Modelarea Statistică în Măsurarea Riscului de Piață

Metode statistico-probabilistice de măsurare a riscului de piață pentru un portofoliu de active financiare. Indicatorul Value-at-Risk

Introducere

Metodele și tehnicile statistice care au fost dezvoltate pentru măsurarea riscului de piață, trebuie utilizate în funcție de particularitățile și caracteristicile pe care le prezintă fiecare instrument financiar.

Indicatorul Value-at-Risk reprezintă cea mai utilizată metodă pentru măsurarea riscului de piață în industria financiar-bancară. Pentru calcularea acestui indicator au fost elaborate mai multe metodologii care utilizează atât modele parametrice, cât și modele neparametrice de analiză.

Cele mai utilizate metode de calcul a Value-at-Risk sunt:

Metoda Analizei Varianță/Covarianță;

Metoda Simulării Monte-Carlo (ambele utilizează modele parametrice);

Metoda Simulării Istorice (utilizează modele neparametrice).

În cadrul acestui capitol, vor fi descrise cele trei metode de calcul a indicatorului Value-at-Risk, conceptele statistico-matematice care au stat la baza elaborării acestor metode, și modul în care este calculat VaR pentru un portofoliu de instrumente financiare.

Pentru început se presupune că se dă un portofoliu alcătuit din instrumente (active) financiare și se notează cu suma totală deținută pentru fiecare instrument exprimată în valuta în care se calculează VaR (de obicei VaR este exprimat în valuta țării în care este rezidentă instituția respectivă), iar reprezintă valoarea totală a portofoliului.

Metoda Analizei Varianță/Covarianță pentru calcularea indicatorului Value-at-Risk

Este cea mai răspândită metodă și a fost elaborată de Grupul de cercetare al Băncii J.P.Morgan.

Pornește de la ipoteza că modificarea prețurilor instrumentelor financiare care compun un portofoliu urmează o Repartiție Normală Multivariată. În aceste condiții, se consideră că repartiția evoluției profiturilor sau pierderilor pentru întregul portofoliu de active financiare, a cărui valoare este marcată la piață (mark-to-market value), este de asemenea normală. Odată fixată această ipoteză, proprietățile matematice ale distribuției normale standard sunt utilizate pentru a determina acele pierderi care vor apare începând de la un anumit nivel de probabilitate stabilit în prealabil , ceea ce reprezintă Indicatorul Value at Risk (VaR).

Reprezentarea teoretică a raționamentului este următoarea:

Dacă reprezintă pierderea potențială la momentul t pe orizontul de prognoză t+T, atunci această pierdere urmează o distribuție normală multivariată: , caracterizată prin media și dispersia .

Valoarea VaR calculat cu o probabilitate la momentul t este dată de relațiile:

(4.35)

Dar:

Notând , relația (4.35) devine:

unde:

(4.36)

În practica financiar-bancară internațională, Indicatorul Value-at-Risk este calculat fie la sfârșitul unei zile de tranzacționare, pe baza prețurilor de închidere, a pieței pentru un factor de risc , situație în care este valabil pentru a doua zi lucrătoare, fie pe termen mai lung (de la 10 zile până la 3 luni).

În cadrul aplicației din acest capitol, măsurarea VaR se va realiza utilizând acele modele de calcul pe termen scurt, respectiv o zi, deoarece pe termen scurt se presupune că este rezonabil să se considere că repartiția profiturilor și pierderilor unui portofoliu poate fi descrisă prin funcția de densitate normală normată. Argumentele sunt următoarele:

Repartiția Normală Normată are media egală cu zero, ceea ce se consideră că este acceptabil pentru modificările așteptate pe care le suferă prețurile instrumentelor financiare pe termen scurt (cum ar fi o zi în cazul nostru) care tind către valori foarte mici, apropiate de zero, conform ipotezei iv din sub-capitolul 4.2.2;

Deviația standard a repartiției normale normate, care măsoară dispersia acestei distribuții este aproximativ egală cu , unde – reprezintă valoarea tabelată a Funcției Laplace pentru un coeficient de probabilitate .

În situația în care avem o distribuție normală cu două laturi, pentru un , corespunde

un nivel al probabilității: .

Însă VaR măsoară numai pierderile potențiale ale unui portofoliu și, în consecință, probabilitățile trebuie calculate numai pentru distribuția normală cu o singură latură, respectiv pentru latura negativă.

Graficul din Figura 28 prezintă forma distribuției normale cu o singură latură. În această situație, la o valoare tabelată a lui de 1,65, corespunde o probabilitate .

Figura 28. Forma distribuției normale cu o singură latură

Interpretarea graficului este următoarea: în condițiile în care caracteristica studiată urmează o Repartiție Normală, este de așteptat ca valorile care sunt mai mici sau egale cu , să apară, în medie, în mai puțin de 5% din cazuri.

Extrapolând acest raționament pentru un portofoliu de instrumente financiare ale cărui profituri sau pierderi urmează o repartiție normală, se poate presupune că există o probabilitate de 5% ca pierderile acestui portofoliu să nu depășească -, ceea ce reprezintă de fapt Indicatorul VaR cu o probabilitate de 5%.

Odată clarificate aceste raționamente, se pot determina etapele necesare pentru calcularea Indicatorului VaR pentru un portofoliu de instrumente financiare prin Metoda Analizei Varianță / Covarianță.

Primă etapă constă în a verifica dacă legea de repartiție descrisă de evoluțiile profiturilor/pierderilor portofoliului analizat este normal distribuită.

Așa cum a fost prezentat în pargraful v din capitolul 4.2.2 a lucrării, în practica curentă, se acceptă că această repartiție este normală, însă din analizele efectuate asupra evoluției prețurilor diverselor instrumente financiare, și în special a celor de pe piețele emergente, cum este și cazul țării noastre, s-a ajuns la concluzia că modificarea logaritmică a prețurilor acestor intrumente nu urmează întotdeauna o distribuție normală.

Majoritatea seriilor modificărilor logaritmice ale prețurilor instrumentelor financiare urmează o Repartiție Normală Condiționată însă, se presupune că în timp ce modificările prețurilor instrumentelor financiare (rt) nu urmează o distribuție normală, raportul , unde reprezintă volatilitatea prognozată, urmează o distribuție normală normată de medie 0 și dispersie 1. Această abordare arată că volatilitatea este o funcție de timp, proprietate care este cunoscută în analiza seriilor de timp sub denumirea de heteroscedasticitate.

A doua etapă constă în calcularea volatilității pentru evoluția modificărilor prețurilor instrumentelor financiare care alcătuiesc portofoliul analizat.

Păstrând notațiile folosite în sub-capitolul 4.2.2, respectiv dacă reprezintă modificarea logaritmică a prețului unui instrument financiar la un moment dat t (), unde este prețul instrumentului financiar la același moment t, atunci volatilitatea poate fi calculată utilizând una din identitățile: (4.23), (4.26), (4.33) și (4.34) din sub-capitolul 4.2.3 a lucrării.

Așa cum a fost menționat în sub-capitolul 4.2.3., un model de prognoză a volatilității pe o piață financiară trebuie să ia în calcul heteroscedasticitatea, și în plus, trebuie să aloce o pondere mai mare valorilor mai recente ale acestor prețuri pentru ca volatilitatea să reacționeze mai rapid la șocurile recente care apar pe piețele financiare. Pentru aplicația din cadrul acestui capitol volatilitatea a fost prognozată utilizând metoda mediei mobile cu ponderi constante.

În a treia etapă se stabilește care este corelația dintre modificările logaritmice ale prețurilor instrumentelor financiare care alcătuiesc portofoliul. În acestă etapă se calculează:

Covarianța dintre modificările logaritmice ale prețurilor valutelor:

Coeficientul de corelatie dintre modificările logaritmice ale preturilor valutelor:

În ultima etapă se calculează Indicatorului Value-at-Risk pentru o zi lucrătoare utilizând identitatea:

(4.37)

unde: este matricea coeficienților de corelație;

reprezintă vectorul pierderilor potențiale pentru

active financiare, și factor de risc;

Matricea coeficienților de corelație , a modificărilor logaritmice ale prețurilor activelor financiare care compun portofoliul este dată de relația:

(4.38)

Pe diagonala principală, matricea are valori unitare, iar restul elementelor au valori egal-simetrice în raport cu această diagonală.

Metoda Simulării Istorice pentru calcularea indicatorului Value-at-Risk

Metoda Simulării Istorice utilizează modele neparametrice de calcul a indicatorului VaR, deci se pornește de la ipoteza că modificările prețurilor instrumentelor financiare nu urmează o repartiție teoretică.

Din punct de vedere statistic această metodă este echivalentă cu analiza interdecilică a unei serii de date.

O asemenea abordare prezintă un avantaj semnificativ în calcularea Indicatorului VaR deoarece, în cazul simulării istorice, forma repartiției este dată de însăși evoluția modificărilor prețurilor instrumentelor financiare.

În esență, Metoda Simulării Istorice pornește de la evoluția modificărilor istorice ale prețurilor instrumentelor financiare, iar pe baza acesteia se construiește o distribuție a profiturilor și pierderilor potențiale viitoare. În final se calculează indicatorul VaR pentru pierderile care depășesc nivelul de toleranță stabilit în prealabil.

Pentru început, se realizează structura portofoliului de active financiare pentru care urmează să se calculeze VaR. Acesta este reevaluat de un număr de ori egal cu numărul de date cuprinse în orizontul istoric de timp în care au evoluat prețurile instrumentelor care alcătuiesc portofoliul. Reevaluarea portofoliului va produce o repartiție a profiturilor/pierderilor pe baza cărora se va calcula VaR pentru un anumit nivel de încredere, respectiv factor de risc (nivelul este cel mai des utilizat în practică).

Calcularea VaR prin simulare istorică presupune utilizarea modificărilor procentuale sau absolute ale prețurilor fiecărui instrument care alcătuiește portofoliul. Aceste modificări se aplică la structura portofoliului de astăzi.

Succesiunea etapelor pentru Metoda Simulării Istorice este următoarea:

În prima etapă se obțin seriile de date ale modificărilor procentuale ale prețurilor pentru toate instrumentele financiare care compun portofoliul sau pentru orice factor de risc necesar pentru reevaluare portofoliului:

(4.39)

unde: – reprezintă modificarea procentuală a prețurilor instrumentelor la momentul pentru instrumentul .

În practică, pentru a aplica Metoda Simulării Istorice, trebuie rezolvate două probleme:

Care trebuie să fie lungimea seriei de date istorice?

Ce se întâmplă în situația în care nu avem date istorice pentru un instrument?

Prima problemă se rezolvă pornind de la ipoteza fundamentală a simulării istorice, conform căreia, viitorul este mult mai bine prognozat pe baza istoriei recente.

În practica financiară, alegerea orizontului de timp istoric variază semnificativ. Unele lucrări de specialitate recomandă utilizarea a doar 100 de zile, iar altele ajung la un orizont de trei ani de zile. BIS – Bank for International Settlement – recomandă utilizarea unui orizont istoric cuprins între 3-5 ani, însă în mod uzual, pentru simularea istorică se utilizează în jur de 100-360 date istorice deoarece, se consideră că astfel este îndeplinită ipoteza fundamentală a simulării istorice, anume: datele mai recente au o influență mai mare asupra valorii viitoare a prețurilor instrumentelor.

A doua problemă este influența pe care o au noile instrumente emise și tranzacționate pe piață, și care intră în componența portofoliului, dar pentru care nu există date istorice. Însă această problemă nu este caracteristică numai simulării istorice ci apare și în cazul utilizării metodei varianță / covarianță la calcularea volatilității și coeficienților de corelație dintre noile instrumente și cele existente deja pe piață.

Pentru eliminarea acestui neajuns, o practică acceptabilă, constă în analiza evoluției istorice a prețurilor pentru acele instrumente tranzacționate deja pe piață și care prezintă caracteristici asemănătoare cu noul instrument, până în momentul în care se pot obține și pentru noile instrumentele apărute pe piață serii de date istorice.

În a doua etapă, modificările procentuale ale prețurilor instumentelor care compun portofoliul se aplică la structura actuală a portofoliului, și se generează o serie de date a modificărilor valorilor portofoliului:

Modificarea valorii portofoliului (4.40)

unde: – reprezintă numărul de instrumente care compun portofoliul;

este suma din instrumentul j care alcătuiește portofoliul.

Ultima etapă constă în sortarea seriei de date a modificărilor valorilor portofoliului și transformarea seriei obținute în percentile. Percentilele (sau Decilele) sunt acele valori care împart seria în 100 de părți egale. O serie are 99 de percentile. De obicei, percentilele se determină grafic.

În final se stabilește nivelul de toleranță pentru care se dorește valoarea VaR și se alege percentila care corespunde acestui nivel de toleranță. Indicatorul VaR este aceea valoare asociată percentilei corespunde nivelului de toleranță ales.

Metoda Simulării Monte-Carlo pentru calcularea indicatorului Value-at-Risk

Metoda Simulării Monte-Carlo prezintă numeroase similitudini cu Metoda Simulării Istorice.

Ideea de bază în cazul Simulării Monte-Carlo constă în generarea unor serii de numere aleatoare. Ulterior, se alege o repartiție statistică care să aproximeze acel mai bine modificările pe care le vor suferi prețurile instrumentelor financiare.

Raționamentul este următorul: se presupune că cele numere aleatoare generate, reprezintă schimbările ipotetice pe care le vor suferi prețurile instrumentelor financiare care compun portofoliul. Repartiția este stabilită, și se presupune că estimează cel mai bine aceste modificări ale prețurilor, iar pe baza ei se construiesc zeci sau zeci de mii (numărul depinde de câte numere aleatoare au fost generate) de profituri/pierderi ipotetice ale portofoliului de instrumente.

Pentru început, vor fi prezentate etapele Simulării Monte-Carlo pentru un singur instrument financiar, după care pentru un portofoliu de instrumente.

În prima etapă trebuiesc generate numerele aleatoare. Se generează numere aleatoare (sau ) cu valori cuprinse între 0 și 1.

Problema obținerii de numere aleatoare este relativ complicată și se poate baza pe mai multe procedee:

Utilizarea de tabele cu numere întâmplătoare obținute cu ajutorul unor mașini;

Procedee provenite din fizică bazate pe zgomotul electronic sau radioactiv;

Procedee aritmetice care se bazează pe relații de recurență.

Ultimul procedeu este cel mai răspândit în practică, și pe baza lui au fost concepuți algoritmii pentru majoritatea utilizate la generarea numerelor aleatoare.

În realitate, un generator bazat pe un astfel de procedeu nu produce un șir de numere aleatoare ci, mai precis, șiruri de numere egal probabile și independente stochastic, care sunt cunoscute în teoria statistică drept șiruri de numere pseudo-aleatore.

Cele N numere aleatoare (pseudo-aleatoare) generate reprezintă schimbări ipotetice pe care le vor înregistra prețurile instrumentelor financiare.

A doua etapă constă în determinarea repartiției caracteristice pentru modificările prețurilor instrumentelor financiare și în estimarea parametrilor acestei repartiții. Abilitatea de a construi o repartiție de probabilități constituie elementul prin care se distinge simularea Monte-Carlo de celelalte două metode prezentate anterior în care forma distribuției era parte componentă a metodelor. În general, pentru realizarea unei astfel de repartiții trebuie sa se țină cont de 2 elemente esențiale:

Repartiția trebuie să aproximeze modificările posibile ale prețurilor în viitor în funcție de modificările pe care le-au cunoscut aceste prețuri în trecut;

Repartiția trebuie să aibă parametrii (medie, abatere medie pătratică, coef. de corelație) care să poată fi ușor de estimat.

În practică, este acceptată repartiția normală însă, s-a constatat că, deși aceasta caracterizează majoritatea randamentelor instrumentelor financiare, există numeroase piețe, în special cele emergente, unde această repartiție nu poate fi utilizată. În această situație, trebuie să se analizeze cu atenție dacă repartiția normală constituie alegerea cea mai rezonabilă.

În a treia etapă numerele generate aleator sunt convertite în numere aleatoare pe baza repartiției alese. Această etapă depinde de repartiția de probabilități aleasă. Dacă se presupune că este repartiția normală, atunci fiecare set de numere generate aleator vor fi repartizate normal de-a lungul intervalului ales (între 0 și 1). Raționamentul este următorul: fiecare număr aleator generat reprezintă o probabilitate cumulativă pentru repartiția normală.

Pornind de la acest raționament, numerele aleatoare sunt transformate într-un set de numere aleatoare cu repartiție normală cu ajutorul inversei funcției repartiției normale cumulative pentru fiecare număr.

Inversa unei funcții se notează cu și presupune determinarea valorilor lui pornind valorile . Se spune că reprezintă imaginea lui x prin graficul funcției .

Figura 29 prezintă graficul formei repartiției normale cumulative. Prin distribuția normală cumulativă sunt reprezentate acele probabilități pentru care caracteristica studiată ia valori mai mici sau egale cu o valoare dată.

Figura 29. Repartiția Normală Cumulativă

Probabilități cumulative

(Numere generate aleator)

Modificări ipotetice

ale portofoliului

Estimarea funcției repartiției normale cumulative se realizează cu ajutorul Aproximării Polinomiale date de Abramowitz și Stegun.

Dacă se notează cu Distribuția Normală Cumulativă, atunci pot fi întâlnite două situații:

Dacă: ,

Dacă: , unde este funcția distribuției normale standard, iar parametrii polinomiali estimați de Abramowitz și Stegun au valorile:

,unde: .

reprezintă unul din cele numere generate aleator, iar reprezintă modificările ipotetice ale prețurilor instrumentelor financiare normal distribuite. În continuare, se multiplică fiecare modificare ipotetică generată a prețurilor cu volatilitatea instrumentului respectiv () și se obține seria de date a pierderilor/câștigurilor potențiale ale instrumentului.

Ultimele două etape sunt similare cu ultimele etape din Metoda Simulării Istorice. Se sortează profiturile / pierderile potențiale ale instrumentului, după care se calculează Indicatorul Value-at-Risk, care reprezintă acea valoare care va depăși sau egala percentila corespunzătoare factorului de riscales în prealabil.

Etapele aplicării Simulării Monte-Carlo la calcularea Indicatorului VaR pentru un portofoliu de instrumente financiare sunt aproximativ similare cu cele aplicate pentru un singur instrument financiar.

Diferența apare în momentul în care trebuie convertite numerele aleatoare generate în numere aleatoare cu repartiție normală (sau altă repartiție aleasă), deoarece trebuiesc luate în calcul corelațiile care apar între prețurile instrumentelor financiare care compun portofoliul.

Astfel, pentru a obține seria de modificări aleatoare ale prețurilor corelate pentru un portofoliu, numerele generate aleator sunt transformate în numere corelate generate aleator cu Repartiție Normală,

În acest scop, se utilizează vectorii și valorile proprii ale matricei coeficienților de corelație dintre prețurile instrumentelor care alcătuiesc portofoliul. Cea mai utilizată metodă pentru determinarea vectorilor și valorilor proprii este Metoda Jacobi. Dacă se notează cu matricea coeficienților de corelație dintre prețurile celor k instrumente care alcătuiesc portofoliul, valorile proprii ale matricei se determină rezolvând ecuația:

(4.41)

unde: reprezintă matricea identică (linia principală este egală cu 1 iar restul elementelor sunt 0), de dimensiuni .

Pentru fiecare valoare proprie calculată se determină vectorii proprii , , rezolvând setul de ecuații simultane descris de relația:

(4.42)

După determinarea vectorilor și valorilor proprii, se construiește seria de modificări aleatoare ale prețurilor corelate, utilizând relația:

(4.43)

unde: – reprezintă modificarea aleatoare a prețurilor corelate pentru instrumentul, a cărui preț urmează o Repartiție Normală, cu deviația standard ;

– reprezintă radicalul valorii proprii ;

– modificarea aleatoare a prețului pe baza Repartiției Normale (),

iar este numărul generat aleator.

Etapele următoare sunt similare cu cele de la Simularea Monte Carlo pentru un singur instrument financiar. Se procedează la sortarea profiturilor/pierderilor potențiale ale portofoliului, după care se calculează Indicatorul Value at Risk care reprezintă acea valoare care va depăși sau egala percentila facorului de riscstabilit.

În situația utilizării Simulării Monte-Carlo, pentru calcularea Value at Risk, trebuie rezolvată problema convergenței. Convergența apare datorită faptului că numerele generate aleator diferă ori de câte ori simularea este rulată. Rezultă că se vor obține modificări ipotetice diferite ale prețurilor pentru un instrument (portofoliu), deoarece simularea nu dă întotdeauna aceleași valori și de aici vor rezulta valori diferite pentru Value-at-Risk. Pentru a asigura o estimare rezonabilă a lui VaR trebuie să se genereze un număr cât mai mare de numere aleatoare. În general, în practica financiară internațională se efectuează un număr de 20 de simulări, iar la fiecare simulare se generează circa 10 000 de numere aleatoare. Pentru fiecare simulare se calculează un VaR, după care se determină nivelul minim, maxim, media și abaterea medie pătratică pentru aceste valori. Ulterior se calculează rapoartele , și . Convergența este eliminată atunci când deviația standard VaR reprezintă cel puțin 1% din Medie VaR. În această situație VaR căutat este valoarea medie a valorilor VaR ce rezultă în urma simulărilor respective.

Simulări empirice. Calcularea indicatorului Value at Risk pentru piața tranzacțiilor financiar-valutare din țara noastră

Scopul simulărilor

Scopul acestor simulări este de a calcula Indicatorului VaR pentru un portofoliu de valute, pe baza datelor privind evoluția prețurilor acestor valute pe piața interbancară din țara noastră. În urma simulării se vor analiza comparativ rezultatele VaR obținute prin cele 3 metode descrise anterior. Teoretic, prin aplicarea celor trei metode, între rezultatele obținute nu ar trebuii să se înregistreze diferențe semnificative. Trebuie menționat că acuratețea rezultatelor poate fi influențată de lipsa unor softuri adecvate de calcul și analiză statistică – în special în situația utilizării Simulării Monte-Carlo care necesită calcule matemetice complexe și voluminoase. Însă, diferențele semnificative care pot apare, se datorează în primul rând, raționamentelor și ipotezelor statistice care sunt specifice fiecărei metode.

Pentru ușurința calculelor s-a considerat că portofoliul este compus din 3 valute, dolari americani (USD), euro (EUR), lire sterline (GBP) și nu conține instrumente derivative (poziții forward, futures sau opțiuni).

Alegerea portofoliului de active

Pentru simulare a fost construit un portofoliu alcătuit din 3 valute:

Poziție long echivalent USD = 1 000 000 USD;

Poziție long echivalent EUR = 1 000 000 EUR;

Poziție long echivalent GBP = 1 000 000 GBP.

Indicatorul Value at Risk a fost calculat pentru sfârșitul zilei de 19 decembrie 2002, cu un factor de risc , și a fost exprimat în lei.

Cursurile de închidere ale pieței au fost considerate cursurile oficiale publicate de Banca Națională la sfârșitul zilei de tranzacționare, respectiv 19 decembrie 2002: 1 USD = 33 700 ROL, 1 EUR = 34 605 ROL, 1 GBP = 54 046 ROL.

Tabelul 29. Marcarea la piață a portofoliului

Analiza datelor

Pentru simulare s-a utilizat seria de date a cursurilor oficiale publicate zilnic de Banca Națională pentru cele 3 valute contra ROL: USD/ROL, EUR/ROL, GBP/ROL, pe un interval istoric de timp cuprins între: 2 ianuarie 2001 și 19 decembrie 2002, având în total 505 zile lucrătoare. Acest orizont de timp a fost utilizat pentru calcularea volatilităților, coef. de corelație și pentru testarea formei distribuției pentru cele trei instrumente și pentru întregul portofoliu.

Calcularea Indicatorului Value at Risk prin Metoda Analizei Varianță/Covarianță

Pentru modificările logaritmice () ale prețurilor celor 3 valute în raport cu leul au fost realizate graficele pentru analiza formei de repartiție și au fost calculate volatilitățile și coeficienții de corelație între prețurile celor 3 instrumente. Rezultatele obținute sunt prezentate în Tabelul 30 și Figura 30.

Tabelul 30. Parametrii statistici specifici fiecărei serii de timp

Figura 30. Formele repartiției pentru raportul ()

USD/ROL

EUR/ROL

GBP/ROL

Indicatorul Value at Risk ()

poziție long USD/ROL VaR = – 134 572 441 lei;

poziție long EUR/ROL VaR = – 346 104 429 lei;

poziție long GBP/ROL VaR = – 393 691 863 lei;

portofoliu long USD, EUR, GBP/ROL VaR = – 869 551 813 lei.

Calcularea Indicatorului Value at Risk prin Metoda Simulării Istorice

Pentru Simularea Istorică au fot utilizate date pentru un orizont istoric de 250 de zile, cuprinse în intervalul 04 ianuarie 2002 – 19 decembrie 2002.

Figura 31. Evoluția modificărilor procentuale ale prețurilor pentru orizontul de timp considerat

Figura 32. Evoluția modificărilor profiturilor/pierderilor pentru portofoliu alcătuit din cele 3 poziții valutare

Figura 33. Distribuția profiturilor/pierderilor pentru întregul portofoliu de valute în raport cu distribuția normală

După sortarea datelor, a fost calculat nivelul percentilei pentru un factor de risc , iar rezultatele obținute sunt prezentate în Tabelul 31.

Tabelul 31. Valorile Indicatorului VaR obținute prin Simulare Istorică

Calcularea Indicatorului Value at Risk prin Metoda Simulării Monte-Carlo

Pentru Simularea Monte-Carlo, s-a presupus că modificarea logaritmică a prețurilor urmează o distribuție normală. În Figura 34 sunt reprezentate formele repartițiilor pentru cele trei instrumente financiare.

Figura 34. Formele repartiției pentru valorile

La fiecare simulare au fost generate 1000 de numere aleatoare și s-au rulat 20 de simulări.

Pentru portofoliul de active, pe baza matricei coeficienților de corelație, s-au calculat vectorii și valorile proprii

Tabelul 32. Vectorii și valorile proprii pentru matricea coeficienților de corelație

Tabelul 33. Valorile Indicatorului Value at Risk () pentru fiecare poziție valutară și pentru întregul portofoliu

Tabelul 34. Convergența statistică pentru 20 simulări cu 1000 de evenimente

Concluzii și comentarii

În urma silmulărilor, pentru portofoliul alcătuit din cele 3 poziții valutare s-au obținut următoarele valori ale Indicatorului VaR, calculat pentru o zi lucrătoare un nivel de toleranta.

Pentru întreaga poziție short de – 122 351 000 000 ROL, pierderea înregistrată nu trebuie să depășească valorile acestui indicator în mai mult de 5% din cazuri. Se observă că între valorile Indicatorului VaR există diferențe semnificative în funcție de metoda de calcul utilizată. Fiecare metodă va fi analizată în parte și se vor evidenția punctele slabe ale acestora și erorile care pot apare, în funcție de metoda aleasă.

Tabelul 35. Valorile Indicatorului Value at Risk () pentru întregul portofoliu, aplicând cele 3 metode de calcul

O problemă care apare în cazul utilizării Metodei Analizei de Varianță/Covarianță este Forma distribuției ranadamentelor.

Din analiza graficelor distribuțiilor privind evoluțiile prețurilor celor 3 valute în raport cu leul (Figura 34) sau a raportului (Figura 30), se observă că acestea nu au Forma Distribuției Normale. În special, în cazul USD/ROL, distribuția prezintă caracteristici leptokurtice, în sensul că este foarte ascuțită în raport cu Distribuția Normală. Aceleași caracteristici pot fi întâlnite și în evoluțiile prețurilor EUR/ROL și GBP/ROL, însă în aceste situații formele distribuțiilor sunt mai apropiate de cea a Distribuției Normale. Explicația se regăsește în modul de calcul pentru aceste prețuri. Ele nu sunt rezultatul tranzacționării efective pe piață a valutelor respective ci rezultă din prețul monedei de referință, dolarul în situația de față, în raport cu valuta respectivă, și prețul dolarului în raport cu leul. De exemplu, la data de 19 decembrie 2002 în urma tranzacțiilor înregistrate pe piața interbancară din țara noastră Banca Națională a publicat un curs oficial de 33 700 lei pentru un dolar. În aceeași zi, pe piața financiară internațională cursul USD/EUR a fost înregistrat de BNR la un nivel de 1,0268 dolari pentru un EUR. De aici a rezultat un curs EUR/ROL: 33 700*1,0268 = 34 605 lei pentru 1 EUR.

Din analizele efectuate, formele distribuțiilor în cazul valutelor tranzacționate pe piața financiară internațională, în special a valutelor liber-convertibile, este foarte apropiată de forma Distribuției Normale. Coroborând acest aspect cu modul de calcul a prețurilor pentru valutele EUR/ROL, GBP/ROL, se poate găsi o explicație cu privire la formele distribuțiilor pentru prețurile acestor valute, care sunt mult mai apropiate de forma Distribuției Normale comparativ cu forma distribuției pentru prețul USD/ROL. În consecință, forma distribuției modificărilor logaritmice ale prețurilor USD/ROL nu este normală, ea prezintă caracteristici leptokurtice care trebuie luate în considerare atunci când se calculează Indicatorul VaR prin Metoda Varianță/Covarianță.

În cazul utilizării Simulării Istorice, pentru VaR am obținut o valoare mai ridicată în modul, comparativ cu metoda precedentă. Simularea Istorică presupune că forma distribuției profiturilor/pierderilor pentru întregul portofoliu este rezultatul modificărilor procentuale ale prețurilor instrumentelor care alcătuiesc portofoliul de-a lungul orizontului de timp considerat (250 de zile în cazul de față).

Figura 31 prezintă evoluțiile modificărilor procentuale ale prețurilor celor 3 valute în raport cu leul iar în Figura 32 este prezentată evoluția profiturilor/pierderilor pentru întregul portofoliu.

În Figura 33 este comparat graficul distribuției profiturilor/pierderilor pentru întregul portofoliu cu graficul Distribuției Normale pentru orizontul de 250 de zile considerat. Se observă că în cazul distribuției profiturilor/pierderilor ale portofoliului în raport cu Distribuția Normală, în zona centrală se concentrează un număr mai mare de valori extreme. Acest fenomen este cunoscut în analiza financiară sub denumirea “fait tails”. În această situație, este de așteptat ca Indicatorul VaR calculat prin acestă metodă să producă o valoare ușor mai ridicată (în modul) în raport cu Metoda Analizei Varianță/Covarianță, care presupune că forma distribuției este Normală, pentru că probabilitatea de apariție a acestor valori este mai mare comparativ cu Distribuția Normală.

O altă problemă pe care o ridică utilizarea aceastei metode este lungimea serie de date istorice. Rezultatele obținute pentru VaR depind de numărul de date utilizate însă, la ora actuală, există în rândurile specialiștilor opinii diferite privind lungimea orizontului de timp. Pentru această simulare s-a utilizat un orizont relativ scurt de timp (250 de zile), acesta fiind considerat un nivel optim în analizele de risc.

În consecință, în situația utilizării Simulării Istorice din start trebuie să ne așteptăm ca VaR obținut să aibe o valoarea mai mare (în modul) comparativ cu rezultatele obținute prin aplicarea celorlalte metode. De asemenea, în funcție de lungimea orizontului de timp utilizat este posibil să nu fie înregistrate anumite modificări semnificative care apar în evoluția prețurilor instrumentelor care compun portofoliul, și de aici rezultă că pot apare un număr mai mare de pierderi care să depășească nivelul de toleranță stabilit în cadrul analizei.

În cazul utilizării Simulării Monte-Carlo s-a obținut cea mai mare valoare (în modul) a Indicatorului VaR.

Este de menționat că în lipsa unor softuri adecvate s-au rulat 20 de simulări și, pentru fiecare simulare s-au generat 1000 de numere aleatoare. În mod uzual, pentru a calcula VaR cu Simularea Monte-Carlo se rulează 20 de simulări, iar pentru ficare simulare se generează 10 000 de numere aleatoare. Acesta se consideră că este nivelul optim de simulări pentru a rezolva problema convergenței.

În cadrul aplicației, analizând Tabelul 34, care prezintă convergența statistică pentru valorile VaR, se observă că, în toate cele 4 situații, deviația standard (eroarea standard) pentru VaR este mai mare de 1% din nivelul mediu VaR. În consecință, se poate afirma că rezultatele obținute nu pot fi validate deoarece problema convergenței nu este rezolvată, ceea ce era de așteptat ținând cont de numărul relativ redus de numere aleatoare generate.

O altă problemă a Simulării Monte-Carlo este forma distribuției. Din analiza grafică a formelor distribuțiilor modificărilor logaritmice (Figura 34) ale prețurilor celor 3 valute în raport cu leul se observă că acestea nu sunt normal distribuite, distribuțiile sunt leptokurtice în raport cu Distribuția Normală. În consecință, utilizarea Distribuției Normale pentru Simularea Monte-Carlo va genera și alte erori pentru valoarea VaR, pe lângă cele datorate numărului redus de simulări.

Luând în considerare aspectele prezentate anterior se pot desprinde următoarele concluzii:

În funcție de metodele de calcul utilizate au rezultat valori diferite pentru Indicatorul VaR calculat cu același factor de risc . Aceste valori diferă mai semnificativ în cazul utilizării Simulării Monte-Carlo, însă în acest caz rezultatul nu poate fi validat din cauza numărului redus de numere generate aletor;

Distribuția modificărilor logaritmice ale prețurilor () pentru cele 3 valute în raport cu leul nu urmează o Repartiție Normală. De asemenea, forma distribuțiilor raporturilor (), nu este Normală Normată. Explicația se regăsește în caracteristicile pieței interbancare din țara noastră unde, în perioada analizată valuta de referință, care era dolarul american, a avut un trend ascendent în raport cu leul, procesul fiind sprijinit de politica Băncii Centrale;

Metoda Simulării Istorice este cel mai simplu de implementat, însă, este de așteptat ca această metodă să producă cele mai mari erori, deoarece este posibil ca anumite modificări semnificative pe care le-au cunoscut prețurile în trecut să nu fie cuprinse în orizontul istoric folosit în cazul utilizării acestei metode. De aici rezultă că este posibil ca probabilitatea să se înregistreze pierderi mai mari decât cele prognozate prin Indicatorul VaR, să depășească factorul de risc stabilit ca prag de toleranță în cadrul analizei;

Aplicarea Metodei Analizei de Varianță/Covarianță trebuie să se facă după ce, în prealabil, a fost analizată forma distribuțiilor modificărilor logaritmice ale prețurilor, și după stabilirea abaterilor pe care le înregistrează aceste distribuții în raport cu Distribuția Normală. Problema poate fi eliminată luând în calcul indicatorii abaterilor prin asimetrie/oblicitate și aplatizare/boltire;

Metoda Simulării Monte-Carlo este cea mai complexă și cel mai dificil de implementat. Este de așteptat ca această metodă să producă rezultate de mare acuratețe. O problemă care trebuie rezolvată este cea a convergenței, pentru care este necesar să se genereze un număr mare de numere aleatoare și să se ruleze mai multe simulări. O altă problemă este forma distribuției pe care o vor urma prețurile instrumentelor în viitor și care se determină în funcție de evoluția pe care au avut-o aceste prețuri în trecut. Acuratețea rezultatelor depinde de abilitatea de a identifica forma acestei distribuții. Odată stabilită forma distribuției se pune probleme determinării parametrilor cu care poate fi caracterizată aceasta, respectiv funcție de repartiție, medie, dispersie, etc.