Operatori Diferentiali Si Integrali pe Spatii de Functii Analitice

Diverse2

Operatori Diferentiali Si Integrali pe Spatii de Functii Analitice

Byadmin ianuarie 1, 2024

LUCRARE DE LICENȚĂ

OPERATORI DIFERENTIALI SI INTEGRALI PE SPATII DE FUNCTII ANALITICE

Cuprins

Introducere

1.Notiuni si rezultate preliminare

1.1 Clase de functii analitice

1.1.1 Functii stelate, functii convexe si functii aproape convexe

1.1.2 Functii stelate si functii convexe de un anumit ordin

1.2 Subordonari diferentiale

2 Operatori diferentiali

2.1 Operatori Ruscheweyh. Clase de functii definite cu ajutorul acestuia

2.2 Operatorul diferential Salagean si operatorul Al-Oboudi

2.3 Subordonar dferentiale obtinute utilizand operatorii Ruscheweyh si Al-Oboudi

3. Operatori integrali

3.1 Existenta operatorilor integrali

3.2 Proprietati geometrice pentru diferiti operatori integrali

Bibliografie

Introducere

Studiul functiilor de o variabila convexa a condus la dezvoltarea unei ramuri a Analizei Complexe care imbina rigoarea rationamentului matematic cu intuitia geometrica – Teoria geometrica a functiilor analitice. In acest domeniu, o problema care a facut obiectul cercetarilor multor matematicieni de-a lungul timpului este aceea a studiului operatorilor diferentiali si integrali pe diferite spatii de functii analitice. Doi operatori diferentiali cu ajutorul carora au fost definite numeroase noi clase de functii analitice, dar si noi operatori diferentiali, sunt operatorul introdus de S.Ruscheweyh in 1975 si operatorul introdus de G.St. Salagean in 1983. In ceea ce priveste operatorii integrali, acestea au cunoscut o mare dezvoltare inca de la inceputul secolului al XX-lea, J. W. Alexander fiind primul care defineste, in 1915, un operator integral pe o subclasa de functii univalent, de atunci obtinandu-se numeroase rezultate remarcabile, multe dintre acestea prin intermediul metodei subordonarlor diferentiale.

Lucrarea de fata prezinta o serie de rezultate din studiul operatorilor diferentiali si integrali, o atentie deosebita fiind acordata relatiilor de incluziune intre clasele de functii diferite prin intermediul operatorilor. Se cauta de asemenea estimari exacte ale coeficientilor sau conditii suficiente pentru ca diferiti operatori sa conserve anumite clase de functii analitice, punandu-se accent in special pe stelaritate si convexitate.

Primul capitol al lucrarii cuprinde definitii, caracterizari si proprietati fundamentale ale unor clase de functii univalente, functiile stelate, functiile convexe, functiile aproape convexe si functiile stelate si cele convexe de un anumit ordin. De asemenea, datorita faptului ca subordonarile diferentiale joaca un rol important in studiul operatorilor diferentiati si integrali, Capitolul 1 cuprinde si o introducere in metoda functilor admisibile si cateva rezultate clasice referitoare la subordonari.

In cel de-al II lea capitol se trateaza operatorul diferential Ruscheweyh, operatorul dferential Salagean, operatorul Al-Oboudi si diverse clase de functii introduce cu ajutorul acestora. In finalul capitolului se prezinta un operator diferential definit ca o combinative a operatorilor Al-Oboudi si Ruscheweyh, cu ajutorul careia se obtin noi generalizari ale unor rezultate anterioare, date in termini de subordonari diferentiale.

Cel de-al treilea capitol se opreste asupra unor probleme referitoare la operatorii integrali pe spatii de functii analitice.

Materialul prezentat in lucrare a fost selectat astfel incat continutul final sa apara intr-o forma accesibila, fara insa a-si pierde din rigurozitate si sa acopere atat aspect clasice cat si unele mai recente privitoare la operatorii diferentiali si integrali definite pe spatii de functii analitice.

In final este prezentata o bibliografie selective, cuprinzand titluri de lucrari si carti utilizate pe parcursul elaborarii acestei lucrari.

Tin sa aduc, pe acesta cale, sincere multumiri si sa-mi exprim sentimentele de stima si respect conducatorului stiintific al lucrarii, Prof. univ. dr. Gheorghe Oros pentru modul in care m-a indrumat in elaborarea acestei lucrari.

Capitolul 1

Notiuni si rezultate preliminare

Clase de functii analitice

In cele ce urmeaza, prin U(,r) vom nota discul deschis centrat in si de raza r, adica U(;r)={z, iar prin U vom intelege discul unitate, U=U( 0; 1).

Reamintim pentru inceput ca o functie cmplexa definite pe o multime deschisa G se numeste olomorfa pe G, daca este derivabila in orice punct din multimea G. Multimea tuturor functiilor olomorfe pe G se noteaza cu H(G). O functie olomorfa pe C se numeste functie intreaga.

Vom spune ca functia este dezvoltabila in serie tayloriana in jurul punctului din G, daca exista un disc U(; r) G, r>0 si o serie de puteri , pentru orice z din U(,r). Daca este dezvoltabila in serie tayloriana in jurul oricarui punct din G, spunem ca este analitica pe G.

O functie olomorfa intr-un domeniu D este univalent in daca ea este si injective pe D. Pentru ca functia olomorfa sa fie univalent intr-un domeniu este necesar ca derivate sa sa nu se anuleze in acel domeniu. Conditia nu este insa si suficienta pentru univalenta lui . De exemplu, functia , z , nu este univalent in C ( fiind periodica), desi , pentru orice z .

Pentru si vom nota

si

, ,

Iar cu notam clasa functiilor univalent in discul unitate si normate cu conditiile si ( deci functiile din , unitate in ).

Prezentam in continuare proprietati si rezultate de baza referitoare la clasa si la alte cateva clase de functii analitice.

Proprietatea 1.1.1 Clasa S este invariant la

rotatii, adica implica , unde ;

dilatari, adica implica , unde ;

radical, adica implica , unde puterea este considerate in ramura principal, cu ;

automorfisme, adica implica , unde

Teorema 1.1.1 ( teorema lui Bieberbach). Daca functia apartine clasei , atunci

( 1.1)

Estimarile sunt exacte, egalitatile avand loc daca si numai daca este de forma:

, . se numeste functia lui Koebe.

Teorema 1.1.2 Daca functia apartine clasei , atunci , delimitarea fiind exacta.

Daca este de forma ,

Teorema 1.1.3 ( teorema de deformare a lui Bieberbach). Daca este un punct fixat, , iar este o functie din clasa , atunci au loc delimitarile exacte

( 1.2)

Egalitatea in oricare din delimitarile de mai sus are loc daca si numai daca , pentru o alegere convenabila a lui .

Functii stelate, functii convexe si functii aproape convexe

Definitia 1.1.1. Fie functia cu . Functia se numeste stelata in in raport cu originea ( pe scurt, stelata) daca ea este univalenta in si este un domeniu stelat in raport cu originea.

Teorema 1.1.4 ( teorema de caracterizare analitica a stelaritatii). Fie functia cu . Atunci este stelata daca si numai daca si

( 1.3)

Definitia 1.1.2 Clasa este formata din functiile stelate si normate in discul unitate, adica

Din teorema 1.1.4 avem ca , insa relatia nu este suficienta pentru univalenta functiei f , dupa cum ne arata exemplul .

Observatia 1.1.1. Intrucat si functia lui Koebe apartine clasei, rezulta ca teorema lui Bieberbach si teorema de deformare relativa la clasa raman valabila si pentru clasa, adica in au loc delimitarile exacte ( 1.1) si ( 1.2).

Rezulta de aici ca este compacta.

Definitia 1.1.3. Functia se numeste convexa in ( pe scurt, convexa) daca ea este univalent in si este un domeniu convex.

Teorema 1.1.5 ( teorema de caracterizare analitica a convexitatii). Functia este convexa daca si numai daca si

. ( 1.4)

Teorema 1.1.6 ( teorema de dualitate a lui Alexander ). Functia este convexa in daca si numai daca functia este stelata in .

Dfinitia 1.1.4 Clasa K este formata din functiile convexe si normate in discul unitate, adica

.

Avem ca K , iar teorema de dualitate a lui Alexander se va scrie pentru aceste clase in felul urmator:

.

Teorema 1.1.7 ( teorema de delimitare a coeficientilor functiilor din clasa K). Daca functia apartine clasei K, atunci

egalitatea avand loc daca si numai daca este de forma

( 1.5)

Teorema 1.1.8 ( teorema de deformare pentru clasa K). Daca este un punct fixat, , iar este o functie din clasa K, atunci au loc delimitarile exacte

iar functia extremala este de forma ( 1.5).

Teorema precedenta implica compactitatea clasei K.

Definitia 1.1.5. Functia se numeste aproape convexa daca exista o functie convexa in astfel incat

Definitia 1.1.6. Clasa este formata din functiile aproape convexe si normate in discul unitate , adica

Observatia 1.1.2. 1) Conform Teoremei de dualitate a lui Alexander 1.1.6, avem ca daca si numai daca de unde rezulta ca functia apartine clasei daca si numai daca exista astfel incat

( 1.6)

2) Daca , conditia ( 1.6) este verificata pentru , ceea ce inseamna ca .

Functii stelate si functii convexe de un anumit ordin

Definitia 1.1.7 Fie . Clasa functiilor stelate de ordinal se defineste astfel

iar clasa functiilor convexe de ordinal este

Teorema 1.1.9 ( teorema de dualitate intre clasele si Fie

Au loc incluziunile si

Functia daca si numai daca functia , unde

iar prin se intelege acea ramura olomorfa pentru care

Pentru se verifica imediat ca functia daca si numai daca functia si aplicand teorema precedenta, rezulta urmatorul rezultat de dualitate intre clasele si .

Consecinta 1.1.1Fie . Functia daca si numai daca functia unde

Teorema 1.1.10 ( teorema de deformare pentru clasa ). Daca functia si , atunci au loc urmatoarele delimitari exacte

Functia extremala este

Teorema 1.1.11 (teorema de deformare pentru clasa ). Daca functia ,

si , atunci au loc urmatoarele delimitari exacte:

,

.

Functia extremala este

Teorema 1.1.12 ( teorema lui A. Marx si E. Strohhäcker). Daca , atunci

si 1/2.

1.2.Subodonari diferentiale

Definitia 1.2.1. Fie f si g doua functii olomorfe in U. Spunem ca functia f este subordonata functieie g si notam , sau , daca exista o functie olomorfa w cu w(0)=0 si , astfel incat

Observatia 1.2.1. Daca f, g si ,atunci si .

Proprietatea 1.2.1. 1. Daca atunci , unde , iar egalitatea are loc daca si numai daca .

2.Daca , atunci , iar egalitatea are loc daca si numai daca .

3.Daca , atunci , iar egalitatea are loc daca si numai daca

Atunci cand functia g este univalenta avem urmatoarele rezultate de caracterizare a relatieei de subordonare.

Teorema 1.2.1. Fie f olomorfa in U, iar g univalenta in U. Atunci , daca si numai daca si

Ca o consecinta imediata a Proprietatii 1.2.1. si a teoremei de mai sus, avem urmatoarea generalizare a Lemei lui Schwartz.

Consecinta 1.2.1. Fie f olomorfa in U, iar g univalenta in U, astfel incat .

Daca atunci,

Egalitatea pentru un anumit , are loc daca si numai daca (sau echivalent, ).

Definitia 1.2.2. Fie si fie functia h univalenta in U. Daca functia verifica subordonarea diferentiala

( 1.7)

atunci functia p se numeste (a,n)solutie (sau pe scurt, solutie)a subordonarii diferentialei (1.7).

Sobordonarea (1.7) se numeste subordonare diferentiala de ordinul II.

O functie univalenta q se numeste (a,n)dominanta a subordonarii diferentiale (1.7) daca , oricare ar fi functia p solutie pentru (1.7).

O dominanta astfel incat oricare ar fi dominanta q pentru (1.7) se numeste cea mai buna (a,n) dominanta (sau pe scurt, cea mai buna dominanta)a subordonarii diferentialei (1.7).

Oservatia 1.2.2. Cea mai buna dominanta este unica, abstractie facand de o rotaie a discului unitate (deoarece si implica ).

Vom nota cu Q multimea functiilor q univalente pe si cu proprietatea pentru , unde

Multimea E(q) se numeste multime de exceptie.

Definitia1.2.3. Fie . Prin se intelege cl ordinul II.

O functie univalenta q se numeste (a,n)dominanta a subordonarii diferentiale (1.7) daca , oricare ar fi functia p solutie pentru (1.7).

O dominanta astfel incat oricare ar fi dominanta q pentru (1.7) se numeste cea mai buna (a,n) dominanta (sau pe scurt, cea mai buna dominanta)a subordonarii diferentialei (1.7).

Oservatia 1.2.2. Cea mai buna dominanta este unica, abstractie facand de o rotaie a discului unitate (deoarece si implica ).

Vom nota cu Q multimea functiilor q univalente pe si cu proprietatea pentru , unde

Multimea E(q) se numeste multime de exceptie.

Definitia1.2.3. Fie . Prin se intelege clasa functiilor care satisfac conditia

atunci cand

unde si .

Multimea se numeste clasa functiilor admisibile, iar conditia (A) se numeste conditie de admisibilitate.

Observatia 1.2.3. 1.Daca , atunci .

2 Are loc incluziunea .

In cazul particular , conditia de admisibilitate devine

( atunci cand ,

unde si

Vom nota .

Teorema 1.2.2. Fie , unde . Daca functia , verifica conditia

(1.8)

atunci .

Observatia 1.2.4. Concluzia teoremei precedente se pastreaza daca(1.8) se inlocuieste cu

Pentru orice functie w ce transforma U in U.

Observatia 1.2.5. Fie semiplanul complex drept. Daca luam , unde si , atunci , . In acest caz, clasa functiilor admisibile va fi notata cu , iar atunci cand , vom folosi notatia . Conditia de admisibilitate pentru clasa va fi

( atunci cand

unde .

In particular, daca a=1, conditia de admisibilitate de mai sus revine la

( atunci cand

unde .

Din Teorema 1.2.2. se obtine atunci urmatorul rezultat.

Teorema 1.2.3. Fie functia .

Daca atunci

Teorema 1.2.4. Fie functia , unde si fie cu . Atunci are loc implicatia

.

Vom enunta in continuare cateva rezultate ce vor fi utile in unele demonstratii din capitolul urmator.

Teorema 1.2.5. Fie h o functie convexa cu h(0)=a si fie un numar complex astfel incat . Daca si

Atunci

,

Unde

Functia q e convexa si reprezinta cea mai buna dominanta a lui p.

Teorema 1.2.6. Fie r o functie convexa pe U si fie h astfel incat

unde si . Daca

e olomorfa pe U si are loc subordonarea

atunci

iar rezultatul este exact.

Definitia 1.2.4. Printr-un operator diferential de tip Briot-Bouquet se intelege un operator de forma , unde

(1.9)

Fie h univalenta in U astfel incat si cu . O subordonare diferentiala de tip Briot-Bouquet este de forma

(1.10)

sau, echivalent,

,

cu dat de (1.9).

Teorema 1.2.7. Fie cu si h o functie convexa care verifica

Daca p e olomorfa in U si p(0)=h(0), atunci

(1.11)

implica .

Daca ecuatia diferentiala Briot-Bouquet

(1.12)

are o solutie univalenta q care satisface , iar q este cea mai buna dominanta pentru (1.11).

Observatia 1.2.6. In cazul particular cand h(0)=1, ecuatia (1.12) are o solutie univalenta q data de

, (1.13)

unde

si

Capitolul 2

Operatori diferentiali

Operatorul Ruscheweyh. Clase de functii definite cu ajutorul acestuia

Definitia 2.1.1. [15] Fie . Operatorul , definit prin

Se numeste operatorul Ruscheweyh, unde daca, ,prin se intelege produsul de convolutie (sau produsul Hadamard) al functiilor f si g, dat de

Proprietatea 2.1.1. Daca si e de forma

Atunci are dezvoltarea in serie de puteri

Proprietatea 2.1.2. Daca si , atunci

Proprietatea 2.1.3. Daca si , atunci are loc urmatoarea relatie de recurenta

, (2.5)

Definitia 2.1.2. [15] Pentru , clasa este formata din totalitatea functiilor care satisfac conditia

Observatia 2.1.1. Din Proprietatea 2.1.2, obtinem ca relatia (2.6) este echivalenta cu

Oservatia 2.1.2. In cazul particular n=0 avem

Si deci iar cand n=1,

,

de unde rezulta ca .

Teorema 2.1.1. [15] Pentru , are loc incluziunea .

Demonstratie. Avem ca

Daca notam

(2.8) se scrie in felul urmator

sau echivalent

Daca atunci

unde h(z)=1/(1+z). Intrucat K(0)=1 si pentru ,conform Teoremei 1.2.7. si Observatiei 1.2.6, avem ca ecuatia diferentiala Briot-Bouquet

are o solutie univalenta q si , unde

,

iar

Obtinem atunci

si astfel

In concluzie,

Si deoarece , vom avea , pentru orice .

Observatia 2.1.3. Fie

(2.12)

Derivand logaritmic functia g si inmultind cu z obtinem

Deoarece ecuatia (2.12) are o unica solutie , rezulta ca daca si numai daca

Teorema 2.1.2. [15] Fie si

Atunci daca si numai daca g .

Demonstratie. Egalitatea (2.13) poate fi rescrisa astfel

Sau, echivalent,

Pe baza Observatiei 2.1.3. se obtine atunci concluzia teoremei.

Teorema 2.1.3. [15] Fie , . Avem atunci estimarea exacta

Demonstratie. Intrucat , putem scrie

unde w(z) este o functie analitica pe U si . Fie . Din (2.4), obtinem

Simplificand si egaland puterile lui z avem ca

,

si deci

.

Utilizand acum inegalitatea , va rezulta ca

Teorema 2.1.4. [15] Fie si

(2.16)

Atunci pentru avem estimarile exacte

(2.17)

Demonstratie Fie . Din Teorema 2.1.2 avem ca

(2.18)

unde . Rezulta atunci ca si

Fie si fie

Atunci

iar din (2.18) obtinem

,

de unde rezulta ca

(2.19)

Se observa ca daca , atunci , iar (2.19) devine

Astfel ca , adica , obtinem

.

Dar si deci

.

de unde rezulta ca inrt-adevar

Evident, egalitatea in (2.17) se obtine pentru functia .

Lema 2.1.1. [16] Fie si g(z) doua functii analitice pe U astfel incat

si g’(0). Daca pentru orice cu si orice cu avem

,

Atunci pentru orice functie F(z) analitica pe U, care satisface , are loc

Teorema 2.1.5. [12] Daca f este o functie din clasa care satisface conditia , pentru si , atunci , apartine de asemenea clasei .

Demonstratie Se observa ca

Aplicand acum Lema 2.1.1. cu si obtinem

Adica e intr-adevar o functie din

Teorema 2.1.6.[12 Daca f este o functie din clasa K care satisface conditia

, pentru si , atunci apartine de asemenea clasei K.

Demonstratie. Intrucat , rezulta din Teorema 1.1.6. ca . Conform Teoremei 2.1.5, avem atunci ca , de unde obtinem ca

Rezultatele din Teoremele 2.1.5 si 2.1.6 au condus la introducerea urmatoarelor clase de functii.

Definitia 2.1.3 [12] Pentru , clasele de functii si se definesc in felul urmator:

,

Lema 2.1.2. Fie w(z) o functie olomorfa si neconstanta in U, cu w(0)=0. Daca isi atinge maximul pe cercul intr-un punct , atunci , unde m este un numar real, .

Teorema 2.1.7 [12] Pentru are loc incluziunea .

Demonstratie. Fie . Definim functia w(z) prin

Folosind relatiile (2.5)si (2.21) obtinem

Daca diferentiem logaritmic primul si ultimul membru ai inegalitatii(2.22), rezulta ca

Presupunem ca exista astfel incat

Rezulta atunci din Lema 2.1.2 ca

unde m este un numar real, .

Fie w(. Atunci din (2.23) avem ca

unde . Se ajunge deci la o contradictie cu ipoteza ca . Prin urmare , pentu , ceea ce implica

Adica avem ca f(z) a[artine clasei .

Teorema 2.1.8.[12] Are loc

Unde id este functia identica .

Demonstratie. Intrucat si

Pentru orice adica functia identitate apartine tuturor claselor

Fie acum o functie . Prin urmare

,

Pentru orice . Conform Teoremei 1.1.7, rezulta ca

sau echivalent

Pentru orice, ceea ce implica , pentru , adica .

Teorema 2.1.9 [12] Pentru , are loc incluziunea

Demonstratie . Fie . Atunci si deci . Rezulta atunci ca si conform teoremei 2.1.7, , ceea ce implica adica sau echivalent .

Teorema 2.1.10[12] Are loc

Unde id este functia identica

Demonstratie Observam ca si

Pentru orice , adica functia identitate apartine tuturor claselor

Fie acum o functie . Prin urmare

Pentru orice . Conform teoremei 1.1.7, rezulta atunci ca

Sau echivalent

Pentru orice , ceea ce implica , pentru , adica

Lema 2.1.3. Fie o functie de doua variabile complexe, , D domeniu sifie .

Presupunem ca satisface urmatoarele conditii:

continua pe D;

si ;

pentru orice pereche cu proprietatea .

Fie o functie olomorfa in U astfel incat . Daca , atunci

Teorema 2.1.11. [12] Fie si f(z) o functie de clasa . Atunci

unde .

Demonstratie. Consideram functia p(z) definita astfel

unde . Daca diferentiem logaritmic egalitatea (2.27) obtinem

Intrucat f(z) apartine clasei rezulta ca

Fie . Definim astfel

Functia este deci continua pe , iar . Pentru toate perechile , astfel incat , avem

Cu si deci functia satisface conditiile Lemei2.1.3.

Rezulta atunci ca , ceea ce conform relatiei (2.27), implica

De unde obtinem relatia dorita (2.26).

Luand , in Teorema 2.1.11 obtinem urmatorul rezultat:

Consecinta 2.1.1. Fie si f(z) o functie de clasa . Atunci

Consecinta 2.1.2 Fie si f(z) o functie de clasa . Atunci

unde

Demonstratie. Daca si deci , adica . Aplicand Teorema 2.1.11, rezulta ca

Definitia 2.1.4. [9] Fie si . Clasa este formata din totalitatea functiilor care satisfac inegalitatea

Teorema 2.1.12 [9] Daca si atunci

unde

Demonstratie . Fie .

Daca

atunci inegalitatea

este echivalenta cu

Daca diferentiem (2.5), obtinem

Fie . Atunci (2.34) devine

Din (2.33) si (2.35) rezulta ca

Aplicand acum Teorema 1.2.5, avem ca

unde

Functia q este convexa, reprezinta cea mai buna dominanta si intrucat q(U) e simetrica fata de axa reala,

unde

Prin urmare .

Teorema 2.1.13.[9] Fie g o functie convexa cu g(0)=1si h o functie astfel incat

daca si are loc subordonarea diferentiala

atunci

Demonstratie . Fie

Din (2.1.3) si (2.38) obtinem atunci

Aplicand Teorema 1.2.5, rezulta ca

,

adica

Teorema 2.1.14. [9] Fie g o functie convexa cu g(0)=1 si h o functie astfel incat

(2.40)

Daca si are loc subordonarea diferentiala

(2.41)

atunci

Iar, rezultatul este exact.

Demonstratie . Fie

si deci

Iar

si astfel relatia (2.41)e echivalenta cu

Conform Teoremei 1.2.6, obtinem (2.40).

Operatorul diferential Salajan si operatorul Al-Oboudi

Definitia 2.2.1 [17] Fie . Operatorul diferential , numit si operatorul Salagean, se defineste astfel:

Observatia 2.2.1. Daca , atunci

(2.42)

Observatia 2.2.2. Daca , atunci

(2.43)

O generalizare a operatorului Salagean o reprezinta urmatorul operator.

Definitia 2.2.2. [1]Fie si . Operatorul diferential , numit operatorul Al-Oboudi, se numeste astfel

.

Observatia 2.2.3. Daca , atunci

(2.44)

Definitia 2.2.3. [17] Fie si . Clasa de functii se defineste in felul urmator

(2.45)

Observatia 2.2.4 Intrucat

Avem ca . De asemenea,

Prin urmare

Teorema 2.2.1.[17] Fie , h o functie convexa pe U, cu h(0)=1 si

Daca

, ( 2.46)

Atunci

(2.47)

Daca ecuatia diferentiala

q (z)+ (2.48)

are o solutie univalenta q care satisface , atunci subordonarea

Implica

(2.49)

Iar q este cea mai buna dominanta .

Demonstratie Fie

. (2.50)

Daca diferentiem logaritmic (2.50), avem ca

Relatia (2.46) va fi astfel echivalenta cu

Aplicand acum Teorema 1.2.7, obtinem concluzia teoremei.

Consecinta 2.2.1. Pentru si are loc incluziunea

(2.52)

Unde

Iar rezultatul este exact.

Demonstratie Fie si fie

Avem atunci ca

Ecuatia diferentiala

Are ca solutie univalenta functia

Pentru , partea reala a acestei functii isi atinge minimul in , deci

Cu dat prin .

Daca , atunci conform Teoremei 2.2.1 avem ca

Care, utilizand (2.56), implica

Si deci , iar rezultatul este exact.

Consecinta 2.2.2. Pentru si are loc incluziunea

Observatia 2.2.5. Deoarece si , toate functiile din cu si sunt stelate si toate functiile din cu si sunt convexe.

Ca o generalizare a Teoremei 1.1.12, avem urmatorul rezultata:

Consecinta 2.2.3 Pentru , are loc incluziunea

Subordonari diferentiale obtinute utilizand operatorii Ruscheweyh si Al-Oboudi

Definitia 2.3.1 Fie , astfel incat .

Definim operatorul astfel

unde operatorii si sunt dati in Definitia 2.2.2, respectiv 2.1.1.

Observatia 2.3.1. Daca in (2.57), se obtine operatorul diferential Al-Oboudi, iar cand si , obtinem operatorul Ruscheweyh.

De asemenea, pentru n=0, avem

Observatia 2.3.2. este un operator liniar, iar pentru de forma

Relatiile (2.33) si (2.3) implica

Teorema 2.3.1. Daca si

atunci

unde

si

Demonstratie . Fie

Daca

atunci (2.59) este echivanta cu

Utilizand proprietatile operatorilor , obtinem

Atunci, din (2.60) si (2.61), avem ca

Fie acum

Din (2.58) rezulta ca

Iar (2.62) implica

Aplicand Teorema 1.2.5 obtinem

Unde

Functia q este convexa si reprezinta cea mai buna dominanta.

Deoarece q este convexa si q(U) e simetrica fata de axa reala, avem ca

Exemplul 2.3.1 Daca , atunci iar inegalitatea

Implica

Am vazut ca in cazul particular , . Daca notam cu multimea functiilor cu proprietatea , teorema precedenta se scrie in felul urmator

Consecinta 2.3.1Daca , are loc incluziunea

Unde

Si

Teorema 2.3.2 Fie , r o functie convexa cu r(0)=1 si h o functie astfel incat

Daca si are loc subordonarea diferentiala

Atunci

Iar rezultatul este exact.

Demonstratie . Utilizand (2.61) si (2.63), subordonarea (2.65) se retranscrie astfel

Aplicand acuma Teorema 1.2.6, obtinem rezultatul exact

,

Adica,

Teorema 2.3.3. Fie , r o functie convexa cu r(0)=1 si h o functie astfel incat

Daca si are loc subordonarea diferentiala

Atunci

Iar rezultatul este exact.

Demonstratie . Fie

Derivand (2.67), obtinem

In consecinta, (2.66) devine

Conform Teoremei 1.2.6, rezulta ca

Sau

Iar rezultatul este exact.

Capitolul 3

Operatori integrali

3.1 Existenta operatorilor integrali

Vom demonstra in cele ce urmeaza teorema de existenta si analiticitate a operatorului integral de forma

Introdus si studiat pentru intaia data in anul 1978 de catre S.S. Miller, P. T. Mocanu si M.O.Reade.

Definim pentru inceput functia ,,Open Door” , de care vom avea nevoie in continuare.

Definitia 3.1.1 Fie numarul cu Rec>0, si fie

Daca functia univalenta R este definita prin relatia , atunci vom nota cu functia ,,Open Door” definita in felul urmator

Unde

Observatia 3.1.1 1. Daca c>0 atunci (3.1) revine la

Iar deoarece si din (3.2) se obtine

2.Din definitie rezulta ca este univalenta in U, si este planul complex taiat de semidreptele si .

Daca c>0 atunci si , de unde rezulta ca si

Pentru demonstrarea rezultatelor principale ale acestei sectiuni, vom avea nevoie de urmatoarea lema.

Lema 3.1.1. Fie si fie cu . Daca si functia F este definita prin relatia

,

Atunci

Lema 3.1.2. (lema „ Open Door”). [7] Fie numarul cu si fie functia „Open Door” definita prin relatia (3.2). consideram functia care verifica subordonarea diferentiala

. (3.5)

Daca functia verifica ecuatia diferentiala

, (3.6)

Atunci .

Demonstratie Fie functia analitica g definita in felul urmator

Intrucat , aplicand Lema 3.1.1, deducem ca functia p definita prin relatia

Este analitica in U si , unde in formula (3.7) toate puterile sunt considerate in determinarea principala, pentru care .

Daca derivam (3.7) si folosim faptul ca , obtinem ca functia p verifica ecuatia diferentiala (3.6).

Vom folosi in continuare Teorema 1.2.3, pentru care aratam ca . Fie pentru aceasta si . Ecuatia (3.6) va fi atunci scrisa sub forma

Pentru a aplica Teorema 1.2.3, este necesarsa aratam ca , ceea ce revine la a arata ca verifica conditia de admisibilitate (A”) cu . Va trebui deci sa demonstram conditita

Cand .

Presupunem, prin reducere la absurd, ca (3.8) nu este adevarata. Atunci vom exista numerele care verifica conditiile din (3.8), dar pentru care

Daca scriem P sub forma , atunci egalitatea precedenta este echivalenta cu

Din relatia (3.8) rezulta ca , iar din (3.9) deducem ca si .

In cazul in care relatiile (3.8) si (3.9)implica

.

Membrul drept al inegalitatii de mai sus este o functie in , cu valoarea maxima egala cu . Prin urmare

.

Analog, daca se arata ca

.

Obtinem astfel ca in ambele cazuri

Ceea ce contrazice ipoteza (3.5) si deci (3.8)are loc. Conform Teoremei 1.2.3, rezulta atunci ca .

Observatia 3.1.2. 1. Conditia implica conditia (3.5) din ipoteza lemei anterioare, deci si utilizand aceasta conditie obtinem .

2.Conditia (3.5) „dubleaza” domeniul din planul complex in care se afla P(U), „deschizand” si semiplanul stang, astfel incat in conditiile lemei sa aiba loc

In acest sens, daca c>0, banda orizontala

Unde este data de relatia (3.3), iar conditia

Implica (3.5), de unde rezulta ca

De asemenea, daca c>0, discul

Iar conditia

Implica (3.5) si deci avem

Teorema 3.1.1 (teorema „Open Door” sau teorema de existenta a integralei).[7] Fie functiile cu . Consideram numerele astfel incat si . Fie functia si presupunem ca

Unde functia este data prin (3.2). Daca este definita de relatia

Atunci si

Demonstratie Din relatia (3.12) avem ca . Deoarece , functia p definita prin relatia

Este analitica pe U si . Derivand (3.15), va rezulta ca p verifica ecuatia diferentiala (3.6) cu si

Conform ipotezei (3.12) avem . Prin urmare functia p verifica Lema”Open Door” cu , de unde rezulta si deci . Din relatiile (3.13) si (3.15) obtinem ca functia F se poate scrie sub forma

Intrucat termenii din cele doua paranteze de mai sus sunt functii analitice nenule, avem ca si . Calculand acum derivata logaritmica a acestei egalitati obtinem

De unde, aplicand (3.6) si (3.16), obtinem

Si teorema este astfel demonstrata.

Intrucat conditia poate fi inlocuita cu conditia mai puternica , si care de asemenea poate fi inlocuita cu conditiile mai puternica (3.10) si (3.11) daca din teorema precedenta obtinem urmatorul corolar.

Consecinta 3.1.1. Fie functiile cu . Fie numerele astfel incat si . Fie functia si presupunem ca functia

Verifica una din conditiile urmatoare:

, daca ;

, daca .

Daca este dfinita prin relatia (3.13), atunci si functia F verifica relatia (3.14).

Urmatorul rezultat se obtine din Teorema „Open Door” in cazul particular in care .

Consecinta 3.1.2. Fie numerele astfel incat si . Consideram si presupunem ca

Unde este definita in (3.2). Daca este definita de relatia

Atunci si

3.2 Proprietati geometrice pentru diferiti operatori integrali

In continuare vom prezenta cateva proprietati ale claselor de operatori intregrali si vom arata ca acestia conserva anumite proprietati geometrice.

Sa consideram mai intai operatorul lui Libera, definit prin relatia , unde

Conform Lemei 3.1.1 cu , acest operator este bine definit. Dupa cum demonstreaza R.J.Libera in anul 1965, acest operator conserva anumite clase de functii univalente dupa cum urmeaza.

Teorema 3.2.1 Daca este operatorul integral definit prin relatia (3.19), atunci

Demonstratie Pentru , vom nota F=L(f). Din Colorarul 3.1.2 pentru

obtinem ca daca functia si , atunci ,.

Fie . Conform celor de mai sus, avem ca si p(0)=1. Derivand (3.19) obtinem

Si

Fie . Deoarece , avem ca

Daca si , atunci

Si deci are loc conditia de admisibilitate (A”’) din Teorema 1.2.3. Avand in vedere (3.21), rezulta atunci ca , adica .

Fie . Conform punctului (i), avem , deci . Daca notam

Atunci . Derivand (3.20) obtinem

Si

Iar, deoarece rezulta

Unde . Procedand acum precum la punctul (i), aplicand Teorema 1.2.3, obtinem , adica .

Daca functia , atunci exista functia g ,astfel incat . Din punctul (ii)rezulta ca G=L(g), iar din (3.19) obtinem

Si

Daca notam

Atunci

Si . Intrucat g avem ca si deci .

Teorema de mai sus poate fi generalizata in felul urmator.

Teorema 3.2.2. Daca este operatorul integral definit prin relatia (3.19), atunci

O generalizare a operatorului Libera o reprezinta operatorul integral Bernardi, , definit prin relatia

Aplicand Corolarul 3.1.2 pentru , obtinem ca daca si

, atunci .

Precum in cazul operatorului Libera, Bernardi obtine in 1969 urmatorul rezultat de conservare a unor clase de functii analitice.

Teorema 3.2.3. Daca este operatorul integral definit prin relatia (3.22), atunci

Prezentam in continuare un rezultat in care sunt date conditii suficiente pentru ca daca operatorul integral , conserva convexitatea, aceasta sa converse aproape convexitatea.

Teorema 3.2.4. [7]Fie cu si functia care verifica

Fie operatorul definit prin relatia

Daca atunci .

Demonstratie. Prin schimbarea de variabila t=wz obtinem ca daca atunci

Si deci operatorul este corect definit.

Daca notam din (3.23) avem ca si. Derivand relatia (3.24) si notand obtinem

Si

Daca atunci exista o functie astfel incat . Daca , din ipoteza avem ca . Analog cu (3.25) va rezulta ca

Fie . Avem ca p(0)=1 si relatia (3.25) pote fi rescrisa in felul urmator

Daca notam

Utilizand (3.26) si (3.27) obtinem

de unde deducem ca

Deoarece (3.25) poate fi rescrisa sub forma

Obtinem ca

Dar iar g verifica (3.23). Prin urmare din relatia precedenta rezulta ca

Iar din definitia functiei P avem ca . Fie acum functia . Deoarece

Pentru si , putem aplica Teorema 1.2.3 si astfel obtinem . Cum p(0)=1, din relatia (3.28) si Teorema 1.2.3, concluzionam ca , adica , unde si deci .

In continuare prin D vom intelege multimea

Rezultatul urmator stabileste conditii suficiente pentru ca operatorul

ale carui conditii de existenta au fost studiate in Teorema 3.1.1, sa transforme functiile stelate in functii stelate.

Teorema 3.2.5. [7] Fie functiile si numerele astfel incat . Presupunem ca exista un numar care verifica

Si

Unde

Atunci , unde operatorul este definit prin relatia (3.29).

Demonstratie. Fie functia . Din (3.31) obtinem atunci ca

Aplicand Colorarul 3.1.1, punctul (i), rezulta ca si

Avem, deci ca functia . Notam .

Derivand (3.29) rezulta ca

Fie si

Relatia (3.33) se scrie atunci sub forma

Din ipoteza (3.30) avem k>0 si notam

(3.31) si (3.34) implica

Intrucat vrem sa aplicam Teorema 1.2.3 pentru a deduce ca trebuie sa verificam conditia de admisibilitate (A’’’) cu multimea . Folosind definitia lui din (3.32) rezulta ca

Daca . Din Teorema 1.2.3 punctul (ii), obtinem

De unde rezultand (3.30) si definitiile functiilor Psi q, avem ca

Adica .

Urmatorul corolar reprezinta o forma mai slaba a acestei teoreme, dar ale carui ipoteze sunt mai usor de verificat.

Consecinta 3.2.1. Fie functiile si fie numerele astfel incat . Daca

Atunci , unde operatorul este definit prin relatia (3.29).

Observatia 3.2.1. Daca in (3.29) si , atunci obtinem operatorul integral

In acest caz particular, Teorema 3.2.5 se reformuleaza in felul urmator.

Consecinta 3.2.2 Fie functia . Daca exista un numar astfel incat

Atunci , unde operatorul este definit prin relatia (3.35).

Bibliografie

[1] Al-Oboudi, F.M : On univalent functions defined by a generalized Salagean operator, Int. J. Math. Math. Sci.,27(2004), 1429-1436.

[2] Bulboaca, T: Differential subordinations and superordinations. New Results, House of Science Book Publ, Cluj-Napoca, 2005.

[3] Bulboaca, T:Application of the Briot-Bouquet differential subordinations, Mathematica 30(53), 2(1998), 93-100.

[4] Breaz, D.:Operatori Integrali pe Spatii de Functii Univalente, Ed.Academiei Romane, Bucuresti, 2004.

[5] Hamburg, p., Mocanu P.T., Negoiescu, N.: Analiza Matematica (Functii Complexe), Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982.

[6] Miller,S.S., Mocanu P.T.:Differential Subordinations: Theory and Applications, Marcel Dekker Inc., New York, Basel, 2000.

[7] Mocanu P.T, Bulboaca, T., Salagean, G. S.:Teoria Geometrica a Functiilor Univalente, Casa Cartii de Stiinte Cluj-Napoca 2006.

[8] Oros,G. I.: A class of holomorphic functions defined using a differential operator, Gen.Math., 13,4(2005), 13-18.

[9] Oros,G. I.: On a class of holomorphic functions defined by the Ruscheweyh operator, Int.J. Math. Math. Sci. 65, (2005), 4139-4144.

[10] Oros, G. I., Oros, G. :On a class of univalent functions defined by a generalized Salagean operator, Complex Variables and Elliptic Equations, 53,9 (2008), 869-877.

[11] Oros, G. I., Oros, G.: Differential subordinations obtained by using generalized Salagean and Ruscheweyh operators, Acta Univ. Apul., 14(2007), 129-140.

[12] Owa, S., Fukui, S., Sakaguchi, K., Ogawa, S.: An application of the Ruscheweyh derivatives, Internat. J. Math.Math. Sci. ,9,4(1986), 721-730.

[13] Padmanabhan, K. S., Jayalama, M.: A class of analytic functions defined by Ruscheweyh derivative, Ann.Pol. Math., 2(1991), 167-178.

[14] Pommerenke, C. :Univalent Functions, Vanderhoeck & Ruprecht, Gottingen,1975.

[15] Ruscheweyh, S.: New criteria for univalent functions, Proc. Amer. Math. Soc., 49 (1975), 109-115.

[16] Ruscheweyh, S., Sheil-Small, T.:Hadamard products of Schlicht functions and the Polya-Schoenberg Conjecture, Comment. Math.Helv.,48(1973), 119-135.

[17] Salagean G.S.: Subclasses of univalent functions, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, Berlin, 1013(1983), 362-372.