Metodica Predarii Polinoamelor In Invatamantul Preuniversitar
CUPRINS
INTRODUCERE……………………….…………………………………………………pagina 4
CAPITOLUL 1.NOȚIUNI INTRODUCTIVE CARE CONDUC LA NOȚIUNEA DE INEL
1.1. Definiția noțiunii de lege de compoziție.…………………………………..…..pagina 8
1.1.1. Parte stabilă. Lege de compoziție indusă.……………………..…..…pagina 9
1.2. Proprietățile legilor de compoziție.…………………………………………..pagina 11
1.2.1. Asociativitatea…………………………………………………….… pagina 11
1.2.2. Comutativitatea……………………………………………….….….. pagina 12
1.2.3. Element neutru………………………………………………….…… pagina 13
1.2.4. Element simetrizabil.………………………………………….………pagina 14
1.3. Structuri algebrice.……………………………………………………………pagina 18
1.3.1. Monoid……………………………………………………………… pagina 18
1.3.2. Grup, grup abelian……………………………………………………pagina 18
1.3.3. Inel…………………………………………………………………… pagina 21
1.4. Inele de polinoame. Inelul polinoamelor într-o nedeterminantă…………….. pagina 24
1.5. Inelul Z al numerelor întregi. Inelul Z [i] al întregilor lui Gauss……….…… pagina 28
1.6. Inelul claselor de resturi modulo n …………………………………………. pagina 29
1.7. Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri ………………………………..pagina 31
1.8. Divizibilitatea în inele de polinoame …………………………………………pagina 32
1.9. Corp ………………………………………………………………………….pagina 36
CAPITOLUL 2. MULȚIMEA POLINOAMELOR
2.1. Definirea polinoamelor ………………………………………………………pagina 38
2.2. Adunarea și înmulțirea polinoamelor ………………….………………………pagina 38
2.2.1. Proprietățile adunării polinoamelor …………………………………..pagina 38
2.2.2. Proprietățile înmulțirii polinoamelor …………………………………pagina 40
2.3. Gradul unui polinom …………………………………………………………pagina 43
2.3.1. Proprietăți ale gradului unui polinom …….…………………………. pagina 43
2.3.2. Forma algebrică a polinoamelor ………………………………………pagina 44
2.4. Funcția polinomială. Rădăcini ale unui polinom …………………………….pagina 44
2.5. Polinoame ireductibile ……………………………………………………….pagina 45
2.5.1. Teorema de descompunere în factori ireductibili (primi)……………. pagina 45
2.5.2. Teorema fundamentală a algebrei (D'Alembert-Gauss). Consecințe… pagina 46
2.6. Împărțirea polinoamelor………………………………………………….… pagina 46
2.6.1.Cel mai mare divizor comun ………………………………………….pagina 49
2.6.2.Cel mai mic multiplu comun ………………………………………….pagina 50
2.7. Divizibilitatea unui polinom prin X–a ………………………………………pagina 53
2.7.1. Proprietăți ale relației de divizibilitatea a unui polinom …………….pagina 54
2.7.2. Teorema lui BEZOUT ………………………………………………..pagina 55
2.7.3. Împărțirea prin X-a Schema lui HORNER …………………………pagina 56
2.8. Rădăcinile polinoamelor …………………………………………………….pagina 59
2.8.1. Rădăcini simple și multiple …………………………………………..pagina 59
2.8.2. Relațiile lui VIÉTE …………………………..………………………pagina 60
2.9. Polinoame cu coeficienți reali ……………………………………………….pagina 61
2. 9.1. Mulțimea polinoamelor cu coeficienți reali …………………………pagina 61
2.10. Polinoame cu coeficienți raționali ……………………………………………pagina 62
2.11. Polinoame cu coeficienți întregi ……………………………………………..pagina 63
2.12. Ecuații reciproce ………………………………………………………………pagina 64
2.13. Integrarea funcțiilor raționale …………………………………………………pagina 65
2.14 Aplicații rezolvate și probleme propuse ……….………………………………pagina 68
CAPITOLUL 3. ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA POLINOAMELOR
ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR
3.1. Taxonomia metodelor de instruire și autoinstruire ce se pot utiliza în
predarea-învățarea matematicii …………………………………………….pagina 91
3.1.1. Clasificarea principalelor metode de predare –învățare …………………pagina 93
3.1.2. Strategii de învățare ……………………………………………………..pagina 94
3.1.3. Metode de predare – asimilare ………………………………………….pagina 95
3.2. Metode activ – participative.…………….………………………………………pagina 96
3.3. Tendințe în procesul de modernizare a utilizării metodelor didactice ………..pagina 104
3.4. Noi strategii de predare în învățarea centrată pe elev ……….………………..pagina 105
3.4.1. Strategii de predare în vederea învățării active …………………………pagina 106
3.4.2. Strategii pentru o predare care să corespundă stilurilor individuale
de învățare ……………………………………….……………………..pagina 108
CERCETARE PEDAGOGICĂ…………………………………………………………pagina 110
CONCLUZII ………………………………………….……………………………….pagina 122
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………………….pagina 124
INTRODUCERE
Matematica contribuie esențial la educarea memoriei, atenției, voinței, imaginației, la amplificarea setei de cunoaștere și are un rol important în educația estetică a celor ce o studiază. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscând în timp o dezvoltare foarte accentuată. Problematica de care se ocupă a devenit mai vastă și mai variată.
Tema acestei lucrări metodico-științifice este:
METODICA PREDĂRII POLINOAMELOR ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR
Pe baza bibliografiei de specialitate, precum și a experienței practice, acumulată în munca instructiv educativă cu elevii, în această lucrare îmi propun să demonstrez că utilizarea unor metode moderne accelerează însușirea cunoștințelor, formarea priceperilor și deprinderilor, a capacităților, contribuind la dezvoltarea tuturor proceselor psihice.
Tema aleasă vizează demersurile desfășurate de către profesor pentru inovarea și modernizarea strategiilor de predare – învățare în vederea creșterii motivației și interesului elevilor pentru învățarea școlară, pentru valorificarea potențialului creativ și intelectual al fiecărui copil.
Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice. Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităților de abstractizarea a elevilor. Între teoremele aritmeticii, numerelor întregi și unele teoreme ale aritmeticii polinoamelor există o mare asemănare.
Predarea lor prin analogie duce la o înțelegere mai profundă a noțiunilor. Aritmetica are rol formativ foarte important, dar a fost diminuată prin reforma actuală. După programele actuale se mai predau doar câteva noțiuni de aritmetica numerelor naturale prin gimnaziu, mai precis in clasa a VI-a. Până în clasa a XII-a (când ar trebui făcută analogia între aritmetica numerelor întregi și aritmetica polinoamelor), aceste noțiuni nu sunt diversificate sau amplificate.
În clasele de gimnaziu trebuie predate cunoștințe ce înlesnesc formarea unei structuri cognitive operaționale și a unei baze acceptabile de modelare intuitivă. Datorită dificultăților interioare ale aritmeticii, asimilarea ei, nu se poate face direct la nivelul de rigoare dorit și atunci sunt necesare “spirale” succesive până la sfârșitul clasei a XII-a. Predarea noțiunilor se va face într-o formă accesibilă elevilor de liceu apoi se vor da exemple și de alte mulțimi de numere pentru care se pot da teoreme de împărțire cu rest care să ne permită să construim și pentru ele o anumită aritmetică.
În cadrul acestei lucrări se va arăta că aritmetica numerelor întregi, aritmetica polinoamelor cât și alte aritmetici se pot trata in cadrul învățământului preuniversitar într-un mod unitar.
Aceasta va genera performanțe superioare. Un plus de rigoare în școală determină un plus accentuat în facultate.
Lucrarea de față este structurată pe trei capitole. Mai întâi sunt trecute în revistă noțiunile introductive care conduc la noțiunea de inel, construcția grupului, a corpului.
Deoarece parcurgerea unui text matematic este un proces activ prin excelență, toate definițiile introduse au un suport intuitiv și sunt legate de noțiunile deja cunoscute, prin căutarea de exemple și contraexemple. Exercițiile propuse sunt un pas indispensabil spre asimilarea conceptelor și tehnicilor introduse. Matematica având o reputație de disciplină abstractă, algebra excelează în această direcție în special algebra abstractă, sau axiomatică care se ocupă de structurile algebrice.
Se evidențiază aplicații metodice, parcurgându-se cu ajutorul exemplelor, a problemelor noțiunile studiate anterior. În lucrarea de față, tipurile de exerciții și metodele de rezolvare propuse vor aduce o îmbunătățire a rezultatelor obținute de elevi.
Deoarece elevii, deja în clasele mai mici sunt familiarizați cu noțiunea de monoame conform programei actuale de matematică primele noțiuni legate de monoame sunt introduse în clasa a VII-a, în capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere predarea Inelelor de polinoame nu prezintă greutăți deosebite la clasa a XII-a, iar elevii își lărgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice dobândind la timp cunoștințele necesare altor discipline ( fizică , informatică chimie , etc ).
Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităților de abstractizarea a elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice.
Predarea Inelelor de polinoame vizează următoarele obiective de referință , realizarea lor reprezentând una din cerințele obligatorii :
recunoașterea și diferențierea mulțimilor de numere, a polinoamelor, și a structurilor algebrice
identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia
compararea proprietăților algebrice sau aritmetice ale operațiilor definite pe diverse mulțimi, în scopul identificării unor algoritmi, exprimarea proprietăților mulțimilor înzestrate cu operații prin identificarea organizării structural a acestora
utilizarea similarității operațiilor definite pe mulțimi diferite în deducerea unor proprietăți algebrice
utilizarea calculelor algebrice în probleme practice uzuale
recunoașterea polinoamelor aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice.
Capitolul doi aduce mulțimea polinoamelor într-o sferă cât mai apropiată de aceste obiective diferențiate. Din punct de vedere metodologic, problemele au grade de dificultate variată, sunt deosebit de utile determinând folosirea de strategii variate și raționamente fine prin cerințe de ordin calitativ. Exercițiile și problemele propuse deschid noi orizonturi în vederea însușirii matematicii, în esență a inelelor de polinoame, în învățământul preuniversitar.
Specialiștii în domeniul învățământului matematic, consideră că obiectivele modernizării învățământului matematic se exprimă în :
a apropia matematica ce se învață în școală de matematica epocii contemporane în privința conținutului, limbajului și metodei
a organiza matematica elementară ca o construcție structurală
a face din matematica elementara un instrument de largă organizare în studii teoretice și în activitatea practică
a pune în lumină aspecte umane de ordin estetic și afectiv al studiului și muncii creatoare în matematică.
Două dintre cele mai importante teoreme din algebră care sunt tratate în capitolul doi, sunt :
a) teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi
b) teorema împărțirii cu rest pentru polinoame
Aceste două teoreme sunt fundamentale, stând la baza aritmeticii numerelor întregi și a aritmeticii polinoamelor, pe baza lor se construindu-se algoritmul lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun (atât pentru numere întregi cât și pentru polinoame), obținându-se teorema de descompunere în factori primi la numere întregi și la polinoame, etc. Studiind alternativ cele două teoreme se observă că între ele există o mare asemănare, de unde se naște și întrebarea : nu există și alte mulțimi de numere sau mulțimi ale căror elemente sunt de o natură oarecare și pentru care se poate da o teoremă a împărțirii cu rest care să ne permită să construim și pentru ele o anumită aritmetică? Răspunsul la această întrebare este afirmativ.
Lucrarea urmărește ca elevii să dobândească o deschidere cât mai extinsă spre studiul sistematic al polinoamelor iar prin aceasta să le înlesnească trecerea către studiul unei problematici de nivel superior.
Matematica are drept obiect formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii reale, pe care le studiază în forma lor pură, idealizată. Preocuparea pentru continua perfecționare a predării-învățării matematicii în școală, are în vedere o serie de considerații privind funcția socială a disciplinei, semnificațiile ei culturale și filosofice, rolul ei în colaborările interdisciplinare, în activitatea de cercetare, în pregătirea tehnică, pentru practicarea la nivel calitativ superior a meseriei, a profesiei, pe care o va alege tânărul ce se instruiește astăzi în școală. Dezvoltarea la elevi a dragostei și interesului pentru însușirea matematicii, a răspunderii pentru pregătire, a încrederii în posibilitățile lor, stimulându-le permanent gândirea, spiritul de inițiativă și creativitate, făcându-i să înțeleagă rolul determinant al matematicii în formarea intelectuală și profesională sunt obligații ale școlii .
Ca urmare a progresului în domeniul matematicii moderne, pe plan mondial se fac eforturi deosebite în adâncirea și modernizarea conținutului predării, începând cu primele noțiuni, astfel încât în capitolul trei sunt tratate metodele activ-participative ce pun accent pe învățarea prin cooperare, aflându-se în antiteză cu metodele tradiționale de învățare. Elevii nu sunt doar un receptor de informații, ci și un participant activ la educație. În procesul instructiv-educativ încurajarea comportamentului participativ înseamnă pasul de la „a învăța” la a „ învăța să fii și să devii ”, adică pregătirea pentru a face față situațiilor, dobândind dorința de angajare și acțiune. Principalul avantaj al metodelor activ-participative îl reprezintă implicarea elevilor în actul didactic și formarea capacității acestora de a emite opinii și aprecieri asupra fenomenelor studiate. În acest mod, elevilor le va fi dezvoltată o gândire circumscrisă abilităților cognitive de tip superior, gândirea critică. Aceasta reprezintă o gândire centrată pe testarea și evaluarea soluțiilor posibile într-o situație dată, urmată de alegerea rezolvării optime pe baza argumentelor Principalele metode de dezvoltare a gândirii critice analizate în capitolul trei sunt: gândiți, lucrați în echipă, comunicați; termeni-cheie inițiali; știu-vreau să știu-am învățat; metoda Sinelg; metoda mozaic; cubul; turul galeriei; elaborarea unui referat/eseu; jurnalul în trei părți; tehnica predicției; învățarea în grupuri mici; turneul între echipe; linia valorilor.
V. Guțu oferă o imagine clară asupra antitezei care se creează între metodele tradiționale și cele moderne utilizate în predare, faptul că profesorul trebuie să-și schimbe concepția și metodologia instruirii și educării, să coopereze cu elevii, să devină un model real de integrare socioprofesională și educație permanentă, să se implice în deciziile educaționale, să asigure un învățământ de calitate.
CAPITOLUL 2. NOȚIUNI INTRODUCTIVE CARE CONDUC LA NOȚIUNEA DE INEL
1.1.NOȚIUNEA DE LEGE DE COMPOZIȚIE PE O MULȚIME
Din studiul diferitelor operații întâlnite până acum (adunarea și înmulțirea numerelor, compunerea funcțiilor ,adunarea și înmulțirea matricelor, etc. ) se desprind concluziile:
există o mare diversitate atât în ceea ce privește natura mulțimilor pe care sunt definite aceste operații ( numere, funcții, matrice, vectori, șiruri, perechi ordonate…) cât și în ceea ce privește regulile specific după care se operează cu elementele acestor mulțimi
operațiile algebrice întâlnite au o serie de proprietăți comune, indiferent de natura elementelor asupra cărora operează ( comutativitate, asociativitate, etc )
Conceptul de lege de compoziție dă posibilitatea folosirii metodei axiomatice în algebră.
Mulțimea Z a numerelor întregi înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire a constituit bază a aritmeticii și algebrei.
Prin preluarea diferitelor proprietăți ale acestei mulțimi, s-au construit noi structuri.
Definiție : Fie M o mulțime nevidă.
O funcție : M x M se numește lege de compoziție (operație algebrică ) pe mulțimea M.
Elementul (x,y) se numește compusul lui x cu y prin legea de compoziție.
Altfel definit, se numește lege de compoziție pe M un procedeu (o regulă, o metodă etc) prin care fiecărei perechi de elemente din M i se asociază câte un singur element din M.
Pentru legile de compoziție se folosesc diferite notații cum ar fi: + , ·, * , o , ┬ , ┴ , ∆ etc.
În notație aditivă se scrie (x,y) = x + y, unde x ϵ M,se numește suma lui x cu y, iar operația se numește adunare. În notația multiplicativă se scrie (x,y) = x . y, unde x ,y ϵ M se numește produsul lui x cu y, iar operația se numește înmulțire.
Altfel definit, se numește lege de compoziție pe M un procedeu (o regulă, o metodă etc) prin care fiecărei perechi de elemente din M i se asociază câte un singur element din M.
Noțiunea de lege de compoziție prezintă un mare grad de generalitate.
În definiția unei legi de compoziție pe o mulțime M se abstractizează atât natura elementelor mulțimii M cât și modul efectiv în care acționează pe M+M. Unica restricție pusă este ca să asocieze la un cuplu ordonat (x, y) de elemente din M un element (x, y) din M și numai unul. Studiul legilor de compoziție axat doar pe definiția lor din acest considerent, nu are rezultate deosebite. De aceea s-a dovedit fertilă ideea de a studia legi de compoziție ce au proprietăți care pot fi semnalate în multe exemple concrete.
Exemple:
1) Operația de adunare a numerelor reale este lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale ℝ.
(a,b)→ a+b ϵ ℝ ( 1 )
2) Operația de înmulțire a numerelor reale este lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale ℝ.
(a,b)→ a·b ϵ ℝ (2)
3) Operația de adunare a matricelor pătratice de ordinul doi este lege de compoziție pe mulțimea M2 (ℝ)
+ : M2 (ℝ) x M2 (ℝ) → M2 (ℝ) (A,B)→A+B ϵ M2 (ℝ) (3)
4) Operația * : ℝ x ℝ→ ℝ x * y = xy – 2x -2y + G este lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale ℝ.
1.1.1 PARTE STABILĂ. LEGE DE COMPOZIȚIE INDUSĂ
Definiție: Fie M o mulțime nevidă și “*” o lege de compoziție pe M. O submulțime H a lui M este parte stabilă a lui M în raport cu legea “*” dacă:
H este o mulțime nevidă
∀ x,y ϵ H => x * y ϵ H
Exemple: Pe ℝ definim legea xoy = xy-2x-2y+6
1) Să se demonstreze că este parte stabilă a lui ℝ în raport cu legea ,,o”
e parte stabilă dacă atunci x o y ϵ
Fie adică x, y > 2 să demonstrăm că x o y > 2
x o y >2 xy-2x-2y+6 > 2 xy-2x-2y+4 >0 x(y-2) – 2(y-2) > 0
(x-2)(y-2) > 0
dar x>2 și y>2 rezultă (x-2)(y-2)>0 deci e parte stabilă
2) Să se demonstreze că ℝ\{2} e parte stabilă a lui ℝ în raport cu legea ,,o” ℝ\{2}e parte stabilă dacă atunci
Fie adică x, y2 să demonstrăm că x o y2
Presupun x o y = 2 xy – 2x – 2y + 6 = 2 xy-2x-2y+4 = 0 x(y-2) – 2(y-2) = 0
(x-2)(y-2) = 0 dar x2 si y2 rezultă (x-2) (y-2) 0 deci ℝ\{2} e parte stabilă a lui ℝ în raport cu legea ,,o”
3) Să se demonstreze că mulțimea H = (1,3) e parte stabilă a lui ℝ în raport cu legea ,,o”
H este parte stabilă dacă atunci x o y ϵ H
1<x<3 -1<x-2<1 |x-2|<1
Fie |x-2|<1 si |y-2|<1 trebuie demonstrat că |xoy -2|<1
|xoy -2|<1 |xy-2x-2y+6-2|<1 |(x-2)(y-2)|<1 |x-2||y-2|<1
ceea ce e adevărat ținând seama de faptul că |x-2|<1 si |y-2|<1
4) Fie să se demonstreze că M e parte stabilă a lui M3(R) în raport cu înmulțirea matricelor
M este parte stabilă dacă atunci și
rezultă
5) Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție “o” definită prin:
x o y = xy + 5x + 5y + 20.
Arătați că H = [-5,∞) este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție “o”.
Trebuie să arătăm că ∀ x , y ϵ H => x o y ϵ H
x ϵ H => x ϵ [ -5, ∞ ) => x ≥ – 5 => x+5 ≥ 0
y ϵ H => y ϵ [ -5, ∞ ) => y ≥ – 5 => y+5 ≥ 0
(x+5) (y+5) ≥ 0 => xy + 5x + 5y + 25 => 0 ; xy + 5x + 5y + 20 => -5 => x o y ≥ -5 =>
x o y ϵ [ -5, ∞ ) => x o y ϵ H
1.2. PROPRIETĂȚILE LEGILOR DE COMPOZIȚIE
Proprietățile legilor de compoziție, fac parte din programa de studiu pentru clasa a XII-a, la disciplina Matematică, fiind o temă studiată la toate profilele: real, tehnic și servicii.
Redefinirea unor noțiuni studiate încă din gimnaziu și în clasele IX-XI, extinderea unor termeni cunoscuți din anii precedenți, pentru alte categorii de mulțimi dar și interpretarea lucrurilor învățate în ceilalți ani, într-un mod mai abstract duc la dezvoltarea cunoștintelor acumulate până în prezent.
Numeroase legi de compoziție se definesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operații pot prelua unele proprietăți de la cele de plecare, prin mecanismul dat chiar de definiția lor.
1.2.1 ASOCIATIVITATEA
În perfectarea calcului algebric, proprietatea de asociativitate
M * M → M (x,y) → x * y,extinde mult aria posibilităților de rezolvare.
Vom presupune că M este o mulțime nevidă echipată cu o lege de compoziție ,,*’’.
Expresia x * y se citește: x compus cu y
Definițiile și rezultatele vor fi date folosind această notație urmând să fie făcute precizările ce se impun și în alte notații pentru legea de compoziție.
Definiție: Fie M o mulțime nevidă și “o” o lege de compoziție pe M. Spunem că “o” este asociativă dacă:
(x o y) o z = x o (y o z) , ∀ x,y,z ϵ M ( 4 )
Dacă legea de compoziție este dată în notație aditivă (multiplicativă) atunci proprietatea de asociativitate a acesteia se scrie:
(x + y) + z = x + (y + z) ( 5 )
respectiv
(xy)z = x(yz) () x,y,z aparținând lui M. ( 6 )
Fie x,y,z aparținând lui M. Prezența parantezelor în expresia (x * y) * z impune următoarea procedură de calcul:
se află întâi compusul lui x cu y si apoi x * y se compune cu z, obținându-se în final elementul (x * y) * z care aparține lui M.
prezența parantezelor în expresia x *(y * z) impune să aflăm întâi y * z și să-l compunem apoi cu x, obținându-se astfel elementul x * (y * z) care aparține lui M.
Exemple:
Adunare și înmulțirea numerelor reale sunt legi de compoziție asociative pentru că:
(x+y)+z=x+(y+z) si (xy)z=x(yz).
Adunarea și înmulțirea matricilor din M2(ℝ) sunt legi de compoziție asociative, deoarece:
(A+B)+C=A+(B+C) si (AB)C=A(BC).
Reuniunea și intersecția părților unei mulțimi E sunt legi de compoziție asociative:
(XUY)UZ=XU(YUZ).
Compunerea funcțiilor unei mulțimi E in ea însăși este o lege de compoziție asociativă:
(f * g) * h = f * ( g * h).
Exerciții:
1.Se consideră pe mulțimea numerelor reale legea de compoziție: x o y = x+y+4. Este legea “o” asociativă?
“o” asociativă (x o y) o z = x o (y o z)
(x o y) o z = (x+y+4) o z = x+y+4+z+4 = x+y+z+8
x o (y o z) = x o (y+z+4) = x+y+z+4+4 = x+y+z+8 ”o”asociativă.
1.2.2.COMUTATIVITATEA
O altă sursă în acest sens este dată de legile de compoziție pentru care produsul a două elemente oarecare este independent de ordinea în care se face compunerea acestora.
Definiție: O lege de compoziție M+M cu valori in M, (x, y) cu valori în x*y se numește comutativă, dacă:
x * y = y * x, () x,y ϵ M. ( 7 )
Adunarea și înmulțirea numerelor reale ,reuniunea și intersecția părților unei mulțimi sunt legi de compoziție comutative.
Exemple: Adunarea și înmulțirea pe fiecare din mulțimile N, Z, Q, R, C, reuniunea și intersecția părților unei mulțimi sunt legi de compoziție comutative.
x + y = y + x; x, y ϵ R
Comutativitatea adunării matricelor din M(R) este o consecință a proprietății de comutativitate a adunării numerelor reale.
Exemple de legi de compoziție necomutative:
Scăderea pe R: Pentru x = 3, y = 5, x – y = – 2; y – x = 2
Înmulțirea matricilor din M(R) nu este comutativă, deși înmulțirea numerelor reale este comutativă.
Numeroase legi de compoziție se definesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operații pot prelua unele proprietăți de la cele de plecare prin mecanismul dat chiar de definiția lor.
Astfel comutativitatea adunării matricelor din M2(R) este o consecință a proprietății de comutativitate a adunării numerelor reale.
A+B = + = =
= + = B+A
Dacă A, B aparțin lui M2(R), A=(aij), B=(bij), atunci:
Se observă că înmulțirea matricilor din M2(R) nu este comutativă, cu toate că înmulțirea numerelor reale este comutativă. Aceasta rezultă din exemplul următor:
Deci dacă A,B ϵ M2(R) atunci ABBA.
Exercițiu:
Se consideră pe mulțimea numerelor reale legea de compoziție: x o y = x+y+4 . Este legea “o” comutativă?
“o” comutativă x o y = y o x
x o y = x+y+4
y o x = y+x+4 = x+y+4 “o” comutativă
1.2.3.ELEMENT NEUTRU
Definiție:
Un element e ϵ M se numește element neutru pentru o lege de compoziție MMM (x, y) x * y, dacă
e * x = x * e = x, () x ϵ M. ( 8 )
Teoremă: Dacă o lege de compoziție are element neutru, atunci acesta este unic.
Demonstrație: Fie e si e` două elemente neutre pentru o lege de compoziție MMM
(x, y) x * y.
Avem e * e`= e` deoarece e este element neutru. De asemenea, e * e`= e deoarece și e` este element neutru, de unde e = e`, elementul neutru , în caz că există ,este unic determinat.
În notație aditivă elementul neutru se notează de regulă cu 0 și se numește elementul zero, iar în notație multiplicativă elementul neutru se notează cu 1 sau chiar cu e și poartă numele de elementul unitate. Avem
0+x = x+0 = x, () x ϵ M, ( 9 )
respectiv
1x = x1= x, () x ϵ M. ( 10 )
Observații:
1. Dacă o lege de compoziție “o” are pe M un element neutru atunci el este unic
2. Dacă x o e = x atunci “e” este element neutru la stânga
3. Dacă e o x = x atunci “e” este element neutru la dreapta
De asemenea, pentru orice matrice A ϵ M2(R) avem:
și analog A+0 = A.
Exemple:
1. Numărul real „0” este elementul neutru al adunării numerelor reale, numărul real „1” este elementul neutru al înmulțirii numerelor reale.
2. Mulțimea 2N={2k/kϵN} a numerelor naturale pare o parte stabilă a lui N în raport cu înmulțirea și legea de compoziție indusă de către aceasta pe 2N nu admite element neutru.
1.2.4.ELEMENT SIMETRIZABIL
Definiție:
Un element x ϵ M se numește simetrizabil în raport cu legea de compoziție (asociativă și cu element neutru notat e ) MMM,(x,y)x * y, dacă există x`ϵ M astfel încât:
x` * x = x * x` = e. ( 11 )
Observație: Dacă “o” asociativă atunci x’ din definiție este unic și se numește simetricul lui x.
Ca și până acum, M este o mulțime nevidat înzestrata cu o lege de compoziție:
MMM, (x, y) x * y ( 12 )
Presupunând în plus că această lege de compoziție este asociativă și că admite element neutru, fie acesta e.
Observând că dacă x„ϵ M satisface ca și x` condițiile
x„* x = x * x„= e
atunci x`= x„. Într-adevăr
x` = x` * e = x` * (x * x„) = (x`* x) * x„ = e * x„= x„. ( 13 )
Dacă x ϵ M este simetrizabil, atunci unicul element x`ϵ M cu proprietatea x` * x = x * x`= e se numește simetricul lui x.
În notația multiplicativă simetricul lui x, în caz că există, se notează de regulă cu x` și se numește inversul lui x; în notația aditivă se notează cu – x și se numește opusul lui x.
Așadar,
x`x = xx`=1, ( 14 )
respectiv
(-x)+x = x+(-x) = 0.
Teoremă: Dacă x, y ϵ M sunt elemente simetrizabile in raport cu o lege de compoziție MMM,(x, y) x * y (asociativă și cu element neutru )
atunci x * y si x` sunt simetrizabile. Mai mult:
( x * y)`= y`* x` , ( 15 )
(x`)`= x ( 16 )
Demonstrație:
Avem:
(y`* x`) * (x * y) = y`* (x`* (x * y)) = y`* ((x`* x) * y) = y` * (e * y) = y`* y = e
și analog (x * y) * (y` * x`) = e.
Rezultă că x * y este simetrizabil și (x * y)`= y`* x`. A doua afirmație este imediată.
Proprietățile 1) si 2) din enunțul teoremei precedente se transcriu multiplicativ astfel:
1) (xy)`= y`x`, 2) (x`)`= x, ( 17 )
iar în notația aditivă
1) -(x+y) = (-y)+(-x), 2) -(-x) = x. ( 18 )
Exemple
Cum e * e = e, rezultă că elementul neutru este și simetrizabil și simetricul lui e este tot e.
În notație multiplicativă avem 1`=1, iar în notație aditivă -0 = 0.
Orice număr întreg este simetrizabil în raport cu adunarea numerelor întregi; numerele întregi simetrizabile față de înmulțire sunt 1 și –1, 1`=1, (-1)`= – 1.
Exerciții:
1. Se consideră pe mulțimea numerelor reale legea de compoziție: x o y = x+y+4.Elementul neutru al legii este e = -4. Aflați elementele simetrizabile.
Există x`ϵ M astfel încât:
x` * x = x * x` = e.
x o x’ = x+x’+4 = -4 x’ = -8-x
x’o x = x’+x+4 = -4 x’ = -8-4
2. Pe R definim legea x o y = xy-2x-2y+6. Să se determine elementele simetrizabile
Rezolvare: Elementul neutru: x o e = e o x = x xe-2x-2e+6 = x identificând coeficienții lui x obținem e = 3
e simetrizabil dacă astfel încât x o x’= x’o x = 3
xx’-2x-2x’+6 = 3 x’(x-2) = 2x-3 punând condiția să existe rezultă
cum rezultă că orice element e simetrizabil, simetricul lui e
3. Pe Z definim legea x o y = xy-2x-2y+6. Să se determine elementele simetrizabile.
Rezolvare:elementul neutru: x o e = e o x = x xe-2x-2e+6 = x identificând coeficienții lui x obținem e = 3
e simetrizabil dacă astfel încât x o x’ = x’o x = 3
xx’-2x-2x’+6 = 3 x’(x-2) = 2x-3 punând condiția să existe rezultă
punem condiția ca și deci x-2 divide pe 1
rezultă x-2 = 1 sau x-2 = -1 deci elementele simetrizabile sunt 3 și 1
Observație: pentru legile definite pe mulțimi finite la care se poate construi tabla legii de compoziție proprietățile se pot vedea din tablă astfel:
comutativitate: dacă tabla e simetrică față de diagonala principală
elementul neutru : e elementul pe linia căruia se regăsesc elementele mulțimii neschimbate
elementele simetrizabile : sunt elementele pe linia cărora se găsește elementul neutru
4. Pe mulțimea Z a numerelor întregi definim legea de compoziție
Z Z Z, (x, y) x y = x + y – xy,
Să se arate că legea de compoziție este asociativă și comutativă.
(x y) z = (x + y – xy) z = x + y – xy + z- (x + y – xy) z = x + y + z – xy – yz – zx + xyz
x (y z) = x (y + z – yz) = x + y + z – yz – x (y + z – yz) = x + y + z – xy – yz – zx + xyz
( x y) z = x (y z)
b) x y = x + y – xy = y + x – yx = y x
5. Pe mulțimea Z a numerelor întregi definim legea de compoziție:
Z Z Z, (x, y) x ◦ y = x + y – xy
Să se arate că, legea de compoziție „◦” este:
a) asociativă; b) comutativă; c) are element neutru; d) are element simetrizabil.
a) (x ◦ y) ◦ z = (x + y – xy) ◦ z = x + y – xy + z – (x+y-xy)z = x + y + z – xy – yz – zx + xyz;
x ◦ (y◦z) = x ◦ (y + z – yz) = x + y + z – yz – x(y + z – yz) = x + y + z – xy – yz – zx + xyz;
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
b) x ◦ y = x + y – xy = y + x – yx = y◦x
c) x ◦ e = x x + e – x.e = x e (1 – x) = 0 e = 0
e ◦ x = x e + x – e.x = x e (1 – x) = 0 e = 0
e = 0 este elementul neutru.
d) x ◦ x' = e x + x' = 0 x' = – x este elementul simetric
6. Pe ℝ se definește legea de compoziție
*:ℝℝℝ, (x, y) x * y = xy + 2ax + by.
Determinați a și b astfel încât legea de compoziție să fie comutativă și asociativă
* comutativitatea
x * y = y * x xy + 2ax + by = yx + 2ay + bx
2a(x-y) = b(x-y) 2a = b
* asociativitatea
(x * y ) * z = x * (y * z)
(x * y) * z = [xy + bx + by] * z = xyz + bxy + byz + b(xy + bx + by + z) =
= xyz + bxz + byz + bxy + bx + by + bz.
x * (y * z) = x * [yz + by + bz] = xyz + bxy + bxz + bx + byz + by + bz.
b = 0 sau b = 1
a = 0, b = 0
a = 1/2, b = 1
1.3. STRUCTURI ALGEBRICE
1.3.1. MONOID
Definiție:
Perechea (M,*), unde M este o mulțime nevidă, pe care s-a definit o lege de compoziție * asociativă și care este dotată cu element neutru, se numește monoid.
Fie (M,*), MxMM, (x,y) x * y, M-nevidă.
Dacă, în plus, legea este comutativă, atunci monoidul se numește comutativ sau abelian.
Axiomele monoidului:
M1. (x * y) * z = x * (y * z) x,y,zM (asociativitatea); ( 17 )
M2. eM astfel încât x * e = e * x = x, xM (e element neutru); ( 18 )
dacă M3. x * y = y * x, x,y M monoidul este comutativ.
Exemple: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi;
2. Mulțimea matricelor pătratice, înzestrată cu operația de înmulțire este monoid necomutativ.
1.3.2. GRUP
Definiție:Fie (G, * ), G x G G, (x,y) x * y, o mulțime nevidă , înzestrată cu o lege de compoziție internă (peste tot definită).
Dacă legea ‘’* ‚, este asociativă, există element neutru , toate elementele din G sunt simetrizabile atunci spunem că perechea (G , *) formează o structură de grup.
Axiomele grupului:
G1. (x * y) * z = x *(y * z) x,y,z G (asociativitatea);
G2. eG astfel încât x * e = e * x = x, x G (e element neutru);
G3. xG x’G astfel încât x’* x = x * x’ = e (x’ simetricul lui x);
dacă G4. x * y = y * x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).
Exemple : 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;
2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ;
3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pătrate de ordin n cu elemente din Z;
4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor față de sistemul de coordonate), comutativ;
5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutărilor de n elemente) nu este comutativ;
Definiție: Fie (G , *) grup, H G , H este subgrup dacă x,yH x * y H și xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operația *);
Definiție: Fie grupurile (G1,), (G2,):
f : G1G2 se numește morfism de grupuri dacă f(x y) = f(x) f(y), x,yG1.
f : G1G2 se numește izomorfism de grupuri dacă f este bijectivă și
f ( x y ) = f(x) f(y), x,yG1.
Definiție: f :G1G2 se numește automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacă f este un izomorfism (morfism).
Grup comutativ sau abelian
Dacă, în plus, legea este comutativă, atunci cuplul (G,o) se numește grup comutativ sau abelian.
Exemplu:
Mulțimea numerelor întregi, înzestrată cu operația de adunare uzuală, este grup abelian.
Definiție:
Fie (G ,o) un grup si H o submulțime nevidă a mulțimii G.
Cuplul (H ,o) se numește subgrup al grupului (G , o) dacă perechea (H ,o) este grup.
Notație: H ≤ G
Exemplu:
Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității este subgrup al grupului numerelor complexe nenule față de operația de înmulțire uzuală.
Teoremă:
O submulțime nevidă H a unui grup (G ,·) este subgrup al grupului G dacă și numai dacă:
a) Oricare ar fi x, y în H, rezultă x · y în H și
b) Oricare ar fi x în H, rezultă x' în H.
Observație:
Condițiile a) si b) pot fi reformulate unitar:
Oricare ar fi x, y din H, rezultă x·y' în H.
Ordinul unui element:
Fiind dat un grup (G ,o) , se spune că elementul x din G are ordinul n (natural nenul) dacă n este cel mai mic număr natural cu proprietatea:
xn = e, unde e reprezintă elementul neutru al grupului G.
Subgrup generat de un element:
Fie (G ,·) un grup (multiplicativ) și x un element arbitrar din G.
Se verifică ușor că submulțimea notată
< x > = {…, x-2, x-1 , x0, = e , x1, x2 , … } ( 19 )
împreună cu legea grupului G, formează un subgrup al grupului G, numit subgrupul ciclic generat de elementul x.
Deci: < x > = { xk / k ϵ Z} ( 20 )
Observație:
Un grup se numește ciclic dacă este generat de un element al său acest element se numește generator al grupului.
Teoremă:
Fie (G,·) un grup (multiplicativ) și x un element de ordinul n din G.
Atunci mulțimea
< x > = {e , x1, x2 , x3, …………….. xn-1 } ( 21 )
formează împreună cu legea grupului G un grup ciclic finit de ordinul n: ord (< x >) = n.
Exemplu: mulțimea rădăcinilor de ordinul 10 ale unității împreună cu operația de înmulțire uzuală, formează un grup ciclic, de ordinul 10, fiind, în același timp, subgrup finit al grupului (C*,·)).
Teorema lui Lagrange:
Ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului.
Corolar 1:
Într-un grup finit, ordinul oricărui element este finit și este un divizor al ordinului grupului.
Corolar 2:
Fie (G,·) un grup (multiplicativ) finit, de ordinul n. Atunci: xn = e x G ( 22 )
Corolar 3:
Orice grup de ordin un număr prim este ciclic.
Teorema lui Euler:
Fie n ϵ N , n ≥ 2 , a ϵ Z , (a,n) = 1 ( 23 )
Atunci:
≡ 1( mod n), unde φ este indicatorul lui Euler. ( 24 )
Observație:
φ(n) = numărul de numere naturale mai mici decât n, prime cu n.
Exemplu:
φ(10) = Card{1,3,7,9} = 4.
Teorema lui Fermat (mica teoremă a lui Fermat):
Fie p > 0 un număr prim și a un număr întreg, nedivizibil cu p.
Atunci: ≡ 1( mod p) ≡ a( mod p) ( 25 )
Morfisme si izomorfisme:
Grupurile (G ,*) și (G',o) se numesc grupuri omomorfe, dacă există o funcție f : G→ G' cu proprietatea:
f(x * y) = f(x) o f(y), x,y ϵ G ( 26)
funcția f se numește, în acest caz, morfism de grupuri.
Grupurile (G ,*) și (G',o) se numesc grupuri izomorfe, dacă există un morfism bijectiv f : G → G' funcția f se numește în acest caz izomorfism de grupuri.
O mulțime X nevidă împreună cu o lege de compoziție internă asociativă se numește monoid sau semigrup.
1.3.3.INEL
Definiție Fie (A,+, o) , A x AA, (x,y) x + y și A x AA, (x,y) x o y, A nevidă
(A,+, o) este inel dacă:
G. (A,+) este grup abelian;
M. (A, o) este monoid și
D. legea „◦” este distributivă față de + :
x o (y + z) = x o y + y o z
(y + z) o x = y o x + y o z, x,y,z A
dacă C. x o y = y o x x,yA, inelul este comutativ.
Exemple de inele:
(Z,+,) – inelul numerelor întregi
(Z[i],+, ) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ}
(Rn,,) – inelul resturilor modulo n
(Mn(A),+,) – inelul matricelor pătratice (cu elemente din inelul A)
(Zn,+,) – inelul claselor de resturi modulo n
Definiție:Fie inelele (A,,*) și (A’,,o)
f : A A’ se numește izomorfism de inele dacă f este bijectivă și
f (x y) = f(x) f(y), f(x * y) = f(x) o f(y), x,y A.
Definiție: (A,+, o) este inel fără divizori ai lui zero dacă x 0, y 0 implică x o y 0.
Definiție:Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește domeniu de integritate.
Definițe:Dacă (A,+,) este inel, atunci (A[X],+ ,) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienți în A.
fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebrică a unui polinom de nedeterminată X cu coeficienți în A:
dacă an0, grad f = n (an – coeficient dominant)
dacă a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = –
Proprietăți: 1. grad (f +g ) max{grad f, grad g}
2. grad f g grad f + grad g
Teoremă:
Dacă A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate și
grad f g = grad f + grad g, f,gA[X].
Un inel I = (A,+,*) este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport A și două operații binare, definite pe produsul cartezian A x A cu valori în A, numite convențional + (sau operația aditivă) și * (sau operația multiplicativă), astfel încât: 1. G = ( A, + , *) formează un grup comutativ sau abelian Elementul neutru al lui G se notează în general cu zero 2. S = ( A , *) formează un semigrup 3. Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice: x , y , z ϵ A x * (y + z) = (x * y) + (x * z) ( 27 ) (x + y) * z = (x * z) + (y * z) ( 28 )
Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică ( x,y A ), x * y = y * x atunci inelul A este un inel comutativ.
Dacă A ≠ {0} și înmulțirea admite element neutru, adică ( ∃ 1 ∈ A ) ( x A )
1 * x = x *1 = x atunci inelul A este inel cu unitate sau inel unitar.
Așa cum reiese din definiție, un inel este un grup aditiv abelian și de asemenea cu înmulțirea unui semigrup. Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate). Dacă A este inel unitar, atunci elementele lui A simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile Se notează cu U(A) mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar A, adică U(A) = { x ϵ A | ∃ x, ∈ A , x * x, = x, * x = 1 } ( 29 ) Fie A un inel. Două elemente x, y ϵ A se numesc permutabile dacă x * y = y * x. Un element a ϵ A se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul A. Mulțimea C(A) : = { a ϵ A | a * x = x * a , x A } ( 30 ) a tuturor elementelor centrale din A se numește centrul inelului A.
Exemple
Inelul numerelor întregi (Z , + , *) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar U(Z) = {-1,1}.
Inelul numerelor raționale (Q , + , *) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus U(Q) = Q*.
Inelul numerelor reale (ℝ, + , *) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus U(ℝ) = ℝ*
Inelul numerelor complexe (C , + , *) este inel comutativ cu U(C) = C*.
Inelul Zn al claselor de resturi modulo n. (Zn , + , *) este inel comutativ, iar
U(Zn) = {ầ ϵ Zn | (a, n) = 1}.
Proprietăți
Fie A un inel. Atunci pentru x , y, z A, avem: 1.x * 0 = 0 * x = 0 2. (-x ) * y = x * (-y ) = -x * y 3. (-x ) * ( -y )= x * y 4. x * (y-z) = x * y – x * z și (y-z) * x = y * x – z * x 5.dacă A este inel cu unitate, atunci (-1) * x = – x 6.dacă n ϵ N* ,atunci definim x1 = x și x m = x m-1 * x (m ≥ 2). Pentru m,n N*, avem x m+n = x m * x n. Inelul ( Zn , + , · ) – aplicații interesante
1.Algoritmul lui Gauss de aflare a datei Duminicii Paștelui
Fie n anul în care se caută prima zi de Paște, zi notată cu x.
Se determină următoarele resturi:
Se calculează
Dacă , atunci x se referă la o dată din aprilie, dacă , atunci x reprezintă o duminică din mai.
Exemplu: Vom calcula data primei zi de Paște în anul 2009, astfel:
Deci, prima zi de Paște în anul 2009 va fi duminică, 19 aprilie.
1.4.INELE DE POLINOAME
INELUL POLINOAMELOR ÎNTR-O NEDETERMINANTĂ
Fie A un inel comutativ și unitar. Vom face o construcție a inelului de polinoame într-o nedeterminată peste A, care la început nu folosește scrierea obișnuită a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.
Peste inelul A se considera șirurile f = (a0,a1,a2,…), ai ϵ A astfel încât toți termenii săi, în afara de un număr finit dintre ei, sunt nuli.
Fie A' mulțimea tuturor șirurilor de acest tip. Șirurile f = (a0,a1,…) și g = (b0,b1,…) sunt egale dacă și numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc două operații algebrice , adunarea și înmulțirea, în raport cu care A' devine un inel comutativ și unitar.
Fie f , g A', f = (a0,a1,a2,…), g = (b0,b1,b2,…)
Atunci adunarea se definește astfel: f+g = (a0+b0, a1+b1, a2+b2,…)
Este evident că f + g are numai un număr finit de termeni nenuli deci f + g A
Să verificăm că (A',+) este grup abelian.
Într-adevăr , dacă f , g , h A , f = (a0,a1,a2,…), g = (b0,b1,b2,…), h = (c0,c1,c2,…), atunci
(f + g) + h = (a0+b0, a1+b1, a2+b2,…) + (c0,c1,c2,…) = [(a0+b0)+c0, ( a1+b1)+c1, …]
și f +(g + h) = (a0,a1,a2,…) + [(b0,b1,b2,…) +(c0,c1,c2,…)] = [a0+(b0+c0),a1+(b1+c1),…]
Cum adunarea în inelul A este asociativă ,avem (ai+ bi) + ci= ai+ (bi + ci) , i=1,2,3…
de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arată că f + g = g + f.
Dacă 0 = (0,0,0,…) , atunci 0 + f = (0,0,…) + (a0,a1,…) = (0+a0,0+a1,…)=
=( a0,a1,a2,…) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare.
Dacă f A', f = (a0,a1,a2,…), atunci –f = (-a0,-a1,-a2,…) este opusul lui f
și f + (- f) = (- f) + f = 0.
Înmulțirea pe A se definește astfel:
f . g = (a0b0,a0b1+a1b0, a0b2+a1b1+a2b1,…)=(c0,c1,…), unde ck =
Este clar că f, g A'. Înmulțirea pe A', astfel definită , este asociativă, comutativă și are element unitate. Să arătăm mai întâi asociativitatea .
Fie f , g , h A' , unde f = (a0,a1,a2,…), g = (b0,b1,b2,…), h = (c0,c1,c2,…)
și să arătăm că (fg)h = f(gh).
Fie fg = (d0, d1, d2,…) Atunci dK =
De asemenea, fie (fg)h = (d0',d1',d2',…) ,
unde = = =
Dacă gh = (c0,c1,…), atunci : =
și fie f(gh)=( , , ,…) , unde:
= = = ( 31 )
Deci = pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh). Comutativitatea înmulțirii rezultă din faptul că înmulțirea în inelul A este comutativă, iar în expresia produsului polinoamelor f și g termenii factorilor intervin în mod simetric.
Elementul unitate din A' este șirul (1,0,0,…). Înmulțirea pe A' este distributivă față de adunare.
Într-adevăr, cu notațiile de mai sus, rezultă:
f(g + h) = (d0, d1,…) , unde ( 32 )
fg + fh = (d'0,d'1,…), unde = ( 33 )
Cum operația de înmulțire pe A este distributivă față de adunare rezultă f(g + h) = fg + fh
Evident are loc și relația (f + g) h = fh + gh și afirmația s-a demonstrat.
Propoziția 3.1.
Dacă A este un inel unitar comutativ, atunci mulțimea A' ( a șirurilor de elemente din A, care au numai un număr finit de termeni nenuli) împreună cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus este un inel comutativ și unitar.
Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienți din A.
Dacă f = (a0,a1,…) este un polinom nenul (adică nu toți termenii săi sunt nuli ) și dacă n este cel mai mare număr natural cu proprietatea că an ≠ 0, atunci n se numește gradul polinomului f. Pentru polinomul nul nu se definește gradul.
Dacă gradul (f) = n, atunci a0,a1,., an se numesc coeficienții polinomului f.
Fie aplicația u : A→ A' definită prin u(a) = (a,0,0,…). Aplicația u este injectivă, deoarece dacă u(a) = u(b), atunci (a,0,…) = (b,0,…) și a = b.
De asemenea u(a + b) = u(a) + u(b) și u(ab) = u(a)u(b) , a,b є A, deoarece, după definiție este evident că (a,0,…) + (b,0,…) = (a+b,0,…) și (a,0,…)*(b,0,…) = ( ab,0,…)
Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite să se identifice elementul a ϵ A cu imaginea sa prin u , adică polinomul (a,0,…) din A'. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A'. Notăm prin X polinomul (0,1,0,…), care se numește nedeterminata X. Obținem:
X2 = X · X = (0,0,1,0,…)
X3 = X2 · X = (0,0,0,1,0,…)
……………………………
Xh = Xh-1 · X = (0,0,…,0,1,0,…) ( 34 )
Pentru orice a A, avem aXj = (0,0,…,0,a,0,…) Fie un polinom de gradul n
f = (a0,a1,a2,.,an,0,…) = (a0, 0, 0,…)+(0,a1,0,…)+…+ (0,0,…an,0,…) =
= a0(1,0,…) + a1(0,1,0,…) +…+an (0,0,…,1,0,…) =
= a0 + a1 X + a2 X2 + ….+ an Xn , deci f = a0 + a1 X + a2 X2 + ….+ an Xn ( 35 )
Dacă an= 1, spunem că polinomul este unitar. Inelul A' obținut se numește inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți în inelul A (sau peste inelul A) și se notează cu A[X].
Din definiția sumei și produsului a doua polinoame , rezultă că
grad (f+g) = max(grad(f), grad(g)); grad(fg) = grad(f)+grad(g), pentru f,g A[x].
Dacă A este un domeniu de integritate, se poate înlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.
Propoziția 3.2.
Dacă A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.
Demonstrație:
Fie f,g A[x]; f = a0 + a1 X + ….+ am Xm , am 0 , g = b0 + b1X +…+bnXn
Atunci f · g = a0b0 + (a0b1 + a1b0) X + … +ambn Xm+n ( 36 )
A fiind domeniu de integritate, rezultă din am ≠ 0 și bn ≠ 0 că am bn ≠ 0, adică fg ≠ 0
În particular, pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în K este un inel integru.
Propoziția 3.3.
Fie A un domeniu de integritate și A[x] inelul polinoamelor în nedeterminată X cu coeficienți în A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci cu notațiile cunoscute avem: u(A[x]) = u(A).
Demonstrație:
Fie a A , inversabil în A, adică există b A astfel încât a · b = 1. Evident, această relație are loc și în A[x], deoarece a și b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil în A[x].
Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci există un polinom g A[x] a.î. f g = 1 și deci grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0, adică f,g A. Deci f A și f este inversabil în A.
În particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 și numai acestea. Dacă A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) = u(A)
Într-adevăr, polinomul neconstant 1+2X Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1
1.5. INELUL NUMERELOR ÎNTREGI, INELUL Z [i] AL ÎNTREGILOR LUI GAUSS
Definiție:Un inel integru A împreună cu o funcție φ : A \{0}→ N se numește inel euclidian dacă are următoarele două proprietăți:
i) Oricare ar fi elementele nenule a,b A astfel ca a să dividă pe b, rezultă φ(a) φ(b)
ii) Pentru orice a,b A, b ≠ 0 există q,r A astfel încat a=bq+r, unde r = 0 sau φ (r)< φ (b)
Ca exemplu de inele euclidiene avem inelul intregilor Z pentru care functia φ este valoarea absolută a numărului întreg:
φ(n) = ( 37 ) Orice corp este inel euclidian.
Inelele Z[х], Q[х], R[х], C[х], Zp[х], sunt euclidiene, elementele prime din aceste inele coincid cu cele ireductibile.
În studiul algebrei superioare, în domeniile de integritate orice element prim este ireductibil reciproca nefiind întotdeauna adevărată. Există însă și alte domenii de integritate, ale căror proprietăți aritmetice se studiază. Astfel întîlnim proprietăți aritmetice ale mulțimilor de polinoame cu coeficienți întregi în n nedeterminate Z[х1,х2,…,хn], n ≥ 1, polinoame cu coeficienți într -un corp K în n nedeterminate K[х1,х2,…,хn], n ≥ 2. Aceste inele de polinoame sunt mai sărace în proprietăți aritmetice. Ele nu sunt inele euclidiene, deci pentru ele nu există teorema de împărțire cu rest, nici algoritmul lui Euclid, având în schimb proprietatea că elementele lor nenule și neinversabile au o descompunere în factori primi cu tot ce derivă din această proprietate devenind astfel inele factoriale.
Un exemplu de inel euclidian este inelul întregilor lui Gauss Z[i], în care funcția φ din definiție este norma N. În adevăr, din faptul că norma produsului a două elemente este egală cu produsul normelor acestor elemente rezultă că i) este satisfăcută. Verificăm condiția ii).
Fie = a+a’i și = b+b’i două elemente din Z[i] cu ≠ 0
Atunci considerăm elementul din Q[i]:
-1 = (a + a, i) () ( 38 )
care se scrie sub forma -1 = r+si, cu r,s Q. Fie γ = c+c’i, unde c si c’ sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respectiv s și δ = r-c+(s-c’) i.
Avem atunci relația α = β γ+ δ β și deoarece α și β γ Z[i] (fiindcă evident γ Z[i] ), avem
δl = δ β Z[i] ( 39 )
Avem totodată:
N(δl)==N(δ β)=N(δ)N(β)=((r-c)2 +(s-c’)2)N(β) ≤ ½ N(β), căci | r-c | ≤ ½
și | s-c, | ≤ ½ ( 40 )
1.6.INELUL CLASELOR DE RESTURI MODULO n
O mulțime specială de obiecte matematice, pe care s-au definit două operații algebrice numite adunare și înmulțire modulo n, prezintă proprietăți interesante, cu multiple aplicații teoretice și practice.
Ea se numește mulțimea claselor de resturi modulo n și își are originea în teorema împărțirii cu rest în Z.
Teorema împărțirii cu rest în mulțimea numerelor întregi:
Fiind dat un număr natural n, nenul, pentru orice număr întreg k există numerele unice q (întreg) și r (natural, mai mic decât n), astfel încât a = nq + r.
Observații:
1) Numărul q este câtul, iar r este restul împărțirii numărului a la n.
2) Notație: r=a(mod n); se citește "a modulo n" și r se numește redusul modulo n al numărului a.
3) Imaginându-ne că împărțim toate numerele întregi la n, este evident că resturile obținute sunt mai mari sau egale cu 0 (în cazul multiplilor lui n), dar mai mici, cel mult egale cu n – 1; deci există exact n tipuri de numere întregi, care se constituie în n submulțimi, disjuncte două câte două, a căror reuniune formează mulțimea Z (se spune că se definește astfel o partiție a mulțimii numerelor întregi).
În cazul particular n = 5, se notează astfel:
= { …-10,-5,0,5,10…} = {5k/kϵ Z}
= {…-9,-4,1,6,11…} = {5k+1/kϵ Z}
= {…-8,-3,2,7,12…} = {5k+2/kϵ Z}
= {…-7,-2,3,8,13…} = {5k+3/kϵ Z}
= {…-6,-1,4,9,14…} = {5k+4/kϵ Z}
4) În general, pentru un n oarecare, submulțimile respective sunt:
ele conținând toate numerele întregi de forma nk, nk + 1, nk + 2, … , respectiv
nk + (n – 1), unde k parcurge mulțimea Z.
5) Mulțimile se numesc clase de resturi modulo n, numerele
0, 1, 2, 3, … , (n-1) fiind numite reprezentanții canonici ai mulțimilor respective (sunt cele mai mici numere naturale, cel mult egale cu n-1, din mulțimile respective).
Pentru mulțimea claselor de resturi modulo n se folosește notația:
sau:
(mulțimea cât Z/nZ).
6) În locul unui reprezentant canonic se poate folosi orice alt număr întreg din clasa respectivă de pildă în mulțimea pentru că este vorba despre reprezentarea aceleași mulțimi (a numerelor întregi care dau același rest 5 prin împărțire la 7).
De reținut:
(se citește a congruent cu b modulo n, acest lucru însemnând că a și b dau același rest prin împărțire la n).
Exercițiu : Fie clasele de resturi și
a) Rezolvați în corpul ecuația
b) Să se determine ordinul elementului în grupul
c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri
a) Verificăm pentru fiecare din cele 7 elemente din și obținem soluțiile și
b) , , , , ,
c) Dacă există un astfel de morfism, atunci .
Dar
1.7.MORFISME ȘI IZOMORFISME DE INELE ȘI CORPURI
Definiție:Fie corpurile (K,,*) și (K’, ,o), f:KK’ este izomorfism de corpuri dacă f este bijectivă, f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,y R.
Inelele și se numesc omomorfe dacă există o funcție f : A → A, cu proprietățile:
( 41 )
( 42 )
f (1) = f (1,)
unde 1 si 1' sunt elementele neutre ale celor două inele, față de legile respective o (legile multiplicative ale inelelor); funcția f se numește morfism de inele.
Dacă funcția f este în plus, bijectivă, atunci ea se numește izomorfism de inele, iar inelele se numesc izomorfe.
Corpurile și se numesc omomorfe, respectiv izomorfe, dacă inelele
și (orice corp este, în același timp și inel ) sunt omomorfe sau izomorfe.
Observații:
a) Orice morfism de la un inel (corp) la el însuși se numește endomorfism
b) Orice izomorfism de la un inel (corp) la el însuși se numește automorfism
c) Orice morfism injectiv se numește monomorfism
d) Orice morfism surjectiv se numește epimorfism
e) Dacă f : A→A este morfism de inele, atunci
Imf = {y ϵ A, | ∃x ∈ A , f(x) = y} (imaginea morfismului) și
Ker f ={x ϵ A | f(x) = o,} (nucleul morfismului)
unde 0' reprezintă elementul nul al inelului A', sunt subgrupuri ale grupurilor (A',*), respectiv
Teorema 1:
Orice morfism de corpuri este monomorfism (este injectiv).
Teorema 2:
Un corp nu admite divizori ai lui zero.
Teorema 3:
Orice corp finit este comutativ (teorema lui Wedderburn).
1.8. DIVIZIBILITATEA ÎN INELE DE POLINOAME
Teorema împărțirii cu rest în mulțimea polinoamelor având coeficienți într-un inel comutativ (A,+,·):
Fiind dat un polinom g, al cărui coeficient dominant este inversabil în inelul (A,+,·), pentru orice polinom f ϵ A[X] (se citește "polinom f cu coeficienți în inelul A și nedeterminată X") există polinoamele unice q,r ϵ A[X], astfel încât f = g·q + r și grad(r) < grad(g).
Observații:
Polinomul f se numește deîmpărțit, g – împărțitor, q – cât și r – rest
2. Evident, în teorema se poate lua și A = K, unde K este corp comutativ (câmp) și g este diferit de polinomul nul. Cazurile particulare cel mai des întâlnite sunt cele in care K = C, K = R,
K = Q, K = Zp, p – prim (corpul claselor de resturi modulo p, cu p prim), sau pentru f ϵ Z[X] (f este polinom cu coeficienți întregi și nedeterminata X), dacă g este nenul și coeficientul dominant al lui g este +1 sau -1, singurele elemente inversabile ale inelului (Z,+,·)
3. Dacă r = 0, adică dacă f = g·q, se spune ca polinomul g este divizor al lui f, (sau că g divide pe f și se scrie g|f), sau că f este multiplu de g ( sau că f se divide prin g)
Teorema restului:
Oricare ar fi polinomul f ϵ A[X] și oricare ar fi a ϵ A, există q ϵ A[X], astfel încât:
f = (X-a)·q + f(a). (Restul împărțirii unui polinom f prin (X-a) este egal cu f(a).)
Observație:
În cazul unei astfel de împărțiri, câtul și restul se află, în mod practic, utilizând schema lui Horner.
O consecință importantă a teoremei restului este:
Teorema lui Bézout:
Un element a ϵ A este radăcină a polinomului f ϵ A[X] dacă și numai dacă (X-a)|f (polinomul (X-a) divide pe f).
Proprietăți ale relației de divizibilitate în mulțimea polinoamelor:
Polinomul g divide polinomul f dacă și numai dacă restul împărțirii lui f la g este polinomul nul.
Dacă g|f și f nu este polinomul nul, atunci gradul lui g este cel mult egal cu gradul lui f.
Polinoamele având gradul 0 (polinoamele constante nenule) divid orice polinom.
Dacă f este un polinom oarecare, iar a un număr complex nenul, atunci a·f|f.
Observații:
Dacă f este un polinom, deducem că divizorii acestuia, de forma a și a·f, cu a
complex nenul, se numesc divizori improprii ai polinomului f, toți ceilalti divizori se numesc proprii
2.Un polinom de grad cel puțin unu, care admite numai divizori improprii, se numește ireductibil. În caz contrar se numește reductibil
3.Relația de divizibilitate este reflexivă și tranzitivă
4.Dacă g|f1 și g|f2, iar h1, h2 sunt două polinoame arbitrare, atunci g|(h1f1 + h2f2)
5.Dacă g|f și f|g, atunci există a ϵ C*, astfel încât f = a·g
6.Două polinoame f si g, având proprietățile f|g si g|f, se numesc asociate în divizibilitate (sau simplu, asociate)
Deducem că f si g sunt asociate dacă și numai dacă există a ϵ C*, astfel încât f = a·g
Criteriul lui Eisenstein:
Fie polinomul f, cu coeficienți întregi, de forma
f = a0 + a1 X + a2 X2 + ….+ an Xn , n ≥ 1 ( 43 )
astfel încât coeficienții săi să fie primi între ei.
Dacă există un număr prim p, astfel încât p|ai, oricare ar fi i ϵ [0,n-1], p nu divide pe an și p² nu divide pe a0, atunci f este ireductibil.
Exemplu:
f = 2 – 4X + 6X² – 7X³.
((2;-4;6;-7) = 1, p = 2, p|2, p|(-4), p|6) si p nu divide (-7), p² = 4 nu divide pe 2).
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor:
Definiție:
Se numește cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f și g un polinom d cu proprietățile:
d este un divizor comun al lui f și g
Orice alt divizor comun d' al lui f și g divide și polinomul d
Algoritmul lui Euclid este procedeul practic ce probează existenta unui c.m.m.d.c.
pentru 2 polinoame, permițând totodată identificarea acestuia.
Teoremă:
Notând cu d un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g, există polinoamele u și v, astfel încât
d = uf + vg. ( 44 )
Definiție:
Fiind date două polinoame f și g, spunem că sunt prime între ele dacă 1 este un c.m.m.d.c. al lor (1 fiind elementul neutru al inelului A, față de legea notate multiplicativ).
Observație:
(f,g) = 1 < = > există u și v astfel încât uf + vg = 1
Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor:
Definiție:
Fiind date două polinoame f și g, un polinom m se numește un cel mai mic multiplu comun al lor (c.m.m.m.c.), dacă îndeplinește condițiile:
m este un multiplu al lui f și g, adică f|m si g|m
Orice alt multiplu comun m' al lui f si g este multiplu al lui m, adică
(f|m' si g|m') = > m|m'
Teoremă:
Fie f și g două polinoame, cel puțin unul nenul. Dacă d este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g atunci polinomul m = (f·g)/d este un c.m.m.m.c. al acestora.
Observație:
Această teoremă oferă algoritmul de calcul al unui c.m.m.m.c. pentru două polinoame, în cazul când se cunoaște un c.m.m.d.c. al lor.
Tabla unei operații
Fie mulțimea M = { a1,a2,a3,…..an } și legea de compoziție “*”.
* a1 a2 a3…………..an
a1 a11 a12 a13 ……..a1n
a2 a21 a22 a23 ……..a2n
a3 a31 a32 a33 ……..a3n
. ……………………….
. ……………………….
. ……………………….
an an1 an2 an3 ………ann
a11=a1*a1
a12=a1*a2
…
a21=a2*a1
a22=a2*a2
…
an1=an*a1
an2=an*a2
Exemplu
Fie legea de compoziție x*y=min(x,y) și H={1,2,3,4}.
Se cere : a) Întocmiți tabla legii
b) Este H parte stabilă a mulțimii nr. reale n raport cu legea de compoziție “*”?
b) H este parte stabilă a mulțimii nr. reale în raport cu “*” deoarece toate elementele din tabla legii aparțin mulțimii H.
Tabla legii de compoziție se poate face doar dacă mulțimea pe care e definită legea este mulțime finită
1.9.CORP
Un inel se numește corp, dacă:
este grup abelian cu elementul neutru 0
este grup cu elementul neutru 1
Înmulțirea este distributivă față de adunare
Dacă, în plus, înmulțirea este și comutativă, atunci corpul este comutativ.
Teoremă: „ Un corp nu admite divizori ai lui zero, adică din .”
Observație: Fie unitatea imaginară (). Considerăm j, k două obiecte matematice între care introducem o înmulțire astfel: . Expresia formală se numește cuaternion. Fie H mulțimea tuturor cuaternionilor. Tripletul este un corp necomutativ, numit corpul cuaternionilor.
Fie un întreg liber de pătrate ( adică d nu se divide prin pătratul niciunui număr întreg diferit de 1). Definim mulțimea .
Tripletul este un corp comutativ, numit corp pătratic.
Deci ,un inel în care orice element (în afară de 0) are invers față de înmulțire se numește corp. Elementul neutru în raport cu operația + se notează 0 și se numește elementul nul, iar simetricul lui x ϵ A în raport cu adunarea se notează -x și se numește opusul lui x. În loc de
x + (-y), vom nota x-y.
Exemple de corpuri:
(Q,+,) – corpul numerelor raționale
(R,+, ) – corpul numerelor reale
(C,+, ) – corpul numerelor complexe
(Q(),+,) – corpul numerelor pătratice (dZ, d – liber de pătrate)
(Zp,+, ) – corpul claselor de resturi modulo p (pN*, p >1, p – număr prim)
Observații:
1) Mulțimile Z, Q, R cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire formează inele comutative și unitare
2) Dacă nZ este un număr întreg, atunci mulțimea nZ = {nk/k Z} este inel comutativ față de adunarea și înmulțirea obișnuită a numerelor întregi
3) Mulțimea C([0,1],R) = {f :[0,1] R/ f continuă} cu adunarea și înmulțirea funcțiilor, f + g și fg definite în mod uzual:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) și
(fg)(x) = f(x)g(x)
este un inel comutativ și unitar
4) Mulțimea Z ={ } a claselor de resturi modulo n împreună cu adunarea și înmulțirea claselor formează un inel comutativ și unitar numit inelul claselor de resturi modulo n
5) Fie R un inel. Vom defini un nou inel R în modul următor. Grupurile aditive subiacente celor două inele coincid, adică (R ,+) = (R,+)
CAPITOLUL 2 . MULȚIMEA POLINOAMELOR
2.1.DEFINIREA POLINOAMELOR
Pe mulțimea P definim două operații algebrice:
Adunarea. +: P PP, care asociază fiecărui cuplu (f, g) P P elementul notat
f + g P, numit suma lui f cu g, unde dacă f = (a0,a1,…,an), iar g = (b0,b1,…,bn)
atunci f+g = (a0+b0,a1+b1,…) (spunem că adunarea șirurilor din P se face pe componente)
Este clar că f +g P, deoarece ak+bk = 0,( ∀) k > max(n,m)
Înmulțirea · : P PP, care asociază fiecărui cuplu (f,g) PP elementul notat
f · g P, numit produsul lui f cu g, unde dacă f = ( a0,a1,…,an), g = (b0,b1,…,bn)
atunci f · g = (c0,c1,c2,…,ck,…), unde c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, …,
ck = a0bk+a1bk-1+…..+ak-1b1+akb0, …
Să observăm că și aici f · gP deoarece ck = 0,() k > n+m (pentru k = n + m, ck = anbm)
De exemplu, șirurile: f =(0,-1,2,0,0…), g = (-1,i,2,0,0…) , h = (1+2i,7,-100,2 ,0 , …) sunt șiruri infinite care au un număr finit de termeni nenuli. Șirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste șiruri sunt elemente din mulțimea C[X].
2.2. ADUNAREA ȘI ÎNMULȚIREA POLINOAMELOR
Definim pe mulțimea P două operații algebrice: adunarea și înmulțirea
Adunarea polinoamelor:
Fie , două elemente din mulțimea P , atunci definim:
, ( 45 )
2.2.1.PROPRIETĂȚILE ADUNĂRII POLINOAMELOR
(P,+) se numește grup abelian
A1) Adunarea este asociativă :
(f + g) + h = f + (g + h), () f,g,hP ( 46 )
Într-adevăr, dacă ,și atunci avem și deci
Analog, obținem că
Cum adunarea numerelor este asociativă, avem , pentru orice .
Rezultă imediat din definiția adunării și a egalității a două elemente din P precum și din asociativitatea adunării pe C.
A2) Adunarea este comutativă :
, () f , g P ( 47 )
Într-adevăr, dacă și avem,
Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem pentru orice Deci
Rezultă imediat din definiția adunării și a egalității a două elemente din P precum și din comutativitatea adunării pe C.
A3) Elementul neutru pentru adunare este polinomul constant : 0=(0,0,0,…,0,…) P și are proprietatea:
f + 0 = 0 + f, () fP ( 48 )
A4) Elemente inversabile
Orice polinom f P admite un element notat (-f ) și numit opusul lui f pentru care
f + (- f) = (- f) + f = 0, () fP ( 49 )
Dacă f = ( a0,a1,…,an), atunci –f = (-a0,-a1,…,-an)
De exemplu, dacă este un polinom, atunci opusul său este
Spunem ca P împreună cu operația de adunare și proprietățile A1-A4 formează un grup comutativ.
Înmulțirea polinoamelor
Fie ,
Atunci definim:
( 50 )
2.2.2.PROPRIETĂȚILE ÎNMULȚIRII POLINOAMELOR
Asociativitatea
Oricare ar fi P, avem:
(f . g) . h = f . (g . h) ( 51)
Comutativitatea
Oricare ar fi P , avem:
f . g = g . f ( 52 )
Într-adevăr, dacă , atunci notând și , avem :
și
Cum adunarea și înmulțirea numerelor complexe sunt comutative și asociative
avem cr=dr, pentru orice .
Deci
Element neutru
Polinomul 1= (1,0,0,…) este element neutru pentru înmulțirea polinoamelor, adică oricare ar fi P, avem:
f . 1 = 1 . f = f ( 53 )
Elemente inversabile
P este inversabil dacă există , astfel încât:
f . = . f = 1 ( 54 )
Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: f = (a,0,0,0…), a 0
Distributivitatea
Oricare ar fi polinoamele f , g , h P, are loc relația:
Cele două operații introduse mai sus, adunarea și înmulțirea, sunt legate între ele prin proprietatea de distributivitate.
Se spune că P împreună cu operația de înmulțire și proprietăți este un monoid comutativ.
f · (g + h) = f · g + f · h, () f,g,hP ( 55 )
În concluzie mulțimea P înzestrată cu cele două operații având proprietățile A1-A4, I1-I3 și distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea se spune că formează un inel comutativ unitar. Să observăm că elementele de forma (a,0), a,bC se adună și se înmulțesc în același mod ca și elementele lui C,
(a,0) + (b,0) = (a+b,0)
(a,0) · (b,0) = (a · b,0)
Acestea ne permit să identificăm astfel de șiruri din P cu elementele corespunzătoare din C adică (a,0) = a, () aC
Desemnăm elementul (0,1,0) = X și numim X nedeterminată pe C.
Utilizând operația de înmulțire din P rezultă
X = (0,1,0), X2 = (0,0,1,0,0), X3 = (0,0,0,1,0), Xn = (0,0,…,0,1,0)
De asemenea avem pentru aC: (0,0,…,0,a,0) = aXn = Xna
Cu aceste observații, un element f = (a0, a1, …, an,0∞) din P se scrie:
f = a0 + a1X2 + …+ an Xn = , unde am pus X0 = 1
Mulțimea P pe care am definit operațiile de adunare și înmulțire se numește mulțimea polinoamelor cu coeficienți complecși, iar un element f scris sub forma:
f = a0 + a1X2 + …+ an Xn = , unde am pus X0 = 1 ( 56 )
reprezintă forma algebrică a polinomului f de nedeterminată X.
Numerele a0, a1, …, an C se numesc coeficienții polinomului, iar termenii akXk, k = îi vom numi monoame ale polinomului f.
Am văzut mai sus că mulțimea P a polinoamelor cu coeficienți complecși împreună cu adunarea și înmulțirea are o structură de inel comutativ unitar, numit inelul polinoamelor cu coeficienți complecși de nedeterminată X.
Observație: Se impune să avem grijă în a considera litera X ca reprezentând un element variabil din C; litera X desemnează un polinom particular. Ideea că X reprezintă un element variabil din C provine din confuzia ce se face între polinom cu coeficienții în C și funcția polinomială definită pe C cu valori în C, atașată polinomului respectiv.
Notație. Vom nota mulțimea P a polinoamelor cu coeficienți complecși de nedeterminată X prin C[X]. Alte submulțimi ale acestei mulțimi sunt:
Z[X] = submulțimea polinoamelor peste Z de nedeterminată X (sau având coeficienți întregi)
Q[X] = submulțimea polinoamelor peste Q de nedeterminată X (sau având coeficienți raționali)
R[X] = submulțimea polinoamelor peste R de nedeterminată X (sau având coeficienți reali)
Să reformulăm acum egalitatea, suma și produsul a două polinoame din C[X] scrise sub forma algebrică.
1. Egalitatea a două polinoame Dacă f, gC[X]
f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn , g = b0+ b1X + b2X2 + … + bm Xm
atunci polinomul f este egal cu g și scriem:
f = g ai = bi , () i 0
2. Suma a două polinoame Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu f + g și egal cu:
f + g = (a + b) + (a 1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + …
3. Produsul a două polinoame Produsul polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu
f g, egal cu
f g = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + (a0b2 +a1b1 + a2b0)X2 + …
Deci :
1) Două polinoame sunt egale dacă coeficienții termenilor care conțin pe X la aceleași puteri sunt egali. În particular, un polinom este identic nul dacă toți coeficienții săi sunt nuli
2) Adunarea polinoamelor se face adunând între ei termenii asemenea (cu puteri egale ale lui X)
3) Înmulțirea a două polinoame se face înmulțind fiecare termen din primul polinom cu fiecare din al doilea polinom, după care se reduc termenii asemenea
2.3. GRADUL UNUI POLINOM
Fie . Se numește gradul lui , f ≠ 0 notat prin grad(f), cel mai mare număr natural n astfel încât an 0
Deci grad : C[X] → N U {- ∞ } ( 57)
Dacă f = 0, atunci grad(f) = – ∞
Dacă grad(f) = n, atunci f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn, an ≠ 0
Termenul a0 se numește termenul liber al polinomului f, iar coeficientul an ≠ 0 se numește coeficientul dominant al polinomului f. Polinoamele fC se numesc polinoame constante.
2.3.1.PROPRIETĂȚI ALE GRADULUI UNUI POLINOM
Fie f,gC[X]. Atunci pentru gradul sumei și produsului celor două polinoame au loc relațiile:
grad(f + g) max(grad(f),grad(g)) ( 58 )
grad(f · g) = grad(f) + grad(g) ( 59 )
Deci gradul sumei a două polinoame este cel mult maximul dintre gradele celor două polinoame iar gradul produsului a două polinoame este egal cu suma celor două polinoame.
Demonstrație. Într-adevăr, fie f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn , an≠0 și g = b0+ b1X + b2X2 + … + bm Xm , bm ≠ 0
Dacă n > m, atunci grad(f +g) este n deoarece an Xn este termenul de grad cel mai mare din f + g
Dacă m = n, atunci (an + bn)Xn este termenul de grad cel mai mare dacă an + bn ≠ 0 și deci
grad(f + g) = grad(f), iar dacă an + bn = 0, atunci grad(f + g) < grad(f)
Deci grad(f + g) ≤ max(grad(f),grad(g))
Pentru f · g termenul de grad maxim este anbmXn+m, anbm ≠ 0 deoarece
an ≠ 0, bm ≠ 0 și deci grad(f · g) = n + m = grad(f) +grad(g)
Exemple: 1. Polinomul are gradul 1
2. Polinomul are gradul 5
3. Polinomul constant , unde ,are gradul 0
2.3.2. FORMA ALGEBRICĂ A POLINOAMELOR
Notația introdusă pentru polinoame nu este prea comodă în operațiile cu polinoame. De aceea vom folosi altă scriere.
Dacă considerăm , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notațiile:
Exemplu:
Atunci:
Singurii factori ireductibili(primi) în C[X] sunt polinoamele de gradul I.
2.4. FUNCȚIA POLINOMOALĂ. RĂDĂCINI ALE UNUI POLINOM
Fie fC[X], f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn și A,B C.
Definiție
Funcția : A B, (x) = f(x), () x C se numește funcție polinomială ( 60)
Numărul f(x), xC se numește valoarea polinomului f în x, iar funcția definită se numește funcția asociată polinomului f sau simplu funcție polinomială.
Gradul polinomului dă gradul funcției polinomiale.
Coeficienții polinomului sunt coeficienții funcției polinomiale.
A determina funcția polinomială înseamnă a-i preciza coeficienții.
Să observăm că un polinom f și funcția polinomială asociată sunt noțiuni distincte. Ele nu se confundă.
Definiție:
Fie , este rădăcină de ordin de multiplicitate m, dacă și nu divide pe f . ( 61)
Exemple:
1.
nu divide f este rădăcină de ordin de multiplicitate 1 (rădăcină simplă)
2.. Descompunând în factori ireductibili vom obține:
, unde:
1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3
i,- i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1
2.5.POLINOAME IREDUCTIBILE
Definiție: Un polinom f C[X] se numește ireductibil peste C (sau încă ireductibil în C[X]) dacă are gradul cel puțin unu și dacă nu are divizori proprii.
În caz contrar, el se numește reductibil peste C (sau încă reductibil în C[X]).
Așadar, un polinom fC[X] este reductibil peste C dacă există două polinoame (cel puțin) g, hC[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = g h
Analog, un polinom fR[X] este reductibil peste R dacă există două polinoame (cel puțin) g,hR[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = g h
De asemenea, un polinom fQ[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există două polinoame (cel puțin) g,hQ[X] (Z[X]), de grad cel puțin unu pentru care f = g h
O clasă importantă de polinoame ireductibile din C[X] este dată de următoarea propoziție:
Propoziție: Orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X]) este un polinom ireductibil.
2.5.1.TEOREMA DE DESCOMPUNERE ÎN FACTORI IREDUCTIBILI (PRIMI)
Teoremă 1) Un polinom f C[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bC, a≠0
2) Un polinom f R[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bR, a≠0 sau f = aX2 + bX + c, a,b,cR, a ≠ 0, b2 – 4ac<0
Următorul rezultat este important deoarece precizează exprimarea unui polinom cu ajutorul polinoamelor ireductibile.
1) Orice polinom fC[X], de grad n 1 are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină se repetă de un număr de ori egal cu ordinul sau de multiplicitate)
2) Dacă f = a0 + a1X + … + anXn, an ≠ 0, n1, iar x1, x2, …, xn sunt rădăcini ale lui f, atunci f = an(X – x1)(X – x2) … (X – xn)
3) Dacă un polinom de gradul n se anulează pentru n + 1 valori distincte, atunci f= 0
Fie fC[X] (R[X]). Atunci f se poate scrie (unic – mai puțin ordinea factorilor) ca un produs finit de polinoame ireductibile din C[X] (R[X])
În R[X]:
( 62 )
Singurele polinoame prime din R[X] sunt:
polinoamele de gradul I
polinoamele de gradul II cu .
2.5.2.TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ALGEBREI (D'Alembert-Gauss) CONSECINȚE
Teorema lui d’Alembert-Gauss
Orice polinom cu coeficienți complecși de grad mai mare sau egal cu unu admite, cel puțin o rădăcina în C, altfel orice ecuație algebrică de grad mai mare sau egal cu 1 și cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină complexă.
Consecințe:
O ecuație algebrică de gradul n admite exact n rădăcini complexe
Polinomul f are gradul n, mai mare sau egal cu 1, dacă și numai dacă
f = an(x – x1)(x – x2) … (x – xn), unde xk, k = 1, 2, … , n
Teoremă:
1) Un polinom fC[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bC, a≠0
2) Un polinom fR[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bR, a≠0 sau
f = aX2 + bX + c, a,b,cR, a ≠ 0, b2 – 4ac<0
2.6 ÎMPĂRȚIREA POLINOAMELOR
Teoremă (Teorema împărțirii cu rest a polinoamelor):
Fie f,g C[X], g ≠ 0. Atunci există și sunt unice două polinoame q,r C[X] astfel încât
f = g · q + r, unde grad(r) < grad(g) ( 63 ) Polinomul f se numește deîmpărțit, polinomul g este împărțitorul, polinomul q este câtul, iar polinomul r se numește restul împărțirii. Dacă r = 0, adică f = gq, atunci spunem că polinomul f se divide prin polinomul g (sau că f este multiplu de polinomul g sau că g este un divizor al polinomului f) sau că g divide polinomul f. Dacă f se divide prin g, atunci scriem f g (citim: f se divide prin g) sau g | f (citim:g divide pe f).
Teorema împărțirii cu rest este valabilă și în R[x], Q[x] dar nu rămâne adevărată în Z[X].
Vom efectua împărțirea polinomului la polinomul .
/
//////
/
//
//
/
/
/
…………………………………………………………………………………
/
/
Acest tabel ne redă regula(algoritmul) de împărțire a polinoamelor, pe care o vom aplica în practică pentru obținerea câtului și restului împărțirii.
Exemple:
1. Să se efectueze împărțirea polinomului f=6X5 – 17 X3 – X2 + 3 la polinomul g=3X2 – 6X + 2 Pentru a face aceasta dispunem ca mai jos polinoamele:
6X5 + 0X4 – 17X3 – X2 + 0X + 3 (Deîmpărțitul)| 3X2 – 6X +2 (Împărțitor)
-6X5 + 12X4 – 4X3 | 2X3 + 4X2 + X –1 (Câtul)
/ 12X4 – 21X3 – X2
– 12X4 + 24X3 – 8X2
/ 3X3 – 9X2 + 0X
– 3X3 + 6X2 – 2X
/ – 3X2 – 2X + 3
3X2 – 6X + 2
/ – 8X + 5 (Restul)
Procedeul utilizat:
1) Se ordonează polinoamele f și g după puterile descrescătoare ale nedeterminatei X
2) Se face împărțirea polinomului de grad mai mare (aici f) la polinomul de grad mai mic
3) Se împarte primul termen al lui f la primul termen al lui g; se obține astfel primul termen al câtului ( în exemplu avem: 6X5 : 3X2 = 2X3)
4) Se înmulțește rezultatul astfel obținut (in exemplu 2X3) cu împărțitorul g și se scade acest produs din deîmpărțitul f (adică se adună acest produs cu semn schimbat la f). Acest calcul ne dă primul rest al deîmpărțirii (în exemplu, primul rest este polinomul 12X4 – 21X3 – X2 +3)
5) Se repetă procedeul luând primul rest ca deîmpărțit
6) Algoritmul se termină când gradul restului este strict mai mic decât gradul împărțitorului (în exemplu, câtul este q = 2X3 + 4X2 + X – 1 și restul este r = -8X + 5)
2. Fie polinoamele și . Să determinăm câtul și restul împărțirii lui f la g.
/
///
/
q
/
/
/
///
r
Deci câtul este , iar restul . Formula împărțirii cu rest se scrie, în acest caz astfel: f = g q + r
2.6.1.CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN
Definiție: Fie f, gC[X]. Spunem că polinomul d C[X] este cel mai mare divizor comun al polinoamelor f,g dacă:
1) d este un divizor comun pentru f,g, adică d | f și d | g
2) orice alt divizor comun pentru f și g îl divide pe d, adică () d’C[X] d’ | f, d” | g /d’|d
= C.m.m.d.c ( 64 )
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (c.m.m.d.c.) f, g va fi notat cu (f,g)
2.6.2.CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN
Definiție: Fie f și g două polinoame. Un polinom m se numește cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele condiții:
1. și
2. , și
Dacă d este c.m.m.d.c al lui f și g, atunci ( 65 )
Fie C corpul numerelor complexe.
Arătăm că oricare ar fi două polinoame f,gC[X], există (f,g), și-l vom construi efectiv prin așa-numitul algoritm al lui Euclid
( 66 )
Cel mai mare divizor comun a două polinoame este unic până la înmulțirea cu o constantă(asociere).
Dacă , atunci f și g sunt prime între ele.
Exemplu: Să se găsească cel mai mare divizor comun al polinoamelor:
și .
Vom aplica algoritmul lui Euclid. Împărțim pe f la g
//
/
Pentru a evita coeficienții fracționari, vom înmulți în prealabil pe g cu 3 și restul împărțirii cu –1. împărțim acum împărțitorul la rest:
//
/
Acum, pentru a evita din nou coeficienții fracționari, vom înmulți pe cu 2 și continuăm operația
///
3
Am obținut restul . Pentru a evita din nou coeficienții fracționari, vom împărți restul cu –19 și împărțim împărțitorul la rest
///
/
– –
Ultimul rest nenul este polinomul și deci
Teoremă : Dacă f,g,q,rC[X] astfel încât f = gq + r și dacă există (g,r), atunci există (f,g) și mai mult (f,g) = (g,r).
Demonstrație:
Fie d + (g,r). Deci d | g, d | r și d | gq + r (combinație de g și r). Prin urmare d | f, adică d este un divizor pentru f și g. Dacă d’ este un alt divizor comun pentru f și g, atunci avem d’ | f – gq, adică d’ | r. Deci d’ este un divizor comun pentru g și r și cum d = (g,r) rezultă d’|d. în final d = (f,g)
Teoremă : Oricare două polinoame din C[X] au un c.m.m.d.c.
Demonstrație:Fie f,gC[X]. Dacă f = 0, atunci (0,g) = g, deoarece g | 0, g | g, iar dacă d’ | 0 și
d’ | g, atunci d’ | g și deci (0,g) = g.
Analog se tratează cazul în care f ≠ 0, g=0 când (f,0) = f
Presupunem acum că f ≠ 0 și g ≠ 0. Se împarte polinomul de grad mai mare la cel de grad mai mic. Presupunem că grad(f) grad(g) și considerăm următorul lanț de împărțiri cu rest:
g = r1 q2 + r2, grad(r2) < grad(r1)
f = gq1 + r1, grad(r1) < grad(g)
r1 = r2 q3 + r3, grad(r3) < grad(r2)
…………………………………..
rn-3 = rn-2qn-1 + rn-1, grad(rn-1) < grad(rn-2)
rn-2 = rn-1qn + 0
Resturile obținute la împărțirile de mai sus au proprietatea grad(r1) > grad(r2) > …
Gradele sunt distincte două câte două și aparțin mulțimii {0,1,2,…,grad(r1)}. Deci în inegalitățile de mai sus ( cu grade) întâlnim de exemplu restul rn-1 ≠ 0 și rn = 0
Să arătăm că ultimul rest nenul rn-1 reprezintă cel mai mare divizor comun al polinoamelor f, g.
Aplicăm lema în mod repetat (de jos în sus în lanțul de relații) și avem:
rn-1 = (rn-1,0) = (rn-2,rn-1) = (rn-3,rn-2) = … = (r1,r2) = (g,r1) = (f,g)
Deci, date fiind două polinoame f,gC[X], f,g ≠ 0 (cazul interesant) pentru a determina (f,g) se realizează lanțul de împărțiri cu rest de mai sus dacă grad(f) grad(g)
Dacă grad(g)grad(f), atunci se inversează rolul lui f cu g.
Modul de a obține c.m.m.d.c. a două polinoame se numește algoritmul lui Euclid.
Observații:
1) Să remarcăm că c.m.m.d.c a două polinoame este unic până la o asociere în divizibilitate, în sensul că dacă d = (f,g), d’ = (f,g), atunci d ~ d’, adică există aC – {0}, astfel încât d = ad’
Într-adevăr din d = (f,g) și d’ | f, d’ | g -> d’ | d. Analog din d’ = (f,g) și d | f, d | g / d | d’
Acum din d’ | d și d | d’ rezultă d ~ d’
2) Dacă f, g sunt descompuse în factori ireductibili, atunci (f,g) se obține luând factorii comuni la puterea cea mai mică
3) Dacă în lanțul de împărțiri, o egalitate se înmulțește cu aC – {0}, atunci, în final, c.m.m.d.c. nu se modifică, acesta fiind unic până la asocierea cu o constantă nenulă din C, adică
(f,g) = (af, bg), () a,bC*.
Teoremă : Fie f, gC[X], d = (f,g). Atunci există u,vC[X] astfel încât d = uf + vg.
Demonstrație: Este imediată mergând de jos în sus cu exprimarea ultimului rest nenul rn-1
Această consecință a teoremei afirmă că c.m.m.d.c. pentru polinoamele f, g se exprimă ca o combinație de ele.
Definiție: Fie f,gC[X]. Spunem că polinoamele f și g sunt prime între ele dacă (f,g) = 1
Ținând seama de relația precedentă, dacă două polinoame f,gC[X] sunt prime între ele, atunci există u,v astfel încât
1 = uf + vg ( 67 )
Pentru acest caz are loc și reciproca.
O propoziție utilă în rezolvarea unor probleme cu polinoame este următoarea:
Teoremă: Fie f,gC[X] astfel încât f | gh și (f,g) = 1. Atunci f | h
Demonstrație: Din (f,g) = 1 se deduce existența polinoamelor u,vC[X] astfel încât
1 = uf + vg. Se înmulțește relația cu h și avem h = ufh + vgh. Cum f | gh, rezultă că există f1C[X] astfel încât gh = f f1, iar egalitatea ultimă devine h = ufh + vff1 sau h = f(uf + vf1).
De aici f | h
Observație: Dacă f,g Z[X], atunci (f,g) Z[X]; dacă f,gQ[X], atunci înmulțirea lor cu numere naturale convenabile permite să le aducem în Z[X]; dacă f,gR[X], atunci (f,g)R[X] etc.
2.7. DIVIZIBILITATEA UNUI POLINOM PRIN X–a
Definiție: Spunem că f se divide prin g sau f este divizibil prin g sau g divide polinomul f, dacă , sau, altfel spus, dacă există un polinom h C[X]
Din teorema împărțirii cu rest: () f , g C[X] , g 0 , astfel încât
f = g . q + r , cu grad(r) < grad(g) ( 68 )
Spunem că f se divide la g sau g divide pe f, dacă
Teoremă: Restul împărțirii unui polinom f C[X], f ≠ 0, prin polinomul g = X–a
g C[X] este egal cu valoarea numerică a polinomului f pentru x = a, adică r = f(a)
Demonstrație: Conform teoremei împărțirii cu rest a polinomului f prin polinomul g putem scrie
f = (X–a)q + r, unde grad(r)<1. De aici grad(r)=0, adică r este polinom constant sau r = 0
Prin urmare,
f (x) = (x – a)q(x) + r , () xC. Dacă aici punem x = a rezultă că f(a) = r
2.7.1.PROPRIETAȚI ALE RELAȚIEI DE DIVIZIBILITATE A UNUI POLINOM
Am văzut că dacă f,g C[X], atunci g se divide prin f dacă există un polinom qC[X], astfel încât g = f q. Faptul că g se divide prin f îl notăm g /f (g se divide prin f) sau f | g
(f divide g). Polinomul f se spune că este un divizor al lui g sau că g este un multiplu al lui f.
P1. Relația de divizibilitate este:
1) reflexivă ( adică f | f )
2) tranzitivă ( adică dacă f | g și g | h, atunci f | h ), () f,g,hC [X]
Demonstrație:
1) Într-adevăr din f = 1f rezultă că f | f
2) Dacă f | g, atunci există q1 C[X] astfel încât g = f q1 , iar din g | h, există q2 C[X] pentru care h = gq2. Acum din g = f q1, h=g q2 se obține h = f (q1 q2), ceea ce arată că f | h
P2. Fie f, gC[X], f | g și g ≠ 0. Atunci f ≠ 0 și grad(f) ≤ grad(g)
Demonstrație:
Această proprietate afirmă că un divizor (f) al unui polinom nenul (g) este un polinom nenul de grad cel mult egal cu al polinomului.
Din f | g rezultă că există q / C[X] astfel încât g = f q
Cum g ≠ 0 /se deduce f ≠ 0 și luând gradul în ultima egalitate de polinoame
avem:
grad(g) = grad(f) + grad(q)
Cum q ≠ 0 avem grad(q) 0
Deci grad(g) grad(f)
P3. Fie f, gC[X], f ≠ 0 astfel încât f | g, g | f. Atunci există aC* (constantă complexă nenulă) pentru care f = ag
Demonstrație:
Din f ≠ 0 și g | f rezultă g ≠ 0 și există g1C[X] astfel încât f = g g1
Din f | g rezultă că există f1K[X] astfel încât g = f f1
Din f = g g1 și g = f f1 se obține f = f f1 g1 sau (f ≠ 0) g1f1=1
Trecând în această relație la grad rezultă 0 = grad(1) = grad(f1) + grad(g1)
Cum f1g1 ≠ 0 avem grad(f1), grad(g1) 0, iar în ultima egalitate deducem
grad(f1) = grad(g1) = 0, adică f1, g1C*
Așadar f = a g, aC*
Observații:
1) Această proprietate afirmă că dacă două polinoame se divid reciproc, atunci ele „diferă” printr-o constantă nenulă a (f = ag), sau coincid, abstracție făcând de o constantă nenulă a
2) Dacă f și g au același coeficient dominant și dacă f | g și g | f, atunci f = g
P4. Fie f,gC[X].Atunci f | g, dacă orice rădăcină a polinomului f (cu ordinul de multiplicitate respectiv) este rădăcină și pentru polinomul g (cu același ordin de multiplicitate, cel puțin)
Această proprietate este deosebit de utilă problemele de divizibilitate a polinoamelor.
Definiție: Spunem că polinoamele f, gC[X] sunt asociate în divizibilitate dacă f | g și g | f (deci dacă se divid reciproc) și scriem f ~ g
Conform proprietății P3, dacă f ≠ 0, atunci f este asociat cu g în divizibilitate dacă și numai dacă există a/C – {0} astfel încât f = ag; dacă f = 0 atunci f ~ g dacă și numai dacă g = 0, caz în care f = a g, este verificată
Definiție: Divizorii în forma a și af, aC – {0} se numesc divizori improprii ai lui fC[X] ceilalți divizori ai lui f, dacă există, se numesc divizori proprii.
2.7.2.TEOREMA LUI BEZOUT
Polinomul f C(X), un polinom nenul , (cu coeficienți complecși și nedeterminată X) și a un număr complex f ≠ 0, se divide prin g = X–aC(X) dacă și numai dacă f (a) = 0
Definiție:Fie un polinom. Atunci numărul este rădăcină a polinomului f dacă și numai dacă divide f
Atunci a este o rădăcină a polinomului f dacă și numai dacă (X-a)|f
Demonstrația este imediată din teorema precedentă.
Deci polinomul f este divizibil prin g = X–a /f (a) = 0 /a este rădăcină a polinomului f.
Definiție: Dacă polinomul fC(X), f ≠ 0 se divide prin (X–a)p, p / N, p 2, dar f nu se divide prin (X–a)p+1, atunci se spune că a este rădăcină multiplă de ordinul p , pentru polinomul f.
Rădăcina a este de ordinul 2 (sau încă dublă) pentru f dacă f se divide prin (X-a)2, dar nu se divide prin (X-a)3
Rădăcină a este de ordinul 3 (sau încă triplă) pentru f dacă f se divide prin (X-a)3, dar nu se divide prin (X-a)4
Exerciții:
1) Polinomul f = X2 – 9 se divide prin polinomul g = X + 3 ? De ce?
Rezolvare: Vom pune condiția ca restul împărțirii polinomului f la g să fie 0. Cum polinomul g este de tipul X – a , cu a = – 3, avem f(-3)=0
Observație: În probleme, este util să folosim că valoarea a este de fapt rădăcina (soluția) polinomului g
2) Să se gasească parametrul real m, astfel încât polinomul 4X2 +m să se dividă cu polinomul X + 2.
Rezolvare: Se pune condiția ca r, restul împărțirii polinomului f la g să fie 0. Cum polinomul g este de tipul X – a, cu a = – 2, vom calcula restul pe baza Teoremei restului, adică
r = f (-2) = 16 + m . Din ecuația 16 + m = 0 rezultă m = – 16
Teorema lui Bézout : Dacă f(a)=0 atunci polinomul f este divizibil prin X-a
3) Să se arate că polinomul /se divide prin X – 1 .
(Indicație: calculez restul împărțirii la X – 1)
4) Să se demonstreze că polinomul 2X4+4X2+4x-2 se divide prin X + 1.
2.7.3. ÎMPĂRȚIREA PRIN X-a . SCHEMA LUI HORNER
Fie . În cele ce urmează ne vom folosi de schema lui Horner pentru a împărți polinomul f la polinomul
În rândul de sus al tabelului se scriu coeficienții polinomului f, iar în rândul de jos coeficienții ai câtului și restul r
Exemplu:
Utilizând schema lui Horner, să se determine câtul și restul împărțirii polinomului și binomul
Deci câtul și restul împărțirii sunt și
prin binomul
Teorema restului: Restul împărțirii unui polinom f 0 prin binomul X – a este egal cu valoarea f(a)
Exerciții propuse:
Folosind schema lui Horner, să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la g dacă:
1) f = 2X4+4X2+X și g = X – 1
2) f = X4+X2+x-3 și g = X –2
3) f = X4+4X2+3x-3 și g = X + 1
Aplicație:
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f = 3X5 – 2X3 + 3X2 – 5 prin polinomul (folosind schema lui Horner)
Pentru a efectua împărțirea unui polinom f prin X-a se utilizează uneori schema lui Horner (William George, 1786 – 1837)
Fie f = 3X5 – 2X3 + 3X2 – 5 și g = X – 2
Vom efectua împărțirea obișnuită a celor două polinoame
3X5 + 0X4 – 2X3 + 3X2 + 0X – 5 | X – 2
-3X5 + 6X4 | 3X4 + 6X3+ 10X2 + 23X + 46
/ 6X4 – 2X3
-6X4 + 12X3
/ 10X3 + 3X2
-10X3 + 20X2
/ 23X2 + 0X
-23X2 + 46X
/ 46X – 5
-46X + 92
/ 87
Se obține câtul q = 3X4 + 6X3 + 10X2 + 23X + 46 și restul r = 87
Succesiunea calculelor de mai sus sugerează dispunerea următoare, în care se văd reapărând coeficienții încadrați din împărțire
Să observăm că în schema lui Horner am trecut puterile lui X, de la deîmpărțit în ordine descrescătoare (inclusiv puterile care lipsesc – acestea au coeficienții egali cu zero)
Am construit acest tabel efectuând operațiile următoare:
– Primul coeficient al câtului este egal cu acel al deîmpărțitului
– Calculul celui de-al doilea coeficient al câtului: 2 · 3 = 6 și apoi 0 + 6 = 6
– Calculul celui de-al treilea coeficient al câtului: 2 · 6 = 12 și apoi -2 + 12 = 10
– Calculul celui de-al patrulea coeficient al câtului: 2 · 10 = 20 și apoi 3 + 20 = 23
– Calculul celui de-al cincilea coeficient al câtului: 2 · 23 = 46 și apoi 0 + 46 = 46
– Calculul restului: 2 · 46 = 92 și apoi – 5 + 92 = 87 = r
Să observăm că schema lui Horner furnizează atât coeficienții câtului, cât și restul. De obicei, în schema lui Horner a două linie numerică se elimină, rămânând doar ultima linie care dă direct coeficienții câtului și ai restului, evident după algoritmul descris mai sus. Gradul câtului este cu o unitate mai mic decât gradul deîmpărțitului. În final, schema se prezintă astfel:
2.8. RĂDĂCINILE POLINOAMELOR
2.8.1.RĂDĂCINI SIMPLE ȘI MULTIPLE
Definiție:Fie , este rădăcină de ordin de multiplicitate m, dacă și nu divide pe f.
Exemple:
nu divide f este rădăcină de ordin de multiplicitate 1 (rădăcină simplă)
. Descompunând în factori ireductibili vom obține:
, unde:
1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3
i,-i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1
2.8.2.RELAȚIILE LUI VIÉTE
Fie polinomul f cu coeficienți complecși și nedeterminată X, de gradul n./
Ultimul rezultat al acestui capitol stabilește legătura între coeficienții polinomului
f = anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + a0 C[X], an ≠ 0 și rădăcinile sale x1, x2, …, xn
Teoremă: Numerele complexe x1, x2, …, xn, sunt rădăcinile polinomului fC[X]
f = anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + a0, an ≠ 0, dacă și numai dacă au loc relațiile (lui Viéte) :
Demonstrație: Dacă x1, x2, …, xn, sunt rădăcinile polinomului f de grad n, atunci f = an(X – x1)(X – x2)…(X – xn) sau după efectuarea calculelor și ordonarea termenilor după puterile descrescătoare ale lui X
f = an[Xn – (x1 + x2 + … + xn)Xn-1 + (x1x2 + … + x1xn + x2x3 + … x2xn + … + xn-1xn)Xn-2 + … + (-1)nx1x2…xn]
Cum f = anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + a0 prin identificarea celor două polinoame rezultă relațiile dorite. Reciproca este imediată.
Fie , un polinom de grad n. Dacă sunt rădăcinile lui f, atunci:
( 69 )
( 70 )
/ 2.9. POLINOAME CU COEFICIENȚI REALI
2. 9.1.MULȚIMEA POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI REALI
Teoremă:
Fie f R[X], și ecuația (polinom cu coeficienți reali și nedeterminată X)
Dacă x1 = a + bi, b ≠ 0 este o rădăcină complexă a lui f , atunci :
1) x2 = a – bi este de asemenea o rădăcină complexă a lui f
2) x1 și /x2 au același ordin de multiplicitate
Demonstrație:
Am văzut că pentru f R[X] și x1 C – R, avem f(x1) = 0 , ceea ce arată că dacă x1 este rădăcină a lui f, atunci x2 este de asemenea rădăcină a lui f. Din teoremă rezultă că dacă f este un polinom cu coeficienți reali care au o rădăcină complexă x1 = a + bi, b ≠ 0, atunci mai are ca rădăcină și conjugata x2 = a – bi și cele două rădăcini au același ordin de multiplicitate. Dacă x1 este o rădăcină simplă, atunci polinomul f se divide prin X – x1
Cum și /x2 este de asemenea rădăcină rezultă că f se divide și prin X – /x2
Deci f se divide prin produsul lor:
(X – x1)(X – /x2) = (X – a – bi)(X – a + bi) = (X – a)2 – (bi)2 = X2 – 2aX + a2 + b2
Consecințe:
1.Numărul rădăcinilor complexe nereale ale unui polinom cu coeficienți reali este un
număr par
Orice polinom cu coeficienți reali, de grad impar, admite cel puțin o rădăcina reală
Orice polinom cu coeficienți reali, de grad n mai mare sau egal cu 2 este un produs de polinoame de grad I sau II, cu coeficienți reali
Din teoremă rezultă:
1) Orice polinom cu coeficienți reali are un număr par de rădăcini complexe (care nu sunt reale)
2) Orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală
Ținând seama de teorema de descompunere în factori ireductibili, avem următoarea:
Teoremă: Orice polinom f = a0 + a1X + … + anXn, an ≠ 0, fR[X] se poate scrie ca un produs de polinoame de gradul întâi cu coeficienți reali:
f = an(X – x1)k1 … (X – xi)ki(X2 + b1X + c1)l1 … (X2 + bpX + cp)lp
2.10. POLINOAME CU COEFICIENȚI RAȚIONALI
Cum Q[X] ⊂ /R[X], (mulțimea polinoamelor cu coeficienți raționali și nedeterminată X) înseamnă că rezultatele stabilite referitoare la polinoamele cu coeficienți reali rămân valabile și pentru polinoamele cu coeficienți raționali sau întregi.
Teorema următoare precizează proprietăți specifice polinoamelor cu coeficienți raționali sau întregi.
Teoremă: Fie f Q[X], f ≠ 0. Dacă x1 = a + /, a,b /Q[X], b > 0, /Q[X] este o rădăcină pătratică a lui f, atunci :
1) x2 = a – /este, de asemenea, o rădăcină (numită conjugata pătratică a lui x1) a lui f
2) x1 , x2 au același ordin de multiplicitate
Teorema afirmă că dacă polinomul f Q[X] are ca rădăcină pe x1 = a + (număr pătratic) atunci f are ca rădăcină și pe x2 = a – (conjugatul pătratic al lui x1), și mai mult cele două rădăcini au același ordin de multiplicitate.
Dacă x1 este rădăcină simplă a lui f, atunci f se divide cu X – x1. Cum și x2 / este rădăcină simplă a lui f rezultă că f se divide și cu X – x2
Deci f se divide prin produsul:
(X – x1) ( X – x2) = (X – a)2 – (/)2 = X2 – 2aX + a2 – b. ( 71 )
Exemplu:
este rădăcină
2.11. POLINOAME CU COEFICIENȚI ÎNTREGI
Teoremă: Fie f Z[X] un polinom de gradul n (cu coeficienți întregi și nedeterminată X)
n > 0 și α = p/q, unde p,q sunt întregi nenuli, (p,q) = 1, o rădăcina a lui f. Atunci: p|a0 (p divide termenul liber a0) și q|an (q divide coeficientul dominant an).
Consecință:
Eventualele rădăcini întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi se găsesc printre divizorii termenului liber
Fie forma canonică a unui polinom f = a0 + a1X + … + anXn, an ≠ 0, f Z[X]
/unde ak aparține mulțimii C, 0 < k < n – 1, an C*, iar an , n , a0 și X sunt, respectiv, coeficientul dominant, gradul polinomului, termenul liber și nedeterminata polinomului f.
Definiții și proprietăți:
Polinomul f = a0 (număr real nenul) se numește polinom constant si gradul său este egal cu zero iar polinomul f = 0 (în care toți coeficienții sunt nuli), se numește polinomul nul, gradul sau fiind, prin definiție, egal cu – ∞
Un număr complex a se numește rădăcină a polinomului f sau a ecuației algebrice
f(x) = 0, dacă f(a) = 0
Următorul rezultat vizează mulțimea Z[X] și ne oferă un mod de a descoperi rădăcinile raționale sau întregi ale unui polinom.
Teoremă: Fie f = a0 + a1X + … + anXn, an ≠ 0, f Z[X]
1) Dacă α = p/q / (p, q numere prime între ele) este o rădăcină rațională a lui f, atunci :
a) p divide termenul liber (adică p|a0)
b) q divide coeficientul dominant al polinomului (adică q|an)
2) În particular, dacă α = p este o rădăcină întreagă a lui f, atunci p este divizor al termenului liber (adică p|a0)
Teorema afirmă că pentru un polinom f cu coeficienți întregi, rădăcinile raționale posibile
se afla printre fracțiile/, unde p este un divizor (în Z) al termenului liber a0, iar q este un divizor
(în Z) al coeficientului dominant an al polinomului. În particular dacă pentru fZ[X] se caută
rădăcini întregi, atunci acestea se află printre divizorii întregi ai termenului liber a0
Teoremă: Fie și ecuația
Dacă f admite o rădăcină de forma , , atunci
și . Dacă , atunci
Exemplu:
Fie admite soluția
Deci
Împărțind succesiv polinomul la posibilele rădăcini, obținem:
2.12. ECUAȚII RECIPROCE
O ecuație de forma anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0, ano pentru care an-i=ai, 0 i n (termenii egali despărțiți de extremi au coeficienți egali) se numește ecuație reciprocă de gradul n.
Iată forma ecuațiilor reciproce pe care le rezolvăm:
ax3+bx2+bx+a=0, a0, dacă n=3 ( 72 )
ax4+bx3+cx2+bx+a=0, a0, dacă n=4 ( 73)
ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, a0, dacă n=5 ( 74 )
Dacă gradul ecuației reciproce este impar, atunci ea admite soluția x = – 1, iar rezolvarea acestei ecuații se reduce la rezolvarea ecuației x + 1 = 0 ( cu soluția x = – 1 ) și a unei ecuații reciproce de
grad par.
Rezolvarea unei ecuații reciproce de grad patru se face împărțind ecuația prin x2
Problemă rezolvată:
Să se rezolve ecuația:
2×3 + 3×2 + 3x + 2 = 0
Să observăm că este o ecuație reciprocă de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuației x + 1 = 0 (când x = – 1) și a unei ecuații (reciproce) de gradul al doilea. Pentru a găsi coeficienții acestei ecuații utilizăm schema lui Horner (coeficienții din ultima linie, mai îngroșați sunt coeficienții căutați)
Din schemă rezultă ecuația 2×2 + x + 2 = 0 cu rădăcinile
/ Ecuația dată are soluțiile : -1, /
2.13. INTEGRAREA FUNCȚIILOR RAȚIONALE
Orice polinom cu coeficienți reali se descompune în mod unic în produs de polinoame de gradul întâi și de gradul al doilea din R ,cele de gradul al doilea fiind fără rădăcini reale.
Definiție:
O funcție f:I→R , I interval, se numește rațională dacă R(x)= unde f,g sunt funcții polinomiale.
Dacă grad f grad g, atunci se efectuează împărțirea lui f la g f=gq+r, 0grad r<grad g și deci R(x)=
/
Teoremă: Orice funcție rațională se poate descompune în mod unic, în sumă de funcții raționale simple.
1. Exemplu:
2. Exemplu:
3. Exemplu:
4. Exemplu:
5*
Exemplu:
6.
Exemplu:
Exemplu:
7. Ex.
8*.
Exemplu:
2.14 APLICAȚII REZOLVATE ȘI PROBLEME PROPUSE
EXERCIȚII PROPUSE SPRE REZOLVARE CU FUNCȚII RAȚIONALE (1)
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.
Rezolvări:
22. Notămcu t
25. Notăm pecu t 4dx = dt
26. Notăm pe x-1 cu t x = t+1 dx = dt
=
27. Notăm pe x-1cu t
EXERCIȚII PROPUSE SPRE REZOLVARE CU FUNCȚII RAȚIONALE// (2)
/
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
Observații:
Pașii ce trebuie parcurși pentru realizarea descompunerii lui f în funcții raționale simple sunt următorii:
1) Dacă polinomul P are gradul mai mare sau egal cu gradul lui Q, se efectuează împărțirea, in urma căreia se obține câtul L si restul R, astfel încât grad(R) < grad(Q) și, deci, din identitatea împărțirii cu rest, anume P = LQ + R, avem:
f(x) = P(x)/Q(x) = L(x) + R(x)/Q(x)
2) Se descompune polinomul Q în factori ireductibili (polinoame cu coeficienți reali de gradul întâi și al doilea), calculând, eventual, rădăcinile reale ale acestuia (cu ordinul de multiplicitate corespunzător)
3) Se aplică teorema de mai sus și, folosind metoda coeficienților nedeterminați, se calculează coeficienții /
4) Realizarea acestei descompuneri permite calculul primitivelor oricărei funcții raționale
f(x) = P(x)/Q(x), integrând succesiv termenii sumei din teorema de mai sus
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE : INELE DE POLINOAME
Fie polinoamele și din inelul
Să se determine , astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g
Pentru să se arate că
Pentru să se rezolve în inelul ecuația
Se consideră polinoamele și
Să se determine astfel încât cele două polinoame să fie egale
Pentru să se calculeze în suma
Pentru să se rezolve în ecuația
Se consideră polinoamele și
Să se calculeze
Să se rezolve în mulțimea ecuația
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g
Se consideră inelul polinoamelor
Pentru să se calculeze
Dacă să se arate că
Să se determine toate polinoamele care au gradul egal cu 3 și pentru care
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE : DIVIZIBILITATEA POLINOAMELOR
Se consideră polinomul f =
Arătați că f(1)=0
Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul (BAC 2013)
Arătați ca polinomul este divizibil cu . Aflați câtul împărțirii.
Arătați ca polinomul este divizibil cu
Se consideră polinomul
Calculați f(0)+f(1)
Arătați că f+1 este divizibil cu
Se consideră polinomul
Calculați f(0)+f(1)
Arătați că f este divizibil cu
Aflați pentru care polinomul este divizibil cu
Aflați pentru care polinomul este divizibil cu
Se considera polinomul
Aflați pentru care polinomul este divizibil cu
Pentru aflați catul împărțirii lui la
Fie
Arătați că f este divizibil cu
Calculați
Fie . Arătați că f nu este divizibil nici cu , nici cu
APLICAȚII REZOLVATE – ECUAȚII CU COEFICIENȚI ÎNTREGI, RAȚIONALI, REALI, COMPLECȘI
Să se rezolve ecuațiile:
1). x3 – 3×2 – 3x + 1 = 0 dacă are rădăcină x1 = 2 + /
Fiind o ecuație cu coeficienți raționali, se știe că dacă ecuația admite o rădăcină pătratică/, atunci ea admite și rădăcina pătratică conjugată x2 = 2 – //
Deci polinomul din membrul stâng al ecuației se divide prin x2 – 4x + 1/
Așadar a treia rădăcină a ecuației este dată de x + 1 = 0, adică x3 = – 1
2). Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuația x4 – x3 – mx2 – x + n = 0 să
aibă rădăcină dublă x = 1 și să se rezolve ecuația dată
Metoda 1. Dacă x = 1 este rădăcină dublă a polinomului x4 – x3 – mx2 – x + n, atunci acesta se divide prin (x-1)2 și deci restul împărțirii celor două polinoame este polinomul nul
Efectuând împărțirea avem egalitatea
x4 – x3 – mx2 – x + n = (x2 – 2x + 1)(x2 + x + 1 – n) – 2mx + n + m – 1
Restul fiind polinomul nul, adică –2mx+n+m-1=0 dă m=0 și n+m-1=0, adică m=0 și n=1
Celelalte rădăcini ale ecuației sunt soluții (câtul egal cu zero) ale ecuației x2+x+1=0
Metoda 2 (schema lui Horner)
În schema lu Horner impunem ca x=1 să fie rădăcină dublă deci avem:
Deci –m+n-1=0 și –m=0 dau m=0 și n=1, iar celelalte rădăcini ale ecuației date coincid
cu ale câtului x2+x+1=0
3).Să se determine parametrul real a pentru care ecuațiile
x2+x+a=0
x3-ax-3=0 au o rădăcină comună
Metoda 1 (metoda scăderilor repetate)
Fie P=x2+x+a
Q=x3-ax-3
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor P și Q ( care trebuie să fie de gradul întâi )
va fi un divizor și pentru polinoamele
R=xP-Q=x2+2ax+3
S=R-P=(2a-1)x+3-a
V=(2a-1)R-xS=(4a2-a-3)x+3(2a-1)
Cum cel mai mare divizor comun al polinoamelor P, Q este de gradul întâi, care divide
pe S, V, de asemenea polinoame de gradul întâi, se impune condiția ca S, V să aibă
aceeași rădăcină. Aceasta are loc dacă coeficienții sunt proporționali
/ sau 4a3-a2-12a+12=0 cu unica soluție reala a=-2
Dacă a=-2 atunci ecuațiile devin
x2+x-2=0 cu soluțiile x1=-2, x2=1
x3+2x-3=0 cu soluțiile x1=1 /
Deci rădăcina comună a ecuațiilor este x=1. Pentru a=-2, ecuațiile au rădăcina comună x=1
Observație: Ideea de rezolvare a fost aceea că dacă polinomul d divide polinoamele f, g, atunci pentru orice h, k polinoame, avem d divide hf+kg, iar prin astfel de operații să ajungem la faptul că polinomul d divide două polinoame de același grad cu d (mai sus S și V )
După aceasta se impune condiția ca aceste ultime polinoame să aibă aceleași rădăcini.
Metoda 2 ( metoda eliminării parametrului ). Fie rădăcina comună a celor două ecuații
Deci x= verifică ecuațiile
2++a=0
3-a-3=0 (1)
Ideea este de a găsi o ecuație pe care o verifică , ecuație care să nu conțină parametrul a, ceea ce revine la eliminarea lui a între cele două relații (1)
Cum a=-2- ( din prima relație ), a doua relație din (1) devine 23+2-3=0. Aceasta este ecuația pe care o verifică rădăcină comuna . Singura soluție reală a ecuației este =1 pentru care din două ecuații se obține a=-2
Pentru a=-2 cele două ecuații sunt
x2+x-2=0, cu soluțiile x1=-2, x2=1 și respectiv
x3+2x-3=0, cu soluțiile x1=1/
Dacă a=-2, ecuațiile au rădăcina comună x=1
Metoda 3 ( metoda identificării ). Fie rădăcina comună a celor două ecuații. Atunci au loc egalitățile:
x2+x+a=(x-)(x-)
x3-ax-3=(x-)(x2+x+)
sau
x2+x+a=x2-(+)x+x
x3-ax-3=x3+(-)x2+(-)x-
iar de aici prin identificarea polinoamelor se obține sistemul:
+=-1
=a
-=0
-=-a
=3
cu soluția ==1, =3, =-2, a=-2
Prima ecuație mai are pe lângă soluția comună =1, și soluția x==-2, iar a doua ecuație are soluțiile =1/
Deci a=-2, iar soluția comună este x=1
4). Să se determine parametrul m astfel încât polinomul să se dividă prin X+2
5). Să se arate că polinomul se divide cu
6). Să se arate că divide polinomul
Analog demonstrăm că
7). Să se arate că polinomul se divide cu
8). Să se rezolve ecuația reciprocă
9). Aplicând teorema lui Bezout, să se determine parametrii a și b astfel încât polinomul să se dividă cu . Să se determine apoi câtul împărțirii.
10). Să se determine parametrul m și apoi să se afle rădăcinile polinomului știind că are rădăcina x=2
Utilizăm relațiile lui Viete:
11). Să se arate că polinomul se divide cu
Deci
12). Se dau polinoamele și . Să se calculeze restul împărțirii lui la
Pentru a calcula restul împărțirii este suficient să calculăm g(2)
g(2) = – 1
Deci r = -1
13). Să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor ecuației
1.
2.
14). Să se rezolve ecuația
Deci ecuația are o infinitate de soluții
15). Să se rezolve ecuația
Deci ecuația are o infinitate de soluții
16). Să se calculeze suma , unde sunt rădăcinile ecuației
Obs.
Particularizare
Deci S=-2
Obs.
Deci ecuația are 4 soluții
17). Să se determine a,b,c astfel încât aceste numere să fie rădăcinile ecuației
18).Să se determine m și n și apoi să se rezolve ecuația știind că admite rădăcina
Dacă
deci:
Dacă .
19). Să se arate că polinomul , cu este divizibil prin
Dacă
20). Valoarea expresiei:
,unde sunt rădăcinile ecuației este:
–3; b. –1; c. –6; d. 3.
21). Fie rădăcinile ecuației . Atunci suma are valoarea:
a.; b. ; c. ; d..
Dacă sunt rădăcini, atunci fiecare din ele verifică ecuația:
/
Exerciții propuse:
Fie cu rădăcinile și cu rădăcinile
este:
5; b. 7; c. 9; d. 1
2. este:
1; b. 5; c. 7; d. 3
3. Să se determine , știind că ecuația are rădăcinile în progresie aritmetică
4. Polinomul are gradul 5 și . Atunci suma rădăcinilor lui f este:
0; b. –1; c. 3; d. 4
Se consideră funcția , . Suma este :
89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000
6. Se consideră funcția , cu Soluțiile și ale ecuației , pentru m=2 verifică relația
Atunci este:
1; b. i; c. 2; d. 1-i
7. Se consideră polinoamele , cu rădăcinile și , cu rădăcinile . Restul împărțirii lui la este:
7; b. 5; c. 1; d. –1
8. Rădăcina reală a lui f este situată în intervalul:
a. ; b. c. ; d.
9. Se consideră polinomul unde
Pentru și să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la
Să se determine numerele a, b, c știind că restul împărțirii polinomului f la
este X iar restul împărțirii polinomului f la X – 1 este – 1
Să se demonstreze că dacă atunci f nu are toate rădăcinile reale
10. În mulțimea se consideră polinoamele și
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g
Să se arate că dacă y este rădăcină a polinomului g, atunci
Să se demonstreze că dacă y este rădăcină a polinomului g, atunci nu este număr rațional
11. Se consideră polinoamele cu coeficienți reali și
Să se scrie forma algebrică a polinomului
Să se determine astfel încât polinoamele și să fie egale
Să se rezolve în R ecuația
12. Fie polinoamele și din inelul
Să se determine , astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g
Pentru să se arate că
Pentru să se rezolve în inelul ecuația
13. Se consideră polinoamele și
Să se determine astfel încât cele două polinoame să fie egale
Pentru să se calculeze în suma
Pentru să se rezolve în ecuația
14. Se consideră polinoamele și Polinomul f are forma algebrică cu
Să se determine
Să se calculeze restul împărțirii polinomului f la polinomul g
Să se calculeze suma coeficienților polinomului f
15. Se consideră polinoamele și
Să se descompună polinomul g în produs de factori ireductibili în R[X].
Să se demonstreze că polinomul f nu este divizibil cu polinomul g
Să se determine restul împărțirii polinomului f la polinomul g
16. Se consideră polinomul unde
Rădăcinile polinomului sunt
Să se determine știind că polinomul f admite rădăcinile și
Să se determine astfel încât rădăcinile polinomului să verifice relația
Pentru m=1 și n=1 să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în R[X]
17. Se consideră polinoamele cu coeficienți raționali și
Să se determine , astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g.
Pentru și să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația
Se consideră polinomul care are rădăcinile
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la
Să se verifice că
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația
Se consideră polinomul cu coeficienți raționali și suma unde sunt rădăcinile polinomului f
Să se determine numărul rațional a astfel încât polinomul f să admită rădăcina
Pentru să se rezolve ecuația
Pentru să se demonstreze egalitatea
Se consideră polinoamele și
Să se calculeze
Să se rezolve în mulțimea ecuația
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g
Se consideră polinomul care are coeficienți reali
Să se determine astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul
Pentru să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în
Pentru să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului f
Fie polinomul care are coeficienții numere reale
Să se determine astfel încât unde sunt rădăcinile reale ale polinomului
Să se determine astfel încât polinomul să fie divizibil cu polinomul
Să determine pentru care polinomul are o rădăcină rațională pozitivă
Se consideră polinomul unde
Să se determine a știind că x=1 este rădăcină a polinomului f
Pentru a=1 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f
Să se demonstreze că
24. Se consideră inelul polinoamelor
Pentru să se calculeze
Dacă să se arate că
Să se determine toate polinoamele care au gradul egal cu 3 și pentru care
25. Se consideră polinomul unde
Să se determine știind că x =1 este rădăcină a polinomului f
Să se determine știind că suma rădăcinilor polinomului f este egală cu 0
Pentru să se rezolve ecuația
26. Se consideră polinomul unde
Știind că a =0 să se determine soluțiile ecuației
Să se verifice că
Să se determine pentru care polinomul f are toate rădăcinile reale
27. Se consideră polinomul
Să se arate că
Să se demonstreze că polinomul f nu are rădăcini întregi
Să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în
28. Se consideră polinomul cu rădăcinile
Să se calculeze suma
Să se determine rădăcinile polinomului f știind că a = – 1, b = – 2 și c=0
Știind că rădăcinile polinomului f sunt în progresie aritmetică, să se demonstreze că
29. Se consideră polinomul cu rădăcinile unde
Pentru a =1 și b=0 să se determine
Știind că să se arate că a=1
Știind că să se determine numerele reale a și b
30. În inelul se consideră polinomul cu rădăcinile .
Să se calculeze
Să se determine numărul real a pentru care restul împărțirii polinomului f la
să fie
Să se arate că valoarea determinantului este număr întreg
31. Se consideră polinomul și rădăcinile sale
Se definește pentru
Să se determine numărul real m astfel încât
Să se arate că
Să se arate că pentru orice număr par polinomul f nu are rădăcini raționale
32. Se consideră polinoamele și
Să se demonstreze că
Să se determine rădăcinile reale ale polinomului g
Să se calculeze știind că a este o rădăcină a polinomului g
33. Se consideră polinoamele și .
Să se calculeze
Să se verifice că
Să se determine numărul rădăcinilor din ale polinomului f
34. Se consideră polinoamele cu rădăcinile și cu rădăcinile
Să se calculeze diferența S – S’ unde S’ și
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la g
Să se calculeze produsul
35. Se consideră polinomul cu rădăcinile
Să se arate că polinomul f este divizibil cu
Să se calculeze produsul unde și
Să se calculeze suma
36. Se consideră polinomul care are forma algebrică
Să se determine
Să se arate că este număr întreg par
Să se determine rădăcinile reale ale polinomului f
37. Se consideră polinomul cu
Pentru c = 501, să se demonstreze că
Pentru a = – 2 , b=2 și c = – 1 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f
Să se demonstreze că nu există valori reale ale coeficienților a, b, c astfel ca f să se dividă cu polinomul
38. Se consideră polinomul cu având rădăcinile
Să se determine numărul real c știind că
Știind că a = – 3, b=1, c=1, să se determine rădăcinile reale ale polinomului f
Să se exprime în funcție de numerele reale a, b, c determinantul
39. Se consideră polinomul cu forma algebrică
Să se calculeze
Să se arate că este un număr întreg impar
Să se determine restul împărțirii polinomului f la polinomul
capITOLUL 3. ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA POLINOAMELOR ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR
O adevărată provocare pentru fiecare cadru didactic în parte este crearea și menținerea unui mediu de învățare adecvat în care elevii să participe cu entuziasm, în mod activ și creativ la procesul instructiv-educativ.Didactica modernă a matematicii acordă un loc prioritar parametrilor metodologici ai acțiunii educaționale, în speța complexului de metode, tehnici si procedee didactice.
Metodele de predare-învățare ocupă un loc central în cadrul procesului didactic datorat faptului că proiectarea și organizarea lecției se realizează în funcție de decizia strategică a profesorului, corelată cu dorințele și interesele elevilor.Profesorul decide ce strategie va folosi în activitatea de predare-învățare: receptarea activă a informațiilor, prin cercetare-descoperire învățarea prin cooperare sau prin competiție. Numeroase studii demonstrează superioritatea metodelor cooperante față de cele competitive și individuale în dezvoltarea proceselor cognitive superioare, a abilităților de comunicare, în îmbunătățirea motivației, a stimei de sine, în dezvoltarea personalității.
În cadrul învățării interactiv-creative, elevul descoperă, imaginează, construiește și redefinește sensurile, filtrându-le prin prisma propriei personalități și solicitând o profundă implicare intelectuală, psihomotorie, afectivă și volițională.
Activitatea instructiv-educativă este pusă în practică prin intermediul unui sistem de metode și procedee, apelând la o serie de mijloace tehnice de realizare ce sunt integrate printr-un curriculum-ul școlar. Între elementele constitutive ale procesului instructiv-educativ se stabilește o relație de interdependență, în care metodelor didactice le revine o importanță deosebită. Metodele de învățământ pot fi definite ca „modalități de acțiune cu ajutorul cărora, elevii, în mod independent sau sub îndrumarea profesorului, își însușesc cunoștințe, își formează priceperi și deprinderi, aptitudini, atitudini, concepția despre lume și viață.
Calitatea activității cadrului didactic, ca și coordonator al clasei de elevi, este dată de capacitatea acestuia de a opera cu informația științifică, psihopedagogică și de specialitate asigurând un nivelul optim de funcționalitate a acesteia, atât în planul vehiculării conținuturilor activității, cât și în cel larg al interacțiunii cu elevul, cu grupul de elevi, prin alegerea metodei optime pentru atingerea obiectivelor propuse. Deși profesorul proiectează complexul de metode în strânsă corelație cu celelalte componente structurale, metodele dispun de o oarecare autonomie, astfel încât utilizarea unei metode permite acestuia să realizeze un spectru mai larg de obiective, să articuleze mai multe unități de conținut.
Din acest punct de vedere, metoda didactică are statutul unui instrument operațional al acțiunii care orientează comportamentul elevilor spre ceea ce trebuie făcut și cum trebuie făcut.
Aliniindu-se noii viziuni asupra educației, cadrul didactic trebuie să desfășoare o activitate modernă, bazată pe competențele dobândite în domeniul matematicii, al psihopedagogiei și al metodicii în activitatea practică la catedră și în cadrul cursurilor de formare. Principiile didacticii moderne acreditează ideea transformării elevului în subiect al acțiunii instructiv-educative și implicării sale active în realizarea acestui proces.
Elevii prezintă particularități psihoindividuale, astfel încât se impune utilizarea unei game cât mai ample de metode de predare care să le valorifice potențialul.
Metodele tradiționale, expozitive ori frontale nu ar mai fi în conformitate cu noile principii ale participării active și conștiente a elevului. Acestea pot însă dobândi o valoare deosebită în condițiile unui auditoriu numeros, având un nivel cultural care să-i asigure accesul la mesajul informațional transmis raportat la unitatea de timp. Metodologia didactică actuală este orientată către implicarea activă și conștientă a elevilor în procesul propriei formări și stimularea creativității acestora. În acest context, prefacerile pe care le cunosc metodele de învățământ cunosc câteva direcții definitorii. Relația dinamică-deschisă constă în raporturile în schimbare ce se stabilesc între diferitele metode. Amplificarea caracterului formativ al metodelor presupune punerea accentului pe relațiile sociale pe care le are elevul în procesul de culturalizare și formare a personalității.
Deoarece diversitatea metodelor este impusă de complexitatea procesului de învățare, iar fiecare metodă trebuie să fie aleasă în funcție de registrul căruia i se raportează, am realizat un chestionar cu întrebări concludente în acest sens pe un eșantion de 20 profesori ,iar interpretarea chestionarului este concluzionat în cele două diagrame de mai jos.
Profesorul se află în situația de a opta pentru metodele pe care le consideră cele mai adecvate sau își construiește, el însuși, un mod de lucru. Înțelegerea corectă a acestei relații prezintă o certă importanță practică. Consider că prezentarea unor metode moderne, interactive, utilizate în procesul de predare-învățare, constituie o necesitate reală.
Una dintre întrebările de bază au fost:
În ce măsură considerați că metodele interactive de fixare, consolidare și evaluare sunt importante în activitatea didactică?
Funcțiile metodelor:
Pot fi cu caracter general și comun sau particular. Dintre funcțiile cu caracter general pot fi amintite:
Funcția cognitivă, de organizare și divizare a cunoașterii (învățării), de elaborare a unor noi cunoștințe
Funcția instrumentală (operațională) – ca intermediar între elev și unitățile de conținut ce se studiază, între obiective de îndeplinit și rezultate
Funcția normativă, în sensul că profesorul, prin intermediul metodei, stăpânește acțiunea instructivă, o dirijează, o corectează și o reglează continuu permițând să se arate cum să se procedeze, cum să se predea, cum să se învețe, încât să se obțină cele mai bune rezultate, în situații variate
Funcția motivațională pornește de la faptul că metoda poate să stimuleze curiozitatea, să trezească interesul și dorința de cunoaștere si acțiune, de activizare a resurselor intelectuale ale elevilor
Funcția formativ-educativă, prin care metoda exersează și dezvoltă procesele psihice și motorii, concomitent cu însușirea cunoștințelor și formarea deprinderilor, de influențare și modelare a atitudinilor, opiniilor, convingerilor, sentimentelor, calităților morale etc.
O metodă sau alta poate avea un caracter polifuncțional. Între metodele de învățare a matematicii există o strânsă legătură, acestea alcătuind, de fapt, un sistem.
3.1.TAXONOMIA METODELOR DE INSTRUIRE ȘI AUTOINSTRUIRE CE SE POT UTILIZA ÎN PREDAREA-ÎNVĂȚAREA MATEMATICII
În abordarea problematicii metodologiei procesului didactic sunt utilizate numeroase concepte: metode, procedee, strategii de învățare, care fac necesară clarificarea sensului acestora. Cel care deține frecvența cea mai mare pare a fi conceptul de metodă.
Termenul metodă din punct de vedere etimologic provine din grecescul „methodos” care înseamnă „drum spre”. Metoda se poate defini ca o acțiune comună a binomului profesor-elev pentru informarea și formarea elevului, în timp ce metodologia didactică reprezintă ansamblul metodelor și procedeelor folosite în învățământ. Metoda de învățământ desemnează, astfel, demersul ce va fi urmat până la atingerea scopurilor educaționale vizate.
Procedeul prin comparație cu metoda, desemnează un mod mai limitat de acțiune, o componentă a metodei, definind un mod specific de a „preda”, de a folosi o metodă anumită.
De aceea, aplicarea unei metode presupune recursul la o serie de procedee.
În activitatea de predare-învățare se folosesc metode diverse pe care profesorul le selectează în funcție de scopurile urmărite, de specificul conținuturilor predate și de propria sa concepție despre eficienta metodelor utilizate. Opțiunea cadrului didactic pentru anumite metode privind realizarea unei activități nu este întâmplătoare, ci este condiționată de numeroase circumstanțe: natura conținuturilor predate, obiectivele vizate, particularități ale subiecților instruiți, chiar și „obișnuințe” și „preferințe” ale acestuia. Fiecare situație de învățare acceptă una sau mai multe variante metodice. Alternativa pentru o variantă sau alta este condiționată de factori multipli. Aceasta nu înseamnă că profesorul poate utiliza o singură metodă pentru realizarea oricărui obiectiv. Orice deprindere se va putea forma si dezvolta numai pe baza exercițiului cu variantele lui cele mai cunoscute, inclusiv antrenamentul mintal ca bază pentru formarea unei deprinderi psiho-motrice.
Metodele de învățământ dispun de o sensibilitate deosebită privind adaptarea la condiții noi. Relația dintre metodele la care se face apel, pe de o parte, și conținuturile de predat și obiectivele vizate, pe de altă parte, este exprimată de două principii:
cel al „pertinenței” metodelor în raport cu conținuturile predate și cu obiectivele activității
cel al „alternativelor”, în sensul că pentru predarea unor conținuturi și pentru realizarea unor obiective nu există o singură cale (metodă), ci mai multe
Apariția noilor programe, centrate pe achizițiile elevilor, impune anumite schimbări în didactica fiecărei discipline. Diversificarea metodelor de învățare, a modurilor și formelor de organizare a lecției, a situațiilor de învățare, constituie cheia schimbărilor pe care le preconizează noul curriculum. Asigurarea unor situații de învățare multiple creează premise pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilități în învățare. Metodele de învățare sunt scheme de acțiune identificate de teoriile învățării; ele sunt aplicate conținuturilor disciplinei studiate și reprezintă acțiuni interiorizate de elev.
În practica didactică, este acceptat faptul că un elev reține…
… din ceea ce citește
… din ceea ce aude
… din ceea ce vede și aude, în același timp
… din ceea ce spune
… din ceea ce spune, făcând un lucru la care reflectează și care îl interesează
Învățarea devine eficientă doar atunci când îl punem pe elev să acționeze. Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe, adică a acelor ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse. Învățarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea și reproducerea de cunoștințe: în societatea contemporană, o învățare eficientă presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, precum și realizarea unui schimb de idei cu ceilalți. Pasivitatea elevilor în clasă, consecință a modului de predare prin prelegere, nu produce învățare decât în foarte mică măsură.
De fapt, prelegerea presupune că toți elevii pot asimila aceleași informații, în același ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei ore, ascultă explicațiile profesorului și văd o demonstrație sau un experiment. Este mult mai eficient dacă elevii participă în mod activ la procesul de învățare: discuția, argumentarea, investigația, experimentul, devin metode indispensabile pentru învățarea eficientă și de durată.
3.1.1.CLASIFICAREA PRINCIPALELOR METODE DE PREDARE-ÎNVĂȚARE
Metodele de predare-învățare au fost clasificate în baza unor criterii diverse.
În acest sens, cele mai frecvente criterii utilizate sunt:
criteriul istoric, în funcție de care operează o distincție între metode vechi (clasice, tradiționale) și metode moderne
gradul de generalitate, în funcție de care unele metode pot fi folosite în orice situație de predare-învățare (de exemplu metoda conversației și a expunerii), iar altele au un caracter mai specific raportat la conținuturi, obiective sau particularități ale subiecților
forma de organizare a activităților de predare-învățare, în funcție de care se deosebesc: metode frontale, metode individuale, metode de tip interacțional
funcția fundamentală îndeplinită, în raport cu care se diferențiază metodele: de transmitere/asimilare de cunoștințe, de formare de priceperi și deprinderi, de consolidare de cunoștințe, de aplicare a cunoștințelor sau de verificare a acestora
tipul de activitate mentală vizat, în funcție de care există metode algoritmice, semialgoritmice și/sau nealgoritmice (euristice)
Metodele de învățământ sunt grupate în:
Metode de comunicare: orală (expozitive, interogative, conversative sau dialogate, dezbaterea, problematizarea), scrisă (lectura), comunicare bazată pe limbaj intern (prin provocarea reflecției personale)
Metode de explorare a realității: explorare nemijlocită (observarea sistematică, experimentul, învățarea prin cercetarea documentelor, a vestigiilor etc.), explorare mijlocită: metode demonstrative (intuitive) și metode de modelare
Metode bazate pe acțiune: acțiune reală (exercițiul, studiul de caz, elaborarea de proiecte sau a unor teme de cercetare, lucrări practice); de simulare; (învățarea prin joc, dramatizarea, învățarea pe simulatoare)
Metode de raționalizare a învățării și predării: lucrul cu fișele, metode algoritmice de instruire, instruirea programată, instruirea asistată de calculator (IAC)
Constantin Moise, în „Metodele de învățământ”, și în „Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice” Ed. Polirom, Iași, 1998, propune criterii mai largi de clasificare împărțind metodele de predare-învățare în: metode tradiționale (expunerea, conversația demonstrația, observarea, lucrul cu manualul, exercițiul) și metode de dată mai recentă (algoritmizarea, modelarea, problematizarea, instruirea programată, studiul de caz, metode de simulare, învățarea prin descoperire etc).
Criteriile evidențiate mai sus pot asimila, firește, oricare alte noi metode care îmbogățesc, în mod continuu, repertoriul general al metodologiilor didactice și care au capacitatea de a contribui la eficientizarea procesului instructiv-educativ.
Metodele de predare-învățare alcătuiesc un sistem, oferind profesorului o largă paletă de posibilități, din care va selecta pe cele care îl pot ajuta, în cea mai mare măsură, la atingerea scopurilor instrucționale pe care le urmărește. Metodologia învățării este deschisă inovărilor și este receptivă la noile modele elaborate cu privire la optimizarea procesului educațional.
3.1.2.STRATEGII DE ÎNVĂȚARE
Strategiile de învățare configurează modalitățile concrete de abordare de către profesori a procesului didactic în vederea atingerii obiectivelor stabilite anticipat.
Considerate global, strategiile de învățare pot fi: directe, indirecte, interactive, experiențiale și independente.
Fiecare dintre acestea creează un mediu de învățare specific și modalități particulare de interrelaționare a profesorului cu elevii. Principala componentă a strategiei este reprezentată de metodele la care se face apel. Raportând principalele metode de predare-învățare la strategiile de învățare are loc următoarea configurație:
Strategii directe de învățare/metode: expunerea, explicația, observarea, demonstrația, lectura sau lucrul cu cartea.
Strategii de învățare indirecte/metode: problematizarea (problem-solving), studiul de caz, modelarea, simularea.
Strategii de instruire de tip interactiv/metode: conversația, dezbaterea, rezolvarea de probleme în grup, jocul de rol, brainstorming-ul, tutoratul, predarea on-line, învățarea prin cooperare.
Strategii de învățare de tip experiențial/metode: exercițiul, learning by doing, învățarea prin lucrări practice, proiectele, învățarea prin descoperire (learning by discovery), învățarea prin investigație (în spiritul științei), predarea/învățarea integrată în muncă.
Strategii de învățare facilitatoare a studiului independent/metode: stimularea gândirii critice, instruirea/învățarea programată, instruirea asistată de calculator (IAC).
Prezentarea detaliată a fiecăreia dintre aceste strategii și a metodelor acestora face necesară punerea în evidență a modalităților concrete de organizare a activității didactice în școală.
3.1.3.METODE DE PREDARE –ASIMILARE
Reevaluarea permanentă a metodelor tradiționale vizează adaptarea lor în funcție de necesități și raportarea lor la evoluția științei.
Metodele de predare-asimilare pot fi clasificate în :
Tradiționale: expunerea didactică, conversația didactică, demonstrația, lucrul cu manualul, exercițiul
Moderne: algoritmizarea, modelarea, problematizarea, instruirea programată, studiul de caz, metode de simulare( jocurile, învățarea pe simulator), învățarea prin descoperire
Principala metodă de educare a gândirii în învățământul tradițional este expunerea profesorului, completată cu studiul individual. Această metodă a fost combătută, susținându-se că ea nu favorizează legătura cu practica. Lipsa de legătură cu realitatea vine de la atitudinea elevilor: ei asistă pasiv la expunere, pe care știu că trebuie să o repete.
O imagine reliefantă asupra antitezei care se creează între metodele tradiționale și cele moderne utilizate în predare accentuează caracteristicile de bază:
pun accentul pe însușirea conținutului, vizând, în principal, latura informativă a educației
sunt centrate pe activitatea de predare a profesorului, elevul fiind văzut ca un obiect al instruirii
sunt predominant comunicative, verbale
sunt orientate, în principal, spre produsul final
au un caracter formal, sunt rigide și nu stimulează competiția
stimulează motivația extrinsecă pentru învățare
relația profesor-elev este autocratică, disciplina școlară fiind impusă
La polul opus, metodele moderne se caracterizează prin următoarele note:
acordă prioritate dezvoltării personalității elevilor, vizând latura formativă a educației
sunt centrate pe activitatea de învățare a elevului, acesta devenind subiect al procesului educațional
sunt centrate pe acțiune, pe învățarea prin descoperire
sunt orientate spre proces
sunt flexibile, încurajează învățarea prin cooperare și capacitatea de autoevaluare la elevi
stimulează motivația intrinsecă
relația profesor-elev este democratică, bazată pe respect și colaborare, iar disciplina derivă din modul de organizare a lecției
Concluzionând forma clasică a învățământului dezvoltă puțin gândirea rațională a elevilor.
3.2.METODE ACTIV-PARTICIPATIVE
Astăzi are loc o explozie a metodelor interactive în clasificările tradiționale ale metodologiei didactice. Sunt cunoscute dezbaterile conform căreia nu există în mod practic metode „active” și metode „pasive” toate metodele posedând deopotrivă un grad de pasivism și unul de activism; acesta din urmă variază de la metodă la metodă sau câteodată, de la un mod de aplicare /utilizare la altul al aceleiași metode.
Aflându-se în antiteză cu metodele tradiționale de învățare, metodele activ-participative pun accent pe învățarea prin cooperare. Elevii nu sunt doar un receptor de informații, ci și un participant activ la educație. Încurajarea comportamentului participativ în procesul instructiv-educativ, înseamnă pasul de la „a învăța” la a „învăța să fii și să devii”, pregătirea pentru a face față situațiilor.
Formarea capacității elevilor de a emite opinii și aprecieri asupra teoremelor,lemelor studiate și demonstrate cât și implicarea elevilor în actul didactic constituie principalul avantaj al metodelor activ-participative.În acest mod, elevilor le va fi dezvoltată o gândire circumscrisă abilităților cognitive de tip superior, gândirea critică. Gândirea centrată pe testarea și evaluarea soluțiilor posibile într-o situație dată, urmată de alegerea rezolvării optime a problemei,exercițiului pe baza argumentelor reprezintă gândirea critică.
A gândi critic înseamnă :
a deține cunoștințe valoroase și utile
a avea convingeri raționale
a propune opinii personale
a accepta că ideile proprii pot fi discutate și evaluate
a construi argumente suficiente propriilor opinii, a participa activ și a colabora la găsirea soluțiilor
Principalele metode de dezvoltare a gândirii critice sunt:
gândiți, lucrați în echipă, comunicați
termeni-cheie inițiali; Știu-vreau să știu-am învățat
metoda Sinelg; metoda Mozaic; Cubul; Turul Galeriei; Elaborarea unui referat/eseu; Jurnalul în trei părți; Tehnica predicției; Învățarea în grupuri mici; Turneul între echipe; Linia valorilor
Se impune respectarea unor reguli pentru ca învățarea prin cooperare să se bucure de un real succes. Pentru ca elevii să fie dispuși să lucreze în echipă, literatura de specialitate relevă faptul că, este necesară respectarea a două condiții:
asigurarea unui climat pozitiv în clasă
formularea unor explicații complete și corecte asupra sarcinii de lucru, astfel încât aceasta să fie înțeleasă de toți elevii
În vederea asigurării unui climat pozitiv în sala de clasă este necesar ca elevii să aibă impresia că au succes în ceea ce fac.
Factorii care asigură succesul în cabinetul de matematică sunt: formularea de expectanțe pozitive față de elevi, utilizarea unor strategii de management educațional eficient, stabilirea de obiective clare și comunicarea acestora elevilor, valorificarea la maxim a timpului destinat predării; evaluarea obiectivă. Eficiența muncii în grup depinde de claritatea explicației pentru sarcinile de lucru. Profesorii trebuie să ofere explicații cât mai clare și să se asigure că ele au fost corect înțelese de către elevi.
Din cele menționate rezultă faptul că profesorul trebuie să-și schimbe concepția și metodologia învățării și educării, să coopereze cu elevii, să devină un model real de integrare socioprofesională și educație permanentă, să se implice în deciziile educaționale, să asigure un învățământ de calitate. Pregătirea managerială a profesorului, însușirea culturii manageriale, nu numai cea tradițională psihopedagogică și metodică, pot asigura esențial înțelegerea și aplicarea relației autoritate-libertate, ca nou sens al educației, prin predare-învățare și rezolvarea altor situații din procesul educațional școlar.
Pierre Goguelin precizează că „a fi activ, nu în înseamnă că elevul face tot ce vrea și nu contează ce; chiar în metodele cele mai active e vorba, de o acțiune pedagogică”.
Activ este elevul care gândește, care depune efort de reflecție personală, interioară, abstractă, care întreprinde o activitate mintală de căutare, cercetare, de redescoperire a adevărurilor, de elaborare a noilor cunoștințe. Noțiunea de metodă activă nu trebuie confundată cu noțiunea de metodă nouă, modernă, sau cu orice metodă însoțită de o acțiune concretă, exterioară, nici cu metodele interogative sau cu cele captivante.
Din punct de vedere al metodelor interactive perfecționarea profesională presupune formarea unui comportament flexibil, care să-i permită continua adaptare la progres, la schimbările continue din societate.
În matematică, învățământul activ se realizează cu ajutorul metodelor active.
Se impune diminuarea ponderii activităților care limitează extinderea utilizării metodelor moderne, active, dezvoltă gândirea, capacitatea de investigație a elevilor, precum și participarea lor la însușirea cunoștințelor, la munca independentă, la deprinderea de a aplica în practică cele însușite. Din punct de vedere a stimulării curiozității științifice, al spiritului de cercetare, de creativitate și inovare, în categoria metodelor active, participative, pot fi incluse atât unele din metodele mai vechi, cât și unele din metodele mai noi. Utilizarea metodelor active, participative sau interactive va fi întotdeauna preferată celor pasive, deoarece învățarea cu ajutorul lor este mai temeinică și mai durabilă.
Metodele active conduc la suscitarea și realizarea efectivă a operațiilor de gândire, care prin excelență devin adecvate și favorabile dezvoltării unui constructivism operatoriu. Esențialul rezidă într-o pedagogie a efortului autentic și multilateral care izvorăște din interiorul conștiinței și al gândirii proprii a elevului. Aceasta constituie adevărata metodologie participativă în măsură să favorizeze, concomitent, atât elaborarea noilor cunoștințe prin eforturi proprii, cât și construcția operațiilor mintale corespunzătoare, pe care vrem sa le formăm, în loc ca toate acestea să fie primite de-a gata, pregătite de dinainte de învățător, demonstrate sau luate din manuale, cu un minimum de efort de memorizare, de reproducere a exemplelor și metodelor propuse.
Sunt considerate active metodele care nu încorsetează elevul într-o rețea de expresii fixe sau de reguli rigide, ci care rezervă o pondere crescândă elevului în interacțiunea lui cu obiectele învățării, care determină un maximum de activism al structurilor operațional-mintale în raport cu sarcinile de învățare în care este angajat acesta.
,,Activ” este elevul care gândește, raționează , care depune un efort de reflecție personală interioară și abstractă, care întreprinde o acțiune mintală de căutare, de cercetare și redescoperire a adevărurilor, de elaborare a noilor cunoștințe și nu cel care se menține la nivelul acțiunii concret-senzoriale, intuitiviste si nici cel care face apel la reproducere a cunoștințelor.
Având în vedere că nici metodele clasice nu sunt lipsite de virtuți, pentru antrenarea elevilor pot fi îmbinate în mod armonios metodele clasice cu cele moderne. Metodele de învățământ sunt căile folosite de elevi și profesori cu scopul ca elevii să se formeze, atât prin activitatea îndrumată de cadre didactice cât și prin cea organizată independent și diferențiat.
O eficiență sporită o constituie utilizarea în orele de matematică a acelor metode care au o mare valoare formativă, care stimulează dezvoltarea activității intelectuale (gândirea creatoare și originală, inteligența, imaginația constructivă). Asemenea metode se disting prin caracterul lor activ-participativ, care suscită din partea elevilor o activitate propice exercitării și utilizării inteligenței lor.
Metodele activ-participative utilizate în însușirea cunoștințelor matematice sunt: exercițiul problematizarea, învățarea prin descoperire, conversația euristică, munca independentă demonstrația, jocurile matematice.
Metoda exercițiului constă în a executa o acțiune în mod repetat și conștient, în a face un lucru de mai multe ori, în vederea formării unor deprinderi. Exercițiul nu trebuie înțeles în sensul de repetare mecanică, ci de refolosire intensivă și extensivă a unor elemente și structuri globale proprii sarcinii de învățare.
Învățarea prin descoperire urmărește activizarea cognitivă a elevilor. Ea constă în punerea elevului în fața unei situații care să-i permită ca, folosind o anumită strategie, să ajungă singur la un răspuns care nu mai constituie o simplă însumare a cunoștințelor anterioare, ci o depășire sau măcar o reorganizare a lor. Cunoștințele astfel învățate prin efort personal, se fixează mai bine în memoria elevului, devin mai operaționale. În cazul utilizării acestei metode, rolul dascălului este de a planifica situațiile de învățare și de a dirija drumul elevului spre rezolvarea acestor situații.
Conversația euristică este o modalitate aparte de învățare prin descoperire. Specificul ei rezultă din faptul că profesorul instruiește nu prin ,,a transmite” sau ,, a prezenta” noi cunoștințe ci prin întrebări, elevii sunt ajutați să prelucreze propriile cunoștințe pe care le posedă și să ajungă la noi asociații, să propună soluții variate și originale de rezolvare a problemei teoretice și practice.
Problematizarea este cunoscută ca o modalitate de instruire prin crearea unor situații-problemă, care solicită elevilor utilizarea, restructurarea și completarea unor cunoștințe anterioare în vederea soluționării acestor situații, pe baza experienței și a efortului personal.
Metoda care corespunde cel mai adecvat principiului caracterului activ al instrucției și educației, precum și cerințelor unui învățământ formativ este metoda muncii independente. Aceasta presupune mai frecvent folosirea fișelor de muncă independentă. Având în vedere obiectivele urmărite, se disting următoarele tipuri de fișe: fișe folosite pentru însușirea cunoștințelor, pentru fixarea și consolidarea lor, pentru verificare și fișe de corectare a greșelilor.
Caracterul euristic ce se cere a fi imprimat metodelor, exprimă necesitatea creării în procesul de învățământ a unor condiții favorabile antrenării elevilor pe drumul căutărilor, al cercetării, care să favorizeze învățarea prin problematizare și descoperire.
Metoda demonstrației contribuie la ușurarea înțelegerii unor cunoștințe noi, prin observarea și analiza unui material intuitiv, precum și la executarea corectă a unor activități.
Metoda jocurilor oferă un cadru propice pentru învățarea activă, participativă, stimulând în același timp inițiativa și creativitatea elevilor. Jocurile didactice reprezintă o formă de învățare plăcută si atractivă, ce corespunde particularităților psihice ale acestei vârste. Lecțiile înviorate cu jocuri didactice susțin efortul elevilor, menținându-i mereu interesați, îi determină să lucreze efectiv și în același timp să gândească în mod creator si original.
Eficiența acestor metode constă în capacitatea fiecărui profesor de a le utiliza în procesul de însușire a cunoștințelor matematice, în modul în care profesorul antrenează pe elevi pe parcursul acestor ore.
Dintre metodele didactice specifice învățării active în sistemul de predare-învățare,sunt:brainstorming-ul, ciorchinele, diagrama Wenn, jurnalul cu dublă intrare, metoda cadranelor și cubul.
Brainstorming-ul, „furtuna în creier”, este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme. În momentul când în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le integreze în mintea lui apar o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le-ar putea asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativității, profesorul trebuie să aprecieze efortul fiecărui copil și să nu înlăture nici o variantă propusă de elevi.
Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multor idei – oricât de fanteziste ar putea părea acestea – ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.
Etape:
Alegerea sarcinii de lucru
Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Sub nici un motiv, nu se vor admite referiri critice
Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă). Anunțarea unei pauze pentru așezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi)
Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc
Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior. Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru problema supusă atenției
Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje, imagini, desene, etc
Exemplu:
Se propune o problemă (din manual sau din culegerea de probleme)
Cereți elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei. Pot apărea, de exemplu, sugestii legate de rezolvarea prin diferite metode a problemei, cerute în concluzia problemei. Lăsați elevii să propună orice metodă le trece prin minte! Notați toate propunerile elevilor. La sfârșitul orei puneți elevii să transcrie toate aceste idei și cereți-le ca, pe timpul pauzei, să mai reflecteze asupra lor.
Pentru problema analizată, cuvintele-cheie ar putea fi: polinoame, rădăcini, teorema restului, divizibilitate de polinoame.
Puneți întrebări de tipul:
Am putea rezolva problema folosind teorema lui Bezout? Este util să studiem un caz particular al problemei? Au întrebările problemei legătură între ele? Ce anume trebuie să demonstrăm?
Ca urmare a discuțiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problemei. Aceasta poate fi sintetizată sub forma unor indicații de rezolvare, de tipul:
analizăm datele problemei
aplicăm o teoremă corespunzătoare
folosim corect teorema
Obiectivul fundamental constă în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, se acceptă toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei.
Pentru a determina progresul în învățare al elevilor cu rămâneri în urmă, este necesar să fie antrenați în schimbul de idei , astfel încât toți elevii să își exprime opiniile!
Metoda ciorchinelui am folosit-o cu succes când a trebuit să formăm numere prin operații diverse. Observând și aprobând variantele colegilor, elevul își dezvoltă imaginația și creativitatea Folosim metoda ciorchinelui și în secvențe de recapitulare a noțiunilor teoretice matematice. Prin întrebări, profesorul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice matematice.
Diagrama Wenn are rolul de a reprezenta sistematic, într-un mod cât mai creativ asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii de operații matematice. Dă rezultate deosebite la activitatea în echipă.
Metoda cadranelor am folosit-o frontal și individual, în rezolvarea problemelor prin metoda figurativă. Fișa de lucru este împărțită în patru cadrane destinate textului problemei, reprezentării grafice, rezolvării și respectiv răspunsului problemei. Am considerat această metodă eficientă deoarece a delimitat clar în mintea elevului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a obține rezultatul problemei.
Cubul este o metodă activă aplicată unei clase de elevi împărțită în șase grupe. Fiecare grupă are o sarcină de lucru diferită ca grad de dificultate față de celelalte cinci grupe. Elevii dau cu zarul. Fiecărei fețe a cubului, profesorul îi asociază o cerință, care trebuie neapărat să înceapă cu cuvintele: „descrie”, „compară”, „explică”, „argumentează”, „analizează”, respectiv „aplică”
Oricare formă a muncii independente stimulează activitatea creatoare a elevilor, asigurând antrenarea tuturor elevilor la muncă, îndeplinirea problemelor date și integrarea cu succes a elevilor în societate.
Jocul didactic matematic reprezintă un ansamblu de acțiuni și operații care urmăresc obiective de pregătire intelectuală a elevilor, generând o motivație stimulatorie și constituind o prezență indispensabilă în ritmul accentuat al muncii școlare. Folosit în procesul de învățământ jocul didactic asigură participarea activă a elevului la lecții, sporind interesul de cunoaștere față de conținutul lecțiilor. Un exercițiu sau o problemă de matematică devine joc didactic matematic dacă realizează un scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic, folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii propuse; folosește un conținut matematic accesibil și atractiv utilizează reguli de joc cunoscute anticipat și respectate de elevi.
Introdus inteligent în structura lecției, jocul didactic matematic poate să satisfacă nevoia de joc a elevilor, dar poate în același timp să ușureze înțelegerea, asimilarea cunoștințelor matematice și formarea unor deprinderi de calcul matematic, realizând o îmbinare între învățare și joc.
Formarea capacității elevilor de a emite opinii și aprecieri asupra teoremelor , lemelor studiate și demonstrate cât și implicarea elevilor în actul didactic constituie principalul avantaj al metodelor activ-participative.
Metoda Mozaicului presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup.
Etape :
Împărțirea clasei în grupuri eterogene de 4 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă de învățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi
Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicarea sarcinii de lucru și a modului în care se va desfășura activitatea
Regruparea elevilor, în funcție de numărul fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care au numărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup ș.a.m.d.
Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de experți. Elevii citesc discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar
Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități, se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membri din grupul expert pentru secțiunea respectivă
Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa/ cu toți participanții
Metoda Mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă pentru scurt timp în ”profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.
Investigația în matematică implică, pe de o parte,pentru rezolvarea unor probleme întâlnite în cotidian sau în alte domenii ale disciplinelor școlare și, pe de altă parte, explorarea unor concepte matematice necunoscute utilizând metode, tehnici, concepte cunoscute. Investigația presupune atât rezolvarea de probleme cât și crearea de probleme.
Evaluarea investigației se face holistic pentru toți membrii unei grupe, ținând cont de claritarea prezentării și a argumentării, precum și de gradul de finalizare a sarcinii.
Investigația pune toți elevii în situația să acționeze. Deoarece sarcinile de lucru nu vizează doar sfera cognitivă, în cadrul investigației se găsește un rol pentru fiecare elev; de aceea, toți elevii conștientizează propria importanță pentru derularea activității.
3.3. TENDINȚE ÎN PROCESUL DE MODERNIZARE A UTILIZĂRII METODELOR DIDACTICE
Metodologia de învățare se caracterizează printr-o permanentă deschidere la înnoire, la inovație, reconsiderarea finalităților și conținuturilor învățământului fiind însoțită de înnoirea metodelor folosite în practica instructiv-educativă.
Tendințele esențiale ale înnoirii și modernizării metodologiei de învățare sunt :
valorificarea deplină a metodelor în direcția activizării elevilor, a participării lor efective la dobândirea cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor
prin metodele de învățământ trebuie antrenate procesele intelectuale ale elevilor, să se imprime acțiunii de învățare un pronunțat caracter activ și formativ
accelerarea caracterului formativ al tuturor metodelor de instruire utilizate în activitatea de predare-învățare (clasice-renovate sau moderne), acestea asumându-și o intervenție mai activă și mai eficientă în cultivarea potențialului individual, în dezvoltarea de a opera cu informațiile asimilate, de a judeca și de a aplica cunoștințele, de a investiga și de a căuta soluții adecvate de rezolvare a problemelor sau situațiilor-problemă
aplicarea cu prioritate a metodelor activ-participative, centrate pe elev, pe activizarea la maximum a structurilor cognitive și operatorii ale elevilor, pe exersarea funcțiilor și potențialului psihofizic al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant al propriei instruiri și educații
amplificarea ponderii metodelor activ-participative nu înseamnă renunțarea la metodele clasice de învățământ la cele de transmitere și asimilare a informației
metodologia modernă operează schimbări care țin de pondere, dar mai ales de valorizare, de sporire a potențialului formativ al metodelor clasice, prin accentuarea caracterului lor euristic și activ-participativ
nu putem afirma că metodele tradiționale în sine sunt ineficiente, iar cele moderne eficiente fapt ce implică analizarea contextului în care sunt folosite și, în primul rând, dacă ele determină randament școlar sporit, economie de efort intelectual și de timp
selecția și combinarea metodelor la nivelul unităților de muncă independentă trebuie gândite în funcție de anumiți parametri, de anumite condiții ale învățării:
obiective didactice, conținut
particularitățile cantitative și calitative ale grupului școlar
caracteristicile psihologice
timp de învățare
experiență și factori de personalitate ai profesorului
costuri materiale
O alternanță sistematică a activităților bazate pe efortul individual al elevului (documentarea după diverse surse de informație, observația proprie,exercițiul personal, instruirea programată, experimentul și lucrul individual, tehnica muncii cu fișe etc.) are loc împreună cu activitățile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuțiilor (sau dezbaterilor colective), asaltul de idei (brainstorming-ul), simularea, tehnici de interpretare a rolurilor, a jocurilor, studiul de caz, rezolvarea de probleme în microgrupuri etc.
3.4.NOI STRATEGII DE PREDARE ÎN ÎNVĂȚAREA CENTRATĂ PE ELEV
Trecerea la o metodologie mai activă, centrată pe elev, implică elevul în procesul de învățare și îl învață aptitudinile învățării, precum și aptitudinile fundamentale ale muncii alături de alții și ale rezolvării de probleme.
Metodele centrate pe elev implică individul în evaluarea eficacității procesului lor de învățare și în stabilirea obiectivelor pentru dezvoltarea viitoare. Aceste avantaje ale metodelor centrate pe elev ajută la pregătirea individului atât pentru o tranziție mai ușoară spre locul de muncă, cât și spre învățarea continuă.
Exemple de învățare centrată pe elev:
Procesul de predare are trei faze, iar fiecare necesită metode adecvate. (Vezi metoda PAR – Prezintă-Aplică-Recapitulează)
Prezintă: metode de prezentare de noi cunoștințe elevilor sau de încurajare în a le găsi singuri ceea ce poate implica fapte, teorii, concepte, povestiri etc.
Aplică: metode care sa-i oblige pe elevi să aplice noile cunoștințe care le-au fost doar prezentate. Aceasta este singura modalitate de a te asigura că elevii formează concepte despre noul material pentru a-l înțelege, a și-l aminti și a-l folosi corect pe viitor.
Recapitulează: metode de încurajare a elevilor să își amintească vechile cunoștințe în vederea clarificării și concentrării asupra punctelor cheie, asigurării unei bune înțelegeri, punerii în practică și verificării cunoștințelor mai vechi.
Lecția pleacă de la experiențele elevilor și cuprinde întrebări sau activități care să îi implice pe elevi
Elevii sunt lăsați să aleagă singuri modul cum se informează pe o anumită temă și cum prezintă rezultatele studiului lor
Elevii pot beneficia de meditații, în cadrul cărora pot discuta despre preocupările lor individuale cu privire la învățare și pot cere îndrumări
Aptitudinea elevilor de a găsi singuri informațiile căutate este dezvoltată – nu li se oferă informații standardizate
Pe lângă învățarea specifică disciplinei respective, li se oferă elevilor ocazia de a dobândi aptitudini fundamentale transferabile, cum ar fi aceea de a lucra în echipă.
Se fac evaluări care permit elevilor să aplice teoria în anumite situații din viața reală, cum ar fi studiile de caz și simulările.
Lecțiile cuprind o combinație de activități, astfel încât să fie abordate stilurile pe care elevii le preferă în învățare (vizual, auditiv, practic / kinetic)
Lecțiile înlesnesc descoperirile făcute sub îndrumare și solicită participarea activă a elevilor la învățare
Lecțiile se încheie cu solicitarea adresată elevilor de a reflecta pe marginea celor învățate, a modului cum au învățat și de a evalua succesul pe care l-au avut metodele de învățare în cazul lor.
3.4.1.STRATEGII DE PREDARE ÎN VEDEREA ÎNVĂȚĂRII ACTIVE
Cadrele didactice și elevii trebuie să fie conștienți de stilurile de învățare pe care le preferă și, în consecință, de modul cum învață cel mai bine. În materialele de instruire se prezintă un simplu chestionar care se poate folosi pentru elevi la identificarea stilurilor lor de învățare.
Învățarea trebuie să cuprindă activități de prelucrare a noii materii învățate, care trebuie legată de ceea ce elevul știe deja. Sarcinile trebuie să fie autentice, stabilite în context semnificativ și legate de viața reală. Ele nu trebuie să implice doar repetarea unor lucruri deoarece acest lucru duce la învățarea “de suprafață” și nu la învățarea “de profunzime”.
Având în vedere faptul că învățarea elevilor va implica erori, sarcinile trebuie să le ofere ocazia de a se autoevalua, de a corecta, de a discuta cu colegii, de a primi reacția profesorului precum și de a face alte verificări de “conformitate cu realitatea”
În vederea învățării active sunt recomandate:
Metode care necesită o pregătire sumară și puține resurse : Predare prin întrebări, Bulgărele de zăpadă, Brainstorming, Experimentul Gândului (Empatia), Roata
Metode care implică materiale (fotocopii sau cartonașe) ce se distribuie elevilor : Învățare cooperantă, Puncte-cheie, Întrebări pe baza textului, Transformare, Explicațiile elevilor, Hărți/diagrame/desene, Rezumatul
Activități care necesită puțin mai multă pregătire;se începe cu cele mai ușoare: Prezentările elevului, Predare de către elevi, Controversa academica, Întrebări ’’Bulgăre de zăpadă’’, Învățarea individuală, Ochelarii, Competența de a judeca, Comparație și contrast
Explicarea sarcinilor care cer elevilor să își explice unii altora modul cum au înțeles un anumit lucru și să elaboreze acest mod de a înțelege înainte de a-l exprima
Punerea de întrebări și răspunsuri de “diagnoză” și utilizarea răspunsurilor greșite pentru a explora și a corecta neînțelegerile,
“Întrebările socratice”
Utilizarea sarcinilor și întrebărilor care stimulează gândirea elevilor și se bazează pe Taxonomia lui Bloom și nu pe simpla reamintire.
Aceste sarcini și întrebări necesită mai multă gândire și prelucrare
Analiză: întrebări de tip “de ce”
Sinteză: întrebări de tip “cum”, “ai putea să”
Evaluare: întrebări de judecată. Aceste întrebări de rang superior impun elevilor să își creeze propriile concepții cu privire la noua materie învățată. Nu se pot face raționamente pe marginea materiei învățate înainte ca aceasta să fie conceptualizată, de aceea, întrebările care solicită raționamentul vor determina conceptualizarea
Utilizarea studiilor de caz care leagă subiectul discutat de viața reală sau de experiențele anterioare și deci de învățarea anterioară
Utilizarea lucrului în grup, care solicită elevilor să discute materia învățată, astfel încât colegii să se verifice între ei și să învețe unii de la alții
Învățarea implică “construirea de modele” , de aceea, utilizați hărți ale minții și rezumate care relevă relația dintre părțile subiectului și întreg.
De asemenea, arătați legătura dintre subiectul de astăzi și alte subiecte
Predarea aptitudinilor în contextul subiectului respectiv.
Gândiți-vă la dumneavoastră ca la un profesor de aptitudini care utilizează conținutul materiei pentru a preda aptitudinile respective.
3.4.2.STRATEGII PENTRU O PREDARE CARE SĂ CORESPUNDĂ STILURILOR INDIVIDUALE DE ÎNVĂȚARE
Cum se învață mai eficient – punctele tari ale stilurilor de învățare:
Vizual / Vedere
Vederea informației în formă tipărită vă va ajuta să o rețineți mai bine
Verificarea faptului că notițele dumneavoastră sunt copiate cum trebuie
Privirea formei unui cuvânt
Folosirea culorilor, ilustrațiilor și diagramelor ca ajutor în procesul de învățare
Sublinierea cuvintelor cheie
Folosirea de creioane colorate pentru învățarea ortografierii cuvintelor dificile: folosirea de culori diferite pentru grupurile complexe de litere
Alcătuirea unei hărți mentale sau a unei “spidergram” (rețea de cuvinte, ciorchine)
Convertirea notițelor dumneavoastră într-o imagine sau bandă desenată
Folosirea imaginilor pentru explicarea textelor
Auditiv / Ascultare
Ascultarea cuiva care vă explică un anumit lucru vă va ajuta să învățați
Discutarea unei idei noi și faptul că o explicați folosind propriile dumneavoastră cuvinte
Discutarea cu cineva a problemelor și ideilor
Este folositor să analizați verbal chestiunile / să verbalizați de unul /una singur(ă) gândurile și ideile pe care le aveți
Rugămintea adresată cuiva de a vă explica din nou lucrurile
Ascultarea unei cărți înregistrate pe bandă va fi mai ușoară decât citirea cărții
“Simțirea cuvântului” ca și cum ați fi pe punctul să-l pronunțați și faptul de a-l pronunța în gând pot fi de ajutor
Împărțirea cuvintelor în silabe /fragmente și exagerarea în gând a sunetelor
Simțirea ritmului unei fraze sau a unui set de informații atunci când acestea sunt “cântate”
Citirea cu voce tare
Faptul de a vă asculta vorbind cu voce tare
Utilizarea unui casetofon pentru a vă înregistra observațiile și gândurile
Înregistrarea principalelor aspecte ce trebuie analizate folosind propria dumneavoastră voce, cu muzica dumneavoastră preferată ca fundal
Folosiți metode de ascultare activă, incluzând aici chestionarea și rezumarea
Practic
Efectuarea de către dumneavoastră înșivă a unei activități practice facilitează adesea înțelegerea (de ex. experimente la fizică, probleme la matematică etc)
Scrierea lucrurilor în ordinea lor, pas cu pas, este o cale eficientă de a le ține minte
Scrierea lucrurilor cu propriile dumneavoastră cuvinte
Convertirea notițelor într-o imagine sau într-o bandă desenată
Alcătuirea unei hărți mentale sau a unei “spidergram” rețea de cuvinte, ciorchine
Urmărirea cu degetul a titlurilor, cuvintelor cheie, etc. apoi pronunțarea respectivelor cuvinte urmată de scrierea lor din memorie
Preferința pentru a atinge și a face
Scrisul la tastatură este adesea mai ușor decât scrierea de mână
Utilizarea scrisului cursiv este mai ușoară decât cea a scrisului tipărit (cu litere separate)
Ajutarea unei alte persoane să îndeplinească o sarcină
Managementul lucrului în echipă, al studiului individual, al practicii etc.
Fixarea sarcinii de lucru
Sarcina de lucru trebuie să fie clară și exprimată în scris
Profesorul sau membrii grupului desemnează un Scrib
Limita de timp acordat este menționată înainte
Sarcinile de lucru se diferențiază prin aceea că sunt deschise, graduale și/sau dificile
Există cel puțin câteva sarcini de lucru cu grad de dificultate ridicat, notate în Clasificarea lui Bloom, mai exact cele ce necesită: analiza (întrebări de tipul „de ce”), sinteza (întrebări de tipul „în ce mod”) sau evaluare (întrebări de tipul „care” sau „cat de bine”)
CERCETAREA ȘI METODICA CERCETĂRII. EXPERIMENTUL PEDAGOGIC
Cercetarea pedagogică este un demers sistematic de cunoaștere, de explicare a fenomenelor educației; acest demers, care are ca punct de plecare conștientizarea unei cerințe, a unei dificultăți întâmpinate în profesie, urmărește, în final, sporirea eficienței activității educative.
Specific pentru o cercetare autentică este emiterea unei ipoteze pentru o problemă bine delimitată și apoi, folosind o metodologie specifică, angajarea într-un demers experimental ce urmărește, în final, confirmarea/validarea ipotezei.
Cercetarea pedagogică poate fi de mai mule tipuri. În funcție de scopul și nivelul cercetării aceasta se corelează mai mult cu teoria pedagogică sau cu necesitățile practice ale procesului instructiv-educativ.
Cercetarea constatativă urmărește cunoașterea și descrierea amănunțită a unei anumite situații a unei anumite activități instructiv-educative, a factorilor și implicațiilor acestora într-un anume proces.
Cercetarea ameliorativă își propune să verifice eficiența unor inovații; se pornește de la o ipoteză a cercetării care propune perfecționări, ameliorări ale randamentului activității instructiv-educative, în diverse probleme pedagogice: plan și programe, metode de predare – învățare și de verificare a progresului școlar, manuale școlare și mijloace de învățământ, orientare școlară și profesională, constituirea grupelor de elevi și a claselor etc. Este, de fapt, o cercetare experimentală, care consideră comparativ rezultatele unor clase ,,experimentale” (la care se predă cu introducerea ,,ipotezei” inovatoare) și rezultatele unor clase de control ,,martor” (la care se lucrează tradițional).
Cercetările experimentale presupun înregistrarea și prelucrarea rezultatelor acțiunii educative. Experimentul creează posibilitatea determinării cantitative, prin măsurarea fenomenelor investigate. Aceasta permite evidențierea obiectivă a eficienței rezultatelor școlare.
Metodele folosite în cercetarea pedagogică sunt:
Metoda observării constă în urmărirea faptelor (situațiilor) de educație așa cum se desfășoară ele în condițiile obișnuite fără intervenția cercetătorului
Experimentul pedagogic presupune producerea intenționată a unui fenomen,
modificându-i condițiile obișnuite de apariție și de desfășurare; metoda experimentării, spre deosebire de metoda observării, produce datele în mod special pentru raționamentul experimental al cercetării de tip ameliorativ
Metoda convorbirii constă dintr-un dialog între cercetător și subiecții investigați
Ancheta prin chestionar – tehnica de colectare a informației este chestionarul
Studierea documentelor școlare
Metoda analizei produselor activității școlare
Teste și probe psihologice
Metoda interevaluării elevilor
Tehnici sociometrice
Analiza produselor activității elevilor
Cercetarea adevărată presupune și o etapă a măsurarii datelor colectate. Cea mai simplă și mai cunoscută modalitate de a introduce numărul în cercetarea pedagogica, după ce au fost colectate datele necesare prin metodele anterior analizate, este numărarea.
Formularea ipotezei
Importanța lucrării constă în utilizarea metodelor activ-participative care urmăresc avantaje și progrese în învățare. Cultivarea spiritului de observație, atenția, precizia, rigoarea, răbdarea, sârguinciozitatea, tenacitatea, conduc la creșterea interesului școlar.
Prin metodele moderne utilizate am căutat formarea rapidă a unor deprinderi, obținerea unor cunoștințe profunde, prevenirea uitării și a confuziilor.
Ipoteza majoră a cercetării pedagogice propuse poate fi formulată astfel: dacă în predarea capitolului Inele de polinoame selecționând, combinând diferite metode activ-participative de predare – învățare, elevii vor obține rezultate școlare superioare fața de cele obținute prin metode de predare tradiționale.
Strategiile didactice active în comparație cu cele clasice, bazate pe metode expozitive și pe utilizarea întâmplătoare a materialelor didactice, prezintă următoarele avantaje:
stimulează creativitatea
stimulează formarea deprinderilor de muncă independentă
stimulează voința, răbdarea, tenacitatea, rigoarea
previn uitarea și apariția confuziilor
reduc verbalismul în instruire
dezvoltă ambiția de afirmare
favorizează perfecționarea relației profesor – elev
stimulează efortul propriu al elevilor: gândirea, atenția, curiozitatea, inițiativa, spiritul de observație.
Organizarea cercetării. Rezultate experimentale
Elaborarea planului experimental cuprinde trei etape:
Stabilirea eșantionului care va reprezenta în cercetare populația ce urmează a fi supusă influențării sistematice a tehnologiei didactice proiectate. Este o etapă importantă deoarece experimentarea pe un eșantion nesemnificativ ar putea duce spre concluzii în contradicție cu realitatea
Stabilirea procedeelor prin care se controlează variabilele reprezintă opțiunea pentru unul din cele două procedee experimentale obișnuite și anume:
experimentul cu grup unic
experimentul cu grupuri paralele
În acest caz se constituie două eșantioane: colectivul experimental și colectivul martor. Eșantionul experimental este cel asupra căruia acționează variabilele independente în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale.
Eșantionul de control este folosit ca martor pentru ca la încheierea cercetării să putem compara rezultatele obținute de către ambele eșantioane și să observăm pe această bază, ce diferențe s-ar putea datora intervenției factorului experimental (acesta poate fi extins și generalizat întregii populații).
Elaborarea instrumentelor de măsurare și prelucrare a datelor se materializează în:
instrumente de evaluare a rezultatelor școlare elaborate în funcție de obiectivele pedagogice proiectate
indicii de apreciere a calității pedagogice a procesului de învățământ
modelul de prelucrare statistică pentru datele obținute
Aplicarea planului experimental este etapa în care proiectul se transpune în acțiune și se colectează date. Analiza datelor și interpretarea rezultatelor experimentale este ultima etapă a unei cercetări privind eficiența tehnologiei didactice și care trebuie să precizeze dacă ipoteza de cercetare este confirmată sau nu în practică.
Am organizat cercetarea în anul școlar 2014–2015 la elevii clasei a-XII A PM (eșantion experimental). Colectivul clasei este format din 20 de elevi.
Am desfășurat cercetarea experimentală în comparație cu clasa a-XII B PM (eșantion de control sau martor), această clasă fiind alcătuită din 20 de elevi.
Cele două clase sunt omogene, prezintă aproximativ același nivel de pregătire, aceasta observându-se prin compararea mediilor obținute în urma testelor de evaluare date.
În cercetarea noastră am folosit următoarele metode:
Metoda observației (am observat elevii, am urmărit fapte ce țin de educația învățării)
Metoda experimentului (am desfășurat cercetarea cu cele două clase, având aproximativ aceleași caracteristici de nivel inițial de cunoștințe, vârstă, capacitate intelectuală etc.)
Eșantionului experimental i-a fost predată unitatea de învățare utilizând metode activ- participative. Eșantionului de control sau martor i-a fost predată aceeași unitate de învățare în forma tradițională, utilizând metode preponderent expozitive, accentul căzând pe activitatea profesorului.
Testul psihopedagogic (testul docimologic – fișă de evaluare) l-am utilizat în depistarea rezultatelor cercetării. Am surprins prin această fișă de evaluare aspecte a randamentului școlar al elevilor.
Am verificat nivelul inițial al cunoștințelor elevilor, prin solicitarea elevilor celor două clase de a rezolva un test. Am constatat că nivelul inițial al celor două clase este apropiat, diferența dintre mediile obținute la testul inițial fiind foarte mică: 0,30 puncte.
Toate datele le-am cules, înregistrat, clasificat, ordonat, comparat, prelucrat și tabelat. În interpretarea rezultatelor am utilizat tabele și grafice, pentru grupurilor studiate.
Din analiza procentajului de rezolvare a itemilor testelor inițial și final, reiese că elevii clasei experimentale și-au însușit cunoștințele la un nivel superior celor din clasa de control. Prin comparația rezultatelor obținute de elevii din clasa experimentală cu rezultatele obținute de elevii din clasa de control, s-a constatat o creștere a mediei clasei experimentale cu 0,60 puncte.
Am utilizat ca metode de investigație pedagogică: metoda observației, metoda testelor, metoda analizei produselor activității elevilor și metode de prelucrare statistico-matematică a datelor obținute.
În etapa inițială, celor două clase selectate le-a fost aplicat următorul test inițial: Obiective operaționale:
O.1- elevul va fi capabil să scrie relațiile lui Viète
O.2- elevul va fi capabil să formeze ecuația de gradul al doilea când se cunosc soluțiile
O.3- elevul va fi capabil să determine un parametru real, atunci când intre rădacini există relații suplimentare
O.4-elevul va fi capabil să calculeze suma patrătelor rădăcinilor
O.5-elevul va fi capabil să descompună în factori o expresie
Test inițial
1) Să se scrie relațiile lui Viète pentru ecuația: 3×2 – x – 9 = 0 (1 punct)
2) Să se formeze ecuația de gradul al doilea când se cunosc soluțiile
x1 = – 4 și x2 = 5 (1 punct)
3) Fie x1 și x2 rădăcinile ecuației x2 + x – 9 = 0
Fără a rezolva ecuația să se calculeze valoarea expresiilor:
a. b. + (2 puncte)
4) Să se simplifice expresia: E(x) = (3 puncte)
5) Ecuația x2 + mx +2 = 0 are rădăcinile x1 și x2
Să se determine valorile reale ale lui m R pentru care – = 5 (2 puncte)
Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru 50 minute.
Barem de corectare și notare
1) x1 + x2 = (0,5 puncte) x1. x2 = -3 (0,5 puncte)
2) x2 – x – 20 = 0 (1 punct)
3) a. (1 punct) b. S2 – 2P = 19 (1 punct)
4) E(x) = (3 puncte)
5) m2 – 4 = 5 => m1,2 = (2 puncte)
Distribuția notelor la testul inițial clasa a XII A PM
Distribuția notelor la testul inițial clasa a XII B PM
Distribuția notelor la testul inițial clasa a XII A PM
Distribuția notelor la testul inițial clasa a XII B PM
În etapa finală a cercetării, pentru verificarea ipotezei și pentru observarea evoluției elevilor, s-a aplicat următorul test final.
Obiective operaționale :
O.1- elevul va fi capabil să recunoască noțiunea de polinoame în diferite contexte
O.2- elevul va fi capabil să identifice și să utilizeze algoritmi în rezolvarea problemelor în care intervin polinoame
O.3- elevul va fi capabil să aplice corect formulele și rezultatele matematice
O.4- elevul va fi capabil să argumenteze complet soluția problemei
Test de evaluare sumativă
1). Fie polinoamele:
f = 2X5 + X4 – 2X3 + 5X2 +X +1 și g = X + 2 f, g ℝ [X]
Calculați câtul și restul împărțirii lui f la g folosind schema lui Horner (1 punct)
2). Să se determine m, n Q astfel încât polinomul
f = X4 – 3X3 + m X + n să se dividă la g = X2 -5X +4 (2 puncte)
3). Să se arate că polinomul se divide cu
g = X2 + 1 f, g C [X] (2 puncte)
4). Rezolvați ecuația: X3 -3X2 -3X +1 = 0 știind că admite ca rădăcini pe
x1 = 2 + (2 puncte)
5). Fie polinomul: f = X4 +aX3 + bX2 +cX +d f Z7 [X]
și x1 = x2 = x3 = x4 = rădăcinile sale
Determinați coeficienții a, b, c, d Z7 (2 puncte)
Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru 50 minute.
Barem de corectare și notare
1). q (câtul) = 2X4 – 3X3 + 4X2 -3X +7 r (restul) = -15 (1 punct)
2). f(1) = 0 => m + n = 2 f(4) = 0 => 4m + n = – 64
de unde m = – 22 ; n = 24 (2 puncte)
3). demonstrăm că: f(i) = 0 , deorece f = g . h
iar g(i) = 0 i C (2 puncte)
4). știm că admite și pe x2 = 2 –
iar x3 = – 1 (2 puncte)
5). Din relațiile lui Viéte avem: a = ; b = ; c = ; d = (2 puncte)
Distribuția notelor la testul final clasa a XII A PM
Distribuția notelor la testul final clasa a XII B PM
În urma testului final se identifică atât elementele pozitive ale procesului de instruire cât și lacunele acestuia, impunând corecții și ameliorări care să determine ulterior optimizarea și eficientizarea sa.
Testul oferă:
conexiunea inversă în procesul de instruire
măsurarea progresului realizat de elevi
valoarea motivaționalaă a evaluării
posibilitatea autoevaluării, a formării conștiinței de sine
factor de reglare
Distribuția notelor la testul final clasa a XII A PM
Distribuția notelor la testul final clasa a XII B PM
Distribuția notelor celor două clase la testul inițial
Distribuția notelor celor două clase la testul final
Proiectarea unei probe de evaluare este o activitate complexă, ce presupune parcurgerea mai multor etape, fiecare având anumite funcții și semnificații în raport cu proba de evaluare privită ca întreg. Elaborarea probei de evaluare are caracter procesual realizându-se în etape consacrate unor demersuri specifice.
Evaluarea reprezintă o activitate de mare complexitate, presupunând:
– activitate de măsurare care trebuie să fie foarte riguroasă și foarte precisă
– activitate de apreciere care trebuie să acorde semnificațiile curente referitoare la informațiile recoltate prin intermediul primei activități
La modul general, măsurarea presupune o descriere cantitativă a comportamentelor formate la elevi în urma realizării instruirii.
Elaborarea obiectivelor de evaluare este o activitate complexă care solicită respectarea unor cerințe epistemologice, logice, psihologice și pedagogice, alături de parcurgerea unor etape impuse de anumite exigențe metodologice. Asigurarea fidelității unei probe de evaluare presupune elaborarea unui barem de corectare și notare cu grad înalt de obiectivitate și aplicabilitate, menit să reducă la minim diferențele de notare dintre corectori. Realizarea acestuia se constituie într-o etapă laborioasă și dificilă, datorită complexității obiectivelor evaluării și a varietății probelor și itemilor de evaluare.
Testul propus se încadrează în ceea ce literatura de specialitate numește evaluare sumativă. Testul se aplică la sfârșitul unității de învățare “Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ”. Prin acest test am urmărit:
Obținerea unei ierarhii a elevilor aflați la finalul unității de învățare
Notarea a reliefat modul de înțelegere și capacitățile de calcul, dar și lacunele ce mai trebuie completate și aspecte ce trebuie aprofundate
Compararea rezultatelor obținute de elevii buni și de cei mai puțin buni
Ca urmare, obiectivele de evaluare stabilite se raportează la obiectivele educaționale ale disciplinei – Matematică, ale căror conținuturi fac obiectul evaluării la sfârșitul unei perioade de instruire, dar și la obiectivele educaționale specifice nivelului liceal.
Având în vedere că evaluarea sumativă presupune pe lângă obiective și momentul realizării acesteia și consecințele pe care le determină, ca profesor am luat în calcul și aceste aspecte.
Testul a fost dat elevilor în conformitate cu programa școlară, curricumul național, standardele de performanță. Testul nu a urmărit o defavorizarea a unuia sau altuia dintre elevi ci prin întrebările bazate mai ales pe itemi obiectivi și semiobiectivi, nu a fost lăsat loc de interpretare sau de nemulțumire față de notare, aceasta făcându-se cât mai obiectiv
CONCLUZII
Lucrarea metodico-științifică „Metodica predării polinoamelor în învățământul preuniversitar” se vrea a fi un instrument util de lucru la clasa a XII-a de liceu, pentru a cunoaște mai bine, încăperile „Castelului de gheață” ale matematicii în care ni se declanșează și lucrează forțe intelectuale creatoare din zona abstracțiunilor matematice.
În timpul rezolvării unei aplicații, elevul trebuie să-și solicite capacitățile creatoare la puteri înalte, pentru a realiza pătrunderea relațiilor dintre cele cunoscute și necunoscutul care așteaptă să se ivească pe terenul unui du-te vino între ceea ce se știe încă, între relevantul și nerelevantul care se prefigurează în virtual cunoscut.
Cu cât elevul „prins” de pasiunea pentru matematică înaintează pe potecile oculte ale matematicii, prinzându-i și surprizându-i edificiul construcțiilor mentale și al interconexiunilor ei cu atât mai mult și matematica se va apropia de el, cu toate binefacerile ei spirituale producându-se astfel o reciproca ademenire.
Momentul descoperiri unor rezultate matematice se impune ca o revelație ieșită din trăirea intensă a concentrării și dintr-o deplină împerechere lăuntrică a forțelor intelectuale detașate și obiective, cu cele afectiv-voliționale.
Adevărurile matematice sunt clare până la ariditate, întrucat ni se revelează în „haine de lucru”, fără a avea nevoie de haine de sărbătoare, ele fiind însăși „sărbătoarea”.
Căutând adevărul, matematicianul dă peste multe falsuri, mai mult sau mai puțin deghizate, și uneori, calea spre adevăr poate trece printr-o eroare dar nu se confundă cu aceasta.
Poate mai mult ca oricare altul, matematicianul este un împătimit iubitor de adevăr fiind un căutător permanent al acestuia.
Întreg edificiul matematicii este clădit numai și numai pe adevăruri, orice cărămidă falsă este automat eliminată de celelalte, de aici și incompatibilitatea matematicianului cu neadevărurile, inadaptabilitatea lui la fals, necinste și incorectitudine.
Omul-matematician nu poate să-și însușească doctrina egalității interumane, atâta timp cât el știe că în matematică egalitatea este un caz particular al inegalității în matematică, ca și în viața de toate zilele, adevărul pe jumătate, este strict mai periculos decât falsul (minciuna) deoarece aceste jumătăți de adevăruri pot ține locul realului adevăr pe o perioadă mai lungă decât falsul.
Nu putem fi stăpâni ai adevărului atâta timp cât el nu ne stăpânește pe noi, existând prin urmare, o directă proporționalitate între supunerea la adevăr și stăpânirea acestuia.
Mediul de viață al adevărului nu este decât libertatea (libertatea de gândire), pe când minciuna se poate dezvolta în orice mediu și mai ales în lipsa libertății.
Matematicianul cunoaște o mare teoremă a adevărurilor: „Libertatea este adevărată dacă și numai dacă adevărul este liber” împreună cu cele două consecințe:
ignorantul se poate bucura de mai multă libertate, pentru că nu știe până unde se întinde ea
omul cultivat cunoaște întinderea libertății, dar se bucură numai de libertatea necesităților
BIBLIOGRAFIE
Andronache M, Șerbănescu D. ș.a. ,Matematică pentru examenul de bacalaureat, Editura Art București, 2011
Becheanu M, Niță C , Ștefănescu M. ș.a.,Algebră, Ed.AII, București, 1998
Beju E, Beju I, Compendiu de matematica, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1983.
Bocoș M, Jucan D, Teoria și metodologia instruirii și Teoria și metodologia evaluării. Repere și instrumente didactice pentru formarea profesorilor, Casa Cărții de Știință, Cluj – Napoca, 2007
Brânzei R, Miron D, Fundamentele aritmeticii și geometriei, Editura Academiei, București, 1983.
Burtea M, Burtea G, Culegere de exerciții și probleme, Editura Campion, 2009
Cerghit I, Metode de învățământ, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1997
Crînganu J, Analiză matematică, Editura Galați, 2006
Cucoș C, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, București, 1998
Dincă M , Ion D, Niță C, Purdea I, Radu N, Ștefănescu C, Algebră pentru perfecționarea profesorilor, E.D.P. București, 1983.
Dumitru I, Dezvoltarea gândirii critice și învățarea eficientă, Editura de Vest, Timișoara, 2001
Enescu B, Polinoame, Editura Gil, 2010
Ganga M, Algebră, Manual pentru clasa a XII a , Editura Mathpress, Ploiești, 2004
Ganga M, Algebră, Manual pentru clasa a XII a profil M2, Editura Mathpress, Ploiești, 2011
Gliga L, Spiro J, Învățarea activă – ghid pentru formatori și cadre didactice, MEC, București, 2001
Guțu V, Dezvoltarea și implementarea curriculumului în învățământul gimnazial: cadru conceptual, Grupul Editorial Litera, Chișinău, 1999
Năstăsescu C, Complemente de algebră, Editura Științifică și Enciclopedică București, 1984
Ivan Gh, Șușoi P, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Științifică și Enciclopedică, 2001.
Ionescu M, Radu I., Didactica modernă, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001
Filimon L, Psihopedagogie pentru formarea profesorilor, Editura Universității din Oradea, 2003
Monea M, Monea S , ș.a. Bacalaureat 2013, Editura Paralela 45, Pitești, 2012
Năstăsescu C, Bazele algebrei, vol I, Ed. Academiei, București, 1986.
Năstăsescu C, Țena M, Andrei G., Otărășanu I., Probleme de structuri algebrice, Editura Academiei, București, 1988
Năstăsescu C, Niță N, Soare D, Nițescu M, Matematică – Manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2001
Nicolescu L, Matematica-clasa a XII-a M2, Editura Cardinal, 2007
Neagu M, Petrovici C, , Elemente de didactica matematicii, Iași, 2002
Panaitopol L, Drăghicescu I, Polinoame și Ecuații algebrice, Editura Albatros, București 1980
Pintilie M, Metode moderne de învățare – evaluare, Editura Eurodidact, Cluj – Napoca, 2002
Polya G., Cum rezolvăm o problemă, Ed. Științifică, București, 1965
Pisuc Mihai Promovarea metodelor activ-participative în însușirea cunoștințelor matematice
Postolache M, Saulea T , ș.a, Matematică manual pentru clasa a XII a, Editura Fair Patners București, 2007
Purdea I, Pic Gh., Tratat de algebră modernă, Vol. 1, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1977, p. 219
Radu I., Ezechil Liliana, Didactica. Teoria instruirii, Editura Paralela 45, Pitești, 2006.
Radu T, Evaluarea în procesul didactic, E.D.P., București, 2000.
Radu T, Ezechil L, Pedagogie – Fundamente teoretice, Editura V&I Integral, Bucuresti, 2002
Radu N. și colaboratorii, Algebră pentru perfecționarea profesorilor, E.D.P. București, 1983.
Savu – Ghid de pregătire pentru examenul de Bacalaureat, Editura Sigma, 2005;
Vlăsceanu I, Structuri, strategii, performanțe în învățământ, Ed. Academiei, București, 1989
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Metodica Predarii Polinoamelor In Invatamantul Preuniversitar (ID: 122292)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.