Metodica Predării Relatiilor Metrice în Gimnaziu

III. Metodica predării relațiilor metrice în gimnaziu

Mulți profesori au un stil propriu de predare, care și l-au perfecționat prin cursuri de formare, prin schimburi de experiență, prin studiu individual și prin feed-bak-ul obținut la fiecare lecție susținută în fața elevilor. Un număr mare dintre cadrele didactice încearcă, și uneori chiar reușesc, să își schimbe stilul de predare pentru a veni în sprijinul elevilor, care trebuie să recunoaștem au personalități și capacități intelectuale foarte diferite, de aceea trebuie să înțelegem că mai multe metode de predare ar putea veni în sprijinul dezvoltării abilităților specifice matematicii, a gândirii critice, a înțelegerii conținuturilor predate la orele de matematică și mai ales a aplicării cunoștințelor achiziționate în contexte cât mai variate și mai complexe. Profesorii nu își doresc ca elevii lor doar să memoreze informațiile predate în clasă, ci doresc ca elevii să își pună singuri întrebări, să analizeze, să interpreteze, să dezbată și să câștige o înțelegere profundă a conținuturilor învățării. Învățarea trebuie să fie profundă și de durată, dar acest lucru nu se poate realiza decât prin implicarea elevilor, o înțelegere a informațiilor predate de profesor și mai ales aplicarea celor învățate în situații școlare (chiar și la alte materii) sau în situații reale de viață.

În continuare sunt prezentate mai multe metode de predare, învățare, dar și de evaluare, unele fiind tradiționale, iar altele moderne, fiecare metodă fiind însoțită de un exemplu concret aplicat la capitolul Relații metrice în triunghiul dreptunghic la clasa a VII –a.

3.1. Metoda cubului

Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme. Sunt recomandate următoarele etape:

Realizarea unui cub chiar de către elevi pe fețele căruia să fie înscrise cele 6 verbe: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.

Prezentarea temei (poate fi anunțată cu o oră înainte pentru ca elevii să se poată pregăti).

Împărțirea clasei în 6 grupe, omogene sau eterogene, fiecare grupă urmând să rezolve cerințele corespunzătoare unei fețe.

Redactarea finală și prezentarea rezultatelor și celorlalte grupe.

Lucrarea în forma finală poate fi afișată pe tablă sau la loc vizibil în clasă.

Se realizează un cub din carton și se colorează fiecare față diferit, iar fiecărei fețe i se asociază un verb, astfel:

Fig. 3.1. – Metoda cubului

Profesorul poate interveni de câte ori consideră că este necesar pentru a da indicații, pentru a implica în activitate pe toți elevii clasei sau pentru a lămuri unele întrebări care pot apărea pe parcursul activității.

Exemplul 3.1: În cadrul unei lecții de fixare de cunoștințe sau de recapitulare poate fi folosită cu succes metoda cubului, deoarece numărul de exerciții cuprinse pe fișe este de obicei mare și acoperă cu mare diversitate problemele specifice capitolului, iar gradul de dificultate al problemelor este grupat datorită verbului care descrie tipul fișei de lucru. Elevii pot fi grupați atât în grupe eterogene cât și omogene, a doua variantă fiind mai utilă pentru ca elevii mai puțin buni la matematică să reușească să rezolve singuri măcar fișele 1 și 2, deci cele corespunzătoare verbelor Descrie și Compară.

Fișa nr.1: Verbul „DESCRIE”

1. Desenați un triunghi dreptunghic, notați-l și enumerați elementele triunghiului desenat.

2. Desenați un triunghi dreptunghic și un triunghi isoscel. În triunghiul isoscel pune-ți în evidență un triunghi dreptunghic, trasând o nouă dreaptă, dacă este necesar.

3. În figura de mai jos, AD este înălțime. Desenați cu roșu proiecția catetei AB pe ipotenuză și cu verde proiecția catetei AC pe ipotenuza triunghiului.

Fig. 3.2.

4. Desenați un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de 6 cm.

5. Fie triunghiul MNP cu m (P) = 900. Completați spațiile punctate pentru a obține propoziții adevărate:

a) catetele triunghiului MNP sunt… și … .

b) ipotenuza triunghiului MNP este … .

c) unghiul cu măsura cea mai mare a triunghiului MNP este … .

d) latura care are cea mai mare lungime este … .

Fișa nr.2: Verbul „COMPARĂ”

1. Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evidență 2 asemănări și 2 deosebiri între teorema catetei, teorema lui Pitagora și teorema înălțimii.

2. Rezolvați următoarele probleme și comparați rezultatele obținute:

a) Triunghiul ABC este dreptunghic în A. Ipotenuza este egală cu 5 cm și o catetă egală cu 4 cm. Să se determine lungimea celeilalte catete.

b) În triunghiul isoscel ABC, D este mijlocul bazei BC. Dacă BC = 8 cm, AB = 5 cm, determinați lungimea înălțimii din A.

Fie un triunghi ABC, m(A) = 900, AB = 9 cm, AC = 12 cm.

Determinați lungimea ipotenuzei BC.

Determinați lungimea înălțimii AD corespunzătoare ipotenuzei.

Comparați A1 = (AB · AC) : 2 și A2 = (AD · BC) : 2. Ce concluzie se poate formula?

În triunghiul MNP, m(M) = 900, MTNP, T [NP]. Dacă MN = x, MP = y, comparați lungimile segmentelor: a) NP cu MN; b) MT cu MN; c) MP cu TP.

Fișa nr.3: Verbul „ASOCIAZĂ”

Se dă triunghiul MNP, m (M) = 900 și MR NP. Scrieți în dreptul fiecărei teoreme enunțul matematic corespunzător pentru triunghiul dat.

Teorema catetei:

Teorema înălțimii:

Teorema lui Pitagora:

Fig.3.4.

Identifică în sala de clasă un exemplu în care trebuie aplicată teorema lui Pitagora.

Asociază fiecărei litere din prima coloană o cifră din a doua coloană pentru a obține propoziții adevărate:

4. În plicul verde veți găsi 9 cartonașe. Grupați-le astfel încât să obțineți relații adevărate și trageți o concluzie.

Fig. 3.5.

Fișa nr.4: Verbul „ANALIZEAZĂ”

Analizați dacă numerele 24, 25 și 26 sunt numere pitagorice.

Bunicul vrea să repare un geam de la etajul superior al casei situat la 6 m față de pământ. Stabiliți dacă bunicului îi este de folos o scară cu lungimea de 7,5 m știind că distanța dintre casă și punctul de fixare a scării este de 4 m.

Verificați dacă într-o grădină cu dimensiunile de 10 m și 15 m se pot planta doi brazi astfel încât distanța dintre ei să fie de 18 m.

Ecranul unui televizor are forma unui dreptunghi cu lungimea de 60 cm și lățimea de 45 cm. La ce distanță de ecranul televizorului ar fi benefic să urmărim programele preferate știind că distanța minimă recomandată trebuie să fie de trei ori mai mare decât diagonala televizorului?

Fișa nr.5: Verbul „ARGUMENTEAZĂ”

Citiți cu atenție enunțurile următoare, stabiliți valoarea de adevăr a acestora și justificați răspunsul dat:

1. Orice triunghi dreptunghic are toate unghiurile drepte.

2. Teorema lui Pitagora se poate aplica în orice triunghi.

3. Numerele pitagorice sunt numere naturale care verifică teorema lui Pitagora.

4. O scară cu lungimea de 2,5 m este sprijinită de un perete. Distanța de la piciorul scării la perete este de 1,5 m. O pisică stă la jumătatea scării și se pregătește să sară. O pisică poate să sară de la maxim 2 m fără a se accidenta. Poate pisica să sară în siguranță de pe scară?

5. Diagonala unui pătrat cu latura de x cm este x cm.

Fișa nr.6: Verbul „APLICĂ”

1. Determinați lungimea unui șanț care străbate gradina lui David pe lungimea diagonalei grădinii, dacă lungimea grădinii este de 20 m, iar lățimea este de 15 m.

2. Salteaua pentru exercițiile de la sol într-o sală de gimnastică are Lungimea de 20 m și lățimea de 15 m. Care este distanța dintre două puncte în care atinge salteaua o gimnastă știind că pe lungimea diagonalei saltelei ea atinge de 5 ori salteaua și are nevoie de un elan de 5 m.

3. Grădina bunicii are forma unui trapez dreptunghic ABCD, m (D) = m (A) = 900, AB = 20 m, CD = 10 m, m(B) = 450.

a) Determinați lungimea gardului necesar pentru împrejmuirea grădinii, dacă poarta de acces are 1,5 m.

b) Determinați aria grădinii.

c) Determinați lungimea dintre doi nuci situați în punctele A respectiv C.

4. Un stâlp de telegraf înalt de 8m, trebuie ancorat de pământ cu ajutorul unui cablu. La ce distanță de piciorul stâlpului va fi fixat cablul știind că unghiul dintre acesta și pământ trebuie să fie de 600?

Fig. 3.3.- Metoda cubului

Fig. 3.6. – Metoda Cubului

Fig. 3.7.- Metoda cubului

Metoda turul galeriei

„Turul galeriei” este o metodă de învățare prin cooperare ce îi încurajează pe elevi să-și exprime opiniile proprii. Produsele realizate de elevi sunt expuse ca într-o galerie, prezentate și susținute de secretarul grupului, urmând să fie evaluate și discutate de către toți elevii, indiferent de grupul din care fac parte. Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.

Pașii metodei sunt:

Elevii sunt împărțiți în grupuri de câte 4 – 5 membrii, în funcție de numărul elevilor din clasă;

Cadrul didactic prezintă elevilor tema și sarcina de lucru;

Fiecare grup va realiza un produs pe tema stabilită de profesor;

Produsele sunt expuse în clasă;

Secretarul grupului prezintă în fața tuturor elevilor produsul realizat;

Analizarea tuturor lucrărilor.

După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte. Turul galeriei urmărește exprimarea unor puncte de vedere personale referitoare la tema pusă în discuție. Elevii trebuie învățați să asculte, să înțeleagă și să accepte sau să respingă ideile celorlalți prin demonstrarea valabilității celor susținute. Prin utilizarea ei se stimulează creativitatea participanților, gândirea colectivă și individuală, se dezvoltă capacitățile sociale ale participanților, de intercomunicare și toleranță reciprocă, de respect pentru opinia celuilalt. Produsele realizate de fiecare grupă pot fi diferite (de exemplu, dacă folosim metoda cubului, fiecare echipă va avea o altă cerință) sau poate fi vorba de aceeași sarcină de lucru dar creativitatea, îndemânarea și priceperea fiecărui elev dintr-o echipă să facă diferența la produsul final.

Avantajele metodei:

Atrage și stârnește interesul elevilor, realizându-se interacțiuni între elevi;

Promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente;

Stimulează efortul și productivitatea individului și este importantă pentru autodescoperirea propriilor capacități și limite, pentru autoevaluare;

Există o dinamică intergrupală cu influențe favorabile în planul personalității, iar subiecții care lucrează în echipă sunt capabili să aplice și să sintetizeze cunoștințele în moduri variate și complexe;

Dezvoltă și diversifică priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevilor;

Se reduce la minim blocajul emoțional al creativității.

Exemplul 3.2:

După rezolvarea sarcinilor de lucru care a revenit fiecărei echipe conform metodei Cubului, se poate aplica Metoda Turul Galeriei pentru a vedea ceea ce a realizat fiecare grupă în parte. Materialele realizate vor fi expuse în locuri vizibile din clasă. După ce fiecare grup a vizitat „Galeria” și a notat corespunzător realizările colegilor se vor discuta notele primite și obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri și se vor corecta eventualele greșeli.

Metoda ciorchinelui

Deși este o variantă mai simplă a brainstorming-ului, ciorchinele este o metodă care presupune stabilirea unor conexiuni între elementele studiate și poate fi folosită cu succes atât în etapa de reactualizare a structurilor învățate anterior cât și în etapa de evocare. De asemenea poate fi folosită în cadrul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.

Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut. Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare-învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.

Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:

Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.

Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.

În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi conectate.

Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată.

Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:

Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.

Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.

Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat.

Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.

Utilizarea acestei metode antrenează elevii într-o continuă participare și colaborare, crește motivarea intrinsecă deoarece li se solicită să descopere fapte, să aducă argumente pro și contra, iar munca în echipă dezvoltă atitudinea de toleranță față de ceilalți și sunt eliminate motivele de stres iar emoțiile se atenuează.

Beneficiarii învățământului centrat pe elev sunt chiar elevii deoarece “crezul instruirii active” afirmă următoarele: “Ce aud-uit; Ce aud și văd – îmi amintesc puțin; Ce aud, văd și întreb – încep să înțeleg; Ce aud, văd, întreb și exersez – îmi însușesc și deprind; Ceea ce pun în practică învăț cu adevărat”.

Exemplul 3.3: La sfârșitul capitolului „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”, cu ajutorul Metodei Ciorchinelui, se poate realiza o schemă a noțiunilor, a teoremelor, a formulelor învățate în întreg capitol. Cu ajutorul metodei, elevii vor reușit să își fixeze mai bine informațiile, să recapituleze teoria predată în acest capitol, să rețină și să înțeleagă noile cunoștințe predate.

Fig. 3.8. – Metoda ciorchinelui

Exemplul 3.4:

Fig. 3.9.- Metoda ciorchinelui

Fig. 3.10. – Metoda ciorchinelui

Metoda demonstrației

Demonstrația este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării percepției și reprezentării. Metoda demonstrației este definită ca o metodă de predare – învățare, în cadrul căreia mesajul de transmis către elev se cuprinde într-un obiect concret, o acțiune concretă sau substitutele lor.

Demonstrația este prezentă, într-o formă sau alta, în toate materiile de învățământ, putând fii delimitate cinci forme de demonstrație relativ distincte, în funcție de mijlocul pe care se bazează fiecare:

Demonstrația cu obiecte: sursa principală a informației elevului constă dintr–un obiect natural (roci, semințe, plante, substanțe chimice);

Demonstrația cu acțiuni: sursa cunoașterii pentru elev este o acțiune pe care profesorul i-o arată, iar ținta de realizat este transformarea acțiunii respective într-o deprindere. Este o metodă des întâlnită la matematică pentru căpătarea deprinderilor de calcul, de alcătuire a raționamentelor matematice. Cerințele didactice care trebuie respectate în demonstrația cu acțiuni sunt:

O exersare prealabilă suficientă a acțiunii de către profesor;

Demonstrația să fie înfăptuită efectiv, nu doar verbal;

Demonstrația să se împletească în cât mai scurt timp cu exercițiul, adică acțiunea să fie preluată de elev;

Să uzeze în modul cel mai propriu de sprijin de explicațiile instructorului.

Demonstrația cu substitute

Demonstrația combinată

Demonstrația cu mijloace tehnice.

Demonstrația este o metodă didactică bazată pe acțiunea de cercetare indirectă a realității. Ea valorifică îndeosebi resursele raționamentului de tip deductiv implicând prezentarea unor obiecte, fenomene și procese din natură și societate, reale sau substitute, în vederea stimulării capacității elevilor de descoperire și de argumentare a esenței acestora.

Demonstrațiile logico-matematice se deosebesc de demonstrațiile bazate pe utilizarea materialului inductiv, utilizate în studiul altor discipline. Demonstrația matematică utilizează ca mijloace didactice demonstrative demonstrațiile logico-teoretice, inferențele si calculele matematice, care au la bază raționamente logice deductive, inductive, analogice, în baza cărora se ajunge la adevăruri matematice. Condițiile necesare a fi respectate de către demonstrație ca metodă de învățământ sunt:

să asigure o activitate intelectuală autentică și dinamică a elevilor, care este necesar să cunoască foarte bine scopul demonstrației și să fie implicați activ în demonstrație, din punct de vedere intelectual și afectiv-motivațional;

să utilizeze concepte și reprezentări ilustrative și semnificative, cunoscute de către elevi, să permită o susținere reală a învățării și a cogniției;

să respecte un raționament logic și o succesiune logică a etapelor de învățare în contextele situaționale specifice;

să favorizeze învățarea cognitivă prin crearea motivației specifice pentru a cunoaște, care va face posibilă activizarea elevilor.

Exemplul 3.6:

Exemplul analizat a fost al demonstrației Teoremei lui Pitagora, teoremă despre care se știe că a adunat de-a lungul anilor peste 300 de demonstrații, probabil cele mai multe dintre toate teoremele din matematică (cartea The Pythagorean Proposition – Propoziția Pitagorică conține 370 de demonstrații). Acestea sunt foarte diversificate, incluzând dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datând de acum mii de ani. Teorema poate fi generalizată în diferite moduri, inclusiv prin referire la spațiile multidimensionale, spațiile neeuclidiene, triunghiuri care nu sunt dreptunghice sau chiar figuri care nu sunt triunghiuri, ci spațiale.

Demonstrația 1:

Teorema lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care a demonstrat-o. În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor.

Cele două pătrate mari, reprezentate în figura de mai jos conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață. Egalând suprafețele spațiilor albe reiese teorema lui Pitagora.

Faptul că această demonstrație foarte simplă îi aparține lui Pitagora este dedus din scrierile filozofului și matematicianului grec Proclus.

Fig. 3.11.

Demonstrația 2- Demonstrația cu triunghiuri asemenea

Fig. 3.12.

Această demonstrație are la bază proporționalitatea laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor.

Fie ABC un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul C, după cum se observă în figura de mai sus. Se desenează înălțimea în triunghi din punctul C, astfel ca H să fie punctul de intersecție al înălțimii cu latura AB. Punctul H împarte ipotenuza c în două părți, numite d și e. Noul triunghi, ACH, este asemenea cu triunghiul ABC, deoarece ambele au un unghi drept (prin definiție, înălțimea formează un unghi drept), iar unghiul lor comun este A, ceea ce înseamnă că cel de-al treilea unghi va fi și în ambele triunghiuri, marcat θ pe figură. Printr-o rațiune similară, triunghiul CBH este și el asemenea cu triunghiul ABC. Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea rapoartelor dintre laturile corespondente după cum urmează:

Primul rezultat este cosinusul unghiurilor θ, iar al doilea este sinusul lor.

Rapoartele pot fi scrise astfel:

BC2 = AB · BH și AC2 = AB · AH

Însumarea acestor două egalități duce la

BC2 + AC2 = AB · BH + AB · AH = AB ·(AH + BH) = AB2

care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora:

BC2 + AC2 = AB2

Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie a fost subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării Elemente, astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme.

Demonstrația 3- Demonstrația lui Euclid

Demonstrația următoare este, în mare parte, demonstrația lui Euclid din lucrarea Elemente.

Fig. 3.13.

Pătratul mare este divizat în două dreptunghiuri, unul în stânga, iar altul în dreapta. Apoi, alt triunghi este construit astfel încât acesta să aibă jumătate din suprafața pătratului din partea stângă. Aceste două triunghiuri sunt congruente, ceea ce demonstrează faptul că acest pătrat are aceeași suprafață ca și dreptunghiul din stânga. O versiune analogă este valabilă și pentru dreptunghiul din partea dreaptă și pentru pătratul rămas. Recombinând cele două dreptunghiuri pentru a forma pătratul pe ipotenuză, suprafața sa este aceeași cu suma suprafețelor celor două pătrate. În continuare se află detaliile.

Fie A, B, C vârfurile unui triunghi dreptunghic, în care unghiul drept să fie A. Se trasează perpendiculara din punctul A prin ipotenuză, până pe latura opusă ipotenuzei, din pătrat. Dreapta desparte pătratul respectiv în două dreptunghiuri, fiecare având aceeași suprafață cu unul dintre pătratele de pe catete.

Pentru demonstrația formală, se recurge la patru leme elementare:

Dacă un triunghi are două laturi egale cu alte două laturi ale unui alt triunghi, iar unghiurile făcute de aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt congruente.

Suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din suprafața oricărui paralelogram de aceeași bază și cu aceeași înălțime.

Suprafața unui dreptunghi este egală cu produsul a două laturi adiacente.

Suprafața unui pătrat este egală cu produsul a două dintre laturile sale (se deduce din 3).

În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos.

Demonstrația are următorii pași:

Fie ACB un triunghi dreptunghic cu unghiul drept CAB.

Pe fiecare dintre laturile BC, AB și CA, se reprezintă pătratele CBDE, BAGF și ACIH, în această ordine. Construcția pătratelor necesită teoremele lui Euclid, și depinde de postulatul paralelismului.

Din A, se trasează dreapta paralelă cu BD și CE. Aceasta va fi perpendiculară pe laturile BC și DE, iar punctele de intersecție vor fi K și L.

Se trasează dreptele CF și AD, formându-se triunghiurile BCF și BDA.

Unghiurile CAB și BAG sunt ambele unghiuri drepte; astfel C, A, și G sunt puncte coliniare. Analog pentru punctele B, A și H.

Unghiurile CBD și FBA sunt ambele unghiuri drepte; astfel ABD este egal cu FBC, din moment ce ambele sunt egale cu suma dintre un unghi drept și unghiul ABC:

Deoarece AB este egală cu FB, iar BD este egală cu BC, triunghiul ABD este congruent cu triunghiul FBC.

Deoarece A-K-L este o dreaptă, paralelă cu BD, atunci dreptunghiul BDLK este de două ori aria triunghiului ABD, având baza comună BD și înălțimea BK.

Deoarece C este coliniar cu A și G, pătratul BAGF este de două ori aria triunghiului FBC.

Astfel, dreptunghiul BDLK are aceeași arie ca pătratul BAGF = AB2.

Similar, se poate arăta că dreptunghiul CKLE are aceeași arie cu pătratul ACIH = AC2.

Adunând rezultatele putem scrie AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC

Din moment ce BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC

Atunci AB2 + AC2 = BC2, pentru că CBDE este un pătrat.

Această demonstrație, care apare în Elementele lui Euclid, sub forma Propoziției 47 din Cartea 1, arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici. Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind asemănarea triunghiurilor, care folosește posibila metoda de demonstrație a lui Pitagora.

Demonstrația 4- Demonstrația prin cuadratură

Fig. 3.14.

Suprafețele ambelor pătrate mari sunt egale cu (a+b)2 . Dacă suprafețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor a și b (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul c la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a jumătăților celor două dreptunghiuri (fiecare fiind format inițial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente.

Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține:

S = a2 + b2 + 4 (pentru pătratul din stânga)

S = c2 + 4 (pentru pătratul din dreapta)

Se ajunge așadar la c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată.

Demonstrația 5- Demonstrații algebrice

Teorema poate fi demonstrată algebric cu ajutorul a patru triunghiuri identice cu triunghiul dreptunghic de laturi a, b și c, aranjate în interiorul unui pătrat de latură c, după cum se poate observa în jumătatea superioară a figurii alăturate. Triunghiurile sunt asemenea, având aria egală cu a b, în timp ce pătratul mic are latura b-a și aria (b – a)2. Așadar, aria pătratului mare este:

(b – a)2 + 4 = (b – a)2 + 2 ab = a2 + b2

Fig. 3.15. Dar acesta este un pătrat de latură c și cu suprafața c2, deci

c2 = a2 + b2

O demonstrație similară folosește patru copii ale aceluiași triunghi, care sunt aranjate simetric în jurul unui pătrat de latură c, după cum se poate observa în partea inferioară a figurii de mai sus. Astfel se formează un pătrat mai mare, de latură a + b și arie (a + b)2. Cele patru triunghiuri și pătratul de latură c au aceeași suprafață cu pătratul cel mare,

(b + a)2 = c2 + 4 = c2 + 2ab

ceea ce conduce la:

c2 = (b + a)2- 2ab = a2 + b2

O altă demonstrație, o variațiune a celor de mai sus, a fost publicată de președintele american James A. Garfield. Diferența constă în utilizarea unui trapez în locul unui pătrat, acesta putând fi construit prin tăierea cu o dreaptă a pătratului mare reprezentat mai sus, în cadrul celei de-a doua demonstrații algebrice. Astfel, se obține trapezul reprezentat în diagramă. Deci suprafața trapezului este Fig. 3.16.

jumătate din cea a pătratului, adică (b + a)2.

Folosindu-se ecuația pătratului mare, vom aveam rezultatul înjumătățit pentru trapez. Raportul se reduce, astfel că în final rămâne relația pitagoreică.

Demonstrația 6 – Demonstrația cu diferențiale

Se poate ajunge la teorema lui Pitagora prin intermediul studiului modului în care schimbările într-o latură produc o schimbare în ipotenuză, iar pentru această demonstrație se apelează la calculul diferențial și integral. Triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic, după cum se observă și în partea superioară a figurii alăturate, iar BC este ipotenuza. În același timp, lungimile triunghiului sunt măsurate după cum se poate vedea în partea inferioară, cu ipotenuza de lungime y, latura AC de lungime x și latura AB de lungime a. Fig. 3.17.

Dacă x crește cu o valoare mică dx prin extinderea laturii AC către D, atunci y de asemenea crește cu dy. Acestea formează două laturi ale unui triunghi, CDE, care (cu E ales astfel încât CE să fie perpendicular pe ipotenuză) este un triunghi dreptunghic aproximativ asemănător cu ABC. De aceea, rapoartele dintre laturile lor trebuie să fie la fel, adică:

Asta poate fi rescris după cum urmează:

y · dy – x · dx = 0

Aceasta este o ecuație diferențială care prin rezolvare dă:

y2 – x2 = C

Iar constanta poate fi dedusă de la x = 0, y = a pentru a obține ecuația:

y2 = x2 + a2

Această demonstrație este mai degrabă intuitivă; se poate face și mai riguros dacă în locul valorilor dx și dy se folosesc limite.

Metoda brainstorming-ului

Brainstorming – ul presupune căutare individuală și colaborativă de idei, date, soluții, algoritmi, stimulând astfel spiritul critic, de invenție și creativ. În practica educației, este cea mai răspândită metodă de stimulare a creativității în activitățile de grup. Principiile pe care ea se bazează sunt „cantitatea determină calitatea” și „evaluarea ideilor este amânată”.

Regulile care derivă din aceste principii sunt:

se emit și se acceptă cât mai multe idei (chiar dacă par nepotrivite, îndepărtate de subiect, chiar ridicole), formulate spontan, liber, fără inhibiții, fără a fi analizate pe moment (evaluarea este suspendată, amânată);

se încurajează participanții la reuniunea brainstorming să formuleze idei noi, corelații, asociații etc.;

se accentuează importanța formulării de idei și soluții originale, creative, neobișnuite, neconvenționale;

se încurajează emiterea de idei neconvenționale și originale și manifestarea liberă a imaginației.

În aplicarea metodei se parcurg fazele:

Anunțarea temei și a obiectivelor urmărite

Faza de divergență, respectiv de generare și emitere de idei, soluții inedite

Faza de evaluare critică și de ierarhizare a ideilor

Faza de convergență, de alegere a soluțiilor

Faza de stabilire a concluziilor reuniunii brainstorming.

Exemplul 3.7:

Metoda brainstorming este o metodă des întâlnită la orele de geometrie, în activitatea frontală, cu toată clasa, când solicităm rezolvarea unei probleme și elevii formulează idei care conduc la rezolvarea problemei respective. Bineînțeles că nu toate ideile pe care le formulează sunt corecte sau duc la finalizarea problemei, dar pot să deschidă drumul unui elev participant la discuție spre rezolvarea corectă a problemei. Metoda brainstorming poate duce la mai multe rezolvări a aceleași probleme.

Problema propusă la clasă a fost următoarea:

În figura alăturată, m(A) = 900 , AD BC, DC = 10 cm, BC = 15 cm. Determinați lungimea catetei AC.

Reacțiile elevilor au fost următoarele: Fig. 3.18.

Completăm figura dată cu lungimile segmentelor date.

Se poate calcula lungimea lui BD.

Se poate aplica teorema catetei pentru AC.

Se poate aplica teorema înălțimii pentru a determina lungimea lui AD.

Se poate aplica teorema lui Pitagora în triunghiul ADC pentru a determina lungimea catetei AC.

Aceste idei ale elevilor au dus la două rezolvări diferite:

Metoda I:

Aplicăm teorema catetei pentru AC, astfel: AC2 = DC · BC.

Obținem: AC2 = 10 · 15 = 150, deci AC = = cm.

Metoda II:

Aplicăm teorema înălțimii pentru AD, astfel: AD2 = DB · DC.

Obținem: AD2 = 5 · 10 = 50, deci AC = = cm.

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADC, astfel: AC2 = AD2 + DC2.

Obținem: AC2 = 50 +100 = 150, deci AC = = cm.

Portofoliul la matematică

Portofoliul este o colecție de materiale reprezentative pentru ceea ce a lucrat o persoană într-un interval de timp. Portofoliul la matematică poate conține rezolvări scrise ale unor sarcini de lucru, notițe, jurnalul de învățare, teste, teme, probleme și exerciții rezolvate suplimentar, biografii de matematicieni despre ale căror rezultate au învățat elevii. În mod ideal, portofoliul conține piese care demonstrează progresul elevului în învățarea matematicii.

Elevilor li se poate cere să păstreze tot ceea ce scriu pentru a învăța la matematică și apoi să aleagă pentru portofoliu doar acele piese care demonstrează progresul lor în învățarea matematicii. Elevilor trebuie să li se dea instrucțiuni clare despre ceea ce ar trebui să conțină portofoliul și criteriile de evaluare a portofoliului trebuie să fie discutate și cunoscute de elevi. Profesorul poate elabora o listă de indicatori pentru evaluarea portofoliului; aceasta ar trebui să sprijine elevii în alegerea pieselor pentru portofoliu.

Portofoliul permite elevilor să demonstreze progresul pe care l-au făcut în învățarea matematicii, să reflecteze și să treacă în revistă ceea ce au învățat la matematică, să vadă creșterea pe care au parcurs – o în înțelegerea matematicii. Portofoliul oferă profesorului probe, dovezi cu ajutorul cărora poate măsura progresul elevului în învățarea matematicii.

Listă de verificare pentru evaluarea portofoliului:

Portofoliul conține toate piesele următoare (40 puncte): Foaie de titlu, Cuprinsul, Cel puțin o piesă scrisă preferată, Câteva teme de casă de la matematică,Toate materialele scrise de la matematică, Două teste, Un eseu.

Temele de casă sunt însoțite de formulări clare care demonstrează progresul (10 puncte)

Testele sunt însoțite de formulări clare care demonstrează progresul (10 puncte)

Eseul conclusiv este scris clar și descrie adecvat experiența matematică a elevului (20 puncte)

Impresia generală despre portofoliu este că acesta este îngrijit și ușor de citit. (10 puncte)

Portofoliul este original și arată clar personalitatea elevului care l-a întocmit.(10 puncte.

Exemplul 3.8. – Portofolii ale elevilor:

Fig. 3.19. – Metoda portofoliului

Găsește-ți perechea

Găsește-ți perechea (sau tehnica Kagan)[4] este o tehnică utilă atunci când avem de-a face cu întrebări cu răspuns scurt sau probleme care presupun doar una sau două operații în rezolvare. Este o metodă activ-participativă pentru că permite implicarea fiecărui elev în rezolvarea sarcinii de lucru, iar elevul învață mult mai bine dacă este direct implicat în activitățile din cadrul lecției. Tehnica permite formarea de competențe sociale la elevi: să laude și să accepte lauda, să critice constructiv și să accepte critica constructivă, să îndrume mai degrabă decât să ofere răspunsul corect. Activitatea se poate desfășura cu toți elevii din clasă, iar resursele materiale sunt cartele (fișe) perechi, câte una pentru fiecare dintre elevi. Aceste cartele sunt pregătite de profesor înainte de începerea lecției, existând cartele „de tip A” și cartele „de tip B” și se recomandat să nu amestecăm cele două tipuri de cartele. O cartelă de tip A are o cartelă care îi corespunde în setul de cartele de tip B (o cartelă de tip A este corespunzătoare unei cartele de tip B dacă rezultatul exercițiului sau a problemei este aceeași, dacă pe cartela de tip A se găsește un concept, nume, desen care este definit pe cartela de tip B).

Timpul necesar acestei activități este de 3-15 minute, depinzând de numărul de parteneri pe care elevul trebuie să îi găsească. Activitatea se va desfășura astfel:

Pasul 1: Fiecare elev primește o cartelă pe care este scris un exercițiu, o problemă sau o informație matematică.

Pasul 2: Elevul rezolvă individual exercițiul, problema sau citește informația de pe cartelă.

Pasul 3: Cu cartela în mână, elevii se deplasează prin clasă, încercând să-și găsească perechea (un alt elev care a obținut același rezultat la exercițiu / problemă sau un alt elev care are definiția conceptului scris pe cartela sa, etc). Găsirea perechii înseamnă de fapt a discuta, a adresa întrebări unui coleg referitor la conținutul cartelei sale.

Pasul 4: Partenerul este identificat și cei doi se retrag în centrul clasei și discută despre conținutul cartelelor pereche.

Pasul 5: Unul din elevii din pereche îi adresează întrebări celuilalt elev despre conținutul cartelei, îl laudă sau îl sprijină în rezolvarea sarcinii.

Pasul 6: Se schimbă rolurile: celălalt întreabă, apoi laudă și sprijină.

Pasul 7: Când fiecare elev și–a găsit perechea, profesorul strânge cartelele.

Pasul 8 (opțional): Profesorul redistribuie cartelele pentru o nouă rundă.

În cadrul activității, profesorul este cel care trebuie să urmărească implicarea egală a tuturor elevilor în activitate.

Exemplul 3.9:

În cadrul lecției Teorema lui Pitagora putem folosi tehnica Găsește-ți perechea pentru a consolida noțiunea de numere pitagorice. Pe cartelele de tip A sunt scrise două numere, iar pe cartelele de tip B un singur număr. Elevii care primesc cartele de tip A vor descoperi care este al treilea număr (înscris pe o cartelă de tip B) cu care vor forma un triplet de numere pitagorice. Cei doi deținători ai cartelelor pereche vor trece numerele pitagorice pe o fișă de flip-chart, iar elevii vor reține cele mai uzuale triplete pitagorice, pentru a le recunoaște ulterior în probleme.

Cartele de tip A Cartele de tip B

Fig. 3.20.- Metoda Găsește-ți perechea

Masa rotundă

Masa rotundă (Kagan)[4] este o tehnică utilă în situația în care elevii au de realizat un proiect, o problemă cu mai multe întrebări, o întrebare cu mai multe răspunsuri posibile, o temă despre care trebuie să scrie sau o sarcină de lucru care are mai multe soluții posibile, mai multe etape sau proceduri. Elevii lucrează în grupe de 4 și nu în perechi.

Elevul învață mult mai bine dacă este direct implicat în activitățile din cadrul lecției. Această tehnică permite implicarea fiecărui elev în rezolvarea sarcinii de lucru, contribuția fiecărui elev fiind esențială pentru obținerea rezultatului. În plus, elevii dobândesc competențe sociale, de exemplu să îi sprijine pe colegi, să aibă răbdare, oferind timp suficient colegilor să lucreze, să ceară ajutorul colegilor dacă au nevoie, să ofere ajutor atunci când un coleg le cere, să laude și să accepte lauda, să critice constructiv și să accepte critica constructivă.

Toți elevii clasei lucrează în grupe de 4 elevi (dar pot fi și 3 sau 5 elevi într-o grupă dacă numărul elevilor din clasă nu este un multiplu de 4). Ca resurse materiale pentru această tehnică avem nevoie de fișe de lucru astfel încât fiecare grupă de elevi are o singură foaie și un singur creion. Timpul necesar este de 10-20 de minute, care poate varia în funcție de complexitatea sarcinii de lucru.

Derularea activității presupune parcurgerea următoarelor etape:

Pasul 1: Elevii se grupează câte 4 într-o grupă. Fiecare grup de elevi are doar o foaie și doar un creion.

Pasul 2: Profesorul anunță sarcina de lucru (oral sau în scris).

Pasul 3: Elevul 1 începe rezolvarea problemei scriind pe foaie și spunând ce face. Ceilalți elevi din grup urmăresc ce spune și ce face Elevul 1.

Pasul 4: Atunci când Elevul 1 a terminat, dă foaia și creionul Elevului 2. Acesta verifică ce a lucrat elevul 1 și dacă e corect, îl laudă și își scrie numele pe foaie. Dacă nu este corect, elevul 2 îl sprijină pe elevul 1 să corecteze ceea ce a greșit și apoi îl laudă și își scrie numele pe foaie. Elevul 2 continuă rezolvarea sarcinii de lucru, scriind și explicând ce face.

Pasul 5: Foaia este dată apoi elevului 3, elevului 4, din nou elevului 1, până la finalizarea sarcinii de lucru, fiind reluată de fiecare dată procedura descrisă pentru elevii 1 și 2.

Pasul 6: Odată ce elevii din grupă consideră că au terminat sarcina de lucru, ei predau foaia profesorului pentru verificare, sau raportează întregii clase, sau două grupe de elevi schimbă foile și își verifică reciproc rezolvarea sarcinii de lucru, sau este desfășurată o activitate de tipul „unul stă – trei circulă”.

Se recomandă ca grupurile de elevi să fie eterogene și stabilite de profesor. O grupă ar trebui să conțină un elev cu rezultate foarte bune la matematică, 2 elevi cu rezultate medii și un elev rezultate slabe la matematică.

Elevii ar trebui să lucreze în cadrul aceleași grupe pentru mai mult timp pentru a face posibilă formarea unei echipe.

Este util ca elevii să aibă o fișă de lucru în care să fie clar definite responsabilitățile elevului 1, elevului 2, elevului 3, respectiv ale elevului 4. Un exemplu de fișă de lucru este prezentat mai jos:

Exemplul 3.10:

Fișa 1- Elemente de trigonometrie

Numele:

1.

2.

3.

4.

Elevul 1: Stabilește ipoteza, concluzia și realizează desenul problemei date.

Elevul 2 (numele) a verificat.

Elevul 2: Rezolvă punctul a) al problemei.

Elevul 3 (numele) a verificat.

Elevul 3: Rezolvă punctul b) al problemei.

Elevul 4 (numele) a verificat.

Elevul 4: Rezolvă punctul c) al problemei.

Elevul 1 (numele) a verificat.

Fișa 2- Elemente de trigonometrie

Numele:

1.

2.

3.

4.

Elevul 1: Stabilește ipoteza, concluzia și realizează desenul problemei date.

Elevul 2 (numele) a verificat.

Elevul 2: Rezolvă punctul a) al problemei.

Elevul 3 (numele) a verificat.

Elevul 3: Rezolvă punctul b) al problemei.

Elevul 4 (numele) a verificat.

Elevul 4: Rezolvă punctul c) al problemei.

Elevul 1 (numele) a verificat.

Fișa nr.3- Elemente de trigonometrie

Numele:

1.

2.

3.

4.

Elevul 1: Stabilește ipoteza, concluzia și realizează desenul problemei date.

Elevul 2 (numele) a verificat.

Elevul 2: Rezolvă punctul a) al problemei.

Elevul 3 (numele) a verificat.

Elevul 3: Rezolvă punctul b) al problemei.

Elevul 4 (numele) a verificat.

Elevul 4: Rezolvă punctul c) al problemei.

Elevul 1 (numele) a verificat.

Realizările elevilor:

Fig. 3.21.- Metoda Masa rotundă

Activități de scriere pentru înțelegerea conceptelor matematice

Scrierea fițuicii matematice (Mower, 2003) [4]

Scrierea fițuicii matematice este de fapt o tehnică de învățare a matematicii. Fițuica matematică este o pagină care conține informația importantă dintr-un capitol, unitate de învățare sau despre o anumită temă. Elevul trebuie să selecteze, să rezume conceptele cheie împreună cu definițiile lor, teoreme, proprietăți, exemple. Fiecare fițuică matematică, chiar dacă are același conținut, este unică fiind realizată în mod individual de fiecare elev în parte. Profesorul poate lăsa elevul să decidă cum își organizează fițuica sau poate cere un anume mod de organizare a informației. O variantă de organizare a informației este un tabel cu următoarele coloane: unitate de învățare/ tema, conceptul, definiție / descriere, exemple.

Fig. 3.22. – Exemplul 3.11

Scrierea unei povești matematice (Mower, 2003) [4]

Scrierea unei povești matematice este o activitate care încurajează elevii să învețe semnificația a diferite concepte matematice, să le utilizeze corect în scris, să fie creativi. Activitatea poate fi folosită în etapele de construire de noi cunoștințe sau de consolidare. Profesorul dă elevilor o listă de termeni și concepte matematice și le cere să scrie o poveste scurtă, în care să utilizeze toate cuvintele și expresiile din listă. Profesorul încurajează elevii să fie creativi, dar, în același timp, le cere ca în poveste să utilizeze corect (din punct de vedere matematic) conceptele date.

Înainte de a începe activitatea de scriere, este recomandabil ca profesorul să prezinte câteva reguli de care elevii să țină cont atunci când scriu povestea, de exemplu:

Povestea matematică trebuie să conțină toate noțiunile matematice din listă;

Fiecare noțiune matematică trebuie să fie utilizată corect din punct de vedere matematic;

Povestea matematică poate să fie ficțiune sau nu;

Povestea trebuie să aibă un fir logic;

Povestea trebuie să aibă o introducere și o concluzie;

Povestea trebuie să aibă între una și două pagini format A5;

Fii creativ;

Alege o temă despre care să îți placă să scrii.

Exemplul 3.12: Conceptul matematic ales poate fi triunghiul dreptunghic și li se va cere elevilor să creeze o poveste în care personajul principal să fie conceptul ales, adică triunghiul dreptunghic. Celelalte personaje pot fi figuri geometrice înrudite cu triunghiul dreptunghic.

A fost odată ca niciodată un triunghi dreptunghic care era foarte mândru de averea sa: o ipotenuză, două catete, un unghi drept și o mulțime de proprietăți și teoreme care erau doar ale lui. Marea lui pasiune erau călătoriile, iar ultima sa călătorie a făcut-o în ținutul numit Geometrie. În acest ținut s-a întâlnit cu următoarele figuri geometrice: un triunghi isoscel, un triunghi echilateral, un dreptunghi, un pătrat, un romb, un trapez isoscel. Fiecărei figuri geometrice i-a promis că o va duce în palatul său dacă pot să se transforme măcar pentru câteva secunde în ceea ce este el: UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC. Triunghiul isoscel și-a trasat înălțimea corespunzătoare bazei și a obținut chiar două triunghiuri dreptunghice. Pentru triunghiul echilateral a fost floare la ureche: oricare din cele trei înălțimi ale sale formau câte două triunghiuri dreptunghice. Dreptunghiul s-a transformat în două triunghiuri dreptunghice trasând doar o diagonală, iar pătratul a făcut același lucru. Rombul și-a trasat ambele diagonale și s-au format chiar patru triunghiuri dreptunghice, iar trapezul isoscel a arătat că și el poate forma două triunghiuri dreptunghice ducând cele două perpendiculare din vârfurile bazei mici. Triunghiul dreptunghic a rămas uimit de cele văzute, iar promisiunea e promisiune. I-a invitat pe toți la palatul său unde a dat o petrecere de neuitat. Invitatul special a fost Pitagora care i–a adus în dar o poezie dedicată numai lui:

„Numai dreptunghic dacă este

Un biet triunghi, nu e poveste,

Ci-ntotdeauna este adevărat:

Ipotenuza la pătrat

Egală este, neapărat,

Cu o catetă la pătrat,

Ce adunată trebuie-n datʹ

Cu cealaltă la pătrat. ”

Scrierea unui cvintet[4]

Scrierea unui cvintet (adaptat după MacBeth, Harris, Helmlich, Newsome, 1997) care constituie o oportunitate pentru elevi de a formula ceea ce știu despre un anumit concept matematic în propriile cuvinte, de a-și dezvolta limbajul matematic. Elevii rezumă informații, surprinzând complexitatea conceptului. Elaborarea unui cvintet necesită o reflecție adâncă bazată pe înțelegerea conceptului, de aceea această activitate se utilizează în etapa de consolidare a lecției.

Cvintetul este o poezie (cu sau fără rimă) în 5 versuri.

Reguli de scriere a cvintetului sunt:

Primul vers constă într-un singur cuvânt, care este un concept matematic, substantiv;

Al doilea vers este format din două cuvinte, care descriu conceptul matematic (două adjective);

Versul al treilea este format din trei cuvinte, care exprimă acțiuni (verbe, eventual la gerunziu);

Al patrulea vers e format dintr-o propoziție de cel puțin patru cuvinte, care exprimă o idee, proprietate a conceptului;

Ultimul vers este format dintr-un alt substantiv, preferabil un sinonim al celui din primul vers.

Când utilizați pentru prima dată această activitate la o clasă, după ce prezentați regulile de scriere a cvintetului, oferiți elevilor niște exemple de cvintete, analizați – le și apoi solicitați elevilor ca în perechi să scrie cvintete despre o noțiune, la alegere. După două – trei cvintete compuse, dificultatea dispare.

Elevii din pereche pot să scrie individual, iar apoi să își împărtășească unul altuia creația, fiecare pereche păstrând cel care le place cel mai mult, creând un cvintet final. Aceasta stimulează discuția despre motivele pentru care au scris, permițând continuarea și adâncirea reflecției critice asupra conceptului. De asemenea, fiecare participant trebuie să-și asculte perechea și să extragă din varianta acestuia idei cu care amândoi sunt de acord. Variantele finale pot fi apoi comunicate întregii clase.

Exemplul 3.13:

Teorema

Lungă, complicată

Adunând, scăzând, înmulțind

Ipotenuza se poate determina

Proprietate.

Exemplul 3.14:

Triunghi

Dreptunghic, colțuros

Rezolvând, calculând, determinând

Teoremele te ajută mult

Geometrie.

Scrierea unei scrisori către un elev absent (Mower, 2003) [4]

Cerând elevilor să scrie o scrisoare către un elev absent de la lecție înseamnă de fapt că profesorul le solicită elevilor să scrie despre noțiunile matematice învățate în cadrul lecției, adică le cere elevilor să comunice ce au învățat. Scriind scrisoarea, elevii reflectează asupra conținutului, rezumă ce au învățat despre o anumită temă și comunică în scris despre concepte matematice. Această activitate se utilizează în etapa deconsolidare a lecției. O scrisoare matematică ar trebui să aibă cel puțin trei paragrafe și să nu depășească o pagină.

Exemplul 3.15:

Salut D.,

Azi ai pierdut o oră de geometrie pe cinste. D-na profesoară ne-a pus să desenăm două triunghiuri dreptunghice, primul având catetele de 6 cm, respectiv 8 cm, iar catetele celui de-al doilea triunghi dreptunghic aveau lungimile de 3 cm, respectiv 4 cm. Apoi ne-a pus să măsurăm lungimea ipotenuzei și să verificăm relația următoare pentru fiecare exemplul în parte: ipotenuza2 = cateta12 + cateta22. Bineînțeles că relația a fost adevărată pentru fiecare triunghi desenat. Să încerci și tu acest experiment.

Apoi ne-a spus că relația de mai sus nu este verificată doar pentru triunghiurile pe care le-am desenat noi ci este o relație valabilă pentru orice triunghi dreptunghic, relație cunoscută sub numele de Teorema lui Pitagora: În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Noi am observat că există mai multe numere care verifică relația dată de teoremă, iar d-na profesoară ne-a spus că numerele care verifică teorema lui Pitagora se numesc numere pitagorice. Aceasta este și tema pentru ora următoare: să se determine 10 triplete de numere pitagorice. Spor la treabă!

Metoda mozaicului

Mozaicul (Slavin, 1994) sau „metoda grupurilor interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă. Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.

Mozaicul este o metodă de învățare prin cooperare, ce poate fi utilizată în etapa de construire a cunoștințelor sau în consolidare. Aceasta presupune că elevii se sprijină unii pe alții în activitatea de învățare. Metoda poate fi utilizată atunci când elevii citesc un text ascultă o prezentare sau realizează o activitate de investigare în grup. Ca în alte metode de învățare prin cooperare, metoda mozaicului presupune „grupuri de experți” și „grupuri casă”. Această metodă implică pregătirea fișelor de experți înainte de începerea lecției.

În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.

Metoda Mozaic sprijină elevii în a învăța întreg materialul (conținutul). Elevii devin experți în anumite părți ale lecției și îi învață și pe colegii lor. Fiecare elev are un rol activ pe întreg parcursul lecției și experimentează înțelegerea și gândirea de ordin superior.

Există mai multe variante ale metodei mozaic , varianta standard a acestei metode care se realizează în cinci etape este prezentată în cele ce urmează.

Pregătirea materialului de studiu

Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme. Opțional, poate stabili pentru fiecare sub-temă, elementele principale pe care trebuie să pună accentul elevul, atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază materialul.

Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub-teme propuse și care va fi oferită fiecărui grup.

Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în clasă)

Fiecare elev din echipă, primește o literă (A, B, C, D) și are ca sarcină să studieze în mod independent, sub-tema corespunzătoare literei sale.

El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu litera A vor aprofunda sub-tema din Fișa „A”. Cei cu litera B vor studia sub-tema din Fișa „B”, etc.

Faza independentă: fiecare elev studiază sub-tema lui, citește textul corespunzător. Acest studiu independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea organizării mozaicului.

Constituirea grupului de experți

După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu aceeași literă se reunesc, constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu litera A, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda sub-tema din Fișa „A”. La fel procedează și ceilalți elevi cu literele B, C, și D. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.

Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlalți membrii din echipa inițială.

Fiecare elev este membru într-un grup de experți și face parte dintr-o echipă de învățare. Din punct de vedere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor de experți trebuie plasate în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja reciproc.

Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.

Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare

Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub-teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie scurtă, concisă, atractivă, putând fi însoțită de suporturi audio-vizuale, diverse materiale.

Specialiștii într-o sub-temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computerul, pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt stimulați să discute, să pună întrebări și să-și noteze, fiecare realizându-și propriul plan de idei.

Evaluarea

Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci fiecărui elev i se va adresa o întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.

Ca toate celelalte metode de învățare prin cooperare și aceasta presupune următoarele avantaje:

stimularea încrederii în sine a elevilor;

dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului;

dezvoltarea gândirii logice, critice și independente;

dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;

optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.

Trebuie să remarcăm calitatea metodei grupurilor interdependente de a anihila manifestarea efectului Ringelmann. Lenea socială, cum se mai numește acest efect, apare cu deosebire atunci când individul își imaginează că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie. Interdependența dintre membri și individualizarea aportului fac din metoda mozaicului un remediu sigur împotriva acestui efect.

Exemplul 3.16:

În cadrul unei lecții de predare se poate aplica metoda mozaicului la predarea Relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic la clasa a VII-a.

Elevii clasei a VII-a se împart în grupuri eterogene de 4 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă de învățare notată cu câte o literă (A, B, C, D). Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi.

Lecția propusă este „Relații metrice în triunghi dreptunghic” – clasa a VII-a

1.Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicarea sarcinii de lucru și a modului în care se va desfășura activitatea.

În cazul analizat, subiectul analizat este „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”.

2.Regruparea elevilor, în funcție de litera fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care au litera A vor forma un grup, cei cu litera B vor forma alt grup ș.a.m.d.

Așadar, unul dintre grupurile de „experți” va fi format din toți elevii care au primit, în cadrul grupului inițial de 4, Teorema catetei, etc.

3.Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de experți. Elevii citesc, discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar.

Elevii din fiecare grup decid cum vor „preda”. Ei pot folosi exemple numerice, texte în vorbirea curentă, simboluri matematice.

4.Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități, se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membrii din grupul expert pentru secțiunea respectivă.

În fiecare grup, sunt astfel „predate” cele patru Teoreme, cu exemple. În acest fel, fiecare elev devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru transmiterea corectă și completă a informațiilor. Este important să monitorizați această activitate, pentru ca achizițiile să fie corect transmise.

5.Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa / cu toți participanții.

Câteva exerciții bine alese de profesor vor evidenția nivelul de înțelegere a temei.

Metoda Mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor: faptul că se transformă, pentru scurt timp, în „profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.

Experții nr. 1- Fișa A – Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

BC² = AB² + AC²

Fig. 3.23.

Aplicație:

În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90°, AB = 6 cm și AC = 8 cm. Să se determine lungimea ipotenuzei.

Demonstrație:

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC și obținem:

BC2 = … + …

Înlocuim și obținem:

BC = … cm.

Observație: Există câteva triplete de numere, care verifică relația lui Pitagora. Aceste triplete se numesc numere pitagorice. Câteva exemple de astfel de triplete, sunt: ( 3; 4; 5), (6; 8; 10), (5, 12, 13). Determinați și voi alte exemple de numere pitagorice.

Experții nr.2- Fișa B – Teorema înălțimii

Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

AD2 = BD·DC

Fig. 3.24.

Aplicație: În triunghiul ABC, m(A) = 90°, ADBC, DBC, cunoaștem: DC = 28 cm și BC = 30 cm. Calculați lungimile segmentelor BD și AD.

Demonstrație:

BD = BC – DC = … -… = …

Aplicăm teorema înălțimii astfel: AD2 = BD·DC, și obținem AD = … .

Experții nr. 3- Fișa C – Teorema a doua a înălțimii

Teorema a doua a înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu câtul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

Fig. 3.25.

Aplicație:

În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90°, m(C) = 300, construim AD BC, DBC. Dacă AB = 5 cm, AC = 5 cm , calculați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

Demonstrație:

BC = 2· …=

Aplicăm a doua teoremă a înălțimii și obținem AD = …

Experții nr. 4 – Fișa D – Teorema catetei

Teoremă: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției catetei pe ipotenuză.

AB2 = BC·BD

AC2 = BC·DC

Fig. 3.26.

Aplicație:

În triunghiul dreptunghic ABC, m(A)= 90°, BC = 10 cm și BD = 4 cm. Aflați lungimile catetelor triunghiului ABC.

Demonstrație:

Aplicăm teorema catetei pentru AB și AC:

AB2 = BC·BD

AC2 = BC·DC

Înlocuim și obținem: AB = … și AC = … .

Instruirea asistată de calculator

Instruirea programată sau instruirea asistată de calculator (prescurtat I.A.C.) este o formă de instruire individualizată prin care informația este învățată fragmentat, fie prin citirea unor texte programate, fie utilizând un program de predare cu ajutorul calculatorului. Un răspuns corect la o întrebare sau la o problemă permite elevilor să avanseze, în timp ce un răspuns incorect presupune repetiție sau reînvățare.

În ultimii ani a devenit evident că tindem tot mai mult spre o instruire asistată de mijloace tehnice, în special de calculatorul electronic. Instruirea asistată de calculator necesită un program de instruire (produs pedagogic), care este transpus într-un program-computer (produs informatic).

Introducerea calculatorului în școală nu trebuie să constituie un scop în sine, ci o modalitate de creștere a calității, a eficienței învățării și predării. Instruirea asistată de calculator poate fi definită ca o aplicație a sistemelor de calcul în procesul de instruire, în care cei ce învață comunică interactiv cu sistemul de calcul, în baza unor programe destinate învățării și instruirii.

Pe lângă faptul că instruirea asistată de calculator este o metodă de predare- învățare-evaluare, aceasta este constituită și ca o disciplină de sine stătătoare, prin care cei interesați pot asimila cunoștințe, pe care mai apoi pot să le evalueze în baza unor sisteme de programare.

Folosirea sistemului I.A.C. ca metodă de învățare va stimula elevii la receptarea noului, la dezvoltarea imaginației și gândirii logice, la o învățare rapidă și eficientă, și la sporirea șanselor de reușită în acțiunea de integrare socio-profesională. Sistemul I.A.C. reprezintă un mediu integrat de hardware – software destinat interacțiunii, asimilării active de cunoștințe, dar și la formarea de priceperi și deprinderi practice. În acest scop calculatorul are nevoie de un soft educațional (un program special sau unul creat chiar de profesorul de la clasă).

În realizarea instruirii asistate de calculator la matematică, prin utilizarea programelor specifice sunt implicați următorii factori:

Cadrul didactic – coordonează elevii în procesul de instruire;

Elevul – își formează competențe de utilizare și exploatare a calculatorului în urma procesului de instruire;

Calculatorul –folosit ca mijloc didactic de instruire;

Lecțiile – forme de bază în organizarea instruirii prin care elevii își formează competențele fixate de programa școlară;

Raportat la procesul de învățare, calculatorul, prezintă o serie de caracteristici dintre care enumerăm:

Este un obiect capabil să genereze o adevărată revoluție în domeniu;

Este un obiect interactiv care permite nu numai o instruire și formare personalizată, dar și relații de cooperare cu ceilalți membrii ai grupului;

Oferă reprezentări multiple și dinamice ale fenomenelor, inclusiv modelări ale proceselor la nivel macroscopic și microscopic, care nu sunt accesibile în mod nemijlocit subiectului cunoscător;

Îndeplinește funcții intelectuale, contribuind la valorificarea potențialului intelectual al elevilor implicați;

Soft-urile complexe asigură contexte semnificative pentru promovarea unor tipuri de învățări personalizate;

Modifică rolurile profesorului și ale formatorului în procesul de educare și formare personalizată.

Calculatorul îl ajută pe profesor să predea, pe elev să învețe, dar nu poate suplini în totalitate efortul acestora în procesul de instruire și de cunoaștere.

Instruirea asistată de calculator reprezintă o metodă modernă de învățământ, care valorifică pe deplin tehnicile de modelare și analiză cibernetică în contextul noilor tehnologii informatice și de comunicații, asigurând organizarea, gestionarea, documentarea și integrarea informațiilor în procesul de cunoaștere.

Ca orice metodă didactică instruirea asistată de calculator are o serie de avantaje și dezavantaje ușor complementare:

Sugestii și recomandări în procesul de instruire cu ajutorul calculatorului:

Locul de desfășurare al instruirii asistate de calculator se recomandă a fi în cadrul unui laborator dotat cu echipamente de calcul specifice;

Numărul de stații de lucru să fie egal cu numărul elevilor din clasă;

Toate stațiile de lucru să fie conectate în rețea și cu conexiuni la Internet;

Analiza unor lucrări, referate, studii de caz, proiecte se va realiza și cu ajutorul video-proiectorului;

La predarea noilor cunoștințe se vor utiliza metode de învățare activ – participative.

Exemplul 3.17:

Pentru unitatea de învățare Relații metrice în triunghiul dreptunghic am realizat lecții cu ajutorul programului Power Point, unele diapozitive fiind prezentate mai jos, iar întreaga prezentarea putând fii urmărită pe www.didactic.ro.

Fig. 3.27.

Exemplul 3.18: Cu ajutorul programului Microsoft Excel am creat un șablon în care elevii pot să introducă lungimile catetelor și automat vor obține în coloana a treia a tabelului lungimea ipotenuzei triunghiului dat.

Fig. 3.28.