Proiectii Cartografice

1. Noțiuni introductive 4

1.1. Definiția, obiectul și ramurile cartografiei 4

1.2. Evoluția cartografiei în lume și în România 6

2. Elemente de cartologie și cartometrie. Reprezentări cartografice 15

2.1. Definiții 15

2.2. Clasificarea reprezentărilor cartografice 19

2.3. Atlase. Definiție. Clasificări 22

2.4. Elementele reprezentărilor cartografice 25

2.4.1. Elementele matematice ale reprezentărilor cartografice 27

2.4.1.1. Scara topografică 27

2.4.1.2. Cadrul reprezentărilor cartografice 32

2.4.1.3. Nomenclatura reprezentărilor cartografice 40

2.4.1.4. Baza geodezo-topografică 40

2.4.1.5. Elementele de orientare 58

2.4.1.6. Graficul înclinării versanților 62

2.4.2. Elementele de conținut 62

3. Teoria generală a proiecțiilor cartografice 96

3.1. Care este forma Pământului? Elipsoid sau sferă 96

3.2. Sisteme de coordonate folosite în măsurătorile terestre 100

3.2. Noțiuni și formule utilizate în cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă 111

3.3. Elementele matematice ale elipsoidului terestru. Ecuația elipsei meridiane. 116

3.5. Distanțe elementare pe elipsoid și în planul de proiecție. Lungimile arcelor de meridian și de paralel pe elipsoid. Elementul de arie 121

3.6. Scări și deformații. Evaluarea și măsurarea deformării. Indicatricea lui Tissot 127

3.7. Ortodroma și loxodroma. 135

4. Clasificarea proiecțiilor cartografice 141

4.1. Noțiuni intoductive. Definiții. Caracteristici 141

4.2. Elementele unei proiecții cartografice perspective 147

4.3. Clasificarea sistemelor de proiecție cartografică 150

4.3.1. Clasificarea proiecțiilor cartografice după deformările suferite 151

4.3.2. Clasificarea proiecțiilor după tipul suprafeței de proiecție utilizate sau după modul de construcție 155

4.3.3. Clasificarea proiecțiilor după poziția suprafeței de proiecție 162

4.3.4 Clasificarea proiecțiilor după modul de utilizare în construcția hărților. 166

4.4. Alegerea unei proiecții cartografice 167

5. Proiecții cilindrice 172

5.1. Definiții, clasificare, deformații, rețea cartografică 172

5.2.Proiecția cilindrică normală pătratică (simplă) 179

5.3. Proiecția cilindrică dreptunghiulară 181

5.4. Proiecția cilindrică normală cu latitudini crescânde Mercator 184

5.5. Proiecția cilindrică transversală Gauss-Krüger 191

5.5.1. Generalități 191

5.5.2. Sistemul de proiecție cartografică Gauss-Krüger aplicat în România. Nomenclatura reprezentărilor cartografice în proiecția Gauss-Krüger 198

5.5.3. Transformări de coordonate în proiecția Gauss-Krüger 207

5.5.3.1. Calculul coordonatelor rectangulare plane Gauss (x,y) în funcție de coordonatele geografice (B,L) 207

5.5.3.2. Calculul coordonatelor geografice pe elipsoid (B,L) în funcție de coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y) 215

5.5.4. Unghiul de convergență al meridianelor în proiecția Gauss-Krüger 222

5.5.5. Reducerea direcțiilor la planul de proiecție Gauss 224

5.5.6. Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție Gauss-Krüger 227

5.6. Proiecția Universală Transversală Mercator (U.T.M.) 229

5.6.1. Generalități. Relații de determinare 229

5.6.2. Deformațiile în proiecția U.T.M. 235

5.6.3. Nomenclatura și împărțirea pe foi de hartă 240

6. Proiecții conice 249

6.1. Definiții, clasificare, deformații, rețea cartografică 249

6.2. Proiecții conice normale tangente echidistante 255

6.3. Proiecții conice normale tangente conforme (Lambert) 258

6.4. Proiecția pseudoconică normală echivalentă Bonne 262

7. Proiecții azimutale 267

7.1. Principii fundamentale 267

7.2. Proiecții azimutale perspective 275

7.3. Proiecții azimutale perspective ortografice 281

7.4. Proiecția stereografică 286

7.4.1. Elementele geometrice ale proiecției 286

7.4.2. Proiecția stereografică oblică pe plan secant unic Brașov 294

7.4.4. Proiecția stereografică 1970 301

7.4.5. Transformări de coordonate în proiecția stereografică 1970 310

7.4.5.1. Transformarea coordonatelor geografice (B,L) de pe elipsoidul de referință Krasovski 1940 în coordonate rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) 310

7.4.5.2. Transformarea coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) în coordonate geografice (B,L) pe elipsoidul de referință Krasovski 1940 317

7.4.5.3. Transformarea coordonatelor unui punct din proiecția stereografică 1970 într-un plan secant local (paralel cu planul proiecției 322

stereografice 1970) 322

7.4.5.4. Transformarea coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) în coordonate rectangulare plane Gauss (x,y) sau invers 323

7.4.6. Reducerea direcțiilor la planul proiecției stereografice 1970 323

7.4.7. Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție stereografică 1970 326

7.4.8. Unghiul de convergență meridiană 327

7.4.9. Proiecții stereografice folosite în Transilvania pentru implementarea sistemului cadastral austriac 330

7.4.9.1. Sistemul de proiecție cartografică stereografic cu plan tangent Budapesta 331

7.4.9.2. Sistemul de proiecție cartografică stereografic cu plan tangent Târgu Mureș 337

8. Propunere privind adoptarea unei noi proiecții cartografice în România 341

8.1. Elemente caracteristice 341

8.2. Conversii de coordonate în Proiecția Stereografică 2010 348

8.2.1. Conversia coordonatelor geografice (B,L ) de pe elipsoidul de referință GRS 80 în coordonate rectangulare plane stereografice (x,y) 348

8.2.2. Conversia coordonatelor rectangulare plane stereografice (x,y) în coordonate geografice (B,L ) pe elipsoidul de referință GRS 80 353

8.3. Nomenclatura foilor de hartă și de plan în proiecția Stereografică 2010 358

1. Noțiuni introductive

1.1. Definiția, obiectul și ramurile cartografiei

Cartografia este știința și arta care studiază tehnica reprezentării în plan a suprafeței tridimensionale curbe a Pământului sau a unei porțiuni din această suprafață, în vederea întocmirii, prelucrării, producției și diseminării, studierii și utilizării planurilor și hărților.

Cartografia este știința care se ocupă cu studierea, prelucrarea, întocmirea și utilizarea hărților (A. Năstase).

Asociația Cartografică Internațională definește cartografia ca ansamblul operațiunilor și studiilor științifice, tehnice și artistice care intervin începând cu rezultatele observațiilor directe sau exploatării unor documentații, în vederea elaborării și redactării de planuri, hărți și alte tipuri de reprezentări grafice cât și utilizarea acestora.

Conform DEX, ediția 1998, cartografia este disciplina care studiază tehnica de întocmire a hărților și a planurilor topografice și provine, în limba română, din francezul cartographie. Termenul de „cartografie” provine la origini din limba greacă, unde chartis înseamnă hartă și graphein înseamnă a scrie.

Dacă vom consulta diferite surse de informare în domeniul măsurătorilor terestre vom găsi o multitudine de definiții date cartografiei, în funcție de autor, sursa de documentare, viziune etc dar, în esență, cartografia este știința și arta care se ocupă cu tehnica întocmirii, prelucrării, producției și diseminării, studierii și utilizării reprezentărilor cartografice.

Cartografia, în ansamblul său, a contribuit la realizarea unui important pas înainte în evoluția societății omenești și în dezvoltarea intelectuală a umanității.

Obiectul de studiu al cartografiei îl constituie, în esență, reprezentarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului pe suprafața plană a reprezentărilor cartografice și abordează umătoarele teme de studiu:

culegerea, prelucrarea și stocarea informațiilor despre suprafața terestră;

reprezentarea caracteristicilor tridimensionale ale Pământului pe suprafața plană a reprezentărilor cartografice bidimensionale;

conceperea și dezvoltarea unor convenții pentru reprezentarea grafică a informațiilor despre suprafața terestră;

producția și diseminarea, studierea și utilizarea reprezentărilor cartografice.

Dacă la începuturile existenței sale, cartografia era parte componentă a geografiei, odată cu evoluția generală a societății omenești și a cunoașterii în domeniu, cartografia a devenit o știință de sine stătătoare care are următoarele ramuri:

cartologia;

cartografia matematică sau teoria proiecțiilor cartografice;

întocmirea hărților;

cartoreproducerea;

cartometria.

Cartologia este ramura cartografiei care se ocupă cu studiul istoric al hărților si analiza componentelor acestora.

Cartografia matematică sau teoria proiecțiilor cartografice este ramura cartografiei care se ocupă cu studiul sistemelor de proiecție utilizate pentru a reprezenta suprafața tridimensională curbă a Pământului pe o suprafață plană, utilizând calcule matematice.

Întocmirea hărților este ramura cartografiei care studiază metodele utilizate pentru confecționarea originalului hărții, respectiv completarea rețelei cartografice cu diferite fenomene și elemente de pe suprafața Pământului.

Cartoreproducerea (editarea hărților) este ramura cartografiei care studiază metodele și procedeele tehnice producție a originalului hărții și de multiplicare și diseminare a lui.

Cartometria este ramura cartografiei care studiază procedeele și instrumentele necesare realizării diferitelor determinări pe reprezentările cartografice (planuri și harți).

În etapa actuală, datorită dezvoltării cartografiei și apariției diferitelor hărți speciale, solicitate în cele mai diferite domenii, au apărut noi discipline cartografice, după cum urmează:

cartografia militară;

cartografia geologică și minieră;

cartografia fizico-geografică;

cartografia economico-geografică;

cartografia cosmică.

1.2. Evoluția cartografiei în lume și în România

Din cele mai vechi timpuri și până în prezent oamenii au creat și au folosit hărți, în directă legătură cu evoluția și progresele științei și tehnicii, pornind de la reprezentările rupestre și hărțile antice până la modernele hărți digitale și reprezentări 3D.

Primele hărți au apărut din necesitate oamenilor de a-și explica fenomene din lumea înconjurătoare și de pe bolta cerească, astfel probabil nu întâmplător printre cele mai vechi reprezentări cartografice găsite pe pereții peșterii Lascaux (Franța), datate cu 16500 î.e.n. și în peștera Cueva di El Castillo (Spania) datate cu 12000 î.e.n., materializau părți din cerul înstelat al nopții.

Ulterior hărțile au început să reprezinte trasee de vânătoare, rute de comerț, proprietăți imobiliare, orașe și zone înconjurătoare acestora și uneori cetăți și fortificații reprezentate în scop militar.

Primele hărți sunt legate direct de credințele religioase și de curentele filozofice ale vremii, astfel una dintre cele mai vechi hărți a lumii, care s-a păstrat până în zilele noastre, este „Harta Babiloniană a lumii” (cca. 600 î.e.n.), unde regiunea prezentată este ilustrată sub forma rotundă, cu orașul Babilon în centru, înconjurată de ape (fig. 1.1).

Fig. 1.1 Harta Babiloniană a lumii (real și interpretare) (http://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_Map_of_the_World)

În antichitatea elenistă, Anaximandru (cca. 600 î.e.n.) a desenat o hartă a lumii cunoscute la acea vreme, care însă nu s-a păstrat, dar 50 de ani mai târziu, Hecateu din Milet (550-475 î.e.n.) a realizat o hartă versiune îmbunătățită a celei realizate de Anaximandru (fig. 1.2) în care pământul este prezentat ca o placă circulară înconjurată de ocean, iar în centrul acestuia este localizată Grecia.

Fig. 1.2 Harta lumii după Hecateu (https://en.wikipedia.org/wiki/Hecataeus_of_Miletus)

O caracteristică importantă a hărților antichității este aceea că nu erau realizate la scară. De altfel, în general unitatea de măsură folosită era „ziua de navigat” pe mare și „ziua de mărșăluit” pe uscat.

Herodot (484-424 î.e.n.) a schimbat opinia existentă la acea vreme că pământul este o placă circulară înconjurată de ocean și prezintă pământul ca având o formă neregulată cu înconjurat de oceane și desigur Grecia în centrul său. El a împărțit lumea în trei continente: Europa, Asia și Africa și a presupus că Europa se întindea mult mai departe decât se credea în vremea lui și a lăsat ca forma Europei să fie determinată de cercetări ulterioare. Din păcate harta realizată de Herodot nu s-a păstrat (unii cred că nici nu a existat), ci doar o reconstrucție din jurul anilor 400 î.e.n. (fig. 1.3).

Un pas important în evoluția conceptelor filozofice despre forma pământului îl constituie opinia lui Aristotel (384-322 î.e.n.) care afirmă că pământul este sferic (deși au mai existat astfel de opinii în antichitate) și vine cu următoarele argumente în sprijinul acestei teorii:

dincolo de orizont vapoarele par că se scufundă;

eclipsa lunii este întotdeauna circulară;

unele stele pot fi văzute numai din anumite părți ale pământului.

Fig. 1.3 Harta lumii după Herodot (reconstrucție) (https://en.wikipedia.org/wiki/Herodotus)

Având în vedere afirmația lui Aristotel, un alt mare învățat al antichității, Eratostene (275-195 î.e.n.) a realizat pentru prima dată o estimarea științifică a circumferinței pământului prin calcularea înălțimii umbrelor în diferite zone ale pământului la o anumită oră.

Eratostene a introdus pentru prima dată noțiunile de: meridian și paralelă și a împărțit Pământul în cinci regiuni climatice.

Ulterior, Claudius Ptolemeu (90-168 e.n.) a propus o metodă exactă pentru stabilirea poziției obiectelor de pe suprafața Pământului, folosind un sistem de coordonate alcătuit din paralele și meridiane și a propus două sisteme de proiecție cartografică (proiecția stereografică, proiecția conică simplă-cunoscută sub numele de ”Proiecția lui Ptolomeu”). De asemenea, se consideră că Ptolemeu a folosit pentru prima dată hărțile așezate cu nordul în sus și estul la dreapta.

Romanii, celebri în istorie prin cuceririle și cultura lor și nu numai, au întocmit hărți numite „itinerarii”, folosite în războaiele lor și unde sunt materializate îndeosebi drumurile principale ale Imperiului Roman, știut fiind și importanța acordată acestora de romani. O astfel de hartă este „Tabula Peutingeriană” și a fost descoperită de Conrad Celtis (1459-1508) și predată lui Konrad Peutinger (1465-1547) din orașul german Augsburg, care a prelucrat-o. O astfel de Tabula Peutingeriană este păstrată la Muzeul Național al Unirii din Alba Iulia (https://ro.wikipedia.org/wiki/Tabula_Peutingeriana, fig. 1.4).

Fig. 1.4 Tabula Peutingeriana „Dacia, Segmentum VII-VIII”

În Evul Mediu cartografia a luat un avânt deosebit prin cunoștințele dobândite de exporatori și comerciați în călătoriile lor dar hărțile sunt legate în special de necesitățile practice, respectiv zonele de comerț. Astfel, s-au întocmit hărți maritime, în special în jurul porturilor, numite „portulane” (fig. 1.5).

Fig. 1.5 Marea Neagră, Portolan, sec. al XVI-lea (https://www.academia.edu/4652526/Curs_1_pptx)

Să nu ne imaginăm că doar europenii au realizat hărți și si-au adus contribuția la dezvoltarea și evoluția cartografiei. Importante contribuții au avut și oamenii de știință chinezi cât și cei din lumea musulmană. Spre exemplu, Pei Xiu – „părintele cartografiei chineze” a realizat o hartă detaliată a Chinei unde descrie resursele economice ale diferitelor provincii chineze.

Din lumea musulmană trebuie menționat, cu un rol deosebit, amiralul turc Piri Reis, care în anul 1513 a realizat o hartă a lumii, găsită în anul 1929 de un grup de istorici care cercetau o secțiune a haremului Palatului Topkapi din Istambul și care a stârnit controverse în lumea științifică, datorită ilustrării clare a coastei de nord și de sud a continentului american și a continentului Antarctica, care nu a fost “descoperit” decât în 1818 (fig. 1.6).

Fig. 1.4 Harta lui Piri Reis (https://ro.wikipedia.org/wiki/Fi%C8%99ier:Piri_reis_world_map_01.jpg)

Analizată cu tehnologia modernă și comparată cu cunoștințele actuale, harta lui Piri Reis s-a dovedit a fi perfectă, dar chiar a adus corecturi hărților moderne. De exemplu, pe harta lui Piri Reis, Groenlanda e reprezentată prin două insule separate și nu prin una singură așa cum se cunoaște. Această informație a fost confirmată relativ recent cu ajutorul sondelor, respectiv sub stratul de gheață sunt într-adevăr două insule și nu una așa cum se cunoaște la suprafața gheții. În Antarctica se cunoaște astăzi că sub calota de gheață există văi și munți care au fost descriși cu cea mai mare exactitate pe harta lui Piri Reis.

Asupra hărții lui Piri Reis s-au emis multe ipoteze, dar este considerată doar o curiozitate, printre multe altele care ar schimba, poate, sistemele de valori sau istoria umanității, așa cum o știm.

În 1569 cartograful flamand Gerhard Kremer, cunoscut în lumea latină sub numele de Mercator (1512 – 1594) publică o hartă care se bazează pe proiecția cartografică care îi poartă numele (Proiecția Mercator) și este utilizată și astăzi în navigația maritimă, iar în 1578 publică o colecție de hărți geografice, realizate după hărțile lui Ptolemeu corectate și introduce pentru prima dată noțiunea de atlas.

Merită, de asemenea, amintit astronomul francez Giovanni Domenico Cassini care la sfârșitul anilor 1600 a început să lucreze la prima hartă topografică modernă și, nu în ultimul rând, Căpitanul James Cook care între anii 1763-1767 a realizat harta Noii Zeelande.

Un moment important în evoluția cartografiei a fost marcat de alegerea ca meridian origine, în anul 1884 la Conferința de la Washington, a meridianului observatorului Greenwich.

Pe teritoriul țării noastre, primele hărți apar încă din secolul al XVI-lea, ca preocupare a unor domnitori și cărturari români, dar precizia acestora nu era deosebită datorită informațiilor culese, iar redactarea deforma uneori realitatea.

O contribuție importantă la dezvoltarea cartografiei în țara noastră au adus Johannes Honterus, stolnicul Constantin Cantacuzino și Dimitrie Cantemir.

Românul Johanes Honterus a întocmit prima hartă a Transilvaniei, intitulată “Chorographia Transilvaniae Sybemburgen” care a fost tipărită la Basel în 1532, dar și harta întregii Românii intitulată „Dacia” care cuprinde Țara Românească, Moldova și Transilvania și care a fost publicată în lucrarea “ Rudimenta Cosmographia” la Brașov în 1541.

Stolnicul Constantin Cantacuzino a întocmit o hartă a Muntenieie și Olteniei, tipărită la Padova în 1700, ce cuprindea elemente fizice, economice, populaționale, administrative și arheologice și care se găseste la British Museum din Londra.

Domnitorul Moldovei, Dimitrie Cantemir, autorul lucrării „Descriptio Moldaviae”, realizează și o hartă a Moldovei ce cuprindea elemente economice, fizico-geografice și meridianele și paralelele geografice, hartă publicată de către fiul său Antioh Cantemir la Amsterdam în 1737. Din punct de vedere cartografic și al realizării acesteia harta lui Dimitrie Cantemir constituie o adevărată capodoperă a cartografiei europene.

Cu toate că domnitori și cărturari români au avut contribuții importante la evoluția cartografiei românești și internaționale, abia secolul al XIX–lea a marcat începutul realizării unor lucrări cartografice extinse, bazate pe măsurători geodezice și topografice de mare anvergură și realizarea rețelelor de triangulație cu acoperire extinsă și nu în ultimul rând punerea bazelor învățământului de specialitate în România.

Dacă primele hărți au fost realizate manual cu pensule pe piei de animale sau pergament, fiind în general slabe calitativ și cu distribuție limitată, valorificând mai mult spiritul artistic al realizatorului și erau mai puțin bazate pe măsurători, dezvoltarea tehnicii și tehnologiei, inventarea compasului, tiparului, telescopului, sextantului, teodolitului și poligonației a permis crearea unor hărți mult mai exacte, bazate în principal pe măsuratori cu o distribuție mult mai largă.

Începutul secolului al XX-lea a adus noi progrese în cartografia mondială, progrese favorizate de îmbunătățirile aduse tiparului și fotografiei, care au înlesnit și ieftinit producția hărților, făcând ca acestea să devină mai răspândite și mai accesibile. Avioanele au făcut posibilă fotografierea unor suprafețe întinse dintr-odată. În a doua jumătate a secolului XX, dezvoltarea tehnologiei electronice, utilizarea calculatoarelor și a sateliții artificiali a dus la o nouă revoluție în cartografie care a facilitat noi laturi ale cunoașterii cartografice, posibilitatea de culegere, depozitarea, clasificare și aranjarea unui volum sporit de informație.

Utilizarea pe scară largă a computerelor, perfecționarea acestora și a softurilor de tip baze de date, procesare imagistică și analiză spațială, apariția și evoluția perifericelor de intrare (scannere) și ieșire; de la monitoare la plottere și imprimate, mergând până la imprimantele 3D au extins aproape de infinit abilitatea de a realiza, utiliza și interpreta hărți.

Astăzi, cartografia românească, prin Centrul Național de Cartografie, beneficiind în totalitate de tehnica și tehnologiile de vârf existente pe plan mondial, se situează la un nivel științific de top prin problematica abordată, calitatea și cantitatea produselor realizate.

2. Elemente de cartologie și cartometrie. Reprezentări cartografice

2.1. Definiții

Odată cu evoluția societății omenești a evoluat și harta, considerată a fi cel mai înalt privilegiu al gândirii geografice, devenind un adevărat concept cu numeroase forme și interpretări.

Dacă vom studia diverse lucrări de cartografie, mai vechi sau mai noi, vom găsi o multitudine de definiții, mai simple sau mai complexe, date hărții, dar în esență toate fac referire la reprezentarea suprafeței curbe a Pământului pe o suprafață plană.

În opinia mea, consider că cea mai cuprinzătoare definiție este următoarea:

Harta este o reprezentare cartografică plană, convențională, la scară mică, obținută în urma unei proiecții cartografice și care conține, în mod generalizat, detaliile planimetrice și altimetrice ale întregii suprafețe a Pământului sau numai a unei porțiuni din ea, redată pe bază de semne convenționale. Harta prezintă un grad mare de generalizare dar relativ puține detalii.

Planul este o reprezentare cartografică plană, convențională, la scară mare, a unei porțiuni restrânse din suprafața terestră, fără a ține cont de curbura acesteia.

Având în vedere porțiunea mică din scoarța terestră, cuprinsă într-un plan, curbura Pământului este neglijată, iar proiectarea punctelor de pe suprafața terestră se face ortogonal. Verticalele proiectante sunt paralele între ele, fără a se folosi un sistem de proiecție cartografic.

Planul topografic prezintă, în principiu, același conținut ca și harta topografică, însă fiind întocmit la scară mai mare (1:20.000 până la 1:50), are un grad de generalizare mult mai redus și face posibilă reprezentarea mai multor detalii.

În tabelul 2.1. am prezentat generalizat principalele aspecte care diferențiază planul de harta.

Tabelul 2.1

Pentru a realiza reprezentarea cartografică a suprafeței terestre pe o suprafață plană, reprezentată de hartă, trebuie să avem în vedere următoarele caracteristici principale ale acesteia:

forma tridimensională curbă a suprafeței Pământului;

eterogenitatea în plan și în înălțime a suprafeței topografice a Pământului.

Având în vedere principalele caracteristicei ale suprafeței terestre care influențează reprezentarea cartografică a acesteia trebuie să apelăm la:

geometrizarea terenului prin alegerea unui număr corespunzător de puncte de detaliu și proiectarea acestor puncte pe suprafața elipsoidului, ca suprafață matematică de proiecție;

proiectarea punctelor caracteristice de pe suprafața elipsoidului pe un plan de proiecție în care se realizează reprezentarea cartografică.

De asemenea, trebuie avut în vedere că o hartă este o reprezentare cartografică convențională în care elementele caracteristice ale suprafeței terestre sunt redate prin semne convenționale și nu o simplă fotografie a suprafeței terestre la un moment dat.

Dată fiind complexitatea suprafeței terestre, pe o hartă nu pot fi reprezentate toate elementele terenului, astfel că în funcție de scara de prezentare și extinderea teritoriului luat în considerare, pe hartă vor fi reprezentate numai anumite elemente și caracteristici ale terenului, caz în care se vorbește despre o generalizare cartografică.

În procesul de transformare a suprafeței tridimensionale curbe a Pământului într-o suprafață plană materializată printr-o hartă, se induc deformări, într-o mai mică sau mai mare măsură a unghiurilor, distanțelor, formelor și suprafețelor. Din acest motiv, în funcție de configurația și mărimea suprafeței care trebuie reprezentată cartografic, de interesul arătat și de scopul pentru care se realizează reprezentarea cartografică, se caută să se elimine sau să se minimalizeze deformarea elementului care interesează, iar celelalte să aibă deformații controlabile și pe cât posibil calculabile.

2.2. Clasificarea reprezentărilor cartografice

Având în vedere marea diversitate a reprezentărilor cartografice, clasificarea acestora se poate realiza după următoarele criterii:

scară reprezentării;

conținut;

destinație;

numărul culorilor;

modul de realizare;

modul de prezentare.

Criteriul definitoriu al clasificării reprezentărilor cartografice este scara de reprezentare, care de altfel (alături de alte elemente) face și diferența dintre plan și hartă.

După criteriul scara reprezentării planurile topografice se împart în:

planuri topografice propriu-zise, realizate la scările 1:20.000; 1:10.000; 1:5.000. Planurile topografice realizate la scara 1:20.000 sunt folosite în armată și se numesc planuri directoare de tragere, iar planurile topografice realizate la scara 1:5000 se numesc planuri topografice fundamentale. De asemenea, în silvicultură, planurile utilizate în amenajamentele silvice sunt realizate la scara 1:20000;

planuri de situație, realizate la scara 1:2.500; 1:2.000. În Transilvania, prin transformarea jugărilor în metri pătrați au rezultat scările 1:5760; 1:3660; 1:2.880; 1:1.440, caracteristice planurilor cadastrale vechi;

planuri urbane sau tehnice, realizate la scara 1:1.000; 1:500;

planuri de detaliu, realizate la scara 1:50; 1:100.

După criteriul scara reprezentării hărțile se împart în:

hărți topografice de detaliu sau hărți la scări mari, realizate la scări cuprinse între 1:25.000 până la 1.200.000;

hărți topografice de ansamblu sau hărți la scări mijlocii, realizate la scări cuprinse între 1:200.000 până la 1:1.000.000;

hărți geografice sau hărți la scări mici, realizate la scări cuprinse între 1:1.000.000 (atlase); 1:5.000.000; 1:10.000.000.

După criteriul conținut reprezentările cartografice (planuri și hărți) se împart în:

reprezentări cartografice generale, care cuprind hărți topografice de detaliu și hărțile topografice de ansamblu, realizate la scări mari și mijlocii cât și și planuri în care sunt cuprinse elemente generale de planimetrie și altimetrie;

reprezentări cartografice speciale sau tematice care scot în evidență un anumit element sau grup de elemente de pe scoarța terestră și se pot împarți în:

reprezentări cartografice speciale fizico-geografice, din care fac parte:

hărți și planuri climatice;

hărți și planuri pedologice;

hărți și planuri hipsometrice (hărți și planuri a înălțimilor);

hărți și planuri morfologice;

reprezentări cartografice speciale social-economice, din care categorie fac parte:

hărți și planuri politico-administrative;

hărți și planuri ale populației;

hărți și planuri economice.

După criteriul destinație reprezentările cartografice se împart în:

hărți și planuri cadastrale;

hărți și planuri militare;

hărți și planuri didactice;

hărți și planuri pentru navigație;

hărți și planuri turistice;

hărți și planuri rutiere.

După criteriul numărul culorilor sau cromatic, reprezentările cartografice (hărți și planuri) pot fi:

reprezentări cartografice monocrome, realizate în alb-negru;

reprezentări cartografice policrome, realizate cu mai multe culori.

După criteriul modul de realizare, reprezentările cartografice se împart în:

reprezentări cartografice analogice;

reprezentări cartografice digitale, care pot fi:

în format raster;

în format vectorial.

După criteriul modul de prezentare, reprezentările cartografice se împart în:

reprezentări cartografice propriu-zise, pe suport de hârtie sau alte suporturi similare;

reprezentări cartografice virtuale, în format electronic.

Având în vedere complexitatea reprezentărilor cartografice de tip hartă, acestea se pot clasifica și după criteriul teritoriul cartografiat astfel:

hărți universale sau mondiale (planigloburi), care conțin reprezentarea întregii suprafețe terestre;

hărți ale emisferelor, care conțin reprezentarea unei emisfere terestre;

hărți ale oceanelor și mărilor, care conțin reprezentarea unei mări sau a unui ocean;

hărți ale continentelor, care conțin reprezentarea unui continent;

hărți ale statelor, care conțin reprezentarea unui stat.

Importanța hărților este foarte frumos sintetizată în aprecierea realizată de către celebrul geograf român, George Vâlsan: „Pricepându-se ușor, întipărindu-se în minte și arătând dintr-o dată, în toată complexitatea, fenomenul care interesează, o hartă înseamnă mare economie pentru învățătură. Ea cruță multe osteneli și îngăduie ca puterile cruțate să le întrebuințăm pentru înaintarea mai departe a adevărului. De aceea, toate științele, ori de câte ori au putut, s-au folosit și se folosesc tot mai mult de hartă”[George Vâlsan, Notiuni de cartografie, 1930].

2.3. Atlase. Definiție. Clasificări

Un atlas este o colecție ordonată de hărți, construite după un program stabilit, întocmite și editate într-un sistem unitar.

Denumirea de atlas dată unei colecții de hărți a fost propusă de Gerhard Kremer cunoscut în lumea latină sub numele de Mercator.

În a doua jumătate a secolului al XX-lea producția de atlase a cunoscut o mare diversificare, astfel că astăzi acestea pot fi clasificate după următoarele criterii:

conținut;

teritorul cuprins;

destinație sau scop;

utilizare.

După criteriul conținut atlasele se împart în:

atlase generale;

atlase speciale sau tematice.

Atlasele generale cuprind hărți la scări mici pe care sunt reprezentate atât elemente fizico-geografice cât și elemente economice și politico-administrative.

Atlasele speciale sau tematice conțin hărți pe care sunt reprezentate diferite fenomene geografice, fizice sau economice. Tot atlase speciale pot fi considerate atlasele diverselor corpuri cerești (atlasul Lunii).

După teritoriul cuprins în hărțile conținute, atlasele pot fi:

atlase universale, care conțin hărți ce cuprind întreaga scoarță terestră;

atlase ale diferitelor state, care conțin hărți ce cuprind doar teritoriul unei țări sau grup de state, în care pot fi incluse atlasele naționale și atlasele regionale.

O categorie aparte de atlase o constituie atlasele naționale. Acestea sunt opere cartografice complexe, fundamentale, care trebuie să conțină maximum de informații cartografice într-un volum redus.

Se consideră că primul atlas național a fost cel al Finlandei, publicat în anul 1899, după care au apărut și atlasele naționale ale altor țări.

După cel de-al doilea război mondial problema întocmirii atlaselor naționale a stat în atenția specialiștilor din întreaga lume. Ca urmare a acestui fapt, la Congresul Internațional de Geografie din anul 1956, de la Rio de Janeiro, s-a hotărât înființarea unei comisii pentru studierea întocmirii atlaselor naționale, cu scopul de a stabili baza matematică și conținutul atlaselor nationale și de a contribui efectiv la realizarea acestor atlase.

Astfel, la cel de-al XIX-lea Congres Internațional de la Stockholm s-a stabilit că atlasele naționale trebuie să cuprindă următoarele serii de hărți (Osaci, 2008):

seria hărților mediului fizic, din care fac parte: hărți geofizice, climatologice, hidrologice, pedologice, geologice, ale reliefului cât și hărți de sinteza ale acestor elemente fizico-geografice;

seria hărților populației, care cuprinde: hărți etnografice; hărți cu repartiția geografică a populației; hărți cu repartiția polulației pe sexe, etnii, religie; hărți cu compoziția socială și profesională;

seria hărților de geografie economică, cu hărți de ansamblu ale economiei naționale și hărți ale diferitelor ramuri economice ale țării;

seria hărților culturale, din care fac parte: hărți ale învățământului general, hărți ale învățământului profesional, hărți ale institutelor de carcetare științifică, hărți ale institutelor culturale, hărți ale presei, hărți ale televiziunii, hărți ale sporturilor și turismului;

seria hărților politico-administrative, cu hărți ale organizării politico-administrative a țării.

După destinație sau scop, atlasele pot fi:

școlare;

științifice;

turistice;

maritime;

rutiere.

După modul de utilizare, atlasele se pot împărți în:

atlase de birou, realizate în format mare;

atlase de buzunar, realizate în format cu dimensiuni reduse.

La întocmirea unui atlas trebuie să se aibă în vedere ca acesta să corespundă cerințelor practice pentru care se realizează. De exemplu, în cazul atlaselor rutiere trebuie să se aibă în vedere ca prin conținutul lor să corespundă cerințelor de circulație și orientare rutieră și turistică.

De asemenea, este indicat ca toate hărțile care intră în alcătuirea unui atlas să fie realizate utilizând același sistem de proiecție cartografică și pe cât posibil la aceași scară sau cel puțin la scări multiplu/submultiplu al scării de bază, pentru a permite realizarea facilă a unor studii și comparații.

Dacă scara cea mai utilizată este de exemplu 1:10.000.000 și nu se poate aplica pentru toate planșele, este indicat să se folosească scările 1:5.000.000 sau 1:20.000.000.

Alegerea sistemului de proiecție cartografică trebuie făcută, astfel încât deformările care se produc să nu influențeze decât în mică măsură măsurătorile ce se fac pe hărțile respective cât și pentru a forma o imagine cât mai verosimilă asupra acestora, precum și a deosebirilor dintre ele.

Prin conținutul lor, atlasele reflectă stadiul gândirii geografice și cartografice din etapa respectivă, reprezentând atât pe plan intern cât și pe plan
extern un adevarat mesager cultural și științific al identității naționale.

2.4. Elementele reprezentărilor cartografice

Toate reprezentările cartografice (planuri, hărți) se întocmesc pe baza unor elemente matematice și a unor elemente topo-geodezice.

Pentru înțelegerea facilă, elementele pe baza cărora se realizează reprezentările cartografice se grupează în trei categorii:

elemente matematice;

elemente de conținut;

elemente de întocmire sau de montare.

Elementele matematice reprezintă baza geometrică a reprezentărilor cartografice și cuprind următoarele elemente:

scara topografică;

cadrul reprezentărilor cartografice;

nomenclatura reprezentărilor cartografice;

baza geodezo-topografică;

elementele de orientare;

graficul înclinării versanților.

Elementele de conținut sunt cele reprezentate în interiorul cadrului interior al hărții, respectiv în cuprinsul spațiului cartografiat și se pot grupa în două categorii:

elemente fizico-geografice (relief, hidrografie, vegetație, soluri etc.);

elemente socio-economice (localități, drumuri și căi ferate, detalii economice și culturale, împărțire administrativă).

Elementele de întocmire sau de montare conțin informații necesare pentru întocmirea, înțelegerea, studierea și utilizarea reprezentărilor cartografice. Aici sunt incluse: titlul, tipul reprezentării, destinația, proiecția cartografică, legenda, autorul, materialele documentare folosite.

Vom detalia în cele ce urmează elementele reprezentărilor cartografice realizate în sistemul de proiecție cartografică Gauss-Krüger, ca metodă facilă de înțelegere a problemelor, valabile în cea mai mare parte și pentru sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970.

2.4.1. Elementele matematice ale reprezentărilor cartografice

2.4.1.1. Scara topografică

Pentru a transpune pe o reprezentare cartografică o lungime măsurată pe teren și redusă la orizont sau un alt element de detaliu de pe teren, acestea trebuie reduse de un anumit număr de ori.

Scara, arată de câte ori elementele măsurate pe teren au fost reduse pentru a fi materializate pe o reprezentare cartografică (plan, hartă), cu condiția să fie exprimate în aceleași unități de măsură.

În funcție de modul de exprimare, întâlnim:

scară directă;

scară numerică;

scară grafică.

Scara directă, constă în exprimarea directă cât reprezintă pe teren un centimetru de pe plan sau hartă și se prezintă sub forma:

1 cm pe plan/hartă = x m pe teren

Respectiv la 1 cm de pe plan sau hartă corespund „x” m pe teren.

Scara numerică a unei reprezentări cartografice este raportul numeric constant dintre distanța d, de pe plan sau hartă și corespondenta ei din teren D, ambele fiind exprimate în aceleași unități de măsură.

Scara numerică, se scrie sub formă de fracție și poate fi exprimată prin relația:

în care:

d = distanța de pe plan sau hartă;

D = distanța măsurată pe teren;

N = se numește numitorul scării și este numărul care arată de câte ori distanța de pe teren a fost micșorată, pentru a putea fi reprezentată pe un plan sau hartă

Exemple de scări numerice:

1:1000; 1:5000; 1:100.000

Observații:

Cu cât numitorul scării este mai mare cu atât scara este mai mică și invers – cu cât numitorul scării este mai mic cu atât scara este mai mare.

În cazul planurilor topografice care nu au înscrisă scara, aceasta se poate determina dacă planul are trasat caroiajul rectangular.

Scara grafică este o reprezentare grafică a scării numerice care oferă posibilitatea determinării distanțelor de pe planuri și hărți fără calcule.

După modul de construire, scara grafică poate fi de mai multe feluri:

scară grafică simplă sau liniară;

scara grafică cu talon;

scara grafică transversală sau compusă.

Scară grafică simplă sau liniară, constă dintr-un segment de dreaptă pe care sunt aplicate gradații de mărimea celor de pe teren, reduse la scară (fig. 2.1). Precizia scării grafice simple este redusă, deoarece valorile mai mici decât baza scării (valoarea unei diviziuni) nu se pot măsura ci se iau prin aproximare.

Mod de utilizare: Se ia în deschiderea compasului distanțier distanța de pe plan sau hartă dintre două puncte A și B care se dorește a fi măsurată și se așează pe scara grafică, astfel încât un vârf al compasului distanțier să corespundă cu gradația zero. Distanța este egală cu numărul întreg de baze cuprinse în deschiderea compasului distanțier la care se adaugă partea fracționară din bază, luată prin aproximare.

Fig. 2.1 Scară grafică simplă

Exemplu: În fig. 2.1 este materializată o distanță de aproximativ 62 m.

Scara grafică cu talon, este o scară grafică simplă care are, pentru sporirea preciziei de citire, în stânga originii, o bază gradată milimetric. (fig. 2.2). Baza gradată milimetric, din stânga originii, poartă numele de talon.

Mod de utilizare: Se ia în deschiderea compasului distanțier distanța de pe plan sau hartă dintre două puncte A și B care se dorește a fi măsurată și se așează pe scara grafică, astfel încât un vârf al compasului să corespundă cu un număr întreg de baze, iar celălalt vârf să fie situat în interiorul talonului. Distanța este egală cu numărul întreg de baze la care se adaugă partea fracționară citită pe talon.

Fig. 2.2 Scară grafică cu talon

Exemplu: În fig. 2.2 este materializată o distanță de 44 m

Scara grafică transversală sau compusă, provine dintr-o scară grafică cu talon la care se atașează un număr de paralele, atâtea la număr, de câte ori se caută să se mărească precizia scării grafice cu talon (fig. 2.3).

Astfel, dacă precizia scării grafice cu talon este de 1 m și se trasează un număr de 10 paralele înseamnă că se obține o precizie suplimentară de 0,1 m.

Mod de utilizare: Se ia în deschiderea compasului distanțier distanța de pe hartă dintre două puncte A și B care se dorește a fi măsurată și se așează pe scara grafică transversală, astfel încât un vârf al compasului să corespundă cu un număr întreg de baze, iar celălalt vârf să fie situat în interiorul talonului scării transversale. Se deplasează apoi compasul distanțier, astfel ca un vârf să rămână tot timpul pe o linie verticală ce materializează un număr întreg de baze, iar celălalt vârf să fie situat în interiorul talonului, până când acest vârf atinge o intersecție de două linii ce marchează diviziunile lui. Mișcarea compasului se face astfel încât vârfurile lui să fie tot timpul pe aceeași linie orizontală. Distanța este egală cu numărul întreg de baze la care se adaugă partea fracționară citită pe talon.

Fig. 2.3 – Scară grafică transversală

Exemplu: În fig. 2.3 este materializată o distanță de 54,3 m

O altfel de scară grafică, mai rar folosită, este scara grafică variabilă – folosită pentru hărțile cu scări mici pe care distanțele sunt afectate de deformațiile care se produc prin trecerea de la suprafața curbă a Pământului la suprafața plană a hărții (fig. 2.4).

Fig. 2.4 – Scară grafică variabilă

Scările grafice se folosesc atât pentru determinarea distanței de pe planuri și hărți, cât și în transpunerea pe planuri și harți a unor distanțe măsurate pe teren.

Precizia grafică a planurilor și hărților este în funcție de scara acestora. În mod obișnuit, măsurătorile de pe planuri și hărți se realizează cu o eroare de 0,2 – 0,5 mm. Această eroare, la transpunerea sau extragerea anumitor elemente liniare de pe plan sau hartă, conduce la denaturarea lungimilor reale din teren. Denaturarea care este cu atât mai mare cu cât scara planului sau hărții este mai mică.

Precizia grafică reprezintă valoarea corespondentă din teren a valorii erorii de raportare sau citire de pe plan sau hartă și se poate calcula cu ajutorul relației:

unde:

p = precizia grafică în metri;

e = eroarea grafică în mm;

N = numitorul scării reprezentării cartografice

Exemplu:

scara planului = 1: 1.000

eroarea = ± 0,5 mm

p = ± 0,5 mm × 1.000 × 10-3 = 0,5 m

Precizia grafică este un parametru care permite stabilirea scării la care trebuie întocmită o reprezentare cartografică, în funcție de mărimea detaliilor care trebuie reprezentate.

2.4.1.2. Cadrul reprezentărilor cartografice

Cadrul reprezentărilor cartografice de tip hartă se compune dintr-un sistem de linii, de diferite grosimi, care mărginesc suprafața cartografiată.

În funcție de sistemul de proiecție cartografică folosit, cadrul hărții poate avea mai multe forme: dreptunghiular, pătratic, trapezoidal, circular sau eliptic.

Dimensiunile cadrului hărților se iau în funcție de sistemul de proiecție cartografică folosit, de scară și de mărimea teritoriului reprezentat și se aleg astfel încât să permită o ușoară manipulare și păstrare.

În cazul în care dimensiunile teritoriului cartografiat sunt mari, harta este împărțită în mai multe foi de hartă. Există mai multe sisteme de împărțire pe foi:

pe baza liniilor rețelei cartografice, când cadrul hărții este delimitat de proiecția meridianelor și paralelelor pe planul de proiecție;

pe baza liniilor rețelei de coordonate rectangulare, când cadrul este delimitat de linii ale rețelei de coordonate rectangulare;

pe baza unor linii auxiliare, care se trasează în funcție de meridianul mediu al hărții, paralelele sau perpendiculare pe acestea.

Sistemul de împărțire pe foi de hartă pe baza liniilor rețelei cartografice este mult mai comod de folosit și poate avea o utilizare universală. În acest sistem de împărțire, fiecare foaie de hartă, este individualizată prin coordonatele geografice ale colțurilor cadrului interior. Acest sistem de împărțire este folosit și în țara noastră. Trebuie menționat că la acest sistem dimensiunile laturilor de nord și de sud ale cadrului se modifică în funcție de latitudine. Acest lucru face ca suprafața foilor să se modifice și ea în funcție de latitudine.

Astfel, în limitele latitudinilor țării noastre, suprafața unui trapez la scara 1:100.000 situat în partea de sud, va fi cu aproximativ 110 km2 mai mare decât a unui trapez situat în partea de nord.

Sistemul de împărțire pe foi de hartă pe baza liniilor rețelei de coordonate rectangulare a fost utilizat pentru vechea hartă a țării noastre construită în proiecție Lambert. Acest sistem de împărțire pe foi de hartă prezintă neajunsul că nu conține rețeaua cartografică, fapt care îngreunează localizarea rapidă a foilor de hartă. Ca avantaj, ar putea fi menționat acela că dimensiunile foilor de hartă sunt aceleași, lucru care permite asamblarea lor într-un timp scurt.

Al treilea sistem de împărțire pe foi de hartă pe baza unor linii auxiliare este utilizat pentru hărțile la scări mici.

Deoarece reprezentările cartografice pot conține materializarea grafică pe o suprafață plană a unor teritorii destul de mari din scoarța terestră, pentru a fi facil de folosit, este necesar ca acestea să fie împărțite în mai multe foi de hartă/plan, fiecare foaie trebuie să fie numerotată (numită) într-un anumit mod. Cele mai utilizate sisteme de nomenclatură sunt:

sistemul de nomenclatură în formă schelet (tabel);

sistemul de nomenclatură după indicatorul de coordonate.

Asupra primului sistem, sistemul de nomenclatură în formă schelet, nu vom insista întrucât este tratat în cadrul capitolului „Nomenclatura reprezentărilor cartografice în proiecția Gauss-Kruger”.

În cel de al doilea sistem, nomenclatura unei foi de hartă este dată de coordonatele unui punct situat în foaia respectivă, înscrise într-o anumită ordine. Mai comod este ca punctul ce dă nomenclatura foii să fie chiar unul din colțuri. Pentru acest punct sunt date coordonatele geografice sau coordonatele rectangulare plane.

Exemplu de nomenclatură în acest sistem: N 4600 – W 2530/30.

Coordonatele colțului foii considerate sunt: B = 46000’ latitudine nordică și L = 25030’ longitudine vestică. În exemplul considerat, cifra 30 de la sfârșit indică dimensiunile foii (30’ x 30’).

În construcția unei hărți, întocmită în proiecție Gauss-Krüger, cadrul hărților se compune din următoarele elemente (fig. 2.5):

A – cadrul interior;

B – cadrul geografic;

C – cadrul exterior.

A – Cadrul interior, delimitează suprafața cartografiată, se trasează prin linii negre subțiri și este format din proiecția pe suprafața de proiecție a meridianelor și paralelelor din intersecția cărora a rezultat trapezul corespunzător scării reprezentării cartografice. În fiecare colț al reprezentării cartografice, pe cadrul interior sunt notate coordonatele geografice (longitudine și latitudine) ale colțurilor foii de plan sau hartă.

B – Cadrul geografic (minutar) este alcătuit din două linii paralele între care sunt marcate prin segmente, dimensiunile gradelor și fracțiunilor de grad atât în longitudine cât și pe latitudine.

Trasarea cadrului geografic se face prin linie dublă, cu intervalul de 1 mm și cu grosimea de 0.1 mm, la o distanță de 8 mm de cadrul interior. Linia dublă se înnegrește, pe intervale de un minut, în mod alternativ. Cadrul geografic este localizat în exteriorul cadrului interior și este folosit la determinarea coordonatelor geografice ale oricărui punct de pe plan sau hartă dar și la raportarea pe plan sau hartă a anumitor detalii de coordonate geografice cunoscute.

În colțurile caroiajului geografic ce mărginește o foaie de plan sau hartă sunt trecute valorile coordonatelor geografice (,), care reprezintă valoarea paralelelor începând de la ecuator, respectiv valoarea meridianelor începând de la meridianul de origine Greenwich, care delimitează foaia de hartă (fig. 2.6).

Fig. 2.5 Elementele reprezentărilor cartografice

Intervalele dintre proiecția meridianelor și paralelelor pe planul de proiecție, care delimitează fiecare foaie de plan sau hartă, sunt împărțite pe verticală în minute de latitudine și pe orizontală în minute de longitudine (de regulă aceste intervale sunt inegale ca mărimi măsurabile în mm).

C – Cadrul exterior sau ornamental este situat în exteriorul cadrelor anterioare și este de fapt compus din una, două sau mai multe linii de grosimi diferite și este trasat mai mult pentru estetica reprezentării cartografice. De regulă cadrul ornamental se trasează cu o linie continuă de 1 mm grosime, la o distanță de 1 mm de cadrul geografic, respectiv la 9 mm de cadrul interior.

Fig. 2.6. Valorile caroiajului geografic

Pe mijlocul celor patru laturi ale cadrului geografic sau exterior se lasă un spațiu liber, în care se va scrie nomenclatura trapezelor vecine (notat cu 1 în fig. 2.5).

Există situații în care conturul suprafeței cartografiate nu se încadrează în totalitate în limitele cadrului interior. În aceste cazuri se admite depășirea cadrului interior și chiar al celui exterior, însă numai într-un anumit interval. Dacă depășirile sunt mai mari, atunci suprafața cartografiată este reprezentată pe mai multe foi de plan sau hartă.

În funcție de caracterul reprezentărilor cartografice, în afara cadrului ornamental, se reprezintă grafic și se înscriu o serie de elemente cartografice referitoare la baza matematică a hărților, la conținutul acestora și alte aspecte necesare înțelegerii și folosirii practice a documentației topografice.

Deasupra laturii de nord a cadrului ornamental, se înscriu următoarele elemente și date cartografice, notate astfel (fig. 2.5.):

2 – Teritoriului cuprins pe foaia de hartă sau de plan (fig. 2.7.);

Fig. 2.7 Teritoriului cuprins pe foaia de hartă

3 – Nomenclatura foii de hartă sau de plan (fig. 2.8);

Fig. 2.8 Nomenclatura foii de hartă

4 – Codul folosit pentru evidența automatizată (fig. 2.9);;

Fig. 2.9 Cod pentru evidența automatizată

5 – Caracterul reprezentării cartografice (nesecret, secret de serviciu, secret) (fig. 2.6).

Sub latura de sud a cadrului ornamental se materializează următoarele elemente și inscripții, notate astfel (fig. 2.5):

6 – Valorile declinației magnetice, a convergenței medii a meridianelor și a abaterii medii a acului magnetic, față de rețeaua kilometrică a hărții (fig. 2.10);

Fig. 2.10 Valorile declinației magnetice, a convergenței medii a meridianelor

și a abaterii medii a acului magnetic și schema acestora

7 – Schema sau schița declinației magnetice, a convergenței medii a meridianelor și abaterii medii a acului magnetic, față de rețeaua rectangulară și înscrierea valorilor numerice ale acestora (fig. 2.10);

8 – Scara numerică, cu precizarea valorii unui centimetru de pe hartă și lungimea corespunzătoare din teren; scara grafică simplă, proiecția cartografică folosită, sistemul de coordonate, sistemul de referință pentru cote (fig. 2.11);

Fig. 2.11 – Tipuri de scări

9 – Schema pantelor sau graficul de pantă, sub care se înscrie valoarea echidistanței curbelor de nivel normale, se întocmește pentru echidistanța curbelor de nivel normale și principale (fig. 2.12);

Fig. 2.12 – Grafic de pantă

10 – Schema frontierelor de stat și a limitelor de hotar ale teritoriilor județene, municipale, orășenești și comunale cât și schema și dimensiunile laturilor trapezului. Dimensiunile laturilor se vor înscrie în centimetri cu două zecimale, iar în cazul hărților cadastrale se va înscrie și suprafața în hectare cu patru zecimale (fig. 2.13);

Fig. 2.13 Schema limitelor de hotar ale teritoriilor județene și dimensiunile laturilor trapezului

11 – Indicații redacționale referitoare la întocmirea originalului de editare și de autor al hărții sau planului, a originalului de editare și a tipăririi foilor de hartă și de plan (fig. 2.14.).

Fig. 2.14 Indicații redacționale

2.4.1.3. Nomenclatura reprezentărilor cartografice

Prin nomenclatura reprezentărilor cartografice se înțelege un sistem de denumire a planurilor și hărților alcătuit din grupuri de litere și cifre cu ajutorul cărora se definește poziția unei foi de plan/hartă în cuprinsul unei suprafețe cartografiate sau a întregii suprafețe a Pământului.

Nomenclatura planurilor și hărților în sistemele de proiecție cartografică folosite în România, respectiv: Gauss-Krüger, Stereografică 1930, Stereografică 1970 și UTM va fi tratată detaliat în subcapitolele care tratează aceste sisteme de proiecție cartografică.

2.4.1.4. Baza geodezo-topografică

Elementele care constituie baza geodezo-topografică a unei hărți sunt:

datumul geodezic, format din elipsoidul de referință și sistemul de referință și coordonate;

punctele de bază (de sprijin) ale hărții.

a. Datumul geodezic

Datumul geodezic utilizat pentru cartografierea suprafeței Pământului este un concept matematic materializat printr-un set de parametri care definesc relațiile spațiale dintre un elipsoid de referință și un sistem de referință și coordonate.

Elipsoidul aproximează forma Pământului, iar sistemul de referință și coordonate definește poziția și orientarea elipsoidului față de centrul Pământului. Un sistem de referință și coordonate oferă un cadru pentru măsurarea diverselor locații de pe suprafața Pământului.

După mărimea zonei acoperite, datumul geodezic poate fi de două tipuri:

datum geodezic regional sau local, caz în care elipsoidul de referință utilizat este ales tangent la geoid într-un punct fundamental stabilit ca origine și este definit în scopul aproximării cât mai bune a regiunii din jurul punctului fundamental;

datumul geodezic geocentric sau global, caz în care centrul elipsoidului de referință ales este fixat în centrul de masă al Pământului și aproximează în condiții optime întreaga suprafață a Pământului.

Centrul elipsoidului unui datum geodezic regional sau local diferă de centrul geoidului, respectiv de centrul de masă al Pământului, datorită orientării datumului cu o singură stație astronomică fapt care determină precizii scăzute de determinare a punctelor geodezice.

Deoarece un datum geodezic local aliniază elipsoidul cât mai exact într-o anumită regiune de pe suprafața Pământului, acesta nu este adecvat pentru a fi folosit în afara regiunii pentru care a fost proiectat.

Ca exemple de datumuri regionale sau locale se pot menționa: NAD 1927, creat astfel încât să aproximeze cât mai bine America de Nord și Krasovski 1942 ce are ca punct fundamental observatorul astronomic din Pulkovo, creat astfel încât să aproximeze cât mai bine teritoriul fostelor țări socialiste central și est europene (fig. 2.15).

Un datum geodezic regional poate fi definit prin șapte parametri:

două elemente care definesc din punct de vedere geometric elipsoidul de referință ales (semiaxa mare a, turtirea f);

latitudinea și longitudinea unui punct origine;

un azimut de referință pentru orientare;

deviația verticalei și ondulația geoidului în punctul de origine (de obicei se consideră zero).

Fig. 2.15 Datum geodezic global si regional

Înainte de vorbi despre datumul geodezic geocentric sau global trebuie să prezentăm faptul că în accepțiunea măsurătorilor clasice, determinarea poziției punctelor se efectua separat pentru coordonatele planimetrice și separat pentru coordonata altimetrică.

În acest sens se definesc două tipuri de datumuri geodezice:

datum orizontal, folosit în determinările coordonatelor planimetrice ale punctelor;

datum vertical sau altimetric, folosit în determinările coordonatelor altimetrice ale punctelor, exprimate prin cotele ortometrice.

Datumul vertical sau altimetric este definit printr-un singur punct, reprezentat de un reper de nivelment amplasat la nivelul mării, pe baza căruia se realizează sistemul de cote. Transformarea datumului vertical constă în adăugarea unei valori constante pentru toate punctele luate în calcul.

Se pot defini și folosi o multitudine de datumuri verticale și se poate vorbi de două mari tipuri de altitudini:

altitudinea elipsoidală (o lungime) care este a treia dimensiune a poziției unui punct pe suprafața Pământului și se referă la elipsoid;

altitudinea geoidală se referă la modelul de geoid al suprafeței Pământului și reprezintă o componentă fizică a poziției cu referire la gravitate.

În România, datumul vertical actual este datumul Marea Neagră 1975 (MN 75), definit prin cotele punctelor determinate în raport cu un reper de nivelment situat la malul Mării Negre.

Pentru transformarea datumurilor orizontale este necesar să se cunoască cinci parametri pentru transformarea coordonatelor dintr-un sistem de referință în altul, reprezentați de componentele a două translații, două rotații și un factor de scară.

Odată cu introducerea pe scară largă a măsurători satelitare s-a realizat determinarea poziției tridimensionale a unui punct prin unificarea componentei planimetrice cu componenta altimetrică, într-un datum geodezic spațial geocentric sau global, definit în raport cu un sistem de coordonate global.

Un exemplu de datum geocentric este modelul geodezic al Pământului, cunoscut sub numele de WGS 84, care a fost determinat folosind tehnologiile satelitare (fig. 2.15).

Datumul geocentric WGS 84 este identic la nivel de milimetri cu datumul NAD 83 și cu datumul geocentric GRS 80.

Datumul geodezic global sau geocentric (WGS 84, GRS 80) este definit de o serie de parametri fizici, care împreună cu cei geometrici, constituie setul de parametri principali ai sistemului de referință geocentric sau global astfel:

de trei orientări în spațiu ale axelor de coordonate (fig. 2.16):

axa OZ este dirijată pe direcția Polului de referință, care corespunde direcției Polului Terestru Convențional, la epoca 1984;

axa OX este dată de intersecția planului meridianului astronomic Greenwich cu planul ecuatorului, care trece prin originea O și este perpendiculară pe axa OZ;

axa OY este orientată spre dreapta, în planul ecuatorului de referință, în direcție perpendiculară pe axa OX;

de trei constante ale poziției originii sistemului de referință și coordonate:

originea sistemului de referință în centrul de masă al Pământului;

constanta gravitațională geocentrică a Pământului;

viteza unghiulară a Pământului;

de cei doi parametri ce definesc forma și dimensiunile elipsoidului:

semiaxa mare a;

turtirea f;

de un factor de scară.

Setul de parametri principali ai sistemului de referință și coordonate geocentric sau global stau la baza realizării Rețelei Terestre de Referință – TRF, formată din totalitatea punctelor de referință, necesară furnizării de date și posibilității de determinare a coordonatelor în datum global a altor puncte de coordonate necunoscute și care conțin erori. Realizarea practică ITRF 89, corespunde la epoca 1989.0.

Fig. 2.16 Orientarea în spațiu a axelor de coordonate

Un datum geocentric spațial (GPS) este construit pe baza unui sistem de coordonate 3D carteziene geocentric, definit cu ajutorul a cinci stații de monitorizare a sateliților GPS amplasate în zona ecuatorială a Pământului, care alcătuiesc segmentul de control pentru sateliții GPS.

În România, la ora actuală, se folosesc două tipuri de datumuri geodezice:

un datum geodezic local cu două componente distincte:

un datum orizontal Krasovski 1942 (cunoscut uneori și sub numele de Pulkovo 1942) bazat pe coordonate elipsoidale (B, L) și/sau coordonate carteziene (X,Y,Z), aferent sistemului geodezic de referință și coordonate local, cunoscut sub denumirea internațională de „S-42” cu următoarele caracteristici principale:

elipsoidul de referință este elipsoidul Krasovski 1940 cu:

semiaxa mare, a= 6378245 m ;

inversul turtirii, 1/f=1:298,3;

elipsoidul de referință este tangent la geoid în punctul fundamental Observatorul Astronomic Pulkovo, cu următoarele coordonate:

latitudinea φ = 59°46'18.55" N și

longitudinea λ = 30°19'42.09" E;

azimutul geodezic din Pulkovo (piramida A) spre punctul Bugrî are valoarea de 121°06’42”,305;

originea coordonatelor geografice este dată de intersecția planului ecuatorului cu primul meridian (Greenwich);

un datum vertical independent (MN75) definit prin cotele punctelor, în raport cu un reper situat la malul Mării Negre determinat pe baza înregistrărilor maregrafului Constanța.

datumul geodezic global, RO-ETRS 89 bazat pe elipsoidul de referință GRS 80 (semiaxa mare a = 6378137 m și 1/f= 298,257222101) și sistemul de referință și coordonate geodezice elipsoidale (B, L, h), adoptat odată cu implementarea Sistemului de Referință Terestru European – ETRS 89.

Elipsoidul echipotențial geocentric GRS 80 este definit prin următoarele constante convenționale (Moldoveanu, C. – Deviația verticalei și datumul geocentric, pag. 3-11, Revista de Geodezie, Cartografie și Cadastru, Vol 15, Nr. 1-2, 2006):

raza ecuatorială a Pământului ;

constanta gravitațională geocentrică (care include atmosfera) ;

factorul dinamic al Pământului, exclusiv deformațiile permanente referitoare la maree, ;

viteza unghiulară de rotație a Pământului .

Plecând de la cei 4 parametri care definesc elipsoidul GRS 80, se pot calcula și alți parametri (Moldoveanu, C). Dintre aceștia cei mai importanți sunt cei prezentați în tabelul 2.2.

Tabelul 2.2 Parametrii elipsoidului GRS80

Transformări de coordonate

Teoretic se pot defini o multitudine de datumuri geodezice, fiecare bazat pe un elipsoid de referință propriu cu un sistem de axe de referință și coordonate unice și un sistem cartezian de coordonate proprii, ce nu pot fi asociate unui alt datum, fără o transformare prealabilă.

O problemă importantă pentru activitatea curentă geodezo – topografică din țara noastră, unde sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970 utilizează un datum local (Krasovski 1942) iar măsurătorile satelitare sunt realizate utilizând un datum geodezic global (WGS 84), este aceea a transformării de datum.

Alegerea unui model corespunzător de transformare a unei rețele de puncte dintr-un datum în altul este influențată de următorii factori:

extinderea zonei pe care se aplică modelul de transformare (zonă mică sau zonă mare);

tipul rețelelor (3D, 2D sau 1D) și existența distorsiunilor semnificative ale rețelelor;

acuratețea solicitată;

cunoașterea parametrilor de transformare;

modelele de compensare a rețelelor geodezice în cele două datumuri.

Pentru trecere de la un datum la altul pot fi utilizate următoarele tipuri de transformări:

transformarea afină;

transformarea proiectivă;

transformarea ortogonală;

transformarea de similaritate.

Cea mai frecvent utilizată transformare de datum este transformarea de similaritate, din următoarele motive:

este ușor de implementat într-un soft;

necesită un număr minim de parametri de transformare între sistemele de referință 3D;

necesită un număr limitat de puncte comune pentru a determina cei 7 parametri de transformare;

este adecvată pentru legarea a două rețele fără distorsiuni locale în scară sau orientare.

Transformarea de similaritate 3D, cunoscută sub denumirea de transformarea Molodenski-Badekas sau Bursa-Wolf sau transformarea Helmert cu 7 parametri cu folosirea unei constante (presupunând că punctele aparțin suprafeței Pământului indiferent de datumul ales), este ideală pentru legarea rețelelor GPS 3D la alte rețele GPS sau rețele terestre. În cazul folosirii acestui tip de transformare pentru o rețea geodezică de mare întindere (națională, continentală) pot apare distorsiuni locale de scară și orientare. În acest caz pentru reducerea efectelor acestor distorsiuni se utilizează datele redundante existente (Serediuc, C. – Constanta transformării Helmert cu 7 parametri, Revista de cadastru nr. 5, Alba Iulia, 2005).

Pentru determinarea parametrilor de transformare între un datum geodezic geocentric GPS și un datum geodezic local este necesar ca punctele cu coordonate cunoscute într-un datum geodezic local să fie determinate prin măsurători GPS în datumul global definit de elipsoidul WGS 84.

Transformările de coordonate utilizate în România pot fi clasificate în două categorii:

 transformări locale de coordonate fără model de distorsiune a datelor, de tip Helmert cu 7 parametri sau 4 parametri (abaterea standard este în jur de ±0.10 m sau mai mică, depinzând de distanța dintre punctele comune);

transformări de coordonate cu model de distorsiune a datelor, pentru care abaterea standard a coordonatelor transformate este în jur de ±0.10-0.15 m, dacă sunt îndeplinite condițiile existenței unui număr suficient de puncte comune repartizate uniform pe întreg teritoriul țării.

În funcție de precizia cerută pentru realizarea lucrărilor geodezice, transformările de coordonate pot fi efectuate cu ajutorul programului pe calculator TransDatRO (cu abateri standard de transformare de ±10-15 cm) sau cu parametrii de transformare Helmert pentru toată țara (cu abateri standard de transformare de ±1.5~3 m pentru planimetrie și de ±3~4.5 m pentru altimetrie).

Programul de transcalcul TransDatRO (conf. ANCPI)

Legătura dintre ETRS89 și S42 se realizează printr-o transformare compusă de coordonate de la sistemul de coordonate elipsoidal definit în ETRS89 la sistemul de coordonate Stereografic 1970 definit în S42 și sistemul de altitudini normale Marea Neagră 1975 legat de S42 prin anomaliile cvasigeoidului.

Transformarea compusă de coordinate este implementată într-un pachet de programe de calcul, publicat oficial pentru utilizare pe site-ul ANCPI, care se bazează pe un algoritm prezentat în mod schematic în figura 2.17:

Fig. 2.17 Algoritmul de transformare a coordonatelor

TransDatRO este un soft rulat pe calculator care execută transformări de coordonate standard între sistemul de referință și coordonate ETRS89 și sistemul de referință național S-42 (cu elipsoidul aferent Krasovski 1940) – proiecția Stereografică 1970 sau sistemul de referință Hayford 1910 – proiecția Stereografică 1930 cu plan secant București.

Spre deosebire de transformările Helmert locale, pentru care trebuie staționat cu tehnologia GNSS în puncte de triangulație (dispuse în zona de ridicat și în imediata vecinătate a acesteia) pentru fiecare lucrare nouă de teren, oferind rezultate bune doar pentru suprafețe mici, softul TransDatRO oferă soluții precise (în funcție de numărul și distribuția punctelor comune din zona de transformat) indiferent de suprafața pe care sunt dispuse punctele de transformat, fără a mai fi necesară staționarea punctelor de triangulație. O altă caracteristică foarte importantă a acestui soft este faptul ca oferă soluții unice de transformare, atât pentru cei ce execută lucrările geodezice, cât și pentru cei ce verifică și recepționează aceste lucrări, ceea ce face posibilă standardizarea transformărilor de coordonate din țara noastră (conform ANCPI).

Având în vedere recomandările EUREF și EuroGeographics, ANCPI a determinat un set de parametri de transformare care fac legătura între sistemul de referință și coordonate (CRS-Coordonate Reference System) ETRS89 (European Terrestrial Reference System) cu elipsoidul aferent GRS80 și sistemul de referință național S-42 cu elipsoidul aferent Krasovski 1940. Acești parametri au fost calculați dintr-un număr mare de puncte comune și pot fi utilizați, de asemenea, pentru transformarea cotelor.

Mod de obținere (conform ANCPI):

conversia de la coordonatele elipsoidale de pe elipsoidul GRS80 la coordonatele carteziene geocentrice: (B,L,h)_GRS80 → (X,Y,Z)_GRS80;

conversia de la coordonatele din proiecția Stereografică 1970 la coordonatele elipsoidale pe elipsoidul Krasovski 1940: (x,y)_Stereografică 1970 → (B,L)_Krasovski 1940;

conversia de la coordonatele elipsoidale (B,L)_Krasovski 1940 și cota normală H_MN în sistemul de altitudini Marea Neagră 1975 la coordonatele carteziene geocentrice: (B,L,H_MN)_Krasovski 1940, Marea Neagră 1975 → (X,Y,Z)_Krasovski 1940;

transformarea Helmert directă: (X,Y,Z)_GRS80 → (X,Y,Z)_Krasovski 1940.

Sistemul de Referință și de Coordonate ETRS 89

Prin Decretul nr. 305 din 15.09.1971 privind activitatea geodezică, topo-fotogrammetrică și cartografică, precum și procurarea, deținerea și folosirea datelor, Sistemul de Referință și Coordonate (SRC) utilizat în România a fost statuat a fi Sistemul de Referință și Coordonate Stereografic 1970, cunoscut sub denumirea internațională de S-42, care are la bază elipsoidul Krasovski 40 și Sistemul de coordonate plane Stereografic 1970.

Sistemul de Referință și Coordonate S-42 nu este un sistem geocentric și fost realizat prin utilizarea mijloacelor clasice de măsurare (aparate de măsurat unghiuri) cu asigurarea cerințelor de precizie impuse, în care coordonatele plane au fost determinate într-un plan de proiecție particular – planul stereografic 1970 și au fost transpuse în teren printr-o rețea de triangulație care acoperea întregul teritoriu țării, iar cotele elipsoidale au fost determinate cu o precizie slabă.

În etapa actuală, Sistemul de Referință și Coordonate S-42 a fost modernizat prin adoptarea punctelor de referință determinate cu ajutorul sateliților, care au coordonate geocentrice, cu adevărat tridimensionale, determinate cu precizii centimetrice sau chiar milimetrice.

Modernizarea rețelei geodezice naționale și a aparaturii topografice a inclus în ultimii ani, folosirea din ce în ce mai largă a tehnologiilor satelitare de poziționare, care utilizează sisteme de referință și coordonate geocentrice.

În scopul identificării precise și corecte a Sistemelor de Referință și de Coordonate (SRC) din fiecare țară membră a Uniunii Europene și de stabilire a compatibilității acestor sisteme cu celelalte sistemele pan-europene a fost adoptat ca standard pan-european, Standardul Internațional ISO 19111.

Necesitatea creării unei rețele de referință, modernă și precisă, odată cu intrarea în funcție a sistemului de poziționare globală – GPS, a impus țărilor Uniunii Europene, în anul 1990, conform standardului internațional ISO 19111, realizarea noului Sistem de Referință și de Coordonate – ETRS 89, care a devenit componentă a datumului geodezic european ETRS 89.

ETRS 89 este definit de către Subcomisia Asociației Internaționale de Geodezie (Intenational Association of Geodesy — IAG) pentru Rețeaua de Referință Europeană (European Reference Frame — EUREF) ca fiind identic cu Sistemul de Referință Terestru Internațional (ITRS) la epoca 1989.0. atașat părții stabile a plăcii euroasiatice.

ETRS 89 este alcătuit, conform ISO 19111, din:

datumul geodezic ETRS 89, bazat pe elipsoidul GRS 80 (Geodetic Reference System 1980 — Sistem de Referință Geodezic 1980), identic cu WGS-84 la nivel de milimetru;

sistemul de coordonate geodezice elipsoidale (B,L,h), menținut și descris de Eurogeographics, utilizat ca sistem de referință, bazat exclusiv pe rețeaua EUREF.

În acest sistem de referință global, pozițiile punctelor de pe suprafața fizică a Pământului sunt exprimate și stocate prin coordonate elipsoidale (B,L,h) și/sau coordonate carteziene (X,Y,Z), ambele referite la un elipsoid de rotație, cu aceeași origine.

Prin Ordinul nr. 212/2009 a Directorului ANCPI din Romania, s-a adoptat în România Sistemul de Referință Terestru European 1989, denumit în continuare ETRS 89.

În România ETRS 89 servește la crearea Rețelei Geodezice Naționale Spațiale, denumită în continuare RGNS, și la realizarea produselor cartografice paneuropene.

Pentru a beneficia complet de acuratețea datelor obținute cu tehnologia Sistemelor Globale de Navigație Satelitară – GNSS, este imperios necesar ca atât determinările geodezice, cât și producția de planuri și hărți, să se sprijine pe aceeași rețea geodezică de control, determinată în Sistemul de Referință și de Coordonate European ETRS 89.

RGNS se realizează prin îndesirea punctelor Rețelei de Referință Terestră Europeană 1989 ETRF 89 (European Terrestrial Reference Frame) și este structurată ierarhic pe clase.

Legătura dintre ETRS 89 și Sistemului de Referință și de Coordonate S-42 (elipsoid Krasovski 1940) se realizează prin utilizarea unei transformări de coordonate, reglementată pe plan național de către Agenția Națională de Cadastru și Publicitate Imobiliară, prin implementarea softului de transcalcul TransDatRo.

Înlocuirea Sistemului de Referință și de Coordonate S-42, folosit în România din 1951, cu Sistemul de Referință și de Coordonate geocentric, ETRS 89, sub denumirea de ETRS 89, are următoarele considerente:

creșterea calității rețelei geodezice naționale;

determinarea tridimensională a punctelor;

precizia ridicată a coordonatelor punctelor determinate pe baza tehnologiilor GNSS.

Elementele definitorii ale ETRS 89 sunt prezentate în prezentate în tabelul 2.3.

Tabelul 2.3 – Elementele definitorii ale ETRS 89 (conf. M.O. nr. 361/29.05.2009)

b. Punctele de bază

Punctele de bază sunt niște puncte fixe din teren ale căror poziție pe suprafața terestră, trecută pe suprafața elipsoidului sau geoidului, este determinată cu maximum de precizie atât planimetric cât și altimetric. Aceste puncte stau la baza întocmirii hărților, motiv pentru care se mai numesc și punctele de sprijin ale hărții. Punctele de sprijin sunt de trei categorii: astronomice, geodezice și topografice. Determinarea planimetrică a acestor puncte se poate face prin coordonate geografice sau rectangulare, iar cotele se calculează față de nivelul mării.

Nu se va insista asupra metodelor de determinare a punctelor de bază, întrucât ele au fost studiate în cadrul altor discipline de specialitate.

Punctele astronomice (sau fundamentale) sunt puncte ale căror coordonate geografice au fost determinate prin metode astronomice foarte precise. Coordonatele lor sunt independente de forma și dimensiunile Pământului. În general, aceste puncte sunt materializate în observatoarele astronomice importante din fiecare țară și constituie puncte de bază folosite în ridicările geodezice ulterioare. În România, primul punct fundamental este situat la Observatorul astronomic de lângă București.

Punctele geodezice sunt puncte determinate prin metode geodezice, care țin seama de forma și dimensiunile Pământului și sunt raportate pe elipsoidul de referință ales pentru țara respectivă. Cele mai importante dintre ele sunt verificate și prin metode astronomice.

În funcție de importanța lor, punctele geodezice se împart în trei categorii:

puncte geodezice de ordinul I sunt situate în vârfurile unor triunghiuri sau patrulatere terestre imaginare cu laturile cuprinse între 40-50-70 km. Aceste puncte geodezice de ordinul I alcătuiesc așa-numitele șiruri de triangulație primordială, care se întind în lungul meridianelor și paralelelor principale. Pe teritoriul țării noastre trec 3 șiruri primordiale pe meridian (cel mai important fiind cel ce leagă Capul Nord și Capul Bunei Speranțe) și 3 șiruri pe paralelă (cele mai importante fiind cel de pe paralela de 45°N și de pe paralela de 47°30' N). Lanțurile triangulațiilor primordiale sunt legate între ele prin lanțuri de triangulație de ordinul I complementare.

puncte geodezice de ordinul II, sunt situate în vârfurile ale unor triunghiuri și patrulatere terestre imaginare cu laturile cuprinse între 10-30 km.

puncte geodezice de ordinul III, sunt situate în vârfurile ale unor triunghiuri terestre imaginare cu laturile cuprinse între 5-10 km.

Aceste puncte formează așa-numita osatură geodezică a unei țări. Pe teren, aceste puncte sunt marcate prin semnale speciale, construite din piramide din lemn cu baza din beton și sunt poziționate în punctele caracteristice ale terenului, în așa fel încât să poată fi vizibile de la mari distanțe. Poziția punctelor geodezice obținute pe suprafața Pământului se transpun mai întâi pe suprafața unui elipsoidul de referință, iar apoi de pe elipsoid se transpun pe suprafața plană a hărții.

Punctele topografice se determină plecând de la punctele geodezice, prin metode topografice specifice și sunt cuprinse în ordinele IV și V. În general aceste puncte sunt folosite ca puncte de sprijin pentru determinarea poziției planimetrice și altimetrice a punctelor caracteristice a diverselor elemente fizico-geografice și economice.

2.4.1.5. Elementele de orientare

Elementele de orientare sunt materializate în stânga scării grafice, respectiv în partea stângă jos a reprezentării cartografice (fig. 2.18).

Fig. 2.18 Elementele de orientare ale hărții

Elementele de orientare ale hărții sunt reprezentate de:

direcția nordului geografic;

direcția nordului magnetic;

direcția caroiajului hărții;

declinația magnetică;

abaterea medie a acului magnetic;

convergența medie a meridianelor.

Unghiul de convergență a meridianelor
Se cunoaște că prin orice punct de pe Pământ poate fi dus un meridian geografic și unul magnetic. Astfel, în orice punct de pe Pământ se poate identifica o direcție a nordului geografic, care constituie direcția de referință pentru orientarea planurilor și hărților, față de care distingem o orientare geodezică (sau simplu orientare) și o direcție a nordului magnetic (folosită în orientarea hărții cu ajutorul busolei magnetice) față de care distingem o orientare magnetică.

Datorită faptului că Pământul are o formă aproximativ sferică, meridianele geografice converg spre poli, astfel că direcția nordului geografic nu rămâne paralelă cu meridianul geografic pe toată suprafața Pământului, decât în regiunea ecuatorului.

Deoarece triangulațiile geodezice pe întreg cuprinsul României sunt determinate în plan față de un singur sistem de axe rectangulare în proiecție stereografică (sau Gauss-Krüger), rezultă că o direcție oarecare, definită într-un plan de proiecție, este orientată nu față de meridianul geografic al locului respectiv, ci față de o paralelă la meridianul de referință al întregului sistem.

Să considerăm sistemul de axe XOY (fig. 2.19) față de care este reprezentată în plan triangulația geodezică a unei suprafețe mari. În acest caz axa OX – este dirijată după direcția nord în originea O. Să considerăm apoi o dreaptă AB de pe teren, determinată în plan față de sistemul XOY. Pentru a se defini orientarea direcției AB, să considerăm direcția nordului dusă prin punctul oarecare A.

Fig. 2.19 Unghiul de convergență al meridianelor

În figura 2.19 distingem mai multe direcții ale nordului și anume:

direcția nordului magnetic al locului, ANm, cu care dreapta AB formează unghiul m, numit orientarea magnetică;

direcția nordului geografic al locului, ANg, cu care dreapta AB formează unghiul , numit azimutul direcției AB sau orientarea direcției AB;

paralela în A la direcția nordului geografic al originii O al sistemului de axe rectangulare, ANgo, cu care dreapta AB formează unghiul o și reprezintă orientarea dreptei AB față de paralela din A la meridianul de referință OX.

Notarea orientărilor se face cu , afectat de indicele direcției în cauză.

Unghiul δ este unghiul de declinație magnetică a punctului A la un moment dat. Unghiul ε, numit unghiul de convergență a meridianelor, reprezintă unghiul pe care-l face meridianul geografic ce trece prin originea O (adică axa OX) cu meridianul geografic ce trece prin punctul A (adică cu direcția ANg) (fig. 2.19). Unghiul de convergență a meridianelor este pozitiv sau negativ după cum trapezul se află în dreapta sau în stânga meridianului pe care-l fac meridianele geografice a două puncte din teren. Dacă se cunosc unghiurile δ și ε, se poate trece de la o orientare la alta.

Acest unghi crește cu diferența de longitudine și latitudine a celor două puncte O și A. Convergența meridianelor a două puncte oarecare de pe ecuator este nulă.

Valoarea convergenței meridianelor a două puncte oarecare A și B, nu prea depărtate între ele, (până la 40-50 km) se calculează cu ajutorul relației:

în care:

este diferența de longitudine a celor două puncte;

φ latitudinea medie a celor două puncte.

2.4.1.6. Graficul înclinării versanților

Graficul înclinării versanților (graficul de pantă) este folosit pentru determinarea expeditivă a pantelor terenului, fără calcule și poate fi construit atât pentru echidistanța curbelor de nivel normale, cât și pentru cea a curbelor de nivel principale (fig. 2.20).

De obicei sunt două grafice de pantă, care sunt construite ținând seama de echidistanța dintre curbele de nivel: unul aferent curbelor de nivel normale, celălalt pentru curbele de nivel principale.

Unul din cele mai cunoscute procedee grafice de determinare a unghiului de pantă constă în suprapunerea distanțelor grafice măsurate între curbele de nivel (perpendicular pe curbele de nivel) peste graficul înclinării versanților și se citește direct de pe acesta panta terenului în zona respectivă.

Fig. 2.20 Grafice de pantă

2.4.2. Elementele de conținut

Pe lângă elementele situate în exteriorul cadrului exterior al unei reprezentări cartografice, în interiorul cadrului interior al acesteia se găsesc o serie de elemente de conținut, dintre care mai importante sunt:

caroiajul kilometric (pentru hărți) sau caroiajul rectangular (pentru planuri);

elementele de planimetrie;

elementele despre relief.

Caroiajul kilometric este alcătuit dintr-un sistem de linii drepte paralele cu axele sistemului de coordonate rectangulare plane adoptate, reprezentate, de regulă, din proiecția pe suprafața de proiecție a ecuatorului și a meridianului axial al fusului reprezentat.

Caroiajul kilometric este trasat pe hărțile realizate la scările 1:25.000 până la 1:200.000 și constă dintr-o rețea de pătrate cu laturile pătratelor situate la distanțe diferite, în funcție de scara hărții. Distanțele dintre laturile pătratelor sunt standardizate și sunt reprezentate în tabelul 2.4.

Pe hărțile realizate la scările 1 :500.000 și 1 :1.000.000 se trasează rețeaua geografică cu următoarea densitate: de 30’ pe longitudine și 20’ pe latitudine – pentru scara 1:500.000, respectiv de 1° pe longitudine și 1° pe latitudine – pentru scara 1:1.000.000.

Într-o reprezentare cartografică liniile caroiajului kilometric nu sunt paralele cu liniile cadrului geografic.

Tabelul 2.4 – Distanțele dintre laturile pătratelor caroiajului kilometric

Caroiajul kilometric este utilizat pentru:

determinarea coordonatelor rectangulare plane ale diverselor puncte de pe reprezentarea cartografică;

raportarea pe reprezentarea cartografică a unor puncte ale căror coordonate rectangulare plane sunt cunoscute;

determinarea expeditivă a suprafețelor;

determinarea expeditivă a distanțelor.

Valorile caroiajului kilometric sunt notate între cadrul interior și cadrul geografic și se compun de regulă din (fig. 2.21):

patru cifre în cazul sistemului de proiecție cartografică Gauss-Kruger, când pe latura de nord și de sud prima cifră din grupul celor patru cifre reprezintă numărul fusului Gauss în care se află regiunea cartografiată (4 în cazul fusului 34 și 35 în cazul fusului 35);

trei cifre în cazul sistemului de proiecție cartografică Stereografică 1970.

În cazul planurilor topografice, caroiajul kilometric poartă denumirea specifică de caroiaj rectangular și se trasează obligatoriu la intervale de 100 mm.

Pe planurile topografice realizate la scara 1:2000 ÷ 1:20.000 în sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970 caroiajul rectangular se trasează prin linii mai subțiri decât toate celelalte reprezentări din cadrul suprafeței cartografiate, la intervale obligatorii de 100 mm, doar între cadrul interior și cadrul ornamental, iar valorile liniilor caroiajului sunt:

multipli de 200 m la scara 1:2000;

multipli de 500 m la scara 1:5000;

multipli de 1000 m la scara 1:10000;

multipli de 2000 m la scara 1:20000.

Fig. 2.21 Caroiajul kilometric al unei harți

Pe planurile topografice realizate la scara 1:500 ÷ 1:1.000 în sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970 sau în sistem local de coordonate, caroiajul rectangular se trasează pe tot cuprinsul planului până la cadrul ornamental, la intervale de 100 mm, prin linii mai subțiri decât toate celelalte reprezentări din cadrul suprafeței cartografiate, iar valorile liniilor caroiajului sunt:

multipli de 50 m la scara 1:500;

multipli de 100 m la scara 1:1000.

Planurile topografice realizate la scara 1:500 ÷ 1:1.000 în sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970 sau în sistem local de coordonate, se orientează astfel încât suprafața cartografiată să ocupe un format cât mai redus. Și în acest caz, caroiajul rectangular se orientează după direcția punctelor cardinale și se trasează pe tot cuprinsul planului la intervale regulate de 100 mm, astfel încât valorile liniilor caroiajului să fie cele indicate pentru planurile realizate în sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970. Pentru indicarea direcției nord, în zona cea mai degajată a planului, de regulă în partea dreaptă sus a planului, se desenează săgeata sau simbolul care indică direcția nordului geografic.

a. Elementele de planimetrie

Reprezentarea pe planuri și hărți a elementelor de planimetrie se realizează cu ajutorul semnelor convenționale.

Semnele convenționale se găsesc în atlase de semne convenționale și sunt semne grafice simple, generalizate, alese astfel încât să sugereze imaginea detaliului din teren, a căror reprezentare pentru diferite scări este legiferată.

Alegerea și materializarea semnelor convenționale în reprezentările cartografice trebuie să aibă în vedere următoarele:

forma semnului convențional ales trebuie să fie cât mai asemănătoare cu cea a obiectului real;

întotdeauna se reprezintă numai proiecția orizontală a obiectelor de pe teren;

lucrările proiectate și în construcție se materializează prin linie punctată;

lucrările din subteran se proiectează la suprafață și se materializează prin linie punctată;

importanța obiectului reprezentat se scoate în evidență prin linii mai îngroșate;

pentru a scoate în evidență anumite caracteristici ale semnelor convenționale se pot utiliza și tentele de culoare.

Materializarea diferitelor obiecte de pe teren în reprezentările cartografice se face prin semne convenționale, clasificate în patru grupe:

semne convenționale de contur;

semne convenționale fără scară;

semne convenționale liniare;

semne convenționale explicative.

Semnele convenționale de contur, se folosesc pentru materializarea în cadrul reprezentărilor cartografice a detaliilor din teren, ce pot fi reprezentate, pentru scara adoptată, prin figuri asemănătoare cu conturul real de pe teren (conturul unui oraș, o pădure, un lac, o mare, o mlaștină etc – fig. 2.22).

Semnele convenționale de contur sunt alcătuite din conturul propriu-zis al detaliului de pe teren, redat printr-o linie continuă sau întreruptă și elemente de umplere a conturului, redate prin hașuri, culori sau alte semne convenționale.

Elementele de umplere dau de regulă caracteristicile calitative ale obiectelor reprezentate.

clădire oraș mlaștină cu contur variabil

Fig. 2.22 Exemple de semne convenționale de contur

Semnele convenționale fără scară, se utilizează pentru materializarea, în cadrul reprezentărilor cartografice, a elementelor care, datorită dimensiunii lor reduse, nu se pot raporta la scară folosită. Mărimea lor nu indică dimensiunile obiectelor corespunzătoare de pe teren și este diferită funcție de scara planului (fig. 2.23).

Dimensiunile semnelor se referă la indicii cantitativi ai obiectelor, iar forma semnelor la deosebirile calitative ale acestora.

Centrul semnului convențional fără scară indică precis locul obiectului, prin axele figurii pe care o simbolizează (o comună, un sat, reprezentarea punctelor geodezice, a stâlpilor, a fântânilor etc).

punct geodezic fântână, scara 1:2000 fântână, scara 1:500

Fig. 2.23 Exemple de semne convenționale fără scară

Semnele convenționale liniare sunt utilizate pentru reprezentarea obiectelor cu caracteristici liniare (căi de comunicații, râuri, frontiere etc.).

Aceste semne convenționale se deosebesc de semnele convenționale de contur prin faptul că măresc exagerat lățimea obiectelor. Ele redau însă cu precizie axul longitudinal al obiectului (râu, șosea, cale ferată etc.).

Din această categorie de semne convenționale fac parte și izoliniile (linii ce unesc puncte cu aceiași indici ai unui obiect sau fenomen). Izoliniile întâlnite mai frecvent în reprezentările cartografice obișnuite sunt: izohipsele (curbe de nivel), izogonele (linii ce unesc puncte de aceeași declinație magnetică), izobatele (linii ce unesc puncte de aceeași adâncime) etc.

Semnele convenționale explicative completează primele două categorii de semne și sunt alcătuite din notările convenționale care se folosesc pentru a da o caracterizare cât mai deplină detaliilor topografice.

Semnele convenționale explicative se folosesc totdeauna în combinație cu celelalte categorii de semne convenționale pentru planimetrie și sunt utilizate pentru a scoate în evidență unele caracteristici suplimentare ale obiectelor reprezentate (specii de arbori, înălțime, adâncime, săgețile care indică direcția de curgere a apelor etc.).

De exemplu, o pădure, reprezentată prin conturul ei, poate cuprinde indicații privitoare la specie (foioase sau rășinoase) sau vârstă (plantație tânără, arboret bătrân, parchete exploatate) (fig. 2.24).

Fig. 2.24 Pădure de fag cu înălțimea medie de 15 m, diametrul mediu de 0,2 m și distanța medie dintre arbori 7 m

Problema elaborării și prelucrării semnelor convenționale necesită un volum mare de muncă, de rezolvarea acestei probleme depind expresivitatea și posibilitățile de citire ușoară a reprezentărilor cartografice.

Semnele convenționale de toate tipurile, ca și adnotările și abrevierile utilizabile, sunt publicate în atlase de semne convenționale, pe grupe de scări.

Unele aspecte legate de utilizarea semnelor convenționale au fost prezentate și la disciplina desen topografic și cartografic, astfel că ele nu vor mai fi reluate.

b. Elementele despre relief

Reprezentarea elementelor despre relief sau a datelor altimetrice, pe planuri și hărți, se realizează folosind următoarele metode, în funcție de scara reprezentării cartografice, de scopul urmărit, de tehnologia avută la dispoziție etc:

metoda planurilor cotate;

metoda curbelor de nivel;

metoda umbrelor;

metoda hașurilor;

metoda tentelor hipsometrice (de culoare);

metoda profilului;

metoda planurilor în relief;

metode combinate.

Prin oricare dintre metodele enumerate s-ar face reprezentarea reliefului, aceasta trebuie să îndeplinească următoarele cerințe:

reprezentarea să fie expresivă și să nu altereze celelalte elemente de conținut ale hărții;

formele de relief să fie redate fidel și să păstreze poziția lor planimetrică;

reprezentarea să fie astfel executată încât să permită determinarea cotelor diferitelor puncte.

Metoda planurilor cotate, constă în a raporta pe un plan toate punctele caracteristice determinate planimetric și altimetric în teren, lângă care se scrie cota caracteristică determinată (fig. 2.25).

Din aceste motive, planurile cotate se folosesc în special pentru reprezentarea reliefului prin curbe de nivel, la lucrările de îmbunătățiri funciare, pentru întocmirea proiectelor de nivelarea terenului în plan orizontal sau în plan înclinat.

Metoda curbelor de nivel, este folosită pentru reprezentarea reliefului pe planurile inginerești. Curbele de nivel, numite și izohipse, sunt polinii închise ale căror puncte au aceeași cotă și se află la același nivel față de un plan de comparație. Metoda curbelor de nivel a fost introdusă pentru prima dată în anul 1733 de inginerul geodez Cruchius din Irlanda.

Din punct de vedere teoretic, curbele de nivel rezultă din intersecția terenului cu o serie de plane orizontale și echidistante (fig. 2.26).

Fig. 2.25 – Exemplu de plan cotat

Fig. 2.26 Principiul curbelor de nivel

Pentru reprezentarea terenurilor accidentate, cu panta peste 35, care nu pot fi reprezentate prin curbe de nivel se utilizează hașuri. Aceste zone au indicat conturul, cotele lor la creastă și la bază, iar în interiorul conturului apar hașuri care sunt linii trasate pe direcția de cea mai mare pantă, care prin lungime, densitate și grosime indică gradul de înclinare al terenului. (Exemple: râpă, viroagă, ravenă, movilă, groapă, taluz de carieră, mal abrupt etc).

Suprafețele de nivel sunt perpendiculare pe direcția accelerației gravitaționale și pe porțiuni limitate pot fi asimilate cu planurile orizontale. Valoarea curbei de nivel este aceea a suprafeței de nivel de secționare, adică a înălțimii acesteia față de suprafața de nivel zero și această valoare se înscrie pe curbă.

Pentru reprezentarea corectă a reliefului, între planele de secționare a suprafeței terestre, se alege o echidistanță „e” în funcție de:

precizia urmărită la reprezentarea reliefului;

înclinarea terenului;

scara reprezentării cartografice.

Echidistanța „e” reprezintă distanța pe verticală constantă între suprafețele de nivel generatoare de curbe de nivel. Echidistanța are, de regulă, valori rotunde: 0,5 m, 1 m, 2 m, 5 m, 10 m, 20 m, etc.

Fără să constituie o regulă, echidistanța se poate alege în funcție de scara reprezentării cartografice, conform relației:

unde: N – este numitorul scării reprezentării cartografice.

Cu cât terenul este mai accidentat, echidistanța va fi mai mare și cu cât scara reprezentării cartografice este mai mare, echidistanța va fi mai mică. Astfel, în zone muntoase sau în zone cu relief foarte frământat echidistanța se poate dubla față de cea rezultată din calcule.

În tabelul 2.5 vom prezenta echidistanța, recomandată, dintre curbele de nivel în funcție de scara reprezentării grafice.

Tabelul 2.5.

Curbele de nivel se împart în următoarele categorii (fig. 2.27):

curbe de nivel normale se reprezintă printr-o linie subțire și continuă și se trasează la echidistanța normală „e”, aleasă în funcție de: scara reprezentării cartografice, de înclinarea terenului și de scopul urmărit;

curbe de nivel principale sunt curbe de nivel normale trasate mai îngroșat la cote rotunde. Acestea sunt, de regulă, a cincea sau a zecea curbă de nivel normală. Pe ele se fac inscripțiile care indică valoarea cotei curbei de nivel. În mod excepțional, atunci când curbele de nivel normale sunt trasate cu echidistanța de 2,5m fiecare a patra curbă de nivel se poate considera curbă de nivel principală cu valorile de 10m, 20m, 30 m etc.

curbe de nivel ajutătoare se trasează prin linii subțiri întrerupte, la 1/2 din echidistanța „e”, acolo unde distanța dintre curbele de nivel normale este prea mare pentru a putea reda corect relieful terenului;

curbe de nivel accidentale se trasează cu linie subțire punctată, la 1/4 din echidistanța „e” și se folosesc numai atunci când relieful nu poate fi reprezentat prin curbe de nivel normale și ajutătoare.

175 curbă de nivel normală de cotă 175m

150 curbă de nivel principală de cotă 150m

curbă de nivel ajutătoare la 1/2 din distanță

curbă de nivel accidentală la 1/4 din distanță

Fig. 2.27 Tipuri de curbe de nivel

La trasarea curbelor de nivel normale, distanța minimă dintre două curbe de nivel alăturate nu trebuie să fie mai mică de 0,2mm. În cazul unor distanțe mai mici de 0,2 mm este indicat să se întrerupă curbele de nivel normale și să se traseze doar cele principale.

Linia cea mai scurtă dintre două curbe de nivel, perpendiculară pe ambele curbe de nivel, se numește linia de cea mai mare pantă. La o distanță mică între proiecțiile curbelor în plan, corespunde un unghi de pantă mare, respectiv la curbe de nivel dese, de pe o reprezentare cartografică, corespunde în realitate o suprafață topografică mai accidentată (frământată). Linia de cea mai mare pantă este indicată pe planuri și hărți prin liniuțe de pantă, numite și bergstrichuri, care sunt orientate întotdeauna în sensul de coborâre a versantului.

În figura 2.28 este materializat o porțiune dintr-un plan topografic în care relieful este reprezentat prin curbelor de nivel.

Fig. 2.28 Reprezentarea curbelor de nivel pe planuri topografice

Trasarea curbelor de nivel se poate face, în mod rapid utilizând softuri specializate cât și prin procedee grafice, dintre care, cel mai cunoscut este procedeul cu izograful.

Izograful este o bucată de hârtie de calc pe care se trasează linii paralele și echidistante (fig. 2.29).

Distanța dintre liniile paralele se ia egală, la scara reprezentării cartografice. Pe liniile izografului se notează valorile curbelor de nivel care trebuie interpolate.

Trasarea și interpolarea curbelor de nivel trebuie să respecte următoarele principii:

curbele de nivel trebuie să respecte și să descrie complet aspectul terenului;

curbele de nivel se obțin prin unirea punctelor de aceeași cotă, fiind niște polilinii continue închise întotdeauna;

curbele de nivel nu se pot intersecta (excepție făcând stâncile înclinate invers, caz în care nu se materializează) și se închid pe foaia de plan sau se opresc la marginea foii de plan;

curbele de nivel trebuie să fie trasate cu o precizie de 0,1d, unde d este distanța grafică între curbele de nivel;

curbele de nivel se trasează în creion, iar ulterior în tuș de culoare maro roșcat (sepia);

curbele de nivel nu se trasează peste construcții, rupturi de teren, râpe, rambleuri, debleuri, suprafețe acvatice; ele se opresc la aceste „obstacole” iar trasarea lor continuă după depășirea obstacolului;

cifrele care indică valorile curbelor de nivel sunt astfel dispuse încât baza lor este așezată spre piciorul pantei;

când densitatea curbei de nivel pe o porțiune a planului este mare, datorita înclinării terenului, pentru a nu se suprapune, ele se întrerup și se trasează doar curbele de nivel principale.

Fig. 2.29 Exemplu de izograf

Redarea automată a reliefului unui teren, ca reprezentare tridimensională, a constituit o preocupare permanentă a oamenilor de știință, care au oferit soluții multiple, toate având la bază ideea de principiu, că între două puncte vecine panta terenului este continuă. Suportul teoretic îl constituie modelarea matematică, pus în practică printr-o funcție CAD cu care se realizează modelul digital al terenului (DTM), ca imagine spațială a altitudinilor unei suprafețe topo (fig. 2.30).

Sistemul de reprezentare a reliefului prin curbe lor de nivel se dovedește cel mai simplu mod de reprezentare a unui model 3D. În cazul trasării automate a curbelor de nivel, aceste curbe se obțin în mod vectorial, prin conexiunea segmentelor de dreaptă care leagă puncte de coordonate cunoscute ce alcătuiesc, în ansamblu, elementele geometrice ale modelului 3D, reprezentat pe calculator.

Fig. 2.30 Trasarea automată a curbelor de nivel

În principiu, la reprezentarea digitală a elevației trebuie obținută mărimea constantă z pentru o linie de nivel, exprimată ca o variabilă de coordonatele plane (x,y) ale punctelor cunoscute într-un sistem de axe:

Funcția permite evaluarea altitudinilor în orice punct al planului digital pe care, cu un soft CAD, s-au raportat punctele măsurate în teren cu cotele lor.

Practic, DTM-ul se poate realiza cu softuri diferite, sub formă de:

rețea rectangulară de coordonate rectangulare plane (x,y) cunoscute ale nodurilor situate la intersecția rândurilor și coloanelor, pentru care se va obține și valoarea interpolată a cotei z, rezultând o reprezentare vectorială a curbelor de nivel;

rețea triunghiulară, realizată prin unirea între ele a punctelor vecine, de cotă cunoscută, astfel încât să rezulte o familie de triunghiuri care, conform condițiilor Delaunay, au un vârf sau o latură comună pe care se interpolează cotele z (fig. 2.30). Liniile poligonale obținute, redate punctat, sunt automat transformate în polinii curbe continue.

Metoda celor mai mici pătrate poate fi folosită ca variantă la trasarea curbelor de nivel. În acest caz suprafața terenului este ajustată de o funcție polinomială de genul celei din relația (2.5) la care se pune condiția cunoscută ca suma pătratelor abaterilor dintre valoarea reală a cotei într-un punct și valoarea calculată a polinomului în acel punct să fie minimă. După determinarea coeficienților necunoscutelor și a termenului liber din ecuația polinomială, se trasează curbele de nivel introducând cotele corespunzătoare în relația (2.6).

Fidelitatea redării reliefului, prin curbe de nivel, este condiționată de numărul și modul de alegere a punctelor caracteristice de nivelment în teren precum și de calitatea măsurătorilor, definite de instrument și metoda folosită. În principiu, pentru redarea reliefului, pe teren sunt determinate planimetric și altimetric punctele caracteristice alese la schimbarea semnificativă a înclinării. Numărul punctelor determinate este direct proporțional cu precizia redării reliefului, cu înclinarea și neregularitățile terenului cât și cu creșterea scării. Un element important al creșterii numărului de puncte determinate este obiectivul pentru care este realizată reprezentarea cartografică digitală.

Reprezentarea cartografică 3D a terenului, folosind trasarea automată a curbelor de nivel, este o operație delicată, care trebuie să fie urmărită cu atenție pentru evitarea unor greșeli grosolane. În general, pot apărea probleme în zonele de la marginea suprafeței măsurate, unde pot apare distorsiuni în DTM. Acest neajuns se poate minimaliza prin extinderea ridicărilor topografice și în afara ariei de interes.

Reprezentarea reliefului prin curbe de nivel prezintă următoarele avantaje :

determinarea cotei terenului, rapid și cu precizie ridicată, în orice punct al acestuia;

determinarea pantei terenului între oricare două puncte de pe reprezentarea cartografică;

construirea facilă a profilelor;

descifrarea reprezentărilor cartografice este favorizată de indicatoarele de pantă, poziția cifrelor de cotă și tipurile de curbe de nivel.

În același timp reprezentarea reliefului prin curbe de nivel prezintă și următoarele dezavantaje:

nu se pot reprezenta suprafețe orizontale;

nu se pot reprezenta accidente de teren cum ar fi: stânci, râpe, viroage etc, fiind necesare semne convenționale suplimentare;

aglomerează uneori exagerat suprafața cartografiată.

Formele de înălțimi sunt:

mamelonul (o ridicătură cu pante ce cad în toate părțile de la vârf) care poate fi un pisc sau un platou (fig. 2.31);

coama (o ridicătură cu doi versanți, ce formează o spinare numită cărarea coamei sau linia de despărțire a apelor) muchia coamei putând fi ascuțită, rotunjită sau lată;

piciorul (linia de unire în pantă a două coaste);

săgeata (o extremitate de coamă ce se înalță) (fig. 2.32);

movila, o ridicătură mai mică în câmp etc (fig. 2.32).

Fig. 2.31 – Mameloane

Pisc Movilă Săgeată

Fig. 2.32 Pisc, Movilă, Săgeată

Formele de depresiuni sunt (fig. 2.33):

valea (depresiune cu versanți ce se unesc pe linia de împreunare a apelor, numită talveg);

căldarea (o depresiune închisă în toate părțile);

bazinul (o depresiune închisă de obicei pe trei părți și deschisă pe o parte), denumirea de bazin presupune de obicei o regiune mare;

șeaua (depresiunea dintre două mameloane).

Fig. 2.33 Vale; Căldare

Generalizat, în fig. 2.34 se prezentă câteva forme de relief (Năstase, 1983).

Fig. 2.34 Reprezentarea formelor de relief

Unde:

1- vale cu curs pemanent; 2 – vale cu curs temporar; 3 – bot de deal; 4 – vale; 5 – râpă; 6 – confluență; 7 – cumpănă de ape; 8 – pinten; 9 – curbă de nivel normală; 10 – curbă de nivel principală; 11 – obârșia văii; 12 – curbă de nivel ajutătoare; 13 – cotă; 14 – bergstrich; 15 – mamelon; 16 – vârf; 17 – cota unei curbe de nivel principale; 18 – șa.

Metoda hașurilor

Această metodă a fost elaborată de Lehman (1765-1811) și se bazează pe gradul de iluminare a razelor solare ce cad vertical pe teren. Această metodă se aplică după ce pe reprezentarea cartografică s-au trasat curbele de nivel.

Potrivit acestui principiu, cu cât terenul este mai apropiat de planul orizontal, cu atât vor cădea mai multe raze și deci va fi mai iluminat și cu cât va fi mai înclinat, cu atât vor cădea mai puține raze, adică va fi mai întunecat, respectiv cu cât panta terenului este mai mare cu atât hașurile vor fi mai scurte și mai groase și cu cât panta este mai lină cu atât hașurile vor fi mai lungi și mai subțiri.

Hașurile se trasează perpendicular pe curbele de nivel la o depărtare una de alta egală cu un sfert din lungimea lor, regulă ce se numește „legea sfertului”, atunci când lungimea hașurilor este mai mare de 2 mm. Când lungimea hașurilor este mai mică de 2 mm distanța dintre hașuri va fi constantă de 0,5 mm iar îngroșarea se realizează în raport cu panta (legea îngroșării). Dacă hașurile au o lungime mai mică de 0,25 mm se foloseste semnul convențional special pentru râpe, viroage etc.

Pentru a trasa pe plan hașurile, precum și pentru a citi un plan cu hașuri, este necesar să se cunoască diapazonul hașurilor (fig. 2.35) care indică scara de luminozitate, adică raportul dintre alb și negru.

Fig. 2.35 Diapazonul hașurilor (Năstase, 1983)

Deși este foarte sugestivă, această metodă se aplică destul de rar, în special pe hărțile geografice, datorită următoarelor inconveniente:

nu permite determinarea cotelor punctelor de interes de pe hartă;

acoperă detaliile planimetrice și semnele convenționale;

se execută greu.

Pentru o redare mai sugestivă se utilizează reprezentări cartografice pe care relieful este reprezentat atât prin curbe de nivel cât și prin hașuri.

Metoda umbrelor

Prin această metodă (fig. 2.36) formele de relief se reprezintă prin redarea umbrelor pantelor așa cum se prezintă unui observator care ar privi de sus. Această metodă este similară metodei hașurilor, deosebirea constă în aceea că în loc să se deseneze hașuri pantele apar pe hartă umbrite.

Cu cât pantele sunt mai mari, cu atât umbrele ce le acoperă sunt mai intense. Această metodă este expresivă, permite perceperea ușoară a formelor de relief și dă posibilitatea delimitării formelor de relief (creste, văi etc.). Ea poate fi utilizată în combinație cu alte metode pentru reprezentarea reliefului pe hărțile realizate la scările 1:500.000, 1:1.000.000 și a hărților la scări mici.

Fig. 2. 36 Reprezentarea reliefului prin metoda umbrelor (www. 1bp.blogspot.com)

Dezavantajul principal al metodei este dat de faptul că reprezentarea este subiectivă și depinde de calitățile artistice ale executantului.

În figura 2.37 sunt materializate câteva metode de reprezentare a reliefului.

Metoda tentelor hipsometrice, constă în a colora spațiul dintre curbele de nivel cu nuanțe diferite de culoare (fig. 2. 38).

Fiecare tentă de culoare se suprapune unui interval de altitudine. Nuanțele vor fi cu atât mai întunecate pentru dealuri și munți, cu cât cotele terenurilor vor fi mai mari.

Metoda tentelor este mai sugestivă decât metoda hașurilor, însă prezintă aceleași dezavantaje. Metoda tentelor se aplică în mod special pe hărțile geografice generale la scări mici fiind expresivă și mai rar pe cele inginerești.

Fig. 2.37 Metode de reprezentare a reliefului (Năstase, 1983): 1- relieful real; 2 – metoda hașurilor; 3 – metoda curbelor de nivel; 4 – metoda curbelor de nivel combinată cu metoda hașurilor

Se folosesc, în general, următoarele culori cu nuanțe diferite:

albastru pentru ape, care devine cu atât mai închisă cu cât adâncimea este mai mare;

verde pentru câmpii, care devine cu atât mai închisă cu cât altitudinea este mai mică;

maro – cafeniu pentru munți, care devine cu atât mai închisă cu cât altitudinea este mai mare. Regiunile de dealuri si podișuri se colorează în nuante de galben – portocaliu.

Fig. 2. 38 Reprezentarea reliefului prin metoda tentelor hipsometrice (www. 4bp.blogspot.com)

Pentru reprezentarea ghețarilor și a zonelor montane acoperite cu zăpezi permanente se utilizează culoarea albă.

Metoda are următoarele avantaje:

perceperea ușoară a desfășurării reliefului în altitudine;

identificarea ușoară a formelor de relief.

Metoda are dezavantajul că încarcă cromatic harta, mai ales dacă avem nevoie să reprezentăm și alte elemente de conținut.

Metoda profilului (fig. 2.39) constă în reprezentarea reliefului printr-o linie materializată într-un sistem de coordonate bidimensional (distanță-altitudine), rezultat al secționării suprafeței terenului cu un plan vertical în lungul liniei de profil.

Metoda are avantajul vizualizării clare a reliefului, a pantelor și formelor, dar are dezavantajul reprezentării reliefului doar în lungul liniei de interes. Pentru vizualizarea reliefului pe o suprafată mai mare fiind necesare mai multe profile în locuri diferite.

Fig. 2. 39 Reprezentarea reliefului prin metoda profilului (www. 4bp.blogspot.com)

Metoda planurilor în relief (blocdiagramă), constă în reprezentarea terenului în spațiu sub formă de machete sau mulaje și este metoda cea mai sugestivă, însă cu precizia mai slabă (fig. 2.40).

Fig. 2. 40 Reprezentarea reliefului prin metoda planurilor în relief (www. 4bp.blogspot.com)

Se aplică în special în scop didactic sau pentru proiectarea unor lucrări hidro-ameliorative cu importanță deosebită. Se execută după un plan topografic, pe care relieful este reprezentat prin curbe de nivel.

În ultimul timp, datorită evoluției extraordinare a tehnicii de calcul cât și a tehnologiilor de preluare a detaliilor din teren este posibilă realizarea reprezentărilor cartografice 3D de mare acuratețe, folosind imprimante 3D spațiale.

Metodele combinate sunt rezultatul combinării metodelor prezentate anterior în diverse variante (fig. 2.41 și 2.42).

Fig. 2.41 Reprezentarea reliefului prin tente hipsometrice + umbre + curbe de nivel(www. 4bp.blogspot.com)

Fig. 2.42 Reprezentarea reliefului prin blocdiagramă + tente hipsometrice + umbre + curbe de nivel(www. 4bp.blogspot.com)

În final, nu se poate spune că o metodă este cea mai bună, fiecare metodă fiind bună pentru rezolvarea anumitor probleme și poate să nu fie reprezentativă în alte situații.

Astfel, pentru a profita de unele avantaje și a atenua dezavantajele, cartograful poate combina două sau mai multe metode simple, realizând reprezentări cartografice semnificative ce pot răspunde satisfăcător pentru rezolvarea anumitor probleme. În acest sens se poate afirma cu certitudine faptul că cartografia nu este doar o știință ci și o artă.

Colorarea reprezentărilor cartografice

Semnele convenționale, cât și fondul acestora se colorează cu nuanțe și culori bine stabilite prin instrucțiuni și normative.

Descifrarea sau interpretarea semnelor convenționale este facilitată și de culorile folosite în desenarea acestora, după cum urmează:

albastru închis – se utilizează pentru desenarea malurilor apelor, zonele de inundație, pentru marcarea cifrelor care indică adâncimile, nivelul apelor, fântânilor, izvoarelor și pentru denumiri hidrografice;

albastru deschis – se utilizează pentru suprafețele acoperite cu apă, lacuri, fluvii, bazine maritime, oceane;

maro roșcat – se folosește pentru curbele de nivel, pentru indicatoarele de pantă; cifrele care arată altitudinea, râpe, stânci;

maro roșcat deschis – se utilizează pentru zonele construite care au majoritatea clădirilor cu mai puțin de două etaje, limitele administrative;

maro roșcat inchis – se utilizează pentru șosele și pentru zonele construite care au majoritatea clădirilor mai înalte de două etaje;

verde închis – se utilizează pentru păduri, livezi, , pepiniere;

verde deschis – se utilizează pentru suprafața pădurilor pitice, tinere, a lăstărișurilor, culturi de plante tehnice, vii.

verde linar – se utilizează pentru semnele convenționale pentru elemente de vegetație și limitele acestora;

violet – pentru frontiere de stat și limite de județe;

roșu liniar – se utilizează pentru limite de rezervații naturale, autostrăzi, șosele modernizate, cratere de vulcan;

roșu inchis – se utilizează pentru cvartale de locuințe în orașe;

negru – se utilizează pentru semne convenționale, rețeaua de nivelment, puncte cotate, elemente de planimetrie, inscripții explicative, puncte geodezice și alte detalii de pe hartă.

Trebuie menționat că pentru hărțile topografice scara 1:25000 se folosesc doar 4 culori, respectiv: negru, verde, albastru și maro roșcat.

Scrierea denumirilor pe reprezentările cartografice

În scopul definitivării reprezentărilor cartografice și pentru ca acestea să fie realmente utilizabile trebuie să aibă înscrise denumirile și inscripțiile referitoare la obiectele reale.

Totalitatea inscripțiilor existente pe o reprezentare cartografică formează scrierea hărții și are rolul de a ușura interpretarea semnelor convenționale la care se referă, dar să permită și stabilirea unei ierarhizări a acestora.

Înscripțiile din interiorul hărții se referă la rețeaua hidrografică, la localități, la relief, la suprafețe acoperite de vegetație, la unități administrativ-teritoriale, folosindu-se caractere și dimensiuni diferite în funcție de categoria de elemente pe care o însoțește pentru diferitele elemente din aceeași categorie.

Caracterele de litere, în raport cu scările uzuale și felul detaliilor care se reprezintă pe planuri și hărți sunt indicate în Atlase de semne convenționale.

Scrierea hărților și transcrierea denumirilor pe hărți constituie o preocupare pentru specialiști, existând comisii de nomenclatură geografică,

Pe toate tipurile de reprezentări cartografice tipărite denumirile se scriu cu caractere și corpuri diferite, alese astfel încât să contribuie la diferențierea elementelor la care se referă, respectându-se principiul potrivit căruia cu cât elementul este mai important, cu atât dimensiunile literelor sunt mai mari.

Scrierea toponimelor trebuie să fie corectă din punct de vedere gramatical.

Amplasarea denumirilor pe reprezentările cartografice

Amplasarea denumirilor în cadrul reprezentărilor cartografice trebuie realizată având în vedere două aspecte și anume:

poziția denumirilor față de obiectul reprezentat;

orientarea scrierii.

Cu ocazia înscrierii denumirilor pe reprezentările cartografice se au în vedere următoarele:

să nu supraîncarce reprezentarea cartografică;

să fie amplasate pe locurile cele mai puțin ocupate;

să poată fi citite ușor fără a roti harta sau capul, ținându-le în poziție normală (cu nordul în față);

să nu creeze ambiguități cu privire la obiectele la care se referă;

să nu acopere alte elemente din conținutul hărții;

să fie plasate cât mai aproape de semnul convențional la care se referă.

În figura 2.43 sunt prezentate schematic diferitele sensuri și direcții pe care le poate avea o inscripție, astfel încât citirea să se poată realiza dinspre laturile de sud sau de est ale hărții. Anumite elemente, cum ar fi oiconimele, se scriu obligatoriu numai pe direcție V-E. La scări mari toate inscripțiile orizontale trebuie să fie să fie în mod riguros paralele cu cadrul de nord sau sud.

Denumirile localităților (oiconimele) trebuie să fie cele înscrise în documentele oficiale iar cele situate la graniță trebuie plasate astfel încât să fie situate în întregime pe teritoriul statului căruia îi aparțin.

Fig. 2.43 Exemple de orientare a scrierii pe reprezentările cartografice

Pe hărțile la scări mari oiconimele se scriu paralel cu laturile de nord și de sud ale cadrului (adică pe direcția vest-est), de regulă pe un singur rând, în partea dreaptă a semnului convențional, dar când spațiul nu permite sau localitatea are o configurație specifică, la stânga, deasupra sau dedesubt. Nu se despart în silabe.

Pentru hărțile la scări mici oiconimele se plasează de preferință în partea dreaptă sus față de semnul convențional respectiv (poziția 1 din fig. 2.44), pe direcția paralelelor. Dacă denumirea nu se poate plasa în acel loc, se alege una din celelalte soluții arătate în fig. 2.44, în ordinea indicată de cifrele de la 2 la 6.

Denumirile pentru hidrografie (hidronimele). Pentru apele curgătoare denumirile se dispun paralel cu albia respectivă, fie între liniile ce reprezintă malurile fie în afara acestora, în funcție de lățimea albiei și de scară. Dacă lungimea cursului de apă este mare, scrierea poate fi repetată sau poate fi cu litere distanțate. Denumirile urmăresc sinuozitățile cursurilor de apă, iar sensul scrierii nu concordă întotdeauna cu sensul de curgere al apei.

Fig. 2.44 Amplasarea oiconimelor în raport cu semnul convențional de localitate pe hărțile la scări mici

Denumirile oceanelor și mărilor, ca și cele ale lacurilor mari se scriu după o linie ușor curbată și orientată după axa de cea mai mare întindere. Dacă denumirile nu se pot scrie în interior (din cauza suprafeței mici), atunci se plasează, de obicei, în dreapta elementului respectiv, paralel cu laturile de nord și de sud ale cadrului hărții.

Denumirile de insule mari și mijlocii se amplasează în interiorul, conturului acestora, pe direcția de întindere. La insulele mici denumirile se trec în dreapta acestora, pe direcția paralelelor. În cazul unor grupe de insule, arhipelaguri, scrierea se face după o linie curbă, deasupra sau dedesubtul lor.

Denumirile referitoare la relief (numele munților, dealurilor, podișurilor etc.) care ocupă pe hartă o suprafață mare, se scriu pe un rând pe întreaga suprafață ocupată de forma respectivă de relief, cu litere apropiate când suprafața este mică, sau cu litere distanțate când aceasta este mare. Denumirile câmpiilor vor fi plasate astfel încât să cuprindă și să delimiteze în special lungimea acestora, iar orientarea să concorde cu direcția scrierii în cele patru cadrane. Scrierea poate fi în linie dreaptă sau curbată, urmărind configurația formei respective de relief. Numele formelor de relief care ocupă o suprafață mică (de exemplu înșeuări) se scriu de regulă pe un singur rând, paralel cu laturile de nord și de sud ale cadrului. Denumirile vârfurilor se scriu pe direcție vest – est, deasupra cotei respective.

Denumirea formațiunilor vegetale (de exemplu păduri) se scriu de preferință orizontal, cu negru, în interiorul conturului și orientate în așa fel încât să poată fi citite dinspre laturile de sud și de est ale hărții. Dacă suprafața respectivă este mare, scrierea se face în interior, pe direcție vest – est, cu litere distanțate, iar dacă suprafața este mică, numele se plasează alături, tot pe direcție vest – est, deasupra cotei respective.

Hidronimele, denumirile formațiunilor vegetale și ale formelor de relief nu sunt oficiale și de aceea se extrag din documentațiile existente și se compară cu denumirile culese de pe teren, de la localnici.

Denumirile diviziunilor administrative se amplasează în poziție orizontală. Denumirile țărilor (județelor, comunelor) vecine se vor amplasa pe porțiunea cu care se învecinează (în zona frontierei comune), respectând regulile de orientare a scrierii (fig. 2.43). Aceste inscripții nu trebuie să acopere alte elemente ale hărții.

Înainte de a fi scrise pe reprezentările cartografice, toate toponimele se analizează din punctul de vedere al semnificației și corectitudinii literare, ținând cont în transcrierea lor de următoarele aspecte:

toponimele formate din cuvinte uzuale (substantive comune adjective, nume de persoane sau derivate din ele) se transcriu literar, excluzându-se regionalismele (Buzunar nu Poc etc);

toponimele cu forme de masculin și neutru, la cazul nominativ singular se scriu nearticulat, conform unei practici internaționale (Crișu Negru, Lăpușu Românesc, Dealu Crucii etc);

în ceea ce privește ortografia denumirilor, scrierea acestora se începe cu literă majusculă numai pentru numele proprii. Numele generice ca: fluviu, insulă, lac, munte, deal, câmpie etc, când nu fac parte din denumire, se scriu cu literă mică. Altfel, apelativele geografice care sunt substantive comune și indică natura diferitelor elemente geografice se scriu cu inițială majusculă (Râul Săsar, Râul Doamnei, Valea Muntelui, Pârâul Cailor, Pășunea Cireșelor). Numele cursurilor mari de apă se pot scrie fără apelativ (Someș, Lăpuș, Siret).

3. Teoria generală a proiecțiilor cartografice

3.1. Care este forma Pământului? Elipsoid sau sferă

Din cele mai vechi timpuri studiul formei și dimensiunilor Pământului a constituit o preocupare importantă a oamenilor de știință din domeniul geodeziei, cartografiei dar și a filozofilor și a altor oameni preocupați de cunoaștere.

Deși, Pământul este eterogen atât planimetric cât și altimetric are o formă proprie numită geoid (noțiune introdusă de fizicianul englez Listing în 1873). Geoidul este definit de suprafața echipotențială a mărilor deschise și oceanelor, în starea lor de echilibru, prelungită pe sub continente, perpendiculară în orice punct pe direcția gravitației terestre. (fig. 3.1).

Fig. 3.1 Forma suprafeței Pământului

Geoidul este o suprafață complexă care nu poate fi încadrată într-o formulă matematică simplă, astfel că pentru ușurința calculelor matematice suprafața Pământului este aproximată, de obicei, cu aceea a unui elipsoid de rotație (fig. 3.2).

Pe baza cercetărilor realizate cu ajutorul tehnologiei satelitare și a prelucrării rezultatelor lucrărilor astronomo – geodezice, s-a constatat că cea mai apropiată figură de geoid este elipsoidul de rotație cu o turtire mică. Acesta ia naștere prin rotirea unei elipse meridiane în jurul axei mici, care se presupune a fi identică cu axa polilor Pământului (fig. 3.3).

Fig. 3.2 Aproximarea suprafeței Pământului

Elipsoidul de rotație are avantajul că diferă relativ puțin de geoid și are o exprimare matematică simplă, care poate fi utilizată în calculele cartografice.

Fig. 3.3 Elipsoid de rotație

În decursul timpului s-au efectuat numeroase lucrări geodezice pentru stabilirea formei și dimensiunilor Pământului. Rezultatele acestor lucrări s-au concretizat în diverși elipsoizi utilizați pentru aproximarea formei Pământului, numiți elipsoizi de referință.

În general, un elipsoid se alege astfel încât să aproximeze cât mai bine forma Pământului pentru o anumită regiune, țară sau grup de țări. Un astfel de elipsoid care aproximează foarte bine forma Pământului într-o anumită zonă nu este obligatoriu să se potrivească la fel de bine și pentru o altă zonă.

În esență, elipsoidul de referință este elipsoidul cu dimensiuni bine determinate, încadrat în corpul Pământului, astfel încât să fie cât mai apropiat de geoid în zona de interes, față de suprafața căruia se raportează rezultatele lucrărilor geodezice și topografice într-o anumită regiune, stat sau într-un grup de state.

De exemplu, la începutul secolului al XX-lea Statele Unite ale Americii au folosit, pentru aproximarea formei Pământului, elipsoidul de referință determinat de Clarke în 1866, în timp ce după 1945 țările din estul Europei au folosit elipsoidul de referință Krasovski 1940.

În tabelul 3.1 sunt prezentate principalele caracteristici matematice ale diferiților elipsoizi de referință care au fost utilizați în decursul anilor în țara noastră.

Tabelul 3.1 – Elipsoizi de referință folosiți în România

În cazul utilizării sistemelor de proiecție cartografice pentru realizarea unor hărți la scară mare (≥1:1.000.000) care prezintă o porțiune mică din suprafața Pământului, dar în mare detaliu, pentru a păstra o acuratețe bună, suprafața tridimensională curbă a Pământului este modelată ca un elipsoid de rotație.

În cazul utilizării sistemelor de proiecție cartografice pentru realizarea unor hărți la scară mică (< 1:5.000.000) care prezintă regiuni întinse, cu puține detalii, suprafața tridimensională curbă a Pământului este modelată ca o sferă, a cărei rază medie este de circa 6370 km.

Din punct de vedere matematic, modelul sferic este mai simplu decât modelul elipsoidal și în cazul unor scări mici deformările datorate eterogenității planimetrice și altimetrice a Pământului pot fi neglijabile. La aceste scări, diferența dintre o sferă și un elipsoid nu este detectabilă pe hartă.

În fig. 3.4 este prezentată asemănarea dintre elipsoid și sferă, diferențele însă sunt redate exagerat.

Fig. 3.4 Elipsoid (a.) sau sferă (b.)

În concluzie, datorită variațiilor caracteristicilor gravitaționale și de suprafață ale Pământului, evidențiate de măsurătorile recente realizate de sateliții artificiali (de exemplu: Polul Sud este situat mai aproape de ecuator decât Polul Nord) Pământul nu este o sferă perfectă și nici un elipsoid perfect.

3.2. Sisteme de coordonate folosite în măsurătorile terestre

Poziția unui punct D, localizat pe suprafața Pământului sau pe planul de proiecție, poate fi determinată prin:

coordonatele geografice (geodezice) pe elipsoid (B,L,h) sau pe sferă (λ,φ,h);

coordonatele polare sferice (A,z);

coordonatele carteziene geocentrice 3D (X,Y,Z);

coordonatele polare plane (δ,ρ);

coordonatele rectangulare plane (x,y).

Sistemul de coordonate geografice

Un sistem de coordonate geografice (geodezice) folosește o suprafață tridimensională pentru a defini poziționare diverselor locații de pe suprafața Pământului.

Un sistem de coordonate geografice cuprinde:

o unitate de măsură pentru unghiuri;

un meridian origine;

un sistem de referință atașat unui elipsoid de referință.

Când suprafața tridimensională curbă a Pământului se aproximează cu o sferă poziția unui punct D, materializat pe suprafața Pământului, este bine determinată prin coordonatele sale geografice (geodezice) (fig. 3.5):

longitudinea (λ);

latitudinea (φ).

Longitudinea geodezică, se notează cu „λ” și este unghiul diedru format de planul meridianului origine cu planul meridianului punctului considerat.

Longitudinea se măsoară față de primul meridian sau meridianul origine.

În anul 1884 la Conferința Geografică Internațională de la Washington s-a stabilit ca meridianul orgine să fie meridianul Greenwich, care trece prin apropierea Londrei. Până în anul 1884 au fost considerate ca meridiane origine diferite alte meridiane (Ferro, Paris, Pulkovo). Interesant de amintit este primul meridian Paris (Greenwich) care trecea prin biserica Saint Sulpice din Paris, unde era marcat printr-o bandă de alamă, cunoscută și sub numele de „Linia Rozei”, ce străbătea biserica dintr-o parte în alta.

Fig. 3.5 Materializarea longitudinii și latitudinii pe sfera terestră

Un avantaj major al alegerii meridianului Greenwich ca meridian origine este acela că meridianul opus acestuia este situat la distanță de majoritatea principalelor zone locuite. Astfel, meridianul opus primului meridian stă la baza stabilirii liniei internaționale de schimbare a datei. Pentru a menține teritoriile naționale în aceeași zonă orară (unele insule din Pacific), această linie, în realitate, este ușor neregulată.

Longitudinea poate fi estică (+), pentru punctele situate la est de meridianul origine și vestică (-), pentru punctele situate la vest de meridianul origine. Ca mărime, longitudinea variază între 00- 1800.

Latitudinea geodezică, se notează cu „φ” și este unghiul format de verticala punctului dat cu planul ecuatorului (fig. 3.5).

Latitudinea se măsoară față de ecuator și variază de la 00-900, având valori cuprinse între -90° la Polul Sud și +90° la Polul Nord, deci poate fi nordică (+) în emisfera nordică și sudică (-) în emisfera sudică.

Se numește colatitudine și se notează cu „ψ” unghiul format de verticala punctului considerat cu axa polilor. Colatitudinea este complementul latitudinii.

Relația colatitudinii este următoarea:

Liniile orizontale trasate ipotetic pe scoarța terestră, cu latitudine constantă sau liniile est-vest se numesc paralele. Cea mai lungă paralelă poartă numele de ecuator, este un cerc mare și împarte Pământul în două emisfere egale: nordică și sudică (fig. 3.6). Exceptând ecuatorul, care este un cerc mare al cărui plan este perpendicular pe axa de rotație N-S, toate celelalte paralele sunt cercuri mici.

Latitudinea unui punct poate fi dedusă din unghiul pe care îl face soarele deasupra orizontului la amiază (când soarele este situat cel mai sus pe cer și umbrele sunt cele mai scurte). În acest scop, navigatorii folosesc un aparat numit sextant.

Liniile verticale trasate ipotetic pe scoarța terestră cu longitudine constantă sau liniile nord-sud se numesc meridiane (fig. 3.6). Toate meridianele sunt cercuri mari, ceea ce înseamnă că acestea rezultă din intersecția suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu planuri care conțin axa de rotație a Pământului.

Fiecare paralelă intersectează fiecare meridian sub un unghi drept. Această proprietate, alături de altele, contribuie la evaluarea deformării în cazul proiecțiilor cartografice.

Toate punctele de pe un meridian au aceeași oră solară sau locală. Deoarece nu ar fi practic să avem regiuni învecinate cu valori diferite ale orei, globul a fost împărțit în 24 de fuse sau zone orare, de câte 15° lățime.

În acest scop, fiecare punct din interiorul unei zone se consideră că are aceeași oră standard. În practică, limitele dintre fusele orare rareori sunt situate exact pe meridiane, abătându-se după granițe naționale, pentru a sincroniza în mod convenabil locurile cu caracteristici economico-sociale, culturale și politice comune.

Latitudinea și longitudinea se măsoară în grade sexagesimale (grade, minute și secunde).

În tabelul 3.2 sunt prezentate relațiile dintre diviziunile fuselor orare și diviziunile sexagesimale determinate pe suprafața terestră.

Tabelul 3.2

Cu ajutorul longitudinii și latitudinii se pot localiza poziții exacte pe suprafața terestră, dar gradele de longitudine și latitudine nu sunt unități de măsură uniforme. Doar de-a lungul ecuatorului, distanța reprezentată de un grad de longitudine este aproximativ egală cu distanța reprezentată de un grad de latitudine, deoarece ecuatorul este singura paralelă aproximativ la fel de mare ca un meridian.

În partea nordică și sudică a ecuatorului, cercurile care definesc paralelele, devin din ce în ce mai mici, până ajung la dimensiunea unui singur punct, la Polul Nord respectiv la Polul Sud. Pe măsură ce meridianele converg către poli, distanța reprezentată de un grad de longitudine scade, tinzând către zero.

Totalitatea paralelelor si meridianelor trasate ipotetic pe scoarța terestră formează rețea geografică numită și canevas (fig. 3.6).

Fig. 3.6 Paralelele și meridianele ce formează canevasul

Originea canevasului, P(0,0) se definește ca fiind intersecția dintre ecuator și primul meridian. Globul se împarte astfel în patru cadrane geografice, pe baza localizării geografice față de origine. Nordul se situează deasupra și sudul se situează sub ecuator, în timp ce vestul se situează în stânga și estul se situează în dreapta meridianului origine (primului meridian).

Când suprafața tridimensională curbă a Pământului se aproximează cu un elipsoid de rotație, poziția unui punct D, materializat pe scoarța terestră, este bine determinată prin coordonatele sale geografice (geodezice) elipsoidale (fig. 3.7):

longitudinea (L);

latitudinea (B).

Longitudinea geodezică, se notează cu „L” și este unghiul diedru format de planul primului meridian (planul meridianului geodezic al punctului Greenwich) cu planul meridianului geodezic al punctului considerat (fig. 3.7).

Latitudinea geodezică, se notează cu „B” și este unghiul format de normala la elipsoid într-un punct dat cu planul ecuatorului elipsoidului de referință (fig. 3.7).

Fig. 3.7 Coordonate geografice (geodezice) pe elipsoid

Sistemul de coordonate sferice polare

Pentru a defini un sistem de coordonate sferice polare trebuie să alegem mai întâi un pol al sistemului de coordonate sferice polare determinat prin coordonatele sale geografice pe sferă. Să notăm acest pol cu Q0(λ0,φ0).

În raport cu acest pol un punct oarecare pe sferă D este definit prin: unghiul azimutal A și distanța zenitală z (fig. 3.8).

Unghiul zenital (azimutul), A este unghiul format de meridianul polului Q0(λ0,φ0) cu cercul mare care trece prin punctele Q0 și D. Azimutul poate lua valori între 0° și 360°.

Distanța zenitală, z este mărimea, în grade, a arcului de cerc mare determinat de punctele Q0 și D. Distanța zenitală este egală cu mărimea unghiului cu vârful în centrul sferei făcut de razele care trec prin punctele Q0 și D. Distanța zenitală z poate lua valori între 0° și 180°.

Fig. 3.8 Coordonate sferice polare

Sistemul de coordonate sferice polare are ca linii de coordonate ortogonale verticalurile și almucantaratele (fig. 3.9).

Verticalurile sunt o familie de cercuri mari, trasate ipotetic pe sferă, care au unghiul azimutal A constant.

Fig. 3.9 Rețeaua de verticaluri și almucantarate

Almucantaratele sunt o familie de cercuri mici de rază variabilă, trasate ipotetic pe sferă, care au distanța azimutală z constantă.

Verticalurile și almucantaratele sunt similare rețelei de meridiane și paralele (rețelei geografice) și în situația în care polul sistemului de coordonate sferice Q0 coincide cu polul nord, verticalurile coincid cu meridianele iar almucantaratele coincid cu paralelele. În situația în care polul sistemului de coordonate sferice Q0 coincide cu un punct oarecare situat pe ecuator vom obține un sistem de coordonate transversal. În situația în care polul sistemului de coordonate sferice Q0 coincide cu un punct oarecare situat în oricare altă poziție decât unul din poli sau de pe ecuator vom obține un sistem de coordonate oblic.

Sistemul de coordonatele carteziene geocentrice 3D (X,Y,Z)

Punctele caracteristice de pe suprafața tridimensională curbă a Pământului pot fi raportate la un sistem de axe rectangulare (OXYZ) cu originea în centrul elipsoidului de rotație și axele dispuse după cum urmează (fig. 3.10):

axa OZ este dirijată pe direcția polilor, respectiv pe direcția NS cu sensul pozitiv spre Nord;

axa OX este dată de intersecția planului meridianului astronomic Greenwich cu planul ecuatorului, care trece prin originea O și este perpendiculară pe axa OZ;

axa OY este orientată spre dreapta, în planul ecuatorului de referință, în direcție perpendiculară pe axa OX.

Fig. 3.10 Sistemul de coordonate carteziene geocentrice 3D (X,Y,Z)

Coordonatele carteziene geocentrice 3D (X,Y,Z) ale unui punct D, situat pe suprafața tridimensională curbă, topografică reală, a Pământului, (fig. 3.10) se pot determina cu ajutorul relațiilor:

unde:

N este marea normală sau raza de curbură a primului vertical

unde:

a – semiaxa mare;

B – latitudinea;

e – excentricitatea

W – vechea funcție fundamentală dată de relația:

Coordonatele carteziene geocentrice 3D (X,Y,Z) ale unui punct D’, situat pe suprafața elipsoidului de referință, respectiv ecuațiile parametrice ale elipsoidului (fig. 3.10) se pot determina cu ajutorul relațiilor:

Dacă se cunosc coordonatele carteziene geocentrice 3D (X,Y,Z) ale unui punct se pot determina coordonatele geografice elipsoidale cu ajutorul relațiilor inverse.

Sistemul de coordonate polare plane

Pentru a defini un sistem de coordonate polare trebuie să definim o axă polară, pe care o considerăm identică cu axa OX a sistemului de coordonate rectangulare plane a cărui origine este în O și un pol al sistemului de coordonate polare C (fig. 3.11).

Sistemul de coordonate polare plane (fig. 3.11) este definit de coordonatele polare:

δ – unghiul polar măsurat între raza vectoare (polară – ρ) și axa polară;

ρ – raza polară (vectoare) definită ca fiind distanța de la punctul origine (pol) până la punctul considerat.

Fig. 3.11 Sistemul de coordonate polare plane și sistemul de coordonate rectangulare plane

Sistemul de coordonate rectangulare plane

Poziția oricărui punct D, situat în plan, poate fi definită prin coordonatele sale rectangulare plane, x și y, definite funcție de sistemul de coordonate plane rectangulare XOY, în care axa OX se numește abscisă iar axa OY se numește ordonată. Axa OX se consideră a fi paralelă cu axa polară iar axa OY perpendiculară pe aceasta.

Legătura dintre coordonatele polare plane și coordonatele rectangulare plane este dată de relațiile:

Pe hărțile topografice liniile sistemului de coordonate plane rectangulare OX și OY sunt reprezentate sub forma unei rețele de linii perpendiculare care alcătuiesc așa numitul caroiaj kilometric (rectangular). Valorile liniilor de caroiaj se iau, de obicei, în kilometri, sens în care și denumirea sa este aceea de caroiaj kilometric.

Valorile caroiajului kilometric sunt scrise de regulă pe hărțile topografice între cadrul interior și cel geografic și permit determinarea, cu precizia dată de scara hărții, a coordonatelor rectangulare plane a oricărui punct de pe hartă, raportarea pe hartă a oricărui punct de coordonate rectangulare plane cunoscute, cât și determinarea expeditivă a distanțelor și suprafețelor pe hărțile topografice.

3.2. Noțiuni și formule utilizate în cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă

Sfera este corpul mărginit de o suprafață curbă închisă ale cărei puncte sunt egal depărtate de un punct interior, numit centru.

Suprafața sferei se determină cu relația:

Volumul sferei se determină cu relația:

unde: R este raza Pământului

Se numește zonă sferică porțiunea din suprafața sferei delimitată între două secțiuni plane paralele (fig. 3.12-a).

Fig. 3.12 Zona sferică, fus sferic și trapez sferic

Suprafața unei zonei sferice se determină cu relația:

în care:

I – înălțimea zonei sferice, care se poate exprima în funcție de diferența de latitudine (), astfel:

de unde, formula suprafeței sferice devine:

Se numește trapez sferic porțiunea de pe sfera terestră delimitată de două meridiane și două paralele (fig. 3.12-b suprafața 1-2-3-4-1).

Relația de calcul a suprafeței trapezului sferic este următoarea:

unde:

și sunt latitudinile paralelelor ce delimitează trapezul sferic;

este diferența de longitudine dintre meridianele ce mărginesc trapezul sferic.

Se numește fus sferic (fig. 3.12 – b) porțiunea de pe sfera terestră cuprinsă între două meridiane, a cărei suprafață se determină cu relația:

unde:

este diferența de longitudine dintre meridianele ce delimitează fusul sferic dat.

Orice plan care taie o sferă este un plan secant al acesteia. Din intersecția unui plan cu o sferă rezultă o secțiune plană pe sferă care este un cerc.

Din intersecția sferei cu un plan care trece prin centrul sferei rezultă un cerc mare al sferei (fig. 3.13). Pe suprafața sferei se pot duce o infinitate de cercuri mari. Exemple caracteristice de cercuri mari: toate meridianele, ecuatorul.

Secțiunile plane care nu trec prin centrul sferei sunt numite cercuri mici (fig. 3.13). Exemple caracteristice de cercuri mici: toate paralelele cu excepția ecuatorului.

Cercurile mari ale sferei au următoarele proprietăți importante:

raza unui cerc mare este egală cu raza sferei;

două cercuri mari se intersectează întotdeauna după un diametru al sferei (în fig. 3.13 după diametrul M-M);

prin două puncte oarecare de pe suprafața sferei se poate duce numai un singur cerc mare (exceptând cazul când cele două puncte sunt extremitățile unui diametru, atunci se pot duce un număr infinit de cercuri mari prin cele două puncte);

orice cerc mare împarte sfera în două părți egale (fig. 3.13).

Fig. 3.13 – Intersecția unei sfere cu un plan

Orice cerc de pe scoarța terestră care se obține prin intersecția Pământului cu un plan care conține centrul acestuia este un cerc mare, iar orice alt cerc este un cerc mic.

Lungimea unui cerc mare (meridiane și ecuator) se determină cu relația:

unde: R este raza sferei.

Lungimea unui cerc mic (paralelă) se determină cu relația:

unde: r – raza cercului paralel respectiv, valoarea fiind dată de relația:

unde: – latitudinea cercului mic.

Deci lungimea unui cerc mic se determină cu relația:

Întrucât lungimea unui meridian se obține cu relația (3.15) rezultă că lungimea unui arc de meridian de 1° este dată de relația:

Iar lungimea unui arc de meridian de este egală cu:

în care :

adică cu diferența de latitudine dintre cercurile paralele care delimitează arcul de meridian respectiv.

În cazul în care unul dintre cele două cercuri paralele este ecuatorul, este tocmai latitudinea celeilalte paralele între care se consideră arcul de meridian respectiv. Această formulă se aplică în cazul când Pământul se aproximează cu un elipsoid. Când Pământul este aproximat cu o sferă, valorile arcelor de meridian de sunt aceleași, indiferent de latitudinea .

Lungimea unui arc de paralelă se determină cu relația:

în care:

– latitudinea paralelei;

– diferența de longitudine dintre meridianele între care se consideră arcul de paralelă respectiv.

Când Pământul este aproximat cu o sferă, lungimea medie a unui arc de meridian de este de 111 km.

Un arc de meridian de m este o milă marină (o diferență temporală de 4 secunde).

Un arc de meridian de 2 noduri marine.

Dacă cercul este divizat în gradație centezimală (), un arc de meridian de (un grad centezimal) = 100 km, (un minut centezimal = 1 km) și (o secundă centezimală) = 10 m.

Relațiile dintre lungimile pe un cerc mare sau o elipsă meridiană a elipsoidului terestru și unitățile de arc în gradație centezimală sunt prezentate în tabelul 3.3.

Tabelul 3.3 – Lungimi pe suprafața terestră raportate la unitățile de arc centezimale

Având în vedere că, de regulă, pe elipsoidul terestru se utilizează sistemul de coordonate geodezice elipsoidale în gradație sexagesimală iar în măsurătorile topografice moderne se utilizează aparate cu gradație centezimală considerăm important să prezentăm, în tabelul 3.4, coeficienții de transformare a valorii unghiurilor din sistem sexagesimal în sistem centezimal și invers.

În situația în care Pământul se aproximează cu un elipsoid, lungimile arcelor de meridian și paralelă de un anumit număr de grade se pot lua din tabele gata calculate.

Tabelul 3.4 – Coeficienții de transformare a valorii unghiurilor din sistem sexagesimal în sistem centezimal și invers

3.3. Elementele matematice ale elipsoidului terestru. Ecuația elipsei meridiane.

După cum se cunoaște, o sferă este generată de un cerc definit prin raza sa, iar un elipsoid poate fi definit prin:

semiaxa mare (a) și semiaxa mică (b);

semiaxa mare (a) și turtirea (f);

semiaxa mare (a) și excentricitatea (e).

Rotirea unei elipse în jurul semiaxei mici, identică cu axa polilor, creează un elipsoid cunoscut și sub denumirea de elipsoid de rotație turtit (fig. 3.14).

Fig. 3.14 Elipsoid de rotație

Ecuația elipsei, care dă naștere la elipsoidul de rotație, în coordonate rectangulare raportate la centrul său este:

Ecuația generală a unui elipsoid de rotație, exprimată în coordonate rectangulare raportate la centrul său, este dată de relația:

Unde axa OY coincide cu axa de rotație a elipsoidului, iar legătura dintre X,Y,Z și x,y este dată de relațiile:

Măsurătorile satelitare recente definesc elipsoidul terestru prin: semiaxa mare, constanta gravitațională geocentrică și factorul de formă dinamică care poate fi transformat în turtire cu ajutorul formulelor din fizică (Lauf 1983 pag. 6).

Turtirea elipsei este datorată diferenței de mărime dintre cele două semiaxe și este exprimată ca fracție sau număr zecimal. Turtirea f este dată de relația:

unde:

a este semiaxa mare a elipsei (ecuatorială);

b este semiaxa mica a elipsei (polară).

De multe ori turtirea se exprimă și sub formă inversă, adică 1/f.

Parametrii elipsoidului pentru Sistemul Geodezic Mondial (World Geodetic System) din 1984 (WGS 1984 sau WGS 84) sunt:

Parametrii elipsoidului GRS 80 sunt:

Parametrii elipsoidului Krasovski 1940 sunt:

Turtirea poate lua valori între zero și unu. O turtire care ia valoarea zero se întâlnește în cazul în care cele două axe sunt egale, adică la sferă.

Execentricitatea

O altă valoare care descrie forma unui elipsoid, pe lângă turtire, este pătratul excentricității – e2, reprezentat sub forma:

Prima excentricitate

Pentru elipsoidul GRS 80, ;

Pentru elipsoidul WGS 84, ;

Pentru elipsoidul Krasovski 1940, ;

Pentru elipsoidul Hayford 1910, .

A doua excentricitate

Pentru elipsoidul GRS 80, ;

Pentru elipsoidul WGS 84, ;

Pentru elipsoidul Krasovski 1940, ;

Pentru elipsoidul Hayford 1910, .

Între prima și a doua excentricitate se poate scrie relația următoare:

Razele de curbură

Dacă considerăm un punct oarecare situat pe suprafața elipsoidului terestru, prin acel punct se pot duce o multitudine de plane secante care vor determina secțiuni corespunzătoare. În acest punct de pe suprafața elipsoidului terestru se poate duce o normală la suprafața terestră și un singur meridian. Dintre multitudinea de secțiuni interesează doar două secțiuni și anume secțiunea determinată de meridianul punctului considerat și secțiunea perpendiculară pe aceasta în punctul considerat care conține normala la suprafața terestră în punctul considerat. Aceste secțiuni sunt numite secțiuni normale principale (a meridianului și a normalei) și pot caracteriza curbura elipsoidului într-un punct dat.

În cartografie interesează razele de curbură ale acestor secțiuni normale principale, respectiv:

Raza de curbură a elipsei meridiane – M

Raza de curbură a primului vertical sau marea normală – N

unde:

a – semiaxa mare;

B – latitudinea;

e – excentricitatea;

W – vechea funcție fundamentală dată de relația:

Dacă vom face raportul N/M vom observa că N≥M.

La poli vom obține:

Iar la Ecuator vom obține:

Raza medie de curbură a elipsoidului (Raza medie de curbură Gauss)- R

Raza de curbură a unui paralel – r

3.5. Distanțe elementare pe elipsoid și în planul de proiecție. Lungimile arcelor de meridian și de paralel pe elipsoid. Elementul de arie

Distanțe elementare pe elipsoid

Să considerăm un punct D’, situat pe elipsoid, determinat de coordonatele rectangulare (X,Y,Z), exprimate prin relațiile 3.5 și un punct apropiat a cărui coordonate sunt (X+dX,Y+dY,Z+dZ). Cele două puncte vor fi situate, unul de altul, pe elipsoid, la distanța elementară ds care poate fi determinată cu relația:

Ținând cont de relațiile (3.5) și având în vedere că (X,Y,Z) sunt funcții de (B,L) prin diferențiere, relația (3.40) se poate scrie sub forma:

și care se numește prima formă fundamentală pătratică a suprafeței elipsoidului de rotație, unde coeficienții acesteia E,F,G sunt dați de relațiile:

În cazul liniilor de coordonate, care sunt ortogonale, coeficienții din relațiile (3.42) au valorile:

unde:

M este raza de curbură a elipsei meridiane;

r = N cos B este raza de curbură a paralelului de latitudine B.

Distanțe elementare pe planul de proiecție

Dacă suprafața terestră sau numai o porțiune din aceasta este proiectată pe un plan de proiecție, folosind un sistem de proiecție cartografică, un punct oarecare de pe suprafața terestră, proiectat în planul de proiecție, este definit prin coordonatele sale rectangulare plane (x,y), care sunt definite folosind două funcții arbitrare de forma:

Dacă considerăm un punct infinit apropiat de primul, situat în planul de proiecție, acesta va fi determinat de coordonatele rectangulare plane (x+dx, y+dy).

Cele două puncte vor fi situate unul de altul, în planul de proiecție, la distanța elementară ds’ care poate fi determinată cu relația:

Având în vedere că (x,y) sunt funcții de (B,L) prin diferențiere, obținem:

Înlocuind relațiile (3.46) în relațiile (3.45) vom obține:

și care se numește prima formă fundamentală pătratică pentru un plan de proiecție, unde coeficienții acesteia e, f, g sunt dați de relațiile:

Lungimile arcelor de meridian

Să considerăm două puncte, situate pe elipsoidul de rotație, D1 și D2 de latitudine B1 și B2= B1+ΔB (fig. 3.15), care vor delimita un arc de meridian infinit mic notat cu: dsm

Fig. 3.15 Arc de meridian

Arcul de meridian infinit mic, dsm, determinat pe elipsoidul de rotație va fi dat de relația:

Lungimea arcului de meridian de pe elipsoid, cuprins între două puncte de latitudini B1 și B2 este dat de relația următoare, care asigură o precizie de ±0.001m:

unde:

Notă: Să nu se confunde coeficientul B cu latitudinile B1 și B2.

Există tabele ale elipsoizilor de referință (WGS 84, Krasovski 1940) în care se regăsesc valorile arcelor de meridian, măsurate de la ecuator până la paralelul de latitudine B, gata calculate pentru variații ale latitudinii de 1’.

Lungimile arcelor de paralel

Să considerăm două puncte, situate pe elipsoidul de rotație, D1 și D2 de longitudine L1 și L2= L1+ΔL (fig. 3.16), care vor delimita un arc de paralel infinit mic notat cu: dsp

Arcul de paralel infinit mic, dsp determinat pe elipsoidul de rotație va fi dat de relația:

Lungimea arcului de paralel de pe elipsoid, cuprins între două puncte de longitudini L1 și L2 la latitudinea B este dat de relația:

unde:

ρ = 206265, constanta de trecere de la radiani la secunde

Fig. 3.16 Arc de paralel

Există tabele ale elipsoizilor de referință (WGS 84, Krasovski 1940) în care se regăsesc valorile arcelor de paralel, gata calculate pentru variații ale latitudinii de 1’.

Elementul de arie

Să considerăm un elipsoid de rotație pe care vom trasa ipotetic curbele parametrice B = constant și L = constant, respectiv meridianele și paralelele (fig. 3.17).

Fig. 3.17 Elementul de arie

Trapezul curbiliniu, infinit mic, determinat pe suprafața elipsoidului de rotație din fig. 3.17– a. de paralelele de latitudine B1 și B2= B1+ΔB și de meridianele de longitudine L1 și L2= L1+ΔL, având în vedere că acestea se intersectează sub unghiuri drepte, va avea aria dată de relația:

Iar aria oricărui trapez curbiliniu, determinat pe suprafața elipsoidului de rotație din fig. 3.17-a. de paralelele de latitudine oarecare B1 și B2 și de meridianele de longitudine oarecare L1 și L2 , va dată de relația:

unde:

Dacă în relația (3.55) considerăm: L2=360° și L1=0°, respectiv B1=0°, vom obține formula de determinare a ariei unei zone elipsoidale mărginită de ecuator și paralela de latitudine 0°<B2<90° (fig. 3.17-b.) astfel:

Dacă în relația anterioară considerăm B2=90° vom obține formula ariei unei jumătăți de elipsoid.

3.6. Scări și deformații. Evaluarea și măsurarea deformării. Indicatricea lui Tissot

Scara generală și scara locală

În cazul reprezentării unei porțiuni mici din scoarța terestră pe un plan, suprafața de reprezentat se poate aproxima cu o suprafață plană fără a ține cont de curbura Pământului și toată reprezentarea cartografică are aceeași scară.

În situația reprezentării pe o suprafață plană a suprafețelor mari din scoarța terestră, în care trebuie să ținem cont de curbura Pământului, scara de reprezentare nu are o valoare constantă pe întreaga reprezentare ci este diferită pe direcții diferite și de la un punct la altul. În acest sens se poate vorbi despre două tipuri de scări, respectiv o scară generală (principală) și o scară locală (particulară).

Scara generală (s0) se scrie, de regulă, pe hărți și reprezintă raportul dintre un element liniar de pe elipsoidul terestru micșorat de n ori, ds și corespondentul său de pe elipsoidul terestru real, nemicșorat, ds0 .

Dar, odată cu reprezentarea elipsoidului pe planul de proiecție are loc o deformare a distanțelor ceea ce face ca scara generală să nu poată exprima corect întotdeauna legătura dintre distanța de pe hartă și distanța de pe elipsoid.

În acest caz se va utiliza scara locală, s care este raportul dintre un element liniar de pe hartă, ds’ și corespondentul său de pe elipsoidul terestru real, nemicșorat, ds0.

Scara locală se mai poate determina ca rezultatul produsului dintre scara generală a hărții și modulul de deformație liniară pe direcția respectivă.

Deformări

Orice reprezentare cartografică a elipsoidului terestru pe o suprafață plană cuprinde o anumită deformare a unghiurilor, formelor, ariei sau distanțelor; anumite zone pot să nu prezinte deformare, pe când altele pot fi afectate de erori severe. Evaluarea obiectivă a zonelor care sunt afectate și determinarea măsurii deformării sunt esențiale în alegerea proiecției adecvate pentru o hartă.

Un studiu serios al proiecțiilor cartografice implică de obicei o analiză comparată a felului în care acestea sunt afectate de cele trei tipuri principale de deformare: a ariei, formei și distanței.

Dacă o proiecție cartografică nu deformează:

unghiurile, aceasta se numește proiecție conformă;

ariile, aceasta se numește proiecție echivalentă;

distanțele pe paralele sau meridiane, aceasta se numește proiecție echidistantă pe paralele sau meridiane.

Deformații liniare

Deformarea distanțelor din planul de proiecție se studiază cu ajutorul modulului de deformație liniară, μ (scară liniară) care este definit ca raportul dintre distanța infinit mică (elementul liniar), ds’, din planul de proiecție și distanța infinit mică, ds corespondentă de pe suprafața elipsoidului sau sferei terestre.

În realitate, modulul de deformație liniară, μ poate lua următoarele valori:

μ = 1, deformația este nulă, deci lungimile nu se deformează;

μ < 1, deformația este negativă, deci se produce o micșorare a lungimii în planul de proiecție;

μ > 1, deformație pozitivă, deci se produce o alungire a lungimii în planul de proiecție.

Din cele de mai sus rezultă că cele mai bune proiecții cartografice sunt acelea pentru care modulul de deformare liniară este egal cu unu sau diferă foarte puțin de unu.

În acest sens, abaterea de la unu a modulului de deformare liniară reprezintă deformarea relativă a distanței, se notează cu D și reprezintă raportul dintre deformația absolută și distanța nedeformată, respectiv:

Deformația relativă poate fi exprimată în m/km sau cm/km, respectiv:

Modulul de deformație liniară este dependent de locație și direcție. Astfel, pentru studiul proiecțiilor cartografice este necesar să se cunoască evoluția deformărilor de-a lungul liniilor principale de coordonate (direcții principale), respectiv de-a lungul proiecției meridianelor și paralelelor.

Dacă se notează cu m modulul de deformare liniară pe direcția proiecției meridianului și cu n modulul de deformare liniară pe direcția proiecției paralelei, vom avea relațiile:

În care e și g sunt coeficienții primei forme fundamentale pătratice a planului de proiecție.

Deformații areolare

Dacă se notează cu dT’ un element de arie din planul de proiecție, determinat de proiecția unui arc de paralel () și de proiecția un arc de meridian () și cu dT elementul de arie corespunzător de pe suprafața elipsoidului terestru, determinat de un arc de paralel () și un arc de meridian () atunci se poate defini modulul de deformație areolară, p care este reprezentat de raportul dintre elementul de arie din planul de proiecție, dT’ și elementul de arie corespunzător de pe suprafața elipsoidului terestru, dT, respectiv:

Dacă considerăm că elementul de arie din planul de proiecție are forma unui paralelogram infinit mic ale cărui laturi sunt date de proiecția unui arc de paralel () și de proiecția un arc de meridian (), iar unghiul dintre proiecția arcului de paralel () și proiecția arcului de meridian (), în planul de proiecție, este notat cu i, atunci putem scrie:

Având în vedere că:

Modulul de deformație areolară poate fi exprimat și prin relația:

În care e, f și g sunt coeficienții primei forme fundamentale pătratice a planului de proiecție, iar .

În realitate, modulul de deformație areolară, p poate lua următoarele valori:

p = 1, deformația este nulă, deci ariile nu se deformează;

p < 1, deformația este negativă, deci se produce o micșorare a ariei în planul de proiecție față de aria corespunzătoare de pe elipsoidul terestru;

p > 1, deformație pozitivă, deci se produce o creștere a ariei în planul de proiecție față de aria corespunzătoare de pe elipsoidul terestru.

În cazul proiecțiilor conforme, unghiul i, format de proiecția arcului de paralel () și proiecția arcului de meridian (), este un unghi drept și ca urmare modulul de deformație areolară este dat de relația:

Din cele de mai sus rezultă că cele mai bune proiecții cartografice sunt acelea pentru care modulul de deformare areolară este egal cu unu sau diferă foarte puțin de unu.

În acest sens abaterea de la unu a modulului de deformare areolară reprezintă deformarea relativă a suprafețelor, se notează cu V și reprezintă raportul dintre deformația absolută a suprafeței elementare și suprafața elementară nedeformată, respectiv:

Deformația relativă areolară poate fi exprimată în mp/km sau mp/ha.

Deformații unghiulare

Să considerăm, pe suprafața elipsoidului terestru, un cerc infinit mic cu centrul în O de rază r și un punct oarecare M pe acest cerc (fig. 3.18). Dacă prin proiectarea acestui cerc pe planul de proiecție se deformează unghiurile, atunci pe planul de proiecție cercul se va proiecta printr-o elipsă iar unghiul α făcut de raza OM cu direcția principală (a meridianului axial) în punctul O de pe elipsoidul terestru se va proiecta pe planul de proiecție prin unghiul β. În acest caz se poate scrie relația:

unde: a și b sunt semiaxele elipsei deformațiilor.

Fig. 3.18 Deformația unghiulară

Dacă notăm cu u unghiul format pe elipsoidul terestru de razele OM și ON, în planul de proiecție îi va corespunde unghiul u’ și conform relației (3.68) putem scrie:

Dacă notăm cu , deformația maximă a unghiului u se poate calcula cu relațiile:

unde: a și b sunt semiaxele elipsei de deformare.

Deformarea poate fi estimată vizual, prin inspectarea tiparului rețelei cartografice și a formei generale a coastelor. De asemenea, deformarea poate fi evaluată și prin măsurarea distanțelor dintre aceleași grupe de puncte alese pe elipsoid și aceleași puncte proiectate pe planul de proiecție.

O abordare sistematică pentru calcularea cantitativă a deformării, s-a realizat după publicarea prestigioaselor lucrări ale lui Nicolas Auguste Tissot, din 1878 și 1881 (unele idei au fost prezentate deja într-o lucrare din 1859), în care este prezentată elipsa de deformare, cunoscută azi sub denumirea de indicatricea lui Tissot.

Tissot și-a imaginat un cerc infinit de mic, centrat pe un anumit punct de suprafața Pământului și a analizat forma acestuia după transformare printr-o anumită proiecție cartografică. A dovedit că acesta devine o elipsă perfectă, centrată exact pe punctul corespunzător de pe hartă.

De asemenea:

în cazul în care proiecția este conformă în punctul respectiv, elipsa este de fapt un cerc, deși aproape cu siguranță este mai mare sau mai mic decât cercul original și este posibil să fie rotit;

în schimb dacă proiecția este echivalentă în punctul respectiv, atunci probabil că elipsa nu va fi cerc, dar va avea aceeași arie ca și cercul original;

în cazul în care proiecția nu este nici echivalentă, nici conformă în punctul respectiv, atunci atât forma cât și aria vor fi variabile.

Elipsele de deformare, numite și indicatrici pot contribui la diferențierea proiecțiilor care, luând în considerare doar rețeaua cartografică, sunt foarte des confundate.

Tiparul de deformare este caracteristic doar unei anumite proiecții și poate fi vizualizat în mare prin intermediul indicatricei Tissot.

Un exemplu bun în acest sens este dat de proiecția conformă Mercator (fig. 3.19), care păstrează nedeformate unghiurile, în care proiecțiile paralelelor își păstrează paralelismul iar proiecțiile meridianelor sunt linii drepte întotdeauna perpendiculare pe proiecțiile paralelelor, astfel că toate indicatricele sunt cercuri. În acest caz, ariile de pe elipsoid nu se conservă pe hartă ci cresc pe măsură ce ne îndepărtăm de ecuator către partea nordică și sudică a hărții.

Datorită faptului că meridianele se intersectează pe elipsoidul terestru iar pe harta Mercator sunt paralele perfecte, cercurile de la cei doi poli sunt infinit de mari pe această hartă.

Fig. 3.19 Elipsele deformărilor în proiecția Mercator

O altă proiecție conformă, cea stereografică azimutală, conservă forma fiecărui cerc, inclusiv a indicatricelor.

Toate proiecțiile echivalente deformează formele aproape în orice punct de pe hartă.

3.7. Ortodroma și loxodroma.

Între două puncte considerate pe sferă se pot duce mai multe linii curbe, dintre care ne interesează în mod deosebit două: ortodroma și loxodroma.

Fiind date două puncte A și B, situate pe sfera terestră, să presupunem, în România și Argentina, plus un al treilea – centrul Pământului, se poate defini un plan unic care trece prin cele trei puncte.

Intersecția acestui plan cu suprafața Pământului este un cerc mare unic care conține punctele A și B.

Punctele A și B împart cercul mare, pe care se găsesc, în două arce; dintre care unul este mai mic decât celălalt (cu excepția cazului în care A și B sunt diametral opuse). Arcul mai mic, numit ortodromă, reprezintă calea cea mai scurtă de pe suprafața Pământului între punctele A și B. Desigur, cea mai scurtă cale tridimensională este calea dreaptă, subterană, dar aceasta nu este fezabilă cu tehnologia noastră actuală.

Ortodroma (orthos – drept, dromos – drum) este arcul cel mai mic al cercului mare care unește două puncte de pe globul terestru. Ea se reprezintă printr-o linie dreaptă pe hărțile construite în proiecțiile centrale.

Atunci când cineva dorește să se deplaseze dintr-un punct de pe Pământ sau de pe mare pe deasupra norilor, unde nu există drumuri marcate vizibil, în alt punct, situat suficient de departe pentru a nu fi vizibil cu ochiul liber, ignorând posibilele obstacole (spații interzise, vreme rea) se naște întrebarea: care este direcția în care trebuie să ne îndreptăm pentru a stabili „drumul cel mai scurt”?

În general, direcția este definită ca orientare, adică unghiul față de o linie de referință. În situația noastră, această linie de referință este materializată de meridianul ce trece prin locația curentă, iar orientarea se măsoară în grade, de la 0° la 360°, în sensul acelor de ceasornic.

Direcția meridianului curent se poate determina cu ajutorul unei busole magnetice, al cărei ac este întotdeauna orientat pe direcția nord-sud, dar trebuie luată în considerare și deviația magnetică, adică deviația nordului magnetic față de nordul geografic real.

Deviația magnetică nu este uniformă pe tot globul și se schimbă ușor în timp, sens în care aceasta trebuie determinată periodic.

Acest neajuns se poate elimina prin folosirea busolelor giroscopice care sunt imune la deviația magnetică, dar funcționarea busolei giroscopice depinde de alimentarea cu energie electrică, pentru a-i învârti roata, iar utilizarea unui compas astronomic necesită tabele astronomice și ceasuri precise.

Dacă unghiul dintre o cale de urmat și fiecare meridian curent rămâne neschimbat, atunci calea respectivă este o linie cu orientare constantă, numită loxodromă.

Loxodroma (loxis – oblic, dromos – drum) este linia curbă dintre două puncte care întretaie toate meridianele sub același unghi.

Termenul de loxodroma a fost inventat în jurul anului 1533 de către savantul portughez Pedro Nunes, dar relațiile matematice exacte au fost deduse ulterior.

În subcapitolul anterior arătam că fiecare paralelă intersectează fiecare meridian sub un unghi drept, astfel că toate paralelele sunt loxodrome închise pe direcția est-vest și toate meridianele sunt loxodrome pe direcția nord-sud, respectiv calea cea mai scurtă dintre două puncte, dar și cercuri mari.

Pentru alte direcții, în afara celor menționate anterior, loxodroma este o curbă tridimensională deschisă (are două capete diferite), numită helix sferic sau spirală loxodromică; fiecare capăt ajunge la un pol, după un număr infinit de cotituri din ce în ce mai strânse. Schimbarea orientării în parcurgerea loxodromei determină o cale mai lungă, dar capetele sunt aceleași (fig. 3.20).

Fig. 3.20 Exemplu de loxodromă

Două puncte situate pe paralele sau meridiane diferite pot fi legate printr-un număr infinit de loxodrome. În activitatea practică interesează doar cea mai scurtă loxodromă, care intersectează mai puțin de jumătate din meridiane respectiv paralele și care este calea cea mai ușor de urmat, după ce se stabilește orientarea potrivită. Celelalte loxodrome înconjoară Pământul cel puțin încă o dată.

Materializarea loxodromei pe reprezentările cartografice este determinată de tipul proiecțiilor cartografice folosite.

Cea mai faimoasă reprezentare cartografică pentru materializarea loxodromei este proiecția cilindrică conformă, a lui Gerhard Mercator, în orientare ecuatorială (fig. 3.21), în care toate meridianele sunt linii verticale și toate loxodromele sunt linii drepte.

În proiecția Mercator orientarea dintre două puncte se determină direct prin măsurarea unghiului făcut cu proiecția meridianelor.

Fig. 3.21 Loxodromă în proiecția Mercator

Proiecția Mercator este folosită pentru stabilirea rutelor maritime. Deși loxodroma este mai mare ca lungime decât ortodroma, loxodromele au mare importanță în navigația maritimă deoarece navigația pe ortodromă este mai greoaie, pentru că unghiul de drum variază continuu (fig. 3.22).

Fig. 3.22 Loxodroma și ortodroma (Năstase A, 1983)

4. Clasificarea proiecțiilor cartografice

4.1. Noțiuni intoductive. Definiții. Caracteristici

După cum am arătat în capitolul anterior, Pământul poate fi privit ca o sferă sau ca un elipsoid, ambele reprezentări tridimensionale curbe, iar pentru a crea o reprezentare plană a acestuia, suprafața sa tridimensională curbă trebuie transformată.

Reprezentarea grafică a suprafeței tridimensionale curbe a Pământului pe o suprafață plană comportă dificultăți, deoarece:

acest tip de suprafață nu este desfășurabilă;

suprafața Pământului este eterogenă atât pe verticală cât și pe orizontală.

Datorită acestor dificultăți, pentru întocmirea reprezentărilor cartografice plane, s-a recurs la o metodă matematică de reprezentare riguroasă în plan a întregii suprafețe terestre sau numai a unei porțiuni a acesteia, numită proiecție cartografică, efectuată după criteriile și principiile cartografiei matematice.

Proiecțiile cartografice reprezintă transformări sistematice, prin procedee matematice, care permit reprezentarea formei tridimensionale curbe a Pământului pe o suprafață plană reprezentată de hartă.

Proiecția cartografică este o metodă folosită în cartografie pentru a reprezenta pe un plan suprafața tridimensională curbă a Pământului, dar nu se referă neapărat la o proiecție geometrică.

Din punct de vedere matematic, toate proiecțiile cartografice sunt transformări matematice, prin ecuații matematice, ale coordonatelor geografice (geodezice) elipsoidale sau sferice (latitudine, longitudine) în coordonate cartografice carteziene plane (x,y) specifice hărții.

Proiecțiile cartografice sunt utilizate și în cazul reprezentărilor cartografice digitale.

Ecuațiile matematice care definesc această corespondență sunt niște funcții de forma:

Ar fi de dorit să păstrăm unghiurile, forma, distanța și suprafața pe hartă exact ca pe suprafața originală a Pământului. Din nefericire, nu există și nici nu va exista vreodată o astfel de proiecție perfectă. Datorită trecerii de la forma tridimensională curbă a Pământului la suprafața plană a hărții, toate proiecțiile cartografice deformează, într-o anumită măsură, unghiurile, distanțele, formele sau suprafețele reprezentate.

Oricât ar fi de sofisticat procesul de proiecție, caracteristicile suprafeței terestre nu pot fi convertite perfect pe planul de proiecție, deformarea, mare sau mică, este întotdeauna prezentă, cel puțin într-o zonă a reprezentării cartografice plane a suprafeței terestre (fig. 4.1).

Deformarea constituie prezentarea falsă a unghiurilor, formelor, distanțelor și suprafețelor, în orice măsură sau combinație.

Astfel, cartografia este o știință cât și o artă a compromisurilor pentru crearea și alegerea celei mai potrivite proiecții cartografice pentru fiecare scop dorit.

Dacă realizăm reprezentarea cartografică a municipiului Baia Mare, putem ignora fără nici un fel de probleme efectul curburii suprafeței Pământului, dar dacă realizăm harta unei zone mai mari, cum ar fi harta României, atunci deformările sunt inevitabile.

Fig. 4.1. Situația deformărilor raportată la poziția planului de proiecție:

plan de proiecție tangent la suprafața terestră-a;

plan de proiecție secant la suprafața terestră-b.

Pentru a înțelege fenomenul, să ne imaginăm, cum ar fi să lipim un timbru poștal, de dimensiuni normale, pe o minge de baschet. Deoarece timbrul nu ocupă decât o porțiune mică din suprafața mingii și curbura mingii în zona respectivă este mică, putem lipi cu ușurință timbrul, fără să îl cutăm, să îl rupem sau să îl întindem.

Acum să ne imaginăm cum ar fi să lipim aceeași timbru poștal pe o bilă de biliard. Deoarece timbrul ocupă o parte mult mai mare din suprafața bilei, curbura bilei în zona acoperită de timbru este semnificativă. Este imposibil să lipim timbrul pe bila de biliard fără să îl cutăm sau să îl deformăm.

În general, cu cât este mai mare suprafața pe care dorim să o reprezentăm, cu atât sunt mai importante și problemele ce apar datorită deformărilor și trebuie să acordăm mai multă atenție alegerii unei proiecții cartografice potrivite.

Dacă vom decoji o portocală, iar apoi vom așeza coaja portocalei pe o masă și o vom apăsa cu o suprafață plană, pentru a o întinde și aplatiza, coaja se va crăpa și se va rupe, deoarece nu se poate transforma dintr-o suprafață curbă într-o suprafață plană. Același lucru se întâmplă în cazul suprafeței Pământului și din acest motiv folosim proiecțiile cartografice.

Un elipsoid nu se poate desfășura pe o suprafață plană, la fel ca și coaja de portocală din exemplul anterior, se rupe.

Dacă privim în linii mari, globul sub formă de machetă poate reprezenta cu acuratețe Pământul, dar un glob care să prezinte majoritatea caracteristicilor Pământului la o scară care să fie utilă ar fi prea mare și nu ne-ar fi facil să-l folosim, ceea ce ne determină să folosim în locul acestuia, pentru diferite scopuri, hărți.

Fiecare proiecție cartografică are avantaje cât și dezavantaje, dar hărțile nu pot exista fără proiecții cartografice. În multe situații folosirea hărților este mult mai avantajoasă decât folosirea globurilor datorită următoarele caracteristici:

sunt ușor de manipulat și arhivat;

se pot realiza cu ușurință la o mare varietate de scări;

se pot realiza în format electronic;

pot înlesni măsurarea caracteristicilor topografice ale terenului cartografiat;

pot ilustra porțiuni mai mari din suprafața Pământului pe o singură hartă;

au costuri mai mici de producție și diseminare.

Aceste trăsături ale hărților au contribuit la dezvoltarea proiecțiilor cartografice.

Proiecțiile cartografice se pot împărți în două mari grupe:

proiecții perspective, caz în care reprezentarea grafică a suprafeței tridimensionale curbe a Pământului pe suprafața plană a hărții se realizează după legile geometrice ale perspectivei liniare;

proiecții matematice (neperspective), caz în care reprezentarea grafică a suprafeței tridimensionale curbe a Pământului pe suprafața plană a hărții se realizează după niște funcții matematice care impun anumite condiții și definesc transformarea.

Majoritatea proiecțiilor cartografice, atât din punct de vedere practic, cât și teoretic, nu sunt „proiecții” în sens fizic. Proiecțiile cartografice depind de formule matematice care nu au o interpretare fizică directă.

Pentru a înțelege mai ușor conceptul de proiecție cartografică realizată cu ajutorul perspectivei, să ne imaginăm o sursă de lumină amplasată în diferite poziții în interiorul unui glob transparent pe care sunt materializate paralele și meridianele. Să proiectăm meridianele și paralelele trasate pe acest glob pe un ecran de proiecție sau o coală de carton, așezate tangente la glob.

În acest fel se pot construi mai multe tipuri de proiecții cartografice folosite în mod curent (fig. 4.2). Acest tip de proiecții poartă denumirea de proiecții perspective.

Fig. 4.2. a – Proiecție stereografică ecuatorială

b – Proiecție centrală polară

Prin schimbarea poziției sursei de lumină față de centrul globului pot fi realizate următoarele proiecții perspective (fig. 4.3):

gnomice (centrale), în care sursa de lumină este situată în centrul globului;

stereografice, în care sursa de lumină este situată diametral opusă punctului de tangență dintre glob și planul de proiecție;

ortografice, în care sursa de lumină este plasată la infinit față de punctul de tangență dintre glob și planul de proiecție, astfel că razele de lumină sunt paralele;

interioare, în care sursa de lumină este plasată undeva în interiorul globului între centrul și suprafața sa;

exterioare, în care sursa de lumină este plasată undeva în spațiu, în afara globului, dar mai aproape de infinit.

Fig. 4.3 Tipuri de proiecții perspective

Schimbarea poziției sursei de lumină modifică tiparul paralelelor și meridianelor pe hartă, ducând la realizarea unor hărți cu proprietăți geometrice diferite.

4.2. Elementele unei proiecții cartografice perspective

Să ne imaginăm că pe suprafața Pământului nu există decât rețeaua geografică (desenată) și că înfășurăm Pământul într-o coală de hârtie, sub forma unui cilindru tangent la suprafața Pământului (fig. 4.4).

Dacă poziționăm o sursă de lumină în centrul Pământului, umbra rețelei geografice se va proiecta pe coala de hârtie. Prin desfacerea colii de hârtie din jurul Pământului vom observa că proiecția rețelei geografice pe coala de hârtie, numită rețea cartografică, este diferită de rețeaua geografică de pe suprafața Pământului. Astfel, putem afirma că proiecția cartografică a deformat canevasul.

Fig. 4.4 Rețeaua geografică proiectată pe o suprafață de proiecție cilindrică

Deci, reprezentarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului pe suprafața cu două dimensiuni a hărții determină deformări ale formelor, suprafețelor, distanțelor sau unghiurilor.

Exemplul prezentat anterior este doar pentru înțelegerea fenomenului pentru că proiecții cartografice diferite determină deformări diferite, astfel că fiecare proiecție cartografică are un anumit tipar de deformare.

Un pas important în procesul alegerii proiecțiilor cartografice constă în înțelegerea deformării și alegerea celei mai bune combinații de proiecții, astfel încât pentru regiunea studiată deformarea elementului reprezentativ al hărții să fie minimă.

În esență alegerea unei proiecții cartografice constă în găsirea unui procedeu matematic prin care caracteristicile tridimensionale curbe ale Pământului să fie reprezentate pe o suprafață plană, aspect materializat grafic în fig. 4.5.

Fig. 4.5. Modalitatea de comprimare a caracteristicilor tridimensionale pentru a fi prezentate pe o suprafață plană.

La orice proiecție, care se realizează cu ajutorul perspectivei, se întâlnesc următoarele elemente:

Suprafața (planul) de proiecție este suprafața pe care se face proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului. Suprafețele de proiecție pot fi suprafețe plane și suprafețe desfășurabile (cilindrul, conul) care la rândul lor pot fi tangente sau secante;

Punctul de vedere sau punctul de perspectivă este punctul din care se consideră că pleacă razele proiectante;

Punctul central al proiecției este punctul situat, de obicei, în centrul suprafeței care se proiectează;

Scara reprezentării indică raportul dintre elementele de pe planul de proiecție și cele de pe elipsoid;

Rețeaua geografică (canevas) este formată din totalitatea meridianelor și paralelelor trasate ipotetic pe suprafața terestră;

Rețeaua cartografică este rețeaua rezultă din proiectarea rețelei geografice pe planul de proiecție;

Rețeaua kilometrică este alcătuită dintr-un sistem de drepte paralele la axele sistemului de coordonate rectangulare plane cu ajutorul cărora se pot stabili coordonatele x și y ale punctelor de pe hartă, se pot raporta pe hartă punte de coordonate rectangulare plane cunoscute și se pot realiza diferite determinări expeditive.

4.3. Clasificarea sistemelor de proiecție cartografică

Clasificarea este o metodă științifică de grupare, distribuire și repartizare sistematică pe grupe a anumitor lucruri pe baza caracteristicilor importante ale lucrurilor respective și pe relațiile dintre acestea și al cărei scop este simplificarea și ordonarea diversității de lucruri cu care se confruntă mintea umană într-o anumită zonă a cunoașterii.

Deși numărul teoretic al proiecțiilor cartografice poate tinde la infinit, în literatura de specialitate au fost descrise aproximativ 400 de proiecții, dintre care doar câteva zeci sunt folosite în mod uzual. În acest sens, clasificarea proiecțiilor cartografice este utilă, înlesnind înțelegerea proprietăților acestora și alegerea proiecției adecvate unui anumit scop.

Prima încercare de clasificare sistematică a proiecțiilor cartografice a fost realizată de Tissot în 1881, în lucrarea sa „Mémoire sur la Représentation des Surfaces et les Projections des Cartes Géographiques”, dar acest aspect a fost neglijat o perioadă îndelungată, mulți autori susținând că este imposibil să clasifici proiecțiile cunoscute în grupuri disjuncte [Lee, L. P. – The Nomenclature and Classification of Map Projections, Empire Survey Reviw, No. 51, Vol VII, pag. 190-200, January 1944].

Pot fi realizate diverse clasificări ale proiecțiilor cartografice, dar, în opinia mea, o clasificare utilă studiului acestora trebuie să aibă la bază următoarele:

deformările suferite;

tipul suprafeței de proiecție utilizate sau modul de construcție;

poziția suprafeței de proiecție față de Pământ;

utilizarea proiecțiilor în construcția hărților.

4.3.1. Clasificarea proiecțiilor cartografice după deformările suferite

Din punct de vedere al deformărilor suferite, proiecțiile cartografice se împart în:

proiecții conforme (echiunghiulare, ortogonale, ortomorfe);

proiecții echivalente (homalografice, autalice);

proiecții echidistante;

proiecții arbitrare sau afilactice.

Proiecțiile conforme sunt proiecțiile care păstrează nedeformate unghiurile, respectiv unghiurile măsurate pe teren au aceeași valoare pe planul de proiecție.

Pentru a descrie acest tip de proiecție au fost folosiți de-a lungul timpului și alți termeni, precum: conform (Gauss, 1825), ortomorfic (Germain, 1865) și ortogonal (Tissot, 1881).

Proprietatea definitorie a proiecțiilor conforme este aceea că, în orice punct al hărții, scara este aceeași în toate direcțiile din acel punct. Consecința acestei proprietăți este că unghiurile dintr-un punct sunt reprezentate corect, și ne-am aștepta ca și ariile să fie reprezentate corect. Cu toate acestea, deoarece scara hărții diferă de la un punct la altul, reprezentarea corectă a distanțelor se aplică numai unghiurilor care au laturi infinit de mici. De asemenea, formele infinit de mici au aria corectă, dar formele mai mari sunt deformate.

În cazul proiecțiilor conforme modulul de deformație al lungimilor, μ nu depinde de azimutul direcției considerate și putem scrie:

unde:

m – modulul de deformație liniară pe direcția meridianului;

n – modulul de deformație liniară pe direcția paralelei;

a și b – semiaxele elipsei de deformație.

Din relația de mai sus rezultă că elipsa deformărilor este de fapt un cerc al deformărilor (a = b) și de fapt unghiurile sunt nedeformate.

Dacă unghiurile sunt nedeformate rezultă că modulul de deformație unghiulară, ω este egal cu zero, respectiv:

Proiecțiile conforme mai pot fi definite ca proiecțiile în care, în orice punct, pe oricare două direcții perpendiculare, harta prezintă scări egale, astfel încât unghiurile și formele suprafețelor elementare sunt conservate și putem scrie:

dar:

Așadar:

Proprietatea unei proiecții conforme se numește conformitate sau dacă se folosește termenul ortomorfic, atunci proprietatea se numește ortomorfism.

Proiecțiile conforme au mare aplicabilitate în geodezie.

Elementele deformate în cazul acestor proiecții sunt în primul rând suprafețele și apoi distanțele.

Proiecțiile echivalente sunt proiecțiile care păstrează nedeformate suprafețele (ariile), deși figura se modifică prin proiectare. În proiecțiile echivalente un cerc infinit mic de pe sferă se va proiecta pe o suprafață plană de proiecție printr-o elipsă echivalentă ca suprafață.

Așadar se poate scrie:

Proiecțiile echivalente sau autalice sunt acele proiecții care conservă proporțiile de suprafață. În engleză, aceste proiecții sunt numite, în general, proiecții cu arie egală sau echivalente. Termenul autalic se datorează lui Tissot și oferă un cuvânt care să înlocuiască termenul „cu arie egală”.

Datorită acestei proprietăți, pe hărțile construite în proiecții echivalente, chiar la scări mici, măsurarea suprafețelor se poate face ca și pe reprezentările cartografice cu scară mare cu planimetrul sau cu alte metode grafice.

În cazul acestui tip de proiecții, celelalte proprietăți (formele, unghiurile și distanțele) sunt deformate iar meridianele și paralelele se pot intersecta și sub unghiuri ce nu sunt drepte. În anumite situații, mai ales în cazul hărților ce reprezintă regiuni mai mici, deformarea formelor nu este evidentă și este greu să deosebim o proiecție echivalentă de una conformă, dacă nu se specifică tipul acesteia sau dacă nu facem măsurători adecvate pentru determinarea acestora.

Proiecțiile echivalente sunt importante în special pentru cadastru și evidența funciară dar și în cazul hărților tematice care prezintă distribuția unor fenomene.

Proiecțiile echidistante au proprietatea că mențin nemodificate distanțele de pe unele direcții.

Echidistanța este caracteristica păstrării distantelor. Scara nu este conservată pe toată suprafața hărții pe nici o direcție; totuși, în majoritatea cazurilor, există una sau două direcții de-a lungul cărora scara este conservată. Majoritatea proiecțiilor echidistante prezintă una sau două linii a căror lungime pe hartă este egală (la scara hărții) cu lungimea liniei respective din realitate de pe teren, indiferent că este o linie dreaptă sau curbă, respectiv este un cerc mare sau un cerc mic. Aceste distanțe sunt numite exacte.

De exemplu, există proiecții cartografice în care ecuatorul și toate paralelele au aceleași lungimi cu cele din teren sau ecuatorul și meridianele aceleași lungimi cu cele din teren sau scara este identică pe dreptele care unesc unul sau două puncte date cu orice alt punct de pe hartă. Trebuie remarcat faptul că nici o proiecție nu este echidistantă față de toate punctele de pe hartă.

Echidistanța este importantă pentru hărțile folosite în analiza vitezei, de exemplu a curenților oceanici. De regulă, sunt alese ca linii de referință ecuatorul, o paralelă sau un meridian, care sunt denumite paralelă standard sau meridian standard.

În cazul acestor proiecții se deformează unghiurile, ariile, cât și o parte din distanțe, pe alte direcții în afara celor specificate.

Proiecții arbitrare sunt proiecțiile la care se modifică atât unghiurile cât și formele, distanțele și suprafețele.

Proiecțiile arbitrare sau afilactice reunesc toate acele proiecții în care, în orice punct al hărții, scările pe două direcții perpendiculare, nu sunt nici egale, nici invers proporționale și astfel există o varietate nelimitată de astfel de proiecții. Împărțirea acestei categorii în subclase este dificilă, dar deoarece majoritatea proiecțiilor care fac parte din această categorie nu au mare valoare cartografică, această problemă nu este cu adevărat importantă.

Putem totuși distinge grupul proiecțiilor în care suma pătratelor erorilor scărilor pe două direcții perpendiculare date este minimă pentru toată suprafața proiectată. Aceste proiecții sunt numite și proiecții de compensare a erorilor sau mai cunoscute, proiecții cu eroare minimă.

În literatura de specialitate mai apare uneori o clasă de proiecții care nu se încadrează în nici una din cele prezentate anterior, respectiv proiecțiile de compromis. Acest tip de proiecții pornește de la premisa că proiecțiile cartografice încearcă să optimizeze una dintre proprietățile geometrice enunțate mai sus. În acest sens există unele proiecții care nu încearcă să conserve nici una dintre aceste proprietăți, ci încearcă să obțină un echilibru între diferitele proprietăți. Astfel, chiar dacă o proiecție nu este conformă sau echivalentă, aceasta poate avea o deformare minimă a formelor și ariilor dintr-o anumită zonă. Acest tip de proiecții de compromis sunt folosite îndeosebi ca bază pentru hărțile tematice.

4.3.2. Clasificarea proiecțiilor după tipul suprafeței de proiecție utilizate sau după modul de construcție

Proiecțiile cartografice se pot clasifica în funcție de tipul suprafeței de proiecție pe care se proiectează suprafața terestră sau de modul de construcție.

O suprafață care poate fi desfășurată sub forma unei foi plane fără a se întinde, rupe sau micșora, se numește suprafață desfășurabilă. Cilindrul și conul nu sunt suprafețe plane propriu zise, dar ambele pot fi aduse la o suprafață plană prin tăiere de-a lungul unei generatoare și apoi prin desfășurarea suprafeței. Cilindrul, conul, și bineînțeles planul sunt suprafețe desfășurabile. Din nefericire, sfera și elipsoidul nu sunt suprafețe desfășurabile.

Proiecțiile cartografice pot utiliza una dintre următoarele trei tipuri de suprafețe:

cilindrul;

conul;

suprafața plană (planul).

Orice proiecție care are drept scop reprezentarea unei sfere sau a unui elipsoid pe o suprafață plană, deformează imaginea obținută.

Deși prin proiectarea de pe sferă sau elipsoid pe suprafața desfășurabilă se introduc deformări, procesul de desfășurare în sine al cilindrului sau conului nu introduce alte deformări suplimentare. Planul fiind deja bidimensional, nu mai este necesară desfășurarea în acest caz.

Dar multe proiecții matematice nu se încadrează în nici una dintre aceste trei metode conceptuale de proiecție. În acest sens, au fost descrise în literatură alte categorii de proiecții cartografice, cum ar fi: proiecțiile pseudoconice (meridianele sunt arce de cerc), pseudocilindrice (meridianele sunt drepte), pseudoazimutale, retroazimutale și policonice.

Tipul suprafeței de proiecție determină tiparul de bază al rețelei cartografice și tiparul general al deformării pe hartă.

Din punct de vedere al tipului suprafeței de proiecție utilizate sau al modului de construcție, proiecțiile cartografice se clasifică în:

proiecții azimutale (plane);

proiecții cilindrice;

proiecții conice;

proiecții policonice;

proiecții convenționale;

proiecții poliedrice;

proiecții derivate.

Proiecțiile azimutale (plane, zenitale), sunt proiecțiile în care proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se realizează pe o suprafață plană (plan de proiecție), care poate avea poziții diferite față de scoarța terestră, iar în jurul punctului central al proiecției, azimutele sunt păstrate nedeformate (fig.4.6).

Fig. 4.6 Tipuri de proiecții azimutale tangente: a – normală; b – transversală; c – oblică

Proiecțiile azimutale se pot grupa în:

proiecții azimutale perspective;

proiecții azimutale neperspective.

În cazul proiecțiilor azimutale perspective proiectarea se face după legile perspectivei liniare, respectiv punctul de vedere este situat pe unul din diametrele sferei sau în prelungirea acesteia și planul de proiecție este dispus perpendicular pe diametru.

Punctul de contact poate fi Polul Nord, Polul Sud, un punct de pe ecuator, sau orice punct situat între acestea. Acest punct stabilește orientarea și reprezintă centrul proiecției sau punctul central al proiecției și se identifică printr-o longitudine și o latitudine centrală.

În cazul proiecțiilor azimutale neperspective pentru construirea rețelei cartografice se stabilesc anumite reguli plecând de la condițiile matematice pe care trebuie să le îndeplinească proiecția respectivă.

Proiecțiile cilindrice sunt proiecțiile în care proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se realizează pe suprafața desfășurabilă a unui cilindru de proiecție, care poate avea poziții diferite față de scoarța terestră (fig. 4.7).

Fig. 4.7 Proiecție cilindrică normală tangentă – a; proiecție cilindrică normală secantă – b.

Rețeaua geografică trasată ipotetic pe scoarța terestră se proiectează mai întâi pe suprafața cilindrului de proiecție, care după aceea se taie după o generatoare a sa și se desfășoară în plan, obținându-se rețeaua cartografică pe o suprafață plană.

Proiecțiile conice sunt proiecțiile în care proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se realizează pe suprafața desfășurabilă a unui con de proiecție, care poate avea poziții diferite față de scoarța terestră (fig. 4.8).

Rețeaua geografică trasată ipotetic pe scoarța terestră se proiectează mai întâi pe suprafața conului de proiecție, care după aceea se taie după o generatoare a sa și se desfășoară în plan, obținându-se rețeaua cartografică pe o suprafață plană. În proiecțiile conice paralelele (almucantaratele) sunt reprezentate ca arce de cerc iar meridianele (verticalurile) ca linii drepte ce converg în vârful conului, făcând între ele unghiuri proporționale cu diferențele de longitudine (azimut, dacă proiecția este oblică). Meridianul opus celui de-a lungul căruia a fost tăiat conul devine meridianul central.

Fig. 4.8 Proiecții conice: a. – tangentă, b. – secantă

Proiecțiile conice pot avea o mare diversitate, deoarece panta conului (unghiul la vârf) poate avea valori diferite și astfel conul poate fi așezat tangent la globul generator de-a lungul oricărei paralele. Cu toate acestea, tiparul de bază al rețelei cartografice nu se schimbă.

Proiecțiile policonice sunt proiecțiile în care proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se realizează pe suprafața desfășurabilă a mai multor conuri de proiecție, care pot fi tangente la paralele foarte apropiate și care pot avea poziții diferite față de scoarța terestră (fig. 4.9 – a.).

Vârfurile acestor conuri se găsesc situate pe o dreaptă ce coincide cu prelungirea axei polilor, iar punctul de perspectivă se consideră în centru Pământului. În cazul acestor proiecții, paralelele se reprezintă ca arce de cercuri care nu mai sunt concentrice, meridianul axial ca o dreaptă pe care sunt situate centrele arcelor de cerc, iar restul meridianelor ca și curbe simetrice față de meridianul mediu. Cea mai întâlnită astfel de proiecție este cunoscută sub numele de proiecția policonică simplă sau americană, în care nu se deformează lungimile de pe meridianul mediu și nici cele de pe paralele.

Fig. 4.9 Proiecții policonice – a; Proiecții poliedrice – b

Aceste proiecții sunt folosite, de regulă, pentru realizarea unor hărți la scări mari, iar rețeaua cartografică are forma reprezentată în figura 4.10.

Fig. 4.10 Forma generală a rețelei cartografice în proiecțiile policonice

Proiecțiile convenționale includ proiecții pseudocilindrice și pseudoconice și uneori proiecții circulare cum ar fi: proiecția Grinten, proiecția sferică sau globulară și proiecția Lagrange și sunt construite prin metode speciale care diferă de la proiecție la proiecție.

În cazul proiecțiilor pseudocilindrice, paralelele se proiectează pe suprafața de proiecție prin drepte paralele perpendiculare pe dreapta care este proiecția meridianului axial al zonei care se proiectează. Una dintre cele mai cunoscute proiecții pseudocilindrice este proiecția pseudocilindrică a lui Sanson în care proiecția meridianului axial este o dreaptă verticală care se intersectează cu proiecția tuturor paralelelor sub unghiuri drepte. Paralelele se proiectează ca niște linii drepte orizontale paralele între ele, iar celelalte meridiane se proiectează sub forma unor sinusoide simetrice față de proiecția meridianului axial.

În cazul proiecțiilor pseudoconice paralelele se proiectează pe suprafața de proiecție prin niște arce de cerc concentrice cu centrul situat pe o dreaptă care este imaginea plană a meridianului axial. Celelalte meridiane se proiectează pe suprafața de proiecție ca niște linii curbe simetrice fața de proiecția meridianului axial. Una dintre cele mai cunoscute proiecții pseudoconice este proiecția pseudoconică Bonne, care a fost utilizată și în România începând cu anul 1873.

În cazul proiecțiilor circulare, paralelele și meridianele se proiectează pe suprafața de proiecție prin niște cercuri. Una dintre cele mai cunoscute proiecții circulare este proiecția circulară Lagrange, în care meridianul central al zonei și o paralelă se proiectează prin linii drepte perpendiculare iar restul meridianelor și al paralelelor se proiectează prin cercuri simetrice față de proiecția meridianului central.

În cazul proiecțiilor poliedrice suprafața Pământului se împarte după meridiane și paralele în patrulatere curbilinii foarte mici care pot fi asimilate unor planuri tangente în centrul lor. Astfel, Pământul nu mai este considerat sferă sau elipsoid ci un poliedru cu un număr foarte mare de fețe (fig. 4.9-b.).

Din categoria proiecțiilor derivate fac parte o serie de proiecții care derivă din altele, cum ar fi proiecția Aitov care derivă din proiecția azimutală ecuatorială echidistantă și proiecțiile întrerupte ale lui Eckert-Goode, Mollweide-Goode etc.

4.3.3. Clasificarea proiecțiilor după poziția suprafeței de proiecție

După ce a fost aleasă suprafața de proiecție: cilindrul, conul sau o suprafață plană (planul), trebuie aleasă poziția suprafeței de proiecție. Aceasta reprezintă felul în care suprafața de proiecție este așezată față de suprafața terestră.

Din punct de vedere al poziției suprafeței de proiecție, proiecțiile cartografice pot fi:

proiecții normale sau polare, în care suprafața de proiecție conține axa polilor Pământului, respectiv punctul central al proiecției are latitudinea B = 900;

proiecții transversale sau ecuatoriale, în care suprafața de proiecție este perpendiculară pe axa polilor Pământului, respectiv punctul central al proiecției are latitudinea B = 0;

proiecții oblice sau de orizont, în care putem avea un unghi oarecare între suprafața de proiecție și axa polilor Pământului, respectiv punctul central al proiecției are latitudinea 0 ‹ B ‹ 900.

În cazul proiecțiilor normale sau polare, axa polilor Pământului coincide cu axa conului sau cilindrului de proiecție, în cazul proiecțiilor conice sau cilindrice. În situația proiecțiilor azimutale, planul de proiecție este paralel cu planul ecuatorului (fig. 4.11).

În cazul proiecțiilor transversale sau ecuatoriale, axa cilindrului sau conului de proiecție face cu axa polilor Pământului un unghi de 900. În situația proiecțiilor azimutale planul de proiecție este perpendicular pe ecuator, deci paralel cu planul meridianului (fig.4.12).

a b c

Fig. 4.11 Proiecții normale: a – azimutală; b – cilindrică; c – conică

a b c

Fig. 4.12 Proiecții ecuatoriale: a – azimutală; b – cilindrică; c – conică

În cazul proiecțiilor oblice sau de orizont, axa cilindrului sau conului de proiecție face cu axa polilor Pământului un unghi mai mic decât 900. În situația proiecțiilor azimutale planul de proiecție se confundă cu planul orizontului punctului considerat (fig. 4.13).

a b c

Fig. 4.13 Proiecții oblice: a – azimutală; b – cilindrică; c – conică

Suprafața de proiecție poate să fie tangentă sau secantă la suprafața terestră, astfel încât după poziția suprafeței de proiecție (plan, cilindru, con), proiecțiile cartografice mai pot fi clasificate în:

proiecții tangente la suprafața terestră (fig. 4.14);

proiecții secante la suprafața terestră (fig. 4.15).

O suprafață de proiecție este tangentă atunci când atinge suprafața terestră, dar nu o taie și este secantă atunci când taie suprafața terestră.

Fig. 4.14 Proiecții tangente la sfera terestră

Fig. 4.15 Proiecții secante la sfera terestră

Tiparul deformărilor din hartă este dependent de felul cum suprafața de proiecție este tangentă sau secantă la suprafața terestră. Prin reorientarea suprafeței de proiecție, deformarea în regiunea de interes maxim poate fi minimizată.

Primul pas în realizarea unei proiecții cartografice a unei zone de pe suprafața elipsoidului terestru pe o suprafață plană sau desfășurabilă, folosind algoritmi matematici, constă în crearea unuia sau a mai multor puncte de contact. Fiecare contact poartă numele de punct (sau linie) de tangență. Conurile și cilindrii tangenți ating globul de-a lungul unei linii. Dacă suprafața de proiecție intersectează globul, atunci proiecția respectivă este secantă. Indiferent că avem un contact tangent sau secant, punctele sau liniile de contact sunt importante deoarece acestea definesc locațiile cu deformații zero. Liniile cu deformații zero sunt numite și linii standard. În general, deformarea crește funcție de distanța față de punctul de contact.

4.3.4 Clasificarea proiecțiilor după modul de utilizare în construcția hărților.

Din punct de vedere al modului de utilizare al proiecțiile cartografice în construcția hărților, se pot identifica următoarele clase:

proiecții utilizate pentru hărți universale (proiecția Grinten, proiecția Mercator, proiecția Aitov, proiecția Mollweide);

proiecții utilizate pentru hărțile emisferelor (proiecția azimutală ecuatorială Lambert, proiecția azimutală stereografică ecuatorială, proiecția azimutală ecuatorială Pastel, proiecția sferică, proiecția Mollweide, proiecția azimutală ortografică ecuatorială);

proiecții utilizate pentru hărțile continentelor (proiecție azimutală orizontală Lambert, proiecția Bonne, proiecția Sanson, proiecția azimutală orizontală Pastel, proiecția azimutală polară Pastel);

proiecții utilizate pentru hărțile țărilor (pentru România: proiecția cilindrică transversală Gauss-Krüger, Stereografică 1970);

proiecții utilizate pentru hărțile anumitor teritorii.

Alegerea proiecțiilor cartografice constituie problema fundamentală în construcția hărților, deoarece acestea influențează repartiția deformărilor și implicit rezultatele unor măsurători pe hărți. Având în vedere acest aspect este imperios necesar ca pe hărți să se specifice proiecțiile utilizate și chiar caracteristicile acestora. De-a lungul timpului în țara noastră au fost folosite mai multe sisteme de proiecție cartografică, care sunt redate în tabelul 4.1.

Tabelul 4.1. Sisteme de proiecție cartografică folosite în România

4.4. Alegerea unei proiecții cartografice

Pe suprafața reală a Pământului pot fi măsurate multe elemente, care interesează în geodezie-topografie, fără a ține cont de geografia acestuia. Câteva dintre aceste elemente sunt:

suprafața (aria);

configurația;

orientarea unei direcții;

distanța.

Proiecțiile cartografice pot fi construite astfel încât să conserve una sau mai multe dintre elementele prezentate anterior, dar nu pe toate deodată. Fiecare proiecție conservă, alterează sau aproximează în mod diferit proprietățile metrice de bază. Astfel, scopul hărții va fi determinant în alegerea proiecției cartografice ce va folosită ca bază pentru realizarea harții. Deoarece hărțile pot avea scopuri diferite, există numeroase proiecții cartografice ce stau la baza construirii acestora.

Procesul de realizare a unei hărți a Pământului poate fi privit ca o secvență de transformări și presupune parcurgerea următorilor pași:

alegerea modelului pentru forma Pământului: sferă sau elipsoid;

alegerea scării;

transformarea coordonatelor geografice (B,L) în coordonate plane (x,y).

Prima etapă a procesului constă în modelarea Pământului printr-un corp mai simplu, care să aibă aceeași suprafață; de felul în care se aproximează forma Pământului depinde realizarea proiecției.

Alegerea modelului pentru forma Pământului presupune compararea avantajelor și dezavantajelor sferei și a elipsoidului. În cazul hărților cu scară mică, care prezintă regiuni întinse, cu puține detalii, se folosește modelul sferic, deoarece este mai simplu din punct de vedere matematic și în cazul unor scări mici, deformările datorate neregularităților formei Pământului pot fi considerate neglijabile.

În cazul unor hărți cu scară mare sau medie, care prezintă o porțiune mică din suprafața Pământului, dar în mare detaliu, Pământul este modelat ca un elipsoid, deoarece astfel se aproximează mai bine forma reală a Pământului decât printr-o sferă. Agențiile naționale de cartografie din diferite țări folosesc elipsoizi diferiți, pentru a obține cele mai bune rezultate în zona lor de interes.

Al treilea model pentru forma Pământului este geoidul, o reprezentare complexă, mai mult sau mai puțin exactă, a mediei globale a suprafeței Pământului la nivelul mării, ce se obține prin combinarea măsurătorilor terestre și din satelit. Acest model nu se folosește pentru realizarea unor hărți, datorită complexității sale, ci se folosește pentru control în construirea sistemelor de referință geografice.

Geoidul se folosește pentru construirea unui sistem de referință prin adăugarea unor neregularități la elipsoid pentru a reda mai bine forma reală a Pământului. Sistemele de referință se bazează pe elipsoizi ce reprezintă cel mai bine geoidul în regiunea în care se va folosi sistemul respectiv.

Următoarea etapă după alegerea unui model solid adecvat, constă în reducerea dimensiunilor modelului la scara dorită a hărții, realizându-se un „glob generator”. Deoarece forma reală a Pământului este neregulată, prin alegerea unui model regulat ce aproximează forma reală a Pământului, se va pierde informație. Alegerea scării poate fi considerată parte integrantă a transformării coordonatelor geografice în coordonate rectangulare plane.

Scara hărții se definește ca raportul dintre distanțele de pe hartă și distanțele de pe suprafața Pământului. În cazul globului generator, scara se poate calcula ca raportul dintre raza globului generator și raza unei sfere a cărei suprafață este egală cu cea a Pământului (6370 km). Această scară devine scara nominală a hărții. Dar, datorită deformărilor introduse prin reprezentarea globului sferic pe o suprafață plană, scara reală a hărții va fi diferită dintr-un loc în altul. În cazul multor proiecții, se păstrează o scară liniară adevărată doar de-a lungul uneia sau a două linii standard. O metodă de analiză a tiparului deformărilor dintr-o hartă constă în compararea scărilor reale ale hărții în diferite locații cu scara nominală a hărții.

Pământul nu poate fi reprezentat cu aceeași scară pe toată suprafața unei hărți și în toate direcțiile, decât dacă se reprezintă pe un glob. În cazul unei hărți, acest lucru nu este posibil nici măcar pe o suprafață mică.

Astfel, pe o hartă, proprietățile de scară constantă sunt întotdeauna limitate.

Ultima etapă a procesului constă în proiectarea rețelei geografice a Pământului de pe globul generator pe o suprafață desfășurabilă, respectiv transformarea coordonatelor geografice (B,L) în coordonate rectangulare plane (x,y). Pentru a obține hărți cu diferite proprietăți geometrice se folosesc diferite suprafețe și metode de proiectare.

Alegerea proiecției adecvate pentru o anumită hartă presupune analiza scopului hărții și a zonei ce urmează a fi reprezentată. În general, scopul hărții determină cele mai importante proprietăți geometrice.

De exemplu, dacă harta trebuie să ofere informații rutiere, cea mai bună alegere este probabil o proiecție azimutală. Dacă harta va prezenta distribuția densității populației, atunci o proiecție echivalentă este cea mai indicată. Hărțile generale folosesc o proiecție conformă sau o proiecție de compromis care nu deformează prea tare suprafețele și formele.

Analiza zonei ce urmează să fie cartografiată stabilește ce metodă de proiecție va fi folosită. În general, proiecțiile cilindrice se folosesc în cazul hărților întregului glob, deoarece nu prezintă acea deformare severă ce apare în cazul proiecțiilor azimutale și conice în zonele îndepărtate de punctul sau linia (liniile) standard.

Deoarece în orientare normală, proiecțiile cilindrice prezintă o bandă îngustă de-a lungul ecuatorului în care deformarea tuturor caracteristicilor geometrice este minimă, acestea sunt adecvate pentru reprezentarea regiunilor tropicale. Datorită acestui tipar de deformare, proiecțiile cilindrice transversale sunt adecvate pentru regiuni care se întind între cei doi poli, dar care nu se extind mult pe longitudine.

Proiecțiile conice se folosesc în general pentru a reprezenta regiuni de latitudine medie, situate în una din cele două emisfere. Alegând paralela standard în apropierea centrului zonei de interes, deformarea caracteristicilor geometrice pe hartă este micșorată. De asemenea, folosind cazul secant al proiecțiilor conice, deformarea este redusă și mai mult. În acest fel vor exista două paralele standard, ce vor fi astfel alese încât aproximativ două treimi din regiunea ce urmează să fie cartografiată să se găsească între cele două paralele standard.

Proiecțiile azimutale se folosesc frecvent pentru cartarea regiunilor polare, dar pot fi centrate pe orice zonă de pe glob. Deoarece prezintă un tipar radial al deformării (crescând cu distanța față de punctul de tangență), proiecțiile azimutale sunt utile și pentru cartografierea zonelor ce au o extindere nord-sud și est-vest, aproximativ egală. Deseori, aceste proiecții sunt alese pentru că reprezintă corect distanțele și direcțiile în jurul punctului de tangență sau datorită proprietăților lor speciale referitoare la reprezentarea cercurilor mari și mici.

5. Proiecții cilindrice

5.1. Definiții, clasificare, deformații, rețea cartografică

Proiecțiile cilindrice sunt proiecțiile cartografice în care proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se realizează pe suprafața desfășurabilă a unui cilindru, care poate avea poziții diferite față de suprafața Pământului.

După poziția axei cilindrului de proiecție față de axa polilor Pământului, proiecțiile cilindrice se pot clasifica în (fig. 5.1):

proiecții normale sau drepte (a.);

proiecții ecuatoriale sau transversale (b.);

proiecții oblice (c.).

Fig. 5.1 Tipuri de proiecții cilindrice: a. – proiecție cilindrică normală sau dreaptă; b. – proiecție cilindrică transversală sau ecuatorială; c. – proiecție cilindrică oblică,

După poziția cilindrului de proiecție față de suprafața terestră, proiecțiile cilindrice pot fi:

proiecții cilindrice tangente la suprafața terestră (fig. 5.2 – a.);

proiecții cilindrice secante la suprafața terestră (fig. 5.2 – b.).

Fig. 5.2 Proiecții cilindrice tangente (a.) și secante (b.) la suprafața terestră

Rețeaua geografică (canevasul), trasată ipotetic pe elipsoidul terestru, se proiectează mai întâi pe suprafața cilindrului de proiecție, care apoi se taie după o generatoare a sa și se desfășoară în plan, obținându-se rețeaua cartografică pe o suprafață plană (fig. 5.2).

În cazul proiecțiilor cilindrice sistemul de axe de coordonate rectangulare plane este alcătuit astfel încât axa OX este o dreaptă rezultată din proiecția unui meridian, de obicei meridianul axial al zonei în cazul proiecțiilor cilindrice transversale, iar axa OY este dată de proiecția ecuatorului sau a unei paralele pe suprafața de proiecție.

Proiecțiile cilindrice drepte constau în proiectarea suprafeței elipsoidului terestru pe un cilindru de proiecție a cărui axă este identică cu axa polară a Pământului. Rețeaua cartografică, în acest caz, poate avea trei aspecte care se deosebesc între ele prin forma funcției , unde x este distanța pe hartă de la ecuator până la paralela de latitudine B:

rețea cartografică pătratică – proiecția cilindrică normală pătratică (simplă);

rețea cartografică dreptunghiulară – proiecția cilindrică normală dreptunghiulară;

rețea cartografică cu latitudini crescânde – proiecția cilindrică normală Mercator.

Din definirea proiecțiilor cilindrice drepte rezultă că abscisele în aceste proiecții sunt funcții numai de latitudine în timp ce ordonatele sunt proporționale cu diferențele de longitudine, respectiv în cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid de rotație:

unde:

B – latitudinea;

L – longitudinea care se măsoară de la axa OX;

α – constantă care se determină punând condiția ca cilindrul să fie tangent sau secant;

f – o funcție care se determină din condiția pusă ca reprezentarea să fie conformă, echivalentă sau echidistantă

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

În cazul aproximării suprafeței Pământului cu o sferă de rază medie Gauss, R formulele generale iau forma:

unde:

φ – latitudinea;

– diferența de longitudine dintre meridianele care se proiectează, respectiv longitudinea care se măsoară de la axa OX;

α – constantă care se determină punând condiția ca cilindrul să fie tangent sau secant;

f – o funcție care se determină din condiția pusă ca reprezentarea să fie conformă, echivalentă sau echidistantă

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

În cazul proiecțiilor cilindrice normale tangente la ecuator, tiparul caracteristic al rețelei este cel dreptunghiular. Meridianele sunt echidistante de-a lungul ecuatorului, iar paralelele sunt reprezentate ca linii de aceeași lungime ca ecuatorul. Nu există deformare de-a lungul liniei de tangență (ecuatorul) dintre suprafața de proiecție și suprafața terestră, numită și linie de deformații nule. Pe măsură ce ne îndepărtăm de ecuator spre cei doi poli deformarea este din ce în ce mai mare, în valoare pozitivă (fig. 5.2 – a.).

În cazul proiecțiilor cilindrice transversale, cum este cazul proiecției Gauss-Krüger, pentru a cuprinde întreaga suprafață terestră, cilindrul este rotit cu câte astfel încât se folosește câte un meridian de tangență pentru fiecare fus sferic. Astfel, liniile de deformații nule (linii standard) sunt orientate pe direcția nord-sud.

Cilindrii oblici sunt rotiți în jurul liniei unui cerc mare, situată oriunde între ecuator și poli. În aceste proiecții mai complexe, majoritatea meridianelor și paralelelor nu mai sunt drepte (fig. 5.1).

În toate proiecțiile cilindrice, indiferent de tipul acestora, linia de tangență sau liniile de secanță sunt linii de deformații nule numite și linii standard, în timp ce alte proprietăți variază în funcție de tipul proiecției.

În cazul proiecțiilor cilindrice normale secante nu există deformare de-a lungul liniilor de secanță dintre suprafața de proiecție și elipsoidul terestru, numite și linii de deformații nule. Pe măsură ce ne îndepărtăm de liniile de deformații nule spre ecuator deformațiile cresc în valoare negativă ajungând maximul la ecuator. Pe măsură ce ne îndepărtăm de liniile de deformații nule spre cei doi poli deformațiile cresc în valoare pozitivă, atingând valoarea maximă la cei doi poli (fig. 5.2-b.).

Inevitabil, toate proiecțiile cilindrice induc deformări pe măsură ce ne îndepărtăm de ecuator spre cei doi poli, crescând pe direcția nord-sud cu un factor egal cu diferența de latitudine, comparativ cu scara de la ecuator. În acest sens proiecțiile cilindrice se pot clasifica în funcție de deformarea pe direcția nord-sud:

deformarea pe direcția nord-sud este egală cu cea de pe direcția est-vest, respectiv scara pe direcția est-vest corespunde celei de pe direcția nord-sud (proiecția cilindrică conformă sau Mercator). În cazul acestui tip de proiecții la latitudini mari suprafețele sunt excesiv deformate (proiecția transversală Mercator);

deformarea pe direcția nord-sud crește rapid cu latitudinea, chiar mai rapid decât deformarea pe direcția est-vest. În cazul acestui tip de proiecții deformarea este mai severă decât în cazul proiecției transversale Mercator și nu este prea indicat a fi folosită;

deformarea pe direcția nord-sud crește cu latitudinea, dar mai puțin rapid decât deformarea pe direcția est-vest (proiecția cilindrică Miller);

distanțele pe direcția nord-sud sunt constante (proiecția cilindrică echidistantă);

comprimarea pe direcția nord-sud este exact reciproca alungirii pe direcția est-vest (proiecția cilindrică echivalentă: proiecția Gall-Peters, proiecția ortografică Gall etc). Aceasta micșorează distanțele pe direcția nord-sud cu un factor egal cu diferența de latitudine, conservând suprafețele, dar deformând sever formele.

Având în vedere modul de inducere a deformărilor se recomandă folosirea acestor proiecții astfel:

proiecții cilindrice normale conforme, echidistante și echivalente – pentru zone situate în imediata vecinătate a ecuatorului, de o parte și de alta, care se întind mai mult pe longitudine;

proiecții cilindrice transversale – pentru zone alungite în lungul meridianelor;

proiecții cilindrice oblice – pentru zone alungite de-a lungul unui cerc mare, altul decât ecuatorul sau meridianele.

În cazul zonelor alungite care se întind mai mult pe longitudine, amplasate de-a lungul unei paralele, se recomandă a fi folosită proiecția cilindrică normală secantă după paralela centrală a zonei.

Una dintre cele mai des utilizate proiecții cilindrice normale este proiecția cilindrică normală conformă Mercator, utilizată în navigația maritimă și aeriană, deoarece loxodroma în această proiecție se reprezintă printr-o linie dreaptă care întretaie toate meridianele sub aceleași unghi sau azimut.

În cazul proiecțiilor cilindrice oblice forma Pământului se aproximează, de obicei, cu o sferă de rază medie Gauss, iar rețeaua cartografică este alcătuită din imaginile plane ale verticalurilor și almucantaratelor.

Verticalurile se reprezintă prin drepte paralele la distanțe proporționale cu diferențele de azimut, la fel ca meridianele din proiecțiile cilindrice normale.

Almucantaratele se reprezintă tot prin drepte paralele perpendiculare pe imaginile verticalurilor, la fel ca paralelele din proiecțiile cilindrice normale.

Verticalurile și almucantaratele sunt de liniile de coordonate ale sistemului de coordonate sferice polare și sunt de fapt similare cu meridianele și paralelele.

În cazul proiecțiilor cilindrice oblice sistemul de axe de coordonate rectangulare plane este alcătuit astfel încât axa OX să coincidă cu proiecția meridianului polului proiecției, iar axa OY este perpendiculară pe aceasta în timp ce originea se alege astfel încât valorile lui x să fie pozitive în întreg teritoriul reprezentat.

5.2.Proiecția cilindrică normală pătratică (simplă)

În cazul acestei proiecții cartografice, cilindrul de proiecție drept se consideră tangent la ecuator, deci este o proiecție cilindrică normală tangentă după ecuator. Această proiecție cartografică a fost construită pentru prima dată, în prima jumătate a secolului al XV-lea, de către Henric Navigatorul și rețeaua cartografică are aspectul general al unei rețele de pătrate, în care laturile pătratelor sunt proiecțiile unor arce de meridian și de paralelă (fig. 5.3).

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă, formulele generale iau forma:

unde:

φ – latitudinea paralelei care se proiectează (radiani);

– diferența de longitudinea dintre meridianele care se proiectează (radiani);

R – raza globului terestru redusă la scara corespunzătoare (1:1.000.000; 1:5.000.000 etc).

Fig. 5.3 Rețeaua cartografică și evoluția deformațiilor în proiecția cilindrică normală pătratică

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde: a = n și b = m = 1.

Proiecția cilindrică dreaptă pătratică are următoarele proprietăți:

de-a lungul ecuatorului nu există nici un fel de deformații (liniare, areolare sau unghiulare);

meridianele nu se deformează ca lungime;

toate paralele, cu excepția ecuatorului, prin proiectare au deformații liniare și areolare pozitive care cresc odată cu creșterea latitudinii;

toate deformațiile depind numai de latitudine;

modulul de deformație liniară după paralele este întotdeauna mai mare ca 1, deoarece secφ>1;

axa mare a elipselor de deformație este pe direcția proiecției paralelelor (a=n) iar axa mică a elipselor de deformație este pe direcția proiecției meridianelor (b=m);

polii geografici nu se pot reprezenta în această proiecție fiind situați la infinit;

proiecția este fezabilă a fi utilizată pentru reprezentarea teritoriilor din zona ecuatorială cu extindere în longitudine.

5.3. Proiecția cilindrică dreptunghiulară

În această proiecție cartografică, cilindrul de proiecție este secant la scoarța terestră după două paralele simetrice față de ecuator, deci este o proiecție cilindrică normală secantă. Această proiecție a fost construită pentru prima dată de Anaximandru, fiind cunoscută și sub numele de proiecția lui Anaximandru.

Rețeaua cartografică are aspectul general al unei rețele de dreptunghiuri egale, în care laturile dreptunghiurilor sunt proiecțiile unor arce de meridian și de paralelă (fig. 5.4). Distanțele dintre proiecțiile meridianelor sunt egale cu lungimea unui arc întins al uneia dintre paralelele de secanță. Distanțele dintre proiecțiile paralelelor sunt egale cu lungimea unui arc întins al unuia dintre meridiane.

Fig. 5.4 Rețeaua cartografică și evoluția deformărilor în proiecția cilindrică normală dreptunghiulară

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă, formulele generale iau forma:

unde:

φ – latitudinea paralelei care se proiectează (radiani);

– latitudinea paralelei după care se face întretăierea dintre suprafața cilindrului și sfera terestră (latitudinea de secanță);

– diferența de longitudine dintre meridianele care se proiectează (radiani);

R – raza globului terestru redusă la scara corespunzătoare (1:1.000.000; 1:5.000.000 etc).

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Având în vedere relația anterioară putem întâlni următoarele cazuri:

paralela care se proiectează se găsește între cele două paralele de secanță (φ<), situație în care cos φ>cos, deci deformațiile sunt negative, respectiv b =n<1 și m=a=1, elipsa deformărilor având axa mare pe direcția N-S;

paralela care se proiectează se găsește în afara celor două paralele de secanță (φ>), situație în care cos φ<cos, deformațiile sunt pozitive, respectiv a=n>1 și m=b=1, elipsa deformărilor având axa mare pe direcția E-V.

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

Proiecția cilindrică dreaptă dreptunghiulară are următoarele proprietăți:

de-a lungul celor două paralele de secanță nu există nici un fel de deformații (liniare, areolare sau unghiulare);

între cele două paralele de secanță deformațiile sunt negative cu valori maxime la ecuator;

meridianele nu se deformează ca lungime;

între polii geografici și paralelele de secanță toate deformațiile liniare, unghiulare și areolare sunt pozitive și cresc spre cei doi poli.

proiecția este fezabilă a fi utilizată pentru reprezentarea teritoriilor din zona paralelelor de secanță cu extindere în longitudine.

5.4. Proiecția cilindrică normală cu latitudini crescânde Mercator

Proiecția cilindrică a fost descoperită de către matematicianul olandez (flamand) Gerhard Kremer (1512-1594), cunoscut în lumea latină sub numele de Mercator. Această proiecție este întâlnită sub două forme principale, respectiv:

o proiecție cilindrică dreaptă sau normală, când cilindrul de proiecție este tangent la ecuatorul elipsoidului, întrebuințată prima dată de Mercator în anul 1569 și descrisă concret de Eduard Wright (1558-1615) în anul 1599, cunoscută sub numele de proiecția Mercator sau proiecția cilindrică dreaptă Mercator;

o proiecție cilindrică transversală, când cilindrul de proiecție este tangent la un meridian dat.

Mercator este, poate, cel mai cunoscut cartograf din istoria omenirii datorită realizării celei mai cunoscute proiecții cartografice, dezvoltată pentru navigația maritimă și aeriană, care îi poartă numele (prototip pentru hărțile conforme), dar și pentru alte realizări cum ar fi: introducerea pentru prima dată a termenului de atlas dat pentru o colecție de hărți colaționată într-un volum, cât și pentru că a utilizat pentru prima dată termenul de America de Nord pentru continentul Nord American, pe o hartă realizată în anul 1538.

Rețeaua cartografică este alcătuită din imaginile plane al meridianelor și paralelelor proiectate pe un cilindru drept (normal) tangent la suprafața terestră după ecuator, care coincide în acest caz cu linia de deformații nule.

În scopul reducerii deformațiilor, această proiecție se poate realiza și prin proiectarea suprafeței terestre pe un cilindru drept secant la globul terestru, situație în care vom avea două linii de deformații nule de-a lungul celor două paralele de secanță.

În această proiecție, rețeaua cartografică se prezintă sub forma unor dreptunghiuri ale căror înălțimi, ce sunt de fapt proiecțiile unor arce de meridian, se măresc pe măsură ce ne îndepărtăm de ecuator, astfel încât polii sunt reprezentați la infinit.

Proiecția Mercator prezintă trei proprietăți importante care determină extinsa sa utilizare:

meridianele sunt reprezentate pe suprafața de proiecție prin drepte verticale paralele, situate la distanțe proporționale cu diferențele de longitudine;

paralelele sunt reprezentate pe suprafața de proiecție prin linii drepte paralele perpendiculare pe imaginile meridianelor, iar intervalele dintre acestea cresc pe măsura apropierii de polii, motiv pentru care această proiecție se mai numește și proiecția cu latitudini crescânde (fig. 5.5);

este o proiecție conformă și se poate aplica atât pe sferă cât și pe elipsoid, iar modulul de deformație liniară este independent de azimut.

Ca rezultat implicit al celor trei proprietăți, enunțate anterior, este faptul că loxodroma în această proiecție este întotdeauna o linie dreaptă.

Așadar, această proiecție păstrează nedeformate unghiurile și ca atare un cerc de pe sferă se va reprezenta pe suprafața de proiecție tot printr-un cerc, respectiv elipsele deformărilor vor fi cercuri, însă de suprafețe diferite, care vor fi cu atât mai mari cu cât ne deplasăm spre poli (fig. 5.5).

Datorită deformării suprafețelor odată cu creșterea latitudinii se creează o imagine falsă a repartiției uscatului și a apei pe glob. Astfel, insula Groenlanda (2.176.165 kmp) apare în această proiecție ca fiind aproximativ egală cu Africa (30.258.010 kmp) și cu America de Sud (17.843.898 kmp) deși în realitate aceasta este de circa 15 ori mai mică decât Africa și de circa 8 ori mai mică decât America de Sud (fig. 5.6).

Fig. 5.5 Rețeaua cartografică și evoluția deformărilor în proiecția cilindrică dreaptă Mercator

Fig. 5.6 Proiecția cilindrică dreaptă Mercator [Snyder, P. John – Map Projections, A Working Manual, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. Washington, D.C.: USGS, 1993, pag. 40]

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă, formulele generale iau forma:

unde:

R – raza globului terestru redusă la scara corespunzătoare hărții.

φ – latitudinea paralelei care se proiectează (radiani). Dacă φ=π/2,atunci x=∞;

– diferența de longitudine dintre meridianele care se proiectează (radiani).

Dacă utilizăm exprimarea latitudinii (φ) și longitudinii (λ) în grade sexagesimale și nu în radiani, atunci relațiile (5.21) vor lua forma:

Formulele prin care se pot obține latitudinea (φ) și longitudinea (λ) din coordonatele rectangulare plane (x,y) sunt următoarele:

În relația anterioară e = 2,7182818 – fiind baza logaritmului natural și nu excentricitatea, iar rezultatele sunt obținute în radiani.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde:

– latitudinea paralelei de secanță

Dacă:

, rezultă că proiecția Mercator utilizează un cilindru tangent la suprafața terestră după ecuator, care este linie de deformații nule, în rest deformațiile cresc spre cei doi poli pe măsura depărtării de ecuator. În acest caz deformările sunt următoarele:

Deci: m=n=a=b, ceea ce înseamnă că elipsa deformărilor este de fapt un cerc al deformărilor, iar deformarea liniară este dată de relația:

Știind că secφ ia valori de la 1 la infinit, rezultă clar că deformațiile liniare vor avea aspectul unor alungiri ce vor tinde către infinit pe măsura apropierii de poli.

, rezultă că proiecția Mercator utilizează un cilindru secant la suprafața terestră după două paralele de secanță de latitudine + și – , care sunt linii de deformații nule (paralele standard), între care deformațiile cresc în valoare negativă spre ecuator unde ating valoarea maximă, iar în exteriorul paralelelor de secanță deformațiile cresc în valoare pozitivă spre cei doi poli (care nu se pot reprezenta), pe măsura depărtării de aceste paralele.

Cu toate acestea, marele avantaj al proiecției Mercator este acela că ea întrunește toate calitățile unei hărți folosită în navigația maritimă și aeriană, de unde și imensa sa răspândire, datorită următoarelor:

poziția unui punct se poate stabili cu rapiditate prin coordonatele sale, datorită perpendicularității existente între meridiane și paralele;

distanțele se pot măsura cu ușurință;

este o proiecție conformă, deci unghiurile sunt nedeformate;

loxodromele sunt linii drepte.

Pe suprafața sferei, loxodroma este o spirală cu punct asimptotic în polul geografic, iar ecuația unei loxodrome este dată de relația următoare:

Dacă punctele și sunt extremitățile loxodromei în planul proiecției Mercator (fig. 5.7), atunci orientarea reală (geodezică nu magnetică) este dată relația:

Fig. 5.7 – Ortodroma și loxodroma în proiecția Mercator

Cunoscând un punct inițial și azimutul real, A se poate afla poziția pe loxodromă în orice punct cu ajutorul relației:

Pentru măsurarea distanțelor în proiecția Mercator se folosește mila marină, care este egală cu un minut pe latitudine din dreptul regiunii în care se măsoară distanța.

5.5. Proiecția cilindrică transversală Gauss-Krüger

5.5.1. Generalități

Proiecția cartografică cilindrică transversală a fost descrisă de matematicianul și cartograful alsacian Johann Heinrich Lambert (1728-1777) în anul 1772, apoi a fost prelucrată între anii 1825-1830 de către matematicianul german Carl Friedrich Gauss (1777-1855), iar în anul 1912 Johann Heinrich Louis Krüger a publicat formulele pentru calculele cartografice pe elipsoid.

J. H. Lambert a mai descris și proiecțiile cunoscute sub următoarele numele: Proiecția cilindrică de arie egală, Proiecția conică conformă Lambert și Proiecția azimutală de arie egală Lambert.

Proiecția cartografică cilindrică transversală tangentă este cunoscută, în general, sub numele de proiecție cilindrică transversală tangentă conformă Gauss-Krüger.

Proiecția suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se face pe un cilindru transversal considerat tangent la un meridian care este un cerc mare al Pământului (fig. 5.8). În afara liniei de tangență dată de cercul mare meridian al Pământului nu există alte zone de contact între suprafața Pământului și cilindrul transversal de proiecție.

Fig. 5.8 Proiecția cilindrică transversală Gauss-Krüger

În această proiecție suprafața Pământului este împărțită în 60 de zone a câte 6º longitudine, pentru a nu depăși limita admisibilă a deformărilor lungimilor prin proiectare (deformare relativă 1/2500), numite fuse sferice (fig. 5.8). Meridianele care delimitează zonele de 6º longitudine se numesc meridiane marginale iar meridianul central se numește meridian axial.

Proiecția întregii suprafețe a Pământului se obține prin rotirea acestuia spre vest cu câte 6º longitudine, obținându-se astfel un nou fus cu un nou meridian axial. Aspectul unui astfel de fus, în reprezentarea sa plană, este prezentat în fig. 5.9.

Dacă vom tăia cilindrul de proiecție după una din generatoare, rețeaua cartografică rezultată prin proiectarea rețelei geografice pe cilindrul de proiecție va arăta astfel: meridianul axial al unui fus de 6º cât și ecuatorul se reprezintă printr-o linie dreaptă, iar celelalte meridiane și paralele sunt linii curbe simetrice față de meridianul axial și ecuator (fig. 5.10).

Fig. 5.9 Fusele sferice și axele de coordonate în cadrul unui fus sferic

În această proiecție, axele de coordonate rectangulare plane sunt OX, care coincide cu proiecția meridianului axial și OY, care coincide cu proiecția ecuatorului, având ca origine intersecția meridianului axial cu ecuatorul.

Pentru fiecare fus de 6º se consideră câte un sistem de proiecție cartografică și un sistem de coordonate rectangulare plane.

Fig. 5.10 Rețeaua cartografică în proiecția Gauss-Krüger

În proiecția Gauss-Krüger teritoriul țării noastre este acoperit, în cea mai mare parte, de două fuse sferice de 6º și anume: fusul 34 (Cluj Napoca) și fusul 35 (București).

Din fig. 5.9 se poate vedea că punctele care sunt situate în stânga meridianului axial au ordonatele y negative. Pentru a înlătura acest lucru, acestora li se adaugă 500 km, ca atare originea axelor va avea coordonatele: x = 0 km; y = 500 km. În acest sens, pentru punctele situate în partea stângă (vestică) a meridianului axial ordonata y va fi egală cu 500.000m, din care se scade depărtarea în metri de la punctul considerat până la meridianul axial, iar pentru punctele situate în partea dreaptă (estică) a meridianului axial ordonata y va fi egală cu 500.000m la care se adună depărtarea în metri de la punctul considerat până la meridianul axial.

Întrucât este posibil ca pentru mai multe puncte din fuse diferite să existe aceleași coordonate s-a convenit că în fața ordonatei y să se scrie numărul fusului. Numerotarea se face începând de la meridianul opus meridianului Greenwich din care se scade cifra 30.

Exemplu:

Punctul A x=4.680.200 m Punctul B x=4.650.300 m

y= 4.770.100 m y=5.320.200 m

În acest exemplu semnificația coordonatelor este următoarea:

coordonata x arată depărtarea punctelor A și B față de ecuator;

coordonata y a punctului A arată faptul ca acesta se găsește în fusul 4, la est de meridianul axial, la o depărtare de acesta de 270.100 m (770.100-500.000=270.100);

coordonata y a punctului B arată faptul ca acesta se găsește în fusul 5, la vest de meridianul axial, la o depărtare de acesta de 179.800 m (500.000-320.200=179.800.

Din punct de vedere al deformărilor, această proiecție este o proiecție conformă, deci păstrează nedeformate unghiurile, în schimb sunt deformate suprafețele și lungimile. Pentru a reduce deformările, pentru lucrări cu precizie mărită, această proiecție se poate aplica și pe fuse de 3º longitudine.

În cazul acestei proiecții, de-a lungul meridianul axial al fiecărui fus deformările sunt egale cu zero. Deformările sunt cu atât mai mari cu cât lungimile sunt situate mai departe de meridianul axial al fusului.

Pentru țara noastră deformările maxime se produc de-a lungul meridianului de 24º și în Delta Dunării.

Datorită faptului că poate fi utilizată pentru regiuni foarte mari ale globului, această proiecție poate fi numită pe drept cuvânt proiecție internațională.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid de rotație, modulul de deformație liniară µ se poate calcula în funcție de coordonatele geografice elipsoidale (B,L), cu ajutorul relației:

unde:

– longitudinea punctului considerat față de longitudinea meridianul axial;

– longitudinea meridianului axial al fusului în care se află punctul considerat (în grade sexagesimale);

B – latitudinea punctului considerat;

.

Deformația liniară relativă D se poate calcula în funcție de coordonatele geografice elipsoidale (B,L), cu ajutorul relației:

Modulul de deformație liniară µ se poate calcula mai ușor în funcție de coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y), cu ajutorul relației:

De regulă, în relația (5.34), pentru calculele obișnuite este suficient să luăm în considerare doar primii doi termini (fără termenul în ).

Deformația liniară relativă D se poate calcula mai ușor în funcție de coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y) cu ajutorul relației:

unde:

– raza medie de curbură Gauss a elipsoidului în punctul considerat, ;

y – distanța punctului dat față de meridianul axial, respectiv ordonata rectangulară plană Gauss a punctului considerat.

Evoluția deformărilor liniare relative raportat la distanța față de punctul central al proiecției se poate realiza cu ajutorul reprezentării grafice a unei funcții de tipul D = f(y), descrisă anterior, folosind următoarea diagramă (fig. 5.11):

Fig. 5.11 Diagrama deformațiilor liniare relative în proiecția Gauss-Krüger [15: http://earth.unibuc.ro/articole/deformatii-liniare-in-sistemele-proiectie].

Deformațiile liniare relative în proiecția Gauss-Krüger, la latitudinea medie a României de sunt:

0 cm/km pe meridianul axial al fusului;

+16,6 cm/km pe meridianele marginale ale fusului de ;

+66,4 cm/km pe meridianele marginale ale fusului de .

Deformațiile areolare au același semn cu deformațiile liniare, iar modulul de deformație areolară se poate calcula cu ajutorul relației:

Proiecția Gauss-Krüger este destul de des folosită, în special datorită avantajelor sale, dintre care prezentăm:

deformații mici în zonele din imediata vecinătate a meridianului axial de-a lungul întregii sale lungimi;

posibilitatea transformării coordonatelor între două sisteme de proiecție cât și între două fuse;

în cadrul aceluiași fus se pot reprezintă suprafețe mari ca întindere de la un pol la altul;

racordarea ușoară a tuturor foilor de hartă;

deformări relativ mici (scară 1:25.000 deformația ajunge la 0,67‰);

pentru scări mai mari de 1:25.000 deformația ajunge la 0,17‰ (fus de 30).

Proiecția Gauss-Krüger are și dezavantaje, dintre care mai importante sunt:

uneori deformațiile sunt mai mari decât în alte proiecții;

teritorii relativ mici, dar care se întind mai mult pe longitudine, sunt reprezentate în mai multe fuse, ceea ce creează necesitatea transformării coordonatelor dintr-un fus în altul și îngreunează mult lucrul;

transformarea coordonatelor dintr-un fus în altul alăturat implică calcule destul de complicate.

5.5.2. Sistemul de proiecție cartografică Gauss-Krüger aplicat în România. Nomenclatura reprezentărilor cartografice în proiecția Gauss-Krüger

România a adoptat sistemul de proiecție cartografică Gauss-Krüger ca proiecție oficială pentru lucrările geodezice, topo-fotogrammetrice și cartografice în anul 1951, când s-a hotărât ca hărțile și planurile topografice de bază să aibă un cadru de tip rectangular geografic, format din imaginile plane ale unor arce de meridian și de paralel, care pe elipsoidul de rotație delimitează niște trapeze curbilinii numite „trapeze”.

După anul 1971 proiecția cartografică Gauss-Krüger s-a utilizat doar pentru domeniul militar, iar din 2004 (29.03.2004 – anul aderării României la NATO) a început să fie înlocuită și în domeniul militar de sistemul de proiecție cartografică UTM.

Cadru hărților de tip rectangular geografic (obținut pe baza liniilor rețelei cartografice), format din imaginile plane ale unor arce de meridian și de paralel, a fost menținut și după adoptarea proiecției Stereografice 1970 ca sistem de proiecție național, prin Decretul 371 din anul 1971 și se trasează în funcție de coordonatele geografice al colțurilor trapezului, iar sistemul de nomenclatură al foilor de hartă și de plan este sistemul de nomenclatură în formă schelet.

Fiecare trapez are o anumită nomenclatură și se reprezintă pe o foaie de hartă separată.

În sistemul de proiecție Gauss-Krüger globul terestru este împărțit în:

fuse de 60 longitudine numerotate de la 1 la 60 începând cu meridianul 1800, în sens invers acelor de ceasornic către est (fig. 5.12), astfel încât fusele 1-30 se găsesc în emisfera vestică iar fusele 31-60 se găsesc în emisfera estică;

și zone de câte 40 latitudine numerotate prin litere de la A la V de la ecuator către nord și sud (fig. 5.12).

În acest fel se obțin 1320 trapeze de 60×40 pentru fiecare emisferă, fiecare trapez fiind definit prin numărul fusului și litera zonei care corespunde trapezului.

Fig. 5.12 Numerotarea fuselor (stânga) și zonelor în proiecția Gauss-Krüger

Prin Convenția Internațională de la Paris din 1913 s-a convenit ca fiecare trapez de 60 longitudine și 40 latitudine să se reprezinte pe câte o foaie de hartă la scara 1:1.000.000 cu indicarea cifrei și literei corespunzătoare.

Teritoriul țării noastre este cuprins între longitudinile estice de 20015'44" și 29014'24" și între latitudinile nordice de 43035'07 și 48º15'08", ceea ce înseamnă că se află pe fusele 34 (180 – 240) și 35 (240 – 300) longitudine estică și zonele K, L și M, cuprinse între valorile 400 – 440, 440 – 480 și 480 – 520 latitudine nordică.

De fapt, numai zona L (440 – 480) acoperă în întregime țara noastră; zonele K și M acoperă numai parțial, prima sudul, iar a doua, nordul țării. Meridianele axiale sunt meridianele de 210 și 270.

Cunoscând coordonatele geografice ale colțurilor trapezului se poate găsi poziția exactă a trapezului pe elipsoidul de referință.

Primul lucru care atrage atenția la o hartă este titlul acesteia. Acesta este alcătuit, în cazul hărților la scări mari, din numele celei mai importante localități din regiunea cuprinsă în hartă, iar pe hărțile la scări mici, de numele teritoriul reprezentat (țară, grup de țări, continente etc.).

Pe hărțile topografice moderne ale țării noastre, titlul este precedat de un indicativ sau nomenclatură formată din litere majuscule și minuscule și din cifre, de exemplu: L-34-23-D (Baia Mare).

Una din problemele de bază ale acestui sistem de nomenclatură constă în alcătuirea numelor foilor de hartă și plan în cazul trecerii de la reprezentările cartografice realizate la scări mai mici la reprezentările cartografice realizate la scări mai mari.

În țara noastră sunt folosite următoarele scări standard, legate de nomenclatura trapezelor: 1:1.000.000; 1:500.000; 1:200.000; 1:100.000; 1:50.000; 1:25.000; 1:10.000; 1:5.000; 1:2.000, care pornesc de la trapezul de bază de 6040

O foaie de hartă scara 1:1.000.000 cu dimensiunile de 6040 are nomenclatura compusă dintr-o literă mare a alfabetului latin, care arată zona de 40 în care se găsește localizat trapezul și dintr-o cifră, care arată fusul de 60 în care se găsește localizat trapezul, de tipul:

L-35

Pentru trecerea de la scara 1:1.000.000 la scara 1:500.000 trapezul de bază de 6040 se împarte în patru părți prin imagini plane ale meridianelor și paralelelor mediane, fiecare având 30 în longitudine și 20 în latitudine. Fiecare trapez de 3020 se notează cu primele patru litere mari ale alfabetului latin, de la stânga la dreapta, adică A, B, C și D. Deci, nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:500.000 va fi aceea a trapezului de 6040 din care provine la care se adaugă una din literele de mai sus, de exemplu: (fig. 5.13).

Fig. 5.13 Nomenclatura hărților la scara 1:1.000.000 – 1:100.000

Harta 1:200.000 se obține prin împărțirea foii 1:1.000.000 în șase părți pe longitudine și tot atâtea pe latitudine, sau trapezele A, B, C, D în 9 trapeze, rezultând astfel 36 trapeze cu dimensiunile de 10 în longitudine și 40/ în latitudine. Numerotarea trapezelor obținute se face cu cifre romane, de la stânga la dreapta: I, II, III,….XXXVI (fig. 5.13), iar nomenclatura unei astfel de foi de hartă va fi:

L – 35 – XIII.

Pentru a obține harta cu scara 1:100.000 foaia fundamentală se împarte în 12 părți în longitudine și în 12 părți în latitudine și se vor obține 144 trapeze, fiecare având 30/ în longitudine și 20/ în latitudine, care se numerotează, de la stânga la dreapta, cu cifre arabe de la 1 la 144 (fig. 5.13). Nomenclatura pentru o hartă la scara 1:100.000 va fi de tipul:

L – 35 – 125.

La fiecare foaie de hartă se adaugă, dacă există, denumirea celei mai apropiate localități (L-35-135 Hideaga).

Hărțile scara 1:50.000 (fig. 5.14) se obțin prin împărțirea unui trapez, corespunzător unei foi de hartă, la scara 1:100.000 în patru părți de câte 15/ în longitudine și de câte 10/ în latitudine, acestea notându-se, de la stânga la dreapta, cu primele patru litere majuscule ale alfabetului latin (adică cu A, B, C și D). Un astfel de trapez, la scara 1:50.000, va avea nomenclatura, de tipul următor:

L-35-125-B

Hărțile realizate la scara 1: 25.000 se obțin prin împărțirea unei foi de hartă scara 1:50.000 în patru părți, având longitudine 7/30// și latitudinea 5/. Nomenclatura trapezelor noi rezultate se face de la stânga la dreapta cu primele patru litere mici ale alfabetului latin (a, b, c și d), astfel încât un asemenea trapez va avea ca nomenclatură de tipul (fig. 5.14):

L-35-125-B-d.

Fig. 5.14 Nomenclatura hărților scara 1:50.000 – 1:25.000 și a planurilor scara 1:10.000 – 1:5.000

Planurile cu scară 1:10.000 se obțin prin împărțirea trapezului anterior scara 1:25.000 în 4 părți, fiecare trapez fiind notat, de la stânga la dreapta, cu cifre arabe, de la 1 la 4. Nomenclatura foilor de plan scara 1:10.000 este alcătuită din nomenclatura foii de hartă scara 1:25.000 la care se adaugă una din cifrele arabe care arată numărul foii de plan scara 1:10.000 în cadrul foii de hartă scara 1:25.000 în cadrul, de exemplu (fig. 5.14):

L-35-125-B-d-4.

Planurile scara 1:5.000 se obțin prin împărțirea trapezului anterior (scara 1:10.000) în patru, notarea făcându-se, de la stânga la dreapta, cu cifre romane de la I la IV. Nomenclatura foii de plan scara 1:5.000 este alcătuită din nomenclatura foii de plan la scara 1:10.000, la care se adaugă una din cifrele romane care arată numărul foii de plan scara 1:5.000 în cadrul foii de plan scara 1:10.000, de exemplu (fig. 5.14):

L-35-125-B-d-4-III.

Trebuie să specificăm că pentru planurile scara 1:5.000 a mai existat un tip de nomenclatură, veche și puțin utilizată în sectorul civil din țara noastră, care utilizează numerele de la 1 la 256 prin care se arată poziția trapezului scara 1:5.000 direct în interiorul trapezului scara 1:100.000, De exemplu, utilizând acest sistem de nomenclatură un trapez scara 1:5.000 are un nume de tipul:

L-35-125-(1)

L-35-125-(2)

…………….

L-35-125-(256)

Planurile cu scara 1:2.000 se obțin prin împărțirea trapezului anterior în 9 părți și notarea lor, de la stânga la dreapta, cu literele mici ale alfabetului latin de la a la i . O foaie de plan scara 1:2.000 va avea o nomenclatură de tipul (fig. 5.15):

L-35-125-B-d-4-III-h

Fig. 5.15 Nomenclatura veche a planurilor scara1:2.000

Această variantă de realizare a nomenclaturii pentru foile de plan scara 1:2.000 este mai veche, utilizată actualmente pe scară redusă în România.

A doua variantă de realizare a nomenclaturii foilor de plan scara 1:2.000 este utilizată în România începând cu anul 1973 și folosește trapeze de format mai mare, respectiv:

56,25” pe longitudine în loc de 37,5” și

37, 50” pe latitudine în loc de 25,00”

În această variantă, trapezul scara 1:5.000 se împarte în patru trapeze (în loc de 9 trapeze) care se notează, de la stânga la dreapta, cu cifre arabe de la 1 la 4, de exemplu (fig. 5.16):

L-35-125-B-d-4-III-4

Fig. 5.16 Nomenclatura nouă a planurilor scara 1:2.000

În cadrul sistemului de nomenclatură al foilor de hartă și plan în formă schelet, care folosește un cadru obținut pe baza liniilor rețelei cartografice format din imaginile plane ale unor arce de meridian și de paralel, este important de reținut:

dimensiunile trapezului sunt variabile de la o foaie de hartă la alta, chiar dacă ele au aceeași întindere pe latitudine și pe longitudine, același sistem de proiecție și aceeași scară;

în realitate, cadrul foilor de hartă este de fapt un patrulater oarecare (și nu trapez), rezultat din raportarea coordonatelor rectangulare plane ale colțurilor trapezului, obținute prin transformarea coordonatelor geografice în coordonate rectangulare plane în proiecția în care se întocmește harta;

deși se întocmește mai greu, oferă avantaje legate de ușoara poziționare pe foaia de hartă a unei zone cartografiate, legătura cu hărți realizate la alte scări sau în alte sisteme de proiecție și poate fi utilizată în lucrările de cadastru.

În tabelul 5.1 se prezintă nomenclatura și dimensiunile trapezelor pentru scările uzuale ale hărților și planurilor.

Tabelul 5.1

5.5.3. Transformări de coordonate în proiecția Gauss-Krüger

5.5.3.1. Calculul coordonatelor rectangulare plane Gauss (x,y) în funcție de coordonatele geografice (B,L)

a. Formule de calcul cu coeficienți variabili

Formulele de calcul care stau la baza transformării coordonatele geografice ale unui punct de pe elipsoidul de rotație (B,L) în coordonate rectangulare plane Gauss (x,y), cunoscând longitudinea meridianului axial al fusului în care este situat punctul, sunt prezentate în cele ce urmează:

unde:

β – lungimea arcului de meridian măsurat de la ecuator (originea sistemului de coordonate carteziene XOY) până la paralela de latitudine B a punctului considerat;

diferența de longitudine între meridianul punctului considerat și meridianul axial al fusului, exprimată în secunde;

– longitudinea meridianului axial al fusului în care se află punctul considerat;

N – marea normală dată de relația:

unde:

a – semiaxa mare;

e – prima excentricitate;

W – vechea funcție fundamentală dată de relația:

ρ = 206265;

t = tgB;

– a doua excentricitate

Formulele de calcul (5.37), prezentate anterior, sunt cunoscute și sub numele de formule de calcul cu coeficienți variabili a coordonatelor rectangulare plane Gauss în funcție de coordonatele geografice de pe elipsoid și asigură o precizie de ordinul ±0,001m.

Aceste formule mai pot fi scrise și sub următoarea formă:

unde:

– diferența de longitudine între meridianul punctului considerat și meridianul axial al fusului, exprimată în secunde;

– sunt coeficienți variabili care se extrag din tabelele întocmite de Tarczy-Hornoch-V.K.Hristev, prin interpolare, folosind ca argument latitudinea (B) punctului considerat.

Coeficienții sunt dați de relațiile:

Un exemplu de determinare a coordonatelor rectangulare plane (x,y) în funcție de coordonatele geografice (B,L) este prezentat în tabelul 5.2.

Tabelul 5.2

b. Formule de calcul cu coeficienți constanți

Pentru calculul coordonatelor rectangulare plane Gauss (x,y) ale punctelor situate pe teritoriul României sau oriunde pe glob între latitudinile de 420 și 500 din coordonatele geografice elipsoidale (B,L), folosind elipsoidul de referință Krasovski 1940, Vasile Fălie și Constantin Struțu au publicat în anul 1957 formulele de calcul cu coeficienți constanți, care asigură o precizie de ordinul ±0,001m.

Se consideră cunoscute următoarele elemente:

– longitudinea meridianului axial al fusului în care se află punctul considerat (în grade sexagesimale);

B,L – coordonatele geografice ale punctului considerat, pe elipsoidul de referință Krasovski 1940 (în grade sexagesimale);

Formulele de calcul sunt următoarele:

unde:

= constant, lungimea arcului de meridian de la Ecuator până la paralela , măsurată pe elipsoidul de referință Krasovski 1940.

Dacă scoatem factor comun pe fiecare linie diferența de longitudine l, vom obține:

sau:

unde: și sunt valorile numerice ale expresiilor din parantezele relații lor de mai sus.

Valorile numerice ale coeficienților constanți sunt următoarele:

Pentru ușurința calculului s-a întocmit un formular de calcul tabelar (vezi tabelul 5.3) unde se găsesc tipărite constantele.

Pentru realizarea calculului tabelar se procedează astfel:

pentru calculul lui Δx:

elementele din coloana 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare din coloana 2;

se însumează produsele obținute în etapa anterioară și rezultă ;

se înmulțește cu și se obține ;

elementele din coloana 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare din coloana 3;

se însumează produsele obținute în etapa anterioară și rezultă ;

se înmulțește cu și se obține ;

se procedează în mod similar pentru a calcula ;

prin adunarea elementelor din coloana 6 se obține valoarea lui Δx;

valoarea lui x se calculează cu relația .

pentru calculul lui y se procedează în mod similar cu calculul lui x.

5.5.3.2. Calculul coordonatelor geografice pe elipsoid (B,L) în funcție de coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y)

a. Formule de calcul cu coeficienți variabili

Să presupunem că avem cunoscut un punct P de coordonate rectangulare plane Gauss (x,y) și trebuie să calculăm coordonatele geografice (B,L) ale punctului corespunzător de pe elipsoidul de referință Krasovski 1940.

Prin punctul P(x,y) va trece paralela de latitudine B care va intersecta meridianul axial al fusului (axa OX) într-un punct T(x,0) (fig. 5.17), iar dreapta dusă prin punctul P(x,y), paralelă cu axa OY, va intersecta axa OX în punctul cu latitudinea . Deoarece axa OX este meridianul axial al fusului și pe acesta deformațiile sunt nule, lungimea segmentului este egală cu lungimea arcului de meridian măsurat de la ecuator până la paralela de latitudine și o vom nota cu β.

Fig. 5.17 Transformarea coordonatelor rectangulare plane Gauss (x,y) în coordonate geografice elipsoidale (B,L)

Forma finală a formulelor cu coeficienți variabili pentru transformarea coordonatelor rectangulare plane Gauss (x,y) în coordonate geografice elipsoidale (B,L) pe elipsoidul de referință Krasovski 1940, care asigură o precizie de ordinul ±0,001m este:

unde coeficienții variabili au expresiile:

unde:

N – marea normală;

ρ = 206265;

t = tgB;

Un exemplu de determinare a coordonatelor geografice (B,L) în funcție de coordonatele rectangulare plane (x,y) este prezentat în tabelul 5.4.

Tabelul 5.4

b. Formule de calcul cu coeficienți constanți

Pentru calculul coordonatelor geografice elipsoidale (B,L) ale punctelor situate pe teritoriul României sau oriunde pe glob între latitudinile de 420 și 500 din coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y), folosind elipsoidul Krasovski 1940, Vasile Fălie și Constantin Struțu au publicat în anul 1957 formulele de calcul cu coeficienți constanți, care asigură o precizie de ordinul ±0,001m.

Se consideră cunoscute următoarele elemente:

coordonatele rectangulare plane Gauss (x,y) ale unui punct oarecare A;

– longitudinea meridianului axial al fusului în care se află punctul considerat (în grade sexagesimale);

Formulele de calcul sunt următoarele:

unde: este diferența de longitudine a punctului considerat față de meridianul axial.

în care coeficienții constanți pentru latitudini cuprinse între 420 și 500, pe elipsoidul de referință Krasovski 1940 au valorile următoare:

Dacă în formulele anterioare scoatem factor comun pe fiecare linie după puterile lui Y vom obține:

respectiv:

unde: și sunt valorile numerice ale expresiilor din parantezele relații lor de mai sus.

Pentru ușurința calculului s-a întocmit un formular de calcul tabelar (vezi tabelul 5.5) unde se găsesc tipărite constantele.

5.5.4. Unghiul de convergență al meridianelor în proiecția Gauss-Krüger

Unghiul de convergență al meridianelor, γ într-un punct P(x,y) în proiecția Gauss-Krüger este unghiul format de meridianul punctului și o paralelă trasată prin acel punct la meridianul axial (paralelă la axa OX) și poate fi exprimat în funcție de coordonatele geografice cât și în funcție de coordonatele rectangulare plane Gauss.

Pe paralela care trece prin punctul P(x,y) să considerăm un punct infinit apropiat Q(x+dx, y+dy). Prin aceste puncte se duc paralele la axele de coordonate, care se intersectează în punctul R (fig. 5.18).

Fig. 5.18 Unghiul de convergență al meridianelor

Din fig. 5.18 se poate vedea că:

Știind că în proiecția Gauss-Krüger coordonatele rectangulare plane (x,y) sunt funcții de coordonatele geografice elipsoidale (B,L), respectiv:

prin derivare funcție de diferența de longitudine și dezvoltare în serie McLarin, forma finală a relației unghiului de convergență a meridianelor, în proiecția Gauss-Krüger (cu coeficienți variabili), devine:

unde:

unde:

N – marea normală;

ρ = 206265;

t = tgB;

În funcție de coordonatele rectangulare plane Gauss convergența meridianelor se exprimă prin relația:

unde:

În emisfera nordică unghiul de convergență al meridianelor este pozitiv la est de meridianul axial și negativ la vest de meridianul axial.

Unghiul de convergență al meridianelor este utilizat în practică la orientarea hărților cu ajutorul busolei. De obicei, în partea din stânga jos a hărților sunt precizate: declinația magnetică în zona centrală a foii de hartă, variația ei anuală și unghiul de convergență meridiană la momentul realizării hărții.

5.5.5. Reducerea direcțiilor la planul de proiecție Gauss

Deoarece liniile geodezice de pe elipsoid se reprezintă în planul de proiecție Gauss prin linii curbe cu concavitatea spre meridianul axial, reducerea direcțiilor la planul de proiecție constă în a calcula și aplica direcțiilor măsurate câte o corecție. În acest sens reducerea direcțiilor măsurate la planul de proiecție se mai numește și reducerea direcțiilor la coardă.

Reducerea direcțiilor măsurate la planul de proiecție se determină prin formule specifice care diferă de la un ordin de triangulație la altul.

Dacă considerăm două puncte de triangulație, pe elipsoid, de ordinul III sau IV: E() și F() care vor avea în planul de proiecție Gauss imaginile 1() și 2(), corecția de reducere a direcției măsurate EF la planul de proiecție o vom nota cu (fig. 5.19) și se determină cu relația următoare:

unde:

= 206625;

– raza medie de curbură Gauss a elipsoidului la latitudinea medie ;

– factorul excesului sferic calculat pentru latitudinea medie a zonei de lucru cu relația următoare:

Fig. 5.19 Reducerea direcțiilor la planul de proiecție

Dacă coordonatele rectangulare plane x și y sunt calculate cu o aproximație de ±10cm, formula de reducere a direcțiilor la planul de proiecție prezentată asigură o precizie de ordinul a 0,1 secunde sexagesimale.

Corecția de reducere a direcției la planul de proiecție calculată se va aplica direcției măsurate , după cum urmează:

Pentru a se evita producerea unor erori trebuie să se realizeze o verificare a corecțiilor de reducere a direcțiilor la planul de proiecție pe triunghiuri, având în vedere următoarea regulă generală:

În orice triunghi dintr-o rețea geodezică suma corecțiilor de reducere la planul de proiecție ale celor trei unghiuri ale triunghiului trebuie să fie egală cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat.

Corecția de reducere la planul de proiecție a unui unghi se obține ca diferență dintre corecțiile de reducere la planul de proiecție a celor două direcții ce determină unghiul.

Formula de determinare a excesului sferic este următoarea:

unde:

S – suprafața triunghiului care se poate calcula:

din coordonatele rectangulare plane ale punctelor ce definesc triunghiul;

cu formula lui Heron: unde a,b,c sunt laturile triunghiului și se pot calcula din coordonatele rectangulare plane ale punctelor care definesc triunghiul;

– raza medie de curbură Gauss a elipsoidului la latitudinea medie .

De exemplu, dacă avem un triunghi plan determinat de punctele 123, relația de verificare este următoarea:

Pentru o triangulație geodezică de ordinul II formula de reducerea a direcțiilor măsurate la planul de proiecție Gauss, care asigură o aproximație de 0,01 secunde sexagesimale, este următoarea:

Pentru o triangulație geodezică de ordinul I formulele de reducere a direcțiilor măsurate la planul de proiecție Gauss, care asigură o aproximație de 0,001 secunde sexagesimale, este următoarea:

unde:

;

B = latitudinea medie calculată la mijlocul laturii 12;

ρ = 206265;

t = tgB;

– raza medie de curbură Gauss a elipsoidului la latitudinea medie .

5.5.6. Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție Gauss-Krüger

Prin reprezentarea unei distanțe de pe elipsoid s pe planul de proiecție Gauss, aceasta se deformează neuniform pe întreaga ei lungime.

În acest sens, reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție Gauss înseamnă a găsi o relație matematică între lungimea s a liniei geodezice de pe elipsoid, determinată de punctele E și F și lungimea S, redusă la planul de proiecție Gauss, măsurată pe coarda care unește punctele 1 și 2 din plan, care sunt imaginea plană a punctelor de pe elipsoid E și F (fig. 5.20).

Dacă notăm cu lungimea curbei 1-2 pentru distanțe mai mici de 30km diferența dintre curbă și coarda sa este mai mică de 0,14mm și se poate neglija, ceea ce înseamnă că putem scrie:

Fig. 5.20 Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție

Dacă se cunosc coordonatele rectangulare plane ale punctelor 1() și 2(), distanța redusă la planul de proiecție se poate determina cu ajutorul relației următoare:

respectiv distanța redusă la planul de proiecție este dată de relația:

unde:

este ordonata medie a laturii considerate;

– raza medie de curbură Gauss, pentru latitudinea medie a laturii;

– este diferența ordonatelor.

Pentru utilizarea relației anterioare coordonatele rectangulare plane Gauss trebuie cunoscute cu o precizie de 5-10m și se pot obține prin aproximații succesive, iar raza medie de curbură poate fi utilizată cea corespunzătoare paralelei de 460.

Deoarece, în proiecția Gauss-Krüger, deformațiile sunt pozitive, laturile de pe elipsoid reduse la planul de proiecție sunt mai mari decât cele de pe elipsoid (cu excepția celor de pe meridianul axial), în prelucrarea măsurătorilor de trilaterație trebuie utilizată reducerea distanțelor la planul de proiecție.

5.6. Proiecția Universală Transversală Mercator (U.T.M.)

5.6.1. Generalități. Relații de determinare

În dorința de realizare a unui sistem de proiecție cartografică universal, în anul 1947 Agenția Națională de Cartografiere și Imagistică a Statelor Unite ale Americii (NIMA) a implementat, pentru armata USA, sistemul de proiecție cartografică cilindric transversal secant, utilizat apoi în scopuri militare de toate țările membre N.A.T.O., cunoscut sub numele U.T.M. (Proiecția Universală Transversală Mercator). În țara noastră această proiecție este utilizată în „zona militară” începând cu anul 2004, anul aderării României la NATO (fig. 5.21).

Fig. 5.21 Reprezentarea României în proiecția UTM

Sistemul de proiecție cartografică U.T.M. este utilizat pentru reprezentarea cartografică a întregii suprafețe a Pământului, prin intermediul a 60 de fuse și se aplică între paralela de 80° latitudine sudică și paralela de 84° latitudine nordică. Datorită acestui fapt fusele terestre de 6° în longitudine, definite în proiecția Gauss-Krüger, cuprinse între paralela de 80° latitudine sudică și paralela de 84° latitudine nordică, poartă denumirea de zone. Pe latitudine, elipsoidul este împărțit în benzi de câte 8°, pornind de la latitudinea sudică de 80° până la latitudinea nordică de 84°. Rezultă astfel 20 de benzi notate cu literele alfabetului latin, începând cu C (de la paralela de 80° latitudine sudică) și până la X, exceptând I și O. Banda X este mai lată, având 12° latitudine. România este localizată, în proiecția UTM, în zonele 34 și 35 în banda T de latitudine.

Pentru teritoriile situate peste limita de 84° latitudine nordică până la Polul Nord, respectiv peste limita de 80° latitudine sudică până la Polul Sud se aplică sistemul de proiecție cartografică denumit U.P.S. (Proiecția Universală Polară Stereografică).

În această proiecție meridianele și paralele se reprezintă prin curbe oarecare, respectiv meridianele sunt simetrice față de meridianul axial al zonei care se reprezintă printr-o linie dreaptă. Ecuatorul se reprezintă printr-o linie dreaptă iar paralele sunt simetrice față de această linie.

Într-o zonă de 6° există două linii de secanță numite și linii de deformații liniare nule situate la aproximativ 180.000 metri E și V față de meridianul axial al zonei respective.

Poziția unui punct oarecare în planul proiecției se determină într-o rețea rectangulară de coordonate XOY care ia naștere ducând linii paralele la axele de coordonate ale fiecărei zone.

Față de proiecția Gauss-Krüger în proiecția U.T.M. axele sistemului rectangular de coordonate plane al unei zone de 6° sunt inversate, respectiv:

axa OX (abscisa) este dată de proiecția ecuatorului în planul harții și este situată pe orizontală cu sensul pozitiv spre est;

axa OY (ordonata) este dată de proiecția meridianului axial al zonei în planul de proiecție și este situată pe verticală cu sensul pozitiv spre nord.

Pentru evitarea coordonatelor x (abscise) negative în interiorul fiecărei zonei, se adoptă prin convenție meridianul de abscisa x = 500.000 m. Cu alte cuvinte toate coordonatele x în proiecția U.T.M. conțin această translație de 500.000m (fig. 5.22).

Astfel, dacă dorim să aflăm poziția exactă a unui punct oarecare față de meridianul central al zonei respective, vom scădea 500.000m.

Deci meridianele de secanță se află la 320.000 mE și respectiv 680.000 mE față de meridianul axial translatat spre stânga cu 500.000 mE (fig. 5.22).

Fig. 5.22 Zonele sferice în proiecția U.T.M.

După cum am arătat, proiecția U.T.M. este o proiecție care se pretează la reprezentarea întregii suprafețe terestre astfel că în emisfera sudică apare particularitatea referitoare la coordonata y (ordonata) negativă.

De la Ecuator la Polul Sud sunt 90° latitudine. După cum am arătat, distanța în teren acoperită de 1° de latitudine este de cca. 111 km deci:

90° x 111 km= 9.900.000 – aproximativ l0.000.000 m

Pentru a evita ordonate negative în emisfera sudică se adoptă că Ecuatorul să aibă ordonata de 10.000.000 m, dar numai pentru coordonatele din emisfera sudică.

De-a lungul meridianelor de secanță factorul de scară este 1,000, descrește până la 0,9996 de-a lungul meridianului axial și crește până la 1,0010 în zonele limitrofe ale zonei.

După cum știm, latitudinea poate lua valori cuprinse între 0° la Ecuator și 90° sexagesimale la cei doi poli. În același timp proiecția U.T.M. se aplică pentru latitudini cuprinse între 84° N si 80° S, astfel că latitudinea poate avea aceeași valoare numerică atât la N cât și la S de Ecuator. Pentru a evita confuziile de localizare coordonatelor geografice li se indică mereu direcția N sau S.

Longitudinea se măsoară atât spre Est cât și spre Vest începând de la meridianul de origine. Meridianele situate la Est de meridianul origine merg până la valoarea de 180° și sunt identificate ca longitudine estică. Similar se procedează și cu longitudinile vestice.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază medie, coordonatele rectangulare pot fi determinate cu ajutorul relațiilor (map projection, 1995):

unde:

R – raza globului terestru redusă la scara corespunzătoare hărții;

φ – latitudinea paralelei care se proiectează (radiani);

– diferența de longitudine dintre meridianul punctului considerat și cel axial (central) al fusul sferic (radiani);

– latitudinea originii sistemului de coordonate rectangulare plane (radiani);

k – factor de scară de-a lungul paralelei;

= 0,9996 – factor de scară de-a lungul meridianului central ;

ln – logaritm în baza e, unde e = 2,71828.

Originea sistemului de coordonate rectangulare este situată în punctul O de coordonate .

Actualmente, sistemul de proiecție cartografică UTM utilizează ca elipsoid de referință elipsoidul geocentric atașat datumului geodezic global WGS 84, determinat prin metode de poziționare globală, aceasta ducând la o precizie ridicată atât la poziționarea elipsoidului cât și la determinarea parametrilor elipsoidului.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid cu semiaxa mare a, coordonatele rectangulare pot fi determinate cu ajutorul unor aproximări în serie, date de relațiile (map projection, 1995):

unde:

= 0,9996 – factor de scară de-a lungul meridianului axial ;

;

a – semiaxa mare a elipsoidului;

– prima excentricitate ;

;

;

– a doua excentricitate;

– diferența de longitudine dintre meridianul punctului considerat și cel axial al fusul sferic (radiani);

L, , B – latitudinea și longitudinea sunt în radiani;

M – distanța reală de-a lungul meridianului axial de la Ecuator la latitudinea B;

– distanța reală de-a lungul meridianului axial de la originea axelor de coordonate rectangulare plane la latitudinea B;

Legătura între coordonatele rectangulare plane UTM () și coordonatele rectangulare plane Gauss (), ținând cont de faptul că axele sistemului de coordonate rectangular sunt inversate, este dată de relațiile:

5.6.2. Deformațiile în proiecția U.T.M.

Proiecția U.T.M. este o proiecție cartografică cu ajutorul căreia se poate reprezenta întreaga suprafață terestră, având avantajul că se reduc deformațiile liniare prin introducerea un factor de scară de-a lungul meridianului axial (central) al zonei.

După cum am arătat, în proiecția Gauss-Krüger deformațiile liniare de-a lungul meridianului axial al fusului sunt nule, acestea crescând pe măsură ce ne îndepărtăm de meridianul axial, ajungând la valoarea maximă în apropierea meridianelor marginale ale fusului, de aproximativ 75-77 cm/km.

În proiecția U.T.M., datorită introducerii unui factor de scară de-a lungul meridianului axial al zonelor, deformațiile maxime din proiecția Gauss-Krüger, din vecinătatea meridianelor marginale, se înjumătățesc.

Înjumătățirea deformațiilor liniare în proiecția U.T.M. se datorează faptului că intersecția dintre suprafața terestră și suprafața cilindrului de proiecție se face după două meridiane, numite meridiane de secanță și nu după meridianul axial al zonei ca și în proiecția Gauss-Krüger (fig. 5.23).

Fig. 5.23 Zonele sferice în proiecția UTM și evoluția deformărilor

Proiecția U.T.M. este o proiecție cilindrică transversală secantă conformă, care păstrează nedeformate unghiurile, deformând mult suprafețele, valoarea deformațiilor crescând de la ecuator spre cei doi poli.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid de rotație, modulul de deformație liniară µ se poate calcula în funcție de coordonatele geografice elipsoidale (B,L), cu ajutorul relației:

unde:

= 0,9996 – factor de scară de-a lungul meridianului central ;

– diferența dintre longitudinea punctului considerat față de longitudinea meridianul axial;

– longitudinea meridianului axial al fusului în care se află punctul considerat (în grade sexagesimale);

B – latitudinea punctului considerat;

.

Modulul de deformație liniară µ se poate calcula mai ușor în funcție de coordonatele rectangulare plane (x,y), cu ajutorul relației:

unde:

– raza medie de curbură Gauss a elipsoidului în punctul considerat, ;

x – distanța (abscisa) punctului dat față de meridianul axial;

= 0,9996 – factor de scară de-a lungul meridianului axial.

De regulă, în relația (5.77), pentru calculele obișnuite este suficient să luăm în considerare doar primii doi termeni (fără termenul în ).

Deformația liniară relativă D se poate determina funcție de deformația liniară relativă din proiecția Gauss – Krüger, cu ajutorul relației:

Deformația liniară relativă D se poate calcula în funcție de coordonatele geografice elipsoidale (B,L), cu ajutorul relației:

Deformația liniară relativă D se poate calcula mai ușor în funcție de coordonatele rectangulare plane (x,y) cu ajutorul relației:

În proiecția UTM există două linii de deformații nule în fiecare zonă, corespunzătoare meridianelor de secanță. Între acestea se produc deformații liniare negative care atingând valoarea maximă, de – 40 cm/km, de-a lungul meridianului axial. Între liniile de deformații nule și meridianele marginale se produc deformații liniare pozitive care cresc în valoare pozitivă și ating valoarea maximă pe meridianele marginale și sunt de aproximativ +31 cm/km în sudul României, pe paralela 44°de latitudine nordică (fig. 5.24).

Fig. 5.24 Deformațiile liniare relative în proiecția UTM în România

Deformațiile areolare se studiază cu ajutorul modulului de deformație areolară, care în orice proiecție conformă se determină cu relația:

Deformațiile areolare sunt nule de-a lungul celor două linii de deformații nule. Între cele două linii de deformații nule se produc deformații areolare negative care ating valoarea maximă pe meridianul axial (aprox. -800 mp/kmp). Între liniile de deformații nule și meridianele marginale se produc deformații areolare pozitive care cresc în valoare pozitivă și ating valoarea maximă pe meridianele marginale (aprox. +500 mp/kmp) (fig. 5.25).

Fig. 5.25 Deformațiile liniare areolare în proiecția UTM în România

Datorită deformării mari a suprafețelor, această proiecție nu este indicată a se folosi în construcția hărților școlare, pentru că dă o imagine neverosimilă asupra repartiției apei și uscatului cât și a repartiției uscatului la latitudini mari. De exemplu, insula Groenlanda ar fi aproximativ egală cu America de Sud, când în realitate ea este de 10 ori mai mică.

Deși deformațiile liniare sunt mici, pentru lucrările speciale de geodezie și artilerie în care sunt implicate distanțe lungi și precizii ridicate, sunt necesare anumite corecții pentru distanțele măsurate pe hartă prin utilizarea factorului de scară și formule adecvate.

Concluzionând, putem afirma că Proiecția U.T.M. prezintă următoarele caracteristici:

se poate aplica pentru întreaga suprafață terestră;

cilindrul care este circumscris elipsoidului este secant după două meridiane simetrice față de meridianul axial, numite meridiane de secanță;

factorul de scară pe direcția meridianelor de secanță este ks = l,000;

meridianul axial al unei zone este reprezentat în această proiecție printr-o dreaptă care constituie și dreaptă de simetrie;

factorul de scară pe direcția meridianului axial este k0= 0,9996;

este o proiecția conformă, deformațiile unghiulare în orice punct pe hartă sunt nule;

pentru ca deformațiile liniare să fie minime, pentru obținerea unei precizii ridicate pe hartă, proiecția se aplică pe zone delimitate de meridiane și paralelele de 84° N și 80° S, numite zone;

România se află pe zonele 34 și 35, marginea de joncțiune dintre cele două zone este meridianul de longitudine de 24°, situat aproximativ la jumătatea țării;

datorită faptului că deformațiile liniare sunt relativ mici, iar deformațiile unghiulare sunt nule, prin utilizarea proiecției U.T.M. se obțin harți topografice precise;

fiecare fus are un sistem rectangular de coordonate plane propriu;

existența mai multor zone în proiecția U.T.M. (ca și în cazul proiecției Gauss-Krüger) face necesară transformarea coordonatelor dintr-un fus în celălalt.

5.6.3. Nomenclatura și împărțirea pe foi de hartă

Nomenclatura reprezintă un sistem de poziționare și numerotare a foilor de hartă pe suprafața globului terestru.

În proiecția U.T.M., zonele (fig. 5.26) se numerotează începând de la meridianul de longitudine 180° (meridianul opus meridianului zero – Greenwich), cu cifre arabe de la 1 la 60, în sens antiorar.

Fig. 5.26 Numerotarea zonelor în proiecția U.T.M.

Nomenclatura foilor de hartă executate în proiecția cartografică U.T.M. este diferită de cea pentru foile de hartă executate în proiecția Gauss-Krüger.

Dacă în proiecția Gauss-Krüger, ca scară de bază este 1:1.000.000, în proiecția U.T.M. sunt două scări de bază și anume: 1:50.000 și 1:250.000.

a. Nomenclatura foilor de hartă la scara 1:250.000

Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:250.000 este formată din două grupuri de caractere alfanumerice despărțite printr-o linie, după următorul exemplu: NL34-03,

unde:

Primul grup de caractere este alcătuit din două litere și două cifre cu următoarea semnificație:

prima literă reprezintă emisfera nordică (N) sau emisfera sudică (S);

a doua literă reprezintă intervalul de 4° pe latitudine în care se află foaia. Numerotarea începe cu litera „A” de la Ecuator spre nord și sud. Ordinea literelor este cea din alfabetul latin (de la A la V), (fig. 5.27)

Fig. 5.27 Numerotarea zonelor de latitudine în proiecția UTM

grupul de două cifre reprezintă numărul zonei (fusului în proiecția Gauss-Krüger).

După cum știm, România se află pe zonele 34 și 35 (fig. 5.28).

Fig. 5.28 Harta României în proiecția U.T.M.

Grupul al doilea de caractere este format dintr-un număr ce reprezintă poziția foii într-un cadru de 4° pe latitudine și 6° pe longitudine.

În exemplu anterior: NL 34-03, vom avea:

N – emisfera nordică;

L34 – banda L, zona 34, respectiv a patra zonă de la Greenwich spre est, cuprinsă între meridianul de longitudine 18° și cel de longitudine 24°;

03 – a șasea foaie de hartă din zona de 4° latitudine și 6° longitudine.

Ca și în proiecția Gauss-Krüger, harta la scara 1: 1.000.000 a fost luată ca bază pentru hărțile la scara 1:250.000. Deci, pentru obținerea unei foi de hartă la scara 1:250.000 s-a împărțit foaia de hartă la scara 1:1.000.000 în 16 foi de hartă la scara 1:250.000, dacă suprafața reprezentată este cuprinsă între ecuator și paralela de 40° latitudine nordică, respectiv între ecuator și paralela de 40° latitudine sudică.

Dimensiunea unei astfel de foi de hartă la scara 1:250.000 este de 1° pe latitudine și 1°30’ pe longitudine.

Dacă suprafața reprezentată este cuprinsă între paralela de 40° latitudine nordică și paralela de 84° latitudine nordică, respectiv între paralela de 40° latitudine sudică și paralela de 80° latitudine sudică, foaia de hartă la scara 1:1.000.000 se împarte în 12 foi de hartă la scara 1:250.000.

Dimensiunea unei astfel de foi de hartă la scara de 1:250.000 este de 1° pe latitudine, respectiv 2° pe longitudine.

În concluzie, nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:250.000 se compune din nomenclatura foii de hartă la scara 1:1.000.000 și numărul foii de hartă rezultat din împărțire (fig. 5.29).

Fig. 5.29 Nomenclatura foii de hartă la scara 1:250 000

b. Nomenclatura foilor de hartă la scara 1:50.000

Nomenclatura foii de hartă la scara 1:50.000 are ca bază tot harta la scara 1:1.000.000, dar denumirile pornesc de la zonele și subzonele delimitate de interesul N.A.T.O.

Dimensiunea unei foi de hartă la scara 1:50.000, în zona României, este de 15’ pe latitudine și 18’ pe longitudine, în timp ce în proiecția Gauss-Krüger foile de hartă la scara 1:50.000 au dimensiunile de 10’ pe latitudine și 15’ pe longitudine. Deci, suprafața reprezentată pe o hartă la scara 1:50.000 în proiecția U.T.M. este mai mare decât suprafața reprezentată pe o hartă, la aceeași scară, în proiecția Gauss-Krüger.

Scara hărții de 1:100.000, are dimensiunile de 30’ pe latitudine și 36’ pe longitudine și rezultă prin împărțirea unei foi de hartă la scara 1:1.000.000 în 80 de planșe (fig. 5.30).

Dimensiunile cadrului foii de hartă la scara 1:50.000 rezultă din împărțirea foii de hartă la scara 1:100.000 în patru.

Fig. 5.30 Nomenclatura foii de hartă la scara 1: 100 000

Nomenclatura unei foi de hartă se compune din două grupuri de caractere alfanumerice despărțite de simbolul „x”.

Să luăm de exemplu foaia de hartă la scara 1:50.000 cu nomenclatura M705 x 3689IV.

Primul grup de caractere este alcătuit dintr-o literă și trei cifre având următoarea semnificație:

primul caracter este o literă și semnifică regiunea de uscat delimitată de interesul N.A.T.O. Regiunii în care este localizată România i s-a atribuit litera „M”;

al doilea caracter este cifra 7 care ne arată că este o foaie de hartă cuprinsă între scările 1:35.000 – 1:70.000. Acest caracter poate să ia o valoare între 0 și 9, funcție de scară, cuprinsă între următoarele valori:

Cifra 1 – pentru scări mai mici de 1:5.000.000;

Cifra 2 – pentru scări cuprinse în intervalul 1:2.000.000 -1:5.000.000;

Cifra 3 – pentru scări cuprinse în intervalul 1:510.000 – 1:2.000.000;

Cifra 4 – pentru scări cuprinse în intervalul 1:255.000 – 1:510.000;

Cifra 5 – pentru scări cuprinse în intervalul 1:150.000 – 1:255.000;

Cifra 6 – scara cuprinsă între 1:70.000 – 1:150.000;

Cifra 7 – scara cuprinsă între 1:35.000 – 1:70.000;

Cifra 8 – scara mai mare de 1:35.000 în afară de planuri de orașe;

Cifra 9 – planuri de orașe;

Cifra 0 – foto hărți.

al treilea caracter semnifică o zonă geografică din regiunea dată, constituită din una sau mai multe țări. Pentru România, Grecia, fosta Iugoslavie și Bulgaria este atribuită cifra „0”;

al patrulea caracter semnifică o subzonă din zona dată (de regulă o țară). Pentru România este atribuită cifra „5”.

Al doilea grup de caractere este alcătuit din trei grupe de cifre, unde:

primul grup de cifre (36) este format din două cifre reprezentând numerotarea zonelor de 36’ pe longitudine, de la est la vest;

al doilea grup de cifre (89) este format din două cifre reprezentând numerotarea zonelor de 30’ pe latitudine, de la sud la nord;

al treilea grup de cifre (IV) reprezintă poziția foii de hartă în cadrul patrulaterului determinat mai sus (36’x30’).

Patrulaterul determinat anterior corespunde formatului unei foi de hartă la scara 1:100.000 în proiecția U.T.M., astfel că o foaie de hartă la scara 1:100.000 în proiecția U.T.M. are dimensiunile 36’ pe longitudine și 30’ pe latitudine.

Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:100.000 este de tipul:

M605x3689.

Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:25.000 este de tipul (fig. 5.31):

M805x3689 III IV

Dimensiunile unei foi de hartă la scara 1:25.000 sunt de 9’ pe longitudine și 7’30’’ pe latitudine.

Fig. 5.31 Nomenclatura foii de hartă la scara 1:25 000

În concluzie, se poate observa că nomenclatura hărților topografice în proiecție Gauss-Krüger este total diferită de nomenclatura foilor de hartă în proiecția U.T.M., formatul hărților topografice fiind de asemenea diferit.

6. Proiecții conice

6.1. Definiții, clasificare, deformații, rețea cartografică

Proiecțiile conice sunt proiecțiile cartografice în care proiectarea suprafeței tridimensionale curbe a Pământului se realizează pe suprafața desfășurabilă a unui con de proiecție care poate avea poziții diferite față de scoarța terestră.

Dacă proiecțiile cilindrice sunt utilizate în general pentru realizarea unor hărți ale întregii suprafețe a Pământului sau a unor teritorii care se dezvoltă mai mult în lungul unor benzi înguste, proiecțiile conice se folosesc, în special, pentru a reprezenta zone de latitudine medie, care se dezvoltă pe longitudine și sunt orientate pe direcția est-vest.

După unghiul pe care îl face axa conului cu axa polilor Pământului, proiecțiile conice pot fi (fig. 6.1):

proiecții conice normale sau drepte (a.);

proiecții conice transversale sau ecuatoriale (b.);

proiecții conice oblice (c.).

Proiecțiile conice pot avea o mare diversitate, deoarece panta conului (unghiul la vârf) poate avea valori diferite, astfel încât conul poate fi așezat tangent la suprafața tridimensională curbă a Pământului de-a lungul oricărei paralele. Cu toate acestea, tiparul de bază al rețelei cartografice nu se schimbă.

Rețeaua geografică, trasată ipotetic pe suprafața terestră, se proiectează mai întâi pe suprafața conului de proiecție, care după aceea se taie după o generatoare a sa și se desfășoară în plan, obținându-se rețeaua cartografică pe o suprafață plană. Pentru a obține o proiecție mai exactă și pentru evitarea utilizării regiunii polare vom tăia și vârful conului.

Meridianul opus celui de-a lungul căruia a fost tăiat conul se numește meridianul central.

Fig. 6.1 Tipuri de proiecții conice: a – proiecții conice normale; b. – proiecții conice transversale; c. – proiecții conice oblice

În proiecțiile conice normale rețeaua geografică se reprezintă astfel (fig. 6.2):

paralelele (almucantaratele) sunt reprezentate sub formă de arce de cerc concentrice cu centrul în vârful conului;

meridianele (verticalurile) sunt reprezentate ca linii drepte ce converg în vârful conului, făcând între ele unghiuri proporționale cu diferențele de longitudine, adică .

După poziția conului față de suprafața tridimensională curbă a Pământului aceste proiecții conice pot fi:

proiecții conice tangente (fig. 6.2);

proiecții conice secante (fig. 6.3).

Fig. 6.2 Proiecție conică normală tangentă

Fig. 6.3 Proiecție conică normală secantă

În cazul proiecției conice normale tangente la suprafața terestră, tangența se realizează de-a lungul unei paralele, care poartă denumirea de paralelă standard. De-a lungul paralelei standard nu există deformare, aceasta fiind o linie de deformații nule.

Deformațiile cresc proporțional cu distanța față de paralela standard. Deformațiile cresc spre vârful conului în valoare negativă (scări <1), în timp ce spre baza conului, cresc în valoare pozitivă (scări >1) (fig. 6.2).

În cazul proiecțiilor conice complexe contactul dintre suprafața terestră și suprafața conului se realizează, de obicei, după două paralele. Aceste proiecții se numesc proiecții conice secante și sunt definite prin două paralele standard de-a lungul cărora nu există deformări, acestea fiind linii de deformații nule. Între cele două linii de deformații nule și în exteriorul liniei de deformații nule de latitudine mai mare, spre vârful conului, deformațiile cresc în valoare negativă (scări <1), în timp ce în exteriorul liniei de deformații nule cu latitudinea cea mai mică, spre baza conului, deformațiile cresc în valoare pozitivă (scări >1) (fig. 6.3).

O proiecție conică secantă se poate defini și printr-o singură paralelă standard și un factor de proporție. În cazul proiecțiilor conice secante, tiparul deformărilor este diferit între paralelele standard și dincolo de acestea. În general, o proiecție secantă prezintă deformări mai mici decât una tangentă.

În proiecțiile conice transversale și oblice rețeaua cartografică se reprezintă sub forma unor linii curbe.

În proiecțiile conice, un punct D poate fi dat prin coordonatele sale polare plane (ρ,δ) sau prin coordonatele rectangulare (x,y) (fig. 6.4).

Axele sistemului de coordonate polare plane, respectiv rectangulare plane se aleg astfel (fig. 6.4):

axa polară se consideră a fi dreapta care reprezintă proiecția meridianului central;

polul coordonatelor polare se consideră a fi vârful conului V;

axa OX se consideră a fi proiecția meridianului central;

axa OY se alege perpendiculară pe axa OX, astfel încât întreg teritoriul să fie cuprins în primul cadran.

Fig. 6.4 Definirea coordonatelor unui punct într-o proiecție conică

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid, formulele generale iau forma:

unde:

k – constantă; k<1 ;

– unghiul format de proiecțiile meridianelor;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei din extremitatea sudică în planul de proiecție;

ρ – este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine B în planul de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază medie, formulele generale iau forma:

unde:

k – constantă; k<1 ;

, unghiul format de proiecțiile meridianelor;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei din extremitatea sudică în planul de proiecție;

ρ – este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine φ în planul de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

Din relațiile de mai sus se desprind următoarele concluzii:

proiecțiile conice se pretează atât pentru hărți la scară mare cât și pentru hărți la scări mici;

deformările nu depind de longitudine;

sunt aplicabile pentru teritorii cu întinderi mari pe longitudine.

6.2. Proiecții conice normale tangente echidistante

Această proiecție a fost descrisă pentru prima dată, într-o formă rudimentară, de Claudius Ptolemeu în jurul anului 150 e.n. iar modificări de esență au fost realizate în jurul anilor 1550 de către Mercator, cât și ulterior de alți cartografi (ex. Krasovski).

În cazul proiecțiilor conice normale tangente echidistante paralelele se proiectează ca niște arce de cerc concentrice egal distanțate, iar meridianele se proiectează ca niște drepte radiale, egal distanțate, care pleacă din același punct și taie proiecțiile paralelelor sub unghiuri drepte (fig. 6.5).

În cazul proiecțiilor conice normale tangente echidistante nu se produc deformații de-a lungul proiecției meridianelor cât și pe proiecția paralelei de tangență, .

Acest tip de proiecții se utilizează pentru teritorii, în general mici, dar cu extindere predominantă pe direcția est-vest.

Deci:

modulul de deformație liniară de-a lungul paralelei de tangență este egal cu unitatea, ;

modulul de deformație liniară de-a lungul meridianelor este egal cu unitatea, .

Fig. 6.5 Rețeaua cartografică în proiecția conică normală tangentă echidistantă

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid, formulele generale pentru un con tangent la paralela de latitudine iau forma:

unde:

k – constantă de proporționalitate;

C – constantă;

, unghiul format de proiecțiile meridianelor;

– lungimea arcului de meridian măsurat de la ecuator până la paralela de latitudine ;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea ecuatorului în planul de proiecție;

ρ – este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine B în planul de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde: a = n; b = m = 1 și sunt semiaxele elipsei de deformație, iar axa mare este orientată pe direcția paralelelor.

În concluzie:

cu excepția paralelei de tangență, de-a lungul celorlalte paralele deformațiile distanțelor sunt pozitive;

deformațiile areolare sunt pozitive și cresc pe măsura depărtării de paralela de tangență;

deformațiile depind numai de latitudine și cresc pe măsura depărtării de paralela de tangență.

6.3. Proiecții conice normale tangente conforme (Lambert)

În cazul proiecțiilor conice normale tangente conforme paralelele se proiectează ca niște arce de cerc concentrice inegal distanțate, mai apropiate în zona centrală a hărții, iar meridianele se proiectează ca niște drepte radiale egal distanțate care pleacă din același punct, care taie proiecțiile paralelelor sub unghiuri drepte (fig. 6.6).

În cazul proiecțiilor conice normale tangente conforme modulul de deformație liniară în orice punct din planul de proiecție are aceeași valoare pe toate direcțiile din punctul considerat (m = n). De-a lungul paralelei de tangență, numită și paralelă standard, deformațiile sunt nule.

Acest tip de proiecții se utilizează pentru întocmirea hărților la scări medii și mari pentru reprezentarea teritoriilor situate la latitudini medii cu extindere predominantă pe direcția est-vest.

Fig. 6.6 Rețeaua cartografică în proiecția conică normală tangentă conformă

Aceste proiecții au fost descrise pentru prima dată de Johann Heinrich Lambert în anul 1772 și se mai numesc și proiecții conice Lambert.

Deci:

modulul de deformație liniară de-a lungul paralelei de tangență este egal cu modulul de deformație liniară de-a lungul meridianelor, adică: m = n

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid, formulele generale iau forma:

unde:

k – constantă; k<1;

C – constantă de integrare, egală cu raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea ecuatorului în planul de proiecție;

e – este prima excentricitate a elipsei meridiane;

, unghiul format de proiecțiile meridianelor;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei din extremitatea sudică în planul de proiecție;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea ecuatorului în planul de proiecție;

ρ – este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine B în planul de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu sferă de rază medie, formulele generale iau forma:

unde:

k – constantă; k<1;

C – constantă de integrare, egală cu raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea ecuatorului în planul de proiecție;

, unghiul format de proiecțiile meridianelor;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei din extremitatea sudică în planul de proiecție;

– este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea ecuatorului în planul de proiecție;

ρ – este raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine φ în planul de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

În cazul acestui tip de proiecție determinarea celor două constante (k,C) se face pe baza unor condiții suplimentare condiției de conformitate.

6.4. Proiecția pseudoconică normală echivalentă Bonne

În această proiecție, rețeaua cartografică are forma unei inimi unde meridianul central se reprezintă printr-o linie dreaptă, iar celelalte meridiane se reprezintă prin linii curbe complexe simetrice față de acest meridian, în timp ce toate paralelele se reprezintă prin arce de cercuri concentrice perpendiculare pe proiecția meridianului central al proiecției, cu centrul în polul proiecției (fig. 6.7). Această proiecție a fost dezvoltată de francezul Rigobert Bonne (1727-1795) și a fost adoptată în țara noastră în anul 1873.

Fig. 6.7 Rețeaua cartografică în proiecția pseudoconică Bonne de-a lungul paralelei de 45

Proiecția pseudoconică Bonne este utilizată pentru realizarea hărților continentelor și pentru hărți ale teritoriilor extinse și a avut o utilizare relativ extinsă la mijlocul secolului al XIX-lea.

Proiecția pseudoconică Bonne satisface următoarele condiții privitoare la deformări:

deformațiile liniare de-a lungul meridianului central sunt nule, respectiv: ;

deformațiile liniare de-a lungul tuturor paralelelor sunt nule, respectiv: n = 1;

este o proiecție echivalentă, respectiv: p = 1.

În această proiecție cartografică, un punct oarecare A se poate determina prin coordonatele polare plane (δ,ρ) sau prin coordonatele rectangulare plane (x,y), care se calculează funcție de coordonatele geografice (B,L).

În cazul utilizării coordonatelor polare plane, proiecția meridianului central se consideră axa polară, iar în cazul utilizării sistemului de coordonate rectangulare plane proiecția meridianului central se consideră axa OY cu creștere spre nord.

Pentru o paralelă cu latitudinea medie a teritoriului reprezentat , raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea acestei paralele este dată de relația:

Această rază vectoare () este considerată ca o constantă arbitrară a proiecției, iar razele arcelor de cerc prin care se trasează imaginile celorlalte paralele se vor exprima în funcție de această constantă cu relația:

unde:

lungimea arcului de meridian de la ecuator până la latitudinea de tangență, ;

– lungimea arcului de meridian de la ecuator până la latitudinea paralelei care se proiectează B;

raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine medie .

Unghiul polar, în această proiecție, se calculează cu relația:

unde:

r = NcosB – este raza paralelei care se proiectează de latitudine B;

ρ – raza arcului de cerc prin care se trasează imaginea paralelei de latitudine B;

– longitudinea meridianului central al proiecției;

L – longitudinea meridianului curent.

Coordonatele rectangulare plane se determină cu relațiile:

unde:

– lungimea arcului de meridian de la ecuator până la latitudinea paralelei care delimitează la sud teritoriul reprezentat, .

În această proiecție, proiecțiile meridianelor (în afara meridianului central) intersectează proiecțiile paralelelor sub unghiuri i, diferite de unghiul drept, afectate de deformația:

Această deformație se poate determina cu relația:

unde:

– diferența de longitudine dintre meridianul curent și meridianul central al proiecției și se exprimă în radiani.

Dacă: sau

Atunci: tg ε = 0 respectiv: ε = 0, ceea ce înseamnă ca proiecțiile meridianelor și paralelelor se intersectează sub unghiuri drepte.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este unitar (n=1), adică în lungul paralelelor nu se produc deformații liniare.

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Ceea ce înseamnă că proiecția Bonne este o proiecție echivalentă.

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

Din relația anterioară rezultă că deformațiile unghiulare cresc pe măsura creșterii diferenței de longitudine față de meridianul central .

Dacă în relațiile de mai sus se consideră = 0 se ajunge la proiecția pseudocilindrică Sanson.

De-a lungul timpului proiecția Bonne s-a utilizat pentru:

harta Moldovei și Munteniei de est până la meridianul Zimnicea;

harta Munteniei de la vest de meridianul Zimnicea și harta Olteniei;

harta Germaniei, scara 1:500 000;

harta Franței, scara 1:80 000;

harta Belgiei, Olandei și Elveției.

Proiecția Bonne a fost adoptată în țara noastră în anul 1873 folosind diverși elipsoizi de referință (Bessel 1841 pentru Moldova și Muntenia de est și Clarke 1880 pentru Muntenia de vest și Oltenia) și sisteme de axe de coordonate și a fost prima proiecție utilizată pentru întocmirea unei hărți topografice a țării noastre.

Această proiecție a fost utilizată inițial pentru realizarea lucrărilor geodezice din nordul Moldovei și a continuat cuprinzând Muntenia de est până la meridianul Zimnicea.

Între 1902 și 1932 lucrările s-au extins în Muntenia de la vest de meridianul Zimnicea și în Oltenia.

7. Proiecții azimutale

7.1. Principii fundamentale

Proiecțiile azimutale (plane, zenitale) sunt proiecțiile cartografice în care suprafața tridimensională curbă a Pământului se reprezintă pe un plan de proiecție care poate avea poziții diferite față de scoarța terestră, iar în jurul punctului central al proiecției (Qo), azimutele sunt păstrate nedeformate.

În funcție de poziția planului de proiecție față de scoarța terestră, proiecțiile azimutale pot fi (fig. 7.1):

proiecții azimutale drepte (normale sau polare), caz în care punctul central al proiecției are latitudinea Bo = 90o (φo = 90o);

proiecții azimutale transversale (ecuatoriale), caz în care punctul central al proiecției are latitudinea Bo =0o (φo = 0o);

proiecții azimutale oblice (de orizont), caz în care punctul central al proiecției are latitudinea 0o < Bo < 90o (0o < φo < 90o).

Fig. 7.1 Tipuri de proiecții azimutale tangente: a.- normală; b. – transversală; c. – oblică

După modul în care planul de proiecție atinge suprafața Pământului proiecțiile cartografice azimutale mai pot fi clasificate în:

proiecții azimutale tangente la scoarța terestră (fig. 7.1);

proiecții azimutale secante la scoarța terestră (fig. 7.2).

Fig. 7.2 Tipuri de proiecții azimutale secante: a. – normală; b. – transversală; c. – oblică

Planul de proiecție este tangent la scoarța terestră atunci când atinge elipsoidul terestru într-un singur punct de tangență Qo(φo,λo), care este punctul central al proiecției sau polul proiecției (fig. 7.3).

Planul de proiecție este secant la scoarța terestră atunci când acesta taie elipsoidul terestru, iar poziția sa față de centrul proiecției Qo(φo,λo) se precizează prin intermediul distanței zenitale z a almucantaratului de secționare sau a latitudinii, atunci când polul proiecției coincide cu polul geografic (fig. 7.3).Fig. 7.3 Poziția planului de secționare

După cum se utilizează sau nu legile perspectivei liniare în realizarea proiecțiilor azimutale acestea se pot grupa în:

proiecții azimutale perspective;

proiecții azimutale neperspective.

În cazul proiecțiilor azimutale perspective proiectarea se face după legile perspectivei liniare, respectiv punctul de vedere este situat de-a lungul unui diametru al sferei terestre sau în prelungirea acestuia și planul de proiecție este dispus perpendicular pe acest diametru.

În cazul proiecțiilor azimutale neperspective proiectarea nu se realizează după legile perspectivei liniare, ecuațiile proiecțiilor și rețeaua cartografică se stabilesc după anumite reguli (de regulă matematice) plecând de la condițiile pe care trebuie să le îndeplinească proiecția (conformitate, echivalență sau echidistanță).

Proiecții azimutale normale (drepte)

În proiecțiile azimutale normale rețeaua cartografică este formată din proiecțiile paralelelor și meridianelor pe planul de proiecție și se reprezintă astfel (fig. 7.4):

paralelele se reprezintă ca niște cercuri concentrice în proiecția punctului central al proiecției;

meridianele se reprezintă ca niște drepte concurente în proiecția punctului central al proiecției.

Fig. 7.4 Aspectul rețelei cartografice în proiecția azimutală normală

În proiecțiile azimutale, localizarea diverselor puncte din planul de proiecție se poate realiza prin coordonate polare plane sau coordonate rectangulare plane (fig. 7.5).

Coordonatele polare plane sunt:

unghiul polar – δ;

raza polară – ρ.

În cazul coordonatelor polare plane este importantă alegerea axei polare. Astfel, pentru proiecțiile azimutale normale se poate alege ca axă polară imaginea oricărui meridian, în timp ce în cazul proiecțiilor azimutale transversale sau oblice se alege ca axa polară proiecția meridianului care trece prin punctul central (polul) al proiecției Qo(φo,λo) (fig. 7.5).

În cazul coordonatelor rectangulare plane (x,y), sistemul de axe de coordonate rectangulare plane se alege cu originea în proiecția polului proiecției O, astfel încât axa OX să coincidă cu axa polară, iar axa OY să fie perpendiculară pe axa OX (fig. 7.5).

Fig. 7.5 Sistem de axe de coordonate plane polare și rectangulare

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază medie, formulele generale pentru proiecțiile azimutale normale (drepte) iau forma:

unde:

φ – latitudinea;

– diferența de longitudine, care se măsoară de la meridianul a cărui imagine plană a fost aleasă ca axă polară.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde: a și b sunt semiaxele elipsei de deformare.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu un elipsoid, formulele generale pentru proiecțiile azimutale normale iau forma:

unde:

B – latitudinea elipsoidală;

– diferența de longitudine, care se măsoară de la meridianul a cărui imagine plană (proiecție) a fost aleasă ca axă polară.

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul paralelelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde: a și b sunt semiaxele elipsei de deformare

Proiecții azimutale oblice

În proiecțiile azimutale oblice rețeaua cartografică este formată din proiecțiile verticalurilor (A=constant) și almucantaratelor (z=constant) pe planul de proiecție și se reprezintă astfel:

verticalurile se proiectează ca drepte concurente într-un punct care coincide cu proiecția punctului central al proiecției, iar unghiul dintre proiecțiile verticalurilor este egal cu diferențele dintre azimutele verticalurilor;

almucantaratele se proiectează ca cercuri concentrice cu centrul în proiecția punctului central al proiecției sau polul proiecției.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază medie, formulele generale pentru proiecțiile azimutale oblice iau forma:

unde:

z – distanța zenitală;

– diferența de azimut, care se măsoară de la verticalul a cărui imagine plană a fost aleasă ca axă polară.

Modulul de deformație liniară în lungul verticalurilor () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul almucantaratelor () este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde: a și b sunt semiaxele elipsei de deformare

Formulele generale prezentate pentru proiecțiile azimutale oblice sunt valabile și în cazul proiecțiilor azimutale transversale.

7.2. Proiecții azimutale perspective

În cazul proiecțiilor azimutale perspective, suprafața tridimensională curbă a Pământului se reprezintă pe suprafața planului de proiecție, care se mai numește și plan tablou, prin proiectarea după legile perspectivei liniare din punctul de vedere V.

În funcție de poziția punctului de vedere V față de centrul Pământului, proiecțiile azimutale perspective se pot clasifica în:

proiecții ortografice, în care punctul de vedere V este situat la infinit, undeva departe în spațiu;

proiecții stereografice, în care punctul de vedere V este situat diametral opus punctului central al proiecției;

proiecții centrale (gnomonice), în care punctul de vedere V este situat în centrul Pământului;

proiecții interioare, în care punctul de vedere V este situat undeva în interiorul sferei terestre, între centrul sferei terestre și suprafața sferei;

proiecții exterioare, în care punctul de vedere V este situat în prelungire unui diametru, undeva în spațiu, dar mai aproape de infinit.

În cazul proiecțiilor azimutale perspective poziția reciprocă dintre punctul de vedere V, sfera terestră și planul de proiecție se definește printr-o serie de parametri care deosebesc între ele aceste proiecții. Astfel, dacă notăm cu K distanța de la punctul de vedere (V) până la planul de proiecție, cu R raza sferei terestre, cu distanța D dintre punctul de vedere și centrul sferei, rezultă următoarele situații (fig. 7.6):

pentru K = ∞, avem proiecții ortografice;

pentru K= 2R, avem proiecțiile stereografice;

pentru K= R, avem proiecții centrale;

pentru 0<K< R sau R<K < 2R avem proiecții interioare;

pentru 2R < K <∞ , avem proiecții exterioare.

Fig. 7.6 Proiecții azimutale în funcție de poziția punctului de vedere V

Pentru a determina relațiile dintre parametrii arătați anterior vom considera o sferă terestră de rază medie R secționată cu planul verticalului unui punct oarecare M, situat pe sferă (fig.7.7 ).

Fig. 7.7 Secțiune prin sfera terestră cu planul verticalului punctului M

Din triunghiurile asemenea VM’O și VMF se poate scrie următoarea relație:

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază R, formulele generale pentru determinarea coordonatelor polare plane iau forma:

unde:

A,z – coordonatele sferice polare;

D – distanța dintre punctul de vedere și centrul sferei;

K – distanța dintre punctul de vedere și planul de proiecție;

R – rază medie a sferei.

Coordonatele rectangulare plane sunt date de relațiile:

unde:

ρ,δ = coordonatele polare plane;

A,z = coordonatele sferice polare.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază R, coordonatele plane rectangulare pot fi calculate direct în funcție de coordonatele geografice cu următoarele relații, valabile pentru orice proiecție azimutală perspectivă:

unde:

;

– coordonatele geografice ale polului de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul verticalurilor () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul almucantaratelor () este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

unde: a și b sunt semiaxele elipsei de deformare

Proiecțiile azimutale perspective pot fi construite mecanic, proiectând suprafața Pământului prin extinderea până pe planul de proiecție a razelor vectoare ce pornesc din punctul de perspectivă.

În proiecțiile azimutale normale rețeaua geografică se proiectează pe planul de proiecție după cum urmează:

meridianele se proiectează ca drepte concurente într-un punct care este imaginea plană a polului geografic și coincide cu punctul central al proiecției sau polul proiecției, iar unghiul dintre proiecțiile meridianelor este egal cu diferențele de longitudine dintre meridiane;

paralelele se proiectează ca cercuri concentrice cu centrul în imaginea plană a punctului central al proiecției sau polul proiecției, iar razele diferă de la o proiecție la alta în funcție de tipul proiecției.

În cazul proiecțiilor azimutale normale la care planul de proiecție este tangent la globul terestru în punctul central al proiecției sau polul proiecției (Qo), acesta este un punct de deformări nule. În restul proiecției azimutale normale tangente deformările cresc radial, în valori pozitive, odată cu depărtarea de centrul proiecției (fig. 7.8 – a.).

În cazul proiecțiilor azimutale normale la care planul de proiecție este secant la suprafața terestră, cercul după care se face intersecția dintre planul de proiecție și sfera terestră se proiectează ca un cerc de deformații nule, în interiorul căruia deformațiile cresc, în valoare negativă, până în proiecția punctului central al proiecției (Qo), unde ating valoarea maximă. În exteriorul cercului de deformații nule, deformațiile cresc radial, în valoare pozitivă, odată cu depărtarea de centrul proiecției (fig. 7.7 – b).

Fig. 7.8 Evoluția deformărilor în proiecțiile azimutale: tangente – a. și secante – b.

În cazul proiecțiilor perspective oblice și transversale, forma generală a rețelei cartografice este prezentată în fig. 7.9 și fig. 7.10.

Fig. 7.9 Rețeaua cartografică în proiecțiile azimutale perspective oblice

Fig. 7.10 Rețeaua cartografică în proiecțiile azimutale perspective transversale

7.3. Proiecții azimutale perspective ortografice

În cazul proiecțiilor azimutale perspective ortografice, punctul de vedere V este situat la infinit, caz în care razele proiectante (vectoare) vor fi paralele între ele și perpendiculare pe planul de proiecție (fig. 7.11).

Fig. 7.11 Principiul proiecțiilor azimutale perspective ortografice polare

Din punct de vedere al poziției planului de proiecție, aceste proiecții pot fi: normale sau drepte, transversale sau ecuatoriale și oblice și determină rețele cartografice specifice (fig. 7.12). De asemenea, aceste proiecții pot fi tangente sau secante la sfera terestră.

Fig. 7.12 Rețeaua cartografică în proiecția azimutală ortografică polară (a.), ecuatorială (b.), oblică (c.)

Din punct de vedere al deformărilor aceste proiecții fac parte din categoria proiecțiilor echidistante, care păstrează nedeformate distanțele pe anumite direcții.

În proiecțiile perspective azimutale ortografice, planul de proiecție se consideră tangent la suprafața tridimensională curbă a Pământului în punctul central al zonei de reprezentat având coordonatele geodezice (φo, λo) și drept consecință punctul de vedere V găsindu-se la infinit, rezultă pentru K=∞.

În baza acestei condiții, în cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază R, formulele generale pentru determinarea coordonatelor plane polare, în cazul proiecțiilor perspective ortografice, iau forma:

unde:

A,z – coordonatele sferice polare;

R – rază medie a sferei.

Coordonatele rectangulare plane sunt date de relațiile:

unde:

ρ,δ – coordonatele plane polare;

A,z – coordonatele sferice polare;

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază R, coordonatele rectangulare plane pentru proiecțiile perspective ortografice pot fi calculate direct în funcție de coordonatele geografice cu următoarele relații:

unde:

– coordonatele geografice ale polului de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul verticalurilor () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul almucantaratelor () este dat de relația:

Proiecțiile perspective ortografice oblice sau transversale sunt echidistante pe almucantarate în timp ce de-a lungul verticalurilor deformațiile sunt negative și cresc pe măsură ce ne îndepărtăm de punctul central al proiecției. În acest caz semiaxele elipsei de deformare sunt: și .

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

Pentru a obține formulele generale ale proiecțiilor perspective azimutale ortografice normale în relațiile anterioare, care corespund proiecțiilor perspective azimutale ortografice oblice, vom considera:

φo= , A = λ și z=

Astfel, formulele generale pentru determinarea coordonatelor plane polare iau forma:

unde:

λ,φ – coordonatele geografice;

R – rază medie a sferei.

Coordonatele plane rectangulare sunt date de relațiile:

unde:

Modulul de deformație liniară în lungul meridianelor (m) este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul almucantaratelor (n) este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

Pentru a obține formulele generale ale proiecțiilor perspective azimutale ortografice transversale în relațiile anterioare, care corespund proiecțiilor perspective azimutale ortografice oblice, vom considera:

φo=

Astfel, formulele generale pentru determinarea coordonatelor plane polare, iau forma:

unde:

A,z – coordonatele sferice polare;

R – rază medie a sferei.

Coordonatele plane rectangulare sunt date de relațiile:

unde:

λ,φ – coordonatele geografice;

.

Modulul de deformație liniară în lungul verticalurilor () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul almucantaratelor () este dat de relația:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este dată de relația:

În cazul proiecțiilor perspective azimutale ortografice oblice meridianele și paralelele se reprezintă prin elipse, în timp ce în cazul proiecțiilor perspective azimutale ortografice transversale toate paralelele se reprezintă prin drepte paralele la proiecția ecuatorului, iar meridianele se reprezintă prin elipse, respectiv arce de elipse.

7.4. Proiecția stereografică

7.4.1. Elementele geometrice ale proiecției

Proiecțiile azimutale perspective stereografice se caracterizează prin aceea că punctul de vedere V este situat pe sfera terestră diametral opus punctului central al proiecției , astfel încât o porțiune oarecare din suprafața terestră se reprezintă pe planul de proiecție după legile perspectivei liniare (fig. 7.13).

Fig. 7.13 Imaginea generală a unei proiecții stereografice

În funcție de poziția planului de proiecție în raport cu suprafața terestră putem distinge:

proiecția azimutală perspectivă stereografică cu plan tangent, atunci când planul de reprezentare este tangent la suprafața terestră în punctul central al suprafeței care se proiectează, caz în care: D = R și K = 2R;

proiecția azimutală perspectivă stereografică cu plan secant, atunci când planul de proiecție este secant la suprafața terestră, perpendicular pe diametrul principal și paralel la planul tangent, caz în care: D = R și K = R+Rcos z.

În funcție de latitudinea punctului central al proiecției , proiecțiile azimutale perspective stereografice pot fi: normale sau drepte, transversale sau ecuatoriale și oblice.

Proiecția azimutală perspectivă stereografică normală este proiecția în care punctul de perspectivă se găsește situat pe suprafața terestră diametral opus punctului central al proiecției care este un pol geografic, iar planul de proiecție este tangent la pol. Razele proiectante pornesc divergent din punctul de vedere (fig. 7.14). Toate meridianele se proiectează pe planul de proiecție ca niște linii drepte iar paralelele ca niște cercuri concentrice în polul proiecției (fig. 7.15-a.).

Fig. 7.14 Principiul proiecțiilor azimutale perspective stereografice polare

Sub aspectul deformărilor, proiecția azimutală perspectivă stereografică normală sau polară este o proiecție conformă, deformând suprafețele și formele pe măsură ce ne îndepărtăm de punctul central al proiecției.

Proiecția azimutală perspectivă stereografică ecuatorială are punctul de perspectivă situat pe ecuator, diametral opus punctului central al proiecției care este situat tot pe ecuator, iar planul de proiecție este tangent la suprafața terestră pe ecuator (fig. 7.16). Razele proiectante pornesc divergent din punctul de perspectivă. În această proiecție ecuatorul și meridianul care trece prin punctul central al proiecției se proiectează ca niște linii drepte care se intersectează sub un unghi drept, în timp ce celelalte meridiane se proiectează ca niște arce simetrice față de meridianul central, iar paralelele se proiectează ca niște arce simetrice față de ecuator (fig. 7.15-b.).

Fig. 7.15 Rețeaua cartografică în proiecția azimutală stereografică: polară (a.), ecuatorială (b.), oblică (c.)

Sub aspectul deformațiilor proiecția azimutală perspectivă stereografică ecuatorială este o proiecție conformă, păstrând nedeformate unghiurile, deformând mult suprafețele și formele pe măsură ce ne îndepărtăm de punctul central al proiecției.

Fig. 7.16 Principiul proiecțiilor azimutale perspective stereografice ecuatoriale

Proiecția azimutală perspectivă stereografică oblică se caracterizează prin aceea că punctul de perspectivă este situat pe suprafața terestră, diametral opus punctului central al proiecției, iar planul de proiecție este tangent sau secant la suprafața terestră paralel cu orizontul punctului considerat (fig. 7.17).

Fig. 7.17 Principiul proiecțiilor azimutale perspective stereografice oblice

Razele proiectante sunt divergente din punctul de perspectivă. Meridianul central se proiectează ca o linie dreaptă în timp ce toate celelalte meridiane și paralele se proiectează ca arce de cerc (fig. 7.15-c.).

Sub aspectul deformațiilor proiecția azimutală perspectivă stereografică oblică este o proiecție conformă, păstrând nedeformate unghiurile și deformând foarte mult distanțele și suprafețele.

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază R, pentru calculul proiecțiilor azimutale perspective stereografice oblice pe un plan tangent, formulele generale pentru determinarea coordonatelor polare plane iau forma:

unde:

A,z – coordonatele sferice polare;

R – rază medie a sferei.

Coordonatele plane rectangulare sunt date de relațiile:

unde:

ρ,δ – coordonatele plane polare;

A,z – coordonatele sferice polare;

În cazul aproximării suprafeței tridimensionale curbe a Pământului cu o sferă de rază R, coordonatele rectangulare plane ale proiecțiilor azimutale perspective stereografice oblice pe un plan tangent pot fi calculate direct în funcție de coordonatele geografice cu următoarele relații:

unde:

– coordonatele geografice ale polului de proiecție.

Modulul de deformație liniară în lungul verticalurilor () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în lungul almucantaratelor () este dat de relația:

Din relațiile anterioare se poate vedea că pe direcțiile principale modulii de deformație liniară au aceleași valori, rezultă astfel că proiecțiile azimutale perspective stereografice sunt conforme și modulul de deformație liniară are aceeași valoare pe toate direcțiile dintr-un punct considerat.

Deci, elipsele de deformație sunt de fapt cercuri care au semiaxele egale, respectiv:

Modulul de deformație areolară (p) este dat de relația:

Deformația unghiulară maximă (ω) este nulă:

În proiecțiile azimutale perspective stereografice oblice pe un plan tangent unghiurile nu se deformează, iar în polul proiecției nu se deformează nici ariile și nici distanțele. În orice alt punct, în afara punctului central al proiecției, distanțele și ariile au deformații pozitive cu atât mai mari cu cât ne depărtăm de origine.

Pentru a obține formulele generale ale proiecțiilor perspective azimutale stereografice normale în relațiile anterioare, care corespund proiecțiilor perspective azimutale stereografice oblice, vom considera:

φo=

Coordonatele rectangulare plane sunt date de relațiile:

unde:

;

λ,φ – coordonatele geografice.

Pentru a obține formulele generale ale proiecțiilor perspective azimutale stereografice transversale în relațiile anterioare, care corespund proiecțiilor perspective azimutale ortografice oblice, vom considera:

φo=

Astfel, formulele generale pentru determinarea coordonatelor polare plane, iau forma:

unde:

;

λ,φ – coordonatele geografice.

În cazul proiecțiilor azimutale perspective stereografice pe un plan secant paralel cu planul tangent în centrul de proiecție , pe planul secant se obțin imagini asemănătoare cu cele din planul tangent dar întotdeauna micșorate cu un coeficient de reducere la scară care servește pentru transcalcularea coordonatelor între cele două plane.

Coeficientul de reducere la scară este dat de raportul dintre o distanță din planul secant și cea corespunzătoare de pe planul tangent.

Intersecția dintre planul secant de proiecție și sfera terestră se realizează după un cerc de deformații nule cu centrul în originea sistemului de coordonate rectangulare plane. În interiorul cercului de deformații nule se produc deformații ale distanțelor și ariilor care cresc, în valoare negativă, odată cu depărtarea de cercul de deformații nule spre centrul de proiecție – unde ating valorare maximă. În exteriorul cercului de deformații nule se produc deformații ale distanțelor și ariilor care cresc, în valoare pozitivă, odată cu depărtarea de cercul de deformații nule.

În esență, utilizarea proiecțiilor azimutale perspective stereografice pe un plan secant duce la reducerea la jumătate a deformațiilor maxime care se produc pe un plan tangent.

7.4.2. Proiecția stereografică oblică pe plan secant unic Brașov

Proiecția stereografică pe planul secant unic Brașov este, de fapt, o proiecție cvasistereografică oblică pe un plan secant la scoarța terestră și a fost adoptată pentru realizarea hărții de bază a țării noastre în anul 1933, dar armata începuse să lucreze cu această proiecție încă din 1930 și a folosit ca punct central al proiecției un punct, nematerializat în teren, situat la 30km nord-vest de Brașov, ale cărei coordonate geografice sunt:

Este o proiecție cvasistereografică deoarece elipsoidul se reprezintă direct în planul de proiecție, respectând riguros doar una din proprietățile reprezentării sferei pe plan, doar în ceea ce privește punctele situate pe meridianul polului proiecției, deci elipsoidul nu se reprezintă inițial pe o sferă și apoi sfera să se reprezinte în planul proiecției.

Sistemul de proiecție stereografică oblică pe plan secant unic Brașov s-a bazat pe o triangulație geodezică cu punctul astronomic fundamental în pilastrul din beton al Observatorului astronomic militar din București – Dealul Piscului și a folosit ca elipsoid de referință, elipsoidul Hayford (1910), ai cărui parametri geometrici aveau valorile:

a = 6 378 388,000 m

b = 6 356 911,946 m

f = 1/297 = 0,003 367 0034

e2 = 0,006 722 6700

e’2 = 0.006 768 1702

Pe planul secant, poziția punctelor rețelei geodezice de stat este dată prin coordonate rectangulare plane. În acest sens, sistemul de coordonate rectangulare plane stereografice a fost ales cu originea în punctul central al proiecție . Axa OY este reprezentată de proiecția meridianului cu sensul pozitiv spre nord, iar axa OX este perpendiculară pe axa OY cu sensul pozitiv spre est (fig. 7.19 ).

Fig. 7.19 Sistemul rectangular de coordonate stereografice plane

Deoarece originea axelor sistemului rectangular de coordonate stereografice plane era poziționată aproximativ în centrul țării, teritoriul țării era amplasat în toate cele 4 cadrane, astfel încât existau puncte care aveau coordonate rectangulare plane pozitive cât și puncte care aveau coordonate rectangulare plane negative.

Pentru a înlătura acest neajuns originea axelor sistemului rectangular de coordonate stereografice plane a fost translatată cu 500km spre sud și în același timp cu 500km spre vest.

Astfel, prin această translație noile axe de coordonate rectangulare plane aveau originea undeva în nordul Mării Adriatice, iar întreg teritoriul României a fost cuprins în primul cadran și avea coordonate pozitive.

Coeficientul de reducere a scării folosit la transformarea coordonatelor rectangulare din planul tangent în polul Q0 în coordonate rectangulare plane în planul secant (x,y), paralel cu cel tangent are valoarea:

Coeficientul de revenire la scara normală, de la planul secant la cel tangent este:

Coordonatele rectangulare stereografice plane din planul unic secant Brașov pot fi calculate în funcție de coordonatele geografice cu următoarele relații (formulele lui Roussilhe):

unde:

x,y – coordonatele din planul secant unic, exprimate în metri;

α – lungimea arcului de paralel cuprins între meridianul polului proiecției și meridianul punctului reprezentat, în metri;

β – lungimea arcului de meridian cuprins între latitudinea polului proiecției și latitudinea punctului reprezentat, în metri

– constante ale proiecției, calculate pentru elipsoidul Hayford și pentru polul țării noastre.

Proiecția stereografică Brașov 1930 este o proiecție conformă, deci pe planul de proiecție unghiurile sunt nedeformate, dar se deformează distanțele și suprafețele.

În cazul proiecției stereografice cu planul de proiecție tangent în centrul țării există un singur punct de deformări nule, iar spre periferie deformațiile liniare cresc cu pătratul distanței pe fiecare kilometru. Astfel, la circa 400 km depărtare de punctul central al proiecției, deformația unei lungimi de 1 km este de 0,98 m.

Pentru a înlătura această deformare mare pe kilometru, planul de proiecție se consideră secant, fiind coborât cu 4252,685m pe verticală () față de punctul central al proiecției, rezultând un cerc de deformații nule al cărei rază (r) este egală cu 232,378km () și reprezintă circa ½ din distanța de la centrul țării până la cele mai depărtate puncte. În acest sens în interiorul cercului de deformații nule, deformațiile cresc, în valoare negativă (contractări), pe măsură ce ne îndepărtăm de acest cerc, atingând valoarea maximă în centrul proiecției. În exteriorul cercului de deformații nule deformațiile cresc, în valoare pozitivă, pe măsură ce ne îndepărtăm de cercul de deformații nule.

S-a ajuns astfel ca, prin înlocuirea planului tangent cu planul secant, deformația liniară pe km să fie de numai – 0,3333 m/km în punctul central și de + 0,65 m/km la margine, la circa 400 km de punctul central.

Modulul de deformație liniară în planul tangent () este dat de relația:

Iar modulul de deformație liniară în planul secant () este dat de relația:

unde:

– modulul de deformație liniară în planul tangent;

= 6379027,5 m – raza medie de curbură a elipsoidului la latitudinea polului ;

; ;

;

x,y – coordonate rectangulare plane stereografice 1930

Deformația liniară relativă D din planul secant se poate calcula cu ajutorul relației:

Modulul de deformație areolară () este dat de relația:

Planul de proiecție secant unic Brașov este împărțit de axele de coordonate rectangulare plane în patru cadrane (fig. 7.20), numerotate cu ajutorul inițialelor punctelor cardinale (N.E., S.E., S.V., N.V.)

Prin trasarea unor paralele din 8 în 8 km pe direcția X și din 10 în 10 km pe direcția Y se obține scheletul hărții țării în secțiuni geodezice sau foile fundamentale geodezice ale planurilor cadastrale de dimensiuni 8×10 km (fig. 7.20). O secțiune geodezică = 8 km 10 km = 80 km2 = 8000 ha.

Coloanele cu lățimea de 8 km, din scheletul hărții țării, se numerotează cu cifre romane, în ordine crescătoare de la axa OY spre est și spre vest (I, II, III,…).

Rândurile orizontale cu înălțimea de 10 km se notează cu cifre arabe, în ordine crescătoare de la axa OX spre nord și spre sud (1, 2, 3, … ).

În acest fel, nomenclatura unei foi fundamentale geodezice este alcătuită din numele cadranului urmat de numărul coloanei și al rândului. De exemplu: N.E. II.3 (fig. 7.20 – a.).

Fig. 7.12 Nomenclatura foilor fundamentale geodezice în proiecția stereografică pe plan secant unic Brașov

Prin împărțirea foilor fundamentale geodezice în 5 părți egale pe orizontală, numerotate de la 1 la 5, în sensul de creștere al coordonatei X și în 8 părți egale pe verticală, numerotate de la 1 la 8, în sensul de creștere al coordonatei Y, se obțin 40 de secțiuni topografice sau secțiuni cadastrale. O secțiune cadastrală = 1600 m 1250 m = 200 ha.

Nomenclatura unei secțiuni cadastrale este alcătuită din nomenclatura foii fundamentale geodezice urmată de o fracție având la numitor numărul zonei pe înălțime de la 1 la 8 și la numărător numărul coloanei, de la 1 la 5, în care se află secțiunea dată. De exemplu: N.E. II.3, (fig. 7.20 – b.).

Formatul hărților în această proiecție este dreptunghiular.

Proiecția stereografică pe planul secant unic Brașov, cunoscută și sub numele de proiecția stereografică 1930 s-a aplicat în țara noastră în perioada 1930-1950.

În anul 1951, pentru lucrările de geodezie, cadastru, topografice și militare a fost adoptată proiecția cilindrică transversală tangentă Gauss-Krüger, iar din 1971, pentru lucrările din activitatea geodezică, topo-fotogrammetrică, cartografică și cadastru, proiecția stereografică 1970.

7.4.4. Proiecția stereografică 1970

Prin aplicarea Decretului nr. 305, emis de Consiliul de Stat în septembrie 1971, pentru lucrările geodezice, cartografice, fotogrammetrice și topografice, țara noastră a adoptat, sistemul de proiecție cartografică azimutală cu plan secant Stereografică 1970.

Proiecția stereografică oblică cu plan secant 1970, cunoscută și sub denumirea de „Stereo 70”, folosește datumul geodezic local orizontal Krasovski 1942 (cunoscut uneori și sub numele de Pulkovo 1942) bazat pe coordonate elipsoidale (B,L,h) și/sau coordonate carteziene (X,Y,Z), definite funcție de elipsoidul de referință Krasovski 1940 cu punct fundamental la observatorul astronomic din Pulkovo, aferent sistemului geodezic de referință și coordonate local, cunoscut sub denumirea internațională de „S-42” și un datum vertical independent, Marea Neagră 1975 (MN75), definit prin cotele punctelor în raport cu un reper situat la malul Mării Negre, determinat pe baza înregistrărilor mareografului Constanța.

Proiecția Stereografică 1970 este o proiecție azimutală oblică cu plan secant cvasistereografică conformă (fig. 7.18) și a fost folosită la întocmirea planurilor topografice de bază la scările 1:2.000, 1:5.000 și 1:10.000, precum și a hărților cadastrale la scara 1:50.000. Este o proiecție cvasistereografică deoarece elipsoidul se reprezintă direct în planul de proiecție, respectând riguros doar una din proprietățile reprezentării sferei pe plan, doar în ceea ce privește punctele situate pe meridianul polului proiecției (Lo=25°), deci elipsoidul nu se reprezintă inițial pe o sferă și apoi sfera să se reprezinte în planul proiecției.

Fig. 7.18 Proiecția azimutală oblică cvasistereografică conformă

Elemente caracteristice:

1. Ca și în cazul sistemului de proiecție cartografică Gauss-Krüger, se menține sistemul de referință și coordonate (SRC) S42 și elipsoidul de referință Krasovski 1940, orientat Pulkovo, cu următorii parametri geometrici:

semiaxa mare, a = 6.378.245,000m

turtirea, f = 1/298,3

2. Punctul central al proiecției sau polul proiecției denumit și centrul proiecției (Q0,), este un punct ipotetic, nematerializat pe teren, este situat aproximativ în centrul geometric al teritoriului României, la nord de orașul Făgăraș și are coordonatele geografice:

latitudinea B0 = 46º Nord

longitudinea L0 = 25º Est Greenwich

Acest pol este deplasat spre NV față de polul proiecției stereografice 1930.

3. Adâncimea planului de proiecție (h) este de aproximativ 3189,478m () față de planul tangent la suprafața terestră în punctul central. În urma intersecției dintre acest plan și sfera terestră de rază medie, întreaga țară se reprezintă pe un singur plan, în care există un cerc de deformații nule cu raza r = 201,718 km () și centrul în Q0 unde deformațiile liniare sunt de -25cm/km. (fig. 7.19).

Fig. 7.19 Harta deformațiilor liniare relative pe teritoriul României în proiecția Stereografică 1970.

4. Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane XOY are ca origine O imaginea plană a polului proiecției Q0, axa OX este proiecția meridianului de 25º pe planul de proiecție și sensul pozitiv spre N, iar axa OY este perpendiculară pe axa OX în imaginea plană a polului proiecției și are sensul pozitiv spre Est. Axele OX și OY sunt inversate față de proiecția stereografică cu plan secant unic Brașov 1930. Orice punct de coordonate geografice (B,L), situat pe meridianul axial are coordonata xm dată de relația:

unde:

β – lungimea arcului de meridian, cuprinsă între paralela de latitudine și paralela de latitudine B a punctului considerat;

– raza medie de curbură a elipsoidului la latitudinea , =6.378.956,681m.

Fig. 7.20 Proiecția stereografică 1970

5. Coeficientul de reducere a scării, folosit la transformarea coordonatelor rectangulare plane din planul tangent în polul Q0 în coordonate rectangulare plane în planul secant (x,y), paralel cu cel tangent, are valoarea:

6. Coeficientul de revenire la scara normală de la planul secant la cel tangent este:

7. Fiind o proiecție conformă păstrează nedeformate unghiurile, deci figurile infinit mici de pe elipsoid se reprezintă în planul de proiecție prin figuri cu forme asemănătoare, dar deformează distanțele și ariile în funcție de depărtarea acestora față de polul proiecției. Această proiecție permite ca măsurătorile geodezice să fie prelucrate direct în planul de proiecție, fără a se calcula coordonatele geografice, dar trebuie în prealabil aplicate corecțiile de reducere a măsurătorilor la planul de proiecție. Deformările sunt însă mai reduse decât în cazul proiecției Gauss-Krüger.

Având în vedere că această proiecție este o proiecție secantă, există un cerc de deformații liniare și areolare nule cu centrul în imaginea plană a polului proiecției Q0 și raza de 201,718 km. În interiorul acestui cerc de deformații nule, deformațiile cresc spre centrul proiecției, în valoare negativă, iar în exteriorul cercului de deformații nule deformațiile cresc, pe măsură ce ne depărtam de acesta, în valoare pozitivă.

Modulul de deformație liniară în planul tangent () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în planul secant al proiecției stereografice 1970 () se poate calcula cu ajutorul relației:

unde:

– modulul de deformație liniară în planul tangent;

; ;

;

x,y = coordonatele rectangulare plane stereografice 1970;

c = 0,999750000 – coeficientul de transformare a coordonatelor din planul tangent în planul secant;

= 6378956,681m – raza medie de curbură a elipsoidului terestru la latitudinea a polului proiecției .

Deformația liniară relativă D din planul secant se poate calcula cu ajutorul relației:

Este mai sugestiv ca deformația liniară relativă să se exprime în cm/km cu ajutorul relației:

Deformația relativă pe unitatea de lungime (1 km) în imaginea punctului central al proiecției, Q0 este egală cu -25 cm/km și scade, odată cu creșterea distanței față de acesta, până la valoarea zero pentru o distanță de 201,718 km. După această distanță valorile deformației relative pe unitatea de lungime devin pozitive și ating valoarea de +0,215 m/km în județele Timiș, Tulcea și Constanța și valoarea de 63,7 cm/km la o depărtare de centrul proiecției de aproximativ 385 km.

Deformația liniară relativă mai poate fi apreciată din punct de vedere cantitativ cu ajutorul relației [15]:

unde:

D este liniară relativă pe unitatea de lungime (1km) în plan secant sau deformația regională;

D0 = -0,000 250 000 km/km este deformația din punctul central al proiecției în plan secant;

d – este distanța de la punctul central al proiecție Stereografice 1970 (originea axelor de coordonate) la punctul din mijlocul laturii trapezului sau a distanței măsurate pe suprafața terestră ();

= 6378956,681m – este raza medie de curbură a elipsoidului terestru la latitudinea a polului proiecției .

Evoluția deformărilor liniare relative raportat la distanța față de punctul central se poate realiza cu ajutorul reprezentării grafice a unei funcții de tipul D = f(d), descrisă anterior, folosind următoarea diagramă (fig.7.21) [15]:

Fig. 7.21 Diagrama deformațiilor liniare relative în proiecția Stereografică 1970 [15].

Deformațiile areolare au același semn cu deformațiile liniare, iar modulul de deformație areolară se poate calcula cu ajutorul relației:

Deformația areolară variază în funcție de depărtarea față de polul proiecției, de la –5.00 mp/ha în polul proiecției Q0, până la +12.76 mp/ha la distanța de 380 km față de acest punct.

8. În proiecția Stereografică 1970, coordonatele rectangulare plane ale colțurilor trapezelor se obțin prin transformarea coordonatelor geografice ale acestora.

Proiecția stereografică 1970 este folosită în special în topografie, în lucrări cadastrale, în sistematizări, arhitectură.

Foile de hartă în proiecția stereografică 1970 au formatul de trapez, rezultat din proiecția meridianelor și paralelelor pe planul de proiecție.

Nomenclatura foilor de hartă în proiecția stereografică 1970 este comună cu cea din proiecția Gauss-Krüger, excepție făcând reprezentările cartografice la scara 1:2000, numerotate cu cifrele arabe 1, 2, 3, 4, care se adaugă la nomenclatura foii de plan la scara 1:5.000 (vezi nomenclatura planurilor și hărților în proiecția Gauss-Krüger).

Adoptarea proiecției Stereo 70 în România a fost posibilă datorită următoarelor aspecte specifice:

teritoriul României are o formă aproximativ rotundă și poate fi încadrat într-un cerc cu raza de 400 km;

limitele de hotar sunt încadrate în proporție de circa 90 % de un cerc de rază 280 km cu centru în polul proiecției;

proiecția este conformă;

meridianul L0 = 25º, care trece prin polul proiecției, Q0 se reprezintă în planul proiecției printr-o dreaptă care se consideră a fi axa OX cu sensul pozitiv spre nord și este axă de simetrie;

deformațiile areolare negative și pozitive sunt relativ egale, ceea ce permite o compensare a lor, adică prin reprezentarea în planul proiecției Stereo 70 este menținută suprafața totală a teritoriului.

7.4.5. Transformări de coordonate în proiecția stereografică 1970

7.4.5.1. Transformarea coordonatelor geografice (B,L) de pe elipsoidul de referință Krasovski 1940 în coordonate rectangulare plane stereografice 1970 (x,y)

Calculul coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) în funcție de coordonatele geograficede pe elipsoidul de referință Krasovski 1940 se realizează cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți, după o metodă propusă de academicianul bulgar Vladimir Hristov, în funcție de diferența de latitudine și longitudine dintre polul proiecției și punctul de calculat.

Pentru realizarea acestei transformări se parcurg următoarele două etape:

transformarea coordonatelor geografice de pe elipsoidul de referință în coordonate rectangulare plane pe planul tangent;

transformarea coordonatelor rectangulare plane din planul tangent în coordonate rectangulare plane (x,y) în planul secant cu ajutorul coeficientului de scară c.

Pentru țara noastră, în anul 1959 Vasile Fălie și Constantin Struțu au stabilit, pe baza procedeului de calcul cracovian, următoarele formule de transcalcul:

unde:

Coeficienții constanți din relațiile (7.69) sunt definiți astfel:

Coeficienții constanți din relațiile (7.69) cu ajutorul cărora se calculează coordonata y în plan tangent sunt definiți astfel:

În relațiile de determinare a termenilor și s-au folosit notațiile:

unde:

– latitudinea polului proiecției ;

– marea normală pentru latitudinea ;

e’ – a doua excentricitate a elipsei meridiane.

Dacă în relațiile (7.69) se notează expresiile din paranteze cu și rezultă:

Coordonatele definitive în planul secant se determină cu relațiile:

Coordonatele stereografice false se calculează cu relațiile:

Pentru ușurința calculului în cazul elipsoidului Krasovski 1940 pentru latitudinea s-a întocmit un formular de calcul tabelar (vezi tabelul 7.1) unde se găsesc tipărite constantele următoare:

Reguli de calcul pentru tabelul anterior:

Pentru calculul lui x:

elementele din coloana 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare din coloana 2;

prin însumarea rezultatului înmulțirii elementelor din coloana 1 cu cele corespunzătoare din coloana 2 se obține ;

prin înmulțirea lui cu ne dă valoarea lui ;

elementele din coloana 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare din coloana 3;

prin însumarea rezultatului înmulțirii elementelor din coloana 1 cu cele corespunzătoare din coloana 3 se obține ;

prin înmulțirea lui cu ne dă valoarea lui ;

în mod asemănător se procedează pentru obținerea lui , și;

prin însumarea rezultatelor de pe coloana 7 se obține valoarea lui x din planul tangent al proiecției stereografice 1970;

prin înmulțirea lui x din planul tangent al proiecției stereografice 1970 cu coeficientul c = 0,99975000 se obține valoare lui x din planul secant al proiecției stereografice 1970;

Pentru calculul lui y se procedează similar calculului coordonatei x.

7.4.5.2. Transformarea coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) în coordonate geografice (B,L) pe elipsoidul de referință Krasovski 1940

Pentru realizarea acestei transformări se parcurg următoarele două etape:

transformarea coordonatelor stereografice din planul secant în planul tangent, paralel cu cel secant, operație în urma căreia se modifică scara prin înmulțirea cu coeficientul c’, numit „coeficient de revenire la scară normală”, calculat cu relația:

transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent în coordonate geografice (B, L), pe elipsoidul Krasovski 1940.

Această etapă se rezolvă cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți și presupune calcularea mai întâi a coordonatelor geografice relative (ΔB și l ) față de polul de proiecție (B0,L0) și apoi a coordonatelor geografice absolute cu relațiile:

sau:

Valorile coordonatelor geografice se obțin în secunde sexagesimale.

Pentru calcularea coordonatelor geografice relative se utilizează relațiile:

unde:

Dacă în formulele anterioare scoatem factor comun pe fiecare linie după puterile lui Y vom obține:

respectiv:

unde: și sunt valorile numerice ale expresiilor din parantezele relații lor de mai sus.

Pentru ușurința calculului în cazul elipsoidului Krasovski 1940 pentru latitudinea s-a întocmit un formular de calcul tabelar (vezi tabelul 7.2) unde se găsesc tipărite constantele următoare:

Reguli de calcul pentru tabelul anterior:

Pentru calculul lui B:

elementele din coloana 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare din coloana 2;

prin însumarea rezultatului înmulțirii elementelor din coloana 1 cu cele corespunzătoare din coloana 2 se obține ;

prin înmulțirea lui cu ne dă valoarea lui ;

elementele din coloana 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare din coloana 3;

prin însumarea rezultatului înmulțirii elementelor din coloana 1 cu cele corespunzătoare din coloana 3 se obține ;

prin înmulțirea lui cu ne dă valoarea lui ;

în mod asemănător se procedează pentru obținerea lui și;

prin însumarea rezultatelor de pe coloana 7 se obține valoarea lui ΔB în secunde;

apoi ΔB obținut în secunde se transformă ΔB în grade minute și secunde;

la ΔB, obținut anterior, se adună = 46º și se obține B final .

Pentru calculul lui L se procedează similar calculului coordonatei B.

7.4.5.3. Transformarea coordonatelor unui punct din proiecția stereografică 1970 într-un plan secant local (paralel cu planul proiecției

stereografice 1970)

Transformarea coordonatelor rectangulare plane din planul secant al proiecției stereografice 1970 în coordonate rectangulare plane într-un plan secant local, paralel cu planul proiecției stereografice 1970 se face prin înmulțirea cu un coeficient k.

Coeficientul k se calculează punând condiția ca cercul de deformație nulă să treacă printr-un punct de coordonate (coordonatele pot fi interpolate de pe o hartă), situat în centrul zonei în care se urmărește obținerea deformațiilor minime.

unde:

sunt coordonatele adevărate în proiecția stereografică 1970 (fără translația de +500.000 m);

Ro = 6.378.956,681m – raza medie Gauss în polul proiecției stereografice 1970;

c = 0,999750000 – coeficientul de transformare a coordonatelor din planul tangent al proiecției stereografice 1970 în planul secant.

Coordonatele unui punct din planul local se calculează în funcție de coordonatele rectangulare plane stereografice 1970 cu relațiile:

Transformarea inversă din coordonate rectangulare plane din sistemul local în coordonate rectangulare plane stereografice 1970 se face pe baza relațiilor:

7.4.5.4. Transformarea coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) în coordonate rectangulare plane Gauss (x,y) sau invers

În România, pentru ambele sisteme de proiecție se folosește același elipsoid de rotație, Krasovski 1940.

Datorită acestui fapt, transcalcularea coordonatelor între cele două sisteme de proiecție se poate face foarte precis prin intermediul coordonatelor geografice, după cum urmează:

coordonate plane din proiecția I se transformă în coordonate geografice pe elipsoidul Krasovski 1940.

coordonate geografice de pe elipsoidul Krasovski 1940 se transformă în coordonate plane în sisteme de proiecție II.

7.4.6. Reducerea direcțiilor la planul proiecției stereografice 1970

Deoarece liniile geodezice de pe elipsoid se reprezintă în planul proiecției stereografice 1970 prin linii curbe cu concavitatea spre axa OX, reducerea direcțiilor la planul proiecției stereografice constă în a calcula și aplica direcțiilor măsurate câte o corecție. În acest sens reducerea direcțiilor măsurate la planul de proiecție se mai numește și reducerea direcțiilor la coardă și se aplică în cazul direcțiilor măsurate în rețelele de triangulație geodezică.

Dacă considerăm două puncte situate în planul de proiecție stereografică 1970 de coordonate și 2(x2,y2), corecția de reducere a direcției măsurate din punctul 1 spre punctul 2, , se calculează cu formulele:

pentru gradația sexagesimală:

pentru gradația centesimală

unde:

ρ"=206265 reprezintă numărul de secunde sexagesimale dintr-un arc de un radian;

ρ"=636620 reprezintă numărul de secunde centesimale dintr-un arc de un radian;

Ro este raza medie de curbură la latitudinea a polului proiecției, Ro = 6378956,681m

Corecția de reducere a direcției la planul de proiecție calculată se va aplica direcției măsurate , după cum urmează:

Pentru a se evita producerea unor erori trebuie să se realizeze o verificare a corecțiilor de reducere a direcțiilor la planul de proiecție pe triunghiuri, având în vedere următoarea regulă generală:

“în orice triunghi geodezic suma corecțiilor de reducere la planul de proiecție a celor trei unghiuri trebuie să fie egală cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat”.

De exemplu, pentru triunghiul 123 din figura 7.22 relația de verificare este:

în care excesul sferic se poate calcula cu formula:

unde:

Rm reprezintă raza medie de curbură Gauss la latitudinea medie a vârfurilor triunghiurilor ;

, se numește factorul excesului sferic la latitudinea medie a zonei de lucru;

S – suprafața triunghiului care se poate calcula:

din coordonatele rectangulare plane ale punctelor ce definesc triunghiul;

cu formula lui Heron: unde a,b,c sunt laturile triunghiului și se pot calcula din coordonatele rectangulare plane ale punctelor care definesc triunghiul.

Fig. 7.22 Imaginea plană a unui triunghi geodezic

Observație: Pentru a calcula corecțiile de reducere la coardă se impune cunoașterea cu aproximație (de ordinul metrilor) a coordonatelor planimetrice a punctului de stație și ale punctului vizat.

7.4.7. Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție stereografică 1970

Prin reprezentarea unei distanțe de pe elipsoid s pe planul de proiecție stereografică 1970, aceasta se deformează neuniform pe întreaga ei lungime.

Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție stereografică 1970 înseamnă a găsi o relație matematică între lungimea s a liniei geodezice de pe elipsoid și lungimea S, redusă la planul de proiecție stereografică 1970.

Să considerăm o linie geodezică pe elipsoid de lungime s și să notăm cu 1-2 curba care reprezintă imaginea liniei geodezice în planul de proiecție a cărei lungime este (fig. 7.25).

Dacă notăm cu S lungimea coardei 1-2, care nu este altceva decât distanța redusă la planul tangent de proiecție stereografică și facem aproximarea se poate deduce distanța S din planul tangent în funcție de distanța s cu ajutorul relației:

unde:

iar reprezintă coordonate stereografice aproximative ale punctelor de la capetele distanței respective.

Fig. 7.25 Imaginea din planul de proiecție a liniei geodezice de pe elipsoid

Distanța redusă la planul secant se calculează cu relația:

unde:

c = 0.999750000

Reducerea distanțelor la planul de proiecție stereografică 1970 se utilizează în cazul trilaterațiilor când este obligatorie prelucrarea distanțelor la planul de proiecție.

7.4.8. Unghiul de convergență meridiană

Unghiul de convergență meridiană () sau convergența meridianelor în proiecția stereografică 1970 reprezintă unghiul format de proiecția în planul de proiecție a meridianului care trece prin punctul considerat și paralela la axa OX a sistemului de coordonate rectangulare plane, care trece prin același punct (fig.7.26).

Fig. 7.26 Unghiul γ de convergență meridiană în proiecția stereografică 1970

Din fig. 7.26 se poate urmări faptul că unghiul este pozitiv pentru punctele situate la est de meridianul central și negativ pentru punctele situate la vest de meridianul central .

Convergența meridianelor se poate calcula funcție de coordonatele geografice sau funcție de coordonatele rectangulare plane ale colțului trapezului respectiv.

Convergența meridianelor în funcție de coordonatele geografice se poate determina cu ajutorul relației:

unde:

cunoscând că:

Pentru coeficienții constanți c și d au fost obținute următoarele valori:

Convergența meridianelor în funcție de coordonatele rectangulare stereografice 1970 (x,y) se poate determina cu ajutorul relației cu coeficienți constanți:

în care coeficienții constați sunt dați de relațiile:

și:

Unghiul de convergență meridiană γ se utilizează la orientarea hărților topografice pe teren și pentru trecerea de la azimute A pe elipsoid la orientările din planul de proiecție θ cu ajutorul următoarelor relații:

7.4.9. Proiecții stereografice folosite în Transilvania pentru implementarea sistemului cadastral austriac

În Imperiul Austriac cadastrul general modern a fost introdus la începutul secolului al XIX-lea de către împăratul Francisc al II-lea, după modelul milanez. Realizarea cadastrului s-a bazat pe măsurători topografice, folosind tahimetre și metoda poligonației, sprijinite pe rețele de triangulație.

Primele măsurători cadastrale, pe teritoriul actual al României au început în Transilvania, Banat și Bucovina pe vremea împăratului austriac Franz Jozsef I (1849) și s-au bazat pe sistemul austriac de măsurători topografice și înregistrarea proprietății în evidențele funciare pe baza Codului Civil Austriac.

Înainte de introducerea sistemului metric, în Imperiul Austro-Ungar, pentru realizarea reprezentărilor cartografice ale secolului al XIX-lea, era folosit ca unitate de lungime sistemul stânjenului vienez (1 stânjen vienez = 1,89648384 m). Legătura dintre cele două sisteme de măsură este prezentată în tabelul 7.3 și tabelul 7.4.

Tabelul 7.3 – Raportul între unitățile de măsură a lungimii

Tabelul 7.4 – Raportul între unitățile de măsură a suprafeței

Pentru realizarea reprezentărilor cartografice necesare introducerii cadastrului în Transilvania au fost utilizate două sisteme de proiecție cartografică, după cum urmează:

sistemul de proiecție cartografică stereografic cu plan tangent Budapesta cu polul proiecției la muntele Gellért, Budapesta;

sistemul de proiecție cartografică stereografic cu planul tangent Târgu Mureș (Marosvásárhely) cu polul proiecției la Dealul Câstei (Kesztejhegy), la vest de Târgu Mureș.

7.4.9.1. Sistemul de proiecție cartografică stereografic cu plan tangent Budapesta

Proiecția cartografică stereografică cu plan tangent Budapesta este o proiecție azimutală oblică tangentă cu polul proiecției în punctul geodezic fundamental la muntele Gellert-Budapesta și a fost utilizată pe teritoriul României pentru realizarea reprezentărilor cartografice folosite la introducerea cadastrului general în Banat, Crișana și o parte din Maramureș.

Proiecția cartografică stereografică cu plan tangent Budapesta este o proiecție conformă ce utilizează ca elipsoid de referință elipsoidul Bessel 1841.

Polul proiecției care constituie și originea sistemului de coordonate rectangulare plane are următoarele coordonate geografice:

pe elipsoidul de referință:

B = 47° 29’ 09,6380”

L = 36° 42’ 53,5733” est Ferro

pe sfera de rază R= 6378512,966m

φ = 47° 26’ 21,1372”

χ = 0°00’0,000” est Ferro

În această proiecție sistemul de coordonate rectangulare plane a fost definit cu originea în polul proiecției, axa OX este o linie ce reprezintă proiecția meridianului care trece prin polul proiecției cu sensul pozitiv spre sud, iar axa OY este aleasă astfel încât să facă un unghi drept cu axa OX în punctul O și cu sensul pozitiv spre vest (fig. 7.25).

Nomenclatura foilor de hartă, pentru harta de bază este organizată pe rânduri și coloane, generate de paralele duse la axele de coordonate plane, începând din polul proiecției, formând astfel niște pătrate de 4000stj x 4000stj (fig. 7.25).

Coloanele sunt numerotate cu cifre romane de tip: I, II, III, IV, … începând cu I spre est precedate de literele K.o. care înseamnă coloana est (în limba maghiară: est – Keletre (K); coloană – oszlop (o)) și începând tot cu I spre vest precedate de literele N.o. care înseamnă coloana vest (în limba maghiară: vest – Nyugati (N); coloană – oszlop (o)), pornind de la proiecția meridianului care trece prin polul proiecției (fig. 7.25).

Rândurile sunt numerotate cu cifre arabe 1, 2, …, n astfel încât prima linie de pătrate în direcția Nord de la axa OY care trece prin originea proiecției (muntele Gellért-Budapesta), are numărul 32 și descrește (31, 30, 29, 28,…) pe direcția Nord, iar prima linie de pătrate în direcția Sud de la axa OY care trece prin originea proiecției are numărul 33 și crește pe direcția Sud (33, 34, 35, …) (fig. 7.25). Cu alte cuvinte numerotarea rândurilor crește de la nord spre sud.

Fig. 7.25 Sistemul de nomenclatură al foilor de hartă în proiecția cartografică stereografică cu plan tangent Budapesta – N.o. II. 34. szelv. ch. (Varga J.,2005)

Pentru a obține foaia de plan cadastral la scara 1:2880 celula din harta cadastrală de ansamblu cu dimensiunea de 4000×4000 stânjeni vienezi a fost împărțită în patru coloane, egale ca lățime, notate de la est la vest cu literele mici ale alfabetului latin: a, b, c, d și în cinci rânduri, egale ca înălțime, notate de la nord la sud cu următoarele litere mici ale alfabetului latin: e, f, g, h, i, obținându-se astfel o foaie de plan cu dimensiunile de 1000×800 stânjeni vienezi (fig. 7.25).

Nomenclatura unei astfel de foaie de plan este de forma: Nagybanya. K.o. XLV. 26. szelv. ag. (fig. 7.26).

Fig. 7.26 Exemplu de nomenclatură al unei foi de plan cadastral, scara 1:2880

Trebuie să menționăm că primele foi de plan realizate pentru introducerea cadastrului general în Banat, Crișana și Maramureș, realizate în jurul anilor 1850-1860 erau redactate limbile germană, română și maghiară sau în germană și română (fig. 7.27), în timp ce cele realizate ulterior erau redactate doar în limba maghiară (fig. 7.28).

Fig. 7.27 Exemple de planuri cadastrale redactate în limbile germană, română și maghiară (stânga) și în germană și română (dreapta)

Fig. 7.28 Exemple de planuri cadastrale redactate doar în limba maghiară

În ceea ce privește nomenclatura descrisă anterior, nominalizarea coloanei și a secțiunii era realizată cu prescurtările cuvintelor corespunzătoare din limba germană, ca în exemplul următor: Szigeth o.c. XLVII. 25. Section ai. (fig. 7. 28).

Fig. 7.27 Exemplu de nomenclatură al unei foi de plan cadastral, scara 1:2880 folosind limba germană

De asemenea, pe planul cadastral de ansamblu erau materializate limitele localității care a făcut obiectul cadastrării și fiecare foaie de plan, scara 1:2880, era numerotată, conform numerotării cadastrale, cu cifre arabe de la 1 la n (fig. 7.28).

Pe aceste planuri pentru zonele de intravilan, intens construite, s-au realizat și planuri la scara 1:1440 (fig. 7.29) care aveau nomenclatura formată din numărul foi de plan, conform nomenclaturii cadastrale la care se adăuga numărul secțiunii notat cu cifre romane de la I la IV, de tipul: 89/III.

Fig. 7.28 Exemplu de nomenclatură al foilor de plan cadastral, scara 1:2880, folosind și numerotarea cadastrală

Fig. 7.29 Exemplu de nomenclatură al foilor de plan cadastral, scara 1:1440, folosind și numerotarea cadastrală

7.4.9.2. Sistemul de proiecție cartografică stereografic cu plan tangent Târgu Mureș

Proiecția cartografică stereografică cu plan tangent Târgu Mureș este o proiecție azimutală oblică tangentă cu polul proiecției în punctul geodezic fundamental Dealul Cârstei (Kesztejhegy) și a fost utilizată pe teritoriul României pentru realizarea reprezentărilor cartografice folosite la introducerea cadastrului general în Transilvania în zonele anexate mai târziu de regatul Ungar.

Proiecția cartografică stereografică cu plan tangent Târgu Mureș este o proiecție conformă ce utilizează ca elipsoid de referință elipsoidul Bessel 1841.

Polul proiecției care constituie și originea sistemului de coordonate rectangulare plane are următoarele coordonate geografice:

pe elipsoidul de referință:

B = 46° 33’ 08,85”

L = 42° 03’ 20,9550” est Ferro

pe sfera de rază R = 6378512,966m

φ = 46° 30’ 25,408”

χ = 5°20’41,829” est Ferro

Originea sistemului de coordonate rectangulare plane este translatată cu 600.000m spre est și cu 600.000m spre nord.

În această proiecție sistemul de coordonate rectangulare plane a fost definit cu originea în polul proiecției, axa OX este o linie ce reprezintă proiecția meridianului care trece prin polul proiecției cu sensul pozitiv spre sud iar axa OY este aleasă astfel încât să facă un unghi drept cu axa OX în originea O și cu sensul pozitiv spre vest (fig. 7.30).

Nomenclatura foilor de hartă, pentru harta de bază este organizată pe rânduri și coloane, generate de paralele duse la axele de coordonate, începând din polul proiecției, formând astfel niște pătrate de 4000stj x 4000stj (fig. 7.30).

Coloanele sunt numerotate cu cifre romane de tip: I, II, III, IV, … începând cu I spre est și spre vest pornind de la proiecția meridianului care trece prin polul proiecției, respectiv axa OX (fig. 7.30).

Rândurile sunt numerotate cu cifre arabe 1, 2, …, n, începând cu 1 spre nord și spre sud pornind de la axa OY (fig. 7.30).

Direcția a fost indicată, pornind de la centrul proiecției, prin două litere date de abrevierea în limba maghiară a direcțiilor principale, astfel:

direcția Nord-Vest – este înscrisă cu E.N. (abreviere de la Eszak Nyugati);

direcția Nord-Est – este înscrisă cu E.K. (abreviere de la Eszak Keletre);

direcția Sud-Vest – este înscrisă cu D.N. (abreviere de la Del Nyugati);

direcția Sud-Est – este înscrisă cu D.K. (abreviere de la Del Keletre).

Fig. 7.30 Sistemul de nomenclatură al foilor de hartă în proiecția cartografică stereografică cu plan tangent Târgu Mureș – D.K.II.3.bh. (Varga J.,2005)

Pentru a obține foaia de plan cadastral la scara 1:2880 celula din harta cadastrală de ansamblu cu dimensiunea de 4000 x 4000 stânjeni vienezi a fost împărțită în patru coloane, egale ca lățime, notate de la est la vest cu literele mici ale alfabetului latin: a, b, c, d și în cinci rânduri, egale ca înălțime, notate de la nord la sud cu următoarele litere mici ale alfabetului latin: e, f, g, h, i, obținându-se astfel o foaie de plan cu dimensiunile de 1000×800 stânjeni vienezi (fig. 7.30).

Nomenclatura unei astfel de foaie de plan este de forma: D.K.II.3.bh.. (fig. 7.30).

Pentru ambele sisteme de proiecție stereografică cu plan tangent folosite în Transilvania la realizarea cadastrului general (planuri cadastrale folosite în evidența de carte funciară) legătura dintre aceste sisteme de proiecție cartografică și sistemul de proiecție cartografică Stereografică 1970 se poate realiza prin scanarea și georeferențierea planurilor vechi cadastrale, conform Ordinului 78/2010 al Directorului general al ANCPI privind aprobarea specificațiilor tehnice pentru scanarea și georeferențierea planurilor vechi de carte funciară.

8. Propunere privind adoptarea unei noi proiecții cartografice în România

8.1. Elemente caracteristice

Acest capitol cuprinde propunerea Agenției Naționale de Cadastru și Publicitate Imobiliară, publicată pe site-ul acesteia [1], privind adoptarea unei proiecții cartografice azimutale oblice cvasi-stereografice secante, definită în sistemul de referință și coordonate (SRC) RO-ETRS 89, care se va numi “Proiecția stereografică 2010” cu următoarele caracteristici:

Elipsoidul de referință utilizat – GRS 80;

Polul proiecției, , are coordonatele geografice (geodezice):

3. Adâncimea planului de proiecție secant (h) este de aproximativ 3189,478m () față de planul tangent la suprafața terestră în punctul central . În urma intersecției dintre acest plan și sfera terestră de rază medie, întreaga țară se reprezintă pe un plan de proiecție secant, în care există un cerc de deformații nule cu raza r = 201,718 km () și centrul în imaginea plană a polului Q0 unde deformațiile liniare negative ating valoarea maximă de -25cm/km (fig. 8.1);

4. Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane se alege astfel (fig. 8.1):

originea sistemului este imaginea plană a polului proiecției, ;

axa ON este imaginea meridianului = 25º și are sensul pozitiv spre nord;

axa OE este perpendiculară pe axa ON în punctul O și are sensul pozitiv spre est.

Din considerente de ordin practic, în lucrările curente se va utiliza un sistem de coordonate “fals” (N’O’E’) ale cărui axe sunt deplasate cu 500.000 m spre sud și cu 500.000 m spre vest față de axele sistemului adevărat, astfel încât coordonatele stereografice false (N’, E’) au valorile:

N’ = N + 500.000 m;

E’ = E + 500.000 m.

În problemele de conversie a coordonatelor, de evaluare a deformațiilor proiecției, de reducere la planul de proiecție ș.a., se vor utiliza coordonatele adevărate.

Orice punct de coordonate geografice (B,L), situat pe meridianul central, = 25º, are coordonata xm dată de relația:

unde:

β – lungimea arcului de meridian, cuprinsă între paralela de latitudine și paralela de latitudine B a punctului considerat;

– raza medie de curbură a elipsoidului la latitudinea , = 6.378.956,681m.

Fig. 8.1 Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane și deformațiile în Proiecția stereografică 2010

5. Pentru conversia coordonatelor rectangulare plane din planul tangent în polul , în coordonate rectangulare plane în planul secant (x,y), paralel cu cel tangent, coeficientul are valoarea:

6. Coeficientul de conversie (de revenire la scara normală) a coordonatelor rectangulare plane din planul secant (x,y), în planul tangent este:

7. Fiind o proiecție conformă păstrează nedeformate unghiurile, deci figurile infinit mici de pe elipsoid se reprezintă în planul de proiecție prin figuri cu forme asemănătoare, dar deformează distanțele și ariile în funcție de depărtarea acestora față de polul proiecției. Această proiecție permite ca măsurătorile geodezice să fie prelucrate direct în planul de proiecție, fără a se calcula coordonatele geografice, dar trebuie în prealabil aplicate corecțiile de reducere a măsurătorilor la planul de proiecție.

Având în vedere că această proiecție este o proiecție secantă, există un cerc de deformații liniare și areolare nule cu centrul în imaginea plană a polului proiecției Q0 și raza r = 201,718 km. În interiorul acestui cerc de deformații nule, deformațiile cresc spre centrul proiecției, în valoare negativă, iar în exteriorul cercului de deformații nule deformațiile cresc, pe măsură ce ne depărtam de acesta, în valoare pozitivă.

Modulul de deformație liniară în planul tangent () este dat de relația:

Modulul de deformație liniară în planul secant al proiecției stereografice 2010 () se poate calcula cu ajutorul relației:

unde:

– modulul de deformație liniară în planul tangent;

; ;

;

x,y = coordonatele rectangulare plane stereografice 2010;

c = 0,999750000 – coeficientul de transformare a coordonatelor din planul tangent în planul secant;

= 6378956,681m – raza medie de curbură a elipsoidului terestru la latitudinea a polului proiecției .

Deformația liniară relativă D din planul secant se poate calcula cu ajutorul relației:

Este mai sugestiv ca deformația liniară relativă să se exprime în cm/km cu ajutorul relației:

Deformația relativă pe unitatea de lungime (1 km) în imaginea punctului central al proiecției, Q0 este egală cu -25 cm/km și scade, odată cu creșterea distanței față de acesta, până la valoarea zero pentru o distanță de 201,718 km. După această distanță valorile deformației relative pe unitatea de lungime devin pozitive și ating valoarea de +0,70 m/km la o depărtare de centrul proiecției de aproximativ 393,22 km.

Deformația liniară relativă mai poate fi apreciată din punct de vedere cantitativ cu ajutorul relației:

unde:

D este liniară relativă pe unitatea de lungime (1km) în plan secant sau deformația regională;

D0 = -0,000 250 000 km/km este deformația din punctul central al proiecției în plan secant;

d – este distanța de la punctul central al proiecție Stereografice 2010 (originea axelor de coordonate) la punctul din mijlocul laturii trapezului sau a distanței măsurate pe suprafața terestră ();

= 6378956,681m – este raza medie de curbură a elipsoidului terestru la latitudinea a polului proiecției .

Deformații liniare relative și areolare relative în proiecția cvasi-stereografică 2010 pe elipsoidul GRS-80 sunt prezentate în tabelul 8.1. și sunt materializate grafic în fig. 8.2.

Tabelul 8.1 Deformații relative liniare și areolare în proiecția cvasi-stereografică 2010

Fig. 8.2 Deformațiile liniare și areolare în proiecția cvasi-stereografică 2010 pe elipsoidul GRS-80 (ANCPI)

8.2. Conversii de coordonate în Proiecția Stereografică 2010

8.2.1. Conversia coordonatelor geografice (B,L ) de pe elipsoidul de referință GRS 80 în coordonate rectangulare plane stereografice (x,y)

Calculul coordonatelor rectangulare plane stereografice 2010 (N,E) în funcție de coordonatele geograficede pe elipsoidul de referință GRS 80 se realizează cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți, după o metodă propusă de academicianul bulgar Vladimir Hristov, în funcție de diferența de latitudine ΔB și respectiv diferența de longitudine l dintre polul proiecției și punctul de calculat (B,L).

Pentru realizarea acestei transformări se parcurg următoarele două etape:

transformarea coordonatelor geografice de pe elipsoidul de referință GRS 80 în coordonate rectangulare plane pe planul tangent;

transformarea coordonatelor rectangulare plane din planul tangent în coordonate rectangulare plane (N,E) în planul secant cu ajutorul coeficientului de scară c.

unde:

Coeficienții constanți din relațiile (8.9) cu ajutorul cărora se calculează coordonata N în plan tangent sunt definiți astfel:

Coeficienții constanți din relațiile (8.9) cu ajutorul cărora se calculează coordonata E în plan tangent sunt definiți astfel:

În relațiile de determinare a termenilor și s-au folosit notațiile:

;

,

unde:

– latitudinea polului proiecției ;

– marea normală pentru latitudinea ;

e’ – a doua excentricitate a elipsei meridiane a elipsoidului GRS 80.

Coordonatele rectangulare plane (N,E) în planul secant al proiecției stereografice 2010 se obțin prin multiplicarea coordonatelor din plan tangent, cu coeficientul c:

Coordonatele stereografice false se calculează cu relațiile:

Pentru ușurința calculului în cazul elipsoidului GRS 80 și se poate întocmi un formular de calcul tabelar similar celui de la Cap.7 – Calculul coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) în funcție de coordonatele geograficede pe elipsoidul de referință Krasovski 1940, unde coeficienții constanți pentru calculul coordonatelor plane stereografice corespunzătoare elipsoidului GRS 80 au valorile următoare:

8.2.2. Conversia coordonatelor rectangulare plane stereografice (x,y) în coordonate geografice (B,L ) pe elipsoidul de referință GRS 80

Pentru realizarea acestei conversii se parcurg următoarele două etape:

transformarea coordonatelor stereografice din planul secant în planul tangent, paralel cu cel secant, operație în urma căreia se modifică scara prin înmulțirea cu coeficientul c’, numit „coeficient de revenire la scară normală”, calculat cu relația:

transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent în coordonate geografice (B, L), pe elipsoidul de referință GRS 80.

Această etapă se rezolvă cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți și presupune calcularea mai întâi a coordonatelor geografice relative (ΔB și l ) față de polul de proiecție (B0,L0) și apoi a coordonatelor geografice absolute cu relațiile:

sau:

Valorile coordonatelor geografice se obțin în secunde sexagesimale.

Pentru calcularea coordonatelor geografice relative se utilizează relațiile:

unde:

Coeficienții constanți din relațiile (8.15) cu ajutorul cărora se calculează coordonata relativă ΔB în plan tangent sunt definiți astfel:

Coeficienții constanți din relațiile (8.15) cu ajutorul cărora se calculează coordonata relativă l în plan tangent sunt definiți astfel:

În relațiile de determinare a termenilor și s-au folosit notațiile:

;

,

unde:

– latitudinea polului proiecției ;

– marea normală pentru latitudinea ;

e’ – a doua excentricitate a elipsei meridiane a elipsoidului GRS 80.

Pentru ușurința calculului în cazul elipsoidului GRS 80 și se poate întocmi un formular de calcul tabelar similar celui de la Cap.7 – Calculul coordonatelor geografice în funcție de coordonatele rectangulare plane stereografice 1970 (x,y) de pe elipsoidul de referință Krasovski 1940.

8.3. Nomenclatura foilor de hartă și de plan în proiecția Stereografică 2010

Modificarea coordonatelor rectangulare plane, determinată de schimbarea elipsoidului de referință, va ridica probleme în ceea ce privește dimensiunile și nomenclatura foilor de hartă, astfel că pentru rezolvarea acestora, se propune o nouă nomenclatură a foilor de hartă și a foilor de plan pe baza unei rețele de linii paralele cu axele sistemului de coordonate. Deci noile hărți vor avea un cadru geometric și nu unul geografic cum a fost utilizat în sistemul de proiecție cartografic stereografic 1970.

Axele de coordonate ON și OE împart harta României în patru cadrane, denumite în funcție de punctele cardinale și anume: NE, NV, SE, SV.

Foile de hartă la scara 1:100.000 se construiesc ducând paralele la axele de coordonate, la intervale ΔN=ΔE=50 km, rezultând linii și coloane.

Liniile se numerotează pornind de la axa OE, spre nord și spre sud cu cifre arabe de la 1 la 6, iar coloanele se numerotează cu cifre romane de la I la VIII spre est și spre vest față de axa ON.

Nomenclatura foii de hartă este formată din denumirea cadranului la care se adaugă numărul liniei și numărul coloanei (fig. 8.3).

Exemplu: NV-4-II

La scara 1:100.000 se obțin foi de hartă cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Foile de hartă la scara 1:250.000 se construiesc ducând paralele la axele de coordonate, la intervale ΔN=ΔE=100 km. Fiecare foaie de hartă la scara 1:250.000 conține patru foi de hartă la scara 1:100.000. Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:100.000 este formată din numele cadranului la care se adaugă numerele corespunzătoare liniilor și coloanelor foilor 1:100.000 din care sunt alcătuite (fig. 8.3).

Exemplu: NE-1-2-I-II

La scara 1:250.000 se obțin foi de hartă cu dimensiunile 40 cm x 40 cm.

Fig. 8.3 Nomenclatura foilor de hartă la scara 1:100.000 (NV-4-II), Nomenclatura foilor de hartă la scara 1:250.000 (NE-1-2-I-II)

Foile de hartă la scara 1:50.000 se obțin împărțind la jumătate laturile foii de hartă la scara 1:100.000.

Rezultă patru foi de hartă notate A, B, C, D de la stânga la dreapta.

Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:50.000 este formată din nomenclatura foii de hartă din care provine la care se adaugă litera corespunzătoare (fig. 8.4).

Exemplu: NV-4-II-A

La scara 1:50.000 se obțin foi de hartă cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Foile de hartă la scara 1:25.000 se obțin împărțind la jumătate laturile foii de hartă la scara 1:50.000.

Rezultă patru foi notate a, b, c, d, de la stânga la dreapta. Nomenclatura unei foi de hartă la scara 1:25.000 este formată din nomenclatura foii de hartă din care provine la care se adaugă litera corespunzătoare (fig. 8.4).

Exemplu: NV-4-II-A-a

La scara 1:25.000 se obțin foi de hartă cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Fig. 8.4 Nomenclatura foilor de plan la scara 1:50.000 – NV-4-II-A, Nomenclatura foilor de plan la scara 1:25.000 – NV-4-II-A-a

Foile de plan la scara 1:10.000 se obțin împărțind în cinci părți egale (5000 m) laturile foii de hartă la scara 1:50.000.

Rezultă douăzeci și cinci foi de plan notate 11, 12, …, 55, asemănător elementelor unei matrici, în sensul de creștere în valoare absolută a coordonatelor X și Y. Nomenclatura unei foi de plan la scara 1:10.000 este formată din nomenclatura foii de hartă din care provine la care se adaugă numărul corespunzător (fig. 8.5).

Exemplu: NV-4-II-A-43

La scara 1:10.000 se obțin foi de plan cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Fig. 8.5 Nomenclatura foilor de plan la scara 1:10.000 – NV-4-II-A-43

Foile de plan la scara 1:5.000 se obțin împărțind la jumătate laturile foii de plan la scara 1:10.000.

Rezultă patru foi de plan notate a, b, c, d, de la stânga la dreapta și de sus în jos. Nomenclatura unei foi de plan la scara 1:5.000 este formată din nomenclatura foii de plan din care provine la care se adaugă litera corespunzătoare (fig. 8.6).

Exemplu: NV-4-II-A-43-a

La scara 1:5.000 se obțin foi de plan cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Fig. 8.6 Nomenclatura foilor de plan la scara 1:5000 – NV-4-II-A-43-a

Foile de plan la scara 1:2.000 se obțin împărțind la cinci laturile foii de plan la scara 1:10.000.

Rezultă 25 foi de plan numerotate asemănător elementelor unei matrice: 11, 12, 13, …, 55 (prima cifră reprezentând linia, a doua cifră reprezentând coloana). Nomenclatura unei foi de plan la scara 1:2.000 este formată din nomenclatura foii de plan din care provine la care se adaugă numărul corespunzător (fig. 8.7).

Exemplu: NV-4-II-A-43-32

La scara 1:2.000 se obțin foi de plan cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Fig. 8.7 Nomenclatura foilor de plan la scara 1:2000 – NV-4-II-A-43-32

Foile de plan la scara 1:1000 se obțin împărțind la jumătate laturile foii de plan la scara 1:2000.

Rezultă patru foi de plan notate A, B, C, D, de la stânga la dreapta. Nomenclatura unei foi de plan la scara 1:1000 este formată din nomenclatura foii de plan din care provine la care se adaugă litera corespunzătoare (fig. 8.8).

Exemplu: NV-4-II-A-43-32-A

La scara 1:1000 se obțin foi de plan cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Foile de plan la scara 1:500 se obțin împărțind la jumătate laturile foii de plan la scara 1:1000.

Rezultă patru foi de plan notate a, b, c, d, de la stânga la dreapta.

Nomenclatura unei foi de plan la scara 1:500 este formată din nomenclatura foii de plan din care provine la care se adaugă litera corespunzătoare (fig. 8.8).

Exemplu: NV-4-II-A-43-32-A-a

La scara 1:500 se obțin foi de plan cu dimensiunile 50 cm x 50 cm.

Fig. 8.8 Nomenclatura foilor de plan la scara 1:1000 – NV-4-II-A-43-32-A, Nomenclatura foilor de plan la scara 1:500 – NV-4-II-A-43-32-A-a