Metode de Rezolvare a Problemelor de Aritmetica la Clasele Primare

=== fa5f283cbd2036ed35ca3899a6d20a96448554bf_302635_1 ===

Facultatea: Psihologie și Științe ale Educației

Specializare: Pedagogia Învățământului primar și preșcolar

Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasele primare

CUPRINS

1. Motivația alegerii temei

2. Partea I Considerații teoretice

Cap. I Metodologia procesului de predare – învățare a aritmeticii în clasele primare

Metodă matematică – rolul ei în procesul de predare- învățare

Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică

Clasificarea problemelor de aritmetică

Cap. II Clasificarea și descrierea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică

2.1 Clasificarea metodelor de rezolvare

2.2 Descrierea metodelor de rezolvare

2.2.1 Metode generale

2.2.2 Metode particulare

2.2.3 Metode de rezolvare a problemelor practice

2.2.3 Metoda jocului didactic

Partea a II-a Partea aplicativă
Cap. III Organizarea cercetării

3.1 Organizarea cercetării

3.2 Eșantionul de subiecți

3.3 Eșantionul de conținut

3.4 Metodele de cercetare

Cap. IV Desfășurarea cercetării

4.1 Etapa preexperimentală

4.2 Etapă experimentală

4.3 Etapa postexperimentală
Cap. V Prezentarea, analiza și interpretarea datelor experimentale

5.1 Prezentarea, analiza și interpretarea datelor experimentale din etapa preexperimentală

5.2 Prezentarea, analiza și interpretarea datelor experimentale din etapa experimentală

5.3 Prezentarea, analiza și interpretarea datelor experimentale din etapa postexperimentală

Cap. VI Concluzii

Cap. VII Bibliografie

Cap. VIII Anexe

Motivația alegerii temei

Prin prezenta lucrare se dorește înaintarea unei pledoarii în scopul susținerii datoriei învățătorului de a impulsiona și de a cultiva gândirea creatoare a elevilor claselor I – IV.

Prin prisma faptului că matematica reprezintă știința ce acționează asupra tuturor specificitatilor definitorii ale raționalizării moderne, studiul său are o funcție preponderentă spre flexibilizarea creativității, a raționalizării abstracte și a inventivității. Matematica utilizează raționalizarea, perfecționarea și cultivarea manierei personale de a gândi rămânând pentru individ o chestiune discutabilă. Matematica este materia ce poate și are scopul de a contura o raționalizare creatoare, cercetătoare. Matematica se identifică în cea mai expeditivă știință, cu cele mai vaste și numeroase conexiuni cu viața. O funcție predominantă în evoluția gândirii creatoare îl ocupă de-a lungul orelor de matematică activitatea compunerii și rezolvării problemelor, din acest motiv este nevoie ca învățătorul să ia în calcul acest aspect la nivel psihopedagogic, a strategiilor de ordin mintal care structurează raționalizarea elevilor și a structurii proceselor logice, în rezolvarea de probleme. Este imperios ca profesorul să găsească cele mai potrivite moduri și soluții care să apeleze, într-o manieră eficientă la raționalizarea elevilor. De asemenea, este imperios ca profesorul să ia în calcul aspectele motivaționale care să ocupe o funcție reprezentativă în întreprinderea orelor de matematică.

În condițiile în care motivația pozitivă există, elevul are curiozitatea dar și dorința de descoperire a unor rezolvări mai eficiente ale problemelor. Elevul necesită învățat să prevadă problemele ce ar putea apărea, să rezolve probleme deja existente ori să construiască ei înșiși probleme. Trebuie să descopere cât mai multe căi, modalități de rezolvare a problemelor, să înțeleagă În același context, elevii trebuie să cunoască faptul că la un rezultat similar se poate ajunge prin diverse metode, însă numai una dintre acestea este cea mai eficientă din perspectiva consumului de energie. Educarea creativității raționalizării elevilor în rezolvarea problemelor implică mobilizarea raționalizării la un efort gradat și sistematic printr-un exercițiu continuu în rezolvarea de probleme, prin evoluția încrederii în propriile forțe și prin evoluția spiritului de independență, prin incitarea inițiativei de încercare a unor rezolvări cât mai diversificate și prin autocontrolul elevilor până la controlul întreprins de învățător. În redactarea lucrării s-a simțit necesitatea punerii unei baze științifice a acesteia prin definirea unor termeni precum „problemă”, ‚creativitate” sau dezvoltarea unor specificități psihopedagogice ale elevilor de vârsta școlară primară în scopul de a direcționa activitatea de compunere și de rezolvare a problemelor către impulsionarea creativității elevilor într-o manieră conștientă.

În lucrare se vor găsi o multitudine de rezolvări ale problemelor specifice. În același context, va fi reliefat rolul jocului didactic matematic în evoluția creativității elevilor.

Un alt motiv al optării pentru această temă a rezidat în faptul că aceasta poate fi abordată dintr-o multitudine de perspective. Astfel, expresia,” rezolvare de probleme” face referire, individual sau nu, la aspecte precum:

tratări intradisciplinare / interdisciplinare,

abilități de ordin social,

unități de învățare subordonată ori diferită,

raționalizări sub identitatea unui proces de rezolvare a problemelor,

genuri superioare de învățare,

strategii,

 niveluri de performanță,

algoritmi,

metode.

Altfel spus, în lucrare s-a intenționat dovedirea faptului că rezolvarea de probleme reprezintă un scop în sine, niciodată ales sub formă de metodă pentru altceva, țel în funcție de care se doresc și alte lucruri.

În ultimă instanță, cel din urmă motiv pentru care s-a optat pentru această temă a fost natura umană (individul este unica ființă ce beneficiază de limbaj, de rațiune, de gândire și de judecată. Acești „actori” necesită dezvoltați prin cunoașterea adevărului, cu alte cuvinte, prin matematică).

Dată fiind complexitatea temei, prin lucrarea de față nu se intenționează epuizarea acestei teme, ci numai incipitul dezvoltării unui punct de interes personal în evoluția, la elevi, a creativității atât în compunerea cât și în rezolvarea problemelor.

Partea I Considerații teoretice

Cap. I Metodologia procesului de predare – învățare a aritmeticii în clasele primare

Metodica predării matematicii pentru învățământul școlar este imperios să arate cum trebuie organizată predarea – învățarea eficientă a termenilor de „aritmetică”, de „algebră” și de „geometrie” din învățământul preuniversitar.

Prin intermediul exercițiilor de compunere și de descompunere este realizată pregătirea elevilor pentru atribuirea operațiilor aritmetice de scădere și de adunare.

Scopul studiului matematicii în ciclul primar este ca toți copiii să își contureze capabilitățile fundamentale, luând în calcul măsurarea mărimilor, numerația, termeni intuitivi de geometrie și calculul aritmetic.

Puternic corelate cel mai frecvent prin chiar enunțul lor practic însă și prin propria rezolvare, problemele de aritmetică determină la elevi un simț al realității de ordin matematic, conturându-le deprinderea de rezolvare și alte probleme de ordin practic cu care se vor întâlni pe parcursul vieții.

Atât prin metodele de soluționare folosite, cât și prin cuprinsul și prin metodele lor de abordare, rezolvarea problemelor de aritmetică îndrumă către educarea și cultivarea unei noi atitudini în raport cu munca, a concurării cu alții și cu sine însuși, a prieteniei și a disciplinei conștiente.

Aceste valențe care ajută la formarea personalității elevilor, determinată de procesul de compunere și de rezolvare a problemelor de aritmetică dovedesc relevanța temei alese, motiv pentru care cadrul didactic trebuie să își manifeste față de aceasta, interesul cuvenit.

În cazul fiecărei clase a învățământului primar, programa de matematică impune cuprinsuri raportate la rezolvarea problemelor de aritmetică, obiective cadru, exemple de activități de învățare și obiective de reper.

Este important să se acorde o atenție crescută alcătuirii abilităților de calcul oral, intensificând utilizarea conștientă a proprietăților operațiilor aritmetice în scopul favorizării unui calcul rapid și corect însă și în scopul stimulării ingeniozității elevilor în optarea pentru procedee convenabile de calcul.

Metodica predării aritmeticii reprezintă o conexiune între știința matematicii și pedagogie și, totodată, un studiu de tip sistematic al legilor studierii matematicii.

În cazul primelor patru clase, aritmetica reprezintă una din materiile de bază ce are rolul de a oferi elevilor cunoștințe bazate raportate la termenii fundamentali matematici și de a le contura deprinderea de aplicare a acestor cunoștințe în viața practică.

O consecință reprezentativă a lecției de aritmetică rezidă în alcătuirea la elevii din ciclul primar a obiceiurilor de motivare, de ordine, de dovedire și de exactitate.

Procesul de predare – învățare a matematicii în învățământul primar reprezintă una dintre coloanele vertebrale ale alcătuirii raționalizării elevilor. Sarcinile primordiale ale metodicii predării aritmeticii se identifică în:

selecția termenilor și rezultatelor fundamentale care vor fi predate elevilor, acestea fiind structurate pe trepte de atractivitate și cu unele nivele de complexitate și de rigoare,

descoperirea aplicațiilor, trăsăturilor, mijloacelor și instrumentelor primordiale specifice aritmeticii, intensificându-se modele de gândire matematică accesibile elevilor de vârsta școlară mică,

deciderea manierei în care cunoștințele matematice predate și atribuite pot să fie utilizate în cadrul altor materii,

descrierea de tip metodologic a fiecărei teme de studiu, arătându-se cele mai adecvate metode în ceea ce privește explicarea să cât mai accesibilă,

deciderea metodelor caracteristice de verificare a activității matematice a elevilor și a metodelor caracteristice de evaluare a progresului școlar, ȋn genere și a progresului de învățare ȋn mod expres,

expunerea mijloacelor de structurare a studiului individual prin intermediul culegerilor de probleme ori manualului, prin participarea elevilor la olimpiade și la cercuri de matematică și prin întreprinderea unor activități exterioare orelor de clasă,

deciderea liniilor directoare în structurarea procesului de predare – învățare a aritmeticii,

oferirea răspunsurilor potrivite complexității conjuncturilor educaționale regăsite la nivel practic.

Pe fundamentul cunoștințelor obținute în școală și ulterior a experienței obținute în activitatea didactică de predare, cadrul didactic trebuie să aibă cunoștințe puternice din spațiul didacticii, în genere și al didacticii/metodicii predării aritmeticii, în mod expres. Funcția aritmeticii este relevantă în evoluția raționalizării precise, logice, concrete și consecvente a elevului de vȃrstă școlară mică. Prin învățarea corectă a aritmeticii, elevii și-au conturat obișnuința de focusare asupra aspectelor studiate, putând, în acest context, să observe diverse raporturi și fapte, să le confrunte unele cu altele și să le compare. Rezolvarea problemelor de aritmetică va fi parte a procesului de evoluția a raționalizării elevilor însă și la evoluția imaginației lor creatoare.

Rezolvarea problemelor de aritmetică sunt structurate pentru a se preda „în spirală”, structurare ce constă în revenirea la același cuprins, întotdeauna pe o treaptă superioară, respectând, în această manieră, specificitățile de ordin psihologic adecvate vârstei școlare mici.

În orice problemă de matematică sunt scoase în evidență trei elemente:

datele, expuse ca raporturi și ca valori numerice,

cerințele, ce indică ce trebuie aflat prin folosirea datele problemei,

condițiile, ce indică cum sunt cerințele legate de date.

Odată ce elevul își atribuie metode de rezolvare și experiența sa în rezolvarea problemelor crește, dezvoltându-se capacitatea rezolutivă ulterior capabilităților de investigare și de explorare.

Metoda matematică – rolul ei în procesul de predare- învățare

Strategia de predare – învățare ocupă un loc central în procesul instruirii în raport cu celelalte laturi ale acestuia: stabilirea conjuncturilor spatio – temporale de realizare a instruirii, deciderea obiectivelor operaționale, sortarea căilor de apreciere – și de evaluare – a înregistrării performanțelor dorite sau evaluarea resurselor materiale și umane.

În scopul de a observa mai concret rolul și locul strategiei de predare – învățare în procesul instructiv – de pe parcursul unei lecții, de exemplu – trebuie luată în calcul bipolaritatea: raportul strategie de predare (emisă de profesor) – strategie de învățare (emisă de elev). Strategia predării conturează condiții în scopul formării strategiilor de învățare ale elevilor, manierele de învățare – luând în calcul și stilul cognitiv, starea de pregătire cognitivă și tipul motivațional – generând maximizarea strategiilor de predare. Cu alte cuvinte, prin strategia de predare – învățare se au în vedere pe de o parte metodele de selectare și de combinare a elementelor de cuprins îndrumate, de materiale, de structurare a învățării, de metoda de învățământ, conduse de obiectivele operaționale ale instruirii, cât și mijloacele prin care elevii întreprind obiectivele propuse. Bref, trebuie să se aibă în vedere conturarea acelei conjuncturi de învățare prin care elevul învață – direcționat -, formându-și – semidirectionat – ori elaborându-și – într-o manieră independentă – strategii de învățare a noului material, strategii de tip rezolutiv și chiar strategii de autodirectionare și verificare a propriei gândiri.

Astfel, din această conjunctură, a bipolarității, reiese concret funcția strategiilor de predare în fenomenul instruirii.

Învățarea unui concept definit presupune conturarea abilității de a demonstra fiecare dintre conceptele componente ale definiției dar și a raportului dintre acestea iar cunoașterea unei norme se identifică în abilitatea de a demonstra utilizarea acesteia în situații caracteristice, indiferent dacă aceasta poate fi repetată ori nu precum un lanț verbal.

Cunoștințele – legate de un concept, de o soluție a unei probleme, de o regulă – atribuite într-o manieră conștientă și conectate logic între acestea ca niște corpusuri de cunoștințe – prin enunțare, prin faptul că descoperirea dintre acestea atrage aducerea în prim plan și a altora care decurg din acestea – formează ceea ce poartă numele de schemă cognitivă.

Schemele operatorii reprezintă schemele de operare sub egida cărora se fixează în structură cognitivă, abilitățile de evaluare, de cunoaștere, rezolutive și de aplicare. În condițiile în care sunt activate, aceste scheme operatorii se obiectivează ca niște seturi de operații care acționează în ceea ce privește conținutul. O categorie a acestor scheme operatorii se identifică în algoritmi ce se constituie ulterior în structuri acționale. O funcție reprezentativă în cadrul finalităților instruirii îl ocupă strategiile cognitive. Acestea includ strategiile de cunoaștere, strategiile de aplicare și strategiile rezolutive.

Prin intermediul strategiei, se înțelege ansamblul de reguli verbale ce ușurează rezolvarea problemelor, în genere, prin arătarea unei ordini prioritare spre posibila memorare a propozițiilor de fond. Strategia este deosebită de algoritm prin faptul că aceasta oferă o multitudine de moment de opțiune, unde se impune manifestarea unei atitudini inteligente, în același timp în care algoritmul conduce la aplicarea unică și mecanică a uneia ori a mai multor propoziții.

Prin strategia de cunoaștere a unor norme se desemnează acele metode prin care subiectul descoperă elementele componente ale normei – conceptele și raporturile dintre acestea -, amintind enunțul verbal al acesteia și recunoscând modelul său figurativ într-o configurație simplă.

Prin strategia de aplicare a unei norme în probleme se înțelege demersul prin intermediul căruia subiectul ajunge să aplice regula într-o altă conjunctură decât cel învățat, să scurteze calea de aplicare a acesteia utilizând un alt rezultat, să transfere o tehnică, o schemă de operare de la o problemă la alta.

Bref, o strategie rezolutivă indică, fiind definită de acest aspect, manierele de selectare și de combinare a conceptelor reprezentative – identificabile în propoziții de fond – din structura cognitivă a elevului care rezolvă, ce conduc la găsirea conceptului de rezolvare – conceptului rezolutiv -, la soluția problemei.

Formarea unei strategii rezolutive este determinată de strategiile cognitive (deprinderi intelectuale superior structurate ce selectează și coordonează procesele interne implicate în conturarea și rezolvarea noilor probleme; altfel spus, sunt deprinderi prin care elevul își structurează propria sa manieră de gândire.

Pe măsură ce structurile cognitive se descriu ca fiind mai:

bine consolidate,

consistente în informație,

bine organizate în scheme cognitive, operarea cu structurile operatorii și cu cunoștințele este mai eficientă. Structurile cognitive expun materia primă pentru structurile operatorii, rezultatul acțiunii identificându-se în noi scheme operatorii, în noi cunoștințe și în noi abilități. Structurile operatorii alături de cele cognitive sunt parte a structurii cognitive a individului.

La stadiul elementar al învățării de norme și de concepte, noțiunile de strategie și de tactică pot coincide. Odată ce se urcă pe scara tipologiei învățării, spre rezolvarea comportamentului creator și a problemelor, intră în discuție strategiile rezolutive – ce includ și procedee și maniere caracteristice rezolvării unor clase de probleme – ce sunt combinate și sunt elaborate pe fundamentul strategiilor cognitive, conturate și ele de-a lungul timpului. Prin raportare la relația strategie – tactică se poate constata faptul că strategia indică modul de „a pune pasul înainte de a păși”, tactica descriind „mersul” ca atare. Relația între tactică și strategie este regăsită, printr-o exprimare plastică, la Eugen Rusu, potrivit căruia, strategia – schela – apare odată cu soluția problemei – casa.

În toate culegerile, soluțiile problemelor date maschează calea descoperirii acestora fără precizarea modului în care s-a ajuns la acestea sau din ce motiv au fost alese respectivele și nu altele, rămânând de datoria lectorului de a face distincția strategiilor de rezolvare prin maniera de gândire a celui care rezolvă.

Cu cât este mai imprecis conturată, o idee rezolutivă are o suprafață de utilitate – aplicabilitate – mai ridicată, însă se regăsește dificil pentru că nu este facil de fixat. Cu cât este mai concret conturată – până a se identifica într-o metodă caracteristică de rezolvare – cu atât aria de aplicabilitate este mai restrânsă, însă aceasta se poate regăsi la toate conjuncturile din clasa respectivă.

În scopul întreprinderii oricăror obiective, elevul își dezvoltă strategii de învățare – în ciuda faptului că maniera de instruire nu este potrivită – mai mult sau mai puțin economicoase. Problema care intră în discuție este, deci, de proiectare în așa manieră încât elevii să fie ajutați să își alcătuiască într-o manieră activă, conștientă și eficientă strategii de învățare – de rezolvare de probleme, a conceptelor, de cunoaștere a normelor – și, odată cu trecerea timpului, strategiile cognitive. În mod expres, elevii de gimnaziu întâlnesc greutăți în rezolvarea unei dificultăți – cu toate că structura lor cognitivă are concepte relevante în scopul rezolvării problemei – întrucât strategiile cognitive – de structurare a procesului de gândire – se conturează mai dificil, în raport cu alte categorii de strategii cognitive: strategii de reconstituire și de stocare care acționează în diverse stadii ale învățării, strategii pentru starea de participare, strategii de codificare a sensului informațiilor, pe care elevii le exersează de o perioadă îndelungată de timp și într-o multitudine de contexte.

Alcătuirea strategiilor de învățare la elevi se identifică într-o problemă deosebit de complexă, luând în calcul distincțiile individuale datorate stării de pregătire cognitivă de ordin motivațional, de stilul de învățare a elevilor și de stilul cognitiv al acestora. Din acest motiv, o strategie eficientă de predare – învățare nu trebuie să înlăture aceste aspecte, în scopul de a reduce cât mai mult efectele nedorite ale blocajului învățării, ale interferenței, ale perseverenței și ale inhibiției.

Între finalitățile instruirii la matematică și activitatea rezolutivă există o strânsă conexiune. Aspectele referitoare la funcția problemelor în învățarea matematicii, văzute prin intermediul finalităților instruirii la matematică, per genere, implică:

asigurarea caracterului interdisciplinar, conexiunii cu evoluția și cu practica calităților moral volitive,

anticiparea și provocarea introducerii teoriei, ușurarea alcătuirii și a înțelegerii noțiunilor,

alcătuirea și evoluția abilităților necesare pentru rezolvarea problemelor și evaluarea – aprecierea – obținerii performanțelor așteptate.

Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică

Prin metoda euristică se înțelege, per general, o cale caracteristică de rezolvare a unei probleme non – standard, descrisă printr-un caracter general – aplicabilă în cazul mai multor conjuncturi problematice, asemănătoare într-o formă sau alta. Aceasta poate cuprinde în propria structură o multitudine de procedee, care se identifică în detalii ale acesteia, aria lor de aplicabilitate fiind mai restrânsă.În unele conjuncturi, cei doi termeni pot fi considerate sinonime.

În genere, procedeele și mijloacele pe care elevii le învață într-o manieră organizată ori pe cale empirică, în așa fel încât pe fundamentul acestora aceștia să poată să rezolve probleme de ordin nestereotip, ce reclamă investigații mai mult ori mai puțin complicate, poartă numele de „euristice”. Euristica limitează în aria sa toate mijloacele și procedeele menite în a conduce la descoperire și la invenție.

Din perspectivă psihologică, procedeele euristice sunt sisteme operaționale plastice, deschise de genul întrebării și de punerea a noi probleme, a explorării și ipotezei, a îndoielii în raport cu ceea ce se consideră a fi adevărat și a contrazicerilor. Procedeele euristice reprezintă, prin urmare, mecanisme ale gândirii ce indică și implică determinarea de prezumție eficiența pe parcursul rezolvării ori permit scurtarea căii de rezolvare a problemei.

Acestea vor fi prezentate sub aspect metodic, de folosire în procesul de învățare, identificându-se într-un „inventar” cu o vastă aplicabilitate.

Analogia – reprezintă o corelație între două ori între mai multe configurații, conjuncturi și noțiuni.

Metoda analogiei pornește de la asemănări exterioare care există între sisteme de elemente pe fundamentul cărora se fac asociații, sunt emise noi ipoteze – prezumpții -, au loc apropieri între raporturi și elemente dintre ele. Aceasta se utilizează în mod expres, în două conjuncturi:

ca manieră de raționament – două sisteme sunt analoage în condițiile în care ele concordă sub egida unor raporturi concret definite ale părților specifice ale acestora.

în clarificarea analogiilor.

În aceeași categorie este inclusă și o altă formă a analogiei, raționamentul prin modele: operația de construire a unui model și de folosire a acestuia în învățare este identificabil ca „modelare”. De multe ori, se recurge la regăsirea, într-o configurație dată, modelul unei definiții, a unei teoreme.

Gândirea prin intermediul modelelor reprezintă cel mai general aspect al oricărei gândiri creatoare.

Analogia mai este utilizată și în găsirea unor formule analoage, a unor tehnici de calcul similare. Problema ce se pune din perspectivă metodică constă doar în alcătuirea și în evoluția abilității de observare a analogiilor. Această manieră este folosită, pe de o parte, în atribuirea noțiunilor, pe de altă parte, în învățarea unor norme și nu în ultimă instanță în rezolvarea problemelor.

Particularizarea și generalizarea reprezintă operații ale raționalizării ce colaborează frecvent cu analogia în rezolvarea problemelor.

Particularizarea reprezintă un pas al gândirii de ordin inductiv. Observarea atentă a unor cazuri, prin intermediul particularizării, ce conduc la un rezultat matematic general, putând totodată, să inspire demonstrarea acestuia și, totodată, să conducă la o normă care să fie descoperită inductiv, prin intermediul analogiei, iar ulterior să fie demonstrată într-o manieră riguroasă.

Există o serie de aspecte de ordin metodic și psihologic în ceea ce privește folosirea acestora în rezolvarea de probleme.

Acestea trebuie să fie introduse în fenomenul de predare – învățare, în așa măsură, încât să fie văzute de către elevi ca metodă și nu ca țel al rezolvării problemelor, să le înregistreze ca pe niște instrumente foarte folositoare de orientare a conceptului revelator și a căutării euristice.

Elevii necesită învățați să își adreseze lor înșiși întrebări, respectiv, îndrumări verbale, ce declanșează actul căutării prin antrenarea proceselor psihice senzoriale – percepția selectivă a figurii – și a celor cognitive superioare: reamintirea normelor precedent învățate, a manierelor de operare a raționalizării, a imaginației creatoare în rezolvarea problemelor.

Odată aplicate și controlate, aceste procedee euristice sunt transformate în algoritmi, la stadiul lor elementar euristic, rezidând în optarea pentru algoritmul potrivit în scopul efectuării unei sarcini de către subiect – altfel, intră în discuție așa – numitele „euristici – algoritmizate”.

Pot fi concepute secvențe de instruire pe un anumit număr de lecții, fundamentate pe folosirea unui procedeu euristic similar, ori a unei clase de procedee înrudite – în cazul celei de tip descompunere – recombinare, prin schimbarea problemei, în conformitate cu observațiile lui Ausbel.

Funcționarea unor procedee euristice fundamentate pe perceperea selectivă a figurii – funcția euristică a imaginii, analiza prin sinteză – este datorată unor legi ale teoriei gestaltiste – legea continuității perfecte, legea similarității, legea formei bune și legea proximității.

A lucra într-o ordine inversă reprezintă o metodă inspirată de bunul simț, ocolirea obstacolelor reprezentând un procedeu la care se recurge spre rezolvarea oricărui tip de probleme.

Alegerea, căutarea unei probleme înrudite se identifică într-unul dintre cele dintâi procedee euristice la care se apelează în procesul rezolutiv.

Procedeul de descompunere și recombinare – în cadrul acestui procedeu, atenția se concentrează asupra unor detalii iar ulterior, după ce au fost analizate diverse combinații ale acestora, se recombină părțile într-o formă mai mult sau mai puțin distinctă decât la început.

Rezolvarea unor probleme auxiliare poate fi folositoare ori prin metoda de rezolvare ori prin rezultatul problemei.

În același timp, prin revenirea la definiții elevii sunt conduși către un alt procedeu folosit într-o măsură egală și anume:

Când se dorește aflarea unui aspect specific, latura mai accesibilă a problemei, se încearcă distincte aspecte ale acesteia, modificând problema.

Modificarea problemei se identifică în ceva reprezentativ, ce poate fi explicat pe căi distincte în următoarea manieră:

prin schimbări ale problemei se poate ajunge într-o multitudine de cazuri la o problemă mai facil de rezolvat, auxiliară,

prin modificarea problemei se facilitează extragerea din memorie a unor norme învățate în prealabil prin conturarea unor corelații între idei, între elemente, punând în contact elemente reprezentative pentru propria problemă,

prin modificări ale problemei se menține treaz interesul în ceea ce privește o problemă ce, de altfel, este direct proporțional cu progresul întreprins în rezolvare.

În cazul modificărilor problemelor acestea conduc toate procedeele euristice anterior – amintite, ori prin păstrarea ipotezei și schimbarea concluziei, ori modificându-le pe amândouă pe parcursul rezolvării.

De pildă, prin intermediul analizei se începe cu reformularea concluziei, așadar cu modificarea acesteia.

Rolul raționamentului demonstrativ – analogic, deductiv, inductiv – al demonstrațiilor rezidă, în primul rând, în validarea și controlul raționamentelor euristice. Aceste tipuri de raționamente – plauzibile ori euristice – sunt lipsite de rigurozitate și provizorii, având drept țel găsirea ideii de rezolvare, a căii către soluții. Acestea au o funcție hotărâtoare în rezolvarea problemelor însă nu sunt suficiente; siguranța validării unei conjecturi emise prin intuiție și prin raționament euristic este obținută prin raționamentul logic, pe fundamentul unei demonstrații. Potrivit lui Polya cunoștințele matematice sunt fortificate prin raționamente demonstrative, însă sprijinirea are loc pe ipotezele, pe raționamente plauzibile. Într-un raționament riguros, chestiunea primordială rezidă în distingerea unei presupuneri de o alta sau a unei presupuneri raționale de o presupunere mai puțin rațională.

Clasificarea problemelor de aritmetică

Funcție de gradul lor de structurare, problemele pot fi bine definite ori slab definite, luându-se în calcul o structurare cu mai multe ori mai puține elemente ambigue și nedeterminate. În același timp în care problemele bine specificate și definite pot fi rezolvate prin algoritmi, problemele cu o cotă redusă de specificitate au nevoie în propria rezolvare de procedee și de strategii euristice. Dată fiind măsura specificării oferită în primă instanță în conjunctură problematică, dată fiind măsura specificării stării finale precum și nevoia de operații de transformare, există, potrivit lui Rietman, cinci categorii de probleme:

Probleme de tip reproductiv – noncreativ: care nu au nevoie de un demers cognitiv – creator, doar de o raționalizare reproductivă ce, prin intermediul unor operații simple de transformare și de combinare de norme și elemente, pe căi firești, transformă o conjunctură bine specificată, în primă instanță, într-o altă, a cărei stare finală este, de asemenea, tot bine specificată.

Probleme de tip inovativ – creativ ori demonstrativ – explicativ: sunt problemele în care se solicită găsirea căii de la starea inițială la cea finală, demonstrarea stării finale, argumentarea și invocarea acesteia în condițiile unor elemente specificate.

Acestea sunt acele probleme pentru care, într-o etapă inițială, rezolvarea rezidă în analiza stării de final (din această răsturnare de situație pot fi deduse, pe o cale euristică, elementele informaționale de care este nevoie în demonstrație).

Probleme de tip inventiv – creativ (întâlnite la nivel de olimpiade): sunt deosebite de cele euristic – creative prin specificarea stării inițiale.

Probleme de tip euristic – creativ: ce reclamă abilitățile cognitiv – euristic – creative, rezolvarea acestora implicând invenție, explorare, inspirație. Sunt descrise printr-un grad ridicat de risc și de libertate, generând, așadar o multitudine de erori. Acesta este tipul de problemă prin intermediul căreia sunt obținute noi proprietăți, reliefându-se noi relații, necunoscute până în momentul respectiv.

Probleme de tip „reproiectare creativă”: probleme în cazul cărora este indicată căutarea mai multor soluții în ceea ce privește o problemă – reluarea drumului pe o altă rută în scopul de a obține un rezultat mai eficient, optimizat și îmbunătățit.

O altă clasificare a problemelor de aritmetică în ciclul primar se identifică în următoarea:

funcție de sfera de aplicabilitate și de finalitate:

teoretice (probleme referitoare la numere, la operații și la proprietățile operațiilor)

practice (probleme referitoare la mărimi).

funcție de numărul operațiilor:

simple,

compuse.

Există și predispoziția către a clasifica problemele practice funcție de cuprinsul lor concret: probleme de densitate, probleme cu conținut geometric și probleme de mișcare.

De obicei, categorisirea problemelor are loc și funcție de complexitatea acestora, în:

probleme tipice (când se dă diferența ori suma și raportul, când se dă diferența ori suma)

probleme simple (în genere, cu o singură operație ori cu un grup dat de operații),

probleme compuse/complexe (cu două ori mai multe operații legate între ele).

Cum se menționa anterior, din perspectiva numărului operațiilor utile în scopul aflării soluțiilor, problemele de aritmetică pot fi împărțite în două mari grupe: probleme simple și compuse. Problemele simple sunt acelea în care soluția este obținută printr-o singură operație aritmetică.

De pildă: pe un platou sunt 17 portocale și cu 15 mai multe banane. Câte banane sunt în livadă?

Rezolvare: 17+15=32.

Soluție: pe platou sunt 32 de banane.

Problemele unde rezultatul este obținut prin două ori prin mai multe operații aritmetice sunt probleme compuse.

De pildă: pe un platou sunt portocale și banane. Știind că în total sunt 50 de fructe, iar numărul bananelor este cu 8 mai mare decât al portocalelor, să se afle câte portocale și câte banane sunt pe platou.

Rezolvare: potrivit enunțului, se poate găsi numărul portocalelor: 50-9=43, 42:2=21.

Ulterior, se determină numărul bananelor: 21+8=29 ori 50-21=29.

Soluție: pe platou sunt 21 de portocale și 29 de banane.

Această categorisire a problemelor însumează treptele naturale prin care fiecare elev trece atunci când începe să studieze aritmetica. Începând cu clasele primare, se intră în contact cu probleme simple însă odată ce cunoștințele de aritmetică evoluează, se realizează trecerea la rezolvarea problemelor compuse. Orice culegere de probleme implică probleme ce sunt aranjate în ordinea în care apar și capitolele studiate în aritmetică. În acest context, există probleme referitoare la: numerația orală și scrisă, la adunare, la scădere, la înmulțire, la împărțire, la ridicare la putere, la extragere de rădăcină pătrată, la divizibilitate, la calcul procentual, s.a.

Indiferent de capitolul existent în culegeri și problemele simple și cele compuse sunt categorisite funcție de țelul imediat care este urmărit: ori pentru a contura obiceiurile de a mânui facil calculul aritmetic, ori pentru a aplica o teoremă, ori pentru a dezvolta o judecată ori o regulă, etc.

Din tipul problemelor ce pot fi rezolvate atât din punct de vedere algebric cât și aritmetic, sunt parte:

problemele de mișcare,

problemele de aflare a unui număr când sunt cunoscute fracții din acesta,

problemele ce sunt rezolvate prin metoda „reducerii la unitate”,

problemele cu fracții,

problemele ce se rezolvă prin regula de trei simplă,

problemele ce se rezolvă prin metoda mersului invers,

problemele cu procente,

problemele ce descriu o acțiune comună – mai mulți indivizi ce întreprind o lucrare, mai multe robinete ce umplu un bazin, etc.

Cele mai frecvent întâlnite probleme de aritmetică se identifică în:

probleme recreative,

exerciții,

probleme artificiale,

probleme teoretice,

probleme practice.

Este imperios ca elevii să se învețe cu gândirea aritmetică, în scopul de a li se forma și de a își auto – dezvolta raționamentul matematic prin descompunerea unei probleme compuse în probleme mai simple, întrucât fiecare operație necesită întreprinsă de elev în concordanță cu rezolvarea unei probleme pe care el trebuie să o alcătuiască. Tranziția la rezolvarea algebrică a unei probleme este imperios să aibă loc doar dacă elevul are cunoștințe temeinice în ceea ce privește rezolvarea aritmetică și este stăpân pe calculul cu simboluri.

Cap. II Clasificarea și descrierea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică

Clasificarea metodelor de rezolvare

Funcție de metoda utilizată în rezolvare există:

probleme cu aplicare directă a operațiilor,

probleme reductibile la o metodă. Din această categorie fac parte:

metodele generale:

metoda sintezei,

metoda analitică.

Alte metode:

metoda „reducerii la absurd”,

metoda „mersului invers”,

metoda falsei ipoteze,

metoda figurativă,

metoda comparației,

metoda grafică (figurativă),

metoda sintactică,

metoda analitico – sintactică,

metoda proporțiilor.

2.2 Descrierea metodelor de rezolvare

2.2.1 Metode generale

La nivelul ciclului primar, învățarea matematicii urmărește conștientizarea naturii matematicii sub identitatea unei activități de rezolvare a problemelor, fundamentată pe un sistem de cunoștințe matematice și pe obișnuințele de aplicare ale acestora.

În cadrul activității de rezolvare a problemelor de aritmetică nu există o metodă unică ce poate fi utilizată. O pondere ridicată o au metodele generale ce au drept fundament cele două procese ale gândirii: sinteză și analiză. Din cele două procese ale gândirii, provin cele două metode de rezolvare a problemelor: metoda sintetică (a sintezei) și metoda analitică (a analizei).

Metoda sintezei (sintetică)

Această metodă a fost numită astfel, luând în calcul faptul că examinarea enunțurilor are loc sintetic. Altfel spus, examinarea sintetică a unui enunț rezidă în a porni de la datele problemei – cunoscutele problemei – către necunoscutele problemei prin formulări și prin rezolvări de probleme simple – probleme descrise printr-o singură operație.

De pildă, datele unei probleme sunt C1, C2,…, Ck, necunoscutele acesteia fiind N1, N2,…, Ns (valori ale unor mărimi solicitate de problemă), k, s aparținând lui N*.

Se consideră două date Dl, Dm, l fiind diferit de m, între care există o conexiune, se alcătuiește o problemă simplă a cărei necunoscută face parte din mulțimea {N1, N2,…, Nl} ori este folositoare spre continuarea rezolvării problemei inițiale. O mărime de această natură poartă numele de mărime auxiliară.

Ulterior, se iau alte două cunoscute – ori calculate anterior ori oferite de enunțul problemei -, cu ajutorul cărora este formulată o altă problemă simplă, ce rezolvată, oferă valoarea unei mărimi din {N1, N2,…, Nl} ori a unei mărimi auxiliare. Acest proces continuă până când toate elementele mulțimii {N1, N2,…, Nl} vor fi aflate.

Metoda analizei (analitică)

Metoda analizei – ori analitică – este întâlnită și ca metoda reluării problemei de la sfârșit la început, a cărei primă descriere este datorată lui Pappus.

Similar celeilalte metode și aceasta a fost denumită din faptul că examinarea enunțurilor se face (și) analitic. Examinarea de tip analitic a unui enunț rezidă în a porni de la întrebarea problemei către cunoscut. Este formulată o nouă problemă în așa măsură încât răspunsul acesteia să fie identic cu cel al problemei propuse.

Problema nouă nu utilizează, de regulă, toate datele cunoscute ale problemei inițiale dar apar unele date necunoscute – mărimi auxiliare. În cazul de față, este formulată o a doua problemă, probabil cu alte date, a cărei rezolvare trebuie să ajute în generarea datelor necunoscute din problema anterioară.

În condițiile în care a doua problemă prezintă date necunoscute, se formulează o a treia problemă a cărei rezolvare este imperios să conducă la generarea mărimilor necunoscute din cea de-a doua problemă. Acest procedeu continuă până în momentul în care se obține o problemă cu toate datele cunoscute. Din acel moment, operațiile au loc pe calea sintezei.