Probleme Celebre Contemporanedoc

=== Probleme celebre contemporane ===

Capitolul III

PROBLEME CELEBRE CONTEMPORANE

Mergând mai departe cu noțiunea de probleme de construcție geometrică, definită, prezentată și exemplificată în Cap.I. §.3 am putea spune că cele mai multe probleme de geometrie se încadrează într-o clasă C pe care o vom descrie aici. Spunem că o problemă P este „construibilă“, sau că aparține lui C dacă i se poate asocia, în mod algoritmic, o figură F, construită cu rigla și compasul și pe care să fie verificate ipotezele problemei P. Condiția revine la posibilitatea prezentării mulțimii M a punctelor ce determină F sub forma reuniunii unor mulțimi cu Mi , cu astfel încât:

punctele din M0 determină o figură perfect cognoscibilă (în raport cu datele preconizate plus „parametri“) prin teoremele clasice de geometrie;

pentru orice punctele Mi+1 se obțin direct, prin construcții fundamentale cu rigla și compasul, din puncte aparținând mulțimii

Concluzia problemei P din C conține, desigur, referiri la puncte din Md adică la cele „de dificultate maximă“. Acestea, fiind construite cu rigla și compasul, mărimile geometrice din concluzie referitoare la ele se vor exprima algebric simplu în funcție de puncte „mai simpatice“. Înlocuindu-le în concluzie, o reformulăm echivalent dar excluzând punctele cele mai „antipatice“. (Nu ne deranjează dacă aceasta complică aspectul algebric al concluziei). Problema P devine P1, tot „construibilă“ dar lipsită de punctele din Md . Procedeul va fi reluat pentru P1, ș.a.m.d., ușurând pas cu pas rezolvarea problemei inițiale, P.

Apare astfel o nouă idee și anume cea de a algoritmiza rezolvarea unei probleme din C.

Fiind dată o problemă P, se constată apartenența ei la C și se pregătește aplicarea schemei preconizate de rezolvare printr-un proces de IERARHIZARE a dificultăților; într-o primă aproximație, schema de rezolvare a problemei P revine la iterarea unor operații de ELIMINARE a dificultăților majore.

Vom exemplifica variat acest algoritm de rezolvare printr-un număr de probleme (pe care le-am numit „Probleme celebre contemporane“) spre a-l face înțeles și pentru a-i dovedi larga aplicabilitate; pe parcurs se vor evidenția extinderi, reformulări sau refinări ale unor etape ale acestui algoritm A.

Schema preconizată este particularizarea în geometrie a frecvent întâlnitei operații de reducere succesivă a problemei – operație de reducere succesivă a dificultăților ce devine mai ușor de urmărit și mai convingătoare datorită posibilității de evidențiere grafică a modului concret de supraetajare a dificultăților și a conse-cințelor înlăturării lor treptate.

Prin urmare a rezolva o problemă P revine la găsirea unui „itinerar logic“ de la ipotezele Ip la concluzia Cp. Schema preconizată induce astfel o „inversiune a traseului“ ce poate fi privită ca o „jalonare a itinerarului“ de la Cp (alcătuită obișnuit printr-o propoziție simplă) spre Ip (ce se desface în numeroase propoziții simple). Inversarea, necesară în perioada căutării soluției, nu mai este obligatorie la redactare, rezolvitorul având dreptul de a opta pentru sensul de urmărire succesivă a efectelor, sau pentru cel de evidențiere succesivă a cauzelor.

Abordăm acum o problemă A în care se va putea urmări efectiv ierarhizarea și eliminarea succesivă a dificultăților. Alegerea ei a fost determinată de existența unei liste suficient de lungi de puncte și de ușurința exprimării unor mărimi geometrice în funcție de altele „mai simpatice“.

Problema A:

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A și următoarele proiecții ortogonale: D a lui A pe BC; E și F ale lui D pe AB și AC; G și H – ale lui E, F pe ipotenuza BC. Se cere să se exprime raportul în funcție de lungimile catetelor și

Facem acomodarea cu problema schițând figura (figura III.16).

Surprinde plăcut abundența de relații metrice din configurație. Sunt 11 triunghiuri dreptunghice, oricare două asemenea; numai din proporționalități de laturi în cele asemănări de triunghiuri decurg cam prea multe egalități. Mai pot fi luate în seamă relații exprimând teorema lui Pitagora sau a lui Thales. Surpriza plăcută inițială se atenuează prin neliniștea unei posibile „rătăciri în labirintul“ atâtor relații. Algoritmul A de ierarhizare și eliminare succesivă a dificultăților va apare aici ca un fir al Ariadnei.

Ierarhizarea dificultăților se realizează simultan cu figura 1. Aici M0={A, B, C} determină triunghiul ABC, perfect cognoscibil în baza ipotezelor. O construcție fundamentală determină pe D, singurul punct din M1 . Punctele E sau F încorporează aceeași „cantitate de muncă“ și alcătuiesc M2 . În fine, cu M0={G, H} se conturează tabelul dificultăților prezentat mai jos.

Este desigur evident că operația de ierarhizare și tabelarea ei au un caracter intim, neoficial. Procesul de eliminare a dificultăților va contura soluții ale problemei ușor de transpus în limbajul mai exigent al redactării oficiale.

Soluția 1 va fi prezentată concomitent cu unele detalii de aplicare a algoritmului A. Planul cel mai ușor de conturat constă în „calcularea“ în paralel a lungimilor GD și DH (figura III.17).

O configurație cu un minim de puncte „relativ simpatice“ în care „antipaticul“ G este determinat în mod unic este triunghiul dreptunghic BED, unde G este piciorul înălțimii. Cu teorema catetei rezultă formula :

(1) Pe o configurație analoagă reprezentată de aceeași figură 2, dar cu alte notări ale vârfurilor rezultă și

(2) Eliminarea punctelor de dificultate maximă 3 se realizează prin formula (3)

În acest moment s-a conturat prima reducere: de la A la o problemă A1 în care nu mai apar punctele G și H; se cere să se calculeze expresia (algebric mai complicată) din membrul secund al lui (3). Tabelul simpatiilor se obține înlăturând ultima linie din tabelul 1. Recomandăm executarea unei noi schițe (figura III.18), mai sugestivă (grație simplității), spre a înlătura ispita de a relua în discuție punctele G și H.

În noua problemă, A1, deranjează inițial lungimile DE și DF. Dar este vizibil că E și F „se nasc“ în triunghiurile ABD și, respectiv, ACD. Prin duble evaluări de arii se obțin egalitățile

(4) și (5)

Prin acestea, „scăpăm“ în (3) de „dușmanii“ DE, DF, obținând:

(6)

Aceasta marchează o nouă reducere a problemei A, concretizată prin dispariția încă a unei linii din tabelul 1. O nouă simplificare de schiță ne-ar readuce la figura III.17 cu o nouă notare de puncte, ușor de depistat. Simplificările succesive ale imaginilor grafice ale problemei ne asigură că suntem pe un drum bun, încurajându-ne!

Urmează cu teorema catetei:

(7) și

(8) egalități ce îi conferă lui (6) forma remarcabil de simplă și ușor de interpretat geometric.

(9) și problema A este complet rezolvată.

Există cel puțin două motive ca formula (9) să surprindă. Comparativ cu analoagele ei, (3) și (6), aspectul ei este extrem de simplu.

Mai există prejudecata că o constantă nu poate fi privită ca o funcție (de variabile b și c), așa cum o cere enunțul. Unii spun că, dacă (9) ar reprezenta rezultatul corect, enunțul ar fi trebuit să fie diferit; ca și cum enunțul ar fi obligat să deconspire rezultatul final și să trâmbițeze direcția în care trebuie duse calculele!

Algoritmul A nu impune soluții unice problemelor din A ! Aici, chiar păstrând ierarhia din tabelul 1, încadrând distinct „punctele antipatice“ în „figuri minimale“, se obțin alte lanțuri de reformulări ale concluziei, deci noi soluții. Astfel de variante vor fi prezentate în continuare.

Soluția 2. Privind GD drept latură în unic determinat prin „relativ simpaticele“ și prin condiția de a fi asemenea cu Se obține (1′) și apoi, „simetric“: (2′) Se elimină nivelul 3 de dificultate, obținând: (3′) Prin formulele (4), (5) se ajunge ceva mai ușor la (6), etc.

Să observăm că, prin compararea egalităților (3) și (3′), se deduce o egalitate (*) ce conturează noi variante de continuare a soluțiilor 1 sau 2. Apare posibilitatea teoretică de a aborda o problemă P suplimentând prin „construcții ajutătoare“ lista dificultăților până la un nivel Exprimând apoi o mărime geometrică de dificultate în două moduri distincte să deducem o egalitate de tip (*) care să rezolve problema P. Nu cunoaștem însă nici un exemplu concret de problemă P rezolvabilă printr-un astfel de artificiu care să nu beneficieze și de soluții mai firești, obținute prin aplicarea într-un singur sens a algoritmului A.

Soluția 3. Privim acum dreapta EG ce-l generează pe „antipaticul“ G ca o paralelă la AD și estimăm GD printr-o relație Thales: (10)

Renunțăm, pentru moment, la schema inițială de a elimina „în paralel“ dificultățile referitoare la G și cele la H; continuând tot cu o relație Thales,

(11) AE | AB=CD| BC obținem pentru GD o explicitare „mai adâncă“:

(1′′) (S-a exprimat GD în funcție de puncte având dificultatea cel mult egală cu „mai adânc“ decât în alte formule analoage unde se lua

În mod simetric apare și (2′′) Împărțind membru cu membru egalitățile (1′′) și (2′′) se obține direct concluzia (9).

În raport cu soluțiile precedente, aceasta apare mai rapidă și mai elegantă. Sesizăm acum că surplusul estetic provine din saltul peste unele dificultăți tehnice intermediare; un al doilea motiv se va evidenția ulterior.

Deci, fixarea ierarhiei dificultăților nu constrânge rezolvitorul la un drum unic posibil. Adăugăm că nici ierarhizarea nu este unică, lăsând și ea suficient loc afirmării imaginației, ingeniozității, creativității. O ierarhizare a dificultăților se va pune în evidență printr-o a patra soluție a problemei A.

Soluția 4. În concluzie figurează punctele obținute prin intersecția cu a trei drepte paralele ce trec prin E, A și, respectiv, Raportul căutat nu este afectat de o eventuală înlocuire a dreptei BC cu o dreaptă con-venabil aleasă. Apare motivația unei construcții ajutătoare (figura III.19); dreapta convenabilă este EF și fie O punctul în care taie AD.

Rezultă acum quasiinstantaneu: AEDF este dreptunghi (ajungea să fie paralelogram) deci în trapezul EGHF , OD este linie mijlocie, deci

Deși soluția 4 a rezolvat complet și elegant problema A, nu este lipsit de interes să evidențiem ierarhia dificultăților ce ar fi conturat (prin algoritmul A ) această soluție sau alta mai simplă (sau mai naturală!). Aici, o astfel de analiză este impusă de context, dar bunul obicei de a urmări drumul pe care a fost intuită o soluție asigură în timp creșterea eficienței în rezolvarea problemelor geometrice. Gândim deci că figura III.19 s-a realizat astfel: un dreptunghi (paralelogram) AEDF, o dreaptă prin D perpendiculară (?) pe AD care generează și, apoi, paralele prin care furnizează G și H. Rezultă astfel tabelul 1′ inserat mai sus ce „forțează“ soluția 3 și o înlesnește pe a patra prin construcția ajutătoare a punctului O (a cărui dificultate ar fi 1). Contabilizând ipotezele utilizate în soluțiile 3 și 4, se obține următoarea generalizare deja sugerată a problemei A .

Problema A′. Fie D pe latura BC a triunghiului ABC și astfel încât DE // AC, DF // AB . Paralelele la AD prin E, F taie BC în G, H. Se cere să se exprime raportul GD : DH în funcție de elementele triunghiului ABC și, eventual, de poziția lui D pe latura (BC).

Tabelul 1 exprimă, evident, și ierarhia dificultăților din A′. Soluția 1 este inadaptabilă. Soluția 2 poate fi ajustată prin :

∆EGD ~ ∆ADC GD / CD = ED / AC,

∆FDH ~ ∆ABD DH / BD = FD / AB ;

după prima reducere: „dușmanii rămași“ se elimină ușor :

ED din ∆BED ~ ∆BAC, BF din ∆CDF ~ ∆CBA etc (figura III.20 ).

Soluția 3 (și, bineînțeles 4) convine generalizării A′ fără nici-o modificare; acesta este motivul suplimentar, inițial ascuns, al surplusului de eleganță al soluțiilor 3 și 4.

S-a afirmat la 4 că o modalitate „contrară algoritmului A “ de căutare a soluției ar fi „defrișarea totală“; ilustrăm acum această metodă construind o nouă soluție a problemei A și comparând-o apoi cu celelalte.

Soluția 5. La nivelul de dificultate 0 precizăm cu convenția de a folosi în calculele intermediare notația La nivelul 1 apar explicitările: b2 .

La nivelul 2, egalitățile inițiale și se rafinează în baza precedentelor furnizând: și La nivelul maxim de dificultate, formulele și conduc în baza precedentelor la: de unde rezultă

Comparația între soluțiile 1 (cea mai lungă dintre cele în care s-a aplicat A ) și 5 poate fi vizualizată (figura III.21) prin interpretarea lor ca itinerarii de la ipoteză spre concluzie.

„Localitățile“ fiind segmente calculate, soluțiile 5 și 1 apar ca linii trasate gros și, respectiv, subțire. Este vizibil că traseul rectiliniu al soluției 1 este mai scurt decât cel al soluției 5 care trece suplimentar prin calculul lungimii segmentelor

* * * * *

Vom împlini acum promisiunea anterioară de a studia particularitățile aplicării algoritmului A în probleme de construcție și anume implicațiile acestuia asupra etapizării „analiză“ – „construcție“ – „demonstrație“ – „discuție“.

Intervenția algoritmului A în problema generală de construcție P analizată mai sus este multifuncțională.

O primă etapă este destinată realizării unui desen (fără particularizări inutile) al mulțimii D X în care să fie îndeplinită o anumită proprietate P și unei alegeri convenabile a ordinii în care apar elemente din D și din X fapt ce simplifică esențial problema.

Avem astfel o primă ierarhizare a dificultăților problemei P, să o notăm cu I0.

Într-o a doua etapă, tentativa de depistare a lui Y adaugă noi puncte ce obligă la o extensie Tot în cadrul „analizei“ se distinge o a treia etapă de utilizare a algoritmului A : redefinirile elementelor din Y și din X obligă la o reierarhizare Se poate spune că rețeta constructivă este o prezentare argumentată a ierarhiei

„Demonstrația“ ne plasează direct în fața unei probleme construibile (cu ierarhia a dificultăților) în care trebuie dovedită proprietatea P . Nu este exclusă bazarea demonstrației pe o reierarhizare dar, o astfel de situație este cel mai adesea prilejuită de considerarea unei mulțimi nevide Z de elemente ajutătoare.

„Discuția“ ocazionează cea de a patra utilizare posibilă a algoritmului A . Aici se impun atenției diverse condiții Di apărute pe diverse nivele de dificultate din ; reformularea lor la nivelul datelor problemei revine la eliminarea difi-cultăților majore, operație specifică și esențială pentru A . Prin cele patru posibile aplicări ale sale, algoritmul A ne apare ca decisiv în abordarea problemelor de construcție; apreciem că reierarhizarea apare aici ca procedeu dominant.

* * * * *

Vom aborda acum o problemă de construcție realmente grea spre a ilustra schema generală și în situația când prea ușoara înțelegere globală a problemei nu mai ascunde intercondiționările ce apar în „patrulaterul” – analiză, construcție, discuție, demonstrație.

Problema P :

Se dau: un cerc O (O, R) și puncte în planul său. Să se construiască un triunghi ABC înscris în O astfel încât dreptele să treacă prin și, respectiv, P.

Problema P fusese complet rezolvată de către Pappus, încă din antichitate, în cazul particular: coliniare. Nu prezentăm aici soluția generală, deoarece nu conține germenii generalizării; o altă soluție se va încadra în context.

G. Cramer a formulat în 1742 enunțul de mai sus. Abia în 1776 apare soluția geometrică datorată lui G.F. Castillon (1708-1794). Această soluție s-a bazat pe idei geometrice remarcabile ce au permis extinderea imediată în spațiu: 1780, prin lucrări ale lui Lagrange, Euler, Fuss și Lexell.

În plan, o generalizare Pn a fost realizată de GiordanoMalfatti în 1788 și de L’Huilier în 1796. Problema Pn dă un cerc O și n puncte cerând să se determine puncte Aj ∈ O astfel încât segmentele liniei frânte eventual prelungite, să conțină punctele

Ideea de abordare a problemei Pn consideră că ne sunt „parțial” cunoscute cele n drepte suport ale laturilor liniei frânte. Parțial, fiindcă știm un punct și ignorăm direcția Dacă pentru măcar un indice i am cunoaște am găsi ușor dreapta și, din aproape în aproape am preciza toate punctele Se conturează o generalizare a problemei Pn , în care, pentru k laturi ale liniei frânte, se cunosc puncte prin care trebuie să treacă, iar pentru celelalte se cunosc direcțiile Problema nu ne va interesa direct, dar este foarte ușoară. Se construiește cu direcțiile laturilor prescrise și cercul său circumscris B. H fiind o omotetie ce satisface H(B) = O va avea loc ∆A1A2A3 = H(∆B1B2B3) ! (Pentru n > 3, nu mai este tot atât de simplă!).

Situația exemplifică o schemă g destul de generală de rezolvare a unei probleme P în patru etape.

– Enunțarea unei familii F de probleme ce depind de un parametru suplimentar k, astfel încât o particularizare să ne readucă la problema P.

– Stabilirea unor modalități concrete t de trecere de la rezolvarea unei probleme din F la rezolvarea alteia.

– Rezolvarea unor probleme particulare din F.

– Extensia succesivă prin treceri t a subfamiliei ℝ a problemelor rezolvate, cel puțin până la includerea în ℝ a lui P.

Notarea acestei scheme cu g dorește să evidențieze că generalizarea lui P la F este o etapă esențială în demonstrație.

După această paranteză (suficient de lungă) referitoare la schema g „de rezolvare prin generalizare“, abordăm efectiv problema P în care g se aplică relativ voalat: cu notații precizate anterior, interpretăm P drept un element al unei familii IF = {, k = 1, 2, 3} și o rezolvăm prin reduceri succesive .

În cadrul acomodării cu problema ne vom mulțumi doar cu elucidarea a două cazuri particulare, relativ banale, dar care vor fi astfel excluse din considerațiile ulterioare.

Dacă unul dintre punctele este pe O de exemplu M, eventualele soluții trebuie să se încadreze în una dintre variantele :

s1=(B = M, A∈ MP∩O, C∈ AN∩ O ) respectiv s1=(C = M, A∈ MN∩O, B∈ AP∩ O ).

În cazul generic vor fi deci două soluții. Ambele sunt inacceptabile dacă sunt coliniare.

Se mai observă că s1, s2 trebuie abandonate de la „al doilea pas“, dacă P, respectiv, N sunt pe tangenta în M la O . Există și posibilitatea de a înlătura câte una dintre soluții „la al treilea pas“, dacă N, respectiv, P este pe tangenta în A la O .

Al doilea caz particular ce ne reține atenția constă în confundarea a două dintre punctele fixăm notația acceptând Dacă M ∉ O nu există soluții; dacă M ∈ O și există o infinitate de soluții coardă arbitrară cu N pe dreapta suport). Desigur, dacă nu există soluții.

Analiza. Presupunem problema rezolvată ( figura III.22).

Fie ABC triunghiul căutat. Considerăm D ∈ O , astfel încât AD//PM și punctul CD . Să presupunem, ca în figură, că ABCD este patrulater; este evident inscriptibil. Paralela PM la AD taie laturile (eventual prelungite ale acestui patrulater în P și S; rezultă că punctele sunt conciclice (!)).

Vom reveni asupra acestei etape, este deci caracterizat prin:

(1) O(M) ce asigură independența sa de soluția presupusă, Pentru sunt asigurate condițiile (2) și AD//PM deci este soluția unei probleme cu fiind direcția dreptei PM.

În cazul particular când ar fi coliniare, C ar fi centrul unei omotetii H care ar aplica în deci ar transforma O într-un cerc O ′ prin tangent în C la O . (Sunt posibile două soluții). S-ar determina apoi A pe pe AP și nu ar fi dificultăți nici în demonstrarea apartenenței lui M la BC nici în finalizarea discuției.

Fie AE//SN și În mod analog etapei o paralelă la latura AE a patrulaterului inscriptibil AECD taie diagonalele (eventual prelungite) în Stabilim în această etapă că „patrulaterul“ DCNT este inscriptibil:

.

Rezultă : (3) și T este caracterizat la rândul său independent de Pentru condițiile: (4) T∈DE, AE//ST, AD//SP, ne permit să-l considerăm soluția unei probleme cu datele: direcțiile dreptelor

Unghiul EAD trebuie să fie egal sau suplimentar cu ∢PST fapt echivalent cu: „dreapta DE separă pe O arce cu măsuri fiind măsura ∢PST′′

sau cu: „lungimea corzii DE este constantă,

Corzile de această lungime înfășoară un „cerc“ T (O, r) .

Construcția va fi urmărită inițial pe figura III.23.

Pentru simplitatea și precizia referirilor ulterioare, desfacem rețeta constructivă c în mai mulți „pași“ fiind indice de numerotare.

se trasează prin M o dreaptă ce taie O în puncte

se trasează cercul A prin punctele

se determină S ∈ PM∩A dacă este posibil, luând

se trasează prin S o dreaptă ce taie O în puncte

se circumscrie triunghiului JKN cercul B .

se alege T ∈ SN ∩B dacă se poate astfel ca

printr-un punct L ∈ O se trasează corzi ale lui O paralele dreptelor PS și, respectiv, ST;

se proiectează ortogonal O în W pe UV;

se trasează cercul T de centru O ce trece prin W. (Pașii 10 – 12 se pot urmări pe

figura III.24; ultimele două etape sunt mai ușor de văzut pe figura III.22).

se trasează tangenta din T la cercul T și se notează cu X, Y punctele în care

intersectează cercul O ;

prin X și Y se duc paralele la PS și ST, determinând un paralelogram XGYH;

se identifică punctul din {G, H}∩ O și se renotează cu A; (se renotează X și Y cu D, E, astfel încât AD//PS, AE//ST );

se determină pe AP∩O;

se determină pe BM∩O.

Demonstrație. Dreapta AC este secantă dreptei AE deci va tăia paralela ST într-un punct O etapă degajă din premizele: AECD – patrulater inscriptibil, TN’//AE, T ∈ ED, N’∈ AC, concluzia că patrulaterul este inscriptibil, deci:

(5) .

Comparând (5) cu (3), când rezultă Conform pașilor cu indicii 12, 13, 14, îndeplinește astfel toate condițiile enunțate. A mai rămas de analizat doar eventualitatea Conform (3), implică S ∈ O . Ultima apartenență induce prin (1) M∈ O . Această situație a fost analizată complet în cadrul acomodării. (Rețeta constructivă se reduce, în acest caz particular, la soluția indicată în acomodare).

Discuția va fi pornită, în mod foarte detaliat, spre a exemplifica astfel modul concret în care construcția generează liniile directoare ale discuției. Se va mai putea vedea cum se asigură rigoarea geometrică prin critica amănunțită a unui text. Precizăm însă că dificultatea problemei ne va împiedica, uneori, să finalizăm toate calculele întrevăzute. Conform teoriei generale a problemelor de construcție, începem analiza critică a fiecărui pas din rețeta constructivă.

Realizabilă într-o infinitate de variante pentru

A nu ar exista dacă ar fi coliniare; se poate alege convenabil.

PM are sigur S în comun cu O, eventualitatea admite caracterizarea geometrică MP – tangentă la O , echivalentă cu (6) MP2=O(M), ce nu mai este afectată de alegerea lui deci a lui A . Când PM taie O în două puncte, este precizat de (1).

Discuție analoagă cu cea de la punctând arbitrarietatea lui

Discuție analoagă celei de la

Este posibil ce nu ar permite considerarea dreptei SN. Conform (1) aceasta are loc dacă sunt coliniare și (7) . Amânăm continuarea analizei. Presupunând ne dispensăm de la de arbitrarietatea lui spre a constata că T este unic determinat, caracterizat prin (3).

L fiind arbitrar pe O , se poate evita alegerea lui în unul din cele patru puncte în care tangentele ar fi paralele cu SP sau ST.

Dreapta UV ar suscita reinterpretări doar când ar fi coliniare, condiție ce revine la coliniaritatea punctelor Pentru concordanța construcției cu soluția prezentată în analiză la acest caz particular suntem obligați să interpretăm: este tangenta în U la O , W = U (Ulterior va rezulta T = O )

Exprimarea trebuie rectificată când W ar coincide cu O; ne vom referi tot cu denumirea „cerc“ T și la acest caz când T ={O}. Vom reveni ulterior la acest caz, evident caracterizabil inițial prin

Aici se prefigurează esența discuției. Când T ∈int.T nu există soluții. Pentru T exterior lui T , în cazul generic vor exista două soluții. Când T ∈ T prevedem o singură soluție, cu eventuala excepție a ființării și situației de la când ar putea apare o infinitate de soluții. Vom reveni asupra acestei clasificări.

Când T coincide cu O , rezultă și trebuie să subînțelegem G = H = X.

Posibilitatea ca G și H să fie ambele pe O revine la (XGYH = dreptunghi) și se realizează dacă T ={O} . Dacă singura dreaptă TO = XY = DE conduce tot la două soluții, unificând astfel situația

Punctul A poate deveni inacceptabil dacă AP este tangentă lui O .

Punctul B (găsit anterior) devine inacceptabil dacă BM este tangentă la O .

Se poate spune că discuția este deja realizată, având în vedere că s-au prevăzut toate cazurile posibile (ba chiar și unele imposibile!), fiecare în parte caracterizat geometric în raport cu D∪Y . Având în vedere că elementele din Y fuseseră precizate succesiv în raport cu D, se consideră aceste caracterizări drept suficiente. Noi nu ne raliem în mod automat acestui punct de vedere. Apreciem că Y poate avea un caracter subiectiv și este de dorit ca, în limita posibilităților și pe măsura exigențelor personale, să eliminăm din caracterizări elementele din Y, spre a urmări direct pe D situațiile critice.

Intenția noastră ne plasează direct într-o problemă construibilă; pașii au precizat o ierarhie a dificultăților

Caracterizările apărute vor trebui reformulate succesiv spre a le aduce spre nivelul de dificultate 0.

Pentru simplitatea scrierii vom nota puterile față de cercul O ale punctelor cu asumându-ne astfel dreptul de a utiliza egalitățile: (8)

Prima situație critică s-a conturat la exista riscul major ca în cazul particular preconizat, întreaga desfășurare a problemei să nu mai poată fi luată în considerație. Bazându-ne pe asimetria rolurilor jucate de în construcție, spunem că, atunci când are loc (7), se aplică procedeul descris pentru punctele N, P, M. Este însă posibil să ajungem și astfel în impas, dacă în afara lui (7) are loc și: (7’)

[A doua egalitate prevăzând posibilitatea de a opera încă o permutare ciclică].

Prelucrarea algebrică a sistemului (7) + (7’) este anevoioasă; este ușor de stabilit consecința și … cam atât. Din fericire avem la îndemână interpretările geometrice! Considerăm proiecția ortogonală H a lui O pe dreapta ce conține punctele Notând egalitatea (7) devine: (9) Folosind și permutările ei ciclice (sau traducând (7’) în noile necunoscute) se obține:

(9’) Urmează, de aici, ce impune coincidența punctelor În cadrul acomodării văzusem însă că în acest caz problema nu admite soluție. Suntem astfel asigurați că, în cazurile când problema suscită interes, prin alegerea unei ordonări convenabile a punctelor nu are loc (7), deci nici echivalenta ei,

Constatasem că situația din afectează doar exprimarea. Cu teorema lui Pitagora generalizată i se conferă acestei egalități forma prin intermediul lui (1) condiția se mai transcrie:

(10)

Se mai poate constata că prin fixarea punctelor condiția (10) revine la plasarea lui M pe o anume perpendiculară pe dreapta OQ, Q fiind mijlocul lui Reținem oricum că această situație este realizabilă.

Pentru a clarifica clasificarea din începem prin a observa

Dacă r este raza lui T , are loc egalitatea Condiția

se transcrie: (11)

Dificultatea maximă intervine acum prin spre a o elimina folosim relația Stewart în Amplificând cu și folosind (3) deducem (s – SN2) R2 după reduceri se obține: (12)

Amplificând (11) cu termenul pozitiv îi dăm forma:

(13)

Spre a elimina S „din paranteză“ vom constata prin teorema sinusurilor în

îi conferim astfel lui (13)

forma echivalentă: (14)

O relație Stewart prelucrată la fel ca pentru (12) pentru utilizarea relației (1), definitorie pentru S, evidențiază formula: (15) Amplificând (14) cu factorul pozitiv și observând că pentru aria S a triunghiului MNP are loc

egalitatea obținem, în fine, următoarea exprimare

echivalentă a lui (11) în care apar doar datele problemei:

(16) Apreciem că (16) este remarcabilă prin simplitate și justifică eforturile obținerii ei! Este justificat să asociem acum datelor problemei o caracteristică numerică:

(17)

ce permite rezumarea acestei etape a discuției (în care sunt încă excluse unele situații particulare) prin:

două soluții;

soluție unică;

nu există soluție.

Discutând pasul s-a întrevăzut eventualitatea existenței unei infinități de soluții; condiția T∈T revine acum la și ar trebui să i se adauge egalitatea (10). Faptul geometric ce îl avem în vedere nu ar putea fi afectat de o eventuală permutare a punctelor deci avem dreptul să folosim și următoarele omoloage ale lui (10):

(18)

Scăzând aceste două egalități, în baza lui (8) se obține:

(19)

ce ne asigură că are loc După permutări ciclice rezultă că O este ortocentrul triunghiului MNP. Prelucrând algebric (19) sau utilizând o caracterizare a „ortocentricității patrupunctului“ MNPO, rezultă existența unui număr real pozitiv h pentru care au loc egalitățile:

(20)

Se elimină din expresia detaliată (17) a lui laturile triunghiului MNP și se privește egalitatea drept ecuație de grad doi în necunoscuta h. Condiția de existență a soluțiilor reale revine la o inegalitate OM2 + ON2 + OP2 ≤ 0 ce ne convinge prin absurdul ei că eventualitatea infinității soluțiilor nu se realizează niciodată.

Comentarii :

1). Atragem atenția că, și în această rezolvare, ca în marea majoritate a redactărilor soluțiilor problemelor de construcție, analiza preia tacit sarcina 1 a discuției, stabilind că o soluție arbitrară a problemei ce are caracter generic, este obligată să satisfacă anumite proprietăți ce o vor așeza ca punct terminus a rețetei constructive, în momentul când acea rețetă va fi efectiv elaborată.

Am omis și aici, tot ca de obicei, să includem în discuție și rafinarea acestei realizări a analizei, urmărind critic unele situații particulare ce ar diminua rigoarea acestei demonstrații, evident de importanță esențială în economia de ansamblu a problemei.

Ar fi trebuit, în acest exemplu concret, să ne ocupăm succesiv de eventualitățile: tangenta în A paralelă cu tangenta în A paralelă cu Este ușor de văzut că aceste situații afectează doar exprimarea, sau, au apărut în atenția noastră prin faptul că puneau în discuție caracterul legitim al anumitor pași din rețeta constructivă.

2). Se poate constata că pentru elementele S și T din Y s-au conturat odată cu primele ocazii caracterizări în scară raportate doar la D. Alte elemente din Y, anume D și E, nu au mai beneficiat de astfel de caracterizări. Cuplul nu era unic în cazul generic însă, odată ales, permitea determinarea lui A, aproape fără excepție, în mod unic.

3). Rețeta constructivă, c, a unei probleme de construcție P nu trebuie neapărat să fie „liniară“. Este posibil ca un pas să evidențieze o condiție K a cărei realizare să condiționeze Când nu are loc K, poate apare o altă secvență, „secundară“: cu Secvența secundară poate conduce direct la soluție sau să reintre în secvența principală la un anume pas În afara alternativei trebuie luată în considerație și eventualitatea h ≤ i, pentru acceptarea unei astfel de „bucle“, trebuie să se excludă posibilitatea parcurgerii ei de o infinitate de ori.

O imagine sugestivă a planului de ansamblu de rezolvare a problemei o dă schema logică de mai jos (figura III.25), în care sunt necesare unele precizări de notație. Condiția K1 : „{M, N, P}∩ O = ∅“ neîndeplinirea ei a fost analizată în „acomodare“, precizându-se algoritmul constructiv și discuția.

Condiția este: „punctele sunt distincte“; tot în cadrul acomodării s-a conturat calea rapidă spre soluție când nu are loc

Condiția „punctele sunt necoliniare“ diferențiază P de problema rezolvată de către Pappus. „Analiza“ a indicat o cale de rezolvare când are loc negarea ˥K3 a condiției Deși s-ar fi putut exprima algoritmic mai precis și mai succint, s-a preferat încadrarea în secvența principală prin unele reinterpretări suficient de „transparente“, fapt marcat pe schemă prin punctarea unui „racord“ de la la secvența principală. O anume etapă a (inițial subînțeleasă) alege o anumită ordonare a punctelor ordonare ce va putea fi schimbată printr-o permutare p. O altă condiție a fost inserată observând că unele exprimări necesită o interpretare i, atunci când are loc ˥K5 ⇔ PS ⊥ SN . Din punct de vedere grafic secvența principală este prezentată cu săgeți mai groase.

4). Condițiile K de „bifurcare” sunt evidențiate adesea abia la „discuție”, după ce secvența principală a clarificat un „caz generic” încă nediferențiat prin condiții concrete. Prin negarea condiției K ne plasăm într-un caz particular, adesea neprevăzut inițial. Suntem astfel obligați să reluăm problema de construcție cu ipo-teza suplimentară ˥K. (Formularea acesteia doar în raport cu „datele” problemei își poate dovedi utilitatea prin conturarea unui cu totul alt drum spre necunoscute). „Discuția” impune astfel reluarea întregului „ritual”- analiză, construcție, demonstrație, discuție, în ipoteza suplimentară ˥K. Un eventual „și așa mai departe” nu ne amenință însă cu o „ciclare infinită” deoarece fiecare ipoteză suplimentară ˥K limitează gradul de libertate a cel puțin unei variabile din D, deci scade efectiv suma (evident finită) a gradelor de libertate a problemei inițiale.

5). Cerința ca rețeta constructivă să fie clară, precisă, independentă de par-ticularitățile unui desen, ne dispensează de obligația de a o însoți de o figură. Datorită importanței ce o acordăm desenului în geometrie, am prezentat două figuri; prima dintre ele, fig. III.23, suscită câteva comentarii. Desigur, preia rolul jucat în analiză de renotarea este impusă de necunoașterea lui B sau C. Alegerea nu se justifică prin nimic; o opțiune utilă ar fi fost cea care să asigure că este diametru pentru cercul A , dacă o astfel de construcție nu ar fi necesitat un efort prea mare.

(Care ar fi procedeul constructiv?). Ilustrația a optat pentru condiție ce a fost ignorată de construcție spre a nu stabili legături neesențiale între arbitrarietățile lui A și B , sau a nu impune rectificări de exprimare pentru cazul – tangentă la O . Aparența că centrul lui A este pe B sau că centrul lui B coincide cu D este, evident, întâmplătoare.

6). Problemele de construcție au un rol major, dar nu predominant, în aplicarea algoritmului A . În probleme uzuale P, enunțul stabilește efectiv succesiunea construcțiilor geometrice prin care se obține configurația supusă concluziei. Cunoașterea „abecedarului” problemelor de construcție înlesnește abordarea lui P prin A aproape exclusiv în cazurile în care este necesară o reierarhizare a dificultăților. Nu există însă nici un motiv rezonabil de a exclude eventualitatea ca P să fie problemă de construcție.

Scopul declarat al acestor pagini fiind de a pregăti abordarea prin A a problemelor geometrice, am putea fi certați că am depășit măsura, studiind o problemă cu rezolvare de excepție. Adăugăm acum că apreciem P ca o culme a problemelor de construcție și, prin aceasta, o bijuterie creată de rațiunea umană cu certe capacități de emoționare și convingere, ce merită să fie accesibile unui public larg. Vom insista în această direcție, analizând probleme M și Q, pe care le apreciem culmi complementare lui P în construcții geometrice.

Preîntâmpinăm astfel și o eventuală interpretare exagerată a unor afirmații anterioare. Ca idee generală, în operațiile de eliminare succesivă specifice lui A , ne dezinteresăm de posibila complicare algebrică (în limite rezonabile) a formulării concluziei. Statistic, această atitudine este eficientă. Dar nu trebuie să excludem eventualitatea unor probleme în care evitarea unor complicații algebrice majore devine factor determinant și în care simplificarea algebrică direcționează raționamentul geometric. Printre numeroasele valențe ale problemelor M și Q remarcăm și capacitatea de a ilustra diferit această situație.

Problema M ( problema lui Malfatti ) : Fiind dat un triunghi ABC, să i se înscrie trei cercuri M , N , P , tangente între ele și fiecare tangent la câte două laturi ale triunghiului ABC.

Problema a fost propusă în 1803 de G.F. Malfatti (1731-1807), însoțită de o soluție algebrică suficient de laborioasă; ca urmare, M este citată în literatura matematică exclusiv cu denumirea „problema lui Malfatti”. În 1810 problema a fost regăsită, cu alte soluții algebrice de către J.D. Gergonne și de J.E.T. Lavernède. O primă construcție geometrică efectivă este bazată în 1819 pe calcule trigonometrice artificioase conduse de D. Ch. L. Lehmus. Prima construcție realmente geometrică, extrem de elegantă, a fost dată în 1826 de către J. Steiner (1796-1863); ajunsese la ea pe baza unor tehnici savante de transformare corelativă a figurilor de care era atât de sigur încât (ca în majoritatea lucrărilor sale), nici nu s-a gândit la necesitatea unei demonstrații. Iată rezumatul construcției:

Fie I centrul cercului înscris în și A , B , C , cercurile înscrise în triunghiurile BIC, CIA, AIB. Fie s tangenta comună interioară diferită de AI a cercurilor B , C ; drepte t, u se asociază analog cuplurilor ( C , A ), respectiv, (A , B ). Cercul M este tangent dreptelor cercul N este tangent dreptelor cercul P este tangent dreptelor

Eforturile noastre de a ilustra această rețetă de un desen concludent nu s-au dovedit eficiente; nu este atât o scuză cât o invitație și o atenționare asupra fineții problemei. Soluția ce o vom da nu va fi corelată cu aceasta încadrată mai sus. Menționăm că problema Malfatti, prin dificultățile algebrice reclamate și prin soluția „abruptă” a lui Steiner au stipulat numeroase studii ulterioare.

Analiza. Presupunem problema rezolvată. Am realizat figura III.26 ignorând complet ordinea date-necunoscute solicitată de enunț. Pe un cerc I (abia punctat) am fixat puncte tangentele la I în aceste puncte au determinat un triunghi MNP; am trasat cercuri M (M, MP’), N (N, NM’), P (P, PN’), ce conțin, evident, și punctele respectiv tangentele exterioare comune la câte două cercuri conturează

Avem astfel o ierarhie a dificultăților destul de ciudată, dar care permite abordarea cu succes a problemei. Ideea de start este să pornim de la anumite elemente IE convenabil alese ale triunghiului MNP și să le determinăm pe altele referitoare la să privim, apoi, aceste relații drept un sistem algebric S având ca necunoscute elementele din IE. Putem considera, desigur, IE alcătuită din lungimile laturilor, dar este mai adecvat cerințelor problemei să folosim razele ale cercurilor M , N , P . O tangentă comună va avea, evident, lungimea egală cu Se mai observă și urmează:

(a)

În acest moment ideea de start s-a concretizat și avem o imagine relativ concretă a calculelor reclamate. Adăugându-i lui (a) permutările sale ciclice, obținem un sistem S de trei ecuații de grad doi în necunoscutele

În principiu, un astfel de sistem este echivalent unei ecuații într-o necunoscută având gradul opt. Construibilitatea (cu rigla și compasul) a soluțiilor ne obligă să trecem doar prin ecuații de grad doi, deci va trebui să manevrăm sistemul foarte atent.

Vom expune în continuare o soluție dată de Schellbach în 1863, cu îmbunătățiri aduse de Mertens în 1886; ne vom strădui să adăugăm unele interpretări geometrice și să evidențiem posibile căi naturale spre descoperirea unor pasaje mai artificiale. Forma egalității (a) justifică alegerea unui nou set de necunoscute: cu interpretări geometrice imediate:

(b)

În aceste noi variabile, (a) se transcrie:

(c) unde s-a notat:

(d)

Am rectificat astfel planul inițial și considerăm că sistemul S este constituit din (c) împreună cu permutările sale ciclice; necunoscutele sunt acum precizate prin (b). Urmează acum evidențierea unor consecințe ale egalității (c) destinate unei substituții decisive.

Se observă: Schimbând și rolurile variabilelor deducem:

(1)

Înmulțind aceste egalități membru cu membru, după scăderea lui (c) ampli-ficată cu factorul obținem:

(2)

Transcriem (1) sub forma:

înmulțindu-le membru cu membru, deducem: În baza lui (2) această egalitate devine: (3)

Intervine acum momentul culminant al prelucrării algebrice! Se consideră noi necunoscute, numerele complexe:

(e) și se notează:

(f)

Se observă imediat :

ultima egalitate fiind rezultanta lui (2) și (3). Punând în evidență și permutările ciclice, precizăm un nou sistem algebric, S’, remarcabil prin simetrie și simplitate:

(g)

Din acest moment rezolvarea sistemului este simplă, chiar dacă este necesar să punctăm și interpretări geometrice referitoare la ale expresiilor necunoscutelor.

Înmulțind ultimele două egalități și împărțind la prima deducem:

(h)

Reținând doar părțile reale ale celor doi membri apare formula:

Primul radical din membrul secund se calculează cu formula lui Heron, devenind raza cercului înscris în Cantitatea de sub cel de-al doilea radical se transcrie: Următorii doi radicali vor beneficia de tratamente analoage și transcriem sub forma:

Se justifică astfel considerarea unei constante numerice u, atașate triunghiului ABC, precizată prin:

(i)

Soluțiile sistemului algebric S vor satisface deci:

(j)

Construcția se impune natural. După trasarea bisectoarelor în se identifică centrul I și raza r a cercului înscris (figura III.27).

Se construiește grafic segmentul u dat de (i). Cu centrul I și raza u se descrie cercul U , secant semidreptelor IA, în punctele (Pe figura anterioară : fig. III.26 aceste puncte sunt doar sugerate). Cercul taie semidreptele în puncte pe un cerc Perpendiculara în pe AB intersectează în M. Se determină analog astfel încât și astfel încât Cercurile cerute de enunț sunt M (M, MCa), N (N, NAb), P (P, PBc).

Demonstrația pare (la prima vedere) banală. Nu este greu de stabilit că lungimea u furnizată de (i) este pozitivă. Întradevăr, pentru orice punct I, sumând inegalitățile și omoloagele, deducem etc.

Perpendiculara în pe AB taie realmente deoarece ∢BAI = A/2 < 90º. Nu este greu de stabilit că M este tangent în lui AC etc.

Pentru a dovedi că N și P sunt tangente exterior, se deduce egalitatea echivalentă cu Cu notațiile preconizate anterior, am regăsit egalitatea (c) sub forma

Întrucât demonstrația trebuie să mai asigure încă două tangențe de cercuri, apare următoarea precizare a faptului ce mai trebuie dovedit:

(k) furnizate de (j) constituie soluție pentru S.

Se observă că noi nu am stabilit valabilitatea lui (k). Sistemul S, i-am asociat o consecință S’ (echivalentă oare?); am dovedit că orice eventuală soluție a lui S’ trebuie să satisfacă (j), dar nu ne-am asigurat că aceste condiții sunt suficiente ca să fie soluții pentru S’ și, cu atât mai puțin, pentru S.

Un „algebrist exclusivist” ar putea exclama:

«Dacă algebra a făcut atât de mult pentru această problemă, este păcat să fie lăsată geometria să se încunune cu laurii rezolvării. Din punct de vedere algebric nici nu mai este mare lucru de făcut. Echivalența între S și S’ se dovedește probabil ușor, arătând că din (2) și (3) rezultă (c). Pentru a ne asigura că (j) reprezintă soluția lui S’, va fi suficient să dovedim că în (h) sunt egale și părțile imaginare, ceea ce revine la … ».

Desigur, ipoteza „algebristului exclusivist” frizează absurdul, dar calea sugerată poate fi interesantă. Egalitatea la care se referă admite o primă înfățișare:

Membrul secund se poate aduce ușor la forma:

dar adevăratele dificultăți provin din primul membru.

Înlocuind x din (j) și apoi u din (i) obținem:

(*)

Demonstrarea lui (*), eventual, împreună cu omoloagele sale deduse ciclic, ar fi un bun exemplu de aplicare a algoritmului A , pentru eliminarea unui „inamic I conexat cam cu prea multe puncte de sprijin dar aparența de „exercițiu concret” ascunde dificultăți de calcul.

Mai trebuie remarcată o cale „mai sigură” de dovedire a lui (k): stabilirea că (j) verifică (c); ar fi diminuat rolul unor eventuale greșeli de calcul de pe parcurs.

Separarea radicalului din (c) și ridicarea la pătrat fiind „permise”, (k) s-ar

concretiza în identitatea p + a)2, ușor de adus la: (**)

Contextul ne asigură că (*) și (**) sunt fiecare echivalente cu (k); deși destul de grele, studiul lor poate evidenția identități și inegalități interesante.

Ne propunem să demonstrăm (k) pe o altă cale ce va avea meritul de a atrage și analiza matematică în rezolvarea lui M. Mai precis, ne propunem să dovedim o propoziție M+ ce ar aparține „discuției”:

M+. Problema M admite totdeauna cel puțin o soluție.

Să începem prin a observa că M+ implică propoziția (k). Întradevăr, pentru un triunghi arbitrar ABC, considerând cele șase puncte de contact cu laturile ale unei soluții ( M , N , P ), avem precizate prin (b) numerele reale ce alcătuiesc o soluție a sistemului S. „Analiza” ne asigură că va satisface și (j), ce le determină în mod unic. Deci (j) oferă soluția sistemului S.

Fie t un număr real, inițial arbitrar și un punct (figura III.28) astfel încât (Folosim t ca indice, nu ca exponent; notațiile sunt alese să difere doar printr-un detaliu de cele din figura „suport”).

Perpendiculara în pe AB intersectează în M. Fie M t cercul de centru ce trece prin

Nu zăbovim acum asupra construcției unui cerc N t de centru tangent lui M t și segmentelor BA (în și BC (în Considerăm analog cercul P t, de centru tangent cercului M t și segmentelor CA (în CB (în Între anumite limite ce se vor preciza ulterior ale parametrului t, poziția reciprocă a cercurilor N t , P t este precizată de semnul cantității cercurile sunt: disjuncte / tangente exterior / secante după cum /

Cu aceste pregătiri, M+ revine la:

( M+’ ): Există astfel încât

Intuim geometric că este funcție continuă. Ne propunem să fixăm intervalul spre a asigura corectitudinea considerațiilor geometrice de mai sus și:

Discuția constată imediat că problema lui Malfatti admite totdeauna soluție unică. Întradevăr, „analiza” a arătat că orice eventuală soluție este unic precizată de (j). „Demonstrația” a fost obligată să probeze și existența soluției. Desfășurarea rezolvării a cam lăsat etapa de „discuție” fără obiect: existența și unicitatea au fost probate în „demonstrație” respectiv „analiză”.

Având în vedere metodologia generală a „discuțiilor”, merită să observăm posibilitatea unei extensii a enunțului problemei M, prin înlocuirea laturilor triunghiului ABC cu dreptele lor suport. Intră atunci în considerație și triplete de „cercuri ex – Malfatti “ ilustrate în figura următoare (figura III.29).

Atragem atenția că determinarea unui astfel de triplet conține un plus de dificultate datorită lezării simetriei sistemului S prin „privilegierea” lui B. Recomandăm testarea gradului de înțelegere a rezolvării de mai sus prin concentrarea atenției asupra construcției de cercuri ex – Malfatti; dacă prima tentativă nu este încununată de succes, poate va fi a doua, ulterioară studiului comentariului nr. 1. Un astfel de efort este, credem, preferabil celui de documentare asupra rezultatelor altora în lumea celor patru triplete de cercuri Malfatti.

Comentarii.

1). Surprinde în primul rând ingeniozitatea algebrică din „analiză”. Astfel de idei sunt oare exteriorizări ale unor momente neprogramabile de inspirație? Afirmăm că nu; rezolvarea reprezintă o reașezare elegantă a căilor naturale de abordare algebrică a problemei.

Am constatat în „analiză” cum forma algebrică a lui (a) corectează impul-sul inițial de a lucra cu „razele Malfatti” drept necunoscute. Tentativa naturală de eliminare succesivă a variabilelor ar fi fost (4), dar aceasta coincide cu (1). Se observă că în (1), (4) sau (5) necunoscutele apar sub „formele primare” și Este natural atunci să examinăm substituția ce ne dă posibilitatea de a scrie

Am adoptat la (5) o formă încă incomplet cizelată spre a ușura observația că ecuația revine astfel la o ecuație trigonometrică omogenă:

(6)

Se constată că, grăbindu-ne să rezolvăm ecuația de grad doi în efectuăm calcule îngreuiate și urâțite de pierderea simetriei problemei.

Revenim la (1), considerând natural și obținem o primă reformulare Se remarcă ce permite considerarea variabilei ajutătoare astfel încât se obține astfel reformularea (7)

Prelucrând analog și a doua egalitate (1), în baza presupunerii tacite că am folosit doar unghiuri din primul cadran, ni se impune să privim (7) sub forma mai simplă (8) Aplicând celor doi membri funcțiile cosinus și, respectiv, sinus, regăsim (2) și (3). Ne putem dispensa de substituțiile și notațiile trigonometrice dacă întrevedem modalități algebrice (chiar artificioase) de a obține direct (2) și (3). Dat fiind că îl avem pe prin intermediul lui ne îndreptățește să considerăm numărul complex

Continuarea soluției este indiscutabil firească.

Departe de noi gândul de a nega prin acest comentariu valoarea rezolvării de mai sus.

Am pledat pentru importanța deosebită ce trebuie acordată redactării unei soluții. Momentul în care se „scurtcircuitează” rezolvarea unei probleme obligă la temperarea euforiei, realizabilă printr-o privire lucidă a ansamblului problemă + rezolvare conturată.

Trebuie evaluată naturalețea, forța de convingere, rezonanța ei cu alte probleme sau domenii. Eventuala posibilitate de a „forța rezolvarea” prin calcule „disperate” trebuie doar să ne insufle încrederea că avem în rezervă o cale de rezolvare, dacă nu vom reuși să găsim variante mai avantajoase, mai elegante.

2). Credem că rezolvarea a ilustrat convingător afirmația anterioară referitoare la direcționarea considerațiilor geometrice de către studiul algebric. Deși nu s-au făcut referiri ostentative la sistemul algebric, desemnarea lui cu o literă de caracter mai proeminent ne dă o „imagine grafică” a frecvenței cu care a intervenit. Eventuala tentativă de căutare a cercurilor ex-Malfatti ar face vizibilă și influența unor modificări din studiul algebric. Nu se poate „reproșa algebrei” faptul că, în momentul dificil al asigurării existenței soluțiilor, a preferat căilor ei specifice o cale ce a îmbinat geometria cu analiza matematică. Din contra, un astfel de „altruism” suplimentează eleganța.

3). Figura III.26 a fost afectată de două aparențe, desigur întâmplătoare: „I ∈ P “ și Pe figura III.27 cercul U pare „aproape” tangent laturilor. Sugerăm transformarea acestor defecte în calități prin studierea problemelor:

1. Să se caracterizeze triunghiurile ABC pentru care centrul I al cercului înscris se plasează pe un cerc Malfatti. Se poate corela această condiție cu: „unul dintre punctele de contact al unui cerc Malfatti să fie piciorul unei bisectoare”?

2. Să se determine triunghiurile ABC în care Studiul configurației Malfatti se poate continua în multe direcții; vom propune încă două subiecte de reflexie în probleme ce nu le-am găsit abordate.

3. Ce condiție trebuie să îndeplinească un triunghi ABC, astfel încât vârfurile sale să fie centrele cercurilor Malfatti ale unui triunghi

4). Figura III.28 de la problema M+ este mai mult o figură „copiată” și atât de rău dimensionată, încât am preferat să o trunchiem spre a nu avea o zonă lipsită de „informații”. Oare nu cumva, prin comoditatea de a nu adapta o figură convingătoare, ne-am dezis de repetatele referiri la importanța figurilor în probleme de geometrie? Desigur că nu. S-a ilustrat aici situația relativ frecventă în care suntem nevoiți să intuim modalități de deformare ale unei configurații. Probabil, cea mai bună strategie în aceste situații, constă în sprijinirea efortului imaginativ pe o figură concretă (a cărei realizare impune și o ierarhizare), să gândim că un punct relativ simpatic se de-plasează puțin într-un sens precipitat și să urmărim efectul asupra punctelor din ce în ce mai antipatice. (De multe ori o astfel de „deformare” ne plasează în fața unei probleme de loc geometric generatoare de soluții, interpretări geometrice sau generalizări). Figura III.28 este o „copie” a figurii III.27 , deoarece ne interesau deplasări mici ale punctului de o parte și de alta a „poziției critice”, tangența lui N t și P t , a cărei existență era în discuție. Deformarea era destinată relevării unor particularități ale poziției critice (anularea funcției f), prin care să o putem realiza.

Declarasem anterior intenția de a prezenta prin triada P, M, Q, culmi oarecum complementare ale problemelor de construcție. În P aportul algebrei a fost neglijabil, iar în M considerațiile algebrice le-au acoperit aproape complet pe cele geometrice. O cale de mijloc, a îmbinării echilibrate și a intercondiționării, se va releva în Q. Discuția lui P a evidențiat numeroase situații critice, reale sau doar ipotetice, într-o conexiune complexă.

În M, discuția a fost practic absorbită de celelalte etape, deciziile ei frizând banalitatea: totdeauna soluție unică. Vom găsi în Q o discuție bazată pe o ramificare clară, fermă.

Datele problemelor P și M s-au distins prin maximum de generalitate; la Q vor conține o particularitate la care ne va fi imposibil să renunțăm. Drumurile spre soluțiile problemelor M și P au fost relativ unice; vom observa la Q o multitudine de variante eficiente de edificare a soluției.

Dar, este deja vremea să prezentăm enunțul problemei Q.

Problema Q (problema lui Pappus) : Fiind dat un pătrat ABCD de latură a și un segment de lungime b, să se construiască prin C o dreaptă care să intersecteze în puncte astfel încât

Q este una dintre numeroasele probleme ce beneficiază meritat de numele marelui geometru alexandrin, Pappus. Și această problemă a fost rezolvată impecabil de Pappus, așa cum se va vedea din soluția a șaptea; informațiile istorice pe care le avem nu menționează cunoașterea acestei probleme anterior lui Pappus.

Deoarece rezolvarea lui Pappus ( prezentată în lucrarea „Problema lui Pappus și primele sale o sută de soluții” ) nu este înserată în această sută, conchidem că „primele” indică o ordonare a lui Maroger, ce pare să fi avut resurse să ne mai facă un tur prin matematicile contemporane, cu „o a doua sută de soluții”. Evaluarea nu este exagerată deoarece nici una dintre soluțiile geometrice consemnate aici nu este inclusă în lucrarea sa.

Acomodarea cu problema ne plasează în fața figurii III.30. Ne manifestăm intenția de a contura o soluție calculativă, bazată pe determinarea (în funcție de a și b) a lungimii orientate orientarea pe AB fiind aleasă prin condiția

Soluția întâi. Din rezultă teorema lui Pitagora în asigură deci are loc:

(1)

S-ar părea că această cale ne este închisă, ecuația (1) având, evident, gradul patru! Insistând, totuși, observăm că factorii din membrul secund sunt și (1) se transcrie a2)2 = (a2 + b2) x2 . Este justificată astfel considerarea unui segment auxiliar geometric, îl vom concepe drept ipotenuza unui triunghi de catete

Desfacem deci (1) în:

(2) și

(3)

Pasul decisiv a fost realizat; rezolvarea va consta în construirea succesivă (cu rigla și compasul) a rădăcinilor a două ecuații de grad doi.

Pentru „discuție” vom constata că (2) are discriminantul: Condiția este echivalentă cu alternativa b ≤ a = AC o exclude; acceptând prin ridicare la pătrat, condiția se transcrie echivalentă cu

Discriminantul ecuației (3) este totdeauna pozitiv: chiar dacă b2 < 8a2, dar acum ultima egalitate este consecința ipotezei suplimentare admise.

Vom încheia relatarea primei soluții cu un tabel ce rezumă discuția și cu ilustrarea prin figura III.31 a cazului critic .

Soluția a doua. Considerăm acomodarea făcută prin soluția precedentă. Constatăm că (2) și (3) se transcriu împreună prin

(4)

Interpretând geometric pregătim o aplicare a teoremei catetei .

Analiza. Presupunem problema rezolvată și fie(figura III.32) astfel încât Prin teorema catetei în obținem: prin (4) deducem

Construcția. Punem în evidență succesiv segmentele și Construim un triunghi XYZ, dreptunghic în X, cu și cu înălțimea (din X) egală cu a. (În acest scop se intersectează un semicerc C de diametru unde cu paralela p la aflată la distanța a, găsind X (figura III.33)). Se determină, apoi, așezând pe AB, de o parte și alta, segmente BP, BM congruente cu proiecțiile catetelor, se ia aici precauția este dreapta căutată.

Discuția relevă singurul moment critic: intersectarea lui p cu cercul C . După cum există soluții. Se analizează separat cele două determinări ale lui d și se regăsește

Soluția a treia. Prima soluție s-a bazat, din punct de vedere algebric pe observarea norocoasă a unui „produs al sumei cu diferența”. Din punct de vedere geometric este ușor (și util) de observat că o simetrie față de dreapta AC păstrează calitatea de soluție a unei drepte MN. Deducem că și din punct de vedere algebric trebuie să existe o simetrie între rolurile jucate de și de (Un iubitor al algebrei ar fi putut opera această deducție „în sens invers”!).

„Desfăcând (1), se obține, într-adevăr, o ecuație „quasireciprocă”:

Împărțind prin grupând convenabil și notând (5) obținem (6) cu soluțiile Presupunem construit grafic un segment de lungime Schimbarea semnului lui s impune prin (5) schimbarea semnului lui x, deci înlocuirea lui M cu simetricul său față de B. Problema s-a redus astfel la determinarea lui BM, DN, astfel încât: și Se procedează la fel ca în soluția precedentă, în raport cu care s-a schimbat aici doar interpretarea geometrică.

Soluția a patra. Răsturnăm ierarhia problemei considerând „dat” triunghiul ABC; reținem, desigur, (7) Impunând lungimii bisectoarei AC valoarea se obține condiția:

(8)

Algebric, apare convenabilă necunoscuta (9) Din (8) rezultă (10) și prin (7) apare ecuația cu soluțiile Pentru fiecare y, privim (9) + (10) drept un sistem echivalent unei ecuații de grad doi ce ne furnizează soluții dacă y(y – 4a) ≥ 0. Se constată, imediat, că oferă totdeauna două soluții (semidrepte interioare unghiului BCD) și pentru se continuă firesc drumul spre

Soluția a cincea. După ce se determină ca în soluția precedentă cele două valori ale lui y, prin (7) și (9) avem de rezolvat următoarea problemă „redusă”.

Q1. Să se construiască cunoscând ∢MAN = Â, latura opusă și suma (sau diferența)

(Desigur, ne-ar ajunge cazul particular  = 90º dar o astfel de particularizare nu ușurează esențial soluția ce o vom da. Acceptarea situației revine, de exemplu, la o renotare a punctelor M și N).

Analiza. Presupunem problema rezolvată; fie AMN triunghiul căutat. Punem în evidență și construind S și T pe AM, astfel încât Ne apare astfel următoarea problemă de loc geometric.

Q2. Fie puncte fixe, A un punct variabil pe un arc de cerc C , capabil de unghi  în raport cu (MN). Să se precizeze locurile geometrice S și T ale punctelor S și T ale dreptei AM, caracterizate prin

Se observă ușor ∢MSN ∢ASN = Â/2, (figura III.34) deci S se plasează pe un arc capa-bil în raport cu Locul geometric este limitat în N și într-un punct F astfel ca MF să fie tangentă la C și este un „ punct limită ” de care S se apropie, fără a-l atinge, când A tinde la M).

Se poate observa că S poate fi privit drept arc capabil de unghi în raport cu centrul cercului suport al lui S este mijlocul E al lui C .

Când , AM > AN și rezultă :

∢MTN = 180º – ∢NTA = 90º + ∢A / 2 .

Deci T descrie, deocamdată, un arc T1 , capabil de unghi

Pentru A în E se obține Pentru , se constată că T este pe cercul suport al lui T1. Poziția limită a lui T este simetricul G al lui F față de M, deci T este un arc deschis, .

Se poate interpreta T drept arc capabil de unghi în raport cu

Pentru asigurarea valabilității descrierilor de mai sus ale lui S și T este suficient să observăm că punctele arbitrare S’ ∈ S sau T’∈ T se obțin conform enunțului când A se alege în pe MS sau în pe MT; bineînțeles, sunt pe C .

Menționăm că această problemă Q2 este rezolvată frecvent greșit, comple-tând S cu , sau … văduvind T de . Frecvența greșelilor este ciudată și explicabilă doar printr-un inexplicabil fenomen de molipsire.

Prin rezolvarea problemei Q2 considerăm încheiată etapa de analiză pentru Q1.

Construcția. Se trasează de lungime b și arcul C capabil de unghiul în raport cu Pe tangenta în M la se iau punctele astfel încât și G fiind separate de dreapta MN. Cu centrul în mijlocul E al lui E și cu raza EN se trasează arcul S , limitat de N și F, de partea lui MN de care este E. Se determină diametral opus lui E în cercul suport al lui C . Cu centrul în se trasează arcul de cerc T = .

Dacăse intersectează S ∪ T cu cercul M (M, y) în U.

Dacă se intersectează cu cercul M’ (M,- y) în U.

Se determină A intersectând C cu MU. (De la semnul înainte, detaliile nu mai pot fi urmărite pe figura III.34).

Demonstrația fiind imediată, punctăm doar elementele principale ale discuției. Pentru se obține soluție unică (enunțul impune roluri distincte pentru M și N). Situația nu permite soluții.

Pentru avem două soluții, ce se confundă când

Desigur, adaptarea lui Q1 în Q mai solicită eforturi de rutină: plasarea triunghiului AMN la locul potrivit și „realinierea” discuției.

Soluția a șasea. După determinarea lui y ca în soluția patra, fie proiecția ortogonală H a lui A pe MN , (figura III.35).

Deducem (a / b)|y| . Pentru o anume valoare a lui y, H se plasează pe un cerc H (A, (a / b)|y|) . Dreptele MN căutate sunt tangentele prin C la H . Ele sunt în număr de două/una/nici-una, după cum Aceste condiții trebuie, desigur, reformulate pentru fiecare determinare a lui y, prin ridicare la pătrat se obține o inegalitate referitoare la c etc. Se ajunge, desigur, la

Soluția a șaptea (a lui Pappus), este completă și elegantă.

Analiza. Presupunem problema rezolvată; fie MN dreapta căutată. Fie (figura III.36) punctele pe BC, astfel încât Se observă

Pentru triunghiul CML, dreptunghic în M, se realizează condițiile:

– înălțimea MK este congruentă cu

– suma (sau diferența) catetelor este egală cu b.

Pentru cazul din figură deducem imediat:

ultima

egalitate reluând o notație anterioară. Rezultă de aici

Construcția. Pe prelungirea lui DC se determină Q, astfel încât cercul B (B, BD) intersectează BC în L; cercul L de diametru intersectează AD în M. CM intersectează AB în N. (Pe figura III.37)apar și versiuni L’, L’ pentru L și L ; trei dintre soluții au fost trasate (gros) dar nu au fost notate).

Demonstrația. Deoarece în analiză s-a considerat că sunt separate de CD, ne concentrăm atenția asupra situației contrare din figura III.37. Folosind proiecția ortogonală a lui M pe CL, observăm

Urmează

deci q.e.d.

Discuția. Există, evident, puncte distincte și deci două semicercuri L , L’. Cu notația din figura III.37, unde B este între C și L, cercul L intersectează AD în două puncte, deoarece: 2CD ultima inegalitate fiind evidentă. Cercul L’ este secant lui AD dacă Se regăsește astfel tabloul .

Comentarii :

1). Dacă ABCD este dreptunghi, deci AD = a1≠ AB = a , niciuna dintre soluții nu poate fi adaptată. Mai mult, nu există nici o modalitate de a construi cu rigla și compasul dreapta MN corespunzătoare unei valori b arbitrare.

2). În soluția a patra nu s-a precizat dacă se calculează AC drept bisectoare interioară sau exterioară. Utilizarea segmentelor orientate permite ca (8) să fie valabilă în ambele alternative, dacă gândim AC bisectoare interioară/exterioară după cum