Soluția cea mai mică a acestei ecuații este

Utilizăm rezolventa Pell

atunci, pentru n = 1,2,…

În acest context

Atunci și obținem

b#%l!^+a?

În figura anterioară sunt reprezentate două soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1 și 2 în relațiile

ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele

Aplicația 2. Rezolvați ecuația următoare pe mulțimea numerelor întregi pozitive

Soluție: Soluția cea mai mică a acestei ecuații este

Utilizăm rezolventa Pell

atunci, pentru n = 1,2,…

În acest context

Atunci și D = 30

Astfel se obțin

b#%l!^+a?

În figura următoare sunt reprezentate două soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1 și 2, ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele

Aplicația 3. Rezolvați ecuația următoare pe mulțimea numerelor întregi pozitive

Soluție: Soluția cea mai mică a acestei ecuații este

Utilizăm rezolvanta Pell

atunci, pentru n = 1,2,…

În acest context

Atunci și D = 6

Astfel obținem

În figura anterioară sunt reprezentate trei soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1, 2 și 3, ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele

Aplicația 4. Rezolvați ecuația următoare pe mulțimea numerelor întregi pozitive

Soluție: Soluția cea mai mică a acestei ecuații este

Ecuația dată are o infinitate de soluții începând cu . Orice altă soluție (xn, yn) , pentru este de forma

b#%l!^+a?

În figura anterioară sunt reprezentate trei soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1, 2 și 3, ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele

Aplicația 5. Rezolvați ecuația următoare pe mulțimea numerelor întregi pozitive

Soluție: Soluția cea mai mică a acestei ecuații este

Ecuația dată are o infinitate de soluții începând cu . Orice altă soluție (xn, yn) , pentru este de forma

În figura următoare sunt reprezentate trei soluții naturale ale ecuației studiate, calculate prin înlocuirea lui n cu 1, 2 și 3, ce se găsesc pe ramura din cadranul I a hiperbolei, utilizând GeoGebra, respectiv punctele

b#%l!^+a?

Aplicația 6. Să se rezolve în ecuația .

Soluție: Se ia cu , Se arată că doar pentru ecuația poate avea soluții.

Rezultă că

sau

.

Se desface paranteza și avem că:

,

iar după împărțirea expresiei cu 5 rezultă că

.

Atunci

și

, cu .

Spre exemplificare putem calcula coeficienții pentru câteva puncte ce îndeplinesc aceste condiții. Pentru

În figura anterioară este reprezentarea curbei și a punctelor a căror coordonate au fost calculate anterior A, B și C.

Aplicația 7. Să se arate că oricare ar fi numerele întregi și , de parități diferite, există numerele întregi și , astfel încât, .

Soluție: Egalitatea dată poate fi scrisă, echivalent:

,

de unde obținem prin descompunere

.

De aici se găsesc valorile . Întrucât m și n au parități diferite, deducem că a și b sunt întregi:

sau b#%l!^+a?

Aplicația 8. Rezolvați în N × N ecuația

Soluție:

Cum sunt mai mari decât a+1 și b+1, obs. că a+b+1=3 și a+b+2=(a+1)(b+1), sau invers.

Din (a+1)(b+1)=4 și a+b=2, obținem soluția (1,1).

Din a+b=1 și (a+1)(b+1)=2, obținem soluția (0,1) și (1,0).

Aplicația 9. Să se rezolve în ecuația: .

Soluție: Este o ecuație de tipul , unde adică o ecuație diofantică, și are soluții dacă și numai dacă divide . Soluția acestei ecuații este dată de:

,

unde și este soluție particulară , iar, .

În cazul nostru, se observă ușor că deoarece și , deci ecuația are soluții pentru că 1 divide 2011. Apoi, intuim și , soluții particulare.

Soluția generală este : , , .

Bibliografie

Andreescu, T., Andrica, D., O introducere în studiul ecuațiilor diofantice, Editura GIL, Zalău, 2002 b#%l!^+a?

Andrei, GH., Caragea, C., Cucurezeanu, I., Bordea, Gh., Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993.

Andrica D., Duca I. D., Pop I., Purdea I., Matematica de bază, Editura Studium, Cluj-Napoca, 2000.

Becheanu, M., Olimpiade matematice (1987-1994), Editura GIL Zalău, 1995.

Beju, A. E., Beju, I., Compendiu de matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1983.

Bușneag, D., Boboc, Fl., Piciu, D., Elemente de aritmetică și teoria numerelor, Editura Universitaria, Craiova, 1999.

Cucurezeanu, I., Ecuații în numere întregi, Editura Aramis, București, 2006.

Ghelfond, A. O., Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi (trad. din limba rusă), Editura Tehnică, București, 1954.

Mortici, C., Probleme pregătitoare pentru concursurile de matematică, Editura GIL Zalău, 1999.

Mortici, C., 600 probleme, Editura GIL, Zalău, 2001.

Panaitopol, L., Gica, A., Probleme celebre de teoria numerelor, Editura Universității, București, 1998.

Popovici, C. P., Teoria numerelor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973.

Rădescu, N., Elemente de aritmetică și teoria numerelor, Editura Didactica Nova, Craiova, 1996.

Stanciu N., O ecuație diofantică celebră (ecuația lui Fermat), Revista MateInfo.Ro, ianuarie, 2011

Metsänkylä T., Catalan’s conjectur: another old diophantine problem solved, Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1): 43–57. http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf.

Vraciu C., Vraciu M., Elemente de Aritmetică, Editura All, București, 1998

http://www.math.ca/crux/v36/n3

b#%l!^+a?

b#%l?

=== Ϲuprіns ===

Cuprins

=== Вibliοgrɑfie ===

Bibliografie

Andreescu, T., Andrica, D., O introducere în studiul ecuațiilor diofantice, Editura GIL, Zalău, 2002 b#%l!^+a?

Andrei, GH., Caragea, C., Cucurezeanu, I., Bordea, Gh., Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993.

Andrica D., Duca I. D., Pop I., Purdea I., Matematica de bază, Editura Studium, Cluj-Napoca, 2000.

Becheanu, M., Olimpiade matematice (1987-1994), Editura GIL Zalău, 1995.

Beju, A. E., Beju, I., Compendiu de matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1983.

Bușneag, D., Boboc, Fl., Piciu, D., Elemente de aritmetică și teoria numerelor, Editura Universitaria, Craiova, 1999.

Cucurezeanu, I., Ecuații în numere întregi, EdituraAramis, București, 2006.

Ghelfond, A. O., Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi (trad. din limba rusă), EdituraTehnică, București, 1954.

Mortici, C., Probleme pregătitoare pentru concursurile de matematică, Editura GIL Zalău, 1999.

Mortici, C., 600 probleme, Editura GIL, Zalău, 2001.

Panaitopol, L., Gica, A., Probleme celebre de teoria numerelor, Editura Universității, București, 1998.

Popovici, C. P., Teoria numerelor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973.

Rădescu, N., Elemente de aritmetică și teoria numerelor, Editura DidacticaNova, Craiova, 1996.

Stanciu N., O ecuație diofantică celebră (ecuația lui Fermat), RevistaMateInfo.Ro, ianuarie, 2011

Metsänkylä T., Catalan’s conjectur: another old diophantine problem solved, Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1): 43–57. http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf.

Vraciu C., Vraciu M., Elemente de Aritmetică, EdituraAll, București, 1998

http://www.math.ca/crux/v36/n3

b#%l!^+a?

b#%l?