Formulele de Transformare ale Lui Galilei

Ne propunem să arătăm cum se poate aplica principiul relativitatii în domeniul mecanicii clasice. Trebuie să considerăm un fenomen mecanic (în cazul cel mai simplu mișcarea rectilinie și uniformă a unui punct material) care este cercetat de doi observatori aflați în situații diferite : un observator O’ se găsește referențial unde se desfășoară fenomenul, iar celălalt observator O se află în mișcare rectilinie și uniforma față de acest referențial, de-a lungul axei 0x(0’x’). Vrem să stabilim în ce condiții legea fenomenului considerat prezintă aceeași formă pentru ambii observatori. Pentru că, dupa parerea noastra, legile fenomenelor fizice nu au aceeași formă în toate sistemele inerțiale, dar le putem face să capete aceeași formă, creând condițiile fizice necesare.

Să considerăm că în referențialul O’ un punct material se mișcă rectiliniu și uniform, paralel cu axa O’x’. Alegem referențialele O’ și O astfel încât, la originea timpului, axele lor de coordonate să coincidă. În momentul când punctul material își începe mișcarea, sistemul O’ aflat în coincidență cu O, începe să se deplaseze rectiliniu și uniform cu viteza v de-a lungul axei Ox, potrivit legii de mișcare.Observatorul O’ stabilește pentru punctul material mobil legea de mișcare :(1) în care w’ este viteza constanta a punctului. Vrem ca observatorul O, din celălalt sistem de referință, să găsească pentru mișcarea considerată o lege de aceeași formă : (2). Pentru aceasta trebuie să stabilim cum se poate trece de la prima lege a fenomenului la a doua, cunoscând viteza relativă v cu care un sistem inerțial se mișcă în raport cu celălalt. Observatorul O găsește că:

,de unde (3)

Introducând (3) in (1) avem :

Aceasta este legea mișcării mobilului din referențialul O’ pe care o stabilește observatorul O. Precum se vede, ea nu are aceeași forma cu legea (1), stabilită de observatorul O’.

Pentru a obține aceeași formă, să facem ca intervalele de timp t’ și t să fie egale între ele. După cum am arătat, faptul este posibil dacă inițial sincronizăm cuplat sistemele inerțiale respective. În acest caz obținem :

și ținând seama de regula compunerii vitezelor în mecanica clasică,

,obținem (2)

Așadar, legea fenomenului de mișcare din O’ capătă aceeași formă în ambele sisteme inerțiale numai dacă, în prealabil, sincronizăm cuplat aceste referențiale. Aceasta dovedește că principiul relativității nu este valabil în orice sistem inerțial, ci numai în sisteme inerțiale sincronizate cuplat.

Să cercetăm, în continuare, modul în care putem trece de la legea fenomenului de mișcare, stabilită de O’, la cea pe care o poate stabili O. Ținând seama de orientarea axelor de coordonate și de mișcarea relativă a referințelor, avem întotdeauna y’=y si z’=z.

Iată acum, formulele de transformare a coordonatelor din O’ în O și reciproc :

Aceste formule au fost numite formulele de transformare ale lui Galilei. Formulele ne permit să trecem de la coordonatele x’, y’, z’ determinate la un moment dat t’ în O’, la coordonatele x, y, z determinate la momentul t în O și reciproc.

O proprietate fundamentală a acestor formule este că ele formează un „grup”, adică :două transformări succesive efectuate cu ele, dau același rezultat ca o singură transformare. Dacă în O’ observatorul respectiv stabilește pentru un fenomen mecanic legea , putem găsi forma acestei legi în O, folosind formulele de transformare Galilei. Pentru aceasta, să înlocuim în legea considerată pe X’ cu expresia dată de formulele lui Galilei: .

Cum ,formula devine: .Punând ,ajungem la:

,care este legea fenomenului considerat, pentru observatorul din O.

Formula exprimă legea compunerii vitezelor din mecanica clasică.