Integrala Riemann Darboux

Integrala Riemann. Aplicații.

Noțiunea de integrală a apărut din nevoia practică de a determina arii și volume ale unor figuri din plan și corpuri din spațiu, cât și multe considerații din fizică. Bazele calculului integral și aplicațiile sale în geometrie, mecanică și fizică au fost dezvoltate în secolul al XVIII –lea în lucrările lui Newton și Leibniz. Definiția riguroasă a conceptului de “integrală“ a fost dată peste un secol în lucrările lui Cauchy și Darboux pentru clasa funcțiilor continue pe un interval compact din R. Extinderea integralei pentru funcții discontinue a fost realizată de Riemann și Lebesgue, care au formulat condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru funcții reale de o variabilă reală.

Unele probleme speciale din teoria integrabilității au fost elaborate de Stieltjes și Lebesgue care au generalizat conceptul de integrală pentru cazul mulțimilor abstracte.

În teoria generală a integralei se pun astfel problemele:

Se definește o anumită “schemă” S (un procedeu S), prin care putem asocia unor anumite funcții date un număr real, în general, bine determinat. “A integra” o funcție f : [a, b] R (a, b R, a < b) relativ la schema S, înseamnă a determina numărul real S(f) asociat lui f, cu ajutorul schemei precizate S. În mod natural apar următoarele probleme:

Care este relația dintre tipurile de integrală considerate ?

Să se determine clase cât mai ample de funcții integrabile.

Să se indice metode, procedee pentru calculul integralelor când funcția de integrat are o formă cât mai generală sau o formă particulară remarcabilă (funcții raționale, funcții iraționale etc).

Să se precizeze metodele de calcul aproximativ al integralelor care să fie însoțite de o formulă de evaluare a erorilor de calcul.

Definiția integralei Riemann. Clase de funcții integrabile.

Fie a, b R cu a < b și f : [a, b] R. o divizare a intervalului [a, b], notată , este o mulțime finită de puncte ={a = x0 < x1 < …< xi-1< <xi <… < xn= b} unde xi[a, b] se numesc punctele diviziunii și [xi-1, xi] [a, b], i = 1,…n se numesc intervalele parțiale ale lui . Avem lungimea l([xi-1, xi]) = xi – xi-1 xi > 0 și notăm prin |||| () = =max{ xi – xi-1 | i = 1, .., n} norma divizării ; evident xi ||||, i{1, …, n}. Divizarea este echidistantă dacă:

și atunci . Se va nota prin D([a, b]) sau D (când nu este pericol de confuzie) mulțimea tuturor divizărilor lui [a, b]. Pentru o divizare D([a, b]) cu ={a = x0 < < x1 <…< xi-1< xi <…< xn= b} se numește mulțime de puncte intermediare, notată , ={ i | i [xi-1, xi]}; pentru D([a, b]) dată există o mulțime infinită de familii de puncte intermediare . Dacă 1, 2 D([a, b]) se spune că 2 este mai fină decât 1 dacă 1 2 ( adică 2 are cel puțin un punct mai mult decât 1): . Relația de finețe dintre diviziunile lui [a, b] este o relație de ordine pe D([a, b]) și în plus, 1, 2D([a, b]) există D([a, b]) a î. 1 și 2 (se consideră = 1 2 , și evident 1 și 2 ).

Fie f : [a, b] R, D([a, b]) și orice sistem de puncte intermediare ={ i | i [xi-1, xi]}, numărul

(1)

se numește sumă integrală Riemann asociată funcției f, diviziunii și sistemului de puncte .

Definiția 4.2

1] Funcția f : [a, b] R, este integrabilă Riemann pe [a, b] dacă există cu proprietatea:

2] Numărul real IR se numește integrala Riemann sau integrala definită din f pe [a, b], notată:

Observații.

Din definiția 1 rezultă că f este integrabilă Riemann dacă există .

Avem

Dacă există IRR cu proprietatea (2) acesta este unic.

O funcție integrabilă Riemann pe [a, b] se va numi funcție R- integrabilă și vom nota prin R[a, b]={f | f : [a, b] R integrabilă Riemann} mulțimea funcțiilor f : [a, b] R, R – integrabile.

Teorema 4.4 (de caracterizare a integrabilității pe R)

Fie f : [a, b] R (a, b R; a < b). Funcția f este integrabilă Riemann, dacă și numai dacă, există IR R cu proprietatea:

Consecința 4.4. Fie f : [a, b] R o funcție R – integrabilă, atunci are loc afirmația:

Teorema 4.5 (Condiție necesară pentru integrabilitate)

Dacă f : [a, b] R este o funcție R – integrabilă, atunci f este mărginită pe [a, b].

Demonstrație.

f integrabilă(2) adevărată și fie =1, atunci există D([a, b]) a. î.

Fixăm j{1, 2, …, n} și consederăm un sistem de puncte intermediare

fixați și j arbitrar cu j[xj-1, xj] cu j i. Din (2”) pentru j[xj-1, xj] avem:

(6)

f este mărginită pe [xj-1, xj] pentru j{1, 2, …, n} f este mărginită pe .◄

Consecința 4.5 Dacă f : [a, b] R este o funcție nemărginită pe [a, b], atunci f nu este R – integrabilă (condiție suficientă).

Demonstrația este directă din teorema 4.5.

Fie f : [a, b] R o funcție mărginită cu m = inf{ f (x)| x [a, b]}, M = sup{ f (x)| x [a, b]}. Dacă D([a, b]) pe fiecare interval parțial [xi-1, xi] notăm: mi (f)= inf f(x), cu x [xi-1, xi], mi (f)= sup f(x), cu x [xi-1, xi] și considerăm sumele integrale Darboux:

Definiția 4.3.

Fie f : [a, b] R mărginită

1] Numărul se numește integrala inferioară Darboux a funcției f, notată: .

2] Numărul se numește integrala superioară Darboux a funcției f, notată: .

3] Funcția mărginită f este integrabilă Darboux pe [a, b] sau D- integrabilă, dacă prin definiție avem:

(8) și Id se numește integrala Darboux a funcției f pe [a, b], notată prin același simbol Id =.

Consecinta 4.6.

Din formula (7) și definiția 4.3 rezultă în mod direct următoarele proprietăți ale sumelor integrale Darboux:

(d5) Dacă f este mărginită pe [a, b]

(d6) Dacă f este mărginită pe [a, b] pentru D([a, b]), avem:

.

Demonstrația propozițiilor (d1) – (d6) se face prin calcul direct, folosind definițiile semnelor integrale Darboux și Riemann. ◄

Observații:

Când rafinăm diviziunea , sumele inferioare Darboux cresc și sumele inferioare superioare Darboux descresc.

Orice sumă inferioară Darboux este mai mică sau egală cu orice sumă superioară Darboux.

Pentru f : [a, b] R s-au definit două integrale: integrala Riemann și integrala Darboux și două tipuri de integrabilitate. Vom dovedi că cele două integrale și cele două tipuri de integrabilitate coincid și vom folosi din acest motiv conceptele de “integrală definită sau integrală” și “funcție integrabilă ” pe [a, b].

Teorema 4.5 (Darboux / pentru caracterizarea integrabilității)

Fie f : [a, b] R o funcție mărginită, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) f – este R – integrabilă; (ii) f – este D – integrabilă;

(iii)

(iv)

Demonstrația se face pe etape folosind definițiile, teoremele și consecințele prezentate anterior, urmând schema

I. (i) (ii); II. (iv) (iii); III. (iii) (ii);

IV. (ii) (iii); V. (iv) (i); VI. (iii) (iv)

și se găsește în bibliografie ([9], [6], [10], [11], [16]). ◄

Consecința 4.7.

O funcție mărginită f : [a, b] R este integrabilă Riemann, dacă și numai dacă, f este integrabilă Darboux și cele două integrale coincid:

.

Teorema 4.6 (Condiție suficientă de integrabilitate)

Dacă f : [a, b] R este funcție monotonă, atunci f este integrabilă pe [a, b].

Demonstrație. Presupunem f monoton crescătoare și neconstantă. >0 fixat, considerăm D([a, b]) a. î.

. Pentru [xi-1, xi] cu i {1, 2, …, n}, avem: f este integrabilă după condiția (iii) din teorema lui Darboux.

Teorema 4.7. (Condiția suficientă de integrabilitate)

Dacă f : [a, b] R este funcție continuă, atunci f este integrabilă.

Demonstrație f continuă pe [a, b] f este uniform continuă pe [a, b] (Teorema Cantor) și f este mărginită și își atinge marginile pe [a, b] (Teorema lui Weierstrass). Fie >0 fixat și f uniform continuă pe [a, b] >0, () independent de x a. î. x, y [a, b] cu |x – y|< . Pentru o divizare D([a, b]) cu |||| < (), avem x, y [xi-1 , xi] și în particular,

În aceste condiții după teorema Darboux (iii), avem:

f este integrabilă pe [a, b].

Teorema 4.8 (Condiție suficientă pentru integrabilitate)

Fie f : [a, b] R o funcție mărginită cu un număr finit de puncte de discontinuitate (evident de speța I), atunci f este integrabilă pe [a, b].

Observații.

Clasele de funcții integrabile f : [a, b] R sunt: f monotonă (teorema 4), f continuă (teorema 5), f mărginită și care are un număr finit de pucnte de discontinuitate.

Rezultatul cel mai general, Teorema lui Lebesgue: “O funcție f : [a, b] R este integrabilă dacă și numai dacă, f este marginită și continuă aproape peste tot pe [a, b]” se va prezenta în capitolul “Integrala Lebesgue”.

În studiul unor extensiuni ale integralei Riemann se folosește conceptul de “funcție local integrabilă”.

Definiția 4.4

Funcția f : [a, b] R este local integrabilă pe I, dacă și numai adcă, prin definiție f este integrabilă pe orice interval compact [u, v] conținut în intervalul de definiție I ( u, v I cu u < v).

Proprietăți ale integralei și ale funcțiilor integrabile

Demonstrațiile din acest capitol folosesc: definiția 1, teorema de caracterizare a integrabilității cu șiruri de diviziuni cu șirul normelor tinzând la zero, teorema lui Darboux și uneori rezultatul din teorema lui Lebesgue.

Teorema 4.9 (Operații algebrice cu funcții integrabile)

Dacă f , g : [a, b] R sunt funcții integrabile, atunci funcțiile:

sunt integrabile și au loc formulele de calcul:

Demonstrația este imediată folosind (4) din teorema 4.4 și operațiile cu șiruri convergente în R. ◄

Consecinta 4.8.

Dacă f , g R[a, b] atunci , R funcția f + g R[a, b] și are loc formula de calcul:

Observații.

1. Integrala Riemann are proprietatea de liniaritate cu scalari din R.

2. Dacă f R[a, b] și a=b, avem:(după (1) din definiția 1). Dacă a > b, avem .

3. Reciproca afirmației f , g R[a, b] f + g R[a, b] în general, nu este adevărată.

Exemplu:

4. Mulțimea de funcții integrabile R[a, b] are structura algebrică de spațiu liniar în raport cu operațiile uzuale de înmulțire și adunare cu scalari reali pentru funcții reale de o variabilă reală.

Teorema 4.10 (Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul)

Funcția f : [a, b] R este integrabilă pe [a, b] dacă și numai dacă, c (a, b) funcțiile sunt integrabile și are loc formula: .

Demonstrația se obține folosind teorema de caracterizare cu șiruri de diviziuni cu șirul normelor tinzând la zero (teorema 4.4). ◄

Consecinta 4.9 Dacă I R este interval și f : [a, b] R este o funcție continuă, atunci a, b, c I, are loc relația.

Demonstrație. Dacă a< b < c avem (3) după teorema 2. Dacă a<b <c, avem: ◄

Observații.

1. Din teorema 2 rezultă că dacă f R[a, b], pentru [c, d] [a, b] compact avem f R[c, d], numită “proprietatea de ereditate”.

2. Formula (3) se numește “proprietatea de aditivitate a integralei ca funcție de interval”.

3. Formula (3) se extinde în cazul unei reuniuni finite: .

Teorema 4.11 (Proprietatea de monotonie a integralei).

Fie f , g: [a, b] R cu f , g R[a, b] și f (x) g(x) x[a, b], atunci avem: .

Demonstrația se obține cu ajutorul funcției h = f – g pe [a, b] și a teoremei de caracterizare (teorema 4.4). ◄

Consecința 4.10

Fie f : [a, b] R cu f R[a, b] și m, M marginile lui f (m f(x) M, x[a, b]), atunci avem: .

Demonstrație. Din relația m f(x) M, x[a, b], prin integrare, avem:

.

Observații.

Formula (5) conține expresia care se numește valoarea medie a lui f pe [a, b].

Formula (4) exprimă “proprietatea de monotonie a integralei” și pentru f(x) 0, x[a, b] și f R[a, b], avem:

.

Consecința 4.11

Dacă f : [a, b] R este o funcție continuă, atunci există [a, b] a. î. .

Demonstrație. Funcția f continuă pe compactul [a, b] este mărginită și își atinge marginile (teorema Weierstass) deci există x1, x2[a, b] a. î. m = f (x1), M = f (x2). Funcția f continuă pe intervalul [a, b] are proprietatea lui Darboux și pentru [m, M] = f ( [a, b]) există [a, b] a. î. f () = și notând din (5) se obține (6).

Teorema 4.12 (Majorarea modulului integralei)

Dacă f : [a, b] R este integrabilă, atunci |f | R[a, b] și avem:

.

Demonstrație. Pentru x, y[a, b], avem | |f (x)| – |f (y)|| |f (x) – |f (y)| și din acestă inegalitate deducem că |f | R[a, b]. Cum – |f (x)| f (x) |f (x)| , x [a, b], folosind (4) avem:

și cum rezultă (7).

Teorema 4.13 (Teorema I de medie )

Fie f : [a, b] R cu f R[a, b] și g(x) 0, atunci există [m, M]

.

În particular, dacă g(x) = 1, x [a, b], avem:

.

Demonstrație.

și după (4) rezultă: . Dacă

și pentru [m, M] are loc (8). Dacă , notăm și după (*) rezultă (8).

Consecința 4.12

Dacă f : [a, b] R este continuă și g R[a, b] este nenegativă, atunci există [a, b] a. î. .

În particular, dacă se obține (6).

Demonstrația este directă. Din ipoteza “f continuă pe [a, b]”, pentru [m, M], există [a, b], astfel încât f () = (8).

Teorema 4.14

Fie I R interval și f : I R local integrabilă pe I. Dacă a I este un punct fixat și se consideră funcția

(9) F(x) = , x I atunci F are proprietățile:

(i) F este continuă pe I;

(ii) F este derivabilă în x0I în care f este continuă cu F’(x0) = = f (x0).

Demonstrație. (i) Fie x0 I și r >0 fixat, atunci F(x) – F(x0) = =.

.

Considerăm >0 și

F continuă pe I.

(ii) Fie x0 I și f continuă în x0 I; pentru >0 există >0 a. î. | f (x) – f (x0)| < , xI [x0 – , x0 + ] x I cu x x0 ,

și avem:

există F este derivabilă în x0I cu F’(x0 )=f(x0). ◄

Consecinta 4.13

Fie I R interval și f : I R.

Dacă f este o funcție continuă pe I, atunci pentru aI fixat, funcția (9) este derivabilă și avem F’(x)= f (x ), xI, deci f admite primitive pe I și F este o primitivă a funcției f pe I.

Pentru a, bI și f continuă pe I, avem:

(10) ,

unde F este o primitivă oarecare a lui f pe I.

Demonstrație. I) Afirmația este o consecință direcă a teoremei 6 – cazul (ii).

II) a, bI fixați și F o primitivă a lui f pe I, notăm:

și după afirmația I), avem: pe I, deci .

Cum ◄

Observații.

1. Dacă f din teorema 6 este continuă la stânga (la dreapta) în x0I, atunci F este derivabilă la stânga (la dreapta) în x0I cu .

2. Consecinta 4.13-I se numește “Teorema fundamentală a calculului integral”.

3. Formula (10) este formula Leibniz – Newton care este o metodă de calcul a integralei Riemann.

Metode de calcul ale integralei Riemann

Integrala Riemann poate fi calculată folosind definiția 1 și construind după schema (S) sumele integrale, apoi calculăm limita acestora când norma divizării tinde la zero; acestă metodă este mai dificil de aplicat în cazul multor funcții reale.

Teorema 4.15 (Formula Leibniz – Newton)

Dacă f : [a, b] R este o funcție integrabilă și f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

(10) .

Demonstrație. Pentru D([a, b]), avem

din teorema Lagrange aplicată lui F derivabilă pe

și avem; cum f este integrabilă, aplicând teorema 1 (de caracterizare a funcțiilor integrabile):

.◄

Consecința 4.14

Dacă f : [a, b] R este o funcție derivabilă cu f ’ funcție integrabilă pe [a, b], avem: .

Demonstrația rezultă din teorema 4.4 pentru F = f’ pe [a, b].◄

Teorema 4.16 (Formula de integrare prin părți)

Fie f , g : [a, b] R cu f , g C1([a, b]), atunci are loc formula de integrare prin părți:

(11) .

Demonstrație. Din f , g C1([a, b]) (fg)’ = f’g +g’ f este o funcție continuă pe [a, b] și după consecința 7 – (i) admite primitive și este integrabilă, deci se aplică formula de calcul (10): , dar

.

Teorema 4.17 (Formula schimbării de variabilă (I))

Fie f : [a, b] R o funcție continuă, atunci pentru orice : [, ] [a, b] cu C1([a, b]) are loc formula schimbării de variabilă (I):

(12) .

Demonstrație. Pentru f continuă pe [a, b], fie F o primitivă a sa și cum F, sunt derivabile, atunci F : [, ] R este derivabilă cu.

. Funcția (f ) ’ este integrabilă și (F )’ continuă pe [, ], admite primitive, deci:

Teorema 4.18 (Formula schimbării de variabilă (II))

Dacă f : [a, b] R este continuă pentru orice : [, ] [a, b] bijectivă și cu -1 C1([a, b]) are loc formula schimbării de variabilă (II):

(13) .

Demonstrație. Cum este bijectivă și -1 : [a, b] [, ] este bijectivă și de clasă C1([a, b]) atunci f : [a, b] R este continuă și avem: (13).

Observații.

1. Formula (12) se numește “prima fomulă de schimbare de variabilă” în integrală unde x = (t), t [, ] și C1([a, b]), iar a = (), b = (). Se alege convenabil funcția astfel încât integrala din membrul doi al formulei (12) să fie mai simplă sau chiar din tabelul primitivelor unor funcții elementare.

2. Formula (13) se numește “a doua formulă de schimbare de variabilă” și pentru x = (t) strict crescătoare avem: ()= a, () = b și cum , iar este inversabilă cu -1C1([a, b]), atunci f este continuă și f ( -1)’ integrabilă pe [a, b].

3. Denumirea de formula (I) și (II) de schimbare de variabilă în integrală este convențională; de fapt avem o singură formulă de schimbare de variabilă și mai multe moduri de aplicare a acestei formule în calcule.

4. Din necesitatea de a folosi integralele Riemann în aplicații concrete este uneori suficient să se cunoască o valoare aproximativă a integralei cu o eroare dată oricât de mică. În acest scop, vom enunța fără demonstrație, teoremele care indică metodele de calcul aproximativ al integralelor.

Teorema 4.19 (Formula dreptunghiurilor)

Fie f : [a, b] R cu f C2([a, b]) și cu i {0, 1, 2, …, n}, atunci Sn aproximează cu o eroare:

(14).

Teorema 4.20 (Formula trapezelor)

Fie f : [a, b] R cu f C2([a, b]) și cu i {0, 1, 2, …, n}, atunci Sn aproximează cu o eroare:

(15).

Teorema 4.21 (Formula lui Simpson)

Fie f : [a, b] R cu f C4([a, b]) și cu i {0, 1, 2, …, n}, atunci Sn aproximează cu o eroare:

(16) .

Aplicații ale calculului integral

Orice mărime geometrică, fizică, economică etc. care are proprietatea de “aditivitate față de mulțime (interval)” se poate exprima printr-o integrală definită. Astfel noțiunile de “arie” și “volum” pentru figuri geometrice din plan și corpuri din spațiu se pot defini în mod riguros din punct de vedere matematic.Vom prezenta fără demonstrație unele aplicații ale integralei definite.

I. Aria unui domeniu din plan

1. Aria mulțimii din plan D R2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 și graficul funcției f : [a, b] R pozitivă și continuă se calculează prin formula: (17).

2. În cazul f : [a, b] R continuă și de semn oarecare, avem: (17’).

3. Aria mulțimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b și graficele funcțiilor f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula: (18).

II. Lungimea unui arc de curbă

Se numește curbă plană o mulțime R2 cu proprietatea că există o funcție continuă f : [a, b] R, notată y = f (x), x [a, b] și Gf = R2 (graficul lui f din plan este ). Dacă f are derivată continuă (sau numai funcție integrabilă) pe [a, b], lungime a curbei se calculează după formula: (19) .

III. Volumul unui corp de rotație

Fie f : [a, b] R o funcție continuă, atunci corpul K din spațiu obținut prin rotirea graficului lui f , Gf, în jurul axei Ox, are volumul calculat prin formula: (20) .

IV. Suprafața unui corp de rotație

Fie f : [a, b] R o funcție derivabilă pe [a, b] și cu f’ continuă (f C1([a, b])), atunci suprafața S a corpuui K obținut prin rotirea graficului lui f în jurul axei Ox se calculează prin formula:

(21) .

Exemple.

1. funcție continuă și prin schimbarea de variabilă:

2., aplicând metoda integrării prin părți se obține o formulă de recurență:

și se arată că numită formula lui Wallis.

3. prin substituția

formulă de recurență pentru calculul lui In, nN.

6. prin substituția , deci: și

7. prin substituția

8. și prin substituția tgx = t

avem:

9. ( m=0, ) prin substituția: avem:

10. prin substituția:

, avem:

11. prin substituția: și avem:

BIBLIOGRAFIE:

1.Analiză matematică, noțiuni teoretice. Mircea Olteanu;

2.Calcul diferențial si integral . St. Balint,E. Kaslik, L. Tanasie.

BIBLIOGRAFIE:

1.Analiză matematică, noțiuni teoretice. Mircea Olteanu;

2.Calcul diferențial si integral . St. Balint,E. Kaslik, L. Tanasie.