Probleme Celebre ale Antichitatiidoc

=== Probleme celebre ale antichitatii ===

Capitolul II

PROBLEME CELEBRE ALE

ANTICHITÃþII

§.1. Dublarea cubului și trisecțiunea unghiului

Grecii antici au întâlnit câteva probleme de construcție, pe care n-au reușit să le rezolve cu instrumentele lor tradiționale, rigla și compasul. Acestea sunt: dublarea cubului (fiind dat un cub, să se construiască muchia cubului cu volum dublat), trisecțiunea unghiului (împărțirea unui unghi în trei părți egale) și cvadratura cercului (construcția unui pătrat cu aria egală cu aria unui cerc dat) .

Problemele menționate au început să fie studiate în secolul V î.H., în perioada cea mai înfloritoare a Atenei și ele au rămas permanent în centrul preocupărilor matematicienilor.

Se poate afirma că întreaga dezvoltare a matematicii grecești este în legătura cu eforturile depuse în vederea soluționării lor. Pentru rezolvarea acestor probleme, grecii au imaginat diferite instrumente noi și curbe noi. Aceste probleme i-au preocupat pe matematicieni și mai târziu până în secolele recente.

Cu privire la originea problemei dublării cubului cunoaștem mai multe legende. O scrisoare a lui Eratostene, adresată regelui Ptolemeu, ne-a transmis două versiuni. În ea se citează dintr-o tragedie pierdută a lui Euripide, în care regele Minos ordona să se dubleze mormântul fiului său, păstrând forma lui cubică.

În scrisoare se arăta că Hipocrate din Chios a căutat să rezolve problema reducând-o la una tot atât de grea și anume interpolarea a două medii proporționale între muchia cubului dat și dublul muchiei1.

În continuare se istorisește o altă legendă. La Delos bântuia ciuma. Oracolul consultat a sfătuit să se dubleze altarul lui Apollo. Locuitorii insulei Delos2 au construit un altar tot în formă de cub, cu muchiile dublate, dar ciuma n-a încetat, iar oracolul a repetat că Apollo dorește un altar exact de două ori mai mare.

Cercetând algebric problema dublării cubului și cea a trisecțiunii unghiului, se observă că ele duc la ecuații de gradul al treilea.

1˚. Problema dublării cubului

În problema delică se cunoaște muchia cubului a și se cere să se construiască muchia altui cub având volumul 2a3. Punând problema în ecuație, avem:

x3 – 2a3 = 0 care revine la ecuația: x3 – 2 = 0.

Această ecuație nu are rădăcina rațională și deci nu are nici rădăcină construibilă cu rigla și compasul. Adică problema delică nu poate fi rezolvată cu rigla și compasul.

Pentru a da totuși o rezolvare aproximativă problemei dublării cubului considerăm valorile aproximative ale numărului :

Fracția = 1,2599275…

reprezintă o bună aproximare. Ea se poate scrie :

care se construiește ușor. Construim pătratul ABCD (figura II.9), cu AB = 1 și prelungim latura AD cu DF = și latura DC cu CE = 1.

Avem: + ; + .

Luăm FJ = 1, FG = FE, deducem: GH║ BE și JK ║BH.

Avem FK ~ , căci , adică

FK = = =1,2599275.

Printre alții care au adus contribuții în rezolvarea problemei dublării cubului menționăm pe M. Stifel în lucrarea Arithmetica integra ( Nürnberg, 1544); Huygens, în lucrarea Varia opera mathematica , Apollonius, Mascheroni, Vargiù, Buonafalce, Boccali.

2˚. Problema trisecțiunii unghiului

Fiind dat un unghi α, se cunosc punctele (1,0) și (cosα, sinα), ambele fiind pe cercul unitar. Se cere punctul (cos , sin).

Cunoaștem formula: cos = 4cos 3 – 3cos .

Punând x = 2cos , obținem ecuația trisecțiunii: x3 – 3x – 2cos = 0 .

Este suficient să găsim o singură valoare a lui , pentru care ecuația nu are rădăcina rațională. Considerăm = , cos = . Pentru această valoare a lui , ecuația devine: x 3 – 3x – 1 = 0 .

Această ecuație nu are rădăcină rațională, nu are deci nici rădăcină construibilă cu rigla și compasul. Tragem și concluzia că trisecțiunea unghiului în cazul general nu poate fi efectuată cu rigla și compasul.

Pentru unele valori ale lui , ecuația trisecțiunii admite rădăcina rațională. Astfel pentru = , 2cos = –2, x = 2cos = 1.

Adică unghiul poate fi împărțit în trei părți egale cu rigla și compasul.

Există o mulțime infinită de valori ale lui pentru care ecuația trisecțiunii admite rădăcină rațională, adică construibilă cu rigla și compasul și de asemenea infinit de multe valori pentru care trisecțiunea nu este posibilă. Astfel, în cazul unghiurilor , unde m și n sunt numere naturale, trisecțiunea este efectuabilă cu rigla și compasul. Iar unghiurile nu pot fi trisecționate cu rigla și compasul.

Unghiurile care nu pot fi secționate formează o mulțime de puterea continuului, iar cele care pot fi trisecționate formează o mulțime numărabilă.

În ceea ce urmează vom prezenta câteva metode interesante prin care se încearcă rezolvarea aproximativă a problemei.

Metoda lui Dürer:

► Maestrul Dürer este unul dintre primii care a dat în mod conștient o metodă de aproximare pentru trisecțiunea unghiului. El împarte coarda AB (figura II.10), corespunzătoare arcului, respectiv unghiului, în trei părți egale. În punctele de diviziune ridică perpendiculare până la arcul de cerc (punctele E și F). Consideră AG = AE, respectiv BH = BF. Împarte segmentele CG, respectiv HD, în trei părți egale ca să avem KG = CG, respectiv LH = DH.

Consideră punctele AM = AK, BN = BL. Punctele N și M sunt punctele care împart arcul AB în trei părți aproximativ egale. Adică a considerat media arcelor AE , EF și FB.

După cum am văzut matematica nu respinge deloc posibilitatea de a efectua această împărțire cu ajutorul altor instrumente. Pentru atingerea scopului propus s-au inventat multe instrumente mecanice care se numesc trisectoare.

► Cel mai simplu trisector îl putem confecționa din hârtie groasă, carton sau tablă subțire (figura II.11).

Porțiunea alăturată semicercului AB este egală, ca lungime, cu raza acestui semicerc. Marginea porțiunii BD formează un unghi drept cu dreapta AC.

Să presupunem, de exemplu, că ni se cere să împărțim unghiul KSM în trei părți egale.

Trisectorul se așează în așa fel, ca vârful unghiului S să se afle pe linia BD, o latură a unghiului să treacă prin punctul A, iar altă latura să fie tangentă la semicerc.

Apoi se duc dreptele SB și SO și împărțirea unghiului dat în trei părți egale s-a terminat.

Pentru a demonstra aceasta, să unim printr-un segment de dreaptă centrul semicercului O cu punctul de tangență N. Este ușor să ne convingem de faptul că triunghiul ASB este egal cu triunghiul SBO, iar triunghiul SBO este egal cu triunghiul OSN.

Din egalitatea acestor trei triunghiuri rezultă că unghiurile ASB, BSO și OSN sunt egale între ele, ceea ce trebuia demonstrat.

Această trisecție a unghiului nu este pur geometrică; o putem numi mai curând procedeu mecanic.

► Un alt procedeu inedit constă în folosirea riglei, a compasului și a unui ceas în împărțirea unui unghi în trei părți egale.

Se procedează în felul următor: copiem figura unghiului dat pe o hârtie transparentă și în momentul când ambele ace ale ceasului coincid, să așezăm desenul pe cadran în așa fel încât vârful unghiului să coincidă cu centrul de rotație al acelor și o latură a unghiului să se suprapună de-a lungul acelor.

În momentul când minutarul ceasului se va mișca până va coincide cu direcția celei de-a doua laturi a unghiului dat (sau îl vom roti singuri), să ducem din vârful unghiului o rază în direcția acului care indică ora. Se va forma un unghi egal cu unghiul de rotație al acestui ac al ceasului. Acum, cu ajutorul compasului și al riglei să dublăm acest unghi, iar unghiul astfel dublat să-l dublăm din nou.

Unghiul obținut astfel va constitui din unghiul dat.

Într-adevăr, de fiecare dată când minutarul descrie un unghi oarecare α, acul care indică orele se va mișca în acest timp cu un unghi de 12 ori mai mic , iar după mărirea acestui unghi de patru ori se va obține · 4 = .

§. 2. Numărul π și cvadratura cercului

„ Это я знаю и помню прекрасно

Пи многие знаки мне лишни напрасны ” 1

E. I. Terskov

1º. Numărul π

În prezent, orice școlar calculează lungimea unei circumferințe după diametrul ei, într-un mod mai exact decât cel mai înțelept preot din străvechea țară a piramidelor sau cel mai iscusit arhitect al măreței Rome fără să bănuiască că în calculele lor se strecoară un număr care a adus multă neliniște în rândul celor mai mari matematicieni ai lumii de-a lungul mileniilor.

„A fǎcut marea turnatǎ din aramǎ. Avea zece coți dela o margine pânǎ la cealaltǎ, era rotundǎ de tot, înaltǎ de cinci coți, și de jur împrejur se putea mǎsura cu un fir de treizeci de coți.“

(1Regi 7:23; 2 Cronici 4:2)

În acest text din Biblie găsim valoarea trei pentru numărul .

Și vechii evrei utilizau aceeași valoare 3 pentru numărul , însă babilonienii, mai exacți, foloseau în calcule

= 3 + + ≈ 3,125

Egiptenii antici cunosc o aproximare mai bună, astfel: pe papirusul Rhind (1700 î.H.), calculând aria unui disc, scribul Almes a utilizat = =1,160

În geometria sacrală indiană, în așa-numitele sulba-sutre care provin din secolele al VIII-lea—al III-lea î.H., apar valori remarcabile pentru π: Āryabhata (499 d.H.) calculează perimetrul poligonului înscris cu 386 de laturi și obține valoarea π = = 3,1416.

Arhimede a estimat valoarea lui , circumscriind și înscriind unui cerc poligoane regulate cu 96 aproximație și anume:

3∙ < < 3∙

Chinezii antici au făcut de asemenea multe cercetări remarcabile cu privire la valoarea lui π dintre care Liu-Hui (236 d.H.), urmând calea lui Arhimede, ajunge la poligonul cu 192 de laturi și găsește π = 3,14 iar Tsu Ch’ing-Chi, numit și Wen-Yûan (462 d.H.), avea să dea o valoare surprinzător de precisă pentru acele vremuri, considerând pe π între 3,1415926 și 3,1415927, iar pentru scopuri practice ia π = sau π = .

Fr.Viète utilizând tot metoda lui Arhimede, ajungând până la poligoanele înscrise și circumscrise cu 6 ∙ 216 laturi, a determinat valoarea lui π cu 9 zecimale exacte.

Cele mai bune aproximări pe această cale provin de la câțiva matematicieni olandezi dintre care îl amintim pe Ludolph van Ceulen care, în 1596, a găsit pentru π 20 de zecimale exacte cu ajutorul poligonului cu 15∙237 laturi (cu ajutorul formulei l – ρn = l ), iar mai târziu, printr-o muncă laborioasă, a obținut 35 de zecimale exacte calculând perimetrul poligonului cu 262 laturi și a lăsat prin testament ca acest număr să fie gravat pe mormântul său funerar.

Între anii 1946 și 1947 D.F. Ferguson (Universitatea din Manchester) și, independent de el, J.W. Wrench (din Washington) au calculat valoarea lui π cu 808 zecimale și s-au simțit satisfăcuți că în calculele lui Shenks (care în anul 1873 a publicat o valoare a lui π cu 707 zecimale) au descoperit o eroare începând cu cifra a 528-a.

Mai târziu, cu ajutorul unei mașini electronice de calcul a Universității Pensilvania tip ENIAC, s-a calculat valoarea lui π cu 2040 de zecimale (în timp de 96 de ore).

O preocupare constantă a matematicienilor a fost ameliorarea prin diferite metode a aproximației numărului .

Astfel, istoria matematicii consemnează formule de calcul ale lui :

= 1 – + – + – … (formula lui Leibniz)

= 2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ … (Wallis)

2 = 6 ( + + + + … ) (Euler1 )

cu care se poate obține aproximația dorită a numărului .

Tot Euler a relația dintre funcția exponențială și funcțiile circulare:

eix = cos x + i sin x

Punând în această egalitate x = π, obținem

eiπ = -1

relație care va duce la descoperirea naturii numărului π.

Caracterul său irațional2 a fost stabilit în secolul al XVIII-lea de către Lambert și Legendre. Mai târziu, abia în anul 1882, prin cercetările matematicianului Ferdinand Liendemann, numărul care a frământat mii de ani pe cei mai mari matematicieni ai lumii și-a dezvăluit adevărata sa identitate. Numărul nu este algebric, adică el nu poate fi obținut în urma rezolvării unei ecuații algebrice oarecare cu coeficienți raționali.

Astfel de numere se numesc transcendente (valoarea sa nu se poate preciza printr-o combinație în număr finit de operații aritmetice sau algebrice). Acest fapt nu a oprit pe mulți matematicieni să-i găsească și alte zecimale; astfel, în 1989, alți doi americani, utilizând un calculator deosebit de performant, au stabilit primele 1.001.196.691 de zecimale ale lui π.

Astfel de numere lungi care exprimă în mod aproximativ valoarea lui π, nu au o importanță nici practică, nici teoretică.

Dacă am fi dorit, de exemplu, să calculăm lungimea ecuatorului terestru cu o exactitate de până la 1 cm, presupunândcă se cunoaște lungimea exactă a diametrului său, atunci pentru aceasta ne-ar fi fost pe deplin suficient să luăm numai primele nouă cifre de după virgulă din valoare lui π.

Matematicianul Grave a demonstrat într-un mod extrem de clar absoluta inutilitate chiar și a primei sute de cifre zecimale din valoarea lui π. El a calculat că, dacă ne-am imagina o sferă, a cărei rază să fie egală cu distanța de la Pământ la steaua Sirius (132·1010 km), am umple această sferă cu bacterii, presupunând că în fiecare milimetru cub al sferei ar exista câte un bilion (1010) de bacterii, apoi toate aceste bacterii le-am așeza într-o linie dreaptă în așa fel ca distanța dintre două bacterii învecinate să fie egală din nou cu distanța de la Pământ la steaua Sirius, atunci acceptând acest segment fantastic drept diametru al unui cerc, am putea calcula lungimea sa cu o precizie microscopică, adică de până la mm, folosind 100 de zecimale după virgulă din valoare lui π.

Pentru calculele obișnuite cu π este pe deplin suficient să ținem minte primele două zecimale (3,14), iar pentru calcule mai exacte e suficient să reținem expresia:

„ Așa e ușor a scrie renumitul și utilul număr din carte“

în care zecimalele numărului π sunt egale cu numărul de litere ale fiecărui cuvânt.

2º. Cvadratura cercului

Problema construcției unui număr care nu este rădăcina unei ecuații cu coeficienți raționali se numește transcendentă. Un exemplu clasic este problema cvadraturii cercului. Ea constă în a construi cu rigla și compasul un pătrat a cărui suprafață să fie egală exact cu suprafața unui cerc dat, cu ajutorul doar a două feluri de operații de desen:

ducerea circumferinței, cu raza dată, în jurul unui punct;

ducerea unei linii drepte prin două puncte date.

Dacă notăm cu r raza cercului, precum se știe aria cercului este : ∙r2 = (2r)∙r

adică aria cercului este egală cu aria unui triunghi, care are drept bază lungimea cercului, iar ca înălțime raza sa. Dacă am putea rezolva problema rectificării cercului, cvadratura triunghiului se poate efectua.

Deci problema cvadraturii cercului se reduce la problema rectificării cercului și aceasta revine la construirea unui segment de mărime . Ferdinand Liendemann a arătat în anul 1882 că numărul este transcendent, deci nu poate fi construit cu rigla și compasul.

Cercetările cu privire la problema cvadraturii cercului pot fi grupate în trei perioade: prima datează de la primele încercări și până la descoperirea calculului infinitezimal (în aceasta perioadă matematicienii se străduiau să determine numeric raportul dintre lungimea cercului și diametrul său, cu ajutorul construcțiilor geometrice); în perioada a doua, care ține până la mijlocul secolului al XVIII-lea, se fac eforturi pentru a reprezenta cu expresii analitice, care cuprind operații infinite: serii infinite, produse infinite sau fracții continue infinite; în perioada ultimă s-a studiat natura numărului : dacă este rațional sau irațional, algebric sau transcendent.

La sfârșitul secolului al V-lea problema cvadraturii cercului era deja foarte populară apărând și într-o comedie a lui Aristofan. Sofistul Antifon, după cum rezulta din niște comentarii, a încercat să rezolve problema înscriind în cerc un poligon și mărind tot mai mult numărul laturilor, înjumătățind arcele corespunzătoare, până ce poligonul se confunda cu cercul. Cvadratura poligoanelor se putea rezolva și, în consecință, Antifon credea posibilă și cvadratura cercului.

Hipocrate din Chios a studiat ariile unor lunule mărginite de arcele cercului, dar pe această cale nu a reușit să rezolve problema cvadraturii cercului.

Nicomede (anul 350) și Dinostratus au studiat problema cvadraturii cercului cu ajutorul unei curbe descoperite de Hippias.

Această curbă are ecuația: x =

Deci ea taie axa x-lor în punctul de abscisă . Dacă acest punct este construit, cvadratura cercului este posibilă.

Arhimede a demonstrat că problema cvadraturii și a rectificării cercului sunt echivalente. A stabilit o relație de recurență între perimetrul poligoanelor înscrise și circumscrise cu n respectiv 2n laturi.

( p2n = , p2n = ).

Caracterul irațional a lui π dovedit de Lambert nu a oprit eforturile „cvadraturiștilor“. Ei înțelegeau că iraționalitatea lui π nu face, prin ea însăși, ca rezolvarea acestei probleme să fie complet lipsită de speranță. Există numere iraționale pe care geometria le poate „construi” absolut exact.

Faptul că cvadratura cercului este de nerezolvat constă în caracterul trascendent al acestuia lucru demonstrat în 1882 de Liendemann unicul om care a rezolvat problema, cu toate că soluția lui este negativă, afirmând că această

construcție este de neefectuat din punct de vedere geometric, lucru susținut mai târziu de Weierstrass (1885), Hilbert, Hurvitz, Gordan, Weber, Lebesque, ș.a. În felul acesta, în 1882, s-au încheiat strădaniile de mai multe secole ale matematicienilor în această direcție.

Astfel stau lucrurile în ce privește problema cvadraturii cercului din punct de vedere teoretic. Din punct de vedere practic, căutările pentru aflarea cvadraturii cercului au devenit inutile de când au fost găsite primele 7 – 8 cifre exacte ale numărului π. Astronomul francez Arago scria cu privire la aceasta următoarele:

„Cei care caută cvadratura cercului continuă să se ocupe de rezolvarea unei probleme a cărei imposibilitate a fost dovedită cu prisosință în prezent și care, chiar dacă ar putea fi realizată, nu ar prezenta nici un interes practic.“

Pentru cerințele pe care le întâlnim în viața de toate zilele este pe deplin suficient să dispunem de procedee aproximative, satisfăcătoare pentru rezolvarea acestei probleme.

Să examinăm o astfel de soluție:

Procedeul pe care îl vom prezenta (numit Triunghiul lui Bing) constă în calculul unghiului α (figura II.12) sub care trebuie să ducem, la diametrul AB, coarda AC = x, care reprezintă latura pătratului necunoscut.

Pentru a afla mărimea acestui unghi, trebuie să recurgem la trigonometrie:

cos α = = , unde r este raza cercului.

Prin urmare, latura pătratului necunoscut va fi : x = 2r ∙ cos α , iar suprafața lui va fi egală cu 4r2∙cos2α . Pe de altă parte, suprafața pătratului este egală cu π∙r2, adică cu suprafața cercului respectiv. Deci:

4r2∙cos2α = π∙r2 , de unde cos2α = , cos α = = 0,886.

Cu ajutorul tabelelor vom găsi : α = 27° 36’ .

Așadar, ducând în cerc o coardă sub un unghi de 27° 36’ la diametru, obținem dintr-o dată latura unui pătrat, a cărui suprafață este egală cu suprafața cercului dat.

În practică pentru aceasta se confecționează un echer de desen, care să aibă un unghi ascuțit de 27° 36’ (celălalt va avea 62° 24’ )1.

Pentru cei care doresc să confecționeze un astfel de echer este utilă următoarea indicație: întrucât tangenta unghiului de 27° 36’ este egală cu 0,523 sau între catetele unui astfel de triunghi există raportul 23 : 44.

§.3. „Numărul de aur“

Din familia „numerelor celebre“ ale matematicii face parte, la loc de mare cinste, și „numǎrul de aur“ :

.

Istoria acestui numǎr se pierde în timpuri imemorabile, mult îndepǎrtate de zilele noastre, și nimǎnui nu i se poate atribui paternitatea descoperirii lui. Este interesant de remarcat faptul cǎ omul s-a folosit de acest numǎr, în realizǎrile lui de ordin practic (construcții) în mod instinctiv, înainte de a-i cunoaște identitatea. La originea descoperirii „numǎrului de aur“ se aflǎ așa-numita operație de împǎrțire a unui segment de dreaptǎ în „medie și extremǎ rație“ ce constǎ în gǎsirea unui punct C pe segmentul de dreaptǎ AB (vezi figura II.13) astfel încât:

(1)

Dacă notăm , avem :

iar (1) se transcrie sub forma: , sau (3)

Notăm , din (3) rezultă că: = x x2 x – 1 = 0 (4)

Rezolvând (4), rezultǎ rǎdǎcina pozitivǎ (5)

Așadar x = φ = 1,618… . Prin urmare, , (6)

Iar prin rezolvarea sistemului (2), în raport cu a și b, rezultǎ:

(7)

Denumirea de „numǎr de aur“ aparține lui Leonardo da Vinci, iar simbolul atribuit acestui numǎr „φ“ (sau „“) aparține matematicianului american Mark Baar (împreunǎ cu Schooling) și reprezintǎ prima literǎ a numelui celebrului sculptor antic grec Fidias care în lucrǎrile sale s-a folosit de aceastǎ proporție (1).

„ Această proporție geometrică, cred eu, a fost pentru creator o idee care rămâne singura veșnică pentru a releva crearea celui asemenea din cel asemenea…“

( J. Kepler)

„… Și să-l notăm cu de la inițiala sculptorului grec Fidias, nemuritorul creator de armonie și frumos, echilibru și perfectă proporționalitate a formelor și pe care, el, Fidias le-a considerat dintotdeauna controlate de numărul de aur!“

Vechii egipteni îl cunoșteau, de vreme ce l-au folosit la construcția piramidelor. Camera regelui din piramida lui Keops stă mărturie nepieritoare.

Școala lui Pitagora l-a studiat și ea, fără să-i fi atribuit acest nume. Poate că unul din motivele pentru care pitagoricienii și-au ales ca simbol pentagrama (figura II.14) stă în faptul că fiecare segment din această figura este în raport de aur cu segmentul mai mic cel mai apropiat.

În „Elementele“, Euclid enunța problema:

„Să se taie o dreaptă dată în așa fel încât dreptunghiul cuprins de dreapta întreagă și unul din segmente să fie egal cu pătratul segmentului rămas.”

Rezolvarea acestei probleme (figura II.15) ne duce la ecuația (4)

cu soluțiile φ = și ,

Numărul este singurul număr pozitiv din care dacă scădem unitatea ne dă inversul lui: – 1 = .

Astăzi nu mai există nici o indoială că la construcția Partenonului din Atena s-a folosit raportul de aur.

Fra Luca Pacioli di Borgio i-a zis, în lucrǎrile sale, nici mai mult nici mai puțin decât „ proporția divină “.

Scria Luca Pacioli :

„ După cum Dumnezeu nu poate fi dovedit prin cuvinte, tot așa nici acest raport nu poate fi îndeplinit printr-un număr rațional, ci rămâne totdeauna ascuns în secret și de aceea este numit de matematicieni irațional. “

Să fi exagerat Kepler când afirma că numărul de aur este unul din cele două mari comori ale geometirei alături de teorema lui Pitagora?

Cert este cǎ fascinația acestui numǎr constǎ în armonia și echilibrul raportului pe care îl exprimǎ, acestea regǎsindu-se și exprimând, în același timp, o „lege a creșterilor organice“. Sunt de amintit în acest sens fenomenele de filotaxis din botanicǎ cum și faptul cǎ φ poate fi definit și ca  în care an și an+1 sunt doi termeni consecutivi din șirul lui Fibonacci.

Aplicațiile acestui număr (și a proporției ca atare) se regăsesc de asemenea la „punerea în proporție“ a lucrărilor de arhitectură, în pictură, sculptură (în estetică și artă), în ritm (poezie) și muzică, demografie ș.a.m.d.

Priviți un tablou care reprezintă marea. Impresia de armonie pe care raportul de aur o dă este evidentă. Linia care desparte cerul de apă nu-i așezată niciodată la mijloc ci astfel încât lățimile celor două benzi să fie în raportul de aur .

În ultimele decenii ale mileniului au apărut cercetări de extensie a domeniului „serie de numere de aur“. Reținem în acest sens rezultatele cercetărilor care se referă la „volumul de aur“ (o extindere în spațiu tridimensional (3D) a proporției continue de forma ) și care implică un paralelipiped la care:

; ; , (8)

în care L și l sunt lungimea și lățimea dreptunghiului de bază a paralelipipedului iar h-înălțimea lui (h>l) și care, la rândul său, conduce la ecuația caracteristică:

(9)

cu unica rădăcină reală pozitivă ξ = 1,324717… ce a fost denumită „numărul de aur 3D“. Se remarcă ușor faptul că h este media geometrică între L și l, fapt ce conferă structurii o unitate specială, elementele paralelipipedului (L, h, l ) fiind corelate prin proporția continuă :

(10)

Cercetările matematice în acest sens au fost extinse apoi în spațiul cu „n“ dimensiuni.

§.4. Împărțirea cercului în n părți egale

O problemă deosebit de importantă și interesantă este înpărțirea cercului în n părți egale. Această problemă cere construirea cu rigla și compasului a n puncte care să împartă cercul în n arce egale. Din geometria elementară știm că aceste puncte sunt tocmai vârfurile unui poligon regulat cu n laturi. Așadar, problema împărțirii cercului și problema construirii poligoanelor regulate sunt probleme identice.

Încă din antichitate problema împărțirii cercului a fost rezolvată pentru n = 2,3,5,15 și pentru numerele care se obțin prin înmulțirea acestora cu 2k , unde k este un număr natural.

Se pune problema: pentru care numere n poate fi efectuată împărțirea cercului (în părți egale) ?

Este suficient să studiem cazurile în care n este număr fără soț și prim, sau este un număr de acest fel ridicat la o putere oarecare. Într-adevăr, prin împărțiri succesive cu 2, cazurile în care n este cu soț, pot fi reduse la cazuri în care n este fără soț ( ceea ce revine la împărțirea arcului sau a coardei în două părți egale ).

Propoziție : Dacă n este produsul a două numere fără soț, prime între ele, n1 și n2 , atunci împărțirea cercului pentru n = n1 · n2 se poate reduce la împărțirea cercului în n1 și n2 părți.

Demonstrație :

Cum n1 și n2 sunt numere prime între ele, se știe că ecuația

x · n2 – y · n1 = 1

are soluții numere întregi.

Fie x = k1 și y = k2 o soluție. Înmulțim ambii membri ai egalității :

k1 · n2 – k2 · n1 = 1 cu , și obținem : ·k1 – ·k2 = .

Observăm ca termenul din membrul al doilea este egal cu lungimea cercului împărțită la n1 · n2 părți, iar în membrul întâi lungimea cercului cercului este împărțită în n1, respectiv n2 părți, înmulțite cu k1, respectiv k2, ceea ce ne arată că împărțirea cercului pentru n = n1 · n2 este posibilă, dacă ea este posibilă pentru fiecare dintre numerele n1 și n2.

De exemplu, pentru n = 15 = 3·5, are loc egalitatea :

· , adică

și deci împărțirea cercului în 3 respectiv 5 părți egale rezolvă și problema împărțirii în 15 părți egale, caz particular cunoscut din antichitate. Să considerăm acum cercul de rază 1 pe care să-l împărțim în n părți egale. Punctele de împărțire corespund numerelor complexe care satisfac ecuația zn = 11.

A rezolva împărțirea cercului prin numărul n înseamnă a construi rădăcinile acestei ecuații. Rădăcinile ei diferite de 1 sunt date de ecuația :

numită ecuația împărțirii cercului. Studiind aceastã ecuație ne vom referi la lema și la teorema următoare2 :

Lema lui Gauss:

Dacă polinomul F(x) = x n + a 1 x n – 1 + … + a n are coeficienți întregi și se descompune în corpul rațional într-un produs de două polinoame, atunci F(x) poate fi scris și ca un produs de două polinoame cu coeficienți întregi.

Demonstrație :

Dacă F(x) = ( x + b 1 x – 1 + … + b ) ( x + c 1 x – 1 + … + c ) unde + = n , coeficienții b h si c k sunt numere raționale și dacă B h și C k (h = 1,2,…, ; k = 1,2,…,) sunt numere întregi, astfel încât avem

bh = Bh/B0 , ck = Ck/C0, [B0,B1,…,B] = [C0,C1,…,C] = 1

( parantezele indică c.m.m.d.c.), atunci:

B0C0F(x) = (B0x + B1x – 1+…+B)(C0x+C1x – 1+…+C).

Comparând coeficienții corespunzători obținem:

B0C0a1= B0C1 + B1C0

B0C0a2= B0C2+ B1C1 + B2C0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

B0C0ah+k= B0Ch+k + B1Ch+k–1 +…+ Bh–1Ck+1 + BhCk + Bh+1Ck–1+ … + Bh+kC0

Dacă p este un divizor prim al numărului B0C0, și totodată este divizor al numerelor B0, B1, … , Bh–1, C0 , C1, … , Ck–1, dar nu este divizor al numerelor Bh și Ck, atunci p împarte partea stângă a egalității anterioare, dar nu împarte și partea dreaptă (căci nu divide pe Bh∙Ck ). Din această contradicție rezultă că numărul B0C0 nu are divizor prim și astfel B0 C0=1, adică B0 = C0 = 1.

Teorema lui Einsenstein:

Dacă polinomul cu coeficienți întregi F(x) = x n + a 1 x n – 1 + … + a n are

coeficienții a1, a2, … , an divizibili cu un număr prim p, dar an nu este divizibil cu p2, atunci polinomul este ireductibil în corpul numerelor raționale.

Demonstrație:

Să considerăm funcția : și să luăm:

Acest polinom este ireductibil în virtutea Teoremei lui Eisenstein. Dar atunci este ireductibilă și ecuația împărțirii cercului:

Dacă n = p2 si p este un număr prim diferit de 2, atunci rădăcinile ecuației zp–1 = 0 sunt totodată și rădăcinile ecuatiei .

Problema împărțirii cercului în p2 părți duce la ecuația :

(1)

Acele p arce care cuprind câte o radăcină a ecuației zp – 1 = 0 sunt de două ori mai mari decât restul de p·(p – 1) – p arce. Prin înjumătățirile lor, cercul se împarte în p2 părți egale.

Pentru a arăta că și ecuația (1) este ireductibilă facem substituția z = x + 1, și ecuația devine: xp(p–1) + p∙x∙g(x) + p=0 , unde g(x) este un polinom cu coeficienți întregi de gradul p·( p – 1) – 2.

Această ecuație satisface condiția lui Eisenstein.

Teorema lui Gauss:

Împarțirea cercului cu rigla și compasul în n arce egale se poate efectua numai în cazul numerelor n care se pot descompune în factori primi de forma 2m+1, care figurează cel mult la puterea întâi.

Aplicând această teoremă, se constată că dintre poligoanele regulate având numărul laturilor mai mic decât 100, sunt construibile cu rigla și compasul cele cu următoarele numere de laturi:

3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,48,51,60,64,80,85,96.

Construirea efectivă a acestor poligoane în unele cazuri este prea laborioasă. Astfel Richelot, aplicând metodele lui Gauss, a construit poligonul regulat cu 257 laturi, dar construcțiile sale umplu 84 pagini.

Matematicianul Hermes a lucrat 10 ani la construirea poligonului regulat cu 65537 laturi. Manuscrisul se găseste în Biblioteca Seminarului de Matematică din Gottingen.