. Comportarea Sistemului Bpsk – Ds – Ss In Prezenta Zgomotului Si A Fadingului Si Determinarea Per

CUPRINS

1. Sisteme cu spectru împraștiat 4

1.1 Modelul sistemelor cu spectru împrăștiat 4

1.2 Metode de configurare a sistemelor cu spectru împrăștiat 8

1.3 Tipuri de semnale cu spectru împrăștiat 10

Semnale BPSK cu spectru împrăștiat de tip secvență directă

(BPSK – DS – SS) 11

2. Canalul radio mobil 12

2.1 Modelarea canalului radio mobil 12

Caracterizarea canalului în domeniul timp: funcția pondere

a canalului (Input Delay Spread Function) 13

2.1.2 Funcția de transfer a canalului(Output Doppler Spread Function) 18

2.1.3 Funcția de împrăștiere Doppler (Doppler Spread Function) 21

Funcția de împrăștiere / deplasare Doppler

(Delay/Doppler Spread Function) 22

Caracterizarea statistică a canalului liniar cu parametrii

variabili în timp 25

Canalul staționar în sens larg

(Wide Sense Stationary – WSS- channels) 26

Canalul cu reflexii necorelate la întârzieri diferite

(Uncorrelate Scattering – US – channel) 27

Canalul staționar în sens larg, cu reflexii necorelat la întârzieri

diferite (Wide Sense Stationary

UncorrelatedScattering – WSSUS – channel) 28

3. Modele de propagare 30

3.1 Fading multicale neselectiv în frecvență 32

3.2 Corelarea și spectrul semnalului recepționat 34

3.3 Distribuția anvelopei și fazei recepționate 41

3.3.1 Fadingul Rayleigh 41

Fadingul Nakagami 42

Fadingul cu distribuție lognormală 44

Funcția densitate de probabilitate a variabilei

aleatoare lognormală 45

Momentele variabilei aleatoare lognormală 48

3.4 Funcția de autocorelație și spectrul anvelopei 48

3.5 Spectrul și funcția de autocorelație a anvelopei pătratice 53

Modele de simulare și rezultate 56

Simularea sistemului BPSK – DS – SS 56

Rezultatele simulării 60

=== l ===

SISTEME CU SPECTRU ÎMPRĂȘTIAT

1.1 Modelul sistemelor cu spectru împrăștiat

Sistemele digitale de bandă îngustă au ca idee de bază utilizarea cât mai eficientă a puterii emițătorului și benzii de frecvență alocată. La proiectarea unui sistem de comunicații principalele probleme sunt asigurarea unei probabilități de eroare maxime impuse, în condițiile unei puteri a emițătorului date, și a unei benzi de frecvențe maxime admisibile.

La transmisiunile cu spectru împrăștiat (SS) lărgimea de bandă nu mai constituie un parametru restrictiv, deoarece acest tip de modulație permite utilizarea aceleiași benzi de frecvență de către mai mulți utilizatori simultan. Termenul de spectru împrăștiat se referă la acele metode de modulație care produc un semnal al cărui spectru este mult mai larg decât cel al semnalului de date propriu-zis și banda de frecvențe ocupată este independentă de banda semnalului de date.

Sistemele cu spectru împrăștiat sunt folosite în prezent în comunicațiile mobile (UMTS, IS95) și în sistemele de poziționare prin satelit (GPS). Aceste sisteme au următoarele caracteristici principale:

Semnalul de date transmis trebuie modulat cu un semnal pseudoaleator de bandă largă. Acesta trebuie să aibă anumite caracteristici de corelație specifice pentru a permite o bună demodulare la recepție;

Banda de frecvență a semnalului transmis trebuie să fie mult mai largă decât banda de frecvență a semnalului de date, de unde și denumirea de spectru împrăștiat (spread spectrum);

Recepția se realizează numai atunci când se face corelația semnalului de bandă largă recepționat cu un semnal local, generat la recepție, care trebuie să fie identic (atât din punct de vedere al formei cât și al fazei instantanee) cu semnalul pseudoaleator folosit la emisie.

Performanțele unui astfel de sistem depind în mare măsură de gradul de pseudoaleatorism al semnalului. Pe de altă parte, semnalul care dictează

legea de împrăștiere trebuie să fie determinist, pentru a putea fi refăcut cu exactitate la recepție.

Sistemele cu spectru împrăștiat sunt caracterizate prin următorii parametrii:

Factorul de multiplicitate (F): se definește ca fiind numărul de semnale ortogonale necesar transmiterii unui semnal informațional (un bit). Acest parametru caracterizează performanțele globale ale sistemelor cu spectru împrăștiat, deoarece un semnal ortogonal cu un alt semnal nu va putea fi recepționat de către receptorul specializat pentru cel de-al doilea. La sistemele de tip SS acest factor este de ordinul miilor, pe când la sistemele radio clasice (cu modulație în amplitudine sau în frecvență) acesta este relativ mic (de ordinul câtorva unități).

Câștigul de procesare (processing gain Gp): este proporțional cu factorul de multiplicitate F, dar se definește într-un mod mai natural, ca fiind factorul cu care trebuie înmulțit raportul semnal/zgomot (semnal/ interferență) de la intrarea receptorului RSZin pentru a obține raportul semnal/zgomot impus la ieșirea receptorului RSZout. Pentru majoritatea sistemelor cu spectru împrăștiat, oricare ar fi tehnica folosită, câștigul de procesare satisface relația:

(1.1)

unde BRF este banda totală ocupată de semnalul cu spectrul împrăștiat (la emisie), iar Binf este banda de bază a semnalului informațional. Deoarece în urma procesului de împrăștiere spectrală BRF >>Binf , câștigul de procesare este mult mai mare decât 1 (este de ordinul sutelor sau miilor).

3. Marginea de bruiaj (Mj) se definește prin relația:

(1.2)

unde Gp este câștigul de procesare definit anterior, RSZout este raportul semnal/zgomot la ieșirea receptorului necesar luării unei decizii corecte asupra semnalului informațional și Ls reprezintă pierderile intrinseci ale sistemului cu spectru împrăștiat. În practică s-a constatat că relația (1.2) nu mai este îndeplinită dacă puterea bruiajului crește peste o anumită valoare limită. Din acest motiv se definește încă un parametru, determinat experimental, pentru a exprima condițiile de lucru ale sistemului cu spectru împrăștiat la limita de putere a bruiajului.

Pragul de bruiaj (Tj): reprezintă acea valoare a raportului semnal/zgomot la intrare pentru care raportul semnal/zgomot la ieșire (măsurat experimental) scade cu 1 dB față de valoarea teoretică dată de relația (1.2). Dacă se consideră că:

(1.3)

unde J/S este raportul dintre puterea totală a semnalului de bruiaj și a celui util (la limita pragului de bruiaj), atunci din relația (1.1) rezultă:

(1.4)

Cu aceste relații Ls se determină astfel:

(1.5)

Evoluția progresivă a sistemelor cu spectru împrăștiat a condus la sisteme care realizează și alte performanțe utile cum ar fi:

rezistența la bruiaj: se bazează pe valoarea mare a factorului de multiplicitate F, respectiv a câștigului de procesare;

probabilitatea redusă de interceptare: se datorează valorii mari a factorului F și faptului că semnalul emis este pseudoaleator, deci impredictibil, iar densitatea sa spectrală este relativ scăzută și aproximativ uniformă într-o bandă largă de frecvențe;

rezoluția în timp: este conferită de recepția efectuată prin corelația dintre semnalul cu spectrul împrăștiat și codul pseudoaleator generat la recepție, ceea ce presupune o sincronizare perfectă a semnalului local, cu cel de la emisie;

capacitatea de secretizare: este asigurată de faptul că semnalul de date nu se poate extrage din semnalul cu spectru împrăștiat decât de receptorul care cunoaște codul de împrăștiere;

posibilitatea de acces multiplu CDMA: se referă la faptul că diferitele perechi emițător – receptor care folosesc coduri ortogonale pot lucra simultan utilizând aceeași purtătoare și bandă de frecvențe, fără interferențe reciproce deranjante.

În figura 1.1 este prezentată schema generală a unui sistem de transmisiune pentru comunicațiile de date.

Figura 1.1. Schema generală a unui sistem de comunicații de date cu

spectru împrăștiat

Sursa de date oferă o succesiune de simboluri discrete care aparțin unui alfabet finit. Ele se pot obține ca ieșire a unei surse digitale sau prin eșantionarea și cuantizarea unui semnal analogic. În cel din urmă caz, în conformitate cu teorema eșantionării, rata de eșantionare trebuie să fie mai mare sau egală cu dublul benzii ocupate de semnalul analogic

eșantioane / secundă. (1.6)

În plus, dacă fiecare eșantion este cuantizat pe q niveluri, fiecare eșantion va fi reprezentat cu ajutorul a log2q biți, deci rata minimă a sursei va fi:

biți / secundă. (1.7)

Deoarece majoritatea surselor posedă o redundanță inerentă la ieșire este necesară o codare a sursei care să elimine această redundanță necontrolată. Operația inversă la recepție este efectuată de blocul de decodare a sursei. Pentru a îmbunătăți performanțele sistemului de comunicație din punct de vedere al probabilității de eroare, de cele mai multe ori se efectuează o codare a canalului care adaugă o redundanță controlată, pe care decodorul de canal o utilizează pentru a corecta un număr de erori.

Modulatorul și demodulatorul SS adaugă un nou nivel de modulație suplimentar celui de date, care implică și împrăștierea cu codul pseudoaleator.

1.2 Moduri de configurare a sistemelor cu spectru împrăștiat

Principala problemă care apare la sistemele cu spectru împrăștiat este aceea că emițătorul și receptorul trebuie să opereze sincron, în sensul că receptorul trebuie să recunoască secvența pseudoaleatoare cu care s-a realizat împrăștierea spectrală pentru a putea reface informația.

Din punct de vedere al modului de configurare al sistemului există trei variante:

sisteme cu referința transmisă (TR) care presupun transmiterea simultană a două versiuni ale semnalului de bandă largă, una modulată de către semnalul informațional x(t) și alta nemodulată c(t), separate eventual printr-un ecart de frecvență. La recepție cele două semnale se aplică unui detector cu corelator care va extrage informația. În figura 1.2 este prezentată schema bloc a acestei variante de configurare;

Figura 1.2 Sistem cu referință transmisă

sisteme cu referință inclusă (SR) care presupun generarea independentă a secvenței pseudoaleatoare (codul de împrăștiere) la emisie, respectiv la recepție. În acest caz codul de la recepție trebuie să fie inițializat din punct de vedere al fazei (prin mecanismul de achiziție) și apoi controlat în permanență (prin mecanismul de urmărire), astfel încât să fie sincron cu codul de la emisie, ajustarea făcându-se pe baza semnalului x(t) recepționat. Demodularea se face prin corelarea semnalului x(t) cu codul local refăcut la recepție. Schema bloc a acestei variante este prezentată în figura 1.3;

Figura 1.3 Sistem cu referință inclusă

sisteme cu filtru adaptat (MF) în care împrăștierea spectrală la emisie se efectuează prin trecerea semnalului de date printr-un filtru adaptat, cu funcția pondere controlată de secvența pseudoaleatoare. Detecția semnalului implică utilizarea la recepție a unui filtru adaptat identic cu cel de la emisie (controlat de un cod sincron), ce va efectua corelarea necesară refacerii informației. Această variantă are schema bloc din figura 1.4.

Figura 1.4 Sistem cu filtru adaptat

1.3 Tipuri de semnale cu spectru împrăștiat

Un semnal cu spectru împrăștiat (de bandă largă) este generat prin remodularea semnalului de date (deja modulat într-una din formele clasice de modulație de bandă îngustă) cu un cod pseudoaleator de bandă largă, cu perioada de simbol Tc (denumită de “chip”) mult mai mică decât cea a datelor Td , raportul fiind de ordinul sutelor sau miilor.

Dacă cea de-a doua modulare este o modulație în fază atunci semnalul se numește semnal cu spectru împrăștiat de tip secvență directă (DS). De obicei această tehnică se aplică semnalelor de tip BPSK, QPSK sau MSK.

Dacă împrăștierea spectrală se realizează printr-o modulație în frecvență, prin schimbarea frecvenței purtătoarei după o lege determinată de codul pseudoaleator, atunci semnalul se numește semnal cu spectru împrăștiat de tip salt de frecvență (FH). Această tehnică se aplică în general semnalelor de tip FSK. Dacă se utilizează ambele tehnici atunci semnalul rezultat se numește semnal cu spectru împrăștiat de tip hibrid (DS-FH).

1.4 Semnale BPSK cu spectru împrăștiat de tip secvență

directă (BPSK – DS – SS)

Cea mai simplă formă de modulare de tip secvență directă este cea la care semnalul de date este de tip BPSK:

(1.8)

unde m(t)=±1 reprezintă datele binare cu rata de bit fb. Împrăștierea spectrală se produce prin multiplicarea semnalului modulat sd(t) cu codul binar c(t)= ±1, care este un semnal pseudoaleator binar de tip NRZ, cu rata de transmisie (de “chip”) fc=Nfb, N>>1. Deci semnalul transmis este de forma:

(1.9)

Semnalul recepționat este afectat de zgomot, de interferențe și de o întârziere datorată canalului:

(1.10)

Pentru a se putea face demodularea (împachetarea la recepție) semnalul cu spectru împrăștiat recepționat trebuie înmulțit cu replica locală a codului generat la recepție c(t-’), unde cu ’ s-a notat întârzierea estimată. Dacă estimarea s-a făcut corect, produsul c(t-)·c(t-’)=1. În acest fel semnalul este comprimat în banda inițială a semnalului de date (“reîmpachetat”) și poate fi demodulat prin metodele clasice.

În figura 1.5 este prezentată schema bloc a unui sistem de transmisiune de tip BPSK – DS – SS.

Figura 1.5 Schema bloc a unui sistem BPSK – DS – SS

Din punct de vedere spectral înmulțirea datelor cu codul c(t) reprezintă o lărgire de N ori a benzii de frecvență ocupate. Densitatea spectrală de putere a unui semnal de tip BPSK este dată de expresia:

. (1.11)

Deoarece semnalul sd(t) este un semnal de tip BPSK cu perioada de bit Tc, rezultă că densitatea sa spectrală de putere este:

. (1.12)

Relația de mai sus este valabilă numai în cazul în care atât semnalul de date cât și codul sunt de tip binar NRZ și în plus tranzițiile sunt sincrone. Calculele exacte implică determinarea funcțiilor de autocorelație a datelor și a codului. Având în vedere că datele reprezintă un semnal pseudoaleator ergodic și codul este de asemenea pseudoaleator și independent de date, funcția de autocorelație a produsului este egală cu produsul funcțiilor de autocorelație a datelor și codului.

2. canalul radio mobil

2.1 Modelarea canalului radio mobil

În acest capitol va fi analizat canalul radio din punct de vedere al efectului acestuia asupra semnalului transmis, atât din punct de vedere temporal (apariția atenuărilor și a fenomenului de fading multicăi, descris prin funcția de împrăștiere a întârzierilor) cât și în frecvență (prin funcția de transfer a canalului și funcția de împrăștiere Doppler).

Efectele canalului se manifestă în principal prin :

întârzieri multiple ale semnalului, care interferă cu semnalul dorit la recepție;

deplasarea în frecvență a semnalului, datorită mișcării relative dintre emițător și receptor.

2.1.1. Caracterizarea canalului în domeniul timp: funcția

pondere a canalului (Input Delay Spread Function)

Fie un canal căruia i se aplică la intrare un semnal x(t), de frecvență purtătoare f0, cu anvelopa complexă z(t), unde

. (2.1)

La ieșirea sa vom avea un semnal y(t) cu anvelopa complexă w(t), unde

. (2.2)

Aceste două semnale pot fi exprimate de asemenea și în frecvență folosind transformata Fourier, astfel:

, (2.3)

respectiv

. (2.4)

Fig. 2.1. Semnalele la intrarea / ieșirea canalului.

În cazul comunicațiilor de bandă îngustă (care, la limită, corespund transmiterii unui semnal sinusoidal nemodulat pe frecvența purtătoare), anvelopa w(t) a semnalului recepționat are o variație de forma celei reprezentate în figura 2.2.

Fig. 2.2. Variația anvelopei semnalului recepționat.

În domeniul timp, anvelopa complexă la ieșirea canalului poate fi exprimată ca produs de convoluție între anvelopa complexă a semnalului la intrare și funcția pondere a canalului g(;t), care se mai numește și funcția de împrăștiere a întârzierilor:

(2.5)

Funcția pondere a canalului se poate determina aplicând un impuls la momentul t=0 astfel

(2.6)

Aceasta arată că funcția de împrăștiere a întârzierilor se poate determina experimental emițând un impuls si măsurând impulsurile recepționate.

Canalul poate fi aproximat folosind intervale discrete ale întârzierii și în acest caz integrala din relația (2.5) se transformă în suma:

(2.7)

Relația (2.7) se reflectă în figura 2.3, care reprezintă modelul discret al canalului.

Fig. 2.3. Modelul discret al canalului.

Aceasta arată că un canal de comunicație poate fi reprezentat discret ca un filtru FIR cu coeficienții dați de eșantioanele funcției pondere luate la momente de timp discrete.

Orice canal fizic este un sistem cauzal, deci

g(;t)=0 pentru <0. (2.8)

În plus, dacă sistemul este invariant in timp, coeficienții funcției pondere sunt constanți deci:

. (2.9)

Fie un canal multicăi la intrarea căruia se aplică funcția reală z(t)=s(t); ieșirea este dată de:

(2.10a)

(2.10b)

unde k reprezintă coeficienții de atenuare ai componentelor semnalului pe căile multiple de propagare. Comparând (2.10b) cu (2.2) se observă că funcția de împrăștiere a întârzierilor se poate scrie ca fiind superpoziția impulsurilor de intrare, atenuate cu coeficienții k:

(2.11)

Relația (2.11) este reprezentată grafic în figura 2.4.

Figura 2.4. Funcția de împrăștiere a întârzierilor pentru un canal mobil.

Împrăștierea întârzierilor, notată cu , indică gradul de dispersie al timpului de către canal și se poate calcula ca fiind radical din diferența dintre media pătratică a timpului de întârziere și pătratul timpului mediu de întârziere, astfel:

(2.12)

Împrăștierea întârzierilor depinde, în parte, de existența unor obiecte reflectoare în vecinătatea emițătorului sau receptorului și de numărul acestora. În tabelul 2.1 sunt exemplificate o serie de valori ale împrăștierii întârzierilor în diferite medii.

Tabelul 2.1. Valori tipice pentru dispersia întârzierilor.

Întârzierea minimă, , reprezintă timpul necesar pentru propagarea directă a semnalului între emițător și receptor. Deoarece majoritatea componentelor semnalului multicăi sunt grupate în imediata apropiere a căii directe, distribuția împrăștierii întârzierilor poate fi modelată ca distribuție exponențială (figura 2.5).

Fig. 2.5. Distribuția împrăștierii întârzierilor.

În forma normată, expresia distribuției împrăștierii întârzierii de grup este :

, (2.13)

Media sa normată este :

, (2.14)

iar media pătratică este

(2.15)

Astfel, deviația standard pentru o întârziere cu distribuție exponențială este dată de relația:

. (2.16)

2.1.2. Funcția de transfer a canalului(Output Doppler Spread

Function)

Funcția de împrăștiere a întârzierilor (2.5, 2.11), care reflectă comportarea canalului în domeniul timp, a fost exprimată folosind mai multe componente de semnal care se propagă pe căi diferite, având amplitudini și faze variabile. Caracterizând această funcție în domeniul frecvență, se poate determina funcția de transfer a canalului. Aceasta este în general definită ca raportul dintre transformatele Fourier ale semnalului de intrare, respectiv de ieșire, astfel:

, (2.17)

unde

. (2.18)

În general, T(f;t) este o funcție complexă, variabilă în timp. Dacă la intrarea unui sistem liniar, staționar, se aplică semnalul , a cărui transformată Fourier este , la ieșirea acestuia vom avea

= (2.19)

Termenul H(fd) reprezintă câștigul sistemului. Dacă sistemul variază în timp, funcția de transfer va fi și ea dependentă de timp.

Fie semnalul real trece bandă:

(2.20)

Se observă că valoarea anvelopei este R(t)=1 iar faza este . Anvelopa complexă este:

. (2.21)

Dacă anvelopa complexă a semnalului de la intrarea canalului variabil în timp este , anvelopa complexă a semnalului la ieșirea acestuia este:

. (2.22)

Ultima integrală din relația (2.22) reprezintă transformata Fourier a funcției de împrăștiere a întârzierilor, ce depinde și de variabila de întârziere . Astfel, anvelopa semnalului la ieșire este:

. (2.23)

Pe baza funcției de transfer a canalului se introduce conceptul de bandă de coerență a canalului la frecvența f0 , în raport cu momentul t.

Dacă semnalul de intrare conține două componente sinusoidale, x1(t) și x2(t) pe frecvențele f0+fd și f0-fd

(2.24a)

, (2.24b)

cu anvelopele complexe

; (2.25)

la ieșirea canalului, cele două anvelope vor fi:

(2.26a)

(2.26b)

Funcția de corelație a celor două semnale la ieșirea canalului este o măsură a coerenței canalului. Efectuând medierea statistică:

(2.27)

Banda de coerență a canalului reprezintă diferența dintre frecvențele maximă și minimă (fmin, fmax) ale anvelopei semnalului recepționat ce sunt independente din punct de vedere statistic (ceea ce corespunde unei corelații nule între componente). În cele de mai sus s-a presupus că variabilele ce constituie coeficienți ai funcției de împrăștiere a întârzierilor g(;t) sunt variabile aleatoare gaussiene, cu media nulă. Banda de coerență se poate defini deci ca distanța în frecvență pentru care:

. (2.28)

Presupunând că funcția de corelație între componentele semnalului original, , este aproximativ constantă la frecvențele de interes, funcția de coerență este proporțională cu media lui , deci cu pătratul amplitudinii funcției de transfer a canalului. Banda de coerență poate fi definită deci ca acea valoare a lui pentru care scade la jumătate din valoarea maximă. Deci poate fi considerată ca banda la 3dB a canalului, lucru ilustrat în figura 2.6.

Fig. 2.6. Definirea benzii de coerență a canalului.

Dacă funcția pondere a canalului nu depinde de timp se poate arăta că:

(2.29)

2.1.3. Funcția de împrăștiere Doppler (Doppler Spread

Function)

În domeniul frecvență, transformata Fourier a anvelopei complexe la ieșire, W(f), în raport cu parametrul , poate fi exprimată ca produs dintre funcția de transfer și transformata anvelopei de intrare :

. (2.30)

Se definește funcția de împrăștiere Doppler, notată , ca transformata Fourier, cu parametru f, a funcției de transfer variabile în timp . Astfel, transformata anvelopei semnalului de ieșire poate fi scrisă ca produs de convoluție între anvelopa semnalului de intrare și :

. (2.31)

Presupunând că funcția de împrăștiere Doppler este de forma unui impuls, , ieșirea canalului este:

. (2.32)

Valoarea lui pentru fixat este acea porțiune din spectrul semnalului de ieșire la frecvența f, care a suferit o deplasare de Hz față de spectrul semnalului de intrare. Reflexiile produse datorită obiectelor în mișcare pot determina o deplasare Doppler în frecvență, proporțională cu viteza relativă dintre emițător, reflector și receptor.

Canalul poate fi modelat discret folosind intervale de eșantionare :

, (2.33)

ceea ce arată că spectrul semnalului la ieșire este suma ponderată a versiunilor deplasate în frecvență ale spectrului semnalului de intrare. Acest concept este ilustrat în figura 2.7.

Figura 2.7. Modelul discret al canalului în domeniul frecvență.

Împrăștierea Doppler se definește ca valoarea efectivă a momentului de ordinul doi a funcției , după cum este sugerat și în figura 2.8.:

(2.34)

Figura 2.8. Relația dintre împrăștierea Doppler și deplasarea în frecvență .

2.1.4. Funcția de împrăștiere / deplasare Doppler

(Delay/Doppler Spread Function)

Funcția pondere a canalului g(;t) aproximează comportarea în domeniul timp a canalului folosind deplasările/întârzierile semnalului datorate reflexiilor pe diferite obiecte. Semnalul la ieșire poate fi determinat ca produs de convoluție între semnalul de intrare și funcția pondere. În mod similar, funcția de împrăștiere Doppler modelează canalul în frecvență, folosind deplasările în frecvență ale semnalului datorate mișcării reflectoarelor. Semnalul la ieșire poate fi de asemenea determinat ca produs de convoluție între funcția de împrăștiere Doppler și spectrul semnalului de intrare. Aceste modele implică folosirea unui singur produs de convoluție și/sau a unei transformate Fourier pentru calculul răspunsului.

Folosind relația (2.5), ieșirea canalului poate fi scrisă

(2.35a)

, (2.35b) unde este transformata Fourier a lui în raport cu parametrul ce caracterizează variația în timp a canalului :

. (2.36)

se numește funcția de împrăștiere/deplasare Doppler și exprimă atât împrăștierea întârzierilor replicilor în domeniul timp cât și împrăștierea deplasărilor în frecvență a diferitelor componente. Folosind modelul discret, ieșirea canalului poate fi aproximată cu suma ponderată a replicilor întârziate în timp și deplasate în frecvență ale semnalului de intrare:

. (2.37)

Exemplu:

Fie canalul de propagare descris în figura 2.9.

Figura 2.9. Exemplu de mediu de propagare.

Semnalul recepționat are trei componente: unda directă d0(t), componenta reflectată pe un obiect fix d1(t), și componenta reflectată pe un obiect în mișcare d2(t). Întârzierile care afectează aceste căi sunt:

Calea directă: ;

Reflexia 1: ;

Reflexia 2: .

Funcția de împrăștiere a întârzierilor în acest caz este

, (2.38)

iar funcția de împrăștiere / deplasare Doppler va fi:

(2.39a)

(2.39b)

(2.39c)

În relația de mai sus se observă că primii termeni sunt afectați doar de întârzieri ce nu variază în timp (0, 1) în timp ce ultimul termen este afectat de deplasare Doppler (2(t)). Efectuând transformarea

(2.40a)

și utilizând notațiile

, , (2.40b)

rezultă:

(2.40c)

(2.40d)

Cu acestea, funcția de întârziere/împrăștiere Doppler pentru cazul analizat este:

(2.41a)

. (2.41b)

Dacă la intrarea canalului se aplică un semnal cu anvelopa complexă , anvelopa complexă a semnalului la ieșirea canalului este:

(2.42a)

. (2.42b)

Primii doi termeni din (2.42b) sunt afectați doar de o întârziere, pe când cel de-al treilea termen este afectat atât de o întârziere cât și de o deplasare în frecvență. Întârzierile apar ca efect al timpului de propagare între emițător și receptor, în timp ce componenta Doppler se datorează mișcării celui de-al doilea obiect de dispersie.

Funcțiile de sistem h(;t), T(f;t), U(;), H(;f) sunt legate între ele prin transformări Fourier simple sau duble. Aceste interdependențe sunt reprezentate în figura 2.10.

Figura 2.10. Relațiile de interdependență dintre funcțiile de sistem.

2.2 Caracterizarea statistică a canalului liniar cu parametrii

variabili în timp

În realitate canalele radio au parametri ce variază în timp într-un mod aleator, deci funcțiile de sistem pot fi asociate unor procese aleatoare. Caracterizarea statistică completă a canalului necesită cunoașterea densității multidimensionale de probabilitate pentru funcțiile de canal, ceea ce este foarte dificil sau chiar imposibil de realizat din punct de vedere practic.

O aproximare suficient de bună a comportării canalului se poate obține folosind funcțiile de autocorelație, pentru cele 4 funcții de sistem, după cum urmează:

(2.43)

Cu acestea funcția de autocorelație a anvelopei complexe a semnalului la ieșirea canalului se poate determina folosind funcția de autocorelație pentru :

. (2.44)

2.2.1. Canalul staționar în sens larg (Wide Sense Stationary –

WSS- channels)

În multe cazuri funcțiile statistice ce caracterizează canalele reale au proprietatea de a fi lent variabile în spațiu și timp, ceea ce se traduce prin faptul că nu se modifică în intervale scurte de timp sau pe distanțe relativ mici. Canalele staționare în sens larg au proprietatea că funcțiile de corelație ce îl caracterizează nu depind decât de diferența dintre momentele de observare. Notând această diferență cu (=t1-t) se poate scrie:

(2.45)

Cum este transformata Fourier în raport cu variabila t a funcției , rezultă, în ipoteza de mai sus:

. (2.46)

Deci contribuțiile diferitelor reflectoare aflate pe calea de propagare sunt necorelate dacă produc deplasări Doppler diferite. În mod analog se poate scrie:

(2.47)

deci funcțiile de transfer (m=1,…,M) asociate filtrelor din figura 2.25 sunt independente pentru valori diferite ale parametrului m (deplasări Doppler diferite).

2.2.2. Canalul cu reflexii necorelate la întârzieri diferite

(Uncorrelate Scattering – US – channel)

Canalele US au proprietatea că efectele produse de obstacole ce determină întârzieri diferite sunt necorelate. În acest caz se poate scrie

(2.48)

unde reprezintă densitatea spectrală de putere, respectiv

(2.49)

Cele doua modele WSS si US sunt duale din punct de vedere al comportării în timp și, respectiv, în frecvență. Comportarea singulară relativ la întârzierile și 1 a funcțiilor Rh și Rs arată că, pentru un canal cu reflectoare independente, fiecare producând întârzieri și deplasări Doppler, amplitudinile reflexiilor produse de suprafețele reflectoare sunt necorelate dacă determină întârzieri diferite.

2.2.3. Canalul staționar în sens larg, cu reflexii necorelate la

întârzieri diferite (Wide Sense Stationary Uncorrelated

Scattering – WSSUS – channel)

Canalele WSSUS au proprietatea de a fi simultan WSS în raport cu timpul și US în raport cu întârzierile. Această aproximare este valabilă pentru majoritatea canalelor reale. În acest caz se poate scrie:

(2.50)

Interpretare:

canalul poate fi considerat staționar în sens larg (WSS) din punct de vedere al comportării în timp, respectiv cu reflexii necorelate la întârzieri diferite (US) din punct de vedere al comportării în frecvență – deci contribuțiile diferitelor reflectoare sunt necorelate dacă produc întârzieri diferite, iar statisticile aferente depind numai de diferența dintre momentele de observare;

canalul poate fi considerat ca fiind WSS din punct de vedere al comportării în frecvență, respectiv US din punct de vedere al deplasărilor Doppler – deci contribuțiile reflectoarelor sunt necorelate la deplasări Doppler diferite, iar statisticile aferente depind numai de diferența deplasărilor de frecvență;

canalul poate fi considerat ca fiind WSS atât din punct de vedere al comportării în timp cât și în frecvență;

canalul poate fi considerat ca fiind US atât relativ la întârzierile de timp cât și al deplasărilor Doppler – deci contribuțiile reflectoarelor sunt necorelate dacă produc întârzieri diferite sau deplasări Doppler diferite.

Relațiile dintre funcțiile de autocorelație în cazul canalului WSSUS sunt prezentate în figura 2.11.

Figura 2.11. Relațiile dintre funcțiile de autocorelație pentru canalul WSSUS.

3. MODELE DE PROPAGARE

Un sistem radio celular tipic este format din mai multe stații de bază (BS) plasate geografic astfel încât să nu fie afectate de reflectorii locali. Înălțimea și poziția antenei BS este afectată de existența reflectorilor locali. Într-un mediu macrocelular, antenele BS sunt de obicei situate mult deasupra terenului. De cele mai multe ori nu există legătură în vizibilitate directă (LOS) între antenele BS și antenele stației mobile (MS) din cauza obiectelor naturale sau artificiale aflate în imediata vecinătate a MS. Ca o consecință a reflexiilor, împrăștierilor și difracțiilor, mai multe unde plane ajung la stația mobilă din diferite direcții și cu diferite întârzieri ca în figura 3.1. Acest fenomen se numește propagare pe căi multiple. Undele plane ce sosesc din diferite direcții se combină vectorial la antena receptorului producând un semnal recepționat compus.

Figura 3.1. Propagare radio macrocelulară tipică

Lungimea de undă a purtătoarei folosite în aplicațiile radio mobile UHF este de 15-60 cm și de aceea orice schimbări ale întârzierilor în timpul deplasării stației mobile pot cauza mari schimbării în fază la ajungerea undelor plane. Undele care sosesc la stația mobilă în acest mod se pot combina într-un mod constructiv sau distructiv, ceea ce se manifestă în mari variații în amplitudine și fază a semnalului compus recepționat. Când stația mobilă se deplasează, variațiile spațiale ale anvelopei și fazei semnalului compus recepționat se manifestă ca variații în timp ale anvelopei, fenomen numit fading de anvelopă .

Canalele radio sunt reciproce în sensul că dacă există o cale de propagare, ea poartă energie egal în ambele direcții. Totuși, direcția de propagare a undelor plane incidente poate fi semnificativ diferită pe fiecare direcție. O stație mobilă într-un mediu macrocelular tipic este de obicei înconjurată de dispersori locali așa încât undele plane pot ajunge din mai multe direcții fără o componentă de propagare în vizibilitate directă. Într-un sistem macrocelular undele plane sosesc din toate direcțiile cu probabilități egale, astfel încât fenomenul de împrăștiere izotropică modelează foarte bine mediul radio din punctul de vedere al stației de bază. Totuși stația de bază este relativ independentă de dispersorii locali, așa că undele plane tind să ajungă dintr-o direcție dominantă cum se arată în figura 3.1. Aceste diferențe din mediul dispersiv pentru legăturile stație mobilă-stație de bază respectiv stație de bază-stație mobilă cauzează diferențe în corelația spațială a respectivelor anvelope.

Într-un mediu microcelular, antenele stației de bază sunt plasate deasupra dispersorilor locali. Uneori există o cale în vizibilitate directă între stația mobilă și stația de bază , în timp ce alteori nu există această vizibilitate directă, de aceea semnalul recepționat va fi afectat de fading. De obicei împrăștierea nu este izotropică astfel încât fadingului anvelopei este presupus a fi distribuit cu o distribuție de probabilitate Rice.

Fadingul multicale este uneori numit fading rapid pentru a fi deosebit de fenomenul de umbrire care se manifestă ca o variație lentă a mediei anvelopei pe o distanță corespunzătoare câtorva zeci de lungimi de undă. Observațiile experimentale au confirmat că fenomenul de umbrire are o distribuție de probabilitate log-normală atât în sistemele macrocelulare, cât și microcelulare. Studiile lui Okumura și Hata au arătat că modelul pierderilor pentru zone urbane, suburbane și rurale are o acuratețe până la 1 dB pentru distanțe de 1-20 km. De la aceste studii concentrate asupra sistemelor macrocelulare, cele mai recente au fost direcționate spre predicția pierderilor pentru microcelule.

3.1. Fading multicale neselectiv în frecvență

Stația mobilă se mișcă de-a lungul axei x cu viteza v. În aplicațiile mobile, semnalele transmise sunt de obicei polarizate vertical, de aceea vectorul câmp electric este aliniat cu axa z. Al n-lea front de undă ajunge la antena stației mobile sub un unghi de incidență .

y

a n-a undă

Mobil v x

Figura 3.2. O componentă a undei plane, incidentă pe receptorul

stației mobile

Mișcarea stației mobile introduce un salt Doppler sau salt de frecvență în planul de incidență al undei plane dată de:

(3.1)

unde

și λc este lungimea de undă a undei plane ce sosește.

Undele plane sosite din direcția de mișcare vor avea salt Doppler pozitiv, în timp ce undele ce vor sosi din direcția opusă mișcării vor avea salt Doppler negativ.

Se consideră transmisia semnalului trece-bandă:

(3.2)

unde u(t) este semnalul trece-jos complex și fc este frecvența purtătoare.

Dacă canalul este compus din N căi, atunci semnalul trece-bandă recepționată este:

(3.3)

unde r(t) este semnalul trece-jos complex recepționat și este dat de:

(3.4)

iar și sunt amplitudinea și întârzierea asociate căii n. Semnalul

complex trece-jos recepționat se poate rescrie:

(3.5)

unde:

(3.6)

este faza asociată căii n. Din relația (3.5) pentru r(t) canalul poate fi modelat de un filtru liniar variant în timp cu răspuns la un impuls trece-jos complex:

(3.7)

unde c(,t) este răspunsul canalului la momentul t la un impuls aplicat la momentul (t-) și (.) este funcția Dirac. Din relațiile (3.5) și (3.6) pentru r(t) și (t) se pot face o serie de observații. Deoarece funcția poate avea valoare foarte mare, orice mică schimbare a întârzierii căii cauzează o schimbare semnificativă a fazei . În orice moment t această fază aleatoare poate determina o sumare constuctivă sau distructivă a componentelor. Amplitudinea depinde de lungimea suprafeței de difracție a celui de-al n-lea dispersor local. Totuși acestea nu se modifică semnificativ pe distanțe spațiale mici. De aceea fadingul este datorat în primul rând variațiilor în timp ale fazelor cauzate de salturile Doppler.

Uneori canalul este caracterizat de o legătură în vizibilitate directă sau de o componentă reflectată de la un dispersor local fix. În acest caz, amplitudinea este semnificativ mai mare decât celelalte .

3.2. Corelarea și spectrul semnalului recepționat

Este evident că frecvențele diferitelor componente ale semnalului vor fi afectate diferit de canalul cu fading multicale. Totuși pentru semnale de bandă îngustă (unde banda semnalului este foarte mică comparativ cu frecvența purtătoare) este suficient determinarea caracteristicilor semnalului recepționat complex trece-jos, considerând transmisiunea cu purtătoare nemodulată (model în banda de bază). Pentru o purtătoare nemodulată semnalul trece-jos complex recepționat este:

(3.8)

Semnalul trece-bandă recepționat poate fi exprimat în cuadratură:

(3.9)

unde

(3.10)

(3.11)

și .

Pentru N mare poate fi folosită teorema limită centrală care spune că suma unui număr mare de variabile aleatoare are o rezultantă cu o distribuție Gaussiană de medie nulă. Componentele în cuadratură de mai sus pot fi tratate ca procese aleatoare gaussiene independente. Presupunând că procesele aleatoare sunt staționare în sens larg (și ) și presupunând că x(t) este staționar în sens larg, funcția de autocorelația semnalului x(t) este:

(3.12)

Funcția de intercorelație între componentele în fază și în cuadratură are următoarele proprietăti:

(3.13)

(3.14)

Se poate presupune că fazele și sunt independente pentru n diferit de m, deoarece întârzierile asociate și salturile Doppler sunt independente. Mai mult, fazele pot fi presupuse uniform distibuite pe [-,], din moment ce >>1. Utilizând aceste proprietăți se poate obține autocorelația:

(3.15)

unde

(3.16)

este puterea totală recepționată de la toate componentele multicăii. Tot așa se obține și:

. (3.17)

Evaluarea mediilor în relațiile de mai sus necesită specificarea funcției densitate de probabilitate pentru unghiul de incidență al undelor plane ce sosesc, p(). Pentru aplicațiile macrocelulare se poate presupune că undele plane ajung la antena stației mobile din toate direcțiile în planul (x,y) cu probabilități egale, este uniform distribuit pe [-,]. Acest model a fost sugerat prima dată de Clarke și este cunoscut ca modelul bidimensional al dispersiei izotropice a lui Clarke. Cu dispersie izotropică devine:

(3.18)

unde este funcția Bessel de speța 1 de ordinul 0. Datorită dispersiei izotropice funcția este:

. (3.19)

În figura 3 este reprezentată funcția de corelație normată în funcție de întârzierea normată .

Figura 3.3. Autocorelația componentelor în fază și cuadratură

Densitatea spectrală de putere a componentelor și este transformata Fourier a funcției de corelație sau :

(3.20)

Funcția de autocorelație a semnalului trece-bandă complex recepționat este:

. (3.21)

Din relația (3.12) avem că:

. (3.22)

Deoarece rezultă că densitatea spectrală de putere a formei de undă x(t) este:

. (3.23)

Dacă considerăm că rezultă:

. (3.24)

unde este dat de relația (3.20).

Densitatea spectrală de putere poate fi obținută folosind o abordare diferită. Cu cât , cu atât puterea incidentă pe antena receptorului, ca funcție de unghiul de incidență , se apropie de o distribuție continuă, indicată de p(). Fracțiunea din puterea totală ce ajunge între și +d este p()d. Dacă antena are câștigul G() la unghiul , atunci puterea corespunzătoare recepționată este G()p()d. De aceea densitatea spectrală de putere a semnalului recepționat se poate exprima:

. (3.25)

Frecvența undei plane incidente ce vine sub un unghi este:

(3.26)

unde este saltul Doppler maxim și atunci rezultă că:

. (3.27)

De aceea densitatea spectrală poate fi scrisă:

(3.28)

unde

. (3.29)

Dacă se folosește o antenă monopol verticală câștigul este G()=3/2. Presupunând că este uniform distribuit între – și și că p()=1/2 rezultă:

(3.30)

Dacă este folosită o antenă mai complicată sau dacă dispersia nu este izotropică se folosește relația (3.28) pentru aflarea densității spectrale de putere și autocorelația semnalului trece-bandă recepționat. În figura 3.4 este reprezentată densitatea spectrală de putere normată în funcție de diferența de frecvență normată . De notat că este limitată la domeniul de frecvență sau la de două ori maximul frecvenței Doppler și la frecvențele .

În realitate densitatea spectrală de putere nu va tinde la infinit pentru că în realitate undele plane nu se propagă într-un plan bidimensional ci propagarea se face în spațiu tridimensional. Aulin a modificat modelul lui Clarke pentru a include propagarea tridimensională. Densitatea spetrală obținută de Aulin este similară cu cea din figura 3.4, cu excepția că rămâne finită la.

Figura 3.4. Densitatea spectrală de putere a semnalului trece-bandă

recepționat pentru un canal cu dispersie izotropică

În multe cazuri poate exista o cale în vizibilitate directă sau o componentă reflectată dominantă în semnalul recepționat. De exemplu se poate considera mediul dispersiv din figura 3.5, unde calea în vizibilitate directă sau componenta reflectată ajunge sub un unghi , în rest dispersia fiind izotropică. Folosind relația (3.28) densitatea spectrală de putere are forma :

(3.31)

0

MS direcția de mișcare

Figura 3.5 Unde plane cu dispersie izotropică plus o componentă

reflectată sosind sub unghiul 0

Parametrul K este numit factor Rice și este definit ca raportul dintre componentele reflectate și componentele dispersate ale semnalului recepționat. Densitatea spectrală de putere din relația (3.31) este aceeași cu cea din figura 3.4 cu excepția unui ton discret la .

Funcțiile de autocorelație corespunzătoare relației (3.31) se pot obține sub forma:

(3.32)

(3.33)

Pentru microcelulele amplasate în zone urbane dense, undele plane pot fi canalizate (ghidate) de clădirile care se află de-a lungul străzilor și ajung la antena receptorului dintr-o singură direcție, ca în figura 3.6.

Stație

de bază

Figura 3.6. Mediu de propagare microcelular urban caracterizat

de dispersie unidirecțională

În acest caz împrăștiera nu este izotropică. Se pot folosi o varietate de modele pentru distribuția undelor plane ce ajung la receptor. Una dintre aceste distribuții este:

(3.34)

Parametrul determină directivitatea undelor incidente. Dacă se presupune că antena este omnidirecțională, atunci densitatea spectrală de putere a semnalului trece-bandă recepționat poate fi obținută rapid prin înlocuirea lui p() din relația (3.34) în relația (3.28). În acest fel funcția de autocorelați și funcția de corelație pot fi obținute prin evaluarea relațiilor (3.15) și (3.17) cu densitatea spectrală de putere din relația (3.36).

3.3 Distribuția anvelopei și fazei recepționate

3.3.1 Fadingul Rayleigh

În cazul în care semnalul recepționat este format dintr-un număr mare de unde plane, semnalul trece-jos complex poate fi modelat ca un proces aleator complex gaussian. În absența componentei în vizibilitate directă (LOS) sau componentei reflectate, și au valoarea 0. Anvelopa complexă recepționată are o distribuție Rayleigh cu funcția densitate de probabilitate dată de:

(3.35)

Pentru o anvelopă cu distribuție Rayleigh, puterea medie este:

(3.36)

Acest tip de fading se numește fading Rayleigh și este adecvat observațiilor experimentale pentru aplicațiile macrocelulare. Fadingul Rayleigh se aplică oricărui scenariu în care nu există cale în vizibilitate directă între antena emițătorului și antena receptorului. Folosind o transformare a variabilelor aleatoare, anvelopa pătratică a semnalului este distribuită exponențial cu densitatea:

(3.37)

3.3.2 Fadingul Nakagami

Distribuția Nakagami a fost introdusă în anii ’40 pentru a caracteriza fadingul rapid în canalele de distanță mare în HF [18]. Distribuția a fost selectată pentru a modela datele experimentale. Această aproximare este mai bună decât în cazul distribuțiilor Rayleigh, Rice sau lognormală [19].

Distribuția Nakagami descrie anvelopa recepționată z(t) cu distribuția:

. (3.38)

În figura 3.7 este reprezentată distribuția Nakagami pentru câteva valori ale lui m.

Figura 3.7. Distribuția Nakagami cu Ωp=1.

Distribuția Nakagami este des folosită pentru modelarea fadingului multicale din următoarele motive:

Distribuția Nakagami poate modela condițiile fadingului care sunt mai mult sau mai puțin severe decât la fadingul Rayleigh.

Dacă m=1 distribuția Nakagami devine distribuție Rayleigh, dacă m=1/2 devine o singură parte a distribuției Gauss, iar dacă distribuția devine un impuls (fără fading).

Distribuția Rice (care are semnificație fizică) poate fi bine aproximată folosind următoarele relații între factorul Rice, K și parametrul Nakagami, m:

(3.39)

. (3.40)

Deoarece distribuția Rice conține o funcție Bessel, iar distribuția Nakagami nu, aceasta din urmă conduce la rezultate mai apropiate de cele ale experimentelor.

Folosind o transformare a variabilelor aleatoare, pătratul anvelopei are densitatea Gamma:

. (3.41)

Fading cu distribuție lognormală

Definiția matematică a variabilei aleatoare Y este dată de formula:

(3.42)

unde x este o variabilă aleatoare Gaussiană,

x=G(m, ) (3.43)

De fapt, când o variabilă aleatoare Gaussiană este exponentul oricărei constante cum ar fi “e”, variabila aleatoare rezultată este denumită variabilă aleatoare lognormală.Dacă logaritmăm ambii termeni ai relației Y= se obține lnY=x, acest rezultat fiind variabila aleatoare Gaussiană.

Sunt câteva motive importante pe care le vom descrie despre proprietățile statistice in cazul variabilei aleatoare lognormală.

Zgomotul Gaussian este mereu prezent in orice receptor de comunicații. În unele situații cum ar fi la frecvențele purtatoare VLF și LF zgomotul atmosferic extern receptorului poate fi avut in vedere, care este o anvelopă cu distribuție lognarmală. În sistemele de comunicații mobile, celulare și PCS, folosite in benzile VHF si UHF, zgomotul atmosferic este nesemnificativ, dar în acest caz este un alt motiv de a considera o distribuție lognormală.

Caracteristicile pierderilor de propagare măsurate la recepție în unitați logaritmice (dB) ca o variantă aleatoare Gaussiană:

(dB)+ ,) (dB) (3.44)

unde

este valoarea medie a distribuției pierderilor de propagare

este deviația standard care poate varia in intervalul (8,10)dB

Acest model empiric continua a fi un suport in atâtea canale reale precum canalele mobile fară fir.

Deoarece expresia (dB)+ poate fi scrisă precum expresia (dB)+, unde X reprezintă o variabilă aleatoare de medie zero si variantă unitate, atunci pierderea este o variabilă aleatoare notata unde:

(3.45)

unde este o variabilă aleatoare lognormală

Pierderea de propagare se întelege a fi o variabilă aleatoare lognormală. Variația lui este datorată mai multor factori, incluzând prezența sau absența obstacolelor pe direcția de propagare care pot umbri receptorul. Termenul umbrire se refera la faptul ca înalțimile sau alte obstacole pot bloca semnalul radio, mai mult decât o poate face lumina provenită de la soare.

Variabila aleatoare gaussiană X de medie zero și variantă unitate poate varia între , în gama -3<X<3. De asemenea peste 90% din variația pierderii de propagare este între 3, sau:

-33 cu probabilitatea >0.99

3.3.3.1. Funcția densitate de probabilitate a variabilei aleatoare lognormală

Funcția densitate de probabilitate a variabilei aleatoare x de medie zero si variantă unitate este o funcție de forma:

, – (3.46)

Si valoarea medie a lui x este :

Definim variabila lognormală V ca fiind:

(3.47)

unde (3.48)

Atunci funcția distribuției cumulative pentru V este:

(3.49a)

= (3.49b)

(3.49c)

(3.49d)

Funcția densitate de probabilitate lognormală are graficul in figura 3.8

Figura 3.8. Funcția densitate de probabilitate lognormală

Valoarea mediană a lui V este pentru orice valoare a lui si aceste moduri (cele mai favorabile valori) sunt găsite prin diferențierea funcției densitate de probabilitate pentru .

In graficul din figura 3.8 sunt aratate probabilitățile funcției densitate lognormale pentru diferite valori ale lui ; de notat că valoarea medie pentru 50% din suprafața ariei în care funcția densitate de probabilitate se întinde la stanga și la dreapta este întotdeauna egala cu 1, indiferent de valoarea lui . Deoarece V are valoerea mediană 1, valoarea mediană a pierderilor este . Funcția densitate de probabilitete pentru a fost gasită ca fiind:

(3.50)

3.3.3.2. Momentele variabilei aleatoare lognormale

Momentele pierderii de propagare a variabilei aleatoare sunt cel mai convenabil găsite prin scrierea pierderii precum:

(3.51)

unde este valoarea medie a pierderii in dB ,

X este variabila aleatoare Gausssiană de medie zero și variantă unitate .

Atunci momentul de ordin k al pierderilor este :

(3.52a)

(3.52b)

unde este momentul funcției generate pentru variabila aleatoare X.

In acest context momentele pierderilor de propagare sunt:

(3.53)

De exemplu media patratică si variația pierderii sunt:

(3.54)

(3.55)

(3.56)

3.4 Funcția de autocorelație și spectrul anvelopei

Funcția de autocorelație a anvelopei a procesului aleator complex gaussian poate fi exprimată cu ajutorul funcției F[..,..;..,..] :

; (3.57)

astfel:

(3.58)

unde

. (3.59)

Neglijând termenii de la ordinul 2 încolo, aproximarea devine:

. (3.60)

La =0 această aproximare dă , iar valoarea reală este. Totuși eroarea relativă în putere a semnalului este doar de 1,86%, ceea ce ne face să credem că aproximarea este bună.

Densitatea spectrală de putere a anvelopei recepționate poate fi obținută folosind transformata Fourier a lui . În general densitatea spectrală de putere include componente discrete și componente continue. Componentele de curent continuu ale anvelopei semnalului recepționat sunt cele care determină apariția componentelor spectrale discrete. Din punct de vedere al semnalului util (informație) prezintă interes numai partea continuă a densității spectrale de putere.

Funcția de autocorelație a anvelopei z(t) este:

(3.61)

Dacă dispersia este izotropică atunci

deci

(3.62)

În figura 3.10 este reprezentată anvelopa normată a funcției de autocorelație, funcție de întârzierea normată pentru cazul dispersiei izotropice. Transformata Fourier a lui zz() poate fi calculată folosind faptul că

(3.63)

și

(3.64)

rezultând:

(3.65)

Figura 3.9. Anvelopa funcției de autocorelație pentru un canal

dispersiv izotropic

Este de remarcat faptul că Szz(f) este întotdeauna real pozitiv, centrat pe f=0 cu o lărgime spectrală de 4fm, unde fm este frecvența Doppler maximă. Pentru a continua, trebuie să specificăm Srr(f) în ipoteza dispersiei izotropice de pentru care:

unde este dată de relația (3.20).

Din relația (3.65) se obține:

(3.66)

unde funcția K(.) este definită de:

(3.67)

Figura 3.10. Anvelopa dsp funcție de frecvența f / fm pentru un canal

dispersiv izotropic

Densitatea spectrală de putere normată este reprezentată în figura 3.10 în funcție de frecvența normată. Densitatea spectrală de putere pentru anvelopa complexă a unui canal dispersiv neizotropic poate fi obținută cu câteva modificări aduse dezvoltării de mai sus. Spre exemplu considerând mediul dispersiv din figura 3.5, densitatea spectrală de putere pentru r(t) poate fi obținută din relațiile (3.21), (3.32) și (3.33) ca fiind:

(3.68)

cu , unde K este factorul Rice.

Se poate observa că densitatea spectrală a formei de undă complexă trece-jos r(t) este asimetrică. Pentru obținerea densitatății spectrale de putere a anvelopei complexe z(t) înlocuim relația (3.53) în relația (3.52) și rezultă:

(3.69)

unde este dată de relația (3.20).

3.5. Spectrul și funcția de autocorelație a anvelopei pătratice

În unele cazuri ne interesează anvelopa pătratică:

De exemplu puterea instantanee a semnalului recepționat este proporțională cu aceasta. Funcția de autocorelație a anvelopei complexe este:

. (3.70)

Deoarece atunci:

(3.71)

Mai întâi se consideră cazul în care mediul de propagare este caracterizat de împrăștiere difuză, așa că rI(t) și rQ(t) au media nulă și atunci:

(3.72)

Funcția de autocorelație a anvelopei complexe este:

(3.73)

Dacă împrăștierea este izotropică atunci expresia de mai sus se reduce la:

(3.74)

Comparând relațiile (3.49) și (3.59), se observă că funcția de autocorelație și densitatea spectrală de putere obținute cu aproximarea de mai sus sunt identice cu cele exacte cu excepția unei constante multiplicative.

Dacă mediul de propagare este caracterizat de existența componentelor reflectate sau în vizibilitate directă (fading Rice) atunci rI și rQ au media nenulă și funcția de autocorelație a anvelopei complexe are o formă mult mai complicată. Pentru fadingul Rice, Aulin a arătat că:

(3.75)

unde s2 este puterea componentei reflectate, iar 0 este unghiul pe care componenta reflectată îl face cu direcția de mișcare a stației mobile. Pentru mediul dispersiv reprezentat în figura 3.5, din relația (3.71) este dată de relația (3.18) și atunci:

(3.76)

unde K este factorul Rice. Anvelopa pătratică normată a funcției de autocorelație corespunzătoare:

(3.77)

este reprezentată în figura 3.11 în funcție de întârzierea normată fm, pentru unele valori ale lui K și 0.

Figura 3.11. Funcția de autocorelație a anvelopei pătratice

4.MODELE DE SIMULARE ȘI REZULTATE

4.1 Simularea comportării sistemului BPSK – DS – SS

Pentru analiza comportării sistemului BPSK – DS – SS în prezența zgomotului și a fadingului se realizează o simulare cu ajutorul programului Matlab 5.2. Schema bloc a sistemului este prezentată în figura 4.1.

Figura 4.1

Modulatorul BPSK – DS – SS

Modelul modulatorului BPSK – DS – SS folosit la simulare este prezentat în figura 4.2. Modulatorul realizează două modulații: o modulare a semnalului de date cu o purtătoare sinusoidală și o modulație folosind codul de împrăștiere. Acesta are o intrare pentru date și trei ieșiri la care sunt generate semnalele: semnalul BPSK – DS – SS (anexa 2), codul de împrăștiere(anexa 3) și purtătoarea care vor fi folosite pentru demodularea a semnalului. Semnalul BPSK este reprezentat în anexa 1.

Figura 4.2

Demodulatorul

Demodulatorul are trei intrări: o intrare pentru semnalul recepționat, o intrare pentru semnalul cod și o intrare pentru purtătoare. Filtrul folosit este un filtru trece – jos Butterworth de ordinul 20. Schema demodulatorului folosit este prezentată în figura 4.3.

Figura 4.3.

Canalul radio afectat de fading multicale cu distribuție Rayleigh

Simularea canalului cu fading Rayleigh s-a făcut ținând cont de faptul că semnalul recepționat este format dintr-un număr mare de unde plane și că nu există componentă dominantă (în vizibilitate directă sau reflectată). Acest tip de fading este adecvat în general aplicațiilor macrocelulare. Undele plane ce formează semnalul au atenuări și defazaje diferite. Pentru simulare s-au ales două cazuri:

Semnal format din 9 unde plane;

Semnal format din 15 unde plane.

Schemele celor două canale sunt prezentate în figurile 4.4 și 4.5., iar semnalul este reprezentat în anexa 3.

Figura 4.4. Canal cu 9 căi

Figura 4.5. Canal cu 15 căi

4.2 Rezultatele simulării

Scopul acestei simulări este determinarea variației ratei erorilor la recepție pentru un semnal de tip BPSK – DS – SS afectat de zgomot și de fading.

Pentru simulare comportării sistemului în prezența zgomotului și a fadingului Rayleigh, semnalul de date are frecvența de fd= 2 Hz, frecvența codului de împrăștiere este de fc=20Hz, rezultând un factor de împrăștiere N=10, iar frecvența purtătoare ia trei valori: 200 Hz, 250 Hz și 300 Hz. Aceste valori au fost alese astfel încât simularea să poată fi realizată folosind programul Matlab Simulink. Simularea canalului cu fading Rayleigh cu 9 căi s-a realizat menținând constantă media întârzierilor de 0,0119s și variind media câștigurilor componentelor pentru diferite frecvențe purtătoare. Rezultatele au fost trecute în tabelul 4.1.

Tabelul 4.1. Rata erorilor în cazul canalului cu fading Rayleigh cu 9 căi

După cum se poate observa rata erorilor în acest caz scade odată cu creșterea mediei câștigurilor componetelor ce formează semnalul recepționat. Din analiza acestor date nu putem spune dacă rata erorilor scade și odată cu creșterea frecvenței purtătoare sau odată cu creșterea numărului de simboluri recepționate.

Pentru canalul cu 15 căi afectate de fading Rayleigh simularea se realizează în aceleași condiții ca cele de mai sus cu modificarea frecvențelor purtătoare la 200Hz, 300Hz și 400Hz. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul 4.2.

Tabelul 4.2. Rata erorilor în cazul canalului cu fading Rayleigh cu 15 căi

Și în acest caz rata erorilor scade odată cu creștera mediei câștigurilor componentelor. Pentru cazul în care media câștigurilor este de 0,026 se poate observa o scădere a ratei erorilor odată cu creșterea frecvenței.

Comparând datele obținute în urma acestor simulări se observă că rata erorilor scade dacă numărul de componente din canal, care formează semnalul recepționat, crește.

Analizând datele rezultate în urma simulării se pot trage următoarele concluzii:

În cazul fadingului cu distribuție Rayleigh rata erorilor scade odată cu creșterea câștigurilor componentelor ce formează semnalul la recepție, în ipoteza că media întârzierilor rămâne constantă;

Dacă numărul componentelor ce se compun pentru obținerea semnalului la recepție crește, dar media întârzierilor lor rămâne constantă, atunci rata erorilor scade;

Bibliografie

S. Halunga, O. Fratu, “Sisteme cu spectru împrăștiat de tip secvență directă”, Ed. Academiei Tehnice Militare, București 2001

G. Cooper, C. McGillen, “Modern comunications and spread spectrum”, McGraw Hill, 1986

J. K. Holmes, “Coherent spread spectrum systems”, Wiley, New York, 1982

R. Dixon, “Spread spectrum systems with commercial applications”, Wiley, 1994

W. C. Linsday, M. K. Simon, “Telecomunication systems engineering”, Englewood Cliffs, N. J., Prentice Hall, 1973

M. K. Simon, J. K. Omura, R. Scholtz, B. K. Levitt, “Spread spectrum communications handbook”, McGraw Hill, N. Y., 1994

S. Halunga, O. Fratu, D. Vizireanu, “Sisteme de comunicație cu acces multiplu cu diviziune în cod”, ETF, București, 2000

I. Marghescu, S. V. Nicolaescu, N. Coțanis, “Comunicații mobile terestre”, Ed. Tehnică, București, 1997

J. D. Parsons, “The mobile radio propagation channel”, Pentech Press, London, 1992

R. E. Collin, “Antennas and radiowave propagation”, McGraw Hill, N. Y., 1985

J. G. Proakis, “Digital communications”, McGraw Hill, 1995

T. S. Rappaport, “Wireless communications – Principles and Practice”, Prentice Hall, 1996

W. C. Y. Lee, “Mobile communications engineering”, McGraw Hill,1982

W. C. Y. Lee, “Mobile communications design fundamentals”, Howard W. Sams., Indianapolis, 1986

Anexa 1

Spectrul semnalului BPSK

Anexa 2

Spectrul semnalului BPSK – DS – SS

Anexa 3

Spectrul semnalului afectat de fading Rayleigh