Extremele Functiilor de Mai Multe Variabile

CUPRINS

Capitolul I

Puncte de extrem. Teoremele lui Lagrance, Fermat și Cauchy.

Funcții convexe. Proprietăți.

Dezvoltări în serie Tayor.

Extremele funcțiilor de mai multe variabile.

Capitolul II

Inegalitîți demonstrate cu Teorema lui Fermat.

Exploatarea convexității.

Inegalități obținute prin aplicarea inegalității Jensen.

Inegalități deduse din proprietățile funcțiilor convexe.

Media generalizată.

Inegalitatea lui Karamata.

Inegalitatea dreptei de sprinjin.

Inegalități obținute prin restricționarea unor funcții convexe la un interval.

Exploatarea monotoniei.

Inegalități integrale obținute prin aplicarea unor inegalități clasice.

Inegalități obținute prin dezvoltări în serie Taylor.

Metoda integrării.

Inegalități folosind funcția inversă.

Extremele funcțiilor de mai multe variabile.

Capitolul III Aspecte metodice.

Exploatarea monotoniei

Știm că dacă f este o funcție derivabilă pe un interval și funcția f este monoton crescătoare. Din această proprietate deducem câteva consecințe utile în demonstrarea multor inegalități.

Presupunem că este derivabilă pe intervalul . Au loc:

Dacă atunci este monoton crescătoare pe .

Dacă atunci f este constantă pe .

Dacă atunci .

Dacă atunci pe (principiul racetrack).

Începem cu o inegalitate elementară prezentată în multe manuale de liceu.

Să se compare cu .

Soluție. Considerăm funcția . Derivata sa este , rezultă că funcția este strict cresătoare pe domeniul de definiție. Prin urmare .

(am ținut cont de monotonia funcției logaritm natural).

Inegalitatea lui………………….

are loc inegalitatea . În plus egalitatea are loc d.s.n.d. .

Soluție. Considerăm funcția Calculând derivata sa se obține . Deoarece rezultă că și . Așadar adică . Egalitatea are loc pentru .

Analog se demonstrează:

O inegalitate celebră în analiza matematică este cea a lui Young.

3. Dacă cu proprietatea că pentru numere pozitive atunci au loc inegalitățile:

Soluție. Demonstrăm cazul . Fie un număr real fixat. Funcția are derivata . Punctul este punct de minim local. Astfel și ținând seama de se obține .

Aplicând inegalitatea lui Young pentru obținem o altă inegalitate clasică, inegalitatea lui Holder:

Dacă atunci .

Așadar .

Pentru se obține o inegalitate care joacă un rol important în matematică, anume:

, inegalitatea lui Cauchy – Buniakowskz – Schwartz forma discretă.

……………………………………………………………………………………………………….

având o demonstrație geometrică nu tocmai plăcută de urmărit pentru elevi. Utilizând metode de analiză matematică demonstrația ei devine facilă.

4. Să se demonstreze că .

Soluție. Observăm mai întâi că funcțiile și sunt funcții pare, deci este suficient să facem demonstrația inegalității numai pentru . În plus, deoarece este suficient să studiem cazul .

Fie funcția . Deci ceea ce arată că funcția este monoton crescătoare pe domeniul de definiție, deci .

5. Arătați că .

Soluție. Pentru prima inegalitate se consideră funcția . Derivata sa este . Calculând mai departe derivata a doua se obține Atunci cu excepția unde și .

Deci crește de la 0 la un maxim în , apoi descrește la valoarea minimă în apoi crește pe intervalul . Valoarea minimă este

Observăm că și în consecință

Pentru cealaltă inegalitate considerăm funcția .

.

Din tabelul de variație se observă că crește de la valoarea -1,1 la un maxim . Există atunci un punct pentru care

Analog .

Avem: și

Atunci de la 0 funcția descrește la un minim în , apoi crește la o valoare maximă atinsă în și .

Deducem că .

6.Definim funcția . Găsiți maximul și minul funcției f Aplicați rezultatul găsit pentru demonstrarea inegalităților:

.

Soluție. Calculăm derivata funcției și găsim , deci f este crescătoare pe intevalul . Maximul este iar minimul este .

Fără a restrânge generalitatea presupunem că . Înlocuind în relația se obține concluzia.

Folosind monotonia funcțiilor putem demonstra inegalitatea dintre media geometrică și media aritmetică.

7. Dacă să se demonstreze inegalitatea:

.

Soluție. Demonstrăm inegalitatea prin inducție matematică. Dacă inegalitatea este verificată imediat. Presupunem acum inegalitatea adevărată pentru și vom demonstra ca este adevărată pentru .

Considerăm funicția:

.

Dacă se obține punct de minim pentru si .

Egalitatea are loc pentru .

O inegalitate extrem de utilă, cu mai multe aplicații este inegalitatea lui Cauchy.

8. Dacă sunt similar monotone atunci:

.

Dacă f și g sunt strict similar monotone, atunci egalitatea se obține pentru .

Soluție. Deoarece f și g sunt similar monotone avem:

inegalitate echivalentă cu:

, inegalitatea se verifică și pentru .

După desfacerea parantezelor în ultima inegalitate și sumare pentru se obține o formă echivalentă a inegalității de demonstrat.

Vom prezenta în continuare trei aplicații a inegalității de demonstrat.â

Dacă este cresătoare, atunci:

cu egalitate pentru .

Soluție. Definim funcția g astfel .

Funcția g este crescătoare de unde prin aplicarea inegalității de la 8. se obține:

Este suficient să arătăm că

inegalitate obținută prin aplicarea inegalității mediilor pentru tripletele (a,b,c), (b,c,d), (c,d,a) și (d,b,a).

Dacă a,b,c sunt numere reale pozitive atunci:

cu egalitate pentru a=b=c.

Soluție. Se consideră funcțiile

.

f și g sunt crescătoare. Aplicând 8. se obține:

Folosind inegalitatea mediilor se deduce că în fiecare din cei doi factori din membrul drept al inegalității este pozitiv.

Fie . Dacă

atunci

.

Dacă atunci inegalitatea are loc cu semn schimbat.

Egalitatea are loc pentru și f strict covexă.

Soluție. Aplicăm inegalitatea de la 8. și pentru funcțiile crescătoare .

Arătați că .

(J. Rosenblat, A.M.M, 10604)

Soluție. Fie fixate.

. Definim funcția auxiliară

Deoarece rezultă de unde avem .

Conform teroemei lui Lagrange există

și astfel

Astfel .

Pentru a putea demonstra partea stângă a inegalității observăm că

.

Este suficient să considerăm . Cum f este descrescătoare pe obținem

Să se arate că pentru orice avem inegalitatea:

.

(Admitere Facultatea de Matematică, 1987)

Soluție. Fie . Aplicând terorema lui Lagrange avem:

.

Notăm Funcția este strict crescătoare deoarece

Atunci

14. Fie și . Aplicând terorema lui Lagrange pe intervalul rezultă că există un unic astfel încât .

Am ținut cont de faptul că funcția este injectivă.

Deducem astfel inegalitățile:

a) . Se ia

b) . Se consideră

c) ()

15. (I.M.O. 1984/1) Fie x,y,z numere reale pozitive astefl încât . Arătați că .

Soluție. Considerăm funcția . Putem presupune că . Cum deducem că . Astfel . Aplicând inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică abținem .

Dar și astfel

Trebuie să maximizăm funcția .

Calculând derivata sa obținem .

F este monoton crescătoare. Deducem că .

16. Găsiți minimul expresiei .

Soluție. Notăm conform teoremei inegalității mediilor.

Funcția este crescătoare pe deoarece . Deci .

În concluzie minimul se atinge pentru și este 2.

17. (I.M.O 200/2) Fie a,b,c numere reale pozitive cu . Arătați că .

Soluție. Deoarece abc=1, cel putin unul din numerele a,b sau c este mai mare sau egal cu 1. Fie , luând inegalitatea devine:

sau

Fie . Considerăm funcția . Avem de arătat că . Funcția are zerourile și .

Fie punct de minim, atunci . Avem de demonstrat că și .

Calculăm . Rămâne de arătat că .

Scriem .

Punem și avem:

. Am ținut cont că .

Dorim să stabilim inegalitatea:

, inegalitate echivalentă cu .

Descompunând ambele expresii

și

și ridicând la pătrat ultima inegalitate avem:

După efectuarea calculelor obținem:

sau .

Considerăm funcția . După calculul derivatei se observă că G este monoton descrescătoare pe și monoton crescătoare pe .

Deducem că .

18. Găsiți minimul lui .

Soluție. .

Fie .

dacă deci f este strict descrescătoare, iar pentru f este strict crescătoare.

.

19. Fie numere reale. Arătați că:

Soluție. Considerăm funcția .

Prin calcul se obține:

Deci f este crescătoare pentru rezultă .

Remarcă. 1.Pentru se obține inegalitatea

2. Inegalitatea admite următoarea generalizare:

Fie numere reale pozitive, . Atunci pentru orice numere reale avem:

20. Arătați că unde și sunt îndeplinite condițiile:

.

Soluție. Fie . Se definește funcția

Deoarece f are trei rădăcini reale afirmăm că

Deci ceea ce implică

Dacă

Dacă

Clar trebuie să avem și astfel

.

Dacă atunci pe . Vom ilustra câteva aplicații ale acestei metode.

21. Arătați că .

Soluție. Fie

22. Arătați că număr real.

Soluție. fixat.

adică

Cum a fost ales arbitrar rezultă că .

Inegalități integrale obținute prin aplicarea unor inegalități clasice

Prezentăm mai jos forma integrală a unor inegalități clasice (Young, Jensen și Hermite-Hadamar). Aceste inegalități constituie o sursă bogată pentru obținerea de numeroase inegalități. Începem cu inegalitatea lui Young.

Teorema 1. (Young) Fie o funcție strict crescătoare cu derivata continuă a.î. . Fie inversa funcției . Arătați că pentru a și b numere reale pozitive cu , avem:

Demonstrație. Integrând prin părți obținem . Fie . Prin înlocuire se obține: (1) Punând ultima egalitate devine .

Fie . Atunci . . Aplicăm relația (1) integralei și se obține

Deoarece putem lua și obținem concluzia teoremei.

Dacă funcția f este crescătoare atunci are loc și egalitatea.

Teorema 2. (Holder) Fie . Dacă funcțiile sunt integrabile Riemann pe , atunci avem:

Demonstrație. Fie și

Dacă inegalitatea are loc.

Fie . Aplicând inegalitatea lui Young forma discretă și luând și .

cu rezultă:

. Prin integrare se obține concluzia teoremei.

Teorema 3. (Cauchy – Beniakovski – Schwarz) Dacă funcțiile sunt integrabile pe atunci:

.

Demonstrație. Inegalitatea este un caz particular al teroremei 2. pentru .

Teorema 4. (Cebîsez). Dacă funcțiile sunt monotne pe și de monotonii diferite atunci:

.

Demonstrație. Fie f și g monoton crescătoare. Atunci:

. Adică

.

Integrând în funcție de y pe se obține inegalitatea cerută.

Teorema 5. (Jensen) Fie o funcție integrabilă, iar o funcție convexă și continuă. Să se demonstreze că

Demonstrație. Funcția fiind integrabilă iar continuă, conform criteriului lui Le Besgne că este integrabilă pe avem

fiind convexă și tinând cont de inegalitatea lui Jensem avem:

de unde prin trecere la limită se obține in egalitatea de demonstrat.

Teorema 6. (Hermite – Hadamard) Dacă este o funcție convexă atunci: .

Demonstrație. Considerăm funcția auxiliară .

Aplicăm acum teorema lui Lagrange funcției pe intervalul rezultă că există F este crescătoare pe . Deci

Pentru cealaltă inegalitate se consideră

Am ținut cont de faptul că este convexă.

Așadar este crescătoare. Dar este crescătoare pe .

Deci .