Proceduri de Calibrare a Senzorilor Inertiali

1. TRANSFORMĂRI DE COORDONATE

In navigația inerțală sunt cerute în mod frecvent transformări de coordonate dintr-un referențial în altul. Transformările pot fi între un sistem neortogonal și unul ortogonal sau între două sisteme ortogonale.

1.1. Transformări de coordonate între sisteme ortogonale.

1.1.1. Transformări de puncte și vectori

Fiind dat un sistem de coordonate S, poziția unui punct P în acest sistem este dată de coordonatele sale (x1, y1, z1 ) Coordonatele pot fi interpretate ca fiind proiecțiile vectorului de poziție al punctului pe axele sistemului de coordonate de versori

(1.37)

(1.38)

Fig. 3.10 Pozitia punctului P in doua sisteme de coordinate distincte

Considerînd un al doilea sistem de coordonate S', poziția lui P, relativ la acest sistem, este dată prin coordonatele (x'2,y'2,z'2) (fig. 3.10). Transformările coordonatelor punctului dintr-un sistem de coordonate în altul pot fi translații și rotații [130], Dacă în sistemul S' vectorul de poziție al punctului P este = (x'2,y'2, z'2)s, atunci în sistemul S vectorul de poziție al lui P va fi suma vectorilor și reprezentați relativ în S :

(1.39)

Adica, pe componente, (1.40)

Notand cu (x2, y2, z2) proiectiile vectorului pe axele sistemului S, rezulta :

(1.41)

Cu – versorii axelor sistemului . Expresiile proiectiilor in cele doua sisteme devin :

(1.42)

(1.43)

Produsele (),()ș.a., din ecuațiile (1.42) și (1.43), sunt coeficienții transformărilor de coordonate ale vectorului v2 din sistemul S în S' și invers. Acești coeficienți sunt cosinuși directori deoarece :

(1.44)

Unde este cosinusul unghiului dintre versorii si .

Ecuațiile de transformare pot fi exprimate sub formă matriceală după cum urmează :

(1.45)

(1.46)

Cele două matrice 3×3 sunt matricele de transformare din triedrul S în triedrul S' și invers. Deoarece produsul scalar a doi vectori este comutativ , o linie a fiecărei matrice de rotație este egală cu o coloană corespunzătoare a celeilalte matrice. In cosecință, formulele (1.46) și (1.45) se pot scrie sub forma :

(1.47)

Respectiv :

(1.48)

(1.49)

unde RT este transpusa matricei cosinușilor directori R.

Matricea R are următoarele proprietăți [29]: suma pătratelor elementelor de pe orice linie sau coloană este egală cu 1; suma produselor elementelor corespondente din oricare două linii (coloane) este egală cu zero; fiecare element al matricei este egal cu complementul său algebric (cofactorul); determinantul este egal cu 1.

Din aceste proprietăți rezultă că inversa unei matrice de rotație este egală cu transpusa acesteia, deci orice matrice de rotație între două sisteme de coordonate ortogonale este ortonormată :

(1.50)

Cu (1.47), relația (1.40), de transformare a coordonatelor punctului din sistemul S' în sistemul S, devine :

(1.51)

Cu (1.50) este ușor de observat din (1.51) că transformarea inversă este :

(1.52)

Se observă deci că transformarea coordonatelor punctului între două sisteme de referință implică două operații: translația, care ține cont de separarea originilor sistemelor, și rotația, care ține cont de nealiniamentul axelor de coordonate ale sistemelor [87].

In cazul in care se considera un vector delimitat de punctele P1 si P2 , rezulta relatiile de transformare :

(1.53)

In care (x1, y1, z1) si sunt coordonatele punctului P1 in sistemul S, respectiv in sistemul , iar (x2, y2, z2) si sunt coordonatele punctului P2 in sistemul S, respectiv in sistemul .

Relatia (1.53) confirma faptul ca vectorii, operatiile cu vectori si relatiile dintre vectori sunt invariante la schimbarile sistemelor de coordonate. Deci, trecerea unui vetor dintr-un sistem de coordonate in altul implica utilizarea unei matrice de rotatie ortonormata R, elementele acestei matrice de rotatie, numita matricea cosinusilor directori, fiind cosinusi unghiurilor dintre axele de coordonate ale sistemelor de referinta intre care se face trecerea.

1.1.2 Transformarea vectorilor prin rotatii plane

Desi matricea de transformare R are 9 elemente datorita celor 3 constrangeri de ortogonalitate si celor 3 constrangeri de normalitate, trecerea de la un sistem de coordonate la altul implica doar 3 grade de libertate. Aceasta observatie a condus la ideea ca trecerea de la un sistem de referinta la altul se poate realiza utilizand doar 3 parametrii independenti, in acest scop fiind introdus si conceptul de rotatii plane.

Rotatiile plane reprezinta o denumire conventionala utilizata pentru exprimarea matematica a rotatiei vectorilor intre 2 sisteme de coordonate, in care al 2-lea sistem de coordonate este obtinut din primul printr-o rotatie a acestuia cu un unghi in jurul unui vector . In cazul in care vectorul este chiar una din axele de coordonate, atunci matricea rotatiei plane capata o forma simplificata. Pentru 2 triedre aflate intr-o pozitie arbitrara trecerea se face prin 3 rotatii succesive care folosesc regula maini drepte. Unghiurile de rotatie sunt numite ungiurile lui Euler.

Fie unghiurile lui Euler care fac trecerea de la sistemul Oxyz (S) la sistemul (). Prima rotatie a sistemului Oxyz se realizeaza in jurul axe Oz cu unghiul si implica aparitia unui nou set de axe . Coordonatele unui vector de pozitie in acest nou sistem se pot calcula cu formula :

(1.54)

A doua rotatie este realizata de sistemul in jurul axei cu unghiul , rezultand sistemul (fig. 3.11). Transformarea din in este :

(1.55)

In final cea dea 3-a rotatie in jurul axei cu unghiul , transforma sistemul in sistemul (fig 3.11). Transformarea corespunzatoare are forma :

(1.56)

Matricea finala de rotatie se defineste ca fiind produsul matricelor R3, R2 si R1 :

(1.57)

Cu :

(1.58)

Trebuie mentionat ca unghiurile lui Euler nu sunt unic definite, existand o infinitate de posibilitati de alegere a acestora. Pentru un anumit set de unghiuri Euler, ordinea aleasa pentru rotatii trebuie utilizata cun consecventa deoarece schimbarea acestei ordini conduce la obtinerea altei matrice de rotatie R[27].

In cele ce urmeaza vor fi puse in evidenta cele mai importante transformari de coordonate intre sisteme ortogonale din navigatia inertiala strap-down : sistemul fix si centrat in raport cu pamantul in sistemul vertical local geodezic, din sistemul orizontal local in sistemul fix si centrat in raport cu pamantul si din sistemul legat de vehicul in sistemul orizontal local.

Conform figurii 3.5, la trecearea intre sistemele SFCP si SVLG trebuie sa exprimam coordonatele geodezice si h in functie de cele rentangulare . Pamantul poate fi aproximat ca un elipsoid de revolutie in jurul axei mici, elipsa geodezica fiind descrisa in figura 3.12. Latitudinea este unghiul dintre normala la elipsoid N si planul ecuatorial. De notat ca prelungirea normalei in interiorul elipsoidului de referinta nu va intersecta centrul Pamantului. Longitudinea este unghiul in plan ecuatorial intre primul meridian si proiectia vectorului de pozitie a punctului pe planul ecuatorial. Altitudinea h este distanta in lungul normalei la elipsoid, masurata intre suprafata elipsoidului de referinta si pozitia vehiculului [36].

Fig. 3.12 Elipsa geodezică

In figura de mai sus s-a notat cu a – semiaxa mare si cu b – semiaxa mica a elipsei. Aplatizarea si excentricitatea elipsoidului sunt definite cu relatiile :

(1.59)

Cu a = 6378137.0m si b=6356752.3142m.Lungimea normalei la elipsoid, intre suprafata elipsoidului si intersectia cu axa este :

(1.60)

Trecerea de la SVLG la SFCP se face cu formulele [3] si [38].

(1.61)

Foarte multe date de navigatie sunt exprimate in coordonatele () si de aceea, este necesara si transformarea inversa. Pentru longitudine relatia de calcul rezulta rapid :

(1.62)

Dar pentru solutiile trebuie calculate prin iteratie dupa cum urmeaza [38] :

Initializarea :

(1.63)

Urmarirea iteratiei de mai jos pana la convergenta :

(1.64)

Fig 3.13 Transformarea SFCP-SOL

Pentru a usura calculul transformarilor care au loc la trecerea din sistemul fix si centrat in raport cu Pamantul (SFCP) in sistemul orizontal local (SOL), in originea a sistemului SOL se vor trasa 3 axe paralele cu cele ale sistemului SFCP, rezultand triedrul (fig 3.13). Transformarea unui punct dintr-un sistem in altul presupune efectuarea unei translatii a origini O in (si invers), urmata de o rotatie a triedrului pana cand este suprapus peste , iar transformarea unui vector implica doar rotatia. Conform ecuatiei (3.51), daca (xp, yp, zp), respectiv (), sunt coordonatele punctului, respectiv ale originii , in sistemul SFCP, iar (x1, y1, z1) sunt coordonatele punctului in sistemul SOL, rezulta :

(1.65)

Unde este matricea de rotatie intre sistemul SOL si SFCP.

Rotatia SFCP-SOL se face prin 2 rotatii plane succesive, o prima rotatie in jurul axei cu unghiul , caracterizata de matricea :

(1.66)

Si o a 2-a rotatie in jurul noii axe cu unghiul (), caracterizata de matricea :

(1.67)

Matricea se obtine prin inmultirea matricelor R2 si R1 :

(1.68)

Transformarea unui vector din SOL in SFCP este descrisa de rotatia :

(1.69)

Iar transformarea inversa de :

(1.70)

Unde este matricea transpusa matricei .

Pentru a pune in evidenta ecuatiile de transformare ale punctelor si vectorilor intre sistemul legat de vehicul (SV) si sistemul orizontal local (SOL) se considera situatia din figura 3.14, in care cele 2 sisteme sunt orientate arbitrar unul fata de celalat. Deasemenea, se considera triedrul cu originea identica cu a triedrului SV si axele paralele cu cele ale triedrului SOL.

Transformarea coordonatelor unui punct din SV in SOL implica o translatie, care are in vedere pozitia origini a triedrului legat de vehicul vis–vis de triedrul SOL si o rotatie, care suprapune triedrul peste triedrul :

(1.71)

Unde (xl, yl, zl) respectiv () sunt coordonatele punctului, respectiv ale originii Ov in sistemul SOL (xv, yv, zv) sunt coordonatele punctului in sistemul SV, iar este matricea de rotatie intre sistemul SV si sistemul SOL. In cazul unui vector, relatia de transformare este:

(1.72)

Fig 3.14 Transformarea SOL-SV

Considerand rotatia SOL-SV, conform figurii 3.14, suprapunerea triedrelor si Ovxvyczv, se face prin 3 rotatii succesive:

Prima rotatie in jurul axei cu unghiul de giratie ;

A 2-a rotatie in jurul axei cu unghiul de tangaj ;

A 3-a rotatie in jurul axei cu unghiul de ruliu .

Deci, elementele matricei se calculeaza cu formulele :

(1.73)

Iar elementele matricei se obtin prin transpunerea matricei .

Daca se doreste trecerea de la sistemul SV la SFCP sau la SVLG se pot utiliza trecerile succesive prin mai multe sisteme de coordonate. De exemplu, trecerea SV-SFCP a unui vector se poate face cu relatiile succesive :

(1.74)

(1.75)

Sau cu relatia directa :

(1.76)

In care matricea de rotatie este obtinuta prin inmultirea matricelor rotatiilor partiale si :

(1.77)

Calculele de transformare vor fi efectuate de catre procesorul de navigatie, deoarece toate aceste sisteme sunt implementate software.

1.1.3 Ecuatiile lui Poisson pentru matricea cosinusilor directori

In transformarile de coordonate considerate anterior nu s-a tinut cont de faptul ca sistemele de coordonate se afla in miscare unul fata de celalalt. In acest caz trebuie pusa in evidenta derivata matricei cosinusilor directori, motiv pentru care este cosiderata relatia care descrie derivarea unui vector in raport cu spatiul inertial, numita si formula lui Coriolis [28] [118] :

(1.78)

Unde este derivata vectorului in raport cu sistemul de referinta inertial, este derivata lui in raport cu sistemul de referinta arbitrar m, iar – viteza unghiulara absoluta a sistemului m. In forma matriciala, relatia (1.78) devine :

(1.79)

Cu :

(1.80)

Si este matricea componentelor in sistemul m a derivatei a lui .

Conform transformarilor de la subcapitolele 1.1.1 si 1.1.2 trecerea de la sistemul m la sistemul I se face cu relatia :

(1.81)

In care este matricea de rotatie intre sistemul m si sistemul I. Diferentiind ambi termeni ai relatiei (1.81) rezulta :

(1.82)

Cum

(1.83)

Formulele (1.79) si (1.82) conduc la relatia :

(1.84)

Care implica :

(1.85)

Adica :

(1.86)

Aceasta ecuatie este cunoscuta sub numele de ecuatia lui Poisson [118]. Efectuand un calcul similor se poate obtine derivata matricei transformarii inverse sub forma :

(1.87)

Ecuatia (3.86) exprima derivata matricei de transformare intre un sistem arbitrar si un sistem inertial. In majoritatea cazurilor insa, in navigatia inertiala, matricele de transformare corespund trecerilor intre 2 sisteme neinertiale si prin urmare, plecand de la relatia (3.86) se poate scrie o forma echivalenta corespunzatoare acestei treceri :

(1.88)

Matricea avand ca elemente componentele vitezei unghiulare relative intre sistemele de coordonate m si n. Aceasta relatie poate fi folosita insa doar pentru determinarea coordonatelor in algoritmul de navigatie deoarece utilizeaza viteze unghiulare relative. Deoarece senzorii inertilai furnizeaza vitezele unghiulare absolute ale vehiculului, pentru determinarea atitudini acestuia relatia (3.88) trebuie pusa intr-o forma adecvata. Astfel diferentiind ambii membrii ai axpresiei :

(1.89)

Se obtine :

(1.90)

Cu relatiile (1.85) si (1.87) rezulta :

(1.91)

Transformand relatia (1.90) si tinand cont de (1.91) se ajunge la formula :

(1.92)

In care :

(1.93)

– componentele vitezei ungiulare absolute ale sistemelor de coordonate m si n. Daca in locul celor 2 triedre m si n sunt triedrele SOL si SV atunci, prin analogie, ecuatia Poisson matriciala devine :

(1.94)

1.1.4. Vectori de rotatie si quaternioni

S-a vazut anterior cum suprapunerea a 2 treiedre care au acceasi origine se poate face utilizand 3 rotatii succesive, unghiurile de roatie fiind unghiurile lui Euler. In locul acestor 3 roatii succesive cele 2 sisteme de coordonate pot fi supreapuse printr-o singura rotatie in jurul unei axe fixe. In sprijinul acestei metode de treansformare vine teorema lui Euler [115] : fiind date 2 pozitii P si ale unui corp solid, mobil in jurul unui punc O in raport cu un triedru de referinta considerat fix, exista intodeauna o rotatie in jurul unei axe fixe care face trecerea de la P la . Unei astfel de rotatii i se asociaza un vector de rotatie al carui modul este egal cu unghiul de roatie exprimat in radiani si a carui directie este in lungul dreptei fix in jurul careia se face rotatia [123]. Pozitia dreptei fixe in raport cu sistemul de referinta fix S (OXYZ) este descrisa de unghiurile si dintre dreapte si axele sistemul de coordonate (fig. 3.15).

Considerand ca un sistem () se roteste arbitrar fata de sistemul fix OXYZ, conform teoriei lui Euler, sistemul este rotit cu un unghi in jurul unei axe fixe fata de sistemul OXYZ, axa pozitionata prin unghiurile si cu axele sistemului fix. Mai mult, unghiurile dintre dreapta fixa si axele sistemului mobil sunt tot si (fig. 3.15).

Aceasta rotatie transforma un vector in vectorul . Matricea de roatie trebuie sa fie echivalenta cu matricea cosinusilor directori data de relatia (1.49) si cu matricea unghiurilor lui Euler data de relatiile (1.57) si (1.58). conform figurii 3.16 [115] :

(1.95)

Unde

(1.96)

Si este vectorul axei de rotatie. Substituind (1.96) in (1.95) rezulta :

(1.97)

Care conduce la relatia matriciala:

(1.98)

Dupa prelucrare rezulta :

(1.99)

Unde este matricea de rotatie corespunzatoare vectorului de rotatie si este descrisa de relatiile:

(1.100)

In care :

(1.101)

Daca se noteaza si , atunci relatia 1.99 devine :

(1.102)

Matricea fiind echivalenta matricei cosinusilor directori si a matriceai unghiurilor lui Euler, care fac trecerea intre sistemul fix S si sitemul mobil.

Pentru usurarea operatiilor de transformare de la un sistem de referinta la altul cel mai frecvent se utilizeaza algebra quaternionilor lui Hamilton, care are la baza ideea folosirii vectorului de rotatie . Un quaternion Hamilton se poate defini ca fiind un numar complex generalizat (cu patru componente) avand forma [115].

(1.103)

In care q0, q1, q2, q3 sunt numere reale, iar i ,j ,k corespund versorilor axelor de coordonate ale sitemului de referinta fix. Conceptual, partea imaginara () defineste un vector in spatiu, iar partea reala q0 a quaternionului defineste rotatia in jurul acestui vector. Daca se tine cont ca vectorul , in jurul caruia se face rotatia, este situat pe o axa de rotatie de versor , ale carui componente in sistemul de referinta fix sunt , si , relatia (1.103) poate fi exprimata sub forma :

(1.104)

Sau :

(1.105)

Unde este quaternionul pur imaginar asociat vectorului .

(1.106)

Rezulta :

(1.107)

Astfel, matricea este descrisa de expresia (1.101).

(1.108)

Se poate concluziona foarte usor ca, spre deosebire de matricea sosinusilor directori in care apar 6 conditii de constrangere (3 pentru ortogonalitate si 3 pentru normalitate) la 9 parametrii, in cazul parametrizarii quaternionice apare o singura conditie de constrangere la 4 parametri :

(1.109)

Dupa cum s-a punctat anterior, unui quaternion i se asociaza scalarul q0 si componentele (q1, q2, q3) ale unui vector intr-un triedru ortonormat definit prin versorii (). Pe de alta parte, unei vector , de componente (x, y, z) in acelasi triedru, i se asociaza un quaternion pur imaginar .

La fel ca si in parametrizarile anterioare este necesar sa fie determinata transformarea unui vector dintr-un sistem de referinta in altul. Se considera pentru inceput ca vectorul care se roteste este perpendicular pe versorul al axei de rotatie si ca unghiul de rotatie al lui este (fig. 3.17)[115]. Fie vectorul obtinut prin rotirea lui cu . Rezulta :

(1.110)

Deoarece si au acelasi modul si orientari diferite prin descompunerea lui dupa directia lui si dupa o directie perpendiculara pe (fig. 3.17) se obtine :

(1.111)

Astefel, quaternionul asociat lui este :

(1.112)

Unde este quaternionul asociat produsului vectorial . Se demonstreaza usor ca [115]:

(1.113)

Deoarece , produsul quaternionilor atasati va fi anticomutativ [115]

(1.114)

Si prin urmare, relatia (1.112) devine :

(1.115)

Daca se tine cont ca si de relatia (1.114) rezulta :

(1.116)

Deci, relatia care transforma vectorul prin rotatie in jurul lui devine :

(1.117)

Rezulta ca transformarea unui vector dint-un sistem de referinta S intr-un sistem , in parametrizare quaternionica, se face cu operatorul , in care are expresia :

(1.118)

Aplicand aceasta parametrizare, transformarea in sistemul in a vectorului implica :

(1.119)

Dupa efectuarea calculelor, prin identificarea coeficientilor lui se obtine formula matriciala:

(1.120)

Unde :

(1.121)

Se observa ca matricea rezultata din operatorul quaternionic de rotatie, este identica cu matricea de transformarea vectorului de rotatie (1.108), lucru care confirma valabilitatea parametrizarii quaternionice.

Acelasi rezultat se obtine daca se folosesc quaternioni in reprezentari matriciale [38][112] :

(1.122)

Astefel, inmultind 2 quaternioni se obtin matrice quaternionice inversabile care computa intre ele :

(1.123)

Unde si .

In acelasi limbaj, la trecerea unui vector din sistemul de referinta in rezulta:

(1.124)

Daca se efectueaza calculele se confirma ca :

(1.125)

1.1.5. Ecuatia lui Poisson pentru quaternionii de rotatie

Se considera ca trebuie efectuata o transformare dubla de coordonate, trecand prin 3 triedre de referinta si . In aceasta situatie este interesant de observat produsul rotaiilor partiale ale unui vector . Fie si quaternioni asociati rotatiilor in jurul vectorilor si cu si . Rezulta :

(1.126)

Unde si se obtin intre si axele triedrului , iar si intre si axele triedrului . Daca se noteaza cu si vectorii rotiti in triedrul , respectiv , rezulta relatiile :

(1.127)

Adica :

(1.128)

Deci, quaternionul asociat schimbarii de coordonate este .

Pentru a traduce ecuatiile lui Poisson in limbaj quaternionic, se defineste derivata unui quaternion sub forma [115].

(1.129)

Conform relatiei (1.128), quaternionul asociat trecerii este :

(1.130)

Unde corespunde uneri rotatii infinitesimale :

(1.131)

Unde – este quaternionul asociat vectorului viteza unghiulara a lui fata de . Rezulta :

(1.132)

Adica :

(1.133)

Relatia (1.133) poarta numele de ecuatia lui Poisson pentru quaternioni de rotatie. Sub forma matriciala aceasta devine:

(1.134)

Sau echivalent :

(1.135)

1.2. Transformari de coordonate intre sisteme neortogonale

Aceasta categorie de transformari de coordonate este utilizata in procesul de aliniere a axelor sistemului inertial. In navigatia inertiala sunt 4 transformari neortogonale esentiale :

transformarile in sistemul nerotogonal al axelor de intrare ale accelerometrelor (notat cu indicele inferior a) ;

din cel al girometrelor (indice g);

in sistemul ortogonal al platformei (indice p) ;

In sistemul vehiculului (indice v).

Fiecare dintre transformarile de coordonate de mai sus se dezvolta utilizand relatia [29] :

(1.136)

In care litera T denota o schimbare de coordonate care include un sistem neortogonal, iar reprezinta matricea de transformare intre sistemul de coordonate n si sitemul m. Aceasta expresie imparte treansformarea intr-o parte ortogonala [29]:

(1.137)

Si una neortogonala [29] :

(1.138)

Se va exemplifica o astefel de transformare pentru cazul in care trecerea se face de la sistemul legat de axele de intrare ale accelerometrelor la sistemul legat de platforma , celelate transformari care implica sisteme neortogonale facandu-se analog.

Conform 1.1.4, axele platformei se definesc astfel incat sa ortogonalizeze coordonatele accelelometrice si girometrice, originile celor 2 sisteme fiind caracterizate de un vector de offset nul. Pentru a defini axele platformei se considera ca punct de plecare faptul ca axe a platformei este identica cu axa a sistemului accelerometric. In continuare se defineste axa ca fiind in planul astfel incat .

Conform figurii 3.18, axa poate fi pozitionata printr-un mic unghi de rotatie in planul , iar axa de poate fi pozitionata printr-un mic unghi de rotatie vis-a-vis de si un altul () vis-a-vis de . Rezulta astfel ca si . Pe parcursul calibrarii sistemului inertial datele primite de la accelerometre ofera cosinusi directori si , de unde rezulta ca toti sosinusi directori trebuie sa fie exprimati in functie de aceste produse scalare. In figura 3.18 cu si , respectiv cu si s-au notat versori axelor accelerometrelor, respectiv versori axelor sistemului legat de platforma.

Deoarece produsul scalar a 2 vectori este egal cu cosinusul unghiului dintre ei si deoarece sitemul platformei este ortogonal, rezulta :

(1.139)

Conform figurii 3.18 se scriu relatiile :

(1.140)

Deoarece , rezulta :

(1.141)

Daca a 2-a ecuatie obtinuta din dezvoltarea (1.139) este inmultita cu se obtine:

(1.142)

Inmultind cu a 2-a si a 3-a ecuatie din dezvoltarea (1.139) rezulta si restul cosinusilor directori:

(1.143)

Deci, transformarea din sistemul accelerometric in sistemul legat de platforma va fi data de o matrice de forma :

(1.144)

Cu elemetele [29] :

(1.145)

Relatiile (1.144) si (1.145) sunt utilizate pentru realizarea unor calcule exact, dar daca axele accelerometrelor sunt foarte aproape de ortogonalitate sau daca acuratetea ceruta nu este foarte ridicata se pot folosi relatii de calcul aproximativ. Astfel, din figura 3.18 rezulta:

(1.146)

Care conduc la aproximarile urmatoare pentru cosinusi directori :

(1.147)

Substituind (1.147) in (1.145), matricea devine :

(1.148)

Care arata ca pentru definirea axelor ortogonale ale platformei in raport cu cele neortogonale, de intrare ale accelerometrelor, sunt necesare cele 3 unghiuri si .

Aplicand dezvoltarea (1.136) se obtine :

(1.149)

Si

(1.150)

Se observa ca :

(1.151)

Unde :

(1.152)

Matricea caracterizeaza rotatia unui vector din sistemul accelerometric in sistemul platformei, iar matricea caracterizeaza corectiile componentelor vectorului obtinut prin rotatie. Astfel, daca se considera vectorul , atunci componentele lui in sistemul platformei vor fi obtinute din relatia matriciala:

(1.153)

Din care se observa, de exemplu, ca magnitudinea componentei a vectorului este corectata de matricea cu valoarea .

Pentru celelalte 3 transformari neortogonale (accelerometre vehicul, girometre platforma, girometre vehicul) relatiile se deduc absolut identic.

2. PROCEDURI DE CALIBRARE A SENZORILOR INERTIALI

Pentru ca navigatorul inertial sa poata rula algoritmi de navigatie si aliniere in mod corect este necesar ca erorile senzorilor inertiali (accelerometre si girometre) sa fie corectate printr-un algoritm implementat software. Corectarea erorilor are la baza un model de eroare al senzorilor, ale carui valor numerice sunt obtinute in urma unor proceduri de calibrare [38] [118]. Modelul de eroare al senzorilor inertial folosit pentru realizarea corectiilor in urma calibrarii poate fi descris prin relatiile [118] :

(2.1)

Unde sunt componentele erorilor accelerometrelor si girometrelor in triedrul vechicul ; – erorile sistematice ale accelerometrelor; – erorile de instalare ale accelerometrelor; – factori de scala ai accelerometrelor; – proiectiile fortei specifice in triedrul vehicul; – erorile sistematice ale girometrelor; – factorii de scala ai girometrelor; – erorile de instalare ale girometrelor; – derivele girometrelor datorate acceleratiilor (erorile de incovoiere), iar- proiectiile pe triedrul vehicul ale vitezei unghiulare absolute.

In continuare se considera ca erorile de incovoiere ale girometrelor sunt nule, iar parametrii si sunt constanti dar au valori necunoscute. Scopul calibrarii este acela de a extima acesti parametrii. Procedura de calibrare se poate realiza montand unitatea de masurare inertiala (IMU) pe o masa rotativa, ale carei axe sunt orientate precis in raport cu triedrul orizontal local . Prin rotirea axelor IMU in raport cu triedrul orizontal lcoal, cu diferite unghiuri, se poate creea un model de calibrare a masuratorilor inertiale. Extragerea parametrilor si este posibila datorita proiectilor vitezei de rotatie a Pamantului si a vectorului acceleratie gravitationala aparenta pe axele triedrului vehicul, pentru diferite poztitii ale IMU.

Estimarea parametrilor si se poate face prin 2 proceduri de calibrare:

Prima procedura utilizeaza indicatiile grosiere ale accelerometrelor si girometrelor;

A 2-a procedura utilizeaza indicatiile INS strap-down in modul navigatiei [118].

Prima procedura de calibrare

In cazul primei proceduri se considera ca orientarea initiala a axelor IMU este urmatoarea : axa de ruliu catre Est, axa de tangaj catre Nord iar axa dupa verticala locului (figura 4.1). proiectiile vitezei unghiulare a Pamantului pe axele triedrului vehicul sunt :

(2.2)

Cu – latitudinea vechiculului. Proiectiile vectorului gravitatie in triedrul veicul sunt date de relatiile :

(2.3)

Conform modelului (2.1), masuratorile girometrice si accelerometrice sunt :

(2.4)

Daca axele IMU sunt rotite cu in raport cu triedrul orizontal local, atunci poztitia acestora este urmatoare : este orientata in sens opus verticalei locului, este orientata catre Nord si catre Est. In acest caz, proiectiile vitezei unghiulare a Pamantului pe axele triedrului vehicul sunt date de relatiile :

(2.5)

Iar proectiile vectorului gravitatie de relatiile :

(2.6)

Masuratorile girometrice si accelerometrice devin :

(2.7)

Utilizand aceasta metoda de reprezentare a modelului pentru diferite unghiuri de rotatie a axelor IMU se poate defini modelul indicatiilor girometrelor si accelerometrelor. Astfel, se pot estima parametrii si utilizand metoda celor mai mici patrate.

A doua procedura de calibrare

Cea de-a 2-a procedura utilizeaza iesirile de viteza ale INS strap-down ca masuratori in modul navigatie. Ca si in procedura precedenta de calobrare, IMU v-a fi rotit cu diferite unghiuri, dar pe parcursul intregi proceduri se vor stoca iesirile de viteza in modul navigatie. Acuratetea orientarii blocului IMU in raport cu triedrul orizontal nu va fi determinata in acest caz deoarece indicatiile de viteza ale INS strap-down vor fi citite dupa incheierea proceduri de aliniere, iar erorile de nealiniere vor fi considerate necunoscute, fiind estimate impreuna cu ceilalti parametrii. Aceasta procedura presupune utilizarea unui model simplificat de eroare pentru INS strap-down [118]. Astfel, modelul de eroare pe fiecare canal va avea forma :

In canalul Est :

(2.17)

In canalul Nord :

(2.18)

Unde si sunt proiectiile erorilor accelerometrelor si girometrelor in triedrul orizontal local. Neglijand componentele si , modelul de eroare poate fi scris sub forma :

(2.19)

In care si sunt erorile de aliniere orizontala, care se poate defini utilizand ecuatiile (2.19) si modelul de eroare (4.1) :

(2.20)

Considerand matricea cosinusilor directori care face trecerea intre triedrul vehicul si triedrul orizontal local sub forma [118]:

(2.21)

In care :

(2.22)

In relatiile (2.22) este unghiul de ruliu, este unghiul de tangaj iar este unghiul de giratie.

A 2-a procedura de calibrare contine cateva secvente de rotatie a IMU in modul navigatie. Dupa una-doua rotatii INS strap-down trebuie restartat pentru a creea intervalele de timp mici necesare modulul navigatie (daca aceste intervale de timp nu sunt de ordinul 25 min, atunci modelul (2.19) nu mai este valid) [118].

Sa consideram, de exemplu, rotatie a IMU cu unghiul . Rezulta ca viteza unghiulara absoluta a vehiculului are forma :

(2.23)

In care este viteza unghiulara de rotatie. In ecuatiile urmatoare se va neglija viteza de rotatie a Pamantului in comparatie cu marimea lui . Matricea cosinusilor directori are atunci forma [9] [28]:

(2.24)

Utilizand modelul de eroare al girometrelor (4.1) si viteza unghiulara a vehiculului (2.23) rezulta :

(2.25)

Iar erorile girometrelor in triedrul orizontal local devin :

(2.26)

Din relatiile (2.25) si (2.26) rezulta :

(2.27)

Iar prin integrare in timp se obtine :

(2.28)

O procedura similara poate fi utilizata si pentru erorile accelerometrelor. Astfel, proectiile fortei specifice pe triedrul vehicul sunt :

(2.29)

Proiectiile erorilor accelerometrelor pe axele triedrului vehicul sunt :

(2.30)

Iar in treidrul orizontal local :

(2.31)

Din relatiile 2.30 si 2.31 rezulta :

(2.32)

Utilizand ecuatiile 2.19, 2.20, 2.28, 2.32, modeulul de masurare al vitezei capata forma :

(2.33)

Pentru ecuatiile 2.33 devin :

(2.34)

Iar pentru :

(2.35)

In cazul rotatie IMU cu unghiul , viteza unghiulara absoluta a vehiculului are forma :

(2.36)

Cu – viteza unghiulara de rotatie. Matricea are forma :

(2.37)

Utilizand modelul de eroare al girometrelor (2.1) si viteza unghiulara a vehiculului (2.36) rezulta :

(2.38)

Iar erorile girometrelor in triedrul orizontal local devin :

(2.39)

Din relatiile 2.38 si 2.39 rezulta :

(2.40)

Iar prin integrare in timp se obtine :

(2.41)

Procedand similar pentru erorile accelerometrelor se obtin succesiv :

Proiectiile fortei specifice pe triedrul vehicul :

(2.42)

Proiectiile erorilor accelerometrelor pe axele triedrului vehicul :

(2.43)

Proiectiile erorilor accelerometrelor in triedrul orizontal local :

(2.44)

Din relatiile 2.43 si 2.44 rezulta :

(2.45)

Cu relatiile 2.19, 2.20, 2.41 si 2.45, modelul de masurare al vitezei devine :

(2.46)

Pentru ecuatiile 2.46 devin :

(2.47)

Iar pentru :

(2.48)

In cazul rotatie IMU cu unghiul , viteza unghiulara absoluta a vehiculului are forma :

(2.49)

Iar matricea cosinusilor directori :

(2.50)

Cu relatia 2.49, modelul 2.1 devine :

(2.51)

Erorile girometrelor in triedrul orizontal local sunt :

(2.52)

Adica :

(2.53)

Integrand relatiile 2.53 rezulta :

(2.54)

Proiectiile fortei specifice pe triedrul vehicul sunt :

(2.55)

Cu relatia 2.55 si modelul 2.1 rezulta proiectiile erorilor accelerometrelor pe axele triedrului vehicul :

(2.56)

Si pe axele triedrului orizontal local :

(2.57)

Respectiv :

(2.58)

Modelul de masurare a vitezei are in acest caz forma :

(2.59)

Pentru relatiile 2.59 devin :

(2.60)

Iar pentru :

(2.61)

Presupunand ca parametrii si au fost estimati si compensati cu prima procedura de calibrare, se poate folosi urmatoarea procedura pentru a estima erorile de instalare a girometrelor :

Pasul 1 – rotatie cu

Conform modelului de masurare 2.34 rezulta :

(2.62)

Pasul 2 – rotatie cu

Conform modelului de masurare 2.35 rezulta :

(2.63)

Pasul 3 – estimarea parametrilor si

(2.64)

Pasul 4 – rotatie cu

Conform modelului de masurare 2.47 rezulta :

(2.65)

Pasul 5 – rotatie cu

Conform modelului de masurare 2.48 rezulta :

(2.66)

Pasul 6 – estimarea parametrilor si :

(2.67)

Pasul 7 – rotatie cu

Conform modelului de masurare 2.61 rezulta :

(2.68)

Pasul 8 – estimarea parametrilor si :

(2.69)

Cea de a 2-a procedura de calibrare contine urmatoarele etape :

IMU este instalat pe o masa rotativa, fiind orientat aproximativ in raport cu triedrul orizontal local;

INS strap-down este introdus in modul aliniament. Dupa terminarea procesului de aliniere sistemul este trecut in modul navigatie;

IMU este rotit secvential cu diferite unghiuri (unul sau doua) si sunt retinute valorile de iesire ale vitezelor (timp de min);

sistemul este oprit si redus in pozitia initiala;

procedura este repetata pentru diferite unghiuri de rotatie in scopul de a acumula suficiente date pentru calibrarea parametrilor;

pentru toate poztiile de rotatie este creeat modelul de masurare al vitezei iar datele masurate sunt filtrate;

folosind modelul de masurare si datele filtrate sunt estimati parametrii modelului de eroare.

In practica nu se foloseste doar prima metoda de calibrare sau doar a 2-a, ci o combinatie intre acestea. Pentru estimarea parametrilor modelului de eroare se foloseste metoda celor mai mici patrate sau filtrul Kalman.