Utilizarea Tangentei la Demonstrarea Unor Inegalitati

Ne propunem să aplicăm metoda descrisă în articolul „Using Tangent Lines to Prove Inequalities”,autor Kin-Yin Li , din revista Mathematical Excalibur pentru obținerea unor generalizări ale unor probleme cu inegalități .

Vom analiza care este minimul sau maximul unei expresii de forma , unde a,b,c n număr natural nenul și k întreg.Notând a+b+c=s , prima fracție de mai sus se mai poate scrie ==, unde a’.Prin urmare problema se reduce la a studia minimul sau maximul expresiei , cu .Putem studia de fapt minumul sau maximul expresiei , unde

.

Considerăm funcția f:(0,1)→R , f(x)= .Este o funcție derivabilă și

f’(x)= . , iar .Ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă este : y-= .Vom considera funcția g:(0,1)→R , g(x)= și h:(0,1)→R , h(x)=f(x)-g(x) .

h(x)==

==. Vom pune condiția ca h să nu-și schimbe semnul pe (0,1) ., și de asemenea deoarece are Δ<0 .Va trebui ca soluția ecuației =0 să nu se găsească în intervalul (0,1) , adică sau .

Pentru cazurile în care vom avea h(x)va obține că f(x)

Deci f(a)+f(b)+f(c)g(a)+g(b)+g(c)=+== , deoarece a+b+c=1.

Pentru cazurile în care h(x) , inegalitățile de mai sus își schimbă semnul și obținem f(a)+f(b)+f(c) .

Vom analiza câteva cazuri particulare .Mai întâi cazurile în care s-ar putea simplifica fracția prin n+1 sau prin n-2k-2 .

Pentru prima situație ar trebui ca n=-1 să fie soluție a ecuației ,deci k=-2 .În acest caz

h(x)= și h(x) , deci f(x).

Avem f(a)+f(b)+f(c)g(a)+g(b)+g(c)=++== .

În acest caz obținem inegalitatea ++, unde a,b,c>0 .

Pentru n=1 se obține exemplul 3 din (Math Excalibur ) .

Un al II-lea caz ar fi pentru n=2k+2 să fie soluție a ecuației . Acest lucru s-ar petrece pentru k=-3 sau k=-1.

Prima variantă este neinteresantă deoarece conduce la inegalitatea ++

În schimb , pentru k=-1 , h(x)= și h(x). Cazul n=0 este neinteresant , dar pentru n , obținem ++, a,b,c>0 .

Să analizăm acum un alt caz particular interesant și anume k=1, pentru care h(x)=.

Considerând p(x)=8(n-4)(n+1)x2+n2-32n+48 , vom avea ca p(x)

(n2-32n+48)(9n2-56n+16). Ținând cont că n este natural , rezultă

n.

Pentru n=0 se obține inegalitatea ++

Pentru n=2 ,h(x)= și h(x) Prin urmare obținem inegalitatea

++ (dată la Olimpiada de matematică a SUA , 2003 și prezentată în Math. Exc).

Pentru n=3 , h(x)= și h(x). Prin urmare obținem

++

Pentru n=4 se obține++,

iar pentru n=5 se obține

++.

În schimb pentru n , și se obține o inegalitate de forma

++ .

Obs. Dacă avem f , I interval ,o funcție derivabilă și convexă , graficul ei va fi situat deasupra tangentei la grafic într-un punct oarecare al său .

Prin urmare f(x),.

Considerând pe rând în inegalitatea de mai sus x= x1,x=x2,….,x=xnși α=(x1+x2+…+xn)/n și adunând relațiile obținem f(x1)+f(x2)+…+f(xn)x1+x2+….+xn-nα)+nf(α) , adică

f(x1)+f(x2)+…+f(xn) (ceea ce rezultă și din inegalitatea lui Jensen) .

Bibliografie :

1. Kin-Yin Li , Using Tangent Lines to Prove Inequalities, Mathematical Excalibur , Vol.10 , No.5,Dec2005-Jan.2006

2 . Ibragin Ibatulin and Adisultan Lepes , Using Tangent Lines to Prove Inequalities(part.II), Mathematical Excalibur, vol.18, No.5.