Determinarea Parametrilor de Functionare Ai Electromagnetilor Prin Metode Numerice

Drept

Determinarea Parametrilor de Functionare Ai Electromagnetilor Prin Metode Numerice

Byadmin ianuarie 1, 2024

Determinarea parametrilor de functionare ai electromagnetilor prin metode numerice

CUPRINS

INTRODUCERE

Metoda elementului finit introdusă la început pentru studiul aplicațiilor de rezistența materialelor, de către Zienkiewicz la începutul anilor 50, este azi principalul instrument de analiză al câmpurilor electromagnetice pe cale numerică, având avantajul implementării relativ ușoare pe calculatoare, precizia ei fiind limitată doar de performanțele mașinilor de calcul.

Aplicabilitatea metodei la simularea comportării electromagneților este foarte dezvoltată datorită posibilității calculului forțelor dezvoltate asupra armăturii mobile, în medii neliniare.

Simularea prin metoda elementelor finite este mult mai sigură, ieftină, pentru testarea unor prototipuri sau verificarea calculelor de proiectare.

Lucrarea de față iși propune să analizeze posibilitățile de calcul a câmpurilor electromagnetice pentru trei tipuri de electromagneti, tip plonjon, tip “C” și cu rotor profilat.

Studiul s-a realizat cu utilitarul Finite Element Method Magnetics FEMM 4.1, un pachet de softuri, gratuit, scris de David Meeker, fiind accesibil de pe pagina web: http//members.aol.com/_ht_a/gmagnetics/ .

(FEMM) este un pachet de soft utilizabil pentru aplicații bidimensionale ale sistemelor electromagnetice, inclusiv pentru sisteme dinamice (cu câmpuri de frecvență constantă sau variații de curenți) [10]

Cuprinde trei programe:

1. Procesorul (femm.exe): acesta este un program CAD care servește la definirea geometriei problemei de rezolvat, a proprietăților de materiale și a condițiilor de frontieră;

2. Solverul (f kern.exe): folosește un pachet de fișiere de data care descriu problema si rezolva ecuațiile de baza Maxwell, pentru a obține valori pentru câmpul magnetic din domeniul de soluții.

3. Postprocesorul (femmview.exe): fiind un program grafic este capabil să redea liniile câmpurilor rezolvate sub forma de linii de contur și densitate. Cu acest program se poate, deasemenea, vedea anumite caracteristici ale câmpului, in puncte arbitrar alese, se mai poate evalua un număr de integrale diferite și a reda cantități variabile care ne interesează de-a lungul curbei sau în punctele date de utilizator.

În funcție de cerințe se pot utiliza alte două programe adiționale:

triangle. exe; program care divide geometria problemei într-un număr finit de elemente geometrice – în cazul nostru în triunghiuri.

femmplot. exe; acest program este folosit pentru a reda diverse curbe bidimensionale

I. ELECTROMAGNEȚI

Aspectr generale

Magnetul temporar a cărui acțiune, de atragere sau de eliberare a unei armături feromagnetice, este determinată de prezența curentului electric într-un circuit de excitație se numeste electromagnet [1].

Din punct de vedere constructiv un electromagnet este format dintr-o armătură fixă (miez de fier) pe care se găsește o bobină și armătura mobilă situată la o anumită distanță de armătura fixă. Spațiul dintre cele două armături poartă denumirea de întrefier.

Trecerea unui curent electric prin bobină dă naștere unui flux magnetic Φ care duce la atragerea armăturii fixe spre armătura mobilă.

Cele douî armături sunt realizate din oțel moale sau din aliaje ale fierului cu alte metale cu proprietăți magnetice cum ar fi nichelul și cobaltul.

Circuitul magnetic este format din piesele feromagnetice și întrefierul δ străbătute de fluxul magnetic.

fig. 1 Electromagnet

Starea circuitului magnetic este caracterizată de următoarele mărimi:

forța magnetomotoare F = N I, unde N este numărul de spire al bobinei și I curentul prin bobină. Unitatea de măsură a forței magnetomotoare este amperul (A);

fluxul magnetic Φ, având ca unitate de măsură Weberul (Wb);

inducția magnetică este dată de relația:

B=Φ/S

în care S este secțiunea circuitului magnetic perpendiculară pe fluxul 1I.

intensitatea câmpului magnetic- unitară este amper/ metru

μ – permeabilitatea magnetică absolută, o caracteristică a materialelor

μr – permeabilitatea relativă în raport cu cea a vidului

μ0 – permeabilitatea magnetică a vidului (egală cu cea a aerului)

Forța de atracție a unui electromagnet este dată de formula lui Maxwell, formula asupra căreia vom revenii în capitolele următoare, este:

F = 0,4 B2S 106 [N]

Pentru un electromagnet dat forța depinde de mărimea întrefierului, deoarece mărimea fluxului magnetic depinde de mărimea întrefierului.

1.2. Domenii de utilizare. Clasificare

Electromagneții sunt dispozitive care sunt larg utilizate în construcția aparatelor electrice de comutație, cât și a unor servomecanisme servind la ridicare și transport, la realizarea cuplelor electromagnetice, la fixarea pe mașini – unelte a unor piese care suferă prelucrări. În construcția aparatelor electrice de comutație, electromagneții sunt utilizați ca organ motor în construcția contactoarelor, ruptoarelor, releelor, declanșatoarelor, întreruptoarelor, servind la stabilirea sau întreruperea mecanică a unor contacte mod direct sau prin intermediul unui percutor, care eliberează energia unui resort deformat în prealabil. De asemenea, electromagneții pot intra în construcția electrovalvelor, destinate a dirija circulația de aer comprimat sau în ulei în dispozitivele de acționare ale aparatelor electrice [2],[3],[4].

Clasificarea electromagneților poate fi făcută după mai multe criterii, și anume:

După modul de lucru:

Electromagneți de atragere, la care o armătură este atrasă dacă se excită bobina

Electromagneți de reținere, la care armătura este eliberată (respinsă) dacă se excită o bobină de comandă.

După forma constructivă: de tip plonjor, la care armătura mobilă execută o mișcare de translație în axa bobinei de excitație, cu armătura executând o mișcare de translație sau rotație, armătura fixă având forma de I, U, E, manta.

După felul curentului de excitație:

Electromagneți de curent continuu (neutrii și polarizați);

Electromagneți de curent alternativ (mono și trifazați);

După durata de exploatare:

Exploatare de durată continuă;

Exploatare intermitentă;

Exploatare pe timp limitat;

După rapiditatea de acționare:

a. Electromagneți cu acționare rapidă (0,003-0,004 s);

b. Electromagneți cu acționare normală;

c. Electromagneți cu acționare întârziată (>0,03 s);

Electromagneți de curent continuu

Bobinele electromagneților se realizează din sârmă de cupru (rar de aluminiu) emailată, spirele trebuind să fie bine fixate între ele, pentru a nu se mișca la șocul armăturii mobile pe cea fixă. În general, bobinele de curent continuu au spire mai multe decât cele de curent alternative, iar curentul absorbit este constant, independent de mărimea intrefierului.

La electromagneții de curent continuu înfășurarea de excitație este parcursă de curent continuu, iar miezul magnetic se realizează, în general, masiv, din oțel carbon. În unele situații în care se cere un timp redus de acționare, miezul magnetic se lamelează, adică se realizează din tole [1], [5].

Întreținerea electromagneților necesită o întreținere simplă. Trebuie controlată periodic numai starea curățeniei suprafeței polare pe care se poate depune praf, pilitură etc. Aceasta se șterge cu un solvent și se face remontarea.

1.3. Metode generale de calcul

A. Metode analitice

Pentru configurații mai simple calculul câmpurilor magnetice se poate face prin așa zisa metoda elementară cu ajutorul legii circuitului, sau prin metoda imaginilor magnetice, în raport cu suprafețele de discontinuitate a parametrilor de material, [11].

B. Metode numerice

Se aplică la configurații mult mai complicate. Pentru acestea s-a dezvoltat o serie de metode cu caracter general, care prin particularizare cu datele problemei, oferă soluții în orice punct al domeniului studiat, sub forma unei funcții continue pe aceasta, fie oferă soluții în puncte caracteristice ale domeniului sub forma unei mulțimi de valori.

Metode analitice:

Cele mai des utilizate:

metoda funcțiilor analitice

metoda reprezentării conforme

metoda separării variabilelor.

Metodele numerice:

Cele mai des utilizate

metoda diferențelor finite

metoda elementelor finite.

Metoda diferențelor finite

Aceasta constă în aproximarea ecuațiilor cu derivate parțiale Laplace și Poisson (în cazul problemelor de câmp) satisfăcute de potențialul scalar sau vector al unui câmp oarecare, prin ecuații cu diferențe finite. Aceasta oferă valorile funcției potențiale necunoscute în puncte discrete (noduri) obținute prin intersecția curbelor unei rețele de discretizare a domeniului studiat cu precizii corespunzătoare pentru aplicațiile tehnice. Discretizarea domeniilor se face prin rețele bidimensionale sau tridimensionale în funcție de configurația de studiat. În cazul rețelelor plane acestea pot fi triunghiulare, pătratice, dreptunghiulare, etc.

Metoda elementelor finite

Este o metodă numerică bazată pe aplicarea unor principii variaționale de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale. Formularea variaționala a rezolvării ecuației cu derivate parțiale pe care o satisface o funcție Vm constă în asocierea unei funcționale J(Vm) egală cu integrala definită extinsă asupra domeniului, integrandul fiind o formă pătratică în raport cu funcția Vm, derivatele acesteia în coordonatele domeniului. Expresia funcționalei se stabilește astfel încât anularea variației *J=0, conduce la satisfacerea de către V a ecuației cu derivate parțiale (în cazul câmpurilor electromagnetice, ecuații de tip Poisson sau Laplace), în acord cu condițiile la limită impuse. Metoda este aplicată ecuațiilor ce se presupune imposibil de rezolvat analitic exact, se determină o aproximare a soluției ca o combinație liniară de funcții triale, iar coeficientul de pondere se determină prin minimizarea funcționalei. Se consideră o ecuație Poisson într-un domeniu plan:

În care φ(x,y) este funcția scalara necunoscuta si F (x,y) având condiții pe frontiera domeniului, mixte, atât Dirichlet cât si Newmann se demonstrează ca funcționala asociata are forma

unde n este normala la curba S ce mărginește domeniul.

Particularizând pentru câmpuri magnetostatice plan paralele în medii liniare, izotrope, omogene pe porțiuni și fără magnetizație permanentă, câmpuri determinate de ecuații tip Laplace funcționala J va lua forma:

Dacă acestei ecuații i se asociază condiții pe frontiera tip Dirichlet: și asociind ecuației în condiții tip Newmann pe frontiera Sn (de normala n=) a frontierei.

Având in vedere cele spuse mai sus, soluția problemei este Vm ce realizează anularea variației ∂J/∂Vm și verifică condițiile pe frontiera tip Dirichlet, condițiile tip Newmann și cele de trecere la suprafețele de discontinuitate între elemente fiind satisfăcute automat în procesul de staționalizare al funcționalei, reprezentând condiții la limite naturale.

În cazul câmpurilor magnetostatice bidimensionale plan paralele, funcționala energetică J(Vm) se poate exprima în funcție de scalarul A ce este modulul vectorului potențial magnetic A ca:

Minimizarea acesteia comportând aceleași etape ca o funcție de potențial magnetic scalar Vm.

II. ELECTRODINAMICA

2.1 Legea circuitului magnetic

Legea circuitului magnetic se referă la integrala de linie a intensității câmpului magnetic de-a lungul unei curbe închise (). Această integrală se mai numește și tensiune magnetomotoare, . Integrala de linie a intensității câmpului magnetic între două puncte se numește tensiune magnetică . Curentul de conducție total care străbate o suprafață deschisă se numește și solenație (), [6], [7].

Legea circuitului magnetic în formă integrală se enunță astfel: integrala de linie a intensității câmpului magnetic de-a lungul unei curbe închise oarecare (tensiunea magnetomotoare) este egală cu suma dintre intensitatea curentului electric de conducție total (solenația) care străbate orice suprafață deschisă limitată de curba și derivata în raport cu timpul a fluxului electric prin aceeași suprafață. Deci

,

, (2.1)

Curba închisă poate fi aleasă arbitrar. Ea poate să coincidă sau nu cu o linie de câmp; această curbă poate trece prin medii omogene sau neomogene.

În cazul corpurilor în repaus, variația fluxului electric datorându-se numai variației locale a inducției electrice, relația de mai sus (2.1) se poate scrie și sub forma .

(2.2)

Termenul care intervine în partea dreaptă a relației de mai sus se numește curent de deplasare (). Legea circuitului magnetic relevă faptul important că în afară de curentul electric de conducție, în regim variabil există și o altă realitate fizică care produce câmp magnetic și anume variația în timp a unui flux electric, respectiv curentul de deplasare, [14].

Luarea în considerare pentru prima dată a curentului de deplasare în legea circuitului magnetic se datorește lui Maxwell. Existența curentului de deplasare, respectiv faptul că prezența unui câmp electric variabil în timp este însoțită și de un câmp magnetic a fost ulterior dovedită și experimental prin punerea în evidență a undelor electromagnetice (HERTZ).

Considerând medii continue și aplicând membrului din stânga (2.2) teorema lui Stokes se obține expresia:

din care rezultă forma locală a legii circuitului magnetic pentru medii în repaus,

, (2.3)

în care reprezintă densitatea curentului de deplasare.

Particularizând legea circuitului magnetic în formă integrală pentru cazul unui regim staționar, se obține expresia

(2.4)

Această relație se numește obișnuit în literatură teorema lui Ampère. Se poate observa că ea corespunde și regimului cvasistaționar. Forma locală a legii circuitului magnetic în regim staționar este

. (2.5)

În regim nestaționar, introducerea unui termen suplimentar (curentul de deplasare) se datorește lui Maxwell, care s-a bazat pe considerații teoretice plecând de la neconcordanța dintre teorema lui Ampère și legea conservării sarcinii electrice în regim variabil. Într-adevăr, într-un regim staționar este valabilă forma locală . Luând divergența acestei ecuații, partea stângă se anulează deoarece întotdeauna divergența unui rotor este zero (), ceea ce înseamnă că și divergența lui trebuie să fie zero. Acest rezultat este în concordanță cu legea conservării sarcinii electrice din care rezultă că într-un astfel de regim . Într-un regim variabil însă , deoarece în conformitate cu legea conservării electrice, . Ținând seama de forma locală a legii fluxului electric, se poate scrie , astfel că se obține

.

Prin urmare, într-un regim variabil vectorul având divergența nulă, deci cu linii închise, nu este ci . Ținând seama de acest rezultat apare, deci necesar ca în regim variabil să se scrie, adică relația (2.3).

.

Experimental, Roentgen (1885) și Eichenwald (1903) au pus în evidență pentru prima dată câmpul magnetic creat de corpuri polarizate electric și aflate în mișcare. Dispozitivul utilizat este prezentat în figura de mai jos.

Fig. 1

Intre discurile metalice D, se află un disc din material izolant P. Atât discurile D cât și discul izolant se por rotii separat sau împreună cu aceeași viteză unghiulară. Menținând discurile D fixe și rotind discul izolant în prezența unui câmp electric se constantă experimental apariția unui câmp magnetic datorat sarcinilor de polarizație în mișcare ale discului izolant. Expresia dedusă pentru densitatea curentului Roentgen experimental

Se observă că în locul vectorului în expresia de mai sus apare vectorul în termenul corespunzător curentului Roentgen. Această neconcordanță își găsește explicație corespunzătoare în cadrul teoriei relativității.

2.2 Legea inducției electromagnetice

Experiența arată că în prezența unui câmp magnetic variabil în timp apare întotdeauna un câmp electric. Se spune despre acest câmp electric că este un câmp electric indus căruia i se asociază corespunzător o tensiune electromotoare indusă. Astfel, dacă o spiră se află în poziție fixă în apropierea unui magnet permanent, deși ea este străbătută de un câmp magnetic prin spiră nu apare curent electric (fig. a).

Fig. 2

În schimb, când spira se deplasează, astfel încât fluxul magnetic prin spiră să se modifice, prin spiră apare un curent electric ce poate fi pus în evidență cu un instrument de măsură. Experiența arată de asemenea că sensul curentului indus în spiră depinde de sensul de variație al fluxului magnetic prin suprafața ce se sprijină pe conturul spirei.

Tensiunea electromotoare se definește prin integrala de linie a intensității câmpului electric de-a lungul unei curbe închise, . Integrala de linie a intensității câmpului electric între două puncte se numește tensiune electrică între punctele respective, .

În forma integrală, legea inducției electromagnetice se enunță astfel: integrala de linie a intensității câmpului electric de-a lungul unei curbe închise oarecare (tensiunea electromotoare) este egală și de semn contrar cu derivata în raport cu timpul a fluxului magnetic prin orice suprafață deschisă limitată de această curbă. Deci se poate scrie:

(2.6)

Curba închisă poate avea principial orice formă, putând fi dusă atât prin medii conductoare cât și prin dielectrici.

Notând cu tensiunea electromotoare indusă de-a lungul curbei închise (t.e.m. de contur) și cu fluxul magnetic prin suprafața mărginită de curbă (fluxul total ), forma integrală a legii inducției electromagnetice devine:

, (2.7)

în care se măsoară în volți, iar în weberi.

În cazul unei bobine, notând cu N numărul de sprire și cu fluxul magnetic fascicular mijlociu, relația de mai sus se poate scrie și sub forma

,

iar pentru o singură spiră

(2.8)

Deoarece în cazul mediilor în repaus variația fluxului magnetic se poate produce numai prin variația locală a inducției magnetice, relația (2.6) se poate scrie în acest caz sub forma

(2.9)

Aplicând părții din stânga a acestei relații teorema lui Stokes, se obține

,

din care rezultă forma locală a legii inducției electromagnetice pentru corpuri în repaus

. (2.10)

Într-un regim staționar, fluxul magnetic fiind invariabil în timp, tensiunea electromotoare pentru orice curbă închisă este nulă, deci

respectiv ,

relație care exprimă caracterul potențial al câmpului electric în regimuri staționare. În acest regim pentru caracterizarea câmpului electric se poate introduce o funcție potențială scalară V (potențial electric), sub forma .

Dacă în relația (2.10) se face înlocuirea , se obține

,

adică vectorii și au același rotor . Aceasta înseamnă că cei doi vectori diferă printr-un vector ce derivă dintr-un potențial scalar. Se poate deci scrie

,

de unde rezultă

,

astfel că pentru intensitatea câmpului electric se obține expresia

(2.11)

Intensitatea câmpului electric are deci, în cazul general, o componentă potențială și o componentă solenoidală , Desigur că dacă efectuează integrala de linie a intensității câmpului electric de-a lungul unei curbe închise, termenul corespunzător componentei potențiale este nul și rămâne numai termenul ce corespunde componentei solenoidale.

În conformitate cu regulile cunoscute de calcul vectorial, sensurile vectorilor și care intervin în aceste integrale nu se aleg arbitrar ci se asociază după regula burghiului drept.

Semnul minus apare tocmai în legătură cu obținerea sensului corect pentru tensiune electromotoare indusă (în conformitate cu regula lui Lentz), ținând seama de regulile de calcul vectorial folosite la scrierea legii.

Desigur că, dacă s-ar conveni să se asocieze vectorii și după regula burghiului stâng, în legea inducției electromagnetice nu ar mai apărea semnul minus. Semnul minus ar apărea în schimb în legea circuitului magnetic.

2.3 Legea fluxului magnetic

Fluxul magnetic este integrala de suprafață a inducției magnetice . Fluxul magnetic se poate defini pentru o suprafață deschisă sau închisă.

În formă integrală, legea fluxului magnetic se enunță astfel: fluxul magnetic printr-o suprafață închisă oarecare este întotdeauna nul, respectiv

(2.12)

Fiind o lege generală, relația de mai sus este valabilă atât în regim staționar cât și în regim variabil. Din compararea legi fluxului magnetic cu legea fluxului electric , rezultă că nu există “sarcini magnetice” similare sarcinilor electrice.

Unitatea de măsură a fluxului magnetic în sistemul internațional de unități se numește Weber (Wb), iar în sistemul CGSem unitatea este maxwell (Max), între cele două unități de măsură existând următoarea corespondență: 1Wb=1Vs=Mx.

Aplicând relației (2.12) teorema lui Gauss-Ostrogradsky, se obține

din care rezultă

. (2.13)

Relația (2.13) reprezintă forma locală a legii fluxului magnetic. Ea exprimă faptul că în orice punct din câmp divergența inducției magnetice este nulă.

Legea fluxului magnetic scoate în evidență caracterul solenoidal al câmpului inducției magnetice. Liniile inducției magnetice sunt întotdeauna închise.

Dacă în domeniul considerat există o suprafață de separație dintre două medii magnetice diferite, se aplică forma integrală a legii fluxului magnetic pentru o suprafață închisă de forma unui mic cilindru aplatizat, având bazele strâns aplicate pe cele două fețe ale suprafeței , iar înălțimea neglijabilă. (figura 3)

Figura 3.

Notând cu aria bazelor și neglijând integrala pentru suprafața laterală, se obține:

Deoarece , această relație se scrie și sub forma

,

respectiv

. (2.14)

Această relație reprezintă forma locală a legii fluxului magnetic referitoare la o suprafață de discontinuitate pentru inducția magnetică. Ea exprimă faptul că suprafața de discontinuitate, componentele normale ale inducției magnetice sunt egale .

Ținând seama de legea fluxului magnetic sub forma locală relația (2.13), inducția magnetică se poate scrie sub forma

(2.15)

deoarece întotdeauna . Mărimea de calcul astfel introdusă se numește potențial magnetic vector. Se spune că un câmp solenoidal derivă dintr-un potențial vector.

Cu ajutorul potențialului magnetic vector, fluxul magnetic printr-o suprafață deschisă se poate exprima prin integrala de linie a potențialului vector de-a lungul conturului care mărginește suprafața considerată S

(2.16)

în care s-a ținut seama și de teorema lui Stokes. Din relația de mai sus mai rezultă că unitatea de măsură a potențialului vector este weber pe metru (Wb/m).

2.4. Ecuațiile lui Maxwell

Relațiile deduse pentru formele locale ale legilor generale ale electromagnetismului pentru medii aflate în repaus și fără discontinuități se numesc obișnuit în literatură ecuațiile lui Maxwell, [8]. Acestea sunt:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Dacă mărimile de stare ale câmpului electromagnetic variază sinusoidal, acestea se pot exprima în complex. Ținând seama de înlocuirile

se obțin ecuațiile lui Maxwell în complex:

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

sau dacă se ține seama de relațiile de material se mai poate scrie

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28).

Ecuațiile lui Maxwell stau la baza rezolvării unor importante categorii de probleme de câmpuri electromagnetice. Ele de completează cu relațiile dintre mărimile de stare. Pentru medii liniare, izotrope și fără câmpuri imprimate se consideră următoarele relații de material:

(2.29)

(2.30)

(2.31)

2.5. Legea legăturii dintre inducția magnetică , intensitatea câmpului magnetic și magnetizația

Legea legăturii dintre afirmă că:

În orice punct dintr-un mediu magnetizat, în orice moment între mărimile de stare ale câmpului magnetic și magnetizația există relația de legătură:

, (2.31)

reprezentând o lege generală a electromagnetismului valabilă pentru orice tip de mediu magnetizat. În cazul mediilor izotrope vectorii , și au aceeași orientare, iar la mediile anizotrope au orientări diferite. Prin magnetizația care intervine în relația de mai sus se înțelege în cazul general atât magnetizația temporară cât și permanentă .

Legea legăturii dintre , și ia o formă particulară în cazul corpurilor cu magnetizare temporară , iar punctele din vid (M=0) relația (2.31) devine:

. (2.32)

Relația (2.31) se poate scrie și sub forma:

.

unde ν0 =1/μ0 este reluctivitatea vidului.

Trebuie precizate câteva chestiuni privind mărimile de stare B și H ale câmpului magnetic. În expresia forțelor și cuplurilor exercitate în câmp magnetic asupra unor corpuri de probă apare inducția magnetică B. De asemenea inducția magnetică B, depinde atât de sursele de câmp magnetic (J), cât și de comportarea mediului magnetizat, respectiv de proprietățile mediului respectiv, [14].

2.6. Legea magnetizației temporare

Experiența arată că într-un corp magnetizat, magnetizația temporară este dependentă de intensitatea câmpului magnetic:

(2.33)

Această relație reprezintă legea magnetizației temporare. În cazul unor medii izotrope, legea magnetizație temporare se scrie sub forma

(2.33)

în care reprezintă o constantă de material scalară adimensională, numită susceptivitate magnetică. Materialele la care magnetizația temporară este direct proporțională cu intensitate a câmpului magnetic, cu alte cuvinte la care este independentă de H respectiv de M se numesc liniare; în cazul mediilor neliniare .

Dependența liniară exprimată de relația (2.33) pentru materiale liniare este valabilă în regim staționar sau la variații relativ lente ale intensității câmpului magnetic. La variații mai rapide, respectiv la frecvente înalte, poate să apară un “post-efect”, analog celui din câmpul electric, iar în regim armonic exprimând mărimile în complex se poate defini o susceptivitate magnetică complexă, [12].

Ținând seama de legea magnetizației temporare, legea legăturii dintre , și devine

, (2.34)

în care

se numește permeabilitatea relativă a materialului, iar

este permeabilitatea absolută.

În cazul materialelor anizotrope liniare (medii cristaline) legea magnetizației temporare se scrie în general sub forma

, (2.35)

în care reprezintă tensorul susceptivitații magnetice.

Legea legăturii dintre , și , ținând seama de relația de mai sus, devine:

, (2.36)

în care reprezintă tensorul permeabilității magnetice. Se poate observa că în cazul materialelor anizotrope vectorii și , respectiv și nu mai sunt în general paraleli. Acești vectori au aceeași orientare după trei direcții ortogonale ale cristalului, numite principale [12]

III. METODA ELEMENTELOR FINITE

3.1 Metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite este o metodă numerică bazată pe aplicarea unor principii variaționale de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale. În tehnică, a fost dezvoltată mai întâi la rezolvarea unor probleme de rezistența materialelor, aplicarea ei la calculul câmpurilor electrice și magnetice fiind relativ mai recentã, [11].

Se prezintă întâi un caz simplu, sub aspect matematic. Astfel, se presupune că se pune problema rezolvării ecuației diferențiale.

,

respectiv (3.1)

valabilă într-un domeniu D din planul xOy, limitat de o suprafață S, cu anumite condiții pe frontieră. Se poate observa că ecuația (3.1) este de tip Poisson , în care este funcția scalară necunoscută (potențial scalar), iar G(x,y) este cunoscută. Să mai presupunem că condițiile pe frontieră sunt de tip Dirichlet, respectiv sunt date valorile funcției pe frontiera S a domeniului.

Se poate arăta că, în condițiile menționate, soluția ecuației diferențiale (3.1) este funcția care minimizează funcționala,

, (3.2)

respectiv

, (3.2’)

această expresie integrală fiind extinsă asupra întregului domeniu.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale, cu condiții pe frontieră, se poate reduce deci la o problemă (echivalentă) de calcul variațional. Desigur că din punct de vedere matematic, problema poate fi privită și invers[15].

Referindu-ne acum la un exemplu din electrostatică, se consideră un câmp într-un mediu omogen (), în fiecare punct al domeniului fiind valabilă ecuația lui Poisson:

. (3.3)

În condiții pe frontieră de tip Dirichlet, soluția acestei ecuații se poate determina prin minimizarea funcționalei

. (3.4)

Dacă pe o parte din suprafața de frontieră condițiile sunt de tip Neuman, funcționala care trebuie considerată se mai completează cu un termen.

În cazul unui câmp laplacian, într-un domeniu cu condiții pe frontieră de tip Dirichlet, funcționala are expresia simplă:

(3.5)

Se poate observa că această expresie reprezintă tocmai energia câmpului electric din domeniul considerat, deoarece .

Desigur că, rezolvarea este mai simplă în cazul câmpurilor plan-paralele sau a celor cu simetrie axială. Considerând, de exemplu, un câmp laplacian plan-paralel în electrostatică și presupunând adâncimea în direcția z, perpendiculară pe planul câmpului, egală cu unitatea, funcționala (3.5) se poate scrie sub forma unei integrale de suprafață

. (3.6)

În cazul unui câmp magnetic staționar plan-paralel, presupunând un mediu omogen (), ecuația pentru potențial magnetic vector este

,

respectiv (3.7)

,

care ține seama de faptul că, potențialul vector și densitatea de curent au componente numai după axa Oz. În acest caz, funcția necunoscută A se obține prin minimizarea funcționalei [11]

(3.8)

Pe această cale se poate aborda și rezolvarea problemei unui câmp magnetic plan-paralel, în regim cvasistaționar, în legătură cu efectul pelicular. Se poate deci observa că, diferitelor tipuri de ecuații diferențiale și pentru diferite condiții pe frontieră ce pot interveni în practică, le corespund anumite funcționale care trebuie cunoscute.

Pentru a putea urmări, în mod simplu, operația de minimizare specifică metodei elementelor finite să ne referim la un câmp magnetic laplacian plan-paralel, într-un domeniu D cu condiții pe frontieră de tip Dirichlet,

Figura 1.

Funcționala corespunzătoare câmpului considerat este dată de relația:

. (3.6)

pentru minimizare, se împarte domeniul (D) în mici subdomenii, denumite și elemente finite, obișnuit de formă triunghiulară (fig. 1). Aceste elemente pot fi de diferite dimensiuni, în funcție de configurația domeniului, rețeaua fiind mai deasă acolo unde se presupune un câmp mai neuniform. Se notează cu m numărul total de elemente finite și cu n numărul de puncte nodale, respectiv noduri care rezultă. Prin împărțirea domeniului într-o rețea de elemente finite, funcționala (3.6) se va scrie sub forma sumei funcționalelor corespunzătoare celor m elemente finite

. (3.9)

Acest mod de scriere presupune, pe de o parte, că diferitele elemente finite pot avea permeabilități diferite, pentru un anumit element mediul fiind însă omogen (), ceea ce permite aplicarea cu succes a metodei pentru rezolvarea problemei câmpului în domenii cu neomogenități pe porțiuni. Pe de altă parte, utilizarea relației (3.9) în locul expresiei (3.6), ar trebui să mai presupună și respectarea unor condiții de trecere, specifice câmpului considerat, pe suprafețele ce separă elementele finite adiacente. Astfel, pentru câmpul magnetostatic, acesta înseamnă continuitatea funcției potențiale A și egalitatea componentelor normale ale inducției magnetice, . Este interesant de menționat faptul că, pentru cazul considerat, se poate arăta că ultima condiție este satisfăcută implicit de funcțiile care minimizează funcționala.

Figura 2.

Operația de efectuat pentru aplicarea relației (3.9) este aproximarea funcției potențiale A(x,y) pentru un element finit. Se fac obișnuit aproximări polinomiale. Dacă elementele finite sunt de dimensiuni suficient de mici, se poate admite că funcția potențială A(x,y) variază liniar cu x și y, ceea ce corespunde unei aproximări printr-un polinom de gradul întâi. În figura 2 este reprezentat un element finit triunghiular oarecare , având vârfurile i,,j,k, de coordonate , și . Pentru un punct oarecare P din interiorul elementului considerat (), funcția potențială A(x,y) se poate scrie în acest caz sub forma:

(3.10)

sau sub formă matricială:

. (3.11)

În scopul urmărit apare util ca potențialul să fie exprimat în funcție de potențialele , și din nodurile i, j ,k ale elementului finit, sub forma

(3.12)

sau sub formă matricială:

, (3.13)

în care intervin coeficienții , si , funcții liniare de x și y, denumite și funcții de formă. Este evident că dacă punctul P se găsește într-un nod, (de ex.i), funcția de formă corespunzătoare este egală cu unitatea, iar celelalte sunt nule .

În cazul aproximării funcției potențiale A(x,y) considerând o variație liniară , pentru două elemente finite adiacente se asigură egalitatea potențialelor în cele două noduri comune corespunzătoare. Precizia poate fi îmbunătățită considerând pentru aproximare polinoame de ordin superior, respectiv mai multe puncte nodale în care se pune condiția ca potențialele să coincidă. De exemplu, în figura 3, pentru fiecare latură de triunghi s-a mai considerat câte un punct nodal, ceea ce corespunde unei aproximări printr-un polinom de gradul al doilea. În acest caz, expresia funcției potențiale se scrie sub forma:

(3.14)

respectiv

, (3.15)

rezultând, bine înțeles, expresii de calcul mai complicate

Figura 3.

În continuare se pune problema determinării funcțiilor de formă. Se va prezenta cazul unei aproximări liniare. Particularizând relația (3.10) pentru nodurile i, j,k se obține expresia matricială:

. (3.16)

Rezolvând sistemul de ecuații în raport cu , , se obține:

(3.17)

Ținând seama de (3.17), ecuația (3.11) devine:

(3.18)

Din compararea relațiilor (3.18) și (3.13), rezultă matricea funcțiilor de formă

. (3.19)

Efectuând calculele și ținând seama că determinantul celei de a doua matrice din partea dreaptă (3.19) este , unde reprezintă suprafața triunghiului (), se obțin în final expresiile:

(3.20)

Cunoscând funcțiile de formă (3.20), se revine la operația de minimizare a funcționalei (3.9), în a cărei expresie intervine ( grad A ). Ținând seama de relația (3.12), se obține:

(3.21)

iar dacă ține seama de expresiile funcțiilor cu formă (3.20), relația (3.21) devine:

(3.22)

Dacă pentru fiecare element finit se admite aproximația , funcționala (3.9) se poate scrie sub forma:

(3.23)

care, dacă ține seama de relația (3.22), devine:

(3.24)

Funcționala (3.9) s-a transformat astfel într-o funcție având drept variabile potențiale în cele n puncte nodale considerate. Minimizarea expresiei (3.24) se obține impunând în fiecare punct nodal () condiția , adică anulând derivatele expresiei în raport cu potențialele nodurilor. Se obține astfel un sistem cu n ecuații algebrice

, pentru =1,2,…n, (3.25)

în care intervin n necunoscute (potențialele punctelor nodale). Dacă condițiile pe frontieră sunt de tip Dirichlet, fiind date potențialele în nodurile de pe frontiera domeniului, numărul total de necunoscute este mai mic decât n, însă și în acest caz el este egal cu numărul de ecuații. Sistemul de ecuații (3.25) se rezolvă pe cale numerică, obținându-se în final valorile potențialului în punctele nodale. Prin intermediul funcțiilor de formă, pentru fiecare element finit se poate calcula dacă este nevoie , respectiv vectorul câmp (3.22).

Metoda elementelor finite este o metodă aproximativă de calcul a câmpurilor, ce impune rezolvarea pe cale numerică prin aproximarea funcției potențiale pentru un element finit într-o etapă finală de calcul și rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice în care intervin ca necunoscute potențialele din punctele nodale.

Astfel, aplicarea ei este potrivită pentru unele configurații complicate, pentru domenii cu neomogenități pe subdomenii, sau dacă există puncte singulare pe frontiera domeniului. De asemenea, ea poate fi generalizată, pentru medii neliniare și anizotrope.

3.2. Condiții pe frontieră

Ecuațiile lui Poisson derivate din ecuațiile lui Maxwell impun un număr adecvat de condiții pe frontieră pentru a garanta o soluție unică, [11], [15].

Condițiile pe frontieră pot fi de mai multe tipuri:

Dirichlet – pentru acest tip de condiție pe frontieră, valoarea lui A este definită explicit pe frontieră, A=0.- cea mai întâlnită valoare a tipului de limită Dirichlet.- A=0 de-a lungul frontierei, adică a definii frontiera ca linie de câmp.

Neumann – acest tip de condiție specifică la normala derivată a lui A de-a lungul frontierei. De obicei este definită de-a lungul frontierei pentru a forța liniile de câmp să treacă de frontieră la un unghi de exact 90 față de aceasta.

Robin – acest tip de condiție este un amestec între condiția Dirichlet și condiția Neumann, descriind o relație între valoarea lui A și normala sa derivată la frontieră. Un exemplu al acestui tip de condiție este:

.

Pentru probleme axisimetrice (cu simetrie față de o axă), A=0 se aplică pe linia r=0, în acest caz, o soluție valabilă poate fi obținută fără a specifica condiții de limită, atâta timp cât o parte din frontiera problemei se întinde de-a lungul r=0.

3.3. Probleme cu frontiere la infinit

Calculul forțelor prin metoda elementelor finite nu poate fi calculată pentru un domeniu infinit, de aceea, trebuie să alegem un domeniu (o frontieră) în jurul obiectului, pe care să-l definim. Metode de definire a frontierelor sunt:

3.3.1. Trunchierea frontierelor infinite

Cea mai simplă, dar cea mai puțin precisă metodă, este de a alege o limită arbitrară destul de departe de zona de interes și declarând ori A=0 ori pe această frontieră. O regulă de aur este aceea că distanța de la centrul problemei la limita exterioară ar trebui să fie cel puțin de 5 ori distanța de la centru la exteriorul zonei de interes.

Trunchierea frontierelor este făcută de cele mai multe softuri magnetice cu elemente finite, deoarece ea nu necesită eforturi în plus, la impunerea acestora.

Dezavantajul constă în generarea în plus a unui număr de noduri mult mai mari față de zona de interes și un timp de procesarea mare.

3.3.2. Condiția asimptotică

Poate cea mai simplă metodă de a aproxima o limită deschisă (alta decât trunchierea), este de a folosi condiția asimptotică. Rezultatul este acela că, prin specificarea atentă a parametrilor pentru condiția de frontieră mixtă, și apoi aplicarea acestei condiții la o limită exterioară circulară, soluția nemărginită poate fi îndeaproape aproximată.

Considerăm o problemă în plan 2D, în coordonate polare. Domeniul cu frontieră circulară, de rază într-o regiune nemărginită. Deoarece , potențialul vectorului A tinde la zero. La suprafața circulară, vectorul este o funcție prescrisă a . Această problemă are o soluție analitică, care este:

(3.26)

unde parametrii și sunt astfel aleși pentru ca soluția să se potrivească cu potențialul prescris la suprafața circulară. Soluția este descrisă în interiorul cercului prin soluția elementelor finite. Șmecheria este de uni soluția analitică din afara cercului cu soluția elementelor finite din afara cercului.

Din relația de mai sus se poate observa că numerele armonice sunt cu atât mai mari cu cât magnitudinea armonicei scade mai repede în ceea ce privește creșterea lui r. După o scurtă distanță, armonicele cu numere mai mari scad în așa măsură încât soluția spațiului deschis este dată doar de prima armonică (armonica principală).

Dacă n est numărul armonic principal, soluția câmpului deschis, este mare, dar nu infinită , r este îndeaproape descris de:

(3.27)

Făcând diferența în ceea ce privește r, se ajunge la:

(3.28)

Dacă (3.28) este rezolvat pentru și substituit în (3.27) rezultatul este:

(3.29)

Acum , (3.29) este un rezultat folositor. Această relație este de aceeași formă ca și condiția pe frontieră “mixtă”. Dacă marginea exterioară a domeniului soluției este circulară, iar limita exterioară a elementelor finite este oarecum mutată din zona de interes primar, soluția domeniului deschis poate fi îndeaproape aproximată aplicând relația (3.29).

Pentru a aplica “Condiția Asimptotică“, se definește un nou tip mixt de condiție de frontieră. Apoi, se aleg parametrii astfel încât:

(3.30)

(3.31)

unde este raza exterioară a regiunii și .

Deși derivata de la început a fost specificată pentru probleme 2D, rezultă că atunci când aceeași derivată este rezolvată pentru cazul asimptotic, definiția coeficienților de limită mixtă sunt aceeași ca la (3.30).

Unele trebuie folosite în aplicația acestei condiții de limită. În cele mai multe cazuri este suficient să luăm n=1(i,e obiectele din regiunea soluției arată ca și dipolul când sunt văzute de la o distanță mai mare). Oricum, sunt și alte cazuri în care armonicul principal este altul decât n=1. Trebuie să folosești perspicacitatea pentru rezolvarea problemei și alegerea corectă a parametrului n pentru armonicul principal. Mai trebuie de asemenea să pui obiectele de interes aproape în centrul domeniului circular al elementului finit, pentru a minimiza magnitudinea componentelor câmpului la limita exterioară.

Figura 4

Deși aplicarea acestei condiții de limită necesită puțină gândire din partea utilizatorului, rezultatele pot fi destul de bune. Figura de mai sus reprezintă câmpul produs de bobina în spațiul liber. Condiția asimptotică de limită a fost aplicată la exteriorul limitei circulare. Inspectând soluția, liniile de flux par să treacă de limita circulară ca și cum domeniul ar fi de-a dreptul nemărginit.

3.3.3. Transformata Kelvin

O abordare particulară al problemelor “frontieră deschisă” este Transformata Kelvin. Punctele forte ale acestei transformate sunt:

efectele regiunii exterioare, sunt teoretic exact modelate de aproximare

necesită un număr de noduri respectiv un număr de elemente finite și un timp de procesare mai scurt

nu necesită dezvoltări “speciale” ale pachetelor softurilor de rezolvare prin metoda elementelor finite

În continuare se prezintă pe scurt tehnica de rezolvare a ecuațiilor prin transformata Kelvin.

În regiunea “câmpului îndepărtat”, materialul este omogen (aerul). În acest caz, ecuația diferențială care descrie vectorul potențial A este ecuația Laplace:

(3.32)

Dacă scriem relația de mai sus cu notații polare, A este descris de :

(3.33)

Presupunând că “câmpul apropiat” al problemei poate fi conținut în cercul de rază r0. Regiunea câmpului îndepărtat este atunci tot ce este în afara cercului.

O abordare a problemelor nemărginite este de a încerca a trasa regiunea nemărginită peste o regiune mărginită, astfel, problemele fiind mai ușor de rezolvat. Mai precis, noi dorim un mod de a transforma regiunea nemărginită din afara cercului într-o regiune mărginită. O metodă simplă de a realiza această trasare este de a definii o altă variabilă, R, înrudită cu r prin:

(3.34)

Din (3.34) se poate observa că această relație trasează regiunea exterioară pe un cerc de rază r0.

Următorul obiectiv este de a transforma (3.32), ecuația diferențială pe care câmpul trebuie să o satisfacă, pe spațiul trasat. Relația (3.32) trebuie scrisă mai degrabă după R și θ decât după r și θ. Putem evalua derivatele în R în loc de r, folosind regula serie (înlănțuită)

(3.35)

Acum putem nota r=R=r0,

(3.36)

și putem substitui (3.35) în (3.32), după câteva calcule matematice, rezultând:

(3.37)

Ecuația (3.37), transformată pentru regiunea exterioară, are exact aceeași formă ca și cea pentru regiunea interioară, singura diferență constând în R și nu r. Pentru problemele în 2D, exteriorul poate fi simplu modelat creând un domeniu al problemei care are două regiuni circulare: o regiune circulară conținând zone de interes, și o regiune circulară adițională care să reprezinte “câmpul îndepărtat”. Apoi, condițiile de graniță periodice trebuie aplicate marginilor corespunzătoare ale cercului pentru a aplica continuitatea lui A la marginile celor două regiuni. Aceasta reprezintă continuitatea lui A la granită, între exteriorul și interiorul regiunilor. Pentru o formulare a elementelor finite alcătuite din triunghiuri de ordinul întâi, (3.36) este aplictă automat la granițele celor două regiuni. A doua regiune circulară modelează exact soluția spațiului infinit, dar o face pe un domeniu de graniță, domeniu ce poate întotdeauna ieși din câmp pentru orice punct din spațiu aplicând inversa lui (3.34).

3.4. Soluții numerice

Metoda elementelor finite se folosește pentru rezolvarea în forma 2D a ecuației

rot (1/ rot A)= J (3.38)

pentru potențialul magnetic, [11], [15]. Cu această metodă, regiunea problemei este împărțită într-o plasă de elemente triunghiulare, iar potențialul în care fiecare element este aproximat printr-o funcție simplă a coordonatelor x și y (r și z). Cea mai simplă funcție este o variabilă liniară cu poziție, aceasta dă elementele de ordin I, unde, potențialul din interiorul unui element triunghiular, este obținut din potențialele a trei noduri. Elementele de ordin superior folosesc polinoamele de ordin superior și noduri adiționale pentru a reprezenta potențialul. Problema rezolvării ecuației (3.38) se reduce la soluția unui set de ecuații liniare pentru potențiale necunoscute la toate nodurile. Acest procedeu trebuie repetat de câteva ori dacă modelul conține materiale magnetice neliniare.

Exactitatea soluției elementelor finite depinde de trei factori:

natura câmpului

mărimea elementelor

ordinea elementelor

În regiuni unde direcția sau magnitudinea câmpului se schimbă rapid, exactitatea rezultatului necesită elemente mici.

Rezolvarea

Când sunt prezente materiale magnetice neliniare, permeabilitatea depinde de valoarea locală a inducției magnetice B. Ecuația (4.38) se rezolvă astfel:

valorile constante ale permebilității sunt alese pentru fiecare element în parte cu panta inițială a materialului creată de curba B-H.

ecuațiile liniare rezultate se rezolvă prin metoda numerică pentru potențialul magnetic, folosind metoda iterativă a “gradientului conjugat”.

valorile inducției magnetice se calculează din potențialul magnetic, iar aceste rezultate sunt folosite pentru a calcula noi valori pentru permeabilitatea elementelor.

procesul se repetă până când valorile permeabilității elementelor se converg.

Metoda gradientului conjugat “ CG Steps” se folosește pentru rezolvarea ecuațiilor. La fiecare pas în procesul gradientului conjugat, schimbările survenite în soluție sunt monitorizate. Procesul continuă până când schimbarea este mai mică ca și la toleranța gradientului. Pentru cele mai multe dintre problemele statice, valoarea preciziei de 10-8 trebui să fie satisfăcătoare.

Metoda calculului permeabilității se realizează prin metoda Newton-Raphson sau a substituirii succesive pentru calcularea valorilor recente ale permeabilității elementului. Metoda Newton-Raphson se folosește mai des dar pot exista probleme în ceea ce privește caracteristica materialului. Dacă convergența este foarte joasă poate fi avantajos să se trecă la metoda substituției succesive.

3.5. Tensiuni maxweliene magnetice. Tensorul tensiunilor

Forțele magnetice () din interiorul unui volum oarecare pot fi reduse la un sistem de tensiuni (fictive) echivalente acționând la suprafața ∑ care mărginește volumul considerat. Condiția de echivalență este ca forța rezultantă să fie aceeași, deci

(3.39)

în care este tensiunea maxwelliană magnetică. Dacă se notează cu tensorul tensiunilor (maxwelliene) în câmp magnetic (tensor simetric de ordinul al doilea), este componenta vectorială asociată de acest tensor normalei . Se poate scrie:

(3.40)

Pe de altă parte, densitatea de volum a forței se poate exprima sub forma

(3.41)

Pentru determinarea componentelor tensorului , compomentele densității de volum a forței trebuie exprimate sub forma unor divergențe. În acest scop se fac unele transformări în expresia densității de volum a forței. Neglijând în relație

(3.42)

ultimul termen care corespunde variației permeabilității cu densitatea de masă și ținând seama că primul termen se poate scrie și sub forma:

, (3.43)

se obține expresia:

(3.44)

Componenta după x a acestei forțe se scrie deci sub forma:

, (3.45)

în care s-a ținut seama de operația:

(3.46)

Calculând în mod analog și celelalte componente și ale densității de volum a forței, se obține următoarea matrice a tensorului ,

(3.47)

Dacă se consideră expresia completă a densității de volum a forței (3.42), matricea (3.47) mai conține după diagonală și termenul . Cunoscând componentele tensorului se poate determina tensiunea

(3.48)

sau dacă se neglijează variația permeabilității cu densitatea de masă, se obține:

. (3.49)

În ultimul caz se arată că independent de orientarea lui , valoarea numerică a lui este egală cu densitatea de volum a energiei magnetice în punctul respectiv. De asemenea, dacă intensitatea câmpului magnetic, respectiv inducția magnetică este după normala , expresia tensiunii devine:

(3.50)

iar dacă vectorul câmp se consideră după o direcție perpendiculară pe , se obține

. (3.51)

În figura de mai jos este prezentat un electromagnet cu armătura feromagnetică A.

Figura 2.

Considerând suprafața de separație dintre fier (armătură) și aer (întrefier) și folosind notațiile

expresia forței superficiale

(3.52)

este

. (3.53)

Dacă se neglijează componenta tangențială a inducției magnetice în întrefier și se notează Bn=B relația (3.52) devine

, (3.54)

iar dacă r1, se obține

. (3.55)

Legea fluxului magnetic sub formă locală div B = 0 exprimă faptul că în orice punct din câmp divergența inducției magnetice este întotdeauna nul.

Dacă Bn și Bt sunt componentele fluxului magnetic normal și tangențial la o suprafață, și n și t sunt componentele tensiunii, atunci:

(3.56)

Cu condița ca suprafața să fie închisă, forța totală poate fi determinată integrând tensiunile pe suprafața respectivă. Acest rezultat este independent de natura obiectelor din interiorul suprafeței, care poate cuprinde curenți, materiale magnetice moi sau magneți permanenți.

Dacă metoda tensiunii maxweliene este folosită pentru calculul forțele, pornind de la soluția numerică standard a câmpului obținut prin metoda elementului finit, pentru obținerea unui grad de precizie acceptabil trebuie respectate următoarele criterii:

curba să treacă numai prin aer,

traseul curbei să străbată elemente finite de dimensiuni invers, proporționale cu variația câmpului, întrucât în fiecare element finit de ordin 1 se fixează un singur vector B respectiv H,

în cazul simetriei obiectului asupra căreia se calculează forța, curba să fie deasemenea simetrică pentru a evita valori neconcludente,

un alt aspect important ar fi realizarea simetriei și pentru discretizare.

Integrala forței nu poate fi de încredere dacă termenii pe care-i conține sunt de semne opuse, ducănd la acumularea de erori numerice.

Concluzia este că, dacă tensiunea maxwelliană este evaluată la interfața dintre două materiale diferite , rezultatul va fi eronat. Oricum, tensiunea maxwelliană are propietatea că pentru o soluție exactă este obținut același rezultat indiferent de partea integrată, atâta timp cât integrala parcurge tot conturul și trece numai prin aer. Tensiunea maxwelliană poate fi avaluată pe un contur cu câteva elemente mai departe de suprafața obiectului, unde soluțiile lui B și H sunt mai exacte. Vom defini conturul integralei pe o parte apropiată din jurul obiectului care ne interesează, pe un contur dispus la mai multe elemente depărtate de orice interfață sau frontieră.

Figura de mai jos reprezintă un exemplu de contur bine defint

Figura 3 Electromagnet cu rotor profilat.

Linia roșie din figură reprezintă conturul definit al integralei. Întotdeauna trebuie să definim conturul în direcția acelor de ceasornic pentru a obține semnul corect. Pentru a ajuta în definirea unui contur închis “Grid” și “Snap to grid” vor fi accesate și colțurile conturului vor fi specificate prin click buton dreapta al mouse-ului.

Chiar dacă o integrală a fost aleasă corect pot apărea unele erori semnificative. Ecuația (3.56) conține termeni B2, ceea ce înseamnă că tensiunea maxwelliană este mai inexactă decât B. Precizia calculului forțelor depinde de densitatea de elemente finite (a mesh-ului). Se calculează forța pentru configurația inițială k a mesh-ului (cea aleasă de calculator) și apoi pentru configurația k-1 adică pentru o densitate mai mică a mesh-ului.

Precizia este dată de formula

unde F este valoarea forței pentru o configurație k, iar F1 valoarea pentru o configurație k-1.

Când valoarea preciziei crește foarte puțin, curba începe să se aplatizeze, atunci densitatea aleasă este corectă.

IV. ANALIZA PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE

Utilitarul FEMM (Finite Element Method Magnetics) cuprinde trei programe: preprocesorul (femm.exe), care este un program CAD care servește la definirea problemei de rezolvat; solverul (fkern,exe), folosește fișiere de date care descriu problema și rezolvă ecuațiile de bază Maxwell; postprocesorul (femmview.exe) care este capabil de a reda liniile câmpurilor rezolvate, [10]

Analiza prin metoda elementelor finite s-a făcut pentru electromagnetul tip „C”, cu rotor profilat radial, respectiv tip plonjon.

4.1. Electromagnetul cu rotor profilat radial

4.1.1. Definirea problemei

Definirea problemei se face selectând “Problem” din meniu, în mod automat va apărea fereastra “Problem Definiton” ca din figura următoare:

Figura 1. Fereastra de dialog “Definirea problemei”

Prima căsuță reprezintă frecvența (Hz) – pentru probleme magnetoistatice se alege frecvența zero.

A doua căsuță este tipul problemei, se poate alege între o problemă bidimensională (Planar), cazul nostru, sau o problemă axisimetrică (cu simetrie față de o axă).

A treia căsuță este o fereastră suplimentară “Comment” unde se pot introduce câteva linii de text pentru a descrie pe scurt problema care a fost rezolvată.

Următoarea căsuță este unitatea de măsură “Length Units”. Programul poate suporta inchi, milimetri, centimetri, metri, mile și micrometrii. Noi vom alege milimetri.

Ultima secțiune este “Solver Precisions, care specifică eroarea relativă între două iterații succesive ce trebuie atinsă pentru oprirea procesului.

4.1.2. Geometria și materialele

Preprocesorul (femm.exe) este utilizat pentru desenarea geometriei problemei și pentru definirea materialelor și a condițiilor de frontieră.

Desenarea unei anume geometrii, se face în două etape:

desenând două puncte (terminale) ale liniei sau segmentului, pe care-l delimitează;

legând punctele de capăt cu alte segmente sau segmente de arc.

Utilizarea gridului

Figura 2.Butoanele gridului

Prin apăsarea primului buton, pe ecran va fi afișată o grilă de culoare albastră. Butonul din mijloc, duce cursorul spre cel mai apropiat punct al grilei, iar butonul din dreapta activează proprietățile grilei, pe ecran va apărea fereastra

Figura 3. Fereastra de dialog a proprietății gridului

Cele două căsuțe: Grid Size – specifică mărimea grilei setată pentru aplicația curentă la 1, și Coordinates – în care se poate alege dintre coordonate carteziene sau coordonate polare. Dacă selectăm “Cartesian” punctele vor fi după axa (x,y) ca și în cazul aplicației noastre, iar dacă selectăm “polar” punctele vor fi date de un unghi și distanța radială față de origine.

Modul de desenare

Figura 4.Butoane de desenare

Primul buton reprezintă nodurile, al doilea, segmentele de drepte, ce leagă nodurile, al treilea, segmentele de arc ce leagă nodurile. Cel de-al patrulea buton este cel de bloc ce descriu proprietățile de material al regiunii respective, iar cel de-al cincilea, cel de grup, oferă facilitatea de a grupa diferite obiecte într-unul singur pentru a putea fi manipulate mai ușor și mai rapid.

Utilizarea modului de vizualizare

Comenzile pentru vizualizare se pot accesa de la bara de comenzi a preprocesorului care sunt desenate în figura următoare:

Figura 5. Bara de comenzi pentru vizualizare

Butoanele de “+” și “-” măresc și micșorează imaginea curentă

Butonul cu pagina goală micșorează imaginea pentru a vedea întreaga figură

Butonul cu lupă permite vizualizarea micșorată a imaginii într-un colț specificat de utilizator

Butoanele cu săgeți poziționează imaginea în direcția indicată

Electromagnetul cu rotor profilat după finalizarea întroducerii geometriei în preprocesor este următorul:

Figura 6. Geometria electromagnetului cu rotor profilat

Definirea proprietăților

Definirea proprietățiilor se face selectând “Properties”, din meniu. Când este selectat properties, apare un meniu care are selecții pentru Materials, Boundary, Points, Circuits și Materials Library. Când este aleasă oricare din acestea apare fereastra următoare:

Figura 7. Ferastra de dialog a definițiilor proprietăților

Proprietățile materialului

Accesând din meniul principal Properties\Materials Library, va apărea o fereastra de genul prezentat mai jos

Figura 8. Fereastra de dialog a arhivei de materiale

Cum în arhiva de materiale nu se găsește oțel pentru electromagneți vom întroduce un nou tip de material în arhiva de materiale prin accesarea “Create new entry in Library” va apărea fereastra următoare

Figura 9 Fereastra de dialog “Block Property”

În prima căsută vom întroduce numele materialului pe care-l vrem să-l creăm, în cazul nostru “oțel pentru magnet”. Dacă definim un material neliniar verificăm căsuța “Nonlinear B-H Curve” care prin definiție este neverificată (noi vom bifa în căsuță). Pentru a introduce curba noastră B-H se apasă “Edit B-H Curve”. Când butonul este apăsat, apare o fereastră de dialog care ne permite să introducem datele curbei B-H. Pentru a defini un material neliniar, trebuie să introducem cel puțin trei puncte neliniare, iar pentru a obține o precizie bună în aproximarea caracteristicii de magnetizare trebuie introduse minimum zece puncte.

Figura 10 Date de material.

După introducerea datelor punctelor B-H, cu ajutorul butonului “Plot B-H Curve” se vizualizează caracteristica. Căsuțele de pe desenul de mai jos reprezintă punctele introduse de noi, iar linia reprezintă o interpolare derivată a datelor introduse.

Proprietățile circuitului

Accesând din meniul principal Properties\Circuit va apărea următoarea fereastră care va permite să se aplice o constrângere asupra curentului total în unul sau mai multe blocuri. Vom definii bobina de excitație cu cele două secțiuni ale acesteia: 10000 A și –10000 A

Figura 11. fereastra de dialog a proprietății circuitului

Condițiile pe frontieră

Când o nouă condiție pe frontieră este introdusă sau una care există deja este modificată, va apărea fereastra prezentată mai jos, care se folosește pentru a specifica proprietățile segmentului ce este considerat frontiera domeniului de soluții.

Prima căsuță din acestă fereastră este denumirea condiției (Name). Cel dat de calculator este “New Boundary” (noua frontieră), dar acestă trebuie modificat cu unul care descrie mai bine noua frontieră, în cazul nostru “infinit”

Lista de tipuri de frontieră pe care le conține programul FEMM este: prescribed A, Small Skin Depth, Mixed, Strategic Dual Image, Periodic și Antiperiodic. Noi vom alege “Prescribed A” . Cu acest tip de condiție pe frontieră, potențialul magnetic vector A, este prescris de-a lungul unei frontiere date. Forma lui A de-a lungul frontierei este specificată prin parametrii A0,A1,A2 și Φ din căsuța de dialog “Prescribed A Parameters” cara corespund formulei următoare (fiind o problemă planară)

A=(A0+A1x +A2y)ejΦ

Figura 12. Fereastra de dialog a proprietăților de graniță

Configurarea rețelei de elemente finite

Figura 13. Rețeau de discretizare

Rețeaua aleasă de calculator este dată în figura de mai sus, în total 70 de noduri.

Odată ce am ales o mărime a densității de rețea de 1 a desenului și în jurul lui, și de 0,2 în jurul liniilor ce alcătuiesc armătura mobilă și cea fixă, am obținut divizarea geometrii în triunghiuri cu 70842 de noduri.

Alegând din meniul principal, modul Bloc, selectând fiecare bloc al modelului, în parte, cu ajutorul Mouse-ului (clic dreapta) și cu ajutorul tastei Space pentru afișarea ferestrei de dialog a proprietăților. Aici, modificăm valoarea existentă a pasului rețelei cu una mai mică sau mai mare. Această operație se repetă pentru fiecare bloc definit. Cum pe noi ne interesează valorile în electromagnet, în special în întrefier, am ales valoarea de 0,2 pentru ca elementele triunghiurilor de ordin I să fie mai mici pentru o valoare a câmpului mai apropiată de cele reale.

Pentru a sporii viteza de lucru, butoanele din figura (14) sunt:

Figura 14.

primul buton este pentru generarea rețelei de triunghiuri a geometriei desenului

al doilea buton, este solverul (fker. exe) care rezolvă ecuațiile de bază Maxwell

butonul al treilea este postprocesorul (femmview.exe), un program grafic care redă liniile câmpurilor rezolvate

4.1.3. Postprocesarea. Soluțiile problemei în modul punct

Pentru exemplificare am redat valori ale câmpului calculate și afișate de program pentru punctele: (20,8) pe armătura fixă, (19,9) pe armătura mobilă, (29,8) în bobina și (38,61) la “infinit”.

(20,8) armătura fixă (29,8) bobina

(19,9) armătura mobilă (38,61) infinit

Prin apăsarea butonului al treilea din figura 13, calculul modelui se finalizează prin afișarea de către calculator a liniilor de câmp în fereastra “femmview”. Spectrul câmpului magnetic în configurația definită de electromagnetul cu rotor profilat radial excitat în curent continuu este cel din figura de mai jos

pentru poziția rotorului vertical

– pentru rotorul rotit cu 15o

a b

pentru rotorul rotit cu 300

– pentru rotorul rotit cu 600

c d

Fig 15. Distributia liniilor de câmp pentru electromagnetul cu rotor profilat

Executabilul “femmview.exe” este posprocesorul utilizat pentru vederea soluțiilor generate de “fkern.exe”. Modul postprocesor dorit se alege cu ajutorul celor trei butoane din bara “Analysis Mode”, ca în figura următoare

Figura 16. Bara de butoane “Analysis Mode”

Cele trei moduri sunt:

“Points values mode” (Modul Valorile Punctului). În acest mod se pot alege diferite puncte din domeniul de soluții, valorile locale ale câmpului se pot vedea în “femmview output”.

“Countur mode” (Modul Contur). Acest mod ne permite să definim contururi arbitrare în domeniul de soluții, valorile câmpului de-a lungul conturului sau integralele liniare variabile vor fi afișate în “Integral Result”.

“Block Mode” (Modul Bloc). Acesta permite definirea unui subdomeniu în domeniul de soluții. Când acest subdomeniu a fost definit, se pot calcula o varietate mare de integrale de suprafață și de volum.

Utilizarea modului de vizualizare și a grilei este asemănător cu cea din preprocesor.

În modul Punct , prin apăsarea butonului din dreapta al mouse-ului, se va afișa în fereastra “femmview output” valorile câmpului în punctul unde se află cursorul.

În modul Contur, prin apăsarea butonului din stânga al mouse-ului va face ca cel mai apropiat punct să fie adăugat geometriei modelului. Conturul va apărea ca o linie roșie pe ecran.

Blocurile sunt definite ca și contururile. Un bloc se definește prin desenarea unui contur în jurul regiunii care ne interesează. Toate elementele închise în contur se vor face verzi.

Când “femmview” este în modul Contur, după selectarea conturului, se pot calcula de-a lungul ei diferite valori ale câmpului sau se pot reprezenta aceste valori.

Figura 17.

Prin apăsarea primului buton va apărea următoarea fereastră, în care după alegerea tipului de linie în căsuța “Plot Type” și apăsarea butonului “OK”, programul va calcula valorile cerute de-a lungul conturului, reprezentându-le apoi folosind programul “femmplot” care se activează automat pentru editarea graficului.

Figura 18.

Tipurile de linii grafice pe care FEMM le are disponibile sunt: magnitudinea densității fluxului, vectorul potențial, componenta normală a inducției magnetice B, componenta tangențială a inducției magnetice, componenta normală a intensității câmpului, componenta tangențială a intensitătii câmpului.

O dată ce conturul a fost specificat în modul Contur, pentru a calcula o integrală, apăsând al doilea buton din figura 17, va apărea o fereastră de dialog. După alegerea integralei și apăsarea butonului “OK”, va apărea rezultatul într-o căsuță.

Figura 19.

Programul FEMM conține mai multe tipuri de integrale pe blocuri, de exemplu, energia câmpului magnetic, forța Lorentz, pierderi rezistive, pierderi totale, etc, dar cea care ne interesează pe noi este forța Lorentz și momentul forței.

Densitatea inducției magnetic poate fi reprezentată prin nuanțe de culori, fiecărei nuanțe fiindu-i atribuită o anumită gamă de densitate. Am reprezentat densitatea pentru valorile întrefierului

-pentru rotorul în poziție verticală

pentru rotorul rotit cu 150

pentru rotorul rotit cu 300

-pentru rotorul rotit cu 600

Reprezentări grafice

Pentru tipul de electromagnet cu rotorul profilat am reprezentat grafic valorile mărimilor: modul B, modul H și respectiv a potențialului vector A. Pentru aceasta am definit un contur pe care să se poată reprezenta valorile și am ales segmentul care reprezintă o linie luată la jumătatea distanței dintre cele două armături.

Reprezentarea grafică a potențialului

Reprezentarea grafică a fluxului magnetic

4.1.4. Calculul fortei

Calculul forțelor se poate face prin două metode:

prin metoda teoremei forțelor generalizate, unde curenții sunt menținuți constanți, iar poziția armăturii asupra căreia acționează forța se modifică foarte puțin. Forța se calculează cu formula:

tensorul tensiunilor maxwelliene. Aceasta calculează toate integralele specifice pe contur, rezultate din tensorul tensiunii maxwelliene, după axa 0x și 0y rezultând valorile Fx și Fy cu forța rezultantă care va avea modulul

Pentru =0, ambele metode nu pot duce la calculul forțelor: prima, fiindcă nu poate fi modificat, iar la metoda a doua nu poate fi trasat conturul în jurul armăturii mobile asfel încât să treacă numai prin aer, valoarea rezultată la forțarea conturului prin medii definite fiind neconcludentă datorită erorilor aferente în procente între medii.

Discretizarea pentru această metoda s-a facut prin rotirea rotorului cu câte 50, starea initială fiind pozitia verticală.

4.2. Electromagnetul de tip “C”

Figura 20. Electromagnet de tip C

4.2.1. Definirea problemei

Definirea problemei se face selectând “Problem” din meniu, în mod automat va apărea fereastra “Problem Definiton” ca din figura următoare:

Figura 21. Fereastra de dialog “Definirea problemei”

4.2.2. Geometria și materialele

Desenarea geometriei și introducerea materialelor la electromagnetului „C” se face cu preprocesorul (femm.exe). Modul de desenare, utilizarea gridului precum și modul de vizualizare se face în mod analog ca și la electromagnetul cu rotor profilat.

Electromagnetului de tip “C” după finalizarea introducerii geometriei în preprocesor este următorul:

Figura 22. Geometria electromagnetului de tip C

Modul de definire a materialelor, circuitului, frontierelor, problemelor , mesh-ului, se face analog ca și la electromagnetul cu rotor profilat

Configurarea rețelei de elemente finite

Figura 23. Reteaua de discretizare

4.2.3. Postprocesarea

Soluțiile problemei în modul punct

Pentru exemplificare am redat valori ale câmpului calculate și afișate de program pentru punctele: (10,0) pe armătura fixă, (5,-51) pe armătura mobilă, (9,14) în bobina și (72,1) la “infinit”.

armatura mobile (5,-51) bobina (9,14)

armatura fixa (10,0) infinit (72,1)

Spectrul câmpului magnetic, respectiv densitatea fluxului magnetic în configurația definită de electromagnetul de tip “C” excitat în curent continuu pentru diferite valori ale sunt redate în figurile de mai jos

pentru =5 mm

Figura 24. Distribuția inducției magnetice în electromagnetul de tip C

-pentru =5 mm; 150

Figura 25. Distribuția inducției magnetice în electromagnetul de tip C

-pentru =5mm;300

Figura 26. Distribuția inducției magnetice în electromagnetul de tip C

Reprezentări grafice

Pentru tipul de electromagnet “C” am reprezentat grafic valorile mărimilor: modul B și a potențialului vector A.

Reprezentatrea grafică a potențialului

Reprezentarea grafică a fluxului magnetic:

4.2.4. Calculul forței

4.3. Electromagnetul tip “plonjon”

4.3.1. Definirea problemei

Definirea problemei se face selectând “Problem” din meniu, în mod automat va apărea fereastra “Problem Definiton” ca din figura următoare:

Figura 27. Fereastra de dialog “Definirea problemei”

4.3.2. Geometria și materialele

Desenarea geometriei și introducerea materialelor la electromagnetului „C” se face cu preprocesorul (femm.exe). Modul de desenare, utilizarea gridului precum și modul de vizualizare se face în mod analog ca și la electromagnetul de tip „E”.

Electromagnetului de tip plonjon după finalizarea introducerii geometriei în preprocesor este următorul:

Figura 28. Geometria electromagnetului de tip E

Modul de definire a materialelor, circuitului, frontierelor, problemelor , mesh-ului, se face analog ca și la electromagnetul cu rotor profilat

Figura 29. Reteaua de discretizare a electroomagnetului de tip C

4.3.3. Postprocesarea

Soluțiile problemei în modul punct

Pentru exemplificare am redat valori ale câmpului calculate și afișate de program pentru punctele:, (-25,28) pe armătura mobilă, (2,27) în bobina și (72,116) la “infinit”.

(-25,28) armătura mobilă (2,27) bobina

(72,116) infinit

Prin apăsarea butonului al treilea din figura 13, calculul modelui se finalizează prin afișarea de către calculator a liniilor de câmp în fereastra “femmview”. Spectrul câmpului magnetic respectiv densitatea fluxului în configurația definită de electromagnetul tip plonjon excitat în curent continuu pentru trei poziții diferite a plonjonului sunt cele de mai jos

Figura 30. Distribuția inducției magnetice pentru electromagnetul de tip E

Figura 31. Distribuția inducției magnetice pentru electromagnetul de tip E

Figura 32. Distribuția inducției magnetice pentru electromagnetul de tip E

Figura 33. Distribuția liniilor de câmp pentru electromagnetul de tip E

Reprezentări grafice

Pentru electromagnetul tip plonjon am reprezentat grafic valorile mărimilor: modul B și a potențialului vector A.

Reprezentarea grafică a potentialului

Reprezentarea grafică a fluxului magnetic

4.3.4. Calculul forțelor

CONCLUZII

Simularea prin metoda elementului finit da posibilitatea calculului mărimilor specifice câmpului magnetic, posibilitatea integrării pe o curbă, pe o suprafață sau un volum bine definit, care este mult mai avantajoasă față de metoda clasică, de proiectare, realizare și încercare a prototipurilor, fiind și mult mai ieftină, oferind o bogăție de informații concludente pentru utilizator.

Pentru analiza geometrică ale celor trei configurații de electromagneți alese tip „C”, tip ‚plonjon’ respectiv cel cu rotor bobinat am folosit utilitarul FEMM

Dacă la o discretizare inițială a rețelei, analiza câmpului a durat circa 1-2 secunde, odată cu îndesirea rețelei s-a mărit durata la câteva zeci de secunde, timpul de lucru fiind dependent de performanta calculatorului.

Discretizarea pentru calculul forțelor prin tensorul tensiunilor maxwelliene s-a pornit de la valoarea inițială cea aleasă de calculator, iar prin micșorarea treptată a rețelei elementelor s-a ajuns la valoarea de 0.5 milimetrii, distanta maximă a laturii unui element, valoare pe care am considerat-o suficient de precisă pentru calculul forțelor astfel încât eroarea să fie minimă.

Analizad cele doua metode se observa ca cea care da mai multe informatii este metoda de calcul analitica care are urmatoarele caracteristici:

este mai complexa ,

necesita un nivel de cunostinte mai ridicat pentru a rezolva ecuatiile matematice

necesita un timp de efort mai mare pentru obtinerea rezultatului

timpul pentru obtinerea rezultatului este considerabil si creste odata cu complexitatea modelului de analiza adoptat

este o metoda care poate sa obtina rezultate fine si precise, reflectand un rezultat cat mai exact fata de conditiile reale

Metoda de calcul numerica are urmatoarele caracteristici:

este o metoda de calcul simplificata

necesita un timp mai scurt pentru obtinerea rezultatelor

resursele folosite sunt mult diminuate

datele obtinute prin aceasta metoda reflecta rezultate obtinute in conditii particulare in compartie cu alte date obtinute in conditii analitic generalizate

Metoda de calcul folosind programul informatic FEMM are urmatoarele caracteristici :

ofera posibilitatea de a modela modelul matematic si fizic privind analiza si calculul complex pornind de la un model simplificat la un model analitic complex

are limite privind implementarea modelului matematic, fiind un program informatic dezvoltat pe o anumita structura nu permite abstractizarea metodei de calcul, altfel spus are la baza sabloane predefinite privind realizarea calculelor

este o solutie rapida prin care se pot obtine rezultate reale, se pot face simulari in timp scurt, fapt ce poate contribui la luarea unei decizii rapide privind solutia adoptata

pune la dispozitie reprezentari grafice a modelului realizat si a marimilor calculate

necesita o dotare privind tehnica de calcul, instruirea personalului, licentierea aplicatiilor informatice, toate acestea insemnand costuri.

Concluzionand putem face o comparatie intre metodele prezentate anterior dupa cum urmeaza:

gradul de detaliere si precizie a rezultatelor

timpul de obtinere a rezultatelor

costurile de obtinere a rezultatelor

Metota analitica ne da cea mai clara imagine asupra rezultatului, dar implica un efort uman (nivel de cunostinte si timp) mai ridicat, posibil ca in anumite cazuri sa nu fie eficient din punct de vedere al raportului rezultate/timp.

Metoda numerica este cea care poate obtine un rezultat bun in cadrul proiectelor in care nu se doreste a se investi multi bani sau timp, obtinand rezultatele dorite.

Metoda de calcul folosind programe informatice este cea care in conditiile in care se doreste obtinerea in timp scurt a unor rezultate foarte bune este cea mai buna solutie privind raportul rezultate/timp, dar are dezavantajul ca metodele de calcul nu pot fi abstractizate la acelasi nivel ca si in metoda analitica.

Astfel in functie de rezultatul dorit privind rapoartele rezultate/timp/costuri se poate opta in functie de caz pentru oricare din metodele prezentate anterior.

Deci fiecare metoda folosita, are si avantajele ei economice ,in functie de timpul necesar pentru a obtine un rezultat cat mai precis, de bani investiti pentru a obtine rezultate cat mai precise si cat mai reale, de implicarea factorului uman in obtinerea acestor rezultate.

Alegerea celei mai viabile metode se face in functie de asteptarile pe care le au cei care decid acest lucru si in functie de interesele economice ale fiecarei companii, dar tinandu- se cont de :rezultate,timp si costuri.

BIBLIOGRAFIE

[1] P. Andea: Electromagneți, Editura Helycon, Timișoara,1993

[2] N. Bogoevici: Electrotehnică și măsurări electrice, Editura Didactică și Pedagogică, București,1979

[3] G. Hortopan : Aparate electrice de comutație volumul I, Editura Tehnică, București, 1993

[4] G. Hortopan: Aparate electrice de comutație volumul II, Editura Tehnică, București, 1993

[5] G. Hortopan: Probleme de aparate electrice, Editura Didactică și Pedagogică, București 1982

[6] E. Micu: Electrotehnică de la A la Z, Editura Stiințifică, București, 1985

[7] C.I. Mocanu: Teoria câmpului electromagnetic, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

[8] C. Șora: Bazele electrotehnicii, Editura Didactică și Pedagogică, București 1982

[9] R. Răduleț, A. Țugulea, Al. Timotin, Teoreme de unicitate pentru regimuri variabile ale câmpului electromagnetic, St. cerc. energ. electr., tom. 21, nr. 1, p. 109-128, 1971

[10] Manual utilizare FEMM

[11] F. I. Hănțilă, E. Demeter, Rezolvarea numerică a problemelor de câmp electromagnetic, Ed. Ari Press, ICPE-ME, 1995

[12] F. I. Hănțilă, Contribuții asupra toriei mașinilor de curent continuu cu magneți permanenți, teza de doctorat, București, Facultatea de Electrotehnică, catedra Mașini electrice, 1976

[13] F. I. Hănțilă, Mathematical Models of the relation between B and H, Rev. Roum. Sci. Techn. – Électrotechn. et. Énerg., 19,3, pp.429-448, Bucharest, 1974, ISSN-1223-2106

[14] I.F.. Hănțilă, T. Leuca, C. Ifrim, Electrotehnicaă teoretică, Editura Electra București, 2002, pp.201, (ISBN 973-8067-69-3)

[15] Hănțilă F., Preda G., Vasiliu M., Leuca T., Della Giacomo E. (2001) Calculul numeric al curenților turbionari, Editura ICPE, 2001, ISBN 973 – 8067 – 31 – 6;